Bộ chuyên đề bài tập vận dụng cao lớp 11 môn Toán - Huỳnh Đức Khánh by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN LTĐH

vectorstock.com/16435202

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

Bộ chuyên đề bài tập vận dụng cao lớp 11 môn Toán - Huỳnh Đức Khánh PDF VERSION | 2019 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group

Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/HoaHocQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO Mục lục 1. Ôn tập những vấn đề cơ bản………………………….…………….……………………

2. Tìm nghiệm của phương trình………………………………………………………….

3. Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất………………………..… . 4. Số nghiệm của phương trình…………………………………………………………….

5. Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [a; b ] ………..………… . 6. Tìm m để phương trình có nghiệm………………….………………………………

7. Tìm m để phương trình đúng n có nghiệm thuộc (a; b ) …….…..… . 8. Kỹ thuật hàm đặc trưng …………………………………………….………………….….

9. Tìm GTLN-GTNN của hàm số……………………………………...………..………

10. Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m ………………………………… .

Vấn đề 1. Ôn tập những vấn đề cơ bản Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

2018 có tập xác định là D = . 1 + tan 2 x sin x B. Hàm số y = có tập xác định là D =  \ {3}. 3 - cos x A. Hàm số y =

C. Hàm số y = cos x + 1 có tập xác định là D = .

2x có tập xác định là D = . x -2 x sin 2 x æ 5p ö ; y2 = 2 - sin x cos çç - 2 x ÷÷÷ ; y3 = sin x cos 2 x + tan x và Câu 2. Cho các hàm số y1 = 3 ç è2 ø cos 2 x D. Hàm số y = sin

y4 = x cos 2 x . Hỏi có bao nhiêu hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 3. Trong các hàm số y1 = sin x ; y2 = sin 2 x ; y3 = tan x ; y4 = cot x có bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính chất f ( x + k p ) = f ( x ), "x Î , k Î  . A. 1.

B. 2.

C. 3.

Câu 4. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

D. 4.

Câu 5. Đường cong trong hình bên mô tả đồ thị của hàm số y = A sin ( x + a ) + B (với A, B, a là

các

hằng

số

và

12a . p A. S = 1. C. S = 3.

é pù a Î ê 0; ú ). ëê 2 ûú

Tính

S = A+B +

B. S = 2. D. S = 5.

Câu 6. Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m, trục của nó cách mặt nước 2m . Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt

nước

được

tính

theo

công

h= y

thức

trong

đó:

é æ 1 öù y = 2,5sin ê 2p çç x - ÷÷÷ú + 2 với x là thời gian quay của guồng với êë çè 4 øúû

x ³ 0 tính bằng phút. Ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt

nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước. Vậy chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi nào? 1 B. x = . 4

A. x = 0.

1 C. x = . 2

D. x = 1.

Câu 7. Gọi n là số nguyên thỏa mãn (1 + tan10 ).(1 + tan 2 0 )(1 + tan 450 ) = 2 n. Khẳng định nào sau đây đúng? A. n Î [1;7 ].

B. n Î [8;19 ].

C. n Î [20;26 ].

D. n Î [27;33].

Câu 8. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất của thỏa mãn

1 1 1 2 + ++ = . 0 0 0 0 0 sin 45 .sin 46 sin 46 .sin 47 sin134 .sin135 sin n 0 B. n = 45. C. n = 46. D. n = 91. 0

A. n = 1.

5 p và sin a + cos a = . Tính P = sin a - cos a. 2 4 3 3 1 1 . . A. P = B. P = × C. P = - × D. P = 2 2 2 2 æ 3p ù a a 4 Câu 10. Cho góc a thỏa mãn tan a = - và a Î çç ;2p ú . Tính P = sin + cos . ç ú è2 2 2 3 û

Câu 9. Cho góc a thỏa 0 < a <

A. P = 5.

B. P = - 5.

C. P = -

5 . 5

D. P =

5 . 5

Vấn đề 2. Tìm nghiệm của phương trình æ æp ö 5 æp ö pö Câu 11. Cho phương trình cos 2 çç x + ÷÷÷ + 4 cos çç - x ÷÷÷ = . Nếu đặt t = cos çç - x ÷÷÷ thì çè ç ç è6 ø 2 è6 ø 3ø

phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây? A. 4 t 2 - 8t + 3 = 0.

B. 4 t 2 - 8t - 3 = 0.

C. 4 t 2 + 8t - 5 = 0.

D. 4 t 2 - 8t + 5 = 0. æ pö Câu 12. Cho x 0 thỏa mãn 6 (sin x - cos x ) + sin x cos x + 6 = 0. Giá trị cos çç x 0 + ÷÷÷ bằng çè 4ø 3

A. -1.

C. -

B. 1.

1 2

Câu 13. Phương trình 2 sin 2 x - 4 sin x cos x + 4 cos 2 x = 1 tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau? A. cos 2 x - 2 sin 2 x = 2. C. cos 2 x - 2 sin 2 x = -2.

B. sin 2 x - 2 cos 2 x = 2. D. sin 2 x - 2 cos 2 x = -2. 1 Câu 14. Cho hai phương trình cos 3 x -1 = 0 (1) và cos 2 x = (2). Tập các nghiệm của 2 phương trình (1) đồng thời cũng là nghiệm của phương trình (2) là

p B. x = k 2p (k Î ). + k 2p (k Î ). 3 p 2p C. x = ± + k 2p (k Î ). D. x = ± + k 2p (k Î ). 3 3 ìp p p p ï ü ï Câu 15. Tìm góc a Î í ; ; ; ý để phương trình cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0 tương ï ï6 4 3 2ï ï î þ A. x =

đương với phương trình cos (2 x - a ) = cos x . A. a =

p . 6

B. a =

p . 4

C. a =

p . 3

D. a =

p . 2

é 5p ù Câu 16. Trên đoạn ê-2p; ú , đồ thị hai hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại bao êë 2 úû

nhiêu điểm? A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 8.

Câu 17. Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là A. 2. B. 4.

Câu

18.

Có

bao

nhiêu

giá

trị

C. 5.

của

D. 6.

[0;2p ] để ba phần tử của

thuộc

S = {sin a,sin 2a,sin 3a} trùng với ba phần tử của T = {cos a,cos 2a,cos 3a}.

A. 1.

B. 2.

Câu 19. Phương trình 2

n +1

C. 3.

D. 4.

cos x .cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 x = 1 với n Î  * có tập nghiệm n

trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x = 0.

B. sin x = sin 2 n x .

C. sin x = sin 2 n +1 x .

D. sin x = sin 2 n +2 x .

Câu 20. Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu æ pö diễn các nghiệm của phương trình tan x + tan çç x + ÷÷÷ = 1. çè 4ø A.

3 10 . 10

3 10 . 5

Vấn đề 3. Nghiệm dương nhỏ nhất Nghiệm âm lớn nhất Câu 21. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 5 x + 2 cos 2 x = 1 có dạng a, b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b. A. S = 3. B. S = 7. C. S = 15.

D. S = 17.

pa với b

Câu 22. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình

sin x 1 pa + + cot x = 2 có dạng 1 + cos x 1 - cos x b

với a, b là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b. A. S = 3. B. S = 4. C. S = 5. D. S = 7. æp ö æp ö Câu 23. Cho phương trình sin x + sin 5 x = 2 cos 2 çç - x ÷÷÷ - 2 cos 2 çç + 2 x ÷÷÷. Số vị trí biểu diễn èç 4 ø èç 4 ø các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 4.

D. 6.

Câu 24. Cho phương trình sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 (cos 4 x + sin 3 x ). Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng

p A. - . 7

p . 7 1 pa Câu 25. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos 3 x (2 cos 2 x + 1) = có dạng với 2 b B. -

p . 18

C. -

p . 20

a, b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b. A. S = 7. B. S = 8. C. S = 15.

Câu 26. Cho phương trình sin

2018

x + cos

2018

x = 2 (sin

2020

x + cos

nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là? A. 3. B. 4. C. 6.

2020

D. S = 17.

x ). Số vị trí biểu diễn các D. 2020.

æ pö Câu 27. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan 2018 x + cot 2018 x = 2 sin 2017 çç x + ÷÷÷ có çè 4ø

pa với a, b là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b. b A. S = -3. B. S = -1. C. S = 1. D. S = 3.

dạng

Câu 28. Cho phương trình 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x ) cos x =

cos 2 x . Nghiệm 1 - tan x

pa với a, b là các số nguyên và nguyên tố b

dương nhỏ nhất của phương trình có dạng cùng nhau. Tính S = a + b. A. S = 2. B. S = 3.

C. S = 4. D. S = 7. 1 1 1 1 Câu 29. Biết rằng phương trình + + ++ = 0 có nghiệm dạng sin x sin 2 x sin 4 x sin 2 2018 x k 2p với k Î  và a, b Î + , b < 2018. Tính S = a + b. x= a 2 -b A. S = 2017. B. S = 2018. C. S = 2019. D. S = 2020. sin x p Câu 30. Phương trình có bao nhiêu nghiệm? = x 18 A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Vấn đề 4. Số nghiệm của phương trình Câu 31. Phương trình 2 cos 2 x + 2 cos 2 2 x + 2 cos 2 3 x - 3 = cos 4 x (2 sin 2 x + 1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;2018) ? A. 2565.

B. 2566.

C. 2567. 5

D. 2568.

Câu 32. Phương trình

(0;2018p ) ?

(1 - 2 cos x )(1 + cos x ) = 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (1 + 2 cos x ) sin x

A. 3025.

B. 3026. C. 3027. D. 3028. ép ù Câu 33. Phương trình sin ê 3 x - 9 x 2 -16 x - 80 ú = 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên êë 4 úû

(

dương? A. 1.

)

B. 2.

C. 3. D. 4. æ ö p 1 Câu 34. Phương trình sin 4 x + cos 4 çç x + ÷÷÷ = có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng çè 4ø 4

(0;2017p ) ?

A. 4032.

B. 4033.

C. 4034.

D. 4035.

Câu 35. Tìm số nghiệm của phương trình tan 4 x - tan 2 x - 4 tan x = 4 tan 4 x .tan 2 x .tan x trên đoạn [-p; p ]. A. 2.

B. 3.

C. 6.

D. 7.

Vấn đề 5. Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [a; b ]

Câu 36. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình tan 5 x - tan x = 0 trên [0;p ) bằng A. p.

3p . 2

C. 2p.

5p . 2

Câu 37. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos (sin x ) = 1 trên đoạn [0;2p ] bằng C. 2p.

D. 3p. 9 Câu 38. Cho phương trình x 2 - (2 cos a - 3) x + 7 cos 2 a - 3cos a - = 0. Gọi S là tập các giá 4 B. p.

A. 0.

trị của tham số a thuộc đoạn [0;4p ] để phương trình có nghiệm kép. Tổng các phần tử của tập S bằng A. Câu

20p . 3 39.

B. 15p. Tính

C. 16p.

tổng

tất

cả

các

(2 cos 2 x + 5)(sin x - cos x ) + 3 = 0 trên khoảng (0;2p ). 4

A. S =

7p . 6

D. 17p. nghiệm

của

phương

trình

B. S =

11p . 6

C. S = 4 p.

Câu 40. Tổng các nghiệm của phương trình

D. S = 5p.

æ pö 3 -1 3 +1 + = 4 2 trên khoảng çç0; ÷÷÷ èç 2 ø sin x cos x

bằng A.

11p . 36

p . 3

7p . 18

D. p.

Câu 41. Tổng các nghiệm của phương trình sin x cos x + sin x + cos x = 1 trên (0;2p ) bằng

D. 4 p. é pù 1 Câu 42. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 3 x (1 - 4 sin 2 x ) = trên đoạn ê 0; ú êë 2 úû 2 A. p.

B. 2p.

C. 3p.

bằng 6

3p . 7

3p . 5

37p . 70

Câu 43. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên đoạn [0;100p ] bằng A.

7375p . 3

7475p . 3

4036p . 3

36p . 35 sin 2 x + 2 sin 2 x - 5sin x - cos x + 2 D.

2 cos x + 3

14701p . 6

412485p . 2

14850p . 3

æ pö Câu 44. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 3 çç x - ÷÷÷ = 2 sin x trên đoạn çè 4ø

[0;2018] bằng A.

2018p . 4

Câu

45.

B. Tổng

tất

cả

các

nghiệm

cos x (tan x - cos 2 x ) = cos x - cos x + 1 trên đoạn [0;43p ] bằng 2

4220 p. 3

của

824967p . 4

phương

trình

4225 p. 3

4230 p. 3

4235 p. 3

Vấn đề 6. Tìm m để phương trình có nghiệm Câu 46. Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc tập E = {-3; -2; -1;0;1;2} để phương trình 2m sin x cos x + 4 cos 2 x = m + 5 có nghiệm? A. 2. B. 3. C. 4.

D. 5.

Câu 47. Cho phương trình m sin x + 2 sin x cos x + 3m cos x = 1. Tìm tất cả các giá trị của 2

tham số thực m để phương trình có nghiệm. ì 4ü ì 4ü é 4ù A. m Î ïí0; ïý. B. m Î  \ ïí0; ïý. C. m Î ê 0; ú . ï 3þ ï ï ï îïï 3 þïï î ëê 3 ûú

æ 4ö D. m Î çç0; ÷÷÷. çè 3 ø

æ 3p ö 5 + 4 sin çç - x ÷÷÷ çè 2 ø 6 tan a Câu 48. Cho phương trình = . Gọi S là tập hợp tất cả các giá sin x 1 + tan 2 a

trị thực của a thuộc đoạn [0;2p ] để phương trình có nghiệm. Tổng các phần tử của tập

S bằng A. p.

B. 2p.

C. 4 p. D. 6p. æ ö÷ æ ö÷ p p Câu 49. Cho phương trình 4 sin çç x + ÷÷.cos çç x - ÷÷ = m 2 + 3 sin 2 x - cos 2 x . Gọi S = [a; b ] là çè çè 3ø 6ø tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm. Tính a + b. A. a + b = -2.

1 B. a + b = - . 2

C. a + b = 0.

Câu 50. Cho phương trình sin 6 x + cos 6 x + 3sin x cos x -

D. a + b = 4.

m + 2 = 0. Có bao nhiêu giá trị 4

nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm? A. 7. B. 9. C. 13. D. 15. 3 Câu 51. Cho phương trình 3 tan 2 + tan x + cot x + 2 = m. Có bao nhiêu giá trị nguyên sin x

m nhỏ hơn 2018 để phương trình có nghiệm? A. 2004. B. 2008. C. 2011.

D. 2012.

Câu 52. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 4 x = m.tan x có nghiệm x ¹ kp.

é 1 ö A. m Î ê- ;4÷÷÷. êë 2 ø

é 1 ù B. m Î ê- ;4 ú . êë 2 úû

æ 1 ö C. m Î çç- ;4÷÷÷. çè 2 ø

D. m Î (-1;4 ).

Câu 53. Cho phương trình cos 2 x - (2m + 1) cos x + m + 1 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của æ p 3p ö tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng çç ; ÷÷÷ . çè 2 2 ø A. -1 £ m £ 1 . B. -1 £ m £ 0 . C. -1 £ m < 0 .

D. -1 < m < 0 .

Câu 54. Cho phương trình cos 2 x + 2 (1 - m ) cos x + 2m -1 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10 ] để phương trình có nghiệm? A. 8.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

Câu 55. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 4 x = cos 2 3 x + m sin 2 x æ pö có nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷÷÷. çè 12 ø æ 1ö æ1 ö æ 1ö A. m Î çç0; ÷÷÷. B. m Î çç ;2÷÷÷. C. m Î (0;1). D. m Î çç-1; ÷÷÷. çè 2 ø çè 2 ø çè 4ø Câu 56. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 sin x + m cos x = 1 - m có é p pù nghiệm x thuộc đoạn ê- ; ú . êë 2 2 úû 3 A. m ³ - . 2

3 B. m > - . 2

D. -1 < m < 3.

C. -1 £ m £ 3.

Câu 57. Cho phương trình mx 2 + 4 p 2 = 4 p 2 cos x . Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham æ pö số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷÷÷ bằng çè 2 ø A. -54. B. -35. C. 35. D. 51.

Câu 58. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

x f '(x )

-2

-¥

-1 +

1 -

+¥

4 +

+¥

f (x )

-1

-¥ m để phương trình f é3cos ( x + 1) + 1ù = - m có nghiệm? Có bao nhiêu số nguyên ë û 2 A. 2.

B. 3.

C. 9.

D. 13.

Câu 59. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

x f '(x )

-¥

-1

0 +

-2 8

+¥ +¥

f (x )

-¥

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f (2 sin x + 1) = f (m ) có nghiệm? A. 2.

B. 3.

Câu 60. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ,

C. 4.

D. 5.

thỏa f ( x ) > 3 với mọi x > 5 và f ( x ) < -3 với mọi x < -2 , có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương

f (3sin x + 2) = f (m )

trình

nghiệm? A. 6. C. 8.

có

B. 7. D. 9.

Vấn đề 7. Tìm m để phương trình có đúng n nghiệm thuộc khoảng (a; b )

Câu 61. Cho phương trình 2 cos 2 3 x + (3 - 2m ) cos 3 x + m - 2 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực æ p pö của tham số m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng çç- ; ÷÷÷. çè 6 3 ø A. -1 £ m £ 1. B. 1 < m £ 2. C. 1 £ m £ 2. D. 1 £ m < 2.

Câu

62.

Tìm tất cả các giá trị của tham số æ pö sin 2 x + 2 sin çç x + ÷÷÷ - 2 = m có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng çè 4ø

m để æ 3p ö÷ çç0; ÷. çè 4 ÷ø

A. -3 < m < -1 + 2. B. -3 < m £ -1 + 2. C. -1 < m £ -1 + 2.

phương

trình

D. -1 < m < -1 + 2.

Câu 63. Cho phương trình m sin x - 3sin x cos x - m -1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị æ 3p ö nguyên m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc çç0; ÷÷÷ . Tổng çè 2 ø 2

các phần tử của S bằng A. -15. B. -14.

C. 0.

D. 15.

Câu 64. Cho phương trình (cos x + 1)(4 cos 2 x - m cos x ) = m sin x . Số các giá trị nguyên của 2

é 2p ù tham số m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn ê 0; ú là êë 3 úû

A. 1. Câu

B. 2. 65.

Có

bao

C. 3. nhiêu

số

thực

D. 4.

để

phương

trình

(sin x -1)(2 cos 2 x - (2m + 1) cos x + m ) = 0 có đúng 4 nghiệm thuộc đoạn [0;2p ] ? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 66. Cho phương trình sin x + cos x + cos 4 x = m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của é p pù tham số m để phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn ê- ; ú . ëê 4 4 ûú 4

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 67. Cho phương trình (sin x -1)(cos 2 x - cos x + m ) = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn [0;2p ]. 9

1 A. 0 £ m < . 4

1 B. - < m £ 0. 4

1 C. 0 < m < . 4

1 D. - < m < 0. 4

Câu 68. Biết rằng khi m = m0 thì phương trình 2 sin 2 x - (5m + 1) sin x + 2m 2 + 2m = 0 có æ p ö đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng çç- ;3p÷÷÷ . Mệnh đề nào sau đây là đúng? çè 2 ø æ3 7 ù æ 3 2ö 1 A. m0 = -3. B. m0 = . C. m0 Î çç ; ú . D. m0 Î çç- ; - ÷÷÷. çè 5 5 ø èç 5 10 úû 2

Câu 69. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10 ] để số vị trí æ pö biểu diễn các nghiệm của phương trình 1 + 2 cos 2 2 x - 3 sin 4 x - m = m sin çç2 x - ÷÷÷ trên çè 3ø

đường tròn lượng giác là 4 ? A. 8. B. 9.

C. 10.

D. 12.

Câu 70. Cho phương trình (m + 1) cos x + (m -1) sin x = 2m + 3. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn x1 - x 2 = A. 0.

B. 1.

C. 2.

2p . 3

D. Vô số.

Vấn đề 8. Kỹ thuật hàm đặc trưng Câu

71.

Có

bao

nhiêu

số

nguyên

để

phương

trình

m + sin (m + sin 3 x ) = sin (3sin x ) + 4 sin x có nghiệm thực? 3

A. 4.

B. 5.

C. 8.

D. 9.

Câu 72. Cho phương trình (8 sin x - m ) = 162 sin x + 27m. Có bao nhiêu giá trị nguyên 3

æ pö của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷÷÷ ? çè 3 ø

A. 1.

B. 2.

Câu 73. Cho phương trình

C. 3. 3

m + 3 3 m + 3sin x = sin x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m để phương trình có nghiệm? A. 2. B. 3. Câu

74.

Tập

tất

cả

D. Vô số.

các

giá

C. 5. trị

của

tham

D. 7. số

để

phương

m + m + 1 + 1 + sin x = sin x có nghiệm là [a; b ]. Giá trị của a + b bằng A. 4.

1 - 2. 2

C. 3.

1 D. - - 2. 4

Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

sin x (2 - cos 2 x ) - 2 (2 cos3 x + m + 1) 2 cos3 x + m + 2 = 3 2 cos3 x + m + 2

é 2p ö có đúng một nghiệm thuộc ê 0; ÷÷÷ ? êë 3 ø A. 1. B. 2.

C. 3.

D. 4.

trình

Câu 76. Cho phương trình sin 2 x - cos 2 x + sin x + cos x - 2 cos 2 x + m - m = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ? A. 2. B. 3. C. 5. Câu 77. Cho phương trình

D. 9.

4 sin x + m + sin x = 3 sin x + 4 sin x + m - 8 + 2. Có tất cả bao 3

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ? A. 18. B. 19. C. 20.

D. 21.

Câu 78. Cho phương trình 3 tan x + 1 (sin x + 2 cos x ) = m (sin x + 3cos x ). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thộc đoạn [-2018;2018] để phương trình trên có đúng một æ pö nghiệm thuộc çç0; ÷÷÷ ? çè 2 ø A. 2015.

B. 2016.

C. 2018.

D. 4036.

Câu 79. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos x + cos x + m = m có 2

nghiệm là A. 2. Câu

B. 3.

80.

Số

các

giá

C. 4. trị

nguyên

của

m có nghiệm là 1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x = 3 A. 2. B. 3.

D. 5.

tham

số

C. 4.

để

phương

trình

D. 5.

Vấn đề 9. Tìm GTLN-GTNN của hàm số æp ö Câu 81. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = sin çç sin x ÷÷÷ lần lượt là èç 3 ø

A. -1 và 1.

C. -

B. 0 và 1.

3 3 . và 2 2

D. 0 và

3 . 2

Câu 82. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 2 cos3 x - cos 2 x trên đoạn é p pù ê- ; ú lần lượt là êë 3 3 úû

A. -3 và 1.

Câu 83. Gọi m, M

y = (3 - 5sin x )

2018

A. 2

2018

1 và 1. 4

19 và 1. 27

D. -3 và

3 . 4

lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

. Giá trị của M + m bằng

(1 + 2 ). 4036

B. 2 2018.

C. 2 4036.

C. 2 6054.

Câu 84. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = sin 2 x - 4 sin x + 5 . Tính P = M - 2m 2 . A. P = 1. B. P = 7.

C. P = 8. D. P = 2. æ 2 x ö÷ æ 4 x ö÷ + cos çç 2 + 1 gần nhất với số nào sau Câu 85. Giá trị nhỏ nhất của f ( x ) = sin çç 2 çè x + 1÷÷ø çè x + 1÷÷ø đây? 1 1 1 A. -1. B. - . C. - . D. - . 2 4 8

Câu 86. Gọi

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

cos x + 2 sin x + 3 . Tính S = 11m + M . 2 cos x - sin x + 4 A. S = -10. B. S = 4.

Câu 87. Gọi y=

m, M

M, m

sin x + cos x + 1 2 + sin 2 x

C. S = 6.

D. S = 24.

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

. Khi đó, M + 3m bằng

A. -1.

C. 2. D. 1 + 2 2. 2 1 Câu 88. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số y = có dạng a + b 2 với a, b + 1 - cos 4 x cos 4 x B. 1.

là các số nguyên. Tính S = a + b. A. S = 3. B. S = 4.

C. S = 5.

D. S = 7.

Câu 89. Cho hàm số y = 1 + 2 sin x + 1 + 2 cos x -1. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ 2

nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó giá trị của M + m gần nhất với số nào sau đây? 5 7 9 11 . A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Câu 90. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = sin 2018 x + cos 2018 x lần lượt là 1 1 1 A. 1008 và 2. B. 1009 và 1. C. 0 và 1. D. 1008 và 1. 2 2 2

Vấn đề 10. Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m Câu 91. Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để hàm số y = trị lớn nhất bằng 1 ? A. 0.

B. 1.

C. 2.

cos x + a sin x + 1 có giá cos x + 2 D. 3.

Câu 92. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [0;10 ] để hàm số

1 - m sin x có giá trị nhỏ nhất nhỏ hơn -2 ? cos x + 2 A. 5. B. 6. C. 11. D. 12. æ ö æ ö p x Câu 93. Cho hàm số y = 2 sin 2 çç x - ÷÷÷ + 2 cos 2 çç ÷÷÷ - 3 sin x + a 2 (với là tham số). Gọi m, M èç èç 2 ø 6ø y=

é p 2p ù lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ê ; ú . Có bao nhiêu êë 6 3 úû 321 giá trị nguyên của a để m 2 - M £ ? 4 A. 3. B. 4. C. 6. D. 7.

Câu 94. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 4 x + cos 2 x + m bằng 2. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 95. Cho x , y là các số thực thỏa mãn cos 2 x + cos 2 y = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = tan 2 x + tan 2 y bằng A.

1 . 3

2 . 3

8 . 3

C. 3.

Câu 96. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên , thỏa mãn f (tan x ) =

1 sin 2 x - cos 2 x với 2

æ p pö mọi x Î çç- ; ÷÷÷. Với a, b là hai số thực thay đổi thỏa mãn a + b = 1, giá trị nhỏ nhất của çè 2 2 ø

biểu thức S = f (a ). f (b ) bằng A.

1 . 25

1 B. - . 2

5-3 5 . 2

5+3 5 . 2

æ pö Câu 97. Cho hai số thực x , y thuộc çç0; ÷÷÷ và thỏa mãn cos 2 x + cos 2 y + 2 sin ( x + y ) = 2. çè 2 ø cos 4 x cos 4 y bằng + y x 3 2 B. . C. . p p

Giá trị nhỏ nhất của P = A.

2 . 3p

5 . p

Câu 98. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất M æ pù trong tất cả các hàm số y = a + b sin x + c cos x với x Î çç0; ú . çè 4 úû A. M = 1 + 2 .

C. M = 2 1 + 2 .

B. M = 1 + 2.

(

)

D. M = 2 1 + 2 .

Câu 99. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn sin (2 - 2ab ) - sin (a + b ) = 2ab + a + b - 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 2b bằng A.

2 10 - 3 . 2

3 10 - 7 . 2

2 10 -1 . 2

28 + 8 7 . 21

2 10 - 5 . 2

Câu 100. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cos ( x + y + 1) + 3 = cos (3 xy ) + 9 xy - 3 x - 3 y. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x ( y + 2) bằng A.

11 + 4 7 . 9

B. 1.

C. ----------

HẾT

----------

7+2 7 . 21

LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO Mục lục 1. Ôn tập những vấn đề cơ bản………………………….…………….……………………

2. Tìm nghiệm của phương trình………………………………………………………….

3. Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất………………………..… 07 4. Số nghiệm của phương trình…………………………………………………………….

5. Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [a; b ] ………..………… 12 6. Tìm m để phương trình có nghiệm………………….………………………………

7. Tìm m để phương trình đúng n có nghiệm thuộc (a; b ) …….…..… 21 8. Kỹ thuật hàm đặc trưng …………………………………………….………………….….

9. Tìm GTLN-GTNN của hàm số……………………………………...………..………

10. Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m ………………………………… 34

Vấn đề 1. Ôn tập những vấn đề cơ bản Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

2018 có tập xác định là D = . 1 + tan 2 x sin x B. Hàm số y = có tập xác định là D =  \ {3}. 3 - cos x A. Hàm số y =

C. Hàm số y = cos x + 1 có tập xác định là D = . D. Hàm số y = sin

2x có tập xác định là D = . x -2

Lời giải. Chọn C. Câu 2. Cho các hàm số y1 =

æ 5p ö ; y2 = 2 - sin x cos çç - 2 x ÷÷÷ ; y3 = sin x cos 2 x + tan x và ç è2 ø cos 2 x

x sin 2 x 3

y4 = x cos 2 x . Hỏi có bao nhiêu hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Kiểm tra ta có y1 và y3 là các hàm số lẻ. Chọn B. Câu 3. Trong các hàm số y1 = sin x ; y2 = sin 2 x ; y3 = tan x ; y4 = cot x có bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính chất f ( x + k p ) = f ( x ), "x Î , k Î  . A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

C. y = - sin x

D. y = - cos x .

Lời giải. Chọn C. Đó là các hàm số y2 ; y3 ; y4 . Câu 4. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A. y = sin 2 x B. y = cos x . Lời giải. Khi x = 0 thì y = 1. Chọn B.

Câu 5. Đường cong trong hình bên mô tả đồ thị của hàm số y = A sin ( x + a ) + B (với A, B, a là

các

hằng

số

12a . p A. S = 1. C. S = 3.

và

é pù a Î ê 0; ú ). ëê 2 ûú

Tính

S = A+B +

B. S = 2. D. S = 5.

ìï æ ö ïï A sin çç- 2p + a÷÷ + B = -3 (1) ÷ø çè 3 ïï ïï Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số ta có hệ phương trình í A sin a + B = 0 (2). ïï æp ö ïï (3) ïï A sin ççç + a÷÷÷ + B = 1 è ø 3 ïî æp ö 1- B . (4 ) Ta thấy A = 0 không thỏa mãn hệ. Do đó (3) Û sin çç + a÷÷÷ = çè 3 ø A æ ö æp ö 2p (4 ) ®-A sin ççp + a÷÷÷ + B = -3 Û -A sin çç + a÷÷÷ + B = -3 ¾¾ ® B = -1. Từ (1) ¾¾ èç ø èç 3 ø 3

ìï A sin a = 1 ïï æp ö Thay B = -1 vào (2) và (3) , ta có hệ í ¾¾ ® sin çç + a÷÷÷ = 2 sin a æp ö÷ ç ç ïï A sin ç + a÷ = 2 è3 ø ÷ø çè 3 îïï é pù

p p 3 aÎêëê0; 2 úûú p cos a + cos sin a = 2 sin a Û 3 cos a = 3sin a Û tan a = ¾¾¾® a = . 3 3 3 6 ì ï ï A = 2; B = -1 p 12a Với a = ¾¾ ® A = 2. Vậy ïí ¾¾ ®S = A + B + = 3. Chọn C. p ï 6 p a= ï ï 6 î Û sin

Nhận xét: Cách trắc nghiệm: nhìn đồ thị đoán được A = 2; B = -1 (dựa vào min – max) và dùng dữ kiện đồ thị đi qua gốc tọa độ suy ra a =

p . 6

nước

được

tính

theo

công

h= y

thức

trong

đó:

é æ 1 öù y = 2,5sin ê 2p çç x - ÷÷÷ú + 2 với x là thời gian quay của guồng với êë èç 4 øúû

x ³ 0 tính bằng phút. Ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt

nước và y < 0 khi gầu ở dưới nước. Vậy chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi nào? 1 C. x = . D. x = 1. 2 é æ 1 öù 1 ® x = . Chọn C. Lời giải. Gầu ở vị trí cao nhất khi: sin ê 2p çç x - ÷÷÷ú = 1 ¾¾ êë èç 4 øúû 2

A. x = 0.

1 B. x = . 4

Cách trắc nghiệm thay từng đáp án vào và bấm máy so sánh.

Câu 7. Gọi n là số nguyên thỏa mãn (1 + tan10 ).(1 + tan 2 0 )(1 + tan 450 ) = 2 n. Khẳng định nào sau đây đúng? A. n Î [1;7 ].

B. n Î [8;19 ].

C. n Î [20;26 ]. 3

D. n Î [27;33].

Lời giải. Ta có biến đổi: (1 + tan1°).(1 + tan 2°)(1 + tan 45°)

= =

(cos1° + sin1°) (cos 2° + sin 2°) ´

cos1° 2 sin (1° + 45°)

´´

cos 2° 2 sin (2° + 45°)

(cos 45° + sin 45°)

cos 45° 2 sin (45° + 45°)

´ ´´ cos1° cos 2° cos 45° 45 cos 44°.cos 43°.....cos 2°.cos1° sin 90° 2 . ´ cos1°.cos 2°.....cos 43°.cos 44° cos 45° æ ö÷ çç ÷ 45 ç 1 ÷ 45 ÷÷ 23 2 .ççç ® n = 23. Chọn C. ÷÷ = 2 . 2 = 2 ¾¾ çç 2 ÷÷ ççè 2 ÷÷ø

( )

Câu 8. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất của thỏa mãn

1 1 1 2 + ++ = . 0 0 0 0 0 sin 45 .sin 46 sin 46 .sin 47 sin134 .sin135 sin n 0 A. n = 1. B. n = 45. C. n = 46. D. n = 91. 1 1 1 Lời giải. Đặt P = + ++ sin 45°.sin 46° sin 46°.sin 47° sin134°.sin135° sin1° sin1° sin1° Þ sin1°.P = + ++ sin 45°.sin 46° sin 46°.sin 47° sin134°.sin135° Þ sin1°.P = cot 45°- cot 46° + cot 46°- cot 47° + ... + cot134°- cot135° 2 Þ sin1°.P = cot 45°- cot135° = 2 ¾¾ ®P = ¾¾ ® n = 1. Chọn A. sin1° 0

5 p và sin a + cos a = . Tính P = sin a - cos a. 2 4 3 1 1 . B. P = × C. P = - × D. P = 2 2 2

Câu 9. Cho góc a thỏa 0 < a < A. P =

3 . 2

Lời giải. Ta có (sin a - cos a ) + (sin a + cos a ) = 2 (sin 2 a + cos 2 a ) = 2 . 2

Suy ra (sin a - cos a ) = 2 - (sin a + cos a ) = 2 2

5 3 = . 4 4

3 p . Chọn D. suy ra sin a < cos a nên sin a - cos a < 0 . Vậy P = 2 4 æ 3p ù a a 4 Câu 10. Cho góc a thỏa mãn tan a = - và a Î çç ;2p ú . Tính P = sin + cos . ç è2 2 2 3 ûú

Do 0 < a <

5 . 5 æ 3p ù a æ 3p ù Lời giải. Ta có P 2 = 1 + sin a. Với a Î çç ;2p ú Þ Î çç ; p ú . úû èç 2 2 èç 4 úû ì ï a 2 ï 0 £ sin < ï ï a a 2 2 Khi đó ïí , suy ra P = sin + cos < 0 . ï 2 2 a 2 ï ï -1 £ cos < ï ï 2 2 î

A. P = 5.

B. P = - 5.

C. P = -

Từ hệ thức sin 2 a + cos 2 a = 1 , suy ra sin 2 a = 1 - cos 2 a = 1 æ 3p ù 4 Vì a Î çç ;2p ú nên ta chọn sin a = - . úû èç 2 5

Thay sin a = -

1 16 . = 2 1 + tan a 25

4 1 5 vào P 2 , ta được P 2 = . Suy ra P = . Chọn C. 5 5 5

D. P =

5 . 5

phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây? A. 4 t 2 - 8t + 3 = 0. B. 4 t 2 - 8t - 3 = 0. C. 4 t 2 + 8t - 5 = 0. D. 4 t 2 - 8t + 5 = 0. æ æ æp ö pö pö Lời giải. Ta có cos 2 çç x + ÷÷÷ = 1 - 2 sin 2 çç x + ÷÷÷ = 1 - 2 cos 2 çç - x ÷÷÷. çè ç ç è è6 ø 3ø 3ø æ ö æ ö 3 p p Do đó phương trình tương đương với -2 cos 2 çç - x ÷÷÷ + 4 cos çç - x ÷÷÷ - = 0 çè 6 ç ø è6 ø 2 æ ö æ ö p p Û -4 cos 2 çç - x ÷÷÷ + 8 cos çç - x ÷÷÷ - 3 = 0. èç 6 ø èç 6 ø æp ö Nếu đặt t = cos çç - x ÷÷÷ thì phương trình trở thành -4 t 2 + 8t - 3 = 0 Û 4 t 2 - 8t + 3 = 0. Chọn çè 6 ø A.

æ pö Câu 12. Cho x 0 thỏa mãn 6 (sin x - cos x ) + sin x cos x + 6 = 0. Giá trị cos çç x 0 + ÷÷÷ bằng çè 4ø

A. -1.

C. -

B. 1.

1 2

æ pö 1- t 2 Lời giải. Đặt t = sin x - cos x = - 2 cos çç x + ÷÷÷ - 2 £ t £ 2 . Suy ra sin x cos x = . çè 4ø 2 é t = -1 1- t 2 + 6 = 0 Û êê Phương trình đã cho trở thành 6t + 2 ë t = 13 (loaïi) æ æ pö pö 1 ¾¾ ®- 2 cos çç x + ÷÷÷ = -1 Û cos çç x + ÷÷÷ = . Chọn D. çè ç è 4ø 4ø 2

(

)

Câu 13. Phương trình 2 sin 2 x - 4 sin x cos x + 4 cos 2 x = 1 tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau? A. cos 2 x - 2 sin 2 x = 2. C. cos 2 x - 2 sin 2 x = -2.

B. sin 2 x - 2 cos 2 x = 2. D. sin 2 x - 2 cos 2 x = -2.

Lời giải. Phương trình tương đương với (2 sin 2 x + 2 cos 2 x ) - 2.2 sin x cos x + (2 cos 2 x -1) = 0

Û 2 - 2 sin 2 x + cos 2 x = 0 Û cos 2 x - 2 sin 2 x = -2. Chọn C.

Câu 14. Cho hai phương trình cos 3 x -1 = 0 (1) và cos 2 x = -

1 2

(2). Tập các nghiệm của

phương trình (1) đồng thời cũng là nghiệm của phương trình (2) là

p + k 2p (k Î ). 3 p C. x = ± + k 2p (k Î ). 3

B. x = k 2p (k Î ).

A. x =

2p + k 2p (k Î ). 3 k 2p Lời giải. Phương trình (1) Û cos 3 x = 1 Û 3 x = k 2p Û x = (k Î ). 3 2p 2p p Phương trình (2) Û cos 2 x = cos Û 2x = ± + k 2p Û x = ± + k p (k Î ). 3 3 3 D. x = ±

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thấy được nghiệm chung của hai

2p + k 2p (k Î ). Chọn D. 3 ìp p p p ï ü ï Câu 15. Tìm góc a Î í ; ; ; ý để phương trình cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0 tương ï ï6 4 3 2ï ï î þ phương trình là x = ±

đương với phương trình cos (2 x - a ) = cos x .

A. a =

p . 6

B. a =

p . 4

C. a =

p . 3

D. a =

p . 2

Lời giải. Ta có cos 2 x + 3 sin 2 x - 2 cos x = 0 Û

æ 1 3 pö cos 2 x + sin 2 x = cos x Û cos çç2 x - ÷÷÷ = cos x . ç è 2 2 3ø

ìp p p p ï ü ï Từ đó cho thấy với a Î í ; ; ; ý để hai phương trình đã cho tương đương với nhau thì ï6 4 3 2þ ï ï ï î

p thỏa mãn. Chọn C. 3 é 5p ù Câu 16. Trên đoạn ê-2p; ú , đồ thị hai hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại bao êë 2 úû chỉ có duy nhất a =

nhiêu điểm? A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 8.

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: sin x = cos x p + k p (k Î ). 4 é 5p ù p 5p 9 9 k Î ®-2p £ + k p £ Û - £ k £ ¾¾¾ ® k Î {-2; -1;0;1;2}. Do x Î ê-2p; ú ¾¾ êë 2 úû 4 2 4 4 é 5p ù Vậy đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau tại 5 điểm trên đoạn ê-2p; ú . Chọn C. êë 2 úû Û tan x = 1 Û x =

Câu 17. Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là A. 2. B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải. Ta có cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 Û 2 cos 2 x cos x + cos 2 x = 0 é p k 2p é cos 2 x = 0 êx = + ® 4 diem ê ê 4 4 Ûê Û (k Î ) và các điểm này không trùng nhau nên ê 1 ê cos x = p ê ê x = ± + k 2p ® 2 diem 2 ëê êë 3 tập nghiệm của phương trình đã cho có 6 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác. Chọn D. Câu

18.

Có

bao

nhiêu

giá

trị

của

thuộc

[0;2p ] để ba phần tử của

S = {sin a,sin 2a,sin 3a} trùng với ba phần tử của T = {cos a,cos 2a,cos 3a}.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Vì S = T ¾¾ ® sin a + sin 2a + sin 3a = cos a + cos 2a + cos 3a

Û 2 sin 2a cos a + sin 2a = 2 cos 2a cos a + cos 2a Û sin 2a (2 cos a + 1) = cos 2a (2 cos a + 1)

é p p é sin 2a = cos 2a êa = + k ê ê 8 2 Ûê Ûê (k Î ). 1 ê cos a = ê 2p êë a = ± + k 2 p ê 2 êë 3 p p Thử lại ta thấy chỉ có a = + k (k Î ) thỏa S = T . 8 2 p p 1 15 k Î Vì a Î [0;2p ] ¾¾ ® 0 £ + k £ 2p Û - £ k £ ¾¾¾ ® k Î {0;1;2;3}. Chọn D. 8 2 4 4

Câu 19. Phương trình 2 n +1 cos x .cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = 1 với n Î  * có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x = 0.

B. sin x = sin 2 n x .

C. sin x = sin 2 n +1 x . 6

D. sin x = sin 2 n +2 x .

Lời giải. Vì x = kp không là nghiệm của phương trình đã cho nên nhân hai vế phương trình cho sin x , ta được 2 n +1 (sin x cos x ).cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x Û 2 n (sin 2 x ).cos 2 x .cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x Û 2 n (sin 2 x .cos 2 x ).cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x Û 2 n-1 (sin 2 2 x ).cos 4 x .cos 8 x ...cos 2 n x = sin x



Û sin 2 n +2 x = sin x . Chọn D.

3 10 . 10

3 10 . 5

ì p ï ì cos x ¹ 0 ï ï x ¹ + kp ï ï ï ï 2 ï Û Lời giải. Điều kiện: í æ ö (k Î ). çç x + p ÷÷ ¹ 0 í ï ï cos p ï ï ÷ ç x ¹ + kp ï ï 4ø ï î è ï 4 ï î

y T

æ pö tan x + 1 =1 Ta có tan x + tan çç x + ÷÷÷ = 1 Û tan x + çè 4ø 1 - tan x

Û tan x - tan 2 x + tan x + 1 = 1 - tan x é tan x = 0 é x = kp Û tan 2 x - 3 tan x = 0 Û ê Ûê (k Î ). ê tan x = 3 ê x = arctan 3 + k p ë ë

 Nghiệm x = kp biểu diễn trên đường tròn lượng giác là hai

H O

x A

điểm A, B (xem hình vẽ).  Nghiệm x = arctan 3 + kp biểu diễn trên đường tròn lượng giác

N -1

là hai điểm M , N (xem hình vẽ). Ta có SDAMN =

1 1 AO. AT 3 10 3 10 MN . AH = .MN . = ¾¾ ® S AMBN = . Chọn B. 2 2 2 2 10 5 AO + AT

pa với b

D. S = 17.

Lời giải. Phương trình tương đương với sin 5 x = 1 - 2 cos x Û sin 5 x = - cos 2 x é p 2p êx = - + k æ ö p ê 6 3 Û sin 5 x = sin çç2 x - ÷÷÷ Û ê çè 3p 2p 2ø ê +k êx = êë 14 7 ì a = 3 ï 3p ¾¾ ®ï ¾¾ ® S = 17. Chọn D. ¾¾ ® nghiệm dương nhỏ nhất là í ï 14 ï îb = 14 2

Câu 22. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình

sin x 1 pa + + cot x = 2 có dạng 1 + cos x 1 - cos x b

với a, b là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b. 7

A. S = 3.

B. S = 4. C. S = 5. ìïïcos x ¹ ±1 Û x ¹ k p (k Î ). Lời giải. Điều kiện: í ïïîsin x ¹ 0 Phương trình Û

sin x (1 - cos x ) + 1 + cos x 2

sin x Û sin x + cos x + 1 = 2 sin 2 x

D. S = 7.

cos x =2 sin x

Û sin x + cos x + cos 2 x = 0

Û (sin x + cos x )(1 + cos x - sin x ) = 0.

p  sin x + cos x = 0 Û tan x = -1 Û x = - + k p (k Î )(thoûa maõn). 4 é p ê x = + k 2p (thoûa maõn) æ p ö÷ 2 ç ê  1 + cos x - sin x = 0 Û sin ç x - ÷÷ = Û 2 (k Î ). çè ê 4ø 2 êë x = p + k 2p (loaïi)

ìïa = -1 p ¾¾ ® ïí ¾¾ ® S = 3. Chọn A. ïïîb = 4 4 æp ö æp ö Câu 23. Cho phương trình sin x + sin 5 x = 2 cos 2 çç - x ÷÷÷ - 2 cos 2 çç + 2 x ÷÷÷. Số vị trí biểu diễn çè 4 ç ø è4 ø

¾¾ ® nghiệm âm lớn nhất là -

các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là? A. 1. B. 2. C. 4. ì æ ö æ ö ï p p ï 2 cos 2 çç - x ÷÷÷ = 1 + cos çç - 2 x ÷÷÷ = 1 + sin 2 x ï çè 4 çè 2 ï ø ø ï Lời giải. Ta có í . ï æ ö æ ö÷ p 2 çp ï ÷ ç 2 cos + 2 x = 1 + cos + 4 x = 1 sin 4 x ï ÷ ÷ çç çç ÷ø ÷ø ï è4 è2 ï î

D. 6.

Do đó phương trình tương đương với sin x + sin 5 x = sin 2 x + sin 4 x Û 2 sin 3 x cos 2 x = 2 sin 3 x cos x  sin 3 x = 0 Û x =

Û 2 sin 3 x (cos 2 x - cos x ) = 0.

kp (k Î ). 3

é x = k 2p ê  cos 2 x - cos x = 0 Û cos 2 x = cos x Û ê k 2p (k Î ). êx = êë 3

Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho là x =

k p k 2p = (k Î ) 3 6

¾¾ ® có 6 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác. Chọn D.

Câu 24. Cho phương trình sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 (cos 4 x + sin 3 x ). Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng

p A. - . 7

p . 7 1 3sin x - sin 3 x Lời giải. Phương trình Û sin x + (sin 3 x + sin x ) + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x + 2 2 Û sin 3 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x æ pö Û sin çç3 x + ÷÷÷ = cos 4 x çè 3ø é p k 2p êx = + æ ö÷ æp ö÷ ê p 42 7 Û sin çç3 x + ÷÷ = sin çç - 4 x ÷÷ Û ê (k Î ). çè çè 2 ø ê p 3ø ê x = - + k 2p êë 6 B. -

p . 18

C. -

p . 20

p p Suy ra nghiệm âm lớn nhất là - ; nghiệm dương nhỏ nhất là . Chọn A. 42 6 1 pa Câu 25. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos 3 x (2 cos 2 x + 1) = có dạng với 2 b a, b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b. A. S = 7. B. S = 8. C. S = 15.

Lời giải. Phương trình Û 4 cos 3 x cos 2 x + 2 cos 3 x = 1

D. S = 17.

Û 2 (cos 5 x + cos x ) + 2 cos 3 x = 1

Û 2 cos x + 2 cos 3 x + 2 cos 5 x = 1.

 Nhận thấy sin x = 0 Û x = k p (k Î ) không thỏa mãn phương trình.  Nhân hai vế cho sin x ta được 2 sin x cos x + 2 sin x cos 3 x + 2 sin x cos 5 x = sin x

Û sin 2 x + (sin 4 x - sin 2 x ) + (sin 6 x - sin 4 x ) = sin x

é k 2p êx = ê 5 Û sin 6 x = sin x Û ê (k Î ). ê p k 2p êx = + êë 7 7 ïìïa = 1 p ®í ¾¾ ® S = 8. Chọn B. Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất là ¾¾ ïïîb = 7 7

Câu 26. Cho phương trình sin 2018 x + cos 2018 x = 2 (sin 2020 x + cos 2020 x ). Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là? A. 3. B. 4. C. 6. Lời giải. Phương trình Û sin

2018

x (1 - 2 sin x ) + cos 2

2018

x (1 - 2 cos x ) = 0

D. 2020.

Û sin 2018 x .cos 2 x - cos 2018 x cos 2 x = 0 é cos 2 x = 0 Û ê 2018 . ê sin x = cos 2018 x ë

 cos 2 x = 0 Û x =

p kp + (k Î ). 4 2

p  sin 2018 x = cos 2018 x Û tan 2018 x = 1 Û tan x = ±1 Û x = ± + k p (k Î ). 4

Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho là x =

p kp + (k Î ) 4 2

¾¾ ® có 4 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác. Chọn B.

æ pö Câu 27. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan 2018 x + cot 2018 x = 2 sin 2017 çç x + ÷÷÷ có çè 4ø

pa với a, b là các số nguyên, a < 0 và a, b nguyên tố cùng nhau. Tính S = a + b. b A. S = -3. B. S = -1. C. S = 1. D. S = 3. ìïtan 2018 x + cot 2018 x ³ 2 ïï Lời giải. Ta có ïí . æ ö ïï2 sin 2017 çç x + p ÷÷ £ 2 ÷ ç è 4ø ïîï dạng

ì p ï ìtan x = cot x ï ï x = + kp ï ï p ï ï 4 Ûï Û x = + k 2p (k Î ). Do đó phương trình tương đương với í æ ö çç x + p ÷÷ = 1 í ï ï sin p 4 ï ï ç x = + k 2p ï ï 4 ÷ø ï î è ï 4 ï î

¾¾ ® nghiệm âm lớn nhất là -

ìïa = -7 7p ¾¾ ® ïí ¾¾ ® S = -3. Chọn A. ïïîb = 4 4

Câu 28. Cho phương trình 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x ) cos x = dương nhỏ nhất của phương trình có dạng cùng nhau. Tính S = a + b. A. S = 2. B. S = 3. ì ïcos x ¹ 0 . Lời giải. Điều kiện: ïí ï ï îtan x ¹ 1 Ta có

cos 2 x . Nghiệm 1 - tan x

pa với a, b là các số nguyên và nguyên tố b C. S = 4.

D. S = 7.

cos 2 x cos 2 x - sin 2 x = = cos x (cos x + sin x ). sin x 1 - tan x 1cos x

Do đó phương trình Û 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x ) cos x = (sin x + cos x ) cos x  cos x = 0 : (loaïi).

Û cos x (sin x + cos x ). éê 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x ) -1ùú = 0. ë û

p  sin x + cos x = 0 Û tan x = -1 Û x = - + k p (k Î ). 4

 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x ) -1 = 0 Û 2 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x ) = 1 : vô nghiệm vì

1009 æ a1009 + b1009 ö÷ æ a + b ö÷ 1 ÷÷ ³ 2 çç sin 2018 x + cos 2018 x = 2.ççç = 1008 với a = sin 2 x , b = cos 2 x . ÷ ÷ ç è 2 ø 2 2 è ø÷

ïìa = 3 3p ¾¾ ® ïí ¾¾ ® S = 7. Chọn D. ïïîb = 4 4 1 1 1 1 Câu 29. Biết rằng phương trình + + ++ = 0 có nghiệm dạng sin x sin 2 x sin 4 x sin 2 2018 x k 2p với k Î  và a, b Î + , b < 2018. Tính S = a + b. x= a 2 -b A. S = 2017. B. S = 2018. C. S = 2019. D. S = 2020.

¾¾ ® nghiệm dương nhỏ nhất là

Lời giải. Điều kiện: sin 2 2018 x ¹ 0.

cos a cos 2a 2 cos 2 a - cos 2a 1 = = . sin a sin 2a sin 2a sin 2a æ ö x Do đó phương trình Û ççcot - cot x ÷÷÷ + (cot x - cot 2 x ) + ... + (cot 2 2017 x - cot 2 2018 x ) = 0 çè ø 2 x Û cot - cot 2 2018 x = 0 2 x x k 2p Û cot 2 2018 x = cot Û 2 2018 x = + k p Û x = 2019 (k Î ) 2 2 2 -1 ïìa = 2019 ¾¾ ® ïí ¾¾ ® S = a + b = 2020. Chọn D. ïïîb = 1

Ta có cot a - cot 2a =

Câu 30. Phương trình A. 1.

sin x p có bao nhiêu nghiệm? = x 18 B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Lời giải. Điều kiện: x ¹ 0 . Phương trình

sin x p p = ¾¾ ® sin x = x . x 18 18

(1)

Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = sin x (có đồ thị là màu xanh như hình vẽ) với đồ thị hàm số y = vẽ). 10

p x (có đồ thị là màu đỏ như hình 18

Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ¾¾ ® đối chiếu điều kiện bài toán ta loại nghiệm x = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm. Chọn B.

B. 2566.

C. 2567.

D. 2568.

Lời giải. Phương trình Û (1 + cos 2 x ) + (1 + cos 4 x ) + (1 + cos 6 x ) - 3 = 2 cos 4 x sin 2 x + cos 4 x

Û cos 6 x + cos 2 x = 2 cos 4 x sin 2 x Û 2 cos 4 x cos 2 x - 2 cos 4 x sin 2 x = 0 Û 2 cos 4 x (cos 2 x - sin 2 x ) = 0 Û cos 4 x = 0 Û x =

p p + k (k Î ). 8 4

( cos 4 x = cos 2 2 x - sin 2 2 x = (cos 2 x - sin 2 x )(cos 2 x + sin 2 x ) nên chứa luôn cos 2 x - sin 2 x ) ®0 < Vì x Î (0;2018) ¾¾

æ p p 1 pö 4 + k < 2018 Û - < k < çç2018 - ÷÷÷ Û -0,5 < k < 2565,39 çè 8 4 2 8øp

¾¾ ® k Î {0;1;2;3;...;2565} . Vậy có 2566 nghiệm. Chọn B.

Câu 32. Phương trình

(0;2018p ) ? A. 3025.

(1 - 2 cos x )(1 + cos x ) = 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (1 + 2 cos x ) sin x

B. 3026.

C. 3027.

Lời giải. Điều kiện: (1 + 2 cos x ) sin x ¹ 0.

D. 3028.

Phương trình Û 1 - cos x - 2 cos 2 x = sin x + 2 sin x cos x Û cos 2 x + cos x + sin 2 x + sin x = 0 3x x 3x x Û 2 cos cos + 2 sin cos = 0 2 2 2 2 é x ê cos = 0 (loaïi) x æç 3 x 3 x ö÷ 3x p 2p ê 2 Û 2 cos çsin + cos ÷÷ = 0 Û ê Û tan = -1 Û x = - + k (k Î ). ç è ø 3x ê 3x 2 2 2 2 6 3 + cos =0 ê sin 2 2 ëê æ p 2p 1 1ö 3 1 ®0 <- + k < 2018p Û < k < çç2018 + ÷÷÷. Û < k < 3027,25. Vì x Î (0; 2018p ) ¾¾ èç 6 3 4 6ø 2 4 ¾¾ ® k Î {1;2;3;...;3027} . Vậy có 3027 nghiệm. Chọn C.

(

ép Câu 33. Phương trình sin ê 3 x - 9 x 2 -16 x - 80 êë 4

dương? A. 1.

)úúû = 0 ù

có bao nhiêu nghiệm nguyên

B. 2. C. 3. p 2 Lời giải. Phương trình Û 3 x - 9 x -16 x - 80 = k p 4

(

)

D. 4.

Û 3 x - 9 x 2 -16 x - 80 = 4 k Û 9 x 2 -16 x - 80 = 3 x - 4 k ïì3 x ³ 4 k (1) Û ïí 2 . 2 2 ïï9 x -16 x - 80 = 9 x - 24 kx + 16 k (2) î 2 (9 k 2 - 4 ) + 98 2 k 2 + 10 98 Phương trình (2) Û x = ¾¾ ® 9x = = 2 (3k + 2) + . 3k - 2 3k - 2 3k - 2 é k = 1 Þ x = 12 ê k Î + ® êê k = 3 Þ x = 4 . Chọn B. Vì x Î  nên ta cần có 3k - 2 = {1;2;7;14;49;98} ¾¾¾ ê êë k = 17 Þ x = 12 (loaïi) æ pö 1 Câu 34. Phương trình sin 4 x + cos 4 çç x + ÷÷÷ = có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng çè 4ø 4

(0;2017p ) ?

A. 4032.

B. 4033. ìï 2 1 ïïsin x = - cos 2 x ï 2 Lời giải. Ta có ïí . æ ïï pö ïïcos x - sin x = 2 cos ççç x + ÷÷÷ è 4ø ïî

C. 4034.

D. 4035.

2 æ1 - cos 2 x ö÷ æç 1 ö÷ 1 4 Phương trình Û çç ÷÷ø + çèç 2 ÷÷ø (cos x - sin x ) = 4 èç 2 4

Û (1 - cos 2 x ) + (1 - sin 2 x ) = 1 2

Û 3 - 2 (cos 2 x + sin 2 x ) = 1

é x = kp æ ê p ö÷ 1 ç Û sin ç2 x + ÷÷ = Ûê (k Î ). p ê x = + kp èç ø 4 2 êë 4 Vì x Î (0;2017p ) nên

 0 < k p < 2017p Û 0 < k < 2017 ¾¾ ® có 2016 nghiệm  0<

p 1 8067 + k p < 2017p Û - < k < ¾¾ ® có 2017 nghiệm. 4 4 4

Vậy có tổng cộng 4033 nghiệm. Chọn B. Câu 35. Tìm số nghiệm của phương trình tan 4 x - tan 2 x - 4 tan x = 4 tan 4 x .tan 2 x .tan x trên đoạn [-p; p ]. A. 2.

