LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO I PROBLEMAS DE TAXA DE VARIAÇÃO Professor Walter Lucas Pinto Jr.
LIMITES – DERIVADAS – INTEGRAIS 1º) Um ponto move-se sobre a semi-circunferência x 2 + y 2 = 5, y ≥ 0 . Suponha
dx > 0 . Determine o dt
ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da de x. 2º)
Suponha que os comprimentos dos segmentos AB e OB sejam, respectivamente, 5cm e 3cm. Suponha ainda, que θ esteja variando a uma taxa constante de quando θ =
π 2
1 rad / s . Determine a velocidade de A, 2
rad / s .
3º) Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de 0,1 m 3 / s . O vértice está a 15m do topo e o raio do topo é de 10m. Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que h=5m.
4º)
O ponto P = ( x, y ) está fixo à roda de raio 1m, que rola, sem escorregamento, sobre o eixo 0x. O ângulo θ está variando a uma taxa constante de 1 rad/s. Expresse as velocidades da abscissa e da ordenada de P em função de θ . OBS.: Esta curva chama-se ciclóide. Ela é uma curva definida por um ponto de uma circunferência de raio r que rola sem deslizar sobre uma reta. Mostre que sua parametrização é dada pelas equações: x (t ) = t − sen t e y (t ) = 1 − cos t , com 0 ≤ t ≤ 2π .
5º)
Os lados x e y de um retângulo estão variando a taxas constantes de 0,2 m/s e 0,1 m/s respectivamente. A que taxa estará variando a área do retângulo no instante em que x=1m e y=2m?
6º)
Um ponto P move-se sobe a parábola y 2 = x, x > 0 e y > 0. A abscissa x está variando com uma aceleração que, em cada instante, é o dobro do quadrado da velocidade da ordenada y. Mostre que a ordenada está variando com aceleração nula.
7º)
Dois pontos P e Q deslocam-se, respectivamente, nos eixos Ox e Oy de modo que a soma das distancias de P a R e de R a Q mantém-se constante e igual a ℓ durante o movimento, onde R= (0,h) é um ponto fixo. Relacione a com a velocidade
velocidade
dy de Q dt
dx de P. dt
8º)
Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4m do solo?
9)
Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4m de altura e 2m de raio da base. Se a água entra no tanque à razão de 0,0001 m 3 / min , calcule aproximadamente a razão na qual o nível da água está subindo quando a profundidade é de 1m.
10º) Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de circulo. O raio do círculo aumenta à razão de 1m/min. Determine a taxa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de 20m. 11º) Uma pessoa que solta uma pipa segura a corda a 1,5m do solo; a corda é liberada à razão de 0,6 m/s na medida em que a pipa se move horizontalmente a uma altura de 33,5m. Supondo que a corda fique sempre tensa, determine a taxa à qual o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados 38m de corda. 12º) Dois carros estão se encaminhado em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 km/h, e o outro seguindo a direção sul à 60 km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a 0,2 km do cruzamento e o segundo a 0,15 km ?
13º) A lei de Boyle para a expansão de um gás é P.V=C, onde P é o numero de quilos por unidade quadrada de pressão, V é o numero de unidades cúbicas do volume do gás e C é uma constante. Num certo instante, a pressão é de 150 kg / m 2 , o volume é de 1,5 m 3 e está crescendo a uma taxa de
1m 3 / min . Ache a taxa de variação da pressão nesse instante. 14º) Cada extremidade de uma haste PQ de comprimento 8 é forçada a mover-se em uma guia, como indica na figura a seguir. Se ao ponto Q se imprime um movimento definido por x (t ) = 4. sen 3t , qual será a velocidade de P em qualquer instante de tempo t?
15º) Se um paralelepípedo possui área lateral igual a 6m 2 , área frontal de 3m 2 e área da base igual à
2m 2 . Calcule a variação do volume, sabendo que o comprimento varia à taxa de 0,4m/s, a largura à 0,2m/s e a altura à 0,3m/s no instante em que o comprimento é 1m, a largura 2m e a altura 3m. 16º) Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia a razão de 0,01 cm / min . Determine a taxa à qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro está em 30 cm. 17º) Encontre a que taxa cresce o volume de uma bola de neve esférica, sabendo-se que o raio cresce a 5 cm/s, no instante em que ele mede 10cm. 18º) Dois carros partem de um cruzamento no mesmo instante. Um viaja para o norte à 80 km/h e outro viaja para o leste à 60 km/h. A que taxa aumenta a distancia entre os dois carros 2 horas após a partida? 19º) O gás de um balão esférico está escapando a uma taxa de 2m 3 / min . A que taxa está à superfície do balão encolhendo quando o raio é 12m? 20º) Um tanque em forma de um funil cônico encontra-se filtrando um liquido que varia sua altura a uma taxa de 0,6m/s e seu raio a taxa de 0,2m/s. Calcule qual a taxa que varia seu volume quando do liquido restarem 2,0m de altura até o escoamento total do liquido. Sabe-se que neste momento o plano que secciona o líquido na lateral do tanque forma um circulo de raio igual a 1m. 21º) Uma escada de 8 m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 m/s, com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede? 22º)
A base x e a altura y de um retângulo estão variando com o tempo. Em um dado instante, x mede 3 cm e cresce a uma taxa de 2 cm/s, enquanto y mede 4 cm e decresce a uma taxa de 1cm/s. Determine, nesse instante a taxa de variação da área A do retângulo em relação ao tempo.
23º)
Um ponto se move sobre a curva y = x 5 , x > 0. Determine o ponto da curva onde a taxa de variação de y relação ao tempo t é o triplo da de x com relação ao tempo t
24º) Deve-se esvaziar um balão esférico de tal modo que seu raio diminua a uma taxa de 15 cm/min. Com que rapidez deve o mesmo ser esvaziado no instante em que seu raio medir 9 cm ? 25º)
Se um foguete é lançado a uma distancia fixa de 500m de uma câmara que o observa subir a velocidade vertical de 1000m/s. Calcule qual será a inclinação do ângulo, no momento em que tal foguete encontra-se variando o ângulo θ a uma razão de 159π rad / s .Considere que a sua velocidade vertical seja uniforme e ascendente.
26º) Uma aeronave está voando a uma altitude constante e com uma velocidade constante de 600mi/h. Um míssil antiaéreo é disparado em uma linha reta perpendicular à trajetória de vôo da aeronave, de tal forma que irá atingi-la em um ponto P. No instante em que a aeronave está a 2 mi do ponto de impacto, o míssil está a 4mi dele e voando a 1200 mi/h naquele instante. Com que rapidez estará decrescendo a distancia entre o míssil e a aeronave? 27º)
Resolva o exercício anterior na hipótese de que o ângulo entre eles não mais seja 90º, mas que seja 120º até o ponto de encontro (impacto).
28º) Se um carro de bandidos parte de um ponto de assalto a uma taxa de 38m/s e após 5 min, um carro da policia sai em sua direção à taxa de variação cuja rapidez varia a 32m/s2. Calcule a que taxa está variando a distancia entre eles, sabendo que o carro dos bandidos executa uma fuga em movimento uniforme e o da policia variando uniformemente ao longo do tempo. Ë possível calcular o tempo suficiente do encontro entre eles? Qual a distancia total entre o ponto do encontro e o local do assalto 29º)
Se o lado de um triângulo eqüilátero mede a cm e cresce a k cm / h , calcule com que velocidade crescerá a área desse triângulo.
30º)
Se r representa o raio de uma esfera, S a superfície e V o volume, provar que é verdadeira a relação
31º)
32º)
dV r dS = . . dt 2 dt
Um tanque tem a forma de cilindro circular reto de 5 metros de raio da base e 10 metros de altura. No tempo t = 0s , a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m 3 / h. a) Com que velocidade o nível de água sobe? b) Quanto tempo levará para que o tanque fique cheio?
xy 3 8 = . Suponha que a 2 5 1+ x coordenada x esteja crescendo a uma taxa de 6 unidades por segundo, quando a partícula estiver no ponto (1,2) . a) Com que taxa estará variando a coordenada y do ponto naquele instante. b) Naquele instante, a partícula estará subindo ou descendo e porquê? Uma partícula move-se ao longo de uma curva cuja equação é
33º) Descanse !!!