LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO I PROBLEMAS DE TAXA DE VARIAÇÃO Professor Walter Lucas Pinto Jr.
LIMITES – DERIVADAS – INTEGRAIS 1º) Um ponto move-se sobre a semi-circunferência x 2 + y 2 = 5, y ≥ 0 . Suponha
dx > 0 . Determine o dt
ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da de x. 2º)
Suponha que os comprimentos dos segmentos AB e OB sejam, respectivamente, 5cm e 3cm. Suponha ainda, que θ esteja variando a uma taxa constante de quando θ =
π 2
1 rad / s . Determine a velocidade de A, 2
rad / s .
3º) Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de 0,1 m 3 / s . O vértice está a 15m do topo e o raio do topo é de 10m. Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que h=5m.
4º)
O ponto P = ( x, y ) está fixo à roda de raio 1m, que rola, sem escorregamento, sobre o eixo 0x. O ângulo θ está variando a uma taxa constante de 1 rad/s. Expresse as velocidades da abscissa e da ordenada de P em função de θ . OBS.: Esta curva chama-se ciclóide. Ela é uma curva definida por um ponto de uma circunferência de raio r que rola sem deslizar sobre uma reta. Mostre que sua parametrização é dada pelas equações: x (t ) = t − sen t e y (t ) = 1 − cos t , com 0 ≤ t ≤ 2π .
5º)
Os lados x e y de um retângulo estão variando a taxas constantes de 0,2 m/s e 0,1 m/s respectivamente. A que taxa estará variando a área do retângulo no instante em que x=1m e y=2m?
6º)
Um ponto P move-se sobe a parábola y 2 = x, x > 0 e y > 0. A abscissa x está variando com uma aceleração que, em cada instante, é o dobro do quadrado da velocidade da ordenada y. Mostre que a ordenada está variando com aceleração nula.