LĂmite y continuidad de funciones de una variable
f(x)
lim f ( x) l
l
xa
a
x
f(x)
l lim f ( x) l
x a
a
x
f(x)
lim f ( x) l
l
x a
a
x
Límite de algunas funciones k
f(x)=k
lim k k
x a a
Límite de algunas funciones f(x)=x
a
lim x a
a
x a
Límites laterales f(x)
lim f ( x) l
l2
x a
l a
x
Límite lateral derecho lim f ( x ) l x a
para todo 0 existe 0
tal que si 0 x a entonces f ( x ) l
Límites laterales f(x)
lim f ( x) l2
l2
xa
l1 a
x
Límites laterales f(x)
l1 l2
l2
lim f ( x) x a
l1
no existe a
x
LĂmites laterales f(x)
l
a
x
Teorema: f definida en un entorno reducido de a lim f ( x ) existe, sí y solo xa
si, existen y son iguales ambos límites laterales en a.
Teorema: Si
lim f ( x ) l y lim g( x) m
x a entonces:
x a
lim f ( x ) g( x ) l m
x a
Teorema: Si
lim f ( x ) l y lim g( x) m
x a entonces:
x a
lim f ( x ) g( x ) l m
x a
Teorema: Si
lim f ( x ) l y lim g( x ) m
x a entonces:
x a
f ( x) l lim si m 0 x a g( x ) m
Teorema: Si
lim f ( x ) l entonces:
x a
lim c f ( x ) c l
x a
Ejemplo:
lim x lim x. x 2
x a
x a
a .a a
2
Ejemplo:
n
lim x a
x a
n
Ejemplo:
2
lim 3 x x 1 9
x 2
Ejemplo:
lim Pn ( x ) Pn (a )
x a
Función continua
Sea f definida en un entorno de a. f es continua en a si
lim f ( x ) f (a )
x a
f(x)
f(a) a
x
f es continua en x=a
Función continua
a dom f lim f ( x ) existe finito
x a
l f (a )
f(x)
lim f ( x ) lim f ( x )
x a
a
x
x a
l2 l1
Discontinuidad de salto
f(x)
lim f (x ) xa no es finito a
x
Discontinuidad infinita
lim f ( x ) l ( finito)
f(x)
x a
l f (a ) a
x
Discontinuidad evitable
lim f ( x ) l ( finito)
f(x)
x a
a domf a
x
Discontinuidad evitable
Funci贸n continua en (a,b): si f es continua en cada punto de (a,b)
f continua en a,b si: f es continua en (a,b)
lim f ( x ) f (a )
x a
lim f ( x ) f ( b )
x b
Teorema:
Si f y g son continuas en a, entonces f+g, fg, y si g(a)ď‚š0, f/g son tambiĂŠn continuas en a.
Ejemplo: 2
x 4 f ( x) x2
es discontinua en x=-2
Teorema del valor intermedio f cont en ď &#x203A;a,bď ? f(b) f(a)<w<f(b) w f(a) a c
b
Teorema del valor intermedio f cont en a,b f(a)<w<f(b)entonces existe c(a,b) tal
que f(c)=w
f(x)
f(a).f(b)<0 f(b) a f(a)
c
b
x
Teorema: f continua en a,b y f(a).f(b)<0, entonces existe c(a,b) tal que f(c)=0
Concepto
Teoremas
LĂmite LĂmites laterales
Concepto
Teoremas
Continuidad