Bài tập trắc nghiệm nâng cao Toán 12 & Các dạng toán ứng dụng thực tế có đáp án và lời giải chi tiết by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán 12

Trang 1

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

MỤC LỤC PHẦN I – ĐỀ BÀI.............................................................................................................................. 3 HÀM SỐ ............................................................................................................................................ 3

I – HÌNH CHÓP ............................................................................................................................ 9

HÌNH ĐA DIỆN................................................................................................................................. 9

II – HÌNH LĂNG TRỤ ................................................................................................................ 13

U Y

MŨ - LÔ GARIT ............................................................................................................................. 15

HÌNH NÓN - TRỤ - CẦU .............................................................................................................. 19

NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG .......................................................................... 24

ẠO

HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ ............................................................................... 29

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

SỐ PHỨC......................................................................................................................................... 37

PHẦN II – LỜI GIẢI CHI TIẾT .................................................................................................... 41

H Ư

HÀM SỐ .......................................................................................................................................... 41 HÌNH ĐA DIỆN............................................................................................................................... 65

TR ẦN

I – HÌNH CHÓP .......................................................................................................................... 65 II – HÌNH LĂNG TRỤ ................................................................................................................ 79 MŨ - LÔ GARIT ............................................................................................................................. 87

10 00

HÌNH NÓN - TRỤ - CẦU ............................................................................................................ 103 NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ........................................................................ 118

HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ ............................................................................. 133

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

SỐ PHỨC....................................................................................................................................... 159

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 2 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

U Y

Câu 1. Cho hàm số y = x 3 + mx + 2 có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. A. m > −3 B. m < − 3 C. m > 3 D. m < 3 4 2 2 Câu 2. Cho hàm số: y = x − 2( m − 2) x + m − 5 m + 5 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hám số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm này tạo thành một tam giác đều A. m = 2 − 3 3 B. 2 − 3 C. 3 − 2 D. 3 − 3 2 1 Câu 3. Cho hàm số y = x 3 − x 2 có đồ thị là (C). Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số

PHẦN I – ĐỀ BÀI HÀM SỐ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

2 góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = 4x +3

x 4 +1

( )

độ). A. m = 0

TR ẦN

( )

H Ư

3   4 40  1   B.  −1; −  ;  ;  A.  ; 0  2   3 27  2    2 1 + 2   2 −1 + 2  1  D.  ; 0  ; ( −2; −10 ) C.  − ;− ;  ;   4   2 4  2   2 2x − 4 Câu 4. Cho hàm số y = có đồ thi C điểm A(−5;5) . Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt x +1 đồ thị C tại hai điểm phân biệt M và N sao cho tứ giác OAMN là hình bình hành (O là gốc toạ

ÁN

-L

Í-

10 00

B. m = 0; m = 2 C. m = 2 D. m = −2 x+2 Câu 5. Cho hàm số: y = ( C ) . Tìm a sao cho từ A(0, a ) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) nằm ở x −1 hai phía trục Ox.  −2   −2  A.  ; +∞  B. ( −2; +∞ ) \ {1} C. ( −2; +∞ ) D.  ; +∞  \ {1}  3   3  3x − 1 Câu 6. Hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị y = . Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất x−3 bằng? A. 8 B. 4 C. xM < 3 D. 8 2 .

ÀN

Câu 7. Cho hàm số y = − x3 + 3mx 2 − 3m − 1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x + 8 y − 74 = 0 A. m = 1 B. m = −2 C. m = 2 D. m = −1

IỄ N

Câu 8. Cho f ( x ) = e và

1 x2

( x +1)2

. Biết rằng f (1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e n với m , n là các số tự nhiên

m tối giản. Tính m − n 2 . n A. m − n 2 = 2018 . B. m − n 2 = −2018 .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. m − n 2 = 1 .

D. m − n 2 = −1 .

Trang 3 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị y = f ′( x) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. f (c) > f ( a ) > f (b). B. f (c) > f (b) > f ( a ). C. f (a ) > f (b) > f (c). D. f (b) > f ( a) > f (c).

U Y

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2m − 1) x − ( 3m + 2 ) cos x nghịch

biến trên ℝ.

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

1 1 1 A. −3 ≤ m ≤ − . B. −3 < m < − . C. m < −3. D. m ≥ − . 5 5 5 3 2 Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số: y = 2 x + 3 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x + 3 nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3 A. m < 0 hoặc m > 6 B. m > 6 C. m < 0 D. m = 9 x +1 Câu 12. Cho hàm số y = có đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các x −1 khoảng cách từ A đến các tiệm cận của (C). A. 2 2 B. 2 C. 3 D. 2 3 2x + 1 Câu 13. Cho hàm số y = ( C ) . Tìm k để đường thẳng d : y = kx + 2k + 1 cắt (C) tại hai điểm x +1 phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. B. −4 C. −3 D. 1 A. 12 x−4 Câu 14. Nếu đồ thị hàm số y = cắt đường thẳng ( d ) : 2 x + y = m tại hai đểm AB sao cho độ dài x +1 AB nhỏ nhất thì A. m=-1 B. m=1 C. m=-2 D. m=2 3 2 2 2 Câu 15. Cho hàm số y = x − 3mx + 3 ( m − 1) x + 1 − m . Tìm m để trên đồ thị hàm số có hai điểm đối

ÁN

-L

Í-

xứng qua gốc tọa độ A. −1 ≤ m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 B. −1 < m < 0 hoặc m > 1 C. 1 > m > 0 hoặc m < −1 D. 1 ≥ m ≥ 0 hoặc m ≤ −1 2 3 3 2 3 Câu 16. Cho hàm số y = x + 3mx − m có đồ thị ( Cm ) và đường thẳng d : y = m x + 2m . Biết rằng

m1 , m2 ( m1 > m2 ) là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị ( Cm ) tại 3 điểm phân biệt có

hoành độ x1 , x 2 , x3 thỏa x14 + x2 4 + x34 = 83 . Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị

ÀN

m1 , m2 ?

B. m12 + 2m2 > 4 . C. m2 2 + 2m1 > 4 . D. m1 − m2 = 0 . x−3 Câu 17. Cho hàm số y = có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C). Tìm x +1 tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài IM là ngắn nhất ? A. M1 ( 0 ; − 3) và M 2 ( −2 ; 5 ) B. M1 (1; − 1) và M 2 ( −3 ; 3)

IỄ N

A. m1 + m2 = 0 .

1 7 5   1  5 11  C. M 1  2 ; −  và M 2  −4 ;  D. M 1  ; −  và M 2  − ;  3 3 3   2  2 3 Câu 18. Giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x 2 + 2mx + m 2 + 1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 đạt giá trị nhỏ nhất là:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 4 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A. m = 2

B. m = 1

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

C. m = -1

D. m = - 2 2

Câu 19. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y =

x − 2x + 3 hợp với 2 trục tọa độ 1 x −1

Ơ 1 < m <1 4

m ≠ 0 

1 4

C. − < m < 1

B.  4

U Y

 1 − < m < 1

2 2 2 hoành tại 3 điểm phân biệt x1 , x2 , x3 sao cho x1 + x2 + x3 < 4 là

A. m < 1

tam giác có diện tích S bằng: A. S=1,5 B. S=2 C. S=3 D. S=1 3 2 Câu 20. Cho hàm số y = x − 2 x + (1 − m ) x + m có đồ thị ( C ) . Giá trị của m thì ( C ) cắt trục

Câu 21. Cho hàm số y = ( x − m ) − 3 x + m 2 (1) . Gọi M là điểm cực đại của đồ thị hàm số (1) ứng với

3 2 a 8

3 2 a 4

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

một giá trị m thích hợp đồng thời là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (1) ứng với một giá trị khác của m. Số điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Câu 22. Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định giá trị lớn nhất của hình chữ nhật đó?

C. 0

3 2 a 2

TR ẦN

x (C ) . Tìm m để đường thẳng d : y = mx − m − 1 cắt (C ) tại hai điểm 1− x phân biệt M , N sao cho AM 2 + AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất với A(−1;1) . A. m = 1 B. m = 2 C. m = −1 D. m = 3 Câu 24. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị nhu hình vẽ bên. Tất cả

10 00

Câu 23. Cho hàm số y =

các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị là:

ÀN

ÁN

-L

Í-

A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 3 B. m ≤ −3 hoặc m ≥ 1 C. m = −1 hoặc m = 3 D. 1 ≤ m ≤ 3 3 2 Câu 25. Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 1 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ). A. m = 1 B. m = 2 C. m = ±1 D. m = 3 2 2sin x Câu 26. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = là x x sin 4 + cos 4 2 2 A. 0 B. 4 C. 8 D. 2 Câu 27. Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x + m có đồ thị (C), với m là tham số. Giả sử đồ thị (C) cắt trục

IỄ N

hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 < x2 < x3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 1 < x1 < x2 < 3 < x3 < 4 B. 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4 C. x1 < 0 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4 D. 1 < x1 < 3 < x2 < 4 < x3 tan x − 2 Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = đồng biến trên khoảng tan x − m  π  0;  .  4 A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2. B. m ≤ 0. C. 1 ≤ m < 2. D. m ≥ 2.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 5 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

2 Câu 29. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a > 0, b < 0, c > 0 B. a < 0, b > 0, c < 0 C. a < 0, b < 0, c < 0 D. a > 0, b < 0, c < 0

U Y

1 ( C ) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 x −1 sao cho tiếp tuyến tại diểm đó tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất . 1 1  1    1 A. M = 1 + 4 ;2 − 2 + 4  B. M =  4 ;2 + 4  2 2 2   2 1 1   D. M = 1 + 4 ;2 + 2 + 4  2 2 

)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

C. M = 1;2 + 2

ẠO

Câu 30. Cho hàm số : y = x + 1 +

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

5 x4 Câu 31. Cho hàm số: y = − 3 x 2 + (C ) và điểm M ∈ (C ) có hoành độ xM = a. Với giá trị nào của a 2 2 thì tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M.  a < 3  a < 3 a < 3  a < 7 C.  A.  D.  B.  a ≠ ±1  a ≠ 1  a ≠ ±1  a ≠ ±2 2x − 3 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến đó cắt đường Câu 32. Cho hàm số: y = x−2 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB = 2 IB , với I (2, 2) . A. y = − x + 2 ; y = − x − 3 B. y = x + 2 ; y = − x + 6 C. y = − x + 2 ; y = − x + 6 D. y = x − 2 ; y = x − 6 3 2 Câu 33. Cho hàm số y = x + 2mx + (m + 3)x + 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm), đường thẳng d có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 . 1 ± 37 1 ± 137 1± 7 1 ± 142 A. m = B. m = C. m = D. m = 2 2 2 2 3 Câu 34. Cho hàm số: y = x − 2009 x có đồ thị là (C). M 1 là điểm trên (C) có hoành độ x1 = 1 . Tiếp

tuyến của (C) tại M 1 cắt (C) tại điểm M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của (C) tại M 2 cắt (C) tại điểm M 3 khác M 2 , tiếp tuyến của (C) tại điểm M n −1 cắt (C) tại điểm M n khác M n −1 (n = 4; 5;…), gọi ( xn ; yn )

IỄ N

ÀN

là tọa độ điểm M n . Tìm n để : 2009 xn + yn + 22013 = 0 A. n = 685 B. n = 627 C. n = 675 D. n = 672 3 x − 2m Câu 35. Cho hàm số y = với m là tham số. Xác định m để đường thẳng d cắt các trục mx + 1 Ox, Oy lần lượt tại C , D sao cho diện tích ∆OAB bằng 2 lần diện tích ∆OCD . 5 2 1 A. m = ± B. m = ±3 D. m = ± C. m = ± 3 3 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 6 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

U Y

vuông góc với đường thẳng d : x + 2 y = 0 . m < 0  m < −1 m < 0 1  C. 0 < m < A. B.  D.  m > 2 m > 5 > 1 m 3  3 3   2x − 1 có đồ thị (C) và điểm P ( 2;5 ) . Tìm các giá trị của tham số m để Câu 37. Cho hàm số y = x +1 đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác PAB đều.

1 Câu 36. Cho hàm số y = mx 3 + ( m − 1) x 2 + ( 4 − 3m ) x + 1 có đồ thị là ( Cm ) , m là tham số. Tìm các 3 giá trị của m để trên ( Cm ) có duy nhất một điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm đó

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C ) là: A. m = 1, m = −5 B. m = 1, m = 4 C. m = 6, m = −5 D. m = 1, m = −8 4 3 Câu 38. Cho hàm số y = x − mx + 4 x + m + 2 . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số ban đầu có 3 cực trị và trọng tâm của tam giác với 3 đỉnh là toạ độ các điểm cực trị trùng với tâm đối xứng của đồ 4x thị hàm số y = . 4x − m B. m = 1 C. m = 4 D. m = 3 A. m = 2 3 2 Câu 39. Tìm tham số m để hàm số y = x + 3mx + 3 ( m + 1) x + 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớ n h ơ n 4 . 1 − 21 1 − 21 1 + 21 A. m < B. m < hoặc m > 2 2 2 1 + 21 1 − 21 1 + 21 D. C. m > <m< 2 2 2 −x + 1 Câu 40. Đường thẳng d : y = x + a luôn cắt đồ thị hàm số y = ( H ) tại hai điểm phân biệt 2x − 1 A, B . Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( H ) tại A và B . Tìm a để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. A. a = 1 B. a = 2 C. a = −5 D. a = −1 Câu 41. Tìm m để phương trình x4 – ( 2m+3)x2 + m + 5 = 0 có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thoả mãn : -2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 3 A. Không có m B. m = 1 C. m = 4 D. m = 3 3 2 1 3 3 Câu 42. Cho hàm số: y = x - mx + m . Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm 2 2 phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. A. m = 0 ; m = ± 2 B. m = 0 C. m = ± 2 D. m = 0 ; m = 2 Câu 43. Cho hàm số y=x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2m(2m-1). Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+ ∞ ) . A. −3 < m < 2 B. −2 ≤ m ≤ 2 C. −3 ≤ m ≤ 1 D. −3 ≤ m ≤ 2 Câu 44. Bạn A có một đoạn dây dài 20m . Bạn chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất? 40 120 60 180 m. m. m. m. A. B. C. D. 9+4 3 9+4 3 9+4 3 9+4 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 7 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

C. 2 .

đường tiệm cận là A. {0}.

B. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) .

N U Y

C. ∅

D. 3 . 2x − 1 Câu 46. Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số y = có đúng 1 ( mx 2 − 2 x + 1)( 4 x 2 + 4mx + 1)

y = x 3 + ax 2 + bx + c và trục Ox là A. 0 . B. 1.

 −8 + 4a − 2b + c > 0 Câu 45. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn  . Số giao điểm của đồ thị hàm số 8 + 4a + 2b + c < 0

D. ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) .

Câu 47. Đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx 2 + ( m + 3) x + 4 tại 3 điểm phân

biệt A ( 0;4 ) , B và C sao cho diện tích tam giác MBC bằng 4, với M (1;3) . Tìm tất cả các giá trị của

ẠO

(

)

P = 4 ( x 2 + y 2 ) + 15 xy là:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

m thỏa mãn yêu cầu bài toán. D. m = −2 hoặc m = −3. A. m = 2 hoặc m = 3. B. m = −2 hoặc m = 3. C. m = 3. Câu 48. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2 x − 3 + y + 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

10 00

TR ẦN

H Ư

A. min P = −83 B. min P = −63 C. min P = −80 D. min P = −91 4 2 Câu 49. Gọi (Cm) là độ thì hàm số y = x − 2 x − m + 2017 . Tìm m để (Cm) có đúng 3 điểm chung phân biệt với trục hoành, ta có kết quả: A. m = 2017 B. 2016 < m < 2017 C. m ≥ 2017 D. m ≤ 2017 2 x +2 Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm cận mx 4 + 3 ngang. A. m = 0 B. m < 0 C. m > 0 D. m > 3 2 Câu 51. Cho hàm số y = x + 2 x + a − 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2;1] đạt

giá trị nhỏ nhất. A. a = 3

C. a = 1

B. a = 2

)

(

D. Một giá trị khác

(

)

Í-

Câu 52. Giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x3 + 2 1 + x 3 + 1 + x 3 + 2 1 − x 3 + 1 là: B. 1

C. 2

D. 3

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

A. 0

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 8 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

HÌNH ĐA DIỆN

Câu 1. Cho hình chóp S . ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng (SAB ) , (SAC ) và (SBC ) cùng tạo với mặt phẳng ( ABC ) một góc bằng nhau. Biết AB = 25 , BC = 17 , AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45° . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .

I – HÌNH CHÓP

2 3

a 3 14 48

7 13

5 13

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

A. V = 680 B. V = 408 C. V = 578 D. V = 600 ABCD, M , N , P lần BC , BD, AC Câu 2. Cho tứ diện lượt thuộc sao cho BC = 4BM , BD = 2 BN , AC = 3 AP , mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP).

1 . 3

a 3 14 24

a 3 14 16

TR ẦN

H Ư

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu AC vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = . Gọi CM là 4 đường cao của tam giác SAC. Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. C.

a 3 14 8

10 00

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và 1 mặt phẳng đáy là α thoả mãn cosα = . Mặt phẳng ( P ) qua AC và vuông góc với mặt phẳng 3 (SAD ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với

giá trị nào trong các giá trị sau A. 0,11 B. 0,13 C. 0,7 D. 0,9 Câu 5. Cho hình chóp S . ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Các mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) , 300 , 450 , 600 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC .

-L

Í-

( SBC ) lần lượt tạo với đáy các góc lần lượt là

Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) nằm bên trong tam giác ABC .

ÁN

a3 3

(4 + 3)

A. V =

B. V =

a3 3

(

2 4+ 3

)

C. V =

a3 3

(

4 4+ 3

)

D. V =

a3 3

(

8 4+ 3

)

IỄ N

ÀN

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa SC và mp(ABC) là 45 ° . Hình a 7 chiếu của S lên mp(ABC) là điểm H thuộc AB sao cho HA = 2HB. Biết CH = . Tính khoảng cách 3 giữa 2 đường thẳng SA và BC: a 210 a 210 a 210 a 210 A. B. C. D. 30 20 45 15 Câu 7. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB = a, AC = 2a. Đỉnh S cách đều A, B, C; mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3 3 3 3 1 A. V= a B. V= a3 C. V= a3 D. V= 3. a 3 3 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 9 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

U Y

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA=x, các cạnh còn lại bằng 2. Tìm giá trị của x để thể tích khối chóp lớn nhất A. 6 B. 2 C. 7 D. 2 6 Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của AD. Gọi S’ là giao của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S’.BCDM và S.ABCD. 1 2 3 1 A. B. C. D. 2 3 4 4 Câu 10. Đáy của hình chóp SABC là tam giác cân ABC có AB = AC = a và B = C = α . Các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc β . Tính thể tích hình chóp SABC.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

a 3 tan β a 3 cos α tan β a 3 cos α tan β a 3 sin 2α B. V = C. V = D. V = 6 6 3 6 Câu 11. Cho hình chop S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và B. AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M, N là trung điểm của SB và SD. Tính V hình chop biết rằng (MAC) vuông góc với (NAC). 3a 3 a3 3a3 3 a3 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 12. Cho tứ diện S . ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA = 2SM , SN = 2 NB , (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H 2 ) là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S . ABC bởi mặt phẳng (α ) , trong đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H 2 ) V chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số 1 . V2 4 5 3 4 A. B. C. D. 5 4 4 3

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A. V =

Câu 13. Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V . Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng 1

(

Í-

A. x = V 3 B. x = 3 V C. x = V 4 D. x = V Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD

)

2 dm . 7

ÁN

-L

là 4π dm 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC gần với giá trị nào nhất sau đây ?

3 dm . 7

4 dm . 7

2 3

6 dm . 7

ÀN

Câu 15. Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V. Điểm P là trung điểm của SC , một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N.Gọi V1 là thể tích của khối

IỄ N

chóp S .AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của

3 8

V1 V

1 3

1 8

Câu 16. Nếu một tứ diện chỉ có đúng một cạnh có độ dài lớn hơn 1 thì thể tích tứ diện đó lớn nhất là bao nhiêu? 1 3 1 5 A. B. C. D. 4 4 8 8

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 10 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 17. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt

a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 B. C. D. 3 2 6 12 Câu 18. Hai hình chóp tam giác đều có chung chiều cao , đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của đáy hình chóp kia. Mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên l của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao một góc α .Cạnh bên của hình chóp thứ 2 tạo với đường cao một góc β . Tìm thể tích phần chung của hai hình chóp . B. V =

l 3 3 cos3 α 2(cot gα + cot g β ) 2

l 3 3 cos3 α 4(cot gα + cot g β ) 2

A. V =

U Y

phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng (SAB ) bằng 300. Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S trên đường thẳng BM . Khi điểm M di động trên cạnh CD thì thể tích của khối chóp S .ABH đạt giá trị lớn nhất bằng?

l 3 cos3 α l 3 5 cos α = V D. 2(cot gα + cot g β ) 2 4(cot gα + cot g β ) 2 Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a (a> 0). Cạnh SA vuông góc với SM đáy và SA = a 3 . M là một điểm khác B trên SB sao cho AM ⊥ MD. Tính tỉ số . SB 3 1 3 5 A. B. C. D. 4 4 5 4

ẠO

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

C. V =

Í-

10 00

Câu 20. Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AB > 1, các cạnh còn lại có độ dài không lớn hơn 1. Gọi V là thể tích của khối tứ diện. Tìm giá trị lớn nhất của V. 3 1 3 5 A. B. C. D. 8 8 5 8 Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a. 3 3a 3 3a3 3 3a 3 3 5a3 A. B. D. C. 20 20 10 10

15 23

ÀN

ÁN

-L

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD thỏa mãn SA = 5, SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích khối chóp S.MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM , CD . B.

5 23

15 29

13 23

IỄ N

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 11 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 24. Cho khối chóp S.ABC có SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Thể tích lớn nhất của khối chóp là A. a 3 6 .

a3 6 . 2

a3 6 . 3

a3 6 . 6

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

SC = a . Mặt phẳng qua C , vuông góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E và F . Tính thể tích khối chóp S.CEF . 2a 3 2a 3 a3 a3 A. VSCEF = . B. VSCEF = . C. VSCEF = . D. VSCEF = . 36 12 18 36

Câu 25. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a , SC ⊥ ( ABC ) và

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 12 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

II – HÌNH LĂNG TRỤ

Câu 24. Một hình hộp có 6 mặt đều là các hình thoi có góc bằng 600 và cạnh bằng a. Tính thể tích của hình hộp đó. a3 2a 3 2a 3 2 2a 3 A. B. C. D. 2 2 3 3

25 . 47

B. 1.

17 . 25

.Q D.

ẠO

V1 là V2

khối chứa điểm A′ và V2 là thể tich khối chứa điểm C ' . Khi đó

U Y

Câu 25. Cho khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a . Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C ′B′ và C ′D′ . Mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V1 là thể tich

8 . 17

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 26. Cho lăng trụ đứng ABCA′B′C ′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a. Góc giữa mặt phẳng ( AB ′C ) và mặt phẳng ( BB′C ) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCA′B′C ′ . 3

H Ư

A. a3 2 B. 2a 3 C. a 3 6 D. 3a Câu 27. Cho lăng trụ ABC.A 'B'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giá ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA'

a3 3 24

10 00

TR ẦN

và BC bằng a 3 . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là 4 3 a 3 a3 3 a3 3 A. B. C. 12 6 3

Câu 28. Cho hình lăng trụ ABC .A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông

(

)

góc của A ' lên măt phẳng ABC trùng với tâm G của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa

a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC .A ' B ' C ' . 4

AA ' và BC là

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

3 a3 3 a3 3 a3 3 B. V = C. V = D. V = a 3 3 6 12 36 Câu 29. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’ sao cho MA = MA ' và NC = 4NC' . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’, BB’MN, ABB’C’ và A’BCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất? A. Khối A’BCN B. Khối GA’B’C’ C. Khối ABB’C’ D. Khối BB’MN nhọn. Câu 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A , góc BAC Góc giữa AA' và BC' là 30 0 , khoảng cách giữa AA' và BC' là a . Góc giữa hai mặt bên ( AA'B' B) và ( AA'C'C) là 600 . Thể tích lăng trụ ABC.A' B'C' là

A. V =

2a 3 3 3

a3 3 3

a3 6 6

a3 6 3

Câu 31. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 . AM A'N 1 Lấy M, N lần lượt trên cạnh AB’, A’C sao cho = = . Tính thể tích V của khối BMNC’C. AB ' A 'C 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 13 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

2a 3 6 3a 3 6 a3 6 a3 6 B. C. D. 108 27 108 27 Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có khoảng cách giữa A ' C và C ' D ' là 1 cm. Thể tích khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' là: A. 8 cm 3 . B. 2 2 cm 3 . C. 3 3 cm 3 . D. 27 cm 3 . Câu 33. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M là trung điểm A’B’. Mặt phẳng (P) qua BM đồng thời song song với B’D’. Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối có thể tích là V1, V2 ( Trong đó V V1 là thể tích khối chứa A). Tính tỉ số F = 1 . V2 B. 1.

17 . 25

8 . 17

7 . 17

U Y

Câu 34. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

cạnh AB, AA’ và B’C’. Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. 49 25 8 A. . B. 1. C. . D. . 47 17 95 Câu 35. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường

TR ẦN

a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A′B′C′. 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 24 12 3 6 Câu 36. Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ 27 3 3 3 3 9 a . a . A. V = B. V = C. V = a 3 . D. a 3 . 8 4 2 4

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

thẳng AA′ và BC bằng

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 14 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

MŨ - LÔ GARIT 2

A. m > 0

+ 2 mx + 2

− 52 x

+ 4 mx + 2

− x 2 − 2mx − m = 0 . Tìm m để phương trình vô nghiệm? m > 1

C. 0 < m < 1

D.  m < 0 Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: log3 (1 − x2 ) + log 1 ( x + m − 4) = 0 .

B. m < 1

Câu 1. Cho phương trình 5x

U Y

−1 21 21 −1 < m < 0. ≤ m ≤ 2. B. 5 ≤ m ≤ . C. 5 < m < . D. 4 4 4 4 Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có tập nghiệm là ( −∞;0] : < 0.

1 . 2

C. m <

ẠO

B. m ≤

1 . 2

1 D. m < − . 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 A. m ≤ − . 2

) + (3 + 5 )

(

m 2 x +1 + ( 2m + 1) 3 − 5

H Ư

Câu 4. Tính giá trị của biểu thức P = ln ( tan1°) + ln ( tan 2°) + ln ( tan3°) + ... + ln ( tan89°) .

1 B. P = . 2 2

D. P = 2.

+ 21− x = 2.26−5 x + m(1) . Tìm m để PT có 4 nghiệm phân biệt. 0 < m < 2. −1 21 −1  < m < 0. ≤ m ≤ 2. A. B. 5 ≤ m ≤ . C.  D. 1 1 4 4 4 m ≠ 8 , m ≠ 256 Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log32 x − ( m + 2) .log3 x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm

x1 , x2 sao cho x1.x2 = 27 4 A. m = 3

10 00

Câu 5. Cho phương trình : m.2 x

−5 x + 6

C. P = 0.

TR ẦN

A. P = 1.

28 D. m = 1 3 Câu 7. Trong tất cả các cặp ( x; y ) thỏa mãn log x2 + y2 + 2 ( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1 . Tìm m để tồn tại duy B. m = 25

-L

Í-

C. m =

( C. (

) 2)

B. 10 − 2 và 10 + 2 .

10 − 2 .

ÁN

nhất cặp ( x; y ) sao cho x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0 .

và

(

)

D. 10 − 2 .

10 + 2 .

ÀN

10 −

IỄ N

Câu 8. Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho log a 2019 + 22 l o g a 2019 + 32 log 3 a 2019 + ... + n 2 log n a 2019 = 10082 × 2017 2 log a 2019 A. n=2017 Câu 9. Phương trình log

(

B. n=2018 C. n=2019 D. n=2016 3 2 mx − 6 x + 2log 1 −14 x + 29 x − 2 = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt khi:

)

(

)

A. m < 19

B. m > 39

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 19 < m <

39 2

D. 19 < m < 39

Trang 15 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 x 2 x +1 1  = 2log3  −  có nghiệm duy nhất x = a + b 2 trong  x  2 2 x D. 2

log 4 ( x + 1) + 2 = log

B. 2 nghiệm

4 − x + log 8 ( 4 + x )

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

(

A. 1 nghiệm

C. 1

đó a , b là các số nguyên. Tính a + b ? A. 5 B. −1 Câu 11. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm :

Câu 10. Biết phương trình log5

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

)

U Y

Câu 12. Cho phương trình 2 − m2 5x − 3.3x + m2 (15 x − 5 ) = 0 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của

(

C. ( 0; +∞ )

D. ( −∞;1)

B. ( −2;3)

A. ℝ

tham số m để phương trình có nghiệm trong khoảng ( 0;2 ) .

)

Câu 13. PHương trình log 3 x + x + 1 = x ( 2 − x ) + log 3 x có bao nhiêu nghiệm

H Ư

ẠO

B. 2 nghiệm C. 3 nghiệm D. Vô nghiệm x 9 Câu 14. Cho hàm số f ( x) = x , x ∈ ℝ . Tính P = f (sin 2 10°) + f (sin 2 20°) + ..... + f (sin 2 80°) 9 +3 B. 8 C. 9 D. 3 A. 4 3+ 3 x 3−3 x 4+ x 4− x 3 Câu 15. Phương trình 3 +3 + 3 + 3 = 10 có tổng các nghiệm là ? A. 0. B. 2. C. 3. D. 4.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. 1 nghiệm

(

TR ẦN

Câu 16. Gọi x 1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? A. ( x1 , +∞ ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1)

) (

5 −1 +

)

5 + 1 = 5.2 x −1 . Trong các

B. ( x2 , +∞ ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1) D. ( x1, x2 ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1)

10 00

C. ( x1, x2 ) ∩ ( −1,0 ) = ( −1,0 )

Câu 17. Phương trình 1 + log 9 x − 3log 9 x = log 3 x − 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 2 Câu 18. Tìm m để bất phương trình 1 + log5 ( x + 1) ≥ log5 ( mx + 4 x + m) thoã mãn với mọi x ∈ ℝ .

-L

Í-

A. −1 < m ≤ 0 . B. −1 < m < 0 . C. 2 < m ≤ 3 . D. 2 < m < 3 . x y −z Câu 19. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 = 3 = 6 . Giá trị biểu thức M = xy + yz + xz là: A. 0 B. 1 C. 6 D. 3 + + = c 2 log 5 5 a log 3 b log c Câu 20. Cho , với a, b và là các số hữu tỷ. Các khẳng định sau đây, 6 6 6

ÁN

khẳng định nào đúng? A. a = b

B. a > b

Câu 21. Với a > 0, a ≠ 1 , cho biết : t = a

ÀN

−1 1− log a v

B. u = a

;v =a

1 1− log a t

1 1+ log a t

IỄ N D

23.

Tìm

tất

cả

các

giá

C. u = a 1+ log a v

Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình m.2 3 nghiệm phân biệt. A. 1 B. 2 C. 3

Câu

D. c > a > b

. Chọn khẳng định đúng :

A. u = a

C. b > a 1 1− log a u

trị

thực

củ a

D. u = a 1−log a v

x2 −5 x + 6

tham

+ 21− x = 2.26 −5 x + m có D. 4

số

để

phương

trình

log x + log 1 x − 3 = m (log 4 x − 3) có nghiệm thuộc [32; +∞) ? 2 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 16 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

)

Câu 24. Tập các giá trị của m để bất phương trình A. (−∞;1]

(

C. m ∈ −1; 3 . D. m ∈ − 3;1 .   log 22 x ≥ m nghiệm đúng với mọi x > 0 bằng log22 x − 1 C. ( −5; 2 )

B. [1; +∞)

D. [0;3)

Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình: 81.9 x −2 + 3x + A. S = [1; +∞ ) ∪ {0} .

(

)

C. S = [ 0; +∞ ) .

k +1

log u 2017 log u 2017 k −1

log u 2017

log u 2017 − log u 2017 k −1

log u 2017 − log u 2017 k +1

log u 2017 − log u 2017 k −1

k +1

log u 2017 − log u 2017 k

k −1

H Ư

log u 2017

log u 2017 − log u 2017

log u 2017 − log u 2017 k −1

TR ẦN

log u 2017

k +1

)

k −1

log u 2017 − log u 2017

10 00

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

log u 2017

k −1

(

( un ) là cấp số nhân với số hạng tổng quát un > 0; un ≠ 1 . Khi đó khẳng định nào sau

k +1

1 1+ 5 2

D. S = [ 2; +∞ ) ∪ {0} .

đây là đúng? A.

ẠO

Câu 27. Cho

B. S = [1; +∞ ) .

1 1+ 3 2 2 − .32 x +1 ≥ 0 là 3

8 5

U Y

4 3

p q

Câu 25. Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: log 9 p = log12 q = log16 ( p + q ) . Tìm giá trị của

)

B. m ∈ 1; 3 . 

(

A. m ∈ 1; 3  . 

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

k +1

(

)

Câu 28. Số nghiệm của phương trình log 3 x 2 − 2 x = log 5 x 2 − 2 x + 2 là B. 2. +

( x +1)2

D. 4. m

C. 1.

Câu 29. Cho f ( x ) = e

A. 3.

. Biết rằng f (1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e n với m, n là các số tự

Í-

m tối giản. Tính m − n2 . n A. m − n 2 = 2018 . B. m − n 2 = −2018 .

C. m − n 2 = 1 .

D. m − n 2 = −1 .

ÁN

-L

nhiên và

ÀN

Câu 30. Hỏi phương trình 3.2 x + 4.3x + 5.4x = 6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực? A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 3 . x x Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 9 − 2 ( m + 1) .3 − 3 − 2m > 0

IỄ N

nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

4 3 3 B. m ≠ − . C. m < − . D. m ≤ − . 3 2 2 x 2 − 2 x +1 x2 − 2 x + 2 Câu 32. Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình 4 − m.2 + 3m − 2 = 0 có bốn nghiệm phân biệt. A. ( −∞;1) . B. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) . C. [ 2; +∞ ) . D. ( 2; +∞ ) . A. m tùy ý.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 17 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

(

)

Câu 33. Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln x 2 + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của

P= x+ y A. P = 6 .

B. P = 2 2 + 3 .

C. P = 2 + 3 2 .

D. P = 17 + 3 .

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình x x + x + 12 ≤ m.log5−

có nghiệm. A. m > 2 3 C. m ≥ 12log 3 5

4− x

(

+ (1 − a ) 2 − 3

)

− 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

U Y

(

Câu 35. Tìm giá trị của a để phương trình 2 + 3

B. m ≥ 2 3 D. 2 ≤ m ≤ 12log 3 5

B. ( −3; +∞ )

C. ( 3; +∞ )

D. ( 0; +∞ )

A. ( −∞; −3)

thỏa mãn: x1 − x2 = log 2+ 3 3 , ta có a thuộc khoảng: 30

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 36. Gọi m là số chữ số cần dùng khi viết số 2 trong hệ thập phân và n là số chữ số cần dùng khi viết số 302 trong hệ nhị phân. Ta có tổng m + n bằng A. 18 B. 20 C. 19 D. 21 2 Câu 37. Cho hàm số y = x + 2 x + a − 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2;1] đạt

TR ẦN

H Ư

giá trị nhỏ nhất. A. a = 3 B. a = 2 C. a = 1 D. Một giá trị khác Câu 38. Cho phương trình 2log3 ( cotx ) = log 2 ( cos x ) . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên

biểu thức T = 2 x + y bằng: 9 9 B. . A. . 4 2

10 00

 π 9π  khoảng  ;  6 2  A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 Câu 39. Trong các nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x2 + 2 y 2 (2 x + y ) ≥ 1 . Giá trị lớn nhất của D. 9.

a thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log 2a ( a 2 ) + 3log b   b b B. Pmin = 13 C. Pmin = 14 D. Pmin = 15

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

A. Pmin = 19

9 . 8

Câu 40. Xét các số thực

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 18 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

HÌNH NÓN - TRỤ - CẦU

U Y

ẠO

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, SA = a 6 . Đáy 1 ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = AD = a. Gọi E là trung 2 điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ECD. a 2 A. R = B. R = a 6. . 2 a 30 a 26 C. R = D. R = . . 3 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a 3 2 và α là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( ABC ) và ( BCD ) . Gọi I,J lần lượt là

TR ẦN

H Ư

Câu 2. Cho tứ diện ABCD với BC = a ,các cạnh còn lại đều bằng

ÁN

-L

Í-

10 00

I M Q trung điểm các cạnh BC , AD . Giả sử hình cầu đường IJ kính tiếp xúc với CD. Giá trị cos α là: 2 3 2− 3 A. 3 − 2 3 B. 2 3 − 3 C. D. 3 3 B P A O N Câu 3. Cho hình vẽ bên. Tam giác SOA vuông tại O có MN€ SO với M , N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA. Đặt SO = h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R = OA . Tìm độ dài của MN để thể tích khối trụ là lớn nhất. h h A. MN = B. MN = 2 3 h h C. MN = D. MN = 4 6 h h 4πR 2 h . Dấu '' = '' xảy ra khi x = . Hay MN = . V ậy V ≤ 27 3 3 Câu 4. Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng ( P ) song song với đáy.

ÀN

Mặt phẳng ( P ) chia hình nón làm hai phần ( N1 ) và ( N2 ) . Cho hình

IỄ N

cầu nội tiếp ( N2 ) như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu bằng một nửa thể tích của ( N2 ) . Một mặt phẳng đi qua trục hình nón và vuông góc

với đáy cắt ( N2 ) theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của hình thang cân là A. 2 B. 4 C. 1 D. 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 19 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

U Y

36 38 38 36 6 6 4 B. r = C. r = D. r = 2π 2 2π 2 2π 2 2π 2 Câu 7. Cho một khối trụ có bán kính đáy r = a và chiều cao h = 2a . Mặt phẳng ( P ) song song với trục OO ' của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi V1 là thể tích phần khối trụ chứa trục OO ' , V2 là

A. r =

Câu 5. Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền 5. Người ta quay tam giác ABC quanh một cạnh góc vuông để sinh ra hình nón. Hỏi thể tích V khối nón sinh ra lớn nhất là bao nhiêu. 250 3π 25 2π 20 3π 250 6π B. V = C. V = D. V = A. V = 27 27 27 27 3 Câu 6. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm . Vói chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.

3π − 2 . π−2

3π + 2 . π−2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

V1 a 2 , biết rằng ( P ) cách OO ' một khoảng bằng . V2 2 2π + 3 2π − 3 C. . D. . π−2 π−2

ẠO

thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu 8. Trong số các khối trụ có thể tích bằng V, khối trụ có diện tích toàn phần bé nhất thì có bán kính đáy là V 4π π V . A. R = 3 B. R = 3 C. R = 3 D. R = 3 2π V V π Câu 9. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân AB=BC=a. Mặt phẳng 3 (AB’C) tạo với (BCC’B’) một góc α với tan α = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính bán kính mặt 2 cầu ngoại tiếp hình chóp B’ACM. 3 10a 3 10a 3 13a 13a A. B. C. D. 8 4 8 2 Câu 10. Cho hình nón có bán kính đáy là a, đường sinh tạo với mặt phẳng đáy góc α . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón. 3πa 3 4πa 3 4πa 3 4πa 3 A. V = = = = B. V C. V D. V 4sin 3 2α 3sin 3 3α 3sin 3 2α 3sin 3 α Câu 11. Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy bán kính R. Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy một khoảng bằng d cắt hình nón theo đường tròn (L). Dựng hình trụ có một đáy là (L), đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn nhất. h h h h B. d = C. d = D. d = A. d = 3 2 6 4 Câu 12. Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là: S S S 1 S ;h = ;h = A. R = . B. R = . 2π 2 2π 4π 4π

2S 2S S S ;h = 4 ;h = 2 . D. R = . 3π 3π 6π 6π Câu 13. Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài 16π 3 dm . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường tròn là 9 C. R =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 20 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S xq của bình nước là: M

N B

U Y

I Q

ẠO

9π 10 2 3π 2 dm . dm2 . B. S xq = 4π 10 dm 2 . C. Sxq = 4π dm . D. S xq = 2 2 Câu 14. Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. S xq =

TR ẦN

10 00

ÁN

-L

Í-

Câu 15. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích của thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. a2 3 a2 2 a2 a2 A. B. C. D. 2 2 3 3

ÀN

Câu 16. Cho hình chóp SABC với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và

D. Không đủ dữ kiện để tính

H A

600

IỄ N

BC= 3 a, BAC = 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Mặt cầu qua các điểm A, B, C, H, K có bán kính bằng: A. 1 B. 2

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC. Bán kính mặt cầu tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng (SAB) là:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 21 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

13a 13a 3 13a 13a B. C. D. 13 39 26 26 Câu 18. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm α sao cho thể tích vật thể tròn xoay α = CAB

tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. 1 A. α = 60° . B. α = 45° . C. arctan . 2

D. α = 30° .

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2, cạnh bên SA vuông góc

U Y

với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng ( α ) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC ,

32π . 3 108π C. V = . 3

64 2π . 3 125π D. V = . 6

A. V =

ẠO

B. V =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

SD lần lượt tại các điểm M , N , P . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.

TR ẦN

H Ư

Câu 20. Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a. 5 11 4 A. πa 2 B. πa 2 C. 2πa 2 D. πa 2 3 3 3 Câu 21. Cho một mặt cầu bán kính bằng 1 . Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu? A. min V = 8 3 . B. min V = 4 3 . C. min V = 9 3 . D. min V = 16 3 .

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 22. Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

3 34 − 17 2 3 34 − 19 2 B. x = ( cm ) ( cm ) 2 2 5 34 − 15 2 5 34 − 13 2 C. x = D. x = ( cm ) ( cm ) 2 2 Câu 23. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao là 50cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ. A. d = 50cm B. d = 50 3cm C. d = 25cm D. d = 25 3cm

IỄ N

ÀN

A. x =

Câu 24. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r. để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 22 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

38 38 36 36 6 6 4 B. r = C. r = D. r = 2π2 2π 2 2π 2 2π 2 Câu 25. Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều .Thể tích của hình lăng trụ là V. Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là: A. 3 4V B. 3 V C. 3 2V D. 3 6V Câu 26. Trong không gian cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong 3 không gian thỏa mãn MA.MB = AB 2 4 A. Mặt cầu đường kính AB. B. Tập hợp rỗng (tức là không có điểm M nào thỏa mãn điều kiện trên). C. Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R =AB. 3 D. Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R = AB 4 Câu 27. Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là V thể tích của hình nón và thể tích của khối cầu nội tiếp hình nón. Giá trị bé nhất của tỉ số 1 là V2 5 4 A. . B. . C. 3 . D. 2 . 4 3

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

A. r =

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

Câu 28. Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R là 1 4 4 2 3 32 3 πR . πR . A. πR3 . B. πR3 . C. D. 3 3 9 81

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 23 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b

Câu 1. Cho tích phân C = ∫

e +3 x

dx trong đó a là nghiệm của phương trình 2 x

= 2 , b là một số

D. 5 C. 4 4 2 a e + b e + c . . Câu 2. Cho biết tích phân I = ∫ x ( 2 x 2 + ln x ) dx = với a, b, c là các ước nguyên của 4. 4 1 Tổng a + b + c = ? A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 1 a Câu 3. Cho hàm số f ( x) = + b.xe x . Biết rằng f '(0) = −22 và ∫ f ( x)dx = 5 . Khi đó tổng a + b 3 (x + 1) 0 bằng? −146 −26 A. B. 12 C. D. 10 13 11

B. 2

A. 3

dương và b > a . Gọi A = ∫ x 2dx . Tìm chữ số hàng đơn vị của b sao cho C = 3 A .

∫

f ( x)dx = 5 . Tính I = ∫ f (1 − x)dx

B. 10

−

2 2

a.π + b 1 − x2 dx = trong đó a, b ∈ ℕ . Tính tổng a + b ? x 1+ 2 8

∫

Câu 5. Biết tích phân

1 5

10 00

2 2

TR ẦN

A. 5

H Ư

Câu 4. Cho

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

A. 0

B. 1 C. 3 D. -1 1 Câu 6. Biết rằng ∫ x cos 2 xdx = ( a sin 2 + b cos 2 + c ) , với a, b, c ∈ ℤ . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 4 0 A. a + b + c = 1 B. a − b + c = 0 C. a + 2b + c = 1 D. 2a + b + c = −1 tan x π  Câu 7. Cho F(x) là một nguyên hàm của f ( x ) = , biết F ( 0 ) = 0 , F   = 1 . Tính 2 4 cos x 1 + a cos x

-L

Í-

ÁN

π  π  F  −F ? 3 4 A. 5 − 3 B. 5 − 1 C. 3 + 5 D. 5 − 2 Câu 8. Cho f ( x) là hàm liên tục và a > 0 . Giả sử rằng với mọi x ∈ [0; a] , ta có f ( x) > 0 và

ÀN

IỄ N

f ( x) f (a − x) = 1 . Tính

∫ 1 + f ( x) 0

a A. 2

B. 2a

a 3

D. a ln( a + 1)

1 . 2001.21002

x 2001 dx có giá trị là Câu 9. Tích phân I = ∫ (1 + x 2 )1002 1 1 1 A. . B. . 1001 2002.2 2001.21001

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 . 2002.21002

Trang 24 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 10. Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).

0, 5m

U Y

A. 19m .

C. 18m3 .

B. 21m .

D. 40m3 .

Cho

f ,g

là

hai

hàm

liên

t ục

[1;3]

thỏa: ∫  f ( x ) + 3 g ( x )  dx = 10 . 1

TR ẦN

∫  2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 . Tính ∫  f ( x ) + g ( x ) dx .

trên

11.

H Ư

Câu

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

0,5m 3

ẠO

19m

0, 5m

A. 8. B. 9. C. 6. D. 7. x 2x Câu 12. Gọi S a là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e − 2e , trục Ox và đường thẳng x = a với a < ln 2 . Kết quả giới hạn lim S a là:

a →−∞

Í-

10 00

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 13. Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. A. 132π (dm3) B. 41π (dm3) 100 π (dm3) D. 43π (dm3) C. 3 3dm

-L

5dm

ÀN

ÁN

3dm

−2

( m / s ) . Khi 2

t = 0 thì vận tốc của vật là

IỄ N

Câu 14. Một vật di chuyển với gia tốc a ( t ) = −20 (1 + 2t )

30m / s . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị). A. S = 106m . B. S = 107 m . C. S = 108m . D. S = 109m . 3 Câu 15. Tìm giá trị của tham số m sao cho: y = x − 3x + 2 và y = m(x+2) giới hạn bởi hai hình phẳng có cùng diện tích A. 0 < m < 1 B. m = 1 C. 1 < m < 9 D. m = 9 π 2

Câu 16. Cho I n =

∫ cos

xdx , n ∈ ℕ , n ≥ 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 25 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

n −1 I n −1 n

B. I n =

n −2 I n −2 n

C. I n =

n −1 I n −2 n

D. I n = 2I n −2

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

 5 1 1 Câu 17. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 − 2 x − 2m − có đồ thị (C). Tìm m ∈ 0;  sao cho hình phẳng   6 3 3 giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x = 0, x = 2, y = 0 và có diện tích bằng 4. 1 1 1 A. m = B. m = C. m = D. m = 1 4 3 2 Câu 18. Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB vuông ở A, điểm B nằm trong góc phàn tư thứ nhất. A π  nằm trên trục hoành, OB = 2017. Góc AOB = α ,  0 < α <  . Khi quay tam giác đó quanh trục Ox ta 3  được khối nón tròn xoay. Thể tích của khối nón lớn nhất khi: 6 3 1 2 A. sin α = B. cos α = C. cos α = D. sin α = 3 2 2 3 Câu 19. Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)

A. I n =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

)

(

)

(

)

Í-

(

Hình 1 Hình 2 Kí hiệuV là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính V . 225π A. V = 2250 cm 3 C. V = 1250 cm 3 cm 3 B. V = D. V = 1350 cm 3 4 Câu 20. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m + 2 ( C ) cắt trục ox tại bốn điểm phân

ÀN

ÁN

-L

biệt và thỏa mãn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục ox của phần nằm phía trên trục ox có diện tích bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục ox của phần nằm phía dưới trục ox . A. 3 B. -3 C. 2 D. 4 4 2 Câu 21. Cho hàm số y = x − 4 x + m có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục hoành. Với giá trị nào của m thì S = S ' ?

2 20 C. m = D. m = 1 9 9 Câu 22. Cho y = f ( x ) = ax3 + bx2 + cx + d , ( a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0 ) có đồ thị ( C ) . Biết rằng đồ thị ( C ) B. m =

IỄ N

A. m = 2

tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) cho bởi hình

vẽ bên. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) và trục hoành.

A. S = 9 .

B. S =

27 . 4

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. S =

21 . 4

D. S =

5 . 4

Trang 26 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12 2

Câu 23. Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [ −6;6]. Biết rằng

∫ f ( x ) dx = 8

và

−1 3

∫ f ( x ) dx. −1

B. I = 5 .

A. I = 11 .

C. I = 2 .

D. I = 14 .

∫

f ( −2 x ) dx = 3. Tính 2

Câu 24. Biết ∫ ex ( 2x + ex ) dx = a.e4 + b.e2 + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính S = a + b + c C. S = −2 1 3

1 C n , n ∈ ℕ* . n+1 n 2n 2n − 1 2n+1 − 1 A. T = B. T = 2 n + 1 C. T = D. T = n+1 n+1 n+1 1 Câu 26. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f ( x ) = trên khoảng ( −∞; +∞ ) ? 1 + x2

U Y

1 2

D. S = 4

B. S = −4

A. S = 2

)

(

)

B. F ( x ) = ln 1 + 1 + x2 + C

C. F ( x ) = 1 + x2 + C

D. F ( x ) =

G 2x

π 2

2 x −1.cos x ∫π 1 + 2x dx

−

1 2

1 + x2

TR ẦN

Câu 27. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của

C. 2

D. 1

B. 0

ÁN

-L

Í-

10 00

A. F ( x ) = ln x + 1 + x2 + C

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

ẠO

Câu 25. Rút gọn biểu thức: T = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... +

Câu 28. Người ta dựng một cái lều vải ( H ) có dạng hình

“chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của ( H )

IỄ N

ÀN

là một hình lục giác đều cạnh 3 m . Chiều cao SO = 6 m ( SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của ( H ) là các sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm trên các

đường parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử giao tuyến (nếu có) của ( H ) với mặt phẳng ( P ) vuông

c6 1m

góc với SO là một lục giác đều và khi ( P ) qua trung

điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1 m . Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều ( H ) đó.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3m Trang 27 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

135 3 ( m3 ). 5 135 3 C. ( m3 ). 4

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

96 3 3 ( m ). 5 135 3 D. ( m3 ). 8

Câu 29. Xét hàm số y = f ( x ) liên tục trên miền D = [ a; b] có đồ thị là một đường cong C . Gọi S là b

phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x = a , x = b . Người ta chứng minh được rằng diện tích mặt

U Y

cong tròn xoay tạo thành khi xoay S quanh Ox bằng S = 2π ∫ f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) dx . Theo kết quả a

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay tạo thành khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 x 2 − ln x hàm số f ( x ) = và các đường thẳng x = 1 , x = e quanh Ox là 4 2e 2 − 1 4e 4 − 9 4e 4 + 16e 2 + 7 4e 4 − 9 π. π. π. π. A. B. C. D. 8 64 16 16 x4 Câu 30. Cho hàm số y = − 2m 2 x 2 + 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị 2 của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua 64 là điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng 15  2   1  ; ±1 . A. ∅ . B. {±1} . C. ± D.  ± ; ±1 .  2   2  Câu 31. Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu) A. 20m3 B. 50m3 C. 40m3 D. 100m3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 28 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

 x = −1 + 2t  có phương trình tham số  y = 1 − t ( t ∈ ℝ ) . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ , xác định vị  z = 2t  trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó toạ độ của điểm M là: A. M (1;0;2 ) B. M ( 2; 4;3) C. M ( −3;2; −2 ) D. M (1;4;3) Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các phương trình mặt phẳng (αm ) : 3mx + 5 1 − m 2 y + 4mz + 20 = 0, m ∈ −1;1 . Xét các mệnh đề sau: (I) Với mọi m ∈ −1;1 thì các mặt phẳng (αm ) luôn tiếp xúc với một mặt cầu không đổi.   (II) Với mọi m ≠ 0 thì các mặt phẳng (αm ) luôn cắt mặt phẳng (Oxz).

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) và đường thẳng ∆

10 00

TR ẦN

H Ư

(III) d O; (αm ) = 5, ∀m ∈ −1;1 .     Khẳng định nào sau đây đúng? A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (I) và (III) C. Chỉ (II) và (III) D. Cả 3 đều đúng. Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: x = t x − 2 y + 1 z −1  ∆1 : = = , ∆ 2 :  y = 2 − t và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 6 z − 5 = 0 1 2 −3  z = 1 + 2t  Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 và cắt mặt cầu (S) theo giao 2 365π . 5 A. x − 5 y − 3z − 4 = 0; x − 5 y − 3z + 10 = 0 B. x − 5 y − 3z + 10 = 0

tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng

-L

Í-

C. x − 5 y − 3 z + 3 + 511 = 0; x − 5 y − 3 z + 3 − 511 = 0 D. x − 5 y − 3z − 4 = 0

IỄ N

ÀN

ÁN

x = 3+ t x = t '   Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d:  y = −2 − t và d’:  y = 5 + t '    z = 2t  z = 2t ' − 3 2 − 5 Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và tạo với mặt phẳng Oyz một góc nhỏ nhất. A. 3 x + y + 2 z + 7 = 0 . B. 3 x − y − 2 z − 7 = 0 .

C. −3 x + y − 2 z + 7 = 0 .

D. 3 x + y − 2 z − 7 = 0 .  x = −t  Câu 5. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y = −1 + 2 t và   z = 2 + t

mp ( P ) : 2 x − y − 2 z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( R ) qua d và tạo với ( P ) một góc nhỏ nhất. A. x − y − z + 3 = 0 B. x + y − z + 3 = 0

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 29 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

C. x + y + z + 3 = 0

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

D. x − y + z + 3 = 0

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) là mặt phẳng qua hai điểm A(2;0;1) và

B (−2;0;5) đồng thời hợp với mặt phẳng (Oxz ) một góc 450 . Khoảng cách từ O tới (α ) là:

1 3 2 3 B. C. . D. . . . 2 2 2 2 Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x – y + z + 1 = 0 và hai điểm M(3; 1; 0), N(- 9; 4; 9). Tìm điểm I(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) sao cho IM − IN đạt giá trị lớn nhất. Biết a, b, c thỏa mãn điều kiện: A. a + b + c = 21 B. a + b + c = 14 C. a + b + c = 5 D. a + b + c = 19. Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và hai điểm

U Y

A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) . M là một điểm trên mặt phẳng ( P) . Giá trị lớn nhất của T = MA − MB là: 4 6 2 3 D. T = . . 2 3 Câu 9. Cho hai điểm A(-1, 3, -2); B(-9, 4, 9) và mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0. Điểm M thuộc (P). Tính GTNN của AM + BM. 7274 + 31434 2004 + 726 B. C. D. 3 26 A. 6 + 204 6 3 x −1 y + 2 z Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : = = và 1 2 −1 x + 2 y −1 z = = . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng ( P ) và d2 : 2 −1 2 đường thẳng d2 là lớn nhất. A. x + y + z + 6 = 0 . B. 7 x − y + 5 z − 9 = 0 . C. x + y − z − 6 = 0 . D. x + y + z − 3 = 0 . Câu 11. Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (β) : x + 2y − 2z − 4 = 0

C. T =

ẠO

B. T = 2 6.

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. T = 2 5.

(α) : 2x − 2y − z + 1 = 0, và mặt cầu S có phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 6y + m = 0 . Tìm m để

đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8. A. −9 B. −12 C. 5 D. 2 Câu 12. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tám điểm A ( − 2; − 2; 0 ) , B ( 3; − 2; 0 ) , C ( 3; 3; 0 ) ,

-L

Í-

D ( − 2; 3; 0 ) , M ( − 2; − 2; 5 ) , N ( − 2; − 2;5 ) , P ( 3; − 2; 5 ) , Q ( − 2;3; 5 ) . Hỏi hình đa diện tạo bởi tám điểm

IỄ N

ÀN

ÁN

đã cho có bao nhiêu mặt đối xứng. A. 3. B. 6. C. 8. D. 9 Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2; − 1;6), B( − 1;2;4) và I( − 1; − 3;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất. A. 3x + 7 y + 6 z − 35 = 0 . B. 7 x − y + 5 z − 9 = 0 . C. x + y − z − 6 = 0 . D. x + y + z − 3 = 0 . Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0. Tọa độ điểm M nằm trên (P) saocho MA2 + MB2 nhỏ nhất là: A. (-1;3;2) B. (2;1;-11) C. (-1;1;5) D. (1;-1;7) Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (0; −1;2) và N (−1;1; 3) . Mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K (0; 0;2) đến (P) đạt giá trị lớn nhất. (P) có vectơ pháp tuyến là: A. (1;1; −1) B. (1; −1;1) C. (1; −2;1) D. (2; −1;1)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 30 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

 x = 3 + 2t '  A.  y = 1 + 3t ' , t ' ∈ R z = 0 

U Y

trình: x 2 + y 2 + z2 − 2 x + 2 z − 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất.  7 4 1  −1 4 −5  A. D (1; 0;1) B. D  ; − ; −  C. D  ; ;  D. D(1; - 1; 0)  3 3 3   3 3 3 Câu 1.5. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  x = 1 + 2t  d:  y = −2 + 3t , t ∈ R trên mặt phẳng (Oxy): z = 3 + t 

Câu 16. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1), B(1; 0; −3), C (−1; −2; −3) và mặt cầu (S) có phương

 x = 1 + 2t '  x = 5 − 2t '   C.  y = 2 + 3t ', t ' ∈ R D.  y = 4 − 3t ', t ' ∈ R z = 0 z = 0   Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và hai điểm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 x = 1 + 4t '  B.  y = −2 + 6t ', t ' ∈ R z = 0 

A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) . M là một điểm trên mặt phẳng ( P) . Giá trị lớn nhất của T = MA − MB

là: C. T =

TR ẦN

H Ư

B. T = 2 6.

4 6 2 3 D. T = . . 2 3 Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( −2; −2;1) , A(1;2; −3) và đường thẳng

A. T = 2 5.

10 00

Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A ( 2;5;3) và đường thẳng x −1 y z − 2 là mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ . G ọi = = 2 1 2 nhất. Tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; − 1) đến mặt phẳng ?

đến

lớ n

11 18 11 4 B. 3 2 C. D. 18 18 3 0;0;1 ;0;0 C A B m Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm ( ), ( ) , ( 0; n;0) ,

ÁN

-L

Í-

D (1;1;1) với m > 0; n > 0 và m + n = 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp

xúc với mặt phẳng ( ABC ) và đi qua d . Tính bán kính R của mặt cầu đó?

3 2 3 . C. R = . D. R = . 2 2 2 Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v = (1;6; 2) , vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và tiếp xúc với (S). 2 x − y + 2 z − 3 = 0 2 x − y + 2 z + 3 = 0 A.  . B.  .  2 x − y + 2 z + 21 = 0  2 x − y + 2 z − 21 = 0 2 x − y + z + 3 = 0  2 x − y + z + 13 = 0 C.  . D.  2 x − y + z − 1 = 0 2 x − y + z − 1 = 0 B. R =

IỄ N

ÀN

A. R = 1 .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 31 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2;1; −1) ,

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

A. 1. B. 4. C. 7. D. Vô số. Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –2; 0), B(0; –1; 1), C(2; 1; –1) và D(3; 1; 4). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ? A. 1 mặt phẳng. B. 4 mặt phẳng. C. 7 mặt phẳng. D. Có vô số mặt phẳng. x + 4 y −5 z + 2 = = Câu 24. Đường thẳng ∆ song song với d : và cắt cả hai đường thẳng 3 1 −4 x+2 y −3 z x −1 y +1 z − 2 = = . Phương trình nào không phải đường thẳng ∆ d1 : = = và d 2 : 3 1 2 2 4 1 7 2 y− z− x + 4 y +1 z +1 x−3 3= 3 = = A. ∆ : B. ∆ : = 3 −4 1 3 −4 1 x − 4 y −1 z −1 x+9 y+7 z +2 = = = = D. ∆ : C. ∆ : 3 −4 1 3 −4 1 Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có  x = −1 + 2t  phương trình tham số  y = 1 − t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ sao cho chu vi tam giác  z = 2t  MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi tam giác ABC là A. M(1;0;2) ; P = 2( 11 + 29) B. M(1;2;2) ; P = 2( 11 + 29)

D ( 3;1;4 ) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?

ÁN

-L

Í-

10 00

C. M(1;0;2) ; P = 11 + 29 D. M(1;2;2) ; P = 11 + 29 Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d  x = 2 + 3t  có phương trình  y = −2t (t ∈ R) . Điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là  z = 4 + 2t  nhỏ nhất có tổng các tọa độ là: A. M=(2;0;4 ). B. M=(2;0;1). C. M=(1;0;4 ). D. M=(1;0;2 ). Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2 y − z + 5 = 0 và đường thẳng x +1 y +1 z − 3 d: = = . Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một 2 1 1 góc nhỏ nhất là A. ( P ) : y − z + 4 = 0 B. ( P ) : x − z + 4 = 0

ÀN

C. ( P ) : x + y − z + 4 = 0

D. ( P ) : y − z − 4 = 0

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A(1; −1;2 ) , song song với

IỄ N

( P ) : 2 x − y − z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ :

trình đường thẳng d là. x −1 y +1 z − 2 . = = A. 1 −5 7 x −1 y +1 z − 2 . = = C. 4 5 7

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x +1 y −1 z = = một góc lớn nhất. Phương 1 −2 2 x −1 = 4 x −1 = D. 1 B.

y +1 = −5 y +1 = −5

z+2 . 7 z−2 . −7

Trang 32 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho ( P ) : x + 4 y − 2 z − 6 = 0 , ( Q ) : x − 2 y + 4 z − 6 = 0 .

A, B, C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều. B. x + y + z − 6 = 0 . C. x + y − z − 6 = 0 . D. x + y + z − 3 = 0 . A. x + y + z + 6 = 0 . y = 0 Oxyz cho điểm M (1;0;0 ) và Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ  2 x − y − 2 z − 2 = 0

Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa giao tuyến của ( P ) , ( Q ) và cắt các trục tọa độ tại các điểm

45O . Phương trình mặt phẳng ( P ) là

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

y = 0 y = 0 A.  . B.  . 2 x − y − 2 z − 2 = 0 2 x − y − 2 z + 2 = 0 2 x − y − 2 z + 2 = 0 2x − 2z + 2 = 0 C.  . D.  . 2 x − y − 2 z − 2 = 0 2x − 2z − 2 = 0 Câu 31. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(10;2;1) và đường thẳng

U Y

N ( 0;0; −1) , mặt phẳng ( P ) qua điểm M , N và tạo với mặt phẳng ( Q ) : x − y − 4 = 0 một góc bằng

x −1 y z −1 = = . Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua điểm A , song song với đường thẳng d sao cho 2 1 3 khoảng cách giữa d và ( P ) lớn nhất. Khoảng cách từ điểm M ( −1;2;3) đến mp ( P ) là

H Ư

97 3 76 790 2 13 3 29 . . . . B. C. D. 15 790 13 29 Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d: x + 3 y +1 z = = . Mặt phằng (P) chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. Khi 2 1 −1 đó (P) có một véctơ pháp tuyến là A. n = ( 4; 5; 13) B. n = ( 4; 5; −13) C. n = ( 4; −5; 13) D. n = ( −4; 5; 13) Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2; −2;0) , đường thẳng x +1 y z − 2 ∆: = = . Biết mặt phẳng ( P ) có phương trình ax + by + cz + d = 0 đi qua A , song song −1 3 1 với ∆ và khoảng cách từ ∆ tới mặt phẳng ( P ) lớn nhất. Biết a, b là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng a + b + c + d bằng bao nhiêu? A. 3 . B. 0 . C. 1 . D. −1. Câu 34. Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) v đường thẳng d có phương trình: x −1 y +1 z = = . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương trình đường 2 1 −1 thẳng ∆ ? x = 2 + t x = 2 + t x = 1 + t x = 2 − t     A.  y = 1 − 4t B.  y = 1 − 4t C.  y = 1 − 4t D.  y = 1 − 4t  z = −2t  z = 3 − 2t  z = −2t  z = −2t     x = 1 − t  Câu 35. Cho đường thẳng (d ) :  y = 1 − t và mp (P): x + y − 2 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng  z = 2t  nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d).

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 33 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 x = 1 − 2t  C.  y = 1 − 2t z = 0 

x = 1 − t  D.  y = 1 + t z = 5 

B. xM = −1

C. xM = 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

điểm M. A. xM = 3

ẠO

U Y

 x = 1 − 3t  B.  y = 1 + 3t z = 5 

 x = 1 − 2t  A.  y = 1 + 2t z = 0 

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

D. xM = −3

A. M ( −4; −1;0 ) .

H Ư

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A( 2;1; −1) , B ( 0;3;1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P ) sao cho 2MA − MB có giá trị nhỏ nhất. B. M ( −1; −4;0 ) .

C. M ( 4;1;0 ) .

D. M (1; −4;0 ) .

10 00

TR ẦN

x = 2 − t x −1 y − 2 z −1  = = Câu 39. Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : và d 2 :  y = 3 − t . Mặt 1 2 −1  z = −2  phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = 0 (với a; b; c; d ∈ ℝ ) vuông góc với đường thẳng d1 và chắn d1 , d 2 đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Tính a + b + c + d . A. −14 B. 1

C. −8

ÁN

-L

Í-

D. −12 x −1 y + 2 z = = Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : và 1 2 −1 x + 2 y −1 z = = . Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng ( P ) và đường d2 : 2 −1 2 thẳng d 2 là lớn nhất. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. ( P ) có vectơ pháp tuyến là n = (1; −1;2 ) .

B. ( P ) qua điểm A( 0;2;0 ) . C. ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) : 7 x − y + 5z − 3 = 0 .

ÀN

D. ( P ) cắt d 2 tại điểm B ( 2; −1;4 ) .

Câu 41. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;0;2), B(3;1;4), C (3; −2;1) . Tìm tọa độ điểm

IỄ N

S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng

độ âm. A. S (−4; −6;4) .

B. S (3;4;0) .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. S (2;2;1) .

3 11 và S có cao 2

D. S (4;6; −4) .

Trang 34 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

x +1 = y + 1 = z − 3 và mặt phẳng 2 ( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 . Mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d và tạo với ( P ) một góc nhỏ nhất có phương trình A. x − z + 3 = 0. B. x + y − z + 2 = 0. C. x − y − z + 3 = 0. D. y − z + 4 = 0. Câu 43. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1, 0, −1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 3 = 0 . Mặt cầu S

Câu 42. Trong không gian với tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

có tâm I nằm trên mặt phẳng ( P ) , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác OIA bằng

U Y

6 + 2 . Phương trình mặt cầu S là: 2 2 2 2 2 2 A. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9. 2

C. ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 2

B. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 2 ) = 9

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 9

Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;2;0 ) , B ( −1;1;4 ) và C ( 3; −2;1) .

Mặt cầu ( S ) tâm I đi qua A, B, C và độ dài OI = 5 (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là gốc tọa

H Ư

độ). Bán kính mặt cầu ( S ) là

10 00

TR ẦN

A. R = 1 B. R = 3 C. R = 4 D. R = 5 Câu 45. Cho hình chóp O.ABC có OA=a, OB=b, OC=c đôi một vuông góc với nhau. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1,2,3. Khi tồn tại a,b,c thỏa thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp O.ABC là A. 18 B. 27 C. 6 D. Không tồn tại a,b,c thỏa yêu cầu bài toán Câu 46. Cho hai điểm M (1;2;3) , A ( 2; 4;4 ) và hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 1 = 0,

( Q ) : x − 2 y − z + 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua

M cắt ( P ) , ( Q ) lần lượt tại B, C sao

cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM là đường trung tuyến. x −1 y − 2 z − 3 x −1 = = = A. ∆ : B. ∆ : −1 −1 1 2 x −1 y − 2 z − 3 x −1 = = = C. ∆ : D. ∆ : 1 1 1 1

-L

Í-

y − 2 z −3 = −1 1 y − 2 z −3 = 1 −1 x = 2 + t  Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : y = −1 + 2t t ∈ R hai điểm z = 3t 

(

ÁN

(

)

(

)

(

)

ÀN

A 2; 0; 3 và B 2; −2; −3 . Biết điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 thuộc ∆ thì MA4 + MB 4 nhỏ nhất.Tìm x 0

IỄ N

A. x 0 = 0

B. x 0 = 1

C. x 0 = 2

D. x 0 = 3

Câu 48. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > 0 .Giả sử

a, b, c thay đổi nhưng thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = k 2 không đổi. Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng k2 3 k2 3 A. B. C. k 2 3 D. k 2 2 6 Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất là

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 35 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

x y z x y z x y z x y z C. B. D. + + =1 + + =1 + + =1 + + = −1 7 3 3 27 3 3 −27 3 3 27 3 3 Câu 50. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A ( 2;3; 2 ) , B ( 6; −1; −2 ) , C ( −1; −4;3) , D (1;6; −5 ) . Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất. Khi đó toạ độ điểm M là: D. M ( −1; −4;3) A. M ( 0;1; −1) B. M ( 2;11; −9 ) C. M ( 3;16; −13)

U Y

của tam giác OAB.

B. S = 4 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

1 3  Câu 52. Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ; ;0  và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 8. Đường 2 2    thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S D. S = 2 2 . x = 2−t  2 2 2 Câu 53. Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 z + 1 = 0 và đường thẳng d :  y = t . Tìm m để d z = m + t 

C. S = 2 7 .

TR ẦN

H Ư

A. S = 7 .

10 00

cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của ( S ) tại A và tại B vuông góc với nhau. B. m = 0 hoặc m = −4 A. m = −1 hoặc m = −4 C. m = −1 hoặc m = 0 D. Cả A, B, C đều sai Câu 54. rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;01;1) , B (1;2;1) , C ( 4;1; −2 ) và mặt

-L

Í-

phẳng ( P ) : x + y + z = 0 . Tìm trên (P) điểm M sao cho MA2 + MB 2 + MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó M có tọa độ A. M (1;1; −1) B. M (1;1;1) C. M (1;2; −1) D. M (1;0; −1)

ÁN

Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + m = 0 và đường thẳng

IỄ N

ÀN

x y −1 z +1 = = . Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng 8. 2 1 2 A. m = −24 B. m = 8 C. m = 16 D. m = −12 Câu 56. Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 2;0; −2 ) , B ( 3; −1; −4 ) , C ( −2;2;0 ) . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là: A. D ( 0; −3; −1) B. D ( 0;2; −1) C. D ( 0;1; −1) D. D ( 0;3; −1)

(d ) :

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 36 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

SỐ PHỨC Câu 1. Cho hai số phức phân biệt z1; z 2 thỏa điều kiện

z1 + z2 z1 − z2

là số ảo. Khẳng định nào sau đây là

D. z1 = −z 2

C. z1 = z 2

B. z 1 = z 2

A. z1 = 1; z 2 = 1

đúng?

Câu 2. Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4 + (4 − m) z 2 − 4 m = 0 . Tìm tất cả các giá A. m = −1

U Y

trị m để z1 + z2 + z3 + z4 = 6 .

C. m = ±3 D. m = ±1 z Câu 3. Tìm số phức z biết z thỏa mãn phương trình + z = 2 z A. 1 B. 1+i C. 1-i D. i Câu 4. Trong các số phức thỏa điền kiện z − 4i − 2 = 2i − z , modun nhỏ nhất của số phức z bằng?

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

B. m = ± 2

A. 2 2 B. 2 C. 1 D. 3 2 . Câu 5. Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn z ≥ 2 . Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

z +i . z A. 1 .

H Ư

C. 3 .

TR ẦN

B. 2 .

Câu 6. Số phức z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Z (1 + i ) − 3 + 2i =

D. 4 .

13 là: 2

A. 3

B. 4

10 00

B. z =

3 15 2 1 3 1 C. z = D. z = + i + i − i 4 4 2 2 2 2 2 3 Câu 7. Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình: ( z + i ) ( z − 1)( z + i ) = 0 A. z = 1 + 3i

C. 6

D. 8

Câu 8. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của 3 số phức: 1 + 2 i; (1 − i)(1 + 2i);

2 + 6i .Diện 3−i

B. 1

ÀN

A. ∅

ÁN

-L

Í-

tích của tam giác ABC bằng: 1 1 5 5 A. B. C. D. 2 4 5 2 m +1 Câu 9. Cho số phức z = ( m ∈ ℝ ) . Số các giá trị nguyên của m để z − i < 1 là 1 + m ( 2i − 1)

IỄ N

Câu 10. Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn iz1 + 2 =

C. 4

D. Vô số

1 và z2 = iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

z1 − z2 .

1 2 Câu 11. Trong mặt phẳng môđun lớn nhất thì số phức − 2 −2 A. . 2 A. 2 −

1 1 1 C. 2 − D. 2 + 2 2 2 phức Oxy , trong các số phức z thỏa z + 1 − i ≤ 1 . Nếu số phức z có z có phần thực bằng bao nhiêu ? 2 −2 2− 2 2+ 2 B. . C. . D. . 2 2 2 B. 2 +

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 37 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 12. Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z + 2i − 1 = z + i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A (1,3) .

B. 1 + 3i .

D. −2 + 3i .

2z − i ≤ 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z . 2 + iz

Câu 13. Trong các số phức z thỏa mãn

C. 2 − 3i .

25 =0 2 25 =0 C. 3 x − 4 y − 2

B. 3x + 4 y − 25 = 0

A. 3 x + 4 y −

U Y

D. 3 A. 1. B. 2. C. 2 Câu 14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: z = z − 3 + 4i .

A. 3 + i .

D. 3x − 4 y − 25 = 0

ẠO

1 . Nếu điểm M di động z trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R = 2 thì M’ di động trên đường nào? B. 2 x + 2 y + 1 = 0 A. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y = 0 C. 2 x − 2 y + 1 = 0 D. 2 x + 2 y − 1 = 0

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 15. Điểm M biểu diễn số phức z ≠ 0 và điểm M’ biểu diễn số phức z ' =

TR ẦN

Câu 16. Tìm số thực m = a − b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình 2 z 2 + 2( m − 1) z + (2m + 1) = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = 10 . Tìm a. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 17. Cho các số phức z thỏa mãn z = 2 .Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

10 00

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z là một đường tròn.Tính bán kính r của đường tròn đó.

2884

2984

A. 20 B. 20 C. 7 D. 7 Câu 18. Cho hai số phức u,v thỏa mãn u = v = 10 và 3u − 4v = 2016 . Tính M = 4u + 3v .

Í-

Câu 19. Cho số phức z thoả mãn: z − B. 21008

2894

z 6 + 7i = . Tìm phần thực của số phức z 2017 . 1 + 3i 5 C. 2 504 D. 22017

ÁN

-L

A. −21008

Câu 20. Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức C. 2016

D. 2017

IỄ N

ÀN

Môđun của số phức w bằng: A. 1 B. 2

1 1 1 + = . z w z+w

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 38 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 21. Biết số phức Z thỏa điều kiện 3 ≤ z − 3i + 1 ≤ 5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của Z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 16π B. 4π C. 9π D. 25π

U Y

nhỏ nhất của z

B. 2

C. 13 − 2

D. 2

O z

13 − 3

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 22. Số Phức cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 1 . Mệnh đề nào sau đây là sai. A. Trong ba số đó có hai số đối nhau. B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1. C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1. D. Tích của ba số đó luôn bằng 1. 1 1 1 . Mô đun Câu 23. Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn + = z w z+w của số phức w là A. 2015 B. 1 C. 2017 y D. 0 Câu 24. Cho số phức z thoả mãn điều kiện z − 2 + 3i = 3 . Tìm giá trị x

ÁN

-L

Í-

IỄ N

ÀN

Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn: z − 3 + 4i = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 n Câu 26. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i) , n ∈ ℕ thỏa mãn phương trình log 4 (n − 3) + log 4 (n + 9) = 3 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2 z − 1 Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn z ≤ 1 và số phức w = . Khi đó mô đun của số phức w là: 2 + iz A. w = 2 B. 1 < w < 2. C. w ≤ 1 D. w > 2 Câu 28. Cho các số phức z thỏa mãn z − 1 = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

(

)

w = 1 + i 3 z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó?

A. r = 4

B. r = 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. r = 16

D. r = 25

Trang 39 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

2 2017 Câu 29. Tìm phần ảo của số phức z , biết số phức z thỏa mãn i. z = 2 + i + (1 + i ) + ... + (1 + i ) .

phức w = (3 + 4i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. C. r = 20. D. r = 22. A. r = 4. B. r = 5. Câu 31. Với hai số phức z1 và z 2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của

B. 21009 C. −21009 D. 21009 i A. 1 Câu 30. Cho các số phức z thỏa mãn z = 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số

P = z1 + z2

D. P = 34 + 3 2 .

C. P = 4 6 .

U Y

B. P = 2 26 .

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A. P = 5 + 3 5 .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 40 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

2 = f ( x );(*) x 2 −2( x 3 − 1) f '( x ) = −2 x + = 0 ⇒ x =1 x2 x2

−∞

TR ẦN

−∞

+∞

1 0 -3

H Ư

Ta có bảng biến thiên của f(x) như sau: x −∞ 0 + + f '( x) +∞ f ( x)

ẠO

m = −x2 −

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

3 Số giao điểm của đồ thị (Cm) với Ox là số nghiệm của phương trình x + mx + 2 = 0 Với m = 0 vô nghiệm nên không có giao điểm Với m ≠ 0 ta có

Câu 1. Cho hàm số y = x 3 + mx + 2 có đồ thị (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. A. m > −3 B. m < − 3 C. m > 3 D. m < 3 Hướng dẫn giải:

PHẦN II – LỜI GIẢI CHI TIẾT HÀM SỐ

−∞

10 00

Số nghiệm phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm f(x) và đường thẳng y=m. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m > −3 thì phương trình (*) có 1 nghiệm duy nhất. Chọn đáp án B. Câu 2. Cho hàm số: y = x 4 − 2( m − 2) x 2 + m 2 − 5 m + 5 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hám số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm này tạo thành một tam giác đều A. m = 2 − 3 3 B. 2 − 3 C. 3 − 2 D. 3 − 3 2 Hướng dẫn giải: Ta có: y ' = 4 x 3 − 4( m − 2) x

ÁN

-L

Í-

x = 0 y' = 0 ⇔  2 x = 2 − m Hàm số có CĐ, CT ⇔ PT f ' ( x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ m < 2 (*)

) (

(

) (

)

(

)

(

)

IỄ N

ÀN

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A 0, m 2 − 5m + 5 , B 2 − m ;1 − m , C − 2 − m ;1 − m ⇒ AB = 2 − m ; = −m 2 + 4m − 4 ; AC = − 2 − m ; = −m 2 + 4m − 4 Do ∆ABC luôn cân tại A, nên AB. AC 1 0 bài toán thoả mãn khi A = 60 ⇔ cos A = ⇔ = 0 ⇔ m = 2 − 3 3 2 AB AC

Chọn đáp án A. Câu 3. Cho hàm số y = x 3 −

x 2 có đồ thị là (C). Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số

2 góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = 4x +3

x 4 +1

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 41 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

3  B.  −1; −  ; 2 

1  A.  ; 0  2   2 1 + 2   2 −1 + 2  C.  − ;  2 ; − 4   2 ; 4      Hướng dẫn giải:

 4 40   ;   3 27 

1  D.  ; 0  ; ( −2; −10 ) 2 

4x 2 +3 x 4 +1 4t + 3 - Đặt t = x2, với t ≥ 0 ta có hàm số g(t) = 2 ; t +1 1 −4t 2 − 6t + 4 - g'(t) = ; g’(t) = 0 ⇔ t = −2; t = ; 2 2 2 (t +1)

U Y

* Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: g(x) =

- Ta lại có: lim g (t ) = 0 ; lim g (t ) = 0 , bảng biến thiên của hàm số:

g(t)

ẠO Đ

–

1 +∞ 2 0 – 4 0

g’(t)

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

t →+∞

–2

t →−∞

−∞

TR ẦN

–1

- Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là g (x) = 4, đạt được khi x = ±

2 2

10 00

* Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) - Ta có: y’ = 3x2 – x, giả sử điểm M0(x0, f(x0)) ∈ (C), thì hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại M0 là f’(x0)= 3x 02 − x 0

Í-

4 3 4 40 - Vậy: 3x 02 − x 0 = 4 suy ra x0 = –1; x0 = , tung độ tương ứng f(–1) = – ; f( ) = 3 2 3 27 3 4 40     + Có hai điểm thỏa mãn giải thiết  −1; −  ;  ;  . 2 3 27     Chọn đáp án B. 2x − 4 Câu 4. Cho hàm số y = có đồ thi C điểm A(−5;5) . Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt x +1 đồ thị C tại hai điểm phân biệt M và N sao cho tứ giác OAMN là hình bình hành (O là gốc toạ

-L

( )

ÁN

( )

ÀN

độ). A. m = 0 B. m = 0; m = 2 C. m = 2 D. m = −2 Hướng dẫn giải: Do các điểm O và A thuộc đường thẳng ∆ : y = − x nên để OAMN là hình bình hành thì

IỄ N

MN = OA = 5 2

Hoành độ của M và N là nghiệm của pt: 2 x − 4 = − x + m ⇔ x 2 + (3 − m) x − (m + 4) = 0 ( x ≠ −1) (1)

()

x +1

()

( )

Vì ∆ = m − 2m + 25 > 0, ∀m ,nên 1 luôn có hai nghiệm phân biệt, d luôn cắt C tại hai điểm phân biệt

 x1 + x2 = m − 3 Giả sử x1 , x2 là nghiệm của 1 ta có:   x1 x2 = −(m + 4)

()

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 42 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Gọi M ( x1 ; − x1 + m), N ( x2 ; − x2 + m ) ⇒ MN 2 = 2( x1 − x2 ) 2 = 2  ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2  = 2m 2 − 4m + 50 m = 2 MN = 5 2 ⇒ 2m 2 − 4m + 50 = 50 ⇔  m = 0 + m = 0 thì O, A, M , N thẳng hàng nên không thoã mãn. + m = 2 thoã mãn. Chọn đáp án C. x+2 Câu 5. Cho hàm số: y = ( C ) . Tìm a sao cho từ A(0, a ) kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) nằm ở x −1 hai phía trục Ox.  −2   −2  A.  ; +∞  B. ( −2; +∞ ) \ {1} C. ( −2; +∞ ) D.  ; +∞  \ {1}  3   3  Hướng dẫn giải: Đường thẳng qua A(0, a ) có hệ số góc k có phương trình y = kx + a tiếp xúc (C) x+2 <=> kx + a = có nghiệm kép <=> ( kx + a )( x − 1) = x + 2 có nghiệm kép x −1 <=> kx 2 − ( k − a + 1) x − ( a − 2 ) = 0 có nghiệm kép

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

 k ≠ 0  k ≠ 0 <=>  <=> có 2 nghiệm k phân  2 2 2  ∆ = ( k − a + 1) − 4k ( a + 2 ) = 0  h( k ) = k + 2 ( a + 5 ) k + ( a − 1) = 0 biệt ∆ = 12 ( a + 2 ) > 0 <=>  <=> a ∈ ( −2; +∞ ) \ {1} (1) 2 h (0) = a − 1 ≠ 0 ( )   k1 − ( a − 1) k + ( a + 1) => y1 = 1  x1 = 2k1 2  Khi đó   x = k2 − ( a − 1) => y = k2 + ( a + 1) 2  2 2 k2 2  Mà y1 y2 < 0 =>  k1 + ( a + 1)   k2 + ( a + 1)  < 0 2

−2 3

( 2)

ÁN

=> a >

-L

<=> k1k2 + ( a + 1)( k1 + k2 ) + ( a + 1) = −4 ( 3a + 2 ) < 0

ÀN

 −2  Từ (1) và (2) => a ∈  ; +∞  \ {1}  3  Chọn đáp án D.

IỄ N

Câu 6. Hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị y = bằng? A. 8 Hướng dẫn giải:

B. 4

3x − 1 . Khi đó độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất x−3

C. xM < 3

D. 8 2 .

8 8   Giả sử xM < 3 , xN > 3 , khi đó M  3 − m;3 −  , N  3 + n;3 +  với m, n > 0 m n  

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 43 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

2  1 1 64   8 8  .  = 4  mn + MN = (m + n) +  +  ≥ (2 mn ) 2 + 64  2  ≥ 64 m n mn m n     ⇒ MN ≥ 8 . Kết luận MN ngắn nhất bằng 8 Chọn đáp án A. Câu 7. Cho hàm số y = − x3 + 3mx 2 − 3m − 1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d : x + 8 y − 74 = 0 B. m = −2 C. m = 2 D. m = −1 A. m = 1 Hướng dẫn giải: + y ' = 0 ⇔ −3x 2 + 6mx = 0 . Đồ thị có 2 điểm cực trị khi: m ≠ 0 + Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: y = 2m2.x - 3m - 3 + Trung điểm 2 điểm cực trị là I ( m; 2m3 − 3m − 1) + Điều kiện để 2 điểm cực trị đối xứng qua d : x + 8 y − 74 = 0  2 1  2m .( − ) = −1 8   m + 8(2 m3 − 3m − 1) − 74 = 0  + Từ đó thấy m = 2 thỏa mãn hệ trên. Chọn đáp án C.

( x +1)2

H Ư

Câu 8. Cho f ( x ) = e

. Biết rằng f (1) . f ( 2 ) . f ( 3 ) ... f ( 2017 ) = e n với m , n là các số tự nhiên

m tối giản. Tính m − n 2 . n B. m − n 2 = −2018 . A. m − n 2 = 2018 . Hướng dẫn giải: Xét các số thực x > 0

C. m − n 2 = 1 .

D. m − n 2 = −1 .

+ x + 1) 2

1 1 1 x2 + x + 1 =1+ =1+ − . 2 x +x x ( x + 1) x x +1

x 2 ( x + 1)

1 1 = Ta có: 1 + 2 + 2 x ( x + 1)

10 00

và

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

1 1   1 1  1 1  1 1  −  1+ −  + 1+ −  + 1+ −  +…+ + 1+  1 2   2 3  3 4  2017 2018 

Vậy, f (1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e

2018 −

1 2018

20182 −1 2018

m 20182 − 1 = n 2018 20182 − 1 Ta chứng minh là phân số tối giản. 2018 Giả sử d là ước chung của 20182 − 1 và 2018 Khi đó ta có 20182 − 1⋮ d , 2018⋮ d ⇒ 20182 ⋮ d suy ra 1⋮ d ⇔ d = ±1 20182 − 1 Suy ra là phân số tối giản, nên m = 20182 − 1, n = 2018 . 2018 Vậy m − n 2 = −1 . Chọn đáp án C.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

hay

Câu 9. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′( x ) cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 44 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

f (c ) > f (c ) > f (a ) > f (b ) >

f (a) > f (b ) > f (b ) > f (a) >

f (b). f ( a ). f (c ). f (c ).

A. B. C. D.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Hướng dẫn giải: Đồ thị của hàm số y = f ′( x ) liên tục trên các đoạn [ a; b] và [b; c ] , lại có f ( x ) là một nguyên hàm của f ′( x ) .  y = f ′( x) y = 0  Do đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:  là: = x a   x = b b

S1 = ∫ f ′( x) dx = − ∫ f ′( x)dx = − f ( x ) a = f ( a ) − f ( b ) . Vì S1 > 0 ⇒ f ( a ) > f ( b ) (1)

S2 = ∫

f ′( x) dx = ∫ f ′( x)dx = f ( x ) b = f ( c ) − f ( b ) . S2 > 0 ⇒ f ( c ) > f ( b ) ( 2 ) .

TR ẦN

H Ư

 y = f ′( x) y = 0  là: Tương tự: diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:  x = b  x = c

10 00

Mặt khác, dựa vào hình vẽ ta có: S1 < S 2 ⇔ f ( a ) − f ( b ) < f ( c ) − f ( b ) ⇔ f ( a ) < f ( c ) ( 3) . (có thể so sánh f ( a ) với f ( b ) dựa vào dấu của f ′( x ) trên đoạn [ a; b] và so sánh f ( b ) với

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

f ( c ) dựa vào dấu của f ′( x ) trên đoạn [b; c ] ). Từ (1), (2) và (3) Chọn đáp án A. Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = ( 2m − 1) x − ( 3m + 2 ) cos x nghịch biến trên ℝ. 1 1 1 A. −3 ≤ m ≤ − . B. −3 < m < − . C. m < −3. D. m ≥ − . 5 5 5 Hướng dẫn giải: TXĐ: D = ℝ Ta có: y′ = (2 m − 1) + (3m + 2)sin x Để hàm số nghịch biến trên ℝ thì y′ ≤ 0, ∀x tức là: (2 m − 1) + (3m + 2)sin x ≤ 0 (1) , ∀x 2 7 +) m = − thì (1) thành − ≤ 0, ∀x 3 3 2 1 − 2m 1 − 2m 5m + 1 2 −1 +) m > − thì (1) thành sin x ≤ ⇒ ≥1⇔ ≤0⇔− <m≤ 3 3m + 2 3m + 2 3m + 2 3 5 2 1 − 2m 1 − 2m 2 m+3 +) m < − thì (1) thành sin x ≥ ⇒ ≤ −1 ⇔ ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m < − 3 3m + 2 3m + 2 3m + 2 3 1 Kết hợp được: −3 ≤ m ≤ − 5 Chọn đáp án A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 45 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

∆ ' = 9 ( m − 1) − 36 ( m − 2 ) = 9m 2 − 54 m + 81 ≥ 0

U Y .Q TP

x2 0

+∞

ẠO

x1 0

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Dấu bằng xảy ra khi m = 3 Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình y ' = 0 ( x1 < x2 )

 x1 + x2 = 1 − m Theo viet:   x1.x2 = m − 2 Ta có BBT t −∞ y’ + y

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số: y = 2 x3 + 3 ( m − 1) x 2 + 6 ( m − 2 ) x + 3 nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3 A. m < 0 hoặc m > 6 B. m > 6 C. m < 0 D. m = 9 Hướng dẫn giải: Dùng BBT để xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số trên các khoảng y ' = 6 x 2 + 6 ( m − 1) x + 6 ( m − 2 ) x

TR ẦN

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( x1 , x2 ) ⇒ pt y ' = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt ⇒ m ≠ 3 Gọi Độ dài khoảng nghịch biến của hàm số là D 2 2 D = x1 − x2 ⇔ ( x1 − x2 ) = (1 − m ) − 4 ( m − 2 ) = m 2 − 6 m + 9

ÁN

-L

Í-

10 00

D > 3 ⇔ D 2 > 9 ⇔ m 2 − 6m + 9 > 9 ⇔ m 2 − 6m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 6 (thỏa mãn) Chọn đáp án A. x +1 Câu 12. Cho hàm số y = có đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C). Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các x −1 khoảng cách từ A đến các tiệm cận của (C). B. 2 C. 3 D. 2 3 A. 2 2 Hướng dẫn giải:  m +1 Gọi M  m;  ∈ ( C )( m ≠ 1) . Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận x = 1 và y = 1 là  m −1 m +1 2 2 S = m −1 + −1 = m −1 + ≥ 2 m −1 . =2 2 m −1 m −1 m −1

Dấu “=” xảy ra ⇔ m − 1 =

2 ⇔ m −1 = 2 ⇔ m = 1± 2 m −1

ÀN

Chọn đáp án A.

2x + 1 ( C ) . Tìm k để đường thẳng d : y = kx + 2k + 1 cắt (C) tại hai điểm x +1 phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. A. 12 B. −4 C. −3 D. 1 Hướng dẫn giải: Phương triình hoành độ giao điểm của (C) và d: 2x + 1 = kx + 2k + 1 ⇔ 2x + 1 = ( x + 1)( kx + 2k + 1) ; ( x ≠ −1) x +1 ⇔ kx 2 + ( 3k − 1) x + 2k = 0 (1) ; ( x ≠ −1) d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 .

