Practicadeconceptos by Daniel López García

Lectura 2

Empezaremos por el clásico ajedrez y terminaremos por algunos wargames más modernos, aprovechando por el camino para formalizar dos conceptos nuevos, que seguro que hemos empleado mil veces y que ni sabíamos que tenían nombre: la completitud de la información y la perfección de la información.

Ajedrez El ajedrez es uno de los juegos de estrategia más conocidos y antiguos. Supongo que todos conocen e incluso han jugado alguna vez, pero por si acaso: dos jugadores, uno de ellos con un ejército de color blanco y el otro con un ejército de color negro (aunque se pueden usar otros colores, da igual). Existen distintos tipos de piezas, que representan distintos tipos de unidades del ejército: infantería, caballería, torres, oficiales… cada una con distintos movimientos posibles. El objetivo es capturar al rey contrario. No vamos a revisar las reglas, porque son demasiado complejas para un artículo como este, sino que las vamos a dar por sabidas. Si no las conoces y quieres conocerlas, prueba por ejemplo en el reglamento de la Wikipedia. El ajedrez es, entre otras cosas, un juego de información perfecta. Juego de información perfecta: es un juego en el que cada jugador conoce las decisiones que han tomado los otros jugadores.

Los juegos de información perfecta, pueden ser : las damas, el parchís… Los juegos que son de información imperfecta: Uno, Domino, etc

¿Alguien ve un patrón en la lista de juegos de un tipo y otro? Todos los juegos de información perfecta son juegos secuenciales. Los juegos simultáneos han de ser necesariamente de información imperfecta, pues hasta que los demás jugadores no anuncian su decisión no la conocemos (cuidado, que lo contrario no es necesariamente cierto; un juego puede ser secuencial y aun así ser de información imperfecta). Algunos wargames más modernos introducen ideas como estas, por ejemplo permitiendo que los jugadores oculten unidades en edificios o bosques, escribiendo en un papel que debe enseñar al oponente cuando quiera mostrar la unidad (sin duda, jugar muchas de estas cosas ahora por ordenador ha facilitado mucho esto).

Resolviendo el ajedrez… El caso es que, dada una posición (por ejemplo la posición inicial), sabemos cuáles son todos mis posibles movimientos. Dados mis movimientos, sabemos todos los posibles movimientos del oponente, consecuencia de ellos. Y dados esos, sabemos cuales serán los míos en la tercera jugada. Y así sucesivamente, hasta llegar al mate de uno de los jugadores o a las tablas. Es decir, somos capaces, al menos teóricamente, de dibujar el árbol completo del juego. Es decir, conocemos toda la forma extensiva del ajedrez. Por lo tanto, dado que sabemos que yo eliminaré todos los caminos que me lleven a perder, y el oponente eliminará todos los caminos que le lleven a perder a él, podemos ir podando ramas imposibles, hasta que nos quede solo una decisión posible… y entonces no jugaremos, porque… ¿para qué?… si ya sabemos cómo va a terminar la partida. Bien, afortunadamente, el número posible de jugadas es del orden de 10^120, un número tan absurdamente grande que probablemente ni te imaginas cómo es. Para que te hagas una idea, se estima que en el universo hay unos 10^79 átomos, así que el número de posibles jugadas es muchos órdenes de magnitud mayor. De modo que, aunque es matemáticamente posible hacerlo, es computacionalmente imposible resolverlo. Por lo que sé, parece que la mayoría de los jugadores IA de ajedrez utilizan algoritmos heurísticos para podar ramas enteras de esos árboles, evitándose calcularlos, para de esa forma encontrar jugadas buenas sin tener que calcular el árbol entero. Así consiguen jugadas mejores que las que conseguimos los simples mortales como yo. ¿No podemos avanzar más? ¿Dejamos ya el artículo? Pues no, porque podemos atacar algún otro juego de estrategia un poco más sencillo. Por ejemplo el tictactoe.

