ERRORES DE MEDIDA Medir es determinar cuantas veces una unidad de medida esta comprendida en la magnitud a medir. La cifra encontrada, multiplicada por la unidad de medida es el valor de la medida o medida de la magnitud. Fuentes y tipos de errores: Los errores de medida se dividen según su causa en: Errores de lo instrumentos o aparatos de medida: Son consecuencia de las imperfecciones de construcción, acabado y ajuste de los mismos. Se llama ajuste a la operación de regular o calibrar un aparato de medida. Errores de influencia: Son consecuencia de la acción del medio ambiente sobre el aparato. Por ejemplo la temperatura o la presencia de campos eléctricos o magnéticos. Errores de conexión: Son consecuencia del procedimiento de medida. Errores personales: son consecuencia de la observación, lectura y valoración defectuosa de la indicación. Errores Sistemáticos: Normalmente son debidos a imperfecciones apreciables de los útiles, aparatos conexiones y ambiente de la medida, dando como consecuencia un resultado incorrecto. En cada caso, tienen una magnitud y signo determinado, pudiendo compensarse mediante correcciones. Errores Accidentales: Aparecen por modificaciones no apreciables directamente de los aparatos y magnitudes de medida del medio ambiente y por lectura y observaciones defectuosas. Se distribuyen estadísticamente en ambos lados del valor probable pudiéndose calcular y compensar por cálculos estadísticos adecuados. Formas de expresar el error: a- Error Absoluto: Se define como la diferencia entre el valor leído y el valor exacto (que se supone conocido). εa (Error absoluto ) = Xl - Xv donde: Xl es el valor leído y Xv es el valor verdadero b- Error Relativo: Es el error absoluto dividido por el valor verdadero. Da una idea de la incidencia o “ peso relativo” del error respecto a la magnitud de lo que se mide. Así un error de 1 V respecto a 1000 V es muy pequeño, mientras que el mismo error de 1V respecto a 10 V es inaceptable. εr (Error Relativo) = εa / Xv = ( Xl – Xv ) / Xv c- Error Porcentual: Es el error relativo referido a 100. ε% = ε r / 100 = ( εa / Xv) * 100 =[ ( Xl – Xv ) / Xv] * 100 Análisis Estadístico Midiendo varias veces la misma magnitud con igual o distinto procedimiento y como consecuencia de los errores accidentales se obtienen diversos resultados para la medición. La
valoración de estos resultados aplicando técnicas estadísticas permite obtener el valor verdadero y la inseguridad en la medida. Valor Medio (Media aritmética). Si un observador repite la misma medida con los mismos medios y en idénticas condiciones, todos los valores tienden el mismo peso estadístico. El valor medio x se calcula para los n valores de x1 hasta xn según la formula: n
x = 1 / n∑ xi i =1
Desviación estándar: Las desviaciones de cada uno de los valores respecto al valor medio se caracterizan mediante la desviación cuadrática media. n
(
s = + 1 / n − 1∑ x1 − x i =1
)
2
Errores en instrumentos analógicos Clase de un instrumento: Se expresa como el error porcentual máximo que produce ese instrumento respecto al valor máximo (fondo de escala) que puede indicar.
