Integral Definida y sus Aplicaciones
Área de una región plana.
y
f ( 両k )
B
A a=x0
y=f(x)
両k
x
xn=b
Problema fĂsico
Hallar el camino S recorrido por un punto material en el intervalo de tiempo de t=t0 a t=T si se conoce la velocidad v en funci贸n de t.
b
INTEGRALES DEFINIDAS b
f ( x ) dx , o , f ( t ) dt ∫ ∫ a
a
Una partici贸n P de [a,b] es cualquier divisi贸n de [a,b], en subintervalos de la forma:
Sea f definida en [a,b] y sea P una partici贸n de [a,b]. Una suma de Riemann de f para P, es una expresi贸n RP de la forma:
n
R P = ∑ f ( wk ) ∆x k k =1
donde
1,xk]
wk∈[xk-
G. F. B. Riemann 1826-1866
para cualquier elección de números wk en [xk-1,xk] de P. I se llama límite de
I=límite de la suma de Riemann.
f ( w ) ∆ x − I < ε ∑ k k k
Sea f definida en [a,b]. La integral definida de f entre a y b seb denota por:
f ( x ) dx â&#x2C6;Ť
Y está dada por b
∫ a
f ( x)dx = lím
P →0
∑ f (w
k
) ∆x k
k
siempre que exista el límite
Si existe la integral definida de f entre a y b, se dice que f es
Los nĂşmeros a y b se denominan lĂmites inferior y superior de
Si c > d, entonces d
∫ c
c
f ( x )dx = −∫ f ( x)dx d
Si f(a) existe, entonces a
f ( x ) dx = 0 â&#x2C6;Ť a
Teorema: Si una funci贸n f es continua en [a,b], entonces f es integrable en [a,b].
Teorema Fundamental del Cรกlculo
Sea f una funci贸n continua en un intervalo cerrado [a,b]
Parte I Si la funciรณn G estรก definida por x
G ( x ) = โ ซ f (t ) dt a
para todo x en [a,b], entonces G es una antiderivada de f en [a,b]
ParteII Si F es cualquier antiderivada de f en [a,b], entonces b
∫ a
f ( x ) dx = F (b) − F ( a )
Si f es continua en [a,b] y F es cualquier antiderivada de f, entonces: b
â&#x2C6;Ť a
f ( x) dx = F ( x ) = F (b) â&#x2C6;&#x2019; F ( a ) b a
Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716
Sir Isaac Newton 1642-1727
Ejemplo: Calcular 3
â&#x2C6;Ťxdx 1
Se conoce que x +C , ∫ xdx = 2 x +C o sea, F ( x ) = 2 2
2
Por eso, 3
2 3
x xdx = ∫1 2
1
2
2
3 1 = − =4 2 2
Otras aplicaciones
Area de una regi贸n R y=f(x) Y
R
a
y=g(x) b
X
Area de una regiĂłn R. Si f y g son continuas y f(x) â&#x2030;Ľ g(x) para todo x en [a,b]
b
A = ∫ [ f ( x) − g ( x)]dx a
Ejemplo: Hallar
el
área
de
la
región limitada por las parábolas y = 4x – x2 e y = x2- 4x + 6
Y
y=x2-4x+6
1
3 y=4x-x2
x
3
A = ∫ [ 4 x − x − ( x − 4 x + 6)]dx 1
2
2
3
=∫(8 x −2 x 1
=4 x 8 = 3
23 1
2
−6) dx
2 33 3 − x 1 −6 x 1 3
Trabajo realizado por una fuerza
Sea f(x) la fuerza en el punto sobre
de una
coordenada recta
x de
coordenada l, donde f es continua en (a,b).
El trabajo realizado al mover un objeto del punto con coordenada a al punto con coordenada b es:
W = lím ∑ f ( w ) ∆x P →0
b
k
= ∫ f ( x ) dx a
k
k
Cรกlculo de cantidades
Sean R(t) la rapidez de cambio y Q(t) la cantidad presente al tiempo t de una entidad fĂsica o de otro tipo, siendo Q(t) derivable, entonces
el incremento de entre a y b es b
Q
Q (b) −Q ( a ) = ∫ Q ' (t ) dt a
b
= ∫ R (t ) dt a
Se comienza a bombear petróleo a un tanque de almacenamiento a las 9.00 am a razón de (150t½+25)L/h. Cuántos litros se habrán bombeado al tanque a la 1.00pm?
Soluciรณn 4
โ ซ(150t 0
3 2
1 2
+ 25) dt
= (100t + 25t ) 3 2
4 0
= 100( 4) + 25( 4) = 900 L
Se han bombeado 900 litros de petr贸leo.