IỄ N

Câu 13. Cho hàm số y =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 46 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

k ≠ 1   k ≠ 0 . ⇔  ∆ = k 2 − 6k + 1 > 0 ⇔  k < 3 − 2 2 ∨ k > 3 + 2 2  2  k ( −1) + ( 3k − 1)( −1) + 2k ≠ 0 Khi đó: A ( x1; kx1 + 2k + 1) , B ( x2 ; kx 2 + 2k + 1) với x1 , x2 là nghiệm của (1).

U Y

−3k + 1   x1 + x2 = Theo định lý Viet tao có  k .  x1 x2 = 2 Ta có d ( A; Ox ) = d ( B; Ox ) ⇔ kx1 + 2k + 1 = kx 2 + 2k + 1

 x1 = x2  kx1 + 2k + 1 = kx 2 + 2k + 1 . ⇔ ⇔  kx1 + 2k + 1 = −kx 2 − 2k − 1  k ( x1 + x2 ) + 4k + 2 = 0

ẠO

Do hai điểm A, B phân biệt nên ta loại nghiệm x1 = x2 . Do đó k ( x1 + x2 ) + 4k + 2 = 0 ⇔ k = −3 .

C. m=-2

D. m=2

yB − y A = −2( xB − xA )

10 00

TR ẦN

AB nhỏ nhất thì A. m=-1 B. m=1 Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm x−4 = −2 x + m ( x ≠ −1) x +1 ⇔ 2 x 2 − (m − 3) x − m − 4 = 0 ∆ = ( m + 1) 2 + 40 > 0, ∀m ∈ R Suy ra (d) luôn cắt dồ thị hàm số tại hai điểm A,B −m − 4 m−3 x A + xB = ; x A . xB = ; 2 2 y A = −2 xA + m; yB = −2 xB + m

x−4 cắt đường thẳng ( d ) : 2 x + y = m tại hai đểm AB sao cho độ dài x +1

Câu 14. Nếu đồ thị hàm số y =

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chọn đáp án C.

-L

Í-

AB = ( xB − xA ) 2 + ( yB − y A ) 2 = 5( xB − x A )2  m − 3  2 −m − 4  5 2 = 5  ( xB + x A ) − 4 x A xB  = 5  ( m + 1) + 40 ≥ 5 2 =  −4  2  4  2  Vậy AB nhỏ nhất khi m=-1 Chọn đáp án A. Câu 15. Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 ( m 2 − 1) x + 1 − m 2 . Tìm m để trên đồ thị hàm số có hai điểm đối

ÀN

ÁN

IỄ N

xứng qua gốc tọa độ A. −1 ≤ m ≤ 0 hoặc m ≥ 1 B. −1 < m < 0 hoặc m > 1 C. 1 > m > 0 hoặc m < −1 D. 1 ≥ m ≥ 0 hoặc m ≤ −1 Hướng dẫn giải: Gọi hai điểm đối xứng nhau qua O là A ( x0 , y0 ) , B ( − x0 , − y0 ) Khi đó ta có y0 = x03 − 3mx0 2 + 3 ( m 2 − 1) x0 + 1 − m 2 và − y0 = − x03 − 3mx0 2 − 3 ( m 2 − 1) x0 + 1 − m 2 Từ đó suy ra: −6mx0 2 + 2 − 2 m 2 = 0(*) Nếu x0 = 0 thì 2 − 2 m 2 = 0 suy ra y0 = 1 − m 2 = 0 . Vậy A ≡ B ≡ O

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 47 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

m1 , m2 ( m1 > m2 ) là hai giá trị thực của m để đường thẳng d cắt đồ thị ( Cm ) tại 3 điểm phân biệt có

Do đó: đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O m ≠ 0  ⇔ phương trình (*) có nghiệm khác 0 ⇔  2 − 2m 2 ≠ 0 ⇔ −1 < m < 0 hay m > 1  2  ∆ ' = 6m ( 2 − 2m ) ≥ 0 Chọn đáp án B. Câu 16. Cho hàm số y = x3 + 3mx 2 − m3 có đồ thị ( Cm ) và đường thẳng d : y = m2 x + 2m3 . Biết rằng

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

U Y

hoành độ x1 , x 2 , x3 thỏa x14 + x2 4 + x34 = 83 . Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị m1 , m2 ?

C. m2 2 + 2m1 > 4 . D. m1 − m2 = 0 .

B. m12 + 2 m2 > 4 .

A. m1 + m2 = 0 . Hướng dẫn giải: 3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

x = m x + 3mx − m x − 3m = 0 ⇔  x = − m ( DK : m ≠ 0 )  x = −3m 3

TR ẦN

H Ư

ycbt ⇔ x14 + x2 4 + x34 = 83 ⇔ m 4 + m 4 + 81m 4 = 83 ⇔ m = ±1 ⇒ m1 + m2 = 0 . Chọn đáp án A. x−3 Câu 17. Cho hàm số y = có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C). Tìm x +1 tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài IM là ngắn nhất ? A. M1 ( 0 ; − 3) và M 2 ( −2 ; 5 ) B. M1 (1; − 1) và M 2 ( −3 ; 3)

( m + 1)

, IM =

( m + 1)

Í-

IM =

10 00

1 7   C. M 1  2 ; −  và M 2  −4 ;  3 3   Hướng dẫn giải: m −3  Gọi M  m ;  thuộc đồ thị, có I(–1 ; 1) m +1  

5 1  5 11  D. M 1  ; −  và M 2  − ;  3 2  2 3

( m + 1)

≥ 2 16 ≥ 2 2

-L

IM nhỏ nhất khi IM = 2 2 . Khi đó (m + 1)2 = 4. Tìm được hai điểm M 1 (1 ; − 1) và M 2 ( −3 ; 3 ) .

IỄ N

ÀN

ÁN

Chọn đáp án B. Câu 18. Giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x 2 + 2mx + m 2 + 1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 đạt giá trị nhỏ nhất là: A. m = 2 B. m = 1 C. m = -1 D. m = - 2 Hướng dẫn giải: Vì với m tùy ý ta luôn có 3 x 2 + 2mx + m 2 + 1 > 0 ∀x nên diện tích hình phẳng cần tìm là 2

S = ∫ ( 3x 2 + 2mx + m2 + 1) dx =  x3 + mx 2 + ( m2 + 1) x  = 2m2 + 4m + 10 = 2 ( m + 1) + 8 0

S đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi m = - 1. (dùng casio thử nhanh hơn) Chọn đáp án C. x2 − 2 x + 3 Câu 19. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = hợp với 2 trục tọa độ 1 x −1 tam giác có diện tích S bằng: A. S=1,5 B. S=2 C. S=3 D. S=1

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 48 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Hướng dẫn giải: u/ (x ) u ( x) có điểm cực trị ( xo ; yo ) thì yo = / o v( x) v ( xo ) Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y=2x-2 (d) (d) cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A(0;-2) ,B(1;0) nên diện tích tam giác OAB bằng 1 Chọn đáp án D. Câu 20. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + (1 − m ) x + m có đồ thị ( C ) . Giá trị của m thì ( C ) cắt trục 2

1 < m <1 4

ẠO

H Ư

m ≠ 0 

Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là x = 1 x 3 − 2 x 2 + (1 − m ) x + m = 0 ⇔  2 x − x − m = 0 m ≠ 0  ⇔  1 (C) và trục hoành cắt nhau tại 3 điểm phân biệt:  m > − 4

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 4

C. − < m < 1

B.  4

U Y

 1 − < m < 1

A. m < 1

hoành tại 3 điểm phân biệt x1 , x2 , x3 sao cho x1 + x2 + x3 < 4 là

Ta có kết quả: Nếu đồ thị hàm số y =

TR ẦN

x12 + x22 + x32 < 4 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 1 < 4 ⇔ 1 + 2m + 1 < 4 ⇔ m < 1 Chọn đáp án B. 3 Câu 21. Cho hàm số y = ( x − m ) − 3 x + m 2 (1) . Gọi M là điểm cực đại của đồ thị hàm số (1) ứng với

10 00

một giá trị m thích hợp đồng thời là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (1) ứng với một giá trị khác của m. Số điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Hướng dẫn giải: 2 Ta có y ′ = 3 ( x − m ) − 3, y ′′ = 6 ( x − m )

-L

Í-

 x = m −1 Suy ra y′ = 0 ⇔  . x = m +1 Vì x = x1 = m − 1, y′′ ( m − 1) < 0 nên hàm số đạt cực đại x = x1 = m − 1 tại và giá trị cực đại là y1 = m 2 − 3m + 2 .

ÁN

Tương tự, ta có hàm số đạt cực tiểu tại x = x2 = m + 1 và giá trị cực tiểu là y2 = m 2 − 3m − 2 . Ta giả sử điểm M là điểm cực đạ của đồ thị hàm số ứng với giá trị m1 và là điểm cực tiểu ứng của

đồ thị hàm số ứng với với giá trị m2 .

IỄ N

ÀN

m1 − 1 = m2 + 1 Từ YCBT suy ra hệ phương trình  2 2 m1 − 3m1 + 2 = m2 − 3m2 − 2 3 1 1 1 Giải hệ ta tìm được nghiệm m1 = , m2 = − và suy ra tồn tại duy nhât một điêm M  , −  thỏa 2 2 2 4 bài toán. Chọn đáp án A. Câu 22. Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định giá trị lớn nhất của hình chữ nhật đó?

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 49 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

3 2 a 4

C. 0

a , ta có: 2

3 2 a 8

 a x∈ 0;   2

ẠO

a 3 2 a khi x = 4 8

Vậy max S(x) =

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a  MN = 2MH = 2(BH − BM) = 2  − x  = a − 2x 2  0 = 60 và BM = x ⇒ QM = x 3 Tam giác MBQ vuông ở M, B Hình chữ nhật MNPQ có diện tích: S(x) = MN.QM = = (a − 2x)x 3 = 3(ax − 2x 2 ) a  a S'(x) = 3(a − 4x); S'(x) = 0 ⇔ x = ∈  0;  4  2 x a a 0 4 2 S’ − + 0

Đặt BM = x, 0 < x <

a 2

3 2 a 2

Gọi H là trung điểm của BC ⇒ BH = CH =

U Y

3 2 a 8 Hướng dẫn giải: A.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

10 00

Chọn đáp án A.

x (C ) . Tìm m để đường thẳng d : y = mx − m − 1 cắt (C ) tại hai điểm 1− x phân biệt M , N sao cho AM 2 + AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất với A(−1;1) . A. m = 1 B. m = 2 C. m = −1 D. m = 3 Hướng dẫn giải:  x ≠ 1 x Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và d : = mx − m = 1 ⇔  2 1− x  mx − 2mx + m + 1 = 0(1) d cắt (C ) tại hai điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ m < 0 Gọi I là trung điểm của MN ⇒ I (1; −1) cố định.

ÁN

-L

Í-

Câu 23. Cho hàm số y =

MN 2 2 2 2 Do AM + AN nhỏ nhất ⇔ MN nhỏ nhất 4 MN 2 = ( x2 − x 1)2 (1 + m)2 = −4m − ≥ 8 . Dấu “=” xảy ra ⇔ m = −1 m 2 2 Vậy min( AM + AN ) = 20 khi m = −1 Chọn đáp án C. Câu 24. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị nhu hình vẽ bên. Tất cả

IỄ N

ÀN

Ta có: AM 2 + AN 2 = 2 AI 2 +

các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị là:

A. m ≤ −1 hoặc m ≥ 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. m ≤ −3 hoặc m ≥ 1 Trang 50 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

C. m = −1 hoặc m = 3 D. 1 ≤ m ≤ 3 Hướng dẫn giải: Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m là đồ thị hàm số y = f ( x ) tịnh tiến trên trục Oy m đơn vị

U Y

+ Nằm phía trên trục hoành hoặc điểm cực tiểu thuộc trục Ox và cực đại dương + Nằm phía dưới trục hoành hoặc điểm cực đại thuộc trục Ox và cực tiểu dương Khi đó m ≥ 3 hoặc m ≤ −1 là giá trị cần tìm. Chọn đáp án A. 3 2 Câu 25. Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 1 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ). A. m = 1 B. m = 2 C. m = ±1 D. m = 3 Hướng dẫn giải: 2 Ta có y ' = 3x − 6mx = 3x ( x − 2m ) . Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì m ≠ 0 .

Để đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có ba điểm cực trị ⇔ y = f ( x ) + m xảy ra hai trường hợp sau:

ẠO

Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0;1) và B (2m; −4m3 + 1) . Gọi H là hình chiếu

1 1 BH .OA = . 2m 2 2

Theo đề bài S=1 nên ta có

Chọn đáp án C.

1 . 2m = 1 suy ra m = ±1 . Vậy m=±1 là giá trị cần tìm. 2

H Ư

B. 4

10 00

A. 0 Hướng dẫn giải:

2sin 2 x là 4 x 4 x sin + cos 2 2 C. 8

Câu 26. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

vuông góc của điểm B lên trục tung, ta có BH = 2m . Diện tích của tam giác OAB là

D. 2

2sin 2 x 2sin 2 x 4sin 2 x = = . 2 1 2 2 sin x − 4 x 4 x sin + cos 1− sin x 2 2 2 4t Đặt sin 2 x = t (t ∈ [0;1]) , hàm số trở thành g (t ) = với t ∈ [0;1] , ta có −t + 2 8 g '(t ) = > 0 ∀t ∈ [0;1] , suy ra hàm số đồng biến trên [0;1] , vậy 2 (−t + 2)

ÁN

-L

Í-

TXĐ: D = ℝ , ta có f ( x) =

max f ( x) = max g (t ) = g (1) = 4 , xảy ra khi t = 1 ⇒ x =

x∈ℝ

t∈[0;1]

π + k π (k ∈ ℤ) 2

IỄ N

ÀN

Chọn đáp án B. Câu 27. Cho hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x + m có đồ thị (C), với m là tham số. Giả sử đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn x1 < x2 < x3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 1 < x1 < x2 < 3 < x3 < 4 B. 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4 C. x1 < 0 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4 D. 1 < x1 < 3 < x2 < 4 < x3 Hướng dẫn giải: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = − x 3 + 6 x 2 − 9 x . Dựa vào đồ thị ta tìm được −4 < m < 0 thì đồ thị hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x + m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt. Ta có y ( 0 ) . y (1) < 0; y (1) . y ( 3) < 0; y ( 3) . y ( 4 ) < 0 do đó 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 51 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Chọn đáp án B.

Ơ H

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

 π  0;  .  4 C. 1 ≤ m < 2. D. m ≥ 2. A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2. B. m ≤ 0. Hướng dẫn giải: 1 1 (tan x − m) − (tan x − 2) 2 2−m cos 2 x y ' = cos x = 2 2 (tan x − m) cos x(tan x − m) 2  π  π  π Hàm số đồng biến trên  0;  khi và chỉ khi hàm số xác định trên  0;  và y’ ≥ 0 ∀ x ∈  0;   4  4  4   π m ≤ 0  tan x ≠, ∀x ∈  0;  ⇔  4⇔  1 ≤ m ≤ 2 2 − m ≥ 0  Chọn đáp án A. 2 Câu 29. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. a > 0, b < 0, c > 0 B. a < 0, b > 0, c < 0 C. a < 0, b < 0, c < 0 D. a > 0, b < 0, c < 0

tan x − 2 đồng biến trên khoảng tan x − m

Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y =

10 00

Hướng dẫn giải: Do giới hạn của y khi x tiến tới vô cùng thì −∞ nên a < 0 . Loại A và D y ' = 4ax 3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b )

ÁN

-L

Í-

Do a < 0 mà nếu b < 0 thì phương trình 2 ax 2 + b vô nghiệm Nên b > 0 thì hàm số mới có 3 cực trị. Chọn đáp án B. 1 Câu 30. Cho hàm số : y = x + 1 + ( C ) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 x −1 sao cho tiếp tuyến tại diểm đó tạo với 2 đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất . 1 1  1    1 A. M = 1 + 4 ;2 − 2 + 4  B. M =  4 ;2 + 4  2 2 2   2

(

ÀN

C. M = 1;2 + 2

)

1 1   D. M = 1 + 4 ;2 + 2 + 4  2 2 

IỄ N

Hướng dẫn giải: a2 1 = a −1 a −1 a 2 − 2a a2 PTTT của ( C ) tại M là: y − y ( a ) = y ' ( a )( x − a ) ⇔ y = x − a) + (d) 2 ( a −1 ( a − 1) Tiệm cận đứng x = 1 ; Tiệm cận xiên y = x + 1 Giao điểm của 2 tiệm cận là I=( 1 ; 2 )

Gọi M = ( a; y ( a ) ) ∈ ( C ) ; a > 0 thì y ( a ) = a + 1 +

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 52 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

 2a  Giao điểm của d với tiệm cận đứng x = 1 là A = 1;   a −1 Với tiệm cận xiên là : B = ( 2a − 1;2a )

2 ; BI = 2 2 a − 1 , nên AI .BI = 4 2 vì a > 1 a −1 π π Lại có ∠AIB = suy ra AB 2 = AI 2 + BI 2 − 2 AI .BICos = AI 2 + BI 2 − 2 AI .BI 4 4 2 Theo bất đẳng thức Cô si : AB ≥ 2 AI .BI − 2 AI .BI = 2 − 2 AI .BI

)

Đặt p là chu vi tam giác ABI thì : p = AB + AI + BI ≥ AB + 2 AI .BI ≥ 2 2

)

2 −1 + 44 2 ⇔ a = 1+

Ơ H )

2 −1 + 44 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

ẠO

1 2

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ AI = BI ⇔ a = 1 + Vậy Minp = 2 2

(1)

2 −1

(

⇔ AB ≥ 2 2

)

U Y

(

Ta có AI =

10 00

TR ẦN

H Ư

2 1 1   Hay điểm cần tìm là M = 1 + 4 ;2 + 2 + 4  2 2  Chọn đáp án D. x4 5 Câu 31. Cho hàm số: y = − 3 x 2 + (C ) và điểm M ∈ (C ) có hoành độ xM = a. Với giá trị nào của a 2 2 thì tiếp tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) 2 điểm phân biệt khác M.  a < 3  a < 3  a < 7 a < 3 A.  B.  C.  D.  a ≠ ±1  a ≠ ±1  a ≠ 1  a ≠ ±2 Hướng dẫn giải: 5 a4 Điểm M ∈ (C ) , xM = a => yM = − 3a 2 + ta có Pt tiếp tuyến với (C) có dạng 2 2 ' ' 3 ( ∆ ) : y = y xM ( x − xM ) + yM với yM = 2 a − 6 a

Í-

5 a4 − 3a 2 + 2 2 Hoành độ giao điểm của ( ∆ ) và (C) là nghiệm của phương trình x4 5 a4 5 − 3 x 2 + = (2a 3 − 6a )( x − a ) + − 3a 2 + ⇔ ( x − a )2 ( x 2 + 2ax + 3a 3 − 6) = 0 2 2 2 2 x = a ⇔ 2 2  g ( x) = x + 2ax + 3a − 6 = 0 Bài toán trở thành tìm a để g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khác a ' 2 2  a 2 − 3 < 0  ∆ g ( x ) = a − (3a − 6) > 0  a < 3 ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2  a ≠ 1  a ≠ ±1  g (a ) = 6a − 6 ≠ 0 Chọn đáp án A. 2x − 3 Câu 32. Cho hàm số: y = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến đó cắt đường x−2 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB = 2 IB , với I (2, 2) . A. y = − x + 2 ; y = − x − 3 B. y = x + 2 ; y = − x + 6

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

=> ( ∆ ) y = (2a3 − 6a)( x − a) +

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 53 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Do AB = 2 IB và tam giác AIB vuông tại I ⇒ IA = IB nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = −1 -1. vì y / = < 0 nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = -1. 2 ( x − 2)

C. y = − x + 2 ; y = − x + 6 D. y = x − 2 ; y = x − 6 Hướng dẫn giải:  2x − 3  1 2 x02 − 6 x0 + 6 Gọi M  x0 ; 0 x +  ∈ (C ) . PTTT của (C) tại M: y = − 2 2 x0 − 2  ( x0 − 2 ) ( x0 − 2 ) 

 x0 = 1 = −1 ⇔  ( x0 − 1)  x0 = 3 ⇒ có hai phương trình tiếp tuyến y = − x + 2 ; y = − x + 6

U Y

−1

⇔

Chọn đáp án C.

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 33. Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm), đường thẳng d có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m để d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 . 1 ± 37 1 ± 137 1± 7 1 ± 142 A. m = B. m = C. m = D. m = 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: x = 0 x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 = x + 4 ⇔ x(x2 + 2mx + m + 2) = 0 ⇔  2  x + 2mx + m + 2 = 0 (*) d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ⇔ PT (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ∆ ' = m2 − m − 2 > 0 ⇔ ⇔ m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( −2; −1) ∪ ( 2; +∞ ) m + 2 ≠ 0 Khi đó B = (x1; x1 + 4), C = (x2; x2 + 4) với x1, x2 là hai nghiệm của (*).  x1 + x2 = −2m Theo Vi-ét ta có   x1 x2 = m + 2 2

Í-

⇒ BC = 2 ( x1 − x2 ) = 2 ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 = 2 2 ( m 2 − m − 2 )

ÀN

ÁN

-L

Ta có khoảng cách từ K đến d là h = 2 . Do đó diện tích ∆KBC là: 1 1 2.2 2 ( m 2 − m − 2 ) = 2 m 2 − m − 2 S = .h.BC = 2 2 1 ± 137 S = 8 2 ⇔ 2 m2 − m − 2 = 8 2 ⇔ m = (TM ) . 2 Chọn đáp án B. Câu 34. Cho hàm số: y = x3 − 2009 x có đồ thị là (C). M 1 là điểm trên (C) có hoành độ x1 = 1 . Tiếp

tuyến của (C) tại M 1 cắt (C) tại điểm M 2 khác M 1 , tiếp tuyến của (C) tại M 2 cắt (C) tại điểm M 3

IỄ N

khác M 2 , tiếp tuyến của (C) tại điểm M n −1 cắt (C) tại điểm M n khác M n −1 (n = 4; 5;…), gọi ( xn ; yn ) là tọa độ điểm M n . Tìm n để : 2009 xn + yn + 2 2013 = 0 A. n = 685 B. n = 627 C. n = 675 Hướng dẫn giải: Gọi M k ( xk ; yk ) suy ra tiếp tuyến tại M k : y − yk = y ' ( xk )( x − xk )

D. n = 672

⇔ y = ( 3 xk2 − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 54 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Tọa độ điểm M k +1 được xác định: x 3 − 2009 x = ( 3 xk2 − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk ⇔ ( x − xk ) ( x 2 + x.xk − 2 xk2 ) = 0

⇔ x = xk ∨ x = −2 xk ⇒ xk +1 = −2 xk n −1

Ta có : x1 = 1; x2 = −2; x3 = 4;...; xn = ( −2 ) 3n −3

2009 xn + yn + 22010 = 0 ⇔ 2009 xn + xn3 − 2009 xn + 2 2010 = 0 2013

và

AB =

( x2 − x1 )

+ ( 3x2 − 3x1 ) = 10 ( x2 − x1 )

= 10 ( x1 + x2 ) − 40 x1 x2 = 10m2 +

10 00

∆OAB ta có OH = d ( 0; d ) =

−3m

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

⇔ ( −2 ) = −22013 = ( −2 ) ⇔ 3n − 3 = 2013 ⇔ n = 672 Chọn đáp án D. 3 x − 2m Câu 35. Cho hàm số y = với m là tham số. Xác định m để đường thẳng d cắt các trục mx + 1 Ox, Oy lần lượt tại C , D sao cho diện tích ∆OAB bằng 2 lần diện tích ∆OCD . 5 2 1 A. m = ± B. m = ±3 C. m = ± D. m = ± 3 3 3 Hướng dẫn giải: −1 Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị: 3mx 2 − 3m 2 x − m = 0, x ≠ m 2 2 Vì m ≠ 0 nên phương trình ⇔ 3 x − 3mx − 1 = 0 (*). Ta có ∆ = 9m + 12 > 0, ∀m ≠ 0 và  −1  3 f   = 2 + 2 ≠ 0, ∀m ≠ 0 (ở đây f ( x ) là vế trái của (*)) nên d luôn cắt đồ thị tại 2 điểm A, B m m phân biệt ∀m ≠ 0 Ta có A ( x1;3x1 − 3m ) , B ( x2 ;3x2 − 3m ) với x1 , x2 là 2 nghiệm của (*). Kẻ đường cao OH của 2

40 3

(Định lý Viet đối với (*)). Mặt khác ta có C ( m;0 ) , D ( 0; −3m ) (để ý m ≠ 0 thì C , D , O phân biệt). Ta tìm m để 40 −3m 2 = 2 m 3m ⇔ m = ± . 3 3 10

-L

Chọn đáp án C.

Í-

S ∆OAB = 2 S ∆OCD hay 10m 2 +

ÁN

IỄ N

ÀN

vuông góc với đường thẳng d : x + 2 y = 0 . m < 0 m < 0 1 A.  B.  C. 0 < m < 2 m > 3 m > 1 3  Hướng dẫn giải: y / = mx 2 + 2( m − 1) x + 4 − 3m . Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2

 m < −1 D.  m > 5 3 

Ta tìm m : mx 2 + 2( m − 1) x + 4 − 3m = 2 (*) có đúng một nghiệm âm

(*) ⇔ ( x − 1)( mx + 3m − 2 ) = 0 ⇔ x = 1 hoặc mx = 2 − 3m m = 0 : không thỏa yêu cầu

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 55 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

m ≠ 0 , yêu cầu bài toán xảy ra khi

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

m < 0 2 − 3m <0⇔ m > 2 m 3 

Chọn đáp án C. 2x − 1 có đồ thị (C) và điểm P ( 2;5 ) . Tìm các giá trị của tham số m để x +1 đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác PAB đều. Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C ) là: A. m = 1, m = −5 B. m = 1, m = 4 C. m = 6, m = −5 D. m = 1, m = −8 Hướng dẫn giải: 2x − 1 = − x + m ⇔ x 2 − (m − 3) x − m − 1 = 0 (1) , với x ≠ −1 x +1 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác −1 m2 − 2m + 13 > 0 ⇔ (đúng ∀m ) 0.m − 3 ≠ 0  x1 + x2 = m − 3 Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1), ta có:   x1 x2 = −m − 1 Giả sử A ( x1 ; − x1 + m ) , B ( x2 ;− x2 + m ) 2

+ ( − x1 + m − 5 ) =

+ ( − x2 + m − 5) =

( x1 − 2 )

PB =

( x2 − 2 )

( x1 − 2 )

10 00

PA =

Khi đó ta có: AB = 2 ( x1 − x2 )

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 37. Cho hàm số y =

( x2 − 2 )

+ ( x2 − 2 ) ,

+ ( x1 − 2 )

Suy ra ∆PAB cân tại P Do đó ∆PAB đều ⇔ PA2 = AB 2 2 2 2 2 ⇔ ( x1 − 2 ) + ( x2 − 2 ) = 2 ( x1 − x2 ) ⇔ ( x1 + x2 ) + 4 ( x1 + x2 ) − 6 x1 x2 − 8 = 0

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

 m =1 ⇔ m 2 + 4m − 5 = 0 ⇔  . Vậy giá trị cần tìm là m = 1, m = −5 .  m = −5 Chọn đáp án C. Câu 38. Cho hàm số y = x 4 − mx3 + 4 x + m + 2 . Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số ban đầu có 3 cực trị và trọng tâm của tam giác với 3 đỉnh là toạ độ các điểm cực trị trùng với tâm đối xứng của đồ 4x thị hàm số y = . 4x − m A. m = 2 B. m = 1 C. m = 4 D. m = 3 Hướng dẫn giải: Hàm số đã cho có 3 cực trị khi phơng trình y’(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 4 x 3 − 3mx 2 + 4 = 0 có 3nghiệm phân biệt m Xét g(x) = 4 x 3 − 3mx 2 + 4 có g’(x) = 12 x 2 − 6mx ⇒ g ′( x) = 0 ⇔ x = 0, x = 2 3 m 16 − m Do lim g ( x ) = +∞ , lim g ( x ) = −∞ và g (0) = 4 > 0 , g ( ) = nên g(x) = 0 x →+∞ x →−∞ 2 4

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 56 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

x1 , x2 , x3 là nghiệm phơng trình : 4 x 3 − 3mx 2 + 4 = 0 nên theo định lý Viet ta có  x1 + x2 + x3 m = 3m   x1 + x2 + x3 =  3 4 ⇒ 4  9m 2 2 2 2 2  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = 0  x1 + x2 + x3 = ( x1 + x2 + x3 ) − 2( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) = 16  2 2 x m 3m x 5m + 3x + + 2) , vì thế Viết hàm số ban đầu dới dạng: y ( x) = y′( x)( − ) + (− 4 16 16 4 x m 3m 2 xi2 5m 3m 2 xi2 5m yi = y ( xi ) = y′( xi )( i − ) + ( − + 3 xi + + 2) = − + 3 xi + +2 4 16 16 4 16 4 do y′( xi ) = 0 (i = 1, 2,3)

U Y

m  2 > 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔  ⇔ m > 2 3 2 (học sinh có thể lập bảng biến thiên 3 16 − m  <0  4 x3 + 1 của hàm µ( x) = trên R \ {0} để tìm ra kết quả trên) x2 4x m Khi đó tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = là I ( ;1) 4 4x − m Gọi A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ), C ( x3 ; y3 ) là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho thì

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

y1 + y2 + y3 m2 2 5m 9m4 5m =− ( x1 + x22 + x32 ) + ( x1 + x2 + x3 ) + +2=− 2 + +2 3 16 4 16 4 x + x2 + x3 y1 + y2 + y3 m Trọng tâm của tam giác ABC là G( 1 ) ≡ I ( ; 1) khi và chỉ ; 3 3 4 4 9m 5m y + y2 + y3 + 2 = 1 ⇔ (m − 4)(9m3 + 36m2 + 144m + 64) = 0 khi : 1 =1⇔ − 2 + 16 4 3 3 Vì m > 2 2 nên m = 4 là giá trị duy nhất cần tìm. Chọn đáp án C. Câu 39. Tìm tham số m để hàm số y = x3 + 3mx 2 + 3 ( m + 1) x + 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 . 1 − 21 1 − 21 1 + 21 A. m < B. m < hoặc m > 2 2 2 1 + 21 1 − 21 1 + 21 C. m > D. <m< 2 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có D = ℝ, y′ = 3 x 2 + 6mx + 3 ( m + 1) = 3 ( x 2 + 2mx + m + 1)

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Từ đó :

IỄ N

y′ = 0 ⇔ x 2 + 2mx + m + 1 = 0 (1) . Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ

dài lớn hơn 4 ⇔ y′ ≤ 0 trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 ⇔ (1) có hai nghiệm x1; x2 ( x1 ≠ x2 ) thoả mãn

x1 − x2 > 4 ∆′ > 0 ∆′ > 0 ⇔ ⇔ ⇔ ∆′ > 4 ⇔ m 2 − m − 1 > 4  x1 − x2 > 4  2 ∆′ > 4 ⇔ m2 − m − 5 > 0 ⇔ m <

1 − 21 1 + 21 . ∨m> 2 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 57 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Vậy hàm số (1) nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 1 − 21 1 + 21 ∨m> 2 2 Chọn đáp án B. ⇔m<

−x + 1 ( H ) tại hai điểm phân biệt 2x − 1 A, B . Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với ( H ) tại A và B . Tìm a để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất. A. a = 1 B. a = 2 C. a = −5 D. a = −1 Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( H ) :

U Y

Câu 40. Đường thẳng d : y = x + a luôn cắt đồ thị hàm số y =

TP ẠO Đ G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1  −x + 1 x ≠ 2 = x+a⇔ 2x − 1  2 x 2 + 2ax − a − 1 = 0 (*)  2 Đặt g ( x ) = 2 x + 2ax − a − 1

TR ẦN

H Ư

 ∆′g = a 2 + 2a + 2 > 0, ∀a 1  với mọi a . Vì   1  nên (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 2  g   = − ≠ 0, ∀a 2  2 Vậy d luôn cắt ( H ) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi a .

Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) với x1 , x2 là hai nghiệm của (*) . Theo định lý Vi-ét ta có

−a − 1 . 2

10 00

x1 + x2 = −a , x1 x2 =

Tiếp tuyến tại A và B có hệ số góc là k1 =

−1 2

; k2 =

−1 2

-L

Í-

( 2 x1 − 1) ( 2 x2 − 1)  ( 2 x1 − 1)2 + ( 2 x2 − 1)2  −1 −1 Ta có k1 + k2 = + = −  2 2 2 2  ( 2 x1 − 1) ( 2 x2 − 1)  ( 2 x1 − 1) ( 2 x2 − 1)  2 2 2 = −  4 ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 − 4 ( x1 + x2 ) + 2  (do ( 2 x1 − 1) ( 2 x2 − 1) = 1)   2

ÁN

= −4 ( a + 1) − 2 ≤ −2, ∀a . Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = −1

Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất bằng −2 khi a = −1 . Chọn đáp án D.

IỄ N

ÀN

Câu 41. Tìm m để phương trình x4 – ( 2m+3)x2 + m + 5 = 0 có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 thoả mãn : -2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 3 A. Không có m B. m = 1 C. m = 4 D. m = 3 Hướng dẫn giải: Đặt x2 = X ≥ 0 , ta có phương trình: f(X) = X2 – ( 2m+3).X + m + 5 = 0 (*) để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 < x4 thì phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn: 0 < X1 < X2. Khi đó x1 = − X 2 ; x2 = − X 1 ; x3 = X 1 ; x4 = X 2 Do đó: -2<-

⇔2>

X 2 <-1< - X 1 < 0 <

X 2 >1 >

X1 < 1 <

X2 < 3

X 1 > 0 ⇔ 4 > X2 > 1 > X1 > 0

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 58 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

 af (1) < 0  −m + 3 < 0   ⇔  af (0) > 0 ⇔  m + 5 > 0 af (4) > 0 −7 m + 9 > 0  

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

  m>3  ⇔  m > −5  9 m< 7 

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

⇒ không tồn tại m thoả mãn bài toán . Chọn đáp án A. 3 1 Câu 42. Cho hàm số: y = x3 - mx 2 + m 3 . Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm 2 2 phân biệt A, B, C sao cho AB = BC. A. m = 0 ; m = ± 2 B. m = 0 C. m = ± 2 D. m = 0 ; m = 2 Hướng dẫn giải: 3 1 PT hoành độ giao điểm: x3 - mx 2 − x + m 3 = 0 (1) 2 2 Đường thẳng y = x cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A,B,C ⇔ pt (1) có 3 nghiệm phân biệt xA, xB, 3 xC. Theo Vi et ta có : xA + xB +xC = m (2) 2 theo gt AB = BC ⇔ 2 xB =xA + xC (3) m m Từ (2) và (3) ⇒ xB = . V ậy x = là một nghiệm của (1). 2 2 3 1 m Chia f(x) = x 3 − mx 2 − x + m 3 cho x − ta được: 2 2 2 m2 m3 m m f(x) = (x - ) (x2 – mx – 1 )+ . 2 4 2 2 m3 m m x= là nghiệm của (1) ⇔ + = 0 ⇔ m=0, m = ± 2 2 2 4 m2 m Khi đó f(x) = (x - ) (x2 – mx – 1 ) có 3 nghiệm phân biệt 2 2 3m 2 m2 m vì ϕ (x ) = x2 – mx – 1 ≠ 0 . ∀m có 2 nghiệm trái dấu và có ϕ ( ) = -1 2 2 4 Vậy: m = 0 ; m = ± 2 Chọn đáp án A. Câu 43. Cho hàm số y=x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2m(2m-1). Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+ ∞ ) . A. −3 < m < 2 B. −2 ≤ m ≤ 2 C. −3 ≤ m ≤ 1 D. −3 ≤ m ≤ 2 Hướng dẫn giải: Ta có: y , = g ( x) = 3 x 2 − 2( m + 1) x − (2m 2 − 3m + 2)

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

∆’ =7m2 –7m +7 = 7(m2-m+1) > 0 , ∀m  g ( 2) ≥ 0 2m 2 + m − 6 ≤ 0  y, ≥ 0, ∀x ∈ ( 2;+∞ ) ⇔  S ⇔ ⇔ −3 ≤ m ≤ 2 − 2 < 0 m − 5 < 0   2 Chọn đáp án D.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 59 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

3 x2 3 2 x x , di ệ n tích m S = . = ( ) (m ) 1   3 36 3 4

Phần đầu uốn thành tam giác đều có cạnh

U Y

Bạn A chia sợi dây thành hai phần có độ dài x ( m ) và 20 − x ( m ) , 0 < x < 20 (như hình vẽ).

Câu 44. Bạn A có một đoạn dây dài 20m . Bạn chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất? 40 120 60 180 A. B. D. C. m. m. m. m. 9+4 3 9+4 3 9+4 3 9+4 3 Hướng dẫn giải:

20 − x 20 − x  2 ( m ) , diện tích S2 =   (m ) 4 4  

ẠO

Phần còn lại uốn thành hình vuông có cạnh

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x 2 3  20 − x  Tổng diện tích hai hình nhỏ nhất khi f ( x ) = +  nhỏ nhất trên khoảng ( 0;20 ) . 36  4  180 x 3 20 − x Ta có: f ' ( x ) = − =0⇔ x= . 18 8 4 3+9 Bảng biến thiên: 180 x 20 0 4 3 +9 − f ′( x) 0 +

10 00

f ( x)

Dựa vào bảng biến thiên ta được x =

Í-

Chọn đáp án D.

180 . 4 3 +9

ÁN

-L

 −8 + 4a − 2b + c > 0 . Số giao điểm của đồ thị hàm số Câu 45. Cho các số thực a , b, c thỏa mãn  8 + 4a + 2b + c < 0

D. 3 .

ÀN

y = x 3 + ax 2 + bx + c và trục Ox là B. 1. C. 2 . A. 0 . Hướng dẫn giải: Ta có hàm số y = x3 + ax 2 + bx + c xác định và liên tục trên ℝ .

IỄ N

Mà lim y = +∞ nên tồn tại số M > 2 sao cho y ( M ) > 0 ; lim y = −∞ nên tồn tại số m < −2 sao x →+∞

x →−∞

cho y ( m ) < 0 ; y ( −2 ) = −8 + 4a − 2b + c > 0 và y ( 2 ) = 8 + 4a + 2b + c < 0 .

Do y ( m ) . y ( −2 ) < 0 suy ra phương trình y = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( m; −2 ) .

y ( −2 ) . y ( 2 ) < 0 suy ra phương trình y = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( −2;2 ) . y ( 2 ) . y ( M ) < 0 suy ra phương trình y = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( 2; M ) . Vậy đồ thị hàm số y = x 3 + ax 2 + bx + c và trục Ox có 3 điểm chung. Chọn đáp án D.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 60 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 46. Tập hợp các giá trị của m để đồ thị hàm số y = đường tiệm cận là A. {0}.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

2x − 1 có đúng 1 ( mx − 2 x + 1)( 4 x 2 + 4mx + 1) 2

C. ∅ D. ( −∞; −1) ∪ {0} ∪ (1; +∞ ) . Hướng dẫn giải: Có lim y = 0 . Nên hàm số luôn có 1 đường tiệm cận ngang y = 0 . Vậy ta tìm điều kiện để hàm số

B. ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) .

x →±∞

ẠO

 mx 2 − 2 x + 1 = 0 (1) Xét phương trình: ( mx 2 − 2 x + 1)( 4 x 2 + 4mx + 1) = 0 ⇔  2  4 x + 4mx + 1 = 0 (2) 2x − 1 1 TH1: Xét m = 0 , ta được y = (thỏa ycbt) =− 2 2 ( −2 x + 1) ( 4 x + 1) 4 x + 1

U Y

không có tiệm cận đứng .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TH2: Xét m ≠ 0 . Có: ∆1 = 1 − m và ∆ 2 = 4 m 2 − 4

TR ẦN

H Ư

1 − m < 0 m > 1 ⇔ ⇔ m∈∅ Th2a. Cả 2 phương trình (1) và (2) đều vô nghiệm: ⇔  2 −1 < m < 1  4m − 4 < 0 1 Th2b: (1) vô nghiệm, (2) có nghiệm kép x = : ta thấy trường hợp này vô lí (vì m > 1 ) 2 1 Th2c: (2) vô nghiệm, (1) có nghiệm kép x = : ta thấy trường hợp này vô lí (vì −1 < m < 1 ) 2 Chọn đáp án A.

10 00

Câu 47. Đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2mx 2 + ( m + 3) x + 4 tại 3 điểm phân biệt A ( 0;4 ) , B và C sao cho diện tích tam giác MBC bằng 4, với M (1;3) . Tìm tất cả các giá trị của

m thỏa mãn yêu cầu bài toán. A. m = 2 hoặc m = 3. B. m = −2 hoặc m = 3. C. m = 3. D. m = −2 hoặc m = −3. Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị (C ) : x3 + 2mx 2 + ( m + 3) x + 4 = 4

(1)

ÁN

-L

Í-

x = 0 ⇔ x3 + 2mx 2 + ( m + 2 ) x = 0 ⇔  2 ϕ ( x ) = x + 2mx + m + 2 = 0 Với x = 0, ta có giao điểm là A ( 0;4 ) .

d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.

IỄ N

ÀN

ϕ ( 0 ) = m + 2 ≠ 0 (*) ⇔ 2  ∆′ = m − m − 2 > 0 Ta gọi các giao điểm của d và ( C ) lần lượt là A, B ( xB ; xB + 2 ) , C ( xC ; xC + 2 ) với xB , xC là nghiệm của phương trình (1).  xB + xC = −2m Theo định lí Viet, ta có:  =m+2  xB .xC 1 Ta có diện tích của tam giác MBC là S = ⋅ BC ⋅ d ( M , BC ) = 4. 2 Phương trình d được viết lại là: d : y = x + 4 ⇔ x − y + 4 = 0.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 61 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

1− 3 + 4

Mà d ( M , BC ) = d ( M , d ) = Do đó: BC =

1 + ( −1)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

= 2.

8 8 = ⇔ BC 2 = 32 d ( M , BC ) 2 2

Ta lại có: BC 2 = ( xC − xB ) + ( yC − y B ) = 2 ( xC − xB ) = 32 2

⇔ ( xB + xC ) − 4 xB .xC = 16 ⇔ ( −2m ) − 4 ( m + 2 ) = 16

U Y .Q

(

)

x − 3 + y + 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 48. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2

⇔ 4 m 2 − 4 m − 24 = 0 ⇔ m = 3 ∨ m = −2. Đối chiếu với điều kiện, loại đi giá trị m = −2. Chọn đáp án C.

C. min P = −80

)

x − 3 + y + 3 ⇔ ( x + y ) = 4 ( x + y ) + 8 x − 3. y + 3 ≥ 4 ( x + y )

(

)

x − 3 + y + 3 ≤ 2 2 ( x + y ) ⇔ x + y ≤ 8 ⇒ x + y ∈ [ 4;8]

(

TR ẦN

(

H Ư

x + y ≥ 4 . Mặt khác ⇔ x + y ≤ 0 x+y=2

D. min P = −91

B. min P = −63

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. min P = −83 Hướng dẫn giải: Ta có x + y = 2

ẠO

P = 4 ( x 2 + y 2 ) + 15 xy là:

)

Xét biểu thức P = 4 x 2 + y 2 + 15xy = 4 ( x + y ) + 7xy và đặt

t = x + y ∈ [ 4;8] ⇒ P = 4t 2 + 7xy .

10 00

Lại có ( x + 3 )( y + 3 ) ≥ 0 ⇔ xy ≥ −3 ( x + y ) − 9 ⇒ P ≥ 4 ( x + y ) − 21( x + y ) − 63

= 4t 2 − 21t − 63 . Xét hàm số f ( t ) = 4t 2 − 21t − 63 trên đoạn [ 4;8] suy ra Pmin = f ( 7 ) = −83 Chọn đáp án A.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 49. Gọi (Cm) là độ thì hàm số y = x 4 − 2 x 2 − m + 2017 . Tìm m để (Cm) có đúng 3 điểm chung phân biệt với trục hoành, ta có kết quả: A. m = 2017 B. 2016 < m < 2017 C. m ≥ 2017 D. m ≤ 2017 Hướng dẫn giải: - Phương pháp: Tìm m để phương trình ẩn x tham số m có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng K + Cô lập m, đưa phương trình về dạng m = f(x) + Vẽ đồ thị (hoặc bảng biến thiên) của y=f(x) trên K + Biện luận để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y =f(x) tại n điểm phân biệt trên K - Cách giải: ( Cm ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Phương trình x 4 − 2 x 2 − m + 2017 = 0 ⇔ m = x 4 − 2 x 2 + 2017 có 3 nghiệm phân biệt. Xét hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 2017 trên R

Có y ' = 4 x3 − 4 x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = ±1 . Bảng biến thiên: x 0 0 1 −∞ y' − − 0 + 0 0 +∞ y 2017

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

+∞ +

+∞

Trang 62 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

2016

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

x →+∞

ẠO

U Y

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y =f(x) tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi m =2017 Chọn đáp án A. x2 + 2 Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm cận mx 4 + 3 ngang. A. m = 0 B. m < 0 C. m > 0 D. m > 3 Hướng dẫn giải: x2 + 2 Đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn mx 4 + 3 lim y = a ( a ∈ ℝ ) , lim y = b ( b ∈ ℝ ) tồn tại. Ta có:

2016

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

x →−∞

x →+∞

+ với m = 0 ta nhận thấy lim y = +∞, lim y = +∞ suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

10 00

TR ẦN

H Ư

 3 3  + Với m < 0 , khi đó hàm số có TXĐ D =  − 4 − ; 4 −  , khi đó lim y, lim y không tồn tại suy  x →+∞ x →−∞ m m   ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang. 2  2 x 2 1 + 2  1+ 2 1 x   x + Với m > 0 , khi đó hàm số có TXĐ D = ℝ suy ra lim suy ra , lim = x →±∞ x →±∞ m 3 3 2 2 x m+ 2 x m+ 4 x x đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang. Vậy m > 0 thỏa YCBT. Chọn đáp án C.

B. a = 2

C. a = 1

Í-

-L

giá trị nhỏ nhất. A. a = 3 Hướng dẫn giải:

Câu 51. Cho hàm số y = x 2 + 2 x + a − 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2;1] đạt

D. Một giá trị khác

ÁN

Ta có y = x 2 + 2 x + a − 4 = ( x + 1) + a − 5 . Đặt u = ( x + 1) khi đó ∀x ∈ [ −2;1] thì u ∈ [ 0; 4] Ta

được hàm số f ( u ) = u + a − 5 . Khi đó

Max y = Max f ( u ) = Max { f ( 0 ) , f ( 4 )} = Max { a − 5 ; a − 1 }

x∈[ −2;1]

u∈[ 0;4]

ÀN

Trường hợp 1: a − 5 ≥ a − 1 ⇔ a ≤ 3 ⇒ Max f ( u ) = 5 − a ≥ 2 ⇔ a = 3 u ∈[0;4]

IỄ N

Trường hợp 2: a − 5 ≤ a − 1 ⇔ a ≥ 3 ⇒ Max f ( u ) = a − 1 ≥ 2 ⇔ a = 3 u ∈[ 0;4 ]

Vậy giá trị nhỏ nhất của Max y = 2 ⇔ a = 3 x∈[ −2;1]

Chọn đáp án A.

)

(

)

Câu 52. Giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x3 + 2 1 + x 3 + 1 + x 3 + 2 1 − x 3 + 1 là: A. 0

B. 1

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 2

D. 3

Trang 63 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Hướng dẫn giải:

)

(

y = x3 + 2 1 + x 3 + 1 + x 3 + 2 1 − x 3 + 1

⇔ y=

x3 + 1 + 1 +

(

)

x3 + 1 − 1

(

x3 + 1 + 1 +

)

⇔ y=

)

x3 + 1 − 1 < 0 ⇒

x 3 + 1 − 1 = 1 − x3 + 1 ⇒ y = 2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

ẠO

- Nếu x ≥ 0 thì x 3 + 1 − 1 ≥ 0 ⇒ y = 2 x 2 + 1 ≥ 2 Vậy: y ≥ 2, ∀x ≥ −1, y = 2 ⇔ x = 0 Chọn đáp án C.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

- Nếu −1 ≤ x < 0 thì

x3 + 1 − 1

Ta có y = x 3 + 1 + 1 +

Điều kiện để hàm số xác định x ≥ −1

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 64 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

HÌNH ĐA DIỆN I – HÌNH CHÓP

ẠO

mặt phẳng ( ABC ) với các mặt phẳng (S AB ) , (SBC ) và (SAC ) . = SLJ = SKJ , Theo giả thiết, ta có SHJ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. V = 600

U Y

A. V = 680 B. V = 408 C. V = 578 Hướng dẫn giải: Gọi J là chân đường cao của hình chóp S.ABC; H, K và L lần lượt là hình chiếu của J trên các cạnh AB, BC và CA. , SLJ và SKJ lần lượt là góc tạo bởi Suy ra, SHJ

z=17

y=9

10 00

TR ẦN

H Ư

suy ra các tam giác vuông SJH , SJL và SJK bằng nhau. J z=17 y=9 H Từ đó, JH = JL = JK . Mà J nằm trong tam giác ABC nên J là L x=8 tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. x=8 Áp dụng công thức Hê-rông, ta tính được diện tích của tam giác B ABC là S = 204 . Kí hiệu p là nửa chu vi tam giác ABC, r là S 204 bán kính đường tròn nội tiếp của ABC. Ta có r = = = 6 . Đặt x = BH = BL , y = CL = CK , p 34 z = AH = AK .  x + y = 17 y z C K  A Ta có hệ phương trình  x + z = 25 .  y  y + z = 26 J z Giải ra được ( x ; y ; z ) = (8;9;17) L

JB = JH 2 + BH 2 = 6 2 + 82 = 10 . = (SB , ( ABC )) = 45° , suy ra SJB là tam giác Ta có SBJ

Í-

-L

vuông cân tại J. SJ = JB = 10 .

ÁN

1 Thể tích V của khối chóp S.ABC là V = SJ .S ABC = 680 3 Chọn đáp án A. Câu 2. Cho tứ diện ABCD, M , N , P lần lượt thuộc BC, BD, AC sao cho BC = 4BM , BD = 2 BN , AC = 3 AP , mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP).

IỄ N

ÀN

2 A. 3 5 C. 13

7 B. 13 1 D. . 3

Hướng dẫn giải:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

K I

H B

Trang 65 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Gọi I = MN ∩ CD, Q = PI ∩ AD , kẻ DH / / BC ( H ∈ IM ) , DK / / AC ( K ∈ IP )

ID DH BM 1 = = = IC CM CM 3 IK DK ID 1 DK 1 DK 2 = = = ⇒ = ⇒ = IP CP IC 3 2 AP 3 AP 3 ∆APQ đồng dạng ∆DKQ AQ AP 3 AQ 3 ⇒ = = ⇒ = DQ DK 2 AD 5 Đặt V = VABCD Ta có: VANPQ AP AQ 1 VANCD VDACN DN 1 1 . = = , = = = ⇒ VANPQ = V 10 VANCD AC AD 5 VABCD VDABC DB 2 1 1 1 1 VCDMP CM CP 1 = = ⇒ VCDMP = V ⇒ VN . ABMP = VDABMP = (V − VCDMP ) = V . 2 2 2 4 VCDBA CB CA 2 V 7 7 ⇒ VABMNQP = VANPQ + VN . ABMP = V ⇒ ABMNQP = 20 VCDMNQP 13

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

∆NMB = ∆NDH ⇒

a 3 14 24

a 3 14 48

10 00

TR ẦN

H Ư

Chọn đáp án B. Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu AC vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH = . Gọi CM là 4 đường cao của tam giác SAC. Tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. a 3 14 16

Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

a 2 .a 2 AM AH AH . AC a Ta có: = => AM = = 4 = AC SA SA a 2

Í-

-L

ÁN

=> MC = AC − AM =

(a 2 )

A D

a 7 a −  = 2 2

H O

1 1 a a 7 a2 7 SM .MC = = 2 22 2 8 2 1 1 a 2 a 7 a 3 14 => VSMAC = BO.S SMC = = 3 3 2 8 48 Chọn đáp án A.

IỄ N

ÀN

=> S SMC =

a 3 14 8

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và 1 mặt phẳng đáy là α thoả mãn cosα = . Mặt phẳng ( P ) qua AC và vuông góc với mặt phẳng 3 S . ABCD chia kh ố i chóp thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với SAD ( )

giá trị nào trong các giá trị sau A. 0,11 B. 0,13 Hướng dẫn giải:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 0,7

D. 0,9

Trang 66 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều SO ⊥ ( ABCD ) . Gọi N là trung điểm CD CD ⊥ SN , CD ⊥ ON SCD ) , ( ABCD ) = SNO ⇒ ( ⇒ ∩ = SCD ABCD CD ( ) ( )  Kẻ CM ⊥ SD . Ta có  AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ SD  AC SO ⊥  ⇒ SD ⊥ ( ACM ) ⇒ ( ACM ) ⊥ ( SAD ) nên mặt phẳng

)

(

U Y

( P ) là ( ACM )

.Q 2

 3a   a  SO = SN − ON =   −   = a 2  2  2 2

H Ư

+ Xét tam giác SOD vuông tại O có : SD = SO + OD =

TP N

(a 2 )

C 2

a 2 a 10 + =   2  2  

3a .a 1 1 3a 10 SN .CD 2 = CM.SD = SN .CD ⇒ CM = = = 2 2 10 SD a 10 2

10 00

Ta có S∆SCD

TR ẦN

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

+ Xét tam giác SON vuông tại N có : a ON 3a SN = =2 = cos SNO 1 2 3

 3a 10  a 10 - Xét tam giác MCD vuông tại M có : DM = CD − CM = a −   =  10  10   2

-L

Í-

a 10 VMACD V MACD 1 DM DA DC 1 DM 1 10 1 Ta có : = = . . . = . = . = VSABCD 2.VSACD 2 DS DA DA 2 DS 2 a 10 10

IỄ N

ÀN

ÁN

2 1 ⇒ VMACD = VSABCD . Mặt phẳng ( P ) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối MACD và 10 V 1 9 SABCM ⇒ VSABCD = V MACD + VSABCM ⇒ VSABCM = VSABCD . Do đó : MACD = ≈ 0,11 VSABCM 9 10 Chọn đáp án A. Câu 5. Cho hình chóp S . ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Các mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) ,

( SBC ) lần lượt tạo với đáy các góc lần lượt là 300 , 450 , 600 . Tính thể tích V của khối chóp S . ABC . Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) nằm bên trong tam giác ABC . A. V =

a3 3

(4 + 3)

B. V =

a3 3

(

2 4+ 3

)

C. V =

a3 3

(

4 4+ 3

)

D. V =

a3 3

(

8 4+ 3

)

Hướng dẫn giải:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 67 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ( ABC ) . Kẻ HD ⊥ AB ( D ∈ AB ) , HE ⊥ AC ( E ∈ AC ) , HF ⊥ BC ( E ∈ BC ) . Khi đó ta có

SH SH = SH , = SH 3 , HE = 0 tan 30 tan 450 a2 3 SH SH S = . Ta có suy ra HF = = ∆ABC 4 tan 60 0 3 1 1  3a a2 3  . SH  1 + 3 + a = ⇔ SH =  2 4 3 2 4+ 3 

Ơ H N U Y

)

(

HD =

1 3a a2 3 a3 3 . Vậy V = . = . 3 2 4+ 3 4 8 4+ 3

)

(

)

(

ẠO

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, góc giữa SC và mp(ABC) là 45 ° . Hình a 7 chiếu của S lên mp(ABC) là điểm H thuộc AB sao cho HA = 2HB. Biết CH = . Tính khoảng cách 3 giữa 2 đường thẳng SA và BC: a 210 a 210 a 210 a 210 A. B. C. D. 30 20 45 15 Hướng dẫn giải: + D là đỉnh của hình bình hành ABCD thì d(SA;BC)=d(B;(SAD))=1,5.d(H;(SAD)) + Kẻ HE vuông AD, E thuộc AD. Kẻ HI vuông SE, I thuộc AE thì d(H;(SAD))=HI a 210 + Tính HI = 30 Chọn đáp án B. Câu 7. Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB = a, AC = 2a. Đỉnh S cách đều A, B, C; mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 3 3 A. V= a B. V= a3 3 1 3 3 D. V= 3. a C. V= a3 3 3 Hướng dẫn giải: Gọi M, N, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, và BC Ta có tam giác SAB cân suy ra SM ⊥ AB HM // AC ⇒ HM ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SMH ) ⇒ AB ⊥ SH (1) Và [(SAB), (ABC)] = SMH = 600 Tương tự AC ⊥ (SNH) ⇒ AC ⊥ SH (2) Từ (1) và (2) ⇒ SH ⊥ (ABC) AC Ta có SH = MH. tan 600 = 3 =a 3 2 1 1 3 3 SABC = AC.AB = a2 . Vậy V = .SH. SABC = a (đvdt) 2 3 3 Chọn đáp án A.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chọn đáp án D.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 68 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA=x, các cạnh còn lại bằng 2. Tìm giá trị của x để thể tích khối chóp lớn nhất A. 6 B. 2 C. 7 D. 2 6 Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có OD=OB và SB=SD nên SO ⊥ BD , do đó BO ⊥ ( SAC ) .

U Y

Mặt khác SO 2 = SB 2 − OB 2 = AB 2 − OB 2 = OA2 nên SO = OA = OC . Do đó tam giác SAC vuông tại S. Ta có AC 2 = x 2 + 4 ⇒ 4OA2 = x 2 + 4 . Do đó 4OB 2 = 12 − x 2 ⇒ 0 < x < 2 3 . 2 Và 16 S SOA = x 2 ( 4OA2 − x 2 ) = 4 x 2 .

ẠO

Để VS . ABCD đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi VSOAB đạt giá trị lớn nhất .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Do đó VS . ABCD đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x 2 (12 − x 2 ) đạt giá trị lớn nhất.

H Ư

Suy ra x 2 = 12 − x 2 ⇒ x 2 = 6 ⇒ x = 6 . Chọn đáp án A.

10 00

TR ẦN

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của AD. Gọi S’ là giao của SC với mặt phẳng chứa BM và song song với SA. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S’.BCDM và S.ABCD. 1 2 3 1 A. B. C. D. 2 3 4 4 Hướng dẫn giải: Trong ( ABCD ) , gọi { I } = AC ∩ BM , trong ( SAC ) , kẻ đường thẳng qua I, / / SA , cắt SC tại

S’ ⇒ S’ là giao điểm của SC với mp chứa BM, //SA. Do M là trung điểm của AD nên 3 3 dt ( BCDM ) = dt ( ABCD ) ⇒ VS '.BCDM = VS '. ABCD 4 4 Gọi H, H’ lần lượt là hình chiếu của S, S’ trên ABCD S ' H ' CS ' CI 2 ⇒ = = = SH CS CA 3 3 3 2 1 ⇒ VS '. BCDM = VS '. ABCD = ⋅ VS . ABCD = VS . ABCD 4 4 3 2 Chọn đáp án A.

-L

Í-

ÁN

D I

ÀN

IỄ N

=C = α . Các cạnh bên Câu 10. Đáy của hình chóp SABC là tam giác cân ABC có AB = AC = a và B cùng tạo với đáy một góc β . Tính thể tích hình chóp SABC.

a 3 tan β a 3 cos α tan β a 3 cos α tan β B. V = C. V = 6 6 3 Hướng dẫn giải: Kẻ SO ⊥ ( ABC ) ⇒ OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC)

A. V =

D. V =

a 3 sin 2α 6

= SCO =β. = β . Tương tự ta cũng có SBO Do đó ( SA; ( ABC ) ) = SAO Nên ∆SAO = ∆SBO = ∆SCO ⇒ AO = BO = CO .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 69 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

AC a a . = = 2OA ⇒ OA = sin B sin α 2 sin α a tan β Nên SO = OA.tan β = . 2sin α 1 1 a 2 sin 2α Mặt khác S ∆ABC = AB. AC.sin A = a 2 sin (180 − 2α ) = . 2 2 2 1 1 a 2 sin 2α a tan β a3 cos α tan β Vậy V = S∆ABC .SO = . = . 3 6 2 2sin α 6 Chọn đáp án B.

U Y

Theo định lí sin ta có:

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 11. Cho hình chop S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và B. AB = BC = a, AD = 2a, SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi M, N là trung điểm của SB và SD. Tính V hình chop biết rằng (MAC) vuông góc với (NAC). 3a 3 a3 3a3 3 a3 3 A. B. D. C. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi I, H lần lượt là trung điểm AD và AB, O là giao điểm của AC và BI, vẽ HK // BI (K thuộc AC) Ta có ABCI là hình vuông nên AC vuông góc với BI Mà AC vuông góc NI (do NI // SA) Suy ra AC ⊥ ( NIO ) ⇒ ∠NOI = ( ( NAC ) , ( ACD ) ) = α

Theo đề ta có α + β = 90° ⇒ tan α = cot β ⇒

NI HK = NO MH

Suy ra

TR ẦN

Tương tự ta có ∠MKH = ( ( MAC ) , ( ACB ) ) = β

10 00

SA SA a 2 a 2 = ⇒ SA = a . 2 2 2 4 a3 3a 2 1 Mà S ABCD = ⇒ V = S ABCD .SA = 2 3 2 Chọn đáp án C.

NI .MH = OI .HK ⇒

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 12. Cho tứ diện S . ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA = 2SM , SN = 2 NB , (α ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu ( H1 ) và ( H 2 ) là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S . ABC bởi mặt phẳng (α ) , trong đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H 2 ) V chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của ( H1 ) và ( H 2 ) . Tính tỉ số 1 . V2 4 5 3 4 A. B. C. D. 5 4 4 3 Hướng dẫn giải: Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của (α ) với các đường thẳng BC , AC . Ta có NP //MQ //SC . Khi chia khối ( H1 ) bởi mặt phẳng (QNC ) , ta được hai khối chóp N .SMQC và N .QPC .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 70 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

d ( N , ( SAC )) S SMQC ; ⋅ VB. ASC d (B, ( SAC )) S SAC d ( N , ( SAC )) NS 2 = = ; d (B, ( SAC )) BS 3 =

SSMQC 5  AM  4 = = .  = ⇒ 9 S ASC  AS  9 S ASC V 2 5 10 Suy ra N .SMQC = ⋅ = 3 9 27 VB. ASC VN .QP C d ( N , (QP C )) SQPC = ⋅ VS . ABC d (S,(A BC )) S ABC

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

NB CQ CP 1 1 2 2 = ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ = SB CA CB 3 3 3 27 V1 VN .SMQC VN .QP C 10 2 4 V1 4 V 4 = + = + = ⇒ = ⇒ 5V1 = 4V2 ⇒ 1 = V VB. ASC VS . ABC 27 27 9 V1 + V2 9 V2 5 Chọn đáp án A.

U Y

S AMQ

VN .SMQC

Ta có:

H Ư

Câu 13. Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V . Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng 2

TR ẦN

A. x = V 3 C. x = V 4 B. x = 3 V Hướng dẫn giải: Gọi a là độ dài cạnh đáy, x là độ dài đường cao của thùng đựng đồ ( a,x > 0 )

D. x = V

V V ⇒ S tp = 2a 2 + 4ax = 2 + 4 Vx x x

10 00

Khi đó, V = a 2 x ⇒ a =

Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì Stp nhỏ nhất ⇒ 2 V + 4 Vx trên ( 0; +∞ ) x

Cách 1 : Xét hàm số f ( x ) = 2

V + 4 Vx nhỏ nhất. x

Í-

1 −2V 2 V 2 3 ; f ' x 0 x V V x x V + = ⇔ = ⇔ = ( ) x2 x 1

f'(x)

IỄ N D

+∞

f(x)

ÀN

ÁN

-L

Ta có f ' ( x ) =

f (V 3 ) 1

Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng V 3 . V V + 4 Vx = 2 + 2 Vx + 2 Vx ≥ 6 3 V 2 x x V Dấu " = " xảy ra tại = Vx ⇔ x 3 = V ⇔ x = 3 V x

Cách 2: ta có 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 71 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Chọn đáp án B. Câu 14. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết rằng diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD

(

)

là 4π dm 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC gần với giá trị nào nhất sau đây ?

3 dm . 7

4 dm . 7

x 3 . 2 Gọi O = AC ∩ BD và G là trọng tâm ∆ SAD , đồng thời d1 , d 2 lần lượt là 2 trục đường tròn ngoại tiếp ABCD, ∆SAD ( d1 qua O va / / SH , d 2 qua G va / / AB ) ⇒ I = d1 ∩ d 2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD ⇒ R = SI

U Y

Hướng dẫn giải: Gọi x > 0 là cạnh của hình vuông ABCD và H là trung điểm cạnh AD

ẠO Đ G N H Ư

Dễ dàng chứng minh SH ⊥ ( ABCD ) , SH =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

6 dm . 7

2 dm . 7

2 21  x  x S = 4π R ⇒ R = 1 = SI = SG + GI =   +  2  ⇒ x = 7 ( dm )  3   Gọi E là điểm thỏa ADEC là hình bình hành ⇒ ED / / AC ⇒ d ( AC; SD ) = d ( AC; ( SDE ) ) 2

TR ẦN

⇒ d ( AC; SD ) = d ( A; ( SDE ) ) = 2d ( H ; ( SDE ) ) = 2 HP (phần chứng minh HP ⊥ ( SDE ) xin 1 1 1 1 1 = + = + 2 2 2 2 2 HP SH KH x 3 x 2      2   4 

∆SKH :

10 00

dành cho bạn đọc)

Í-

x 21 3 6 = dm ⇒ d ( AC ;SD ) = dm 14 7 7

ÁN

Chọn đáp án D.

-L

⇒ HP =

V1 V

IỄ N

ÀN

chóp S .AMPN . Tìm giá trị nhỏ nhất của

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 72 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

1 3

2 3

1 8

3 8

ẠO

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lại có :

V1 V

VSAMPN V

VSAMN

2VSABD

VSMNP 2VSBCD

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn giải: SM SN V ;y = ,(0 < x , y ≤ 1) khi đó ta có : VSABC = VSADC = VSABD = VSBCD = Đặt x = SD SB 2 Ta có : V1 VSAMPN VSAMP +VSANP V V 1  SM SP SN SP  1  = (x + y ) (1) . = = = SAMP + SANP =  + V V V 2VSADC 2VSABC 2  SD SC SB SC  4

1 1  3 = xy + xy  = xy (2) 2 2  4

1 3 x x 1 do 0 < y ≤ 1 => ≤1⇒x ≥ x + y ) = xy ⇒ y = ( 4 4 3x − 1 3x − 1 2 2 V1 1  3 3 x 3x 3 = .xy = .x = = f (x ),  ≤ x ≤ 1 Từ (2) suy ra  V 4 4 3x − 1 4 (3x − 1) 4 2

10 00

Từ (1) và (2) suy ra :

Í-

1  f (x ) = Khảo sát hàm số y = f (x ),  ≤ x ≤ 1 => min 1   2 x ∈ ≤x ≤1   2



2 4 V 1 f   = => 1 = 3 V  3  9

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Chọn đáp án B. Câu 16. Nếu một tứ diện chỉ có đúng một cạnh có độ dài lớn hơn 1 thì thể tích tứ diện đó lớn nhất là bao nhiêu? 1 3 1 5 A. B. C. D. 4 4 8 8 Hướng dẫn giải: Giả sử tứ diện ABCD có cạnh lớn nhất là AB, suy ra các tam giác ACD và BCD có tất cả các cạnh đều không lớn hơn 1. Các chiều cao AF và BE của chúng không lớn hơn 1 −

a2 , trong đó 4

CD = a ≤ 1 . a2 4 (do tam giác AHF vuông tại H có AF là cạnh huyền) Thể tích của khối tứ diện là: Chiều cao của hình tứ diện AH ≤ AF ≤ 1 −

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 73 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

1 1 1 1 1  a2  1 V = S BCD . AH = . .BE.CD. AH ≤ . .a. 1 −  = a (4 − a2 ) 3 3 2 3 2  4  24 Để tìm giá trị lớn nhất của V ta xét biểu thức a ( 4 − a 2 ) .

Chọn đáp án C.

1 1 a ( 4 − a2 ) ≤ . 24 8

Vì 0 ≤ a ≤ 1 nên a ( 4 − a 2 ) ≤ 3 và V ≤

Câu 17. Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

a3 2 2

a3 2 6

ẠO

a3 2 3 Hướng dẫn giải:

U Y

= 300 Ta có góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là CSB

H Ư

Trong tam giác SBC có SB = BC .cot 300 = a 3 Trong tam giác SAB có SA = SB 2 − AB 2 = a 2

a3 2 12

a 2 1 1 1 S ABH .SA = . HA.HB.a 2 = HA.HB 3 3 2 6 Ta có HA2 + HB 2 = AB 2 = a 2 và theo bất đẳng thức AM-GM ta có a2 a 2 = HA2 + HB 2 ≥ 2.HA.HB ⇒ HA.HB ≤ 2 Đẳng thức xảy ra khi HA = HB ⇔ ABM = 450 ⇔ M ≡ D a 2 a 2 a2 a3 2 HA.HB ≤ . = 6 6 2 12

Khi đó VS .ABH =

10 00

TR ẦN

Thể tích khối chóp S.ABH là: VS .ABH =

-L

Í-

Chọn đáp án D. Câu 18. Hai hình chóp tam giác đều có chung chiều cao , đỉnh của hình chóp này trùng với tâm của đáy hình chóp kia. Mỗi cạnh bên của hình chóp này đều cắt một cạnh bên của hình chóp kia. Cạnh bên l của hình chóp thứ nhất tạo với đường cao một góc α .Cạnh bên của hình chóp thứ 2 tạo với đường cao một góc β . Tìm thể tích phần chung của hai hình chóp .

ÁN

l 3 3 cos3 α A. V = 4(cot gα + cot g β ) 2

l 3 3 cos3 α B. V = 2(cot gα + cot g β ) 2

l 3 cos3 α l 3 5 cos α V = D. 2(cot gα + cot g β ) 2 4(cot gα + cot g β ) 2 Hướng dẫn giải: Đặt 2 hình chóp tam giác đều là : O.ABC và O’.A’B’C’ với O là tâm của tam giác ABC và O’ là tâm của tam giác A’B’C’. Theo bài ra thì OO’ là đường cao chung của 2 hình chóp . Đặt D,E,F là các giao điểm của các cặp cạnh bên tương ứng của 2 hình chóp . Phần thể tích chung 1 của 2 hình chóp là thẻ tích của khối đa diện ODEFO’. Ký hiệu V là thể tích đó thì V = OO '.S∆DEF 3

IỄ N

ÀN

C. V =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 74 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

∆OO ' C vuông tại O’ nên OO ' = l cos α C' A' O

B' F

U Y

ẠO

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Do tính đối xứng nên OO’ đi qua tâm I của ∆DEF . Trong ∆IOE ta có : OI = IE cot gα Trong ∆IO ' E có: O ' I = IE cot gα Suy ra OO ' = IE (cot gα + cot g β ) OO ' l cosα ⇔ IE = = cot gα + cot g β cot gα + cot g β 3 Tam giác DEF đều , đường cao EJ = EI 2 2 DE 3 2 EJ 3 = EI 3 Diện tích S∆DEF = với DE = 4 3 3l 2 3 cos 2 α Do đó S ∆DEF = 4(cot gα + cot g β ) 2 Vậy thể tích phần chung của 2 hình chóp là : l 3 3 cos3 α V= 4(cot gα + cot g β ) 2 Chọn đáp án A.

10 00

TR ẦN

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều với cạnh a (a> 0). Cạnh SA vuông góc với SM đáy và SA = a 3 . M là một điểm khác B trên SB sao cho AM ⊥ MD. Tính tỉ số . SB 3 1 3 5 A. B. C. D. 4 4 5 4 Hướng dẫn giải: Đặt hình chóp vào hệ trục toạ độ như hình vẽ. Suy ra ta có: A = (0; 0; 0), D = (2a; 0; 0), S = (0; S 0; a 3 ) và a a 3  ; 0  . Suy ra phương trình của SB B =  ; H 2 2 

Í-

-L

ÁN

2x 2y z−a 3 = = a a 3 −a 3 Gọi M(x0; y0; z0) thuộc cạnh SB, ta có:  y 0 = 3 x0 .   z0 = a 3 − 2 3 x0

là:

IỄ N

ÀN

Mặt khác AM⊥DN ⇔ AM .DM = 0 3a ⇔ x02 – 2ax0 + y02 + z02 = 0 ⇔ x0 = 8 3  3a 3a 3 a 3  SM 3 = . ⇔ M =  ; ;  ⇒ SM = SB hay 8 4  4 SB 4  8 Chọn đáp án A.

Câu 20. Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AB > 1, các cạnh còn lại có độ dài không lớn hơn 1. Gọi V là thể tích của khối tứ diện. Tìm giá trị lớn nhất của V.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 75 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

3 1 3 B. C. 8 8 5 Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ∆ACD và ∆BCD có tất cả các cạnh không lớn hơn 1. Đặt CD = a ( 0 < a ≤ 1 ). Gọi AM, BN lần lượt là chiều cao của ∆ACD và ∆BCD . A.

a2 a2 ; BN ≤ 1 − . 4 4 a2 . 4

H N

TP ẠO Đ

a a 1 1 Thể tích của tứ diện ABC V = .S ∆BCD . AH = .BN .CD. AH ≤ (1 − ) 3 6 6 4 Xét f ( a ) = a (4 − a 2 ) trên (0, 1]. Ta có f(a) liên tục trên (0, 1]. 2 f ' ( a ) = 4 − 3a 2 , f ' ( a ) = 0 ⇔ a = ± ∉ ( 0;1] . 3

H Ư

f'(a)

Gọi AH là chiều cao của tứ diện, ta có AH ≤ AM ≤ 1 −

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

5 8

U Y

Ta có AM ≤ 1 −

TR ẦN

f(a) 0

Vậy m ax f ( a ) = f (1) = 3 . ( 0,1]

1 khi ∆ACD và ∆BCD là hai tam giác đều cạnh bằng 1, hai mặt phẳng (ACD) và 8 6 > 1. (BCD) vuông góc với nhau. Khi đó tính được AB = 2 Chọn đáp án B. Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và S vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a. C' 3 3a 3 3a3 A. B. D' 20 20 3 3 B' 3 3a 3 5a C. D. 10 10 Hướng dẫn giải: D C BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB ' SC ⊥ ( P) ⇒ SC ⊥ AB ' ⇒ AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SB A Tương tự AD ' ⊥ SD B VS . AB 'C ' D ' = VS . AB 'C ' + VS . AD 'C '

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Suy ra maxV =

VS . AB ' C ' SB ' SC ' SB '.SB SC '.SC SA2 SA2 3 3 9 = . = . = . = . = VS . ABC SB SC SB 2 SC 2 SB 2 SC 2 4 5 20

(1)

VS . AD ' C ' SD ' SC ' SD '.SD SC '.SC SA2 SA2 3 3 9 = . = . = . = . = VS . ADC SD SC SD 2 SC 2 SD 2 SC 2 4 5 20

(2)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 76 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

1 1 a3 3 Do VS . ABC = VS . ADC = . a 2 .a 3 = 3 2 6 Cộng (1) và (2) theo vế ta được VS . AB 'C ' VS . AD ' C ' 9 9 9 a3 3 3 3a3 + = + ⇔ = = V . S . AB ' C ' D ' 10 6 20 a3 3 a3 3 20 20 6 6 Chọn đáp án A.

15 5 15 B. C. 23 23 29 Hướng dẫn giải: Ta thấy ABCD là hình thoi, tam giác SBD cân tại S suy ra BD ⊥ ( SAC )

ẠO

13 23

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD thỏa mãn SA = 5, SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 3 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính thể tích khối chóp S.MCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM , CD .

1 ⋅ AC nên ∆SAC vuông tại S . 2

TR ẦN

Suy ra OA = OC = OS =

H Ư

Gọi O là giao điểm của AC và BD , ta thấy ∆SBD = ∆ABD = ∆CBD ( c.c.c )

10 00

Xét ∆SAC ta có AC = SA2 + SC 2 = 2 2 ⇒ OC = 2, OD = CD 2 − OC 2 = 1 ⇒ BD = 2 Thể tích 1 1 1 1 15 VS .CMD = VS . ABCD = ⋅ BD ⋅ S∆SAC = ⋅ 2 ⋅ ⋅ 5 ⋅ 3 = S 4 12 12 2 12 Gọi N là trung điểm của AD nên CD / / ( SMN ) Suy ra 3 ⋅ VC .SMN d (CD, SM ) = d (CD, ( SMN )) = d (C , ( SMN )) = ( ∗) S∆SMN

15 (1). 12 3 13 Ta có MN = 3, SM = , SN = ( sử dụng công thức 2 2 đường trung tuyến)

Í-

Thể tích VC .SMN = VS .MCD =

-L

ÁN

ÀN

= Theo định lý hàm số cosin trong ∆SMN ta có cos SMN

N D

= 23 ⇒ sin SMN 3 3 3 3

IỄ N

1 = 23 (2). Vậy SSMN = ⋅ SM ⋅ MN ⋅ sin SMN 2 4

3 15 3 ⋅ VC .SMN 15 = 12 = Thay (1), (2) vào ( ∗) ta được d (CD, SM ) = . 23 S∆SMN 23 4 Chọn đáp án A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 77 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

(0 < β <

+) Gọi β là góc giữa (P) và (ABC)

). M

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa cạnh BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa 5 2 hai mặt phẳng (P) và (BCD) có số đo là α thỏa mãn tan α = . Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE 7 V và tứ diện BCDE lần lượt là V1 và V2 . Tính tỷ số 1 . V2 3 1 3 5 A. B. C. D. 8 8 5 8 Hướng dẫn giải: +) Gọi M là trung điểm BC. A Khi đó BC ⊥ (MAD) nên (P)⊥(AMD); H (P)∩(AMD)=ME. Kẻ AH⊥ME thì AH⊥(BCE) ( do AH ⊂ (AMD) ) E Kẻ DK⊥ME nên DK⊥(BCE) (do DK ⊂ (AMD) ). Hiển nhiên AH song song DK K AH V V Khi đó 1 = A.BCE = V2 VD.BCE DK D B

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

10 00

TR ẦN

H Ư

=α ; AME = β . Hiển nhiên DME C Vì AM = DM nên: sin β AH V = ⇒ sin β = 1 .sin α = t.sin α (1) sin α DK V2 1 MO 1 = ⇔ cosα cos β − sin α sinβ = . (2) +) Trong tam giác OMA: cos(α + β ) = MA 3 3

Từ (1) có: cosβ = 1 − sin 2 β = 1 − t 2 .sin 2 α = 1 − t 2 .x ; với x=sin2α. 1 1 Thay vào (2) ta có: 1 − t 2 x . 1 − x − t.x = ↔ (1 − t 2 x)(1 − x) = t.x + . 3 3 8 +) Giải phương trình có: x = 2 . (9t + 6t + 9)

Í-

x 8 9t 2 + 6t + 9 8 = 2 . 2 = 2 1 − x 9t + 6t + 9 9t + 6t + 1 9t + 6t + 1

-L

Vì sin 2 α = x → tan 2 α =

IỄ N

ÀN

ÁN

 3 t = 5 8 50 196 171 2 2 Theo giả thiết suy ra 2 = ↔ 9t + 6t + 1 = ↔ 9t + 6t − =0↔ 9t + 6t + 1 49 25 25 t = −19  15 VABCE 3 = V ậy VDBCE 5 Chọn đáp án C.

Câu 24. Cho khối chóp S.ABC có SA = a , SB = a 2 , SC = a 3 . Thể tích lớn nhất của khối chóp là A. a 3 6 .

a3 6 . 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

a3 6 . 3

a3 6 . 6

Trang 78 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Hướng dẫn giải:

1 AH .SSBC . 3 Ta có AH ≤ SA ; dấu “=” xảy ra khi AS ⊥ ( SBC ) .

Gọi H là hình chiếu của A lên ( SBC ) ⇒ V =

Ơ N

a 3

U Y

S H

a 2

TP B

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 ≤ 1 SB.SC , dấu “=” xảy ra khi SB.SC.sin SBC 2 2 SB ⊥ SC . 1 1 1 1 Khi đó, V = AH .S SBC ≤ AS ⋅ SB ⋅ SC = SA ⋅ SB ⋅ SC . 3 3 2 6 Dấu “=” xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là 1 a3 6 V = SA.SB.SC = . 6 6 Chọn đáp án D.

S SBC =

Câu 25. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a , SC ⊥ ( ABC ) và

TR ẦN

H Ư

SC = a . Mặt phẳng qua C , vuông góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại E và F . Tính thể tích khối chóp S.CEF . 2a 3 2a 3 a3 a3 A. VSCEF = . B. VSCEF = . C. VSCEF = . D. VSCEF = . 36 12 18 36 Hướng dẫn giải: Từ C hạ CF ⊥ SB, ( F ∈ SB ) , CE ⊥ SA, ( E ∈ SA)

 AB ⊥ AC ⇒ AB ⊥ ( SAC ) ⇒ AB ⊥ CE  Ta có  AB ⊥ SC ⇒ CE ⊥ ( SAB ) ⇒ CE ⊥ SB

10 00

Vậy mặt phẳng qua C và vuông góc SB là mặt ( CEF ) .

V SE SF . Ta có SCEF = VSCAB SA SB Tam giác vuông SAC vuông tại C ta có:

Í-

-L

SA = SC 2 + AC 2 = a 2

B a

ÁN

SE SC 2 a2 SE 1 = 2 = 2 ⇒ = và SA SA SA 2 2a Tam giác vuông SBC vuông tại C ta có:

ÀN

SB = SC 2 + BC 2 = a 3

SF SC 2 a2 SF 1 = = ⇒ = 2 2 SB SB SC 3 3a V 1 1 1 1 1 1 1 3 a . Do đó SCEF = . = ⇒ VSCEF = VSABC = . SA.S ABC = 6 6 3 36 VSCAB 2 3 6 Chọn đáp án C.

IỄ N

và

II – HÌNH LĂNG TRỤ

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 79 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 24. Một hình hộp có 6 mặt đều là các hình thoi có góc bằng 600 và cạnh bằng a. Tính thể tích của hình hộp đó. C' D' a3 2a 3 A. B. 2 2 3 600 2a 2 2a 3 A' B' C. D. 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có: AB = AD = BD = a; AA’ = A’B = A’D = a ⇒ A’ABCD là tứ diện đều ⇒ Chân đường cao A’H trùng với tâm của ∆ ABD D C 2 2 a 3 a 3 ⇒ HA = HB = HD = AO = = O 3 3 2 3 600 600 2 2 3 a 6 a H = ⇒ A’H2 = AA’2 – AH2 = a2 9 9 A B a 2a 3 a 6 ⇒ A’H = Từ đó tìm được V = 3 2 Chọn đáp án B.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

TR ẦN

H Ư

Câu 25. Cho khối lập phương ABCD. A′B′C ′D′ cạnh a . Các điểm E và F lần lượt là trung điểm của C ′B′ và C ′D′ . Mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lập phương đã cho thành hai phần, gọi V1 là thể tich khối chứa điểm A′ và V2 là thể tich khối chứa điểm C ' . Khi đó

25 . 47

B. 1.

10 00

17 . 25

8 . 17

Hướng dẫn giải: Đường thẳng EF cắt A′D′ tại N , cắt A′B′ tại M , AN cắt DD′ tại P , AM cắt BB′ tại Q .

V1 là V2

Từ đó mặt phẳng ( AEF ) cắt khối lăng trụ thành

-L

AQEFPB′A′D′ .

Í-

hai khối đó là ABCDC′QEFP và Gọi V = VABCD. A′B′C ′D′ , V3 = VA. A′MN ,

ÁN

V4 = VPFD′N , V4 = VQMB′E .

Do tính đối xứng của hình lập phương nên ta có V4 = V5 .

IỄ N

ÀN

1 1 3a 3a 3a3 1 1 a a a a3 ′ ′ ′ ′ ′ ′ V3 = AA . A M . A N = a. . = , V4 = PD .D F .D N = . . . = 6 6 2 2 8 6 6 3 2 2 72 3 3 25a 47a V 25 V1 = V3 − 2V4 = , V2 = V − V1 = . V ậy 1 = . V2 47 72 72

Chọn đáp án A.

Câu 26. Cho lăng trụ đứng ABCA′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, BC=2a. Góc giữa mặt phẳng ( AB′C ) và mặt phẳng ( BB′C ) bằng 600 .Tính thể tích lăng trụ ABCA′B′C′ . A. a3 2

B. 2a 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. a 3 6

D. 3a

Trang 80 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hướng dẫn giải: Từ A kẻ AI ⊥ BC ⇒ I là trung điểm BC AI ⊥ (BC C ′B′ ) ⇒ AI ⊥ B ′ C (1) Từ I kẻ IM ⊥ B′ C (2) ′ Từ (1), (2) ⇒ B C ⊥ (IAM) Vậy góc giữa (A B ′ C) và ( B ′ CB) là

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

A' B'

AMI = 600 1 Ta có AI= BC = a ; 2

M C

IM=

H Ư

ẠO

TR ẦN

Chọn đáp án A.

U Y

I AI a = 0 tan 60 3 2a ; BH = 2 IM = 3 1 1 1 3 1 1 = − = 2− 2 = 2 2 2 2 B'B BH BC 4a 4a 2a . 1 1 Suy ra BB ′ = a 2 ; S∆ABC = AI .BC = a.2a = a 2 2 2 2 3 VABC A′B′C ′ = a 2.a = a 2

M B

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Í-

a3 3 3

a3 3 24

-L

10 00

Câu 27. Cho lăng trụ ABC.A 'B'C ' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giá ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường C’ B’ a 3 thẳng AA' và BC bằng . Khi đó thể tích 4 của khối lăng trụ là A’ a3 3 a3 3 B. A. 12 6

ÁN

Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm BC, dựng MH vuông góc với A’A. suy ra

ÀN

MH = d ( BC , A ' A ) =

a 3 4

IỄ N

Đặt AH=x, ta có A ' A =

x2 +

G A

a 3

Từ A’A. MH=A’G.AM, suy ra x =

a a a2 3 a3 3 = . Vậy V = . . 3 3 4 12

Chọn đáp án A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 81 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 28. Cho hình lăng trụ ABC .A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của A ' lên măt phẳng ABC trùng với tâm G của tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa

(

B. V =

a3 3 6

a3 3 12

D. V = a

C. V =

a3 3 3 Hướng dẫn giải: A. V =

a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC .A ' B ' C ' . 4

AA ' và BC là

)

U Y

Gọi M là trung điểm B ⇒ BC ⊥ (A ' AM ) Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của G,M trên AA’

a 3 . 4

Đ G

2 a 3 KH = 3 6

a3 3 = S ABC .A ' G = 12

C G

10 00

Chọn đáp án C.

a 3

TR ẦN

∆ AA’G vuông tại G,HG là đường cao, A ' G = VABC .A ' B ' C '

⇒ GH =

KM 3 = GH 2

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

∆AGH ∼ ∆AMH ⇒

ẠO

Vậy KM là đọan vuông góc chung củaAA’và BC, do đó d(AA',BC) = KM =

-L

Í-

Câu 29. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt thuộc các cạnh bên AA’, CC’ sao cho MA = MA ' và NC = 4NC' . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GA’B’C’, BB’MN, ABB’C’ và A’BCN, khối tứ diện nào có thể tích nhỏ nhất? A. Khối A’BCN B. Khối GA’B’C’ C. Khối ABB’C’ D. Khối BB’MN Hướng dẫn giải: C A + Nhận thấy khoảng cách từ G và A xuống mặt phẳng (A’B’C’) là G bằng nhau ( do G,A thuộc mặt phẳng (ABC)//(A’B’C’) B VGA 'B'C ' = VA.A 'B'C' N

IỄ N

ÀN

ÁN

Mà VA.A 'B'C' = VABB'C ' (Do 2 hình chóp này có 2 đáy AA’B’ và ABB’ diện tích bằng nhau;chung đường cao hạ từ C’) ⇒ VGA 'B'C' = VABB'C' => Không thế khối chóp GA’B’C’hoặc ABB’C’ thể thích nhỏ nhất → Loại B,C + So sánh Khối A’BCN và Khối BB’MN Nhận thấy khoảng cách từ M và A’ xuống mặt BBCC’ là bằng nhau → Khối A’BCN và Khối BB’MN có đường cao hạ từ M và A’ bằng nhau. Mặt khác Diện tích đáy BNB’ > Diện tích đáy BCN => Khối A’BCN < Khối BB’MN. => Khối A’BCN có diện tích nhỏ hơn. Chọn đáp án A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 82 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

nhọn. Câu 30. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A , góc BAC Góc giữa AA' và BC' là 300 , khoảng cách giữa AA' và BC' là a . Góc giữa hai mặt bên ( AA'B' B) và ( AA'C'C) là 600 . Thể tích lăng trụ ABC.A' B'C' là

a3 6 6

a3 6 3

= 600 Ta có góc giữa hai mặt bên ( AA'B' B) và ( AA'C'C) là BAC

⇒△ABC đều.

)

(

Kẻ AI ⊥ BC ⇒ AI ⊥ ( BB'C'C )

)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

,CC' =

600

3 Chọn đáp án A.

BC 1 2a 2a 3 3 = 2a ⇒ V = 2a. .a. = ABC.A ' B' C ' 2 3 tan 300 3

ẠO

d ( AA'; BC' ) = d AA'; ( BB'C'C ) = AI = a

300

U Y

) (

(

= 300 BC' = CC'; BC' = BC'C Vì AA'/ /CC' ⇒ AA';

⇒ BC =

a3 3 3

2a 3 3 3 Hướng dẫn giải:

C I

TR ẦN

H Ư

Câu 31. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’, có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 2 . AM A'N 1 Lấy M, N lần lượt trên cạnh AB’, A’C sao cho = = . Tính thể tích V của khối BMNC’C. AB ' A 'C 3 2a 3 6 3a 3 6 a3 6 B. C. 108 27 108 Hướng dẫn giải: Gọi G, K lần lượt là tâm các hình chữ nhật ABB’A’ và AA’C’C. AM 1 AM 2 A' Ta có: = ⇒ = (Do G trung điểm AB’). AB ' 3 AG 3 AM 2 Xét tam giác ABA’ có AG là trung tuyến và = . Suy ra AG 3 M là trọng tâm tam giác ABA’. Do đó BM đi qua trung điểm I của AA’. I A'N 1 A'N 2 Ta có: = ⇒ = (Do K là trung điểm A’C). A 'C 3 A'K 3 A'N 2 Xét tam giác AA’C’ có A’K là trung tuyến và = . Suy ra A'K 3 A N là trọng tâm của tam giác AA’C’. Do đó C’N đi qua trung điểm I của AA’. Từ M là trọng tâm tam giác ABA’ và N là trọng tâm của tam giác AA’C’. Suy ra: IM IN 1 = = . IB IC ' 3 Gọi V1 ; V2 lần lượt là thể tích các khối chóp IMNC; IBCC’. Ta có:

a3 6 27

10 00

N B'

ÁN

-L

Í-

ÀN

IỄ N

V1 V2

1 IM IN IC 8 = . Mà V1 +V = V2 . Suy ra V = V2 . . . 9 9 IB IC ' IC

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 83 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Hạ AH vuông góc với BC tại H thuộc BC. Ta được AH vuông góc với mặt phẳng (BB’C’C). AA’ song song với mặt phẳng (BB ' C ' C ) nên khoẳng cách từ I đến mặt phẳng (BB’C’C) bằng khoẳng cách từ A đến (BB’C’C) và bằng AH. Ta có: AH =

a 3 . 2

1  1 a 3 a2 2 a3 6 8 2a 3 6 .d I ; (BB 'C 'C ) .S ∆BCC ' = . . = . Suy ra V = V2 = .  3  3 2 2 12 9 27 Chọn đáp án B.

V2 =

U Y

Câu 32. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có khoảng cách giữa A ' C và C ' D ' là 1 cm. Thể tích khối lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' là:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A. 8 cm 3 . B. 2 2 cm3 . C. 3 3 cm 3 . D. 27 cm 3 . Hướng dẫn giải: Để tìm khoảng cách giữa A’C và C’D’, ta dựng một mặt phẳng chứa A’C và song song với C’D’. Dễ thấy đó là mặt phẳng (CA’B’). Gọi a là độ dài cạnh của khối lập phương, lúc này ta có:

H Ư

Để tính khoảng cách từ điểm D’ đến mặt phẳng (CA’B’), ta xét khối tứ diện D’CA’B’.

d ( C ' D ', A ' C ) = d C ' D ', ( CA ' B ' ) = d  D ', ( CA ' B ' ) 

TR ẦN

1 1 a2 a3 VD ' CA ' B ' = .CC '.S B ' A ' D ' = .a. = cm 3 ) ( 3 3 2 6 1 1 2 2 a ( cm 2 ) (do tam giác SCA ' B ' = .CB'. B'A' = .a 2.a = 2 2 2

CA’B’ vuông tại B’)

10 00

a3 2 = 2 = a ( cm ) ⇒ a = 2 (cm). 2 2 2 a 2

-L

Í-

Do đó V = a 3 = 2 2 cm3 Chọn đáp án B.

Suy ra: d  D ', ( CA ' B ' )  = D ' CA ' B ' SCA ' B '

7 . 17

B. 1.

ÀN

ÁN

Câu 33. Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M là trung điểm A’B’. Mặt phẳng (P) qua BM đồng thời song song với B’D’. Biết mặt phẳng (P) chia khối hộp thành hai khối có thể tích là V1, V2 ( Trong đó V V1 là thể tích khối chứa A). Tính tỉ số F = 1 . V2 C.

17 . 25

8 . 17

IỄ N

Hướng dẫn giải: *Gọi N là trung điể A’D’. Khi đó (P)≡BDNM). Thấy BM∩DN∩AA’=I. Khi đó: V1=V(A’MNABD); V2=V-V1. (Với V là thể tích hình hộp) 1 V ( IA ' MN ) S ( AMN ) = = * Ta có: V ( AA'B'D') S ( A ' B ' D ') 4 1 V (AA'B'D') 1 = nên có: V ( IA ' MN ) = V * Mà: V 6 24

N M

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

TrangC 84 www.facebook.com/daykemquynhonofficial A www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial B

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

V ( IA ' MN ) IA '.IM .IN 1 = = 8 V ( IABD ) IA.IB.ID 1 *Vậy: V ( IABD) = V 3 7 V 1 1 7 17 * Do đó: V1 = V − V = V nên V2 = V − V1 = V . Vậy: 1 = V2 17 3 24 24 24 Chọn đáp án A.

* Lại có:

U Y

Câu 34. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AA’ và B’C’. Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. 49 25 8 A. . B. 1. C. . D. . 47 17 95

ẠO

Hướng dẫn giải:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chứng minh EI = IJ = JF. Từ đó suy ra

EB EM FA ' 1 FN 1 = = = . Lại từ đó suy ra = . EB ' EK FB ' 3 FK 2

Ta có: d(K, A'B') = (1/2)d(C', A'B'), FB' = (3/2)A'B'. Suy ra SKFB’ = (3/4)SA’B’C’.

H Ư

C J

EB 1 = nên suy ra d(E, (KFB’)) = (3/2)h (h là chiều EB ' 3

TR ẦN

Mặt khác vì

B M

cao lăng trụ). Do đó VEKFB’ = (3/8)V (V là thể tích lăng trụ) .

B' N

K C'

10 00

1 3 1 VEBIM EI EM EB 1 1 1 1 = . . = . . = nên VEBIM = . V = V . 27 8 72 VEB ' FK EF EK EB ' 3 3 3 27 VFA ' JN FJ FA ' FN 1 1 1 1 1 3 1 = = . . = . . nên VFA’JN = . V = V . VFB ' EK FE FB ' FK 3 3 2 18 18 8 48

-L

Í-

Mặt phẳng (IJK) chia khối lăng trụ thành hai phần. Gọi V1 là thể tích phần chứa điểm B' và V2 là thể tích phần chứa điểm C. Ta có V1 = (3/8 – 1/72 – 1/48)V = (49/144)V nên V2 = (95/144)V. 49 Do đó V1/V2 = . 95

ÁN

Chọn đáp án C. Câu 35. Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường

ÀN

thẳng AA′ và BC bằng

a3 3 . 24 Hướng dẫn giải: M là trung điểm của BC thì BC ⊥ ( AA′M ) . Gọi MH là đường cao của tam giác A′AM thì MH ⊥ A′A và HM ⊥ BC nên HM là khoảng cách AA′ và BC .

Đ IỄ N D

a 3 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A′B′C′. 4 a3 3 a3 3 B. V = . C. V = . 12 3

A. V =

a3 3 . 6 C

H B A

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. V =

C G Trang 85 M www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial B

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

a 3 a 3 . A′A = 4 2

Ta có A′A.HM = A′G.AM ⇔

Đường cao của lăng trụ là A′G =

A′A2 −

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

a2 3

4a 2 3a 2 a − = . 9 9 3

a 3a 2 a3 3 = Thể tích VLT = . . 3 4 12 Chọn đáp án B.

ẠO

U Y

Câu 36. Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng a , đáy là lục giác đều, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60° . Tính thể tích khối lăng trụ 27 3 3 3 3 9 a . a . A. V = B. V = C. V = a 3 . D. a 3 . 8 4 2 4 Hướng dẫn giải:

TR ẦN

AC = AB + BC − 2. AB.BC.cos B

D' A F

10 00

a2 3 a 2 3 3a 2 3 = + a2 3 + = 4 4 2

S ABCDEF = S ABC + S ACDF + S DEF

 1 = a 2 + a 2 − 2.a.a.  −  = a 3  2

S ACDF = AC. AF = a 3.a = a 2 3

H Ư

1 a 3 S ABC = S DEF = a.a.sin120° = 2 4 2

Ta có ABCDEF là lục giác đều nên góc ở đỉnh bằng 120° . ABC là tam giác cân tại B , DEF là tam giác cân tại E .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Í-

a 3 B ' BH = 60° ⇒ B ' H = BB '.sin 60° = 2 3a2 3 9 3 = a 4 4

-L

V = BH '.SABCDEF = a 3.

IỄ N

ÀN

ÁN

Chọn đáp án D.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 86 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

MŨ - LÔ GARIT

A. m > 0

+ 2 mx + 2

− 52 x

+ 4 mx + 2

− x 2 − 2mx − m = 0 . Tìm m để phương trình vô nghiệm?

B. m < 1

m > 1

C. 0 < m < 1

D.  m < 0

Câu 1. Cho phương trình 5x

+ ( x2 + 2mx + 2) = 52 x

+4 mx +2

+ (2x2 + 4mx + 2)

2 2 + Do hàm f(t)=5t + t đồng biến trên R nên ta có: ( x + 2mx + 2) = (2 x + 4mx + 2) + Từ đó điều kiện để pt vô nghiệm là C. Chọn đáp án C.

+2 mx +2

U Y

+Phương trình tương đương: 5x

Hướng dẫn giải:

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: log3 (1 − x 2 ) + log 1 ( x + m − 4) = 0 .

21 . 4

C. 5 < m <

−1 ≤ m ≤ 2. 4

H Ư

B. 5 ≤ m ≤

−1 < m < 0. A. 4 Hướng dẫn

2 1 − x > 0  x ∈ ( −1;1) ⇔ giải: log3 (1 − x ) + log 1 ( x + m − 4) = 0 ⇔   2 2 3 log3 (1 − x ) = log3 ( x + m − 4) 1 − x = x + m − 4

TR ẦN

Yêu cầu bài toán ⇔ f ( x ) = x + x + m − 5 = 0 có 2 nghiệm phân biệt ∈ ( −1;1) Cách 1: Dùng định lí về dấu tam thức bậc hai. Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình f ( x ) = 0 có hai nghiệm thỏa: −1 < x1 < x2 < 1

-L

Í-

10 00

 a. f ( −1) > 0  m − 5 > 0  a. f (1) > 0 21  ⇔ ∆ > 0 ⇔ m − 3 > 0 ⇔ 5 < m < . 4  21 − 4m > 0  S  −1 < < 1  2 Cách 2: Dùng đạo hàm

ÁN

Xét hàm số f ( x ) = x 2 + x − 5 ⇒ f ′ ( x ) = 2 x + 1 = 0 ⇒ x = −

IỄ N

ÀN

21  1 Có f  −  = − ; f (1) = −3; f ( −1) = −5 4  2 Ta có bảng biến thiên x −1

1 2

f ( x)

–

f ′( x)

−5

−

1 2

21 − 4

Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt trong khoảng ( −1;1) khi

−

21 21 < −m < −5 ⇒ > m >5. 4 4

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 87 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

1 1 A. m ≤ − . B. m ≤ . 2 2 Hướng dẫn giải: Phương trình đã cho tương đương x

< 0.

C. m <

1 . 2

1 D. m < − . 2

U Y

) + (3 + 5 )

(

m 2 x +1 + ( 2m + 1) 3 − 5

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có tập nghiệm là ( −∞;0] :

Cách 3: Dùng MTCT Sau khi đưa về phương trình x 2 + x + m − 5 = 0 , ta nhập phương trình vào máy tính. * Giải khi m = −0, 2 : không thỏa ⇒ loại A, D. * Giải khi m = 5 : không thỏa ⇒ loại B. Chọn đáp án C.

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 3− 5   3+ 5   3+ 5  2m + ( 2m + 1)   +   < 0 (1) . Đặt t =   > 0 ta được:  2   2   2  1 2m + ( 2m + 1) + t < 0 ⇔ f ( t ) = t 2 + 2mt + 2m + 1 < 0 ( 2 ) . Bất phương trình (1) nghiệm đúng t ∀x ≤ 0 nên bất phương trình ( 2 ) có nghiệm 0 < t ≤ 1 , suy ra phương trình f ( t ) = 0 có 2 nghiệm

TR ẦN

1  m ≤ −0,5  f ( 0 ) ≤ 0 2m + 1 ≤ 0 t1 , t2 thỏa t1 ≤ 0 < 1 < t2 ⇔  ⇔ . Vậy m < − thỏa mãn ⇔ 2  4m + 2 < 0  m < −0,5  f (1) < 0 Chọn đáp án C.

Câu 4. Tính giá trị của biểu thức P = ln ( tan1°) + ln ( tan 2°) + ln ( tan3°) + ... + ln ( tan89°) .

10 00

1 B. P = . 2

A. P = 1.

C. P = 0.

D. P = 2.

Hướng dẫn giải: P = ln ( tan1° ) + ln ( tan 2° ) + ln ( tan 3° ) + ... + ln ( tan 89° )

= ln ( tan1°.tan 2°.tan 3°...tan 89° )

Í-

= ln ( tan1°.tan 2°.tan 3°...tan 45°.cot 44°.cot 43°...cot1° )

ÁN

-L

= ln ( tan 45°) = ln1 = 0. (vì tan α.cot α = 1 ) Chọn đáp án C.

Câu 5. Cho phương trình : m.2 x

ÀN

−1 < m < 0. 4

−5 x + 6

+ 21− x = 2.26−5 x + m(1) . Tìm m để PT có 4 nghiệm phân biệt. 0 < m < 2. 21 −1  5 . ≤ m ≤ 2. ≤ m ≤ B. C.  D. 1 1 m ≠ m ≠ 4 4 ,  8 256

IỄ N

Hướng dẫn giải: Viết lại PT (1) dưới dạng :

m.2 x

−5 x +6

+ 21− x = 2.26−5 x + m ⇔ m.2 x

x2 −5 x +6

1− x 2

x 2 −5 x + 6

−5 x + 6

+ 21− x = 2( x

− 5 x + 6) + (1− x 2 )

1− x 2

⇔ m.2 +2 =2 .2 + m 2 x − 5 x + 6 u = 2 , u, v > 0 . Khi đó PT tương đương với : Đặt :  1− x 2 v = 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 88 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

x = 3  2 x 2 −5 x + 6 = 1  u = 1 ⇔ 2 ⇔ x = 2 mu + v = uv + m ⇔ (u − 1)(v − m) = 0 ⇔   21− x = m v = m  21− x2 = m(*)  Để (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và 3.

Ơ H N U Y .Q TP ẠO Đ

G H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

m > 0  m > 0 m < 2  1 − log m > 0 1 1    2 ⇔ m ≠ 1 ⇔ m ∈ (0;2) \  ;    8 256  8 1 − log2 m ≠ 4  1 − log m ≠ 9  1  2 m ≠ 256  1 1  Vậy với m ∈ (0;2) \  ;  thỏa điều kiện đề bài.  8 256  Chọn đáp án C.

m > 0 m > 0 (*) ⇔  . Khi đó điều kiện là : ⇔  2 2 1 − x = log2 m  x = 1 − log2 m

x1 , x2 sao cho x1.x2 = 27 4 A. m = 3 Hướng dẫn giải:

TR ẦN

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log32 x − ( m + 2) .log3 x + 3m − 1 = 0 có 2 nghiệm B. m = 25

28 3

D. m = 1

C. m =

10 00

( log3 x ) − ( m + 2 ) .log3 x + 3m − 1 = 0 (1) Đặt log 3 x = t 2

Phương trình trở thành: t − ( m + 2) t + 3m − 1 = 0 ( 2) Phương trình (1) nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm phân biệt. 2

⇔ ∆ > 0 ⇔ ( m + 2 ) − 4 ( 3m − 1) = m2 − 8m + 8 > 0 (đúng)

Í-

Gọi t1 , t2 là 2 nghiệm của phương trình (2)

ÁN

-L

⇒ x1 = 3t1 , x2 = 3t2 ⇒ 3t1 3t2 = 27 ⇔ t1 + t2 = 3 Theo Vi-et: t1 + t2 = m + 2 . Suy ra m = 1 Chọn đáp án D. 2

+ y2 + 2

( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1 . Tìm m để tồn tại duy

ÀN

Câu 7. Trong tất cả các cặp ( x; y ) thỏa mãn log x

IỄ N

nhất cặp ( x; y ) sao cho x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0 .

( C. (

) 2)

B. 10 − 2 và 10 + 2 .

10 − 2 .

10 −

và

(

)

10 + 2 .

D. 10 − 2 .

Hướng dẫn giải: Ta có log x + y + 2 ( 4 x + 4 y − 4 ) ≥ 1 ⇔ x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 6 ≤ 0 (1) . 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 89 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Giả sử M ( x; y ) thỏa mãn pt (1) , khi đó tập hợp điểm M là hình tròn ( C1 ) tâm I ( 2;2) bán kính R1 = 2 . Các đáp án đề cho đều ứng với m > 0 . Nên dễ thấy x 2 + y 2 + 2 x − 2 y + 2 − m = 0 là phương

trình đường tròn ( C2 ) tâm J ( −1;1) bán kính R2 = m .

)

10 − 2 .

(

U Y

⇔ IJ = R1 + R2 ⇔ 10 = m + 2 ⇔ m =

Vậy để tồn tại duy nhất cặp ( x; y ) thỏa đề khi chỉ khi ( C1 ) và ( C2 ) tiếp xúc ngoài

Chọn đáp án A.

C. n=2019

D. n=2016

B. n=2018

2019 + 32 log 3 a 2019 + ... + n 2 log n a 2019 = 10082 × 2017 2 log a 2019

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. n=2017 Hướng dẫn giải: log a 2019 + 2 2 l o g

ẠO

Câu 8. Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho log a 2019 + 2 2 l o g a 2019 + 32 log 3 a 2019 + ... + n 2 log n a 2019 = 10082 × 2017 2 log a 2019

H Ư

⇔ log a 2019 + 23 l o g a 2019 + 33 log a 2019 + ... + n3 log a 2019 = 10082 × 2017 2 log a 2019

( mx − 6x ) + 2log ( −14x 3

1 2

Câu 9. Phương trình log

10 00

 n( n + 1)   2016.2017  ⇔  =  2  2    ⇔ n = 2017 Chọn đáp án A.

TR ẦN

⇔ (13 + 23 + 33 + ... + n3 ) log a 2019 = 10082 × 2017 2 log a 2019

B. m > 39

+ 29 x − 2 ) = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt khi: C. 19 < m <

A. m < 19

39 2

D. 19 < m < 39

)

(

-L

(

Í-

Hướng dẫn giải: log 2 mx − 6 x3 + 2log 1 −14 x 2 + 29 x − 2 = 0 ⇔ log 2 mx − 6 x3 − log 2 −14 x 2 + 29 x − 2 = 0

)

(

)

(

)

6 x 3 − 14 x 2 + 29 x − 2 x 3 2 6 x − 14 x + 29 x − 2 2 f ( x) = ⇔ f ′ ( x ) = 12 x − 14 + 2 x x   x = 1 ⇒ f (1) = 19   1  1  39 f ′( x) = 0 ⇔  x = ⇒ f   = 2 2 2   1  1  121 x = − ⇒ f  −  = 3 3  3  Lập bảng biến thiên suy ra đáp án Chọn đáp án C.

IỄ N

ÀN

ÁN

⇔ mx − 6 x 3 = −14 x 2 + 29 x − 2 ⇔ m =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 90 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 10. Biết phương trình log5

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

 x 2 x +1 1  = 2log3  −  có nghiệm duy nhất x = a + b 2 trong  x  2 2 x

đó a, b là các số nguyên. Tính a + b ? A. 5 B. −1 C. 1 Hướng dẫn giải:  x 2 x +1 1  2 x +1 x −1 log5 = 2log 3  − ⇔ log5 = 2log3   2 2 x x x 2 x   x > 0 Đk:  ⇔ x >1 x −1 > 0

N Ơ H N U Y

) x + 1) + log 4 x = log

( ⇔ log ( 2

D. 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đặt t = 2 x + 1 ⇒ 4 x = ( t − 1)

x + log3 ( x − 1)2 (1)

ẠO

Pt ⇔ log5 2 x + 1 − log5 x = log 3 ( x − 1) 2 − log 3 4 x

G N

H Ư

Xét f ( y ) = log 5 y + log3 ( y − 1)2 , do x > 1 ⇒ t > 3 ⇒ y > 1 . 1 1 + .2( y − 1) > 0 Xét y > 1 : f '( y ) = y ln 5 ( y − 1)2 ln 3

(1) có dạng log5 t + log 3 (t − 1) 2 = log5 x + log3 ( x − 1)2 (2)

TR ẦN

⇒ f ( y) là hàm đồng biến trên miền (1; +∞ )

(2) có dạng f (t ) = f ( x) ⇔ t = x ⇔ x = 2 x + 1 ⇔ x − 2 x − 1 = 0

10 00

 x =1+ 2 ⇔ ⇔ x = 3 + 2 2 (tm) .  x = 1 − 2 (vn) Chọn đáp án C.

B. 2 nghiệm

Í-

-L

Hướng dẫn giải:

4 − x + log8 ( 4 + x )

4 − x + log 8 ( 4 + x )

D. Vô nghiệm

x + 1 ≠ 0  −4 < x < 4  (2) Điều kiện:  4 − x > 0 ⇔   x ≠ −1 4 + x > 0 

ÁN

log 4 ( x + 1) + 2 = log

C. 3 nghiệm

A. 1 nghiệm

log 4 ( x + 1) + 2 = log

Câu 11. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm :

ÀN

(2) ⇔ log 2 x + 1 + 2 = log 2 ( 4 − x ) + log 2 ( 4 + x ) ⇔ log 2 x + 1 + 2 = log 2 (16 − x 2 )

IỄ N

⇔ log 2 4 x + 1 = log 2 (16 − x 2 ) ⇔ 4 x + 1 = 16 − x 2

x = 2 + Với −1 < x < 4 ta có phương trình x 2 + 4 x − 12 = 0 (3) ; (3) ⇔   x = −6 ( lo¹i )  x = 2 − 24 + Với −4 < x < −1 ta có phương trình x 2 − 4 x − 20 = 0 (4); ( 4 ) ⇔   x = 2 + 24 ( lo¹i )

(

)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 hoặc x = 2 1 − 6 ,

Chọn đáp án B.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 91 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

)

Câu 12. Cho phương trình 2 − m2 5x − 3.3x + m2 (15 x − 5 ) = 0 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm trong khoảng ( 0;2 ) .

Hướng dẫn giải: Đặt f ( x ) = 2 − m2 5x − 3.3x + m2 (15 x − 5) . Do f liên tục trên ℝ nên f cũng liên tục trên đoạn

(

)

[ 0;2] .

D. ( −∞;1)

C. ( 0; +∞ )

B. ( −2;3)

A. ℝ

(

)

U Y

Ta có f ( 0 ) = 2 − m2 50 − 3.30 + m2 (15.0 − 5 ) = −6m2 − 1 < 0, ∀m .

f ( 2 ) = ( 2 − m2 ) 52 − 3.32 + m 2 (15.2 − 5 ) = 13 > 0 .

ẠO

Vậy f ( x ) = 0 có nghiệm trên khoảng ( 0;2 ) với mọi giá trị thực của m.

Khi đó f ( 0) . f ( 2) < 0, ∀m .

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

A. 1 nghiệm Hướng dẫn giải: điều kiện x > 0

)

(

TR ẦN

 x2 + x + 1  2 Phương trình tương đương với log3   = 2x − x x  

D. Vô nghiệm

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chọn đáp án A. Câu 13. PHương trình log 3 x 2 + x + 1 = x ( 2 − x ) + log 3 x có bao nhiêu nghiệm

Ta có 2 x − x 2 = 1 − ( x − 1) ≤ 1

10 00

2    x2 + x + 1  1  1   Và log 3  = log + + 1 = log − + 3  ≥ log 3 3 = 1 x x   3 3      x x  x     

( x − 1) 2 = 0  x + x +1  2 ⇔ x =1 Do đó log 3   = 2x − x ⇔  1 x =0    x− x  Chọn đáp án A. 9x Câu 14. Cho hàm số f ( x) = x , x ∈ ℝ . Tính P = f (sin 2 10°) + f (sin 2 20°) + ..... + f (sin 2 80°) 9 +3 A. 4 B. 8 C. 9 D. 3 Hướng dẫn giải: Nếu a + b = 1 thì f (a) + f (b) = 1 . Do đó P = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 Chọn đáp án A.

ÀN

ÁN

-L

Í-

D. 4.

IỄ N

Câu 15. Phương trình 33+ 3 x + 33−3 x + 34 + x + 34 − x = 103 có tổng các nghiệm là ? A. 0. B. 2. C. 3. Hướng dẫn giải: 33+ 3x + 33−3 x + 34 + x + 34 − x = 103 (7)

( 7 ) ⇔ 27.33 x + Đặt t = 3x +

27 81 1  1   + 81.3x + x = 103 ⇔ 27. 33 x + 3 x  + 81. 3x + x  = 103 3x 3 3 3  3   

( 7′)

1 Côsi 1 ≥ 2 3x. x = 2 x 3 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 92 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

1 1 1 1 1  ⇒ t =  3x + x  = 33 x + 3.32 x. x + 3.3x. 2 x + 3 x ⇔ 33 x + 3 x = t 3 − 3t 3  3 3 3 3  3 10 10 Khi đó: ( 7 ') ⇔ 27 ( t 3 − 3t ) + 81t = 103 ⇔ t 3 = ⇔t= > 2 (N) 27 3 10 1 10 ⇒ 3x + x = Với t = ( 7′′) 3 3 3 y = 3 (N) 1 10 Đặt y = 3x > 0 . Khi đó: ( 7′′ ) ⇔ y + = ⇔ 3 y 2 − 10 y + 3 = 0 ⇔  y = 1 (N ) y 3  3 x Với y = 3 ⇒ 3 = 3 ⇔ x = 1 1 1 Với y = ⇒ 3x = ⇔ x = −1 3 3 Chọn đáp án A.

 5 −1 Nhận xét:   2   

H Ư

TR ẦN

)

5 + 1 = 5.2

 5 −1  5 +1 5 ⇔ + = (1) .  2   2  2     x

 5 +1  5 −1  5 +1 x   = 1 = 1 ⇒   =    2   2   2 

−x

) (

5 −1 +

x −1

10 00

(

D. ( x1, x2 ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1) x

)

5 + 1 = 5.2 x −1 . Trong các

B. ( x2 , +∞ ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1)

C. ( x1, x2 ) ∩ ( −1,0) = ( −1,0) Hướng dẫn giải: x

) (

5 −1 +

khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai? A. ( x1 , +∞ ) ∩ ( −1,1) = ( −1,1)

(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 16. Gọi x 1 , x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình

ẠO

U Y

ÁN

-L

Í-

 5 −1 1 5 1 + Đặt t =  > 0, (1) ⇔ t + = ⇒ x1 = log 5 −1 2, x2 = log 5 −1 .  2  2 t 2   2 2 Câu 17. Phương trình 1 + log 9 x − 3log 9 x = log 3 x − 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải: Giải phương trình: 1 + log 9 x − 3log9 x = log3 x − 1 . Điều kiện xác định: x ≥ 1 1 + log 9 x − 3log 9 x = log 3 x − 1 ⇔ 1 + log 9 x − 3log 9 x = 2log 9 x − 1

⇔ 1 − 2log 9 x = ( 2log 9 x − 1)

ÀN

( 2log 9 x − 1) (

(

)

1 + log 9 x + 3 log 9 x ⇔

)

1 + log 9 x + 3 log 9 x + 1 = 0

IỄ N

⇔ 2log 9 x = 1 vì: 1 + log 9 x + 3log9 x + 1 > 0 ⇔ x = 3. Vậy nghiệm phương trình đã cho: x = 3. Chọn đáp án B.

Câu 18. Tìm m để bất phương trình 1 + log5 ( x 2 + 1) ≥ log5 ( mx 2 + 4 x + m ) thoã mãn với mọi x ∈ ℝ . A. −1 < m ≤ 0 . Hướng dẫn giải:

B. −1 < m < 0 .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 2 < m ≤ 3 .

D. 2 < m < 3 .

Trang 93 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

2 mx + 4 x + m > 0 ( ∀x ∈ ℝ ) ⇔ BPT thoã mãn với mọi x ∈ ℝ .⇔  2 2 5 ( x + 1) ≥ mx + 4 x + m

U Y

m > 0  m > 0   m < −2  2  m > 2 16 − 4m 2 < 0 mx + 4 x + m > 0  ( ∀x ∈ ℝ ) ⇔  ⇔ 2 < m ≤ 3. ⇔  2 ( 5 − m ) x − 4 x + 5 − m ≥ 0 m < 5 5 − m > 0 2 m ≤ 3  16 − 4 ( 5 − m ) ≤ 0    m ≥ 7 Chọn đáp án C.

hay

1 z

Do 2.3=6 nên k .k = k

1 − z

−

1 1 1 + =− x y z

H Ư

1 y

1 x

−z

1 y

1 x

Khi x, y , z ≠ 0 ta đặt 2 = 3 = 6 = k suy ra 2 = k , 3 = k , 6 = k x

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 19. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 x = 3 y = 6 − z . Giá trị biểu thức M = xy + yz + xz là: A. 0 B. 1 C. 6 D. 3 Hướng dẫn giải: Khi một trong ba số x, y, z bằng 0 thì các số còn lại bằng 0. Khi đó M=0

khẳng định nào đúng? A. a = b

TR ẦN

Từ đó suy ra M=0 Chọn đáp án A. Câu 20. Cho a log 6 3 + b log 6 2 + c log 6 5 = 5 , với a, b và c là các số hữu tỷ. Các khẳng định sau đây, C. b > a

D. c > a > b

10 00

Hướng dẫn giải: ⇔ log 6 3a 2b 5c = 5

B. a > b

⇔ 3a.2b.5c = 65 = 35.25.50

-L

Í-

a = b = 5 Do a, b, c là các số hữu tỷ nên  c = 0 Chọn đáp án A.

−1 1− log a v

A. u = a

ÁN

Câu 21. Với a > 0, a ≠ 1 , cho biết : t = a B. u = a

1 1− log a u

;v =a

1 1+ log a t

1 1− log a t

. Chọn khẳng định đúng : 1

C. u = a 1+ log a v

D. u = a 1−log a v

ÀN

Hướng dẫn giải:

1 1 .log a a = 1 − log a u 1 − log a u 1 − log a u 1 1 1 log a v = .log a a = = = 1 1 − log a t 1 − log a t 1 − − log a u 1 − log a u

IỄ N

Từ giả thiết suy ra: log a t =

1 ⇔ − log a v log a u = 1 − log a u ⇔ log a u (1 − log a v) = 1 ⇔ log a u = ⇔ u = a 1−loga v 1 − log a v Chọn đáp án D.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 94 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 22. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình m.2 3 nghiệm phân biệt. A. 1 B. 2 C. 3 Hướng dẫn giải: 2

−5 x − 6

)

(

− 1 + 21− x 1 − 2 x

−5 x − 6

) ⇔ (2

x 2 −5 x −6

x2 −5 x + 6

+ 21− x = 2.26 −5 x + m có D. 4

)(

)

− 1 m − 21− x = 0

(

Pt ⇔ m 2 x

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

x = 2  2 x −5 x +6 − 2 = 0  ⇔ ⇔ x = 3  21− x = m  1− x = m ( *)  2 TH1: (*) có nghiệm duy nhất ( nghiệm x =0) ⇒ m = 2. TH2: (*) Có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 2 và nghiệm còn lại khác 3

U Y

⇒ m = 2−3.

ẠO

TH3: (*) Có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là 3 và nghiệm còn lại khác 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ m = 2−8.

Tìm

tất

cả

các

G giá

trị

thực

23.

của

tham

H Ư

Câu

Vậy, có 3 giá trị của m thỏa mãn. Chọn đáp án C.

số

để

phương

trình

log x + log 1 x − 3 = m (log 4 x − 3) có nghiệm thuộc [32; +∞) ? 2

(

)

B. m ∈ 1; 3 . 

A. m ∈ 1; 3  .  Hướng dẫn giải:

TR ẦN

2 2

Điều kiện: x > 0. Khi đó phương trình tương đương:

10 00

)

(

C. m ∈ −1; 3 . 

D. m ∈ − 3;1 . 

log 22 x − 2 log 2 x − 3 = m (log 2 x − 3) .

Đặt t = log 2 x với x ≥ 32 ⇒ log 2 x ≥ log 2 32 = 5 hay t ≥ 5.

t 2 − 2 t − 3 = m (t − 3) (*) . Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình (*) có nghiệm t ≥ 5 ”

Phương trình có dạng

-L

Í-

Với t ≥ 5 thì (*) ⇔ (t − 3). (t + 1) = m (t − 3) ⇔ t − 3.

)

t +1 − m t − 3 = 0

t +1 t −3

ÁN

⇔ t +1 − m t − 3 = 0 ⇔ m =

(

4 t +1 4 4 . Với t ≥ 5 ⇒ 1 < 1 + ≤1+ = 3 hay = 1+ t −3 t −3 t −3 5−3 t +1 t +1 1< ≤ 3 ⇒1< ≤ 3 t −3 t −3 suy ra 1 < m ≤ 3. Vậy phương trình có nghiệm với 1 < m ≤ 3. Chọn đáp án A.

IỄ N

ÀN

Ta có

Câu 24. Tập các giá trị của m để bất phương trình A. (−∞;1]

B. [1; +∞)

log 22 x log 22 x − 1

≥ m nghiệm đúng với mọi x > 0 bằng

C. ( −5; 2 )

D. [0;3)

Hướng dẫn giải:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 95 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

t ≥ m ( *) t −1 Bất phương trình ban đầu có nghiệm với mọi x > 0 ⇔ (*) nghiệm đúng với mọi t > 1

Đặt t = log 22 x ( t > 1) . Khi đó ta có

)

, f '(t ) = 0 ⇔ t = 2

t −1

(

lim f ( t ) = +∞

t −2

lim f ( t ) = +∞ t →1

t →+∞

U Y

f ' (t ) =

t trên (1; +∞ ) t −1

Xét hàm số f ( t ) =

+∞

f'(t) +∞

ẠO

+∞

f(t)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

BBT

H Ư

Từ BBT ta có kết luận bất phương trình có nghiệm với mọi t > 1 ⇔ m ≤ 1 Chọn đáp án A.

TR ẦN

Câu 25. Giả sử p và q là các số thực dương sao cho: log 9 p = log12 q = log16 ( p + q ) . Tìm giá trị của

4 8 1 1 B. C. 1 + 3 D. 1 + 5 3 5 2 2 Hướng dẫn giải: Đặt: t = log 9 p = log12 q = log16 ( p + q ) thì: p = 9t , q = 12t , 16t = p + q = 9t + 12t (1)

(

)

(

)

10 00

p q

4 4 4 q Chia hai vế của (1) cho 9t ta được:   = 1 +   , đặt x =   = > 0 đưa về phương trình: p 3 3 3 1 q 1 x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x = 1 + 5 do x > 0 , suy ra = 1 + 5 . 2 p 2 Chọn đáp án D. 2 Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình: 81.9 x −2 + 3x + x − .32 x +1 ≥ 0 là 3 A. S = [1; +∞ ) ∪ {0} . B. S = [1; +∞ ) . C. S = [ 0; +∞ ) . D. S = [ 2; +∞ ) ∪ {0} .

(

)

ÁN

-L

Í-

(

Hướng dẫn giải: ĐKXĐ: x ≥ 0.

9x 2 + 3x.3 x − .3.32 81 3 x x 3 + 2.3 ≥ 0

ÀN

BPT đã cho ⇔ 81.

(

IỄ N

⇔ 3x − 3

)(

≥ 0 ⇔ 32 x + 3x.3 x − 2.32

≥0

)

⇔ 3x − 3 x ≥ 0 (vì 3x + 2.3 x > 0, ∀x ≥ 0. )  x ≥1 x ≥ 1 ⇔ x≥ x ⇔ ⇔ x = 0  x ≤ 0 Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là S = [1; +∞ ) ∪ {0} . ⇔ 3x ≥ 3

Chọn đáp án A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 96 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 27. Cho

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

( un ) là cấp số nhân với số hạng tổng quát un > 0; un ≠ 1 . Khi đó khẳng định nào sau

đây là đúng?

log u 2017

k −1

log u 2017

k −1

log u 2017

log u 2017 − log u 2017 k +1

k +1

log u 2017

k −1

log u 2017 − log u 2017 k +1

log u 2017 − log u 2017 k −1

k +1

log u 2017 − log u 2017 k −1

log u 2017 − log u 2017 k +1

Hướng dẫn giải: Vì un là cấp số nhân nên

( )

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

k −1

log u 2017

k +1

log u 2017 − log u 2017

k +1

log u 2017 − log u 2017

log u 2017

k −1

U Y

k +1

log u 2017 − log u 2017

log u 2017

k −1

uk2 = uk −1 .uk +1

ẠO

log u 2017

⇔

k −1

log u 2017 Chọn đáp án A.

k +1

log u 2017 − log u 2017 k −1

log u 2017 − logu 2017 k +1

k +1

H Ư

k −1

logu 2017

1 1 1 1 − = − logu 2017 log u 2017 logu 2017 log u 2017

TR ẦN

⇒

⇒ 2log 2017 uk = log 2017 uk −1 + log 2017 uk +1

(

)

B. 2.

10 00

A. 3. Hướng dẫn giải: ĐK: x ≠ 0; x ≠ 2 .

Câu 28. Số nghiệm của phương trình log 3 x 2 − 2 x = log 5 x 2 − 2 x + 2 là C. 1.

D. 4.

Đặt t = x2 − 2 x ⇒ x2 − 2 x + 2 = t + 2 ⇒ log3 t = log5 ( t + 2) .

log 3 t = u  t = 3u ⇒ 5u − 2 = 3u ⇒ u log 5 ( t + 2 ) = u t + 2 = 5

Í-

Đặt log3 t = log5 ( t + 2) = u , 

ÁN

-L

5u + 3u = 2 (1) 5u − 2 = 3u 5u + 3u = 2  u u ⇒  3  ⇒ u ⇒ u 1 u u 5 − 2 = − 3 3 + 2 = 5    5  + 2  5  = 1 (2)  u u Xét (1) : 5 + 3 = 2

ÀN

Ta thấy u = 0 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u = 0 là duy nhất.

IỄ N

Với u = 0 ⇒ t = −1 ⇒ x2 − 2 x + 1 = 0 , phương trình này vô nghiệm. u

 3 1 Xét ( 2 ) :   + 2   = 1 5 5 Ta thấy u = 1 là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm u = 1 là duy nhất. Với u = 0 ⇒ t = 3 ⇒ x 2 − 2 x − 3 = 0 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa x ≠ 0; x ≠ 2 . Chọn đáp án B.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 97 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1+

Câu 29. Cho f ( x ) = e

1 1 + x 2 ( x +1)2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12 m

. Biết rằng f (1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e n với m, n là các số tự

m tối giản. Tính m − n2 . n A. m − n 2 = 2018 . B. m − n 2 = −2018 . Hướng dẫn giải: nhiên và

H + x + 1)

x 2 ( x + 1)

Vậy, f (1) . f ( 2 ) . f ( 3) ... f ( 2017 ) = e

1 1 1 x2 + x + 1 . = 1+ = 1+ − 2 x +x x ( x + 1) x x +1

1 1   1 1  1 1  1 1  −  1+ −  + 1+ −  + 1+ −  +…+ + 1+   1 2  2 3  3 4  2017 2018 

20182 − 1 là phân số tối giản. 2018 Giả sử d là ước chung của 20182 − 1 và 2018 Khi đó ta có 20182 − 1⋮ d , 2018⋮ d ⇒ 20182 ⋮ d suy ra 1⋮ d ⇔ d = ±1

20182 −1 2018

H Ư

Ta chứng minh

1 2018

ẠO

m 20182 − 1 = n 2018

2018 −

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

1 1 Ta có : 1 + 2 + = 2 x ( x + 1)

Xét các số thực x > 0

hay

D. m − n 2 = −1 .

C. m − n 2 = 1 .

20182 − 1 là phân số tối giản, nên m = 20182 − 1, n = 2018 . 2018 Vậy m − n 2 = −1 . Chọn đáp án D.

TR ẦN

Suy ra

10 00

Câu 30. Hỏi phương trình 3.2 x + 4.3x + 5.4x = 6.5x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực? A. 2 . B. 4 . C. 1 . D. 3 . Hướng dẫn giải: x

2 3 4 pt ⇔ 3.  + 4.  + 5.  − 6 = 0 5 5 5 x

-L

Í-

2  3 4 Xét hàm số f ( x ) = 3.  + 4.  + 5.  − 6 liên tục trên ℝ . 5 5 5 x

ÁN

2 3 4 2 3  4 Ta có: f ′ ( x ) = 3 ⋅   ⋅ ln + 4 ⋅   ⋅ ln + 5 ⋅   ⋅ ln < 0, ∀x ∈ ℝ 5 5 5 5 5 5 Do đó hàm số luôn nghịch biến trên ℝ mà f ( 0) = 6 > 0 , f ( 2) = −22 < 0 nên phương trình

ÀN

f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất. Chọn đáp án C.

IỄ N

Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 9x − 2 ( m + 1) .3x − 3 − 2m > 0

nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

A. m tùy ý. Hướng dẫn giải: Đặt t = 3x , t > 0

4 B. m ≠ − . 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 C. m < − . 2

3 D. m ≤ − . 2

Trang 98 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2 ycbt ⇔ t − 2 ( m + 1) t − 3 − 2m > 0, ∀t > 0 ⇔ m <

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

1 t 2 − 2t − 3 , ∀t > 0 ⇔ m < ( t + 3) , ∀t > 0 2t + 2 2

1 1 ( t + 3) , f ′ ( t ) = > 0, ∀t > 0 ⇒ hàm số đồng biến trên ( 0, +∞ ) 2 2 3 Vậy ycbt ⇔ m < f ( t ) , ∀t > 0 ⇔ m ≤ f ( 0 ) = − . 2 Chọn đáp án D. − m.2 x

+ 3m − 2 = 0 có

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

−2x+2

D. ( 2; +∞ ) .

Đặt t = 2( x −1) ( t ≥ 1) Phương trình có dạng: t 2 − 2mt + 3m − 2 = 0 (*) Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1

U Y

− 2 x +1

Câu 32. Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình 4 x bốn nghiệm phân biệt. A. ( −∞;1) . B. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) . C. [ 2; +∞ ) . Hướng dẫn giải:

f (t ) =

TR ẦN

H Ư

 m2 − 3m + 2 > 0 m 2 − 3m + 2 > 0 m2 − 3m + 2 > 0  ⇔ ⇔ ⇔ m − 1 ≥ 0 ⇔m>2 2 2 x = m ± m − 3 m + 2 > 1 m − 3 m + 2 < m − 1   2 2   1,2  m − 3m + 2 < m − 2m + 1 Chọn đáp án D. Câu 33. Cho x, y là số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln x 2 + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của

P= x+ y

A. P = 6 . B. P = 2 2 + 3 . Hướng dẫn giải: Từ ln x + ln y ≥ ln x 2 + y ⇔ xy ≥ x 2 + y . Ta xét:

C. P = 2 + 3 2 .

)

D. P = 17 + 3 .

10 00

(

)

Nếu 0 < x ≤ 1 thì y ≥ xy ≥ x 2 + y ⇔ 0 ≥ x 2 mâu thuẫn.

Nếu x > 1 thì xy ≥ x 2 + y ⇔ y ( x − 1) ≥ x 2 ⇔ y ≥

x2 x2 . V ậy P = x + y ≥ x + . x −1 x −1

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

x2 xét trên (1; +∞ ) . x −1  2− 2 x= (loai )  2 2x − 4x + 1 2  =0⇔ Có f ' ( x ) = 2 x − 2x + 1  2+ 2 (nhan) x =  2 2+ 2  Vậy min f ( x ) = f   = 2 2 + 3 . 1; + ∞ ( )  2  Chọn đáp án B. Ta có f ( x ) = x +

Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình x x + x + 12 ≤ m.log 5− có nghiệm. A. m > 2 3 C. m ≥ 12 log 3 5

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

4− x

B. m ≥ 2 3 D. 2 ≤ m ≤ 12 log 3 5

Trang 99 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Hướng dẫn giải: Điều kiện: x ∈ [ 0;4] . Ta thấy 4 − x ≤ 4 ⇒ 5 − 4 − x ≥ 3 ⇒ log 5 −

4− x

(

3>0

)

(

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành m > f ( x ) = x x + x + 12 .log 3 5 − 4 − x

(

N Ơ

)

3 x 1 và + 2 2 x + 12 1

)

2 4 − x 5 − 4 − x .ln 3

(

v = log3 5 − 4 − x ⇒ v ' =

U Y

Suy ra f ' ( x ) > 0; ∀x ∈ ( 0; 4 ) ⇒ f ( x ) là hàm số đồng biến trên đoạn [ 0;4]

Để bất phương trình (*) có nghiệm ⇔ m ≥ min f ( x ) = f ( 0 ) = 2 3 [0;4]

)

(

+ (1 − a ) 2 − 3

)

− 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt

ẠO

(

Câu 35. Tìm giá trị của a để phương trình 2 + 3

Chọn đáp án A.

) (2 − 3 )

(

=1⇒ 2 − 3

)

(

D. ( 0; +∞ )

2+ 3

C. ( 3; +∞ )

)

H Ư

(

Ta có 2 + 3

B. ( −3; +∞ )

. Đặt t =

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

thỏa mãn: x1 − x2 = log 2 + 3 3 , ta có a thuộc khoảng:

A. ( −∞; −3) Hướng dẫn giải:

( *)

Với u = x x + x + 12 ⇒ u ' =

)

(

2+ 3

)

( t > 0) , phương trình

1− a − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 − a = 0 (*) t Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân t1 + t2 = 4 > 0 ⇔ a <1 biệt ⇔  t1t2 = 1 − a > 0

(

10 00

đã cho trở thành t +

)

Ta có x1 − x2 = log 2 + 3 3 ⇔ 2 + 3

x1 − x2

(2 + 3) =3⇔ (2 + 3)

=3⇔

t1 =3 t2

Í-

Vì t1 + t2 = 4 nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm t=3 và t=1

ÁN

-L

Khi đó 1 − a = 3.1 = 3 ⇔ a = −2 . Chọn đáp án B.

IỄ N

ÀN

Câu 36. Gọi m là số chữ số cần dùng khi viết số 230 trong hệ thập phân và n là số chữ số cần dùng khi viết số 302 trong hệ nhị phân. Ta có tổng m + n bằng A. 18 B. 20 C. 19 D. 21 Hướng dẫn giải: - Phương pháp: Số chữ số cần dùng khi viết số A trong hệ thập phân là [ log A] + 1 với [ x] là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x. Tổng quát: số chữ số cần dùng khi viết số A trong hệ n-phân là [ log n A] + 1 Dựa vào 2 kết quả trên ta có m =  log 230  + 1 = [ 30 log 2] + 1 = 10 n =  log 2 302  + 1 = [ 2log 2 30] + 1 = 10

⇒ m + n = 20

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 100 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Chọn đáp án B. Câu 37. Cho hàm số y = x 2 + 2 x + a − 4 . Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2;1] đạt giá trị nhỏ nhất. A. a = 3 Hướng dẫn giải:

C. a = 1

D. Một giá trị khác

B. a = 2

Ta có y = x 2 + 2 x + a − 4 = ( x + 1) + a − 5 . Đặt u = ( x + 1) khi đó ∀x ∈ [ −2;1] thì u ∈ [ 0;4] Ta

U Y

được hàm số f ( u ) = u + a − 5 . Khi đó

Max y = Max f ( u ) = Max{ f ( 0 ) , f ( 4 )} = Max { a − 5 ; a − 1 }

Trường hợp 1: a − 5 ≥ a − 1 ⇔ a ≤ 3 ⇒ Max f ( u ) = 5 − a ≥ 2 ⇔ a = 3 u∈[0;4]

Trường hợp 2: a − 5 ≤ a − 1 ⇔ a ≥ 3 ⇒ Max f ( u ) = a − 1 ≥ 2 ⇔ a = 3

ẠO

u∈[ 0;4]

Vậy giá trị nhỏ nhất của Max y = 2 ⇔ a = 3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

u∈[ 0;4]

x∈[ −2;1]

Chọn đáp án A.

 π 9π  khoảng  ;  6 2  A. 4 Hướng dẫn giải:

TR ẦN

H Ư

Câu 38. Cho phương trình 2log3 ( cotx ) = log2 ( cos x ) . Phương trình này có bao nhiêu nghiệm trên

B. 3

C. 2

D. 1

10 00

u 2 cot x = 3 Điều kiện sin x > 0,cos x > 0 . Đặt u = log2 ( cos x ) khi đó  u cos x = 2 u 2

( 2 ) = 3u ⇔ f ( u ) =  4  + 4 u − 1 = 0 cos 2 x suy ra Vì cot x =   2 2 1 − cos x 3 1 − ( 2u ) u

π 1 ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ℤ ) . 2 3

ÁN

cos x =

-L

Í-

4 4 f ' ( u ) =   ln   + 4u ln 4 > 0, ∀u ∈ ℝ . Suy ra hàm số f(u) đồng biến trên R, suy ra phương 3 3 trình f ( u ) = 0 có nhiều nhất một nghiệm, ta thấy f ( −1) = 0 suy ra

π + k 2π . Khi đó phương trình nằm trong khoảng 3 π 7π  π 9π   π 9π  . Vậy phương trình có hai nghiệm trên khoảng  ;  .  ;  là x = , x = 3 3 6 2  6 2  Chọn đáp án C.

IỄ N

ÀN

Theo điều kiện ta đặt suy ra nghiệm thỏa mãn là x =

Câu 39. Trong các nghiệm ( x; y ) thỏa mãn bất phương trình log x2 + 2 y 2 (2 x + y ) ≥ 1 . Giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2 x + y bằng: 9 9 A. . B. . 4 2 Hướng dẫn giải:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

9 . 8

D. 9.

Trang 101 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 x 2 + 2 y 2 > 1 ( I ), Bất PT ⇔ log x2 + 2 y 2 (2 x + y ) ≥ 1 ⇔  2 2 2 x + y ≥ x + 2 y Xét T= 2 x + y

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

0 < x 2 + 2 y 2 < 1 ( II ) .  2 2 0 < 2 x + y ≤ x + 2 y

TH1: (x; y) thỏa mãn (II) khi đó 0 < T = 2 x + y ≤ x 2 + 2 y 2 < 1

+ 3 ( log b a − 1)

a (1 − log a b )   log a2  b  Đặt t = log a b do a > b > 1 nên 0 < t < 1 4 3 + −3 P= 2 (1 − t ) t

(1 − t )

3 1 + − 3 trên ( 0;1) ta thấy GTNN của f(t) là f   = 15 t  3

10 00

Xét f ( t ) =

N U Y

.Q ẠO

+ 3 ( log b a − 1) =

H Ư

a thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = log 2a ( a 2 ) + 3log b   b b B. Pmin = 13 C. Pmin = 14 D. Pmin = 15

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. Pmin = 19 Hướng dẫn giải:

9 1  1 2 9 9 9 9 9 ≤ (22 + )  ( x − 1) 2 + ( 2 y − ) + ≤ . + = 4 2  2 8 4 2 2 2  4

2 2 9 1 Suy ra : max T = ⇔ ( x; y) = (2; ) 2 2 Chọn đáp án B.

Câu 40. Xét các số thực

9 . Khi đó 8

( 2y −

2 2

)2 ≤

2 x + y = 2( x − 1) +

TH2: (x; y) thỏa mãn (I) x 2 + 2 y 2 ≤ 2 x + y ⇔ ( x − 1) 2 + ( 2 y −

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Chọn đáp án D.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 102 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

ẠO

Trong mp(ASIH) kẻ đường thẳng qua I và song song với AH cắt AS tại K. Ta có: a2 ID 2 = IH 2 + HD 2 = x 2 + . 2

H Ư

TR ẦN

IS2 = IK 2 + KS 2 = AH 2 + KS 2 = AC 2 + CH 2 + KS 2 = 2a 2 +

R x

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, SA = a 6 . Đáy ABCD là hình thang vuông 1 tại A và B, AB = BC = AD = a. Gọi E là trung điểm của AD. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình 2 chóp S.ECD. a 2 a 30 a 26 A. R = B. R = a 6. C. R = D. R = . . . 2 3 2 Hướng dẫn giải: S . Gọi H là trung điểm của CD và d là đường thẳng qua H và R vuông góc với đáy. Gọi I và R là tâm và bán kính mặt cầu K I ngoại tiếp S.CDE. Suy ra I thuộc d. Đặt IH = x.

HÌNH NÓN - TRỤ - CẦU

H C

a2 + ( a 6 − x) 2 2

a2 a2 2 6a 30a . Vậy bán kính mặt cầu bằng R = . = 2a 2 + + ( a 6 − x ) 2 ⇔ x = 2 2 3 3 Chọn đáp án C. a 3 Câu 2. Cho tứ diện ABCD với BC = a ,các cạnh còn lại đều bằng và α là góc tạo bởi hai mặt 2 phẳng ( ABC ) và ( BCD ) . Gọi I,J lần lượt là trung điểm các cạnh BC , AD . Giả sử hình cầu đường IJ

10 00

Suy ra: x 2 +

-L

A. 3 − 2 3

Í-

kính tiếp xúc với CD. Giá trị cos α là:

B. 2 3 − 3

2 3 3

2− 3 3

IỄ N

ÀN

ÁN

Hướng dẫn giải: Gọi O là trung điểm IJ và F là điểm tiếp xúc giữa hình cầu đường kính IJ và đường thẳng CD. Hình cầu đường kính IJ tiếp xúc với CD khi và chỉ khi khoảng cách từ O đến CD bằng nữa độ dài IJ. a 2 Ta có AI = DI = . 2 a Vì FC và CI là hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm nên FC = CI = 2 a 3 a Tương tự ta có DJ = DF = − 2 2 Tam giác ADI cân có IJ là đường trung tuyến nên tam giác IDJ vuông tại J. a 3 −1 6− 2 α JD = Suy ra sin = sin JID = 2 = 2 DI 2 a 2 2

(

)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 103 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Do vậy cos α = 2 3 − 3 nên Chọn đáp án B.

U Y

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 3. Cho hình vẽ bên. Tam giác SOA vuông tại O có MN€ SO với M , N lần lượt nằm trên cạnh SA, OA. Đặt SO = h không đổi. Khi quay hình vẽ quanh SO thì tạo thành một hình trụ nội tiếp hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O bán kính R = OA . Tìm độ dài của MN để thể tích khối trụ là lớn nhất. h h B. MN = A. MN = 2 3 h h C. MN = D. MN = 4 6 Hướng dẫn giải : Ta thấy khi quay quanh trục SO sẽ tạo nên một khối trụ nằm trong khối chóp. Khi đó thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật MNPQ. Ta có hình sau:

 2x + 2( h − x)  ≤  3  

10 00

2x ( h − x)

TR ẦN

H Ư

Ta có SO = h ; OA = R . Khi đó đặt OI = MN = x . IM SI OA.SI R.( h − x ) Theo định lí Thales ta có = ⇒ IM = = . Thể OA SO SO h πR 2 2 tích khối trụ V = πIM 2 .IH = 2 .x ( h − x ) h Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

h h 4πR h . Dấu '' = '' xảy ra khi x = . Hay MN = . 27 3 3 Chọn đáp án B. Câu 4. Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng ( P ) song song với đáy.

B P

Vậy V ≤

Í-

Mặt phẳng ( P ) chia hình nón làm hai phần ( N1 ) và ( N2 ) . Cho hình

-L

cầu nội tiếp ( N2 ) như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu bằng một nửa

ÁN

thể tích của ( N2 ) . Một mặt phẳng đi qua trục hình nón và vuông góc

IỄ N

ÀN

với đáy cắt ( N2 ) theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của hình thang cân là A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 Hướng dẫn giải: Giả sử ta có mặt cắt của hình nón cụt và các đại lượng như hình vẽ. Gọi α là góc cần tìm. Xét ∆AHD vuông tại H có DH = h, AH = R − r ⇒ h = 2r0 = AH .tan α = ( R − r ) tan α Thể tích khối cầu là V1 =

4 3 πh πr0 = 3 6

(1)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 104 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

1 Thể tích của ( N2 ) là V2 = πh R 2 + r 2 + Rr 3 V1 1 = ⇒ h 2 = R 2 + r 2 + Rr ( 2 ) V2 2 Ta có BC = R + r (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

D r0

Mà h 2 = BC 2 − ( R − r ) = 4 Rr

.tan 2 α = 4 ( R − r ) (vì α

α 2

U Y

(1) , ( 3) , ( 4 ) ⇒ h2 = ( R − r )

( 3) ( 4)

Từ ( 2 ) , ( 3) ⇒ ( R − r ) = Rr Từ

)

(

ẠO

là góc nhọn) ⇒ tan 2 α = 4 ⇒ tan α = 2 Chọn đáp án A.

TR ẦN

)

Khi đó thể tích lớn nhất là V =

250 3π . 27

Chọn đáp án A.

10 00

(

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 5. Cho tam giác ABC có độ dài cạnh huyền 5. Người ta quay tam giác ABC quanh một cạnh góc vuông để sinh ra hình nón. Hỏi thể tích V khối nón sinh ra lớn nhất là bao nhiêu. 250 3π 25 2π 20 3π 250 6π A. V = B. V = C. V = D. V = 27 27 27 27 Hướng dẫn giải: 1 1 1 25 1 Ta có V = πr 2 h = πx 2 y = π 25 − y 2 y = πy − πy 3 . 3 3 3 3 3 25 1 3 Xét hàm số V = πy − πy với 0 < y < 5 . 3 3 25 5 Ta có V ' = π − πy 2 = 0 ⇒ y = . 3 3

Í-

Câu 6. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Vói chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất. 4

38 2π 2

D. r =

36 2π 2

ÀN

ÁN

-L

36 38 6 B. r = C. r = 2π 2 2π 2 Hướng dẫn giải: 1 3V Ta có: V = πr 2 h => h = 2 => độ dài đường sinh là: 3 πr

A. r =

IỄ N

l = h2 + r 2 = (

3V 2 81 ) + r 2 = ( 2 )2 + r 2 = 2 πr πr

38 + r2 π2 r 4

Diện tích xung quanh của hình nòn là: S xq = πrl = πr

38 38 2 + r = π + r4 2 4 2 2 πr πr

Áp dụng BĐT Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi r =

38 . 2π 2

Chọn đáp án B.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 105 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 7. Cho một khối trụ có bán kính đáy r = a và chiều cao h = 2a . Mặt phẳng ( P ) song song với trục OO ' của khối trụ chia khối trụ thành 2 phần, gọi V1 là thể tích phần khối trụ chứa trục OO ' , V2 là

3π − 2 . π−2

a 2 2

a 2 = OH . 2 ⇒ ∆OAB vuông cân tại O ⇒ ABCD là hình vuông. Từ đó suy ra: 1 1 a 3 ( π − 2) V2 = (V − VABCD. A ' B ' C ' D ' ) = 2πa 3 − ( a 2) 2 .2a = . 4 4 2 V 3π + 2 a 3 (π − 2) a3 (3π + 2) V1 = V − V2 = 2πa 3 − = . Suy ra 1 = . V2 π − 2 2 2 Chọn đáp án A.

ẠO

Ta có OH ⊥ AB ⇒ OH ⊥ ( ABB ' A ') ⇒ OH =

U Y

Hướng dẫn giải: Thể tích khối trụ V = πr 2h = πa 2 .2a = 2πa3 . Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABB ' A ' . Dựng lăng trụ ABCD. A’B’C’D’ như hình vẽ. Gọi H là trung điểm AB.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3π + 2 . π−2

V1 a 2 . , biết rằng ( P ) cách OO ' một khoảng bằng V2 2 2π + 3 2π − 3 C. . D. . π−2 π−2

thể tích phần còn lại của khối trụ. Tính tỉ số

)

TR ẦN

(

H Ư

⇒ AH = BH =

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 8. Trong số các khối trụ có thể tích bằng V, khối trụ có diện tích toàn phần bé nhất thì có bán kính đáy là V 4π π V . A. R = 3 B. R = 3 C. R = 3 D. R = 3 2π V V π Hướng dẫn giải: V 2V + 2πR 2 V = πR 2 .h ⇒ l = h = 2 , STP = S Xq + 2Sd = 2πRl + 2πR 2 = πR R 3 2V V −2V + 4πR + 2πR 2 với R>0, f '( R) = Xét hàm số f ( R) = , f '( R) = 0 ⇔ R = 3 2 R 2π R Bảng biến thiên R V 3 0 +∞ 2π + 0 0 f , ( R)

+∞

f ( R)

Từ bảng biến thiên ta thấy diện tích toàn phần nhỏ nhất khi R =

V 2π

Chọn đáp án A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 106 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 9. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân AB=BC=a. Mặt phẳng 3 (AB’C) tạo với (BCC’B’) một góc α với tan α = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính bán kính mặt 2 cầu ngoại tiếp hình chóp B’ACM. 3 10a 3 10a 3 13a 13a A. B. C. D. 8 4 8 2

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

U Y

ẠO

Dựng góc: chú ý BA vuông góc với giao tuyến CB’ Từ tam giác vuông BIA và góc α , tính được BI. Từ BI sử dụng 1 1 1 = + tính được 2 2 BI BC B ' B2 B'B = a 2 .

10 00

TR ẦN

H Ư

Xác định tâm đáy: giao của hai đường thẳng trung trục MC và BI.

Trục không có tính chất đặc biệt, ta sử dụng phương pháp 4 để giải R2 = B’O2 = NO2 + B’N2 = BJ 2 + ( BB ' − JO) 2 = OM2 = OJ2 + JM2 = 450 Chú ý CBJ Giải phương trình ta tìm được 5 2a OJ = 8 3 10a R= 8 Chọn đáp án A.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 10. Cho hình nón có bán kính đáy là a, đường sinh tạo với mặt phẳng đáy góc α . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón. 3πa 3 4πa 3 4πa 3 4πa 3 A. V = B. V = C. V = D. V = 4sin 3 2α 3sin 3 3α 3sin 3 2α 3sin 3 α Hướng dẫn giải: Nếu mặt phẳng ( P ) qua trục của hình nón thì (P) cắt hình nón theo tam giác cân SMN, (P) cắt mặt cầu ngoại tiếp hình nón theo đường tròn có bán kính là R. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón, O là tâm đường tròn đáy của hình nón. Ta có S∆SMN = MO.SO = a.a.tan α = a 2 tan α . 2

 a  .2a SM .SN .MN SM 2 .2a  cos α  a3 = = = Mặt khác S∆SMN = . 4R 4R 4R 2R cos 2 α a3 a a Do đó = a 2 tan α ⇒ R = = . 2 2 2R cos α 2cos α tan α sin 2α R cũng là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 107 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

4 3 4 a3 πR = π 3 . 3 3 sin 2α Chọn đáp án C.

Ơ H

U Y

Câu 11. Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy bán kính R. Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy một khoảng bằng d cắt hình nón theo đường tròn (L). Dựng hình trụ có một đáy là (L), đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn nhất. h h h h A. d = B. d = C. d = D. d = 3 2 6 4 Hướng dẫn giải: Gọi r là bán kính của (L). r h−d R ⇒ r = (h − d ) Ta có = R h h

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

R2 R2 R 2  ( h − d ) + ( h − d ) + 2d  4πR 2 h 2 ⇒ V = π 2 ( h − d ) .d = π 2 ( h − d )( h − d ) .2d ≤ π 2   = 2h 2h  3 27 h  h Dấu bằng xảy ra khi h − d = 2d ⇔ d = . 3 Chọn đáp án A.

TR ẦN

Câu 12. Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là: S S S 1 S ;h = ;h = A. R = . B. R = . 2π 2 2π 4π 4π

2S 2S ;h = 4 . 3π 3π Hướng dẫn giải:

10 00

C. R =

D. R =

S S ;h = 2 . 6π 6π

Gọi thể tích khối trụ là V , diện tích toàn phần của hình trụ là S . Ta có: S = S2day + Sxq = 2πR2 + 2πRh . Từ đó suy ra:

-L

Í-

S S V V V Cauchy 3 V 2 = R 2 + Rh ⇔ = R2 + = R2 + + 3 2π 2π πR 2πR 2πR ≥ 4π2 3

ÁN

V2  S  S3 ≤ ⇔ V ≤ .   4 π 2  2π  54π

hay 27

ÀN

Vậy Vmax

S3 V πR 2 h Rh 2 = . Dấu “=” xảy ra ⇔ R = = = hay h = 2R . 2πR 2πR 2 54π

S S và h = 2R = 2 . 6π 6π

IỄ N

Khi đó S = 6πR 2 ⇒ R =

Chọn đáp án D.

Câu 13. Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài 16π 3 dm . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường tròn là 9

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 108 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

U Y

I Q

ẠO

9π 10 2 3π 2 dm . dm 2 . B. S xq = 4π 10 dm 2 . C. Sxq = 4π dm . D. S xq = 2 2 Hướng dẫn giải: Xét hình nón : h = SO = 3r , r = OB, l = SA . Xét hình trụ : h1 = 2r = NQ , r1 = ON = QI QI SI 1 r = = ⇒ r1 = ⇒ Thể tích khối trụ là : ∆SQI ∼ ∆SBO ⇒ BO SO 3 3 3 2πr 16π = ⇒ r = 2 ⇒ h = 6 ⇒ l = h2 + r 2 = 2 10 ⇒ S xq = πrl = 4π 10 dm 2 Vt = πr12 h1 = 9 9 Chọn đáp án B.

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. S xq =

10 00

Câu 14. Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là

B. 20cm C. 50 2cm A. 10 2cm Hướng dẫn giải: Đặt a = 50cm . Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình nón lần 2

Í-

lượt là x, y ( x, y > 0) . Ta có SA = SH + AH = x + y Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là

D. 25cm

-L

Stp = πx2 + πx x2 + y 2 Theo giả thiết ta có:

ÁN

πx 2 + πx x 2 + y 2 = πa 2 ⇔ x x 2 + y 2 + x 2 = a 2

⇔ x x2 + y 2 = a 2 − x2 ⇔

a4 x ( x + y ) = a + x − 2a x , ( DK : x < a ) ⇔ x = 2 y + 2a 2 Khi đó thể tích khối nón là: 1 a4 1 y V = π. 2 . y = πa 4 . 2 2 3 y + 2a 3 y + 2a 2 2

IỄ N

ÀN

V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi Ta có

y 2 + 2a 2 đạt giá trị nhỏ nhất y

y 2 + 2a 2 2a 2 2a 2 = y+ ≥ 2 y. = 2 2a y y y

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 109 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi y =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

a 2a 2 , tức là y = a 2 ⇒ x = = 25cm 2 y

SO a 6 = ( ∆ SMO vuông tại O). 0 sin 60 3 a 6 * OM = 6 2a 3 * AC = 2 AM = 2 OA2 − OM 2 = 3 1 1 a 6 2a 3 a2 2 * SSAC = SM.AC = . . = 2 2 3 3 3 Chọn đáp án C.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 15. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích của thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600. a2 3 a2 2 a2 a2 B. C. D. A. 2 2 3 3 Hướng dẫn giải: Gọi thiết diện qua trục là ∆ SAB vuông cân tại S, S SA = SB = a a Gọi O là tâm của đáy, SO = 2 Gọi thiết diện qua đỉnh, tạo với đáy góc 600 là ∆ SAC. Gọi M là trung điểm AC, góc giữa mặt phẳng (SAC) với mặt a = 600 đáy là SMO

Chọn đáp án D.

* SM =

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu 16. Cho hình chóp SABC với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và

Í-

BC= 3 a, BAC = 60o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Mặt cầu qua các điểm A, B, C, H, K có bán kính bằng: A. 1 B. 2

B S

ÀN

H A

600

D B

IỄ N

Chọn đáp án B.

ÁN

600

-L

C. 3 D. Không đủ dữ kiện để tính Hướng dẫn giải: Gọi AD là đường kính của đường tròn (ABC) Suy ra, AC ⊥ DC , suy ra CD ⊥ ( SAC ) hay AE ⊥ DE Tương tự, AH ⊥ HD . Suy ra mặt cầu qua các điểm A, B, C, H, K có BC =2. đường kính AD = sin 600

H A

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 110 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

13a 13 Hướng dẫn giải:

13a 39

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

3 13a 26

13a 26

+ Gọi H là trung điểm BC = 60o + ( SA, ( ABC )) = SAH a 3 3a , SH = AH tan 600 = 2 2 S + Bán kính mặt cầu 1 2 là: R = d (G, ( SAB)) = d (C , ( SAB)) = d ( H , ( SAB)) 3 3 + Gọi E là hình chiếu của H trên AB và K là hình chiếu của H M K trên SE. G Chứng minh: HK ⊥ (SAB) H B C a 3 3a E + Tính được: HE = ; HK = 4 2 13 a 2 A + R = HK = 3 13 Chọn đáp án A. Câu 18. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 R và điểm C thay đổi trên nửa đường tròn đó, đặt và gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB . Tìm α sao cho thể tích vật thể tròn xoay α = CAB

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

+ AH =

D. α = 30° .

10 00

tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn nhất. 1 A. α = 60° . B. α = 45° . C. arctan . 2 Hướng dẫn giải:

AC = AB. cos α = 2 R.cos α

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

CH = AC.sin α = 2 R.cos α.sin α; AH = AC.cos α = 2 R.cos 2 α Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay tam giác ACH quanh trục AB là 1 8 V = AH .πCH 2 = R3.cos4 α.sin 2 α . 3 3 8 Đặt t = cos2 α ( 0 < t < 1) ⇒ V = R3t 2 (1 − t ) 3 3 8 8  t + t + 2 − 2t  = R3 .t.t ( 2 − 2t ) ≤ R3   6 6  3  2 1 Vậy V lớn nhất khi t = khi α = arctan . 3 2 Chú ý: có thể dùng PP hàm số để tìm GTNN của hàm f ( t ) = t 2 (1 − t )

Chọn đáp án C. Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 3. Mặt phẳng ( α ) qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC ,

SD lần lượt tại các điểm M , N , P . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 111 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

32π 64 2π . B. V = . 3 3 108π 125π C. V = . D. V = . 3 6 Hướng dẫn giải: S Ta có: CB ⊥ ( SAD ) , AM ⊂ ( SAB ) ⇒ AM ⊥ CB (1)

Chứng minh tương tự ta có APC = 90° Có AN ⊥ SC ⇒ ANC = 90° . Ta có: AMC = APC = APC = 90°

ẠO

TR ẦN

H Ư

⇒ mặt cầu đường kính AC là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP . AC = 2 . Thể tích khối cầu: Bán kính cầu này là r = 2 4 32π V = πr 3 = 3 3 Chọn đáp án A.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

( α ) ⊥ SC, AM ⊂ ( α ) ⇒ AM ⊥ SC ( 2) ⇒ AM ⊥ ( SBC ) ⇒ AM ⊥ MC ⇒ AMC = 90° .

A. V =

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 20. Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a. 5 11 4 A. πa 2 B. πa 2 C. 2πa 2 D. πa 2 3 3 3 Hướng dẫn giải: Gọi M là Trung điểm của AB D Vì Tam giác ADB và tam giác ABC là tam giác đều → DM ⊥ AB; CM ⊥ AB Do có ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau => Góc = 900 DMC O Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABC G G là tâm đường tròn ngoại tiếp Tam giác ABD => H,G đồng thời là trọng tâm của tam giác ABC và C A H ABD 2  M  H ∈ CM ; CH = 3 CM ⇒ B G ∈ DM ; DG = 2 DM  3 Kẻ Đường vuông góc với đáy (ABC) từ H và Đường vuông góc với (ABD) từ G. Do hai đường vuông góc này đều thuộc (DMC) nên chúng cắt nhau tại O. => O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCG và R = OC. 3 3 3 a ⇒ CH = a; HM = a Tam giác ABC đều → CM = CB.sin 600 = 2 3 6 3 a CMTT ta có GM = 6

( )

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 112 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

3 a 6 Tam giác OHC vuông tại H → Áp dụng định lý Pitago ta có: 3 3 3 CM = CB.sin ( 60 ) = a ⇒ CH = a; HM = a 2 3 6 5 5 OC = CH 2 + OH 2 = a = R ⇒ V = 4πR 2 = πa 2 12 3 Chọn đáp án A.

U Y

Từ đó nhận thấy OGMH là hình vuông → OH =

Câu 21. Cho một mặt cầu bán kính bằng 1 . Xét các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu trên. Hỏi thể tích nhỏ nhất của chúng là bao nhiêu? A. min V = 8 3 . B. min V = 4 3 . C. min V = 9 3 . D. min V = 16 3 .

ẠO Đ G

2a 2 ( 2 a ≠ 12 ) a 2 − 12

H Ư

⇒ ( a 2 − 12 ) SH 2 − 2a 2 SH = 0 ⇒ SH =

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn giải: Gọi cạnh đáy của hình chóp là a Ta có ∆SIJ ~ ∆SMH SI IJ ⇒ = ⇒ MH ( SH − IH ) = IJ SH 2 − HM 2 SM MH 2 ⇒ MH 2 ( SH − 1) = SH 2 − HM 2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

B 1 3 2a 4 3 1 S = S ABC .SH = = H M 3 6 a 2 − 12 6 1 − 12 a2 a4 C 1 12 1 Ta có 2 − 4 ≤ ⇒S ≥8 3 a a 48 Chọn đáp án A. Câu 22. Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

3 34 − 17 2 ( cm ) 2 5 34 − 15 2 C. x = ( cm ) 2 Hướng dẫn giải: A. x =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 34 − 19 2 ( cm ) 2 5 34 − 13 2 D. x = ( cm ) 2 B. x =

Trang 113 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S = S MNPQ + 4 xy . Cạnh hình vuông

MN =

MP 2

40 2

(

= 20 2 ( cm ) ⇒ S = 20 2

)

(1)

+ 4 xy = 800 + 4 xy

Ta có 2 x = AB − MN = AB − 20 2 < BD − 20 2 = 40 − 20 2 ⇒ 0 < x < 20 − 10 2 2

+ y 2 = 1600

)

(

Lại có AB 2 + AD 2 = BD 2 = 402 ⇒ 2 x + 20 2

⇒ y 2 = 800 − 80 x 2 − 4 x 2 ⇒ y = 800 − 80 x 2 − 4 x 2

(

U Y

Thế vào (1) ⇒ S = 800 + 4 x 800 − 80 x 2 − 4 x 2 = 800 + 4 800 x 2 − 80 x 3 2 − 4 x 4

)

(

Xét hàm số f ( x ) = 800 x 2 − 80 x 3 2 − 4 x 4 , với x ∈ 0;20 − 10 2 có

f ' ( x ) = 1600 x − 240 x 2 2 − 16 x3 = 16 x 100 − 15 x 2 − x 2

  x ∈ 0;20 − 10 2 5 34 − 15 2  x ∈ 0;20 − 10 2 ⇔ ⇔x= Ta có  2 2  f ' ( x ) = 0 16x 100 − 15x 2 − x = 0  5 34 − 15 2 Khi đó x = chính là giá trị thỏa mãn bài toán. 2 Chọn đáp án C. Câu 23. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50cm và có chiều cao là 50cm. Một đoạn thẳng AB có chiều dài là 100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách d từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ. A. d = 50cm B. d = 50 3cm C. d = 25cm D. d = 25 3cm Hướng dẫn giải: Kẻ AA1 vuông góc với đáy, A1 thuộc đáy. Suy ra: OO1 / / AA1 ⇒ OO1 / / ( AA1B ) ⇒ d ( OO1, AB ) = d ( OO1, ( AA1B ) ) = d ( O1, ( AA1B ) )

)

ẠO

( (

)

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

Tiếp tục kẻ O1 H ⊥ A1B tại H, vì O1H nằm trong đáy nên cũng vuông góc với A1A suy ra: O1H ⊥ ( AA1B ) . Do đó

-L

Í-

d ( OO1, AB ) = d ( OO1, ( AA1B ) ) = d ( O1, ( AA1B ) ) = O1H 2 2 Xét tam giác vuông AA1B ta có A1B = AB − AA1 = 50 3

ÁN

2 2 Vậy O1H = O1A1 − A1H = 25cm

Chọn đáp án C.

ÀN

IỄ N

Câu 24. Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3 với chiều cao là h và bán kính đáy là r. để lượng giấy tiêu thụ là ít nhất thì giá trị của r là: 4

3 2π2

38 2π 2 Hướng dẫn giải: r=

A. r =

B. r =

3 2π 2

D. r =

36 2π 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 114 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

1 81 81 1 Thể tích của cốc: V = πr 2 h = 27 ⇒ r 2h = ⇒ h = . 2 3 π π r Lượng giấy tiêu thụ ít nhất khi và chỉ khi diện tích xung quanh nhỏ nhất.

S xq nhỏ nhất ⇔ r 4 =

N Ơ N

812 1 812 1 812 1 812 1 814 3 r 4. 6 + ≥ 2 π 3 . = 2 3 π (theo BĐT Cauchy) 4π 4 2π 2 r 2 2π 2 r 2 2 π 2 r 2 2π 2 r 2 812 1 38 38 6 6 ⇔ r = ⇔ r = 2 π2 r 2 2π 2 2 π2

U Y

= 2π r 4 +

812 1 812 1 4 = 2 π r + π2 r 4 π2 r 2

S xq = 2πrl = 2πr r 2 + h 2 = 2πr r 2 +

Chọn đáp án B.

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 25. Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều .Thể tích của hình lăng trụ là V. Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là: A. 3 4V B. 3 V C. 3 2V D. 3 6V Hướng dẫn giải: Gọi cạnh đáy của lăng trụ là a, chiều cao lăng trụ là h. a2 3 4V Theo bài ra ta có V = .h → h = 2 4 a 3

TR ẦN

Diện tích toàn phần của lăng trụ là: Stoan phan = S 2 day + S xung quanh = Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: Stoan

phan

a2 3 4V + 3a. 2 2 a 3

a 2 3 4 3V + 2 a

a 2 3 2 3V 2 3V a 2 2 2 3V 2 3V + + ≥ 33 . . a a a a 2 2 2 a 3 2 3V 2 3V = = Dấu bằng xảy ra khi hay a = 3 4V . 2 a a Chọn đáp án A.

10 00

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 26. Trong không gian cho hai điểm phân biệt A, B cố định. Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong 3 không gian thỏa mãn MA.MB = AB 2 4 A. Mặt cầu đường kính AB. B. Tập hợp rỗng (tức là không có điểm M nào thỏa mãn điều kiện trên). C. Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R =AB. 3 D. Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R = AB 4 Hướng dẫn giải: MA + MB + Tam giác MAB có đường trung tuyến IM → MI = 2 MA + MB MI = 2 2 2 2 3 BA + 4. . AB 2 MA + MB MA − MB + 4 MA.MB 2 4 ⇒ MI = = = = AB 2 4 4 4 MI = AB

( )

(

) (

)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

( )

Trang 115 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

IO OB r r 2 + h2 = = ⇒ IS = IO ⋅ IS SB r r 2 + h2 Mặt khác: IO + IS = h Do đó ta có bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp là rh R = IO = r + h2 + r 2 4 4 r 3h 3 Thể tích khối cầu là V2 = πR 3 = π . 3 3 r + h2 + r 2 3

ẠO

U Y

Câu 27. Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu V1 , V2 lần lượt là V thể tích của hình nón và thể tích của khối cầu nội tiếp hình nón. Giá trị bé nhất của tỉ số 1 là V2 5 4 A. . B. . C. 3 . D. 2 . 4 3 Hướng dẫn giải: 1 Ta có: Thể tích khối nón là V1 = πr 2 h . 3 , cắt SO Xét mặt cắt qua tâm SAB, kẻ tia phân giác của góc SBO tại I .

Vậy Tập hợp điểm M trong không gian là Mặt cầu có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R = AB Chọn đáp án C.

G N

10 00

t −1

  3 2  2  . Đặt t = 1 + h ( t ≥ 1 ) ⇒ V1 = (1 + t ) = ( t + 1) r2 V2 4 ( t 2 − 1) 4 ( t − 1)

, Điều kiện: t ≥ 1 , f ′ ( t ) =

t 2 − 2t − 3

( t − 1)

, f ′ ( t ) = 0 ⇔ t = 3 , f ( 3) = 8

-L

Đặt f ( t )

( t + 1) =

)

 h2 1 + 1 + 2  r = 2 h 4 2 r

(

r+ r +h V1 = V2 4rh 2

Í-

⇒

H Ư

TR ẦN )

(

Ta có:

ÁN

BBT ⇒ f ( t ) ≥ 8∀t ≥ 1 ⇒

V1 ≥2 V2

Chọn đáp án D.

IỄ N

ÀN

Câu 28. Giá trị lớn nhất của thể tích khối nón nội tiếp trong khối cầu có bán kính R là 1 4 4 2 3 32 3 πR . πR . A. πR3 . B. πR3 . C. D. 3 3 9 81 Hướng dẫn giải: Rõ ràng trong hai khối nón cùng bán kính đáy nội tiếp trong một khối cầu thì khối nón có chiều cao lớn hơn thì thể tích lớn hơn, nên ta chỉ xét khối nón có chiều cao lớn hơn trong hai khối nón đó. R Giả sử rằng khối nón có đáy là hình tròn ( C ) bán kính r . Gọi x với f ′ ( x ) là khoảng cách giữa tâm khối cầu đến đáy khối nón. Khi đó chiều cao lớn nhất của khối nón nội tiếp khối cầu với đáy là

O x

R r

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 116 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

hình tròn ( C ) sẽ là h = R + x . Khi đó bán kính đáy nón là

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

1 1 1 1 V = πr 2 h = π ( R + x ) ( R 2 − x 2 ) = π ( R + x )( R + x )( R − x ) = π ( R + x )( R + x )( 2 R − 2 x ) 3 3 3 6 3 1 ( R + x + R + x + 2R − 2 x ) 32πR 3 Áp dụng BĐT Cô-si ta có V ≤ π = 6 27 81 Chọn đáp án D.

r = R2 − x2 , suy ra thể tích khối nón là

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 117 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG b

Câu 1. Cho tích phân C = ∫

dx trong đó a là nghiệm của phương trình 2 x

e +3 x

= 2 , b là một số

dương và b > a . Gọi A = ∫ x 2 dx . Tìm chữ số hàng đơn vị của b sao cho C = 3 A . 1

U Y

= 2 eb + 3 − 4

Tính tích phân A ta có A =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

eb + 3

2dt = 2t 2

7 3

Theo giả thiết

ẠO

∫

eb + 3

2t dt = t

Tính tích phân C. Đặt: t = e x + 3 ⇒ t 2 = e x + 3 ⇒ 2tdt = e x dx eb +3

D. 5

C. 4

A. 3 B. 2 Hướng dẫn giải: 2 Giải phương trình 2 x +1 = 2 ⇒ x = 0 ⇒ a = 0

10 00

TR ẦN

H Ư

7 11 109 109 C = 3 A ⇔ 2 eb + 3 − 4 = 3. ⇔ eb + 3 = ⇔ eb = ⇔ b = ln ≈ 3,305053521 3 2 4 4 Chọn đáp án A. e a.e4 + b.e2 + c Câu 2. Cho biết tích phân I = ∫ x ( 2 x 2 + ln x ) dx = với a, b, c là các ước nguyên của 4. 4 1 Tổng a + b + c = ? A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải: I = ∫ x ( 2 x 2 + ln x ) dx = 2 ∫ x3dx + ∫ x ln xdx . 1

Ta có

∫ x ln xdx =

ÁN

I = ∫ x ( 2 x 2 + ln x ) dx = 1

e e 21  1 2 1 2 1 2 x ln x − x dx  = e − x  1 ∫1 x  2  2  2

-L

1 4 1 x = ( e4 − 1) 2 1 2

Í-

2∫ x3dx =

e  e2 + 1 = 1 4

1 4 e 2 + 1 2e 4 + e 2 − 1 e − 1) + = ( 2 4 4

ÀN

Chọn đáp án A.

a + b.xe x . Biết rằng f '(0) = −22 và 3 (x + 1)

Câu 3. Cho hàm số f ( x) =

∫ f ( x)dx = 5 . Khi đó tổng a + b 0

bằng?

IỄ N

−146 B. 12 13 Hướng dẫn giải: −3a f '(x) = + be x (1 + x) 4 (x + 1) f '(0) = −22 ⇔ −3a + b = −22 A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

−26 11

D. 10

(1)

Trang 118 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 3a a x + . ( − 1 ) b e x ⇒ f ( x)dx = 5 ⇔ +b=5 ∫ 2 8 2( x + 1) 0

a = 8

Giải hệ (1) và (2) ta được: 

b = 2

( 2)

⇒ a + b = 10

∫

f ( x)dx = 5 ⇔ −

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

H N

∫

f ( x)dx = 5 . Tính I = ∫ f (1 − x)dx 0

A. 5

B. 10

1 5

Hướng dẫn giải:

x = 0 ⇒ t =1 x =1⇒ t = 0

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

I = − ∫ f (t )dt = 5 1

Chọn đáp án A.

2 2

a.π + b 1 − x2 dx = trong đó a, b ∈ ℕ . Tính tổng a + b ? x 1+ 2 8

2 2

−

2 2

∫ −

π +2 8

∫

1 − x2 dx = 1 + 2x

2 2

∫

1 − x 2 dx

2 2

D. -1

Đặt x = sin t ⇒ I = Chọn đáp án C.

1 − x2 dx + 1 + 2x

10 00

−

1 − x2 dx = 1 + 2x

C. 3

∫

B. 1

A. 0 Hướng dẫn giải:

TR ẦN

H Ư

∫

Câu 5. Biết tích phân

2 2

ẠO

Đặt t = 1 − x ⇒ dt = dx ,

U Y

Câu 4. Cho

Chọn đáp án D.

-L

Í-

∫ x cos 2 xdx = 4 ( a sin 2 + b cos 2 + c ) , với a, b, c ∈ ℤ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 6. Biết rằng

B. a − b + c = 0 C. a + 2b + c = 1 D. 2a + b + c = −1  du = dx 1 u=x 1  x.sin 2x 1 1 sin 2 1  ⇔ Đặt  − ∫ sin 2xdx = + cos 2x sin 2x . Khi đó I = 0 20 0 2 2 4 dv = cos 2xdx  v = 2 a=2 sin 2 cos 2 1 1  = + − = ( 2.sin 2 + cos 2 − 1) ⇒  b = 1 ⇒ a − b + c = 0 2 4 4 4  c = −1  Chọn đáp án B. tan x π  Câu 7. Cho F(x) là một nguyên hàm của f ( x ) = , biết F ( 0 ) = 0 , F   = 1 . Tính 2 4 cos x 1 + a cos x

IỄ N

ÀN

ÁN

A. a + b + c = 1

π  π  F  − F ? 3 4 A. 5 − 3 Hướng dẫn giải:

5 −1

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3+ 5

5− 2

Trang 119 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A π

∫

f ( x )dx = ∫

⇒ tan 2

tan x 2

cos x 1 + a cos x

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12 π 4

tan x

dx = ∫

cos x tan x + 1 + a

dx = ∫ 0

1 2

2 tan x + 1 + a

d tan 2 x + 1 + a

+ 1 + a − tan 2 0 + 1 + a = 3 − 2 .

(

)

3 − 2 +5−2 6

⇒ a + 2 = a +1+ 2 a +1

4 ⇒ a + 2 = a +1 + 3 − 2

U Y

3− 6 = a +1 ⇒ a = 1 3− 2

⇒

tan 2

π 3

+ 2 − tan 2

+2 = 5− 3.

tan x π  π  Do đó F   − F   = ∫ dx = 3  4  π cos x 1 + cos 2 x

ẠO

∫ 1 + f ( x)

f ( x) f (a − x) = 1 . Tính

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chọn đáp án A. Câu 8. Cho f ( x) là hàm liên tục và a > 0 . Giả sử rằng với mọi x ∈[0; a] , ta có f ( x) > 0 và

B. 2a

10 00

Chọn đáp án A. 2

ÀN

Í2

x 2004 .dx = ∫ x 3 (1 + x 2 )1002 1

I =∫

ÁN

Hướng dẫn giải:

x 2001 ∫1 (1 + x 2 )1002 dx có giá trị là 1 B. . 2001.21001

-L

1 . 2002.21001

dx dt f (t )dt ∫0 1 + f ( x) = −∫a 1 + f (a − t ) = ∫0 f (t ) + 1

∫ 1 + f ( x) = 2

Câu 9. Tích phân I =

D. a ln( a + 1)

a 3

TR ẦN

Đặt t = a − x ta có: Suy ra:

H Ư

a A. 2 Hướng dẫn giải:

1 1002

 1  x 3  2 + 1 x 

.dx . Đặt t =

1 . 2001.21002

1 . 2002.21002

1 2 + 1 ⇒ dt = − 3 dx . 2 x x

IỄ N

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 120 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

0, 5m

19m

0,5m 3

C. 18m3 .

B. 21m .

D. 40m3 .

ẠO

A. 19m .

0, 5m

Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

10 00

TR ẦN

H Ư

Ta có

-L

Í-

 19  Gọi ( P1 ) : y = ax2 + c là Parabol đi qua hai điểm A  ;0  , B ( 0; 2 ) 2  2  8   19  8 2 0 = a.   + 2 a = − ⇔ x +2 Nên ta có hệ phương trình sau:  361 ⇒ ( P1 ) : y = −  2 361 2 = b b = 2 

Câu

ÁN

 5 2 Gọi ( P2 ) : y = ax + c là Parabol đi qua hai điểm C (10;0 ) , D  0;   2 11.

Cho

f ,g

là

hai

hàm

liên

t ục

trên

[1;3]

thỏa: ∫  f ( x ) + 3 g ( x )  dx = 10 . 1

ÀN

∫  2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 . Tính ∫  f ( x ) + g ( x ) dx . 1

IỄ N

A. 8. Hướng dẫn giải: 3

+ Ta có

B. 9.

C. 6. 3

D. 7.

∫  f ( x ) + 3g ( x ) dx = 10 ⇔ ∫ f ( x ) dx + 3∫ g ( x ) dx = 10 . 1

+ Tương tự

∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = 6 ⇔ 2∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx = 6 .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 121 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

3 3 u + 3v = 10 u = 4 + Xét hệ phương trình  , trong đó u = ∫ f ( x ) dx , v = ∫ g ( x ) dx . ⇔ 2u − v = 6 v = 2 1 1

+ Khi đó

∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = 4 + 2 = 6 .

5 1 2   a = − 40 0 = a. (10 ) + 2 1 5 Nên ta có hệ phương trình sau:  ⇔ ⇒ ( P2 ) : y = − x 2 + 40 2 5 = b b = 5  2  2

U Y

19  10  1 2 5   8 2   x + 2 dx  = 40m3 Ta có thể tích của bê tông là: V = 5.2  ∫  − x + dx − ∫ 2  − 0 0 2  361     40 2x Câu 12. Gọi S a là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e − 2e x , trục Ox và đường thẳng x = a với a < ln 2 . Kết quả giới hạn lim S a là:

∫ (e a

D. 4

1 − 2e x ) dx = e 2 a − 2e a + 2 2

ln 2

Ta có S a =

C. 3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B. 2

ẠO

a →−∞

A. 1 Hướng dẫn giải:

H Ư

Suy ra lim Sa = 2 , chọn đáp án B. a →−∞

10 00

TR ẦN

Câu 13. Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. A. 132π (dm3) B. 41π (dm3) 100 π (dm3) C. D. 43π (dm3) 3 3dm 5dm 3dm

Hướng dẫn giải: Đặt hệ trục với tâm O, là tâm của mặt cầu; đường thẳng đứng là Ox, đường ngang là Oy; đường tròn lớn có phương trình x 2 + y 2 = 25 .

Í-

Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox, đường cong y = 25 − x 2 , x = 3, x = −3 quay quanh Ox. 3

-L

V = π ∫ (25 − x 2 ) dx = 132π (bấm máy) −3

ÁN

Câu 14. Một vật di chuyển với gia tốc a ( t ) = −20 (1 + 2t )

−2

( m / s ) . Khi 2

t = 0 thì vận tốc của vật là

IỄ N

ÀN

30m / s . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị). A. S = 106m . B. S = 107 m . C. S = 108m . D. S = 109m . Hướng dẫn giải: 10 −2 + C . Theo đề ta có Ta có v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ −20 (1 + 2t ) dt = 1 + 2t v ( 0 ) = 30 ⇔ C + 10 = 30 ⇔ C = 20 . Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là: 2

2  10  S = ∫ + 20  dt = ( 5ln (1 + 2t ) + 20t ) = 5ln 5 + 100 ≈ 108m . 0 1 + 2t  0

Câu 15. Tìm giá trị của tham số m sao cho: y = x 3 − 3x + 2 và y = m(x+2) giới hạn bởi hai hình phẳng có cùng diện tích A. 0 < m < 1 B. m = 1 C. 1 < m < 9 D. m = 9 Hướng dẫn giải:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 122 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − 3x + 2 = m(x + 2)

⇔ x = −2 hoÆc x = 1 ± m , m ≥ 0. Điều kiện d: y = m(x+2) và (C): y = x 3 − 3x + 2 giới hạn 2 hình phẳng: 0 < m ≠ 9. Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích các hình phẳng nhận được theo thứ tự từ trái sang phải. 3

− 4x)dx = 4

∫ (x

Nếu m = 1: d đi qua điểm uốn (0;2) của (C). Khi đó S1 = S2 =

−2

U Y

Nếu 0 < m < 1: S1 > 4 > S2 Nếu 1 < m < 9: S1 < 4 < S2 Nếu m > 9 ⇒ 1 − m < −2; 1 + m > 4. Khi đó:

∫

x 3 − 3x + 2 − m(x + 2) dx

−2

1− m

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

S2 − S1 = 2m m > 0 Vậy m = 1 thỏa yêu cầu bài toán

xdx , n ∈ ℕ , n ≥ 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?

∫ cos

π 2

Câu 16. Cho I n =

C. I n =

n −1 I n −2 n

D. I n = 2I n −2

π 2

∫ cos xdx = 1 . 0

x ⇒ du = − (n − 1) cosn −2 x .sin xdx .

10 00

Đặt u = cos

n −1

n −2 I n −2 n

π ;I = 2 1

B. I n =

TR ẦN

n −1 I n −1 n Hướng dẫn giải:

A. I n =

H Ư

Với I 0 =

∫

1+ m

x 3 − 3x + 2 − m(x + 2) dx; S2 =

−2

S1 =

dv = cos xdx chọn v = sin x .

Suy ra

π 2

xdx = cosn −1 x .sin x

Í-

π 2

(

)

+ (n − 1) ∫ cosn −2 x . sin2 xdx = (n − 1) ∫ cosn −2 x . 1 − cos2 x dx

∫ cos

π 2

-L

= (n − 1) ∫ cosn −2 x .dx − (n − 1) ∫ cosn x .dx .

ÁN

π 2

∫ cos

Do đó

x .dx =

0 π 2

n −1 cosn −2 x .dx . ∫ n 0

ÀN

Chọn đáp án C.

IỄ N

1 1 Xét hàm số y = x 3 + mx 2 − 2 x − 2m − trên [0;2 ] . Ta có y ′ = x 2 + 2 mx − 2 , 3 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 123 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

 x = −m − m 2 + 2  5  ′ y =0⇔ . Do m ∈ 0;  nên −m − m 2 + 2 < 0, 0 < −m + m 2 + 2 < 2  2  6  x = −m + m + 2

U Y

y (0 )

y (2 )

1 5 và y (0) = −2m − < 0, y (2 ) = 2m − < 0. 3 3 Ta có bảng biến thiên trong [0;2 ] x 0 −m + m 2 + 2 − 0 y′

ẠO Đ G N H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Dựa vào BBT suy ra y < 0, ∀x ∈ (0;2) Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có: 2 1 1 S = 4 ⇔ ∫ x 3 + mx 2 − 2 x − 2 m − dx = 4 3 3 0 2

TR ẦN

1 1  4 m + 10 1 ⇔ −∫  x 3 + mx 2 − 2 x − 2 m − dx  = 4 ⇔ =4⇔m=  3 3  3 2 0 Chọn đáp án C.

2017.cos α

∫

x 2 tan 2 α .dx =

ÁN

V =π

-L

Í-

10 00

Câu 18. Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB vuông ở A, điểm B nằm trong góc phàn tư thứ nhất. A π  nằm trên trục hoành, OB = 2017. Góc AOB = α ,  0 < α <  . Khi quay tam giác đó quanh trục Ox ta 3  được khối nón tròn xoay. Thể tích của khối nón lớn nhất khi: 6 3 1 2 D. sin α = A. sin α = B. cos α = C. cos α = 3 2 2 3 Hướng dẫn giải: Phương trình đường thẳng OB : y = x.tan α ; OA = 2017 cos α . Khi đó thể tích nón tròn xoay là:

20173.π 20173.π .cos α .sin 2 α = .cos α 1 − cos 2 α . 3 3

(

 1  2

(

ÀN

Đặt t = cos α ⇒ t ∈  0;  . Xét hàm số f ( t ) = t 1 − t

IỄ N

Ta tìm được f ( t ) lớn nhất khi t =

Chọn đáp án A.

)

) , t ∈  0; 12  .

3 3 6 . ⇒ cos α = ⇒ sin α = 3 3 3

Câu 19. Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 124 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

(

)

U Y

)

(

D. V = 1350 cm 3

(

)

(

)

( )

S x (xem hình).

Dễ thấy NP = y và

MN = NP tan 450 = y = 15 − x 2 khi đó

TR ẦN

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là

y = 225 − x 2 , x ∈  −15;15  Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x , x ∈  −15;15 

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

(

Hình 1 Hình 2 Kí hiệuV là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính V . 225π cm 3 A. V = 2250 cm 3 B. V = C. V = 1250 cm 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình:

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

10 00

1 1 MN .NP = . 225 − x 2 suy ra thể tích 2 2

(

( )

S x =

)

∫ ( )

1 . 225 − x 2 dx = 2250 cm 3 2 −∫15

S x dx =

hình nêm là: V =

−15

(

)

( )

Câu 20. Tìm tham số m để đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m + 2 ( C ) cắt trục ox tại bốn điểm phân

ÁN

-L

Í-

biệt và thỏa mãn hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục ox của phần nằm phía trên trục ox có diện tích bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục ox của phần nằm phía dưới trục ox . A. 3 B. -3 C. 2 D. 4 Hướng dẫn giải: Điều kiện để (C) cắt trục ox tại 4 điểm phân biệt là m > 2 Do tính đối xứng của đồ thị qua trục tung nên bài toán xảy ra khi

)

ÀN

∫(

IỄ N

⇔

(

)

x 4 − 2mx 2 + m + 2 dx = − ∫ x 4 − 2mx 2 + m + 2 dx x4

∫ (x

x3 4

)

− 2mx 2 + m + 2 dx =0 ⇔ 3x44 − 10mx42 + 15 ( m + 2 ) = 0

 x44 − 2mx42 + m + 2 = 0 3m + 6 ⇒ x42 = ⇒m=3 Suy ra x4 là nghiệm của hệ  4 2 m 3 x4 − 10mx4 + 15 ( m + 2 ) = 0

Chọn đáp án A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 125 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 21. Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 + m có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục hoành. Với giá trị nào của m thì S = S ' ?

20 9 4 2 Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm x − 4 x + m = 0 (*) Đặt x 2 = t ; t ≥ 0 , phương trình trở thành: t 2 − 4t + m = 0 (**)

2 9

D. m = 1

C. m =

B. m =

A. m = 2

S = S ' ⇔ ∫ ( x − 4 x + m )dx = ∫ ( x 4 − 4 x 2 + m )dx 4

−1

2 2

Đ H Ư

Chọn đáp án C.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

4t t ⇔ ∫ ( x − 4 x + m )dx = 0 ⇔ − 2 + m = 0 5 3 0 20 Kết hợp với (**) ta được m = . 9 t2

U Y

Để S>0, S’>0 thì 0<m<4. Khi đó (*) có 4 nghiệm phân biệt − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 với t1 ; t2 , ( t1 < t2 ) là hai nghiệm dương phân biệt của (**) y = f ( x) Do ĐTHS hàm bậc 4 nhận Oy làm trục đối xứng nên y

−3

TR ẦN

Câu 22. Cho y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0 ) có đồ thị ( C ) . Biết rằng đồ thị ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm và đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) cho bởi hình

27 . 4 5 D. S = . 4

A. S = 9 .

10 00

B. S =

21 . 4 Hướng dẫn giải: 2 Từ đồ thị suy ra f ′ ( x ) = 3x − 3 .

C. S =

vẽ bên. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) và trục hoành.

-L

Í-

f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( 3 x 2 − 3) dx = x3 − 3x + C . Do ( C ) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ x0 âm nên

ÁN

f ′ ( x0 ) = 0 ⇔ 3x02 − 3 = 0 ⇔ x0 = −1 .

Vậy f ( −1) = 4 nên có ngay C = 2 . Vậy phương trình đường cong ( C ) là y = x 3 − 3 x + 2 .

ÀN

 x = −2 Xét phương trình x 3 − 3 x + 2 = 0 ⇔  . x = 1

IỄ N

Diện tích hình phẳng cần tìm là

∫ (x −2

− 3x + 2 ) dx =

Chọn đáp án B.

27 . 4 2

Câu 23. Cho y = f ( x ) là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn [ −6;6]. Biết rằng

∫ f ( x ) dx = 8

và

−1 3

∫ 1

f ( −2 x ) dx = 3. Tính

∫ f ( x ) dx. −1

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 126 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

B. I = 5 .

A. I = 11 . Hướng dẫn giải:

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

C. I = 2 .

D. I = 14 .

Xét tích phân K = ∫ f ( −2 x ) dx 1

du 2

Đặt u = −2 x ⇒ du = −2dx ⇒ dx = −

∫

H N

∫ f ( x ) dx = 6 .

−6

−2

f ( x ) dx =

∫ f ( x ) dx = 6 .

Vì f là hàm chẵn trên [ −6;6] nên

−2

U Y

−2

1 1 f ( u ) du = ∫ f ( x ) dx . Mà K = 3 , nên ∫ 2 −2 2 −6 −6

−1

−6

Vậy, K = −

Đổi cận: Khi x = 1 ⇒ u = −2 ; x = 3 ⇒ u = −6

Từ đó suy ra I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 8 + 6 = 14 .

ẠO

(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chọn đáp án D.

)

B. S = −4

C. S = −2 2

A. S = 2 Hướng dẫn giải:

H Ư

Câu 24. Biết ∫ ex 2x + e x dx = a.e4 + b.e2 + c với a, b, c là các số hữu tỷ. Tính S = a + b + c D. S = 4

10 00

TR ẦN

2 e 2x ex 1 2 + 2∫ xe x dx = − + 2∫ xex dx Ta có I = ∫ e ( 2x + e ) dx = ∫ e dx + ∫ 2x.e dx = 2 0 2 2 0 0 0 0 0 Đặt 2 2 2 2 u = x du = dx e4 1 e4 1 e4 3 x x 2 x ⇒ ⇒ = − + − = − + − = + 2e2 + I 2x.e 2 e dx 2x.e 2e ( ) ( ) ( ) ∫   x x 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 dv = e dx  v = e 2

Í-

1 3  a = ;c = ⇒ 2 2 ⇒S= a+b+c = 4 b = 2 Chọn đáp án D. 1 2

1 3

2n n+1

B. T = 2 n + 1

ÁN

A. T =

-L

Câu 25. Rút gọn biểu thức: T = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... +

D. T =

2 n+1 − 1 n+1

Hướng dẫn giải: Ta có

1 C n , n ∈ ℕ* . n+1 n 2n − 1 C. T = n+1

1 1 1 1 1 1 1 Cn + ... + Cnn . Nhận thấy các số ; ; ; ...; thay đổi ta nghĩ ngay đến biểu thức 2 n+1 1 2 3 n+1 1 n +1 n ∫ x dx = n + 1 x + c .

IỄ N

ÀN

T = Cn0 +

Ở đây ta sẽ có lời giải như sau: ( 1 + x ) = Cn0 + xCn1 + x 2 Cn2 + x3 Cn3 + ... + xnCnn . Khi đó ta suy ra

∫ (1 + x ) 0

⇔

(

)

dx = ∫ C n0 + xCn1 + x 2 C n2 + x 3 C n3 + ... + x n C nn dx 0

 0 n+1 1 2n+1 − 1 1 1 1 1 x2 1 x3 3 xn+ 1 n  1 Cnn . ⇔ = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + x + 1 = C x + C + C + ... + C ( ) 0  n 2 n 3 n n  0 n + 1 2 3 n + 1 n+1 n + 1  

Chọn đáp án D.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 127 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Câu 26. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

)

(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12 1

trên khoảng ( −∞; +∞ ) ?

1 + x2

)

(

A. F ( x ) = ln x + 1 + x2 + C

B. F ( x ) = ln 1 + 1 + x2 + C

C. F ( x ) = 1 + x2 + C

D. F ( x ) =

1 + x2

Hướng dẫn giải:



=∫

x +a

U Y

x +a

= ln x + x 2 + a + c ( a ∈ ℝ )

 x + x2 + a tdx dt dx dt dx ⇔ dt = ⇔ =  ⇔ = 2 2 2 t 2 x +a x +a x +a 2x

1 + x2

Đ H Ư

Chọn đáp án A.

π 2

2 x −1.cos x ∫π 1 + 2x dx

TR ẦN

Câu 27. Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của

−

1 A. 2 Hướng dẫn giải:

∫ π 2

cosx 2 cos x dx = ∫ dx − x x 1+ 2 0 (1 + 2 ) .2

−

π 2

x −1

Ta có:

B. 0

C. 2

−

π 2

D. 1

∫ 0

2 x cos x dx (1) (1 + 2x ) .2

π π thì t = và dx = −dt 2 2 π

-L

Í-

Đặt x = − t ta có x = 0 thì t = 0, x = π 2

10 00

π 2

)

(

dx = ln x + 1 + x 2 + c = ln x + 1 + x 2 + c .

x2 + a

dt = ln t + c = ln x + x 2 + a + c ( điều phải chứng minh). t

Khi đó áp dụng công thức vừa chứng minh ta có F ( x) = ∫

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

∫



Đặt t = x + x 2 + a ⇒ dt =  1 + Vậy khi đó

∫

Bài toán gốc: Chứng minh

Ta có bài toán gốc sau:

ÁN

2 −t 2 2 2 cos ( − t ) 2 x cos x cos t cos x dx d t dt = − = − = − ( ) ∫0 (1 + 2x ) .2 ∫0 (1 + 2− t ) .2 ∫0 (1 + 2t ) .2 ∫0 (1 + 2x ) .2 dx

π 2

Thay vào (1) có

π 2

(1 + 2 ) cos x 2 cosx 2 cos x cos x cos x sin x = ∫ 1 + 2 dx = ∫ (1 + 2 ) .2 dx + ∫ (1 + 2 ) .2 dx = ∫ (1 + 2 ) .2 dx = ∫ 2 dx 2 S

ÀN

x −1

π 2

IỄ N

−

Vậy

π 2

1 2

π 2

2 x −1 cosx 1 ∫π 1 + 2x dx = 2

−

Chọn đáp án A. Câu 28. Người ta dựng một cái lều vải ( H ) có dạng hình

c6 1m

“chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của ( H ) là một hình lục giác đều cạnh 3 m . Chiều cao SO = 6 m

c3 O

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 128 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 3m

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

( SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của ( H ) là các sợi dây c1 , c2 , c3 , c4 , c5 , c6 nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử giao tuyến (nếu có) của ( H ) với mặt phẳng ( P ) vuông góc với SO là một lục giác đều và khi ( P ) qua trung điểm của SO thì lục giác

ẠO N

A ( 0;6 )

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

1 7 B (1;3) , C ( 3;0 ) nên có phương trình là y = x 2 − x + 6 2 2 Theo hình vẽ ta có cạnh của “thiết diện lục giác” là BM . 7 1 Nếu ta đặt t = OM thì BM = − 2t + (chú ý là ta phải 2 4 lấy giá trị có dấu “ − ” trước dấu căn và cho B chạy từ C đến A ). Khi đó, diện tích của “thiết diện lục giác” bằng

U Y

135 3 96 3 ( m3 ). B. ( m3 ). 5 5 135 3 135 3 C. ( m3 ). D. ( m3 ). 4 8 Hướng dẫn giải: Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có parabol cần tìm đi qua 3 điểm có tọa độ lần lượt là A ( 0;6 ) , A.

đều có cạnh 1 m . Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều ( H ) đó.

B (1;3)

TR ẦN

1 BM 2 3 3 3  7 S ( t ) = 6. =  − 2t +  với t ∈ [ 0;6] . 4 2 2 4 Vậy thể tích của “túp lều” theo đề bài là: 3 37 1 135 3 V = ∫ S ( t ) dt = ∫  − 2t +  dt = ... = 2 2 4 8 0 0 6

10 00

C ( 3;0 )

Chọn đáp án D.

Câu 29. Xét hàm số y = f ( x ) liên tục trên miền D = [ a; b] có đồ thị là một đường cong C . Gọi S là

-L

Í-

phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x = a , x = b . Người ta chứng minh được rằng diện tích mặt b

ÁN

cong tròn xoay tạo thành khi xoay S quanh Ox bằng S = 2π ∫ f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) dx . Theo kết quả a

IỄ N

ÀN

2 2 x 2 − ln x x 2 ln x 1 1  1 1  = − ⇒ f ′( x) = x − ⇒ ( f ′ ( x )) =  x −  = x2 + − Ta có f ( x ) = 2 4 2 4 4x 4x  16 x 2  1 > 0, ∀x ∈ (1; e ) , nên f ( x ) đồng biến trên [1;e] . Suy ra Lại có f ′ ( x ) = x − 4x 1 f ( x ) ≥ f (1) = > 0, ∀x ∈ [1; e] . 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 129 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Từ đây ta thực hiện phép tính như sau b e 2  x 2 ln x  1 1  2 S = 2π ∫ f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) dx = 2π ∫  − −  dx  1+  x + 2 2 4  16 x 2   1 a

e  x 2 ln x  2  x 2 ln x   1 1 1  S = 2π ∫  − x d x 2 + + = π   −   x +  dx 2 ∫ 2 4  16 x 2 2 4   4x  1 1 e

e  x 2 ln x   1  = 2π ∫  −  x +  dx 2 4  4x  1 e

U Y

1 1 1 ln x  1 = 2π ∫  x3 + x − x ln x −  dx 2 8 4 16 x  1

= 2π ( I1 + I 2 + I 3 ) e

ẠO

TR ẦN

H Ư

1 2 1  1 ln x  I3 = ∫  −  dx = − ln x = − . 1 32 32  16 x  1 Chọn đáp án D. e

11 2 1 1  1  I 2 = ∫  − x ln x  dx = − x ( 2ln x − 1) = − e2 − 1 44 16 16  4  1 e

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Với

 x4 x2  1  2e 4 + e 2 − 3 1 I1 = ∫  x3 + x  dx =  +  = 1 8  16 2  8 16  1 e

x4 − 2m 2 x 2 + 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị 2 của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua 64 là điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng 15  2   1  ; ±1 . A. ∅ . B. {±1} . C. ± D. ± ; ±1 .  2   2  Hướng dẫn giải: Tập xác định D = ℝ x = 0  y ′ = 2 x3 − 4m 2 x = 2 x ( x 2 − 2m 2 ) ; y ′ = 0 ⇔  x = 2 m  x = − 2m  Đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu ⇔ m ≠ 0 1 Vì a = > 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0 suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là A ( 0;2 ) 2 Đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình là d : y = 2 .

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 30. Cho hàm số y =

Phương trình hoành độ giao điểm của ( Cm ) và d là:

x = 0 2  x = 0  x4 − 2m 2 x 2 + 2 = 2 ⇔  2 ⇔ x = 2 m 2 2  x = 4m   x = −2 m Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý rằng hàm số đã cho là hàm chẵn)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 130 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2m

∫ −2 m

x4 x4 − 2 m 2 x 2 dx = 2 ∫ − 2 m 2 x 2 dx = 2 2 2 0

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12 2m

∫ 0

 x4 2 2  − 2 m x  dx  2 

U Y

 x5 2  2 m 64 5 = 2  − m2 x3  = m 15  10 3 0 m = 1 64 Ta có S = ⇔ m =1⇔  15  m = −1 Chọn đáp án B.

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 31. Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu) A. 20m3 B. 50m3 C. 40m3 D. 100m3

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)

Gọi Parabol trên có phương trình ( P1 ): y1 = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx (do (P) đi qua O) 20 1 ⇒ y2 = ax 2 + bx − = ax 2 + bx − là phương trình parabol dưới 100 5 2 2 4 2 2 4 1 Ta có (P1 ) đi qua I và A ⇒ ( P1 ) : y1 = − x + x ⇒ y2 = − x + x− 625 25 625 25 5

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 131 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là S = 2 S1 với S1 là phần giới hạn bởi y1; y2 trong khoảng (0; 25) 0,2

S = 2( ∫ (− 0

2 2 4 1 x + x)dx + ∫ dx) ≈ 9, 9m 2 625 25 5 0,2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 132 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ

U Y

 x = −1 + 2t  phương trình tham số  y = 1 − t ( t ∈ ℝ ) . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ , xác định vị trí  z = 2t  của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó toạ độ của điểm M là: B. M ( 2; 4;3) C. M ( −3;2; −2 ) A. M (1;0;2 ) D. M (1;4;3)

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;5;0 ) , B ( 3;3;6 ) và đường thẳng ∆ có

Hướng dẫn giải: Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.

(

+ 2 5

( 3t − 6 )

)

(

+ 2 5

( 3t )

(

)

⇒ AM + BM =| u | + | v | và u + v = 6;4 5 ⇒| u + v |= 2 29

(

 | u |= Ta có  | v |= 

)

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(

ẠO

Điểm M ∈ ∆ nên M ( −1 + 2t ;1 − t ;2t ) ; AM + BM = (3t ) 2 + (2 5) 2 + (3t − 6) 2 + (2 5) 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta xét hai vectơ u = 3t ;2 5 và v = −3t + 6;2 5 .

)

TR ẦN

Mặt khác, ta luôn có | u | + | v |≥| u + v | Như vậy AM + BM ≥ 2 29 3t 2 5 = ⇔ t =1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u , v cùng hướng ⇔ −3t + 6

2 5

⇒ M (1;0;2 ) và min ( AM + BM ) = 2 29 . Vậy khi M (1;0; 2 ) thì min P = 2

11 + 29

)

10 00

Chọn đáp án A.

(

Í-

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các phương trình mặt phẳng (αm ) : 3mx + 5 1 − m 2 y + 4mz + 20 = 0, m ∈ −1;1 . Xét các mệnh đề sau: (I) Với mọi m ∈ −1;1 thì các mặt phẳng (αm ) luôn tiếp xúc với một mặt cầu không đổi.  

-L

(II) Với mọi m ≠ 0 thì các mặt phẳng (αm ) luôn cắt mặt phẳng (Oxz).

IỄ N

ÀN

ÁN

(III) d O; (αm ) = 5, ∀m ∈ −1;1 .   Khẳng định nào sau đây đúng? A. Chỉ (I) và (II) B. Chỉ (I) và (III) C. Chỉ (II) và (III) D. Cả 3 đều đúng. Hướng dẫn giải: 20 20 + Ta có d O; (αm ) = = = 4 , với mọi m ∈ −1;1 .   2 2 2 25 9m + 25 (1 − m ) + 16m Do đó với mọi m thay đổi trên −1;1 thì các mặt phẳng (αm ) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O, bán   kính R = 4 . Khẳng đinh (I) đúng. + Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (αm ) là n = 3m;5 1 − m 2 ; 4m và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz) là j = (0;1; 0) .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(

)

Trang 133 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

(α ) cắt (Oxz) khi và chỉ khi n; j  ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 . Khẳng đinh (II) đúng.

U Y

+ Khẳng đinh (III) sai. Chọn đáp án A. Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng: x = t x − 2 y + 1 z −1  ∆1 : = = , ∆ 2 :  y = 2 − t và mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 6 z − 5 = 0 1 2 −3  z = 1 + 2t  Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với hai đường thẳng ∆1 , ∆ 2 và cắt mặt cầu (S) theo giao

2 365π . 5 A. x − 5 y − 3z − 4 = 0; x − 5 y − 3z + 10 = 0 B. x − 5 y − 3z + 10 = 0

Đ G N

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

C. x − 5 y − 3 z + 3 + 511 = 0; x − 5 y − 3 z + 3 − 511 = 0 D. x − 5 y − 3z − 4 = 0 Chọn đáp án B. Hướng dẫn giải: + ∆1 qua M 1 (2; −1;1) và có vectơ chỉ phương u1 = (1;2; −3) . ∆ 2 qua M 2 (0; 2;1) và có vectơ chỉ phương u2 = (1; −1; 2) .

ẠO

tuyến là đường tròn (C) có chu vi bằng

TR ẦN

+ Mặt phẳng (α) song song với ∆1 , ∆ 2 nên có vectơ pháp tuyến: u1 , u2  = (1; −5; −3) ⇒ Phương trình mặt phẳng (α) có dạng: x − 5 y − 3z + D = 0 + Mặt cầu (S) có tâm I(1; −1;3) và bán kính R = 4 .

10 00

2 365π 365 ⇒r= 5 5 = − 4 D D − 3  35 35 Khi đó: d ( I , (α ) ) = R 2 − r 2 = ⇒ = ⇔ 5 5 35  D = 10 + Phương trình mặt phẳng (α ) : x − 5 y − 3z − 4 = 0 (1) hay x − 5 y − 3z + 10 = 0 (2) . Vì ∆1 / /(α ), ∆ 2 / /(α ) nên M1 và M2 không thuộc (α ) ⇒ loại (1).

Í-

Gọi r là bán kính đường tròn (C), ta có: 2π r =

ÁN

-L

Vậy phương trình mặt phẳng (α) cần tìm là: x − 5 y − 3z + 10 = 0 . Chọn đáp án B. x = 3+ t  Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng d:  y = −2 − t và d’:   z = 2t

x = t '  y = 5+t'   z = 2t ' − 3 2 − 5

ÀN

Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) và tạo với mặt phẳng Oyz một góc nhỏ nhất. A. 3 x + y + 2 z + 7 = 0 . B. 3 x − y − 2 z − 7 = 0 .

IỄ N

C. −3 x + y − 2 z + 7 = 0 . Hướng dẫn giải:

D. 3 x + y − 2 z − 7 = 0 . →

Giả sử (β): Ax + By + Cz + D = 0 (đk: A2 + B 2 + C 2 > 0 ), (β) có vtpt là n = ( A; B; C )  A ∈ ( β )  D = − A + 2C 2 3 A − 2 B + D = 0 d ⊂ (β) ⇔ → → ⇔  ⇔   A − B + C 2 = 0  B = A + C 2  n . a = 0

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 134 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

→ →

cos(( β ),(Oyz )) = cos( n , i ) =

Ơ H N U Y

6 2 12 C 3+ ) + 3 9 A

(

A2 + ( A + C 2) 2 + C 2 TH 1: A = 0 (không thoả đb hoặc ( β ),(Oyz ) không nhỏ nhất) TH 2: A ≠ 0, ta có: 1 1 = = cos(( β ),(Oyz )) = C C 2 2 6 12 C C 1 + (1 + 2) + ( ) ( 3) 2 + 2. 2 + ( )2 + A A 3 9 A A 1

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

6 2 C C 6 ( 3+ ) nhỏ nhất ⇔ 3+ =0 β ),(Oyz ) nhỏ nhất ⇔ cos(( β ),(Oyz )) lớn nhất ⇔ ( A 3 A 3 1   A = 1 (choïn) B=    3 . Vậy: (β): 3 x + y − 2 z − 7 = 0 ⇔  nên  2 C = − D = − 7 3   3 Chọn đáp án D.  x = −t  Câu 5. Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y = −1 + 2 t và   z = 2 + t mp ( P ) : 2 x − y − 2 z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng ( R ) qua d và tạo với ( P ) một góc nhỏ

10 00

nhất. A. x − y − z + 3 = 0 C. x + y + z + 3 = 0 Hướng dẫn giải:

B. x + y − z + 3 = 0 D. x − y + z + 3 = 0

ÀN

ÁN

-L

Í-

 x y +1  = 2 x + y + 1 = 0 − 2 Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng:  1 . ⇔   x z − 2  x + z − 2 = 0 =  1 −1 Do vậy mặt phẳng ( R ) qua d thì ( R ) thuộc chùm mặt phẳng: 2 x + y + 1 + m ( x + z − 2 ) = 0 . Hay mp ( R ) : (2 + m ) x + y + mz + 1 − 2m = 0 (*). Mp ( R ) có n1 = (m + 2;1; m ); nP = (2; −1;−2 ) . Vậy: 2 (m + 2 ) + 1 − 2 m 5 5 1 5 n1.nP cos α = = = = ≤ 2 2 2 n1 nP (m + 2 ) + 1 + m 2 4 + 1 + 4 3 2m + 4 m + 5 3 2 (m + 1) + 3 3 3

IỄ N

Do α nhỏ nhất cho nên cos α lớn nhất khi m = −1 . Vậy thay vào (*) ta có mp ( R ) : x + y − z + 3 = 0 .

Chọn đáp án B. Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) là mặt phẳng qua hai điểm A(2;0;1) và

B (−2;0;5) đồng thời hợp với mặt phẳng (Oxz ) một góc 450 . Khoảng cách từ O tới (α ) là:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 135 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

1 3 2 3 B. C. . D. . . . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi K ; H lần lượt là hình chiếu vuông góc điểm O lên đường thẳng AB và mặt phẳng (α ). A.

Ta có: A, B ∈ ( Oxz )

N K 45

ẠO

Suy ra tam giác OHK vuông cân tại H OK Khi đó: d ( O, (α ) ) = OH = . 2 OA ∧ AB 3 . = Mặt khác: OK = d ( O, AB ) = 2 AB

OK 3 = . 2 2

H Ư

Khi đó: d ( O, (α ) ) = OH =

U Y

)

) (

Oxz ) , (α ) = KH ⇒ ( , OK = OKH

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

OH ⊥ (α )  HK ⊥ AB ⇒  OK ⊥ AB OK ⊥ AB

(

⇒ (α ) ∩ ( Oxz ) = AB

TR ẦN

Chọn đáp án A.

Í-

10 00

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x – y + z + 1 = 0 và hai điểm M(3; 1; 0), N(- 9; 4; 9). Tìm điểm I(a; b; c) thuộc mặt phẳng (P) sao cho IM − IN đạt giá trị lớn nhất. Biết a, b, c thỏa mãn điều kiện: A. a + b + c = 21 B. a + b + c = 14 C. a + b + c = 5 D. a + b + c = 19. Hướng dẫn giải: Nhận thấy 2 điểm M, N nằm về hai phía của mặt phẳng (P). Gọi R là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (P), khi đó đường thẳng MR đi qua điểm M(3; 1; 0) x − 3 y −1 z = = . G ọi và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình: 2 −1 1 H = MR ∩ (P) ⇒ H (1; 2; −1) ⇒ R (−1;3; −2) .

-L

Ta có IM − IN = IR − IN ≤ RN . Đẳng thức xảy ra khi I, N, R thẳng hàng. Do đó tọa độ điểm I là

ÀN

ÁN

 x = −1 − 8t  giao điểm của đường thẳng NR:  y = 3 + t (t là tham số ) và mặt phẳng (P).  z = −2 + 11t  Dễ dàng tìm được I(7; 2; 13). Chọn đáp án A.

IỄ N

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và hai điểm

A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) . M là một điểm trên mặt phẳng ( P) . Giá trị lớn nhất của T = MA − MB là: A. T = 2 5.

B. T = 2 6.

C. T =

4 6 . 2

D. T =

2 3 . 3

Hướng dẫn giải: Ta có: A, B nằm khác phía so với (P). Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P). Suy ra B '(−1; −3;4) .

T = MA − MB = MA − MB ' ≤ AB ' = 2 5. Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 136 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 9. Cho hai điểm A(-1, 3, -2); B(-9, 4, 9) và mặt phẳng (P): 2x-y+z+1=0. Điểm M thuộc (P). Tính GTNN của AM + BM. 7274 + 31434 2004 + 726 A. 6 + 204 B. C. D. 3 26 6 3 Hướng dẫn giải: Ta có: (2.(-1)-3+(-2)+1)(2.(-9)-4+9+1)=72 > 0 => A,B nằm cùng phía so với mặt phẳng (P). Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Mặt phẳng (P) có vtpt n ( 2, −1,1)

Chọn đáp án A.

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

 x = −1 + 2t  Đường thẳng AA’ đi qua A(-1, 3, -2) có vtcp n ( 2, −1,1) có pt:  y = 3 − t  z = −2 + t  Gọi H là giao của AA’ và (P) ta có: 2(-1+2t) - (3-t) + (-2 + t) + 1 =0 => t=1 => H(1, 2, -1). Ta có H là trung điểm của AA’ => A’(3, 1, 0).  x = 3 − 4t  Đường A’B đi qua A’(3, 1, 0) có vtcp A ' B ( −12,3,9 ) có pt:  y = 1 + t  z = 3t  Gọi N là giao điểm của A’B và mặt phẳng (P) ta có: 2.(3-4t) – (1+t) + 3t +1 =0 => t=1 => N(-1, 2, 3).

TR ẦN

Để MA+MB nhỏ nhất thì M ≡ N khi đó MA+MB = A’B = Chọn đáp án D.

( −12 )

+ 32 + 9 2 = 234 = 3 26

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x −1 y + 2 z và = = 1 2 −1

10 00

x + 2 y −1 z = = . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng ( P ) và 2 −1 2 đường thẳng d2 là lớn nhất. A. x + y + z + 6 = 0 . B. 7 x − y + 5 z − 9 = 0 . C. x + y − z − 6 = 0 . D. x + y + z − 3 = 0 . Hướng dẫn giải: Ta có: d1 đi qua M (1; −2; 0) và có VTCPu = (1;2; −1) .

Í-

d2 :

ÁN

-L

Phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng: A( x − 1) + B( y + 2) + Cz = 0,( A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) . Ta có: d ⊂ (P ) ⇔ u.n = 0 ⇔ C = A + 2B

Gọi α = ((P ), d2 ) ⇒ sin α =

1 (4 A + 3B)2 = . 2 2 3 2 A2 + 4 AB + 5B 2 3 2 A + 4 AB + 5B

2 2 3

IỄ N

ÀN

Với B = 0 ⇒ sin α =

4 A + 3B

A 1 (4t + 3)2 Với B ≠ 0 . Đặt t = , ta được sin α = . B 3 2t 2 + 4t + 5

Xét hàm số f (t) =

(4t + 3)2 16t 2 + 124t + 84 . Ta có: f '( t ) = 2t 2 + 4t + 5 (2t 2 + 4t + 5)2

 3 t=− f '(t ) = 0 ⇔  4  = − 7 t 

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 137 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

-7

−∞

f '(t )

−

3 4 0

+∞ +

Ơ H

5 3 9

U Y

Khi đó: sin α = f (−7) =

25 A khi t = −7 ⇔ = −7 3 B

Dựa vào BBT ta có: max f (t ) =

25 3

f (t )

5 3 A khi = −7 ⇒ Phương trình mặt phẳng ( P ) : 7 x − y + 5z − 9 = 0 9 B Chọn đáp án B.

ẠO

Vậy sin α =

BBT:

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 11. Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (β) : x + 2y − 2z − 4 = 0

(α) : 2x − 2y − z + 1 = 0, và mặt cầu S có phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 4x − 6y + m = 0 . Tìm m để

Suy ra VTCP của đường thẳng d là u =

D. 2

TR ẦN

H Ư

đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8. A. −9 B. −12 C. 5 Hướng dẫn giải: Ta có n1 = (2; −2; −1), n 2 = (1; 2; −2) lần lượt là VTPT của (α) và (β)

1   n1 ;n 2  = (2;1;2), 3

10 00

Ta có A(6;4;5) là điểm chung của hai mặt phẳng (α) và (β) nên A∈d. Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0), bán kính R = 13 − m với m < 13.

IA = (8;1;5) ⇒  IA, u  = ( −3; −6;6) ⇒ d(I, d) = 3

AB = 4 vµ IH = 3 . 2 Trong tam giác vuông IHA ta có: IA 2 = IH 2 + AH 2 ⇔ R 2 = 9 + 16 ⇔ 13 − m = 25 ⇔ m = −12 . Vậy m = −12 là giá trị cần tìm.

-L

Chọn đáp án B.

Í-

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ AH =

ÁN

Câu 12. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tám điểm A ( −2; −2; 0 ) , B ( 3; −2; 0 ) , C ( 3; 3; 0 ) ,

D ( − 2; 3; 0 ) , M ( − 2; − 2; 5 ) , N ( −2; −2;5 ) , P ( 3; −2; 5 ) , Q ( −2;3; 5 ) . Hỏi hình đa diện tạo bởi tám điểm

IỄ N

ÀN

đã cho có bao nhiêu mặt đối xứng. A. 3. B. 6. C. 8. D. 9 Hướng dẫn giải: Vì tám điểm đã chõ tạo nên một hình lập phương, nên hình đa diện tạo bởi tám điểm này có 9 mặt đối xứng. Chọn đáp án D.

Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2; − 1;6), B( − 1;2;4) và I( − 1; − 3;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất. A. 3x + 7 y + 6 z − 35 = 0 . B. 7 x − y + 5 z − 9 = 0 . C. x + y − z − 6 = 0 . D. x + y + z − 3 = 0 . Hướng dẫn giải:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 138 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Ta có IA = 32 + 22 + 42 = 29 và IB = 02 + 52 + 22 = 29 . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng

ẠO

U Y

94 1 1  . AB, vì IA=IB nên IM ⊥ AB, ta có M  ; ;5  ; IM = 2 2 2 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P):

Nếu H, M là hai điểm phân biệt thì tam giác IHM vuông tại H, IH<IM hay IH <

94 . 2

94 94 . Vậy ta có IH ≤ , IH lớn nhất khi H ≡ M. 2 2  3 7  Khi đó (P) có vectơ pháp tuyến là nP = IH = IM =  ; ;3  . Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 2 2  3 7 ( x − 2 ) + ( y + 1) + 3( z − 6 ) = 0 hay 3x + 7 y + 6 z − 35 = 0 2 2 Chọn đáp án A.

10 00

TR ẦN

H Ư

Nếu H trùng với M thì IH = IM =

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P): 2x + y – z + 6 =0. Tọa độ điểm M nằm trên (P) saocho MA2 + MB2 nhỏ nhất là: A. (-1;3;2) B. (2;1;-11) C. (-1;1;5) D. (1;-1;7) Hướng dẫn giải: + Kiểm tra phương án A không thuộc (P). + Tính trực tiếp MA2 + MB2 trong 3 phương án B,C,D và so sánh. Chọn C. Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (0; −1;2) và N (−1;1; 3) . Mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ K (0; 0;2) đến (P) đạt giá K trị lớn nhất. (P) có vectơ pháp tuyến là: A. (1;1; −1) B. (1; −1;1) C. (1; −2;1) D. (2; −1;1) Hướng dẫn giải: - Khoảng cách từ K đến (P) lớn nhất bằng KH, khi H’ trùng H - Vậy mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với KH. H' - Tìm H và viết (P) hoặc: M N H P - (P) chứa MN và vuông góc với (MNP). Gọi H, H’ là hình chiếu của K lên MN và (P). Ta có: d (k ,(P)) = KH ≤ KH ' không đổi. Vậy d ( K ,(P )) lớn nhất khi và chỉ khi H’ trùng H hay (P) vuông góc với KH.

MK = (0;1;0); NK = (1; −1; −1) ; MN = (−1;2;1) (MNK) có vtpt là n =  MK , NK  = (−1;0; −1)  

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 139 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

 HK ⊂ ( MNK ) nên HK có vtcp là  HK ⊥ MN

Do 

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

 MN , n  = (2;2; −2) .  

Câu 16. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1), B(1; 0; −3), C (−1; −2; −3) và mặt cầu (S) có phương

ẠO

U Y

trình: x 2 + y 2 + z2 − 2 x + 2 z − 2 = 0 . Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. 7 4 1  −1 4 −5  A. D (1; 0;1) B. D  ; − ; −  C. D  ; ;  D. D(1; - 1; 0)  3 3 3   3 3 3 Hướng dẫn giải: Ta thấy câu C và D có điểm D không thuộc (S). Loại C,D. Ta tính thể tích cho điểm D ở câu A và câu B. Điểm B ở câu B có thể tích lớn hơn. Chọn đáp án B.

Chọn đáp án A.

 x = 3 + 2t '  A.  y = 1 + 3t ' , t ' ∈ R z = 0 

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 1.5. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  x = 1 + 2t  d:  y = −2 + 3t , t ∈ R trên mặt phẳng (Oxy): z = 3 + t 

 x = 1 + 2t '  x = 5 − 2t '   C.  y = 2 + 3t ', t ' ∈ R D.  y = 4 − 3t ', t ' ∈ R z = 0 z = 0  

TR ẦN

 x = 1 + 4t '  B.  y = −2 + 6t ', t ' ∈ R z = 0 

Hướng dẫn giải:

10 00

A(1;-2;3), B(3;1;4) thuộc d. Hình chiếu của A,B trên mặt phẳng (Oxy) là A/(1;-2;0), B/(3;1;0) Phương trình hình chiếu đi qua A/ hoặc B / và nhận véc tơ cùng phương với A/ B / = ( 2;3; 0 ) làm véc tơ chỉ phương. Chọn đáp án C.

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x + y + z − 1 = 0 và hai điểm

A. T = 2 5.

-L

Í-

A(1; −3;0), B ( 5; −1; −2 ) . M là một điểm trên mặt phẳng ( P) . Giá trị lớn nhất của T = MA − MB là: B. T = 2 6.

C. T =

4 6 . 2

D. T =

2 3 . 3

ÁN

Hướng dẫn giải: Ta có: A, B nằm khác phía so với (P). Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P). Suy ra B '(−1; −3;4) .

ÀN

T = MA − MB = MA − MB ' ≤ AB ' = 2 5. Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng. Chọn đáp án A.

Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( −2; −2;1) , A (1;2; −3) và đường thẳng

IỄ N

x +1 y − 5 z = = . Tìm véctơ chỉ phương u của đường thẳng ∆ đi qua M , vuông góc với đường 2 2 −1 thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất. A. u = ( 2;1;6 ) . B. u = (1;0;2 ) . C. u = ( 3;4; −4 ) . D. u = ( 2;2; −1) . Hướng dẫn giải: Gọi ( P ) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d . Phương trình của ( P ) : 2 x + 2 y − z + 9 = 0 .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 140 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên ∆, ( P ) .

K ∆

U Y

Ta có K ( −3; −2; −1)

d ( A, ∆) = AH ≥ AK

Vậy khoảng cách từ A đến ∆ bé nhất khi ∆ đi qua M , K . ∆ có véctơ chỉ phương u = (1;0;2 )

ẠO

Chọn đáp án B.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 19. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A ( 2;5;3) và đường thẳng

x −1 y z − 2 . G ọi là mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ = = 2 1 2 ? nhất. Tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; − 1) đến mặt phẳng

đến

lớn

11 18 18

B. 3 2

Hướng dẫn giải: Gọi

là hình chiếu của .

11 18

TR ẦN

H Ư

trên ;

là hình chiếu của

lớn nhất khi , qua và Ta có ⇒ ( P) : x − 4 y + z − 3 = 0

10 00

Ta có

trên

4 3

Í-

Chọn đáp án A.

11 18 . 18

-L

Vậy d ( M , ( P ) ) =

ÁN

Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm A ( 0;0;1) , B ( m;0;0 ) , C ( 0; n;0 ) ,

D (1;1;1) với m > 0; n > 0 và m + n = 1. Biết rằng khi m , n thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp

ÀN

xúc với mặt phẳng ( ABC ) và đi qua d . Tính bán kính R của mặt cầu đó?

IỄ N

A. R = 1 .

B. R =

2 . 2

C. R =

3 . 2

D. R =

Hướng dẫn giải: Gọi I (1;1;0) là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (Oxy) x y Ta có: Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng ( ABC ) là: + + z = 1 m n Suy ra phương trình tổng quát của ( ABC ) là nx + my + mnz − mn = 0 1 − mn Mặt khác d ( I ,( ABC )) = = 1 (vì m + n = 1 ) và ID = 1 = d ( I ,( ABC )) m2 + n2 + m2n2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 . 2

Trang 141 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và tiếp xúc với (S). 2 x − y + 2 z − 3 = 0 2 x − y + 2 z + 3 = 0 A.  . B.  .  2 x − y + 2 z + 21 = 0  2 x − y + 2 z − 21 = 0 2 x − y + z + 3 = 0  2 x − y + z + 13 = 0 C.  . D.  2 x − y + z − 1 = 0 2 x − y + z − 1 = 0 Hướng dẫn giải: Vậy: (P): 2 x − y + 2 z + 3 = 0 hoặc (P): 2 x − y + 2 z − 21 = 0 (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của (α ) là n = (1;4;1) .

Nên tồn tại mặt cầu tâm I (là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng Oxy ) tiếp xúc với ( ABC ) và đi qua D Chọn đáp án A.

H Ư

 m = −21 . m = 3 Vậy: (P): 2 x − y + 2 z + 3 = 0 hoặc (P): 2 x − y + 2 z − 21 = 0 .

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,( P)) = 4 ⇔ 

⇒ VTPT của (P) là: nP = [ n, v ] = (2; −1;2) ⇒ PT của (P) có dạng: 2 x − y + 2 z + m = 0 .

TR ẦN

Chọn đáp án B.

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2;1; −1) ,

D ( 3;1;4 ) . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

A. 1. B. 4. C. 7. D. Vô số. Hướng dẫn giải: Ta có AB = ( −1;1;1) , AC = (1;3; −1) , AD = ( 2;3;4 ) . Khi đó  AB, AC  = ( −4;0; −4 ) suy ra  AB, AC  . AD = −24 ≠ 0 . Do đó A, B, C , D không đồng phẳng và là 4 đỉnh của một tứ diện. Khi đó sẽ có 7 mặt phẳng cách đễu bốn đỉnh của tứ diện. Bao gồm: 4 mặt phẳng đi qua trung điểm của ba cạnh tứ diện và 3 mặt phẳng đi qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ).

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 142 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Chọn đáp án C.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; –2; 0), B(0; –1; 1), C(2; 1; –1) và D(3; 1; 4). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó ? A. 1 mặt phẳng. B. 4 mặt phẳng. C. 7 mặt phẳng. D. Có vô số mặt phẳng. Hướng dẫn giải: Ta có: AB = (−1;1;1); AC = (1;3; −1); AD = (2;3;4) Khi đó:  AB; AC  . AD = −24 ≠ 0 do vậy A,B,C,D không đồng phẳng Do đó có 7 mặt phẳng cách đều 4 điểm đã cho bao gồm. +) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và song song với mặt phẳng (ABC) +) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng (ACD) +) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AC và song song với mặt phẳng (ABD) +) Mặt phẳng đi qua trung điểm của AB và song song với mặt phẳng (BCD) +) Mặt phẳng qua trung điểm của AB và CD đồng thời song song với BC và AD +) Mặt phẳng qua trung điểm của AD và BC đồng thời song song với AB và CD +) Mặt phẳng qua trung điểm của AC và BD đồng thời song song với BC và AD Chọn đáp án C. x + 4 y −5 z + 2 = = Câu 24. Đường thẳng ∆ song song với d : và cắt cả hai đường thẳng −4 3 1 x+2 y −3 z x −1 y +1 z − 2 = = . Phương trình nào không phải đường thẳng ∆ d1 : = = và d 2 : 3 1 2 2 4 1 7 2 y− z− x + 4 y +1 z +1 x−3 3= 3 = = A. ∆ : B. ∆ : = 3 −4 1 3 −4 1 x − 4 y −1 z −1 x+9 y+7 z +2 = = = = C. ∆ : D. ∆ : 3 −4 1 3 −4 1 Hướng dẫn giải: Giải: Gọi M, N là giao điểm của ∆ và d1 , d 2 .

 xM = 1 + 3t  xN = −2 + 2t '   Khi đó M, N thuộc d1 , d 2 nên  yM = −1 + t ,  yN = 3 + 4t ' .  z = 2 + 2t  z = t '  M  N Vector chỉ phương của ∆ là MN = ( −3 + 2t '− 3t;4 + 4t '− t ; −2 + t '− 2t )

∆ song song với d :

−3 + 2t '− 3t 4 + 4t '− t −2 + t '− 2t x+ 4 y −5 z + 2 = = = = nên 3 −4 1 3 −4 1

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 143 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

U Y

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng ∆ có  x = −1 + 2t  phương trình tham số  y = 1 − t . Một điểm M thay đổi trên đường thẳng ∆ sao cho chu vi tam giác  z = 2t  MAB đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa đô điểm M và chu vi tam giác ABC là A. M(1;0;2) ; P = 2( 11 + 29) B. M(1;2;2) ; P = 2( 11 + 29)

4 7 2  Giải hệ ta được t ' = −1; t = − . Vậy N ( −4; −1; −1) , M  −3; − ; −  3 3 3  x + 4 y +1 z +1 = = Vậy ∆ : 3 −4 1 Chọn đáp án A.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

C. M(1;0;2) ; P = 11 + 29 D. M(1;2;2) ; P = 11 + 29 Hướng dẫn giải: • Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM. Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.

H Ư

Điểm M ∈ ∆ nên M ( −1 + 2t;1 − t;2t ) . AM + BM = (3t )2 + (2 5)2 + (3t − 6)2 + (2 5)2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u = 3t ; 2 5 và v = −3t + 6;2 5 .

(

)

(

)

10 00

TR ẦN

Ta có u = (3t )2 + (2 5)2 ; v = (3t − 6)2 + (2 5)2 ⇒ AM + BM =| u | + | v | và u + v = (6;4 5) ⇒| u + v |= 2 29 Mặt khác, ta luôn có | u | + | v |≥| u + v | Như vậy AM + BM ≥ 2 29 3t 2 5 = ⇔ t =1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u, v cùng hướng ⇔ −3t + 6 2 5

⇒ M (1;0;2) và min( AM + BM ) = 2 29 . Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11 + 29) Chọn đáp án A.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 26. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d  x = 2 + 3t  có phương trình  y = −2t (t ∈ R) . Điểm M trên d sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B là  z = 4 + 2t  nhỏ nhất có tổng các tọa độ là: A. M=(2;0;4 ). B. M=(2;0;1). C. M=(1;0;4 ). D. M=(1;0;2 ). Hướng dẫn giải: Nếu M nằm trên d thì điểm I có tọa độ là M=(2+3t;-2t;4+2t). Từ đó ta có: 2 2 2 ⇔ AM = ( 3t + 1; −2 − 2t;2t + 5) ⇒ AM = ( 3t + 1) + ( 2 + 2t ) + ( 2t + 5) 2 2 2 Tương tự: ⇔ BM = ( 3t − 5;2 − 2t;2t + 1) ⇒ BM = ( 3t − 5) + ( 2 − 2t ) + ( 2t + 1) Từ (*): MA=MB =

( 3t + 1) + ( 2 + 2t ) + ( 2t + 5)

( 3t − 5) + ( 2 − 2t ) + ( 2t + 1)

Hay: ⇔ 17t 2 + 34t + 30 = 17t 2 − 36t + 30 ⇔ 34t + 36t = 0 − 11 ⇔ 70t = 0 → t = 0 Tọa độ M thỏa mãn yêu cầu là: M=(2;0;4 ). Chọn đáp án A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 144 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2 y − z + 5 = 0 và đường thẳng x +1 y +1 z − 3 d: = = . Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một 2 1 1 góc nhỏ nhất là A. ( P ) : y − z + 4 = 0 B. ( P ) : x − z + 4 = 0 Hướng dẫn giải:

3 ⇒ a = 300 . 2

b a

.Q TP

2b2

b b 5 + 4 + 2  a a

. Đặt x =

b và f ( x ) = cos2 α a

H Ư

TH2: Nếu a ≠ 0 thì cosα =

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TH1: Nếu a = 0 thì cosα =

ẠO

 M ∈ ( P ) c = − a − b Chọn hai điểm M (−1; −1;3), N (1; 0; 4) ∈ d . Ta có:  ⇒  N ∈ (P) d = 7a + 4 b 3 a+b . ⇒ (P): ax + by + (−2a − b)z + 7a + 4b = 0 ⇒ cosα = 6 5a2 + 4ab + 2b2

U Y

P ),(Q)) . PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c 2 ≠ 0) . Gọi a = ((

D. ( P ) : y − z − 4 = 0

C. ( P ) : x + y − z + 4 = 0

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

9 x2 + 2x + 1 Xét hàm số f ( x ) = . . 6 5 + 4x + 2x2

10 00

Dựa vào BBT, ta thấy min f ( x ) = 0 ⇔ cosα = 0 ⇔ a = 90 0 > 300 Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b = 1, c = 1, d = 4 . Vậy: (P): y − z + 4 = 0 . Chọn đáp án A.

Í-

Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A (1; −1;2 ) , song song với

-L

( P ) : 2 x − y − z + 3 = 0 , đồng thời tạo với đường thẳng ∆ : trình đường thẳng d là. x −1 y +1 z − 2 . = = A. 1 −5 7 x −1 y +1 z − 2 . = = C. 4 5 7 Hướng dẫn giải: ∆ có vectơ chỉ phương a∆ = (1; −2;2 ) d có vectơ chỉ phương ad = ( a; b; c ) ( P ) có vectơ pháp tuyến nP = ( 2; −1; −1)

x +1 y −1 z = = một góc lớn nhất. Phương 1 −2 2

ÁN

x −1 = 4 x −1 = D. 1

y +1 = −5 y +1 = −5

z+2 . 7 z−2 . −7

IỄ N

ÀN

Vì d€ ( P ) nên ad ⊥ nP ⇔ ad .nP = 0 ⇔ 2a − b − c = 0 ⇔ c = 2a − b

5a − 4b

1 ( 5a − 4b ) cos ( ∆, d ) = = 2 2 2 3 5a − 4ab + 2b 2 3 5a − 4ab + 2b

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 145 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

a 1 ( 5t − 4 ) Đặt t = , ta có: cos ( ∆, d ) = b 3 5t 2 − 4t + 2

( 5t − 4 )

 1 5 3 , ta suy ra được: max f ( t ) = f  −  = 5t − 4t + 2 3  5

5 3 1 1 a ⇔t =− ⇒ =− 27 5 5 b

Do đó: max cos ( ∆, d )  =

Xét hàm số f ( t ) =

Chọn đáp án A.

x −1 y +1 z − 2 = = 1 −5 7

U Y

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn a = 1 ⇒ b = −5, c = 7

ẠO

Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho ( P ) : x + 4 y − 2 z − 6 = 0 , ( Q ) : x − 2 y + 4 z − 6 = 0 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa giao tuyến của ( P ) , ( Q ) và cắt các trục tọa độ tại các điểm

D. x + y + z − 3 = 0 .

H Ư

A, B, C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều. A. x + y + z + 6 = 0 . B. x + y + z − 6 = 0 . C. x + y − z − 6 = 0 . Hướng dẫn giải: Chọn M ( 6;0;0 ) , N ( 2;2;2 ) thuộc giao tuyến của ( P ) , ( Q )

TR ẦN

Gọi A( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) lần lượt là giao điểm của ( α ) với các trục Ox, Oy, Oz

x y z + + = 1( a, b, c ≠ 0 ) a b c 6  =1  a ( α ) chứa M , N ⇒  2 + 2 + 2 =1  a b c Hình chóp O.ABC là hình chóp đều ⇒ OA = OB = OC ⇒ a = b = c Vây phương trình x + y + z − 6 = 0 . Chọn đáp án B. y = 0 Oxyz cho điểm M (1;0;0 ) và Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ  2 x − y − 2 z − 2 = 0

-L

Í-

10 00

⇒ (α) :

ÁN

N ( 0;0; −1) , mặt phẳng ( P ) qua điểm M , N và tạo với mặt phẳng ( Q ) : x − y − 4 = 0 một góc bằng

45O . Phương trình mặt phẳng ( P ) là

IỄ N

ÀN

y = 0 y = 0 A.  . B.  . 2 x − y − 2 z − 2 = 0 2 x − y − 2 z + 2 = 0 2 x − y − 2 z + 2 = 0 2x − 2z + 2 = 0 C.  . D.  . 2 x − y − 2 z − 2 = 0 2x − 2z − 2 = 0 Hướng dẫn giải: Gọi vectơ pháp tuyến của mp ( P ) và ( Q ) lần lượt là nP ( a; b; c ) a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 , nQ ( P ) qua M (1;0;0 ) ⇒ ( P ) : a ( x − 1) + by + cz = 0

(

( P)

)

qua N ( 0;0; −1) ⇒ a + c = 0

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 146 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

( P)

hợp với ( Q ) góc 45O ⇒ cos nP , nQ = cos 45O ⇔

(

)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

a−b

2a 2 + b 2 2

a = 0 ⇔ 2  a = −2b

Với a = 0 ⇒ c = 0 chọn b = 1 phương trình ( P ) : y = 0 Với a = −2b chọn b = −1 ⇒ a = 2 phương trình mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − 2 z − 2 = 0 .

Chọn đáp án A.

Câu 31. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(10;2;1) và đường thẳng

U Y

97 3 76 790 . . B. 15 790 2 13 3 29 . . C. D. 13 29 Hướng dẫn giải: ( P ) là mặt phẳng đi qua điểm A và song song với

ẠO

TR ẦN

điểm A và song song với đường thẳng d . Gọi H là hình chiếu của A trên d , K là hình chiếu của H trên ( P ) .

đường thẳng d nên ( P ) chứa đường thẳng d ′ đi qua

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

10 00

⇒ GTLN của d (d , ( P)) là AH

Ta có d ( d , ( P ) ) = HK ≤ AH ( AH không đổi)

⇒ d ( d , ( P ) ) lớn nhất khi AH vuông góc với ( P ) .

Khi đó, nếu gọi ( Q ) là mặt phẳng chứa A và d thì ( P ) vuông góc với ( Q ) . ⇒ n P = u d , nQ  = ( 98;14; − 70 )

97 3 . 15

ÁN

Chọn đáp án A.

-L

Í-

⇒ ( P ) :7 x + y − 5 z − 77 = 0 ⇒ d ( M , ( P ) ) =

IỄ N

ÀN

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d: x + 3 y +1 z = = . Mặt phằng (P) chứa đường thẳng d và có khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. Khi 2 1 −1 đó (P) có một véctơ pháp tuyến là A. n = ( 4; 5; 13) B. n = ( 4; 5; −13) C. n = ( 4; −5; 13) D. n = ( −4; 5; 13) Hướng dẫn giải: Gọi H,K lần lươt là hình chiếu vuông góc của A lên d và (P) Khi đó: d(A,(P)) = AK ≤ AH hay d(A,(P)) lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K 4 Ta có: H( −3 + 2t ; −1 + t ; −t ); a = ( 2;1; −1) và AH.a = 0 ⇔ t = 3 4 5 13 Suy ra: AH = ( − ; − ; − ) 3 3 3 Hay một véctơ pháp tuyến của (P) là n = ( 4; 5; 13)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 147 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

U Y

Chọn đáp án A. Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2; −2;0) , đường thẳng x +1 y z − 2 ∆: = = . Biết mặt phẳng ( P ) có phương trình ax + by + cz + d = 0 đi qua A , song song −1 3 1 với ∆ và khoảng cách từ ∆ tới mặt phẳng ( P ) lớn nhất. Biết a, b là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng a + b + c + d bằng bao nhiêu? B. 0 . C. 1 . D. −1. A. 3 . Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng ∆ . Do H ∈ ∆ ⇒ H (−1 − t ;3t;2 + t ) ⇒ AH = (−t − 3;3t + 2; t + 2)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Do AH ⊥ ∆ ⇒ AH .u∆ = 0 với u∆ = (−1;3;1) ⇔ −1.(−t − 3) + 3.(3t + 2) + 1.(t + 2) = 0 ⇔ 11t = −11

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

⇔ t = −1 ⇒ H ( 0; −3;1) Gọi F là hình chiếu vuông góc của H trên ( P ) , khi đó: d (∆,( P)) = d ( H ,( P)) = HF ≤ HA Suy ra d (∆,( P )) max = HA . Dấu “=” xảy ra khi F ≡ A ⇒ AH ⊥ ( P) , hay bài toán được phát biểu lại

H Ư

là: “ Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A và vuông góc với AH ” Ta có AH = ( −2; −1;1) = −(2;1; −1) , suy ra n( P ) = (2;1; −1)

TR ẦN

Suy ra phương trình mặt phẳng ( P ) là: 2( x − 2) + y + 2 − z = 0 ⇔ 2 x + y − z − 2 = 0 . a, b ∈ ℕ * a = 2, b = 1 Do  ⇒ ⇒ a + b + c + d = 0.  ( a, b ) = 1 c = −1, d = −2 Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

-L

Í-

10 00

Câu 34. Trong không gian tọa độ Oxyz cho M(2;1;0) v đường thẳng d có phương trình: x −1 y +1 z = = . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Viết phương trình đường 2 1 −1 thẳng ∆ ? x = 2 + t x = 2 + t x = 1 + t x = 2 − t     A.  y = 1 − 4t B.  y = 1 − 4t C.  y = 1 − 4t D.  y = 1 − 4t  z = −2t  z = 3 − 2t  z = −2t  z = −2t    

IỄ N

ÀN

ÁN

 x = 1 + 2t  PTTS của d là  y = −1 + t .  z = −t  Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, đường thẳng ∆ cần tìm là đường thẳng MH. Vì H thuộc d nên H (1 + 2t; −1 + t; −t ) suy ra MH = (2t − 1; −2 + t ; −t ) .  1 −4 −2  2 Vì MH ⊥ d và d có 1 VTCP là u = (2;1; −1) nên MH .u = 0 ⇔ t = . Do đó MH =  ; ;  3 3 3 3  x = 2 + t  Vậy PTTS của ∆ là:  y = 1 − 4t .  z = −2t  Chọn đáp án A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 148 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

x = 1 − t  Câu 35. Cho đường thẳng (d ) :  y = 1 − t và mp (P): x + y − 2 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng  z = 2t  nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với (d).  x = 1 − 2t  x = 1 − 3t  x = 1 − 2t x = 1 − t     A.  y = 1 + 2t B.  y = 1 + 3t C.  y = 1 − 2t D.  y = 1 + t z = 0 z = 5 z = 0 z = 5     Hướng dẫn giải: Gọi I là giao điểm của (d) và (P) I (1 − t;1 − t;2t ), I ∈ ( P) ⇒ t = 0 ⇒ I (1;1;0) (d) có vectơ chỉ phương u = ( −1; −1;2) (P) có vectơ pháp tuyến n = (1;1;0) Vecstơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là u ∆ = u , v  = (-2 ;2 ;0)  x = 1 − 2t  Phương trình mặt phẳng cần tìm là  y = 1 + 2t z = 0  Chọn đáp án A.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD. A′B′C′D′ có điểm A trùng với gốc tọa độ, B(a;0;0), D(0; a;0), A′(0;0; b) với (a > 0, b > 0) . Gọi M là trung điểm của cạnh CC′ . Giả sử a + b = 4 , hãy tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện A′BDM ? 64 A. max VA′MBD = B. max VA′MBD = 1 27 64 27 C. max VA′MBD = − D. max VA′MBD = 27 64 Hướng dẫn giải: b  Ta có: C (a; a;0), B′(a;0; b), D′(0; a; b), C ′(a; a; b) ⇒ M  a; a;  2   b Suy ra: A′B = (a;0; −b), A′D = (0; a; −b), AM =  a; a; −  2  2 3a b a 2b ⇒  A′B, A′D  = (ab; ab; a 2 ) ⇒  A′B, A′D  . A′M = ⇒ VA′MBD = 2 4 1 1 1 2 64 2 Do a, b > 0 nên áp dụng BĐT Côsi ta được: 4 = a + b = a + a + b ≥ 3 3 a b ⇒ a b ≤ 2 2 4 27 64 Suy ra: max VA′MBD = . 27 Chọn đáp án A. Câu 37. Cho A( −1;3;5) , B ( 2;6; −1) , C ( −4; −12;5) và điểm ( P ) : x + 2 y − 2 z − 5 = 0 . Gọi M là điểm thuộc ( P ) sao cho biểu thức S = MA − 4 MB + MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm hoành độ điểm M. A. xM = 3

B. xM = −1

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. xM = 1

D. xM = −3

Trang 149 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Hướng dẫn giải: Gọi I là điểm IA − 4 IB = 0 ⇒ I ( 3;7; −3)

B. M ( −1; −4;0 ) .

C. M ( 4;1;0 ) .

Ơ H N

D. M (1; −4;0 ) .

A. M ( −4; −1;0 ) .

U Y

Chọn đáp án C. Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1; −1) , B ( 0;3;1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z + 3 = 0 . Tìm tọa độ điểm M thuộc ( P) sao cho 2MA − MB có giá trị nhỏ nhất.

Gọi G là trọng tâm ta m giác ABC ⇒ G ( −1; −1;3) Nhận thấy, M,I nằm khác phía so với mp(P). Có S = 3( MI + MG ) ≥ 3GI . Dấu bằng xảy ra khi M là giao điểm của GI và (P) ⇒ M (1;3;1)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Hướng dẫn giải: Gọi I ( a; b; c ) là điểm thỏa mãn 2 IA − IB = 0 , suy ra I ( 4; −1; −3) . Ta có 2MA − MB = 2MI + 2IA − MI − IB = MI . Suy ra 2 MA − MB = MI = MI . Do đó 2 MA − MB nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I trên mặt phẳng ( P ) .

x − 4 y +1 z + 3 = = . 1 1 −1

Tọa độ hình chiếu M của I trên ( P ) thỏa mãn

TR ẦN

 x − 4 y +1 z + 3 = =  1 −1 ⇒ M (1; −4; 0 ) .  1  x + y − z + 3 = 0

H Ư

Đường thẳng đi qua I và vuông góc với ( P ) có là d :

Chọn đáp án D.

10 00

ÁN

-L

Í-

đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Tính a + b + c + d . B. 1 C. −8 D. −12 A. −14 Hướng dẫn giải: Ta có mặt phẳng (P) vuông dóc với đường thẳng d1 nên (P) có véctơ pháp tuyến n = (1; 2;1) . Phương trình (P) có dạng ( P ) : x + 2 y − z + d = 0 .

IỄ N

ÀN

 2 − d 2 − d 10 + d  ; ; Gọi M là giáo điểm của (P) với d1 và N là giao của (P) với d 2 suy ra M  , 3 6   6  −4 − d −1 − d  N ; ; −2  . 3  3  2 16d 155 d Ta có MN 2 = . + + 18 9 9 Để MN nhỏ nhất thì MN 2 nhỏ nhất, nghĩa là d = −16 . Khi đó a + b + c + d = −14 . Chọn đáp án A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 150 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 :

x −1 y + 2 z = = và 1 2 −1

x + 2 y −1 z = = . Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng ( P ) và đường 2 −1 2 thẳng d 2 là lớn nhất. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. ( P ) có vectơ pháp tuyến là n = (1; −1;2 ) .

(

)

ẠO

Pt mặt phẳng ( P ) có dạng: A ( x − 1) + B ( y + 2 ) + Cz = 0 A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 . Ta có: d1 ⊂ ( P ) ⇒ u.n = 0 ⇒ C = A + 2 B .

D. ( P ) cắt d 2 tại điểm B ( 2; −1;4 ) . Hướng dẫn giải: d1 qua M (1; −2;0 ) và có VTCP u = (1; 2; −1) . Vì d1 ⊂ ( P ) nên M ∈ ( P ) .

U Y

C. ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) : 7 x − y + 5z − 3 = 0 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

B. ( P ) qua điểm A( 0;2;0 ) .

d2 :

4 A + 3B

(

)

TR ẦN

H Ư

( 4 A + 3B ) 1 = . 2 2 3 2 A2 + 4 AB + 5B 2 3 2 A + 4 AB + 5B 2 2 TH1: Với B = 0 thì sin α = . 3 P ) , d 2 ⇒ sin α = Gọi α = (

A 1 ( 4t + 3) TH2: Với B ≠ 0 . Đặt t = , ta được: sin α = . B 3 2t 2 + 4t + 5 2

2t + 4t + 5

. Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f ( x ) =

( 4t + 3)

10 00

Xét hàm số f ( t ) =

25 khi t = −7 khi 7

5 3 A = −7 . Khi đó sin α = f ( −7 ) = . B 9

5 3 A khi = −7 . 9 B Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) : 7 x − y + 5 z − 9 = 0 . Chọn đáp án B . Câu 41. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;0;2), B(3;1;4), C (3; −2;1) . Tìm tọa độ điểm

ÁN

-L

Í-

So sánh TH1 và TH2 ⇒ α lớn nhất với sin α =

S, biết SA vuông góc với (ABC), mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC có bán kính bằng

3 11 và S có cao 2

IỄ N

ÀN

độ âm. A. S (−4; −6;4) . B. S (3;4;0) . C. S (2;2;1) . D. S (4;6; −4) . Hướng dẫn giải: Ta có AB = (2;1;2); AC = (2; −2; −1) , suy ra AB ⊥ AC . Tam giác ABC vuông nên I và S có thể sử dụng các tính chất của phép dụng tâm để tính. Tính được IM. S MI ⊥ ( ABC ) ⇒ MI = k  AB, AC  → k

AS = 2MI , tìm S.

 AB, AC  = (3;6; −6)  

N I A

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 151 M www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial B

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

 −1 5  Gọi M  3; ;  là trung điểm BC. Ta có:  2 2 2

 3 11  9 81 9 − = ⇒ IM = IM = IB − BM =   2  2 4 2   MI ⊥ ( ABC ) ⇒ MI = k  AB, AC  = k (3;6; −6) ⇒ MI = 9 k . 9 1 Suy ra = 9 k ⇔ k = ± 2 2 1 k = thì AS = 2 MI = ( 3;6; −6 ) ⇒ S ( 4;6; −4 ) 2 Chọn đáp án D.

U Y

x +1 = y + 1 = z − 3 và mặt phẳng 2 ( P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 . Mặt phẳng ( Q ) chứa đường thẳng d và tạo với ( P ) một góc nhỏ nhất có phương trình A. x − z + 3 = 0. B. x + y − z + 2 = 0. C. x − y − z + 3 = 0. D. y − z + 4 = 0. Hướng dẫn giải: Gọi ∆ là giao tuyến giữa ( P ) và ( Q ) . Khi đó, góc giữa ( P ) , ( Q ) nhỏ nhất khi chỉ khi ∆ ⊥ d . Đường thẳng d đi qua điểm M ( −1; −1;3) và có vectơ chỉ phương là ud = ( 2;1;1) . Vectơ chỉ phương của ∆ là u∆ = n ∧ ud = ( 3; −3; −3) . Vectơ pháp tuyến của ( Q ) là. nQ = ud ∧ u∆ = ( 0;9; −9 ) . Mặt phẳng ( Q ) đi qua M ( −1; −1;3) và nhận vectơ pháp tuyến n = ( 0;1; −1) có phương trình

ẠO

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 42. Trong không gian với tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

y−z+4=0 Chọn đáp án D.

Câu 43. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1, 0, −1) và mặt phẳng ( P ) : x + y − z − 3 = 0 . Mặt cầu S

Í-

có tâm I nằm trên mặt phẳng ( P ) , đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho chu vi tam giác OIA bằng

ÁN

-L

6 + 2 . Phương trình mặt cầu S là: 2 2 2 2 2 2 A. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9. 2

B. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y + 2 ) + ( z − 2 ) = 9 2

C. ( x − 2 ) + ( y + 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z + 1) = 9 2

IỄ N

ÀN

D. ( x − 2 ) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 9 hoặc ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 2 ) = 9 Hướng dẫn giải: Gọi I ( x, y, z ) là tâm của S. Khi đó I ∈ ( P ) , IO = IA, IO + IA + AO = 6 + 2 nên ta suy ra hệ

 ( x − 1)2 + y 2 + ( z + 1) 2 = x 2 + y 2 + z 2 − x + z + 1 = 0    2 2 2 ⇔  x2 + y 2 + z 2 = 9 2 x + y + z + 2 = 6 + 2 x + y − z − 3 = 0  x + y − z − 3 = 0  

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 152 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Giải hệ ta tìm được I ( 2, 2,1) hoặc I ( −1, 2, −2 )

Chọn đáp án D. Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 0;2;0 ) , B ( −1;1;4 ) và C ( 3; −2;1) . Mặt cầu ( S ) tâm I đi qua A, B, C và độ dài OI = 5 (biết tâm I có hoành độ nguyên, O là gốc tọa

OI = 5 ⇔ OI 2 = 5 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 5 Suy ra a = −1; b = 0; c = −2; d = −4 ⇒ R = 3 Chọn đáp án B.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

 A ∈ ( S )  4b + d + 4 = 0    B ∈ ( S ) ⇒  −2a + 2b + 8c + d + 18 = 0 C ∈ ( S ) 6a − 4b + 2c + d + 14 = 0  

D. R = 5

U Y

A. R = 1 B. R = 3 C. R = 4 Hướng dẫn giải: Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 Vì 4 điểm O, A, B, C thuộc mặt cầu (S) nên ta có hệ:

độ). Bán kính mặt cầu ( S ) là

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu 45. Cho hình chóp O.ABC có OA=a, OB=b, OC=c đôi một vuông góc với nhau. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1,2,3. Khi tồn tại a,b,c thỏa thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp O.ABC là A. 18 B. 27 C. 6 D. Không tồn tại a,b,c thỏa yêu cầu bài toán Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ thỏa O(0,0,0), A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng các lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1,2,3 nên tọa độ điểm M là (1,2,3) x y z Phương trình mặt phẳng (ABC) là + + = 1 a b c 1 2 3 Vì M thuộc mặt phẳng (ABC) nên + + = 1 a b c 1 VOABC= abc 6 1 2 3 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 = + + ≥ 3 3 . . ⇔ abc ≥ 27 a b c a b c 6 Chọn đáp án B. Câu 46. Cho hai điểm M (1;2;3) , A ( 2; 4;4 ) và hai mặt phẳng ( P ) : x + y − 2 z + 1 = 0,

ÀN

( Q ) : x − 2 y − z + 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua

M cắt ( P ) , ( Q ) lần lượt tại B, C sao

IỄ N

cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM là đường trung tuyến. x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 = = = = A. ∆ : B. ∆ : 1 2 1 −1 −1 −1 x −1 y − 2 z − 3 x −1 y − 2 z − 3 = = = = C. ∆ : D. ∆ : 1 1 1 1 1 −1 Hướng dẫn giải: Gọi B ( a; b; c ) , từ giả thiết suy ra M là trung điểm của BC , suy ra C ( 2 − a; 4 − b;6 − c ) .

B ∈ ( P ) , C ∈ ( Q ) nên có hai pt: a + b − 2c + 1 = 0 (1) ; − a + 2b + c − 8 = 0

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

( 2) .

Trang 153 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

( 3) .

(

)

(

U Y

C ( 2;1; 4 ) .

= 2 +t = −1 + 2t t ∈ R hai điểm = 3t

(

)

 a + b − 2c + 1 = 0 a = 0   Từ (1) , ( 2 ) và ( 3) có hệ:  − a + 2b + c − 8 = 0 ⇔ b = 3 ⇒ B ( 0;3; 2 ) ,  a + 2b + c − 8 = 0   c = 2 x −1 y − 2 z − 3 = = Đường thẳng ∆ qua B và C có pt ∆ : . 1 1 −1 Chọn đáp án D. x  Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ : y z 

AM ( −1; −2; −1) , BC ( 2 − 2a; 4 − 2b;6 − 2c ) . Tam giác ABC cân tại A nên: AM .BC = 0 ⇔ a + 2b + c − 8 = 0

)

ẠO

B. x 0 = 1

C. x 0 = 2

D. x 0 = 3

A. x 0 = 0 Hướng dẫn giải:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A 2; 0; 3 và B 2; −2; −3 . Biết điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 thuộc ∆ thì MA4 + MB 4 nhỏ nhất.Tìm x 0

(

)

điểm I 2; −1; 0 suy ra AB và ∆ đồng phẳng.

H Ư

)

TR ẦN

(

x = 2  Phương trình đường thẳng AB là: y = t1 t1 ∈ R . Dễ thấy đường thẳng ∆ và AB cắt nhau tại z = 3 + 3t 1  Lại có IA 0;1; 3 , IB 0; −1; −3 => IA = −IB ⇒ IA + IB = AB .

)

(

)

(

10 00

2 2 4 Ta có: MA4 + MB 4 ≥ 1 (MA2 + MB 2 ) ≥ 1  1 (MA + MB )  ≥ 1 AB 4 = 1 ( IA + IB ) .

22



(

)

Do đó MA4 + MB 4 nhỏ nhất khi M trùng với điểm I 2; −1; 0

Chọn đáp án C.

Í-

Câu 48. Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a, b, c > 0 .Giả sử

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

a, b, c thay đổi nhưng thỏa mãn a 2 + b2 + c 2 = k 2 không đổi. Diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất bằng k2 3 k2 3 A. B. C. k 2 3 D. k 2 2 6 Hướng dẫn giải: x y z Phương trình (ABC): + + = 1 a b c Gọi H ( x; y; z ) là hình chiếu vuông góc của O lên ( ABC )  ab 2 c 2 x = 2 2 2 ( ab ) + ( bc ) + ( ca )   H ∈ ( ABC ) bcx + cay + abz = abc  a 2bc 2  ⇔ y = Khi đó OH ⊥ AB ⇔ −ax + by = 0 2 2 2 ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) OH ⊥ AC  −ax + cz = 0  a 2b 2 c z =  2 2 2 ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) 

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 154 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

abc

⇒ OH =

( ab ) + ( bc ) + ( ca )

Ơ H N U Y .Q

1 k4 k2 3 = 2 3 6

Vậy max S =

1 1 Ta có VOABC = OA.OB.OC = abc 6 6 3V 1 2 2 2 ⇒ S ∆ABC = ABCD = ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) OH 2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có a 4 + b4 b4 + c4 c4 + a 4 a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≤ + + = a4 + b4 + c4 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

ẠO

Chọn đáp án B.

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất là x y z x y z x y z x y z C. A. + + = 1 B. D. + + =1 + + =1 + + = −1 7 3 3 27 3 3 27 3 3 −27 3 3 Hướng dẫn giải: Giá sử A(a; 0; 0) ∈ Ox, B(0; b;0) ∈ Oy, C(0; 0; c) ∈ Oz (a, b, c > 0) . x y z Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: + + = 1 . a b c 9 1 1 1 VOABC = abc (2) Ta có: M (9;1;1) ∈ (P) ⇒ + + = 1 (1); 6 a b c (1) ⇔ abc = 9 bc + ac + ab ≥ 33 9(abc)2 ⇔ (abc)3 ≥ 27.9(abc)2 ⇔ abc ≥ 243

Í-

 a = 27 9bc = ac = ab x y z   + + = 1. Dấu "=" xảy ra ⇔  9 1 1 ⇔  b = 3 ⇒ (P): 27 3 3 c = 3  a + b + c = 1 Chọn đáp án B.

ÁN

-L

Câu 50. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A ( 2;3; 2 ) , B ( 6; −1; −2 ) , C ( −1; −4;3) , D (1;6; −5 ) . Gọi M là một điểm nằm trên đường thẳng CD sao cho tam giác MAB có chu vi bé nhất. Khi đó toạ độ điểm M là: A. M ( 0;1; −1) B. M ( 2;11; −9 ) C. M ( 3;16; −13) D. M ( −1; −4;3)

IỄ N

ÀN

Hướng dẫn giải: Tam giác MAB có độ dài cạnh AB = 4 3 không đổi, do đó chu vi bé nhất khi và chỉ khi MA + MB bé nhất. AB = ( 4; −4; −4 ) ; CD = ( 2;10; −8 ) . Vì AB.CD = 0 nên AB ⊥ CD , suy ra điểm M cần tìm là hình chiếu vuông góc của A, cũng là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng CD . Từ đó tìm ra điểm M ( 0;1; −1) .

Chọn đáp án A.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 155 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

H Ư TR ẦN

 x = 1 + 2t  Do đó (D1D2) có phương trình:  y = −2t .  z = −1 + t 

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

thuộc (S) thì d ( D;( ABC )) ≤ max {d ( D1 ;( ABC )); d ( D2 ;( ABC ))} . Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D1 hoặc D2 Đường thẳng D1D 2 đi qua I(1;0;-1), và có VTCP là n ABC = (2; −2;1)

ẠO

U Y

Câu 51. Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;1;1), B(1;0; −3), C (−1; −2; −3) và mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 z − 2 = 0 .Tìm tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất. 7 4 1  −1 4 −5  7 4 1 7 4 1 A. D  ; − ; −  B. D  ; ;  C. D  ; ;  D. D  ; − ;   3 3 3  3 3 3   3 3 3  3 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có (S) : ( x − 1)2 + y 2 + ( z + 1)2 = 4 suy ra (S) có tâm I(1;0;-1), bán kính R = 2 Và AB = (1; −1; −4); AC = (−1; −3; −4) Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là n =  AB, AC  = (−8;8; −4) Suy ra mp(ABC) có phương trình: −8x + 8(y − 1) − 4(z − 1) = 0 ⇔ 2x − 2y + z + 1 = 0 1 Ta có VABCD = d ( D;( ABC )).S ABC nên VABCD lớn nhất khi và chỉ khi d ( D;( ABC )) lớn nhất. Gọi 3 D1D 2 là đường kính của mặt cầu (S) vuông góc với mp(ABC). Ta thấy với D là 1 điểm bất kỳ

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

-L

Í-

10 00

 x = 1 + 2t 2  t=  y = −2t   3 Tọa độ điểm D1 và D2 thỏa mãn hệ:  ⇒ t = −2  z = −1 + t 2 2 2   ( x − 1) + y + ( z + 1) = 4 3  7 −4 −1   −1 4 −5  ⇒ D1  ; ;  & D2  ; ;  3 3 3   3 3 3   7 4 1 Ta thấy: d ( D1 ;( ABC )) > d ( D2 ;( ABC )) . Vậy điểm D  ; − ; −  là điểm cần tìm  3 3 3 Chọn đáp án D.

ÁN

1 3  2 2 2 Câu 52. Trong không gian Oxyz , cho điểm M  ; ;0  và mặt cầu ( S ) : x + y + z = 8. Đường 2 2  thẳng d thay đổi, đi qua điểm M , cắt mặt cầu ( S ) tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S

ÀN

của tam giác OAB.

IỄ N

A. S = 7 . B. S = 4 . C. S = 2 7 . Hướng dẫn giải: Mặt cầu ( S ) có tâm O ( 0;0;0 ) và bán kính R = 2 2 .

D. S = 2 2 .

Vì OM = 1 < R nên M thuộc miền trong của mặt cầu ( S ) . Gọi A , B là giao điểm của đường thẳng với mặt

cầu. Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB .

M B

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 156 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Đặt x = OH , ta có 0 < x ≤ OM = 1, đồng thời HA = R 2 − OH 2 = 8 − x 2 . Vậy diện tích tam giác OAB là 1 SOAB = OH . AB = OH .HA = x 8 − x 2 . 2

Khảo sát hàm số f ( x ) = x 8 − x 2 trên ( 0;1] , ta được max f ( x ) = f (1) = 7 .

( 0;1]

U Y

Vậy giá trị lớn nhất của S∆OAB = 7 , đạt được khi x = 1 hay H ≡ M , nói cách khác là d ⊥ OM . Chọn đáp án A. x = 2−t  2 2 2 Câu 53. Cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 x + 4 z + 1 = 0 và đường thẳng d :  y = t . Tìm m để d z = m + t 

+ t 2 + ( m + t ) − 2.( 2 − t ) + 4.( m + t ) + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

H Ư

(2 − t)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của ( S ) tại A và tại B vuông góc với nhau. A. m = −1 hoặc m = −4 B. m = 0 hoặc m = −4 D. Cả A, B, C đều sai C. m = −1 hoặc m = 0 Hướng dẫn giải: Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì trước tiên d phải cắt mặt cầu, tức là phương trình

TR ẦN

⇔ 3t 2 + 2 ( m + 1) t + m2 + 4m + 1 = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi ∆ ' > 0 ⇔ ( m + 1) − 3m2 − 12m − 3 > 0

10 00

⇔ m2 + 5m + 1 < 0 . Với phương trình có hai nghiệm phân biệt , áp dụng định lí Viet ta có m 2 + 4m + 1 −2 ; t1 + t2 = t1t2 = ( m + 1) 3 3 Khi đó IA = (1 − t1; t1; m + 2 + t1 ) , IB = (1 − t2 ; t2 ; m + 2 + t2 ) . Vậy IA.IB = (1 − t1 )(1 − t2 ) + t1t2 + ( m + 2 + t1 )( m + 2 + t2 ) = 0 2

2  m = −1 2 2 (TM). ( m + 1) + ( m + 2 ) + 1 = 0 ⇔  3  m = −4

-L

⇔ m 2 + 4m + 1 −

Í-

⇔ 3t1t2 + ( m + 1)( t1 + t2 ) + ( m + 2 ) + 1 = 0

ÁN

Chọn đáp án A. Câu 54. rong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (1;01;1) , B (1;2;1) , C ( 4;1; −2 ) và mặt

IỄ N

ÀN

Hướng dẫn giải: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có G ( 2;1;0 ) , ta có

MA2 + MB2 + MC 2 = 3MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 (1) Từ hệ thức (1) ta suy ra : MA2 + MB 2 + MC 2 đạt GTNN ⇔ MG đạt GTNN ⇔ M là hình chiếu vuông góc của G trên (P).

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 157 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Ơ H N U Y

x = 2 + t t = −1 y = 1+ t x = 1   Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình  ⇔ ⇒ M (1;0; −1) z = t y = 0  x + y + z = 0  z = −1 Chọn đáp án D.

x = 2 + t  Gọi (d) là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) thì (d) có phương trình tham số là  y = 1 + t z = t 

Câu 55. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x − 6 y + m = 0 và đường thẳng

x y −1 z +1 = = . Tìm m để (d) cắt (S) tại hai điểm M, N sao cho độ dài MN bằng 8. 2 1 2 A. m = −24 B. m = 8 C. m = 16 D. m = −12

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

(d ) :

( −2)

+ 32 + 02 − m = 13 − m ( m < 13)

(S) có tâm I ( −2;3;0 ) và bán kính R =

Hướng dẫn giải:

H Ư

Gọi H là trung điểm M, N ⇒ MH = 4

Suy ra R = MH 2 + d 2 ( I ; d ) = 42 + 32 = 5

TR ẦN

u , AI    Đường thẳng (d) qua A ( 0;1; −1) và có vectơ chỉ phương u = ( 2;1;2 ) ⇒ d ( I ; d ) = =3 u

10 00

Ta có 13 − m = 5 ⇔ 13 − m = 25 ⇔ m = −12 Chọn đáp án D.

-L

Í-

Câu 56. Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 2;0; −2 ) , B ( 3; −1; −4 ) , C ( −2;2;0 ) . Điểm D trong mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) bằng 1 có thể là: A. D ( 0; −3; −1) B. D ( 0;2; −1) C. D ( 0;1; −1) D. D ( 0;3; −1)

ÁN

Hướng dẫn giải: → D ( 0; b; c ) với c < 0 Do D ∈ ( Oyz ) 

IỄ N

ÀN

c = 1( loai )  → D ( 0; b; −1) Theo giả thiết: d  D, ( Oxy )  = 1 ⇔ c = 1 ⇔  c = −1 Ta có AB = (1; −1; −2 ) , AC = ( −4;2;2 ) , AD = ( −2; b;1) Suy ra  AB, AC  = ( 2;6; −2 )  →  AB, AC  . AD = 6b − 6 b = 3 1 Cũng theo giả thiết, ta có: VABCD =  AB, AC  . AD = b − 1 = 2 ⇔  6 b = −1 Chọn đáp án D.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 158 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

SỐ PHỨC z1 + z2

Câu 1. Cho hai số phức phân biệt z 1; z 2 thỏa điều kiện

z1 − z2

là số ảo. Khẳng định nào sau đây là

C. z1 = z 2

B. z 1 = z 2

D. z 1 = −z 2

N  z + z  z1 + z 2 z1 + z 2 2 + =0 +  1  = 0 . ⇔ z1 − z 2 z 1 − z 2  z 1 − z 2  z1 − z 2

z1 + z2

(

)

ẠO

⇔ (z1 + z 2 )(z 1 − z 2 ) + (z1 − z 2 ) z 1 + z = 0 . ⇔ 2 z1 z1 − z 2 z 2 = 0 ⇔ z1 z1 − z 2 z 2 = 0 . ⇔ z 1 − z 2 = 0 .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

z1 − z2

là số ảo ⇔

z1 + z2

Thì

Hướng dẫn giải: z1 ≠ z 2 ⇔ z 1 − z 2 ≠ 0 .

A. z1 = 1; z 2 = 1

đúng?

Chọn đáp án A.

H Ư

Câu 2. Gọi z1 ; z2 ; z3 ; z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4 + (4 − m) z 2 − 4 m = 0 . Tìm tất cả các giá trị m để z1 + z2 + z3 + z4 = 6 .

C. m = ±3

TR ẦN

B. m = ±2

A. m = −1 Hướng dẫn giải:

D. m = ±1

ÁN

Chọn đáp án D.

-L

Í-

10 00

 z1;2 = ±2i z 4 + (4 − m) z 2 − 4m = 0 ⇔ ( z 2 + 4)( z 2 + m) = 0 ⇔  nếu m ≤ 0 hoặc  z3;4 = ± −m  z1;2 = ±2i ⇔  nếu m > 0  z3;4 = ±i m 6 = z + z + z + z = 4 + 2 −m 1 2 3 4 ⇔ m = −1 Khi đó  m ≤ 0  6 = z + z + z + z = 4 + 2 m 1 2 3 4 hoặc  ⇔ m=1 m > 0  Kết hợp lại thì m = ±1 thoả mãn bài toán.

Câu 3. Tìm số phức z biết z thỏa mãn phương trình

D. i

IỄ N

ÀN

A. 1 B. 1+i Hướng dẫn giải: z + z = 2 ⇔ z + z.z = 2z z ⇔ a + bi + a 2 + b 2 = 2(a − bi)

z +z=2 z C. 1-i

⇔ (a + a 2 + b 2 ) + bi = 2a − 2bi  a = 1 => z = 1  b = 0 a + a 2 + b 2 = 2a a 2 − a = 0  ⇔ ⇔   a = 0 b = − 2b b = 0    => z = 0(loai)  b = 0

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 159 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Chọn đáp án A. Câu 4. Trong các số phức thỏa điền kiện z − 4i − 2 = 2i − z , modun nhỏ nhất của số phức z bằng? A. 2 2

B. 2

C. 1

D. 3 2 .

Giả sử số phức z = x + yi

Hướng dẫn giải:

x, y ∈ R

Theo đề z − 4i − 2 = 2i − z

U Y

⇔ (x − 2) 2 + (y − 4) 2 = x 2 + (y − 2) 2

Mà z = x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x) 2

⇔ x+ y−4 = 0 ⇔ y = 4 − x (1)

ẠO

(thay (1) vào)

Đ G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= 2( x − 2) 2 + 8 ≥ 2 2 . Chọn đáp án A.

Câu 5. Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn z ≥ 2 . Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

H Ư

z +i . z A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Hướng dẫn giải: 1 1 i i i i 1 1 Ta có 1 − ≤ 1 + ≤ 1 + ⇔ 1 − ≤ 1 + ≤ 1 + . Mặt khác z ≥ 2 ⇔ ≤ suy ra z z z z z z z 2 3 1 1 3 ≤ P ≤ Suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là , . Vậy tổng tổng giá trị lớn nhất và giá trị 2 2 2 2 nhỏ nhất của biểu thức P là 2 . Chọn đáp án B.

10 00

TR ẦN

B. z =

2 1 + i 2 2

C. z =

ÁN

Hướng dẫn giải:

-L

A. z = 1 + 3i

Í-

Câu 6. Số phức z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện Z (1 + i ) − 3 + 2i =

+ Gọi z=x+yi. Từ giả thiết ta có: ( x + y − 3)2 + ( x − y + 2) 2 =

3 1 − i 2 2

13 là: 2 D. z =

3 15 + i 4 4

13 4

ÀN

+ Đồng thời | z |= x 2 + y 2 lớn nhất. Chọn đáp án A. Câu 7. Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình: ( z + i ) ( z 2 − 1)( z 3 + i ) = 0

B. 4

C. 6

D. 8

IỄ N

A. 3 Hướng dẫn giải:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 160 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

 z = −i  z = −i  z = ±1  z = −i  z = ±1  ⇔ z = i ( z + i ) ( z 2 − 1)( z 3 + i ) = 0 ⇔  z = ±1 ⇔  z = i  3 3 z − i = 0  2   z = −i ± 5 z + iz − = 1 0   2 Suy ra tổng mô-đun các nghiệm bằng 6. Chọn đáp án C.

2 + 6i .Diện 3−i

U Y

Câu 8. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của 3 số phức: 1 + 2 i; (1 − i)(1 + 2i);

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

B. 1

A. ∅ Hướng dẫn giải:

D. Vô số

3m + 1 + ( m − 1) i 1 − m + 2mi

10 00

m + 1 − i (1 + 2mi − m ) 3m + 1 + ( m − 1) i m +1 −i = = 1 + m ( 2i − 1) 1 + m ( 2i − 1) 1 − m + 2mi 3m + 1 + ( m − 1) i 1 − m + 2mi

⇒ z −i =

C. 4

Ta có z − i =

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

tích của tam giác ABC bằng: 1 1 5 5 A. B. C. D. 2 4 5 2 Hướng dẫn giải: Dùng máy tính casio ta có A(1;2), B(3;1) ,C(0;2) 1 Dùng công thức S =  AB, AC  Với AB = ( 2; −1;0 ) , AC = ( −1; 0;0 ) 2 Dùng máy tính ta có kết quả B: S=1/2 (Có thể dùng công thức tính diện tích phần Oxy tính nhanh hơn) Chọn đáp án B. m +1 Câu 9. Cho số phức z = ( m ∈ ℝ ) . Số các giá trị nguyên của m để z − i < 1 là 1 + m ( 2i − 1)

Í-

⇔ 3m + 1 + ( m − 1) i < 1 − m + 2mi ⇔ ( 3m + 1) + ( m − 1) < (1 − m ) + 4m2

-L

⇔ 5m2 + 6m + 1 < 0 ⇔ −1 < m < −

1 5

ÁN

Vì m ∈ ℤ ⇒ Không có giá trị của m thỏa mãn. Chọn đáp án A.

ÀN

Câu 10. Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn iz1 + 2 =

1 và z2 = iz1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

z1 − z2 .

IỄ N

1 1 1 1 B. 2 + C. 2 − D. 2 + 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Bài toán này, thực chất là dựa trên kiến thức “ Biểu diễn hình học số phức”. Ta thấy nếu đặt z1 = x1 + y1i ( x1; y1 ∈ ℝ ) . Khi đó điểm M ( x1; y1 ) là điểm biểu diễn số phức z1 thỏa mãn: A. 2 −

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 161 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

1 1 ⇔ ix1 − y1 + 2 = 2 2 2 1 ⇔ x12 + y1 − 2 = . Suy ra tập hợp các điểm M biểu 4 diễn z1 là đường trong ( C ) có tâm I 0; 2 và bán kính i ( x1 + y1i ) + 2 =

)

1 . 2 Khi đó nếu N là điểm biểu diễn của số phức z 2 thì việc R=

M’

tìm GTNN của z1 − z2 là việc tìm GTNN của MN.

Theo đề thì z2 = iz1 = − y1 + x1i ⇒ N ( − y1; x1 ) là điểm biểu

diễn z 2 . Ta nhận thấy rõ ràng OM .ON = − x1 y1 + x1 y1 = 0

ẠO

⇒ OM ⊥ ON . Dễ nhận thấy OM = ON = x12 + y12 Ta có hình vẽ sau:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

)

(

U Y

(

TR ẦN

H Ư

Do OMN là tam giác vuông cân tại O nên MN = OM 2 , do đó để MN nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất. Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi M ≡ M ' (M’ là giao điểm của OI với đường tròn như hình vẽ) Tức là 1 1 1   M  0; 2 −  . Khi đó MN = OM 2 =  2 −  2 = 2 − . 2 2 2   Chọn đáp án A.

10 00

Câu 11. Trong mặt phẳng phức Oxy , trong các số phức z thỏa z + 1 − i ≤ 1 . Nếu số phức z có môđun lớn nhất thì số phức z có phần thực bằng bao nhiêu ? − 2 −2 2 −2 2− 2 2+ 2 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R )

ÁN

-L

Í-

Gọi A là điểm biểu diễn số phức −1 + i Ta có: z + 1 − i ≤ 1 ⇔ MA ≤ 1 . Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn tâm A ( −1,1) , R = 1 như hình vẽ Để max z ⇔ max ( OM )

ÀN

 x + 1)2 + ( y − 1)2 ≤ 1 ⇒ M thỏa hệ: ( y = −x  2 −2 2+2 ⇔x= ,x = − 2 2

IỄ N

Chọn đáp án A.

Câu 12. Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z + 2i − 1 = z + i . Tìm số phức z được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với A (1,3) .

A. 3 + i . B. 1 + 3i . C. 2 − 3i . Hướng dẫn giải: Gọi M ( x, y ) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R )

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. −2 + 3i .

Trang 162 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Gọi E (1, −2 ) là điểm biểu diễn số phức 1 − 2i Gọi F ( 0, −1) là điểm biểu diễn số phức −i Ta có: z + 2i − 1 = z + i ⇔ ME = MF ⇒ Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục

EF : x − y − 2 = 0 .

U Y

Để MA ngắn nhất khi MA ⊥ EF tại M ⇔ M ( 3,1) ⇒ z = 3 + i Chọn đáp án A. 2z − i ≤ 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z . Câu 13. Trong các số phức z thỏa mãn 2 + iz

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A. 1. B. 2. C. 2 D. 3 Hướng dẫn giải: Ta có: (2 z − i )(2 z + i ) ≤ (2 + iz )(2 − iz ) 2z − i 2z − i 2z + i ≤1⇔ . ≤1⇔  ⇔ z. z ≤ 1 2 + iz 2 + iz 2 − iz 2 + iz ≠ 0 Chọn đáp án A.

H Ư

Câu 14. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: z = z − 3 + 4i .

25 =0 B. 3x + 4 y − 25 = 0 2 25 =0 C. 3 x − 4 y − D. 3x − 4 y − 25 = 0 2 Hướng dẫn giải: Vì z = z nên z − 3 + 4i = z − 3 + 4i = z − 3 − 4i ,

10 00

TR ẦN

A. 3 x + 4 y −

z − 3 − 4i =1 z

suy ra z = z − 3 + 4i ⇔ z = z − 3 − 4i ⇔

z − 3 − 4i = 1 là đường trung trực của đoạn thẳng OA, với z 3  O ( 0 ) và A( 3 + 4i ) . Đường trung trực này đi qua trung điểm K  + 2i  của đoạn thẳng OA và 2   nhận véctơ OA ( 3 + 4i ) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình là:

ÁN

-L

Í-

Tập hợp điểm có tọa vị z thỏa mãn

3 25  3  x −  + 4 ( y − 2 ) = 0 ⇔ 3x + 4 y − =0. 2 2  Chọn đáp án A.

ÀN

1 . Nếu điểm M di động z trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R = 2 thì M’ di động trên đường nào? A. x 2 + y 2 + 2 x − 2 y = 0 B. 2 x + 2 y + 1 = 0 C. 2 x − 2 y + 1 = 0 D. 2 x + 2 y − 1 = 0 Hướng dẫn giải:

IỄ N

Câu 15. Điểm M biểu diễn số phức z ≠ 0 và điểm M’ biểu diễn số phức z ' =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 163 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

x  x' = 2  x + y2 z 1  Ta có z ' = = 2 . Do đó  y z z y' = 2  x + y2

Ơ H N

x2 + y 2 + 2 x − 2 y =0 x2 + y 2

U Y

⇔ x2 + y2 + 2 x − 2 y = 0 ⇔

M di động trên đường tròn tâm A(-1;1) bán kính R = 2 nên 2 2 ( x + 1) + ( y − 1) = 2

2x 2y − 2 = 0 ⇔ 2 x '− 2 y '+ 1 = 0 2 x +y x + y2 Chọn đáp án C.

⇔ 1+

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 16. Tìm số thực m = a − b 20 (a, b là các số nguyên khác 0) để phương trình 2 z 2 + 2( m − 1) z + (2m + 1) = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = 10 . Tìm a. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: ∆ ' = m2 − 6m − 1 ∈ R TH1: ∆ ' > 0 hay m ∈ (−∞;3 − 10) ∪ (3 + 10; +∞)

TR ẦN

Khi đó z1 + z2 = 10 ⇔ z12 + z22 + 2 z1 z2 = 10

(loai)

10 00

  2m + 1 ≥ 0  2  m = 1 + 10  (1 − m) = 10 2 ⇔ (1 − m) − (2m + 1) + 2m + 1 = 10 ⇔  ⇔ 2m + 1 < 0  m = 3 − 20   2  m − 6m − 11 = 0

TH2: ∆ ' < 0 hay m ∈ (3 − 10;3 + 10)

1 − m + i −(m2 − 6m − 1) 1 − m − i −(m2 − 6m − 1) + = 10 2 2

(1 − m) 2 + (−m2 + 6m + 1) = 10 ⇔ m = 2

-L

Hay

Í-

Khi đó: z1 + z2 = 10 ⇔

ÁN

Vậy m = 2 hoặc m = 3 − 20

Chọn đáp án C.

ÀN

Câu 17. Cho các số phức z thỏa mãn z = 2 .Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z là một đường tròn.Tính bán kính r của đường tròn đó.

IỄ N

A. 20 B. Hướng dẫn giải: Đặt w = x + yi, ( x, y ∈ ℝ )

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. 7

Trang 164 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

w = 3 − 2i + ( 2 − i ) z ⇒ x + yi = 3 − 2i + ( 2 − i ) z x − 3 + ( y + 2) i 2−i

2x − y − 8 x + 2 y + 1 i + 5 5

⇒z=

 2x − y − 8   x + 2 y + 1  ⇒   +  =2 5 5     2

U Y

⇒ x2 + y 2 − 6 x + 4 y − 7 = 0 ⇒ ( x − 3) + ( y + 2 ) = 20

Bán kính của đường tròn là r = 20 Chọn đáp án B.

(

)

ẠO

2894

A. 2984 B. 2884 Hướng dẫn giải: 2 Ta có z = z.z . Đặt N = 3u − 4v . 2

(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 18. Cho hai số phức u,v thỏa mãn u = v = 10 và 3u − 4v = 2016 . Tính M = 4u + 3v .

)

(

)

(

Do đó M 2 + N 2 = 25 u + v

TR ẦN

Tương tự ta có M 2 = 16 u + 9 v − 12 uv + vu .

H Ư

Khi đó N 2 = ( 3u − 4v ) 3u − 4v = 9 u + 16 v − 12 uv + vu .

) = 5000 .

a = b = 1 ⇒ z = 1 + i ⇒ z 2017 = ( (1+i) 4 )

504

(1 + i ) = ( −4 ) (1 + i ) = 21008 + 21008 i

Chọn đáp án B.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Suy ra M 2 = 5000 − N 2 = 5000 − 2016 = 2984 ⇒ M = 2984 . Chọn đáp án A. z 6 + 7i = . Tìm phần thực của số phức z 2017 . Câu 19. Cho số phức z thoả mãn: z − 1 + 3i 5 A. −21008 B. 21008 C. 2 504 D. 22017 Hướng dẫn giải: z 6 + 7i = Cho số phức z thoả mãn: z − . Tìm phần thực của số phức z 2013 . 1 + 3i 5 a − bi 6 + 7i = Gọi số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) ⇒ z = a − bi thay vào (1) ta có a + bi − 1 + 3i 5 (a − bi)(1 − 3i ) 6 + 7i a + bi − = ⇔ 10a + 10bi − a + 3b + i (b + 3a) = 12 + 14i 10 5 ⇔ 9a + 3b + i(11b + 3a) = 12 + 14i 9a + 3b = 12 a = 1 ⇔ ⇔ 11b + 3a = 14 b = 1

Câu 20. Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức Môđun của số phức w bằng: A. 1 B. 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 2016

1 1 1 + = . z w z+w

D. 2017

Trang 165 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Hướng dẫn giải: 2

( z + w) − zw = 0 1 1 1 z+w 1 + = ⇔ − =0⇔ z w z+w zw z+w zw ( z + w )

2 2 1 3 1  3 1   i 3w    ⇒ z + w + zw = 0 ⇔ z + zw + w2 + w2 = 0 ⇔  z + w  = − w2 ⇔  z + w  =   4 4 2  4 2   2    2

U Y

2  1 i 3 z w   i 3w   Từ  z +  =   ⇒ z =  − ±  w ⇒ w=  2  2  2   1 i 3   2 − ±  2   2

2017 = 2017 1 3 + 4 4

Suy ra: w =

Đ G

TR ẦN

H Ư

Câu 21. Biết số phức Z thỏa điều kiện 3 ≤ z − 3i + 1 ≤ 5 . Tập hợp các điểm biểu diễn của Z tạo thành một hình phẳng. Diện tích của hình phẳng đó bằng A. 16π B. 4π C. 9π D. 25π Hướng dẫn giải: Đặt z=x+yi

ẠO

Chọn đáp án D.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Từ

-L

Í-

10 00

z − 3i − 1 = x − 1 + ( y − 3)i = ( x − 1)2 + ( y − 3)2 Do đó 3 ≤ z − 3i + 1 ≤ 5 ⇔ 9 ≤ ( x − 1)2 + ( y − 3)2 ≤ 25 Tập hợp các điểm biểu diễn của Z là hình phẳng nằm trong đường tròn Tâm I (1 ;3) với bán kính bằng R=5 đồng thời nằm ngoài đường tròn tâm I (1 ;3) với bán kính r=3 Diện tích của hình phẳng đó là S = π.52 − π.32 = 16π Chọn đáp án A.

IỄ N

ÀN

ÁN

Câu 22. Số Phức cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 1 . Mệnh đề nào sau đây là sai. A. Trong ba số đó có hai số đối nhau. B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1. C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1. D. Tích của ba số đó luôn bằng 1. Hướng dẫn giải: Ta có: z1 + z2 + z3 = 1 ⇔ 1 − z1 = z2 + z3 . Nếu 1 − z1 = 0 thì z2 + z3 = 0 ⇒ z2 = − z3 . Nếu 1 − z1 ≠ 0 thì điểm P biểu diễn số phức 1 − z1 = z2 + z3 không trùng với góc tọa độ O. Gọi M là điểm biểu diễn của số phức − z1 và A là điểm biểu diễn của số 1.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 166 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Khi đó ta có OA + OM = OP (do P là điểm biểu diễn của số 1 + ( −z1 ) ) nên OAPM là hình bình

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

đơn vị. Ta cũng có OA = OM = 1 nên OAPM là hình thoi. Khi đó ta thấy M, A là giao điểm của đường trung trực đoạn OP với đường tròn đơn vị. Tương tự do P cũng là điểm biểu diễn của z2 + z3 , nếu M’ và A’ là hai điểm biểu diễn của số z 2 , z3 thì ta cũng có M’, A’ là giao điểm đường trung trực của OP và đường tròn đơn vị. Vậy M ' ≡ M , A ' ≡ A hoặc ngược lại. Nghĩa là z2 = 1, z3 = − z1 hoặc z3 = 1, z2 = − z1 . Do đó A, B là mệnh đề đúng. C đúng là hiển nhiên, vì nếu ba số đều 1 một thì tổng bằng 3. 2 2 2 2 i, z3 = − i thỏa hai tính chất trên của đề bài nhưng + − D sai vì với z1 = 1, z2 = 2 2 2 2 z1 z2 z3 ≠ 1 . Chọn đáp án D. 1 1 1 Câu 23. Cho z là số phức có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn + = . Mô đun z w z+w của số phức w là A. 2015 B. 1 C. 2017 D. 0 Hướng dẫn giải: 1 1 1 Từ + = ta suy ra z 2 + w 2 + zw = 0 z w z+w

hành. Mà z1 = z2 = z3 = 1 nên các điểm biểu diễn cho ba số z1 , z2 , z3 đều nằm trên đường tròn

2  1 i 3 w   i 3w   ⇒  z +  =   ⇒ z =  − ± w 2  2  2    2 Lấy mô đun hai vế ta có z = w = 2017 .

10 00

Chọn đáp án C. Câu 24. Cho số phức z thoả mãn điều kiện z − 2 + 3i = 3 . Tìm giá trị

nhỏ nhất của z

-L

Í-

A. 13 − 3 B. 2 C. 13 − 2 D. 2 Hướng dẫn giải: Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn z − 2 + 3i = 3 nằm trên

ÁN

đường tròn (C) tâm I(2; −3) và bán kính R = 3 . (Ý nghĩa hình học của z : độ dài OM)

ÀN

Ta có |z| đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ điểm M∈(C) và OM nhỏ nhất. (Bài toán hình học giải tích quen thuộc)

Vậy GTNN của z là:

13 − 3 .

Chọn đáp án A.

IỄ N

Ta có: OM ≥ OI – IM = OI – R = 13 − 3 . Dấu « = » xảy ra khi M là giao điểm của (C) và đoạn thẳng OI.

Câu 25. Cho số phức z thỏa mãn: z − 3 + 4i = 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 167 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Giả sử z = a + bi , ta có: a + bi − 3 + 4i = 4 ⇒ ( a − 3) + ( b + 4 ) = 16

 a − 3 = 4sin ϕ  a = 3 + 4sin ϕ ⇒ b + 4 = 4 cos ϕ b = 4 cos ϕ − 4

Đặt 

⇒ z = a 2 + b 2 = 9 + 16sin 2 ϕ + 24sin ϕ + 16cos 2 ϕ + 16 − 32cos ϕ

U Y

= 41 + 24sin ϕ − 32cos ϕ 3 4 = 41 + 40( sin ϕ − cos ϕ ) 5 5

3 4 2 ,sin α = ⇒ z = a 2 + b 2 = 41 + 40sin(ϕ − α ) ≥ 1 . 5 5 π π Dấu “=” xảy ra khi ϕ − α = − + k 2π ⇒ ϕ = − + α + k 2π .

Đặt cos α =

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy Min z = 1 .

Chọn đáp án A.

phương

TR ẦN

H Ư

Câu 26. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i) n , n ∈ ℕ thỏa mãn trình log 4 (n − 3) + log 4 (n + 9) = 3 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Hướng dẫn giải: Điều kiện n > 3, n ∈ ℕ Phương trình log 4 (n − 3) + log 4 (n + 9) = 3 ⇔ log 4 (n − 3)(n + 9) = 3 ⇔ n = 7 (so đk) 3

10 00

2 z = (1 + i)7 = (1 + i). (1 + i )  = (1 + i)(2i)3 = 8 − 8i   Vậy phần thực của số phức z là 8. Chọn đáp án D.

Í-

2z −1 Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn z ≤ 1 và số phức w = . Khi đó mô đun của số phức w là: 2 + iz A. w = 2 B. 1 < w < 2. C. w ≤ 1 D. w > 2

ÁN

-L

Hướng dẫn giải: Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) . z ≤ 1 ⇒ a 2 + b 2 ≤ 1. 2

4a 2 + ( 2b − 1) 2z − 1 2z −1 >1⇔ . Xét = 2 2 + iz 2 + iz ( 2 − b) + a2

4a 2 + ( 2b − 1)

( 2 − b)

+ a2

> 1 ⇔ ... ⇔ a 2 + b 2 > 1. (vô lí)

ÀN

Nên w ≤ 1.

Chọn đáp án C.

IỄ N

Câu 28. Cho các số phức z thỏa mãn z − 1 = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

(

)

w = 1 + i 3 z + 2 là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó?

A. r = 4 Hướng dẫn giải:

B. r = 2

(

C. r = 16

) (

D. r = 25

)

Giả sử z = a + bi ; w = x + yi ; a , b, x , y ∈ R => a − 1 + b 2 = 4

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 168 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Theo đề x = a + 2 − b 3 x − 3 = a − 1 − b 3   w = 1 + i 3 z + 2 ⇔ x + yi = 1 + i 3 z + 2 ⇔  ⇒ y = b + a 3 y − 3 = b + 3 a − 1

)

( ) = (a − 1 − b 3 ) + (b + (a − 1) 3 ) = 4  (a − 1) + b  = 16 + (y − 3 ) = 16 suy ra bán kính đường tròn là r = 16 = 4 . 2

+ y− 3

(

=> x − 3

)

U Y

Chọn đáp án A.

)

(

=> x − 3

)

(

)

(

2 2017 Câu 29. Tìm phần ảo của số phức z , biết số phức z thỏa mãn i. z = 2 + i + (1 + i ) + ... + (1 + i ) .

ẠO

A. 1 B. 21009 C. −21009 D. 21009 i Hướng dẫn giải: 2 2017 Ta thấy 1; 1 + i; (1 + i ) ; ........; (1 + i ) lập thành một cấp số nhân gồm 2018 số hạng với u1 = 1 công bội

⇔ z = 1 − (1 + i )

2018

1009

2 = 1 − (1 + i )   

−1

= i − i (1 + i ) 1009

= 1 − ( 2i )

= 1 − 21009 i

TR ẦN

⇒ z = 1 + 21009 i Vậy phần ảo của z là 21009 . Chọn đáp án B.

2018

Suy ra i. z = S2018

2018

q 2018 − 1 (1 + i ) = u1 = q −1 i

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

q = 1+ i .

10 00

Câu 30. Cho các số phức z thỏa mãn z = 4 . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số

Í-

phức w = (3 + 4i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó. C. r = 20. D. r = 22. A. r = 4. B. r = 5. Hướng dẫn giải: a + (b − 1)i [ a + (b − 1)i ] (3 − 4i) Gọi w = a + bi , ta có w = a + bi = (3 + 4i) z + i ⇔ z = = 3 + 4i 9 − 16i 2

(3a + 4b − 4) 2 + (3b − 4a − 3) 2 3a + 4b − 4 (3b − 4a − 3) + .i ⇒ z = 25 25 25 2 2 z Mà = 4 nên ⇔ (3a + 4b − 4) + (3b − 4a − 3) = 1002 ⇔ a 2 + b 2 − 2b = 399

ÁN

-L

Theo giả thiết, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (3 + 4i ) z + i là một đường tròn nên ta có

IỄ N

ÀN

a 2 + b2 − 2b = 399 ⇔ a 2 + (b − 1)2 = 400 ⇒ r = 400 = 20 Chọn đáp án C. Câu 31. Với hai số phức z1 và z 2 thỏa mãn z1 + z2 = 8 + 6i và z1 − z2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của

P = z1 + z2

A. P = 5 + 3 5 . Hướng dẫn giải:

B. P = 2 26 .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. P = 4 6 .

D. P = 34 + 3 2 .

Trang 169 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Toán 12

Đặt OA = z1 , OB = z2 ( với O là gốc tọa độ, A, B là điểm biểu diễn của z1 , z2 ).

)=2

26 ⇒ Pmax = 2 26

ẠO

(

Ta có z1 + z2 ≤ 2 z1 + z2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Dựng hình bình hành OACB , khi đó ta có AB = z1 − z2 = 2, OC = z2 + z1 = 10, OM = 5 Theo định lý đường trung tuyến ta có 2 ( OA2 + OB 2 ) − AB 2 2 2 2 ⇒ OA2 + OB 2 = 52 ⇒ z1 + z2 = 52 OM = 4

U Y

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Giáo viên: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

Chọn đáp án B.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 170 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Trang 1

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

MỤC LỤC PHẦN I: ĐỀ BÀI .................................................................................................................................. 3 DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH ĐA DIỆN ............................................................. 15

DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ MŨ-LÔGARIT ............................................... 24

DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ ...................... 3

DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH NÓN-TRỤ-CẦU .................................................. 32

U Y

DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN ....................................... 46

DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC ........................................................... 54

PHẦN II: ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI ..................................................................................................... 58

ẠO

DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, GTLN-GTNN CÙA HÀM SỐ .................... 58

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH ĐA DIỆN ............................................................. 86

DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ MŨ-LÔGARIT ............................................. 100

DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH NÓN-TRỤ-CẦU ................................................ 116

H Ư

DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN ..................................... 144

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC ......................................................... 160

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 2 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

PHẦN I: ĐỀ BÀI

DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ

Câu 1: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được quãng đường s ( t ) (km) là hàm phụ 2

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

thuộc theo biến ‫( ݐ‬giây) theo quy tắc sau: s ( t ) = et +3 + 2t.e3t +1 ( km ) . Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian). B. 3e 4 (km/s) C. 9e 4 (km/s) D. 10e 4 (km/s) A. 5e4 (km/s) Câu 2: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được.

-L

Í-

10 00

A. 6250 m 2 B. 1250 m 2 C. 3125 m 2 . D. 50 m 2 Câu 3: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

IỄ N

ÀN

ÁN

3 34 − 17 2 3 34 − 19 2 B. x = ( cm ) ( cm ) 2 2 5 34 − 15 2 5 34 − 13 2 C. x = D. x = ( cm ) ( cm ) 2 2 Câu 4: Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết thúc, Nam đỗ vào trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Kỳ I của năm nhất gần qua, kỳ II sắp đến. Hoàn cảnh không được tốt nên gia đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó khăn hơn. Gia đình đã quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50 m, lấy tiền lo cho việc học của Nam cũng như tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m 2 đất khi bán là 1500000 VN đồng. A. 112687500 VN đồng. B. 114187500 VN đồng. C. 115687500 VN đồng. D. 117187500 VN đồng.

A. x =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 3 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 5: Thầy Diêu dự định xây một bồn hoa có bề mặt là hình tròn có đường kính AB = 10 m , để cho ấn tượng thầy Diêu thiết kế có hai hình tròn nhỏ trong hình tròn lớn bằng cách lấy điểm M giữa A và B rồi dựng các đường tròn đường kính MA và MB như hình vẽ. Trong hai đường tròn nhỏ thầy định trồng loại hoa hồng đỏ, còn phần còn lại thầy trồng hoa hồng trắng. Biết giá hoa hồng đỏ là 5.000 đồng, hoa hồng trắng là 4.000 đồng và ít nhất 0.5 m2 mới trồng được một bông hoa. Hỏi chi phí thấp nhất để trồng hoa của thầy là bao nhiêu? A. 702000 đồng. B. 622000 đồng. D. 752000 đồng. C. 706858 đồng. Câu 6: Người ta muốn sơn một cái hộp không nắp, đáy hộp là hình vuông và có thể tích là 4 (đơn vị thể tích)? Tìm kích thước của hộp để dùng lượng nước sơn tiết kiệm nhất. Giả sử độ dày của lớp sơn tại mọi nơi trên hộp là như nhau. A. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 1 (đơn vị chiều dài). B. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài). C. Cạnh ở đáy là 2 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 0,5 (đơn vị chiều dài). D. Cạnh ở đáy là 1 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài). Câu 7: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường CH=0,5m là: A. Xấp xỉ 5,602 B. Xấp xỉ 6,5902 C. Xấp xỉ 5,4902 D. Xấp xỉ 5,5902 Câu 8: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua một cột đỡ DH cao 4m song song và cách tường CH = 0, 5m là:

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

-L

Í-

ÁN

A. Xấp xỉ 5,4902

B. Xấp xỉ 5,602

C. Xấp xỉ 5,5902

D. Xấp xỉ 6,5902

IỄ N

ÀN

Câu 9: Cho hai vị trí A , B cách nhau 615m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B . Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: B. 671, 4m A. 596, 5m C. 779, 8m D. 741, 2m Câu 10: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f (t ) = 45t 2 − t 3 (kết quả khảo sát được trong 8 tháng vừa qua). Nếu xem f '(t ) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t . Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy? A. 12 B. 30

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 4 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

C. 20 D. 15 Câu 11: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng. A. 2.225.000. B. 2.100.000 C. 2.200.000 D. 2.250.000 Câu 12: Trên một đoạn đường giao thông có 2 con đường vuông góc với nhau tại O như hình vẽ. Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí M cách đường OE 125cm và cách đường Ox 1km. Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn đường thẳng AB đi qua vị trí M, biết rằng giá trị để làm 100m đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí của A và B để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu ? A. 1,9063 tỷ đồng. B. 2,3965 tỷ đồng. C. 2,0963 tỷ đồng. D. 3 tỷ đồng.

TR ẦN

H Ư

Câu 13: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S = −t 3 + 9t 2 + t + 10 trong đó t tính bằng (s) và S tính bằng (m). Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là: A. t = 5s B. t = 6s C. t = 2s D. t = 3s Câu 14: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C . Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10 km , khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C là 40 km . Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ dưới đây). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD / km , đi đường bộ là 3 USD / km . Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? ( AB = 40 km, BC = 10 km .).

15 km . 2

65 km . 2

Í-

10 00

10 km B

D 40 km

C. 10 km .

D. 40 km .

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Câu 15: Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí A , B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m. Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào trên mặt đất để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất? A. AM = 6 m , BM = 18 m B. AM = 7 m , BM = 17 m C. AM = 4 m , BM = 20 m D. AM = 12 m , BM = 12 m Câu 16: Một chủ hộ kinh doanh có 50 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là 2,000,000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ thêm 50,000đ/tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất ? A. 2.200.000đ B. 2.250.000đ C. 2.300.000đ D. 2.500.000đ

1  3 t4  Câu 17: Thể tích nước của một bể bơi sau t phút bơm tính theo công thức V(t ) =  30t −  100  4 (0 ≤ t ≤ 90) . Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi v(t ) = V '(t ) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 5 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

U Y

Câu 18: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là đảo 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ B A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB biển thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng: 6km A. 6.5km B. 6km C. 0km D. 9km

A. Tốc độ bơm giảm từ phút thứ 60 đến phút thứ 90. B. Tốc độ luôn bơm giảm. C. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75. D. Cả A, B, C đều sai.

(9 - x)km

bờ biển

ẠO

1 2 gt , 2

x km

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 19: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động S =

H Ư

trong đó g = 9,8m/s 2 và t tính bằng giây ( s ) . Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s bằng: B. 25m/s. C. 10m/s. D. 18m/s. A. 49m/s.

TR ẦN

Câu 20: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S= t3 - 3t2 + 4t, trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của chất điểm lúc t = 2s bằng: A. 4m/s 2 . B. 6m/s 2 . C. 8m/s 2 . D. 12m/s2 .

a nào sau đây đúng ? r

hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số

10 00

Câu 21: Một vận động viên đẩy tạ theo quỹ đạo là 1 parabol có phương trình y = − x 2 + 2 x + 4 . Vị trí của quả tạ đang di chuyển xem như là một điểm trong không gian Oxy. Khi đó vị trí cao nhất của quả tạ là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây ? A. z = 1 − 3i B. z = 5 + i C. z = 1 + 5i D. z = 3 − i Câu 22: Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kinh r. Để tổng diện tích của hình vuông và

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Câu 23: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 − 20n( gam) . Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ? A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 Câu 24: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ? A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi. B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái ti vi. C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái ti vi. D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái ti vi. Câu 25: Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là 180 mét thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? A. Smax = 3600 m 2 B. Smax = 4000 m 2 C. Smax = 8100 m 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. Smax = 4050 m 2

Trang 6 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

x cm

2 cm

Câu 26: Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800( m) . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất? A. 200 m× 200 m B. 300 m×100 m C. 250 m×150 m D.Đáp án khác Câu 27: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

U Y

3cm

y cm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

B. 5

H Ư

7 2 D. 4 2 . 2 Câu 28: Trên sân bay một máy bay cất cánh trên đường băng d (từ trái sang phải) và bắt đầu rời mặt đất tại điểm O. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là đường băng d của máy bay. Dọc theo đường băng d cách vị trí máy bay cất cánh O một khoảng 300(m) về phía bên phải có 1 người quan sát A. Biết máy bay chuyền động trong mặt phẳng (P) và độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình y = x 2 (với x là độ dời của máy bay dọc theo đường thẳng d và tính từ O). Khoảng cách ngắn nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay là: B. 100. 5( m) C. 200( m) D. 100 3( m) A. 300(m)

A. 7

IỄ N

Câu 29: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB = 5km .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km .Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M trên bờ biểnvới vận tốc 4km / h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km / h .Vị trí của điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất? A. 0 km

B. 7 km

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 7 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A D.

14 + 5 5 km 12

Câu 30: Một vật chuyển động theo quy luật s = −

t3 + 9t 2 , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 2

U Y

vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quảng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 12 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động tại thời điểm t bằng bao nhiêu giây thì vận tốc của vật đạt giá trị lớn nhất ? A. t = 12 (giây) B. t = 6 (giây) C. t = 3 (giây) D. t = 0 (giây)

C. 2 5 km

Toán Ứng Dụng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 31: Có một tấm gỗ hình vuông cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vuông, có tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số 120cm từ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vuông có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ này là bao nhiêu? A. 40cm . B. 40 3cm . C. 80cm . D. 40 2cm .

TR ẦN

H Ư

Câu 32: Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất liền ra Côn Đảo (điểm C). biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây điện dưới nước chi phí là 5000 USD, chi phí cho mỗi km dây điện trên bờ là 3000 USD. Hỏi điểm G cách A bao nhiêu để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi phí ít nhất. A. 40km B. 45km C. 55km D. 60km

10 00

Câu 33: Một công ti bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100 000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ti đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá trị bao nhiêu một tháng? (đồng/tháng) A. 2 250 000 B. 2 450 000 C. 2 300 000 D. 2 225 000 Câu 34: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10 cm , biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn.

400 3

40 33

100 3

200 3

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

A. 80 cm 2 B. 100 cm 2 C. 160 cm 2 D. 200 cm 2 Câu 35: Trong bài thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một con sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ. Bạn hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất, nếu như dòng sông là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay.

l m

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 8 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

sin α ( α là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỷ lệ chỉ r2

phụ thuộc vào nguồn sáng). 3a a 2 A. h = B. h = 2 2 a a 3 C. h = D. h = 2 2

biểu thị bởi công thức C = k

Toán Ứng Dụng

U Y

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 37: Nhà Nam có một chiếc bàn tròn có bán kính bằng 2 m. Nam muốn mắc một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng sin α C của bóng điện được biểu thị bởi công thức C = c 2 ( α là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt l bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện). Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là A. 1m B. 1,2m C. 1.5 m D. 2m

10 00

TR ẦN

Câu 38: Một chủ trang trại nuôi gia súc muốn rào thành hai chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng cho cừu, một chuồng cho gia súc. Đã có sẵn 240m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh là bao nhiêu ? A. 4000 m2 B. 8400 m2 D. 2400 m2

C. 4800 m2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 39: Nhà của 3 bạn A, B, C nằm ở 3 vị trí tạo thành một tam giác vuông tại B ( như hình vẽ), AB = 10 km; BC = 25 km và 3 bạn tổ chức họp mặt ở nhà bạn C. Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên đoạn đường BC. Từ nhà, bạn A đi xe buýt đến điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn A, B di chuyển đến nhà bạn C bằng xe máy với tốc độ 50km/h. Hỏi điểm hẹn M cách nhà bạn B bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất ? A

A. 5 km B. 7,5 km C. 10 km D. 12,5 km Câu 40: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 9 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

15 km 4 10 C. 4

Toán Ứng Dụng

13 km 4 19 D. 4 B.

18 9+4 3

36 3

(m)

4+ 3

(m)

4+ 3

(m)

18 3 4+ 3

(m)

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 41: Một cửa hàng bán thú kiềng cần làm một chuồng thú hình chữ nhật sao cho phần cần làm hàng rào là 20 m. Chú ý rằng, hình chữ nhật này có hai cạnh trùng với mép của hai bức tường trong góc nhà nên không cần rào. Các cạnh cần rào của hình chữ nhật là bao nhiêu để diệnh tích của nó là lớn nhất ? A. Mỗi cạnh là 10 m B. Mỗi cạnh là 9 m C. Mỗi cạnh là 12 m D. Mỗi cạnh là 5 m Câu 42: Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vuông. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất?

10 00

Câu 43: Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn bán

MN kính R. Chu vi hình chữ nhật lớn nhất khi tỉ số bằng: MQ A. 2 B. 4 C. 1 D. 0,5

Í-

21 4

ÁN

-L

Câu 44: Một người thợ mộc cần xây một căn phòng hình chữ nhật bằng gỗ với chu vi là 54m. Các canh của căn phòng là bao nhiêu để diện tích của căn phòng là lớn nhất ? B.

27 2

25 2

27 4

IỄ N

ÀN

Câu 45: Giám đốc của nhà hát A đang phân vân trong việc xác định giá vé xem các chương trình được chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng, nó sẽ quyết định nhà hát thu được lợi nhuận hay bị tổn thất. Theo những cuốn sổ ghi chép, ông ta xác định rằng: Nếu giá vé vào cửa Là 20$ thì trung bình có 1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng tiền vé lên 1$ mỗi người thì sẽ mất 100 khách hàng trong số trung bình. Trung bình mỗi khách hàng dành 1,8$ cho việc uống nước trong nhà hát. Hãy giúp giám đốc nhà máy này xác định xem cần tính giá vé vào cửa bao nhiêu để tổng thu nhập lớn nhất. A. giá vé là 14,1 $ B. giá vé là 14 $ C. giá vé là 12,1 $ D. giá vé là 15 $ Câu 46: Bác Tôm có cái ao có diện tích 50m 2 để nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ 20 con/m 2 và thu được 1,5 tấn cả thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, bác thấy cứ thả giảm đi 8 con/ m 2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 kg. Vậy vụ tới bác phải mua bao nhiêu con cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 10 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 488 con

B. 512 con

Toán Ứng Dụng

C. 1000 con

D. 215 con

Câu 47: Từ một tấm bìa cứng hình vuông cạnh a, người ta cắt bốn góc bốn hình vuông bằng nhau rồi gấp lại tạo thành một hình hộp không nắp. Tìm cạnh của hình vuông bị cắt để thể tích hình hộp lớn nhất.

a 2 a C. 3

a 8 a D. 6

1 (1 + 2) 4 2

C. 1 − 2

D. 1 + 2

ẠO

A. 2 + 2

U Y

Câu 48: Xét các hình chữ nhật được lát khít bởi các cặp gạch lát hình vuông có tổng diện tích là 1, việc lát được thực hiện theo cách: hai hình vuông được xếp nằm hoàn toàn trong hình chữ nhật mà phần trong của chúng không đè lên nhau, các cạnh của hai hình vuông thì nằm trên hoặc song song với các cạnh của hình chữ nhật. Khi đó giá trị bé nhất của diện tích hình chữ nhật nêu trên là:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 49: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 6t 2 − t 3 . Thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là: A. t = 2 B. t=3 C. t=4 D. t=5

H Ư

Câu 50: Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2016, trường THPT Lương Tài số 2 có tổ chức cho học sinh

Í-

10 00

TR ẦN

các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong số đó có lớp 12A11. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A11 đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x m (xem hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

A. x = 4 B. x = 3 3 C. x = 3 D. x = 3 2 Câu 51: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc của dòng nước là 6km / h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức. E ( v ) = cv3t Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. A. 6km/h B. 9km/h C. 12km/h D. 15km/h Câu 52: Một miếng gỗ hình tam giác đều chiều dài cạnh là a. Cắt bỏ 3 phần như hình vẽ để được một miếng gỗ hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 11 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

U Y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

a2 3 a2 3 a2 6 a2 B. C. D. 8 4 8 8 Câu 53: Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất. A. 480 ngàn. B. 50 ngàn. C. 450 ngàn. D. 80 ngàn. Câu 54: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t3 + 3t2 – 9t + 27,trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là: A. 0m/s 2 . B. 6m/s 2 . C. 24m/s 2 . D. 12m/s2 . Câu 55: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức G(x) = 0,025x2(30 – x) trong đó x (mg) và x > 0 là liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng: A. 15mg . B. 30mg . C. 40mg . D. 20mg . Câu 56: Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích S thì hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 2 S . B. 4 S . C. 2 S . D. 4 S .

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 57: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t2 – t3 (kết quả khảo sát được trong 8 tháng vừa qua). Nếu xem f’(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ: A. 12. B. 30. C. 20. D. 15 . 2. Câu 58: Một trang chữ của cuốn sách giáo khoa cần diện tích 384 cm Lề trên và dưới là 3cm, lề trái và phải là 2cm. Kích thước tối ưu của trang giấy là: A. Dài 24cm; rộng 16cm B. Dài 24cm; rộng 17cm C. Dài 25cm; rộng 15,36cm D. Dài 25,6cm; rộng 15cm

Câu 59: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4m được đặt ở độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí đó

gọi là góc nhìn) ? (góc BOC

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 12 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

AO = 2, 4 m AO = 2m AO = 2, 6 m AO = 3m

C 1,4 B

A. B. C. D.

Toán Ứng Dụng

1,8

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 60: Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoàng cách 300km (đến nơi sinh sản).Vận tốc trong nước là 6 km/h. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E(v) = cv3t, trong đó c là hằng số cho trước, E tính bằng jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng: A. 9 km/h B. 8 km/h C. 10 km/h D. 12 km/h Câu 61: Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước  πt π  trong kênh tính theo thời gian t (h) trong một ngày cho bởi công thức h = 3cos  +  + 12 . Khi nào  6 3 mực nước của kênh là cao nhất ? A. t = 16 B. t = 15 C. t = 14 D. t = 13

TR ẦN

Câu 62: Học sinh lần đầu thử nghiệm tên lửa tự chế phóng từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc 15m/s. Hỏi sau 2,5s tên lửa bay đến độ cao bao nhiêu ? (giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực g = 9,8 m/s2) A. 61,25(m) B. 6,875(m) C. 68,125(m) D. 30,625(m)

10 00

Câu 63: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S =

1 4 (t – 3t2), trong đó t tính bằng giây, S 2

được tính bằng mét (m). Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4 s bằng. A. 280m/s. B. 232m/s. C. 140m/s. D. 116m/s.

H Í-

B. t = 16

1 4 3 2 t - t + 2t – 100, chất điểm đạt giá trị nhỏ 4 2

C. t = 5

D. t = 3

-L

nhất tại thời điểm. A. t = 1

Câu 64: Một chất điểm chuyển động theo quy luật S =

1000 và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị 2t + 1

F’(m) =

ÁN

IỄ N

ÀN

bệnh.Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân đó có cứu chữa được không ? A. 5433,99 và không cứu được B. 1499,45 và cứu được C. 283,01 và cứu được D. 3716,99 và cứu được

Câu 66: Một giáo viên đang đau đầu về việc lương thấp và phân vân xem có nên tạm dừng niềm đam mê với con chữ để chuyển hẳn sang kinh doanh đồ uống trà sữa hay không?Ước tính nếu 1 li trà sữa là 20000đ thì trung bình hàng tháng có khoảng 1000 lượt khách tới uống tại quán, trung bình mỗi khách trả thêm 10000đ tiền bánh tráng ăn kèm. Nay người giáo viên muốn tăng thêm mỗi li trà sữa 5000đ thì sẽ mất khoảng 100 khách trong tổng số trung bình. Hỏi giá một li trà sữa nên là bao nhiêu để tổng thu nhập lớn nhất (Giả sử tổng thu chưa trừ vốn) A. Giảm 15 ngàn đồng B. Tăng 5 ngàn đồng

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 13 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. Giữ nguyên không tăng giá

Toán Ứng Dụng

D. Tăng thêm 2,5 ngàn đồng

1 3 vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ? A. 216 (m/s). B. 30 (m/s). C. 400 (m/s). D. 54 (m/s). Câu 68: Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B, hay có thể chèo trực tiếp đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6km / h , chạy 8km / h và quãng đường BC = 8km . Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến B. 9

B. D.

3 2

73 6

ẠO

TR ẦN

H Ư

7 . 8

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. 1 +

U Y

3 2 Câu 67: Một vật chuyển động theo quy luật s = − t +9t , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc

Í-

10 00

Câu 69: Có hai chiếc cọc cao 12m và 28m, đặt cách nhau 30m (xem hình minh họa dưới đây). Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên mặt đất nằm giữa hai chân cột tới đỉnh của mỗi cột. Gọi x (m) là khoảng cách từ chốt đến chân cọc ngắn. Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn nhất. A. x = 9. B. x = 10. D. x = 12. C. x = 11.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Câu 70: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P ( n ) = 480 − 20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ? A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 2 3 Câu 71: Một chất điểm chuyển động theo qui luật s = 6t − t (trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động). Tính thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc ( m / s ) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất. A. t = 2 B. t = 4 C. t = 1 D. t = 3 Câu 72: Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy chiều. Độ sâu h ( m ) của mực nước trong kênh tính theo thời πt π  gian t ( h ) trong một ngày cho bởi công thức h = 3cos  +  + 12 . Khi nào mực nước của kênh là cao  6 3 nhất? A. t = 16 B. t = 15 C. t = 14 D. t = 13

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 14 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

ẠO

34 − 3 2 d , dài 16

7 − 17 d 4

B. Rộng

34 − 3 2 d , dài 15

7 − 17 d 4

C. Rộng

34 − 3 2 d , dài 14

7 − 17 d 4

D. Rộng

34 − 3 2 d , dài 13

7 − 17 d 4

A. Rộng

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Câu 73: Một khúc gỗ tròn hình trụ xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy ác định kích thước của các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

TR ẦN

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH ĐA DIỆN Câu 1: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12 m3 để chứa chất thải chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều

10 00

rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (không tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn

đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là: B. Dài 2,74m và rộng 1,71m

C. Dài 2,26m và rộng 1,88m

D. Dài 2,19m và rộng 1,91m

Í-

A. Dài 2,42m và rộng 1,82m

ÁN

-L

Câu 2: Một hộp đựng chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được dải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi x = x0 là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất,

IỄ N

ÀN

khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là V0 . Tìm V0 .

64 đvtt 3 Câu 3: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt của rubic có 9 ô vuông), biết chu vi mỗi ô (ô hình vuông trên một mặt) là 4cm. A. 48 đvtt

B. 16 đvtt

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 64 đvtt

Trang 15 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

C. 1 cm3.

D. 9 cm3.

B. 1728 cm3.

A. 27 cm3.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

U Y

Câu 4: Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ

A. 106, 25dm 2 .

tứ giác đều không nắp có thể tích là 62,5dm2 . Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S bằng C. 50 5dm2 .

B. 75dm2 .

D. 125dm 2 .

ẠO

Câu 5: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V ( m 3 ) , hệ số k cho trước (k-

C. x =

D. x =

( 2k + 1) 3

( 2k + 1) V ; y = 6

;h = 23

k ( 2k + 1) V 4

;h =

k ( 2k + 1) V 4

2kV

( 2k + 1) 2kV

( 2k + 1)

;h =

k ( 2k + 1) V 4

( 2k + 1) 2kV

( 2k + 1) V ; y = 2

2kV

H Ư

( 2k + 1) V ; y =

TR ẦN

B. x =

( 2k + 1) V ; y =

10 00

A. x = 2 3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy). Gọi x, y, h > 0 lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga. Hãy xác định x, y, h > 0 xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất. x,y,h lần lượt là

;h =

k ( 2k + 1) V 4

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 6: Một Bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3200cm3 , tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng 2 . Hãy xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? A. 1200cm2 B. 160cm2 C. 1600cm2 D. 120cm 2 Câu 7: Một công ty Container cần thiết kế cái thùng hình hộp chữ nhật, không nắp, có đáy hình vuông, thể tích 108 m3. Các cạnh hình hộp và đáy là bao nhiêu để tổng diện tích xung quanh và diện tích tích của một mặt đáy là nhỏ nhất. A. Cạnh đáy hình hộp là 3 m, chiều cao là 3 m B. Cạnh đáy hình hộp là 3 m, chiều cao là 6 m C. Cạnh đáy hình hộp là 9 m, chiều cao là 3 m D. Cạnh đáy hình hộp là 6 m, chiều cao là 3 m

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 16 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

U Y

A. 3.742.200 B. 3.640.000 C. 3.500.000 D. 3.545.000 Câu 9: Do nhu cầu sử dụng các nguyên liệu thân thiện với môi trường. Một công ty sản suất bóng tenis muốn thiết kế một hộp làm bằng giấy cứng để đựng 4 quả bóng tenis có bán kính bằng r, hộp đựng có dạng hình hộp chữ nhật theo 2 cách như sau: Cách 1: Mỗi hộp đựng 4 quả bóng tenis được đặt dọc, đáy là hình vuông cạnh 2r, cạnh bên bằng 8r. Cách 2: Mỗi hộp đựng 4 quả bóng tenis được xếp theo một hình vuông, đáy của hộp là hình vuông cạnh bằng 4r, cạnh bên bằng 2r. Gọi S1 là diện tích toàn phần của hộp theo cách 1, S 2 là diện tích toàn phần của hộp theo cách 2. S Tính tỉ số 1 . S2 9 2 B. 1 C. 2 D. A. 8 3 Câu 10: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3(m3). Tỉ số giữa chiều cao

ẠO

của hố (h) và chiều rộng của đáy (y) bằng 4. Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (tức không

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

có mặt trên). Chiều dài của đáy (x) gần nhất với giá trị nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để

H Ư

xây hố ga.

TR ẦN

h - chiều cao x - chiều dài y - chiều rộng

B. 1,5

C. 2

D. 2,5

A. 1

10 00

B. h = 2 m

-L

A. h = 1 m

Í-

Câu 11: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h và có thể tích là 18cm 3 . Hãy tính chiều cao của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất? C. h =

3 m 2

D. h =

5 m 2

IỄ N

ÀN

ÁN

Câu 12: Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn, không có nắp ở phía trên với thể tích 1,296 m3. Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c như hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích thước a, b, c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy của kính không đáng kể. A. a = 3, 6m; b = 0, 6m; c = 0, 6 m B. a = 2, 4m; b = 0,9 m; c = 0, 6 m C. a = 1,8m; b = 1, 2m; c = 0, 6m D. a = 1, 2 m; b = 1, 2 m; c = 0,9 m Câu 13: Từ một tấm tôn có kích thước 90cmx3m người ta làm một máng xối nước trong đó mặt cắt là hình thang ABCD có hinh dưới. Tính thể tích lớn nhất của máng xối.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 17 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng A

30cm

B. 40500 2cm3

A. 40500 3cm 3

30cm

C. 40500 6 cm 3

D. 40500 5cm 3

30cm

90cm

U Y

Câu 14: Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108 m nước, có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông và không có nắp. Hỏi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau.

5 thì x bằng: 2

TR ẦN

H Ư

chiều cao khối chóp tứ giác đều này bằng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A. 6; 6; 3. B. 2 3;2 3;9. C. 3 2;3 2;6 D. 3 3;3 3;4 Câu 15: Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 5, người ta cắt 4 góc bìa 4 tứ giác bằng nhau và gập lại phần còn lại của tấm bìa để được một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (xem hình). Nếu

10 00

A. x=1. B. x=2. C. x=3. D. x= 4 Câu 16: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình

chữ nhật chiều dài d ( m ) và chiều rộng r ( m ) với d = 2r. Chiều cao bể nước là h ( m ) và thể tích bể là

2 m 3 . Hỏi chiều cao bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất?

3 3 2 3 2 2 B. 3 ( m ) . C. 3 ( m ) . D. ( m) . ( m) . 2 2 3 2 3 3 Câu 17: Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V . Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng 2 3

ÁN

-L

Í-

1 4

A. x = V B. x = V C. x = V D. x = V Câu 18: Người ta cắt miếng bìa tam giác đều như hình vẽ và gấp lại theo các đường kẻ, sau đó dán các

2 . Tính độ dài cạnh của miếng bìa theo a ? 12

IỄ N

ÀN

mép lại để được hình tứ diện đều có thể tích V = a 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 18 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

a 2

D. 3a

B. 2a

A. a

U Y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 19: Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng 5 2 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp. Tính cạnh đáy của khối chóp để thể tích lớn nhất. A. 4 B. 4 C. 2 D. A, B, C đều sai Câu 20: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn An đã nhờ bố làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng a, cắt mảnh tôn theo các tam giác cân AEB; BFC; CGD và DHA; sau đó gò các tam giác AEH; BEF; CFG; DGH sao cho 4 đỉnh A;B;C;D trùng nhau (Như hình).

10 00

TR ẦN

Thể tích lớn nhất của khối tứ diện đều tạo được là:

Í-

4 10a 3 a3 a3 a3 B. C. D. 375 36 24 54 Câu 21: Người ta cắt một tờ giấy hìnhvuông cạnh bằng 1 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp.Tính cạnh đáy của khối chóp để thể tích lớn nhất. 2 2 2 2 2 2 A. B. C. D. 5 5 3 5 Câu 22: Người ta muốn mạ vàng bên ngoài cho một cái hộp có đáy hình vuông, không nắp, thể tích hộp là 4 lít. Giả sử đồ dày của lớp mạ tại một điểm trên hộp là như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy lần lượt là x và h . Giá trị của x và h để lượng vàng cần dùng nhỏ nhất là:

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

A. x = 3 4; h = 3

4 16

B. x = 3 12; h =

12 3

144

C. x = 2; h = 1

D. x = 1; h = 2

Câu 23: Có một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 24(cm) , chiều rộng bằng 18(cm) . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x(cm) rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Hỏi thể tích lớn nhất của cái hộp là bao nhiêu? A. Vmax ≈ 640cm3 B. Vmax ≈ 617,5cm3 C. Vmax ≈ 845cm3 D. Vmax ≈ 645cm3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 19 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

5 10 m 4 5 30 5 2 C. Cạnh bên 3m, cạnh đáy D. Cạnh bên 5m,cạnh đáy 6 2 Câu 25: Một cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp được làm từ một mảnh bìa cứng (xem hình bên dưới đây). Hộp có đáy là hình vuông cạnh x (cm), chiều cao là h (cm) và có thể tích là 500 cm3. Gọi S( x ) là diện tích của mảnh bìa cứng theo x . Tìm x sao cho S( x ) nhỏ nhất (tức là tìm x để tốn ít nguyên liệu nhất). A. x = 8 B. x = 9 C. x = 10 D. x = 11 B. Cạnh bên 4m. cạnh đáy

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

A. Cạnh bên 2,5m. cạnh đáy 5m

Câu 24: Một công ti chuyên sản xuất container muốn thiết kế các thùng gỗ đựng hàng bên trong dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình vuông, có V = 62,5 cm3. Hỏi các cạnh hình hộp và cạnh đáy là bao nhiêu để S xung quanh và S đáy nhỏ nhất ?

10 00

Câu 26: Một khối tháp gồm 20 bậc. Mỗi bậc là một khối đá hình lăng trụ đứng tam giác. Bậc trên cùng là khối lăng trụ A1B1C1. A1 ' B1 ' C1 ' có: A1B1 = 3dm, B1C1 = 2dm, A1 A1 ' = 2dm , ∠A1B1C1 = 900 . Với i = 1, 2,..., 20, các cạnh Bi Ci lập thành một cấp số cộng có công sai B1

1dm, các góc ∠Ai Bi Ci lập thành một cấp số cộng có công sai

3o, các chiều cao Ai Ai ' lập thành một cấp số cộng có công sai

C '1

0,1dm. Các mặt Bi Ci Ci ' Bi ' cùng nằm trên một mặt phẳng.

A'1 B'2 ≡ B3

C '2 C3

A'2 B'3 ≡ B4 A3

Câu 27: Một thùng đựng thư được thiết kế như hình bên, phần phía trên là nửa hình trụ. Thể tích thùng đựng thư là:

C '3 A'3

IỄ N

ÀN

B'1≡ B2

ÁN

-L

Í-

Cạnh Ai +1 Bi +1 = AC i i , đỉnh Bi +1 ≡ Bi ' , i = 1, 2,..., 19. Thể tích V toàn bộ của khối tháp gần số nào nhất sau đây: A. V = 17560 B. V = 17575 C. V = 16575 D. V = 17755

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 20 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

U Y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A. 640 + 160π B. 640 + 80π C. 640 + 40π D. 320 + 80π Câu 28: Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

500 3 m . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 3 500.000 đồng/m2. Hãy xác định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi

1 3

1 2

C. a = ; h =

TR ẦN

1 3

B. a = ; h =

A. a = 1; h = 1

H Ư

phí đó là ? A. 74 triệu đồng B. 75 triệu đồng C. 76 triệu đồng D. 77 triệu đồng Câu 29: Do nhu cầu sử dụng, người ta cần tạo ra một lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao h, có thể tích 1m3 . Với a, h như thế nào để đỡ tốn nhiêu vật liệu nhất ?

1 2

D. a = 2; h = 2

Câu 30: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD=60cm. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy. M

10 00

Í-

-L

B,C

60cm

A,D

ÀN

ÁN

Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất ? A. x=20 B. x=30 C. x=45 D. x=40 Câu 31: Một công ty chuyên sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp, có thể tích là 62,5dm 3 . Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho tổng S của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S bằng:

IỄ N

A. 106, 25dm 2 B. 125dm 2 C. 75dm 2 D. 50 5dm2 Câu 32: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm: A. 65,09% B. 47,64% C. 82,55% D. 83,3% Câu 33. Gia đình em dự kiến xây một cái bể nước dạng hình hộp chữ nhật, với kích thước chiều cao, rộng và dài trong lòng bể lần lượt là 2 mét, 2 mét, 3 mét. Em hãy giúp Bố tính số gạch cần mua để xây thành bên của cái bể, biết rằng viên gạch có chiều rộng, chiều dài và chiều cao lần lượt là 10 (cm), 20(cm), 5(cm).(Bỏ qua lượng vữa xây)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 21 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

A. 2080 viên B. 2000 viên C. 2160 viên D. 4160 viên Câu 34: Gia đình em dự kiến xây một cái bể nước dạng hình hộp chữ nhật, với kích thước chiều cao, rộng và dài trong lòng bể lần lượt là 2 mét, 2 mét, 3 mét. Em hãy giúp Bố tính số gạch cần mua để xây thành bên của cái bể, biết rằng viên gạch có chiều rộng, chiều dài và chiều cao lần lượt là 10 (cm), 20(cm), 5(cm).(Bỏ qua lượng vữa xây) A. 2080 viên B. 2000 viên C. 2160 viên D. 4160 viên Câu 35: Hai miếng giấy hình vuông bằng nhau được hai bạn Việt và Nam cắt ra và tạo thành một hình chóp tứ giác đều như sau. Việt : Cắt bỏ miếng giấy như Hình 1 (với M là trung điểm OA) rồi tạo thành một hình chóp tứ giác đều. Nam : Cắt bỏ miếng giấy như Hình 2 (với M nằm trên OA thỏa OM = 3 MA ) rồi tạo thành một hình chóp tứ giác đều.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Í-

Hình 2

10 00

TR ẦN

Hình 1

-L

Gọi V1 là thể tích khối chóp của Việt, V2 là thể tích khối chóp của Nam. Tính tỉ số

ÁN

V1 3 = V2 8

V1 2 = 3 V2

V1 2 = V2 3

V1 . V2

V1 4 2 = 9 V2

ÀN

Câu 36: Một xưởng sản xuất những thùng bằng kẽm hình hộp chữ nhật không có nắp và có các kích thước x , y , z (dm). Biết tỉ số hai cạnh đáy là x : y = 1 : 3, thể tích của hộp bằng 18 lít. Để tốn ít vật liệu nhất thì kích thước của thùng là:

IỄ N

A. x = 2; y = 6; z =

3 2

B. x = 1; y = 3; z = 6

9 2

C. x = ; y = ; z =

8 1 3 D. x = ; y = ; z = 24 3 2 2

Câu 37: Người ta sản xuất các hộp bánh hình hộp chữ nhật có các kích thước 7cm, 25cm, 35cm. Khi đó, một thùng gỗ hình hộp chữ nhật có kích thước 42x50x70 (đơn vị cm ) sẽ chứa được nhiều nhất số hộp bánh là

A. 12

B. 16

C. 18

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. 24

Trang 22 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Câu 38: Một hộp giấy hình hộp chữ nhật có thể tích 3 dm 3 . Nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy

thêm

3 dm thì thể tích của hộp giấy là 24 dm 3 . Hỏi nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy ban đầu

C. 72 dm 3 .

D. 81dm 3

B. 192 dm3 .

A. 48 dm 3 .

lên 2 3 3 dm thì thể tích hộp giấy mới là:

H Ư

50cm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 39: Người ta xây một đoạn cống bằng gạch thiết diên hình chữ U, bề dày 10cm (như hình vẽ). Một viên gạch có kích thước là 20cm * 10cm * 5cm. Hỏi số lượng viên gạch tối thiểu dùng để xây cống là bao nhiêu? (Giả sử lượng vữa là không đáng kể).

50cm

TR ẦN

200cm

A. 260000. B. 26000. C. 2600. Câu 40: Người ta muốn xây một bồn chứa nước dạng khối

D. 260. 1dm

VH' 1dm

Í-

10 00

hộp chữ nhật trong một phòng tắm. Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao của khối hộp đó lần lượt là 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên). Biết mỗi viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm. Hỏi người ta sử dụng ít nhất bao nhiêu viên gạch để xây bồn đó và thể tích thực của bồn chứa bao nhiêu lít nước? (Giả sử lượng xi măng và cát không đáng kể) B. 1180 viên, 8800 lít D. 1180 viên, 8800 lít

1m 5m

ÁN

-L

A. 1180 viên, 8820 lít C. 1182 viên, 8820 lít

5 14 + 6 5 (đơn vị thể tích); 3

5 14 + 6 5 (đơn vị thể tích) 3

ÀN

Câu 41: Thể tích của khối hai mươi mặt đều cạnh a = 1 đơn vị là:

IỄ N

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 23 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

C. (1.424.200;1.424.300 ) .

D. (1.424.100;1.424.200 ) .

B. (1.424.000;1.424.100 ) .

U Y

A. (1.424.300;1.424.400 ) .

Câu 1: Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S = A.e N .r ( trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số của tỉnh là 1.153.600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì đầu năm 2025 dân số của tỉnh nằm trong khoảng nào?

DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ MŨ-LÔGARIT

ẠO

Câu 2: Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị cacbon). Khi một bộ phận của cây đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng sẽ ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phạn đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Gọi P ( t ) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cây sinh t

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

trưởng từ t năm trước đây thì P ( t ) được cho bởi công thức: P ( t ) = 100. ( 0,5 ) 5750 ( % ) . Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong gỗ là 65,21(%). Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó. A. 3574 năm B. 3754 năm C. 3475 năm D. 3547 năm Câu 3: Huyện A có 100 000 người. Với mức tăng dân số bình quân 1,5% năm thì sau n năm dân số sẽ vượt lên 130 000 người. Hỏi n nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 18 năm B. 17 năm C. 19 năm D. 16 năm Câu 4: Một máy tính được lập trình để vẽ một chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ nhất của trục tọa độ Oxy, nội tiếp dưới đường cong y = e-x. Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể được vẽ bằng cách lập trình trên A. 0,3679 ( đvdt) B. 0,3976 (đvdt) C. 0,1353 ( đvdt) D. 0,5313 ( đvdt) Câu 5: Cho biết chu kỳ bán rã của chất phóng xạ Plutoni Pu239 là 24360 năm. Sự phân hủy được tính rt theo công thức S = A.e . Trong đó A là số lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỷ lệ phân hủy hằng năm (r<0),t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu239 sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam A. 80922 năm B. 24360 năm C. 35144 năm D. 48720 năm Câu 6: Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều hát với cường độ âm và coi cùng tần số. Khi một ca sĩ hát thì cường độ âm là 68dB. Khi cả ban hợp ca cùng hát thì đo được mức cường độ âm là 80dB. Tính I L = 10 log I 0 trong đó số ca sĩ có trong ban hợp ca đó, biết mức cường độ âm L được tính theo công thức

ÀN

I I là cường độ âm và 0 là cường độ âm chuẩn A. 16 người B. 12 người C. 10 người D. 18 người Câu 7: Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức f ( x ) = Ae rx , trong đó A là số

IỄ N

lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng ( r > 0 ) , x (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sao bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần A. 5ln 20 (giờ) B. 5ln10 (giờ) C. 10log 5 10 (giờ) D. 10 log5 20 (giờ) Câu 8: Chuyện kể rằng: "Ngày xưa, ở đất nước Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vưa một bàn cờ có 64 ô kèm theo cách chơi cờ. Nhà vua thích quá, bảo rằng: "Ta muốn dành cho khanh một phần thưởng thật xứng đáng. Vậy khanh thích gì nào?" Vị quan tâu "Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: "Bàn cờ có 64 ô thì với ô thứ nhất thần xin nhận một hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai, ô sau nhận số hạt gạo đôi phần thưởng dành cho ô liền trước". Thoạt đầu nhà Vua rất ngạc nhiên vì phần thưởng quá khiêm tốn nhưng đến khi những người lính vét

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 24 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

D. X =

4.106 1, 00836 − 1

4.106 1,008 (1,00836 − 1)

C. X =

U Y

sạch đến hạt thóc cuối cùng trong kho gạo của triều đình thì nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng: "Số thóc này là một số vô cùng lớn, cho dì có gom hết số thóc của cả nước cũng không thể đủ cho một bàn cờ chỉ có vỏn vẹn 64 ô!". Bạn hãy tính xem số hạt thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một số có bao nhiêu chữ số? A. 21 B. 22 C. 19 D. 20 Câu 9: Một người gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép như sau: Mỗi tháng người này tiết kiệm một số tiền cố định là X đồng rồi gửi vào ngân hàng theo kì hạn một tháng với lãi suất 0,8% /tháng. Tìm X để sau ba năm kể từ ngày gửi lần đầu tiên người đó có được tổng số tiền là 500 triệu đồng. 4.106 4.106 A. X = B. X = 1, 00837 − 1 1 − 0,00837

ẠO

Câu 10: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được quãng đường s ( t ) (km) là hàm phụ 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Số vi khuẩn

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu 11: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước A sẽ hết sau 100 năm nữa. Nhưng do nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi năm. Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trữ của nước A sẽ hết. A. 45 năm B. 50 năm C. 41 năm D. 47 năm Câu 12: Số lượng vi khuẩn ban đầu là 3000 con, và tăng 20% một ngày. Đồ thị nào sau đây mô tả hàm số lượng vi khuẩn sau t ngày?

Số vi khuẩn

7000

4000

3000

6000 5000

Số vi khuẩn

Số vi khuẩn 7000

7000 6000

6000

5000

4000

3000

Í-

6000 5000

7000

số ngày 1

số ngày

số ngày O

ÁN

-L

IỄ N

ÀN

Câu 13: Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần 905. 300, mức tăng dân số là 1,37% mỗi năm. Tỉnh thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1. Đến năm học 2024-2025 ngành giáo dục của tỉnh cần chuẩn bị bao nhiêu phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh? ( Giả sử trong năm sinh của lứa học sinh vào lớp 1 đó toàn tỉnh có 2400 người chết, số trẻ tử vong trước 6 tuổi không đáng kể) A. 458. B. 222. C. 459. D. 221. Câu 14: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức M ( t ) = 75 − 20ln ( t + 1) , t ≥ 0 (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh nhớ được danh sách đó dưới 10%? A. 25 tháng. B. 23 tháng. C. 24 tháng.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. 22 tháng.

Trang 25 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Câu 15: Theo số liệu từ Facebook, số lượng các tài khoản hoạt động tăng một cách đáng kể tính từ thời điểm tháng 2 năm 2004. Bảng dưới đây mô tả số lượng U ( x ) là số tài khoản hoạt động, trong đó x là số tháng kể từ sau tháng 2 năm 2004. Biết số lượt tài khoản hoạt động tăng theo hàm số mũ xấp xỉ như sau: x

tài khoản hoạt động xấp xỉ là 194 790 người, biết sau hai tháng thì số tài khoản hoạt động là 108 160 người. A. 1 năm 5 tháng. B. 1 năm 2 tháng. C. 1 năm. D. 11 tháng.

U ( x ) = A. (1 + 0,04 ) với A là số tài khoản hoạt động đầu tháng 2 năm 2004. Hỏi đến sau bao lâu thì số

( )

rừng đó là 5% mỗi năm. Sau 10 năm nữa, trữ lượng gỗ trong rừng là

( ) D. 4499251( m )

ẠO

B. 4668883 m3

( ) C. 4326671,91( m ) A. 4886683,88 m3

U Y

Câu 16: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 3.106 m3 . Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong khu

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 17: Thang đo Richter được Charles Francis Richter đề xuất và sử dụng lần đầu tiên vào năm 1935 để sắp xếp các số đo độ chấn động của các cơn động đất với đơn vị là độ Richter. Công thức tính độ chấn động như sau: M L = lg A − lg Ao , với M L là độ chấn động, A là biên độ tối đa đo được bằng địa

TR ẦN

H Ư

chấn kế và Ao là một biên độ chuẩn. (nguồn: Trung tâm tư liệu khí tượng thủy văn). Hỏi theo thang độ Richter, với cùng một biên độ chuẩn thì biên độ tối đa của một trận động đất 7 độ Richter sẽ lớn gấp mấy lần biên độ tối đa của một trận động đất 5 độ Richter ?

Câu 19: Chất phóng xạ

10 00

A. 2. B. 20. C. 10 5 . D. 100. rt Câu 18: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.e , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r > 0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rẳng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi. A. 3 giờ 16 phút B. 3 giờ 9 phút C. 3 giờ 30 phút D. 3 giờ 2 phút

Na có chu kỳ bán rã T = 62 ( s ) . Sau bao lâu chất phóng xạ chỉ còn 62 + ln 2 (s) ln 5

ln 5 (s) 62 ln 2

B. t =

A. t =

phóng xạ ban đầu ?

C. t =

62 ln 5 (s) ln 2

1 độ 5

D. t = 62log5 2 (s)

ÁN

-L

Í-

Câu 20: Cho biết chu kì bán hủy của chất phóng xạ Plutôni Pu239 là 24360 năm (tức là một lượng Pu239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S = Aert, trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm (r<0), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi sau bao nhiêu năm thì 10 gam Pu239 sẽ phân hủy còn 1 gam có giá trị gần nhất với giá trị nào sau? A. 82135 B. 82335 C. 82235 D. 82435 t

ÀN

 1 T Câu 21: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: m (t ) = m 0   ,  2 

IỄ N

trong đó m 0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon 14C là khoảng 5730 năm. Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng còn bao nhiêu? 5730 t ln 2  1  −  5730  A. m (t ) = 100.e B. m (t ) = 100.    2 

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 26 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

100t

 1 −5730 C. m (t ) = 100    2 

D. m (t ) = 100.e

−

100t 5730

 1 T Câu 22: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: m (t ) = m 0   ,  2 

ẠO

U Y

trong đó m 0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon 14C là khoảng 5730 năm. Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cabon và xác định được nó đã mất khoảng 25% lượng Cabon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu? A. 2378 năm B. 2300 năm C. 2387 năm D. 2400 năm Câu 23: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức M (t ) = 75 − 20 ln (t + 1), t ≥ 0 (đơn vị %). Hỏi sau khoảng

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

bao lâu thì nhóm học sinh nhớ được danh sách đó dưới 10%? A. 24. 79 tháng B. 23 tháng C. 24 tháng D. 22 tháng Câu 24: Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát thì số % người xem mua sản 100 , x ≥ 0 . Hãy tính số quảng cáo được phát tối thiểu để số người mua đạt phẩm là P(x ) = 1 + 49e −0.015x hơn 75%. A. 333 B. 343 C. 330 D. 323 Câu 25: Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Kinh nghiệm cho thấy sau 9 giờ bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng 1 không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín cái hồ ? 3 9 10 9 A. 3 B. C. 9 – log3 D. . 3 log 3 Câu 26: Một lon nước soda 800F được đưa vào một máy làm lạnh chứa đá tại 320F. Nhiệt độ của soda ở phút thứ t được tính theo định luật Newton bởi công thức T (t ) = 32 + 48.(0.9)t . Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là 500F ? A. 1,56 B. 9,3 C. 2 D. 4 Câu 27: Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức M = log A − log A0 , với A là

IỄ N

ÀN

ÁN

biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là: A. 8. 9 B. 33. 2 C. 2. 075 D. 11 Câu 28: Biết rằng năm 2001 dân số Việt Nam là 78. 685. 800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S= A. eNr (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số như vậy đến thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người. A. 2026 B. 2022 C. 2020 D. 2025

Câu 29: Một loại virus có số lượng cá thể tăng trưởng mũ với tốc độ x% / h, tức là cứ sau 1 giờ thì số lượng của chúng tăng lên x %. Người ta thả vào ống nghiệm 20 cá thể, sau 53 giờ số lượng cá thể virus đếm được trong ống nghiệm là 1,2 triệu. Tìm x? (tính chính xác đến hàng phần trăm) A. x ≈ 13,17% B. x ≈ 23,07% C. x ≈ 7,32% D. x ≈ 71,13%

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 27 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Câu 30:Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức

sau t (phút). Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ? A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút. Câu 31: Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Giả sử sau t giờ, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau

s(t ) = s(0).2t , trong đó s (0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s (t ) là số lượng vi khuẩn A có

1 cái hồ? 3 10t B. . 3

C. t − log 3.

t . log3

U Y

t . 3

mấy giờ thì số lá bèo phủ kín

ẠO

H Ư

TR ẦN

10 00

Í-

-L

IỄ N

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 32: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng ? A. 15 B. 12 C. 10 D. 20 Câu 33: Bà hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất 8%/năm. Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục gửi vào ngân hàng. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm. A. 81,412tr B. 115,892tr C. 119tr D. 78tr Câu 34: An vừa trúng tuyển đại học được ngân hàng cho vay vốn trong bốn năm đại học, mỗi năm 10. 000. 000 đồng để nộp học phí với lãi suất ưu đãi 7,8% một năm. Sau khi tốt nghiệp đại học An phải trả góp cho ngân hàng số tiền m đồng (không đổi) cũng với lãi suất 7,8% một năm trong vòng 5 năm. Tính số tiền m hàng tháng An phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến hàng đơn vị). A. 1005500 B. 100305 C. 1003350 D. 1005530 Câu 35: Ông Đông gửi 100 triệu vào tài khoản định kì tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm A. 215,892tr . B. 115,892tr . C. 215,802tr . D. 115,802tr . Câu 36: Một người gửi ngân hàng lần đầu 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền là bao nhiêu? A. 210 triệu. B. 220 triệu. C. 212 triệu. D. 216 triệu. Câu 37: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8, 4% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu? A. 9 . B. 10 . C. 8 . D. 7 . Câu 38: Anh Thắng gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất ban đầu là 4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Cứ sau 1 năm lãi suất tăng 0,3%. Hỏi sau 4 năm tổng số tiền anh Thắng có là bao nhiêu ? B. 119,5 triệu. C. 120 triệu. D. 120, 5 triệu A. 119 triệu. Câu 39: Anh Nam mong muốn rằng 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm như nhau với lãi suất hàng năm gần nhất với giá trị nào biết rằng lãi của ngân hàng là 8% / năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. A. 253, 5 triệu. B. 251 triệu. C. 253 triệu. D. 252,5 triệu. Câu 40: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý, với lãi suất 1,65%/ quý. Hỏi sau bao lâu người gửi có ít nhất 20 triệu đồng?(Bao gồm cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu ? (Giả sử lãi suất không thay đổi) A. 16 quý B. 18 quý C. 17 quý D. 19 quý Câu 41: Số tiền 58 000 000 đồng gủi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000 đồng, lãi suất hàng tháng là bao nhiêu ? A. 0,8% B. 0,6% C. 0,5% D. 0,7%

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 28 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 42: Cô giáo dạy văn gửi 200 triệu đồng loại kì hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 6,9% một năm thì sau 6 năm 9 tháng hỏi cô giáo dạy văn nhận được bao nhiêu tiền cả vốn và lãi biết rằng cô giáo không rút lãi ở tất cả các kì hạn trước và nếu rút trước ngân hàng sẽ trả lãi suất theo loại lãi suất không kì hạn là 0,002% một ngày(1 tháng tính 30 ngày). A. 471688328,8 B. 302088933,9 C. 311392005,1 D. 321556228,1 Câu 43: Một bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là 20. 000. 000 (đồng). Do chưa cần dùng đến số tiền nên bác nông dân mang toàn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm ngân hàng loại kì hạn 6 tháng với lãi suất kép là 8,4% một năm. Hỏi sau 5 năm 8 tháng bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết rằng bác nông dân đó không rút vốn cũng như lãi trong tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì hạn 0,01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày) A. 31803311 B. 32833110 C. 33083311 D. 30803311 Câu 44: Bạn Hùng trúng tuyển vào trường đại học A nhưng vì do không đủ nộp học phí nên Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm vay 3.000.000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại học bạn Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất 0,25%/tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) là: A. 232518 đồng . B. 309604 đồng. C. 215456 đồng. D. 232289 đồng. Câu 45: Biết rằng khi đỗ vào trường đại học X, mỗi sinh viên phải đóng một khoản ban đầu là 10 triệu đồng. Ông A dự kiến cho con thi và vào học tại trường này, để có số tiền đó, gia đình đã tiết kiệm và hàng tháng gửi ngân hàng với số tiền không đổi, với lãi suất 0,7%/tháng theo thể thức lãi kép. Hỏi để được số tiền trên thì gia đình phải gửi tiết kiệm mỗi tháng là bao nhiêu để sau 12 tháng gia đình đủ tiền đóng cho con ăn học? (làm tròn tới hàng ngìn) A. 796. 000đ B. 833. 000đ C. 794. 000đ D. 798. 000đ Câu 46: Ông Bách thanh toán tiền mua xe bằng các kỳ khoản năm: 5.000.000 đồng, 6.000.000 đồng, 10.000.000 đồng và 20.000.000 đồng. Kỳ khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua. Với lãi suất áp dụng là 8%. Hỏi giá trị chiếc xe ông Bách mua là bao nhiêu ? A. 32.412.582 đồng B. 35.412.582 đồng C. 33.412.582 đồng D. 34.412.582 đồng Câu 47: Anh Bách vay ngân hàng 100 triêu đồng, với lãi suất 1,1% / tháng. Anh Bách muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, anh bắt đầu hoàn nợ, và những liên tiếp theo cách nhau đúng một tháng. Số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 18 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, tổng số tiền lãi mà anh Bách phải trả là bao nhiêu (làm tròn kết quả hàng nghìn)? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt thời gian anh Bách vay. A. 10773700 (đồng). B. 10774000 (đồng). C. 10773000 (đồng). D. 10773800 (đồng). Câu 48: Anh A mua nhà trị giá 500 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 10,5 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% tháng thì sau bao nhiêu tháng anh trả hết số tiền trên ? A. 53 tháng B. 54 tháng C. 55 tháng D. 56 tháng Câu 49: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây ? A. 210 triệu. B. 220 triệu. C. 212 triệu. D. 216 triệu. Câu 50: Lãi suất tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng trong thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Ông A gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và ông A tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, ông A tiếp tục gửi thêm một số tháng nữa, khi rút tiền ông A thu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Khi đó tổng số tháng mà ông A gửi là A. 13 tháng B. 14 tháng C. 15 tháng D. 16 tháng

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 29 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

U Y

Câu 51: Một người gửi gói tiết kiệm linh hoạt của ngân hàng cho con với số tiền là 500000000 VNĐ, lãi suất 7%/năm. Biết rằng người ấy không lấy lãi hàng năm theo định kỳ sổ tiết kiệm. Hỏi sau 18 năm, số tiền người ấy nhận về là bao nhiêu? (Biết rằng, theo định kì rút tiền hằng năm, nếu không lấy lãi thì số tiền sẽ được nhập vào thành tiền gốc và sổ tiết kiệm sẽ chuyển thành kì hạn 1 năm tiếp theo) A. 4.689.966.000 VNĐ B. 3.689.966.000 VNĐ C. 2.689.966.000 VNĐ D. 1.689.966.000 VNĐ Câu 52: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ. (1,01)3 100.(1, 01)3 A. m = (triệu đồng). B. m = (triệu đồng). 3 (1, 01)3 − 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

ẠO

100.1, 03 120.(1,12)3 (triệu đồng). D. m = (triệu đồng). 3 (1,12)3 − 1 Câu 53: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng (chuyển vào tại khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng). A. 50 triệu 730 nghìn đồng B. 48 triệu 480 nghìn đồng C. 53 triệu 760 nghìn đồng D. 50 triệu 640 nghìn đồng Câu 54: Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,72%/tháng. Sau một năm, bác B rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng. Sau khi gửi được đúng một kỳ hạn 6 tháng do gia đình có việc nên bác gửi thêm một số tháng nữa thì phải rút tiền trước kỳ hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là 23263844,9 đồng (chưa làm tròn). Biết rằng khi rút tiền trước thời hạn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng. Trong một số tháng bác gửi thêm lãi suất là: A. 0,4% B. 0,3% C. 0,5% D. 0,6% Câu 55: Cô giáo Thảo ra trường xa quê lập nghiệp, đến năm 2014 sau gần 5 năm làm việc tiết kiệm được x(triệu đồng) và định dùng số tiền đó để mua nhà nhưng trên thực tế cô giáo phải cần 1,55x( triệu đồng). Cô quyết định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất là 6,9% /năm với lãi hàng tháng nhập gốc và cô không rút trước kì hạn. Hỏi năm bao nhiêu cô mua được căn nhà đó, biết rằng chủ nhà đó vẫn bán giá như cũ. A. Năm 2019 B. Năm 2020 C. Năm 2021 D. Năm 2022 Câu 56: Một người nọ đem gửi tiết kiệm ở một ngân hàng với lãi suất là 12% năm. Biết rằng cứ sau mỗi một quý ( 3 tháng ) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền ( bao gồm cả vốn lẫn lãi ) gấp ba lần số tiền ban đầu. A. 8 B. 9 C. 10 D.11 Câu 57: Một Bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là 20. 000. 000 (đồng). Do chưa cần dùng đến số tiền nên Bác nông dân mang toàn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 8. 5% một năm thì sau 5 năm 8 tháng Bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi. Biết rằng Bác nông dân đó không rút cả vốn lẫn lãi tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì hạn 0. 01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày) A. 31802750, 09 (®ång) B. 30802750, 09 (®ång)

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

C. m =

C. 32802750, 09 (®ång) D. 33802750, 09 (®ång) Câu 58: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng với lãi suất 5% một năm. Ông B cũng đem 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng với lãi suất

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

5 12

% một tháng. Sau 10 năm, hai ông A và B cùng

Trang 30 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

B. P =

250.000.000 (triệu đồng) (1 + 6,7)12

C. P =

250.000.000 (triệu đồng) (1,067)12

D. P =

250.000.000 (triệu đồng) (1,67)12

U Y

250.000.000 (triệu đồng) (0,067)12

A. P =

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

đến ngân hàng rút tiền ra. Khẳng định nào sau đây là đúng ? ( Lưu ý: tiền lãi được tính theo công thức lãi kép và được làm tròn đến hàng hàng triệu) A. Số tiền của hai ông A, B khi rút ra là như nhau. B. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 1 triệu. C. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 2 triệu. D. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 3 triệu. Câu 59: Một gia đình có con vào lớp một, họ muốn để dành cho con một số tiền là 250.000.000 để sau này chi phí cho 4 năm học đại học của con mình. Hỏi bây giờ họ phải gửi vào ngân hàng số tiền là bao nhiêu để sau 12 năm họ sẽ được số tiền trên biết lãi suất của ngân hàng là 6,7% một năm và lãi suất này không đổi trong thời gian trên?

TR ẦN

H Ư

Câu 60: Một người vay ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi kép là 12%/năm. Hỏi người đó phải trả ngân hàng hàng tháng bao nhiêu tiền để sau đúng 5 năm người đó trả xong nợ ngân hàng? A. 88 848 789 đồng. B. 14 673 315 đồng. C. 47 073 472 đồng . D. 111 299 776 đồng. Câu 61: Ông Năm gửi 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0, 73% một tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân hàng là 27 507 768,13 (chưa làm tròn). Hỏi số tiền ông Năm lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?

ÁN

-L

Í-

10 00

A. 140 triệu và 180 triệu. B. 180 triệu và 140 triệu. C. 200 triệu và 120 triệu. D. 120 triệu và 200 triệu. Câu 62: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 5% một quý theo hình thức lãi kép (sau 3 tháng sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 50 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức T = A(1 + r ) n , trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất và n là số kì hạn gửi. Tính tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền. A. ≈ 176, 676 triệu đồng B. ≈ 178, 676 triệu đồng C. ≈ 177, 676 triệu đồng D. ≈ 179, 676 triệu đồng Câu 63: Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó số tiền m mà ông Việt sẽ phải trả trong mỗi lần là bao nhiêu?

C. m =

100. (1, 01) 3

(triệu đồng).

100 × 1,03 (triệu đồng). 3

(1,01) (triệu đồng). 3 (1,01) − 1 3 120. (1,12 ) D. m = (triệu đồng). 3 (1,12 ) − 1 B. m =

IỄ N

ÀN

A. m =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 31 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

U Y

Câu 1: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát bằng thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với các kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần tô màu làm bằng thủy tinh). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau

DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH NÓN-TRỤ-CẦU

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

B. 1070,8cm3 C. 602, 2cm3 D. 6021,3cm3 A. 711, 6cm3 Câu 2: Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt chỉ tiêu sao cho chi phí sản

xuất vỏ lon là nhỏ nhất, tức là nguyên liệu (sắt tây) được dùng là ít nhất. Hỏi khi đó tổng diện tích toàn

A. Stp = 3 3

πV 2

B. Stp = 6 3

πV 2

C. Stp = 3

H Ư

phần của lon sữa là bao nhiêu, khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp là V cm3

πV 2

D. Stp = 6

πV 2

TR ẦN

4 4 4 4 Câu 3: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính R = 5 và chu vi của hình quạt là P = 8π + 10 , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách: 1. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu

10 00

2. Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu V1 ? V2

ÀN

ÁN

-L

Í-

Gọi V1 là thể tích của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính

2 21 6 V V 2 V1 21 V B. 1 = C. 1 = D. 1 = = 7 2 V V V2 V 7 6 2 2 2 Câu 4: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón là: A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

IỄ N

Câu 5: Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả V bóng đá. Tính tỉ số 1 , trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 V2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 32 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

U Y

là thể tích của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp 1 mặt hình vuông của chiếc hộp. π V π V A. 1 = B. 1 = V2 2 V2 4 V π V π C. 1 = D. 1 = V2 6 V2 8

D. Sxq = 960π cm2

10cm

8cm

17cm

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

C. Sxq = 296π cm 2

Câu 6: Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Diện tích xung quanh của phễu là: B. Sxq = 424π cm 2 A. Sxq = 360π cm2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 7: Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước vào 1 phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng chiều cao 3 của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ? Biết rằng chiều cao của phễu là 15cm. A. 0,188(cm). B. 0,216(cm). C. 0,3(cm). D. 0,5 (cm). Câu 8: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó 2016 quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao hình trụ bằng 2016 lần đường kính của quả banh. Gọi V1 là tổng thể tích của 2016 quả banh và V2 là thể tích của khối trụ. Tính V tỉ số 1 ? V2 2 1 V 1 V V A. 1 = B. 1 = C. 1 = D. Một kết quả khác. V2 3 V2 3 V2 2 Câu 9: Từ một nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích 1dm 2 . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào? A. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy D. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy. Câu 10: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27 cm3. Với chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 33 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 4

36 2π 2

B. r =

38 2π 2

C. r =

38 2π 2

D. r =

36 2π 2

U Y

Câu 11: Người ta cần chế tạo một ly dạng hình cầu tâm O, đường kính 2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước nhất. 2R 2R R R 6 B. r = D. r = A. r = C. r = 3 3 3 3 Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn đường kính AB như hình vẽ. Gọi I , J lần lượt là

A. r =

Toán Ứng Dụng

trung điểm của AB, CD . Biết AB = 4; AD = 6 Thể tích V của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên

ẠO

D 56 π. 3

B. V =

104 π. 3

TR ẦN

A. V =

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

quanh trục IJ là:

C. V =

40 π. 3

D. V =

88 π. 3

10 00

Câu 13: Người ta bỏ vào một chiếc hộp hình trụ ba quả bóng tennis hình cầu, biết rằng đáy hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả bóng và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả bóng. Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích

S1 là: S2

A. 2 B. 5 C. 3 D. 1 Tổng diện tích xung quanh của ba quả bóng là S1 = 3.4 πR 2 ( với R là bán kính của khối cầu).

Í-

Diện tích xung quanh của hình trụ là: S2 = ( 2πR ) .3.2 R = 12πR2 . Từ đây suy ra

S1 =1. S2

ÁN

-L

Câu 14: Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với các kích thước như hình vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (không kể viền, mép, phần thừa).

ÀN

A. 700 π ( cm 2 )

IỄ N D

10cm

) C. 750, 25π ( cm ) D. 756, 25π ( cm )

B. 754, 25π ( cm

30cm

35cm

Câu 15: Một một chiếc chén hình trụ có chiều cao bằng đường kính quả bóng bàn. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 chiều cao của nó. Gọi V1 ,V2 4

Trang 34 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 9V1 = 8V2

B. 3V1 = 2V2

Toán Ứng Dụng

C. 16V1 = 9V2

D. 27V1 = 8V2

Câu 16: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích của khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất? A. 0,68. B. 0,6. C. 0,12. D. 0,52. Câu 17: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài

16π dm3 . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường tròn 9

U Y

là

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

O N

ẠO

đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình vẽ) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S xq của bình nước là:

9π 10 dm 2 . B. S xq = 4π 10 dm 2 . C. S xq = 4π dm 2 . 2 Câu 18: Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng ( P ) song song với đáy. Mặt

D. S xq =

3π dm2 . 2

10 00

A. S xq =

phẳng ( P ) chia hình nón làm hai phần ( N1 ) và ( N 2 ) . Cho hình cầu nội

tiếp ( N 2 ) như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu bằng một nửa thể tích

theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của hình thang cân

Í-

( N2 )

của ( N 2 ) . Một mặt phẳng đi qua trục hình nón và vuông góc với đáy cắt

-L

là

ÁN

B. 4 C. 1 D. 3 A. 2 Câu 19: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là

IỄ N

ÀN

A. 10 2cm B. 20cm C. 50 2cm D. 25cm Câu 20: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:

A. 16π r 2

B. 18π r 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 36π r 2

D. 9π r 2

Trang 35 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

1 2

C. 2ϕ = 2arcsin

2ϕ = 60 0

D. 2ϕ = 2arcsin

ẠO

A. 2ϕ = 1200

U Y

Câu 21: Người ta cắt một miếng tôn hình tròn ra làm 3 miềng hình quạt bằng nhau. Sau đó quấn và gò 3 miếng tôn để được 3 hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình nón?

1 3

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 22: Có một cái cốc úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của cốc là 30cm, bán kính đáy cốc là 3cm, bán kính miệng cốc là 5cm. Một con kiến đang đứng ở điểm A của miệng cốc dự định sẽ bò ba vòng quanh thân cốc để lên đến đáy cốc ở điểm B. Tính quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình. A. l ≈ 76cm B. l ≈ 75,9324cm C. l ≈ 74cm D. l ≈ 74, 6386cm

ÀN

ÁN

-L

Câu 23: Một người thợ xây, muốn xây dựng một bồn chứa nước hình trụ tròn với thể tích là 150 m 3 (như hình vẽ bên). Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn và bề làm bằng bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để bồn chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông 100 nghìn đồng một m 2 , tôn 90 một m 2 và nhôm 120 nghìn đồng một m 2 .

IỄ N

A. 15037000 đồng. B. 15038000 đồng. C. 15039000 đồng. D. 15040000 đồng. Câu 24: Khi sản xuất cái phễu hình nón (không có nắp) bằng nhôm, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm phễu là ít nhất, tức là diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất. Giá trị gần đúng diện tích xung quanh của phễu khi ta muốn có thể tích của phễu là 1dm3 là ? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A. 4.18 dm2 B. 4.17 dm2 C. 4.19 dm2 D. 4.1 dm2 Câu 25: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể tích 16πm 3 . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất. A. 0,8m B. 1,2m C. 2m D. 2, 4m

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 36 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Câu 26: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là 2000π lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất? A. 1m và 2m B. 1dm và 2dm C. 2m và 1m D. 2dm và 1dm Câu 27: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể tích 16π m 3 . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất.

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

B. 1,2m C. 2m D. 2, 4m A. 0,8m Câu 28: Một cửa hàng nhận làm những chiếc xô bằng nhôm hình trụ không nắp chứa 10 lít nước. Hỏi bán kính đáy (đơn vị cm, làm tròn đến hàng phần chục) của chiếc xô bằng bao nhiêu để cửa hàng tốn ít vật liệu nhất. A. 14,7cm. B. 15cm. C. 15,2cm. D. 14cm. Câu 29: Làm 1 m2 mặt nón cần: 120 lá nón ( Đã qua sơ chế). Giá 100 lá nón là 25.000 đồng. Vậy để làm 100 cái nón có chu vi vành nón là 120 cm, và khoảng từ đỉnh nón tới 1 điểm trên vành nón là 25 cm thì cần bao nhiêu tiền mua lá nón? A. 400.000đ B. 450.000đ C. 500.000đ D. 550.000đ Câu 30: Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Bằng kiến thức đã học em giúp bố bạn chọn mảnh tôn để làm được chiếc thùng có thể tích lớn nhất, khi đó chiều dài, rộng của mảnh tôn lần lượt là: A. 35 cm; 25 cm B. 40 cm; 20 cm C. 50 cm;10 cm D. 30 cm; 30 cm Câu 31: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R =10cm, đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm. Người ta bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Bán h  kính của viên bi gần số nguyên nào sau đây. (Cho biết thể tích khối chỏm cầu là V = π h 2  R −  ) 3 

IỄ N

A. 2 B. 4 C. 7 D. 10 Câu 32: Công ty chuyên sản xuất bao bì đựng sản phẩm sữa nhận đơn đặt hàng sản xuất hộp đựng sữa có thể tích 1dm 3 . Các nhân viên thiết kế phân vân giữa làm hộp đựng dạng hình trụ hay hình hộp chữ nhật đáy hình vuông. Hỏi công ty sẽ làm hộp hình gì để chi phí nguyên liệu nhỏ nhất. A. Hình trụ B. Hình hộp chữ nhật đáy hình vuông C. Cả hai như nhau D. Hình lập phương Câu 33: (Thể tích – mặt cầu-mặt nón – mặt trụ) Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3dm, một người dự tính tạo thành các hình trụ (không đáy ) theo hai cách sau:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 37 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Cách 1: gò hai mép hình vuông để thành mặt xung quanh của một hình trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Cách 2: cắt hình vuông ra làm ba, và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V2.

A. 3

V1 V2

H Ư

tỉ

số

1 2

TR ẦN

đó,

Khi

B. 2

là:

1 3

Í-

10 00

Câu 34: Với một miếng tôn hình tròn có bán kính bằng R = 6cm. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt đi một hình quạt của hình tròn này và gấp phần còn lại thành hình nón ( Như hình vẽ). Hình nón có thể tích lớn nhất khi người ta cắt cung tròn của hình quạt bằng

ÁN

-L

A. π 6 cm B. 6π 6 cm C. 2π 6 cm D. 8π 6 cm Câu 35: Một người có một dải duy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải duy băng đỏ đó quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải duy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như

IỄ N

ÀN

hình vẽ minh họa). Hỏi dải duy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu ?

A. 4000π cm 3

B. 32000π cm 3

C. 1000π cm3

D. 16000π cm 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 38 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

• Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo V cách 2. Tính tỉ số 1 V2

V1 1 V V V B. 1 = 1. C. 1 = 2. D. 1 = 4. = . V2 2 V2 V2 V2 Câu 37: Một hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm và chiều cao bằng 9 cm. Tính thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp trong hình nón.

10 00

TR ẦN

H Ư

Í-

81 π 2 Câu 38: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi S1 là A. 36π

C. 48π

ÁN

-L

B. 54π

S1 bằng S2

ÀN

tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S 2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số

3 6 ; B. 1; C. 2; D. . 2 5 Câu 39: Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng trống ở dưới đáy hộp để nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì chín. Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của một hộp mình tôm (hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa). Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có dạng hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm. Nhà sản xuất đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích lớn nhất trong hộp với mục địch thu hút khách hàng. Tìm thể tích lớn nhất đó ?

IỄ N

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 39 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

U Y

D. V =

38 38 4 B. r = C. r = 2π 2 2π 2

36 D. r = 2π 2

36 A. r = 2π 2

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

C. V = 48π

81 π 2 Câu 40: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng V và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy R bằng: V V V V A. R = 3 B. R = 3 C. R = D. R = 2π π 2π π Câu 40: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Với chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất. B. V = 54π

A. V = 36π

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

Câu 41: Từ tấm tôn hình chữ nhật cạnh 90cm x 180cm người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 80cm theo 2 cách(Xem hình minh họa dưới)

IỄ N

Cách 1. Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng Cách 2.Cắt tấm tôn ban đầu thành 3 tấm bằng nhau và gò các tấm đó thành mặt xung quanh của thùng. Ký hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách thứ nhất và V2 là tổng thể tích của ba thùng gò được V theo cách thứ 2.Tính tỉ số 1 V2 1 1 A. B. C. 3 D. 2 2 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 40 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

)

(

12 13 cm 2 . 15

(

)

ẠO

D. (12 13 + 15)π cm2

)

(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

)

B. 12π 13 cm 2 .

(

A. (12 13 − 15)π cm 2 .

U Y

Câu 42: Cối xay gió của Đôn ki hô tê (từ tác phẩm của Xéc van téc). Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón. Chiều cao của hình nón là 40 cm và thể tích của nó là 18000 cm3. Tính bán kính của đáy hình nón (làm tròn đến kết quả chữ số thập phân thứ hai). A. 12 cm B. 21 cm C. 11 cm D. 20 cm Câu 43: Từ một miếng tôn hình vuông cạnh a(cm) người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật và hai hình tròn có cùng đường kính để làm thân và các đáy của một hình trụ. Hỏi khối trụ được tạo thành có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu, biết rằng các cạnh cảu hình chữ nhật song song hoặc trùng với các cạnh ban đầu của tấm tôn. a3 (π − 1) a3 (π + 1) a 3π a 3π A. B . C . D . 2 4π 2 4π 2 4π 2 4 (π + 1) Câu 44: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích 12π (cm3) và chiều cao là 4cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm là.

TR ẦN

H Ư

Câu 45: Một tấm vải được quấn 357 vòng quanh một lõi hình trụ có bán kính đáy bằng 5,678cm, bề dày vải là 0,5234cm. Khi đó chiều dài tấm vải gần số nguyên nào nhất sau đây: C.332 m D. 334 m A. 330 m B. 336 m

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 46: Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếu phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm trên một đường kính của mặt này); các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón; tâm của viên gạch nằm trên trục của hình nón. Tính thể tích nước còn lại ở trong phễu (làm tròn 2 chữ số thập phân). A. V =22,27 B. V =22,30 C. V =23.10 D. 20,64

IỄ N

Câu 47: Cho 4 hình cầu có cùng bán kính bằng 2006-1 và chúng được sắp xếp sao cho đôi một tiếp xúc nhau. Ta dựng 4 mặt phẳng sao cho mỗi mặt phẳng đều tiếp xúc với 3 hình cầu và không có điểm chung với hình cầu còn lại. Bốn mặt phẳng đó tạo nên một hình tứ diện. Gọi V là thể tích của khối tứ diện đó (làm tròn 2 chữ số thập phân), khi đó thể tích V là: A. V = 1,45 B. V = 1,55 C. V = 1,43 D. V = 1,44 Câu 48: Trong quá trình làm đèn chùm pha lê, người ta cho mài những viên bi thuỷ tinh pha lê hình cầu để tạo ra những hạt thủy tinh pha lê hình đa diện đều có độ chiết quang cao hơn. Biết rằng các hạt thủy tinh pha lê được tạo ra có hình đa diện đều nội tiếp hình cầu với 20 mặt là những tam giác đều mà cạnh

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 41 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

của tam giác đều này bằng hai lần cạnh của thập giác đều nội tiếp đường tròn lớn của hình cầu. Khối lượng thành phẩm có thể thu về từ 1 tấn phôi các viên bi hình cầu gần số nào sau đây:

B. 433,563 kg

C. 737,596 kg

D. 625,337kg

U Y

Câu 49: Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000 cm3. Biết rằng bán kính nắp đậy sao cho nhà sản xuất tiết kiệm vật liệu nhất có giá trị a. Hỏi giá trị a gần với giá trị nào gần nhất ? A. 11.677 B. 11.674 C. 11.676 D. 11.675

A. 355,689kg

ẠO

Câu 50: Bốn quả cầu đặc bán kính r = 5 112e2 tiếp xúc nhau từng đôi một, ba quả nằm trên mặt bàn phẳng và quả thứ tư nằm trên ba quả kia. Một tứ diện đều ngoại tiếp với 4 quả cầu này. Độ dài cạnh a của tứ diện gần số nào sau đây nhất: A. 22. B. 25 C. 30 D. 15

B. Không chọn cách nào D. Cách 1

-L

Í-

A. Cả 2 cách như nhau C. Cách 2

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 51: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 1 tấm tôn 5(dem) có kích thước 1m x 20m (biết giá 1m2 tôn là 90000đ) bằng 2 cách: Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành 1 hình trụ (hình 1) Cách 2: Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần bằng nhau rồi gò tấm tôn thành 1 hình hộp chữ nhật như (hình 2). Biết sau khi xây xong bể theo dự định, mức nước chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho đơn vị sự nghiệp là 9955đ/m3. Chi phí trong tay thầy là 2 triệu đồng. Hỏi thầy giáo sẽ chọn cách nào để không vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí theo dữ kiện trong bài toán).

IỄ N

ÀN

ÁN

Câu 52:: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất ? A. 0.7 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.5 Câu 53: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là: A. 16π r 2 B. 18π r 2 C. 9π r 2 D. 36π r 2 3 Câu 54: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm . Vói chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.

36 38 38 36 6 6 4 B. C. D. r = r = r = 2π 2 2π 2 2π 2 2π 2 Câu 55: Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy bán kính R. Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy một khoảng bằng d cắt hình nón theo đường tròn (L). Dựng hình trụ có một đáy là (L), đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn nhất. A. r =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 42 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. d =

h 3

B. d =

h 2

C. d =

Toán Ứng Dụng

h 6

h 4

D. d =

U Y

Câu 56: Người ta cần đổ một ống bi thoát nước hình trụ với chiều cao 200 cm , độ dày của thành bi là 10 cm và đường kính của bi là 60 cm . Lượng bê tông cần phải đổ của bi đó là: A. 0,1π m 3 . B. 0,18π m3 . C. 0,14π m 3 . D. π m 3 . Câu 57: Người ta xếp 9 viên bi có cùng bán kính r vào một cái bình hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 8 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của bình hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ là: B. 16πr 2 C. 18πr 2 D. 9πr 2 A. 36πr 2

ẠO

Câu 58: Bạn A muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều ABC có cạnh bằng 90 (cm). Bạn muốn cắt mảnh tôn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M, N thuộc cạnh BC; P và Q tương ứng thuộc cạnh AC và AB) để tạo thành hình trụ có chiều cao bằng MQ. Thể tích lớn nhất của chiếc thùng mà bạn A có thể làm được là:

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TR ẦN

H Ư

91125 (cm3 ) 4π

91125 (cm3 ) 2π

108000 3 (cm3 ) π

13500. 3 (cm3 ) π

10 00

Câu 59: Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén thấy phần ngoài của quả bóng có chiều cao bằng 3/4 chiều cao của nó. Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó: A. 9V1 = 8V2 B. 3V1 = 2V2 C. 16V1 = 9V2 D. 27 V1 = 8V2

Câu 60: Khi cắt mặt cầu S ( O, R ) bởi một mặt kính, ta được hai nửa mặt cầu và hình tròn lớn của mặt

Í-

kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S ( O, R ) nếu một

ÁN

-L

đáy của hình trụ nằm trong đáy của nửa mặt cầu, còn đường tròn đáy kia là giao tuyến của hình trụ với nửa mặt cầu. Biết R = 1 , tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S ( O, R ) để khối trụ có thể tích lớn nhất.

3 6 ,h= . 2 2

B. r =

6 3 ,h= . 2 2

C. r =

6 3 ,h= . 3 3

D. r =

3 6 , h= . 3 3

ÀN

A. r =

IỄ N

Câu 61: Phần không gian bên trong của chai rượu có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy bằng R = 4, 5 cm, bán kính cổ r = 1, 5 cm, AB = 4,5 cm, BC = 6, 5 cm,CD = 20 cm. Thể tích phần không

gian bên trong của chai rượu đó bằng

(

)

3321π cm 3 . 8

(

)

7695π cm 3 . 16

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(

)

957 π cm 3 . 2

(

)

D. 478π cm3 .

Trang 43 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Câu 62: Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình R = 5cm, bên. Biết bán kính đáy bằng bán kính cổ r = 2cm, AB = 3cm, BC = 6cm, CD = 16 cm. Thể tích phần không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng:

A r

Ơ H N

D. 412π ( cm 3 ) .

Đ G N S

M B

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 64: Một tấm tôn hình tam giác đều SBC có độ dài cạnh bằng 3; K là trung điểm BC. Người ta dùng compha có tâm là S, bán kính SK vạch một cung tròn MN. Lấy phần hình quạt gò thành hình nón không có mặt đáy với đỉnh là S, cung MN thành đường tròn đáy của hình nón (hình vẽ). Tính thể tích khối nón trên. 3π π 105 A. B. 32 64 3π 3 π 141 C. D. 64 32

ẠO

Câu 63: Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài, được một khối trụ đường kính 50 cm. Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, khối còn lại là một khối trụ có đường kính 45 cm. Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị) ? A. 373 (m) B. 119 (m) C. 187 (m) D. 94 (m)

U Y

C. 490π ( cm 3 ) .

B. 462π ( cm3 ) .

A. 495π ( cm3 ) .

ÁN

-L

Í-

Câu 65: Cho một hình cầu bán kính 5cm, cắt hình cầu này bằng một mặt phẳng sao cho thiết diện tạo thành là một đường kính 4cm. Tính thể tích của khối nón có đáy là thiết diện vừa tạo và đỉnh là tâm hình cầu đã cho. (lấy π ≈ 3,14 , kết quả làm tròn tới hàng phần trăm). A. 50, 24 ml B. 19,19 ml C. 12,56 ml D. 76, 74 ml

ÀN

Câu 66: Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất: 3 1 1 2 A. R = 3 B. R = 3 C. R = 3 D. R = 3 2π π 2π π Câu 67: Một người nông dân có một tấm cót hình chữ nhật có chiều dài 12π (dm ) , chiều rộng 1 (m ) .

IỄ N

Người nông dân muốn quây tấm cót thành một chiếc bồ đựng thóc không có đáy, không có nắp đậy, có chiều cao bằng chiều rộng của tấm cót theo các hình dáng sau: (I). Hình trụ. (II). Hình lăng trụ tam giác đều. (III). Hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. (IV). Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông. Hỏi theo phương án nào trong các phương án trên thì bồ đựng được nhiều thóc nhất (Bỏ qua riềm, khớp nối).

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 44 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

U Y

(IV)

(III)

(II)

(I)

Toán Ứng Dụng

Đ G

B. 9216π . 1024π D. . 9

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. 3888π 16π C. . 243

ẠO

A. (I) B. (II). C. (III). D. (IV). Câu 68: Một cái bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu đường kính 18dm, và một hình trụ có chiều cao 36dm. Tính thể tích của bồn chứa (đơn vị dm 3 )?

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 69. Một cái nồi hiệu Happycook dạng hình trụ không nắp chiều cao của nồi 11.4 cm, đường kính dáy là 20.8 cm. Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại hình tròn có bán kính R tối thiểu là bao nhiêu để làm cái nồi như vậy (không kể quay nồi) A. R = 18.58cm . B. R = 19.58cm . C. R = 13.13cm . D. R = 14.13cm .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 45 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

U Y

Câu 1: Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t ) = 10t − t 2 , trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v (t ) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là: A. v = 7 ( m / p ) B. v = 9 ( m / p ) C. v = 5 ( m / p ) D. v = 3 ( m / p )

DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

C. f ( t ) = 30

(t (t

+ 12t ) + C

+ 12t ) + 1595280

B. f ( t ) = 30 3 ( t 2 + 12t ) + 1610640

TR ẦN

A. f ( t ) = 30

H Ư

Câu 3: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D ( t ) đô la mỗi năm, với D ' ( t ) = 90 (1 + 6 ) t 2 + 12t trong đí t là số lượng thời gian (tính theo năm) kể từ công ty bắt đầy vay nợ. Đến năm thứ tư công ty đã phải chịu 1 626 000 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này ?

D. f ( t ) = 30 3 ( t 2 + 12t ) + 1610640

Câu 4: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h ( t ) là thể tích nước bơm được sau t giây.

10 00

Cho h ' ( t ) = 3at 2 + bt và ban đầu bể không có nước.

Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m 3 Sau 10 giây thi thể tích nước trong bể là 1100 m 3 Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây. B. 2200 m3 C. 600 m3 D. 4200 m3 A. 8400 m3 Câu 5: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h ( t ) là thể tích nước bơm được sau t giây.

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Cho h ' ( t ) = 3at 2 + bt và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m 3 , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3. Tính thể tích của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây. A. 8400 m3 B. 2200 m3 C. 600 m3 D. 4200 m3 Câu 6: Một ca nô đang chạy trên hồ Tây với vận tốc 20m / s thì hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = −5t + 20 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc ca nô dừng hẳn đi được bao nhiêu mét? A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m Câu 7: Người ta thả một ít lá bèo vào hồ nước. Biết rằng sau 1 ngày, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ và sau mỗi giờ lượng lá bèo tăng gấp 10 so với trước đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì lá 1 bèo phủ kín mặt hồ? 3 9 − log 3 A. 9 − log 3 B. 9 + log 3 C. D. 3 − log 3 3 Câu 8: Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol ( hình vẽ ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là 2 2 . Tính thể tích chuông?

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 46 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

C. 2π 3

B. 12π

D. 16π

A. 6π

U Y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

đồng / m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

ẠO

Câu 9: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000

A. 8412322 đồng.

B. 8142232 đồng.

TR ẦN

H Ư

C. 4821232 đồng.

D. 4821322 đồng

Câu 10: Cho mạch điện như hình vẽ dưới. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q0 ( C ) . Khi đóng khóa K , tụ điện phóng điện qua cuộn dây L. Giả sử cường độ dòng điện tại thời diểm t phụ thuộc vào thời gian theo công thức I = I ( t ) = Q0ω cos (ωt ) (A), trong đó ω (rad/s) là tần số góc, t ≥ 0 có đơn vị là

10 00

− +

giây ( s ) . Tính điện lượng chạy qua một thiết diện thẳng của dây từ lúc bắt đầu

-L

Í-

đóng khóa K ( t = 0 ) đến thời điểm t = 6 ( s ) .

ÀN

ÁN

B. Q0 sin ( 6ω ) (C) C. Q0ω cos ( 6ω ) (C) D. Q0 cos ( 6ω ) (C) A. Q0ω sin ( 6ω ) (C) Câu 11: Một lực 50 N cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 5 cm đến 10 cm. Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 10 cm đến 13 cm? A. 1,95J B. 1,59 J C. 1000 J D. 10000 J Câu 12: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h’ ( t ) = 3at 2 + bt và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m3 . Sau

IỄ N

10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100 m 3 . Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu. A. 8400 m 3 B. 2200m 3 C. 6000 m 3 D. 4200m 3 Câu 13: Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m, người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được giá 100 nghìn. Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi và đồ dùng nên người này căng sợi dây 6m sao cho 2 đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này thu hoạch được bao nhiêu tiền (tính theo đơn vị nghìn và bỏ phần số thập phân). A. 3722 B. 7445

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 47 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

B. 36 m

A. 35 m

C. 7446 D. 3723 Câu 14: Một người đứng từ sân thượng một tòa nhà cao 262m, ném một quả bi sắt theo phương thẳng đứng hướng xuống (bỏ qua ma sát) với vận tốc 20m/s. Hỏi sau 5s thì quả bi sắt cách mặt đất một đoạn ∆d bao nhiêu mét? (Cho gia tốc trọng trường a = 10 ( m / s 2 ) ) C. 37 m

64 . 3 32 3 . D. V = 3

N U Y .Q G

ẠO

B. V =

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

256 . 3 256 3 . C. V = 3

A. V =

D. 40 m Câu 15: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 16: Một chiếc xe đang chạy với vận tốc 100Km/h thì đạp phanh dừng lại, vận tốc của xe giảm dần theo công thức v ( t ) = −5000t + 100 (Km/h) cho đến khi dừng lại. Hỏi xe chạy thêm được bao nhiêu met thì dừng lại. A. 25 B. 1 C. 103 D. 10-3 Câu 17: Khi quan sát một đám vi khuẩn trong phòng thí nghiệm người ta thấy tại ngày thứ x có số lượng 2000 là N ( x ) . Biết rằng N ′ ( x ) = và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con .Vậy ngày thứ 12 số lượng 1+ x vi khuẩn là? A. 10130. B. 5130. C. 5154. D. 10129. Câu 18: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t ) = 3t + t 2 . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. 4300 430 m. m. A. B. 4300 m. C. 430 m. D. 3 3

ÀN

Câu 19: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 24,5 ( m / s ) và gia tốc trọng trường là 9,8 ( m / s 2 ) . Quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là

IỄ N

(coi như viên đạn được bắn lên từ mặt đất) A. 61, 25 ( m ) B. 30,625 ( m )

C. 29, 4 ( m )

D. 59,5 ( m )

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 48 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

−2

( m / s ) . Khi 2

t = 0 thì vận tốc của vật là

U Y

30m / s . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị). A. S = 106m . B. S = 107m . C. S = 108m . D. S = 109m .

Câu 22: Một vật di chuyển với gia tốc a ( t ) = −20 (1 + 2t )

Câu 21: Cho một vật thể bằng gỗ có dạng khối trụ với bán kính đáy bằng R. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng có giao tuyến với đáy là một đường kính của đáy và tạo với đáy góc 450 . Thể tích của khối gỗ bé là: R3 2R3 π R3 π R3 A. V = B. V = C. V = . D. V = . . . 3 6 3 3

ẠO

Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc a (t ) = 3t + t (m/s2). Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 2s. B. 12 m/s C. 16 m/s D. 8 m/s. A. 10 m/s Câu 24: Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh còn được gọi là “thắng”. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = −40t + 20(m / s ). Trong đó t là khoảng thời

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu? A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m Câu 25: Khẳng định nào sau đây đúng ? 10

∫ w ' ( t ) dt

là sự cân nặng của

TR ẦN

A. Nếu w ' ( t ) là tốc độ tăng trưởng cân nặng/năm của một đứa trẻ, thì đứa trẻ giữa 5 và 10 tuổi.

120

B. Nếu dầu rò rỉ từ một cái thùng với tốc độ r ( t ) tính bằng galông/phút tại thời gian t , thì

∫ r ( t ) dt 0

10 00

biểu thị lượng galông dầu rò rỉ trong 2 giờ đầu tiên. C. Nếu r ( t ) là tốc độ tiêu thụ dầu của thế giới, trong đó t được bằng năm, bắt đầu tại t = 0 vào ngày 17

1 tháng 1 năm 2000 và r ( t ) được tính bằng thùng/năm,

∫ r ( t ) dt

biểu thị số lượng thùng dầu

5dm 3dm

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

tiêu thụ từ ngày 1 tháng 1 năm 2000 đến ngày 1 tháng 1 năm 2017 . D. Cả A, B, C đều đúng. Câu 26: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. B. 41π (dm3) A. 132π (dm3) 100 π (dm3) C. D. 43π (dm3) 3 3dm

Câu 27: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t2 (m/s2). Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc ?

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 49 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B.

6800 m 3

4300 m 3

5800 m 3

Câu 28: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 160 – 10t (m/s). Hỏi rằng trong 3s trước khi dừng hẳn vật chuyển động được bao nhiêu mét ? A. 16 m B. 130 m C. 170 m D. 45 m

A. 11100

Toán Ứng Dụng

N U Y .Q

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 29: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng( như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1 m2. Hỏi Ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? ( Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) A. 7.862.000 đồng B. 7.653.000 đồng C. 7.128.000 đồng D. 7.826.000 đồng

Câu 30: Gọi h ( t )( cm ) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng

H Ư

13 t + 8 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây 5 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm): A. 2,33 cm. B. 5,06 cm. C. 2,66 cm. D. 3,33 cm.

TR ẦN

h '(t ) =

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 31: Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu) A. 20m3 B. 50m3 C. 40m3 D. 100m 3

IỄ N

Câu 32: Có một người cần làm một cái của cổng cố xưa, có hình dạng một parabol bậc hai như hình vẽ. Giả sử đặt cánh cổng vào một hệ trục tọa độ như hình vẽ ( mặt đất là trục Ox). Hãy tính diện tích của cánh cửa cổng.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 50 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

32 3

C. 16

16 3

28 3

ẠO

U Y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 33: Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB vuông ở A, điểm B nằm trong góc phàn tư thứ nhất. A π  nằm trên trục hoành, OB = 2017. Góc AOB = α ,  0 < α <  . Khi quay tam giác đó quanh trục Ox ta 3  được khối nón tròn xoay. Thể tích của khối nón lớn nhất khi: 1 6 3 2 A. sin α = B. cos α = C. cos α = D. sin α = 2 3 2 3 Câu 34: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)

-L

Í-

Hình 1 Hình 2 Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính V . 225π A. V = 2250 cm 3 B. V = C. V = 1250 cm 3 D. V = 1350 cm 3 cm 3 4 2 y = x Câu 35: Cho parabol (P) và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm A, B sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất 4 3 2 3 A. B. C. D. 3 4 3 2 Câu 36: Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 + m có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục hoành. Với giá trị nào của m thì S = S ' ?

( )

)

( )

IỄ N

ÀN

ÁN

(

A. m = 2

B. m =

2 9

C. m =

20 9

D. m = 1

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 51 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng. Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng

αo

dα

D. t = − ∫

3g (sin α o − sin α ) a

αo

H N U Y

3g (sin α o + sin α ) 2a

αo

3 (sin α o − sin α ) 2a

C. t = − ∫

dα

B. t = − ∫

dα

3g (sin α o − sin α ) 2a

ẠO

αo

dα

A. t = − ∫

của trọng lực. Hãy biểu diễn góc α theo thời gian t (Tính bằng công thức tính phân)

đạp phanh. Hỏi từ vận tốc ban đầu a của ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 mét. A. a = 20 B. a = 10 C. a = 40 D. a = 25 Câu 38: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu người ta giữ thanh ở góc nghiêng α = α o , một đầu

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 39: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v (t ) = 5t + 1 , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị mét. Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu tiên là: A. 15m . B. 620m . C. 51m . D. 260m . −2

Câu 40: Một vật chuyển động với gia tốc a (t ) = −20 (1 + 2t ) ( m / s 2 ) . Khi t = 0 thì vận tốc của vật là

TR ẦN

30 (m / s ) . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây ( m là mét, s là giây). A. 46 m . B. 48 m . C. 47 m . D. 49 m .

4000 và lúc đầu 1 + 0,5t đám vi trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ hang đơn vị): A. 264.334 con. B. 257.167 con. C. 258.959 con D. 253.584 con. Câu 42:Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol. Người ta

10 00

Câu 41: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng là N ( t ) . Biết rằng N ' ( t ) =

ÁN

-L

Í-

dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ) 28 2 26 128 2 131 2 A. (m ) (m ) (m ) B. (m2 ) C. D. 3 3 3 3

IỄ N

ÀN

Câu 39. Một cái nồi hiệu Happycook dạng hình trụ không nắp chiều cao của nồi 11.4 cm, đường kính dáy là 20.8 cm. Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại hình tròn có bán kính R tối thiểu là bao nhiêu để làm cái nồi như vậy (không kể quay nồi) A. R = 18.58cm . B. R = 19.58cm . C. R = 13.13cm . D. R = 14.13cm . Hướng dẫn giải. Diện tích xung quanh của nồi là 5928 π S1 = 2π rl = 2π .10 , 4.11, 4 = 25 2704 π Diện tích đáy nồi là S2 = π r 2 = 25

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 52 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Suy ra diện tích tối thiểu miếng kim loại hình tròn là S = S1 + S2 =

8632 π = π R2 ⇒ R = 18.58cm 25

Chọn A. Câu 40. Cho hình phẳng ( H ) như hình vẽ bên. Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành

94π cm3 . 3 244π cm3 . D. 3 B.

N U Y 2 cm

2 cm

3 cm

4 cm

5 cm

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

Thể tích hình nón tròn xoay sinh bởi IHR: 9π 8 Thể tích hình tạo bởi IMS: π 3 Thể tích của hình tảo bởi HMSR: 8 19 V2 = 9π − π = π 3 3 244 π Thể tích của hình (H): V( H ) = V1 + V2 = 3 Chọn D.

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Thể tích hình trụ tròn xoay sinh bởi HNPR quay quanh HN: V1 = 3.5 2 .π = 75π

ẠO

Hướng dẫn giải.

C. 94π cm3 .

A. 75π cm3 .

khi quay hình phẳng ( H ) quanh cạnh MN

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 53 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

U Y

DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC

24 . D. 7 × log 3 24. 3 Câu 2: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 17 B. 3 7 .

C. 7 ×

A. 7 × log 3 25.

ẠO

chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

14 cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có

đường kính đáy bằng 30 cm. Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 390 cm. Tính kết quả:

B. 2,0 m3

C. 1,2 m3

D. 1,9 m3

TR ẦN

A. 1,3 m3

H Ư

lượng vữa hỗn hợp cần dùng (tính theo đơn vị m3, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy). Ta có

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 3: Số giờ có ánh sáng mặt trời của TPHCM năm không nhuận được cho bởi  π  ( x − 60)  + 10 với 1 ≤ x ≤ 365 là số ngày trong năm. Ngày 25 / 5 của năm thì số giờ y = 4sin   178  có ánh sáng mặt trời của TPHCM gần với con số nào nhất ? A. 2h B. 12h C. 13h30 D. 14h Câu 4: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức s(t ) = s(0).2t , trong đó s (0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s (t ) là số lượng vi khuẩn A có sau t (phút). Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ? A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút. Câu 5: Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc vật thể bắt đầu chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được a(t) là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên. Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất ? A. giây thứ nhất B. giây thứ 3 C. giây thứ 10 D. giây thứ 7

IỄ N

ÀN

−3 t   Câu 6: Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng nạp được tính theo công thức Q ( t ) = Q0  1 − e 2  với t   là khoảng thời gian tính bằng giờ và Q0 là dung lượng nạp tối đa (pin đầy). Nếu điện thoại nạp pin từ lúc cạn pin (tức là dung lượng pin lúc bắt đầu nạp là 0%) thì sau bao lâu sẽ nạp được 90% (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? A. t ≈ 1,54h B. t ≈ 1, 2 h C. t ≈ 1h D. t ≈ 1,34h Câu 7: Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắt qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5 km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7 km (hình vẽ), biết tổng độ dài HE + KF = 24 ( km ) . Hỏi cây cầu cách thành phố A một khoảng là bao nhiêu để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất ( i theo đường AEFB)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 54 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A. h = 103, 75 +

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

A. 5 3km B. 10 2km C. 5 5km D. 7, 5km Câu 8: Chuyện kể rằng: "Ngày xưa, ở đất nước Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vưa một bàn cờ có 64 ô kèm theo cách chơi cờ. Nhà vua thích quá, bảo rằng: "Ta muốn dành cho khanh một phần thưởng thật xứng đáng. Vậy khanh thích gì nào?" Vị quan tâu "Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: "Bàn cờ có 64 ô thì với ô thứ nhất thần xin nhận một hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai, ô sau nhận số hạt gạo đôi phần thưởng dành cho ô liền trước". Thoạt đầu nhà Vua rất ngạc nhiên vì phần thưởng quá khiêm tốn nhưng đến khi những người lính vét sạch đến hạt thóc cuối cùng trong kho gạo của triều đình thì nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng: "Số thóc này là một số vô cùng lớn, cho dì có gom hết số thóc của cả nước cũng không thể đủ cho một bàn cờ chỉ có vỏn vẹn 64 ô!". Bạn hãy tính xem số hạt thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một số có bao nhiêu chữ số? A. 21 B. 22 C. 19 D. 20 Câu 9: E. coli là vi khuẩn đường ruột gây tiêu chảy, đau bụng dữ dội. Cứ sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn E. coli tăng gấp đôi. Ban đầu, chỉ có 40 vi khuẩn E. coli trong đường ruột. Hỏi sau bao lâu, số lượng vi khuẩn E. coli là 671088640 con? A. 48 giờ. B. 24 giờ. C. 12 giờ. D. 8 giờ. Câu 10: Một cái tháp hình nón có chu vi đáy bằng 207,5 m. Một học sinh nam muốn đo chiều cao của cái tháp đã làm như sau. Tại thời điểm nào đó, cậu đo bóng của mình dài 3,32 m và đồng thời đo được bóng của cái tháp (kể từ chân tháp) dài 207,5 m. Biết cậu học sinh đó cao 1,66 m, hỏi chiều cao của cái tháp dài bao nhiêu m?

51,875

B. h = 103 +

51,87

C. h = 103, 75 +

25,94

D. h = 103, 75

-L

Í-

Câu 11: Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ, bán kính bằng 1 và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng 2 2 và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ). Trong 2 100 mỗi một đơn vị diện tích cần bón kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu 2 2 −1 π

(

)

ÁN

cơ để bón cho hoa?

D. 45 kg

IỄ N

ÀN

A. 30 kg B. 40 kg C. 50 kg Câu 12: Bạn A có một đoạn dây dài 20m . Bạn chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất? 40 180 A. B. m m 9+4 3 9+4 3 C.

120 m 9+ 4 3

60 m 9+ 4 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 55 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

2 5

C. sin α = sin α o

4 3

2 3

B. sin α = sin α o

D. sin α = sin α o

1 3

A. sin α = sin α o

Câu 13: Một bể nước có dung tích 1000 lít. Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là 1 lít/1phút. Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước (kết quả gần đúng nhất). A. 3,14 giờ B. 4,64 giờ C. 4,14 giờ D. 3,64 giờ Câu 14: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu người ta giữ thanh ở góc nghiêng α = α o , một đầu thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng. Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng của trọng lực. Tính góc sin α khi thanh rời khỏi tường

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 15: Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R = 3 , người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật (xem hình) có diện tích lớn nhất. Diện tích lớn nhất có thể có của miếng tôn hình chữ nhật là:

TR ẦN

H Ư

A. 6 3 B. 6 2 C. 9 D. 7 Câu 16: Người ta tiến hành mạ vàng chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật có nắp. Thể tích của hộp là 1000 cm3, chiều cao của hộp là 10cm. Biết rằng đơn giá mạ vàng là 10.000 đ/ cm2. Gọi x ( triệu đồng ) là tổng số tiền bỏ ra khi mạ vàng cả mặt bên trong và mặt bên ngoài chiếc hộp. Tìm giá trị nhỏ nhất của x. A. 12 triệu. B. 6triệu. C. 8 triệu. D. 4 triệu. 2 Câu 17: Anh Phong có một cái ao với diện tích 50 m để nuôi cá điêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20 con/ m 2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, anh thấy cứ thả giảm đi 8 con/ m 2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5kg. Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới ông nên mua

10 00

bao nhiêu cá giổng để thả ? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).

ÁN

-L

Í-

B. 658 con C. 342 con D. 512 con A. 488 con Câu 18: Trong phòng thí nghiệm sinh học người ta quan sát 1 tế bào sinh dục sơ khai của ruồi giấm với bộ nhiễm sắc thế 2n = 8, nguyên phân lên tiếp k lần, thì thấy rằng: Sau khi kết thúc k lần nguyên phân thì số nhiễm sắc thể đơn mà môi trường cần cung cấp cho quá trình phân bào là 2040. Tính k? A. k = 6 B. k = 8 C. k = 9 D. k = 7 Câu 19: Một bể nước có dung tích 1000 lít .Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là 1 lít/1phút. Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước (kết quả gần đúng nhất). A. 3,14 giờ. B. 4, 64 giờ. C. 4,14 giờ. D. 3, 64 giờ. Câu 20: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Ký hiệu ( a; b ) là kết quả xảy ra sau khi gieo,

ÀN

trong đó a, b lần lượt là số chấm xuất hiện lần thứ nhất, thứ hai. Gọi A là biến cố số chấm xuất hiện trên hai lần gieo như nhau. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn điều kiện nào sau đây? A. z + 2 + 3i ≤ 12 B. z + 2 + 3i = 10

IỄ N

C. z + 2 + 3i ≤ 13 D. z + 2 + 3i ≤ 11 Câu 21: Trong phòng thí nghiệm sinh học người ta quan sát 1 tế bào sinh dục sơ khai của ruồi giấm với bộ nhiễm sắc thế 2n = 8, nguyên phân lên tiếp k lần, thì thấy rằng: Sau khi kết thúc k lần nguyên phân thì số nhiễm sắc thể đơn mà môi trường cần cung cấp cho quá trình phân bào là 2040. Tính k? A. k = 6 B. k = 8 C. k = 9 D. k = 7 Câu 22: Một đoàn tàu chuyển động trên một đường thẳng nằm ngang với vận tốc không đổi v0.Vào thời điểm nào đó người ta tắt máy. Lực hãm và lực cản tổng hợp cả đoàn tàu bằng 1/10 trọng lượng P của nó. Hãy xác định chuyển động của đoàn tàu khi tắt máy và hãm.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 56 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

g .t 2 g .t 2 g .t 2 t2 B. x = v0 .t − C. x = v0 .t − D. x = v0 .t − 20 10 30 20 Câu 23: Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn sản xuất những loại hộp hình trụ có thể tích V cho trước để đựng thịt bò. Gọi x, h (x > 0, h > 0) lần lượt là độ dài bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Để sản xuất hộp hình trụ tốn ít vật liệu nhất thì giá trị của tổng x + h là:

A. x = v0 .t −

V 3V V V B. 3 C. 2 3 D. 3. 3 2π 2π 2π 2π Câu 24: Khi quan sát qua trình sao chéo tế bào trong phòng thí nghiệm sinh học, nhà sinh vật học nhận thấy các tế báo tăng gấp đôi mỗi phút. Biết sau một thời gian t giờ thì có 100 000 tế bào và ban đầu có 1 tế bào duy nhất. Tìm t: A. t ≈ 16, 61 phút D. t ≈ 15,5 phút B. t ≈ 16, 5 phút C. t ≈ 15 phút Câu 25: Giả sử tỉ lệ lạm phát của Việt Nam trong 10 năm qua là 5%. Hỏi nếu năm 2007, giá xăng là 12000VND/lít. Hỏi năm 2016 giá tiền xăng là bao nhiêu tiền một lít? A. 11340,00 VND/lít B. 113400 VND/lít C. 18616,94 VND/lít D. 18615,94 VND/lít

ẠO

U Y

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 26: Một khu rừng ban đầu có trữ lượng gỗ là 4.105 mét khối gỗ. Gọi tốc độ sinh trưởng mỗi năm của khu rừng đó là a% . Biết sau năm năm thì sản lượng gỗ là xấp xỉ 4 , 8666.10 5 mét khối. Giá trị c ủa a x ấ p x ỉ : A. 3,5%. B. 4%. C. 4,5%. D. 5% Câu 27: Trong một trận mưa, cứ một mét vuông mặt đất thì hứng thì hứng 1,5 lít nước mưa rơi xuống. Hỏi mực nước trong một bể bơi ngoài trừi tăng lên bao nhiêu ? A. 1,5 (cm) B. 0,15 (cm) C. Phụ thuộc vào kích thước của bể bơi D. 15 (cm) Câu 28: Các kích thước của một bể bơi được cho trên hình vẽ (mặt nước có dạng hình chữ nhật). Hãy tính xem bể chứa được bao nhiêu mét khối nước khi nó đầy ắp nước ?

B. 640m3

C. 570m3

D. 500m3

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

A. 1000m3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 57 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

PHẦN II: ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM, GTLN-GTNN CÙA HÀM SỐ 2

3t +1

t 2 +3

+ ( 6t + 2 ) e3t +1

( ) + ( 2t.e ) = 2t.e

v ( t ) = s ' ( t ) = et

U Y

Câu 1: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được quãng đường s ( t ) (km) là hàm phụ

ẠO

Với t = 1 ta có: 10e4 ( km / s ) . Đáp án đúng là D.

Sai lầm thường gặp: 2

3t +1

+ ( 6t + 2 ) .e3t +1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

( ) + ( 2t.e ) = e

v ( t ) = s ' ( t ) = et

3t +1

+ 2.e3t +1

H Ư

( ) + ( 2t.e ) = e

v ( t ) = s ' ( t ) = et

(do không biết đạo hàm et -> đáp án C)

Í-

10 00

TR ẦN

(do học vẹt đạo hàm e x luôn không đổi). Vậy chọn đáp án B. Câu 2: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được.

D. 50 m 2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

A. 6250 m 2 B. 1250 m 2 C. 3125 m 2 . - Hướng dẫn: Phân tích ta đặt các kích thước của hàng rào như hình vẽ

Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau: Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt nên ta có mối quan hệ: 3 x.50000 + 2 y.60000 = 15000000 150 − 15 x 500 − 5 x = ⇔ 15 x + 12 y = 1500 ⇔ y = 12 4 Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng công thức:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 58 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

500 − 5 x 1 = ( −5 x 2 + 500 x ) 4 2 Đến đây ta có hai cách để tìm giá trị lớn nhất của diện tích: Cách 1: Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN: 1 Xét hàm số f ( x ) = ( −5 x 2 + 500 x ) trên ( 0;100 ) 2 1 f ' ( x ) = ( −10 x + 500 ) , f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 50 2 Ta có BBT

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

f ( x ) = 2.x. y = 2 x.

Cách 2: Nhẩm nhanh như sau: Ta biết rằng A − g 2 ( x ) ≤ A với mọi x, nên ta có thể nhẩm nhanh được:

5 5 5 2 − x 2 + 100 x ) = ( − x 2 + 2.50.x − 2500 + 2500 ) = .  2500 − ( x − 5 )  ≤ 6250 (  2 2 2  Hoặc bấm máy tính phần giải phương trình bậc hai và ấn bằng nhiều lần máy sẽ hiện như sau:

H Ư

f ( x) =

Í-

10 00

TR ẦN

Câu 3: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ được tô màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng x của miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

3 34 − 19 2 ( cm ) 2 5 34 − 13 2 D. x = ( cm ) 2

-L

3 34 − 17 2 ( cm ) 2 5 34 − 15 2 C. x = ( cm ) 2 - Hướng dẫn:

B. x =

ÁN

A. x =

ÀN

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S = S MNPQ + 4 xy

IỄ N

Cạnh hình vuông MN =

(

⇒ S = 20 2

)

MP 40 = = 20 2 ( cm ) 2 2

(1)

+ 4 xy = 800 + 4 xy

Ta có 2 x = AB − MN = AB − 20 2 < BD − 20 2 = 40 − 20 2 ⇒ 0 < x < 20 − 10 2

(

Lại có AB 2 + AD 2 = BD 2 = 40 2 ⇒ 2 x + 20 2

)

+ y 2 = 1600

⇒ y 2 = 800 − 80 x 2 − 4 x 2 ⇒ y = 800 − 80 x 2 − 4 x 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 59 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Thế vào (1) ⇒ S = 800 + 4 x 800 − 80 x 2 − 4 x 2 = 800 + 4 800 x 2 − 80 x3 2 − 4 x 4

(

)

Xét hàm số f ( x ) = 800 x 2 − 80 x3 2 − 4 x 4 , với x ∈ 0; 20 − 10 2 có

)

 x ∈ 0; 20 − 10 2  x ∈ 0; 20 − 10 2 5 34 − 15 2  Ta có  ⇔ ⇔ x= 2 2 16x 100 − 15x 2 − x = 0  f ' ( x ) = 0  5 34 − 15 2 Khi đó x = chính là giá trị thỏa mãn bài toán. Chọn C. 2 Câu 4: Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết thúc, Nam đỗ vào trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Kỳ I của năm nhất gần qua, kỳ II sắp đến. Hoàn cảnh không được tốt nên gia đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó khăn hơn. Gia đình đã quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50 m, lấy tiền lo cho việc học của Nam cũng như tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vuông cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m 2 đất khi bán là 1500000 VN đồng. A. 112687500 VN đồng. B. 114187500 VN đồng. C. 115687500 VN đồng. D. 117187500 VN đồng. - Hướng dẫn: Diện tích đất bán ra càng lớn thì số tiền bán được càng cao

)

( (

)

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

(

f ' ( x ) = 1600 x − 240 x 2 2 − 16 x3 = 16 x 100 − 15 x 2 − x 2

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là x, y ( m ) , ( x, y > 0 )

Í-

Chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu bằng 50m ⇒ 2 ( x + y ) = 50 ⇔ y = 25 − x Bài ra, ta có ngay mảnh đất được bán là một hình chữ nhật có diện tích là 2

ÀN

ÁN

-L

25  625 625  S = x ( y − x ) = x ( 25 − x − x ) = 25x − 2x = −  x 2 −  + 8 ≤ 8 = 78,125 2 2  25 25 25 175 Dấu "=" xả ra ⇔ x 2 − =0⇔ x= ⇒ y = 25 − = 8 8 8 2 2 2 Như vậy, diện tích đất nước được bán ra lớn nhất 78,125 m . Khi đó số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất là 78,125.1500000 = 117187500 2

IỄ N

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 60 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Hướng dẫn : Đặt AB = 2 a, AM = 2 x suy ra MB = 2 ( a − x ) . Muốn chi phí thấp nhất thì diện tích trồng hoa hồng trắng phải lớn nhất. Gọi S1 , S2 , S3 lần lượt là đường tròn đường kính

AB, MA, MB . Ta có diện tích trồng hoa hồng trắng là : 2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Lúc này diện tích trồn hoa hồng cũng là a2 π . ≈ 39m 2 . 2 Do vậy chi phí thấp nhất mà thầy Diêu mua hoa là : 39.2.4000 + 39.2.5000 = 70200 đồng. Chọn A.

U Y

a 2 S = S3 − ( S1 + S 2 ) = π a 2 − π x 2 + π ( a − x )  = −2π ( x 2 − ax ) ≤ π . ≈ 39m 2   2

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu 6: Người ta muốn sơn một cái hộp không nắp, đáy hộp là hình vuông và có thể tích là 4 (đơn vị thể tích)? Tìm kích thước của hộp để dùng lượng nước sơn tiết kiệm nhất. Giả sử độ dày của lớp sơn tại mọi nơi trên hộp là như nhau. A. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 1 (đơn vị chiều dài). B. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài). C. Cạnh ở đáy là 2 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 0,5 (đơn vị chiều dài). D. Cạnh ở đáy là 1 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài). - Hướng dẫn: Gọi x, l lần lượt là độ dài cạnh ở đáy và chiều cao của hộp x > 0, l > 0 . Khi đó tổng diện tích cần sơn là S ( x ) = 4xl+x 2 (1)

Thể tích của hộp là V = x 2 l = 4 , suy ra l =

4 ( 2 ) . Từ (1) và (2) suy ra: x2

16 2x 3 − 16 ⇒ S' ( x ) = ;S' ( x ) = 0 ⇔ 2x 3 − 16 = 0 ⇔ x = 2 x x2 Lập bảng biến thiên suy ra MinS ( x ) = S ( 2 ) . Vậy cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài) và chiều cao của

-L

Í-

S( x ) = x2 +

ÁN

hộp là 1 (đơn vị chiều dài).

ÀN

Câu 7: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường CH=0,5m là: A. Xấp xỉ 5,602 B. Xấp xỉ 6,5902 C. Xấp xỉ 5,4902 D. Xấp xỉ 5,5902 - Hướng dẫn: Đặt BH = x ( x > 0 ) . Ta có

IỄ N

BD = DH 2 + BH 2 = x 2 + 16 Vì DH / / AC nên DA HC DB.HC = ⇒ DA = = DB HB HB

⇒ AB = x 2 + 16 +

x 2 + 16 2x

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 61 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

f '( x) =

x + 16

.2 x − 2 x 2 + 16

−

Chọn D

5 5 ≈ 5,5902 ( m ) 2

x∈( 0; +∞ )

x 2 x 2 + 16

U Y

Suy ra min AB = min f ( x ) = f ( 2 ) =

x3 − 8

4x2 x 2 + 16 x 2 + 16 x 2 x 2 + 16 f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2; f ' ( x ) > 0 ⇔ x > 2; f ' ( x ) < 0 ⇔ 0 < x < 2

x 2 + 16 trên ( 0; +∞ ) . Ta có f(x) liên tục trên ( 0; +∞ ) và 2x

Xét hàm số f ( x ) = x 2 + 16 +

Toán Ứng Dụng

Câu 8: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua một cột đỡ DH cao 4m song song và cách tường CH = 0,5m là:

ẠO

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. Xấp xỉ 6,5902

C. Xấp xỉ 5,5902

10 00

A. Xấp xỉ 5,4902 B. Xấp xỉ 5,602 - Hướng dẫn: Đặt CB = x, CA = y khi đó ta có hệ thức: 1 4 4 2x − 1 8x + =1⇔ = ⇔y= 2x y y 2x 2x − 1 Ta có: AB = x 2 + y 2

TR ẦN

 8x  Bài toán quy về tìm min của A = x 2 + y 2 = x 2 +    2x − 1 

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

5 5 5 Khảo sát hàm số và lập bảng biến thiên ta thấy GTNN đạt tại x = ; y = 5 hay AB min = 2 2 Câu 9: Cho hai vị trí A , B cách nhau 615m , cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B . Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: A. 596, 5m B. 671, 4m C. 779, 8m D. 741, 2m - Hướng dẫn:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 62 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

U Y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

+ 4872 .

ẠO

(492 − x )

MF = 492 − x , AM = x 2 + 1182 , BM =

Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B. dễ dàng tính được BD = 369, EF = 492. Ta đặt EM = x , khi đó ta được:

()

(492 − x ) + 487 với x ∈ 0; 492 Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f (x ) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí

TR ẦN

(492 − x )

492 − x

(492 − x )

+ 487

=0 2

492 − x

(492 − x )

+ 4872

x 2 + 1182

492 − x

−

H Ư

x 2 + 1182

x + 118 2

f ' (x ) = 0 ⇔

10 00

()

điểm M. f ' x =

⇔

f (x ) = x 2 + 1182 +

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Như vậy ta có hàm số f x được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB:

+ 487 2 = (492 − x ) x 2 + 1182

Í-

(492 − x )

-L

⇔x

(

)

2 2  (487x ) = (58056 − 118x )  ⇔ 0 ≤ x ≤ 492 

IỄ N

ÀN

ÁN

2 2    x 2 (492 − x ) + 4872  = (492 − x ) x 2 + 1182  ⇔   0 ≤ x ≤ 492   x = 58056 hay x = − 58056 58056 ⇔ 605 369 ⇔ x = 0 ≤ x ≤ 492 605 





58056   , f 492 ta có giá Hàm số f x liên tục trên đoạn  0; 492 . So sánh các giá trị của f (0) , f    

()

 605 

(

)

 58056   ≈ 779, 8m  605 

trị nhỏ nhất là f  

Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m. Vậy đáp án là C.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 63 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 10: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f (t ) = 45t 2 − t 3 (kết quả khảo sát được trong 8 tháng vừa qua). Nếu xem f '(t ) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t . Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy? A. 12 B. 30 C. 20 D. 15 - Hướng dẫn: f ′(t ) = 90t − 3t 2 ⇒ f ′′(t ) = 90 − 6t = 0 ⇔ t = 15 . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ′(t) lớn nhất khi t = 15 . Chọn D Câu 11: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng. A. 2.225.000. B. 2.100.000 C. 2.200.000 D. 2.250.000 - Hướng dẫn: Gọi x (đồng/tháng) là số tiền tăng thêm của giá cho thuê mỗi căn hộ. ( x ≥ 0 ) 2x (căn hộ). Khi đó số căn hộ bị bỏ trống là: 100 000

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

)

TR ẦN

(

H Ư

Khi đó, số tiền công ti thu được là:   2x  2x 2  T (x ) = 2 000 000 + x 50 − (đồng/tháng).  = 100 000 000 + 10x −  100 000  100 000 Khảo sát hàm số T (x ) trên  0; +∞) .  4x . T ' (x ) = 10 − 100 000

A H

250 000 0 2 250 000

+∞

−

-L

Í-

Bảng biến thiên x 0 T’ T

10 00

T ' (x ) = 0 ⇔ 1 000 000 − 4x = 0 ⇔ x = 250 000 .

(

)

x ≥0

ÁN

Do đó max T (x ) = T 250 000 = 2.250.000 . Chọn D

IỄ N

ÀN

Câu 12: Trên một đoạn đường giao thông có 2 con đường vuông góc với nhau tại O như hình vẽ. Một địa danh lịch sử có vị trí đặt tại M, vị trí M cách đường OE 125cm và cách đường Ox 1km. Vì lý do thực tiễn người ta muốn làm một đoạn đường thẳng AB đi qua vị trí M, biết rằng giá trị để làm 100m đường là 150 triệu đồng. Chọn vị trí của A và B để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành con đường là bao nhiêu ? A. 1,9063 tỷ đồng. B. 2,3965 tỷ đồng. C. 2,0963 tỷ đồng. D. 3 tỷ đồng. - Hướng dẫn: Để hoàn thành con đường với chi phí thấp nhất thì phải chọn A, B sao cho đoạn thẳng AB là bé nhất. ⇒Thiết lập khoảng cách giữa hai điểm A, B và tìm giá trị nhỏ nhất.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 64 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

1  Chọn hệ trục tọa độ là Oxy với OE nằm trên Oy. Khi đó tọa độ M  ;1  . 8 

x y + =1 m n 1 1 1 1 8m − 1 8m 1  Do đường thẳng đi qua M  ;1  nên + = 1 ⇒ = 1− = ⇒n= 8m n n 8m 8m 8m − 1 8  2

 8m  Có AB = m + n = m +    8m − 1  2

Gọi B ( m;0 ) , A ( 0; n ) ( m, n > 0 ) . Khi đó ta có phương trình theo đoạn chắn là:

U Y

2  8m −8 64   8m    . = 2m. 1 − Xét hàm số f ( m ) = m +   ; f ' ( m ) = 2m + 2.  ( 8m − 1)3  8m − 1 ( 8m − 1) 2  8m − 1   

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

m = 0 ( L ) 5  3 ⇔ ( 8m − 1) = 64 ⇔ m = f '( m) = 0 ⇔  64 1− 0 = 8  ( 8m − 1)3  2 5   2 8.  25 25 125 125 5 5 5 5  8 = + = ⇒ AB ≥ = f (m) ≥ f   =   +   64 16 64 64 8  8   8   8. 5 − 1   8  5 5 Vậy quãng đường ngắn nhất là (km). 8 Giá để làm 1km đường là 1500 triệu đồng=1,5 tỉ đồng. 5 5 Khi đó chi phí để hoàn thành con đường là: .1, 5 ≈ 2, 0963 (tỷ đồng) 8 Đáp án C Câu 13: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S = −t 3 + 9t 2 + t + 10 trong đó t tính bằng (s) và S tính bằng (m). Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là: A. t = 5s B. t = 6s C. t = 2s D. t = 3s - Hướng dẫn: Cần áp dụng 1 số tính chất trong vật lý như đạo hàm của quãng đường là vận tốc => đưa ra được hàm vận tốc theo t S' = −3t 2 + 18t + 1 Mà S' = v −∞ 3 t +∞ Suy ra v = −3t 2 + 18t + 1 V’ 0 V ' = −6t + 18 V 0 V' = 0 ⇔ t = 3 BTT Suy ra v đạt max tại t = 3

IỄ N

Câu 14: Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C . Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10 km , khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C là 40 km . Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ dưới đây). Biết kinh phí đi đường thủy là 5 USD / km , đi đường bộ là 3 USD / km . Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất? ( AB = 40 km, BC = 10 km .).

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 65 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

10 km

N Ơ

65 km . 2

C. 10 km .

15 km . 2

D. 40 km .

U Y

- Hướng dẫn: Ta bấm máy MODE → 2:CMPLX Ấn SHIFT+hyp (Abs) và nhập biểu thức 1 + 2i + 2 x ( 3 + i ) máy hiện

D 40 km

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Khi đó CM + DM = f ( x ) = 10 2 + x 2 + 30 2 + ( 24 − x ) .

10 00

Lúc này ta thử xem đáp án nào Min. Câu 16: Một chủ hộ kinh doanh có 50 phòng trọ cho thuê. Biết giá cho thuê mỗi tháng là 2,000,000đ/1 phòng trọ, thì không có phòng trống. Nếu cứ tăng giá mỗi phòng trọ thêm 50,000đ/tháng, thì sẽ có 2 phòng bị bỏ trống. Hỏi chủ hộ kinh doanh sẽ cho thuê với giá là bao nhiêu để có thu nhập mỗi tháng cao nhất ? A. 2.200.000đ B. 2.250.000đ C. 2.300.000đ D. 2.500.000đ

1  3 t4   30t −  100  4 (0 ≤ t ≤ 90) . Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính bởi v(t ) = V '(t ) . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng. A. Tốc độ bơm giảm từ phút thứ 60 đến phút thứ 90. B. Tốc độ luôn bơm giảm. C. Tốc độ bơm tăng từ phút 0 đến phút thứ 75. D. Cả A, B, C đều sai. Câu 18: Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50.000USD mỗi km, và 130.000USD mỗi km để xây dưới nước. B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9km. Vị trí C trên đoạn AB’ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng: A. 6.5km B. 6km đảo C. 0km D. 9km - Hướng dẫn: B Đặt x = B ' C ( km ) , x ∈ [0;9] biển

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Câu 17: Thể tích nước của một bể bơi sau t phút bơm tính theo công thức V(t ) =

BC = Chi

x 2 + 36; AC = 9 − x phí xây 2

6km

dựng

C ( x ) = 130.000 x + 36 + 50.000(9 − x ) Hàm xác định, liên C ( x) ,

đường

(USD ) tục trên

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

ống

là C

[0;9]

và

x km

(9 - x)km

bờ biển

Trang 66 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

 13x  − 5 C '( x ) = 10000.  2  x + 36  C '( x ) = 0 ⇔ 13x = 5 x 2 + 36 ⇔ 169 x 2 = 25( x 2 + 36) ⇔ x 2 =

25 5 ⇔x= 4 2

5 C (0) = 1.230.000 ; C   = 1.170.000 ; C (9) ≈ 1.406.165 2 Vậy chi phí thấp nhất khi x = 2,5 . Vậy C cần cách A một khoảng 6,5km.

U Y

1 2 gt , trong đó g = 9,8m/s 2 và t tính bằng 2

Câu 19: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động S = B. 25m/s.

C. 10m/s.

D. 18m/s.

ẠO

A. 49m/s.

giây ( s ) . Vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s bằng:

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

- Hướng dẫn: v(5) = S’=gt =9,8.5 = 49 m/s Câu 20: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S= t3 - 3t2 + 4t, trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của chất điểm lúc t = 2s bằng: B. 6m/s 2 . C. 8m/s 2 . D. 12m/s 2 . A. 4m/s 2 .

10 00

TR ẦN

- Hướng dẫn: a(2)= v’ = S’’=6t - 6 = 6 m/s2 Câu 21: Một vận động viên đẩy tạ theo quỹ đạo là 1 parabol có phương trình y = − x 2 + 2 x + 4 . Vị trí của quả tạ đang di chuyển xem như là một điểm trong không gian Oxy. Khi đó vị trí cao nhất của quả tạ là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây ? A. z = 1 − 3i B. z = 5 + i C. z = 1 + 5i D. z = 3 − i Câu 22: Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kinh r. Để tổng diện tích của hình vuông và

a nào sau đây đúng ? r

hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 Câu 23: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 − 20n( gam) . Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ? A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 - Hướng dẫn: Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ ( n > 0) . Khi đó: Cân nặng của một con cá là: P(n) = 480 − 20n( gam) Cân nặng của n con cá là: n.P(n) = 480n − 20n2 ( gam) Xét hàm số: f (n) = 480n − 20n2 , n ∈ (0; +∞) . Ta có: f '(n) = 480 − 40n , cho f '(n) = 0 ⇔ n = 12 Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là 12 con. Câu 24: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ? A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi. B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái ti vi. C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái ti vi. D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái ti vi. - Hướng dẫn: Gọi x là số ti vi mà cừa hàng đặt mỗi lần ( x ∈ [1;2500] , đơn vị cái)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 67 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

x x nên chi phí lưu kho tương ứng là 10. = 5x 2 2 2500 2500 Số lần đặt hàng mỗi năm là và chi phí đặt hàng là: ( 20 + 9x ) x x 2500 50000 Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là: C ( x ) = + 22500 ( 20 + 9x ) + 5x = 5x + x x Lập bảng biến thiên ta được: Cmin = C (100 ) = 23500 Kết luận: đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái tivi. Câu 25: Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là 180 mét thẳng hàng rào. Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào và rào thành mảnh đất hình chữ nhật. Hỏi mảnh đất hình chữ nhật được rào có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? A. Smax = 3600 m 2 B. Smax = 4000 m 2

U Y

Số lượng ti vi trung bình gửi trong kho là

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

C. Smax = 8100 m 2 D. Smax = 4050 m 2 - Hướng dẫn: Gọi x là chiều dài cạnh song song với bờ giậu và y là chiều dài cạnh vuông góc với bờ giậu, theo bài ra ta có x + 2 y = 180 . Diện tích của miếng đất là S = y(180 − 2 y) .

2 cm

x cm

3cm

H F

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

1 1 (2 y + 180 − 2 y )2 180 2 Ta có: y(180 − 2 y ) = ⋅ 2 y(180 − 2 y ) ≤ ⋅ = = 4050 2 2 4 8 Dấu '' = '' xảy ra ⇔ 2 y = 180 − 2 y ⇔ y = 45m . Vậy Smax = 4050 m 2 khi x = 90m, y = 45m . Câu 26: Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800( m) . Hỏi anh ta chọn mỗi kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất? A. 200 m× 200 m B. 300 m×100 m C. 250 m×150 m D.Đáp án khác - Hướng dẫn: Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là: x( m) và y( m) ( x , y > 0). Diện tích miếng đất: S = xy Theo đề bài thì: 2( x + y ) = 800 hay y = 400 − x . Do đó: S = x(400 − x) = −x2 + 400x với x > 0 Đạo hàm: S '( x) = −2 x + 400 . Cho y ' = 0 ⇔ x = 200 . Lập bảng biến thiên ta được: Smax = 40000 khi x = 200 ⇒ y = 200 . Kết luận: Kích thước của miếng đất hình chữ nhật là 200 × 200 (là hình vuông). Câu 27: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6 cm. Người ta muốn cắt một hình thang như hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

y cm

Trang 68 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 7

B. 5

Toán Ứng Dụng

7 2 2

D. 4 2 .

- Hướng dẫn: Ta có

S EFGH

nhỏ nhất

⇔ S = S AEH + SCGF + S DGH lớn nhất.

Ơ H

AE AH = ⇒ xy = 6 (2) CG CF

Mặt khác ∆ AEH đồng dạng ∆CGF nên

Tính được 2S = 2 x + 3 y + (6 − x)(6 − y) = xy− 4 x − 3 y+ 36 (1)

18 18 ) . Ta có 2S lớn nhất khi và chỉ khi 4 x + nhỏ nhất. x x 18 18 3 2 Biểu thức 4 x + nhỏ nhất ⇔ 4 x = ⇒ x = ⇒ y = 2 2 . Vậy đáp án cần chọn là C. x x 2 Câu 28: Trên sân bay một máy bay cất cánh trên đường băng d (từ trái sang phải) và bắt đầu rời mặt đất tại điểm O. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với mặt đất và cắt mặt đất theo giao tuyến là đường băng d của máy bay. Dọc theo đường băng d cách vị trí máy bay cất cánh O một khoảng 300(m) về phía bên phải có 1 người quan sát A. Biết máy bay chuyền động trong mặt phẳng (P) và độ cao y của máy bay xác định bởi phương trình y = x 2 (với x là độ dời của máy bay dọc theo đường thẳng d và tính từ O). Khoảng cách ngắn nhất từ người A (đứng cố định) đến máy bay là: A. 300(m) B. 100. 5( m) C. 200( m) D. 100 3( m)

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Từ (1) và (2) suy ra 2 S = 42 − (4 x +

ÁN

-L

- Hướng dẫn: Xét hệ trục Oxy với gốc tọa độ O là vị trí máy bay rời mặt đất, trục Ox trùng với đường thẳng d và chiều dương hướng sang phải, trục Oy vuông góc với mặt đất. Gọi B(t ; t 2 ) (t ≥ 0) là tọa độ của máy bay trong hệ Oxy. Tọa độ của người A là A(3;0) .

Khoảng cách từ người A đến máy bay B bằng d = (3 − t ) 2 + t 4 . Suy ra d 2 = t 4 + t 2 − 6t + 9 = f ( t ) .

ÀN

f '(t ) = 4t 3 + 2t − 6. f '(t ) = 0 ⇔ t = 1.

Lập bảng biến thiên, ta thấy d 2 = f (t ) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi t = 1 . Vậy khoảng cách nhỏ nhất là

IỄ N

100 5( m ) Câu 29: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB = 5km .Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km .Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M trên bờ biểnvới vận tốc 4km / h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km / h .Vị trí của điểm M cách B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho nhanh nhất?

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 69 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 0 km

B. 7 km

C. 2 5 km

Toán Ứng Dụng

14 + 5 5 km 12

- Hướng dẫn: Đặt BM = x( km) ⇒ MC = 7 − x( km) ,(0 < x < 7) . Ta có:

x 2 + 25 (h). 4 7−x ( h) = 6

U Y .Q

Thời gian đi bộ đi bộ đến C là: t MC

Thời gian chèo đò từ A đến M là: t AM =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

1 − , cho t ′ = 0 ⇔ x = 2 5 4 x 2 + 25 6 Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh nhất khi x = 2 5( km).

Khi đó: t ′ =

x 2 + 25 7 − x + 4 6

Thời gian từ A đến kho t =

t3 + 9t 2 , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc 2

H Ư

Câu 30: Một vật chuyển động theo quy luật s = −

TR ẦN

10 00

ÁN

-L

Í-

Khi đó cạnh huyền BC = 120 − x , cạnh góc vuông kia là AC = BC 2 − AB 2 = 120 2 − 240 x 1 Diện tích tam giác ABC là: S ( x ) = x. 1202 − 240 x . Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số này trên 2 khoảng ( 0;60 )

−240 1 1 14400 − 360 x 1202 − 240 x + x. = ⇒ S ' ( x ) = 0 ⇔ x = 40 2 2 2 2 120 − 240 x 2 1202 − 240 x Lập bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên ta có:

IỄ N

ÀN

Ta có S , ( x ) =

x S' ( x ) S (x)

60 0

−

S ( 40 )

Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi BC = 80 Từ đó chọn đáp án C

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 70 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

giải

thiết

là:

Ta có GC = BC 2 + GC 2 = x 2 + 3600 Chi phi m ắc dây điện theo

U Y

f ( x) = 3000.(100 − x) + 5000. x 2 + 3600 Khảo sát hàm ta được x = 45 chọn phương án B

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 33: Một công ti bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 100 000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ti đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá trị bao nhiêu một tháng? (đồng/tháng) A.2 250 000 B. 2 450 000 C. 2 300 000 D. 2 225 000 - Hướng dẫn: Gọi x (đồng/tháng) là số tiền tăng thêm của giá cho thuê mỗi căn hộ. ( x ≥ 0 ) 2x Khi đó số căn hộ bị bỏ trống là: (căn hộ). 100 000 Khi đó, số tiền công ti thu được là:   2x  2x 2  (đồng/tháng). T (x ) = 2 000 000 + x 50 −  = 100 000 000 + 10x −  100 000  100 000

)

10 00

(

Khảo sát hàm số T (x ) trên  0; +∞) .  4x . T ' (x ) = 10 − 100 000

-L

ÁN

Bảng biến thiên x 0 T’ T

Í-

T ' (x ) = 0 ⇔ 1000 000 − 4x = 0 ⇔ x = 250 000 . +∞

−

ÀN

250 000 0

(

)

Do đó max T (x ) = T 250 000 . x ≥0

IỄ N

Vậy để có thu nhập cao nhất thì số tiền cho thuê một căn hộ mỗi tháng là 2 250 000 đồng. Câu 34: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10cm , biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn.

A. 80 cm 2 B. 100 cm 2 C. 160 cm 2 D. 200 cm 2 - Hướng dẫn: Gọi x (cm ) là độ dài cạnh hình chữ nhật không nằm dọc theo đường kính đường tròn (0 < x < 10 ) .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 71 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Ơ H N U Y

Diện tích hình chữ nhật: S = 2 x 10 2 − x 2 2x 2 Ta có S ′ = 2 10 2 − x 2 − = 2.10 2 − 4 x 2 2 2 10 − x   x = 10 2 (thoûa)  2 S′ = 0 ⇔    x = − 10 2 ( khoâng thoûa)  2  10 2  10 2  = −40 2 < 0 . Suy ra x = là điểm cực đại của hàm S ( x ) . S ′′ = −8 x ⇒ S ′′   2  2

Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là: 2 10 2 − x 2 (cm ).

10 2 = 100 (cm 2 ) 2 Câu 35: Trong bài thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một con sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ. Bạn hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất, nếu như dòng sông là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay.

40 33

100 3

ẠO D.

TR ẦN

400 3

200 3

10 00

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: S = 10 2. 10 2 −

-L

Í-

- Hướng dẫn: Vấn đề là chọn thời gian bơi và thời gian đi bộ sao cho “tối ưu”. Giả sử độ dài đoạn bơi là l và tốc độ bơi của chiến sĩ là v . Ký hiệu m là độ dài đoạn sông kể từ người chiến sĩ đến đồn địch, khi ấy tổng thời gian bơi và

ÁN

chạy bộ của người chiến sĩ là t =

l m − l 2 − 1002 + . v 2v

IỄ N

ÀN

l l 2 − 1002 2l − l 2 − 1002 Do m , v là cố định nên thời gian đạt cực tiểu khi hàm số f (l ) = − = đạt v 2v 2v cực tiểu, và cũng tức là khi hàm g (l ) = 2l − l 2 − 1002 đạt cực tiểu. Điều này xảy ra khi l 2− = 0 , hay l = 2 l 2 − 100 , tức là l = 400 / 3 = 133,333333 (met). 2 2 l − 100

Câu 36: Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính a. Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị sin α bởi công thức C = k 2 ( α là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, r k là hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng).

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 72 M www.facebook.com/daykemquynhonofficial N a I a www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

3a a 2 B. h = 2 2 a a 3 C. h = D. h = 2 2 - Hướng dẫn: Ta có: r = a 2 + h 2 (Định lý Py-ta-go) sin α h h h ⇒ C = k. 2 = k sin α = = 2 2 2 2 R R a +h a + h (a2 + h2 )

Ơ H N U Y .Q TP ẠO

+ h2 )

+ a 2 ) = 3.h 2 . a 2 + h 2 ⇔ h 2 + a 2 = 3h 2 ⇔ h =

a 2 2

( h > 0 ) , ta có:

3 2 a + h2 2

+ h 2 ) − 2h 2 .

f '( h ) = 0 ⇔

)

(

a2 + h2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

f '( h ) =

Bảng biến thiên: a 2 2

0 +

+∞

10 00

f '(h) f(h)

TR ẦN

H Ư

Xét hàm f ( h ) =

A. h =

a 2 a 2 ⇒ C = k.f ( h )max ⇔ h = 2 2

Từ bảng biến thiên suy ra: f ( h )max ⇔ h =

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 73 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

U Y

ẠO

Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt bàn. MN là đường kính của mặt bàn. ( như hình vẽ)

h l2 − 2 (l > 2) . và h 2 = l 2 − 2 , suy ra cường độ sáng là: C (l ) = c l l3 6 − l2 C ' ( l ) = c. > 0 ∀l > 2 l 4. l 2 − 2

(

C '(l ) = 0 ⇔ l = 6 l > 2

)

H Ư

(

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Ta có sin α =

)

10 00

TR ẦN

Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất khi l = 6 , khi đó h = 2 Câu 38: Một chủ trang trại nuôi gia súc muốn rào thành hai chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng cho cừu, một chuồng cho gia súc. Đã có sẵn 240m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh là bao nhiêu ? A. 4000 m2 B. 8400 m2

D. 2400 m2

C. 4800 m2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

A. 5 km - Hướng dẫn: Đặt BM = x (km), x ≥ 0

B. 7,5 km

C. 10 km

Thời gian để bạn A di chuyển từ A đến M rồi đến nhà C là: t( x) =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. 12,5 km

100 + x 2 25 − x + (h) 30 50

Trang 74 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lập bảng biến thiên, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của t( x) là

Ơ H N U Y

13 km 4 19 D. 4

- Hướng dẫn: Trước tiên, ta xây dựng hàm số f (x ) là hàm số tính tổng chi phí sử dụng.

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

15 km 4 10 C. 4

23 15 khi x = 30 2

Chọn đáp án B Câu 40: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.

Toán Ứng Dụng

H Ư

Đặt BS = x thì ta được: SA = 4 − x, CS = x 2 + 1 . Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt dưới nước

TR ẦN

mất 5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD, như vậy ta có hàm số f (x ) được xác định như sau: f (x ) = 3000. (4 − x ) + 5000. x 2 + 1 với x ∈ 0; 4  Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f (x ) để có được số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định được vị trí

x x2 + 1

. x

= 0 ⇔ −3000 x 2 + 1 + 5000x = 0

f ' (x ) = 0 ⇔ −3000 + 5000.

10 00

f ' (x ) = −3000 + 5000.

điểm S.

x +1  16x 2 = 9 x = ± 3 3  2 ⇔ 3 x + 1 = 5x ⇔  ⇔ 4 ⇔x = x ≥ 0 x ≥ 0 4   Hàm số f (x ) liên tục trên đoạn  0; 4 .    3  Ta có: f (0) = 17000, f   = 16000, f (4) = 20615, 52813.  4 

ÁN

-L

Í-

ÀN

Vậy giá trị nhỏ nhất của f (x ) là 16000 và tại x =

IỄ N

một đoạn SA = 4 − x = 4 −

Vậy đáp án là B.

3 . Khi đó chi phí là thấp nhất và điểm S nằm cách A 4

3 13 = . 4 4

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 75 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

4+ 3

12 4+ 3

(m)

H Ư

Gọi độ dài cạnh hình tam giác đều là x (m) khi đó độ dài cạnh hình vuông là

18 3

4+ 3

(m)

3 2  6 − 3x  1 9 + 4 3 x 2 − 36 x + 36 x +  = 4 16  4 

((

)

Vậy diện tích Min khi x =

18 9+4 3

10 00

Diện tích nhỏ nhất khi 18 b x=− = 2a 9 + 4 3

6 − 3x 4

TR ẦN

Tổng diện tích khi đó là: S=

ẠO

(m)

9+4 3 - Hướng dẫn:

36 3

(m)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

(

)

ÁN

-L

Í-

Hoặc đến đây ta có thể bấm máy tính giải phương trình 9 + 4 3 x 2 − 36 x + 36 ấn bằng và hiện giá trị.

Đây chính là đáp án A mà ta vừa tìm được ở trên. Q

IỄ N

ÀN

Câu 43: Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn bán MN kính R. Chu vi hình chữ nhật lớn nhất khi tỉ số bằng: MQ A. 2 B. 4 C. 1 D. 0,5

Câu 44: Một người thợ mộc cần xây một căn phòng hình chữ nhật bằng gỗ với chu vi là 54m. Các canh của căn phòng là bao nhiêu để diện tích của căn phòng là lớn nhất ? A.

21 4

27 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

25 2

27 4

Trang 76 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Câu 45: Giám đốc của nhà hát A đang phân vân trong việc xác định giá vé xem các chương trình được chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng, nó sẽ quyết định nhà hát thu được lợi nhuận hay bị tổn thất. Theo những cuốn sổ ghi chép, ông ta xác định rằng: Nếu giá vé vào cửa Là 20$ thì trung bình có 1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng tiền vé lên 1$ mỗi người thì sẽ mất 100 khách hàng trong số trung bình. Trung bình mỗi khách hàng dành 1,8$ cho việc uống nước trong nhà hát. Hãy giúp giám đốc nhà máy này xác định xem cần tính giá vé vào cửa bao nhiêu để tổng thu nhập lớn nhất. A. giá vé là 14,1 $ B. giá vé là 14 $ C. giá vé là 12,1 $ D. giá vé là 15 $ 2 Câu 46: Bác Tôm có cái ao có diện tích 50m để nuôi cá. Vụ vừa qua bác nuôi với mật độ 20 con/m 2

U Y

và thu được 1,5 tấn cả thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, bác thấy cứ thả giảm đi 8

con/ m 2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 kg. Vậy vụ tới bác phải mua bao nhiêu con

A. 488 con

B. 512 con

cá giống để đạt được tổng năng suất cao nhất? (Giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).

C. 1000 con

D. 215 con

ẠO

- Hướng dẫn: Đây là một bài toán thực tế dựa trên kiến thức đã học, đó là tìm giá trị lớn nhất của hàm

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

số. Đề bài cho ta khá nhiều dữ kiện. Thực chất dữ kiện diện tích mặt ao và mật độ ban đầu là cho ta dữ

H Ư

Số cá bác đã thả trong vụ vừa qua là 20.50 = 1000 con.

kiện rằng năm đó bác đã thả bao nhiêu con giống, ta bắt dầu tiền hành vào bài toán như sau: Tiếp đến ta phải tìm xem nếu giảm đi x con thì mỗi con sẽ tăng thêm bao nhiêu. Trong hóa học các quý

TR ẦN

độc giả đã học cách làm này rồi, và bây giờ tôi sẽ giới thiệu lại cho quý độc giả: Khi giảm 8 con thì năng suất tăng 0,5kg/con.

0,5.x = 0, 0625 kg/con. 8

10 00

Đến đây ta tính theo cách nhân chéo: a =

Khi giảm x con thì năng suất tăng a kg/con.

Vậy sản lượng thu được trong năm tới của bác Tôm sẽ là : f ( x ) = (1000 − x )(1,5 + 0,0625 x ) kg

-L

Í-

= −0,0625x2 + 62 x + 1500

f ( x ) = −0, 0625 x 2 − 1,5 x + 1500 + 62,5 x

Vì đây là hàm số bậc 2 nên đến đây ta có thể tìm nhanh GTNN của hàm số bằng cách bấm máy tính như

ÁN

1. Ấn MODE → 5:EQN → ấn 3 để giải phương trình bậc 2.

IỄ N

ÀN

2. Lần lượt nhập các hệ số vào và ấn bằng cho đến khi máy hiện:

Lúc đó ta nhận được hàm số đạt GTNN tại x = 488 . Vậy số cá giảm đi là 488 con. Đến đây nhiều độc giả có thể sẽ chọn ngay đáp án A. Tuy nhiên đề bài hỏi “vụ tới bác phải mua bao nhiêu con cá giống” thì

đáp án chúng ta cần tìm phải là 1000 − 488 = 512 . Đáp án B

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 77 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

a 2 a C. 3

a 8 a D. 6

1 (1 + 2) 4 2

C. 1 − 2

D. 1 + 2

A. 2 + 2

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

- Hướng dẫn: Hình chữ nhật nhỏ nhất chứa cặp gạch lát vuông (có tổng diện tích là 1) có diện tích f ( x) = x 2 + x. 1 − x 2

U Y

1 2 1 + ≥ 1 − x 2 ta tìm đợc tại x = 2 4 2 1 có giá trị bé nhát của f ( x) = (1 + 2) ≈ 1, 20711 2 Câu 49: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 6t 2 − t 3 . Thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là: B. t=3 C. t=4 D. t=5 A. t = 2

TR ẦN

H Ư

với x ≥

10 00

Câu 50: Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2016, trường THPT Lương Tài số 2 có tổ chức cho học sinh

ÀN

ÁN

-L

Í-

IỄ N

A. x = 4 B. x = 3 3 D. x = 3 2 C. x = 3 Câu 51: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc của dòng nước là 6km / h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức. E ( v ) = cv3t Trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. C. 12km/h D. 15km/h A. 6km/h B. 9km/h - Hướng dẫn:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 78 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Vận tốc của cá bơi khi ngược dòng là: v- 6 ( km/ h). Thời gian để cá bơi vượt khoảng cách 300km là t =

300 v−6

a2 6 D. 8

a2 3 C. 4

3 x( a − x ) 2

Í-

Khi đó : SMNPQ =

a2 B. 8

10 00

a2 3 A. 8 - Hướng dẫn: Gọi MN = x, 0 < x < a

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là: 300 v3 = 300c. E ( v ) = cv 3 . ( jun ) , v > 6 v−6 v−6 +∞ V 6 9 v−9 ' E ' ( v ) = 600cv 2 + 2 E (v) (v − 6) E(v)  v loai = 0 ( ) E(9) ⇔ E' (v) = 0 ⇔  v = 9 Đáp án B Câu 52: Một miếng gỗ hình tam giác đều chiều dài cạnh là a. Cắt bỏ 3 phần như hình vẽ để được một miếng gỗ hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.

-L

a a2 3 khi x = 8 2 Câu 53: Một khách sạn có 50 phòng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất. A. 480 ngàn. B. 50 ngàn. C. 450 ngàn. D. 80 ngàn. - Hướng dẫn: Gọi x (ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra, x > 400 (đơn vị: ngàn đồng). Giá chênh lệch sau khi tăng x − 400 . ( x − 400 ) + 2 = x − 400 . Số phòng cho thuê giảm nếu giá là x : 20 10 x − 400 x = 90 − . Số phòng cho thuê với giá x là 50 − 10 10 x  x2  Tổng doanh thu trong ngày là: f ( x ) = x  90 −  = − + 90 x . 10  10 

IỄ N

ÀN

ÁN

KSHS ta tìm được GTLN là

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 79 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

x f ′( x) = − + 90 . f ′( x) = 0 ⇔ x = 450 . 5

U Y

Bảng biến thiên:

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f ( x ) đạt giá trị lớn nhất khi x = 450 . Vậy nếu cho thuê với giá 450 ngàn đồng thì sẽ có doanh thu cao nhất trong ngày là 2.025.000 đồng. Câu 54: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t3 + 3t2 – 9t + 27,trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là: A. 0m/s 2 . B. 6m/s 2 . C. 24m/s 2 . D. 12m/s 2 . - Hướng dẫn: v = S’ = 3t2 + 6t – 9 = 0 ⇔ x= - 3 (loại) hoặc x = 1 ⇔ a= v’ = 6t +6 = 6+6 = 12 (m/s2)

B. 4 S .

C. 2S .

D. 4S .

A. 2 S .

10 00

TR ẦN

Câu 55: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức G(x) = 0,025x2(30 – x) trong đó x (mg) và x > 0 là liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng: A. 15mg . B. 30mg . C. 40mg . D. 20mg . - Hướng dẫn: G’(x) = 1,5x – 0,075x2 = 0 ⇔ x = 0 (loại) hoặc x = 20 (nhận) Câu 56: Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích S thì hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

- Hướng dẫn: Gọi chiều dài hình chữ nhật là x, chiều rộng là y (x, y >0) Ta có: xy = S Áp dụng bất đẳng thức Cô si: x+y ≥ 2 ⇔ 2 (x+y) ≥ 4 ≥ 4 Câu 57: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t2 – t3 (kết quả khảo sát được trong 8 tháng vừa qua). Nếu xem f’(t) là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ: A. 12. B. 30. C. 20. D. 15 .

- Hướng dẫn: f’’(t) = 90 – 6t = 0 ⇔ t = 15 Câu 58: Một trang chữ của cuốn sách giáo khoa cần diện tích 384 cm2. Lề trên và dưới là 3cm, lề trái và phải là 2cm. Kích thước tối ưu của trang giấy là:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 80 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

U Y

A. Dài 24cm; rộng 16cm B. Dài 24cm; rộng 17cm C. Dài 25cm; rộng 15,36cm D. Dài 25,6cm; rộng 15cm

ẠO

- Hướng dẫn: Gọi chiều dài của trang chữ là x, chiều rộng là y Ta có: xy = 384 Diện tích trang giấy là: 384 + 4.2.3= 408 = 24.17

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

H Ư

gọi là góc nhìn) ? (góc BOC A. AO = 2, 4m B. AO = 2m C. AO = 2, 6 m D. AO = 3m

B 1,8 A

- Hướng dẫn: Gọi cạnh OA = x OB = và OC =

10 00

TR ẦN

1,4

OB 2 + OC 2 − BC 2 Lại có: cos( BOC ) = 2OB.OC

-L

Í-

Tìm giá trị lớn nhất ta được kết quả.

IỄ N

ÀN

ÁN

Câu 60: Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoàng cách 300km (đến nơi sinh sản).Vận tốc trong nước là 6 km/h. Giả sử vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v km/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức: E(v) = cv3t, trong đó c là hằng số cho trước, E tính bằng jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng: A. 9 km/h B. 8 km/h C. 10 km/h D. 12 km/h - Hướng dẫn: Ta có t = E(v) = cv3. E’(v) = = 0 ⇔ 600v3 – 5400v2 = 0 ⇔ v = 9 (nhận) hoặc v = 0 (loại) Câu 61: Hàng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước  πt π  trong kênh tính theo thời gian t (h) trong một ngày cho bởi công thức h = 3cos  +  + 12 . Khi nào  6 3 mực nước của kênh là cao nhất ? A. t = 16 B. t = 15 C. t = 14 D. t = 13

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 81 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

U Y

- Hướng dẫn: h(13) = 12; h(14) = 10,5; h(15) = 9,4; h(16) = 9 ⇒ t = 13 Câu 62: Học sinh lần đầu thử nghiệm tên lửa tự chế phóng từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc 15m/s. Hỏi sau 2,5s tên lửa bay đến độ cao bao nhiêu ? (giả sử bỏ qua sức cản gió, tên lửa chỉ chịu tác động của trọng lực g = 9,8 m/s2) A. 61,25(m) B. 6,875(m) C. 68,125(m) D. 30,625(m) - Hướng dẫn: S = vt - gt2 = 6,875 (m) 1 Câu 63: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = (t 4 – 3t2), trong đó t tính bằng giây, S 2 được tính bằng mét (m). Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4 s bằng. A. 280m/s. B. 232m/s. C. 140m/s. D.116m/s.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

- Hướng dẫn: v(t) = S’ = 2t3 – 3t. Thời điểm t = 4: v(4) = 2.4.4.4 - 3.4 = 116 (m/s)

ẠO

C. t = 5

- Hướng dẫn: S’ = t3 – 3t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = -2 (loại)

D. t = 3

B. t = 16

nhất tại thời điểm. A. t = 1

1 4 3 2 t - t + 2t – 100, chất điểm đạt giá trị nhỏ 4 2

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Câu 64: Một chất điểm chuyển động theo quy luật S =

10 00

TR ẦN

Câu 65: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dạ dày tại ngày thứ m với số lượng là F(m), biết nếu phát hiện sớm khi số lượng vi khuẩn không vượt quá 4000 con thì bệnh nhân sẽ được cứu chữa. Biết 1000 F’(m) = và ban đầu bệnh nhân có 2000 con vi khuẩn. Sau 15 ngày bệnh nhân phát hiện ra bị 2t + 1 bệnh.Hỏi khi đó có bao nhiêu con vi khuẩn trong dạ dày (lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) và bệnh nhân đó có cứu chữa được không ? A. 5433,99 và không cứu được B. 1499,45 và cứu được C. 283,01 và cứu được D. 3716,99 và cứu được

ÀN

ÁN

-L

Í-

- Hướng dẫn: F(m) = 500.ln(2t + 1) + C Với t = 0 ⇒ c = 2000 Với t = 15 ⇒ 500ln(2.15 + 1) + 2000 = 3716,99 < 4000 ⇒ cứu được Câu 66: Một giáo viên đang đau đầu về việc lương thấp và phân vân xem có nên tạm dừng niềm đam mê với con chữ để chuyển hẳn sang kinh doanh đồ uống trà sữa hay không?Ước tính nếu 1 li trà sữa là 20000đ thì trung bình hàng tháng có khoảng 1000 lượt khách tới uống tại quán, trung bình mỗi khách trả thêm 10000đ tiền bánh tráng ăn kèm. Nay người giáo viên muốn tăng thêm mỗi li trà sữa 5000đ thì sẽ mất khoảng 100 khách trong tổng số trung bình. Hỏi giá một li trà sữa nên là bao nhiêu để tổng thu nhập lớn nhất (Giả sử tổng thu chưa trừ vốn) A. Giảm 15 ngàn đồng B. Tăng 5 ngàn đồng C. Giữ nguyên không tăng giá D. Tăng thêm 2,5 ngàn đồng

IỄ N

- Hướng dẫn: Gọi x là số tiền thay đổi Thu nhập: F(x) = (30 + x).(1000 + 20x) F(5) > F(2,5) > F(0) > F(-15)

1 3

3 2 Câu 67: Một vật chuyển động theo quy luật s = − t +9t , với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc

vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu ? A. 216 (m/s). B. 30 (m/s). C. 400 (m/s). D. 54 (m/s).

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 82 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

7 . 8

A. 1 +

Câu 68: Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí A tới điểm B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3km (như hình vẽ). Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến C và sau đó chạy đến B, hay có thể chèo trực tiếp đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm D giữa C và B và sau đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền 6km / h , chạy 8km / h và quãng đường BC = 8km . Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất (đơn vị: giờ) để người đàn ông đến B.

U Y

3 73 D. 6 2 - Hướng dẫn: Đặt CD = x . Quãng đường chạy bộ DB = 8 − x và quãng đường chèo thuyền

8 −x 9 + x2 và thời gian chạy bộ là . 6 8

Tổng thời gian mà người đàn ông cần có là:T (x ) =

Khi đó, thời gian chèo thuyền là

x2 + 9 8 − x , ∀x ∈ [0; 8] . + 6 8

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

AD = 9 + x 2 .

ẠO

1 − . 6 x2 + 9 8 x 1 9 T '(x ) = 0 ⇔ = ⇔ 4x = 3 x 2 + 9 ⇔ 16x 2 = 9(x 2 + 9) ⇔ 7x 2 = 81 ⇒ x = 8 7 6 x2 + 9  9  3 7 73 T   = 1 + ; T (8) = .Do đó: Ta có: T (0) = ;   7  2 6 8  9  7 minT (x ) = T   = 1 + . 8 [0;8]  7  Câu 69: Có hai chiếc cọc cao 12m và 28m, đặt cách nhau 30m (xem hình minh họa dưới đây). Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên mặt đất nằm giữa hai chân cột tới đỉnh của mỗi cột. Gọi x (m) là khoảng cách từ chốt đến chân cọc ngắn. Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn nhất. A. x = 9. B. x = 10. C. x = 11. D. x = 12. Câu 70: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P ( n ) = 480 − 20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ? A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 - Hướng dẫn: Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ n > 0 . Khi đó: Cân nặng của một con cá là: P ( n ) = 480 − 20n ( gam )

TR ẦN

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Ta có: T '(x ) =

Cân nặng của n con cá là: n.P ( n ) = 480n − 20n 2 ( gam )

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 83 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Ta có: f ' ( n ) = 480 − 40n , cho f ' ( n ) = 0 ⇔ n = 12 Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là 12 con. Câu 71: Một chất điểm chuyển động theo qui luật s = 6t 2 − t 3 (trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây mà chất điểm bắt đầu chuyển động). Tính thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc ( m / s ) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất. A. t = 2 B. t = 4 C. t = 1 D. t = 3 - Hướng dẫn: Như các bạn đã biết thì phương trình vận tốc chính là phương trình đạo hàm bậc nhất của phương trình chuyển động (li độ) của vật nên ta có phương trình vận tốc của vật là v = s ' = 12t − 3t 2 . Phương trình vận tốc là phương trình bậc 2 có hệ số a = −3 < 0 nên nó đạt giá trị lớn nhất tại giá trị −b hay tại t = 2 t= 2a Câu 72: Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy chiều. Độ sâu h ( m ) của mực

Xét hàm số: f ( n ) = 480n − 20n 2 , n ( 0; +∞ ) .

34 − 3 2 d , dài 15

7 − 17 d 4

34 − 3 2 34 − 3 2 7 − 17 d , dài d , dài d D. Rộng 14 4 13 - Hướng dẫn: Gọi chiều rộng và chiều dài của miếng phụ lần lượt là x, y. Đường kính của khúc gỗ là d khi đó tiết diện ngang của thanh

7 − 17 d 4

B. Rộng

A. Rộng

34 − 3 2 d , dài 16

TR ẦN

H Ư

 πt π  nước trong kênh tính theo thời gian t ( h ) trong một ngày cho bởi công thức h = 3cos  +  + 12 . Khi  6 3 nào mực nước của kênh là cao nhất? A. t = 16 B. t = 15 C. t = 14 D. t = 13 Câu 73: Một khúc gỗ tròn hình trụ xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và 4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy ác định kích thước của các miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

10 00

C. Rộng

(

)

d 2− 2 d d và 0 < x < ,0 < y < 4 2 2 Theo đề bài ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ theo định lý Pitago ta có: 2

ÁN

-L

Í-

xà có độ dài cạnh là

ÀN

d  1  2 2 d 2 − 8x2 − 4 2 x  2x +  +y =d ⇔ y= 2 2  Do đó, miếng phụ có diện tích

(

là:

)

d 2− 2 1 x d 2 − 8 x 2 − 4 2dx với 0 < x < 4 2 Bài toán trở thành tìm x để S(x) đạt giá trị lớn nhất. x − 8 x − 2 2d 1 −16 x 2 − 6 2dx + d 2 S '( x) = d 2 − 8x2 − 4 2 x + = 2 2 d 2 − 8 x 2 − 4 2dx 2 d 2 − 8 x 2 − 4 2dx

IỄ N

S ( x) =

34 − 3 2 x x S ' ( x ) = 0 ⇔ −16 x 2 − 6 2dx + d 2 = 0 ⇔ −16   − 6 2   + 1 = 0 ⇔ x = d 16 d  d  Bảng biến thiên

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 84 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

34 − 3 2 2 − 2 d d 16 4 0 Smax

−

34 − 3 2 7 − 17 d, y = d 16 4

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Vậy miếng phụ có kích thước x =

U Y

y' y

Toán Ứng Dụng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 85 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH ĐA DIỆN

chăn nuôi và tạo khí sinh học. Dự kiến hầm chứa có dạng hình hộp chữ nhật có chiều sâu gấp rưỡi chiều

rộng. Hãy xác định các kích thước đáy (dài, rộng) của hầm biogas để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu

Câu 1: Một trang trại chăn nuôi dự định xây dựng một hầm biogas với thể tích 12 m3 để chứa chất thải

nhất (không tính đến bề dày của thành bể). Ta có kích thước (dài; rộng – tính theo đơn vị m, làm tròn

B. Dài 2,74m và rộng 1,71m

C. Dài 2,26m và rộng 1,88m

D. Dài 2,19m và rộng 1,91m

A. Dài 2,42m và rộng 1,82m

U Y

đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy) phù hợp yêu cầu là:

ẠO

12 2 = 2 (m) 2 x.3 x x

Chiều dài của bể là

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

- Hướng dẫn: Gọi chiều sâu và chiều rộng của bể lần lượt là 3x và 2x (m)

H Ư

Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần của bể phải nhỏ nhất. Ta có

TR ẦN

2 2 10    Stp = 2  2 x.3 x + 2 x. 2 . 2  = 2  6 x 2 +  x x  x   5 5 6 x 2 + + ≥ 3 3 150 ⇒ S xq ≥ 6 3 150 m 2 x x

( )

5 5 ⇔x=3 6 x

10 00

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 6 x 2 +

2 = 2, 26m . Chọn C x2

Khi đó chiều rộng và chiều dài của bể lần lượt là 2 x = 1,88m;

-L

Í-

IỄ N

ÀN

ÁN

khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị là V0 . Tìm V0 .

A. 48 đvtt

B. 16 đvtt

C. 64 đvtt

64 đvtt 3

- Hướng dẫn: Phân tích: Đây là một dạng bài toán ứng dụng thực thể kết hợp với cả phần tính thể tích khối đa diện ở hình học và phần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đa thức đã học ở chương I phần giải thích. Trước tiên ta nhận thấy

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 86 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A V = ( 6 − x )(12 − 2 x ) x = 2 x ( x − 6 )

Toán Ứng Dụng

= 2 x ( x 2 − 12 x + 36 ) = 2 x 3 − 24 x 2 + 72 x

Xét hàm số f ( x ) = 2 x3 − 24 x 2 + 72 x trên ( 0;6 )

x = 6 f ' ( x ) = 6 x 2 − 48 x + 72; f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 2 Khi đó max f ( x ) = f ( 2 ) = 64 đvtt. Đến đây nhiều quý độc gỉ vội vã khoanh C mà không đắn đo gì. Tuy

( 0;6 )

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

nhiên, nếu vội vã như vậy là bạn đã sai, bởi đề bài yêu cầu tìm thể tích chocolate nguyên chất mà không 1 3 3 phải là thể tích hộp do đó ta cần. Tức là 1 − = thể tích hộp. tức là .64 = 48 đvtt 4 4 4 Câu 3: Tính thể tích khối rubic mini (mỗi mặt của rubic có 9 ô vuông), biết chu vi mỗi ô (ô hình vuông trên một mặt) là 4cm. A. 27 cm3. B. 1728 cm3. C. 1 cm3. D. 9 cm3. - Hướng dẫn: Đây là một bài toán ăn điểm, nhưng nếu đọc không kĩ từng câu chữ trong đề bài các độc giả rất có thể sai Ta có khối rubic như sau:

10 00

Hướng sai 1: Nghĩ rằng mỗi cạnh của ô vuông là 4 nên chiều dài mỗi cạnh của khối rubic là a = 4.3 = 12 ⇒ V = 123 = 1728 ⇒ B

Hướng sai 2: Nghĩ rằng chu vi mỗi ô vuông là tổng độ dài của cả 12 cạnh nên chiều dài mỗi cạnh là

1 , 3

ÁN

-L

Í-

1 nên độ dài của khối rubik là a = .3 = 1 ⇒ V = 13 = 1 ⇒ C 3 Hướng sai 3: Nhầm công thức thể tích sang công thức tính diện tích nên suy ra ý D. Cách làm đúng: Chu vi của một ô nhỏ là 4 cm nên độ dài mỗi cạnh nhỏ là 1cm, vậy độ dài cạnh của khối rubic là a = 3.1 = 3 cm ⇒ V = 3.3.3 = 27 cm3 . Đáp án A. Câu 4: Một công ty sản xuất gỗ muốn thiết kế các thùng đựng hàng bên trong dạng hình lăng trụ

ÀN

tứ giác đều không nắp có thể tích là 62,5dm2 . Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng S diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất, S bằng

A. 106, 25dm2 .

C. 50 5dm2 .

B. 75dm 2 .

D. 125dm 2 .

IỄ N

- Hướng dẫn:

Gọi a là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ. Theo bài ta có chiều cao của lăng trụ là S = 4.

62,5 . Suy ra a2

62.5 250 125 125 125 125 2 .a + a 2 = + a2 = + + a2 ≥ 3 3 . .a = 75 . 2 a a a a a a

Dấu

bằng

xảy

khi

a = 3 125 = 5 . Vậy S là nhỏ nhất bằng 75 .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 87 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Chọn đáp án B Câu 5: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích V ( m 3 ) , hệ số k cho trước (k-

2kV

( 2k + 1)

( 2k + 1) V ; y = 2

( 2k + 1) V ; y = 6

;h =

k ( 2k + 1) V 4

;h =

k ( 2k + 1) V 4

2kV

( 2k + 1) 2kV

( 2k + 1)

k ( 2k + 1) V 4

;h = 23

( 2k + 1)

;h =

D. x =

k ( 2k + 1) V 4

U Y

2kV

C. x =

( 2k + 1) V ; y =

ẠO

B. x =

( 2k + 1) V ; y =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. x = 2 3

- Hướng dẫn:

TR ẦN

H Ư

V V h = 2. ⇔ h = kx và V = xyh ⇔ y = x xh kx Nên diện tích toàn phần của hố ga là: ( 2k + 1) V + 2kx 2 S = xy + 2yh + 2xh = kx

Ta có: k =

Gọi x, y, h ( x, y, h > 0 ) lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hố ga.

( 2k + 1)

,h =

k ( 2k + 1) V 4

2kV

4k 2

Khi đó y = 2 3

( 2k + 1) V

10 00

Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ nhất khi x =

ÁN

-L

Í-

h = 2 => h = 2x (1) x của hố ga là:

ÀN

Gọi h là chiều cao của hố ga ( h > 0 ). Ta có

IỄ N

thể

tích 3200 1600 V = xyh = 3200 => y = = 2 (2) xh x Diện tích toàn phần c ủa hố ga là: 6400 1600 8000 S = 2xh + 2yh + xy = 4x 2 + + = 4x 2 + = f (x ) x x x Khảo sát hàm số y = f (x ), (x > 0) suy ra diện tích toàn phần của hố ga nhỏ nhất bằng 1200cm2 khi

suy

2 x = 10 cm => y = 16cm Suy ra diện tích đáy của hố ga là 10.16 = 160cm

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 88 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

U Y

Câu 7: Một công ty Container cần thiết kế cái thùng hình hộp chữ nhật, không nắp, có đáy hình vuông, thể tích 108 m3. Các cạnh hình hộp và đáy là bao nhiêu để tổng diện tích xung quanh và diện tích tích của một mặt đáy là nhỏ nhất. A. Cạnh đáy hình hộp là 3 m, chiều cao là 3 m B. Cạnh đáy hình hộp là 3 m, chiều cao là 6 m C. Cạnh đáy hình hộp là 9 m, chiều cao là 3 m D. Cạnh đáy hình hộp là 6 m, chiều cao là 3 m

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 8: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 154m; độ dài cạnh đáy là 270m. Khi đó thể tích của khối kim tự tháp là: A. 3.742.200 B. 3.640.000 C. 3.500.000 D. 3.545.000 Câu 9: Do nhu cầu sử dụng các nguyên liệu thân thiện với môi trường. Một công ty sản suất bóng tenis muốn thiết kế một hộp làm bằng giấy cứng để đựng 4 quả bóng tenis có bán kính bằng r, hộp đựng có dạng hình hộp chữ nhật theo 2 cách như sau: Cách 1: Mỗi hộp đựng 4 quả bóng tenis được đặt dọc, đáy là hình vuông cạnh 2r, cạnh bên bằng 8r. Cách 2: Mỗi hộp đựng 4 quả bóng tenis được xếp theo một hình vuông, đáy của hộp là hình vuông cạnh bằng 4r, cạnh bên bằng 2r. Gọi S1 là diện tích toàn phần của hộp theo cách 1, S2 là diện tích toàn phần của hộp theo cách 2. S Tính tỉ số 1 . S2 9 2 A. B. 1 C. 2 D. 8 3 Câu 10: Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3(m3). Tỉ số giữa chiều cao

của hố (h) và chiều rộng của đáy (y) bằng 4. Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (tức không

Í-

có mặt trên). Chiều dài của đáy (x) gần nhất với giá trị nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để

ÁN

-L

xây hố ga.

ÀN

y x

IỄ N D

A. 1

h - chiều cao x - chiều dài y - chiều rộng

B. 1,5

C. 2

D. 2,5

Câu 11: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và không nắp, có chiều cao là h và có thể tích là 18m 3 . Hãy tính chiều cao của hồ nước sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất?

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 89 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. h = 1m

B. h = 2 m

C. h =

Toán Ứng Dụng

3 m 2

5 m 2

D. h =

xả y

“=”

khi

chỉ

và

Ơ H N

30cm

khi

4V 4V 3 V = 3x 2 ⇔ x = 3 =2⇒h= 2 = . 3x 9 3x 2 Vậy chọn C Câu 12: Người thợ cần làm một bể cá hai ngăn, không có nắp ở phía trên với thể tích 1,296 m3. Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c như hình vẽ. Hỏi người thợ phải thiết kế các kích thước a, b, c bằng bao nhiêu để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy của kính không đáng kể. A. a = 3, 6m; b = 0, 6 m; c = 0, 6 m B. a = 2, 4m; b = 0,9 m; c = 0, 6 m C. a = 1,8m; b = 1, 2 m; c = 0, 6 m D. a = 1, 2 m; b = 1, 2m; c = 0,9 m - Hướng dẫn: Thể tích bể cá là: V = abc = 1, 296 Diện tích tổng các miếng kính là S = ab + 2ac + 3bc (kể cả miếng ở giữa) 1 2 3 1 2 3 33 6 33 6 S Ta có: = + + ≥ 33 . . = = abc c b a c b a 1, 296 abc

θ C

30cm

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

30cm

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Dấu

U Y

V V 8V + 2.3x. 2 + x.3x = + 3x 2 2 3x 3x 3x 2 Cauchy 8V 4V 4V 16V Ta có Stp = + 3x 2 = + + 3x 2 ≥ 3 3 = 36 . 3x 3x 3 x 3

Stp = 2 xh + 2 yh + xy = 2 x

- Hướng dẫn: Gọi x, y, h lần lượt là chiều rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp V V = 2 Theo đề bài ta có y = 3 x và V = hxy ⇒ h = xy 3x Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất ta cần tìm các kích thước sao cho diện tích toàn phần của hồ nước là nhỏ nhất. Khi đó ta có:

ÁN

1 2 3 Cauchy cho 3 so , , c b a

ÀN

 a = 1,8 1 2 3  = =  Dấu “=” xảy ra khi  c b a ⇔ b = 1, 2 . c = 0,6  abc = 1, 296 

IỄ N

Đáp án: C Câu 13: Từ một tấm tôn có kích thước 90cmx3m người ta làm một máng xối nước trong đó mặt cắt là hình thang ABCD có hinh dưới. Tính thể tích lớn nhất của máng xối.

30cm

90cm 3m

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

30cm

Trang 90 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 3

Toán Ứng Dụng

C. 40500 6cm 3

A. 35074,3cm3 B. 40500 2cm - Hướng dẫn: Thể tích máng xối: V = S ABCD .300 (cm 2 ) .

D. 40500 5cm 3

SABCD = (30 + x) 302 − x 2 ⇒ V = 300(30 + x) 302 − x 2

V ' = 0 ⇔ x = 15 ⇒ V = 35074,3cm3

U Y

3 Câu 14: Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108 m nước, có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông và không có nắp. Hỏi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau.

S ' = 2x −

432 x

432 ;S ' = 0 ⇔ x = 6 ⇒ y = 3 x2

ẠO

2 2 Diện tích xây dựng: S = x + 4 xy = x +

108 x2

H Ư

2 Ta có: x y = 108 ⇒ y =

D. 3 3;3 3;4

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. 6; 6; 3. B. 2 3;2 3;9. C. 3 2;3 2;6 - Hướng dẫn: Gọi x(m) là cạnh của đáy bể, y(m) là chiều cao bể, x, y > 0

Câu 15: Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 5, người ta cắt 4 góc bìa 4 tứ giác bằng nhau và gập lại phần còn lại của tấm bìa để được một khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng x (xem hình). Nếu

5 thì x bằng: 2

-L

Í-

10 00

chiều cao khối chóp tứ giác đều này bằng

ÁN

A. x=1. B. x=2. C. x=3. D. x= 4 Câu 16: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm một bể nước bằng gạch có dạng hình hộp có đáy là hình

chữ nhật chiều dài d ( m ) và chiều rộng r ( m ) với d = 2r và có nắp. Chiều cao bể nước là h ( m ) và thể

ÀN

tích bể là 2 m3 . Hỏi chiều cao bể nước như thế nào thì chi phí xây dựng là thấp nhất?

3 3 (m) . 2 2 - Hướng dẫn: A.

2 ( m) . 3

C. 3

3 ( m) . 2

2 2 (m) . 3 3

IỄ N

B. 3

Gọi x ( x > 0 ) là chiều rộng của đáy suy ra thể tích bể nước bằng

V = 2 x 2 .h = 2 ⇔ h =

1 x2

Diện tích xung quanh hồ và đáy bể là

S = 6 x.h + 2 x 2 =

6 + 2 x2 ( x > 0) x

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 91 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

6 + 2 x 2 với x > 0. x 3 Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 3 . 2 1 1 2 2 = Vậy chiều cao cần xây là h = 2 = ( m). 2 x 3 3 3   3    2

Xét hàm số f ( x ) =

U Y

Câu 17: Một người dự định làm một thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác đều có thể tích là V . Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng

B. x = 3 V

C. x = V 4

D. x = V

ẠO

V V ⇒ Stp = 2a 2 + 4ax = 2 + 4 Vx x x

+∞

f'(x)

1 −2V 2 V 2 3 f x x V V x x V ⇔ = + ; ' = 0 ⇔ = ( ) 2 x x

10 00

Ta có f ' ( x ) =

V + 4 Vx trên ( 0; +∞ ) x

TR ẦN

Cách 1 : Xét hàm số f ( x ) = 2

V + 4 Vx nhỏ nhất. x

H Ư

Để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì Stp nhỏ nhất ⇒ 2

Khi đó, V = a 2 x ⇒ a =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Gọi a là độ dài cạnh đáy, x là độ dài đường cao của thùng đựng đồ ( a, x > 0 )

A. x = V 3 - Hướng dẫn:

f (V 3 )

-L

Í-

f(x)

ÁN

Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ít nguyên liệu nhất thì chiều cao của thùng đựng đồ bằng V 3 .

V V + 4 Vx = 2 + 2 Vx + 2 Vx ≥ 6 3 V 2 x x V Dấu " = " xảy ra tại = Vx ⇔ x 3 = V ⇔ x = 3 V x

ÀN

Cách 2: ta có 2

Câu 18: Người ta cắt miếng bìa tam giác đều như hình vẽ và gấp lại theo các đường kẻ, sau đó dán các

2 . Tính độ dài cạnh của miếng bìa theo a ? 12

IỄ N

mép lại để được hình tứ diện đều có thể tích V = a 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 92 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

a 2

D. 3a

B. 2a

A. a

U Y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

ẠO

- Hướng dẫn: Đặt 2x là cạnh của miếng bìa. Khi đó cạnh của tứ diện đều là x , suy ra thể tích tứ diện đều là :

2 2 = a3 . Do đó x = a , suy ra cạnh của miếng bìa là 2a . Chọn B 12 12 2 Lưu ý : Nếu tứ diện đều có cạnh bằng a thì thể tích của nó là V = a 3 . 12

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

V = x3

10 00

Câu 19: Người ta cắt một tờ giấy hình vuông cạnh bằng 5 2 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp. Tính cạnh đáy của khối chóp để thể tích lớn nhất. B. 4 C. 2 D. A, B, C đều sai A. 4 Câu 20: Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn An đã nhờ bố làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng a, cắt mảnh tôn theo các tam giác cân AEB; BFC; CGD và DHA; sau đó gò các tam giác AEH; BEF; CFG; DGH sao cho 4 đỉnh A;B;C;D trùng nhau (Như hình).

Í-

ÀN

ÁN

-L

Thể tích lớn nhất của khối tứ diện đều tạo được là:

IỄ N

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 93 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

- Hướng dẫn: * Gọi cạnh đáy hình chóp là x, x ∈ (0;

2 ). 2 2

 2 x   x 2 1− x 2 Chiều cao của hình chóp là: h =   2 − 2  −  2  = 2  

1 2 1 − x 2 1 x 4 − x5 2 x = 3 2 3 2 2 ) * Xét hàm số: y = x 4 − x5 2 trên (0; 2 (l ) x = 0 3 4 y ' = 4x − 5x 2 ; y ' = 0 ⇔   x = 2 2 (n)  5 BBT: x 2 2 2 0 5 2 y’ ║ + 0 ║ y ║ ║ ║ ║ 2 2 Vậy khi x = thì khối chóp đạt GTLN 5 Câu 22: Người ta muốn mạ vàng bên ngoài cho một cái hộp có đáy hình vuông, không nắp, thể tích hộp là 4 lít. Giả sử đồ dày của lớp mạ tại một điểm trên hộp là như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy lần lượt là x và h . Giá trị của x và h để lượng vàng cần dùng nhỏ nhất là: 4

B. x = 3 12; h =

A. x = 3 4; h = 3

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Thể tích của khối chóp: V =

144

C. x = 2; h = 1

D. x = 1; h = 2

ÁN

-L

Í-

Câu 23: Có một tấm nhôm hình chữ nhật có chiều dài bằng 24(cm) , chiều rộng bằng 18( cm) . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x(cm) rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Hỏi thể tích lớn nhất của cái hộp là bao nhiêu? B. Vmax ≈ 617,5cm3 C. Vmax ≈ 845cm3 D. Vmax ≈ 645cm3 A. Vmax ≈ 640cm3 - Hướng dẫn:

ÀN

Chiều dài, chiều rộng đáy của cái hộp lần lượt là: 24 − 2x và 18 − 2x. Diện tích đáy của cái hộp: (24 − 2 x)(18 − 2 x) . Thể tích cái hộp là: V = (24 − 2x)(18 − 2x)x = 4( x3 − 21x2 + 108x) với 0 < x < 9

Ta có: V '( x) = 4(3x2 − 42x + 108). Cho V '( x) = 0 , giải ta nhận nghiệm x = 7 − 13 ≈ 3,4

IỄ N

Lập bảng biến thiên ta thấy V max = V (7 − 13 ) ≈ 645 khi x = 7 − 13 ≈ 3,4

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. Cạnh bên 4m. cạnh đáy

5 10 m 4

Trang 94 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A C. Cạnh bên 3m, cạnh đáy

5 30 6

Toán Ứng Dụng

5 2 2

D. Cạnh bên 5m,cạnh đáy

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

- Hướng dẫn: Gọi đáy là a (a > 0) Gọi cạnh bên là h (h > 0) V = a2.h = 62,5 ⇒ h = 62,5/a2 S = Sxq + Sđáy = 4ah + a2 S’ = 0 ⇔ a =5 ⇒ h = 2,5 Câu 25: Một cái hộp hình hộp chữ nhật không nắp được làm từ một mảnh bìa cứng (xem hình bên dưới đây). Hộp có đáy là hình vuông cạnh x (cm), chiều cao là h (cm) và có thể tích là 500 cm3. Gọi S( x ) là diện tích của mảnh bìa cứng theo x . Tìm x sao cho S( x ) nhỏ nhất (tức là tìm x để tốn ít nguyên liệu nhất). A. x = 8 B. x = 9 D. x = 11 C. x = 10

Câu 26: Một khối tháp gồm 20 bậc. Mỗi bậc là một khối đá hình lăng trụ đứng tam giác. Bậc trên cùng là khối lăng trụ A1B1C1. A1 ' B1 ' C1 ' có: A1B1 = 3dm, B1C1 = 2dm, A1 A1 ' = 2dm ,

10 00

A'1 B'2 ≡ B3

C '2 C3

A'2 B'3 ≡ B4

B'1≡ B2

∠A1B1C1 = 900 . Với i = 1, 2,..., 20, các cạnh Bi Ci lập thành một cấp số cộng có công sai 1dm, các góc ∠Ai BiCi lập thành một cấp số cộng có công sai 3o, các chiều cao Ai Ai '

C '1

-L

Í-

lập thành một cấp số cộng có công sai 0,1dm. Các mặt BiCiCi ' Bi ' cùng nằm trên một mặt phẳng. Cạnh

Ai +1Bi +1 = AC i i , đỉnh Bi +1 ≡ Bi ' , i = 1, 2,..., 19. Thể tích V

C '3 A'3

ÁN

toàn bộ của khối tháp gần số nào nhất sau đây: A. V = 17560 B. V = 17575 C. V = 16575 D. V = 17755

ÀN

- Hướng dẫn:

Gọi các biến: X là số thứ tự khối lăng trụ tam giác, A là độ dài các cạnh Bi Ci , Y là các góc ∠Ai BiCi , B

IỄ N

là độ dài các cạnh AC i i = Ai +1 Bi +1 , C là độ dài Ai Ai ' , D là tổng thể tích. Khi đó, thể tích mỗi lăng trụ là 1 V = Ai Ai '.S ∆Ai BiCi = Ai Bi . Ai Ci . Ai Ai '.sin Ai Bi Ci . 2 Để máy ở chế độ đơn vị độ. Nhập vào máy tính biểu thức: 1 X = X + 1: A = A + 1: Y = Y + 3 : B = A2 + B 2 − 2 AB cos Y : C = C + 0,1: D = D + A.B.C .sin Y Ấn 2 CALC, nhập X = 1, A = 2, Y = 90, B = 3, C = 2, D = 6. Ấn = cho đến khi được X = 19 ta được D = 17575,2103.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 95 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

U Y

Câu 27: Một thùng đựng thư được thiết kế như hình bên, phần phía trên là nửa hình trụ. Thể tích thùng đựng thư là:

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A. 640 + 160π B. 640 + 80π C. 640 + 40π D. 320 + 80π Câu 28: Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 500 3 m . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 3 500.000 đồng/m2. Hãy xác định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là ? A. 74 triệu đồng B. 75 triệu đồng C. 76 triệu đồng D. 77 triệu đồng Câu 29: Do nhu cầu sử dụng, người ta cần tạo ra một lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao h, có thể tích 1m 3 . Với a, h như thế nào để đỡ tốn nhiêu vật liệu nhất ? 1 1 1 1 A. a = 1; h = 1 C. a = ; h = D. a = 2; h = 2 B. a = ; h = 3 3 2 2 Câu 30: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD=60cm. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ dưới đây để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy. M

B,C

-L x

60cm

ÁN

Í-

A,D

ÀN

IỄ N

A. 106, 25dm 2 B. 125dm 2 C. 75dm 2 D. 50 5dm 2 Câu 32: Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm: A. 65,09% B. 47,64% C. 82,55% D. 83,3% Câu 33. Gia đình em dự kiến xây một cái bể nước dạng hình hộp chữ nhật, với kích thước chiều cao, rộng và dài trong lòng bể lần lượt là 2 mét, 2 mét, 3 mét. Em hãy giúp Bố tính số gạch cần mua để xây

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 96 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

thành bên của cái bể, biết rằng viên gạch có chiều rộng, chiều dài và chiều cao lần lượt là 10 (cm), 20(cm), 5(cm).(Bỏ qua lượng vữa xây) A. 2080 viên B. 2000 viên C. 2160 viên D. 4160 viên Câu 34: Gia đình em dự kiến xây một cái bể nước dạng hình hộp chữ nhật, với kích thước chiều cao, rộng và dài trong lòng bể lần lượt là 2 mét, 2 mét, 3 mét. Em hãy giúp Bố tính số gạch cần mua để xây thành bên của cái bể, biết rằng viên gạch có chiều rộng, chiều dài và chiều cao lần lượt là 10 (cm), 20(cm), 5(cm).(Bỏ qua lượng vữa xây) A. 2080 viên B. 2000 viên C. 2160 viên D. 4160 viên

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 35: Hai miếng giấy hình vuông bằng nhau được hai bạn Việt và Nam cắt ra và tạo thành một hình chóp tứ giác đều như sau. Việt : Cắt bỏ miếng giấy như Hình 1 (với M là trung điểm OA) rồi tạo thành một hình chóp tứ giác đều. Nam : Cắt bỏ miếng giấy như Hình 2 (với M nằm trên OA thỏa OM = 3 MA ) rồi tạo thành một hình chóp tứ giác đều.

ÁN

Hình 2

-L

Í-

10 00

Hình 1

Gọi V1 là thể tích khối chóp của Việt, V2 là thể tích khối chóp của Nam. Tính tỉ số V1 3 = V2 8

ÀN

V1 2 = 3 V2

V1 2 = V2 3

V1 . V2

V1 4 2 = 9 V2

IỄ N

3 2

B. x = 1; y = 3; z = 6

3 2

9 2

C. x = ; y = ; z =

8 1 3 D. x = ; y = ; z = 24 3 2 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 97 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A. 12

B. 16

Toán Ứng Dụng

C. 18

D. 24

Câu 38: Một hộp giấy hình hộp chữ nhật có thể tích 3 dm 3 . Nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy

thêm

3 dm thì thể tích của hộp giấy là 24 dm 3 . Hỏi nếu tăng mỗi cạnh của hộp giấy ban đầu

D. 81dm 3

C. 72 dm 3 .

B. 192 dm 3 .

A. 48 dm 3 .

lên 2 3 3 dm thì thể tích hộp giấy mới là:

3dm ,

3dm thỏa mãn giả thiết bài toán. Khi đó tăng thêm

Chọn kích thước 3 cạnh là

U Y

- Hướng dẫn:

mỗi kích thước 2 3 3 dm thì thể tích khối hộp là V = 3 3 3.3 3 3.3 3 3 = 81dm3

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

50cm

200cm

10 00

50cm

B. 26000.

C. 2600.

D. 260.

A. 260000.

1dm

Í-

Câu 40: Người ta muốn xây một bồn chứa nước dạng khối

ÀN

ÁN

-L

1dm

B. 1180 viên, 8800 lít D. 1180 viên, 8800 lít

1m 5m

IỄ N

A. 1180 viên, 8820 lít C. 1182 viên, 8820 lít

VH'

- Hướng dẫn: Phân tích: * Theo mặt trước của bể: Số viên gạch xếp theo chiều dài của bể mỗi hàng là x =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

500 = 25 viên 20

Trang 98 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

200 = 40 . Vậy tính theo chiều cao thì có 40 hàng 5 gạch mỗi hàng 25 viên. Khi đó theo mặt trước của bể. N = 25.40 = 1000 viên. * Theo mặt bên của bể: ta thấy, nếu hàng mặt trước của bể đã được xây viên hoàn chỉnh đoạn nối hai 1 mặt thì ở mặt bên viên gạch còn lại sẽ được cắt đi còn viên. Tức là mặt bên sẽ có 2 1 100 − 20 .40 + .40 = 180 viên. 2 20 Vậy tổng số viên gạch là 1180 viên. Khi đó thể tích bờ tường xây là 1180.2.1.0, 5 = 1180 lít Vậy thể tích bốn chứa nước là: 50.10.20 − 1180 = 8820 lít Câu 41: Thể tích của khối hai mươi mặt đều cạnh a = 1 đơn vị là:

ẠO

5 14 + 6 5 (đơn vị thể tích); 3

5 14 + 6 5 (đơn vị thể tích) 3

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Số viên gạch xếp theo chiều cao của bể mỗi hàng là:

ÁN

- Hướng dẫn: Xét ngũ giác đều ABCDE cạnh là 1 và có tâm đường tròn H. G, I lần lượt là trung điểm AC, DC. Gọi AC và BD cắt nhau tại F, đặt AC =d tam giác ADC có DF là phân giác

IỄ N

ÀN

DC DA DC + DA 1 + d (1) = = = FC FA FC + FA d DC AC = = d (2) Có ∆CDF ∼ ∆CDA ⇒ FC DC 1+ 5 5− 5 2 ⇒ GB = ; ∆HIC ∼ ∆AGB ⇒ HC = 2 8 5− 5 + 5 mặt có một điểm chung của hình khối tại thành hình chóp ngũ giác đều S.ABCDE có cạnh bên =cạnh đáy, H là tâm ngoại tiếp ABCDE. Có SH vuông góc HA 5− 5 SH 2 = SA2 − HA2 = 10 Từ 1, 2 ⇒ d =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 99 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

gọi O là tâm khối 20 mặt đều, gọi M là trung điểm SA

SO SH 1 2(5 + 5) = ⇒ SO = SM SA 4

Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB,

3 7+3 5 ; OJ 2 =OS2 − JS 2 = 3 24

5 14 + 6 5 3

Suy ra

U Y

DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ MŨ-LÔGARIT

JS =

có ∆SMO ∼ ∆SHA ⇒

ẠO

B. (1.424.000;1.424.100 ) .

C. (1.424.200;1.424.300 ) .

D. (1.424.100;1.424.200 ) .

A. (1.424.300;1.424.400 ) .

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒e

N .r

S = 1 ⇒r= A

S1 A 5

TR ẦN

Ta có: S1 = A.e

N .r

H Ư

Hướng dẫn: Gọi S1 là dân số năm 2015, ta có S1 = 1.153.600, N = 5, A = 1.038.229

S ln 15. A A.e15.r = 1.038.229.e 5

10 00

≈ 1.424.227,71 Gọi S2 là dân số đầu năm 2025, ta có S2 = Chọn đáp án C Câu 2: Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị cacbon). Khi một bộ phận của cây đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng sẽ ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phạn đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitơ 14. Gọi P ( t ) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cây sinh

Í-

ÀN

ÁN

-L

Ta có 100. ( 0, 5 ) 5750 = 65, 21 ⇔ 0.5 5750 = 0, 6521 ⇔

t = log 0.5 0,6521 5750

IỄ N

Câu 3: Huyện A có 100 000 người. Với mức tăng dân số bình quân 1,5% năm thì sau n năm dân số sẽ vượt lên 130 000 người. Hỏi n nhỏ nhất là bao nhiêu? A. 18 năm B. 17 năm C. 19 năm D. 16 năm Hướng dẫn: n r   Sn   + áp dụng công thức S n = A 1 +  ⇒ n = log 1+ r    A    100   100   + trong đó A = 100 000; r = 1,5; Sn = 130 000

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 100 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

+ n ≈ 17, 6218 Câu 4: Một máy tính được lập trình để vẽ một chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ nhất của trục tọa độ Oxy, nội tiếp dưới đường cong y = e-x. Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật có thể được vẽ bằng cách lập trình trên A. 0,3679 ( đvdt) B. 0,3976 (đvdt) C. 0,1353 ( đvdt) D. 0,5313 ( đvdt) Hướng dẫn: Diện tích hình chữ nhật tại điểm x là S=xe-x S '( x) = e− x (1 − x) S '( x ) = 0 ⇔ x = 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Dựa vào bảng biến thiên ta có Smax = e−1 ≃ 0,3679 khi x=1 Câu 5: Cho biết chu kỳ bán rã của chất phóng xạ Plutoni Pu239 là 24360 năm. Sự phân hủy được tính rt theo công thức S = A.e . Trong đó A là số lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỷ lệ phân hủy hằng năm (r<0),t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi 10 gam Pu239 sau bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam A. 80922 năm B. 24360 năm C. 35144 năm D. 48720 năm 1 A Hướng dẫn:. Theo giả thiết ta có: = Ae 24360.r ⇔ e 24360.r = 2 2 Với A=10 gam, gọi t là thời gian phân hủy để còn lại S=1gam ta có phương trình t

24360. r .

TR ẦN

H Ư

24360 1 = 10e rt ⇔ 0,1 = e ⇔ t ≃ 80922 (năm). Câu 6: Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều hát với cường độ âm và coi cùng tần số. Khi một ca sĩ hát thì cường độ âm là 68dB. Khi cả ban hợp ca cùng hát thì đo được mức cường độ âm là 80dB. Tính I L = 10log I0 trong số ca sĩ có trong ban hợp ca đó, biết mức cường độ âm L được tính theo công thức

10 00

D. 18 người

Ta có I n = nI 1 ⇒ n =

đó I là cường độ âm và 0 là cường độ âm chuẩn A. 16 người B. 12 người C. 10 người Hướng dẫn: Gọi I 1; I n lần lượt là cường độ âm của một người và của n người.

= 68 ; Ln = 10log

ÁN

Ta có L1 = 10log

-L

Í-

Khi đó Ln − L1 = 10log In

ÀN

= 10

Ln −L1 10

− 10log

I1 I0

= 80

= 10log

In I1

= 10 5 ≈ 15, 89

IỄ N

I1 Vậy có 16 ca sĩ.

Câu 7: Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức f ( x) = Aerx , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỷ lệ tăng trưởng ( r > 0 ) , x (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1000 con và sau 10 giờ là 5000 con. Hỏi sao bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần A. 5ln 20 (giờ) B. 5ln10 (giờ) C. 10log5 10 (giờ) D. 10log5 20 (giờ)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 101 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Hướng dẫn:

Do đó, 10000 = 1000. ert suy ra t =

ln 5 . 10

ln10 10ln10 = = 10log 5 10 giờ nên chọn câu C. r ln 5

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 8: Chuyện kể rằng: "Ngày xưa, ở đất nước Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vưa một bàn cờ có 64 ô kèm theo cách chơi cờ. Nhà vua thích quá, bảo rằng: "Ta muốn dành cho khanh một phần thưởng thật xứng đáng. Vậy khanh thích gì nào?" Vị quan tâu "Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: "Bàn cờ có 64 ô thì với ô thứ nhất thần xin nhận một hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai, ô sau nhận số hạt gạo đôi phần thưởng dành cho ô liền trước". Thoạt đầu nhà Vua rất ngạc nhiên vì phần thưởng quá khiêm tốn nhưng đến khi những người lính vét sạch đến hạt thóc cuối cùng trong kho gạo của triều đình thì nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng: "Số thóc này là một số vô cùng lớn, cho dì có gom hết số thóc của cả nước cũng không thể đủ cho một bàn cờ chỉ có vỏn vẹn 64 ô!". Bạn hãy tính xem số hạt thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một số có bao nhiêu chữ số? A. 21 B. 22 C. 19 D. 20 Câu 9: Một người gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép như sau: Mỗi tháng người này tiết kiệm một số tiền cố định là X đồng rồi gửi vào ngân hàng theo kì hạn một tháng với lãi suất 0,8% /tháng. Tìm X để sau ba năm kể từ ngày gửi lần đầu tiên người đó có được tổng số tiền là 500 triệu đồng. 4.106 4.106 A. X = B. X = 1,00837 − 1 1 − 0,00837

Gọi thời gian cần tìm là t. Ta có: 5000 = 1000. e10r nên r =

4.106 1, 008 (1, 00836 − 1)

4.106 1, 00836 − 1

TR ẦN

C. X =

D. X =

Câu 10: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được quãng đường s ( t ) (km) là hàm phụ 2

10 00

Hướng dẫn: Ta có công thức vận tốc: 3t +1

Í-

( ) + ( 2t.e ) = 2t.e

v ( t ) = s ' ( t ) = et

t 2 +3

+ ( 6t + 2 ) e3t +1

-L

Với t = 1 ta có: 10e4 ( km / s ) . Đáp án đúng là D.

Sai lầm thường gặp:

ÁN

( ) + ( 2t.e ) = e

v ( t ) = s ' ( t ) = et

3t +1

+ ( 6t + 2 ) .e3t +1

(do không biết đạo hàm et -> đáp án C)

( ) + ( 2t.e ) = e

ÀN

v ( t ) = s ' ( t ) = et

3t +1

+ 2.e3t +1

IỄ N

(do học vẹt đạo hàm e x luôn không đổi) Câu 11: Theo dự báo với mức tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay thì trữ lượng dầu của nước A sẽ hết sau 100 năm nữa. Nhưng do nhu cầu thực tế, mức tiêu thụ tăng lên 4% mỗi năm. Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trữ của nước A sẽ hết. A. 45 năm B. 50 năm C. 41 năm D. 47 năm Hướng dẫn: Giả sử số lượng dầu của nước A là 100 đơn vị. Số dầu sử dụng không đổi mà 100 năm mới hết thì suy ra số dầu nước A dùng 1 năm là 1 đơn vị. Gọi n là số năm tiêu thụ hết sau khi thực tế mỗi năm tăng 4%, ta có

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 102 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

(

) = 100 ⇒ n = log

1. (1 + 0, 04 ) . (1 + 0,04 ) − 1

1.04

0, 04 Vậy sau 41 năm thì số dầu sẽ hết.

Toán Ứng Dụng

4,846 = 40, 23 .

Câu 12: Số lượng vi khuẩn ban đầu là 3000 con, và tăng 20% một ngày. Đồ thị nào sau đây mô tả hàm số lượng vi khuẩn sau t ngày?

Số vi khuẩn

7000

6000

5000

4000

3000

số ngày

3000

ẠO

số ngày 1

6000 5000

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Số vi khuẩn

U Y

Số vi khuẩn 7000

10 00

TR ẦN

H Ư

Hướng dẫn: Công thức số vi khuẩn: Q ( x) = 3000.1, 2 x Hàm mũ nên loại A, D. Xét Q (5) = 3000.(1, 2)5 = 7460 nên chọn B. Câu 13: Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần 905. 300, mức tăng dân số là 1,37% mỗi năm. Tỉnh thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1. Đến năm học 2024-2025 ngành giáo dục của tỉnh cần chuẩn bị bao nhiêu phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh? ( Giả sử trong năm sinh của lứa học sinh vào lớp 1 đó toàn tỉnh có 2400 người chết, số trẻ tử vong trước 6 tuổi không đáng kể) A. 458. B. 222. C. 459. D. 221. Hướng dẫn: Chỉ những em sinh năm 2018 mới đủ tuổi đi học ( 6 tuổi) vào lớp 1 năm học 2024-2025.

Í-

Áp dụng công thức S n = A (1 + r )

để tính dân số năm 2018.

-L

Trong đó: A = 905300; r = 1,37; n = 8 8

ÁN

 1,37  Dân số năm 2018 là: A = 905300. 1 +  = 1009411  100  7

IỄ N

ÀN

 1,37  Dân số năm 2017 là: A = 905300. 1 +  = 995769  100  Số trẻ vào lớp 1 là: 1009411 − 995769 + 2400 = 16042 Số phòng học cần chuẩn bị là : 16042 : 35 = 458,3428571 . Câu 14: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức M ( t ) = 75 − 20ln ( t + 1) , t ≥ 0 (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao

lâu thì nhóm học sinh nhớ được danh sách đó dưới 10%? A. 25 tháng. B. 23 tháng. C. 24 tháng. Hướng dẫn: Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. 22 tháng.

Trang 103 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

75 − 20ln (1 + t ) ≤ 10 ⇔ ln ( t + 1) ≥ 3.25 ⇔ t ≥ 24.79 Câu 15: Theo số liệu từ Facebook, số lượng các tài khoản hoạt động tăng một cách đáng kể tính từ thời điểm tháng 2 năm 2004. Bảng dưới đây mô tả số lượng U ( x ) là số tài khoản hoạt động, trong đó x là số x

U ( x ) = A. (1 + 0, 04 ) với A là số tài khoản hoạt động đầu tháng 2 năm 2004. Hỏi đến sau bao lâu thì số

tháng kể từ sau tháng 2 năm 2004. Biết số lượt tài khoản hoạt động tăng theo hàm số mũ xấp xỉ như sau:

⇔ A = 100000. Khi đó công việc của ta chỉ là tìm x sao cho

ẠO

A (1 + 0.04 ) = 108160

U Y

tài khoản hoạt động xấp xỉ là 194 790 người, biết sau hai tháng thì số tài khoản hoạt động là 108 160 người. A. 1 năm 5 tháng. B. 1 năm 2 tháng. C. 1 năm. D. 11 tháng. Hướng dẫn: Do đề đã cho công thức tổng quát và có dữ kiện là sau hai tháng số tài khoản hoạt động là 108 160 người. Do đó thay vào công thức tổng quát ta sẽ tìm được A. Khi đó

194790 ≈ 17 hay 1 năm 5 tháng. 100000 Câu 16: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 3.106 ( m3 ) . Biết tốc độ sinh trưởng của các cây trong khu x

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

100000 (1 + 0.04 ) = 194790 ⇔ x = log (1+0.04)

H Ư

rừng đó là 5% mỗi năm. Sau 10 năm nữa, trữ lượng gỗ trong rừng là A. 4886683,88 m3 B. 4668883 m3

( ) C. 4326671,91( m )

TR ẦN

( ) D. 4499251( m ) 3

( )

M n là trữ lượng gỗ sau n năm ( m 3 ) .

10 00

Năm đầu tiên, M1 = A + A.r = A(1 + r )

Hướng dẫn: Gọi A là trữ lượng gỗ ban đầu của khu rừng m3 ; r là tốc độ sinh trưởng hàng năm(%);

Năm thứ hai, M 2 = M1 + M 1.r = M1 (1 + r ) = A(1 + r ) 2

Năm thứ ba, M 3 = M 2 + M 2 .r = M 2 (1 + r ) = A(1 + r )3

Tương tự năm thứ n, M n = A(1 + r )n

( )

Í-

Áp dụng công thức ta có M 10 = A(1 + r )10 = 3.10 6 (1 + 0, 05 ) = 4886683,88 m 3

ÁN

-L

ÀN

B. 20.

C. 10 5 .

D. 100.

IỄ N

A. 2.

Hướng dẫn: Gọi A1 và A2 lần lượt là biên độ tối đa của hai trận động đất 7 độ Richter và 5 độ Richter.

7 = lg A1 − lg Ao Theo công thức, ta có:  5 = lg A2 − lg Ao

Trừ vế theo vế của hai đẳng thức trên, ta có : 2 = lg A1 − lg A2 = lg

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

A1 A ⇒ 1 = 102 = 100 . A2 A2

Trang 104 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Câu 18: Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.e rt , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r > 0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rẳng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau bao lâu số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi. A. 3 giờ 16 phút B. 3 giờ 9 phút C. 3 giờ 30 phút D. 3 giờ 2 phút

Na có chu kỳ bán rã T = 62 ( s ) . Sau bao lâu chất phóng xạ chỉ còn B. t =

62 + ln 2 (s) ln 5

C. t =

62ln 5 (s) ln 2

D. t = 62log5 2 (s)

ln 5 (s) 62ln 2

U Y

phóng xạ ban đầu ?

A. t =

1 độ 5

Câu 19: Chất phóng xạ

Hướng dẫn: 300 = 100. er. 5 ⇒ r = 3 giờ 16 phút

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

S 1 = ⇒ r ≈ −0,000028 A 2

H Ư

Hướng dẫn: Vì Pu239 có chu kì bán hủy là 24360 năm nên er24360 =

TR ẦN

⇒ Công thức phân hủy của Pu239 là S = A. e−0,000028t Theo giả thiết: 1 = 10. e−0,000028t ⇒ t ≈ 82235,18 năm

 1 T Câu 21: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: m (t ) = m0   ,  2 

Í-

10 00

trong đó m 0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon 14C là khoảng 5730 năm. Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g. Hỏi sau khoảng thời gian t thì khối lượng còn bao nhiêu? 5730 t ln 2  1  −  5730 A. m (t ) = 100.e B. m (t ) = 100.    2  100t

D. m (t ) = 100.e

−

100t 5730

ÁN

-L

 1 −5730 C. m (t ) = 100    2 

Hướng dẫn: Theo công thức m (t ) = m 0e −kt ta có:

ÀN

m (5730) =

ln 2

t − 100 ln 2 suy ra m (t ) = 100e 5730 = 50 = 100.e −k .5730 ⇔ k = 2 5730 t

IỄ N

 1 T Câu 22: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: m (t ) = m0   ,  2  trong đó m 0 là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon 14C là khoảng 5730 năm. Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cabon và xác định được nó đã mất khoảng 25% lượng Cabon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu? B. 2300 năm C. 2387 năm D. 2400 năm A. 2378 năm

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 105 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Hướng dẫn: Giả sử khối lượng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa Cabon là m 0 , tại thời điểm t tính từ thời  3 5730 ln    4  3m0 điểm ban đầu ta có: m (t ) = m0e ⇔ = m0e ⇔t = ≈ 2378 (năm) 4 − ln 2 Câu 23: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức M (t ) = 75 − 20 ln (t + 1), t ≥ 0 (đơn vị %). Hỏi sau khoảng

ln 2 − t 5730

bao lâu thì nhóm học sinh nhớ được danh sách đó dưới 10%? A. 24. 79 tháng B. 23 tháng C. 24 tháng Hướng dẫn: Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn: 75 − 20 ln (1 + t ) ≤ 10 ⇔ ln (t + 1) ≥ 3.25 ⇔ t ≥ 24.79

U Y

D. 22 tháng

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 24: Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát thì số % người xem mua sản 100 , x ≥ 0 . Hãy tính số quảng cáo được phát tối thiểu để số người mua đạt phẩm là P (x ) = 1 + 49e −0.015x hơn 75%. A. 333 B. 343 C. 330 D. 323 Hướng dẫn: Khi có 100 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P (100) = ≈ 9.3799% 1 + 49e −1.5 Khi có 200 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P (200) = ≈ 29.0734% 1 + 49e −3 Khi có 500 quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P (500) = ≈ 97.3614% 1 + 49e −7.5 Câu 25: Người ta thả một lá bèo vào một hồ nước. Kinh nghiệm cho thấy sau 9 giờ bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ. Biết rằng sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp 10 lần lượng lá bèo trước đó và tốc độ tăng 1 không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì số lá bèo phủ kín cái hồ ? 3 109 9 A. 3 B. C. 9 – log3 D. . 3 log 3 1 Hướng dẫn: Gọi t là thời gian các lá bèo phủ kín cái hồ. Vì tốc độ tăng không đổi nên, 1 giờ tăng gấp 3 1 10 lần nên ta có 10t = 109 ⇔ t = 9 − log 3 . 3

IỄ N

Câu 26: Một lon nước soda 800F được đưa vào một máy làm lạnh chứa đá tại 320F. Nhiệt độ của soda ở phút thứ t được tính theo định luật Newton bởi công thức T (t ) = 32 + 48.(0.9)t . Phải làm mát soda trong bao lâu để nhiệt độ là 500F ? A. 1,56 B. 9,3 C. 2 D. 4

Hướng dẫn: T(t) = 32 + 48. (0,9)t = 50 ⇒ t = 9,3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 106 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Câu 27: Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức M = log A − log A0 , với A là

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Biên độ ở Nam Mỹ gấp 4 lần ở San Francisco nên A 2 = 4A1 ⇒

A2 (2) A0 A2 =4 A1

ẠO

ở Nam Mỹ: M 2 = log

A1 (1) A0

Trận động đất ở San Francisco: M1 = 8,3 = log

A A0

U Y

Hướng dẫn: M = log A − log A0 = log

TR ẦN

H Ư

Lấy (2) - (1) ta được: A A A M 2 − 8,3 = log 2 − log 1 = log 2 = log 4 ⇒ M 2 = log 4 + 8,3 ≈ 8,9 A0 A0 A1 Câu 28: Biết rằng năm 2001 dân số Việt Nam là 78. 685. 800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức S= A. eNr (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số như vậy đến thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người. A. 2026 B. 2022 C. 2020 D. 2025

10 00

Hướng dẫn: S = A. eN. r ⇒ N = 25 năm Câu 29: Một loại virus có số lượng cá thể tăng trưởng mũ với tốc độ x% / h, tức là cứ sau 1 giờ thì số lượng của chúng tăng lên x %. Người ta thả vào ống nghiệm 20 cá thể, sau 53 giờ số lượng cá thể virus đếm được trong ống nghiệm là 1,2 triệu. Tìm x? (tính chính xác đến hàng phần trăm) A. x ≈ 13,17% B. x ≈ 23,07% C. x ≈ 7,32% D. x ≈ 71,13% Câu 30:Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức

Í-

s(t ) = s(0).2t , trong đó s (0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s (t ) là số lượng vi khuẩn A có

ÁN

-L

ÀN

mấy giờ thì số lá bèo phủ kín

IỄ N

t . 3

C. t − log3.

t . log 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 107 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Suy ra số tiền lãi là: 100 (1 + 8% ) − 100 = L1 Bà dùng một nửa để sửa nhà, nửa còn lại gửi vào ngân hàng. 5 Suy ra số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là: 73.466 (1 + 8% ) = 107.946 triệu. Suy ra số tiền lãi là

Câu 33: Bà hoa gửi 100 triệu vào tài khoản định kỳ tính lãi kép với lãi suất 8%/năm. Sau 5 năm bà rút toàn bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục gửi vào ngân hàng. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm. A. 81,412tr B. 115,892tr C. 119tr D. 78tr 5 Hướng dẫn: Sau 5 năm bà Hoa rút được tổng số tiền là: 100 (1 + 8% ) = 146.932 triệu

+ L 2 ≈ 81, 412tr

∑L = L

TR ẦN

H Ư

ẠO

Câu 34: An vừa trúng tuyển đại học được ngân hàng cho vay vốn trong bốn năm đại học, mỗi năm 10. 000. 000 đồng để nộp học phí với lãi suất ưu đãi 7,8% một năm. Sau khi tốt nghiệp đại học An phải trả góp cho ngân hàng số tiền m đồng (không đổi) cũng với lãi suất 7,8% một năm trong vòng 5 năm. Tính số tiền m hàng tháng An phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến hàng đơn vị). A. 1005500 B. 100305 C. 1003350 D. 1005530 Câu 35: Ông Đông gửi 100 triệu vào tài khoản định kì tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Tính số tiền lãi thu được sau 10 năm A. 215,892tr . B. 115,892tr . C. 215,802tr . D. 115,802tr .

10 00

Hướng dẫn: Số tiền thu được sau 1 năm: 100. (1 + 2%) Số tiền thu được sau 2 năm: 100. (1 + 2%)2 ...... Số tiền thu được sau 10 năm: 100. (1 + 2%) 10 Số tiền lãi thu được sau 10 năm: 100. (1 + 2%)10 – 100 = 115,892 triệu Câu 36: Một người gửi ngân hàng lần đầu 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền là bao nhiêu? A. 210 triệu. B. 220 triệu. C. 212 triệu. D. 216 triệu.

-L

Í-

Hướng dẫn: Số tiền thu được sau 3 tháng: 100. (1 + 2%)) Số tiền thu được sau 6 tháng: 100. (1 + 2%)2 Số tiền thu được sau 9 tháng: (100. (1 + 2%)2 + 100). (1 + 2%) = 100. (1 + 2%)((1+2%) +1) Số tiền thu được sau 12 tháng: 100. (1 + 2%)2. ((1 + 2%) + 1) = 212 triệu Câu 37: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8, 4% /năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu? A. 9 . B. 10 . C. 8 . D. 7 .

ÀN

ÁN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Vậy số tiền lãi bà Hoa thu được sao 10 năm là:

U Y

107.946 − 73.466 = L2

IỄ N

Hướng dẫn: Gọi n là sô năm sau đó số tiền thu được gấp đôi, gọi a là số tiền ban đầu Ta có: a. (1 +8,4%)n = 2ª ⇔ (1 + 8,4%)n = 2 ⇔ n = 9 Câu 38: Anh Thắng gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất ban đầu là 4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Cứ sau 1 năm lãi suất tăng 0,3%. Hỏi sau 4 năm tổng số tiền anh Thắng có là bao nhiêu ? A. 119 triệu. B. 119,5 triệu. C. 120 triệu. D. 120,5 triệu Hướng dẫn: Số tiền thu được sau 1 năm: 100. (1 + 4%) Số tiền thu được sau 2 năm: 100. (1 + 4%). (1 +4,3%) ................ Số tiền thu được sau 4 năm: 100. (1 + 4%). (1 + 4,3%). (1 + 4,6%). (1 + 4,9%) = 199 triệu

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 108 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Câu 39: Anh Nam mong muốn rằng 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Nam phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm như nhau với lãi suất hàng năm gần nhất với giá trị nào biết rằng lãi của ngân hàng là 8% / năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. A. 253,5 triệu. B. 251 triệu. C. 253 triệu. D. 252,5 triệu.

ẠO

U Y

Hướng dẫn: Gọi a là số tiền gửi vào hàng năm Số tiền thu được sau 1 năm là: a(1 + 8%) Số tiền thu được sau 2 năm là: a. ((1 + 8%)2 + (1 + 8%)) ................................. Số tiền thu được sau 6 năm là: a((1 + 8%)6 + (1 +8%)5 +. . . . . + (1 + 8%)1) = 2000 ⇒ a = 252,5 triệu Câu 40: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 quý, với lãi suất 1,65%/ quý. Hỏi sau bao lâu người gửi có ít nhất 20 triệu đồng?(Bao gồm cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu ? (Giả sử lãi suất không thay đổi) A. 16 quý B. 18 quý C. 17 quý D. 19 quý

Đ G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn: Số tiền thu được sau n quý: 15. (1 + 1,65%)n = 20 ⇒ n = 18

Hướng dẫn: 58 000 000. (1 + r)8 = 61 329 000 ⇒ r =0,7%

TR ẦN

H Ư

Câu 41: Số tiền 58 000 000 đồng gủi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000 đồng, lãi suất hàng tháng là bao nhiêu ? A. 0,8% B. 0,6% C. 0,5% D. 0,7%

10 00

-L

Í-

Hướng dẫn: 1 năm: 6,9% ⇒ 6 tháng: 3,45% Tổng số tiền 200. 106. (1 + 3,45%)13. (1 + 0,002%. 90) = 311392005,1

IỄ N

ÀN

ÁN

Câu 43: Một bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là 20. 000. 000 (đồng). Do chưa cần dùng đến số tiền nên bác nông dân mang toàn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm ngân hàng loại kì hạn 6 tháng với lãi suất kép là 8,4% một năm. Hỏi sau 5 năm 8 tháng bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết rằng bác nông dân đó không rút vốn cũng như lãi trong tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì hạn 0,01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày) A. 31803311 B. 32833110 C. 33083311 D. 30803311 n Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính tiền tiết kiệm thu được: A = a (1 + r ) Với a là số tiền gửi vào, r là lãi suất mỗi kì, n là kì Lãi suất 1 năm là 8,5% ⇒ lãi suất 6 tháng là 4,25% Vì bác nông dân gửi tiết kiệm kỳ hạn 6 tháng nên sau 5 năm 6 tháng có 11 lần bác được tính lãi => Số tiền bác nhận được sau 5 năm 6 tháng là: 11 (1 + 0, 0425 ) .20 = 31, 61307166 ( triệu đồng) Do bác rút trước kỳ hạn => 2 tháng cuối nhân lãi suất 0,01% mỗi ngày (2 tháng=60 ngày)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 109 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

=> Số tiền cuối cùng bác nhận được là

s = 3000000 (1+ 3% ) + (1+ 3% ) + (1 + 3% ) + (1+ 3% )  = 12927407, 43   Lúc này ta coi như bạn Hùng nợ ngân hàng khoản tiền ban đầu là 12.927.407, 43 đồng,

U Y

31, 61307166. (1 + 0, 0001) = 31,803311 ( triệu đồng) Câu 44: Bạn Hùng trúng tuyển vào trường đại học A nhưng vì do không đủ nộp học phí nên Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4 năm mỗi năm vay 3.000.000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm. Sau khi tốt nghiệp đại học bạn Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) cùng với lãi suất 0,25%/tháng trong vòng 5 năm. Số tiền T hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị) là: A. 232518 đồng . B. 309604 đồng. C. 215456 đồng. D. 232289 đồng. Hướng dẫn: Vậy sau 4 năm bạn Hùng nợ ngân hàng số tiền là:

(1 + r )

−1

12927407, 4 (1+ 0,0025 ) .0,0025

(1 + 0,0025)

−1

ẠO

≈ 232289

⇒Τ=

N (1 + r ) .r

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

số tiền này bắt đầu được tính lãi và được trả góp trong 5 năm. Ta có công thức:

TR ẦN

H Ư

Câu 45: Biết rằng khi đỗ vào trường đại học X, mỗi sinh viên phải đóng một khoản ban đầu là 10 triệu đồng. Ông A dự kiến cho con thi và vào học tại trường này, để có số tiền đó, gia đình đã tiết kiệm và hàng tháng gửi ngân hàng với số tiền không đổi, với lãi suất 0,7%/tháng theo thể thức lãi kép. Hỏi để được số tiền trên thì gia đình phải gửi tiết kiệm mỗi tháng là bao nhiêu để sau 12 tháng gia đình đủ tiền đóng cho con ăn học? (làm tròn tới hàng ngìn) A. 796. 000đ B. 833. 000đ C. 794. 000đ D. 798. 000đ

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

Câu 46: Ông Bách thanh toán tiền mua xe bằng các kỳ khoản năm: 5.000.000 đồng, 6.000.000 đồng, 10.000.000 đồng và 20.000.000 đồng. Kỳ khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua. Với lãi suất áp dụng là 8%. Hỏi giá trị chiếc xe ông Bách mua là bao nhiêu ? A. 32.412.582 đồng B. 35.412.582 đồng C. 33.412.582 đồng D. 34.412.582 đồng Hướng dẫn: Kỳ khoản đầu thanh toán 1 năm sau ngày mua là 5.000.000 đồng, qua năm 2 sẽ thanh toán 6.000.000 đồng, năm 3: 10.000.000 đồng và năm 4:20.000.000 đồng. Các khoản tiền này đã có lãi trong đó. Do đó giá trị chiếc xe phải bằng tổng các khoản tiền lúc chưa có lãi. Gọi V0 là tiền ban đầu mua chiếc xe. Giá trị của chiếc xe là: V0 = 5.1, 08−1 + 6.1, 08−2 + 10.1, 08−3 + 20.1, 08−4 = 32.412.582 đồng Câu 47: Anh Bách vay ngân hàng 100 triêu đồng, với lãi suất 1,1% / tháng. Anh Bách muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, anh bắt đầu hoàn nợ, và những liên tiếp theo cách nhau đúng một tháng. Số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 18 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, tổng số tiền lãi mà anh Bách phải trả là bao nhiêu (làm tròn kết quả hàng nghìn)? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt thời gian anh Bách vay. A. 10773700 (đồng). B. 10774000 (đồng). C. 10773000 (đồng). D. 10773800 (đồng). Hướng dẫn: Bài toán này người vay trả cuối tháng nên ta có: 18

Số tiền mà anh Bách phải trả hàng tháng là: m =

100.0, 011. (1, 011) 18

(1, 011)

−1

.106

Tổng số tiền lãi anh Bách phải trả là: ( m.18 − 100 )106 = 10773700 (đồng).

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 110 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Câu 48: Anh A mua nhà trị giá 500 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 10,5 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% tháng thì sau bao nhiêu tháng anh trả hết số tiền trên ? A. 53 tháng B. 54 tháng C. 55 tháng D. 56 tháng Hướng dẫn: Đặt x = 1, 005; y = 10,5 * Cuối tháng thứ 1, số tiền còn lại (tính bằng triệu đồng) là 500x − y

* Cuối tháng thứ 2, số tiền còn lại là ( 500x − y ) x − y = 500x 2 − ( x + 1) y * Cuối tháng thứ n, số tiền còn lại là 500x n +1 − ( x n + ... + x + 1) y

Giải phương trình 500x n +1 − ( x n + ... + x + 1) y = 0 thu được n = 54,836 nên chọn C.

U Y

* Cuối tháng thứ 3, số tiền còn lại là 500x 3 − ( x 2 + x + 1) y

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Câu 49: Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó. Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây ? C. 212 triệu. D. 216 triệu. A. 210 triệu. B. 220 triệu. Hướng dẫn: 3 tháng là 1 quý nên 6 tháng bằng 2 quý và 1 năm ứng với 4 quý. Sau 6 tháng người đó có tổng số tiền 2 là: 100. (1 + 2% ) = 104, 04 tr . Người đó gửi thêm 100tr nên sau tổng số tiền khi đó là: 104,04 + 100 = 4

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

204,04 tr. Suy ra số tiền sau 1 năm nữa là: 204, 04 (1 + 2% ) ≈ 220tr Câu 50: Lãi suất tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng trong thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Ông A gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và ông A tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, ông A tiếp tục gửi thêm một số tháng nữa, khi rút tiền ông A thu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Khi đó tổng số tháng mà ông A gửi là A. 13 tháng B. 14 tháng C. 15 tháng D. 16 tháng Câu 51: Một người gửi gói tiết kiệm linh hoạt của ngân hàng cho con với số tiền là 500000000 VNĐ, lãi suất 7%/năm. Biết rằng người ấy không lấy lãi hàng năm theo định kỳ sổ tiết kiệm. Hỏi sau 18 năm, số tiền người ấy nhận về là bao nhiêu? (Biết rằng, theo định kì rút tiền hằng năm, nếu không lấy lãi thì số tiền sẽ được nhập vào thành tiền gốc và sổ tiết kiệm sẽ chuyển thành kì hạn 1 năm tiếp theo) A. 4.689.966.000 VNĐ B. 3.689.966.000 VNĐ C. 2.689.966.000 VNĐ D. 1.689.966.000 VNĐ Hướng dẫn: Gọi a là số tiền gửi vào hàng tháng gửi vào ngân hàng x là lãi suất ngân hàng n là số năm gửi Ta có Sau năm 1 thì số tiền là : a + ax = a ( x + 1)

IỄ N

Sau năm 2: a ( x + 1) + a ( x + 1) x = a ( x + 1)( x + 1) = a ( x + 1) 2

Sau năm 3 : a ( x + 1) + a ( x + 1) x = a ( x + 1) ( x + 1) = a ( x + 1) 3

Sau năm 4: a ( x + 1) + a ( x + 1) x = a ( x + 1) ( x + 1) = a ( x + 1) Sau n năm ,số tiền cả gốc lẫn lãi là : a ( x + 1)

Vậy sau 18 năm, số tiền người ý nhận được là: 500.000.000 ( 0,07 + 1)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

= 1,689,966,000

Trang 111 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

Câu 52: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ. 100.(1, 01)3 (1,01)3 A. m = (triệu đồng). B. m = (triệu đồng). 3 (1, 01)3 − 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

120.(1,12)3 100.1, 03 (triệu đồng). (triệu đồng). D. m = (1,12)3 − 1 3 Hướng dẫn: Lãi suất 12% / năm = 1% / tháng (do vay ngắn hạn) Sau tháng 1, ông A còn nợ 100. 1,01 – m (triệu) Sau tháng 2, ông còn nợ (100. 1,01 – m). 1,01 – m = 100. 1,012 – 2,01m (triệu) Sau tháng 3, ông hết nợ do đó 100.1, 013 (100. 1,012 – 2,01m). 1,01 – m = 100. 1,013 – 3,0301m = 0 => m ≈ (triệu đồng) 3 Câu 53: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên một tháng (chuyển vào tại khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng 1 năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1% trên một tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1). Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng). A. 50 triệu 730 nghìn đồng B. 48 triệu 480 nghìn đồng C. 53 triệu 760 nghìn đồng D. 50 triệu 640 nghìn đồng Hướng dẫn: Số tiền tháng 1 mẹ được nhận là 4 triệu, gửi đến đầu tháng 12 (được 11 kỳ hạn), vậy cả vốn lẫn lãi do số 1 11 ) = 4 ×1,0111 (triệu đồng). tiền tháng 1 nhận sinh ra là: 4.(1 + 100 Tương tự số tiền tháng 2 nhận sẽ sinh ra: 4 ×1,0110 (triệu đồng) ...................................................... Số tiền tháng 12 mẹ lĩnh luôn nên là: 4 (triệu đồng). 1 − 1,0112 Vậy tổng số tiền mẹ lĩnh là: 4 ×1,0111 + 4 ×1,0110 + ... + 4 ×1,01 + 4 = 4 ≈ 50,730 (50 triệu 730 1 − 1,01 nghìn đồng). Đáp án A.

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

C. m =

IỄ N

ÀN

ÁN

Câu 54: Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu là 20 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,72%/tháng. Sau một năm, bác B rút cả vốn lẫn lãi và gửi lại theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78%/tháng. Sau khi gửi được đúng một kỳ hạn 6 tháng do gia đình có việc nên bác gửi thêm một số tháng nữa thì phải rút tiền trước kỳ hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là 23263844,9 đồng (chưa làm tròn). Biết rằng khi rút tiền trước thời hạn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng. Trong một số tháng bác gửi thêm lãi suất là: A. 0,4% B. 0,3% C. 0,5% D. 0,6% Hướng dẫn: . Gửi được 1 năm coi như gửi được 4 kỳ hạn 3 tháng; thêm một kỳ hạn 6 tháng số tiền khi đó là: 20000000.(1 + 0,72.3 : 100 ) (1 + 0,78.6 : 100 ) 4

. Giả sử lãi suất không kỳ hạn là A%; gửi thêm B tháng khi đó số tiền là: 20000000.(1 + 0,72.3 : 100 ) (1 + 0,78.6 : 100 )(1 + A : 100 ) = 23263844,9 4

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 112 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A .

Lưu

ý:

và

1≤ B ≤ 5

nguyên

Toán Ứng Dụng dương,

nhập

20000000.(1 + 0,72.3 : 100) (1 + 0,78.6 : 100)(1 + A : 100) − 23263844,9 thử với 4

máy

tính:

A = 0,3 rồi thử B từ 1 đến

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Theo giả thiết ta có xn = 1,55 x ⇒ (1, 069) n = 1,55 ⇒ n = log1,069 1,55 ≈ 6, 56

ẠO

U Y

5, sau đó lại thử A = 0, 5 rồi thử B từ 1 đến 5, . . . cứ như vậy đến bao giờ kết quả đúng bằng 0 hoặc xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Kết quả: A = 0, 5; B = 4 Câu 55: Cô giáo Thảo ra trường xa quê lập nghiệp, đến năm 2014 sau gần 5 năm làm việc tiết kiệm được x(triệu đồng) và định dùng số tiền đó để mua nhà nhưng trên thực tế cô giáo phải cần 1,55x( triệu đồng). Cô quyết định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất là 6,9% /năm với lãi hàng tháng nhập gốc và cô không rút trước kì hạn. Hỏi năm bao nhiêu cô mua được căn nhà đó, biết rằng chủ nhà đó vẫn bán giá như cũ. A. Năm 2019 B. Năm 2020 C. Năm 2021 D. Năm 2022 Hướng dẫn: Tiền lãi sau n (năm) tiết kiệm là xn = x.(1 + 0, 069) n = (1, 069) n .x

TR ẦN

H Ư

Vì n ∈ ℕ do đó sau 7 năm cô giáo Thảo mua được nhà,năm đó là 2021, đáp án C Câu 56: Một người nọ đem gửi tiết kiệm ở một ngân hàng với lãi suất là 12% năm. Biết rằng cứ sau mỗi một quý ( 3 tháng ) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền ( bao gồm cả vốn lẫn lãi ) gấp ba lần số tiền ban đầu. D. 11 A. 8 B. 9 C. 10 Hướng dẫn: Gọi số tiền người đó gửi là A, lãi suất mỗi quý là 0,03 n . Sau n quý, tiền mà người đó nhận được là: A (1 + 0, 03) . n

10 00

. ycbt ⇔ A (1 + 0, 03) = 3A ⇔ n = log1,03 3 ≈ 37,16 Vậy số năm tối thiểu là xấp xỉ 9,29 năm. Vậy đáp án là C.

-L

Í-

Câu 57: Một Bác nông dân vừa bán một con trâu được số tiền là 20. 000. 000 (đồng). Do chưa cần dùng đến số tiền nên Bác nông dân mang toàn bộ số tiền đó đi gửi tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng vào ngân hàng với lãi suất 8. 5% một năm thì sau 5 năm 8 tháng Bác nông dân nhận được bao nhiêu tiền cả vốn lẫn lãi. Biết rằng Bác nông dân đó không rút cả vốn lẫn lãi tất cả các định kì trước và nếu rút trước thời hạn thì ngân hàng trả lãi suất theo loại không kì hạn 0. 01% một ngày (1 tháng tính 30 ngày) A. 31802750, 09 (®ång) B. 30802750, 09 (®ång)

IỄ N

ÀN

ÁN

C. 32802750, 09 (®ång) D. 33802750, 09 (®ång) Hướng dẫn: 8.5% 4.25 Một kì hạn 6 tháng có lãi suất là . Sau 5 năm 6 tháng (có nghĩa là 66 tháng tức là 11 kỳ .6 = 12 100 11  4.25  hạn), số tiền cả vốn lẫn lãi Bác nôn dân nhận được là: A = 20000000. 1 + (®ång) . Vì 5 năm 8   100  tháng thì có 11 kỳ hạn và dư 2 tháng hay dư 60 ngày nên số tiền A được tính lãi suất không kỳ hạn trong 60 ngày là: 11  0.01 4.25  .60 = 120000.1 + (®ång) . Suy ra sau 5 năm 8 tháng số tiền bác nông dân nhận B = A.   100 100  được là   4.25  4.25  C = A + B = 20000000.1 + + 120000. 1 +   = 31802750, 09 (®ång)    100  100  11

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 113 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Câu 58: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng với lãi suất 5% một năm. Ông B cũng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

đem 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng với lãi suất 12 % một tháng. Sau 10 năm, hai ông A và B cùng đến ngân hàng rút tiền ra. Khẳng định nào sau đây là đúng ? ( Lưu ý: tiền lãi được tính theo công thức lãi kép và được làm tròn đến hàng hàng triệu) A. Số tiền của hai ông A, B khi rút ra là như nhau. B. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 1 triệu. C. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 2 triệu. D. Ông B có số tiền nhiều hơn ông A là 3 triệu. Hướng dẫn: Sau 10 năm: Số tiền của ông A có được: 100. 000. 000(1+5%)10 ≈ 163. 000. 000. ( làm tròn đến hàng triệu) Số tiền của ông B có được: 100. 000. 000(1+5/12%)120 ≈ 165. 000. 000. (làm tròn đến hàng triệu) Chọn đáp án C Câu 59: Một gia đình có con vào lớp một, họ muốn để dành cho con một số tiền là 250.000.000 để sau này chi phí cho 4 năm học đại học của con mình. Hỏi bây giờ họ phải gửi vào ngân hàng số tiền là bao nhiêu để sau 12 năm họ sẽ được số tiền trên biết lãi suất của ngân hàng là 6,7% một năm và lãi suất này không đổi trong thời gian trên?

250.000.000 (triệu đồng) (0,067)12

B. P =

250.000.000 (triệu đồng) (1 + 6,7)12

C. P =

250.000.000 (triệu đồng) (1,067)12

D. P =

250.000.000 (triệu đồng) (1,67)12

TR ẦN

H Ư

A. P =

10 00

Câu 60: Một người vay ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi kép là 12%/năm. Hỏi người đó phải trả ngân hàng hàng tháng bao nhiêu tiền để sau đúng 5 năm người đó trả xong nợ ngân hàng? A. 88 848 789 đồng. B. 14 673 315 đồng. D. 111 299 776 đồng. C. 47 073 472 đồng . Hướng dẫn: Gọi A là số tiền người đó vay ngân hàng ( đồng), a là số tiền phải trả hàng tháng và r ( % ) là lãi suất kép. Ta có: - Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ nhất: R1 = A (1 + r ) 2

Í-

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ hai : R2 = ( A (1 + r ) − a ) (1 + r ) = A (1 + r ) − a (1 + r )

(

-L

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ ba: 2

)

ÁN

R3 = A (1 + r ) − a (1 + r ) − a (1 + r ) = A (1 + r ) − a (1 + r ) − a (1 + r )

….

ÀN

- Số tiền nợ ngân hàng tháng thứ n : Rn = A (1 + r ) − a (1 + r )

Tháng thứ n trả xong nợ: Rn = a ⇔ a =

A.r. (1 + r )

(1 + r )

n −1

− ... − a (1 + r )

−1

IỄ N

Áp dụng với A = 1.109 đồng, r = 0, 01 , và n = 24 , ta có a = 47 073472 Đáp án: C Câu 61: Ông Năm gửi 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0, 73% một tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân hàng là 27 507 768,13 (chưa làm tròn). Hỏi số tiền ông Năm lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?

A. 140 triệu và 180 triệu.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. 180 triệu và 140 triệu.

Trang 114 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

C. 200 triệu và 120 triệu. D. 120 triệu và 200 triệu. Hướng dẫn: Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ông Năm nhận được từ cả hai ngân hàng là 347 , 507 76813 triệu đồng.

Gọi x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X, khi đó 320 − x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng Y. Theo giả thiết ta có: x (1 + 0, 021)5 + (320 − x )(1 + 0, 0073)9 = 347, 507 76813

ẠO

U Y

Ta được x = 140 . Vậy ông Năm gửi 140 triệu ở ngân hàng X và 180 triệu ở ngân hàng Y. Câu 62: Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn 3 tháng, lãi suất 5% một quý theo hình thức lãi kép (sau 3 tháng sẽ tính lãi và cộng vào gốc). Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 50 triệu đồng với kì hạn và lãi suất như trước đó. Cho biết số tiền cả gốc và lãi được tính theo công thức T = A(1 + r )n , trong đó A là số tiền gửi, r là lãi suất và n là số kì hạn gửi. Tính tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi tiền. A. ≈ 176, 676 triệu đồng B. ≈ 178, 676 triệu đồng C. ≈ 177, 676 triệu đồng D. ≈ 179, 676 triệu đồng

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Hướng dẫn: Sau 6 tháng: 100. (1 + 5 %)2 Sau 1 năm: 100. (1 + 5%)2 + 50. (1 + 5%)2 = 176,676 Câu 63: Ông Việt vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó số tiền m mà ông Việt sẽ phải trả trong mỗi lần là bao nhiêu? 3

100 × 1, 03 (triệu đồng). 3

C. m =

(1,01) (triệu đồng). 3 (1, 01) − 1 3 120. (1,12 ) (triệu đồng). D. m = 3 (1,12 ) − 1 B. m =

10 00

100. (1,01) (triệu đồng). 3

TR ẦN

A. m =

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

(1,01) ⇒m= 3 (1,01) − 1

Hướng dẫn: Lãi suất 1 tháng: 12: 12 = 1% /tháng Sau 1 tháng: 100 – m Sau 2 tháng: (100 – m). 1,01 – m Sau 3 tháng: ((100 – m). 1,01 – m). 1,01 – m = 0

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 115 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

DẠNG 4: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÌNH NÓN-TRỤ-CẦU

D. 6021,3cm3

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. 711, 6cm3 B. 1070,8cm3 C. 602, 2cm3 Đáp án B Thể tích của hình trụ là V1 = πr 2 h = π.6.62.13, 2 cm3 = 1806,39 cm3

U Y

H Ư

4 4  13, 2 − 2  3 Thể tích hình cầu chứa cát là V2 = πR 3 = π   = 735, 62 cm 3 3  2  Vậy lượng thủy tinh cần phải làm là V = V1 − V2 = 1070, 77 cm3 Câu 1: Người ta xếp 7 hình trụ có cùng bán kính đáy r và cùng chiều cao h vào một cái lọ hình trụ cũng

TR ẦN

có chiều cao h, sao cho tất cả các hình tròn đáy của hình trụ nhỏ đều tiếp xúc với đáy của hình trụ lớn, hình trụ nằm chính giữa tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, mỗi hình trụ xung quanh đều tiếp xúc với

B. 18π r 2 h

10 00

A. 16π r 2 h

các đường sinh của lọ hình trụ lớn. Khi thể tích của lọ hình trụ lớn là:

D. 36π r 2 h

-L

Í-

- Hướng dẫn:

C. 9π r 2 h

ÁN

Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy của hình đã cho như trên, khi đó ta rõ ràng nhận ra rằng R = 3r , đề bài

thì có vẻ khá phức tạp, tuy nhiên nếu để ý kĩ thì lại rất đơn giản. Vậy khi đó 2

ÀN

V = B.h = ( 3r ) .π .h = 9π r 2 h.

IỄ N

Câu 2: Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt chỉ tiêu sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, tức là nguyên liệu (sắt tây) được dùng là ít nhất. Hỏi khi đó tổng diện tích toàn phần của lon sữa là bao nhiêu, khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp là V cm3 A. Stp = 3 3

πV 2

B. Stp = 6 3

πV 2

C. Stp = 3

πV 2

D. Stp = 6

πV 2

4 4 4 4 - Hướng dẫn: Đây là bài toán vừa kết hợp yếu tố hình học và yếu tố đại số. Yếu tố hình học ở đây là các công thức tính diện tích toàn phần, diện tích xung quanh, thể tích của hình trụ. Còn yếu tố đại số ở đây là tìm GTNN của Stp

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 116 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Ta có yếu tố đề bài cho V (*) π R2 = 2.π R 2 + 2π R.h

V = B.h = π R 2 .h ⇒ h =

Stp = S xq + 2Sday

U Y

V  V   = 2  π R 2 + π R. = 2  π R2 +  2  R πR    Đến đây ta có hai hướng giải quyết, đó là tìm đạo hàm rồi xét y ' = 0 rồi vẽ BBT tìm GTNN. Tuy nhiên ở đây tôi giới thiệu đến quý độc giả cách làm nhanh bằng BĐT Cauchy. Ta nhận thấy ở đây chỉ có một biến R và bậc của R ở hạng tử thứ nhất là bậc 2, nhưng bậc của R ở hạng tử thứ 2 chỉ là 1. Vậy làm thế nào để khi áp dụng BĐT Cauchy triệt tiêu được biến R. Ta sẽ tìm cách V tách thành 2 hạng tử bằng nhau để khi nhân vào triệt tiêu được R2 ban đầu. Khi đó ta có như sau: R

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

V V  πV 2  3 => Đáp án B. Stp = 2.  π R 2 + +  ≥ 2.3 2R 2R  4  Câu 3: Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt như hình vẽ có kích thước bán kính R = 5 và chu vi của hình quạt là P = 8π + 10 , người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách: 3. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu

H Ư

4. Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu V1 ? V2

Í-

10 00

TR ẦN

Gọi V1 là thể tích của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở cách 2. Tính

-L

V1 21 V 2 21 2 6 V V B. 1 = C. 1 = D. 1 = = 7 2 V2 V2 V2 V2 7 6 - Hướng dẫn: Do chu vi của hình quạt tròn là P = độ dài cung + 2R. Do đó độ dài cung tròn là l = 8π Theo cách thứ nhất: 8π chính là chu vi đường tròn đáy của cái phễu. Tức là 2π r = 8π ⇒ r = 4

ÁN

IỄ N

ÀN

Khi đó h = R 2 − r 2 = 52 − 42 = 3 1 ⇒ V1 = .3π .42 3 Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi của hai đường tròn đáy của hai cái phễu là 8π ⇔ chu vi của một đường tròn đáy là 4π ⇒ 4π = 2π r ⇒ r = 2 Khi đó h = R 2 − r 2 = 52 − 22 = 21 1 ⇒ V2 = 2. 21.2 2.π 3

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 117 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

42 2 21 V1 = = 7 V2 8 21 3 Câu 4: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón là: A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 - Hướng dẫn:

N U Y

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Giả sử đường sinh hình nón có độ dài là a. Gọi G là trọng tâm của tam giác thiết diện, do đó G cách đều 3 đỉnh và 3 cạnh của tam giác thiết diện, nên G là tâm của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón, suy ra bán kính R, r của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối a 3 a 3 nón lần lượt là , . Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của khối cầu 3 6 V R3 ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón. Vậy 1 = 3 = 8 V2 r

Khi đó

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu 5: Có một hộp nhựa hình lập phương người ta bỏ vào hộp đó 1 quả bóng V đá. Tính tỉ số 1 , trong đó V1 là tổng thế tích của quả bóng đá, V2 là thể tích V2 của chiếc hộp đựng bóng. Biết rằng đường tròn lớn trên quả bóng có thể nội tiếp 1 mặt hình vuông của chiếc hộp. V π V π A. 1 = B. 1 = V2 2 V2 4 V π V π C. 1 = D. 1 = V2 6 V2 8 - Hướng dẫn: Gọi R là bán kính của mặt cầu, khi đó cạnh của hình lập phương là 2R Ta được 4πR 3 V π Thể tích hình lập phương là V2 = 8R 3 , thể tích quả bóng là V1 = ⇒ 1 = 3 V2 6

ÁN

Câu 6: Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Diện tích xung quanh của phễu là: A. Sxq = 360π cm 2 B. Sxq = 424π cm 2 C. Sxq = 296π cm 2

- Hướng dẫn: Sxq = 2.π.8.10 + π.8.17 = 296π cm 2

ÀN

8cm

Đ IỄ N D

10cm

D. Sxq = 960π cm 2

17cm

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 118 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

C. 0,3(cm). D. 0,5 (cm). - Hướng dẫn: Tính thể tích của phần hình nón không chứa nước, từ đó suy ra chiều cao h’, chiều cao của nước bằng chiều cao phễu trừ đi h’ 1 Công thức thể tích khối nón: V = πR 2 .h 3 Gọi bán kính đáy phễu là R, chiều cao phễu là h = 15 ( cm ) , do chiều cao nước trong phễu ban đầu bằng

U Y

1 1 h nên bán kính đáy hình nón tạo bởi lượng nước là R . Thể tích phễu và thể tích nước lần lượt là 3 3 2

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

1  R  15 5 1 V = πR 2 .15 = 5πR 2 ( cm 3 ) và V1 = π   . = πR 2 ( cm3 ) . Suy ra thể tích phần khối nón không 3 3  3  3 27 5 130 chứa nước là V2 = V − V1 = 5πR 2 − πR 2 = πR 2 ( cm 3 ) 27 27 V2 26 ⇒ = (1) . Gọi h’ và r là chiều cao và bán kính đáy của khối nón không chứa nước, có V 27 V2 h '3 h '3 h' r = ⇒ = = ( 2) h R V h 3 153 Từ (1) và (2) suy ra h ' = 5 3 26 ⇒ h1 = 15 − 5 3 26 ≈ 0,188 ( cm ) Câu 8: Trong một chiếc hộp hình trụ người ta bỏ vào đó 2016 quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao hình trụ bằng 2016 lần đường kính của quả banh. Gọi V V1 là tổng thể tích của 2016 quả banh và V2 là thể tích của khối trụ. Tính tỉ số 1 ? V2 V 1 V 2 V 1 A. 1 = B. 1 = C. 1 = D. Một kết quả khác. V2 3 V2 3 V2 2 - Hướng dẫn: Gọi bán kính quả banh tennis là r, theo giả thiết ta có bán kính đáy của hình trụ là r, chiều cao của hình trụ là 2016.2r 4 Thể tích của 2016 quả banh là V1 = 2016. πr 3 3 2 Thể tích của khối trụ là V2 = πr .2016.2r

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

4 2016. πr 3 2 V1 3 = = Tỉ số 3 V2 2πr .2016 3 Câu 9: Từ một nguyên vật liệu cho trước, một công ty muốn thiết kế bao bì để đựng sữa với thể tích 1dm 2 . Bao bì được thiết kế bởi một trong hai mô hình sau: hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông hoặc hình trụ. Hỏi thiết kế theo mô hình nào sẽ tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất? Và thiết kế mô hình đó theo kích thước như thế nào? A. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên bằng cạnh đáy B. Hình trụ và chiều cao bằng bán kính đáy C. Hình hộp chữ nhật và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy D. Hình trụ và chiều cao bằng đường kính đáy. - Hướng dẫn: Đối với các bài toán liên quan đến diện tích của khối tròn xoay như thế này, cần áp dụng các công thức tính diện tích của từng khối một cách chính xác rồi đem so sánh Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì diện tích xung quanh bao bì phải là nhỏ nhất. Trong lời giải dưới đây các đơn vị độ dài tính bằng dm, diện tích tính bằng dm2. Xét mô hình hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao h.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 119 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

S ≥ 3 3 2a 2 .2ah.2ah = 6 . Dấu bằng xảy ra khi a = b. Xét mô hình hình trụ có đáy là hình tròn bán kính r và chiều cao là h. Ta có πr 2 h = 1 và diện tích toàn phần bằng S = 2πr 2 + 2πrh

Khi đó ta có a2h=1 và diện tích toàn phần bằng S = 2a 2 + 4ah . Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số 2a 2 , 2ah, 2ah ta có

U Y

Áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có: S = 2πr 2 + 2πrh ≥ 3 3 2πr 2 .πrh.πrh = 5,536 Khi h = 2r Vậy mô hình hình trụ là tốt nhất. Hơn nữa ta còn thấy trong mô hình hình hộp thì hình lập phương là tiết kiệm nhất, trong mô hình hình trụ thì hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy là tiết kiệm nhất

36 2π 2

B. r =

38 2π 2

C. r =

38 2π 2

D. r =

36 2π 2

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. r =

Câu 10: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27 cm3. Với chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.

TR ẦN

H Ư

Câu 11: Người ta cần chế tạo một ly dạng hình cầu tâm O, đường kính 2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly chứa được nhiều nước nhất. 2R R R 6 2R B. r = C. r = D. r = A. r = 3 3 3 3 - Hướng dẫn: Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Bài toán quy về việc tính h và r phụ thuộc theo R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình tròn (O,R) thay đổi về V = πr 2 h đạt giá trị lớn nhất.

ÁN

-L

Í-

10 00

Ta có: AC 2 = AB2 + BC 2 ⇔ 4R 2 = 4r 2 + h 2 1    1  V = π  R 2 − h 2  h = π  − h 3 + R 2 h  ( 0 < h < 2R ) 4    4  2R  3  V ' = π − h2 + R2  ⇔ h = ± 3  4  4 2R Vậy V = Vmax = πR 3 3 ⇔ h = 9 3

Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD và nửa đường tròn đường kính AB như hình vẽ. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB, CD . Biết AB = 4; AD = 6 Thể tích V

của vật thể tròn xoay khi quay mô hình trên

IỄ N

ÀN

quanh trục IJ là:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 120 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

88 π. 3 - Hướng dẫn: Khi xoay mô hình quanh trục IJ thì nửa đường tròn tạo thành nửa mặt cầu có R = 2 ; hình chữ nhật ABCD tạo thành hình trụ có r = 2; h = 6 .

A. V =

56 π. 3

B. V =

104 π. 3

C. V =

40 π. 3

D. V =

88π 3

Thể tích khối trụ là V2 = πr 2 h = 24π ⇒ V = V1 + V2 =

1 4 16π ⇒ Thể tích nửa khối cầu là V1 = . πR3 = . 2 3 3

U Y

tổng diện tích của ba quả bóng, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A. 2 B. 5 C. 3 D. 1 2 Tổng diện tích xung quanh của ba quả bóng là S1 = 3.4 πR ( với R là bán kính của khối cầu). S1 =1. S2

A. 700 π ( cm 2 )

) C. 750,25π ( cm ) D. 756,25π ( cm )

N 10cm

30cm

10 00

B. 754,25π ( cm

H Ư

TR ẦN

Diện tích xung quanh của hình trụ là: S2 = ( 2πR ) .3.2 R = 12πR2 . Từ đây suy ra

35cm

-L

Í-

- Hướng dẫn: Tổng diện tích được tính bằng tổng diện tích xung quanh của hình trụ và diện tích một đáy, với diện tích hình vành khăn. Ta có S = 2 π.7, 5.30 + π.7, 52 + π. ( 17, 52 − 7, 52 ) = 756, 25π . Đáp án D.

ÁN

Câu 15: Một một chiếc chén hình trụ có chiều cao bằng đường kính quả bóng bàn. Người ta đặt quả

bóng lên chiếc chén thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng

3 chiều cao của nó. Gọi V1 ,V2 4

IỄ N

ÀN

lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén, khi đó: A. 9V1 = 8V2 B. 3V1 = 2V2 C. 16V1 = 9V2 D. 27V1 = 8V2 - Hướng dẫn: Gọi h là đường cao của hình trụ, r là bán kính của quả bóng, R là bán kính của chén hình trụ

=>h=2r ⇒ r = OA = OB =

h 2

h h 3 ⇒ OI = ( vì phần bên ngoài = h ) 4 4 4 h 3 bán kính đáy của chén hình trụ là R = OA2 − OI 2 = 4

Theo giả thiết: IB =

I A B

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 121 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

4 h 4 3 π  r π 8 V1 3 3 2 Tỉ số thể tích là = = = ⇒ 9V1 = 8V2 2 2 V2 π R h 9 h 3 π  h  4 

V . π x2

ẠO

2 Khi đó V = π x h ⇒ h =

U Y

Câu 16: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích của khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất? A. 0,68. B. 0,6. C. 0,12. D. 0,52. - Hướng dẫn: Gọi x ( x > 0 ) là bán kính đáy của lon sữa.

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Diện tích toàn phần của lon sữa là

V 2 4 = 2π x 2 + 2 = 2π x 2 + , x > 0 2 πx x x 4 Bài toán quy về tìm GTNN của hàm số S ( x) = 2π x 2 + , x > 0 x 4 S ′ ( x ) = 4π x − 2 x 1 S ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 3 ≈ 0,6827 π

TR ẦN

H Ư

S ( x) = 2π x 2 + 2π xh = 2π x 2 + 2π x

16π dm3 . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt trên của hình nón, các điểm trên đường tròn 9

là

10 00

Câu 17: Một bình đựng nước dạng hình nón (không đáy) đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo dược thể tích nước tràn ra ngoài

O N

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

3π 9π 10 dm 2 . dm 2 . B. S xq = 4π 10 dm 2 . C. S xq = 4π dm 2 . D. S xq = 2 2 - Hướng dẫn: Xét hình nón : h = SO = 3r , r = OB , l = SA . Xét hình trụ : h1 = 2r = NQ , r1 = ON = QI

A. S xq =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 122 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

QI SI 1 r = = ⇒ r1 = ⇒ Thể tích khối trụ là BO SO 3 3 2π r 3 16π = ⇒ r = 2 ⇒ h = 6 ⇒ l = h 2 + r 2 = 2 10 ⇒ S xq = π rl = 4π 10 dm 2 Vt = π r12 h1 = 9 9 Câu 18: Một hình nón bị cắt bởi mặt phẳng ( P ) song song với đáy. Mặt ⇒

tiếp ( N 2 ) như hình vẽ sao cho thể tích hình cầu bằng một nửa thể tích

U Y

của ( N 2 ) . Một mặt phẳng đi qua trục hình nón và vuông góc với đáy cắt theo thiết diện là hình thang cân, tang góc nhọn của hình thang cân

( N2 )

)

ẠO O

10 00

Mà h 2 = BC 2 − ( R − r ) = 4 Rr

(

TR ẦN

πh 4 Thể tích khối cầu là V1 = π r03 = 3 6 1 Thể tích của ( N 2 ) là V2 = π h R 2 + r 2 + Rr 3 V1 1 = ⇒ h 2 = R 2 + r 2 + Rr ( 2 ) V2 2 Ta có BC = R + r (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

(1)

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

⇒ h = 2r0 = AH .tan α = ( R − r ) tan α

là

A. 2 B. 4 C. 1 D. 3 - Hướng dẫn: Giả sử ta có mặt cắt của hình nón cụt và các đại lượng như hình vẽ. Gọi α là góc cần tìm. Xét ∆AHD vuông tại H có DH = h, AH = R − r

phẳng ( P ) chia hình nón làm hai phần ( N1 ) và ( N 2 ) . Cho hình cầu nội

∆SQI ∼ ∆SBO

K R

( 3) 2 Từ ( 2 ) , ( 3) ⇒ ( R − r ) = Rr ( 4 ) 2 2 Từ (1) , ( 3) , ( 4 ) ⇒ h 2 = ( R − r ) .tan 2 α = 4 ( R − r ) ⇒ tan 2 α = 4 ⇒ tan α = 2 (vì α

là góc nhọn)

C. 50 2cm

B. 20cm

D. 25cm

IỄ N

ÀN

ÁN

A. 10 2cm - Hướng dẫn:

-L

Í-

Câu 19: Cho một miếng tôn hình tròn có bán kính 50cm . Biết hình nón có thể tích lớn nhất khi diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích miếng tôn ở trên. Khi đó hình nón có bán kính đáy là

Đặt a = 50cm

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 123 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A G ọi

bán

đáy

kính

chiều

và

cao

của

hình

Toán Ứng Dụng lần

nón

lượt

x, y ( x, y > 0 ) . Ta có

là

SA = SH 2 + AH 2 = x 2 + y 2

Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là Stp = π x 2 + π x x 2 + y 2 Theo giả thiết ta có

U Y

ẠO Đ

y 2 + 2a 2 2a 2 2a 2 = y+ ≥ 2 y. = 2 2a y y y

Ta có

y 2 + 2a 2 đạt giá trị nhỏ nhất y

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

a4 ⇔ x x + y = a − x ⇔ x ( x + y ) = a + x − 2a x , ( DK : x < a ) ⇔ x = 2 y + 2a 2 Khi đó thể tích khối nón là a4 y 1 1 V = π. 2 .y = π a4. 2 2 3 y + 2a 3 y + 2a 2 2

π x2 + π x x2 + y 2 = π a 2 ⇔ x x2 + y 2 + x2 = a2

a 2a 2 , tức là y = a 2 ⇒ x = = 25cm y 2 Lưu ý: Bài trên các em xét hàm số và lập bảng biến thiên cũng được nhé

TR ẦN

H Ư

Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi y =

Câu 20: Người ta xếp 7 hình trụ có cùng bán kính đáy r và cùng chiều cao h vào một cái lọ hình trụ

cũng có chiều cao h, sao cho tất cả các hình tròn đáy của hình trụ nhỏ đều tiếp xúc với đáy của hình trụ

10 00

lớn, hình trụ nằm chính giữa tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, mỗi hình trụ xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ lớn. Khi thể tích của lọ hình trụ lớn là:

B. 18π r 2 h

C. 9π r 2 h

D. 36π r 2 h

A. 16π r 2 h

ÁN

-L

Í-

- Hướng dẫn:

Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy của hình đã cho như trên, khi đó ta rõ ràng nhận ra rằng R = 3r , đề bài

ÀN

thì có vẻ khá phức tạp, tuy nhiên nếu để ý kĩ thì lại rất đơn giản. Vậy khi đó 2

IỄ N

V = B.h = ( 3r ) .π .h = 9π r 2 h.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 124 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

C. 2ϕ = 2arcsin

1 2

D. 2ϕ = 2 arcsin

1 3

2ϕ = 600

A. 2ϕ = 1200

U Y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

- Hướng dẫn: Đặt r1 , r2 , h lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc, α là góc kí hiệu như trên hình vẽ. Ta “trải” ba lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ l ( BB3 ) = 6π r1 = 18π và cung lớn l ( AA3 ) = 6π r2 = 30π .

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 125 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

H Ư

- Hướng dẫn: Con kiến muốn đi từ A tới B phải vòng 3 vòng quanh cốc. Đường đi ngắn nhất là đi theo đoạn AB3, Theo định lý Côsin ta có AB = OA2 + OB 2 − 2OA.OB .cos 3α (1) với α = AOA 2

Độ dài AB = h + ( r2 − r1 ) = 2 226

TR ẦN

OB l ( BB3 ) 3 OB = = = ⇒ OB = 3 226 OA l ( AA3 ) 5 OB + BA

⇒ OA = OB + BA = 5 226

2π .r1 2π l ( BB1 ) = = OB 3 226 226 Thay vào công thức (1) có kết quả. ĐS: 74,6386cm Câu 23: Một người thợ xây, muốn xây dựng một bồn chứa nước hình trụ tròn với thể tích là 150m 3 (như hình vẽ bên). Đáy làm bằng bê tông, thành làm bằng tôn và bề làm bằng bằng nhôm. Tính chi phí thấp nhất để bồn chứa nước (làm tròn đến hàng nghìn). Biết giá thành các vật liệu như sau: bê tông 100 nghìn đồng một m 2 , tôn 90 một m 2 và nhôm 120 nghìn đồng một m 2 .

ÁN

-L

Í-

10 00

Lại có l ( BB1 ) = OB.α ⇒ α =

B. 15037000 đồng. B. 15038000 đồng. C. 15039000 đồng. D. 15040000 đồng. - Hướng dẫn: Gọi r , h ( m 2 ) ( r > 0, h > 0 ) lần lượt là bán kính đường tròn đáy và đường cao của hình trụ. theo đề ta có

ÀN

150 . Khi đó chi phí làm nên bồn chứa nước được xác định theo hàm số π r2 150 27000 27000 f ( r ) = 220π r 2 + 90.2π r 2 = 220π r 2 + (nghìn đồng). f ' ( r ) = 440π r − , πr r r2 675 f '(r ) = 0 ⇔ r = 3 =a. 11π BBT:

IỄ N

π r 2 h = 150 ⇔ h =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 126 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Dựa vào BBT ta suy ra chi phí thấp nhất là  675  f ( a ) = f  3  ≈ 15038,38797 nghìn đồng.  11π  Câu 24: Khi sản xuất cái phễu hình nón (không có nắp) bằng nhôm, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm phễu là ít nhất, tức là diện tích xung quanh của hình nón là nhỏ nhất. Giá trị gần đúng diện tích xung quanh của phễu khi ta muốn có thể tích của phễu là 1dm3 là ? (Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) A. 4.18 dm2 B. 4.17 dm2 C. 4.19 dm2 D. 4.1 dm2 Câu 25: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể tích 16π m 3 . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất. A. 0,8m B. 1,2m C. 2m D. 2, 4m - Hướng dẫn: 16 r2 32π Diện tích toàn phần của hình trụ là: S(x) = S( x) = 2π x2 + 2π x.h = 2π x2 + ,( x > 0) x 32π Khi đó: S’(x) = S '( x) = 4π x − 2 , cho S '( x) = 0 ⇔ x = 2 x Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 2( m) nghĩa là bán kính là 2( m).

10 00

TR ẦN

Gọi x( m) là bán kính đáy của hình trụ ( x > 0) . Ta có: V = π x2 .h ⇔ h =

Câu 26: Một xưởng cơ khí nhận làm những chiếc thùng phi với thể tích theo yêu cầu là 2000π lít mỗi chiếc. Hỏi bán kính đáy và chiều cao của thùng lần lượt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất? A. 1m và 2m B. 1dm và 2dm C. 2m và 1m D. 2dm và 1dm - Hướng dẫn: Đổi 2000π(lit) = 2π(m3 ) . Gọi bán kính đáy và chiều cao lần lượt là x( m) và h( m) .

Í-

Ta có thể tích thùng phi V = π x 2 .h = 2π ⇒ h =

2 x2

-L

Vật liệu tỉ lệ thuận với diện tích toàn phần nên ta chỉ cần tìm x để diện tích toàn phần bé nhất. 2 2 ) = 2π( x 2 + ) 2 x x Đạo hàm lập BBT ta tìm đc f ( x ) GTNN tại x = 1 , khi đó h = 2.

ÁN

Stp = 2π x 2 + 2π x.h = 2π x( x +

ÀN

Câu 27: Một đại lý xăng dầu cần làm một cái bồn chứa dầu hình trụ bằng tôn có thể tích 16π m 3 . Tìm bán kính đáy r của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra ít tốn nguyên vật liệu nhất. B. 1,2m

C. 2m

D. 2, 4m

IỄ N

A. 0,8m - Hướng dẫn:

16 r2 32π ,( x > 0) Diện tích toàn phần của hình trụ là: S(x) = S( x) = 2π x2 + 2π x.h = 2π x2 + x 32π Khi đó: S’(x) = S '( x) = 4π x − 2 , cho S '( x) = 0 ⇔ x = 2 x Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 2( m) nghĩa là bán kính là 2( m).

Gọi x( m) là bán kính đáy của hình trụ ( x > 0) . Ta có: V = π x2 .h ⇔ h =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 127 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

ẠO

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Câu 28: Một cửa hàng nhận làm những chiếc xô bằng nhôm hình trụ không nắp chứa 10 lít nước. Hỏi bán kính đáy (đơn vị cm, làm tròn đến hàng phần chục) của chiếc xô bằng bao nhiêu để cửa hàng tốn ít vật liệu nhất. A. 14,7cm. B. 15cm. C. 15,2cm. D. 14cm. - Hướng dẫn: . Gọi x(cm) là bán kính đáy của chiếc xô. x > 0 V . khi đó V = π x 2 h ⇒ h = 2 πx . Để tiết kiện vật liệu thì diện tích toàn phần của chiếc xô bé nhất . Ta có: 1lít = 1dm3 = 1000cm3. 20000 . Diện tích toàn phần của chiếc xô là S = π x 2 + x 3 20000 2π x − 20000 . S ′ = 2π x − . = x2 x2 10 . S ′ = 0 ⇔ x = 10 3 ≈ 14, 2cm.

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

10 00

TR ẦN

H Ư

. Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích toàn phần của chiếc xô bé nhất khi x ≈ 14, 2cm Câu 29: Làm 1 m2 mặt nón cần: 120 lá nón ( Đã qua sơ chế). Giá 100 lá nón là 25.000 đồng. Vậy để làm 100 cái nón có chu vi vành nón là 120 cm, và khoảng từ đỉnh nón tới 1 điểm trên vành nón là 25 cm thì cần bao nhiêu tiền mua lá nón? A. 400.000đ B. 450.000đ C. 500.000đ D. 550.000đ - Hướng dẫn: Làm 100 cái nón hết 450.000 đ tiền để mua lá nón. Câu 30: Bạn An là một học sinh lớp 12, bố bạn là một thợ hàn. Bố bạn định làm một chiếc thùng hình trụ từ một mảnh tôn có chu vi 120 cm theo cách dưới đây:

ÁN

-L

Í-

ÀN

dài là x lại thì bán kính đáy là r =

x −x 3 + 60 x 2 ; h = 60 − x. Ta có: V = πr 2 .h = . 2π 4π

Xét hàm số: f ( x) = −x 3 + 60 x 2 , x ∈ (0; 60 )

IỄ N

x = 0 f '( x) = −3 x 2 + 120 x; f '( x) = 0 ⇔   x = 40  Lập bảng biến thiên, ta thấy f ( x) = −x 3 + 60 x 2 , x ∈ (0; 60 ) lớn nhất khi x=40. 60-x=20. Khi đó chiều dài là

40 cm; chiều rộng là 20 cm.

Câu 31: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R =10cm, đặt trong một khung hình hộp chữ nhật (hình 1). Trong chậu có chứa sẵn một khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm. Người ta

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 128 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

A. 2 B. 4 C. 7 D. 10 - Hướng dẫn: Gọi x là bán kính viên bi hình cầu. Điều kiện: 0 < 2x <10 ⇔ 0 < x < 5 0

U Y

bỏ vào chậu một viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2). Bán h  kính của viên bi gần số nguyên nào sau đây. (Cho biết thể tích khối chỏm cầu là V = π h 2  R −  ) 3 

4 3

3 -Thể tích viên bi là Vbi = π x .

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

4  416π h   -Thể tích khối nước hình chỏm cầu khi chưa thả viên bi vào V1 = π h 2  R −  = 16π 10 −  = 3 3 3   -Khi thả viên bi vào thì khối chỏm cầu gồm khối nước và viên bi có 2 x  4π x 2 (30 − 2 x)  thể tích là: V2 = π (2 x) 2  R − = 3  3  -Ta có phương trình: 4π x 2 (30 − 2 x ) 416π 4 3 V2 − V1 = Vbi ⇔ − = π x ⇔ 4π x 2 (30 − 2 x ) − 416π = 4π x 3 3 3 3 3 2 ⇔ 3x − 30 x + 104 = 0 -Giải phương trình ta có các nghiệm: x1 ≈ 9,6257 > 5 (loại) x2 ≈ 2,0940 < 5 (thỏa mãn), và x3 ≈ -1,8197 (loại). Vậy bán kính viên bi là: r ≈ 2,09 (cm). Câu 32: Công ty chuyên sản xuất bao bì đựng sản phẩm sữa nhận đơn đặt hàng sản xuất hộp đựng sữa có thể tích 1dm 3 . Các nhân viên thiết kế phân vân giữa làm hộp đựng dạng hình trụ hay hình hộp chữ nhật đáy hình vuông. Hỏi công ty sẽ làm hộp hình gì để chi phí nguyên liệu nhỏ nhất. A. Hình trụ B. Hình hộp chữ nhật đáy hình vuông C. Cả hai như nhau D. Hình lập phương - Hướng dẫn: TH1: Nếu làm hình trụ có bán kính đáy là x ( dm) và chiều cao là h(dm) AM − GM 1 2 Ta có V = π x 2 h = 1 ⇒ h = 2 Stp = 2π xh + 2π x 2 = + 2π x 2 ≥ 3 3 2π ≈ 5,5 ( dm 2 ) πx x TH2: Nếu làm hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông cạnh x ( dm) và cao h( dm) AM − GM 1 4 V = x 2 .h = 1 ⇒ h = 2 ⇒ Stp = 4 xh + 2 x 2 = + 2 x 2 ≥ 6 x x Kết luận: Chọn đáp án A Lời bình: Thực tế các loại thực phẩm, nước uống có loại dùng hình trụ (các loại nước giải khát như coca, pepsi…) có loại hình hộp (như sữa…). Nếu tính toán chi tiết ta thấy cùng 1 đơn vị thể tích, nếu làm hình hộp thì đó sẽ là hình lập phương,nhưng đa số chúng ta thấy các hộp đựng sữa là dạng hình hộp thường (là do đặc tính riêng về chi tiết quảng cáo trên sản phẩm,do cách bảo quản sữa trong tủ lạnh và

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 129 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

U Y

đôi khi do tính tiện dụng cầm nắm) vì thế các bài toán về chi phí sản xuất vật liệu cần phải đi sâu sát hơn vào đời sống, tìm hiểu kĩ nhu cầu tiêu dùng,sự hài lòng khách hàng. Do đó nhiều khi cần phải “tốn tiền cho vật liệu”. Câu 33: (Thể tích – mặt cầu-mặt nón – mặt trụ) Có một miếng nhôm hình vuông, cạnh là 3dm, một người dự tính tạo thành các hình trụ (không đáy ) theo hai cách sau: Cách 1: gò hai mép hình vuông để thành mặt xung quanh của một hình trụ, gọi thể tích là của khối trụ đó là V1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

V1 V2

số

tỉ

10 00

đó,

Khi

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Cách 2: cắt hình vuông ra làm ba, và gò thành mặt xung quanh của ba hình trụ, gọi tổng thể tích của chúng là V2.

1 3 Hướng dẫn: 3 27 ⇒ V1 = πR12 h = .Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có 2πR1 = 3 ⇒ R1 = 2π 4π 1 9 . Gọi R1 là bán kính đáy của khối trụ thứ nhất, có 2πR 2 = 1 ⇒ R1 = ⇒ V2 = 3πR12 h = 2π 4π Vậy đáp án là A. B. 2

ÁN

-L

Í-

A. 3

1 2

là:

IỄ N

ÀN

A. π 6 cm B. 12π + 4π 6 cm - Hướng dẫn:

C. 2π 6 cm

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. 8π 6 cm

Trang 130 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A I

Toán Ứng Dụng

U Y

Gọi x (x>0) là chiều dài cung tròn của phần được xếp làm hình nón. Như vậy, bán kính R của hình tròn sẽ là đường sinh của hình nón và đường tròn đáy của hình nón sẽ có độ dài là x. x Bán kính r của đáy được xác định bởi đẳng thức 2π r = x ⇒ r = . 2π

ẠO

x2 . 4π 2

R2 −

x2 . 4π 2

R2 −

1 π x  Thể tích của khối nón: V = π r 2 .H =   3 3  2π  Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

R2 − r 2 =

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Chiều cao của hình nón tính theo Định lý Pitago là: h =

TR ẦN

 x2 x2 x2 2 + + R − 2 2 2 2 2  x x 4π x 4π 8π 2 8π 2 4π 2 . 2 . 2 (R2 − )≤ V2 =  2 9 8π 8π 4π 9  3  

  4π 2 R 6 .  = 9 27   

10 00

x2 x2 2π 2 =R − Do đó V lớn nhất khi và chỉ khi ⇔x= R 6 ⇔ x = 6 6π 2 8π 4π 3 (Lưu ý bài toán có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, tuy nhiên lời giải bài toán sẽ dài hơn) Câu 35: Một người có một dải duy băng dài 130 cm, người đó cần bọc dải duy băng đỏ đó quanh một

hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm của dải duy băng để thắt nơ ở trên nắp hộp (như

ÁN

-L

Í-

hình vẽ minh họa). Hỏi dải duy băng có thể bọc được hộp quà có thể tích lớn nhất là bao nhiêu ?

ÀN

A. 4000π cm 3

B. 32000π cm 3

C. 1000π cm 3

D. 16000π cm 3

- Hướng dẫn:

IỄ N

Một bài toán thực tế khá hay trong ứng dụng của việc tìm giá trị lớn nhất của hàm số. Ta nhận thấy, dải

duy băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh cái hộp, do đó chiều dài của dải duy băng chính là tổng chu vi của hai hình chữ nhật đó. Tất nhiên chiều dài duy băng đã phải trừ đi phần duy băng dùng để thắt nơ, có nghĩa là: 22 ( 2r + h ) = 120 ⇔ h = 30 − 2r

Khi đó thể tích của hộp quà được tính bằng công thức:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 131 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

V = B.h = π .r 2 ( 30 − 2r ) = π ( −2r 3 + 30r 2 )

Xét hàm số f ( r ) = −2r 3 + 30r 2 trên ( 0;15)

r = 0 (l ) f ' ( r ) = −6r 2 + 60r; f ' ( r ) = 0 ⇔   r = 10

Khi đó vẽ BBT ta nhận ra Max f ( r ) = f (10 ) . Khi đó thể tích của hộp quà V = B.h = π .10 2.10 = 1000π

( 0;10 )

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 36: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm ×240cm, người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây): • Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. • Cách 2: Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng. Kí hiệu V1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và V2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo V cách 2. Tính tỉ số 1 V2

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

81 π 2 Câu 38: Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng

A. 36π

B. 54π

C. 48π

hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi S1 là

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 132 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số

S1 bằng S2

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

81 π 2 - Hướng dẫn: Đây thực chất là bài toán khối trụ nội tiếp khối nón, ta có kí hiệu các kích thước như sau:

C. V = 48π

H Ư

B. V = 54π

D. V =

10 00

TR ẦN

A. V = 36π

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

Ta có thể tích vắt mì tôm được tính bằng V = B.h = π r 2 .h Đây là ứng dụng của bài toán tìm GTLN, GTNN trên một khoảng (đoạn) xác định: Ta sẽ đưa thể tích về hàm số một biến theo h hoặc r. Trước tiên ta cần đi tìm mối liên hệ giữa h và r. Nhìn vào hình vẽ ta thấy các mối quan hệ vuông góc và song song, dùng định lí Thales ta sẽ có: h 6−r 18 − 3r = ⇔h= 9 6 2 18 − 3r 3π r 3 =− + 9π r 2 với 0 < r < 6 Khi đó V = f ( r ) = π r 2 . 2 2 r = 0 9 2 f ' ( r ) = − π r + 18π r = 0 ⇔  2 r = 4 Khi đó ta không cần phải vẽ BBT ta cũng có thể suy ra được với r = 4 thì V đạt GTLN, khi đó V = 48π

Câu 40: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm3. Với chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất. A. r =

36 2π 2

B. r =

38 38 4 r = C. 2π 2 2π 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. r =

36 2π 2

Trang 133 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 41: Từ tấm tôn hình chữ nhật cạnh 90cm x 180cm người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng 80cm theo 2 cách(Xem hình minh họa dưới)

+)Diện tích đáy 1: Sday1

10 00

TR ẦN

-L

Í-

Chu vi đáy 1: 2π r1 =180=> r1 =

; Sday1 = π r12 =

902

ÁN

+)Diện tích đáy 1: Sday 2

Chu vi đáy 1: 2π r2 =60=> r2 =

; Sday 2 = π r2 2 =

302

=>3 Sday 2 =

3.302

V1 S day1 =3 = V2 S day 2 Câu 42: Cối xay gió của Đôn ki hô tê (từ tác phẩm của Xéc van téc). Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón. Chiều cao của hình nón là 40 cm và thể tích của nó là 18000 cm3. Tính bán kính của đáy hình nón (làm tròn đến kết quả chữ số thập phân thứ hai). A. 12 cm B. 21 cm C. 11 cm D. 20 cm - Hướng dẫn: Theo đề bài ta có: V = 18000 cm3 , h = 40 cm . Do đó, ta có:

IỄ N

ÀN

Vậy

1 3V 3.18000 V = .π r 2 h ⇒ r = = ⇒ r ≈ 20, 72 cm πh 3 40π Vậy bán kính của hình tròn là r = 21 cm

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 134 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

U Y

Câu 43: Từ một miếng tôn hình vuông cạnh a(cm) người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật và hai hình tròn có cùng đường kính để làm thân và các đáy của một hình trụ. Hỏi khối trụ được tạo thành có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu, biết rằng các cạnh cảu hình chữ nhật song song hoặc trùng với các cạnh ban đầu của tấm tôn. a3 (π − 1) a3 (π + 1) a 3π a 3π A. B . C . D . 2 4π 2 4π 2 4π 2 4 (π + 1) - Hướng dẫn: Ta có 2 cách để cắt hình để tạo thành hình trụ. +) Cách 1: Cắt thành 2 phần: Một phần có kích thước x và a. Một phần có kích thước a-x và a. Phần có kích thước x và a để làm hai đáy và phần có kích thước a-x và a cuộn dọc để tạo thành thân (tạo thành a π ax 2 a 3π hình trụ có chiều cao bằng a). Điều kiện là x ≤ thì V = . ≤ 2 π +1 4 4 (π + 1)

Xét hàm số V = Ta có V =

π ( a − x ) x2 4

≤

, với x ≤

a 3 (π − 1)

4π 2

do chu vi của hình tròn cắt ra phải bằng với phần đáy

π ( a − x ) x2

H Ư

của hình chữ nhật. Khi đó V =

π ( a − x ) x2

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

hình trụ có chiều cao là a-x). Điều kiện là x ≤

ẠO

+) Cách 2: Cắt như trên. Nhưng phần có kích thước a-x và a cuộn ngang để làm thành thân (tạo thành

Vậy thể tích lớn nhất của khối trụ được tạo thành là:

a3 (π − 1)

(

10 00

. 4π 2 Câu 44: Một phễu đựng kem hình nón bằng giấy bạc có thể tích 12π (cm3) và chiều cao là 4cm. Muốn tăng thể tích kem trong phễu hình nón lên 4 lần, nhưng chiều cao không thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm là.

)

H Í-

12 13 cm 2 ) . ( 15

(

B. 12π 13 cm 2 .

(

D. (12 13 + 15)π cm 2

-L

A. (12 13 − 15)π cm 2 .

)

ÁN

- Hướng dẫn: Gọi R1 là bán kính đường tròn đáy hình nón lúc đầu; h1 là chiều cao của hình nón lúc đầu.

Gọi R2 là bán kính đường tròn đáy hình nón sau khi tăng thể tích; h2 là chiều cao của hình nón sau khi

ÀN

tăng thể tích.

1 3

Ta có: V1 = π R12 h1 ⇒ 12π = π R12 4 ⇒ R1 = 3

IỄ N

1  V1 = π R12 h1  3  1 R2  V V2 = π R22 h2  ⇒ 2 = 22 = 4 ⇒ R2 = 2 R1 = 6 3  V1 R1 h2 = h1   

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 135 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

(

Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu: S xp1 = π R1l1 = π 3 16 + 9 = 15π cm 2

) (

Diện tích xung quanh hình nón sau khi tăng thể tích: S xp 2 = π R2l2 = π 6 16 + 36 = 12π 13 cm 2

(

)

) ( )

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là: S = 12 13 − 15 π cm2 . Đáp án: A

- Hướng dẫn: Gọi r là bán kính lõi gỗ, d là chiều dài vải, lk chiều dài vải vòng thứ k

U Y

Câu 45: Một tấm vải được quấn 357 vòng quanh một lõi hình trụ có bán kính đáy bằng 5,678cm, bề dày vải là 0,5234cm. Khi đó chiều dài tấm vải gần số nguyên nào nhất sau đây: A. 330 m B. 336 m C. 33 2 m D. 334 m

Ta có l1 = 2π r; l2 = 2π (r + d );...; ln = 2π (r + (n − 1)d )

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

n(n − 1)d   Ta có tổng chiều dài của n vòng S = l1 + l2 + ... + ln = 2π  nr +  2  Suy ra S ≈ 336,3417 m Câu 46: Một khối gạch hình lập phương (không thấm nước) có cạnh bằng 2 được đặt vào trong một chiếu phễu hình nón tròn xoay chứa đầy nước theo cách như sau: Một cạnh của viên gạch nằm trên mặt nước (nằm trên một đường kính của mặt này); các đỉnh còn lại nằm trên mặt nón; tâm của viên gạch nằm trên trục của hình nón. Tính thể tích nước còn lại ở trong phễu (làm tròn 2 chữ số thập phân). A. V =22,27 B. V =22,30 C. V =23.10 D. 20,64

- Hướng dẫn: Gọi R, h lần lượt là bán kính và chiều cao của hình nón (phễu). Thiết diện của hình nón song song với đáy của hình nón, qua tâm của viên gạch là hình tròn có bán kính

ÀN

R1 h − 2 h− 2 .R = 3 (1) = ⇒ R h h Thiết diện của hình nón song song với đáy hình nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm trên đáy của hình R h−2 2 h−2 2 .R = 1 ( 2 ) ⇒ nón là hình tròn có bán kính R2 = 1 thỏa mãn 2 = R h h 5 2+ 6 h− 2 Từ (1) và (2) suy ra và R = 2 3 − 1 = 3⇒h= 2 h−2 2 1 Thể tích lượng nước còn lại trong phễu là V = Vnón - Vgạch = π R 2 h − 23 ≈ 22, 2676 3

IỄ N

R1 = 3 thỏa mãn

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 136 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

C. 737,596 kg

D. 625,337kg

4π . 3

ẠO

Lấy bán kính viên bi hình cầu làm đơn vị độ dài thì thể tích của viên bi là

B. 433,563 kg

A. 355,689kg - Hướng dẫn:

U Y

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

tính cạnh của thập giác đều nội tiếp đường tròn lớn của hình cầu. tính cạnh của hình đa điện đều 20 mặt. tính thể tích hình chóp tam giác đều có đỉnh là tâm hình cầu, đáy 4π là mặt của hình đa diện đều. nhân số đo thể tích đó với 20 rồi chia cho . 3 nhân kết quả này với 1000kg. m ≈ 737,59644 kg

10 00

TR ẦN

1000 π a2 2000 Stp = 2πh + 2πa2 = 2 +2πa2 a ⇒ S’=0 ⇔ a =

Í-

V =1000 = a2hπ ⇒ h =

ÁN

-L

ÀN

- Hướng dẫn: Chiều cao h1 của tứ diện đều mà 4 đỉnh là 4 tâm của 4 quả cầu:

2r 3 2 2 6 r. ) = 3 3 Chiều cao h của tứ diện ngoại tiếp 4 mặt cầu:  2 6 h = h1 + r + 3r = h1 + 4r =  4 + r 3   h Cạnh của tứ diện muốn tìm a = ⇒ a = 2 6 + 2 r ⇒ a ≈ 22, 4452 sin α Câu 51: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 1 tấm tôn 5(dem) có kích thước 1m x 20m (biết giá 1m2 tôn là 90000đ) bằng 2 cách:

IỄ N

h1 = (2 r ) 2 − (

(

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

)

Trang 137 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

ẠO

B. Không chọn cách nào D. Cách 1

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. Cả 2 cách như nhau C. Cách 2

U Y

Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành 1 hình trụ (hình 1) Cách 2: Chia chiều dài tấm tôn thành 4 phần bằng nhau rồi gò tấm tôn thành 1 hình hộp chữ nhật như (hình 2). Biết sau khi xây xong bể theo dự định, mức nước chỉ đổ đến 0,8m và giá nước cho đơn vị sự nghiệp là 9955đ/m3. Chi phí trong tay thầy là 2 triệu đồng. Hỏi thầy giáo sẽ chọn cách nào để không vượt quá kinh phí (giả sử chỉ tính đến các chi phí theo dữ kiện trong bài toán).

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

10 00

TR ẦN

H Ư

- Hướng dẫn: Tiền tôn: S. 90000 = 20.90000=1800000(đ) Cách 1: Chu vi đáy C: 2πr = 20 ⇒ r Tiền nước: V.9955 = πr2h9955 = 253501,99(đ) Cách 2: Tiền nước: V.9955 = 20.0,8.9955 = 159280 đ Tổng tiền = 1800000 + 159280 = 1959280 (thỏa mãn) Câu 52:: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất ? A. 0.7 B. 0.6 C. 0.8 D. 0.5 Câu 53: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là: A. 16π r 2 B. 18π r 2 C. 9π r 2 D. 36π r 2 3 Câu 54: Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích 27cm . Vói chiều cao h và bán kính đáy là r. Tìm r để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.

Í-

36 38 38 6 4 B. C. r = r = 2π 2 2π 2 2π 2 - Hướng dẫn: 1 3V Ta có: V = π r 2 h => h = 2 => độ dài đường sinh là: 3 πr 3V 81 38 l = h2 + r 2 = ( 2 )2 + r 2 = ( 2 )2 + r 2 = + r2 2 4 πr πr π r 4

D. r =

36 2π 2

ÀN

ÁN

-L

A. r =

IỄ N

Diện tích xung quanh của hình nòn là: S xq = π rl = π r

38 38 2 + r = + r4 π π 2r 4 π 2r 2

38 . 2π 2 Câu 55: Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy bán kính R. Một mặt phẳng (P) song song với đáy cách đáy một khoảng bằng d cắt hình nón theo đường tròn (L). Dựng hình trụ có một đáy là (L), đáy còn lại thuộc đáy của hình nón và trục trùng với trục hình nón. Tìm d để thể tích hình trụ là lớn nhất. h h h h B. d = C. d = D. d = B. d = 3 2 6 4

Áp dụng BĐT Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi r =

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 138 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

- Hướng dẫn: Giải: Gọi r là bán kính của (L). Ta có

r h−d R = ⇒ r = (h − d ) R h h 3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

R2 R2 R 2  ( h − d ) + ( h − d ) + 2d  4π R 2 h 2 ⇒ V = π 2 ( h − d ) .d = π 2 ( h − d )( h − d ) .2d ≤ π 2   = 2h 2h  3 27 h  h Dấu bằng xảy ra khi h − d = 2d ⇔ d = . 3 Câu 56: Người ta cần đổ một ống bi thoát nước hình trụ với chiều cao 200 cm , độ dày của thành bi là 10 cm và đường kính của bi là 60 cm . Lượng bê tông cần phải đổ của bi đó là: A. 0,1π m 3 . B. 0,18π m 3 . C. 0,14π m 3 . D. π m 3 . Câu 57: Người ta xếp 9 viên bi có cùng bán kính r vào một cái bình hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 8 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của bình hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái bình hình trụ là: A. 36πr 2 B. 16πr 2 C. 18πr 2 D. 9πr 2

TR ẦN

H Ư

10 00

91125 (cm3 ) 4π

91125 (cm3 ) 2π

C M

Í-

108000 3 (cm 3 ) π

13500. 3 (cm 3 ) π

ÁN

-L

ÀN

kính đó gọi là mặt đáy của mỗi nửa mặt cầu. Một hình trụ gọi là nội tiếp nửa mặt cầu S ( O, R ) nếu một

IỄ N

để khối trụ có thể tích lớn nhất. A. r =

3 6 . ,h= 2 2

B. r =

6 3 . ,h= 2 2

C. r =

6 3 . ,h= 3 3

D. r =

3 6 . , h= 3 3

- Hướng dẫn:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 139 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

là:

V = πr 2 h = π(1 − h 2 ) h = f (h)

H 3 3

−

2π 3 9

f(h)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

f'(h)

2π 3 6 3 và h = (đvtt) khi r = 9 3 3

H Ư

( 0;1]

Vậy: MaxV =

U Y

3 3

⇒ f '(h) = π(1 − 3h 2 ) = 0 ⇔ h =

trụ

ẠO

khối

tích

Thể

Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường tròn đáy trên có tâm O' có hình chiếu của O xuống mặt đáy (O'). Suy ra hình trụ và nửa mặt cầu cùng chung trục đối xứng và tâm của đáy dưới hình trụ trùng với tâm O của nửa mặt cầu.Ta có: h 2 + r 2 = R 2 ( 0 < h ≤ R = 1) ⇒ r 2 = 1 − h2

TR ẦN

Câu 61: Phần không gian bên trong của chai rượu có hình dạng như hình bên. Biết bán kính đáy bằng R = 4, 5 cm, bán kính cổ r = 1, 5 cm, AB = 4,5 cm, BC = 6, 5 cm,CD = 20 cm. Thể tích phần không gian bên trong của chai rượu đó bằng

3321π 7695π 957π cm 3 . cm 3 . cm3 . B. C. D. 478π (cm 3 ) . 8 16 2 Câu 62: Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình A R = 5cm, bán kính cổ bên. Biết bán kính đáy bằng r B r = 2cm, AB = 3cm, BC = 6cm, CD = 16cm. Thể tích phần không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng:

(

)

(

)

B. 462π ( cm3 ) . D. 412π ( cm3 ) .

ÁN

C. 490π ( cm3 ) .

-L

A. 495π ( cm3 ) .

Í-

10 00

(

- Hướng dẫn:

( ) = π r . AB = 12π ( cm ) .

ÀN

Thể tích khối trụ có đường cao CD : V1 = π R 2 .CD = 400π cm3 .

IỄ N

Thể tích khối trụ có đường cao AB : V2

D R

E r=2

R=5 C

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 140 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có

Toán Ứng Dụng

MC CF 5 = = ⇒ MB = 4 MB BE 2

Thể tích phần giới hạn giữa BC : V3 =

( R .MC − r .MB ) = 78π ( cm ) . 3 2

( )

Suy ra: V = V1 + V2 + V3 = 490π cm3 .

TP ẠO N

M B

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

U Y

Chọn C Câu 63: Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài, được một khối trụ đường kính 50 cm. Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, khối còn lại là một khối trụ có đường kính 45 cm. Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị) ? A. 373 (m) B. 119 (m) C. 187 (m) D. 94 (m)

Hướng

-L

Í-

dẫn: 2

có:

MN = 4cm ⇒ MA = 2cm ⇒ OA = MO − MA = 21cm Sd = πR 2 = 3,14.4 ( cm 2 )

ÁN

1 21.3,14.4 = 19,185 ( ml ) = 19,19 ml 3

ÀN

IỄ N

Câu 66: Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất: 3 1 1 2 B. R = 3 C. R = 3 D. R = 3 A. R = 3 2π π 2π π - Hướng dẫn: Gọi h và R lần lượt là chiều cao và bán kính đáy (đơn vị: met) 1 Ta có: V = hπR 2 = 1 → h = πR 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 141 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 1 2 = 2πR 2 + ( R > 0 ) 2 R πR 1 Cách 1: Khảo sát hàm số, thu được f ( R ) min ⇔ R = 3 ⇒h= 2π

Toán Ứng Dụng

Stp = 2πR 2 + 2 πRh = 2 πR 2 + 2 πR

1 1 4 π2

π3

Cách 2: Dùng bất đẳng thức:

1 1 1 1 1 = 2πR 2 + + ≥ 3 3 2πR 2 . . = 3 3 2π 2 πR R R R R 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi R 3 = 2π Câu 67: Một người nông dân có một tấm cót hình chữ nhật có chiều dài 12π (dm ) , chiều rộng 1 (m ) .

U Y

Stp = 2πR 2 + 2πRh = 2πR 2 + 2πR

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

(II)

(III)

(IV)

(I)

10 00

B. 9216π . 1024π . D. 9

IỄ N

ÀN

A. 3888π 16π . C. 243

ÁN

-L

Í-

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 142 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Hướng dẫn giải. Diện tích xung quanh của nồi là S1 = 2π rl = 2π .10, 4.11, 4 = 2704 π 25

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Chọn A.

8632 π = π R 2 ⇒ R = 18.58cm 25

Suy ra diện tích tối thiểu miếng kim loại hình tròn là S = S1 + S 2 =

Diện tích đáy nồi là S2 = π r 2 =

5928 π 25

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 143 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN

ẠO

- Hướng dẫn: Khi bắt đầu tiếp đất vật chuyển động được quảng đường là s = 162 m t t  t3  t3 Ta có: s = ∫ (10t − t 2 ) dt =  5t 2 −  = 5t 2 − ( trong đó t là thời điểm vật tiếp đất ) 30 3  0

U Y

phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v(t ) = 10t − t 2 , trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v (t ) được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là: A. v = 7 ( m / p ) B. v = 9 ( m / p ) C. v = 5 ( m / p ) D. v = 3 ( m / p )

t3 = 162 ⇒ t = 9 ( Do v ( t ) = 10t − t 2 ⇒ 0 ≤ t ≤ 10 ) 3 Khi đó vận tốc của vật là: v ( 9 ) = 10.9 − 9 2 = 9 ( m / p ) . Chọn B.

Đ G N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Cho 5t 2 −

+ 12t ) + C

+ 12t ) + 1595280

B. f ( t ) = 30 3 ( t 2 + 12t ) + 1610640

Í-

C. f ( t ) = 30

(t (t

D. f ( t ) = 30 3 ( t 2 + 12t ) + 1610640

-L

A. f ( t ) = 30

10 00

TR ẦN

H Ư

Câu 2: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v(t ) = 3t + 2 , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m . Biết tại thời điểm t = 2s thì vật đi được quãng đường là 10m . Hỏi tại thời điểm t = 30s thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu? A. 1410m B. 1140m C. 300m D. 240m - Hướng dẫn: 3 Ta có: s ( t ) = ∫ v ( t ) dt = ∫ ( 3t + 2 ) dt = t 2 + 2t + C , s ( 2 ) = 10 ⇔ C = 0 ⇒ S ( 30 ) = 1410 ⇒ A 2 Câu 3: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D ( t ) đô la mỗi năm, với D ' ( t ) = 90 (1 + 6 ) t 2 + 12t trong đí t là số lượng thời gian (tính theo năm) kể từ công ty bắt đầy vay nợ. Đến năm thứ tư công ty đã phải chịu 1 626 000 đô la tiền nợ nần. Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này ?

ÁN

- Hướng dẫn: Thực chất đây là bài toán tìm nguyên hàm. Ta có thể dễ dàng nhận thấy: bài toán cho đạo hàm của một hàm số, công việc của chúng ta là đi tìm nguyên hàm: t 2 + 12tdt = 45∫ t 2 + 12td ( t 2 + 12t )

ÀN

∫ 90 ( t + 6 )

= 45∫ ( t 2 + 12t ) 2 d ( t 2 + 2t ) = 45.

1 1+

(t 1

+ 12t )

1 2

= 30.

+ 12t )

IỄ N

2 Vì đến năm thứ tư công ty đã chịu 1610640 tiền nợ nần nên số tiền mà công ty vay năm đầu sẽ được tính

1610640 − 30

+ 12.4 ) = 1595280

Vậy công thức tính tiền nợ nần sẽ như sau:

D ( t ) = 30

+ 12t ) + 1595280

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 144 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Phân tích sai lầm: Nhiều quý độc giả khi tìm ra được nguyên hàm của hàm số sẽ cộng thêm C luôn như bài toán tìm nguyên hàm bình thường. Tuy nhiên ở đây khoản nợ vay ban đầu đã cố định, tức là hằng số C đã cố định. Ta cần tìm hằng số để cộng thêm vào công thức. Sai lầm thứ hai: Nhiều quý độc giả cộng luôn với 1610640 luôn nên dẫn đến sai lầm. m

Sai lầm thứ ba: Không nhớ công thức a n = n a m Câu 4: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h ( t ) là thể tích nước bơm được sau t giây.

Cho h ' ( t ) = 3at 2 + bt và ban đầu bể không có nước.

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m 3 Sau 10 giây thi thể tích nước trong bể là 1100m 3 Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây. A. 8400 m3 B. 2200 m3 C. 600 m3 D. 4200 m3 - Hướng dẫn: Nhìn vào bài toán ta có thể nhận ra ngay đây là bài toán tính tích phân, vì đã có đạo hàm. Nên từ các dữ kiện đề cho ta có: 5 25  3 1 2 5 2 ∫0 ( 3at + bt ) dt =  at + 2 bt  0 = 125a + 2 b = 150 Tương tự ta có 1000a + 50b = 1100 Vậy từ đó ta tính được a = 1; b = 2 20 20 Vậy thể tích nước sau khi bơm được 20 giây là ∫ h ' ( t ) dt = ( t 3 + t 2 ) = 8400. 0 0

Câu 5: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h ( t ) là thể tích nước bơm được sau t giây.

10 00

- Hướng dẫn:

t2 +C 2

Í-

Ta có: h ( t ) = ∫ h ' ( t ) dt = ∫ ( 3at 2 + bt ) dt = at 3 + b

-L

Do ban đầu hồ không có nước nên h ( 0 ) = 0 ⇔ C = 0 ⇒ h ( t ) = at 3 + b

t2 2

52 = 150 2 10 2 = 1100 Lúc 10 giây h (10 ) = a.103 + b. 2 Suy ra a = 1, b = 2 ⇒ h ( t ) = t 3 + t 2 ⇒ h ( 20 ) = 203 + 202 = 8400m3

ÀN

ÁN

Lúc 5 giây h ( 5 ) = a.53 + b.

IỄ N

Câu 6: Một ca nô đang chạy trên hồ Tây với vận tốc 20m / s thì hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = −5t + 20 , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc ca nô dừng hẳn đi được bao nhiêu mét? A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m - Hướng dẫn: Khi ca nô dừng thì v ( t ) = 0 ⇔ −5t + 20 = 0 ⇔ t = 4 Khi đó quảng đường đi được từ khi hết xăng là

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 145 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

 −5  Ta có s = ∫ ( −5t + 20 ) dt =  t 2 + 20t  = 40 m .  2 0 0 Câu 7: Người ta thả một ít lá bèo vào hồ nước. Biết rằng sau 1 ngày, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ và sau mỗi giờ lượng lá bèo tăng gấp 10 so với trước đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì lá 1 bèo phủ kín mặt hồ? 3 9 − log 3 A. 9 − log 3 B. 9 + log 3 C. D. 3 − log 3 3 - Hướng dẫn: 1 Gọi t là thời gian các lá bèo phủ kín cái hồ.Vì tốc độ tăng không đổi, 1 giờ tăng gấp 10 lần nên ta 3 1 1 có 10t = 109 ⇔ log10t = log 109 ⇔ t = 9 − log 3 . 3 3 Câu 8: Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol ( hình vẽ ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là 2 2 . Tính thể tích chuông?

)

)(

-L

Í-

(

D. 16π

A. 6π B. 12π C. 2π 3 - Hướng dẫn: Xét hệ trục như hình vẽ, dễ thấy parabol đi qua ba điểm y2 ( 0; 0 ) , 4; 2 2 , 4; −2 2 nên có phương trình x = . Thể 2 tích của chuông là thể tích của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng y = 2 x, x = 0, x = 4 quay quanh trục Ox. Do đó 4

ÁN

Ta có V = π ∫ 2 xdx = (π x 2 ) = 16π

ÀN

Câu 9: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí

IỄ N

trồng cây là 70000 đồng / m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải

đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

A. 8412322 đồng. B. 8142232 đồng. C. 4821232 đồng. D. 4821322 đồng - Hướng dẫn: Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn , khi đó phương trình đường tròn tâm O là

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 146 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

x 2 + y2 = 36 . Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình y = 36 − x 2 = f ( x) Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, đồ thị y = f ( x) và hai đường thẳng x = −3; x = 3 3

⇒ S = 2 ∫ 36 − x 2 dx

−

π 6

ẠO

Do đó số tiền cần dùng là 70000.S ≈ 4821322 đồng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

= 18 3 + 12π

−

U Y

⇒ S = 2 ∫ 36cos tdt = 36 ∫ (c os2t+1) dt = 18 (sin 2 t + 2 t) π

; x =3⇒ t =

Đặt x = 6sin t ⇒ dx = 6cos tdt . Đổi cận : x = −3 ⇒ t = −

−3

Câu 10: Cho mạch điện như hình vẽ dưới. Lúc đầu tụ điện có điện tích Q0 ( C ) . Khi đóng

khóa K , tụ điện phóng điện qua cuộn dây L. Giả sử cường độ dòng điện tại thời diểm t

H Ư

phụ thuộc vào thời gian theo công thức I = I ( t ) = Q0ω cos (ωt ) (A), trong đó ω (rad/s) là tần số góc, t ≥ 0 có đơn vị là giây ( s ) . Tính điện lượng chạy qua một thiết diện thẳng

− +

A. Q0ω sin ( 6ω ) (C)

B. Q0 sin ( 6ω ) (C)

TR ẦN

của dây từ lúc bắt đầu đóng khóa K ( t = 0 ) đến thời điểm t = 6 ( s ) .

C. Q0ω cos ( 6ω ) (C)

D. Q0 cos ( 6ω ) (C)

10 00

- Hướng dẫn: Ta có biểu thức của cường độ dòng điện tại thời điểm t phụ thuộc vào thời gian là biểu thức đạo hàm của biểu thức điện lượn chạy qua tiết diện thẳng của dây, hay nói cách khác t2

Điện lượng chạy qua tiết diện S trong thời gian từ t1 đến t2 là ∆q = ∫ i.dt . 6

Í-

6 Vậy ∆q = ∫ Qoω cos (ω t ) dt = Qo sin (ωt ) = Q0 sin ( 6ω )( C ) . 0 0

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Đáp án B Câu 11: Một lực 50 N cần thiết để kéo căng một chiếc lò xo có độ dài tự nhiên 5 cm đến 10 cm. Hãy tìm công sinh ra khi kéo lò xo từ độ dài từ 10 cm đến 13 cm? A. 1,95J B. 1,59 J C. 1000 J D. 10000 J - Hướng dẫn: Theo định luật Hooke, khi chiếc lò xo bị kéo căng thêm x m so với độ dài tự nhiên thì chiếc lò xo trì lại với một lực f ( x ) = kx .Khi kéo căng lò xo từ 5 cm đến 10 cm, thì nó bị kéo căng thêm 5 cm = 0,05 m. Bằng cách này, ta được f (0, 05) = 50 bởi vậy : 50 0.05k = 50 ⇒ k = = 1000 0.05 Do đó: f ( x ) = 1000 x và công được sinh ra khi kéo căng lò xo từ 10 cm đến 13 cm là:

W=∫

0,08

0,05

1000 xdx = 1000

x2 2

0,08 0,05

= 1, 95 J

Vậy chọn A Câu 12: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h’ ( t ) = 3at 2 + bt và ban đầu bể không có nước. Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m 3 . Sau

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 147 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

U Y

10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m 3 . Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là bao nhiêu. B. 2200m 3 C. 6000m 3 D. 4200m 3 A. 8400m 3 - Hướng dẫn: bt 2 Ta có h ( t ) = ∫ (3at 2 + bt )dt = at 3 + . 2 1  3 2 5 .a + 2 .b.5 = 150 a = 1 Khi đo ta có hệ:  ⇔ b = 2 103.a + 1 .b.102 = 1100  2 3 2 Khi đó h ( t ) = t + t .

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Vậy thể tích nước trong bể sau khi bơm được 20 giây là h ( 20 ) = 8400m3 .

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Đáp án: B Câu 13: Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m, người này tính trồng cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được giá 100 nghìn. Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi và đồ dùng nên người này căng sợi dây 6m sao cho 2 đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanh mảnh đất. Hỏi người này thu hoạch được bao nhiêu tiền (tính theo đơn vị nghìn và bỏ phần số thập phân). B. 7445 A. 3722 C. 7446 D. 3723 - Hướng dẫn: Đặt hệ trục tọa độ 4349582 như hình vẽ. Phương trình đường tròn của miếng đất sẽ là x2 + y 2 = 25 Diện tích cần tính sẽ bằng 2 lần diện tích phần tô đậm phía trên. Phần tô đậm được giới hạn bởi đường cong có phương trình là

y = 25 − x 2 , trục Ox; x = −5; x = 4 (trong đó giá trị 4 có được dựa vào bán kính bằng 5 và độ dài dây cung bằng 6)

Vậy diện tích cần tính là S = 2 ∫ 25 − x 2 dx ≈ 74, 45228... Do đó, −5

ÁN

-L

Í-

đáp án là câu B Câu 14: Một người đứng từ sân thượng một tòa nhà cao 262m, ném một quả bi sắt theo phương thẳng đứng hướng xuống (bỏ qua ma sát) với vận tốc 20m/s. Hỏi sau 5s thì quả bi sắt cách mặt đất một đoạn ∆d bao nhiêu mét? (Cho gia tốc trọng trường a = 10 ( m / s 2 ) )

ÀN

A. 35 m B. 36 m C. 37 m D. 40 m - Hướng dẫn: Quả bi sắt chịu tác dụng của trọng lực hướng xuống nên có gia tốc trọng trường a = 10 ( m / s 2 )

IỄ N

Ta có biểu thức v theo thời gian t có gia tốc a là: v = ∫ adt = ∫ 10dt = 10t + C

Ở đây, với:

t = 0, v = 20m / s

⇒ C = 20 Vậy ta biểu diễn biểu thức vận tốc có dạng: v = 10t + 20 ( m / s ) Lấy nguyên hàm biểu thức vận tốc, ta sẽ được biểu thức quảng đường:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 148 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

s = ∫ vdt = ∫ (10t + 20 ) dt

= 5t 2 + 20t + K Theo đề bài, ta được khi t = 0 ⇒ s = 0 ⇒ K = 0 Vậy biểu thức tọa độ quảng đường là: s = 5t 2 + 20t ( m / s 2 )

Khi t = 5s , ta sẽ được s = 225 ( m )

64 . 3 32 3 . D. V = 3

ẠO

B. V =

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A. V =

256 . 3 256 3 . C. V = 3

U Y

Vậy quả bi cách mặt đất ∆d = 262 − 225 = 37 ( m ) . Câu 15: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

- Hướng dẫn: Chọn tâm đường tròn làm gốc. 3 AB 2 = 3(4 − x 2 ) Diện tích thiết diện là S = 4 2 2 64 V = ∫ S ( x)dx = 4 ∫ (4 − x 2 )dx = 3 −2 −2 Câu 16: Một chiếc xe đang chạy với vận tốc 100Km/h thì đạp phanh dừng lại, vận tốc của xe giảm dần theo công thức v ( t ) = −5000t + 100 (Km/h) cho đến khi dừng lại. Hỏi xe chạy thêm được bao nhiêu met thì dừng lại. A. 25 B. 1 C. 103 D. 10-3 - Hướng dẫn: 1 Xe dừng lại nên v = 0 ⇔ t = 50 Phương trình quảng đường S ( t ) = ∫ v ( t ) dt = −2500t 2 + 100t 2

IỄ N

ÀN

1  1  Quảng đường xe đi được S = −2500.   + 100. = 1Km = 103 m 50  50  Câu 17: Khi quan sát một đám vi khuẩn trong phòng thí nghiệm người ta thấy tại ngày thứ x có số lượng 2000 là N ( x ) . Biết rằng N ′ ( x ) = và lúc đầu số lượng vi khuẩn là 5000 con .Vậy ngày thứ 12 số lượng 1+ x vi khuẩn là? A. 10130. B. 5130. C. 5154. D. 10129. - Hướng dẫn: Thực chất đây là một bài toán tìm nguyên hàm. Cho N ′ ( x ) và đi tìm N ( x ) . Ta có

2000

∫ 1 + x dx = 2000.ln 1 + x + 5000

( Do ban đầu khối lượng vi khuẩn là 5000) .Với x = 12 thì số

lượng vi khuẩn là ≈ 10130 con

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 149 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

U Y

Câu 18: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t ) = 3t + t 2 . Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. 4300 430 A. B. 4300 m. C. 430 m. m. m. D. 3 3 - Hướng dẫn: 3t 2 t 3 2 v t = a t t = t + t t = d 3 d Hàm vận tốc ( ) ∫ ( ) ) 2 + 3 +C ∫( Lấy mốc thời gian lúc tăng tốc ⇒ v ( 0 ) = 10 ⇒ C = 10

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

3t 2 t 3 + + 10 2 3 Sau 10 giây, quãng đường vật đi được là:

Ta được: v ( t ) =

ẠO Đ

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 3t 2 t 3   t3 t4  4300 m. s = ∫ + + 10  dt =  + + 10t  = 2 3 3   2 12 0 0 

Câu 19: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 24,5 ( m / s ) và gia

H Ư

C. 29, 4 ( m )

D. 59,5 ( m )

TR ẦN

(coi như viên đạn được bắn lên từ mặt đất) A. 61, 25 ( m ) B. 30,625 ( m )

tốc trọng trường là 9,8 ( m / s 2 ) . Quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là

- Hướng dẫn: Chọn chiều dương từ mặt đất hướng lên trên, mốc thời gian t = 0 bắt đầu từ khi vật chuyển động. Ta có vận tốc viên đạn theo thời gian t là v ( t ) = v0 − gt = 24,5 − 9,8t ( m / s )

10 00

Khi vật ở vị trí cao nhất thì có vận tốc bằng 0 tương ứng tại thời điềm t = Quãng đường viên đạn đi được từ mặt đất đến vị trí cao nhất là 5 2

5 2

245 8

S ( t ) = ∫ v ( t ) dt = ∫ 24,5 − 9,8t dt =

5 2

245 = 61, 25 ( m ) 8

-L

Í-

Vậy quãng đường viên đạn đi từ lúc bắn lên cho tới khi rơi xuống đất là 2.

IỄ N

ÀN

ÁN

Câu 20: Một ô tô xuất phát với vận tốc v1 (t ) = 2t + 10 (m / s) sau khi đi được một khoảng thời gian t1 thì bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v2 (t ) = 20 − 4t (m / s) và đi thêm một khoảng thời gian t2 nữa. Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4 (s). Hỏi xe đã đi được quãng đường bao nhiêu mét. A. 57 m B. 64 m C. 50 m D. 47 m - Hướng dẫn: Đến lúc phanh vận tốc của xe là: 2t1+10 đó cũng là vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp phanh; sau khi đi thêm t2 thì vận tốc là 0 nên 2t1 + 10 = 20 − 4t2 ⇔ t1 + 2t2 = 5 . Lại có t1 + t2 = 4 lập hệ được t1=3 s; t2=1 s. 3

. Tổng quãng đường đi được là: S = ∫ (2 x + 10) dx + ∫ (20 − 4 x) dx = 57 (m) chọn A

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 150 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2R3 . 3 - Hướng dẫn:

B. V =

π R3 . 6

C. V =

R3 . 3

D. V =

π R3 . 3

U Y

A. V =

Toán Ứng Dụng

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

R2 − x2

H Ư

R2 − x2

R 1 1 2 R3 R 2 − x 2 . Vậy thể tích khối gỗ bé bằng: V = ∫ ( R2 − x 2 )dx = Đáp án A. 2 2 −R 3

10 00

A( x) =

TR ẦN

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Cắt khối gỗ bé bởi các mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x ta được thiết diện là tam giác vuông có diện tích bằng

Câu 22: Một vật di chuyển với gia tốc a ( t ) = −20 (1 + 2t )

−2

( m / s ) . Khi 2

t = 0 thì vận tốc của vật là

ÁN

-L

Í-

30m / s . Tính quảng đường vật đó di chuyển sau 2 giây (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị). B. S = 106m . B. S = 107m . C. S = 108m . D. S = 109m . - Hướng dẫn: 10 −2 Ta có v ( t ) = ∫ a ( t ) dt = ∫ −20 (1 + 2t ) dt = + C . Theo đề ta có v ( 0 ) = 30 ⇔ C + 10 = 30 ⇔ C = 20 . 1 + 2t Vậy quãng đường vật đó đi được sau 2 giây là: 2 2  10  S = ∫ + 20  dt = ( 5ln (1 + 2t ) + 20t ) = 5 ln 5 + 100 ≈ 108m . 0 1 + 2t  0 2

ÀN

Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc a (t ) = 3t + t (m/s2). Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 2s. A. 10 m/s B. 12 m/s C. 16 m/s D. 8 m/s. - Hướng dẫn:

t2 Ta có v(t) = ∫ a (t ) dt = ∫ (3t + t) dt = t + + C (m/s). 2 3

IỄ N

Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s) ⇒ v (0) = 2 ⇒ C = 2 . 22 + 2 = 12 (m/s). 2 Câu 24: Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh còn được gọi là “thắng”. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t ) = −40t + 20(m / s ). Trong đó t là khoảng thời

Vậy vận tốc của vật sau 2s là: V (2) = 23 +

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 151 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

1 2

1/2

U Y

gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu? A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m - Hướng dẫn: Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh (t = 0) Gọi T là thời điểm ô tô dừng lại. Khi đó vận tốc lúc dừng là v(T) = 0 1 Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là v(T ) = 0 ⇔ −40T + 20 = 0 ⇔ T = 2 Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian T. Ta có v (t ) = s '(t ) suy ra s(t) là nguyên hàm của v(t)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Vây trong ½ (s) ô tô đi được quãng đường là: ∫ v (t ) dt = ∫ (−40t + 20)dt = ( −20t 2 + 20t )

= 5( m)

ẠO

Câu 25: Khẳng định nào sau đây đúng ?

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

∫ w ' ( t ) dt

A. Nếu w ' ( t ) là tốc độ tăng trưởng cân nặng/năm của một đứa trẻ, thì

là sự cân nặng

H Ư

của đứa trẻ giữa 5 và 10 tuổi. B. Nếu dầu rò rỉ từ một cái thùng với tốc độ r ( t ) tính bằng galông/phút tại thời gian t , thì 120

biểu thị lượng galông dầu rò rỉ trong 2 giờ đầu tiên.

TR ẦN

∫ r ( t ) dt 0

C. Nếu r ( t ) là tốc độ tiêu thụ dầu của thế giới, trong đó t được bằng năm, bắt đầu tại t = 0 vào

ngày 1 tháng 1 năm 2000 và r ( t ) được tính bằng thùng/năm,

∫ r ( t ) dt

biểu thị số lượng thùng

10 00

-L

Í-

dầu tiêu thụ từ ngày 1 tháng 1 năm 2000 đến ngày 1 tháng 1 năm 2017 . D. Cả A, B, C đều đúng. Câu 26: Một khối cầu có bán kính 5dm, người ta cắt bỏ 2 phần bằng 2 mặt phẳng vuông góc bán kính và cách tâm 3dm để làm một chiếc lu đựng. Tính thể tích mà chiếc lu chứa được. A. 132π (dm3) B. 41π (dm3) 100 π (dm3) C. D. 43π (dm3) 3

ÁN

- Hướng dẫn: Đặt hệ trục với tâm O, là tâm của mặt cầu; đường thẳng đứng là Ox, đường ngang là Oy; đường tròn lớn có phương trình x 2 + y 2 = 25 .

3dm 5dm 3dm

ÀN

Thể tích là do hình giới hạn bởi Ox, đường cong y = 25 − x 2 , x = 3, x = −3 quay quanh Ox.

IỄ N

V = π ∫ (25 − x 2 )dx = 132π (bấm máy) −3

Câu 27: Một vật đang chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc a(t) = 3t + t2 (m/s2). Hỏi quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc ? 6800 4300 5800 A. 11100 B. C. D. m m m 3 3 3 - Hướng dẫn: Ta có v(t) = t3 + t2 + c

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 152 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A v(0) = 10 ⇔ c = 10 ⇒ v(t) =

∫

(t 3 + t 2 + 10) dt =

t3 + t2 + 10

(m)

Toán Ứng Dụng

U Y

ẠO

(160 – 10t )dt = 45m

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

∫

Quãng đường vật đi được trong 3s trước khi dừng hẳn là: S =

- Hướng dẫn: v = 0 ⇔ 160 – 10t = 0 ⇔ t = 16

- Hướng dẫn: Phương trình elip là:

x2 y 2 + = 1 . Ta có: diện tích mảnh vườn cần tìm được chia làm 2 qua trục lớn, gọi 64 25

10 00

diện tích 1 phần là S. Gắn tâm elip là O, trục lớn là Ox, trục bé là Oy.

Sử dụng ứng dụng tích phân, diện tích phần này sẽ giới hạn qua đường cong y = 25 −

x = 4; x = −4 .

−4

25 x 2 dx = 38, 2644591 ( Sử dụng CASIO, tuy nhiên có thể giải thông thường qua đặt 64

Í-

∫

25 −

Ta có: S =

25 x 2 và 2 đường 64

ÁN

-L

x = 8sin t ) Như vậy số tiền cần có là: 38, 2644591.2.100000 = 7652891 ≈ 7653000

Câu 30: Gọi h ( t )( cm ) là mực nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng 13 t + 8 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây 5 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm): A. 2,33 cm. B. 5,06 cm. C. 2,66 cm. D. 3,33 cm.

IỄ N

ÀN

h '(t ) =

- Hướng dẫn: h(t) =

∫5

t + 8dt , h(0) = 0 ⇒

⇒ h(6) = 2,66 Câu 31: Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu)

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 153 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B. 50m3

C. 40m3

D. 100m 3

U Y

A. 20m3

Toán Ứng Dụng

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

- Hướng dẫn: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)

0,2

2 2 4 1 x + x)dx + ∫ dx) ≈ 9,9m2 625 25 5 0,2

S = 2( ∫ (−

ÁN

-L

Í-

IỄ N

ÀN

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày V = S .0, 2 ≈ 9,9.0, 2 ≈ 1,98m3 ⇒ số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu ≈ 2m 3 Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần ≈ 40m 3 bê tông. Chọn đáp án C Câu 32: Có một người cần làm một cái của cổng cố xưa, có hình dạng một parabol bậc hai như hình vẽ. Giả sử đặt cánh cổng vào một hệ trục tọa độ như hình vẽ ( mặt đất là trục Ox). Hãy tính diện tích của cánh cửa cổng.

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 154 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

vào

32 3

ẠO

C. 16

thị,

đồ

dựng

xây

được

công

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

.Dựa

16 3 - Hướng dẫn: A.

U Y

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

thức

hàm

số

là

y = 4 − x2 .

c ủa

28 3

32 . Vậy đáp án là B. 3 −2 Câu 33: Trong hệ trục Oxy, cho tam giác OAB vuông ở A, điểm B nằm trong góc phàn tư thứ nhất. A π  nằm trên trục hoành, OB = 2017. Góc AOB = α ,  0 < α <  . Khi quay tam giác đó quanh trục Ox ta 3  được khối nón tròn xoay. Thể tích của khối nón lớn nhất khi: 1 6 3 2 A. sin α = B. cos α = C. cos α = D. sin α = 2 3 2 3 - Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng OB : y = x.tan α ; OA = 2017cos α . Khi đó thể tích nón tròn xoay là:

∫ ( 4 − x ) dx =

(

Í-

∫

V =π

20173.π 20173.π 2 .cos α .sin α = .cos α 1 − cos 2 α . x tan α .dx = 3 3 2

2017.cos α

10 00

TR ẦN

H Ư

.Diện tích là: S =

 

1 2

(

ÁN

-L

Đặt t = cos α ⇒ t ∈  0;  . Xét hàm số f ( t ) = t 1 − t

Ta tìm được f ( t ) lớn nhất khi t =

)

) , t ∈  0; 12  .

3 3 6 . ⇒ cos α = ⇒ sin α = 3 3 3

IỄ N

ÀN

Câu 34: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây)

Hình 1

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Hình 2 Trang 155 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (Hình 2). Tính V . 225π A. V = 2250 cm 3 B. V = C. V = 1250 cm 3 cm 3 4 - Hướng dẫn:

( )

)

( )

D. V = 1350 cm 3

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

(

là nửa hình tròn có phương trình: y = 225 − x 2 , x ∈  −15;15 

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy

(

()

TR ẦN

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S x (xem hình).

H Ư

Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x , x ∈  −15;15

( )

)

(

Dễ thấy NP = y và MN = NP tan 450 = y = 15 − x 2 khi đó S x = 15

1 ra thể tích hình nêm là: V = ∫ S x dx = ∫ . 225 − x 2 dx = 2250 cm 3 2 −15 −15

(

10 00

( )

)

1 1 MN .NP = . 225 − x 2 2 2

(

)

suy

)

Í-

Câu 35: Cho parabol (P) y = x2 và hai điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = 2. Tìm A, B sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất 4 3 2 3 A. B. C. D. 3 4 3 2 - Hướng dẫn:

-L

ÁN

A 1

ÀN

IỄ N

Giả sử A ( a; a 2 ) , B ( b, b 2 ) ∈ ( P )( b > a ) sao cho AB = 2 Phương trình đường thẳng AB: y = ( b + a ) x − ab Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm, ta có b

S = ∫ | ( b + a ) x − ab − x | dx = ∫ [ ( b + a ) x − ab − x 2 ]dx = 2

1 3 (b − a ) 6

Vì AB = 2 nên | b− a |= b− a ≤ 2

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 156 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

4 3 Câu 36: Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 + m có đồ thị là (C). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y<0 và trục hoành, S’ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với y>0 và trục hoành. Với giá trị nào của m thì S = S ' ?

2 9

C. m =

20 9

D. m = 1

B. m =

A. m = 2

⇒S≤

U Y

- Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm x 4 − 4 x 2 + m = 0 (*) 2 Đặt x 2 = t ; t ≥ 0 , phương trình trở thành: t − 4t + m = 0 (**)

∫ (x

− 4 x 2 + m )dx =

4 2 ∫ ( x − 4 x + m )dx t2

2 2

Kết hợp với (**) ta được m =

20 . 9

4 2 2 ∫ ( x − 4 x + m )dx = 0 ⇔ 5 − 3 + m = 0 0

H Ư

⇔

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

S = S'⇔

ẠO

Để S>0, S’>0 thì 0<m<4. Khi đó (*) có 4 nghiệm phân biệt − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 với t1 ; t2 , ( t1 < t2 ) là hai nghiệm dương phân biệt của (**) Do ĐTHS hàm bậc 4 nhận Oy làm trục đối xứng nên

∫ v(t)dt = ∫ (−5 t+ a )dt = 10 a

Í-

Ta có S =

a 5

10 00

Câu 37: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc a(m/s) thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = -5t + a(m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ vận tốc ban đầu a của ô tô là bao nhiêu, biết từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô tô di chuyển được 40 mét. B. a = 10 C. a = 40 D. a = 25 A. a = 20 - Hướng dẫn: a Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên −5 t+ a = 0 ⇔ t = 5

ÁN

-L

1 S = 40 ⇔ a 2 = 40 ⇔ a = 20 10 Câu 38: Một thanh AB có chiều dài là 2a ban đầu người ta giữ thanh ở góc nghiêng α = αo , một đầu

thanh tựa không ma sát với bức tường thẳng đứng. Khi buông thanh, nó sẽ trượt xuống dưới tác dụng

ÀN

của trọng lực. Hãy biểu diễn góc α theo thời gian t (Tính bằng công thức tính phân) α

IỄ N

A. t = − ∫ αo

C. t = − ∫ αo

dα 3 (sin α o − sin α ) 2a dα 3g (sin α o − sin α ) a

B. t = − ∫ αo

D. t = − ∫ αo

dα 3g (sin α o + sin α ) 2a dα 3g (sin α o − sin α ) 2a

- Hướng dẫn: Do trượt không ma sát nên cơ năng của thanh được bảo toàn

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 157 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

mga sin αo = mga sin α + Kq + Ktt

Toán Ứng Dụng

(1)

Do khối tâm chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính a nên: K tt =

t = −∫

N H N

dα 3g (sin α o − sin α ) 2a

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

αo

3g (sin α o − sin α ) 2a

ẠO

α'=−

2 aα '2 = g (sin α o − sin α ) 3

U Y

Thay vào (1) ta được:

1 2 1 1 1 Iω = m(2 a ) 2 α '2 = ma 2α '2 2 2 12 6

Động năng quay quanh khối tâm: K q =

ma 2ω 2 1 2 2 = ma α ' 2 2

TR ẦN

H Ư

S = ∫ (5 t + 1) dt = 260 (m) 0

−2

10 00

Câu 40: Một vật chuyển động với gia tốc a (t ) = −20 (1 + 2t ) ( m / s 2 ) . Khi t = 0 thì vận tốc của vật là 30 (m / s ) . Tính quãng đường vật đó di chuyển sau 2 giây ( m là mét, s là giây). B. 48 m . C. 47 m . D. 49 m . A. 46 m .

4000 và lúc đầu 1 + 0,5t đám vi trùng có 250.000 con. Sau 10 ngày số lượng vi trùng là (lấy xấp xỉ hang đơn vị): A. 264.334 con. B. 257.167 con. C. 258.959 con D. 253.584 con.

-L

Í-

Câu 41: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng là N ( t ) . Biết rằng N ' ( t ) =

IỄ N

ÀN

ÁN

- Hướng dẫn: 4000 dt = 8000.ln(1 + 0,5t) + C N(t) = ∫ 1 + 0,5t N(0) = 250000 ⇒ C = 250000 N(10) = 264.334 con Câu 42:Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ) 28 2 26 128 2 131 2 A. B. ( m 2 ) C. D. (m ) (m ) (m ) 3 3 3 3 - Hướng dẫn: Đáp án đúng: C Các phương án nhiễu:

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 158 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 4

A. HS tính tích phân sai S =

−4 4

B. HS tính tích phân sai S =

+ 8 dx =

28 ( m2 ) 3

+ 8 dx =

26 ( m2 ) ) 3

∫ −2x

−4

Toán Ứng Dụng

1 131 1 ( m2 ) , b= 8, c = 0 => S = ∫ − x 2 + 8 x dx = 2 2 3 −4

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

D. HS nhầm a = −

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 159 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 1: Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây một nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể được dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ? 25 24 A. 7 × log3 25. C. 7 × . D. 7 × log3 24. B. 3 7 . 3 - Hướng dẫn: 100 Gọi A là lượng bèo ban đầu, để phủ kín mặt hồ thì lượng bèo là A 4 Sau 1 tuần số lượng bèo là 3A suy ra sau n tuần lượng bèo là: 3n. A 100 100 Để lượng bèo phủ kín mặt hồ thì 3n. A = . A ⇒ n = log 3 = log 3 25 ⇒ thời gian để bèo phủ kín mặt 4 4 hồ là: t = 7log3 25 . Chọn A. Câu 2: Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một cửa hàng kinh doanh gồm 17

DẠNG 6: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ KHÁC

TR ẦN

chiếc. Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh 14 cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có

đường kính đáy bằng 30 cm. Biết chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 390 cm. Tính

10 00

lượng vữa hỗn hợp cần dùng (tính theo đơn vị m3, làm tròn đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy). Ta có kết quả:

B. 2,0 m3

C. 1,2 m3

D. 1,9 m3

A. 1,3 m3

- Hướng dẫn:

Í-

Với cột bê tông hình lăng trụ: Đáy của mỗi cột là hình lục giác đều có diện tích bằng 6 tam giác

-L

đều cạnh 14 cm, mỗi tam giác có diện tích là

142 3 ( cm3 ) 4

152 π ( cm 2 )

ÁN

Với cột bê tông đã trái vữa hình trụ: Đáy của mỗi cột là hình tròn bán kính 15 cm nên có diện tích là

ÀN

Số lượng vữa cần trát thêm vào tất cả 17 cột, mỗi cột cao 290 cm là:

IỄ N

 2 142 3  6 3 3 17.390 15 π − 6.  = 1,31.10 cm = 1,31m . Chọn A 4  

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 160 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

Ngày 25/5 là ngày thứ 145 của năm Số giờ y = 14 Câu 4: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức s(t ) = s(0).2t , trong đó s (0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s (t ) là số lượng vi khuẩn A có sau t (phút). Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con ? A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút. - Hướng dẫn:

U Y

Đáp án C

625000 8 7 t khi số vi khuẩn là 10 triệu con thì 10 = s ( 0 ) .2 ⇒ 2t = 128 ⇒ t = 7 (phút) Câu 5: Người ta khảo sát gia tốc a(t) của một vật thể chuyển động (t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc vật thể bắt đầu chuyển động) từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được a(t) là một hàm số liên tục có đồ thị như hình bên. Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất ? A. giây thứ nhất B. giây thứ 3 C. giây thứ 10 D. giây thứ 7 - Phương pháp: + a là đạo hàm của v, v đạt cực trị khi a = 0 Vậy nên vận tốc của vật sẽ lớn nhất tại thời điểm mà a=0 và gia tốc đổi từ dương sang âm (vận tốc của vật sẽ nhỏ nhất tại thời điểm mà a=0 và gia tốc đổi từ âm sang dương) - Hướng dẫn: + Nhìn vào đồ thị ta thấy Trong thời gian từ giây thứ nhất đến giây thứ 10 thì chỉ có tại giây thứ 3 gia tốc a = 0 và gia tốc đổi từ dương sang âm Vậy nên tại giây thứ 3 thì vận tốc của vật là lớn nhất. −3 t   Câu 6: Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng nạp được tính theo công thức Q ( t ) = Q0  1 − e 2  với t   là khoảng thời gian tính bằng giờ và Q0 là dung lượng nạp tối đa (pin đầy). Nếu điện thoại nạp pin từ lúc cạn pin (tức là dung lượng pin lúc bắt đầu nạp là 0%) thì sau bao lâu sẽ nạp được 90% (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? A. t ≈ 1,54h B. t ≈ 1, 2 h C. t ≈ 1h D. t ≈ 1,34h - Phương pháp: e x = a ⇒ x = ln a - Hướng dẫn: + Pin nạp được 90% tức là Q ( t ) = Q0 .0,9

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Theo giả thiết ⇒ 62500 = s ( 0 ) .23 → s ( 0 ) =

IỄ N

ÀN

−3 t − 3t   −3t → Q ( t ) = Q0 .0, 9 = Q0  1 − e 2  ⇒ e 2 = 0,1 ⇒ = ln 0,1 ⇒ t ≈ 1, 54 h 2   Câu 7: Hai thành phố A và B cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một cây cầu EF bắt qua sông biết rằng thành phố A cách con sông một khoảng là 5 km và thành phố B cách con sông một khoảng là 7 km (hình vẽ), biết tổng độ dài HE + KF = 24 ( km ) . Hỏi cây cầu

cách thành phố A một khoảng là bao nhiêu để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất ( i theo đường AEFB)

A. 5 3km

B. 10 2km

C. 5 5km

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. 7, 5km Trang 161 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

- Hướng dẫn: Đặt HE = x và KF = y , theo giả thiết ta có HE + KF = x + y = 24

Ta có P = AE + BF = x 2 + 25 + y 2 + 49 với x + y = 24, x > 0, y > 0

với mọi a , b, c, d ∈ ℝ

U Y

( a + c ) + (b + d )

( a + c ) + (b + d ) 2

⇔ ( ad − bc ) ≥ 0, ∀a, b, c, d ∈ ℝ

Sử dụng bất đẳng thức trên, ta được P = x 2 + 52 + y 2 + 7 2 ≥

( x + y ) + (5 + 7 )

a 2 + b2 + c 2 + d 2 ≥

Vì

a 2 + b2 + c 2 + d 2 ≥

Cách 1. Sử dụng bất đẳng thức

 AE = AH 2 + HE 2 = x 2 + 25 Xét các tam giác vuông AHE và BKF, ta được   BF = BK 2 + KF 2 = y 2 + 49 Vì độ dài cầu EF là không đổi nên để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất theo con đường AEFB thì AE + EF + FB ngắn nhất. Hay AE + BF ngắn nhất.

= 12 5

ẠO

x y = suy ra x = 10, y = 14 nên AE = 5 5km 5 7 Cách 2: Với x + y = 24 ⇔ y = 24 − x ⇒ P = f ( x ) = x 2 + 25 + x 2 − 48 x + 625 , với 0 < x < 24

x + 25

x − 24 2

x − 48 x + 625

, ∀ x ∈ ( 0; 24 ) ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 10

x 2

H Ư

Có f ' ( x ) =

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

Do đó min f ( x ) = 12 5 ⇔ x = 10 ⇒ AE = 5 5 km . Chọn C Câu 8: Chuyện kể rằng: "Ngày xưa, ở đất nước Ấn Độ có một vị quan dâng lên nhà vưa một bàn cờ có 64 ô kèm theo cách chơi cờ. Nhà vua thích quá, bảo rằng: "Ta muốn dành cho khanh một phần thưởng thật xứng đáng. Vậy khanh thích gì nào?" Vị quan tâu "Hạ thần chỉ xin Bệ Hạ thưởng cho một số hạt thóc thôi ạ! Cụ thể như sau: "Bàn cờ có 64 ô thì với ô thứ nhất thần xin nhận một hạt, ô thứ 2 thì gấp đôi ô đầu, ô thứ 3 thì lại gấp đôi ô thứ hai, ô sau nhận số hạt gạo đôi phần thưởng dành cho ô liền trước". Thoạt đầu nhà Vua rất ngạc nhiên vì phần thưởng quá khiêm tốn nhưng đến khi những người lính vét sạch đến hạt thóc cuối cùng trong kho gạo của triều đình thì nhà Vua mới kinh ngạc mà nhận ra rằng: "Số thóc này là một số vô cùng lớn, cho dì có gom hết số thóc của cả nước cũng không thể đủ cho một bàn cờ chỉ có vỏn vẹn 64 ô!". Bạn hãy tính xem số hạt thóc mà nhà vua cần để ban cho vị quan là một số có bao nhiêu chữ số? A. 21 B. 22 C. 19 D. 20 Câu 9: E. coli là vi khuẩn đường ruột gây tiêu chảy, đau bụng dữ dội. Cứ sau 20 phút thì số lượng vi khuẩn E. coli tăng gấp đôi. Ban đầu, chỉ có 40 vi khuẩn E. coli trong đường ruột. Hỏi sau bao lâu, số lượng vi khuẩn E. coli là 671088640 con? A. 48 giờ. B. 24 giờ. C. 12 giờ. D. 8 giờ. Câu 10: Một cái tháp hình nón có chu vi đáy bằng 207,5 m. Một học sinh nam muốn đo chiều cao của

cái tháp đã làm như sau. Tại thời điểm nào đó, cậu đo bóng của mình dài 3,32 m và đồng thời đo được

ÀN

bóng của cái tháp (kể từ chân tháp) dài 207,5 m. Biết cậu học sinh đó cao 1,66 m, hỏi chiều cao của cái

tháp dài bao nhiêu m?

IỄ N

A. h = 103, 75 +

51,875

B. h = 103 +

51,87

C. h = 103, 75 +

25,94

D. h = 103, 75

- Hướng dẫn: Đáp án A. 1, 66 51,875 h Ta có : = ⇒ h = 103, 75 + 207,5 π 3,32 + 207,5 2π

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 162 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

)

(

cơ để bón cho hoa?

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

A. 30 kg B. 40 kg C. 50 kg D. 45 kg Câu 12: Bạn A có một đoạn dây dài 20m . Bạn chia đoạn dây thành hai phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhỏ nhất? 40 180 A. m m B. 9+4 3 9+4 3 120 60 m m C. D. 9+4 3 9+4 3

1 3

2 3

B. sin α = sin α o

C. sin α =

10 00

A. sin α = sin α o

TR ẦN

H Ư

2 sin α o 5

(

)

(

)

ÁN

-L

Í-

- Hướng dẫn: Xét chuyển động khối tâm của thanh theo phương Ox: N1 = mx '' . Tại thời điểm thanh rời tường thì N1 = 0 → x '' = 0 Toạ độ khối tâm theo phương x là: x = a cos α Đạo hàm cấp 1 hai vế: x ' = − a sin α .α ' Đạo hàm cấp 2 hai vế: x '' = −a cos α .α '2 + sin α .α '' = a cos α .α '2 + sin α .α ''

4 3

D. sin α = sin α o

Khi x '' = 0 → cos α .α '2 = − sin α .α '' (2)

2 aα '2 + g sin α = g sin α o 3 4 3g cos α Lấy đạo hàm 2 vế: aα ''.α '+ g cos α .α ' = 0 Hay: α '' = − 3 4a

ÀN

Từ (1) suy ra:

IỄ N

Thay vào (2) ta có phương trình: 3g  3g  cos α . (sin α o − sin α ) = − sin α .  − cos α  2a  4a 

2 3

sin α = 2(sin α o − sin α ) ⇔ sin α = sin α o

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 163 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

A. 6 3 B. 6 2 C. 9 - Hướng dẫn: Gọi O là tâm hình bán nguyệt, MQ = x ⇒ OQ = 32 − x 2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

D. 7

U Y

S hcn = 4 S MQO = 2 x. 32 − x 2 ≤ x 2 + 32 − x 2 = 9 ( áp dụng bđt côsi)

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

Vậy S hcn ≤ 9 Câu 16: Người ta tiến hành mạ vàng chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật có nắp. Thể tích của hộp là 1000 cm3, chiều cao của hộp là 10cm. Biết rằng đơn giá mạ vàng là 10.000 đ/ cm2. Gọi x ( triệu đồng ) là tổng số tiền bỏ ra khi mạ vàng cả mặt bên trong và mặt bên ngoài chiếc hộp. Tìm giá trị nhỏ nhất của x. A. 12 triệu. B. 6triệu. C. 8 triệu. D. 4 triệu. 2

Câu 17: Anh Phong có một cái ao với diện tích 50 m để nuôi cá điêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 20

H Ư

con/ m2 và thu được 1,5 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, anh thấy cứ thả giảm đi 8 con/ m2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5kg. Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới ông nên mua bao nhiêu cá giổng để thả ? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).

10 00

TR ẦN

A. 488 con B. 658 con C. 342 con D. 512 con Câu 18: Trong phòng thí nghiệm sinh học người ta quan sát 1 tế bào sinh dục sơ khai của ruồi giấm với bộ nhiễm sắc thế 2n = 8, nguyên phân lên tiếp k lần, thì thấy rằng: Sau khi kết thúc k lần nguyên phân thì số nhiễm sắc thể đơn mà môi trường cần cung cấp cho quá trình phân bào là 2040. Tính k? A. k = 6 B. k = 8 C. k = 9 D. k = 7 Câu 19: Một bể nước có dung tích 1000 lít .Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là 1 lít/1phút. Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước (kết quả gần đúng nhất). A. 3,14 giờ. B. 4, 64 giờ. C. 4,14 giờ. D. 3, 64 giờ. Câu 20: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Ký hiệu ( a; b ) là kết quả xảy ra sau khi gieo,

ÁN

-L

Í-

D. z + 2 + 3i ≤ 11

C. z + 2 + 3i ≤ 13 - Hướng dẫn: Ta có A = (1;1) , ( 2;2 ) , ( 3;3) , ( 4;4 ) , ( 5;5) , ( 6;6 )

}

ÀN

{

Gọi z = x + yi; x, y ∈ R khi đó z + 2 + 3i =

IỄ N

Giả sử z + 2 + 3i ≤ R ⇒ 2

( x + 2)

( x + 2 ) + ( y + 3)

+ ( y + 3) ≤ R

⇒ ( x + 2 ) + ( y + 3) ≤ R 2 . Khi đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là những điểm thuộc miền

trong và trên đường tròn tâm I ( −2; −3) và bán kính R. Để tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là tập hợp con của tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thì IM ≤ R; ∀M ∈ A Khi đó ta được R=13

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 164 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Câu 21: Trong phòng thí nghiệm sinh học người ta quan sát 1 tế bào sinh dục sơ khai của ruồi giấm với bộ nhiễm sắc thế 2n = 8, nguyên phân lên tiếp k lần, thì thấy rằng: Sau khi kết thúc k lần nguyên phân thì số nhiễm sắc thể đơn mà môi trường cần cung cấp cho quá trình phân bào là 2040. Tính k? A. k = 6 B. k = 8 C. k = 9 D. k = 7 Câu 22: Một đoàn tàu chuyển động trên một đường thẳng nằm ngang với vận tốc không đổi v0.Vào thời điểm nào đó người ta tắt máy. Lực hãm và lực cản tổng hợp cả đoàn tàu bằng 1/10 trọng lượng P của nó. Hãy xác định chuyển động của đoàn tàu khi tắt máy và hãm. g.t 2 g.t 2 g.t 2 t2 A. x = v0 .t − B. x = v0 .t − C. x = v0 .t − D. x = v0 .t − 20 10 30 20 - Hướng dẫn: - Khảo sát đoàn tàu như một chất điểm có khối lượng m, chịu tác

dụng của P, N , Fc .

- Phương trình động lực học là: ma = P + N + Fc (1) Chọn trục Ox nằm ngang, chiều (+) theo chiều chuyển động gốc thời gian lúc tắt máy.Do vậy chiếu (1) lên trục Ox ta có: p g (2) ma x = − Fc hay viết: mx " = − F hay F = ; x" = − 10 10 dv g g hay (2') = − → − dt dt 10 10 g nguyên hàm hai vế (2') ta có: V = − t + C1 10 dx g g hay = − t + C1 → dx = t.dt + C1dx dt 10 10 g nguyên hàm tiếp 2 vế ta được x = − t 2 + C1.t + C2 (3) 20 Dựa vào điều kiện ban đầu để xác định các hằng số C1 và C2 như sau: t0 = 0; v = v0; v0 = 0 Ta có: C2 = 0 và C1 = v0 thay C1 và C2 vào (3) g .t 2 x = v0 .t − 20 Câu 23: Một xí nghiệp chế biến thực phẩm muốn sản xuất những loại hộp hình trụ có thể tích V cho trước để đựng thịt bò. Gọi x, h (x > 0, h > 0) lần lượt là độ dài bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Để sản xuất hộp hình trụ tốn ít vật liệu nhất thì giá trị của tổng x + h là: V 3V V V A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 3. 3 2π 2π 2π 2π - Hướng dẫn: Đây là một bài toán sử dụng bất đẳng thức AM-GM ! Thể tích hình trụ được tính theo công thức V = π x 2 h 2

Ta có: V = π x h =

IỄ N

⇒ x+h≥

π 2

x 2h ≤

π  x + x + 2h   2

4π 3 ( x + h)  = 54 

V 54V = 33 4π 2π n

 x + x + ... + xn  Lưu ý: Với bài toán này, các bạn biết sử dụng bất đẳng thức AM-GM x1 x2 ....xn ≤  1 2  n   Câu 24: Khi quan sát qua trình sao chéo tế bào trong phòng thí nghiệm sinh học, nhà sinh vật học nhận thấy các tế báo tăng gấp đôi mỗi phút. Biết sau một thời gian t giờ thì có 100 000 tế bào và ban đầu có 1 tế bào duy nhất. Tìm t: A. t ≈ 16, 61 phút B. t ≈ 16, 5 phút C. t ≈ 15 phút D. t ≈ 15,5 phút

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 165 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Toán Ứng Dụng

H Ư

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

ẠO

U Y

Sau phút sao chép thứ hai số tế bào là: N2 = 22 … Sau phút sao chép thứ t số tế bào là: Nt = 2t = 100000 ⇒ t = log 2 100000 ≈ 16, 61 phút. Câu 25: Giả sử tỉ lệ lạm phát của Việt Nam trong 10 năm qua là 5%. Hỏi nếu năm 2007, giá xăng là 12000VND/lít. Hỏi năm 2016 giá tiền xăng là bao nhiêu tiền một lít? A. 11340,00 VND/lít B. 113400 VND/lít C. 18616,94 VND/lít D. 18615,94 VND/lít - Hướng dẫn: Đây là bài toán ứng dụng về hàm số mũ mà chúng ta đã học, bài toán rất hơn giản. Tuy nhiên nhiều độc giả có thể mắc sai lầm như sau: Lời giải sai Giá xăng 9 năm sau là 12000 (1 + 0.05 ) .9 = 113400 VND / lit . Và chọn A hay B (do nhìn nhầm chẳng hạn) Lời giải đúng: Giá xăng năm 2008 là 12000 (1 + 0.05 )

- Hướng dẫn: Đây là bài toán đơn giản sử dụng ứng dụng của số mũ. Do ban đầu có một tế bào duy nhất nên: Sau phút sao chép thứ nhất số tế bào là: N 1 = 2

TR ẦN

Giá xăng năm 2009 là 12000 (1 + 0.05 ) ……………………… Giá xăng năm 2016 là 9

12 (1 + 0.05 ) ≈ 18615,94 VND / lit

Câu 26: Một khu rừng ban đầu có trữ lượng gỗ là 4.10 5 mét khối gỗ. Gọi tốc độ sinh trưởng mỗi năm 5

10 00

của khu rừng đó là a% . Biết sau năm năm thì sản lượng gỗ là xấp xỉ 4 , 8666.10 mét khối. Giá trị c ủa a x ấ p x ỉ : A. 3,5%. B. 4%. C. 4,5%. D. 5% -Hướng dẫn: Trữ lượng gỗ sau một năm của khu rừng là: N = 4.10 5 + 4.10 5.a% = 4.10 5 ( 1 + a% )

Trữ lượng gỗ sau năm thứ hai của khu rừng là: ...

Í-

-L

N = 4.10 5 ( 1 + a% )

ÁN

Trữ lượng gỗ sau năm nămcủa khu rừng là: N = 4.10 5 ( 1 + a% ) = 4 , 8666.10 5 ⇒ a ≈ 4 %

IỄ N

ÀN

Chọn B. Câu 27: Trong một trận mưa, cứ một mét vuông mặt đất thì hứng thì hứng 1,5 lít nước mưa rơi xuống. Hỏi mực nước trong một bể bơi ngoài trừi tăng lên bao nhiêu ? A. 1,5 (cm) B. 0,15 (cm) C. Phụ thuộc vào kích thước của bể bơi D. 15 (cm) Câu 28: Các kích thước của một bể bơi được cho trên hình vẽ (mặt nước có dạng hình chữ nhật). Hãy tính xem bể chứa được bao nhiêu mét khối nước khi nó đầy ắp nước ?

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 166 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Toán Ứng Dụng

C. 570m3

IỄ N

ÀN

ÁN

-L

Í-

10 00

TR ẦN

H Ư

ẠO

1 HD: V = 10.25.2 + .7.2.10 = 570 (dvtt) 2 Các phương án nhiễu: A.HS nhầm V = 10.25.4=1000 B.HS nhầm V = 10.25.2 + 7.2.10 = 640 D. HS nhầm V = 10.25.2=500

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

D. 500m3

B. 640m3

U Y

A. 1000m3 -Hướng dẫn: Đáp án đúng: C

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Đóng góp Full Text Version bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Trang 167 www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial