Grandezas Diretamente Proporcionais Vamos considerar a seguinte situação: paguei R$ 10,00 por 1 caderno; paguei R$ 20,00 por 2 cadernos e eu paguei R$ 30,00 por 3 cadernos. Quando a primeira grandeza (cadernos) aumenta na razão 1 para 2, a segunda grandeza (preços) passa de 10 para 20. Como
10 1 1 10 é equivalente a , temos a proporção: = . 20 2 2 20
Do mesmo modo, se o número de cadernos aumenta de 1 para 3, os preços também variam em razões equivalentes, ou seja:
1 10 . = 3 30
Nesse caso, dizemos que as duas grandezas (quantidade de cadernos e preços) são diretamente proporcionais. Assim: Duas grandezas são diretamente proporcionais se uma delas variar na mesma razão da outra.
Grandezas Inversamente Proporcionais A distância entre Salvador e Feira de Santana é 120 km. Um veículo pode percorrê-la com diferentes velocidades. Examinemos a relação entre as grandezas velocidade e tempo gasto no percurso: Velocidade (km/h) 30 40 60 120
A B C D Comparando (A) e (B), temos:
•
A razão entre as velocidades:
•
A razão entre os tempos:
30km / h 3 = 40km / h 4
4horas 4 = 3horas 3
Comparando (A) e (D), temos:
•
A razão entre as velocidades:
•
A razão entre os tempos:
30km / h 1 = 120km / h 4
4horas 4 = 1hora 1
Tempo gasto (h) 4 3 2 1
Em qualquer desses casos, uma razão é a inversa da outra. Para obter uma proporção, invertem-se os termos de uma das razões, ou seja: 30km / h 30 = 40km / h 40 30 3 = e 40 4 4horas 4 = 3horas 3 De fato, 4 . 30 = 3 . 40 Dizemos então: Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da primeira.
Regra de Três Simples
Consideremos a seguinte situação: Comprei 03 camisetas por R$ 120,00 reais. E se tivesse comprado 05 camisetas, quanto teria gasto? Observe que estão relacionados dois valores da grandeza camisetas com dois da grandeza preço. Vamos organizar esses dados numa tabela: Camisetas
3
5
Preço (R$)
120
x
Note que nessa tabela conhecemos três de seus elementos e procuramos o valor do quarto. São os chamados problemas de regra de três simples. As grandezas camisetas e preço são diretamente proporcionais, por isso podemos escrever:
3 120 = 5 x Com a aplicação da propriedade fundamental, temos: 3 x = 120.5 ⇒ x =
120.5 ⇒ x = 200 3
Logo, a garota mostrada na figura pagaria R$ 200,00 pelas 05 camisetas. Há um processo prático que facilita a resolução desses problemas. Acompanhe.
1º. Problema – Carla pagou R$ 4,50 por dois cadernos. Quanto pagaria por 5? •
Organizam-se os dados do problema numa tabela ou esquema:
Cadernos
preço (R$)
2
----------------------
4,50
5
----------------------
x
•
Verifica-se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. No 1º. Caso, colocam-se setas num mesmo sentido, indicando esse fato; se inversamente proporcionais, setas em sentido opostos.
Cadernos
preço (R$)
↓2
----------------------
4,50 ↓
↓5
----------------------
x
•
↓
Como as grandezas são diretamente proporcionais, escreve-se na forma direta:
2 4,50 = 5 x •
Calcula-se o valor da incógnita: x =
5.4,50 ⇒ x = 11,25 2
Logo, Carla pagaria R$ 11,25 pelos 5 cadernos.
2º. Problema – Em 3 horas, numa velocidade média de 500 km por hora, um avião percorre a distância entre duas cidades. Voando a 800 km por hora, quanto tempo gastaria para percorrer a mesma distância? Organizam-se os dados: Velocidade (km/h)
Tempo(h)
500
---------------- 3
800
---------------- x
As grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Por isso, as setas estarão em sentidos opostos: Velocidade (km/h)
Tempo(h)
↓ 500
---------------- 3 ↑
↓ 800
---------------- x ↑
x=
•
Escreve-se a proporção, invertendo os termos de uma das razões:
•
Calcula-se x:
500 x = 800 3
3.500 15 ⇒x= ⇒ x = 1h52 min 30 s 800 8
Logo, o avião levaria 1 h 52 min 30 s para percorrer a mesma distância.
Problemas 1) Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos o farão em 6 dias? R= 25 2) Com 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de farinha. Quantos quilos são necessários para fabricar 162,5 kg de farinha? R= 250 kg 3) Num acampamento há alimento suficiente para 48 pessoas durante um mês. Retirando-se 16 pessoas, quantos dias durará o alimento? R= 45 dias 4) Cinco pedreiros constroem uma casa em 300 dias. Em quantos dias 10 pedreiros farão o serviço? R= 150 dias 5) Reinaldo trabalhou 30 dias e recebeu R$ 150,00. Em quantos dias de trabalho ele receberá R$ 200,00? R= 40 dias 6) Um carro, com velocidade constante de 100 km/h, vai da cidade A à cidade B em 3 horas. Em quanto tempo faria o mesmo percurso a 160 km/h? R= 1h 52min 30s 7) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas a encheriam em 2 horas? R= 15 torneiras 8) 120.000 torcedores acabaram de assistir a um jogo de futebol. A capacidade das seis saídas disponíveis do estádio é de 1.000 pessoas por minuto. Calcule o tempo mínimo necessário para que todos deixem o local. R= 20 minutos 9) Para remover as vítimas da enchente de uma cidade, 480 homens trabalharam durante 8 dias. Quantos fariam o mesmo trabalho em 6 dias? R= 640 homens