CARPETA DE EVIDENCIAS
“CALCULO” PERIODO: 2013 – 2014 SEMESTRE “A”
CATEDRATICA: Lic. Mat. Ofelia Mercedes Izquierdo Valladares
ALUMNO: Luisa Daniela Vásquez Gasca
GRADO: 3°
GRUPO: “C”
PRIMER PARCIAL DE CÁLCULO
INDICE PRIMER PARCIAL
Evaluaci贸n de funciones
Relaci贸n y funciones
Operaciones con funciones
Gu铆a de primer parcial
SEGUNDO PARCIAL DE CÁLCULO
INDICE SEGUNDO PARCIAL
Aplicaci贸n de la definici贸n de limites en una funci贸n y sus propiedades
Limites en el infinito
Casos de limites
Gu铆a de examen segundo parcial
TERCER PARCIAL DE CÁLCULO
INDICE
TERCER PARCIAL
L铆mites de funciones exponenciales
Raz贸n de cambio promedio
Raz贸n de cambio instant谩nea
Derivada de funciones
CUARTO PARCIAL DE CÁLCULO
INDICE
CUARTO PARCIAL
Derivada de orden superior
Investigaci贸n
INSTITUTO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C
LUISA DANIELA VASQUEZ GASCA
CALCULO
PORTAFOLIO CUARTO PARCIAL
3° C
INDICE INTRODUCCION……………………………………………………….2 MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION (DEFINICIONES)…...3 METODO PARA CALCULAR LOS MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION………………………………………………………………..5 MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS O LOCALES…………………6 MAXIMOS Y MINIMOS ABSOLUTOS ………………………………8 EJEMPLOS…………………………………………………………….10 CONCAVIDADES Y PUNTOS DE INFLEXIÓN……………………16 CONCLUSION………………………………………………………...21
INTRODUCCION
El siguiente trabajo, presenta los puntos más relevantes sobre Máximos y mínimos de una función y Puntos de inflexión y concavidad de la curva, se presentan conceptos clave, así como formulas y pasos a seguir para realizar los problemas, también se muestran graficas e imágenes para dar una mejor idea y más grafica sobre los temas a tratar. Los temas a tratar son importantes y van estrechamente unidos, se busca dar una mejor explicación y conocer acerca de estos temas que resultan ser muy importantes para el cálculo y la identificación de distintos puntos en la gráfica de una función Se busca que este trabajo sea específico y se brinden los ejemplos necesario para poder desarrollar los temas ya antes mencionados Los máximos y mínimos de una función, son puntos que se buscan al realizar una procedimiento y para la identificación de estos es necesario tener claro la importancia de los signos en la función. Estos puntos se pueden representar de manera gráfica en la una gráfica representativa de su función. El tema de puntos de inflexión y concavidad, este tema se une con el de máximos y mínimos de una función, este lleva una serie de pasos a realizar para poder obtener un resultado correcto y de igual forma se representa de manera grafica Estos temas se ligan uno con otro y es importante trner en cuenta la importancia de que sean resueltos correctamente.
MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Un valor de una función es un “máximo” si es mayor que cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente. Un valor de una función es un “mínimo” si es “menor” que uno cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente. Un máximo o mínimo absoluto se refiere al valor mayor o menor que puede tomar una función en TODO su rango. En el ejemplo que ilustramos, el máximo absoluto es el infinito y sucede cuando x toma valores infinitos también. El mínimo absoluto está en menos infinito y ocurre cuando x se acerca a menos infinito también.
Un máximo o mínimo relativo se refiere al valor mayor o menor que toma una función en un determinado intervalo. En el ejemplo, en el intervalo de valores x de -2 a 2, la función tiene un valor máximo aparentemente en el punto (-1, 3) y un mínimo aparentemente en (1, -3). Si f(x) es una función creciente de x es ligeramente menor que , pero es una función decreciente de x cuando x es ligeramente mayor que , es decir, si través de , entonces
cambiando de signo de + a – al aumentar x a
tiene un máximo cuando
. Luego, si
es continua, debe anularse
cuando Por otra parte, si f(x) es una función decreciente cuando x es ligeramente menor que , pero es una función creciente cuando x es ligeramente mayor que ; es decir, si – a + al aumentar x a través de
cambia de signo pasando de
, entonces f(x) tiene un mínimo cuando
. Luego si
es
continua debe anularse cuando Podemos formular, pues, las condiciones generales siguientes para máximos y mínimos de Es un máximo si
y
cambia de signo
pasando de + a – Es un mínimo si pasando de – a +
y
cambia de signo
Los valores de la variable independiente que satisfacen la ecuación
se llaman valores
críticos, estos determinan puntos de cambio donde la tangente es paralela a Para determinar el signo de la primera derivada en puntos vecinos a un punto de cambio, basta sustituir en ella en primer lugar un variable ligeramente menor que el valor critico correspondiente, y después un valor ligeramente mayor Si el primer signo es + y el segundo -, entonces la función tiene un máximo para el valor critico que se considera. Si el primer signo es – y el segundo +, entonces la función tiene un mínimo. Si el signo es el mismo en ambos casos, entonces la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico que se considera.
NOTA: Un “máximo” no es necesario que sea que el mayor valor posible de una función, ni un “mínimo” tiene que ser el menor de todos
METODO PARA CALCULAR LOS MAXIMO Y MINIMOS DE UNA FUNCION PRIMER PASO.- se halla la primera derivada de la función SEGUNDO PASO.- se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable. TERCER PASO.- se consideran los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos para la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico, es decir, cualquier valor entre la raíz (valor critico) que se considera y la raíz inferior a ella más próxima; después para un valor un poco mayor que el, es decir, cualquier valor entre la raíz que se considera y la próxima mayor. Si el signo de la derivada es primeramente + y después --, la función tiene un máximo para para este valor crítico de la variable: en el caso contrario tiene un mínimo. Si el signo no cambia la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado. En este paso se debe descomponer
en factores.
EJEMPLO:
SOLUCION Primer paso.
Segundo paso. Resolviendo la ecuación
tenemos que el valor crítico. Se toma solamente el
signo positivo del radical pues el negativo carece de sentido por la naturales del problema
Tercer parcial. Cuando Cuando
, entonces
, entonces
,y
es +
,y
Puesto que el signo de la derivada cambia de + a --, la función tiene un valor máximo
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS O LOCALES Una función f(x) tiene un máximo relativo en x = c si f(a) ≥ f(x) para todo x en algún entorno del punto a . Una función f(x) tiene un mínimo relativo en x = a si f(a) ≤ f(x) para todo x en algún entorno del punto a. Criterio de la primera derivada En un punto crítico x = a , una función derivable f(x) tiene: • un máximo relativo si f ' (x) cambia de positiva a negativa (↑↓) • un mínimo relativo si f ' (x) cambia de positiva a negativa (↓↑) • no tiene máximo ni mínimo relativo si f ' (x) no cambia de signo (↑↑ o ↓↓) Criterio de la segunda derivada En un punto crítico x = a , una función derivable f(x) tiene: • un máximo relativo si f '' (a) < 0 • un mínimo relativo si f '' (a) > 0 La condición necesaria para que una función tenga un máximo relativo es que su primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda derivada en ese punto sea menor que 0.
La condición necesaria para que una función tenga un mínimo relativo es que su primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda derivada en ese punto sea mayor que 0.
Procedimiento para hallar los máximos y mínimos relativos 3
Estudia los máximos y mínimos relativos de la siguiente función: f(x) = x - 3x + 2 1) Se calcula la primera derivada: f ' (x) Calculamos la primera derivada de la función. 2
f ' (x) = 3x - 3 2) Se resuelve la ecuación: f ' (x) = 0 A continuación calculamos las raíces de la primera derivada. 2
2
2
3x - 3 = 0 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1 ⇔ x = ±1 Por lo tanto la primera derivada se anula en x = -1 y x = 1 . 3) Se sustituyen las raíces de f ' (x) = 0 en la función inicial y se obtienen los posibles máximos y mínimos relativos.
