CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN MỤC LỤC BẢNG CHỮ CÁI VIẾT TẮT ............................................................................ 3 1. 2. 3.
Lời giới thiệu .............................................................................................. 4 Tên sáng kiến “Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp”............. 4 Tác giả sáng kiến ........................................................................................ 4
4.
Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: ....................................................................... 4
5. 6.
Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: ....................................................................... 4 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:............................ 4
7.
Mô tả bản chất của sáng kiến: ..................................................................... 4
PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................ 5 I. Lý do chọn đề tài......................................................................................... 5 II. Mục đích của đề tài .................................................................................... 5 III. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................... 6 IV. Đối tượng của đề tài: ................................................................................ 6 V. Phạm vi của đề tài : ................................................................................... 6 VI. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... 6 VII. Địa điểm, thời gian nghiên cứu ............................................................... 7 PHẦN B: NỘI DUNG ...................................................................................... 8 I. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ .................................................................. 8 1, Về con người : ........................................................................................ 8 2, Về kiến thức:........................................................................................... 8 II. MỘT SỐ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI ............................................ 8 1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp ................................................................ 8 1.2.Định lý.................................................................................................. 8 1.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp ................................ 9 1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp. .... 9 2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn. .................................... 10 Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa. ....................................................... 10 Phương pháp 2: Dựa vào định lý .............................................................. 10 Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc ..................................... 11 1
Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện. ..................................................................................... 12 2.2. Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp. ................. 14 Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. ........ 14 Bài toán 2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. ................. 15 Bài toán3. Chứng minh quan hệ về đại lượng. .......................................... 18 Bài toán4. ................................................................................................. 19 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm. .......... 19 Bài toán 5 . Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. .......... 20 IV. HIỆU QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI......................................................... 24 V. GIẢI PHÁP MỚI VÀ SÁNG TẠO: ........................................................ 24 B. ỨNG DỤNG VÀO THỰC TẾ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY. ........................ 25 Ứng dụng 1: ............................................................................................. 25 Ứng dụng 2: ............................................................................................. 25 Ứng dụng 3: ............................................................................................. 26 Bài học kinh nghiệm:................................................................................ 27 PHẦN C : KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT ............................................................ 28 1. Kết luận ............................................................................................... 28 2. Kiến nghị .................................................................................................. 28 3. Khả năng áp dụng của sáng kiến ....................................................... 29 Nội dung tiết giảng minh họa ........................................................................... 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 33
2
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
BẢNG CHỮ CÁI VIẾT TẮT SKKN: Sáng kiến kinh nghiệm
H Ơ
N
SGK: Sách giáo khoa
N
THCS: Trung học cơ sở
TP .Q
HS: Học sinh
Đ
ẠO
THPT: Trung học phổ thông
G
(0): Đường tròn tâm O
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
Đpcm: Điều phải chứng minh
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
GD&ĐT: Giáo dục và đào tạo
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U
Y
GV: Giáo viên
3
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ N
ẠO
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
G
Ư N
H
TR ẦN
B
00
10
3
2+
ẤP
C
A
Ó
H
Í-L ÁN TO
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2. Tên sáng kiến “Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp” 3. Tác giả sáng kiến - Họ và tên: - Trường :…………………………….………… - Địa chỉ: ……………………………………….. - Điện thoại:…………………………………….. - Email: ……………………………….………… 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Cá nhân tự đầu tư, nghiên cứu 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán lớp 9 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 2/2014 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: Sáng kiến viết về một số phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp, có tính liên hệ, mở rộng trong quá trình giảng dạy thích hợp cho học sinh từ trung bình đến khá, giỏi
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Y
Toán học là môn học chính trong chương trình trung học, với rất nhiều giáo viên giảng dạy thì cùng với đó cũng đã rất nhiều đề tài, sáng kiến kinh nghiệm được viết ra với mọi góc nhìn, với chủ đề “Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp” thì cũng có khá nhiều tác giả đã viết, tôi với góc nhìn cá nhân mong muốn có một chuyên đề cho riêng mình giảng dạy học sinh đại trà về vấn đề “Tứ giác nội tiếp” nên tôi đã viết chuyên đề này.
N
1. Lời giới thiệu
4
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU
H Ơ N
ẤP
2+
3
Với học sinh lớp 9 đây là dạng toán mới lạ nhưng lại hết sức quan trọng giúp học sinh nhìn nhận lại được các bài toán đã giải ở lớp 8 để có cách giải hay cách lý giải căn cứ khác .
Í-
H
Ó
A
C
Với những lý do trên đây trong đề tài này tôi đưa ra một số cách để chứng minh một tứ giác nội tiếp sau khi học sinh học xong bài “Tứ giác nội tiếp một đường tròn”
“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP MỘT ĐƯỜNG TRÒN“
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Với tên gọi:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
G
b) Cơ sở thực tiễn: Trên thực tế ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp rất cơ bản thể hiện ở định lý đảo “ Tứ giác nội tiếp ” Trang 88 SGK toán 9 tập 2 thì SGK đã đặc biệt hoá, chia nhỏ để hình thành bốn dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Tuy nhiên chưa đặt các dấu hiệu thành một hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn cho học sinh; nhiều học sinh không hiểu cơ sở của dấu hiệu. Dẫn đến học sinh rất lúng túng khi tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Y
a) Cơ sở lý luận: Khi giải toán hình học ở lớp 9 đại đa số có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, bù nhau, tính số đo góc, chứng minh đẳng thức, chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn, …. Để chứng minh tứ giác nội tiếp đòi hỏi phải có kiến thức chắc chắn về quỹ tích cung chứa góc, quan hệ giữa góc và đường tròn, định lý đảo về tứ giác nội tiếp, …. Đặc biệt phải biết hệ thống các kiến thức đó sau khi học xong chương III hình học 9 . Đây là việc làm hết sức quan trọng của giáo viên đối với học sinh.
N
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích của đề tài Giúp Giáo viên hệ thống hoá kiến thức tạo nên các phương pháp để hướng dẫn học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh các điểm nằm trên một đường tròn , chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định, chứng minh quan hệ giữa các đại lượng và các bài toán có sử dụng chiều ngược lại của tứ giác nội
5
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ N
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ư N
IV. Đối tượng của đề tài:
TR ẦN
H
Là học sinh đại trà lớp 9 – THCS, giáo viên mới ra nghề dạy ở bậc THCS. V. Phạm vi của đề tài :
2+
3
10
00
B
Là phương pháp chứng minh hình học THCS ở phạm vi hẹp, cụ thể là chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn để từ đó chứng minh các đẳng thức về góc, đẳng thức tích các đoạn thẳng, … Tuy nhiên về ứng dụng của nó thì cũng khá rộng rãi .
ẤP
VI. Phương pháp nghiên cứu
H
Ó
A
C
- Bằng quan sát thực tế giảng dạy các giờ toán chứng minh tứ giác nội tiếp, bài toán tổng hợp có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp để chứng minh và tính toán của GV THCS.
ÁN
-L
Í-
- Bằng kinh nghiệm đứng lớp và bồi dưỡng ôn thi học sinh đại trà lớp 9 , những năm trước đây thấy học sinh rất ít em phát hiện được tứ giác nội tiếp một cách nhanh nhất, nhất là những bài toán không dễ chứng minh ngay được tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180o. Hay HS cứ phải đưa về tổng hai góc đối diện bằng 1800 nên dài, nhiều khi dẫn đến sai.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
G
Đ
ẠO
Tạo ra một tài liệu có tính khả thi trong quá trình giảng dạy cho học sinh khối 9 về Tứ giác nội tiếp và các bài toán liên quan
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
U
Y
Vì thời gian có hạn, năng lực của bản thân còn có hạn chế nhất định về khả năng tư duy nên quá trình nghiên cứu và viết đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy cô đồng nghiệp trong nhà trường và trong cụm đóng góp xây dựng để sáng kiến của tôi được phát huy tác dụng trong giảng dạy toán ở nhà trường.
N
tiếp. Rèn học sinh kỹ năng phân tích tự tìm lời giải bằng các cách khác nhau, kỹ năng nhận biết nhanh một tứ giác nội tiếp.
- Bằng đọc tài liệu để nắm các cơ sở lý luận khoa học về phương pháp chứng minh và tính chất của tứ giác nội tiếp . Đặc biệt là tìm cách nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp trước khi phải chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180o trong các bài toán có chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp .
6
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
- Bằng việc tham khảo và học hỏi ý kiến của đồng nghiệp nhất là những thầy cô dạy toán giỏi trong Huyện.
H Ơ N
ẠO
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
G Ư N
VII. Địa điểm, thời gian nghiên cứu
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
- Địa điểm: ……………………………………………………. - Thời gian: 02/2013 – 02/2017
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Từ các phương pháp trên đây đối chiếu với lý luận và thực tế tôi rút ra được kinh nghiệm nhỏ trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán bởi nội dung cụ thể như sau:
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Y
- Và cuối cùng là bằng việc đi từ vấn đề đơn giản, riêng lẻ của bài dạy đến các định lý và bài toán khó hơn, phức tạp hơn tổng hợp lại một hệ thống các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp .
N
- Bằng thử nghiệm đề tài của mình trong bài dạy giải toán ở trên lớp, các buổi ôn toán thi vào lớp 10 THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi .
7
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
PHẦN B: NỘI DUNG I. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
N
Y
- Là những GV giỏi, giáo viên lâu năm trong nghề có kinh nghiệm để học hỏi trao đổi vấn đề nảy sinh trong quá trình nghiên cứu.
H Ơ
N
1, Về con người :
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Vì thời gian có hạn và năng lực có hạn chế nên đối tượng kiến thức tôi chọn ở đây chỉ là định lý và các bài toán hình học nói về tứ giác nội tiếp , quỹ tích cung chứa góc . Nghiên cứu chủ yếu cách tìm phương pháp chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn để phục vụ cho kết luận của bài toán có sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp .
00
II. MỘT SỐ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
2+
3
10
*. Kiến thức cơ bản
ẤP
1.1 Khái niệm tứ giác nội tiếp
A
C
B
Hình 1
A O
-L
Í-
H
Ó
* Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.
TO
ÁN
C D
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
* Trong hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) và (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
2, Về kiến thức:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
ẠO
- Là học sinh từ trung bình trở lên (học sinh đại trà) lớp 9 THCS.
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
- Giáo viên mới ra nghề dạy toán để đề xuất câu hỏi : “Tại sao lại có cách chứng minh tứ giác nội tiếp như thế ? Trong một bài toán cụ thể”
1.2.Định lý. * Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o. * Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔ ∠A + ∠C = 1800 hoặc ∠B + ∠D = 1800
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
1.3. Một số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp
H Ơ
N
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.
ẠO
Ư N
Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
TR ẦN
H
Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. Chứng minh quan hệ giữa các đại lượng.
B
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
00
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
ẤP
2+
3
10
Kết hợp với tính chất của tứ giác nội tiếp ta có : điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O là thoả mãn một trong các hệ thức trên.
H
Ó
A
C
Với cách hệ thống hoá như trên, học sinh được ghi nhớ một cách lôgic và từ đó nhận biết nhanh được tứ giác nội tiếp một đường tròn và cũng từ đó sử dụng nhanh các tính chất của tứ giác nội tiếp trong giải toán hình học .
ÁN
-L
Í-
Bài toán 2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn là AB.CD + BC.AD=AC.BD.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Bài toán 3. Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và AB cắt CD tại F. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác ABCD nội tiếp là EA.ED+FA.FB=EF2 .
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
G
Đ
1.4. Một số bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α .
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Y
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
N
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
* Một số ví dụ minh hoạ: Trong phần ví dụ này, mỗi ví dụ được trình bày theo hướng phân tích để tìm ra phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp . Phần trình bày lời giải trên cơ sở phân tích nên cho phép tôi không trình bày ở đây .
9
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn A
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
B' C'
2.1. Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn.
Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa. C
N
Bài toán 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’. Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp.
Y
N
B
H Ơ
O
ẠO
Tương tự trên ⇒ OC’ = OB = OC = r
B
Từ (1) và (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r)
00
⇒ ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn. BB’ ⊥ AC (GT) ⇒ ∠ BB’C = 900.
3
10
Cách 2: Ta có:
2+
CC’ ⊥ AB (GT) ⇒ ∠ BC’C = 900.
ẤP
⇒ B’, C’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc vuông
A
C
⇒ B’, C’ nằm trên đường tròn đường kính BC
H
Ó
Hay ◊ BC’B’C nội tiếp đường tròn đường kính BC.
TO
ÁN
-L
Í-
Phương pháp 2: Dựa vào định lý Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ⇔
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Bài toán 2:
∠A + ∠C = 1800 hoặc ∠B + ∠D = 1800
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
(2)
TR ẦN
Xét ∆BC’C có : ∠ BC’C = 900 (GT)
Ư N
(1)
H
⇒ OB’ = OB = OC = r
G
Đ
OB’ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
Lấy O là trung điểm của cạnh BC. Xét ∆BB’C có : ∠ BB’C = 900 (GT)
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Cách 1:
U
Chứng minh:
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’.
A B'
I
C'
H Ơ
N
a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp.
C
Ư N
G
a/ (Bài toán 1)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
Chứng minh:
TR ẦN
(Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
H
b/ Từ câu a ⇒ ∠ C + ∠ BC’B’ = 1800
Mà : ∠ C = ∠ D (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
00
B
⇒ ∠ D + ∠ BC’I = 1800
10
⇒ ◊ BDIC’ nội tiếp đường tròn.