B. 3. ïìïcos x ¹ 0 ï Lời giải. Điều kiện: ïícos 2 x ¹ 0. ïï ïïîcos 4 x ¹ 0

C. 6.

Phương trình Û tan 4 x - tan 2 x = 4 tan x (1 + tan 4 x .tan 2 x )

D. 7.

tan 4 x - tan 2 x = 4 tan x (vì cos 2 x ¹ 0 ¾¾ ® 1 + tan 4 x .tan 2 x ¹ 0 ) 1 + tan 4 x .tan 2 x

Û tan 2 x = 4 tan x

tan x + tan x = 4 tan x 1 - tan x tan x Û tan x (2 tan 2 x -1) = 0 Û

é x = kp é tan x = 0 (thoûa maõn) ê ê ê æ ö Û êê Û ê x = arc tan çç± 2 ÷÷ + k p (k Î ). 2 ÷ tan x = ± thoû a maõ n ê ( ) ç ê çè 2 ø÷ êë 2 ëê

® có tất cả 6 nghiệm thỏa mãn. Chọn C. Vì x Î [-p; p ] ¾¾

Vấn đề 5. Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [a; b ]

Câu 36. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình tan 5 x - tan x = 0 trên [0;p ) bằng 3p . 2 ïìcos 5 x ¹ 0 . Lời giải. Điều kiện: ïí ïïîcos x ¹ 0

A. p.

C. 2p.

Phương trình Û tan 5 x = tan x Û 5 x = x + k p Û x = k

5p . 2

p (k Î ). 4

p k Î < p Û 0 £ k < 4 ¾¾¾ ® k Î {0;1;2;3}. 4 ì ï k = 0 ¾¾ ®x = 0 ï ï ï p ï ï k = 1 ¾¾ ®x = ï ï 4 ï p 3p Suy ra ï ¾¾ ® + = p. Chọn A. í p ï 4 4 k = 2 ¾¾ ® x = (loaïi) ï ï 2 ï ï ï 3p ï k = 3 ¾¾ ®x = ï ï 4 ï î ®0 £ k Vì x Î [0; p ) ¾¾

Câu 37. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos (sin x ) = 1 trên đoạn [0;2p ] bằng A. 0.

C. 2p.

B. p.

D. 3p.

Lời giải. Phương trình tương đương với sin x = k 2p, k Î . Vì

-1 £ sin x £ 1

nên

sin x = 0 Û x = p ( Î ).

suy

k =0,

khi

đó

phương

trình

trở

thành

® x Î {0; p;2p }. Suy ra tổng các nghiệm 0 + p + 2p = 3p. Chọn D. Vì x Î [0;2p ] ¾¾

Câu 38. Cho phương trình x 2 - (2 cos a - 3) x + 7 cos 2 a - 3cos a -

9 = 0. Gọi S là tập các giá 4

trị của tham số a thuộc đoạn [0;4p ] để phương trình có nghiệm kép. Tổng các phần tử của tập S bằng A.

20p . 3

B. 15p.

C. 16p.

D. 17p.

æ 9ö 2 2 Lời giải. Yêu cầu bài toán Û D = (2 cos a - 3) - 4 ççç7 cos a - 3cos a - ÷÷÷ = 0 è 4ø é ïì p 11p 13p 23p ïü a Î[0;4 p ] ê cos a = 3 ¾¾¾¾ ®a Î í ; ; ; ý ê ïîï 6 6 2 6 6 ïþï 2 ê Û 6 (3 - 4 cos a ) = 0 Û ê . 3 aÎ[0;4 p ] ïì 5p 7p 17p 19p ïü ê ¾¾¾¾ ®a Î í ; ; ; ý ê cos a = ïîï 6 6 6 2 6 ïþï ëê

p 11p 13p 23p 5p 7p 17p 19p + + + + + + + = 16p. Chọn C. 6 6 6 6 6 6 6 6

Vậy Câu

39.

Tính

tổng

tất

cả

các

(2 cos 2 x + 5)(sin x - cos x ) + 3 = 0 trên khoảng (0;2p ). 4

A. S =

7p . 6

nghiệm

của

phương

trình

B. S =

11p . 6

C. S = 4 p.

D. S = 5p.

Lời giải. Phương trình Û (2 cos 2 x + 5)(sin 2 x - cos 2 x ) + 3 = 0 Û -(2 cos 2 x + 5) cos 2 x + 3 = 0

Û -2 cos 2 2 x - 5cos 2 x + 3 = 0 é 1 ê cos 2 x = p Ûê Û x = ± + k p (k Î ). 2 ê 6 êë cos 2 x = -3 (loaïi)

ì p 5p 7p 11p ï ü ï ®x Îí ; ; ; ® S = 4 p. Chọn C. Vì x Î (0;2p ) ¾¾ ý ¾¾ ï ï6 6 6 6 ï ï î þ

Câu 40. Tổng các nghiệm của phương trình

æ pö 3 -1 3 +1 + = 4 2 trên khoảng çç0; ÷÷÷ çè 2 ø sin x cos x

bằng

p 7p C. . . 3 18 ì ïsin x ¹ 0 p Û x ¹ k (k Î ). Lời giải. Điều kiện: ï í ï cos x ¹ 0 2 ï î A.

11p . 36

D. p.

3 1 3 1 cos x + sin x + sin x - cos x = 2 sin 2 x 2 2 2 2 æp ö÷ æ ö÷ p Û sin çç + x ÷÷ + sin çç x - ÷÷ = 2 sin 2 x çè 3 çè ø 6ø æp ö p . Û 2 cos .sin çç + x ÷÷÷ = 2 sin 2 x çè12 ø 4

Phương trình Û

é p ê x = + k 2p æp ö÷ ê 12 Û sin çç + x ÷÷ = sin 2 x Û ê (k Î ). çè12 ø 11p k 2p ê + êx = êë 36 3 æ p ö÷ ì p 11p ï ü p 11 p 7 p ï ®x Îí ; ® + = . Chọn C. Vì x Î çç0; ÷÷ ¾¾ ý ¾¾ çè 2 ø ï 12 36 18 ï12 36 ï ï î þ

Câu 41. Tổng các nghiệm của phương trình sin x cos x + sin x + cos x = 1 trên (0;2p ) bằng D. 4 p. t 2 -1 Lời giải. Đặt t = sin x + cos x 0 £ t £ 2 , suy ra sin x cos x = . 2 ét = 1 t 2 -1 + t = 1 Û t 2 + 2t - 3 = 0 Û êê . Phương trình trở thành: 2 ë t = -3 (loaïi) æ æ pö pö 1 Với t = 1, ta được sin x + cos x = 1 Û 2 cos çç x - ÷÷÷ = 1 Û cos çç x - ÷÷÷ = ± èç èç 4ø 4ø 2 A. p.

B. 2p.

(

C. 3p.

)

é x = k 2p ê ê é p p p ê x = + k 2p ê x - = ± + k 2p ìp ü ê 3p ï ê ï x Î(0;2 p ) 4 4 2 Ûê Ûê ® x Î í ; p; ý. Chọn C. (k Î ) ¾¾¾¾ ï ê p 3p x = p + k 2p ê 2ï ï2 ï î þ ê ê x - = ± + k 2p ê êë 4 4 p ê x = - + k 2p êë 2 é pù 1 Câu 42. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 3 x (1 - 4 sin 2 x ) = trên đoạn ê 0; ú êë 2 ûú 2

bằng A.

3p . 7

3p . 5

37p . 70

36p . 35

Lời giải. Nhận thấy cos x = 0 không là nghiệm của phương trình. Nhân hai vế phương trình với cos x ta được

sin 3 x (cos x - 4 sin 2 x cos x ) =

1 cos x 2 Û 2 sin 3 x (4 cos3 x - 3cos x ) = cos x Û 2 sin 3 x cos 3 x = cos x

é p k 2p êx = + æp ö÷ ê 14 7 Û sin 6 x = sin çç - x ÷÷ Û ê (k Î ). çè 2 ø ê p k 2p x = + ê êë 10 5 é é p p êk = 0 ® x = êk = 0 ® x = p k 2 p p k Î ê p k 2 p p ê 10 14 . k Î £ ¾¾¾ ®ê £ ¾¾¾ ®ê .  0£ +  0£ + 5p ê p ê 14 7 2 10 5 2 k = 1 ® x = k = 1 ® x = ê ê êë êë 14 2 p 5p p p 36p Vậy tổng + + + = . Chọn D. 14 14 10 2 35 sin 2 x + 2 sin 2 x - 5sin x - cos x + 2 Câu 43. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình =0 2 cos x + 3 trên đoạn [0;100p ] bằng A.

7375p . 3

7475p . 3

Lời giải. Điều kiện: cos x ¹ -

14701p . 6

14850p . 3

3 . 2

Phương trình tương đương với sin 2 x + 2 sin 2 x - 5sin x - cos x + 2 = 0

Û (sin 2 x - cos x ) + (2 sin 2 x - 5sin x + 2) = 0

Û cos x (2 sin x -1) + (sin x - 2)(2 sin x -1) = 0 Û (2 sin x -1)(sin x + cos x - 2) = 0.

 sin x + cos x - 2 = 0 : vô nghiệm. é p ê x = + k 2p ¾¾ ® k Î [0;49 ] 1 ê 6 .  2 sin x -1 = 0 Û sin x = Û ê ê 5p 2 + k 2p (loaïi) êx = êë 6 49 49 æp ö p 7375p . Chọn A. Vậy tổng các nghiệm cần tính å çç + k 2p÷÷÷ = 50. + 2p å k = ç è ø 6 6 3 k =0 k =0

æ pö Câu 44. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin 3 çç x - ÷÷÷ = 2 sin x trên đoạn çè 4ø

[0;2018] bằng A.

2018p . 4

4036p . 3

412485p . 2

824967p . 4

æ 1 ö 3 3 Lời giải. Phương trình Û çç ÷÷÷ (sin x - cos x ) = 2 sin x Û (sin x - cos x ) = 4 sin x . èç 2 ø 3

Nhận thấy cos x = 0 không thỏa mãn phương trình.

Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta được (tan x -1) = 4 tan x (tan 2 x + 1) 3

p Û 3 tan 3 x + 3 tan 2 x + tan x + 1 Û tan x = -1 Û x = - + k p (k Î ). 4 p k Î ® 0 £ - + k p £ 2018 ¾¾¾ ® k Î {1;2;3;;642}. Vì x Î [0;2018] ¾¾ 4 642 æ p ö æ p ö 642 412485p . Chọn C. Vậy S = å çç- + k p ÷÷÷ = 642.çç- ÷÷÷ + å k p = ç ç ø è 4 ø k =1 4 2 k =1 è

Câu

45.

Tổng

tất

cả

các

nghiệm

cos x (tan x - cos 2 x ) = cos x - cos x + 1 trên đoạn [0;43p ] bằng 2

4220 p. 3

của

phương

trình

4225 p. 3

Lời giải. Điều kiện cos 2 x ¹ 0 Û x ¹

C. p + k p (k Î ). 2

4230 p. 3

4235 p. 3

Phương trình Û sin 2 x - cos 2 x cos 2 x = cos3 x - cos 2 x + 1

Û 1 - cos 2 x + cos 2 x (1 - 2 cos 2 x ) = cos3 x - cos 2 x + 1

Û 2 cos 4 x + cos3 x - cos 2 x = 0 é cos x = -1 é x = p + k 2p ê ê Û 2 cos 2 x + cos x -1 = 0 Û ê (k Î ). p 1 Û êê ê cos x = x = ± + k 2p êë êë 3 2

1 k Î ® k Î {0;1;2;...;21}  0 £ p + k 2p £ 43p Û - £ k £ 21 ¾¾¾ 2

¾¾ ® tổng các nghiệm là S1 = 22p + (0 + 1 + 2 + ... + 21) 2p = 484 p.

p 1 64 k Î + k 2p £ 43p Û - £ k £ ¾¾¾ ® k Î {0;1;2;...;21} 3 6 3 p 1408 ¾¾ ® tổng các nghiệm là S2 = 22. + (0 + 1 + 2 + ... + 21) 2p = p. 3 3 p 1 65 k Î  0 £ - + k 2p £ 43p Û £ k £ ¾¾¾ ® k Î {1;2;...;21} 3 6 3 æ pö ¾¾ ® tổng các nghiệm là S3 = 21.çç- ÷÷÷ + (1 + 2 + 3 + ... + 21) 2p = 455p. çè 3 ø  0£

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn [0;43p ] là

S = S1 + S2 + S3 =

4225 p . Chọn B. 3

Vấn đề 6. Tìm m để phương trình có nghiệm Câu 46. Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc tập E = {-3; -2; -1;0;1;2} để phương trình 2m sin x cos x + 4 cos 2 x = m + 5 có nghiệm? A. 2. B. 3. C. 4. 16

D. 5.

Lời giải. Phương trình tương đương với m sin 2 x + 2 cos 2 x = m + 3.

5 2 Phương trình có nghiệm Û m 2 + 2 2 ³ (m + 3) Û 6m + 5 £ 0 Û m £ - . 6 ® m Î {-3; -2; -1}. Chọn B. Mà m Î E ¾¾

Câu 47. Cho phương trình m sin 2 x + 2 sin x cos x + 3m cos 2 x = 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình có nghiệm. ìï 4 ïü ì 4ï ü é 4ù ï A. m Î í0; ý. B. m Î  \ í0; ý. C. m Î ê 0; ú . ïîï 3 ïþï ï ï êë 3 úû ï 3þ ï î

æ 4ö D. m Î çç0; ÷÷÷. çè 3 ø

1 - cos 2 x 1 + cos 2 x + sin 2 x + 3m. = 1 Û sin 2 x + m cos 2 x = 1 - 2m. 2 2 4 Phương trình có nghiệm Û 1 + m 2 ³ 1 - 4 m + 4 m 2 Û 3m 2 - 4 m £ 0 Û 0 £ m £ . Chọn C. 3 æ 3p ö÷ 5 + 4 sin çç - x ÷÷ çè 2 ø 6 tan a Câu 48. Cho phương trình = . Gọi S là tập hợp tất cả các giá sin x 1 + tan 2 a

Lời giải. Phương trình Û m.

trị thực của a thuộc đoạn [0;2p ] để phương trình có nghiệm. Tổng các phần tử của tập

S bằng A. p.

B. 2p. ìïsin x ¹ 0 . Lời giải. Điều kiện ïí ïïîcos a ¹ 0 Phương trình tương đương với

(1)

C. 4 p.

D. 6p.

5 - 4 cos x = 3sin 2a Û 3sin 2a sin x + 4 cos x = 5. sin x

Nếu sin x = 0 ¾¾ ® cos x = ±1 : không thỏa (1) . Do đó phương trình nếu có nghiệm thì luôn thỏa mãn điều kiện sin x ¹ 0. ìïcos a ¹ 0 Để phương trình có nghiệm Û ïí ïï(3sin 2a )2 + 16 ³ 25 î ì ì ï cos a ¹ 0 ï cos a ¹ 0 p kp Ûï Ûï Û cos 2a = 0 Û a = + , k Î  : thỏa điều kiện. í 2 í 2 ï ï sin 2 a ³ 1 sin 2 a = 1 4 2 ï ï î î ì p 3p 5p 7p ü p 3p 5p 7p ¾¾ ®S = ï ® tổng + + + = 4 p. Chọn C. í ; ; ; ï ý ¾¾ ï4 4 4 4 þ ï 4 4 4 4 ï ï î

æ æ pö pö Câu 49. Cho phương trình 4 sin çç x + ÷÷÷.cos çç x - ÷÷÷ = m 2 + 3 sin 2 x - cos 2 x . Gọi S = [a; b ] là èç èç 3ø 6ø

tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm. Tính a + b. 1 B. a + b = - . C. a + b = 0. D. a + b = 4. 2 æ æ pö pö 1 é æ pö pù Lời giải. Ta có sin çç x + ÷÷÷.cos çç x - ÷÷÷ = ê sin çç2 x + ÷÷÷ + sin ú çè ç ç ê è 3ø 6ø 2 ë è 6ø 2 úû ù ù 1é 3 1é p p 1 = ê sin 2 x cos + sin cos 2 x + 1ú = êê sin 2 x + cos 2 x + 1úú . 2 ëê 6 6 2 ûú 2 êë 2 úû

A. a + b = -2.

Phương

trình

tương

3 sin 2 x + cos 2 x + 2 = m 2 + 3 sin 2 x - cos 2 x Û cos 2 x = Phương trình có nghiệm Û -1 £

đương

m -2 . 2 2

m2 - 2 £ 1 Û 0 £ m 2 £ 4 Û -2 £ m £ 2 2

với

ïìa = -2 ¾¾ ® S = [-2;2 ] ¾¾ ® ïí ¾¾ ® a + b = 0. Chọn C. ïïîb = 2

m + 2 = 0. Có bao nhiêu giá trị 4

Câu 50. Cho phương trình sin 6 x + cos 6 x + 3sin x cos x nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm? A. 7. B. 9. C. 13.

D. 15.

Lời giải. Ta có sin x + cos x = (sin x + cos x ) - 3sin x cos x (sin x + cos 2 x ) 6

3 = 1 - 3sin 2 x cos 2 x = 1 - sin 2 2 x . 4 3 m Phương trình Û 1 - sin 2 2 x + 3sin x cos x - + 2 = 0 Û 3sin 2 2 x - 6 sin 2 x = 12 - m. 4 4 [ ] ® 3t 2 - 6t = 12 - m Û 3 (t -1) = 15 - m. Đặt t = sin 2 x ¾¾¾ t Î -1;1

® 0 £ 3 (t -1) £ 12. Do đó để phương trình có nghiệm Û 0 £ 15 - m £ 12 Vì -1 £ t £ 1 ¾¾ 2

m Î ® m Î {3;4;5;...;15}. Chọn C. Û 3 £ m £ 15 ¾¾¾

Câu 51. Cho phương trình 3 tan 2 + tan x + cot x +

3 = m. Có bao nhiêu giá trị nguyên sin 2 x

m nhỏ hơn 2018 để phương trình có nghiệm? A. 2004. B. 2008. C. 2011. ïìsin x ¹ 0 kp Ûx¹ Lời giải. Điều kiện: ïí (k Î ). ïïîcos x ¹ 0 2

D. 2012.

æ 1 ö Phương trình viết lại 3 ççtan 2 x + 2 ÷÷÷ + tan x + cot x = m çè sin x ø

Û 3 (tan 2 x + cot 2 x + 1) + tan x + cot x = m.

Đặt t = tan x + cot x . Điều kiện: t ³ 2.

Phương trình trở thành 3 (t 2 -1) + t = m Û 3t 2 + t = m + 3. Xét hàm f (t ) = 3t 2 + t trên (-¥; -2 ] È [2; +¥). Bảng biến thiên t

f ' (t ) f (t )

-¥ +¥

-2

+¥ +¥

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm Û m + 3 ³ 10 Û m ³ 7 m Î ¾¾¾® m Î {7;8;9;...;2017} ¾¾ ® có 2011 giá trị. Chọn C. m <2018

Câu 52. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sin 4 x = m.tan x có nghiệm x ¹ kp.

é 1 ö A. m Î ê- ;4÷÷÷. êë 2 ø

é 1 ù B. m Î ê- ;4 ú . êë 2 úû

æ 1 ö C. m Î çç- ;4÷÷÷. çè 2 ø

D. m Î (-1;4 ).

Lời giải. Điều kiện cos x ¹ 0. Phương trình Û 2 sin 2 x .cos 2 x =

m.sin x sin x Û 4.sin x .cos x .cos 2 x = m. . (* ) cos x cos x 18

Vì x ¹ kp nên sin x ¹ 0 . Khi đó (*) Û 4 cos 2 x (2 cos 2 x -1) = m

ïì x ¹ k p Đặt t = cos 2 x , với ïí suy ra t Î (0;1) . Phương trình trở thành m = 8t 2 - 4 t . ïïîcos x ¹ 0 1 Xét hàm f (t ) = 8t 2 - 4 t với t Î (0;1) , ta được - £ f (t ) < 4. 2 1 Do đó phương trình có nghiệm Û - £ m < 4. Chọn A. 2

D. -1 < m < 0 .

sin

cos O 1 2

æ p 3p ö 1 không có nghiệm trên khoảng çç ; ÷÷÷ (Hình vẽ). çè 2 2 ø 2 æ p 3p ö Do đó yêu cầu bài toán Û cos x = m có nghiệm thuộc khoảng çç ; ÷÷÷ Û -1 £ m < 0 . çè 2 2 ø

Nhận thấy phương trình cos x =

Chọn C. Câu 54. Cho phương trình cos 2 x + 2 (1 - m ) cos x + 2m -1 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10 ] để phương trình có nghiệm? A. 8.

B. 9.

C. 10.

Lời giải. Đặt t = cos x (-1 £ t £ 1).

D. 11.

Phương trình trở thành t 2 + 2 (1 - m ) t + 2m -1 = 0 Û t 2 + 2t -1 = 2m (t -1).  Xét t = 1 : (1) trở thành 2 = 0 (không thỏa mãn).

(1)

t 2 + 2t -1 = 2m. t -1 t 2 + 2t -1 t 2 + 2t - 3 < 0 "t Î (-1;1). Xét hàm f (t ) = với t Î [-1;1), ta có f ' (t ) = 2 t -1 (t -1)

 Xét t ¹ 1 : (1) Û

Bảng biến thiên t

f ' (t ) f (t )

-1

1 -

1 -¥

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để phương trình có nghiệm Û 2m £ 1 Û m £ m Î ¾¾¾¾ ® m Î {-10; -9; -8;...;0} ¾¾ ® có 11 giá trị. Chọn D. m Î[-10;10 ]

1 2

1 + cos 6 x 1 + 4 cos3 2 x - 3cos 2 x và cos 4 x = 2 cos 2 2 x -1. = 2 2 1 + 4 cos3 2 x - 3cos 2 x 1 - cos 2 x Phương trình đã cho Û 2 cos 2 2 x -1 = + m 2 2 Û 4 cos 2 2 x - 2 = 1 + 4 cos3 2 x - 3cos 2 x + (1 - cos 2 x ) m Lời giải. Ta có cos 2 3 x =

Û (cos 2 x -1) m = 4 cos3 2 x - 4 cos 2 2 x - 3cos 2 x + 3.

(* )

æ 3 ö÷ æ pö 4 t 3 - 4 t 2 - 3t + 3 = 4 t 2 - 3. ® t Î ççç ;1÷÷. Khi đó (*) Û m = Đặt t = cos 2 x , với x Î çç0; ÷÷÷ ¾¾ èç 12 ø çè 2 ÷ø t -1 ìmin f (t ) = 0 ï ï é 3 ù ï ê ;1ú , ï ê 2 ú é ù 3 ï ëê ûú 2 ê ú . ;1ú , ta được í Xét hàm f (t ) = 4 t - 3 trên đoạn ê ï max f (t ) = 1 êë 2 úû ï é 3 ù ï ê ;1ú , ï ê ú ï ï î ëê 2 ûú

Vậy để phương trình m = f (t ) có nghiệm khi và chỉ khi m Î (0;1). Chọn C.

Câu 56. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 sin x + m cos x = 1 - m có é p pù nghiệm x thuộc đoạn ê- ; ú . êë 2 2 úû 3 A. m ³ - . 2

3 B. m > - . 2

C. -1 £ m £ 3.

D. -1 < m < 3.

Lời giải. Nếu dùng điều kiện có nghiệm: 4 + m 2 ³ (1 - m ) Û 4 ³ 1 - 2m Û m ³ 2

3 (đáp án 2

é p pù A) thì sai hoàn toàn bởi vì x Î ê- ; ú thì sin x quét hết tập giá trị [-1;1] nhưng với cos x ëê 2 2 ûú thì không. é p pù x ® t Î [-1;1]. Lời giải đúng. Đặt t = tan , với x Î ê- ; ú ¾¾ êë 2 2 úû 2 2t 1- t 2 +m = 1 - m Û t 2 - 4 t + 1 = 2m. 2 1+ t 1+ t 2 ì ï f (t ) = 6 ïmax [-1;1] Xét hàm f (t ) = t 2 - 4 t + 1 trên đoạn [-1;1]. Tìm được ïí . ï min f (t ) = -2 ï ï î [-1;1]

Phương trình trở thành 2

Do đó yêu cầu bài toán -2 £ 2m £ 6 Û -1 £ m £ 3. Chọn C.

Câu 57. Cho phương trình mx 2 + 4 p 2 = 4 p 2 cos x . Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham æ pö số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷÷÷ bằng çè 2 ø A. -54. B. -35. C. 35. D. 51. 4 p 2 (cos x -1) æ p ö÷ Lời giải. Vì x Î çç0; ÷÷ nên phương trình Û m = . çè 2 ø x2 Xét hàm f ( x ) =

2 (1 - cos x ) - x sin x æ pö æ pö cos x -1 với x Î çç0; ÷÷÷, ta có f ¢ ( x ) = > 0, "x Î çç0; ÷÷÷. 3 2 ç çè 2 ø è ø 2 x x

æ pö 1 4 ®- < f ( x ) < - 2 . Suy ra f ( x ) đồng biến trên çç0; ÷÷÷ nên lim+ f ( x ) < f ( x ) < lim- f ( x )¬¾ çè 2 ø x ®0 p 2 p x® 2

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì -2p < m < -16 2

m Î ¾¾¾ ® m Î {-19; -18; -17}. Chọn A.

Câu 58. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

x f '(x )

-2

-¥

-1 +

1 -

+¥

4 +

+¥

f (x )

-1

-¥ m để phương trình f é3cos ( x + 1) + 1ù = - m có nghiệm? Có bao nhiêu số nguyên ë û 2 A. 2.

B. 3.

®-2 £ t £ 4. Lời giải. Đặt t = 3cos ( x + 1) + 1 ¾¾

C. 9.

D. 13.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t Î [-2;4 ] thì -1 £ f (t ) £ 3. Do đó để phương trình có nghiệm Û -1 £ -

m £ 3 Û -6 £ m £ 2 2

m Î ¾¾¾ ® m Î {-6; -5; -4;...;2} ¾¾ ® có 9 giá trị. Chọn C.

Câu 59. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ

x f '(x )

-1

-¥

0 +

+¥

+ +¥

f (x )

-2

Có bao nhiêu số nguyên -¥ dương m để phương trình f (2 sin x + 1) = f (m ) có nghiệm? A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

®-1 £ t £ 3. Lời giải. Đặt t = 2 sin x + 1 ¾¾

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t Î [-1;3] thì -2 £ f (t ) £ 2.

Do đó để phương trình có nghiệm Û -2 £ f (m ) £ 2. Cũng từ bảng biến thiên suy ta f (m ) nhận mọi giá trị từ -2 đến 2 khi và chỉ khi -1 £ m £ 3.

m Î ¾¾¾ ® m Î {1;2;3} ¾¾ ® có 3 giá trị. Chọn B. +

Câu 60. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ,

thỏa f ( x ) > 3 với mọi x > 5 và f ( x ) < -3 với mọi x < -2 , có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương nghiệm? A. 6. C. 8.

trình

f (3sin x + 2) = f (m )

có

B. 7. D. 9.

®-1 £ t £ 5. Lời giải. Đặt t = 3sin x + 2 ¾¾

Dựa

vào

đồ

thị

thấy

f (3sin x + 2) = f (m ) Û 3sin x + 2 = m.

f (x )

đồng

biến

[-1;5]

trên

nên

® m Î [-1;5] ¾¾ ® có 7 giá trị nguyên. Chọn B. Mà 3sin x + 2 Î [-1;5] ¾¾

Vấn đề 7. Tìm m để phương trình có đúng n nghiệm thuộc khoảng (a; b )

Đặt t = cos 3 x (-1 £ t £ 1) . Phương trình trở thành 2t 2 + (3 - 2m ) t + m - 2 = 0. é 1 ê t1 = Ta có D = (2m - 5) ¾¾ ® phương trình có hai nghiệm ê . 2 ê êë t 2 = m - 2 2

sin

cos O

t1 =

Ta thấy ứng với một nghiệm t1 =

1 2

æ p pö 1 thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng çç- ; ÷÷÷. èç 6 3 ø 2

Do đó yêu cầu bài toán Û -1 < t 2 £ 0 (tham khảo hình vẽ) Û -1 < m - 2 £ 0 Û 1 < m £ 2. Chọn B.

Cách 2. Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình 2t 2 + (3 - 2m ) t + m - 2 = 0 có hai ì ï P £0 ï ï ï nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn -1 < t 2 £ 0 < t1 < 1 Û ía. f (1) > 0 . ï ï ï ï îa. f (-1) > 0

Câu

62.

Tìm tất cả các giá trị của tham số æ pö sin 2 x + 2 sin çç x + ÷÷÷ - 2 = m có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng çè 4ø

m để æ 3p ö÷ çç0; ÷. çè 4 ÷ø

A. -3 < m < -1 + 2. B. -3 < m £ -1 + 2. C. -1 < m £ -1 + 2.

Lời giải. Phương trình viết lại sin 2 x + sin x + cos x - 2 = m. æ pö Đặt t = sin x + cos x = 2 sin çç x + ÷÷÷, suy ra sin 2 x = t 2 -1. çè 4ø

phương

trình

D. -1 < m < -1 + 2.

æ 3p ö p æp ö ® x + Î çç ; p ÷÷÷ ¾¾ ® t Î 0; 2 ùú . Với x Î çç0; ÷÷÷ ¾¾ çè 4 ø û 4 çè 4 ø

(

Phương trình trở thành t 2 + t - 3 = m.

(

(* )

( ( )

)

Xét hàm f (t ) = t 2 + t - 3 trên 0; 2 ùú . Ta có f ' (t ) = 2t + 1 > 0, "t Î 0; 2 . û ù ®-3 < m £ -1 + 2. Suy ra f (t ) đồng biến trên 0; 2 ú và kết luận f (0) < m £ f 2 ¬¾ û æ pö ® sin çç x + ÷÷÷ = 1 ¾¾ ® có một nghiệm Thử lại m = -1 + 2 ¾¾ çè 4ø sin æ 3p ö÷ p ç x = duy nhất thuộc ç0; ÷÷. çè 4 ø 4

(

Lí do dẫn đến sai lầm là bài toán yêu cầu có hai nghiệm

cos

khác với yêu cầu có nghiệm.

Dựa vào đường tròn lượng giác (hình vẽ bên) ta thấy yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có đúng một nghiệm t thuộc

(1; 2 )

¾¾ ® f (1) < m < f

( 2 )¬¾®-1 < m < -1 +

2. Chọn D.

Câu 63. Cho phương trình m sin 2 x - 3sin x cos x - m -1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị æ 3p ö nguyên m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc çç0; ÷÷÷ . Tổng çè 2 ø các phần tử của S bằng A. -15. B. -14.

C. 0.

D. 15.

Lời giải. Phương trình Û m (sin x -1) - 3sin x cos x -1 = 0 Û 3sin x cos x + m cos 2 x + 1 = 0. 2

Nhận thấy cos x = 0 không thỏa phương trình. Chia hai vế phương trình cho cos 2 x ta được tan 2 x + 3 tan x + m + 1 = 0.

Đặt t = tan x , ta được phương trình bậc hai t 2 + 3t + m + 1 = 0 . æ 3p ö Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc çç0; ÷÷÷ Û phương trình t 2 + 3t + m + 1 = 0 có çè 2 ø

m Î hai nghiệm trái dấu Û m + 1 < 0 Û m < -1 ¾¾¾¾ ® m = {-5; -4; -3; -2} ¾¾ ® S = -14. Chọn m Î[-5;5]

Câu 64. Cho phương trình (cos x + 1)(4 cos 2 x - m cos x ) = m sin 2 x . Số các giá trị nguyên của é 2p ù tham số m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn ê 0; ú là ëê 3 ûú

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Phương trình Û (1 + cos x )(4 cos 2 x - m cos x ) = m (1 - cos 2 x ) é cos x = -1 ê Û (1 + cos x )(4 cos 2 x - m ) = 0 Û ê m. ê cos 2 x = 4 ëê

sin

é 2p ù ® phương trình cos x = -1 vô nghiệm.  Với x Î ê 0; ú ¾¾ êë 3 úû

cos O

1 2

é 2p ù é 4p ù ® 2 x Î ê 0; ú . Dựa vào đường tròn lượng giác, ta thấy yêu cầu bài  Với x Î ê 0; ú ¾¾ êë 3 úû êë 3 úû

toán -1 <

m 1 £ - Û -4 < m £ -2. 4 2

® m Î {-3; -2}. Chọn B Vì m Î  ¾¾

Câu

65.

Có

bao

nhiêu

số

thực

để

phương

trình

(sin x -1)(2 cos 2 x - (2m + 1) cos x + m ) = 0 có đúng 4 nghiệm thuộc đoạn [0;2p ] ? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4. é sin x = 1 ê ê 1 Lời giải. Phương trình Û (sin x -1)(2 cos x -1)(cos x - m ) = 0 Û ê cos x = . ê 2 ê ê cos x = m ë p p + k 2p (k Î ), mà x Î [0;2p ] ¾¾ ®x = . 2 2 é p ê x = + k 2p 1 p 5p ê 3  cos x = Û ê ®x = ,x = . (k Î ), mà x Î [0;2p ] ¾¾ ê p 2 3 3 ê x = - + k 2p êë 3

 sin x = 1 Û x =

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với phương trình ì ü ï p p 5p ï cos x = m có đúng một nghiệm [0;2p ] khác í , . ý (xem ï3 2 3 þ ï ï ï î

sin

hình vẽ). Từ đường tròn lượng giác ta suy ra chỉ có hai giá trị

cos

m thỏa mãn là m = -1 và m = 0. Bởi vì:

Với m = -1, phương rình cos x = -1 chỉ có nghiệm duy nhất

x = p thuộc [0;2p ].

p Với m = 0, phương rình cos x = 0 có hai nghiệm x = (trùng 2 3p với nghiệm đã tính) và x = thuộc [0;2p ]. 2

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn. Chọn B. Câu 66. Cho phương trình sin 4 x + cos 4 x + cos 2 4 x = m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của é p pù tham số m để phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn ê- ; ú . êë 4 4 úû A. 1.

B. 2.

C. 3. 3 1 Lời giải. Ta có sin 4 x + cos 4 x = + cos 4 x . 4 4 3 1 2 Phương trình + cos 4 x + cos 4 x = m Û 4 cos 2 4 x + cos 4 x = 4 m - 3. 4 4 é p pù ® 4 x Î [-p; p ] nên t Î [-1;1]. Đặt t = cos 4 x , với x Î ê- ; ú ¾¾ êë 4 4 úû Khi đó phương trình trở thành 4 t 2 + t = 4 m - 3.

(* )

D. 4.

é p pù  Ứng với mỗi t Î [-1;1) thì phương trình cos 4x = t sẽ cho ta hai giá trị của x Î ê- ; ú . êë 4 4 úû é p pù  Với t = 1 thì phương trình cos 4x = t cho ta đúng một giá trị của x Î ê- ; ú . êë 4 4 úû

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với (*) có hai nghiệm t phân biệt thuộc [-1;1).

1 Xét hàm f (t ) = 4 t 2 + t trên [-1;1). Ta có f ' (t ) = 8t + 1 ¾¾ ® f ' ( t ) = 8t + 1 Û t = - . 8 1 Bảng biến thiên t -1 1 8 + f ' (t ) 0

f (t )

3 -

1 16

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán Û -

1 47 3 < 4m - 3 £ 3 Û <m£ 16 64 2

m Î ¾¾¾ ® m = 1. Vậy có 1 giá trị nguyên. Chọn A.

Câu 67. Cho phương trình (sin x -1)(cos 2 x - cos x + m ) = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn [0;2p ]. 1 A. 0 £ m < . 4

1 B. - < m £ 0. 4

1 C. 0 < m < . 4 é sin x = 1 Lời giải. Phương trình tương đương với êê 2 êë cos x - cos x + m = 0. (1)

1 D. - < m < 0. 4

® t Î [-1;1] . Phương trình (1) trở thành t 2 - t = -m. Đặt t = cos x , với x Î [0;2p ] ¾¾

Phương trình sin x = 1 có đúng 1 nghiệm x =

p thuộc đoạn [0;2p ]. 2

Do đó yêu cầu bài toán Û phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt (khác đoạn [0;2p ] Û phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc [-1;1] \ {-1;0}.

(2 ) p ) thuộc 2

1 ® f ' (t ) = 0 Û t = . Xét hàm f (t ) = t 2 - t trên (-1;0) È (0;1]. Ta có f ' (t ) = 2t -1 ¾¾ 2

Bảng biến thiên t

f ' (t ) f (t )

-1 2

1 2 0

0 -

1 +

1 4 1 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán - < -m < 0 Û > m > 0. Chọn C. 4 4 -

Lời giải. Đặt t = sin x (-1 £ t £ 1) .

Phương trình trở thành 2t 2 - (5m + 1) t + 2m 2 + 2m = 0. (*)

sin

sin t2

cos

cos O

Hình 2

Hình 1 Yêu cầu bài toán tương đương với:

 Trường hợp 1: Phương trình (*) có một nghiệm t1 = -1 (cho ra một nghiệm x ) và một nghiệm 0 < t 2 < 1 (cho ra bốn nghiệm x ) (Hình 1).

c  Do t1 = -1 ¾¾ ® t 2 = - = -m 2 - m . a

é m = -3 ¾¾ ® t 2 = -6 Ï (0;1)(loaïi) ê  Thay t1 = -1 vào phương trình (*) , ta được ê . 1 ê m = - 1 ¾¾ ® t = Î 0;1 thoû a ( )( ) 2 ê 2 4 ë

 Trường hợp 2: Phương trình (*) có một nghiệm t1 = 1 (cho ra hai nghiệm x ) và một nghiệm -1 < t 2 £ 0 (cho ra ba nghiệm x ) (Hình 2).  Do t1 = 1 ¾¾ ® t2 =

c = m2 + m . a

é m = 1 ¾¾ ® t 2 = 2 Ï (-1;0 ](loaïi) ê  Thay t1 = 1 vào phương trình (*) , ta được ê . 3 ê m = 1 ¾¾ ® t 2 = Ï (-1;0 ](loaïi) ê 2 4 ë æ ö 1 3 2 1 Vậy m = - thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do m = - Î çç- ; - ÷÷÷. Chọn D. 2 çè 5 5 ø 2

đường tròn lượng giác là 4 ? A. 8. B. 9.

D. 12. æ ö÷ p Lời giải. Phương trình Û sin 2 x - 3 cos 2 x - m = m sin çç2 x - ÷÷. çè 3ø æ ö æ ö p p t ® sin çç2 x - ÷÷÷ = . (điều kiện -2 £ t £ 2 ). Đặt t = sin 2 x - 3 cos 2 x = 2 sin çç2 x - ÷÷÷ ¾¾ èç èç 3ø 3ø 2

(

C. 10.

)

t Û 2t 2 - mt - 2m = 0. (* ) 2 æ pö t  Ứng với mỗi t Î (-2;2) thì phương trình sin çç2 x - ÷÷÷ = cho ta các nghiệm có số vị trí çè 3ø 2

Phương trình trở thành: t 2 - m = m

biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 4. æ pö  Với t = 2 thì phương trình sin çç2 x - ÷÷÷ = 1 cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễn trên çè 3ø đường tròn lượng giác là 2.

æ pö  Với t = -2 thì phương trình sin çç2 x - ÷÷÷ = -1 cho ta các nghiệm có số vị trí biểu diễn çè 3ø

trên đường tròn lượng giác là 2. 26

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (*) có duy nhất một nghiệm t thuộc khoảng (-2;2) hoặc phương trình (*) có hai nghiệm là -2 và 2.  Trường hợp 1: Phương trình (*) có đúng 1 nghiệm thuộc (-2;2) . Với mọi t Î (-2;2), ta có (*) Û m =

2t 2 = f (t ) . t +2

Bảng biến thiên t

f ' (t ) f (t )

-2

0 -

+¥

ém > 2 0 . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của trường hợp này Û ê êm = 0 ë

 Trường hợp 2: Phương trình (*) nhận -2 và 2 làm nghiệm

ìï2 (-2)2 - m (-2) - 2m = 0 Û ïí : vô lí. ïï2.2 2 - 2m - 2m = 0 ïî

ém > 2 m Î ¾¾¾¾ ® m Î {0;3;4;5;...;10} ¾¾ ® có 9 giá trị. Chọn B. Vậy ê ê m = 0 mÎ[-10;10] ë

Câu 70. Cho phương trình (m + 1) cos x + (m -1) sin x = 2m + 3. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn x1 - x 2 = A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Lời giải. Điều kiện có nghiệm: (m + 1) + (m -1) ³ (2m + 3) Û 2

Phương trình Û

m +1

cos a =

m +1

2m + 2

cos x +

m -1

sin x =

2p . 3

2m + 3

-6 - 22 -6 + 22 £m£ . 2 2

2m + 2 2m 2 + 2 é x = b + a + k 2p Û cos ( x - a ) = cos b Û ê với ê x = -b + a +  2p ë 2

;cos b =

2m + 3

. 2m 2 + 2 2p 2p Yêu cầu bài toán: x1 - x 2 = ¾¾ ® 2b + (k -  ) 2p = 3 3 2p 1 1 Û cos 2b + (k -  ) 2p = cos Û cos 2b = - Û 2 cos 2 b -1 = 3 2 2 é 2 m = -1 (thoûa maõn) 2 æ 2m + 3 ö÷ (2m + 3) 1 êê ÷÷ -1 = - 1 Û Û 2 ççç = Û . Chọn C. ê m = - 17 (thoûa maõn) çè 2m 2 + 2 ÷÷ø 2 4 2m 2 + 2 êë 7 2m + 2 2

Vấn đề 8. Kỹ thuật hàm đặc trưng Câu

71.

Có

bao

nhiêu

số

nguyên

để

phương

m + sin (m + sin 3 x ) = sin (3sin x ) + 4 sin x có nghiệm thực? 3

A. 4.

B. 5.

C. 8.

Lời giải. Cộng thêm sin 3x vào hai vế phương trình ta được

D. 9.

m + sin 3 x + sin (m + sin 3 x ) = sin (3sin x ) + 4 sin 3 x + sin 3 x

trình

Xét hàm f (t ) = t + sin t

Û (m + sin 3 x ) + sin (m + sin 3 x ) = (3sin x ) + sin (3sin x ).

® hàm số f (t ) đồng trên . Ta có f ' (t ) = 1 + cost ³ 0, "t Î  ¾¾

biến. ® m = 4 sin 3 x Î [-4;4 ]. Chọn D. Suy ra m + sin 3 x = 3sin x ¾¾

Câu 72. Cho phương trình (8 sin 3 x - m ) = 162 sin x + 27m. Có bao nhiêu giá trị nguyên 3

æ pö của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷÷÷ ? çè 3 ø

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

æ pö ® 2 sin x Î 0; 3 nên u Î 0; 3 . Lời giải. Đặt u = 2 sin x , vì x Î çç0; ÷÷÷ ¾¾ çè 3 ø

(

)

Û (u 3 - m ) + 27 (u 3 - m ) = (3u ) + 27.(3u ).

(* )

(

Phương trình trở thành: (u 3 - m ) = 81u + 27m

)

Xét hàm f (t ) = t 3 + 27t trên . Ta có f ¢ (t ) = 3t 2 + 27 > 0, "t Î  ® hàm số f (t ) đồng biến.

Nhận thấy (*) có dạng f (u 3 - m ) = f (3u ) Û u 3 - m = 3u Û u 3 - 3u = m.

(

)

Xét hàm g (u ) = u 3 - 3u, "u Î 0; 3 . Khảo sát ta được -2 £ g (u ) < 0. Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi -2 £ m < 0 m Î ¾¾¾ ® m Î {-2; -1}. Chọn B.

Câu 73. Cho phương trình

m + 3 3 m + 3sin x = sin x . Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số m để phương trình có nghiệm? A. 2. B. 3.

C. 5.

D. 7.

Lời giải. Phương trình Û m + 3 m + 3sin x = sin x 3

Û m + 3sin x + 3 3 m + 3sin x = sin 3 x + 3sin x .

Xét hàm f (t ) = t 3 + 3t , "t Î . Hàm này đồng biến nên suy ra

(

)

m + 3sin x = f (sin x ) Û 3 m + 3sin x = sin x Û m = sin 3 x - 3sin x .

Đặt u = sin x (-1 £ u £ 1), phương trình trở thành m = u 3 - 3u.

ì ï g (u ) = 2 ïmax [-1;1] Xét hàm g (u ) = u 3 - 3u , "u Î [-1;1]. Ta tìm được ï . í ï min g (u ) = -2 ï ï î [-1;1]

Do đó, để phương trình đã cho có nghiệm Û min g (u ) £ m £ max g (u ) Û -2 £ m £ 2 [-1;1]

¾¾¾ ® m Î {-2; -1;0;1;2}. Chọn C.

[-1;1]

m Î

Câu

74.

Tập

tất

cả

các

giá

trị

của

tham

số

để

phương

m + m + 1 + 1 + sin x = sin x có nghiệm là [a; b ]. Giá trị của a + b bằng A. 4.

(

1 - 2. 2

1 D. - - 2. 4

C. 3.

)

Lời giải. Phương trình Û m + 1 + 1 + sin x + m + 1 + 1 + sin x = (1 + sin x ) + 1 + sin x . Xét hàm số f (t ) = t 2 + t với t Î [0; +¥). Hàm này đồng biến trên [0;+¥) nên suy ra f

(

)

m + 1 + 1 + sin x = f

(

1 + sin x

)

trình

Û m + 1 + 1 + sin x = 1 + sin x Û m + 1 + 1 + sin x = 1 + sin x Û m = sin x - 1 + sin x . ® u Î éê 0; 2 ùú . Đặt u = 1 + sin x , vì sin x Î [-1;1] ¾¾ ë û

Phương trình trở thành: m = u 2 - u -1.

1 Xét hàm g (u ) = u 2 - u -1 với u Î éê 0; 2 ùú . Ta có g ' (u ) = 2u -1; g ' (u ) = 0 Û u = . ë û 2 1 2

Bảng biến thiên

g ' (u ) g (u )

0 -

1- 2

-1

5 4 5 Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm Û - £ m £ 1 - 2 4 ìï ïïa = - 5 1 4 ¾¾ ¾¾ ®í ® a + b = - - 2. Chọn D. ïï 4 ïîïb = 1 - 2 -

Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

sin x (2 - cos 2 x ) - 2 (2 cos3 x + m + 1) 2 cos3 x + m + 2 = 3 2 cos3 x + m + 2

é 2p ö có đúng một nghiệm thuộc ê 0; ÷÷÷ ? ëê 3 ø

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Phương trình tương đương với

2 sin 3 x + sin x = 2 (2 cos3 x + m + 2) 2 cos3 x + m + 2 + 2 cos3 x + m + 2.

® f  t  đồng biến. Xét hàm f (t ) = 2t 3 + t với t  0. Ta có f ' (t ) = 6t 2 + 1 > 0 ¾¾

ïìsin x ³ 0 2 cos3 x + m + 2 , suy ra sin x = 2 cos3 x + m + 2 Û ïí 2 ïïîsin x = 2 cos3 x + m + 2 é 2p ö Û sin 2 x = 2 cos3 x + m + 2 (vì sin x ³ 0, "x Î ê 0; ÷÷÷ ) ëê 3 ø

Mà f (sin x ) = f

(

)

 1  cos 2 x  2 cos3 x  m  2  m  2 cos3 x  cos 2 x  1. é 2p ö æ 1 ù Đặt u = cos x , vì x Î ê 0; ÷÷÷ Þ u Î çç- ;1ú . Khi đó phương trình trở thành m = -2u 3 - u 2 -1. çè 2 úû êë 3 ø é æ 1 ù êu = 0 Î çç- ;1ú ê èç 2 úû Xét g (u ) = -2u 3 - u 2 -1 , có g ' (u ) = -6u 2 - 2u; g ' (u ) = 0 Û ê . ê êu = - 1 Î æçç- 1 ;1úù ê 3 èç 2 úû ë

Bảng biến thiên

u g ' (u ) g (u )

1 2

1 3

1 -

28 27

-4 29

é m = -1 ê Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi ê 28 ê-4 £ m < êë 27 m Î ¾¾¾ ® m Î {-4; -3; -2; -1}. Chọn D.

Câu 76. Cho phương trình sin 2 x - cos 2 x + sin x + cos x - 2 cos 2 x + m - m = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ? A. 2. B. 3. C. 5.

D. 9.

Lời giải. Điều kiện: 2 cos x + m ³ 0. 2

Phương trình đã cho tương đương với 1 + sin 2 x + sin x + cos x = 1 + cos 2 x + m + 2 cos 2 x + m

Û (sin x + cos x ) + sin x + cos x = 2 cos 2 x + m + 2 cos 2 x + m 2

Û ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = 2

(

2 cos 2 x + m

)+ 2

2 cos 2 x + m

® hàm số f (t ) đồng Xét hàm f (t ) = t 2 + t với t ³ 0. Ta có f ' (t ) = 2t + 1 > 0, "t ³ 0 ¾¾

biến. Mà f ( sin x + cos x ) = f

(

)

2 cos 2 + m , suy ra sin x + cos x = cos 2 x + m

Û (sin x + cos x ) = 2 cos 2 x + m Û 1 + sin 2 x = 2 cos 2 x + m Û sin 2 x - cos 2 x = m. 2

æ pö Vì sin 2 x - cos 2 x = 2 sin çç2 x - ÷÷÷ Î éê- 2; 2 ùú çè û 4ø ë

m Î ® m Î {-1;0;1}. Chọn B. ¾¾ ® phương trình đã cho có nghiệm Û - 2 £ m £ 2 ¾¾¾

Câu 77. Cho phương trình

4 sin x + m + sin x = 3 sin 3 x + 4 sin x + m - 8 + 2. Có tất cả bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ? A. 18. B. 19. C. 20. 3 ì ïa = 4 sin x + m . Lời giải. Đặt ïí ï ï îb = sin x

D. 21.

Phương trình trở thành: a + b = 3 a 3 + b 3 - 8 + 2

Û (a + b - 2 ) = a 3 + b 3 - 8 3

Û (a + b ) - 6 (a + b ) + 12 (a + b ) - (a + b )(a 2 - ab + b 2 ) = 0 3

Û (a + b )(3ab - 6a - 6b + 12) = 0 Û 3 (a + b )(a - 2)(b - 2) = 0.

· Với b = 2 ¾¾ ® sin x = 2 : vô nghiệm. ® 3 4 sin x + m = 2 Û sin x = · Với a = 2 ¾¾

Phương trình có nghiệm khi -1 £

8-m . 4

8-m m Î £ 1 Û 4 £ m £ 12 ¾¾¾ ® m Î {4;5;6;...;12}. 4

® 3 4 sin x + m + sin x = 0 Û m = - sin 3 x - 4 sin x . · Với a + b = 0 ¾¾

Đặt t = sin x (-1 £ t £ 1), ta được m = -t 3 - 4 t .

Xét hàm f (t ) = -t 3 - 4 t trên đoạn [-1;1], ta được -5 £ f (t ) £ 5 với mọi t Î [-1;1]. m Î ® m Î {-5; - 4;...;4;5}. Suy ra phương trình có nghiệm Û -5 £ m £ 5 ¾¾¾

Hợp hai trường hợp ta được 18 giá trị nguyên của m (vì m = 4, m = 5 lặp lại). Chọn A.

B. 2016.

C. 2018.

D. 4036.

Lời giải. Điều kiện: cos x ¹ 0.

Vì cos x ¹ 0 nên phương trình tương đương với Û 3 (tan x + 2) tan x + 1 = m (tan x + 3). æ pö ® t Î (1; +¥). Đặt t = tan x + 1, vì x Î çç0; ÷÷÷ ¾¾ çè 2 ø

Khi đó phương trình trở thành 3t (t 2 + 1) = m (t 2 + 2) Û m = Xét hàm f (t ) =

3t 3 + 3t . t2 +2

3 (t 4 + 5t 2 + 2) 3t 3 + 3t t Î 1; +¥ . f ' t = > 0, "t Î (1; +¥). với Ta có ( ) ( ) 2 t2 +2 (t 2 + 2 )

Bảng biến thiên

f ' (t )

+¥

1 +

+¥

f (t )

2 Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi m > 2 [ ] ¾¾¾¾¾ ® m Î {3, 4,...,2018} ¾¾ ® có 2016 giá trị. Chọn B. m Î m Î -2018;2018

Câu 79. Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos 2 x + cos x + m = m có nghiệm là A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

ì ïcos x + u = m . Lời giải. Đặt u = cos x + m , ta có hệ ï í 2 ï ï îu - cos x = m 2

éu = - cos x . Trừ vế theo vế ta được cos 2 x - u 2 + u + cos x = 0 Û (u + cos x )(cos x - u + 1) = 0 Û ê êu = cos x + 1 ë

 u = cos x + 1, ta được

m + cos x = cos x + 1

é3 êë 4

ù úû

khao sat m Î ê ;3ú . (1) Û m + cos x = (cos x + 1) Û m = cos 2 x + cos x + 1 ¾¾¾® 2

 u = - cos x , ta được

ïì- cos x ³ 0 m + cos x = - cos x Û ïí ïïîm + cos x = cos 2 x

ïìcos x £ 0 Û ïí . khao sat ïïm = cos 2 x - cos x ¾¾¾® m Î [0;2 ] î

® có 4 số nguyên dương thỏa mãn. Chọn C. Vậy m Î {0;1;2;3} ¾¾

Câu

80.

Số

các

giá

trị

nguyên

của

tham

số

để

m có nghiệm là 1 + 2 cos x + 1 + 2 sin x = 3 A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. ì ï1 + 2 cos x ³ 0 p 2p Û - + k 2p £ x £ + k 2p. (Hình vẽ) Lời giải. Điều kiện: ï í ï 1 + 2 sin x ³ 0 6 3 ï î ìïm ³ 0 ï 2 . Phương trình Û ïí ïï2 + 2 (sin x + cos x ) + 2 1 + 2 (sin x + cos x ) + 4 sin x cos x = m ïïî 9

phương

trình

é -1 + 3 ù dieu kien ® t Î êê ; 2 úú . Đặt t = sin x + cos x ¾¾¾¾ 2 úû ëê

Phương trình (1) trở thành 2 + 2t + 2 2t 2 + 2t -1 =

m2 . 9

sin

é -1 + 3 ù ; 2 úú . Xét hàm f (t ) = 2 + 2t + 2 2t 2 + 2t -1 với t Î êê 2 êë úû é -1 + 3 ù 4t + 2 > 0, "t Î êê ; 2 úú . Ta có f ' (t ) = 2 + 2 2 2t + 2t -1 ëê ûú

cos

( )

ì ï max f (t ) = f 2 = 4 2 + 4 ï ï ï ï . Suy ra í æ -1 + 3 ö÷ çç ï ÷ = 1+ 3 min f t = f ï ( ) ÷ çç ï ÷ø 2 ï è ï î

2 ìï ïï 3 + 1 £ m £ 4 Do đó để phương trình có nghiệm Û í 9 ïï ïîïm ³ 0

(

)Û3

2 +1

3 +1 £ m £ 6

2 +1

m Î ¾¾¾ ® m Î {5;6;7;8;9}. Chọn D.

Cách 2. Bài toán cô lập m một vế nên dùng MODE 7 nhanh hơn.

p 2p 5p Nhập hàm F ( X ) = 1 + 2 cos X + 1 + 2 sin X với Start = - ; End = ; Step = . 6 3 114

Vấn đề 9. Tìm GTLN-GTNN của hàm số æp ö Câu 81. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = sin çç sin x ÷÷÷ lần lượt là çè 3 ø

A. -1 và 1.

C. -

B. 0 và 1.

Lời giải. Vì 0 £ sin x £ 1 ¾¾ ®0 £

p p sin x £ . 3 3

3 3 . và 2 2

D. 0 và

3 . 2

é pù æp ö p Trên đoạn ê 0; ú hàm số sin luôn tăng nên suy ra sin 0 £ sin çç sin x ÷÷÷ £ sin çè 3 êë 3 úû ø 3 æp ö 3 hay 0 £ sin çç sin x ÷÷÷ £ . Chọn D. çè 3 ø 2

Câu 82. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = 2 cos3 x - cos 2 x trên đoạn é p pù ê- ; ú lần lượt là êë 3 3 úû

A. -3 và 1.

1 và 1. 4

19 và 1. 27

D. -3 và

Lời giải. Ta có f ( x ) = 2 cos3 x - cos 2 x = 2 cos3 x - 2 cos 2 x + 1.

3 . 4

é p pù é1 ù ® t Î ê ;1ú . Đặt t = cos x , vì x Î ê- ; ú ¾¾ êë 3 3 úû êë 2 úû

é1 ù Khi đó hàm số trở thành f (t ) = 2t 3 - 2t 2 + 1 với t Î ê ;1ú . êë 2 úû ìï ïïmin f ( x ) = 19 é1 ù 27 . Chọn C. Khảo sát hàm số f (t ) trên đoạn ê ;1ú , ta tìm được ï í ïï ëê 2 ûú max f x = 1 ( ) ïïî

Câu 83. Gọi m, M

y = (3 - 5sin x )

2018

lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

. Giá trị của M + m bằng 32

A. 2 2018 (1 + 2 4036 ).

B. 2 2018.

C. 2 4036.

C. 2 6054.

® 5 ³ -5sin x ³ -5 Lời giải. Ta có -1 £ sin x £ 1 ¾¾

hay -5 £ -5sin x £ 5 ¾¾ ®-2 £ 3 - 5sin x £ 8 ¾¾ ® £ 0 £ (3 - 5sin x )

2018

£ 82018.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là M = 2 6054 , giá trị nhỏ nhất của hàm số là m = 0 . Chọn D. Câu 84. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = sin 2 x - 4 sin x + 5 . Tính P = M - 2m 2 . A. P = 1. B. P = 7.