Tictactoe

Todos hemos jugado de pequeños, seguro, al tictactoe (en España lo conocemos más como “tres en raya”). Tenemos un tablero de 3×3 casillas, donde un jugador va poniendo cruces y el otro va poniendo círculos. El objetivo es poner 3 de tus fichas en línea antes de que lo haga el contrario. No me he puesto a hacer los cálculos de los posibles movimientos, pero laWikipedia dice que hay 138 posibles partidas (obviando las que son rotaciones e imágenes especulares unas de otras), así que muchos valientes se han dedicado a buscar la decisión óptima de cada jugador ante cada situación. A mí me encanta, por el valor friki, la versión que ha publicado Randall Munroe en xkcd.[1] La imagen tiene detalles muy pequeñitos, así que pica en la imagen para verla en grande si lo necesitas (cuidado, porque la última vez que lo miré con cuidado, me pareció ver una errata en uno de los movimientos, aunque

ahora no recuerdo dónde; sí recuerdo que no afectaba a la rama principal, solo a una de las que se descartan). No es difícil darse cuenta de que, si cada uno de los jugadores hace una partida perfecta (siempre hace su movimiento óptimo en cada momento), el resultado será el siguiente (no olvides que estamos considerando iguales todas las versiones rotadas y especulares de cada posición):

Solución del tictactoe Es decir, un empate. Algo que, sin tanta parafernalia, ya aprendimos de niños a base de experiencia. Al principio jugábamos contra nuestros amigos, pero al poco tiempo ambos sabíamos qué movimientos no podíamos hacer, de modo que siempre empatábamos. La única solución factible cuando ambos jugadores saben jugar es el empate. Así que dejábamos de jugar.

¿Podemos escalar este resultado a un wargame más complejo? ¿El ajedrez? ¿El Risk? ¿Una guerra real?[2]Pues depende. Dependiendo del

juego, si ambos jugadores hacen una partida perfecta (sin errores, eligiendo siempre la mejor decisión en cada movimiento) se puede llegar a una de las siguientes situaciones: ●

Juego determinista: ○ ○

●

El juego solo puede acabar en tablas. Por ejemplo, el tictactoe o las damas. El juego solo puede ser ganado por uno de los jugadores. Por ejemplo, en el Nim o en Conecta Cuatro siempre gana el jugador que empieza. Juego con azar (dados, cartas…): ○ ○

El juego se resuelve estadísticamente en tablas. Por ejemplo, el parchís. Si todos los jugadores son perfectos, solo los dados marcan la diferencia. El juego beneficia estadísticamente a un jugador. Por ejemplo, en la mayor parte de juegos de casino, estadísticamente gana la banca.

La Wikipedia tiene una lista muy chula de juegos que están resueltos. Ni que decir tiene que el hecho de que un juego esté resuelto no quiere decir que debamos dejar de jugarlo, porque salvo para juegos triviales como el tictactoe o el Nim, no haremos una partida perfecta, y entonces sigue siendo divertido averiguar quién de los dos se aproxima más a ella.

Risk Por si no has jugado nunca al Risk, te explico muy por encima de qué trata. Es un juego de estrategia, por turnos, en que los jugadores mueven ejércitos desde sus territorios a los territorios enemigos, resolviéndose cada batalla según unas tiradas de dados. ¿Cuál es el objetivo? Pues depende. No, el objetivo no es conquistar el mundo. Al empezar, cada jugador saca una carta de objetivos de un mazo y la mantiene secreta. Los objetivos pueden ser “conquistar

20 territorios” o “conquistar 3 continentes cualesquiera” o “conquistar Sudamérica y África” o cosas así. Cuando un jugador ha conseguido su objetivo, enseña su carta de objetivo a los demás jugadores y ¡ha ganado! Es decir, es un juego de información incompleta. Juego de información completa: es un juego en que todos los factores del juego son conocimiento común.