2+
3
Phương pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa góc
ẤP
Bài toán 3:
Ó
A
C
M
H
A
Cho ∆ ABC cân ở A nội tiếp (O). Trên tia đối của tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM=CN.
TO
ÁN
-L
Í-
1 2
B
1
C
Ỡ N
G
Chứng minh ◊ AMNO nội tiếp.
O
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
D
TP .Q
U
B
Y
b/ Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I. Chứng minh tứ giác BDIC’ nội tiếp.
N
O
BỒ
ID Ư
N
Chứng minh: Ta có: ∆ ABC cân ở A và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC 11
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
⇒ ∠ A1 = ∠ A2 ∆AOC cân tại O (vì OA = OC)
H Ơ
N
⇒ ∠A2 = ∠C1 nên ∠A1 = ∠A2 = ∠C1
N
Mà ∠A1 + ∠OAM = 1800 và ∠C1+ ∠OCN= 1800.
TP .Q
Xét ∆OAM và ∆OCN có : OA = OC; ∠AOM = ∠OCN; AM = CN
TR ẦN
H
Ư N
G
⇒ ◊ AMNO nội tiếp đường tròn (hai đỉnh kề nhau M và N cùng nhìn cạnh OA dưới cùng một góc).
Phương pháp 4: Dựa vào: tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
00
B
Bài toán 4:
10
M A
C
B
O D
Ó
A
P
E
ẤP
2+
3
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P.
H
Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp được đường tròn.
ÁN
-L
Í-
C
Ỡ N
G
TO
Chứng minh: Ta có : ∠ MEP là góc có đỉnh nằm bên trong (O)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
⇒ ∠AMO = ∠CNO hay ∠AMO = ∠ANO
ID Ư
BỒ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
⇒ ∆OAM = ∆OCN (c.g.c)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U
Y
⇒ ∠AOM = ∠OCN
+ MB ) s®(AD 2 s®DM Mà DCP = (góc nội tiếp) 2 = s®(AD + MA) Hay DCP 2 AM = MB Lại có : = ⇒ MEP
Nên :
= DCP MEP
12
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Nghĩa là: ◊ PEDC có góc ngoài tại đỉnh E bằng góc trong tại đỉnh C
H Ơ
N
Vậy ◊ PEDC nội tiếp được đường tròn.
U
F
TP .Q
E A
C
G
H
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
Hãy tìm các tứ giác nội tiếp trong hình vẽ bên.
ẠO
O
TR ẦN
H
D
Ư N
G
Chứng minh:
B
* Các tứ giác nội tiếp vì có hai góc đối là góc vuông là:
10
00
AEOH; BFOE; CGOF; DHOG
2+
3
* Các tứ giác nội tiếp vì có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
ẤP
AEFC; AHGC; BEHD; BFGD Xét tứ giác AEFC
A
C
Thật vậy:
H
Ó
Ta có: ∠EAC = ∠ EOB (cùng phụ với ∠ ABO)
-L
Í-
∠ BFE = ∠EOB (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)
ÁN
⇒ ∠EAC = ∠ BFE.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tương tự.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
B
Biết AC ⊥ BD tại O, OE ⊥AB tại E; OF ⊥ BC tại F; OG ⊥ DC tại G; OH ⊥AD tại H.
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Cho hình vẽ:
Y
N
Bài toán 5: (Bài tập tổng hợp các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp)
* Tứ giác EFGH nội tiếp vì có tổng hai góc đối bằng 1800
Thật vậy: Ta có : ∠ OEH = ∠OAH ( vì cùng chắn cung OH)
∠OAH = ∠HOD (vì cùng phụ với ∠AOH) ∠HOD = ∠HGD ( vì cùng chắn cung HD) ⇒ ∠ OEH =∠HGD 13
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Chứng minh tương tự ta được : ∠OEF = ∠FGC Từ đó : ∠ OEH + ∠OEF =∠HGD + ∠FGC
H Ơ
N
⇒ ∠ FEH =∠HGD + ∠FGC
N
Mặt khác: ∠HGD + ∠FGC+ ∠HGF = 1800
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Nếu ta phải chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn, ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp và tứ giác ABCE nội tiếp. Suy ra 4 điểm A, B, C, D và 4 điểm A, B, C, E cùng nằm trên một đường tròn. Hai đường tròn này có ba điểm chung là A, B, C thế nên theo định lý về sự xác định đường tròn thì chúng phải trùng nhau. Từ đó suy ra 5 điểm A, B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
10
00
b. Ví dụ 1: (Bài toán về đường tròn Euler)
3
A
ẤP
2+
Chứng minh rằng, trong một tam giác bất kì, ba trung điểm của các cạnh, ba chân của các đường cao, ba trung điểm của các đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh đều ở trên một đường tròn.
C
Ó
A
L F
l
E
Í-
H
H O N
-L ÁN
K
M
P C
B
I
D
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
a. Phương pháp:
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Bài tóan 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
2.2. Bài toán hay và khó vận dụng phương pháp tứ giác nội tiếp.
TP .Q
U
Y
⇒ ∠ FEH + ∠HGF = 1800 ( điều phải chứng minh)
Chứng minh: Ta có: ME là đường trung bình của ∆AHC ND là đường trung bình của ∆BHC
⇒ ME = ND = HC/2 ⇒ tứ giác MNDE là hình bình hành (1) 14
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Lại có : ME // CH; MN // AB (vì MN là đường trung bình của ∆HAB) Mà CH ⊥ AB (GT)
H Ơ
N
⇒ ME ⊥ MN (2)
N
Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNDE là hình chữ nhật
TP .Q
Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)
Ư N
G
Vì ∠ FLP = 900 ; ∠ NKE = 900 ⇒ L; K ∈ (O; OM)
H
Vậy ta có : 9 điểm M; K; E; P; D; I; N; F; L ∈ (O; OM)
TR ẦN
(Điều phải chứng minh)
c.Bài tập:
3
10
00
B
1. Cho hình bình hành ABCD có ∠ A nhọn. Đường tròn tâm A bán kính AB cắt đường thẳng BC ở điểm thứ hai E. Đường tròn tâm C bán kính CB cắt đường thẳng AB ở điểm thứ hai K. Chứng minh rằng:
2+
a. DE = DK
A
C
ẤP
b. năm điểm A, D, C, K, E cùng thuộc một đường tròn.