C. P = 8.

D. P = 2.

Lời giải. Ta có y = sin x - 4 sin x + 5 = (sin x - 2) + 1. 2

Do -1 £ sin x £ 1 ¾¾ ®-3 £ sin x - 2 £ -1 ¾¾ ® 1 £ (sin x - 2) £ 9 2

ì ï M = 10 2 ¾¾ ® 2 £ (sin x - 2) + 1 £ 10 ¾¾ ®ï ¾¾ ® P = M - 2m 2 = 2. Chọn D. í ï m = 2 ï î æ 2 x ö÷ æ 4 x ö÷ + cos çç 2 + 1 gần nhất với số nào sau Câu 85. Giá trị nhỏ nhất của f ( x ) = sin çç 2 çè x + 1÷÷ø çè x + 1÷÷ø đây? 1 1 1 A. -1. B. - . C. - . D. - . 2 4 8 æ 4 x ö÷ æ 2 x ö÷ 2 x = cos 2 çç 2 = 1 - 2 sin 2 2 . Lời giải. Ta có cos çç 2 çè x + 1ø÷÷ çè x + 1÷÷ø x +1 2x 2x Do đó f ( x ) = -2 sin 2 2 + sin 2 + 2. x +1 x +1 2x Đặt t = sin 2 Î [-1;1], ta được f (t ) = -2t 2 + t + 2. x +1

Xét hàm f (t ) = -2t 2 + t + 2 trên đoạn [-1;1], ta được min f (t ) = -1. Chọn A. [-1;1]

Lời giải trên có vẻ hợp lý nhưng xét kỹ thì không ổn vì -1 £ Khi đó t = sin

2x £ 1 (xét hàm). x +1 2

2x Î [- sin1;sin1]. Tương tự như trên, xét hàm f (t ) = -2t 2 + t + 2 trên x +1 2

đoạn [- sin1;sin1], ta được

min f (t ) = f (- sin1) = -2 (- sin1) + (- sin1) + 2 » 0,25. Chọn C. 2

[- sin1;sin1]

Nhận xét. Bài toán chỉ hay khi tự luận, nếu trắc nghiệm thì dùng MODE 7 rất nhanh. Câu 86. Gọi

m, M

lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số

cos x + 2 sin x + 3 . Tính S = 11m + M . 2 cos x - sin x + 4 A. S = -10. B. S = 4.

C. S = 6.

D. S = 24.

Lời giải. Gọi y0 là một giá trị của hàm số. Khi đó phương trình y0 = Ta có y0 =

cos x + 2 sin x + 3 có nghiệm. 2 cos x - sin x + 4

cos x + 2 sin x + 3 Û (2 y0 -1) cos x - ( y0 + 2) sin x = 3 - 4 y0 . 2 cos x - sin x + 4

Phương trình có nghiệm Û (2 y0 -1) + ( y0 + 2) ³ (3 - 4 y0 ) 2

ì M =2 ï ï 2 ï Û 11 y - 24 y0 + 4 £ 0 Û £ y0 £ 2 ¾¾ ®í ® P = 4. Chọn B. 2 ¾¾ ï 11 m= ï ï 11 î 2 0

Câu 87. Gọi y=

M, m

sin x + cos x + 1 2 + sin 2 x

lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

. Khi đó, M + 3m bằng

A. -1. Lời giải. Ta có y =

B. 1. sin x + cos x + 1 2 + sin 2 x

C. 2. sin x + cos x + 1

(sin x + cos x ) + 1 2

Đặt u = sin x + cos x , điều kiện u £ 2. Khi đó y = Xét hàm y =

(

)

Tính y - 2 =

D. 1 + 2 2.

u +1

u2 +1

1- u ; y ¢ = 0 Û u = 1. trên đoạn éê- 2; 2 ùú . Ta có y ¢ = 2 ë û u +1 (u + 1) u 2 + 1 2

1- 2 3

, y

( 2) = 1+ 3 2 ,

y (1) = 2

ì ï M = max y = 2 ï ï ï ¾¾ ®í ® M + 3m = 1. Chọn B. 1 - 2 ¾¾ ï m = min y = ï ï 3 ï î 2 1 Câu 88. Biết giá trị nhỏ nhất của hàm số y = có dạng a + b 2 với a, b + 1 - cos 4 x cos 4 x

là các số nguyên. Tính S = a + b. A. S = 3. B. S = 4.

C. S = 5.

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, ta được

(

D. S = 7.

)

2 +1 2 1 y= + ³ = 3 + 2 2. 4 4 4 1 - cos x cos x 1 - cos x + cos 4 x

ìa = 3 ï ¾¾ ® S = 5. Chọn C. Suy ra ï í ï ï îb = 2

Câu 89. Cho hàm số y = 1 + 2 sin 2 x + 1 + 2 cos 2 x -1. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó giá trị của M + m gần nhất với số nào sau đây? 5 7 9 11 . A. . B. . C. . D. 2 2 2 2 Lời giải.  Xét t = 1 + 2 sin 2 x + 1 + 2 cos 2 x

¾¾ ® t 2 = (1 + 2 sin 2 x ) + (1 + 2 cos 2 x ) + 2 (1 + 2 sin 2 x )(1 + 2 cos 2 x ) = 4 + 2 3 + sin 2 2 x ¾¾ ® t = 4 + 2 3 + sin 2 2 x ³ 4 + 2 3 = 1 + 3 ¾¾ ® y = 1 + 2 sin 2 x + 1 + 2 cos 2 x -1 ³ 3.

Dấu '' = '' xảy ra khi sin 2 x = 0.  Lại có

1 + 2 sin 2 x + 1 + 2 cos 2 x £

(12 + 12 )(1 + 2 sin 2 x + 1 + 2 cos2 x ) = 2

¾¾ ® y = 1 + 2 sin 2 x + 1 + 2 cos 2 x -1 £ 2 2 -1. Dấu '' = '' xảy ra khi sin 2 x = cos 2 x . ïìm = 3 ¾¾ ® M + m = 3 + 2 2 -1  3,56. Chọn B. Vậy ïí ïï M = 2 2 -1 î

Câu 90. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = sin 2018 x + cos 2018 x lần lượt là 1 1 1 A. 1008 và 2. B. 1009 và 1. C. 0 và 1. D. 1008 và 1. 2 2 2 Lời giải. Đặt a = sin 2 x , b = cos 2 x . Ta có

p  sin 2018 x + cos 2018 x £ sin 2 x + cos 2 x = 1. Dấu " = " xảy ra Û x = k . 2

1009 æ a1009 + b1009 ö÷ æ a + b ö÷ 1 p p ÷÷ ³ 2 çç = 1008 . Dấu " = " xảy ra Û x = + k .  sin 2018 x + cos 2018 x = 2.ççç ÷ èç 2 ÷ø 2 4 2 2 è ø÷

Vậy giá trị nhỏ nhất bằng

1 1008

; giá trị lớn nhất bằng 1. Chọn D.

Vấn đề 10. Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m Câu 91. Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để hàm số y =

cos x + a sin x + 1 có giá cos x + 2

trị lớn nhất bằng 1 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. cos x + a sin x + 1 Lời giải. Ta có y = Û y (cos x + 2) = cos x + a sin x + 1 cos x + 2 Û a sin x + (1 - y ) cos x = 2 y -1. Phương trình có nghiệm Û a 2 + (1 - y ) ³ (2 y -1) Û 3 y 2 - 2 y - a 2 £ 0 2

Yêu cầu bài toán Û

1 - 1 + 3a 2 1 + 1 + 3a 2 £y£ . 3 3

éa = 1 1 + 1 + 3a 2 = 1 Û 1 + 3a 2 = 2 Û 1 + 3a 2 = 4 Û ê . Chọn C. ê a = -1 3 ë

Câu 92. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [0;10 ] để hàm số

1 - m sin x có giá trị nhỏ nhất nhỏ hơn -2 ? cos x + 2 A. 5. B. 6. C. 11. D. 12. 1 - m sin x Lời giải. Ta có y = Û y (cos x + 2) = 1 - m sin x Û m sin x + y cos x = 1 - 2 y. cos x + 2 y=

Phương trình có nghiệm y 2 + m 2 ³ (2 y -1) Û 3 y 2 - 4 y + 1 - m 2 £ 0 2

Yêu cầu bài toán Û

2 - 3m 2 + 1 2 + 3m 2 + 1 £y£ . 3 3

é m > 21 2 - 3m 2 + 1 < -2 Û 3m 2 + 1 > 8 Û m 2 > 21 Û êê . 3 ëê m < - 21

m Î ¾¾¾ ¾ ® m Î {5;6;7;8;9;10}. Chọn B. m Î[0;10 ]

æ æxö pö Câu 93. Cho hàm số y = 2 sin 2 çç x - ÷÷÷ + 2 cos 2 çç ÷÷÷ - 3 sin x + a 2 (với là tham số). Gọi m, M èç èç 2 ø 6ø

é p 2p ù lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn ê ; ú . Có bao nhiêu êë 6 3 úû 321 giá trị nguyên của a để m 2 - M £ ? 4 A. 3. B. 4. C. 6. D. 7. æ ö æ ö x p Lời giải. Ta có 2 cos 2 çç ÷÷÷ - 3 sin x = cos x - 3 sin x + 1 = 1 - 2 sin çç x - ÷÷÷. çè 2 ø çè 6ø æ ö æ ö p p Do đó y = 2 sin 2 çç x - ÷÷÷ - 2 sin çç x - ÷÷÷ + a 2 + 1. çè çè 6ø 6ø æ é p 2p ù pö ® t Î [0;1]. Đặt t = sin çç x - ÷÷÷, vì x Î ê ; ú ¾¾ çè êë 6 3 úû 6ø

æ 1ö 1 Hàm số trở thành y = 2t 2 - 2t + a 2 + 1 = 2 ççt - ÷÷÷ + a 2 + . çè 2 ø 2 2

æ 1ö 1 1 1 1 0 £ t £ 1 ¾¾ ®- £ t - £ ¾¾ ® 0 £ ççt - ÷÷÷ £ . çè 2 ø 2 2 2 4 2

Vì

Suy

æ 1ö 1 1 a 2 + £ 2 ççt - ÷÷÷ + a 2 + £ a 2 + 1. ç è 2ø 2 2 1 ïìï 2 m = a2 + 321 æç 2 1 ö÷ 321 ¾¾ ® ïí ® m2 - M £ Û ça + ÷÷ - (a 2 + 1) £ Û -3 £ a £ 3. 2 ¾¾ ç ïï è ø 4 2 4 2 ïïî M = a + 1 2

Suy ra có 7 giá trị nguyên của thỏa. Chọn D. Câu 94. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin 4 x + cos 2 x + m bằng 2. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Ta có sin 4 x + cos 2 x = sin 4 x - 2 sin 2 x + 1 = (1 - sin 2 x ) = cos 4 x ¾¾ ® y = cos 4 x + m . 2

Vì 0 £ cos 4 x £ 1 ¾¾ ® m £ cos 4 x + m £ 1 + m. Suy ra min y = min { m , m + 1 }.

éìï m ³ m + 1 êï êíï êïî m + 1 = 2 é m = -3 ê Yêu cầu bài toán Û ê Ûê . Vậy S = {-3;2}. Chọn B. êm = 2 ê ë êìï m + 1 ³ m êï êíï êëïî m = 2

Câu 95. Cho x , y là các số thực thỏa mãn cos 2 x + cos 2 y = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = tan 2 x + tan 2 y bằng

2 8 D. . C. 3. . 3 3 ö æ ö÷ æ 1 ö æ 1 1 1 ÷ - 2. -1÷÷÷ + çç -1÷÷÷ = 2 çç + Lời giải. Ta có P = çç 2 2 ç ç èç cos x ø è cos y ø÷ è1 + cos 2 x 1 + cos 2 y ÷ø÷ 2 æ ö÷ (1 + 1) çç ÷÷ - 2 = 2. 4 - 2 = 2 . Chọn B. Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta được P ³ 2 ç ççè 2 + cos 2 x + cos 2 y ÷ø÷ 2 +1 3 A.

1 . 3

Câu 96. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên , thỏa mãn f (tan x ) =

1 sin 2 x - cos 2 x với 2

æ p pö mọi x Î çç- ; ÷÷÷. Với a, b là hai số thực thay đổi thỏa mãn a + b = 1, giá trị nhỏ nhất của çè 2 2 ø

biểu thức S = f (a ). f (b ) bằng

5-3 5 5+3 5 . . D. 2 2 tan x 1 - tan 2 x tan 2 x + tan x -1 = Lời giải. Theo giả thiết, ta có f (tan x ) = 2 1 + tan x 1 + tan 2 x 1 + tan 2 x t 2 + t -1 ¾¾ ® f (t ) = 2 . t +1

1 . 25

1 B. - . 2

Do đó S = f (a ). f (b ) = f (a ). f (1 - a ) =

a 2 + a -1 (1 - a ) + (1 - a ) -1 khao sat 5 - 3 5 . ³ . Chọn C. 2 2 a2 +1 (1 - a ) + 1 2

æ pö Câu 97. Cho hai số thực x , y thuộc çç0; ÷÷÷ và thỏa mãn cos 2 x + cos 2 y + 2 sin ( x + y ) = 2. çè 2 ø

Giá trị nhỏ nhất của P =

cos 4 x cos 4 y bằng + y x

2 . 3p

3 . p

2 . p

Lời giải. Ta có cos 2 x + cos 2 y + 2 sin ( x + y ) = 2 Û sin 2 x + sin 2 y = sin ( x + y ). Suy ra x + y =

5 . p

p . 2

a 2 b 2 (a + b ) + ³ , ta được m n m+n 2 é 2 öù p 2æ ÷ ç 2 2 ê ú (cos2 x + cos2 y ) êëcos x + cos çèç 2 - x ÷÷øúû éëêcos2 x + sin 2 x ùûú 2 P³ = = = . x+y x+y x+y p p Dấu '' = '' xảy ra Û x = y = . Chọn C. 4 p Nhận xét. Việc suy ra x + y = được chứng minh như sau: 2 æ pö æ pö p p Với x , y Î çç0; ÷÷÷ suy ra - x , - y cùng thuộc çç0; ÷÷÷. çè 2 ø çè 2 ø 2 2 é pù Trên đoạn ê 0; ú , hàm y = sin x đồng biến. êë 2 úû 2

Áp dụng BĐT cộng mẫu

ì æp ö ï p ï x > - y ¾¾ ® sin x > sin çç - y ÷÷÷ = cos y ï ç ï è2 ø 2 p  Nếu x + y > Þ ï í æ ö 2 ï p p ï y > - x ¾¾ ® sin y > sin çç - x ÷÷÷ = cos x ï ï çè 2 ø 2 ï î

¾¾ ® sin 2 x + sin 2 y = sin x .sin x + sin y.sin y > sin x .cos y + sin y.cos x = sin ( x + y ) : mâu thuẫn.

p  Tương tự cho x + y < . 2 p  Trường hợp x + y = : thỏa mãn. 2

Câu 98. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 4. Tìm giá trị lớn nhất M æ pù trong tất cả các hàm số y = a + b sin x + c cos x với x Î çç0; ú . èç 4 úû A. M = 1 + 2 .

(

Lời giải. Ta có a + b sin x + c cos x

) £ (a 2

(

)

D. M = 2 1 + 2 .

C. M = 2 1 + 2 .

B. M = 1 + 2.

+ b 2 + c 2 )(1 + sin x + cos x )

é æ p öù = 4 ê1 + 2 sin çç x + ÷÷÷ú £ 4 1 + 2 . êë èç 4 øúû

(

)

Suy ra a + b sin x + c cos x £ 2 1 + 2 . ì b c ï ï a= = ì ï ï 24 2 2 ï ï sin x cos x a = ;b = c = ï ï ï ï 2 ï 2 2 2+ 2 2 + 2 . Chọn C. Þí Dấu '' = '' xảy ra Û ï ía + b + c = 4 ï ï ï ï p æ æ p ù ïx = ï pö ï sin çç x + ÷÷÷ = 1, x Î çç0; ú ï ï 4 ï î ç çè 4 úû ï ï 4ø ï è î

Câu 99. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn sin (2 - 2ab ) - sin (a + b ) = 2ab + a + b - 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a + 2b bằng A.

2 10 - 3 . 2

3 10 - 7 . 2

2 10 -1 . 2

Lời giải. Ta có sin (2 - 2ab ) - sin (a + b ) = 2ab + a + b - 2

Û sin (2 - 2ab ) + (2 - 2ab ) = sin (a + b ) + (a + b )

2 10 - 5 . 2

® hàm số f (t ) đồng biến. Xét hàm f (t ) = sin t + t với t Î . Ta có f ' (t ) = cos t + 1 ³ 0 ¾¾

Mà f (2 - 2ab ) = f (a + b ) nên 2 - 2ab = a + b Û b = Khi đó S = a + 2b = a + A.

2-a (vì b > 0 Þ a < 2 ). 2a + 1

2 10 - 3 4 - 2a . Chọn . Khảo sát hàm số trên (0;2) ta được min S = 2 2a + 1

Câu 100. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cos ( x + y + 1) + 3 = cos (3 xy ) + 9 xy - 3 x - 3 y. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x ( y + 2) bằng A.

11 + 4 7 . 9

B. 1.

28 + 8 7 . 21

Lời giải. Ta có cos ( x + y + 1) + 3 = cos (3 xy ) + 9 xy - 3 x - 3 y

7+2 7 . 21

Û cos ( x + y + 1) + 3 ( x + y + 1) = cos (3 xy ) + 3 (3 xy )

® hàm số f (t ) đồng Xét hàm f (t ) = cos t + 3t với t Î . Ta có f ' (t ) = - sin t + 3 > 0 ¾¾

biến. Mà f ( x + y + 1) = f (3 xy ) nên x + y + 1 = 3 xy Û x = Khi đó S =

( y + 1)( y + 2) 3 y -1

y +1 . 3 y -1

11 + 4 7 y2 + 3y + 2 . Chọn A. . Khảo sát ta tìm được min S = 9 3 y -1

----------

HẾT

----------

NHÒ THÖÙC NIUTÔN Câu 1. Gọi Tk là số hạng trong khai triển ( x 3 + 2 y 2 )

số hạng đó bằng 34. Hệ số của Tk bằng A. 1287. B. 2574.

C. 41184.

Câu 2. Cho khai triển ( x -1) + x ( x + 1)

2 n -1

nhiên và n ³ 3. Biết A. a5 = -378.

åa n

k =0

mà tổng số mũ của x và y trong D. 54912.

= a0 + a1 x + a2 x + ... + a2 n x 2 n với n là số tự 2

= 768 , tính a5 .

B. a5 = -252.

C. a5 = -126.

D. a5 = 378.

Câu 3. Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai æ 1ö triển nhị thức P ( x ) = çç x + ÷÷÷ çè xø

2018

A. S = 2 2016.

1 1009 . Tính S + C 2018 . 2

B. S = 2 2017.

C. S = 2 2018.

D. 2 2019.

Câu 4. Cho khai triển (1 + x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + an x n với n Î  * . Hỏi có bao nhiêu giá trị n

n £ 2018 sao cho tồn tại k thỏa mãn

A. 21.

ak 7 ? = ak +1 15

B. 90.

D. S = 642.

C. 91.

Câu 5. Tìm n, biết rằng hệ số của x trong khai triển ( x + 2 x + 3 x )( x + 1) bằng 804. 3

A. n = 8.

B. n = 10.

Câu 6. Cho khai triển an ( x -1) + an-1 ( x -1)

n -1

C. n = 12.

+ ... + a1 ( x -1) + a0 = x

D. n = 14.

với mọi x Î , n Î 

và n ³ 5. Tìm n, biết a2 + a3 + a4 = 83n. A. n = 12. B. n = 13.

C. n = 14. D. n = 15. 20 10 æ æ 1ö 1ö Câu 7. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức çç x - 2 ÷÷÷ + çç x 3 - ÷÷÷ , có tất cả bao çè çè xø x ø nhiêu số hạng ? A. 28.

B. 29.

C. 30.

D. 32.

1 æ -x ö Câu 8. Có bao nhiêu số thực x để khi khai triển nhị thức ççç2 x + 2 2 ÷÷÷ có tổng số hạng ÷ø çè n

thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng của ba số hạng cuối bằng 22. A. 0. B. 1. C. 2. Câu 9. Trong khai triển của biểu thức

- x - 2)

2017

D. 3.

, tính tổng S của các hệ số của

x 2 k +1 với k nguyên dương.

A. S = 2 2017.

B. S = 2017.2 2016.

C. S =

2 2017 - 2 2016 . 2

D. S =

2 2017 + 2 2016 . 2

Câu 10. Cho khai triển (1 + x + x 2 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2 n x 2 n với n là số tự nhiên và n

n ³ 2. Biết rằng

A. S = 310.

a3 a = 4 . Khi đó tổng S = a0 + a1 + a2 + ... + a2 n bằng 14 41 B. S = 311. C. S = 312.

D. S = 313.

Câu 11. Kí hiệu a3n-3 là hệ số của số hạng chứa x 3n-3 trong khai triển ( x 2 + 1) ( x + 2) . Tìm n sao cho a3n-3 = 26n. A. n = 4. B. n = 5.

C. n = 8.

D. n = 10.

C. n = 19.

D. n = 20.

Câu 12. Kí hiệu a5n-10 là hệ số của số hạng chứa x 5n-10 trong khai triển ( x 3 + 1) ( x 2 + 2) . Biết a5n-10 = 1000n (n -1), tìm n. A. n = 15.

B. n = 17.

Câu 13. Cho khai triển x ( x + 1) + 2 ( x + 1) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an +1 x n +1 với n là số tự n

nhiên và n ³ 2. Tìm n, biết rằng a2 - 7n; nan ; an-2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. A. n = 7.

B. n = 10.

Câu 14. Xác định n biết rằng hệ số của x

6n.

B. n = 6.

A. n = 5.

C. n = 12.

D. n = 14.

C. n = 8.

D. n = 13.

trong khai triển (1 + x + 2 x 2 + ... + nx n ) bằng

Câu 15. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C

n -1 n +1

n n +1

= 171 . Hệ số lớn nhất của biểu

thức P ( x ) = (1 + x )(1 + 2 x ) sau khi khai triển và rút gọn bằng n

A. 25346048.

B. 2785130.

Câu 16. Khai triển (1 + x + x + ... + x 2

)

10 11

C. 5570260.

D. 50692096.

được viết thành a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a110 x 110 . Tính

1 10 11 tổng S = C110 a0 - C11 a1 + C112 a2 - C113 a3 + ... + C11 a10 - C11 a11 . A. S = 0. B. S = 10. C. S = 11.

D. S = 110.

Câu 17. Biết rằng trong khai triển nhị thức Niu-tơn của đa thức P ( x ) = (2 + x + 2 x 2 + x 3 )

thì hệ số của x 5 là 1001. Tổng các hệ số trong khai triển của P ( x ) bằng

A. 1296. B. 7776. C. 46656. D. 279936. Câu 18. Cho khai triển P ( x ) = (1 + x )(2 + x )...(1 + 2017 x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + .... + a2017 x 2017 . Kí hiệu P / ( x ) và P // ( x ) lần lượt là đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của đa thức P ( x ). Khẳng định nào sau đây đúng? A. a2 = P / (0).

B. a2 =

P / (0 ) 2

C. a2 = P // (0).

D. a2 =

P // (0) 2

Câu 19. Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển

(1- 2 x + 2015x 2016 - 2016 x 2017 + 2017 x 2018 )

A. -8.C .

B. -C .

3 60

C. C .

3 D. 8.C 60 .

Câu 20**. Cho khai triển

æ x 2 + 2 x + 2 ö÷ çç ÷ çè x + 1 ÷÷ø

2018

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2018 x 2018 +

b3 b2018 b1 b2 + + + ... + 2 3 2018 x + 1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)

với x ¹ -1 . Tính tổng S = å bk . 2018 k =1

A. S = 2 2018.

1 1009 . B. S = 2 2017 - C 2018 2

----------

1 1009 . C. S = 2 2017 + C 2018 2

HẾT

----------

1 1009 . D. S = 2 2018 - C 2018 2

NHÒ THÖÙC NIUTÔN Câu 1. Gọi Tk là số hạng trong khai triển ( x 3 + 2 y 2 )

số hạng đó bằng 34. Hệ số của Tk bằng A. 1287. B. 2574. Lời giải. Ta có ( x 3 + 2 y

)

= å C13k ( x 13

2 13

k =0

)

3 13-k

mà tổng số mũ của x và y trong

C. 41184.

(2 y )

2 k

D. 54912.

= å C13k 2 k x 39-3 k y 2 k ¾¾ ®Tk = 2 k C13k x 39-3 k y 2 k . 13

k =0

Từ giả thiết bài toán, ta có 39 - 3k + 2 k = 34 Û k = 5. Vậy hệ số của Tk bằng 25 C135 = 41184. Chọn C. Câu 2. Cho khai triển ( x -1) + x ( x + 1)

2 n -1

nhiên và n ³ 3. Biết

åa n

k =0

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2 n x 2 n với n là số tự

= 768 , tính a5 .

A. a5 = -378. B. a5 = -252. C. a5 = -126. D. a5 = 378. n ì ï f (1) = a0 + a1 + a2 + ... + a2 n ¾¾ ® f (1) + f (-1) = 2.å a2 k = 1536 Lời giải. Ta có ï í ï k =0 ï î f (-1) = a0 - a1 + a2 - ... + a2 n hay 2 2 n-1 + 2 2 n = 1536 ¾¾ ® n = 5 ¾¾ ® hệ số a5 = C105 (-1) + C 94 = -126. Chọn C. 5

Câu 3. Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai æ 1ö triển nhị thức P ( x ) = çç x + ÷÷÷ çè xø

2018

A. S = 2 2016.

æ 1ö Lời giải. Ta có çç x + ÷÷÷ çè xø

1 1009 . Tính S + C 2018 . 2

B. S = 2 2017.

2018

C. S = 2 2018.

D. S = 2 2019.

k = å C 2018 .x 2018-2 k . 2018 k =0

Để lũy thừa với số mũ nguyên dương thì 2018 - 2 k > 0 Û k < 1009. 0 1 1008 Suy ra S = C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 .

1 1009 1 1009 0 1 1008 = C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 + C 2018 Suy ra S + C 2018 2 2 æ ö÷ 1 1 1009 1 1009 C nk =C nn-k 1009 0 1 1008 2018 2017 1010 ¾¾¾¾ ® 2 ççS + C 2018 ÷÷ = C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 + C 2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 + C 2018 çè ø 2 2 2 0 1 2017 2018 = C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 + C 2018 = 2 2018.

1 1009 = 2 2017. Chọn B. Vậy S + C 2018 2

Câu 4. Cho khai triển (1 + x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + an x n với n Î  * . Hỏi có bao nhiêu giá trị n

n £ 2018 sao cho tồn tại k thỏa mãn

A. 21.

B. 90.

ak 7 = . ak +1 15

C. 91.

D. 642.

® hệ số của x k là C nk . Lời giải. Ta có (1 + x ) = å C nk x k ¾¾ n

k =0

a Ck 7 7 22 k + 15 k +1 ¾¾ ® kn+1 = Ûn= = 3k + 2 + . Từ giả thiết k = ak +1 15 15 7 7 Cn ® k = 6 + 7m với m Î . Vì n Î  * nên (k + 1)7 ¾¾

m Î ® m = {0;1;2;...;90} ¾¾ ® có 91 số. Chọn C. Khi đó n = 21 + 22m £ 2018 ¾¾¾

Chú ý: Nếu đề bài hỏi số nguyên dương nhỏ nhất thì n = 21.

Câu 5. Tìm n, biết rằng hệ số của x 4 trong khai triển ( x 3 + 2 x 2 + 3 x )( x + 1) bằng 804. n

A. n = 8.

B. n = 10.

C. n = 12.

D. n = 14.

Lời giải. Ta có ( x + 2 x + 3 x )( x + 1) = x (1 + x ) + 2 x (1 + x ) + 3 x (1 + x ) . 3

Do đó a4 = C n1 + 2C n2 + 3C n3 = 804 Û n +

2.(n -1) n

Câu 6. Cho khai triển an ( x -1) + an-1 ( x -1)

n -1

và n ³ 5. Tìm n, biết a2 + a3 + a4 = 83n. A. n = 12.

B. n = 13.

3.n (n -1)(n - 2) 3!

= 804 Û n = 12. Chọn C.

+ ... + a1 ( x -1) + a0 = x n với mọi x Î , n Î  C. n = 14.

D. n = 15.

Lời giải. Ta có x = éë( x -1) + 1ùû = C ( x -1) + C ( x -1) + C ( x -1) + ... + C nn-1 ( x -1) + C nn . (n -1) (n -1)(n - 2) (n -1)(n - 2)(n - 4 ) ® C n2 + C n3 + C n4 = 83n Û + + = 83 Vì a2 + a3 + a4 = 83n ¾¾ 2! 3! 4! n

0 n

n -1

1 n

n -2

2 n

¾¾ ® n = 13. Chọn B.

æ æ 1ö 1ö Câu 7. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức çç x - 2 ÷÷÷ + çç x 3 - ÷÷÷ , có tất cả bao çè èç xø x ø 20

nhiêu số hạng ? A. 28. B. 29. C. 30. D. 32. 20 10 k m 20 10 æ æ æ 1ö 1ö 1ö 1ö 3 10-m æ Lời giải. Ta có çç x - 2 ÷÷÷ + çç x 3 - ÷÷÷ = å C 20k x 20-k çç- 2 ÷÷÷ + å C10m x ( ) çç- ÷÷÷ çè çè çè x ø m =0 çè x ø xø x ø k =0 = å (-1) C 20k x 20-3 k + å (-1) C10m x 30-4 m . 20

k =0

m =0

Ta tìm các số hạng có cùng lũy thừa của x : ì 0 £ m £ 10,0 £ k £ 20 ï ï Û (k ; m ) = (2;4 ), (6;7), (10;10). í ï ï î20 - 3k = 30 - 4 m Û 4 m - 3k = 10 Vậy trong khai triển đã cho có tất cả 21 + 11 - 3 = 29 số hạng. Chọn B.

1 æ -x ö Câu 8. Có bao nhiêu số thực x để khi khai triển nhị thức ççç2 x + 2 2 ÷÷÷ có tổng số hạng ÷ø çè n

thứ 3 và thứ 5 bằng 135, còn tổng của ba số hạng cuối bằng 22. A. 0. B. 1. C. 2. Lời giải. Số hạng thứ (k + 1) trong khai triển là Tk = C nk (2 x )

n -k

æ çç2 ççè

D. 3. ö÷ ÷÷ . ÷ø

k 1 -x 2

Từ đó suy ra:  Tổng hai số hạng thứ 3 và thứ 5 bằng 135 ¾¾ ®T2 +T4 = C

2 n

(2 )

x n -2

æ 1 -x ÷ö æ 1 ö çç2 2 ÷ + C 4 (2 x )n-4 çç2 2 -x ÷÷ = 135. n ÷ ÷÷ ÷ø ççè ççè ø 2

(1)

 Tổng ba hệ số của ba số cuối bằng 22 n (n -1) ¾¾ ® C nn-2 + C nn-1 + C nn = 22 Û + n + 1 = 22 Û n = 6. 2

Thay n = 6 vào (1) , ta được C 62 .2 4 x .21-2 x + C 64 .2 2 x .2 2-4 x = 135 Û 2 2 x +1 + 2 2-2 x = 9. Đặt 0 < u = 2 2 x , ta được 2u +

éu = 4 ¾¾ ®x =1 ê ì ü 1ï 4 ï 1; - ý. Chọn C. =9Ûê 1 . Vậy x Î í êu = 1 ¾¾ ï ï 2 u ®x =ï ï î þ êë 2 2

( x 3 - x - 2)

2017

Câu 9. Trong khai triển của biểu thức

, tính tổng S của các hệ số của

x 2 k +1 với k nguyên dương.

A. S = 2 2017.

C. S =

B. S = 2017.2 2016.

Lời giải. Ta có ( x 3 - x - 2)

2017

2 2017 - 2 2016 . 2

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a6051 x 6051 .

Ta cần tính S = a3 + a5 + a7 + ... + a6051 .

Thay x = 1 vào (1), ta được a0 + a1 + a2 + ... + a6051 = -2 2017.

Thay x = -1 vào (1), , ta được a0 - a1 + a2 - a3 + ... - a6051 = -2 2017.

D. S =

(1)

2 2017 + 2 2016 . 2

(2 ) (3)

® 2S + 2a1 = 0 Û S = -a1 . Trừ vế theo vế (2) và (3), ta được 2 (a0 + a1 + a2 + ... + a6051 ) = 0 ¬¾

( x 3 - x - 2)

2017

Theo khai triển nhị thức Niutơn, ta có

1 hạng a1 x chỉ xuất hiện trong C 2017 ( x 3 - x ) (-2) 1

1 Mà C 2017 ( x 3 - x ) (-2) 1

2017-1

k = å C 2017 ( x 3 - x ) (-2) 2017

2017-k

k =0

¾¾ ® số

= 2017.2 2016.( x 3 - x ) ® a1 = -2017.2 2016 ¾¾ ® S = 2017.2 2016. Chọn B.

Câu 10. Cho khai triển (1 + x + x 2 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2 n x 2 n với n là số tự nhiên và n

n ³ 2. Biết rằng

A. S = 310.

a3 a = 4 . Khi đó tổng S = a0 + a1 + a2 + ... + a2 n bằng 14 41 B. S = 311. C. S = 312.

Lời giải. Ta có (1 + x + x 2 ) = éë1 + x (1 + x )ùû n

D. S = 313.

n n n k æ k ö k = å C nk x k (1 + x ) = å C nk x k ççå C kl x l ÷÷÷ = å C nk å C kl .x k +l . ç ÷ø k =0 l =0 è l =0 k =0 k =0

Theo giả thiết

a3 C 2C 1 + C n3C 20 C n2C 22 + C n3C 31 + C n4C 40 a = 4 ¾¾ ® n 2 = 14 41 14 41 Û 21n 2 - 99n -1110 = 0 ¾¾ ® n = 10.

Trong khai triển (1 + x + x 2 ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a20 x 20 cho x = 1 ta được 10

S = a0 + a1 + a2 + ... + a20 = 310. Chọn A.

Câu 11. Kí hiệu a3n-3 là hệ số của số hạng chứa x 3n-3 trong khai triển ( x 2 + 1) ( x + 2) . n

Tìm n sao cho a3n-3 = 26n. A. n = 4. B. n = 5. C. n = 8. D. n = 10. n n n n æ öæ ö n n -k n Lời giải. Ta có ( x 2 + 1) ( x + 2) = ççå C nk ( x 2 ) ÷÷÷ççå C ni x n-i 2i ÷÷÷ = åå C nk C ni 2i x 3n-2 k -i . ÷ç i = 0 èç k =0 øè ø÷ k =0 i =0

® (k ; i ) Î {(0;3), (1;1)}. Chọn 3n - 2 k - i = 3n - 3 Û 2 k + i = 3 ¾¾ Suy ra hệ số của số hạng chứa x 3n-3 là C n0C n3 23 + C n1C n1 2.

® n = 5. Chọn B. Theo giả thiết C n0C n3 23 + C n1C n1 2 = 26n ¾¾

Câu 12. Kí hiệu a5n-10 là hệ số của số hạng chứa x 5n-10 trong khai triển ( x 3 + 1) ( x 2 + 2) . n

Biết a5n-10 = 1000n (n -1), tìm n. A. n = 15.

B. n = 17.

C. n = 19. D. n = 20. n n n k æ öæ ö n n 3 n -k 2 n -i Lời giải. Ta có ( x 3 + 1) ( x 2 + 2) . = ççå C nk x ( ) ÷÷÷ççå C ni x ( ) 2i ÷÷÷ = åå C nk C ni 2i x 5n-3 k -2i . ÷ç i = 0 èç k =0 øè ø÷ k =0 i =0

® (k ; i ) Î {(0;5), (2;2)}. Chọn 5n - 3k - 2i = 5n -10 Û 3k + 2i = 10 ¾¾ Suy ra hệ số của số hạng chứa x 5n-10 là C n0 .C n5 .25 + C n2 .C n2 .2 2.

® n = 17. Chọn B. Theo giả thiết C n0 .C n5 .25 + C n2 .C n2 .2 2 = 1000n (n -1) ¾¾

Câu 13. Cho khai triển x ( x + 1) + 2 ( x + 1) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an +1 x n +1 với n là số tự n

nhiên và n ³ 2. Tìm n, biết rằng a2 - 7n; nan ; an-2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. A. n = 7.

D. n = 14. n +1 n é ù Lời giải. Ta có x ( x + 1) + 2 ( x + 1) = ( x + 1) ( x + 2) = ( x + 1) ë( x + 1) + 1û = ( x + 1) + ( x + 1) . ìï ïïa = C 2 + C 2 = (n + 1) n + n (n -1) = n 2 n +1 n ïï 2 2 2 ïï n n Suy ra ían = C n +1 + C n = (n + 1) + 1 = n + 2 ïï ïï (n + 1) n (n -1) n (n -1) n (n -1)(n + 4 ) ïïan-2 = C nn+-12 + C nn-2 = + = ïî 6 2 6 Theo

B. n = 10. n

giả

C. n = 12.

bài ìïn = 0 ïï n (n -1)(n + 4 ) 2 n (n + 2 ) - (n - 7 n ) = - n (n + 2) Û ïín = -7 ïï 6 ïïn = 10 î

thiết

toán,

có

(loaïi) (loaïi) . (thoaû)

Vậy n = 10. Chọn B.

Câu 14. Xác định n biết rằng hệ số của x n trong khai triển (1 + x + 2 x 2 + ... + nx n ) bằng 2

6n.

A. n = 5.

B. n = 6.

Lời giải. Ta có (1 + x + 2 x + ... + nx 2

)

n 2

C. n = 8.

D. n = 13.

= (1 + x + 2 x + ... + nx ).(1 + x + 2 x 2 + ... + nx n ) 2

Hệ số của x n là: 1.n + 1.(n -1) + 2.(n - 2) + ... + (n -1).1 + n.1

= 1.n + 1.(n -1) + 2.(n - 2) + ... + (n -1). éë n - (n -1)ùû + n.1

2 = 2n + n éë1 + 2 + 3 + ... + (n -1)ùû - éê12 + 2 2 + 32 + ... + (n -1) ùú ë û 3 é 1 + (n -1) ù é n (n + 1)(2n + 1) ù n + 11n = 2n + n êê .(n -1)úú - êê - n 2 úú = . 2 6 6 ë û ë û n 3 + 11n = 6n ¾¾ ® n = 5. Chọn A. Theo giả thiết, ta có 6

Câu 15. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C nn+-11 + C nn+1 = 171 . Hệ số lớn nhất của biểu thức P ( x ) = (1 + x )(1 + 2 x ) sau khi khai triển và rút gọn bằng n

A. 25346048.

C. 5570260. n ( + 1)! Lời giải. Ta có C nn+-11 + C nn+1 = 171 Û + = 171 2!.(n -1)! n! Û

n (n + 1) 2

B. 2785130.

D. 50692096.

(n + 1)!

é n = 17 + (n + 1) = 171 Û n 2 + 3n - 340 = 0 Û êê . ë n = -20 (loaïi)

Khi đó P ( x ) = (1 + x )(1 + 2 x ) = (1 + x ) å C17k 2 k x k = å C17k 2 k x k + å C17k 2 k x k +1 . 17

k =0

Suy ra hệ số của x k trong khai triển là C17k 2 k + C17k -1 2 k -1 .

ì ïC17k 2 k + C17k -1 2 k -1 ³ C17k +1 2 k +1 + C17k 2 k Hệ số của x k là lớn nhất khi ï í k k k -1 k -1 k -1 k -1 k -2 k -2 ï ï îC17 2 + C17 2 ³ C17 2 + C17 2

ìï 1 22 ïï ³ ïï(k -1)!.(18 - k )! (k + 1)!.(16 - k )! ïìC17k -1 2 k -1 ³ C17k +1 2 k +1 Û ïí k k Û ïí k 2 k 2 ïïC17 2 ³ C17 2 ïï 22 1 î ïï ³ ïïî k !.(17 - k )! (k - 2)!.(19 - k )! ìï 1 4 ïï ³ ïï(18 - k )(17 - k ) k (k + 1) ïì3k 2 -141k + 1224 £ 0 k Î* Ûí Û ïí 2 ¾¾¾ ® k = 12. ïï 4 ïï3k -147 k + 1368 ³ 0 1 î ³ ïï ïïî(k -1) k (18 - k )(19 - k )

12 12 11 11 2 + C17 2 = 50692096. Chọn D. Vậy hệ số lớn nhất cần tìm là C17

Câu 16. Khai triển (1 + x + x 2 + ... + x 10 )

được viết thành a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a110 x 110 . Tính

1 10 11 tổng S = C110 a0 - C11 a1 + C112 a2 - C113 a3 + ... + C11 a10 - C11 a11 .

A. S = 0.

B. S = 10.

C. S = 11.

Lời giải. Xét x ¹ 1 , từ khai triển nhân hai vế cho ( x -1) , ta được

( x 11 -1)

D. S = 110.

11 = ( x -1) . éêë a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a110 x 110 ùûú .

 Vế trái = å C11k (-1) 11

k =0

11-k

1 x 11k ¾¾ ® hệ số của x 11 bằng C11 = 11.

æ 11 kö  Vế phải = ççå C11k x 11-k (-1) ÷÷÷.(a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a110 x 110 ) ÷ø çè k =0 1 10 11 a1 + C112 a2 - C113 a3 + ... + C11 a10 - C11 a11 . ¾¾ ® hệ số của x 11 bằng C110 a0 - C11 1 10 11 a1 + C112 a2 - C113 a3 + ... + C11 a10 - C11 a11 = 11. Chọn C. Vậy S = C110 a0 - C11

Câu 17. Biết rằng trong khai triển nhị thức Niu-tơn của đa thức P ( x ) = (2 + x + 2 x 2 + x 3 )

thì hệ số của x 5 là 1001. Tổng các hệ số trong khai triển của P ( x ) bằng A. 1296.

B. 7776.

Lời giải. Ta có P ( x ) = (2 + x + 2 x + x 2

)

3 n

C. 46656.

= (2 + x ) (1 + x n

)

D. 279936.

2 n

æ öæ ö = ççå C nk 2 n-k x k ÷÷÷ççå C nl x 2 l ÷÷÷ = åå (C nk C nl 2 n-k ) x k +2 l . ÷øèç l =0 ÷ø k =0 l =0 çè k =0 n

® (k ; l ) = {(5;0), (3;1), (1;2)}. Hệ số của x 5 ứng với k + 2l thỏa mãn k + 2l = 5 ¾¾  Trường hợp 1. Với n ³ 5 khi đó (k ; l ) = {(5;0), (3;1), (1;2)}.

¾¾ ® Hệ số của x 5 là C n5C n0 2 n-5 + C n3C n1 2 n-3 + C n1C n2 2 n-1 = 1001. Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n > 5 do đó chỉ có thể chọn n = 5. Thử lại vào phương trình ta thấy n = 5 thỏa mãn điều kiện.  Trường hợp 2. Với 3 £ n < 5 khi đó (k ; l ) = {(3;1), (1;2)}.

¾¾ ® Hệ số của x 5 là C n3C n1 2 n-3 + C n1C n2 2 n-1 = 1001. Vì vế trái lẻ mà vế phải luôn chẵn nếu n > 3 do đó chỉ có thể chọn n = 3. Thử lại vào phương trình ta thấy n = 3 không thỏa mãn điều kiện.  Trường hợp 3. Với n = 2 khi đó (k ; l ) = (1;2).

¾¾ ® Hệ số của x 5 là C12C 22 2 = 1001 : vô lý. cho x =1 Do đó chỉ có n = 5 thỏa mãn ¾¾ ® tổng các hệ số trong khai triển là ¾¾¾®

65 = 7776.

Chọn B.

Câu 18. Cho khai triển P ( x ) = (1 + x )(2 + x )...(1 + 2017 x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + .... + a2017 x 2017 . Kí hiệu P / ( x ) và P // ( x ) lần lượt là đạo hàm cấp 1 và đạo hàm cấp 2 của đa thức P ( x ). Khẳng định nào sau đây đúng? A. a2 = P / (0).

B. a2 =

P / (0 ) 2

C. a2 = P // (0).

D. a2 =

P // (0)

Lời giải. Ta có P / ( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 .... + 2017a2017 x 2016 .

Tiếp tục đạo hàm lần nữa, ta có P // ( x ) = 2a2 + 6a3 x .... + 2017.2016a2017 x 2015 . ® a2 = Cho x = 0, ta được P // (0) = 2a2 ¾¾

P // (0)

. Chọn D. 2 æ 1 2 2017 ö÷ + + .... + Chú ý: P ' ( x ) = P ( x ).çç ÷; çè1 + x 2 + x 1 + 2017 x ÷ø 2 æ 12 æ 1 2 2017 ö÷ 22 2017 2 ÷ö ç÷. P '' = P ( x ).çç + + .... + + P x .... ( ) ÷ ç çè1 + x 2 + x çè 1 + x 2 + x 1 + 2017 x ÷ø 1 + 2017 x ÷÷ø

Câu 19. Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển

(1- 2 x + 2015x 2016 - 2016 x 2017 + 2017 x 2018 )

3 A. -8.C 60 .

3 B. -C 60 .

3 C. C 60 .

3 D. 8.C 60 .

60 ì ï f ( x ) = (1 - 2 x + 2015 x 2016 - 2016 x 2017 + 2017 x 2018 ) ï ï . Lời giải. Đặt í 2016 ï ï - 2016 x 2017 + 2017 x 2018 ï î g ( x ) = 2015 x k Suy ra f ( x ) = éê1 + (-2 x + g ( x ))ùú = å C 60k éë-2 x + g ( x )ùû ë û 60

k =0

i = å C 60k å C ki (-2 x ) . éë g ( x )ùû 60

k =0

i =0

k -i

(0 £ i £ k £ 60).

ì ïk - i = 0 ì ïk = 3 Þï . Vì bậc của đa thức g ( x ) là 2018 ¾¾ ® số hạng chứa x 3 ứng với ïí í ï ï ïi = 3 ïi = 3 î î 3 3 .C 33 .(-2) = -8.C 60 . Chọn A. Vậy hệ số cần tìm là C 60 3

Câu 20**. Cho khai triển

æ x 2 + 2 x + 2 ö÷ çç ÷ çè x + 1 ÷÷ø

2018

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a2018 x 2018 +

b3 b2018 b1 b2 + + + ... + 2 3 2018 x + 1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)

với x ¹ -1 . Tính tổng S = å bk . 2018 k =1

1 1009 1 1009 1 1009 . . . B. S = 2 2017 - C 2018 C. S = 2 2017 + C 2018 D. S = 2 2018 - C 2018 2 2 2 2018 æ x 2 + 2 x + 2 ö÷ ç ÷ , ta có f (0) = a0 + b1 + ... + b2018 = 2 2018. Lời giải. Đặt f ( x ) = ç çè x + 1 ø÷÷

A. S = 2 2018.

(1)

Suy ra a0 + S = 2 2018.

æ 1 ö÷ Lại có f ( x ) = çç x + 1 + ÷ èç x + 1÷ø

2018

k = å C 2018 ( x + 1) 2018

2 k -2018

k =0

=å 1008 k =0

k C 2018

( x + 1)

2018-2 k

åC 2018

k =1009

k 2018

( x + 1)

2 k -2018

0 1 1007 1008 Suy ra  b1 = b3 = ... = b2017 = 0 ¾¾ ® S = b2 + b4 + ... + b2018 = C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 + C 2018 . 1009 1010 2017 2018 1009  a0 = C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 + C 2018 = C 2018 + S (vì C nk = C nn-k ).

1 1009 . Chọn B. Từ (1) và (2), suy ra S = 2 2017 - C 2018 2

(2 )

----------

Háº¾T

----------

TOÅ HÔÏP – CHÆNH HÔÏP Phần 1 – Ôn lại cơ bản Câu 1. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn. A. 2 20  1.

B. 2 20.

2 20  1. 2

D. 219.

Câu 2. Số tập con của một tập hợp gồm 2018 phần tử là B. 2 ´ 2018.

A. 2018.

C. 2 2018 -1.

D. 2 2018.

Câu 3. Cho tập A có n phần tử (n ³ 4 ). Biết rằng số tập con của A có 8 phần tử nhiều gấp

26 lần số tập con của A có 4 phần tử. Hãy tìm k Î {0;1;2;...; n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là nhiều nhất. A. k = 9. B. k = 10.

C. k = 11.

D. k = 20.

Câu 4. Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  4  . Tìm n, biết rằng trong số các phần tử của A có đúng 16n tập con có số phần tử là lẻ. A. n  8. B. n  9. C. n  10. D. n  16. C 5 + C n3+2 1 1 1 1 9 Câu 5. Với n Î , n ³ 2 và thỏa mãn 2 + 2 + 2 + ... + 2 = . Tính P = n . 5 C2 C3 C 4 Cn (n - 4 )! A. P =

29 . 45

B. P =

53 . 90

C. P =

59 . 90

D. P =

61 . 90

Câu 6. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 + P1 + 2 P2 + 3P3 + ... + nPn = P2014 , với Pn là số các hoán vị của tập hợp có n phần tử. A. 2013. B. 2014. C. 2015. D. 2016. 2017 2016 2 1 Câu 7. Tính giá trị của biểu thức P = 0 + 1 + ... + 2015 + 2016 . A2017 A2017 A2017 A2017 A. P = 2017 -

1 1 . B. P = 2017 . 2018! 2017!

C. P = 2018 -

1 . 2017!

D. P = 2018 -

1 . 2018!

Câu 8. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 1 1 1 1 1 2 2018 -1 + + + ... + + = . 2!.2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018!.1! Pn

A. n = 2017.

B. n = 2018.

Câu 9. Tính tổng S = C + C + C + ... + C . A. S = 2 2 n.

0 2n

1 2n

2 2n

2n 2n

B. S = 2 2 n -1.

C. n = 2019.

D. 2020.

C. S = 2 n.

D. S = 2 2 n + 1.

0 1 2 2018 + 9C 2018 + 9 2 C 2018 + ... + 9 2018 C 2018 , biết ln S = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, Câu 10. Cho tổng S = C 2018

với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng A. 2018. B. 2019. C. 4036.

D. 4038.

Câu 11. Giải phương trình C + 3C + 7C + ... + (2 -1)C = 3 - 2 - 6480 trên tập  * . 1 n

A. n = 3.

2 n

B. n = 4.

Câu 12. Tính tổng S = C

1009 2018

1010 2018

3 n

n n

C. n = 5.

1011 2018

+ ... + C

1 1009 1 1009 . B. S = 2 2017 + C 2018 . A. S = 2 2017 - C 2018 2 2

2018 2018

D. n = 6.

1009 C. S = 2 2017 - C 2018 .

1009 D. S = 2 2018 - C 2018 .

Câu 13. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C 21n +1 + C 22n +1 + ... + C 2nn +1 = 2 20 -1 . A. n = 8.

B. n = 9.

C. n = 10.

Câu 14. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C A. n = 4.

Câu 15. Biết S = 3 C 0

B. n = 5. 0 2018

+3 C 2

2 2018

+3 C 4

1 2 n +1

3 2 n +1

C. n = 9.

4 2018

+ ... + 3

2018

+ ... + C

2 n +1 2 n +1

D. n = 11.

= 1024 .

D. n = 10.

= 2 + 2 với a, b (a > b ) là các số

2018 2018

nguyên dương và không chia hết cho 2. Tính a - b. A. a - b = 1. B. a - b = 2. C. a - b = 2017. Câu 16. Gọi S = C

0 2020

+ 5C

2 2020

+5 C 2

4 2020

+ ... + 5 C i

2i 2020

+ ... + 5

1010

2020 2020

D. a - b = 2018.

. Biết rằng S chia hết cho

M , M có thể nhận giá trị nào dưới đây ? A. M = 21010.

B. M = 2 2020.

C. M = 51010.

D. M = 52020.

D. M = 2 2019.

1 3 5 2015 2017 + 32 C 2017 + 34 C 2017 + ... + 32014 C 2017 + 32016 C 2017 . Biết S chia hết cho số Câu 17. Gọi S = C 2017

M , M có thể nhận giá trị nào dưới đây ? A. M = 2 2016.

B. M = 2 2017.

C. M = 2 2018.

A. n = 5.

B. n = 7.

C. n = 8.

Câu 18. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2C n0 + 5C n1 + 8C n2 + ... + (3n + 2)C nn = 1600. D. n = 10.

Câu 19. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 3C + 4C + 5C + ... + (n + 3)C nn = 8192. Khẳng 0 n

định nào sau đây đúng ? A. n Î [1;8).

B. n Î [8;12).

1 n

2 n

C. n Î [12;16).

D. n Î [16;20 ].

3 4 5 6 2018 - 2C 2018 + 3C 2018 - 4C 2018 + ... - 2016C 2018 . Câu 20. Tính tổng S = C 2018 A. S = -2018. B. S = -2016. C. S = 2016.

D. S = 2018.

Phần 2 – Vận dụng cao 1 2 3 100 Câu 1. Tính tổng S = (C100 ) + (C100 ) + (C100 ) + ... + (C100 ). 2

A. S = 2 200.

100 C. S = C 200 -1.

B. S = 2 200 -1.

100 D. S = C 200 .

1 2 2018 Câu 2. Tính tổng S = (C 2018 ) + 2 (C 2018 ) + ... + 2018 (C 2018 ). 2

2018 A. S = 1009C 4035 .

2017 B. S = 1009C 4036 .

2018 C. S = 1009C 4036 .

2018 D. S = 2018C 4036 .

1 2 3 2018 Câu 3. Tính tổng S = (C 2018 ) + (2C 2018 ) + (3C 2018 ) + ... + (2018C 2018 ). 2

20182 2018 .(C 4036 -1). 2 2017 D. S = 20182.(C 4034 -1).

20182 2018 .C 4036 . 2 2017 C. S = 20182.C 4034 . A. S =

B. S =

0 1 2 2018 Câu 4. Tính tổng S = (C 2018 ) -(C 2018 ) + (C 2018 ) -... + (C 2018 ). 2

2018 A. S = C 4036 .

2018 B. S = -C 4036 .

1009 C. S = C 2018 .

1009 D. S = -C 2018 .

1 0 1 2 2018 0 C n2018 + C 2018 C n2017 + C 2018 C n2016 + ... + C 2018 C n = C 22019 Câu 5. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C 2018 n . 2 A. n = 2016. B. n = 2017. C. n = 2018. D. n = 2019.

1 2 3 2018 + 2C 2018 + 3C 2018 + ... + 2018C 2018 , biết ln S = a ln 2018 + b ln 2 + c , với Câu 6. Cho tổng S = C 2018

a, b, c Î . Giá trị của a + b + c bằng A. 0. B. 1.

Câu 7. Cho tổng S = 4C

2 100

+ 8C

4 100

+ 12C

C. 2018. 6 100

+ ... + 200C

100 100

, biết S = a.2

nguyên dương. Tính giá trị biểu thức P = a + b. A. P = 1. B. P = 99. C. P = 199.

D. 2019!. b

với a, b là các số D. P = 200.

Câu

Tổng

1 2 3 4 k 2017 + 3.32 C 2017 + 4.33 C 2017 + ... + k.3k -1 C 2017 + ... + 2017.32016 C 2017 (2.3C 2017 ) 2017

bằng: A. 32016 -1.

B. 32016.

A. S = 1009.2 2017.

B. S = 2018.2 2017.

C. 4 2016 -1.

D. 4 2016.

C. S = 2018.2 2018.

D. S = 2018.2 2019.

0 2017 1 2016 k 2017-k 2017 0 C 2018 + C 2018 C 2017 + ... + C 2018 C 2018 Câu 9. Tính tổng S = C 2018 -k + ... + C 2018 C1 .

Câu 10. Cho tổng 2 3 2018 S = 2.1.C 2018 + 3.2.C 2018 + ... + 2018.2017.C 2018 ,

biết ln S = a ln 2 + b ln 2018 + c ln 2017 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng A. 2. B. 2011. C. 2018. D. 2019.

Câu 11. Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2C n1 + 3C n2 + 4C n3 + ... + (n + 1)C nn = 111. Khẳng định nào sau đây đúng? A. n Î (1;4 ).

B. n Î [ 4;7).

C. n Î [7;10).

D. n Î [10;18].

3 4 5 6 2018 - 2C 2018 + 3C 2018 - 4C 2018 + ... - 2016C 2018 . Câu 12. Tính tổng S = C 2018 A. S = 2016. B. S = 2017. C. S = 2018.

Câu 13. Tính tổng S = 2.C + 2 .2.C + 2 .3.C + ... + 2 .n.C . 1 n

A. S = 2n.3n-1.

2 n

B. S = 2n.3n +1.

3 n

n n

C. S = 3n.2 n-1.

D. S = 2019. D. S = 3n.2 n +1.

1 2 3 2018 x + 2 2 C 2018 + 32 C 2018 + ... + 20182 C 2018 , biết S = a.2b với a, b là Câu 14. Cho tổng S = 12 C 2018

các số nguyên và đều không chia hết cho 2. Giá trị của a + b bằng A. 4076358. B. 2039188. C. 4079198. D. 2009197. 99 100 101 199 æ ö æ ö æ ö 1 ÷ö 0 ç1÷ 1 ç1÷ 2 ç1÷ 100 æ ç + 101 C + 102 C + ... + 200 C . Câu 15. Tính tổng S = 100C100 ÷ ÷ ÷ ÷ çç ÷ 100 ç 100 ç 100 ç è2ø èç 2 ÷ø èç 2 ÷ø èç 2 ÷ø æ3ö A. S = 100.çç ÷÷÷ . çè 4 ø 99

æ3ö B. S = 200.çç ÷÷÷ . çè 4 ø 99

æ3ö C. S = 100.çç ÷÷÷ çè 4 ø

100

æ3ö D. S = 200.çç ÷÷÷ çè 4 ø

100

2a - b 1 0 1 1 1 2 1 2018 Câu 16. Cho tổng S = C 2018 với a, b, c là + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 , biết S = c 1 2 3 2019 b các số nguyên dương và đều không chia hết cho 2; phân số tối giản. Tính c P = a + b + c. A. P = 4034. B. P = 4037. C. P = 4038. D. P = 4039. 0 1 2 3 2018 2 0 2 1 2 2 2 3 2 2018 - C 2018 + C 2018 - C 2018 + ... + C 2018 . Câu 17. Tính tổng S = C 2018 1 2 3 4 2019 1 1 A. S = 2018. B. S = 2019. C. S = D. S = . . 2018 2019 2a - b 1 0 1 1 1 2 1 3 1 2018 Câu 18. Cho tổng S = C 2018 với + C 2018 + C 2018 + C 2018 ... + C 2018 , biết S = c 2 4 6 8 2.2018 + 2 b tối giản. Tính P = a + b + c . a, b, c là các số nguyên dương, phân số c A. P = 4037. B. P = 4039. C. P = 6454. D. P = 6458. 0 1 2 3 2017 2018 C 2018 C 2018 C 2018 C 2018 C 2018 C 2018 + + ... + Câu 19. Tổng S = bằng 3 4 5 6 2020 2021 1 1 1 1 A. B. C. D. . . . . 4121202989 4121202990 4121202991 4121202992 C 0 C1 C 2 C nn 2100 - n - 3 Câu 20. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn n + n + n + ... + = . 1.2 2.3 3.4 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)

Khẳng định nào sau đây đúng? A. n Î [1;49 ].

B. n Î [50;99 ].

C. n Î [100;149 ].

D. n Î [150;200 ].

Câu 21. Biết rằng

0 1 2 3 2018 2 0 C 2018 21 C 2018 2 2 C 2018 23 C 2018 2 2018 C 2018 a + + ... + = với a, b là các số 1.2 2.3 3.4 4.5 2019.2020 b

a tối giản. Hiệu a - b bằng b A. -4039. B. -4037. C. 4037. D. 4039. a 1 1 1 3 1 2 -b 2017 + C 2018 + ... + C 2018 = Câu 22. Biết C 2018 với a, b, c là các số nguyên dương và 2 4 2018 c b phân số tối giản. Tính P = a + b + c . c A. P = 4034. B. P = 4037. C. P = 4038. D. P = 4039. b 1 0 1 2 1 4 1 a .2 + 1 2018 Câu 23. Biết rằng với a, b là các số C 2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 = 2 4 6 2020 b (b + 1) nguyên dương và

a tối giản. Hiệu b - a bằng b A. 1008. B. 1009. C. 1010. D. 2010. 1 1 2 3 2018 a 1 2 3 2018 2019 Câu 24. Biết C 2018 .2 2 + C 2018 .23 + C 2018 2 4 + ... + C 2018 2 = .32018 + với a, b, c là 2 3 4 2019 b c nguyên dương và

các số nguyên dương và (a; b ) = 1. Tổng a + b + c bằng A. 3364.

B. 4036. C. 4037. D. 8037. 1 2 1 2 3 2 n Câu 25. Cho tổng Sn = .2 C n + .2 C n + ... + .2 n +1 C nn với n Î  * . Tìm số tự nhiên n 2 3 n +1 1 nhỏ nhất thỏa mãn Sn > 5200 + . n +1 A. n = 200. B. n = 201. C. n = 292. D. n = 293. 2 3 2018 2.C 3.C 2018.C 2018 1 + 1 2018 + 1 2018 + ... + , biết ln (2S ) = a ln 2018 + b ln 2019 + c Câu 26. Cho S = C 2018 2017 C 2018 C 2018 C 2018 với a, b, c Î . Giá trị của a + b + c bằng A. 1. B. 2. C. 2018. D. 2019. 2 2 1 2 2017 2017 2 2018 2018 2 a a 1 2 Câu 27. Biết rằng (C 2018 ) + 2017 (C 2018 ) + ... + 2 (C 2018 ) + 1 (C 2018 ) = b .C 2 a với 2018 a là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng a, b là những số nguyên dương và b ? A. a + b Î (0;2018). B. a + b Î [2018;4036 ]. C. a + b Î (4036;6054 ). D. a - b = 1. 1009 1009 1009 1009 1009 Câu 28. Cho S1 = C 2018 + C 2017 + C 2016 + ... + C1010 + C1009

Khẳng định nào sau đây đúng ? A. S1 = S2 . B. S1 = 2019S2 .

và

1010 1009 1008 1007 S2 = C 2016 + 3C 2016 + 3C 2016 + C 2016 .

C. S1 = 2018S2 .

D. S1 < S2 .

2019 C. S = C 4018 .

2019 D. S = C 4019 .

k Câu 29. Tính tổng S = å C 2018 +k . 2000

A. S = C

k =0

2018 4018

Câu 30. Gọi M = sau đây đúng? M 1008 A. = . N 2017

2018 B. S = C 4019 .

1 1 1 1 1 1 + 2 + ... + 2017 và N = 0 + 1 + ... + 2016 . Khẳng định nào 1 C 2017 C 2017 C 2017 C 2016 C 2016 C 2016

M 1009 = . N 2017

M 2016 = . N 2017

M 2018 = . N 2017

1 3 5 2019 - C 2019 + C 2019 - ... - C 2019 Câu 31. Tổng C 2019 bằng

A. -21010.

B. -21009.

C. 21009.

0 4 8 2016 + C 2019 + C 2019 + ... + C 2019 Câu 32. Tổng C 2019 bằng

D. 21010.

A. 2 2017 - 21008.

B. 2 2017 - 21009.

C. 2 2019 - 21008.

D. 2 2019 - 21009.

A. -2 2019.

B. -2 2018.

C. 2 2018.

D. 2 2019.

0 2 4 6 2018 - 3C 2019 + 32 C 2019 - 33 C 2019 + ... - 31009 C 2019 Câu 33. Tổng C 2019 bằng

Câu

34.

Khai

triển

biểu

thức

(2018 x 2 + x + 2018)

20118

a0 + a1 x + ... + a4036 x 4036 . Tính tổng S = a1 - a3 + a5 - a7 + ... - a4035 . A. S = -1.

Câu

35.

B. S = 0.

Khai

triển

a0 + a1 x + a2 x + ... + a4036 x 2

4036

C. S = 1.

của

biểu

thức

2018

B. 0. ----------

C. -21009.

HẾT

----------

viết

thành

D. S = 2 2018. được

Tổng S = a0 - a2 + a4 - a6 + ... - a4034 + a4036 bằng A. -1.

( x 2 + x + 1)

được

D. 21009.

viết

thành

TOÅ HÔÏP – CHÆNH HÔÏP

Phần 1 – Ôn lại cơ bản 1. Số tập con của một tập hợp

Câu 1

đến Câu 4

2. Tính giá trị biểu thức

Câu 5

đến Câu 8

3. Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn để tính tổng

Câu 9

đến Câu 11

4. Tính tổng nhờ hệ thức C = C

Câu 12 đến Câu 13

k n

n -k n

ïì x = a . 5. Tính tổng nhờ khai triển Niu-tơn và cho ïí ïïî x = b

Câu 14 đến Câu 17

6. Kỹ thuật tính tổng nhờ viết ngược biểu thức

Câu 18 đến Câu 20

Phần 2 – Vận dụng cao 1. Tính tổng từ bài toán bốc bi

Câu 1

đến Câu 5

2. Dùng kỹ thuật đạo hàm để tính tổng

Câu 6

đến Câu 15

3. Dùng kỹ thuật lấy tích phân để tính tổng

Câu 16 đến Câu 25

4. Kỹ thuật biến đổi đặc biệt để tính tổng

Câu 26 đến Câu 30

5. Kỹ thuật dùng số phức để tính tổng

Câu 31 đến Câu 35

Phần 1 – Ôn lại cơ bản Vấn đề 1. SỐ TẬP CON CỦA MỘT TẬP HỢP Câu 1. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn. A. 2 20  1.

B. 2 20.

2 20  1. 2

D. 219.

Lời giải. Số tập hợp con khác rỗng có số phần từ chẵn là số cách chọn số phần tử chẵn 2 4 6 18 20  C 20  C 20  ...  C 20  C 20 . từ 20 phần tử. Do đó số tập con là C 20

Tính tổng trên bằng cách khai triển nhị thức Niutơn hoặc dùng máy tính cầm tay và đối chiếu các đáp án. Chọn C. Câu 2. Số tập con của một tập hợp gồm 2018 phần tử là B. 2 ´ 2018.

A. 2018.

C. 2 2018 -1.

D. 2 2018.

0 ; Lời giải. Số tập con không có phần tử nào là C 2018 1 ; Số tập con có 1 phần tử là C 2018 2 ; Số tập con có 2 phần tử là C 2018



2018 . Số tập con có 2018 phần tử là C 2018

Vậy

số

tập

con

của

một

0 1 2 2018 C 2018 + C 2018 + C 2018 +  + C 2018 = (1 + 1)

2018

tập

gồm 2018

hợp

phần

tử

là

Chọn D. Câu 3. Cho tập A có n phần tử (n ³ 4 ). Biết rằng số tập con của A có 8 phần tử nhiều gấp

26 lần số tập con của A có 4 phần tử. Hãy tìm k Î {0;1;2;...; n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là nhiều nhất. A. k = 9. B. k = 10.

C. k = 11.

D. k = 20.

8 n

Lời giải. Số tập con có 8 phần tử của tập A là C , số tập con có 4 phần tử của tập A là C n4 . Theo giả thiết, ta có C n8 = 26C n4 Û

n! n! = 26 Û n = 20. 8!(n - 8)! 4!(n - 4 )

10 Ta dễ dàng tìm được trong tất cả các C 20k với k Î {0;1;2;...; n} thì C 20 lớn nhất. Chọn B.

Câu 4. Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  4  . Tìm n, biết rằng trong số các phần tử của A có đúng 16n tập con có số phần tử là lẻ. A. n  8. B. n  9. C. n  10.

D. n  16.

Lời giải. Nếu n lẻ ¾¾ ® số tập con có số phần tử lẻ là: C  C  ...  C nn  16n. 1 n

3 n

Ta có 1  x   C n0  C n1 x  C n2 x 2  ...  C nn 1 x n 1  C nn x n . n

 Cho x  1   C n0  C n1  C n2  ...  C nn 1  C nn  2 n.  Cho x  1   C n0  C n1  C n2  ...  C nn 1  C nn  0.

 n  8 : không thỏa mãn. Suy ra 2 C n1  C n3  ...  C nn   2 n  C n1  C n3  ...  C nn  2 n 1  16n  Nếu n chẵn, tương tự ta có được n  8. Chọn A.

Vấn đề 2. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

Câu 5. Với n Î , n ³ 2 và thỏa mãn A. P =

29 . 45

B. P =

C n5 + C n3+2 1 1 1 1 9 Tính + + + ... + = . P = . C 22 C 32 C 42 C n2 5 (n - 4 )!

53 . 90

C. P =

59 . 90

D. P =

61 . 90

1 1 1 1 9 1 1 2 9 + 2 + 2 + ... + 2 = Û 1 + + + ... + = 2 5 3 6 n (n -1) 5 C2 C3 C 4 Cn

Lời giải. Ta có

1 1 2 4 + + ... + = 3 6 n (n -1) 5

2 2 2 4 + + ... + = 2.3 3.4 n (n -1) 5

1 1 1 2 + + ... + = 2.3 3.4 n (n -1) 5

æ 1 1ö æ1 1 ö æ 1 1ö 2 Û çç - ÷÷÷ + çç - ÷÷÷ + ... + çç - ÷÷÷ = èç 2 3 ø èç 3 4 ø èç n -1 n ø 5 1 1 2 1 1 - = Û = Û n = 10. 2 n 5 n 10 C 5 + C123 59 ® P = 10 = . Chọn C. Với n = 10 ¾¾ 6! 90 Û

Câu 6. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 + P1 + 2 P2 + 3P3 + ... + nPn = P2014 , với Pn là số các hoán vị của tập hợp có n phần tử. A. 2013. B. 2014.

C. 2015.

D. 2016.

Lời giải. Ta có Pk - Pk -1 = k !- (k -1)! = (k -1)!.(k -1) = (k -1) Pk -1 với k = 1;2;... (1) ìP2 - P1 = P1 ï ï ï ï ïP3 - P2 = 2 P2 . Áp dụng (1) ta có í ï ... ï ï ï ï ï îPn +1 - Pn = nPn

(2 )

Cộng các đẳng thức ở (2) ta được Pn +1 - P1 = P1 + 2 P2 + 3P3 + ... + nPn . ® Pn +1 = 1 + P1 + 2 P2 + 3P3 + ... + nPn . Do P1 = 1 ¾¾

® n = 2013. Chọn A. Theo đề, ta có Pn +1 = P2014 Û n + 1 = 2014 ¾¾

Câu 7. Tính giá trị của biểu thức P =

2017 2016 2 1 + 1 + ... + 2015 + 2016 . 0 A2017 A2017 A2017 A2017

1 1 1 1 . B. P = 2017 . C. P = 2018 . D. P = 2018 . 2018! 2017! 2017! 2018! 2017.2017! 2016.2016! 2.2! 1.1! Lời giải. Ta có P = + + ... + + 2017! 2017! 2017! 2017! 2017.2017!+ 2016.2016!+ ... + 2.2!+ 1.1! = 2017! 2018 1 2017! + ( ) (2017 -1) 2016!+ ... + (3 -1) 2!+ (2 -1)1! = 2017! (2018!- 2017!) + (2017!- 2016!) + ... + (3!- 2!) + (2!-1!) = 2017! 2018!-1! 1 = ¾¾ ® P = 2018 . Chọn C. 2017! 2017! A. P = 2017 -

Câu 8. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 1 1 1 1 1 2 2018 -1 + + + ... + + = . 2!.2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018!.1! Pn

A. n = 2017.

B. n = 2018.

C. n = 2019.

D. 2020.

Lời giải. Ta có

1 1 1 1 1 2 2018 -1 + + + ... + + = . 2!.2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018!.1! Pn

Nhận hai vế cho 2019!, ta được 2019! 2019! 2019! 2019! 2019! 2 2018 -1 + + + ... + + = 2019! . 2!.2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018!.1! Pn 2 2018 -1 n! 2 2018 -1 0 = 2019! . + C 2019 n!

2 4 2018 Û C 2019 + C 2019 + ... + C 2019 = 2019! . 0 2 4 2018 Û C 2019 + C 2019 + C 2019 + ... + C 2019

Û 2 2018 = 2019! .

2 2018 -1 +1 n!

Û 2 2018.n ! = 2019!(2 2018 -1) + n ! Û (2 2018 -1)(n !- 2019!) = 0 ¾¾ ® n = 2019. Chọn C.

Vấn đề 3. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN ĐỂ TÍNH TỔNG Câu 9. Tính tổng S = C 20n + C 21n + C 22n + ... + C 22nn . A. S = 2 2 n.

B. S = 2 2 n -1.

C. S = 2 n.

D. S = 2 2 n + 1.

Lời giải. Khai triển nhị thức Niutơn của (1 + x ) , ta có 2n

(1 + x ) = C 20n + C 21n x + C 22n x 2 +  + C 22nn x 2 n . 2n

Cho x = 1 , ta được C 20n + C 21n + C 22n +  + C 22nn = (1 + 1) = 2 2 n. Chọn A. 2n

0 1 2 2018 + 9C 2018 + 9 2 C 2018 + ... + 9 2018 C 2018 , biết ln S = a ln 2 + b ln 3 + c ln 5, Câu 10. Cho tổng S = C 2018

với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng A. 2018. B. 2019. C. 4036. Lời giải. Xét khai triển (1 + x )

2018

0 2018

1 2018

x +C

2 2018

D. 4038.

x + ... + C 2

2018 2018

2108

0 1 2 2018 + 9C 2018 + 9 2 C 2018 + ... + 9 2018 C 2018 ¾¾ ® S = 10 2018 Cho x = 9, ta được 10 2018 = C 2018

ïìïa = 2018 ï ¾¾ ® ln S = 2018 ln10 = 2018 ln 2 + 2018 ln 5 ¾¾ ® ïíb = 0 ® a + b + c = 4036. Chọn C. ïï ïïîc = 2018

Câu 11. Giải phương trình C n1 + 3C n2 + 7C n3 + ... + (2 n -1)C nn = 32 n - 2 n - 6480 trên tập  * . A. n = 3.

B. n = 4.

D. n = 6.

C. n = 5.

Lời giải. Xét khai triển (1 + x ) = C + C x + C x + ... + C x . n

0 n

1 n

2 n

n n

(1)

Thay x = 2, ta được: 3n = C n0 + 2C n1 + 2 2 C n2 + ... + 2 n C nn .

(2 )

Thay x = 1, ta được: 2 n = C n0 + C n1 + C n2 + ... + C nn .

Trừ vế theo vế của (1) và (2), ta được: C + 3C + 7C + ... + (2 -1)C nn = 3n - 2 n. 1 n

2 n

3 n

Theo đề, suy ra 3n - 2 n = 32 n - 2 n - 6480 Û 3n = 81 ¾¾ ® n = 4. Chọn B.

Vấn đề 4. TÍNH TỔNG NHỜ HỆ THỨC C nk = C nn-k 1009 1010 1011 2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 . Câu 12. Tính tổng S = C 2018

1 1009 1 1009 . B. S = 2 2017 + C 2018 . A. S = 2 2017 - C 2018 2 2

Lời giải. Xét khai triển (1 + x )

2018

Cho x = 1, ta được 2

2018

0 2018

1009 C. S = 2 2017 - C 2018 .

1009 D. S = 2 2018 - C 2018 .

k 0 1 2018 2018 = å C 2018 x k = C 2018 +C 2018 x + ... + C 2018 x . 2018 k =0

1 2018

2018 + ... + C 2018 .

1 1009 1010 1011 2018 1009 1009 + C 2018 + C 2018 = 2S + C 2018 ® S = 2 2017 + C 2018 . Chọn B. Vì C nk = C nn-k ® 2 2018 = 2 (C 2018 ) + C 2018 2

Câu 13. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C 21n +1 + C 22n +1 + ... + C 2nn +1 = 2 20 -1 . A. n = 8.

Lời giải. Ta có (1 + 1)

2 n +1

B. n = 9.

0 2 n +1

1 2 n +1

+ ... + C

C. n = 10.

2 n +1 2 n +1

(1)

ìïC =C ïï ïïC 1 = C 2 n 2 n +1 . Áp dụng công thức C nk = C nn-k , ta có ïí 2 n +1 ïï ïï ïïC 2nn +1 = C 2nn++11 î 2 n +1 2 n +1

0 2 n +1

(1)

Từ

C 20n +1 + C 21n +1 + ... + C 2nn +1 =

D. n = 11.

(2 ) (2 ) ,

và

suy

2 2 n +1 2 2 n +1 Û C 21n +1 + ... + C 2nn +1 = - C 20n +1 = 2 2 n -1. 2 2

® 2 2 n -1 = 2 20 -1 ¾¾ ® n = 10. Chọn C. Theo giả thiết: C 21n +1 + C 22n +1 + ... + C 2nn +1 = 2 20 -1 ¾¾

ìï x = a Vấn đề 5. TÍNH TỔNG NHỜ KHAI TRIỂN NIU TƠN VÀ CHO ï í ïïî x = b

Câu 14. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C 21n +1 + C 23n +1 + ... + C 22nn++11 = 1024 . A. n = 4.

B. n = 5.

Lời giải. Xét khai triển ( x + 1)

2 n +1

Cho x = 1 vào (1), ta được: 2

2 n +1

0 2 n +1

2 n +1

0 2 n +1

C. n = 9.

1 2 n +1

+ ... + C

2 n +1 2 n +1

D. n = 10.

(1)

(2 )

Cho x = -1 vào (1), ta được: 0 = -C 20n +1 + C 21n +1 - ... + C 22nn++11 .

(3)

Cộng vế theo vế của (2) và (3), ta được: 2 2 n +1 = 2 (C 21n +1 + C 23n +1 + ... + C 22nn++11 ) Û 2 2 n +1 = 2.1024 Û n = 5 . Chọn B.

0 2 4 2018 + 32 C 2018 + 34 C 2018 + ... + 32018 C 2018 = 2 a + 2b với a, b (a > b ) là các số Câu 15. Biết S = 30 C 2018

nguyên dương và không chia hết cho 2. Tính a - b. A. a - b = 1. B. a - b = 2. C. a - b = 2017. Lời giải. Xét khai triển (1 + x )

2018

Thay x = 3 vào (1), ta được: 4

2018

0 2018

1 2018

+ 3C

x +C

1 2018

D. a - b = 2018.

2 2018

x + ... + C

+3 C

+ ... + 3

2 2018

2017 2018 2017

2018 2018 + C 2018 x .

2017

2017 2018

2018

2018 2018

(1)

(2 )

0 1 2 2018 2018 - 3C 2018 + 32 C 2018 - ... - 32017 C 2018 + 32018 C 2018 . (3) Thay x = -3 vào (1), ta được: 2 2018 = C 2018

Cộng vế theo vế của (2) và (3), ta được: 2S = 4 2018 + 2 2018 ¾¾ ® S = 2 4035 + 2 2017 ïìa = 4035 ¾¾ ® ïí ® a - b = 2018. Chọn D. ïïîb = 2017

0 2 4 2i 2020 + 5C 2020 + 52 C 2020 + ... + 5i C 2020 + ... + 51010 C 2020 . Biết rằng S chia hết cho Câu 16. Gọi S = C 2020

M , M có thể nhận giá trị nào dưới đây ? A. M = 21010.

B. M = 2 2020.

C. M = 51010.

D. M = 52020.

Lời giải. Theo khai triển nhị thức Niutơn ta có

(1 + x )

2020

(1)

0 1 2 3 4 2019 2019 2020 2020 = C 2020 + C 2020 x + C 2020 x 2 + C 2020 x 3 + C 2020 x 4 + ... + C 2020 x + C 2020 x .

Thay x = 5 vào (1), ta được:

(1 + 5 )

0 1 2 = C 2020 + 5C 2020 + 5C 2020 +

(1- 5 )

0 1 2 = C 2020 - 5C 2020 + 5C 2020 -

2020

Thay x = - 5 vào (1), ta được: 2020

(1 + Cộng vế theo vế, ta suy ra S =

( 5) C 3

3 2020

4 + 52 C 2020 + ... +

( 5)

2019

( 5 ) C + 5 C -... -( 5 ) 5 ) + (1 - 5 ) (6 + 2 5 ) = 3

2020

3 2020

4 2020

2020

2019

1010

2019 2020 C 2020 + 51010 C 2020 .

(

+ 6-2 5 2

)

1010

(

é ê 1+ 5 1010 =2 ê ê ê ë

)

1010

(

+ 1- 5 2

)

1010

ù ú 0 2 4 1010 ú = 21010 (C1010 + 5C1010 + 52 C1010 + ... + 5505 C1010 )  21010. Chọn A. ú ú û

1 3 5 2015 2017 + 32 C 2017 + 34 C 2017 + ... + 32014 C 2017 + 32016 C 2017 . Biết S chia hết cho số Câu 17. Gọi S = C 2017

M , M có thể nhận giá trị nào dưới đây ? A. M = 2 2016.

B. M = 2 2017.

C. M = 2 2018.

1 3 5 2015 2017 + 33 C 2017 + 35 C 2017 + ... + 32015 C 2017 + 32017 C 2017 . Lời giải. Ta có 3S = 3C 2017

Xét (1 + x )

2017

D. M = 2 2019.

(1)

0 1 2 2016 2016 2017 2017 = C 2017 + C 2017 x + C 2017 x 2 + ... + C 2017 x + C 2017 x .

Thay x = 3 vào (1), ta được: 4

2017

0 2017

+ 3C

1 2017

+3 C 2

2 2017

+ ... + 3

2016

2016 2017

2017

2017 2017

0 1 2 2016 2017 - 3C 2017 + 32 C 2017 - ... + 32016 C 2017 - 32017 C 2017 . Thay x = -3 vào (1), ta được: -2 2017 = C 2017

(2 )

(3)

Trừ vế theo vế của (2) và (3), ta được: 2 (3S ) = 4 2017 + 2 2017 ¾¾ ® 3S = 2.4 2016 + 2 2016  2 2016 ¾¾ ® S  2 2016. Chọn A.

Vấn đề 6. KỸ THUẬT TÍNH TỔNG NHỜ VIẾT NGƯỢC BIỂU THỨC Câu 18. Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2C n0 + 5C n1 + 8C n2 + ... + (3n + 2)C nn = 1600. A. n = 5.

Lời giải. Đặt

C. n = 8.

B. n = 7.

D. n = 10.

S = 2C + 5C + 8C + ... + (3n + 2)C . 0 n

1 n

2 n

(1)

n n

Viết ngược lại biểu thức của S , ta được

S = (3n + 2)C nn + (3n -1)C nn-1 + (3n - 4 )C nn-2 + ... + 2C n0 .

Cộng (1) và (2) vế theo vế và kết hợp với công thức C nk = C nn-k , ta có

(2 )

2S = (3n + 4 )C n0 + (3n + 4 )C n1 + (3n + 4 )C n2 + ... + (3n + 4 )C nn

n = (3n + 4 ) éëêC n0 + C n1 + C n2 + ... + C nn ùûú = (3n + 4 )(1 + 1) = (3n + 4 ) 2 n.

® n = 7. Chọn B. Theo giả thiết: 2 ´1600 = (3n + 4 ) 2 n ¾¾

Câu 19. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 3C n0 + 4C n1 + 5C n2 + ... + (n + 3)C nn = 8192. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. n Î [1;8).

Lời giải. Đặt

B. n Î [8;12).

C. n Î [12;16).

D. n Î [16;20 ].

S = 3C n0 + 4C n1 + 5C n2 + ... + (n + 3)C nn .

(1)

Viết ngược lại biểu thức của S , ta được

S = (n + 3)C nn + (n + 2)C nn-1 + (n + 1)C nn-2 + ... + 3C n0 .

Cộng (1) và (2) vế theo vế và kết hợp với công thức C = C k n

n -k n

(2 ) , ta có

2S = (n + 6)C + (n + 6)C + (n + 6)C + ... + (n + 6)C nn 0 n

1 n

2 n

n = (n + 6) éëêC n0 + C n1 + C n2 + ... + C nn ùûú = (n + 6)(1 + 1) = (n + 6) 2 n.

® n = 10. Chọn B. Theo giả thiết: 2 ´8192 = (n + 6) 2 n ¾¾

3 4 5 6 2018 - 2C 2018 + 3C 2018 - 4C 2018 + ... - 2016C 2018 . Câu 20. Tính tổng S = C 2018 A. S = -2018. B. S = -2016. C. S = 2016.

Lời giải. Đặt T = -(-2).C Xét P = T + S = -(-2).C

0 2018

+ (-1).C

1 2018

- 0.C

Viết ngược lại biểu thức của P , ta được

2 2018

= -2016.

D. S = 2018.

3 2017 2018 + 1.C 2018 - ... + 2015.C 2018 - 2016.C 2018 .

(1)

2018 2017 2016 2015 1 0 P = -2016.C 2018 + 2015.C 2018 - 2014.C 2018 + 2013.C 2018 - ... + (-1).C 2018 - (-2).C 2018 .

(2 )

Cộng (1) và (2) vế theo vế và kết hợp với công thức C nk = C nn-k , ta có

0 1 2 3 2017 2018 2 P = -2014C 2018 + 2014C 2018 - 2014C 2018 + 2014C 2018 - ... + 2014C 2018 - 2014C 2018 0 1 2 3 2018 = -2014 (C 2018 - C 2018 + C 2018 - C 2018 + ... + C 2018 )

= -2014 (1 -1)

2018

Suy ra P = 0 ¾¾ ®T + S = 0 ¾¾ ® S = -T = 2016. Chọn C.

Phần 2 – Vận dụng cao Vấn đề 1. TÍNH TỔNG (BÀI TOÁN BỐC BI) 1 2 3 100 Câu 1. Tính tổng S = (C100 ) + (C100 ) + (C100 ) + ... + (C100 ). 2

A. S = 2 200.

B. S = 2 200 -1.

Lời giải. Xét đa thức: (1 + x ) ( x + 1) 100

100

= (1 + x )

100 C. S = C 200 -1.

200

100 D. S = C 200 .

Cân bằng hệ số của x 100 ở hai vế, ta được 0 100 1 99 2 98 3 97 100 0 100 C100 .C100 + C100 .C100 + C100 .C100 + C100 .C100 + .. + C100 .C100 = C 20 0.

hay

0 100 100 C100 .C100 + S = C 200 .

100 0 100 100 - C100 .C100 = C 200 -1. Chọn C. Suy ra S = C 200 0 100 1 99 2 98 3 97 100 .C100 + C100 .C100 + C100 .C100 + C100 .C100 + .. + C100 .C100 0 là số cách Cách 2. Nhận thấy biểu thức C100

lấy tùy ý 100 viên bi từ hộp chứa 100 viên bi xanh và 100 viên bi đỏ (các viên bi cùng 100 màu giống nhau) thì thu được kết quả C 200 . 5 4 3 2 1 0 + C 71C 2018 + C 72C 2018 + C 73C 2018 + C 74C 2018 + C 75C 2018 . Bài tập tương tự. Tính tổng S = C 70C 2018 5 A. S = C 2018 .

5 C. S = (C 2018 ).

5 D. S = (C 2025 ).

5 B. S = C 2025 .

Lời giải. Tương tự như bài trên, biểu thức cần tính là số cách lấy tùy ý 5 viên bi từ hộp chứa 7 viên bi xanh và 2018 viên bi đỏ (các viên bi cùng màu giống nhau) thì thu được 5 kết quả C 2025 . Chọn B.

1 2 2018 Câu 2. Tính tổng S = (C 2018 ) + 2 (C 2018 ) + ... + 2018 (C 2018 ). 2

2018 A. S = 1009C 4035 .

2017 B. S = 1009C 4036 .

2018 C. S = 1009C 4036 .

0 1 2 2018 Lời giải. Ta có S = 0.(C 2018 ) + (C 2018 ) + 2 (C 2018 ) + ... + 2018 (C 2018 ). 2

2018 D. S = 2018C 4036 .

(1)

Viết ngược lại biểu thức của S , ta được

2018 2017 2026 0 S = 2018 (C 2018 ) + 2017 (C 2018 ) + 2016 (C 2018 ) + ... + 0.(C 2018 ) . (2 ) 2

Cộng (1) và (2) vế theo vế và kết hợp với công thức C nk = C nn-k , ta có

2 2 2 0 1 2 2018 2 ù 2018 2S = 2018. éê(C 2018 . ) + (C 2018 ) + (C 2018 ) + ... + (C 2018 ) úû = 2018.C 4036 ë

2018 . Chọn C. Vậy S = 1009C 4036

1 2 3 2018 Câu 3. Tính tổng S = (C 2018 ) + (2C 2018 ) + (3C 2018 ) + ... + (2018C 2018 ). 2

20182 2018 .C 4036 . 2 2017 C. S = 20182.C 4034 . A. S =

20182 2018 .(C 4036 -1). 2 2017 D. S = 20182.(C 4034 -1). B. S =

1 0 ìïC 2018 = 2018C 2017 ïï ïï2C 2 = 2018C 1 2017 ïï 2018 3 2 k k -1 ï . Lời giải. Áp dụng công thức kC n = nC n-1 , ta được í3C 2018 = 2018C 2017 ïï ïï ïï 2018 2017 = 2018C 2017 ïï2018C 2018 î

0 1 2 2017 Suy ra S = (2018.C 2017 ) + (2018.C 2017 ) + (2018.C 2017 ) + ... + (2018.C 2017 ) 2

2 2 2 0 1 2 2017 2 ù 2017 = 20182. éê(C 2017 + (C 2017 + (C 2017 + ... + (C 2017 . Chọn C. ) ) ) ) úû = 20182.C 4034 ë

0 1 2 2018 Câu 4. Tính tổng S = (C 2018 ) -(C 2018 ) + (C 2018 ) -... + (C 2018 ). 2

2018 A. S = C 4036 .

2018 B. S = -C 4036 .

Lời giải. Xét đa thức: (1 - x )

2018

1009 C. S = C 2018 .

(1 + x )

2018

= (1 - x 2 )

2018

1009 D. S = -C 2018 .

Cân bằng hệ số của x 2018 ở hai vế, ta được 0 2018 1 2017 2 2016 3 2015 2018 0 1009 C 2018 .C 2018 - C 2018 .C 2018 + C 2018 .C 2018 - C 2018 .C 201 8 + .. + C 2018 .C 2018 = -C 2018 . 1009 . Chọn D. Suy ra S = -C 2018

1 0 1 2 2018 0 C n2018 + C 2018 C n2017 + C 2018 C n2016 + ... + C 2018 C n = C 22019 Câu 5. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C 2018 n . 2 A. n = 2016. B. n = 2017. C. n = 2018. D. n = 2019.

0 1 2 2018 0 C n2018 + C 2018 C n2017 + C 2018 C n2016 + ... + C 2018 C n có dạng '' số Lờigiải. Nhận thấy được vế trái C 2018

cách lấy tùy ý 2018 viên bi từ hộp chứa 2018 viên bi xanh và n viên bi đỏ (các viên bi 2018 cùng màu giống nhau) thì thu được kết quả C 2018 +n .

(n + 2018)! 1 (2n )! 1 2019 Khi đó, bài toán Û C n2018 C2n Û = . + 2018 = 2 2018!.n ! 2 2019!.(2n - 2019)! Û

(n + 2018)! n!

(2n )! 1 = . 2 2019.(2n - 2019)!

1 (2n ).(2n -1).(2n - 2)....(2n - 2018) Û (n + 2018).(n + 2017)...(n + 1) = . 2 2019 Û (2.2019)(n + 2018).(n + 2017)...(n + 1) = (2.n ). éë n + (n -1)ùû . éë n + (n - 2)ùû ....n + (n - 2018).

® VT (*) < VP (*).  n > 2019 ¾¾

(* )

® VT (*)>VP (*).  n < 2019 ¾¾

 n = 2019 thỏa mãn (*). Chọn D.

Vấn đề 2. DŨNG KỸ THUẬT ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH TỔNG 1 2 3 2018 + 2C 2018 + 3C 2018 + ... + 2018C 2018 , biết ln S = a ln 2018 + b ln 2 + c , với Câu 6. Cho tổng S = C 2018

a, b, c Î . Giá trị của a + b + c bằng A. 0. B. 1.

Lời giải. Xét (1 + x )

2018

0 2018

1 2018

C. 2018.

x +C

2 2018

Lấy đạo hàm hai vế ta được: 2018 (1 + x )

x + ... + C 2

2017

Thay x = 1 vào (1), ta được: 2018 (1 + 1)

2017

¾¾ ® S = 2018.2

2017

2018 2018

D. 2019!. 2018

1 2 3 2018 2017 = C 2018 + 2C 2018 x + 3C 2018 x 2 + ... + 2018C 2018 x . (1)

1 2 3 2018 = C 2018 + 2C 2018 + 3C 2018 + ... + 2018C 2018

ìïa = 1 ïï Þ ln S = ln 2018 + 2017 ln 2 ¾¾ ® ïíb = 2017 Þ a + b + c = 2018. Chọn C. ïï ïïîc = 0

Cách 2. (Dành cho hs đang học 11) Áp dụng công thức kC nk = nC nk--11 , ta được

1 0 ì ï C 2018 = 2018C 2017 ï ï ï 2 1 ï 2C 2018 = 2018C 2017 ï ï ï3C 3 = 2018C 2 í 2018 2017 ï ï ï  ï ï 2018 2017 ï 2018C 2018 = 2018C 2017 ï ï î

Bài tập tương tự. Tìm n Î  thỏa mãn C n1 + 2C n2 + 3C n3 +  + (n -1)C nn-1 + nC nn = 64 n . ĐS: n = 7.

2 4 6 100 + 8C100 + 12C100 + ... + 200C100 , biết S = a.2b với a, b là các số Câu 7. Cho tổng S = 4C100

nguyên dương. Tính giá trị biểu thức P = a + b. A. P = 1. B. P = 99. C. P = 199.

D. P = 200.

Lời giải. Ta có 0 1 2 100 100 + C100 x + C100 x 2 + ... + C100 x ; (1 + x ) = C100 100

0 1 2 3 100 100 - C100 x + C100 x 2 - C100 x 3 + ... + C100 x . (1 - x ) = C100 100

Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta được

(1)

(2 )

0 2 4 100 100 + 2C100 x 2 + 2C100 x 4 + ... + 2C100 x . (3) (1 + x ) + (1 - x ) = 2C100 100

100

Lấy đạo hàm hai vế của (3) theo ẩn x ta được

2 4 100 99 100 (1 + x ) -100 (1 - x ) = 4C100 x + 8C100 x 3 + ... + 200C100 x . 99

2 4 100 + 8C100 + ... + 200C100 Thay x = 1 vào (4 ), ta được 100.2 99 = 4C100 hay S = 100.2 99

(4 )

ìa = 100 ï ¾¾ ®ï Þ a + b = 199. Chọn C. í ï ï îb = 99

Câu

Tổng

1 2 3 4 k 2017 + 3.32 C 2017 + 4.33 C 2017 + ... + k.3k -1 C 2017 + ... + 2017.32016 C 2017 (2.3C 2017 ) 2017

bằng: A. 32016 -1.

B. 32016.

Lời giải. Xét (1 + x )

2017

C. 4 2016 -1.

D. 4 2016.

0 1 2 2017 2017 = C 2017 + C 2017 x + C 2017 x 2 + ... + C 2017 x .

Đạo hàm hai vế ta được:

2017 (1 + x )

2016

1 2 3 k 2017 2016 = C 2017 + 2C 2017 x + 3C 2017 x 2 + ... + kC 2017 x k -1 + ... + 2017C 2017 x .

Thay x = 3 vào biểu thức trên ta được: 2017.(1 + 3)

2016

1 2 3 4 k 2017 = C 2017 + 2.3C 2017 + 3.32 C 2017 + 4.33 C 2017 + ... + k.3k -1 C 2017 + ... + 2017.32016 C 2017

1 2 3 4 k 2017 Û 2017.4 2016 - C 2017 = 2.3C 2017 + 3.32 C 2017 + 4.33 C 2017 + ... + k.3k -1 C 2017 + ... + 2017.32016 C 2017 2 3 4 k 2017 Û 2017.(4 2016 -1) = 2.3C 2017 + 3.32 C 2017 + 4.33 C 2017 + ... + k.3k -1 C 2017 + ... + 2017.32016 C 2017 .

Suy ra S = 4 2016 -1. Chọn C. 0 2017 1 2016 k 2017-k 2017 0 C 2018 + C 2018 C 2017 + ... + C 2018 C 2018 Câu 9. Tính tổng S = C 2018 -k + ... + C 2018 C1 .

A. S = 1009.2 2017.

B. S = 2018.2 2017.

C. S = 2018.2 2018.

D. S = 2018.2 2019.

0 2017 1 2016 2 2015 k 2017-k 2017 0 C 2018 + C 2018 C 2017 + C 2018 C 2016 + ... + C 2018 C 2018 Lời giải. Ta có S = C 2018 -k + ... + C 2018 C1 2018 1 2017 1 2016 1 = C 2018 C 2018 + C 2018 C 2017 + C 2018 C 2016 + ...

2018 2017 2016 1 = 2018.C 2018 + 2017.C 2018 + 2016.C 2018 + ... + 1.C 2018 = éê(1 + x ) ë

ù úû

2018 / x =1

= 2018.2 2017. Chọn B.

Câu 10. Cho tổng 2 3 2018 S = 2.1.C 2018 + 3.2.C 2018 + ... + 2018.2017.C 2018 ,

biết ln S = a ln 2 + b ln 2018 + c ln 2017 với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng A. 2. B. 2011. C. 2018. D. 2019.

Lời giải. Xét (1 + x )

2018

0 1 2 2018 2018 = C 2018 + C 2018 x + C 2018 x 2 + ... + C 2018 x .

Đạo hàm hai vế ta được:

2018 (1 + x )

2017

1 2 3 2018 2017 = C 2018 + 2C 2018 x + 3C 2018 x 2 + ... + 2018C 2018 x .

Tiếp tục đạo hàm hai vế lần nữa, ta được

2018.2017.(1 + x )

2 3 2018 2016 = 2.1.C 2018 + 3.2.C 2018 x + ... + 2018.2017.C 2018 x .

2016

Thay x = 1 vào biểu thức trên, ta được: 2018.2017.2 2016 = S ìïa = 2016 ïï ¾¾ ® ln S = 2016 ln 2 + ln 2018 + ln 2017 ¾¾ ® Þ ïíb = 1 Þ a + b + c = 2018. Chọn C. ïï ïïîc = 1

Câu 11. Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2C n1 + 3C n2 + 4C n3 + ... + (n + 1)C nn = 111. Khẳng định nào sau đây đúng? A. n Î (1;4 ).

B. n Î [ 4;7).

C. n Î [7;10).

D. n Î [10;18].

Lời giải. Xét (1 + x ) = C n0 + C n1 x + C n2 x 2 + ... + C nn x n . n

Nhân hai vế của (1) cho x ta được: (1 + x ) x = C n0 x + C n1 x 2 + C n2 x 3 + ... + C nn x n +1 .

(1)

(2 )

Lấy đạo hàm hai vế của (2) theo ẩn x ta được

n (1 + x )

x + (1 + x ) = C n0 + 2C n1 x + 3C n2 x 2 + ... + (n + 1)C nn x n .

n -1

Thay x = 1 vào (3), ta được

(3)

n.2 n-1 + 2 n = 1 + 2C n1 + 3C n2 + ... + (n + 1)C nn

Û n.2 n-1 + 2 n = 1 + 111.

 Nếu n > 5 ¾¾ ® n.2 n-1 + 2 n > 5.2 4 + 25 = 112 : vô lí.  Nếu n < 5 ¾¾ ® n.2 n-1 + 2 n < 5.2 4 + 25 = 112 : vô lí.  Kiểm tra n = 5 thỏa mãn. Chọn B. 0 1 2 2018 + 2C 2018 + 3C 2018 + ... + 2019C 2018 = 505.2 2019. Bài tập tương tự. Chứng minh C 2018

Hướng dẫn. Xét (1 + x )

2018

Nhan x ¾¾¾ ® x (1 + x )

2018

Dao ham ¾¾¾¾ ® (1 + x )

2018

+ 2018 x (1 + x )

2017

Cho x =1 ¾¾¾¾ ®

Bài tập tương tự. Chứng minh C 20n - 2C 21n + 3C 22n - 4C 23n + ... + (2n + 1)C 22nn = 0. Nhan x Dao ham ® x (1 - x ) ¾¾¾¾ ® (1 - x ) - 2n.x (1 - x ) Hướng dẫn. Xét (1 - x ) ¾¾¾ 2n

2 n -1

Cho x =1 ¾¾¾¾ ®

0 1 2 2019 + 4C 2019 + 5C 2019 + ... + 2022C 2019 = 2025.2 2018. Bài tập tương tự. Chứng minh 3C 2019

Hướng dẫn. Xét (1 + x )

2019

Nhan x ¾¾¾ ¾ ® x 3 (1 + x )

2019

Dao ham Cho x =1 ¾¾¾¾ ® ... ¾¾¾¾ ®

3 4 5 6 2018 - 2C 2018 + 3C 2018 - 4C 2018 + ... - 2016C 2018 . Câu 12. Tính tổng S = C 2018 A. S = 2016. B. S = 2017. C. S = 2018.

Lời giải. Xét (1 + x )

2018

0 2018

1 2018

(1 + x )

x +C

2018

Chia hai vế cho x 2 ta được

2 2018

x + ... + C 2

2018 2018

2018

D. S = 2019.

0 C 2018 C1 2 3 2018 2016 + 2018 + C 2018 + C 2018 x + ... + C 2018 x . 2 x x

Lấy đạo hàm hai vế ta được

(2016 x - 2)(1 + x )

2017

0 2C 2018 C1 3 4 2018 2015 - 2018 + C 2018 + 2C 2018 x + ... + 2016C 2018 x . 3 2 x x

0 1 - C 2018 + S ¾¾ ® S = 2016. Chọn A. Thay x = -1 vào biểu thức trên ta được 0 = 2C 2018

Câu 13. Tính tổng S = 2.C n1 + 2 2.2.C n2 + 23.3.C n3 + ... + 2 n.n.C nn . A. S = 2n.3n-1.

B. S = 2n.3n +1.

C. S = 3n.2 n-1.

D. S = 3n.2 n +1.

Lời giải. Xét (1 + x ) = C n0 + C n1 x + C n2 x 2 + ... + C nn x n . n

Đạo hàm hai vế ta được: n (1 + x )

n -1

= C n1 + 2C n2 x + 3C n3 x 2 + ... + nC nn x n-1 .

Nhân x vào hai vế ta được: nx (1 + x )

n -1

= C n1 x + 2C n2 x 2 + 3C n3 x 3 + ... + nC nn x n .

Thay x = 2 vào biểu thức trên ta được: S = 2n.3n-1. Chọn A. 1 2 3 2018 x + 2 2 C 2018 + 32 C 2018 + ... + 20182 C 2018 , biết S = a.2b với a, b là Câu 14. Cho tổng S = 12 C 2018

các số nguyên và đều không chia hết cho 2. Giá trị của a + b bằng A. 4076358. B. 2039188. C. 4079198. D. 2009197. Lời giải. Xét (1 + x )

2018

0 1 2 2018 2018 = C 2018 + C 2018 x + C 2018 x 2 + ... + C 2018 x .

Đạo hàm hai vế ta được: 2018 (1 + x )

2017

1 2 3 2018 2017 = C 2018 + 2C 2018 x + 3C 2018 x 2 + ... + 2018C 2018 x .

Nhận hai vế cho x ta được: 2018 x (1 + x )

2017

1 2 3 2018 2018 = C 2018 x + 2C 2018 x 2 + 3C 2018 x 3 + ... + 2018C 2018 x .

Tiếp tục đạo hàm hai vế ta được:

2018.(2018 x + 1).(1 + x )

2016

1 2 3 2018 2017 = 12 C 2018 x + 2 2 C 2018 x + 32 C 2018 x 2 + ... + 20182 C 2018 x .

Thay x = 1 vào biểu thức trên, ta được: 2018.2019.(1 + 1)

2016

ïìa = 1009.2019 ¾¾ ® ïí ¾¾ ® a + b = 2039188. Chọn B. ïïîb = 2017

= S hay S = 1009.2019.2 2017

Bài tập tương tự: Chứng minh

1 1 1 2 k 2012 C 2012 C 2010 + (12 C 2012 2 2011 - 2 2 C 2012 2 2010 + ... + (-1) k -1 k 2C 2012 2 2012-k + ... - 2012 2 C 2012 ) = 0.

Hướng dẫn: Xét (2 - x )

2012

Dao ham Nhan x Dao ham Cho x =1 ¾¾¾¾ ® ... ¾¾¾ ® ... ¾¾¾¾ ® ... ¾¾¾¾ ®

Bài tập tương tự: Chứng minh 12.C n1 .2 + 2 2.C n2 .2 2 + 32.C n3 .23 + ... + n 2 .C nn .2 n = 2n (2n + 1).3n-2. Dao ham Nhan x Dao ham Cho x =1 ® ... ¾¾¾ ® ... ¾¾¾¾ ® ... ¾¾¾¾ ® Hướng dẫn: Xét (1 + x ) ¾¾¾¾ n

ö ö 0 æ 1 æ çç 1 ÷÷ + 101C100 çç 1 ÷÷ Câu 15. Tính tổng S = 100C100 ÷ èç 2 ø èç 2 ÷ø 99

æ3ö A. S = 100.çç ÷÷÷ . çè 4 ø

100

æ3ö B. S = 200.çç ÷÷÷ . çè 4 ø

Lời giải. Xét (1 + x )

Nhan x ¾¾¾¾ ® x 100 (1 + x )

100

ö 2 æ çç 1 ÷÷ + 102C100 èç 2 ÷ø

101

æ3ö C. S = 100.çç ÷÷÷ çè 4 ø

ö 100 æ çç 1 ÷÷ + ... + 200C100 ÷ èç 2 ø

199

100

æ3ö D. S = 200.çç ÷÷÷ çè 4 ø

100

1 Cho x = æ3ö Dao ham 2 ¾¾¾¾ ® ... ¾¾¾¾ ® 200.çç ÷÷÷ . Chọn B. çè 4 ø 99

Vấn đề 3. DÙNG KỸ THUẬT LẤY TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH TỔNG 2a - b 1 0 1 1 1 2 1 2018 Câu 16. Cho tổng S = C 2018 với a, b, c là + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 , biết S = c 1 2 3 2019 b các số nguyên dương và đều không chia hết cho 2; phân số tối giản. Tính c P = a + b + c. A. P = 4034. B. P = 4037. C. P = 4038. D. P = 4039.

Lời giải. Xét (1 + x )

2018

0 1 2 2018 2018 = C 2018 + C 2018 x + C 2018 x 2 + ... + C 2018 x .

Lấy tích phân hai vế của (1) với cận từ 0 đến 1 ta được 1

ò (1 + x )

2018

(1 + x )

2019

Û Û

2019

0 1 2 2018 2018 dx = ò (C 2018 + C 2018 x + C 2018 x 2 + ... + C 2018 x ) dx 0

1 0

æ ö1 1 1 1 = ççC n0 x + C n1 x 2 + C n2 x 3 + ... + C nn x 2019 ÷÷÷ çè ø0 2 3 2019

-1 1 1 1 2 1 0 2018 = C 2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 . 2019 2 3 2019

2019

(1)

ìa = 2019 ï ï 2 2019 -1 ï Vậy S = ¾¾ ®ï Þ P = a + b + c = 4039. Chọn D. íb = 1 ï 2019 ï ï ï îc = 2019

ì 1 0 1 ï 1 ï C 2018 = C 2019 ï ï 1 2019 ï ï ï 1 1 1 2 k -1 k ï C 2019 C C ï C 2018 = k k -1 n -1 n ® = , ta được ï Câu 2. Áp dụng công thức kC n = nC n-1 ¾¾ . 2019 í2 ï k n ï  ï ï ï ï 1 1 2018 2019 ï C 2018 = C 2019 ï ï 2019 ï 2019 î 1 0 1 1 1 2 1 1 2018 1 2 3 2019 Suy ra S = C 2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 = + C 2019 + C 2019 + ... + C 2019 (C 2019 ) 1 2 3 2019 2019 C0 C0 1 1 2 2019 -1 2019 0 1 2 3 2019 = C 2019 + C 2019 + C 2019 + C 2019 + ... + C 2019 - 2019 = . (1 + 1) - 2019 = ( ) 2019 2019 2019 2019 2019 22 1 23 2 22019 2018 32019 -1 0 + C2018 + C2018 + ... + C2018 = . Bài tập tương tự. Chứng minh 2C2018 2 3 2019 2019

Hướng dẫn. Xét (1 + x )

2018

tich phan ¾¾¾ ¾ ® ò (1 + x )

2018

dx.

20 0 21 1 22 2 23 3 2 2018 2018 C 2018 - C 2018 + C 2018 - C 2018 + ... + C 2018 . 1 2 3 4 2019 1 1 A. S = 2018. B. S = 2019. C. S = D. S = . . 2018 2019 C k -1 C k ® n-1 = n , ta được Lời giải. Áp dụng công thức kC nk = nC nk--11 ¾¾ k n 0 1 2 C 2018 C 2018 C C3 C 2018 S= - 2. + 2 2. 2018 - 23. 2018 + ... + 2 2018. 2018 1 2 3 4 2019

Câu 17. Tính tổng S =

1 1 2 3 2019 .(2C 2019 - 2 2.C 2019 + 23.C 2019 - ... + 2 2019.C 2019 ) 2.2019 1 0 0 1 2 3 2019 ù = . éC 2019 - (C 2019 - 2C 2019 + 2 2.C 2019 - 23.C 2019 + ... - 2 2019.C 2019 )ûú 2.2019 ëê 1 1 2019 0 = . éêC 2019 - (1 - 2) ùú = . Chọn D. ë û 2.2019 2019 =

Cách 2. Xét khai triển (1 - x )

2018

0 1 2 3 2018 2018 = C 2018 - C 2018 x + C 2018 x 2 - C 2018 x 3 + ... + C 2018 x .

Lấy tích phân hai vế, cận từ 0 đến 2 ta được 2

ò (1- x )

2018

( x -1)

2019

Û Û Suy ra S =

2019

0 1 2 3 2018 2018 dx = ò (C 2018 - C 2018 x + C 2018 x 2 - C 2018 x 3 + ... + C 2018 x ) dx 0

2 0

æ 0 x2 1 x3 2 x4 3 x 2019 2018 ö÷ = çç xC 2018 - C 2018 + C 2018 - C 2018 + ... + C 2018 ÷÷ ÷ø çè 2 3 4 2019 0

æ 0 2 2 1 22 2 23 3 2 2018 2018 ö÷ = 2 ççC 2018 - C 2018 + C 2018 - C 2018 + ... + C 2018 ÷÷. ÷ø çè 2019 2 3 4 2019

20 0 21 1 22 2 23 3 2 2018 2018 1 C 2018 - C 2018 + C 2018 - C 2018 + ... + C 2018 = . 1 2 3 4 2019 2019

2a - b 1 0 1 1 1 2 1 3 1 2018 Câu 18. Cho tổng S = C 2018 với + C 2018 + C 2018 + C 2018 ... + C 2018 , biết S = c 2 4 6 8 2.2018 + 2 b tối giản. Tính P = a + b + c . a, b, c là các số nguyên dương, phân số c A. P = 4037. B. P = 4039. C. P = 6454. D. P = 6458. æ 1 0 1 1 1 2 1 3 1 2018 ö + C 2018 + C 2018 + C 2018 ... + C 2018 Lời giải. Ta viết lại S = ççC 2018 ÷÷÷. ø 2 çè 2 3 4 2018 + 1

Xét (1 + x )

2018

tich phan ¾¾¾¾ ® ò (1 + x )

2018

dx =

2 2019 -1 . 2019

ìa = 2019 ï ï 1 2 2019 -1 2 2019 -1 ï Suy ra S = ´ = ¾¾ ®ï Þ P = a + b + c = 6058. Chọn D. íb = 1 ï 2 2019 4038 ï ï ï îc = 4038 0 1 2 C C C C3 C 2017 C 2018 Câu 19. Tổng S = 2018 - 2018 + 2018 - 2018 + ... - 2018 + 2018 bằng 3 4 5 6 2020 2021 1 1 1 1 A. B. C. D. . . . . 4121202989 4121202990 4121202991 4121202992 Lời giải. Xét (1 - x )

2018

Nhan x ¾¾¾ ¾ ® x 2 (1 - x )

2018

Câu 20. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn Khẳng định nào sau đây đúng? A. n Î [1;49 ].

tich phan ¾¾¾¾ ® ò x 2 (1 - x )

B. n Î [50;99 ].

2018

dx =

1 . Chọn B. 4121202990

C C1 C 2 C nn 2100 - n - 3 + n + n + ... + = . 1.2 2.3 3.4 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) 0 n

C. n Î [100;149 ].

Lời giải. Áp dụng công thức (k + 1)C nk++11 = (n + 1)C nk hai lần ta được

D. n Î [150;200 ].

C nk++22 C nk = . (k + 1)(k + 2) (n + 1)(n + 2)

Do đó S =

C n0 C n1 C n2 C nn 1 + + + ... + = .(C 2 + C n3+2 + ... + C nn++22 ) 1.2 2.3 3.4 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) n +2

. éê(C n0+2 + C n1+2 + C n2+2 + C n3+2 + ... + C nn++22 ) - (C n0+2 + C n1+2 )ùú û (n + 1)(n + 2) ë

. é(1 + 1) (n + 1)(n + 2) êë

Cách 2. Ta có

n +2

2 n +2 - n - 3 - (1 + n + 2)ùú = ¾¾ ® n = 98. Chọn B. û (n + 1)(n + 2)

æC 0 C 1 C n0 C n1 C nn C nn ö÷ æçC n0 C n1 C nn ö÷ ÷÷ - ç + + ... + ÷÷. + + ... + = ççç n + n + ... + 1.2 2.3 2 3 (n + 1)(n + 2) èç 1 (n + 1)÷ø çèç 2 (n + 2)÷ø   A



ò (1 + x )



ò 0

dx = ò (C n0 + C n1 x + ...C nn x n ) dx ¾¾ ®A= 0

-1 . n +1 n +1

x (1 + x ) dx = ò x (C n0 + C n1 x + ...C nn x n ) dx n

Û ò (1 + x ) 0

n +1

dx - ò (1 + x ) dx = ò (C n0 x + C n1 x 2 + ...C nn x n +1 )dx n

1 æ(1 + x )n +2 (1 + x )n +1 ö÷ æC n0 x 2 C n1 x 3 C nn x n +2 ö÷ n 2 n +1 + 1 çç ç ÷ ÷÷ ¾¾ Ûç + + ... + ®B = . ÷÷ = çç ççè n + 2 n + 1 ÷ø 3 n + 2 ÷ø 0 (n + 1)(n + 2) èç 2 0 1

Câu 21. Biết rằng

0 1 2 3 2018 2 0 C 2018 21 C 2018 2 2 C 2018 23 C 2018 2 2018 C 2018 a + + ... + = với a, b là các số 1.2 2.3 3.4 4.5 2019.2020 b

a tối giản. Hiệu a - b bằng b B. -4037. C. 4037.

nguyên dương và A. -4039.

Lời giải. Áp dụng công thức (k + 1)C

k +1 n +1

D. 4039.

= (n + 1)C hai lần ta được k n

C nk++22 C = . (k + 1)(k + 2) (n + 1)(n + 2) k n

0 1 2 3 2018 2 0 C 2018 21 C 2018 2 2 C 2018 23 C 2018 2 2018 C 2018 + + ... + 1.2 2.3 3.4 4.5 2019.2020 1 2 3 4 5 2020 = - 21 C 2020 + 2 2 C 2020 - 23 C 2020 + ... + 2 2018 C 2020 (20 C 2020 ). 2019.2020

Do đó S =

Xét (1 - x )

2020

0 1 2 3 4 2020 2020 = C 2020 - C 2020 x + C 2020 x 2 - C 2020 x 3 + C 2020 x 4 - ... + C 2020 x .

