matematika za 8. razred

2. TROKUT 1. Kutovi uz presječnicu usporednih pravaca 2. Kutovi s usporednim i okomitim kracima 3. Trokut, odnos stranica i kutova trokuta 4. Zbroj kutova trokuta 5. Simetrala kuta 6. Konstrukcija kutova od 60°, 30°, 90°, 45° 7. Sukladnost trokuta 8. Tri osnovne konstrukcije trokuta 9. Površina trokuta Potrebno predznanje Treba znati što je dužina, pravac, polupravac, ravnina, krajnja točka dužine, početna točka polupravca, simetrala dužine te znati crtati navedene objekte.

Također treba znati što je kut, kako ga mjerimo i kako ga crtamo, što su sukuti i vršni kutovi te koja su njihova svojstva.

Nužno je posjedovati osnovno znanje o trokutu te znati mjerne jedinice duljine i površine i njihovo pretvaranje.

Najava cilja U ovoj ćemo nastavnoj cjelini naučiti što je presječnica i upoznat ćemo kutove uz presječnicu te kutove s okomitim kracima. Znanje o trokutu proširit ćemo istraživanjem o odnosu kutova i stranica u trokutu, zbrojem veličina kutova u trokutu, a nakon što naučimo konstruirati simetralu kuta i konstrukcije nekih kutova, konstruirat ćemo trokute. Također ćemo naučiti kada su dva trokuta sukladna te kako računamo površinu trokuta. Radi urednijega i preciznijeg crtanja, u radu ćemo osim trokuta i šestara rabiti računala i računalni program The Geometer’s Sketchpad.

1. Kutovi uz presječnicu usporednih pravaca Nacrtane su dvije usporedne ceste, a i b, i treća cesta t koja ih presijeca.

Ako cesta t s cestom a zatvara kut od 25°, koliki kut zatvara cesta t s cestom b? Objasni.

L23 – L25

Kutove na prvoj slici zovemo izmjeničnim kutovima uz presječnicu. Oni su međusobno jednaki.

Presječnica ili transverzala para usporednih pravaca svaki je pravac koji siječe te pravce. Pri tome nastaje osam kutova, od kojih su, u općem slučaju, četiri tupa, a četiri šiljasta:

Svi su šiljasti kutovi uz presječnicu međusobno jednake veličine.

Svi su tupi kutovi uz presječnicu međusobno jednake veličine.

Svaki tupi i svaki šiljasti kut uz presječnicu zajedno čine ispruženi kut, (tj. zbroj veličina im je 180°). Pišemo a + b = 180o.

Primjeri Pravci a i b međusobno su usporedni, a pravac c je njihova presječnica. Odredimo veličinu nepoznatih kutova na slici: a) b)

Primjer 1.

Kutove na drugoj slici zovemo odgovarajućim kutovima uz presječnicu. Oni su međusobno jednaki.

Kutove na trećoj slici zovemo unutarnjim kutovima uz presječnicu. Oni su suplementarni, tj. a + b = 180°.

56

Rješenje: a) Svi su tupi kutovi uz presječnicu jednaki 135°, dakle b = d = 135°. Svi su šiljasti kutovi na slici međusobno jednaki.

Njihova je veličina 180° – 135° = 45°. Dakle, a = g = 45°. b) Svi su šiljasti kutovi uz presječnicu jednaki 52°, dakle b = g = 52°.

Svi su tupi kutovi na slici međusobno jednaki. Njihova je veličina 180° – 52° = 128°. Dakle, a = d = 128°.

Primjer 2. Pravci a i b međusobno su usporedni, a pravci c i d njihove su presječnice. Odredi veličinu nepoznatih kutova na slici:

Rješenje: Uz presječnicu c svi su šiljasti kutovi veličine 32°, dok su svi tupi kutovi uz tu presječnicu veličine 180° – 32° = 148°. Zato je a = g = 32° i b = 148°.

Uz presječnicu d svi su tupi kutovi veličine 125°, a svi šiljasti kutovi uz tu presječnicu veličine 180 – 125 = 55. Zato je d = e = 55°.

Preostaje odrediti veličinu kuta j. Uočite da vršni kut toga kuta, zajedno s kutovima g i e čini ispruženi kut.

Zato je j = 180° – (32° + 55°) = 93°

Kutovi uz presječnicu

1. Pravci a i b međusobno su usporedni, a pravac c je njihova presječnice.

Odredi veličinu nepoznatih kutova na slici: a) b)

2. Pravci a i b međusobno su usporedni, a usporedni pravci c i d njihove su presječnice. Odredi veličinu nepoznatih kutova na slici:

L26

KLJUČNI POJMOVI 1. Što je kut?

2. Što je presječnica?

• kut • presječnica ili transverzala

3. Koje svojstvo imaju šiljasti kutovi uz presječnicu?

4. Koje svojstvo imaju tupi kutovi uz presječnicu?

5. Veličina šiljastog kuta uz presječnicu je 55°. Kolika je veličina tupog kuta uz tu presječnicu?

57

2 . Kutovi s usporednim i okomitim kracima Promotri sliku: U kakvom su međusobnu položaju kraci kuta ABC i kuta ADC ?

Usporedi veličine tih dvaju kutova.

U kakvom su međusobnu položaju kraci kuta ABC i kuta BCD ?

Usporedi veličine tih dvaju kutova.

Pravci a i a1 na prvoj su slici međusobno usporedni, dok su usporedni pravci b i b1 njihove presječnice. Poznato vam je da su svi šiljasti kutovi uz istu presječnicu međusobno jednaki te da su svi tupi kutovi uz istu presječnicu međusobno jednaki. (Na drugoj su slici kutovi jednake veličine označeni istom bojom.)

No, možemo razmišljati i drukčije: pravci b i b1 na slici međusobno su usporedni, a pravac a je njihova presječnica pa su svi šiljasti kutovi uz presječnicu a međusobno jednaki (treća slika). Pravac a1 također je presječnica para usporednih pravaca b i b1, pa su svi šiljasti kutovi uz presječnicu a1 također međusobno jednaki (četvrta slika).

Uočimo na slici kutove aVb i a1V1b1 te ih istaknimo:

a II a 1 b II a 1 IÐaVb I = IÐa1V1b1I

Njihovi kraci pripadaju međusobno usporednim pravcima, kutovi su iste vrste i međusobno su jednaki po veličini.

Slično, uočimo i istaknimo kutove aMb1 i a1Lb:

a II a 1 b II b 1 IÐaMb1 I = IÐa1Lb I = 180o

Njihovi kraci pripadaju međusobno usporednim pravcima, kutovi su različitih vrsta, a zajedno daju ispruženi kut (suplementarni su).

58

Za dva kuta s međusobno usporednim kracima vrijedi jedna od tvrdnji: - ako su oba kuta iste vrste (oba šiljasta ili oba tupa), ti su kutovi jednake veličine - ako su kutovi različitih vrsta (jedan šiljasti, drugi tupi), ti su kutovi suplementarni

Primjeri Primjer 1.

Nacrtajmo dva šiljasta kuta s međusobno usporednim kracima ako ti kutovi: a) imaju zajednički vrh, b) nemaju zajednički vrh.

Rješenje: Za rješavanje tog i sličnih zadataka dobro je nacrtati dva para međusobno usporednih pravaca i na njima istaknuti rješenje. a) b) b1

b

Primjer 2.

Kutovi a i b imaju međusobno usporedne krakove. Ako je veličina kuta a = 44°, odredimo veličinu kuta b.

a a1 Ako je a ^ b, onda su svi kutovi pravi.

Rješenje: Zadatak ima dva rješenja:

a) Ako su kutovi iste vrste, onda je b = a = 44°.

b) Ako kutovi nisu iste vrste, onda je b = 180° – a = 136°.

1. Pravci a i b na slikama međusobno su usporedni. Odredi veličine nepoznatih kutova: a) b)

c)

d)

Kutovi s usporednim i okomitim kracima

1. Dva šiljasta kuta imaju međusobno usporedne krakove. Što možeš reći o njihovim veličinama?

2. Dva tupa kuta imaju međusobno usporedne krakove. Što možeš reći o njihovim veličinama?

3. Šiljasti i tupi kut imaju međusobno usporedne krakove. Što možeš reći o njihovim veličinama?

59

Kutovi s usporednim i okomitim kracima

Paralelogram EFGH djelomično prekriva paralelogram ABCD (kao na slici).

U kakvom su međusobnu položaju kraci kuta ABC i kuta EFG ? Usporedi veličine tih dvaju kutova.

U kakvom su međusobnu položaju kraci kuta ABC i kuta HEF ? Usporedi veličine tih dvaju kutova.

Kraci kutova aVb i a1Vb1 na donjim slikama međusobno su okomiti. Pri tome su u prvom slučaju kutovi iste vrste (oba su kuta šiljasta), dok je u drugom slučaju jedan kut šiljasti, a drugi tupi. a) b)

a  a1 b  b1 a  a1, a + b = 90o b  b1, b + a1 = 90o IÐaVb I = IÐa1Vb1I

a + b + 2 . 90o = 360o a + b = 180o IÐaVb I = IÐa1Vb1I = 180o

a + a1

Neka kutovi aVb i a1V1b1 s međusobno okomitim kracima nemaju zajednički vrh. Ako su ti kutovi iste vrste, oni su međusobno jednake veličine. Ako su različitih vrsta, zajedno daju ispruženi kut (suplementarni su).

a  a1 b  b1 a = a1

Za dva kuta s okomitim kracima vrijedi jedna od tvrdnji: - ako su oba kuta iste vrste (oba šiljasta ili oba tupa), ti su kutovi jednake veličine - ako su kutovi različitih vrsta (jedan šiljasti, drugi tupi), ti kutovi zajedno čine ispruženi kut (suplementarni su).

60

a  a1 b  b1 a + b = 180o

Primjeri Primjer 3.

Nacrtajmo dva šiljasta kuta s međusobno okomitim kracima ako ti kutovi: a) imaju zajednički vrh, b) nemaju zajednički vrh.

Rješenje:

Primjer 4.

Kutovi a i b imaju međusobno okomite krakove. Ako je veličina kuta a = 103°, odredimo veličinu kuta b.

Rješenje: Zadatak ima dva rješenja:

a) Ako su kutovi iste vrste, onda je b = a = 103°.

b) Ako kutovi nisu iste vrste, onda je b = 180° – a = 77°.

2. Nacrtaj dva tupa kuta s međusobno okomitim kracima ako ti kutovi: a) imaju zajednički vrh, b) nemaju zajednički vrh.

3. Nacrtaj dva suplementarna kuta s okomitim kracima.

4. Kutovi a i b imaju međusobno okomite krakove. Ako je veličina kuta a = 63°, odredimo veličinu kuta b.

L27

KLJUČNI POJMOVI

1. Dva šiljasta kuta imaju međusobno okomite krakove. Što možeš reći o njihovim veličinama?

• kut • kutovi s usporednim kracima • kutovi s okomitim kracima

2. Dva tupa kuta imaju međusobno okomite krakove. Što možeš reći o njihovim veličinama?

3. Šiljasti i tupi kut imaju međusobno okomite krakove. Što možeš reći o njihovim veličinama?

61

3 . Trokut, odnos stranica i kutova trokuta Promotri slike. Koji od nacrtanih trokuta imaju neka zajednička svojstva?

L28

Podsjetimo se: Tri različite točke u ravnini A, B i C, koje ne pripadaju istome pravcu, određuju geometrijski lik koji nazivamo trokutom.

Opseg trokuta ABC je zbroj duljina svih njegovih stranica. Uz uobičajene oznake, opseg trokuta ABC računamo prema formuli o = a + b + c.

Točke A, B i C su vrhovi, dužine AB, BC i CA su stranice, a kutovi a = ÐCAB, b = ÐABC i g = ÐBCA su unutarnji kutovi trokuta. Trokut s vrhovima A, B i C označavamo DABC. Trokut DABC je dio ravnine omeđen dužinama AB, BC i CA, uključujući i točke tih dužina.

Primjer Primjer 1.

Prema duljinama stranica razlikujemo: RAZNOSTRANIČNI TROKUT- trokut kojega su sve stranice međusobno različite duljine.

Provjerite mjerenjem da je u ovom primjeru c > a > b i γ > a > b.

JEDNAKOKRAČNI TROKUT - trokut koji ima dvije stranice (krakove) jednakih duljina.

Provjerite mjerenjem da je u ovom primjeru a < b i a < b, b = c i b = g.

RAZNOSTRANIČNI TROKUT

JEDNAKOKRAČNI TROKUT

JEDNAKOSTRANIČNI TROKUT

62

JEDNAKOSTRANIČNI TROKUT - trokut koji ima sve stranice jednakih duljina.

Provjerite mjerenjem da je a = b = c i a = b = g = 60°.

Zaključujemo: Nasuprot većoj stranici trokuta nalazi se veći kut.

Nasuprot većem kutu trokuta nalazi se veća stranica.

Nasuprot stranicama jednakih duljina nalaze se kutovi jednakih veličina.

Nasuprot kutovima jednakih veličina nalaze se stranice jednakih duljina.

Primjeri ŠILJASTOKUTNI TROKUT

a < 90°, b < 90°, g < 90° PRAVOKUTNI TROKUT eta kat

a tet ka

Primjer 2.

Prema veličinama unutarnjih kutova razlikujemo: ŠILJASTOKUTNI TROKUT - trokut koji ima sva tri šiljasta kuta.

PRAVOKUTNI TROKUT - trokut koji ima jedan pravi kut, ostala dva su mu šiljasta. Stranice koje zatvaraju pravi kut zovemo katetama, najdulju stranicu zovemo hipotenuzom.

TUPOKUTNI TROKUT (trokut koji ima jedan tupi kut, ostala dva su mu šiljasta).

Primjer 3.

Bez mjerenja poredajmo po veličini kutove trokuta!

a) b)

hipotenuza

g = 90°, a < 90°, b < 90°

AC i BC su katete, AB je hipotenuza TUPOKUTNI TROKUT

Rješenje: a) Prema zadanim podatcima, zaključujemo da je a < b < c, pa je a < b < g. b) Prema zadanim podatcima (a = 0.24 dm = 24 mm, b = 2.9 cm = 29 mm, c = 32 mm), zaključujemo da je c < a < b, pa je g < a < b.

a > 90°, b < 90°, g < 90°

1. Nacrtaj trokut ABC, označi duljine njegovih stranica i veličine njegovih kutova.

2. Nacrtaj u bilježnicu neki trokut, izmjeri duljine njegovih stranica i izračunaj njegov opseg. Izmjeri veličine unutarnjih kutova tog trokuta.

3. Poredaj po veličini kutove trokuta.

L29 – L32

1. Kako se zovu stranice pravokutnog trokuta?

2. Kako se zovu stranice jednakokračnog trokuta?

3. Može li pravokutni trokut imati dva prava kuta?

4. Može li tupokutni trokut imati dva tupa kuta?

63

4 . Zbroj kutova trokuta

Nacrtaj na papiru neki trokut, oboji njegove unutarnje kutove različitim bojama i ucrtaj strjelice kao na slici. Izreži trokut i otkini mu kutove.

Složi otkinute dijelove tako da sve strjelice pokazuju prema istoj točki. Što primjećuješ? Uspredi s drugim učenicima u razredu. Imaju li svi jednaka zapažanja? Čemu je jednak zbroj kutova tog trokuta?

Promotrimo sliku:

Pravac DE usporedan je sa stranicom AB trokuta ABC. Budući da je pravac AC presječnica tog para usporednih pravaca, zaključujemo da je ÐACD = a.

Slično, pravac BC je presječnica istog para usporednih pravaca pa je ÐBCE = b.

Budući da je ÐDCA + ÐACB + ÐBCE = ÐDCE i ÐDCE = 180°, zaključujemo da u nacrtanom trokutu ABC vrijedi: a + b + g = 180°.

Opisani postupak možemo provesti za svaki trokut pa zaključak vrijedi za bilo koji trokut.

Zbroj veličina mjera unutarnjih kutova trokuta jednak je 180°.

Primjeri Primjer 1.

Izračunajmo veličinu nepoznatog kuta trokuta ABC ako je zadano: a) a = 25°, b = 74°; b) a = 105° 20’, g = 32° 15’; c) d)

Zbroj kutova u trokutu

Rješenje: a) Uvrstimo li zadane podatke u jednakost a + b + g = 180°, dobit ćemo 25° + 74° + g = 180°. Rješavanjem dobivamo redom:

g = 180° – (25° + 74°), ili 99° + g = 180°,

g = 180° – 99°, g = 180° – 99°,

g = 81°. g = 81°

64

b) Istim postupkom dobivamo: a + b + g = 180° 105° 20’ + b + 32° 15’ = 180° ili b = 180° – (105° 20’ + 32° 15’), b = 180° – 137° 35’, b = 42° 25’.

b + 137° 35’ = 180°, b = 180° – 137°35’, b = 42° 25’.

c) Iz a + 67° + 76° = 180° dobivamo: a = 180° – 143° = 37°.

d) Iz 129° + 30° + g = 180° dobivamo: g = 180° – 159° = 21°.

Primjer 2.

Poredajmo po veličini stranice trokuta: a) b) b<a<c a<g<b

Rješenje: U oba slučaja najprije trebamo izračunati veličinu trećeg kuta trokuta. a) g = 180° – (33° + 105°) = 42°.

Budući da se nasuprot većoj stranici trokuta nalazi veći kut, zaključujemo da zbog a < g < b slijedi a < c < b. b) g = 180° – (46° + 67°) = 67°.

U tom su trokutu dva kuta jednake veličine, što znači da su stranice nasuprot njima jednakih duljina. Dakle, riječ je o jednakokračnom trokutu s osnovicom duljine a, koja je najkraća stranica tog trokuta.

L33 Radoznali L34

1. Izračunaj veličinu nepoznatog kuta trokuta ABC ako je zadano: a) a = 43°, b = 65°; b) a = 75° 35’, g = 45° 25’; c) b = 29° 37’, g = 88° 33’; d) a = 71° 43’, g = 65° 56’.

2. Trokut ABC je jednakokračan s osnovicom BC. Izračunaj veličine ostalih kutova tog trokuta ako je: a) b = 52°, b) a = 65°, c) g = 45° 25’.

3. Nađi veličine (mjere) ostalih kutova: a) b)

KLJUČNI POJMOVI • trokut • kut • mjera (veličina) kuta

1. Koliki je zbroj veličina unutarnjih kutova trokuta?

2. Koliki je zbroj veličina šiljastih kutova pravokutnog trokuta?

3. Trokut ABC je jednakostraničan. Kolike su veličine kutova tog trokuta?

65

5 . Simetrala kuta

Promotri sliku: ÐZMA je prepolovljen dužinom MJ, a ÐAJZ dužinom JM. L35 – L38

Ako je veličina kuta ÐAJX = 28°, a kuta ÐZMA = 90°, izračunaj veličine kutova ÐXJZ, ÐAJZ i ÐXMA. Simetrala kuta je pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli taj kut na dva kuta jednakih veličina. Za kutove jednakih veličina kažemo da su sukladni.

Primjeri Primjer 1.

Pravac CV je simetrala kuta ÐAVB. Ako je veličina kuta AVB jednaka 70°, kolike su veličine kutova CVA i CVB ?

Rješenje: Budući da je ÐCVA = ÐCVB i ÐCVA = 1 ÐAVB , onda vrijedi 2 ÐCVA = 70° : 2 = 35° i ÐCVB = 35°.

Primjer 2.

Pravac s je simetrala kuta aVb. Ako je veličina kuta aVs jednaka 22° 25’, odredimo veličine ostalih kutova na slici.

Rješenje: Budući da je ÐaVs = ÐsVb i ÐaVs = 1 ÐaVb , onda vrijedi 2 ÐsVb = 22° 25' i ÐaVb = 2 · 22° 25' = 44° 50’.

Primjer 3.

66

Zadan je kut aVb. Konstruirajmo simetralu toga kuta.

Rješenje: Oko vrha zadanog kuta opišemo dio kružnice s odabranim polumjerom tako da taj dio kružnice siječe krakove kuta aVb redom u točkama A i B. Točke A i B su rubne točke dužine koja zajedno s vrhom kuta V određuje jednakokračni trokut ABV.

Konstruiramo li simetralu s osnovice AB trokuta ABV, uočit ćemo da ona prolazi vrhom V zadanog kuta. Taj je pravac simetrala zadanog kuta aVb.

Simetrala kuta

Uoči da pri konstruiranju nije nužno crtati AB (dovoljno je imati točke A i B na jednakoj udaljenosti od vrha kuta. Budući da simetrala kuta mora prolaziti njegovim vrhom, nije potrebno ni određivati dvije, nego samo jednu točku simetrale dužine AB. Niz slika pokazuje skraćeni postupak:

1. Nacrtaj jedan šiljasti kut i konstruiraj njegovu simetralu.

2. Nacrtaj jedan tupi kut i konstruiraj njegovu simetralu.

3. Pravac s je simetrala kuta aVb. Koliki je kut aVb ako je: b) ÐbVs = 47° 12’, c) ÐaVs = 51° 35’. a) ÐaVs = 38°, 4. Pravac s je simetrala kuta aVb. Koliki je kut aVs ako je: b) ÐaVb = 99°, c) ÐaVb = 104° 42’. a) ÐaVb = 56°,

1. Što je simetrala dužine?

2. Koje je svojstvo točaka koje pripadaju simetrali dužine?

3. Što je simetrala kuta?

4. Objasni konstrukciju simetrale kuta.

67

Simetrala kuta

igralište

škola ulaz

U školskom parku treba napraviti cvjetnu gredicu kružnog oblika. Gredica mora dodirivati dvije postojeće staze: prvu, koja od ulaza u dvorište vodi prema školi, i drugu, koja vodi prema igralištu. Gdje treba biti središte kružnice koja određuje tu gredicu?

Podsjetimo se: Simetrala kuta je pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli taj kut na dva sukladna dijela.

Odaberimo neku točku T koja se nalazi na simetrali s kuta aVb. Iz točke T nacrtajmo okomice na krakove kuta aVb, a njihova nožišta na kracima kuta aVb označimo A i B.

Konstruiramo li kružnicu sa središtem u točki T koja prolazi točkom A, ta će kružnica prolaziti i točkom B.

Upisana i opisana kružnica

Dakle: točka T koja pripada simetrali kuta aVb jednako je udaljena od krakova toga kuta.

Budući da smo točku T odabrali bilo gdje na simetrali kuta aVb, navedeno svojstvo vrijedi za svaku točku koja pripada simetrali kuta.

Primjeri Primjer 4.

68

Nacrtajmo neki tupi kut, a zatim konstruirajmo kružnicu koja dodiruje oba kraka nacrtanog kuta.

Rješenje: Središte te kružnice pripada simetrali nacrtanoga kuta.

Zato prvo konstruiramo simetralu nacrtanog kuta. Na toj simetrali odaberemo bilo koju točku S koja će biti središte kružnice koja dodiruje oba kraka kuta.

Središte trokutu opisane kružnice nalazi se u sjecištu simetrala njegovih stranica.

Iz točke S nacrtamo okomicu na bilo koji krak zadanoga kuta.

Tražena kružnica prolazi nožištem nacrtane okomice.

Primjer 5.

Nacrtajmo raznostranični trokut ABC, a zatim konstruirajmo kružnicu koja dodiruje sve tri stranice nacrtanog trokuta.

Rješenje: Središta svih kružnica koje dodiruju krakove kuta BAC trokuta ABC nalaze se na simetrali toga kuta. Središta svih kružnica koje dodiruju krakove kuta ABC trokuta ABC nalaze se na simetrali toga kuta.

Uočimo točku S u kojoj se sijeku simetrale kutova BAC i ABC. Ta je točka jednako udaljena od krakova obaju kutova, dakle, od svih triju stranica trokuta. Zato ona dodiruje sve tri stranice nacrtanog trokuta. Kažemo da je ta kružnica upisana trokutu.

5. Nacrtaj pravokutni trokut i upiši mu kružnicu.

6. Konstruiraj jednakostranični trokut sa stranicom duljine 35 mm.

Nacrtanom trokutu opiši i upiši kružnicu.

7. Nacrtaj jedan tupokutni jednakokračni trokut i upiši mu kužnicu.

L39

KLJUČNI POJMOVI • kut • simetrala kuta

1. Koje je svojstvo zajedničko svim točkama koje se nalaze na simetrali nekog kuta?

2. Kako nalazimo središte trokutu opisane kružnice?

3. Kako nalazimo središte trokutu upisane kružnice?

69

6. Konstrukcija kutova od 60°, 30°, 90°, 45°

Konstruiraj jednakostranični trokut sa stranicom duljine 3 cm. Konstruiraj simetralu jednoga kuta tog trokuta. Postoji li na slici kut veličine 60°?

A veličine 30°? Uočavaš li na slici još neke posebne kutove? Koje?

Primjer Pod pojmom (geometrijske) konstrukcije smatrat ćemo postupak u kojemu za dobivanje geometrijskog lika rabimo samo šestar i ravnalo.

Ostale ćemo postupke (u kojima rabimo još i par trokuta ili kutomjer) nazivati crtanjem.

Primjer 1.

Zadan je kut aVb. Konstruirajmo kut cV1d koji je jednake veličine kao zadani kut.

Rješenje: Oko točke V opišimo dio kružnice s po volji odabranim polumjerom tako da on siječe krakove zadanoga kuta (u točkama A i B). Oko točke V1 opišimo kružnicu k polumjera |VA|. Ta kružnica siječe zadani krak c u točki C.

Oko točke C opišimo kružnicu k1 s polumjerom |AB|. Kružnice k i k1 sijeku se u točki D. Drugi krak traženog kuta je polupravac V1D. Kažemo da smo kut aVb prenijeli u točku V1, tj. na polupravac c.

1. Zadani su kutovi aVb i cTd, kao na slici. Nacrtaj u svoju bilježnicu kutove jednakih veličina (prenesi svaki od tih kutova u po volji odabranu točku, tj. na po volji odabrani polupravac).

70

Pokatkad je u zadatcima potrebno konstruirati kut zadane veličine.

Naravno, neke je od njih vrlo jednostavno konstruirati, druge nešto teže, a neke je moguće nacrtati jedino koristeći se kutomjerom.

Primjer Primjer 2.

Konstruirajmo kut veličine 60°.

Rješenje: Budući da je zbroj veličina svih unutarnjih kutova trokuta jednak 180° i da jednakostranični trokut ima sve kutove jednakih veličina, zaključili smo da je unutarnji kut jednakostraničnog trokuta veličine 60°. Dakle, konstrukcija kuta veličine 60° svodi se na konstrukciju jednakostraničnog trokuta sa stranicom po volji odabrane duljine.

2. Konstruiraj kut od 60°, a zatim konstruiraj njegovu simetralu.

Primjeri Primjer 3.

Konstruirajmo kut veličine 30°.

Rješenje: Budući da je kut od 30° polovina kuta od 60°, konstruirat ćemo ga kao simetralu kuta veličine 60°.

Primjer 4.

Konstruirajmo kut veličine 120°.

Rješenje: I. način: Budući da je kut veličine 120° dvostruko veći od kuta veličine 60°, traženi ćemo kut konstruirati tako da konstruiramo dva kuta veličine 60° koji imaju zajednički krak.

II. način: Kut veličine 120° susjedni je kut kuta veličine 60°, pa traženi kut možemo konstruirati kao nadopunu kutu veličine 60° do ispruženoga kuta.

3. Konstruiraj kut veličine 150°.

4. Konstruiraj kut veličine 30°, a zatim ga prenesi na neki, po volji odabrani polupravac.

1. Objasni na čemu se temelji konstrukcija kuta veličine 60°.

2. Opiši postupak konstrukcije kuta veličine 30°.

3. Kako bi konstruirao kut veličine 15°?

71

Konstrukcija kutova od 60°, 30°, 90°, 45°

Kako biste uz pomoć konopca dugačkog 24 m ti i tvoji prijatelji iz grupe Snalažljivi izviđači nacrtali kut od 60°?

Na prošlom ste satu naučili konstruirati kut veličine 60°. Ta je konstrukcija vrlo jednostavna i utemeljena je na konstrukciji jednakostraničnog trokuta.

No, to nije najjednostavnija konstrukcija.

Primjer Primjer 5.

Konstruirajmo ispruženi kut.

Rješenje: Sjetimo se da je ispruženi kut onaj kut čiji su kraci suprotni polupravci istoga pravca.

5. Konstruiraj kut veličine 180° i njegovu simetralu.

Primjer Primjer 6.

Konstruirajmo kut veličine 90°.

Rješenje: Kut veličine 90° jednak je polovini ispruženoga kuta. Zato treba prvo konstruirati ispruženi kut, a zatim njegovu simetralu.

6. Konstruiraj kut veličine 90° i njegovu simetralu.

Primjer Primjer 7.

Konstruirajmo kut veličine 45°.

Rješenje: Kut veličine 45° je polovina pravoga kuta:

7. Konstruiraj kut veličine 45° i njegovu simetralu. Kolike su veličine nastalih kutova?

8. Konstruiraj kut veličine 135°.

9. Objasni sljedeći niz slika:

72

Primjer Primjer 8.

Konstruirajmo pravokutni trokut s katetama duljine a = 3 cm i b = 2 cm.

Rješenje: Najprije konstruiramo pravi kut s vrhom u točki C. Na jednom kraku toga kuta konstruiramo točku B tako da je |CB| = a.

Na drugome kraku toga kuta konstruiramo točku A tako da je |CA| = b. Rješenje zadatka je trokut ABC. Kod konstruktivnih primjera veličine slika u rješenjima su umanjene.

Oblik rješenja odgovara onome koji ćeš dobiti konstruirajući primjer u svojoj bilježnici.

10. Konstruiraj kvadrat sa stranicom duljine a = 3 cm.

11. Konstruiraj pravokutni trokut s katetama duljine 4 cm i 2.5 cm.

Primjer Primjer 9.

Konstruirajmo kvadrat s dijagonalom duljine 5 cm.

Rješenje: Nacrtamo neki polupravac s početkom u točki A. Kružnica sa središtem u točki A, polumjera duljine d = 5 cm siječe taj polupravac u točki C. Nakon toga konstruiramo simetralu dijagonale AC .

Njezino polovište je točka S.

Kružnica sa središtem S polumjera r = |SA| siječe tu okomicu u točkama B i D koje su preostali vrhovi traženog kvadrata.

12. Konstruiraj kvadrat s dijagonalom duljine 55 mm.

KLJUČNI POJMOVI • kut • konstrukcija kuta

1. Što je ispruženi, a što pravi kut? Kolike su njihove veličine?

2. Kako se konstruira kut veličine 90°? A kut veličine 45°?

73

7. Sukladnost trokuta

Jedan od trokuta na slici razlikuje se od drugih.

Izbaci uljeza!

Od osam nacrtanih trokuta sedam ih je jednakih duljina stranica i jednakih veličina unutarnjih kutova.

Dvije su dužine međusobno sukladne ako imaju jednake duljine.

AB = 2.1 cm

CD = 2.1 cm

Dva su kuta međusobno sukladna ako imaju jednake veličine.

Položaj dužina, odnosno položaj kutova, ne utječe na njihovu sukladnost!

ÐFV1F’ = 37o

Primjer Sukladnost trokuta

Primjer 1.

ÐB’’VB’ = 37o

Izmjerimo duljine stranica i veličine unutarnjih kutova trokuta ABC i A’B’C’ na slici:

Rješenje: Mjerenjem je lako utvrditi da vrijedi: |AB| = |A’B’| Ð|CAB| = Ð|C’A’B’| |AB| = |A’B’| i Ð|ABC| = Ð|A’B’C’| |AB| = |A’B’| Ð|ACB| = Ð|A’C’B’| Ti su, dakle, trokuti istoga oblika i iste veličine.

74

Za trokute istoga oblika i iste veličine kažemo da su međusobno sukladni.

To simbolički pišemo: DABC @ DC’A’B’

Primjer Primjer 2.

Promotrimo sliku, pa mjerenjem duljina stranica i veličina kutova provjerimo jesu li trokuti MZJ i MAJ međusobno sukladni.

Rješenje: Mjerenjem dobivamo: |ZM| = 0.9 cm |AJ| = 2.8 cm |MA| = 0.9 cm |JZ| = 2.8 cm

|JM| = 3.7 cm |JM| = 3.7 cm

|Ð JZM| = 118.4° |Ð ZMJ| = 42.0° |Ð ZJM| = 19.6° |Ð JAM| = 118.4° |Ð JMA| = 42.0° |Ð MJA| = 19.6° Očito je da trokuti MZJ i MAJ imaju parove stranica jednakih duljina i parove kutova jednakih veličina. Dakle, ti su trokuti sukladni i pišemo DMZJ @ DMAJ.

Odgovarajući kutovi dvaju sukladnih trokuta su kutovi jednake veličine.

Odgovarajuće stranice dvaju sukladnih trokuta su stranice koje se nalaze nasuprot odgovarajućim kutovima (kutovima jednake veličine).

Sukladni trokuti imaju jednake opsege i jednake površine.

Primjer Primjer 3.

Promotrimo još jednom sliku iz prošlog primjera i odredimo odgovarajuće stranice i odgovarajuće kutove sukladnih trokuta DMZJ i DMAJ.

Rješenje: Prema mjerenjima duljina stranica i veličina kutova trokuta DMZJ i DMAJ zaključujemo da su parovi odgovarajućih kutova ÐMZJ i ÐMAJ, ÐMJA i ÐMAZ te ÐJMZ i ÐJMA. Odgovarajuće stranice tih sukladnih trokuta su ZM i AM, ZJ i AJ te MJ i JM. 1. Trokuti ABC i DEF na slici su međusobno sukladni.

Odredi odgovarajuće stranice i odgovarajuće kutove tih trokuta.

1. Za koje trokute kažemo da su sukladni?

2. Koji su kutovi dvaju sukladnih trokuta međusobno odgovarajući?

3. Koje su stranice trokuta međusobno odgovarajuće?

4. U kakvom su odnosu opsezi sukladnih trokuta? Obrazloži.

75

Sukladnost trokuta

Izmjeri duljine stranica i veličine unutarnjih kutova trokuta ABC i trokuta ABD. Jesu li ti trokuti sukladni?

Činjenica da su dva trokuta sukladna znači da su parovi odgovarajućih kutova jednake veličine i parovi odgovarajućih stranica jednake duljine.

Dakle, riječ je o šest parova elemenata. No, da bismo zaključili jesu li neka dva trokuta sukladna ili nisu dovoljno je promatrati tri para prikladno odabranih elemenata. O tome govore: Poučci o sukladnosti trokuta I. poučak o sukladnosti trokuta (S – S – S) I. poučak o sukladnosti trokuta (S – S – S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u duljinama svih triju stranica.

Iz |AB| = |A’B’|, |BC| = |B’C’|, |CA| = |C’A’| slijedi da je DABC @ DA’B’C’.

II. poučak o sukladnosti trokuta (S – K – S)

III. poučak o sukladnosti trokuta (K – S – K)

IV. poučak o sukladnosti trokuta (S – S – K)

76

II. poučak o sukladnosti trokuta (S – K – S) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u duljinama dviju stranica i veličini kuta među njima.

Iz |AB| = |A’B’|, |BC| = |B’C’|, b = b’ slijedi da je DABC @ DA’B’C’.

(Slično zaključujemo za svaki par stranica trokuta i kut između tih stranica.)

III. poučak o sukladnosti trokuta (K – S – K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u duljini jedne stranice i veličinama dvaju kutova uz tu stranicu.

Iz |AB| = |A’B’|, a = a’, b = b’ slijedi da je DABC @ DA’B’C’.

(Slično zaključujemo za svaku stranicu trokuta i kutove uz tu stranicu.)

IV. poučak o sukladnosti trokuta (S – S – K) Dva su trokuta sukladna ako se podudaraju u duljinama dviju stranica i veličini kuta nasuprot većoj od tih stranica.

Iz |AB| = |A’B’|, |BC| = |B’C’|, |AB| > |BC| i g = g’ slijedi da je DABC @ DA’B’C’.

(Slično zaključujemo za svaki par stranica trokuta i kut nasuprot većoj od tih stranica.)

Primjer Primjer 4.

Koristeći se poučcima o sukladnosti trokuta obrazložimo točnost tvrdnji: a) Dijagonala pravokutnika dijeli taj pravokutnik na dva sukladna pravokutna trokuta. b) Ako su na donjoj slici dužine AB i CD međusobno usporedne i jednake duljine, onda su trokuti ABS i DCS međusobno sukladni. c) Okomica iz vrha jednakostraničnog trokuta na nasuprotnu stranicu dijeli taj trokut na dva sukladna pravokutna trokuta.

Rješenje: a) Uz oznake kao na slici vrijedi: |AB| = |CD|, |BC| = |DA| i |AC| = |CA|.

Prema I. poučku o sukladnosti trokuta slijedi da je DABC @ DCDA. (Budući da je ÐABC = ÐCDA, do istog zaključka možemo doći korištenjem II. poučka o sukladnosti trokuta.) b) Prema uvjetu zadatka vrijedi da je AB CD i |AB| = |CD|. Tada je pravac AD presječnica para usporednih pravaca AB i CD, pa je ÐBAS = ÐCDS. Slično, pravac BC je druga presječnica istog para usporednih pravaca, što znači da je ÐABS = ÐDCS. Trokuti ABS i DCS sukladni su prema III. poučku o sukladnosti trokuta.

Konstrukcije trokuta

c) Uz oznake kao na slici vrijedi: |AC| = |BC|, CD je zajednička stranica (pri čemu je |CD| < |AC|) i ÐCDA = ÐCDB. Prema IV. poučku o sukladnosti trokuta slijedi da je DACD @ DBCD. 3. Koristeći se poučcima o sukladnosti trokuta obrazloži točnost tvrdnji: a) Dijagonala paralelograma dijeli paralelogram na dva sukladna trokuta. b) Simetrala kuta nasuprot osnovici jednakokračnog trokuta dijeli taj trokut na dva sukladna trokuta.

1. Jesu li jednakostranični trokuti s jednakim duljinama stranica sukladni?

2. Jesu li trokuti na slici sukladni?

L40

KLJUČNI POJMOVI • trokut • sukladnost trokuta

77

8. Tri osnovne konstrukcije trokuta

Ana ima pet različitih štapića. Njihove su duljine 3 cm, 4 cm, 5 cm, 7 cm i 10 cm. Koliko različitih trokuta može složiti koristeći se nekim trima štapićima? Kolike su duljine stranica tih trokuta? Složi štapiće pa u bilježnicu nacrtaj sva rješenja!

L41

Sjetite se: Dva su trokuta sukladna ako su istoga oblika i iste veličine.

Rješavajući taj zadatak uočili smo da postoje trokuti koji se ne mogu konstruirati. Zašto je tako?

Poučci o sukladnosti trokuta omogućavaju konstrukciju i/ili crtanje trokuta kojima su zadani odgovarajući elementi. Krenimo redom.

Primjer Primjer 1.

Konstruirajmo trokut ABC ako su duljine njegovih stranica a) a = 4 cm, b = 3 cm i c = 5.5 cm. b) a = 3 cm, b = 2.5 cm, c = 7 cm.

Rješenje: a) Postupak je postupno prikazan na slikama: Skica:

b) Postupamo li na isti način kao pri rješavanju primjera a), dobit ćemo sljedeću sliku:

78

Budući da je a + b < c, kružnice k1(A, b) i k2(B, a) nemaju zajedničkih točaka, tj. trokut sa zadanim duljinama stranica ne možemo konstruirati.

Taj zaključak vrijedi i općenito: Trokut možemo konstruirati ako je zbroj duljina bilo kojih dviju njegovih stranica veći od duljine treće stranice. Dakle, uz uobičajene oznake duljina stranica trokuta mora biti ispunjeno: a + b > c, b + c > a, c + a > b.

Ta je činjenica poznata pod nazivom nejednakost trokuta”. “ 1. Konstruiraj jednakostranični trokut sa stranicom duljine 3 cm.

2. Konstruiraj jednakokračni trokut s osnovicom duljine 4.5 cm i krakovima duljine 5 cm.

3. Konstruiraj trokut sa stranicama duljine a = 5 cm, b = 3.5 cm i c = 4.5 cm.

Primjer Primjer 2.

Konstruirajmo trokut ABC ako su duljine njegovih stranica b = 4 cm, c = 3 cm, a veličina kuta a = 60°.

Rješenje: Skica:

Postupak je postupno prikazan na slikama:

4. Konstruiraj trokut ABC ako su duljine njegovih stranica a = 4 cm, c = 5.5 cm, a veličina kuta b = 90°.

5. Konstruiraj trokut ABC ako su duljine njegovih stranica a = 4.5 cm, b = 3.5 cm, a veličina kuta g = 90°.

6. Nacrtaj jednakokračni trokut s krakovima duljine 4 cm ako je veličina kuta u sjecištu njegovih krakova jednaka 70°.

KLJUČNI POJMOVI • trokut • vrh trokuta • stranica trokuta • kut trokuta

1. Koliko je podataka potrebno za konstrukciju trokuta?

2. Koliko je podataka potrebno za konstrukciju jednakokračnog trokuta?

3. Može li kut uz osnovicu jednakokračnog trokuta biti pravi? Objasni!

79

Tri osnovne konstrukcije trokuta

Nacrtaj trokut ABC i konstruktivno odredi točku T koja je jednako udaljena od svih triju stranica tog trokuta.

Trokut ćemo moći konstruirati i ako je poznata duljina jedne stranice te veličine dvaju kutova tog trokuta. To će nam omogućiti III. poučak o sukladnosti trokuta.

Primjeri Primjer 3.

Konstruirajmo trokut ABC ako je duljina njegove stranice c = 5 cm, veličina kuta a = 60° i kuta b = 45°.

Rješenje: Prvo nacrtamo skicu na kojoj označimo sve poznate elemente, a zatim i sve zadane elemente trokuta.

Dalji je postupak postupno prikazan na slikama:

Primjer 4.

Konstruirajmo jednakokračni trokut ABC ako je duljina njegove osnovice a = 6 cm, veličina kuta b = 30°.

Rješenje: Skica:

Dalji je postupak postupno prikazan na slikama:

80

Primjeri Primjer 5.

Konstruirajmo pravokutni trokut ABC ako je duljina njegove katete a = 2.5 cm, a duljina hipotenuze c = 4 cm.

Rješenje:

Skica:

Budući da je kut u vrhu C pravi, dalji je postupak postupno prikazan na slikama:

Primjer 6. Konstruirajmo trokut ABC ako su duljine njegovih stranica a = 4.5 cm, c = 6 cm, a veličina kuta g = 30°.

Rješenje: U zadatku su poznate duljine dviju stranica te veličina kuta nasuprot većoj među njima. Dalji je postupak postupno prikazan na slikama:

Skica:

10. Konstruiraj trokut ABC ako je zadano a = 5.5 cm, a = 60° i b = 45°.

11. Konstruiraj jednakokračni trokut ABC ako je duljina njegove osnovice a = 4 cm, a veličina kuta uz osnovicu b = 45°.

12. Konstruiraj pravokutni trokut ABC s hipotenuzom c = 6 cm i kutom a = 30°.

KLJUČNI POJMOVI • trokut • konstrukcija i crtanje trokuta

1. Možeš li konstruirati trokut kojega su zadane duljine svih triju stranica?

2. Možeš li konstruirati trokut kojega su zadane veličine svih triju kutova? Objasni.

3. Koji su podatci potrebni za konstrukciju / crtanje jednakokračnog trokuta?

Navedi više mogućnosti!

81

9. Površina trokuta

Tvrtko je ispustio novčić iz ruke s vrha kosog tornja u Pisi. Gdje će novčić pasti? Hoće li pasti bliže Ivanu ili Zvonimiru?

Ivan Zvonimir

Vrhom trokuta nacrtan je pravac okomit na nasuprotnu stranicu trokuta. Taj pravac siječe stranicu (ili pravac kojemu stranica pripada) u jednoj točki.

Dio pravca (tj. dužinu) kojoj je jedna rubna točka vrh trokuta, a druga rubna točka na nasuprotnoj stranici trokuta nazivamo visinom trokuta. Rubna točka na stranici naziva se nožištem visine. Pravci kojima pripadaju visine trokuta sijeku se u istoj točki koju nazivamo sjecištem visina (ortocentrom) trokuta.

Primjeri Primjer 1.

Konstruirajmo jednakostranični trokut sa stranicom duljine 3.5 cm, a zatim nacrtajmo sve tri njegove visine.

Rješenje: Kod jednakostraničnog se trokuta sjecište visina podudara sa središtem opisane kružnice i središtem upisane kružnice.

Primjer 2.

Konstruirajmo trokut ABC ako su duljine stranica a = 4 cm, c = 5 cm i veličina kuta b = 30°. Nacrtajmo pravce kojima pripadaju visine tog trokuta.

Rješenje: Skica:

Postupak konstrukcije trokuta i nacrtane visine postupno je prikazan na slikama:

82

Promotrimo još jednom položaj sjecišta visina u odnosu prema trokutu ako je trokut pravokutan, šiljastokutan i tupokutan:

Površina trokuta

Pravci kojima pripadaju visine bilo kojega trokuta sijeku se u istoj točki.

Visine pravokutnog trokuta sijeku se u vrhu pravoga kuta.

Visine šiljastokutnog trokuta sijeku se u njegovoj unutrašnjosti.

Pravci kojima pripadaju visine tupokutnog trokuta sijeku se izvan trokuta.

1. Konstruiraj trokut ABC i nacrtaj sve njegove visine ako je zadano: a) a = 4 cm, b = 3.5 cm, c = 4.5 cm; b) b = 3 cm, c = 5 cm, a = 60°; c) a = 5 cm, b = 60°, g = 45°.

2. Konstruiraj trokut ABC i nacrtaj sve njegove visine ako je zadano: a) a = 4 cm, b = 5 cm, g = 90°; b) a = 3.5 cm, c = 4.5 cm, b = 120°. Što primjećuješ?

1. Što je visina trokuta?

2. Koje svojstvo imaju visine trokuta?

3. Što možeš reći o sjecištu visina trokuta?

4. Gdje se, u odnosu prema trokutu, nalazi sjecište visina pravokutnog trokuta?

5. Kod koje se vrste trokuta ortocentar nalazi unutar trokuta, a kod koje vrste izvan trokuta?

83

Površina trokuta

Nacrtaj tri trokuta (kojih su duljine stranica izražene prirodnim brojem centimetara) kojih je površina jednaka 6 cm2.

Površina geometrijskog lika jednaka je broju jediničnih kvadratića koji prekrivaju taj lik.

Površina pravokutnika jednaka je umnošku duljina susjednih stranica.

Isto vrijedi i za površinu kvadrata.

Primjeri p=a∙b

p=a∙a

Primjer 3.

Izračunajmo površinu nacrtanog lika:

Rješenje: Zadani lik trebapodijeliti na pravokutnike i / ili kvadrate, izračunati površinu tih dijelova i zbrojiti dobivene rezultate. Navodimo jednu od mogućih podjela (te pripadajući postupak računanja površine): p1 = 1 cm · 2.5 cm = 2.5 cm2 p2 = 1.5 cm · 5 cm = 7.5 cm2 p3 = 2.5 cm · 4 cm = 10 cm2 p4 = 1.5 cm · 2.5 cm = 3.75 cm2 p = p1 + p2 + p3 + p4 p = 23.75 cm2

. p= a b 2

84

Podijelimo li pravokutnik dijagonalom, dobit ćemo dva međusobno sukladna trokuta. Budući da sukladni trokuti imaju jednake površine, zaključujemo da je površina pravokutnog trokuta s katetama duljine . a i b jednaka p = a b .

2

Primjer 4.

Izračunajmo površinu nacrtanog lika: Rješenje: I. način: Zadani lik treba podijeliti na pravokutne trokute te pravokutnike i / ili kvadrate, izračunati

površinu tih dijelova i zbrojiti dobivene rezultate. Navodimo jednu od mogućih podjela (te pripadajući postupak računanja površine): 2 cm . 2.5 cm p1 = = 2.5 cm2 2 p2 = 2 cm · 2.5 cm = 5 cm2 p3 = 2 cm · 3 cm = 6 cm2 1 cm . 2 cm p4 = = 1 cm2 2 p5 = 2 cm · 2 cm = 4 cm2 1.5 cm . 2 cm p6 = = 1.5 cm2 2 p7 = 2.5 cm · 2 cm = 5 cm2

p = p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 + p7 p = 25 cm2

II. način: Zadani lik dopunimo do najbližeg pravokutnika, pa od njegove površine (p4) oduzimamo površine triju pravokutnih trokuta.

2 cm . 2.5 cm p1 = = 2.5 cm2 2 2 cm . 1.5 cm

p2 = = 1.5 cm2 2 2 cm . 1 cm

p3 = = 1 cm2 2 p4 = 6 cm ∙ 5 cm = 30 cm2

L43

p = p4 – (p1 + p2 + p3) = 25 cm2 3. Izračunaj površinu pravokutnika sa stranicama duljine 3.5 cm i 6 cm.

4. Površina pravokutnika je 57.6 cm2, a duljina jedne njegove stranice iznosi 4.8 cm. Kolika je duljina druge stranice tog pravokutnika?

5. Duljine kateta pravokutnog trokuta su 55 mm i 24 mm. Kolika je površina tog trokuta?

6. Površina pravokutnog trokuta je 32.4 cm2, a duljina jedne njegove katete iznosi 27 mm.

Kolika je duljina druge katete tog trokuta?

7. Izračunaj površinu nacrtanog lika.

1. Kako računamo površinu pravokutnika?

2. Objasni postupak računanja površine pravokutnog trokuta.

3. Kako se postupa pri računanju površina složenijih likova?

85

Površina trokuta

Koji od nacrtanih trokuta ima najmanji, a koji najveći opseg? Što misliš, koji od njih ima najmanju, a koji najveću površinu? Obrazloži svoju tvrdnju!

Na prvo je pitanje jednostavno odgovoriti, no odgovor na drugo pitanje nije sasvim očit. Kako izračunati površinu trokuta koji nije pravokutan?

Trokut treba podijeliti na dva pravokutna trokuta, izračunati njihove površine te dobivene rezultate zbrojiti. Da bismo dobili željene pravokutne trokute, moramo nacrtati visinu iz jednoga vrha trokuta.

Dužina CD je visina na stranicu c.

Pod pojmom duljine visine trokuta razumijevamo udaljenost vrha trokuta od nasuprotne stranice.

Uz oznake kao na slici uočavamo dva pravokutna trokuta ACD i BCD kojima je moguće izračunati površinu. Označimo li |AD| = x, |DB| = c – x te x . vc (c – x) . vc |CD| = vc, dobit ćemo da je p(ACD) = i p(BCD) = . Zbrojimo 2 2 li površine tih trokuta, doznat ćemo da je površina trokuta ABC jednaka: x . vc (c – x) . vc vc . (x + c – x) c . vc p(ABC) = p(ACD) + p(BCD) = + = = .

2 2 2 2 Površina trokuta ABC jednaka je polovini umnoška duljine stranice i duljine visine na tu stranicu.

Primjer Primjer 5.

86

Izračunajmo površinu trokuta ABC ako je duljina stranice a = 32 mm, a duljina visine na tu stranicu va = 2.4 cm. a . vc , uvrštavanjem dobivamo: Rješenje: Budući da je p(ABC) = 2 32 . 24 2 p(ABC) = = 32 . 12 = 384 mm .

2

Primjer Primjer 6.

Duljine kateta pravokutnog trokuta ABC su a = 7.5 cm i b = 1 dm, dok je duljina njegove hipotenuze c = 125 mm.

Kolika je duljina visine na hipotenuzu?

Rješenje: Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini umnoška duljina njegovih kateta, ali i polovini umnoška duljine hipotenuze i duljine visine na hipotenuzu, tj. . c . vc . p= a b i p= 2 2

. c . vc Iz p = a b i p = 2 2 slijedi da je

a . b = c . vc odnosno . vc = a b . c

Izračunajmo površinu trokuta koristeći se prvom formulom. . .

Uvrštavanjem dobivamo: p = a b = 7.5 10 = 37.5 cm2. Uvrstimo li 2 2 12.5 . vc dobiveni rezultat u drugu formulu, dobit ćemo 37.5 = , odakle 2 2 doznajemo da je vc = (2 ∙ 37.5 cm ) : 12.5 cm = 6 cm.

8. Izračunaj površinu trokuta kojega je duljina stranice 28 mm, a duljina visine na tu stranicu 1.5 cm.

9. Površina trokuta je 44.1 cm2, a duljina jedne njegove stranice je 49 mm.

Kolika je duljina visine na tu stranicu?

10. Izračunaj površinu nacrtanih likova.

a)

11. Markova je kupaonica popločana pločicama kvadratnog oblika s bridom duljine 20 cm. Kolika je površina plavo obojenog dijela površine pojedine pločice?

b)

L44, L45

KLJUČNI POJMOVI • trokut • visina trokuta • površina trokuta

1. Što je duljina visine trokuta?

2. Kako računamo površinu trokuta?

87

Zadatci

1. Na slici je prikazan teniski teren. Sporedne linije teniskog terena zatvaraju iste kutove i s osnovnom linijom i s linijom servisa. Objasni zašto je to istina?

2. Odredi veličine označenih kutova ako su pravci a i b usporedni. a) b)

3. Pravci a i b međusobno su usporedni, a pravci c i d njihove su presječnice. Odredi veličinu nepoznatih kutova na slici:

a) b)

4. Odredi veličine nepoznatih kutova na slici.

88

5. Pravci c i d su usporedni.

Jesu li parovi kutova sukladni ili suplementarni? a) a1 i a2, e) b1 i d2, f) b1 i b2, b) g1 i a2, c) d1 i g2, g) g1 i b2, h) b1 i g2. d) d1 i d2, 6. Dva su usporedna pravca presječena trećim, tako da je jedan od kutova koji nastaju pravi. Što možeš reći o veličinama ostalih triju kutova? Objasni.

7. Pravci a i b na slikama su usporedni. Odredi veličine kutova označenih slovima.

a) b) c)

8. Pravci a i b na slikama su usporedni. Odredi veličine kutova označenih slovima. a) b) c)

9. Kolike su veličine kutova a, b, g, d ako su pravci a i b usporedni? a) b)

89

Zadatci

10. Tiana je riješila domaću zadaću. Provjeri je li točno riješila zadatke? a) b)

11. Koja od sljedećih tvrdnji nije točna? Objasni odgovor.

90

A

g2 + a2 = 108o

B

a1 + b2 = 108o

C

g1 + d2 = 108o

D

d2 + g2 = 108o

12. Jesu li pravci p i q usporedni? Objasni. a)

b)

13. Jesu li pravci p i q usporedni? Objasni. a)

b)

14. Nacrtaj dva tupa kuta s međusobno usporednim kracima ako ti kutovi:

a) imaju zajednički vrh,

b) nemaju zajednički vrh.

15. Nacrtaj dva suplementarna kuta s usporednim kracima.

16. Kutovi a i b imaju međusobno usporedne krakove.

Ako je veličina kuta b = 102°, odredi veličinu kuta a.

17. Na slici je prikazano jedrenje na vodi. Koliki je kut x, ako su zadani pravci m i n usporedni?

18. Jedan od načina gradnje stepenica je uporaba blokova trokutastog oblika, kao na slici. Potporni dio stepenica čine dva usporedna pravca a i b. Potporni dio stepenica s linijom poda zatvara kut veličine 32°.

Kolike su veličine kutova označenih brojevima 1 i 2, ako je stepenica usporedna s podom?

19. Jesu li trokuti na slici jednkostranični, raznostranični ili jednakokračni? Objasni odgovor.

a) b) c)

20. Koji je od sljedećih trokuta tupokutan, koji pravokutan, a koji šiljastokutan? Objasni odgovor.

21. Maja je u domaćoj zadaći napisala ... trokut ABC je i šiljastokutanitupokutanjerima šiljasti i tupi kut.

Je li Maja točno zaključila?

Objasni svoj odgovor.

91

Zadatci

22. Odredi parove: a) duljine stranica: 20 mm, 3 cm, 0.4 dm b) duljine stranica: 5 cm, 4 cm, 50 mm c) duljine stranica: 10 cm, 1 dm, 100 mm d) veličine kutova: 25°, 140°, 15° e) veličine kutova: 40°, 70°, 70° f) veličine kutova: 30°, 90°, 60°

1. tupokutan 2. pravokutan 3. jednakostraničan 4. šiljastokutan 5. jednakokračan 6. raznostraničan

Je li određivanje parova jednoznačno?

23. Odredi veličine nepoznatih kutova trokuta: a) b)

24. Odredi veličinu nepoznatog kuta trokuta: a) b)

25. Nađi veličine (mjere) ostalih kutova: a) |AB| = |BC|,

c)

c)

b) |AB| = |AC|.

26. Trokut DEF je jednakokračan trokut. Kut nasuprot osnovice je veličine 100°. Koje su mjere ostalih kutova tog trokuta?

92

27. Obrazloži tvrdnju: Ako je veličina kuta u sjecištu krakova jednakokračnog trokuta jednaka 60°, taj je trokut jednakostraničan.

28. Odgovori sa da ili ne. a) Može li šiljastokutni trokut imati točno dva šiljasta kuta? b) Može li pravokutni trokut biti jedankokračan? c) Može li tupokutni trokut biti jedankokračan? d) Može li pravokutni trokut biti jednakostraničan?

29. Odredi veličinu nepoznatog kuta trokuta:

a) b)

c)

30. Odredi veličine nepoznatih kutova: a) b)

c)

31. Odredi veličine nepoznatih kutova: a) b)

c)

32. Pogledaj sliku.

Izmjeri kutove ÐABD i ÐDBC.

a) Što zaključuješ?

b) Što je pravac BD kutu ÐABC?

B A

C D

93

Zadatci

33. Ako je pravac BD simetrala kuta ÐABC, kolike su veličine ostalih kutova? a) b)

c)

34. Pravac AB simetrala kuta ÐDAC i |ÐDAB| = 43°. a) Kolike su veličine kutova ÐBAC i ÐDAC? b) Je li kut ÐDAC šiljasti, tupi, pravi ili ispruženi?

Objasni odgovor.

35. Zadan je kut. Precrtaj ga u bilježnicu i konstruiraj onu točku koja je od obaju krakova kuta udaljena 15 mm.

36. Zadana su dva pravac a i b koji se sijeku.

Precrtaj ih u bilježnicu i odredi točku koja je od obaju pravaca udaljena 20 mm. Je li rješenje jedinstveno?

37. Zadana su tri pravca a, b, c kao na slici.

Precrtaj pravce u bilježnicu i odredi točku koja je jednako udaljena od pravaca a i b, a od pravca c je udaljena 15 mm. Je li rješenje samo jedna točka?

94

38. Pravac OX je simetrala kuta ÐROT.

a) Kolike su veličine kutova ÐXOT i ÐROT?

b) Je li ÐROT šiljasti, tupi, pravi ili ispruženi? Objasni odgovor.

39. Pravac KM je simetrala kuta ÐJKL.

a) Kolike su veličine kutova ÐJKM i ÐMKL?

b) Jesu li kutovi šiljasti, tupi? Objasni odgovor.

40. Pravac UV je simetrala kuta ÐWUT.

a) Kolike su veličine kutova ÐWUV i ÐWUT?

b) Jesu li kutovi šiljasti ili tupi? Objasni odgovor.

41. Pravac OT je simetrala kuta ÐPOR. Kolike su veličine ostalih kutova? a) b) c)

95

Zadatci

42. Za vrijeme velikog odmora, Marko, Ivo i Šimun izrađivali su avione od papira. Zadubljeni u posao, nisu primjetili da je zvonilo i da je počeo sat matematike. Učitelj se nije naljutio, već je sav sretan rekao Super! Prošli put smo “ radili kutove i simetrale kutova, pa ćemo naučeno primijeniti na M(arko)I(vo)Š(imun) avijaciju.”

a) Na slici je papir od kojega je napravljen avion. Na njemu su označene točke i kutovi. Koliko kutova možeš ispisati?

b) Jesu li svi kutovi šiljasti ili ima i tupih, pravih, ispruženih? Objasni.

c) Ispiši sve kutove kojima je pravac AH simetrala.

d) Ispiši sve kutove kojima je pravac AF simetrala.

43. Ako je pravac BD simetrala kuta ÐABE i pravac BF simetrala kuta ÐEBC, kolika je veličina kuta ÐDBF?

44. Mjerenjem provjeri postoje li na slici međusobno sukladni trokuti?

45. Jesu li trokuti ABC i EFG sukladni? Objasni.

96

46. Koja od tvrdnji je istinita? Objasni.

A DNIK @ DMPO

B DNIK @ DPMO

C DNIK @ DPOM

47. Pogledaj trokute na slici. a) Napiši sve odgovarajuće elemente trokuta. b) Jesu li trokuti međusobno sukladni?

Ako jesu, zapiši zapiši to simbolima.

48. Na slici su dužine AB i CD usporedne.

Provjeri jesu li trokuti, ABX i CDX sukladni.

Objasni.

49. Dana su dva sukladna trokuta ABC i LMN. Odredi nepoznate veličine kutova i duljina stranica.

97

Zadatci

50. Dana su dva trokuta. Provjeri jesu li istiniti zapisi o odgovarajućim elementima trokuta. Objasni. a) ÐACB i ÐFED, b) ÐCAB i ÐEFD, c) BC i ED, d) AC i DE, e) FD i AB, f) ÐABC i ÐEFD. Jesu li tvrdnje istinite? Objasni. g) DABC @ DFDE, h) DBCA @ DFED, i) DCBA @ DEDF. 51. Objasni koji poučak dokazuje sukladnost trokuta. a) b)

c)

52. Četverokut ABCD na slici je kvadrat. Obrazloži zašto su trokuti ABS i CDS sukladni.

53. Jesu li trokuti ABC i A’B’C’ sukladni?

Objasni.

98

54. Dijagonala BD pravokutnika ABCD dijeli taj pravokutnik na dva trokuta.

Jesu li ti trokuti sukladni? Objasni.

55. Na slici je vodeni avion ili hidroplan. a) Pogledaj njegova krila. Kakve trokute ona tvore (pravokutne, tupokutne ili šiljastokutne)? b) Što možeš reći o ÐJLK i ÐPRQ? c) Što možeš reći o stranicama KL i QR ? d) Što misliš o kutovima ÐKJL i ÐQPR? e) Jesu li trokuti što ih tvore krila aviona međusobno sukladni? Objasni.

56. Pogledaj sliku i ispiši odgovarajuće elemente dvaju sukladnih trokuta LMN i PRQ.

N

F

57. Tiana je za rođendan dobila ogrlicu. No, ogrlica se sastoji od jednog četverokuta i niza trokuta. Odredi koja je od tvrdnji istinita.

Objasni odgovor. a) DFGH @ DNML, b) DGFH @ DNLM, c) DGHF @ DMNL, d) DHFG @ DLMN, e) DHGF @ DLNM, f) DFGH @ DLNM.

G

HM

L

58. Trokuti ABC i DEF su sukladni. Odredi duljinu stranice DF i veličinu kuta ABC?

99

Zadatci

59. Trokuti ABC i DEF su sukladni.

Odredi duljinu stranice AB i veliÄ?inu kuta EFD?

100

60. U svakoj od danih trojki trokuta jedan je uljez. Otkrij koji je trokut uljez i objasni zaĹĄto. a)

b)

c)

61. Skulpture Georga Rickeya matematičarima mogu biti zanimljive za uočavanje geometrijskih oblika. Jedna od njih sastoji se od sukladnih trokutova.

Objasni sljedeće tvrdnje: a) DADB @ DCDB, b) DDAB @ DDCB. c) Imaš li dovoljno informacija kojima bi potvrdio da je DABD @ DCBD?

Pronađi neke fotografije skulptura Georga Rickeya na internetu.

62. Marko rješava domaću zadaću.

Pogledaj što je napisao! a) Slažeš li se s njegovim argumentima? b) Kako Marko zna da je ÐBAC = ÐDAE? c) Je li DABC @ DADE? Objasni.

63. U DABC, točka P je polovište dužine AB. Dužine AD i PE, odnosno dužine BE i PD su usporedne. Je li istinita tvrdnja DAPD @ DPBE? Objasni.

64. Na slici je pokrivač Navajo Indijanaca.

a) Vrijedi BC = DE i AC = CE .

Je li DABC @ DCDE? Objasni.

b) Nacrtaj uzorak za svoj pokrivač koristeći se sukladnim trokutima?

65. Poznata igra konopcem ili vunom skriva sukladne trokute. Pogledaj sliku.

Je li istinita tvrdnja DBDA @ DBEC? Objasni.

101

Zadatci

66. Origami je japanska umjetnost slaganja parira.

Trokuti na slici pokazuju jedan korak u slaganju origami tuljana.

Je li istinita tvrdnja DBAC @ DBAD? Objasni.

67. Konstruiraj kut veličine

a) 60°, b) 30°, 68. Konstruiraj kut veličine a) 120°, b) 150°,

c) 90°,

d) 45°.

c) 105°,

d) 135°.

69. Konstruiraj trokut ako je zadano: a) a = 4 cm, b = 3 cm, c = 50 mm; c) a = b = 40 mm, c = 32 mm; b) a = 20 mm, b = 5 cm, c = 4 cm; d) a = b = c = 35 mm.

70. Konstruiraj trokuta ako je zadano:

a) a = 5 cm, b = 75°, g = 60°;

b) b = 6 cm, a = 60°, g = 45°.

71. Konstruiraj trokut ako je zadano: a) a = 34 mm, c = 0.5 dm, b = 90°; b) a = 4 cm, c = 53 mm, g = 75°;

72. Konstruiraj pravokutni trokut ako je zadano: a) c = 50 mm, a = 60°; b) a = 45 mm, b = 45°.

73. Koliko je trokuta na slikama? a)

c) b = 62 mm, c = 3 cm, b = 105°; d) a = 40 mm, b = 5 cm, b = 60°.

b)

74. U košarci je poznat termin napad u obliku trokuta”. Igrače ćemo promatrati kao vrhove “ trokuta.

a) Koju vrstu trokuta čine igrači A, B i C?

b) Koju vrstu trokuta čine C, D i E?

c) Koja tri igrača tvore tupokutni trokut?

d) Koja tri igrača tvore raznostranični trokut?

102

75. Konstruiraj jednakokračni trokut s osnovicom duljine 6 cm ako je veličina kuta u sjecištu njegovih krakova jednaka 120°.

76. Konstruiraj pravokutni trokut ABC s hipotenuzom c = 6 cm i katetom b = 3cm.

77. Konstruiraj trokut ABC ako je zadano a = 3.5 cm, b = 6 cm i b = 60°.

78. Konstruiraj jednakokračni trokut ABC ako je duljina njegova kraka b = 5.5 cm, a veličina kuta nasuprot osnovice a = 30°.

79. Konstruiraj jednakokračan pravokutni trokut ABC s pravim kutom u vrhu C, ako je duljina njegove katete AC jednaka 4 cm.

80. Nacrtaj trokut ABC sa stranicama duljine a = 4 cm, c = 6 cm i kutom veličine b = 40°.

81. Izračunaj površinu pravokutnog trokuta s katetama duljine

a) a = 4.5 cm, b) a = 36 mm, c) a = 2.5 dm,

b = 2.8 cm; b = 2.7 cm; b = 34 mm.

82. Izračunaj površinu trokuta:

a) a = 3 cm, b) b = 4.5 cm, va = 4 cm; vb = 52 mm;

c) c = 37 mm, vc = 2.4 cm.

83. Izračunaj površinu trokuta kojega je duljina jedne stranice 128 mm, a duljina visine na tu stranicu je 0.6 dm.

84. Zemljište u obliku trokuta kojemu je duljina jedne stranice 100 m, a duljina visine koja odgovara toj stranici je 25 m, treba zamijeniti zemljištem pravokutnog oblika širine 55 m. Kolika je duljina tog zemlišta?

103