Hay aquí dos detalles importantes: “todos los factores del juego” y “conocimiento común”. “Todos los factores del juego” incluye el número e identidad de los jugadores, sus objetivos, sus posibles decisiones, las recompensas de cada combinación de decisiones… y muchas cosas más. Todo. “Conocimiento común” significa no solo que todos los jugadores conocen esos factores del juego, sino que además todos saben que todos los conocen, y todos saben que todos saben que todos los conocen, y todos saben que todos saben que todos saben que todos los conocen… y así hasta el infinito. En el caso del Risk, los jugadores no conocen los objetivos de los demás jugadores. Es difícil diseñar wargames en que exista incompletitud de la información (al menos, es difícil que la incompletitud sea algo más que los objetivos), porque ambos jugadores pueden leer el reglamento del juego. Pero en la vida real, como ya hemos visto alguna vez, los grandes ganadores han sido quienes encontraban nuevas decisiones posibles, cambiaban las recompensas, ocultaban cosas al oponente… Hemos visto algunos juegos de información completa,. Y también algunos juegos con información incompleta. Esta es precisamente la mayor crítica que se le hace a la aplicación de la teoría de juegos a la vida real. Para poder hacer un análisis abordable, a menudo hay que suponer que tenemos un juego de información completa, lo resolvemos, encontramos la mejor decisión y luego aplicamos esa decisión a la vida real. Si la suposición era lo bastante aproximada, puede que la conclusión sea aplicable a la vida real, pero si no… El caso es que la vida real raramente es de información completa ni de información perfecta. No conocemos las motivaciones de nuestros compañeros de trabajo, no sabemos la recompensa que va a obtener nuestro cliente al comprarnos un producto o servicio, no sabemos las órdenes que ha dado el general enemigo, no sabemos si hay más jugadores a los que no estemos teniendo en cuenta, ni siquiera estamos seguros de estar jugando al juego adecuado… ¿quién dijo que la vida fuera fácil? Si de verdad la vida fuera un juego de información completa y

perfecta… ya hemos visto en qué acaba el tictactoe en ese caso…

Juegos a Explicar que tipo de juego es y porque subasta del dólar juego del ciempiés, problema de las pensiones, ultimátum y dilema del prisionero, dos tercios de la media, los tenistas, escándalo de corrupción

El juego del dictador. En este juego existen también dos jugadores, que serán otra vez Ana y Alberto, para variar. Ana tiene 100€, y puede decidir cuántos le da a Alberto y cuántos se queda ella. Nótese que ahora Alberto no decide nada: Alberto siempre se queda con lo que Ana le dé, sin rechistar. Imaginad que vosotros sois Ana y jugad: ¿cuánto os quedaríais vosotros y cuánto le daríais a Alberto? Contestad simplemente enviando un comentario. En este caso, si queréis, podéis indicar brevemente (no más de una o dos líneas) por qué habéis elegido esa cifra, pero no es obligatorio. Procurad no extenderos mucho, que luego en la segunda parte podréis explayaros a gusto. Por simplificar, una vez que hayáis dicho una cifra, ya no podéis volver a escribir para decir otra. A jugar.

Hemos tenido 38 participantes (hasta el viernes a media tarde, en que ya dejé de contar), y el histograma de las decisiones que habéis tomado es el siguiente (medimos la cantidad que cada jugador se queda para sí):

¿Hace falta que os cuente cuál es el resultado teórico óptimo? Por si acaso: Ana se

queda con 100€, que es su máximo beneficio, y a Alberto NADA. Cualitativamente, era obvio que iba a haber un pico en el 100… lo que quizá muchos no esperaban es que hubiera un pico tan pronunciado en el 50, y muchos valores dispersos entre el 50 y el 100. ¡Incluso alguno por debajo del 50! ¿Por qué tanta discrepancia en este y en otros juegos entre el resultado teórico y el resultado empírico? Eso es lo que veremos en este artículo. Vamos a formalizar otros pocos conceptos que, aunque ya los hemos usado durante la serie, ha sido de manera implícita o informal.

Hombre económico Hombre económico[1] u hombre egoísta: jugador cuyo objetivo en el juego es maximizar su beneficio.