(1 - x )

2020

Chia hai vế cho x ta được

0 1 C 2020 C 2020 2 3 4 2020 2018 + C 2020 - C 2020 x + C 2020 x 2 - ... + C 2020 x . x x2

1 1 2020 2 3 4 2020 = + C 2020 - 2C 2020 + 2 2 C 2020 - ... + 2 2018 C 2020 . 4 4 2 1 2 3 4 2020 Suy ra C 2020 - 2C 2020 + 2 2 C 2020 - ... + 2 2018 C 2020 = 1010 ¾¾ ®S = 4038 ì ïa = 1 ¾¾ ®ï Þ a - b = -4037. Chọn B. í ï ï îb = 4038

Cho x = 2 ta được

Câu 22. Biết

1 1 1 3 1 2a - b 2017 C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 = với a, b, c là các số nguyên dương và 2 4 2018 c

b tối giản. Tính P = a + b + c . c A. P = 4034. B. P = 4037. C. P = 4038. D. P = 4039. 2018 2018 2018 2018 2018 1 ì ï (1 + x ) + (1 - x ) (1 + x ) - (1 - x ) ï(1 + x ) Tich phan ¾¾ ® ¾¾¾¾ ® dx . Lời giải. Xét ï í ò 2018 ï 2 2 1 x ï ( ) 0 ï î ìa = 2018 ï ï 1 1 1 3 1 2 2018 -1 ï 2017 Vậy C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 = ¾¾ ®ï Þ P = a + b + c = 4038. Chọn C. íb = 1 ï 2 4 2018 2019 ï ï c = 2019 ï î phân số

Câu 23. Biết rằng nguyên dương và A. 1008.

1 0 1 2 1 4 1 a.2b + 1 2018 với a, b là các số C 2018 + C 2018 + C 2018 + ... + C 2018 = 2 4 6 2020 b (b + 1)

a tối giản. Hiệu b - a bằng b B. 1009. C. 1010.

ì ï x (1 + x ) (1 + x ) + (1 - x ) ï(1 + x ) Nhan x ¾¾ ® ¾¾¾ ® Lời giải. Xét ï í 2018 ï 2 ï ï î(1 - x ) 2018 2018 1 x (1 + x ) + x (1 - x ) 1009.2 2019 + 1 Tich phan ¾¾¾¾ ®ò dx = . 2 2019.2020 0 2018

2018

D. 2010. + x (1 - x )

2018

ìa = 1009 ï Þ b - a = 1010. Chọn C. Suy ra ï í ï ï îb = 2019 1 1 2 2 3 3 2018 2018 2019 a 2018 1 Câu 24. Biết C 2018 .2 2 + C 2018 .23 + C 2018 2 4 + ... + C 2018 2 = .3 + với a, b, c là 2 3 4 2019 b c

các số nguyên dương và (a; b ) = 1. Tổng a + b + c bằng A. 3364.

B. 4036.

C. 4037.

D. 8037.

Lời giải. Ta thực hiện theo sơ đồ sau

(1 + x )

2018

dao ham ¾¾¾ ¾ ® 2018 (1 + x )

2017

nhan x ¾¾¾ ® 2018 x (1 + x )

2017

tich phan ¾¾¾¾ ® ò 2018 x (1 + x )

2017

dx .

1 1 2 2 3 3 2018 2018 2019 1345 2018 1 C 2018 .2 2 + C 2018 .23 + C 2018 2 4 + ... + C 2018 2 = .3 + 2 3 4 2019 673 2019 ìïa = 1345 ïï ¾¾ ® ïíb = 673 Þ a + b + c = 4037. Chọn C. ïï ïïîc = 2019

Khi đó

1 2 n Câu 25. Cho tổng Sn = .2 2 C n1 + .23 C n2 + ... + .2 n +1 C nn với n Î  * . Tìm số tự nhiên n 2 3 n +1 1 nhỏ nhất thỏa mãn Sn > 5200 + . n +1 A. n = 200. B. n = 201. C. n = 292. D. n = 293. dao ham ¾ ® n (1 + x ) Lời giải. Xét (1 + x ) ¾¾¾

n -1

nhan x ¾¾¾ ® nx (1 + x )

n -1

tich phan ¾¾¾¾ ® ò nx (1 + x )

n -1

dx .

æ 2n -1ö÷ 1 + . Khi đó ta được S = 3n.çç çè n + 1 ÷ø÷ n + 1 æ 2n -1ö÷ æ 2n -1ö÷ 1 1 + > 5200 + ¬¾ ® 3n.çç > 5200 Theo đề bài, ta cần có 3n.çç çè n + 1 ÷÷ø n + 1 çè n + 1 ÷÷ø n +1

2n -1 2n -1 > 200 Û n log 5 3 > 200 - log 5 > 200 - log 5 2 n +1 n +1 200 - log 5 2 ® n ³ 293. Chọn D. ¾¾ ®n >  292,36 ¾¾ log 5 3 ¾¾ ® n log 5 3 + log 5

Vấn đề 4. KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI 1 + Câu 26. Cho S = C 2018

2 3 2018 2.C 2018 3.C 2018 2018.C 2018 + + ... + , biết ln (2S ) = a ln 2018 + b ln 2019 + c 1 1 2017 C 2018 C 2018 C 2018

với a, b, c Î . Giá trị của a + b + c bằng A. 1. B. 2.

C. 2018.

D. 2019.

Lời giải. Ta có n!

kC nk = k. C nk -1

(n - k )! k ! n!

= k.

(n - k + 1)!(k -1)! (n - k + 1) = k. = n - k + 1. k (n - k )! k !

(n - k + 1)!(k -1)! Do đó S = (2018 -1 + 1) + (2018 - 2 + 1) + (2018 - 3 + 1)... + (2018 - 2018 + 1) æ ö = 2018.2018 - (1 + 2 + 3 + ... + 2018) + ççç1 + 1 + 1 + ... + 1÷÷÷ è ø÷ 2018 so

1 + 2018 2018´ 2019 .2018 + 2018 = . 2 2 ïìïa = 1 ï Suy ra ln (2S ) = ln 2018 + ln 2019 ¾¾ ® ïíb = 1 ¾¾ ® a + b + c = 2. Chọn B. ïï ïîïc = 0 = 20182 -

2 2 1 2 2017 2017 2 2018 2018 2 a a 1 2 C 2018 + C 2018 + ... + ( ) ( ) (C 2018 ) + 1 (C 2018 ) = b .C 2 a với 2018 2017 2 a là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng a, b là những số nguyên dương và b ? A. a + b Î (0;2018). B. a + b Î [2018;4036 ]. C. a + b Î (4036;6054 ). D. a - b = 1.

Câu 27. Biết rằng

2 k k C 2018 . ( ) k =1 2019 - k k 2018! 2018! k -1 = . = = C 2018 . 2019 - k k !(2018 - k )! (k -1)!. éë 2018 - (k -1)ùû !

Lời giải. Viết thu gọn S = å 2018

Ta có

k k .C 2018 2019 - k

k -1 k 0 1 1 2 2017 2018 .C 2018 = C 2018 .C 2018 + C 2018 .C 2018 + ... + C 2018 .C 2018 Do đó S = å C 2018 2018 k =1

0 2017 1 2016 2017 0 2017 = C 2018 .C 2018 + C 2018 .C 2018 + ... + C 2018 .C 2018 = C 4036 =

ïìa = 2018 ¾¾ ® a + b = 4037. Chọn C. Suy ra ïí ïïîb = 2019

1009 1009 1009 1009 1009 Câu 28. Cho S1 = C 2018 + C 2017 + C 2016 + ... + C1010 + C1009

Khẳng định nào sau đây đúng ? A. S1 = S2 . B. S1 = 2019S2 .

2018 2018 C 4036 . 2019

1010 1009 1008 1007 S2 = C 2016 + 3C 2016 + 3C 2016 + C 2016 .

và

C. S1 = 2018S2 .

D. S1 < S2 .

®C = C -C . Lời giải. Ta có C + C = C ¾¾ 1009 1010 1010 ìC 2018 = C 2019 - C 2018 ï ï ï ï 1009 1010 1010 ï C 2017 = C 2018 - C 2017 ï ï ï ï... 1009 1009 1009 1009 1009 1010 Suy ra ï ¾¾ ® S1 = C 2018 + C 2017 + C 2016 + ... + C1010 + C1009 = C 2019 . í 1009 1010 1010 ï C1011 = C1012 - C1011 ï ï ï 1009 1010 1010 ï C1010 = C101 - C1010 ï ï ï 1009 1010 ï ï îC1009 = C1010 1010 1009 1008 1007 1010 1009 1009 1008 1008 1007 Ta có S2 = C 2016 + 3C 2016 + 3C 2016 + C 2016 = (C 2016 + C 2016 + C 2016 + C 2016 ) + 2 (C 2016 ) + (C 2016 ) k -1 n -1

k n -1

k -1 n -1

k n

k n -1

1010 1009 1008 1010 1009 1009 1008 1010 1009 1010 = C 2017 + 2C 2017 + C 2017 = (C 2017 + C 2017 + C 2017 + C 2018 = C 2019 . ) + (C 2017 ) = C 2018

Vậy ta có S1 = S2 . Chọn A.

k Câu 29. Tính tổng S = å C 2018 +k . 2000 k =0

2018 A. S = C 4018 .

2018 B. S = C 4019 .

2019 C. S = C 4018 .

2019 D. S = C 4019 .

k 2018 2018 2018 2018 2018 2019 Lời giải. Ta có S = å C 2018 + k = å C 2018 + k = C 2018 + C 2019 + C 2020 + ... + C 4018 = C 4019 . Chọn D. 2000

2000

k =0

Nhận xét: Chứng minh công thức tổng quát C nn + C nn+1 + C nn+2 + ... + C nn+ k = C nn++k1+1 chứng minh ở các bài trước bằng hai cách. Cách thứ nhất là dùng công thức C nk--11 = C nk - C nk-1 .

Cách thứ hai là thấy vế trái (*) là hệ số của x n trong khai triển

(1 + x ) + (1 + x )

n +1

+ (1 + x )

n +2

+ ... + (1 + x )

n +k

Ta coi đây là một cấp số nhân với u1 = (1 + x ) và q = (1 + x ) nên tổng trên bằng n

(1 + x ) . n

(1 + x )

k +1

-1

(1 + x )

n + k +1

(1 + x )

(*) đã

Hệ số của x ở biểu thức cuối cùng n

(1 + x )

n + k +1

(1 + x )

n + k +1

(1 + x )

bằng hệ số của x n +1 ở khai triển

và bằng C nn++k1+1 .

Câu 30. Gọi M =

1 1 1 1 1 1 + 2 + ... + 2017 và N = 0 + 1 + ... + 2016 . Khẳng định nào 1 C 2017 C 2017 C 2017 C 2016 C 2016 C 2016

sau đây đúng? M 1008 A. = . N 2017

Lời giải. Ta có M =

1 C

1 2017

M 1009 = . N 2017 1 C

2 2017

+ ... +

C. 1

2017 2017

M 2016 = . N 2017

M 2018 = . N 2017

1 æç 2017 2017 2017 ö çç 1 + 2 + ... + 2017 ÷÷÷. 2017 çè C 2017 C 2017 C 2017 ø÷

ìï 2017 ïï 1 = 01 ïï C 2017 C 2016 ïï 2 ïï 2017 n k ï 2 = 1 C 2016 . Áp dụng công thức kC nk = nC nk--11 ¾¾ ® k = k -1 , ta được ïí C 2017 ïï Cn C n-1 ïï ïï ïï 2017 = 2017 ïï C 2017 C 2016 2016 ïî 2017 æ ö æ 1 ç 2017 2017 2017 1 ç 1 2 2017 ö Suy ra M = çç 1 + 2 + ... + 2017 ÷÷÷ = çç 0 + 1 + ... + 2016 ÷÷÷. 2017 çè C 2017 C 2017 C 2017 ÷ø 2017 çèC 2016 C 2016 C 2016 ÷ø

Đặt S =

1 2 2017 2017 2016 1 + 1 + ... + 2016 . Viết ngược ta có S = 2016 + 2015 + ... + 0 . 0 C 2016 C 2016 C 2016 C 2016 C 2016 C 2016

Cộng vế theo vế ta được æ 1 æ 1 1 1 ö 1 1 ö 2S = 2018 ççç 0 + 1 + ... + 2016 ÷÷÷ ¾¾ ® S = 1009 ççç 0 + 1 + ... + 2016 ÷÷÷ = 1009 N . ÷ çèC 2016 C 2016 ç C 2016 ø C 2016 ø÷ èC 2016 C 2016 Từ đó suy ra M =

1009 M 1009 .N ¾¾ ® = . Chọn B. 2017 N 2017

Vấn đề 5. KỸ THUẬT DÙNG SỐ PHỨC ĐỂ TÍNH TỔNG Đặc điểm nhận dạng để ta ứng dụng số phức vào là biểu thức cần tính có  Các hạng tử chẵn (hoặc lẻ) có dấu đối xứng, ví dụ

S = C n1 - C n3 + C n5 - ... hoặc S = C n0 - C n2 + C n4 - ... S = a1 - a3 + a5 - ... hoặc S = a0 - a2 + a4 - ...

 Tổng S = C n0 + C n4 + C n8 + C n12 ... 1 3 5 2019 - C 2019 + C 2019 - ... - C 2019 Câu 31. Tổng C 2019 bằng

A. -21010.

Lời giải. Xét (1 + i )

2019

Mặt khác (1 + i )

2019

B. -21009.

C. 21009.

D. 21010.

0 1 2 3 2019 2019 = C 2019 + C 2019 i + C 2019 i 2 + C 2019 i 3 + ... + C 2019 i

0 2 4 2018 1 3 5 2019 = (C 2019 - C 2019 + C 2019 - ... - C 2019 - C 2019 + C 2019 - ... - C 2019 ) + (C 2019 )i

2 = (1 + i ) éê(1 + i ) ùú ë û

1009

= (1 + i )(2i )

1009

= (1 + i ) 21019 i = -21019 + 21019 i.

1 3 5 2019 - C 2019 + C 2019 - ... - C 2019 = 21009. Chọn C. So sánh phần ảo, ta kết luận được C 2019

0 4 8 2016 + C 2019 + C 2019 + ... + C 2019 Câu 32. Tổng C 2019 bằng

A. 2 2017 - 21008.

Lời giải. Xét (1 + i )

2019

Mặt khác (1 + i )

2019

B. 2 2017 - 21009.

C. 2 2019 - 21008.

D. 2 2019 - 21009.

0 1 2 3 2019 2019 = C 2019 + C 2019 i + C 2019 i 2 + C 2019 i 3 + ... + C 2019 i

0 2 4 2018 1 3 5 2019 = (C 2019 - C 2019 + C 2019 - ... - C 2019 - C 2019 + C 2019 - ... - C 2019 ) + (C 2019 )i

2 = (1 + i ) éê(1 + i ) ùú ë û

1009

= (1 + i )(2i )

= (1 + i ) 21019 i = -21019 + 21019 i.

1009

0 2 4 2018 - C 2019 + C 2019 - ... - C 2019 = -21009. So sánh phần thực, ta kết luận được C 2019 2019 2019 2019 ì ï (1 + x ) + (1 - x ) ï(1 + x ) Cho x =1 ¾¾ ® ¾¾¾¾ ® ta được Xét ï í 2019 ï 2 1 x ï ( ) ï î 0 2 4 2018 C 2019 + C 2019 + C 2019 + ... + C 2019 = 2 2018.

0 4 8 2016 + C 2019 + C 2019 + ... + C 2019 = 2 2017 - 21008. Chọn C. Từ (1) và (2) , suy ra C 2019

(1)

(2 )

0 2 4 6 2018 - 3C 2019 + 32 C 2019 - 33 C 2019 + ... - 31009 C 2019 Câu 33. Tổng C 2019 bằng

A. -2 2019.

B. -2 2018.

Lời giải. Xét khai triển

(1 + 3i )

2019

0 1 = C 2019 + C 2019

C. 2 2018.

( 3i ) + C ( 3i )

2 2019

3 + C 2019

D. 2 2019.

( 3i )

2019 + ... + C 2019

0 2 4 6 2018 = (C 2019 - 3C 2019 + 32 C 2019 - 33 C 2019 + ... - 31009 C 2019 )

(

Mặt khác 1 + 3i

)

( 3i )

2019

1 3 5 7 2019 + (C 2019 - 3C 2019 + 32 C 2019 - 33 C 2019 + ... - 31009 C 2019 ) 3i.

2019

(

)

3ù é = ê 1 + 3i ú úû ëê

673

= (-8)

673

= -2 2019.

0 2 4 6 2018 - 3C 2019 + 32 C 2019 - 33 C 2019 + ... - 31009 C 2019 = -2 2019. Chọn A. So sánh phần thực, ta được C 2019

Câu

34.

Khai

triển

biểu

(2018 x 2 + x + 2018)

20118

thức

a0 + a1 x + ... + a4036 x 4036 . Tính tổng S = a1 - a3 + a5 - a7 + ... - a4035 . A. S = -1.

B. S = 0.

Lời giải. Thay x = i , ta có (2018i 2 + i + 2018)

2018

C. S = 1.

được

viết

thành

D. S = 2 2018.

= a0 + a1i + a2 i 2 + ... + a4036 i 4036

Û i 2018 = (a0 - a2 + a4 - ... + a4036 ) + (a1 - a3 + a5 - a7 + ... - a4035 )i Û -1 = (a0 - a2 + a4 - ... + a4036 ) + (a1 - a3 + a5 - a7 + ... - a4035 )i.

So sánh phần ảo hai vế ta được S = a1 - a3 + a5 - a7 + ... - a4035 = 0. Chọn B.

Câu

35.

Khai

triển

của

biểu

thức

a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a4036 x 4036 . Tổng S = a0 - a2 + a4 - a6 + ... - a4034 + a4036 bằng A. -1.

B. 0.

Lời giải. Ta có ( x 2 + x + 1)

2018

Thay x = i , ta có (i 2 + i + 1)

( x 2 + x + 1)

2018

C. -21009.

được

viết

thành

D. 21009.

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a4036 x 4036

2018

= a0 + a1i + a2 i 2 + ... + a4036 i 4036

Û i 2018 = (a0 - a2 + a4 - ... + a4036 ) + (a1 - a3 + a5 - a7 + ... - a4035 )i Û -1 = (a0 - a2 + a4 - ... + a4036 ) + (a1 - a3 + a5 - a7 + ... - a4035 )i.

So sánh phần thực hai vế, ta được S = a0 - a2 + a4 - a6 + ... - a4034 + a4036 = -1. Chọn A. ----------

HẾT

----------

XAÙC SUAÁT A – BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC Câu 1. Cho đa giác có 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng A.

12.8 . C123

C128 -12.8 . C123

C123 -12 -12.8 . C123

12 + 12.8 . C123

Câu 2. Cho đa giác ( H ) có n đỉnh (n Î , n > 4 ). Biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh

của ( H ) và không có cạnh nào là cạnh của ( H ) gấp 5 lần số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của ( H ) và có đúng 1 cạnh là cạnh của ( H ). Khẳng định nào sau đây đúng? A. n Î [ 4;12 ].

B. n Î [13;21].

C. n Î [22;30 ].

D. n Î [31;38].

Câu 3. Cho đa giác lồi ( H ) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba

đỉnh của ( H ). Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X , xác suất để chọn được 1 tam giác

có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ( H ) và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của

( H ) bằng A.

69 . 70

23 . 17955

748 . 1995

35 . 10098

Câu 4. Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n ³ 2, n Î  ) . Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là Tìm n . A. n = 4.

B. n = 5.

C. n = 8.

1 . 5

D. n = 10.

Câu 5. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân là A.

3 . 19

2 . 35

8 . 57

17 . 114

Câu 6. Cho đa giác đều có 15 đỉnh. Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đã cho. Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M , xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều là A.

8 . 91

18 . 91

20 . 91

73 . 91

Câu 7. Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là A. 44100. B. 58800.

C. 78400.

D. 117600.

Câu 8. Cho đa giác đều 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kỳ của đa giác, xác suất để nhận được một tam giác nhọn là A.

3 . 11

8 . 11

8 . 33

25 . 33

Câu 9. Cho đa giác có 20 đỉnh. Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh là các đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ? A. 1700. B. 2100. C. 2400.

D. 39520.

Câu 10. Cho đa giác có 60 đỉnh. Người ta lập một tứ giác tùy ý có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác. Xác suất để lập được một tứ giác có 4 cạnh đều là đường chéo của đa giác đã cho gần nhất với số nào trong các số sau? A. 13, 45%. B. 40, 45%. C. 80,70%.

D. 85, 40%.

Câu 11. Có 10 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau. Tất cả 10 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi. Xác suất để có đúng 4 người cùng đứng trong đó có đúng 2 người đứng liền kề bằng A.

35 . 128

25 . 256

35 . 512

75 . 512

Câu 12. Có 8 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau (cân đối và đồng chất). Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là A.

31 . 32

45 . 256

47 . 256

49 . 256

Câu 13. Cho một đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác, xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật bằng A.

2 . 15

13 . 15

1 . 33

32 . 33

Câu 14. Cho đa giác đều có 20 cạnh. Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành nhưng không phải là hình vuông, có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho ? A. 35. B. 40. C. 45. D. 50.

B – XÁC SUẤT HÌNH HỌC Câu 15. Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm A (-2;0), B (-2;2),

C (4;2), D (4;0) (hình vẽ). Một con châu chấu nhảy

trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M ( x ; y ) mà x + y < 2. A.

1 . 3

3 . 7

4 . 7

8 . 21

Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4. Nếu các điểm đều có cùng xác suất được chọn như nhau, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là: A.

11 . 16

13 . 32

13 . 81

15 . 81

Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M (0;10), N (100;10) và P (100;0). Gọi S là tập hợp tất cả các điểm A ( x ; y ) với x , y Î , nằm bên trong (kể cả

trên cạnh) của OMNP . Lấy ngẫu nhiên một điểm A ( x ; y ) Î S . Xác suất để x + y £ 90 bằng A.

169 . 200

845 . 1111

86 . 101

473 . 500

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ. A.

8 . 91

23 . 91

68 . 91

83 . 91

C – BÀI TOÁN BỐC BI Câu 21. Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ (được đánh số từ 1 đến 6), 5 quả bóng vàng (được đánh số từ 1 đến 5), 4 quả bóng xanh (được đánh số từ 1 đến 4). Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng. Tính xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà không có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau. A.

43 . 91

48 . 91

74 . 455

381 . 455

Câu 22. Trong một cái hộp có đựng 40 quả bóng, gồm 10 quả bóng xanh được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng vàng được đánh số từ 1 đến 10 và 10 quả bóng trắng được đánh số từ 1 đến 10. Hai quả bóng cùng màu mang số 1 và số 10 được gọi là '' cặp may mắn '' . Người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 6 quả bóng. Xác suất để trong 6 quả bóng lấy ra có ít nhất một '' cặp may mắn '' là A.

1633 . 9139

1408 . 45695

2447 . 63973

291484 . 3838380

Câu 23. Các mặt của một con xúc sắc được đánh số từ 1 đến 6. Người ta gieo con xúc sắc 3 lần liên tiếp và nhân các con số nhận được trong mỗi lần gieo lại với nhau. Tính xác suất để tích thu được là một số chia hết cho 6. A.

81 . 216

83 . 216

133 . 216

135 . 216

Câu 24. Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy có ít nhất một lượt gieo được kết quả con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp.

1 . 12

11 . 12

397 . 1728

1331 . 1728

Câu 25. Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ nâu. Người ta bắt ngẫu nhiên lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi nào bắt được cả 3 con thỏ trắng mới thôi. Xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là A.

4 . 5

4 . 35

29 . 35

31 . 35

D – BÀI TOÁN VỀ CHỮ SỐ Câu 26. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 3 bằng A.

1 . 2

1 . 3

2 . 3

1 . 15

Câu 27. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 5 bằng A.

1 . 4

2 . 9

9 . 26

11 . 26

Câu 28. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 6 bằng A.

1 . 9

4 . 9

4 . 27

9 . 28

Câu 29. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S , xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là A.

3 . 200

1287 . 90000

1286 . 90000

7 . 500

Câu 30. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để các chữ số của nó đôi một khác nhau bằng A.

171 . 3125

198 . 3125

207 . 6250

396 . 6250

E – BÀI TOÁN VỀ NHÓM Câu 31. Một tổ học sinh lớp X có 12 học sinh trong số đó có An và Bình. Cô giáo thực hiện phân nhóm ngẫu nhiên thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thành viên để thực hiện nhiệm vụ học tập. Xác suất để An và Bình cùng nhóm là A.

3C102 C 84C 44 . C124 C 84C 44

B. 1 -

3C102 C 84C 44 . C124 C 84C 44

3!C102 C 84C 44 . C124 C 84C 44

D. 1 -

3!C102 C 84C 44 . C124 C 84C 44

Câu 32. Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Vinh. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Xác suất để Hoa và Vinh cùng một nhóm là

1 . 8

7 . 8

7 . 32

25 . 32

F – BÀI TOÁN VỀ MÃ ĐỀ THI Câu 33. Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau là A.

7 . 24

17 . 24

19 . 40

21 . 40

Câu 34. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia 2018, trong đó có 2 môn thi trắc nghiệm là Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và các môn khác nhau có mã khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho các thí sinh một cách ngẫu nhiên. Xác suất để trong 2 môn thi đó An và Bình có chung đúng một mã đề thi bằng A.

5 . 18

13 . 18

5 . 36

31 . 36

Câu 35. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngoài thi ba môn Văn, Toán, Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng ký thêm 2 môn tự chọn khác trong 3 môn: Hóa Học, Vật Lí, Sinh học dưới hình thức trắc nghiệm. Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có 6 mã đề thi khác nhau và mã đề thi của các môn khác nhau thì khác nhau. Xác suất để An và Bình chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi là A.

2 . 3

1 . 9

3 . 18

5 . 18

G – BÀI TOÁN VỀ ĐỀ THI Câu 36. Một phiếu điều tra về vấn đề tự học của học sinh gồm 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu được trả lời 10 câu, mỗi câu chỉ chọn 1 đáp án. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất 2 phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi ? A. 41. B. 10001. C. 1048576.

D. 1048577.

Câu 37. Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó. Người ta xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 . Hỏi có bao nhiêu cách xây dựng hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2 câu hỏi khó. A. 77220.

B. 77221.

C. 5080320.

D. (10!) C 42C168 . 2

Câu 38. Đề cương ôn tập môn Lịch sử có 30 câu. Đề thi được hình thành bằng cách chọn ngẫu nhiên 10 câu trong 30 câu trong đề cương. Một học sinh chỉ học thuộc 25 câu trong đề cương, xác suất để trong đề thi có ít nhất 9 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh đã học thuộc là

323 . 1827

3553 . 7917

4346 . 7917

8075 . 23751

Câu 39. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia có môn thi bắt buộc là môn Toán. Môn thi này thi dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D . Mỗi câu trả lời đúng được cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Toán nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Xác xuất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Toán trong kỳ thi là C 5100 .(3)

4 50

C 5200 .(3)

4 50

C 5200 .(3)

4 50

C 5400 .(3)

4 50

Câu 40. Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời. Xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi là A.

C108 . 40

C108 . 410

C108 .32 . 410

109 . 262144

Câu 41. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và Hóa học. Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Mỗi môn thi thí sinh A đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại thí sinh A chọn

ngẫu nhiên. Xác suất để tổng điểm 2 môn thi của thí sinh A không dưới 19 điểm là C105 .(3)

C105 .(3)

410

10 C105 .(3) + C10 5

410

81922 . 410

Câu 42. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh An dự thi môn thi trắc nghiệm Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Bạn An làm chắc chắn đúng 42 câu, trong 8 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Xác suất bạn An được 9, 4 điểm là A.

55 . 1536

455 . 3456

379 . 13824

499 . 13824

H – BÀI TOÁN VỀ CẶP ĐÔI Câu 43. Một trường THPT có 10 lớp 12 , mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau (các học sinh cùng lớp không bắt tay với nhau). Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần. A. 405. B. 425. C. 432.

D. 435.

Câu 44. Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là A.

72 . 1140

89 . 95

3 . 20

1 . 5

Câu 45. Một chi đoàn có 40 người, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Ban chấp hành cần chọn ra 3 người để bầu vào các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư 1, Phó bí thư 2. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là A.

1 . 65

59 . 65

61 . 65

64 . 65

Câu 46. Hai tổ chuyên môn của một trường trung học phổ thông có 9 giáo viên nam và

13 giáo viên nữ trong đó có đúng 2 cặp vợ chồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người trong số 22 người đó nhưng không có cặp vợ chồng nào ? A. 24054. B. 24072. C. 24090.

D. 25704.

Câu 47. Có 20 cặp vợ chồng tham gia dự thi '' cặp đôi hoàn hảo ''. Trong giờ giải lao, ban tổ chức chọn ra ngẫu nhiên 4 người để tham gia văn nghệ. Xác suất để 4 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là A.

99 . 323

224 . 323

73 . 481

408 . 481

K – BÀI TOÁN VỀ XẾP VỊ TRÍ Câu 48. Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định). Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng. Tính xác xuất để 3 người được chọn không có 2 người nào đứng cạnh nhau. A.

6 . 11

1 . 20

21 . 55

7 . 110

Câu 49. Xếp 10 cuốn sách tham khảo khác nhau gồm: 1 cuốn sách Văn, 3 cuốn sách tiếng Anh và 6 cuốn sách Toán (trong đó có hai cuốn Toán T1 và Toán T2 ) thành một hàng ngang trên giá sách. Xác suất để mỗi cuốn sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai cuốn sách Toán, đồng thời hai cuốn Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau bằng A.

1 . 120

1 . 210

1 . 300

1 . 450

Câu 50. Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có hai em Thảo, My và 5 học sinh nam. Xác suất để xếp 9 học sinh vào một hàng dọc sao cho Thảo và My đứng cạnh nhau còn các em nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Thảo và My bằng A.

1 . 6

4 . 9

5 . 63

4 . 67

Câu 51. Một tổ có 10 học sinh trong đó có 3 bạn gồm An, Bình và Cúc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh đó vào một ghế dài có 10 chỗ trống sao cho An và Bình luôn ngồi cạnh nhau nhưng An và Cúc không ngồi cạnh nhau. A. 2!.9!- 2!.8!. B. 2!.9!- 3.8!. C. 2!.9!- 3!.8!.

D. 3.9!- 2.8!.

Câu 52. Sắp xếp 12 học sinh của lớp 12A gồm có 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào một bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện nhau (mỗi dãy gồm có 6 chiếc ghế) để thảo luận nhóm. Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau luôn khác giới. A.

1 . 462

1 . 924

3 . 99920

1 . 665280

Câu 53. Có 3 bi xanh, 3 bi đỏ, 3 bi trắng và 3 bi vàng (các viên bi cùng màu giống nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 viên bị thành một hàng ngang sao cho các bi cùng màu không cạnh nhau? A.

1 . 22

2 . 55

1 . 28512

2 . 35640

Câu 54. Có 6 viên bi gồm 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng (các viên bi bán kính khác nhau). Tính xác suất để khi xếp 6 bi trên thành một hàng ngang thì không có hai viên bi cùng màu nào đứng cạnh nhau. A.

1 . 3

2 . 15

4 . 15

7 . 15

Câu 55. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam (trong đó có Hoàng) và 5 học sinh nữ (trong đó có Lan) thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng và Lan cũng không đứng cạnh nhau bằng A.

1 . 350

1 . 450

4 . 1575

8 . 1575

Câu 56. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ? D. 80640.

B. 108864.

C. 145152.

D. 322560.

Câu 57. Có 1 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 3 viên bi đỏ (các viên bi có bán kính khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 6 viên bi thành một hàng ngang sao cho các viên bi cùng màu không xếp cạnh nhau ? A. 72. B. 120.

C. 196.

D. 432.

Câu 58. Một nhóm gồm 11 học sinh trong đó có 3 bạn An, Bình, Cúc được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Xác suất để 3 bạn An, Bình, Cúc không có bạn nào được xếp cạnh nhau bằng A.

7 . 10

4 . 15

7 . 15

11 . 15

Câu 59. Có 5 học sinh nam, 8 học sinh nữ và 1 thầy giáo được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Xác suất để thầy giáo xếp giữa hai học sinh nữ bằng A.

1 . 39

7 . 39

14 . 39

25 . 39

Câu 60. Có 4 cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào một bàn tròn. Tính số cách xếp sao cho có vợ chồng nhà A là ngồi cạnh nhau còn các cặp vợ chồng khác thì hai người là vợ chồng của nhau thì không ngồi cạnh nhau. A. 240. B. 244.

----------

C. 288.

HẾT

----------

D. 480.

XAÙC SUAÁT A – BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC Bài toán 1. Cho đa giác có n đỉnh. Xét tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác ® n (n - 4 ).  và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ¾¾

 và có đúng 2 cạnh chung với đa giác ¾¾ ® n.

® C n3 - n - n (n - 4 ).  và không có cạnh chung với đa giác ¾¾

Bài toán 2. Cho đa giác đều có 2n đỉnh. ® n (2n - 2). Số tam giác vuông có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác ¾¾

Bài toán 3. Cho đa giác đều có n đỉnh. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác là

® n.C n2-2  n chẵn ¾¾

® n.C n2-1  n lẻ ¾¾

Bài toán 4. Cho đa giác đều có n đỉnh. Số tam giác nhọn được tạo thành từ 3 trong n đỉnh của đa giác = C n3 - (số tam giác tù + số tam giác vuông). Câu 1. Cho đa giác có 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đó. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng A.

12.8 . C123

C128 -12.8 . C123

C123 -12 -12.8 . C123

ìïn (W) = C123 C123 -12 -12.8 Lời giải. Ta có ïí ¾¾ ® P = . Chọn C. ïïn ( A) = C123 -12 - 8.12 C123 ïî

12 + 12.8 . C123

 Số tam giác được tạo từ 3 đỉnh trong 12 đỉnh: C123 .  Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và 2 cạnh là cạnh của đa giác: cứ 3 đỉnh liên tiếp cho 1 tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác. (hoặc hiểu theo cách khác: tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của đa giác tức là có 2 cạnh là 2 cạnh liên tiếp của đa giác, 2 cạnh này cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác này có 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa trường hợp này)  Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: Trước tiên ta chọn 1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên có 12 cách chọn; tiếp theo chọn 1 đỉnh còn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kề với cạnh đã chọn). Do đó trong trường hợp này có 8.12 tam giác. Câu 2. Cho đa giác ( H ) có n đỉnh (n Î , n > 4 ). Biết số các tam giác có 3 đỉnh là đỉnh

B. n Î [13;21].

C. n Î [22;30 ].

D. n Î [31;38].

Lời giải. Số tam giác tạo thành có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là C n3 . Số tam giác tạo thành có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n .

Số tam giác tạo thành có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n (n - 4 ) (điều kiện n Î  và n < 4 ).

¾¾ ® số tam giác tạo thành không có cạnh nào là cạnh của đa giác là C n3 - n - n (n - 4 ) .

é n = 35 (thoûa maõn) . Chọn D. Theo giả thiết, ta có C n3 - n - n (n - 4 ) = 5.n (n - 4 ) Û êê êë n = 4 (loaïi)

Câu 3. Cho đa giác lồi ( H ) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba

đỉnh của ( H ). Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X , xác suất để chọn được 1 tam giác

có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ( H ) và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của

( H ) bằng A.

69 . 70

23 . 17955

748 . 1995

35 . 10098

3 ì ï X = C 22 = 1540 ï ï ï 748 2 ¾¾ ®P = . Chọn C. Lời giải. Ta có ï ín (W) = C1540 = 1185030 ï 1995 ï 1 1 ï n ( A) = C 22´18 ´C1540-(22´18+22) = 444312 ï ï î

C. n = 8.

B. n = 5.

Lời giải. Ta có n (W) = C .

1 . 5

D. n = 10.

3 2n

Để ba đỉnh được chọn tạo thành tam giác vuông khi và chỉ khi có hai đỉnh trong ba đỉnh là hai đầu mút của một đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác và đỉnh còn lại là một trong số (2n - 2) đỉnh còn lại của đa giác. Đa giác có 2n đỉnh nên có

2n =n 2

đường kính. ● ●

Số cách chọn 1 đường kính là C n1 = n .

Số cách chọn 1 đỉnh còn lại trong (2n - 2) đỉnh là C 21n-2 = 2n - 2 .

Suy ra n ( A) = n (2n - 2).

Theo đề bài ta có phương trình

n (2 n - 2 ) C

3 2n

1 Û n = 8. Chọn C. 5

Câu 5. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân là 17 2 8 . C. D. . . 114 35 57 3 ìïn (W) = C 20 = 1140 160 8 ¾¾ ®P = = . Chọn C. Lời giải. Ta có ïí ïïn ( A) = 10.18 -10.2 = 160 1140 57 î

3 . 19

●

Số tam giác vuông là 10.18.

●

Số tam giác vuông cân: Cứ mỗi cách chọn 1 đường kính là có 2 tam giác cân ( 2

điểm tạo nên tam giác cân là giao điểm của đường thẳng qua tâm vuông góc với đường kính đã chọn với đường tròn). Do đó có 10.2 tam giác vuông cân.

18 20 C. . . 91 91 ìïn (W) = C153 = 455 90 18 ¾¾ ®P = = . Chọn B. Lời giải. Ta có ïí ïïn ( A) = 7.15 - 3.5 = 90 455 91 î A.

8 . 91

73 . 91

 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều. Xét một đỉnh A bất kỳ của đa giác: Có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đường thẳng OA , hay có 7 tam giác cân tại đỉnh A. Như vậy, với mỗi một đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận nó làm đỉnh tam giác cân.  Số tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là

15 = 5 tam giác. 3

 Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên tam giác đều được đếm 3 lần. Suy ra n ( A) = 7.15 - 3.5 = 90.

Bài toán 5. Cho đa giác đều có n đỉnh. Công thức tổng quát tính số tam giác tù:

® n.C n2-2 .  n chẵn ¾¾

® n.C n2-1 .  n lẻ ¾¾

Câu 7. Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn. Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là A. 44100. B. 58800.

C. 78400.

D. 117600.

Lời giải. Đánh số các đỉnh là A1 , A2 ,..., A100 . Xét đường chéo A1 A51 của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều chia đường tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ A2 đến A50 và A52 đến A100 . Khi đó, mỗi tam giác có dạng A1 Ai A j là tam giác tù nếu Ai và A j cùng nằm trong nửa đường tròn  Chọn nửa đường tròn: có 2 cách chọn. 2 = 1176  Chọn hai điểm Ai , A j là hai điểm tùy ý được lấy từ 49 điểm A2 , A3 ,..., A50 có C 49

cách chọn. Giả sử Ai nằm giữa A1 và A j thì tam giác A1 Ai A j tù tại đỉnh Ai . Mà DA j Ai A1 º DA1 Ai A j nên kết quả bị lặp hai lần.  Có 100 cách chọn đỉnh. Vậy số tam giác tù là

2.1176.100 = 117600. Chọn D. 2

2 = 117600. Cách 2. Áp dụng công thức nhanh ta có n.C n2-2 = 100.C 49 2

Câu 8. Cho đa giác đều 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kỳ của đa giác, xác suất để nhận được một tam giác nhọn là A.

3 . 11

8 . 11

8 . 33

ì ïn (W) = C123 8 ¾¾ ® P = . Chọn C. Lời giải. Ta có ïí ï 33 ï în ( A) = 39200

25 . 33

Số tam giác tù 117600, Số tam giác vuông 50.98 = 4900. 3 -117600 - 4900 = 39200. Suy ra số tam giác nhọn: C100

Bài toán 6. Cho đa giác có n đỉnh. Xét tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác

® n ´ éëêC n2-4 - (n - 5)ùûú = A.  và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ¾¾  và có đúng 2 cạnh chung với đa giác ¾¾ ® n (n - 5) +

n (n - 5) 2

= B.

 và có đúng 3 cạnh chung với đa giác ¾¾ ® n = C.

® C n4 - ( A + B + C ).  và không có cạnh chung với đa giác ¾¾

n ® C n4 - ( A + B + C ) = C n3-5 . Và ta có thể chứng minh được ¾¾ 4

Bài toán 7. Cho đa giác đều có 2n đỉnh.

® C n2 . Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT ¾¾ Bài toán 8. Cho đa giác đều có 4n đỉnh. Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH VUÔNG ¾¾ ® n. Chứng minh. Tứ giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác

Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách. Chọn 2 đỉnh còn lại trong n - 4 đỉnh (tham khảo hình vẽ trên) nên có C n2-4 nhưng 2 đỉnh này không được liên tiếp nên trừ cho n - 5 (vì 2 đỉnh liên tiếp sẽ tạo nên 1 cạnh mà có n - 4 đỉnh còn lại nên có n - 5 cạnh).

Vậy trong trường hợp này có n ´ éêëC n2-4 - (n - 5)ùûú tứ giác. Tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác.

Chọn 1 đỉnh còn lại trong n - 5 đỉnh (bỏ 3 đỉnh tạo nên hai cạnh kề và 2 đỉnh hai bên, tham khảo hình vẽ). Do đó trường hợp này có n (n - 5) tứ giác. Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.

Trong n - 4 đỉnh còn lại (bỏ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn ở trên và 2 đỉnh liền kề cạnh đã chọn, tham khảo hình vẽ) sẽ tạo nên n - 5 cạnh. Chọn 1 cạnh trong n - 5 cạnh đó nên có n - 5 cách. Tuy nhiên trong trường hợp này số tứ giác mình đếm đến 2 lần. n (n - 5) Do đó trường hợp này có tứ giác. 2 n (n - 5) Vậy có n (n - 5) + tứ giác thỏa mãn. 2 Tứ giác có đúng 3 cạnh chung với đa giác Đánh số thứ tự các đỉnh của đa giác, ta có n bộ 4 số:

(1;2;3;4 ), (2;3;4;5), ..., (n - 3; n - 2; n -1; n ), (n - 2; n -1; n;1), (n -1; n;1;2), (n;1;2;3). 2

1 4

Vậy trường hợp này có n tứ giác thỏa mãn. Câu 9. Cho đa giác có 20 đỉnh. Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh là các đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ? A. 1700. B. 2100. C. 2400. 2 n = 20 é ù ® 2100. Chọn B. Lời giải. Ta có n ´ ëêC n-4 - (n - 5)ûú ¾¾¾

D. 39520.

Bài tập tương tự. Cho đa giác có 20 đỉnh. Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh là các đỉnh của đa giác và có đúng 2 cạnh chung với đa giác ? Đáp số: 450. Bài tập tương tự. Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Tính xác suất mà hai đường chéo được chọn một cách ngẫu nhiên sẽ cắt nhau bên trong đa giác. Đáp số: 2 2 ® n (W) = C170 . - 20 = 170 đường chéo ¾¾  Đa giác 20 đỉnh có C 20

57 . 169

 Biến cố chính là số tứ giác có 4 đỉnh được chọn từ 20 đỉnh của đa giác (vì cứ mỗi tứ giác tạo thành sẽ có đúng một cặp đường chéo cắt nhau trong đa giác) nên n ( A) = C 204 . Câu 10. Cho đa giác có 60 đỉnh. Người ta lập một tứ giác tùy ý có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác. Xác suất để lập được một tứ giác có 4 cạnh đều là đường chéo của đa giác đã cho gần nhất với số nào trong các số sau? A. 13, 45%. B. 40, 45%. C. 80,70%. D. 85, 40%. ìïn (W) = C 604 3 ïï 15.C 55 Lời giải. Ta có í ¾¾ ® P = » 0,8070. Chọn C. n = 60 ïïn ( A) = n C 3 = 15.C 3 C 604 n -5 55 ïïî 4

35 . 128

25 . 256

35 . 512

10 ì ï 25 ïn (W) = 2 ¾¾ ®P = . Chọn B. Lời giải. Ta có ï í 2 ï 256 n ( A) = 10 (C 6 - 5) ï ï î

75 . 512

Biến cố của bài toán được phát biểu lại như sau: '' số tứ giác được tạo thành từ đa giác có 10 đỉnh và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ''. Câu 12. Có 8 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau (cân đối và đồng chất). Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi. Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là A.

31 . 32

45 . 256

47 . 256

ìïn (W) = 28 47 ¾¾ ®P = . Chọn C. Lời giải. Ta có ïí ïïn ( A) = 1 + 8 + 20 + 16 + 2 256 î

49 . 256

 Không có bạn nào đứng: có 1 khả năng.  Có 1 bạn đứng (7 bạn còn lại ngồi): có 8 khả năng.  Có 2 bạn đứng nhưng không cạnh nhau: Đầu tiên chọn 1 người trong 8 người để đứng nên có 8 cách; tiếp theo chọn 1 trong 5 người còn lại đứng (trừ người đã đứng ở trước và hai người hai bên) nên có 5 cách. Hai người đứng này không phân biệt nên trường hợp này có

8.5 = 20 khả năng. 2

 Có 3 bạn đứng nhưng không có 2 bạn nào trong 3 bạn đứng cạnh nhau. Bài toán quy về cho đa giác có 8 đỉnh, số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và không có cạnh chung với đa giác ¾¾ ® có C 83 - 8 - 8.4 = 16 khả năng.  Có 4 bạn đứng nhưng không có 2 bạn nào trong 4 bạn đứng cạnh nhau. Bài toán quy về cho đa giác có 8 đỉnh, số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và không có cạnh chung với đa giác ¾¾ ® có

8 3 .C 3 = 2 khả năng. 4

2 . 15

13 . 15

ì ï n (W) = C124 1 ï Lời giải. Ta có í ¾¾ ® P = . Chọn C. 2 ï 33 ï ï în ( A) = C 6 12 = 6 đường chéo lớn.  Đa giác đều đã cho có 2

1 . 33

32 . 33

 Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 đỉnh trong 12 đỉnh có các đường chéo là hai đường chéo lớn. Suy ra số phần tử của biến cố là n ( A) = C 62 .

Bài tập tương tự. Cho một đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn. Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh. Tìm n . Đáp số: n = 8. Câu 14. Cho đa giác đều có 20 cạnh. Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành nhưng không phải là hình vuông, có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho ? A. 35. B. 40. C. 45. D. 50. Lời giải. Số hình chữ nhật được tạo thành (bao gồm cả hình vuông) là C102 = 45. Số hình vuông được tạo thành là

20 = 5. 4

Vậy số hình chữ nhật thõa mãn yêu cầu bài toán là 45 - 5 = 40. Chọn B.

B – XÁC SUẤT HÌNH HỌC Câu 15. Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm A (-2;0), B (-2;2),

C (4;2), D (4;0) (hình vẽ). Một con châu chấu nhảy

1 . 3

3 . 7

4 . 7

8 . 21

Lời giải. Số các điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật là 7.3 = 21 điểm vì ìï x Î {-2; -1;0;1;2;3;4} ï . í ïï y Î {0;1;2} î

Để con châu chấu đáp xuống các điểm M ( x , y ) có x + y < 2 thì con châu chấu sẽ nhảy ìï x Î {-2; -1;0;1;2} . trong khu vực hình thang BEIA. Để M ( x , y ) có tọa độ nguyên thì ïí ïï y Î {0;1;2} î

 Nếu x Î {-2; -1} thì y Î {0;1;2} Þ có 2.3 = 6 điểm.  Nếu x = 0 thì y Î {0;1} Þ có 2 điểm.  Nếu x = 1 Þ y = 0 Þ có 1 điểm.

¾¾ ® có tất cả 6 + 2 + 1 = 9 điểm thỏa mãn. Vậy xác suất cần tính P =

9 3 = . Chọn B. 21 7

11 . 16

13 . 32

13 . 81

15 . 81

Lời

giải.

Gọi

tọa

độ

điểm

M (x; y)

thỏa

x, y Î 

ì ï ïx £4 í ï ï î y £4

và

ìï x Î {-4; -3; -2; -1;0;1;2;3;4} ï . í ïï y Î {-4; -3; -2; -1;0;1;2;3;4} î Suy ra n (W) = 9.9 = 81.

nên

ì ïx , y Î  ì ìx 2 + y 2 £ 4 ï ï ï x 2 + y2 £ 2 ï ï ï Ûí Ûï Gọi điểm M ' ( x ; y ) thỏa x , y Î  và OM £ 2 Û í í x = 0; ±1; ±2. ï ï ï ïx , y Î  ï ï îx , y Î  2 2 î ï ï îy £ 4 - x

® y = 0; ±1; ±2 . Do đó có 1´5 = 5 cách chọn. Nếu x = 0 ¾¾ ® y = 0; ±1. Do đó có 2 ´3 = 6 cách chọn Nếu x = ±1 ¾¾ ® y = 0. Do đó có 2 ´1 = 2 cách chọn. Nếu x = ±2 ¾¾ Suy ra n ( A) = 5 + 6 + 2 = 13. . Vậy xác suất cần tính P =

13 . Chọn C. 81

trên cạnh) của OMNP . Lấy ngẫu nhiên một điểm A ( x ; y ) Î S . Xác suất để x + y £ 90 bằng A.

169 . 200

845 . 1111

86 . 101

473 . 500

Lời giải

Nhận thấy các điểm cần tìm nằm trên các đường thẳng y = m với m = 0;1;2;...;10. Ứng với mỗi đường y = m, tương ứng có 101 giá trị của x thỏa mãn ( x = 0;1;2;...;100 ). Suy ra tập S có 11´101 = 1111 phần tử. 1 ì ïn (W) = C1111 = 1111 86 ¾¾ ®P = . Chọn C. Ta có ï í ï 101 ï în ( A) = 946.

 Trên đường y = 0 lần lượt có 91 điểm thỏa mãn ( x = 0;1;2;...;90 ).  Trên đường y = 1 lần lượt có 90 điểm thỏa mãn ( x = 0;1;2;...;89 ). 

 Trên đường y = 10 lần lượt có 81 điểm thỏa mãn ( x = 0;1;2;...;80 ). Suy ra n ( A) = 91 + 90 + ... + 81 = 946.

8 . 91

23 . 91

68 . 91

83 . 91

Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W = C142 = 91 . Gọi A là biến cố '' Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ '' . Để xảy ra biến cố A thì hai đầu đoạn thẳng đó phải ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và thứ tư. ●

Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba, có C 21C 41 cách.

●

Hai đầu đoạn thẳng ở góc phần tư thứ hai và thứ tư, có C 31C 51 cách.

Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C 21C 41 + C 31C 51 = 23 . Vậy xác suất cần tính P ( A) =

WA W

23 . Chọn B. 91

Câu 19. Cho hai đường thẳng song song d1 và d 2 . Trên d1 có 6 điểm phân biệt, trên d 2 có n điểm phân biệt (n ³ 3, n Î  ) . Tìm n , biết rằng có 96 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. A. n = 3. B. n = 4. C. n = 6. D. n = 8. Lời giải. Cứ 3 điểm không thẳng hàng là tạo thành 1 tam giác. Do đó số tam giác được tạo thành từ n + 6 điểm gồm: 6 điểm (thẳng hàng) thuộc d1 và

n điểm (thẳng hàng) thuộc d 2 là C n3+6 - C 63 - C n3 .

é n = 4 (thoûa maõn) . Chọn B. Theo giả thiết, ta có C n3+6 - C 63 - C n3 = 96 Û êê êë n = -8 (loaïi)

Bài tập tương tự. Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB, BC , CD, DA lần lượt lấy 1, 2, 3 và n điểm phân biệt (n ³ 3, n Î  ) khác A, B, C , D . Tìm n , biết số tam giác lấy

từ n + 6 điểm đã cho là 439. Đáp số n = 10. Hướng dẫn. Theo giả thiết, ta có C n3+6 - C 33 - C n3 = 439.

Câu 20. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (4 < n Î  ), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có 4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này là đồng phẳng. Tìm giá trị của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt. A. n = 6. B. n = 8. C. n = 10. D. n = 16. Lời giải. Ta có  n điểm đồng phẳng tạo ra một mặt phẳng.  n điểm còn lại như giả thiết tạo ra C n3 mặt phẳng.  2 điểm trên n điểm đồng phẳng với n điểm còn lại tạo ra C n2 ´ n mặt phẳng.  2 điểm trên n điểm còn lại với n điểm đồng phẳng tạo ra C n2 ´ n mặt phẳng.

® n = 8. Chọn B. Theo đề bài ta có phương trình: 1 + 2nC n2 + C n3 = 505 ¾¾

43 . 91

48 . 91

74 . 455

381 . 455

ìïn (W) = C154 74 Lời giải. Ta có ïí ¾¾ ®P = . Chọn C. ïïn ( A) = C 42 .C 31 .C 31 + C 41 .C 42 .C 31 + C 41 .C 41 .C 42 455 ïî  2 xanh, 1 vàng, 1 đỏ ¾¾ ® C 42 .C 31 .C 31 cách.  1 xanh, 2 vàng, 1 đỏ ¾¾ ® C 41 .C 42 .C 31 cách.  1 xanh, 1 vàng, 2 đỏ ¾¾ ® C 41 .C 41 .C 42 cách. Giải thích trường hợp 1: Khi bốc mình sẽ bốc bi ít hơn trước tiên. Bốc 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh nên có C 42 cách, tiếp theo bốc 1 viên bi vàng từ 3 viên bi vàng (do loại 2 viên cùng số với bi xanh đã bốc) nên có C 31 cách, cuối cùng bốc 1 viên bi đỏ từ 3 viên bi đỏ (do loại 2 viên cùng số với bi xanh và 1 viên cùng số với bi vàng) nên có C 31 cách. Tương tự cho các trường hợp còn lại. Câu 22. Trong một cái hộp có đựng 40 quả bóng, gồm 10 quả bóng xanh được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng vàng được đánh số từ 1 đến 10 và 10 quả bóng trắng được đánh số từ 1 đến 10. Hai quả bóng cùng màu mang số 1 và số 10 được gọi là '' cặp may mắn '' . Người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 6 quả bóng. Xác suất để trong 6 quả bóng lấy ra có ít nhất một '' cặp may mắn '' là A.

1633 . 9139

1408 . 45695

2447 . 63973

291484 . 3838380

6 ì ï n (W) = C 40 ï 291484 ï ®P= . Chọn D. Lời giải. Ta có í 3 2 2 1 1 é 4 1 2 1 2ù ï 3838380 n ( A) = C 4 + C 4 (C 36 - C 2 ) + C 4 êC 38 - C 3 (C 36 - C 2 ) - C 3 ú ï ë û ï î

 Trường hợp 1. Chọn được cả 3 '' cặp may mắn '' : có C 43 cách.

 Trường hợp 2. Chọn được đúng 2 '' cặp may mắn '' : có C 42 .(C 362 - C 21 ) cách. (Ở đây C 21 là số cách chọn 1 '' cặp may mắn '' từ 2 '' cặp may mắn '' còn lại)

 Trường hợp 3. Chọn được đúng 1 '' cặp may mắn '' : có C 41 . éêC 384 - C 31 (C 362 - C 21 ) - C 32 ùú cách. ë û

(Ở đây C 31 (C 362 - C 21 ) là số cách chọn 1 '' cặp may mắn '' từ 3 '' cặp may mắn '' còn lại; C 32 là số cách chọn 2 '' cặp may mắn '' từ 3 '' cặp may mắn '' còn lại) Câu 23. Các mặt của một con xúc sắc được đánh số từ 1 đến 6. Người ta gieo con xúc sắc 3 lần liên tiếp và nhân các con số nhận được trong mỗi lần gieo lại với nhau. Tính xác suất để tích thu được là một số chia hết cho 6. A.

81 . 216

83 . 216

Lời giải. Ta có 6 = 2 ´3 và (2;3) = 1.

133 . 216

135 . 216

Số phần tử của không gian mẫu n (W) = 63. Xét biến cố A : '' tích thu được là một số chia hết cho 6 ''. Ta mô tả không gian của biến cố đối A như sau:  Không có số nào chia hết cho 3 ¾¾ ® có 4 3.  Không có số nào chia hết cho 2 ¾¾ ® có 33.  Không có số nào chia hết cho 2 và 3 ¾¾ ® có 23.

Suy ra số phần tử của biến cố đối A là n ( A ) = 4 3 + 33 - 23. Vậy xác suất cần tính P = 1 -

4 3 + 33 - 23 133 = . Chọn C. 216 63

Chú ý: Do trường hợp không chia hết cho 2 và trường hợp không chia hết cho 3 nó bao trùm luôn trường hợp không chia hết cho cả 2 và 3 nên mình tính đến hai lần. Câu 24. Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy có ít nhất một lượt gieo được kết quả con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. A.

1 . 12

11 . 12

397 . 1728

1331 . 1728

Lời giải. Xét biến cố A : '' lần gieo thứ nhất con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng xu

1 1 1 1 11 xuất hiện mặt sấp '' ¾¾ ® xác suất biến cố A là P ( A ) = ´ = ¾¾ ® P ( A) = 1 - = . 6 2 12 12 12 3 æ 11 ö 397 . Vậy xác suất cần tính của bài toán là P = 1 - çç ÷÷÷ = çè12 ø 1728 Câu 25. Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ nâu. Người ta bắt ngẫu nhiên lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi nào bắt được cả 3 con thỏ trắng mới thôi. Xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là A.

4 . 5

4 . 35

29 . 35

31 . 35

Lời giải. Xét biến cố đối A : '' bắt được 3 thỏ trắng trong 3 hoặc 4 lần '' .  TH1) Bắt được 3 con thỏ trắng trong 3 lần đầu: Ta có n (W) = 7.6.5 và n ( A1 ) = 3!. Suy ra P ( A1 ) =

3! . 7.6.5

 TH2) Bắt được 3 con thỏ trắng trong 4 lần đầu:

¾¾ ® lần 4 bắt được con trắng; lần 1, 2 và 3 bắt được 2 con trắng và 1 con nâu. T Ta có n (W) = 7.6.5.4 và n ( A 2 ) = C 41 .C 32 .3!. Suy ra P ( A 2 ) = Suy ra P ( A ) = P ( A1 ) + P ( A 2 ) =

C 41 .C 32 .3! . 7.6.5.4

4 31 ¾¾ ® P ( A ) = . Chọn D. 35 35

Cách 2. Ta mô tả không gian của biến cố A như sau Suy ra P ( A ) =

{TTT; TNNN; NTNN; NNTN}

4 31 ¾¾ ® P (A) = . 35 35

1 . 2

1 . 3

2 . 3

1 . 15

Lời giải. Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde . ● Sắp chữ số 3 vào ba vị trí, có C 53 = 10 cách.

● Còn lại hai vị trí, chọn 2 số trong 4 số {1; 2; 4; 5} xếp vào hai vị trí đó, có A42 = 12 cách. Do đó tập S có 10.12 = 120 phần tử.

1 ìïn (W) = C120 = 120 2 ï ¾¾ ® P = . Chọn C. Ta có í ïïn ( A) = 20 + 20 + 20 + 20 = 80 3 î

● Hai chữ số còn lại là 1 và 2 , có C 53 .2! = 20 số.

● Tương tự cho các trường hợp 1 và 5 ; 2 và 4 ; 4 và 5 . Câu 27. Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} . Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 5 bằng A.

1 . 4

2 . 9

9 . 26

11 . 26

Lời giải. Gọi số cần tìm của tập S có dạng abcde . ● Ta có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5 , bốn chữ số còn lại có A64 cách chọn nên có

5A64 số luôn có mặt chữ số 5 (kể cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên). ● Xét các số có chữ số 0 ở vị trí đầu tiên, khi đó có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 5 , ba chữ số còn lại có A53 cách chọn nên có 4A53 số. Do đó tập S có 5 A64 - 4 A53 = 1560 phần tử.

1 ìïn (W) = C1560 = 1560 9 ï Ta có í ¾¾ ® P = . Chọn C. ïïn ( A) = 4. A53 + 5. A53 = 540 26 ïî

● e = 0 . Khi đó có 4 cách chọn vị trí cho số 5 , ba số còn lại có A53 cách nên có 4.A53 số. ● e = 5 . Khi đó a có 5 cách chọn; b , c , d có A53 cách chọn nên có 5.A53 số.

1 . 9

4 . 9

4 . 27

9 . 28

ìïn (W) = 9 4 4 Lời giải. Tập S có 9 4 phần tử. Ta có ï ¾¾ ® P = . Chọn C. í ïïn ( A) = 4.9 2.3 27 ïî ® a1a2 a3 a4  2. Gọi số thỏa mãn biến cố là a1a2 a3 a4 . Do a1a2 a3 a4  6 ¾¾

Suy ra a4 Î {2, 4,6,8} : có 4 cách; và a1 , a2 có 9 2 cách chọn.

® a3 Î {3; 6; 9} nên a3 có 3 cách chọn.  Nếu a1 + a2 + a4 = 3k ¾¾

® a3 Î {2; 5; 8} nên a3 có 3 cách chọn.  Nếu a1 + a2 + a4 = 3k + 1 ¾¾

® a3 Î {1; 4; 7} nên a3 có 3 cách chọn.  Nếu a1 + a2 + a4 = 3k + 2 ¾¾

Vậy a3 luôn luôn có 3 cách chọn nên n ( A) = 4.9 2.3 = 972.

3 . 200

1287 . 90000

1286 . 90000

® n (W) = 9.10 4. Lời giải. Số các số tự nhiên có 5 chữ số là: 9.10 4 ¾¾

7 . 500

Giả sử số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là abcd 1. Ta có abcd 1 = 10abcd + 1 = 3.abcd + 7.abcd + 1 chia hết cho 7 Û 3.abcd + 1 chia hết cho 7. Đặt 3.abcd + 1 = 7h Û abcd = 2h +

h -1 là số nguyên khi và chỉ khi h = 3t + 1. 3

Khi đó abcd = 7t + 2 ¾¾ ® 1000 £ 7t + 2 £ 9999 Û

998 9997 £t £ Û t Î {143,144,...,1428}. 7 7

Suy ra số cách chọn t sao cho số abcd 1 chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1 là

1286 hay nói cách khác n ( A) = 1286.

Vậy xác suất cần tìm P =

1286 . Chọn C. 90000

171 . 3125

198 . 3125

207 . 6250

396 . 6250

Lời giải. Số có 7 chữ số, 6 chữ số sau đều có 10 cách chọn, còn chữ số đầu phụ thuộc vào tổng 6 chữ số sau nên chỉ có một cách chọn ¾¾ ® Không gian mẫu: n (W) = 10 6. Vì tổng các chữ số từ 0 đến 9 bằng 45 chia hết cho 9, nên muốn viết số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 thì ta cần bỏ 3 chữ số trong các chữ số từ 0 đến

9 sao cho tổng của 3 số đó chia hết cho 9. Các bộ ba số có tổng chia hết cho 9 là:

(0;1;8), (0;2;7), (0;3;6), (0;4;5), (1;2;6), (1;3;5), (1;8;9), (2;3;4 ), (2;7;9), (3;6;9), (3;7;8), (4;5;9), (4;6;8), (5;6;7).

 Trường hợp 1. Bỏ một trong các bộ số: (0;1;8), (0;2;7), (0;3;6), (0;4;5) : có 4 cách chọn. Trong 7 chữ số còn lại không có chữ số 0, nên mỗi bộ 7 số còn lại viết được: 7! số. Do đó trường hợp này có 4.7! số.  Trường hợp 2. Bỏ một trong các bộ số: (1;2;6), (1;3;5), (1;8;9), (2;3;4 ), (2;7;9),

(3;6;9), (3;7;8), (4;5;9), (4;6;8), (5;6;7) : có 10 cách chọn.

Với mỗi cách bỏ ba số đi, trong 7 số còn lại viết được: 6.6! số. Do đó trong trường hợp này có 10.6.6! số. Suy ra n ( A) = 4.7!+ 10.6.6!.

Vậy xác suất cần tính P =

4.7!+ 10.6.6! 198 = . Chọn B. 6 3125 10

3C102 C 84C 44 . C124 C 84C 44

B. 1 -

3C102 C 84C 44 . C124 C 84C 44

3!C102 C 84C 44 . C124 C 84C 44

ìïn (W) = C124 C 84C 44 3C102 C 84C 44 Lời giải. Ta có ïí ¾¾ ® P = . Chọn A. ïïn ( A) = 3C102 C 84C 44 C124 C 84C 44 ïî

D. 1 -

3!C102 C 84C 44 . C124 C 84C 44

Đầu tiên có 3 cách chọn nhóm để cho An và Bình vào nhóm đó, sau khi đã chọn An và Bình thì chọn thêm 2 bạn nữa nên có C102 cách. Chọn 4 bạn cho nhóm tiếp theo nên có

C 84 cách. 4 bạn còn lại vào nhóm cuối cùng nên có C 44 cách. Câu 32. Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Vinh. Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi

nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ. Xác suất để Hoa và Vinh cùng một nhóm là A.

1 . 8

7 . 8

7 . 32

25 . 32

Lời giải. Không gian mẫu là số cách chia 12 học sinh thành 3 nhóm và phải đảm bảo mỗi nhóm có ít nhất 1 học sinh nữ. Giả sử ●

Nhóm thứ nhất có 2 nữ và 2 nam, có C 42 .C 82 cách.

●

Nhóm thứ hai có 1 nữ và 3 nam, có C 21 .C 63 .

●

Sau khi chia nhóm thứ nhất và thứ hai xong thì còn lại 1 nữ và 3 nam nên nhóm

thứ ba có duy nhất 1 cách. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n (W) = C 42 .C 82 .C 21 .C 63 = 6720 . Gọi A là biến cố '' Hoa và Vinh cùng một nhóm '' . Ta mô tả các khả năng thuận lợi cho biến cố A như sau: ●

Trường hợp thứ nhất. Hoa và Vinh cùng với 1 bạn nam và 1 bạn nữ thành một

nhóm nên có C 71 .C 31 cách. Nhóm thứ hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có C 63 .C 21 . Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba. Do đó trong trường hợp này có C 71 .C 31 .C 63 .C 21 = 840 cách. ●

Trường hợp thứ hai. Hoa và Vinh cùng với 2 bạn nam thành một nhóm nên có C 72

cách. Nhóm thứ hai có 2 bạn nam và 2 bạn nữ nên có C 52 .C 32 . Cuối cùng còn lại 3 bạn nam và 1 bạn nữ nên có 1 cách duy nhất cho nhóm thứ ba. Do đó trong trường hợp này có C 72 .C 52 .C 32 = 630 cách. ●

Trường hợp thứ ba. Hoa và Vinh cùng với 2 bạn nam thành một nhóm. Nhóm thứ

hai có 3 bạn nam và 1 bạn nữ. Suy ra nhóm thứ ba có 2 bạn nam và 2 bạn nữ. Trường hợp này trùng với trường hợp thứ hai nên ta không tính. Suy ra số phần tử của biến cố A là n ( A) = 840 + 630 = 1470 . Vậy xác suất cần tính P =

1470 7 = . Chọn C. 6720 32

7 . 24

17 . 24

19 . 40

21 . 40

Lời giải. Không gian mẫu là tập hợp gồm các cặp hai bộ 3 câu hỏi, mà ở vị trí thứ nhất của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh A chọn và ở vị trí thứ hai của cặp là bộ 3 câu hỏi thí sinh B chọn. ●

Thí sinh A có C103 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi.

●

Thí sinh B có C103 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W = C103 .C103 . Gọi X là biến cố '' 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau '' . Để tìm số phần tử của X , ta đi tìm số phần tử của X như sau ●

Giả sử A chọn trước nên có C103 cách chọn 3 câu hỏi từ bộ gồm 10 câu hỏi.

●

Để B chọn khác A thì B phải chọn 3 trong 7 câu hỏi còn lại từ bộ 10 câu hỏi nên

có C 73 cách chọn. Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C103 .C 73 . Vậy xác suất cần tính P ( X ) =

WX W

W - WX W

C103 .C103 - C103 .C107 17 = . Chọn B. 24 C103 .C103

Bài tập tương tự. Với đề bài như trên và câu hỏi là tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có đúng 1 câu hỏi giống nhau. Đáp số:

21 . 40

13 5 C. . . 18 36 ì ïn (W) = (6.6)(6.6) = 6 4 5 ¾¾ ® P = . Chọn A. Lời giải. Ta có ï í ï 18 ï în ( A) = 2 ´(6.6)(1.5) A.

5 . 18

31 . 36

●

Mỗi người có 6 cách chọn mã đề cho mỗi môn nên n (W) = (6.6)(6.6) = 6 4.

●

Có 2 trường hợp trùng mã đề (Vật lí hoặc Hóa học). Nếu An chọn đề trước thì An có

6.6 cách chọn. Bình chọn đề sau mà để trùng với mã đề của An thì môn trùng chỉ có 1 cách chọn (An chọn gì thì bắt buộc Bình chọn nấy), môn còn lại Bình phải chọn khác An nên có 5 cách chọn (chọn 5 mã đề còn lại trừ mã đề An đã chọn ra). Vậy n ( A) = 2 ´(6.6)(1.5).

2 . 3

1 . 9

3 . 18

5 . 18

Lời giải. Không gian mẫu là số cách chọn môn tự chọn và số mã đề thi có thể nhận được của An và Bình. ●

An có C 32 cách chọn môn tự chọn, có C 61 .C 61 mã đề thi có thể nhận cho 2 môn tự

chọn của An. ●

Bình có C 32 cách chọn môn tự chọn, có C 61 .C 61 mã đề thi có thể nhận cho 2 môn tự

chọn của Bình.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W = (C 32C 61 .C 61 ) . 2

Gọi A là biến cố '' An và Bình chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi '' . Để tính số kết quả thuận lợi cho A , ta mô tả cách chọn 2 môn tự chọn của An và

Bình và cách nhận mã đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán. ●

Cách chọn môn. Giả sử An chọn trước 2 môn tự chọn trong 3 môn nên có C 32 cách.

Để Bình chọn 2 trong 3 môn tự chọn nhưng chỉ có đúng 1 môn trùng với An nên Bình phải chọn 1 trong 2 môn An đã chọn và 1 môn còn lại An không chọn, suy ra Bình có

C 21 .C11 cách. Do đó có C 32 .C 21 .C11 cách chọn môn thỏa yêu cầu bài toán. ●

Cách chọn mã đề. Vì An chọn trước nên cách chọn mã đề của An là C 61 .C 61 . Để Bình

có chung đúng 1 mã đề với An thì trong 2 môn Bình chọn, môn trùng với An phải chọn mã đề giống như An nên có 1 cách, môn không trùng với An thì được chọn tùy ý nên có

C 61 cách, suy ra số cách chọn mã đề của Bình là 1.C 61 . Do đó có C 61 .C 61 .1.C 61 cách chọn mã đề thỏa yêu cầu bài toán.

Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = (C 32 .C 21 .C11 ).(C 61 .C 61 .1.C 61 ) . Vậy xác suất cần tính

(C 32 .C 21.C11 ).(C 61.C 61.1.C 61 ) 1 P= = . 2 9 (C 32C 61.C 61 )

Chọn B.

D. 1048577.

Lời giải. Mỗi phiếu có 4 phương án trả lời (hay nói cách khác mỗi phiếu có 4 cách chọn đáp án). Do đó có 410 kết quả khác nhau có thể xảy ra đối với các phiếu hợp lệ.

Vậy cần tối thiểu (C 41 ) + 1 = 1048577 phiếu hợp lệ để có hai phiếu trả lời giống hệt nhau 10

cả 10 câu. Chọn D. Câu 37. Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó. Người ta xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 . Hỏi có bao nhiêu cách xây dựng hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2 câu hỏi khó. A. 77220.

B. 77221.

D. (10!) C 42C168 . 2

C. 5080320.

Lời giải. ● Chọn ra 2 câu hỏi khó trong 4 câu và 8 câu hỏi dễ trong 16 câu cho đề thứ nhất, sau đó sắp xếp 10 câu này theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có C 42 .C168 .10! cách. ● 10 câu còn lại lấy làm đề thứ hai và sắp xếp theo thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 có 10! cách. Suy ra số phần tử của biến cố A là WA = C 42 .C168 .10!.10! = (10!) .C 42 .C168 . Chọn D. 2

323 . 1827

3553 . 7917

4346 . 7917

10 9 10 ìïn (W) = C 30 C 25 C 51 + C 25 3553 Lời giải. Ta có ïí ¾¾ ® P = = . Chọn B. 10 9 1 10 ïïn ( A) = C 25 7917 C 30 C 5 + C 25 ïî

8075 . 23751

9 C 51 khả năng.  9 câu thuộc – 1 câu không thuộc: có C 25 10  10 câu đã học thuộc hết: có C 25 khả năng.

4 50

C 5200 .(3)

4 50

C 5200 .(3) 4 50

C 5400 .(3)

4 50

Lời giải. Gọi x là số câu trả lời đúng, suy ra 50 - x là số câu trả lời sai. Ta có số điểm của Hoa là 0,2.x - 0,1.(50 - x ) = 4 Û x = 30 . Do đó bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu. Không gian mẫu là số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên. Mỗi câu có 4 phương án trả lời nên có 4 50 khả năng. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là W = 4 50 . Gọi X là biến cố '' Bạn Hoa trả lời đúng 30 câu và sai 20 câu '' . Vì mỗi câu đúng có 1 30 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. Vì vậy có C 50 .(3)

khả năng

30 thuận lợi cho biến cố X . Suy ra số phần tử của biến cố X là WX = C 50 .(3) . 20

30 C 50 .(3)

Vậy xác suất cần tính P =

C 5020 .(3)

4 50

. Chọn B.

C108 . 40

C108 . 410

C108 .32 . 410

ì ïn (W) = 410 109 Lời giải. Ta có ï ¾¾ ®P = . Chọn B. í 2 8 9 10 ï 262144 ï ï în ( A) = C10 .(3) + C10 .3 + C10

109 . 262144

Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. ● 8 câu đúng – 2 câu sai: có C108 .(3) khả năng thuận lợi. 2

● 9 câu đúng – 1 câu sai: có C109 .3 khả năng thuận lợi. 10 ● 10 câu đúng: có C10 khả năng thuận lợi.

ngẫu nhiên. Xác suất để tổng điểm 2 môn thi của thí sinh A không dưới 19 điểm là C105 .(3)

C105 .(3)

10 C105 .(3) + C10 5

81922 . 410

Lời giải. Thí sinh A không dưới 19 điểm khi và chỉ khi trong 10 câu trả lời ngẫu nhiên ở cả hai môn Vậy lí và Hóa học thì phải đúng ít nhất 5 câu. Không gian mẫu là số phương án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh A chọn ngẫu nhiên. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n (W) = 410 . Gọi X là biến cố '' Thí sinh A làm được ít nhất 5 câu trong 10 được cho là chọn ngẫu nhiên '' nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố X . Mỗi câu đúng có 1 phương án trả lời, mỗi câu sai có 3 phương án trả lời. ● 5 câu đúng – 5 câu sai: có C105 .(3) khả năng thuận lợi. 5

● 6 câu đúng – 4 câu sai: có C106 .(3) khả năng thuận lợi. 4

● 7 câu đúng – 3 câu sai: có C107 .(3) khả năng thuận lợi. 3

● 8 câu đúng – 2 câu sai: có C108 .(3) khả năng thuận lợi. 2

● 9 câu đúng – 1 câu sai: có C109 .3 khả năng thuận lợi. 10 ● 10 câu đúng: có C10 khả năng thuận lợi.

10 Suy ra n ( X ) = C105 .(3) + C106 .(3) + C107 .(3) + C108 .(3) + C109 .3 + C10 = 81922. 5

Vậy xác suất cần tính P =

81922 . 410

1 3 , trả lời sai là . Ta có các trường hợp: 4 4 5 5 æ1ö æ3ö ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 5 trên 10 câu là C105 çç ÷÷÷ .çç ÷÷÷ ; èç 4 ø èç 4 ø

Cách 2. Xác suất trả lời đúng 1 câu hỏi là

æ1ö ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 6 trên 10 câu là C106 çç ÷÷÷ çè 4 ø

æ1ö ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 7 trên 10 câu là C107 çç ÷÷÷ çè 4 ø

æ1ö ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 8 trên 10 câu là C108 çç ÷÷÷ èç 4 ø

æ3ö .çç ÷÷÷ ; çè 4 ø 4

æ3ö .çç ÷÷÷ ; çè 4 ø 3

æ3ö .çç ÷÷÷ ; èç 4 ø 2

æ1ö 3 ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 9 trên 10 câu là C109 çç ÷÷÷ . ; çè 4 ø 4 9

ö 10 æ çç 1 ÷÷ . ● Xác suất thí sinh A trả lời đúng 10 trên 10 câu là C10 çè 4 ø÷ 10

Cộng các xác suất trên ta được xác suất cần tính. Câu 42. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh An dự thi môn thi trắc nghiệm Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm. Bạn An làm chắc chắn đúng 42 câu, trong 8 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Xác suất bạn An được 9, 4 điểm là A.

55 . 1536

455 . 3456

379 . 13824

499 . 13824

Lời giải. Ta chỉ quan tâm 8 câu còn lại. Trong 8 câu còn lại mình chia làm 2 loại:  Loại 1: gồm 3 câu có 3 đáp án A, B, C

¾¾ ® xác suất chọn đáp án đúng là

1 2 , xác suất chọn đáp án đúng là . 3 3

 Loại 2: gồm 5 câu có 4 đáp án A, B, C, D

¾¾ ® xác suất chọn đáp án đúng là

1 3 , xác suất chọn đáp án đúng là . 4 4

Để bạn An đạt được 9,4 điểm (tức cần đúng thêm 5 câu trong 8 câu còn lại) thì xảy ra một trong các khả năng sau æ2ö æ1ö Đúng 0 câu loại 1 & Đúng 5 câu loại 3: ¾¾ ® xác suất çç ÷÷÷ ´C 55 .çç ÷÷÷ . çè 3 ø çè 4 ø 3

æ1ö 3 1 æ2ö Đúng 1 câu loại 1 & Đúng 4 câu loại 3: ¾¾ ® xác suất C 31 . .çç ÷÷÷ ´C 54 .çç ÷÷÷ . . ç çè 4 ø 4 3 è3ø 2

æ1ö 2 æ1ö Đúng 2 câu loại 1 & Đúng 3 câu loại 3: ¾¾ ® xác suất C .çç ÷÷÷ . ´C 53 .çç ÷÷÷ èç 3 ø 3 èç 4 ø 2

2 3

æ1ö æ1ö Đúng 3 câu loại 1 & Đúng 2 câu loại 3: ¾¾ ® xác suất C 33 .çç ÷÷÷ ´C 52 .çç ÷÷÷ èç 3 ø èç 4 ø 3

Cộng các xác suất lại ta được xác suất cần tính P =

æ3ö .çç ÷÷÷ . èç 4 ø 2

æ3ö .çç ÷÷÷ . èç 4 ø 3

499 . Chọn D. 13824

D. 435.

Lời giải. Mỗi lớp cử ra 3 học sinh nên 10 lớp cử ra 30 học sinh. Suy ra số lần bắt tay là C 302 (bao gồm các học sinh cùng lớp bắt tay với nhau). Số lần bắt tay của các học sinh học cùng một lớp là 10.C 32 . Vậy số lần bắt tay của các học sinh với nhau thỏa mãn yêu cầu là C 302 -10.C 32 = 405. Chọn A. Bài tập tương tự. Có tất cả bao nhiêu cặp vợ chồng thực hiện việc bắt tay lẫn nhau (tất nhiên mỗi người không bắt tay vợ hoặc chồng của mình) trong một buổi gặp mặt, biết rằng có tất cả có 40 cái bắt tay. Đáp số: 5 cặp vợ chồng. Câu 44. Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ. Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là

89 3 C. . . 95 20 3 ìïn (W) = C 20 = 1140 ïï 72 89 ¾¾ ® P = 1= . Chọn B. Lời giải. Ta có í 1 1 ïïn ( A) = C 4 .C18 = 72 1140 95 ïî A.

72 . 1140

1 . 5

Biến cố A là 3 người được chọn luôn có 1 cặp vợ chồng. ●

Chọn 1 cặp vợ chồng trong 4 cặp vợ chồng, có C 41 cách.

●

1 Chọn thêm 1 người trong 18 người, có C18 cách.

59 61 64 C. D. . . . 65 65 65 3 ì ï n (W) = A40 = 59280 ï 912 64 ï ¾¾ ® P = 1= . Chọn D. Lời giải. Ta có í 1 1 ï 59280 65 n A = C 4 .C 38 .3! = 912 ï ï î ( ) A.

1 . 65

Câu 46. Hai tổ chuyên môn của một trường trung học phổ thông có 9 giáo viên nam và

D. 25704.

Lời giải. Ta có các trường hợp sau  TH1: chọn 5 người từ 18 người: có C185 cách.  TH2: chọn 1 người từ 2 cặp vợ chồng và 4 người từ 18 người: có C 41 .C184 cách.  TH3: chọn 2 người từ 2 cặp vợ chồng sao cho không phải là một cặp và 3 người từ 18 người: có (C 42 - 2).C183 cách.

Vậy có C185 + C 41 .C184 + (C 42 - 2).C183 = 24072 cách. Chọn B.

Cách 2. Tính theo phần bù. Tính số cách chọn 5 người tùy ý - (cách chọn 5 người có đúng 1 cặp vợ chồng + cách chọn 5 người có đúng 2 cặp vợ chồng). 5 = 26334 cách.  Số cách chọn 5 người tùy ý: có C 22

 Số cách chọn 5 người có đúng 1 cặp vợ chồng: Chọn 1 cặp vợ chồng có 2 cách chọn, chọn 3 người còn lại có hai khả năng Khả năng thứ nhất: 1 người từ cặp vợ chồng còn lại và 2 người từ 18 người Khả năng thứ hai: 3 người từ 18 người

Do đó trường hợp này có 2.(C 21C182 + C183 ) cách.  Số cách chọn 5 có đúng 2 cặp vợ chồng: Chọn 2 cặp vợ chồng có duy nhất 1 cách, chọn thêm 1 người từ 18 người nên có 18 cách: có 1.18 = 18 cách. 5 = 26334 - éê 2.(C 21C182 + C183 ) + 18ùú = 24072 cách. Vậy có C 22 ë û Câu 47. Có 20 cặp vợ chồng tham gia dự thi '' cặp đôi hoàn hảo ''. Trong giờ giải lao, ban tổ chức chọn ra ngẫu nhiên 4 người để tham gia văn nghệ. Xác suất để 4 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là A.

99 . 323

224 . 323

73 . 481

4 ìïn (W) = C 40 = 91390 ïï 408 ¾¾ ®P = . Chọn D. Lời giải. Ta có í ïïn ( A) = C 4 .(C 1 )4 = 77520 481 20 2 ïî

408 . 481

Số cách chọn 4 cặp từ 20 cặp là C 204 .

Mỗi cặp chọn ra 1 người, do đó 4 cặp có nên có (C 21 ) cách chọn. 4

6 . 11

1 . 20

21 . 55

7 . 110

ì ïn (W) = C123 6 Lời giải. Ta có ï ¾¾ ® P = . Chọn A. í 3 ï 11 ï ï în ( A) = C10 Biến cố cần tính bằng số cách đặt 3 người vào 3 trong 10 khoảng trống tảo bởi 9 người (cứ đặt đâu lấy đó) nên có C103 cách. Bài tập tương tự. Một nhóm gồm 12 học sinh trong đó có Hoa, Anh, Vinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 bạn đó thành một hàng ngang mà không có hai bạn trong ba bạn Hoa, Anh, Vinh đứng cạnh nhau? Đáp số:

6 . 11

Hướng dẫn. Thực chất bài này như bài toán trên. Ta có n (W) = 12! và n ( A) = 9!. A103 . Câu 49. Xếp 10 cuốn sách tham khảo khác nhau gồm: 1 cuốn sách Văn, 3 cuốn sách tiếng Anh và 6 cuốn sách Toán (trong đó có hai cuốn Toán T1 và Toán T2 ) thành một hàng ngang trên giá sách. Xác suất để mỗi cuốn sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai cuốn sách Toán, đồng thời hai cuốn Toán T1 và Toán T2 luôn được xếp cạnh nhau bằng A.

1 . 120

1 . 210

1 . 300

ì ïn (W) = 10! 1 ¾¾ ®P = . Chọn B. Lời giải. Ta có ï í 3 ï 210 ï în ( A) = 5!.2!. A4 .3

1 . 450

 Xếp 5 quyển toán (coi T1 và T2 là một khối) nên có 5!.2! cách. Tạo ra 4 khoảng trống giữa các cuốn Toán (không kể hai đầu). T T

3 4

 Xếp 3 cuốn sách tiếng Anh vào 4 khoảng trống có A cách.  Xếp 1 cuốn Văn vào 3 vị trí còn lại (một khoảng trống mà tiếng Anh sắp còn lại, cùng với 2 khoảng trống 2 đầu cuốn Toán) nên có 3 cách. Câu 50. Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có hai em Thảo, My và 5 học sinh nam. Xác suất để xếp 9 học sinh vào một hàng dọc sao cho Thảo và My đứng cạnh nhau còn các em nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Thảo và My bằng A.

1 . 6

4 . 9

5 . 63

ìïn (W) = 9! 5 ¾¾ ® P = . Chọn C. Lời giải. Ta có ïí ïïn ( A) = 5!. A63 .2! 63 î

4 . 67

 Xếp 5 bạn nam trước (tạo ra 6 khoảng trống kể cả hai đầu): có 5! cách.  Coi Thảo và My là 1 khối và 2 bạn nữ còn lại ta xếp vào 3 trong 6 chỗ trống nên có

A63 cách. Giữa Thảo và My đổi chỗ cho nhau nên có 2! cách. Câu 51. Một tổ có 10 học sinh trong đó có 3 bạn gồm An, Bình và Cúc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh đó vào một ghế dài có 10 chỗ trống sao cho An và Bình luôn ngồi cạnh nhau nhưng An và Cúc không ngồi cạnh nhau. A. 2!.9!- 2!.8!. B. 2!.9!- 3.8!. C. 2!.9!- 3!.8!.

D. 3.9!- 2.8!.

Lời giải. ●

Vì An và Bình luôn ngồi cạnh nhau nên xem như là 1 khối, giữa 2 người này đổi chỗ

cho nhau nên có 2! cách. Một khối (An và Bình) cùng với 8 người còn lại hoán đổi vị trí

cho nhau nên có 9! cách. Nhưng đếm thế này mình đã đếm luôn trường hợp An và Cúc ngồi cạnh nhau. ●

Ta đếm xem có bao nhiêu trường hợp An và Cúc ngồi cạnh nhau (dĩ nhiên An và

Bình cũng ngồi cạnh nhau). Xem An, Bình và Cúc như 1 khối nhưng để An ngồi cạnh Bình và cũng ngồi cạnh Cúc thì An phải ngồi giữa Bình và Cúc, giữa Bình và Cúc đổi chỗ cho nhau nên có 2! cách. Một khối (Bình, An, Cúc) cùng với 7 người còn lại hoán đổi vị trí cho nhau nên có 8! cách. Vậy có 2!.9!- 2.8! cách thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 52. Sắp xếp 12 học sinh của lớp 12A gồm có 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào một bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện nhau (mỗi dãy gồm có 6 chiếc ghế) để thảo luận nhóm. Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau luôn khác giới. A.

1 . 462

1 . 924

3 . 99920

ìïn (W) = 12! 1 ¾¾ ®P = . Chọn A. Lời giải. Ta có ïí ïïn ( A) = 2.6!.6! 462 î

Đánh số thứ tự ghế từ 1 đến 12. 1 2 12

1 . 665280

Chọn 1 trong 2 bộ số chẵn hoặc lẻ xếp 6 bạn nam vào, sau đó xếp 6 bạn nữ vào bộ ghế còn lại. Câu 53. Có 3 bi xanh, 3 bi đỏ, 3 bi trắng và 3 bi vàng (các viên bi cùng màu giống nhau). Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 viên bi thành một hàng ngang sao cho các bi cùng màu không cạnh nhau? 1 . 22

2 1 C. . . 55 28512 ìï 12! ïïn (W) = 2 3!.3!.3!.3! Lời giải. Ta có í ¾¾ ® P = . Chọn B. ïï 55 3 3 3 3 3 ïïîn ( A) = 1.C 4 .C 7 .C10 - 2.C 6 .C 9 A.

2 . 35640

 Xếp 3 bi xanh trước: có 1 cách (tạo ra 4 khoảng trống kể cả hai đầu). Tiếp theo xếp 3 bi đỏ vào 4 khoảng trống: có C 43 cách. Bây giờ có tất cả 6 viên bi (gồm 3 bi xanh và 3 bi đỏ) tạo nên 7 khoảng trống, tiếp tục xếp 3 bi trắng vào 7 khoảng trống: có C 73 cách. Thời điểm này có tất cả 9 viên bi (gồm 3 bi xanh, 3 bi đỏ và 3 bi trắng), tiếp tục xếp 3 bi vàng vào 10 khoảng trống: có C103 cách. Vậy có 1.C 43 .C 73 .C103 cách.  Tuy nhiên khi xếp 3 bi xanh xong, kế tiếp xếp 3 bi đỏ vào 4 khoảng trống như đã trình bày ở trên thì có 2 trường hợp mà 2 bi xanh cạnh nhau Đ X X Đ X Đ Đ

Ứng với mỗi trường hợp này sẽ kéo theo việc xếp bi trắng không thỏa mãn là C 63 và việc xếp bi vàng không thỏa mãn là C103 . Vậy số trường hợp không thỏa mãn (cần phải trừ ra) là 2.C 63 .C 93 cách.

1 . 3

2 . 15

ì ïn (W) = 6! 1 ¾¾ ® P = . Chọn A. Lời giải. Ta có ï í ï 3 ï în ( A) = 240

4 . 15

7 . 15

 Trường hợp 1. Có 3 cặp cạnh nhau: có 3!.2!.2!.2! = 48 cách.  Trường hợp 2. Có 2 cặp cạnh nhau  Khả năng thứ nhất: Cặp xanh cạnh cặp đỏ Ta xem cặp xanh như 1 vị trí, cặp đỏ như 1 vị trí cùng với 2 viên bi vàng nên có 4! cách xếp. Hai viên bi trong cặp bi xanh đổi vị trí nên có 2! cách, hai viên bi trong cặp bi đỏ đổi vị trí nên có 2! cách. Nhưng ta đếm thế này là thừa trường hợp 3 cặp bi cạnh nhau. Do đó khả năng thứ nhất có 4!.2!.2!- 48 = 48 cách.  Khả năng thứ hai: Cặp xanh cạnh cặp vàng có 48 cách.  Khả năng thứ ba: Cặp đỏ cạnh cặp vàng có 48 cách. Vậy trường hợp 2 có 48 + 48 + 48 = 144 cách.  Trường hợp 3. Có 1 cặp cạnh nhau  Khả năng thứ nhất: Chỉ có 2 viên bi xanh cạnh nhau Ta xem cặp xanh như 1 vị trí, cùng với 2 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng nên có 5! cách xếp. Hai viên bi trong cặp bi xanh đổi vị trí nên có 2! cách. Nhưng ta đếm thế này là thừa trường hợp 2 cặp bi cạnh nhau (cặp xanh cạnh cặp đỏ & cặp xanh cạnh cặp vàng) và trường hợp 3 cặp bi cạnh nhau. Do đó khả năng thứ nhất có 5!.2!- (2.48) - 48 = 96 cách.  Khả năng thứ hai: Chỉ có 2 viên bi đỏ cạnh nhau có 96 cách.  Khả năng thứ ba: Chỉ có 2 viên bi vàng cạnh nhau có 96 cách. Vậy trường hợp 3 có 96 + 96 + 96 = 288 cách.

¾¾ ® số cách xếp 6 bi thỏa mãn bài toán là 6!- 48 -144 - 288 = 240 cách. Nhận xét. Bài này ta không thể làm như bài trước được vì các viên bi khác nhau. Câu 55. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam (trong đó có Hoàng) và 5 học sinh nữ (trong đó có Lan) thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng và Lan cũng không đứng cạnh nhau bằng A.

1 . 350

1 . 450

4 . 1575

ìïn (W) = 10! 8 ¾¾ ®P = . Chọn D. Lời giải. Ta có ïí ïïn ( A) = 18432 1575 î 1 2 3 4 5 6 7

Chọn vị trí chẵn hoặc lẻ để xếp 5 nam: có 2 cách. Ta xét trường hợp 5 nam ở vị trí chẵn (tương tự cho vị trí lẻ).  Khả năng 1: Hoàng đứng ngoài cùng: có 1 cách. Xếp Lan không cạnh Hoàng: có 4 cách.

8 . 1575

Đổi vị trí các nam: có 4! cách; Đổi vị trí các nữ: 4! cách. Do đó trong trường hợp này có 2.1.4.4!.4! = 4608 cách.  Khả năng 2: Hoàng không đứng ngoài cùng: có 4 cách. Xếp Lan không cạnh Hoàng (bỏ 2 vị trí cạnh Hoàng): có 3 cách. Đổi vị trí các nam: có 4! cách; Đổi vị trí các nữ: 4! cách. Do đó trong trường hợp này có 2.4.3.4!.4! = 13824 cách. Câu 56. Có 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ? D. 80640.

B. 108864.

C. 145152.

D. 322560.

Lời giải. Gọi k là số học sinh lớp C ở giữa hai học sinh lớp A với k = 0;1;2;3;4. ...C A. Trước tiên ta đếm cách tạo thành cụm ACC  k

 Chọn 2 học sinh lớp A xếp 2 đầu có 2! cách. Chọn k học sinh lớp C xếp vào giữa ...C A. hai học sinh lớp A có A4k cách. Do đó có 2!. A4k cách tạo ra cụm ACC  k

...C A là một vị trí cùng với 9 - (k + 2) học sinh còn lại thành 8 - k vị trí.  Coi cụm ACC  k

Xếp hàng cho các vị trí này có (8 - k )! cách.

Vậy với mỗi k như trên có 2!. A4k .(8 - k )! cách xếp hàng.

¾¾ ® số cách xếp hàng thỏa mãn đề bài là:

å 2!.A .(8 - k )! = 145152 4

k =0

k 4

cách. Chọn C.

C. 196.

Lời giải. Ta đánh số thứ tự các ô cần xếp bi. I II III IV

D. 432. V

● Trường hợp thứ nhất Bi màu đỏ ở các vị trí I, III, V nên có 3! cách. Bi màu vàng và màu xanh ở các vị trí còn lại II, IV, VI nên cũng có 3! cách. Do đó trong tường hợp này có 3!.3! = 36 cách. ● Trường hợp thứ hai (như trường hợp thứ nhất) Bi màu đỏ ở các vị trí II, IV, VI nên có 3! cách. Bi màu vàng và màu xanh ở các vị trí còn lại I, III, V nên cũng có 3! cách. Do đó trong tường hợp này có 3!.3! = 36 cách. ● Trường hợp thứ ba Bi màu đỏ ở các vị trí I, III, VI nên có 3! cách. Bi màu vàng và màu xanh ở tùy ý các vị trí còn lại thì có 3! cách nhưng trong đó có vị trí II (x ) - IV ( v ) - V ( v ) không thỏa mãn.

Do đó trong tường hợp này có 3!.(3!- 2) = 24 cách. ● Trường hợp thứ tư (như trường hợp thứ ba) Bi màu đỏ ở các vị trí I, IV, VI nên có 3! cách.

Bi màu vàng và màu xanh ở tùy ý các vị trí còn lại thì có 3! cách nhưng trong đó có vị trí II ( v ) - III ( v ) - V (x ) không thỏa mãn.

Do đó trong tường hợp này có 3!.(3!- 2) = 24 cách. Vậy có tất cả 36 + 24 + 36 + 24 = 120 cách thỏa mãn bài toán. Chọn B. Bài tập tương tự: Cũng câu hỏi như trên nhưng các bi cùng màu giống nhau. Đáp số: 10 cách. Câu 58. Một nhóm gồm 11 học sinh trong đó có 3 bạn An, Bình, Cúc được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Xác suất để 3 bạn An, Bình, Cúc không có bạn nào được xếp cạnh nhau bằng

4 7 C. . . 15 15 ìïn (W) = (11 -1)! = 10! 7 ¾¾ ® P = . Chọn C. Lời giải. Ta có ïí 3 ïïn ( A) = 7!. A8 15 î A.

7 . 10

11 . 15

Xếp 8 ghế quanh bàn tròn rồi xếp 8 bạn vào (11 bạn trừ An, Bình, Cúc): có (8 -1)! = 7! cách. 8 bạn này sinh ra 8 khoảng trống, xếp 3 bạn (An, Bình, Cúc) vào 3 trong 8 khoảng trống đó nên có A83 cách. Câu 59. Có 5 học sinh nam, 8 học sinh nữ và 1 thầy giáo được xếp ngẫu nhiên vào một bàn tròn. Xác suất để thầy giáo xếp giữa hai học sinh nữ bằng

7 14 C. . . 39 39 ì ïn (W) = (14 -1)! = 13! 14 ¾¾ ® P = . Chọn C. Lời giải. Ta có ïí 2 ï 39 ï în ( A) = C 8 .2!.11! A.

1 . 39

25 . 39

Bước 1. Ta cố định thầy giáo. Bước 2. Chọn lấy 2 học sinh nữ để xếp cạnh thầy giáo có C 82 cách. Bước 3. Xếp 2 học sinh nữ vừa chọn cạnh thầy giáo có 2! cách. Bước 4. Cuối cùng xếp 11 người còn lại vào 11 vị trí còn lại có 11! cách. Câu 60. Có 4 cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào một bàn tròn. Tính số cách xếp sao cho có vợ chồng nhà A là ngồi cạnh nhau còn các cặp vợ chồng khác thì hai người là vợ chồng của nhau thì không ngồi cạnh nhau. A. 240. B. 244.

C. 288.

D. 480.

Lời giải.  Có 2 cách sắp xếp cho vợ chồng A ngồi vào bàn tròn (giả sử ông chồng ngồi cố định, còn bà vợ có 2 cách xếp).  Ta lại xếp 1 cặp vợ chồng khác vào bàn tròn, cặp vợ chồng này có thể đổi chỗ cho nhau nên có 2! cách.  Bây giờ có tất cả 3 khe trống (vì cặp vợ chồng A không cho ai ngồi giữa). Ta xếp 1 cặp vợ chồng khác vào 3 khe này nên có A32 = 6 cách.  Bây giờ có tất cả 5 khe trống. Ta xếp 1 cặp vợ chồng còn lại vào 5 khe này nên có

A52 = 20 cách. Vậy có 2 ´ 2 ´ 6 ´ 20 = 480 cách. Chọn D.

----------

HẾT

----------

95 câu TIẾP TUYẾN VẬN DỤNG CAO

Phần 1. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số Phần 2. Tiếp tuyến đi qua điểm cho trước Phần 3. Tiếp tuyến hàm ẩn

Phần 1. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số Câu 1. Cho hàm số y =

2x +1 có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm thuộc (C ) mà x -2

tiếp tuyến của (C ) tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích

2 ? 5 A. 1.

bằng

B. 2.

Câu 2. Cho hàm số y =

C. 3.

D. 4.

x +1 có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm thuộc (C ) mà x -2

tiếp tuyến của (C ) tại điểm đó cắt trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B thỏa

3OA = OB ? A. 1.

B. 2.

C. 3. D. 4. x +3 Câu 3. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và điểm M ( x 0 ; y0 ) thuộc (C ). Tiếp 2 ( x + 1)

tuyến của (C ) tại điểm M cắt trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ O. Biết điểm B có tung độ dương, độ dài đoạn AB bằng 3 2 . C. 2. D. 3 2. 2 2x Câu 4. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm thuộc (C ) mà x -2

2 . 2

tiếp tuyến của (C ) tại điểm đó cắt trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B sao cho

tam giác OAB có trọng tâm thuộc đường thẳng d : y = x ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x +2 Câu 5. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Đường thẳng d : y = ax + b là tiếp 2x + 3 tuyến của (C ) cắt trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân tại O. Tổng a + b bằng A. -3. B. -2. C. -1. D. 0. x +3 Câu 6. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm M thuộc (C ) mà x +1 tiếp tuyến của (C ) tại M cắt trục hoành tại N thỏa mãn tam giác OMN vuông? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 7. Cho hàm số

-x + 1 2 x -1

có đồ thị (C ). Với mọi m

đường thẳng

d : y = x + m luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số

góc của tiếp tuyến của (C ) tại A, B. Giá trị lớn nhất của k1 + k2 bằng A. -6.

B. -4.

Câu 8. Cho hàm số

2x + 3 y= x +2

C. -2.

D. -1.

có đồ thị (C ). Với mọi m

đường thẳng

d : y = -2 x + m luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ

số góc của tiếp tuyến của (C ) tại A, B. Biểu thức P = k12018 + k22018 đạt giá trị nhỏ nhất khi A. m = -3.

B. m = -2. C. m = 2. D. m = 3. 2 x -1 Câu 9. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và M là điểm di động trên (C ). Gọi x -1

k là hệ số góc của tiếp tuyến của (C ) tại M . Biết hoành độ của M thuộc đoạn é3 5ù ê ; ú . Tổng GTNN và GTLN của biểu thức P = k 2 + 3k bằng êë 2 2 úû

A. 2.

7 . 2

Câu 10. Cho hàm số y =

7 . 4

116 . 81

2x -3 có đồ thị (C ). Biết tiếp tuyến tại M của (C ) cắt x -2

hai tiệm cận của (C ) tại A và B sao cho AB ngắn nhất. Khi đó, độ dài lớn nhất  của vectơ OM bằng A.

B. 2 2. C. 3 2. D. 4. 2x -3 Câu 11. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Gọi I là giao điểm của hai đường x -2 2.

tiệm cận. Biết tiếp tuyến tại M của (C ) cắt hai tiệm cận của (C ) tại A và B. Hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất bằng

B. 2p. C. 4 p. D. 8p. 2x +1 Câu 12. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Gọi I là giao điểm của hai đường x -1 A.

2p.

tiệm cận. Biết tiếp tuyến tại M của (C ) cắt hai tiệm cận của (C ) tại A và B. Tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất bằng A. 4 3 + 2 6.

B. 2 3 + 6. C. 6 3. D. 6 6. x -2 Câu 13. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Gọi I là giao điểm của hai đường x +1 tiệm cận. Biết tiếp tuyến tại M của (C ) cắt hai tiệm cận của (C ) tại A và B. Tam giác IAB có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất bằng A. 2 3 - 6.

B. 2 3 + 6.

C. 2 6. 3

D. 4 3.

Câu 14. Cho hàm số y =

2 x -1 có đồ thị (C ) và điểm M ( x 0 ; y0 ) (với x 0 > 1 ) thuộc 2x - 2

(C ). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Biết tiếp tuyến của (C ) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa SDOIB = 8SDOIA . Tổng x 0 + 4 y0 bằng 53 . C. S = 2. D. S = 8. 4 x -1 Câu 15. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và M là điểm thuộc (C ) có hoành x +2

A. S =

23 . 4

B. S =

độ bằng m - 2. Tiếp tuyến của (C ) tại M cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C ) lần lượt tại A ( x1 ; y1 ) và B ( x 2 ; y2 ). Gọi S là tập hợp các giá trị m

sao cho x 2 + y1 = -5. Tổng bình phương các phần tử của S bằng A. -2. B. 4. C. 10. D. 13. 2 x -1 Câu 16. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Trong các cặp tiếp tuyến của (C ) x +1 song song với nhau thì khoảng cách lớn nhất giữa chúng bằng A. 2 3.

B. 2 6. C. 4 3. D. 4 6. x -1 Câu 17. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C ) sao x +1 cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất từ điểm M (2;3) đến đường thẳng AB bằng A. 3 2.

11.

Câu 18. Cho hàm số y =

13.

3 . 2

2 x -1 có đồ thị (C ). Gọi A ( x1 ; y1 ), B ( x 2 ; y2 ) (với x1 > 0, x +1

x 2 < 0 ) là hai điểm phân biệt thuộc (C ) sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A và B

song song với nhau. Biết khoảng cách AB = 2 10, tổng x1 + x 2 bằng A. -4.

B. -2. C. 2. D. 4. x +1 Câu 19. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Gọi A ( x1 ; y1 ), B ( x 2 ; y2 ) là hai điểm 2 x -1 phân biệt thuộc (C ) sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A và B có cùng hệ số góc k. 1 , mệnh đề nào sau đây đúng? 2 B. - 9 £ k < - 6. C. - 6 £ k < - 3. D. - 3 £ k < 0.

Biết diện tích tam giác OAB bằng A. k < - 9.

Câu 20. Cho hàm số y =

2x có đồ thị (C ). Biết trên (C ) có hai điểm phân biệt x +2

A, B sao cho khoảng cách từ điểm I (-2;2) đến tiếp tuyến của (C ) tại các điểm A, B là lớn nhất. Độ dài đoạn thẳng AB bằng 4

A. 2 2.

B. 4.

C. 4 2.

D. 8.

Câu 21. Cho hàm số y = x - mx + 1 - m có đồ thị (C m ). Gọi M là điểm có hoành 3

độ bằng 0 và thuộc (C m ). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của (C m ) tại M cắt trục hoành tại N sao cho MN = 2 2.

{ } m Î {1; -3 ± 2 2 }.

{ } m Î {1;2 ± 3 }.

A. m Î -1;3 ± 2 2 .

B. m Î -1;2 ± 3 .

Câu 22. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m ) x 2 + (2 - m ) x + m + 2

(1) ( m là tham số). Có

bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc [-3;3] để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + 7 = 0 góc a thỏa mãn cos a = A. 4.

B. 5.

C. 6.

? 26 D. 7.

Câu 23. Cho hàm số y = x - mx + m -1 có đồ thị (C m ). Tìm m để tiếp tuyến của 3

(C m ) tại điểm M có hoành độ x = -1 cắt đường tròn (T ) : ( x - 2) + ( y - 3) = 4 2

theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. A. m = -2.

2 B. m = - . 3

2 C. m = . 3

D. m = 2.

Câu 24. Cho hàm số y = 2 x 3 - 3 x 2 + 1 có đồ thị (C ) và điểm A thuộc (C ). Gọi S

là tập hợp tất cả các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại điểm thứ hai B ( B ¹ A) thỏa mãn ab = -

1 trong đó a, b lần lượt là hoành độ 2

của A, B. Tổng tất cả các phần tử của S bằng 5 A. - . 4

3 B. - . 4

3 . 4

5 . 4

Câu 25. Cho hàm số y = x ( x 2 - 3) có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm M thuộc

(C ) thỏa mãn tiếp tuyến của (C ) tại M cắt (C ) và trục hoành lần lượt tại hai

điểm phân biệt A (khác M ) và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 26. Cho hàm số y = x 3 - 3 x có đồ thị (C ) và điểm M (a; a 3 - 3a ) thuộc (C ).

Tiếp tuyến của (C ) tại M cắt (C ) tại điểm thứ hai N ( N ¹ M ). Số giá trị nguyên của a để tam giác OMN có diện tích nhỏ hơn 16 ( với O là gốc tọa độ) là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 27. Cho hàm số y = -x 3 + 3 x 2 - x + 4 có đồ thị (C ). Gọi M , N là hai điểm di

động trên (C ) sao cho tiếp tuyến của (C ) tại M , N luôn song song nhau. Khi đó MN luôn đi qua điểm cố định nào sau đây? 5

A. (1; -5).

B. (-1; -5).

C. (-1;5).

D. (1;5).

Câu 28. Xét đồ thị (C ) của hàm số y = x 3 + 3ax + b với a, b là các số thực. Gọi

M , N là hai điểm phân biệt thuộc (C ) sao cho tiếp tuyến với (C ) tại hai điểm đó

có hệ số góc cùng bằng 3. Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng MN bằng 1, giá trị nhỏ nhất của a 2 + b 2 bằng A.

3 . 2

4 . 3

Câu 29. Cho hàm số y =

6 . 5

7 . 6

1 3 x - 2 x 2 + 2 x + 1 có đồ thị (C ). Biết đồ thị (C ) có hai 3

tiếp tuyến cùng vuông góc với đường thẳng d : y = x . Gọi h là khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó. Khẳng định nào sau đây đúng? A. h = 2.

2 . 3

B. h =

C. h =

2 2 . 3

D. h =

4 2 . 3

Câu 30. Cho hàm số y = x 3 - 3 x + 2 có đồ thị (C ). Biết rằng trên (C ) tồn tại hai điểm A, B phân biệt sao cho các tiếp tuyến của (C ) tại A, B có cùng hệ số góc đồng thời đường thẳng đi qua A và B vuông góc với đường thẳng d : x + y - 5 = 0. Tính độ dài đoạn thẳng AB. A. AB = 2.

B. AB = 3 2.

C. AB = 4 2.

D. AB = 5 2.

Câu 31. Cho hàm số y = x - 3mx + 3 (m + 1) x - 2m + 3 có đồ thị (C m ) với m là 3

tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để trên (C m ) có hai điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của (C m ) tại các điểm đó đều vuông góc với đường thẳng d :

1 y = - x + 9. 6 A. m < -1.

é m < -1 . B. ê êm > 1 ë

C. m > 0.

D. m > 2.

Câu 32. Cho hàm số y = x 3 + 6 x 2 + 9 x + 3 có đồ thị (C ). Biết rằng trên (C ) tồn tại hai điểm M , N phân biệt sao cho các tiếp tuyến của (C ) tại M , N có cùng hệ số góc k đồng thời đường thẳng đi qua M và N cắt các trục Ox , Oy tương ứng tại A và B sao cho OA = 2018OB. Hỏi có bao nhiêu giá trị của k thỏa mãn yêu cầu bài toán? A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 2018.

Câu 33. Cho hàm số y = x - 3 x + 1 có đồ thị (C ). Biết rằng trên (C ) tồn tại hai 3

điểm A, B phân biệt sao cho các tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất từ điểm C (1;5) đến đường thẳng AB bằng A. 3 2.

B. 4 2.

C. 6. 6

D. 8.

Câu 34. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + mx + 4 - m có đồ thị (C m ) (với m là tham số).

Đường thẳng d : y = 3 - x cắt một đường cong bất kỳ (C ) trong các đường cong

(C m ) tại ba điểm phân biệt A, I (1;2), B. Các tiếp tuyến tại A và B của (C ) lần

lượt cắt đường cong (C ) tại các

điểm thứ hai là M ( x M ; y M ), N ( x N ; y N ). Tổng

x M + x N bằng

A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. 6.

Câu 35. Cho hàm số y = x - 3 x + 2 có đồ thị (C ). Biết rằng đường thẳng 3

d : y = ax + b cắt (C ) tại ba điểm phân biệt M , N , P . Tiếp tuyến của (C ) tại ba

điểm M , N , P cắt (C ) tại các điểm M ¢, N ¢, P ¢ (tương ứng khác M , N , P ). Khi đó đường thẳng đi qua ba điểm M ¢, N ¢, P ¢ có phương trình là

B. y = (4 a + 9) x + 18 - 8b.

A. y = ax + b.

C. y = -(8a + 18) x + 18 - 8b.

D. y = (4 a + 9) x + 14 - 8b.

Câu 36. Cho hàm số y = x - 3 x + 2 có đồ thị (C ). Biết rằng đường thẳng 3

y = mx + 1 cắt (C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C . Tiếp tuyến của (C ) tại ba điểm

A, B, C cắt (C ) lần lượt tại các điểm A ¢, B ¢, C ¢ (tương ứng khác A, B, C ). Biết

rằng A ¢, B ¢, C ¢ thẳng hàng, tìm giá trị của tham số m để đường thẳng đi qua ba điểm A ¢, B ¢, C ¢ song song với đường thẳng D : y = 9 x + 1. A. m = -1. B. m = 0. C. m = 1.

D. m = 10.

Câu 37. Cho hàm số y = 2 x + 3 x - 4 x + 5 có đồ thị (C ). Trong số các tiếp tuyến 3

của (C ), có một tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, hệ số góc của tiếp tuyến này bằng A. -3,5.

B. -5,5.

C. -7,5.

D. -9,5.

Câu 38. Cho hàm số y = -x + mx + mx + 1 có đồ thị (C ) (với m là tham số). Biết 3

rằng tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của (C ) đi qua gốc tọa độ O. Khẳng định nào sau đây đúng? A. m Î [-5; -3). B. m Î [-3;0). C. m Î [0;3). D. m Î [3;5].

Câu 39. Cho hàm số y = x 3 - 6 x 2 + 9 x -1 có đồ thị (C ). Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C ) cách đều hai điểm A (2;7), B (-2;7) ? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 40. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) : y = -x + 17 x - 66. Một điểm 2

M ( x 0 ; y0 ) chuyển động trên ( P ) theo hướng tăng của hoành độ. Một người quan

sát đứng ở vị trí điểm A (2;0), hãy xác định các giá trị x 0 để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M . 7

A. 4 £ x 0 £ 8.

B. -8 £ x 0 £ 4.

C. -4 £ x 0 £ 8.

D. -8 £ x 0 £ -4.

Câu 41. Cho hàm số f ( x ) = 2 x - x . Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp 2

tuyến tại điểm x 0 Î (0;2) của các đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = f ¢ ( x ). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. k12 + 2 x 0 - x 02 .k2 = -1.

B. k12 + 2 x 0 - x 02 .k2 = 1.

C. k12 - 2 x 0 - x 02 .k2 = -1.

D. k12 - 2 x 0 - x 02 .k2 = 1.

Câu 42. Cho hàm số y = x 4 + (m - 2) x 2 - 2 (m + 2) x + m + 5 có đồ thị là (C m ). Biết rằng mọi đường cong (C m ) đều tiếp xúc nhau tại một điểm. Tiếp tuyến chung của các đường cong (C m ) tại điểm đó có phương trình là A. y = 0.

B. y = -4 x + 4.

C. y = -4.

D. y = -4 x - 4.

Câu 43. Cho hàm số y = x 4 - 2 x 2 có đồ thị (C ). Trên (C ) có ba điểm phân biệt

A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B, C có cùng hệ số góc k. Tập hợp tất

cả các giá trị của k là æ 1 1 ÷ö ; ÷÷. A. çççè 3 3 ÷ø

æ 8 3 8 3 ö÷ ÷ C. çççç 3 ; 3 ÷÷. è ø

æ 8 8ö B. çç- ; ÷÷÷. çè 3 3 ø

æ 8 3 8 3 ö÷ ÷ D. çççç 9 ; 9 ÷÷. è ø

Câu 44. Cho hàm số y = x 4 - 2 x 2 - 3 có đồ thị (C ). Tiếp tuyến của (C ) tại điểm

A cắt đồ thị (C ) tại hai điểm B, C ( B, C ¹ A). Tìm giá trị nhỏ nhất Smin của biểu

thức S = bc + 9a, trong đó a, b, c lần lượt là hoành độ của điểm A, B, C . 3 A. Smin = - . 2

B. Smin = -

Câu 45. Cho hàm số y =

35 . 4

C. Smin = -2 - 3 3.

D. Smin = 6 3 - 2.

x4 5 - 3 x 2 + có đồ thị (C ). Gọi A là điểm thuộc (C ) sao 2 2

cho tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại hai điểm phân biệt B, C khác A thỏa mãn AC = 3 AB (với B nằm giữa A và C ). Độ dài đoạn thẳng OA bằng A.

3 . 2

14 . 2

17 . 2

Phần 2. Tiếp tuyến đi qua điểm cho trước Câu 1. Cho hàm số y =

x +3 có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm trên đường thẳng x +1

d : y = 2 x + 1 mà từ điểm đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C ) ?

A. 1.

B. 2.

C. 3. D. 4. x +1 Câu 2. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Có bao nhiêu số nguyên a để từ x -2 điểm M (a; a ) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) ? 8

A. 1.

B. 2. C. 3. D. 4. x +2 Câu 3. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và điểm A (0; a ). Có bao nhiêu giá trị x +1

nguyên của a trong thuộc [-2018;2018] để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến

(C ) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành? A. 2015.

B. 2016.

C. 2017.

D. 2018.

Câu 4. Biết từ điểm A (-2;3) kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số

x +m với hoành độ các tiếp điểm lần lượt là a và b. Mệnh đề nào sau đây x +1 đúng? 2 4 3 4 A. a + b + ab = - . B. a + b + ab = - . 3 3 2 3 2 11 3 11 C. a + b + ab = - . D. a + b + ab = - . 3 3 2 3 x +1 Câu 5. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và điểm A (a;2). Gọi S là tập hợp tất x -1 y=

cả các giá trị thực của a để có đúng hai tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm A và có hệ số góc k1 , k2 thỏa mãn k1 + k2 + 10 k12 k2 2 = 0. Tổng giá trị tất cả các phần tử của

S bằng 7- 5 5- 5 7 . . C. D. . 2 2 2 x +m Câu 6. Cho hàm số y = (với m là tham số thực) có đồ thị (C ) và điểm x -2

A. 7.

A (4;2). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để từ A kẻ được hai tiếp tuyến

đến (C ) và góc giữa hai tiếp tuyến là 60 0. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. -2.

B. 2.

Câu 7*. Cho hàm số y =

C. -

75 . 16

x +m ( m là tham số) có đồ thị (C ). Gọi S là tập tất cả x -2

các giá trị của tham số m để từ điểm A (1;2) kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC đến

đồ thị (C ) sao cho tam giác ABC đều ( B, C là các tiếp điểm). Tổng các phần tử của S bằng 9 3 B. - . C. - . D. 5. 2 2 x +1 Câu 8*. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị x -2

A. -5.

thực của tham số a để từ điểm M (a; a ) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) sao cho AB = 15 (với A, B là các tiếp điểm). Tổng các phần tử của S bằng

A. 0.

B. 3. C. 6. D. 9. x +3 Câu 9. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Điểm M thay đổi thuộc đường thẳng x -1

d : y = 1 - 2 x sao cho từ M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (C ) với hai tiếp

điểm tương ứng là A, B. Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định là

K . Độ dài đoạn thẳng OK bằng B.

29. A. 34. D. 58. x +m Câu 10*. Cho hàm số y = (với m là tham số thực) có đồ thị (C ) và điểm x -2 10.

A (4;2). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để từ A kẻ được hai tiếp tuyến

đến (C ) với M , N là các tiếp điểm và tam giác AMN có diện tích bằng

3. Tổng

các phần tử của S bằng A. -2.

B. - 3 2.

C. 3 2. D. 2. 1 3 Câu 11. Cho parabol ( P ) : y = x 2 - x + và đường thẳng d : x - y -1 = 0. Qua 2 2 điểm M tùy ý trên d kẻ 2 tiếp tuyến MT1 , MT2 tới ( P ) (với T1 , T2 là các tiếp

điểm). Biết đường thẳng T1T2 luôn đi qua điểm I (a; b ) cố định. Phát biểu nào sau đây đúng? A. b Î (-1;3).

B. a < b.

C. a + 2b = 5.

D. ab = 9.

Câu 12. Cho hàm số y = 3 x - x 3 có đồ thị (C ) và điểm A (m; -m ). Tập hợp tất cả các giá trị m để từ điểm A kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C ) là tập S = (a; b ). Tính P = a 2 + b 2 .

A. P = 2.

B. P = 4.

C. P = 6.

D. P = 8.

Câu 13. Cho hàm số y = x - 3 x + 2 có đồ thị (C ). Hỏi có bao nhiêu điểm trên 3

đường thẳng d : y = 9 x -14 sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) ? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 14. Cho hàm số y = x - 3 x có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm có tọa độ 3

nguyên thuộc đường thẳng x = 2 kẻ được ít nhất hai tiếp tuyến đến (C ) ? A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

Câu 15. Cho hàm số y = x - 2 x + (m -1) x + 2m có đồ thị (C ). Gọi S là tập tất cả 3

các giá trị thực của tham số m để từ điểm M (1;2) có thể kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C ). Tổng các phần tử của tập S bằng A.

217 . 81

217 . 27

217 . 9

217 . 3

Câu 16. Cho hàm số

y = x 3 + 3x 2 - 2

có đồ thị (C ). Trên đường thẳng

d : y = 9 x - 7 có bao nhiêu điểm với hoành độ nguyên thuộc đoạn [0;10 ] mà từ đó

kẻ được đúng ba tiếp tuyến đến (C ) ? A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

Câu 17. Cho hàm số y = -x + 3 x + 2 có đồ thị là (C ). Tìm điểm M thuộc trục 3

hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến (C ) mà trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc. æ 28 ö A. M çç- ;0÷÷÷. çè 27 ø

æ 27 ö B. M çç- ;0÷÷÷. çè 28 ø

æ 27 ö C. M çç ;0÷÷÷. çè 28 ø

æ 28 ö D. M çç ;0÷÷÷. çè 27 ø

Câu 18. Cho hàm số y = x 4 - 4 x 2 + 2 có đồ thị (C ) và điểm A (0; a ). Tập tất cả các

giá trị của tham số a để từ điểm A kẻ được bốn tiếp tuyến đến (C ) là khoảng

(a; b ). Tổng a + b bằng A.

10 . 3

14 . 3

16 . 3

19 . 3

Câu 19. Cho hàm số y = x 4 - x 2 + 1 có đồ thị (C ) và điểm A (0; a ). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ). A. a Î (-¥;1). æ 3ö æ3 ö C. a Î çç-¥; ÷÷÷ È çç ;1÷÷÷. çè 4 ø çè 4 ø

ì13 ï ü ï B. a Î (-¥;1) È í ý. ï ï12 ï ï î þ æ ö÷ æ 3 ÷ö ì 3 13 ü D. a Î çç-¥; ÷÷ È çç ;1÷÷ È ï í ï ý. çè ç ï12 þ ï 4ø è4 ø î ï ï

Câu 20. Cho hàm số y = x + 4 x 2 + 2 x + 1 có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm thuộc trục tung có tung độ nguyên mà từ điểm đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến

(C ) ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

Phần 3. Tiếp tuyến hàm ẩn Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C ) như hình vẽ bên, d1 và d 2 là các tiếp tuyến

(C ). Dựa vào hình vẽ, hãy tính P = 3 f ¢ (0) + 2 f ¢ (1).

của

A. P = -8. C. P = 3.

B. P = -6. D. P = 8.

D. 4.

Câu 2. Cho hàm số f ( x ) có đồ thị là đường cong (C ),

hàm f ¢ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Tiếp tuyến của (C ) tại

điểm có hoành độ bằng 1 cắt (C ) tại hai điểm A, B phân biệt lần lượt có hoành độ là a, b. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau B. a 2 + b 2 = 10. ax + b Câu 3. Cho hàm số f ( x ) = cx + d A. a, b < 3.

C. a 2 + b 2 > 10.

D. a - b ³ 0.

B. x + 4 y - 3 = 0.

C. x - 4 y - 3 = 0. D.

(a, b, c , d Î  ; c ¹ 0, d ¹ 0) có đồ thị (C ). Đồ thị của hàm số f ¢ ( x ) như

hình vẽ bên. Biết (C ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3. Tiếp tuyến của (C ) tại giao điểm của (C ) với trục hoành có phương trình là A. x + 4 y + 3 = 0. x - 3 y + 3 = 0.

Câu 4. Cho hàm số y = x 2 + 2 x + 1 có đồ thị (C )

và M là điểm di chuyển trên (C ); Mt , Mz là các đường thẳng đi qua M sao cho Mt song song với trục tung đồng thời tiếp tuyến của (C ) tại M là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Mt , Mz . Khi M di chuyển trên (C ) thì Mz luôn đi qua điểm cố định nào sau đây? æ æ 1ö 1ö A. M 0 çç-1; ÷÷÷. B. M 0 çç-1; ÷÷÷. çè çè 4ø 2ø C. M 0 (-1;1).

D. M 0 (-1;0).

Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x = 1. Gọi d1 , d 2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) = xf (2 x -1) tại điểm có hoành độ

x = 1. Biết rằng hai đường thẳng d1 , d 2 vuông góc nhau, khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 < f (1) < 2. B. f (1) £ 2. C. f (1) ³ 2 2.

D. 2 £ f (1) < 2 2.

Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm, liên tục trên . Gọi d1 , d 2 lần lượt là

tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x 4 ) và y = g ( x ) = x 3 f (6 x - 5) tại điểm có 12

hoành độ bằng 1. Biết rằng hai đường thẳng d1 , d 2 có tích hệ số góc bằng -6, giá trị nhỏ nhất của Q = f (1) - 3 f (1) + 2 bằng 3

A. 3.

B. 4.

C. 8.

D. 2.

Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

é f ( x )ù + 6 f ( x ) = -3 x + 10 với mọi x Î . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm ë û 3

số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = 1 là A. y = x .

B. y = -x + 2.

C. y =

1 2 x+ . 3 3

1 4 D. y = - x + . 3 3

Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

f (2 x ) = 4 f ( x ) cos x - 2 x với mọi x Î . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f ( x ) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.

A. y = 2 - x .

B. y = -x .

C. y = x .

D. y = 2 x -1.

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

f (1 - x ) + f 2 (1 + 2 x ) = 4 f 2 (1 + 3 x ) - 7 x - 2 và f ( x ) > 0 với mọi x Î . Tiếp tuyến của

đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm nào sau đây? A. (-1;1).

B. (1;3).

C. (2;4 ).

D. (-2;0).

Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn f 2 (3 - x ) = x - f 3 (3 - 2 x ) với mọi x Î . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại

điểm có hoành độ bằng 3 đi qua điểm nào sau đây? A. (1;0).

B. (-1;0).

C. (4;1).

D. (4;3).

Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

é f (1 + 2 x )ù = x - é f (1 - x )ù với mọi x Î . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm ë û ë û 2

số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = 1 là

1 6 1 8 A. y = - x - . B. y = x - . 7 7 7 7

1 8 C. y = - x + . 7 7

6 D. y = -x + . 7

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

2 f (2 x ) + f (1 - 2 x ) = 12 x 2 với mọi x Î . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = 1 là A. y = 2 x + 2.

B. y = 4 x - 6.

C. y = 2 x -1.

D. y = 4 x - 2.

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

f 2 ( x ) = ( x 2 - 2 x + 5) f (2 - x ) và f ( x ) ¹ 0 với mọi x Î . Gọi d1 , d 2 là hai tiếp tuyến

của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại các điểm có hoành độ 0 và 2. Biết d1 cắt d 2 tại

M , độ dài đoạn OM bằng 13

A. OM = 5.

B. OM = 10.

C. OM = 17.

D. OM = 26.

Câu 14. Cho các hàm số y1 = f ( x ), y2 = f ( f ( x )), y3 = f ( x + 4 ) có đồ thị lần lượt 2

là (C1 ), (C 2 ), (C 3 ). Đường thẳng x = 1 cắt (C1 ), (C 2 ), (C 3 ) lần lượt tại M , N , P .

Biết phương trình tiếp tuyến của (C1 ) tại M và của (C 2 ) tại N lần lượt là y = 3 x + 2 và y = 12 x - 5. Phương trình tiếp tuyến của (C 3 ) tại P là

A. y = 8 x -1.

B. y = 8 x + 16.

C. y = 8 x + 1.

D. y = 3 x + 4.

Câu 15. Cho các hàm số y1 = f ( x ), y2 = f ( f ( x )), y3 = f ( x + 6) có đồ thị lần lượt 2

là (C1 ), (C 2 ), (C 3 ). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 của

(C1 ), (C 2 ) tương ứng là y = 2 x + 3, y = 8 x + 11. Khi đó tiếp tuyến tại điểm có

hoành độ bằng 1 của (C 3 ) đi qua điểm nào sau đây? A. M (14;26).

B. N (3;43).

C. P (4;23).

D. Q (10;26).

Câu 16. Cho các hàm số y1 = f ( x ), y2 = f éë f ( x - 2)ùû y3 = f ( x 2 - 2) có đồ thị lần

lượt là (C1 ), (C 2 ), (C 3 ). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của

(C1 ) là y = x + 1, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 3 của (C 2 )

là y = 4 x + 6. Khi đó tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 của (C 3 ) đi qua điểm nào sau đây? A. M (4;36).

B. N (1;2).

C. P (4;2).

D. Q (1;6).

Câu 17. Đồ thị các hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y = f ( x ) g ( x ) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. f (0) - g (0) = 1. B. f (0) - g (0) = -1. C. f (0) + g (0) = -1.

D. f (0) + g (0) = 1.

Câu 18. Đồ thị hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y =

f (x ) có tiếp tuyến tại điểm có g (x )

hoành độ x = 0 có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 1 1 A. f (0) < . B. f (0) £ . C. f (0) > . D. f (0) ³ . 4 4 4 4 f (x )+ 3 Câu 19. Đồ thị các hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y = có tiếp tuyến tại g (x )+ 3 điểm có hoành độ x = 1 có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 11 11 11 11 A. f (1) £ - . B. f (1) < - . C. f (1) > . D. f (1) ³ . 4 4 4 4

Câu 20. Đồ thị các hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y =

f ( x )- 8 có tiếp tuyến tại 8 - 3 g (x )

điểm có hoành độ x = m có cùng hệ số góc và khác 0. Giá trị nhỏ nhất của f (m ) bằng A.

5 . 4

B. 2.

95 . 12

Câu 21. Đồ thị các hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y =

f (x )

97 . 12

15 + 3 g ( x )

có tiếp tuyến

tại điểm có hoành độ x = m có cùng hệ số góc và khác 0. Giá trị lớn nhất của f (m ) bằng

A. 3.

10 . 3 3

1 . 4 2

Câu 22. Đồ thị các hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y =

1 . 4 3

f (x ) có tiếp tuyến tại điểm g (x )

có hoành độ x = 2 có hệ số góc lần lượt là k1 , k2 , k3 thỏa mãn k1 = k2 = 2 k3 ¹ 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 A. f (2) £ . B. f (2) > . 2 2

1 C. f (2) < . 2

1 D. f (2) ³ . 2

Câu 23. Tiếp tuyến của đồ thị các hàm số y1 = f ( x ), y2 = f ( x 2 ) và y3 =

f (x )

f (x 2 )

tại

điểm có hoành độ x = 1 có hệ số góc lần lượt là k1 , k2 , k3 cùng khác 0 và thỏa mãn k1 + 2 k2 = 3k3 . Tính f (1).

4 A. f (1) = - . 5

3 B. f (1) = - . 5

1 C. f (1) = - . 5

2 D. f (1) = . 5

Câu 24. Cho hàm số y = x 3 - 3 x có đồ thị là (C ). Tiếp tuyến của (C ) tại M (a; b )

cắt (C ) tại điểm thứ hai M 1 ( M 1 ¹ M ). Tiếp tuyến của (C ) tại M 1 cắt (C ) tại

điểm thứ hai M 2 ( M 2 ¹ M 1 ). Tiếp tuyến của (C ) tại M 2 cắt (C ) tại điểm thứ hai M 3 ( M 3 ¹ M 2 ). Biết M 3 thuộc đường thẳng d : -60 x + y + 8 = 0 . Hỏi có bao nhiêu

điểm M thỏa mãn tính chất trên? A. 0. B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 25. Cho hàm số y = x - 2018 x có đồ thị là (C ). Tiếp tuyến của (C ) tại 3

M 1 (1; -2017) cắt (C ) tại điểm thứ hai M 2 ( M 2 ¹ M ). Tiếp tuyến của (C ) tại M 2

cắt (C ) tại điểm thứ hai M 3 ( M 3 ¹ M 2 ). Cứ như thế, tiếp tuyến của (C ) tại M n-1

cắt (C ) tại điểm thứ hai M n ( M n ¹ M n-1 ) (n = 4;5;...). Gọi ( x n ; yn ) là tọa độ điểm M n , tìm n để 2018 x n + yn + 2 2019 = 0.

A. n = 627.

B. n = 647.

C. n = 674. 15

D. n = 675.

Phần 1. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số Câu 1. Cho hàm số y =

2x +1 có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm thuộc (C ) mà x -2

tiếp tuyến của (C ) tại điểm đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích

2 ? 5 A. 1.

bằng

B. 2.

C. 3.

D. 4.

æ 2 x + 1ö÷ 2x +1 5 ÷÷ Î (C ) là d : y = Lời giải. Tiếp tuyến tại M ççç x 0 ; 0 (x - x0 )+ 0 . 2 ÷ x0 - 2 ø x0 - 2 èç ( x 0 - 2)

æ 2 x 2 + 2 x - 2 ö÷ æ 2 x 2 + 2 x 0 - 2 ö÷ ç 0 ÷÷. ;0÷÷ và d Ç Oy = B çç0; 0 Ta có d Ç Ox = A ççç 0 2 ççè ÷ çè 5 ø ( x 0 - 2) ÷÷ø

(2 x 02 + 2 x 0 - 2) 2 éê x 0 = -3 Þ M (-3;1) 1 Theo đề: SDOAB = OA.OB = = Ûê . Chọn B. 2 2 5 10 ( x 0 - 2) êë x 0 = 1 Þ M (1; -3) x +1 Câu 2. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm thuộc (C ) mà x -2 2

tiếp tuyến của (C ) tại điểm đó cắt trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B thỏa

3OA = OB ? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Cách 1 giải như câu trên. Cách 2. Do tiếp tuyến tại cắt trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B nên tiếp tuyến có hệ số góc k với k =

OB -3 = 3. Ta có y ¢ = < 0 nên k = -3. 2 OA ( x - 2)

é x = 3 Þ M (3;4 ) = -3 Û êê . Chọn B. ( x - 2) êë x = 1 Þ M (1; -2) x +3 Câu 3. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và điểm M ( x 0 ; y0 ) thuộc (C ). Tiếp 2 ( x + 1)

Khi đó

-3

tuyến của (C ) tại điểm M cắt trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B sao cho đường trung trực của AB đi qua gốc tọa độ O. Biết điểm B có tung độ dương, độ dài đoạn AB bằng A.

2 . 2

3 2 . 2

D. 3 2.

Lời giải. Tam giác OAB vuông tại O và trung trực của AB đi qua O nên tam giác OAB vuông cân tại O. Suy ra tiếp tuyến có hệ số góc k với k = 1

OB = 1. OA

Ta có y ¢ =

-4

4 ( x 0 + 1)

< 0 nên k = -1.

é æ 3 ö Pttt 3 ê x 0 = 0 Þ M çç0; ÷÷ ¾¾® y = -x + ÷ ç ê è ø 2 2 -4 Khi đó = -1 Û ê . 2 ê æ ö 1 5 4 ( x 0 + 1) Pttt ê x = -2 Þ M çç-2; - ÷÷ ¾¾® y = -x ê 0 çè 2 ÷ø 2 ë æ3 ö æ 3ö 3 2 . Chọn B. Suy ra A çç ;0÷÷÷, B çç0; ÷÷÷ nên AB = çè 2 ø çè 2 ø 2

Câu 4. Cho hàm số y =

2x có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm thuộc (C ) mà x -2

tiếp tuyến của (C ) tại điểm đó cắt trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có trọng tâm thuộc đường thẳng d : y = x ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. æ 2a ö÷ 4 2a Î C là d : y = Lời giải. Tiếp tuyến tại M çça; . (x - a) + 2 çè a - 2 ÷÷ø ( ) a -2 (a - 2 )

æ æ a2 æ a2 ö 2a 2 ö÷÷ 2a 2 ÷÷ö ç çç Ta có d Ç Ox = A çç ;0÷÷÷ và d Ç Oy = B çç0; Suy ra trọng tâm . G ; ÷ ÷. ç ççè (a - 2)2 ÷÷ø ççè 6 3 (a - 2)2 ÷÷ø çè 2 ÷ø é a = 0 (loaïi do A º B ) a2 2a 2 = Û êê . Chọn A. Theo đề: G Î d nên 2 6 3 (a - 2 ) ëa = 4 x +2 Câu 5. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Đường thẳng d : y = ax + b là tiếp 2x + 3 tuyến của (C ) cắt trục tọa độ Ox , Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB là tam giác vuông cân tại O. Tổng a + b bằng A. -3. B. -2. C. -1.

D. 0. x +2 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: ax + b = 2x + 3 Û 2ax 2 + (3a + 2b -1) x + 3b - 2 = 0.

(* )

Để đường thẳng d là tiếp tuyến của (C ) Û phương trình (*) có nghiệm kép

Û D = (3a + 2b -1) - 8a (3b - 2) = 0. 2

Do d tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên a = 1 hoặc a = -1. thay vaøo D • Với a = 1 ¾¾¾¾ ® (2b + 2) - 8 (3b - 2) = 0 Û 4b 2 -16b + 20 = 0 : vô nghiệm.

thay vaøo D • Với a = -1 ¾¾¾¾ ® (2b - 4 ) + 8 (3b - 2) = 0 = 0 Û b = -2 hoặc b = 0.

Loại b = 0 vì khi đó d đi qua gốc tọa độ. Vậy a + b = -3. Chọn A.

Câu 6. Cho hàm số y =

x +3 có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm M thuộc (C ) mà x +1

tiếp tuyến của (C ) tại M cắt trục hoành tại N thỏa mãn tam giác OMN vuông? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. • Điểm M thuộc trục Oy. Khi đó M (0;3) thỏa yêu cầu bài toán. • Điểm M không thuộc trục Oy. Do đồ thị hàm số y =

x +3 không tồn tại tiếp x +1

tuyến song song với trục tung nên tam giác OMN vuông tại M .  æ m + 3 ö÷   . M Gọi M ççm; Tam giác vuông tại nên OM cùng phương với n ( n OMN ÷ çè m + 1 ø÷ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng MN ). Hệ số góc của tiếp tuyến là k = -

ö÷  æçç 2 ÷÷. Suy ra n = ;1 . çç 2 2 ç m + 1 m + 1 ) ÷÷ø ( ) è( 2

2   m (m + 1) m +3 3 = Û m (m + 1) = 2 (m + 3) Khi đó: OM  n Û 2 m +1

ém = 1 Û m 4 + 3m 3 + 3m 2 - m - 6 = 0 Û (m 3 + 4 m 2 + 7m + 6)(m -1) = 0 Û ê . ê m = -2 ë

Vậy có ba điểm: M (0;3), M (1;2), M (-2; -1) thỏa yêu cầu bài toán. Chọn C.

Câu 7. Cho hàm số

-x + 1 2 x -1

có đồ thị (C ). Với mọi m

đường thẳng

d : y = x + m luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số

góc của tiếp tuyến của (C ) tại A, B. Giá trị lớn nhất của k1 + k2 bằng A. -6.

B. -4.

C. -2. D. -1. -x + 1 Lời giải. Phtrình hoành độ giao điểm: = x + m Û 2 x 2 + 2mx - m -1 = 0. (*) 2 x -1 Ta có D¢ = m 2 + 2m + 2 > 0, "m. Do đó d luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt. ì x1 + x 2 = -m ï ï Giả sử A ( x1 ; x1 + m ), B ( x 2 ; x 2 + m ) là tọa độ giao điểm. Suy ra ïí -m -1 . ï x1 x 2 = ï ï 2 î 1 1 Khi đó k1 = y ¢ ( x1 ) = và k2 = y ¢ ( x 2 ) = . 2 2 (2 x1 -1) (2 x 2 -1)

Ta có k1 + k2 = -

(2 x1 - 1)

(2 x 2 - 1)

-4 ( x 1 + x 2 ) + 4 ( x 1 + x 2 ) + 8 x 1 x 2 - 2

-4 m 2 - 4 m - 4 (m + 1) - 2 é-2 (m + 1) + 2m + 1ù ë û

é 4 x1 x 2 - 2 ( x1 + x 2 ) + 1ù ë û

= -4 m 2 - 8m - 6 = -4 (m + 1) - 2 £ -2. 2

Dấu '' = '' xảy ra Û m = -1. Chọn C. 3

Câu 8. Cho hàm số

2x + 3 x +2

có đồ thị (C ). Với mọi m

đường thẳng

d : y = -2 x + m luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ

số góc của tiếp tuyến của (C ) tại A, B. Biểu thức P = k12018 + k22018 đạt giá trị nhỏ nhất khi A. m = -3.

B. m = -2.

C. m = 2. D. m = 3. 2x + 3 Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: = -2 x + m x +2 Û 2 x 2 + (6 - m ) x + 3 - 2m = 0. (*) Ta có D¢ = m 2 + 4 m + 12 > 0, "m. Do đó d luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt.

ì m -6 ï ï x1 + x 2 = ï ï 2 . Giả sử A ( x1 ; -2 x1 + m ), B ( x 2 ; -2 x 2 + m ) là tọa độ giao điểm. Suy ra ïí ï 3 - 2m ï x1 x 2 = ï ï 2 ï î 1 1 Khi đó k1 = y ¢ ( x1 ) = và k2 = y ¢ ( x 2 ) = . 2 2 ( x1 + 2 ) ( x 2 + 2)

Ta có k1 .k2 =

( x1 + 2 ) ( x 2 + 2 ) 2

( x1 x 2 + 2 x1 + 2 x 2 + 4 )

Áp dụng BĐT Côsi ta có: P = k12018 + k22018 ³ 2 (k1 k2 )

2018

Dấu '' = '' xảy ra Û k1 = k2 Û

( x1 + 2 ) é x1 = x 2 (loaïi) ê

= 4.

= 2 2019.

Û ( x1 + 2 ) = ( x 2 + 2 ) 2

( x 2 + 2)

Ûê Þ m = -2. Chọn B. êë x1 + x 2 = -4 2 x -1 Câu 9. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và M là điểm di động trên (C ). Gọi x -1

k là hệ số góc của tiếp tuyến của (C ) tại M . Biết hoành độ của M thuộc đoạn é3 5ù ê ; ú . Tổng GTNN và GTLN của biểu thức P = k 2 + 3k bằng êë 2 2 úû

7 7 116 . C. . D. . 2 4 81 æ 2a -1ö÷ é3 5ù 1 Lời giải. Gọi M çça; với a Î ê ; ú . Ta có k = y ¢ (a ) = . 2 çè a -1 ÷÷ø ëê 2 2 ûú (a -1)

A. 2.

Do đó P = k 2 + 3k =

(a -1)

é3 5ù é1 9ù 1 3 2 Đặt t = (a -1) , vì a Î ê ; ú nên t Î ê ; ú . Khi đó P = 2 - = g (t ). t t ëê 2 2 ûú ëê 4 4 ûú

g¢

2/3

1/ 4 -

9/4 +

9 4

92 81

9 Suy ra GTNN của P bằng - ; GTLN của P bằng 4. Chọn C. 4 2x -3 Câu 10. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Biết tiếp tuyến tại M của (C ) cắt x -2

hai tiệm cận của (C ) tại A và B sao cho AB ngắn nhất. Khi đó, độ dài lớn nhất  của vectơ OM bằng A.

D. 4. æ 2m - 3 ÷ö Î C . Lời giải. Đồ thị (C ) có TCĐ: x = 2; TCN: y = 2. Gọi M ççm; çè m - 2 ÷÷ø ( ) 2.

B. 2 2.

C. 3 2.

Phương trình tiếp tuyến tại M là D : y = -

(m - 2 )

( x - m) +

æ 2m - 2 ö÷ ; D Ç TCN = B (2m - 2;2). Ta có D Ç TCĐ = A çç2; çè m - 2 ÷÷ø é ù 1 2 ú ³ 8. Khi đó AB 2 = 4 êê(m - 2) + 2ú êë (m - 2) úû

2m - 3 . m -2

é  é M (3;3) ê OM = 3 2 ém = 3 Dấu " = " xảy ra Û (m - 2) = Ûê Þ êê Þ ê  . Chọn C. 2 ê êm = 1 M 1;1 ( ) (m - 2 ) ë ê OM = 2 ëê ë 2x -3 Câu 11. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Gọi I là giao điểm của hai đường x -2 2

tiệm cận. Biết tiếp tuyến tại M của (C ) cắt hai tiệm cận của (C ) tại A và B. Hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất bằng A.

2p.

B. 2p.

C. 4 p.

D. 8p.

Lời giải. Tam giác IAB vuông tại I nên hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB có AB nhỏ nhất. Khi đó Rmin = 2. Chọn B. 2 2x +1 Câu 12. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Gọi I là giao điểm của hai đường x -1

diện tích nhỏ nhất Û R =

tiệm cận. Biết tiếp tuyến tại M của (C ) cắt hai tiệm cận của (C ) tại A và B. Tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất bằng A. 4 3 + 2 6.

B. 2 3 + 6.

C. 6 3. 5

D. 6 6.

Lời giải. Giao điểm hai tiệm cận là I (1;2).

ì 6 ï ïìï æç 2m + 4 ö÷ ï IA = ÷÷ ï ïï A çç1; ï m -1 Þ IA.IB = 12. è ø m 1 . Suy ra í Như các bài trên tìm được í ïï ï ï ïïîB (2m -1; 2) ï ï îIB = 2 m -1

Ta có: PDABC = IA + IB + IA 2 + IB 2 ³ 2 IA.IB + 2 IA.IB = 4 3 + 2 6. Chọn A. Câu 13. Cho hàm số y =

x -2 có đồ thị (C ). Gọi I là giao điểm của hai đường x +1

tiệm cận. Biết tiếp tuyến tại M của (C ) cắt hai tiệm cận của (C ) tại A và B. Tam giác IAB có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất bằng A. 2 3 - 6.

B. 2 3 + 6.

C. 2 6.

D. 4 3. 1 = IA.IB = 6 không đổi. 2

Lời giải. Như bài trên ta có IA.B = 12. Suy ra SDIAB

® r lớn nhất khi p nhỏ nhất (tương tự bài trên). Mà SDIAB = p.r ¾¾ SDIAB IA.IB IA.IB = £ = 2 3 - 6. Chọn A. 2 2 p 2 IA . IB + 2.IA.IB IA + IB + IA + IB 2 x -1 Câu 14. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và điểm M ( x 0 ; y0 ) (với x 0 > 1 ) thuộc 2x - 2

Do đó r =

(C ). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Biết tiếp tuyến của (C ) tại M cắt tiệm cận

đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa SDOIB = 8SDOIA . Tổng x 0 + 4 y0 bằng A. S =

23 . 4

B. S =

53 . 4

C. S = 2.

Lời giải. Phương trình tiếp tuyến D : y = -

D. S = 8.

(2 x 0 - 2 )

(x - x0 )+

2 x 0 -1 . 2x0 - 2

æ x ö Ta có D Ç TCĐ = A ççç1; 0 ÷÷÷ ; D Ç TCN = B (2 x 0 -1;1). èç x 0 -1÷ø

1 1 Từ giả thiết: SDOIB = 8SDOIA Û .OI .d [ B, OI ] = 8´ .OI .d [ A, OI ] Û d [ B, OI ] = 8.d [ A, OI ]. 2 2

Đường thẳng chứa hai điểm O (0;0) và I (1;1) có phương trình OI : x - y = 0. Khi đó d [ B, OI ] = 8.d [ A, OI ] Û

2x0 - 2

= 8.

x0 x 0 -1

Û x 0 -1 = 4.

1 x 0 -1

2 2 é x = 3 5 2 0 Û ( x 0 -1) = 4 Û êê Þ y0 = . Suy ra S = x 0 + 4 y0 = 8. Chọn D. 4 êë x 0 = -1(loaïi) x -1 Câu 15. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và M là điểm thuộc (C ) có hoành x +2

độ bằng m - 2. Tiếp tuyến của (C ) tại M cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận 6

ngang của (C ) lần lượt tại A ( x1 ; y1 ) và B ( x 2 ; y2 ). Gọi S là tập hợp các giá trị m sao cho x 2 + y1 = -5. Tổng bình phương các phần tử của S bằng A. -2. B. 4. C. 10. D. 13. 3 m -3 Lời giải. Phương trình tiếp tuyến D : y = 2 ( x - m + 2) + . m m æ m - 6 ö÷ Ta có D Ç TCĐ = A çç-2; ÷ ; D Ç TCN = B (2m - 2;1). çè m ÷ø Khi đó x 2 + y1 = -5 Û 2m - 2 +

é m1 = 1 m -6 = -5 Û ê Þ m12 + m22 = 10. Chọn C. ê m2 = -3 m ë

2 x -1 có đồ thị (C ). Trong các cặp tiếp tuyến của (C ) x +1

Câu 16. Cho hàm số y =

song song với nhau thì khoảng cách lớn nhất giữa chúng bằng A. 2 3.

B. 2 6. C. 4 3. D. 4 6. æ 2a -1ö÷ æ 2b -1ö÷ Lời giải. Gọi A çça; và B ççb; là hai điểm thuộc (C ). Giả sử tiếp tuyến çè a + 1 ÷ø÷ çè b + 1 ÷ø÷ tại

song song với tiếp éb = a (loaïi) æ 2a + 5 ö÷ y ¢ (a ) = y ¢ (b ) Þ êê Þ B çç-a - 2; ÷. ç è a + 1 ø÷ ëb = -a - 2

tuyến

tại

nên

Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại A là D: y =

(a + 1)

Khi đó d [ B, D] =

(x - a) +

12 a + 1

9 + (a + 1)

Câu 17. Cho hàm số y =

2a -1 a +1

hay

3 x - (a + 1) y + 2a 2 - 2a -1 = 0. 2

12 9

+ (a + 1)

(a + 1)

£ 2 6. Chọn B.

x -1 có đồ thị (C ). Gọi A, B là hai điểm thuộc (C ) sao x +1

cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất từ điểm M (2;3) đến đường thẳng AB bằng A. 3 2.

11.

13.

Lời giải. Hoành độ của A, B là nghiệm phương trình y ¢ = k Û 2 é ù x -1 x -1 - ëê k ( x + 1) - 2ûú = = -k ( x + 1) + 1. Khi đó y = x +1 x +1

Suy ra phương trình đường thẳng AB : k ( x + 1) + y -1 = 0. Ta có d [ M , AB ] =

3k + 2

( x + 1)

æ3ö = f (k ) £ max f (k ) = f çç ÷÷÷ = 13. Chọn C. çè 2 ø (0;+¥) k +1 2

3 . 2 2

= k Þ k > 0.

Nhận xét. Bài này hay ở chỗ biến đổi để đưa ra đường thẳng AB. Câu 18. Cho hàm số y =

2 x -1 có đồ thị (C ). Gọi A ( x1 ; y1 ), B ( x 2 ; y2 ) (với x1 > 0, x +1

x 2 < 0 ) là hai điểm phân biệt thuộc (C ) sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A và B

song song với nhau. Biết khoảng cách AB = 2 10, tổng x1 + x 2 bằng A. -4.

B. -2.

C. 2.

D. 4.

Lời giải. Ta có y ¢ ( x1 ) = y ¢ ( x 2 ) = k nên x1 , x 2 là nghiệm phương trình 3

( x + 1)

= k Û kx 2 + 2 kx + k - 3 = 0.

(* )

Để tồn tại các điểm A, B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song nhau Û ì ïk ¹ 0 Û k > 0. phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt Û ï í ï ï îD¢ > 0

Khi đó AB = ( x1 - x 2 ) + ( y1 - y2 ) = ( x1 - x 2 ) + 2

9 ( x1 - x 2 )

( x1 + 1) ( x 2 + 1) 2

= 2 10

é k = 3 ¾¾ ® A (0; -1), B (-2;5) : (loaïi) ê 12 12 k 2 ê Û + 9. . = 40 Û . Chọn B. ê k = 1 ¾¾ k k 9 ® A (2;1), B (-4;3) ê 3 ë x +1 Câu 19. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Gọi A ( x1 ; y1 ), B ( x 2 ; y2 ) là hai điểm 2 x -1

phân biệt thuộc (C ) sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A và B có cùng hệ số góc k. 1 , mệnh đề nào sau đây đúng? 2 A. k < - 9. B. - 9 £ k < - 6. C. - 6 £ k < - 3. D. - 3 £ k < 0. é x 2 = x1 (loaïi) . Lời giải. Theo giả thiết ta có: k = y ¢ ( x1 ) = y ¢ ( x 2 ) Þ êê êë x 2 = 1 - x1 1 1 Diện tích tam giác OAB là S = x1 y2 - x 2 y1 = Û x1 y2 - x 2 y1 = 1 2 2 æ x + 1 ö÷ æ x + 1 ö÷ æ 2 - x1 ö÷ æ x + 1 ö÷ ÷÷ - x 2 çç 1 ÷÷ = 1 Û x1 .çç ÷÷ - (1 - x1 )çç 1 ÷ Û x1 .ççç 2 ç ç çèç 2 x -1ø÷÷ = 1 èç 2 x 2 -1ø÷ èç 2 x1 -1ø÷ èç1 - 2 x1 ø÷ 1

Biết diện tích tam giác OAB bằng

é x 1 = -1 ê ék = -3 êx = 0 ê 2 2 Û -x1 + 2 x1 + 1 - x1 = 1 - 2 x1 Û êê 1 ¾¾ ®ê ® k Î [-3;0). Chọn D. 1 ¾¾ êk = ê x1 = 1 êë 3 êx = 2 êë 1 2x Câu 20. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Biết trên (C ) có hai điểm phân biệt x +2

A, B sao cho khoảng cách từ điểm I (-2;2) đến tiếp tuyến của (C ) tại các điểm A, B là lớn nhất. Độ dài đoạn thẳng AB bằng 8

A. 2 2.

B. 4. C. 4 2. D. 8. æ 2a ö÷ Lời giải. Gọi A çça; là điểm thuộc (C ). Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại çè a + 2 ÷÷ø A là 4 2a 2 hay d : 4 x - (a + 2) y + 2a 2 = 0. d:y= (x - a) + 2 a + 2 (a + 2 ) Ta có d [ I , d ] =

8 a +2

16 + (a + 2)

8 a +2

2 16 (a + 2)

= 2 2.

é a = 0 Þ A (0;0) 4 Þ AB = 4 2. Chọn C. Dấu '' = '' xảy ra Û (a + 2) = 16 Û êê êë a = -4 Þ B (-4;4 )

Câu 21. Cho hàm số y = x 3 - mx + 1 - m có đồ thị (C m ). Gọi M là điểm có hoành độ bằng 0 và thuộc (C m ). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến của (C m ) tại M cắt trục hoành tại N sao cho MN = 2 2.

{ } m Î {1; -3 ± 2 2 }.

{ } m Î {1;2 ± 3 }.

A. m Î -1;3 ± 2 2 .

B. m Î -1;2 ± 3 .

Lời giải. Phương trình tiếp tuyến tại M (0;1 - m ) là d : y = -mx + 1 - m. æ1 - m ö÷ æ1 - m ö÷ 2 ;0÷÷. Theo đề: MN = 2 2 Û çç Ta có d Ç Ox = N çç ÷÷ + (1 - m ) = 8 çè m ç ø è m ø é m = -1 ê 1 2 Û m 2 + 2 - 2m - + 2 = 8 Û êê m = 2 + 3 . Chọn B. m m ê êë m = 2 - 3 2

Câu 22. Cho hàm số y = x 3 + (1 - 2m ) x 2 + (2 - m ) x + m + 2

(1) ( m là tham số). Có

bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc [-3;3] để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + y + 7 = 0 góc a thỏa mãn cos a = A. 4.

B. 5.

C. 6.

? 26 D. 7.

Lời giải. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Suy ra tiếp tuyến có VTPT  n1 = (k ; -1).  Đường thẳng d có VTPT n2 = (1;1).   n1 .n2 k -1 2 1 3 Ta có cos a =   Û = Û k = hoặc k = . 2 3 2 26 2. k + 1 n1 . n2

thỏa mãn Û ít nhất một trong hai phương trình é 1 êm ³ (1) éD1 ³ 0 ê 2 . Ûê có nghiệm Þ ê Suy ra có 6 giá ê D2 ³ 0 1 ê ë 2 m £ ( ) ê êë 4

Do đó yêu cầu bài toán é 2 3 ê3 x + 2 (1 - 2m ) x + 2 - m = ê 2 ê 2 ê 2 ê3 x + 2 (1 - 2m ) x + 2 - m = êë 3

trị nguyên thỏa mãn. Chọn C. Câu 23. Cho hàm số y = x 3 - mx + m -1 có đồ thị (C m ). Tìm m để tiếp tuyến của

(C m ) tại điểm M có hoành độ x = -1 cắt đường tròn (T ) : ( x - 2) + ( y - 3) = 4 2

theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.

2 B. m = - . 3

A. m = -2.

2 C. m = . 3

D. m = 2.

Lời giải. Phương trình tiếp tuyến của (C m ) tại M (-1;2m - 2) là

D : y = (3 - m )( x + 1) + 2m - 2 hay (3 - m ) x - y + m + 1 = 0.

Đường tròn (T ) có tâm I (2;3), bán kính R = 2.

Để D cắt (T ) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất Û d [ I , D] lớn nhất. Ta có d ( I , D) =

-m + 4

(3 - m ) + 1 2

1.(3 - m ) + 1.1

(3 - m ) + 1 2

2. (3 - m ) + 1 2

(3 - m ) + 1 2

= 2 < R.

Dấu '' = '' xảy ra Û m = 2. Chọn D.

Câu 24. Cho hàm số y = 2 x 3 - 3 x 2 + 1 có đồ thị (C ) và điểm A thuộc (C ). Gọi S

là tập hợp tất cả các giá trị thực của a sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại điểm thứ hai B ( B ¹ A) thỏa mãn ab = -

1 trong đó a, b lần lượt là hoành độ 2

của A, B. Tổng tất cả các phần tử của S bằng 5 A. - . 4

3 B. - . 4

Lời giải. Ta có A (a;2a 3 - 3a 2 + 1) Î (C ).

3 . 4

5 . 4

Phương trình tiếp tuyến tại A là D : y = (6a 2 - 6a )( x - a ) + 2a 3 - 3a 2 + 1. Phương trình hoành độ giao điểm của D và (C ) là

éx = a ê 2 x - 3 x + 1 = (6a - 6a )( x - a ) + 2a - 3a + 1 Û ( x - a ) (2 x - 3 + 4 a ) = 0 Û ê 3 - 4a . êx = êë 2 3

Vì B ¹ A nên suy ra a ¹ Khi đó YCBT Û a.

3 - 4a 1 Ûa¹ . 2 2

éa = 1 ê 3 - 4a 1 = - Û 4 a 2 - 3a -1 = 0 Û ê 1 (thỏa mãn). Chọn C. êa = 2 2 êë 4

Câu 25. Cho hàm số y = x ( x 2 - 3) có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm M thuộc

(C ) thỏa mãn tiếp tuyến của (C ) tại M cắt (C ) và trục hoành lần lượt tại hai

điểm phân biệt A (khác M ) và B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Gọi M (m; m 3 - 3m ) Î (C ).

Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M là D : y = (3m 2 - 3)( x - m ) + m 3 - 3m. Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và D là

éx = m 2 x 3 - 3 x = (3m 2 - 3)( x - m ) + m 3 - 3m Û ( x - m ) ( x + 2m ) = 0 Û ê . ê x = -2 m ë Vì M ¹ A nên suy ra m ¹ -2m Û m ¹ 0. æ 2m 3 ö ;0÷÷÷. Khi đó A (-2m; -8m 3 + 6m ) và D Ç Ox = B ççç 2 è 3m - 3 ÷ø M là é ì 2m m = 0 (loaïi) ï ê ï - 2m = 2m ï 2 ê Ûê í 3m - 3 6 . ï 3 3 ï êm = ± ï8 m + 6 m = 2 m 6 m 5 ï î ëê

Theo

giả

thiết:

trung

điểm

của

nên

Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Câu 26. Cho hàm số y = x 3 - 3 x có đồ thị (C ) và điểm M (a; a 3 - 3a ) thuộc (C ).

Tiếp tuyến của (C ) tại M cắt (C ) tại điểm thứ hai N ( N ¹ M ). Số giá trị nguyên của a để tam giác OMN có diện tích nhỏ hơn 16 ( với O là gốc tọa độ) là A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải. Phương trình tiếp tuyến D : y = (3a 2 - 3)( x - a ) + a 3 - 3a. Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và D là

éx = a 2 x 3 - 3 x + 2 = (3a 2 - 3)( x - a ) + a 3 - 3a + 2 Û ( x - a ) ( x + 2a ) = 0 Û ê . ê x = -2 a ë Vì M ¹ N nên suy ra a ¹ 0 và N (-2a; -8a 3 + 6a ).

ìï 4a 3 (3a 2 - 3)(-a ) + a 3 - 3a ïï = ïïd [O , D] = 2 2 3a 2 - 3) + 1 3a 2 - 3) + 1 Khi đó ïí Þ SDOMN = 6a 4 . ( ( ïï ïï 2 2 2 ïï MN = (3a ) + (-8a 3 + 6a - a 3 + 3a ) = 3 a 1 + (3a 2 - 3) î a Î ¾ ® a Î {-1;1}. Chọn C. Theo giả thiết: SDOMN < 16 Û 6a 4 < 16 ¾¾ a ¹0

Câu 27. Cho hàm số y = -x 3 + 3 x 2 - x + 4 có đồ thị (C ). Gọi M , N là hai điểm di

động trên (C ) sao cho tiếp tuyến của (C ) tại M , N luôn song song nhau. Khi đó MN luôn đi qua điểm cố định nào sau đây? A. (1; -5).

B. (-1; -5).

C. (-1;5).

D. (1;5).

Lời giải. Gọi x1 , x 2 lần lượt là hoành độ của M , N . Khi đó x1 , x 2 là nghiệm của phương trình -3 x 2 + 6 x -1 = k.

æ1 1ö k + 4 11 - k .x + . Ta có: y = -x 3 + 3 x 2 - x + 4 = (-3 x 2 + 6 x -1 - k )çç x - ÷÷÷ + çè 3 3ø 3 3

Suy ra phương trình đường thẳng MN là d :

k +4 11 - k .x - y + = 0. 3 3

Đến đây dễ dàng tìm được điểm cố định của d là (1;5). Chọn D.

Cách trắc nghiệm. Hai điểm M , N thuộc hàm bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d mà

tiếp tuyến của (C ) tại M , N luôn song song nhau thì đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I ( x 0 ; y0 ) với x 0 là nghiệm của phương trình y ¢¢ ( x 0 ) = 0.

Câu 28. Xét đồ thị (C ) của hàm số y = x 3 + 3ax + b với a, b là các số thực. Gọi

M , N là hai điểm phân biệt thuộc (C ) sao cho tiếp tuyến với (C ) tại hai điểm đó

có hệ số góc cùng bằng 3. Biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng MN bằng 1, giá trị nhỏ nhất của a 2 + b 2 bằng A. Lời

3 . 2

giải.

Hoành

4 . 3

6 . 5

M, N

độ

là

D. nghiệm

7 . 6

của

phương

trình

đường

thẳng

3 x 2 + 3a = 3 Û x 2 + a -1 = 0.

Tương

tự

như

bài

MN : y = (2a + 1) x + b.

trên

Theo giả thiết, ta có d [O , MN ] = 1 Û

tìm

được

(2a + 1) + 1 2

phương

trình

= 1 Û b 2 = 4 a 2 + 4 a + 2.

6 Khi đó a 2 + b 2 = 5a 2 + 4 a + 2 ³ . Chọn C. 5 Nhận xét: Lấy y chia cho x 2 + a -1 ta được phần dư là phương trình của MN . Câu 29. Cho hàm số y =

1 3 x - 2 x 2 + 2 x + 1 có đồ thị (C ). Biết đồ thị (C ) có hai 3

tiếp tuyến cùng vuông góc với đường thẳng d : y = x . Gọi h là khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó. Khẳng định nào sau đây đúng? A. h = 2.

B. h =

2 . 3

C. h = 12

2 2 . 3

D. h =

4 2 . 3

Lời giải. Từ giả thiết suy ra tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1.

Hai tiếp điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y ¢ ( x 0 ) = -1 7 ì 17 ï é ï x = 1 D : x + y = 0 2 2 3 0 Û x 02 - 4 x 0 + 2 = -1 Û ê ®ï 1 ®h= = . Chọn C. 3 ê x0 = 3 í 2 2 ï 3 1 + 1 ï ë D : x + y 1 = 0 ï î 1

B. AB = 3 2.

C. AB = 4 2.

D. AB = 5 2.

Lời giải. Hoành độ A, B là nghiệm của phương trình 3 x - 3 = k. 2

æk ö Tương tự như bài trên ta tìm được phương trình đường thẳng AB : y = çç - 2÷÷÷ x + 2. çè 3 ø ïì A (2;4 ) k Þ AB = 4 2. Chọn C. Để AB ^ d Û - 2 = 1 Û k = 9. Suy ra ïí ïïB (-2;0) 3 î

Câu 31. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3 (m 2 + 1) x - 2m + 3 có đồ thị (C m ) với m là

1 y = - x + 9. 6 A. m < -1.

é m < -1 . B. ê êm > 1 ë

C. m > 0.

D. m > 2.

1 Lời giải. Đường thẳng d có hệ số góc k = - . 6

Hoành độ hai điểm cần tìm là nghiệm của phương trình 3 x 2 - 6mx + 3 (m 2 + 1) = 6

é x = m -1 Ycbt ìïïm -1 < 0 Û m < 1 Û 3 x 2 - 6mx + 3 (m 2 -1) = 0 Û ê ¾¾¾ ®í Û m < -1. Chọn A. ê x = m +1 ë îïïm + 1 < 0 Û m < -1

B. 2.

C. 4.

D. 2018.

Lời giải. Từ giả thiết suy ra đường thẳng AB có hệ số góc bằng

1 hoặc 2018

1 . 2018

æk ö 2 Phương trình đường thẳng MN : y = çç - 2÷÷÷ x + k - 3. çè 3 ø 3 ék 1 ê -2 = ê3 2018 k >-3 ¾¾¾ ® k nhận hai giá trị. Chọn B. Suy ra ê êk 1 2 = ê êë 3 2018

Câu 33. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + 1 có đồ thị (C ). Biết rằng trên (C ) tồn tại hai

điểm A, B phân biệt sao cho các tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau. Khoảng cách lớn nhất từ điểm C (1;5) đến đường thẳng AB bằng A. 3 2.

C. 6. æk ö k Lời giải. Phương trình đường thẳng AB : y = çç - 2÷÷÷ x - + 1. çè 3 ø 3 æk ö çç - 2÷÷.1 + 1 - k - 5 ÷ø çè 3 3 6 = £ 6. Ta có d [C , AB ] = 2 2 æk ö÷ æ ö k çç - 2÷ + 12 çç - 2÷÷ + 1 ÷ø ÷ø çè 3 çè 3 Dấu '' = '' xảy ra Û

B. 4 2.

D. 8.

k - 2 = 0 Û k = 6. Chọn C. 3

Câu 34. Cho hàm số y = x 3 - 3 x 2 + mx + 4 - m có đồ thị (C m ) (với m là tham số).

Đường thẳng d : y = 3 - x cắt một đường cong bất kỳ (C ) trong các đường cong

(C m ) tại ba điểm phân biệt A, I (1;2), B. Các tiếp tuyến tại A và B của (C ) lần

lượt cắt đường cong (C ) tại các

điểm thứ hai là M ( x M ; y M ), N ( x N ; y N ). Tổng

x M + x N bằng

A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. 6.

Lời giải. Phương trình hoành độ giao điểm: x - 3 x + mx + 4 - m = 3 - x æ ö÷ ç 2 Û ( x -1)çç  x - 2 x + m -1 ÷÷÷ = 0 ççè g(x ) ø÷ 3

Gọi A ( x1 ;3 - x1 ), B ( x 2 ;3 - x 2 ). Khi đó x1 , x 2 là hai nghiệm của g ( x ) = 0. Do đó theo Viet ta có x1 + x 2 = 2.

Tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại điểm thứ hai là M nên theo Viet ta có 2 x1 + x M = 3 Þ x M = 3 - 2 x1 . Tương tự ta cũng có x N = 3 - 2 x 2 .

Khi đó x M + x N = 6 - 2 ( x1 + x 2 ) = 6 - 2.2 = 2. Chọn B. 14

Nhận xét. 1) Áp dụng Viet bậc ba dễ dàng suy ra hoành độ của điểm M . 2) Để ý thấy x A + x B = 2 x I và x M + x N = 2 x I . Đây là một tính chất liên quan đến điểm uốn của đồ thị. Câu 35. Cho hàm số y = x 3 - 3 x + 2 có đồ thị (C ). Biết rằng đường thẳng

d : y = ax + b cắt (C ) tại ba điểm phân biệt M , N , P . Tiếp tuyến của (C ) tại ba

điểm M , N , P cắt (C ) tại các điểm M ¢, N ¢, P ¢ (tương ứng khác M , N , P ). Khi đó đường thẳng đi qua ba điểm M ¢, N ¢, P ¢ có phương trình là A. y = ax + b.

C. y = -(8a + 18) x + 18 - 8b.

B. y = (4 a + 9) x + 18 - 8b.

D. y = (4 a + 9) x + 14 - 8b.

Lời giải. Giả sử M ( x 0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M là D : y = (3 x 02 - 3)( x - x 0 ) + x 03 - 3 x 0 + 2. Phương trình hoành độ giao điểm của D và (C )

x 3 - 3 x + 2 = (3 x 02 - 3)( x - x 0 ) + x 03 - 3 x 0 + 2

é x = x0 2 Û (x - x0 ) (x + 2x0 ) = 0 Û ê . ê x = -2 x 0 ë

Suy ra M ¢ (-2 x 0 ; -8 x 03 + 6 x 0 + 2). (ta có thể dùng Viet bậc ba để suy ra x M ¢ = -2 x 0 ) Bây giờ ta biểu diễn y M ¢ = -8 x 03 + 6 x 0 + 2 theo x M ¢ = -2 x 0 để tìm quỹ tích. Ta có y M ¢ = -8 x 03 + 6 x 0 + 2 = -8 ( x 03 - 3 x 0 + 2) -18 x 0 + 18 = -8 y0 -18 x 0 + 18

= -8 (ax 0 + b ) -18 x 0 + 18 = -2 x 0 (4 a + 9) - 8b + 18 = (4 a + 9) x M ¢ - 8b + 18.

Từ đó chứng tỏ điểm M ¢ thuộc đường thẳng y = (4 a + 9) x + 18 - 8b. Chọn B. Câu 36. Cho hàm số y = x 3 - 3 x + 2 có đồ thị (C ). Biết rằng đường thẳng

y = mx + 1 cắt (C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C . Tiếp tuyến của (C ) tại ba điểm

A, B, C cắt (C ) lần lượt tại các điểm A ¢, B ¢, C ¢ (tương ứng khác A, B, C ). Biết

D. m = 10.

Lời giải. Áp dụng câu trên ta có đường thẳng đi qua ba điểm A ¢, B ¢, C ¢ có phương trình d : y = (4 m + 9) x + 18 - 8 = (4 m + 9) x + 10.

ïì4 m + 9 = 9 Û m = 0. Chọn B. Yêu cầu bài toán: d  D nên ïí ïïî10 ¹ 1

Câu 37. Cho hàm số y = 2 x 3 + 3 x 2 - 4 x + 5 có đồ thị (C ). Trong số các tiếp tuyến

của (C ), có một tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, hệ số góc của tiếp tuyến này bằng 15

A. -3,5.

B. -5,5.

C. -7,5.

Lời giải. Gọi M ( x 0 ; y0 ) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số.

D. -9,5.

Hệ số góc của tiếp tuyến của (C ) tại M là y / ( x 0 ) = 6 x 02 + 6 x 0 - 4

æ æ æ 2ö 1 11 ö 1 ö 11 11 = 6 çç x 02 + x 0 - ÷÷÷ = 6 çç x 02 + x 0 + - ÷÷÷ = 6 çç x 0 + ÷÷÷ - ³ - . Chọn B. çè ç ç è è 3ø 4 12 ø 2ø 2 2 2

Nhận xét: 1) Hệ số của x 3 dương thì có hệ số góc nhỏ nhất và ngược lại. 2) Hệ số góc đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) tại x 0 là nghiệm của y ¢¢ ( x 0 ) = 0.

Câu 38. Cho hàm số y = -x 3 + mx 2 + mx + 1 có đồ thị (C ) (với m là tham số). Biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất của (C ) đi qua gốc tọa độ O. Khẳng định nào sau đây đúng? A. m Î [-5; -3). B. m Î [-3;0). C. m Î [0;3). D. m Î [3;5]. æ mö m2 m2 +m £ + m. Lời giải. Ta có y ¢ ( x 0 ) = -3 x 02 + 2mx 0 + m = -3 çç x 0 - ÷÷÷ + èç 3ø 3 3 2

Dấu '' = '' đạt tại x 0 =

2m 3 m 2 m + + 1. . Thay vào hàm số ta được y0 = 27 3 3

Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M ( x 0 ; y0 ) là

æ m2 öæ m ö 2m 3 m 2 d : y = ççç + m÷÷÷çç x - ÷÷÷ + + + 1. ÷øçè 3 ø 27 3 è 3

æ m2 öæ m ö 2 m 3 m 2 m3 + m÷÷÷çç- ÷÷÷ + + +1 Û = 1 Û m = 3. Chọn D. Vì đi qua O (0;0) nên 0 = çç ÷øçè 3 ø 27 çè 3 3 27

Câu 39. Cho hàm số y = x 3 - 6 x 2 + 9 x -1 có đồ thị (C ). Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C ) cách đều hai điểm A (2;7), B (-2;7) ? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Trung điểm của AB là I (0;7). Đường thẳng AB có hệ số góc bằng 0. Tiếp tuyến d của (C ) cách đều AB có 2 khả năng:

Pttt é x = 1 Þ M (1;3) ¾¾® y=3 • Nếu d  AB khi đó y ¢ = 3 x 2 -12 x + 9 = 0 Û êê . Pttt êë x = 3 Þ M (3; -1) ¾¾® y = -1

• Nếu d đi qua I (0;7) khi đó tiếp tuyến d có dạng y = kx + 7. ìï x 3 - 6 x 2 + 9 x -1 = kx + 7 . Hệ phương trình tiếp xúc ïí 2 ïï3 x -12 x + 9 = k î é x = 2 Þ k = -3 Þ d : y = -3 x + 7 . Giải hệ ta được ê ê x = -1 Þ k = 24 Þ d : y = 24 x + 7 ë

Vậy có 4 tiếp tuyến cần tìm y = 3, y = -1, y = -3 x + 7, y = 24 x + 7. Chọn D.

Câu 40. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol ( P ) : y = -x 2 + 17 x - 66. Một điểm M ( x 0 ; y0 ) chuyển động trên ( P ) theo hướng tăng của hoành độ. Một người quan

sát đứng ở vị trí điểm A (2;0), hãy xác định các giá trị x 0 để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M . A. 4 £ x 0 £ 8. B. -8 £ x 0 £ 4.

C. -4 £ x 0 £ 8.

D. -8 £ x 0 £ -4.

Lời giải. Giả sử điểm N (a; -a 2 + 17a - 66) là các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A

đến ( P ) với các giá trị khác nhau của a. Để người đứng ở vị trí A có thể thấy được điểm M thì amin £ x 0 £ amax .

Phương trình tiếp tuyến tại N của ( P ) là y = (17 - 2a )( x - a ) - a 2 + 17a - 66.

éa = 8 . Do tiếp tuyến tại N đi qua A nên (17 - 2a )(2 - a ) - a 2 + 17a - 66 = 0 Û ê ê a = -4 ë

Vậy -4 £ x 0 £ 8 thỏa yêu cầu bài toán. Chọn C.

Câu 41. Cho hàm số f ( x ) = 2 x - x 2 . Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x 0 Î (0;2) của các đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = f ¢ ( x ). Mệnh đề nào sau đây đúng? A. k12 + 2 x 0 - x 02 .k2 = -1.

B. k12 + 2 x 0 - x 02 .k2 = 1.

C. k12 - 2 x 0 - x 02 .k2 = -1.

D. k12 - 2 x 0 - x 02 .k2 = 1.

1- x 0 ïìï ïïk1 = f ¢ ( x 0 ) = 2 x 0 - x 02 ïï Lời giải. Ta có í Þ k12 + 2 x 0 - x 02 .k2 = -1. Chọn A. ïï 1 ïïk2 = f ¢¢ ( x 0 ) = 2 ïï ( x 0 - 2 x 0 ) 2 x 0 - x 02 î

B. y = -4 x + 4.

C. y = -4.

Lời giải. Gọi M ( x 0 ; y0 ) mà điểm cố định của (C m ).

Ta có y0 = x 04 + (m - 2) x 02 - 2 (m + 2) x 0 + m + 5 với mọi m Î 

Û m ( x 2 - 2 x + 1) + x 4 - 2 x 2 - 4 x + 5 - y = 0 với mọi m Î  ïì x 02 - 2 x 0 + 1 = 0 ïì x 0 = 1 Û ïí 4 Û ïí Þ M (1;0). 2 ïï x 0 - 2 x 0 - 4 x 0 + 5 - y0 = 0 ïïî y0 = 0 î

Phương trình tiếp tuyến của (C m ) tại điểm M (1;0) là

y = y ¢ (1).( x -1) + 0 = -4 x + 4. Chọn B.

D. y = -4 x - 4.

Câu 43. Cho hàm số y = x 4 - 2 x 2 có đồ thị (C ). Trên (C ) có ba điểm phân biệt

A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B, C có cùng hệ số góc k. Tập hợp tất

cả các giá trị của k là æ 1 1 ÷ö ; ÷÷. A. çççè 3 3 ÷ø

æ 8 3 8 3 ö÷ ÷ C. çççç 3 ; 3 ÷÷. è ø

æ 8 8ö B. çç- ; ÷÷÷. çè 3 3 ø

æ 8 3 8 3 ö÷ ÷ D. çççç 9 ; 9 ÷÷. è ø

Lời giải. Yêu cầu bài toán Û phương trình 4 x 3 - 4 x = k có ba nghiệm phân biệt. Xét hàm số y = 4 x 3 - 4 x , có y ¢ = 0 Û 12 x 2 - 4 = 0 Û x = ±

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy -

3 . 3

8 3 8 3 thỏa mãn ycbt. Chọn D. <k< 9 9

Câu 44. Cho hàm số y = x 4 - 2 x 2 - 3 có đồ thị (C ). Tiếp tuyến của (C ) tại điểm

A cắt đồ thị (C ) tại hai điểm B, C ( B, C ¹ A). Tìm giá trị nhỏ nhất Smin của biểu

thức S = bc + 9a, trong đó a, b, c lần lượt là hoành độ của điểm A, B, C . 3 A. Smin = - . 2

B. Smin = -

35 . 4

C. Smin = -2 - 3 3.

D. Smin = 6 3 - 2.

Lời giải. Phương trình tiếp tuyến tại A là y = (4 a 3 - 4 a )( x - a ) + a 4 - 2a 2 - 3.

Phương trình hoành độ giao điểm: x 4 - 2 x 2 - 3 = (4 a 3 - 4 a )( x - a ) + a 4 - 2a 2 - 3

Û ( x - a ) ( x 2 + 2ax + 3a 2 - 2) = 0. 2

Suy ra b, c là nghiệm của phương trình x 2 + 2ax + 3a 2 - 2 = 0 nên theo Viet, ta có æ 3 ö 35 35 bc = 3a 2 - 2. Khi đó S = 3a 2 + 9a - 2 = 3 çça + ÷÷÷ - ³ - . Chọn B. çè 2ø 4 4 2

Câu 45. Cho hàm số y =

x4 5 - 3 x 2 + có đồ thị (C ). Gọi A là điểm thuộc (C ) sao 2 2

cho tiếp tuyến của (C ) tại A cắt (C ) tại hai điểm phân biệt B, C khác A thỏa mãn AC = 3 AB (với B nằm giữa A và C ). Độ dài đoạn thẳng OA bằng A.

3 . 2

14 . 2

æ a4 5ö Lời giải. Gọi A çça; - 3a 2 + ÷÷÷ là điểm thuộc (C ). çè 2 2 ÷ø

17 . 2

Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại A là d : y = (2a 3 - 6a )( x - a ) + Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C ) là

(2a 3 - 6a )( x - a ) + Khi

đó

x B , xC

là

a4 5 - 3a 2 + . 2 2

æ ö÷ a4 5 x4 5 2ç 2 - 3a 2 + = - 3 x 2 + Û ( x - a ) çç  x + 2ax + 3a 2 -6 ÷÷÷ = 0. 2 2 2 2 ÷ø ççè g(x ) hai

nghiệm

phân

biệt

khác

của

phương

x + 2ax + 3a - 6 = 0 ïìD¢ > 0 ïìa 2 < 3 Û ïí Û ïí 2 . ïï g (a ) ¹ 0 ïïa ¹ 1 î î   Theo giả thiết ta có AC = 3 AB Û xC - a = 3 x B - 3a Û xC - 3 x B = -2a. 2

trình

( B) ® 3a 2 - 6 = 0 Û a 2 = 2. Mặt khác theo Viet ta có x B + xC = -2a. Do đó x B = 0 ¾¾¾¾ g x

æ æ 17 3ö 3ö . Chọn D. Với a 2 = 2 suy ra A çç 2; - ÷÷÷ hoặc A çç- 2; - ÷÷÷. Vậy OA = çè ç ø è ø 2 2 2

Phần 2. Tiếp tuyến đi qua điểm cho trước Câu 1. Cho hàm số y =

x +3 có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm trên đường thẳng x +1

d : y = 2 x + 1 mà từ điểm đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C ) ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Gọi A (a;2a + 1) Î d . Đường thẳng qua A có dạng y = k ( x - a ) + 2a + 1. ì x +3 ï ï = k ( x - a ) + 2a + 1 (1) ï ï x +1 ï Hệ điều kiện tiếp xúc: í . -2 ï ï = k 2 ( ) ï ï( x + 1)2 ï î

Thay (2) vào (1), ta được ax 2 + (2a - 2) x + 2a -1 = 0 ( x ¹ -1). (*)

Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có đúng một nghiệm khác -1 : • Khi a = 0 thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = -

1 (thỏa). 2

ìD = 0 ï ï -1 ± 5 • Phương trình (*) có nghiệm kép khác -1 Û ï (thỏa). Ûa= í b ï 2 ¹ 1 ï ï î 2a

• Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = -1.

Thay x = -1 vào (*) ta được a = -1. Thử lại với a = -1 thì phương trình có hai nghiệm là x = -1 và x = -3. Do đó a = -1 thỏa mãn. Vậy có 4 điểm thỏa yêu cầu bài toán. Chọn D. Câu 2. Cho hàm số y =

x +1 có đồ thị (C ). Có bao nhiêu số nguyên a để từ x -2

điểm M (a; a ) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) ? A. 1.

B. 2.

C. 3.

Lời giải. Đường thẳng qua M có dạng y = k ( x - a ) + a.

D. 4.

ì x +1 ï ï = k ( x - a ) + a (1) ï ï x -2 ï Hệ điều kiện tiếp xúc: í . -3 ï ï = k 2 ( ) ï 2 ï ï î( x - 2 )

Thay (2) vào (1), ta được (a -1) x 2 - (4 a + 2) x + 7a + 2 = 0 ( x ¹ 2). (*)  g(x )

Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2

ìa ¹ 1 ï ï ì ï a ¹1 ï ï ï ï 3 + 13 aÎ ï 3 - 13 ï Û íD > 0 Û ï <a< ¾¾¾ ® a Î {0;3}. Chọn B. í ï ï 2 2 ï ï ï ï ï î g (2 ) ¹ 0 ï a¹2 ï ï î x +2 Câu 3. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và điểm A (0; a ). Có bao nhiêu giá trị x +1

nguyên của a trong thuộc [-2018;2018] để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến

(C ) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành? A. 2015.

B. 2016.

C. 2017.

Lời giải. Đường thẳng qua A (0; a ) có dạng y = kx + a.

D. 2018.

ì x +2 ï ï = kx + a (1) ï ï x +1 ï Hệ điều kiện tiếp xúc: í . -1 ï ï =k (2 ) ï 2 ï ï î( x + 1)

Thay (2) vào (1), ta được (a -1) x 2 + 2 (a - 2) x + a - 2 = 0 ( x ¹ -1). (*)  g(x )

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1 ì ï a ¹1 ï ï ï Û íD¢ > 0 Û 1 ¹ a < 2. ï ï ï ï î g (-1) ¹ 0

æ x + 2 ö÷ æ x + 2 ÷ö ÷÷ và N çç x 2 ; 2 ÷÷ là hai tiếp điểm nên x1 , x 2 là nghiệm của (*). Gọi M ççç x1 ; 1 ççè x 2 + 1 ÷ø èç x1 + 1 ø÷

Để hai tiếp điểm nằm về hai phía trục hoành Û

x1 + 2 x 2 + 2 Vi-et . < 0 ¾¾¾ ®a +2 < 0 x1 + 1 x 2 + 1

Û a < -2 : thỏa mãn điều kiện. Suy ra có 2016 giá trị nguyên. Chọn B.

Câu 4. Biết từ điểm A (-2;3) kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị của hàm số

x +m với hoành độ các tiếp điểm lần lượt là a và b. Mệnh đề nào sau đây x +1 đúng? 2 4 3 4 A. a + b + ab = - . B. a + b + ab = - . 3 3 2 3 2 11 3 11 C. a + b + ab = - . D. a + b + ab = - . 3 3 2 3 y=

Lời giải. Đường thẳng qua A (-2;3) có dạng y = k ( x + 2) + 3.

ì x +m ï ï = k ( x + 2) + 3 (1) ï ï x +1 ï Hệ điều kiện tiếp xúc: í . 1- m ï ï = k 2 ( ) ï 2 ï ï î( x + 1)

2m - 6 ïìï = m -3 ïïa + b = 2 Vi-et ® ïí . Thay (2) vào (1), ta được 2 x 2 - (2m - 6) x + 5 - 3m = 0 ¾¾¾ ïï 5 - 3m ab = ïï 2 ïî 2 4 Khi đó a + b + ab = - . Chọn A. 3 3 x +1 Câu 5. Cho hàm số y = có đồ thị (C ) và điểm A (a;2). Gọi S là tập hợp tất x -1

S bằng A. 7.

7- 5 . 2

5- 5 . 2

Lời giải. Đường thẳng qua A có dạng y = k ( x - a ) + 2.

7 . 2

ì x +1 ï ï = k ( x - a ) + 2 (1) ï ï x -1 ï Hệ điều kiện tiếp xúc: í . -2 ï ï = k 2 ( ) ï 2 ï ï î( x -1)

Thay (2) vào (1), ta được Û x 2 - 6 x + 2a + 3 = 0 ( x ¹ 1). (*)

ì ïD ' = 9 - (2a + 3) > 0 Û 1 ¹ a < 3. YCBT Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û ï í2 ï ï î1 - 6.1 + 2a + 3 ¹ 0 ì ï x1 + x 2 = 6 -2 -2 . Khi đó k1 = với x1 , x 2 là nghiệm của (*) nên ïí , k2 = 2 2 ï ( x1 -1) ( x 2 -1) ï î x1 x 2 = 2 a + 3

Yêu

cầu

k1 + k2 + 10 k12 k2 2 = 0 Û -

( x1 -1)

bài -

( x 2 -1)

+ 10.

toán: 4

( x1 -1) ( x 2 -1) 4

2 2 Û éë x1 x 2 - ( x1 + x1 ) + 1ùû . éê( x1 + x 2 ) - 2 x1 x 2 - 2 ( x1 + x1 ) + 2ùú = 80 ë û

é êa = 0 ê ê ê 7+ 5 2 2 Û (2a - 2) (20 - 4 a ) = 80 Û (a -1) (5 - a ) = 5 ¾¾ ® êa = (loaïi). Chọn B. ê 2 ê ê 7- 5 êa = êë 2

Câu 6. Cho hàm số y =

x +m (với m là tham số thực) có đồ thị (C ) và điểm x -2

A (4;2). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để từ A kẻ được hai tiếp tuyến

đến (C ) và góc giữa hai tiếp tuyến là 60 0. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. -2.

C. -

B. 2.

75 . 16

Lời giải. Đường thẳng qua A (4;2) có dạng d : y = k ( x - 4 ) + 2. Phương trình hoành độ giao điểm:

75 . 16

x +m = k ( x - 4 ) + 2 ( x ¹ 2) x -2 Û x + m = ( x - 2) éë k ( x - 4 ) + 2ùû ( x ¹ 2) Û kx 2 - (6 k -1) x + 8k - 4 - m = 0 ( x ¹ 2).  g(x )

(* )

ìï ïï ïïk ¹ 0 ï . (1) Để d là tiếp tuyến của (C ) Û (*) có nghiệm kép khác 2 Û íD = 0 ïï ïï 6 k -1 ¹2 ïï îï 2 k

Xét D = 0 Û (6 k -1) - 4 k (8k - 4 - m ) = 0 Û 4 k 2 + 4 (m + 1) k + 1 = 0. 2

Để tồn tại hai tiếp tuyến Þ (2) có hai nghiệm k phân biệt ém > 0 2 Û 4 (m + 1) - 4 > 0 Û ê . ê m < -2 ë k - k2 Để góc hai tiếp tuyến bằng 60 0 Û tan 60 0 = 1 1 + k1 k2

(2 ) )

Þ 3=

(2 ) (3)

(với k1 , k2 là hai nghiệm của

k1 - k2 75 75 2 Û = (k1 + k2 ) - 4 k1 k2 Û m 2 + 2m - = 0 : có nghiệm thỏa (3) . 1 16 16 1+ 4

Vậy tổng các phần tử của S bằng m1 + m2 = -2. Chọn A. Câu 7*. Cho hàm số y =

x +m ( m là tham số) có đồ thị (C ). Gọi S là tập tất cả x -2

các giá trị của tham số m để từ điểm A (1;2) kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC đến

đồ thị (C ) sao cho tam giác ABC đều ( B, C là các tiếp điểm). Tổng các phần tử của S bằng A. -5.

9 B. - . 2

3 C. - . 2

D. 5.

Lời giải. Đồ thị (C ) có TCN: x = 2 và TCĐ: y = 1. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận là y = x -1 và y = -x + 3. Ta thấy A (1;2) 4

thuộc đường phân giác y = -x + 3. Suy ra tam giác ABC cân tại A. Để tam giác  = 60 0 , tức là góc giữa hai tiếp tuyến bằng 60 0. Đến đây này đều ta chỉ cần BAC làm hoàn toàn tương tự như câu trên và được kết quả m = -

7 3 hoặc m = - . 2 2

Chọn A. Câu 8*. Cho hàm số y =

x +1 có đồ thị (C ). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị x -2

thực của tham số a để từ điểm M (a; a ) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) sao cho AB = 15 (với A, B là các tiếp điểm). Tổng các phần tử của S bằng A. 0. B. 3. C. 6. D. 9.

Lời giải. Đường thẳng qua M (a; a ) có dạng y = k ( x - a ) + a.

ì x +1 ï ï = k ( x - a ) + a (1) ï ï x -2 Hệ điều kiện tiếp xúc: ïí . Thay (2) vào (1) và rút gọn ta -3 ï ï k = 2 ( ) ï 2 ï ( x - 2) ï î

được phương trình (a -1) x 2 - 2 (2a + 1) x + 7a + 2 = 0 ( x ¹ 2). (*)  g(x )

YCBT

(* )

có

hai

nghiệm

phân

biệt

khác

ìïa ¹ 1 ìïa -1 ¹ 0 ïï ïï ïï 3 - 13 3 + 13 Û ïíD¢ > 0 Û ïí <a< . ïï ïï 2 2 ïï g (2) ¹ 0 ïï î ïïîa ¹ 2 æ æ 3 ö÷ 3 ö÷ ÷÷ và B çç x 2 ;1 + ÷÷ là hai tiếp điểm nên x1 , x 2 là nghiệm của Gọi A ççç x1 ;1 + çè ççè x1 - 2 ø÷ x 2 - 2 ÷ø

(*).

Theo giả thiết: AB = 15 Û ( x1 - x 2 ) +

( x1 - 2 ) ( x 2 - 2 ) 2

= 15. Biến đổi và kết hợp

éa = 0 2 với Vi-et ta được 13 (a 2 - 3a ) + 32 (a 2 - 3a ) = 0 Û ê (thỏa mãn). Chọn B. êa = 3 ë x +3 Câu 9. Cho hàm số y = có đồ thị (C ). Điểm M thay đổi thuộc đường thẳng x -1

d : y = 1 - 2 x sao cho từ M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (C ) với hai tiếp

điểm tương ứng là A, B. Biết rằng đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định là

K . Độ dài đoạn thẳng OK bằng B.

10.

29.

34.

58.

Lời giải. Gọi M (m;1 - 2m ) Î d . Đường thẳng qua M có dạng y = k ( x - m ) + 1 - 2m. 5

ì x +3 ï ï = k ( x - m ) + 1 - 2m (1) ï ï x -1 Hệ điều kiện tiếp xúc: ïí . -4 ï ï = k 2 ( ) ï 2 ï ï î( x -1) x +3 -4 Thay (2) vào (1) ta được = ( x - m ) + 1 - 2m x -1 ( x -1)2

x +3 -4 = ( x -1 + 1 - m ) + 1 - 2m x -1 ( x -1)2

Û x + 3 = -4 + (m -1).

4 + (1 - 2m )( x -1). (3) x -1

x +3 4 Û = y -1, thay vào (3) ta được x -1 x -1 x + 3 = -4 + (m -1)( y -1) + (1 - 2m )( x -1) Û 2mx - (m -1) y - m + 7 = 0.

Mặt khác: y =

Suy ra phương trình đường thẳng AB là: 2mx - (m -1) y - m + 7 = 0. Dễ dàng tìm được điểm cố định của đường thẳng này là K (-3; - 7) nên OK = 58. Chọn D. Bình luận: Bài này hay ở chỗ biến đổi để đưa ra đường thẳng AB. Câu 10*. Cho hàm số y =

x +m (với m là tham số thực) có đồ thị (C ) và điểm x -2

A (4;2). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để từ A kẻ được hai tiếp tuyến

đến (C ) với M , N là các tiếp điểm và tam giác AMN có diện tích bằng

3. Tổng

các phần tử của S bằng A. -2.

B. - 3 2.

Lời giải. Đường thẳng qua A (4;2) có dạng y = k ( x - 4 ) + 2.

D. 2.

ì x +m ï ï = k ( x - 4 ) + 2 (1) ï ï x -2 ï Hệ điều kiện tiếp xúc: í . -m - 2 ï ï = k 2 ( ) ï 2 ï ï î( x - 2 )

• Biến đổi như câu MN : x + 2 y - 2m - 8 = 0.

trên

được

phương

trình

đường

• Thay (2) vào (1), ta được x 2 - 2 (m + 4 ) x + 6m + 16 = 0 ( x ¹ 2). (*)  g(x )

Để có hai tiếp tuyến Û phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ìïD¢ > 0 é m < -2 Û ïí Ûê . êm > 0 ïï g (2) ¹ 0 ë î

thẳng

æ æ 2 + m ö÷ 2 + m ö÷ ÷÷, N çç x 2 ;1 + ÷÷ là hai tiếp điểm nên x1 , x 2 là nghiệm của Gọi M ççç x1 ;1 + ç ÷ çè x1 - 2 ø x 2 - 2 ÷ø èç

(*).

Vi-et

Ta có MN =

5 (m 2 + 2m ) và d [ A, MN ] =

Theo đề SDABC = 3 Û

2m 5

ém = 1 2m 1 5 (m 2 + 2m ). = 3 Û m 4 + 2m 3 - 3 = 0 Û êê : 3 2 5 êë m = -1 - 2

thõa mãn điều kiện. Chọn B. Câu 11. Cho parabol ( P ) : y =

1 2 3 x -x + và đường thẳng d : x - y -1 = 0. Qua 2 2

điểm M tùy ý trên d kẻ 2 tiếp tuyến MT1 , MT2 tới ( P ) (với T1 , T2 là các tiếp

điểm). Biết đường thẳng T1T2 luôn đi qua điểm I (a; b ) cố định. Phát biểu nào sau đây đúng? A. b Î (-1;3). B. a < b. C. a + 2b = 5. D. ab = 9. Lời giải. Gọi M (m; m -1) Î d . Đường thẳng qua M có dạng y = k ( x - m ) + m -1.

ì ï ï 1 x 2 - x + 3 = k ( x - m ) + m -1 (1) Hệ điều kiện tiếp xúc: ï . 2 í2 ï ï x 1 = k 2 ( ) ï ï î 1 3 Thay (2) vào (1) ta được x 2 - x + = ( x -1)( x - m ) + m -1 2 2 1 3 Û x 2 - x + = x 2 - mx - x + m + m -1. (3) 2 2 1 3 (3) ® ta được (1 - m ) x + y + 2m - 4 = 0. Mặt khác: y = x 2 - x + Þ x 2 = 2 y + 2 x - 3 ¾¾ 2 2

Suy ra phương trình đường thẳng T1T2 là: (1 - m ) x + y + 2m - 4 = 0. Dễ dàng tìm được điểm cố định của đường thẳng này là I (2;2). Chọn A.

A. P = 2.

B. P = 4.

C. P = 6.

D. P = 8.

Lời giải. Đường thẳng qua A (m; -m ) có dạng y = k ( x - m ) - m. ìï3 x - x 3 = k ( x - m ) - m (1) . Hệ điều kiện tiếp xúc: ïí ïï3 - 3 x 2 = k (2 ) î

Thay (2) vào (1), ta được 2 x 3 - 3mx 2 + 4 m = 0 Û m =

2x 3 = f ( x ). (*) 3x 2 - 4

Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

Lập bảng biến thiên và kết luận m Î (-2;2). Suy ra P = 8. Chọn D. 7

Câu 13. Cho hàm số y = x 3 - 3 x + 2 có đồ thị (C ). Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường thẳng d : y = 9 x -14 sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ) ? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Gọi A (a;9a -14 ) Î d . Đường thẳng qua A có dạng y = k ( x - a ) + 9a -14. ì ï x 3 - 3 x + 2 = k ( x - a ) + 9a -14 (1) . Hệ điều kiện tiếp xúc: ï í 2 ï (2 ) ï î3 x - 3 = k é ù ê 2 ú Thay (2) vào (1), ta được ( x - 2) ê 2 x - (3a - 4 ) x + 8 - 6a ú = 0. (*)  ê ú f (x ) êë úû

Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có đúng hai nghiệm phân biệt: • f ( x ) = 0 có một nghiệm bằng 2 Þ f (2) = 0 Û a = 2.

é x = -1 . (thỏa mãn). Với a = 2 thay vào phương trình f ( x ) = 0 Û ê êx = 2 ë é ìD = 0 4 ï ï êa = ê • f ( x ) = 0 có nghiệm kép khác 2 Û ï Û 3 . í 3a - 4 ï ê ¹2 ï êë a = - 4 ï î 4

Vậy có 3 giá trị của a cần tìm. Chọn C. Câu 14. Cho hàm số y = x 3 - 3 x có đồ thị (C ). Có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng x = 2 kẻ được ít nhất hai tiếp tuyến đến (C ) ? A. 7.

B. 8.

C. 9.

Lời giải. Gọi M (2; a ) là điểm thuộc đường thẳng x = 2.

D. 10.

Đường thẳng qua M có dạng y = k ( x - 2) + a.

ì ï x 3 - 3 x = k ( x - 2) + a (1) . Hệ điều kiện tiếp xúc: ïí 2 ï (2 ) ï î3 x - 3 = k

Thay (2) vào (1), ta được a = -2 x 3 + 6 x 2 - 6. (*)

Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có ít nhất hai nghiệm. Lập bảng biến thiên và kết luận -2 £ -a £ 6 Û -6 £ a £ 2. Chọn C.

Câu 15. Cho hàm số y = x 3 - 2 x 2 + (m -1) x + 2m có đồ thị (C ). Gọi S là tập tất cả

các giá trị thực của tham số m để từ điểm M (1;2) có thể kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C ). Tổng các phần tử của tập S bằng A.

217 . 81

217 . 27

217 . 9

Lời giải. Đường thẳng qua M (1;2) có dạng y = k ( x -1) + 2.

ì ï x 3 - 2 x 2 + (m -1) x + 2m = k ( x -1) + 2 (1) . Hệ điều kiện tiếp xúc: ï í 2 ï (2 ) ï î3 x - 4 x + m -1 = k

217 . 3

Thay (2) vào (1), ta được 3m = 2 x 3 - 5 x 2 + 4 x + 3. (*)

Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. é 109 é 109 êm = ê3m = ê 81 . Lập bảng biến thiên và kết luận ê 27 Û ê ê ê 4 êm = ëê3m = 4 êë 3

Vậy tổng các giá trị thực của tham số m thỏa yêu cầu bài toán là Câu 16. Cho hàm số

y = x 3 + 3x 2 - 2

217 . Chọn A. 81

có đồ thị (C ). Trên đường thẳng

d : y = 9 x - 7 có bao nhiêu điểm với hoành độ nguyên thuộc đoạn [0;10 ] mà từ đó

kẻ được đúng ba tiếp tuyến đến (C ) ? A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

Lời giải. Gọi A (a;9a - 7) Î d . Đường thẳng qua A có dạng y = k ( x - a ) + 9a - 7. ì ï x 3 + 3 x 2 - 2 = k ( x - a ) + 9a - 7 (1) . Hệ điều kiện tiếp xúc: ï í 2 ï (2 ) ï î3 x + 6 x = k Thay (2) vào (1), ta được ( x -1) éëê 2 x 2 + (-3a + 5) x - 9a + 5ùûú = 0. (*)  f (x )

Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt Û phương trình ì 1 ï ï ì D>0 a < -5 Ú a > ï ï ï f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û í Ûí 3. ï ï î f (1) ¹ 0 ï ï a ¹ 1 ï î

Suy ra có 9 giá trị nguyên của a Î [0;10 ]. Chọn C.

Câu 17. Cho hàm số y = -x 3 + 3 x + 2 có đồ thị là (C ). Tìm điểm M thuộc trục

hoành sao cho từ đó kẻ được ba tiếp tuyến đến (C ) mà trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc. æ 28 ö A. M çç- ;0÷÷÷. çè 27 ø

æ 27 ö B. M çç- ;0÷÷÷. çè 28 ø

æ 27 ö C. M çç ;0÷÷÷. çè 28 ø

æ 28 ö D. M çç ;0÷÷÷. çè 27 ø

Lời giải. Gọi M (a;0) Î Ox . Đường thẳng qua M có dạng y = k ( x - a ). ìï-x 3 + 3 x + 2 = k ( x - a ) (1) . Hệ điều kiện tiếp xúc: ïí ïï-3 x 2 + 3 = k (2 ) î Thay (2) vào (1), ta được ( x + 1) éêë 2 x 2 - (3a + 2) x + 3a + 2ùúû = 0. (*)  f (x )

Để từ M kẻ được ba tiếp tuyến đến (C ) Û phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt Û phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác -1

éa > 2 ìD > 0 ê ï Ûï Ûê í 2. ï ê-1 ¹ a < ï î2 + 3a + 2 + 3a + 2 ¹ 0 3 ëê

Khi đó ba tiếp tuyến có hệ số góc lần lượt là: k1 = 0, k2 = -3 x 22 + 3, k3 = -3 x 32 + 3. Để có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì k2 k3 = -1 Û 9 ( x 22 -1)( x 32 -1) = -1

1 2 2 Û ( x 2 x 3 ) - éê( x 2 + x 3 ) - 2 x 2 x 3 ùú + 1 = ë û 9 2 2 é ù æ 28 ö (3a + 2) ê (3a + 2) 3a + 2 ú 1 28 Û -ê - 2. + 1 = - Û a = - ¾¾ ® M çç- ;0÷÷÷. Chọn A. ú çè 27 ø 4 4 2 ú 9 27 êë û

Câu 18. Cho hàm số y = x 4 - 4 x 2 + 2 có đồ thị (C ) và điểm A (0; a ). Tập tất cả các

giá trị của tham số a để từ điểm A kẻ được bốn tiếp tuyến đến (C ) là khoảng

(a; b ). Tổng a + b bằng A.

10 . 3

14 . 3

16 . 3

19 . 3

Lời giải. Đường thẳng qua A có dạng y = kx + a. ïì x 4 - 4 x 2 + 2 = kx + a (1) . Hệ điều kiện tiếp xúc: ïí 3 ïï4 x - 8 x = k (2 ) î Thay (2) vào (1), ta được a = -3 x 4 + 4 x 2 + 2. (*)

Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt. Hàm số g ( x ) = -3 x 4 + 4 x 2 + 2 có bảng biến thiên sau

æ 10 ö 16 Dựa vào BBT ta thấy a Î çç2; ÷÷÷ thỏa yêu cầu bài toán. Suy ra a + b = . Chọn çè 3 ø 3 C.

Chú ý: Phương trình (2) Û k = 4 x ( x 2 - 2). Khi x = ± 2 đều cho k = 0 và để ý hơn

ta thấy x = ± 2 là hai điểm cực trị của hàm số. Do đó tiếp tuyến của (C ) tại hai điểm này trùng nhau (gọi là tiếp tuyến kép). Câu 19. Cho hàm số y = x 4 - x 2 + 1 có đồ thị (C ) và điểm A (0; a ). Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C ).

A. a Î (-¥;1). æ 3ö æ3 ö C. a Î çç-¥; ÷÷÷ È çç ;1÷÷÷. èç 4 ø èç 4 ø

ì13 ï ü B. a Î (-¥;1) È ï í ý. ï 12 ï ï ï î þ æ ö÷ æ 3 ÷ö ï ì13 ï ü 3 D. a Î çç-¥; ÷÷ È çç ;1÷÷ È í ý. ç ï èç ø è ø 4 4 ï12 ï ï î þ

Lời giải. Đường thẳng qua A có dạng y = kx + a. ïì x 4 - x 2 + 1 = kx + a (1) . Hệ điều kiện tiếp xúc: ïí 3 ïï4 x - 2 x = k (2 ) î Thay (2) vào (1), ta được a = -3 x 4 + x 2 + 1 (*)

Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt. Hàm số g ( x ) = -3 x 4 + x 2 + 1 có bảng biến thiên sau

æ 3 ö æ 3 ö ì13 ü Dựa vào bảng biến thiên, suy ra a Î çç-¥; ÷÷÷ È çç ;1÷÷÷ È ïí ïý thỏa mãn. Chọn D. èç 4 ø èç 4 ø ï ï12 ï ï î þ

(C ) ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải. Gọi A (0; a ) Î Oy. Đường thẳng qua A có dạng y = kx + a.

ìï x + 4 x 2 + 2 x + 1 = kx + a (1) ïï Hệ điều kiện tiếp xúc: ï . í 4 x +1 ïï1 + =k (2 ) 2 ïï 4 x + 2x +1 î x +1 . (* ) Thay (2) vào (1), ta được a = 2 4 x + 2x +1 Yêu cầu bài toán Û phương trình (*) có nghiệm.

1 Lập bảng biến thiên và kết luận - < a £ 1 : có 2 giá trị nguyên. Chọn B. 2

Phần 3. Tiếp tuyến hàm ẩn Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C ) như hình vẽ bên, d1 và d 2 là các tiếp tuyến

(C ). Dựa vào hình vẽ, hãy tính P = 3 f ¢ (0) + 2 f ¢ (1).

của

A. P = -8. C. P = 3.

B. P = -6. D. P = 8.

ïìd1 : y = 2 ® f ¢ (0) = 0 . Vậy P = -6. Chọn Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra ïí ïïd 2 : y = -3 x + 3 ® f ¢ (1) = -3 î B.

Câu 2. Cho hàm số f ( x ) có đồ thị là đường cong (C ),

hàm f ¢ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Tiếp tuyến của (C ) tại

điểm có hoành độ bằng 1 cắt (C ) tại hai điểm A, B phân biệt lần lượt có hoành độ là a, b. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau B. a 2 + b 2 = 10.

A. a, b < 3.

C. a 2 + b 2 > 10.

D. a - b ³ 0.

Lời giải. Từ đồ thị hàm số f ¢ ( x ) ta có bảng biến thiên

x f¢

-¥ +¥

-1

1 +

3 -

+¥ +¥

CĐ

Từ bảng biến thiên ta có tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm có hoành độ x = 1 là tiếp tuyến tại điểm cực đại của hàm số nên tiếp tuyến là đường thẳng song song với trục hoành nên sẽ cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ âm là a và có ìïa < -1 ïïìa 2 > 1 hoành độ dương là b. Suy ra ïí Þí 2 ¾¾ ® a 2 + b 2 > 10. Chọn C. ïïîb > 3 ïïb > 9 î

Câu 3. Cho hàm số f ( x ) =

ax + b cx + d

(a, b, c , d Î  ; c ¹ 0, d ¹ 0) có đồ thị (C ). Đồ thị của hàm số f ¢ ( x ) như

B. x + 4 y - 3 = 0.

C. x - 4 y - 3 = 0. D.

Lời giải. Vì (C ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3 ¾¾ ® Ta có f ¢ ( x ) =

ad - bc

(cx + d )

b = -3 Û b = -3d . d

• x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số f ¢ ( x ) nên ta có d + c = 0 Û c = -d .

ad - bc ad - 3d 2 = -4 Û = -4 Û a = -d . 2 d d2 ax + b -dx - 3d x + 3 Từ đó suy ra f ( x ) = = = . cx + d -dx + d x -1 ® • f ¢ (0) = -4 ¾¾

Dễ dàng viết được phương trình tiếp tuyến cần tìm là x + 4 y + 3 = 0. Chọn A. Câu 4. Cho hàm số y = x 2 + 2 x + 1 có đồ thị (C )

Mt , Mz . Khi M di chuyển trên (C ) thì Mz luôn đi qua điểm cố định nào sau đây? æ æ 1ö 1ö A. M 0 çç-1; ÷÷÷. B. M 0 çç-1; ÷÷÷. çè ç è 4ø 2ø C. M 0 (-1;1).

D. M 0 (-1;0).

Lời giải. Không mất tính tổng quát ta xét điểm M ( x 0 ; x 02 + 2 x 0 + 1) Î (C ) với x 0 > -1.

Theo hình vẽ, ta có

 = cot BMI . • Hệ số góc của tiếp tuyến MB là: k = f ¢ ( x 0 ) = tan MBI 2

 = cot AMI  • Hệ số góc của đường thẳng Mz là: k ¢ = tan MAI

2 2  é ¢ ù  + BMI  = cot BMI -1 = ë f ( x 0 )û -1 = (2 x 0 + 2) -1 . = cot BMI  2 f ¢(x0 ) 2 (2 x 0 + 2 ) 2 cot BMI

(

)

(2 x 0 + 2 ) - 1 ( x - x 0 ) + x 02 + 2 x 0 + 1. 2 (2 x 0 + 2 ) 2

Suy ra phương trình đường thẳng Mz : y =

ð Trắc nghiệm: Các đáp án đều có hoành độ bằng -1 nên ta thay x = -1 thì 1 y= . 4

ð Tự luận: Ta đi tìm điểm cố định của đường thẳng Mz . Chọn A. Câu 5. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x = 1. Gọi d1 , d 2 lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) = xf (2 x -1) tại điểm có hoành độ

x = 1. Biết rằng hai đường thẳng d1 , d 2 vuông góc nhau, khẳng định nào sau đây đúng? A. 2 < f (1) < 2. B. f (1) £ 2. C. f (1) ³ 2 2.

D. 2 £ f (1) < 2 2.

Lời giải. Ta có g ¢ ( x ) = f (2 x -1) + 2 xf ¢ (2 x -1).

Hệ số góc của d1 là k1 = f ¢ (1); của d 2 là k2 = g ¢ (1) = f (1) + 2 f ¢ (1).

Mà d1 ^ d 2 nên k1 k2 = -1 Û f ¢ (1) éë f (1) + 2 f ¢ (1)ùû = -1 Û 2 éë f ¢ (1)ùû + f (1) f ¢ (1) + 1 = 0. 2

Để tồn tại f ¢ (1) thì D¢ = f 2 (1) - 8 ³ 0 Û f (1) ³ 2 2. Chọn C.

Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm, liên tục trên . Gọi d1 , d 2 lần lượt là

tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x 4 ) và y = g ( x ) = x 3 f (6 x - 5) tại điểm có hoành độ bằng 1. Biết rằng hai đường thẳng d1 , d 2 có tích hệ số góc bằng -6, giá trị nhỏ nhất của Q = f (1) - 3 f (1) + 2 bằng 3

A. 3.

B. 4.

C. 8.

D. 2.

Lời giải. Tương tự như trên ta có k1 = 4 f ¢ (1) và k2 = 3 f (1) + 6 f ¢ (1). Theo giả thiết ta có k1 .k2 = -6 Û 24 éë f ¢ (1)ùû + 12 f (1). f ¢ (1) + 6 = 0. Điều kiện để tồn tại f ¢ (1) thì D ³ 0 Û f (1) ³ 2. 2

Đặt t = f (1) với t ³ 2. Khi đó Q = f (t ) = t 3 - 3t + 2 ³ min f (t ) = 4. Chọn B. [2;+¥)

Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

é f ( x )ù + 6 f ( x ) = -3 x + 10 với mọi x Î . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm ë û 3

số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = 1 là A. y = x .

B. y = -x + 2.

C. y = 3

1 2 x+ . 3 3

1 4 D. y = - x + . 3 3

Lời giải. Từ giả thiết thay x = 1 ta có: éë f (1)ùû + 6 f (1) = 7 Û f (1) = 1. 2 1 x =1 Mặt khác, ta lại có 3 éë f ( x )ùû . f ¢ ( x ) + 6 f ¢ ( x ) = -3 ¾¾¾ ® f ¢ (1) = - . f (1)=1 3 1 1 4 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - ( x -1) + 1 = - x + . Chọn D. 3 3 3 3

Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

f (2 x ) = 4 f ( x ) cos x - 2 x với mọi x Î . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f ( x ) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.

A. y = 2 - x .

B. y = -x .

C. y = x .

D. y = 2 x -1.

Lời giải. Từ giả thiết thay x = 0 ta có: f (0) = 4 f (0) Û f (0) = 0.

x =0 ® f ¢ (0) = 1. Mặt khác, ta lại có 2 f ¢ (2 x ) = 4 f ¢ ( x ).cos x - 4 f ( x ).sin x - 2 ¾¾¾ f (0)= 0

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 1( x - 0) + 0 = x . Chọn C.

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

f (1 - x ) + f 2 (1 + 2 x ) = 4 f 2 (1 + 3 x ) - 7 x - 2 và f ( x ) > 0 với mọi x Î . Tiếp tuyến của

đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm nào sau đây? A. (-1;1).

B. (1;3).

C. (2;4 ).

D. (-2;0).

f ( x )>0, "x Î  Lời giải. Từ giả thiết thay x = 0 ta có: 3 éë f (1)ùû - f (1) - 2 = 0 ¾¾¾¾¾ ® f (1) = 1. Mặt khác, ta lại có - f ¢ (1 - x ) + 4 f (1 + 2 x ). f ¢ (1 + 2 x ) = 24 f (1 + 3 x ). f ¢ (1 + 3 x ) - 7 2

1 1 2 x =0 ¾¾¾ ® f ¢ (1) = . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x + . Chọn D. f (1)=1 3 3 3

điểm có hoành độ bằng 3 đi qua điểm nào sau đây? A. (1;0).

B. (-1;0).

C. (4;1).

D. (4;3).

é f (3) = 0 . Lời giải. Từ giả thiết thay x = 0 ta có: f 2 (3) = - f 3 (3) Û êê êë f (3) = -1 Mặt khác, ta lại có -2 f (3 - x ). f ¢ (3 - x ) = 1 + 6 f 2 (3 - 2 x ). f ¢ (3 - 2 x ) x =0 ¾¾¾ ®-2 f (3). f ¢ (3) = 1 + 6 f 2 (3). f ¢ (3).

(* )

1 Dễ thấy f (3) = 0 thì (*) sẽ vô lí. Do đó f (3) = -1. Khi đó f ¢ (3) = - . 4 1 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - x - . Chọn B. 4 4

Câu 11. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

é f (1 + 2 x )ù = x - é f (1 - x )ù với mọi x Î . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm ë û ë û 2

số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = 1 là

1 6 1 8 A. y = - x - . B. y = x - . 7 7 7 7

1 8 C. y = - x + . 7 7

6 D. y = -x + . 7 (1) = 0 . (1) = -1

éf 2 3 Lời giải. Từ giả thiết thay x = 0 ta có: éë f (1)ùû = - éë f (1)ùû Û êê êë f 2 Mặt khác, ta lại có 4. f ¢ (1 + 2 x ). f (1 + 2 x ) = 1 + 3. f ¢ (1 - x ). éë f (1 - x )ùû . x =0 ¾¾¾ ® 4. f ¢ (1). f (1) = 1 + 3. f ¢ (1). éë f (1)ùû . (*) 2

1 Dễ thấy f (1) = 0 thì (*) sẽ vô lí. Do đó f (1) = -1. Khi đó f ¢ (1) = - . 7 1 1 6 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - ( x -1) -1 = - x - . Chọn A. 7 7 7

Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

2 f (2 x ) + f (1 - 2 x ) = 12 x 2 với mọi x Î . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = 1 là A. y = 2 x + 2.

B. y = 4 x - 6.

C. y = 2 x -1. D. y = 4 x - 2. ì ì f ( 0 ) = -1 ï2 f (0) + f (1) = 0 ï 1 Ûï . Lời giải. Từ giả thiết thay x = 0 và x = ta có: ï í í ï 2 ï2 f (1) + f (0) = 3 ï ï f (1) = 2 î î Mặt khác, ta lại có 4 f ¢ (2 x ) - 2 f ¢ (1 - 2 x ) = 24 x .

(* ) ìï4 f ¢ (0) - 2 f ¢ (1) = 0 ìï f ¢ (0) = 2 1 Û ïí . Thay x = 0 và x = vào (*) ta có: ïí ïï4 f ¢ (1) - 2 f ¢ (0) = 12 ïï f ¢ (1) = 4 2 î î Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 4 x - 2. Chọn D.

Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) xác định, có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn

f 2 ( x ) = ( x 2 - 2 x + 5) f (2 - x ) và f ( x ) ¹ 0 với mọi x Î . Gọi d1 , d 2 là hai tiếp tuyến

của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại các điểm có hoành độ 0 và 2. Biết d1 cắt d 2 tại

M , độ dài đoạn OM bằng A. OM = 5.

B. OM = 10.

Lời giải. Từ giả thiết 2 ì ï é f (0)ù = 5 f (2) é f (0) = f (2) = 0 ï ë û ï Û êê . í 2 ï f (0 ) = f (2 ) = 5 é ù ï ê f 2 = 5 f 0 ( ) ( ) ë ïë û î

C. OM = 17. thay

x =0

Do giả thiết f ( x ) ¹ 0, "x Î  nên f (0) = f (2) = 5.

D. OM = 26. và

x =2

Tiếp theo ta làm như bài trên và tìm được d1 : y = -2 x + 5 và d 2 : y = 2 x + 1. 5

có:

Suy ra d1 Ç d 2 = M (1;3) Þ OM = 10. Chọn B.

Câu 14. Cho các hàm số y1 = f ( x ), y2 = f ( f ( x )), y3 = f ( x 2 + 4 ) có đồ thị lần lượt là (C1 ), (C 2 ), (C 3 ). Đường thẳng x = 1 cắt (C1 ), (C 2 ), (C 3 ) lần lượt tại M , N , P .

Biết phương trình tiếp tuyến của (C1 ) tại M và của (C 2 ) tại N lần lượt là y = 3 x + 2 và y = 12 x - 5. Phương trình tiếp tuyến của (C 3 ) tại P là

A. y = 8 x -1.

B. y = 8 x + 16.

C. y = 8 x + 1.

D. y = 3 x + 4.

ìï y3 (1) ï . Lời giải. Để viết phương trình tiếp tuyến (C 3 ) tại P ta cần tìm ïí ïï y ¢ (1) ïî 3 2 Ta có y1¢ = f ¢ ( x ), y2 ¢ = f ¢ ( x ). f ¢ éë f ( x )ùû , y3¢ = 2 x . f ¢ ( x + 4 ). ì ï ì f ¢ (1) = 3 ï ï y1¢ (1) = 3 Ûï . • Từ phương trình tiếp tuyến của (C1 ) tại M ta suy ra ï í í ï ï f 1 = 5 ( ) y 1 = 5 ( ) ï ï î ï î 1 ìï ¢ ï y (1) = 12 • Từ phương trình tiếp tuyến của (C 2 ) tại N ta suy ra ïí 2 ïï y (1) = 7 ïî 2 ìï f ¢ (1). f ¢ ( f (1)) = 12 ìï3. f ¢ (5) = 12 ìï f ¢ (5) = 4 ï Û ïí Û íï Û ïí . ïï f ( f (1)) = 7 ïï f (5) = 7 ïï f (5) = 7 î î ïî

ì ï ï y3 (1) = f (5) = 7 Þ tiếp tuyến cần tìm y = 8 ( x -1) + 7 = 8 x -1. Chọn A. Suy ra ï í ï ¢ ¢ ï ï î y3 (1) = 2 f (5) = 8

Câu 15. Cho các hàm số y1 = f ( x ), y2 = f ( f ( x )), y3 = f ( x 2 + 6) có đồ thị lần lượt là (C1 ), (C 2 ), (C 3 ). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 của

(C1 ), (C 2 ) tương ứng là y = 2 x + 3, y = 8 x + 11. Khi đó tiếp tuyến tại điểm có

hoành độ bằng 1 của (C 3 ) đi qua điểm nào sau đây? A. M (14;26).

B. N (3;43).

C. P (4;23).

D. Q (10;26).

Lời giải. Ta có y1¢ = f ¢ ( x ), y2 ¢ = f ¢ ( x ). f ¢ éë f ( x )ùû , y3¢ = 2 x . f ¢ ( x 2 + 6). ìï ¢ ïì f ¢ (2) = 2 ï y (2 ) = 2 Û íï . • Từ phương trình tiếp tuyến của (C1 ) ta suy ra ïí 1 ïï y (2) = 7 ïï f (2) = 7 î 1 ïî ìï ¢ ï y (2 ) = 8 • Từ phương trình tiếp tuyến của (C 2 ) ta suy ra ïí 2 ïï y (2) = 27 ïî 2 ìï f ¢ (2). f ¢ ( f (2)) = 8 ìï2. f ¢ (7) = 8 ìï f ¢ (7) = 4 ï Û ïí Û ïí Û ïí . ïï f ( f (2)) = 27 ï ïï f (7) = 27 îï f (7) = 27 î ïî

ì ï ï y3 (1) = f (7) = 27 Þ tiếp tuyến cần tìm y = 8 ( x -1) + 27 = 8 x + 19. Chọn B. Suy ra ï í ï ¢ ¢ ï ï î y3 (1) = 2 f (7) = 8 Câu 16. Cho các hàm số y1 = f ( x ), y2 = f éë f ( x - 2)ùû y3 = f ( x 2 - 2) có đồ thị lần

lượt là (C1 ), (C 2 ), (C 3 ). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của

(C1 ) là y = x + 1, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 3 của (C 2 )

là y = 4 x + 6. Khi đó tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 của (C 3 ) đi qua điểm nào sau đây? A. M (4;36).

B. N (1;2).

C. P (4;2).

D. Q (1;6).

Lời giải. Ta có y1¢ = f ¢ ( x ), y2 ¢ = f ¢ ( x - 2). f ¢ éë f ( x - 2)ùû , y3¢ = 2 x . f ¢ ( x 2 - 2). ì ï ì f ¢ (1) = 1 ï ï y1¢ (1) = 1 Ûï . • Từ phương trình tiếp tuyến của (C1 ) ta suy ra ï í í ï ï f 1 = 2 ( ) y 1 = 2 ( ) ï ï î ï î 1 ìï ¢ ï y (3) = 4 • Từ phương trình tiếp tuyến của (C 2 ) ta suy ra ïí 2 ïï y (3) = 18 ïî 2 ì ï ì ï f ¢ (2 ) = 4 ï f ¢ (1). f ¢ ( f (1)) = 4 Ûï Ûï . í í ï ï f (2) = 18 f f 1 = 18 ( ) ( ) ï ï î ï î ìï y3 (2) = f (2) = 18 ï Þ tiếp tuyến cần tìm y = 16 ( x - 2) + 18. Chọn B. Suy ra ïí ïï y ¢ (2) = 4 f ¢ (2) = 16 ïî 3 Câu 17. Đồ thị các hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y = f ( x ) g ( x ) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 0 có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. f (0) - g (0) = 1. B. f (0) - g (0) = -1. C. f (0) + g (0) = -1.

D. f (0) + g (0) = 1.

Lời giải. Có f ¢ (0) = g ¢ (0) = f ¢ (0). g (0) + f (0). g ¢ (0). Suy ra f (0) + g (0) = 1. Chọn D. Câu 18. Đồ thị hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y =

f (x ) có tiếp tuyến tại điểm có g (x )

hoành độ x = 0 có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 1 1 A. f (0) < . B. f (0) £ . C. f (0) > . D. f (0) ³ . 4 4 4 4 f ¢ (0). g (0) - g ¢ (0). f (0) . Lời giải. Ta có f ¢ (0) = g ¢ (0) = 2 é g (0)ù ë û g (0 ) - f (0 ) 2 = 1 Û éë g (0)ùû - g (0) + f (0) = 0. Suy ra 2 é g (0)ù ë û 7

1 Để tồn tại g (0) thì D = 1 - 4 f (0) ³ 0 Û f (0) £ . Chọn B. 4 f (x )+ 3 Câu 19. Đồ thị các hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y = có tiếp tuyến tại g (x )+ 3

điểm có hoành độ x = 1 có cùng hệ số góc và khác 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 11 11 11 11 A. f (1) £ - . B. f (1) < - . C. f (1) > . D. f (1) ³ . 4 4 4 4 é ù é ù ¢ ¢ f (1) ë g (1) + 3û - g (1) ë f (1) + 3û Lời giải. Ta có f ¢ (1) = g ¢ (1) = . 2 é g (1) + 3ù ë û g (1) - f (1) 2 = 1 Û éë g (1)ùû + 5 g (1) + 9 + f (1) = 0. Suy ra 2 é g (1) + 3ù ë û 11 Để tồn tại g (1) thì D = 25 - 4 éë 9 + f (1)ùû ³ 0 Û f (1) £ - . Chọn A. 4 f ( x )- 8 Câu 20. Đồ thị các hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y = có tiếp tuyến tại 8 - 3 g (x ) điểm có hoành độ x = m có cùng hệ số góc và khác 0. Giá trị nhỏ nhất của f (m ) bằng 95 97 . . D. 12 12 f ¢ (m ) éë8 - 3 g (m )ùû + 3 g ¢ (m ) éë f (m ) - 8ùû Lời giải. Ta có f ¢ (m ) = g ¢ (m ) = . 2 é8 - 3 g (m )ù ë û 3 f (m ) - 3 g (m ) -16 = 1 Û 9 g 2 (m ) - 45 g (m ) + 80 - 3 f (m ) = 0. Suy ra 2 é8 - 3 g (m )ù ë û 95 Để tồn tại g (m ) thì D¢ = 452 - 4.9 éë80 - 3 f (m )ùû ³ 0 Û f (m ) ³ . Chọn C. 12 f (x ) Câu 21. Đồ thị các hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y = có tiếp tuyến 15 + 3 g ( x )

5 . 4

B. 2.

tại điểm có hoành độ x = m có cùng hệ số góc và khác 0. Giá trị lớn nhất của f (m ) bằng

A. 3.

10 . 3 3

Lời giải. Ta có f ¢ (m ) = g ¢ (m ) = Suy ra

15 + 3 g (m ) - 3 f (m ) é15 + 3 g (m )ù ëê ûú

1 4 2

f ¢ (m ) éê15 + 3 g (m )ùú - 3 g ¢ (m ) f (m ) ë û . 2 é15 + 3 g (m )ù ëê ûú

1 4 3

= 1 Û 3 g 2 (m ) + 29 3 g (m ) + 3 f (m ) + 210 = 0. 8

(

)

2 1 . Chọn D. Để tồn tại g (m ) thì D¢ = 29 3 - 4.3 éê 3 f (m ) + 210ùú ³ 0 Û f (m ) £ ë û 4 3 f (x ) Câu 22. Đồ thị các hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) và y = có tiếp tuyến tại điểm g (x )

có hoành độ x = 2 có hệ số góc lần lượt là k1 , k2 , k3 thỏa mãn k1 = k2 = 2 k3 ¹ 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 1 A. f (2) £ . B. f (2) > . 2 2

1 1 C. f (2) < . D. f (2) ³ . 2 2 f ¢ (2 ) g (2 ) - g ¢ (2 ) f (2 ) Lời giải. Ta có k1 = f ¢ (2), k2 = g ¢ (2), k3 = . g 2 (2 ) Theo giả thiết: k1 = k2 = 2 k3 nên f ¢ (2) = g ¢ (2) = 2. Suy ra

f ¢ (2 ) g (2 ) - g ¢ (2 ) f (2 ) . g 2 (2 )

2 g (2 ) - 2 f (2 ) = 1 Û g 2 (2) - 2 g (2) + 2 f (2) = 0. g 2 (2 )

1 Để tồn tại g (2) thì D¢ = 1 - 2 f (2) ³ 0 Û f (2) £ . Chọn A. 2

Câu 23. Tiếp tuyến của đồ thị các hàm số y1 = f ( x ), y2 = f ( x 2 ) và y3 =

f (x )

f (x 2 )

tại

điểm có hoành độ x = 1 có hệ số góc lần lượt là k1 , k2 , k3 cùng khác 0 và thỏa mãn k1 + 2 k2 = 3k3 . Tính f (1).

4 A. f (1) = - . 5

3 B. f (1) = - . 5

1 2 C. f (1) = - . D. f (1) = . 5 5 ¢ ( x ). f ( x 2 ) - f ( x ).2 xf ¢ ( x 2 ) f Lời giải. Ta có y1¢ = f ¢ ( x ), y2 ¢ = 2 xf ¢ ( x 2 ) và y3¢ = . 2 é f ( x 2 )ù êë úû f ¢ (1) Suy ra k1 = f ¢ (1), k2 = 2 f ¢ (1) và k3 = . f (1) Theo giả thiết: k1 + 2 k2 = 3k3 Û f ¢ (1) + 4 f ¢ (1) = -3

f ¢ (1)

3 Û f (1) = - . Chọn B. f (1) 5

Câu 24. Cho hàm số y = x 3 - 3 x có đồ thị là (C ). Tiếp tuyến của (C ) tại M (a; b )

cắt (C ) tại điểm thứ hai M 1 ( M 1 ¹ M ). Tiếp tuyến của (C ) tại M 1 cắt (C ) tại

điểm M thỏa mãn tính chất trên? A. 0. B. 1.

C. 2.

Lời giải. Tiếp tuyến của (C ) tại M có phương trình:

D : y = (3a 2 - 3)( x - a ) + a 3 - 3a.

D. 3.

Hoành độ giao điểm của D và (C ) là nghiệm của phương trình

éx = a

(3a 2 - 3)( x - a ) + a 3 - 3a = x 3 - 3x Û ( x - a )2 ( x + 2a ) = 0 Û êê x = -2a . ë

Do M 1 ¹ M nên a ¹ 0 và M 1 (-2a; -8a + 6a ). 3

Tương tự hoành độ của M 2 và M 3 tương ứng là: 4a và -8a. Suy ra M 3 (-8a; -512a 2 + 24 a ).

éa = 1 ê Theo giả thiết -60.(-8a ) - 512a + 24 a + 8 = 0 ¾¾¾ ® ê a » -0,016. Chọn D. ê ê a » -0,98 ë 3

Casio

Câu 25. Cho hàm số y = x 3 - 2018 x có đồ thị là (C ). Tiếp tuyến của (C ) tại M 1 (1; -2017) cắt (C ) tại điểm thứ hai M 2 ( M 2 ¹ M ). Tiếp tuyến của (C ) tại M 2

cắt (C ) tại điểm thứ hai M 3 ( M 3 ¹ M 2 ). Cứ như thế, tiếp tuyến của (C ) tại M n-1

cắt (C ) tại điểm thứ hai M n ( M n ¹ M n-1 ) (n = 4;5;...). Gọi ( x n ; yn ) là tọa độ điểm M n , tìm n để 2018 x n + yn + 2 2019 = 0. A. n = 627. B. n = 647.

C. n = 674.

D. n = 675.

Lời giải. Tiếp tuyến của (C ) tại M k ( x k ; yk ) Î (C ) với k = 1; 2;... có phương trình là:

y = (3 x k2 - 2018)( x - x k ) + x k3 - 2018 x k

Hoành độ của điểm M k +1 là nghiệm của phương trình

x 3 - 2018 x = (3 x k2 - 2018)( x - x k ) + x k3 - 2018 x k

é x = x k (loaïi) Û ( x - x k )( x 2 + x .x k - 2 x k2 ) = 0 Û êê . êë x = -2 x k

Suy ra x k +1 = -2 x k , "k (do x k ¹ x k +1 ). Do đó: x1 = 1; x 2 = -2; x 3 = 4;; x n = (-2) Theo đề bài: 2018 x n + yn + 2

Û (-2)

3 n -3

= (-2)

2019

= 0 Û 2018 x n + ( x - 2018 x n ) + 2 3 n

Û n = 674. Chọn C.

2019

n -1

= 0 Û x = -2 3 n

2019