CHINH PHỤC CÁC DẠNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM HÀM SỐ - SỐ PHỨC by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VẤN ĐỀ 1: DẠNG TOÁN VỀ SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG

H Ơ

Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. ta

TP .Q

1) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2

nói: thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

TR ẦN

Ư N

ẠO

Minh họa:

2) Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn

x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

-L

Í-

ẤP

Minh họa:

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

ÁN

Nhận xét:

- Từ định nghĩa trên ta thấy:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

f(x 2 ) - f(x1 ) 1) f(x) đồng biến trên K ⇔  → > 0, ∀x1 ,x 2 ∈ K (x1 ≠ x 2 ) . x 2 - x1

Minh họa:

f(x) đồng biến trên K:

 x1 < x 2  0 < x 2 - x1 f(x 2 ) - f(x1 ) ⇒ ⇒  → > 0, ∀x1 , x 2 ∈ K(x1 ≠ x 2 )  x 2 - x1 f(x ) < f(x ) 0<f(x ) f(x )  1 2  2 1

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

f(x 2 ) - f(x1 ) 2) f(x) nghịch biến trên K ⇔  → < 0, ∀x1 ,x 2 ∈ K (x1 ≠ x 2 ) . x 2 - x1

Minh họa:

H Ơ

f(x) nghịch biến trên K:

 x1 < x 2 0 < x 2 - x 1 f(x 2 ) - f(x1 ) ⇒ ⇒  → < 0, ∀x1 , x 2 ∈ K(x1 ≠ x 2 )  x 2 - x1 f(x ) > f(x ) 0 > f(x ) f(x )  1  2 2 1

Ư N

ẠO

TP .Q

3) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

TR ẦN

4) Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

ẤP

Định lí:

- Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

1) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

2) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

-L

Í-

Minh họa:

ÁN

1) Cho hàm số y =

1 3 1 . x + x 2 + 6x + 3 1+ 5

Ta có: y’ = x2 + 2x + 6; y’ = 0 ⇔ x2 + 2x + 6 = (x + 1)2 + 5 = 0 (vô nghiệm).

Ỡ N

Do đó: y’ > 0; ∀x ∈ R ⇒ y đồng biến trên R.

BỒ

ID Ư

2) Cho hàm số y =

1 3 5x 2 x + 6x 3 2

1 1+ 5

x = 2 Ta có: y’ = x2 – 5x + 6; y’ = 0 ⇔ x2 – 5x + 6 = 0 ⇔ (x - 2)(x - 3) = 0 ⇔  x = 3 Do đó: y’ < 0; ∀x ∈ (2;3) ⇒ y nghịch biến trên khoảng (2;3).

Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 3) Cho hàm số y = - x 3 - x 2 - 6x + 3

1+ 5

H Ơ

Ta có: y’ = -(x2 + 2x + 6); y’ = 0 ⇔ -(x2 + 2x + 6) = 0 ⇔-(x + 1)2 – 5 = 0 (vô nghiệm).

Do đó: y’ < 0; ∀x ∈ R ⇒ y nghịch biến trên R.

Lưu ý: Các quy tắc xét dấu cơ bản của phương trình bậc 2, các bạn vui lòng xem lại các kiến

TP .Q

thức đã học ở lớp dưới.

Tóm lại:

ẠO

- Trên K f’(x) > 0 ⇒ f(x) đồng biến

f’(x) < 0 ⇒ f(x) đồng biến

Ư N

Chú ý

Ta có: y’ = 0; y’ = 0 ⇔ 0 = 0 (luôn đúng).

3+ 2 4

Cho hàm số y =

TR ẦN

Minh họa:

- Nếu f’(x) = 0 ∀x ∈ K thì f(x) không đổi trên K.

Í-

ẤP

Do đó: y’ = 0; ∀x ∈ R ⇒ y không đổi trên R.

-L

Định lí mở rộng:

ÁN

- Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

1) Nếu f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến

trên K.

Ỡ N

2) Nếu f’(x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) nghịch biến

BỒ

ID Ư

trên K.

Minh họa: 1 1) Cho hàm số y = - x 3 + 2x 2 - 4x - 5 . 3 Ta có: y’ = -x2 + 4x - 4; y’ = 0 ⇔ -x2 + 4x - 4 = 0 ⇔-(x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2

Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

y’ ≤ 0; ∀x ∈ R Do đó: y nghịch biến trên R.

H Ơ

1 3 x - 2x 2 + 4x - 5 . 3

2) Cho hàm số y =

Ta có: y’ = x2 - 4x + 4; y’ = 0 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 ⇔(x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2

y’ ≥ 0; ∀x ∈ R

TP .Q

Do đó: y đồng biến trên R.

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:

ẠO

1) Tìm tập xác định.

2) Tính đạo hàm f’(x). tìm các điểm xi (i = 1,2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không

Ư N

xác định.

3) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Minh họa:

1 3 5x 2 x + 6x - 4 3 2

1) Cho hàm số y =

TR ẦN

4) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

x = 3 y’ = x2 – 5x + 6; y' = 0 ⇔  ; lim y = +∞ ; lim y = −∞ x→−∞  x = 2 x→+∞

y’

ẤP

-∞

Bảng biến thiên:

2 3

+∞ + +∞

ÁN

-L

Í-

1 2

-∞

- Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;2),(3;+ ∞).

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;3) 2) Cho hàm số y =

y' =

x-4 x-5

-1 < 0; ∀ x ≠ 5 , lim y = 1 ; lim+ y = +∞ ; lim− y = −∞ x→±∞ x →5 x →5 (x - 5)2

Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

-∞

y’

+∞

H Ơ

TP .Q

-∞ Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;5), (5; +∞)

ẠO

Định lí La-grang: (đọc thêm)

- Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì tồn tại một

điểm c ∈ (a;b) sao cho:

f(b) - f(a) b-a

TR ẦN

Hay f'(c) =

Ư N

f(b) – f(a) = f’(c)(b - a)

Hệ quả

Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) thì f(x) bằng hằng số trên khoảng đó.

Tổng kết:

- Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Thế thì

1) f’(x) > 0, ∀x ∈ (a;b) ⇒ f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)

ẤP

2) f’(x) < 0, ∀x ∈ (a;b) ⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)

3) f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) ⇒ f’(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a;b).

4) f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) ⇒ f’(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a;b).

- Khoảng (a;b) được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.

Í-

BÀI TẬP MINH HỌA

ÁN

-L

1 Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x 3 + (m - 3)x 2 + (m + 1)x + 4 . Tìm các giá trị của m sao cho 3

hàm số tăng trên đoạn có độ dài bằng 4.

B. 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. 5

C. 4

D. 2

HƯỚNG DẪN GIẢI Phân tích:

Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = -x2 + 2(m – 3)x + (m + 1). 2

•

5  15  Xét ∆’ = (m – 3) + m + 1 = m – 5m + 10 = (  m −  + > 0; ∀m ∈ ℝ 2 4  2

Suy ra phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 (x1< x2)

Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

-∞

y’

+∞

H Ơ

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số tăng trên đoạn có độ dài bằng 4 thì

•

x 2 - x1 = 4 ⇔ (x1 + x 2 ) 2 − 4x1x 2 = 4 ⇔ 4m 2 - 20m + 24 = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = 3.

⇒ Chọn D.

TP .Q

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + 3mx2 – 3mx + 4. Tại giá trị nào của m thì hàm số giảm trên đoạn có độ dài bằng 1? B. m =

C. m =

2+ 3

5 3

2 3 3

ẠO

−1 + 2 2

D. m =

A. m =

Ư N

HƯỚNG DẪN GIẢI Phân tích:

TR ẦN

Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = 3x2 + 6mx – 3m.

Xét ∆’ ≤ 0 ⇔ 9 + 9m ≤ 0 ⇔ m ≤ -1: ta có hệ số của x2 của y’ là a = 3 > 0

⇒ y’ ≥ 0; ∀x ∈ R ⇒ hàm số đồng biến trên R ⇒ m ≤ -1 (loại).

(x1<x2) x

y’

x2 0

+∞ +

ẤP

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số tăng trên đoạn có độ dài bằng 1 thì

•

-∞

Xét ∆’> 0 ⇔ 9 + 9m > 0 ⇔ m > -1 (*) thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2

Í-

−1 + 2 thỏa mãn yêu cầu đề bài. Suy ra ta chọn đáp án A. 2

-L

Vậy với m =

−1 + 2 vì (*). 2

x 2 - x1 = 1 ⇔ (x1 + x 2 ) 2 − 4x1x 2 = 1 ⇔ 4m 2 + 4m = 1 ⇔ m =

ÁN

Lời bình: •

Xét ∆y’ ≤ 0 đồng thời xét dấu đạo hàm, để giải quyết bài toán tăng (giảm) trên R.

•

Xét ∆y’ > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2 (x1 < x2). Vẽ bảng

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Để giải quyết bài toán này ta thực hiện từng bước như sau:

biến thiên sơ lược như trên để dựa vào đó mà kiểm chứng xem có phù hợp đề bài không? •

Nếu đã phù hợp đề bài, ta chỉ cần ghép x 2 - x1 = 1 rồi sử dụng định lý Vi-ét sẽ tìm ra

được tham số m. Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 3: Cho hàm số y =

-3x + m . Trong tất cả giá trị m để hàm số nghịch biến trên 2x + 1

C. m =

D. m =

TP .Q

HƯỚNG DẪN GIẢI Phân tích:

ẠO

-2m - 3 (2x + 1)2

Ta có đạo hàm của hàm số là y' =

2 3 3

H Ơ

5 3

B. m = -5

1 2

A. m =

 1   − ; +∞  , thì m không thể bẳng?  2 

Ư N

 1  - Để hám số nghịch biến trên  − ; +∞   2 

TR ẦN

3  1  ⇒ y’ ≤ 0; ∀x ∈  − ; +∞  ⇔ -3 – 2m ≤ 0 ⇔ m ≥ − 2  2 

 3 Do m = -5 ∉  − ; +∞ )  2

⇒ Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hàm số y = mx2 – 2x2 + mx – 1. Giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến

1 2

C. m =

ẤP

B. m =

D. m =

3 2 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Phân tích:

2 3

2 3 3

A. m =

trên [-1;2]?

-L

Í-

- Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = 3mx2 – 4x + m,

ÁN

- Để hàm số đồng biến trên [-1;2] ⇒ y’ ≥ 0; ∀x ∈ [-1;2] ⇔ m ≥

⇔ m ≥ Max f(x)(*), với f(x) =

x∈[ −1;2]

4x 3x 2 + 1

-12x 2 + 4 ; ∀x ∈ [ − 1; 2] (3x 2 + 1)2

Với f’(x) = 0 ⇔ -12x2 + 4 = 0 ⇔ x =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ta có: f'(x) =

4x ; ∀x ∈ [ − 1; 2] 3x 2 + 1

Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3 vì x ∈ [-1;2]. 3

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

f’

3 3

H Ơ

-1

 3 2 3 8 Đồng thời ta có f(-1) = -1; f  ; f (2) = =  3 13  3 

x∈[ −1;2]

2 3 2 3 2 3 . . Suy ra GTNN của m là ;(*) ⇒ m ≥ 3 3 3

TR ẦN

Vậy Max f(x) =

Ư N

8 13

-1

ẠO

TP .Q

2 3 3

⇒ Chọn C.

B. m ≥

1 2

C. m ≤ 3

2 3

D. m ≥

10 3

A. m ≥

mx 2 + 6x + 3 . Tìm m để hàm số đồng biến trên (-1;0)? x+2

Ví dụ 5: Cho hàm số y =

HƯỚNG DẪN GIẢI

ẤP

Phân tích:

mx 2 + 4mx + 10 (x + 2) 2

Ta có đạo hàm của hàm số là y' =

Để hàm số đồng biến trên (-1;0)

10 10 ; ∀x ∈ (−1;1) ⇔ m ≥ Max [ f(x) ] , với f(x) = 2 x∈ ( − 1;0) x + 4x (x + 4x)

ÁN

⇔ m≥

-L

Í-

⇒ y’ ≥ 0; ∀x ∈ (-1;0) ⇔ mx2 + 4mx + 10 ≥ 0; ∀x ∈ (-1;0)

-10(2x + 4) ; ∀x ∈ (-1;1) (x 2 + 4x)2

Ỡ N

Ta có: f’(x) = =

BỒ

ID Ư

Với f’(x) = 0 ⇔ 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2; lim f(x) = x →( −1)+

10 ; lim f(x) = −∞ 3 x → 0−

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy rằng không tìm được Max [ f(x)] , nhưng f(x) < x∈( −1;0)

10 ; ∀x ∈ (−1; 0) 3

⇒ Chọn D. Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 6: Cho hàm số . Giá trị lớn nhất của m để hàm số giảm trên [2; +∞)? B. m = −

1 20

C. m = 3

D. m = -3

1 20

H Ơ

A. m =

HƯỚNG DẪN GIẢI

Phân tích:

Ư N

x 2 - 12x + 11 ; ∀x ∈ [2; +∞) (x - 1)4 x

TR ẦN

Ta có f'(x) =

-x + 6 x - 2x + 1

ẠO

x∈[2;+∞ )

⇔ m ≤ Min f(x) (*), với f(x) ≤

-x + 6 ; ∀x ∈ [2; +∞) x - 2x + 1

TP .Q

Để hàm số giảm trên [2;+∞) ⇒ y’ ≤ 0; ∀x ∈ [2; +∞) ⇔ m ≤

Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = x2 – 2(m - 1)x + m - 6

f’

11 -

+∞

−1 20

ẤP

+∞

Với f’(x) = 0 ⇔ x2 – 12x + 11 = 0 ⇔ x = 11 vì x ∈ [2;+∞)

1 ; lim f(x) = +∞ 20 x→+∞

-L

Í-

Đồng thời ta có f(2) = 4; f(11) = −

ÁN

Vậy Min f(x) = − x∈[2;+∞ )

1 1 1 ; (*) ⇒ m ≤ − . Suy ra GTLN của m là − 20 20 20

⇒ Chọn B.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 Ví dụ 7: Cho hàm số y = x 3 - mx 2 + (m - 2 )x + 5 . Với 0 ≤ m ≤ 9 thì có bao nhiêu giá trị m 3

là số tự nhiên sao cho hàm số đồng biến trên [2;5]?

A. 7

B. 5

C. 3

D. 1

HƯỚNG DẪN GIẢI Phân tích: Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = x2 – 2mx + m -2 Trang 9 http://dethithpt.com

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Để hàm số đồng biến trên [2;5] ⇒ y’ ≥ 0; ∀x ∈ [2;5] ⇔ m ≥

-x 2 + 2 ; ∀x ∈ [2;5] -2x +1

H Ơ

 -x 2 + 2  ⇔ m ≥ Max  f(x) = (*) x∈[2;5] -2x +1   2

x∈[2;5]

U TP .Q

23 23 ;(*) ⇒ m ≥ 9 9

ẠO

Vậy Max f(x) = f(5) =

 1 7 2  x-  + 2x 2 - 2x + 4 2 2 =  > 0 ; ∀x ∈ [2;5] ⇒ f(2) < f(5) Ta có f'(x)= (-2x+1)2 (-2x+1) 2

Ư N

 23  Suy ra theo đề bài m ∈  ;9  ⇒ m ∈ {3;4;5;6;7;8;9} ⇒ có 7 giá trị của m thỏa mãn. 9 

⇒ Chọn A.

mx - 2 . Với mọi m thuộc tập hợp nào sau đây để hàm số tăng trên x - 3m

TR ẦN

Ví dụ 8: Cho hàm số y = (-∞;-1)?

 1 2  A. A=  x ∈ ℝ : − ≤x≤  3 3  

B 00 10 2+

D. D = {x ∈ ℝ : x > 0}

ẤP

 2 2  C. C=  x ∈ ℝ : − ≤x≤  3 3  

5  B. B =  −∞;  ∪ [1; +∞) 9 

HƯỚNG DẪN GIẢI

Phân tích:

-3m 2 + 2 ; ∀x ≠ 3m (x - 3m)2

Í-

Ta có đạo hàm của hàm số là y' =

-L

Để hàm số tăng trên (-∞;-1)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

  2 2 m ∈  − ;  −3m + 2 ≥ 0  y ' ≥ 0; ∀x ∈ (−∞; −1)   3 3  ⇔ m ∈ − 1 ; 2  ⇔ ⇔ ⇔   3m ∉ (−∞; −1) 3m ≥ −1  3 3   `  m ∈  − 3 ; +∞     2

 1 2  1 2  A. SAI vì A =  − ;  ≠  − ;   3 3  3 3 

 1 2 5  B. SAI vì B =  −∞;  ∪ [1; +∞) ≠  − ;  9   3 3

Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 1 2 C. ĐÚNG vì C =  − ;   3 3

H Ơ

 1 2 D. SAI vì D = (0; +∞) ≠  − ;   3 3

⇒ Chọn C.

TP .Q

Lỗi sai thường gặp:

- Nhiều học sinh làm nhanh và vô tình quên đi điều kiện x ≠ 3m dẫn đến làm sai bài toán như

Ư N

 2 2 ⇔ m ∈ − ;   3 3

- Để hàm số tăng trên (-∞;-1) ⇔ y’ ≥ 0; ∀x ∈ (-∞;-1) ⇔ -3m2 + 2 ≥ 0

ẠO

TR ẦN

Do vậy, ta cũng không nên làm quá nhanh để dẫn đến những sai lầm đáng tiếc, hoặc không chọn được đáp án thì bảo đề sai hoặc sẽ lúng túng không biết phải chọn phương án nào. Ví dụ 9: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 3mx + m -1. Hàm số nghịch biến trên (-1;1) thì mệnh đề

nào về m là đúng?

A. 1 − m ≥ 2

B. m ∈ (-∞;-3) ∪ (1;+ ∞) D. Không xác định được m

C. m > 1

HƯỚNG DẪN GIẢI

ẤP

Phân tích:

Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = 3x2 + 6x + 3m.

Cách 1: “Cách cổ điển”

Xét ∆’ ≤ 0 ⇔ 9 – 9m ≤ 0 ⇔ m ≥ 1 : ta có hệ số trước x2 ở đạo hàm là a = 3 > 0.

Í-

•

-L

⇒ y’ ≥ 0; ∀x ∈ R ⇒ Hàm số đồng biến trên R ⇒ Hàm số đồng biến trên (-1;1)

Xét ∆’ > 0 9 – 9m > 0 ⇔ m < 1 (*) thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1;x2

•

ÁN

⇒ m ≥ 1 (loại).

Suy ra x1 = −1 − 1 − m và x 2 = −1 + 1 − m . Ta có bảng biến thiên:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

(x1 < x2).

-∞

y’

x2 -

+∞ +

 x ≤ −1 Để hàm số nghịch biến trên (0; +∞) ⇔ y’ ≤ 0; ∀x ∈(-1;1) ⇒  1 x 2 ≥ 1 Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

* Hướng 1: Dùng định lý Vi-ét. Ta có:

H Ơ

x + 1 ≤ 0  x1 ≤ −1 ⇔ 1 ⇔ (x1 + 1)(x 2 − 1) ≤ 0  x 2 ≥ 1 x 2 −1 ≥ 0

(x1 + x 2 ) 2 − 4x1 x 2 + x1x 2 ≤ 0

⇔ x2 - x1 + x1x2 – 1 ≤ 1 ⇔

TP .Q

⇔ 2 1 − m − (1 − m) ≤ 0 ⇔ 1 − m(2 − 1 − m) ≤ 0 ⇔ 1 − m ≥ 4 ⇔ m ≤ −3 * Hướng 2: Dùng ngay nghiệm cụ thể

Đ G

Ư N

−1 − 1 − m ≤ −1  1 − m ≥ 0  x1 ≤ −1 m ≤ 1 ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ −3 ⇔  m ≤ −3 x 2 ≥ 1 −1 + 1 − m ≥ 1  1 − m ≥ 2

ẠO

Ta có:

So với điều kiện (*) thấy thỏa mãn.

TR ẦN

Vậy với m ≤ −3 thõa mãn đề bài.

⇒ Chọn A.

Cách 2: “Dùng GTLN – GTNN”.

- Để hàm số nghịch biến trên (0; +∞) ⇔ y’ ≤ 0; ∀x ∈(-1;1) ⇔ m ≤ -2x – 2x; ∀x ∈(-1;1)

⇔ m ≤ min f(x) với f(x) = -x2 – 2x

x∈( −1;1)

Ta có: f’(x) = 6x – 6; f’(x) = 0 ⇔ 6x – 6 = 0 ⇔ x = 1.

lim + f(x) = 1; lim − f(x) = -3

x → ( −1)

x →( −1)

f(1) = -2;

ẤP

- Mặt khác:

-1

f’ f

Í-

x∈( −1;1)

Suy ra Mi n f(x) = -3;(*) ⇒ m ≤ -3 . -3

-L

Vậy chọn đáp án là A.

x → ( −1)

ÁN

Lời bình: Thực chất ta tính lim + hay lim − là thế x = 1 hay x = -1 vào hàm số để tìm GTLN của hàm số. Nên đối với các bước này, ở trên nháp ta chỉ thế số vào như bình thường mà thôi.

Ỡ N

(Để tính giới hạn các hàm phức tạp hơn, các bạn xem lý thuyết ở vấn đề 4).

BỒ

ID Ư

⇒ Chọn A. Ví dụ 10: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + (m – 1)x – 1. Tìm m để hàm số nghịch biến trên (0;+∞)?

A. m ≤ -2

B. m = 2

C. m > 1

D. Không xác định được m

Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

HƯỚNG DẪN GIẢI Phân tích:

H Ơ

Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = -3x2 + 6x + m -1.

TP .Q

⇒ y’ ≤ 0; ∀x ∈ R ⇒ Hàm số nghịch biến trên R ⇒ Hàm số nghịch biến trên (0;+∞) ⇒ m ≤ -2 (nhận).

Xét ∆’ > 0 ⇔ 9 + 3(m – 1) > 0 ⇔ m > -2 (*) thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm

ẠO

•

Xét ∆’ ≤ 0 ⇔ 9 + 3(m – 1) ≤ 0 ⇔ m ≤ -2: ta có hệ số trước x2 ở đạo hàm là a = -3 < 0.

•

Cách 1: “Cách cổ điển”.

-∞

y’

+∞

Ư N

3 − 3m + 6 3 + 3m + 6 và x 2 = . Ta có bảng biến thiên: 3 3

TR ẦN

Suy ra x1 =

phân biệt x1;x2 (x1 < x2).

Để hàm số nghịch biến trên (0; +∞) ⇒ y’ ≤ 0 ∀x ∈ (0; +∞) ⇔ x2 ≤ 0 ⇔

vô nghiệm).

3m + 6 ≤ −3 (BPT

Trường hợp m > -2 (loại). vậy với m ≤ -2 thỏa mãn đề bài.

⇒ Chọn A.

Cách 2: “Dùng GTLN – GTNN”.

ẤP

- Để hàm số nghịch biến trên (0; +∞) ⇔ y’ ≤ 0; ∀x ∈(0; +∞) ⇔ m ≤ 3x2 – 6x + 1; ∀x ∈(0;

+∞)

min  f(x) = 3x 2 − 6x + 1 (*)

x∈(0; +∞ )

⇔m ≤

f’ f

0 +

ÁN

- Mặt khác:

+∞ -2

f(1) = -2; lim+ f(x) = 1; lim − f(x) = +∞

+∞

-L

⇔ x = 1.

Í-

Ta có: f’(x) = 6x – 6; f’(x) = 0 ⇔ 6x – 6 = 0

x→0

x →+∞

x∈(0:+∞ )

Ỡ N

Suy ra Mi n f(x) = -2;(*) ⇒ m ≤ -2 (thõa mãn)

BỒ

ID Ư

⇒ Chọn A. MỘT SỐ THỦ THUẬT, KỸ NĂNG CẦN BIẾT

Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS) - Nhấn SHIFT và nhấn các phím có nhãn chữ màu vàng để sử dụng các chức năng của hàm đó. - Nhấn ALPHA và nhấn các phím có nhãn chữ màu đỏ để sử dụng các chức năng của hàm đó.

Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Phím CALC dùng để thay giá trị và tính.

Áp dụng:

H Ơ

1/ Nhập (X+2Y)2 , nhấn CALC màn hình sẽ hiện X?, nhập 3, nhấn =, màn hình sẽ hiện Y?,

5 , nhấn = màn hình sẽ hiện 29 + 12 5 . Ta được đáp án trên màn hình là kết quà

nhập

)

(

TP .Q

c ủa 3 + 2 5 .

( X − 2Y ) 2 , nhấn CALC, màn hình sẽ hiện X?,, nhập2, nhấn=, màn hình sẽ hiện 2X

Y, nhập

5 , nhấn =, màn hình sẽ hiện 12 − 4 5 . Ta được đáp án trên màn hình kết quả

ẠO

2/ Nhập

Ư N

(2 − 2 5 ) c ủa

2.2

  tính giá trị của đạo hàm tại một điểm cho trước. 

(

d X 3 − 5X + X dx

(

nhập

)

x=4

màn

hình

sẽ

hiện

)

hình

sẽ

hiện

d X 3 − 5X + X dx

 , 

d SHIFT ∫   dx

Nhấn

x=4

ẤP

Áp dụng:

TR ẦN

d - Nhấn SHIFT ∫   dx

43, 25

Ta được đáp án trên màn hình là kết quả của y’(4) với y = x 3 − 5x + x

ÁN

-L

Í-

1  3 2  y = x − 5x + x ⇒ y ' = 3x − 5 + 2 x Kiểm tra:   y '(4) = 3.42 − 5 + 1 = 43.25  2 4

d SHIFT ∫   dx

Nhấn

 , 

nhập

d X 3 − 5X + X dx

(

)

x=4

màn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

d dx

(

X 2 +1

)

x=4

0,9701425001 Ta được đáp án trên màn hình là kết quả của y’(4) với y = x 2 + 1

Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

x  2 y = x +1 ⇒ y ' = x2 +1  Kiểm tra:   y '(4) = 4 = 4 17 ≈ 0,9701425001  17 42 + 1

BÀI TẬP MINH HỌA

-3x + m . Trong tất cả giá trị m để hàm số nghịch biến trên 2x + 1

TP .Q

Ví dụ 1: Cho hàm số y =

B. m = -5

C. m =

5 3

2 3 3

 1   − ; +∞  .  2 

  

 1  Để hàm số nghịch biến trên  − ; +∞  ⇒ y ≤ 0; ∀x ∈  2 

TR ẦN

Phân tích:

D. m =

HƯỚNG DẪN GIẢI

1 2

Ư N

A. m =

ẠO

 1   − ; +∞  , thì m không thể bằng?  2 

d Thay m vào từng đáp án và sử dụng chức năng SHIFT ∫   dx

1  −3 X −  1   d 2 −3 X −  d     2 , nh ậ p màn hình s ẽ hi ệ n dx 2 X + 1      dx  2 X + 1     x=0   x =0

ẤP

d - Nhấn SHIFT ∫   dx

Í-

d   dx

d  −3 X − 5  d  −3 X − 5      , nhập   , màn hình sẽ hiện dx  2 X + 1  x =0 dx  2 X + 1  x =0  7

ÁN

-L

- Nhấn SHIFT ∫

−2

ở đây ta chọn ngay đáp án là B mà không cần tính các đáp án còn lại. ⇒ Chọn A.

Ỡ N

Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx3 – 2x2 + mx – 1. Giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đông biến

A. m =

1 2

BỒ

ID Ư

trên [-1;2]?

B. m =

1 2 3

C. m =

2 3 3

D. m =

3 2 3

HƯỚNG DẪN GIẢI Phân tích: Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Để hàm số đông biến trên [-1;2] ⇒ y’ ≥ 0; ∀x ∈[-1;2]

N Y

U TP .Q

d  1 3 1  2  y = . X − 2 X + . X − 1 dx  2 2  x =0

d  1 1  y= .X 3 − 2 X 2 + . X − 1  dx  2 3 2 3  x =0 0,2886751346

Ư N

d  1 1   y= .X 3 − 2 X 2 + . X − 1 , màn hình sẽ hiện  , nhập  dx  2 3 2 3   x =0

TR ẦN

d SHIFT ∫   dx

ẠO

1 2 - Nhấn

H Ơ

d  1 3 1   2  y = . X − 2 X + . X − 1 , màn hình sẽ hiện  , nhập dx 2 2   x =0 

d SHIFT ∫   dx

- Nhấn

  

d Thay m vào từng đáp án và sử dụng chức năng SHIFT ∫   dx

Tương tự cho các đáp án còn lại, ta dự đoán được giá trị nào làm cho hàm số đồng biến trên [-

1;2] (lưu ý điều phỏng đoán chưa đúng trên một khoảng lớn).

- Dễ dàng ta có thể chọn đáp án C (khuyến khích cách giải tự luận ở câu này – xem lại ví dụ 4 - ở

phần trên).

ẤP

⇒ Chọn C.

1 m  Ví dụ 3: Cho hàm số y = mx 3 - (m - 1)x 2 + 3  - 2  x . Giá trị lớn nhất của m để hàm số 3 3 

H Í-

1 20

ÁN

-L

A. m =

giảm trên [2; +∞)?

B. m = −

1 20

C. m = 3

D. m = -3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Tương tự như ví dụ 2. Các bạn tự xem lại nhé. (khuyến khích cách giải tự luận ở câu này – xem

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Câu 1: Đồ thị nào sau đây biểu diễn hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

lại ví dụ 4 - ở phần trên).

Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

TR ẦN

Ư N

ẠO

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu 2: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi f(x) ≥ 0; ∀x ∈ (a;b).

B. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b). Nếu x1 > x2 thì f(x1) > f(x2) với x1; x2 ∈ (a;b).

C. Hàm số y = f(x) là hàm hằng trên (a;b) khi f’(x) = 0; ∀x ∈ (a;b).

ẤP

D. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi f’(x) < 0; ∀x ∈ (a;b).

ÁN

-L

Í-

Câu 3: Cho đồ thị biểu diễn hàm số y = f(x) thì phát biểu sai là:

A. f(x) > 0; ∀x ∈ (d;e)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

B. f’(x) > 0; ∀x ∈ (c;d) C. Hàm số tăng trên (a;b).

D. f(x) < 0; ∀x ∈ (b;c)

Câu 4: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a;b) với a;b là nghiệm của phương trình f’(x) = 0. Khẳng định sai?

A. Hàm số đồng biến trên (a;b) khi f’(x0) > 0; với x0 ∈ (a;b) Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. Hàm số đồng biến trên (a;b) khi

f(x 2 ) - f(x1 ) > 0 ; với x 2 - x1

 x1 ;x 2 ∈ (a;b)   x1 ≠ x 2

H Ơ Y

 x1 ;x 2 ∈ (a;b) f(x 2 ) - f(x1 ) = 0 ; với  x 2 - x1  x1 ≠ x 2

Câu 5: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (c;d) khi f’(x) > 0; với ∀x ∈ (c;d)

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên (c;d) khi f’(x) ≥ 0; với ∀x ∈ (c;d)

D. Hàm số y = f(x) là hàm hằng khi f’(x) = 0; ∀x ∈ (c;d)

và f’(x) = 0 chỉ tại

Ư N

một số hữu hạn điểm.

ẠO

m - nx nghịch biến trên từng khoảng xác định khi nq – mp > 0 px + q

B. Hàm số y =

TP .Q

D. Hàm số là hàm hằng trên (a;b) khi

C. Hàm số nghịch biến trên (a;b) khi f’(x0) < 0; với x0 ∈ (a;b)

TR ẦN

Câu 6: Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x + 10 = 0. Kết luận nào chính xác nhất? A. Hàm số giảm trên (-∞;-21)

B. Hàm số tăng trên (-∞;-2) ∪ (1;+∞)

C. Hàm số tăng trên (-∞;-2) và (1;+∞)

D. Hàm số giảm trên (-2;-1)

Câu 7: Cho hàm số y = 3x4 – 6x2 + 13. Xác định khoảng mà hàm số nghịch biến trên

ẤP

khoảng đó:

1+ 2 3  A.  ;  2   4

C. (1;3)

D. (-1;+∞)

B. (-∞;0)

−4 3 x + 5 x 2 − 6 x + 216 . Cho các phát biểu sau, chọn câu trả lời đúng. 3

-L

Í-

Câu 8: Cho hàm số y =

ÁN

 3 (1) Hàm số tăng trên  1;   2

3  (2) Hàm số giảm trên (-∞;-1) ∪  ; +∞  2 

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 6 6 3 (3) Hàm số tăng trên  1;  hoặc  ;   5 5 2 x = 1 (4) y’ = 0 ⇔  x = 3 2 

A. (1); (3) Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. (1); (2); (3)

C. (1); (3); (4)

D. (1); (2)

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 9: Cho hàm số. Mệnh đề nào sau đây đúng:

H Ơ

 1 A. Hàm số đồng biến trên ℝ \ −   2

−1   −1   B. Hàm số nghịch biến trên  −∞;  ∪  ; +∞  2   2  

TP .Q

−1    −1  C. Hàm số nghịch biến trên  −∞;  và  ; +∞  2 2    

−4 3 x + 2 x 2 − x + 7 . Mệnh đề nào sau đây là sai? 3

Ư N

Câu 10: Cho hàm số y =

ẠO

 1 D. Hàm số nghịch biến trên ℝ \ −   2

TR ẦN

1  A. Hàm số đồng biến trên  −∞;  2  1  B. Hàm số nghịch biến trên  ; +∞  2 

1  C. Hàm số nghịch biến trên  −∞;  2 

D. Hàm số nghịch biến trên ℝ

)

(2) (-1;1)

(

(1) −∞; −1 − 15

2 x 2 − x + 26 . Có bao nhiêu khoảng đồng biến của hàm số đã cho? x+2

ẤP

Câu 11: Cho hàm số y =

(6) (-6;-3)

(5) (-3;0)

B. 1

(4) −1 + 15; +∞

 5  (7)  − ; −1 + 15   2 

(8) 1 − 15; −1

C. 3

(

)

D. 4

-L

Í-

A. 0

(

(3) (10;+∞)

ÁN

Câu 12: Cho hàm số y = 2 x − 5 − x . Đâu là khoảng nghịch biến của hàm số đã cho? 5  B.  ;3  2 

A. (2;5)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 13: Cho hàm số y = 3 x − 5 +  13  A.  ; 4  6 

Câu: Cho hàm số y =

C. (4;5)

 2 + 15  D.  −2;  2  

1 . Chỉ ra khoảng đồng biến có độ dài lớn nhất? x−2

 11  B.  ; 6  2 

 −3  C.  ; −1 2  

 5 8 D.  ;   2 3

2x − 3 . Tìm ra khoảng nghịch biến có độ dài nhỏ nhất? 2x −1

Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 2 + 15 4 + 13  C.  ;  D. 2   2

6 5 B.  ;  5 2

1  A.  ; 2  2 

 3 + 15 7  ;   2  2

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B. 2

C. 3

D. 4

A. 1

H Ơ

Câu 15: Cho hàm số y = 1 − 2 x + x − 3 . Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu điểm gãy?

B. y =

2x − 3 x +1

C. y =

−2 x + 3 x −1

D. y =

2x − 3 − x −1

−2 x + 3 x +1

TP .Q

A. y =

Câu 16: Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên khoảng xác định của chúng?

ẠO

Câu 17: Cho hàm số y = 3 − 2 x − x 2 . Hàm số đã cho có khoảng đồng biến có độ dài lớn

Cho

đây,

đâu

là

khoảng

G biến

c ủa

hàm

số

3 x; ∀x ∈ [ − π ; π ] 2

nghịch

−9π   (2)  −π ;  10  

 −π  (5)  ;0  2 

 π 7π  (6)  ;   4 12 

 π  (3)  0;   12 

π π  (4)  ;  4 3

 −5π −3π  (1)  ;  4   6

TR ẦN

y = sin 2 x −

khoảng

D. (-1;2)

18:

C. (-1;1)

Câu

B. (-1;0)

Ư N

A. (-3;-1)

nhất là:

B. (2);(3);(4)

C. (2);(3); (5)

D. 1);(3); (6)

ẤP

1 4 5 3 x − x + 4 x 2 − 4 x − 10 . Tìm mệnh đề sai? 4 3

Câu 19: Cho hàm số y =

A. (1);(3); (5)

3 7 A. Hàm số đồng biến trên  ;  2 3

Í-

B. Đạo hàm của hàm số đổi dấu hai lần

-L

C. Hàm số nghịch biến trên (-∞;0)

ÁN

D. Khoảng đồng biến dài nhất là (1;+∞)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 20: Cho hàm số y = A. 2

x2 x2 − 1

B. 4

. Đồ thị hàm số đổi chiều mấy lần?

C. 3

D. 1

Câu 21: Hàm số sau đây có khoảng đồng biến (2;5)? A. y =

3x − 1 x−2

1 9 C. y = − x 4 + x 2 + 1 4 2 Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 B. y = x 3 + 2 x 2 − 5 x + 3 3 D. y =

x−5 x −3

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. Hàm số y =

2− x luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. x+5

H Ơ

3x − 2 luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. x +1

A. Hàm số y =

Câu 22: Đâu là mệnh đề sai?

C. Hàm số y = x3 – 3x2 – 9x + 5 nghịch biến trên (-∞;-9)

TP .Q

D. Hàm số y = x4 – 2x2 – 5 đồng biến trên (9;+∞)

Ư N

ẠO

Câu 23: Đâu là đồ thị hàm số y = -x3 + 2x2 – x – 2?

TR ẦN

ẤP

D. 3

+∞ +

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

y’ y

-2

-∞

Câu 24: Đâu là bảng biến thiên của hàm số y = x – 3x – 2?

-∞

y’

+∞ +

BỒ

Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

-1

-∞ +

+∞

y’

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

H Ơ

-∞ +

+∞

3 -

y’

- 3

ẠO

TR ẦN

Ư N

Câu 25: Đâu là mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Hàm số y = x3 – 6x2 + 3x – 4 có khoảng đồng biến là (2 − 3;0)

B. Hàm số y = -x2 + 5x + 3 có khoảng nghịch biến là (3;+∞) 2x − 5 có khoảng nghịch biến dài nhất là (2;+∞) x−3

D. Hàm số y =

x 2 − 3x − 2 luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. x −1

ẤP

C. Hàm số y =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

Câu 26: Đâu là đồ thị của hàm số y = x4 – 3x2 + 2?

Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu 27: Cho các hàm số sau: 4x − 3 2x −1

4 3 x − 3x 2 + 2 x + 1 3

(3) y = x4 – 4x2 + 3

(4) y =

5 3 x − 5 x 2 + 6 x − 27 3

x+4 x − 2x − 4

(6) y =

1 4 1 x − x 3 − x 2 + 11 4 2

Ư N

TR ẦN

(5) y =

ẠO

(2) y =

(1) y =

Tìm các hàm số có đồ thị không đổi chiều biến thiên trên từng khoảng xác định của chúng?

B. (1); (4); (5)

C. (1); (3); (6)

D. (2); (5); (6)

A. (2);(3);(5)

Câu 28: Cho các phát biểu sau:

(1) Hàm số y = x3 – 3x2 + 12x + 1 có khoảng nghịch biến là (-3;+∞).

(2) Hàm số y = 2x + 11 + tanx luôn đồng biến trên R.

1 − s inx  π ; ∀x ∈  0;  luôn nghịch biến trên khoảng xác định. 1 + s inx  2

3x − 1 có khoảng đồng biến dài nhất là x2

-L

Í-

(5) Hàm số y =

(4) Hàm số y =

ẤP

(3) Hàm số y = -6x4 + 8x3 – 3x2 – 1 có đồ thị đổi chiều biến thiên ba lần.

ÁN

(6) Hàm số y =

1   −∞;  2 

x2 − 2x − 3 thì phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất. x+5

Số phát biểu đúng là:

B. 3

C. 1

D. 0

A. 5

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 Câu 29: Cho hàm số y = − x 3 + (m − 1) x 2 + (m − m 2 ) x − 3 . Tìm m để hàm số nghịch biến 3

trên R?

A. (1;+∞)

Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. (-∞;-1)

C. [1;+ ∞)

D. (-∞;-1]

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 m − 2  2  2m − 7  Câu 30: Cho hàm số y = x3 −  x −  x + 5 . Hàm số đồng biến trên R khi nằm  2   12 

C. (-∞;-1) ∪ (3;+∞)

D. Không xác định được m

B. [1;3]

Câu 31: Cho hàm số y =

TP .Q

m 3  m − 3  2  3m − 1  x −  x −  x + m . Với m nằm trong tập hợp nào 3  2   2 

A. (-1;3)

H Ơ

trong khoảng giá trị nào?

 5  C. C =  − ;1  9 

D. D = { x ∈ ℤ : x > 0}

5  B. B =  −∞;  ∪ [1; +∞ ) 9 

m 3  2m − 1  2 x +  x + (3m − 2) x − 7 . Tìm m để hàm số luôn đồng 3  2 

TR ẦN

Câu 32: Cho hàm số y =

Ư N

−9   A. A =  x ∈ ℝ : ≤ x < 1 5  

ẠO

sau đây để hàm số đồng biến trên ℝ ?

biến trên ℝ ?

B. m =1

A. m < 1

D. Không xác định được m

C. m > 1

ẤP

để hàm số luôn đồng biến trên ℝ ?

m−2 3 2 Câu 33: Cho hàm số y =   x − (m − 2) x + (m − 1) x + 3m . Giá trị nguyên m là nhỏ nhất  3 

B. 3

A. 2

C. 4

D. 0

mx − 2m . Có bao nhiêu giá trị nguyên âm m để hàm số luôn nghịch x+m

Câu 34: Cho hàm số y =

-L

ÁN

A. 1

Í-

biến trên từng khoảng xác định?

Câu 35: Cho hàm số y =

B. 2

C. 3

D. 4

−3 x 2 + mx − 2 . Hãy cho biết có bao nhiêu giá trị nguyên dương m 2x − 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

để hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định với ∀m∈ (0;10)? A. 8

Câu 36: Cho hàm số y =

B. 6

C. 4

D. 2

2x − m . Có bao nhiêu giá trị m đối nhau để hàm số luôn đồng biến x+3

trên từng khoảng xác định?

A. 4 Trang 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. 3

C. 2

D. 1

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu 37: Cho hàm số y =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(m − 1) x 2 + 2 x . Hãy cho biết có bao nhiêu giá trị m là số nguyên tố mx + 1 B. 3

C. 2

H Ơ

A. 0

sao cho hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định?

D. 1

1 C. − ≤ a 2

D. a ≥

1 2

−1 <a 2

1 2

TP .Q

A. a ≤

Câu 38: Cho hàm số y = cosx – 2ax. Xác định tham số a để hàm số trên ℝ ?

Câu 39: Cho hàm số y = -cos2x + sin2x – ax + 4. Phát biểu nào sau đây đúng khi nói về a?

ẠO

A. Khi a = 0 thì -1 ≤ y’≤ 1

B. Khi a ≤ −2 2 thì hàm số luôn đồng biến trên ℝ

Ư N

C. Hàm số luôn đồng biến với mọi a.

D. Khi a ≤ −2 2 thì hàm số luôn nghịch biến trên ℝ

TR ẦN

Câu 40: Cho hàm số y = sin2x + sinx + 3mx. Phát biểu nào sai khi nói về m? A. y + y” – 3mx + 3 > 0; ∀x ∈ ℝ

⇒ y ' = −1

B. Khi m = 0 thì với x =

3 thì hàm số luôn đồng biến trên ℝ 2

D. Khi m ≤

3 thì hàm số luôn nghịch biến trên ℝ 2

1-A

2-C

11-D

12-C

21-B

5-B

6-C

7-A

8-C

9-C

10-A

13-B

14-D

15-A

16-B

17-A

18-C

19-B

20-A

22-C

23-B

24-C

25-D

26-A

27-B

28-C

29-C

30-B

32-B

33-A

34-B

35-C

36-A

37-D

38-A

39-B

40-C

ÁN

-L

Í-

4-D

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ỡ N ID Ư

BỒ

Đáp án

3-D

31-D

ẤP

C. Khi m ≤

Câu 1: Đáp án A

Phân tích Ta nhìn vào từng đồ thị từ trái sang phải, ta thấy

A. Đồ thị này đi từ dưới lên trong khoảng (a;b) ⇒ Đồ thị đang biểu diễn sự đồng biến ⇒ A

đúng. Trang 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. Đồ thị này đi từ trên xuống trong khoàng (a;b) ⇒ Đồ thị đang biểu diễn sự nghịch biến ⇒

C sai.

H Ơ

D. Đồ thị này đi từ trên xuống trong khoàng (a;b) ⇒ Đồ thị đang biểu diễn sự nghịch biến ⇒

D sai.

TP .Q

Ở bài này ta chỉ cần quy tắc xem đồ thị ở phần lý thuyết dưới đây, thì sẽ xử lý nhanh dạng bài

Nhận xét:

•

Hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.

•

Hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Câu 2: Đáp án C

ẠO

này.

Ư N

Phân tích

A. SAI vì khi xét sự biến thiên của hàm số ta phải xét dấu đạo hàm, phương án lại xét dấu

TR ẦN

ngay trên hàm số.

B. SAI vì theo định nghĩa “Hàm số y = f(x) nghịch biến trên (a;b) nếu x1 > x2 thì f(x1) < f(x2)

với x1, x2 ∈ (a;b)”.

C. ĐÚNG vì theo hệ quả Lagrange “Hàm số y = f(x) là hàm hằng trên (a;b) khi f’(x) = 0; ∀x

∈ (a;b)”.

D. SAI vì theo định lý “Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a;b) khi f’(x) > 0; ∀x ∈ (a;b)”.

ẤP

Nhận xét: Ta thấy được câu hỏi này mang tính chất “Lý thuyết” vì thế phải chắc lý thuyết

mới hiểu và làm nhanh.

Mặt khác, ta chú ý lỗi sai thường gặp đó là nhìn rõ f(x) và f’(x) vì rất dễ nhìn thiếu dấu phẩy

Í-

Câu 3: Đáp án D

của đạo hàm.

-L

Phân tích

ÁN

Nhìn vào đồ thị dễ dàng thấy đồ thị nằm từ trục Ox trở lên ⇒ f(x) ≥ 0; ∀x ∈ R.

Từ nhận xét trên, ta thấy được ngay phương án D là SAI.

Lời bình: cần luyện tập các phản xạ đầu tiên khi gặp các đồ thị như lời giải câu 3 đã thực

Ỡ N

hiện, nó giúp ta rút ngắn thời gian làm bài rất nhiều.

BỒ

ID Ư

Câu 4: Đáp án D Phân tích

A. ĐÚNG vì a;b là nghiệm của phương trình f’(x) = 0 thì ta có thể xét dấu đạo hàm bằng cách lấy một giá trị x bất kỳ trong (a;b) thế vào đạo hàm.

Trang 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

f(x 2 ) - f(x1 ) > 0; x 2 - x1

B. ĐÚNG vì theo định nghĩa ta nhận xét hàm số đồng biến trên (a;b) khi

H Ơ

 x 1 ; x 2 ∈ ( a; b ) với   x1 ≠ x 2

C. ĐÚNG vì theo định lý ta có hàm số nghịch biến trên (a;b) khi f’(x0) < 0 ; với x0 ∈ (a;b)

TP .Q

D. SAI vì không tồn tại định lý hay định nghĩa như phương án D đưa ra.

Nhận xét: Dùng phương pháp loại suy cho bài này, khi ba phương án đúng thì chắc chắn

ẠO

phương án kia là sai.

Câu 5: Đáp án B

Phân tích

−nq − mp là thì để hàm số nghịch biến trên ( px + q ) 2

TR ẦN

B. SAI vì khi ta tính đạo hàm của hàm số y ' =

Ư N

A. ĐÚNG vì theo định lý ta có hàm số y = f(x) đồng biến trên (c;d) khi f’(x) > 0 ∀x ∈ (c;d)

từng khoảng xác định thì y’< 0 ⇔ –nq – mp < 0 ⇔ nq + mp > 0

C. ĐÚNG vì theo định lý mở rộng: “Hàm số y = f(x) đồng biến trên (c;d) khi f’(x0) ≥ 0; với

x0 ∈ (c;d) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm.

D. ĐÚNG vì theo hệ quả Lagrange: Hàm số y = f(x) là hàm hằng khi f’(x) = 0 với ∀x ∈ (c;d)

Nhận xét

ẤP

Ta cần chú ý cách tính đạo hàm nhanh nhất của hàm nhất biến:

Í-

Câu 6: Đáp án C

a b c d ad − bc ax + b ⇒ y'= = y= 2 cx + d (cx + d ) (cx + d )2

-L

Phân tích

ÁN

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm

Ta có đạo hàm: y’ = 6x2 + 6x – 12.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

x = 1 Cho y’ = 0 ⇔ 6x2 + 6x - 12 = 0 ⇔   x = −1

-2

-∞

y’

1 -

+∞ +

A. SAI vì dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số tăng (-∞;-21). B. SAI vì kết luận không đúng nguyên tắc, phải là “Hàm số tăng trên (-∞;-2) và (1;+ ∞) C. ĐÚNG vì đúng theo bảng xét dấu và nguyên tắc khi kết luận. D. SAI vì dựa vào bảng xét dấu ta thấy sai ở khoảng (-2;-1) Trang 27

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét: Ta cần cẩn thận về nguyên tắc kết luận sự biến thiên của hàm số: Đối với hàm số nhiều khoảng biến thiên liên tiếp thì ta phải ghi giữa những khoảng chữ “và”.

H Ơ

Câu 7: Đáp án Phân tích

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm

x = 1 Cho y’ = 0 ⇔ 12x – 12x = 0 ⇔  x = 0   x = −1

-1

-∞

+∞

ẠO

y’

TP .Q

Ta có đạo hàm: y’ = 12x3 – 12x

Ư N

1+ 2 3  Ta dễ dàng thấy  mà hàm số nghịch biến trên (0;1) ⇒ hàm số nghịch  4 ; 2  ⊂ (0;1)  

TR ẦN

1+ 2 3  biến trên  ;  2   4

Câu 8: Đáp án C

Phân tích

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm

Ta có đạo hàm: y’ = -4x2 + 10x – 6

x = 1 Cho y’ = 0 ⇔ -4x2 + 10x – 6 = 0 ⇔  x = 3 2 

ẤP

x y’

3 2 +

+∞ -

Ở đây ta phải xét từng phát biểu mới có thể chọn

-∞

đúng:

-L

Í-

 3  3 (I) Đúng. Dựa vào bảng xét dấu ta thấy y’ > 0; ∀x ∈  1;  ⇒ Hàm số đồng biến trên  1;  .  2  2

ÁN

(II) Sai. Dựa vào bảng xét dấu ta thấy thỏa mãn, nhưng kết luận sai nguyên tắc.

 3 (III) Đúng. Tuy ta thấy hàm số và đạo hàm liên tục trên khoảng  1;  không được tách ra  2

Ỡ N

thành hai khoảng nhưng kết luận như vậy vẫn đúng có chữ “hoặc”.

BỒ

ID Ư

(IV) Đúng. Dựa vào bước tính đạo hàm phía trên. Sai lầm thường gặp:

Đối với phát biểu (III) có chữ “hoặc” nghĩa là đang nói đến từng trường hợp. Mặt khác chữ “và” sử dụng khi ta khảo sát sự biến thiên cần kết luận chung lại.

Câu 9: Đáp án C Trang 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích

y’

H Ơ

−3 < 0; ∀x ∈ D (2 x + 1) 2

+∞ -

TP .Q

Ta có đạo hàm y ' =

−1 2

-∞

 −1  số D = ℝ \   2

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm, chú ý tập xác định hàm

Ư N

C. ĐÚNG vì đúng nguyên tắc kết luận và thỏa mãn bảng biến thiên.

B. SAI vì kết luận sai nguyên tắc.

ẠO

A. SAI vì y’< 0; ∀x ∈ D ⇒ Hàm số luôn giảm trên các khoảng xác định.

D. SAI vì không được kết luận “gộp nhóm” khoảng đang xét khi trong khoảng có điểm mà

TR ẦN

đạo hàm không tồn tại. Lỗi sai thường gặp

Chú ý cách kết luận ở phương án D là sai và rất nhiều học sinh hay kết luận như vây!

Câu 10: Đáp án A

Phân tích

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm.

Ta có đạo hàm y’ = -4x2 + 4x – 1 = -(2x – 1)2 < 0; ∀x ∈ ℝ

ẤP

Hàm số luôn nghịch biến trên ℝ ⇒ Phương án A SAI còn các phương án B, C, D đều

ĐÚNG.

Ó H

Í-

Phân tích

Câu 11: Đáp án D

-L

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm với tập xác định hàm số là D = ℝ \ {−2}

2 x 2 + 4 x − 28 ( x + 2)2

ÁN

Ta có đạo hàm của hàm số là: y ' =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 x = −1 − 15 Cho y’ = 0 ⇔ 2x2 + 4x – 28 = 0 ⇔   x = −1 + 15

Trang 29

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bảng biến thiên:

y’

-2

−1 − 5 +

+∞

−1 + 5

-∞

H Ơ

TP .Q

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể chọn các khoảng (1);(3);(4);(6)

ẠO

Cách loại bỏ đáp án gây nhiễu: Do hàm số không xác định tại x = 2 do đó các khoảng chứa

giá trị 2 như (5);(7);(8) ta loại ngay, từ đó ta tạo thế chủ động hơn trong việc xử lý bài toán.

d f e 2 2 (dx + ex + f )

Ư N

d ax + bx + c ⇒ y' = 2 dx + ex + f

(ae − bd ) x 2 + 2(af − cd ) x + (bf − ce) ( dx 2 + ex + f ) 2

x2 + 2

TR ẦN

a b 2

Cách tính đạo hàm nhanh hàm phân thức: (tính bằng định thức)

Câu 12: Đáp án C

Phân tích

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm với tập xác định hàm số là

1 1− 2x − 5 5  −1 = ; ∀x ∈  ; +∞  2x − 5 2x − 5 2 

2 x − 5 = 1 ⇔ 2x – 5 = 1 ⇔ x = 3 x

y’

5 2 +

+∞ -

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

Cho y’ = 0 ⇔

ẤP

Ta có đạo hàm của hàm số là y ' =

5  D =  ; −∞  2 

* Làm thế nào để biết các khoảng có đạo hàm âm hay dương? Đơn giản ta thế một giá trị đặc biệt trong khoảng đó vào đạo hàm xem là âm hay dương. Công cụ CALC trong máy tính CASIO sẽ giúp chúng ta thực hiện việc này. - Bước 1: Nhập biểu thức đạo hàm vào máy với x thì ta bấm ALPHA → X

Trang 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Bước 2: Bấm CALC → X = …ta gán cho X giá trị cần tính. → Dấu “=” sẽ cho ta kết quả cần tính.

Câu 13: Đáp án B

Đ G

1 3 x 2 − 11x + 11 = x−2 x−2

Ư N

Ta biến đổi hàm số về dạng hay gặp y = 3 x − 5 +

ẠO

Phân tích

5 như A, D thì ta loại bỏ ngay. 2

hơn nó. Vì thế các đáp án chứa các giá trị nhỏ hơn

5 đến các giá trị lớn 2

TP .Q

Cách loại bỏ đáp án gây nhiễu: Nhìn vào tập xác định hàm số từ mốc

H Ơ

Dựa vào bảng biến thiên, ta chọn ngay phương án C.

3 x 2 − 12 x + 11 ( x − 2)2

TR ẦN

Ta có đạo hàm của hàm số là: y ' =

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm với tập xác định hàm số là D = ℝ \ {2}

 6− 3 x = 3 Cho y’ = 0 ⇔ 3x2 – 12x + 11 = 0 ⇔   6+ 3 x = 3 

+∞

6+ 3 3

y’

ẤP

6− 3 3

-∞

Bảng biến thiên:

ÁN

-L

Í-

Dựa vào bảng biến thiên, ta chọn được hai phương án B,D. Lúc này CASIO là công cụ thích

Ỡ N

hợp để bạn giải quyết nhanh bằng cách trừ hai giá trị trong mỗi khoảng (x1; x2) ta được

BỒ

ID Ư

∆ = x2 − x1 rồi so sánh xem giá trị ∆ nào lớn hơn.

Câu 14: Đáp án D Phân tích

Trang 31

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm với tập xác định hàm số là

H Ơ

3  D =  ; +∞  2 

Ta có đạo hàm của hàm số là:

y’

N Y U TP .Q

5 2

+∞

ẠO

3 2

y'=

1 − (2 x − 1) − 2 2 x − 3 −2 x + 5 2x − 3 = 2 (2 x − 1) (2 x − 1)2 2 x − 3

5 2

Cho y’ = 0 ⇔ -2x + 5 = 0 ⇔ x =

TR ẦN

Ư N

Dựa vào bảng biến thiên, ta sẽ loại ngay phương án nhiễu đó là A, B. Còn lại phương án C, D

ta thấy thỏa điều kiện nghịch biến. Dùng CASIO thực hiện công việc tìm độ dài mỗi khoảng.

Lời bình: Đối với hàm số này các bạn học sinh hay lúng túng việc tính đạo hàm. Hãy đảm

ẤP

bảo rằng mình “ĐÚNG” trước rồi hãy làm nhanh, vì vậy các bạn hãy tập trung tính đạo hàm

của các hàm phức tạp để quen tay.

Câu 15: Đáp án A

-L

Í-

 2 x − 1 ≥ 0 Hàm số y = 2 x − 1 + x − 3 xác định khi  ⇔ x≥3  x − 3 ≥ 0

Câu 16: Đáp án B

ÁN

Phân tích ax+b thì chỉ cần tính tích ad - bc cx+d

Đối với bài này, các phương án đều là hàm nhất biến y =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

xem âm hay dương?

A. ad – bc = -5 < 0 suy ra hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇒ A sai. B. ad – bc = 5 > 0 suy ra hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định ⇒ B đúng.

C. ad – bc = -1 < 0 suy ra hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇒ C sai. D. ad – bc = -5 < 0 suy ra hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇒ D sai. Trang 32

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời bình: Tại sao ta có thể rút gọn như vây? Là do đạo hàm của hàm nhất biến quyết định

ad - bc (cx+d) 2

H Ơ

y'=

Câu 17: Đáp án A

−x −1

Ta có đạo hàm của hàm số là: y ' =

; ∀x ∈ (−3;1)

ẠO

3 − 2 x − x2

TP .Q

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm với tập xác định hàm số là D = [ −3;1]

Phân tích

Cho y’ = 0 ⇔ x = -1

y’

-1 +

TR ẦN

+∞

Ư N

-3

-∞

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ngay khoảng đồng biến dài nhất là (-3;-1).

Câu 18: Đáp án

ẤP

Phân tích

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm

3 3 = sin 2 x − 2 2

Ta có đạo hàm của hàm số là: y ' = 2sin x.c osx -

ÁN

-L

Í-

π  x = + kπ  3 6 ⇔ ( k ∈ ℤ) Cho y = 0 ⇔ sin 2 x = 2  x = π + kπ  3

•

Với x =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Phương pháp đếm nghiệm lượng giác trong khoảng, đoạn:

π 6

+ kπ ( k ∈ ℤ )

Ta có: x ∈ [-π;π] ⇔ −π ≤

π 6

+ kπ ≤ π ⇔

−7 5 ≤ k ≤ . Do k ∈ ℤ ⇒ k = {-1;0} ⇒ 6 6

 5π π  x = − ;   6 6

Trang 33

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

π 3

+ kπ ( k ∈ ℤ )

Ta có: x ∈ [-π;π] ⇔ −π ≤

π 3

+ kπ ≤ π ⇔

−4 2 ≤ k ≤ . Do k ∈ ℤ ⇒ k = {-1;0} ⇒ 3 3

Bảng biến thiên hàm số: -π -

5π 6

− +

2π 3

y’

−

ẠO

TP .Q

 2π π  ;  x = −  3 3

Với x =

H Ơ

•

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TR ẦN

Ư N

Dựa vào bảng biến thiên, ta sẽ chọn được các khoảng (2); (3); (5).

Lời bình: Làm sao xét dấu được đạo hàm của hàm số trên? Ta chỉ đơn giản tìm một giá trị

trong từng khoảng rồi thế vào đạo hàm xem âm hay dương. Lưu ý khi sử dụng CASIO cho bài này phải chuyển sang chế độ RAD bằng cách bấm SHIFT

2+ ẤP

Câu 19: Đáp án B

→ MODE → 4 để thực hiện.

Phân tích

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm

Ta có đạo hàm của hàm số là: y’ = x3 – 5x2 + 8x – 4 = (x - 2)2(x – 1)

-L

Í-

x = 2 Cho y’ = 0 ⇔ (x - 2)2(x – 1) = 0 ⇔  x = 1

-∞

y’

2 +

+∞ +

ÁN

Dựa vào bảng xét dấu ta xét từng đáp án:

A. ĐÚNG vì dựa vào bảng xét dấu đạo hàm thì ta thấy thỏa mãn.

B. SAI vì dựa vào bảng xét dấu đạo hàm, thì ta thấy đạo hàm đổi dấu một lần.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

C. ĐÚNG vì dựa vào bảng xét dấu đạo hàm thì ta thấy thỏa mãn.

D. ĐÚNG vì dựa vào bảng xét dấu đạo hàm thì ta thấy thỏa mãn. Lời bình: Đối với bài này ta cần chú ý đạo hàm của hàm số khi xét dấu có nghiệm

bội chẵn x = 2 nên khi qua nghiệm này ta không đổi dấu. do đó rất nhiều bạn lầm tưởng đạo hàm đổi dấu hai lần dẫn đến bế tắc vì không chọn được đáp án, GÂY MẤT THỜI GIAN.

Trang 34

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 20: Đáp án A Phân tích

H Ơ

Tính đạo hàm của hàm số đã cho và xét dấu đạo hàm với tập xác định hàm số là

x3 − 2 x

TP .Q

x2 −1

x2 −1 =

2x x2 −1 − Ta có đạo hàm của hàm số là: y ' =

D = ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ )

− 1) x 2 − 1

ẠO

x = 2  Cho y’ = 0 ⇔ x – 2x = 0 ⇔  x = 0 (loai ) x = − 2 

G Ư N

+∞

TR ẦN

y’

-1

− 2

−∞

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy đạo hàm đổi dấu hai lần ⇒ đồ thị hàm số đổi chiều hai lần.

Câu 21: Đáp án B

Phân tích

Dạng bài này ta chỉ cần tính đạo hàm, và vẽ nhanh bảng xét dấu đạo hàm.

−5 < 0; ∀x ∈ ℝ \ {2} ⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. ( x − 2) 2

ẤP

A. y ' =

⇒ Loại A

x y’

+∞

Í-

-5

-∞

-L

x = 1 ⇔  x = −5

B. y’ = x2 + 4x – 5; y’ = 0

(thỏa mãn)

ÁN

⇒ Chọn B

x y’

-3

-∞ +

0 -

3 +

+∞ +

Không thỏa mãn ⇒ Loại C

BỒ

ID Ư

Ỡ N

x = 3 C. y’ = -x3 + 9x; y’ = 0 ⇔  x = 0   x = −3

Trang 35

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 > 0; ∀x ∈ ℝ \ {3} do hàm số không xác định tại, do đó không thỏa mãn đề bài ( x − 3)2 3

-∞

y’

+∞

H Ơ

D. y ' =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

Lời bình: Đối với các phương án mà ta thấy nghiệm của phương trình y’= 0 (không có

⇒ loại D. nghiệm bội chẵn) rơi vào trong khoảng đã cho thì loại ngay phương án đó.

Câu 22: Đáp án C

−5 < 0; ∀x ∈ ℝ \ {−1} ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác ( x + 1)2

Ư N

A. ĐÚNG vì y ' =

ẠO

Phân tích

−7 < 0; ∀x ∈ ℝ \ {−5} ⇒ Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng ( x + 5)2

TR ẦN

B. ĐÚNG vì y ' =

định.

+∞ +

y’

-1

-∞

xác định.

ẤP

x = 3 C. SAI vì y’ = 3x2 – 6x – 9; y’ = 0 ⇔  không thỏa mãn mệnh đề.  x = −1

y’

-1

-∞ -

0 + 0

1 -

+∞ +

ÁN

-L

Í-

x = 1 D. ĐÚNG vì y’ = 4x3 – 4x; y’ = 0 ⇔  x = 0   x = −1

Thỏa mãn mệnh đề.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 23: Đáp án B Phân tích

x = 1 Ta có đạo hàm của hàm số: y’ = -3x + 4x – 1; a < 0; y’ = 0 ⇔  x = 1 3  2

Trang 36

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. SAI vì là đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và a > 0.

H Ơ

B. ĐÚNG vì là đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và a < 0.

C. SAI vì là đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm

kép và a > 0.

TP .Q

D. SAI vì là đồ thị hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm kép và a < 0.

ẠO

Câu 24: Đáp án C

Phân tích

Ư N

x = 1 Ta tính đạo hàm của hàm số: y’= 3x2 – 3; y’ = 0 ⇔  ⇒ Loại ngay B.  x = −1

TR ẦN

Dựa vào nghiệm của phương trình y’ = 0, ta chọn ngay phương án C.

Câu 25: Đáp án D

Phân tích

-∞

5 2

-∞ +

+∞ -

ÁN

y’

+∞

5 (không thõa mãn) 2

Í-

B. SAI vì y’= -2x + 5; y’ = 0 ⇔ x =

-L

2+ 3

ẤP

y’

2− 3

x = 2 + 3 A. SAI vì y’ = 3x2 – 12x + 3; y’ = 0 ⇔  (không thõa mãn)  x = 2 − 3

−1 > 0; ∀x ∈ ℝ \{3} ⇒ hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác ( x − 3) 2

Ỡ N

C. SAI vì y ' =

BỒ

ID Ư

định ⇒ không thỏa mãn.

D. ĐÚNG vì y ' =

x 2 − 2 x + 5 ( x − 1) 2 + 4 4 = = 1+ > 0; ∀x ∈ ℝ \{1} ⇒ hàm số luôn đồng 2 2 ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1)2

biến trên từng khoảng xác định ⇒ thỏa mãn với mệnh đề.

Câu 26: Đáp án A Trang 37

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích x = 0 Ta có đạo hàm của hàm số: y’ = 4x – 6x; a < 0; y’ = 0 ⇔  x = ± 3  2

H Ơ

A. ĐÚNG vì là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c khi phương trình y’ = 0

có ba nghiệm phân biệt và a > 0.

TP .Q

B. SAI vì là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c khi phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và a < 0.

ẠO

C. SAI vì là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c khi phương trình y’ = 0 có

nghiệm duy nhất và a < 0.

Ư N

D. SAI vì là đồ thị hàm bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c khi phương trình y’ = 0 có

nghiệm duy nhất và a > 0.

TR ẦN

Câu 27: Đáp án B Phân tích

Ta chỉ cần tính đạo hàm của các hàm số, đạo hàm không đổi dấu thì đó là đáp án cần tìm.

1  > 0; ∀x ∈ ℝ \   ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên 2

( 2 x − 1)

2 2

(1) Hiển nhiên ta có đạo hàm y ' =

từng khoảng xác định.

ẤP

(2) y’ = 4x2 – 6x + 2; y’ = 0 ⇔ x = 1 ∨ x =

xác định.

1 ⇒ Hàm số đổi chiều biến thiên trên các khoảng 2

(3) y’ = 4x3 – 8x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ± 2 ⇒ Hàm số đổi chiều biến thiên trên các khoảng

Í-

xác định.

-L

(4) y’ = 5(x2-2x+1)2 + 1 = 5(x – 1)2 + 1 > 0; ∀x ∈ R ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên tập xác

ÁN

định.

(5) y ' =

− x2 − 4 x − 4 −( x + 2) 2 = < 0; ∀x ∈ ℝ \ 1 + 5;1 − 5 ⇒ Hàm số luôn nghịch ( x 2 − 2 x − 4)2 ( x 2 − 2 x − 4)

{

}

BỒ

ID Ư

Ỡ N

biến trên từng khoảng xác định. (6) y’ = x3 – 3x2 – x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x =

3 ± 13 x = 0 ∨ x = ± 2 ⇒ Hàm số đổi chiều biến 2

thiên trên các khoảng xác định. Vậy các phát biểu đúng là (1);(4);(5)

Câu 28: Đáp án C Trang 38

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích (1) SAI vì y’= 3x2 – 6x + 12 = 3(x – 1)2 + 9 > 0; ∀x ∈ R. Hàm số luôn đồng biến trên tập xác

π 1 > 0; ∀x ≠ + kπ (k ∈ ℤ) ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên từng 2 cos x 2

(2) SAI vì y ' = 2 +

H Ơ

định.

1 2

TP .Q

(3) SAI vì y’ =-24x3 + 24x2 – 6x = -6x(2x – 1)2; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x =

khoảng xác định.

+∞

TR ẦN

y’

1 2

-∞

Ư N

ẠO

⇒ Đồ thị hàm số đổi chiều một lần.

(1 − s inx) 2 1 − sin x 1 − sin x  π ; ∀x ∈ 0;  = = 2 1 − sin x cos x cos x  2

(4) ĐÚNG vì y =

− cosx(cosx) + sinx(1 − sinx) sin x − 1 −1  π = = < 0; ∀x ∈  0;  ⇒ Hàm số luôn 2 2 cos x 1 − sin x 1 + sin x  2

⇒ y' =

ẤP

2 −3x 2 + 2 x ; y ' = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ⇒ không thỏa mãn mệnh đề. 4 x 3

(5) SAI vì y ' =

 π nghịch biến trên 0;  .  2

2 3

-∞

ÁN

-L

Í-

y’

+∞

(6) SAI vì y ' =

x 2 + 10 x − 7

( x + 5)

; y ' = 0 ⇔ x = −5 + 42 ∨ x = −5 − 42 ⇒ không thỏa mãn mệnh

đề.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Vậy chỉ có (4) là đúng.

Lời bình: Nhiều bạn học sinh hay quên đi điều kiện xác định của hàm số lượng giác y = tanx

π  với D = ℝ \  + kπ (k ∈ ℤ)  nên sẽ cho (2) cũng đúng nên dẫn đến không có đáp án để chọn, 2  gây lúng túng mất nhiều thời gian.

Trang 39

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 29: Đáp án C Phân tích

H Ơ

Ta có đạo hàm của hàm số là y’=-x2 + 2(m – 1)x + (m – m2)

Để hàm số nghịch biến trên ℝ

TP .Q

 a = −1 < 0 ⇔ y ' ≤ 0; ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ m ≥1 2 2 ∆ ' = (m − 1) − m + m = −m + 1 ≤ 0

Lời bình: Để làm nhanh dạng toán này, ta nên nắm vững quy tắc xét dấu tam thức bậc hai như sau:

Đ G

a < 0 f ( x) ≤ 0; ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ 0

Ư N

•

a > 0 f ( x) ≥ 0; ∀x ∈ ℝ ⇔  ∆ ≤ 0

TR ẦN

•

ẠO

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c

Câu 30: Đáp án B

Phân tích

2m − 7 6

Ta có đạo hàm của hàm số là y ' = 3x 2 − (m − 2) x −

Để hàm số đồng biến trên ℝ

ẤP

11 − 73 11 + 73  a = 3 > 0 ; ⇔ y ≥ 0; ∀x ∈ ℝ ⇔  ⇔ m∈  2 6 6 ∆ = 3m − 11m + 4 ≤ 0  

11 − 73 11 + 73  A. SAI vì (-1;3) ⊄  ;  6 6  

ÁN

-L

Í-

11 − 73 11 + 73  B. ĐÚNG vì [1;3] ⊂  ;  6 6  

11 − 73 11 + 73  C. SAI vì (-∞;-1) ∪ (3;+∞) ⊄  ;  6 6  

Ỡ N

D.SAI vì ta vẫn tìm được m theo cách trên.

BỒ

ID Ư

Câu 31: Đáp án D Phân tích

Ta có đạo hàm của hàm số là y ' = mx 2 − (m − 3) x +

Trang 40

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3m − 1 2

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 Xét với m = 0 y ' = 3 x − thì (không thỏa mãn y’ ≥ 0; ∀x∈ ℝ ) suy ra m = 0 (loại). 2

H Ơ

a = m > 0 Để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y’ ≥ 0; ∀x∈ ℝ ⇔  2  ∆ = − 5m − 4 m + 9 ≤ 0

TP .Q

 −9  A. SAI vì A =  ;1 ⊄ [1; +∞ ) 5  5  B. SAI vì B =  −∞;  ∪ [1; +∞ ) ⊄ [1; +∞ ) 9 

ẠO

 −5  C. SAI vì C =  ;1 ⊄ [1; +∞ )  9 

Ư N

D. ĐÚNG vì D={1;2;3;4;…} = N* ⊂ [1; +∞ )

Câu 32: Đáp án B

TR ẦN

Phân tích

Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = mx2 + (2m – 1)x + 3m – 2

Xét với m ≠ 0: để hàm số đồng biến trên ℝ

Xét với m = 0 thì y’ = -x – 2 (không thỏa mãn y’ ≥ 0; ∀x∈ ℝ ) suy ra m = 0 (loại).

a = m > 0 ⇔ y ' ≥ 0; ∀ x ∈ ℝ ⇔  ⇔ m =1 2 ∆ = (m − 1) ≤ 0

ẤP

Vậy m = 1 thỏa đề bài.

Chú ý:

Ở dạng bài toán này ta thường hay bỏ qua bước xét hệ số bậc cao nhất của đạo hàm bằng 0,

dẫn đến có thể tìm thiếu trường hợp và kết quả sai.

Í-

Câu 33: Đáp án A

-L

Phân tích

ÁN

Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = (m – 2)x2 – 2(m – 2)x + m – 1

Xét với m = 2 thì y’ = 1 > 0; ∀x∈ ℝ (thỏa mãn) suy ra m = 2 (nhận) (1).

Xét với m ≠ 2: để hàm số đồng biến trên ℝ

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a = m − 2 > 0 ⇔ y ' ≥ 0; ∀ x ∈ ℝ ⇔  2 ∆ ' = (m − 2) + (m − 2)(m − 1) ≤ 0 (2) m > 2 ⇔ ⇔ m ∈ (2; +∞) −(m − 2) ≤ 0

Trang 41

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy từ (1);(2) suy ra m ∈ [ 2; +∞) , dựa vào khoảng giá trị này ta thấy được giá trị nguyên nhỏ

nhất chính là m = 2.

H Ơ

Câu 34: Đáp án B

m 2 + 2m ; ∀x ≠ − m ( x + m) 2

TP .Q

Ta có đạo hàm của hàm số là y ' =

Phân tích

Để hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ y’≤ 0; ( ∀x ≠ − m ) ⇔ m2 + 2m ≤ 0 ⇔ m ∈ [ − 2;0]

ẠO

Ta có trong đoạn [-2;0] thì các giá trị âm là {-2;1}.

Câu 35: Đáp án C

Ư N   ∀x ≠ 

3  2

a = −6 < 0  35  ⇔ ⇔ m ∈  ; +∞  (1)  6  ∆ ' = −18m + 105 ≤ 0

3 2  ⇔ -6x + 18x – 3m – 4 ≤ 0; 2

 Để hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ y’≤ 0;  ∀x ≠ 

3 −6 x 2 + 18 x − 3m + 4 ; ∀x ≠ 2 (2 x − 3) 2

TR ẦN

Ta có đạo hàm của hàm số là y ' =

Phân tích

Mặt khác theo đề bài ta có: m ∈ (0;10) và m nguyên dương nên m ∈ {6;7;8;9}.

Suy ra có 4 giá trị nguyên dương m thỏa mãn đề bài.

ẤP

Câu 36: Đáp án A

Phân tích

−m 2 + 6 ; ∀x ≠ −3 ( x + 3)2

Ta có đạo hàm của hàm số là y ' =

-L

Í-

Để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y’≥ 0; ( ∀x ≠ −m ) ⇔ m2 – 6 ≤ 0 ⇔ m ∈  − 6; 6 

ÁN

Suy ra các giá trị nguyên đối nhau là m ∈ {-1; 1; -2; 2} ⇒ có 4 giá trị thỏa mãn đề bài.