Este es el concepto de jugador que hemos estado usando hasta ahora implícitamente. Nuestro objetivo, cuando buscábamos la estrategia óptima teórica, era buscar nuestro máximo beneficio. Ojo, que eso no implica la máxima pérdida para el otro (no necesariamente), sino tan solo nuestro máximo beneficio sin mirar el beneficio del otro. Si ese máximo nuestro le da también mucho al otro, pues mejor para él; y si no, pues ajo y agua. No debe entenderse aquí egoísta en modo peyorativo. La RAE da una definición de egoísmo que resulta muy acertada para el uso coloquial del egoísmo, pero no para el uso que le damos en este epígrafe. Por ejemplo el liberalismo económico se basa, simplificándolo, en que un puñado de compradores y vendedores, buscando egoístamente su propio beneficio, lograrán el máximo beneficio global posible. Según sigamos avanzando a aspectos más matemáticos de la serie, será este el modelo de jugador que usaremos.

Hombre irracional Hombre irracional: jugador que no conoce la mejor estrategia del juego, o no actúa según ella. Se usa el término jugador racional cuando se quiere hablar de su opuesto.

Hombre social Hombre social: jugador cuyo objetivo no es maximizar su propio beneficio, sino maximizar la suma de los beneficios de todos los jugadores.

Muchos autores sostienen que estos jugadores en realidad no existen, y que, si parece que existen, es porque sus genes están jugando al juego competitivo de la evolución. De ese modo, la evolución elimina a los jugadores que no se comportan de manera social sino egoísta. La sociedad desprecia el egoísmo (hasta tal punto es así que, como hemos visto, el significado de egoísta según la RAE es bastante peyorativo; por ejemplo, hemos visto en el juego del ultimátum que los Albertos tendían a castigar a las Anas que proponían un reparto poco equitativo) sin darse cuenta de que ese comportamiento social es evolutivamente egoísta.[2] No obstante, y a pesar de ello, dependiendo de lo que estemos estudiando puede interesarnos simplificar y centrarnos en el jugador social del juego que estemos estudiando, olvidándonos del juego que tenemos por encima. Según un hombre social, un beneficio de 5,5 será mejor que un beneficio de 7,0, porque aunque en la segunda opción él gana más (7 frente a 5), en la primera la suma es mayor (10 frente a 7). Si recordamos el juego del ciempiés, nos acordaremos de que el resultado empírico era muy distinto del teórico esperado si utilizábamos la hipótesis de hombre económico (que era la que decíamos que era óptima teóricamente, ya que estábamos implícitamente diciendo que nuestros jugadores eran egoístas). Y también vimos en la segunda parte del artículo sobre el juego de contar que la explicación de que los jugadores eran irracionales tampoco era satisfactoria. Pues aquí tenemos otra explicación, que algunos consideran la más satisfactoria: los jugadores del juego del ciempiés son hombres, con sus defectos y sus virtudes, y nuestra especie es un jugador social. No solo es que cada jugador se comporte como hombre social, es que cada uno de ellos asume que su oponente también es un hombre social, y piensa “bueno… probablemente no va a cortar al principio, porque si sigue ganamos mucho”, y entonces la mejor estrategia no es repartir en el turno 1. Si el otro piensa lo mismo (lo cual es bastante plausible, dado que es también un ser humano), ambos ganaremos más. El problema es que esa mentalidad está tan arraigada en nuestros genes que a lo mejor ni hemos pensado en ella. Por ejemplo, cuando el ínclito Macluskey editaba los artículos

de esta serie, me decía por email: “si fuera yo, seguía siempre hasta el turno 100 y desplumábamos a la banca“. Fijaos en que su conclusión no era “y me forro” sino “y desplumamos a la banca“, en el sentido de que la banca pierde el máximo: es decir, la suma de ambos jugadores gana el máximo.[3] Así, al menos durante los primeros turnos, cada uno de los turnos debe hacerse como un jugador social. Por ejemplo, si en el turno 5 Interrumpo, yo gano 6 y el otro 4. Pero si paso, y el otro interrumpe, yo gano 5 el otro 7. Yo gano menos, pero entre los dos ganamos más. Si en el turno 6 el oponente hace el mismo razonamiento, llegaremos al turno 7, y yo lo haré otra vez, y él otra, y otra y otra. Como ambos somoshombres sociales, probablemente haremos el mismo razonamiento (incluso sin pensarlo mucho) y ambos ganemos más. Nos diremos “jo, si este tipo colabora, nos forramos”. Podrás imaginar que la situación tampoco tiene por qué ser “todo o nada”. Y por eso no reparte en el turno 1 o en el 100, sino que puede (suele) ser algo intermedio. Unos llegarán hasta el turno 100, otros cortarán en el 1 y la mayoría en algún lugar intermedio. Pero en cualquier caso, parece obvio que las especies que son jugadores sociales tienden a imponerse sobre las que no: el ser humano sobre los felinos de la sabana, los lobos que cazan en manada sobre las manadas de ciervos, los seres pluricelulares sobre los unicelulares,… Y todo ello a pesar de que un león es capaz de comerse a un humano, un ciervo de cornear a un lobo y un virus de matar a una célula humana. ¿Por qué? Porque como veíamos en artículos anteriores, en realidad existe un jugador egoísta en un juego superior (por ejemplo, nuestros genes en el juego de la evolución) que nos obliga a comportarnos comojugador social en este. Este juego es paradigmático: para ganar lo máximo en el juego completo (egoísmo), lo mejor es ser social turno a turno (al principio al menos). Veremos más adelante (quizá dentro de ocho artículos) que el hombre económico también puede aprovechar ese conocimiento para maximizar su beneficio, aunque no de manera tan sencilla como veíamos inicialmente, y a lo mejor eso es lo que están haciendo inconscientemente nuestros jugadores empíricos. También profundizaremos dentro de 23 artículos en la idea de que el comportamiento egoísta y el comportamiento social pueden ser en realidad el mismo. Algunos autores llaman a ese comportamiento hombre superracional, en el sentido de que son racionales en un nivel superior: si ambos son superracionales, ambos ganarán más. En mi opinión no es exactamente lo mismo: un jugador social antepondrá la ganancia de la sociedad a la suya propia, mientras que unosuperracional lo hará únicamente si eso supone que, haciendo el otro lo mismo, ambos ganan más. Creo que

al final, evolutivamente, es lo mismo, pero quizá cada uno pone el énfasis en un sitio distinto. En cualquier caso, más adelante volveremos a darle vueltas a esto.

Hombre altruista Hombre altruista: jugador cuyo objetivo en el juego no es maximizar su propio beneficio, sino maximizar el beneficio de otros.

Este comportamiento lo hemos visto en los comentarios del juego del dictador, que daba pie a este artículo: teníamos 100€ y debíamos decidir cuánto nos quedábamos y cuánto le dábamos al otro. Aunque muchos jugadores ha decidido quedarse los 100€, muchos otros han decidido repartirlo de una forma más equitativa (como antes, no tiene por qué ser 100% altruista, sino que será en un cierto porcentaje egoísta y en cierto porcentaje altruista). Nótese que este caso no es el mismo del hombre social. Como hemos visto, el hombre social elegirá 5,5 antes que 7,0. Pero es que el hombre altruista elegirá 5,5 incluso antes que 10,0 o hasta que 11,0.

En Internet, nadie sabe que eres un perro (Peter Steiner, en The New Yorker, 1993) Hay varias posibles explicaciones (y supongo que la correcta es una mezcla de ellas): ●

Un error en el diseño del experimento: la distorsión del encuestador. Los jugadores, al saberse observados, no dicen lo que realmente harían si no hubiera nadie viéndoles, y sesgan el resultado hacia el comportamiento socialmente aceptado. Dado el anonimato de nuestros comentarios, esperaba que este efecto se disipase un poco (ya sabéis, en Internet nadie sabe que eres un perro), pero lo cierto es que quizá también tenemos una “reputación digital” que mantener, y de hecho algunos jugadores han dado explicaciones (casi excusas) de por qué daban 0 a Alberto, ¡como si

estuviéramos juzgándoles! … Bueno… quizá en cierto modo sí lo estamos haciendo, ¿no? ●

Existe alguna recompensa que no estamos teniendo en cuenta. Por ejemplo, un jugador puede sentirse bien consigo mismo si realiza un reparto más equitativo que 100,0. Por ejemplo, si realiza 50€,50€, se siente satisfecho consigo mismo (sus glándulas empiezan a segregar endorfinas o alguna cosa así) y recibe un pago de 2 adicional, de modo que en realidad el pago es 52,50. Nótese que en el 50 puse intencionadamente el símbolo del Euro para indicar que era un pago monetario, pero en el 2 no lo he puesto para indicar que es un pago nomonetario. Así, habríamos reducido la discusión a la del hombre social del epígrafe anterior (que a su vez probablemente es un caso de hombre egoísta en el juego de la evolución). Como ejemplo de este comportamiento, alguno de nuestros jugadores decía que “prefiero dormir tranquilo” o “no se sabe las vueltas que da la vida” (es decir, en realidad está esperando un pago futuro) o quería que Alberto le invitara luego a las copas con lo que le había dado.

●

El valor de las recompensas no es igual para todo el mundo y no nos habíamos dado cuenta. Por ejemplo, una persona de renta alta podría no valorar en mucho unos pocos euros, pero sí creer que le serán mucho más útiles al otro, si no tiene renta tan alta. Así, si se queda todo, el pago será 60,0 (ya que 100€ para él tienen un valor de 60; de nuevo, la falta del símbolo del euro es intencionada)[4] mientras que si le da 70€ al otro, él cree que el valor para el otro será mayor, como por ejemplo 20,70 (los 30€ que se queda valen 20 para él, pero los 70€ que le da al otro valen 70). De este modo, otra vez queda reducido al estudio del hombre social.

Como vemos, todas las explicaciones pasan por el hecho de que el experimento está mal, bien porque influimos en él, bien porque no estamos midiendo lo que creemos. Que el altruismo exista o no, es motivo de discusión profunda entre los estudiosos del tema, así que por nosotros lo dejaremos aquí.[5]

Hombre malvado Hombre malvado: jugador cuyo objetivo en el juego es minimizar el beneficio de otros.

Ya desde Platón se decía que el hombre malvado solo era malvado porque no conocía las verdaderas consecuencias de sus actos. Así que no os sorprenderá si digo que para muchos este tipo no existe: o bien es simplemente un hombre irracional o bien existe alguna recompensa que no estamos teniendo en cuenta. Por lo tanto, con este epígrafe no nos referimos al ladrón que roba 1.000.000€ del banco para pegarse la gran vida. Eso sería un hombre económico, que ha sopesado la potencial recompensa y el potencial castigo si le pillan y simplemente ha decidido lo que mejor le venía. Seguro que alguna vez has oído lo de “todos tenemos un precio“… pues

eso. Tampoco nos referimos al gamberro que rompe una marquesina de autobús o al troll que estropea una sana discusión en un foro,[6] pues esos también tienen recompensa: las endorfinas (o lo que sea) que produce su cuerpo al realizar la acción, o el status ganado ante sus amigos, o alguna otra ganancia, compensan para ellos la pérdida de la sociedad, así que su recompensa es mayor haciendo eso que quedándose quietecitos. Por ejemplo, cuando jugábamos a “dosterciosdelamedia“, Alb dijo un número altísimo intencionadamente… pero tampoco nos referimos a él, porque parece ser que su estrategia involucraba jugar iteradamente y utilizar esa “bravuconada” para condicionar futuras decisiones en futuras iteraciones del juego. Imaginad al niño recién llegado al colegio que el primer día agarra a cualquiera en el recreo y le da una somanta de palos, solo para dejar clara su posición… pues eso tampoco es la maldad a la que nos referimos, porque es una estrategia para el futuro. Nos referimos a quien hace el mal por sí mismo… Como antes, no existe consenso sobre si el hombre malvado existe o no. Desde luego, no parece que haya muchos ejemplos (si hay alguno) en que no se pueda hacer corresponder sobre uno de los comportamientos anteriores.[7]

El problema de las pensiones, revisitado Así que ahora volvemos a estudiar el problema de las pensiones (reléelo si no lo tienes fresco). Allí vimos que, como hombres económicos, había dos decisiones posibles: ●

Si el juego iba a terminar en algún momento o el pago futuro decaía, lo mejor era Interrumpirlo ya.

