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Edición #1 Abril 2017

Análisis Numérico Tu Revista tecnológica Digital!

Interpolación ¿Qué es el análisis numérico?

Por: Eylin Camejo

Diferenciación numérica Por: Ernesto Mendoza

Autora: TSU Darcy Blanco C.I 22.198.208 Revisado por: Prof. Ing . Edecio Freitez

Concepto y Aplicaciones de Interpolación LA INTERPOLACIÓN En numerosos fenómenos de la naturaleza observamos una cierta regularidad en la forma de producirse, esto nos permite sacar conclusiones de la marcha de un fenómeno en situaciones que no hemos medido directamente.

La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos los valores en los extremos.

Del mismo modo La interpolación poli nómica es un método usado para conocer, de un modo aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su imagen en un número finito de abscisas. A menudo, ni siquiera se conocerá la expresión de la función y sólo se dispondrá de los valores que toma para dichas abscisas. El objetivo será hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores desconocidos para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que permitirá ajustar la precisión del polinomio.

Por: Darcy Blanco

Aplicaciones -Trazado de curvas a través de un conjunto discreto de datos.

-Determinar valores intermedios" de una tabla de datos.

-Derivar e integrar a partir de una tabla de datos.

-Evaluar de manera fácil una función matemática.

-Reemplazar una función complicada por una simple.

Antecedentes de La Interpolación Por: Darcy Blanco Algunos estudios hablan de que, las interpolaciones fueron propuestas por los astrónomos para “predecir “o ubicar los cuerpos celestes en el espacio.

Otros afirman que la historia de la interpolación comienza con los matemáticos babilónicos y sus trabajos en las tablas exponenciales que, aunque presentan grandes huecos, no dudaban en interpolar linealmente o proporcionalmente para conseguir una aproximación a sus valores intermedios.

El desarrollo de la interpolación se entrelazó con los primeros desarrollos de las diferencias finitas, empezando por la cuadratura del círculo de Wallis en 1655, con la que propuso el principio de “intercálculo” o interpolación.

Esto fue aceptado por Newton en 1676, lo cual le permitió la derivación de las series binómicas, es decir, a partir de un problema de cuadraturas, Newton pudo obtener el teorema binomial. Luego se continúa con la construcción de fórmulas prácticas de interpolación. Aunque “la historia de las fórmulas de interpolación es complicada y muy discutida” (Bell, 1995, p. 421), se le puede considerar como un potente estímulo en los siglos XVII y XVIII para la evolución independiente de las operaciones fundamentales de la teoría clásica de las diferencias finitas, las cuales se desarrollaron principalmente para facilitar cálculos numéricos en astronomía, la creación de tablas y la cuadratura mecánica.

Tipos y Métodos Por: Darcy Blanco

Polinomio Interpolante de Newton-Gregory Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos aquí espaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).

La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para seleccionar los valores , que serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi.

Tipos y Métodos Por: Darcy Blanco

Polinomio Interpolante de Gauss Cuando hablamos de esta interpolación entendemos, que se encuentran una gran variedad de formulas de interpolación además del método de NewtonGregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; por ejemplo la fórmula del polinomio interpolante de Gauss( en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig.zag.

En el caso de la formula de avance los valores son tomados en forma de zigzag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En formula de avance los valores son tomados en forma de zigzag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente.

Tipos y Métodos Por: Darcy Blanco

Interpolación de Hermite Cuando hablamos de la interpolación de Hermite, podemos apreciar en resumen la siguiente explicación. Disponemos de los valores de una función y de algunas de sus derivadas sucesivas en determinados puntos. Por ejemplo, f (xi) y f′ (xi) en n + 1 puntos distintos, xi, i = 0, 1, · · ·, n En general, las funciones interpolantes forman un espacio vectorial de dimensión finita, es decir son del tipo: Ψ (x) = a0 ψ0 (x) + a1 ψ1 (x) + · · · + an ψn (x).

Donde ψ0(x), ψ1(x), · · ·, ψn(x) Son funciones dadas que forman base del espacio vectorial correspondiente y así, i = 0, 1, ·, n numeras reales a determinar.

Dependiendo del tipo de funciones que utilicemos como funciones interpolantes, la interpolación se llamara polinómica, racional, trigonométrica, spline polinomial.

Entre las diferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad para operar, los polinomios son los utilizados con mayor frecuencia en problemas de interpolación, en este caso las funciones de base son ψi (x) = xi, i = 0, 1, · · ·, n.

Sin embargo, no siempre dan una respuesta satisfactoria, especialmente si la solución del problema requiere el uso de polinomios de alto grado o, por ejemplo, si se observa un comportamiento periódico en los datos de interpolación.

Tipos y Métodos Por: Darcy Blanco

Interpolación usando Splines En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador. El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones. Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en dichos puntos, pero no derivable en general.

Tipos y Métodos Por: Darcy Blanco

Polinomio Interpolante de Largrange La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones: Primera forma de determinar el polinomio interpolador de Lagrange: resolviendo un sistema de (n+1) ecuaciones llegamos a la matriz de Van der Monde (si los puntos del soporte son distintos es no singular, solución única del sistema).

Segunda forma de determinar el polinomio interpolador de Lagrange: fórmula de Lagrange, el aspecto de las funciones de base de Lagrange (polinomios de Lagrange) depende del nº de puntos de soporte Dados dos puntos (x0, y0) y (x1, y1) hay exactamente una recta que pasa por esos dos puntos:

¿Qué es el análisis numérico?

Por: Eylin Camejo

Es la rama de las Matemáticas que estudia los métodos numéricos de resolución de problemas, es decir, los métodos que permiten obtener una solución aproximada (en ocasiones exacta) del problema considerado tras realizar un numero finito de operaciones lógicas y algebraicas elementales.

Los problemas que trata el Análisis numérico se pueden clasificar en dos grandes grupos, según tengan naturaleza numérica (o finito– dimensional) o naturaleza funcional (o infinito– dimensional). Pertenecen al primer grupo los problemas relativos a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de valores y vectores propios, y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales. Son del segundo tipo, por el contrario, los problemas de interpolación y aproximación de funciones, la derivación e integraciones numéricas, los problemas de valor inicial y de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias, y los problemas de contorno para ecuaciones en derivadas parciales.

¿Cuándo se utiliza el análisis numérico?

Por: Eylin Camejo

El análisis numérico se utiliza generalmente cuando no se puede resolver el problema matemático, es decir hallar una relación funcional entre el conjunto de entrada y el de salida. Los pasos a seguir son: 1. Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución.

2. Aproximación: Crear una solución para un número finito de valores existencia y unicidad estabilidad y convergencia 3. Resolución de:          

Elección de un algoritmo numérico Elección del algoritmo: Costo y estabilidad Codificación del algoritmo Ejecución del programa Sistemas numéricos Aritmética del computador Fuentes de errores Errores de redondeo y desratización Propagación de errores Estabilidad e inestabilidad numérica

Diferenciación Numérica Por: Ernesto Mendoza

Conociendo un poco de historia

Lewis Fry Richardson (11 de octubre de 1881 - 30 de septiembre de 1953) fue un matemático, físico, meteorólogo y pacifista inglés. Fue pionero en las modernas técnicas matemáticas de la predicción del tiempo atmosférico y en la aplicación de técnicas similares para el estudio de las causas de las guerras y el cómo prevenirlas. También destacó por su trabajo precursor de la teoría de fractales y por el desarrollo de un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales que lleva su nombre. Fue miembro de la Royal Society.

Diferenciación Numérica Por: Ernesto Mendoza

Las fórmulas de diferenciación numérica tienen su aplicación más importante en la solución numérica de ecuaciones diferenciales; y la integración numérica es el proceso del cual se genera un valor numérico para la integración de una función sobre un conjunto.

Polinomio Interpolante Newton Gregory Se dice que los datos estén uniformemente espaciados sixi+1 − xi = Δx es constante para i =1, 2, 3. ... Para el caso particular de datos uniformemente espaciados, es posible encontrar una forma más sencilla del polinomio de Newton. Esta forma mas sencilla se basa en diferencias que se definen de la siguiente manera: Diferencia de orden 0: Δ0fi = fi Diferencia de orden 1: Δ1fi = fi+1 – fi Diferencia de orden 2: Δ2fi = Δ(Δfi) = Δ(fi+1 − fi) = Δfi+1 − Δfi = fi+2 −2fi+1 + fi Diferencia de orden 3: Δ3fi = Δ(Δ2fi) = Δ2fi+1 − Δ2fi = fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1− fi

Diferenciación Numérica Por: Ernesto Mendoza

Extrapolación de Richardson El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de Romberg.. Sirve para generar resultados de gran exactitud cuando se usan fórmulas de bajo orden. Puede aplicarse siempre que sepamos que el método de aproximación tiene un término de error de una forma previsible.

Encuentra un modo de combinar las aproximaciones imprecisas para producir formulas con un error de truncamiento de orden superior. En la interpolación de Richardson Denotamos por I, cualquier fórmula numérica para aproximar I(f), e.g., la fórmula del Trapezoide o la regla de Simpson.