1. RAZLOMCI 1. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik 2. Uspoređivanje razlomaka 3. Brojevni pravac 4. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka 5. Množenje razlomaka 6. Dijeljenje razlomaka Potrebno predznanje Treba znati što je razlomak, kako se količnik dvaju prirodnih brojeva može napisati u obliku razlomka i/ili mješovitog broja, uspoređivati razlomke jednakih nazivnika, zbrajati i oduzimati razlomke jednakih nazivnika te proširivati i skraćivati razlomke. Najava cilja U ovoj nastavnoj cjelini naučit ćemo uspoređivati razlomke različitih nazivnika te smještati razlomke na brojevni pravac. Naučit ćemo osnovne računske radnje s razlomcima.
1. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik Petra i Marko kupili su dvije jednake čokolade. Žele ih podijeliti sa svojim prijateljima, Sanjom, Ivanom i Martinom. Kako će to pravedno učiniti? Koji će dio čokolade dobiti svaki od njih? Prikaži grafički i zapiši matematičkim simbolima.
L1
Podsjetimo se: brojeve 1 , 1 , 1 , 1 nazivamo razlomcima. Dobivamo ih tako 2 3 4 5 da cjelinu (jedno cijelo) podijelimo na dva, tri, četiri, pet, ... jednakih dijelova. U svakom se razlomku pojavljuju dva broja razdvojena razlomačkom crtom. Broj iznad razlomačke crte nazivamo brojnikom, a broj ispod crte nazivnikom razlomka. brojnik nazivnik
razlomačka crta
Ako je brojnik razlomka manji od njegova nazivnika, taj je razlomak manji od broja 1. Takve razlomke nazivamo pravim razlomcima.
Ako je brojnik razlomka jednak njegovu nazivniku, taj je razlomak jednak broju 1.
Ako je brojnik razlomka veći od njegova nazivnika, taj je razlomak veći od broja 1. Takve razlomke nazivamo nepravim razlomcima.
Svaki nepravi razlomak možemo napisati u obliku mješovitog broja.
Primjer
10
Primjer 1.
Napišimo u obliku mješovitog broja:
a) 13 , 5
b) 19 , 4
c) 35 . 6
Rješenje: a) 13 = 13 : 5 = 2 i ostatak 3; 13 = 2 3 , 5 5 5 19 19 b) = 19 : 4 = 4 i ostatak 3; =43 , 4 4 4 c) 35 = 35 : 6 = 5 i ostatak 5; 35 = 5 5 . 6 6 6
Primjer Primjer 2.
Napišimo u obliku nepravog razlomka:
a) 2 1 , 3
b) 3 2 , 5
. Rješenje: a) 2 1 = 2 3 + 1 = 7 , 3 3 3 . b) 3 2 = 3 5 + 2 = 17 , 5 5 5
c) 5 3 . 7 . c) 5 3 = 5 7 + 3 = 38 . 7 7 7
1. Nacrtaj u bilježnicu četiri pravokutnika sa stranicama duljine 45 mm i širine 20 mm. Prvoga podijeli na dva jednaka dijela i oboji njegovu jednu polovinu, drugoga podijeli na tri jednaka dijela i oboji njegovu jednu trećinu, trećega podijeli na četiri jednaka dijela i oboji njegovu jednu četvrtinu, a četvrtoga podijeli na šest jednakih dijelova i oboji njegovu jednu šestinu. Možeš li neku podjelu napraviti na više načina?
2. Napiši u obliku razlomka: a) 2 : 5, b) 0 : 8, c) 5 : 2,
d) 11 : 1.
3. Napiši u obliku količnika: b) 7 , c) 18 , d) 23 . a) 5 , 8 4 7 2 4. Broj 1 napiši u obliku razlomka: a) s nazivnikom 4, b) s brojnikom 6, c) s nazivnikom 25. 5. Broj 5 napiši u obliku razlomka: a) s nazivnikom 2, b) s brojnikom 35,
c) s nazivnikom 13.
6. Napiši u obliku mješovitog broja: a) 22 , b) 14 , c) 17 , 9 3 2 7. Napiši u obliku nepravog razlomka: a) 2 10 , b) 4 5 , c) 3 7 , 11 8 9
d) 19 . 8
Mjesec
d) 3 1 . 11
1. Što je razlomak? 2. Koju računsku radnju zamjenjuje razlomačka crta? 3. Koji razlomak nazivamo pravim razlomkom? 4. Koji razlomak nazivamo nepravim razlomkom? 5. Koliko četvrtina sadržava jedno cijelo? A koliko petina? 6. Koji je broj veći:
3 ili 7 ? Objasni. 3 7
11
Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik
Precrtaj u bilježnicu pa istom bojom oboji polja koja sadržavaju parove jednakih razlomaka. 7 14
10 14
3 4
1 2
2 3
5 7
12 16
10 15
U petom ste razredu naučili proširivati i skraćivati razlomke. Podsjetimo se: Proširiti razlomak znači pomnožiti i brojnik i nazivnik tog razlomka istim prirodnim brojem. Prošireni je razlomak jednak početnomu.
Skratiti razlomak znači podijeliti i brojnik i nazivnik razlomka njihovim zajedničkim djeliteljem. Razlomak je do kraja skraćen ako je najveći zajednički djelitelj brojnika i nazivnika jednak 1.
Razlomke jednakih nazivnika jednostavno je uspoređivati, zbrajati i oduzimati. No, razlomci najčešće nemaju jednake nazivnike. Da bismo dva zadana razlomka nejednakih nazivnika sveli na zajednički nazivnik, najprije moramo odrediti (najmanji) zajednički višekratnik nazivnika tih razlomaka. Nakon što odredimo zajednički nazivnik, razlomke moramo proširiti do razlomaka s tim nazivnikom.
Primjeri Primjer 3.
Zadanim razlomcima odredimo najmanji zajednički nazivnik: a) 3 i 2 , b) 5 i 2 , c) 7 i 5 . 4 5 6 3 8 12
Rješenje: a) V(4, 5) = 20, b) V(6, 3) = 6, c) V(8, 12) = 24. Primjer 4.
12
Napišimo razlomke 5 , 7 , 9 , 3 kao razlomke s nazivnikom 24. 6 12 8 4
Rješenje: a) Budući da je 24 : 6 = 4, prvi zadani razlomak proširujemo brojem 4. . Dakle, vrijedi: 5 = 5 . 4 = 20 . 6 6 4 24
b) Budući da je 24 : 12 = 2, drugi razlomak proširujemo brojem 2. . Dakle, vrijedi: 7 = 7 .2 = 14 . 12 12 2 24 . 9 c) Razlomak proširujemo brojem 3, 9 = 9 . 3 = 27 . 8 8 3 24 8 3 d) Razlomak proširujemo brojem 6, 3 = 18 . 4 4 24 Primjer 5.
Svedimo na najmanji zajednički nazivnik razlomke:
a) 5 i 3 , 9 4
b) 7 i 4 , 15 5
c) 7 i 13 , 6 10
11 d) 8 i . 15 12
. . Rješenje: a) V(9, 4) = 36; 5 = 5 . 4 = 20 ; 3 = 3 . 9 = 27 ; 9 9 4 36 4 4 9 36 . b) V(15, 5) = 15; 7 ; 4 = 4 . 3 = 12 ; 15 5 5 3 15 . . c) V(6, 10) = 30; 7 = 7 . 5 = 35 ; 13 = 13 . 3 = 39 ; 6 6 5 30 10 10 3 30 . . d) V(15, 12) = 60; 8 = 8 .4 = 32 ; 11 = 11 . 5 = 55 . 15 15 4 60 12 12 5 60 8. Razlomak 3 proširi brojem 4 a) 2, b) 3,
c) 5,
9. Do kraja skrati razlomke: a) 12 , b) 21 , c) 30 , 16 49 36 10. Odredi najmanji zajednički nazivnik razlomaka: a) 3 i 5 , b) 7 i 2 , c) 7 i 4 , 10 5 6 9 8 9 11. Svedi na najmanji zajednički nazivnik razlomke: a) 3 i 2 , b) 5 i 3 , c) 3 i 5 , 10 5 12 4 8 7 11 13 15 7 4 i , i , f) g) 14 i , e) 6 16 12 5 12 9
d) 11. d) 56 . 72 8 d) 7 i . 12 15 d) 4 i 9 h) 7 i 15
5, 6 5 . 12
L2, L3
KLJUČNI POJMOVI 1. Što znači proširiti razlomak?
• razlomak • zajednički nazivnik
2. Što znači skratiti razlomak? 8 12 7 13 49 , , , i nisu do kraja skraćeni? 3. Koji od razlomaka 13 15 21 39 13 4. Matko tvrdi da može napisati broj 3 na barem pet načina. Možeš li i ti? Kako? 1 1 5. Koliko minuta iznosi sata? Zapiši kao razlomak s nazivnikom 60. 5 5
13
2. Uspoređivanje razlomaka
• U prvom je satu Janko prešao 3 duljine planiranog puta, a u drugom 20 7 satu duljine planiranog puta. U kojem je satu prešao dulji put? 20 • Na kros-utrci za dječake, najbolje su rezultate postigli Matija i Petar. Matija je utrku završio za 3 sata, a Petar za 3 sata. Koji je od njih bio 4 5 brži?
L4
U petom ste razredu naučili kako se uspoređuju razlomci jednakih nazivnika, odnosno razlomci jednakih brojnika. Među dvama razlomcima jednakih nazivnika veći je onaj koji ima veći brojnik: 2 3 5 jer je 2 < 3 < 5 < < 8 8 8 Među dvama razlomcima jednakih brojnika veći je onaj koji ima manji nazivnik: 2 2 2 jer je 2 < 3 < 5 < < 8 6 3
Primjer Primjer 1.
14
Marija i Petra igraju pikado. Marija je bacala 20 puta, pri čemu je 17 puta pogodila cilj. Petra je bacala 25 puta, a pogodila 21 put. Petra tvrdi da je ona uspješnija. Je li u pravu?
Rješenje: Marijin rezultat možemo izraziti razlomkom 17 , a Petrin 20 razlomkom 21 . Da bismo uspješno riješili postavljeni problem, potre25 bno je usporediti navedene razlomke. No, ti razlomci nemaju jednake nazivnike ni jednake brojnike. Njih je potrebno (proširivanjem) svesti na zajednički nazivnik, a zatim usporediti prema prije naučenim pravilima. Najmanji zajednički nazivnik tih razlomaka jednak je najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 20 i 25. Budući da je V(20, 25) = 100, oba razlomka proširujemo do razlomaka s nazivnikom 100: 17 17 . 5 85 i 21 21 . 4 84 . = = = = . 20 20 5 100 25 25 . 4 100 84 21 , zaključujemo da je 17 > . Dakle, iako je Budući da je 85 > 20 25 100 100 Petra pogodila metu više puta, Marija je bila uspješnija.
Primjeri Primjer 2.
Usporedimo razlomke po veličini.
a) 3 i 5 , 5 7
13 b) 7 i , 6 12
c) 11 i 7 . 12 8
Rješenje: a) Najprije odredimo zajednički nazivnik zadanih razlomaka, tj. V(5, 7) = 35. Zadane razlomke svodimo na zajednički nazivnik i dobivamo 3 = 21 , 5 = 25 . Konačno, uspoređujemo razlomke 5 35 7 35 25 jednakih nazivnika: 21 < , pa je 3 < 5 . 35 35 5 7 b) Postupamo kao u rješenju primjera a): V(6, 12) = 12, 7 = 14 , 6 12 13 14 > , pa je 7 > 13 . 6 12 12 12 11 22 7 21 , tj. 11 7 . c) V(12, 8) = 24, = , = > 12 24 8 24 12 8
Primjer 3.
Poredajmo zadane razlomke po veličini počevši od najmanjega: a) 2 , 5 , 1 , 7 ; b) 3 , 4 , 7 , 1 ; 3 6 2 12 4 5 10 2
Rješenje: a) Najmanji zajednički višekratnik brojeva 3, 6, 2 i 12 je 12. Svedemo li zadane razlomke na nazivnik 12, dobit ćemo redom: 2 1 8 5 10 1 6 7 7 < 2 < 5. = , = , = , . Zato je < 3 12 6 12 2 12 12 2 12 3 6 b) Najmanji zajednički višekratnik brojeva 4, 5, 10 i 2 je 20. Svedemo li zadane razlomke na nazivnik 20, dobit ćemo redom: 3 15 , 4 16 , 7 1 14 1 10 7 < 3 < 4. = = = , = . Zato je < 4 20 5 20 10 20 2 20 2 10 4 5
1. Nacrtaj u bilježnicu tri jednaka kruga. Prvi krug podijeli na dva, drugi na četiri, a treći na osam jednakih dijelova. Oboji po jedan od dobivenih dijelova svakog kruga. Kako se zovu dobiveni dijelovi kruga? Koristeći se nacrtanim slikama, usporedi sljedeće razlomke: a) 1 i 1 , b) 1 i 1 , c) 1 i 1 . 2 4 2 8 8 4
2. Usporedi po veličini: b) 5 i 3 , a) 7 i 5 , 8 6 12 8
c) 4 i 9 . 3 10
L5 – L7
KLJUČNI POJMOVI • razlomak • uspoređivanje razlomaka
1. Kako uspoređujemo razlomke jednakih nazivnika? 2. Kako uspoređujemo razlomke jednakih brojnika? 3. Kako uspoređujemo razlomke različitih brojnika i različitih nazivnika? 15 manji ili veći od 2? 4. Je li broj 7
15
3. Brojevni pravac
Od ulice do škole vodi staza dugačka 5 metara. Na početku i na kraju staze uz jedan njezin rub treba zasaditi po jedan grm ruže, a ostale grmove ruža treba zasaditi u razmacima od pola metra. Uz drugi rub staze (i na njezinu početku i kraju) treba zasaditi maćuhice u razmacima od jedne četvrtine metra. Koliko treba nabaviti sadnica ruža, a koliko maćuhica?
O je početno slovo latinske riječi origo (začetak, postanak, ishodište). E je početno slovo latinske riječi ekvidistancija (jednaka udaljenost).
Poznato vam je kako prirodne brojeve prikazujemo na (brojevnom) pravcu. Označimo na pravcu dvije točke. Prvu točku nazovemo O i pridružimo joj broj 0, dok drugu točku (desno od točke O) nazovemo E i pridružimo joj broj 1. Točku O zovemo početnom točkom (ishodištem), a točku E jediničnom točkom. Dužinu OE zovemo jediničnom dužinom.
Označivanjem jedinične dužine jednoznačno smo odredili položaj točaka kojima redom pridružujemo ostale prirodne brojeve. Položaj tih točaka nalazimo prenošenjem jedinične dužine desno od početne točke.
1. Prikaži na brojevnom pravcu točke pridružene prirodnim brojevima: a) 2, 3, 5, 8, 9 i 12, b) 23, 25, 28, 30, 31 i 34, c) 120, 130, 150, 180 i 200, d) 1 350, 1 450, 1 500, 1 650 i 1 800. Pokatkad je potrebno na brojevnom pravcu prikazati i razlomke. Kako se to radi?
Primjeri Primjer 1.
Prikažimo na (brojevnom) pravcu raspored sadnica ruža, odnosno maćuhica iz uvodnog zadatka. Rješenje: Točkama” u kojima treba zasaditi sadnice “ pridružit ćemo brojeve kojima odgovaraju udaljenosti pojedine sadnice od sadnice koja se nalazi uz rub ceste mjerene u metrima:
16
Koji su brojevi pridruženi preostalim istaknutim točkama? Sjetimo li se da se ruže sade u razmacima od pola metra, nameće se zaključak: točki koja se nalazi između točaka pridruženih brojevima 0 i 1 bit će pridružen broj 1 . Budući da je 1 = 2 i 2 = 4 , točki koja 2 2 2 se nalazi između točaka pridruženih brojevima 1 i 2 bit će pridružen broj 3 . Točki koja se nalazi između točaka pridruženih brojevima 2 2 i 3 pridružit ćemo broj 5 , itd. 2
Budući da je 1 = 4 , 2 = 8 , 3 = 12 , 4 = 16 , 5 = 20 , dolazimo do slje4 4 4 4 4 deće slike:
Primjer 2.
Koji su brojevi pridruženi istaknutim točkama na slikama?
Rješenje: Budući da je jedinična dužina OE na slici podijeljena na 6 jednakih dijelova, zaključujemo da je prvoj diobenoj točki na dužini OE pridružen broj 1 , drugoj broj 2 , trećoj broj 3 , itd. Istaknutim su 6 6 6 točkama redom pridruženi brojevi 3 , 5 , 8 i 13 . 6 6 6 6 2. Koji su brojevi pridruženi istaknutim točkama na slikama? a)
b)
1. Što je brojevni pravac? 2. Što je ishodište, a što jedinična točka? 3. Što je jedinična dužina?
17
Brojevni pravac
• Koji dio decimetra čini 5 centimetara?
• Označi 1 decimetra na brojevnom pravcu ravnala”. “ 2 • Koji dio centimetra čini 4 milimetra? Nacrtaj u bilježnicu brojevni pravac i označi taj razlomak na nacrtanom brojevnom pravcu.
Primjer Primjer 3.
Na brojevnom pravcu prikažimo točke koje su pridružene razlomcima: b) 1 , 2 , 4 , 8 , 10 . a) 1 , 3 , 4 , 5 , 7 , 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
Rješenje: a) Na pravcu odaberimo početnu točku O i jediničnu točku E. Jediničnu dužinu podijelimo na dva jednaka dijela. Prvoj istaknutoj točki desno od točke O pridružujemo broj 1 , a drugoj točki broj 2 ... 2 2
b) Jediničnu dužinu podijelimo na tri jednaka dijela. Prvoj istaknutoj točki desno od točke O pridružujemo broj 1 , a drugoj točki broj 2 ... 3 3
3. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima 1 , 2 , 3 , 5 , 7. 4 4 4 4 4
Primjer Primjer 4.
18
Na brojevnom pravcu prikažimo točke koje su pridružene razlomcima: 1 , 2 , 3 , 7 , 7 , 17 . 2 3 2 6 3 6
Rješenje: Budući da zadani razlomci nemaju jednake nazivnike, prvo moramo odrediti najmanji zajednički višekratnik brojeva 2, 3 i 6. Budući da je V(2, 3, 6) = 6, sve razlomke moramo najprije proširiti do 14 razlomaka s nazivnikom 6: 1 = 3 , 2 = 4 , 3 = 9 , 7 , 7 = , 17 . 6 6 2 6 3 6 2 6 6 3
Odaberimo na pravcu početnu točku O i jediničnu točku E. Jediničnu dužinu podijelimo na šest jednakih dijelova. Prvoj istaknutoj točki desno od točke O pridružujemo broj 1 , a drugoj točki 6 broj 2 , ... 6
Napišemo li zadane neprave razlomke u obliku mješovitog broja, olakšat ćemo si prikazivanje tih brojeva na brojevnom pravcu. Uočite da je u prošlom primjeru 9 = 1 3 , 7 = 1 1 , 14 = 2 2 , 17 = 2 5 , pa nam točke pri6 6 6 6 6 6 6 6 družene prirodnim brojevima omogućuju lakše snalaženje na brojevnom pravcu. Kako ćemo na brojevnom oblika a , pri čemu su a i b dužinu OE podijeliti na b Zatim ćemo dobiveni dio počevši od ishodišta O.
pravcu odrediti točku pridruženu razlomku b prirodni brojevi? Najprije ćemo jediničnu jednakih dijelova (b je nazivnik razlomka). jedinične dužine prenositi a puta udesno,
Primjerice, želimo li na brojevnom pravcu prikazati točku pridruženu razlomku 9 , jediničnu ćemo dužinu podijeliti na 7 jednakih dijelova (b = 7), 7 a zatim ćemo dobiveni dio prenositi 9 puta (a = 9) desno od točke O. 4. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima 1 , 3 , 3 , 7 , 11 . 2 4 2 8 4 5. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima 1 , 4 , 7 , 19 , 13 . 2 5 5 10 5
L8
6. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima 5 , 8 , 10 , 11 , 7 . 2 3 3 4 2 KLJUČNI POJMOVI 3 na brojevnom pravcu. 4 8 2. Objasni postupak prikazivanja razlomka na brojevnom pravcu. 5 3. Između kojih se dvaju prirodnih brojeva nalazi razlomak: 15 7 21 19 a) , b) , c) , d) ? 4 3 2 5
• razlomak • brojevni pravac
1. Objasni postupak prikazivanja razlomka
19
4. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka
Marija je pojela 1 svoje rođendanske torte, a zatim još 1 . Koji je dio torte 8 4 pojela Marija? Nacrtaj skicu i odgovori na pitanje. U petom ste razredu naučili zbrajati i oduzimati razlomke jednakih nazivnika. Podsjetimo se: Zbroj razlomaka jednakih nazivnika je razlomak istoga nazivnika kojemu je brojnik jednak zbroju brojnika zadanih pribrojnika. Puno češće u svakodnevnom životu treba odrediti zbroj dvaju (ili više) razlomaka koji nemaju jednake nazivnike.
Primjer Primjer 1.
L9
Vrpca je razrezana na dva dijela. Duljina prvog dijela je 3 m, 5 a drugog dijela 3 m. Kolika je bila početna duljina vrpce? 4
Rješenje: Ukupnu duljinu vrpce izračunat ćemo tako da zbrojimo duljine dobivenih dijelova, tj. izračunajući zbroj 3 m + 3 m. U rje4 5 šavanju će nam pomoći činjenica da je 3 m = 60 cm i 3 m = 75 cm. 4 5 Zato je 3 m + 3 m = 60 cm + 75 cm = 135 cm = 135 = 27 m. 5 4 100 20 Zadatak smo riješili koristeći se pretvaranjem mjernih jedinica, ali i dalje nemamo pravilo za zbrajanje razlomaka različitih nazivnika.
Primjeri
Baka je posadila krumpir na 3 površine svoga vrta, dok je 4 na 1 površine posijala salatu. Koliki je dio površine vrta 8 obradila baka? Rješenje: Baka je obradila 3 + 1 površine vrta. 4 8 Proširimo li razlomak 3 brojem 2, dobit ćemo 4 njemu jednak razlomak 6 . 8 Zato možemo računati: 3 + 1 = 6 + 1 = 7 . 4 8 8 8 8
Primjer 2.
Izračunajmo: 1 + 2 . 4 3 Rješenje: Kao i kod uspoređivanja razlomaka različitih nazivnika, i kod njihova je zbrajanja potrebno zadane razlomke svesti na
Primjer 3.
20
(najmanji) zajednički nazivnik. To je u ovom primjeru broj 12 (jer je V(3, 4) = 12), pa razlomke znamo zbrojiti: 1 + 2 = 3 + 8 = 3 + 8 = 11 . 4 3 12 12 12 12 Ako razlomci nemaju jednake nazivnike, prvo ih proširivanjem svodimo na zajednički nazivnik, a nakon toga zbrajamo razlomke jednakih nazivnika (tako da brojnike zbrojimo, a nazivnik prepišemo). 1. Izračunaj: a) 3 + 1 , 5 4
b)
5 + 3 , 6 4
c) 1 2 + 4 , 3 9
d) 1 + 3 . 2 8
Primjer Primjer 4.
Izračunajmo: a) 1 + 2 + 3 , 2 3 4
b) 1 1 + 2 + 3 . 2 3 4
Rješenje: a) Budući da je V(2, 3, 4) = 12, sve razlomke moramo proširiti do razlomka s nazivnikom 12, pa ih onda zbrojiti. 1 + 2 + 3 = 6 11 9 23 + 8 + = =1 . 2 3 4 12 12 12 12 12
b) Zadani mješoviti broj najprije napišemo u obliku nepravog razlomka, a zatim određujemo najmanji zajednički nazivnik zadanih razlomaka. Budući da je V(3, 9, 6) = 18, sve razlomke moramo proširiti do razlomka s nazivnikom 18 i onda ih zbrojiti: 49 13 2 2 5 5 2 5 6.5+2.2+3.5 1 + + = + + = = =2 . 18 18 18 3 9 6 3 9 6 2. Izračunaj: c) 1 1 + 2 2 + 3 3 . a) 2 + 5 + 2, b) 1 3 + 2 + 2 1 , 4 3 2 4 3 2 5 2 2 1 5 3. Koji je broj za 2 veći od zbroja brojeva 1 i 3 ? 3 2 6 3 1 2 4. Ana je kupila kg bresaka, kg jagoda i 1 kg jabuka. Koliko iznosi 4 2 5 ukupna masa kupljenog voća? 5. Tiana je učila matematiku 2 1 h, a geografiju 3 h. Koliko je vremena 2 4 provela učeći?
1. Kako zbrajamo razlomke različitih nazivnika? 2. Koji je najmanji zajednički višekratnik brojeva 12 i 16? 5 7 + 3. Zbroji: . 12 16
21
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka
Lana je kupila 5 kg bombona. Svojoj sestri Tiani dala je 1 kg bombona. 8 4 Koliko joj je kilograma bombona ostalo? Razlika dvaju razlomaka jednakih nazivnika razlomak je istoga nazivnika kojemu je brojnik jednak razlici brojnika umanjenika i brojnika umanjitelja. Pri tome umanjenik ne smije biti veći od umanjitelja. L10
Primjer Primjer 5.
Od vrpce duljine 1 3 m odrezan je komad duljine 1 m. Koja 4 2 je duljina preostalog dijela vrpce?
Rješenje: Duljinu preostalog dijela vrpce izračunat ćemo tako da od početne duljine oduzmemo duljinu odrezanog dijela, tj. tako da izračunamo razliku 1 3 m – 1 m. U rješavanju će nam pomoći činjenica 4 2 da je 1 3 m = 175 cm i 1 m = 50 cm. 4 2 3 1 Zato je 1 m – m = 175 cm – 50 cm = 125 cm = 125 m = 5 m. 4 2 100 4 Zadatak smo riješili koristeći se pretvaranjem mjernih jedinica, ali i dalje nemamo pravilo za oduzimanje razlomaka različitih nazivnika. Kod oduzimanja razlomaka različitih nazivnika primjenjujemo postupak kao i kod njihova zbrajanja: zadane razlomke najprije svodimo na (najmanji) zajednički nazivnik. Kad su razlomci napisani tako da imaju jednake nazivnike, znamo izračunati njihovu razliku. Budući da je V(4, 2) = 4, zadani primjer možemo računati na sljedeći način: 1 3 – 1 = 7 – 2 = 7 – 2 = 5. 4 2 4 4 4 4
Primjer Primjer 6.
Izračunajmo: a) 5 – 2 , 4 3
22
c)
2 +1 5 – 4 . 3 6 9
5 – 2 = 15 – 8 = 7, 4 3 12 12 12 9 7 3 = 16 – 7 = , b) 1 – 7 = 8 – 10 5 10 5 10 10 2 11 4 = 12 + 33 – 8 = 37 5 2 – =2 1. c) + 1 – 4 = + 18 9 18 18 6 9 3 6 3
Rješenje: a)
b) 1 3 – 7 , 5 10
Primjer Primjer 7.
U prvom je satu pješak prešao 3 1 km, u drugom satu 1 1 4 2 km manje nego u prvome. Koja je ukupna duljina prijeđenog puta u ta dva sata?
Rješenje: U drugom je satu pješak prešao 3 1 – 1 1 = 7 – 5 = 14 – 5 = 9 = 2 1 kilometra. 4 2 4 4 4 4 2 Ukupna duljina prijeđenog puta jednaka je zbroju 3 1 + 2 1 , tj. 2 4 1 7 1 9 3 14 + 9 23 3 +2 = + = = = 5 kilometara. 4 2 4 2 4 4 4 6. U prvom stupcu tablice desno napisani su zadatci, a u drugome stupcu njihova rješenja. Pronađi odgovarajuće parove! 7. Prodavač je na tržnicu donio 12 kg trešanja. Ana je kupila 3 1 kg, a 2 Petra 2 3 kg trešanja. Koliko je još trešanja ostalo za prodaju? 4 8. Precrtaj tablicu u bilježnicu. U prazna polja upiši odgovarajuće brojeve tako da zbroj brojeva u svakom retku, stupcu i na dijagonali bude jednak 1. 1 6 1 6
1 2 1 6 1 3
9. Prvog je dana Ante pročitao 5 ukupnog broja stranica knjige, 24 drugog dana 1 ukupnog broja stranica knjige, a trećega dana 1 ukupnog broja8 stranica knjige. Koliki dio knjige ostaje za pročitati 3 četvrtog dana?
19 1 2 a) 1 – 24 8 3 5 17 3 + b) 12 8 24 7 5 1 c) 3 – 2 8 24 6 3 1 11 5 d) 1 + 1 – 2 8 2 24 6 3 1 7 1 e) 2 – 1 + 4 8 24 6 2 5 13 1 f) 3 – 1 – 1 3 8 24 2
Zbrajanje razlomaka
10. U prvom je satu biciklist prešao 25 1 km. U drugom je satu prešao 2 1 3 km više nego u prvom satu. U trećem je satu prešao 12 1 km manje 4 4 nego u prva dva sata zajedno. Koliko mu još preostaje do cilja, ako je planirani put dugačak 100 km?
1. Kako oduzimamo razlomke različitih nazivnika? 2. Koji je najmanji zajednički višekratnik brojeva 12 i 18? 7 15 – . 3. Izračunaj: 12 18
23
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka
Precrtaj tablicu u bilježnicu. U prazna polja upiši odgovarajuće brojeve tako da zbroj u svakom retku, stupcu i dijagonali bude jednak 1 1 . 2
1 2
1 2
3 4 1 2
Za zbrajanje razlomaka vrijede ista svojstva koja ste upoznali kod zbrajanja prirodnih brojeva. Naime, rezultat ne ovisi o redoslijedu pribrojnika (svojstvo komutativnosti zbrajanja) ni o načinu grupiranja pribrojnika (svojstvo asocijativnosti zbrajanja). Ta svojstva koristimo kako bismo si olakšali računanje.
Primjer Oduzimanje razlomaka
Primjer 8.
Izračunajmo na najjednostavniji način: 2 5 b) 1 2 + 5 + 4 1 , a) 2 1 + 3 , 3 6 3 9 5 1 3 4 3 3 c) 2 + 4 + 5 + + 2 . 4 7 8 4 7
Rješenje: a) Budući da je svaki mješoviti broj zapravo skraćeni zapis zbroja prirodnog broja i pravog razlomka, mješovite brojeve možemo zbrajati tako da zbrojimo njihove cijele dijelove te njihove razlomljene dijelove. Dobivene zbrojeve zbrojimo i napišimo u obliku mješovitoga broja: 13 2 1 + 3 2 = 2 + 1 + 3 + 2 = (2 + 3) + 1+ 2= 5 + 3 + 10 =5 5 3 5 15 . 3 5 3 15 Dio tog postupka obično obavljamo u glavi”, preskačući dio postupka. “ b) Postupamo na sličan način kao pri rješavanju zadatka a): 1 2 + 5 5 + 4 1 = 10 + 4 + 15 + 6 = 10 + 25 = 10 + 1 7 = 11 7 . 6 3 9 18 18 18 18 c) Uočimo da se u zadatku pojavljuju parovi razlomaka s međusobno jednakim nazivnicima. Zbog svojstava komutativnosti i asocijativnosti zbrajanja pribrojnike grupiramo tako da zbrajamo na što jednostavniji način: 3 3 3 3 3 2 3 + 4 1 + 5 4 + 3 + 2 3 = 2 + 5 4 + 4 1+ 2 + = 8 + 7 + = 15 7 8 8 4 8 4 7 4 7 8 4 7
24
Oduzimanje razlomaka pokatkad će nam zadavati malo više problema.
Primjer Primjer 9.
Izračunajmo: 1 a) 3 7 – 1 , 4 8
2 b) 5 1 – 2 , c) 3.7 – 2 1 . 5 4 4
Rješenje: a) Ako je razlomljeni dio umanjenika veći od razlomljenog dijela umanjitelja, postupamo slično kao kod zbrajanja mješovitih brojeva: 7 1 7–2 5 3 7 – 1 1 = (3 – 1) + – =2+ =2 . 8 4 8 4 8 8 b) Ponovimo li isti postupak pri rješavanju zadatka b), dobit ćemo: 1 2 5–8 5 1 – 2 2 = (5 – 2) + – =3+ =? 4 5 20 5 4 Upitnik na kraju rješenja tog zadatka navodi na pomisao da mora postojati još neki način za njegovo rješavanje, ali koji ne sadržava trenutno nerješive probleme” kao što je, npr. 5 – 8 . Zadatak ćemo “ riješiti tako da mješovite brojeve napišemo u obliku razlomaka, a zatim izračunamo traženu razliku: 105 – 48 53 5 1 – 2 2 = 21– 12= = = 2 13 . 20 5 4 5 20 20 4 37 c) Budući da je 3.7 = , zadatak možemo napisati u obliku 10 9 1 3.7 – 2 = 37– 9= 74 – 45= 29 =1 . 4 20 4 10 20 20 Isti zadatak možemo riješiti i tako da zadani razlomak (mješoviti zbroj) napišemo u obliku decimalnog broja (u ovom primjeru 225 21=9= = 2.25), a zatim dobiveno oduzimamo: 4 4 100 3.7 – 2.25 = 1.45 11. Tiana je dobila paket mase 24 3 kg. Kad ga je raspakirala, utvrdila 7 je da na ambalažu otpada 1 3 kg. Kolika je masa robe u paketu? 5 12. Od broja 32.5 oduzmi zbroj brojeva 7 8 i 5 3 . 4 9 13. Od zbroja brojeva 6 4 i 4 2 oduzmi njihovu razliku. 5 3 14. Jedna cijev napuni bazen za 6 sati, druga cijev za 5 sati, a treća za 8 sati. a) Koji dio bazena napuni svaka cijev za 1 sat? b) Koji će dio bazena napuniti sve tri cijevi za 1 sat?
1. Je li zbrajanje razlomaka komutativno? Objasni. 2. Je li zbrajanje razlomaka asocijativno? Objasni.
L11 – L14
KLJUČNI POJMOVI • razlomak • zbrajanje razlomaka • zbroj razlomaka • oduzimanje razlomaka • razlika razlomaka
3. Je li oduzimanje razlomaka komutativno? Objasni. 4. Je li oduzimanje razlomaka asocijativno? Objasni. 5. Navedi nekoliko primjera iz stvarnog života u kojima se primjenjuje oduzimanje razlomaka.
25
5. Množenje razlomaka
Anita ima mjesečni džeparac 35 €, a Jasna 40 €. Anita je potrošila 4 svog 7 džeparca, a Jasna 5 svoje svote. Koliko je potrošila Anita, a koliko Jasna? 8 Koja je potrošila veću svotu? Poznato vam je da je množenje skraćeno zbrajane jednakih pribrojnika. Tako je, primjerice, . 8 2 2 2 2 a) + + + = 4 . 2 = 4 2= , 5 5 5 5 5 5 5 . 4 + 4 4 + 4 4 4 5 4= 20 , + =5. = + b) 7 7 7 7 7 7 7 7 . . 1 + 1 1 =3.1 1 7 3 7 =3. = = 1 7= 7= 3 1 . c) 1 1 +1 6 6 6 6 2 2 6 6 2 n.
a n.a = b b
Dakle, razlomak množimo prirodnim brojem tako da brojnik razlomka pomnožimo zadanim prirodnim brojem, a nazivnik ostavljamo nepromijenjenim. Ako je moguće, prije množenja vršimo skraćivanje.
Primjer Izračunajmo: a) 1 . 7, b) 5 . 3 . Rješenje: a) 1 . 7 = 1 7 3 3 . . c) 8 . 5 = 8 5 = 4 5 = 3 6 6 5 . = 5 . 20 = 5 . 5 20 e) 12 12 3
Primjer 1.
3, 4
= 7 , 3 20 , 3 = 25. 3
c) 8 . 5 , 6
d) 14 . 3 , e) 5 . 20. 7 12 . 3 15 5 3 = , b) 5 . = 4 4 4 .3 2.3 3 14 = 6, = d) 14 . = 1 7 7
Pri rješavanju zadataka u kojima je skraćivanje moguće, često zapisujemo skraćenim postupkom rješavanja. Primjerice, za posljednji primjer možemo pisati: 5 . = 5 . 5 = 25. 20 3 3 12
Primjer
Primjer 2. Odredimo koliko je: 1 a) od 24 sata, b) 3 od 100 €, c) 5 od 200 m, 4 5 8
26
d) 7 od 4500 kn. 15 1.6 =6 Rješenje: a) 1 od 24 sata = 24 sata : 4 = 6 sati, ili 1 . 24 = , 1 4 4 3 . 20 = 60, b) 3 od 100 € = (100 € : 5) . 3 = 20 € . 3 = 60 €, ili 3 . 100 = 1 5 5 5 . 25 = 125, c) 5 od 200 m = (200 m : 8) . 5 = 125 m, ili 5 . 200 = 1 8 8 7 od 4500 kn = (4500 kn : 15) . 7 = 2100 kn, d) 15 7 . 300 = 2100. ili 7 . 4500 = 1 15
Provjerimo na nekoliko primjera: vrijede li svojstva množenja prirodnih brojeva i za množenje razlomaka?
Primjer
b) 1 . 7 , Izračunajmo: a) 3 . 1 9 5 Rješenje: 3 7 1.7 7 3.1 3 = , = , a) . 1 = b) 1 . = 5 9 5 9 5 9
Primjer 3.
c) 1 . 2 3 . 10 c) 1 . 2 3 = 2 3 . 10 10
Pomnožimo li neki razlomak brojem 1, vrijednost razlomka ne će se promijeniti.
Primjer b) 0 . 8 , Izračunajmo: a) 4 . 0, c) 0 . 8 13 . 13 7 20 Rješenje: 4 8 0.8 0 4.0 0 = = 0 , b) 0 . = = 0 , c) 0 . 8 13 = 0 . = a) . 0 = 7 13 7 15 7 13 20
Primjer 4.
Pomnožimo li neki razlomak brojem 0, vrijednost razlomka bit će jednaka nuli. 1. Napiši u obliku umnoška pa izračunaj: a) 3 + 3 + 3 , b) 5 + 5 + 5 + 5 , c) 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 . 7 7 7 6 6 6 6 4 4 4 4 4 4 2 4 13 b) 0.23 ∙ 3, c) 2 . 1, d) 2 . 1 , 2. Pomnoži: a) ∙ 3, 7 9 45 2 5 7 . . . e) 4 12, f) 7 48, g) 1.45 · 1, h) 15 36. 24 12 9 3. Izračunaj koliko je: a) 6 od 20 km, b) 7 od 24 sata, c) 3 od 100 m, 10 8 20 4 11 d) od 1000 g, e) od 60 minuta, f) 5 od 30 dana. 25 12 6 4. Koliko je grama 16 a) kg, b) 33 kg, c) 53 kg, d) 157 kg? 25 50 125 250 5. Koliko je sati a) 1 dana, b) 1 dana, c) 2 dana, d) 1 dana? 2 4 3 6
Razlomci i Zemljina atmosfera
1. Koliko minuta ima jedna trećina sata? 2. Koliko dekagrama ima petina kilograma? 3. Kako množimo razlomak prirodnim brojem? 3 4 4. Je li umnožak 10 . veći ili manji od 10? A umnožak . 10 ? Obrazloži! 8 3
27
Množenje razlomaka
Susjeda Mira je posijala salatu na gredicu pravokutnog oblika. Duljina gredice je 3 m, a njezina širina 1.5 m. S površine jednog kvadratnog metra ubrala je prosječno 5 1 kg salate. Koliko je salate ubrala s te gredice? 3 Prije nego odgovorimo na postavljeno pitanje, promotrimo sljedeće primjere. L15
Primjeri Primjer 5.
Koliko je 1 od 3 ? 2 5
Rješenje: Rezultat prikažimo grafički, kao dio kvadrata, na sljedeći način. Nacrtajmo kvadrat sa stranicom duljine 1 (npr. 1 dm). Par nasuprotnih stranica podijelimo na 5 jednakih dijelova pa obojimo 3 tog kvadrata. 5 Drugi par nasuprotnih stranica podijelimo na 2 jednaka dijela pa drugom bojom obojimo 1 tog kvadrata (vidi slike). 2 Dva puta obojeni dio kvadrata grafički je prikaz broja 1 od 3 , tj. 1 od 2 5 2 3= 3. 5 10 Primjer 6.
Izračunajmo površinu pravokutnika sa stranicama dugačkim 1 dm i 3 dm. 2 5
Rješenje: Površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina njegovih susjednih stranica. Dakle, p=a∙b p = 1 dm . 3 dm, 2 5 a prema primjeru 4. vrijedi da je 1 . 3 je 3 . 2 5 10 Znači da je tražena površina jednaka 3 dm2. 10 6. Prikaži grafički (kao u primjeru 5.) i izračunaj površinu pravokutnika sa stranicama duljine 3 dm i 2 dm. Naslućuješ li pravilo za množenje 10 5 razlomaka? Točnost rezultata provjeri pomoću džepnog računala.
7. U bilježnicu precrtaj tablicu pa je ispuni. prvi faktor drugi faktor
28
umnožak
4 5 2 3
3 7 2 5
5 11 7 3
3 5 5 8
4 9 6 7
7 8 12 5
7 10 5 6
5 12 9 10
8 9 3 16
4 15 25 8
Dakle, razlomak množimo razlomkom tako da pomnožimo brojnik brojnikom, a nazivnik nazivnikom. a . c = a.c b d b.d
Množenje ćemo si olakšati ako prije množenja do kraja skratimo razlomke!
Za množenje razlomaka vrijede i ostala svojstva koja ste upoznali kod množenja prirodnih brojeva. Naime, umnožak ne ovisi o redoslijedu faktora (svojstvo komutativnosti množenja) ni o načinu grupiranja faktora (svojstvo asocijativnosti množenja). Ta svojstva koristimo kako bismo si olakšali računanje.
Primjer
Izračunajmo na najjednostavniji način 6 . 15 . 35. 25 49 18 Rješenje: Primjenom svojstava komutativnosti i asocijativnosti množenja, nakon skraćivanja razlomaka, dobivamo: 6 . 15 . 35 6 . 15 . 35 1 . 3 . 35 5 1. = = = = 25 49 18 25 . 49 . 18 5 . 49 . 3 5 . 7 7
Primjer 7.
8. Izračunaj: a) 5 . 12, 36 10 9. Izračunaj: a) 3 2 . 3 , 9 8
b) 7 . 6 , c) 9 . 14, d) 13 . 22. 18 21 28 51 44 26 b) 1 6 . 14 , c) 6 2 . 2 9 , d) 4 5 . 3 12. 3 10 8 15 7 24 5 10. U ponedjeljak je prodavač automobila preuzeo , a u četvrtak 1 8 6 naručene pošiljke automobila. Koji je najmanji broj automobila koji je mogao biti naručen? Koliko je automobila u tom slučaju preuzeto u ponedjeljak, a koliko u četvrtak? 11. U nekoj prodavaonici 1 zaposlenika radi ponedjeljkom, srijedom i 3 petkom, dok 4 zaposlenih radi utorkom, četvrtkom i subotom. Ostali 7 zaposlenici rade od ponedjeljka do petka. Koji je najmanji mogući broj zaposlenika koji rade u toj prodavaonici? 12. Duljina vrta pravokutnog oblika je 48 m, a njegova širina iznosi 3 dulji4 ne. Koliko žice treba za ogradu oko vrta?
1. Koliko je to polovina od trećine Sanjinog džeparca? 3 5 2. Je li istinita izjava: “Potrošila sam od svoje ušteđevine?” 4 3 3. Prema kojem pravilu množimo razlomke? 4. Je li istinita tvrdnja: Umnožak pravog i nepravog razlomka uvijek je pravi razlomak. Obrazloži odgovor.
29
Množenje razlomaka
Lanin džeparac iznosi 150 kuna u mjesecu. Ako Lana u mjesecu potroši 21 džeparca, koliko može staviti na štednju svakog mjeseca? Koliko će 25 uštedjeti tijekom godine dana? Na kraju godine je htjela kupiti knjigu čija je cijena uz prigodni popust jednaka 265.55 kn. Hoće li to moći učiniti? Ako hoće, koliko će joj ostati? Ako ne će, koliko će joj nedostajati? Naučili ste postupke za množenje razlomka prirodnim brojem, kao i za množenje razlomka razlomkom. Nemojte zaboraviti da je mudro u oba postupka skratiti razlomke prije množenja (ako je moguće). 14. Izračunaj: a) 3 . 25, 10
b) 8 . 15, 9 16
c) 1 5 . 6 , 9 7
d) 1 1 . 1 1 . 4 15
Ponekad se u brojevnim izrazima uz množenje pojavljuje zbrajanje i / ili oduzimanje. Ako u izrazu nema zagrada, prvo množimo i dijelimo, a zatim zbrajamo i oduzimamo.
Primjeri Primjer 8. Izračunajmo: 3 1 . 10 5 7 . 3 +1 1 10 3 + – a) + . , b) , c) 5 – 7 . 3 + 1, d) . 5 5 9 2 6 4 5 5 9 2 6 4 Rješenje: a) 3 + 1 . 10 = 3 + 2 = 27 + 10= 37 , 5 9 5 5 9 45 45 3 1 . 10 4 . 10 = 8 + = b) , 9 5 5 9 5 9 c) 5 – 7 . 3 + 1 = 5 – 7 + 1 = 20 – 7 + 8= 21 , 2 8 2 6 4 8 8 8 3 15 – 7 3 5 7 3 d) 2 – 6 . 4 + 1 = 6 . 4 + 1 = 6 . 4 + 1 = 1 + 1 = 2 . Brojevni izraz (zbroj / razliku) množimo brojem tako da svaki član izraza pomnožimo zadanim brojem pa dobivene umnoške zbrojimo / oduzmemo.
Primjer 9. Izračunajmo vrijednosti sljedećih brojevnih izraza: 3 5 1 3 5 . 8 + a) , b) 3 . 8 + 5 . 8 , c) 10 . 6 – 4 , d) 3 . 5 – 3 . 1 . 4 12 9 4 9 12 9 10 6 10 4 3 5 8 9 + 5 8 14 8 28 Rješenje: a) 4 + 12 . 9 = 12 . 9 = 12. 9 = 27,
30
b) 3 + 5 . 8 = 9 + 5 . 8 = 14. 8 = 28 , 9 12 9 27 12 4 12 9 18 + 10 28 c) 3 . 8 + 5 . 8 = 2 + 10 = , = 27 27 4 9 12 9 3 27 1 d) 3 . 5 – 3 . 1 = – 3 = 10 – 3 = 7 . 4 40 10 6 10 4 40 40
15. Izračunaj: a) 2 + 3 . 8 , 3 4 9 3 c) 4 . 3 1 + . 4 , 6 10 e) 5 1 . 2 1 – 5 1 . 3 , 8 3 3 8
15 b) 2 1 – 4 . , 2 5 16 2 d) . 1 7 + 2 1 . 1 7 8 9 8, 9 1 1 2 f) 1 . 6 + 2 . 1 1 – 1 1. 3 3 . 4 5 5 9 5 3
16. Težina na Mjesecu jednaka je 1 težine na Zemlji. Ako je težina osobe na 6 Zemlji 450 N (masa oko 45 kg), kolika će biti njezina težina na Mjesecu? 17. Duljina dana na Jupiteru je otprilike jednaka 3 duljine zemaljskog dana. 8 Koliko sati traje dan na Jupiteru?
Jedinica za težinu je njutn (1 N). 1 N odgovara masi od približno 10 kg.
18. Ako košarkaška lopta odskoči 2 visine s koje je bačena, na koju će visinu 3 odskočiti lopta bačena s 2.4 m? 19. U priči Petar Pan djeca provode 1 dana u Nigdjezemskoj. Koliko je to 8 sati? 20. Školska godina traje 35 tjedana. Na kraju kojeg tjedna će proći 3 školske 5 godine? 21. Ivo, Marko i Franjo skupljaju plastične boce. Ivo je skupio 250 boca, Marko 4 tog broja, a Franjo 1 2 puta više nego Marko i Ivo zajedno. 3 5 a) Koliko je boca skupio Marko, a koliko Franjo? b) Koliko su boca skupili zajedno? c) Ako za svaku od skupljenih boca dobivaju 1 kune, koliko su zaradili? 2 22. Trgovina Slatkač prodaje šećer. Na skladištu ima 1 500 kg šećera. Prvi dan je prodala 1 te količine, drugi dan 1 količine prodane L16 – L17 5 41 prvoga dana, a treći dan količine više nego prvi i drugi dan zajedno. 6 Četvrti dan je prodala ostatak. a) Koliko je šećera prodano po danima? b) Ako se 1 kg šećera prodaje po 5 1 kune, koliko novca je trgovina 4 KLJUČNI POJMOVI Slatkač zaradila pojedinog dana, a koliko ukupno? • razlomak • množenje razlomaka • umnožak razlomaka
1. Kako množimo brojeve napisane u mješovitom zapisu? 3 3 tako da umnožak bude jednak ? 4 4 3. Pri množenju 4 ∙ 3 umnožak je veći od faktora. Je li to uvijek tako? Objasni.
2. Kojim brojem možemo pomnožiti
31
6. Dijeljenje razlomaka
Iz sljedećeg niza brojeva izdvoji one parove kojih je umnožak jednak 1.
Svakom od sljedećih brojeva odredi odgovarajući broj koji pomnožen sa zadanim daje umnožak jednak 1. lat. reciprocare = uzajamno, obostrano, izmjenično
Par brojeva koji međusobno pomnoženi daju umnožak jednak 1 nazivaju se međusobno recipročni brojevi. Primjerice, budući da je 2 . 7 = 1 i 7 . 2 = 1, 7 2 2 7 onda je broj 2 recipročan broju 7 , i obratno, broj 7 recipročan je broju 2 . 7 2 2 7
Primjer Primjer 1.
Odredimo brojeve koji su recipročni brojevima: a) 6 , b) 1 , c) 8, d) 1.7, e) 2 5 . 7 6 13
Rješenje: a) Broju 6 recipročan je broj 7 jer je 6 . 7 = 1. 7 6 7 6 1 b) Broju recipročan je broj 13 jer je 1 . 13 = 1 . 13 13 1 . c) Broju 8 recipročan je broj jer je 8 1 = 1. 8 8 17 d) Budući da je 1.7 = , njemu recipročan broj jednak je 10 . 10 17 5 17 6 e) Budući da je 2 = , njemu recipročan broj je . 6 6 17 Rješavajući postavljene zadatke nije teško zaključiti: Za svaki broj različit od nule postoji njemu recipročan broj. Broj 1 recipročan je samome sebi. Recipročni broj prirodnog broja a je razlomak oblika 1 . a Uoči: Brojeve napisane u decimalnom zapisu ili u mješovitom zapisu prvo trebamo napisati u obliku razlomka, a tek onda im određivati recipročni broj.
Primjeri Primjer 2.
32
Odredimo zbroj recipročnih vrijednosti brojeva 3 i 9 . 5 10
Rješenje: Najprije odredimo recipročne vrijednosti zadanih razlomaka.
Recipročna vrijednost broja 3 je broj 5 , a recipročna vrijednost 5 3 broja 9 jednaka je 10 . 10 9 Izračunajmo zbroj dobivenih recipročnih vrijednosti. 5 + 10 = 15 + 10= 25 . 3 9 9 9 Primjer 3. Odredimo recipročnu vrijednost zbroja brojeva 3 i 9 . 5 10 Rješenje: Prvo izračunajmo zbroj zadanih brojeva: 3 + 9 = 6 + 9 = 15 , a onda odredimo recipročnu vrijednost dobivenog 5 10 10 10 rezultata. Dakle, recipročna vrijednost zbroja zadanih brojeva je 10 , tj. 2 . 15 3 1. Odredi recipročne vrijednosti brojeva: a) 3, b) 1 , c) 3 , d) 1 3 , 6 7 5 2. Precrtaj u bilježnicu pa dopuni tablicu:
e) 2.15.
14 5
33
Broj
4 5
Recipročan broj
7 8
0.8
1 12
3. Izračunaj recipročnu vrijednost zbroja brojeva 5 i 7 . 8 12 4. Izračunaj zbroj recipročnih vrijednosti brojeva 5 i 7 . 8 12 5. Recipročna vrijednost zbroja dvaju brojeva je 12. Koliki je drugi broj 19 ako je prvi jednak 3 ? 4 6. Zbroj recipročnih vrijednosti dvaju brojeva je 28. Ako je jedan od 15 brojeva jednak 3 3 , koliki je drugi broj? 4 7. Vrt ima oblik pravokutnika, duljine 23 1 m i širine 16 2 m. 2 5 a) Kolika je površina vrta? b) Ako vrtlar na sat prekopa 12 m2 vrta, koliko će mu trebati vremena da prekopa čitav vrt?
1. Što je recipročni broj? 1 7 , 9, , 0.99 ? 5 8 3. Koji je broj recipročan broju 0? Obrazloži odgovor! 2. Koji broj je recipročan brojevima
4. Postoji li broj koji je recipročan samome sebi?
33
Dijeljenje razlomaka
Majka je ispekla pitu od jabuka kvadratnog oblika. Duljina stranice pite je 40 cm. Majka želi pravedno podijeliti pitu među svojih 8 ukućana. Kako će majka izrezati pitu? Može li to učiniti na samo jedan način ili postoji više načina? Nacrtaj u bilježnicu odgovarajuću sliku (slike). Koliki dio pite dobiva svaki od ukućana? Poznato je da je umnožak dvaju prirodnih brojeva uvijek prirodni broj, kao i da količnik dvaju prirodnih brojeva može, ali ne mora, biti prirodni broj: 12 : 4 = 3, 27 : 9 = 3, 144 : 6 = 24, ali 1 : 5 = 1 , 2 : 3 = 2 , 8 : 3 = 8 , ... 5 3 3 No, pokatkad treba dijeliti razlomke. Kako se to radi?
Primjer Primjer 4.
Dvojica prijatelja krenula su biciklima prema jezeru. U prvom su satu prešli 1 duljine puta. Preostali put namjera5 vaju prijeći u dva sata. Ako u svakom od dva preostala sata žele prijeći jednake dijelove puta, koliki će dio puta prijeći u svakom satu?
Rješenje: Nakon prvog sata do jezera im je preostalo još 1 – 1 = 4 5 5 duljine puta. U svakom od preostala 2 sata namjeravaju prijeći jednake duljine puta, tj. 1 od 4 , ili 4 : 2 ukupne duljine puta. 2 5 5 Podijelimo 4 na 2 jednaka dijela, na dva različita načina, kao na slici: 5
Zaključujemo da je 4 : 2 = 4 : 2 = 2 , tj. 4 : 2 = 4. = 2 . 5 5 5 5 5 2 5 1 4 1 2 1 4 (Ne zaboravite da je od = . = , dakle od 4 = 4 : 2.) 2 5 2 5 5 2 5 5
34
Ako je brojnik zadanog razlomka djeljiv zadanim prirodnim brojem, razlomak možemo podijeliti prirodnim brojem na dva načina: 1. brojnik razlomka podijelimo tim prirodnim brojem, dok nazivnik ostaje nepromijenjen ili 2. nazivnik razlomka pomnožimo tim prirodnim brojem, dok brojnik ostaje nepromijenjen.
Primjer Primjer 5.
Nakon Ivine rođendanske proslave preostala je 1 torte. Iva, 3 njezin brat Mario i njihovi roditelji žele podijeliti ostatak
torte, ali tako da svako od njih dobije jednaki dio torte. Koji dio torte će dobiti svaki od njih? Rješenje: Svaki od njih dobiva 1 : 4 torte. 3 Koliki je to dio cijele torte? Trećina torte podijeljena je na četiri jednaka dijela, što znači da je cijela torta podijeljena na 3 ∙ 4 = 12 jednakih dijelova, tj. da je svaki od tih dijelova jednak 1 cijele torte. Zaključujemo da je 1 : 4 = 1 . 3 12 12 Ako brojnik zadanog razlomka nije djeljiv zadanim prirodnim brojem, razlomak dijelimo prirodnim brojem tako da nazivnik razlomka pomnožimo tim prirodnim brojem, dok brojnik ostaje nepromijenjen.
Primjer Izračunajmo zadane količnike. a) 2 : 7, b) 12 : 4, c) 15 : 3, d) 1 3 : 5, e) 3 3 : 12. 5 7 5 35 22 2 2 12 12 : 4 3 2 Rješenje: a) : 7 = . = , b) : 4 = = , 35 35 35 5 5 7 35 3 15 : 3 5 10 15 = , d) 1 : 5 = : 5 = 10 : 5 = 2 , c) : 3 = 7 22 22 7 7 7 22 3 18 18 3 . e) 3 : 12 = : 12 = . = 5 5 5 12 10
Primjer 6.
8. Izračunaj: a) 3 : 2 b) 9 : 3, c) 1 7 : 12, d) 3 3 : 45, e) 2 2 : 9. 9 4 5 8 4 9. Koji je broj 3 puta manji od broja 72? 81 10. Planinar je za 4 sata prešao 16 4 km. Koliko je kilometara prosječno 5 prolazio po satu? 11. Dasku dugu 42 1 m treba podijeliti na 6 jednakih dijelova. Kolika je 8 duljina svakog dijela? 12. Masa paketa od 600 listova papira je 3 3 kg. 4 a) Kolika je masa jednog lista papira? b) Kolika je masa 12 listova papira? c) Kolika će biti masa 1 000 listova papira?
1. Koji je broj recipročan broju 5, a koji broju 8? 2. Kako razlomak dijelimo prirodnim brojem?
35
Dijeljenje razlomaka
1 U vreći se nalazi 4 kg šećera u prahu. Treba ga podijeliti u vrećice mase kg. 5 Koliko vrećica treba pripremiti za pakiranje?
Primjeri Majka je napravila 24 litre soka od višanja koji želi spremiti u boce. Koliko boca treba pripremiti ako u svaku bocu stane a) 1 litre, b) 1 litre, c) 3 litre? 2 4 4 Rješenje: a) Neka je s x označen broj boca koje će biti napunjene sokom. Tada
Primjer 7. L18
vrijedi izraz 1 ∙ x = 24. Nepoznati faktor pronalazimo tako da umnožak 2 podijelimo poznatim faktorom, tj. x = 24 : 1 . No, koliko je 24 : 1 ? 2 2 Razmislimo: 1 litrom soka majka može napuniti 2 boce za sok od 1 litre. 2 1 To znači da za spremanje 24 litre soka treba 24 ∙ 2 = 48 boca od litre. 2 Dakle, 24 : 1 = 24 ∙ 2 = 48. 2 b) Razmišljamo li tako, zaključujemo: 1 litrom soka majka može napuniti 4 boce soka od 1 litre pa za spremanje ukupne količine od 4 24 litre treba 24 ∙ 4 = 96 boca od 1 litre. Dakle, 24 : 1 = 24 ∙ 4 = 96. 4 4 c) Nakon rješavanja zadatka b), zadatak c) bit će jednostavan: ako majka treba 96 boca od 1 litre, trebat će tri puta manje tri puta većih 4 boca tj. 96 : 3 = 32 boce. To znači da je 24 : 3 = (24 ∙ 4) : 3 = 96 : 3 = 32. 4 Uočite da vrijedi 24 : 3 = 24 : 3 = 24 ∙ 4 = 24 ∙ 4 = 32. Dakle, dije4 1 4 1 3 3 ljenje broja 24 razlomkom 3 sveli smo na množenje broja 24 brojem 4 4 , koji je recipročan broju 3 . Isto tako postupamo i kada razlomak 3 4 dijelimo razlomkom. Primjer 8.
36
Izračunajmo količnike: a) 3 : 2 , b) 14 : 7 , 8 5 15 4
c) 1 1 : 2 , 5 3
d) 2 2 : 1 1 . 5 4
Rješenje: Količnik dvaju razlomaka odredit ćemo tako da djeljenik pomnožimo recipročnom vrijednošću djelitelja: a) 3 : 2 = 3 . 5 = 15 , b) 14 : 7 = 14 . 4 = 8 . 8 5 8 2 16 15 4 15 7 15
Prije dijeljenja mješovite brojeve treba napisati u obliku nepravih razlomaka, a konačni rezultat (ako je veći od 1) obično prikazujemo u obliku mješovitoga broja. c) 1 1 : 2 = 6 : 2 = 6 . 3 = 9 = 1 4 , 5 3 5 3 5 2 5 5 2 1 12 5 4 12 48 d) 2 : 1 = : = . = = 1 23 . 5 4 5 4 5 5 25 25 13. Izračunaj: a) 1 : 1 , 3 2
b) 0.3 : 1 , 4
c) 2 : 1 , 5 4
d) 1 : 2 . 3
14. Izračunaj: a) 1 1 : 2 , 5 3
b) 2 2 : 4 , 3 9
c) 1 2 : 1 1 , 7 2
d) 4 1 : 2 2 . 5 3
15. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni: x 4 .x 5 4 :x 5
1 2
4 15
15 4
5 8
8 5
16. Vrećica bombona Gric sadržava 2 kg bombona. Koliko se vrećica množe 5 napuniti s 245 1 kg bombona? 5 17. Izračunaj: 1 1 8 1 3 + , : a) 1 – : , b) 2 . 1 – 3 2 2 7 21 1 3 1 1 5 1 L19 – L22 + 2 , + . – : d) 16 . c) : 3 4 4 8 8 2 18. Neka je x = 1 i y = 1 . Odredi racionalni broj jednak: 3 2 a) njihovu zbroju, b) njihovoj razlici, c) njihovu umnošku, d) njihovu količniku, e) razlici umnoška i količnika, f) šestini njihove razlike, KLJUČNI POJMOVI g) količniku razlike i zbroja, • razlomak h) recipročnoj vrijednosti njihova količnika. • recipročni razlomak • dijeljenje razlomaka • količnik razlomaka
1. Kako dijelimo razlomke? 2. Što treba napraviti prije dijeljenja mješovitih brojeva?
37
Zadatci
1. Nacrtaj krug polumjera 3 cm. Podijeli ga na osam jednakih dijelova. Ispiši sve tako dobivene razlomke. 2. Nacrtaj krug polumjera 25 mm. Podijeli ga na dvanaest jednakih dijelova. Ispiši sve tako dobivene razlomke.
3. Broj 3 napiši u obliku razlomka a) s nazivnikom 3, b) s brojnikom 12, c) s nazivnikom 24, d) s brojnikom 24.
4. Broj 8 napiši u obliku razlomka a) s nazivnikom 2, b) s brojnikom 24, c) s nazivnikom 16, d) s brojnikom 16. 5. Budući da je 1 cm = 10 mm, 1 dm = 10 cm, 1 m = 100 cm i 1 km = 1000 m, prepiši u bilježnicu i razlomcima dopuni jednakosti: a) 1 mm = ___ cm, b) 1 cm = ___ dm, c) 1 cm = ___ m, d) 3 mm = ___ cm, e) 69 cm = ___ dm, f) 17 cm = ___ m. 6. Prepiši u bilježnicu i dopuni jednakosti: a) 1 cm = ___ mm, b) 3 dm = ___ cm, 5 10 9 km = ___ m, e) 9 m = ___ cm, d) 4 25
c) 7 m = ___ cm, 20 f) 3 dm = ___ mm. 2
7. Odgovori na pitanja. a) Koliko šestina ima jedna trećina? b) Koliko desetina ima jedna polovina? c) Koliko dvadesetpetina ima jedna petina? d) Koliko tridesetšestina ima jedna devetina?
8. Koliko četrdesetpetina ima a) 5 , b) 9 ? 9 5 9. Jesu li sljedeće tvrdnje istinite? Objasni odgovor. a) 5 = 200 , b) 18 = 56 , c) 106 = 9 , 4 120 35 105 209 19 10. Možeš li razlomak 15 skratiti brojem 3? Objasni odgovor. 24 11. Možeš li razlomak 22 skratiti brojem 4? Objasni odgovor. 36 12. Do kraja skrati razlomke: a) 24, b) 28, 30 54
c) 63, 81
13. Zamijeni prirodnim brojem tako da tvrdnje budu istinite: = 1 , = 1 , a) = 1 , b) c) 24 2 24 3 24 4 38
d) 225 = 25. 729 81
d) 72. 90 d)
24
= 1. 4
14. Zamijeni prirodnim brojem tako da tvrdnje budu istinite: = 4 , = 3 , = 11 , a) b) c) 72 9 72 36 72 8
d)
15. Zamijeni prirodnim brojem, tako da tvrdnje budu istinite: 18 = 3 = 3 , a) 3 = , b) c) , 4 4 16 100 4
d)
16. Zamijeni prirodnim brojem, tako da tvrdnje budu istinite: 4 = 64 72 = 12 = 7 , a) , b) , c) 11 19 32 8
d)
72
= 5. 6
36 = 3 . 4
25
= 105. 125
17. Zamijeni i prirodnim brojem, tako da tvrdnje budu istinite: 2 5 35 = = 24 , a) = b) = , 3 12 8 112 15 = = 42 120 = = 48 . , d) c) 100 40 15 60 18. Do kraja skrati razlomke: 35 56 a) , b) , 49 96
c) 64 , 120
d) 144. 256
19. Do kraja skrati razlomke: a) 225, b) 212, 550 471
c) 564, 711
d) 230. 506
20. Do kraja skrati razlomke: 35 32 a) , b) , 45 96
c) 96 , 100
d) 164. 656
21. Svedi razlomke na najmanji zajednički nazivnik: a) 2 i 5 , b) 3 i 5 , c) 5 i 3 , d) 7 i 3 , 3 7 4 8 6 5 12 4 5 9 7 9 8 11 7 i , i , f) g) h) 7 i . e) i , 18 12 20 30 9 10 6 18 22. Budući da je 1 dan = 24 sata, odgovori koliko je sati 5 a) 2 dana, b) dana, c) 7 dana, d) 5 dana? 6 3 8 12 23. Budući da je 1 sat = 60 minuta, odgovori koliko je minuta a) 2 sata, b) 4 sata, c) 5 sata, d) 7 sata? 3 5 6 12 24. Budući da je 1 kuna = 100 lipa, odgovori koliko je lipa a) 3 kune, b) 4 kune, c) 18 kune, d) 11 kune? 4 5 25 20 25. Budući da je 1 kg = 1 000 g, odgovori koliko je grama a) 1 kg, b) 3 kg, c) 4 kg, d) 7 kg? 2 4 5 10 26. Koliki je dio dana a) 3 sata, b) 6 sati,
c) 18 sati,
d) 20 sati?
39
Zadatci
27. Koliki je dio sata a) 15 minuta, b) 20 minuta, c) 35 minuta, d) 48 minuta?
28. Koliki je dio kilometra a) 125 m, b) 250 m,
c) 450 m,
d) 600 m?
29. Tihi ocean prekriva 3 Zemljine površine dok Indijski ocean prekriva 1 ukupne 8 8 površine. Koji je ocean veći? 30. Gravitacijska sila različita je na različitim planetama Sunčeva sustava. Na Merkuru bi težio 7 zemaljske težine, na Marsu 19 , a na Veneri 17 . Na kojoj bi planeti bi tvoja 25 50 20 težina bila najmanja, a na kojoj najveća? 31. Ivan je 3 svojeg džeparca zaradio čuvajući sestru, a 1 pomažući pri kućanskim poslovima. 8 6 Je li Ivan zaradio više čuvajući sestru ili pomažući pri kućanskim poslovima? 32. Marija je riješila 5 od 9 zadataka iz matematike, a njezin brat 8 od 13 zadataka. Tko je od njih riješio veći dio svoje domaće zadaće? 33. Tin i Dolores gledaju atletiku - utrku na 100 metara za muškarce. Njihov najdraži atletičar najbrži je na prvih 75 metara. Tin zaključuje da je najbrže pretrčao tri četvrtine staze, dok Dolores tvrdi da je pretrčao 75 staze. Tko je od njih u pravu? Objasni. 100
34. Lana, Tiana, Ivo i Marko su bili na rođendanu. Svi su se dobro pogostili. Pogledaj na slici što su sve pojeli, pa to izrazi razlomkom.
35. U voćnjaku je zasađeno 150 voćaka. Ako na stabla trešnje otpada 1 zasađenih voćaka, 5 na marelice 1 , a ostatak su kruške i šljiva, koliko je kojih voćaka posađeno? 2 36. Svedi na najmanji zajednički nazivnik pa usporedi po veličini: a) 2 i 3 , b) 5 i 7 , c) 5 i 1 , d) 7 i 13 , 3 4 6 8 12 3 15 30 6 3 13 1 2 5 i , i , f) g) h) 9 i 11 . e) i , 15 10 18 6 16 20 2 13 37. Usporedi razlomke: a) 1 i 1 , b) 1 i 1 , 40 2 3 3 4
c) 3 i 1 , 4 8
7 d) 5 i . 8 24
38. Usporedi razlomke: a) 7 i 9 , b) 9 i 6 , 15 18 14 49
c) 11 i 1 , d) 5 i 14 . 24 72 36 93 39. Poredaj po veličini počevši od najmanjega: 7 , 2 , 2, 3 , 5 , 1, 1 4 , 11 . 9 9 9 9 9 9 6 6 6 6 6 40. Poredaj po veličini počevši od najmanjega: , , 1, , , 3, , 6 . 3 5 13 11 7 19 41. Neka građevinska kompanija gradila je dva stambena naselja. U prvom je sagradila 30 kuća od kojih je 17 bilo dvokatnica, a u drugom naselju 45 kuća od kojih je 16 bilo dvokatnica. Koje je naselje imalo veći udio dvokatnica? 42. Obitelj Trbavić od mjesečnog prihoda troši 1 za stan, 1 za grijanje, 8 12 2 za hranu i 1 na ostalo. Na što obitelj Trbavić najviše troši? 5 10 4 43. Brat ima , a sestra 5 očevih godina. Tko je stariji? 9 16
44. Ivo, Marko i Franjo trče školskim dvorištem. Nakon 20 minuta Ivo je pretrčao 5 , Marko 7 a Franjo 17 dvorišta. Tko je pretrčao najviše? 9 10 45 45. Lana, Tiana i Petra imaju jednake ušteđevine. Lana je potrošila 4 svoje ušteđevine, 9 Tiana 3 a Petra 25 ušteđevine. Koja je od njih potrošila najviše a koja najmanje? 8 36 46. Istraživanja su pokazala da 3 svih mačaka ima bijelu točkicu ispod vrata, da 17 svih 5 20 mačaka nije crno. Isto tako utvrđeno je da 3 mačke od njih 4 ne vole pse, te da polovina svih mačaka za ručak više voli ribu nego miša. Promatrajmo 100 mačaka. a) Koliko mačaka ne voli pse? b) Koliko mačaka nije crno? c) Koliko mačaka obožava ribu za ručak? d) Vole li ribice sve mačke koje nisu crne? 47. Maja od kuće do škole i nazad mora prijeći put od 1 km i 250 m. Ako je prešla 750 m, koliki je dio puta prešla? 48. Tri prijatelja idu pješice na izlet. Nakon 45 minuta hoda prvi je prešao 1 , drugi 4 a treći 3 9 2 puta do izletišta. Koji od njih je najbliže izletištu? 5
49. U jednoj su školi poslije sportskih natjecanja podijeljene pohvale. U 6.a je od 28 učenika pohvaljeno 8, u 6.b je od 27 učenika pohvaljeno 7, a u 6.c je od 32 učenika pohvaljeno 9. a) Za svaki razred izrazi razlomkom udio pohvaljenih u ukupnom broju učenika? b) U kojem je razredu bio najveći udio pohvaljenih, a u kojem najveći udio nepohvaljenih?
41
Zadatci
50. Koji su brojevi pridruženi istaknutim točkama na slikama? a)
b)
c)
51. Tiana je listajući Kupusov list, novine svoga tate, naišla na zgodan podatak o broju automobila na 1 000 stanovnika.
a) Koja zemlja ima najviše automobila na 1 000 stanovnika?
b) Koja zemlja ima najmanje automobila na 1 000 stanovnika?
c) Poredaj zemlje po broju automobila (počni od najmanjeg broja).
52. Listajući iste novine Lana je došla do podataka o broju mobitela na 1 000 stanovnika.
a) Koja zemlja ima najviše mobitela na 1 000 stanovnika? b) Koja zemlja ima najmanje mobitela na 1 000 stanovnika? c) Poredaj zemlje po broju mobitela (počni od najvećeg broja).
53. Jesu li sljedeće tvrdnje istinite? Objasni odgovor. a) 9 je manje od 1 ; 16 2 42 b) ako su brojnik i nazivnik razlomka jednaki, razlomak je jednak 1;
c) ako je nazivnik razlomka dva puta manji od brojnika, razlomak je jednak 1 ; 2 d) ako se nazivniku razlomka doda 1, tada se vrijednost razlomka poveća. 54. Precrtaj brojevni pravac u bilježnicu. Znak ? zamijeni odgovarajućim prirodnim brojem: a)
b)
55. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima 1 , 3 , 4 , 6 , 9 . 5 5 5 5 5 56. Na brojevnom pravcu prikaži točke koje su pridružene razlomcima 1 , 2 , 4 , 8 , 11 . 6 6 6 6 6 57. Kako ćeš najlakše na brojevnom pravcu prikazati točku pridruženu razlomku 17 ? 3 58. a) Nacrtaj brojevni pravac i na njemu označi 1 , 2 , 3 i 5 . 4 4 4 4 b) Nacrtaj brojevni pravac i na njemu označi 1 , 2 i 3 . 2 3 4 4 c) Nacrtaj brojevni pravac i na njemu označi , 1 , 1 i 2 . 5 2 4 5 59. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni: x
0
y
1 2
1 5
2 3
0.25
5 6 3 8
3 4 4 5
2.5
x+y 60. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni: x
0
y
21
3 1 2
1 5
1.25
1.5 1
2 3
3 4 4 3 5
5
5 6 3 1 8 1
x+y 61. Lanina je majka na tržnici kupila 2 kg trešanja i 3 kg ribizla. 3 4 Kolika je ukupna masa kupljenog voća?
43
Zadatci
62. Petra ima 13 4 godina. Njezina sestra je 3 1 godine starija. Koliko godina ima Petrina 5 3 sestra? 63. Koji broj je za 9 3 veći od broja 12 5 ? 7 6 64. Broj 6 prikaži kao zbroj dvaju razlomaka: a) tako da su oba razlomka jednaka, b) tako da je jedan razlomak za 1 1 veći od drugoga. 4 65. Dovrši magični kvadrat ako je magični zbroj 3 3 . 4
66. Dopuni magične kvadrate: a)
b)
67. Dopuni magični kvadrat:
68. Zbroj brojeva 3 4 i 2 5 uvećaj za zbroj brojeva 8 i 1 2 . 5 7 3 9 69. Koliki je zbroj triju brojeva ako je prvi među njima 2 3 , a svaki sljedeći je za 1 2 veći 4 3 od broja koji mu je prethodio? 70. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni: a b
44
a–b
3 4 4 2 5 6
2 5 4 3 7
10
3 4 1 1 3 5
2 9 1 2 6 5
2
1 15 1 6
71. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni: x
4 9 2 5 45
3
1 6
5 6
3 4
2
y x+y
4
0.5
1.5 6
3
3 7
2
7
3 4
3
1
5 8
5 12
72. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni: a b
7 12 1 2 6
3
a–b
1 12 11 4 36
2
6
5 18 1 6
73. Izračunaj: a) 2 + 4 – 4 , 3 5 7 c) 3 7 + 2 4 – 4 16 , 15 5 25
b) 2 3 + 4 5 – 6 6 , 8 12 9 d) 2 13 + 3 7 – 5 25 . 36 48 72
74. Izračunaj: a) 12 6 – 3 4 + 2 4 , 35 7 5 c) 3 1 + 4 5 – 6 1 , 8 12 6
b) 6 – 1 7 + 4 5 , 12 24 d) 6 – 4 5 + 2 7 . 8 24
5 12 3 1 8
75. Izračunaj na najjednostavniji način: a) 2 1 + 5 + 2 , b) 1 + 3 + 9 , 5 4 5 3 7 3 9 4 1 3 c) 2 + d) 3 + 1 – 2 . + , 10 2 5 3 11 6
76. U trgovini tkaninama Platnic redom su odrezani komadi platna duljine 5 3 m, 4 2 m, 4 3 1 4 50 dm platna, kolika je bila ukupna duljina platna prije 3 m i 6 m. Ako je ostalo 2 5 6 rezanja?
77. Gospodin Zemljić prodaje gradilišta. Površina prvog gradilišta bila je 200 2 m2. 5 Drugo je gradilište za 40 8 m2 veće od prvoga. Treće je gradilište 65 2 m2 manje od 25 10 drugoga. Četvrto je gradilište za 30 8 m2 veće od prvog i drugog gradilišta zajedno. 50 a) Kolika je površina svakog gradilišta? b) Ako je ukupna površina bila 1095 1 m2, je li gospodinu Zemljiću ostalo još gradilišta 2 za prodaju? Koliko?
45
Zadatci
78. U neki bazen utjeÄ?e voda kroz dvije cijevi. Kroz prvu cijev utjeÄ?e 145 5 7 l, a kroz drugu 165 3 l vode na sat. U bazenu se nalazi 45 13 litara 8 56 vode. Koliko Ä&#x2021;e vode biti u bazenu nakon 1 sata ako: a) je otvorena samo prva cijev, b) je otvorena samo druga cijev, c) su otvorene obje cijevi. 79. Koliko je a) 2 od 24, 3
b) 4 od 25, 5
c) 3 od 20, 4
d) 5 od 36? 6
80. Koliko je a) 1 od 28, 4
b) 3 od 32, 8
c) 5 od 98, 7
d) 6 od 1211? 11
81. Koliko je lipa a) 1 kune, 2
b) 1 kune, 10
c) 1 kune, 25
d) 15 kune? 25
82. Koliko je centimetara a) 1 m, b) 2 m, 4 3
c) 3 m, 10
d) 13 m? 20
83. Koliko je grama a) 1 kg, 2
b) 1 kg, 4
c) 3 kg, 8
d) 8 kg? 25
84. Koliko je sati a) 1 dana, 8
b) 5 dana, 8
c) 1 dana, 12
d) 9 dana? 24
85. Koliko je minuta a) 1 sata, 2
b) 2 sata, 3
c) 1 sata, 4
d) 3 sata? 4
86. Koliko je minuta a) 1 sata, 5
b) 5 sata, 6
c) 1 sata, 15
d) 13 sata? 30
87. Koliko je sekundi a) 1 minute, 2
b) 1 minute, 4
c) 3 minute, 4
d) 1 minute? 6
88. Koliko je stupnjeva a) 1 , b) 2 , 2 3
c) 3 , 4
d) 1 pravog kuta? 6
89. Koliko je stupnjeva a) 1 , b) 3 , 46 3 4
c) 2 , 9
d) 7 ispruĹženog kuta? 18
90. Koliko je stupnjeva a) 1 , b) 5 , 6 9
c) 11, 18
d) 25 punog kuta? 36
91. Zbroj razlomaka 3 i 8 pomnoži brojem 12. 4 9 92. Razliku razlomaka 7 i 1 pomnoži brojem 24. 8 9 93. Automobil prosječno troši 7 4 l benzina na 100 km. 5 a) Koliko će benzina potrošiti na putu od 350 km? b) Koliki put može prijeći s 3 3 l benzina? 5 94. Skrati do kraja razlomke i onda ih pomnoži. a) 24 . 30, b) 22 . 25, c) 0 . 38, 36 12 10 66 19 76
d) 128 . 81. 162 64
95. Skrati do kraja razlomke i onda ih pomnoži. a) 8 . 15, b) 50 . 7 , c) 92 . 18, 70 40 105 45 114 46
d) 125 . 81 . 540 225
96. Skrati do kraja razlomke i onda ih pomnoži. a) 7 . 20 . 12, b) 8 . 35 . 12, c) 68 . 55 . 33, 24 42 15 15 48 18 121 60 34
d) 143 . 24 . 32. 52 96 88
97. Izračunaj: a) 2 4 + 2 . 1 , 5 5 2
5 3 d) 1 4 . 5 – . . 5 6 6 4
b) 1 1 – 1 . 3 , 3 3 4
c) 3 . 1 2 + 3 . 2 1 , 6 4 3 4
98. Od zbroja razlomaka 1 i 1 oduzmi njihov umnožak. 3 4 99. Od 1 kg brašna dobije se 1 1 kg kruha. 5 Koliko će se kruha dobiti od 200 1 kg brašna? 4 100. Broj nogu grupe od 7 ljudi jednak je 1 nogu stonoge. 10 Koliko nogu ima stonoga? 101. Mačka prosječno živi 15 godina. Koliko prosječno živi pas, ako doživi 4 mačjih godina? 5 102. Gospođa Krimić voli čitati kriminalističke romane. Pročitala je 6 romana Agathe Christie. a) Koliko je romana napisala A. Christie, ako je gospođa Krimić pročitala 1 ukupnog 13 broja? b) Prijateljica gospođe Krimić, gospođa Ljubić voli čitati ljubavne romane. Ona je pročitala 3 1 puta više knjiga nego njezina prijateljica. Koliko? 3
47
Zadatci
103. Brzomljac sudjeluje u natjecanju Njami hot dog? Za jedan hot dog treba mu 2 2 sekunde. 15 Brzomljac je pobijedio.
Koliko mu je vremena bilo potrebno da pojede 45 hot dogova? 104. Ako mjesec ima 4 tjedna, koji dio čine 3 tjedna u 3 mjeseca?
105. Lana i Tiana imaju 1 ukupnog broja očiju škorpiona. Koliko očiju ima škorpion? 3 106. Ako neko tijelo u sekundi prijeđe 5 3 m, koliko će prijeći u 20 sekundi? 4 107. Kada je biciklist prešao 25 km, prešao je 3 čitavog puta. 5 a) Koliko je dugača čitavi put? b) Koliko još kilometara treba prijeći? 108. Ivo, Lana i Tiana uživaju u picama. Ivo je pojeo 1 1 pice, Tiana je pojela jednako 4 koliko i Ivo. Njih je dvoje zajedno pojelo pola više nego Lana. a) Koliko je pice pojela Tiana, a koliko Lana? b) Koliko su pojeli zajedno? 109. U trgovini je kupljeno 10 jednakih malih bilježnica i jedna velika bilježnica po cijeni 10 3 kune. Ako je ukupno plaćeno 26 3 kuna, kolika je cijena malih bilježnica? 4 8
110. Lanina majka peče kolač. Prema originalnom receptu u kolač treba staviti 3 1 šalice čokolade u prahu. 4 a) Lanina je majka u smjesu stavila 1 3 šalice čokolade u 5 prahu. Koliko još mora staviti? b) Ako je Lanina majka udvostručila sve sastojke kolača, koliko šalica čokolade u prahu mora staviti u kolač?
111. Trgovina Žito prodaje brašno. Na skladištu ima 1 800 kg brašna. Prvi je dan prodala 1 te količine, drugi dan 1 količine prodane prvoga dana, a treći dan 1 količine više 5 6 4 nego prvi i drugi dan zajedno. Četvrti je dan prodala ostatak. a) Koliko je brašna prodano po danima? b) Ako se 1 kg brašna prodaje po 2 1 kune, koliko je novaca trgovina Žito zaradila 4 pojedinog dana, a koliko ukupno?
48
112. Površina obradivog zemljišta iznosi 305 016 km2. Od toga je 1 površine šuma, 3 3 8 površine su polja suncokreta, a ostatak su vinogradi. a) Kolika je površina šume? b) Kolika je površina polja suncokreta? c) Kolika je površina vinograda?
113. U skladištu Betonko je 125 65 t cementa. Svaki se dan troši 4 14 t. Koliko će tona 100 25 cementa biti u skladištu: a) nakon 7 dana, b) nakon 15 dana? 114. Zimski spavači u jesen traže mjesta na kojima će biti zaštićeni od velike hladnoće. Traže šuplja stabla, rupe u zemlji i sl., pa ih oblažu sijenom, lišćem, dlakom i drugim sličnim materijalima. U tako opremljenim skloništima životinje sklupčanih tijela i zatvorenih očiju provode zimu u stanju tzv. “ukočenosti”. Pri tome se njihova temperatura smanjuje, otkucaji srca su usporeni, a osjetljivost na vanjske podražaje vrlo je mala.
a) Poznato je da velika spavalica puh spava 6 mjeseci. Koliko dugo spava jež, ako spava 1 vremena puha? 2 b) Sviscu se temperatura za vrijeme spavanja spusti na 7 °C.
Kolika je bila njegova temperatura prije spavanja ako je tada 5 4 puta veća od temperature za vrijeme spavanja? 7 c) Broj otkucaja srca svisca prije spavanja je 100. Koliki je broj otkucaja srca svisca za vrijeme spavanja, ako je jednak 1 broja otkucaja prije spavanja? 25
115. a) Ako je 1 l = 1 000 ml, izračunaj koliko bi mililitara bilo 1 l, 1 l? 2 4 b) Koliki je dio litre 25 ml, 100 ml, 250 ml? c) Ako se u vrču nalazi litra tekućine, njezina je visina jednaka 120 mm. Kolika bi bila visi na 3 l, 4 l, 5 l, 7 l te tekućine? 4 5 6 8 116. Koktel Hladno ljeto sadržava 1 soka od višnje, 5 min4 8 eralne vode i 1 soka crvenog grejpa. Budući da je gužva, 8 barmen želi odmah izmiješati koktel i rashladiti ga. Koliko soka od višnje, mineralne vode i soka crvenog grejpa treba pomiješati da bi dobio a) 4 l , b) 12 l koktela Hladno ljeto? 117. Koji je broj 8 puta manji od broja 40 ? 39 118. Ana je za 5 sati prešla put dugačak 25 3 km. Koliko je prosječno prelazila u svakome satu? 5 119. Opseg kvadrata jednak je 64 7 dm. Kolika je njegova površina? 8
49
Zadatci
120. Kojim brojem treba pomnožiti 3 4 da se dobije 72 12 ? 5 25 121. Precrtaj tablicu u bilježnicu pa je ispuni: a b (a + b) : a . b
2 3 4 5
1 2 1 3
1 6 1 8
1 4 2 3
122. Zamijeni
a)
odgovarajućim razlomkom: :3= 4, b) : 11 = 11 , c) : 4 = 6 2 , 3 5 21
3 5 4 9
: 4 4 = 3. 5
d)
123. Zamijeni odgovarajućim razlomkom: a) 7 . = 1 , b) 4 . = 1 3 , c) 1 3 . = 3 , d) 3 3 . = 2 7 . 2 4 . 8 4 4 4 8 14 5 4 1 124. Ako se od 1 kg brašna dobije 1 kg kruha. Koliko je brašna potrebno da se dobije 5 3 100 kg kruha? 4 125. Tvornica bombona Slatki gric proizvela je u jednom danu 425 1 kg bombona. 2 Bomboni se pakiraju u vrećice od 25 dkg. Koliko se dnevno vrećica bombona pakira u tvornici Slatki gric? 126. Za koliko je umnožak razlomaka 4 3 i 3 5 veći od 5 6 a) njihova zbroja, b) njihove razlike?
50
127. Od kojeg broja je a) 1 jednaka 8, b) 1 jednaka 25, 2 3
c) 1 jednaka 11, 7
128. Od kojeg broja je a) 2 jednako 5, b) 3 jednako 10, 3 4
c) 2 jednako 15, 7
d) 1 jednaka 12. 9 d) 5 jednako 15. 12
129. Izračunaj: a) 1 : 2, 3
b) 14 : 7, 35
c) 1 : 14, 7
130. Izračunaj: a) 2 : 5 , 3 6
b) 3 : 12 , 35 49
c) 1 2 : 3 , 7 14
d) 2 2 : 9 . 3 32
131. Izračunaj: a) 3 : 1 1 , 4 2
b) 5 : 2 1 , 4 8
c) 1 2 : 1 1 , 3 6
d) 3 1 : 1 1 . 5 3
d) 6 2 : 16. 7
132. Izračunaj: a) 2 + 4 : 1 , 5 5 3
5 3 5 4 c) 8 . 3 + : , d) 5 . 1 1 – : . 9 4 6 3 8 15 8 4 133. Iz nekog izvora svaki sat istječe 320 6 l vode. Koliko vode istječe 7 a) u jednoj minuti, b) u jednoj sekundi? b) 1 1 – 2 : 6, 3 5
134. Voćar ima 175 1 kg marelica koje želi ravnomjerno složiti u 9 jednakih sanduka. 2 Koliko kilograma marelica može staviti u svaki sanduk?
135. Gospođa Pekmezac voli voće. U svom je vrtu nabrala 4 1 kg 2 borovnica, 5 3 kg trešanja, 1 4 kg malina i 2 5 kg ribizla. 4 5 7 a) Koliko je voća ukupno nabrala gospođa Pekmezac? b) Odlučila je voće spremiti u hladnjak, u vrećice od 75 dag. Koliko vrećica mora pripremiti?
136. Vrt ima oblik pravokutnika, duljine 35 3 m i širine 20 1 m. 4 2 a) Kolika je površina vrta? b) Ako vrtlar prekopa 12 m2 vrta na sat, koliko će mu trebati vremena da prekopa čitav vrt? 137. Određenu udaljenost vozeći se skuterom prevalimo za 3 sata. Ako je skuter 9 1 puta 2 4 brži od čamca na vesla, koliko bi nam vremena trebalo da prevalimo istu duljinu puta veslajući? 138. U restoranu Kod junca otkrili su nam recept specijaliteta kuće:
Juneći-rugave 1 4 1 8 1 3 1 2 1 8
kg junetine
kg svinjetine
kg krumpira
kg crvenog luka
kg peršina
1 kg celera 8 3 kg kopra 25 1 kg brašna 25 1 l temeljca 4 3 l vrhnja za kuhanje 4
soli, papra po ukusu
Ako je to recept za 4 osobe, koliko kojih sastojaka moramo uzeti za pripremanje obroka za a) 6 osoba, b) 2 osobe?
51
Zadatci
139. Maškuconi su najdraži Tianini kolačići. Prema sljedećem receptu možemo dobiti 30 kolačića. Koliko je pojedinog sastojka potrebno za a) 1 kolačić, b) 60 kolačića, ako recept glasi:
Maškuconi 20 1 dag maslaca 4 1 20 dag šećera 4 20 1 dag mljevenih badema 4
1 cijelo jaje
naribana korica 1 limuna 4 1 dag muškatnog oraščića 25
2 1 dcl ruma 2 1 dag cimeta 25 1 dag vanili šećera 25 20 1 dag brašna 4 1 10 dag mrvica (prezla) 4 1 žumance
140. Lana i Tiana idu u trgovinu sa svojim ocem. Prešli su 100 m. Otac je napravio 92 koraka, Lana 175 a Tiana 160 koraka. a) Koliko su dugi koraci oca, Tiane i Lane? b) Ako su prešli 1 puta do trgovine, koliki još put moraju prijeći? 4 c) Koliko koraka na tom putu mora načiniti svatko od njih? 141. Francuski fizičar René – Antoine Ferchault de Réaumur (1683. – 1757.) mjerio je temperaturu u stupnjevima Réaumura kao razliku između točke ledišta i vrenja vode. Njegova skala ima 80 °R, pri čemu je 0 °R = 0 °C, ali 80 °R = 100 °C.
a) Koje temperature u stupnjevima Réaumura odgovaraju 1 °C, 10 °C, 32 °C, 48 °C i 75 °C?
b) Izračunaj koliko stupnjeva Celzijusa sadrži 1 °R, 8 °R, 32 °R, 48 °R i 64 °R?
142. U prvome satu Blanka je prešla 4 1 km, a u drugom 1 3 km više nego u prvom satu, 4 5 a u trećem satu dva puta manje nego u prva dva sata zajedno. a) Koliko je prešla u drugom satu? b) Koliko je prešla u trećem satu? c) Koliko je ukupno prešla u ta tri sata? 143. Prvi je stol dugačak 1 4 m, a drugi je 1 m kraći od prvoga. Širina obaju stolova je 70 cm. 5 4 a) Kolika je duljina drugog stola? b) Stave li se stolovi jedan do drugoga, kolika je njihova ukupna duljina? c) Koliko najviše osoba može sjesti oko spojenih stolova ako se za jednu osobu predviđa 52 najmanje 65 cm širine stola?
144. Slavica je ubrala 4 1 kg jabuka, Marta 3 kg više od Slavice, Petra dvostruko više od 5 4 Marte, a Iva dva puta manje nego Slavica i Marta zajedno. a) Koliko je jabuka ubrala Marta, koliko Petra, a koliko Iva? b) Koliko su jabuka ubrale sve četiri djevojčice zajedno? 145. Na slici je prikazano zemljište obitelji Livadić. a) Koliko metara žice treba kupiti za ogradu oko njihova zemljišta? b) Slobodni dio dvorišta žele zasijati travom. Koliku će površinu zasijati?
146. Matija je kupio je sunčane naočale, novčanik i čokoladu. Na sunčane naočale je potrošio 1 novca koji je ponio sa sobom, na novčanik 1 ostatka, a na čokoladu preostalih 8 kn. 3 2 Koliko je novca ponio sa sobom? Koliko je platio naočale,a koliko novčanik?
147. U skladištu je bilo 124 1 tona ugljena. Prvoga dana odvezena je 1 ukupne količine. 2 3 Drugoga dana prodano je za 7 1 tona više nego prvoga dana. Trećega dana prodano je 4 46.5 tona manje nego u prva dva dana zajedno. a) Koliko je tona ugljena prodano drugog dana? b) Koliko je tona ugljena prodano trećeg dana? c) Koliko je tona ugljena odvezeno sa skladišta? d) Koliko je tona ostalo na skladištu nakon ta tri dana? 148. Grafikon na slici prikazuje broj kućnih ljubimaca učenika jedne škole: a) Koliko ukupno kućnih ljubimaca imaju učenici te škole? b) 7 ukupnog broja ptica su kanarinci. 16 Koliko učenika ima kanarinaca? c) 1 mačaka su sijamske. Koliko sijam6 skih mačaka imaju ti učenici? d) 2 pasa su njemački ovčari. Koliko je 5 pasa drugih pasmina? e) 3 ribica su crvene boje. Koliko ribica 4 nije crvene boje? f) 1 ostalih ljubimaca su kornjače. Koliko učenika ima kornjaču? 2 g) Učenici viših razreda imaju ukupnog broja mačaka i 7 ukupnog broja pasa. 10 Koliko mačaka i pasa ukupno imaju učenici viših razreda?
53