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
2. Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài AB và A’B’, các tiếp tuyến chung trong CD và EF (A, A’, C, E ∈ (O); B, B’, D, F ∈ (O’)). Gọi M là giao điểm của AB và EF, N là giao điểm của CD và A’B’. H là giao điểm của MN là OO’. Chứng minh rằng: a. MN ⊥ OO’
b. năm điểm O’, B, M, H, F cùng thuộc một đường tròn
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
Vì ∠ MID = 900 ⇒ I ∈ (O; OM)
ID Ư
BỒ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Chứng minh tương tự ta được hình chữ nhật FMPD cũng nội tiếp (O; OM)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U
Y
Gọi O là trung điểm của MD ⇒ O cũng là trung điểm của NE
c. năm điểm O, A, M, E, H cùng thuộc một đường tròn Bài toán 2. Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định. a. Phương pháp: Nếu ta phải chứng minh một đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định,
15
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
TR ẦN
H
Ư N
M
1 2
K C
B
B
A
F O
10 3 2+ ẤP
Chứng minh:
A
C
Gọi K là giao điểm của đường tròn đi qua ba điểm A, E, F với AB.
H
Ó
Nối K với F
Í-
Ta có ∠ F1 = ∠ A ( cùng bằng nửa số đo cung KE)
⇒ ∠ F1 = ∠ F2 ⇒ K đối xứng với B qua C
Do B và C là hai điểm cố định nên suy ra K cố định Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF đi qua điểm K cố định. Ví dụ 2:
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
∠ F2 = ∠ A ( cùng phụ với ∠ MBA)
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
G
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
ẠO
E
00
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm C cố định trên đường kính ấy (C khác O). Điểm M chuyển động trên đường tròn. Đường vuông góc với AB tại C cắt MA, MB theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định khác A.
TP .Q
U
b. Ví dụ 1:
http://daykemquynhon.ucoz.com
N
Y
Cách 2: Ta chọn một điểm nào đó trên đường tròn (ABC) sau đó ta đi chứng minh điểm đã chọn là điểm cố định.
H Ơ
N
Cách 1: Ta có thể xét thêm một điểm D cố định nào đó rồi chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
16
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
N
E
H Ơ
O
N
A
F
ẠO 10
⇒ hai đỉnh B và D cùng nhìn đoạn OE dưới một góc vuông.
2+
3
⇒ ◊ EBOD nội tiếp đường tròn
ẤP
⇒ ∠ BEO = ∠ BDO (1) (cùng chắn cung OB)
C
Chứng minh tương tự ta có : ◊ ODCF nội tiếp đường tròn
H
Ó
A
⇒ ∠ OFC = ∠ BDO (2) (góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện)
-L
Í-
Từ (1) và (2) ⇒ ∠ OFC = ∠ BEO
Ỡ N
G
TO
ÁN
⇒ ◊ AEOF nội tiếp đường tròn (theo dấu hiệu góc trong một đỉnh bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện) Vậy đường tròn (AEF) đi qua điểm O cố định.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ G Ư N H TR ẦN
00
∠ EDO = 900 (GT)
B
∠ EBO = 900 (AB là tiếp tuyến với (O) tại B)
Ta có :
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
C
TP .Q
U
Y
D
Chứng minh:
ID Ư
BỒ
B
Khi điểm D di động trên BC, chứng minh rằng đường tròn (AEF) luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Lấy điểm D nằm giữa B và C. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
c. Bài tập: 1. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), I là điểm chính giữa của cung BC không chứa A. Vẽ (O1) đi qua I và tiếp xúc với AB tại B, vẽ (O2) đi qua I và tiếp xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1) và (O2). a/ Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng. 17
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
N
b/ Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một điểm cố định khác A.
H Ơ
Bài toán3. Chứng minh quan hệ về đại lượng.
Y
N
Một số bài toán đề cập tới quan hệ về đại lượng như:
ẠO
B
Chứng minh:
10
00
B
A
Ta có : ◊ ABCD nội tiếp (O)
O
C
2+
3
Ta phải chứng minh: AC. BD = AB. DC + AD. BC
E
C
ẤP
Thật vậy.
D
H
Ó
A
Lấy E ∈ BD sao cho ∠ BAC = ∠ EAD
-L
Í-
⇒ ∆ DAE ∆ CAB (g. g)
Ỡ N
G
TO
ÁN
⇒
AD DE = AC BC
⇒ AD. BC = AC. DE (1)
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ Ư N
TR ẦN
H
Chứng minh rằng trong một tứ giác nội tiếp, tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của hai cặp cạnh đối.
ID Ư
BỒ
G
* Định lý Ptô - lê – mê.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
- Chứng tỉ số các đoạn thẳng không đổi (như hai đoạn thẳng bằng nhau, đoạn này gấp đôi đoạn kia….) hoặc chứng minh tổng hiệu các góc là không đổi....
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
- Chứng minh các hệ thức hình học.
Tương tự: ∆ BAE ∆ CAD (g. g)
⇒
BE AB = CD AC
⇒ BE. AC = CD. AB (2) Từ (1) và (2) ⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DE + EB. AC
⇒ AD. BC + AB. CD = AC. DB (ĐPCM) 18
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
c. Bài tập
H Ơ N
ẠO
Ư N
TR ẦN
H
c. Gọi M là trung điểm của BC, đường thẳng AM cắt OH tại G. Chứng minh G là trọng tâm của ∆ ABC. Bài toán4.
00
B
Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích một điểm.
10
a. Các bước giải bài toán quỹ tích:
2+
3
Bước1: Chứng minh phần thuận
C
+ Giới hạn quỹ tích
ẤP
Chứng minh rằng những điểm M có các tính chất đã cho thuộc hình H
H
Ó
A
Bước 2: chứng minh phần đảo
Í-
Chứng minh mỗi điểm của hình H đề có tính chất đã cho.
-L
Bước 3: Kết luận
ÁN TO G Ỡ N
B
A
b. Ví dụ 1 :
ID Ư
BỒ
G
∠ BAE = ∠ OAC và BE = CD.
Cho hình vuông ABCD, tâm O. Một đường thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD và BC lần lượt tại M và N. Trên CD lấy điểm K sao cho DK = DM. Gọi H là hình chiếu của K trên xy. Tìm quỹ tích điểm H.
N O
2
H l 12
M 1
D
K
C
19
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
b.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC , chứng minh:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
a.Chứng minh các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
2. Cho ∆ ABC nhọn với trực tâm H. Vẽ hình bình hành BHCD. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng AH tại E.
Y
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác nhọn đến các cạnh của tam giác bằng tổng các bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác đó.
N
1.Sử dụng Định lý Ptô - lê – mê để chứng minh ( Định lý Các – nô)
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Chứng minh: Phần thuận:
H Ơ
N
Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm)
N
Vì DK = DM (GT) nên CK = AM
Ư N
G
Vậy H nằm trên đường tròn đường kính DC
H
Giới hạn:
B
TR ẦN
Vì đường thẳng xy quay quanh O nhưng phải cắt hai cạnh AD và BC lần lượt tại M và N nên điểm H chỉ nằm trên một nửa đường tròn đường kính CD nằm trong hình vuông.
