Matemática Discreta

Aula 3

Ă lgebra de Boole Ă lgebra SEL 0414 - Sistemas Digitais Prof. Dr. Marcelo Andrade da Costa Vieira

1. ÁLGEBRA DE BOOLE 1.1. POSTULADOS (a) Complemento Ā = complemento de A • A=0ÎĀ=1 • A=1ÎĀ=0

1. ÁLGEBRA DE BOOLE 1.1. POSTULADOS (b) Adição 0 0 1 1

+ + + +

0 1 0 1

= = = =

0 1 1 1

Ö

A+0=A A+1=1

Ö

A+A=A A+Ā=1

1.1. POSTULADOS (b) Adição

1. ÁLGEBRA DE BOOLE 1.1. POSTULADOS (c) Multiplicação 0 0 1 1

. . . .

0 1 0 1

= = = =

0 0 0 1

Ö

A.0=0 A.1=A

Ö

A.A=A A.Ā=0

1.1. POSTULADOS (c) Multiplicação

1. ÁLGEBRA DE BOOLE 1.2. PROPRIEDADES

• A+B=B+A

(a) Comutativa

Ö

(b) Associativa

Ö•

• A·B = B·A A + (B+C) = (A+B) + C =A+B+C

• A · (BC) = (AB) · C = ABC (c) Distributiva

Ö

A · (B+C) = AB + AC

2. ÁLGEBRA DE BOOLE 2.4. OUTRAS IDENTIDADES (a) A = A

Lei da Dupla Inversão

(b) A + A·B = A

Lei da Absorção

(c) A + A B = A + B (d) (A + B) (A + C) = A + B·C (e) A·B + A·C = (A + B) · (A + C) Lei da Dualidade

1. ÁLGEBRA DE BOOLE 1° TEOREMA DE De Morgan

A·B = A+B

Ö

A

B

AB

A+B

0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 0

1. ÁLGEBRA DE BOOLE 2° TEOREMA DE De Morgan

A+B = A·B

Ö

A

B

0 0 1 1

0 1 0 1

A+B A B 1 0 0 0

1 0 0 0

EQUIVALÊNCIA ENTRE BLOCOS LÓGICOS

A

S

B

⇔

A

S

B

1º TEOREMA DE DE MORGAN: A·B = A + B 1

Colocando um inversor na saída obtém-se: obtém se: A B

S

⇔

A B

S

EQUIVALÊNCIA ENTRE BLOCOS LÓGICOS

A

S

B

⇔

A

S

B

1º TEOREMA DE DE MORGAN: A + B = A · B

C l Colocando d um inversor i na saída íd obtém-se: b é A B

S

⇔

A B

S

UNIVERSALIDADE DAS PORTAS NAND E NOR z

Todas as expressões Booleanas consistem de combinações de funções f nções OR, OR AND e NOT; NOT

z

Portas NAND e NOR são universais, ou seja, podem se “transformar” em qualquer outra porta t lógica ló i e podem, d portanto, t t ser usadas d para representar qualquer expressão Booleana;

Porta NAND 1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND” TABELA VERDADE A B

S

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 1 1 1 0

Porta NAND 1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND”

A

S=A

TABELA VERDADE A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 1 1 1 0

Porta NAND 1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND”

A

A 1

S=A

S=A

TABELA VERDADE A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 1 1 1 0

Porta NAND 1. INVERSOR a partir de uma porta “NAND”

A

A 0 1

S=A

= A 1

S=A

S 1 0

Porta NAND 2. Porta “AND” a partir de duas portas “NAND” A

S1=AB

B

S2=AB = AB

=

Porta NAND 3. Porta “OR” a partir de três portas “NAND” Pelo Teorema de De Morgan temos: ( A · B ) = (A + B) = A + B

A B

S

⇔

A B

S

Porta NAND 3. Porta “OR” a partir de três portas “NAND” A

B

⇔

Inversores

A B

S

Porta NOR 1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR” TABELA VERDADE

A B

S

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 1 0 0 0

Porta NOR 1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR”

A

S=A

TABELA VERDADE A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 1 0 0 0

Porta NOR 1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR”

A

A 0

S=A

S=A

TABELA VERDADE A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 1 0 0 0

Porta NOR 1. INVERSOR a partir de uma porta “NOR”

A

A 0 1

S=A

= A 0

S=A

S 1 0

Porta NOR 2. Porta “OR” a partir de duas portas “NOR” A

S1=A+B

B

S2=A+B = A+B

=

Porta NOR 3. Porta “AND” a partir de três portas “NOR” Pelo Teorema de De Morgan temos: ( A + B ) = (A·B) = A·B

A B

S

⇔

A B

S

Porta NOR 3. Porta “AND” a partir de três portas “NOR” A

B

⇔

Inversores

A B

S

Resumo

FIM

Exerc铆cios: Simplificar as express玫es: 1.

S = ABC + ABC

2.

S = (A + B) 路 (A + B)

3.

S = ABC + AC + AB

4 4.

S = (A + C) 路 (A + D)

FIM