• f (-1) = 4 ⇒ El punto (-1, 4) es un posible máximo o mínimo relativo • f (+1) = 0 ⇒ El punto (+1, 0) es un posible máximo o mínimo relativo 4) Se calcula la segunda derivada: f '' (x) Calculamos la segunda derivada. f '' (x) = 6x 5) Se sustituyen la abscisa de los posibles máximos y mínimos relativos en la segunda derivada f '' (x) • Si f '' (x) < 0 es un máximo relativo • Si f '' (x) > 0 es un mínimo relativo En nuestro caso tenemos que: • f '' (-1) = - 6 < 0 ⇒ (-1, 4) es un máximo relativo • f '' (+1) = 6 > 0 ⇒ (+1, 0) es un mínimo relativo
MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS a) En intervalos cerrados Supongamos que la función f es continua en un intervalo cerrado [a; b], entonces alcanza unmáximo y un mínimo en dicho intervalo.
El máximo y el mínimo absoluto solamente pueden estar situados: 1. En puntos donde f0 (x) = 0 2. En puntos donde f0 (x) no está definida 3. En los extremos del intervalo. Puntos críticos de una función: Se llaman puntos críticos de una función a los puntos en los que la derivada sea nula o no esté definida. Cálculo del máximo y del mínimo absoluto: Para hallar el máximo y el mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado. 1. Se hallan los puntos críticos. 2. Se halan los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. El mayor valor obtenido es el máximo absoluto y el menor el mínimo.
NOTA: Si la función no es continua el método anterior no es válido, ya que los valores de la función en los puntos críticos no determinan nada. Una función que es continua en un intervalo cerrado (x,y) alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en puntos de dicho intervalo. Para obtener o determinar los máximos o mínimos absolutos seguir los pasos que se mencionan a continuación:
1. Derivas f(x) 2. Encontrar los números críticos y evalúa en ellos f(x) 3. Evaluar x , y 4. El mayor de los valores de f(x) que se obtiene en los pasos 2 y 3 es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto. Máximo absoluto Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
a=0
Mínimo absoluto Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
b=0
EJEMPLOS Observa los pasos y las aplicaciones de las derivadas para calcular el crecimiento y decrecimiento, los m谩ximos y m铆nimos de una funci贸n polin贸mica.
3
f(x) = x − 3x + 2
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. 2
f'(x) = 3x − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y cal culamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0 Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0 Tenemos un máximo.
f''(x) = 6x
f''(−1) = −6 Máximo
f'' (1) = 6 Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos. 3
f(−1) = (−1) − 3(−1) + 2 = 4 3
f(1) = (1) − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
Encontrar el valor máximo o mínimo de la función y = 4x – x2 Siguiendo los tres pasos anteriores, tenemos
Tomar dos valores, uno ligeramente mayor y otro ligeramente menor que x = 2
Para x = 1.9 dy/dx = 4 – 2 (1.9) = 0.2 Para x = 2.1
es positivo
dy/dx = 4 – 2 (2.1) = -0. 2 es negativo
Se observa que hay un cambio en la pendiente de la recta de (+) a (-) entonces la curva pasa de creciente a decreciente por lo que se deduce que la curva presenta un punto máximo.
CONCAVIDADES Y PUNTOS DE INFLEXIÓN. Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva. Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo. Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. 9.14. Note en primer lugar que la curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.
fig. 9.14. Se observa que en los puntos "cercanos" a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por "debajo" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1. Igualmente se observa que en los puntos "cercanos" a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por "encima" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad "cambia" se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva. Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones: Definiciones: Sea f una función derivable en un punto c. i.
f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b),
yc : y de la curva ; yt: y de la tangente
se cumple que:
ii.
f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b),
Se cumple que:
iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los subintervalos: (a, c) y (c, b). Se usará el símbolo:
, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava positiva.
Igualmente, se emplea el símbolo negativa.
, para denotar que una curva es cóncava hacia abajo o cóncava
El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo. En todos los puntos en donde la recta tangente aparece por debajo de la curva, la función g(x) = f’(x) es creciente, ya que las pendientes en estos, son en principio, valores negativos, ya que se trabaja con ángulos entre 0 y –90°. Posteriormente, al ocurrir el mínimo, la primera derivada toma el valor cero, para continuar aumentando al tomar ángulos de inclinación de la tangente entre 0 y 90°. De esta manera, la curva de f presenta una concavidad en todo punto del intervalo en donde se verifique: g' (x) = f '' (x) > 0 En todos los puntos en donde la recta tangente a la curva, aparezca por encima de esta, la función g(x) = f '(x) es decreciente. Siguiendo un razonamiento semejante al apartado (a), concluimos que la curva presenta una convexidad en todo punto en donde se verifique: g' (x) = f '' (x) < 0 Finalmente, si f '' (c) = 0, entonces habrá un punto de inflexión en (c, f(c)). De hecho estos se obtendrán al resolver la ecuación: f '' (x) = 0
Analicemos la siguiente figura:
Dada una curva de ecuación y = f(x) con primera derivada igual a 0 en un punto A y en un punto B: Si la pendiente de la derivada de f(x) es ( + ) a la izquierda y ( - ) a la derecha del punto A, entonces la curva tiene un valor máximo, se dice que la curva es cóncava hacia abajo. Si la pendiente de una recta tangente a esa curva es (-) a la izquierda y (+) a la derecha del punto B, entonces la curva presenta un mínimo, la curva es cóncava hacia arriba. Si la pendiente de una recta tangente a la curva tiene el mismo signo a ambos lados de un punto, como en C, pero cambia su sentido de crecimiento (pasa de crecer a decrecer o viceversa), entonces, la curva solo cambia el sentido de la concavidad y por tanto no presenta un máximo ni mínimo. Se trata de un punto de inflexión. En ese punto la función que representa la primera derivada, como se muestra en la figura, tiene un punto crítico. ¿Qué valor tendrá la segunda derivada? Evidentemente debe ser 0. Es bueno aclarar que este hecho de que la segunda derivada sea 0, es condición necesaria pero no suficiente para que exista un punto de inflexión. Puede darse el caso de que la segunda derivada en un punto 2n sea 0 y no haya punto de inflexión. Considere por ejemplo la función y = x , evaluada en x = 0. Calculo de puntos críticos de una función utilizando la segunda derivada. Indiscutiblemente este es el procedimiento a elegir normalmente. El método consiste en encontrar la primera y segunda derivada de la función, siguiendo los pasos que a continuación se enumeran: I.- Hallar la primera derivada de la función II.- Igualar a cero la primera derivada y resolver la ecuación para determinar los valores críticos. III.- Obtener la segunda derivada de la función. IV.- Sustituir en la segunda derivada cada uno de los valores críticos obtenidos. Si el resultado es negativo se tendrá un máximo y si es positivo se tendrá un mínimo. Si la segunda derivada en un punto es 0 y la tercera derivada es desigual de 0, tendremos un punto de inflexión.
Ejemplo - Calcule el punto de inflexión de la siguiente función. Solución:
3
2
f(x) = x –x –6x 2
f '(x) = 3x – 2x – 6 f ''(x) = 0 f ''(x) = 6x –2 6x – 2 = 0 6x = 2 2
x= 6 1
x = /3 y = f(x)
1 1 1 1 1 6 1 3 57 1 f( /3) = 6 3
3
=
2
3
3
-56
/27 1
Punto de inflexión = ( /3,
-56
/27)
27
9
3
27
CONCLUSION
Estos temas se complementan mutuamente, los máximos y mínimos sirven para ubicar la inflexión concavidad de una curva. Se aprendió los procedimientos y conceptos clave a seguir para desarrollar el tema y realizar la resolución de problemas de manera éxitos El uso de signos es muy importante en estos temas así como también saber ubicar puntos en una gráfica a través de las funciones dadas Estos temas son de importancia para el cálculo y se ligan estrechamente con lo aprendido anteriormente en clase
REFERNCIAS Amaury Camargo y Favián Arenas A. Calculo Diferencial, Universidad de Córdoba, Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías, Departamento de Matemáticas, pp.90-95
http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones_derivadas_apli/teoria /maximo_minimo.html http://www.sectormatematica.cl/contenidos/maxymin.htm http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html http://elmaravillosomundodelcalculo.blogspot.mx/2009/06/maximos-y-minimos-absolutos.html