Câu 37: Đáp án D

Phân tích

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ta có đạo hàm của hàm số là y ' =

1 m(m − 1) x 2 + 2(m − 1) x + 2 ; ∀x ≠ − 2 m (mx + 1)

- Xét với m = 1 thì y’ = 1 > 0; ∀x∈ ℝ (thỏa mãn) suy ra m = 1 (nhận) (1). - Xét với m = 0 thì y’ = -2x + 2 (không thỏa mãn y’ ≥0; ∀x∈ ℝ ) suy ra m = 0 (loại). - Xét với m ≠ 1, và m ≠ 0:

Trang 42

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

m ∈ ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ ) ⇔ ⇔ m ∈ [ −1;0 ) m ∈ [ −1;1]

a = m(m − 1) > 0 Để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y’≥ 0; ∀x∈ ℝ ⇔  2 ∆ ' = −m + 1 ≤ 0

TP .Q

định. Vậy suy ra chỉ có giá trị m = 1 là số nguyên tố. Câu 38: Đáp án A

ẠO

Phân tích

Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = -sinx – 2a

TR ẦN

1 2

1 thỏa mãn để bài. 2

Vậy với a ≤

Ta có: -1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ 1 ≤ -sinx ≤ -1 ⇔ 1 – 2a ≤ y’ ≤ -1 – 2a.

Ư N

Để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y’≥ 0; ∀x∈ ℝ

Để y’≥ 0; ∀x∈ ℝ ⇔ 0 ≤ 1 – 2a ⇔ a ≤

(1), (2) suy ra với m ∈ [ −1;0 ) ∪ {1} thỏa mãn hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác

H Ơ

(2)

Câu 39: Đáp án B

Phân tích

ẤP

π  Ta có đạo hàm của hàm số là y’ = 2sin2x + 2cos2x – a = 2 2 sin  2 x +  − a 4 

π π   A. SAI vì khi a = 0 ⇒ y’ = 2 2 sin  2 x +  ⇒ −1 ≤ s in  2 x +  ≤ 1 ⇒ −2 2 ≤ y ' ≤ 2 2 4 4  

B. ĐÚNG vì để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y’≥ 0; ∀x∈ ℝ

-L

Í-

π  Ta có: −2 2 ≤ 2 2 sin  2 x +  ≤ 2 2 ⇔ −2 2 − a ≤ y ' ≤ 2 2 − a 4 

ÁN

Để y’≥ 0; ∀x∈ ℝ ⇔ 0 ≤ 2 2 − a ⇔ a ≤ 2 2

C. SAI vì dựa vào đạo hàm ta thấy rằng không thể xảy ra y’≥ 0; ∀x∈ ℝ với mọi a.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

D. SAI vì để hàm số nghịch biến trên ℝ ⇔ y’≤ 0; ∀x∈ ℝ

π  Ta có: −2 2 ≤ 2 2 sin  2 x +  ≤ 2 2 ⇔ −2 2 − a ≤ y ' ≤ 2 2 − a 4  Để y’≤ 0; ∀x∈ ℝ ⇔ −2 2 − a ≤ 0 ⇔ a ≥ −2 2 Câu 40: Đáp án C Phân tích Trang 43

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số là: y’ = sin2x + cosx + 3m; y” = 2cos2x – sinx

H Ơ

A. ĐÚNG vì: y + y” – 3mx + 3 = sin2x – sinx + 3mx + 2cos2x + sinx – 3mx + 3 = sin2x + 2cos2x + 3 > 0;

ẠO

C.SAI vì để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y’≥ 0; ∀x∈ ℝ

Ta có: -2 ≤ sin2x + cosx ≤ 2 ⇔ -2 + 3m ≤ y’ ≤ 2 + 3m.

D. ĐÚNG vì để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y’≥ 0; ∀x∈ ℝ

2 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

Để y’≤ 0; ∀x∈ ℝ ⇔ 2 + 3m ≤ 0 ⇔ m ≤ −

TR ẦN

Ta có -2 ≤ sin2x + cosx ≤ 2 ⇔ -2 + 3m ≤ y’ ≤ 2 + 3m.

Ư N

2 3

Để y’≥ 0; ∀x∈ ℝ ⇔ 0 ≤ -2 + 3m ⇔ m ≥

π  ⇒ y ' = sin(π ) + cos   = −1 2 2

TP .Q

B. ĐÚNG vì khi m = 0 thì y’ = sin2x + cosx. Với x =

∀ x∈ ℝ

Trang 44

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VẤN ĐỀ 2: DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG

H Ơ

Định nghĩa:

- Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là −∞ ; b là +∞ ) và

điểm x 0 ∈ ( a; b ) .

TP .Q

1) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) < f ( x 0 ) với mọi x ∈ ( x 0 − h ; x 0 + h ) và x ≠ x 0 thì ta

ẠO

nói hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x 0 .

2) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x ) > f ( x 0 ) với mọi x ∈ ( x 0 − h ; x 0 + h ) và x ≠ x 0 thì ta

Ư N

nói hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x 0 .

Chú ý:

TR ẦN

1) Nếu hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x 0 thì x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số;

f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là f CD ; còn điểm M ( x 0 ;f ( x 0 ) ) được

gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

2) Nếu hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x 0 thì x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số;

f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, kí hiệu là f CT ; còn điểm M ( x 0 ;f ( x 0 ) ) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

ẤP

3) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực

tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

4) Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a ; b)và đạt cực đại

-L

Định lí 1:

Í-

hoặc cực tiểu tại x 0 thì f ' ( x 0 ) = 0 .

ÁN

- Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K = ( x 0 − h; x 0 + h ) và có đạo hàm trên K

hoặc trên K \ {x 0 } , với h > 0.

Ỡ N

1) Nếu f ' ( x 0 ) > 0 trên khoảng ( x 0 − h; x 0 ) và f ' ( x 0 ) < 0 trên khoảng ( x 0 ; x 0 + h ) thì x 0 là

BỒ

ID Ư

một điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) . 2) Nếu f ' ( x 0 ) < 0 trên khoảng ( x 0 − h; x 0 ) và f ' ( x 0 ) > 0 trên khoảng ( x 0 ; x 0 + h ) thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) .

Minh họa: Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x0 +

f '( x )

x0 + h

x0 -

f '( x )

f CD

f (x)

x0 − h

x0 + h

x0 − h

f (x)

H Ơ

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

f CT

TP .Q

Qui tắc tìm cực trị 1: 1) Tìm tập xác định.

ẠO

2) Tính f ' ( x ) . Tìm các điểm tại đó f ' ( x ) bằng 0 hoặc f ' ( x ) không xác định.

3) Lập bảng biến thiên.

Ư N

4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Minh họa:

TR ẦN

1 5x 2 1) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x 3 − + 6x − 4 . 3 2

1  x = 3 ⇒ y ( 3) =  2 y ' = x 2 − 5x + 6; y ' = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y ( 2) = 2  3

- Tập xác định: D = ℝ .

lim y = +∞; lim y = −∞ x →−∞

+∞

2 3

+∞

ÁN

-L

Í-

−∞

y’

- Bảng biến thiên:

ẤP

x →+∞

1 2

−∞

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 2  1 - Suy ra đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực đại  2;  , một điểm cực tiểu  3;   3  2 2) Tìm cực trị của hàm số y =

x−4 . x −5

- Tập xác định: D = ℝ \ {5} .

Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

y' =

−1

( x − 5 )2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

< 0; ∀x ≠ 5 .

x →5

H Ơ

x →5

lim y = 1; lim+ y = +∞; lim− y = −∞

x →∞

5 -

TP .Q

y’

+∞

−∞

+∞ 1

−∞

ẠO

- Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số không có cực trị.

Ư N

Định lí 2:

- Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( x 0 − h; x 0 + h ) , với h > 0. Khi

TR ẦN

đó: 1) Nếu f ' ( x 0 ) = 0 , f '' ( x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu.

2) Nếu f ' ( x 0 ) = 0 , f '' ( x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại.

Qui tắc tìm cực trị 2:

1) Tìm tập xác định.

2) Tính f ' ( x ) . Giải phương trình f ' ( x ) và kí hiệu x i ( i = 1, 2,.., n )

ẤP

3) Tính f '' ( x ) và f '' ( x i ) .

4) Dựa vào dấu của f '' ( x i ) suy ra tính chất cực trị của điểm x i .

Minh họa:

-L

Í-

1 5x 2 + 6x − 4 1) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 2

ÁN

- Tập xác định: D = ℝ .

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1  x = 3 ⇒ y ( 3) =  2 y ' = x 2 − 5x + 6; y ' = 0 ⇔  x = 2 ⇒ y ( 2) = 2  3

y '' = 2x − 5 y '' ( 2 ) = −1 < 0 ⇒ x = 2 là điểm cực đại của hàm số.

y '' ( 3) = 1 > 0 ⇒ x = 3 là điểm cực tiểu của hàm số. Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 2 - Suy ra đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực đại  2;  , một điểm cực tiểu  3

x−4 . x −5

H Ơ

2) Tìm cực trị của hàm số y =

 1  3;   2

Y U

−1

< 0; ∀x ≠ 5 .

( x − 5 )2

TP .Q

y' =

- Tập xác định: D = ℝ \ {5} .

ẠO

Suy ra hàm số không có cực trị.

- Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng (a;b) và x 0 ∈ ( a; b ) .

Tổng kết:

TR ẦN

Ư N

f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( x 0 − h; x 0 ) ⇒ x 0 là điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) . 1)  f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( x 0 ; x 0 + h )

f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ( x 0 − h; x 0 ) ⇒ x 0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) . 2)  f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ ( x 0 ; x 0 + h )

f ' ( x 0 ) = 0 3)  ⇒ x 0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) . f '' ( x 0 ) > 0

ẤP

f ' ( x 0 ) = 0 4)  ⇒ x 0 là điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) f '' ( x 0 ) < 0

BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ 1: Hàm số c y = x 4 − 2mx 2 + 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn

-L

1 2

ÁN

A. m =

Í-

ngoại tiếp nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?

C. m = 0

1 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

* Phân tích

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Cách 1: giải theo hướng truyền thống

x = 0 y ' = 4x 2 − 4mx, y ' = 0 ⇔  2 x = m

- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1)

(

) (

Gọi A ( 0; 4 ) ; B − m; −m 4 + 4 ; C

Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

m; −m 4 + 4

)

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

SABC =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 d ( A; BC ) .BC = y B − y A . x C − x B = m 2 .2 m 2 2 2

H Ơ

AB = AC = m 4 + m; BC = 2 m m4 + m 2 m 1  2 1  AB.AC.BC R= = = m +  4S 2 m 4.m 2 m

)

(

TP .Q

1 1 Vậy tới đây công việc ta cần làm là tìm min của biểu thức: A =  m 2 +  2 m

ẠO

Nhắc lại: Bất đẳng thức Cauchy

Với 3 số không âm a, b, c ta có: a + b + c ≥ 3. 3 a.b.c

Ư N

A 1 1 1 1 1 1 . = m2 + = m2 + + ≥ 3.3 m3 . = 3.3 2 m 2m 2m 2m 2m 4

33 1 2 4

1 1 ⇒m= 3 2m 2

- Dấu “=” xảy ra khi m 2 =

V ậy A ≥

TR ẦN

- Áp dụng vào bài toán:

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c

3 31 1 . khi m = 3 2 4 2

ẤP

đạt được là:

- Giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị có thể

Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh kết hợp với máy tính Casio     b 2 a    −   2   b      2 

-L

Í-

1 - Áp dụng công thức R = 2a

ÁN

1 1 R =  m2 +  2 m

- Tới đây các bạn có thể dùng Cauchy vì điều kiện m > 0. Nhưng ta có thể tìm nhanh giá trị

BỒ

ID Ư

Ỡ N

max – min bằng Casio như sau: + B1. Bấm MODE 7 (TABLE), nhập vào giá trụ biểu thức

1 2 1  m +  2 m

+ B2: Vì m > 0 nên cho Start một giá trị lớn hơn 0, ở đây tác giả lấy Start 0.5 End là 5 và bước nhảy Step là 0.5 (nên chọn để có khoảng 8-10 giá trị là được) + B3: Quan sát kết quả màn hình máy tính

Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ta nhận xét sau: với x = 0.5 f(x) bắt đầu giảm và đến khi x = 1 f(x) lại bắt đầu tăng.

Ư N

ẠO

Cho giá trị start là 0.1, end là 1 với step là 0.1 ta có kết quả sau:

TP .Q

Tuy nhiên có tới 3 đáp án thỏa nhận xét trên, vì vậy ta phải chia nhỏ bước nhảy lại:

Từ đó có thể nhận xét giá trị nhỏ nhất của f(x) nằm trong (1.125;1) và x sẽ thuộc (0.5;1)

3 1 khi giải bằng cách 1 là f ( x ) = . 3 = 0.9449407... ) 2 4

1 = 0.7937... thỏa mãn nhận xét trên 2

So sánh đáp án chỉ có đáp án B m = 3

Khi đó x thuộc khoảng (0.7;0.8)

TR ẦN

Nhận xét điểm giá trị nhỏ nhất của f(x) nằm trong khoảng (0.9542;0.945) (giá trị chính xác

Lưu ý: Ta không thể tìm chính xác giá trị m bằng Casio nếm m không phải số hữu tỉ vì vậy

ẤP

khuyến khích các bạn sử dụng bất đẳng thức khi tìm được R.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + x . Tìm m để đường thẳng đi qua 2 cực trị của hàm số đã

Í-

4 7

ÁN

-L

A. m =

cho tiếp xúc với đường tròn ( C ) : ( x − m + 1) + ( y − m ) =

B. m =

6 7

1 25

C. Cả A và B đúng

D. Cả A và B sai

HƯỚNG DẪN GIẢI

* Phân tích:

Nhắc lại kiến thức:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3 là phần dư của phép chia

y hoặc y'

x b  CALC giá trị i vào phương trình y − y '  +  (chuyển sang chế độ số phức).  3 9a 

Đường thẳng ax + by + c = 0 tiếp xúc với đường tròn tâm I ( x 0 ; y 0 ) bán kính R Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇔

ax 0 + by0 + c a 2 + b2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

)

(

TP .Q

chuyển sang số phức MODE 2). Vậy ta được đường thẳng qua 2 điểm cực trị là: 4x + 3y − 1 = 0 ( d )

giá trị u + v bằng bao nhiêu ?

C. 1

D. 2

A. 0

x 2 − 2x + 4 có 2 điểm cực trị không thuộc đường thẳng y = ux + v. 1 − 2x

Ví dụ 3: Cho hàm số y =

TR ẦN

Chọn C

Ư N

4 2 + 32

⇔

6  m=  7m − 5 = 1  1 7 = ⇒ ⇒ 5  7m − 5 = −1  m = 4  7

ẠO

- Để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) có tâm I ( m − 1; m ) bán kính R = 5 14 ( m − 1) + 3m − 1

 x −3  - Nhập vào máy tính phương trình: x 3 − 3x 2 + x − 3x 2 − 6x + 1  +  , CALC tại x = i (nhớ  3 9.1 

H Ơ

- Từ phân tích trên: y ' = 3x 2 − 6x + 1

HƯỚNG DẪN GIẢI

ẤP

* Phân tích:

)

− 2x + 4 '

(1 − 2x ) '

= 2 − 2x

(x Gọi y là đường thẳng cực đại và cực tiểu đi qua y =

Với giá trị tương ứng u = −2; v = 2 ⇒ u + v = 0

-L

Í-

Chọn A

ÁN

Ví dụ 4: Xác định m để hàm y = x 4 − 2 ( 3m − 4 ) x 2 + 3m + 1 số có 3 điểm cực trị tạo thành

tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1:

B. m = 1, m = - 2

C. m = -2

D. m = 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ỡ N

A. m =1, m = 2

Cách 1: Dùng công thức Cho 3 cực trị tạo thành tam giác với hệ số a = 1. Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp bằng

BỒ

ID Ư

* Phân tích:

Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

- Áp dụng công thức trên vào bài toán ta được: r =

b ' = 1 ⇒  b ' = −2

( b ' )2 3 1 − ( b ')

H Ơ

b  b' =  2 

( b ') 2 3 1 − ( b ')

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

 4 − 3m = 1 m = 1 ⇒ ⇔  4 − 3m = −2 m = 2

−b 4 = 3m − 4 > 0 ⇒ m > 2a 3

Để hàm số có 3 cực trị

ẠO

- Tuy dùng công thức nhưng chúng ta vẫn phải xét điều kiện có 3 cực trị:

Ư N

Vậy nhận m = 2.

Cách 2: Thay đáp án

TR ẦN

Thay giá trị của m vào hàm số tìm ra tọa độ các điểm cực trị. Với giá trị của m nào thỏa mãn

điều kiện đề bài thì ta chấp nhận đáp án đó

Ghi chú: Đây là dạng câu hỏi thiên về tự luận và hiếm gặp trong khi trắc nghiệm. Ở đây tác giả

chỉ giới thiệu và chỉ giải bằng phương pháp trắc nghiệm, bạn đọc muốn tìm hiểu rõ về dạng này

có thể tìm đọc các tài liệu tự luận liên quan

Chọn D

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 3 m 2 − 1 x + 3m 2 − 1 có 2 cực trị x1 , x 2 thỏa điều

ẤP C. m =

B. m = 0

1 2

D. Đáp án khác

HƯỚNG DẪN GIẢI

Í-

-L

* Phân tích:

)

kiện cách đều gốc tọa độ:  −1 1  A. m ∈  0; ;   2 2

(

)

ÁN

y ' = −3x 2 + 6x + 3 m 2 − 1

Để hàm số đạt 2 cực trị ∆ ' = 9m 2 > 0 ⇔ m ≠ 0

(1)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Gọi 2 điểm cực trị lần lượt là A 1 − m; −2 − 2m 3 , B 1 + m; −2 + 2m3

(

) (

)

Để hàm số có 2 điểm cực trị cách đều trục tọa độ khi và chỉ khi 1  m=  2 (thỏa điều kiện 1) OA = OB ⇔ 8m3 = 2m ⇔   m = −1  2

Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Chọn D

Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y = x 3 − ( m + 2 ) x 2 + ( 3m − 1) x + m 2 + 5 có 2 cực trị x1 , x 2 thỏa

−7 3

7 3

D.A và C đều thỏa mãn

TP .Q

HƯỚNG DẪN GIẢI * Phân tích:

ẠO

y ' = −3x 2 − 2 ( m + 2 ) x + 3m − 1

Để hàm số đạt 2 cực trị thỏa mãn đề bài

TR ẦN

Ư N

( m + 2 ) − 3m + 1 > 0  m 2 + m + 5 > 0, ∀m   ∆ ' > 0  ⇔c ⇔  3m − 1   x1.x 2 = 2  =2  3 =2  a

7 3 −5 3

 m = 3m − 1 = 6  ⇔   3m − 1 = −6 m = 

−5 3

H Ơ

x1.x 2 = 2

Chọn D

Ví dụ 7: Xác định m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x − m 3 + 4m − 1 có 3 cực trị tạo

(

)

ẤP

thành 1 tam giác sao cho diện tích tam giác đó lớn nhất và tìm giá trị đó ?

A. m = 0; Smax = 3 2

D. m = 3; Smax = 0 HƯỚNG DẪN GIẢI

-L

Í-

C. m = − 3; Smax = 0

B. m = 0; Smax = 3 5

ÁN

* Phân tích

Cách 1: giải theo tự luận y ' = 4x 3 − 4 3 − m 2 x

)

(

Để hàm số có 3 cực trị thì 3 − m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3

(1)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

x = 0 y' = 0 ⇔  2 x = 3 − m

Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét: Tới đây ta có thể mạnh dạn loại 2 câu C, D vì với điều kiện m như vậy sẽ không tồn tại 3 cực trị. Nên nhớ: chọn 1 trong 2 cơ hội đúng cao hơn rất nhiều so với chọn 1 trong 4 và

H Ơ

tuyệt đối không được bỏ câu nào khi làm bài trắc nghiệm. Gọi 3 điểm cực trị của hàm số

SABC =

)

3 − m 2 ; −m 4 + 7m − 10

)

1 1 1 d ( A; BC ) = y B − y A . x C − x B = m 4 − 6m 2 + 9 .2 3 − m 2 = 3 − m 2 2 2 2

(

)

≤ 32

(

5 2

Ư N

Vậy 3 − m 2

ẠO

m 2 ≥ 0 ∀m ⇒ 3 − m 2 ≤ 3 ∀m

)

5 2

(

TP .Q

) (

(

A 0; m 2 − 1 ; B − 3 − m 2 ; −m 4 + 7m − 10 ; C

Dấu “=” xảy ra khi m = 0

TR ẦN

Cách 2: Dùng công thức giải nhanh:

Nhắc lại công thức: Nếu 3 điểm cực trị của hàm trùng phương tạo thành 1 tam giác có diện tích S

= 3 − m2

(

)

5 2

≤ 32

ẤP

( −2 (3 − m )) −

Áp dụng công thức trên vào bài toán này

thì S =

5 b ') ( −

Vậy với giá trị m = 0 thì Smin = 3 2

Chọn A

Í-

Ví dụ 8: Cho đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m 2 + m + 1 , tìm m để đồ thị hàm số có 3 cực trị

ÁN

-L

thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1?

A. m = −1; m =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

C. m =

−1 + 5 −1 − 5 ;m= 2 2

B. m = −1; m =

−1 + 5 2

D. Đáp án khác HƯỚNG DẪN GIẢI

* Phân tích: Cách 1: Dùng tính chất để giải:

Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x = 0 y ' = 4x 3 − 4mx, y ' = 0 ⇒  2 x = m

) (

1 1 1 d ( A; BC ) = y B − y A . x C − x B = m 2 .2 m = m 2 . m 2 2 2

TP .Q

SABC =

)

m; m + 1

(

) (

Gọi các điểm cực trị A 0; m 2 + m + 1 ; B − m; m + 1 ; C

H Ơ

Để hàm số có hai cực trị ⇒ m > 0 (1)

AB.AC.BC AB.AC.BC ⇒R= 4R 4SABC

Nhắc lại: SABC =

ẠO

AB = AC = m + m 4 , BC = 2 m

m + m4 2 m AB.AC.BC V ậy R = = =1 4SABC 4.m 2 m

H TR ẦN B 00

 m = 1  −1 − 5 3 ⇒ m − 2m + 1 = 0 ⇔  m =  2   m = −1 + 5  2

Ư N

)

(

−1 − 5 2

ẤP

So với điều kiện (1) ta loại đi m =

Cách 2: Dùng công thức giải nhanh:

H 2

-L

 a  2  ( b ' ) −  ( b ')  

ÁN

1 R= 2a

Í-

ax 4 + bx 2 + c

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 cực trị của hàm trùng phương

1 1  2 Áp dụng công thức trên vào bài toán: R =  ( b ') −  =1 2  ( b ') 

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 m = 1  −1 − 5 3 3 ⇔ ( b ' ) − 2 ( b ') − 1 = 0 ⇔ −m + 2m − 1 = 0 ⇔  m =  2   m = −1 + 5  2

Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

So với điều kiện tồn tại 3 cực trị ta loại m =

−1 − 5 2

H Ơ

Vậy giá trị m vừa tìm được thỏa điều kiện (1)

Ghi chú: Trên Internet dạo này có rất nhiều tài liệu Casio thần thánh hóa và những bài như câu

Chọn B

73 thường sẽ giải quyết theo hướng thay đáp án, tuy nhiên tác gải đã cố tình cho vào 4 đáp án

TP .Q

khác nhau cộng với câu D “Đáp án khác”. Vì vậy bắt buộc người giải phải tìm được tất cả giá trị

ẠO

m thỏa. Từ đây tác giả khuyên các bạn chỉ xem Casio là công cụ tính toán.

Ví dụ 9: Với giá trị nào của m thì hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x − m 3 + 4m − 1 có hai

)

(

C. m ∈ {1; 2}

TR ẦN

HƯỚNG DẪN GIẢI * Phân tích: y ' = 3x 2 − 6mx + 3 m 2 − 1

)

(

D. Đáp án khác

Ư N

B. m ∈ {−1; 2}

A. m ∈ {1; −2}

điểm cực trị tạo với gốc tọa độ 1 tam giác vuông tại O?

x = m +1 y' = 0 ⇔  x = m −1

∆ ' = m 2 − m 2 + 1 = 1 > 0 suy ra hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

Í-

ẤP

Gọi A ( m + 1; m − 3) ; B ( m − 1; m + 1) là 2 điểm cực trị của hàm số OA = ( m + 1; m − 3) OB = ( m − 1; m + 1) Để tam giác OAB vuông tại O thì OA.OB = 0

ÁN

-L

 m = −1 ⇒ ( m + 1)( m − 1) + ( m − 3)( m + 1) = 0 ⇔  m = 2

Chọn B

Ỡ N

Ví dụ 10: Cho hàm số: y = x 4 + ( 5m − 2 ) x 2 + m 2 − 3 , tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành

BỒ

ID Ư

tam giác có góc bằng 300 . 3

−8 +2 3 5

−56 − 32 5 A. m = 5

C. Cả A và B

D. Không có m thỏa mãn điều kiện đề bài

Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

HƯỚNG DẪN GIẢI * Phân tích:

H Ơ

Nhận xét: Đề bài cho 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 300 nhưng không nói là góc nằm

ở đỉnh cân hay ở đáy, vì vậy ta phải chia ra 2 trường hợp: rất nhiều bạn chỉ làm 1 trường hợp dẫn

tới đáp án sai.

TP .Q

- Trường hợp 1: Góc tại đỉnh cân bằng 300

ẠO

3 b3 + 8 3 −56 − 32 3 + 2 0 3 = cos 30 = ⇔ b = − 56 − 32 3 ⇒ m = 3 2 5 b −8

- Trường hợp 2:

Ư N

Góc tại đáy bằng 300 ⇒ góc tại đỉnh bằng 1200 (nhớ là 1200 không phải 1500 )

TR ẦN

Vậy m =

−8 +2 3 5

b3 + 8 −1 −8 = cos1200 = ⇔ 3b3 = −8 ⇒ b = 3 3 2 3 b −8

Chọn C

Ghi chú:Với những bài có đáp án xấu như bài này khi giải bằng phương pháp tự luận sẽ khá phức tạp, bạn đọc có thể tự giải để so sánh đáp án.

ẤP

MỘT SỐ THỦ THUẬT, KỸ NĂNG CẦN BIẾT

Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS)

- Nhấn SHIFT và nhấn các phím có nhãn chữ màu vàng để sử dụng các chức năng của hàm đó.

-L

Í-

- Nhấn ALPHA và nhấn các phím có nhãn chữ màu đỏ để sử dụng các chức năng của hàm đó.

ÁN

- Phím CALC dùng để thay thế giá trị và tính.

( X + 2Y )2

1) Nhập

Ỡ N

Y ? , nhập

(

, nhấn CALC , màn hình sẽ hiện X ? , nhập 3 , nhấn = , màn hình sẽ hiện

5 , nhấn = , màn hình sẽ hiện 29 + 12 5 . Ta được đáp án trên màn hình là kết

)

quả của 3 + 2. 5 .

BỒ

ID Ư

Áp dụng:

Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

( X − 2Y )

hiện Y ? , nhập

, nhấn CALC , màn hình sẽ hiện X ? , nhập 2 , nhấn = , màn hình sẽ

2.2

 d   dx

- Nhấn SHIFT ∫

  tính giá trị của đạo hàm tại một điểm cho trước. 

TP .Q

(2 − 2 5 ) kết quả của

H Ơ

5 , nhấn = , màn hình sẽ hiện 12 − 4 5 . Ta được đáp án trên màn hình là

ẠO

2) Nhập

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Áp dụng

Ư N

1 5x 2 1) Kiểm tra x = 2 có phải là điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) = x 3 − + 6x − 4 ? 3 2

Cách 1: Dùng phương pháp thủ công, tính đạo hàm và vẽ bảng biến thiên.

, màn hình sẽ hiện x =2

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

SHIFT ∫

  , nhập 

. Sau đó áp dụng quy tắc tìm cực trị 2 để tìm ra kết quả,..

x =2

Nhấn

 d   dx

TR ẦN

Cách 2:

ẤP

-L

SHIFT ∫

 d   dx

  , nhập 

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

, màn hình sẽ hiện x =2

ÁN

Nhấn

Í-

y '( 2) = 0  Cách 3: Thử với  y ' ( 2 + 0.1) < 0 ⇒ x = 2 là điểm cực đại   y ' ( 2 − 0.1) > 0

x =2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 d   dx

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

x = 2+ 0.1

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

x = 2− 0.1

, màn hình sẽ hiện

H Ơ

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

  , nhập 

x = 2 + 0.1

Nhấn SHIFT ∫

 d   dx

ẠO

, màn hình sẽ hiện

x = 2 −0.1

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

  , nhập 

. Bạn đọc tự suy ngẫm nhé.

Nhấn SHIFT ∫

TP .Q

−0.09

Ư N

0.11

TR ẦN

1 5x 2 + 6x − 4 ? 2) Kiểm tra x = 3 có phải là điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3 2 Cách 1: Dùng phương pháp thủ công, tính đạo hàm và vẽ bảng biến thiên.

 d   dx

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

  , nhập 

SHIFT ∫

, màn hình sẽ hiện x =3

. Sau đó áp dụng quy tắc tìm cực trị 2 để tìm ra kết quả,..

ẤP

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

Nhấn

Cách 2:

x =3

ÁN

-L

Í-

 y ' ( 3) = 0  Cách 3: Thử với  y ' ( 3 + 0.1) > 0 ⇒ x = 3 là điểm cực đại   y ' ( 3 − 0.1) < 0

Nhấn

SHIFT ∫

 d   dx

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

, màn hình sẽ hiện x =3

x =3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

  , nhập 

Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 d   dx

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

x =3+ 0.1

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

x =3−0.1

, màn hình sẽ hiện

H Ơ

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

  , nhập 

x =3+ 0.1

Nhấn SHIFT ∫

 d   dx

ẠO

, màn hình sẽ hiện

. Bạn đọc tự suy ngẫm nhé.

x =3−0.1

−0, 09 BÀI TẬP MINH HỌA

Ư N

 d  1 2 5X 2 + 6X − 4   X − dx  3 2 

  , nhập 

Nhấn SHIFT ∫

TP .Q

0.11

TR ẦN

Ví dụ 1: Hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

1 2

B. m = 3

C. m = 0

1 2

D. m = 3

1 3

A. m =

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đáp án B

ẤP

* Phân tích:

Cách 1: giải theo hướng truyền thống

x = 0 y ' = 4x 3 − 4mx, y ' = 0 ⇔  2 x = m

-L

Í-

- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1)

(

) (

ÁN

Gọi A ( 0; 4 ) ; B − m; −m 4 + 4 ; C

)

1 1 1 d ( A; BC ) .BC = y B − y A . x C − x B = m 2 .2 m 2 2 2

SABC =

m; −m 4 + 4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

AB = AC = m 4 + m; BC = 2 m

m4 + m 2 m 1  2 1  AB.AC.BC R= = = m +  4S 2 m 4.m 2 m

(

)

1 1 Vậy tới đây công việc ta cần làm là tìm min của biểu thức: A =  m 2 +  2 m

Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nhắc lại: Bất đẳng thức Cauchy Với 3 số không âm a, b, c ta có: a + b + c ≥ 3. 3 a.b.c

1 1 ⇒m=3 2m 2

H Ơ N

- Dấu “=” xảy ra khi m 2 =

TP .Q

33 1 2 4

ẠO

V ậy A ≥

A 1 1 1 1 1 1 . = m2 + = m2 + + ≥ 3.3 m3 . = 3.3 2 m 2m 2m 2m 2m 4

- Áp dụng vào bài toán:

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c

Ư N

3 31 1 . khi m = 3 2 4 2

đạt được là:

- Giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị có thể

B 00

  2  1 b a    −  - Áp dụng công thức R = 2 a  2   b      2 

TR ẦN

Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh kết hợp với máy tính Casio

1 1 R =  m2 +  2 m

ẤP

- Tới đây các bạn có thể dùng Cauchy vì điều kiện m > 0. Nhưng ta có thể tìm nhanh giá trị

max – min bằng Casio như sau:

+ B1. Bấm MODE 7 (TABLE), nhập vào giá trụ biểu thức

1 2 1  m +  2 m

-L

Í-

+ B2: Vì m > 0 nên cho Start một giá trị lớn hơn 0, ở đây tác giả lấy Start 0.5 End là 5 và bước nhảy Step là 0.5 (nên chọn để có khoảng 8-10 giá trị là được)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

+ B3: Quan sát kết quả màn hình máy tính

Ta nhận xét sau: với x = 0.5 f(x) bắt đầu giảm và đến khi x = 1 f(x) lại bắt đầu tăng. Từ đó có thể nhận xét giá trị nhỏ nhất của f(x) nằm trong (1.125;1) và x sẽ thuộc (0.5;1) Tuy nhiên có tới 3 đáp án thỏa nhận xét trên, vì vậy ta phải chia nhỏ bước nhảy lại:

Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

3 1 khi giải bằng cách 1 là f ( x ) = . 3 = 0.9449407... ) 2 4

Ư N

1 = 0.7937... thỏa mãn nhận xét trên 2

ẠO

Khi đó x thuộc khoảng (0.7;0.8) So sánh đáp án chỉ có đáp án B m = 3

Nhận xét điểm giá trị nhỏ nhất của f(x) nằm trong khoảng (0.9542;0.945) (giá trị chính xác

H Ơ

Cho giá trị start là 0.1, end là 1 với step là 0.1 ta có kết quả sau:

TR ẦN

khuyến khích các bạn sử dụng bất đẳng thức khi tìm được R.

Lưu ý: Ta không thể tìm chính xác giá trị m bằng Casio nếm m không phải số hữu tỉ vì vậy Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + x . Tìm m để đường thẳng đi qua 2 cực trị của hàm số đã 2

4 7

B. m =

6 7

C. Cả A và B đúng

A. m =

1 25

cho tiếp xúc với đường tròn ( C ) : ( x − m + 1) + ( y − m ) =

D. Cả A và B sai

HƯỚNG DẪN GIẢI

ẤP

Đáp án C

* Phân tích:

Nhắc lại kiến thức:

Í-

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3 là phần dư của phép chia

y hoặc y'

ÁN

-L

x b  CALC giá trị i vào phương trình y − y '  +  (chuyển sang chế độ số phức).  3 9a 

Đường thẳng ax + by + c = 0 tiếp xúc với đường tròn tâm I ( x 0 ; y 0 ) bán kính R

BỒ

ID Ư

Ỡ N

⇔

ax 0 + by0 + c a 2 + b2

- Từ phân tích trên: y ' = 3x 2 − 6x + 1

 x −3  - Nhập vào máy tính phương trình: x 3 − 3x 2 + x − 3x 2 − 6x + 1  +  , CALC tại x = i (nhớ  3 9.1 

(

)

chuyển sang số phức MODE 2).

Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy ta được đường thẳng qua 2 điểm cực trị là: 4x + 3y − 1 = 0 ( d )

Ví dụ 3: Cho hàm số y =

H Ơ N Y U

4 2 + 32

6  m=  7m − 5 = 1 1  7 = ⇒ ⇒ 4 5  7m − 5 = −1  m=  7

TP .Q

⇔

14 ( m − 1) + 3m − 1

- Để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) có tâm I ( m − 1; m ) bán kính R = 5

x 2 − 2x + 4 có 2 điểm cực trị không thuộc đường thẳng y = ux + v. 1 − 2x

C. 1

D. 2

A. 0

ẠO

giá trị u + v bằng bao nhiêu ?

Ư N

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đáp án A

TR ẦN

* Phân tích:

)

− 2x + 4 '

(1 − 2x ) '

= 2 − 2x

Với giá trị tương ứng u = −2; v = 2 ⇒ u + v = 0

(x Gọi y là đường thẳng cực đại và cực tiểu đi qua y =

Ví dụ 4: Xác định m để hàm y = x 4 − 2 ( 3m − 4 ) x 2 + 3m + 1 số có 3 điểm cực trị tạo

thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1:

B. m = 1, m = - 2

ẤP

A. m =1, m = 2

D. m = 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đáp án D

C. m = -2

* Phân tích:

-L

Í-

Cách 1: Dùng công thức

( b ') 2 3 1 − ( b ')

ÁN

Cho 3 cực trị tạo thành tam giác với hệ số a = 1. Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp bằng

Ỡ N

b  b' =  2 

BỒ

ID Ư

- Áp dụng công thức trên vào bài toán ta được: r = 1+

( b ' )2 3 1 − ( b ')

b ' = 1 ⇒  b ' = −2

 4 − 3m = 1 m = 1 ⇒ ⇔  4 − 3m = −2 m = 2 - Tuy dùng công thức nhưng chúng ta vẫn phải xét điều kiện có 3 cực trị:

Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Để hàm số có 3 cực trị

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−b 4 = 3m − 4 > 0 ⇒ m > 2a 3

Vậy nhận m = 2.

điều kiện đề bài thì ta chấp nhận đáp án đó

Thay giá trị của m vào hàm số tìm ra tọa độ các điểm cực trị. Với giá trị của m nào thỏa mãn

H Ơ

Cách 2: Thay đáp án

TP .Q

Ghi chú: Đây là dạng câu hỏi thiên về tự luận và hiếm gặp trong khi trắc nghiệm. Ở đây tác giả

chỉ giới thiệu và chỉ giải bằng phương pháp trắc nghiệm, bạn đọc muốn tìm hiểu rõ về dạng này

ẠO

có thể tìm đọc các tài liệu tự luận liên quan.

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 3 m 2 − 1 x + 3m 2 − 1 có 2 cực trị x1 , x 2 thỏa điều

)

 −1 1  A. m ∈  0; ;   2 2

C. m =

1 2

D. Đáp án khác

TR ẦN

B. m = 0

kiện cách đều gốc tọa độ:

Ư N

(

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đáp án D

* Phân tích: y ' = −3x 2 + 6x + 3 m 2 − 1

)

(

Để hàm số đạt 2 cực trị ∆ ' = 9m 2 > 0 ⇔ m ≠ 0

ẤP

(1)

Gọi 2 điểm cực trị lần lượt là A 1 − m; −2 − 2m 3 , B 1 + m; −2 + 2m3

) (

)

(

Để hàm số có 2 điểm cực trị cách đều trục tọa độ khi và chỉ khi

ÁN

-L

Í-

1  m=  2 OA = OB ⇔ 8m3 = 2m ⇔  (thỏa điều kiện 1)  m = −1  2

Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y = x 3 − ( m + 2 ) x 2 + ( 3m − 1) x + m 2 + 5 có 2 cực trị x1 , x 2 thỏa

BỒ

ID Ư

Ỡ N

x1.x 2 = 2 A.

−5 3

−7 3

7 3

D.A và C đều thỏa mãn

HƯỚNG DẪN GIẢI Đáp án D * Phân tích: Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

y ' = −3x 2 − 2 ( m + 2 ) x + 3m − 1

Để hàm số đạt 2 cực trị thỏa mãn đề bài

N Y U TP .Q

7 3 −5 3

ẠO

 m = 3m − 1 = 6 3m − 1 = −6 ⇔   m = 

H Ơ

( m + 2 ) 2 − 3m + 1 > 0 m 2 + m + 5 > 0, ∀m ∆ ' > 0   ⇔c ⇔  3m − 1   x1.x 2 = 2  =2  3 =2  a

Ví dụ 7: Xác định m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x − m 3 + 4m − 1 có 3 cực trị tạo

)

(

Ư N

thành 1 tam giác sao cho diện tích tam giác đó lớn nhất và tìm giá trị đó ? 2

B. m = 0; Smax = 3 5

C. m = − 3; Smax = 0

D. m = 3; Smax = 0

TR ẦN

A. m = 0; Smax = 3 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đáp án A * Phân tích

Cách 1: giải theo tự luận y ' = 4x 3 − 4 3 − m 2 x

C A

x = 0 y' = 0 ⇔  2 x = 3 − m

ẤP

)

(

Í-

Để hàm số có 3 cực trị thì 3 − m 2 > 0 ⇔ − 3 < m < 3

(1)

-L

Nhận xét: Tới đây ta có thể mạnh dạn loại 2 câu C, D vì với điều kiện m như vậy sẽ không tồn

ÁN

tại 3 cực trị. Nên nhớ: chọn 1 trong 2 cơ hội đúng cao hơn rất nhiều so với chọn 1 trong 4 và

tuyệt đối không được bỏ câu nào khi làm bài trắc nghiệm.

Gọi 3 điểm cực trị của hàm số

(

) (

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A 0; m 2 − 1 ; B − 3 − m 2 ; −m 4 + 7m − 10 ; C

(

SABC =

)

3 − m 2 ; −m 4 + 7m − 10

)

1 1 1 d ( A; BC ) = y B − y A . x C − x B = m 4 − 6m 2 + 9 .2 3 − m 2 = 3 − m 2 2 2 2

(

)

5 2

m 2 ≥ 0 ∀m ⇒ 3 − m 2 ≤ 3 ∀m Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Vậy

(

5 3 − m2 2

)

≤

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5 32

H Ơ

Dấu “=” xảy ra khi m = 0

( b ' )5

TP .Q

thì S = −

Nhắc lại công thức: Nếu 3 điểm cực trị của hàm trùng phương tạo thành 1 tam giác có diện tích S

(

5 2 2 3− m

)

≤

5 32

Ư N

( −2 (3 − m )) −

ẠO

Áp dụng công thức trên vào bài toán này

Cách 2: Dùng công thức giải nhanh:

Vậy với giá trị m = 0 thì Smin = 3 2

TR ẦN

Ví dụ 8: Cho đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m 2 + m + 1 , tìm m để đồ thị hàm số có 3 cực trị thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1?

B 00

−1 + 5 2

−1 + 5 −1 − 5 ;m= 2 2

B. m = −1; m =

D. Đáp án khác

C. m =

−1 + 5 −1 − 5 ;m= 2 2

A. m = −1; m =

ẤP

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đáp án B

* Phân tích:

Cách 1: Dùng tính chất để giải:

-L

Í-

x = 0 y ' = 4x 3 − 4mx, y ' = 0 ⇒  2 x = m

ÁN

Để hàm số có hai cực trị ⇒ m > 0 (1)

) (

Gọi các điểm cực trị A 0; m 2 + m + 1 ; B − m; m + 1 ; C

BỒ

ID Ư

Ỡ N

SABC =

(

)

m; m + 1

1 1 1 d ( A; BC ) = y B − y A . x C − x B = m 2 .2 m = m 2 . m 2 2 2

AB = AC = m + m 4 , BC = 2 m Nhắc lại: SABC =

AB.AC.BC AB.AC.BC ⇒R= 4R 4SABC

Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

m + m4 2 m AB.AC.BC = =1 Vậy R = 4SABC 4.m 2 m

)

(

N Y U TP .Q ẠO

−1 − 5 2

So với điều kiện (1) ta loại đi m =

H Ơ

 m = 1  −1 − 5 3 ⇒ m − 2m + 1 = 0 ⇔  m =  2   m = −1 + 5  2

Cách 2: Dùng công thức giải nhanh:

Ư N

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 cực trị của hàm trùng phương

TR ẦN

 a  2  ( b ' ) −  ( b ')  

1 R= 2a

ax 4 + bx 2 + c

1 1  2 Áp dụng công thức trên vào bài toán: R =  ( b ') −  =1 2  ( b ') 

Í-

ẤP

 m = 1  −1 − 5 3 3 ⇔ ( b ' ) − 2 ( b ') − 1 = 0 ⇔ −m + 2m − 1 = 0 ⇔  m =  2   m = −1 + 5  2

-L

So với điều kiện tồn tại 3 cực trị ta loại m =

−1 − 5 2

ÁN

Vậy giá trị m vừa tìm được thỏa điều kiện (1)

Ghi chú: Trên Internet dạo này có rất nhiều tài liệu Casio thần thánh hóa và những bài như

câu 73 thường sẽ giải quyết theo hướng thay đáp án, tuy nhiên tác gải đã cố tình cho vào 4

Ỡ N

đáp án khác nhau cộng với câu D “Đáp án khác”. Vì vậy bắt buộc người giải phải tìm được

BỒ

ID Ư

tất cả giá trị m thỏa. Từ đây tác giả khuyên các bạn chỉ xem Casio là công cụ tính toán

Ví dụ 9: Với giá trị nào của m thì hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 m 2 − 1 x − m 3 + 4m − 1 có hai

(

)

điểm cực trị tạo với gốc tọa độ 1 tam giác vuông tại O? A. m ∈ {1; −2} Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. m ∈ {−1; 2}

C. m ∈ {1; 2}

D. Đáp án khác

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

HƯỚNG DẪN GIẢI Đáp án B

H Ơ

* Phân tích: y ' = 3x 2 − 6mx + 3 m 2 − 1

)

(

TP .Q

x = m +1 y' = 0 ⇔  x = m −1

Đ G Ư N

TR ẦN

Gọi A ( m + 1; m − 3) ; B ( m − 1; m + 1) là 2 điểm cực trị của hàm số OA = ( m + 1; m − 3) OB = ( m − 1; m + 1) Để tam giác OAB vuông tại O thì OA.OB = 0

ẠO

∆ ' = m 2 − m 2 + 1 = 1 > 0 suy ra hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

 m = −1 ⇒ ( m + 1)( m − 1) + ( m − 3)( m + 1) = 0 ⇔  m = 2

* Phân tích: y ' = 3x 2 − 6mx + 3 m 2 − 1

)

(

ẤP

x = m +1 y' = 0 ⇔  x = m −1

∆ ' = m 2 − m 2 + 1 = 1 > 0 suy ra hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

ÁN

-L

Í-

Gọi A ( m + 1; m − 3) ; B ( m − 1; m + 1) là 2 điểm cực trị của hàm số OA = ( m + 1; m − 3) OB = ( m − 1; m + 1) Để tam giác OAB vuông tại O thì OA.OB = 0

 m = −1 ⇒ ( m + 1)( m − 1) + ( m − 3)( m + 1) = 0 ⇔  m = 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ví dụ 10: Cho hàm số: y = x 4 + ( 5m − 2 ) x 2 + m 2 − 3 , tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành

tam giác có góc bằng 300 . 3

A. m =

−56 − 32 5 5

Trang 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

−8 +2 3 5

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. Cả A và B

D. Không có m thỏa mãn điều kiện đề bài HƯỚNG DẪN GIẢI

H Ơ

Đáp án C

Nhận xét: Đề bài cho 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 300 nhưng không nói là góc nằm

* Phân tích:

TP .Q

ở đỉnh cân hay ở đáy, vì vậy ta phải chia ra 2 trường hợp: rất nhiều bạn chỉ làm 1 trường hợp dẫn tới đáp án sai.

ẠO

- Trường hợp 1:

Ư N

3 b3 + 8 3 −56 − 32 3 + 2 0 3 = cos 30 = ⇔ b = − 56 − 32 3 ⇒ m = 3 2 5 b −8

Góc tại đỉnh cân bằng 300

- Trường hợp 2:

TR ẦN

Góc tại đáy bằng 300 ⇒ góc tại đỉnh bằng 1200 (nhớ là 1200 không phải 1500 )

00 3 2+

Vậy m =

−8 +2 3 5

b3 + 8 −1 −8 = cos1200 = ⇔ 3b3 = −8 ⇒ b = 3 3 2 3 b −8

Chọn C

ẤP

Ghi chú:Với những bài có đáp án xấu như bài này khi giải bằng phương pháp tự luận sẽ khá BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

phức tạp, bạn đọc có thể tự giải để so sánh đáp án.

-L

A. x = 0

Í-

Câu 1: Hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 1 đạt cực tiểu tại: B. x = 2

C. Không có cực tiểu D. Đáp án khác

ÁN

Câu 2: Khẳng định nào sau đây là sai:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. y =

B. y =

3x + 2 có đạt cực tiểu tại – 1. x +1

x3 + x 2 + 4x không có cực trị. 3

C. y = x 4 + 6x 2 + 2 đạt cực tiểu là 0. D. Nếu đạo hàm không đổi dấu trên TXĐ thì hàm không có cực trị. Câu 3: Cực trị hàm số y = Trang 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3x 2 − 3x 3 là: 2

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

1 3

B. x CD = 3, x CT = −3

1 C. x CD = , x CT = 0 3

D. Không có cực trị.

A. x CD = 0, x CT =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

C. 3

D. 4

B. 2

A. 1

Câu 4: Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c với a ≠ 0 có tối đa bao nhiêu cực trị?

TP .Q

4 1 1 Câu 5: Hàm số y = mx 3 − mx 2 + 3 với m ≠ 0 đạt cực đại tại x = − với giá trị của m 3 2 5

C. m <

−13 5

D. m > 0

−13 5

B. m >

A. m < 0

ẠO

nào dưới đây ?

Ư N

Câu 6: Tìm giá trị cực đại y CD của hàm số y = x 3 − 3x + 2 : (Đề minh họa THPT quốc gia A. y CD = 4

TR ẦN

năm 2017)

B. y CD = 1

C. y CD = 0

D. y CD = −1

x2 + x +1 , xác định giá trị cực đại của y: x +1

B. –3

C. 0

D. 1

A. –2

Câu 7: Cho hàm số y =

2 2

D. Hàm số đã cho không có cực trị.

C. giá trị của y là

B. giá trị nhỏ nhất của y là −

ẤP

−π là một nghiệm của y. 4

Câu 8: Cho hàm số y = sin x + cos x , tìm câu sai trong các câu sau đây:

Í-

Câu 9: Hàm số nào sau đây không có cực trị ?

ÁN

-L

A. y = x 3 + 5

Câu 10: Cho hàm số y =

B. y =

2x − 5 x+4

C. y =

x 2 + 2x − 4 x −1

D. Cả câu B và C

x 2 + 3x + 5 có 2 cực trị x1 , x 2 . Gọi S là tổng giá trị của x1 , x 2 . Tính x −1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. S = 2

B. S = −2

Câu 11: Tìm m để hàm số y =

C. S = 2 3

D. S = −2 3

2 3 3 x − mx 2 − 2 3m 2 − 1 x + có 2 cực trị x1 , x 2 thỏa mãn 3 2

(

)

x1.x 2 + 2 ( x1 + x 2 ) = 1 :

Trang 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. m =

2 3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 2

B. m =

C. m =

2 3

D. Không tìm được m

H Ơ

Câu 12: Cho hàm số y = − x 4 + ( 5m − 1) x 2 + 2 . Hàm số đã cho có đúng 1 cực trị với giá trị

1 5

C. m <

1 5

D. m ≤

1 5

B. m >

1 5

TP .Q

A. m ≥

nào của m sau đây ?

Câu 13: Hàm số trùng phương y = x 4 − 2 m 2 − m + 3 x 2 − m + 5 . Với giá trị nào của m thì

(

)

1 C. m = , min d = 11 2

D. m = 11, min d =

Ư N

1 2

1 11 B. m = , min d = 2 2

1 11 A. m = , min d = 2 4

ẠO

khoảng cách giữa 2 cực trị đối xứng qua trục tung là nhỏ nhất và giá trị đó bằng bao nhiêu ?

Câu 14: Với hàm số y =

TR ẦN

x , phát biểu nào sau đây là đúng ?

B. Hàm số không có cực trị.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

D. Giá trị cực tiểu là y CT = 0 .

A. Hàm số đã cho không có đạo hàm.

1 Câu 15: f ( x ) = x 3 + mx 2 − ( 3m − 4 ) x + 3 , với giá trị nào của m thì hàm số có cực tiểu, cực 3

đại ?

ẤP

A. 4 ≤ m ≤ 1

D. m ≤ −4 hoặc m ≥ 1 .

C. m < - 4 hoặc m > 1

B. −4 ≤ m ≤ 1

Í-

A. y’ có nghiệm.

Câu 16: Hàm số bậc 3 y = ax 3 + bx 2 + cx + d với a ≠ 0 có 2 cực trị khi nào ?

-L

B. y’ có 2 nghiệm phân biệt.

ÁN

C. y’ có 2 nghiệm phân biệt và đổi qua 2 nghiệm đó.

D. hàm số luôn có 2 cực trị.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 17: Cho bảng biến thiên sau, phát biểu nào sau đây là đúng ? x

∞

y’

-1

+∞ -

+∞

−∞

Trang 27

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

−∞

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. Hàm số có cực tiểu tại x = 0.

B. Hàm số có cực đại tại x = 2.

C. Giá trị cực đại của hàm số là –1

D. x = 1 là 2 cực trị của hàm số đã cho.

Câu 18: Cho y = − x 3 + ( m + 1) x 2 − m 2 + 2m − 3 x − 4 , xác định tham số m để đồ thị hàm số

)

H Ơ

(

y có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục trung:

A. Không tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TP .Q

B. −3 < m < 1 C. −3 ≤ m ≤ 1

D. y CT = 2

x 2 − 5x + 3 , đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị vuông góc với đường thẳng nào −x + 6

sau đây:

A. y = 5 − 2x

B. y = 2x + 5

1 x +3 2

D. Một đường thẳng khác

C. y =

C. y CT = −2

TR ẦN

Câu 20: y =

B. y CT = 1

A. y CT = −1

1 là giá trị nào sau đây ? x

Ư N

Câu 19: Gía trị cực tiểu của y = x +

ẠO

D. Với mọi giá trị m.

Câu 21: Tìm điều kiện của m để hàm số y = 2x 4 − 4 ( m + 5 ) x 2 + m 2 − 4 có 3 cực trị: B. m ∈ ( −∞; −5]

ẤP

A. m ∈ ( −∞; −5 )

C. m ∈ [5; +∞ )

D. m ∈ ( 5; +∞ )

Câu 22: Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị (nếu có) của hàm số − x 3 + 2x 2 là

H Í-

8 x 9

B. y =

9 x 8

C. y =

−9 x 8

D. y =

−8 x 9

-L

A. y =

đường thẳng nào dưới đây:

ÁN

1 1 Câu 23: Cho − x 4 + x 3 , hàm số đã cho có bao nhiêu cực trị ? 4 3

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 24: y = x − 3 , cho các mệnh đề sau: a) Hàm số không có cực trị. b) Giá trị cực tiểu là 0. c) Giá trị nhỏ nhất là 0. d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. Số phát biểu đúng là?

Trang 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. 1

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 25: Cho f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . Hàm số có cực trị là ( 0;1) , (1; −1) . Khi đó xác định

D. f ( x ) = x 3 + 3x − 1

TP .Q

B. Là hàm hằng.

Câu 26: Cho y = e x − x . Tại điểm x = 0 thì hàm số sau: A. Không xác định

C. f ( x ) − x 3 + 3x

A. f ( x ) = x 3 + 3x + 1 B. f ( x ) = x 3 − 3x

H Ơ

hàm f ( x ) ?

C. Đạt cực tiểu.

D. Đạt cực đại.

ẠO

Câu 27: Cho các mệnh đề sau:

a) Hàm số đạt cực trị tại x 0 thì f ( x 0 ) = 0

Ư N

b) Hàm số thỏa f ( x 0 ) = 0 thì có cực trị tại x 0

c) Hàm số đạt cực đại tại x 0 thì giá trị cực đại là f ( x 0 )

TR ẦN

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì giá trị nhỏ nhất là f ( x 0 ) Số phát biểu đúng là ?

B. 2

C. 3

D. 4

A. 1

cực trị là đường thẳng nào dưới đây ?

x2 + 2 có 2 cực trị. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm x−2

Câu 28: Cho hàm hữu tỉ y =

A. y = x + 2

C. y = x − 2

D. y = 2x

ẤP

B. y = 2x − 2

Câu 29: Cho y = x. 9 − x 2 . Gọi M là điểm mà tại đó hàm số đạt cực đại. M là điểm nào sau

 2 9 ;  B.   3 2

 −3 9  ;  C.   2 2

-L

Í-

 3 9 A.  ;   2 2

đây ?

ÁN

Câu 30: Phát biểu nào là chính xác về đồ thị hàm số sau đây y =

D. Một giá trị khác x 4 5x 3 1 2 + − x + 8x + 10 ? 4 3 7

A. Hàm số trên có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

B. Hàm số trên có duy nhất 1 điểm cực trị. C. Hàm số trên có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại. D. Hàm số trên không có điểm cực trị.

Câu 31: Những phát biểu nào trong các phát biểu sau là đúng ? a) Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x 0 khi và chỉ khi đạo hàm của y’ đổi dấu từ sang + qua x 0 .

Trang 29

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b) Nếu f ' ( x ) = 0 và f '' ( x ) < 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 .

c) Hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu khi và chỉ khi x 0 là nghiệm của phương trình

C. a, c

D. b, c

B. a, b, c

TP .Q

Câu 32: Giả sử m là số cực trị của hàm y = ax 3 + bx 2 . Xét trên khoảng (1; +∞ ) , m có thể

A. a

H Ơ

f '( x ) = 0 .

bằng bao nhiêu ?

B. m = 1 hoặc m = 2

C. m = 0 hoặc m = 2

D. m = 1 hoặc m = 0

ẠO

A. m = 1

x −3 2x + 4

C. y = x +

1 x

D. y = x. 1 − x 2

B. y =

Ư N

A. y = x 3 + 3x 2

Câu 33: Hàm số nòa sau đây không có cực trị ?

bao nhiêu ?

B. 5

C. 2 3

− 3x

)

có được ở giá trị nào sau đây ?

Câu 35: Cực tiểu của đồ thị hàm số y =

3 B. x CT ∈   2

 3  A. x CT ∈ 0; ;3  2 

ẤP

C. x CT ∈ {0;3}

D. Không có giá trị cực tiểu

Câu 36: Hàm số y = ax 3 + ax 2 + 2 đạt cực tiểu tại x = B. a < 0

−2 thì a thỏa mãn điều kiện gì ? 3

C. a = 0

D. a ≠ 0

A. a > 0

D. 3

A. 0

TR ẦN

Câu 34: Đồ thị hàm số trùng phương y = − x 4 + 2x 2 + 1 có tổng giá trị của y CD và y CT là

-L

nhiêu ?

Í-

Câu 37: Cho hàm trùng phương y = −2x 4 + 4 ( 2m + 1) x 2 + 1 , giá trị nhỏ nhất của y CD là bao

ÁN

A. min = 1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 38: Định m để y = A. m =

1 4

C. Đáp án khác

B. min = 3

C. min = 0

D. min = 2

x3 + 2mx 2 + 1 đạt cực tiểu tại x = -1 2

B. m =

1 2

D. Không tìm được m.

1 1 Câu 39: y = x 3 + ( m − 1) x 2 + ( m − 2 ) + 3 . Xác định giá trị m để cực đại và cực tiểu nằm 3 2 trong khoảng ( −3; 4 ) :

Trang 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. m ∈ ( −2;5 )

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. m ∈ ( −2;5) \ {3}

C. m ∈ ( −∞; 2 )

D. m ∈ ( 3;5)

B. 1

C. 2

D. 3

H Ơ

A. 0

Câu 40: Đồ thị hàm số y = 9 − x 2 có mấy điểm cực tiểu ?

C. 4x + 2y + 1 = 0

D. y =

ẠO

Câu 42: Hàm số y = 1 − x + x + 5 , phát biểu nào sau đây là chính xác ?

1 x−2 4

TP .Q

B. 4x + y + 1 = 0

B. Giá trị cực đại là 2 3

C. Điểm cực tiểu có hoành độ là –2

D. Điểm cực đại có hoành độ là 2

Câu 43: Cho hàm số y = x 2 − 6x + 5 , chọn phát biểu đúng:

Ư N

A. Giá trị cực tiểu là 2 3

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, x = 5.

C. Hàm số đạt cực trị tại x = 1, x = 3, x = 5

D. Hàm số không có cực trị.

TR ẦN

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3. 2

với AB có thể là đường nào trong các đường thẳng dưới đây ?

A. 4x + y + 2 = 0

Câu 41: Đường thẳng y = x 3 + 3x 2 − 3x + 1 có 2 điểm cực trị A và B. Đường thẳng song song

D. Đồ thị có 1 cực tiểu

C. Đồ thị có 1 cực đại

B. Đồ thị có 1 cực tiểu và 2 cực đại

A. Đồ thị có 1 cực đại và 2 cực tiểu

Câu 44: y = ( x + 1) ( x − 1) , phát biểu nào sau đây là đúng ?

ẤP

1 Câu 45: y = x 3 + ( m − 2 ) x 2 − ( 2m − 3) , phát biểu nào sau đây là sai khi nói về đồ thị hàm 3

số y ?

A. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu ∀m .

Í-

B. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu ∀m \ {1} .

-L

C. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu m ∈ (1; +∞ ) .

ÁN

D. Hàm số luôn có cực đại cực tiểu m ∈ ( −∞;1) . 11 n 1 4 1 x − mx 2 + n đạt cực trị bằng tại x = 1, khi đó tỉ số bằng bao nhiêu ? 4 2 4 m

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 46: y = A. 3

1 3

C. 1

D. Đáp án khác

Câu 47: Cho y = x 4 + x 3 − 3x 2 − x + 5 có 3 điểm cực trị thỏa x1 < x 2 < x 3 . Đặt 2

A = ( x 3 − x 2 − x1 ) + ( x 3 + x 2 − + x1 ) , giá trị của 2A bằng giá trị nào dưới đây ? A. 14 Trang 31

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. 28

C. 42

D. 56

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 48: Cho hàm số y = 4sin x − 3 , hàm số đạt cực tiểu tại tập những điểm nào sau đây ? B. x =

−π + nx 4

C. x =

π π + ( 2n + 1) 4 2

D. x =

−π π + ( 2n + 1) 4 2

π + nx 4

H Ơ

A. x =

B. 2 cực đại, 1 cực tiểu

C. chỉ có cực tiểu

D. chỉ có cực đại

TP .Q

A. 2 cực tiểu, 1 cực đại

Câu 49: Cho hàm số y = x 4 + x 3 − 3x 2 − x + 5 , hỏi hàm số có mấy điểm cực đại, cực tiểu ?

Câu 50: Hàm số y = x 4 + 4mx 2 + 3 ( m + 1) x 2 + 2 có duy nhất 1 cực trị khi m thỏa mãn giá trị

1 − 13 1 + 13 <m< 6 6

1 − 13 6

D. m >

1 + 13 6

Ư N

C. m <

1 − 13 1 + 13 ≤m≤ 6 6

ẠO

nào ?

TR ẦN

Câu 51: Cho hàm số y = 3x 3 + 4x 2 + 6x + 2 , viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

92 8 x+ 27 9

C. y = −

92 8 x+ 27 9

8 92 D. y = − x + 9 27

B. y =

8 92 A. y = x + 9 27

Câu 52: Cho hàm số sau đây y = x 3 − 3x 2 − 9x + 11 , phát biểu nào đúng trong các phát biểu

sau đây?

ẤP

A. Đồ thị hàm số nhận điểm có x = -1 làm điểm cực tiểu.

B. Đồ thị hàm số nhận điểm có x = 3 làm điểm cực đại.

C. Đồ thị hàm số nhận điểm có x = 1 làm điểm cực đại.

D. Đồ thị hàm số nhận điểm có x = 3 làm điểm cực tiểu. 2

-L

Í-

Câu 53: 1 hàm số có đạo hàm f ' ( x ) = x 2 ( x − 1) ( 2x − 3) . Số cực trị của hàm f ( x ) là giá trị

ÁN

nào dưới đây?

B. 2

C. 3

D. 4

A. 1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 54: Xác định điểm m để y = sin 4x − 2m cos x đạt cực tiểu tại x = A. m =

2 3

B. m =

2 3

C. m = 3

2 2 3

π ? 3

D. m =

3 2 2

Câu 55: Đạo hàm của hàm số y ' = x 4 ( x − 1) ( x + 1) , vậy hàm số có bao nhiêu cực trị ? A. 0 Trang 32

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. 1

C. 2

D. 3

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 56: Đường thẳng nào sau đây là đường thẳng đi qua 2 cực trị của hàm số

A. y = 2x − 5

B. y = 5 − 2x

C. y = x − 3

H Ơ

x 2 − 5x + 2 3− x D. y = 3 − x

Câu 57: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 1 , khoảng cách giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng

Câu 58: Cực trị của hàm số y =

D. 3 2

2x + 1 đúng với phát biểu nào sau đây? 3x − 6

B. 1

C. 2

D. 3

A. 0

C. 2 2

ẠO

A. 2

TP .Q

bao nhiêu?

Ư N

Câu 59: Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 − 1 ( C m ) . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị là ba B. 1

C. 2

D. 3

TR ẦN

A. 0

đỉnh của một tam giác vuông cân:

Câu 60: (ĐH An ninh - 1999): Xác định m để hàm số y =

x 2 + mx − m + 8 có cực đại và cực x −1

−9 7

B. 3 < m <

9 7

−3 <m<9 7

3 < m < −9 7

1 3 1 x − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + . Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực 3 3

Câu 61: Cho hàm số

ẤP

A. −3 < m <

tiểu nằm về hai phía của đường thẳng ( d ) : 9x − 7y − 1 = 0 .

B. m = −2 ∨ m =

−2 3

Í-

A. m = 2 ∨ m =

tiểu tại x1 , x 2 thỏa x1 + 2x 2 = 1 .

2 3

-L

ÁN

C. m = 2 ∨ m =

2 3

D. m = −2 ∨ m = −

2 3

Câu 62: Cho hàm số y = x 4 + mx 3 − 2x 2 − 3mx + 1 . Xác định m để hàm số có hai cực tiểu:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. m ≠

4 3

B. m ≠ −

4 3

Câu 63: Tìm m để đồ thị hàm số y = A. m =

1 2

Trang 33

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. m = −

1 2

C. m =

4 3

D. m ≠ ±

4 3

mx 2 − 1 có hai cực trị tại A và B sao cho AB ngắn nhất. x

C. m = 2

D. Đáp án khác

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 64: Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 . Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B, C

1 2

C. m = ± 2

D. m = ± 3

H Ơ

B. m = ±

A. m = ± 1

và diện tích tam giác ABC bằng 32:

Câu 65: Tìm m để hàm số y = mx 4 + m 2 − 9 x 2 + 10 có 3 cực trị: C. 0 < m < −3

D. m = −3 ∨ m = 0

TP .Q

A. m < −3 ∨ 0 < m < 3 B. −3 < m < 3

)

(

Câu 66: Cho hàm số y = ( m − 2 ) x 3 − mx − 2 . Tìm m để đồ thị hàm số không có cực đại và

ẠO

cực tiểu.

B. 0 ≤ m ≤ 2

C. −2 ≤ m ≤ 0

D. Không có giá trị m thỏa yêu cầu

Ư N

A. 0 < m < 2

Câu 67: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên: (Đề minh họa

ẤP

−∞

+∞

∞

y’

−∞

TR ẦN

năm 2017)

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số có đúng 1 cực trị.

-L

Í-

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất là –1.

ÁN

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = –1

Câu 68: Cho hàm số y = −2x 4 − ( m − 1) x 2 + 3 . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành

BỒ

ID Ư

Ỡ N

tam giác vuông cân?

A. m = 3 −16 + 1

B. m = 3 16 + 1

C. m = 3 −16 − 1

D. m = 1

Câu 69: Xác định giá trị của m để hàm số y = x 4 + ( 3m + 1) x 2 + 6 có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác cân có cạnh bên gấp rưỡi cạnh đáy.

A. m = 3 Trang 34

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. m = 5

C. m =

−3 5

D. m =

−5 3

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 70: Cho hàm số y = x 4 − 2 ( m − 1) x 2 + 3 . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị tạo thành

1 −1 3

C. m =

1 3

D. m = −

1 3

H Ơ

B. m = 3

1 +1 3

Đáp án 2-A

3-C

4-C

5-D

6-A

7-B

8-D

9-D

11-C

12-D

13-C

14-D

15-C

16-C

17-C

18-B

19-D

21-D

22-A

23-A

24-C

25-D

26-C

27-B

28-D

29-B

31-A

32-D

33-B

34-B

35-C

36-D

37-B

38-D

41-B

42-B

43-D

44-A

45-A

46-A

47-B

51-B

52-D

53-A

54-B

55-B

56-B

57-D

61-C

62-D

63-B

64-C

65-A

66-B

67-D

ẠO

1-A

10-A

20-C

30-C 40-A

48-C

49-A

50-A

58-D

59-B

60-A

68-A

69-D

70-B

Ư N

39-B

TR ẦN

TP .Q

A. m = 3

tam giác có góc bằng 1200 .

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án A

* Phân tích:

Hàm đa thức y = − x 3 + 3x 2 + 1 đạt cực tiểu tại x khi y ' ( x ) = 0 và y '' ( x ) > 0

ẤP

- TXĐ: D = ℝ

Ta có:

)

Í-

(

x = 0 y ' = − x 3 + 3x 2 + 1 ' = −3x 2 + 6x, y ' = 0 ⇔ −3x ( x − 2 ) = 0 ⇔  x = 2

-L

y '' = −6x + 6, y '' ( 0 ) = 6 > 0, y ''− 6 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

ÁN

Nhận xét: Chúng ta cũng có thể dùng bảng biến thiên để tìm cực đại, cực tiểu của hàm số.

- Bảng biến thiên hàm số: y = − x 3 + 3x 2 + 1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

y’ y

−∞ -

2 +

∞ -

+∞ 1

−∞

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy x = 0 là điểm cực tiểu

Trang 35

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 2: Đáp án A * Phân tích:

H Ơ

Đối với dạng câu hỏi đúng sai cần chú ý kĩ đề bài yêu cầu tìm câu đúng hay sai, quan sát xem có câu nào có thể loại ngay được đáp án hay không và nên làm câu nào trước. Khi tìm được 1

câu chắc chắn đúng hoặc sai thỏa yêu cầu có thể không cần kiểm tra các câu còn lại.

TP .Q

1  3x + 2  A. y ' =  > 0 nên không có cực trị ' = 2  x + 1  ( x + 1)

ẠO

⇒ câu A sai và là đáp án

Tới đây các bạn có thể yên tâm để làm câu 3 vì đề chỉ có duy nhất 1 đáp án sai. Tuy nhiên tác

Ư N

x3 2 + x 2 + 4x nên y ' = x 2 + 2x + 4 = ( x + 1) + 3 > 0 với mọi x ∈ ℝ nên y là không có 3

B. y =

TR ẦN

cực trị là câu chính xác.

y ' = 4x 3 + 12x = 4x x 2 + 3 ; y ' = 0 ⇔ x = 0   ⇒ x = 0 là điểm cực tiểu y '' = 12x 2 + 12; y '' ( 0 ) = 12 > 0 

(

)

D. Đây là câu lí thuyết và bắt buộc các bạn thuộc.

giả sẽ hướng dẫn chi tiết 3 câu còn lại cho bạn nào chưa rõ.

Câu 3: Đáp án C

* Phân tích:

ẤP

- TXĐ: D = ℝ . Ta có:

x = 0   y ' = 3x − 9x = 3x (1 − 3x ) ; y ' = 0 ⇔  1  x =  1 3  ⇒ x CD = , x CT = 0  3  1 y '' = 3 − 18x; y '' ( 0 ) = 3 > 0; y '   = −3 < 0   3 

-L

Í-

ÁN

1 Kết luận: hàm số đạt cực trị với x CD = , x CT = 0 3 Câu 4: Đáp án C

Ỡ N

* Phân tích:

BỒ

ID Ư

- Đây là câu hỏi lí thuyết đơn giản. - Ở đây đề cho hàm trùng phương khi đạo hàm ra bậc cao nhất là bậc 3. Phương trình bậc 3

có tối đa 3 nghiệm vậy số điểm cực trị tối đa là 3.

Câu 5: Đáp án B * Phân tích: Trang 36

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Hàm số đạt giá trị cực đại tại x khi y ' ( x ) = 0 và y '' ( x ) < 0 .

Y U

Câu 6: Đáp án A

TP .Q

 −5  2  −4  2   −4  −4   m = y ' = 0 m   − m   = 0 4   5   −5      5   5  ⇔ ⇔ m = 0 ⇔m=    4  y ''  −4  < 0 2m 2  −4  − m < 0  2  −4      5    2m   − m < 0  5   5  

H Ơ

−4 khi 5

ẠO

- Hàm số đạt cực đại tại x =

y ' ( x ) = m 2 x 2 − mx; y '' ( x ) = 2m 2 x − m

Ư N

* Phân tích:

TR ẦN

x = 1 y ' = 3x 2 − 3; y ' = 0 ⇔  ; y '' = 6x; y '' (1) = 6 > 0; y '' ( −1) = −6 < 0  x = −1 Vậy hàm số đạt cực đại tại x CD = −1 . Vậy ta chọn đáp án D ???

lại đề bài yêu cầu tìm giá trị cực đại tức y CD .

Sai! Thói quen làm nhanh trắc nghiệm sẽ khiến ta bị nhầm lẫn bởi những câu đơn gainr. Nhìn

y CD = y ( −1) = ( −1) − 3. ( −1) + 2 = 4

Câu 7: Đáp án B

ẤP

* Phân tích:

u ta tính được y’. v

- Áp dụng quy tắc tính đạo hàm

ax 2 + bx + c ta có công thức tính đạo hàm nhanh như b'x + c'

-L

Í-

- Tuy nhiên đối với dạng thường gặp

ÁN

 ax 2 + bx + c  ( ab ' ) x 2 + ( 2ac ' ) x + ( bc '− b 'c ) sau:  ' = 2 ( b ' x + c ')  b'x + c' 

Lưu ý: Tác giả không khuyến khích sử dụng công thức nhanh, chỉ sử dụng trong trường hợp

BỒ

ID Ư

Ỡ N

nhớ chắc chắn đúng! - Áp dụng công thức trên y ' =

x 2 + 2x

x = 0 ; y' = 0 ⇔   x = −2 ( x + 1) 2

- Đến đây chúng ta có thể vẽ bảng biến thiên để tìm cực đại, cực tiểu hoặc dùng các quy tắc khác. yCD = y ( −2 ) = 3

Trang 37

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 8: Đáp án A * Phân tích:

H Ơ N

π được kết quả 0. Vậy A là câu đúng (Lưu ý: 4

phương trình vào máy và CALC với giá trị −

π có phải là nghiệm của phương trình đã cho bằng máy tính casio. Nhập 4

- Kiểm tra −

TP .Q

CALC nhớ phải chuyển máy sang đơn vị Radian vì ta đang dùng π ). - Các câu còn lại rất dễ nhận biết, bạn đọc tự suy ngẫm.

ẠO

Câu 9: Đáp án D

* Phân tích:

C. y ' =

( x + 4 )2

Ư N

x 2 − 2x + 2

( x − 1)2

TR ẦN

B. y ' =

A. y ' = 3x 2

- Tính đạo hàm từng câu và kết luận cực trị:

Đây là câu gài thí sinh. Thông thường với những câu trắc nghiệm dạng hỏi đúng sai các bạn thí dinh chỉ cần tìm ra 1 câu đúng (sai) thỏa mãn yêu cầu đề bài thì không làm những câu còn

lại. Trường hợp này nếu bạn nào chủ quan không để ý câu D thì khi làm tới câu B thấy đúng

vội vàng khoanh đáp án B trong khi có đến 2 câu không có cực trị là B avf C. Trong câu có 2

câu đúng phải chọn câu đúng nhất.

Câu 10: Đáp án A

ẤP

* Phân tích:

A ; y' = 0 ⇔

( x − 1)

x 2 − 2x − 2

( x − 1)

Í-

y' =

TXĐ: D = ℝ \ [1]

 x1 = 1 + 3 = 0 ⇔ x 2 − 2x − 2 = 0 ⇔   x 2 = 1 − 3

-L

Vậy x1 + x 2 = 2

ÁN

Câu 11: Đáp án C

* Phân tích:

Để giải bài toán này ta sẽ xét điều kiện tồn tại cực đại và cực tiểu, sau đó dùng định lí Vi-ét

BỒ

ID Ư

Ỡ N

tổng và tích để tính giá trị cần tìm:

Đối với giải trắc nghiệm khi dễ dàng nhìn thấy TXĐ thì không nên ghi ra giấy nháp vì thời gian là một thứ vô cùng qua trọng đối với hình thức thi này. Sau này những tập hợp có TXĐ:

D = ℝ tác giả sẽ không viết ra. y ' = 2x 2 − 2mx − 2 3m 2 − 1 ; y ' = 0 ⇔ x 2 − mx − 3m 2 + 1 = 0

(

Trang 38

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

)

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

2   m > 13 Để y có 2 điểm cực trị ⇔ ∆ = b 2 − 4ac = 13m 2 − 4 > 0 ⇔  2   m < − 13 

Y U TP .Q

2 thỏa điều kiễn đặt ra. 3

ẠO

Vậy m =

2  m= Khi đó: x1.x 2 + 2 ( x1 + x 2 ) = 1 ⇔ −3m 2 + 1 + 2m = 1 ⇔  3  m = 0 

Câu 12: Đáp án D

* Phân tích:

Ư N

x = 0 y ' = −4x + 2 ( 5m − 1) x; y ' = 0 ⇔  2 5m − 1 x = 2 

5m − 1 1 ≤0⇔m≤ 2 5

TR ẦN

Để hàm số có đúng 1 cực trị ⇔

Nhận xét: Nhiều bạn học sinh sẽ mắc sai lầm khi cho mà không lấy dấu “=”. Lưu ý khi dấu

“=” xảy ra y’ vẫn chỉ có 1 nghiệm suy nhất là y’ = 0 nên ta vẫn xét trường hợp “=”.

Câu 13: Đáp án C

* Phân tích:

)

( x2 − x3 )

ÁN

-L

Suy ra: d =

Í-

(

ẤP

 x1 = 0  y ' = 4x 3 − 4 m 2 − m + 3 x; y ' = 0 ⇔  x 2 = m 2 − m + 3, m 2 − m + 3 > 0  2  x 3 = − m − m + 3

Vậy độ dài min = 11 khi m =

1  11  = 2x 2 = 2 m − 3m + 3 = 2  m −  + ≥ 11 2 4  2

1 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1  11 11  Chú ý: 2  m −  + ≥ 2 = 11 2 4 4 

Rất nhiều bạn không để ý số 2 nằm ngoài dấu căn nên dẫn đến đáp án sai.

Câu 14: Đáp án D TXĐ: D = ℝ

Trang 39

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

y' =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 2 x

H Ơ

- y’ không xác định tại x = 0 suy ra y’ không có đạo hàm tại x = 0.

x > 0 ∀x ∈ ( 0 − h;0 + h ) , x ≠ 0 . Theo định nghĩa SFK suy ra y đạt cực tiểu tại x = 0

TP .Q

- Tuy nhiên xét trong khoảng ( 0 − h;0 + h ) với h > 0 ta có:

Với giá trị cực tiểu yCT = 101 = 0

ẠO

Câu 15: Đáp án C

* Phân tích:

f ' ( x ) = x 2 + 2mx − 3m + 4; f ' ( x ) = 0 ⇔ x 2 + 2mx − 3m + 4 = 0

Ư N

Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi f ' ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

TR ẦN

m > 1 ∆ ' = m 2 + 3m − 4 > 0 ⇔   m < −4

Câu 16: Đáp án B

* Phân tích:

Hàm số bậc 3 y = ax 3 + bx 2 + cx + d với a ≠ 0 có 2 điểm cực trị khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân

biệt.

Câu 17: Đáp án C

ẤP

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x=2

Câu 18: Đáp án B

y ' = −3x 2 + 2 ( m + 1) x − m 2 + 2m − 3

Í-

(

m 2 + 2m − 3 < 0 ⇔ −3 < m < 1 3

ÁN

-L

y ' = 0 có 2 nghiệm trái dấu ⇔

)

Lưu ý: không cần tìm điều kiện để phương tình có cực đại, cực tiểu bởi khi

c < 0 thì hiển a

nhiên ∆ luôn dương và y’ có nghiệm phân biệt.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 19: Đáp án C y ' = 1−

x = 1 1 x2 −1 = 2 ; y' = 0 ⇔  2 x x  x = −1

Cách 1: Dùng bảng biến thiên.

Trang 40

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

-2

+∞

+∞ 2

−∞

TP .Q

−∞

+∞

H Ơ

y’

-1

−∞

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cách 2: Dùng y’’

ẠO

 −1  2x 2 y '' =  2  = 4 = 3 ; y '' (1) > 0 suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1. x x  x

Vậy giá trị cực tiểu là y (1) = 2

Ư N

Câu 20: Đáp án C

Nhắc lại lí thuyết:

u ' ( x1 ) u '( x2 ) , y '( x2 ) = v ' ( x1 ) v '(x2 )

y ' ( x1 ) =

u ' v − uv ' u u' =0⇔ = 2 v v' v

ẤP

y' = 0 ⇔

u (x) u ' v − uv ' ⇒ y' = v(x) v2

TR ẦN

ax 2 + bx + c có 2 cực trị x1 , x 2 * Giả sử: y = dx + e

( ax Tóm lại: gọi d là đường thẳng qua 2 điểm cực trị thì d : y =

)

+ bx + c '

( dx + e ) '

(x d:y =

-L

Í-

* Hai đường thẳng vuông góc với nhau có tích hệ số góc bằng -1.

)

− 5x + 3 '

2x − 5 = −2x + 5 −1

ÁN

( −x + 6) '

Dựa vào hệ số góc ta dễ dàng chọn được đáp án đúng.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 21: Đáp án D

x = 0 y ' = 8x 3 − 8x ( m + 5 ) ; y ' = 0 ⇔ 8x x 2 − ( m + 5 ) = 0 ⇔  2 x = m + 5

(

)

Để hàm số đã cho có 3 điểm cực trị ⇔ m + 5 > 0 ⇔ m > −5 Câu 22: Đáp án A

Trang 41

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số bậc 3 là phần dư của phép chia

y y'

)

H Ơ

(

2 8 1 y = −3x 2 + 4x .  x −  + x 9 9 3

Câu 23: Đáp án A

ẠO

x 2 = 0 x = 0 - Đến đây nhiều bạn sẽ cho  ⇔ và kết luận hàm số có 2 điểm cực trị. x = 1 x = 1

TP .Q

x2 = 0 y ' = −x 3 + x 2 ; y ' = 0 ⇔  x = 1

Câu 24: Đáp án C

Ư N

đổi dấu khi qua x = 0 nên đây không phải là 1 điểm cực trị.

- Đây là sai lầm hết sức phổ biến. Rõ ràng với nghiệm x = 0 là nghiệm kép, do đó y’ không

TR ẦN

Đây là dạng câu hỏi khó vì ta không thể dùng phương pháp loại trừ và chỉ cần không chắc chắn 1 câu sẽ làm kết quả cuối cùng bị sai. Yêu cầu người làm phải nắm thật chắc kiến thức.

3 -

2 0

+∞

( x − 3)2

x −3

; y' =

−∞

y’ y

ẤP

( x − 3)

y = x −3 =

- TXĐ: D = ℝ

- Sai lầm của nhiều học sinh là không nhận x = 3 là điểm cực tiểu. (Dựa vào định nghĩa).

Í-

- Các câu đúng là: B, C, D

-L

Câu 25: Đáp án D

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

y '( 0) = 0 a = 1  b = −3 y ( 0) = 1  Hàm số có 2 cực trị là ( 0;1) , (1; −1) nên ta có hpt:  ⇔  y ' (1) = 0 c = 0  y 1 = −1 d = 1  ( )

Câu 26: Đáp án C

Sai lầm kinh điển: Thay giá trị x = 0 vào ⇒ f ( 0 ) = 1 kết luận đây là hàm hằng và chọn câu B. Nhớ rằng f ( 0 ) = 1 chỉ là giá trị của f ( x ) tại điểm x = 0 chứ không phải hàm hằng f ( x ) = 1

Trang 42

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

y ' = e x − 1, y ' = 0 ⇒ e x = 1 ⇔ x = 0

Vậy x = 0 là cực trị của hàm số.

H Ơ

y '' = e x

y '' ( 0 ) = e0 = 1 > 0

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

TP .Q

Câu 27: Đáp án B

ẠO

- Câu B sai vì hàm số có f ' ( x 0 ) = 0 chưa hẳn đã là cực trị. Phải thỏa mãn thêm điều kiện đạo

hàm có đổi dấu.

- Câu D sai vì hàm số đật cực tiểu tại x 0 chưa chắc giá trị nhỏ nhất là f ( x 0 ) . Lúc này f ( x 0 )

Ư N

chỉ mới là giá trị cực tiểu của hàm số.

(x Dễ dàng ta có: d : y =

)

+2 '

( x − 1) '

TR ẦN

Câu 28: Đáp án D = 2x

3 2 −3 2

-3

3 2 +

3 -

Í-

−9 2 −9 2

−∞

ÁN

-L

+∞

y’ y

3 2

−

ẤP

 x = x 2 y' = 9− x − ; y' = 0 ⇔   9 − x2  x = 2

Câu 29: Đáp án A

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 3 9 Vậy M  ;   2 2

Nhận xét: Các bạn có thể áp dụng quy tắc tìm giá trị cực đại bằng cách khác đã học nhé. Không nhất thiết phải vẽ bảng biến thiên này, vì nó khá mất thời gian. Cách giải trên chủ yêis củng cố lại kiến thức cho các bạn

Câu 30: Đáp án C Trang 43

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x = 1  y ' = x 3 + 5x 2 − 14x + 8; y ' = 0 ⇔ ( x − 1) x 2 + 6x − 8 = 0 ⇔  x = −3 + 17  x = −3 − 17 

)

H Ơ

(

)

Ư N

(

x =....

d X 3 + 5X 2 − 14X + 8 dx

Để tính giá trị này ta có thể dùng cách khác là nhập vào máy tính Casio:

TP .Q

) )

ẠO

( (

 y '' 1 < 0  ( )  - Dùng chức năng CALC trên máy tính Casio ta tính được  y '' −3 + 17 > 0   y '' −3 − 17 > 0 

y '' = 3x 2 + 10x − 14

TR ẦN

Tiếp theo nhập các giá trị x cần tính

Câu 31: Đáp án A Theo lí thuyết cực trị thì A là câu đúng.

B sai vì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì f '' ( x 0 ) > 0 C sai ở câu “khi và chỉ khi”. Phát biểu này

chỉ đúng ở vế thuận nhưng vế đảo thì chưa hẳn vì đạo hàm bằng 0 tại x 0 chưa hẳn x 0 là cực

trị của hàm số.

ẤP

Lưu ý: Nhiều bạn học sinh mắc sai lầm khi làm trắc nghiệm khi thấy phát biểu C có ở 3 đáp

án nên nghĩ C chắc sẽ là câu đúng. Các bạn nên tự tin vào kiến thức của mình đừng là theo

Câu 32: Đáp án D

cảm tính.

Í-

Ta sẽ tính đạo hàm và tìm cực trị của hàm số sau đó xét cực trị có thể thuộc khoảng (1; +∞ )

-L

không ?

ÁN

x = 0 y ' = 3ax + 2bx, y ' = 0 ⇔   x = −2b 3a 

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Rõ ràng điểm 0 ∉ (1; +∞ ) còn

−2a có thể ∈ (1; +∞ ) . Vậy hàm số đã cho có thể có 0 hoặc 1 3b

cực trị.

Câu 33: Đáp án B Tính đạo hàm từng câu ta thấy B có y ' > 0 ∀x nên không có cực trị.

Câu 34: Đáp án B Trang 44

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

y ' = −4x x 2 − 1

(

)

H Ơ

x = 0 y = 1   y ' = 0 ⇔  x = −1 ⇔  y = 2  x = 1  y = 1

Tổng giá trị của cực tiểu và cực đại là 5

TP .Q

Lưu ý: Ta không cần quan tâm điểm nào là cực tiểu, cực đại. Câu 35: Đáp án C

)

−1 3 .

2 2 x − 3x 3

)

2 3

= x 2 − 3x

) (

y' =

(

Ư N

(

( 2x − 3)

x 2 − 3x

y' =

ẠO

- TXĐ: D = ℝ

TR ẦN

2 2x − 3 y' = 0 ⇔ . =0 3 3 x 2 − 3x 3 2

∞ +

y’

−∞

- Bảng biến thiên:

+∞

ẤP

Í-

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận hàm số đạt cực tiểu tai x = 0 và x = 3

-L

Lưu ý: Nếu gặp khó khăn trong việc xác định dấu của y’ có thể dùng Casio như sau:

ÁN

Nhập y’ và CALC với 1 giá trị trong khoảng cần xét dấu. Ví dụ để xét dấu trong ta nhập biểu thức y’ và CALC với 1 giá trị trong khoảng ví dụ -2. Ta nhận được giá

( −∞;0 )

trị biểu thức nhỏ hơn 0 suy ra dấu trong khoảng ( −∞;0 ) là âm.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 36: Đáp án D y ' = 3ax 2 + 2ax

- Để hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ ∆ > 0 ⇔ a 2 > 0 ⇔ a ≠ 0 (1) - Hàm số có cực trị tại x =

Trang 45

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

−2  −2  nên y '   = 0 ⇔ 0.a = 0 ( 2 ) 3  3 

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Kết hợp (1), (2) suy ra a ≠ 0

Câu 37: Đáp án B y ' = −8x 3 + 8 2m 2 + 1 x

)

H Ơ

(

TP .Q

x = 0  y ' = 0 ⇔  x = − 2m 2 + 1  2  x = 2m + 1

Nhận xét: Hàm trùng phương có 3 cực trị với hệ số a < 0 sẽ có 2 cực đại và 1 cực tiểu. Từ đó 2

ẠO

ta xác định được giá trị cực đại: 2

(

)

(

)

Ư N

(

)

Vì 2m 2 + 1 ≥ 1 nên 2 2m 2 + 1 + 1 ≥ 2 + 1 = 3

(

y CD = −2 2m 2 + 1 + 4 2m 2 + 1 + 1 = 2 2m 2 + 1 + 1

(

)

TR ẦN

Sai lầm: Nhiều bạn sẽ đánh giá như sau: 2m 2 + 1 ≥ 0 ⇒ min = 1 . Rất nhiều bạn thấy bình phương liền cho lớn hơn bằng không nhưng không để ý biểu thức trong bình phương đã lớn

hẳn hơn 0.

Câu 38: Đáp án C

y ' = x 2 + 4mx, y '' = 2x + 4m

ẤP

Để hàm đạt cực tiểu tại x = -1

1 4 (vô nghiệm) 1 2

 m= 1 − 4m = 0  y ' ( −1) = 0  ⇔ ⇔  −2 + 4m > 0 m >  y '' ( −1) > 0 

Í-

Vậy không tìm được giá trị m.

-L

Lưu ý: “Không tìm được giá trị m” khác với “Đáp án khác”

ÁN

Câu 39: Đáp án B

Ta cần tìm cực đại và cực tiểu sau đó cho thuộc vào khoảng đề bài yêu cầu:

Ỡ N

y ' = x 2 + ( m − 1) x + m − 2 2

BỒ

ID Ư

Để hàm có cực đại, cực tiểu ⇔ ∆ > 0 ⇔ ( m − 3) > 0 ⇔ m ≠ 3 (1)

x1 =

1− m + m − 3 1− m + 3 − m = −1, x 2 = = 2−m 2 2

Vì x1 đã thuộc ( −3; 4 ) nên ta chỉ cần định điều kiện để x 2 thuộc ( −3; 4 ) .

Trang 46

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

m < 5 Để x 2 thuộc ( −3; 4 ) ⇔ −3 < 2 − m < 4 ⇔  , kết hợp (1) ta được m ∈ ( −2;5 ) \ {3}  m > −2

H Ơ

Lưu ý: Nhớ kết hợp điều kiện có cực đại cực tiểu nhé nếu không sẽ bị nhầm sang đáp án A

Câu 40: Đáp án A

9 − x2

, y' = 0 ⇔ x = 0

-3

y’

TP .Q

−x

ẠO

y' =

TXĐ: D = [ −3;3]

TR ẦN

Câu 41: Đáp án B

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra hàm số không có cực tiểu

Ư N

Dạng bài này ta đã gặp qua, ở đây tác gải muốn giới thiệu thêm cách giải nhanh mà không

cần chia phức tạp:

y tìm phần dư: y'

Cách 1: Tính đạo hàm, thực hiện phép chia

ẤP

1 1 y = y '  x +  − 4x + 2 . Vậy đường thẳng qua 2 điểm cự trị là: y = −4x + 2 3 3

Cách 2: Dùng máy tính Casio:

Phương pháp tổng quát

Í-

x b  B1: Nhập vào giá trị r ( x ) = y − y '  +   3 9a 

-L

B2: CALC tại x = i (nhớ chuyển sang dạng phức CMPLX: MODE 2)

ÁN

Lưu ý: Khi xuất giá trị, hệ số trước I là hệ số góc trong đường thẳng cần tìm, hệ số còn lại là

hệ số tự do.

Thực tế bài toán:

(

)

CALC tại x = i ta được kết quả: 2 – 4i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

X 3  Nhập vào: X 3 + 3X 2 − 3X + 1 − 3X 2 + 6X − 3 .  +   3 9.1 

Vậy đường thẳng qua cực đại cực tiểu là: y = −4x + 2

Trang 47

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

So với đáp án chỉ có B là song song với đường thẳng qua 2 cực trị do cùng có hệ số góc và khác hệ số tự do

H Ơ

Câu 42: Đáp án B

- TXĐ: D = [ −5;1]

TP .Q

1  −1 1  + y' =   2  1− x x +5 

y ' = 0 ⇔ x = −2

y’

-2

-5

Ư N

ẠO

- Bảng biến thiên:

2 3

TR ẦN

Dựa vào bảng biến thiên dễ dàng chọn được đáp án đúng

Câu 43: Đáp án D

x 2 − 6x + 7

= 0 ⇔ x = 3∉ D

ẤP

Vậy hàm số không có cực trị

Sai lầm:

x −3

y' =

- TXĐ: D = ( −∞;1] ∪ [5; +∞ )

- Các bạn dễ mắc lỗi không xét tập xác định và làm theo cảm tính:

5 +

-L

Í-

y’

- Bảng biến thiên:

ÁN

Từ đó kết luận hàm số có cực trị là sai.

Ỡ N

Câu 44: Đáp án A

BỒ

ID Ư

y = x 4 − 2x 2 + 1 y ' = 4x 3 − 4x x = 0 y ' = 0 ⇔  x = 1  x = −1 Trang 48

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét: Hàm trùng phương có 3 cực trị với hệ số trước x 4 > 0 luôn có 2 cực tiểu 1 cực đại Câu 45: Đáp án A

H Ơ

y ' = x 2 + 2 ( m − 2 ) x − ( 2m + 3) 2

- Hàm số có cực đại cực tiểu ⇔ ∆ ' = m 2 − 4m + 4 + 2m − 3 = ( m − 1) > 0 ⇔ m ≠ 1

TP .Q

Vậy hàm số luôn có cực đại cực tiểu trên ℝ \ {1}

Câu 46: Đáp án A

Đ G

n =3 m

TR ẦN

Vậy tỉ số

 y ' (1) = 0 m = 1   11 ⇔  n = 3  y (1) =  4

Ư N

11 - Để hàm số đạt cực tiểu bằng tại x = 1 thì: 4

ẠO

y ' = x 3 − mx 2

00 10 3

 − 14  x1 = 2  3 y ' = 4x − 14x, y ' = 0 ⇔  x 2 = 0   x = 14  3 2

Câu 47: Đáp án B

ẤP

A = ( x 3 − x 2 − x1 ) + ( x 3 + x 2 + x1 ) = 14 ⇒ 2.A = 28

Câu 48: Đáp án C

Lưu ý: đọc kĩ xem đề bài hỏi giá trị nào nhé. π kπ + 4 2

-L

Í-

y ' = 8.cos 2x ⇒ y ' = 0 ⇔ x =

ÁN

 π kπ  π  −16, khi k = 2n y '' = −16sin 2x ⇒ y ''  +  = −16sin  + kπ  =  4 2  2  16, khi k = 2n + 1

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x =

π π + ( 2n + 1) 4 2

y ' = 4x 3 + 3x 2 − 6x − 1 = ( x − 1) 4x 2 + 5x − 1

(

)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 49: Đáp án A

Trang 49

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

Nhận xét: hàm bậc 4 có 3 cực trị phân biệt với hệ số trước x 4 > 0 nên có 2 cực tiểu 1 cực đại.

H Ơ

 x = 1  −5 + 41 y ' = 0 ⇔  x = 6  −5 − 41   x = 6

Lưu ý: không nên tình y’’ và CALC giá trị của các điểm cực trị vào vì rất mất thời gian.

ẠO

Câu 50: Đáp án A

y ' = 4x 3 + 12mx 2 + 3 ( m + 1) x

⇔ ∆'≤ 0 ⇔

TR ẦN

Để hàm số có cực tiểu không có cực đại thì g(x) không đổi dấu

Ư N

x = 0 y' = 0 ⇔  2  4x + 12mx + 3 ( m + 1) = 0 g ( x )

1 − 13 1 + 13 ≤m≤ 6 6

Câu 51: Đáp án B

y , ở đây tác giả chỉ hướng dẫn 1 cách. y'

Các bạn có thể tìm phần dư của phép chia

Lưu ý: nhớ xét trường hợp nghiệm kép

ẤP

B1. Chuyển máy sang chế độ CMPLX

(

)

x 4  Nhập biểu thức 3x 3 + 4x 2 + 6x + 2 − 9x 2 + 8x + 6 .  +   3 9.6 

B2. CALC tại x = i, bấm “=”

Í-

8 92 + i 9 27

ÁN

-L

Ta thu được kết quả:

Vậy đường thẳng qua 2 điểm cực trị cần tìm là: y =

92 8 x + (chú ý kẻo ngược hệ số a và b). 27 9

Lưu ý: Cẩn thận kẻo ngược hệ số a, b của đường thẳng

Ỡ N

Nhận xét: Với những trường hợp chia số không đẹp như bài này thì Casio là một công cụ tấ

BỒ

ID Ư

cần thiết cho giải trắc nghiệm

Câu 52: Đáp án D  x = −1 y ' = 3x 2 − 6x − 9 ⇒ y ' = 0 ⇔  x = 3

- Caác bạn có thể giải bằng cách vẽ bảng biến thiên hoặc dùng y’’. Trang 50 http://dethithpt.com

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Ở đây tác giả nhận xét đơn giản như sau: hàm số có 2 cực trị kết hợp hệ số trước x 3 > 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 3 (xem lại dạng đồ thị của hàm số bậc 3).

H Ơ

Câu 53: Đáp án A

3 làm y’ đổi dấu. Vậy hàm số đã cho chỉ 2

TP .Q

- Đạo hàm hàm số có 3 nghiệm nhưng chỉ có x =

- Hàm số đạt cực trị tại x = x 0 nếu đạo hàm của hàm số đổi dấu qua x 0

có 1 cực trị.

ẠO

Câu 54: Đáp án B

y ' = 4 cos 4x + 2m sin x

Ư N

π 3

- Để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có x =

y '' = −16sin 4x + 2m cos x

TR ẦN

 π   π π  2 3 y ' 3  = 0  4 cos  4 3  + 2m sin  3  = 0         m = (nhận) ⇔ ⇔ 3   y ''  π  > 0 16sin  4 π  + 2m cos  π  > 0  m > −8 3         3 3   3  

Câu 55: Đáp án B

Đây là câu hỏi đơn giản chủ yếu nhằm củng cố kiến thức: Hàm số đạt cực trị tại x = x 0 nếu

ẤP

đạo hàm của hàm số đổi dấu qua x 0 , tức là nghiệm có bội lẻ. Nhiều học sinh chỉ lấy bội 1 mà

sót các nghiệm còn lại.

Vậy hàm số có 1 cực trị tại x = 1

Câu 56: Đáp án B

-L

Í-

(x Tính nhanh được y =

)

− 5x + 2 '

(3 − x ) '

= 5 − 2x

ÁN

Lưu ý: để ý dấu trừ dưới mẫu

Câu 57: Đáp án D

BỒ

ID Ư

Ỡ N

y ' = 3x 2 − 3

x = 1 y' = 0 ⇔  1  x 2 = −1

- Gọi A, B lần lượt là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số: A (1; −1) , B ( −1;3) - Khoảng cách 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số

Trang 51

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

d = AB =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

( −1 − 1)2 + ( 3 + 1)2

=3 2

H Ơ

Sai lầm thường gặp: d = x 2 − x1 = 2 Câu 58: Đáp án D

TXĐ: S = ℝ \ {2}

TP .Q

  −15 < 0, ∀ x ≠ 2 y ' =    ( 3x − 6 )2

ẠO

Suy ra hàm số không có cực trị

Câu 59: Đáp án B

(

)

- Có: y ' = 4x 3 − 4m 2 x = 4x x 2 − m 2

Ư N

Cách 1: Hiểu rõ vấn đề

x = 0 y ' = 0 ⇔ 4x x 2 − m 2 = 0 ⇔  2 2  x = m (*)

)

TR ẦN

(

- Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình y’ = 0 phải có ba nghiệm phân biệt ⇔

phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m ≠ 0

Vậy với m ≠ 0 thì hàm số có 3 cực trị.

- Tiếo theo, ta tìm m để ba điểm cực trị này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. Ta

ẤP

 x = 0 ⇒ y = −1  có: y ' = 0 ⇔  x = m ⇒ y = −1 − m 4  x = − m ⇒ y = −1 − m 4 

- Vì y là hàm trùng phương nên tam giác ABC cân (giả sử cân tại A). - Gọi 3 điểm cực trị là: A ( 0; −1) , B −m; −1 − m 4 , C m; −1 − m 4

) (

)

-L

Í-

(

AB = −m; −m 4 , AC = ( m; −m 4 )

ÁN

(

)

- Để ABC vuông cân thì AB vuông góc với AC.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

m = 0 ( l ) ⇔ AB.AC = 0 ⇔ −m 2 + m8 ⇔   m = ±1

Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh - Điều kiện tồn tại 3 cực trị

Trang 52

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

−b > 0 ⇔ m2 > 0 ⇔ m ≠ 0 2a

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

m = 1 = 0 ⇔ −2m 2 = −2 ⇔   m = −1 −8

2 3

Ghi chú: Công thức trên hoàn toàn được xây dựng từ công thức cos giữa hai vecto. Ở đây ta

TP .Q

thừa nhận và không cần chứng minh.

Câu 60: Đáp án A

ẠO

- TXĐ: D = ℝ \ {1}

x 2 − 2x − 8

( x − 1)2

Ư N

- Tính y ' =

2 3

( −2m ) ⇒ ( −2m )

b3 + 8a b3 − 8a

- Gọi α là góc tại đỉnh cân của tam giác tạo bởi 3 cực trị: cos α =

TR ẦN

x = 4  x 2 − 2x − 8 = 0 y' = 0 ⇔  ⇔  x = −2   x ≠ −1  x ≠ 1

- Gọi A và B là hai điểm cực đại và cực tiểu ⇒ A ( −2; m − 4 ) , B ( 4; m + 8 )

- Để A và B nằm về hai phía của đường thẳng (d) thì:

⇔ ( 9x A − 7y A − 1)( 9x B − 7y B − 1) < 0 ⇔ ( 9 − 7m )( 21 + 7m ) > 0 ⇔ −3 < m <

ẤP

Lưu ý:

9 7

- Một số dạng bài tập tương tự có thể gặp

Í-

⇔ y CD .yCT < 0

- Để hàm số y = f ( x ) có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía đối với trục hoành

-L

- Để hàm số y = f ( x ) có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ x CD .x CT < 0

ÁN

 y CD + y CT > 0 - Để hàm số y = f ( x ) có cực đại và cực tiểu nằm phía trên trục hoành ⇔   y CD .y CT > 0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 y CD + y CT < 0 - Để hàm số y = f ( x ) có cực đại và cực tiểu nằm phía dưới trục hoành ⇔   y CD .y CT < 0 Câu 61: Đáp án C

- Tính y ' = mx 2 − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 ) m ≠ 0 - Hàm số có hai cực trị ⇔  2 ∆ ' = ( m − 1) − 3m ( m − 2 ) > 0

Trang 53

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

m ≠ 0 m ≠ 0  ⇔ ⇔ 6 6 2 < m < 1+ −2m + 4m + 1 > 0 1 −  2 2

H Ơ

( *)

- Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình y’ = 0

TP .Q

 − b 2 ( m − 1) = (1)  x1 + x 2 = a m - Theo định lý Vi-ét, ta có   x .x = c = 3 ( m − 2 ) 2 ( )  1 2 a m

ẠO

- Thay (1) vào phương trình x1 + 2x 2 = 1

So với điều kiện (*): m = 2 ∨ m =

TR ẦN

2  4  3( m − 2) 2  ⇒m=2 ∨ m= - Từ (2) ⇒  −1 +   3 −  = m  m m 3 

Ư N

2 4 ⇒ x1 = 3 − m m

Ta được x 2 = −1 +

2 3

Câu 62: Đáp án D

ẤP

 x = 1 y' = 0 ⇔  2 4x + ( 4 + 3m ) x + 3m = 0 (1)

- Tính y ' = 4x 3 + 3mx 2 − 4x − 3m ⇔ y ' = ( x − 1)  4x 2 + ( 4 + 3m ) x + 3m 

Để hàm số có hai cực tiểu thì phương trình (1) có 2 nghiệm khác 1.

-L

Í-

4  ∆ = ( 3m − 4 )2 > 0 m ≠ 3 ( 3m − 4 ) 2 > 0 ⇔ ⇔ ⇔ 4 + 4 + 3m + 3m ≠ 0 m ≠ − 4 f (1) ≠ 0  3

ÁN

Câu 63: Đáp án B

- TXĐ: D = ℝ \ {0}

mx 2 + 1 x2

Ỡ N

- Tính y ' =

BỒ

ID Ư

- Hàm số có hai nghiệm phân biệt có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m < 0 (*)  −1   1  A ; 2 −m  ; B  ; 2 −m   −m   −m 

AB2 =

−4 + 16 ( −m ) m

Trang 54

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−4 .16 ( −m ) = 16 m 1 1 so với điều kiện (*) ⇒ m = − 2 2

⇒m=±

H Ơ

AB2 ≥ 2

ngắn nhất, tuy nhiên ta không biết có giá trị m nào làm cho AB ngắn hơn với các đáp án A,

Nhận xét: Nếu không có đáp D “Đáp án khác” ta có thể thay đáp án và xét xem đoạn AB nào

TP .Q

B, C không nên buộc ta phải giải ra được m.

Câu 64: Đáp án C

ẠO

Cách 1:

- Tính y ' = 4x 3 − 4m 2 x

) (

)

TR ẦN

(

- Tọa độ 3 điểm cực trị là: A ( 0;1) , B − m;1 − m 4 , C m;1 − m 4

Ư N

x = 0 . Để hàm số có 3 điểm cực trị thì m ≠ 0 y' = 0 ⇔  2 2 x = m

- Do tính chất hàm trùng phương của y, gọi I 0;1 − m 4 là trung điểm của BC.

AI = 0; − m 4 , BC = ( 2m;0 )

4 2

( −m ) .

( 2m )2

1 1 AI.BC = 2 2

= m 4 m = m = 32 ⇒ m = ±2

S∆ ABC =

)

(

)

(

−b > 0 ⇔ m2 > 0 ⇔ m ≠ 0 2a

- Điều kiện có 3 cực trị:

ẤP

Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh:

( b ')

m = 2 ⇒  m = −2

-L

Í-

- Gọi S là diện tích bởi 3 cực trị của hàm trùng phương: S2 = −

ÁN

( 32 )2 = ( m 2 )

Lưu ý: Công thức chỉ giúp ta hỗ trựo việc tính toán và được xây dựng qua nhiều bài toán, ác

bạn cần phải hiểu cách làm truyền thống.

x = 0 - Tính y ' = 2x 2mx 2 + m 2 − 9 , y ' = 0 ⇔  2 2  2mx + m − 9 = 0

(

)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 65: Đáp án A

Trang 55

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

x = 0  m < −3  - Để hàm số có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 9 − m 2 ⇔  >0 0 < m < 3  2m

Câu 66: Đáp án B

- Tính y ' = 3 ( m − 2 ) x 2 − m

TP .Q

- Hàm số không có cực trị ⇔ y ' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

⇔ ∆ ( y ') ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2

ẠO

Câu 67: Đáp án D

- Đây là câu hỏi dễ chỉ cần nắm lí thuyết là làm được

Ư N

A. sai vì hàm số có 2 cực trị (x = 0 cũng là 1 cực trị do hàm số liên tục tại x = 0 và y’ đổi dấu qua nó).

TR ẦN

B. sai vì giá trị cực tiểu của hàm số là – 1 .

C. sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên ℝ , 0 và – 1 chỉ là giá trị cực

đại và giá trị cực tiểu của hàm.

D. đúng

−b ( m − 1) = > 0 ⇔ m < 1 (1) 2a 2 ( −2 )

ẤP

Để hàm số có 3 cực trị

Câu 18: Đáp án A

Để 3 cực trị tạo tam giác vuông cân ⇒ cos α = 900 ⇒ 3

b3 + 8a = cos 900 = 0 b3 − 8a

⇒  − ( m − 1)  + 8 ( −2 ) = 0 ⇔ m − 1 = 3 −16 ⇔ m = 3 −16 + 1 < 1

Í-

Vậy giá trị m vừa tìm được thỏa điều kiện (1)

-L

Ghi chú: Các bạn có thể làm kiểu tự luận giống câu 59 để kiểm tra đáp án

ÁN

Câu 69: Đáp án D

Cách 1: giải theo hướng truyền thống

−b −1 3m + 1 =− >0⇔m< (1) 2a 2 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Để hàm số có 3 cực trị

 −3m − 1 − ( 3m + 1) 2   −3m − 1 − ( 3m + 1) 2  Gọi A ( 0;6 ) , B  ; + 6, C − ; + 6     2 1 2 1    

Do tam giác ABC cân tại A có BC =

Trang 56

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2 AB 3

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

−1 3 −5 3

So với điều kiện (1) nhận x =

TP .Q

 x = ⇔ x = 

 −3m − 1 ( 3m + 1)4   ( 3m + 1)3   −3m − 1     ⇒ 9.4  = 4 + ⇔ 3m + 1 + 4 = 0 ( )   2   16  16  2     

−5 3

Ư N

Áp dụng định lí hàm cos vào tam giác ABC

Lưu ý: Ta chưa sử dụng ngay công thức được mà phải biến đổi 1 tí:

ẠO

Cách 2: sử dụng công thức giải nhanh

BC2 = AB2 + AC2 − AB.AC.cos α

TR ẦN

⇒ BC = 2AB2 (1 − cos α ) 2

3 ⇒ BC = 2.   BC2 (1 − cos α ) (do cạnh bên gấp rưỡi cạnh đáy) 2

+1 + 8

) + 1)

−8

00 10

7 −5 ⇒m= 9 3

( 3m ⇒ ( 3m

7 b3 + 8a = 9 b3 − 8a

ẤP

⇒ cos α =

(Làm xong vẫn phải so với điều kiện tồn tại 3 cực trị nhé)

Câu 70: Đáp án B

Í-

Trước hết ta phải nhận xét được điều như sau. Đây là hàm trùng phương với đỉnh cân tại

-L

điểm có hoành độ bằng 0. Vậy 2 góc đáy phải có số đo nhỏ hơn 900 . Đề cho tam giác có 1

ÁN

góc bằng 1200 vậy góc đó phải nằm ở đỉnh cân.

Cách 1: Làm theo tự luận

(

)

Ỡ N

y ' = 4x 3 − 4 ( m + 1) x = 4x x 2 ( m + 1)

BỒ

ID Ư

Để hàm số có 3 cực trị ⇔ m + 1 > 0 (1) x = 0  y ' = 0 ⇔ x = − m + 1  x = m + 1

- Gọi các điểm cực trị có tọa độ:

Trang 57

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A ( 0;3) , B

(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

) (

m + 1; − ( m + 1) + 3 , C − m + 1; − ( m + 1) + 3

) N

- Tới đây các bạn có thể dùng công thức cos giữa 2 vecto hoặc dùng tỉ số lượng giác đưa về

)

(

- Gọi I là trung điểm đoạn BC ⇒ I 0; − ( m + 1) + 3

H Ơ

độ dài để giải:

TP .Q

1 4 BI ⇔ 3AI2 = BI 2 ⇔ 3 ( m + 1) = m + 1 3

ẠO

⇒ AI = tan 300.BI =

- Góc ở đỉnh cân A bằng 1200 suy ra góc B bằng 300

⇔ 3 ( m + 1) = 1 (do m + 1 > 0 nên ta có thể đơn giản)

1 − 1 (nhận) 3

Ư N

⇔m=3

1 − 1 (nhận) 3

⇔m=3

3 b3 + 8a 3 ⇔ 3b3 = −8 ⇔ 3 ( −2 ( m + 1) ) = −8 ⇔ 3 ( m + 1) = 1 3 b − 8a

TR ẦN

cos1200 =

Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh

Nhận xét: Làm theo cách 2 sẽ giúp các bạn có thể tiết kiệm được 1 khoảng thời gian lớn tuy

nhiên các bạn không chỉ học 1 chương hay 1 môn mà là rất nhiều môn. Việc nhớ quá nhiều

ẤP

công thức giải nhanh sẽ làm các bạn nhanh quên và dễ bị lẫn lộn giữa các công thức. Vì vậy

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

tác giả mong bạn đọc hiểu rõ bản chất của bài toán để khi quên công thức vẫn có thể làm bài.

Trang 58

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VẤN ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

H Ơ

LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG Định nghĩa

TP .Q

1) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) ≤ M với mọi

- Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D.

x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = M .

ẠO

- Kí hiệu M = max f ( x )

Ư N

2) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập D nếu f ( x ) ≥ m với mọi

x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = m . - Kí hiệu m = max f ( x )

TR ẦN

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một khoảng:

- Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên (a;b), ta xét hai trường hợp:

f ' (x )

ẤP

f (x )

GTNN

Í-

x0 +

GTLN

f (x )

Minh họa 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 x +

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

f ' (x )

− Trên khoảng ( 0; +∞ ) , ta có y ' = 4 −

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

4 + 9 trên khoảng c. x

4 4 x2 − 4 = = 0 ⇔ x =1 x2 x2

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

− Bảng biến thiên: 1

N H Ơ

+∞ -

+∞

TP .Q

+∞

ẠO

 f ( x ) ≥ 17, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Từ bảng biến thiên ta thấy   f (1) = 17

Suy ra được min f ( x ) = 17 (tại x = 1)

TR ẦN

Không tồn tại giá trị lớn nhất của f ( x ) trên khoảng ( 0; +∞ )

Ư N

( 0; +∞ )

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cả hàm số y = −8 x −

ẤP

− Bảng biến thiên:

8 −8 x 2 + 8 = = 0 ⇔ x =1 x2 x2

− Trên khoảng ( 0; +∞ ) , ta có y ' = −8 +

8 + 11 trên khoảng ( 0; +∞ ) . x

+∞

-5

−∞

-L

Í-

ÁN

 f ( x ) ≤ −5, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Bảng biến thiên ta thấy   f (1) = −5

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Suy ra được max f ( x ) = −5 (tại x = 1) ( 0; +∞ )

Không tồn tại gái trị nhỏ nhất của f ( x ) trên khoảng ( 0; +∞ )

Định lí: − Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó

Nhận xét:

Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1) Nếu đạo hàm f ' ( x ) giữ nguyên dấu trên đoạn [ a; b ] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch

biến trên cả đoạn. Do đó, f ( x ) đạt được gái trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các dấu

H Ơ

mút của đoạn.

TP .Q

định thì hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên mỗi khoảng ( xi ; xi +1 ) . Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá

2) Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm xi ( xi < xi +1 ) mà tại đó f ' ( x ) bằng 0 hoặc không xác

trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn [ a; b ] là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của

ẠO

hàm số tại hai đầu mút a, b và các điểm xi nói trên.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cảu hàm số liên tục trên một đoạn:

Ư N

1) Tìm các điểm x1, x2,…,xn trên khoảng (a, b) tại đó f ' ( x ) bằng 0 hoặc f ' ( x ) không xác

định

TR ẦN

2) Tính f ( a ) , f ( x1 ) , f ( x2 ) ,..., f ( xn ) , f ( b ) 3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số nói trên. Ta có: M = max f ( x ) , m = min f ( x )

[ a ; b]

[a ;b]

MINH HỌA:

1) Tìm giá trị lớn nhất và gá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 x +

4 + 9 trên đoạn x

1   2 ;5 .

ẤP

1  Hàm sô xác định và liên tục trên đoạn  ;5 . 2 

Í-

Cách 1:

4 4 x2 − 4 1  Trên khoảng  ;5  , ta có y ' = 4 − 2 = = 0 ⇔ x =1 x x2 2 

Ỡ N

ÁN

-L

− Bảng biến thiên:

1 2

1 +

149 5

ID Ư

+∞

BỒ

Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

 1   f ( x ) ≥ 17, ∀x ∈  2 ;5 Từ bảng biến thiên ta thấy     f (1) = 17  Suy ra được min f ( x ) = 17 (tại x = 1).

1   ;5 2 

TP .Q ẠO Đ Ư N

1   2 ;5   

149 (tại x = 5). 5

Suy ra được max f ( x ) =

 149 1   f ( x ) ≤ 5 , ∀x ∈  2 ;5   Từ bảng biến thiên ta thấy   f ( 5 ) = 149  5

4 +9 x

TR ẦN

y = 4x +

Cách 2:

149 1 y   = 19, y (1) = 17, y ( 5 ) = 5 2

Suy ra được min f ( x ) = 17 (tại x = 1), max f ( x ) = 1   ;5 2 

149 (tại x = 5). 5

1   ;5  2 

ẤP

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = −8 x −

Cách 1:

8 −8 x 2 + 8 = < 0, ∀x ∈ ( 4;5 ) . x2 x2

Trên khoảng ( 4;5 ) , ta có y ' = −8 +

8 + 11 trên [ 4;5] x

5 -

-23

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

− Bảng biến thiên:

−153 5 −153   f ( x ) ≥ 5 , ∀x ∈ [ 4;5] Từ bảng biến thiên ta thấy   f ( 5 ) = −153  5

Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−153 (tại x = 5). 5

Suy ra được min f ( 5 ) = [4;5]

H Ơ

 f ( x ) ≤ −23, ∀x ∈ [ 4;5] Từ bảng biến thiên ta thấy   f ( 4 ) = −23

Suy ra được max f ( 4 ) = −23 (tại x = 4).

[ 4;5]

8 −8 x 2 + 8 = < 0, ∀x ∈ ( 4;5 ) ⇒ y nghịch biến trên x2 x2

ẠO

− Trên khoảng ( 4;5 ) , ta có y ' = −8 +

TP .Q

Cách 2:

[4;5]

−153 (tại x = 5), max f ( 4 ) = −23 (tại x = 4). [ 4;5] 5

Ư N

− Suy ra min f ( 5 ) =

khoảng ( 4;5 ) .

TR ẦN

Chú ý:

− Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

1 không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên x

khoảng đó. Chẳng hạn, hàm số f ( x ) =

khoảng ( 0;1) . Tuy nhiên, cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất

trên một khoảng.

Định lí 1:

ẤP

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a,b).

1) Nếu f " ( x ) < 0 với mọi x ∈ ( a; b ) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó.

2) Nếu f "( x ) > 0 với mọi x ∈ ( a; b ) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó.

-L

Í-

Định lí 2:

ÁN

− Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a;b) và x0 ∈ ( a; b ) . Nếu f "( x )

đổi dấu khi x đi qua x0 thì điểm M 0 ( x0 ; f ( x ) )

BÀI TẬP MINH HỌA

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ví dụ 1: GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) = A. Không tồn tại GTLN, GTNN C. Không tồn tại GTLN,

Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

21 37

5x − 4 trên đoạn [5;7 ] lần lượt là: 6x + 7

31 ; không tồn tại GTNN 49

31 21 ; 49 37

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

HƯỚNG DẪN GIẢI Phân tích:

5x − 4 trên đoạn [5;7 ] . 6x + 7

H Ơ

− Xét hàm số f ( x ) =

7  7   − Tập xác định: D =  −∞; −  ∪  − ; +∞  . 6  6  

TP .Q

Ta có:

( 5 x − 4 ) '.( 6 x + 7 ) − ( 5 x − 4 ) .( 6 x + 7 ) ' = 5 ( 6 x − 7 ) − 6 ( 5 x − 4 ) = 59 2 2 2 (6x + 7) (6x + 7) ( 6x + 7)

> 0, ∀x ∈ D

ẠO

f '( x ) =

31 21 , min f ( x ) = f ( 5 ) = . 5;7 [ ] 49 37

TR ẦN

[5;7]

− Nên ta được: max f ( x ) = f (17 ) =

Ư N

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên D, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [5;7 ] .

⇒ Chọn D

Sai lầm thường gặp:

A. Đáp án A sai.

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định nên dẫn đến khoanh đáp án A và

đã sai lầm.

B. Đáp án B sai.

ẤP

7  Một số học sinh chỉ xét hàm số trên khoảng  −∞; −  và khoanh đáp án B và đã sai 6 

C. Đáp án C sai.

lầm.

-L

Í-

 7  Một học sinh chỉ xét hàm số đã cho trên khoảng  − ; +∞  và khoanh tròn đáp án C 6  

ÁN

và đã sai lầm

6x − 5 trên đoạn [ 6;8] lần lượt là: 7x + 8

A. Không tồn tại GTLN, GTNN C. Không tồn tại GTLN,

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ví dụ 2: GTLN GTNN của hàm số f ( x ) =

31 50

43 ; không tồn tại GTNN 64

43 31 ; . 64 50

HƯỚNG DẪN GIẢI Phân tích:

Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

− Xét hàm số f ( x ) =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

6x − 5 trên đoạn [ 6;8] . 7x + 8

H Ơ

8  8   − Tập xác định: D =  −∞; −  ∪  − ; +∞  . 7  7  

> 0, ∀x ∈ D

( 6 x − 5 ) '.( 7 x + 8 ) − ( 6 x − 5 ).( 7 x + 8 ) ' = 6 ( 7 x + 8 ) − 7 ( 6 x − 5 ) = 83 2 2 2 ( 7 x + 8) ( 7 x + 8) ( 7 x + 8)

TP .Q

f '( x ) =

Ta có:

[6;8]

43 31 , min f ( x ) = f ( 6 ) = . 6;8 [ ] 64 50

Ư N

⇒ Chọn D

Nên ta nhận được: max f ( x ) = f ( 8 ) =

ẠO

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên D, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [ 6;8]

Sai lầm thường gặp:

TR ẦN

A. Đáp án A sai.

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định nên dẫn đén khoanh đáp án và đã sai lầm.

B. Đáp án B sai.

8  Một số học sinh chỉ xét hàm số đã chi trên khoảng  −∞; −  và khoanh đáp án B và đã 7 

sai lầm.

ẤP

 8  C. Một số học sinh chỉ xét hàm số cho trên khoảng  − ; +∞  và khoanh đáp án C và đã  7 

sai lầm

2 4  với tập xác định D =  ; +∞  . Giá trị max f ( x ) , [1;2] 6 + 5x − 4 5 

-L

Í-

Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) =

min f ( x ) lần lượt là:

ÁN

[1;2]

1 ; không tồn tại giá trị nhỏ nhất. 3

1 6− 6 ; . 3 15

2 6− 6 ; 7 15

2 ; không tồn tại giá trị nhỏ nhất. 7

BỒ

ID Ư

Ỡ N

HƯỚNG DẪN GIẢI

Phân tích: − Xét hàm số f ( x ) =

2 trên đoạn [1;2] 6 + 5x − 4

Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

)

2 6 + 5x − 4 '

(

6 + 5x − 4

) (

(5x − 4) ' 2 5x − 4

6 − 5x − 4

) (

)

< 0, ∀ x ∈ [1;2]

6 + 5x − 4 . 5x − 4

(

H Ơ

Ta có: f ' ( x ) =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

− Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [1;2] .

[1;2]

2 6− 6 . , min f ( x ) = f ( 2 ) = 1;2 [ ] 7 15

TP .Q

max f ( x ) = f (1) =

− Nên ta được:

ẠO

⇒ Chọn C

Sai lầm thường gặp:

A. Đáp án A sai.

Ư N

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định nên dẫn đến đáp án A và đã sai

lầm

TR ẦN

B. Đáp án B sai.

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định đêtr tìm giá trị lớn nhất và xét hàm

số đã cho trên đoạn [1;2] để tìm giá trị nhỏ nhấ. Nên dẫn đến đáp án B và học sinh đã

sai lầm.

D. Đáp án D sai.

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên đoạn [1;2] để tìm giá lớn nhất và xét hàm số đã

ẤP

cho trên tập xác định để tìm giá trị nhỏ nhất. Nên dẫn đến đáp án D và đã sai lầm. 1 3  với tập xác định D =  ; +∞  . Giá trị max f ( x ) , [2;4] 4 5 + 4x − 3  

Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) =

min f ( x ) lần lượt là:

1 ; không tồn tại giá trị nhỏ nhất. 5

1 5 − 13 ; . 5 12

5 − 5 5 − 13 ; 20 12

5− 5 ; không tồn tại giá trị nhỏ nhất. 20

ÁN

-L

Í-

[ 2;4]

Phân tích: − Xét hàm số f ( x ) =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

HƯỚNG DẪN GIẢI

1 trên đoạn [ 2;4] . 5 + 4x − 3

Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

)

2 5 + 4x − 3 '

(5 +

4x − 3

) (

( 4 x − 3) '

4 2 4x − 3 = < 0, ∀ x ∈ [ 2;4] 2 2 5 + 4x − 3 5 + 4x − 3 . 4x − 3

) (

)

(

H Ơ

Ta có: f ' ( x ) =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

− Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [ 2;4] .

− Nên ta được:

[ 2;4]

TP .Q

5− 5 5 − 13 , min f ( x ) = f ( 4 ) = . 2;4 [ ] 20 12

max f ( x ) = f ( 2 ) =

ẠO

⇒ Chọn C

Sai lầm thường gặp:

A. Đáp án A sai.

Ư N

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định nên dẫn đến đáp án A và đã sai

lầm.

TR ẦN

B. Đáp án B sai.

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định để tìm giá trị lớn nhất và xét hàm

số đã cho [ 2;4] để tìm để tìm giá trị nhỏ nhất. Nên dẫn đến đáp án B học sinh đã sai

lầm.

D. Đáp án D sai.

Một số học sinh xét hàm số cho trên [ 2;4] để tìm giá trị lớn nhất và xét hàm số đã cho

ẤP

trên tập xác định để tìm giá trị nhỏ nhất. Nên dẫn đến đáp án D và đã sai lầm.

1 với tập xác định D = [1; +∞ ) . Giá trị max f ( x ) , [ 2;4] 4 + 3x − 3

Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) =

min f ( x ) lần lượt là:

Í-

[ 2;4]

1 1 ; . 4 7

4− 3 1 ; 7 13

4− 3 ; không tồn tại giá trị nhỏ nhất. 13

-L

1 ; không tồn tại giá trị nhỏ nhất. 4

ÁN

Ỡ N

HƯỚNG DẪN GIẢI

BỒ

ID Ư

Phân tích: − Xét hàm số f ( x ) =

1 trên đoạn [ 2;4] . 4 + 3x − 3

− Ta có:

Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

)

2 4 + 3x − 3 '

(

4 + 3x − 3

) (

( 3 x − 3) ' 2 3x − 3

4 + 3x − 3

)

=−

(

)

4 + 3x − 3 . 3 x − 3

< 0, ∀ x ∈ [ 2;4]

(

H Ơ

f '( x ) =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

− Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [ 2;4]

− Nên ta được:

[ 2;4]

TP .Q

4− 3 1 , min f ( x ) = f ( 4 ) = . 2;4 [ ] 7 13

max f ( x ) = f ( 2 ) =

ẠO

⇒ Chọn C

Sai lầm thường gặp:

A. Đáp án A sai.

Ư N

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định nên dẫn đến đáp án A và đã sai

lầm.

TR ẦN

B. Đáp án B sai.

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định để tìm giá trị lớn nhất và xét hàm

số đã cho trên đoạn [ 2;4] để tìm giá trị nhỏ nhất. Nên dẫn đến đáp án B và học sinh đã

sai lầm

D. Đáp án D sai.

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên đoạn [ 2;4] để tìm giá trị lớn nahats avf xét hàm

ẤP

số đã cho trên tập xác định để tìm gái trị nhỏ nhất. Nên dẫn đến đáp án D và đã sai lầm.

B. 7

10 + 3sin x là: 2 + sin x C. 5

D. 1

Í-

13 3

-L

Ví dụ 6: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =

HƯỚNG DẪN GIẢI

ÁN

Phân tích:

10 + 3sin x . 2 + sin x

− Xét hàm số f ( x ) =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

− Tập xác định: D = ℝ . ∀x ∈ ℝ , ta có −1 ≤ sin x ≤ 1 .

Mà

10 + 3sin x 4 + 3 ( 2 + sin x ) 4 = = + 3 nên ta được: 2 + sin x 2 + sin x 2 + sin x

−1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 2 + sin x ≤ 3 ⇔

Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

4 4 13 4 ≤ ≤4⇔ ≤ +3≤7 3 2 + sin x 3 2 + sin x

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

13 10 + 3sin x ≤ ≤ 7. 3 2 + sin x

π  π  π  13 thì f ( x ) = f  −  = 7 ; với x = thì f ( x ) = f   = . Nên theo định 2 2 2 3  2

− Với x = −

H Ơ

⇔

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

13 . 3

TP .Q

số trên tập xác định bằng

nghĩa, ta có: giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định bằng 7; giá trị nhỏ nhất của hàm

Theo đề bài, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho.

ẠO

⇒ Chọn B

Sai lầm thường gặp:

A. Đáp án A sai.

cho trên tập xác định và khoanh vào đáp án B và đã sai lầm.

Ư N

Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã

TR ẦN

C. Đáp án C sai. − Một số học sinh trình bày như sau:

10 + 3sin x 2 + sin x

− Hàm số f ( x ) =

− Tập xác định D = [ 0; π ] .

Ta có:

ẤP

(10 + 3sin x ) ' ( 2 + sin x ) − (10 + 3sin x )( 2 + sin x ) ' 2 ( 2 + sin x )

f '( x ) =

3cos x ( 2 + sin x ) − cos x (10 + 3sin x )

( 2 + sin x )

Í-

6cos x + 3cos x sin x − 10cos x − 3cos x sin x

-L

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

( 2 + sin x )

−4cos x

( 2 + sin x )

f ' ( x ) = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π 2

+ kπ ( k ∈ ℤ )

Vì x ∈ [ 0;π ] nên:

x ∈ [ 0; π ] ⇔

π 2

+ kπ ∈ [ 0; π ] ⇔ 0 ≤

Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

π 2

+ kπ ≤ π ⇔ 0 ≤

1 1 1 + k ≤1⇔ − ≤ k ≤ . 2 2 2

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vì k ∈ ℤ nên ta có k = 0 ⇒ x =

π 2

H Ơ

 π  13 Ta có: f   = ; f ( 0 ) = 5; f (π ) = 5 2 3

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 5.

Vậy học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.

TP .Q

D. Đáp án D sai.

Một số học sinh khoanh đáp án D vì đọc không kỹ đề. Đề yêu cầu tìm giá trị lớn nhất

ẠO

của 1 hàm số cho trước trên tập xác định của nó, không phải là tìm giá trị lớn nhất của

B. 5

G Ư N

7 2

A. 3

7 + 2sin x là: 2 + sin x

TR ẦN

Ví dụ 7: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =

hàm số y = sin x trên tập xác định của nó.

D. 1

HƯỚNG DẪN GIẢI

ẤP

∀x ∈ ℝ , ta có −1 ≤ sin x ≤ 1 .

7 + 2sin x 3 + 2 ( 2 + sin x ) 3 = = + 2 nên ta được: 2 + sin x 2 + sin x 2 + sin x

Mà

10 3

− Tập xác định: D = ℝ .

7 + 2sin x . 2 + sin x

− Xét hàm số f ( x ) =

Phân tích:

-L

7 + 2sin x ≤5. 2 + sin x

ÁN

⇔3≤

3 3 ≤3⇔3≤ +2≤5 2 + sin x 2 + sin x

Í-

−1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 2 + sin x ≤ 3 ⇔ 1 ≤

− Với x = −

π  π π  thì f ( x ) = f  −  = 5 ; với x = thì f ( x ) = f   = 3 . Nên theo định 2 2  2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

nghĩa, ta có: giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định bằng 5; giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định bằng 3.

Theo đề bài, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho.

⇒ Chọn B

Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai.

Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên tập xác định và khoanh vào đáp án B và đã sai lầm.

H Ơ

C. Đáp án C sai.

− Một số học sinh trình bày như sau:

7 + 2sin x 2 + sin x

− Hàm số f ( x ) =

TP .Q

− Tập xác định D = [ 0; π ] .

G Ư N H

( 2 + sin x ) −3cos x

( 2 + sin x )

+ kπ ( k ∈ ℤ )

+ kπ ∈ [ 0; π ] ⇔ 0 ≤

ẤP

Vì x ∈ [ 0;π ] nên:

Vì k ∈ ℤ nên ta có k = 0 ⇒ x =

Í-

f ' ( x ) = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

x ∈ [ 0; π ] ⇔

TR ẦN

4cos x + 2cos x sin x − 7 cos x − 2cos x sin x

( 2 + sin x )

2 cos x ( 2 + sin x ) − cos x ( 7 + 2sin x )

( 7 + 2sin x ) ' ( 2 + sin x ) − ( 7 + 2sin x )( 2 + sin x ) ' 2 ( 2 + sin x )

f '( x ) =

ẠO

Ta có:

π 2

+ kπ ≤ π ⇔ 0 ≤

1 1 1 + k ≤1⇔ − ≤ k ≤ . 2 2 2

ÁN

-L

7 7 π  Ta có: f   = 3; f ( 0 ) = ; f (π ) = 2 2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là

7 . 2

Vậy học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.

D. Đáp án D sai. Một số học sinh khoanh đáp án D vì đọc không kỹ đề. Đề yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của 1 hàm số cho trước trên tập xác định của nó, không phải là tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x trên tập xác định của nó.

Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. 8

C. 6

D. 1

16 3

12 + 4sin x 2 + sin x

H Ơ

Ví dụ 8: Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) =

HƯỚNG DẪN GIẢI 12 + 4sin x . 2 + sin x

TP .Q

− Xét hàm số f ( x ) =

Phân tích:

ẠO

− Tập xác định: D = ℝ .

π  π  π  16 thì f ( x ) = f  −  = 8 ; với x = thì f ( x ) = f   = . Nên theo định 2 2  2 2 3

− Với x = −

16 12 + 4sin x ≤ ≤8. 3 2 + sin x

⇔

4 4 16 4 ≤ ≤4⇔ ≤ +4≤8 3 2 + sin x 3 2 + sin x

TR ẦN

−1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 2 + sin x ≤ 3 ⇔

Ư N

12 + 4sin x 4 + 4 ( 2 + sin x ) 4 = = + 4 nên ta được: 2 + sin x 2 + sin x 2 + sin x

Mà

∀x ∈ ℝ , ta có −1 ≤ sin x ≤ 1 .

16 . 3

ẤP

số trên tập xác định bằng

nghĩa, ta có: giá trị lớn nhất của hàm số trên tập xác định bằng 8; giá trị nhỏ nhất của hàm

− Theo đề bài, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho.

⇒ Chọn B

Sai lầm thường gặp:

-L

Í-

A. Đáp án A sai.

ÁN

Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên tập xác định và khoanh vào đáp án B và đã sai lầm.

C. Đáp án C sai.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Một số học sinh trình bày như sau: − Hàm số f ( x ) =

12 + 4sin x 2 + sin x

− Tập xác định D = [ 0; π ] . Ta có:

Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

H Ơ N

−4cos x

( 2 + sin x )

TP .Q

( 2 + sin x ) .

f ' ( x ) = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π 2

+ kπ ( k ∈ ℤ )

Vì k ∈ ℤ nên ta có k = 0 ⇒ x =

π 2

+ kπ ≤ π ⇔ 0 ≤

 π  16 Ta có: f   = ; f ( 0 ) = 6; f (π ) = 6 2 3

1 1 1 + k ≤1⇔ − ≤ k ≤ . 2 2 2

TR ẦN

+ kπ ∈ [ 0; π ] ⇔ 0 ≤

Ư N

Vì x ∈ [ 0;π ] nên:

x ∈ [ 0; π ] ⇔

8cos x + 4cos x sin x − 12cos x − 4cos x sin x

ẠO

( 2 + sin x )

4cos x ( 2 + sin x ) − cos x (12 + 4sin x )

(12 + 4sin x ) ' ( 2 + sin x ) − (12 + 4sin x )( 2 + sin x ) ' 2 ( 2 + sin x )

f '( x ) =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 6.

ẤP

Vậy học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm.

D. Đáp án D sai.

Một số học snh khoanh đáp án D vì đọc không kỹ đề. Đề yêu cầu tìm giá trị lớn nhất

của 1 hàm số cho trước trên tập xác định của nó, không phải là tìm giá trị lớn nhất của

-L

Í-

hàm số y = sin x trên tập xác định của nó.

MỘT SỐ THỦ THUẬT, KỸ NĂNG CẦN BIẾT

ÁN

Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS)

− Nhấn

và nhấn các phím có nhãn chữ màu vàng để sử dụng cá chức năng của hàm

đó.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

− Nhấn

và nhấn các phím có nhãn chữ màu đỏ để sử dụng các chức năng của hàm

đó.

− Phím

dùng để thay giá trị và tính…

Áp dụng: 1. Nhấn

nhấn

Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

, màn hình sẽ hiện

nhập

nhấn

, màn hình sẽ

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

hiện

, nhập

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

, nhấn

, màn hình sẽ hiện

(

)

, màn hình sẽ hiện

, nhập , nhấn

màn hình sẽ

,nhấn

,màn hình sẽ hiện

(2 − 2 5 ) hình là kết quả của

. Ta được đáp án trên màn

TP .Q

, nhấn 2

ẠO

hiện , nhập , nhập

2. Nhập

H Ơ

hình là kết quả của 3 + 2. 5

. Ta được đáp án trên màn

2.2

(TABLE) tính giá trị, dự đoán giá trị lướn nhất, nhỏ nhất của bài toán.

Áp dụng:

8 + 11 trên khoảng x

(TABLE), màn hình sẽ hiện , màn hình sẽ hiện

, nhập , nhập

, màn hình sẽ hiện, nhập

, nhấn , màn hình sẽ hiện ra một bảng

, nhấn , màn hình sẽ hiện

,nhấn

, nhấn

f ( x ) , ta dễ dàng có thể suy đoán được GTLN,

gồm một số giác trị của x và giá trị

nhấn

, nhập

[ 4;5] .

Nhấn

TR ẦN

1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = −8 x −

Ư N

− Nhấn

GTNN của hàm số trên khoảng thông qua bảng giá trị đó. 8 + 11 trên khoảng x

ẤP

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = −8 x − Nhấn

, nhập

, màn hình sẽ hiện

Í-

nhấn

(TABLE), màn hình sẽ hiện

-L

nhấn , màn hình sẽ hiện , nhập , nhập

, nhấn , nhấn

, màn hình sẽ hiện

,nhấn

, nhập

,màn hình sẽ hiện ra một bảng gồm

ÁN

một số giác trị của x và giá trị , ta dễ dàng có thể suy đoán được GTLN, GTNN của hàm

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

BỒ

ID Ư

Ỡ N

số trên khoảng thông qua bảng giá trị đó.

Câu 1: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 x +

1 − 2 trên tập xác định của nó 3x

lần lượt là:

A. Không tồn tại GTLN,GTNN

B. 0; -4

C. Không tồn tại GTNN; 0

D. +∞ ; −∞

Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 − 3 x + 3 x + 16 trên đoạn [ 0;1] là: B. 2 5

C. 2 10

D. 1 + 19

A. 6

D. 13 + 6 3

Câu 5: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y =

2 3

2 ; không tồn tại GTLN. 3

3 1 ; 10 2

C. Không tồn tại GTNN,

2x − 1 trên đoạn [ 2;6] lần lượt là: 3x + 4

TR ẦN

A. Không tồn tại GTNN, GTLN

TP .Q

D. 0

ẠO

C. Không tồn tại GTNN

1 9

B. −

A. -1.

1 5 với tập xác định D = ℝ \   . Giá trị bằng: 4x − 5 4

Ư N

Câu 4: Cho hàm số y =

C. 21

B. 13 − 6 3

A. 13

H Ơ

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 + 3 x 2 − 6 x + 5 trên đoạn [ −2; −1] là:

1 ;0 3

1 ; không tồn tại 3

2 1 ; 7 4

1 1 ; 3 4

ẤP

3 9 2; 4  

max f ( x ) ;min f ( x ) lần lượt là:

2 5  với tập xác định D =  ; +∞  . Các giá trị 4x − 5 + 6 4 

Câu 6: Cho hàm số f ( x ) =

Í-

5  Câu 7: Cho hàm số f ( x ) = 2 x + 3x − 5 xác định trên  , +∞  . 3  2

ÁN

-L

Đặt A =  max f ( x )  −  min f ( x )  . Giá trị A bằng:   [ 2;7]   [ 2;7] B. -299

C. 18

A. 299

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 8: Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất cảu hàm số y = A. 3; 0 C.

19 11 ; 7 3

Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. 5 15 + 4sin x lần lượt là: 5 + 2sin x

11 19 ; 3 7

D. Không tồn tại GTLN, GTNN.

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

) ( ) (

max f ( x ) + min f ( x )

cos x + (1 + sin x ) R , đặt A = R 2 2 + sin x max f ( x ) + min f ( x ) R

) )

. Giá trị A

H Ơ

Câu 9: Cho hàm số y =

( (

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B. -1

C. 1

TP .Q

 π Câu 10: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cả hàm số y = sin ( 2 x ) − cos ( 2 x ) trên đoạn 0;   2

A. 0

bằng

ẠO

lần lượt là:

B. max y = 2;min y = 1

C. max y = 2;min y = −2

D. max y = 2;min y = − 2

 π  0; 2   

 π 0; 2   

 π  0; 2   

 π 0; 2   

Ư N

 π 0; 2   

A. max y = 2;min y = −1

A. 21; 21

TR ẦN

Câu 11: Giá trị lớn nhát của hàm số y = x 3 − 12 x + 5 trên đoạn [ −4; −1] ; [1;4] lần lượt là: B. 21;-11

C. 21

D. -11

Câu 12: Cho hàm số f ( x ) = 16 − x 2 với tập xác định D = [ −4;4] . GTNN, GTLN trên đoạn

D. 4;

7;4

x2 + x − 1 với tập xác định D = R \ {−1} . Đặt a = max f ( x ) ;  − 3; − 2  x +1  

Câu 13: Cho hàm số y =

B. 0; 4

ẤP

A. 4; 0

[− 3;4] lần lượt là:

f ( x ) ; c = min f ( x ) . Các nghiệm phương trình bậc 3 sau ax 3 + bx + c = 0 lần  5 + 53  ;8    2 

lượt là :

B. 1; 2; -3

-L

A. 1; -7; 6

Í-

 −4 + 10 ;1  

b = min

ÁN

1 71 ; 2 9

C. 1;

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = A. m = −

3 2

B. m = −1

1− 3 ; -7; 6 2

4 x − m 2 − 3m +

3x + 2

1 3 trên đoạn [ 0;2] bằng 31 khi: 24

C. m = −1 ; m = −2

D. m = −2

Câu 15: Cho hàm số y = 3 x 2 − 2 x 3 . Mệnh đề đúng là: A. Hàm số đã cho đồng biến trên R

Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. Tại x0 = 1, hàm số đã cho đạt cực đại và đạt giá trị lớn nhất trên R. C. Tại x0 = 0, hàm số đã cho đạt cự tiểu và đạt giá trị nhỏ nhất trên R.

H Ơ N

1 3 có tập xác định D = R \   . Mệnh đề nào sau đây 2x − 3 2

Câu 16: Cho hàm số y = 2 x + 1 +

D. Hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên R

TP .Q

là đúng.

A. Không tồn tại GTLN. GTNN.

B. min f ( x ) = 6;max f ( x ) = 2 .

C. max f ( x ) = 2 , không tồn tại GTNN

D. min f ( x ) = 6 , không tồn tại GTNN

ẠO

1 4  tập xác định D =  ; +∞  ta xét các mệnh đề 3 3x − 4  

Ư N

Câu 17: Cho hàm số y = 2 x − 1 −

sau đây:

2. Không tồn tại min y

3. Hàm số đồng biến trên R

4. Hàm số y nghịch biến trên D.

1. Không tồn tại max y

1 1 + 2 x − 1 3x − 4

6. y ' =

2x − 1

5. y ' =

TR ẦN

C. 3

D. 2

B. 1

2x − 1  5 với tập xác định D = R \ −  . Ta xét các mệnh đề sau 4x + 5  4

đây:

A Ó H

1 2

-L

3. max f ( x ) =

1 2

4. max f ( x ) =

3 13

[1;2]

ÁN

2. min f ( x ) = D

Í-

1. y ' > 0, ∀x ∈ R

ẤP

Câu 18: Cho hám số y =

A. 4

2(3 x − 4 ) 3 x − 4

- Mệnh đề đúng là:

5   5  5. Vì f đồng biến trên từng khoảng  −∞; −  và  − ; +∞  nên f đồng biến trên R. 4 4    

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Số mệnh đề sai là:

A. 2

Câu

B. 1 19:

f ( x ) = x2 +

Cho

a ∈ [ 2;4]

C. 4 sao

cho

D. 3

a = min f ( x ) + max g ( x ) , [ 2;4]

[2;4]

trong

đó

1 , ∀x ∈ R \ {0} và g ( x ) = 0, ∀x ∈ R . x2

- Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:

Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. a = 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. a > 0

C. a < 2

D. a ∈ R

Câu 20: Cho các hàm số sau:

h ( x ) = 1 + 2sin x, ∀x ∈ ℝ

g ( x ) = sin x − cos x, ∀x ∈ ℝ

H Ơ

f ( x ) = sin x + cos x, ∀x ∈ ℝ

y = 3cos x, ∀x ∈ ℝ

B. max g ( x ) = − 2

C. min h ( x ) = −1

D. max y = −3

x −1 1 + x − + 2 xác định trên R. 2x + 1 x

D. y = sin x

TR ẦN

Câu 22: Cho hàm số: y =

C. y = cos x

B. y = 2

Ư N

A. y = x

2 là giá trị lớn nhát của hàm số nào (xét trên R) sau đây:

ẠO

Câu 21: Giá trị

TP .Q

A. min f ( x ) = 2

- Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau:

Một học sinh trình bày các bước tìm giá trị lớn nhất của hàm số y trên [1;2] như sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y

( 2 x + 1) − 2 ( x − 1) + 1 + 1 = 3 + 1 + 1 2 x 2 ( 2 x + 1)2 x2 ( 2 x + 1)

> 0, ∀x ∈ D

ẤP

y' =

Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số y.

 1  Tập xác định D = R \ − ;0   2 

Bước 3: y đồng biến trên D suy ra y đồng biến trên đoạn [1;2] .

Í-

[1;2]

Bước 4: max y = y (1) = 2

-L

− Bạn học sinh đóa trình bày sai ở bước:

23:

Đặt

B. 2

C. 3

[1;2]

[ 2;4]

[ −2; −1]

BỒ

ID Ư

Ỡ N

f ( x ) = 2 x xác định trên [ 0, +∞ ) và g ( x ) = −

at1 + bt2 = 2 trình:  ct1 + dt2 = 0

D. 4

a = max f ( x ) ; b = min f ( x ) ; c = max g ( x ) ; d = min g ( x ) ,

Câu

ÁN

A. 1

(I )

[1;2]

trong

đó

1 xác định trên ℝ \ {0} . Xét hệ phương x

là:

− Với t1, t2 là các ẩn của hệ phương trình và a, b, c, d là hệ các hệ số của hệ được định nghĩa như trên. Nghiệm của hệ ( I ) là:

Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

 2 2 C.  − ;   4 4 

 2 2 D.  − ;−  4   4

H Ơ

 2 2 B.  ;−  4   4

Câu 24: Cho hàm số f ( x ) = 1 − 4 x − 8 xác định trên [ 2, +∞ ) và g ( x ) = x 2 − 3 x + 5 xác

 2 2 A.  ;   4 4 

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

TP .Q

g (b) − g ( a ) . Giá trị của biểu thức A b−a

định trên R. Đặt a = max f ( x ) ; b = min f ( x ) và A = [5;6]

[3;4]

D. −2 3 − 2 2 − 1

2 xác định trên R \ {1} . Giả x −1

TR ẦN

Câu 25: Cho hàm số f ( x ) = x 2 − 3 x xác định trên R, g ( x ) =

C. 2 3 + 2 2 + 1

B. −2 3 − 2 2 + 1

Ư N

A. 2 3 + 2 2 − 1

ẠO

bằng:

sử a = max f ( x ) ; b = min g ( x ) . Với a, b được định nghĩa như trên t thỏa mãn bất phương [2;3]

[1;2]

B. t < −

4 9

1 2

C. t < 0

D. t < −

A. t > −

trình at + b > 2 là:

1 2

ẤP

2 Câu 26: Cho hàm số f ( x ) = − + x − 1 + 3 với tập xác định D = [1; +∞ ) . 3 là giá trị của: x

A. max f ( x )

B. max f ( x ) [ 2;3]

[1;2]

C. max f ( x )

D. max f ( x )

[3;4]

[ 4;5]

2 1 + 4 với tập xác định D = [ 0; +∞ ) . x x + 2x − 3 x+5

Câu 27: Cho hàm số f ( x ) =

Í-

− Mệnh đề đúng là:

ÁN

[1;2]

-L

A. min f ( x ) = min f ( x ) [1;3]

C. max f ( x ) = min f ( x )

[0;1]

[2;3]

B. min f ( x ) = max f ( x ) [1;2]

[3;4]

D. max f ( x ) = min f ( x ) [3;4]

[5;6]

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 28: Cho hàm số y = sin x với mọi x ∈ R . Giá trị max f ( x ) bằng:

 π 0; 4   

2 2

B. 1

C. -1

D. 0

π π  Câu 29: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x trên đoạn  ;  bằng: 4 2

Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. 0

C. 1

D. -1

H Ơ

−2 x 2 + 3, khi x ∈ [ −2;1]  Câu 30: Giá trị lơn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =  3 trên đoạn 1  x + , khi x ∈ (1;5] 4 4

B.4, không tồn tại GTNN

C. 1;-5

D. 4; 1

ẠO

A. 4; -5

TP .Q

[ −2;5] lần lượt là:

3  Câu 31: Cho hàm số f ( x ) = 3 x + 4 x − 6 với tập xác định D =  ; +∞  . Gá trị biểu thức 2   2

Ư N

A =  max f ( x )  −  min f ( x )  là:   [3;6]   [3;6]

B. A = 18 + 3 2

C. A = 9 + 6

D. A =

TR ẦN

A. A = 255 − 18 6 + 108 2

9 2

7  Câu 32: Cho hàm số f ( x ) = 4 x + 5 x − 7 với tập xác định D =  ; +∞  . Giá trị của biểu 5  

ẤP

thức A =  max f ( x )  −  min f ( x )  là:   [ 4;5]   [ 4;5]

A. A = 20 + 3 2

D. A =

28 5

C. A = 16 + 13

B. A = 149 − 32 6 + 120 2

-L

Í-

4  Câu 33: Cho hàm số f ( x ) = 5 x + 6 x − 8 với tập xác định D =  ; +∞  . Giá trị của biểu 3  2

ÁN

thức A =  max f ( x )  −  min f ( x )  là:   [5;6]   [5;6]

B. A = 25 + 22

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. A = 30 + 2 7 C. A = 281 + 120 7 − 50 22

D. A =

20 3

9  Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = 6 x + 7 x − 9 với tập xác định D =  ; +∞  . Giá trị của biểu 7  2

thức A =  max f ( x )  −  min f ( x )  là:   [3;4]   [3;4]

Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

54 7

B. A = 24 + 19

C. A = 18 + 2 3

1 2

C. Không tại tại GTLN,

7 ; không tồn tại GTNN. 12

7 1 ; 12 2

H Ơ Y

A. Không tồn tại GTLN, GTNN

4x − 3 trên đoạn [ 4;6] lần lượt là: 5x + 6

TP .Q

Câu 35: GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) =

D. A = 259 + 48 19 − 72 3

ẠO

A. A =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1-A

2-A

3-A

4-A

5-D

6-C

7-A

8-B

11-A

12-B

13-B

14-A

15-D

16-A

17-D

21-B

22-D

23-A

24-C

25-D

26-A

27-A

31-A

32-B

33-C

34-D

35-D

Đáp án

10-A

18-C

19-D

20-C

28-A

29-B

30-D

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

9-A

Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Đáp án A

f '( x ) = 0 ⇔ 9 x2 − 1 = 0 ⇔ x ±

1 . 3

 1  −  = −4  3

1 f   = 0; f 3

TP .Q

1 9 x2 − 1 = 3x 2 3x 2

ẠO

⇒ f '( x ) = 3 −

1 − 2, D = R \ {0} 3x

y = f ( x ) = 3x +

H Ơ

Phân tích

−

f’(x)

1 3

+∞

-4

+∞

f(x)

1 3

−∞

TR ẦN

Ư N

BBT:

−∞

ẤP

− Theo bảng biến thiên, ta có:

−∞

− Không tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.

Vậy đáp án A là chính xác

Sai lầm thường gặp:

Í-

B. Đáp án V sai vì min f ( x ) ≤ max f ( x ) , ∀x ∈ D nên loại nhanh đáp án B. D

-L

Chú ý để tránh nhầm lẫn min f ( x ) ≠ min f ( x ) = 0 ; max f ( x ) ≠ max f ( x ) = −4

ÁN

( 0; +∞ )

( −∞ ;0 )

− Vì:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Theo định nghĩa, ta có f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0, +∞ ) thì không nhất thiết f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D

Theo định nghĩa, ta có f ( x ) ≤ −4, ∀x ∈ ( −∞;0 ) thì không nhất thiết f ( x ) ≤ −4, ∀x ∈ D

C. Đáp án C sai vì: Theo định nghĩa, ta có f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0, +∞ ) thì không nhất thiết f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D . Nên min f ( x ) ≠ min f ( x ) = 0 D

( 0; +∞ )

Trang 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta cũng có thể dùng phản chứng để chứng minh điều này. Giả sư min f ( x ) = 0 theo định nghĩa, ta có:

H Ơ

f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = 0

Điều đó chúng tỏ min f ( x ) ≠ 0 . D

ẠO

Vậy loại đáp án C

1  1 thì f ( x ) = f  −  = −4 < 0 nên điều ta giả suer ban đầu là sai. 3  3

TP .Q

Tạ i x = −

Mà theo bảng biến thiên trên, ta có:

D. Đáp án D sai.

Ư N

Chứng minh Giả sử min f ( x ) = −∞ . Theo định nghĩa ta có:

TR ẦN

f ( x ) ≥ −∞, ∀x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = −∞

Vì ∀x ∈ D, f ( x ) ∈ R nên không tồn tại x0 ∈ D sao cho f ( x0 ) = −∞

Vậy giả thiết phản chứng sai, chứng tỏ min f ( x ) > −∞ . Loại đáp án D Tương tự, ta cũng chứng minh được max f ( x ) < −∞ .

Tổng kết:

ẤP

• Xét giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 hàm số phải xét trên toàn bộ tập xác định của

hàm số đó.

• Giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của 1 hàm số (nếu có) là số hữu hạn, tức là:

−∞ < min f ( x ) ≤ max f ( x ) < +∞ D

Í-

-L

Câu 2: Đáp án A

ÁN

Phân tích

 16 4  − TXĐ: D =  − ;  , y = f ( x )  3 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

− Xét hàm số y trên đoạn [ 0;1] . − Ta có : y ' = y' = 0 ⇔

3 3 + 2 4 − 3x 2 3x + 16

1 1 − =0 3 x + 16 4 − 3x

Trang 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

16  3 x + 16 ≥ 0 x ≥ − ⇔ 4 − 3 x = 3 x + 16 ⇔  ⇔ 3 ⇔x=2 4 − 3 x = 3 x + 16  x = 2 − Đến đây, cta cũng có thể vẽ bảng biến thiên tìm GTLN, GTNN. Nhưng ta cũng có thể giải

nhanh bằng cách tại bất kì x0 ∈ [ 0;1] xem f ' ( x0 ) < 0 hay f ' ( x0 ) > 0 .

− Nếu f ' ( x0 ) < 0 thì max f ( x ) = f (1) ; min f ( x ) = f ( 0 ) .

TP .Q

[0;1]

− Nếu f ' ( x0 ) > 0 thì min f ( x ) = f (1) ; max f ( x ) = f ( 0 ) [0;1]

ẠO

[0;1]

1 1 − Ở đây, tại x0 = , f ' ( x0 ) = f '   < 0 nên ta có: 2 2 [0;1]

Ư N

min f ( x ) = f (1) = 1 + 19 ; max f ( x ) = f ( 0 ) = 6 [0;1]

TR ẦN

Sai lầm thường gặp: B. Đáp án B sai.

3 1 1  + > 0, ∀x ∈ D  2  4 − 3x 3 x + 6 

 16 4  D =  − ;  và do tính sai đạo hàm y, ví dụ:  3 3

− Nếu học sinh không đọc kỹ yêu cầu đề bài thì xét hàm số y = f ( x ) trên tập xác định

ẤP

4 − Sau đó suy ra max f ( x ) = f   = 2 5 . Thế là, học sinh đó khoanh đáp án B. D 3

C. Đáp án C sai

Í-

Nếu học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài thi sẽ xét hám số y = f ( x ) trên tập xác định

ÁN

-L

 16 4  D = − ;  .  3 3

Sau đó lập bảng biến thiên, hóc inh đó sẽ có kết quả của câu C D. Đáp án D sai.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Một số học sinh vẽ chính xác bảng biến thiên nhưng do không đọc kỹ yêu cầu đè bài (tìm

GTLN, không phải tìm GTNN) nên chọn D dẫn đến chọn sai đáp án.

Tổng kết:

• Học sinh phải xét GTLN, GTNN trên tập hợp mà đề bài yêu cầu, không nên vội vàng chỉ xét GTLN, GTNN trên tập hợp xác định của hàm số đã cho.

Trang 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

• Học sinh phải chú ý đến hàm hợp khi lấy đạo hàm của chúng để tránh sai sớt đáng tiếc xảy ra

H Ơ

Câu 3: Đáp án A

Phân tích:

y = x3 + 3 x 2 − 6 x + 5 = f ( x ) , D = R .

TP .Q

− Xét hàm f ( x ) = x 3 + 3x 2 − 6 x + 5 trên đoạn [ −2; −1] . − Ta có: f ' ( x ) = 3x 2 + 6 x − 6

ẠO

 x = −1 − 3 f '( x ) = 0 ⇔   x = −1 + 3

(

Ư N

− Cách thứ nhất, ta có thể lập bảng biến thiên để tìm GTNN.

)

TR ẦN

− Cách thứ hai, dễ dàng nhận thấy [ −2; −1] ⊂ −1 − 3; −1 + 3 nên ta chỉ cần tìm 1 giá trị x0 = 0 , khi đó f ' ( x0 ) = f ' ( 0 ) = 5 > 0 . Vì vậy, min f ( x ) = f ( −1) = 13

[−2; −1]

• Chú ý:

− Kết quả này dựa trên nhận xét trang 21SGK Giải tích 12

− Nếu đạo hàm f ' ( x ) giữ nguyên dấu trên đoạn [ a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch

ẤP

biến trên đoạn [ a; b] . Do đó, f ( x ) đặt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu

mút của đoạn.

B. Đáp án B sai.

Í-

Một học sinh thường xét hàm số trên tập xác định D của hàm đó mà bỏ qua yêu cầu đề bài,

-L

nên sau khi lập bảng biến thiên thì dẫn đến đáp án B

ÁN

C. Đáp án C sai.

Một học sinh vội vàng chọn đáp án mà không đẻ ý yêu cầu đề (tìm GTNN của hàm số y không phải là tìm GTLN của hàm số y) nên dẫn đến sai sót đáng tiếc.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

D. Đáp án D sai. Một học sinh xét sai đoạn yêu cầu, và vội vàng chọn đáp án không để ý yêu cầu đề bài (tìm GTNN của hàm số y không phải tìm GTLN của hàm số y)

Tổng kết: • Không nên vội vàng chọn đáp án và phải xét đúng đoạn, khoảng mà đề bài yêu cầu.

Câu 4: Đáp án A

Trang 27

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích

1 5 = f ( x); D = R \   . 4x − 5 4

H Ơ

< 0, ∀x ∈ [ −1;1] .

( 4 x − 5)

TP .Q

f '( x ) = −

− Xét hàm f ( x ) trên đoạn [ −1;1]

− Suy ra: f nghịch biến trên x ∈ [ −1;1]

ẠO

Sai lầm thường gặp:

( 4 x − 5)

> 0, ∀x ∈ [ −1;1] .

Ư N

Một số học sinh tinh sai f ' ( x ) , ví dụ f ( x ) =

B. Đáp án B sai.

TR ẦN

1 Suy ra: f đồng biến trên đoạn [ −1;1] . Nên min f ( x ) = f ( −1) = − . [−1;1] 9 C. Đáp án C sai.

( 4 x − 5)

< 0, ∀x ∈ R suy ra không tồn tại min f ( x ) không tồn tại. Vì xét hàm

f '( x ) = −

Một số học sinh tính đúng f ( x ) nhưng lập luận sai dẫn tới chọn đáp án sai. Ví dụ:

số đã cho không đúng trên đoạn đề bài yeu cầu nên chọn đáp án sai.

ẤP

D. Đáp án D sai.

5  Một số học sinh chọn D vì chỉ xét hàm f ( x ) trên khoảng  ; +∞  , 1 điều cần lưu ý nữa 4 

Í-

là −∞ ; +∞ không thuộc tập hợp các số thực R nên không tồn tại số thực x0 thỏa x0 = +∞

-L

sao cho f ( x0 ) = 0 . Nên ta có thể loại nhanh đáp án D.

ÁN

Câu 5: Đáp án D

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Phân tích:

2x − 1 3x + 4

 4 − Tập xác định D = R \ −   3

− Xét hàm số y trên đoạn [ 2;6] .

Trang 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ta có: y ' =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2.( 3 x + 4 ) − ( 2 x − 1) .3

( 3x + 4 )

>, ∀x ∈ D .

H Ơ

Cách thức nhât, về bảng biến thiên đề tìm GTLN, GTNN.

Cách thứ hai, ta có thể tìm nhanh GTLN, GTNN:

Vì y ' > 0, ∀x ∈ D nên y đồng biến trên D.

TP .Q

Suy ra y đồng biến trên đoạn [ 2;6]

ẠO

1 3 Vì vậy, max y = y ( 6 ) = ;max y = y ( 2 ) = [ 2;6] 2 [ 2;6] 10

Sai lầm thường gặp:

Ư N

4  Một học sinh không cẩn thận nên tìm GTLN, GTNN của hàm số trên R;  −∞; −  ; 3 

TR ẦN

 4   − ; +∞  và chọn lần lượt các đáp án A, B, C. Điều đó sai với yêu cầu của bài toán.  3 

Câu 6: Đáp án C

2 4x − 5 + 6

f ( x) =

Phân tích

ẤP C

Í-

(

)

( 4 x − 5) '

4x − 5 + 6 '

4x − 5 + 6

-L

f '( x ) = −

3 9 − Xét f ( x ) trên  ;  2 4

5  − Tập xác định: D =  ; +∞  . 4 

)

=−

4x − 5

(

4x − 5 + 6

)

=−

4 x − 5.

(

4x − 5 + 6

)

ÁN

3 9 ⇒ f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ D. ⇒ f ' ( x ) < 0.∀x ∈  ;  2 4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

3 9 − Điều đó chứng tỏ f nghịch biến trên  ;  . Từ điều này ta suy ra: 2 4

3 2 9 1 max f ( x ) = f   = ;min f ( x ) = f   = 3 9   3 9 2 7  ;  4 2  ;  2 4

2 4

Cách thông thường ta có thể lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biên sthieen để xác định GTLN, GTNN của một hàm số. Học sinh tự làm.

Trang 29

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai.

H Ơ

Xét hám số f trên tập xác định của nó, điều này không đúng theo đề bài và xác định giá trị nhỏ nhất của f trên tập xác định sai.

B. Đáp án B sai. D. Đáp án D sai.

ẠO

5 9 Xác định f trên đoạn  ;  , điều này sai với yêu cầu ban đầu của bài toán. 4 4

TP .Q

Xét hàm số f trên tập xác định của nó, điều này không đúng theo đề bài.

Câu 7: Đáp án A

Ư N

Phân tích

f ( x ) = 2 x + 3x − 5

TR ẦN

5  − Tập xác định D =  ; +∞  . 3  

− Xét hàm số f trên đoạn [ 2;7 ] .

3 > 0, ∀x ∈ D. ⇒ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 2;7 ] . 2 3x − 5

Ta có f ' ( x ) = 2 +

− Điều đó chứng tỏ, f đồng biến trên đoạn [ 2;7 ] .

ẤP

⇒ max f ( x ) = f ( 7 ) = 18;min f ( x ) = f ( 2 ) = 5 ⇒ A = 182 − 52 = 299 [ 2;7]

Sai lầm thường gặp:

[ 2;7]

B. Đáp án B sai.

Í-

Một số học sinh không đọc kỹ đề hoặc nhầm lẫn nên tính 2

ÁN

-L

A =  min f ( x )  −  max f ( x )  = 52 − 182 = −299  [ 2;7]   [ 2;7] 

Vậy ta nên thay GTNN, GTNN vào A cẩn thận để tránh sai xót đáng tiếc!

BỒ

ID Ư

Ỡ N

C. Đáp án C sai. Một học sinh do quá vội vàng trong làm bài nên khi vừa tìm được GTLN là tìm ngay đáp

án và khoanh đáp án đó.

D. Đáp án D sai. Một học sinh do quá vội vàng trong làm bài nên khi vừa tìm được GTNN là tìm ngay đáp án và khoanh đáp án đó.

Câu 8: Đáp án B

Trang 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích − Bất đẳng thức cơ bản cần nhớ là: −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R .

H Ơ

− Vì việc tìm giá trị nhỏ nhất của y thông qua việc lập bảng biến thiên là khó nên ta áp dụng

4sin x + 15 2sin x + 5

TP .Q

Ta có: y =

bất đẳng thức trển để giải bài toán này.

− Tập xác định D = R.

ẠO

− Bài toán không đề cập đến vấn đề xét GTLN, GTNN của hàm số y, tức là ta xét hám ố y

đã cho trên tập xác định D để tìm GTLN, GTNN.

G Ư N

4sin x + 15 2 ( 2sin x + 5 ) + 5 5 = = 2+ 2sin x + 5 2sin x + 5 2sin x + 5

Ta có:

TR ẦN

− Mà ∀x ∈ R, −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2sin x ≤ 2

⇔ 3 ≤ 2sin x + 5 ≤ 7

1 1 1 ≤ ≤ 7 2sin x + 5 3

⇔

5 5 5 ≤ ≤ 7 2sin x + 5 3

⇔

19 5 11 ≤2+ ≤ 7 2sin x + 5 3

ẤP

19 11 ≤ y ≤ , ∀x ∈ R 7 3

− Nên ta được: ⇔

⇔

19 π xảy ra khi và chỉ khi sin x = −1 , nghĩa là x = − + m 2π 7 2

Í-

− Đẳng thức y =

ÁN

-L

− Như vậy, tại x = −

ta có min y =

Ỡ N ID Ư

BỒ

thì y =

19 19 mà y ≥ , ∀x ∈ R nên theo định nghĩa giá trị nhỏ nhất, 7 7

19 . 7

− Đẳng thức y =

11 π xảy ra khi và chỉ khi sin x = 1 , nghĩa là x = + n 2π 3 2

− Như vậy, tại x = có max y =

(m ∈ Z ) .

π 2

thì y =

(m ∈ Z ) .

11 11 mà y ≥ , ∀x ∈ R nên theo định nghĩa giá trị lớn nhất, ta 3 3

11 . 3

Những sai lầm thường gặp:

Trang 31

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. Đáp án A sai.

Một học sinh do không đọc kỹ đề nên chỉ tìm GTLN, GTNN trên đoạn [ 0;π ] , sau khi lập

H Ơ

bảng biến thien thì khoanh vào đáp án A. Minh họa bảng biến thiên:

TP .Q

f '( x )

ẠO

f ( x)

C. Đáp án C sai.

Ư N

Một số học sinh vội vàng chọn đáp án mà không quan tâm tới thứ tự sắp xếp GTLN,

GTNN của yêu cầu đề bài, ở đây GTLN đứng trước, GTNN đứng sau, nên dẫn tới việc

TR ẦN

làm đúng kết quả mà khoanh đáp án sai. D. Đáp án D sai.

Câu 9: Đáp án A

Phân tích 2

cos 2 x + (1 + sin x ) cos 2 x + sin 2 x + 2sin x + 1 2 + 2sin x 3 = = =2− 2 + sin x 2 + sin x 2 + sin x 2 + sin x

ẤP

Ta có:

1 1 ≤ ≤1 3 2 + sin x

−1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 1 ≤ 2 + sin x ≤ 3 ⇔

3 1 1 ≤ 3 ⇔ −3 ≤ − ≤ −1 ⇔ 2 − ≤1 2 + sin x 2 + sin x 2 + sin x

Í-

⇔1≤

-L

Vậy max f ( x ) = 1;min f ( x ) = −1 2

ÁN

12 + ( −1) Suy ra A = 2 2 = 0 1 +1

Sai lầm thường gặp:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

B. Đáp án B sai. Một số học sinh làm bài vội vàng và không đọc kỹ đề bài nên khi vừa tìm ra GTNN đã khoanh đáp án, dẫn đến sai lầm vì đề yêu cầu tìm giá trị của biểu thức A.

C. Đáp án C sai. Một số học sinh làm bài vội vàng và không đọc kỹ đề bài nên khi vừa tìm ra GTLN đã khoanh đáp án, dẫn đến sai lầm vì đề yêu cầu tìm giá trị của biểu thức A. Trang 32 http://dethithpt.com

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D. Đáp án D sai. Học sinh là theo cách sau là sai, vì hàm số y được xét trên R. 2

H Ơ

( 2 + sin x )

2cos x

− Tìm đạo hàm của y: y ' =

( 2 + sin x )

= 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

2cos x

+ kπ ( k ∈ Z )

TP .Q

− y' = 0 ⇔

− Sau đó tìm nghiệm của phương trình y ' = 0 trên đoạn [ 0; π ] :

− Vì k ∈ Z nên k = 0 suy ra x =

π 2

TR ẦN

π  4 Ta có: y   = ; y ( 0 ) = 1; y (π ) = 1 2 3

4 Nên max y = ;min y = 1 3

ẤP

4 2   +1 91 3  Suy ra A = = 2 75 4 2   +1 3

1 1 1 + k ≤1⇔ − ≤ k ≤ 2 2 2

+ kπ ≤ π ⇔

Ư N

0≤ x ≤π ⇔ 0≤

ẠO

Vì x ∈ [ 0;π ] nên ta có:

Í-

Phân tích

Câu 10: Đáp án A

Thế là học sinh đó chọn đáp án D và đã sai lầm!

ÁN

-L

 π − Tìm nghiệm của phương trình y ' = 0 trên đoạn 0;  : y = sin ( 2 x ) − cos ( 2 x ) .  2

− Tập xác định: D = R.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 π − Xét hàm số y trên đoạn 0;  .  2

y ' = ( 2 x ) 'cos ( 2 x ) + ( 2 x ) 'sin ( 2 x ) = 2cos ( 2 x ) + 2sin ( 2 x )

π  y ' = 0 ⇔ sin ( 2 x ) + cos ( 2 x ) = 0 ⇔ 2.sin  2 x +  = 0 4  π π π π  ⇔ sin  2 x +  = 0 ⇔ 2 x + = kπ ⇔ x = − + k . ( k ∈ Z ) 4 4 8 2  Trang 33

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

− Tìm nghiệm tất cả các x = −

+ k.

 π và thỏa x ∈ 0;  . 2  2

+ k.

π 2

≤

π 2

⇔0≤−

H Ơ

1 1 + k. ≤ 8 2 2

⇔0≤−

0≤ x≤

π π  π − Vì x ∈ 0;  và x = − + k . ( k ∈ Z ) nên ta có: 8 2  2

ẠO

− Mà k ∈ Z nên suy ra k = 1, nghĩa là x = −

TP .Q

1 π 5 1 5 ≤ k. ≤ ⇔ ≤ k ≤ 8 2 8 4 4

Ư N

π   π Ta có: y ( 0 ) = −1; y   = 1; y  −  = − 2 2  8

− Theo quy tắc tìm gái trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên 1 đoạn ta có:

{

}

{

}

 π 0; 2   

 π  0; 2   

TR ẦN

max y = max −1; −; − 2 = 1;min y = min −1; −; − 2 = − 2

Sai lầm thường gặp

B. Đáp án B sai.

Sau khi tìm nghiệm của phương trình y ' = 0 , một số học sinh vội vàng nen chỉ tìm giá trị

ẤP

π  của y   và so sánh với y ( x0 ) để tìm GTLN, GTNN mà không so sánh với y ( 0 ) . Dẫn 2

đến sai lầm.

C. Đáp án C sai.

Í-

Ta có: ∀x ∈ R

Một học sinh do không đọc kỹ yêu cầu đề bài nên trình bày như sau:

ÁN

-L

−1 ≤ sin ( 2 x ) ≤ 1 −1 ≤ sin ( 2 x ) ≤ 1 ⇔ ⇒ −2 ≤ sin ( 2 x ) − cos ( 2 x ) ≤ 2  −1 ≤ cos ( 2 x ) ≤ 1 −1 ≤ − cos ( 2 x ) ≤ 1

Vậy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho lần lượt là: -2; 2. Đìu này là sai vì

Ỡ N

2 điều sau:

BỒ

ID Ư

Thứ nhất là, học sinh này làm sai đoạn xét GTLN, GTNN được yêu cầu. Để yeu cầu xét  π trên đoạn 0;  , chứ không phải xét tren R.  2

Thứ hai là, học sinh này không tìm giá trị x0 sao cho y đạt giá trị lớn nhất tại x0 đó, tương tự với giá trị nhỏ nhất.

Trang 34

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D. Đáp án D sai. Một học sinh do không để ý đến doạn xét GTLN, GTNN của hàm số y nên trình bày như

H Ơ

 2  π 2  Ta có: sin ( 2 x ) − cos ( 2 x ) = 2. .sin ( 2 x ) − cos ( 2 x )  = 2.sin  2 x −  2 4   2 

TP .Q

π  − Mà ta luôn có bất đẳng thức: −1 ≤ sin  2 x −  ≤ 1, ∀x ∈ R 4 

π  y  = 2 . 2

π  π thì y ( x ) = y  −  = − 2 và khi x = thì y ( x ) = 2 2  2

Ư N

− Khi x = −

ẠO

π  − Nên ta được: − 2 ≤ 2.sin  2 x −  ≤ 2 hay là − 2 ≤ sin ( 2 x ) − cos ( 2 x ) ≤ 2 . 4 

Vậy min y = − 2;max y = 2 . Dẫn đến học sinh đó chọn đáp án D R

TR ẦN

Câu 11: Đáp án A Phân tích:

Ta có:

y = x 3 − 12 x + 5

y ' = 3 x 2 − 12

ẤP

x = 2 y' = 0 ⇔   x = −2

y ( 2 ) = −11; y ( −2 ) = 21; y ( −4 ) = −11; y ( −1) = −6; y ( 4 ) = 21 .

− Theo quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên của hàm số liên tục trên 1 đoạn, ta

Í-

có:

ÁN

-L

max y = max {−11;16;21} = 21

[−4; −1]

max y = max {−6;21; −11} = 21

[−4; −1]

Sai lầm thường gặp:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

B. Đáp án B sai. Một số học sinh không pjhaan biệt được cực đại với giá trị lớn nhất và cực tiểu với giá trị nhỏ nhất của 1 hàm số. Nên khi không dùng “quy tác tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên 1 đoạn” mà dùng cách lập bảng biến thiên và xét hàm số đó trên R dẫn đến sai lầm và chọn đáp án B. C. Đáp án C sai.

Trang 35

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do không đọc kỹ đề bài nên 1 số học sinh tìn GTLN của hàm số y trên [ −4; −1] ∪ [1;4] .

max

[−4; −1]∪[1;4]

y = 21 . Dẫn đến đáp án C.

H Ơ

là

Sau khi lập bảng biến thiên, học sinh đó kết luận GTLN của hàm số y trên [ −4; −1] ∪ [1;4]

TP .Q

Do không đọc kỹ đề bài nên 1 số học sinh tìm GTNN của hàm số trên [ −4; −1] ∪ [1;4] nên

D. Đáp án D sai.

sau khi lập bảng biến thiên, học snh đó kết luận GTNN của hàm số y trên [ −4; −1] ∪ [1;4]

min

[−4; −1]∪[1;4]

y = 21 . Dẫn đến đáp án D.

ẠO

là

Lưu ý:

Ư N

Ta có thể nhanh đáp án C, D nếu ta đọc kỹ đề. Theo yêu cầu thì ta phải tìm đến 2 giá trị

lớn nhất của hàm số y trên 2 đoạn khác nhau. Không nhất thiết hai giá trị lớn nhất đó khác

TR ẦN

nhau, nên không thể loại nhanh đáp án A, học sinh nên cẩn thận không nên mắc sai lầm

đáng tiếc.

Câu 12: Đáp án B

Phân tích:

f ( x ) = 16 − x 2

− Tập xác định D = [ −4;4] .

16 − x 2

f '( x ) = −

ẤP

− Tìm GTNN, GTLN của f ( x ) trên đoạn [ −3;4]

Í-

f '( x ) = 0 ⇔ x = 0

-L

− Ta có: f ( 0 ) = 0; f ( −3) = 7; f ( 4 ) = 0

ÁN

− Theo quy tắc tìm GTNN, GTLN của 1 hàm số liên tục trên 1 đoạn, ta được:

{

}

{

}

min y = max 4; 7;0 = 0;max y = max 4; 7;0 = 4 [ −3;41]

[−3;41]

Ỡ N

Sai lầm thường gặp:

BỒ

ID Ư

A. Đáp án A sai. Một số học sinh làm đúng kết quả nhưng không để ý thứ tự sắp xếp của GTNN và GTLN. Dẫn đến sai lầm đáng tiếc, ta có thể loại nhanh đáp án A vì min f ( x ) ≤ max f ( x ) mà [−3;41]

[ −3;41]

theo đáp án A thì min f ( x ) = 4 > 0 = max f ( x ) nên ta tìm thấy điều vô lý của đáp án A. [−3;41]

Trang 36

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

[ −3;41]

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. Đáp án C sai. Vì min f ( x ) = 0 nên đáp án C sai.

[−3;41]

H Ơ

D. Đáp án D sai. Tương tự câu A.

Câu 13: Đáp án B

Phân tích.

x2 + x − 1 x +1

ẠO

> 0, ∀x ∈ D

( x + 1)

Ư N

x2 + 2 x + 2

− Tập xác định D = R \ {−1} . Ta có: y =

TP .Q

− Để tìm các nghiệm của phương trình bậc 3 đã cho, ta tìm các hệ số a, b, c.

TR ẦN

 5 + 33  − Suy ra: y đồng biến trên từng đoạn  − 3; − 2  ;  −4 + 10;1 ;  ;8 .      2 

(

)

− Nên ta được:

(

)

 −4 + 10 ;1  

 5 + 53  y = y =6  5 + 33  2 − ;8     2

min





 − 3; − 2   

a = max y = y − 2 = 1; b = min y = y −4 + 10 = −7; c =

ẤP

− Thay các giá trị a, b, c vào phương trình bậc 3 đã cho, ta được phương trình như sau:

x3 − 7 x + 6 = 0 (1)

− Giải phương trình (1) ta được các nghiệm là : x1 = 1; x2 = 2; x3 = −3

Sai lầm thường gặp:

-L

Í-

A. Đáp án A sai.

ÁN

Một số học sinh sai khi tìm được các hệ số a, b, c thì chọn đáp án A ,à không đọc kỹ yêu

cầu đề bài nên dẫn đến sai lầm. C. Đáp án C sai.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Do 1 số học sinh vội vàng nên tìm a, b, c, sai, cụ thể là: 1 71 a = max y = y − 2 = 1; b = min y = y (1) = ; c = min y = y ( 8 ) = .  −4 + 10 ;1    − 3; − 2  5 + 33 2 9     ;8  −

(

)





Vì không đọc kỹ đề, nên học sinh chọn đáp án C mà không tìm các nghiệm của phương trình đã cho. D. Đáp án D sai.

Trang 37

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do 1 số học sinh vội vàng nên tìm a, b, c sai, cụ thể là:

)

(

1− 3 ; 2

 − 3; − 2   

H Ơ

(

a = min y = y − 3 =

)

 5 + 53  y = y =6 2  

min

 5 + 33  ;8  − 2  

TP .Q

 −4 + 10 ;1  

b = min y = y −4 + 10 = −7;

ẠO

Vì không đọc kỹ đề, nên học sinh chọn đáp án D mà không tìm các nghiệm của phương

trình đã cho.

Câu 14: Đáp án A

f ( x) =

1 3

TR ẦN

4 x − m 2 − 3m +

Ư N

Phân tích:

3x + 2

 2 − Tập xác định: D = R \ −   3

1  4 ( 3 x + 2 ) − 3  4 x − m 2 − 3m +  2 3  3m + 9m + 7  = > 0, ∀m ∈ R, ∀x ∈ D . − Ta có: f ' ( x ) = 2 2 ( 3x + 2 ) ( 3x + 2 )

ẤP

− Suy ra f đồng biến trên đoạn [ 0;2] .

− Nên ta được: f ( 0 ) = min f ( x ) =

[0;2]

31 . 24

1 31 9 3 = ⇔ m 2 + 3m + = 0 ⇔ m = − 3 12 4 2

-L

Í-

− Suy ra: − m − 3m +

Sai lầm thường gặp

ÁN

B. Đáp án B sai.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Một số hóc inh không đọc kỹ đề bài nên giải như sau:

31 f ( 2 ) = max f ( x ) = suy ra [0;7 ] 24

(1) = −m 2 − 3m +

8 − m 2 − 3m +

1 3 = 31 24

(1) .

 m = −1 25 31 . = ⇔ m 2 + 3m + 2 = 0 ⇔  3 3  m = −2

Bạn học sinh này chỉ lấy 1 giá trị m, nên khoanh đáp án B. C. Đáp án C sai.

Trang 38

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Sai tương tự như câu B nhưng học sinh lấy 2 giá trị m. D. Đáp án D sai.

H Ơ

Sai tương tự như câu B và học sinh lấy 1 giá trị m.

Câu 15: Đáp án D

Phân tích

TP .Q

y = 3x 2 − 2 x 2

y ' = 6 x − 6 x 2 = 6 x (1 − x )

ẠO

x = 0 y' = 0 ⇔  x = 1

BBT: -

f (x )

+∞ -

+∞

f ' (x )

−∞

TR ẦN

Ư N

y ( 0 ) = 0; y (1) = 1

−∞

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số đã cho không cí giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Sai lầm thường gặp:

ẤP

A. Đáp án A sai.

Dự theo bảng biến thiên hàm số đã cho, ta có:

Hàm số đã cho chỉ đồng biến trên đoạn [0;1] và nghịc biến trên các khoảng (− ∞;0 ) và

Í-

(1;+∞ ) . Nên mệnh đề ở câu A sai.

-L

B. Đáp án B sai.

ÁN

Tại x0 = 1 hàm số đã cho đặt giá trị cự đại nhưng không đạt giá trị lớn nhất trên R.

Để chứng minh hàm số đã cho không dạt gái trị lớn nhất trên R tại x0 = 1 thì ta có thể dùng

BỒ

ID Ư

Ỡ N

phản chứng để chứng minh. Ta tiến hành như sau:

Giả sử: x0 = 1 hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất trên R.

Khi đó ta có: f ( x ) ≤ f ( x0 ) = f (1) = 1, ∀x ∈ R . Mà f (− 1) = 5 > 1 = f ( x0 ) nên giả thiết phản chứng sai, vậy ta có điều phải chứng minh.

C. Đáp án C sai. Tại x0 =0, hàm số đã cho đạt cự tiểu nhưng không đạt giá trị nhỏ nhất trên R.

Trang 39

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 16: Đáp án A Phân tích:

1 . 2x − 3

H Ơ

y = 2x + 1 +

3 − Tập xác định D = R \   2

( 2 x − 3)

 4 x 2 − 12 x + 9 − 1  2 ( 4 x 2 − 12 x + 8 ) 8 ( x 2 − 3 x + 2 ) 8 ( x − 1)( x − 2 ) = 2 = = = 2 2 2 2 ( 2 x − 3) ( 2 x − 3) ( 2 x − 3) ( 2 x − 3)  

ẠO

y' = 2 −

TP .Q

− Ta có:

Ư N

x = 1 y' = 0 ⇔  x = 2

TR ẦN

y (1) = 2; y ( 2 ) = 6 − BBT: x

3 2

+∞

ẤP

+∞ 6

−∞

Theo bảng biến thiên:

C. Đáp án C sai.

D. Đáp án D sai.

B. Đáp án B sai.

−∞

+∞

y’

−∞

-L

Phân tích

Í-

Câu 17: Đáp án D

1 3x − 4

ÁN

y = 2x − 1 −

Ỡ N

4  − Tập xác định: D =  ; +∞  3 

BỒ

ID Ư

− Ta có:

y' =

2 2 2x − 1

( +

)

( 3x − 4 ) '

3x − 4 '

3x − 4

Trang 40

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 + 2 3x − 4 3x − 4 2x − 1

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 3 + > 0, ∀x ∈ D 2 x − 1 2 (3x − 4 ) 3x − 4

H Ơ

3 1 + 2 3x − 4 = 3x − 4 2x − 1

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định D.

Ta được các mệnh đề 1; 2 đúng và các mệnh đề 3; 4; 5; 6 sai.

Sai lầm thường gặp:

TP .Q

A. Đáp án A sai

Một học sinh tìm sai đạo hàm của hàm số y, tìm ra kết quat như mệnh đề 6, và do không

ẠO

đọc kỹ đề bài nên chọn mệnh đề 3 mà không để ý rằng hàm y xét trên tập xác định D. Dẫn

đến đáp án A.

Ư N

B. Đáp án B sai.

TR ẦN

lớn nhất mà đã chọn đap án. Dẫn đến sai lầm đáng tiếc.

Một số học sinh làm đúng kết quả tính đạo hàm của y do vội vàng nên chỉ xét đến giá trị C. Đáp án C sai.

Một số học sinh tìm đúng đạo hàm của y nhưng do không cẩn thận trong việc xét hàm số y

trên D nên đã xét hàm số y tên R. Vì vậy chọn đáp án C và đã sai lầm.

Câu 18: Đáp án C

2x − 1 4x + 5

ẤP

Phân tích:

 5 − Tập xác định D = R \ −   4

Í-

2 ( 4 x + 5 ) − 4 ( 4 x − 1)

-L

( 4 x + 5)

> 0, ∀x ∈ D .

ÁN

y' =

− Ta có:

5   5  − Suy ra f đồng biến trên từng khoảng  −∞; −  và  − ; +∞  . 4 4    

− Từ đó suy ra chỉ có 1 mệnh đề 4 đúng, còn mệnh đề 1; 2; 3; 5 sai. Một số học sinh thấy mệnh đề 5 thuyết phục nên khi làm đúng kết quả có 2 đáp án đúng, và học sinh không đọc kỹ đề bài nên chỉ quan tâm đến số lượng đáp án đúng và chọn đáp

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. Đáp án A sai.

Trang 41

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5 án A. Dẫn đến sai lầm. Mệnh đề 6 sai vì tại x = − ∈ R thì y ( x ) không xác định. Vì theo 4

H Ơ

định nghĩa, thì y phải xác định trên R, tức là xác định tại mọi điểm x0 ∈ R . B. Đáp án B sai.

Một số họ sinh làm đúng nhưng do vội vàng nên chọn số mệnh đề đúng, mà đề yều cầu

TP .Q

tìm số mệnh đề sai nên họ sinh đã làm sai. D. Đáp án D sai.

Một số học sinh mắc sai lầm tương tự câu C nhưng họ sinh chọn số mệnh đề sai. Dẫn đến

ẠO

học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm.

Câu 19: Đáp án D

Ư N

Phân tích:

− Để tìm được giá trị a ta cần tìm min f ( x ) ;max g ( x ) vì a = min f ( x ) + max g ( x ) . [ 2;4]

[ 2;4]

TR ẦN

− Trước hết ta có, max g ( x ) = 0 vì ta có: g ( x ) = 0 ≤ 0, ∀x ∈ R, g ( 3) = 0 . [2;4]

− Suy ra g ( x ) = 0 ≤ 0, ∀x ∈ [ 2;4] , g ( 3) = 0

− Nên theo định nghĩa thì max g ( x ) = 0 .

[2;4]

− Tiếp theo, ta tìm min f ( x )

2x 1 x4 − 1  = − = 2 x 2.  x4 x 3  x3

Ta có: f ' ( x ) = 2 x −

ẤP

1 , ∀x ∈ R \ {0} x2

f ( x ) = x2 +

[ 2;4]

(

)(

)

-L

Í-

x = 1 f '( 0) = 0 ⇔ x4 − 1 = 0 ⇔ x2 + 1 . x2 − 1 = 0 ⇔ x2 − 1 = 0 ⇔   x = −1

ÁN

Cách thứ nhấ, ta có thể lập bảng biến thiên và chọn đáp án.

Cách thứ hai, để tìm GTLN của f trên đoạn ta chỉ cần lấy 1 giá trị x0 ∈ [ 2;4] tùy ý để xét

BỒ

ID Ư

Ỡ N

dấ u f ' ( x 0 )

Ví dụ: Lấy x0 = 3 ∈ [ 2;4] thì ta được f ' ( x0 ) = f ' ( 3) =

160 > 0. 27

Nên f đồng biến trên đoạn [ 2;4] . Suy ra min f ( x ) = f ( 2 ) = [ 2;4]

Trang 42

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

17 4

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ta được a =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

17 17 , vì a = ∉ [ 2;4] nên không tồn tại a thỏa yêu cầu bài toán. 4 4

Sai lầm thường gặp:

H Ơ

A. Đáp án A sai.

Một số học sinh không chú ý đến đoạn [ 2;4] mà chỉ xét hàm số f trên R nên tìm được

TP .Q

min f ( x ) = f (1) = 2 ⇒ a = 2 . Dẫn đến giá trị của a trong mệnh đề A. thế là, học sinh đã sai lầm.

ẠO

B. Đáp án B sai. [ 2;4]

17 . Và 4

[ 2;4]

Một số học sinh sai lầm ở chỗ tìm được a từ biểu thức a = min f ( x ) + max g ( x ) =

Ư N

vội vàng tìm đáp án mà không chú ý đến điều kiện ban đàu của a là a ∈ [ 2;4] . Nên học

sinh khoanh vào đáp án B, và đã sai.

TR ẦN

C. Đáp án C sai.

Đáp án này ta có thể loại nhanh khi chú ý đến điều kiện ban đầu của a là a ∈ [ 2;4] . Một

giá trị a thỏa mãn 2 điều kiện thì nếu đáp án không thỏa 1 trong 2 điều kiện, ta sẽ không

chọn đáp án đo.

Câu 20: Đáp án C

Phân tích:

ẤP

− Do đề bài không yêu cầu tìm GTLN, GTNN của bất kì hàm số đã cho, nên ta dựa vào đáp

án để xác định mệnh đề đúng.

− Theo cách lập luận như trên, ta cần tìm min f ( x ) ;max g ( x ) ;min h ( x ) ;max y .

Í-

− Ta có thể đùng các bất đẳng thức sau để tìm nhanah các giá trị cần tìm mà không cần tìm 1

-L

gái trị x0 ∈ R sao cho f (x 0 ) , vì khi đó gái trị x 0 ∈ R luôn tồn tại (lưu ý các hàm f, g, h, y

ÁN

được xét trên R và các GTLN, GTNN cần tìm đều xét trên R): −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R ;

−1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R .

BỒ

ID Ư

Ỡ N

− Theo 2 bất đẳng thức trên, ta có các bất đẳng thức sau:

π  − 2 ≤ f ( x ) = sin x + cos x = 2.sin  x +  ≤ 2, ∀x ∈ R ; 4  π  − 2 ≤ g ( x ) = sin x − cos x = 2.sin  x −  ≤ 2, ∀x ∈ R ; 4  −1 ≤ h ( x ) = 1 + 2sin x ≤ 3, ∀x ∈ R

Trang 43

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−3 ≤ y ( x ) = 3cos x ≤ 3, ∀x ∈ R

− Ta suy ra: min f ( x ) = − 2;max g ( x ) = 2;min h ( x ) = −1;max y = 3 .

H Ơ

Sai lầm thường gặp:

−1 ≤ sin x ≤ 1 − Một số học sinh biến đổi sai như sau:  ⇒ −2 ≤ sin x + cos x ≤ 2 . −1 ≤ cos x ≤ 1

TP .Q

− Sau đó vội vàng kết luận max f ( x ) = 2;min f ( x ) = −2 mà không để ý rằng không tồn tại R

ẠO

x0 ∈ R sao cho f ( x ) = 2 vì phương trình sin x + cos x = 2 vô nghiệm. Thật vậy:

π  Ta có: sin x + cos x = 2 ⇔ sin  x −  = 2 a 

Ư N

π  − Mà −1 ≤ sin  x −  ≤ 1 < 2 nên ta có phương trình sin x + cos x = 2 vô nghiệm. a 

TR ẦN

Vậy học sinh cần cẩn thận khi gặp dạng này. Tương tự với sin x − cos x

Câu 21: Đáp án B

Phân tích:

Ta có thể chọn nhanh đáp án theo định nghĩa giá trị lớn nhất của hàm số. Vì y = 2 ≤ 2, ∀x ∈ R và tại x0 = 1 ∈ R ta có y = y ( x0 ) = y ( 2 ) = 2 nên max y = 2

Câu 22: Đáp án D

ẤP

Phân tích:

− Đối với dạng câu hỏi này, ta phải kiểm tra từng bước theo thứ tự liên tiếp từ 1 đến 4.

37 . 10

Í-

max y = y ( 2 ) =

− Lời giải của học sinh sai ở bước 4, vì y đồng biến trên đoạn [1;2] nên ta được

-L

[1;2]

ÁN

Sai lầm thường gặp:

A. Đáp án A sai.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Một học sinh nghĩ rẳng đề yêu cầu: “tìm giá trị lớn nhất cảu hàm số y trên đoạn [1;2] ” thì học sinh đó trình bày tập xác định là đoạn [1;2] , điều đó là sai. Vì f vẫn được xác định tại những x0 thỏa mãn x0 ∈ ( D \ [1;2]) cố định tùy ý. Mà tập xác định của 1 hàm số tùy ý là tập hợp tất cả các giá trị của số thực x mà tại đó f được xác định. Nên đoạn [ 0;1] không là tập xác định của f.

B. Đáp án B sai.

Trang 44

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Một số học sinh tìm sai đạo hàm của hàm số y nên kết luận sai ở bước 2. Sai lầm đó

 1 ′ 1 −  = 2 .  x x

H Ơ

1  1 ′ thường xuất phát từ:  −  = − 2 , viết đúng phải là x  x

C. Đáp án C sai.

vì [1;2] không là tập xác định của y. điều này là sai, vì [1;2] ⊂ D nên gải sử

TP .Q

[1;2]

Một số học sinh nghĩ rằng y đồng biến trên D thì không nhất thiết đồng biến trên đoạn

y ' > 0, ∀x ∈ D thì ta cũng có y ' > 0, ∀x ∈ [1;2] suy ra y đồng biến trên đoạn [1;2] .

ẠO

Câu 23: Đáp án A

Phân tích:

Ư N

• Ta xét hàm f trên từng đoạn [1;2] ; [ 2;4]

f ( x) = 2 x .

2 x

1 > 0, ∀x ∈ D1 x

f ' ( x ) = 2.

TR ẦN

− Tập xác định D1 = [ 0; +∞ ) .

− Suy ra: f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ [1;2] và f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ [ 2;4] .

− Nên f đồng biến trên từng đoạn [1;2] ; [ 2;4] .

− Suy ra: a = max f ( x ) = f ( 2 ) = 2 2 ; b = min f ( x ) = f ( 2 ) = 2 2 .

ẤP

[1;2]

[ 2;4]

Ó H

1 x

Í-

g ( x) = −

• Ta xét g trên từng đoạn [ −2; −1] ; [1;2] .

1 > 0, ∀x ∈ D2 . x

ÁN

g '( x ) =

-L

− Tập xác định D2 = R \ {0} .

− Suy ra: g ' ( x ) > 0, ∀x ∈ [ −2; −1]; g ' ( x ) > 0, ∀x ∈ [1;2]

BỒ

ID Ư

Ỡ N

− Nên f đồng biến trên đoạn [ −2; −1] và [1;2] .

− Suy ra: c = max g ( x ) = g ( −1) = 1 ; d = min g ( x ) = g (1) = −1 . [1;2]

[ −2; −1]

− Thay a, b, c, d vào hệ phương trình (I) ta được:

2 2.t1 + 2 2.t2 = 2  t1 − t2 = 0

Trang 45

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(II ) http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

 2   t1 = 2 2  t + t = 2t2 =  4 Ta có: ( II ) ⇔  1 2 2 ⇔ 2 ⇔ t = t t = t t = 2 1 2 1 2  2 4

Câu 24: Đáp án A

Phân tích

TP .Q

− Để tìm giá trị của biểu thức A ta cần xét hàm số trên từng đoạn [3;4] ; [5;6] để tìm gái trị

ẠO

của a, b.

f ( x) = 1 − 4x − 8 .

Ư N

2 < 0, ∀x ∈ D 4x − 9

f '( x ) = −

− Tập xác định: D = [ 2; +∞ ) .

TR ẦN

Suy ra: f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ [3;4]; f ' ( x ) < 0, ∀x ∈ [5;6] .

Nên f đồng biến trên từng đoạn [3;4] ; [5;6] .

Suy ra: a = max f ( x ) = f ( 4 ) = 1 − 2 2 ; b = min f ( x ) = f ( 5 ) = 1 − 2 3 . [5;6]

[3;4]

− Tìm g(a); g(b).

Ta có: g ( a ) = 11 + 2 2; g ( b ) = 15 + 2 3

g ( b ) − g ( a ) 15 + 2 3 − 11 − 2 2 4 + 2 3 − 2 2 2 + 3 − 2 = = = = −2 3 − 2 2 − 1 b−a 2 2−2 3 2 2 −2 3 2− 3

ẤP

Suy ra:

-L

Í-

Sai lầm thường gặp: Do không tính toán nhiều, nên học sinh tìm giá trị biểu thức A sai. Dẫn đến các kết quả A,

ÁN

B, C.

Câu 25: Đáp án D

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Phân tích Để tìm t cần tìm a,b nên ta phải xét hàm số f trên đoạn [1;2] để tìm max f ( x ) và hàm số g [1;2]

trên đoạn [ 2;3] để tìm min g ( x ) . [ 2;3]

• Xét hàm số f trên đoạn [1;2] .

f ( x ) = x 2 − 3x Trang 46

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có:

H Ơ

3 ∈ [1;2] 2

f '( x ) = 0 ⇔ 2 x − 3 = 0 ⇔

f '( x ) = 2 x − 3

9  3      = max −2; −2; −  = −2 4  2  

ẠO

 Suy ra: a = max f ( x ) = max  f (1) ; f ( 2 ) ; f [1;2] 

• Xét hàm số g trên đoạn [ 2;3] .

2 x −1

Ư N

g ( x) =

Ta có:

< 0, ∀x ∈ ( R \ {1}) ⇒ g ' ( x ) = −

( x − 1)

, ∀x ∈ [ 2;3] .

Suy ra g nghịch biến trên đoạn [ 2;3] . Nên ta được: b = min g ( x ) = g ( 3) = 1 .

TR ẦN

− Tập xác định: R \ {1} .

g '( x ) = −

TP .Q

9 3 f  =− 4 2

[2;3]

Sai lầm thường gặp:

1 2

ẤP

Thay a = -2; b = 1 vào bất phương trình đã cho, ta được: −2t + 1 > 2 ⇒ t < −

A. Đáp án A sai.

Í-

Một hó inh nhân 1 số âm cho bất đẳng thức mà không đổi chiều dấu bất đẳng thức nên dẫn

-L

đền đáp án A.

ÁN

B. Đáp án B sai.

9 9 4 Một học sinh tìm sai giá trị của a, ví dụ: a = min f ( x ) = − ⇒ − t + 1 > 2 ⇒ t < nên [1;2] 4 4 9

Ỡ N

chọn đáp án B

BỒ

ID Ư

C. Đáp án C sai. Một số học sinh tìm giá trị của b, ví dụ: b = max g ( x ) = g ( 2 ) = 2 ⇒ −2t + 2 > 2 ⇒ t < 0 [ 2;3]

nên chọn đáp án C.

Câu 26: Đáp án A

Trang 47

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích: − Để xác định được 3 là giá trị lớn nhất của hàm số f trên đoạn nào trong số các đoạn sau

H Ơ

đây: [1;2] ; [ 2;3] ; [3;4] ; [ 4;5] thì ta cần xét hàm số f trên các đoạn đó.

2 f ( x) = − + x −1 + 3 . x

TP .Q

2 1 + > 0, ∀x ∈ D . 2 x 2 x −1

ẠO

Ta có: f ' ( x ) =

− Tập xác định: D = [1; +∞ ) .

− Suy ra f đồng biến trên D.

[ 2;3]

7+3 2 5+2 3 23 ;max f ( x ) = ;max f ( x ) = . 3;4 4;5 [ ] [ ] 3 2 5

Ư N

[1;2]

− Nên ta được: max f ( x ) = 3;max f ( x ) =

Nên 3 là giá trị của max f ( x ) .

TR ẦN

[1;2]

Câu 27: Đáp án A

− Tập xác định D = [ 0; +∞ ) .

ẤP

2 1 +4 x 2 + 2x − 3 x+5

Phân tích

f ( x) =

 2 ′ 2 Tính sai đạo hàm, ví dụ như  −  = 2 .  x x

Sai lầm thường gặp:

Í-

2 1  1 1 Ta có: f ' ( x ) =  x + x. +2+ = x+ + 2 > 0, ∀x ∈ D 2 2  3 2 x ( x + 5) ( x + 5)

-L

Suy ra f đồng biến trên D. [1;2]

[1;3]

ÁN

Nên ta được: min f ( x ) = min f ( x ) = f (1)

Sai lầm thường gặp

(

BỒ

ID Ư

Ỡ N

− Tính sai đọa hàm như sau: x x

)′ = ( x )′ = 2 1x 3

1 . 2x x

− Điều này sai vì đây là đạo hàm của hàm hợp.

Câu 28: Đáp án A Phân tích:

f ' ( x ) = cos x Trang 48

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

f ' ( x ) = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x =

π 2

+ kπ ( k ∈ Z )

H Ơ Y

1 1 ≤k≤− . 2 4

Vậy không tồn tại k ∈ Z thỏa −

π π π 1 1 1 1  π − Vì x ∈ 0;  nên ta có; 0 ≤ x ≤ ⇒ 0 ≤ + kπ ≤ ⇒ 0 ≤ + k ≤ ⇒ − ≤ k ≤ − . 4 2 4 2 4 2 4  4

TP .Q

Cách thứ nhất, ta có thể vẽ bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất của hàm số f trên đoạn

ẠO

 π 0; 4  .

Cách thứ hai, ta chỉ cần xác định f ' ( x0 ) mang giá trị âm hay giá trị dương sao cho

Ư N

π  π π  π π  π  ∈ 0;  thì ta được f ' ( x0 ) = f '   = cos   > 0 vì ∈  − ;  . 8  4 8  2 2 8 8

4



2 π  π  − Ta suy ra: max = f   = sin   = .  π 4 4 2 0; 

 π Vậy hàm số đã cho đồng biến trên đoạn 0;  .  4

TR ẦN

− Lấy x0 =

 π x0 ∈ 0;  .  4

Sai lầm thường gặp:

ẤP

B. Đáp án B sai.

Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán (đoạn đang xét giá trị lớn nhất của hàm

số), nên trình bày như sau:

π  ∈ R; f ( x0 ) = f   = 1 ⇒ max f ( x ) = 1 . 2 2

-L

Í-

−1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R, x0 =

ÁN

Sau đó khoanh vòa đáp án B và đã sai lầm.

C. Đáp án C sai.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Một số học sinh không đọc kỹ đề nên tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên R như sau:

−1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R, x0 = −

 π ∈ R; f ( x0 ) = f  −  = −1 ⇒ max f ( x ) = −1 2  2

D. Đáp án D sai. Một số học sinh không đọc kỹ đề nên tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  π = f ( 0 ) = sin ( 0 ) = 0 . 0; 4  như sau: mim  π 0;   

4

Trang 49

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Thế là, học sinh khoanh vào đáp án D và đã sai lầm.

Câu 29: Đáp án B

H Ơ

Phân tích:

f ( x ) = cos x

Ta có:

TP .Q

f ' ( x ) = − sin x. f ' ( x ) = 0 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ ( k ∈ Z ) .

ẠO

π π  Với mọi số nguyên k ta đều có x = kπ ∉  ;  4 2

Ư N

Cách thứ nhất, ta có thể lập bảng biến thiên, để tìm giá trị nhỏ nhất cảu hàm số trên đoạn

Cách thứ hai, vì x0 =

TR ẦN

π π   4 ; 2  .

3π  π π   3π   3π  ∈  ;  , f ' ( x0 ) = f '   = − sin   < 0 nên f nghịch biến 8 4 2  8   8 

π π  trên đoạn  ;  . 4 2

π  π  Suy ra: min f ( x ) = f   = cos   = 0 . π π   2 2  ;  4 2

ẤP

Sai lầm thường gặp:

− Không đọc kỹ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị nhỏ nhất của f trên R hoặc tìm giá trị lớn nhất

trên R và lần lượt chọn đáp án D, C.

-L

Í-

π π  − Không đọc kỹ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn  ;  4 2

ÁN

và khoanh đáp án A.

Câu 30: Đáp án A Phân tích:

Ỡ N

Cách thứ nhất, lập bảng biến thiên để tìm GTLN, GTNN.

BỒ

ID Ư

Cách thứ hai, ta tìm GTLN, GTNN của hàm số đã cho lần lượt trên đoạn [ −2;1] và nửa khoảng (1;5] . Trên đoạn [ −2;1] : y = −2 x 2 + 3 Ta có:

Trang 50

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

y ' = −4 x .

y' = 0 ⇔ x = 0.

H Ơ

y ( 0 ) = 3; y ( −2 ) = −5; y (1) = 1

max y = max {3; −5;1} = 3 và min y = min {3; −5;1} = −5 .

3 1 x+ . 4 4

TP .Q

− Trên nửa khoảng (1;5] : y =

[−2;1]

[ −2;1]

ẠO

− y đồng biến trên nửa khoảng (1;5] . − Suy ra: max y = y ( 5 ) = 4 và không tồn tại min y .

[− 2;1]

(1;5]

Ư N

Vậy đáp án chính xác ở đây là đáp án A. • Lưu ý:

TR ẦN

Ta có thể loại nhanh đáp án B vì theo định nghĩa hàm số y luôn tồn tại giá trị nhỏ nhất trên

đoạn [ −2;5] . Sai lầm thường gặp:

Học sinh chỉ xét trên đoạn [− 2;1] nên tìm ra kết quả của đáp C.

Học sinh chỉ xét trên nửa khoảng (1;5] và khi tìm GTNN lại xét thêm x = 1 nên khoanh

vào đáp án D.

ẤP

Câu 31: Đáp án A

Phân tích:

− Để tìm giá trị của biểu thức A ta cần tìm max f ( x ) và min f ( x ) , nên ta cần xét hàm số [3;6]

[3;6]

Í-

đã cho trên đoạn [3;6] .

ÁN

-L

− Xét hàm số f ( x ) = 3 x + 4 x − 6 trên đoạn [3;6]

− Ta có: f ' ( x ) = 3 +

( 4 x − 6 )′ 2 4x − 6

= 3+

4 2 = 3+ > 0, ∀x ∈ [3;6] . 2 4x − 6 4x − 6

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Vậy hàm số f đồng biến trên đoạn [3;6] . 2

− Mà A =  max f ( x )  −  min f ( x )  nên ta được”   [3;6]   [3;6]

(

A = 18 + 3 2

) − (9 + 6 )

= 342 + 108 2 − 87 − 18 6 = 255 − 18 6 + 108 2

Sai lầm thường gặp:

Trang 51

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. Đáp án B sai. M ột

số

h ọc

sinh

không

đọc

kỹ

yêu

cầ u

bài

toán

nên

chỉ

giải

đến

max f ( x ) = f ( 6 ) = 8 + 3 2 và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài

H Ơ

[3;6]

là tìm giá trị của biểu thức A. h ọc

sinh

không

đọc

kỹ

yêu

cầ u

bài

toán

nên

chỉ

giải

số

đến

TP .Q

M ột

C. Đáp án C sai.

min f ( x ) = f ( 3) = 9 + 6 và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài là

ẠO

[3;6]

tìm giá trị của biểu thức A.

D. Đáp án D sai.

Ư N

3 9 Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên chỉ giải đến min f ( x ) = f   = 3  2 2  ; +∞  2



TR ẦN

và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài là tìm giá trị của biểu thức A.

Câu 32: Đáp án B

Phân tích:

− Để tìm gia trị của biểu thức A ta cần tìm max f ( x ) và min f ( x ) , nên ta cần xét số đã cho

[ 4;5]

trên đoạn [ 4;5] .

[4;5]

ẤP

− Xét hàm số f ( x ) = 4 x + 5 x − 7 trên đoạn [ 4;5] .

( 5 x − 7 )′

2 5x − 7

=4+

5 > 0, ∀x ∈ [ 4;5] 2 5x − 7

Ta có: f ' ( x ) = 4 +

Í-

− Vậy hàm số f đồng biến tren đoạn [ 4;5] .

-L

− Nên ta được: max f ( x ) = f ( 5 ) = 20 + 3 2 ; min f ( x ) = f ( 4 ) = 16 + 13 . [4;5]

ÁN

[ 4;5]

Ỡ N

Mà A =  max f ( x )  −  min f ( x )  nên ta được:   [ 4;5]   [ 4;5]

(

A = 20 + 3 2

) − (16 +

)

= 418 + 120 2 − 269 − 32 6 = 149 − 32 6 + 120 2

A. Đáp án A sai.

BỒ

ID Ư

Sai lầm thường gặp:

Trang 52

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

M ột

số

học

sinh

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

không

đọc

kỹ

yêu

cầ u

bài

toán

nên

chỉ

giải

đến

max f ( x ) = f ( 5 ) = 20 + 3 2 và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài

[ 4;5]

H Ơ

là tìm giá trị của biểu thức A. học

sinh

không

đọc

kỹ

yêu

cầ u

bài

toán

nên

chỉ

giải

đến

số

M ột

C. Đáp án C sai.

TP .Q

min f ( x ) = f ( 4 ) = 16 + 13 và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài [4;5]

ẠO

là tìm giá trị của biểu thức A.

D. Đáp án D sai.

Ư N

5

 7  28 Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên chỉ giải đến min f ( x ) = f   = 7   5 5  ; +∞  

và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài là tìm giá trị của biểu thức A.

TR ẦN

Câu 33: Đáp án C Phân tích:

[5;6]

− Để tìm giá trị của biểu thức A ta cần tìm max f ( x ) và min f ( x ) , nên ta cần xét số đã cho

trên đoạn [5;6] .

6 > 0, ∀x ∈ [5;6] 2 6x − 8

ẤP

( 6 x − 8)′

2 6x − 8

=5+

Ta có: f ' ( x ) = 5 +

− Xét hàm số f ( x ) = 5 x + 6 x − 8 trên đoạn [5;6] .

− Vậy hàm số f đồng biến tren đoạn [5;6] . − Nên ta được: max f ( x ) = f ( 6 ) = 30 + 2 7 ; min f ( x ) = f ( 5 ) = 25 + 22 . [5;6]

-L

Í-

[5;6]

ÁN

Mà A =  max f ( x )  −  min f ( x )  nên ta được:   [5;6]   [5;6]

(

) − ( 25 −

)

= 928 + 120 7 − 647 − 50 22 = 281 − 50 22 + 120 7

A = 30 + 2 7

Ỡ N

Sai lầm thường gặp:

BỒ

ID Ư

A. Đáp án A sai. M ột

số

h ọc

sinh

không

đọc

kỹ

yêu

cầ u

bài

toán

nên

chỉ

giải

đến

max f ( x ) = f ( 6 ) = 30 + 2 7 và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài [5;6]

là tìm giá trị của biểu thức A.

Trang 53

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. Đáp án B sai. M ột

số

h ọc

sinh

không

đọc

kỹ

yêu

cầ u

bài

toán

nên

chỉ

giải

đến

min f ( x ) = f ( 5 ) = 25 + 22 và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài

H Ơ

[5;6]

là tìm giá trị của biểu thức A.

C. Đáp án C sai.

3

TP .Q

 4  20 Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên chỉ giải đến min f ( x ) = f   = 4  3 3  ; +∞  

ẠO

và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài là tìm giá trị của biểu thức A.

Câu 34: Đáp án D

Ư N

Phân tích: [3;4]

trên đoạn [3;4] .

2 7x − 9

=6+

7 > 0, ∀x ∈ [3;4] 2 7x − 9

( 7 x − 9 )′

Ta có: f ' ( x ) = 6 +

− Xét hàm số f ( x ) = 6 x + 7 x − 9 trên đoạn [3;4] .

TR ẦN

[3;4]

− Để tìm giá trị của biểu thức A ta cần tìm max f ( x ) và min f ( x ) , nên ta cần xét số đã cho

− Vậy hàm số f đồng biến tren đoạn [3;4] .

ẤP

− Nên ta được: max f ( x ) = f ( 4 ) = 24 + 19 ; min f ( x ) = f ( 3) = 18 + 2 3 . 2

[3;4]

(

) − (18 + 2 3 )

= 595 + 48 19 − 336 − 72 3 = 259 + 48 19 − 72 3

-L

Í-

A = 24 + 19

Mà A =  max f ( x )  −  min f ( x )  nên ta được:   [3;4]   [3;4]

Sai lầm thường gặp:

ÁN

A. Đáp án A sai.

7



và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài là tìm giá trị của biểu thức A.

B. Đáp án B sai.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 9  54 Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên chỉ giải đến min f ( x ) = f   = 9  7 7  ; +∞ 

Trang 54

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

M ột

số

h ọc

sinh

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

không

đọc

kỹ

yêu

cầ u

bài

toán

nên

chỉ

giải

đến

max f ( x ) = f ( 4 ) = 24 + 19 và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài

[3;4]

H Ơ

là tìm giá trị của biểu thức A. h ọc

sinh

không

đọc

kỹ

yêu

cầ u

bài

toán

nên

chỉ

giải

đến

số

M ột

C. Đáp án C sai.

TP .Q

min f ( x ) = f ( 3) = 18 + 2 3 và kết luận đáp án bài toán, nên đã sai lầm vì yêu cầu đề bài [3;4]

ẠO

là tìm giá trị của biểu thức A.

Câu 35: Đáp án D

Ư N

4x − 3 trên đoạn [ 4;6] . 5x + 6

− Xét hàm số f ( x ) =

Phân tích:

TR ẦN

6  6   − Tập xác định: D =  −∞; −  ∪  − ; +∞  . 5  5  

Ta có:

( 4 x − 3)′ .( 5 x + 6 ) − ( 4 x − 3).( 5 x + 6 )′ = 4 ( 5 x + 6 ) − 5 ( 4 x − 3) = 39 2 2 2 (5x + 6) ( 5x + 6) ( 5x + 6)

≥ 0, ∀x ∈ D

f '( x ) =

ẤP

Vậy hàm số đãn cho đồng biến trên D, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [ 4;6] .

− Nên ta được: max f ( x ) = f ( 6 ) =

7 1 ; min f ( x ) = f ( 4 ) = . 12 [ 4;6] 2

[ 4;6]

Í-

A. Đáp án A sai.

Sai lầm thường gặp:

ÁN

lầm.

-L

Một số học sinh xét hàm số đã cho trên tập xác định nên dẫn đến khoanh đáp án và đã sai

B. Đáp án B sai.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

6  Một số học sinh chỉ xét hàm số đã cho trên khoảng  −∞; −  và khoanh đáp án đã sai 5 

lầm.

C. Đáp án C sai.

 6  Một số học sinh chỉ xét hàm số đã cho trên khoảng  − ; +∞  và khoanh đáp án đã sai 5   lầm.

Trang 55

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VẤN ĐỀ 4: CÁC DẠNG TOÁN VỀ TIỆM CẬN LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG

H Ơ

Một số quy tắc tìm giới hạn: (đã được học ở lớp dưới)

Quy tắc 1:

Dấu của L

+∞

−∞

TR ẦN

1) Tìm lim 3x 2 + 8 x →−∞

 8  8    x 2  3 + 2  = lim  x  3 + 2   x  x →−∞  x    

Ta có: lim 3x 2 + 8 = lim

x →−∞

lim x = +∞

x →−∞

ẤP

⇒ lim 3x 2 + 8 = +∞ 8   x →−∞ 3+ 2  = 3 > 0 x  

5   2) Tìm lim  −2x 4 + + 9  x →−∞ x  

  Vì   xlim  →−∞

+∞

Ư N

−∞

MINH HỌA

x →−∞

ẠO

x →x0

TP .Q

lim f ( x ) g ( x ) 

x →x0

lim f ( x )

- Nếu lim f ( x ) = ±∞ và lim g ( x ) = L ≠ 0 thì lim f ( x ) g ( x )  được cho trong bảng sau: x →x0 x →x0 x →x0

-L

Í-

5   5 9    Ta có: lim  −2x 4 + + 9  = lim  x 4  −2 + 5 + 4   x →−∞ x →−∞ x x x     

ÁN

 lim x 4 = +∞ x →−∞  5   Vì  ⇒ lim  −2x 4 + + 9  = −∞ 5 9   x →−∞ x    xlim  −2 + 2 + 4  = −2 < 0 x x   →−∞ 

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Quy tắc 2: - Nếu lim f ( x ) = L ≠ 0, lim g ( x ) = 0 và g ( x ) > 0 hoặc g ( x ) < 0 với mọi x ∈ J \ {x 0 } trong x →x0

x →x0

f (x) được cho trong bảng sau: x →x0 g ( x )

đó J là một khoảng nào đó chứa x 0 thì lim

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Dấu của L

Dấu của g(x)

lim f ( x ) g ( x ) 

−∞

+∞

H Ơ

+∞

TP .Q

x →x0

MINH HỌA

( x + 3)

x →−3

2x − 9

ẠO

1) Tìm lim

Ư N H TR ẦN

 lim+ ( 2x − 2 ) = 6 > 0  x →4 2x − 2 Vì  lim+ ( x − 4 ) = 0 ⇒ lim+ = +∞ x →4 x →4 x − 4   x − 4 > 0, ∀x > 4

x →4

2x − 2 x−4

2) Tìm lim+

 lim ( 2x − 9 ) = −15 < 0  x →−3 2x − 9 4  Vì  lim ( x + 3) = 0 ⇒ lim = −∞ 4 x →−3 x →−3 x + 3) (  4  ( x + 3) > 0, ∀x ≠ 0

ẤP

Định nghĩa:

- Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a; +∞ ) , ( −∞; b )

hoặc ( −∞; +∞ ) ). Đường thẳng y = y 0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ

-L

Í-

thị hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn.

lim f ( x ) = y 0 , lim f ( x ) = y 0

ÁN

x →+∞

MINH HỌA 4 −9 x

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1) Cho hàm số y = f ( x ) =

x →−∞

4  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = −9 vì lim f ( x ) = lim  − 9  = −9 x →+∞ x →+∞ x  

2) Cho hàm số y = f ( x ) =

Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1− 5 x x x

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

y = f (x) =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1− 5 x 1 5 = − x x x x x

H Ơ

5  1 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0 vì lim f ( x ) = lim  − =0 x →+∞ x →+∞ x x x 

TP .Q

Đường thẳng x = x 0 là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

Định nghĩa:

y = f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

lim f ( x ) = −∞, lim− f ( x ) = +∞

x → x 0+

x →x0

G H

Ư N

4 −9 x

4 4 − 9x −9 = x x

TR ẦN

y = f (x) =

MINH HỌA 1) Cho hàm số y = f ( x ) =

ẠO

lim f ( x ) = +∞, lim− f ( x ) = −∞

x → x 0+

- Đồ thị hàm số có tiệm cậnd dứng x = 0 vì

ẤP

1− 5 x x x

2) Cho hàm số y = f ( x ) =

 lim+ ( 4 − 9x ) = 4 > 0  x →0  4 − 9x  ⇒ lim+ f ( x ) = lim+  lim+ x = 0   = +∞ x →0 x →0  x →0 x    x > 0, ∀x > 0

- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0 vì:

)

ÁN

-L

Í-

(

 lim 1 − 5 x = 1 > 0  x → 0+ 1− 5 x   ⇒ lim+ f ( x ) = lim+  lim+ x x = 0   = +∞ x →0 x →0 x →0 x x     x x > 0, ∀x > 0

mx − 1 . Với giá trị nào của m thì tam giác tạo bởi hai đường tiệm cận và x − m +1

Ỡ N

Ví dụ 1: Cho y =

BÀI TẬP MINH HỌA

A. 8 + 3 5

B. 8 − 3 5

C. 9 − 3 5

D. 3 5 − 9

HƯỚNG DẪN GIẢI

BỒ

ID Ư

đường thẳng y = 2x + 1 có chu vi là 6?

Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Ta có: x = m − 1 và y = m lần lượt là tiện cậm đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

- Do đó O ( m − 1, m ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y =

H Ơ

mx − 1 x − m +1 mx − 1 x − m +1

⇒ A ( m − 1, 2m − 1) là giao điểm của tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

m −1 2

Ư N

- Thay y = m vào y = 2x + 1 , ta được m = 2x + 1 ⇒ x =

mx − 1 và x − m +1

ẠO

đường thẳng y = 2x + 1

TP .Q

- Thay x = m − 1 vào y = 2x + 1 ta được: y = 2 ( m − 1) + 1 = 2m − 1

TR ẦN

mx − 1  m −1  và đường , m  là giao điểm của tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = ⇒ B x − m +1  2  thẳng y = 2x + 1

- Ta phải lưu ý rằng nếu m = 1 thì A = B = C và không tạo thành tam giác, do đó m ≠ 1

- Từ các dữ kiện trên ta có:

m −1 1 = m −1 2 2

ẤP

OB = m − 1 −

OA = 2m − 1 − m = m − 1

 5 2 2  m − 1   m −1  AB = ( m − 1) −  m −1   + ( 2m − 1 − m ) =   + ( m − 1) = 2  2   2  

Í-

Chu vi ∆ABC : C ∆ABC = m − 1 +

1 5 3+ 5 m −1 + m −1 = m −1 2 2 2

-L

m − 1 = 9 − 3 5 m = 8 − 3 5 3+ 5 m −1 = 6 ⇔ m −1 = 9 − 3 5 ⇔  ⇔ 2  m = 3 5 − 8 1 − m = 9 − 3 5

ÁN

Để C ∆ABC = 6;

Ta thấy chỉ có đáp án B thỏa mãn m = 8 − 3 5

Ỡ N

⇒ Chọn B

BỒ

ID Ư

Ví dụ 2: Cho y =

2x + 1 . Tính diện tích tam giác tạo bởi đường tiệm cận của hàm số đã cho 3x − 2

và đường thẳng y = 2x + 1 ?

5 12

Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

25 18

5 6

25 36

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

HƯỚNG DẪN GIẢI

- Thay y =

2 2 −1  1 2 vào y = 2x + 1 ta được: 2x + 1 = ⇒ x = ⇒ B − ;  3 3 6  6 3

Ư N

2 1 5 7 2 5 + = và OA = − = 3 6 6 3 3 3

TR ẦN

1 1 5 5 25 ⇒ S∆OAB = .OA.OB = . . = 2 2 6 3 36

⇒ Chọn D

ax + 2 . Đặt M là tâm đối xứng của (C), N là giao điểm của tiệm cận 2x − 3a

Ví dụ 3: Cho ( C ) : y =

2 2 7 2 7 vào y = 2x + 1 ta được: 2. + 1 = ⇒ A  ;  3 3 3 3 3

- Thay x =

ẠO

TP .Q

hàm số với đường thẳng y = 2x + 1 .

- Từ những điều trên ta có: OB =

H Ơ

2 2 và tiệm cận ngang y = của đồ thị 3 3

- Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiệm cận đứng x =

2 2 - Ta có: O  ;  là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho. 3 3

đứng và trục hoành, O là gốc tọa độ, P là giao điểm tiệm cận ngang và trục tung. Hình chữ

−4 3 3

ẤP

4 3 3

C. ±

4 3 3

D. 4

HƯỚNG DẪN GIẢI

Phân tích:

nhật MNOP có diện tích là 4. Tính tất cả các giá trị của a,

Í-

3a a là tiệm cận đứng và y = là tiệm cận ngang của (C) 2 2

-L

Ta có: x =

3a a 3a 2 . = 2 2 4

ÁN

Diện tích hình chữ nhật MNOP : S = xy =

3a 2 4 3 =4⇔a=± 4 3

Ỡ N

Do đó

BỒ

ID Ư

⇒ Chọn C

Lưu ý: Các em hấp tấp ở câu này có thể bỏ qua ý “tất cả giá trị của a” và chọn nhầm sang đáp án A hoặc B. Nhận xét: Qua bài này ta có thề suy ra diộn tích hình chữ nhật ABCD (nếu có) tạo bởi hai đường tiệm cận x = x 0 và y = y 0 của đồ thị hàm số và hai trục tọa độ là S = x 0 y 0 Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì C1 : y =

x+2 x −3 sẽ có chung tâm đối và C2 : 2 2 2mx + m m x + 2m B. m = 2

C. m = 0

D. Không có giá trị m thỏa mãn

A. m = −2

H Ơ

xứng?

HƯỚNG DẪN GIẢI

x+2 x −3 và y = 2 đều không xác định 2 2mx + m m x + 2m

ẠO

Ta thấy rằng với m = 0 , cả hai hàm số y =

TP .Q

Phân tích:

⇒m≠0

−m −2 1 1 và x = lần lượt là tiệm cận đứng, y = và y = 2 lần lượt là 2 m 2m m

Ư N

V ới m ≠ 0 , x =

m = 0 1 1 (2) = 2 ⇔ m 2 − 2m = 0 ⇔  2m m m = 2

Và :

−2 − m = ⇔ m 2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2 (1) m 2

Xét:

TR ẦN

tiệm cận ngang của ( C1 ) và ( C2 )

Kết hợp (1) và (2) ⇒ m = 2

⇒ Chọn B

ẤP

Lưu ý:

- Một số em nhìn thấy đa thức ở tử của hai hàm số là x + 2 và x − 3 khác nhau, liền nghĩ

chúng không thể chung tâm đối xứng và chọn ngay đáp án D là rất sai lầm.

Í-

- Ta rút ra một kết luận là đối với hàm số y =

ax + b , c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 , giá trị b không làm cx + d

ÁN

-L

ảnh hưởng đến tâm đối xứng cũng như hai đường tiệm cận của hàm số.

Ví dụ 5: Cho C : y =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

C1 : y = A.

( m + 1) x − 2 . Định m để C có tiệm cận ngang trùng với tiệm cận ngang m 2 x + 2m

2x − 2 ? x +1

−1 2

B. 0

C. -1

D. 2

HƯỚNG DẪN GIẢI - Xét C1 : y =

2x − 2 2x − 2 = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang của C1 , ta có lim y = lim x →+∞ x →+∞ x +1 x +1

Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

( m + 1) x − 2

m 2 x + 2m

−2 x−2

Với m = −1 , ta được hàm số y =

không xác định ∀x ∈ ℝ , ta loại B

H Ơ

( m + 1) x − 2

Đồ thị hàm số trên nhận đường thẳng y = 0 ≠ y = 2 là tiệm cận ngang, ta loại C.

x →+∞

2mx + m 2

x →+∞

2 x = m +1 lim x →+∞ 2m mh2 m2 + x m +1−

ẠO

Với m ≠ 0 và m ≠ −1 , xét lim y =

( m + 1) x + 2 = lim

Với m = 0 , hàm số y =

m 2 x + 2m

TP .Q

- Xét C : y =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Xét các đáp án, chỉ có A thỏa m =

TR ẦN

Ư N

 m =1 m +1 2 Để C nhận y = 2 làm tiệm cận ngang thì = 2 ⇔ 2m − m − 1 ⇔   m = −1 m2 2 

−1 2

x2 + 2 . Tìm m để đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận 2x 2 − 2mx + m

Ví dụ 6: Cho hàm số y =

⇒ Chọn A

A. m = 2

C. m = −2

ẤP

B. m = 0

đứng và tiệm cận đứng đó cắt parabol ( P ) : y = x 2 − 2x + 2 tại điểm có tung độ là 2?

HƯỚNG DẪN GIẢI

x2 + 2 có duy nhất một tiệm cận đứng 2x 2 − 2mx + m

- Đồ thị hàm số y =

D. m = 1

-L

Í-

⇒ phương trình 2x 2 − 2mx + m = 0 có nghiệm kép

ÁN

m = 2 ⇔ ∆ ' = 0 ⇔ m 2 − 2m = 0 ⇔  m = 0

x2 + 2 2x 2 − 4x + 2

Ỡ N

Với m = 2, y =

BỒ

ID Ư

- Xét: 2x 2 − 4x + 2 = 0 ⇔ 2 ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1

Kiểm tra giới hạn ta được x = 1 là tiệm cận đứng của y =

x2 + 2 2x 2 − 2mx + m

Để tìm giao điểm của x = 1 và (P), ta thay x = 1 vào y = x 2 − 2x + 2 :12 − 2 + 2 = 1 ≠ 2 ⇒ m = 2 không thỏa mãn.

Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Với m = 0 , y =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x2 + 2 2x 2

H Ơ

Hàm số trên nhận x = 0 là tiệm cận đứng

Thay x = 0 vào y = x 2 − 2x + 2 , ta được: 02 − 2.0 + 2 = 2 (thỏa mãn)

Do đó ta nhận m = 0

Ví dụ 7: Cho f ( x ) =

TP .Q

⇒ Chọn B

2x + 1 . Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) có: x +3

ẠO

A. x = −3 là tiệm cận đứng, y = 2 là tiệm cận ngang

B. x = 3 là tiệm cận đứng, y = −2 là tiệm cận ngang

D. x = −3 là tiệm cận đứng, y = 0 là tiệm cận ngang

( x + 3)

Ta có: y = f ' ( x ) =

TR ẦN

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ư N

C. x = −3 là tiệm cận đứng, y = 5 là tiệm cận ngang

- Xét ( x + 3) = 0 ⇔ x = −3

  5 2  = +∞ lim ( x + 3) = 0 y = lim  ⇒ xlim 2 x →−2 x →−3− → 2− x + 3) (  2 ( x + 3) > 0, ∀x > −3

lim 5 = 5 > 0

ẤP

x →−3+

Í-

⇒ x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

-L

- Đồng thời: lim y = lim

x →+∞

ÁN

x →+∞

( x + 3)

⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

( x + 3)

Ỡ N

⇒ Chọn D

BỒ

ID Ư

Lưu ý: Đối với bài này nếu các em không đọc kĩ có thể nhầm lẫn giữa f ' ( x ) với f ( x ) và

chọn sai sang đáp án A.

Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa f ( 3) = 1 và đồ thị của nó có hai tiệm cận đứng đối xứng qua gốc tọa độ?

Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. y =

x 2 x −1

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. y =

x+2 x2 − 4

C. y =

x2 − 6 x+4

D. y =

x −3 x − 2x − 3 2

H Ơ N

f (x) g(x)

Để ý thấy các đáp án đều là hàm số có dạng y =

HƯỚNG DẪN GIẢI

TP .Q

Đồng thời di các tiệm cận đứng đối xứng qua gốc tọa độ nên x1 + x 2 = 0

ẠO

Do đó, ta loại được C và D

x 3 3 = ≠ 1 ⇒ loại A , ta có: f ( 3) = 2 x −1 3 −1 8

Xét với f ( x ) = y =

Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng ⇒ g ( x ) có ít nhất hai nghiệm phân biệt x1 , x 2

Ư N

Như vật chỉ còn đáp án B

x+2 3+ 2 ⇒ f ( 3) = 2 = 1 (thỏa mãn) 2 x −4 3 −4

TR ẦN

Ta có thể kiểm tra lại: f ( x ) = y = ⇒ Chọn B

MỘT SỐ THỦ THUẬT, KĨ NĂNG CẦN BIẾT

Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS) - Nhấn

và nhấn các phím có nhãn chữ màu vàng để sử dụng các chức năng của hàm

đó.

và nhấn các phím có nhãn chữ màu đỏ để sử dụng các chức năng của hàm

ẤP

- Nhấn

đó. - Phím

Áp dụng:

-L

Í-

dùng để thay giá trị và tính…

hiện

, nhấn

ÁN

1/ Nhập

, nhập

(

, nhấn

)

, nhập 3

, màn hình sẽ hiện

, nhấn

, màn hình sẽ

. Ta được đáp án trên màn hình là

BỒ

ID Ư

Ỡ N

kết quả của 3 + 2 5

, màn hình sẽ hiện

Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

, nhấn

(2 − 2 5 ) kết quả của

, nhập

, màn hình sẽ hiện

, nhấn

, màn hình sẽ

. Ta được đáp án trên màn hình là

, nhập

, màn hình sẽ hiện

hiện

, nhấn

H Ơ

2/ Nhập

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

TP .Q

2.2

- Thay các giá trị xấp xỉ để tính lim.

4 −9 x

1) Cho hàm số y = f ( x ) =

ẠO

Áp dụng

Thử bằng cách nhập

TR ẦN

Ư N

 4 − 9x  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 0 vì lim+   = +∞ x →0  x 

, nhấn

, màn hình sẽ hiện

, nhập

, nhấn

1− 5 x x x

2) Cho hàm số y = f ( x ) =

4  , màn hình hiện số khá lớn. Vậy ta có thể dự đoán khi x → 0 thì  − 9  → ∞ X  

, màn hình sẽ hiện

, nhập

Í-

1− 5 x , màn hình hiện số xấp xỉ 0. Vậy ta có thể dự đoán khi x → +∞ thì   x x

ÁN

-L

nhấn

, nhấn

Thử bằng cách nhập

ẤP

5  1 Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0 vì lim f ( x ) = lim  − =0 x →+∞ x →+∞ x x x 

  → 0 

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

Câu 1: Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận? B. y = ax 4 + bx 2 + d

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. y = ax + b

C. y = ax 3 + bx 2 + cx + d

D. y =

ax + b , c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 cx + d '

Câu 2: Trong các hàm số dưới đây, đồ thị của hàm nào có tiệm cận đứng A. y =

2x 2 + 3 x 2 + 2x + 4

Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. y =

x 3 + 2x x4 +1

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3x + 1 2x − 1

D. y = sin x

B. x = 2

C. y = 2

D. y =

3 2

D. y =

2x + 1 x2 −1

B. y =

4x + 1 1− x

C. y =

x +3 x2

ẠO

2x + 1 x2 +1

TP .Q

Câu 4: Đồ thị hàm số nào không có tiệm cận đứng? A. y =

H Ơ

3 2

A. x =

3x + 1 có tiệm cận đứng là? 2x − 4

Câu 3: Đồ thị hàm số y =

C. y =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 5: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có thì luôn: B. Vuông góc với trục tung

C. Song song với trục hoành

D. Song song hoặc trùng với trục tung

Ư N

A. Song song với trục tung

B. y = 2x + 5 −

A. x = 2

4 C. y = tan x 3x − 2

D. y =

2x + 3 5− x

2x − 4 có tiệm cận ngang là? x +1

B. y = −1

Câu 7: Đồ thị hàm số y =

TR ẦN

2x 2 + 4 x−2

C. x = −1

A. y =

Câu 6: Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận ngang?

D. y = 2

3 + 4 − 2x x −1

x 2 + 2x − 3 x2 − 9

C. y =

ẤP

B. y =

4x − 2 2x − 1

D. y = 2 x

A. y =

Câu 8: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang?

Câu 9: Nếu đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận ngang thì:

A. Tiệm cận ngang luôn trùng với trục hoành

Í-

B. Tiệm cận ngang luôn song song với trục hoành

-L

C. Tiệm cận ngang luôn song song với trục tung

ÁN

D. Tiệm cận ngang luôn vuông góc với trục tung

Câu 10: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu có thì luôn: B. Song song nhau

C. Song song hoặc trùng nhau

D. Vuông góc nhau

Câu 11: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận? A. y = 2x + 1 +

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. Cắt nhau tại gốc tọa độ

4 x −1

Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. y = tan x

C. y =

x 4 + 3x 2 + 2 6

D. y = e x

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu 12: Cho hàm số y =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−5

( x − 2)

và các mệnh đề sau:

H Ơ

(I): Đồ thị hàm số luôn nằm dưới trục hoành

(II): Đồ thị hàm sôs có tiệm cận đứng là x = 2

( x − 2)

−10x − 2 4

TP .Q

(IV): Hàm số có đạo hàm y ' =

(III): Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

ẠO

(V): Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định ℝ Các mệnh đề không chính xác là?s

 2 A.  5;   5

2  B.  ;5  5 

2x + 1 là: 5− x

TR ẦN

C. ( 5; −2 )

Câu 13: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y =

D. Cả A và B

C. (I), (II)

Ư N

B. (V)

A. (III)

D. ( −2;5 )

x −3 có bao nhiêu tiệm cận? 2 + 4x 2

B. 1

C. 0

3x 2 có: 2x 2 + 3x

Câu 15: Đồ thị hàm sô y =

D. 3

A. 2

Câu 14: Đồ thị hàm số y =

B. 2 tiệm cận đứng

C. 2 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang

D. ít nhất 3 tiệm cận

ẤP

A. 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang

Câu 16: Đồ thị hàm số y = 2x +

3 có: x −5

B. Tiệm cận đứng là x = 5

C. Tiệm cận ngang là x = 5

D. Tiệm cận đứng là y = 5

ÁN

-L

Í-

A. Tiệm cận ngang là y = 2x

Câu 17: Tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x ) đi qua điểm M ( 3; 2 ) và vuông góc trục hoành có thể là?

B. Tiệm cận ngang y = 2

C. Tiệm cận đứng x = 3

D. A, B, C đều sai

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. Đường thẳng y = 3x + 2

Câu 18: Đồ thị hàm số y =

x 2

x −4

có:

A. 1 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang

B. 2 tiệm cận đứng, 1 tiệm cận ngang

C. 2 tiệm cận đứng, 2 tiệm cận ngang

D. 1 tiệm cận đứng, 2 tiệm cận ngang

Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 19: Đồ thị hàm số nào sau đây có nhiều hơn hai tiệm cận?

Câu 20: Cho hàm số y =

3 15x + 1

C. y =

x2 +1 x 2 − 5x + 6

D. y =

x2 − 6 x2 + 2

3x 2 + 4 . Chọn phát biểu đúng: x 2 − 5x + 6

A. x = 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

TP .Q

B. Hàm số không xác định trên ℝ \ {2, −3}

ẠO

C. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng D. Hàm số đơn điệu trên toàn bộ ℝ

B. x =

9 4

Câu 22: Đồ thị (C) của hàm số y =

C. x =

2x + a sao cho đồ thị (C) của hàm số đã cho có tiệm 5a − b

ẤP

cận đứng x = 2 và đi qua P ( 3;1)

2x + 2 5x − 10

2x − 1 5x − 10

C. y =

2x − 3 5x − 10

D. y =

2x 5x − 10

B. y =

 −1 1  D.  ,   2 2

1  C.  ;1 2 

Câu 23: Xác định hàm số y = f ( x ) =

A. y =

D. x = 1

πx + 3 đi qua A ( 2;1) . Tâm đối xứng của (C) là? 2x + 1

 −1  B.  ; 2   2 

A. ( 2;1)

1 2

A. x = 1

Ư N

2x + a đi qua điểm A ( 2; 0 ) . Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số này là? 4x − 9

TR ẦN

Câu 21: Hàm số y =

B. y =

H Ơ

2x + 1 x+2

A. y =

Câu 24: Hàm số y = f ( x ) thỏa mãn các tính chất sau:

-L

Í-

- Đồng biến trên các khoảng xác định - Không xác định tại x = 2

ÁN

- Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nằm trên trục tung và cách trụ tung một đoạn d = 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Hàm số đó có thể là:

A. y =

( x − 2)

B. y =

3x − 7 x−2

C. y =

3x 2 − 2 x−2

D. y =

3x 2 − 1 x2 − 4

 2x + 3 ,x < 2  Câu 25: Cho (C) : y = f ( x ) =  4 − 2x  x 3 + 3x 2 + 1, x ≤ 2

Điều kiện nào sau đây là đúng? Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. (C) không có tiệm cận

B. (C) có tiệm cận đứng

C. (C) có tiệm cận ngang

D. (C) có nhiều hơn một tiệm cận

H Ơ

x 2 − 6x + 5 1 1 3 và các đường thẳng: d1 : x = ; d 2 : y = − ; d 3 : y = − 2x + 3 2 2 2

Câu 26: Cho y =

D. Cả 3 đều sai

C. d 3

B. d 2

TP .Q

A. d1

Các đường thẳng là tiệm cận của đồ thị là:

ẠO

 1 − x 2 , −1 ≤ x < 1   x−2 ,x ≥1 Câu 27: Cho y = f ( x ) =  . Phát biểu nào sau đây không chính xác. x −1  x 2 , x < −1  

Ư N

A. D = ℝ là tập xác định của hàm số y = f ( x )

TR ẦN

B. Hàm số nhận giá trị 0 khi biến x = 0 C. x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x )

x − 2 ( m − 1) x + ( m + 1) − 4

B. 3

C. 1

D. Không thể xác định

A. 2

có bao nhiêu tiệm cận

Câu 28: Đồ thị hàm số y =

D. y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x )

x2 + 2 . Khẳng định nào đúng? x2 − 4

B. i > j

C. i < j

-L

Í-

A. i = j

ÁN

Câu 30: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y =

A. 0

B. 2

ID Ư

Ỡ N

Câu 31: Đồ thị hàm số y =

BỒ

2x + 5 và x −3

ẤP

Câu 29: Cho i, j lần lượt là tiệm cận đứng của đồ thị của hai hàm số y =

A. a ≥ −7

D. i, j không tồn tại

mx 2 + 1 có tiệm cận ngang? 2x − 3

3 2

D. 1

6 có tiệm cận đứng khi? x + 2ax − 6a + 7 2

B. a ≤ 7

C. a ≤ −7 hoặc a ≥ 1

Câu 32: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đi qua M

(

)

D. a ≤ 1

3,1 và có dạng y =

x +1 . Giá trị 2x − m

của m là:

Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 2

D. 2 3

A. m = n < p < q

x 2

x −4

. So sánh nào sau đây là đúng?

2x + 2 x 2 + 3x + 1 ; y= 2 ; y= x −1 x − 4x − 5

B. q < p < n < m

C. m < n < p < q

D. m = n = p = q

TP .Q

x 2 − 2x + 3 ; x −3

Câu 33: Gọi m, n, p, q lần lượt là tổng số tiệm cận ngang và đứng của: y =

H Ơ

A. 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

3 1 Câu 34: Cho đồ thị hàm số có giao của hai đường tiệm cận là M  ;  và đi qua A ( 3,1) .  2 3

2x + 1 x −3

B. y =

C. y =

x +5 3x − 2

x+4 3x − 2

D. y =

Ư N

A. y =

Hàm số đó có thể là?

3x − 2 x+4

TR ẦN

3mx 2 + 2m + 9 . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có tiệm Câu 35: Cho hàm số y = ( 3m2 − 2 ) x 2 + 2 cận ngang y = 3 ?

2 3

1 3

D. 3

A. 1

x−2 2x − 2

x+2 2x − 1

C. y =

B. y =

A. y =

1 ? 2

ẤP

đến tiệm cận ngang của nó bằng

Câu 36: Đồ thị hàm số nào sau đây thỏa mãn khoảng cách từ giao điểm của nó với trục tung

x+2 2x + 1

D. y =

x−2 2x + 1

Í-

+ 2m − 4 ) x 2 − ( 2m + 1)

( 2m + 3) x 2 − 9

-L

, với m là nghiệm nguyên dương của phương trình

ÁN

(m y=

Câu 37: Cho a và b lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

m 2 − 4 = 0, a và b lần lượt có những giá trị ?

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. a = ±1, b = ±

4 9

B. a = −1, b = −

4 9

C. a = 1, b =

4 9

D. a = ±1, b =

4 9

Đáp án

1-D

2-C

3-B

4-A

5-D

6-D

7-D

8-A

9-D

10-D

11-C

12-D

13-C

14-B

15-A

16-C

17-C

18-C

19-C

20-A

21-B

22-D

23-B

24-B

25-C

26-B

27-B

28-B

29-C

30-A

31-C

32-D

33-C

34-A

35-A

36-A

37-D

Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

LỜI GIẢI CHI TIẾT

H Ơ

Câu 1: Đáp án D Phân tích: Đây là câu hỏi rất cơ bản chỉ để kiểm tra kiến thức lý thuyết.

Như vật ta có thể dễ dàng loại bỏ đáp án A, B và C

ax + b , với điều kiện c ≠ 0 , ad − bc ≠ 0 có tiệm cận cx + d

ẠO

Đồ thị hàm phân thức hữu tỷ dạng y =

TP .Q

bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d , hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c đều không có tiệm cận.

Các đồ thị hàm số đa thức như hàm bậc nhất y = ax + b , hàm bậc hai y = ax 2 + bx + c , hàm

đứng và tiệm cận ngang

Ư N

Câu 2: Đáp án C

Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng x = x 0 nếu ít nhất một trong bốn điều sau đây

lim f ( x ) = +∞

lim f ( x ) = −∞

x → x 0−

x → x 0+

TR ẦN

được thỏa:

Phân tích: Tuy nhiên, đối với hàm số phân thức dạng y =

lim f ( x ) = −∞

x → x 0−

f (x) (đã tối giản), ta có thể giải g(x)

nhanh bằng cách giải phương trình g ( x ) = 0 , các nghiệm của phương trình này (nếu có) thì

f (x) (ta phải kiểm tra lại bằng g(x)

ẤP

thường chính là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

cách tính giới hạn).

Dễ dàng nhận thấy rằng hàm số y = sin x có tập xác định trên ℝ và đồ thị của hàm này

-L

Í-

không có tiệm cận. Như vậy ta nhanh chóng loại được đáp án D. Ta lại có hai phương trình x 4 + 1 = 0 và x 2 + 2x + 4 = 0 vô nghiệm trên trường số thực. Nên

ÁN

đồ thị hai hàm số của hai đáp án A và B cũng không có tiệm cận đứng.

Câu 3: Đáp án B

Phân tích: Xét 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

lim ( 3x + 1) = 7 > 0   3x + 1 Ta có: lim+ ( 2x − 4 ) = 0  ⇒ lim+ y = lim+ = +∞ x →2 x → 2 2x − 4 x →2  2x − 4 > 0, ∀x > 2  x → 2+

Đo đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Câu 4: Đáp án A Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích: Thay vì đi tìm tiệm cận theo định nghĩa, ta có thể phân tích nhanh bằng cách sau đây.

H Ơ N

4x + 1 x +3 2x + 1 . Như vậy đáp án B, C, D có thể không chính xác. ,y = 2 ,y = 2 1− x x x −1

TP .Q

Nhưng ta chắc chắn một điều rằng phương trình x 2 + 1 = 0 không có nghiệm trên trường số

hàm số y =

Ta thấy cả ba phương trình: 1 − x = 0, x 2 = 0, x 2 − 1 = 0 đều có nghiệm. Do đó đồ thị của các

thực do đó ta dễ dàng chọn được đáp án A.

ẠO

Lưu ý: Ở đây học sinh nên đọc kỹ câu hỏi, khi các em chỉ lướt sơ qua thì có thể nhầm đề là “Hàm số nào sau đây có tiệm cận đứng” và chọn sai!

Câu 5: Đáp án D

Ư N

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nếu có thì luôn song song hoặc trùng với trục tung.

Câu 6: Đáp án D

TR ẦN

Hàm số y = f ( x ) có tiệm cận ngang y = y 0 nếu một trong hai điều sau đây được thỏa:

lim f ( x ) = y 0

x →+∞

f (x) với f ( x ) , g ( x ) là các hàm đa thức, đồ thị hàm g(x)

Phân tích: Đối với hàm phân thức y =

số sẽ không có tiệm cận ngang khi bậc của f(x) lớn hơn bậc của g(x).

Từ đây ta thấy ngay đáp án A không thỏa mãn.

ẤP

4 6x 2 + 11x − 14 = cũng không thỏa mãn. 3x − 2 3x − 2

Ở câu B, y = 2x + 5 −

Đồ thị hàm số y = tan x chỉ có tiệm cận đứng, nên ta cũng loại đáp án C.

A , a ≠ 0, A ≠ 0 ta luôn có thể kết luận đồ thị cx + d

-L

Í-

Lưu ý: Đối với hàm số có dạng y = ax + b +

ÁN

hàm số không có tiệm cận ngang, mà có tiệm cận xiên y = ax + b

Câu 7: Đáp án D

Do đó đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang y = 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

4 2− 2x − 4 x =2 Phân tích: Xét lim y = lim = lim x →+∞ x →+∞ x + 1 x →+∞ 1 1+ x

Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét: - Đồ thị hàm phân thức hữu tỷ dạng y =

a c

H Ơ

ngang y =

ax + b , c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 luôn có tiệm cận cx + d

ngang hoặc giữa x và y. Cần lưu ý để tránh chọn đáp án sai!

- Những em quá vội hoặc quá chủ quan có thể nhầm lẫn giữa tiệm cận đứng và tiệm cận

f (x) với f(x), g(x) là các hàm đa thức, đồ thị hàm số g(x)

ẠO

Phân tích: Đối với hàm phân thức y =

TP .Q

Câu 8: Đáp án A

sẽ không có tiệm cận ngang khi bậc của f(x) lớn hơn bậc của g(x).

Ư N

Do đó đáp án A là không thỏa mãn.

TR ẦN

2 3 1+ − 2 x 2 + 2x − 3 x x = 1 có tiệm cận ngang. Ta có một Với đáp án B, lim y = lim = lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ 9 x2 − 9 1− 2 x nhận xét ngắn là đối với hàm phân thức hữu tỷ, khi bậc của x ở tử bằng bậc của x ở mẫu, đồ

Đáp án C cũng thỏa mãn. x →−∞

x →−∞

Đáp án D thỏa mãn vì lim y = lim 2 x = 0

thị hàm số thường có tiệm cận ngang.

ẤP

Lưu ý: Nhiều em do vội vàng hoặc chưa vững kiến thức có thế lầm hàm y = 2 x thành hàm

y = 2x , hoặc sẽ nghĩ hàm y = 2 x không có tiệm cận và dẫn tới chọn sai.

Câu 9: Đáp án D

Í-

Phân tích: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) luôn vuông góc với trục tung.

-L

Như vật ta nhận ra ngay đáp án là D

ÁN

Ghi chú: Câu này là lý thuyết thuần túy nên rất dô, tuy nhiên nếu đọc đáp án lướt qua các em

có thể nhầm rằng "tiệm cận ngang luôn song song với trục hoành" và chọn đáp án là B. Thật ra, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số luôn song song hoặc trùng với trục hoành mới

Ỡ N

chính xác

BỒ

ID Ư

Câu 10: Đáp án D

Phân tích: Tiệm cận ngang và tiệm cận đúng của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có thì luôn vuông góc nhau.

Câu 11: Đáp án C Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x 4 + 3x 2 + 2 x 4 x 2 1 = + + không có tiệm cận 6 6 2 3 x 4 + 3x 2 + 2 là hàm phân thức hữu 6

Lưu ý: - Một số em lướt nhanh qua có thể lầm hàm y =

H Ơ

Phân tích: Để ý ta thấy đồ thị hàm số y =

đứng, các em chưa vững lỹ thuyết cũng có thể lầm là chúng không có tiệm cận.

4 thành hàm bậc nhất y = 2x + 1 x −1

ẠO

- những em hấp tấp có thể nhận định hàm y = 2x + 1 +

TP .Q

- Hàm số mũ y = e x có tiệm cận ngang bên trái và hàm lượng giác y = tan x có tiệm cận

tỷ và bỏ qua.

nên cũng có thể chọn sai.

Ư N

- Các em nên đọc kỹ đề để tránh nhầm lẫn giữa câu hỏi “không có tiệm cận” và “có tiệm cận”.

Phân tích: Ta nhận ra rằng hàm số y =

−5

( x − 2)

TR ẦN

Câu 12: Đáp án D

< 0, ∀x ∈ ℝ / {2} nên đồ thị của nó luôn nằm

bên dưới trục hoành. Đồng thời tại x = 2 hàm số không xác định nên đường thẳng x = 2 là

x →+∞

−5

( x − 2)

= 0 nên hàm số nhận đường thẳng y = 0 (trục hoành) làm tiệm cận

x →+∞

Xét lim y = lim

tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Như vậy (I) và (II) đúng. Ta loại C.

ẤP

ngang. Mệnh đề (III) sai.

Đồng thời để ý một chút ta sẽ nhận ra rằng hàm số này không xác định trên toàn R nên cũng

không thể nghịch biến trên R được. Vậy mệnh đề (V) cũng sai.

Í-

Do đó ta có thể chọn ngay đáp án D mà không cần xét tính đúng - sai của mệnh đề (IV),

-L

Ghi chú: Vì đây là câu hỏi trăc nghiệm nên đôi khi ta can bò qua một số các bước không cần

ÁN

thiết như tính đạo hàm ở mệnh đề (IV). Trong một số trường hợp, việc tính đạo hàm có thế

gây mất thời gian của một số em, nên cân đọc kĩ đề cũng như đáp án, để tránh lãng phí thời gian vô ích.

Ỡ N

Câu 13: Đáp án C

BỒ

ID Ư

Phân tích: Đối với hàm phân thức hữu tỷ y =

ax + b , c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ta có: cx + d

Tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận. Dễ dàng ta thấy đồ thị hàm số y =

Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2x + 1 nhận đường thẳng x = 5 làm tiệm cận đứng. 5− x

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2x + 1 = −2 . Do đó đường thẳng y = −2 là tiệm cận ngang của đồ thị x →+∞ 5 − x

Ta lại có: lim y = lim x →+∞

H Ơ

hàm số.

Từ đó ta suy ra ( 5, −2 ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

2 và 5

TP .Q

lướt dễ nhầm số tự do “5” thành đa thức “5x” dẫn tới nhầm tiệm cận ngang thành y =

Nhận xét: Các em học sinh thường bất cấn khi quan sát đa thức "5 − x " ở mẫu. Một số em

chọn đáp án A.

ẠO

Ngoài ra các em cũng có thể nhầm lẫn giữa tiệm cận đứng và tiệm cận ngang, hoặc chưa biết

tâm đối xứng là gì do kiến thức cơ bản còn yếu, dẫn tới chọn sai.

x →+∞

x −3 = 0 nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 0 là tiệm cận 2 + 4x 2

TR ẦN

x →+∞

Phân tích: lim y = lim

Ư N

Câu 14: Đáp án B

ngang.

Ta lại có: 2 + 4x 2 > 0, ∀x ∈ ℝ , nên hàm số không có tiệm cận đứng.

Những vấn đề về tiệm cận xiên không có trong kiến thức của chương trình chuẩn, nhưng ta

có thể nhớ rằng "đồ thị hàm phân thức hữu tỷ nếu đã có tiệm cận ngang thì sẽ không có tiệm

cận xiên".

Như vậy, đồ thị của hàm số đã cho chỉ có một tiệm cận.

ẤP

Lưu ý: Các em cẩn thận quan sát mẫu số, tránh nhầm lẫn hàm "2 + 4x 2 " thành "2 + 4x " , dẫn

Í-

Câu 15: Đáp án A

−1 và chọn sai. 2

đến kết luận hàm số có thêm tiệm cận đứng x =

3x 2 2 3 = lim = nên đồ thị hàm số có tiệm cận 2 x →+∞ 2x + 3x x →+∞ 3 2 2+ x

x →+∞

ÁN

-L

Phân tích: Ta có: lim y = lim

ngang y =

3 2

3x 2 3x = 2 2x + 3x 2x + 3

Xét phương trình: 2x + 3 = 0 ⇔ x =

−3 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ta để ý sẽ thấy y =

Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 −9 < 0 3 2  x →− 2  3x lim + ( 2x + 3) = 0  ⇒ lim + y = lim + = −∞ 3 3 3 2x + 3 x →− x →− x →−  2 2 2  −3 2x + 3 > 0, ∀x >  2 

H Ơ N Y U

3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 2

TP .Q

Do đó đường thẳng x = −

lim + ( 3x ) =

ẠO

Như vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.

3x 2 còn 2x 2 + 3x

Nhận xét: Sai lầm phổ biến ở đây là các em thường không nhận ra hàm số y =

TR ẦN

Câu 16: Đáp án C

hàm số đã cho con đến 2 đường tiệm cận đứng và chọn sai!

Ư N

có thể đơn giảm đi x, dẫn tới xét phương trình y = 2x 2 + 3x có hai nghiệm và kết luận đồ thị

Phân tích: Như đã phân tích ở các câu trước đồ thị hàm số y = 2x +

ẤP

Như vậy ta chọn ngay được C.

3 2x 2 − 10x + 3 có một tiệm cận đứng x = 5 = x −5 x −5

Ta lại thấy: đồ thị hàm số y = 2x +

cận ngang.

3 sẽ không có tiệm x −5

Câu 17: Đáp án C

Phân tích: Ta thấy ngay rằng đường tiệm cận mà vuông góc với trục hoành thi chỉ có thể là

Í-

có đi qua M ( 3; 2 )

tiệm cận đứng, trong các đáp án chỉ có x = 3 thỏa điều này. Kiểm tra lại ta thấy đường x = 3

-L

Lưu ý: nhắc nhở lại rằng đôi khi các câu hòi trắc nghiệm có thể đánh lạc hướng chúng ta,

ÁN

như trong trường hợp câu này nếu tinh ý phán đoán một chút ta có thể nhận ra ngay kết quà là

C mà không cần kiểm tra tính đúng-sai của A, B, D (vì trắc nghiệm chi cỏ một đáp án đúng)

Ỡ N

Câu 18: Đáp án C

BỒ

ID Ư

- Xét:

 x=2 x2 − 4 = 0 ⇔ x2 − 4 = 0 ⇔   x = −2

- Từ đây nhìn nhanh ta có hàm số có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = −2 - Giải thích kĩ hơn:

Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

lim x = 2 > 0

  x  2 lim+ x − 4 = 0  ⇒ lim+ y = lim+ = +∞; 2 x →2 x →2 x −4  x →2 x 2 − 4 > 0, ∀x > 2 

H Ơ

x → 2+

lim x = −2 < 0

  x  2 lim− x − 4 = 0 ⇒ lim− y = lim− = −∞;  2 x →2 x→2 x −4  x→2 x 2 − 4 > 0, ∀x < −2 

TP .Q

x → 2−

x →−∞

x 2

x −4

= lim

x →−∞

= lim

4 x 1− 2 x

x 4 x 1− 2 x

= lim

x →−∞

x →+∞

1 4 − 1− 2 x

1 4 1− 2 x

= −1

x →+∞

x −4

= lim

Ư N

Và lim y = lim

x →+∞

TR ẦN

Ta lại xét: lim y = lim

ẠO

Như vậy đáp án A và D đã bị loại

- Như vậy đồ thị hàm số cũng có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = −1

Vậy đồ thị hàm số này có hai tiệm cận ngang và hai tiệm cận đứng. x 2

x −4

khi x → +∞

Lưu ý: Bài này dễ khiến các em sai vì lầm tưởng giới hạn của hàm y =

ẤP

và khi x → −∞ là như nhau. Hai giới hạn này khác nhau vì khi đưa x 2 ra khỏi biểu thức

chứa căn thì ta phải đặt x trong dấu giá trị tuyệt đối. Như vậy, ta có nhận xét rằng, với các

hàm phân thức hữu tỷ thì thường giới hạn khi x → +∞ và khi x → −∞ là bằng nhau, nhưng

với hàm căn thức thì cần phải xem xét kiểm tra cẩn thận.

-L

Í-

Câu 19: Đáp án C

2x + 1 và đồ thị x+2

ÁN

Phân tích: Từ các bài tập trên ta dễ dàng nhận ra ngay đồ thị hàm số y =

3 chỉ có hai tiệm cận. Như vậy A và B không phải đáp án chính xác. 15x + 1

hàm số y =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Đáp án D cũng bị loại vì y =

x2 − 6 chỉ có một tiệm cận ngang, và không có tiệm cận đứng x2 + 2

(do x 2 + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ )

Như vật chỉ còn đáp án C. Ta có thể kiểm tra lại.

Câu 20: Đáp án A Câu 21: Đáp án B Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích: Ta thấy ngay phương trình 4x − 9 = 0 ⇔ x =

9 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số cần tìm. 4

H Ơ

tắc tính giới hạn nên đường thẳng x =

9 . Dựa vào định nghĩa và các quy 4

thậm chí còn có thể vì vật mà lẫn lộn giá trị của a và x dẫn tới kết quả sai!

Lưu ý: Các em làm câu này thường dễ bị mắc lừa, dành thời gian cho việc tính giá trị của a,

TP .Q

Câu 22: Đáp án D

Phân tích: Ta đã biết vói hàm số loại này thì đồ thị sẽ cỏ tâm đối xứng là giao điểm của hai

ax + 3 ta được: 2.2 + 1 = 2a + 3 ⇔ a = 1 2x + 1

x +3 1 và đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2x + 1 2

⇒ hàm số là y =

Do hàm số đi qua A ( 2;1) nên thay vào y =

Ư N

a là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 2

TR ẦN

Và đường thẳng y =

−1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Do đó ta loại được A và C. 2

Dễ thấy đường thẳng x =

ẠO

đường tiệm cận.

 −1 1  Do đó  ,  là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.  2 2

ẤP

Câu 23: Đáp án B

b −b ± b 2 − 4ac 2x + a = 2 ⇒ b = 10 ⇒y= 5 2a 5x − 10

Ta có tiệm cận đứng của đồ thị là: x =

nên thay vào

Đồng thời đồ thị hàm số đi qua P ( 3;1)

2x + a 5x − 10

ta được:

-L

Í-

5.3 − 10 = 2.3 + a ⇒ a = −1

ÁN

Do đó hàm số cần tìm là: y =

2x − 1 5x − 10

Câu 24: Đáp án B

Theo đề bài, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm trên và cách trục hoành y = 0

⇒ y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

một đoạn d = 3

Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

2 3x − 3x 2 − 2 3x 2 − 2 x = +∞ nên đồ thị hàm số không = lim Xét hàm số y = có lim y = lim x →+∞ x →+∞ x − 2 x →+∞ 2 x−2 1− x

có lim y = lim x →+∞

x →+∞

( x − 2)

= lim

x →+∞

3x 3 = lim =0≠3 x →+∞ 4 x − 4x + 4 x−4+ x 2

nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số không thỏa mãn.

Ư N

3x 2 − 1 −22x >0⇔x<0 có y ' = 2 2 x −4 ( x 2 − 4)

3x 2 − 1 không đồng biến trên các khoảng xác định. x2 − 4

TR ẦN

⇒ hàm số y =

ẠO

Ta loại A và C Ta lại xét hàm số y =

( x − 2)

TP .Q

Và hàm số y =

có tiệm cận ngang.

Loại D. Như vậy chì còn B.

3x − 7 không xác định tại x = 2 . Đồng thời: x−2

Ta có thể kiểm tra lại, đồ thị hàm số y =

7 3− 3x − 7 x = 3 nên y = 3 là tiệm cận ngang của y = 3x − 7 lim y = lim = lim x →+∞ x →+∞ x − 2 x →+∞ 2 x−2 1− x

3x − 7 đồng biến trên các khoảng xác định. x−2

ẤP

> 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ y =

( x − 2)

Câu 25: Đáp án C

Và y ' =

Í-

Phân tích: Xét x ≥ 2 , ta thấy hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1 là hàm đa thức bậc ba nên đồ thị hàm

-L

số sẽ không có tiệm cận.

2x + 3 có x = 2 là tiệm cận đứng nhưng điều này bị loại. (do ta chỉ 4 − 2x

ÁN

Xét x < 2 , hàm số y =

xét x < 2 ). Từ đây ta thấy đáp án B không thỏa mãn.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

3 2+ 2x + 3 x = −1 Ta có: lim y = lim = lim x →−∞ x →−∞ 4 − 2x x →−∞ 4 −2 x

Do đó (C) có y = −1 là tiệm cận ngang, đồng thời đây cũng là tiệm cận duy nhất. Như vậy ta có thể loại D và A

Trang 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nhận xét: Những em ít tiếp xúc với những dạng hàm số có điều kiện theo x chẳng hạn như

Câu 26: Đáp án B

x →+∞

Và lim y = lim

x →−∞

H Ơ

ẠO Đ

6 5 6 5 + 2 − 1− + 2 x x = lim x x = −1 x →−∞ 3 3 2  2+ x2+  x x 

x 1−

x →−∞

x 2 − 6x + 5 = lim x →+∞ 2x + 3

TR ẦN

x →+∞

6 5 6 5 + 2 1− + 2 x x = lim x x =1 x →+∞ 3 3 2  2+ x2+  x x 

x 1−

Ư N

Đồng thời xét: lim y = lim

x 2 − 6x + 5 = lim x →+∞ 2x + 3

−3 2

TP .Q

dụng bình thường ta chỉ cần lưu ý thêm điều kiện của x cho đúng với đề bài.

Phân tích: Ta thấy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x =

có cách làm tương tự với hàm số y = f ( x ) thông thường, các định lý, tính chất đều có thể áp

f ( x ) , a ≤ x ≤ b f ( x ) , x < a  y= , y =  g ( x ) , x < a ,... nên dễ bỡ ngỡ. Tuy nhiên những dạng này cũng đều g ( x ) , x ≥ a  h (x), x > b 

1 −1 và y = làm các tiệm cận ngang. 2 2

x 2 − 6x + 5 −3 1 −1 có 3 đường tiệm cận là x = ; y = ; y = 2x + 3 2 2 2

ẤP

Do đó, đồ thị hàm số y =

Nên đồ thị hàm số nhận y =

So sánh đáp án ta thấy chỉ có B là thỏa mãn.

Lưu ý: Một số em có thể nhầm lẫn giữa các ký hiệu x và y của tiệm cận đúng và tiệm cận

Í-

ngang, dẫn tới chọn sai sang đáp án A hoặc C. Các em nên cẩn thận, phân biệt thật kỹ các

-L

khái niệm theo định nghĩa, để tránh nhầm lẫn và chọn sai đáp án.

ÁN

Đồng thời lưu ý với các em một lần nữa rằng khi đưa x ra khỏi biểu thức chứa căn, cần phải

có dấu giá trị tuyệt đối.

Câu 27: Đáp án B

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Phân tích: lần lượt xét: - Hàm số y = 1 − x 2 , −1 ≤ x < 1 xác định trên [ −1;1) - Hàm số y =

x−2 , x ≥ 1 xác định trên [1; +∞ ) và đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 , x −1

2 1− x−2 x =1) tiệm cận ngang là y = 1 (do lim y = lim = lim x →+∞ x →+∞ x − 1 x →+∞ 1 1− x Trang 25 http://dethithpt.com

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Hàm số y = x 2 , x < −1 xác định trên ( −∞; −1)

Ta có: ( −∞; −1) ∪ [ −1;1) ∪ [1; +∞ ) = ℝ

H Ơ

Do đó tập xác định của hàm số y = f ( x ) đã cho xác định trên ℝ , đồng thời x = 1 và y = 1

lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

TP .Q

Như vậy A, C, D đều bị loại. Ta lại thấy, khi x = 0 ∈ [ −1;1) , hàm số y = f ( 0 ) = 1 − 02 = 1 ≠ 0

ẠO

Lưu ý: Yêu cầu của đề bài là tìm đáp án “không chính xác”, các em nên lưu ý điều này để

tránh nhầm lẫn đáng tiếc. 2

Câu 28: Đáp án B 2

Ư N

Xét ∆ ' =  − ( m + 1)  − ( m + 1) + 4 = 4 > 0, ∀m ∈ ℝ

   Ta có: lim + 1 = 1 > 0  x → ( m + 3)  2 2 x − 2 ( m + 1) x + ( m + 1) − 4 > 0, ∀x > m + 3 2

lim + x 2 − 2 ( m + 1) x + ( m + 1) − 4 = 0

x → ( m + 3)

TR ẦN

⇒ x 2 − 2 ( m + 1) x + ( m + 1) − 4 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1 = m + 3, x 2 = m − 1

x →( m + 3 )

x − 2 ( m + 1) x + ( m + 1) − 4

= +∞

ẤP

x →( m + 3 )

⇒ lim + y = lim

   Và lim − 1 = 1 > 0  x →( m −1)  2 2 x − 2 ( m + 1) x + ( m + 1) − 4 > 0, ∀x < m − 1 2

lim − x 2 − 2 ( m + 1) x + ( m + 1) − 4 = 0

-L

Í-

x →( m −1)

⇒ lim − y = lim

ÁN

x →( m −1)

Do đó

BỒ

ID Ư

Ỡ N

x →( m −1)

1 −

x1 = m + 3

x − 2 ( m + 1) x + ( m + 1) − 4 và

= +∞

x 2 = m − 1 đều là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

1 2

x − 2 ( m + 1) x + ( m + 1) − 4

Ta lại có: lim

x →∞

1 2

x − 2 ( m + 1) x + ( m + 1) − 4

Nên hàm số cũng có y = 0 là một tiệm cận ngang. Vậy đồ thị hàm số có 3 tiệm cận.

Câu 29: Đáp án C Trang 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2x + 5 có một tiệm cận đứng x = 3 ⇒ i = 1 x −3

x2 + 2 không xác định tại x = 2 và x = −2 x2 − 4

Đồ thị hàm số y =

H Ơ

Đồ thị hàm số y =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

  x2 + 2  2 = +∞ Ta có: lim+ x + 2 = 6 > 0  ⇒ lim+ y = lim+ 2 x →2 x →2 x →2 x −4  x 2 − 4 > 0, ∀x > 2  

lim x 2 − 4 = 0

TP .Q

x → 2+

  x2 + 2  Và lim− x 2 + 2 = 6 > 0  ⇒ lim− y = lim− 2 = +∞ x →2 x →2 x →2 x −4  x 2 − 4 > 0, ∀x < −2  

ẠO

lim x 2 − 4 = 0

G Ư N H

x2 + 2 có hai tiệm cận đứng x = 2 và x = −2 ⇒ j = 2 x2 − 4

TR ẦN

Do đó đồ thị hàm số y =

x → 2−

Do đó, ta có i < j

Câu 30: Đáp án A

2 1 + x x 2 = +∞ 2 3 − x x2

lim y = lim

x →+∞

ẤP

m+ x →+∞

mx 2 + 1 ta luôn có: 2x − 3

Để ý ta nhận thấy rằng khi thay các giá trị m ≠ 0 vào hàm số y =

Như vậy đồ thị hàm số luôn không có tiệm cận ngang, ∀m ≠ 0

1 . Đồ thị hàm số trên có y = 0 là tiệm cận ngang. 2x − 3

-L

Í-

Khi m = 0 , ta có y =

ÁN

Câu 31: Đáp án C

Hàm số có tiệm cận đứng ⇒ x 2 + 2ax − 6a + 7 có nghiệm.

Ỡ N

a ≤ −7 Xét: ∆ ' ≥ 0 ⇔ a 2 + 6a − 7 ≥ 0 ⇔   a ≥1

BỒ

ID Ư

Như vậy hàm số có tiệm cận đứng khi a ≤ −7 hoặc a ≥ 1

Câu 32: Đáp án D Hàm số có tiệm cận đứng là x =

Trang 27

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

m 2

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Để tiệm cận đứng x =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

m đi qua M 2

(

)

3;1 thì ta phải có:

m = 3⇒m=2 3 2

2x + 2 có hai tiệm cận ⇒ n = 2 x −1

TP .Q

Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ y =

có tiệm cận ⇒ m = 0

ẠO

 x =5 x 2 + 3x + 1 có: x 2 − 4x − 5 = 0 ⇔  2 x − 4x − 5  x = −1

  x 2 + 3x + 1  Với x = 5 , ta có lim+ x 2 + 3x + 1 = 41 > 0  ⇒ lim+ y = lim+ 2 = +∞ x →5 x →5 x →5 x − 4x − 5  x 2 − 4x − 5 > 0, ∀x > 5 

lim x 2 − 4x − 5 = 0

Xét y =

H Ơ

x 2 − 2x + 3 ( x − 3)( x − 1) = = x − 1 là hàm đa thức nên đồ thị của nó không x −3 x −3

Để ý ta thấy y =

Câu 33: Đáp án C

x 2 + 3x + 1 (1) x 2 − 4x − 5

⇒ x = 5 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

TR ẦN

Ư N

x →5+

  x 2 + 3x + 1  2 Với x = −1 , ta có lim− x + 3x + 1 = −1 < 0  ⇒ lim− y = lim− 2 = −∞ x →1 x →1 x →1 x − 4x − 5  x 2 − 4x − 5 > 0, ∀x < −1

ẤP

lim x 2 − 4x − 5 = 0

x →1−

x 2 + 3x + 1 (2) x 2 − 4x − 5

⇒ x = −1 cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

-L

Í-

3 1 1+ + 2 x 2 + 3x + 1 x x =1 Ta lại có lim y = lim 2 = lim x →+∞ x →+∞ x − 4x − 5 x →+∞ 4 5 1− − 2 x x

ÁN

⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

Xét hàm số y =

x 2

x −4

có:

x 2 + 3x + 1 có 3 tiệm cận ⇒ p = 3 x 2 − 4x − 5

 x=2 x2 − 4 = 0 ⇔ x2 − 4 = 0 ⇔   x = −2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra đồ thị hàm số y =

x 2 + 3x + 1 (3) x 2 − 4x − 5

Trang 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

lim x = 2 > 0

  x  2 = +∞ Với x = 2 , ta có: lim+ x − 4 = 0  ⇒ lim+ y = lim+ 2 x →2 x →2 x −4  x →2 x 2 − 4 > 0, ∀x > 2 

H Ơ

x → 2+

lim x = 2 < 0

  x  2 ⇒ lim− y = lim− = −∞ Với x = −2 , ta có: lim− x − 4 = 0  2 x →2 x →2 x −4  x →2 x 2 − 4 > 0, ∀x < −2 

Và lim y = lim

x →−∞

x 2

x +4

= lim

x →−∞

x →+∞

= lim

4 x 1− 2 x

x 4 x 1− 2 x

x →+∞

= lim

x →−∞

U TP .Q Đ

1 4 1− 2 x

4 − 1− 2 x

= −1

x →−∞

x +4

= lim

Ư N

x 2

x →+∞

x −4

TR ẦN

x →+∞

có hai tiệm cận đứng là x = 2 và x = −2

Ta lại có: lim y = lim

ẠO

⇒ đồ thị hàm số y =

x → 2−

⇒ đồ thị hàm số cũng có hai tiệm cận ngang là y = 1 và y = −1

Do đó, đồ thị hàm số này có hai tiệm cận ngang và hai tiệm cận đứng ⇒ q = 4

Vậy, ta được: m < n < p < q

ẤP

Câu 34: Đáp án A

Gọi đồ thị hàm số cần tìm là ( C )

2 1 (C) có giao của hai đường tiệm cận là M  ;   3 3

Í-

2 1 và y = lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của (C). 3 3

-L

⇒x=

ÁN

Từ đây ta loại được các đáp án B và D.

Ta lại có (C) đi qua A ( 3;1) , thay x = 3 vào y =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

⇒y=

x+4 3+ 4 = 1 (thỏa mãn) được 3x − 2 3.3 − 2

x+4 chính là hàm số cần tìm. 3x − 2

Câu 35: Đáp án A

Trang 29

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

2m + 9 3m + 3mx 2 + 2m + 9 x 2 = 3m Xét: lim y = lim = lim 2 2 2 x →+∞ x →+∞ 3m − 2 x + 2 x →+∞ 2 ( ) 3m 2 − 2 + 2 3m − 2 x

TP .Q

−2  m= 3m 2  Để hàm số có tiệm cận ngang y = 3 ⇒ = 3 ⇔ 9m − 3m − 6 = 0 ⇔ 3  3m 2 − 2  m =1 So sánh đáp án ta thấy có m = 1 thỏa mãn

1 làm tiệm cận ngang. 2

Ta thấy đồ thị của cả 4 hàm số ở 4 đáp án đều nhận y =

ẠO

Câu 36: Đáp án A

x−2 x+2 ,y = , 2x − 2 2x − 1

Thay

x=0

lần

lượt

vào

các

x+2 x−2 và y = với trục tung ( x = 0 ) . 2x + 1 2x + 1

TR ẦN

Ư N

Xét M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của bốn đồ thị hàm số y =

hàm

trên

được

các

tọa

độ:

M ( 0;1) , N ( 0; −2 ) , P ( 0; 2 ) ,Q ( 0; −2 )

số

x−2 là hàm số cần tìm 2x − 2

Câu 37: Đáp án D

Vậy y =

1 1 1 : d ( M; y ) = 1 − = 2 2 2

ẤP

Như vật, chỉ có điểm M ( 0;1) thỏa mãn khoảng cách từ nó đến tiệm cận ngang

+ 2m − 4 ) x 2 − ( 2m + 1)

-L

Í-

(m Trước tiên ta cần tìm m để biết chính xác hàm số y =

ÁN

Xét phương trình:

( 2m + 3) x 2 − 9

(1)

m 2 − 4 = 0 ⇔ m 2 − 4 = 0 ⇔ m = ±2

Ta có: m = 2 là nghiệm nguyên dương của phương trình ⇒ m = 2 là giá trị cần tìm của m.

Ỡ N

Thay m = 2 vào (1) ta được: y =

4x 2 − 5 9x 2 − 9

Đồng thời y =

BỒ

ID Ư

Dễ thấy rằng x = 1 và x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số trên ⇒ a = ±2

4 4 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. ⇒ b = 9 9

Trang 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN – ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG

H Ơ

Sơ đồ khảo sát hàm số:

1) Tìm tập xác định.

2) Sự biến thiên

TP .Q

a) Xét chiều biến thiên của hàm số. i) Tính đạo hàm y’

ẠO

ii) Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định iii) Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

b) Tìm cực trị

Ư N

c) Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

d) Lập bảng biến thiên.

TR ẦN

3) Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị. MINH HỌA

Mời bạn đọc qua các ví dụ trong SGK Giải tích 12 (trang 32 – 41). Ở đó đã trình bày các ví

dụ rất chi tiết, nôn tác già không giải thích gì thêm ở phần này.

Chú ý:

1) Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến dồ thị song song với trục Ox.

ẤP

2) Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục

tọa độ. Nên lưu ý đến tính chẵn, lè của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính

xác.

Í-

Sự tương giao của các đồ thị:

-L

- Giả sử hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C1 ) và hàm số y = g ( x ) có đồ thị ( C2 ) . Để tìm hoành

ÁN

độ giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) , ta phải giải phương trình f ( x ) = g ( x ) . Giả sử phương trình

trên có nghiệm là

x 0 , x1 ,... Khi đó, các giao điểm của

( C1 )

và

( C2 )

là

BỒ

ID Ư

Ỡ N

M 0 ( x 0 , f ( x 0 ) ) , M1 ( x1 ;f ( x1 ) ) MINH HỌA

1) Tìm giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) , lần lượt là đồ thị của hàm số y = f ( x ) =

1+ x và 2−x

y = g ( x ) = x2

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2−x ≠ 0  −6 − x = x2 ⇔  2 ⇔ x =3 2−x −6 − x = ( 2 − x ) .x

Phương trình hoành độ giao điểm

−6 − x = mx (1) 2−x

ẠO

- Phương trình hoành độ giao điểm:

TP .Q

hai điểm phân biệt.

1+ x và đường thẳng y = g ( x ) = mx cắt nhau tại 2−x

2) Tìm m để đồ thị của hàm số y = f ( x ) =

H Ơ

Vậy giao điểm của ( C1 ) và ( C2 ) là ( 3;9 )

2−x ≠ 0 2−x ≠ 0   ⇔ ⇔ 2 −6 − x = ( 2 − x ) .mx −mx + ( 2m + 1) x + 6 = 0 ( 2 )

Ư N

1+ x và đường thẳng y = g ( x ) = mx cắt nhau tại hai điểm 2−x

phân biệt.

⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2.

TR ẦN

- Đồ thị của hàm số y = f ( x ) =

 −7 + 4 3 m > ∆ = ( 2m + 1) − 4 ( −m ) .6 > 0 ∆ = 4m + 28m + 1 > 0 2 ⇔ ⇔ ⇔ 2 8 ≠ 0  −7 − 4 3   − m.2 + ( 2m + 1) .2 + 6 ≠ 0 m <  2 2

Phương

Í-

BỒ

ID Ư

Ỡ N

biệt.

phân

ÁN

nghiệm

trình có hai

a<0

-L

y' = 0

a>0

ẤP

Dạng đồ thị của hàm số bậc ba: y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Phương

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

trình có

y' = 0

Phương

TP .Q

H Ơ

nghiệm kép.

trình

ẠO

vô

y' = 0

nghiệm

có

trình

phân

ẤP

y' = 0

a<0

a>0 Phương

Dạng đồ thị của hàm số: y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 )

TR ẦN

Ư N

nghiệm

ÁN

-L

Í-

biệt

trình

Phương

y ' = 0 có một

BỒ

ID Ư

Ỡ N

nghiệm

Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Dạng của đồ thị của hàm số: y =

ax + b ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) cx + d

a<0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

H Ơ

a>0

Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vấn đề 6: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

H Ơ

3 + 3 t . Phương trình vận tốc của xe là? t e

)

(

2t + 2 3 3 t .ln 3 − + t 2 + 2t + 9 e t 2 t

2t + 2 3 3 t .ln 3 + − t 2 + 2t + 9 e t 2 t

2t + 2 3 3 t .ln 3 − + t 2 + 2t + 9 e t 2 2 t

2t + 2 3 3 t .ln 3 + + t 2 + 2t + 9 e t 2 2 t

ẠO

( )

TP .Q

là: S ( t ) = ln t 2 + 2t + 9 +

Câu 1: Một xe chạy từ thành phố A đến thành phố B với phương trình chuyển động theo thời gian

Ư N

Câu 2: Vật thể A chuyển động theo thời gian với quỹ đạo S ( t ) = 1 + 2t . Quãng đường vật đi

3 3 , 3 9

3 − 3 , 3 9

TR ẦN

được, vận tốc và gia tốc đạt được tại thời điểm t = 1 (đơn vị thời gian) lần lượt là? 3,

− 3 − 3 , 3 9

Câu 3: Một vật được bạn Nam ném lên không trung và có độ cao thay đổi theo thời gian dựa trên

B. 128

C. 64

A. 16

được ném cho đến khi chạm đất sau 16s ?

phương trình h ( t ) = − t 2 + 16t . Hãy cho biết độ cao lớn nhất mà vật đạt được từ khi vật bắt đầu

D. 32

Câu 4: Một tên lửa được phóng lên vói phương trình quỹ đạo là S ( t ) = t 2 + 2t

ẤP

(

)

2t 2 +3

(S có đơn vị

mét, t có đơn vị s). Tính xấp xỉ vận tốc của tên lửa sau 3s ?

B. 1468700 km/s

C. 245203 m/s

D. 1468700 m/s

A. 245203 km/s

Câu 5: Cho biết cường độ dòng điện I là lượng điện tích truyền qua một bề mặt trong một đơn vị

-L

Í-

thời gian. Một tụ điện có điện tích Q trên bản tụ biến thiên theo hàm số Q = 3e t sin t (t là thời

π ( s ) đạt giá trị: 4

ÁN

gian). Hỏi cường độ dòng điện sau

B. 3 2e 2

C. 0

D. 3e 2

A. 3 2e 4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

9 Câu 6: Một vật được thả rơi theo quỹ đạo có phương trình h ( t ) = 14 − t 2 ( m ) . Tại thời điểm vật 2 có độ cao là 5m, vận tốc của vật là?

2 m/s

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. −9 2 m / s

C. 9 2 m / s

9 2 m/s 2

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 7: Bé Bi thổi một quả bóng hình cầu, cứ sau mỗi giây thì thể tích quả bóng lại tăng thêm

B. Bán kính giảm với vận tốc

1 cm / s . 8π

C. Bán kính tăng với vận tốc

1 cm / s . 8π

D. Bán kính tăng với vận tốc

1 cm / s . 32π

H Ơ

1 cm / s . 32π

ẠO

TP .Q

A. Bán kính giảm với vận tốc

32π 3 cm thì bán kính của nó thay đổi thế nào? 3

2cm3 . Khi quả bóng có thể tích là

Ư N

Câu 8: Một miếng nhôm hình vuông được phơi nắng đang dãn nở. Biết rằng cứ mỗi phút đường

chéo của miếng nhôm lại dãn ra thêm 2mm. Hỏi khi đường chứo của miếng nhôm là 16mm, diện

A. giảm 16 mm 2

TR ẦN

tích của miếng nhôm thay đổi như thế nào?

B. tăng 16 mm 2

C. giảm 32 mm 2

D. tăng 32 mm 2

Câu 9: Một tế bào hình nón bị nhiễm virus và đang bị lớn lên. Tại một thời điểm, đường cao của

tế bào là 0,3 µm và đang tăng với tốc độ 0, 005 µm / s . Cũng ở thời điểm đó, bán kính đáy của tế

bào là 0,1µm và đang tăng với tốc độ 0, 006 µm / s . Thể tích của tế bào tại thời điểm đó tăng với

A. 4,1.10−4 µm3 / s

tốc độ?

4,1 −4 .10 µm 3 / s 3

4,1π −4 .10 µm3 / s 3

D. 4,1π.10 −4 µm3 / s

ẤP

Câu 10: Một quầy bán vé xem ca nhạc số lượt vé y bán ra phụ thuộc vào lượng vé x theo công

thức: y = −100x 2 + 2400x − 400 . Với lượng vé là bao nhiêu thì số vé bán được sẽ nhiều nhất?

Í-

A. 14000

B. 12000

C. 14

D. 12

-L

Câu 11: Hai xe A, B đi ngược chiều trên một đoạn đường. Cùng một khoảng thời gian thì vận tốc

ÁN

người A là v1 = t 2 + 2t + 3 , vận tốc người B là v 2 = t 2 + 3t + 4 (t là đơn vị s; v1 , v 2 đơn vị là m/s).

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Tìm thời gian t để tỉ số

v1 đạt giá trị nhỏ nhất? v2

A. t = 2 − 1 ( s )

B. t = 1 ( s )

C. t = 2 ( s )

D. t = 2 + 1 ( s )

Câu 12: Hai ca nô A, B đi ngược chiều nhau trên biển. Biết trong một khoảng thời gian thì ca nô A đi ngược dòng nước với vận tốc là v1 = t − m 2 + m , vận tốc của ca nô B là v1 = t + 1 (t là thời gian chuyển động có đơn vụ là giây (s), m là bận tốc cản của gió đơn vị được kí hiệu m/s). Tìm

Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

v1 đạt giá trị lớn nhất, biết do trời yên biển lặng nên vận tốc v2

vận tốc cản nhỏ nhất của gió để tỉ lệ

1 (m / s) 2

C. m =

3 (m / s) 4

H Ơ

B. m =

D. m = 1 ( m / s )

A. m = 0 ( m / s )

gió không vượt quá 1 (m/s)

a m / s 2 của chất điểm tại giây thứ 5?

)

A. a = 45 m / s 2

(

B. a = 50 m / s 2

)

(

C. a = 55 m / s 2

)

(

D. a = 60 m / s 2

)

(

ẠO

(

TP .Q

Câu 13: Một chất điểm chuyển động với vận tốc có phương trình là v = 5t 2 + 5t + 1 . Tìm gia tốc

)

Câu 14: Mức nước của nhà nước thủy điện xả ra ngoài giữa ngày và đêm được xác định bởi công

Ư N

thức: V( t ) = t 4 + 4t 2 + t + 2017 (V là thể tích của nước xả ra đơn vị là tỉ tỉ m3 , t là thời gian xả ra

TR ẦN

mỗi ngày t ∈ [ 0; 24] , t = 0 bắt đầu từ 12h đêm), biết tốc độ xả ra mỗi ngày là V '( t ) . Hỏi tốc độ

chảy của dòng nước đúng 12 giờ trưa là bao nhiêu?

B. m =

1 (m / s) 2

C. m =

A. 0 ( m / s )

3 (m / s) 4

D. m = 1( m / s )

Câu 15: Hiện nay tại các nước Châu Phi, dịch bệnh Ebola đang lây lan nhanh, cứ mỗi giờ bệnh thì

có số phần từ dịch bệnh được nhân lên theo hệ thức f ( t ) = t 2017 + t 2016 + 1 + t... (t là thời gian,

ẤP

đơn vị giờ). Nếu f ' ( t ) là tốc độ nhân lên của virut Ebola sau t giờ, thì sau 10 giờ số phần tử dịch

B. 2017.102016 +

2016

+ 1010.ln10

D. 2017.102016 +

1003

-L

Í-

C. 2017.102016 +

+ 1010

1003

A. 2017.102016 +

bênh là bao nhiêu?

2016

1003 10

2016

+ 1010 ( ln10 + 1)

1003 10

2016

+ 1010 ( ln10 + 2016 )

ÁN

Câu 16: Cho hàm số ( C ) : y = − x 2 + 2x − 3 . Biết tiếp điểm M có y M = −3 . Phương trình tiếp

tuyến tại M của (C):

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. ( ∆ ) : y = 2x − 3

B. ( ∆ ) : y =

5 x −8 2

C. ( ∆ ) : y =

5 x −3 2

D. Đáp án B và C

Câu 17: Cho hàm số ( C ) : y = 4x 3 − 3x + 1 . Biết tiếp điểm M có y M = 2 . Hệ số góc của tiếp tuyến tại M của (C) và điểm M tương ứng là:

A. k = 9; M (1; 2 ) Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. k = 45; M (1; 2 )

C. k = 0; M (1; 2 )

 9  D. k = 45; M  − ; 2   2 

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 18: Cho hàm số ( C ) : y = 2x 3 − 3x 2 + 9x − 4 . Biết M là giao điểm của (C) và ( d ) : y = 7x + 4 .

C. ( ∆ ) : y = 21x − 24

D. ( ∆ ) đi qua A ( −1; −45 )

1 4 9 x − 2x 2 − . Gọi M là giao điểm của (C) và trục Ox, biết tiếp 4 4

tại M của (C) song song với các đường thẳng nào sau đây:

Ư N

2x − 3 . Biết M là giao điểm của (C) và Oy. Phương trình tiếp tuyến x −1

Câu 20: Cho hàm số ( C ) : y =

( 2 ) ( d 2 ) : y = 2x − 3

( 3) ( d3 ) : 2x − 2y + 9 = 0

( 4) (d4 ) : x + y − 3 = 0

TR ẦN

(1) ( d1 ) : y = x + 9 A. (1) ; ( 2 )

ẠO

−1 x + 3 . Xác định M: 15

tuyến tại M của (C) vuông góc với ( d ) : y =

TP .Q

Câu 19: Cho hàm số ( C ) : y =

B. y ' ( 2 ) = 12

A. M ( 2;18 )

H Ơ

Gọi là tiếp tuyến tại M của (C). Phát biểu nào sau đây là sai:

C. (1) ; ( 3)

B. ( 2 ) ; ( 3) ; ( 4 )

D. không có

A. ( ∆ ) : y = (1 − m )( 4x − 3)

ẤP

nhất về tiếp tuyến tại A của (C).

Câu 21: Cho hàm số ( C ) : y = x 4 − 2mx 2 + m . Gọi A là điểm có x A = 1 . Hãy chọn kết luận đúng

D. ( ∆ ) : y = 4 ( m − 1) x − 3 ( m − 1)

C. ( ∆ ) : y = 4 ( m − 1) x − 3 (1 − m )

B. ( ∆ ) : y = 4 (1 − m ) x − 3 (1 − m )

mx − 2 . Tìm m để tiếp tuyến tại A (1; y A ) của (C) song song với x−2

Í-

Câu 22: Cho hàm số ( C ) : y =

-L

trục Ox và hệ số góc của tiếp tuyến đó:

ÁN

A. m = 1; k = 0

B. m = 3; k = 2

Câu 23: Cho hàm số ( C ) : y =

C. m = 3; k = 0

D. m = 1; k = 2

−x + 1 . Gọi M ( x M ; y M ) là điểm thuộc (C) với x M > 0 . Tìm M để x +3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

tiếp tuyến tại M của (C) vuông góc với đường thẳng ( d ) : y = 4x + 3 .

A. M ( 4;1)

 −1  B. M  0;   3 

C. M (1;0 )

D. M ( −1;0 )

Câu 24: Cho hàm số ( C ) : y = − x 3 + 3x 2 − 9x + 5 . Gọi M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến tại M của (C) có hệ số góc lớn nhất. Phương trình tiếp tuyến đó là:

Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. ( ∆ ) : y = −3x + 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. ( ∆ ) : y = −6x + 1

C. ( ∆ ) : y = 2 ( −3x + 2 ) D. ( ∆ ) : y = −6x + 4

Câu 25: Cho hàm số ( C ) : y = x 3 + ( 3m − 1) x 2 + mx + 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại A ( −1; y A ) của

3 8

D. m =

1 2

C. m =

7 8

A. Không tìm được m B. m =

H Ơ

TP .Q

Từ câu 26 đến câu 28: Cho hàm số. Gọi M là điểm thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt đồ thị Câu 26: Tiếp tuyến tại M của đồ thị (C) là:

ẠO

A. ( ∆ ) : y = 3 m 2 − 1 x − 2m3 − 2

B. ( ∆ ) : y = 3 m 2 − 1 x − 2 m3 − 1

C. ( ∆ ) : y = 3 m 2 − 1 x + 2m3 − 2

D. ( ∆ ) : y = 3 m 2 − 1 x − 2m 2 + 2

(

)

(

)

TR ẦN

B. x M = −

2 ; xN = 2 2

A. x M = −2; x N = 4 2 3 4 3 ; xN = 3 3

1 D. x M = − ; x N = 1 2

C. x M = −

)

(

Câu 27: Cho MN = 17 . Giả sử x M < 0 thì x M ; x N là:

)

(

)

Ư N

(

Câu 28: Tìm phát biểu sai?

ẤP

A. Với m = - 1 thì tiếp tuyến ( ∆ ) song song với trục Ox.

B. Với m = - 1 thì tiếp tuyến ( ∆ ) đi qua gốc tọa độ.

C. Với P = x 2M + y N + 3m 2 − 6m + 8m3 + 2 thì min P = 2 .

Í-

D. Với m = 0 thì tiếp tuyến ( ∆ ) có hệ số góc lớn nhất.

ÁN

15 2

B. −

-L

Câu 29: Hai số có hiệu 15 sao cho tích của chúng là bé nhất. Số lớn nhất trong 2 số đó là:

15 2

C. −

25 4

D. không tồn tại

Ỡ N

Câu 30: Hai số có hiệu 10 sao cho tích của chúng là bé nhất. Số lớn nhất trong 2 số đó là: A. 5

B. – 5

C. – 25

D. không tồn tại

5 2

B. −

5 2

C. −

25 4

D. không tồn tại

BỒ

ID Ư

Câu 31: Hai số có hiệu 5 sao cho tích của chúng là bé nhất. Số lớn nhất trong 2 số đó là:

Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a − b − c + 15 = 0 Câu 32: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn hệ phương trình  và tích ac nhỏ nhất. Số a + b − c + 15 = 0

15 2

C. 0

H Ơ

B. −

15 2

225 4

8πR 3 . 6 9

B. 4π 2R 3

4π 3 3 R 9

TP .Q

Câu 33: Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu, bán kính R 2 diện tích lớn nhất của hình trụ là:

A. −

lớn nhất trong 3 số a, b, c là:

D. 0

13 12

G Ư N

C. 2

A. 12

a 2 + ab 2 + a 2 b + b 2 , giá trị của biểu thức A là: a 3 + b2

1 24

TR ẦN

ẠO

Câu 34: Tổng của hai số a, b bằng 24, biết tích của chúng là lớn nhất. Đặt

A. 10

a 4 + ab 2 + a 2 b + b3 , giá trị của biểu thức A là: a2 + b

B. 110

Câu 35: Tổng của hai số a, b bằng 20, biết tích của chúng là lớn nhất. Đặt

1300 11

D. 400

Câu 36: Hiệu các bình phương của hai số không âm a, b bằng 36, biết tích của chúng là nhỏ nhất.

ẤP

a 3 + ab 2 + a 2 b + b 2 , giá trị của biểu thức A là: a 3 + b2

Đặt A =

B. 0

1 6

D. 1

A. 6

Í-

Câu 37: Cho 1 tam giác ABC vuông tại A, tam giác ABC có tổng của 1 cạnh góc vuông và 1 cạnh

-L

huyền bằng 3. Diện tích lớn nhất có thể tồn tại của tam giác đó là:

B. 2

ÁN

A. 1

Đáp án

G ID Ư

BỒ

3 2

2-B

3-C

4-D

5-A

6-B

7-C

8Đ

9-C

10-D

11-A

12-B

13-C

14-C

15-B

16-A

17-C

18-B

19-D

20-C

21-B

22-A

23-C

24-D

25-B

26-B

27-C

28-D

29-A

30-A

31-A

32-D

33-A

34-C

35-C

36-D

37-D

Ỡ N

1- A

Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A

H Ơ N

2t + 2 3 3 t .ln 3 − + t 2 + 2t + 9 e t 2 t

v ( t ) = S' ( t ) =

Phương trình vận tốc là đạo hàm của phương trình chuyển động theo thời gian t:

TP .Q

 −3 t  ' = t (các em hay bị nhầm lẫn vì nghĩ các hàm có liên quan đến e sẽ không thay đổi qua  e

ẠO

3 -  t e

Lưu ý:

đạo hàm).

1 −1 −1 −1 , , , ,... ) t t2 t 2 t

(các em cũng dễ nhầm với

( t ) ' = 21 t

Ư N

- Các em phải nắm thật chính xác công thức đạo hàm vì trong nhiều dạng toán, chỉ cần đạo hàm

TR ẦN

sai sẽ sai hết cả bài toán.

Câu 2: Đáp án B

- Phương trình vận tốc là đạo hàm của phương trình chuyển động:

2 1 = 2 1 + 2t 1 + 2t

v ( t ) = s '( t ) =

- Phương trình gia tốc là đạo hàm của phương trình vận tốc:

H ( 2)

Í-

1 1 + 2t

-L

v(t) =

(1)

(1 + 2t )

- Ta có các phương trình:

S ( t ) = 1 + 2t

−1

−2 −1 = = 2. (1 + 2t ) 1 + 2t (1 + 2t ) 1 + 2t

ẤP

a ( t ) = v ' ( t ) = s '' ( t ) =

ÁN

−1

(1 + 2t )

( 3)

a (t) =

3 − 3 , a= 3 9

Câu 3: Đáp án C - Vật bay được 26s thì chạm đất và có quỹ đạo theo độ cao là: h ( t ) = − t 2 + 16t .

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Lần lượt thay t = 1 vào (1), (2), (3) ta được: S = 3, v =

Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Độ cao lớn nhất mà vật đạt được cũng chính là giá trị lớn nhất của hàm số h ( t ) = − t 2 + 16t trên

đoạn [ 0;16]

H Ơ

Ta có: h ' ( t ) = −2t + 16

h ' ( t ) = 0 ⇔ −2t + 16 = 0 ⇔ t = 8

TP .Q

Ta có: h ( 0 ) = 0; h (16 ) = 0; h ( 8 ) = −82 + 16.8 = 64 Vậy độ cao lớn nhất mà vật đạt được là h = 64

ẠO

Câu 4: Đáp án D

2t 2 + 3

(1) , t ∈ ( 0; +∞ )

- Từ t ∈ ( 0; +∞ ) suy ra t 2 + 2t > 0 ⇒ t 2 + 2t

(

)

2t 2 + 3

Ư N

)

> 0 . Nên ta lấy logarit Nê-pe hai vế (1), ta

(

được:

)

(

2t 2 + 3 .ln t 2 + 2t

(

)

( 2)

S' ( t ) 2t 2t + 2 = ln t 2 + 2t + 2 2t 2 + 3 2 S( t ) t + 2t 2t + 3

(

)

- Đạo hàm hai vế của (2):

)

(

2t 2 +3

ln S ( t ) = ln t 2 + 2t

TR ẦN

- Xét hàm số S ( t ) = t 2 + 2t

- Đầu tiên ta tìm phương trình vận tốc của tên lửa

 2t  2t + 2 ln t 2 + 2t + 2 2t 2 + 3  S ( t ) ⇒ S' ( t ) =    2 t + 2t  2t + 3 

)

ẤP

(

 2t  2t + 2 = 2t 2 + 3  t 2 + 2t ln t 2 + 2t + 2   2 t + 2t  2t + 3 

)

(

)

(

2t 2 +3

ÁN

-L

Í-

 2 21 8 21  - Thay t = 3 vào S' ( t ) , ta được: S' ( t ) =  ln15 +  .15 15   7

g( x )

, ta lấy logarit Nê- pe hai vế để

Ghi chú: Khi cần tính đạo hàm của hàm số có dạng y = f ( x )

≈ 1.468.700 ( m )

Ỡ N

đưa g(x) xuống bằng công thức logarit, và được ln y = g ( x ) .ln f ( x ) . Lúc này ta mới bắt đầu đạo

BỒ

ID Ư

hàm hai vế, vế trái sẽ được

y' , ta nhân y vào đạo hàm tìm được ở vế phải và có y

y ' =  g ( x ) .ln f ( x )  ' y

Câu 5: Đáp án A

Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Từ định nghĩa, ta thấy cường độ dòng điện I chính là đạo hàm theo thời gian t của phương trình

H Ơ π

π π π π vào (*), ta được: I = 3 2e 4 .sin  +  = 3 2e 4 .sin = 3 2e 4 4 2 4 4

TP .Q

- Thay t =

( *)

 π  π - Ta lại có: sin t + cos t = 2 sin  t +  nên: I = 3 2e t .sin  t +   4  4

điện tích Q: I = Q ' = 3e t cos t + 3e t sin t = 3e t ( sin t + cos t )

Câu 6: Đáp án B

ẠO

9 - Khi vật có độ cao 5m: 5 = 14 − t 2 ⇔ t = ± 2 2

- Vì thời gian luôn là số dương, ta có t = 2 ( s )

4 3 πR 3

Câu 7: Đáp án C - Ta có công thức tính thể tích hình cầu: V =

TR ẦN

- Do đó, tại thời điểm t = 2 ( s ) , vật có vận tốc v = −9 2 ( m / s )

Ư N

- Phương trình vận tốc là đạo hàm của phương trình chuyển động: v = h ' = −9t

4 3 πR ( t ) 3

V(t) =

- Vì thể tích quả bóng hình cầu luôn thay đổi theo thời gian, nên nó là một hàm phụ thuộc vào:

ẤP

- Đạo hàm hai vế ta được: V ' ( t ) = 4πR 2 ( t ) .R ' ( t ) - Cứ mỗi giây, thể tích quả bóng tăng 2 cm3 , tức vận tốc tăng thể tích là 2 cm3 / s nên:

(

)

( *)

Í-

2 = 4πR 2 ( t ) .R ' ( t )

)

(

32π 3 cm , ta có: R ( t ) = 2cm 3

ÁN

-L

- Xét tại thời điểm V ( t ) =

- Thay vào (*), ta có: 2 = 4π.22.R ' ( t ) ⇒ R ' ( t ) =

Ỡ N

Vậy tại thời điểm thể tích quả bóng là

1 8π

32π 3 1 cm , bán kính của nó tăng với tốc độ ( cm / s ) 3 8π

BỒ

ID Ư

Câu 8: Đáp án D - Ta biết rằng diện tích S và đường chéo a của hình vuông liên hệ qua công thức: S = - Vì đường chéo và diện tích thay đổi theo thời gian nên ta được S ( t ) =

Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

a2 . 2

a2 (t) . 2

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Đạo hàm hai vế: S' ( t ) = a ( t ) .a ' ( t )

- Đường chéo của miếng nhôm hình vuông mỗi phút dãn 2mm nên a ' ( t ) = 2 .

H Ơ

- Do đó, tại thời điểm đường chéo của miếng nhôm là 16mm, tức a ( t ) = 16 , ta có: S' ( t ) = 32 .

Câu 9: Đáp án C

TP .Q

1 Công thức tính thể tích hình nón: V = πr 2 h . 3

π  h ' ( t ) .r 2 ( t ) + 2h ( t ) .r ( t ) .r ' ( t )  .  3

Lấy đạo hàm hai vế ta có: V ' ( t ) =

ẠO

1 Vì thể tích tế bào thay đổi theo thời gian nên: V ( t ) = πr 2 ( t ) h ( t ) 3

(

Câu 10: Đáp án D

)

4,1π −4 .10 µm3 / s 3

TR ẦN

Thay vào V ' ( t ) ta được: V ' ( t ) =

Ư N

Tại thời điểm t cố dịnh, ta có: h ( t ) = 0,3; h ' ( t ) = 0, 005; r ( t ) = 0,1; r ' ( t ) = 0, 006

Bài toán yêu cầu tìm lượng vé x cần để số vé y bán ra nhiều nhất.

Về mặt toán học, nó chính là xác định x để hàm y = −100x 2 + 2400x − 400 đạt cực đại.

Ta có: y ' = −200x + 2400

ẤP

Đồng thời: y '' = −200 < 0, ∀x

y ' = 0 ⇔ x = 12

⇒ x = 12 là điểm cực đạt của hàm số y = −100x 2 + 2400x − 400

Như vậy cần 12 vé để số vé bán ra là nhiều nhất.

Í-

Câu 11: Đáp án A

-L

t 2 + 2t + 3 v1 t 2 + 2t + 3 = 2 = f ( t ) . Xét hàm số f ( t ) = 2 trên ( 0; +∞ ) ta có: v 2 t + 3t + 4 t + 3t + 4

ÁN

Đặt:

t 2 + 2t − 1

f '(t ) =

)

(

t 2 + 3t + 4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 t = 2 − 1 ∈ ( 0; +∞ ) f ' ( t ) = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔   t = − 2 − 1 ∉ ( 0; +∞ )

⇒ f (t) ≥ f

(

)

2 −1 =

8−2 2 7

Vậy thời gian cần tìm là t = 2 − 1( s )

Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 12: Đáp án B

[0;1]

1 1 −m 2 + m + 1 khi m = 2 2

(

)

[0;1]

H Ơ

Do đó min f ( t ) = f ( 0 ) = m − m 2 ; max f ( t ) = f (1) =

t − m2 + m v1 t − m 2 + m m2 − m + 1 , ta có: f ' ( t ) = >0 = = f ( t ) . Xét hàm số f ( t ) = t +1 v2 t +1 ( t + 1)2

Đặt

TP .Q

Câu 13: Đáp án C Ta có gia tốc tại giây thứ n là a = v ' = 10t + 5 = 10n + 5

(

)

ẠO

Do đó: a ( 5) = 10.5 + 5 = 55 m / s 2

Câu 14: Đáp án C

Ư N

Ta có: V ' ( t ) = 4t 3 + 8t + 1 3

V ' (12 ) = 4. (12 ) + 8.12 + 1 = 7009 (tỉ tỉ m3 )

TR ẦN

Câu 15: Đáp án B - Để tìm được đạo hàm t’ ta dùng cách sau:

1003

ẤP

+ 1010 ( ln10 + 1)

2016

+ t ' ( ln t + 1)

t 2016 + 1

1003

- Do đó: f ' ( t ) = 2017t 2016 +

⇒ f ' (10 ) = 2017.102016 +

y' = ln t + 1 ⇔ y ' y ( ln t + 1) ⇔ y ' = t t ( ln t + 1) y

- Đặt y = t ' , ta có: ln y = t ln t ⇒

Câu 16: Đáp án A

- Đây là dạng tiếp tuyến tại điểm, ta chỉ có các bước thế vào là xong.

Í-

- Ta tính: − x 2M + 2x M − 3 = y M = −3 ⇔ x M = 0 hoặc x M = 2

-L

- Ta có đạo hàm: y ' = −2x + 2 ⇒ ta có hai hệ số k1 = y ' ( 0 ) = 2 và k 2 = y ' ( 2 ) = −2

ÁN

- Đến đây thì dựa vào hệ số góc ta chọn đáp án A.

Nhận xét:

Ỡ N

- Tại sao ta có thể dựa vào hệ số góc đã cho chọn được đáp án? Dựa vào phương trình tiếp tuyến

- Cần chú ý cách tính hệ số góc là thế hoành độ của tiếp điểm vào đạo hàm.

Câu 17: Đáp án C

BỒ

ID Ư

tổng quát: y − y M = k ( x − x M ) vì thế hệ số góc luôn là hệ số trước x của phương trình tiếp tuyến

Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

xM = 1 − 3x M + 1 = y M = 2 ⇔  xM = − 1 4 

H Ơ

Ta tính:

4x 3M

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2x 3 − 3x 2 + 9x − 4 = 7x + 4 ⇔ 2x 3 − 3x 2 + 2x − 8 = 0 ⇔ x = 2 (là nghiệm duy nhất).

ẠO

Suy ra M ( 2;18 )

TP .Q

A. ĐÚNG vì M là giao điểm của (C) và (d) nên ta có phương trình hoành độ giao điểm:

Câu 18: Đáp án B

9  −1  Ta có đạo hàm: y ' = 12x 2 − 3 ⇒ ta có hai hệ số góc k1 = y ' (1) = 9 và k 2 = y '   = − 4  4 

TR ẦN

D. ĐÚNG vì thế tọa độ điểm A vào ( ∆ ) ta thấy thỏa mãn.

C. ĐÚNG vì tiếp tuyến ( ∆ ) : y = 21( x − 2 ) + 18 ⇒ ( ∆ ) : y = 21x − 24

Ư N

B. SAI vì ta có y ' = 6x 2 − 6x + 9 ⇒ y ' ( 2 ) = 21

Câu 19: Đáp án D

00 10

x = 3 1 4 9 x M − 2x 2M − = 0 ⇔ x 2M = 9 ⇔  M 4 4  x M = −3

- Vì M là giao điểm của (C) và Ox nên ta có phương trình hoành độ giao điểm:

ẤP

−1 = −1 ⇔ y ' ( x M ) = 15 15

y '( xM )

- Ta có: y = x 3 − 4x mà theo đề bài tiếp tuyến tại M vuông góc (d) nên:

Í-

Câu 20: Đáp án C

- Mặt khác với x M = 3 ⇒ y ' ( 3) = 15 ⇒ M ( 3;0 )

ÁN

-L

- Vì M là giao điểm của (C) và Oy nên ta có x M = 0 ⇒ y M =

- Ta có: y ' =

( x − 1)2

2x M − 3 = 3 ⇒ M ( 0;3) xM −1

⇒ y ' ( 0 ) = 1 ⇒ tiếp tuyến tại M của (C) là ( ∆ ) : y = x + 3

Ỡ N

(1) thỏa vì ( ∆ ) ; ( d1 ) có cùng hệ số góc.

BỒ

ID Ư

(2) không thỏa mãn vì ( ∆ ) ; ( d1 ) không cùng hệ số góc.

(3) thỏa mãn vì

A B C = ≠ ⇒ ( ∆ ) / / ( d3 ) . A ' B' C '

(4) không thỏa mãn vì

A B C ≠ ≠ A ' B' C '

Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy các phát biểu đúng là (1); (3)

A B C ≠ ≠ A ' B' C'

H Ơ

- (d) ∩ (m) ⇔

A B C = ≠ A ' B' C '

- (d ) / / ( m) ⇔

A B C = = A ' B' C '

TP .Q

- (d ) ≡ ( m) ⇔

Chú ý vị trí tương đối của đường thẳng: ( d ) : Ax + By + C = 0 và ( m ) : A ' x + B' y + C ' = 0

ẠO

Trong khảo sát hàm số, ta vẫn được kết luận phương trình đường thẳng dạng tổng quát:

( d ) : Ax + By + C = 0

Ư N

Câu 21: Đáp án B

Ta có: x A = 1 ⇒ y A = 1 − m ⇒ A (1;1 − m ) . Đồng thời ta có y ' = 4x 3 − 4mx ⇒ y ' (1) = 4 − 4m

TR ẦN

Tiếp tuyến tại A của (C) là ( ∆ ) : y = ( 4 − 4m )( x − 1) + 1 − m ⇒ ( ∆ ) : y = 4 (1 − m ) x − 3 (1 − m ) Kết luận phương trình tiếp tuyến đúng nhất là phương án B.

Lời bình: Ở câu hỏi này có hai phương án A, B đều có nội dung giống nhau chỉ khác nhau về cách

trình bày kết luận. Tại sao A lại sai? Vì khi kết luận phương trình đường thẳng ta phải viết dưới

dạng phương trình tổng quát và đã khai triển đến tối giản. Như vậy kết luận đúng nhất là dạng

( d ) : Ax + B

( x − 2 )2

−2m + 2

⇒ y ' (1) = −2m + 2

Ta có đạo hàm: y ' =

ẤP

Câu 22: Đáp án A

Í-

Để tiếp tuyến tại A song song trục Ox thì hệ số góc của tiếp tuyến

-L

y ' (1) = 0 ⇔ −2m + 2 = 0 ⇔ m = 1

ÁN

Lời bình: Ở bài này cần chú ý đường thẳng song song với trục Ox thì hệ số góc luôn bằng 0 ⇒

loại ngay B, D.

Bây giờ ta cứ việc theo dữ kiện đề bài tiến hành giải tìm m sẽ giải quyết nhanh hơn khi còn bốn

Ỡ N

phương án.

BỒ

ID Ư

Câu 23: Đáp án C m−4  Gọi M  m − 3;  là điểm thuộc (C) và ( ∆ ) là tiếp tuyến tại M của (C). m  

Ta có đạo hàm: y ' =

−4

( x + 3)

Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

⇒ hệ số góc của ( ∆ ) là k = y ' ( m − 3) =

−4 m2

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Theo đề bài: ( ∆ ) ⊥ ( d ) ⇒

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−4 .4 = −1 ⇔ m 2 = 16 ⇔ m = 4 (do khi đó x M = 4 − 3 = 1 > 0 ) m2

H Ơ

Vậy điểm M (1; 0 ) là điểm cần tìm.

Lời bình: Ở bài này cần chú ý cách lấy tham số cho điểm M gọn nhất, đó là làm sao phải triệt tiêu

2x − 1 là 3x – 3 và hàm số không xác định tại x = 1 thì ta chọn 3x − 3

TP .Q

Ví dụ: mẫu số của hàm số y =

ẠO

xM = m +1

2m + 1 đã mất đi hệ số tự do ở mẫu số. Làm cho quá trình tính toán 3m

Ư N

của ta nhẹ nhàng không phải vất vả khai triển dẫn đến dễ bị tính toán sai.

Từ đó ta thay thế vào thì y M =

hệ số tự do ở mẫu số của hàm số.

Câu 24: Đáp án D

TR ẦN

Gọi là hoành độ của M thuộc (C) và ( ∆ ) là tiếp tuyến tại M của (C). Ta có đạo hàm của y: y ' = −3x 2 + 6x − 9

⇒ hệ số góc của ( ∆ ) là k = y ' ( m ) = −3m 2 + 6m − 9 = −3 ( m − 1) − 6 ≤ −6

Vậy tiếp tuyến cần tìm là ( ∆ ) : y = −6x + 4

Suy ra hệ số góc lớn nhất là k max = −6 khi m = 1 ⇒ M (1; −2 )

ẤP

Câu 25: Đáp án B

Ta có: x A = −1 ⇒ y A = 2m − 1 ⇒ A ( −1; 2m − 1) .

Đồng thời ta có y ' = 3x 2 + 2 ( 3m − 1) x + m ⇒ y ' ( −1) = −5m + 5

7 thỏa mãn đề bài. 8

ÁN

Vậy m =

7 8

-L

Í-

Theo đề bài ( ∆ ) đi qua B (1; 2 ) nên thế tọa độ B vào ( ∆ ) : 2 = −5m + 5 − 3m + 4 ⇔ m =

Câu 26: Đáp án B

(

)

Ỡ N

Gọi M m; m3 − 3m + 2 là điểm thuộc (C) và ( ∆ ) là tiếp tuyến tại M của (C).

BỒ

ID Ư

Ta có: y ' = 3x 2 − 3 ⇒ hệ số góc của ( ∆ ) là k = y ' ( m ) = 3m 2 − 3 Suy ra tiếp tuyến tại M của (C) là:

( ∆ ) : y = ( 3m 2 − 3) ( x − m ) + m3 − 3m + 2 ⇔ ( ∆ ) : ( 3m 2 − 3) x − 2 ( m3 − 1) Câu 27: Đáp án C Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Theo đề bài N là giao điểm của (C) và ( ∆ ) nên ta có tọa độ của N là nghiệm phương trình hoành

2m3

−2m 2

H Ơ

−3m 2

TP .Q

độ giao điểm: x 3 − 3x + 2 = 3m 2 x − 3x − 2m3 + 2 ⇔ x 3 = 3mx 2 + 2m3 = 0 (1)

- Đối với loại phương trình bậc ba có tham số trong các bài tập hàm số này ta thường phân tích

NM = 3m;9m3 − 9m ⇒ NM = 9m 2 + 81m 2 m 2 − 1

)

(

)

= 2 6 ⇔ 9m 2 + 81m 2 m 4 − 2m 2 + 1 = 24

(

)

(

(do x = m thì M ≡ N ) ⇒ N −2m; −8m3 + 6m + 2

Ư N

(1) ⇔ ( x − m )2 ( x + 2m ) = 0 ⇔ x = −2m

ẠO

nhân tử được và thường có nhân tử x − m; x + m; x − 2m;...

2 3 4 3 ; xN = 3 3

Vậy suy ra x M = −

4 2 3 ⇔m=− ( do x M < 0 ) 3 3

TR ẦN

⇔ 81m 6 − 162m 4 + 90m 2 − 24 = 0 ⇔ m 2 =

Câu 28: Đáp án D

A. ĐÚNG vì m = -1 thế vào ta được ( ∆ ) : y = 4 hiển nhiên song song với trục Ox.

ẤP

B. ĐÚNG vì m = 1 thế vào ta được ( ∆ ) : y = 0 hay chính là trục Ox thì hiển nhiên đi qua gốc tọa

độ.

C. ĐÚNG vì P = m 2 − 8m3 + 6m + 2 + 3m 2 − 6m + 8m3 + 2 = 4m 2 + 4 ≥ 2; ∀m ∈ ℝ ⇒ Min P = 2

Í-

D. SAI vì hệ số góc của ( ∆ ) là k = y ' ( m ) = 3m 2 − 3 ≥ −3; ∀m ∈ ℝ ⇒ Min y ' ( m ) = −3 khi m = 0

-L

Câu 29: Đáp án A

ÁN

- Gọi x, y là 2 số cần tìm thỏa mãn x – y = 15. Ta được y = x – 15

- Thay y = x – 15 vào biểu thức xy ta được x 2 − 15x

- Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( t ) = t 2 − 15t trên D = ℝ

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Xét hàm số f ( t ) = t 2 − 15t trên ℝ . Ta có: f ' ( t ) = 2t − 15 f ' ( t ) = 0 ⇔ 2t − 15 = 0 ⇔ t =

15 2

Bảng biến thiên:

Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

15 2 -

f '(t ) f (t)

+∞

−∞

+∞

H Ơ

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

−225 4

ẠO

15  x=  225   15  2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: min f ( t ) = f   = − . V ậy  ℝ 4  2  y = − 15  2

Sai lầm thường gặp:

Ư N

B. Đáp án B sai. Một số học sinh tìm số nhỏ nhất trong 2 số và khoanh đáp án B và đã sai lầm vì

yêu cầu đề bài là tìm số lớn nhất trong 2 số cần tìm.

TR ẦN

C. Đáp án C sai. Đề yêu cầu tìm số lớn nhất trong 2 số, không phải tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f ( t ) = t 2 − 15t nên một số học sinh đọc không kỹ yêu cầu đề bài nên đã sai lầm.

D. Đáp án D sai. Một số học sinh đọc không kỹ yêu cầu đề bài nên tìm 2 số thỏa mãn điều kiện

hiệu của chúng bằng 15 và tích của chúng là lớn nhất nên dẫn đến đáp án D và đã sai lầm.

Câu 30: Đáp án A

- Gọi x, y là 2 số cần tìm thỏa mãn x – y = 10. Ta được y = x – 10

ẤP

- Thay y = x – 10 vào biểu thức xy ta được x 2 − 10x

- Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( t ) = t 2 − 10t trên D = ℝ

- Xét hàm số f ( t ) = t 2 − 10t trên ℝ .

-L

Í-

Ta có: f ' ( t ) = 2t − 10

ÁN

f ' ( t ) = 0 ⇔ 2t − 10 = 0 ⇔ t = 5

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Bảng biến thiên: t

f '(t ) f (t)

−∞

+∞ +

+∞

+∞ −25

x = 5 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: min f ( t ) = f ( 5 ) = −25 . Vậy  ℝ  y = −5

Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Sai lầm thường gặp: B. Đáp án B sai. Một số học sinh tìm số nhỏ nhất trong 2 số và khoanh đáp án B và đã sai lầm vì

H Ơ

yêu cầu đề bài là tìm số lớn nhất trong 2 số cần tìm. C. Đáp án C sai. Đề yêu cầu tìm số lớn nhất trong 2 số, không phải tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f ( t ) = t 2 − 10t nên một số học sinh đọc không kỹ yêu cầu đề bài nên đã sai lầm.

TP .Q

D. Đáp án D sai. Một số học sinh đọc không kỹ yêu cầu đề bài nên tìm 2 số thỏa mãn điều kiện hiệu của chúng bằng 10 và tích của chúng là lớn nhất nên dẫn đến đáp án D và đã sai lầm

ẠO

Câu 31: Đáp án A

- Gọi x, y là 2 số cần tìm thỏa mãn x – y = 5. Ta được y = x – 5

- Thay y = x – 5 vào biểu thức xy ta được x 2 − 5x

Ư N

- Yêu cầu bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( t ) = t 2 − 5t trên D = ℝ

TR ẦN

- Xét hàm số f ( t ) = t 2 − 5t trên ℝ . Ta có: f ' ( t ) = 2t − 5

5 2

Bảng biến thiên:

5 2

f ' ( t ) = 0 ⇔ 2t − 5 = 0 ⇔ t =

ẤP

−∞

f '( t )

+∞

f (t)

+∞ −

25 4

Í-

+∞

ÁN

-L

5  x=  25  5 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: min f ( t ) = f   = − . Vậy  ℝ 4 2 y = − 5  2

Sai lầm thường gặp:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

B. Đáp án B sai. Một số học sinh tìm số nhỏ nhất trong 2 số và khoanh đáp án B và đã sai lầm vì

f ( t ) = t 2 − 5t nên một số học sinh đọc không kỹ yêu cầu đề bài nên đã sai lầm.

Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D. Đáp án D sai. Một số học sinh đọc không kỹ yêu cầu đề bài nên tìm 2 số thỏa mãn điều kiện hiệu của chúng bằng 5 và tích của chúng là lớn nhất nên dẫn đến đáp án D và đã sai lầm.

H Ơ

Câu 32: Đáp án D

a − b − c + 15 = 0 a = b + c − 15 Ta có:  ⇔ ⇒ 2a = 2c − 30 ⇔ a = c − 15 a + b − c + 15 = 0 a = − b + c − 15

TP .Q

Ta cần tìm c sao cho tích ac nhỏ nhất. Ta xét hàm số f ( t ) = t 2 − 15t trên ℝ .

15 2

f ' ( t ) = 0 ⇔ 2t − 15 = 0 ⇔ t =

ẠO

Ta có: f ' ( t ) = 2t − 15

f '(t ) f (t)

+∞

15 2

−∞

TR ẦN

Ư N

Bảng biến thiên:

−225 4

ẤP

 15 c = 2  15 225   15  Dựa vào bảng biến thiên, ta có: min f ( t ) = f   = − . V ậy  a = − ℝ 2 4  2  b = 0  

Í-

Sai lầm thường gặp:

ÁN

-L

A. Đáp án A sai. Một số học sinh tìm số nhỏ nhất của hàm số f ( t ) = t 2 − 15t và khoanh đáp án A nên đã sai lầm.

B. Đáp án B sai. Đề yêu cầu tìm số lớn nhất trong 3 số, không phải tìm số nhỏ nhất nên một số học

Ỡ N

sinh đọc không kỹ yêu cầu đề bài và đã sai lầm.

BỒ

ID Ư

C. Đáp án C sai. Đề yêu cầu tìm số lớn nhất trong 3 số nên đáp C sai

Câu 33: Đáp án A

- Gọi chiều cao, bán kính đáy và thể tích hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là h, r, V. Khi đó, theo công thức thể tích của hình trụ ta có: V = πr 2 h .

Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

)

−

  h2  h3  h2 h2 = 2R 2 − nên V = π  2R 2 −  h = π  2R 2 h −  . 4  4  4 4  

(

- Vì r 2 = R 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 t3  - Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( t ) = π  2R 2 t −  trên khoảng 0; 2R 2 . 4 

H Ơ

)

(

TP .Q

 t3  - Xét hàm số f ( t ) = π  2R 2 t −  trên khoảng 0; 2R 2 4 

)

(

ẠO

3   Ta có: f ' ( t ) = π  2R 2 − t 2  4    2R 6 ∈ 0; 2R 2 t = 8 2  2 3 2 3 2  f ' ( t ) = 0 ⇔ π  2R − t  = 0 ⇔ t − R = 0 ⇔ 4  3   2R 6 ∉ 0; 2R 2 t = − 3 

)

(

)

Ư N

(

2R 6 3

−∞

2R 2

f '(t )

TR ẦN

- Bảng biến thiên:

f (t)

ẤP

8πR 3 . 6 9

 2R 6  8πR 3 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: max f ( t ) = f   3  = 9 . 6 ( 0;2R 2 )  

-L

Í-

Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng

ÁN

Khi đó, thể tích hình trụ là

2R 6 . 3

8πR 3 . 6. 9

Sai lầm thường gặp:

B. Đáp án B sai. Một số học sinh nhầm lẫn giữa bán kính của hình trụ và bán kính của hình cầu và

BỒ

ID Ư

Ỡ N

xét chiều cao h ∈ 0; 2R 2  nên trình bày như sau:

(

V=π R 2

)

h = 2πR 2 2R 2 = 4π 2R 3 , và đã sai lầm

C. Đáp án C sai. Một số học sinh đọc sai đề như sau: Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu, bán kính R diện tích lớn nhất của hình trụ là:

Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

8πR 3 . 6 9

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. 4π 2R 3

4π 3 3 R 9

D. 0

H Ơ

Như vậy, học sinh sẽ giải ra đáp án của câu C và đã sai lầm.

D. Đáp án D sai. Một số học sinh đọc sai đề như sau:

B. 4π 2R 3

4π 3 3 R 9

8πR 3 . 6 9

D. 0

Câu 34: Đáp án C

ẠO

Như vậy, học sinh sẽ giải và khoanh đáp án D vì xét t ∈ 0; 2R 2  .

TP .Q

Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu, bán kính R 2 diện tích nhỏ nhất của hình trụ là:

- Tổng của hai số a, b bằng 24 nên ta có: a + b = 24 ⇔ b = 24 − a

Ư N

- Ta cần tìm hai số a, b thỏa yêu cầu bài toán, sau đó mới tìm giá trị của biểu thức A.

TR ẦN

- Thay b = 24 – a vào tích ab ta được ab = 24a − a 2 .

- Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( t ) = 24t − t 2 trên tập xác định D = ℝ .

Ta có: f ' ( t ) = 24 − 2t

10 12

−∞ +

f '(t )

f ' ( t ) = 0 ⇔ 24 − 2t = 0 ⇔ t = 12

144

ẤP

f (t)

+∞

−∞

Vậy max f ( x ) = f (12 ) = 144 , đạt được khi t = 12.

-L

ÁN

a = 12 Vậy  b = 12

Í-

ℝ

a = 12 a 2 + ab 2 + a 2 b + b 2 Thay  vào biểu thức A = ta được: A = 2 a 3 + b2 b = 12

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Sai lầm thường gặp:

a = 12 A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu đề bài nên khi giải đến  đã chọn b = 12

đáp án và đã sai lầm B. Đáp án B sai. Một số học sinh tính sai giá trị của biểu thức A như sau:

Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a = 12 122 + 123 + 123 + 122 13 = Vì  nên A = và khoanh vào đáp án B 12 123 + 123 b = 12

H Ơ

D. Đáp án D sai. Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu đề bài nên nghĩ yêu cầu đề bài như sau:

A. 12

13 12

C. 2

a 2 + ab 2 + a 2 b + b 2 , giá trị của biểu thức A là: a 3 + b2

TP .Q

Tổng của hai số không âm a, b bằng 24, biết tích của chúng là nhỏ nhất. Đặt

1 . 24

ẠO

Học sinh trình bày bài giải như sau:

TR ẦN

Ư N

 a = 24  b = 0 Vì a + b = 24; ab = 0 nên   a = 0   b = 24

Thế là học sinh lấy a = 24; b = 0 thay vào biểu thức A và được kết quả như sau: A =

1 24

Vậy học sinh kết luận rằng đáp án D là đáp án chính xác và đã sai lầm.

Câu 35: Đáp án C

- Tổng của hai số a, b bằng 20 nên ta có: a + b = 20 ⇔ b = 22 − a

- Ta cần tìm hai số a, b thỏa yêu cầu bài toán, sau đó mới tìm giá trị của biểu thức A.

ẤP

- Thay b = 20 – a vào tích ab ta được ab = 20a − a 2 .

Ta có: f ' ( t ) = 20 − 2t

- Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( t ) = 20t − t 2 trên tập xác định D = ℝ .

-L

Í-

f ' ( t ) = 0 ⇔ 20 − 2t = 0 ⇔ t = 10 10

−∞ +

f '(t )

+∞ -

100

f (t)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

−∞

Vậy max f ( x ) = f (10 ) = 100 , đạt được khi t = 10. ℝ

a = 10 Vậy  b = 10

Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a = 10 a 2 + ab 2 + a 2 b + b 2 1300 Thay  vào biểu thức A = ta được: A = 3 2 11 a +b b = 10

a = 10 A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu đề bài nên khi giải đến  đã chọn b = 10

H Ơ

Sai lầm thường gặp:

TP .Q

đáp án và đã sai lầm B. Đáp án B sai. Một số học sinh tính sai giá trị của biểu thức A như sau:

ẠO

a = 10 104 + 103 + 103 + 104 Vì  = 110 và khoanh vào đáp án B nên A = 102 + 102 b = 10

D. Đáp án D sai. Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu đề bài nên nghĩ yêu cầu đề bài như sau:

A. 10

B. 110

1300 11

D. 400

ẤP

Học sinh trình bày bài giải như sau:

 a = 20  b = 0 Vì a + b = 20; ab = 0 nên   a = 0   b = 20

a 4 + ab 2 + a 2 b + b3 , giá trị của biểu thức A là: a2 + b

TR ẦN

Ư N

Tổng của hai số không âm a, b bằng 20, biết tích của chúng là nhỏ nhất. Đặt

Thế là học sinh lấy a = 20; b = 0 thay vào biểu thức A và được kết quả như sau: A = 400

Câu 36: Đáp án D

Vậy học sinh kết luận rằng đáp án D là đáp án chính xác và đã sai lầm.

-L

Í-

- Tổng các bình phương của hai số a, b bằng 36 nên ta có:

ÁN

a 2 − b 2 = 36 ⇔ a 2 = b 2 + 36 ⇔ a = ± b 2 + 36 ⇔ a = b 2 + 36 ( a ≥ 0 )

- Ta cần tìm hai số a, b thỏa yêu cầu bài toán, sau đó mới tìm giá trị của biểu thức A.

- Thay a = b 2 + 36 vào tích ab ta được ab = b b 2 + 36

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( t ) = t t 2 + 36 trên tập xác định D = ℝ .

- Ta có: f ' ( t ) = t 2 + 36 +

t2 t 2 + 36

> 0, ∀t ∈ ℝ .

- Nên hàm số f ( t ) = t t 2 + 36 đồng biến trên ℝ .

Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Suy ra hàm số f ( t ) = t t 2 + 36 đồng biến trên [ 0; +∞ ) - Nên ta được min f ( t ) = f ( 0 ) = 0

H Ơ

[0;+∞ )

a = 6 Vậy  b = 0

TP .Q

a = 6 a 3 + ab 2 + a 2 b + b 2 Thay  vào biểu thức A = ta được : A = 1 a 3 + b2 b = 0

ẠO

Sai lầm thường gặp:

a = 6 A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu đề bài nên khi giải đến  đã chọn b = 0

Ư N

đáp án và đã sai lầm

TR ẦN

a = 6 B. Đáp án B sai. Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu đề bài nên khi giải đến  đã chọn b = 0

đáp án và đã sai lầm

C. Đáp án C sai. Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu đề bài nên nghĩ yêu cầu đề bài nên tính sai

a 3 + ab 2 + a 2 b + b 2 62 1 = 3 = và đã sai lầm 6 a 3 + b2 6

giá trị của biểu thức A =

Câu 37: Đáp án D

ẤP

- Kí hiệu cạnh góc vuông AB là x, 0 < x <

3 2

( 3 − x )2 − x 2

= 9 − 6x

AC = BC2 − AB2 =

- Khi đó, cạnh huyền BC = 3 – x, cạnh góc vuông kia là:

Í-

- Diện tích tam giác ABC là:

-L

1 x 9 − 6x 2

ÁN

S( x ) =

1 1 3x 1 3x  1 9 − 6x − 3x 9 1 − x S' ( x ) = . 9 − 6x − . =  9 − 6x − = . = . 2 2 9 − 6x 2  2 9 − 6x 9 − 6x  2 9 − 6x

- Bảng biến thiên:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

S' ( x ) = 0 ⇔ x = 1

Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

3 2

1 +

S' ( x )

S( x )

H Ơ

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

3 2

Tam giác có diện tích lớn nhất khi AB = 1; BC = 2 và diện tích lớn nhất của tam giác ABC bằng

ẠO

3 . 2

Sai lầm thường gặp:

Ư N

A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên khi giải đến AB = 1 đã vội

vàng kết luận và đã sai lầm.

TR ẦN

B. Đáp án B sai. Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên khi giải đến BC = 2 đã vội vàng kết luận và đã sai lầm.

C. Đáp án C sai. Một số học sinh không đọc kỹ yêu cầu bài toán nên khi giải đến AC = 3 đã vội

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

vàng kết luận và đã sai lầm.

Trang 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com Chủ đề 2

SỐ PHỨC VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

H Ơ

VẤN ĐỀ 1: SỐ PHỨC

LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG

TP .Q

Số i - i 2 = −1

ẠO

Định nghĩa số phức:

Ư N

- Đối với số phức z = a + bi, ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z.

- Một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b ∈ ℝ, i 2 = −1 được gọi là số phức.

TR ẦN

- Tập hợp các số phức kí hiệu là ℂ . Minh họa:

1) 2 + 4i; 5 + 3i; − 3 − 6i là các số phức.

2) Số phức 2 – 4i có phần thực là 2, phần ảo là –4 .

Số phức bằng nhau:

C A

Minh họa:

-L

Í-

a = c a + bi = c + di ⇔  b = d

ẤP

- Hai số phức là bằng nhau nếu phầnthực và phần ảo củúng tưoơng ứng bằng nhau.

ÁN

x = 1 2x = 2 1) 2x + (1 − y ) i = 2 − ( x + 3) i ⇔  ⇔ 1 − y = − ( x + 3) y = 5

Ỡ N

x = 0  y = 1 2   = 3x 3x  ⇔  3x − (1 − y ) i = 3x 2 ⇔  x = 3  − (1 − y ) = 0 3  y = 5 

BỒ

ID Ư

Chú ý: http://dethithpt.com

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0, a = a + 0i. Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có ℝ ⊂ ℂ .

H Ơ

- Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi

bi = 0 + bi

- Đặc biệt: i = 0 + 1i. Số i là đơn vị ảo.

TP .Q

Biểu diễn hình học số phức:

ẠO

- Điểm M (a;b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

TR ẦN

Ư N

Minh họa:

1) Điểm A ( −1;1) biểu diễn số phức –1 + i

ẤP

2) Điểm B (1;0 ) biểu diễn số phức 1 + 0i

Í-

Môđun của số phức: - Độ dài của vecto OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z .

ÁN

-L

Vậy z = OM hay a + bi = OM . Dễ thấy a + bi = a 2 + b 2 .

Minh họa:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1) 1 + 2i = 12 + 22 = 5

(

2) 1 − 3i = 12 + − 3

)

Số phức liên hợp: - Cho số phức z = a + bi.

http://dethithpt.com

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là z = a − bi

Minh họa:

H Ơ

1) z = 1 + 2i ⇒ z = 1 − 2i .

TR ẦN

Ư N

ẠO

Minh họa:

TP .Q

- Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox.

2) z = −1 − 3i ⇒ z = −1 + 3i .

MỘT SỐ THỦ THUẬT, KỸ NĂNG CẦN BIẾT

Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS).

ẤP

- Nhấn SHIFT và nhấn các phím có nhãn chữ màu vàng để sử dụng các chức năng của hàm đó.

- Nhấn ALPHA và nhấn các phím có nhãn chữ màu đỏ để sử dụng các chức năng của hàm đó.

-L

Í-

- Vào phương thức CMPLX và nhấn các phím có nhãn màu tím để sử dụng các chức năng của hàm đó.

ÁN

- Ấn MODE2 ( CMPLX ) để vào toán số phức.

- Sau khi ấn MODE2 ( CMPLX ) , ấn ENG ( i ) để hiện i.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Ấn SHIFT2 ( CMPLX ) 2 ( Conjg ) để sử dụng chức năng tìm số phức liên hợp.

Áp dụng:

(

)

1) Ấn SHIFT2 ( CMPLX ) 2 ( Conjg ) . Nhập 2 − 3i , màn hình sẽ hiện Conjg 2 − 3i , nhấn = , màn hình sẽ hiện 2 + 3i . Ta được là đáp án là số phức liên hợp của số phức 2 + 3i .

http://dethithpt.com

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2+3 3 2+3 3  1+ i  i = − . 23 23  2i − 3 3i 

TP .Q

phức −

2+3 3 2+3 3 i . Ta được là đáp án là số phức liên hợp của số − 23 23

H Ơ

nhấn = , màn hình sẽ hiện −

1+ i  1+ i  , màn hình sẽ hiện Conjg  , 2i − 3 3i  2i − 3 3i 

2) Ấn SHIFT2 ( CMPLX ) 2 ( Conjg ) . Nhập

- Ấn SHIThyp ( Abs ) để sử dụng chức năng tìm môđun của số phức.

ẠO

Áp dụng:

Ư N

Ấn MODE2 ( CMPLX ) để vào toán số phức.

TR ẦN

Sau khi ấn MODE2 ( CMPLX ) , ấn ENG ( i ) để hiện i.

1) Ấn SHIThyp ( Abs ) . Nhập 2 − 3i , màn hình sẽ hiện 2 − 3i , nhấn = , màn hình sẽ hiện

7 . Ta được là đáp án là mô đun của số phức 2 − 3i .

1 + 3i 1 + 3i , nhấn = , màn hình sẽ hiện , màn hình sẽ hiện 2−i 2−i

2) Ấn SHIThyp ( Abs ) . Nhập

1 + 3i  2 − 3 1 + 2 3  i  . + = 2 − i  5 5 

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

ẤP

7 . Ta được là đáp án là mô đun của số phức

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

Bài tập phần này được tích hợp ở vấn đề 3

http://dethithpt.com

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VẤN ĐỀ 2: CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỘNG TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG

H Ơ

Phép cộng và phép trừ

- Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

TP .Q

( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i

(11 + 8i ) + ( 44 − 10i ) = (11 + 44 ) + ( 8 − 10 ) i = 55 − 2i.

(11 + 8i ) − ( 44 − 10i ) = (11 − 44 ) + ( 8 + 10 ) i = −33 + 18i.

ẠO

Minh họa:

Ư N

Phép nhân

- Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i 2 = −1 trong kết

( a + bi )( c + di ) = ( ac − bd ) + ( ad + bc ) i.

Minh họa:

TR ẦN

quả nhận được.

(1 + 4i )( −3 + i ) = ( −3 − 4 ) + (1 − 12 ) i = −7 − 11i

(1 + 3i ) ( −3 + i ) = ( −3 − 3 ) + (1 − 3 3 ) i

Chú ý

ẤP

- Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các

số thực.

Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Í-

- Cho số phức z = a + bi. Ta có:

-L

z + z = ( a + bi ) + ( a − bi ) = 2a 2

ÁN

z.z = ( a + bi )( a − bi ) = a 2 − ( bi ) = a 2 + b 2 = ( z )

+ Tổng của một số phức với một số phức liên hợpcủa nó bằng hai lần phần thực của số phức

đó.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

+ Tích của một số phức với một số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.

Minh họa: 1) z = 5 + 4i; z + z = ( 5 + 4i ) + ( 5 − 4i ) = 2.5 = 10.

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2) z = 5 + 4i; z.z = ( 5 + 4i )( 5 − 4i ) = 52 − ( 4i ) =

(

52 + 4 2

)

= 41.

c + di , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi

a + bi .

- Trong thực hành, để tính thương

H Ơ

Phép chia

TP .Q

Minh họa: 10 + i (10 + i )( 2 + 3i ) 17 + 32i 17 32 = = = + i. 2 − 3i ( 2 − 3i )( 2 + 3i ) 13 13 13

(10 + i ) 2 + 3i 20 − 3 + 2 + 10 3 i 20 − 3 2 + 10 3 10 + i i. = = = + 7 7 7 2 − 3i 2 − 3i 2 + 3i

)

(

TR ẦN

BÀI TẬP MINH HỌA

Ư N

(

)

( )(

ẠO

Ví dụ 1: Tính module của số phức sau: w = 1 + i + z = 8 − i, biết 2 + iz + A. w = 53

C. w = 65

1+ i

= 7 + 8i

D. w = 53

B. w = 65

2. (1 + 2i )

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta tìm số phức z trước sau đó mới suy ra w = 1 + i + z.

Tương tự các câu trên ta tìm ra được: z = 7 − 2i.

ẤP

Suy ra: w = 1 + i + z = 8 − i ⇒ w = 65

⇒ Chọn B.

Í-

z ' z. z ' = 2 z z

-L

A. z.z ≠ z .z

Ví dụ 2: Đẳng thức nào sau đây đúng: C. z.z = z 2

D. z + z = 0

ÁN

HƯỚNG DẪN GIẢI

z.z = ( a − bi )( a + bi ) = a 2 + b2 = z 2

⇒ Chọn C.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ví dụ 3: Đẳng thức nào sau đây sai: A. z = − z = z

z ' z. z ' = 2 z z

C. z.z = z 2

D. z1.z2 = z1 . z2

HƯỚNG DẪN GIẢI Cho z = a + bi

Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. z = a 2 + b 2 = z = a 2 + ( −b ) = − z

) (

)(

)

H Ơ

(

B. z.z = ( a − bi )( a + bi ) = a 2 + b 2 = z 2 2

C. z1 z2 = ( z1.z2 ) . z1.z2 = z1.z1 . z2 z2 = z1 . z2 ⇒ z1.z2 = z1 . z2

⇒ Chọn B.

B. z −1 = z

−1

TP .Q

A. z.z ≠ z .z

Ví dụ 4: Đẳng thức nào sau đây đúng: C. z.z = 1

D. z + z = 0

ẠO

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ư N

1 1 1 1 −1 z. = 1 ⇒ z . = 1 ⇒ = ⇔ z −1 = z z z z z

⇒ Chọn B.

z z1 = 1 z2 z2

TR ẦN

Ví dụ 5: Đẳng thức nào sau đây đúng: 1 z = z z

C. z.z = 1

D. z + z = 0

HƯỚNG DẪN GIẢI

z1 z −1 = z1.z2−1 = z1 . z2 = 1 z2 z2

ẤP

⇒ Chọn A.

BÀI TẬP MINH HỌA

MỘT SỐ THỦ THUẬT, KỸ NĂNG CẦN BIẾT

Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS) Ấn [ MODE 2] (CMPLX) để vào toán số phức.

Sau khi ấn [ MODE ] ( CMPLX ) , ấn [ ENG ] ( i ) để hiện i.

ÁN

Phím [CALC ] dung để thay giá trị và tính.

1) Nhập

2) Nhập

Áp dụng:

( ( 2 + 3i ) + ( 4 − 5i ) ) ( 4 − i ) , nhấn ( ( 2 + 3i ) + ( 4 − 5i )( 4 − i ) ) 2i (1 − i )

= , màn hình sẽ hiện 22 − 14i

, nhấn = , màn hình sẽ hiện 2 − 9i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

-L

Í-

Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3) Nhập X + 2Y , nhấn CALC , màn hình sẽ hiện X ? , nhập 1 + i , nhấn = , màn

(

)

H Ơ

(

)

được đáp án trên màn hinh là kết quả của tổng (1 + i ) + 2 i 2 + 3

Một số công thức nhanh z=z

z± z'= z ± z'

z = z

z + z' ≤ z + z'

z = z = zz

zz ' = z.z '

z =0⇔ z =0

zz ' = z . z '

z=0⇔ z=0

10)

z z   = ( z ' ≠ 0)  z' z'

ẠO

TR ẦN

Ư N

TP .Q

hình sẽ hiện Y ? , nhập i 2 + 3 , nhấn = , màn hình sẽ hiện 7 + 1 + 2 2 i . Ta

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

231 33

C. 1

D. -i

B. 1

C. -i

D. i

B. 104

C. 102

D. 102

B. i

-L

Í-

ÁN

A. -1

681 28

ẤP

A. -1  1− i  Câu 3:    1+ i 

 1− i  Câu 2:    1+ i 

231 28

3 29 33

2 3 +i 2 −4i 3 + 3 2

Câu 1:

Tính module các số phức sau. (Từ câu 1 đến câu 4).

Câu 4: z = 2i (1 − 5i )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. 104

Câu 5: Cho số phức z = A. 0

1− z + z2 1 3 i , module của số phức w = − là: 2 2 3 + 2z B. -1

Câu 6: Tìm a〉 0 để z = 0 , biết z = Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

C. 1

D. -i

a+i a : a−i a

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. a=0 hoặc a=-i

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. a=0 hoặc a=i

C. a=-i

H Ơ C.

1+ 7 2

(1 + i 3 ) + (1 − i 3 ) Câu 8: Xác định phần ảo của số phức sau z = (1 − i )

B. −8

C. 0

D. i

Ư N

1+ i , giá trị của biểu thức M = 1 + z + z 2 + ... + z18 là bao nhiêu: 2

2+ 2 2+ 2 i − 2 2

2− 2 2− 2 i + 2 2

A. −5 + 5i

1+ i 2− 2

Câu 10: Kết quả của phép tính (1 + 3i )(1 + 2i ) là:

C. −5 (1 + i )

1− i 2− 2

D. 5 (1 + i )

B. 5 − 5i 1

Câu 11: z =

TR ẦN

Câu 9: Cho số phức z =

(1 + i )

5 2 2

A. 8

5 2 4

(1 − i )

TP .Q

50 2

4 − 3i

ẠO

Câu 7: Tính module của số phức sau z =

D. a ≠ 0, a ≠ i, a = −i

1 3 3 i A. − + 4 4

1 3 i + 2 2

1 3 3 i + 4 4

5 2 2

Câu 13: v =

B. 1 + 2i

-L (

ÁN

A. i − 2

Í-

 1+ i 3  Câu 12: w =    1+ i 

ẤP

1 3 i − 2 2

2 − 2i

( 2 − 6 + (6

)(

(

G Ỡ N ID Ư

BỒ

Câu 14: w =

D. 1 + 2i

))

2 + 3 2 −4 i

) 2 + 6) i

A. 6 − 6 2 − 6 + 6 2 i C. 6

C. (1 + i ) 2

(

)

B. 6 2 − 6 − 6 2 − 6 i

(

)

D. −6 − 6 2 + 6 − 6 2 i

u v + v u .i v u − u v .i

A. −1 Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. i

C. 1

D. −i

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 17: Tìm số phức sau w = (1 − i )

C. 1

D. − 2

C. −2i

D. 2i

B. i

C. 1

Câu 19: Giá trị của a là a = i 2014 + i 2015 + i 2016 + i 2017 2 1− i

C. a =

1 i −1

D. −i

D. a = 0

B. a =

2 i −1

H Ơ

Ư N

 1+ i  Câu 18: Tìm số phức sau u =    1− i 

A. a =

2016

B. 21008

A. −1

2009

A. −21008

 1− i  +   2

2a − 2b a+b

ẠO

1 2

2009

 1+ i  Câu 16: Tính số phức sau z =    2 A.

2b − 2a a+b

−2 a a+b

b −i a

−2b a+b

a −i b

b +i a

TR ẦN

−

TP .Q

a +i b

Câu 15: Tìm phần ảo của số phức sau

Câu 20: Tìm a và v là một số thuần ảo, biết:

kπ (k ∈ ℤ) 11

B. −

ẤP

1  i  3 3 v =  sin 5a + i. cos 5a  .  − sin 6a + cos 6a  : 2 2 2  2 

-L

A. 0

Í-

Câu 21: Tìm phần thực của số phức

kπ (k ∈ ℤ) 11

B. −1

C. 1

ÁN

TO G Ỡ N

170 10

D. −i

iz − 2 là: z −i

2 5

Câu 23: Tìm điều kiện của a, b, c〉 0 để số phức sau có độ dài bằng 0, v = A. a = b = c

B. c = −b, a = bc

C. c = −b, a 2 = b 2

3 10

a + bi : a − ci

D. Không tồn tại

BỒ

ID Ư

1 5

2k π (k ∈ ℤ) 11

1 i

Câu 22: Cho số phức z = 1 − 2i , module của số phức a = A.

Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. n = 5k , k ∈ ℕ *

B. n = 6k , k ∈ ℕ *

3 1 − i 2 2

C. n = 8k , k ∈ ℕ *

D. n = 7 k , k ∈ ℕ *

C. 2 − i

D. i

Câu 24: Tìm tất cả các số nguyên dương n để z " là số thực, biết z =

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 7 − i 10 10

(

1 7 + i 10 10

1 1 − i 3 3

)

1 1 B. − − i 3 3

1 . ( i + 1) 3

TR ẦN

Y U 1 7 + i 10 10

Câu 27: ( 2 z − 1) . (1 + i ) + z + 1 . (1 − i ) = 2 − 2i

D. −

Ư N

1 7 − i 10 10

ẠO

2−i = ( 3 − i ) .z 1+ i

Câu 26: (1 − 2i ) .z −

TP .Q

B. 1 + 2i

A. 2 + i

A. −

Câu 25: z − ( 2 + 3i ) .z = 1 − 9i

1 1 + i 3 3

Câu 28: Cho số phức z,. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z có phần ảo gấp rưỡi phần thực và

B. 4

A. 3

phần ảo của z là nghiệm của phương trình x 2 − 5 x + 6 = 0

C. 2

D. 1

C. 3

D. 4

Câu 29: Cho số phức z. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z có phần thực gấp đôi phần ảo và

B. 1

ẤP

A. 2

sai khác nhau một đơn vị

Câu 30: Số phức có tổng bình phương phần thực và phần ảo lớn nhất trong số các số phức

tìm được là:

9 9 B. z = −3 − i và z = 3 + i 2 2

Í-

9 9 A. z = −3 − i hoặc z = 3 + i 2 2

D. z = −2 − 3i và z = 2 + 3i

-L

C. z = −2 − 3i hoặc z = 2 + 3i

ÁN

Câu 31: Tính giá trị của biểu thức sau: M = 2 − i + 2 + i 5 −1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 3 1  Câu 32: Rút gọn z =   2 − 2 i   

A. −

3 1 − i 2 2

C. 4 + 2 5

5 +1 3

4+2 5

 3 1  .  + i  :  2 2 

3 1 − i 2 2

1 3 i + 2 2

D. −

3 1 + i 2 2

Câu 33: Tìm a, b để z = 0 , biết z = ( a − 10i ) . (10 + bi )

Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. {a, b} = {10, −10} ∪ {−10,10}

C. {a, b} = {−10,10} ∪ {10,10}

D. Một kết quả khác

A. {a, b} = {10, −10} ∩ {−10,10}

C. z = 2 − 2i hoặc z = 1 − 4i

D. z = 4 − 2i hoặc z = 2 + i

B. z = 1 + 2i hoặc z = 4 + 2i

Câu 35: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện sau z = − z.i C. z = −2i

D. z = 0

ẠO

B. z = −2 + 2i

A. z = −1 − 1i

(

)

1 . ( −36 − 9i ) 5

1 B. − . ( 36 − 9i ) 5

TR ẦN

Câu 37: Tìm số phức thỏa điều kiện sau: z − 4 .4i = 13i − z

D. z = 4 + 6i

Ư N

C. z = 2 − 3i

B. z = 3 − 2i

Câu 36: Số phức z nào sau đây thỏa: 13.z = z. (12i − 5 ) A. z = 1 − 3i

1 C. − . ( 36 + 9i ) 5

(

)

TP .Q

A. z = 4 − 2i hoặc z = 1 − 2i

H Ơ

 3 4  Câu 34: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện sau z = z.  − − i   5 5 

1 . ( 36 − 9i ) 5

1 1 + i 7 3

1 C. z = − . ( 2 + i ) 6

B. z =

ẤP

Câu 39: Tìm số phức thỏa điều kiện sau: 10 z.

6−i − ( 5 + 5i ) .z = 12 5 − 5i

B. z = −5 + i

C. z = 5 + i

A. z = −5 − i

Í-

Câu 40: Tìm số phức thỏa điều kiện sau: z + 2. A. z = −1 − 8i

B. z = 1 + 8i

1 D. z = . ( −2 + i ) 6

1 1 A. z = − + i 3 7

Câu 38: Tìm số phức thỏa điều kiện sau: z − 4 = 13 z − 2i

D. z = 5 − i

z −i − z.z = 6i + 4 z + z 1+ i

(

C. z = −i

) D. z = i

-L

Câu 41: Trong các số phức z thỏa z + 2i = 5 , có module lớn nhất B. z = −1 − 2i

ÁN

A. z = 1 − 2i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 42: Tìm số phức 3 z + 4 z và A. 7 a + bi và −100. C. 7 a − bi và 100.

b + ai a 2 + b2

C. z = 3i

100i , với z = a − bi z

B. −7 a + bi và −100. D. −7 a + bi và 100.

Câu 43: Tìm phần thực của các số phức −6 z + 14 z + 2 và Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

D. z = −7i

b − ai a 2 + b2

17i , với z = mn − ni z +1

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

17 n

A. 8 z = 8 + 4 3

(1 − 3i )

B. 8 z = 4 + 8 3

17 n

( −mn + 1)

1− i

Câu 44: Tìm module của số phức 8 z biết z =

( mn − 1)

D. 8mn + 2 và

( mn + 1)

C. −8mn − 2 và

17 n

TP .Q

( mn + 1)

B. 8mn − 2 và −

D. 8 z = 8 + 4 3

C. 8 z = 2 2

B. z = 2 − 2i; z =

3 3 + i 2 2

D. z =

C. z =

2 2 − i 3 3

TR ẦN

A. z = 2 + 2i; z =

z =i: z

Câu 46: Tìm số phức z biết z − i = z − 2 và

D. 50i

C. −50i

Ư N

B. 50

Câu 45: Tìm phần ảo của số phức z biết z = ( 5 − i ) . (1 − 5i ) − 24i : A. −50

H Ơ

17 n

ẠO

A. 8mn + 2 và

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 2 − i 3 3

(

)

3 9 1 C. z = − + i; z = − − i 2 10 5

3 9 1 + i; z = − − i 2 10 5

ẤP

A. z =

Câu 47: Tìm số phức z biết z − 2 = 2 và phần thực của ( 2 + i ) . z − 1 bằng 0: B. z =

3 9 1 + i; z = − i 2 10 5

3 9 1 D. z = − + i; z = − i 2 10 5

(

)

Í-

Câu 48: Tìm số phức z biết z − 2i = 5 và ( z + 8 ) . z − 2i là số thực: B. z =

36 43 − i; z = −4 − i 17 17

C. z = 4 − 3i; z = 4 − i

D. z =

36 43 − i; z = 4 − i 17 17

ÁN

-L

A. z = 4 − 3i; z = −4 − i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 49: Tìm số phức z thỏa mãn ( z − i ) . (1 + 3i ) + (1 + 2 zi ) . ( 3 + 6i ) = 15 + 16i A. z = 0

B. z = 1

C. z = −i

(

D. z = i

)

Câu 50: Tính module số phức sau ( 2 z − 1)(1 + i ) + 1 + z (1 − i ) = 2 − 2i A. z =

3 2

B. z =

2 3

C. z =

2 9

D. z =

2 3

Câu 51: Tính module của số phức z sau, biết: (1 + 2i ) .z + z = 1 − 9i Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. z = 5

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. z = 5

C. z =

449 12

D. z = 0

H Ơ

Câu 52: Đẳng thức nào sau đây đúng:

A. Với n là số nguyên âm, thì i n ∉ {1, −1, i, −i}

B. z − z luôn là một số thực

TP .Q

C. z.z = 1

)

(

A. i n ∈ {1, −1, i, −i} ∀n ∈ Ν

B. z −1 = − z

−1

C. z.z = i

D. z − z = 0

2 z1 + z2

(

)

C. z1 + z2

A. 4. z1 + z2

)

TR ẦN

Câu 54: Câu nào sau đây đúng:

( )

: 2. z1 + z2

(

Ư N

Câu 53: Giá trị đúng của biểu thức sau là z1 + z2 + z1 − z2

ẠO

D. z1 + z2 = z1 + z2

Câu 55: Câu nào sau đây đúng:

A. Với z = a + bi thì số phức liên hợp của z là z = − ( a + bi )

ẤP

D. z = z ⇔ z ∈ ℝ

C. z.z là một số thực dương.

B. z −1 = − z

Câu 56: Câu nào sau đây đúng:

A. Module của một số thực là một số thực.

B. Module của một số ảo là một số ảo.

-L

Í-

C. Số phức được biểu diễn dưới nhiều dạng đại số khác nhau. 2

ÁN

D. Với z = a + bi thì z = a 2 + b 2 được gọi là module của số phức z

Câu 57: Công thức nào sau đây đúng: 2

Ỡ N ID Ư

BỒ

(

B. z1 + z2 + z1 − z2 = 2. z1 + z2

A. − z = − a + bi

z z1 = 1 z2 z2

)

D. i 4 n +1 = −i, ∀n ∈ Ν *

Câu 58: Cho hai số phức: z = a + bi và z ' = a − bi . Phát biểu nào sau đây sai: A. z = z '

B. z ' = z

C. z + z ' = 2a

D. z − z ' = −2bi

Câu 59: Câu nào sau đây đúng: Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. z = − z thì z là số thuần ảo. B. Module của một số thuần ảo là một số thuần ảo.

H Ơ

C. Số phức được biễu diễn dưới nhiều dạng đại số khác nhau. 2

D. Với z = a + bi thì z 2 + ( z ) là số thuần ảo.

Câu 60: Điều nào sau đây đúng:

TP .Q

A. z = z thì z là số thuần ảo

z−z

(z )

+ z3

là số thuần ảo. (với mọi số phức sao cho biểu thức xác định)

ẠO

B. zi 2 = i 2 . z

1 (z + z ) 2

B. Phần ảo của z là

1 (z + z ) 2

TR ẦN

A. Phần thực của z là

Câu 61: Điều nào sau đây đúng. Khi có một số phức bất kì:

Ư N

D. Với z = a + bi thì z 2 = a 2 + b 2 + 2abi

C. Với z = a + bi, a, b ∈ ℝ , thì phần thực của số phức

ẤP

D. Với z = a + bi, a, b ∈ ℝ , thì phần ảo của số phức

z −i a2 − b2 − 1 là: 2 2 z +i a + (b − i )

z −i a là: 2 2 z+i a + (b − i )

Câu 62: Tìm phát biểu sai. Khi có một số phức bất kì:

A. z là số thực thì module của z là giá trị tuyệt đối của z .

B. z không là số thực thì module của z cũng lag giá trị tuyệt đối của .

-L

Í-

C. Module của một số thuần ảo là một số thực.

ÁN

D. Mỗi số phức được biểu diễn dưới dạng z = a + bi, a, b ∈ ℝ,i 2 = −1.

Câu 63: Câu nào sau đây sai: B. zi 2 = z

z1 z = 1 z2 z2

D. z1 + z2 = z1 + z2

Ỡ N

A. z = z

BỒ

ID Ư

Câu 64: Tìm phát biểu sai. A. Tập hợp các số thực là tập con của số phức. B. Module của một số phức bất kì luôn luôn dương. C. Đơn vị ảo được kí hiệu là i sao cho i 2 = −1 , i được gọi là số Euler. Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D. Mỗi số phức được biễu diễn dưới dạng z = a + bi, a, b ∈ ℝ, i 2 = −1 . Câu 65: Tìm phát biểu sai. Khi có một số phức bất kì:

H Ơ

A. Phép chia số phức được thực hiện bằng cách nhân tử số với số phức liên hợp của mẫu

s ố.

B. Phép cộng số phức có tính giao hoán và kết hợp.

TP .Q

C. Phép nhân, lũy thừa các số phức được thực hiện như trong tập số thực.

ẠO

D. Tích hai số phức có thể là số thực cũng có thể là số phức.

1-D

2-C

3-B

4-B

5-A

6-C

7-B

8-C

11-B

12-B

13-B

14-B

15-D

16-B

17-D

18-D

19-D

20-D

21-D

22-A

23-D

24-B

25-C

26-C

27-C

Ư N

Đáp án

28-A

29-B

30-B

31-D

32-C

33-D

34-A

35-A

36-C

37-B

38-A

39-C

40-B

41-D

42-C

43-A

44-C

45-B

46-C

47-B

48-D

49-C

50-B

51-A

52-D

53-D

54-A

55-D

56-A

57-C

58-D

59-A

60-C

61-A

62-B

63-D

64-B

65-D

10-D

TR ẦN

9-C

ẤP

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án D

Phân tích:

Í-

Ở các bài toán dao động tính module của số phức thông thường ta phải thực hiện các

ÁN

-L

phép tính sau đó mới áp dụng công thức: với z = a + bi thì z = a 2 + b2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ta có: z =

(

)(

2 3 + i 2 . 3 2 + 4i 3 2 3+i 2 2 3 +i 2 = = 2 −4i 3 + 3 2 3 2 − 4i 3 3 2 − 4i 3

(

)

2 3.3 2 − 4 3. 2 + 2 3.4 3 + 3 2. 2 .i =

( 3 2 ) + ( −4 3 )

)

2 6 + 30i 66

 6   15  2 231 ⇒ z =   +   = 33  33   33 

Câu 2: Đáp án C Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tương tự 3

H Ơ

3  1 − i   (1 + i ) . (1 − i )   (1 − 1)( −2 ) i  z=  =  = ( −i ) = i ⇒ z = 1  = 2 2 2  1+ i   1 +1   

Câu 3: Đáp án B  1 + i   (1 + i )(1 + i )   2i  2 z=  =   = i = −i ⇒ z = 1  = 2 2 2  1− i   1 +1   

TP .Q

Câu 4: Đáp án B

TR ẦN

z = 2i (1 − 5i ) = 2i − 10i 2 = 10 + 2i ⇒ z = 102 + 22 = 104

Câu 5: Đáp án A

1 3 i, ta thay vào: − 2 2 2

Với z =

Ư N

ẠO

i 4 n = 1  4 n +1 =i i Nên nhớ:  4 n + 2 = −1 i i 4 n +3 = −i 

Í-

1 3 1 3 + i− − i 2 2 2 2 = =0 5 − 3i

ẤP

1 3  1 3  1 3 1 3  1 3  i+ − i i+ − i  . − i 1−  − + 2 2 2  2 2  2 2 2 2  2 2  1− z + z   = = 3 + 2z 1 3 + 2 − 3.i 3  3 + 2.  − i 2 2 

-L

⇒ z =0

ÁN

Câu 6: Đáp án C

(

)( ( )

)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

2 a+i a . a+i a a+i a a 2 − a + 2a a .i a − 1 + 2 a .i ( a + i ) = = = = >0, vì ( a > 0 ) z= 2 a2 + a a +1 a +1 a −i a a2 + a

(a + i) z =0⇒ a +1

= 0 ⇔ a = −i

Câu 7: Đáp án B z=

4 − 3i

(1 − i )

4 − 3i 2

(1 − i ) . (1 − i )

Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

4 − 3i 4 − 3i ( 4 − 3i ) . ( −2 + 2i ) = = 2 2 −2i. (1 − i ) −2 − 2i ( −2 ) + ( −2 )

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5 2  1 7 ⇒ z = −  +  = 4  4 4

(1 + i )

) (( +

2 2

((1 − i ) )

2 2

1− i 3

) ) .(1 − i 3 )

)) (

. 1+ i 3

(1 − i )

(( =

2 2

1+ i 3

2 2

((1 + i ) )

(1 + i 3 ) + (1 − i 3 ) z=

TP .Q

H Ơ

Câu 8: Đáp án C

( −2 + 2 3i ) .(1 + i 3 ) + ( −2 − 2 3i ) .(1 − i 3 ) = 2

( 2i )

ẠO

( −2i )

32 = −8 4

z=−

16 − 16 3i 16 + 16 3i + −4 −4

TR ẦN

−4

Ư N

−4

( −8 − 8 3i ) .(1 + i 3 ) + ( −8 + 8 3i ) .(1 − i 3 ) =

Ta có thể viết: giả sử số phức z có dạng z = a + bi , trong trường hợp của bài này thì

a = −8  b = 0

ẤP

Suy ra: phần ảo của số phức z bằng 0.

Câu 9: Đáp án C

M = 1 + z + z 2 + ... + z16

Ta viết lại: M = z 0 + z + z 2 + ... + z16

-L

Í-

u = 1 Ta thấy biểu thức của M là tổng của 19 số hạng đầu của cấp số nhân với  1 q = z

ÁN

Nhắc lại: Cấp số nhân: dãy u1 , u2 ,..., un là cấp số nhân có công bội q, thì tổng của n

Ỡ N

số hạng đầu tiên là: S n = u1 .

BỒ

ID Ư

Suy ra: M = 1.

1 − qn 1− q

1 − z19 1 − z19 = 1− z 1− z

Chú ý: Nếu gặp bài toán có số mũ của z quá lớn, thì ưu tiên tính những lũy thừa bậc hai, bậc ba trước, sau đó mới biến đổi các lũy thừa bậc cao về đơn giản. Ví dụ: 33

z100 = z 99 .z = ( z 3 ) .z , nếu như tìm ra z 3 đơn giản thì bài toán được giải quyết.

Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 1 + i   1 + i  2i z2 =   . = =i  2 2 2

TP .Q

H Ơ

i 4 n = 1  4 n +1 =i i Nên nhớ:  4 n + 2 = −1 i i 4 n +3 = −i  9

z18 = ( z 2 ) = i 9 = i 4.2+1 = i

Đ + 12

2 + 2i 1+ i = 4−2 2 2− 2

Câu 10: Đáp án D

(1 + 3i ) . (1 + 2i ) = (1 − 6 ) + ( 2 + 3) i = −5 + 5i

2 −1+ i 2

)( ( 2 − 1)

2 +1− i .

Ư N

(

 −1 + i  1−    2  = 2 +1− i = 1+ i 2 −1 − i 1− 2

TR ẦN

1 − z19 ⇒ M = 1. = 1− z

ẠO

1+ i  1 z19 = z18 .z = i.  ( −1 + i ) = 2  2

Câu 11: Đáp án B

1 3 + i z 1 1 3 2 2 Ta có: i (Sử dụng công thức = 2 ) = = + 2 2 2 2 z z 1 3 − i  1  +  3    2 2 2  2 

ẤP

Hoặc: coi 1=1+0. i , rồi thực hiện phép chia số phức: 1

3  i 2 

Í-

2 2 1  3    + 2  2 

-L

1 3 i + 2 2

ÁN

1 + 0.i = 1 3 − i 2 2

(1 + 0.i ) 

Câu 12: Đáp án B 3

(

) (

)(

)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1+ i 3 1+ i 3 . 1+ i 3 −2 + 2 3i . 1 + i 3 1+ i 3  −8 w =  = = =  = 3 2 2i. (1 + i ) −2 + 2i (1 + i ) (1 + i ) . (1 + i )  1+ i 

= −8.

( −2 − 2i ) 2 2 ( −2 ) + ( −2 )

= 2. (1 + i )

Câu 13: Đáp án B Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(

)(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

))

(

) ( 2 (3

(

2 + 3 2 − 4 i = 2. 2 − ( −2 ) . 3 2 − 4 +

2 − 2i .

(

)

(

)

2 − 4 + ( −2 ) . 2 i

)

H Ơ

= 2+ 6 2 −8+ 6 − 4 2 − 4 2 i = 6 2 −6 − 6 2 −6 i

)

TP .Q

(

)( ) (

u v + v u .i . v u + u v .i uv uv − uv uv + ( u 2 .v + v 2 .u ) i u v + v u .i w= = = =i 2 2 u 2 .v + v 2 .u v u − u v .i v u − u v

(

Câu 14: Đáp án B

ẠO

Câu 15: Đáp án D

a +i b b +i a − = A− B a −i b b −i a

Ư N

Ta tìm A bởi vì ta thấy vai trò của a và b trong hai biểu thức A và B là như nhau. Nên ta

(

)(

a +i b .

a +i b

a+b

(

a − b + 2 ab .i − b − a + 2 ab .i A− B =

) = a −b + 2 a+b

⇒B=

b + i a b − a + 2 ab .i = a+b b −i a

a+b

) = 2a − 2b

ab .i

TR ẦN

a +i b = a −i b

hoàn toàn suy ra được B nếu tính xong A .

Câu 16: Đáp án B

Do bậc số phức có bậc cao nên ta cần đưa nó về dạng z = a + bi . Ta tính lũy thừa bậc hai của

2009

1004

  1 + i 2  =     2    

1− i  +   2

2009

1004

2  1+ i    1− i   . +       2    2  

 1− i  .   2

 1+ i  z=   2

ẤP

số phức mong tìm được dạng đơn giản hơn.

-L

Í-

2i  1 + i  (1 + i )   = 2 = 2 = i;  2 2

ÁN

−2i  1 − i  (1 − i )   = 2 = 2 = −i  2

Thay vào ta được:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1004  1 − i  1+ i   1+ i   1− i  z = i1004 .   + ( −i ) .  = + = 2  2  2  2  2

i 4 n = 1  4 n +1 =i i Cần nhớ:  4 n + 2 = −1 i i 4 n +3 = −i 

Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Áp dụng cho bài trên thì:

(

= ( −i )

2 1002

)

1002

= ( −1)

H Ơ

1004

( −i )

i1004 = i 4.251 = 1

2 1008

)

1008

= ( −2i )

1008

= 21008. ( −i )

(

= 21008. ( −i )

2 504

)

= 21008.1 = 21008

Câu 18: Đáp án D

ẠO

 1+ i  Với: u =    1− i 

(

= (1 − i )

2016

TP .Q

w = (1 − i )

Câu 17: Đáp án B

Ư N

1 + i (1 + i ) 2i 17 1+ i  35 34 2 17 = 2 2 = =i⇒u = Ta tính trước:  = i = i .i = ( i ) .i = − (1) .i = −i 1− i 1 +1 2  1− i 

a = i 2014 + i 2015 + i 2016 + i 2017 ⇒ a = i 2014 . (1 + i + i 2 + i 3 ) 1007

1007

= ( −1)

= −1

Ta có: i 2014 = ( i 2 )

TR ẦN

Câu 19: Đáp án D

u1 = i 0 = 1 và công bội q = i , suy ra:

Ta nhìn thấy vế sau là tổng của 4 số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu tiên là

ẤP

2 1 − i4 1 − (i ) 1 −1 2 3 0 2 3 1 + i + i + i = i + i + i + i = 1. = = =0⇒ a =0 1− i 1− i 1− i

Câu 20: Đáp án D

Tìm a để v là một số thuần ảo

-L

Í-

1  i  3 3 Ta có: v =  sin 5a + i. cos 5 a . sin 6 a cos 6 a − +    2  2 2   2 

ÁN

1  3  3 1 cos 5a  .  cos 6a − i. sin 6a  =  sin 5a + i. 2 2 2  2 

Do đề yêu cầu: a để v là một số thuần ảo, tức là phần thực của v bằng không. Vậy nên ta chỉ

BỒ

ID Ư

Ỡ N

quan tâm đến phần thực của v .

u = a + bi Nhắc lại: Với  ' thì ta có: u.u ' = ( a.a ' − b.b ' ) + ( a.b ' + a ' .b ) .i ' ' u = a + b

Phần thực của số phức v là:

Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 3 3  1  A = sin 5a. cos 6a − cos 5a.  − sin 6a  2 2 2  2 

N Y

2kπ (k ∈ Z) 11

A = 0 ⇔ sin11a = 0 ⇔ 11a = k .2π ⇔ a =

H Ơ

3 3 ( sin 5a.cos 6a + sin 6a.cos 5a ) = sin11a 2 4

ẠO

1 : i

Tìm phần thực của số phức

1 −i = = −i i 1

Ta có:

TP .Q

Câu 21: Đáp án D

Ư N

Câu 22: Đáp án A

iz − 2 i. (1 − 2i ) − 2 2 + i − 2 i. (1 + 3i ) −3 + i = = = 2 = 2 1 − 2i − i 1 − 3i 10 z −i 1 + ( −3 )

TR ẦN

z = 1 − 2i

1  3 1 ⇒ a = −  +  = 5  10   10 

(1)

a 2 − bc = 0 ⇒ a 2 = bc 2 2 a +c

ẤP

2 a + bi ( a + bi )( a + ci ) a − bc + ( ac + ab ) i a 2 − bc ac + ab = = = 2 2+ 2 2i a − ci a2 + c2 a2 + c2 a +c a +c

Câu 23: Đáp án B

(2)

-L

Í-

ac + ab = 0 ⇒ ac = − ab ⇒ c = −b a2 + c2 (1)(2) ⇒ a 2 = −b 2 (vô lí)

ÁN

Câu 24: Đáp án B 1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

3 1 − i 2 2 2

    1 1 3   = + i 2 2  3 1  − i   2 2 

Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ N

= z12 = i 4 = 1

3 2

(z )

    2 1   = i ⇒ ( z 3 ) = z 6 = i 2 = −1  3 1  − i   2 2 

TP .Q

Vậy với những n = 6k , k ∈ Ν * thì z n = 0

Câu 25: Đáp án C

ẠO

Đặt z = a + bi , ta tìm a, b .

Ta có: ( a + bi ) − ( 2 + 3i ) . ( a − bi ) = 1 − 9i

Ư N

⇔ a + bi − ( 2a + 3b + ( 3a − 2b ) i ) = 1 − 9i

⇔ ( −a − 3b ) − ( 3a − 3b ) i = 1 − 9i

TR ẦN

−a − 3b = 1 a = 2 Đồng nhất hai vế ta được hệ ⇒  ⇒ ⇒ z = 2−i 3a − 3b = 9 b = −1

Câu 26: Đáp án C

2−i 1  3  = ( 3 − i ) . ( a + bi ) ⇔  −2a + b −  +  − a − 2b +  i = 0 1+ i 2  2 

Ta có: (1 − 2i ) . ( a + bi ) −

Tương tự câu trên z = a + bi

ẤP

1 1   a = 10 −2a + b = 2 1 7 ⇒ ⇒ ⇒z= − i 10 10 −a − 2b = − 3 b = 7   2  10

2−i 2−i 1 7 = = + i. (1 + i ) . ( 2 + i ) 1 + 3i 10 10

-L

Í-

Hoặc: z = −

ÁN

Câu 27: Đáp án C

( 2 z − 1) . (1 + i ) + ( z + 1) . (1 − i ) = 2 − 2i ⇔ ( 2 ( a + bi ) − 1) . (1 + i ) + ( ( a − bi ) + 1) . (1 − i ) = 2 − 2i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1  a=  3a − 3b = 2  1 1 3 ⇔ 3a − 3b + ( a + b − 2 ) i = 2 − 2i ⇒  ⇒ ⇒z= − i 3 3 a + b = 0 b = − 1  3

Câu 28: Đáp án A Giả sử số phức z có dạng: z = a + bi

Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

 a − 2b = 0  a = 2 a = 2b    z = −2 − i a = 2b  a − b = 1 b = 1   ⇔ a − b = 1 ⇒ ⇔ ⇔ Theo đề ta có:     a = −2 z = 2 + i  a − b = 1   a − b = −1  a − 2b = 0     a − b = 1  b = −1

Vậy có hai số phức thỏa điều kiện.

TP .Q

Câu 29: Đáp án B Giả sử số phức z có dạng: z = a + bi

ẠO

Do đề, a là nghiệm của phương trình: x 2 − 5 x + 6 = 0

Nên: a 2 − 5 a + 6 = 0

TR ẦN

 a = 2  t = 2  a = 2  a = −2 Suy ra: t 2 − 5t + 6 = 0 ⇔  ⇒ ⇔  a = 3 t = 3  a = 3    a = −3

Ư N

Đặt: a = t ( t > 0 ) ⇒ t 2 = a 2

Vì các giá trị của a độc lập nên các giá trị của b cũng độc lập. Do đó, có 4 giá trị của a,b nên

có 4 số phức thỏa mãn.

Câu 30: Đáp án A

Ta thành lập được bốn số phức từ kết quả bài trên. Nhưng theo đề thì chỉ cần tính tổng bình

ẤP

phương, ta cần biết hai thành phần của số phức.

3 9 a thì: a1 = 3 ⇒ b1 = 2 2

9 2

Í-

a2 = −3 ⇒ b2 = −

Với: b =

-L

a3 = 2 ⇒ b3 = 3

ÁN

a4 = −2 ⇒ b4 = −3

9 9 Dễ thấy: Với z1 = 3 + i và z2 = −3 − i thì thỏa mãn yêu cầu của đề. 2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 31: Đáp án D M = 2−i + 2+i

Ta bình phương hai vế của phương trình: M2 =

(

2−i + 2+i

)

Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

⇔ M 2 = 2−i +2+i +2

( 2 − i ) .( 2 + i )

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔ M2 = 4+2 5 ⇔ M = 4+2 5

 3 1  1 3 i .  + i  = +  2 2  2 2

H Ơ

 3 1  z =  − i   2 2 

Câu 32: Đáp án C

Câu 33: Đáp án D

TP .Q

Đặt số phức z = a + bi

ẠO

Từ phương trình ta suy ra: z = (10a + 10b ) + ( ab − 100 ) i

10a + 10b = 0 z = 0 ⇔ (10a + 10b ) + ( ab − 100 ) i = 0 ⇒  ab = 100

Ư N

⇔ b 2 = −100 (vô lí)

Câu 34: Đáp án A

TR ẦN

 3 4  Với phương trình: z = z .  − − i   5 5 

Ta đặt: z = a + bi , thế vào phương trình ta được:

 a2 − b2 3 =−  3 4 3 4 3 4 z a + bi a − b + 2abi  a 2 + b2 5 =− − i⇔ =− − i⇔ =− − i⇒ z 5 5 a − bi 5 5 a 2 + b2 5 5 2 4 ab  =− 2 2 5  a + b 2

Câu 35: Đáp án A

ẤP

a = 2b  Giải hệ phương trình ta có hệ nghiệm:  1 a = − 2 b

Í-

z = z .i ⇒ Tương tự câu 34.

-L

Câu 36: Đáp án C

ÁN

Ta đặt: z = a + bi , thế vào phương trình ta được:

13a = −5a − 12b 13. ( a − bi ) = ( a + bi ) . (12i − 5 ) ⇔ 13a − 13bi = −5a − 12b + (12a − 5b ) i = 0 ⇔   −13b = 12b − 5b

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 −18a − 12b = 0 ⇔ 12a + 8b = 0

- Bấm máy giải phương trình này ta thấy phương trình có vô số nghiệm. - Chú ý câu hỏi, đề hỏi số phức nào thỏa mãn điều kiện đã cho, do đó ta tìm mối liên hệ giữa a và b.

Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 −18a − 12b = 0 ⇔ ⇔ 3a = −2b 12a + 8b = 0

H Ơ

- Để cho nhanh, đối với dạng câu hỏi này, ta nên dùng máy tính thay từng đáp án xem thử đáp án nào thỏa mãn.

Câu 37: Đáp án B

TP .Q

- Ta đặt: z = a + bi , thế vào phương trình ta được:

( a − bi − 4 ) .4i = 13i − ( a + bi ) ⇔ 4b − ( a − 4 ) .i = −a + (13 − b ) .i

Ư N

ẠO

36  a=−   a = −4b 1  5 ⇒ ⇔ ⇒ z = − ( 36 − 9i ) 5  a − b = −9 b = 9  5

Câu 38: Đáp án A

TR ẦN

- Ta đặt: z = a + bi , thế vào phương trình ta được:

−1  a=   a − 4 = 13a −1 1  3 ⇒ ⇒z= + i ( a − bi − 4 ) = 13 ( a + bi ) − 2i ⇔  3 7  −b = 13b − 2 b = 1  7

Câu 39: Đáp án C

- Các bạn đặt z = a + bi , thế vào phương trình và giải như câu 36,37,38.

6−i − ( 5 + 5i ) .z = 12 5 − 5i

ẤP

- Tuy nhiên ở đây điều kiện đã cho khá rắc rối 10 z.

- Cho nên để cho dễ ta dùng máy tính casio thay từng đáp án và chọn đáp án chính xác.

Í-

Tương tư câu 39.

Câu 40: Đáp án B

-L

Dùng phương pháp loại trừ, thay từng đáp án vào dữ kiện đề cho.

ÁN

Câu 41: Đáp án D

- Đặt: z = a + bi , sau đó dựa vào phương trình của đề, ta được: 2

Ỡ N

a + (b + 2) i = 5 ⇔ a2 + (b + 2) = 5

BỒ

ID Ư

- Nhìn cả 4 đáp án thì phần ảo của số phức bằng không ( a − 0 ) , suy ra: b = 3 Vậy có 2 đáp án thỏa mãn một vế của đề, do module của z = −7i lớn hơn cả a =0⇒   b = −7

trong hai đáp án còn lại.

Câu 42: Đáp án C Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3 z + 4 z = 3 ( a + bi ) + 4 ( a − bi ) = 7 a − bi

H Ơ

100i 100i 100 ( b + ai ) = = z a + bi a 2 + b2

Câu 43: Đáp án A

−6 z + 14 z + 2 = −6 ( mn − ni ) + 14 ( mn − ni ) + 2 = 8mn + 2 − 8ni

TP .Q

17i ( mn + 1 + ni ) 17i 17i = = = z + 1 mn − ni + 1 ( mn + 1)2 + n 2

ẠO

17i 17i 17i = = z + ni − 1 mn − ni + ni − 1 mn − 1

(

8z =

Ư N

 −1 + 3 1 + 3  i  = −1 + 3 − 1 + 3 i = 8  − 8 8  

1− i

(1 − 3i )

−1 + 3 1 + 3 i + 8 8

) (

)

⇒ 8z =

TR ẦN

(1 − 3i )

( −1 + 3 ) + (1 + 3 )

1− i

=2 2

Câu 45: Đáp án B

Câu 44: Đáp án C

ẤP

z = ( 5 − i ) . (1 − 5i ) − 24i = −50i ⇒ z = 50i

Câu 46: Đáp án C

z − i = z − 2 ⇔ a + bi − i = a + bi − 2 2

( a − 2)

+ b2

Í-

⇔ a 2 + ( b − 1) =

ÁN

-L

z a + bi 2 =i⇔ = i ⇔ ( a + bi ) = ( a 2 + b 2 ) i z a − bi

 a 2 − b 2 = 0 ⇔ ⇔ a=b 2 2  2ab = a + b

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Thay vào trên ta được: 2

a 2 + ( a − 1) =

( a − 2)

+ a 2 ⇔ a 2 + ( a − 1) = ( a − 2 ) + a 2 ⇔ a =

3 2

Câu 47: Đáp án B - Đặt: z = a + bi , ta có: ( 2 + i ) . ( a − 1 − bi ) = 2 ( a − 1) + b + ( a − 1 − 2b ) i

Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Theo đề: 2 ( a − 1) + b = 0 ⇒ a =

+ b2 = 2

+ b 2 = 2 ⇒ 5b 2 − 4b − 1 = 0

H Ơ

( 2b − 1)

(2)

⇔

( a − 2)

z−2 = 2 ⇒

b + 1 (1) 2

TP .Q ẠO Đ

3 9 1 + i; z = − i 2 10 5

Vậy có hai số phức thỏa mãn điều kiện: z =

3  5b 2 − 4b − 1 = 0 b = 1 ⇒ a =  2 (1) và (2) ⇒  ⇒ b 1 b = − ⇒ a = 9 a = + 1 2  5 10 

Ư N

Câu 48: Đáp án B

TR ẦN

- Ta có:

- Ta đặt: z = a + bi , ( a, b ∈ ℝ, i 2 = −1) ⇒ z = a − bi.

z − 2i = 25 ⇔ a + bi − 2i = 25 ⇔ a 2 + ( b − 2 ) = 25 ⇔ a 2 + ( b − 2 ) = 25 (*)

( z + 8) . ( z − 2i ) = zz − 2 zi + 8 ( z − 2i ) = ( a + bi )( a − bi ) − 2 ( a + bi ) i + 8 ( a − bi − 2i )

= ( a 2 + b 2 + 2b + 8a ) + ( −2a − 8b − 16 ) i

ẤP

- Vì ( z + 8 ) . ( z − 2i ) là số thực ⇒ −2a − 8b − 16 = 0 ⇔ a = −4b − 8

Í-

Câu 49: Đáp án C

b = −1  z = −4 − i 2 2  - Thay vào (*) ta được: ( −4b − 8 ) + ( b − 2 ) = 25 ⇔  ⇒ b = − 43  z = 36 − 43 i 17 17 17  

-L

- Ta đặt: z = a + bi , thế vào phương trình ta được:

ÁN

( z − i ) . (1 + 3i ) + (1 + 2 zi ) . ( 3 + 6i ) = 15 + 16i

a = 0 ⇔ ( a + bi − i ) . (1 + 3i ) + 1 + 2 ( a + bi ) i  . ( 3 + 6i ) = 15 + 16i ⇔  ⇒ z = −i b = −1

Ỡ N

Câu 50: Đáp án B

hai vế của đề ta tìm được hệ hai phương trình hai ẩn:

BỒ

ID Ư

- Tương tự các câu trên, ta cũng đặt z = x + yi , thế vào phương trình, bằng cách đồng nhất

Trang 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

1  y=−  x + y = 0  3 ⇒  3 x − 3 y = 2  x = 1  3

2 3

Suy ra: z = x 2 + y 2 =

TP .Q

Câu 51: Đáp án C Ta đặt: z = a + bi , ( a, b ∈ ℝ, i 2 = −1) ⇒ z = a − bi

ẠO

TR ẦN

−5  a= 2 2 −2a − 4b = 1 449   5  7  3 ⇔ ⇔ ⇒ z = −  +  = 12  3   12  4a − 4b = −9 b = 7  12

.z + z = 1 − 9i ⇔ (1 + 2i ) ( a + bi ) + a − bi = 1 − 9i ⇔ ( −3 + 4i )( a + bi ) + a − bi = 1 − 9i

Ư N

(1 + 2i )

Câu 52: Đáp án D

z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i = ( a1 + a2 ) − ( b1 + b2 ) i = ( a1 − b 1i ) + ( a2 − b2i ) = z1 + z2

(

Câu 53: Đáp án D

)

(

= ( z1 + z2 ) . ( z1 + z2 ) + ( z1 − z2 ) . ( z1 − z2 )

)

z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) . z1 + z2 + ( z1 − z2 ) . z1 − z2

ẤP

)

Í-

Câu 54: Đáp án A

(

= 2 z1 + z2

= z1 + z1.z2 + z2 .z1 + z2 + z1 − z1.z2 − z2 .z1 + z 2

−1

=−

a +b

C. sai vì z.z = a 2 + b 2

ÁN

-L

B. sai vì z = a 2 + b 2 ≠ − z

D. sai vì z − z = 2bi.

Câu 55: Đáp án D

Ỡ N

A. Hiển nhiên sai

BỒ

ID Ư

B. z.z là một số thực không âm

Với z = a + bi thì z.z = a 2 + b 2 > 0 D. a, b ∈ ℝ

z = z ⇒ b = −b ⇒ b = 0 ⇒ z = a ∈ ℝ Câu 56: Đáp án A Trang 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. sai vì Module của số phức là một số thực.

C. sai vì: Số phức duy nhất được biễu diễn dưới dạng đại số z = a + bi

H Ơ

D. sai vì: Với z = a + bi thì module của số phức z là z = a 2 + b 2

Câu 57: Đáp án C

Các bạn xem lại một số công thức nhanh ở phần lý thuyết nhé.

TP .Q

Câu 58: Đáp án D Đáp án D sai vì: z − z ' = +2bi

ẠO

Câu 59: Đáp án A

A. a, b ∈ ℝ

B. sai vì Module của số phức là một số thực.

TR ẦN

 z = a + bi C. sai vì dạng đại số của số phức chỉ có một dạng là:  a, b ∈ ℝ

Ư N

z = − z ⇒ a = −a ⇒ a = 0 ⇒ z = bi ∈ ℂ ⇒ đáp án A đúng.

D. z 2 = ( a 2 − b 2 ) + 2abi

= ( a 2 − b 2 ) − 2abi

(z )

z 2 + ( z ) = 2 ( a2 − b2 ) ∈ ℝ

Câu 60: Đáp án C

ẤP

⇒ z không phải là số thuần ảo

A. Ta đặt z = a + bi . Ta có z = z ⇔ a + bi = a − bi ⇔ b = 0

 zi 2 >0 ⇒ đáp án B sai. zi 2 = i 2 . z = z B.  2 i . z <0

= ( a 3 − 3ab 2 ) − ( 3a 2b − b3 ) i

b .i ∈ ℂ ( a − 3ab2 ) 3

ÁN

(z )

-L

z−z 3

(z )

Í-

C. z 3 = ( a 3 − 3ab 2 ) + ( 3a 2b − b3 ) i;

D. sai vì z 2 = a 2 − b 2 + 2abi

Câu 61: Đáp án A

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Giả sử z = a + bi thì:

1 1 ( z + z ) = ( a + bi + a − bi ) = a ⇒ câu A đúng 2 2

B. Nếu đúng phải là

1 1 ( z − z ) = ( a + bi − a + bi ) = b 2i 2i

Trang 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

a + ( b − 1) i ( a + ( b − 1) i ) . ( a + ( b + 1) i ) a2 + b2 − 1 2a = = + 2 i ⇒ câu C sai 2 2 2 2 2 a + ( b + 1) i a + ( b + 1) a + ( b + 1) a + ( b + 1)

a + ( b − 1) i ( a + ( b − 1) i ) . ( a + ( b + 1) i ) a 2 + b2 − 1 2a i ⇒ câu D sai = = + 2 2 2 2 2 2 a + ( b + 1) i a + ( b + 1) a + ( b + 1) a + ( b + 1)

Câu 62: Đáp án B

H Ơ

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

TP .Q

Giả sử z = 3 , ta thấy z cũng là một số thực.

ẠO

z = 32 + 0 = 3 = 3 Vậy ta suy được câu B là mệnh đề sai.

zi 2 = ( a + bi ) i 2 = −a − bi =

( −a ) + ( −b )

TR ẦN

z = a 2 + b 2 = a 2 + ( −b ) = z ⇒ câu A là mệnh đề đúng.

- Ta đặt z = a + bi , sau đó nhận xét từng đáp án

Ư N

Câu 63: Đáp án D

= a 2 + b 2 = z ⇒ câu B là mệnh đề đúng.

- Câu C đúng theo công thức nhé (có ghi trong phần lý thuyết).

- Nếu sửa đáp án D thành mệnh đề đúng thì sửa như sau:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

D. z1 + z2 < z1 + z2

Trang 27

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VẤN ĐỀ 3: CÁC DẠNG TOÁN BIỂU DIỄN HÌNH HỌC SỐ PHƯC

H Ơ

LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẰM VỮNG Biểu diễn hình học số phức:

- Điểm M(a;b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số

TP .Q

phức z = a + bi.

TR ẦN

Ư N

ẠO

Minh họa:

1) Điểm A(-1;1) biểu diễn số phức −1 + i .

2) Điểm B(1;0) biểu diễn số phức 1 + 0i .

Phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy:

- Dạng tổng quát: ax + by + c = 0 , với ( a 2 + b 2 ≠ 0 ) , vec tơ pháp tuyến n = ( a; b ) .

ẤP

Phương trình đường tròn trong hệ tọa độ Oxy: 2

- Dạng tổng quát 1: ( x − a ) + ( y − b ) = R 2 , với tâm I ( a; b ) , bán kính R > 0.

- Dạng tổng quát 2: x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 , với tâm I ( a; b ) , bán kính R = a 2 + b 2 − c

ÁN

-L

Í-

và a 2 + b 2 − c > 0 .

BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho số phức z = x + yi, với x, y ∈ ℝ và số phức w = a + bi , với a, b ∈ ℝ thỏa mãn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

z − a − bi = 2 z + a + bi . Biết rằng

a 2 + b2 = 2 . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w a+b

là:

A. Đường tròn, đường tròn

B. Elip, đường tròn

C. Đường thẳng, đường thẳng

D. Parabol, đường tròn. HƯỚNG DẪN GIẢI

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có: z − a − bi = 2 z + a + bi ⇔ x − a + ( y − b ) i = 2 x + a + ( y + b ) i

H Ơ

2 2 2 2 ⇔ ( x − a ) + ( y − b ) = 2 ( x + a ) + ( y + b )   

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn tâm I ( −3a; −3b ) , bán kính

⇔ ( x + 3a ) + ( y + 3b ) = 8 ( a 2 + b 2 )

TP .Q

R = 2 2 ( a 2 + b2 ) .

ẠO

a 2 + b2 2 2 = 2 ⇔ a 2 + b 2 = 2a + 2b ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) = 2 . a+b

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là một đường tròn tâm I(1;2), bán kính R = 2 .

Ư N

⇒ Chọn A.

TR ẦN

1 2 3 Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − − i = . Biết tập hợp các điểm biểu diễn của số 5 5 5 phức z là một đường tròn tâm I(a;b), bán kính R. Biểu thức P =

A. −3

C. 1

D. 3

B. −1

R có giá trị là: a+b

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đặt z = x + yi, với x, y ∈ ℝ .

ẤP

1 2 3 1  2 3 1  2 9  Ta có: z − − i = ⇔ x − +  − y −  i = ⇔  x −  +  y +  = . 5 5 5 5  5 5 5  5 25 

1 2 3 R = −3 . Theo đề bài, ta suy ra: a = , b = − , R = ⇒ P = 5 5 5 a+b

Í-

⇒ Chọn A.

-L

Ví dụ 3: Cho số phức z = x +yi, với x, y ∈ ℝ có điểm biểu diễn M thuộc đường thẳng

ÁN

d : x − y + 3 = 0 và x + i − 2z có giá trị nhỏ nhất. Số phức z là:

Ỡ N

3 1 A. z = + i 5 5

B. z = −

14 1 + i 5 5

C. z =

14 1 + i 5 5

3 1 D. z = − + i 5 5

HƯỚNG DẪN GIẢI

BỒ

ID Ư

Ta có: điểm biểu diễn M thuộc đường thẳng d nên:

x − y+3 = 0 ⇔ x = y−3.

x + i − 2z = x + i − 2x + 2yi = − x + ( 2y + 1) i =

Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

( − x ) + ( 2y + 1)

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

( y − 3) + ( 2y + 1)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 5y 2 − 2y + 10

H Ơ 1 5

−

+∞

f ( y)

+∞

Ư N

49 5

1 14 14 1 ⇒ x =− ⇒z = − + i. 5 5 5 5

TR ẦN

Ta được: y =

TP .Q

f '( y)

+∞

ẠO

+∞

1 . 5

f ' ( y ) = 10y − 2 ⇒ f ' ( y ) = 0 ⇔ y =

x + i − 2z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi f ( y ) = 5y 2 − 2y + 10 đạt giá trị nhỏ nhất.

⇒ Chọn B.

x 1 = y 2

10 x =3 y

ẤP

x 1 = y 3

3 x . Tỷ lệ có giá trị là: y 5

giá trị bằng

Ví dụ 4: Cho z = x + ( x + 2y − 1) i là một số thực và mô đun của số phức w = 2 ( x − yi ) + i có

x =2 y

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta có: z = x + ( x + 2y − 1) i là một số thực khi và chỉ khi x + 2y − 1 = 0 ⇔ x = 1 − 2y . 2

-L

Í-

w = 2 ( x − yi ) + i = 2x + (1 − 2y ) i = 4x 2 + (1 − 2y )

ÁN

Theo đề bài ta có: w =

3 3 2 (*). ⇔ 4x 2 + (1 − 2y ) = 5 5

4 (1 − 2y ) + (1 − 2y ) =

3 9 2 2 ⇔ 5 (1 − 2y ) = ⇔ (1 − 2y ) 5 5

3 1   1 − 2y = y=   9 5 5 = ⇔ ⇔ . 25 1 − 2y = − 3 y = 4 5 5  

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Thay x = 1 – 2y vào (*), ta được:

Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

1  4   y = 5  y = 5 x x 3 ⇒ ∨ ⇒ = 3∨ = − y y 4 x = 3 x = − 3 5  5 

TP .Q

Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn: 2 z − 1 = z − 4i . Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z

⇒ Chọn C.

là:

A. Đường thẳng

B. Đường tròn

C. Elip

D. Parabol

ẠO

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

Ư N

Ta có: 2 z − 1 = z − 4i ⇔ 2 x + ( y − 1) i = x + ( − y − 4 ) i

x 2 y2 + =1 4 4

⇔ 3x 2 + 3y 2 = 12 ⇔

TR ẦN

2 2 2 2 ⇔ 2 x 2 + ( y − 1) = x 2 + ( − y − 4 ) ⇔ 4  x 2 + ( y − 1)  = x 2 + ( − y − 4 )  

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là một elip.

⇒ Chọn C.

Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn: 2 z + 2 − 3i = z + 8 + ai , với a là tham số thực. Tập hợp các

ẤP

điểm biểu diễn của số phức z là một elip khi a nhận giá trị nào dưới đây? B. a = 12

C. a = 24

D. a = 6

HƯỚNG DẪN GIẢI

A. a = 3

Í-

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

-L

Ta có: 2 z + 2 − 3i = z + 8 + ai ⇔ 2 ( x + 2 ) + ( y − 3) i = ( x + 8 ) + ( a − y ) i 2

( x + 2 ) + ( y − 3)

( x + 8) + ( a − y )

ÁN

⇔ 2 ( x + 2 ) + ( y − 3) i = ( x + 8 ) + ( a − y ) i ⇔ 2

2 2 2 2 ⇔ 4 ( x + 2 ) + ( y − 3)  = ( x + 8 ) + ( a − y ) ⇔ 3x 2 + 3y 2 − 24y + 52 = −2ay + a 2  

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi −24y = −2ay ⇔ a = 12 .

⇒ Chọn B.

Ví dụ 7: Cho số phức z = x + yi, với x, y ∈ ℝ thỏa mãn: z + 1 − 2i = z + ( a + 1) yi (a là tham số thực). Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là một đường thẳng khi a nhận giá trị nào dưới đây?

Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. a = ±1

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. a = ±2

C. a = ±3

D. a = 0

H Ơ

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ta có: z + 1 − 2i = z + ( a + 1) yi ⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) i = x + ayi

= x 2 + a 2 y2

( x + 1) + ( y − 2 )

TP .Q

⇔

⇔ ( x + 1) + ( y − 2 ) = x 2 + a 2 y 2 ⇔ 2x − 4y + 5 + (1 − a 2 ) y 2 = 0

ẠO

a = 1 Thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi 1 − a 2 = 0 ⇔  .  a = −1

Ư N

⇒ Chọn A.

Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn: z + 3i = a + 2 , với a là tham số thực. Giá trị nào của a để

A. a = −2, z = 3

TR ẦN

tồn tại duy nhất một số phức z thỏa đề và mô đun của số phức z đó là:

B. a = 2, z = 3

C. a = −2, z = 3

D. a = −2, z = 3 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

Ta có:

( y + 3)

z + 3i = a + 2 ⇔ x + ( y + 3) i = a + 2 ⇔

+ x 2 = a + 2 ⇔ ( y + 3) + x 2 = ( a + 2 )

ẤP

Thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi a + 2 = 0 ⇔ a = −2 .

H Í-

⇒ Chọn C.

y + 3 = 0  y = −3 Khi đó, ta có:  ⇔ ⇒ z = −3i ⇒ z = 3 . x = 0 x = 0

-L

Ví dụ 9: Cho số phức z thỏa mãn: z − 1 + 2i = a − 1 , với a là tham số thực. Tìm tập hợp các

ÁN

điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn khi a thỏa điều kiện nào dưới đây? B. a ≠ 1

A. a = 0

C. a ∈ ℝ

D. a ∈∅

HƯỚNG DẪN GIẢI

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ . Ta có: z − 1 + 2i = a − 1 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) i = a − 1

⇔

( x − 1) + ( y + 2 )

= a − 1 ⇔ ( x − 1) + ( y + 2 ) = ( a − 1) .

Thỏa mãn đề bài khi và chỉ khi a − 1 ≠ 0 ⇔ a ≠ 1 .

⇒ Chọn B.

Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 10: Trong mặt phẳng Oxy, gọi A(-1;2), B(-2;2) và C(x;y) lần lượt là ba điểm biểu diễn

B. 2 2

H Ơ

A. 10

1 của ba số phức z1, z2, z3. Biết rằng AB = − AC . Mô đun của số phức z3 là: 3 D. 3 3

TP .Q

HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có AB = ( −1; 0 ) , AC = ( x + 1; y − 2 ) .

Mô đun của số phức z là z = 2 2

ẠO

x = 2 1  x + 1 = −3. ( −1) ⇔ ⇒ z = 2 − 2i . Theo đề bài: AB = − AC ⇔  3  y = −2  y + 2 = −3.0

Ư N

⇒ Chọn B.

A. −2

TR ẦN

Câu 1: Cho số phức z = 1 − 2i . Phần ả của số phức z là:

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN B. 1

C. 2i

D. Đáp án A và C.

Câu 2: Cho số phức z = 2 + 3i . Tỷ số phần thực và phần ảo của số phức z là: 3 2

2 3

C. −

2 3

D. −

3 2

B. 10

A. 4

Câu 3: Cho số phức z = −1 + i . Mô đun của số phức z có giá trị là: C. 3

D. 2 2

ẤP

Câu 4: Mô đung của số phức z = −1 + ai , với a là tham số thực có giá trị bằng 2. Có bao

nhiêu cố phức thỏa mãn điều kiện trên?

B. 2

C. 3

A. 1

(

)

D. 4

-L

Í-

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + i 2 . Khi thu gọn z, ta được: B. z = 1 + 2i 2

ÁN

A. z = 3 + 2i 2

C. z = −1 + 2i 2

D. z = 2i 2

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z = (1 − i ) . Khi thu gọn z, ta được: A. z = −2 + 2i

B. z = 2 − 2i

C. z = −1 − 2i

D. z = −2 − 2i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 7: Cặp (x;y) nào sau đây thỏa mãn điều kiện: x + ( y − 1) i = 2 − x + ( 3 − y ) i ? A. (1;1)

B. (2;1)

C. (2;2)

D. (1;2)

Câu 8: Cặp (x;y) nào sau đây thỏa mãn điều kiện: 5x + ( y − 1) i = 3 − x + ( 3 − y ) i ?  1 A.  2;   2

Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. ( 2;1)

1  C.  ; 2  2 

D. (1; 2 )

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 9: Mô đung của số phức z = 1 + 2i + ( −2 + i ) là: B. 2 10

D. 10

A. 2 5

B. z = 3 − 4i

C. z = −3 + 4i

D. z = −4i

A. z = 3 + 4i

H Ơ

Câu 10: Cho số phức z = −3 − 4i . Số phức liên hợp của z là:

C. 1

D. −2

Câu 12: Mô đun của số phức liên hợp của số phức z = 2 + i là: B. 2 5

D. 2 2

ẠO

B. 2

TP .Q

A. −1

Câu 11: Phần ảo của số phức z thỏa mãn z + 2i = z là:

Câu 13: Cho số phức z = a + bi . Nhận xét nào dưới đây không đúng?

Ư N

A. Mô đun của số phức z là z = a 2 + b 2 .

C. Số phức liên hợp của z là z = −a − bi .

TR ẦN

B. a, b là các hằng số thuộc tập số thực ℝ . D. Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là a và b.

Câu 14: Số phức nào dưới đây là số phức thuần ảo? A. z = 1 − 4i

B. z = −1 − i

C. z = −2i

D. Cả A, B, C đều đúng. 2

Câu 15: Quan hệ giữa a và b để số phức z = 2a 2 + 2ab − ( a + bi ) thuần ảo là: B. a = −b

ẤP

A. a = 2b

D. a = b

z = x 2 + 2x + yi + 1

là số phức thuần ảo

Câu 16: Cặp số (x;y) để số phức

C. a = −2b

2 + z = 3 + z − ( y + 2 ) i là:

Í-

A. ( x; y ) = ( −1;1)

B. ( x; y ) = (1; −1)

C. ( x; y ) = (1;1)

D. ( x; y ) = ( −1; −1)

-L

Câu 17: Cho các phát biểu sau:

(

)

ÁN

(1) Với mọi số phức z ta luôn có z + z là một số thực.

(2) Với mọi số phức z ta luôn có z = z .

(

)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

(3) Với mọi số phức z = a + bi với a, b ∈ ℝ và b ≠ 0 thì z − z là một số phức thuần ảo.

(

(4) Với mọi số phức z = a + bi ta luôn có z + z

)

≤ 4ab .

Số phát biểu không đúng là:

A. 1 Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. 2

C. 3

D. 4

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 18: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 3i trên hệ trục tọa độ. Tọa độ điểm M là:

D. M ( −2;3)

B. a = 1

C. a = −2

D. a = −1

TP .Q

A. a = 2

Câu 19: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z = −2 + ai , với a là tham số thực. Giá trị của a để MN = (1; 2 ) , với N(-1;0) là:

H Ơ

C. M ( 2; −3)

B. M ( 2;3)

A. M ( 3; 2 )

Câu 20: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z trên trục số z = x + 1 + (1 − x ) i và z là số

C. M ( −1; −2 )

D. M ( 0; 2 )

B. M ( 0; −2 )

A. M ( −1; 2 )

ẠO

phức thuần ảo. Tọa độ điểm M là:

B. 10

D. 2

TR ẦN

Ư N

Câu 21: Gọi M ( −1; −2 ) là điểm biểu diễn của số phức z. Mô đun của z là:

Câu 22: Phương trình đường thẳng d đi qua điểm N ( −1; 2 ) và điểm biểu diễn M của số phức

z = 1 + 4i là:

C. d : 3x − y + 1 = 0

B. d : x − y + 3 = 0

A. d : x + y − 1 = 0

D. d : x + y − 1 = 0

Câu 23: Trong mặt phẳng cho hai điểm A(1;1), B(1;2). Gọi M là điểm biểu diễn của số phức

z = a + bi với a, b ∈ ℝ . Tọa độ điểm M để tam giác AMB vuông cân tại M là: 1 3 B. M  ;  2 2

C. M tùy ý.

D. Không tồn tại M.

ẤP

3 1 A. M  ;  2 2

B. z = 2 2

C. z = 2

D. z = 10

-L

A. z = 5

Í-

Câu 24: Gọi M ( −1; −2 ) là điểm biểu diễn hình học của số phức z = a + bi , với a, b ∈ ℝ . Gọi A(1;3), B(-1;1) là hai điểm thỏa mãn AM = MB . Mô đun của số phức z là:

ÁN

Câu 25: Cho hai số phức z = x 2 − 3x + ( y − 2 ) i và w = −2 + ( 4 − y ) i , với x > 1. Biết rằng

z = w . Số phức liên hợp của z là:

B. z = 2 − i

C. z = 2 + i

D. z = 1 − 2i

A. z = 2 − 3i

Ỡ N

Câu 26: Điểm biểu diễn số phức đối của số phức z = 2 − i trên hệ trục tọa độ là M. Tọa độ

BỒ

ID Ư

của điểm M là:

A. M ( 2;1)

B. M ( 2; −1)

C. M ( −2; −1)

D. M ( −2;1)

Câu 27: Cho hai số phức z = a + bi và w = c − bi , với a, b, c ∈ ℝ . Nhận xét nào dưới đây đúng? Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. z và w là hai số phức đối của nhau khi a = c. B. z – w là một số phúc thuần ảo.

H Ơ

C. z + w là một số phức thuần ảo. 2

B. 3

1 2

1 3

Y U

ẠO

A. 2

TP .Q

b là: a

Câu 28: Cho số phức z = a + bi , với a, b ∈ ℝ . Biết rằng a (1 − i ) = 3 + i . Tỷ lệ

D. ( z ) − ( w ) = ( a − c )( a + c ) .

Câu 29: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức z thỏa

mãn điều kiện: z + 2i = 2 là:

Ư N

A. Đường tròn tâm I(0;2), bán kính R = 1.

B. Đường thẳng d: x + y = 0.

TR ẦN

C. Đường tròn tâm I(0;-2), bán kính R = 2. D. Đường thẳng d: x – y = 0.

Câu 30: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z = a + bi ,

với a, b ∈ ℝ thỏa mãn điều kiện iz + 2i − 3 = a + 1 + bi là:

B. Đường thẳng d: x - 3y + 6 = 0.

A. Đường thẳng d: x + 2y + 6 = 0.

ẤP

C. Đường thẳng d: x + 3y + 6 = 0.

D. Đường thẳng d: x - 2y + 6 = 0.

Câu 31: Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của số phức z = a + bi , với a, b ∈ ℝ là đường tròn

Í-

( C ) : x 2 + y 2 = 4 . Nhận xét nào dưới đây không đúng?

-L

A. Đường thẳng d: x – y + 2 = 0 cắt (C) tại hai điểm biểu diễn của hai số phức có tổng

ÁN

phần ảo là 2.

B. Mô đun của các số phức z có giá trị lớn hơn hoặc bằng 2. C. Trục hoành cắt (C) tại hai điểm biểu diễn của hai số phức có tích hai phần thực là -3.

Ỡ N

D. Trục tung cắt (C) tại hai điểm biểu diễn của hai số phức có thương hai phần ảo là -1.

phần thực và phần ảo bằng 3 là một

A. Đường thẳng

B. Đường tròn

C. Đường elip

D. Parabol

BỒ

ID Ư

Câu 32: Trong mặt phẳng, tập hợp những điểm biểu diễn cho các số phức có thương số giữa

Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu

33:

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cho

số

phức

z = a + bi ,

với

a, b ∈ ℝ

và

H Ơ

C. 2 5

D. 2 10

Câu 34: Cho số phức z = a + bi , với a, b ∈ ℝ và ( 2 + i ) z + 3i = x + y + ( 2x − y + 2 ) i . Số phức

B. w = 1 + 5i

TP .Q

liên hợp của số phức w = iz − 2x + 3i là:

A. w = 5 + i

A. 10

3 x + 2y − 3 + ( x − 2y + 1) i = −2x − 4y + ( x + 2y ) i . Mô đun của số phức w = 2z + i là: 2

C. w = 5 − i

D. w = 1 − 5i

ẠO

Câu 35: Có bao nhiêu số phức z = a + bi , với a, b ∈ ℝ thỏa mãn z.z = 3 và 2

C. 2

B. 1

D. 3

Ư N

A. 0

y + 1 + y 2i = x + ( x − 1) i ?

Câu 36: Cho số phức z thỏa mãn iz + 2i + 1 là số phức thuần ảo và khoảng cách từ điểm biểu

TR ẦN

diễn của số phức w = 1 + i đến đường thẳng d : x − y + 2 = 0 có giá trị bằng mô đun của số phức z. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đề?

B. 1

C. 2

A. 0

D. 3

Câu 37: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tập hợp những điểm biểu diễn của số phức

z = x + yi , với x, y ∈ ℝ và x, y ≠ 0 có mô đun bằng 1 là:

A. Đường thẳng có hệ số góc bằng 1.

ẤP

B. Đường tròn có tâm I(0;0) và có bán kính bằng 1. C. Đường thẳng có vecto chỉ phương là u = (1;1)

D. Đường tròn có tâm I(1;1) và có bán kính bằng 1.

Câu 38: Cho các phát biểu sau:

ÁN

phần ảo.

-L

Í-

(1) Hai số phức gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng

(2) Số phức z = x + yi , với x, y ∈ ℝ có điểm biểu diễn trên hệ trục tọa độ Oxy là M(x;y). (3) Số phức z = x + yi , với x, y ∈ ℝ có số phức liên hợp là z = x − yi .

Ỡ N

(4) Tập hợp những điểm biểu diễn của số phức z = x + yi , với x, y ∈ ℝ có thể là một đường

BỒ

ID Ư

tròn nếu mô đun của z bằng một hằng số cho trước.

(5) Số phức z là một số thuần ảo khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0. (6) Tổng của hai số phức liên hợp là một số phức mới. Số phát biểu đúng là:

A. 2 Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. 3

C. 4

D. 5

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 39: Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn 2 i.z = 3 i + 1 − z là một

T ập

hợp

các

điểm

biểu

diễn

c ủa

số

D. I ( 3; −3) , R = 6

phức

thỏa

TP .Q

B. Parabol

mãn

z = ( i + 1)( 2i − a ) + 2ai − ( −2 + i ) .z (a là tham số thực) là một: A. Đường thẳng

H Ơ

40:

C. I ( −3;3) , R = 2 6

Câu

B. I (1; −3) , R = 6

A. I ( −3;1) , R = 2 6

đường tròn có tâm I, bán kính R. Tọa độ của điểm I và bán kính R lần lượt là:

C. Elip

D. Đường tròn.

ẠO

Câu 41: Cho hai số phức z = x + yi , với x, y ∈ ℝ và số phức w = u − v.i , với u, v ∈ ℝ . Nhận

xét nào dưới đây là sai?

Ư N

B. Hai số phức z và w bằng nhau khi và chỉ khi x = u, y = v.

A. Hai số phức z và w bằng nhau khi và chỉ khi x = u, y = v.

C. Điểm biểu diễn của z và w trên trục số lần lượt là M(x;y) và N(u;-v).

TR ẦN

D. Số phức z + w là số phức thuần ảo khi và chỉ khi x = -u và y + v ≠ 0 . Câu 42: Phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện (1 − i )( −i + 2 ) z + z. ( 2 − 3i ) = 2i + 1 là: C. -3

D. -4

B. 4

A. 3

Câu 43: Cho số phức z = x + yi , với x, y ∈ ℝ . Tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn

z ( −2 − i ) + 2i = 2 z + 2 là một đường tròn có bán kính R. Tỷ số giữa R và mô đun của số

ẤP

phức w = −2 + i là:

B. 2

A. 1

C. 4

D. 8

Câu 44: Điểm biểu diễn M của số phức z trên hệ trục tọa độ Oxy hợp với các điểm A(-1;1),

B(0;1) và C(1;2) thành hình bình hành ABCM. Mô đun của số phức z là:

B. 2 2

C. 2 5

D. 2

-L

Í-

A. 5

ÁN

Câu 45: Cho hai số phức z1 = a + 2i, z 2 = b − i với a, b ∈ ℝ và a, b ≠ 0 . Số phức

w = z1 − z 2 + 5i − 9 là số phức thuần ảo khi và chỉ khi tỷ lệ B. 2

C. -1

D. -2

Ỡ N

A. 1

a có giá trị là: b

tâm I, bán kính R. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w thỏa mãn i.w + 2i = w − 2 là

BỒ

ID Ư

Câu 46: Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn z + 1 = 2 là một đường tròn

Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

một đường thẳng được ký hiệu là d. Tỷ số

R (với d(I,d) là khoảng cách từ I đến đường d ( I, d )

C. 4

1 2

B. 1

TP .Q

Câu 47: Cho số phức z và biểu thức P = ( z − i − 1 ) + 4 . Số phức z có mô đun bằng bao

A. 2

H Ơ

thẳng d có giá trị là:

nhiêu khi biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất?

D. 5

(

)

bao nhiêu khi biểu thức P đạt giá trị lớn nhất?

B. 2

10 9

TR ẦN

+ 3 . Số phức z có mô đun bằng

Câu 48: Cho số phức z và biểu thức P = − z + 1 + i − 2z

ẠO

Ư N

A. 2

10 3

Câu 49: Cho số phức z có M là điểm biểu diễn của z trên hệ trục tọa độ Oxy. Gọi A(-1;1) và 2 2 B(1;-1) là hai điểm trên hệ trục tọa độ thỏa mãn MA + 2MB = 2 ( x 2 + y 2 ) + 4 . Mô đun của

B. 2

C. 5

số phức z có giá trị là:

Câu 50: Cho số phức z thỏa mãn z − i + z + i = 2 . Phần thực của số phức z có giá trị là: B. -1

ẤP

A. -2

C. 0

D. 1

Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn z − 2i + z + 2i = 4 . Phần thực của số phức z có giá trị là: B. -1

C. 0

D. 1

A. -2

-L

Í-

Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn z − 3i + z + i = 4 và số phức w = z − 1 + i thuần ảo. Điểm biểu diễn của số phức z là:

ÁN

A. M(1;1)

B. M(1;2)

C. M(0;1)

D. M(0;2)

Câu 53: Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn tổng mô đun các số phức

BỒ

ID Ư

Ỡ N

w1 = z − 2i và w 2 = z + 2i bằng 8 là một

A. Đường thẳng

B. Parabol

C. Elip

D. Đường tròn

Câu 54: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z − 2i = z + 2 và z = 2 ? A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 55: Số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2i − 2 = z + 4 và mô đun của nó nhỏ nhất là: Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. z =

2 1 + i 5 5

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 2 C. z = − i 5 5

B. z = 1 − i

D. z = 1 + i

H Ơ

Câu 56: Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z = x + yi , với

x = 0 D.  y ≠ 0

x = 0 C.   y > 1 ∨ y < −1

TP .Q

x = 0 B.   −1 < y < 1

x ≠ 0 A.  y = 0

x, y ∈ ℝ thỏa mãn: z 2 + 1 là số phức thuần ảo khi x, y thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?

Câu 57: Trong mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z = x + yi , với

z+i

x = 0 D.   y ≠ −1

= 2 . Phát biểu nào dưới đây đúng?

Câu 58: Cho số phức z thỏa mãn

x = 0 C.  y = 1

x ≠ 0 B.  y = 1

z+z

TR ẦN

x ≠ 0 A.   y = −1

ẠO

1 là số phức thuần ảo khi x, y thỏa mãn điều kiện nào dưới đây? z+i

Ư N

x, y ∈ ℝ thỏa mãn:

A. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hai đường thẳng.

B. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn.

C. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.

D. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hai đường tròn.

Câu 59: Cho đường thẳng d : x = y + 1 và tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn

ẤP

z − 1 = 2 . Phát biểu nào dưới đây đúng?

A. Đường thẳng d cắt tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z tại hai điểm phân biệt.

B. Đường thẳng d cắt tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z tại một điểm duy nhất.

C. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một elip.

-L

Í-

D. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng.

ÁN

Câu 60: Trong mặt phẳng Oxy, gọi A(-1;-1), B(1;1) và C(x;y) lần lượt là ba điểm biểu diễn

của ba số phức z1, z2, z3. Để tam giác ABC vuông cân tại C thì tỷ lệ

B. -2

C. 1

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. -1

x là: y

D. 2

Đáp án

1-A

2-A

3-B

4-B

5-C

6-D

7-D

8-C

9-A

10-C

11-A

12-A

13-C

14-C

15-B

16-D

17-A

18-B

19-C

20-D

21-A

22-B

23-B

24-C

25-A

26-D

27-D

28-A

29-C

30-C

Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

32-A

33-B

34-C

35-B

36-B

37-B

38-C

39-C

40-A

41-A

42-C

43-C

44-D

45-A

46-B

47-B

48-D

49-D

50-C

51-C

53-C

54-B

55-A

56-B

57-D

58-A

59-A

60-A

H Ơ

31-B

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

LỜI GIẢI CHI TIẾT

TP .Q

Câu 1: Đáp án A Phân tích:

ẠO

Dựa theo lý thuyết ở trên, với z = a + bi thì phần ảo của số phức z là b. Do đó số phức z = 1 – 2i có phần ảo là -2.

Nhận xét: Một số học sinh thường nhầm lẫn phần ảo của một số phức z = a + bi là "bi".

Ư N

Tuy nhiên, khi nói đến phần ảo ta chỉ đề cập đến hằng số đứng trước "i".

Câu 2: Đáp án A

TR ẦN

Phân tích:

Dựa theo lý thuyết ở trên, với z = a + bi thì phần thực của số phức z là a, phần ảo của số phức

z là b.

Do đó số phức z = 2 + 3i có phần thực là 2, có phần ảo là 3.

Câu 3: Đáp án B

Phân tích:

ẤP

Dựa theo lý thuyết ở trên, với z = a + bi thì Mô đun của số phức z là z = a 2 + b2 . 2

+ 32 = 10 .

Í-

Câu 4: Đáp án B Phân tích:

( −1)

Vậy mô đun của số phức z là: z =

-L

Mô đun của số phức z = −1 + ai , (với a là tham số thực) có giá trị bằng 2. Có bao nhiêu số

ÁN

phức thỏa điều kiện trên:

z = −1 + ai =

( −1)

+ a2 = 2 ⇔ a2 = 3 ⇔ a = ± 3 .

Có hai số phức thỏa đề.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 5: Đáp án C

Phân tích:

(

)

Cho số phức z thỏa mãn z = 1 + i 2 . Khi thu gọn z, ta được:

(

Ta có: z = 1 + i 2

)

( )

= 12 + 2.1.i 2 + i 2

Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

= 1 + 2i 2 + 2i 2 .

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vì i 2 = −1 nên z = 1 + 2i 2 + 2i 2 = 1 + 2i 2 + 2. ( −1) = −1 + 2i 2 .

Câu 6: Đáp án D

H Ơ

Phân tích: 3

Cho số phức z thỏa mãn z = (1 − i ) . Khi thu gọn z, ta được:

TP .Q

Ta có: z = (1 − i ) = 1 − 3i + 3i 2 − i3 = 1 − 3i + 3.i 2 − i.i 2 = 1 − 3i + 3. ( −1) − i. ( −1) = −2 − 2i .

Cách 1:

ẠO

Nhận xét: Từ câu 3 và câu 4 ta nhận thấy việc khai triển các biểu thức mà z thỏa mãn mất khá nhiều thời gian nếu đề bài cho lũy thừa lớn hơn. Chính vì thế ta không cần làm theo

cách truyền thông mà có thể dùng máy tính Casio hoặc Vinacal để giải quyết nhanh chóng

Ư N

bài toán. Bước 1: Chọn MODE → nhấn phím 2.

TR ẦN

Cách 2: 3

Bước 2: Ta nhập dữ kiện vào máy: " ("1 − "[SHIFT ] + [ ENG ] ") " = " .

Kết thúc bước 2 ta có kết quả như sau: z = −2 − 2i .

Câu 7: Đáp án D Phân tích:

Hai số phức bằng nhau, ta luôn có: "phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo".

ẤP

x = 2 − x x = 1 Ta có hệ phương trình:  ⇔ . y −1 = 3 − y y = 2

Nhận xét: Ngoài cách làm trên học sinh có thể thay từng cặp (x,y) vào đề bài xem cặp nào

thỏa mãn. Tuy nhiên cách làm này chẳng nhanh gì so với cách làm nêu trên. Chính vì thế học

Í-

sinh nên linh hoạt khi làm bài.

-L

Câu 8: Đáp án C

ÁN

Phân tích:

Ỡ N

1  5x = 3 − x x = ⇔ Ta có hệ phương trình:  2. y −1 = 3 − y  y = 2

BỒ

ID Ư

Câu 9: Đáp án A

Phân tích: 2

Ta có: z = 1 + 2i + ( −2 + i ) = 1 + 2i + ( 4 − 4i + i 2 ) = 4 − 2i . 2

Mô đun của z là: z = 42 + ( −2 ) = 20 = 2 5 .

Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 10: Đáp án C Phân tích:

H Ơ

Số phức liên hợp của z = a + bi , với a, b ∈ ℝ là một số phức được ký hiệu z = a − bi . Theo đề bài, ta có: z = −3 + 4i .

Câu 11: Đáp án A

TP .Q

Phân tích: Ta áp dụng kiến thức đã được nhắc lại ở Câu 7 để giải bài toán trên.

ẠO

Đặt z = a + bi , với a, b ∈ ℝ ⇒ z = a − bi .

Theo đề bài, ta có:

Ư N

a = a a ∈ ℝ z + 2i = z ⇔ a + bi + 2i = a − bi ⇔ a + ( b + 2 ) i = a + ( −b ) i ⇔  ⇔ . b + 2 = −b  b = −1

Phần ảo của số phức z là b = -1.

TR ẦN

Câu 12: Đáp án A

( 2 ) + ( −1)

= 5.

Ta có: z = 2 − i ⇒ z =

Phân tích:

Nhận xét: Mô đun của số phức bằng với mô đun số phức liên hợp của nó.

Câu 13: Đáp án C

ẤP

Phân tích:

Tính đúng đắn của các nhận xét lần lượt là

Nhận xét A: đúng.

Nhận xét B: đúng.

Í-

Nhận xét C: không đúng (xem lại câu 7)

-L

Nhận xét A: đúng.

ÁN

Câu 14: Đáp án C

Phân tích:

Theo sách giáo khoa, số phức z được gọi là thuần ảo khi và chỉ khi phần thực của nó bằng 0.

Ỡ N

Câu 15: Đáp án B

BỒ

ID Ư

Phân tích: 2

Ta có: z = 2a 2 + 2ab − ( a + bi ) = a 2 + 2ab − ( a 2 + 2abi + b 2i 2 ) 2

= 2a 2 + 2ab − a 2 − ( −1) b 2 − 2abi = ( a + b ) − 2abi . 2

Số phức z thuần ảo khi và chỉ khi ( a + b ) = 0 ⇔ a = − b .

Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 16: Đáp án D Phân tích: 2

H Ơ

Giả thiết 1: số phức z thuần ảo, cho ta z = ( x + 1) + y.i ⇒ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 ⇒ z = y.i

Giả thiết 2:

2 + z = 3 + x − ( y + 2 ) i ⇔ 2 + y.i = 3 − 1 + ( − y − 2 ) i

TP .Q

⇔ 2 + y.i = 2 + ( − y − 2 ) i ⇔ y = − y − 2 ⇔ y = −1 . Câu 17: Đáp án A

ẠO

Phân tích:

- Phát biểu (1): đúng. Vì z = a + bi; a, b ∈ ℝ ⇒ z = a − bi ⇒ z + z = 2a .

Ư N

- Phát biểu (2): đúng. Vì z = a + bi;a, b ∈ ℝ ⇒ z = a − bi ⇒ z = z = a 2 + b 2 .

(

- Phát biểu (4): sai. Vì z + z

) =(

TR ẦN

- Phát biểu (3): đúng. Vì z = a + bi;a, b ∈ ℝ ⇒ z = a − bi ⇒ z − z = −2bi .

a 2 + b2 + a 2 + b2

= 4. ( a 2 + b 2 ) .

1  3  < 4ab ⇔ 4. ( a + b ) < 4ab ⇔ a + b − ab < 0 ⇔  a − b  + b 2 < 0 (Vô lý). 2  4  2

(z + z)

- Theo đề bài, ta có:

)

Câu 18: Đáp án B

ẤP

Phân tích:

Điểm M biểu diễn cho số phức z có hoành độ tương ứng với phần thực và tung độ tương ứng

với phần ảo.

Nói cách khác, cho số phức z = a + bi , với a, b ∈ ℝ thì điểm biểu diễn trên trục số của z là

-L

Í-

M(a;b).

ÁN

Câu 19: Đáp án C Phân tích:

Ta có: M ( −2;a ) ⇒ MN = (1; −a ) ⇒ −a = 2 ⇔ a = −2 .

Ỡ N

Câu 20: Đáp án D

BỒ

ID Ư

Phân tích:

Ta có: z = x + 1 + (1 − x ) i thuần ảo ⇒ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 ⇒ z = 2i ⇒ M ( 0; 2 ) .

Câu 21: Đáp án A Phân tích: Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Từ điểm M(-1;-2), ta suy ra z = −1 − 2i ⇒ z =

( −1) + ( −2 )

= 5.

Câu 22: Đáp án B

H Ơ

Phân tích:

Tọa độ điểm M (1; 4 ) ⇒ MN = ( −2; −2 ) ⇒ d : x + 1 − ( y − 2 ) = 0 ⇔ d : x − y + 3 = 0 .

Câu 23: Đáp án B

TP .Q

Phân tích:

ẠO

Ta có tọa độ điểm M ( a; b ) ⇒ AM = ( a − 1; b − 1) , BM = ( a − 1; b − 2 ) .

)

Ư N

) (

TH1: b – 1 = b – 2 (vô lý) ⇒ loại TH1.

3 (nhận). 2

TR ẦN

TH2: b − 1 = − ( b − 2 ) ⇔ b − 1 = −b + 2 ⇔ b =

(

Tam giác AMB vuông cân tại M, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 + AM = BM ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) = ( a − 1) + ( b − 2 ) ⇔ ( b − 1) = ( b − 2 ) .

AM.BM = 0 ⇔ ( a − 1)( a − 1) + ( b − 1)( b − 2 ) = 0

1 2 2  3  3  ⇔ ( a − 1) +  − 1  − 2  = 0 ⇔ ( a − 1) = 4  2  2 

ẤP

1 3   a − 1 = 2 a = 2 ⇔  a − 1 = − 1 a = 1  2 2 

1 3 Xem xét đáp án ta chọn M  ;  2 2

-L

Phân tích:

Í-

Câu 24: Đáp án C

ÁN

Tọa độ điểm M ( a; b ) . AM = ( a − 1; b − 3) , MB = ( −1 − a;1 − b )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 a − 1 = −1 − a a = 0 AM = MB ⇔  ⇔ ⇒ z = 2i . b − 3 = 1 − b b = 2

Mô đun của số phức z là z = 0 + 22 = 2 .

Câu 25: Đáp án A Phân tích: Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x 2 − 3x = −2  x 2 − 3x + 2 = 0 x = 1 ∨ x = 2 ⇔ ⇔ . Ta có: z = w ⇔  y = 3 y − 2 = 4 − y 2y = 6

H Ơ

x = 2 Vì x > 1 nên ta nhận  ⇒ z = 2 + 3i . y = 3

Câu 26: Đáp án D Phân tích:

ẠO

Số phức đối của số phức z là − z = −2 + i ⇒ điểm biểu diễn của –z là M(-2;1).

TP .Q

Vậy số phức liên hợp của z là z = 2 − 3i .

Nhận xét: Học sinh nên phân biệt rõ giữa số phức liên hợp và số phức đối.

Ư N

Câu 27: Đáp án D Phân tích:

TR ẦN

Nhận xét A sai vì khi a = c thì z và w là hai số phức liên hợp, không phải số phức đối. Nhận xét B sai vì z – w cho kết quả (a – c) + 2bi chưa chắc là số thuần ảo. Nhận xét C sai vì z + w cho kết quả a + c là một số thực.

a 2 + b2

) ( −

c 2 + ( −b )

) = a − c = ( a − c)( a + c) . 2

− w

( ) ( ) (

Nhận xét D đúng vì z

Câu 28: Đáp án A

Phân tích:

ẤP

Ta có: z (1 − i ) = 3 + i ⇔ ( a + b.i )(1 − i ) = 3 + i ⇔ a − a.i + b.i − b.i 2 = 3 + i

-L

Phân tích:

Í-

Câu 29: Đáp án C

a + b = 3  a = 1 b ⇔ a + b + (b − a)i = 3 + i ⇔  ⇔ ⇒ = 2. b − a = 1 b = 2 a

ÁN

Đặt z = a + bi , với a, b ∈ ℝ .

Ta có: z + 2i = 2 ⇔ a + bi + 2i = 2 ⇔ a + ( b + 2 ) i = 2 2

Ỡ N

⇔ a 2 + ( b + 2) = 2 ⇔ a 2 ( b + 2) = 4

BỒ

ID Ư

⇒ tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa điều kiện z + 2i = 2 là đường tròn (C) có 2

phương trình x 2 + ( y + 2 ) = 4 . ⇒ (C) có tâm I(0;-2) và bán kính R = 2.

Câu 30: Đáp án C Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích: + z = a + bi , với a, b ∈ ℝ .

H Ơ

Ta có: iz + 2i − 3 = a + 1 + bi

( a + 1)

+ b2

( −b − 3) + ( a + 2 )

⇔ ( b + 3) + ( a + 2 ) = ( a + 1) + b 2 ⇔ b 2 + 6b + 9 + a 2 + 4a + 4 = a 2 + 2a + 1 + b 2

ẠO

⇔ 2a + 6b + 12 = 0 ⇔ a + 3b + 6 = 0

TP .Q

⇔ ( − b − 3) + ( a + 2 ) i = ( a + 1) + b.i ⇔

⇔ i ( a + bi ) + 2i − 3 = a + 1 + bi ⇔ a.i + b.i 2 + 2i − 3 = a + 1 + b.i

⇒ tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn iz + 2i − 3 = a + 1 + bi là một đường thẳng

Ư N

d : x + 3y + 6 = 0 .

Câu 31: Đáp án B

có tâm là O và bán kính R = 2.

- Nhận xét (A: đúng. Giải thích:

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:

( C ) : x 2 + y2 = 4

TR ẦN

Phân tích:

ẤP

 x = −2 x = y − 2   x = y − 2 x − y + 2 = 0 x = y − 2   y = 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔  y = 0 ⇔   2 2 2 2 ( y − 2 ) + y = 4 x + y = 4 2y − 4y = 0  y = 2  x = 0   y = 2 

⇒ có hai số phức thỏa đề là z1 = −2 + 0i và z 2 = 2i .

Tổng phần ảo của hai số phức z1 và z2 là 2.

-L

Í-

- Nhận xét (B): sai. Giải thích:

ÁN

Mô đum của mọi số phức có điểm biểu diễn nằm trên đường tròn (C) là z = a 2 + b 2 .

Các điểm biểu diễn của z nằm trên (C) thỏa a 2 + b 2 = 4 . Vì vậy mô đun của các số phức z có điểm biểu diễn nằm trên (C) có cùng giá trị và bằng 2.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Nhận xét (C): đúng. Giải thích:

x = 2  y = 0 y = 0  Phương trình hoành độ giao điểm của Ox và (C) là:  2 ⇔ 2   x = −2 x + y = 4    y = 0 ⇒ có hai số phức thỏa mãn hai giao điểm trên là z1 = 2 + 0i và z 2 = −2 + 0i .

Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vì vậy tích phần thực của chúng là -4. - Nhận xét (D): đúng. Giải thích:

TP .Q

H Ơ

x = 0  x = 0 y = 2 Phương trình hoành độ giao điểm của Oy và (C) là:  2 ⇔ 2  x = 0 x + y = 4    y = −2 ⇒ có hai số phức thỏa mãn hai giao điểm trên là z1 = 2i và z 2 = −2i .

ẠO

Vì vậy thương số phần ảo của chúng là -1.

Câu 32: Đáp án A

Phân tích:

Ư N

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

TR ẦN

x x =3⇔ y= . y 3

Theo đề bài, ta có:

Vậy tập hợp những điểm biểu diễn của số phức thỏa đề là một đường thẳng.

Câu 33: Đáp án B

Phân tích:

 x + 2y − 3 = −2x − 4y Ta có: x + 2y − 3 + ( x − 2y + 1) i = −2x − 4y + ( x + 2y ) ⇒   x − 2y + 1 = x + 2y

ẤP

1  x= 3x + 6y = 3  1 1 2 ⇔ ⇔ ⇒z= + i 2 4 4y = 1 y = 1  4

-L

Í-

3 1 1  3 ⇒ w=2z+ i = 2  + i  + i = 1 + 2i 2 2 4  2

ÁN

Mô đun của số phức w là w = 12 + 22 = 5 .

Câu 34: Đáp án C Phân tích:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ta có: ( 2 + i ) z + 3i = x + y + ( 2x − y + 2 ) i ⇔ ( 2 + i )( x + yi ) + 3i = x + y + ( 2x − y + 2 ) i

⇔ 2x + 2yi + xi + yi 2 + 3i = x + y + ( 2x − y + 2 ) i ⇔ 2x − y + ( x + 2y + 3) i = x + y + ( 2x − y + 2 ) i

Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2x − y = x + y  x = 2y ⇔ ⇔  x + 2y + 3 = 2x − y + 2  x − 3y = 1

H Ơ

 x = −2 ⇔ ⇒ z = −2 − i  y = −1

⇒ w=i. ( −2 − i ) − 2. ( −2 ) + 3i = −2i − i 2 + 4 + 3i = 5 + i ⇒ w = 5 − i .

TP .Q

Câu 35: Đáp án B

Ta có: z.z = 3 ⇔ ( x + yi )( x − yi ) = 3 ⇔ x 2 − y 2 = 3 ⇔ ( x − y )( x + y ) = 3 (1) 2

Ư N

TR ẦN

x + y = 3 x = 2 Từ (1) và (2) cho ta:  . ⇔ x − y = 1 y = 1

 y + 1 = x  x − y = 1 ⇔ ⇔ ⇔ x − y = 1 (2) 2 2 ( x − y − 1)( x + y − 1) = 0 ( x − 1) = y

y + 1 + y 2i = x + ( x − 1) i

ẠO

Phân tích:

Câu 36: Đáp án B

Phân tích:

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

1 − y = 0 y = 1 . ⇒ ⇔ x + 2 ≠ 0  x ≠ −2

ẤP

iz + 2i + 1 = i ( x + yi ) + 2i + 1 = xi + yi 2 + 2i + 1 = 1 − y + ( x + 2 ) i là số phức thuần ảo.

w = 1 + i có điểm biểu diễn M(1;0).

-L

Í-

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: d ( M, d ) =

1 −1+ 2 2

1 + ( −1)

2 = 1. 2

ÁN

Theo đề bài, ta có:

z = d ( I,d ) ⇔ x 2 + y 2 = 1 ⇔ x 2 + 1 = 1 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0 .

Ỡ N

⇒ Tồn tại duy nhất một số phức z thỏa đề là z = i.

BỒ

ID Ư

Câu 37: Đáp án B

Phân tích:

Ta có z = x 2 + y 2 = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1 . Vì x, y ≠ 0 nên tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là một đường tròn tâm I(0;0), bán kính R = 1. Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 38: Đáp án C Phân tích:

H Ơ

Phát biểu (1): đúng. Phát biểu (2): đúng.

Phát biểu (3): đúng.

Phát biểu (4): đúng.

TP .Q

Phát biểu (5): sai. Số phức thuần ảo có phần thực bằng 0 và phần ảo khác 0. Phát biểu (6): sai. Tổng của hai số phức liên hợp là một số thực.

ẠO

Vậy có 4 phát biểu đúng.

Câu 39: Đáp án C

Ư N

Phân tích:

Đặt số phức z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

TR ẦN

Ta có: 2 i.z = 3 i + 1 − z

⇔ 2 i ( x − yi ) = 3 i + 1 − x + yi ⇔ 2 y + xi = 3 1 − x + ( y + 1) i

2 2 ⇔ 2 x 2 + y 2 = 3. (1 − x ) + ( y + 1) ⇔ 4x 2 + 4y 2 = 3 ( x 2 − 2x + 1) + ( y 2 + 2y + 1)  2

⇔ x 2 + 6x + 9 + y 2 − 6y + 9 = 24 ⇔ ( x + 3) + ( y − 3) = 24 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-3;3), bán kính R = 2 6

ẤP

Câu 40: Đáp án A

Phân tích:

Đặt số phức z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

Í-

z = ( i + 1)( 2i − a ) + 2ai − ( −2 + i ) .z

-L

⇔ x + yi = ( 2i 2 − ai + 2i − a ) + 2ai − ( −2 + i )( x − yi )

ÁN

⇔ x + yi = −a − 2 + ( 2 − a ) i + 2ai − ( −2x + 2yi + xi − yi 2 )

⇔ x + yi = −a − 2 + 2x − y + ( a + 2 + x + 2y ) i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 x = −a − 2 + 2x − y x − y = a + 2 ⇔ ⇔  y = a + 2 + x + 2y  x − y = −a − 2 x = y + a + 2 x = y + a + 2 x = y ⇔ ⇔ ⇔  y + a + 2 − y = −a − 2  a = −2 a = −2

⇒ Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là một đường thẳng d : x = y

Câu 41: Đáp án A Phân tích: Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x = u Nhận xét (A): sai. Vì z = w ⇔  . y = −v

H Ơ

x = u Nhận xét (B): đúng. Vì w = u + vi, z = w ⇔  . y = v

Nhận xét (C): đúng.

TP .Q

Nhận xét (D): đúng. Vì z + w = x − yi + u − vi = x + u + ( − y − v ) i thuần ảo khi:

ẠO

x + u = 0  x = −u . ⇔  − y − v ≠ 0 y + v ≠ 0

Câu 42: Đáp án C

Phân tích:

Ư N

Đặt số phức z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

⇔ ( −i + 2 − i 2 + 2i ) ( x + yi ) + ( x − yi )( 2 − 3i ) = 2i + 1

⇔ ( 3 + i )( x + yi ) + ( x − yi )( 2 − 3i ) = 2i + 1

TR ẦN

Ta có: (1 + i )( −i + 2 ) .z + z ( 2 − 3i ) = 2i + 1

⇔ 3x − y + ( x + 3y ) i + 2x − 3y + ( −3x − 2y ) i = 2i + 1

Í-

Phân tích:

Câu 43: Đáp án C

Phần ảo của số phức z là -3.

ẤP

5x − 4y = 2 ⇔ 5x − 4y + ( −2x + y ) i = 2i + 1 ⇔  −2x + y = 1  x = −2 ⇔ ⇒ z = −2 − 3i  y = −3

-L

Ta có: z ( −2 − i ) + 2i = 2 z + 2 ⇔ ( x + yi )( −2 − i ) + 2i = 2 x − yi + 2

ÁN

⇔ −2x − xi − 2yi − yi 2 = 2 x + 2 − yi ⇔ ( −2x + y ) + ( − x − 2y ) i = 2 ( x + 2 ) + ( − y ) i 2

( 2x − y ) + ( x + 2y )

⇔

( x + 2)

+ y 2 ⇔ 5x 2 + 5y 2 = 4 ( x 2 + y 2 + 4x + 4 )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

⇔ x 2 − 16x + 64 + y 2 = 80 ⇔ ( x − 8 ) + y 2 = 80

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là một đường tròn bán kính R = 4 5 .

Mô đun của số phức w là w =

Trang 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

( −2 )

+1 = 5 .

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Theo đề bài ta có

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

R = 4. w

H Ơ

Câu 44: Đáp án D

Phân tích:

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ ⇒ M ( x, y ) .

TP .Q

Tứ giác ABCM là hình bình hành khi và chỉ khi:

ẠO

1 = 1 − x x = 0 AB = MC ⇔  ⇔ ⇒ z = 2i . 0 = 2 − y y = 2

Mô đun của số phức z là z = 2 .

Ư N

Câu 45: Đáp án A

⇒ (a − b) = 0 ⇔ a = b ⇔

(a − b)

b =1. a

+ 9 − 9 + 5i là số phức thuần ảo.

Câu 46: Đáp án B

TR ẦN

Ta có: w = z1 − z 2 + 5i − 9 = a − b + 3i + 5i − 9 =

Phân tích:

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

ẤP

Đặt w = a + bi , với a, b ∈ ℝ .

Ta có: z + 1 = 2 ⇔ x + 2 + yi = 2 ⇔

( x + 2)

+ y2 = 2 ⇔ ( x + 2 ) + y2 = 4 .

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I(-2;0), bán kính R = 2.

Í-

Ta lại có: iw + 2i = w − 2 ⇔ i ( a − bi ) + 2i = a − 2 + bi 2

(a − 2)

+ b2

ÁN

-L

⇔ b + ( a + 2 ) i = a − 2 + bi ⇔ b 2 + ( a + 2 ) =

⇔ b 2 + a 2 + 4a + 4 = a 2 − 4a + 4 + b 2 ⇔ a = 0 .

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường thẳng có phương trình x = 0.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Theo đề bài: d ( I, d ) =

−2 2

= 2⇒

R 2 = = 1. d ( I, d ) 2

Câu 47: Đáp án B

Phân tích: Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

Trang 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có: P = ( z − i − 1 ) + 4 =  ( x − 1) + ( y − 1) i  + 4

) + 4 = ( x −1) + ( y −1) + 4 . 2

(

( x − 1) + ( y − 1)

H Ơ

TP .Q

( x − 1)2 = 0 x = 1 Nên P = ( x − 1) + ( y − 1) + 4 đạt giá trị nhỏ nhất khi  ⇔ ⇒ z = 1+ i . 2 y = 1 ( y − 1) = 0 2

Vì ( x − 1) ≥ 0, ( y − 1) ≥ 0; ∀x, y ∈ ℝ .

ẠO

Mô đun của số phức z khi P đạt giá trị nhỏ nhất là z = 2 .

Câu 48: Đáp án D Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

)

+ 3 = −  x + yi + 1 + i − 2 ( x − yi )  + 3

(

(1 − x ) + ( 3y + 1)

)

2 2 = 3 − (1 − x ) + ( 3y + 1)    2

Vì (1 − x ) ≥ 0, ( 3y + 1) ≥ 0; ∀x, y ∈ ℝ .

= −  (1 − x ) + ( 3y + 1) i  + 3 = 3 −

TR ẦN

(

Ta có: P = − z + 1 + i − 2z

Ư N

Phân tích:

ẤP

2 2 Nên P = 3 − (1 − x ) + ( 3y + 1)  đạt giá trị lớn nhất khi:  

Í-

x = 1 (1 − x )2 = 0 1  ⇔  1 ⇒ z = 1− i . 2 3 ( 3y + 1) = 0  y = − 3

-L

Mô đun của số phức z khi P đạt giá trị lớn nhất là z =

10 . 3

ÁN

Câu 49: Đáp án D

Phân tích:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ ⇒ M ( x, y ) . MA = ( −1 − x;1 − y ) , MB = (1 − x;1 − y ) .

2 2 Ta có: MA + 2MB = 2 ( x 2 + y 2 ) + 4 ⇔ MA 2 + 2MB2 = 2 ( x 2 + y 2 ) + 4 2 2 2 2 ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) + 2 ( x − 1) + ( y + 1)  = 2 ( x 2 + y 2 ) + 4  

Trang 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔ x 2 − 2x + 1 + y 2 + 2y + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = 0

H Ơ

x −1 = 0 x = 1 ⇔ ⇔ ⇒ z = 1− i . y + 1 = 0  y = −1

Mô đun của số phức z là z = 2 .

Câu 50: Đáp án C

TP .Q

Phân tích: Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

ẠO

Ta có: z − i + z + i = 2 ⇔ x + ( y − 1) i + x + ( y + 1) i = 2 2

Ư N

2 − x 2 + ( y + 1)2 ≥ 0  ⇔ 2 2 2 2 2  2  x + ( y − 1) = 4 − 4 x + ( y + 1) + x + ( y + 1)

 x 2 + ( y + 1)2 ≤ 2  ⇔ −2y = 4 − 4 x 2 + ( y + 1)2 + 2y 

TR ẦN

⇔ x 2 + ( y − 1) = 2 − x 2 + ( y + 1)

⇔ x 2 + ( y − 1) + x 2 + ( y + 1) = 2

Í-

Phân tích:

Câu 51: Đáp án C

Phần thực của số phức z là 0.

ẤP

2 2 2  2  x + ( y + 1) ≤ 4  x + ( y + 1) ≤ 4 ⇔ ⇔ ⇒x=0 2 2 2  x 2 + ( y + 1) = y + 1  x + ( y + 1) = ( y + 1)

-L

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

ÁN

Ta có: z − 2i + z + 2i = 4 ⇔ x + ( y − 2 ) i + x + ( y + 2 ) i = 4 2

x 2 + ( y − 2) + x 2 + ( y + 2) = 4 ⇔ x 2 + ( y − 2) = 4 − x 2 + ( y + 2)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

2 2 2   2 4 − x + ( y + 2 ) ≥ 0  x + ( y + 2) ≤ 4 ⇔ ⇔ 2 2 2 2 2 2  x + ( y − 2 ) = 16 − 8 x + ( y + 2 ) + x ( y + 2 ) −4y = 16 − 8 x 2 + ( y + 2 )2 + 4y  

 x 2 + ( y + 2 ) 2 ≤ 16  x 2 + ( y + 2 )2 ≤ 16   ⇔ ⇔  y ≥ −2 ⇒x=0 2 2  x + ( y + 2 ) = y + 2  2 2 2  x + ( y + 2 ) = ( y + 2 )

Trang 27

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phần thực của số phức z là 0.

Nhận xét: Hai bài toán ở câu 45 và 46 có cùng một cách giải tuy nhiên đa phần học sinh

H Ơ

nhận thấy dữ kiện bài toán "chưa đầy đủ" nên sẽ ngập ngừng.

Câu 52: Đáp án C

Phân tích:

TP .Q

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ . Ta có: z − 3i + z + i = 4 ⇔ x + ( y − 3) i + x + ( y + 1) i = 4 2

ẠO

⇔ x 2 + ( y − 3) + x 2 + ( y + 1) = 4 ⇔ x 2 + ( y − 3) = 4 − x 2 + ( y + 1)

Ư N

 x 2 + ( y + 1) 2 ≤ 16 4 − x 2 + ( y + 1)2 ≥ 0   ⇔ ⇔  y ≥ −1  x 2 + ( y − 3)2 = 16 − 8 x 2 + ( y + 1)2 + x 2 + ( y + 1)2  2 2 2   x + ( y + 1) = ( y + 1)

TR ẦN

 x 2 + ( y + 3) 2 ≤ 16  ⇔  y ≥ −1 x = 0 

Điểm biểu diễn của số phức z là M(0;1).

Ta lại có: w = z − 1 + i = ( x − 1) + (1 − y ) i là số thực ⇒ y = 1 .

Phân tích:

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

ẤP

Câu 53: Đáp án C

Ta có: w1 + w 2 = 8 ⇔ x + ( y − 2 ) i + x + ( y + 2 ) i = 8 2

-L

Í-

⇔ x 2 + ( y − 2) + x 2 + ( y + 2) = 8 ⇔ x 2 + ( y − 2) = 8 − x2 + ( y + 2)

ÁN

8 − x 2 + ( y + 2 )2 ≥ 0  ⇔  x 2 + ( y − 2 ) 2 = 64 − 16 x 2 + ( y + 2 ) 2 + x 2 + ( y + 2 )2 

 x 2 + ( y + 2 )2 ≤ 64 ⇔ 2 2 2 4x + 4y + 16y + 16 = y + 16y + 64

BỒ

ID Ư

Ỡ N

2 2  2  2  x + ( y + 2) ≤ 8  x + ( y + 2 ) ≤ 64 ⇔ ⇔ 2 2 2 2 x 2 + ( y + 2 )2 = y + 8 4  x + ( y + 2 )  = ( y + 8 ) 

Trang 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x 2 + ( y + 2 ) ≤ 64  x 2 + ( y + 2 )2 ≤ 64  ⇔ ⇔  x 2 y2 2 2 =1  + 4x + 3y = 48  12 16

x 2 y2 + =1 12 16

Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z là một đường elip có phương trình

H Ơ

TP .Q

Câu 54: Đáp án B Phân tích:

ẠO

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

Ta có: z − 2i = z + 2 ⇔ x + ( y − 2 ) i = ( x + 2 ) − yi 2

⇔ x 2 + ( y − 2) =

TR ẦN

Ta lại có: z = 2 ⇔ x 2 + y 2 = 2 ⇔ 2x 2 = 2 ⇔ x = 1 ∨ x = −1 .

Ư N

( x + 2) + ( − y ) 2 2 2 ⇔ x2 + ( y − 2) = ( x + 2) + ( −y) ⇔ x = −y

Khi x = 1 ⇒ y = −1 ⇒ z1 = 1 − i . Khi x = −1 ⇒ y = 1 ⇒ z 2 = −1 + i

Vậy có 2 số phức z thỏa đề.

Câu 55: Đáp án A

Phân tích:

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

( x + 2)

( x − 2) + ( 2 − y)

+ y 2 ⇔ −4x − 4y + 8 = 4x + 4 ⇔ y = −2x + 1

⇔

ẤP

Ta có: z + 2i − 2 = z + 2 ⇔ x − 2 + ( 2 − y ) i = x + 2 + yi

Í-

Ta lại có:

-L

+ z = x 2 + y 2 nhỏ nhất 2

ÁN

+ x 2 + y 2 = x 2 + ( −2x + 1) = 5x 2 − 4x + 1

2 . 5

Xét hàm số f ( x ) = 5x 2 − 4x + 1 ⇒ f ' ( x ) = 10x − 4 ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇔ x =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Vì x ∈ ℝ , nên

Trang 29

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 5

f '( x )

+∞

−

−∞

+∞

f (x)

Điểm biểu diễn của số phức z là z =

U TP .Q Đ

ẠO

1 2 1 tại x = ⇒ y = . 5 5 5 2 1 + i. 5 5

x∈ℝ

1 5

Ư N

⇒ min f ( x ) =

+∞

H Ơ

Câu 56: Đáp án B

TR ẦN

Phân tích: 2

x = 0  2xy = 0 −1 < y < 1  x = 0  ⇔ 2 ⇔ ⇔ . 2  y = 0 −1 < y < 1  x − y + 1 < 0    x 2 + 1 < 0

Ta có: z 2 + 1 = ( x + yi ) + 1 = x 2 − y 2 + 1 + 2xyi là số thực âm.

ẤP

Câu 57: Đáp án D

Phân tích:

x − ( y + 1) i ( y + 1) i . 1 1 x = = 2 = 2 − 2 2 2 2 z + i x + ( y + 1) i x − ( y + 1) x − ( y + 1) x − ( y + 1)

Í-

Ta có:

ÁN

-L

x  =0 x = 0 2  2 ⇔ Thỏa đề khi:  x − ( y + 1) . y ≠ − 1  y + 1 ≠ 0 

Câu 58: Đáp án A

Ỡ N

Phân tích:

BỒ

ID Ư

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ .

Ta có:

x + ( y + 1) i z+i 1 y +1 =2⇔ =2⇔ + i = 2. 2x 2 2x z+z

Trang 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔

( y + 1) = 15 ⇔  y + 1 = x 15 1 ( y + 1) + =2⇔  2 4 4x x2  y + 1 = − x 15

 y + 1 = x 15 .   y + 1 = − x 15

H Ơ

Phát biểu đúng là số phức z có tập hợp các điểm biểu diễn nằm trên hai đường thẳng

TP .Q

Câu 59: Đáp án A Phân tích:

ẠO

Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ℝ . 2

Ta có: z − 1 = 2 ⇔ ( a − 1) + bi = 2 ⇔ ( a − 1) + b 2 = 4 .

Ư N

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có phương trình ( x − 1) + y 2 = 4 .

TR ẦN

Theo đề bài ta có: Phát biểu (C) và (D) hoàn toàn sai. Khi d giao với đường tròn (C), ta được:

( x − 1)2 + y 2 = 4  x = y + 1  y = 2 ∨ y = − 2 ⇔ 2 ⇔ .   x = y + 1  x = y + 1 2y = 4

Suy ra phát biểu (A) đúng và phát biểu (B) sai.

Câu 60: Đáp án A

ẤP

Phân tích: Ta có: AC = ( x + 1; y + 1) , BC = ( x − 1; y − 1) .

-L

Í-

Tam giác ABC vuông cân tại C, ta được: 2 2 AC.BC = 0  x + y = 2  2 2 ⇔  2 2 2 2 ( x + 1) + ( y + 1) = ( x − 1) + ( y − 1) AC = BC

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

 x 2 + y2 = 2  x = 1 ∨ x = −1 x ⇔ ⇔ ⇒ = −1 y x = −y x = −y

Trang 31

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VẤN ĐỀ 4: CÁC DẠNG PHUƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC

H Ơ

LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG

Căn bậc hai của số thực âm:

- Căn bậc hai của số thực a âm là ±i a .

)

(

)

= −2.

= −5.

2) Căn bậc hai của -5 là ±i 5 , vì ±i 5

ẠO

(

1) Căn bậc hai của -2 là ±i 2 , vì ±i 2

TP .Q

Minh họa:

Ư N

Phương trình bậc hai với hệ số thực:

- Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 với a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 . Xét biệt số ∆ = b 2 − 4ac

TR ẦN

của phương trình. Ta thấy:

+ Khi ∆ = b 2 − 4ac = 0 , phương trình có một nghiệm thực x =

−b 2a

−b ± ∆ . 2a

x1,2 =

+ Khi ∆ = b 2 − 4ac > 0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi

−b ± i ∆

Minh họa:

x1,2 =

ẤP

+ Khi ∆ = b 2 − 4ac < 0 , phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi

Í-

1) Giải phương trình x 2 + 3 x + 4 = 0 trên tập hợp số phức.

-L

Ta có: ∆ = 32 − 4.4 = −7 < 0. −3 ± i 7 2

ÁN

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là: x1,2 =

2) Giải phương trình z 4 + z 2 − 6 = 0 trên tập số phức.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

z = 2  2  2 z = z = − 2 z4 + z2 − 6 = 0 ⇔  2 ⇔  z = −3 z = i 3   z = −i 3 3) Giải phương trình z 5 + 9 z 3 + 20 z = 0 trên tập số phức.

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

 z = 2i   z 2 = −4  z = −2i  z 5 + 9 z 3 + 20 z = 0 ⇔ z ( z 4 + 9 z 2 + 20 z ) = 0 ⇔  z 2 = −5 ⇔  z = i 5  z = 0  z = −i 5   z = 0

Nhận xét:

TP .Q

- Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

ẠO

- Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n ( n>1)

a0 x n + a1 x1 + ... + an −1 x + an = 0

Ư N

Trong đó a0 ,..., an ∈ ℂ, a0 ≠ 0 đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân

biệt).

TR ẦN

Phương trình bậc hai với hệ số phức:

Minh họa:

1) Giải phương trình x 2 − ? + 20 = 0 trên tập hợp số phức. 2

Ta có: ∆ = ( i ) − 4.20 = −81

ẤP

 i + i 81 i + 9i = = 5i x = 2 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm phức là:   i − i 81 i − 9i = = −4i x =  2 2

2) Giải phương trình x 2 + ( i + 1) x + 2i + 2 = 0 trên tập hợp số phức. 2

Í-

Ta có: ∆ = ( i + 1) − 4 ( 2i + 2 ) = −8 − 6i = ( −1 + 3i ) .

ÁN

-L

 − ( i + 1) + ( −1 + 3i ) = −1 + i x = 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm phức là:  − ( i + 1) − ( −1 + 3i )  = −2i x =  2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Hướng dẫn: Ở đây ta có chỗ −8 − 6i = ( −1 + 3i ) sẽ gây khó hiểu cho các bạn. Sau đây tác giả xin giải thích, nếu như ∆ của bạn rơi vào trường hợp không phải là số nguyên âm mà là 2

dạng số phức như trên thì bạn hãy biến đổi sao cho ∆ có dạng ∆ = ( a + bi ) . Cách tìm: ta giải

( a + bi )

= −8 − 6i để tìm ra a, b .

Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a 2 − b 2 = −8 = −8 − 6i ta dễ dàng suy ra được  . Sau đó bạn chọn 1 2ab = −6

Từ phương trình ( a + bi )

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

cặp ( a; b ) sao cho phù hợp hoặc giải ra kết quả đầy đủ luôn (sẽ mất thời gian). Ở đây tác giả 2

chọn ( a; b ) = ( −1;3) . Ta được kết quả là: ∆ = −8 − 6i = ( −1 + 3i ) .

x = 0 x = 0 x = 0  x + 4ix + x = 0 ⇔  2 ⇔ 2 ⇔ 2 ( x + 2i ) = i 5  x + 4ix + 1 = 0  x + 4ix − 4 = −5  3

Ư N

) )

( (

 x = 0 x = 0  ⇔  x + 2i = i 5 ⇔  x = −2 + 5 i   x + 2i = −i 5    x = −2 − i 5 i

ẠO

( )

TP .Q

3) Giải phương trình x3 + 4ix 2 + x = 0 trên tập hợp số phức.

TR ẦN

Hướng dẫn: Ở đây phương trình x 2 + 4ix + 1 = 0 ta có thể giải tương tự như ví dụ 2, tuy nhiên tác giả biến đổi nhiều hướng khác nhau nhằm giúp cho các bạn rèn luyện kĩ năng hơn.

(CMPLX) để vào toán số phức.

- Ấn

Một số kỹ năng giải toán số phức nhanh bằng Casio (ở đây là Casio fx-570 VN PLUS):

(i )

( ax

+ bx + c = 0 ) để giải phương trình bậc hai với hệ số thực.

(EQN)

để hiện i .

ẤP

- Ấn

(CMPLX), ấn

- Sau khi ấn

Áp dụng: 1) Ấn

( ax

+ bx + c = 0 ) , nhập

nhấn

, nhập

nhấn

, nhập

ÁN

-L

Í-

(EQN)

, nhấn

, màn hình sẽ hiện

, nhấn

, màn hình sẽ hiện

Ta được các nghiệm phức của phương trình x 2 + 3 x + 4 = 0.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

nhấn

Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

( ax

(EQN)

+ bx + c = 0 ) , nhập

nhấn

, nhập

nhấn

, nhập

, nhấn

, màn hình sẽ hiện

, nhấn

, màn hình sẽ hiện

nhấn

H Ơ

2) Ấn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Ấn

(A). Để lưu giá trị vào cho biến A (Tương tự cho một số biến

ẠO

(STO)

TP .Q

Ta được các nghiệm phức của phương trình x 2 + 2 x + 4 = 0 .

khác).

2/ Nhập

(STO)

ấn

(A). Khi đó bạn đã gán giá trị 2i cho biến A.

ấn

(A). Khi đó bạn đã gán giá trị 2i + 3 cho biến

(STO)

TR ẦN

1/ Nhập

Ư N

Áp dụng:

BÀI TẬP MINH HỌA

2 là: z −1

D. 1

A. 3

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 − 2 z + 5 = 0 . Giá trị biểu thức K = z +

ẤP

HƯỚNG DẪN GIẢI

2 2 = 1 + 2i + = 1 + i = 12 + 12 = 2 z1 − 1 2i

-L

Í-

Khi đó: K1 = z1 +

 z1 = 1 + 2i Phương trình z 2 − 2 z + 5 = 0 có hai nghiệm là:   z2 = 1 − 2i

ÁN

K1 = z1 +

2 2 2 = 1 − 2i − = 1 − i = 12 + ( −1) = 2 z1 − 1 2i

So bốn đáp án, chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Ỡ N

⇒ Chọn C

A. z = 2 − i, z = −i

B. z = 1 − i, z = i

1 − 2i − 2 = 0 là: z

C. z = 2 + i, z = −i

D. z = 2 − i, z = 1 − i

HƯỚNG DẪN GIẢI

BỒ

ID Ư

Ví dụ 2: Số phức z thỏa mãn phương trình z =

Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

z = a + bi , khi đó

z−

1 − 2i − 2 = 0 tương đương với: z

1 − 2i − 2 = 0 ⇔ a 2 + b 2 − 1 + 2i − 2 ( a − bi ) = 0 ⇔ ( a 2 + b 2 − 1 − 2a ) + ( 2 + 2b ) i = 0 a − bi

a + bi −

z = a − bi phương trình

H Ơ

Đặt

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a = 0  b = −1

TP .Q

a = 2 a 2 + b 2 − 1 − 2a = 0 a = 2  ⇔ a = 0 ⇔  hoặc  = − 1 b  2 + 2b = 0 b = −1 

Đồng nhất hai vế ta được:

ẠO

Vậy có hai số phức z thỏa mãn đề là z = 2 − i, z = −i

So bốn đáp án, chỉ có đáp án A thỏa mãn.

2−i = ( 3 − i ) z. Tọa độ biểu diễn của z 1+ i

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 − 2i ) z −

Ư N

⇒ Chọn A.

 3 7 C. M  ;   10 10 

 3 5 B. M  ;   10 10 

1 7 D. M  ;   10 10 

1 5 A. M  ;   10 10 

TR ẦN

trong mặt phẳng Oxy là:

ẤP

2−i −2 + i −2 + i 1 7 = (3 − i ) z ⇔ = (2 + i) z ⇔ z = ⇔z= + i 1+ i 1+ i 10 10 (1 + i )( 2 + i )

(1 − 2i ) z −

2−i = ( 3 − i ) z ta có: 1+ i

Từ giả thuyết (1 − 2i ) z −

HƯỚNG DẪN GIẢI

Í-

⇒ Chọn D.

1 7 Vậy tọa độ biểu diễn của z trong mặt phẳng Oxy là M  ;   10 10 

-L

Ví dụ 4: Số thực x,y thỏa mãn đẳng thức ( 2 − i )( x + 1) + y ( 2 + i ) = 8 + 2i là: B. x = 0, y = 3

ÁN

A. x = 2, y = 3

C. x = 1, y = 2

D. x = 3, y = 0

HƯỚNG DẪN GIẢI

Ỡ N

Từ đẳng thức ( 2 − i )( x + 1) + y ( 2 + i ) = 8 + 2i ta có:

BỒ

ID Ư

2 x − xi + 2 − i + 2 y + yi = 8 + 2i ⇔ ( 2 x + 2 y + 2 ) + ( − x − 1 + y ) i = 8 + 2i

Đồng nhất hệ số hai vế ta được: 2 x + 2 y + 2 = 8 x = 0 ⇔  − x + y − 1 = 2 y = 3

Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ Chọn B. 2

B. 9

C. 10

A. 8

) ( i − 1) là:

2i − 1

D. 7

H Ơ

(

Ví dụ 5: Phần thực của số phức z biết z =

= −2i

(

)

2i − 1 = 2 2 − 10i ⇒ z = 2 2 + 10i

Vậy phần ảo của số phức z là 10

(

)(

5 − i 1 − 5i

là:

D. 5

C. 3

Ư N

B. 4

)

Ví dụ 6: Phần ảo của số phức z biết z =

ẠO

⇒ Chọn C.

A. 6

HƯỚNG DẪN GIẢI

(

)(

5 − i 1 − 5i

) =(

)(

TR ẦN

Từ giả thiết ta có:

) ( i − 1)

2i − 1

(

TP .Q

Từ giả thiết ta có: z =

HƯỚNG DẪN GIẢI

)

5 − i −4 − 2 5i = −6 5 − 6i ⇒ z = −6 5 + 6i

Vậy phần ảo của số phức z là 6.

⇒ Chọn A.

Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + i − 1 = 0 và z.z = 4 . Các giá trị của z thỏa đề

là:

B. z = −2i, z = 1

C. z = i, z = 2

D. z = −2i, z = 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

ẤP

A. z = −2i, z = i

Đặt z = a + bi , khi đó z = a − bi 2

( a − 1) + ( b + 1)

-L

Í-

Khi đó: z + i − 1 = 0 ⇔ a + bi + i − 1 = 0 ⇔

z.z = 4 ⇔ ( a + bi )( a − bi ) = 4 ⇔ a 2 + b 2 = 4

= 0 ⇔ ( a − 1) + ( b + 1) = 0 (1)

Từ (1) suy ra a 2 − 2a + b 2 + 2b = 0

(3)

ÁN

(2)

(4)

Thế (2) vào ta được a − b = 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a = 0 2 Từ (2) và (4) ta được: a 2 + ( a − 2 ) = 4 ⇔  a = 2 - Với a = 0 ⇒ b = −2 . Khi đó z = −2i - Với a = 2 ⇒ b = 0 . Khi đó z = 2 Vậy có hai giá trị của z thỏa đề là z = −2i, z = 2 ⇒ Chọn D.

Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

−1 1 1 1 + i, z = − i 2 2 2 2

D. z = i, z =

−1 −1 ,z = 2 2

H Ơ

1 1 C. z = 0, z = i, z = − i 2 2

B. z = 1, z =

−1 1 −1 1 + i, z = − i 2 2 2 2

A. z = 0, z =

Ví dụ 8: Chọn số phức z thỏa mãn z 2 = z + z là:

TP .Q

HƯỚNG DẪN GIẢI 2

Nhận xét phương trình z 2 = z + z có ba đại lượng lien hệ nhau là z, z , z

ẠO

Đặt z = a + bi , khi đó z = a 2 + b 2 , z 2 = a 2 + 2abi − b 2 . Ta có:

z 2 = z + z ⇔ a 2 + 2abi − b 2 = a 2 + b 2 + a − bi ⇔ 2b 2 + a − bi − 2abi = 0

Ư N

Đồng nhất hai vế ta được:

TR ẦN

 2b 2 + a = 0 1 1    a = − 2 a = − 2  2b 2 + a = 0 a = 0  b = 0 ⇔ ⇔ ⇔ v  v   b = 0 b = 1 b = − 1 b + 2ab = 0   a = −1     2 2 2

1 1 1 1 Vậy các số phức z thỏa đề là: z = 0, z = − + i, z = − − i 2 2 2 2

⇒ Chọn A.

Ví dụ 9: Cho số phức z thỏa điều kiện z = 5 2 và z 2 là số thuần ảo. Số các giá trị của z

ẤP

thỏa đề là:

B. 4

C. 2

D. 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

A. 5

-L

Í-

Đặt z = a + bi , khi đó: z = a 2 + b 2 , z 2 = a 2 + 2abi − b 2 .

ÁN

Ta có: z = 5 2 = a 2 + b 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a = b Vì z 2 = a 2 + 2abi − b 2 là số thuần ảo nên: a 2 − b 2 = 0 ⇔   a = −b - Khi a = b , ta có: z = 5 2 = a 2 + b 2 = 2 b ⇒ a = b = ±5

  a = −5  b = 5 2 2 - Khi a = −b , ta có: z = 5 2 = a + b = 2 b ⇒   a = 5   b = −5

Vậy có 4 giá trị của z thỏa đề là: Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

z = 5 + 5i, z = −5 − 5i, z = −5 + 5i, z = 5 − 5i ⇒ Chọn B.

)

(

B. 2

C. 3

D. 1

A. 0

H Ơ

Ví dụ 10: Tính mô đun của số phức z, biết: ( z − 2 )( i + 2 ) + z − 1 (1 − i ) = 4 − i

HƯỚNG DẪN GIẢI

TP .Q

Đặt z = a + bi , khi đó z = a − bi. Phương trình đã cho tương đương:

ẠO

( a + bi − 2 )( i + 2 ) + ( a − bi − 1)(1 − i ) = 4 − i

⇔ ai − b − 2i + 2a + 2bi − 4 + a − bi − 1 − ai − b + i = 4 − i

Ư N

⇔ ( 3a − 2b − 5 ) + ( b − 1) i = 4 − i

TR ẦN

3a − 2b − 5 = 4 a = 3 Đồng nhất hệ số hai vế ta được:  ⇔ ⇒ z =3 b − 1 = 1 b = 0

⇒ Chọn C.

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN

B. ±2i

ẤP

A. 2

D. ±i a

C. −2

D. − 4

Câu 2: Căn bậc hai của −4 là:

C. −a

B. a

Câu 1: Căn bậc hai của số thực a 〈 0 là:

Câu 3: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 với a, b, c ∈ ℝ

a ≠ 0, ∆〈 0 là:

Í-

−b ± i ∆ 2a

B. x1,2 =

-L

A. x1,2 =

−b ± ∆ 2a

C. x1,2 =

−b 2a

D. x1,2 =

c a

D. x1,2 =

−1 ± i 5 2

ÁN

Câu 4: Nghiệm của phương trình x 2 + x + 1 = 0 trên tập hợp số phức là: −1 ± 3 2

B. x1,2 =

−1 ± i 3 2

C. x1,2 =

± 3 2

A. x1,2 =

1± i 3 3

B. x1,2 =

± 2 3

C. x1,2 =

1± 2 3

D. x1,2 =

1± i 2 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 5: Nghiệm của phương trình −3 x 2 + 2 x − 1 = 0 trên tập hợp số phức là:

Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 6: Cho phương trình 7 x 2 + 3 x + 2 = 0 có hai nghiệm phức x1,2 =

−b ± i ∆

, giá trị của

a+b−∆ bằng: 3

B. 6

C. 2

H Ơ

D. 3

A. 4

ẠO

biểu thức M =

−b ± i ∆ 87 , giá trị của = 0 có hai nghiệm phức x1,2 = 20 2a

TP .Q

Câu 7: Cho phương trình 5 x 2 − 7 x +

D. 37

C. −57

B. −37

A. 57

biểu thức P = a + b − ∆ bằng:

Câu 8: Cho z = a + bi là một số phức. Phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm

Ư N

nghiệm là:

B. x 2 + 2ax + a 2 + b 2 = 0

C. x 2 + ax − a 2 − b 2 = 0

D. x 2 + ax + b = 0

TR ẦN

A. x 2 − 2ax + a 2 + b 2 = 0

Câu 9: Cho z = 2 + 3i là một số phức. Phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm A. x 2 − 2 x + 5 = 0

C. x 2 − 4 x + 13 = 0

D. x 2 − 3 x + 5 = 0

B. x 2 − 4 x + 9 = 0

nghiệm là:

Câu 10: Cho phương trình x 2 − ( 5 − i ) x + 8 − i = 0 có hai nghiệm phức x1 , x2 . Vậy giá trị

ẤP

x1 , x2 là:

D. x1 = 2 + i, x2 = 3 − 2i

C. x1 = −2 + i, x2 = 3 − 2i

B. x1 = 1 + i, x2 = 3 − 2i

A. x1 = i, x2 = 1 − 3i

Í-

Câu 11: Cho phương trình x 2 + 7 x + 2 = 0 có hai nghiệm phức x1 , x2 . Vậy giá trị biểu thức

ÁN

A. 35

-L

x12 + x2 2 − 5 x1 x2 là:

B. 32

C. 41

D. 27

C. −2 + 2i, 2 − 2i

D. −1 + 5i,1 − 5i

Câu 12: Căn bậc hai của số phức −4 − 2 5i là: B. −2 + 3i, 3 − 2i

A. −2 + 5i, 2 − 5i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 13: Số phức nào nhận A. i − 2

2 − i làm một căn bậc hai:

B. 2 − i

C. 1 − 2 2i

D. 1 − 3 2i

Câu 14: Gọi x1 , x2 lần lượt là nghiệm của phương trình phức x 2 + ( i − 3) x + 4 − 3i = 0. Tổng phần thực của 2 số x1 , x2 là:

A. 2 Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. 3

C. 7

D. 5

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 15: Gọi x1 , x2 lần lượt là nghiệm của phương trình phức x 2 + ( i − 3) x + 4 − 3i = 0. Tổng

B. −i

C. 2

D. −2i

H Ơ

A. −1

phần ảo của 2 số x1 , x2 là:

C. 1 − 5

D. 2 5

B. 2 2

TP .Q

A. 5 2

x 2 + 4 x + 9 = 0 . Tính AB?

Câu 16: Gọi A,B là hai điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương trình

ẠO

Câu 17: Nghiệm của phương trình ( x + 2 − i ) + 4 ( x + 2 − i ) + 7 = 0 trên tập số phức là:

( 3 + 1) i; x = −4 + ( − 3 + 1) i D. x = −2 + ( 3 + 1) i; x = −2 + ( − 3 + 1) i

A. x1 = −4 + 3i; x2 = −4 + 3i

B. x1 = −4 +

C. x1 = −2 + 3i; x2 = −2 − 3i

1 i 2

Ư N

1 − 2 2i 4

1 1 i − 2 2

1 1 − i 2 2

1 2− i 2

A. 1 −

TR ẦN

Câu 18: Căn bậc hai của số phức

( = −2 + ( −

) 3 + 1) i

B. x1 = −4 + 3i; x2 = −4 + 3i D. x1 = −2 + 3i; x2 = −2 − 3i

ẤP

) 3 + 1) i; x

3 + 1 i; x2 = −4 + − 3 + 1 i

( C. x = −2 + (

A. x1 = −4 +

Câu 19: Nghiệm của phương trình ( x 2 + 4 x + 6 )( x 2 + 4 x + 8 ) = −1 trên tập số phức là:

Câu 20: Nghiệm của phương trình ( x 2 − 4 x + 10 )( x 2 − 4 x + 8 ) = 8 trên tập số phức là: A. x = 2 ± 2 2i; x = 2 ± 2i

B. x = 2 ± 2 2i; x = 2 ± i D. x = 2 ± 2i; x = 1 ± 2i

Í-

C. x = 2 ± 2i; x = 2 ± 2i

-L

Câu 21: Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình x 2 + ( i − 3) x + 4 − 3i = 0 . Giá trị K = x1 + x2

ÁN

bằng:

A. 5 5

B. 2 2

C. 2 5

D. 5 2

Ỡ N

Câu 22: Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình x 2 + ( 8 + i ) x + 17 + 7i = 0 . Giá trị A = x1 + x2

BỒ

ID Ư

bằng:

Câu 23: Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình x 2 − ( 2m − 1) x + 1 − 3mi = 0 . Tìm m để x1 + x2 = 0 : A. m = −1 Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. m =

1 2

C. m = 1

D. m = 2

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 24: Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình x 2 − ( 2m − 1) x + 1 − 3mi = 0 . Tìm m để x1 x2 = 0 1 C. m = − i 3

D. m = 3i

B. m = −3i

H Ơ

1 A. m = i 3

C. 4

D. 6

B. 5

A. 7

Câu 25: Số nghiệm của phương trình phức ( z 4 − 1)( z 2 − 1)( z 3 + 1) = 0 là:

TP .Q

Câu 26: Phương trình x 2 + ( a + 1) x + b − 2 = 0 có giá trị a, b bao nhiêu để nhận x = 1 − i làm một nghiệm:

B. a = −2, b = 3

C. a = −3, b = 4

D. a = −3, b = −4

ẠO

A. a = −3, b = 2

B. Căn bậc hai của −1 − 4 3i là

2 −i

Ư N

A. Căn bậc hai của 1 − 2 2i là

Câu 27: Chọn khẳng định Sai:

D. Căn bậc hai của −1 + 2 2i là 1 + 2 2i

C. Căn bậc hai của −8 + 6i là 1 + 3i

3 − 2i

TR ẦN

Câu 28: Chọn khẳng định Đúng:

A. Phương trình x 2 + 2 x + 5 = 0 có hai nghiệm nguyên phân biệt.

B. −4 − 2 5i có hai căn bậc hai là 1 − 5i và −1 + 5i

D. Mỗi số phức chỉ có một căn bậc hai.

C. Phương trình x 2 + ( 2 − i ) x + 3i − 2 = 0 có tích hai nghiệm bằng 3i

Câu 29: Cho phương trình bậc hai x 2 + 3 x + 12 = 0 . Chọn khẳng định Sai:

ẤP

A. Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

B. Tích hai nghiệm bằng 12

C. Hai nghiệm phương trình là số phức lien hợp với nhau

Í-

D. Tổng hai nghiệm bằng −3 B. 4

C. 6

D. 3

ÁN

A. 5

-L

Câu 30: Số nghiệm của phương trình phức z 4 − 16 = 0 là:

Câu 31: Cho phương trình z 4 − 2 z 3 + 2 z 2 − 2 z + 1 = 0 . Tổng các nghiệm của phương trình đó là:

B. 1 + i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. i

C. 1

D. 1 − i

Câu 32: Cho phương trình ( z 2 + z + 3) − 3 ( z 2 + z + 3) + 2 = 0 . Tổng các nghiệm của phương

trình đó là:

A. 2

Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B. 1

C. -1

D. 0

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 33: Cho phương trình ( z 2 + 3) − 4 ( z 2 + 3) + 3 = 0 . Giá trị tuyệt đối của hiệu các nghiệm

D. 3 2i

+ 4 z + 4 ) + ( z 2 + 4 z + 4 ) − 6 = 0 . Tổng bình phương các

B. 16

C. 2

D. 8

ẠO

Câu 35: Cho phương trình z 4 − 32 − 4 = 0 . Chọn đáp án sai:

TP .Q

nghiệm phức của phương trình đó là:

A. 9

Câu 34: Cho phương trình

C. 2i

H Ơ

B. 2 2i

phức của phương trình đó là:

A. Phương trình có 2 nghiệm thực và 2 nghiệm phức

B. Tổng 2 nghiệm phức của phương trình bằng 0

Ư N

C. Tổng 2 nghiệm thực của phương trình bằng 0

D. Tất cả đáp án trên đều sai

A. 2i, −2i, −1

TR ẦN

Câu 36: Nghiệm của phương trình phức z 4 − 2 z 3 + 5 z 2 − 8 z + 4 = 0 là: B. 2i, −2i,1

C. i, −i,1

D. i, −i, −1

bằng:

B. 9

C. 6

D. 12

A. 15

P = z1 + z2

Câu 37: Gọi z1 , z2 là nghiệm phương trình z 2 + 2 z + 6 = 0 . Giá trị của biểu thức

ẤP

Câu 38: Gọi z1 , z2 là nghiệm phương trình z 2 + 4 z + 12 = 0 . Chọn phương án Đúng: A. z1 + z2 = 5

C. z1 − z2 = 0

B. z1 − z2 = 1

D. z1 + z2 = 2

Câu 39: Số nghiệm của phương trình z 2 + z + 2 = 0 là: B. 3

C. 2

Í-

A. 0

D. 1

ÁN

A. 0

-L

Câu 40: Số nghiệm của phương trình ( z − 3) + z − 3 = 0 là: B. 2

C. 3

D. 1

Câu 41: Bộ số thực ( a; b ) để phương trình z 3 + 2 z 2 − az + b = 0 nhận z = 1 − i làm nghiệm là:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a = 2 A.  b = 3

a = 6 B.  b = 8

a = 6 C.  b = 4

a = 4 D.  b = 8

Câu 42: Số thực x,y thỏa mãn đẳng thức x ( 3 + i ) + y (1 − i ) = 12 + 3i là: x = 4 A.  y = 0

Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x = 3 B.  y =1

x = 2 C.  y = 0

x = 4 D.  y =1

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 43: Gọi z1 , z2 là nghiệm phương trình z 2 − iz + 2 = 0 . Khi đó mô đun của số phức

H Ơ

D. 3

z = 0 C. ⇔   z = 2i

z = 1 B. ⇔   z = 2i + 1

z − 3 − 2i = z − 3i trên tập số phức là: z −i

Câu 44: Nghiệm của phương trình  z = −1 A. ⇔  z = i +1

C. 10

z = 0 D. ⇔   z = 2i + 1

TP .Q

( z1 − 1)( z2 − 1) bằng:

z − 2z +1 là: z2

B. 10

D. 1

A. 5

Ư N

ẠO

Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i )( z − i ) + 2 z = 2i . Mô đun của số phức

A. 5

TR ẦN

Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (1 − i ) z = 9 − 2i . Phần ảo của số phức z là: B. 3

C. 4

D. 2

Câu 47: Cho 2 số thực x,y thỏa phương trình x + 2 + (1 − y ) i = 3 − 2i + 2 yi . Khi đó giá trị của

P = x 2 − 2 xy − y 2 là:

B. 2

C. −2

A. −1

(

3 +i

ẤP

Câu 48: Phần ảo của số phức z biết z = B. 0

) (1 − 3i ) là: C. 2

D. 3

A. 1

D. 1

B. −7 và 3

C. −5 và 2

D. −7 và 2

Í-

A. −3 và −2

Câu 49: Cho số phức z thỏa điều kiện z + ( i − 1) z = 2 − 3i . Phần thực và ảo của z lần lượt là:

B. 10

C. 15

ÁN

A. 13

-L

Câu 50: Cho số phức z thỏa điều kiện 2 z + 3 (1 − i ) z = 1 − 9i . Mô đun của z là:

Đáp án

1-D

2-B

3-A

4-B

5-D

6-A

7-C

8-A

9-C

10-D

11-A

12-D

13-C

14-B

15-A

16-D

17-B

18-C

19-D

20-A

21-C

22-A

23-B

24-C

25-D

26-C

27-D

28-B

29-A

30-B

31-C

32-D

33-B

34-C

35-A

36-B

37-D

38-C

39-A

40-D

41-B

42-A

43-C

44-D

45-B

46-A

47-C

48-B

49-D

50-A

Ỡ N ID Ư

BỒ

D. 14

Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án D

H Ơ

Phân tích:

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức i 2 = −1 , ta nói i là một căn

bậc hai của −1 ; −i cũng là một căn bậc hai của −1 . Tổng quát, các căn bậc hai của số thực

TP .Q

a〉 0 là ±i a . Từ đó ta đi đến kết quả: A. a xác định khi và chỉ khi a ≥ 0 , theo đề bài ta có a〈 0 vì vậy

ẠO

loại đáp án A.

a không xác định,

Ư N

B. Với a 〈 0 , ta có a = −a , không thỏa, loại đáp án B.

C. Tương tự đáp án B, loại.

TR ẦN

Nhận xét: Rất nhiều em không nắm kĩ lý thuyết SGK nên còn mơ hồ về khái niệm căn bậc hai của một số thực âm.

Sai lầm thường gặp: Một số em quên điều kiện a 〈 0 của đề bài, nên dễ khoanh nhầm

đáp án A.

Câu 2: Đáp án B

Phân tích:

ẤP

Từ đẳng thức i 2 = −1 , ta xác định được căn bậc hai của số thực âm, chẳng hạn:

(

)

(

)

Căn bậc hai của −2 là ±i 2 , vì ±i 2

Căn bậc hai của −3 là ±i 3 , vì ±i 3

= −2 . = −3 .

-L

Í-

Căn bậc hai của −4 là ±2i , vì ( ±2i ) = −4 .

4 = 2 , các đáp án

ÁN

Quan sát nhanh 4 đáp án, ta thấy chỉ có đáp án B có phần ảo i và

khác không thỏa mãn.

Nhận xét: Tương tự câu 1, câu 2 giúp ta cụ thể hóa định nghĩa căn bậc hai của số thực âm

Ỡ N

và cách quan sát nhanh để loại các đáp án nhiễu.

BỒ

ID Ư

Câu 3: Đáp án A Phân tích:

Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 với a, b, c ∈ ℝa ≠ 0 , xét biệt số ∆ = b 2 − 4ac , ta thấy: căn bậc hai của -2 là ±i 2

Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b . 2a

Khi ∆ = 0 , phương trình có một nghiệm thực x = −

Khi ∆ > 0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 =

Khi ∆ < 0 , phương trình có nghiệm phức xác định bởi công thức x1,2 =

H Ơ

−b ± ∆ 2a

Ư N

ẠO

TP .Q

2a B) Theo phân tích trên, đây là công thức nghiệm của phương trình bậc hai có nghiệm thực phân biệt khi ∆ > 0 , theo đề bài thì ∆ < 0 nên ta loại. C) Theo phân tích trên, đây là công thức nghiệm của hương trình bậc hai có một nghiệm thực khi ∆ = 0 , theo đề bài thì ∆ < 0 nên ta loại. D) Đây là công thức của định lý Viet, không thỏa yêu cầu đề bài nên ta loại. Nhận xét: Do chưa quen với phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức nên nhiều học sinh mắc sai lầm, dẫn đến khoanh sai đáp án. Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh đọc không kĩ yêu cầu đề bài với giả thuyết ∆ < 0 nên thường khoanh nhầm sang đáp án B. Câu 4: Đáp án B

−b ± i a

TR ẦN

Phân tích:

Dễ dàng thấy phương trình đã cho có ∆ = −3 < 0 nên có nghiệm phức, loại đáp án A và C.

∆ = −3 , chỉ có đáp án D thỏa đề

Vì ∆ = −3 suy ra

ẤP

sát nhanh giá trị của ∆ .

, nhưng như vậy sẽ tốn nhiều thời gian hơn việc quan

−b ± i a

phương trình x1,2 =

Nhận xét: Ta có thể giải toán bằng cách thế các hệ số vào công thức nghiệm của

Câu 5: Đáp án D

Phân tích:

∆ = −2 , chỉ có đáp án D thỏa đề

-L

Í-

Vì ∆ = −2 suy ra

Dễ dàng thấy phương trình đã cho có ∆ = −2 < 0 nên có nghiệm phức, loại đáp án B và C

ÁN

Câu 6: Đáp án A

Phân tích: Từ giả thiết ta có: a = 7, b = 3 , lại có ∆ = b 2 − 4ac = −47 . Khi đó:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

P = a + b − ∆ = 7 + 3 + 47 = 57

Nhận xét: Ta không cần quan tâm đến công thức nghiệm x1,2 =

−b ± i a

mà chỉ cần

tính các giá trị a, b và ∆ để thế vào biểu thức P cần tính, điều nàu giúp rút ngắn thời gian hơn.

Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh do chú tâm đến công thức nghiệm

nên dễ nhầm lẫn giữa ∆ và −∆ dẫn đến sai xót khi tính giá trị của

−b ± i a

H Ơ

x1,2 =

biểu thức P, khi đó P = −37 , dẫn đến việc khoanh nhầm đáp án B. Ngoài ra, học

sinh có thể tính nhanh giá trị của biểu thức P bằng máy tính casio Fx-570ES hoặc

TP .Q

Vinacal theo các thao tác sau:

Nhập 32 − 4.7.2 ứng với biểu thức ∆ = b 2 − 4ac . Màn hình sẽ hiện ra kết quả −47 ,

ẠO

bấm AC.

Nhập 7+3-Ans ứng với biểu thức P = a + b − ∆ . Màn hình sẽ hiện ra kết quả là 57 ,

chọn đáp án A.

Phân tích:

a+b−∆ 5 − 7 + 38 = = 2. 3 3

Khi đó: M =

TR ẦN

Từ giả thiết ta có: a = 5, b = −7 , lại có ∆ = b 2 − 4ac = −38 .

Ư N

Câu 7: Đáp án C

−b ± i a

Nhận xét: Ta không cần quan tâm đến công thức nghiệm x1,2 =

mà chỉ cần

tính các giá trị a, b và ∆ để thế vào biểu thức M cần tính, điều này giúp rút ngắn thời gian

ẤP

hơn. Ngoài ra, học sinh có thể tính nhanh giá trị của biểu thức M máy tính Casio Fx-570ES

hoặc Vinacal theo thao tác sau:

1 a+b−∆ . 5 − 7 − Ans ứng với biểu thức M = . Màn hình sẽ hiện ra kết 3 3

Nhập

Í-

quả là 2, chọn đáp án C.

-L

Câu 8: Đáp án A

ÁN

Phân tích:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Dựa vào định nghĩa. Nếu z = a + bi thì z = a − bi

Khi đó z + z = 2a 2

z.z = ( a + bi )( a − bi ) = a 2 − ( bi ) = a 2 + b 2 Theo định lý Viet, z, z là nghiệm của phương trình x 2 − 2ax + a 2 + b 2

Nhận xét: Dạng bài khá lạ, học sinh lần đầu gặp có thể gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu nắm các kiến thức cơ bản về số phức liên hợp z , ta có thể dần định hướng được cách

Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

làm, với 2 nghiệm z, z , ta lien tưởng ngay đến định lý Viet và áp dụng, dẫn đến kết quả chính xác.

H Ơ

Sai lầm thưởng gặp: Nhiều học sinh nhầm lẫn về định lý Viet phương trình dạng

x 2 − Sx + P (với S là tổng 2 nghiệm, P là tích 2 nghiệm) thành x 2 + Sx + P nên khoanh đáp án

B, đây là đáp án không chính xác.

TP .Q

Câu 9: Đáp án C. Phân tích:

ẠO

Dựa vào định nghĩa, nếu z = a + bi thì z = a − bi . Khi đó:

z = 2 + 3i, z = 2 − 3i

z + z = 2a = 4

Ư N

z.z = a 2 + b 2 = 13

TR ẦN

Theo định lý Viet, z, z là nghiệm của phương trình x 2 − 4 x + 13

Nhận xét: Đây là trường hợp cụ thể hóa của câu 8, ngoài cách trên, ta có thể sử dụng máy tính cầm tay Casio Fx-570ES hoặc Vinacal theo các bước tuần tự như sau: Chuyển sang chế độ CMPLX như sau: Bấm Mode → 2.

Xác định được z = 2 − 3i , ta bấm ( 2 + 3i ) + ( 2 − 3i ) , màn hình hiển thị kết quả: 4.

Bấm AC, tiếp tục nhập ( 2 + 3i )( 2 − 3i ) , màn hình hiển thị kết quả: 13.

ẤP

Vậy phương trình cần tìm là x 2 − 4 x + 13

Câu 10: Đáp án D

Cách 1:

Phương trình đã cho có a = 1, b = i − 5, c = 8 − i 2

-L

Í-

Khi đó ∆ = ( i − 5 ) − 4. ( 8 − i ) = −8 − 6i − ( 3i − 1)

ÁN

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức

−b ± i ∆

BỒ

ID Ư

Ỡ N

x1.2 =

ta được x1 = 2 + i; x2 = 3 − 2i

Cách 2: Ta không quan tâm đến việc tìm cụ thể các giá trị của x1 , x2 , quan sát nhanh thấy các đáp

án A, B, C, D có tổng x1 + x2 khác nhau, nên ta chỉ cần tìm ra tổng x1 + x2 đúng là được Theo định lý Viet: x1 + x2 =

Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

−b = 5 − i = ( 2 + i ) + ( 3 − 2i ) a

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 11: Đáp án A Cách 1:

H Ơ

Phương trình đã cho có a = 1, b = 7, c = 2 . Khi đó:

∆ = 7 2 − 4.2 = 41

−b ± i ∆

ta được: x1 =

−7 + 41 −7 − 41 ; x2 = 2 2

TP .Q

x1.2 =

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức

ẠO

Khi đó: x12 + x2 2 − 5 x1 x2 = ( x1 x2 ) − 7 x1 x2 = 35

Cách 2:

x12 + x2 2 − 5 x1 x2 có liên quan đến định lý Viet, ta thử biến đổi

thức cần tính

Ư N

Ta không cần quan tâm đến việc tìm cụ thể giá trị của x1 , x2 , quan sát nhanh thấy biểu

TR ẦN

x12 + x2 2 − 5 x1 x2 = ( x1 x2 ) − 7 x1 x2 Theo định lý Viet, ta có: x1 + x2 = −7; x1 x2 = 2

Thế vào biểu thức đề bài ta có: 2

x12 + x2 2 − 5 x1 x2 = ( x1 x2 ) − 7 x1 x2 = ( −7 ) − 7.2 = 35

Câu 12: Đáp án D

(

ẤP

Ta có biến đổi như sau: −4 − 2 5i = 1 − 2 5i − 5 = 1 − 5

)

Suy ra −4 − 2 5i có hai căn bậc hai là: −1 + 5i và 1 − 5i

Nhận xét: Ngoài cách làm trên, ta có thể thế ngược đáp án bằng cách bình phương lần

lượt các giá trị ở các đáp án A, B, C, D. Quy trình bấm máy bằng Casio Fx-570ES hoặc Chuyển máy sang chế độ CMPLX bằng cách bấm Mode → 2.

ÁN

-L

Í-

Vinacal theo các bước sau:

(

Nhập −1 + 5i

)

(

)

hoặc −1 − 5i , màn hình hiển thị kết quả −4 − 2 5i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 13: Đáp án C

(

Vì số phức cần tìm nhận

)

2 − i . Ta có:

(

2 −i

)

2 − i làm một căn bậc hai nên giá trị của nó bằng với

= 1 − 2 2i

Nhận xét: Quy trình bấm máy Casio Fx-570ES hoặc Vinacal theo các bước sau: -

Chuyển máy sang chế độ CMPLX bằng cách bấm Mode → 2

Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Nhập

(

)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 − i , màn hình hiển thị kết quả 1 − 2 2i

Câu 14: Đáp án B

H Ơ

Cách 1:

Y U

−b ± i ∆

. Khi đó ta có các hệ số

TP .Q

bậc hai hệ số thực có nghiệm phức x1.2 =

∆ = ( i − 3) − 4 ( 4 − 3i ) = −8 + 6i = 1 + 6i + ( 3i ) = (1 + 3i )

ẠO

a = 1, b = i − 3, c = 4 − 3i và: 2

Ta giải phương trình x 2 + ( i − 3) x + 4 − 3i = 0 bằng công thức nghiệm của phương trình

x1 = 2 + i

Ư N

x2 = 1 − 2i

Tổng phần thực x1 , x2 là 3

TR ẦN

Cách 2:

Vì đề yêu cầu tính tổng phần thực của x1 , x2 nên ta không nhất thiết phải tính được giá trị

cụ thể của x1 , x2 mà chỉ cần tính tổng x1 + x2 rồi tìm phần thực của tổng này, cũng chính là

−b = 3−i a

Theo định lý Viet: x1 + x2 =

kết quả mà đề bài yêu cầu. Ta tính bằng định lý Viet như sau:

ẤP

Phần thực của tổng x1 + x2 là 3 nên tổng phần thực của x1 , x2 cũng là 3.

Cách 1:

Câu 15: Đáp án A

-L

Í-

Ta giải phương trình x 2 + ( i − 3) x + 4 − 3i = 0 bằng công thức nghiệm của phương bậc x1.2 =

−b ± i ∆ 2a

ÁN

hai hệ số thực có nghiệm phức

. Khi đó ta có các hệ số

a = 1, b = i − 3, c = 4 − 3i và: 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

∆ = ( i − 3) − 4 ( 4 − 3i ) = −8 + 6i = 1 + 6i + ( 3i ) = (1 + 3i )

x1 = 2 + i x2 = 1 − 2i Tổng phần ảo x1 , x2 là −1

Cách 2:

Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vì đề yêu cầu tính tổng phần ảo x1 , x2 nên ta không nhất thiết phải tính được giá trị cụ

thể của x1 , x2 mà chỉ cần tính tổng x1 + x2 rồi tìm phần ảo của tổng này, cũng chính là kết quả

−b = 3−i a

Phần ảo của tổng x1 + x2 là −1 nên tổng phần ảo của x1 , x2 cũng là −1 .

Nhận xét: Dạng bài này ta nên dùng cách hai để tiết kiệm thời gian hơn

TP .Q

Theo định lý Viet: x1 + x2 =

H Ơ

mà đề bài yêu cầu. Ta tính bằng định lý Viet như sau:

ẠO

Sai lầm thường gặp: Khi học sinh tính được x1 + x2 = 3 − i bằng một trong hai cách

trên, nhiều học sinh dễ khoanh nhầm đáp án B vì hiểu sai định nghĩa phần ảo của số phức. Ta

có phân tích sau:

Ư N

Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi , trong đó a,b là những số thực và i là số

TR ẦN

thỏa mãn i 2 = −1 . Trong đó: i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo

Câu 16: Đáp án D

Phân tích:

Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn cho số phức z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i 2

( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 )

Khi đó độ dài AB được tính bằng công thức AB =

ẤP

Để xác định được độ dài AB, ta tính tọa độ các điểm A, B trước. Với phương trình

x 2 + 4 x + 9 = 0 , ta có: x1 = −2 + 5i; x2 = −2 − 5i

(

)

(

( −2 + 2 )

(

)

5+ 5

)

=2 5

-L

Í-

Khi đó: AB =

Suy ra A −2; 5 , B −2; − 5

ÁN

Câu 17: Đáp án A

Quan sát thấy phương trình ( x + 2 − i ) + 4 ( x + 2 − i ) + 7 = 0 có biểu thức lặp đi lặp lại

là ( x + 2 − i ) ta lien tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt t = x + 2 − i , phương trình trở

BỒ

ID Ư

Ỡ N

thành t 2 + 4t + 7 = 0 Giải phương trình trên bằng công thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số thực có

nghiệm phức hoặc máy tính Casio Fx-570ES ta được: t1 = −2 + 3i; t2 = −2 − 3i Thay trở lại biến x ta được: x1 + 2 − i = −2 + 3i; x2 + 2 − i = −2 − 3i

Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(

)

(

)

Tương đương với x1 = −4 + 1 + 3 i; x2 = −4 + 1 − 3 i

Nhận xét: Dạng phương trình có biểu thức lặp lại ta thường dùng cách đặt ẩn phụ để

H Ơ

dễ nhìn, dễ giải từ đó đi đến kết quả nhanh hơn. Ngoài ra, ta có thể giải quyết nhanh bài toán

TP .Q

đề theo các bước: Chuyển máy sang chế độ CMPLX bằng cách bấm Mode → 2

ẠO

Lần lượt gán các đáp án vào máy, ở đây thử đáp án C và A:

Nhập vào màn hình biểu thức −2 + 3i . Bấm Shift + RCL+ (-) ứng với gán giá trị

•

sử dụng máy tính Casio Fx-570ES hoặc Vinacal để tìm xem đáp án nào có nghiệm thỏa mãn

mà không cần giải phương trình, quan sát bốn đáp án thấy các giá trị của x đều khác nhau, ta

−2 + 3i cho biến A. 2

•

(

TR ẦN

Ư N

• Nhập vào biểu thức ( x + 2 − i ) + 4 ( x + 2 − i ) + 7 . Bấm CALC, màn hình hiển thị X? Bấm ALPHA +A • Màn hình hiển thị kết quả 18 − 8i , tức −2 + 3i không trải nghiệm, loại đáp án C Với đáp án A ta cũng bấm máy tương tự:

)

Nhập vào màn hình biểu thức −4 + 1 + 3 i . Bấm SHIFT+ RCL+ (-) ứng với gán giá

(

)

trị −4 + 1 + 3 i cho biến A. 2

(

)

Màn hình hiển thị kết quả 0, tức −4 + 1 + 3 i là nghiệm.

ẤP

•

• Nhập biểu thức ( x + 2 − i ) + 4 ( x + 2 − i ) + 7 . Bấm phím CALC, màn hình hiển thị X? Bấm ALPHA + A.

Câu 18: Đáp án C

Ta lần lượt bình phương các đáp án rồi thế ngược lên để tìm đáp án thỏa đề. Ta nhận 2

Í-

 1 1  1− 2 2 thấy:  i − i = 4  2 2 

-L

Nhận xét: Với dạng bài này, không cần phải khai triển hay biến đổi biểu thức, ta chỉ

ÁN

cần thế ngược đáp án để ra kết quả một cách nhau nhất.

Câu 19: Đáp án D

Cách 1:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Quan sát thấy phương trình ( x 2 + 4 x + 6 )( x 2 + 4 x + 8 ) = −1 có biểu thức lặp lại là x 2 + 4 x ta

lien tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Nếu đặt t = x 2 + 4 x , phương trình trở thành

( t + 6 )( t + 8) = −1 Giải phương trình trên bằng công thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số thực hoặc máy tính Casio Fx-570ES ta được nghiệm duy nhất t = −7

Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Thay trở lại biến x ta được: x 2 + 4 x + 7 = 0

Tương đương với : x1 = −2 + 3i; x1 = −2 − 3i

H Ơ

Cách 2:

liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Nhưng lần này ta đặt t = x 2 + 4 x + 7 . Xem thử vì sao

Quan sát thấy phương trình ( x 2 + 4 x + 6 )( x 2 + 4 x + 8 ) = −1 có biểu thức lặp lại là x 2 + 4 x ta

TP .Q

lại đặt như thế nhé, phương trình trở thành:

ẠO

( t − 1)( t + 1) = −1 ⇔ t 2 − 1 = −1 ⇔ t = 0

Thay trở lại biến x ta được: x 2 + 4 x + 7 = 0

Ư N

Tương đương với: x1 = −2 + 3i

x2 = −2 − 3i

TR ẦN

Nhận xét: Thông thường ta dễ dàng chọn cách 1, vì nó dễ thấy, dễ làm, nhueng tinh tế hơn, cách 2 cho ta cách biến đổi rất ấn tượng, giúp bài toán được giải quyết nhanh hơn, gọn và đẹp mắt hơn. Về bản chất, hai cách đặt ẩn phụ đều quy về phương trình

để giải ra nghiệm.Ngoài ra, ta có thể giải quyết nhanh bài toán mà không cần giải

phương trình, quan sát bốn đáp án thấy các giá trị của x đều khác nhau, ta sử dụng

máy tính CASIO fx570-ES hoặc Vinacal để tìm xem đáp án nào là nghiệm thỏa mãn

đề theo các bước:

−2 + 3i cho biến A.

ẤP

+ Nhập vào màn hình biểu thức −2 + 3i . Bấm SHIFT + RLC + (-) ứng với gán giá trị

+ Nhập biểu thức ( x 2 + 4 x + 6 )( x 2 + 4 x + 8 ) = −1 . Bấm CALC, màn hình hiển thị X?

-L

Í-

Bấm ALPHA + A + Màn hình hiển thị kết quả 0, tức −2 + 3i là nghiệm

ÁN

Vậy đáp án đúng ở đây là đáp án A.

Cách 1:

Ỡ N

Câu 20: Đáp án A

BỒ

ID Ư

- Quan sát thấy phương trình ( x 2 − 4 x + 10 )( x 2 − 4 x + 8 ) = 8 có biểu thức lặp lại là x 2 − 4 x ta

liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Nếu đặt t = x 2 − 4 x , phương trình trở thành:

( t + 10 )( t + 8) = 8 - Giải phương trình trên bằng máy tính Casio Fx-570ES ta được nghiệm:

Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

t1 = −6 t2 = −12

H Ơ

- Thay trở lại biến x ta được hai phương trình:

x2 − 4 x + 6 = 0

x 2 − 4 x + 12 = 0

TP .Q

- Tương đương với

x = 2 ± 2i; x = 2 ± 2 2i

ẠO

Cách 2:

- Quan sát thấy phương trình ( x 2 − 4 x + 10 )( x 2 − 4 x + 8 ) = 8 có biểu thức lặp lại là x 2 − 4 x ta

Ư N

liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Nhưng lần này ta đặt t = x 2 − 4 x + 9 , xem thử vì sao

lại đặt như thế nhé, phương trình trở thành:

TR ẦN

( t − 1)( t + 1) = 8 ⇔ t 2 − 1 = 8 ⇔ t = ±3 - Thay trở lại biến x ta được:

x2 − 4 x + 6 = 0

x 2 − 4 x + 12 = 0

- Tương đương với:

x = 2 ± 2i; x = 2 ± 2 2i

ẤP

Nhận xét: Thông thường ta dễ dàng chọn cách 1, vì nó dễ thấy, dễ làm, nhưng tinh tế

hơn, cách hai cho ta một bước biến đổi rất ấn tượng, giúp bài toán được giải quyết

nhanh hơn, gọn và đẹp mắt hơn. Về bản chất, hai cách đặt ẩn phụ đều quy về phương

trình để giải ra nghiệm.Ngoài ra, ta có thể giải quyết nhanh bài toán mà không cần

Í-

giải phương trình, quan sát bốn đáp án thấy các giá trị của x đều khác nhau, ta sử

-L

dụng máy tính CASIO fx570-ES hoặc Vinacal để tìm xem đáp án nào là nghiệm thỏa

ÁN

mãn đề theo các bước:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

+ Nhập vào màn hình biểu thức 2 + 2i . Bấm SHIFT + RLC + (-) ứng với gán giá trị 2 + 2i cho biến A.

+ Nhập biểu thức ( x 2 − 4 x + 10 )( x 2 − 4 x + 8 ) = 8 . Bấm phím CALC, màn hình hiển thị X? Bấm ALPHA + A + Màn hình hiển thị kết quả 0, tức 2 + 2i là nghiệm Vậy đáp án đúng ở đây là đáp án A.

Câu 21: Đáp án C Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Để tính được x1 , x2 ta cần xác định x1 , x2 bằng công thức nghiệm của phương trình bậc

H Ơ

∆ = ( i − 3) − 4 ( 4 − 3i ) = 6i − 8 = ( 3i + 1)

hai hệ số thực có nghiệm phức với a = 1, b = i − 3, c = 4 − 3i . Ta có:

x1 = 2 + i

x2 = 1 − 2i

TP .Q

- Khi đó:

ẠO

K = x1 + x2 = 22 + 12 + 12 + 2 2 = 2 5

Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh nhầm lẫn giữa x1 + x2 và x1 + x2 dẫn đến tính

sai kết quả khi chưa phân biệt giữa định lý Viet và mô đun của số phức.

Ư N

Câu 22: Đáp án A

Cách 1:

TR ẦN

- Để tính được x1 + x2 ta cần xác định x1 , x2 bằng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức với a = 1, b = −8 − i, c = 17 + 7i , ta có:

x1 = 5 − i

x2 = 2i + 3

-Khi đó:

ẤP

A = x1 + x2 = 82 + 12 = 65

x1 + x2 = i + 8

Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh nhầm lẫn giữa x1 + x2 và x1 + x2 dẫn đến tính

Í-

Cách 2:

sai kết quả khi chưa phân biệt giữa định lí Viet và môđun của số phức.

-L

- Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = i + 8

ÁN

- Khi đó: A = x1 + x2 = 82 + 12 = 65

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Trong bốn đáp án chỉ có đáp án A thõa mãn.

Nhận xét: Rõ ràng cách 2 rất nhanh gọn, ta không phải tính từng nghiệm cụ thể, chỉ cần hiều về bản chất định lý Viet và môđun số phức là có thể thực hiện được.

Câu 23: Đáp án B

- Theo phản xạ các bài tập trước, ta dùng Viet tính ngay kết quả mà không cần thông qua bước tinh nghệm để tránh rườm rà, sai sót khi tính toán. - Theo định lý Viet: x1 + x2 = 2m − 1

Trang 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có: x1 + x2 = 0 ⇔ 2m − 1 = 0 ⇔ m =

1 2

Câu 24: Đáp án C

H Ơ

- Theo phản xạ các bài tập trước, ta dùng Viet tính ngay kết quả mà không cần thông qua

bước tinh nghệm để tránh rườm rà, sai sót khi tính toán.

Ta có: x1 x2 = 0 ⇔ 1 − 3mi = 0 ⇔ m =

TP .Q

- Theo định lý Viet: x1 x2 = 1 − 3mi

−1 i 3

ẠO

Câu 25: Đáp án D 2

- Ta có biến đổi sau: ( z 4 − 1)( z 2 − 1)( z 3 + 1) = 0 ⇔ ( z 2 − 1) ( z 2 + 1)( z 3 + 1) = 0

TR ẦN

Ư N

 z = ±1  z = ±i  z2 −1 = 0   2 2 1 0 z + =  ⇔ ( z 2 − 1) ( z 2 + 1) ( z + 1) ( z 2 − z + 1) = 0 ⇔  ⇔ z = 1+ 3 z +1 = 0 2   2   z − z + 1 = 0 1− 3 z =  2

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thỏa mãn đề.

Câu 26: Đáp án C

x = 1 − i làm một nghiệm của phương trình x 2 + ( a + 1) x + b − 2 = 0 khi:

ẤP

(1 − i ) + ( a + 1)(1 − i ) + b − 2 = 0 ⇔ ( −3 − a ) i + a + b − 1 = 0

 −3 − a = 0  a = −3 ⇔ ⇔ a + b − 1 = 0 b = 4

Í-

- Nhận xét: Ta có thể giải quyết bài toán bằng máy tính CASIO fx570-ES hoặc Vinacal bằng

-L

cách thế ngược đáp án, thế từng giá trị của các đáp án A,B,C,D

ÁN

- Chuyển máy sang chế độ CMPLX: Bấm MODE → 2

- Nhập 1 − i , bấm SHIFT + RLC + (-) để lưu giá trị 1 − i vào biến nhớ A

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a = −3 phương trình trở thành: x 2 − 2 x + 2 = 0 . Nhập x 2 − 2 x + 2 = 0 Vào máy tính, - Với  b = 4  bấm phím CALC, màn hình hiển thị X? Bấm Alpha + A + =, màn hình hiển thị 0, vậy a = −3 thỏa đề.  b = 4

Câu 27: Đáp án D Trang 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

* Không cần phải khai triển hay biến đổi biểu thức, ta dùng máy tính CASIO fx570-ES hoặc Vinacal thực hiện như sau:

H Ơ

)

(

2 − i , màn hình hiển thị kết quả 1 − 2 2i

(

3 − 2i , màn hình hiển thị kết quả −1 − 4 3i

- Đối với đáp án A: Nhập

- Chuyển máy sang chế độ CMPLX: Bấm MODE → 2

)

TP .Q

- Đối với đáp án B: Nhập

Vậy đáp án A đúng.

ẠO

Vậy đáp án B đúng. 2

- Đối với đáp án C: Nhập (1 + 3i ) , màn hình hiển thị kết quả −8 + 6i

(

)

Ư N

Vậy đáp án C đúng. 2

- Đối với đáp án D: Nhập 1 + 2 2i , màn hình hiển thị kết quả −7 + 4 2i

TR ẦN

Vậy đáp án D sai.

Câu 28: Đáp án B 2

= −4 − 2 5i

) = ( −1 + 5i )

(

B) Đúng vì 1 − 5i

A) Sai vì phương trình có hai nghiệm −1 + 2i và −1 − 2i không là số nguyên

C) Sai vì theo định lý Viet ta có tích hai nghiệm bằng 3i − 2

D) Sai vì mỗi số phức có hai căn bậc hai

ẤP

Câu 29: Đáp án A

−3 + 39i −3 − 39i và không là số thực. 2 2

A) Sai vì phương trình có hai nghiệm

−3 + 39i −3 − 39i và là hai số phức liên hợp của nhau 2 2

ÁN

-L

C) Đúng vì

Í-

B) Đúng vì theo định lý Viet ta có tích hai nghiệm bằng 12

D) Đúng vì theo định lý Viet ta có tổng hai nghiệm bằng -3

Câu 30: Đáp án B

z = 2  z = −2 z = 4 4 2 2 - Ta có biến đổi sau: z − 16 = 0 ⇔ ( z − 4 )( z + 4 ) = 0 ⇔  2 ⇔  z = 2i z = − 4    z = −2i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Vậy tổng số nghiệm phương trình đã cho là 4.

Câu 31: Đáp án C Trang 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Ta có biến đổi sau: z 4 − 2 z 3 + 2 z 2 − 2 z + 1 = 0 ⇔ ( z 4 − 2 z 3 + z 2 ) + ( z 2 − 2 z + 1) = 0 2

H Ơ

z =1  z −1 = 0 ⇔ z ( z − 2 z + 1) + ( z − 2 z + 1) = 0 ⇔ ( z − 1) ( z + 1) = 0 ⇔  2 ⇔  z = i z +1 = 0  z = −i 2

Khi đó tổng các nghiệm của phương trình bằng 1.

- Quan sát thấy phương trình

TP .Q

Câu 32: Đáp án D 2

+ z + 3) − 3 ( z 2 + z + 3) + 2 = 0 có biểu thức lặp lại là

ẠO

z 2 + z + 3 ta liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt t = z 2 + z + 3 , phương trình trở

Ư N

t = 2 thành: t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔  t = 1

TR ẦN B

 1 + 3i z = 2   1 − 3i z = z2 + z + 3 = 2 z2 + z +1 = 0 2 ⇔ 2 ⇔  2  −1 + 7i z + z + 3 = 1 z + z + 2 = 0 z = 2   −1 − 7i z =  2

- Thế trở lại biến z ta có:

ẤP

- Khi đó tổng các nghiệm của phương trình bằng 0.

Câu 33: Đáp án B

- Quan sát thấy phương trình ( z 2 + 3) − 4 ( z 2 + 3) + 3 = 0 có biểu thức lặp lại là z 2 + 3 ta liên

-L

Í-

tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt t = z 2 + 3 , phương trình trở thành:

ÁN

t = 3 t 2 − 4t + 3 ⇔  t = 1

- Thế trở lại biến z ta có:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

z = 0 z2 + 3 = 3 z = 0  ⇔ 2 ⇔  z = 2i  2 z + 2 = 0 z + 3 = 1  z = − 2i 

- Khi đó giá trị tuyệt đối của các nghiệm phức là: ⇔

2i + 2i = 2 2i

Câu 34: Đáp án C Trang 27

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Quan sát thấy phương trình

+ 4 z + 4 ) + ( z 2 + 4 z + 4 ) − 6 = 0 có biểu thức lặp lại là

z 2 + 4 z + 4 ta liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt t = z 2 + 4 z + 4 , phương trình trở

H Ơ

t = 2 thành t 2 + t − 6 = 0 ⇔   t = −3

 z = −2 +   z2 + 4z + 4 = 2  z2 + 4z + 2 = 0  z = −2 − ⇔ 2 ⇔  2  z + 4 z + 4 = −3  z + 4z + 7 = 0  z = −2 +   z = −2 −

- Thế trở lại biến z ta có:

TP .Q

2 2

ẠO

3i 2

(

) (

)

Ư N

Khí đó tông bình phương các nghiệm phức bằng: −2 + 3i + −2 − 3i

Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh đọc không kĩ đề hoặc hiểu nhầm giữa khái niệm

(

)

= 16

tổng thì: −2 + 3i − 2 − 3i

TR ẦN

bình phương của tổng và tổng bình phương dẫn đến sai lầm. Nếu là bình phương của

Dẫn đến khoanh đáp án B, đây là đáp án sai.

Câu 35: Đáp án D

ẤP

z = 2  z = −2 z = 4 Ta có: ⇔  2 ⇔  z = −1  z = i   z = −i

- Ta giải phương trình z 4 − 3 z 2 − 4 = 0 rồi so kết quả tìm được để tìm đáp án sai

Í-

A) Đúng vì hai nghiệm thực là -2 và 2, hai nghiệm phức là i và –i.

-L

B) Đúng vì tổng hai nghiệm phức bằng i − i = 0

ÁN

C) Đúng vì tổng hai nghiệm thực bằng 2 − 2 = 0

D) Sai vì cả 3 kết luận A,B,C đều đúng. luận đúng hay sai chứ không làm lý thuyết đơn thuần.

Ỡ N

Nhận xét: Dạng bài này tuy hỏi lý thuyết nhưng ta phải giải cụ thể ra nghiệm để kết

BỒ

ID Ư

Câu 36: Đáp án B

- Ta giải phương trình z 4 − 2 z 3 + 5 z 2 − 8 z + 4 = 0 để tìm nghiệm như sau: Ta có: z 4 − 2 z3 + 5z 2 − 8z + 4 = 0 ⇔ ( z 2 + 4) + ( z 4 − 2 z 3 + 4 z 2 − 8z ) = 0

Trang 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇔ ( z 2 + 4 ) +  z 2 ( z 2 + 4 ) − 2 z ( z 2 + 4 )  = 0 ⇔ ( z 2 + 4 ) + ( z 2 + 4 )( z 2 − 2 z ) = 0

H Ơ

z =1 ⇔ ( z + 4 )( z − 2 z + 1) = 0 ⇔ ( z + 4 ) ( z − 1) = 0 ⇔  z = 2i  z = −2i 2

Nhận xét: 2

TP .Q

Để đưa về tích ( z 2 + 4 ) ( z − 1) = 0 ta sử dụng máy tính CASIO fx570-ES hoặc Vinacal như sau:

ẠO

- Reset máy về ban đầu bằng thao tác bấm SHIFT+9+3+=+=.

Ư N

- Solve các khoảng cách ta không tìm được thêm nghiệm nào nữa.

- Nhập phương trình x 4 − 2 x 3 + 5 x 2 − 8 x + 4 , bấm SHIFT + RLC + 0. Máy hiển thị kết quả 1.

∫

rồi nhập x 4 − 2 x 3 + 5 x 2 − 8 x + 4 và giá trị của x = 1 . Màn hình hiển

TR ẦN

cách bấm SHIFT +

- Vậy ta có một nhân tử là ( z − 1) . Ta kiểm tra xem đây có phải là nghiệm bội không bằng

thị kết quả là 0 tức phương trình có nghiệm kép, nhân tử là ( z − 1) 2

- Ta tìm cách ghép nhân tử ( z − 1) , nhân tử còn lại tự xuất hiện để đưa được về tích.

Câu 37: Đáp án D

- Để tính được giá trị của biểu thức P = z1 + z2 , ta tính z1 , z2 bằng cách giải phương trình

ẤP

z 2 + 2 z + 6 = 0 như sau:

 z + 1 = 5i  z = −1 + 5i ⇔ ⇔  z + 1 = − 5i  z = −1 − 5i

( 5)

(

+ ( −1) + − 5

)

= 12

-L

Í-

P = z1 + z2 = 12 +

ÁN

Câu 38: Đáp án C

- Để tính được giá trị của các biểu thức ở bốn đáp án, ta tính z1 , z2 bằng cách giải phương

trình z 2 + 4 z + 12 = 0 như sau: 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

z 2 + 4 z + 12 = 0 ⇔ z 2 + 4 z + 4 = −16 ⇔ ( z + 2 ) = −16

 z + 2 = 4i  z = −2 + 4i 2 2 ⇔ ( z + 2 ) = ( 4i ) ⇔  ⇔  z + 2 = −4i  z = −2 − 4i

- Khi đó:

A) z1 + z2 = −4 = 4 , loại đáp án A. Trang 29

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B) z1 − z2 = 2

( −2 )

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ 42 −

( −2 ) + ( −4 )

= 0 , loại đáp án B.

+ 42 +

( −2 ) + ( −4 )

H Ơ

( −2 )

= 4 5 , loại đáp án D.

D) z1 + z2 =

C) z1 − z2 = ( −2 ) + 42 − ( −2 ) − ( −4 ) = 0 , chọn đáp án C.

Câu 39: Đáp án A

TP .Q

- Ta quan sát rõ ràng thì: z 2 >0

ẠO

z >0 ⇒ z 2 + z + 2 > 0

Vậy phương trình z 2 + z + 2 = 0 vô nghiệm.

Câu 40: Đáp án D 2

Ư N

- Ta giải phương trình ( z − 3) + z − 3 = 0 như sau:

TR ẦN

( z − 3)2 = ( a + bi − 3)2 2  ⇒ ( z − 3) + z − 3 > 0 - Đặt z = a + bi , khi đó  2 2  z − 3 = ( a − 3) + b

a + bi − 3 = 0 a = 3  - Dấu “=” xảy xa khi và chỉ khi: a = 3 ⇔ b = 0 b = 0 

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất z=3

ẤP

Câu 41: Đáp án B

Vì phương trình z 3 + 2 z 2 − az + b = 0 nhận z = 1 − i làm nghiệm nên: 2

Với z = 1 − i ta có: (1 − i ) + 2 (1 − i ) − a + ai + b = 0 ⇔ −2 − 6i − a + ai + b = 0

-L

Í-

 −6 + a = 0 a = 6 - Đồng nhất hệ số hai vế ta được: ⇔  ⇔  −2 − a + b = 0 b = 8

ÁN

Câu 42: Đáp án A

- Ta có đẳng thức x ( 3 + i ) + y (1 − i ) = 12 + 3i tương đương với: 3 x + 3i + −2iy = 12 + 3i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

3 x = 12 x = 4 - Đồng nhất hệ số hai vế ta được:  ⇔  −2 y = 0 y = 0

Câu 43: Đáp án C Cách 1:

- Để tính Môđun của số phức ( z1 − 1)( z2 − 1) ta giải cụ thể nghiệm z1 , z2 của phương trình z 2 − iz + 2 = 0 như sau:

Trang 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 z = 2i z 2 − iz + 2 = 0 ⇔  1  z2 = −i 2

H Ơ

- Khi đó: ( z1 − 1)( z2 − 1) = ( 2i − 1)( −i − 1) = 3 − i ⇒ ( z1 − 1)( z2 − 1) = 32 + ( −1) = 10

Ta có: ( z1 − 1)( z2 − 1) = z1 z2 − ( z1 + z2 ) + 1

ẠO

 z1 + z2 = i - Theo định lý Viet ta có:   z1 z2 = 2

- Thay vào biểu thức trên ta có:

Ư N

( z1 − 1)( z2 − 1) = z1 z2 − ( z1 + z2 ) + 1 = 3 − i 2

TR ẦN

32 + ( −1) = 10

( z1 − 1)( z2 − 1) =

TP .Q

- Ta áp dụng định lý Viet để tính ( z1 − 1)( z2 − 1) mà không cần tính cụ thể z1 , z2 như sau:

Cách 2:

Câu 44: Đáp án D

z − 3 − 2i = z − 3i là z ≠ i z −i

- Điều kiện xác định của phương trình

- Với dạng toán này, ta có thể đặt z = a + bi rồi đồng nhất hệ số hai vế để tìm a, b . tuy nhiên,

ta có thể giải quyết bài toán nhanh hơn bằng biến đổi thông thường như sau:

ẤP

z − 3 − 2i = z − 3i ⇔ z − 3 − 2i = ( z − 3i )( z − i ) z −i

z = 0 ⇔ z − 3 − 2i = z 2 − 4iz − 3 ⇔ z 2 − 2iz − z = 0 ⇔   z = 2i + 1

Í-

So với điều kiện xác định, ta nhận cả hai nghiệm trên.

-L

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm z = 0, z = 2i + 1

ÁN

Câu 45: Đáp án B

- Để tính được môđun của số phức w =

z − 2z +1 , ta cần tính được z . Ta tính z như sau: z2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

- Từ giả thiết ta có: (1 + i )( z − i ) + 2 z = 2i ⇔ z + iz − i + 1 + 2 z = 2i

⇔ 3 z + iz = 3i − 1 ⇔ z =

 z = −i 3i − 1 =i⇒ 2 3+ i  z = −1 2

- Khi đó: ⇒ w = 32 + ( −1) = 10

Câu 46: Đáp án A Trang 31

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Đặt z = a + bi ⇒ z = a − bi , khi đó ta có:

z + (1 − i ) z = 9 − 2i ⇔ a + bi + (1 − i )( a − bi ) = 9 − 2i

H Ơ

⇔ a + bi + a − ai − bi + b = 9 − 2i ⇔ 2a + b − ai = 9 − 2i

- Đồng nhất hệ số hai vế ta được:

TP .Q

2a + b = 9 a = 2 ⇔ ⇔ ⇒ z = 2 + 5i  − a = −2 b = 5 - Phần ảo của số phức z là 5

ẠO

Câu 47: Đáp án C

- Trước hết ta xác định cụ thể 2 số thực x, y thỏa phương trình:

Ư N

x + 2 + (1 − y ) i = 3 − 2i + 2 yi như sau: - Ta có:

TR ẦN

x + 2 + i − iy = 3 − 2i + 2 yi ⇔ x − 1 + 3i − 3 yi = 0

Câu 48: Đáp án B

3 +i

) (1 − 3i ) = ( 2 + 2 3i )(1 − 3i ) = 2 + 2

3i − 2 3i + 6 = 8

ẤP

(

- Từ giả thiết ta có: z=

- Khi đó: P = x 2 − 2 xy − y 2 = 12 − 2 − 12 = −2

x −1 = 0 x = 1 ⇔ ⇔ 3 − 3 y = 0 y =1

Vậy phần ảo của số phức z là 0

Câu 49: Đáp án D

Í-

- Phương trình z + ( i − 1) z = 2 − 3i không thể giải ngay lập tức vì có hai đại lượng z và z , ta

-L

có thể đặt z = a + bi để có mối liên hệ giữa z và z .

ÁN

Khi đó z = a − bi

- Phương trình đã cho tương đương:

a + bi + ( i − 1)( a − bi ) = 2 − 3i ⇔ a + bi + ai − a + b + bi = 2 − 3i ⇔ b + ( 2b + a ) i = 2 − 3i

BỒ

ID Ư

Ỡ N

2b + a = −3 a = −7 - Đồng nhất hệ số hai vế ta được:  ⇔ b = 2 b = 2

Câu 50: Đáp án A - Để tính được Môđun của z ta cần xác định được z

Trang 32

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

- Phương trình 2 z + 3 (1 − i ) z = 1 − 9i không thể giải ngay lập tức vì có hai đại lượng z và z ,

ta có thể đặt z = a + bi để có mối liên hệ giữa z và z .

H Ơ

- Khi đó z = a − bi . Phương trình đã cho tương đương:

2 ( a + bi ) + 3 (1 − i )( a − bi ) = 1 − 9i

⇔ 2a + 2bi + 3a − 3ai − 3bi − 3b = 1 − 9i

TP .Q

⇔ ( 5a − 3b ) + ( −3a − b ) i = 1 − 9i

ẠO

5a − 3b = 1 a = 2 - Đồng nhất hệ số hai vế ta được:  ⇔ −3a − b = −9 b = 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

⇒ z = 2 + 3i ⇒ z = 22 + 32 = 13

Trang 33

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

http://dethithpt.com www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial