La lógica es una rama de la filosofía, es la encargada de estudiar las leyes y las formas de pensamiento. (Pensamiento correcto o incorrecto.) La palabra “lógica” viene del griego “logos” que puede traducirse de distintas maneras: palabra, pensamiento, argumento, principio o razón son algunas de las principales. En este sentido la lógica es el estudio de los principios y de los razonamientos. (Psicología y mente , 2020) Aristóteles fue el primero en determinar el conjunto de leyes que sirven para observar y aplicar en nuestro intelecto.
La lógica puede entenderse en las siguientes formas: ✓ Como concepto: es la representación mental por medio de conceptos. ✓ Como juicio: lo unifica y compara. ✓ Como raciocinio: compara un juicio con una verdad conocida y deduce con otra desconocida. ¿Qué es el razonamiento lógico? La palabra razonamiento viene del latín ratio que significa razón junto con el sufijo iento que indica el resultado de algo. (Significado, 2017) Por lo tanto, se determina que es un conjunto de juicios que mantienen relaciones lógicas que se le da una conclusión en forma deductiva.
División de la lógica: ✓ Lógica de proposiciones: Es el cálculo de enunciados cuyas fórmulas son proposiciones. oraciones o enunciados sin analizar eternamente. ✓ Lógica de predicados o cuantificacional: Se caracterizan por analizar las oraciones en sus componentes, es una lógica categorial porque la deducción se da por las relaciones de posición del individuo a los grupos. ✓ Lógica de primer orden: Es la unión del cálculo propocional y del cálculo de los predicados, este cálculo tiene restricción de solo utilizar cuantificadores individualmente. ✓ lógica de 2o, 3o, 4o orden: Esto se deberá entender de una forma monótona y ascendente.
El pensar es un proceso que no se constituye como un acto mecánico si no que se establece a partir de una asociación de ideas, en donde la inteligencia determina la relación y coherencia de los contenidos y formas del pensamiento. Los principios lógicos son los fundamentos que determinan ciertas reglas a seguir, para lograr la coherencia y sistematicidad de los pensamientos en sus formas y contenidos. (Lógica, 2014) En otras palabras, los principios lógicos son las leyes del pensamiento que nos asegura su validez. 1. Principio de identidad: este principio establece que A es A. En otras palabras, algo es lo que es. Al mismo tiempo indica que, aunque dos cosas sean idénticas siempre serán diferentes.
Ejemplo: Una manzana es una manzana
2. Principio de No Contradicción: este principio indica que dos proposiciones no pueden ser ambas verdaderas o ambas falsas. No se puede afirmar o negar lo mismo. Ejemplo: Todos los hombres son fieles. Algunos hombres no son fieles.
3. Principio de tercero excluido: este principio indica que una proposición es verdadera o falsa, dos proposiciones contradictorias no pueden ser ambas verdaderas. No existirá una tercera opción. Tiene que ser si o no. Ejemplo: Le digo la verdad o le miento; debo decidir. 4. Principio Razón suficiente: este principio indica que para que una proposición sea válida tendrá que contar con suficientes razones para comprobar la respuesta.
Ejemplo: Los objetos caen al suelo por una razón, y esa razón la sabremos al estudiar la ley de gravedad.
Siempre que se utiliza el lenguaje lo hacemos con una intencion o función determinada para informar, persuadir, ordenar y conmover. El lenguaje está ligado a funciones que se relacionan con la intencion y finalidad de mejorar y precisar la comunicación. (Gonzales, 2016) No todos los mensajes desempeñan las mismas funciones.
1. Función expresiva: se centra en el emisor y en su actitud al momento de emitir un mensaje. Ejemplo; ¡Que gusto verte!
2. Función connotativa o apelativa: todo mensaje va dirigido a un receptor con la intención de provocar una reacción.
3. Función poética: esta centrado en el mensaje mismo, es la forma como de cómo se trasmite.
4. Función fática: consiste en alinear, interrumpir, continuar o finalizar la comunicación.
5. Función metalingüística: se centra en el código mismo de la lengua.
6. Función referencia: se centra en el contexto; predomina el tema o contenido del mensaje.
7. Función informativa: se centra en trasmitir mensajes que informen sobre una situación específica.
El lenguaje puede ser clasificado en formal e informal, el informal es de uso común y arbitrario, puede ser ambiguo, confuso, vago, con metáforas, descontextualizado. El lenguaje formal debe ser preciso, éste permite mostrar el desarrollo de un argumento y su validez. (Unam, 2017)
Se denomina conjunto a la agrupación de entes o elementos, que poseen una o varias características en común. (Blanco, 2015) El nombre que recibe la agrupación de elementos en un conjunto es la cardinalidad. Existen varios tipos de conjuntos, estos son: 1. Conjunto finito: es aquel conjunto con cardinalidad definida. B= {x I x es un mes del año} El conjunto tiene 12 elementos, su cardinalidad esta definida, por lo tanto, es finita. 2. Conjunto infinito: es aquel cuya cardinalidad no está definida. B= {x I x es un numero par} El conjunto es infinito, ya que continuará indefinidamente. 3. Conjunto vacío o nulo: es aquel que no tiene o carece de elementos. A= {x I x es un numero par e impar} El conjunto es vacío, ya que no existe un numero que pueda ser par e impar. 4. Conjuntos equivalentes: para poder ser equivalentes, el conjunto A y B deben contener las mismas cardinalidades. A= B: se lee A es equivalente a B 5. Conjuntos iguales: son aquellos que tienen la misma cardinalidad y los mismos elementos. A= {1, 2, 3, 4} B={1, 2, 3, 4]
6. Conjuntos disjuntos: son aquellos que no tiene elementos iguales. A= {x E N I x es divisor de 6}
N= {x E N I 2< x < 5}
A= {1, 2, 3, 6} N= {3, 4} Los conjuntos no comparten elementos. 7. Subconjuntos: se consideran subconjuntos, a los conjuntos que comparen elementos entre sí. A= { x I x es un numero natural}
B= {2, 5, 7}
Los elementos de A están contenidos en B A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 8. Conjunto universo: es el subconjunto de un conjunto U. U= {2, 4, 5, 6, 7} A= {2, 4, 5, 6}
B={4, 5, 7}
A⊂ U, B⊂U, (U es el conjunto universo.)
Diagramas de Venn Los diagramas de Venn se usan para mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. (Sánches, 2016) A= {1, 3, 6, 9} A 1
3 6 9
1. Unión de conjuntos: se sombreará ambos conjuntos y se representa así:
2. Intersección de conjuntos: se sombreará la sección que tienen en común.
3. Conjunto complemento: se sombreará solo a los elementos que contiene el conjunto universo.
4. Diferencia de conjuntos: se define la diferencia al conjunto que pertenece a A y no a B.
En una encuesta realizada a un grupo de deportistas: 115 practican basquetbol, 35 practican basquetbol y ajedrez, 90 solo ajedrez, 105 no practican basquetbol. ¿A cuántos deportistas se encuestó? 1. Se debe colocar en la intersección el número que dos conjuntos tengan en común. (35) 2. A los 135 que practican el basquetbol, se le resta 35, ya que esta integrada al grupo de los que practican ese deporte, total 80. 3. En la parte que es para ajedrez, no se le restará nada, ya que nos dice que solo practican ajedrez, por lo tanto, se coloca el numero 90. 4. A los 105 que no practican el basquetbol, se debe restar con los 90 para obtener el resultado de 15 deportistas. 5. Para finalizar se suman todos los datos obtenidos: 80+35+90+15= 220 Respuesta: 220 deportistas encuestados.
Las tablas de verdad son, por una parte, uno de los métodos más sencillos y conocidos de la lógica formal, pero al mismo tiempo también uno de los más poderosos y claros. Entender bien las tablas de verdad es, en gran medida, entender bien a la lógica formal misma. (Barceló, 2012) ¿Qué es una proposición? Es un enunciado al cual se le puede dar un valor de verdad. (verdadero o falso) Se representan simbólicamente mediante el uso de letras minúsculas: p, q, r, s… Una proposición, cuenta con variables estas son: proposiciones simples y compuesta.
Verdadero Proposición
Tiene un único valor lógico. Falso
Proposición simple
Proposición compuesta
Sin conectores lógicos. Tania es alta Usa conectores lógicos. Juan es un hombre trabajador. trabajador
¿Qué es un conector lógico? Son palabras que vinculan las ideas o expresiones. Si saca 61 en el curso, entonces aprobará el año escolar. Conectivo
p
conectivo
q
Conectivos lógicos Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta se elabora una tabla de verdad. Simple.
Compuesta p V V F F
P V F
21= 2
q V F V F
p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
22= 4
r V F V F V F V F
23= 8
1. Conjunción: vincula dos proposiciones mediante el conectivo “y” suyo símbolo es “^” y se llama conjuntor. p q p^q Juan viajo a Paris y Luis viajo a singapur p q Simbología: (p ^ q)
V V F F
V F V F
V F F F
Es verdadero cuando las dos preposiciones son verdaderas. 2. Disyunción débil: vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico “o” cuyo símbolo es “v” y se llama disyuntor.
Pedro comerá en casa o en un comedor. p q Simbología: (p v q) Es falso si ambas proposiciones son falsas.
p V V F F
q V F V F
pvq V V V F
3. Disyunción fuerte: vincula dos preposiciones mediante el conector lógico “o… o….” cuyo símbolo es “ “ y se llama disyuntor fuerte. O Ricardo vive por Ecuador o en Argentina. Simbología: (p q) Es falsa si ambas proposiciones tienen idénticos valores de verdad.
p V V F F
q V F V F
p
q F V V F
4. Condicional: vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico “si… entonces…” cuyo símbolo es “ “ y se llama implicador. Si 14 es numero par entonces es divisible entre 2 p q p= 14 es un numero par – antecedente q= 14 es divisible entre dos – consecuente Es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
p V V F F
q V F V F
p
q V F V V
5. Bicondicional: vincula dos proposiciones mediante el contectivo lógico “… si y solo si”, cuyo simbolo es “ “, y se llama doble implicador. Sicilia es una isla si y solo si esta rodeada de agua. Es verdadero solo si ambas proposiciones tienen identicos valores de verdad.
p V V F F
q V F V F
p
q V F F V
6. Negación: afecta a una sola proposición, es un operador que cambia el valor de la verdad, su simbolo es “ “ y se llama negador. Todos los animales son mamiferos. P No todos los animales son mamiferos. Negación p
p V V F F
q V F V F
p F F V V
q F V F V
p^q V F F F
pvq V V V F
p
p
p
V
F
F
V
q p F V V F
q p V F V V
Tautología, contradicciones y contingencias. Tautología: se le llama así, cuando los valores de la tabla de verdad son todos verdaderos.
Contradicción: se le así, cuando los valores de la tabla de verdad son todos falsos.
Contingencia: se le llama así, cuando los valores de la tabla de verdad son verdaderos y falsos.
p V V F F p V V F F p V V F F
q V F V F q V F V F q V F V F
Fórmula V V V V Fórmula F F F F Fórmula F V F V
q V F F V
El pensamiento lógico es la capacidad que posee el ser humano para entender todo aquello que nos rodea y las relaciones o diferencias que existen entre las acciones, los objetos o los hechos observables a través del análisis, la comparación, la abstracción y la imaginación. (Significado , 2017) El pensamiento se debe trabajar desde pequeños, ya que esto aportara de gran manera a los estudaintes, al mismo tiempo la experiencia en la realizacion de actividades aportan bastante al pensamiento lógico. La teoría de Piaget expone que el pensamiento lógico matemático surge de abstracción reflexiva, es decir, es un pensamiento que se construye en la mente del niño partiendo de lo más simple hasta lo más complejo, tomando en cuenta las experiencias anteriores. Para desarrollar el pensamiento lógico se requiere que el estudiante sea el centro del proceso y el docente únicamente como orientador o guía, con esto se quiere lograr que el estudiante tome acciones lógicas y que tenga juicio de pensamiento, haciendo que se esfuerce para su propia mejora educativa. A partir de estas acciones se apropiará de las tareas, ideas y métodos que mejoran su desarrollo de pensamiento lógico.
Inducción Y todo el que se precie de prudente debe pensar lo mismo que yo pienso si quiere tener paz entre la gente.
Compraba muy barato en el camino, y por un extravío conocido traía el cargamento a su destino, y a media noche entrábalo escondido a la tienda de un socio su vecino, de la cual se pasaba sin ruido a su mansión por una angosta puerta que había allí tras un tapiz cubierta.
Hubo siempre y habrá contrabandistas que al Gobierno defrauden sus caudales, a pesar de los guardas, de las vistas, los administradores, los fiscales; inútilmente los economistas con su ciencia
Confrontación El pensamiento debe ser claro, para tomar buenas decisiones.
Lo barato o lo fácil a veces es lo más conveniente, pero al mismo tiempo esto puede salir muy caro, se debe pensar en las acciones que uno realiza porque de estas dependerá el bien o mal de cada uno.
Consolidación Si se tomaran buenas decisiones, todo lo malo se desvanecería.
Lo difícil es a lo que se le teme, pero a veces para tener buenos resultados se debe afrontar lo difícil para ser mejores personas.
Las personas que están al frente del país son las que deberían velar por el cuidado de Lo ideal es que todos cada una de las los funcionarios personas, pero amen a su patria, tristemente solo brindando apoyo a
y sus fórmulas legales en medio de evitarlo van buscando:
buscan su bien y no la del pueblo.
¡Mientras más leyes hay, más contrabando!
¡Cara y desventurada patria mía! Con razón barre el polvo tu diadema, con razón tu existencia es agonía, ¡con razón tu destino es anatema!
y vi escupir en tu blasón dorado, y vi de hollar tu pabellón por tierra. Más de un Gobierno, más de un diputado en vez de hacerte bien te hicieron guerra
todas las personas por igual, dando el ejemplo a la población.
El país afronta agonía, Si se dedicaran a la por falta de amor a la población, todo patria, por falta de mejoraría. dedicación a su mejora.
Teniendo todo para poder hacerle bien a la patria, prefirieron hacerle una guerra, dejando morir al más débil y aprovechándose de su riqueza para sobresalir y mejorar su propia existencia.
Lo ideal fuera que no quisieran matar a su propia gente, si no que brindaran lo mejor de sí, para una mejor patria.
A veces dependemos El mundo necesita Don juan estaba no estaba de las personas que personas diferentes loco, pero era astutollaman locas, porque a al resto. veces estás tienen más razón y amor por otras, que un grupo de personas que solo piensan en su propio bien.
El razonamiento se refiere a la capacidad del ser humano para enfrentar mentalmente un problema o una situación, aplicando la lógica y la experiencia a su resolución y/o entendimiento. (Raffino, 2020) El razonamiento cuenta con dos tipos, estas son: Deductivo e inductivo. ¿Qué es el razonamiento deductivo? El razonamiento deductivo parte de principios generales para llegar a una conclusión especifica. No aporta informaciones nuevas. Las premisas apoyan a la conclusión, pero no lo hacen de manera absoluta. La verdad de las premisas no garantiza la verdad de la conclusión. Un razonamiento deductivo puede ser valido o invalido. Ejemplo: Los seres humanos tienen dos manos y dos pies. Pedro es un ser humano. Pedro tiene dos manos y dos pies. ¿Qué es el razonamiento inductivo? El razonamiento inductivo utiliza premisas particulares para llegar a una conclusión general, este razonamiento cuenta con dos tipos, estas son: completos e incompletos.
Completos: se acerca a un razonamiento deductivo porque no aporta más información (conclusiones). En el se estudian todos los individuos abarcados por la extensión del concepto tratado. Ejemplo: Elena y Josué tienen tres hijos: Daniel, Juan y Rodrigo. Daniel es alto. Juan es alto. Rodrigo es alto. Por lo tanto, todos los hijos de Elena y Josué son altos. Incompletos: la conclusión va más allá de los datos que dan las premisas, a mayor cantidad de datos, mayor probabilidad. La verdad de las premisas no garantiza la verdad de la conclusión. Ejemplo: Josué es alto Daniel es alto Juan es alto Por lo tanto, todas las personas son altas.
1. Verdad: Clásicamente se define la verdad como la adecuación de la inteligencia y la realidad, cuando lo que digo coincide con la realidad hay verdad. ✓ La verdad es una noción semántica que alude a una relación entre una expresión y un estado de cosas. ✓ La verdad se refiere al contenido del razonamiento y significa que es concordante con la realidad. Ejemplo: Un kilómetro tiene 1000 metros Un metro tiene 100 centímetros Por lo tanto, un kilómetro tiene 100,000 centímetros.
2. Validez: la validez se dice de los razonamientos, no de las proposiciones, un razonamiento es válido, una proposición es verdadera. ✓ La validez se refiere a la forma del razonamiento y significa algo parecido a que una jugada es válida en un juego. Ejemplo: Ningún héroe es cobarde Algunos soldados son cobardes Por lo tanto, algunos soldados no son héroes.
Son afirmaciones acerca de categorías o clases, toda proposición categórica es un enunciado acerca de los miembros de dos clases y de relación entre ellos. (ABC, 2003) ¿Qué es una clase? Es una colección de objetos que tiene alguna característica en común, las clases pueden estar relacionadas entre si de diversas maneras. ✓ Incluida o contenida. ✓ Incluida o contenida parcialmente. ✓ No tiene ningún miembro en común. Existen cuatro formas típicas de proposiciones categóricas. 1. Universal afirmativa: afirma que hay una relación de inclusión entre las dos clases, es decir que todos los miembros de S son también miembros de P. TODO S ES P Ejemplo: Todos los hombres son mentirosos. 2. Universal negativa: niega universalmente, lo que equivale a decir que no hay ningún miembro de la primera que sea también miembro de la segunda. NINGÜN S ES P Ejemplo: Ningún hombre es mentiroso.
3. Particular afirmativa: esta proposición no afirma ni niega, se interpreta como afirmando que al menos un miembro de la clase designada por el termino sujeto S es también miembro de la clase designada por el termino P. ALGÚN S ES P Ejemplo: Algunos hombres son mentirosos. 4. Particular negativa: afirma que al menos un miembro de la clase designada con el termino sujeto S esta excluido de la clase designada por el termino P. ALGÚN S NO ES P Ejemplo: Algunos hombres no son mentirosos.
Se conoce como silogismo al razonamiento deductivo que consta de dos premisas (mayor y menor), a partir de las cuales se llega a una conclusión Una proposición es categórica cuando tiene una de las siguientes formas: ✓ ✓ ✓ ✓
TODO S ES P NINGÚN S ES P ALGÚN S ES P ALGÚN S NO ES P
El sujeto y predicado se hallará en la conclusión y el elemento se encontrará en las premisa mayor y menor.
Elemento intermedio: se encuentra en dos premisas (es lo que se repite en dos premisas.)
Ejemplo: Los números enteros son números naturales M
Premisa mayor
P
Algunos números enteros son negativos M
Premisa menor
S
Algunos números negativos son números naturales. S
Conclusión
P
La calidad de una proposición es afirmativa o negativa. La cantidad de una proposición es universal o particular. PROPOSICIÓN
Letra
TODO S ES P
A
NINGÚN S ES P
E
ALGÚN S ES P
I
ALGÚN S NO ES P
O
Enuncian la relación entre dos conceptos, es decir, entre el sujeto y predicado.
1. Universal afirmativa: Todos los animales son domésticos.
2. Particular afirmativa: Algunos animales son domésticos.
3. Universal negativa: Ninguna mujer es honesta.
4. Particular negativa: Alguna mujer no es honesta.
Tipo de proposición
Letra
Distribución
Universal afirmativa
A
SDPI
Universal negativa
E
SDPD
Particular afirmativa
I
SIPI
Particular negativa
O
SIPD
Ejemplo: Todos los animales son mamíferos. Proposición: TODO S ES P Forma: A Análisis: Sujeto distribuido y predicado indistribuido. Representación: A: SDPI
¿Qué es un cuadro de oposición? Las proposiciones categóricas de forma típica que tienen los mismos términos sujeto y predicado pueden diferir entre sí en la calidad, en la cantidad o en ambas. Los lógicos de otros tiempos dieron a este género de diferencias el nombre técnico de "oposición" y establecieron importantes relaciones entre los valores de verdad. Existen 4 tipos de oposición, estas son: 1. Contrarios: Viene de los juicios universales (A – E) Surge cuando en dos proposiciones que mantienen el mismo sujeto y el mismo predicado difieren la cantidad y la cualidad. Es contraria si una de ellas es la negación de la otra. No pueden ser ambas verdaderas, pero si pueden ser ambas falsas.
Ejemplo: Todos lo animales son mamíferos. A Ningún animal es mamífero. E 2. Subcontrarias: Se dice que dos proposiciones son subcontrarias si no pueden ser ambas falsas, aunque puedan ser ambas verdaderas. Las proposiciones particulares que tienen los mismos términos sujeto y predicado, pero que difieren en la calidad, son subcontrarias. Las proposiciones I y O se consideran subcontrarias.
Ejemplo: Algunos árboles son verdes. I Algunos árboles no son verdes. O
3. Contradictorios: Se oponen también en cantidad y calidad y son, por tanto, contradictorias. Podemos decir, pues, esquemáticamente, que la contradictoria de "Todo S es P" es "Algún S no es P", y la contradictoria de "Ningún S es P" es "Algún S es P". A y O son contradictorias, como lo son también E e I. Los extremos diagonales son contradictorias Ejemplos:
Todos los perros son leales. A Algunos perros no son leales. O
Ningún perro es leal. E Algunos perros son leales. I Su cualidad y cantidad no concuerdan 4. Subalternos: Se forman a partir de los juicios universales con los particulares. (A con I) son positivos (E con O) son negativos Difieren en su cantidad, pero concuerdan en su calidad. Ejemplos: Todos los hombres son responsables. A Algunos hombres son responsables. I Ningún hombre es responsable. E Algunos hombres no son responsables. O
El silogismo categórico es el razonamiento de la lógica de clases, a través de él se establece la validez de los razonamientos. Pasos para establecer la validez de los silogismos.
Ejemplo: Todas las computadoras son electr贸nicas y todas las Lenovo son computadoras; Por lo tanto, todas las Lenovo son electr贸nicas. Paso 1. Establecer la estructura. Todas las computadoras son electr贸nicas M
P
Todas las Lenovo son computadoras S
A
M
Todas las Lenovo son electr贸nicas. S
A
A
P
Estructura: MP SM SP Paso 2: establecer el modo del silogismo. Respuesta: AAA Paso 3: Se procede a identificar a que figura pertenece.
Respuesta: este ejercicio se encuentra en la figura 1. Figura No. 1
MP SM SP Paso 4: se compara el modo del silogismo, con el tipo de figura. Y por medio de esto se puede determinar si el silogismo es vรกlido o invalido.
Paso 5: Se realiza una grรกfica con los datos obtenidos con el diagrama de Venn. Resultado final: Todas las computadoras son electrรณnicas M
P
Todas las Lenovo son computadoras S
A
M
Todas las Lenovo son electrรณnicas. S
A
A
P
Estructura:
Modo:
Todo M es P
AAA
Figura: No. 1 MP
Todo S es M
SM
Todo S es P
SP
Respuesta: SILOGISMO VALIDO
Concepto: se define como el resultado o producto mental de un proceso lógico y sirve para designar las características que puedan o no compartir las diferentes clases. Al mismo tiempo sirve para identificar las características comunes. De estas se desprende varias clases que dependerán bastante de su extensión, estas son: universales, particulares e individuales. El concepto cuenta con características que servirán para poder determinar los elementos y a la clase que pertenece y su extensión se conformará por la cantidad de objetos que estén involucrados.
Definición: es la operación lógica que permite identificar los caracteres esenciales de un objeto, por medio de las diferentes clases se determinarán las características de cada objeto mediante el juicio. Para poder identificar materiales existen formas para definirlas correctamente estas son: denotativa y enumerativa. La definición es fundamental para poder identificar correctamente conceptos mediante la buena utilización e identificación de sus características.
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