●

Si el juego podía continuar indefinidamente, lo mejor era Continuarlo siempre.

Pero ahora debemos añadir el hecho de que el ser humano, para bien o para mal, no es solamente unhombre económico. Si creemos que el juego se va a acabar, lo mejor parece ser Interrumpirlo ahora. Si lo Interrumpimos ahora probablemente dediquemos nuestros recursos a cuidar de nuestros padres de todos modos,[8] sea por el componente social o por el componente altruista. Eso tiene un coste para nosotros. Supongamos que ese coste es X (ojo: X puede ser mayor o menor de 100, no lo sabemos). Así que si Continuamos el juego, estaremos pagando 100 y puede (o puede que no) que

cobremos 200 en el futuro. Es decir, puede que en neto perdamos 100 o puede que ganemos 100. Si lo Interrumpimos, no pagaremos los 100, pero de todos modos tendremos que pagar X, porque sabemos que no vamos a dejar tirados a nuestros padres y abuelos. Pero lo que sí es seguro en este caso es que no cobraremos 200 en el futuro. Es decir, en neto, perderemos X. Incluso si se no Interrumpe bruscamente, sino que el pago futuro va disminuyendo poco a poco como veíamos en aquel artículo, podemos hacer un análisis similar. Es por este motivo por el que, en mi opinión, sostendremos el sistema público de pensiones, durante un tiempo al menos, incluso aunque creyéramos que en el futuro puede quebrar… al menos mientras que las probabilidades de quiebra en el futuro cercano no sean lo suficientemente altas y/o el pago futuro no sea lo bastante bajo. Veremos más sobre esas estrategias con probabilidades en futuros artículos.

Hombre social Hombre social: jugador cuyo objetivo no es maximizar su propio beneficio, sinomaximizar la suma de los beneficios de todos los jugadores. Este tipo de jugador también lo hemos visto, en lasegunda parte del artículo sobre el juego de contar. Como veíamos allí, muchos autores sostienen que estos jugadoresen realidad no existen, y que, si parece que 1.

Que no se nos enfaden las damas. Utilizamos el término hombre para indicar la especie, no el sexo. La expresión se traduce del latín homo economicus. [↩]

Seguro que nuestros contertulios psicólogos o filósofos, si los hay, pueden confirmarnos cómo dichas disciplinas han dado vueltas a esta idea continuamente a lo largo de la historia. [↩]

Nota del tal “ínclito Macluskey”: Conste que sigo pensando lo mismo, ¿eh? [↩]

¿Te parece muy extraño esto? Piensa que si cobras 100€ tendrás que darle 40€ a Hacienda. Si cobras menos, le darás menos; no solo le darás menos en valor absoluto, sino también porcentualmente menos, porque el IRPF no es lineal. El tema ya ha salido anteriormente en El Cedazo. [↩]

Una vez más, si hay psicólogos, sociólogos o filósofos en la sala, seguro que pueden aportar algo. [↩]

Por ejemplo, cuando jugamos al “dosterciosdelamedia”, podría ser que alguno de los números altos fuera de un “jugador malvado”… no lo sabemos. [↩]

Otra vez: ¿algún sociólogo/psicólogo/filósofo/teólogo en la sala? [↩]

Algo que de todos modos, ahora mismo, muchos ya tienen que hacer, porque las pensiones no son

tan altas, pero bueno, dejemos eso, que no es el objetivo de este artículo. [↩] 9.