Ejemplo: Voltímetro clase 0,5
Alcance 0 – 150 V
ε% = + 0,5 (respecto a 150 V) De ε% r = (εa / Xmax) * 100 , se tiene que el error absoluto cometido es εa = (ε% r . Xmax) / 100 = + 0,75 V De modo que este instrumento indica con un error absoluto de 0,75 V . Esta indicación puede ser mayor o menor que el valor verdadero por lo cual el error puede ser por exceso o defecto, es decir: εa = + 0,75 V Este error absoluto de la medición representa con su doble signo un intervalo dentro del cual se ubica el valor verdadero. α = X1 α α” α’ = X1 - εa α’ α” = X1+ εa α”α” intervalo de indeterminación
El error absoluto depende fundamentalmente del rozamiento y la temperatura, por lo tanto, no depende de la posición angular de la aguja, es decir tiene el mismo valor para cualquier lectura que se realice con un instrumento determinado. Como el Error Absoluto es uniforme a todo lo largo de la escala, es decir, en todo el alcance de un instrumento si se lo desea expresar en forma porcentual resulta: - mínimo para una lectura ubicada a “fondo de escala” - tiende a infinito para lecturas próximas a cero
Errores en instrumentos Digitales
En los instrumentos el fabricante expresa el error el las lecturas de diversas maneras, una de las mas comunes es: ε = ε % + nro. de dígitos Esto significa que el error, generalmente es la lectura más un porcentaje, más el error del último dígito. No todos lo fabricantes lo expresa igual por lo que se debe conocer el método que ocupa leyendo el manual de utilización del mismo. Medición Semi-indirecta
Se llama medición Semi-indirecta a la que se realiza mediante un instrumento acotado en unidades de la misma naturaleza (dimensión) que la variable que se desea conocer. Ejemplos: Medir una tensión con un voltímetro Medir potencia con un vatímetro. Medición Indirecta
Son las que se realizan utilizando dos o mas instrumentos que miden variables diferentes de las que se desea conocer, pero que están relacionadas con esta mediante leyes físicas conocidas. Ejemplo: Medir potencia mediante voltímetro y amperímetro Propagación de errores a- Adición de lecturas
x = x1 + x2
I
(1)
I1 A
I2
A
Aplicando diferenciales: dx = dx1 + dx2
R1
(2)
R2
Dividiendo (2) por (1) resulta: dx/x = ( dx1 + dx2 ) / (x1 + x2)
(3)
dx/x = dx1/( x1 + x2) + dx2 / (x1 + x2) (4) En el segundo miembro, al primer termino lo multiplicamos y dividimos por x1 y al segundo por x2 dx/x = (x1 dx1)/(x1 (x1 + x2 )) +(x2 dx2) /( x2 ( x1 + x2))
(5)
dx dx1 dx 2 [x2 ( x1 + x2)] = ⋅ [x1 ( x1 + x 2)] + x x1 x2
(6)
La expresión (6) es valida en rigor en forma diferencial, sin embargo, con un pequeño error puede aceptarse para incrementos finitos.
∆x ∆x1 ⎛ x1 ⎞ ∆x 2 ⎛ x 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ = x x1 ⎝ ( x1 + x 2) ⎟⎠ x 2 ⎜⎝ ( x1 + x 2) ⎟⎠
(7)
Si multiplicamos por 100 ⎛ x2 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ∆x 2 ∆x ∆x1 ⎟⎟ ⎟⎟ + ⋅ 100 ⋅ ⎜⎜ ⋅ 100 = ⋅ 100 ⋅ ⎜⎜ x x1 ⎝ ( x1 + x 2) ⎠ ⎝ (x1 + x 2) ⎠ x 2
(8)
∆x es el error absoluto en cada caso y (∆x /x).100 es el error porcentual, lo que implica :
ε%(x) = ε%(x1) (x1/ (x1 + x2 )) + ε%(x2) (x2/ (x1 + x2 ))
(9)
b- Sustrato de Lecturas
x = x1 - x2 Procediendo como en el caso anterior: dx = dx1 - dx2 dx /x = dx1 /( x1 - x2) - dx2 / (x1 - x2) ∆x /x . 100 = ∆x 1/ x1. 100 (x1 /( x1 - x2)) + ∆x 2/ x2. 100 (x2 /( x1 - x2))
ε%(x) = ε%(x1) (x1/ (x1 - x2 )) + ε%(x2) (x2/ (x1 - x2 ))
(9)
Se ha cambiado el signo del segundo termino porque debemos considerar las posibilidades mas desfavorables o extremas, es decir, cuando los errores se componen en la forma mas desfavorable, ambos con igual signo. El divisor (x1 - x2) que aparece en el segundo miembro muestra que el error puede ser inaceptable si: x1 ≡ x2 ya que
x1 - x2 → 0 ε%(x) → ∞
I1 A I R1
c- Producto de Lecturas
x = x1 * x2 dx = x2 dx1 + x1 dx2 dx /x = x2 * d x1/( x1* x2) + x1 * d x2/( x1 * x2) (∆x /x )*100 = ( ∆x 1/ x1 ) . 100 + (∆x 2/ x2 ).100
I2 A R2
A
V
U
I R
ε%(x) = ε%(x1) + ε%(x2) d- Cociente de Lecturas
x = x1 / x2 dx = (x2 dx1 - x1 dx2)/ x2 dx /x = (x2 d x1)/x1 )/( x1/ x2) – ((x1 d x2)/x2 )/( x1 / x2) ∆x /x -100 = ∆x1/ x1 . 100 + ∆x2/ x2 .100
ε%(x) = +- (ε%(x1) + ε%(x2) ) El cambio de signo es para incluir el caso mas desfavorable, en que los errores se adicionan.