Aula 3
Ă lgebra de Boole Ă lgebra SEL 0414 - Sistemas Digitais Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa Vieira
1. ÁLGEBRA DE BOOLE 1.1. POSTULADOS (a) Complemento Ā = complemento de A • A=0ÎĀ=1 • A=1ÎĀ=0
1. ÁLGEBRA DE BOOLE 1.1. POSTULADOS (b) Adição 0 0 1 1
+ + + +
0 1 0 1
= = = =
0 1 1 1
Ö
A+0=A A+1=1
Ö
A+A=A A+Ā=1
1.1. POSTULADOS (b) Adição
1. ÁLGEBRA DE BOOLE 1.1. POSTULADOS (c) Multiplicação 0 0 1 1
. . . .
0 1 0 1
= = = =
0 0 0 1
Ö
A.0=0 A.1=A
Ö
A.A=A A.Ā=0
1.1. POSTULADOS (c) Multiplicação
1. ÁLGEBRA DE BOOLE 1.2. PROPRIEDADES
• A+B=B+A
(a) Comutativa
Ö
(b) Associativa
Ö•
• A·B = B·A A + (B+C) = (A+B) + C =A+B+C
• A · (BC) = (AB) · C = ABC (c) Distributiva
Ö
A · (B+C) = AB + AC
2. ÁLGEBRA DE BOOLE 2.4. OUTRAS IDENTIDADES (a) A = A
Lei da Dupla Inversão
(b) A + A·B = A
Lei da Absorção
(c) A + A B = A + B (d) (A + B) (A + C) = A + B·C (e) A·B + A·C = (A + B) · (A + C) Lei da Dualidade
1. ÁLGEBRA DE BOOLE 1° TEOREMA DE De Morgan
A·B = A+B
Ö
A
B
AB
A+B
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
1 1 1 0
1. ÁLGEBRA DE BOOLE 2° TEOREMA DE De Morgan
A+B = A·B
Ö
A
B
0 0 1 1
0 1 0 1
A+B A B 1 0 0 0
1 0 0 0
EQUIVALÊNCIA ENTRE BLOCOS LÓGICOS
A
S
B
⇔
A
S
B
1º TEOREMA DE DE MORGAN: A·B = A + B 1
Colocando um inversor na saída obtém-se: obtém se: A B
S
⇔
A B
S
EQUIVALÊNCIA ENTRE BLOCOS LÓGICOS
A
S
B
⇔
A
S
B
1º TEOREMA DE DE MORGAN: A + B = A · B
C l Colocando d um inversor i na saída íd obtém-se: b é A B
S
⇔
A B
S
UNIVERSALIDADE DAS PORTAS NAND E NOR z
Todas as expressões Booleanas consistem de combinações de funções f nções OR, OR AND e NOT; NOT
z
Portas NAND e NOR são universais, ou seja, podem se “transformar” em qualquer outra porta t lógica ló i e podem, d portanto, t t ser usadas d para representar qualquer expressão Booleana;
Porta NAND 1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND” TABELA VERDADE A B
S
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
S 1 1 1 0
Porta NAND 1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND”
A
S=A
TABELA VERDADE A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
S 1 1 1 0
Porta NAND 1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND”
A
A 1
S=A
S=A
TABELA VERDADE A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
S 1 1 1 0
Porta NAND 1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND”
A
A 0 1
S=A
= A 1
S=A
S 1 0
Porta NAND 2. Porta “AND” a partir de duas portas “NAND” A
S1=AB
B
S2=AB = AB
=
Porta NAND 3. Porta “OR” a partir de três portas “NAND” Pelo Teorema de De Morgan temos: ( A · B ) = (A + B) = A + B
A B
S
⇔
A B
S
Porta NAND 3. Porta “OR” a partir de três portas “NAND” A
B
⇔
Inversores
A B
S
Porta NOR 1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR” TABELA VERDADE
A B
S
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
S 1 0 0 0
Porta NOR 1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR”
A
S=A
TABELA VERDADE A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
S 1 0 0 0
Porta NOR 1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR”
A
A 0
S=A
S=A
TABELA VERDADE A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
S 1 0 0 0
Porta NOR 1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR”
A
A 0 1
S=A
= A 0
S=A
S 1 0
Porta NOR 2. Porta “OR” a partir de duas portas “NOR” A
S1=A+B
B
S2=A+B = A+B
=
Porta NOR 3. Porta “AND” a partir de três portas “NOR” Pelo Teorema de De Morgan temos: ( A + B ) = (A·B) = A·B
A B
S
⇔
A B
S
Porta NOR 3. Porta “AND” a partir de três portas “NOR” A
B
⇔
Inversores
A B
S
Resumo
FIM
Exerc铆cios: Simplificar as express玫es: 1.
S = ABC + ABC
2.
S = (A + B) 路 (A + B)
3.
S = ABC + AC + AB
4 4.
S = (A + C) 路 (A + D)
FIM