00
Phần đảo:
3
10
Lấy điểm H bất kì trên nửa đường tròn đường kính CD.
2+
Vẽ đường thẳng HO cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
ẤP
Lấy điểm K trên CD sao cho DK = DM.
A
C
Ta phải chứng minh H là hình chiếu của K trên MN.
H
Ó
Thật vậy,Vì ∠ DHC =900 ; ∠ DOC = 900 nên ◊ HOCD nội tiếp
-L
Í-
⇒ ∠ DHM = ∠ DCO = 450
Ỡ N
G
TO
ÁN
Mặt khác ∠ DKM = 450 nên ∠ DHM = ∠ DKM ⇒ ◊ HKDM nội tiếp ⇒ ∠ KHM = 900
⇒ KH ⊥ NM
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
⇒ ∠ DHC = 900
ID Ư
BỒ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
⇒ ∠ M1 = ∠ H1 = 450 và ∠ N2 = ∠ H2 = 450
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
Lại có ◊ MHKD và ◊ NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vuông)
U
Y
⇒ CK = CN
⇒ H là hình chiếu của K trên MN.
Kết luận: Vậy quỹ tích của điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường tròn này nằm trong hình vuông. Bài toán 5 . Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình. a. Ví dụ: 20
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), điểm D di động trên cạnh BC. Vẽ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC. Xác định vị trí của điểm D để:
A
H Ơ
N
a
O
a/ EF có độ dài nhỏ nhất.
F
Y
M
N
E
TR ẦN
H
Tứ giác AEDF có : ∠ AED + ∠ AFD = 900 + 900 = 1800
⇒ ◊ AEDF nội tiếp (O; OA)
B
Vẽ OM ⊥ EF ⇒ ME = MF
10
00
Đặt ∠ BAC = a
3
Ta có : ∠ EOM = ∠ EOF: 2 = ∠ BAC = a
2+
Xét ∆ MOE có ∠ OME = 900.
C
ẤP
⇒ EM = OE. sin a
Ó
A
⇒ EF = 2 OE. sin a
H
⇒ EF = AD. sin a (*) ( vì AD = 2OE)
ÁN
-L
Í-
a/ Do a không đổi nên từ (*) suy ra EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất ⇔ AD ⊥ BC ⇔ D là hình chiếu của A trên BC.
Từ (*) ⇒ EF lớn nhất
Ỡ N
G
TO
b/ Vì D ∈ BC và AB < AC nên AD ≤ AC
⇔ AD lớn nhất
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
G Ư N
Gọi O là trung điểm của AD
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
C
Đ
Chứng minh:
ID Ư
BỒ
D
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
B
TP .Q
U
b/ EF có độ dài lớn nhất.
⇔ D trùng với C.
b. Bài tập: 1. Cho ∆ ABC nhọn nội tiếp (O). Gọi M là một điểm trên cung ABC. Vẽ MD ⊥ BC; ME ⊥ AC; MF ⊥ AB. Xác định vị trí của M để EF có độ dài lớn nhất.
21
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
N
Ví dụ 5: Cho tam gíac ABC cân ( AB = AC ) . Trên AB và AC lấy M và N sao cho AM + AN = AB . Dựng hình thang cân ANMI ( AI // MN ). Chứng minh tứ giác AIBC nội tiếp.
H Ơ
A
Phân tích:
N
Để chứng minh tứ giác AIBC nội tiếp (1)
C
Ư N
Mặt khác ∠IMA = ∠ANI (6)
H
vì ANMI là hình thang cân )
TR ẦN
Vậy từ (4), (5) và (6) ta có thể suy ra điều gì ?
B
(suy ra ∠B1 = ∠C1(7)). Và từ (7) => (1) đpcm (cách 4)
00
Vậy để giải toán ở ví dụ 5 ta đã dùng cách 4
ẤP
2+
3
10
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, G, K là các tiết điểm của đường tròn (I) trên AB, AC. Gọi M, N là giao điểm của IB, IC với GK. Chứng minh BNMC là tứ giác nội tiếp.
Ó
Phân tích:
A
C
A K M
N G
Í-
H
C/m BNMC nội tiếp (1). Sử dụng cách 5: (1) ⇔ ∠BNC = ∠BMC = 90o (2)
-L
I
ÁN
Ta thấy ∠BGI = 90o nên phải chứng minh :
B
1
1
C
TO
Tứ giác BNGI và tứ giác IKMC nội tiếp (3)
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
⇔ ∠MIC = ∠MKC (4) với chú ý
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
B
1
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U
và ∠ANI = 2∠C1 (5) (góc ngoài của tam giác )
ẠO
1
Đ
Từ (2) và (3) => ∠IMA = 2∠B1 (4)
G
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
M
TP .Q
I
và IN = AM = NC (3)
http://daykemquynhon.ucoz.com
Y
N
Từ giả thiết => IM = MB = AN (2)
I là giao 3 phân giác trong tam giác ABC Ta có ∠MIC = ∠B1 + ∠C1 =
∠B + ∠C 180 0 − ∠A = 2 2
(5)
180 0 − ∠A 2
(6)
Mặt khác: ∠MKC = ∠AKG = ∠AGK =
22
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Từ (5) và (6) suy ra (4) => (3) => ∠BMC = ∠BNC = ∠BGI = ∠IKC = 90o => (2) =>(1) đpcm
H Ơ
Y
N
Phân tích:
N
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC kẻ đường cao AH . Gọi I, K Là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC. Chứng minh tứ giác BIKC nội tiếp được .
ẠO
Nên ∠I1 = ∠H1
Đ
nhưng ∠H1 = ∠C1 (cùng phụ với ∠H2)
G
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
Ư N
do đó ∠I1 = C1 ta có cách chứng minh thứ nhất
TR ẦN
H
C/m (1) theo cách 2.b.
00
B
A
10
K
1
B
H
1
C
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
I 1
-L
Í-
Cách 2: Chứng minh (1) ta có thể sử dụng cách 6 được không?
ÁN
(1) ⇔ AI . AB = AK . AC (2) Để chứng minh (2) ta có thể sử dụng hệ thức lượng giác trong tam gíac vuông AHC và AHB : AI . AB = AH2
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
Cách 1: Theo giả thiết dễ thấy tứ giác AIHK nội tiếp
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
U
C/m Tứ giác BIKC nội tiếp (1) ta có thể dùng một trong hai cách sau đây :
và AK . AC = AH2
suy ra (2) được c/m => (1) được c/m Trong mỗi bài toán nêu trên còn có những cách giải khác nữa nhưng có thể nói vẫn là một trong 6 cách tôi đã nêu. Nhưng ở đây với mỗi bài tôi chỉ trình bày từ một đến hai cách vì mục đích làm sáng tỏ việc phân tích theo định hướng thích hợp để chứng minh tứ giác nội tiếp . 23
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
IV. HIỆU QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
H Ơ N
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
TR ẦN
V. GIẢI PHÁP MỚI VÀ SÁNG TẠO:
10
00
B
Trong đề tài này giải pháp mới và sáng tạo là phân tích để tìm ra cách chứng minh tứ giác nội tiếp theo trực giác hình vẽ của bài toán (định lý) hoặc định hướng phương pháp theo giả sử các bước sau :
3
Hướng thứ nhất: ( phân tích đi lên )
C
ẤP
2+
Bước 1: Giả sử để chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn ta chọn phương pháp A nào đó ( phương pháp A là cách 1, cách 2 …, cách 6 ) thế thì ta phải chứng minh điều gì ? ( điều gì ở đây là một trong các hệ thức ở 6 cách ).
H
Ó
A
Bước 2: Sau đó dựa vào giả thiết, kiến thức đã học để chứng minh.
Í-
Bước 3: Trình bày lại lời giải bài toán theo hướng phân tích trên.
-L
Hướng thứ hai: (Tổng hợp )
ÁN
Bước 1: Phân tích giả thiết, nhận biết nhanh các tứ giác nội tiếp ( bằng một trong 6 cách ).
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Bước 2: Dùng tính chất của tứ giác nội tiếp, các kiến thức toán học để có một trong sáu hệ thức của 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
H
Ư N
G
Đ
Đặc biệt là giúp cho giáo viên thêm phương pháp hướng dẫn học sinh chứng minh hình học, giải toán và hướng dẫn học sinh đọc tài liệu tham khảo với các bài toán liên quan đến tứ giác nội tiếp.
TO
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
Bổ xung thêm cho mình phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp, các điểm cùng thuộc một đường tròn, để không bị bế tắc với các bài khó, bản thân tự tin hơn, tư duy thêm nhanh và sáng tạo hơn .
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U
Y
Tự mình nhận biết nhanh được một tứ giác nội tiếp, để từ đó định hướng phương pháp hướng dẫn học sinh tìm lời giải. Giúp cho việc giải các bài toán hình học có sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp nhanh nhạy.
N
Trong quá trình nghiên cứu, tổng hợp và viết hoàn thiện đề tài này tôi thu được kết quả khá khả quan .
Bước 3: Tổng hợp, phân tích, kiểm tra lại để tránh sai lầm và cuối cùng trình bày lời giải. Cái sáng tạo ở đây là sự hệ thống, liên kết chặt chẽ giữa các phương pháp để có thể nhận biết một cách nhanh nhất tứ giác nội tiếp một đường tròn. Tự tin hơn trong học toán . 24
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ N
ẠO
G
Đ
Ứng dụng 1:
H
Ư N
Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức hình học; Chứng minh các góc bằng nhau , các đẳng thức tích các đoạn thẳng , bất đẳng thức về diện tích các hình, …
TR ẦN
Ví dụ : Từ kết quả của 3 ví dụ ta có thể dùng tứ giác HCNK nội tiếp để giải bài toán tiếp theo :
3
10
Kết luận chứng minh SAMN ≤ SABC (với SAMN, SABC thứ tự là ký hiệu diện 2 tích tam giác AMN và tam giác ABC ).
2+
Ta có thể phân tích giải tiếp như sau (hình vẽ ở ví dụ 3)
A
C
ẤP
Tứ giác HCNK nội tiếp => ∠ANM = ∠KHC = 45o => ∆AMN là tam giác vuông cân tại A => AM = AN (1)
H
Ó
Lại chứng minh được ∆AKN = ∆AKH (g.c.g) => AN = AH (2)
-L
Í-
Từ (1) và (2) => AM = AN =AH
ÁN
Do đó SAMN =
1 1 1 AM . AN = AH2 còn SABC = AB . AC 2 2 2
TO
Xét ∆ABC vuông tại A có :
Ỡ N
G
1 1 1 AB 2 + AC 2 2. AB. AC 2 1 = + = ≥ = = 2 2 2 2 2 2 2 AH AB AC AB . AC AB . AC AB. AC S ABC
Hay:
ID Ư
BỒ
00
1
B
Giữ nguyên giả thiết và bổ xung thêm M là giao điểm của IK với AB.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
- Ngoài kết quả là học sinh biết cách chứng minh tứ giác nội tiếp và nhận biết nhanh tứ giác nội tiếp thì ta có thể dùng tính chất của nó để ứng dụng chứng minh hình học có sử dụng kết quả của tứ giác nội tiếp:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U
Y
- Về tâm lý HS khi học không thụ động là cứ phải tìm tổng hai góc đối diện của một tứ giác bằng 180o mới nội tiếp . Phát huy được tính độc lập, nhanh nhẹn sáng tạo tìm lời giải bởi hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đã được hình thành và dễ ghi nhớ, tạo điều kiện tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hình học.
N
B. ỨNG DỤNG VÀO THỰC TẾ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY.
1 1 1 ⇔ SAMN ≤ SABC ( đpcm) ≥ 2 2.S AMN S ABC
Ứng dụng 2: Dùng tứ giác nội tiếp để chứng minh cặp đường thẳng song song, cặp đường thẳng vuông góc: 25
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Ví dụ: (lấy ví dụ 2)
H Ơ N
Y
Thật vậy ( hình vẽ ở ví dụ 2) Tứ giác AQBP nội tiếp => ∠ACB = ∠PAB ( cùng chắn cung AB ) mà ∠PAB = ∠PQB (cùng chắn cung BP của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AQBP ) => ∠ACB = ∠PQB => PQ //AC (đồng vị )
N
Giữ nguyên giả thiết, kết luận chứng minh PQ//AC
ẠO
TR ẦN
H
Bước 2: Lại chọn ra bốn điểm khác nhau : A1, A2, A3, A5 chẳng hạn tạo thành một tứ giác nội tiếp.
10
00
B
Cứ tiếp tục chứng minh như trên, cuối cùng nhận xét các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên đều chung nhau 3 điểm A1, A2, A3. Do đó các đường tròn đó phải trùng nhau => A1, A2, A3,…,An cùng thuộc một đường tròn.
C
ẤP
2+
3
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm E thuộc BC, kẻ hai trung trực của AB và AC gặp nhau ở I. Trung trực của AE cắt hai trung trực kia ở F, K. Chứng minh 5 điểm A, E, F, I, K cùng nằm trên một đường tròn. K 1
Ó
A
Phân tích :
A
C
Í-
H
Chứng minh 5 điểm A, E, F, I, K
2
-L
cùng nằm trên một đường tròn (1)
ÁN
⇔ Chứng minh 2 tứ giác nội tiếp AKIE
1 2
F H
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
và AKIF (có 3 điểm chung là A, K , I) (2) B
I
E
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Ư N
G
Đ
Bước 1: Chọn ra bốn điểm, ví dụ A1, A2, A3, A4 tạo thành một tứ gíac nội tiếp (sử dụng một trong 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp ).
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
Dùng các cách chứng minh tứ giác nội tiếp để chứng minh nhiều A1, A2, A3, … An cùng thuộc một đường tròn :
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Ứng dụng 3:
Thật vậy, từ giả thiết => I∈ BC và IB =IC (∠A = 90o) Vì IK là trung trực của AC, KF là trung trực của AE
⇒ KA = KC = KE => ∠KAI = ∠KEI (=∠KCE) ⇒ Tứ giác AKIE nội tiếp (3) (theo cách 4) ta lại có ∠K1 = ∠K2 = ∠I1= ∠I2 26
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
(Các góc nội tiếp cùng chắn một cung và tính chất đường trung trực ) hay ∠K1 = ∠I1 => tứ giác AKIF nội tiếp (theo cách 4)
(4)
N
Qua đề tài này tôi rút ra được bài học kinh nghiệm cho chính bản thân là có đủ phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp, khai thác triệt để “ Điều kiện cần và đủ ” để khai thác các bài toán mới khi dạy bồi dưỡng cho HS . Cũng từ các cách chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp có thể mở ra hướng nghiên cứu tiếp vẽ hình phụ tạo ra tứ giác nội tiếp, để giải cách khác cho một bài toán cụ thể hoặc đề ra bài toán mới trong quá trình giảng dạy .
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Bài học kinh nghiệm:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
U
Y
Chú ý : Ở ví dụ này kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Hình vẽ trên là ứng với điểm E thuộc đoạn HC còn 2 trường hợp nữa là E thuộc đoạn HB và E nằm ngoài đoạn BC chứng minh tương tự.
H Ơ
N
Từ (3)và (4) => (2) => (1) đpcm
27
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
PHẦN C : KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
H Ơ N
TR ẦN
H
- Bên cạnh đó cũng có thể nói rằng đề tài này là tư liệu cần thiết giúp các giáo viên mới ra trường tham khảo khi dạy hình học cho học sinh và giúp GV dạy toán mở hướng nghiên cứu tiếp hệ thống các phương pháp khác.
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
- Trong thực tiễn giảng giạy: Việc nắm được hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp để áp dụng vào giải toán đem lại hứng thú cho người giải toán, nhất là HS bởi với bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp nào HS cũng có thể tự mình mày mò và tìm ra được hướng giải không bị bế tắc. Có được tứ giác nội tiếp rồi lại có thể dùng các tính chất của nó tức là phần đảo lại để khai thác và đề xuất câu hỏi mới, bài toán mới thực sự lý thú. Nó đem lại sự tự tin, niềm say mê với bộ môn hình học, sự tưởng tượng phong phú và tư duy nhanh nhạy.
TO
ÁN
-L
Í-
- Nói tóm lại hệ thống phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp là không thể thiếu trong người thầy để bồi dưỡng phương pháp giải toán và năng lực tư duy sáng tạo cho HS . Tuy đề tài này dừng lại ở mảng nhỏ của chứng minh hình học nhưng đã phần nào làm sáng tỏ ý nói trên đây.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
2. Kiến nghị
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Ư N
G
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
- Trọng rèn luyện nghiệp vụ: Đây là một trong những hình thức tự học, tự bồi dưỡng của người giáo viên. Với GV, chỉ có đọc, học hỏi và tích luỹ kinh nghiệm về phương pháp và dạy cho học sinh một cách có phương pháp, có hệ thống thì mới có thể nâng cao được năng lực giải toán, phương pháp mới được đổi mới và sáng tạo.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
U
Y
Qua quan sát đọc tài liệu viết báo cáo và dạy minh họa, việc tìm cách chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn, vận dụng tính chất của nó vào giải toán tôi thấy được giá trị lý luận, ý nghĩa thực tiễn và hiệu quả của đề tài này như sau:
N
1. Kết luận
Đối với giáo viên việc trau dồi kiến thức chuyên môn là một nội dung quan trọng và thường xuyên thực hiện, do đó tôi rất mong được sự giúp đỡ của anh, chị giàu kinh nghiệm chỉ bảo để tôi có thêm nhiều kĩ năng truyền dạy đến các thế hệ học sinh sau này. Đối với ban giám hiệu luôn tạo điều kiện thuận lợi để anh, em giáo viên phát huy khả năng và lòng đam mê với nghề 28
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
3. Khả năng áp dụng của sáng kiến
H Ơ N
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
G
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Y
Sáng kiến là dịp để các giáo viên được giao lưu, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, hy vọng đây là một chuyên đề để các giáo viên vận dụng vào giảng dạy của bản thân
N
Đề tài nằm ở phạm vi nhỏ của một chương nhưng là một nội dung quan trọng giúp học sinh thêm tự tin trong phần hình học, một phần trọng tâm trong nội dung ôn thi vào 10 hàng năm
29
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ
N
Nội dung tiết giảng minh họa Ngày soạn:15/02/2017 Ngày giảng: 23/02/2017
Y
N
Tiết 50: LUYỆN TẬP
TO
Cách 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800. Cách 2: Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
Cách 3: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
II. Kiểm tra bài cũ: HS 1: Phát biểu định nghĩa, tính chất của tứ giác nội tiếp? TL: Đ.N: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp) Tính chất tứ giác nội tiếp ( định lý) ĐL: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800 HS 2: Trình bày các cách chứng minh một tứ giác nội tiếp? TL:
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
G
Đ
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
A.MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: Củng cố tính chất của tứ giác nội tiếp. Biết cách chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp. 2. Kỹ năng: Rèn kỹ năng vẽ hình và giải bài tập hình. 3. Thái độ: Giáo dục tính cẩn thận B.CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS - GV: Giáo án, SGK, SBT, SGV - HS: SGK, SBT, làm các bài tập ở nhà - Phương pháp: Đặt và giải quyết vấn đề, thuyết trình. C.NỘI DUNG TÍCH HỢP LỒNG GHÉP - Kĩ năng tìm kiếm và xử lý thông tin khi đọc sách giáo khoa. - Kĩ năng giao tiếp, lắng nghe tích cực khi hoạt động nhóm - Kĩ năng tự tin khi trình bày ý kiến trước lớp học D.TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: I.Ổn định tổ chức: 9A…../ 9B…../
Cách 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α . III.Bài mới
30
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
H Ơ Y
N
Nội dung Bài 1
C
D
B
TR ẦN
H
M
a) Tứ giác BC’B’C nội tiếp Cách 1 (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α) Xét tứ giác BC’B’C có:
C
ẤP
2+
3
10
GV: Các em vẽ hình, viết giả thiết, kết luận HS: Thực hiện yêu cầu, tự làm ra nháp
00
Bài làm
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
GV: Sau khi học sinh làm xong cách 1; gv đặt câu hỏi là còn cách nào khác để làm ý a? GV gợi ý cách làm bằng định nghĩa; gọi M là trung điểm của cạnh BC
' C = BB ' C = 900 BC ⇒ tứ giác BC’B’C nội tiếp
Cách 2 Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Gọi M là trung điểm của cạnh BC tức là BM = MC =
BC (1) 2
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q ẠO
Ư N
B
G
O
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
a) Tứ giác BC’B’C nội tiếp b) Tứ giác BDIC’ nội tiếp.
B'
I
Đ
C'
U
A
Cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp (O), 2 đường cao BB’, CC’. Tia AO cắt (O) ở D và cắt B’C’ ở I. Chứng minh rằng
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
Hoạt động của GV và HS Bài 1
N
HĐ1.Đặt vấn đề: Với những kiến thức em đã được học ở hai tiết 48, 49 mà thầy vừa nhắc lại ở trên, các em vận dụng chúng như thế nào vào giải bài tập. Các em vào bài hôm nay, Tiết 50 – Luyện Tập HĐ2.Triển khai bài:
nối C’M và B’M ta có: △C ' BC vuông tại C’, C’M là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên C ' M =
BC (2) 2
△BB ' C vuông tại B’, có B’M là trung
tuyến ứng với cạnh huyền nên B ' M =
BC 2
(3) 31
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
Từ (1); (2) và (3) thấy BM = CM = C ' M = B ' M =
N
H Ơ
N
B,C’,B’,C cách đều điểm M hay B,C’,B’,C nội tiếp đường tròn đường kính BC.
= BCA (hai góc nội tiếp cùng Mà : BDA chắn cung AB)
GV: Chốt lại kiến thức
TR ẦN
H
⇒ ◊ BDIC’ nội tiếp đường tròn (Đpcm)
A
H
M
C
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
B
Bài 2. ⌢ Bài 2. Cho tam giác ABC có B và ⌢ C nhọn, Đường cao AH và đường trung tuyến AM không trùng nhau, N là trung điểm của AB; Cho biết = MAC . BAH N a) Chứng minh tứ giác ANHM nội tiếp b) Tính BAC B
TO
ÁN
-L
GV: Yêu cầu học sinh vẽ hình, viết giả thiết, kết luận HS: thực hiện yêu cầu
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
GV: với những tứ giác mà có sẵn hai đường chéo các em thường lưu ý tới cách chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cung chứa góc HS: có thể ghi chú ý này
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
Ư N
G
+ BC + BC 'I = 1800 ' B ' = BDI ⇒ BDA
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
TP .Q
U
Y
b) Theo phần a) tứ giác BC’B’C nội ' + BC tiếp⇒ BCB ' B ' = 1800 (Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
ẠO
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
GV: GV: Một em trình bày bằng lời cách làm ý b) HS: một số học sinh tham gia ý kiến GV: trình bày sơ lược cách làm trên hình rồi cho học sinh làm chi tiết. GV: Trong hình vẽ còn tứ giác nào nội tiếp.
BC tức 4 điểm 2
a) Chứng minh tứ giác ANHM nội tiếp Do M, N lần lượt là trung điểm của BC, GV trình bày sơ đồ sau lên bảng kèm AB nên MN là đường trung bình của tam các câu hỏi gợi mở: giác ABC ⇒ MN / / AC AMN MAC ⇒ = (So le trong) (1) AMN = MAC ⇒ 1) MN//AC △ HAB vuông tại H, HN là đường trung 2) △ HAB vuông tại H 32
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
N
H Ơ
N
tuyến nên HN=NA ⇒△ NHA cân tại N (2) (Tính chất tam AHN = NAH suy ra giác cân) = NAH (giả thiết) (3) Mà MAC Từ (1); (2) và (3) có AMN = AHN suy ra tứ giác NAMH nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α)
ẠO
P
K
ẤP C
A D N
O
H
C
H Í-
M
I
Ó
A
d
B
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Hướng dẫn: a) Dễ thấy tứ giác MAOB nội tiếp, hãy chỉ ra K cũng thuộc đường tròn đó b) Chứng minh OM là trung trực của AB, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM, AI là đường cao c) Chỉ OAHB là hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau. V.Dặn dò về nhà - Hoàn thành bài tập 3; học thuộc các cách chứng minh một tứ giác nội tiếp - Ôn: ∆ nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn; Tâm của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ∆
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ 2+
3
10
00
B
TR ẦN
H
Ư N
G
HĐ 3 Hướng dẫn luyện tập IV. Củng cố Lồng vào bài học Bài 1: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB. 1. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn . 2. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2. 3. Chứng minh OAHB là hình thoi. HD GIẢI:
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
⇒ ANM = AHM = 900 Lại có MN / / AC nên AC ⊥ AB hay = 900 BAC
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Y
3) Tam giác NHA cân tại N 4) MN//AC 5) Góc ANM = góc AHM=90 độ Rút ra kết luận
33
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial
https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn
www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com
TÀI LIỆU THAM KHẢO
H Ơ N
ẠO
B
BỒ
ID Ư
Ỡ N
G
TO
ÁN
-L
Í-
H
Ó
A
C
ẤP
2+
3
10
00
6. Mạng internet, giáo án violet.vn
TR ẦN
H
5. 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp bồi dưỡng học sinh giỏi và luyện thi vào lớp 10 (quyển hạ ) – ban GV năng khiếu trường thi . Chủ biên Nguyễn Đức Đồng , Nguyễn văn Vĩnh – Nhà xuất bản trẻ năm 2000.
https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/
Đ
Ư N
G
4. Cách tìm lời giải các bài toán THCS – tập III . Hình học – Lê Hải Châu và Nguyễn Xuân Quỳ – Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội năm 1999.
DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN
3. Chứng minh hình học : phân loại và phương pháp giải 100 bài toán chứng minh hình 9 – Nguyễn Phúc Trình – Nhà xuất bản thành phố Hồ Chí Minh năm 1999.
Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định
http://daykemquynhon.ucoz.com
TP .Q
U
Y
2. Nâng cao và phát triển toán 9 tập 2 – Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản giáo dục năm 2005.
N
1. SGK toán 9 tập 2 – Phan Đức Chính ( Tổng chủ tập )- Tôn Thân (chủ biên) – nhà xuất bản giáo dục năm 2005.
34
Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial