Giải toán trên máy tính Casio - THPT & THCS (Combo by Dạy Kèm Quy Nhơn Official)

PhÇn I: C¸c bµi to¸n vÒ ®a thøc 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: Bµi 1: Cho ®a thøc P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1 TÝnh P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( 1 3 ) 4

H.DÉn: - LËp c«ng thøc P(x) - TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i c¸c ®iÓm: dïng chøc n¨ng CALC - KÕt qu¶:

P(1,25)

=

P(-5,1289) =

; P(4,327) = ; P( 1 3 ) 4

=

Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 t¹i x = 0,53241 Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 t¹i x = -2,1345 H.DÉn: - ¸p dông h»ng ®¼ng thøc: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta cã: P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 =

( x − 1)(1 + x + x 2 + ... + x 9 ) x10 − 1 = x −1 x −1

Tõ ®ã tÝnh P(0,53241) = T−¬ng tù: Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) = x 2

x9 − 1 x −1

Tõ ®ã tÝnh Q(-2,1345) = Bµi 3: Cho ®a thøc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. TÝnh P(6); P(7); P(8); P(9) = ?

H.DÉn: B−íc 1: §Æt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho: + BËc H(x) nhá h¬n bËc cña P(x) + BËc cña H(x) nhá h¬n sè gi¸ trÞ ®· biÕt cña P(x), trongbµi bËc H(x) nhá h¬n 5, nghÜa lµ: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e B−íc 2: T×m a1, b1, c1, d1, e1 ®Ó Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tøc lµ:

a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + 1 = 0 16a + 8b + 4c + 2d + e + 4 = 0 1 1 1 1  1 ⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + 9 = 0 256a + 64b + 16c + 4d + e + 16 = 0 1 1 1 1 1  625a1 + 125b1 + 25c1 + 5d1 + e1 + 25 = 0 VËy ta cã: Q(x) = P(x) - x2

1

http://www.ebook.edu.vn

V× x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 lµ nghiÖm cña Q(x), mµ bËc cña Q(x) b»ng 5 cã hÖ sè cña x5 b»ng 1 nªn: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) ⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2.

Tõ ®ã tÝnh ®−îc: P(6) =

; P(7) =

; P(8) =

; P(9) =

Bµi 4: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9;

P(4) = 11.

TÝnh P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ?

H.DÉn: - Gi¶i t−¬ng tù bµi 3, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Tõ ®ã tÝnh ®−îc: P(5) = ; P(6) =

; P(7) =

; P(8) =

; P(9) =

Bµi 5: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. BiÕt P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; TÝnh A =

P(4) = 10.

P(5) − 2 P(6) =?

P(7)

H.DÉn: - Gi¶i t−¬ng tù bµi 4, ta cã: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + A=

x( x + 1) . Tõ ®ã tÝnh ®−îc: 2

P (5) − 2 P (6) = P (7)

Bµi 6: Cho ®a thøc f(x) bËc 3 víi hÖ sè cña x3 lµ k, k ∈ Z tho¶ m·n: f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chøng minh r»ng: f(2001) - f(1998) lµ hîp sè.

H.DÉn: * T×m ®a thøc phô: ®Æt g(x) = f(x) + (ax + b). T×m a, b ®Ó g(1999) = g(2000) = 0 1999 a + b + 2000 = 0  a = −1 ⇒ g(x) = f(x) - x - 1 ⇔  ⇔   2000 a + b + 2001 = 0 b = −1

* TÝnh gi¸ trÞ cña f(x): - Do bËc cña f(x) lµ 3 nªn bËc cña g(x) lµ 3 vµ g(x) chia hÕt cho: (x - 1999), (x - 2000) nªn: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) ⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1.

Tõ ®ã tÝnh ®−îc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) lµ hîp sè.

2

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 7: Cho ®a thøc f(x) bËc 4, hÖ sè cña bËc cao nhÊt lµ 1 vµ tho¶ m·n: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. TÝnh gi¸ trÞ A = f(-2) + 7f(6) = ?

H.DÉn: - §Æt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. T×m a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0

⇒ a, b, c lµ

nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh:

a + b + c + 3 = 0  9a + 3b + c + 11 = 0  25a + 5b + c + 27 = 0

a = −1  ⇒ b»ng MTBT ta gi¶i ®−îc:  b = 0 c = −2 

⇒ g(x) = f(x) - x2 - 2 - V× f(x) bËc 4 nªn g(x) còng cã bËc lµ 4 vµ g(x) chia hÕt cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vËy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 + 2.

Ta tÝnh ®−îc: A = f(-2) + 7f(6) = Bµi 8: Cho ®a thøc f(x) bËc 3. BiÕt f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.

T×m f(10) = ? (§Ò thi HSG CHDC §øc) H.DÉn: - Gi¶ sö f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. V× f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nªn: d = 10 a + b + c + d = 12   8a + 4b + 2c + d = 4 27 a + 9b + 3c + d = 1 lÊy 3 ph−¬ng tr×nh cuèi lÇn l−ît trõ cho ph−¬ng tr×nh ®Çu vµ gi¶i hÖ gåm 3 ph−¬ng tr×nh Èn a, b, c 5 25 trªn MTBT cho ta kÕt qu¶: a = ; b = − ; c = 12; d = 10 2 2

⇒ f ( x) =

5 3 25 2 x − x + 12 x + 10 ⇒ f (10) = 2 2

Bµi 9: Cho ®a thøc f(x) bËc 3 biÕt r»ng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) ®Òu ®−îc d− lµ 6 vµ f(-1) = -18. TÝnh f(2005) = ?

H.DÉn: - Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: f(1) = f(2) = f(3) = 6 vµ cã f(-1) = -18 - Gi¶i t−¬ng tù nh− bµi 8, ta cã f(x) = x3 - 6x2 + 11x Tõ ®ã tÝnh ®−îc f(2005) =

3

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 10: Cho ®a thøc P ( x) =

1 9 1 7 13 5 82 3 32 x − x + x − x + x 630 21 30 63 35

a) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4. b) Chøng minh r»ng P(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn Gi¶i: a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 th× (tÝnh trªn m¸y) P(x) = 0 b) Do 630 = 2.5.7.9 vµ x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 lµ nghiÖm cña ®a thøc P(x) nªn P ( x) =

1 ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x − 1) x ( x + 1)( x + 2)( x + 3( x + 4) 2.5.7.9

V× gi÷a 9 sã nguyªn liªn tiÕp lu«n t×m ®−îc c¸c sè chia hÕt cho 2, 5, 7, 9 nªn víi mäi x nguyªn th× tÝch: ( x − 4)( x − 3)( x − 2)( x −1) x( x +1)( x + 2)(x + 3(x + 4) chia hÕt cho 2.5.7.9 (tÝch cña c¸c sè nguyªn tè cïng nhau). Chøng tá P(x) lµ sè nguyªn víi mäi x nguyªn.

4x Bµi 11: Cho hµm sè f ( x) = x . H·y tÝnh c¸c tæng sau: 4 +2 a)

 1   2   2001  S1 = f  + f   + ... + f    2002   2002   2002 

b)

π  S 2 = f  sin 2 2002 

2π   2  + f  sin 2002  

  2 2 0 0 1π   + ... + f  sin  2002   

H.DÉn: * Víi hµm sè f(x) ®· cho tr−íc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò sau: NÕu a + b = 1 th× f(a) + f(b) = 1 * ¸p dông bæ ®Ò trªn, ta cã: a)

  1 S1 =  f    2002

= 1 + ... + 1 +

  10 00   20 01   + f    + ... +  f    2002     2002

  10 02    100 1  + f   + f     2002    2002 

1 1 1  1  f   + f    = 10 00 + = 1 00 0, 5 2   2  2 2  

b) Ta cã sin 2 π

2002

= sin 2

  π S 2 = 2  f  sin 2 2 0 02  

2001π 1000π 1002 π , ..., sin 2 = sin 2 2002 2002 2002

2π   2  + f  sin 2002  

  π  = 2  f  sin2 + 2002   

. Do ®ã:

   2 1 0 0 0π   2 1 0 0 1π   + ... + f  sin  + f  sin  2 0 0 2   2002    

1000π     2 500π   f  sin2   + ... +  f  sin + 2002 2002     

501π    f  sin 2  + 2002   

π  f  sin 2  2 

  π  π    π     2 2 500π  2 500 = 2   f  sin 2  + f  cos   + ... +  f  sin  + f  cos    + f (1) 2002 2002 2002 2002           

= 2 [1 + 1 + ... + 1] +

4 2 2 = 1000 + = 1000 6 3 3

4

http://www.ebook.edu.vn

2. T×m th−¬ng vµ d− trong phÐp chia hai ®a thøc: Bµi to¸n 1: T×m d− trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (ax + b) C¸ch gi¶i:  b  b  −b  - Ta ph©n tÝch: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ⇒ P  −  = 0.Q  −  + r ⇒ r = P    a  a  a 

Bµi 12: T×m d− trong phÐp chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5) Gi¶i: 5 5 5 5 - Ta cã: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒ P   = 0.Q   + r ⇒ r = P   ⇒ r = P   2 2 2 2 5 TÝnh trªn m¸y ta ®−îc: r = P   = 2

Bµi to¸n 2: T×m th−¬ng vµ d− trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x + a) C¸ch gi¶i: - Dïng l−îc ®å Hoocner ®Ó t×m th−¬ng vµ d− trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x + a) Bµi 13: T×m th−¬ng vµ d− trong phÐp chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5) H.DÉn: - Sö dông l−îc ®å Hoocner, ta cã: 1 0 -2 -5 1 -5 23 * TÝnh trªn m¸y tÝnh c¸c gi¸ trÞ trªn nh− sau: (−) 5 SHIFT

STO

-3 -118

0 590

0 -2950

1 14751

-1 -73756

M

1 ×

ANPHA

M

+ 0 =

×

ANPHA

M

+

×

ANPHA

M

×

ANPHA

×

(-5) :

ghi ra giÊy -5

(23) :

ghi ra giÊy

- 3 =

(-118) :

ghi ra giÊy -118

M

+ 0 =

(590) :

ghi ra giÊy

ANPHA

M

+ 0 =

(-2950) :

×

ANPHA

M

+ 1 =

(14751) : ghi ra giÊy 14751

×

ANPHA

M

-

- 2 =

1 =

23

590

ghi ra giÊy -2950

(-73756) : ghi ra giÊy -73756

x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 Bµi to¸n 3: T×m th−¬ng vµ d− trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (ax +b)

5

http://www.ebook.edu.vn

C¸ch gi¶i: - §Ó t×m d−: ta gi¶i nh− bµi to¸n 1 - §Ó t×m hÖ sè cña ®a thøc th−¬ng: dïng l−îc ®å Hoocner ®Ó t×m th−¬ng trong phÐp chia ®a thøc P(x) cho (x +

b 1 ) sau ®ã nh©n vµo th−¬ng ®ã víi ta ®−îc ®a thøc th−¬ng cÇn t×m. a a

Bµi 14: T×m th−¬ng vµ d− trong phÐp chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1) Gi¶i: 1  - Thùc hiÖn phÐp chia P(x) cho  x −  , ta ®−îc: 2  1  5 7 1  P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 =  x −   x 2 + x −  + . Tõ ®ã ta ph©n tÝch: 2  2 4 8  1 1  5 7 1  P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2.  x −  . .  x 2 + x −  + 2 2  2 4 8  5 7 1 1 = (2x - 1).  x 2 + x −  + 4 8 8 2

Bµi 15: T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®a thøc P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hÕt cho Q(x) = 3x +2 H.DÉn: - Ph©n tÝch P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi ®ã: P(x) chia hÕt cho Q(x) = 3x + 2 khi vµ chØ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)  2  2 Ta cã: P1  −  + m = 0 ⇒ m = − P1  −   3  3

TÝnh trªn m¸y gi¸ trÞ cña ®a thøc P1(x) t¹i x = −

2 ta ®−îc m = 3

Bµi 16: Cho hai ®a thøc P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. T×m m, n ®Ó hai ®a thøc trªn cã nghiÖm chung x0 =

1 2

H.DÉn: x0 =

1 1 lµ nghiÖm cña P(x) th× m = − P1   , víi P1(x) = 3x2 - 4x + 5 2 2

x0 =

1 1 lµ nghiÖm cña Q(x) th× n = −Q1   , víi Q1(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7.

2 2

1 TÝnh trªn m¸y ta ®−îc: m = − P1   = 2

1 ;n = −Q1   = 2

6

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 17: Cho hai ®a thøc P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n. a) T×m m, n ®Ó P(x), Q(x) chia hÕt cho (x - 2) b) XÐt ®a thøc R(x) = P(x) - Q(x). Víi gi¸ trÞ m, n võa t×m chøng tá r»ng ®a thøc R(x) chØ cã duy nhÊt mét nghiÖm.

H.DÉn: a) Gi¶i t−¬ng tù bµi 16, ta cã: m =

;n =

b) P(x) ⋮ (x - 2) vµ Q(x) ⋮ (x - 2) ⇒ R(x) ⋮ (x - 2) Ta l¹i cã: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), v× x2 + x + 3 > 0 víi mäi x nªn R(x) chØ cã mét nghiÖm x = 2.

Bµi 18: Chia x8 cho x + 0,5 ®−îc th−¬ng q1(x) d− r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 ®−îc th−¬ng q2(x) d− r2.

T×m r2 ?

H.DÉn: - Ta ph©n tÝch:

x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2

- Dïng l−îc ®å Hoocner, ta tÝnh ®−îc hÖ sè cña c¸c ®a thøc q1(x), q2(x) vµ c¸c sè d− r1, r2: 1

0

0

0

0

0

0

0

−

1 2

1

−

1 2

1 4

−

1 8

1 16

−

1 32

1 64

−

−

1 2

1

-1

3 4

−

1 2

5 16

−

3 16

7 64

−

VËy: r2 = −

1 128

0 1 256

1 16

1 16

7

http://www.ebook.edu.vn

PhÇn II: C¸c bµi to¸n vÒ D·y sè M¸y tÝnh ®iÖn tö Casio fx - 570 MS cã nhiÒu ®Æc ®iÓm −u viÖt h¬n c¸c MTBT kh¸c. Sö dông MT§T Casio fx - 570 MS lËp tr×nh tÝnh c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè lµ mét vÝ dô. NÕu biÕt c¸ch sö dông ®óng, hîp lý mét quy tr×nh bÊm phÝm sÏ cho kÕt qu¶ nhanh, chÝnh x¸c. Ngoµi viÖc MTBT gióp cho viÖc gi¶m ®¸ng kÓ thêi gian tÝnh to¸n trong mét giê häc mµ tõ kÕt qu¶ tÝnh to¸n ®ã ta cã thÓ dù ®o¸n, −íc ®o¸n vÒ c¸c tÝnh chÊt cña d·y sè

(tÝnh ®¬n ®iÖu, bÞ chÆn...), dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng

tæng qu¸t cña d·y sè, tÝnh héi tô, giíi h¹n cña d·y...tõ ®ã gióp cho viÖc ph¸t hiÖn, t×m kiÕm c¸ch gi¶i bµi to¸n mét c¸ch s¸ng t¹o. ViÖc biÕt c¸ch lËp ra quy tr×nh ®Ó tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè cßn h×nh thµnh cho häc sinh nh÷ng kü n¨ng, t− duy thuËt to¸n rÊt gÇn víi lËp tr×nh trong tin häc.

Sau ®©y lµ mét sè quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña mét sè d¹ng d·y sè th−êng gÆp trong ch−¬ng tr×nh, trong ngo¹i kho¸ vµ thi gi¶i To¸n b»ng MTBT: I/ LËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d·y sè: 1) D"y sè cho bëi c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:

un = f(n), n ∈ N*

trong ®ã f(n) lµ biÓu thøc cña n cho tr−íc.

C¸ch lËp quy tr×nh: - Ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí A :

1 SHIFT

- LËp c«ng thøc tÝnh f(A) vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí : - LÆp dÊu b»ng:

A

STO A =

A

+ 1

= ... = ...

Gi¶i thÝch: 1 SHIFT f(A)

:

STO A A

=

A

: ghi gi¸ trÞ n = 1 vµo « nhí A + 1 : tÝnh un = f(n) t¹i gi¸ trÞ A (khi bÊm dÊu b»ng thø lÇn nhÊt) vµ thùc

hiÖn g¸n gi¸ trÞ « nhí A thªm 1 ®¬n vÞ: A = A + 1 (khi bÊm dÊu b»ng lÇn thø hai). * C«ng thøc ®−îc lÆp l¹i mçi khi Ên dÊu =

8

http://www.ebook.edu.vn

VÝ dô 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi: n n 1  1 + 5   1 − 5    un =  −   ; n = 1, 2,3...

5  2   2    

Gi¶i: - Ta lËp quy tr×nh tÝnh un nh− sau: 1 SHIFT

STO A

( 1 ÷

5 )

(

5 )

÷ 2 )

∧

A

(

( 1 +

ANPHA

A )

5 )

÷ 2 )

ANPHA

:

∧

A

- (

( 1 -

ANPHA

=

ANPHA

ANPHA

ANPHA

A

+ 1=

- LÆp l¹i phÝm: = ... = ...

Ta ®−îc kÕt qu¶: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21, u9 = 34, u10 = 55.

2) D"y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:

 u1 = a   un+1 = f(un ) ; n ∈ N*

trong ®ã f(un) lµ biÓu thøc cña un cho tr−íc.

C¸ch lËp quy tr×nh: - NhËp gi¸ trÞ cña sè h¹ng u1: a = - NhËp biÓu thøc cña un+1 = f(un) : ( trong biÓu thøc cña un+1 chç nµo cã un ta nhËp b»ng ANS ) - LÆp dÊu b»ng: = Gi¶i thÝch: - Khi bÊm: a = mµn h×nh hiÖn u1 = a vµ l−u kÕt qu¶ nµy - Khi nhËp biÓu thøc f(un) bëi phÝm ANS , bÊm dÊu = lÇn thø nhÊt m¸y sÏ thùc hiÖn tÝnh u2 = f(u1) vµ l¹i l−u kÕt qu¶ nµy.

- TiÕp tôc bÊm dÊu = ta lÇn l−ît ®−îc c¸c sè h¹ng cña d·y sè u3, u4...

VÝ dô 1: T×m 20 sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (un) cho bëi:

9

http://www.ebook.edu.vn

 u1 = 1  un + 2  = u , n∈ N * n 1 +  un + 1 

Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh− sau: 1 = (

(u1) ÷

ANS + 2 )

(

ANS + 1 )

=

(u2)

= ... =

- Ta ®−îc c¸c gi¸ trÞ gÇn ®óng víi 9 ch÷ sè thËp ph©n sau dÊu ph¶y: u1 = 1

u8 = 1,414215686

u2 = 1,5

u9 = 1,414213198

u3 = 1,4

u10 = 1,414213625

u4 = 1,416666667

u11 = 1,414213552

u5 = 1,413793103

u12 = 1,414213564

u6 = 1,414285714

u13 = 1,414213562

u7 = 1,414201183

u14 =...= u20 = 1,414213562

VÝ dô 2: Cho d·y sè ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

 u1 = 3 3  3 3  u n +1 = ( u n ) , n ∈ N * T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó un lµ sè nguyªn.

Gi¶i: - LËp quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh c¸c sè h¹ng cña d·y sè nh− sau: 3

SHIFT ANS =

=

∧

3 =

(u1)

SHIFT

3

3 =

(u2)

(u4 = 3)

VËy n = 4 lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt ®Ó u4 = 3 lµ sè nguyªn.

3) D"y sè cho bëi hÖ thøc truy håi d¹ng:

 u1 = a, u2 = b 10   un+2 = Au n+1+ Bu n + C ; n ∈ N*

http://www.ebook.edu.vn

C¸ch lËp quy tr×nh: * C¸ch 1: BÊm phÝm: b SHIFT

STO A

× A + B × a + C SHIFT

STO B

Vµ lÆp l¹i d·y phÝm: × A +

ANPHA A

× B + C SHIFT

STO A

× A +

ANPHA B

× B + C SHIFT

STO B

Gi¶i thÝch: Sau khi thùc hiÖn b SHIFT

STO A

× A + B × a + C SHIFT

STO B

trong « nhí A lµ u2 = b, m¸y tÝnh tæng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C vµ ®Èy vµo trong « nhí B , trªn mµn h×nh lµ: u3 : = Au2 + Bu1 + C Sau khi thùc hiÖn: × A +

ANPHA

A

× B + C SHIFT

STO

A m¸y tÝnh tæng u4 :=

Au3 + Bu2 + C vµ ®−a vµo « nhí A . Nh− vËy khi ®ã ta cã u4 trªn mµn h×nh vµ trong « nhí A (trong « nhí B vÉn lµ u3).

Sau khi thùc hiÖn: × A +

ANPHA

B

× B + C SHIFT

STO

B m¸y tÝnh tæng u5 :=

Au4 + Bu3 + C vµ ®−a vµo « nhí B . Nh− vËy khi ®ã ta cã u5 trªn mµn h×nh vµ trong « nhí B (trong « nhí A vÉn lµ u4).

TiÕp tôc vßng lÆp ta ®−îc d·y sè un+2 = Aun+1 + Bun + C *NhËn xÐt: Trong c¸ch lËp quy tr×nh trªn, ta cã thÓ sö dông chøc n¨ng COPY ®Ó lËp l¹i d·y lÆp bëi quy tr×nh sau (gi¶m ®−îc 10 lÇn bÊm phÝm mçi khi t×m mét sè h¹ng cña d·y sè), thùc hiÖn quy tr×nh sau: BÊm phÝm: b SHIFT

∆

STO A

× A + B × a + C SHIFT

STO B

× A +

ANPHA A

× B + C SHIFT

STO A

× A +

ANPHA B

× B + C SHIFT

STO B

SHIFT

COPY

LÆp dÊu b»ng: = ... = ... * C¸ch 2: Sö dông c¸ch lËp c«ng thøc BÊm phÝm:

a SHIFT

11

http://www.ebook.edu.vn

A b SHIFT

STO B

ANPHA C

ANPHA = A ANPHA B

+ B ANPHA A

ANPHA

:

ANPHA A

ANPHA =

ANPHA B

ANPHA

:

ANPHA B

ANPHA =

ANPHA C

+ C

LÆp dÊu b»ng: = ... = ...

VÝ dô : Cho d·y sè ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

 u 1 = 1, u 2 = 2   u n+2 = 3u n+1+ 4 u n + 5 ; n ∈ N* H·y lËp quy tr×nh tÝnh un.

Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: 2 SHIFT

STO A

× 3 + 4 × 1 + 5 SHIFT

STO B

× 3 +

ANPHA A

× 4 + 5 SHIFT

STO A

× 3 +

ANPHA B

× 4 + 5 SHIFT

STO B

∆

SHIFT

COPY

= ... = ...

ta ®−îc d·y: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671...

HoÆc cã thÓ thùc hiÖn quy tr×nh: 1 SHIFT

STO A 2 SHIFT

STO B

ANPHA C

ANPHA = 3 ANPHA B

+ 4 ANPHA A

ANPHA

:

ANPHA A

ANPHA =

ANPHA B

ANPHA

:

ANPHA B

ANPHA =

ANPHA C

+ 5

= ... = ...

ta còng ®−îc kÕt qu¶ nh− trªn.

12

http://www.ebook.edu.vn

4) D"y sè cho bëi hÖ thøc truy håi víi hÖ sè biÕn thiªn d¹ng: Trong ®ã f ({ n, un } ) lµ kÝ hiÖu cña biÓu thøc un+1 tÝnh theo un vµ n.

 u1 = a   un+1 = f ( { n, un } ) ; n ∈ N* * ThuËt to¸n ®Ó lËp quy tr×nh tÝnh sè h¹ng cña d"y: - Sö dông 3 « nhí:

A : chøa gi¸ trÞ cña n B : chøa gi¸ trÞ cña un C : chøa gi¸ trÞ cña un+1

- LËp c«ng thøc tÝnh un+1 thùc hiÖn g¸n A : = A + 1 vµ B := C ®Ó tÝnh sè h¹ng tiÕp theo cña d·y - LÆp phÝm : = VÝ dô : Cho d·y sè ®−îc x¸c ®Þnh bëi:

 u1 = 0   n  u n+1 = n+1 ( u n +1 ) ; n ∈ N* H·y lËp quy tr×nh tÝnh un.

Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: 1 SHIFT

STO A

ANPHA C ×

(

ANPHA =

ANPHA B

ANPHA A

0 SHIFT

+ 1 )

STO B

(

÷

ANPHA A ANPHA

+ 1 ANPHA

:

3 , 2

5 , 2

:

(

ANPHA A

ANPHA A

ANPHA B

+ 1 ) )

ANPHA =

ANPHA =

ANPHA C

= ... = ...

ta ®−îc d·y:

1 , 2

1,

2,

3,

7 ,...

2

II/ Sö dông MTBT trong viÖc gi¶i mét sè d¹ng to¸n vÒ d·y sè:

13

http://www.ebook.edu.vn

1). LËp c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t: Ph−¬ng ph¸p gi¶i: - LËp quy tr×nh trªn MTBT ®Ó tÝnh mét sè sè h¹ng cña d·y sè - T×m quy luËt cho d·y sè, dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t - Chøng minh c«ng thøc t×m ®−îc b»ng quy n¹p  a1 = 0  n ( n + 1)  a = ( a n + 1) ; 1 n +  ( n + 2)( n + 3) 

VÝ dô 1: T×m a2004 biÕt:

Gi¶i:

n∈ N *

- Tr−íc hÕt ta tÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an), quy tr×nh sau: 1

STO A 0 SHIFT

SHIFT

ANPHA C ÷ (

(

(

ANPHA =

B

ANPHA A

+ 2 )

ANPHA A

ANPHA

STO B

+1 )

ANPHA

(

ANPHA A

ANPHA A :

ANPHA

ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA B

- Ta ®−îc d·y:

(

+ 3 ) A

+ 1 ) )

×

ANPHA =

ANPHA = ANPHA C

1 7 27 11 13 9 , , , , , , ...

6 20 50 15 14 8

- Tõ ®ã ph©n tÝch c¸c sè h¹ng ®Ó t×m quy luËt cho d·y trªn: a1 = 0 a2 =

1 5 1.5 = = 6 30 3.10

a3 =

7 2.7 2.7 = = 20 40 4.10

a4 =

27 3.9 = 50 5.10

... ⇒ a2004 =

  ⇒ dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:   ( n − 1)(2 n + 1) a =  10( n + 1)   chøng minh c«ng thøc (1) ®óng * DÔ dµng  víi mäi n ∈ N b»ng quy n¹p.  n

(1)

*

2003.4009 20050

14

http://www.ebook.edu.vn

 a1 = 1, a2 = 3  *  an + 2 = 2 an − a n + 1 ; n ∈ N

VÝ dô 2: XÐt d·y sè:

Chøng minh r»ng sè A = 4an.an+2 + 1 lµ sè chÝnh ph−¬ng.

Gi¶i: - TÝnh mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y (an) b»ng quy tr×nh: 3 SHIFT

STO A

× 2 - 1 + 1 SHIFT

STO B

× 2 -

ANPHA A

+ 1 SHIFT

STO A

× 2 -

ANPHA B

+ 1 SHIFT

STO B

∆

SHIFT

COPY

= ... = ...

- Ta ®−îc d·y: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

- T×m quy luËt cho d·y sè: 1(1 + 1) 2 2(2 + 1) a2 = 3 = 2 3(3 + 1) a3 = 6 = 2 4(4 + 1) a4 = 10 = 2 5(5 + 1) a5 = 15 = 2

a1 = 1 =

...

  ⇒ dù ®o¸n c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t:   n(n + 1) a = (1)  2  * Ta hoµn toµn chøng minh c«ng thøc (1)  ®óng víi mäi n ∈ N  n

*

Tõ ®ã: A = 4an.an+2 + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2. ⇒ A lµ mét sè chÝnh ph−¬ng.

C¸ch gi¶i kh¸c: Tõ kÕt qu¶ t×m ®−îc mét sè sè h¹ng ®Çu cña d·y,ta thÊy: - Víi n = 1 th× A = 4a1.a3 + 1 = 4.1.6 + 1 = 25 = (2a2 - 1)2 - Víi n = 2 th× A = 4a2.a4 + 1 = 4.3.10 + 1 = 121 = (2a3 - 1)2 - Víi n = 3 th× A = 4a3.a5 + 1 = 4.6.15 + 1 = 361 = (2a4 - 1)2 Tõ ®ã ta chøng minh A = 4an.an+2 + 1 = (2an+1 - 1)2

(*)

B»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹p ta còng dÔ dµng chøng minh ®−îc (*).

2). Dù ®o¸n giíi h¹n cña d"y sè:

15

http://www.ebook.edu.vn

2.1. XÐt tÝnh héi tô cña d·y sè: B»ng c¸ch sö dung MTBT cho phÐp ta tÝnh ®−îc nhiÒu sè h¹ng cña d·y sè mét c¸ch nhanh chãng.

BiÓu diÔn d·y ®iÓm c¸c sè h¹ng cña d·y sè sÏ gióp cho ta trùc quan tèt vÒ sù héi tô cña d·y sè, tõ ®ã h×nh thµnh nªn c¸ch gi¶i cña bµi to¸n.

VÝ dô 1: XÐt sù héi tô cña d·y sè (an):

an = Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: MODE 4 2 sin

(

1 SHIFT ANPHA A

ANPHA

:

sin( n ) ; n +1

n∈ N *

STO A ÷

)

ANPHA A

(

ANPHA A

ANPHA =

+ 1 )

ANPHA A

+ 1

= ... = ...

ta ®−îc kÕt qu¶ sau (®é chÝnh x¸c 10-9): n

an

n

an

n

an

n

an

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,420735492 0,303099142 0,035280002 -0,151360499 -0,159820712 -0,039916499 0,082123324 0,109928694 0,041211848 -0,049456464 -0,083332517 -0,041274839

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0,030011931 0,06604049 0,04064299 -0,016935489 -0,053410971 -0,039525644 0,00749386 0,043473583 0,038029801 -0,000384839 -0,035259183 -0,036223134

25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

-0,005090451 0,028242905 0,034156283 0,009341578 -0,022121129 -0,031871987 -0,012626176 0,016709899 0,029409172 0,015116648 -0,011893963 -0,026804833

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

-0,016935214 0,007599194 0,024094884 0,018173491 -0,00377673 -0,021314454 -0,018903971 0,000393376 0,018497902 0,019186986 0,00257444 -0,015678666

- BiÓu diÔn ®iÓm trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é (n ; an): an

n

Dùa vµo sù biÓu diÔn trªn gióp cho ta rót ra nhËn xÐt khi n cµng lín th× an cµng gÇn 0 (an→ 0) vµ ®ã chÝnh lµ b¶n chÊt cña d·y héi tô ®Õn sè 0.

16

http://www.ebook.edu.vn

2.2. Dù ®o¸n giíi h¹n cña d·y sè: VÝ dô 1: Chøng minh r»ng d·y sè (un), (n = 1, 2, 3...) x¸c ®Þnh bëi:

 u1 = 2   un +1 = 2 + un ; n ∈ N * cã giíi h¹n. T×m giíi h¹n ®ã.

Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: 2 = ( 2 +

ANS

)

= ... = ...

ta ®−îc kÕt qu¶ sau (®é chÝnh x¸c 10-9): n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

un 1,414213562 1,847759065 1,961570561 1,990369453 1,997590912 1,999397637 1,999849404 1,999962351 1,999990588 1,999997647

n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

un 1,999999412 1,999999853 1,999999963 1,999999991 1,999999998 1,999999999 2,000000000 2,000000000 2,000000000 2,000000000

Dùa vµo kÕt qu¶ trªn ta nhËn xÐt ®−îc: 1) D·y sè (un) lµ d·y t¨ng 2) Dù ®o¸n giíi h¹n cña d·y sè b»ng 2 Chøng minh nhËn ®Þnh trªn: + B»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹p ta chøng minh ®−îc d·y sè (un) t¨ng vµ bÞ chÆn giíi h¹n.

⇒ d·y (un) cã

+ Gäi giíi h¹n ®ã lµ a: limun = a. LÊy giíi h¹n hai vÕ cña c«ng thøc truy håi x¸c ®Þnh d·y sè (un) ta ®−îc: a ≥ 0 limun = lim( 2 + un ) hay a = 2 + a ⇔  2 ⇔a=2 a 2 a = +  VËy: lim un = 2

17

http://www.ebook.edu.vn

VÝ dô 2: Cho d·y sè (xn), (n = 1, 2, 3...) x¸c ®Þnh bëi:  x1 = x2 = 1   2 2 2π  xn +1 = 5π xn +1 + 5 sin( xn ) , n ∈ N * Chøng minh r»ng d·y (xn) cã giíi h¹n vµ t×m giíi h¹n cña nã.

Gi¶i: - Thùc hiÖn quy tr×nh: MODE 4 2

1 SHIFT STO A

+

( 2 SHIFT π

x2

×

×

sin

x2

×

×

sin

∆

×

( 2 ÷ 5 SHIFT π

×

sin

÷ 5 )

( 2 ÷ 5 SHIFT π (

ANPHA A

)

)

SHIFT

( 2 ÷ 5 SHIFT π (

ANPHA B

SHIFT

+

)

)

+

SHIFT

( 1 )

SHIFT

( 2 SHIFT π

) STO B ÷ 5 )

STO A ( 2 SHIFT π

÷ 5 )

STO B

COPY

= ... = ...

ta tÝnh c¸c sè h¹ng ®Çu cña d·y sè (xn) vµ rót ra nh÷ng nhËn xÐt sau: 1) D·y sè (xn) lµ d·y kh«ng gi¶m 2) x50 = x51 =... = 1,570796327 (víi ®é chÝnh x¸c 10-9).

3) NÕu lÊy xi (i = 50, 51,...) trõ cho

π

⇒ dù ®o¸n giíi h¹n cña d·y sè b»ng

2

π 2

ta ®Òu nhËn ®−îc kÕt qu¶ lµ 0. .

Chøng minh nhËn ®Þnh trªn: + B»ng ph−¬ng ph¸p quy n¹p ta dÔ dµng chøng minh ®−îc xn∈ (0 ;

π 2

) vµ d·y (xn) kh«ng gi¶m ⇒

d·y (xn) cã giíi h¹n. + Gäi giíi h¹n ®ã b»ng a, ta cã:

a=

2 2 2π a + sin(a ) , (1).

5π 5

+ B»ng ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch (xÐt hµm sè f ( x) = =

π 2

2 2 2π sin( x) − x ) ta cã (1) cã nghiÖm lµ a x + 5π 5

.

VËy: lim xn =

π 2

.

18

http://www.ebook.edu.vn

3). Mét sè d¹ng bµi tËp sö dông trong ngo¹i kho¸ vµ thi gi¶i To¸n b»ng MTBT: Bµi 1: Cho d·y sè (un), (n = 0, 1, 2,...):

(2 + 3 ) − (2 − 3 ) = n

un

n

2 3

a) Chøng minh un nguyªn víi mäi n tù nhiªn. b) T×m tÊt c¶ n nguyªn ®Ó un chia hÕt cho 3.

Bµi 2: Cho d·y sè (an) ®−îc x¸c ®Þnh bëi:  a o = 2  2  a n +1 = 4 a n + 15 a n − 60 ,

n∈ N *

a) X¸c ®Þnh c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t an.

1 b) Chøng minh r»ng sè: A = ( a2 n + 8 ) biÓu diÔn ®−îc d−íi d¹ng tæng b×nh ph−¬ng cña 3 sè 5 nguyªn liªn tiÕp víi mäi n ≥ 1.

Bµi 3: Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi:

uo = 0, u1 = 1  un + 2 = 1999un+1 − un , n ∈ N T×m tÊt c¶ sè tù nhiªn n sao cho un lµ sè nguyªn tè.

Bµi 4: Cho d·y sè (an) x¸c ®Þnh bëi:  a1 = 5, a 2 = 11   a n +1 = 2 a n − 3a n −1 ,

n ≥ 2, n ∈ N

Chøng minh r»ng: a) D·y sè trªn cã v« sè sè d−¬ng, sè ©m. b) a2002 chia hÕt cho 11.

Bµi 5: Cho d·y sè (an) x¸c ®Þnh bëi:  a1 = a 2 = 1  a n2−1 + 2  , a = n  an− 2 

n ≥ 3, n ∈ N

Chøng minh an nguyªn víi mäi n tù nhiªn.

Bµi 6: D·y sè (an) ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc:

(

)

n n n an =  2 + 3  , n ∈ N * ; (kÝ hiÖu ( 2 + 3 )  lµ phÇn nguyªn cña sè ( 2 + 3 ) ).    

Chøng minh r»ng d·y (an) lµ d·y c¸c sè nguyªn lÎ.

19

http://www.ebook.edu.vn

PhÇn III: C¸c bµi to¸n vÒ sè 1. TÝnh to¸n trªn m¸y kÕt hîp trªn giÊy: Bµi 1: a) Nªu mét ph−¬ng ph¸p (kÕt hîp trªn m¸y vµ trªn giÊy) tÝnh chÝnh x¸c kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh sau: A = 12578963 x 14375 b) TÝnh chÝnh x¸c A c) TÝnh chÝnh x¸c cña sè: B = 1234567892 d) TÝnh chÝnh x¸c cña sè: C = 10234563 Gi¶i: a) NÕu tÝnh trªn m¸y sÏ trµn mµn h×nh nªn ta lµm nh− sau: A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375 * TÝnh trªn m¸y: 12578.14375 = 180808750 ⇒ 12578.103.14375 = 180808750000 * TÝnh trªn m¸y: 963.14375 = 13843125 Tõ ®ã ta cã: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 (TÝnh trªn m¸y) HoÆc viÕt: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 vµ céng trªn m¸y: 808750000 + 13843125 = 822593125 ⇒ A = 180822593125 b) Gi¸ trÞ chÝnh x¸c cña A lµ: 180822593125 c) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892 TÝnh trªn m¸y: 123452

= 152399025

2x12345x6789 = 167620410 67892

=

46090521

VËy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521 = 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521= 15241578750190521 d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3 = 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563 TÝnh trªn m¸y: 10233

= 1070599167 2

3.1023 .456 3.1023.456 456

3

2

= 1431651672 =

638155584

=

94818816

VËy (tÝnh trªn giÊy): C = 1070599167000000000 + 1431651672000000 +

+ 638155584000

+ 94818816 = 1072031456922402816

20

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 2 (Thi gi¶i To¸n trªn MTBT khu vùc - N¨m häc 2003-2004) TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c tÝch sau: a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004 §¸p sè: a) M = 4938444443209829630

b) N = 401481484254012

Bµi 3: (Thi gi¶i To¸n trªn MTBT líp 12 tØnh Th¸i Nguyªn - N¨m häc 2003-2004) TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c phÐp tÝnh sau: a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 §¸p sè: a) A =

b) B =

Bµi 4: (Thi gi¶i To¸n trªn MTBT líp 10 + 11 tØnh Th¸i Nguyªn - N¨m häc 2003-2004) TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña phÐp tÝnh sau: A = 52906279178,48 : 565,432 §¸p sè:

A=

 1012 + 2  Bµi 5: TÝnh chÝnh x¸c cña sè A =    3 

2

Gi¶i: - Dïng m¸y tÝnh, tÝnh mét sè kÕt qu¶: 102 + 2 = 34 3

2

 102 + 2    = 1156  3 

vµ

2

103 + 2 = 334 vµ 3

 103 + 2    = 111556  3  2

 104 + 2  104 + 2 = 3334 vµ   = 11115556 3 3  

NhËn xÐt:

10k + 2 lµ sè nguyªn cã (k - 1) ch÷ sè 3, tËn cïng lµ sè 4 3 2

 10k + 2    lµ sè nguyªn gåm k ch÷ sè 1, (k - 1) ch÷ sè 5, ch÷ sè cuèi cïng lµ 6  3 

* Ta dÔ dµng chøng minh ®−îc nhËn xÐt trªn lµ ®óng vµ do ®ã: A = 111111111111555555555556

21

http://www.ebook.edu.vn

2. T×m sè d− trong phÐp chia sè a cho sè b: §Þnh lÝ: Víi hai sè nguyªn bÊt kú a vµ b, b ≠ 0, lu«n tån t¹i duy nhÊt mét cÆp sè nguyªn q vµ r sao cho: a = bq + r vµ 0 ≤ r < |b| * Tõ ®Þnh lÝ trªn cho ta thuËt to¸n lËp quy tr×nh Ên phÝm t×m d− trong phÐp chia a cho b: + B−íc 1: §−a sè a vµo « nhí A , sè b vµo « nhí B + B−íc 2: Thùc hiÖn phÐp chia A cho B - q ×

+ B−íc 3: Thùc hiÖn A

{ghi nhí phÇn nguyªn q}

B =r

Bµi 5: a) ViÕt mét quy tr×nh Ên phÝm t×m sè d− khi chia 18901969 cho 3041975 b) TÝnh sè d− c) ViÕt quy tr×nh Ên phÝm ®Ó t×m sè d− khi chia 3523127 cho 2047. T×m sè d− ®ã.

Gi¶i: a) Quy tr×nh Ên phÝm: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B ANPHA A SHIFT

A

÷

ANPHA B

- 6 ×

B

=

=

(6,213716089)

(650119)

b) Sè d− lµ: r = 650119 c) T−¬ng tù quy tr×nh ë c©u a), ta ®−îc kÕt qu¶ lµ: r = 240 Bµi 6: (Thi gi¶i To¸n trªn MTBT líp 12 tØnh Th¸i Nguyªn - N¨m häc 2002-2003) T×m th−¬ng vµ sè d− trong phÐp chia: 123456789 cho 23456 §¸p sè: q = 5263; r = 7861 Bµi 7: (Thi gi¶i To¸n trªn MTBT líp 10 + 11 tØnh Th¸i Nguyªn - N¨m häc 2003-2004) T×m sè d− trong phÐp chia: a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004 H.DÉn: a) Sè d− lµ: r = 9 b) Ta ph©n tÝch: 815 = 88.87 - Thùc hiÖn phÐp chia 88 cho 2004 ®−îc sè d− lµ r1 = 1732 - Thùc hiÖn phÐp chia 87 cho 2004 ®−îc sè d− lµ r2 = 968 ⇒ Sè d− trong phÐp chia 815 cho 2004 lµ sè d− trong phÐp chia 1732 x 968 cho 2004 ⇒ Sè d− lµ: r = 1232

3. T×m −íc chung lín nhÊt (UCLN) vµ béi chung nhá nhÊt (BCNN):

22

http://www.ebook.edu.vn

Bæ ®Ò (c¬ së cña thuËt to¸n Euclide) NÕu a = bq + r th× (a, b) = (b, r) Tõ bæ ®Ò trªn, ta cã thuËt to¸n Euclide nh− sau (víi hai sè nguyªn d−¬ng a, b): - Chia a cho b, ta ®−îc th−¬ng q1 vµ d− r1: a = bq1 + r1 - Chia b cho r1, ta ®−îc th−¬ng q2 vµ d− r2: b = r1q2 + r2 - Chia r1 cho r2, ta ®−îc th−¬ng q3 vµ d− r3: r1 = r2q3 + r3 ....

TiÕp tôc qu¸ tr×nh trªn, ta ®−îc mét d·y gi¶m: b, r1, r2, r3... d·y nµy dÇn ®Õn 0, vµ ®ã lµ c¸c sè tù nhiªn nªn ta se thùc hiÖn kh«ng qu¸ b phÐp chia. ThuËt to¸n kÕt thóc sau mét sè h÷u h¹n b−íc vµ bæ ®Ò trªn cho ta: (a, b) = (b, r1) = ... rn §Þnh lÝ: NÕu x, y lµ hai sè nguyªn kh¸c 0, BCNN cña chóng lu«n lu«n tån t¹i vµ b»ng:

xy ( x, y ) Bµi 8: T×m UCLN cña hai sè: a = 24614205, b = 10719433 Gi¶i: * Thùc hiÖn trªn m¸y thuËt to¸n t×m sè d− trong phÐp chia sè a cho sè b, ta ®−îc: - Chia a cho b ®−îc:

24614205 = 10719433 x 2 + 3175339

- Chia 10719433 cho 3175339 ®−îc: 10719433 = 3175339 x 3 + 1193416 - Chia 3175339 cho 1193416 ®−îc:

3175339 = 1193416 x 2 + 788507

- Chia 1193416 cho 788507 ®−îc:

1193416 = 788507 x 1 + 404909

- Chia 788507 cho 404909 ®−îc:

788507 = 404909 x 1 + 383598

- Chia 404909 cho 383598 ®−îc:

404909 = 383598 x 1 + 21311

- Chia 383598 cho 21311 ®−îc:

383598 = 21311 x 18 + 0

⇒ UCLN(a, b) = 21311

Bµi 9: (Thi gi¶i To¸n trªn MTBT líp 10 + 11 tØnh Th¸i Nguyªn - N¨m häc 2003-2004) T×m −íc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt cña: a = 75125232 vµ b = 175429800 §¸p sè: UCLN(a, b) =

; BCNN(a, b) =

4. Mét sè bµi to¸n sö dông tÝnh tuÇn hoµn cña c¸c sè d− khi n©ng lªn luü thõa:

23

http://www.ebook.edu.vn

§Þnh lÝ: §èi víi c¸c sè tù nhiªn a vµ m tuú ý, c¸c sè d− cña phÐp chia a, a2, a3, a4... cho m lÆp l¹i mét c¸ch tuÇn hoµn (cã thÓ kh«ng b¾t ®Çu tõ ®Çu).

Chøng minh. Ta lÊy m + 1 luü thõa ®Çu tiªn: a, a2, a3, a4..., am, am+1 vµ xÐt c¸c sè d− cña chóng khi chia cho m. V× khi chia cho m chØ cã thÓ cã c¸c sè d− {0, 1, 2, ..., m - 2, m - 1}, mµ l¹i cã m + 1 sè, nªn trong c¸c sè trªn ph¶i cã hai sè cã cïng sè d− khi chia cho m.

Ch¼ng h¹n hai sè ®ã lµ ak vµ ak + l, trong ®ã l > 0.

Khi ®ã: ak ≡ ak + l (mod m)

(1)

Víi mäi n ≥ k nh©n c¶ hai vÕ cña phÐp ®ång d− (1) víi an - k sÏ ®−îc: an ≡ an + l (mod m) §iÒu nµy chøng tá r»ng b¾t ®Çu tõ vÞ trÝ t−¬ng øng víi ak c¸c sè d− lÆp l¹i tuÇn hoµn.

Sè l ®−îc gäi lµ chu kú tuÇn hoµn cña c¸c sè d− khi chia luü thõa cña a cho m.

Sau ®©y ta xÐt mét sè d¹ng bµi tËp sö dông ®Þnh lÝ trªn: Bµi to¸n: XÐt c¸c luü thõa liªn tiÕp cña sè 2: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,...

T×m xem khi chia c¸c luü thõa nµy cho 5 nhËn ®−îc c¸c lo¹i sè d− nµo ?

Gi¶i: Ta cã: 21 = 2,

23 = 8 ≡ 3 (mod 5),

22 = 4,

24 = 16 ≡ 1 (mod 5)

(1)

5

§Ó t×m sè d− khi chia 2 cho 5 ta nh©n c¶ hai vÕ phÐp ®ång d− (1) víi 2 sÏ ®−îc: 25 = 24.2 ≡ 1x2 ≡ 2 (mod 5) 26 = 25.2 ≡ 2x2 ≡ 4 (mod 5) 27 = 26.2 ≡ 4x2 ≡ 3 (mod 5) ...

Ta viÕt kÕt qu¶ vµo hai hµng: hµng trªn ghi c¸c luü thõa, hµng d−íi ghi sè d− t−¬ng øng khi chia c¸c luü thõa nµy cho 5: 21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

211

...

(2

4

3

1)

(2

4

3

1)

(2

4

3

...

⇒ hµng thø hai cho ta thÊy r»ng c¸c sè d− lËp l¹i mét c¸ch tuÇn hoµn: sau 4 sè d− (2, 4, 3, 1) l¹i lÆp

l¹i theo ®óng thø tù trªn.

Bµi 10: T×m sè d− khi chia 22005 cho 5 Gi¶i:

24

http://www.ebook.edu.vn

* ¸p dông kÕt qu¶ trªn: ta cã 2005 ≡ 1 (mod 4) ⇒ sè d− khi chia 22005 cho 5 lµ 2 4

Bµi 11: T×m ch÷ sè cuèi cïng cña sè: 23 Gi¶i:

- XÐt c¸c luü thõa cña 2 khi chia cho 10 (sö dông MTBT ®Ó tÝnh c¸c luü thõa cña 2, ta thùc hiÖn theo quy tr×nh sau: 1 SHIFT STO A 2 ∧ ANPHA

:

ANPHA A

ANPHA A

ANPHA =

+ 1 =

ANPHA A

= ...)

ta ®−îc kÕt qu¶ sau: 21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

211

...

(2

4

8

6)

(2

4

8

6)

(2

4

8

...

⇒ hµng thø hai cho ta thÊy r»ng c¸c sè d− lÆp l¹i tuÇn hoµn chu kú 4 sè (2, 4, 8, 6)

ta cã 34 = 81 ≡ 1 (mod 4) ⇒ sè d− khi chia 23 cho 10 lµ 2 4

4

VËy ch÷ sè cuèi cïng cña sè 23 lµ 2.

Bµi 12: T×m hai ch÷ sè cuèi cïng cña sè: A = 21999 + 22000 + 22001 Gi¶i: XÐt c¸c luü thõa cña 2 khi chia cho 100 (sö dông MTBT ®Ó tÝnh c¸c luü thõa cña 2, thùc hiÖn theo quy tr×nh nh− bµi 11), ta ®−îc kÕt qu¶ sau: 21

22

23

24

25

26

27

28

29

210

211

212

2

(4

8

16

32

64

28

56

12

24

48

96

213

214

215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

92

84

68

36

72

44

88

76

52)

(4

8

16

⇒ c¸c sè d− lÆp l¹i tuÇn hoµn chu kú 20 sè (tõ sè 4 ®Õn sè 52). Ta cã:

1999 ≡ 19 (mod 20) ⇒ sè d− khi chia 21999 cho 100 lµ 88 2000 ≡ 0 (mod 20) ⇒ sè d− khi chia 22000 cho 100 lµ 76 2001 ≡ 1 (mod 20) ⇒ sè d− khi chia 22001 cho 100 lµ 52 88 + 76 + 52 = 216 ≡ 16 (mod 100) ⇒ sè d− cña A = 21999 + 22000 + 22001 khi chia cho 100 lµ 16 hay hai ch÷ sè cuèi cïng cña sè A lµ 16.

25

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 13: Chøng minh r»ng (148 )

2004

+10 chia hÕt cho 11

Gi¶i: - Ta cã: 14 ≡ 3 (mod 11) ⇒ (148 )

2004

Do 38 = 6561 ≡ 5 (mod 11), nªn ( 38 )

≡ ( 38 ) 2004

2004

(mod 11)

= 65612004 ≡ 52004 (mod 11)

XÐt sù tuÇn hoµn cña c¸c sè d− khi chia luü thõa cña 5 cho 11: 51

52

53

54

55

56

57

58

...

(5

4

9

1)

(5

4

9

1)

...

⇒ 52004 = (54)501 ≡ 1501 (mod 11) ≡ 1 (mod 11)

MÆt kh¸c: 10 ≡ 10 (mod 11)

(1)

(2)

Céng vÕ víi vÕ phÐp ®ång d− (1) vµ (2) cã:

148

2004

+10 ≡ 11 (mod 11) ≡ 0 (mod 11) ⇒ 148

2004

+10 chia hÕt cho 11.

Bµi 14: Chøng minh r»ng sè 222555 + 555222 chia hÕt cho 7.

Gi¶i: 1) Tr−íc hÕt t×m sè d− cña phÐp chia 222555 cho 7: - V× 222 = 7 x 31 + 5, nªn 222 ≡ 5 (mod 7) ⇒ 222555 ≡ 5555 (mod 7) - XÐt sù tuÇn hoµn cña c¸c sè d− khi chia luü thõa cña 5 cho 7: 51

52

53

54

55

56

57

58

...

(5

4

6

2

3

1)

(5

4

...

⇒ 5555 = 56.92 + 3 = (56)92.53 ≡ 53 ≡ 6 (mod 7)

(1)

VËy sè d− khi chia 222555 cho 7 lµ 6.

2) T−¬ng tù, t×m sè d− cña phÐp chia 555222 cho 7: - V× 555 = 7 x 79 + 2, nªn 555 ≡ 2 (mod 7) ⇒ 555222 ≡ 2222 (mod 7) - XÐt sù tuÇn hoµn cña c¸c sè d− khi chia luü thõa cña 2 cho 7: 21

22

23

24

25

26

27

28

...

(2

4

1

2

4)

(2

4

1

...

⇒ 2222 = 23.74 = (23)74 ≡ 174 ≡ 1 (mod 7)

(2)

VËy sè d− khi chia 555222 cho 7 lµ 1.

Céng vÕ víi vÕ c¸c phÐp ®ång d− (1) vµ (2), ta ®−îc: 222555 + 555222 ≡ 6 + 1 ≡ 0 (mod 7) VËy sè 222555 + 555222 chia hÕt cho 7.

26

http://www.ebook.edu.vn

5. Sè nguyªn tè: §Þnh lÝ 1 (§Þnh lÝ c¬ b¶n vÒ sè nguyªn tè): Mäi sè nguyªn d−¬ng n, n > 1, ®Òu cã thÓ ®−îc viÕt mét c¸ch duy nhÊt (kh«ng tÝnh ®Õn viÖc s¾p xÕp c¸c nh©n tö) d−íi d¹ng: n = p1e1 p2e2 ... pkek ,

víi k, ei lµ sè tù nhiªn vµ pi lµ c¸c sè nguyªn tè tho¶ m·n: 1 < p1 < p2 <...< pk Khi ®ã, d¹ng ph©n tÝch trªn ®−îc gäi lµ d¹ng ph©n tÝch chÝnh t¾c cña sè n.

Bµi 15: T×m c¸c −íc nguyªn tè nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña sè: A = 2152 + 3142 H. DÉn: - TÝnh trªn m¸y, ta cã: A = 144821 - §−a gi¸ trÞ cña sè A vµo « nhí A : 144821 SHIFT STO A - LÊy gi¸ trÞ cña « nhí A lÇn l−ît chia cho c¸c sè nguyªn tè tõ sè 2: ANPHA A

÷ 2 =

(72410,5)

ANPHA A

÷ 3 =

(48273,66667)

.... tiÕp tôc chia cho c¸c sè nguyªn tè: 5, 7, 11, 13,...,91: ta ®Òu nhËn ®−îc A kh«ng chia hÕt cho c¸c sè ®ã. LÊy A chia cho 97, ta ®−îc: ANPHA A

÷ 97 =

(1493)

VËy: 144821 = 97 x 1493 NhËn xÐt: NÕu mét sè n lµ hîp sè th× nã ph¶i cã −íc sè nguyªn tè nhá h¬n

n.

⇒ ®Ó kiÓm tra xem 1493 cã lµ hîp sè hay kh«ng ta chØ cÇn kiÓm tra xem 1493 cã chia hÕt cho sè

nguyªn tè nµo nhá h¬n 1493 < 40 hay kh«ng.

- Thùc hiÖn trªn m¸y ta cã kÕt qu¶ 1493 kh«ng chia hÕt cho c¸c sè nguyªn tè nhá h¬n 40 ⇒ 1493 lµ sè nguyªn tè.

VËy A = 2152 + 3142 cã −íc sè nguyªn tè nhá nhÊt lµ 97, lín nhÊt lµ 1493.

Bµi 15: T×m c¸c −íc nguyªn tè nhá nhÊt vµ lín nhÊt cña sè: A = 10001 §¸p sè: A cã −íc sè nguyªn tè nhá nhÊt lµ 73, lín nhÊt lµ 137

27

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 16: Sè N = 27.35.53 cã bao nhiªu −íc sè ?

Gi¶i: - Sè c¸c −íc sè cña N chØ chøa thõa sè: 2 lµ 7, 3 lµ 5, 5 lµ 3 - Sè c¸c −íc sè cña N chøa hai thõa sè nguyªn tè: 2 vµ 3 lµ: 7x5 = 35; 2 vµ 5 lµ: 7x3 = 21; 3 vµ 5 lµ: 5x3 = 15 - Sè c¸c −íc sè cña N chøa ba thõa sè nguyªn tè 2, 3, 5 lµ 7x5x3 = 105 Nh− vËy sè c¸c −íc sè cña N lµ: 7 + 5 + 3 + 35 + 21 + 15 + 105 + 1 = 192. §Þnh lÝ 2 (X¸c ®Þnh sè −íc sè cña mét sè tù nhiªn n): Cho sè tù nhiªn n, n > 1, gi¶ sö khi ph©n tÝch n ra thõa sè nguyªn tè ta ®−îc: n = p1e1 p2e2 ... pkek ,

víi k, ei lµ sè tù nhiªn vµ pi lµ c¸c sè nguyªn tè tho¶ m·n: 1 < p1 < p2 <...< pk Khi ®ã sè −íc sè cña n ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: τ (n) = (e1 + 1) (e2 + 1)... (ek + 1)

Bµi 17: (Thi gi¶i To¸n trªn MTBT líp 10 + 11 tØnh Th¸i Nguyªn - N¨m häc 2003-2004) H·y t×m sè c¸c −íc d−¬ng cña sè A = 6227020800.

Gi¶i: - Ph©n tÝch A ra thõa sè nguyªn tè, ta ®−îc: A = 210.35.52.7.11.13 ¸p dông ®Þnh lÝ trªn ta cã sè c¸c −íc d−¬ng cña A lµ:

τ (A) = 11.6.3.2.2.2 = 1584 Bµi 18: (§Ò thi chän ®éi tuyÓn tØnh Phó Thä tham gia k× thi khu vùc n¨m 2004): Cã bao nhiªu sè tù nhiªn lµ −íc cña: N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004 Gi¶i: - Ph©n tÝch N ra thõa sè nguyªn tè, ta ®−îc: N = 25 x 34 x 55 x 7 x 11 x 79 x 167 x 179 x 193 x 389 x 977 ¸p dông ®Þnh lÝ 2, ta cã sè c¸c −íc d−¬ng cña N lµ:

τ (N) = 6 x 5 x 6 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 46080 6. T×m sè tù nhiªn theo c¸c ®iÒu kiÖn cho tr−íc:

28

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 19: T×m sè lín nhÊt, sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn d¹ng: 1x 2 y3 z 4

chia hÕt cho 7.

Gi¶i: - Sè lín nhÊt d¹ng 1x 2 y3 z 4 chia hÕt cho 7 sÏ ph¶i cã d¹ng:

19293 z 4 víi z ∈{0, 1, 2,...,8, 9} lÇn l−ît thö víi z = 9; 8; 7; 6; 5... ®Õn z = 5, ta cã: 1929354 ÷ 7 =

(275622)

VËy sè lín nhÊt d¹ng 1x 2 y3 z 4 chia hÕt cho 7 lµ 1929354, th−¬ng lµ 275622 - Sè nhá nhÊt d¹ng 1x 2 y3 z 4 chia hÕt cho 7 sÏ ph¶i cã d¹ng:

10203 z 4 víi z ∈{0, 1, 2,...,8, 9} lÇn l−ît thö víi z = 0; 1; 2; 3... ®Õn z = 3, ta cã: 1020334 ÷ 7 =

(145762)

VËy sè nhá nhÊt d¹ng 1x 2 y3 z 4 chia hÕt cho 7 lµ 1020334, th−¬ng lµ 145762 Bµi 20: T×m sè lín nhÊt, sè nhá nhÊt trong c¸c sè tù nhiªn d¹ng: 1x 2 y3 z 4 chia hÕt cho 13.

§¸p sè: - Sè lín nhÊt d¹ng 1x 2 y3 z 4 chia hÕt cho 13 lµ 1929304 - Sè nhá nhÊt d¹ng 1x 2 y3 z 4 chia hÕt cho 13 lµ 1020344 Bµi 21: (§Ò thi chän ®éi tuyÓn tØnh Phó Thä tham gia k× thi khu vùc n¨m 2004) T×m tÊt c¶ c¸c sè n d¹ng: N = 1235679 x 4 y chia hÕt cho 24.

H.DÉn: - V× N ⋮ 24 ⇒ N ⋮ 3 ; N ⋮ 8 ⇒ (37 + x + y) ⋮ 3 ; x 4 y ⋮ 8. ⇒ y chØ cã thÓ lµ 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.

Dïng m¸y tÝnh, thö c¸c gi¸ trÞ x tho¶ m·n: (x + y + 1) ⋮ 3 vµ x 4 y ⋮ 8, ta cã: N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840 Bµi 22: T×m c¸c sè khi b×nh ph−¬ng sÏ cã tËn cïng lµ ba ch÷ sè 4. Cã hay kh«ng c¸c sè khi b×nh ph−¬ng cã tËn cïng lµ bèn ch÷ sè 4 ?

29

http://www.ebook.edu.vn

H.DÉn: - Ch÷ sè cuèi cïng cña x2 lµ 4 th× ch÷ sè cuèi cïng cña x lµ 2 hoÆc 8. TÝnh trªn m¸y b×nh ph−¬ng cña sè: 2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 ta chØ cã c¸c sè: 12, 62, 38, 88 khi b×nh ph−¬ng cã tËn cïng lµ hai ch÷ sè 4.

- TÝnh trªn m¸y b×nh ph−¬ng cña c¸c sè: 12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta ®−îc: 462, 962, 38, 538 khi b×nh ph−¬ng cã tËn cïng lµ 444. * T−¬ng tù c¸ch lµm trªn, ta cã kÕt luËn: kh«ng cã N nµo ®Ó N2 kÕt thóc bëi 4444.

Bµi 23: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 6 ch÷ sè tho· m·n: 1) Sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè cuèi lín h¬n sè t¹o thµnh bëi ba ch÷ sè ®Çu 1 ®¬n vÞ 2) Lµ sè chÝnh ph−¬ng.

H. DÉn: - Gäi sè cÇn t×m lµ: n = a1a2 a3 a4 a5 a6 .

- §Æt x = a1a2 a3 . Khi Êy a4 a5 a6 = x + 1 vµ n = 1000x + x + 1 = 1001x + 1 = y2 hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x.

VËy hai trong ba sè nguyªn tè 7, 11, 13 ph¶i lµ −íc cña mét trong hai thõa sè cña vÕ tr¸i vµ sè cßn l¹i ph¶i lµ −íc cña thõa sè cßn l¹i cña vÕ tr¸i.

Dïng m¸y tÝnh, xÐt c¸c kh¶ n¨ng ®i ®Õn ®¸p sè: n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716.

Bµi 24: T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn x tho¶ m·n: 10000 < x < 15000 vµ khi chia x cho 393 còng nh− 655 ®Òu cã sè d− lµ 210.

H.DÉn:

30

http://www.ebook.edu.vn

- Tõ gi¶ thiÕt, ta cã: x = 393.q1 + 210 ⇒ x -210 chia hÕt cho 393 x = 655.q2 + 210 ⇒ x -210 chia hÕt cho 655 ⇒ x -210 chia hÕt cho BCNN (393 ; 655) = 1965 ⇒ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2,...) hay x = 1965k + 210

- Tõ gi¶ thiÕt 10000 < x < 15000 ⇒ 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 ⇒ 5 ≤ k < 8.

TÝnh trªn m¸y: Víi k = 5, ta cã: x = 1965.5 + 210 = 10035 Víi k = 6, ta cã: x = 1965.6 + 210 = 12000 Víi k = 7, ta cã: x = 1965.7 + 210 = 13965 VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 10035, 12000, 13965 Bµi 25: T×m c¸c ch÷ sè x, y, z ®Ó 579 xyz chia hÕt cho 5, 7 vµ 9.

Gi¶i: - V× c¸c sè 5, 7, 9 ®«i mét nguyªn tè cïng nhau nªn ta ph¶i t×m c¸c ch÷ sè x, y, z sao cho 579 xyz chia hÕt cho 5.7.9 = 315.

Ta cã 579 xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz ⇒ 30 + xyz chia hÕt cho 315. V× 30 ≤ 30 + xyz < 1029 nªn (Dïng m¸y tÝnh t×m c¸c béi cña 315

trong kho¶ng (30 ; 1029): - NÕu 30 + xyz = 315 th× xyz = 315 - 30 = 285 - NÕu 30 + xyz = 630 th× xyz = 630 - 30 = 600 - NÕu 30 + xyz = 945 th× xyz = 945 - 30 = 915 VËy ta cã ®¸p sè sau: x

y

z

2 6 9 Bµi 26: (Thi Quèc tÕ IMO 1962):

8 0 1

5 0 5

T×m sè nguyªn d−¬ng nhá nhÊt cã tÝnh chÊt sau: 1) ViÕt d−íi d¹ng thËp ph©n a cã tËn cïng lµ sè 6.

31

http://www.ebook.edu.vn

2) NÕu bá ch÷ sè 6 cuèi cïng vµ ®Æt ch÷ sè 6 lªn tr−íc c¸c ch÷ sè cßn l¹i sÏ ®−îc mét sè gÊp 4 lÇn ch÷ sè ban ®Çu.

Gi¶i: - Gi¶ sö sè cÇn t×m cã n + 1 ch÷ sè.

- Tõ ®iÒu kiÖn 1) sè ®ã d¹ng: a1a2 ...an 6 - Tõ ®iÒu kiÖn 2), ta cã: 6a1a2 ...an = 4. a1a2 ...an 6

(*)

- §Æt a = a1a2 ...an , th×: a1a2 ...an 6 = 10a + 6

6a1a2 ...an = 6.10n + a - Khi ®ã (*) trë thµnh: 6.10n + a = 4.(10a + 6) ⇔ 2.(10n - 4) = 13a (**) §¼ng thøc (**) chøng tá vÕ tr¸i chia hÕt cho 13.

V× (2 ; 13) = 1 nªn: 10n - 4 chia hÕt cho 13.

Bµi to¸n quy vÒ: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt ®Ó (10n - 4) chia hÕt cho 13, khi ®ã t×m ra sè a vµ sè cÇn t×m cã d¹ng: 10a + 6.

Thö lÇn l−ît trªn m¸y c¸c gi¸ trÞ n = 1; 2;... th× (10n - 4) lÇn l−ît lµ: 6, 96, 996, 9996, 99996,... vµ sè ®Çu tiªn chia hÕt cho 13 lµ: 99996.

Khi ®ã a = 15384 ⇒ Sè cÇn t×m lµ: 153846.

Bµi 27: T×m sè tù nhiªn n sao cho: a) 2n + 7 chia hÕt cho n + 1 b) n + 2 chia hÕt cho 7 - n H.DÉn: a) LËp c«ng thøc (2n + 7) : (n + 1) trªn m¸y vµ thö lÇn l−ît n = 0, 1, 2,...

ta ®−îc n = 0 vµ n =

4 th× 2n + 7 chia hÕt cho n + 1.

Chøng minh víi mäi n ≥ 5, ta ®Òu cã 2n + 7 kh«ng chia hÕt cho n + 1, thËt vËy: (2n + 7) ⋮ (n + 1) ⇒ [(2n + 7) - 2(n + 1)] ⋮ (n + 1) ⇒ 5 ⋮ (n + 1) ⇒ n ≤ 5.

VËy sè n cÇn t×m lµ 0 hoÆc 4. b) T−¬ng tù ta cã: n = 4 hoÆc n = 6.

32

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 28: T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt sao cho n3 lµ mét sè cã 3 ch÷ sè ®Çu vµ 4 ch÷ sè cuèi ®Òu lµ sè 1.

Gi¶i: NhËn xÐt: 1) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 11 th× n cã tËn cïng lµ sè 1. Thö trªn m¸y c¸c sè: 11, 21, 31,...81, 91 ®−îc duy nhÊt sè 71 khi luü thõa bËc ba cã tËn cïng lµ 11.

2) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 111 th× n cã ph¶i tËn cïng lµ sè 471.

(Thö trªn m¸y víi c¸c sè: 171, 271, 371,...871, 971 ) 3) §Ó n3 cã tËn cïng lµ 1111 th× n ph¶i cã tËn cïng lµ sè 8471.

(Thö trªn m¸y víi c¸c sè: 1471, 2471, 3471,...8471, 9471 ) - Gi¶ sö m lµ sè ch÷ sè ®øng gi÷a c¸c sè 111 vµ 1111: + NÕu m = 3k, k ∈Z+, th×: 111 x 103k+4 < n3 = 111...1111 < 112 x 103k+4 ( 111000...00 < 111 ...

1111 < 112 000...00 )

0000

0000 3k

⇒

3

4

m =3 k

3k

4

1110.10k +1 < 3 n3 = 3 111...1111 < 3 1120.10k +1

TÝnh trªn m¸y: 10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1 Do ®ã, víi k ≥ 1. Cho k = 1 ta ®−îc n b¾t ®Çu b»ng sè 103, nghÜa lµ: n = 103...8471 ⇒ Sè nhá nhÊt trong c¸c sè ®ã lµ: n = 1038471

+ NÕu m = 3k + 1 vµ m = 3k + 2, ta ®−îc c¸c sè nµy ®Òu v−ît qu¸ sè 1038471 KÕt luËn: Sè nhá nhÊt tho· m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: n = 1038471 khi ®ã: (tÝnh kÕt hîp trªn m¸y vµ trªn giÊy): n3 = 1119909991289361111

33

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 29: a) T×m sè tù nhiªn n nhá nhÊt mµ n2 b¾t ®Çu bëi sè 19 vµ kÕt thóc b»ng sè 89 b) T×m sè tù nhiªn n sao cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong ®ã xxxxxx lµ 6 sè cã thÓ kh¸c nhau).

Gi¶i: a) Tr−íc hÕt ta t×m sè n2 cã tËn cïng lµ 89: - V× n2 cã tËn cïng lµ 9 nªn n chØ cã thÓ cã tËn cïng lµ 3 hoÆc 7.

- Thö trªn m¸y c¸c sè: 13, 23,..., 93 ; 17, 27,..., 97 ta t×m ®−îc: ®Ó n2 cã tËn cïng lµ 89 th× n ph¶i cã 2 sè tËn cïng lµ mét trong c¸c sè sau: 17, 33, 67, 83

(*)

* B©y giê ta t×m sè n2 b¾t ®Çu bëi sè 19: - §Ó n2 b¾t ®Çu bëi sè 19 th× nã ph¶i cã d¹ng: 19 x 10k ≤ n2 < 20 x 10k ⇔

19.10k ≤ n < 20.10k

(1)

+ NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh: 19.10m ≤ n < 20.10m

⇔ 4,3588989.10m ≤ n < 4,472135955.10m (2)

Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2,... (tÝnh trªn m¸y): ta ®−îc n cã thÓ lµ: 44, 436, 437, 438, 439, ... , 447 + NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh: 190.10m ≤ n < 200.10m

⇔ 13,78404875.10m ≤ n < 14,14213562.10m (3)

Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2,... (tÝnh trªn m¸y): ta ®−îc n cã thÓ lµ: 14, 138, 139, ... , 141 1379, 1380, 1381, ... , 1414 Tãm l¹i ®Ó n b¾t ®Çu bëi sè 19 th× n cã thÓ lµ: 14, 44, 138, 139, ..., 141, 436, 437, ... , 447, 1379, 1380, ... , 1414 (**) Tõ (*) vµ (**) ta nhËn thÊy trong c¸c sè trªn chØ cã sè 1383 tho¶ m·n bµi to¸n. b) Ta cã:

2525 x 108 ≤ x2 < 2526 x 108

⇔ 50,24937811 x 104 ≤ x < 50,25932749 x 104

VËy : 502493 < x < 502593 Sè x tËn cïng ph¶i lµ: 17, 33, 67, 83 (theo c©u a), do ®ã c¸c sè tho¶ m·n lµ: 502517, 502533, 502567, 502583.

34

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 30: Víi gi¸ trÞ tù nhiªn nµo cña n th×: 1,01n - 1 < (n - 1) vµ 1,01n > n.

Gi¶i: - Ta cã: 1,01512 ≈ 163,133... < 512 1,011024 ≈ 26612,56.. > 1024 VËy: 512 < n < 1024 Thu hÑp kho¶ng c¸ch chøa n b»ng ph−¬ng ph¸p chia ®«i: - Chia ®«i ®o¹n [512 ; 1024], ta cã: 521+1024 2

1, 01

= 1,01768 = 2083, 603... > 768

VËy l¹i cã: 512 < n < 768 Sau mét sè b−íc chia ®«i nh− thÕ ®i ®Õn: 650 < n < 652 Cuèi cïng ta cã: 1,01651 = 650,45... < 651 1,01652 = 656,95.. > 652 ⇒ n = 652

Ta hoµn toµn gi¶i bµi to¸n trªn b»ng mét quy tr×nh trªn MTBT: (ThuËt to¸n: XÐt hiÖu 1,01A - A , g¸n cho A c¸c gi¸ trÞ tù nhiªn: 0, 1, 2,... dõng l¹i khi hiÖu trªn chuyÓn tõ (-) sang (+)) - G¸n cho « nhí A gi¸ trÞ tù nhiªn ®Çu tiªn: 0 SHIFT STO A - LËp c«ng thøc tÝnh hiÖu 1,01A - A vµ g¸n gi¸ trÞ « nhí bëi sè tù nhiªn kÕ tiÕp: 1,01 ∧

ANPHA A

:

ANPHA A

-

ANPHA A

ANPHA =

ANPHA A

+ 1

- LÆp l¹i c«ng thøc trªn: = ... =

Bµi to¸n kÕt thóc khi chuyÓn tõ n = 651 sang n = 652.

35

http://www.ebook.edu.vn

7. Mét sè d¹ng to¸n kh¸c: 7.1 Sè cã ®u«i bÊt biÕn víi mäi luü thõa: 1) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 1 ; 5 ; 6 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 1 ; 5 ; 6 (cã ®u«i bÊt biÕn).

2) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 25 hoÆc 76 (cã ®u«i bÊt biÕn).

3) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hoÆc 625 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 376 hoÆc 625 (cã ®u«i bÊt biÕn).

4) Luü thõa bËc bÊt k× cña c¸c sè cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hoÆc 0625 (vµ chØ nh÷ng sè Êy) ®Òu cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 9376 hoÆc 0625 (cã ®u«i bÊt biÕn). ...

Bµi 31: T×m sè d− khi chia sè 133762005! cho 2000 (TH & TT T3/ 317) Gi¶i: - Gi¶ sö A, B lµ hai sè tù nhiªn cã tËn cïng lµ 376, th×: A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762 = 2000t + 1376; víi a, b t ∈ N ⇒ A.B chia 2000 cã sè d− lµ 1376.

Víi k > 1 khi chia 13376k cho 2000 (thùc hiÖn (k - 1) lÇn phÐp nh©n 2 sè ®Òu cã tËn cïng lµ 376 råi chia cho 2000) th× ®−îc d− lµ 1376. §Ò bµi øng víi k = 2005!

Bµi 32: T×m 2 ch÷ sè tËn cïng cña sè: A = 21999 + 22000 + 22001 H.DÉn: - Ta cã: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + 2 + 22) = 7 x 29 x 210 x 21980 = 7 x 29 x 210 x (220)99 29 = 512 210 = 1024 ; 220 = 1048576 NhËn xÐt: sè cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ 76, luü thõa bËc bÊt kú còng cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ 76. VËy - Ta cã (dïng m¸y):

(220)99 còng cã 2 sè tËn cïng lµ 76. ⇒ 21999 + 22000 + 22001 = 7 x 512 x 1024 x (...76) = .....16.

VËy 2 ch÷ sè cuèi cïng cña A lµ 16 (Xem c¸ch gi¶i kh¸c ë bµi 12)

36

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 33: T×m bèn ch÷ sè tËn cïng cña 51994.

Gi¶i: - Ta cã: 54 = 625 - NhËn thÊy sè cã tËn cïng lµ 625 luü thõa bËc bÊt kú vÉn cã tËn cïng lµ 625 - Do ®ã: 51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25(...625) = ...5625.

VËy bèn ch÷ sè tËn cïng cña sè 51994 lµ 5625.

7.2 Khai triÓn nhÞ thøc Newton vµ bµi to¸n chia hÕt: -Ta cã khai triÓn:

(a + b)

n

= a n + C n1 a n −1b + C n2 a n − 2 b 2 + ... + C nn −1ab n −1 + b n

= a n + na n−1b +

n(n + 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) n −3 3 n( n− 1) 2 n− 2 a b + a b + ... + a b + nab n −1 + b n 1.2 1.2.3 1.2

- Khi chøng minh vÒ tÝnh chia hÕt cña c¸c luü thõa, cÇn nhí mét sè kÕt qu¶ sau: 1) an - bn chia hÕt cho a - b (a ≠ b) 2) a2n + 1 + b2n + 1 chia hÕt cho a + b (a ≠ -b) 3) (a + b)n = BS a + bn §Æc biÖt:

(BS a: béi sè cña a)

(a + 1)n = BS a + 1 (a - 1)2n = BS a + 1 (a - 1)2n + 1 = BS a - 1 Bµi 34: T×m sè d− khi chia 2100 cho: a) 9

b) 5

c) 125

Gi¶i: a) Luü thõa cña 2 s¸t víi mét béi cña 9 lµ 23 = 8 = (9 - 1) - Ta cã: 2100 = 2(23)33 = 2(9 - 1)33 = 2(BS 9 - 1) = BS 9 - 2 = BS 9 + 7 VËy sè d− khi chia 2100 cho 9 lµ 7. b) Luü thõa cña 2 s¸t víi mét béi cña 25 lµ 210 = 1024 = (BS 25 - 1) - Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1 VËy sè d− khi chia 2100 cho 25 lµ 1 c) Dïng c«ng thøc Newton: 2100 = ( 5 − 1)

50

= 5 50 − 50.5 49 + ... +

50.49 2 .5 − 50.5 + 1 2

37

http://www.ebook.edu.vn

§Ó ý r»ng 48 sè h¹ng ®Çu ®Òu chøa thõa sè 5 víi sè mò lín h¬n hoÆc b»ng 3 nªn chia hÕt cho 125, hai sè h¹ng kÕ tiÕp còng chia hÕt cho125, sè h¹ng cuèi lµ 1.

VËy 2100 = BS 125 + 1 ⇒ Sè d− cña 2100 khi chia cho 125 lµ 1 Tæng qu¸t: NÕu mét sè tù nhiªn n kh«ng chia hÕt cho 5 th× chia n100 cho 125 ta ®−îc sè d− lµ 1.

Bµi 35: T×m ba ch÷ sè tËn cïng cña 2100.

H.DÉn: - Ta t×m d− trong phÐp chia 2100 cho 1000.

- Tr−íc hÕt t×m sè d− cña phÐp chia 2100 cho 125. Theo bµi 34: 2100 = BS 125 + 1, mµ 2100 lµ sè ch½n, nªn ba ch÷ sè tËn cïng cña nã chØ cã thÓ lµ (dïng m¸y tÝnh ®Ó thö): 126, 376, 626 hoÆc 876.

100 - HiÓn nhiªn 2 chia hÕt cho 8 nªn ba ch÷ sè tËn cïng cña nã ph¶i chia hÕt cho 8. Bèn sè trªn chØ cã 376 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn nµy. VËy ba ch÷ sè tËn cïng cña 2100 lµ 376.

Tæng qu¸t: NÕu n lµ sè tù nhiªn ch½n kh«ng chia hÕt cho 5 th× ba ch÷ sè tËn cïng cña n100 lµ 376.

Bµi 36: T×m ba ch÷ sè tËn cïng cña 3100.

100 50 Gi¶i: - Ta ph©n tÝch nh− sau: 3 = (10 −1) = 10 − ... + 50

50.49 2 .10 − 50.10 +1 2

= BS 1000 + ...500 - 500 + 1 = BS 1000 + 1.

100

VËy 3 tËn cïng lµ 001.

Tæng qu¸t: NÕu n lµ sè tù nhiªn lÎ kh«ng chia hÕt cho 5 th× ba ch÷ sè tËn cïng cña n100 lµ 001.

Bµi 37: Thay c¸c dÊu * bëi c¸c ch÷ sè thÝch hîp: 896 = 496 9 * * 290 961.

H.DÉn: - Ta cã:

(896 - 1) ⋮ (89 - 1) ⇒ (896 - 1) ⋮ 11

(896 - 1) ⋮ (893 + 1) ⇒ (896 - 1) ⋮ (89 + 1) ⇒ (896 - 1) ⋮ 9 - §Æt A = (896 - 1) = 496 9 x y 290 960. Ta cã A chia hÕt cho 9 vµ 11.

Ta cã tæng c¸c ch÷ sè hµng lÎ (tõ ph¶i sang tr¸i) cña A b»ng: 36 + y ; tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n cña A b»ng: 18 + x A chia hÕt cho 9 nªn: 54 + x + y ⋮ 9 ⇒ x + y ∈ {0 ; 9 ; 18} A chia hÕt cho 11 nªn: [(36 + y) - (18 + x)] ⋮ 11 ⇒ x - y ∈ {-4 ; 7} + NÕu x + y = 0 th× x = y = 0 (lo¹i) + NÕu x + y = 18 th× x = y = 9 (lo¹i) + NÕu x + y = 9 : chó ý r»ng (x + y) vµ (x - y) cïng ch½n hoÆc cïng lÎ nªn: x - y = 7 ⇒ x = 8 ; y = 1.

VËy 896 = 496 981 290 961

38

http://www.ebook.edu.vn

7.3 T×m ch÷ sè thø k (k ∈ N) trong sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn: §Þnh lÝ: (DÊu hiÖu nhËn biÕt mét ph©n sè ®æi ®−îc ra sè thËp ph©n h÷u h¹n) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét ph©n sè tèi gi¶n cã thÓ viÕt ®−îc thµnh ra sè

thËp ph©n h÷u h¹n lµ

mÉu sè cña nã kh«ng chøa nh÷ng thõa sè nguyªn tè ngoµi 2 vµ 5. * Tõ ®Þnh lÝ trªn ta rót ra nhËn xÐt sau: NÕu ph©n sè tèi gi¶n

a cã mÉu b kh«ng chøa c¸c thõa sè nguyªn tè 2, 5 hoÆc ngoµi thõa sè nguyªn b

tè 2, 5 cßn chøa c¶ thõa sè nguyªn tè kh¸c th× do c¸c sè d− trong qu¸ tr×nh chia bao giê còng ph¶i nhá h¬n b nªn c¸c sè d− chØ cã thÓ lµ c¸c sè trong: {1; 2; 3;...;b-1} Nh− vËy trong phÐp chia a cho b, nhiÒu nhÊt lµ sau (b - 1) lÇn chia cã thÓ gÆp c¸c sè d− kh¸c nhau, nh−ng ch¾c ch¾n r»ng sau b lÇn chia th× thÕ nµo ta còng gÆp l¹i sè d− ®· gÆp tr−íc. Do ®ã, nÕu ta cø tiÕp tôc chia th× c¸c sè d− sÏ lÆp l¹i vµ dÜ nhiªn c¸c ch÷ sè trong th−¬ng còng lÆp l¹i.

Tõ ®ã ®Ó t×m ch÷ sè thø k sau dÊu ph¶y cña sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoµn, ta chØ cÇn x¸c ®Þnh ®−îc chu kú lÆp l¹i cña c¸c ch÷ sè trong th−¬ng, tõ ®ã dÔ dµng suy ra ®−îc ch÷ sè cÇn t×m.

Bµi 38: T×m ch÷ sè thËp ph©n thø 2005 sau dÊu ph¶y cña sè: a)

A=

1 1 10 1 ; b) B = ; c) C = ; d ) C = 37 41 51 49

H.DÉn: a) Sè A =

1 = 0, 027 027 (027)... tuÇn hoµn chu kú 3 ch÷ sè 027.

37

V× 2005 ≡ 1 (mod 3) nªn ch÷ sè thø 2005 sau dÊu ph¶y cña A lµ: b) Sè B =

1 = 0, 02439 02439 (02439)... tuÇn hoµn chu kú 5 ch÷ sè 02439.

41

V× 2005 ≡ 0 (mod 5) nªn ch÷ sè thø 2005 sau dÊu ph¶y cña B lµ: c) Sè C =

10 = 0, (1960784313725490) TH chu kú 16 ch÷ sè:1960784313725490 51

V× 2005 ≡ 5 (mod 16) nªn ch÷ sè thø 2005 sau dÊu ph¶y cña C lµ: d) Sè D =

1 = 0, (020408163265306122448979591836734693877551) 49

tuÇn hoµn chu kú 42 ch÷ sè 020408163265306122448979591836734693877551 V× 2005 ≡ 31 (mod 42) nªn ch÷ sè thø 2005 sau dÊu ph¶y cña D lµ: PhÇn IV: gi¶i tam gi¸c 1. Gi¶i tam gi¸c:

39

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 1: TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC, biÕt: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415 = = §¸p sè: ; B A

= ; C

Bµi 2: TÝnh c¹nh BC, gãc B , gãc C cña tam gi¸c ABC, biÕt:

= 54o35’12’’ AB = 11,52 ; AC = 19,67 vµ gãc A = BC = ; B §¸p sè:

= ; C

Bµi 3: TÝnh c¹nh AB, AC, gãc C cña tam gi¸c ABC, biÕt:

= 54o35’12’’ ; B = 101o15’7’’ BC = 4,38 ; A = §¸p sè: AB= ; AC = ; C Bµi 4: Tam gi¸c ABC cã ba c¹nh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415 §iÓm M n»m trªn c¹nh BC sao cho: BM = 2,142 1) TÝnh ®é dµi AM? 2) TÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABM 3) TÝnh b¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ACM. 1) AM = 2) R = 3) r = §¸p sè:

= 49o27’ ; C = 73o52’ vµ c¹nh BC = 18,53.

Bµi 5: Tam gi¸c ABC cã: B TÝnh diÖn tÝch S cña tam gi¸c ? §¸p sè: S = = 57o18’ vµ C = 82o35’ Bµi 6: Tam gi¸c ABC cã chu vi 58 (cm) ; B TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AB, BC, CA ? §¸p sè: AB = ; BC = ; CA = < 180o vµ sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6.

Bµi 7: Tam gi¸c ABC cã 90o < A TÝnh: 1) §é dµi c¹nh BC ? Trung tuyÕn AM ? =?

2) Gãc B 3) DiÖn tÝch tam gi¸c S = ? §¸p sè:

BC =

; AM =

= ; B

; S=

= 90o ; AB = 7 (cm) ; AC = 5 (cm).

Bµi 8: Tam gi¸c ABC cã A TÝnh ®é dµi ®−êng ph©n gi¸c trong AD vµ ph©n gi¸c ngoµi AE ? §¸p sè:

AD =

; AE =

2. §a gi¸c, h×nh trßn:

a

A

* Mét sè c«ng thøc: 1) §a gi¸c ®Òu n c¹nh, ®é dµi c¹nh lµ a:

α

40

O

http://www.ebook.edu.vn

+ Gãc ë t©m: α =

2π 360 (rad), hoÆc: a o = (®é) n n

= n − 2 π (rad), hoÆc A = n − 2 .180 (®é) + Gãc ë ®Ønh: A n n na α + DiÖn tÝch: S = cot g 4 2 2) H×nh trßn vµ c¸c phÇn h×nh trßn:

+ H×nh trßn b¸n kÝnh R:

.

- Chu vi: C = 2πR

O

- DiÖn tÝch: S = πR2 + H×nh vµnh kh¨n: R r .

O d

- DiÖn tÝch: S = π(R2 - r2) = π(2r + d)d + H×nh qu¹t: - §é dµi cung: l = αR ; (α: rad) S=

- DiÖn tÝch: =

1 2 Rα 2

(α: rad)

. R O

π R2a

(a: ®é)

360

Bµi 9: Ba ®−êng trßn cã cïng b¸n kÝnh 3 cm ®«i mét tiªp xóc ngoµi (H×nh vÏ) TÝnh diÖn tÝch phÇn xen gi÷a ba ®−êng trßn ®ã ?

H.DÉn: Sg¹ch xäc = S∆O1O2O3 - 3 Squ¹t O1

Tam gi¸c O1O2O3 ®Òu, c¹nh b»ng 1 nªn: S ∆O1O2O3 =

Squ¹t =

1 3 =9 3 6.6.

2 2

π R2a 360

=

π .9.60 360

=

O2 O3

3π 2

⇒ Sg¹ch xäc = S∆O1O2O3 - 3 Squ¹t = 9 3 −

9π 18 3 − 9π = ≈ 1, 451290327 2 2

Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD, c¹nh a = 5,35. Dùng c¸c ®−êng trßn t©m A, B, C, D cã b¸n kÝnh R =

a . TÝnh diÖn tÝch xen gi÷a 4 ®−êng trßn ®ã.

2

H.DÉn:

Sg¹ch = SABCD - 4Squ¹t

A

41

B http://www.ebook.edu.vn

Squ¹t =

1 1 SH.trßn = πR2 4 4 1 1 πR2 = a2 - πa2 4 4

⇒ Sg¹ch = a2 - 4.

= a2(1 -

1 π) ≈ 6,142441068 4

Bµi 11: Cho ®−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R = 3,15 cm. Tõ mét ®iÓm A ë ngoµi ®−êng trßn vÏ hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC (B, C lµ hai tiÕp ®iÓm thuéc (O) ). TÝnh diÖn tÝch phÇn giíi h¹n bëi hai tiÕp tuyÕn vµ cung trßn nhá BC. BiÕt OA = a = 7,85 cm.

H.DÉn: OB R 3,15 = = OA a 7,85

- TÝnh α: cos α = ⇒ α = cos −1

B

3,15 7,85

α

A

SOBAC = 2SOBA = aRsinα Squ¹t =

π R 2 .2α 360

=

O

C

π R 2 .α 180

Sg¹ch = SOBAC - Squ¹t = aRsinα -

π R 2 .α 180

≈ 11,16 (cm2)

Bµi 12: TÝnh diÖn tÝch phÇn ®−îc t« ®Ëm trong h×nh trßn ®¬n vÞ (R = 1) (Xem h×nh 1) §¸p sè: Bµi 13: TÝnh tû lÖ diÖn tÝch cña phÇn ®−îc t« ®Ëm vµ diÖn tÝch phÇn cßn l¹i trong h×nh trßn ®¬n vÞ (Xem h×nh 2) §¸p sè:

H×nh 1

H×nh 2

42

http://www.ebook.edu.vn

phÇn V. §a gi¸c vµ h×nh trßn Bµi 1. (Së GD & §T §ång Nai, 1998, vßng TØnh, cÊp PTTH & PTCS) Mét ng«i sao n¨m c¸nh cã kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®Ønh kh«ng liªn tiÕp lµ 9, 651 cm . T×m b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp (qua 5 ®Ønh).

Gi¶i: Ta cã c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®Ønh kh«ng kÒ nhau cña ng«i sao n¨m c¸nh ®Òu (h×nh vÏ): AC = d = 2 R cos18o =

R 10 + 2 5 2

.

B

C«ng thøc d = 2 R cos18o lµ hiÓn nhiªn.

C«ng thøc cos18o =

10 + 2 5 2

cã thÓ chøng minh nh− sau:

A

C

O

Ta cã:

D

1 − sin 2 18o = cos 2 18o =

E

1 + cos 36o 1 + sin 54o 1 + 3sin18o − 4 sin 3 18o = = .

2 2 2

hay 4 sin 3 18o − 2 sin 2 18o − 3sin18o + 1 = 0. .

Suy ra sin18o lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: 4 x 3 − 2 x 2 − 3x + 1 = ( x − 1)(4 x 2 + 2 x − 1) = 0 .

VËy sin18o =

−1 + 5 .

4

Tõ ®©y ta cã: cos 2 18o = 1 − sin 2 18o = 1 − ( hay cos18o =

10 + 2 5 10 + 2 5 = .

16 4

Suy ra d = 2 R cos18o = vµ R =

5 − 1 2 10 + 2 5 ) = .

4 16

R 10 + 2 5 2

d 2d = . o 2 cos18 10 + 2 5

C¸ch gi¶i 1: 9.651 ÷ 2 ÷ 18 o,,, cos = (5.073830963) C¸ch gi¶i 2: 2 × 9.651 ÷ [( [( 10 + 2 × 5

=

)]

(5.073830963)

Bµi 2. (Së GD & §T TP Hå ChÝ Minh, 1996, vßng 1) TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®Ønh kh«ng liªn tiÕp cña mét ng«i sao 5 c¸nh néi tiÕp trong ®−êng trßn b¸n kÝnh R = 5,712cm .

C¸ch gi¶i 1: Ta cã c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®Ønh kh«ng kÒ nhau cña ng«i sao n¨m c¸nh (xem h×nh vÏ vµ chøng minh bµi 1):

43

http://www.ebook.edu.vn

d = 2 R cos18o =

R 10 + 2 5 2

.

TÝnh: MODE 4 2 × 5.712 × 18 o,,, cos = (10.86486964) C¸ch gi¶i 2: 10 + 2 × 5

=

= ×

5.712 = ÷ 2 = (10,86486964)

§¸p sè: 10,86486964.

Bµi 3. Cho ®−êng trßn t©m O , b¸n kÝnh R = 11, 25 cm . Trªn ®−êng trßn ®· cho, ®Æt c¸c cung AB = 90o , BC = 120o sao cho A vµ C n»m cïng mét phÝa ®èi víi BO .

a) TÝnh c¸c c¹nh vµ ®−êng cao AH cña tam gi¸c ABC . b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC (chÝnh x¸c ®Õn 0,01).

Gi¶i: a) Theo h×nh vÏ:

A

= s® BC - s® AB = 1200 - 900 = 300. s® AC

C

= 150; ACB = 450.

TÝnh c¸c gãc néi tiÕp ta ®−îc: ABC

O

= 1200; CAH = 450; BAH = 750.

Suy ra: BAC Ta cã: AB = R 2 ; BC = R 3 .

V× ∆ AHC vu«ng c©n, nªn AH = HC (®Æt AH = x ).

Theo ®Þnh lÝ Pitago ta cã: AH 2 = AB 2 − HB 2 . Do ®ã:

(

x2 + R 3 − x

) = (R 2) 2

2

hay 2 x 2 − 2 R 3 x + R 2 = 0 . Suy ra: x1 =

V× AH < AC < R , nªn nghiÖm x2 =

B

H

R 3−R R 3+R ; x2 = .

2 2

R 3+R R( 3 − 1) bÞ lo¹i. Suy ra: AC = AH 2 = .

2 2

Gäi diÖn tÝch ∆ABC lµ S , ta cã: S=

R 2 (3 − 3) 1 1 R 3−R AH ⋅ BC = ⋅ ⋅R 3 = 2 2 2 4

Ên phÝm: 11.25 Min × 2 Ên tiÕp phÝm: MR × 3 Ên phÝm: MR × [( 3 Ên tiÕp phÝm: MR × [( 3

.

= MODE 7 2 (15.91) VËy AB ≈ 15,91 cm . = KÕt qu¶:19.49 − 1= ÷ 2

VËy: BC ≈ 19, 49 cm .

= (5.82) VËy AC ≈ 5,82 cm .

− 1 = ÷ 2 = (4.12)

Ên tiÕp phÝm: MR SHIFT x 2 × [( 3 − 3

VËy: AH ≈ 4,12 cm .

= ÷ 4=

KÕt qu¶: S ≈ 40,12 cm 2 .

Bµi 4. (Thi tr¾c nghiÖm häc sinh giái to¸n toµn n−íc Mü, 1972) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh b»ng 12. VÏ ®o¹n AE víi E lµ ®iÓm trªn c¹nh CD vµ DE = 5 cm .

Trung trùc cña AE c¾t AE , AD vµ BC t¹i M , P vµ Q . Tû sè ®é dµi ®o¹n PM vµ MQ lµ: (A) 5:12; (B) 5:13; (C) 5:19; (D) 1:4; (E) 5:21.

Gi¶i: VÏ RS qua M song song víi c¹nh AB,CD.

44

http://www.ebook.edu.vn

Ta cã:

MP MR = MQ MS

.

MR =

V× RM lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c ADE nªn E

D

Mµ: MS = RS − MR .

C

DE 2

.

VËy: R P

M

S Q

¸p dông b»ng sè víi DE = 5 cm, RS = 12 cm : 5 ab / c

DE MP MR 2 = = MQ MS RS − DE 2

A

.

B

5 2 = Min ÷ [( 12 − MR = ( ) 19

§¸p sè (C) lµ ®óng.

Chó ý: NÕu kh«ng sö dông ph©n sè (5 ab / c 2) mµ dïng (5 ÷ 2) th× m¸y sÏ cho ®¸p sè d−íi d¹ng sè thËp ph©n.

H·y tÝnh: 5 ÷ 2 = Min ÷ [( 12 − MR (0.2631579) So s¸nh: 5 ab / c 19 SHIFT ab / c ab / c

KÕt qu¶: 0.2631579

Nh− vËy, hai kÕt qu¶ nh− nhau, nh−ng mét kÕt qu¶ ®−îc thùc hiÖn d−íi d¹ng ph©n sè (khi khai b¸o 5 ab / c 2), cßn mét kÕt qu¶ ®−îc thùc hiÖn d−íi d¹ng sè thËp ph©n (khi khai b¸o 5 ÷ 2).

Bµi 5. Trªn ®−êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R = 15, 25 cm , ng−êi ta ®Æt c¸c cung liªn tiÕp: = 600, BC = 900, CD = 1200.

AB

a) Tø gi¸c ABCD lµ h×nh g×? b) Chøng minh AC ⊥ BD. c) TÝnh c¸c c¹nh vµ ®−êng chÐo cña ABCD theo R chÝnh x¸c ®Õn 0,01. d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABCD . = 3600 - (s® AB +s® BC +s® CD ) Gi¶i: a) s® AD = 3600 - (600 + 900 + 1200) = 900.

A

60°

B

0 = BC , ABD = BDC = 450 (v× cïng b»ng 90 ).

Suy ra: AD 2

Tõ ®ã ta cã: AB // CD . VËy ABCD lµ h×nh thang.

MÆt kh¸c,

= BCD

ADB

(cïng b»ng

600 +900 2

E

).

90°

C'

VËy ABCD lµ h×nh thang c©n (®pcm).

C

D 0

= BAC = 450 (v× cïng b»ng 90 ). b) V× ABD

120°

2

= 900, vËy AC ⊥ BD (®pcm).

Suy ra AEB c) Theo c¸ch tÝnh c¹nh tam gi¸c ®Òu, tø gi¸c ®Òu, lôc gi¸c ®Òu néi tiÕp trong ®−êng trßn b¸n kÝnh R , ta cã:

45

http://www.ebook.edu.vn

AB = R ; AD = BC = R 2 ; DC = R 3 .

C¸c tamgi¸c AEB, CED vu«ng c©n, suy ra AE = R

VËy: AE =

2

, CE =

1 2

R 3 2

AB 2

. Suy ra AC = AE + EC =

, CE =

R+R 3 2

CD 2

=

.

R(1 + 3) 2

.

R (1 + 3) 2 1 R 2 (1 + 3) 2 R 2 (1 + 3) 2 = =[ ] .

2 2 4 2

1 2

d) S ABCD = AC ⋅ DB = AC 2 = ⋅ TÝnh: MR × [( 1 + 3

= ÷ 2 = SHIFT x 2 MODE 7 2 (433.97).

VËy S ABCD ≈ 433,97 cm2. Ên tiÕp: 15.25 Min × 2

= KÕt qu¶: 21.57

VËy AD = BC ≈ 21,57 cm. Ên tiÕp phÝm: MR × 3

=

(26.41) VËy: CD ≈ 26, 41 cm .

Ên tiÕp phÝm: MR × [( 1 + 3

= ÷

2

=

(29.46)

VËy AC = BD ≈ 29, 46 cm .

Bµi 6. Cho ®−êng trßn t©m O , b¸n kÝnh R = 3,15 cm . Tõ mét ®iÓm A ë ngoµi ®−êng trßn vÏ hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC ( B , C lµ hai tiÕp ®iÓm thuéc ( O )).

TÝnh diÖn tÝch phÇn mÆt ph¼ng giíi h¹n bëi hai tiÕp tuyÕn vµ cung trßn nhá BC biÕt r»ng AO = a = 7,85 cm (chÝnh x¸c ®Õn 0,01 cm).

Gi¶i: Ta cã: cos α =

S ABOC = 2S AOB = a.R.sin α S qu¹t OBC =

B

OB R 3,15 = = .

OA a 7,85

π R .2α 2

360

S g¹ch xäc= S ABOC

=

πR α 2

180

α

;

O

A

.

- S qu¹t OBC = aR sin α −

C

π R 2α

.

180

TÝnh trªn m¸y: 3.15 ÷ 7.85 = SHIFT cos-1 SHIFT ,,, Min sin × 7.85 × 3.15 − SHIFT π × 3.15 SHIFT x 2 × MR ÷ 180 = (11.16) §¸p sè: S g¹ch xäc = 11,16 cm2.

Bµi 7. TÝnh diÖn tÝch h×nh cã 4 c¹nh cong(h×nh g¹ch säc) theo c¹nh h×nh vu«ng a = 5,35 chÝnh x¸c ®Õn 0,0001cm.

Gi¶i: DiÖn tÝch h×nh g¹ch xäc MNPQ

A

(SMNPQ) b»ng diÖn tÝch h×nh vu«ng ABCD

(SABCD) trõ ®i 4 lÇn diÖn tÝch cña

SMNPQ = a − 4 2

π R2 4

=a − 2

π a2 4

N

M

1 a h×nh trßn b¸n kÝnh R = .

4 2

a 2 (4 − π ) 5,352 (4 − π ) = = .

4 4

D

B

P

Q

C

Ên phÝm: 5.35 SHIFT x 2 × [( 4 − π = ÷ 4 = MODE 7 2 (6.14)

46

http://www.ebook.edu.vn

KÕt luËn: SMNPQ ≈ 6,14 cm2.

Bµi 8. TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh ph¼ng (phÇn g¹ch xäc) giíi h¹n bëi c¸c cung trßn vµ c¸c c¹nh cña A tam gi¸c ®Òu ABC (xem h×nh vÏ), biÕt: AB = BC = CA = a = 5, 75 cm .

2 3

2 a 3 .

3 2

Gi¶i: R = OA = OI = IA = AH = ⋅ Suy ra: R =

a 3 3

I

vµ AOI = 600 .

B

C

H

DiÖn tÝch h×nh g¹ch xäc b»ng diÖn tÝch tam gi¸c ABC trõ diÖn tÝch h×nh hoa 3 l¸ (gåm 6 h×nh viªn ph©n cã b¸n kÝnh R vµ gãc ë t©m b»ng 600).

S∆ABC =

DiÖn tÝch mét viªn ph©n:

a2 3 4

π R2 6

−

2

;

S∆O1 AI =

R2 3 R2 = 4 2

.

π 3  R 2 (2π − 3 3) .  − = 2  12 3 a 2 (2π − 3 3) ; 36

TÝnh theo a, diÖn tÝch mét viªn ph©n b»ng: S g¹ch xäc =

R2 3  a 3  3 a2 3 = ⋅ =   3  4 4 12  

5, 752 (9 3 − 4π ) a2 3 a 2 (2π − 3 3) a 2 (9 3 − 4π ) ; S g¹ch xäc = . − 6⋅ = 12 4 36 12 − 4 × SHIFT π

BÊm tiÕp: 5,75 SHIFT x2 × [( 9 × 3

)] ÷ 12 =

KÕt qu¶: S g¹ch xäc ≈ 8,33 cm2.

Bµi 9. Viªn g¹ch c¹nh a = 30 cm cã hoa v¨n nh− h×nh vÏ . a) TÝnh diÖn tÝch phÇn g¹ch xäc cña h×nh ®· cho, chÝnh x¸c ®Õn 0,01 cm. b) TÝnh tØ sè phÇn tr¨m gi÷a diÖn tÝch phÇn g¹ch xäc vµ diÖn tÝch viªn g¹ch.

Gi¶i: a) Gäi R lµ b¸n kÝnh h×nh trßn.

DiÖn tÝch S mét h×nh viªn ph©n b»ng: S=

π R2 4

−

M

R2 R2 a2 = (π − 2 ) = (π − 2 ) .

2 4 16

VËy diÖn tÝch h×nh gåm 8 viªn ph©n b»ng DiÖn tÝch phÇn g¹ch xäc b»ng:

a2 −

N

A

B

P

D

Q

C

a2 (π − 2 ) .

2 a 2 (π − 2 ) 2

=

a2 ( 4 − π ) 2

.

TÝnh trªn m¸y: 30 SHIFT x2 Min × [( 4 − SHIFT π )] ÷ 2 = 2

MODE 7 2 (386.28) VËy S g¹ch xäc ≈ 386,28 cm .

Ên phÝm tiÕp:

÷ MR SHIFT % (42.92)

TØ sè cña diÖn tÝch phÇn g¹ch xäc vµ diÖn tÝch viªn g¹ch lµ 42,92%. §¸p sè: 386,28 cm2; 42,92 %.

47

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 10. Nh©n dÞp kû niÖm 990 n¨m Th¨ng Long, ng−êi ta cho l¸t l¹i ®−êng ven hå Hoµn KiÕm b»ng c¸c viªn g¹ch h×nh lôc gi¸c ®Òu. D−íi ®©y lµ viªn g¹ch lôc gi¸c ®Òu cã 2 mÇu (c¸c h×nh trßn cïng mét mÇu, phÇn cßn l¹i lµ mÇu kh¸c).

H·y tÝnh diÖn tÝch phÇn g¹ch cïng mÇu vµ tØ sè diÖn tÝch gi÷a hai phÇn ®ã, biÕt r»ng AB = a = 15 cm .

A B Gi¶i: B¸n kÝnh ®−êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ®Òu π a2 1 a 3 a 3 = . DiÖn tÝch mçi h×nh trßn lµ: π R 2 = 12 3 2 6

lµ: R = ⋅

DiÖn tÝch 6 h×nh trßn lµ:

π a2 2

O

F

.

TÝnh trªn m¸y: 15 SHIFT x2 × π ÷ 2 = Min (353.4291) DiÖn tÝch toµn bé viªn g¹ch lµ: 6 ⋅ DiÖn tÝch phÇn g¹ch xäc lµ:

a 2 3 3a 2 3 . = 4 2

3a 2 3 π a 2 − .

2 2

BÊm tiÕp phÝm: 3 × 15 SHIFT x2 × 3

÷ = − MR = (231.13797)

Ên tiÕp phÝm: ÷ MR SHIFT % KÕt qu¶: 65.40 §¸p sè: 353,42 cm2 (6 h×nh trßn); 231,14 cm2 (phÇn g¹ch xäc); 65,40 % Bµi 11. Viªn g¹ch h×nh lôc gi¸c ®Òu ABCDEF cã hoa v¨n h×nh sao nh− h×nh vÏ, trong ®ã c¸c ®Ønh h×nh sao M , N , P, Q, R, S lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh cña lôc gi¸c.

Viªn g¹ch ®−îc t« b»ng hai mÇu (mÇu cña h×nh sao vµ mÇu cña phÇn cßn l¹i).

BiÕt r»ng c¹nh cña lôc gi¸c ®Òu lµ a = 16,5 cm. + TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn (chÝnh x¸c ®Õn 0,01). + TÝnh tØ sè phÇn tr¨m gi÷a hai diÖn tÝch ®ã.

A

M

B

S

N

F

O

C

R P a 2 3 3a 2 3 = .

Gi¶i: DiÖn tÝch lôc gi¸c ABCDEF b»ng: S1=6 ⋅ 4 2 D Q a a Lôc gi¸c nhá cã c¹nh lµ b = , 6 c¸nh sao lµ c¸c tam gi¸c ®Òu còng cã c¹nh lµ b = . Tõ ®ã suy 2 2 3b 2 3 3a 2 3 ra: diÖn tÝch lôc gi¸c ®Òu c¹nh b lµ S2 b»ng: S2 = = , diÖn tÝch 6 tam gi¸c ®Òu c¹nh b 2 8

lµ S3: S3 =

3a 2 3 .

8

TÝnh trªn m¸y: 3 × 16.5 SHIFT x2 × 3 Ên tiÕp phÝm: 3 × 16,5 SHIFT x2 × 3

÷ 8 × 2 = MODE 7 2 (353.66) Min ÷ 2 = − MR = (353.66)

Ên tiÕp phÝm: ÷ MR SHIFT % KÕt qu¶: 100.

VËy diÖn tÝch hai phÇn b»ng nhau.

Lêi b×nh: Cã thÓ chøng minh mçi phÇn cã 12 tam gi¸c ®Òu b»ng nhau, do ®ã diÖn tÝch hai phÇn b»ng nhau. Tõ ®ã chØ cÇn tÝnh diÖn tÝch lôc gi¸c ®Òu vµ chia ®«i.

48

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 12. Cho lôc gi¸c ®Òu cÊp 1 ABCDEF cã c¹nh AB = a = 36 mm . Tõ c¸c trung ®iÓm cña mçi c¹nh dùng mét lôc gi¸c ®Òu A ' B ' C ' D ' E ' F ' vµ h×nh sao 6 c¸nh còng cã ®Ønh lµ c¸c trung ®iÓm A ', B ', C ', D ', E ', F ' (xem h×nh vÏ). PhÇn trung t©m cña h×nh sao lµ lôc gi¸c ®Òu cÊp 2 MNPQRS .Víi lôc gi¸c nµy ta l¹i lµm t−¬ng tù A' A B nh− ®èi víi lôc gi¸c ban ®Çu ABCDEF vµ ®−îc M N B' F' h×nh sao míi vµ lôc gi¸c ®Òu cÊp 3. §èi víi lôc gi¸c cÊp 3, ta l¹i lµm t−¬ng tù nh− trªn F P c S vµ ®−îc lôc gi¸c ®Òu cÊp 4. §Õn ®©y ta dõng l¹i.

C' E' R Q C¸c c¸nh h×nh sao cïng ®−îc t« b»ng mét mÇu (g¹ch xäc), cßn c¸c h×nh thoi trong h×nh chia thµnh D E D' 2 tam gi¸c vµ t« b»ng hai mÇu: mÇu g¹ch xäc vµ mÇu "tr¾ng". Riªng lôc gi¸c ®Òu cÊp 4 còng ®−îc t« mÇu tr¾ng. a) TÝnh diÖn tÝch phÇn ®−îc t« b»ng mÇu "tr¾ng" theo a. b) TÝnh tØ sè phÇn tr¨m gi÷a diÖn tÝch phÇn "tr¾ng" vµ diÖn tÝch h×nh lôc gi¸c ban ®Çu.

Gi¶i: a) Chia lôc gi¸c thµnh 6 tam gi¸c ®Òu cã c¹nh lµ a b»ng 3 ®−êng chÐo ®i qua 2 ®Ønh ®èi xøng qua t©m, tõ ®ã ta cã b»ng

S = 6⋅

a2 3 3a 2 3 = .Chia lôc gi¸c ABCDEF thµnh 24 tam gi¸c ®Òu cã c¹nh 4 2

a . Mçi tam gi¸c ®Òu c¹nh 2

a cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch tam gi¸c "tr¾ng" A ' NB ' (xem h×nh 2

vÏ). Suy ra diÖn tÝch 6 tam gi¸c tr¾ng vßng ngoµi b»ng

6 1 = diÖn tÝch lôc gi¸c cÊp 1 ABCDEF .

24 4

1 3a 2 3 . ⋅ 4 2

VËy diÖn tÝch 6 tam gi¸c tr¾ng vßng ngoµi lµ: a 2

(1)

b 2

b) T−¬ng tù víi c¸ch tÝnh trªn ta cã: MN = b = ; c = .

1 3b 2 3 . (2) 4 2

DiÖn tÝch 6 tam gi¸c tr¾ng cña lôc gi¸c cÊp 2 MNPQRS lµ: ⋅ DiÖn tÝch 6 tam gi¸c tr¾ng cña lôc gi¸c cÊp 3 lµ:

1 3c 2 3 . ⋅ 4 2 c 2

DiÖn tÝch lôc gi¸c tr¾ng trong cïng b»ng (víi d = ):

(3)

3d 2 3 .

2

(4)

Tãm l¹i ta cã: 1 3a 2 3 3a 2 3 = 3 ; 4 2 2

S1 = ⋅ S3 =

S2 =

1 3b 2 3 1 3a 2 3 3a 2 3 ⋅ = ⋅ = ; 4 2 4 2 ⋅ 22 25

3d 2 3 1 3c 2 3 1 3a 2 3 3a 2 3 3a 2 3 3a 2 3 ⋅ = ⋅ = ; S = = = .

4 4 2 4 2 ⋅ 42 2 27 27 2 ⋅ 82

Str¾ng =S1+S2+S3+S4 = 3a 2 3 ( Ên phÝm: 3 × 36 SHIFT x2 × 3

3a 2 3 24 + 22 + 2 1 1 2 + + )= .

2 26 23 25 2 7 ÷ 2 = MODE 7 2 (3367.11) Min

VËy SABCDEF = 3367,11 mm2. Ên tiÕp phÝm: 2 SHIFT x y 4 + 2 SHIFT x + 2 = ÷ 2 SHIFT

49

http://www.ebook.edu.vn

x y 6 × MR = (1157.44)

VËy Str¾ng ≈ 1157,44 mm2.

Strang

÷ MR SHIFT % (34.38). VËy

Ên tiÕp phÝm:

SABCDEF

≈ 34,38%.

§¸p sè: 1157,44 mm2 vµ 34,38%.

Bµi 13. Cho h×nh vu«ng cÊp mét ABCD víi ®é dµi c¹nh lµ AB = a = 40 cm . LÊy A, B, C , D lµm t©m, thø tù vÏ c¸c cung trßn b¸n kÝnh b»ng a, bèn cung trßn c¾t nhau t¹i M , N , P, Q . Tø gi¸c MNPQ còng lµ h×nh vu«ng, gäi lµ h×nh vu«ng cÊp 2. T−¬ng tù nh− trªn, lÊy M , N , P, Q lµm t©m vÏ c¸c cung trßn

b¸n kÝnh MN , ®−îc 4 giao ®iÓm E , F , G , H lµ h×nh vu«ng cÊp 3. T−¬ng tù lµm tiÕp ®−îc h×nh vu«ng cÊp 4 XYZT th× dõng l¹i (xem h×nh vÏ). a) TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh kh«ng bÞ t« mÇu (phÇn ®Ó tr¾ng theo a). b) T×m tØ sè phÇn tr¨m gi÷a hai diÖn tÝch t« mÇu vµ kh«ng t« mÇu.

Gi¶i: a) TÝnh diÖn tÝch 4 c¸nh hoa tr¾ng cÊp 1 (b»ng 4 viªn ph©n trõ ®i 2 lÇn diÖn tÝch h×nh vu«ng cÊp 2).

S1 = 4 ⋅

π a2 a2 -

4

2

− 2b 2

( b lµ c¹nh h×nh vu«ng cÊp 2).

T−¬ng tù, tÝnh diÖn tÝch 4 c¸nh hoa tr¾ng cÊp 2 vµ cÊp 3: S2 = 4( S3 = (

π b2 b2 4

-

2

π c2 c2 4

-

2

) − 2c 2 ( c lµ c¹nh h×nh vu«ng cÊp 3).

) − 2d 2

( d lµ c¹nh h×nh vu«ng cÊp 4).

Rót gän: S1 = a2( π - 2) - 2b2; S2 = b2( π - 2) - 2c2; S3 = c2( π - 2) - 2d2 ; Str¾ng=S1+S2+S3 = π (a2 + b2 + c2)-4(b2 + c2)-2 (a2 + d2). = 300; b = QM = 2MK = 2a.sin150 = a(2sin150). b) Ta cã: MCQ T−¬ng tù: c = 2b.sin150 = a(2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3.

Ký hiÖu x = 2sin150, ta cã: b = a.x; c = ax2; d = ax3.

Thay vµo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch Str¾ng ta ®−îc: Str¾ng = π (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6) = π a 2 (1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6)

Ên phÝm: 15 o,,, sin × 2 = Min SHIFT x y 4 + MR SHIFT x2 + 1 = × SHIFT π × 40 SHIFT x 2 − 4 × 40 SHIFT x 2 × [( MR SHIFT x 2 + MR SHIFT x y 4 )] − 2 × 40 SHIFT x 2 × [( 1 + MR SHIFT x y 6 = MODE 7 2 (1298.36) Min

VËy Str¾ng ≈ 1298,36 cm2.

BÊm tiÕp phÝm: 40 SHIFT x2 − MR = (301.64) VËy Sg¹ch xäc ≈ 301,64 cm2.

50

http://www.ebook.edu.vn

BÊm tiÕp phÝm: ÷ MR SHIFT % (23.23) VËy

Sgach xoc Strang

≈ 23,23%.

§¸p sè: 1298,36 cm2; 23,23%.

Bµi 14. Cho tam gi¸c ®Òu ABC cã c¹nh lµ a = 33,33 cm vµ t©m lµ O. VÏ c¸c cung trßn qua hai ®Ønh vµ träng t©m O cña tam gi¸c ®−îc h×nh 3 l¸. Gäi A ', B ', C ' lµ c¸c trung ®iÓm c¸c c¹nh BC, CA vµ AB. A Ta l¹i vÏ c¸c cung trßn qua hai trung ®iÓm vµ ®iÓm O, ta còng ®−îc h×nh 3 l¸ nhá h¬n. a) TÝnh diÖn tÝch phÇn c¾t bá (h×nh g¹ch xäc) B' cña tam gi¸c ABC ®Ó ®−îc h×nh 6 l¸ cßn l¹i.

O b) TÝnh tØ sè phÇn tr¨m gi÷a phÇn c¾t bá B C vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC. A' Gi¶i: A ' B ' C' còng lµ tam gi¸c ®Òu nhËn O lµm t©m (v× AA ', BB ', CC ' còng lµ c¸c ®−êng cao, ®−êng trung tuyÕn cña ∆ A ' B ' C' ). 6 chiÕc l¸ chØ cã ®iÓm chung duy nhÊt lµ O, nghÜa lµ kh«ng cã phÇn diÖn tÝch chung.

Mçi viªn ph©n cã gãc ë t©m b»ng 600, b¸n kÝnh b»ng 1 viªn ph©n. Khi Êy S1 = Ta cã: OA =

π OA2 OA2 3 6

-

4

=

2 ®−êng cao tam gi¸c ®Òu. Gäi S1 lµ diÖn tÝch 3

OA2 (2 π -3 3 ).

12

2 a 3 a 3 = .

3 2 3

Gäi S lµ diÖn tÝch 3 l¸ lín, S' lµ diÖn tÝch 3 l¸ nhá. Khi Êy: S =6S1 =

OA2 a2 (2 π -3 3 )= (2 π -3 3 ).

2 6

Gäi c¹nh tam gi¸c ®Òu A ' B ' C' lµ b, t−¬ng tù ta còng cã: S'=

b2 a2 (2 π -3 3 ) = (2 π -3 3 ).

24 6

Tæng diÖn tÝch 6 l¸ lµ: S + S' = (2 π -3 3 )(

a2 a2 + ).

6 24

DiÖn tÝch phÇn g¹ch xäc (phÇn c¾t bá) lµ S''.

S''= S∆ABC -(S + S')= TÝnh S∆ABC : 33.33 SHIFT x2 × 3 TÝnh S'' : 7 × 3

a2 3 a2 a2 7 3 5 - (2 π -3 3 )( + ) = ( − π )a 2 .

4 6 24 8 12 ÷ 4 = (481.0290040) Min

÷ 8 − 5 ÷ 12 × π = × 33.33 SHIFT x 2 = (229.4513446)

VËy S'' ≈ 229,45 cm2. Ên tiÕp phÝm ®Ó tÝnh

S'' : ÷ MR SHIFT % KÕt qu¶: 47.70 SABC

51

http://www.ebook.edu.vn

§¸p sè: S'' ≈ 229,45 cm2;

S'' ≈ 47,70 %.

SABC

52

http://www.ebook.edu.vn

53

http://www.ebook.edu.vn

PhÇn VI. H×nh häc kh«ng gian Bµi 15. (Së GD&§T Hµ Néi, 1996, vßng tr−êng, líp 10) 1) TÝnh thÓ tÝch V cña h×nh cÇu b¸n kÝnh R = 3,173 .

2) TÝnh b¸n kÝnh cña h×nh cÇu cã thÓ tÝch V = 137, 45 dm3 .

4 3

Gi¶i: 1) Ta cã c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch h×nh cÇu: V = π R3 .

TÝnh trªn m¸y: 3.173 SHIFT x y 3 × 4 × π ÷ 3 = (133.8131596) 4 3

2) Tõ c«ng thøc V = π R3 suy ra R = 3

3V .

4π

¸p dông: 3 × 137.45 ÷ 4 ÷ π = SHIFT x y 1 ab / c 3 = (3.20148673) §¸p sè: V = 133.8134725 dm3 ; R = 3, 201486733 dm .

Bµi 16. (Së GD & §T TP HCM, 1998, vßng chung kÕt, PTTH & PTCB)

A

TÝnh gãc ∡HCH trong ph©n tö mªtan ( H : Hydro, C : Carbon).

Gi¶i: Gäi G lµ t©m tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh lµ a , I lµ t©m tam gi¸c ®Òu BCD . Gãc ∢HCH trong ph©n tö mªtan chÝnh lµ gãc ∢AGB cña tø diÖn ABCD . Khi Êy ta cã: IB = Suy ra AI = AB 2 − IB 2 = a 2 − (

a 3

)2 =

a 3 .

3

D

a 2

I

3

B C

3 4

vµ BG = AG = AI =

TÝnh AGB :2 ab / c 3

a 3 2 2

G

. Gäi E lµ ®iÓm gi÷a AB . Khi Êy sin AGE =

SHIFT sin -1 = ×

a 2

AE = = AG a 3 2 2

2 3

.

2 = SHIFT o,,, ( 109o 28o16.39 )

§¸p sè: 109o 28'16 '' .

54

http://www.ebook.edu.vn

Bµi 17. (Së GD & §T TP HCM, 1998, vßng chung kÕt, PTTH & PTCB) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD , biÕt trung ®o¹n d = 3, 415 cm , gãc gi÷a c¹nh bªn vµ ®¸y b»ng 42o17 ' .

TÝnh thÓ tÝch.

Gi¶i: Gäi c¹nh ®¸y cña chãp tø gi¸c ®Òu SABCD lµ a , chiÒu cao lµ h , ϕ lµ gãc gi÷a c¹nh bªn vµ ®¸y. Khi Êy

SH = tgϕ AH

a h2 + ( )2 = d 2 2

hay (

2d

Suy ra a =

1 + tg ϕ 2

hay h = SH =

a 2 tgϕ .

2

S

MÆt kh¸c,

a 2 a tgϕ )2 + ( )2 = d 2 .

2 2

vµ h =

a 2 d 2 tgϕ = tgϕ .

2 1 + 2tg 2ϕ

C

B

ThÓ tÝch tø diÖn ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: V=

1 2 1 d 2tgϕ 4d 2 4 2 ha = = 2 2 3 3 1 + 2tg ϕ (1 + 2tg ϕ ) 3

d 2tgϕ (1 + 2tg ϕ ) 2

3

D

TÝnh trªn m¸y: 4×2 [(

÷

M

H

.

A

3 × 3.415 SHIFT x y 3 × 42 o,,, 17 o,,, tan Min ÷

1 + 2 × MR SHIFT x 2 )] SHIFT x y 3 ab / c 2 = (15.795231442)

§¸p sè: V = 15,795 cm3 .

55

http://www.ebook.edu.vn

PhÇn VII. Ph−¬ng ph¸p lÆp gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh f ( x ) = 0 Néi dung ph−¬ng ph¸p: Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh cã duy nhÊt nghiÖm trong kho¶ng (a, b) . Gi¶i ph−¬ng tr×nh f ( x) = 0 b»ng ph−¬ng ph¸p lÆp gåm c¸c b−íc sau: 1. §−a ph−¬ng tr×nh f ( x) = 0 vÒ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng x = g ( x) .

2. Chän x0 ∈ (a, b) lµm nghiÖm gÇn ®óng ban ®Çu.

3.Thay x = x0 vµo vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh x = g ( x) ta ®−îc nghiÖm gÇn ®óng thø nhÊt x1 = g ( x0 ) . Thay x1 = g ( x0 ) vµo vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh x = g ( x) ta ®−îc nghiÖm gÇn ®óng thø hai x2 = g ( x1 ) . LÆp l¹i qu¸ tr×nh trªn, ta nhËn ®−îc d·y c¸c nghiÖm gÇn ®óng x1 = g ( x0 ) , x2 = g ( x1 )

, x3 = g ( x2 ) , x4 = g ( x3 ) ,..., xn = g ( xn −1 ) , ...

NÕu d·y c¸c nghiÖm gÇn ®óng { xn } , n = 1, 2,... héi tô, nghÜa lµ tån t¹i lim xn = x th× (víi gi¶ thiÕt hµm n →∞ g ( x)

lµ liªn tôc trong kho¶ng (a, b) ) ta cã: x = lim xn = lim g ( xn −1 ) = g (lim xn −1 ) = g ( x) . n →∞

n →∞

n →∞

Chøng tá x lµ nghiÖm ®óng cña ph−¬ng tr×nh x = g ( x) vµ do ®ã x còng lµ nghiÖm ®óng cña ph−¬ng tr×nh f ( x) = 0 .

TÝnh héi tô: Cã nhiÒu ph−¬ng tr×nh d¹ng x = g ( x) t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh f ( x) = 0 . Ph¶i chän hµm sè g ( x) sao cho d·y { xn } x©y dùng theo ph−¬ng ph¸p lÆp lµ d·y héi tô vµ héi tô nhanh tíi nghiÖm. Ta cã tiªu chuÈn sau. §Þnh lý. Gi¶ sö (a, b) lµ kho¶ng c¸ch ly nghiÖm x cña ph−¬ng tr×nh x = g ( x)

f ( x) = 0

vµ ph−¬ng tr×nh

t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh f ( x) = 0 . NÕu g ( x) vµ g '( x) lµ nh÷ng hµm sè liªn tôc sao cho

g ′( x) ≤ q < 1 ∀x ∈ [ a, b]

xn = g ( xn −1 )

th× tõ mäi vÞ trÝ ban ®Çu x0 ∈ (a, b) d·y { xn } x©y dùng theo ph−¬ng ph¸p lÆp

sÏ héi tô tíi nghiÖm duy nhÊt x trong kho¶ng (a, b) cña ph−¬ng tr×nh f ( x) = 0 .

ThÝ dô 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x 3 − x 2 − 1 = 0 .

Ph−¬ng tr×nh nµy cã duy nhÊt nghiÖm trong kho¶ng (1;1.5) vµ t−¬ng ®−¬ng víi x = 3 x2 + 1 .

Do g ( x) = 3 x 2 + 1 cã ®¹o hµm g '( x) =

2x 3 ( x + 1) 3

2

2

tháa m·n ®iÒu kiÖn g '( x) =

1 3

4

<1

trong

kho¶ng (1;1.5) nªn d·y lÆp xn +1 = 3 xn2 + 1 héi tô tíi nghiÖm duy nhÊt tõ mét ®iÓm bÊt kú trong kho¶ng (1;1.5)

.

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS: Khai b¸o hµm g ( x) = 3 x 2 + 1 : SHIFT

3

( ALPHA X

x2 + 1 )

B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng CALC m¸y hiÖn X? Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 = 1 vµ bÊm phÝm = .

56

http://www.ebook.edu.vn

Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp CALC Ans = ta còng ®i ®Õn x = 1.465571232 .

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-500 MS : Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 = 1 b»ng c¸ch bÊm phÝm 1 = .

Khai b¸o d·y xÊp xØ xn +1 = g ( xn ) = 3 x 2n + 1 : SHIFT

3

( Ans x 2 +

1)

Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp = ta còng ®i ®Õn x = 1.465571232 .

VËy nghiÖm xÊp xØ (chÝnh x¸c ®Õn 9 ch÷ sè thËp ph©n) lµ x = 1.465571232 .

ThÝ dô 2. T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh e x + x − 3 = 0 .

V× f ( x) = e x + x − 3 cã ®¹o hµm f '( x) = e x + 1 > 0 ∀x nªn nã ®ång biÕn trªn toµn trôc sè. H¬n n÷a, f (0) = −3 , f (1) = e − 2 > 0 nªn ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt n»m trong kho¶ng (0,1) .

Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi x = ln(3 − x) . §Æt g ( x) = ln(3 − x) th× g '( x) = −

1 3− x

nªn g '( x) <

1 ∀x ∈ ( 0,1) .

2

Do ®ã d·y lÆp xn +1 = ln(3 − xn ) héi tô tõ mäi ®iÓm bÊt kú trong kho¶ng (0,1) .

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS: Khai b¸o g ( x) = ln(3 − x) :

ln (

3 − ALPHA X )

B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng CALC m¸y hiÖn X? Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 =

1 2

: 1 ab / c 2 vµ bÊm phÝm = .

Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp CALC Ans = ta còng ®i ®Õn x26 = x27 = x28 = 0.792059968 .

VËy nghiÖm gÇn ®óng lµ 0, 792059968 .

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-500 MS : 1 2

Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 = : 1 ab / c 2 vµ bÊm phÝm = .

Khai b¸o d·y xÊp xØ xn +1 = g ( xn ) = ln(3 − xn ) :

ln (

3 − Ans )

Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp = ta còng ®i ®Õn x26 = x27 = x28 = 0, 792059968 .

VËy nghiÖm xÊp xØ (chÝnh x¸c ®Õn 9 ch÷ sè thËp ph©n) lµ x = 0, 792059968 NhËn xÐt 1. NÕu chØ ®ßi hái nghiÖm chÝnh x¸c ®Õn 5 ch÷ sè thËp ph©n sau dÊu phÈy th× chØ cÇn sau 13 b−íc lÆp ta ®· ®i ®Õn nghiÖm lµ 0,79206.

NhËn xÐt 2. NÕu ta ®−a ph−¬ng tr×nh e x + x − 3 = 0 vÒ d¹ng x = 3 − e x th× g ( x) = 3 − e x cã ®¹o hµm g '( x) = −e x

kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn g '( x) ≤ q < 1 ∀x ∈ ( 0,1)

nªn ta ch−a thÓ nãi g× ®−îc vÒ sù héi tô cña d·y lÆp.

57

http://www.ebook.edu.vn

NhËn xÐt 3. Chän ®iÓm xuÊt ph¸t x0 = 2 ([2], trang 62) th× cÇn nhiÒu b−íc lÆp h¬n.

Dïng lÖnh solve ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh trªn Maple: > solve(exp(x)+x-3,x); -LambertW(exp(3)) + 3 M¸y cho ®¸p sè th«ng qua hµm LambertW. Ta cã thÓ tÝnh chÝnh x¸c nghiÖm ®Õn 30 ch÷ sè nhê lÖnh: > evalf(",30); .79205996843067700141839587788 Lêi b×nh: Maple cho ta ®¸p sè ®Õn ®é chÝnh x¸c tuú ý.

ThÝ dô 3. T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh x + ln x = 0 .

V×

f ( x) = x + ln x

1 e

1 e

lµ mét hµm ®ång biÕn ngÆt trªn (0, +∞) . H¬n n÷a f (1) = 1 > 0 vµ f ( ) = − 1 < 0 nªn 1 e

ph−¬ng tr×nh cã duy nhÊt nghiÖm trªn kho¶ng ( ,1) .

Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi x = e − x = g ( x) .

V× g '( x) = −e − x nªn g '( x) = e − x ≤

1 e

e

<1

1 e

víi mäi x ∈ ( ,1) nªn d·y lÆp xn +1 = e − xn héi tô.

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS: Khai b¸o g ( x ) = e − x : SHIFT e x ( − ALPHA X ) 1 2

B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng CALC m¸y hiÖn X? Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 = : 1 ab / c 2 vµ bÊm phÝm = . Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp CALC Ans = ta còng ®i ®Õn x = 0,567143290 .

VËy nghiÖm gÇn ®óng lµ x = 0,567143290 .

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-500 MS: 1 2

Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 = : 1 ab / c 2 vµ bÊm phÝm = .

Khai b¸o xn +1 = g ( x n ) = e− xn : SHIFT e x ( − Ans ) Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp = ta còng ®i ®Õn x = 0,567143290 .

VËy nghiÖm gÇn ®óng lµ x = 0,567143290 .

ThÝ dô 4. T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh x = cos x := g ( x) .

V× x=−

f ( x) = x − cos x

π 2

+ 2 kπ

cã ®¹o hµm f '( x) = 1 + sin x ≥ 0 ∀x vµ chØ b»ng 0 t¹i mét sè ®iÓm rêi r¹c π

π

2

2

nªn nã lµ hµm ®ång biÕn ngÆt. Do f (0) = −1 vµ f ( ) = π

nªn ph−¬ng tr×nh cã duy

nhÊt nghiÖm trong kho¶ng (0, ) .

2

HiÓn nhiªn

π

g '( x) = − sin x < sin( − ε ) < 1 2

π

víi mäi x ∈ (0, − ε ) víi ε ®ñ nhá nªn d·y xn +1 = cos xn 2

π

héi tô trong kho¶ng (0, − ε ) .

2

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS:

58

http://www.ebook.edu.vn

Ên phÝm MODE MODE MODE MODE 2 (tÝnh theo Radian).

Khai b¸o g ( x) = cos x : cos ALPHA X B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng CALC m¸y hiÖn X? Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 = 1.5 vµ bÊm phÝm = . Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp CALC Ans = ta còng ®i ®Õn x = 0, 739085133 radian .

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-500 MS hoÆc Casio fx-570 MS: BÊm phÝm MODE MODE MODE MODE 2 (tÝnh theo Radian) trªn Casio fx-570 MS hoÆc MODE MODE MODE 2

(tÝnh theo Radian) trªn Casio fx-500 MS.

Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 = 1.5 : 1.5 vµ bÊm phÝm = .

Khai b¸o xn +1 = g ( x n ) = cos xn : cos Ans Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp = ta còng ®i ®Õn x = 0.739085133 .

ThÝ dô 5. T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh x 3 − 3x + 1 = 0 .

V× f (−2) = −1 , f (−1) = 3 , f (1) = −1 , f (2) = 3 vµ x 3 − 3x + 1 = 0 lµ ph−¬ng tr×nh lµ bËc 3 nªn nã cã ®óng 3 nghiÖm trong c¸c kho¶ng (−2, −1) , (−1,1) , (1, 2) .

Ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi x = 3 3x − 1 . XÐt kho¶ng (−2, −1) . §Æt g ( x) = 3 3x − 1 . Ta cã

1

g '( x) =

3

(3x − 1)

2

<

1 3

16

<1

nªn d·y xn +1 = 3 3xn − 1 héi tô trong kho¶ng

(−2, −1) .

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS: Ên phÝm MODE 1 (tÝnh theo sè thùc).

Khai b¸o g ( x) = 3 3x − 1 : SHIFT

3

(

3 × ALPHA X − 1 )

B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng CALC m¸y hiÖn X? Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 = −1 vµ bÊm phÝm = .

Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp CALC Ans = ta còng ®i ®Õn x1 ≈ −1,879385242 .

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-500 MS : Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 = −1 :

−

1 vµ bÊm phÝm = .

Khai b¸o xn +1 = g ( xn ) = 3 3xn − 1 : SHIFT

3

(

3 × Ans − 1 )

Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp = ta còng ®i ®Õn x1 ≈ −1,879385242 .

VËy mét nghiÖm gÇn ®óng lµ x1 ≈ −1,879385242 .

Dïng s¬ ®å Horner ®Ó h¹ bËc, sau ®ã gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc hai ta t×m ®−îc hai nghiÖm cßn l¹i lµ: x ≈ 1,53208886 vµ x ≈ 0,3472963 .

Chó ý: §Ó tÝnh nghiÖm x2 ≈ 0,3472963 ta kh«ng thÓ dïng ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng x = 3 3x − 1 = g ( x) (0,1)

nh− trªn v× g '( x) =

1 3

(3x − 1)2

kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn g '( x) ≤ q < 1 trong kho¶ng

vµ d·y lÆp xn +1 = 3 3xn − 1 kh«ng héi tô (H·y thö khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x = 0,3472963 vµ thùc

59

http://www.ebook.edu.vn

hiÖn d·y lÆp xn +1 = 3 3xn − 1 theo quy tr×nh bÊm phÝm trªn, ta sÏ thÊy d·y lÆp héi tô tíi x1 ≈ −1,879385242 ).

NhËn xÐt 1: Cã thÓ gi¶i ph−¬ng tr×nh x 3 − 3x + 1 = 0 trªn Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-570 MS theo ch−¬ng tr×nh cµi s½n trªn m¸y, quy tr×nh bÊm phÝm sau: Vµo MODE gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc ba: MODE MODE 1 ⊳ 3 Khai b¸o hÖ sè: 1 =

0 =

(-) 3 =

1 =

M¸y hiÖn ®¸p sè x1 = 1.53088886 .

BÊm tiÕp phÝm = , m¸y hiÖn x2 = −1.879385242 .

BÊm tiÕp phÝm = , m¸y hiÖn x3 = 0.347296355 .

VËy ph−¬ng tr×nh cã ba nghiÖm thùc x1 = 1.53088886 ; x2 = −1.879385242 ; x3 = 0.347296355 .

ThÝ dô 6. T×m giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè f ( x) = − x3 + 3x 2 − 1 víi trôc hoµnh (chÝnh x¸c ®Õn 10−7 ).

Gi¶i: Giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè f ( x) = − x3 + 3x 2 − 1 víi trôc hoµnh chÝnh lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f ( x) = − x3 + 3x 2 − 1 = 0 .

V× f (−1) = 3 , f (0) = −1 , f (1) = 1 , f (2,5) = 2,125 vµ f (3) = −1 nªn ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm trong c¸c kho¶ng (−1; 0) , (0;1) vµ (2,5;3) .

Ph−¬ng tr×nh f ( x) = − x3 + 3x 2 − 1 = 0 t−¬ng ®−¬ng víi x = 3 3x 2 − 1 . §Æt g ( x) = 3 3x 2 − 1 th× g '( x) =

2x 3

(3x 2 − 1)2

vµ g '( x) < 0,9 < 1 .

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS: BÊm phÝm MODE 1 (tÝnh theo sè thùc).

Khai b¸o g ( x) = 3 3x 2 − 1 :

SHIFT

3

(

3 × ALPHA X x 2 − 1 )

B¾t ®Çu tÝnh to¸n b»ng CALC m¸y hiÖn X? Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 = 2, 7 vµ bÊm phÝm = .

Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp CALC Ans = ta ®i ®Õn nghiÖm x ≈ 2,879385242 .

D·y lÆp trªn m¸y Casio fx-570 MS hoÆc Casio fx-500 MS : Khai b¸o gi¸ trÞ ban ®Çu x0 = 2, 7 : 2.7 = .

Khai b¸o xn +1 = g ( xn ) = 3 3 x n2 − 1 :

SHIFT

3

(

3 × Ans x 2 − 1 )

Sau ®ã thùc hiÖn d·y lÆp = ta còng ®i ®Õn x ≈ 2,879385242 .

VËy mét nghiÖm gÇn ®óng lµ x ≈ 2,879385242 .

Hai nghiÖm cßn l¹i cã thÓ t×m b»ng ph−¬ng ph¸p lÆp hoÆc ph©n tÝch ra thõa sè råi t×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai hoÆc mét lÇn n÷a dïng ph−¬ng ph¸p lÆp.

Bµi tËp Bµi tËp 1. T×m kho¶ng c¸ch ly nghiÖm cña c¸c ph−¬ng tr×nh sau ®©y: 1) x 4 − 4 x − 1 = 0 ;

2) x 3 − 9 x 2 + 18 x − 1 = 0 ;

60

3) lg x − 3 x + 5 = 0 . http://www.ebook.edu.vn

Bµi tËp 2 (Thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh bá tói, Së GD & §T Tp. HCM, 24.11.1996).

Gi¶i ph−¬ng tr×nh (t×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh): 1) x 3 − 7 x + 4 = 0 ;

2) x 3 + 2 x 2 − 9 x + 3 = 0 ;

4) x 6 − 15 x − 25 = 0 ;

5) 2 x 5 − 2 cos x + 1 = 0 ;

7) 2 cos 3x − 4 x − 1 = 0 ;

8) x 2 − tgx − 1 = 0 (− < x < 0) ;

π

2

3) 32 x 5 + 32 x − 17 = 0 ; 6) x 2 + sin x − 1 = 0 ; 9) Cho −1 < x < 0 .

T×m mét nghiÖm gÇn ®óng cña cos x + tg 3 x = 0 ;

10) (C©u hái thªm cho tr−êng chuyªn Lª Hång Phong): 10a) x 4 − x 2 + 7 x + 2 = 0 ;

10b) x − 6 x − 1 = 0 .

Bµi tËp 3 (Thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh bá tói, Së GD & §T Hµ Néi, 18.12.1996).

T×m mét nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh: 1) x 3 + 5 x − 1 = 0 ;

2) x 6 − 15 x − 25 = 0 ;

3) x 9 + x − 10 = 0 ;

4) x − 6 x − 1 = 0 ;

5) x 3 − cos x = 0 ;

6) x − cot gx = 0 (0 < x < ) ;

π

2

7) T×m mét nghiÖm gÇn ®óng (lÊy 3 sè lÎ) cña ph−¬ng tr×nh: x 2 − tgx − 1 = 0 ; 8) T×m mét nghiÖm gÇn ®óng (lÊy 2 sè lÎ thËp ph©n) cña: x 2 + sin x − 1 = 0 .

Bµi tËp 4 (Thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh bá tói, Së GD & §T §ång Nai, 15.2.1998).

T×m mét nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh: 2) x 9 + x − 7 = 0 ; 3) x + 7 x − 1 = 0 ; 4) x + 7 x − 2 = 0 .

1) x 3 + 5 x − 2 = 0 ; Bµi tËp 5 (Thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh bá tói, Së GD & §T Tp. HCM, 15.3.1998).

T×m mét nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh: 1) 3x − 2 8 x − 5 = 0 ; 2) x 5 − 2 x − sin(3x − 1) + 2 = 0 ; 3) T×m nghiÖm ©m gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh: x10 − 5 x3 + 2 x − 3 = 0 ; 4) (C©u hái thªm cho tr−êng chuyªn Lª Hång Phong): T×m mét nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh 2 x + 3x + 5x = 11x .

Bµi tËp 6. T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö bá tói: 1) x 3 + 3 x 2 − 3 = 0 ; 2) x 3 − x − 1 = 0 ; 3) x 3 + 5 x − 1 = 0 ; 5) 8 x3 + 32 x − 17 = 0 ; 6) x 5 − x − 0, 2 = 0 ; 4) 5 x 3 − 20 x + 3 = 0 ; 7) x 3 + x − 1000 = 0 ;

8) x 7 + 5 x − 1 = 0 ;

9) x16 + x − 8 = 0 ;

10) x − x = 1 ;

11) 5 x − x − 3 = 0 ;

12) x + 1 = ;

13) x − 3 x = 1 ; 16) 4 x + 5x = 6 x ;

14) 3x − 2 6 x − 5 = 0 ; 17) 13x + 11x = 19 x ;

15) 3x − 2 8 x − 5 = 0 18) 2 x + 3x + 4 x = 10 x ;

1 x

61

http://www.ebook.edu.vn

19) x 3 + log x − 2 = 0 ;

π

21) cos x = log x (0 < x < ) ;

20) 2 cos x − e x = 0 ;

2

cos x − tgx = 0 .

62

http://www.ebook.edu.vn

22)

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs PhÇn: H−íng dÉn Sö dông m¸y tÝnh cÇm tay 1. C¸c lo¹i phÝm trªn m¸y tÝnh: 1.1 PhÝm chung: PhÝm

Chøc N¨ng Më m¸y T¾t m¸y Cho phÐp di chuyÓn con trá ®Õn vÞ trÝ d÷ liÖu hoÆc phÐp to¸n cÇn söa NhËp tõng sè NhËp dÊu ng¨n c¸ch phÇn nguyªn víi phÇn thËp ph©n cña sè thËp ph©n.

C¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n, chia.

Xo¸ hÕt

ON

SHIFT

OFF





0 1 ... 9 . +

-

÷

x

AC

Xo¸ kÝ tù võa nhËp.

DEL

(−)

DÊu trõ cña sè ©m.

CLR

Xo¸ mμn h×nh.

1.2 PhÝm Nhí: PhÝm RCL STO A E

B

F

C

X

D

Y

M+

M−

1.3 PhÝm §Æc BIÖt: PhÝm SHIFT ALPHA MODE ( ; ) EXP

π ,,,

 ,,,

DRG  Rnd nCr

M

Chøc N¨ng Gäi sè ghi trong « nhí G¸n (Ghi) sè vμo « nhí C¸c « nhí, mçi « nhí nμy chØ nhí ®−îc mét sè riªng, Riªng « nhí M thªm chøc n¨ng nhí do M+; M- g¸n cho Céng thªm vμo sè nhí M hoÆc trõ bít ra sè nhí M. Chøc N¨ng ChuyÓn sang kªnh ch÷ Vμng.

ChuyÓn sang kªnh ch÷ §á Ên ®Þnh ngay tõ ®Çu KiÓu, Tr¹ng th¸i, Lo¹i h×nh tÝnh to¸n, Lo¹i ®¬n vÞ ®o, D¹ng sè biÓu diÔn kÕt qu¶ . . . cÇn dïng.

Më ; ®ãng ngoÆc.

Nh©n víi luü thõa nguyªn cña 10 NhËp sè π NhËp hoÆc ®äc ®é; phót; gi©y ChuyÓn ®¬n vÞ gi÷a ®é , ra®ian, grad Lμm trßn gi¸ trÞ.

TÝnh tæ hîp chËp r cña n 1

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs nPr TÝnh chØnh hîp chËp r cña n

1.4 PhÝm Hμm : PhÝm sin

cos

sin −1

tan

cos −1 log ex

tan −1

ln

L«garit thËp ph©n, L«garit tù nhiªn.

. 10e

x2

x3

3

n

x −1 ∧ x! % Abs ab / c ; d / c CALC d / dx .



Chøc N¨ng TÝnh TSLG: Sin ; cosin; tang TÝnh sè ®o cña gãc khi biÕt 1 TSLG:Sin; cosin; tang.

Hμm mò c¬ sè e, c¬ sè 10 B×nh ph−¬ng , lËp ph−¬ng.

C¨n bËc hai, c¨n bËc ba, c¨n bËc n.

Sè nghÞch ®¶o Sè mò.

Giai thõa PhÈn tr¨m Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi NhËp hoÆc ®äc ph©n sè, hçn sè ; §æi ph©n sè ra sè thËp ph©n, hçn sè.

TÝnh gi¸ trÞ cña hμm sè.

TÝnh gi¸ trÞ ®¹o hμm DÊu ng¨n c¸ch gi÷a hμm sè vμ ®èi sè hoÆc ®èi sè vμ c¸c cËn.

TÝnh tÝch ph©n.

dx

ENG  ENG

ChuyÓn sang d¹ng a * 10n víi n gi¶m.

ChuyÓn sang d¹ng a * 10n víi n t¨ng.

Pol(

§æi to¹ ®é ®Ò c¸c ra to¹ ®é cùc

Rec(

§æi to¹ ®é cùc ra to¹ ®é ®Ò c¸c NhËp sè ngÉu nhiªn

Ran #

1.5 PhÝm Thèng Kª: PhÝm

Chøc N¨ng NhËp d÷ liÖu DÊu ng¨n c¸ch gi÷ sè liÖu vμ tÇn sè.

DT

;

x

2

S − SUM

Gäi

S − VAR

Gäi x ; δ n

n

Tæng tÇn sè

x ; δn

x x

2

;

x ;

n

Sè trung b×nh; §é lÖch chuÈn.

Tæng c¸c sè liÖu Tæng b×nh ph−¬ng c¸c sè liÖu.

2

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

lÝ thuyÕt - d¹ng bμi tËp c¬ b¶n: PhÇn 1: d¹ng to¸n vÒ ph©n sè - sè thËp ph©n: I. LÝ thuyÕt: 1. C«ng thøc ®æi STPVHTH (sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoμn) ra ph©n sè:

( c1c2 ...cn )

A, b1b2 ...bm ( c1c2 ...cn ) = A, b1b2 ...bm ( c1c2 ...cn ) +

99...9 00...0  n

m

VÝ dô 1: §æi c¸c sè TPVHTH sau ra ph©n sè: 6 9

+) 0, ( 6 ) = =

2 3

+) 0,3 (18) = 0,3 +

18 7 = 990 22

231 77 = 999 333

+)

0, ( 231) =

+)

6,12 ( 345 ) = 6,12 +

345 99900

VÝ dô 2: NÕu F = 0,4818181... lμ sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoμn víi chu kú lμ 81.

Khi F ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng ph©n sè th× mÉu lín h¬n tö lμ bao nhiªu?

Gi¶i: Ta cã: F = 0,4818181... = 0, 4 ( 81) = 0, 4 +

81 53 = 990 110

VËy khi ®ã mÉu sè lín h¬n tö lμ: 110 - 53 = 57 VÝ dô 3: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321).

52501 ĐS : 16650 Gi¶i:

Ta ñaët 3,15(321) = a Hay : 100.000 a = 315321,(321) (1) 100 a = 315,(321) (2) Laáy (1) tröø (2) veá theo veá ta coù : 99900 a = 315006 Vaäy a =

315006 52501 = 99900 16650

§¸p sè:

52501 16650

Khi thöïc haønh ta chæ thöïc hieän pheùp tính nhö sau cho nhanh:

315321 − 315 315006 52501 = = 99900 99900 16650

 Chó ý: Khi thùc hiÖn tÝnh to¸n ta cÇn chó ý c¸c ph©n sè nμo ®æi ra ®−îc sè thËp

ph©n ta nªn nhËp sè thËp ph©n cho nhanh.

 VÝ dô: 4/5 = 0,8

3

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

II. C¸c d¹ng bμi tËp:

I. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: VÝ dô 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2  4 4   0,8 :  − 1, 25  1, 08 −  : 4 25  7 5 +  + (1, 2.0,5 ) : A= 1 1 2 5  0, 64 − 6, ( 5 ) − 3  .2  25 4  17 

a)

 3 : (0,2 − 0,1)

(34,06 − 33,81)x 4



2 4

b) B = 26 :  + + :  2,5 x(0,8 + 1,2) 6,84 : (28,57 − 25,15)  3 21 1 33 2 1 4 ) − ( x2 ) : 3 25 5 3 3

c) C = [0, (5) x0, (2)] : (3 :

§¸p sè: A = −

53 27

B = −1

C=

26 27

−293 450

VÝ dô 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:  1 3   3 1  3 4    +  :  −  +    2 4   7 3  7 5   A=  7 3   2 3   5 3    +   +  :  −    8 5   9 5   6 4  

a)

b)

B=

sin 2 350.cos3 200 + 15tg 2 400.tg 3 250 3 3 0 sin 42 : 0,5cot g 3 200 4

 §¸p sè: A = . . . . . . . . . . . §¸p sè: B = . . . . . . . . . .

VÝ dô 3: Tính giá trị của biểu thức(chØ ghi kÕt qu¶): a) A = 321930 + 291945 + 2171954 + 3041975

(x + 5y)(x − 5y)  5x − y 5x + y  + 2   Với x = 0,987654321; y = 0,123456789 2 2 2 x +y  x + 5xy x − 5xy  §¸p sè: A = §¸p sè: B = VÝ dô 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: b) B =

a)

 1 3   3 1  3 4    +  :  −  +    2 4   7 3  7 5   A=  7 3   2 3   5 3    +   +  :  −    8 5   9 5   6 4  

§¸p sè: A = ?

b)

B=

sin 2 350.cos3 200 + 15tg 2 400.tg 3 250 3 3 0 sin 42 : 0,5cot g 3 200 4

§¸p sè: B = Bμi tËp ¸p dông:

1. Bμi 1:

(1986 A=

2

)(

)

− 1992 19862 + 3972 − 3 .1987 1983.1985.1988.1989

A =1987

B=

B=

1 ( 7 − 6,35) : 6,5 + 9,899... .

12,8 1   1  1,2 : 36 + 1 5 : 0,25 − 1,8333...  .1 4  

5 12

4

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs 17  2 5 2  7  7 8 − 6 :2  85 30 − 83 18  : 2 3 55 110  3    a) TÝnh 2,5% cña b) TÝnh 7,5% cña 0,04 2 3  7  −  :1  5 20  8

a)

11 24

b)

9 8

2. Bμi 2: 3 2 3

32

23

2 3 2

2 3 a) Cho boán soá A = [(2 ) ] , B = [(3 ) ] ; C = 2 ; D = 3 .

Haõy so saùnh A vôùi B; C vôùi D b) E = 0,3050505… laø soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn ñöôïc vieát döôùi daïng phaân soá toái giaûn. Toång cuûa töû vaø maãu laø (ñaùnh daáu ñaùp soá ñuùng) A. 464 B. 446 C. 644 D. 646 E. 664 G. 466 2  4 6   7 9  :  3 −  .  + 1    5 7   8 11   3. Bμi 3: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = 2   8 8   11 12   5  + 3  .  + 4  :  −   5   13 9   12 15   6

3 1  + 21  4 3

3

KQ: A ≈ 2.526141499 4. Bμi 4: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau  3 : (0,2 − 0,1)

(34,06 − 33,81)x 4



2 4

a) A = 26 :  + + :  2,5 x(0,8 + 1,2 ) 6,84 : (28,57 − 25,15) 3 21 b) B = (6492 + 13x1802)2 - 13x(2x649x180)2 1 1 + 7 2 3 90 c) D = 0,3(4 ) + 1, (62) : 14 − : 11 0,8(5) 11 6 5 4 3 2 1 (ChÝnh x¸c ®Õn 6 ch÷ sè thËp ph©n) d) C = 7 − + − + − + 2 3 4 5 6 7

5. Bμi 5: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2  4 4   0,8 :  − 1,25  1,08 −  : 4 25  7 5 +  a) A = + (1,2 x0,5) : 1 1 2 5  5 0,64 −  6 − 3 .2 25 4  17  9

1 1 1 2 2 2 + + 2+ + + 3 9 27 : 3 9 27 x 91919191 b) B = 182 x 4 4 4 1 1 1 80808080 − − 4− + 1− + 7 49 343 7 49 343 2 1 4 1 33 c) C = [0, (5) x0, (2)] : (3 : ) − ( x 2 ) : 5 3 3 3 25 5 5 5 + + d) S = 0, (2008) 0,0(2008) 0,00(2008) 1+

6. Bμi 6: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2005-2006- H¶i D−¬ng) 5

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs sin 3 α − 3 cos 3 α + sin 2 α cos α − 2 cos α Cho tgα = 1,5312 . TÝnh A = cos 3 α + cos 2 α sin α − 3 sin 3 α + 2 sin α

Tr¶ lêi: A = -1,873918408 Cho hai biÓu thøc P =

ax + b c 79 x 2 + 1990 x + 142431 ; Q= 2 + 3 2 x − 5 x + 2006 x − 10030 x + 2006 x − 5

1) X¸c ®Þnh a, b, c ®Ó P = Q víi mäi x ≠ 5. 2) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x =

2005 .

2006

Tr¶ lêi: 1) a = 3 ; b = 2005 ; c = 76 (4 ®iÓm) 2) P = - 17,99713 ; khi x =

2005 (4 ®iÓm) 2006

Thùc hiÖn phÐp tÝnh.

7. Bμi 7:

  4 4 4 4   + + + ..... +  . 200720072007 399 a) A =  2 15 2 35 632 2  200820082008 .

3 3 3 3   + + + ..... + 197.200   8.11 11.14 14.17

B = 1. 2 + 2. 3 + 3. 4 + ... + 9 10

c d) D =

2006 2007 2008 + + 0,20072008... 0,020072008... 0,0020072008...

8. Bμi 8: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2  4 4   0,8 :  − 1,25  1,08 −  : 4 25  7 5 +  a) A = + (1,2 x0,5) : 1 1 2 5  5 0,64 −  6 − 3 .2 25 4  17  9 2 2 2 1 1 1 2+ + + + + 3 9 27 x 91919191 3 9 27 : b) B = 182 x 1 1 1 80808080 4 4 4 1− + 4− + − − 7 49 343 7 49 343 1 33 2 1 4 c) C = [0, (5) x0, (2)] : (3 : ) − ( x 2 ) : 3 25 5 3 3 1+

9. Bμi 9: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau  3 : (0,2 − 0,1)

(34,06 − 33,81)x 4



2 4

a) A = 26 :  + + :  2,5 x(0,8 + 1,2 ) 6,84 : (28,57 − 25,15) 3 21 b) B = (6492 + 13x1802)2 - 13x(2x649x180)2 1 1 + 7 2 3 90 : c) D = 0,3(4) + 1, (62) : 14 − 11 0,8(5) 11 6 5 4 3 2 1 + − + − + ( ChÝnh x¸c ®Õn 6 ch÷ sè thËp ph©n) d) C = 7 − 2 3 4 5 6 7 THI KHU VỰC GIẢI MÁY TÍNH TRÊN MÁY TÍNH CASIO 2007 11. Bμi 11:

a) Tính giá trị của biểu thức lấy kết quả với 2 chữ số ở phần thập phân : 6

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

N= 321930+ 291945+ 2171954+ 3041975

b) Tính giá trị của biểu thức M với α = 25030', β = 57o30’ M= (1+tg 2 α )(1+cotg 2β ) + (1-sin 2 α )(1-cos 2β )  . (1-sin 2α )(1-cos 2β )

(Kết quả lấy với 4 chữ số thập phân) 1 điểm 2 điểm

a) N = 567,87 b) M = 1,7548 12. Bμi 12: TÝnh tæng c¸c ph©n sè sau: KÕt qu¶:

36 36 36 + + ........ + .

1 .3 .5 3 .5 .7 45 .47 .49 1 1 1  1  b) B =  1 − . 1 − . 1 − ........  1 − 3 9 16  10000   ....... 333 . c) C = 3 + 33 + 333 + 3333 + ....... + 333 

a) A =

 . 

n

II. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc cã ®iÒu kiÖn: 1. Bμi 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: A =

x 2 . ( 3 y − 5 z + 4 ) + 2 x. ( y 3 z 2 − 4 ) + 2 y 2 + z − 6 x. ( x + 5 y − 7 ) + z + 8 2

2

4

9 4

7 2

taïi x = ; y = ; z = 4

2. Bμi 2: a) Tính gaàn ñuùng giaù trò cuûa bieåu thöùc M = a4 + b4 + c4 neáu a + b + c = 3, ab = -2, b2 + c2 = 1 b) Cho cos x = 0,8157 ( 00 < x < 900 ) . Tính x theo ñoä , phuùt , giaây vaø cotg x ( chính xaùc ñeán 4 chöõ soá thaäp phaân ) ?

r1 = x=

r2 = cotg x =

Bμi tËp ¸p dông: 1. Bμi 1: 1) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A(x) = 3x5-2x4+2x2-7x-3 t¹i x1=1,234 x2=1,345 x3=1,456 x4=1,567 2) T×m nghiÖm gÇn ®óng cña c¸c ph−¬ng tr×nh: a/ 3 x 2 + ( 2 − 1) x − 2 = 0 b/ 2 x 3 + 5 x 2 − 5 x − 2 = 0 Gi¶i: 5 4 2 1) Ghi vμo mμn h×nh: 3 X − 2 X + 2 X − 7 X − 3 Ên = - G¸n vμo « nhí: 1,234 SHIFT STO X , di chuyÓn con trá lªn dßng biÓu thøc råi Ên = (-4,645914508) ®−îc A(x1) T−¬ng tù, g¸n x2, x3, x4 ta cã kÕt qu¶” A(x2)= -2,137267098 A(x3)= 1,689968629 A(x4)= 7,227458245 2) a/ Gäi ch−¬ng tr×nh: MODE MODE 1 → 2 7

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs NhËp hÖ sè: 3 = 2 − 1 = − 2 =

(

)

( x1 ≈ 0,791906037; x 2 ≈ −1,03105235 )

b/ Gäi ch−¬ng tr×nh: MODE MODE 1 → 3 NhËp hÖ sè: 2 = 5 = − 5 = − 2 = ( x1 = 1; x 2 ≈ −1.407609872; x3 ≈ −0,710424116 ) 2. Bμi 2: a/ T×m sè d− khi chia ®a thøc x 4 − 3x 2 − 4 x + 7 cho x-2 b/ Cho hai ®a thøc: P(x) = x4+5x3-4x2+3x+m Q(x) = x4+4x3-3x2+2x+n T×m gi¸ trÞ cña m vμ n ®Ó P(x) vμ Q(x) cïng chia hÕt cho x-3 Gi¶i: 4 2 a/ Thay x = 2 vμo biÓu thøc x - 3x - 4x + 7  KÕt qu¶ lμ sè d− Ghi vμo mμn h×nh: X4 - 3X2 + 4X + 7 G¸n: 2 Shift STO X di chuyÓn con trá lªn dßng biÓu thøc, Ên = KÕt qu¶: 3 b/ §Ó P(x) vμ Q(x) cïng chia hÕt cho x-3 th× x=3 lμ nghiÖm cña P(x) vμ Q(x) Ghi vμo mμn h×nh: X4+5X3-4X2+3X Ên = -G¸n: 3 Shift STO X , di chuyÓn con trá lªn dßng biÓu thøc vμ Ên = ®−îc kÕt qu¶ 189  m = -189 3. Bμi 3: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2005-2006 - CÈm Giμng) 3

a) Cho X =

8 − 3 5 + 3 64 − 12 20 3

57

×3 8+3 5 ;

Y=

3

9− 2

3

3+4 2

+

2 − 93 9 4

2 − 3 81

TÝnh X.Y chÝnh x¸c ®Õn 0,001 ? b) TÝnh C=

5 5 5 + + 0, (2005) 0,0(2005) 0,00(2005)

4. Bμi 4: a) TÝnh GTBT: C =

5 x 2 y 2 − 4 x 2 yz 2 + 7 x 2 z 4 − 2 xyz Víi x= 0,52, y =1,23, z = 2,123 2 x 2 z + 3 x 2 yz − 4 y 2 z 3 − xyz

C = 0.041682 b) TÝnh GTBT: C =

5 x 2 y 2 − 4 x 2 yz 2 + 7 x 2 z 4 Víi x = 0,252, y = 3,23, z = 0,123 2 x 2 z + 3 x 2 yz − 4 y 2 z 3

C = 0.276195 5. Bμi 5:

a) TÝnh :

1 1 + 7 2 3 : 90 − D = 0,3(4) + 1,(62) : 14 1 1 0, 8(5) 1 1

b) Cho biÕt a = 13,11; b = 11,05; c = 20,04 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M biÕt r»ng: M = (a2 - bc)2 + (b2 - ca)2 + (c2 - ab)2 + (ab + bc + ca) 6. Bμi 6: 8

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs 2z a) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc M = x − 1,25y + chính xaùc ñeán 0,0001 vôùi: 11 1 x=   6400 0,21 1 −  − 0,015 6400 + 55000   2 1 3   1, 72 +  : 3 4 8 z=  y = 3+2 3+ 3+ 3 3 150 × 0,94 × 5 5 3: 4 7+ 9

d) Tính gaàn ñuùng giaù trò cuûa bieåu thöùc : N =

2006 + 25 4 2005 + 3

Ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng m= 7. Bμi 7:

A=

13 3− 3 4

2006 − 2005 3 4 1+ 2

B=

ϕ

2 cos2 ϕ + cos 20 3 ñuùng ñeán 7 chöõ soá thaäp phaân .

Cho cot ϕ = . Tính B = ϕ 21 sin − 3sin 2ϕ 2

a) Tính giaù trò bieåu thöùc D vôùi x = 3,33 ( chính xaùc ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù tö ) D=

1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 x + x x + 3 x + 2 x + 5 x + 6 x + 7 x + 12 x + 9 x + 20 x + 11x + 30 2

Tính vaø ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng .

A= B= C= 8. Bμi 8: b) Tính giaù trò bieåu thöùc D vôùi x = 8,157

D=

 2x + 1  1+ x x  x D =  − − x     x x −1 x + x +1   1+ x 

Tính vaø ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng .

A= B=

r= 

9. Bμi 9: a) Tính giaù trò bieåu thöùc D =  1 + 

D=

 2 x x   1 9 −  :   vôùi x = x +1   x −1 x x + x − x −1  4

b) Tính gaàn ñuùng giaù trò cuûa bieåu thöùc : N =

2006 + 25 4 2005 + 3

13 3− 3 4

2006 − 2005 3 4 1+ 2

9

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

10. Bμi 10: 9

8

a) Tính A = 9 8 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 .

7

b) Tính C = 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 17,3913 11. Bμi 11:

22 4   10,38 ⋅ 7,12 + 10,382  1,25 ⋅ − ⋅ 1,25  + 32, 025 35 7   a. Tính A = 9 + 13 (11,81 + 8,19 ) ⋅ 0,02 : 11,25 2 2 2 b. Tính C = + + 0, (1998) 0, 0(1998) 0, 00(1998) 4

12. Bμi 12: a) Tính A = 2007 + 3 5

3

243 − 108 5 +

b) Cho sin α = .Tính B = 13. Bμi 13: a) Tính

3

243 − 108 5 ⋅ 72364

2 cos x + 5sin 2 x + 3 tan 2 x 2

5 tan 2 2 x + 6co t 2 x

3

A = 2 + 3 + 4 4 + + 8 8 + 9 9

b) Cho tan α = 2,324 .

Tính B =

8 cos3 x − 2 sin3 x + tan 3 x

2 cos x − sin3 x + sin 2 x x+2 x +1 1 c) Tính giaù trò bieåu thöùc: C = 3 + + x −1 x −1 x + x +1

vôùi x = 9,25167

Tính vaø ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng .

14. Bμi 14: Cho A = 20 + 20 + 20 + ... + 20 ; B = 3 24 + 3 24 + 3 24 + ... + 3 24 Mçi sè ®Òu cã 2005 dÊu c¨n. T×m [A + B ] ? ( Trong ®ã [A + B ] lμ phÇn nguyªn cña A+B )

III. T×m x biÕt: 4 

6 

( 2,3 + 5 : 6, 25) .7   = 1 1

 1. VÝ dô 1: T×m x biÕt: 5 :  x :1,3 + 8, 4. . 6 − 7  7  8.0, 0125 + 6,9

  

14

20

 §¸p sè: x = -20,384

2. VÝ dô 2: Tính giá trị của x từ phương trình sau  3 4  4 1  0,5 − 1 7 × 5  x − 1,25 × 1,8 :  7 + 3 2  3       = 5, 2 :  2,5 −  3  1 3 4   15,2 × 3,15 − :  2 × 4 + 1,5 × 0,8  4  2 4  §¸p sè: x = −903,4765135 3. VÝ dô 3: T×m x biÕt:   1 3  1    0,3 −  x1    x − 4 2  : 0, 003 1 20  2   : 62 + 17,81: 0, 0137 = 1301 a)   −  20   3 1 − 2, 65  x 4 : 1  1,88 + 2 2  x 1        20 5  55  8  

10

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs 1 1  13 2 5 : 2  x1  − − 15,2 x0,25 − 48,51 : 14,7  44 11 66 2  5 b) = x   1 3,2 + 0,8 x 5 − 3,25    2

4. VÝ dô 4:

T×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh viÕt d−íi d¹ng ph©n sè: 4      2   4 x − 1 + 2+ 4  1  1+  2+ 7 5   1+  8 

       

+

1 2+

= 4+

1 3+

1 4

2 1+

8 9

§¸p sè: NghiÖm cña ph−¬ng tr×nh viÕt d−íi d¹ng ph©n sè: x = 4. VÝ dô 4:

70847109 1389159 = 64004388 1254988

4

Bμi tËp ¸p dông: Sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoμn: VÝ dô 1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321).

Gi¶i: ĐS :

52501 16650

VÝ dô 2: A=

ViÕt c¸c b−íc chøng tá : 223 223 223 + + lμ mét sè tù nhiªn vμ tÝnh gi¸ trÞ cña A 0,20072007... 0,020072007... 0,0020072007...

Gi¶i: §Æt A1= 0,20072007...  10000 A1 = 2007,20072007... = 2007 + A1  9999 A1= 2007  A1=

2007 9999

1 1 A1 ; A 3 = A1 10 100  1 1 1  111  9999 99990 999900  = 123321  A = 223.  + + + +  = 223.   = 223.9999.

2007 2007   2007 2007  A1 A 2 A 3 

T−¬ng tù, A2 =

TÝnh trªn m¸y

VËy A = 123321 lμ mét sè tù nhiªn

VÝ dô 3: Cho sè tù nhiªn A =

2 2 2 + + .

0,19981998... 0, 019981998... 0, 0019981998...

Sè nμo sau ®©y lμ −íc nguyªn tè cña sè ®· cho: 2; 3; 5; 7 ; 11.

Gi¶i: A=1111=11.101

11

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

PhÇn 2: D¹ng to¸n t×m sè vμ ch÷ sè I. D¹ng T×m ch÷ sè: Bμi 1: a) T×m ch÷ sè hμng ®¬n vÞ cña sè: N = 103 2007 b) T×m ch÷ sè hμng tr¨m cña sè: P = 29 Gi¶i:

2006

a) Ta cã: 1031 ≡ 3(mod10); 1032 ≡ 9 (mod10); 1033 ≡ 3 × 9 = 27 ≡ 7(mod10); 1034 ≡ 21 ≡ 1(mod10); 1035 ≡ 3(mod10);

Nh− vËy c¸c luü thõa cña 103 cã ch÷ sè tËn cïng liªn tiÕp lμ: 3, 9, 7, 1 (chu kú 4).

2006 ≡ 2 (mod 4) , nªn 1032006 cã ch÷ sè hμng ®¬n vÞ lμ 9. b) T×m ch÷ sè hμng tr¨m cña sè: P = 292007 291 ≡ 29 ( Mod 1000); 29 2 ≡ 841(mod1000); 293 ≡ 389 (mod1000); 29 4 ≡ 281(mod1000); 295 ≡ 149 (mod1000); 296 ≡ 321(mod1000);

2910 = ( 295 ) ≡ 1492 ≡ 201(mod1000); 2

2920 ≡ 2012 ≡ 401(mod1000); 2940 ≡ 801(mod1000); 2980 ≡ 601(mod1000);

29100 = 2920 × 2980 ≡ 401× 601 ≡ 1(mod1000); 292000 = ( 29100 ) ≡ 120 ≡ 1(mod1000); 20

292007 = 292000 × 296 × 291 ≡ 1× 321× 29 (mod1000) = 309 (mod1000);

Ch÷ sè hμng tr¨m cña sè: P = 292007 lμ 3 Bμi 2: Töø 10000 ñeán 99999 coù bao nhieâu soá chia hếùt cho 3 maø khoâng chia heát cho 5.

Tính toång taát caû caùc soá naøy Gi¶i: * Caùc soá chia heát cho 3 trong khoaûng töø 10000 ñeán 99999 laø10002; 10005 ; . . . . . ;99999.

Taát caû coù : (99999 – 10002) : 3 + 1 = 30000 soá Toång cuûa taát caû caùc soá naøy laø : 10002 + . . . . . + 99999 = 1650015000 * Caùc soá vöøa chia heát cho 3 vaø cho 5 trong khoaûng töø 10000 ñeán 99999 laø 10005 ; 10020 ; . . . . .; 99990 Taát caû coù : (99990 – 10005) : 15 + 1 = 6000 soá Toång cuûa taát caû caùc soá naøy laø : 10005 + . . . . . + 99990 = 329985000 12

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

Vaäy töø 10000 ñeán 99999 coù 30000 – 6000 = 24000 soá chia heát cho 3 maø khoâng chia heát cho 5 Toång cuûa taát caû caùc soá naøy laø :1650015000 – 329985000 = 1320030000.

( ag ) = a ∗∗∗∗∗ g Tìm 2 số tự nhiên nhỏ nhất thỏa: Trong đó ***** là những chữ số không ấn định điều kiện Gi¶i: 4

Bμi 3:

ĐS : 45 ; 46 ( ag ) = a ***** g goàm 7 chöõ soá neân ,ta coù : 4

1.000 .000 ≤ ( ag ) 4 ≤ 9.999 .999  31 < ag < 57 .Duøng phöông phaùp laëp ñeå tính ta coù : Aán 31 SHIFT STO A Ghi vaøo maøn hình : A = A + 1 : A ^ 4 aán = . . . = ñeå doø Ta thaáy A = 45 vaø 46 thoaû ñieàu kieän baøi toaùn ĐS : 45 ; 46 4  Hay töø 31 < ag < 57 ta lí luaän tieáp ( ag ) = a ***** g

 g chæ coù theå laø 0 , 1 , 5 ,6 do ñoù ta chæ doø treân caùc soá 31, 35, 36, 40, 41, 45, 46,

50, 51,55, 56 ĐS : 45 ; 46  Duøng toaùn lí luaän (lôøi giaûi cuûa thí sinh Leâ Anh Vuõ – Hoïc Sinh Tröôøng Thöïc Nghieäm Giaùo Duïc Phoå Thoâng Taây Ninh), ta coù 31 < ag < 57  3 < a < 5  3000000 ≤ ( ag ) 4 ≤ 5999999 ⇔ 41 < ag < 50  a = 4

Keát hôïp vôùi g chæ coù theå laø 0 , 1 , 5 ,6 neân coù ngay 45 ; 46 laø keát quaû ĐS : 45 ; 46 Bμi 4: a) T×m ch÷ sè thËp ph©n thø 132007 sau dÊu phÈy trong phÐp chia 250000 ÷ 19 b) Khi ta chia 1 cho 49. Ch÷ sè thËp ph©n thø 2005 sau dÊu phÈy lμ ch÷ sè nμo? c) Tìm chöõ soá thaäp phaân thöù 2007 sau daáu phaåy cuûa pheùp chia 5 cho 61 d) Chöõ soá thaäp phaân thöù 2002 sau daáu phaåy laø soá naøo khi chia 1 cho 17 Gi¶i: a) Ta coù

250000 17 = 13157 + 19 19

Vaäy chæ caàn tìm chöõ soá thöù 132007 sau daáu phaåy trong pheùp chia 17 ÷ 19 AÁn 17 ÷ 19 = 0,894736842 ta ñöôïc 8 soá thaäp phaàn ñaàu tieân sau daáu phaåy laø: 89473684 (khoâng laáy soá thaäp phaân cuoái cuøng vì coù theå maùy ñaõ laøm troøn ) 13

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs −8 Ta tính tieáp 17 – 19 × 89473684 EXP – 8 = 4 × 10 −8 −9 Tính tieáp 4 × 10 ÷ 19 = 2.105263158 × 10 Ta ñöôïc 9 soá tieáp theo laø : 210526315 −8 −17 −16 = 1.5 × 10 4 × 10 – 19 × 210526315 × 10 −16

−18

1,5 × 10 ÷ 19 = 7.894736842 × 10 Suy ra 9 soá tieáp theo nöõa laø : 789473684 17 = 0,89473684210526315789473684    19 18 17 Keát luaän laø soá thaäp phaân voâ haïn tuaàn hoaøn coù chu kì laø 18 chöõ soá .

19 Ñeå thoûa ñeà baøi , ta caàn tìm soá dö khi chia 132007 cho 18

Vaäy :

Soá dö khi chia 132007 cho 18 chính laø soá coù thöù töï trong chu kì goàm 18 chöõ soá thaäp phaân.

133 ≡ 1(mod18) 2007 = (133 ) 669 ≡ 1669 = 1(mod 18) Ta coù : 13 Keát quaû soá dö laø 1 , suy ra soá caàn tìm laø soá ñöùng ôû vò trí ñaàu tieân trong chu kì goàm 18 chöõ soá thaäp phaân .

Keát quaû : soá 8

b) (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2004-2005- H¶i D−¬ng) Khi ta chia 1 cho 49. Ch÷ sè thËp ph©n thø 2005 sau dÊu phÈy lμ ch÷ sè nμo?

Gi¶i: 1 chia cho 49 ta ®−îc sè thËp ph©n v« h¹n tuÇn hoμn chu kú gåm 42 ch÷ sè 0,(020408163265306122448979591836734693877551) vËy ch÷ sè 2005 øng víi ch÷ sè d− khi chia 2005 cho 42; 2005 = 47.42+31 do ®ã ch÷ sè 2005 øng víi ch÷ sè thø 31 lμ sè c) Tìm chöõ soá thaäp phaân thöù 2007 sau daáu phaåy cuûa pheùp chia 5 cho 61 d) Chöõ soá thaäp phaân thöù 2002 sau daáu phaåy laø soá naøo khi chia 1 cho 17 Gi¶i: Bμi 5:

a) Tìm hai chữ số tận cùng của 2081994

7 3411 .

236 c) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của 8 .

b) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của

ĐS : 743

d) Goïi a laø heä soá cuûa soá haïng chöùa x8 trong trieån khai (-x3 + x2 + 1)9.

TÝnh toång caùc chöõ soá cuûa a5.

Gi¶i:

Bμi 6: a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số .Biết số đó chia 19 dư 13, chia 31 dư 12.

14

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

b) Giaû söû a laø moät soá töï nhieân cho tröôùc. Ñeå bình phöông cuûa a coù taän cuøng laø 89 thì a phaûi coù hai chöõ soá taän cuøng laø bao nhieâu ? c) Tìm chữ số cuối cùng của 172008 Gi¶i: Bμi 7: a) Trình baøy caùch tìm vaø tìm soá dö khi chia 21000 cho 25 b) Trình baøy caùch tìm vaø tìm 2 chöõ soá cuoái cuøng soá 62005 c) Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số sao cho số đó chia cho 17 dư 2 ,cho 29 dư 5 : d) Tìm boán chöõ soá taän cuøng cuûa soá a = 415116213 - 11 999 e) Trình baøy caùch tìm vaø tìm 2 chöõ soá cuoái cuøng soá 2 999 f) Trình baøy caùch tìm vaø tìm 2 chöõ soá cuoái cuøng soá 3 g) Tìm 4 chöõ soá taän cuøng cuûa soá a = 200221353 + 5 ?

Gi¶i: Bμi 8: a) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của 7

3411

. Đ/S : 743

b) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của 8 . c) Tìm hai chöõ soá taän cuøng cuûa soá 32007 d) Tìm boán chöõ soá taän cuøng cuûa soá a = 415116213 -11 236

Đ/S : 2256

Gi¶i: a) Ta coù: 710 ≡ 249(mod 1000) 7100 ≡ 24910 ≡ (249 4 ) 2 × 249 2 ≡ (001) 2 × 001 ≡ 001(mod 1000) 7 3400 ≡ 001(mod 1000) 7 3411 ≡ 7 3400 × 710 × 7 ≡ 001 × 249 × 7 ≡ 743(mod 1000)

ÑS : 743 Khi thöïc haønh ta thöïc hieän pheùp tính nhö sau cho nhanh 7 3411 ≡ 711 ≡ 743(mod 1000)

b) Deã thaáy 810 ≡ 1824(mod10000) 8 20 ≡ 1824 2 ≡ 6976(mod10000) 8 40 ≡ 6976 2 ≡ 4576(mod10000) 850 = 8 40 × 810 ≡ 4576 × 1824 ≡ 6624(mod10000) 8 200 = (850 ) 4 ≡ 6624 4 ≡ 6624 2 × 6624 2 ≡ 7376 × 7376 ≡ 5376(mod10000)

Vaø ta coù : 836 = (810 ) × 86 ≡ 18243 × 86 ≡ 4224 × 2144 ≡ 6256 ( mod10000 ) 3

Cuoái cuøng : 8236 = 8200 × 836 ≡ 5376 × 6256 ≡ 2256 ( mod10000 )

15

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

Ñ/S : 2256

Bμi 9: a)T×m sè d− cña phÐp chia sau: b) Chøng minh r»ng: 1)

102007 2004

(2001

+ 2003

200708

2006

)10 ; 2) (7 + 7 + 7 + ... + 7 2

20072008

c) T×m ch÷ sè tËn cïng cña sè sau: 20072008 9

:111007 .

3

2008

) 400

.

99

d) T×m hai ch÷ sè tËn cïng cña sè sau: 99 + 99 .

Bμi 10: 7349 a) Trình baøy caùch tìm vaø tìm soá dö r cuûa 3 khi chia cho 19 b) Tìm taát caû caùc soá coù 10 chöõ soá coù chöõ soá taän cuøng laø 4 vaø luyõ thöøa baäc naêm cuûa moät soá töï nhieân 3 2 x + 7) d) Tìm soá dö r2 trong chia 2 x + 11x − 17 x + 28 cho (

Bμi 11: e) Trình baøy caùch tìm vaø tìm soá dö khi chia 21000 cho 25 f) Trình baøy caùch tìm vaø tìm 2 chöõ soá cuoái cuøng soá 62005 c) Tìm soá dö r2 trong chia 2 x 3 + 11x 2 − 17 x + 28 cho ( x + 7 ) d) Tìm soá dö r khi chia 17762003 cho 4000

Ii. D¹ng T×m sè: Bμi 1: : (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2005-2006 - CÈm Giμng) a) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó 199 − x 2 − 2 x + 2 lμ mét sè chÝnh ph−¬ng ch½n? (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2005-2006- H¶i D−¬ng)

b) T×m sè tù nhiªn n tho¶ m·n ®¼ng thøc: [ 1] + [ 2 ] + [ 3 ] + ... + [ n ] = 805 ([x] lμ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng v−ît qu¸ x) Tr¶ lêi: n = 118 Gi¶i: Bμi 2: Tim cặp số ( x , y ) nguyen dương với x nhỏ nhất thỏa phương trình : 3

Theo ñeà cho :

156 x 2 + 807 + (12 x ) 2 = 20 y 2 + 52 x + 59 Gi¶i: 3

156 x 2 + 807 + (12 x ) 2 = 20 y 2 + 52 x + 59

2 2 2 3 ⇔ 20 y = 156 x + 807 + (12 x ) − 52 x − 59

16

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs 3

y= Suy ra: Duøng maùy tính : Ghi vaøo maøn hình :

156 x 2 + 807 + (12 x ) 2 − 52 x − 59 20

AÁn 0

SHIFT

STO X

2 2 ( 12 X ) − 52 X − 59 )  20 ) 156 X + 807 X=X+1:Y= (( ( ) + AÁn = . . . = cho ñeán khi maøn hình hieän Y laø soá nguyeân döông p thì döøng .

Keát quaû Y = 29 öùng vôùi X = 11 ĐS : x = 11 ; y = 29 Bμi 3: a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) có hai chữ số thoả mãn: x 3 - y 2 = xy b) Tìm caùc soá nguyeân döông x vaø y sao cho x2 + y2 = 2009 vaø x > y (x = 35, y = 28) Gi¶i: 3

b) G¸n x = 1 : Ghi lªn mμn h×nh : A = x 2 + y 2 Ên ckdvfkd ckdvfkd khi ®ã m¸y hái A = ? nhËp 2009 råi Ên b»ng liªn tiÕp ®Õn khi x; y lμ nh÷ng sè nguyªn th× dõng l¹i vμ ta ®−îc kÕt qu¶ x = 35; y = 28 Bμi 4:

a) Viết qui trình ấn phím để tính S =

1 2 3 4 99 100 − + − + ... + − 2.3 3.4 4.5 5.6 100.101 101.102

b) Tính gần đúng S c) Tính S = 13 + 23 + 33 + . . . + 20083 d) TÝnh : P = 3 + 33 + 333 + . . .

+ 33 . . 33 .

(Nêu cách tính)

13 C/S 3

Gi¶i: Bμi 5: a) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng 1ab = a 3 +b3 +1 Víi c¸c sè nguyªn a,b 0 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng

153 = 13 + 53 +33

4ab = 43 +a 3 +b3

Víi c¸c sè nguyªn a, b sao cho 0 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9

407 = 43 + 03 +73

c) Tìm caùc chöõ soá a, b , c , d bieát : 1ab × cd = 2004 d) Tìm caùc chöõ soá a, b , c , d, f bieát : ab5 × cdef = 2712960 e) Tìm caùc chöõ soá a, b, c trong pheùp chia ab5c ⋅ bac = 761436 bieát hai chöõ soá a, b hôn keùm nhau moät ñôn vò 17

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs f) Tìm caùc chöõ soá a, b , c , d, f bieát : ab5 × cdef = 2712960

g) Tìm soá töï nhieân n ( 500 ≤ n ≤ 1000 ) ñeå an = 2004 + 15n laø soá töï nhieân c) Bieát soá coù daïng N = 12345679 x 4 y  24 . Tìm taát caû caùc soá N ?

Gi¶i: Bμi 6: So s¸nh c¸c cÆp sè sau:

A = 5× 555

a) b) c)

A =

2006 2007

A=

222

2007 2008

B = 2× 444

vμ +1 +1

vμ

B =

2007 2008

333

2008

+1

2009

+1

.

1 + (1 + 2 ) + (1 + 2 + 3) + .... + (1 + 2 + 3 + .... + 2008 ) 1.2008 + 2.2007 + 3.2006 + ..... + 2007 .2 + 2008 .1

vμ B = 1.

Gi¶i: Bμi 7: Gi¶i: Bμi 8: 1) Tìm giaù trò cuûa x , y vieát döôùi daïng phaân soá ( hoaëc hoãn soá ) töø caùc phöông trình sau: a) 5 +

x 5+

=

2 5+

3 4 5+ 5

x 1+

5 2+

3+

4 3+

y

b) 3 5+

+

5 2+

1 6

4 2+

2) Cho x vaø y laø hai soá döông thoaû maõn ñieàu kieän :

5 2+

y 7+

3+

4 2+

=2

1 1 3+

1 4

5 3

x  = 1, 025 y  x 2 − y 2 = 2,135 

a) Trình baøy lôøi giaûi tìm giaù trò cuûa x vaø y b) Tính giaù trò cuûa x vaø y vaø ñieàn keát quaû vaøo oâ vuoâng Bμi 9: a) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc M = x − 1,25y + x=

1

  6400 0,21 1 −  − 0, 015 6400 55000 +  

2z 11

chính xaùc ñeán 0,0001 vôùi:

; y = 3+2 3+ 3+ 3 ;

2

1 3   1, 72 +  : 3 4 8 z=  3 150 × 0,94 × 5 5 3: 4 7+ 9

b) Tìm soá nguyeân x bieát neáu nhaân soá ñoù vôùi 12 roài coäng theâm 0,5 soá ñoù thì ñöôïc bình phöông soá ñoù coäng vôùi 21 18

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs 13 2006 + 25 4 2005 + 3− 3 4 c) Tính gaàn ñuùng giaù trò cuûa bieåu thöùc : N = 2006 − 2005 3 4 3 1+ 2

Bμi tËp ¸p dông: 1. Bμi 1:

a. Tính keát quaû ñuùng cuûa tích A = 2222277777 × 2222288888 2 b. Tính keát quaû ñuùng cuûa tích A = 20122007

c. Tính B =

22 h 25′18′′ × 2,6 + 7h 47′53′′ .

9h 28′16′′

d) Tính C = 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 17,3913 2. Bμi 2 a) Cho bieát tyû soá cuûa 7x – 5 vaø y + 13 laø haèng soá vaø y = 20 khi x = 2 . Hoûi khi y = 2005 thì x baèng bao nhieâu ? ( Trình baøy caùch tính vaø tính ) c) Cho cos x = 0,8157 ( 00 < x < 900 ) . Tính x theo ñoä , phuùt , giaây vaø cotg x ( chính xaùc ñeán 4 chöõ soá thaäp phaân ) ?

Gi¶i: 3. Bμi 3: a) Tìm soá töï nhieân n (1010 ≤ n ≤ 2010 ) sao cho vôùi moãi soá ñoù thì an = 20203 + 21n laø soá töï nhieân b) Tìm caùc soá töï nhieân thoaû maõn phöông trình x2 + 2y2 = 2377 c) Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình x + y + x − y = 7920 d) Tìmsoá töï nhieân n ( 20349 ≤ n ≤ 47238) ñeå 4789655 – 27 n laø laäp phöông cuûa moät soá töï nhieân ? e) Bieát soá coù daïng N = 12345679 x 4 y  24 . Tìm taát caû caùc soá N ?

Gi¶i:

PhÇn 3 C¸c bμi to¸n sè häc: I. Sè nguyªn tè: 1. LÝ thuyÕt: §Ó kiÓm tra mét sè nguyªn a d−¬ng cã lμ sè nguyªn tè hay kh«ng ta chia sè nguyªn tè tõ 2 ®Õn a . NÕu tÊt c¶ phÐp chia ®Òu cã d− th× a lμ sè nguyªn tè.

19

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

VÝ dô 1: §Ó kiÓm tra sè 647 cã lμ sè nguyªn tè hay kh«ng ta chia 647 lÇn l−ît cho c¸c sè 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29. c¸c phÐp chia ®Òu cã d− khi ®ã ta kÕt luËn sè 647 lμ sè nguyªn tè.

VÝ dô 2 : Chæ vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, hoûi coù theå vieát ñöôïc nhieàu nhaát bao nhieâu soá töï nhieân khaùc nhau maø moãi soá ñeàu coù ba chöõ soá ? Haõy vieát taát caû caùc soá ñoù.

Gi¶i: C¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè ®−îc lËp tõ 3 sè 1; 2; 3 lμ: 27 sè 111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133; 211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233 311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333; VÝ dô 3:

Trong taát caû n soá töï nhieân khaùc nhau maø moãi soá ñeàu coù baûy chöõ soá, ñöôïc vieát

ratöø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì coù k soá chia heát cho 5 vaø m soá chia heát cho 2.

H·y tính caùc soá n, k, m.

Gi¶i:

VÝ dô 4 Baøi 4: Coù 3 thuøng taùo coù toång hôïp laø 240 traùi . Neáu baùn ñi thöù hai vaø

2 3 thuøng thöù nhaát ; thuøng 3 4

4 thuøng thöù ba thì soá taùo coøn laïi trong moãi thuøng ñeàu baèng nhau. Tính soá taùo 5

lóc ñaàu cuûa moãi thuøng ? Ñieàn caùc keát quaû tính vaøo oâ vuoâng : Thuøng thöù nhaát laø 60 Thuøng thöù hai laø Thuøng thöù ba laø Gi¶i:

Gäi sè t¸o cña 3 thïng lÇn l−ît lμ: a; b; c (qu¶) §iÒu kiÖn ( 0 < a; b; c < 240 )   a + b + c = 240 a + b + c = 240 a + b + c = 240   1 1 1  1 ⇔  a − b + 0c = 0 Theo bμi ra ta cã hÖ ph−¬ng tr×nh:  1 1 1 ⇔  a= b 4 4 3  3 a = 4 b = 5 c 3 1 1 1 1   4 b = 5 c 0a + 4 b − 5 c = 0

Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh nμy ta ®−îc: a = 60 ; b = 80; c = 100 20

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

VËy Thïng thø nhÊt cã 60 (qu¶); Thïng thø hai cã 80 (qu¶); Thïng thø ba cã 100 (qu¶).

II. ¦CLN; BCNN: 1. LÝ thuyÕt: §Ó t×m ¦CLN, BCNN cña hai sè A vμ B ta rót gän ph©n sè Tõ ®ã :

A a = B b

¦CLN (A; B) = A : a BCNN(A; B) =

A×B = UCLN(A,B)

A .b

2. VÝ dô: Cho hai soá A = 1234566 vaø B = 9876546 a) Tìm ÖCLN(A, B) vaø BCNN(A,B) ? b) Goïi D = BCNN(A,B) Tính giaù trò ñuùng cuûa D3 ? Tính vaø ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng. ¦CLN(A, B) =

BCNN(A,B) =

D3 = a) VÝ dô 1: T×m ¦CLN; BCNN cña A = 209865 vμ B = 283935 Gi¶i: Ta cã:

A 209865 17 a = = = B 283935 23 b

 ¦CLN (A; B) = A : a = 209865: 17 = 12345

BCNN (A; B) = A .b = 209865.23 = 4826895.  §¸p sè:

(A; B)= 12345

; [ A; B ] = 4826895

Ta cã Goïi D = BCNN(A,B)= 4826895  D3 = 48268953 §Æt a = 4826  D3 = ( a. 103 + 895 ) = ( a. 103 ) + 3 ( a. 103 ) .895 + 3. ( a. 103 ) . ( 895 ) + ( 895 ) 3

3

2

2

3

b) VÝ dô 2: T×m UCLN cña 40096920, 9474372 vμ 51135438 Gi¶i: (Nªu ®−îc c¬ së lý thuyÕt vμ c¸ch gi¶i 2 ®iÓm; KÕt qu¶ 3 ®iÓm) Do maùy caøi saün chöông trình ñôn giaûn phaân soá neân ta duøng chöông trình naøy ñeå tìm Öôùc soá chung lôùn nhaát (ÖSCLN)

Ta có :

A a = B b

(

a toái giaûn) b

ÖSCLN(A;B) = A ÷ a AÁn 9474372 : 40096920 = 21

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs Ta ñöôïc: 6987 : 29570

ÖSCLN cuûa 9474372 vaø 40096920 laø 9474372 ÷ 6987 = 1356 Ta ñaõ bieát : ÖSCLN(a ; b ; c ) = ÖSCLN(ÖSCLN( a ; b ) ; c ) Do ñoù chæ caàn tìm ÖSCLN(1356 ; 51135438 ) AÁn 1356 : 51135438 =  Ta ñöôïc: 2 : 75421 Keát luaän : ÖSCLN cuûa 9474372 ; 40096920 vaø 51135438 laø : 1356 ÷ 2 = 678 ÑS : 678 c) VÝ dô 3: Cho ba soá A = 1193984 ; B = 157993 ; C = 38743 a) Tìm UCLN cuûa A , B , C b) Tìm BCNN cuûa A , B , C vôùi keát quaû ñuùng.

Gi¶i: a) Ñaùp soá: D = UCLN(A,B) = 583 ; UCLN(A,B,C) = UCLN(D,C) = 53 b) E = BCNN ( A, B) =

A×B = 323569644;  BCNN(A, B,C) = BCNN(E,C) = 326529424384 UCLN(A, B)

Bμi tËp ¸p dông: 1. Bμi 1: Tìm ÖCLN vaø BCNN cuûa hai soá A = 1234566 vaø B = 9876546 (ÖCLN = 18; BCNN = 677402660502) 2. Bμi 2:

T×m ¦CLN vμ BCNN cña c¸c cÆp sè sau:

a) 12356 vμ 546738

b) 20062007 vμ 121007

c) 2007 vμ 2008 vμ 20072008.

3. Bμi 3:

Tìm UCLN, BCNN của A = 45563, B = 21791, C = 182252 .

Gi¶i A : B = 23 : 11  UCLN(A,B) = A : 23 = D UCLN( C,D) = 1981  BCNN(A,B) = 45563x11 = E BCNN(C,E) = 46109756 4. Bμi 4:

UCLN(A,B,C) = 1981 BCNN(A,B,C) = 46109756

T×m ¦CLN vμ BCNN cña c¸c cÆp sè sau: a)12356 vμ 546738

b)20062007 vμ 121007

c)2007 vμ 2008 vμ 20072008.

5. Bμi 5: Cho hai soá A = 2419580247 vaø B = 3802197531 c) Tìm ÖCLN(A, B) ? d) Tìm BCNN(A,B) ?

22

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

Tính vaø ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng . ÖCLN(A, B) = . . . . . . . .. .. . . . ..

BCNN(A,B) = . . . .. . .. . .. . . .. . .

6. Bμi 6: Tìm ƯSCLN của 40096920 , 9474372 vμ 51135438.

DS: 678

Gi¶i Do maùy caøi saün chöông trình ñôn giaûn phaân soá neân ta duøng chöông trình naøy ñeå tìm Öôùc soá chung lôùn nhaát (ÖSCLN) Ta tinh :

A a = B b

a toái giaûn)  ÖSCLN : A ÷ a b 6987 ÷ 29570

(

AÁn 9474372 ÷ 40096920 = Ta ñöôïc:  ÖSCLN (9474372; 40096920) = 9474372 ÷ 6987 = 1356 Ta ñaõ bieát : ÖSCLN(a ; b ; c ) = ÖSCLN(ÖSCLN( a ; b ) ; c ) Do ñoù chæ caàn tìm ÖSCLN(1356 ; 51135438 ) Aán: 1356 ÷ 51135438 = 2 ÷ 75421 Keát luaän: ÖSCLN ( 9474372 ; 40096920 ; 51135438 )= 1356 ÷ 2 = 678 ÑS : 678 7. Bμi 7:

a) Tìm tổng các ước số lẻ của số 7677583 b) T×m −íc sè chung lín nhÊt vμ Béi sè chung nhá nhÊt cña hai sè 12705, 26565.

USCLN: 1155 BSCNN: 292215 c) T×m −íc sè chung lín nhÊt vμ Béi sè chung nhá nhÊt cña hai sè 82467, 2119887.

USCLN: 4851 BSCNN: 36.038.079 Gi¶i: a) Ta cã ¦(7677583) = {83;92501}  Tæng c¸c −íc d−¬ng cña sè 7677583 lμ: 83 + 92501 = 92584 b) Ta cã:

12705 11 = 26565 23

VËy

 ÖSCLN(12705; 26565) = 12705 ÷ 11 = 1155

USCLN: 1155

Ta cã E = BCNN ( A, B) =

A×B 12705 x 26565 = = 292215 UCLN(A, B) 1155

VËy BSCNN: 292215 c) Ta cã:

82467 17 = 2119887 437

VËy

 ÖSCLN(82467, 2119887) = 82467÷ 17 = 4851

USCLN: 4851

Ta cã E = BCNN ( A, B) =

A×B 82467 x 2119887 = = 36 038 079 UCLN(A, B) 4851

VËy BSCNN: 36.038.079 3. T×m sè d− cña phÐp chia A cho B: A a. LÝ thuyÕt: Sè d− cña phÐp chia A cho B lμ: : A − B.   B

23

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs A (trong ®ã:   lμ phÇn nguyªn cña th−¬ng A cho B) B

b) VÝ dô 1: T×m sè d− cña phÐp chia Ta cã:

22031234 : 4567

A 22031234  A = = 4824, 005693    = 4824 B 4567 B

 A  A − B.   = 22031234 − 4567.4824 = 26 B

§¸p sè : 26

c) VÝ dô 2: T×m sè d− cña phÐp chia 22031234 cho 4567 Ta cã:

A 22031234  A = = 4824, 005693    = 4824 B 4567 B  A  A − B.   = 22031234 − 4567.4824 = 26 B

§¸p sè : 26

Bμi 1: a) Tìm soá dö r khi chia 39267735657 cho 4321 b) dö r1 trong chia 186054 cho 7362 c) Tìm soá dö r2 trong chia 2 x 3 + 11x 2 − 17 x + 28 cho ( x + 7 ) d) Chia 19082007 cho 2707 coù soá dö laø r1 , chia r1 cho 209 coù soá dö laø r2 .

Tìm r1 vaø r2 ?

Gi¶i: a) Ta cã:

A 39267735657  A = = 9087650, 002    = 9087650 B 4321 B  A  A − B.   = 39267735657 − 4321.9087650 = 7 B

§¸p sè : r =7

Bμi 2: a) Vieát quy trình aán phím ñeå tìm soá dö khi chia 20052006 cho 2005105 Tìm soá dö khi chia 20052006 cho 2005105 b) Vieát quy trình aán phím ñeå tìm soá dö khi chia 3523127 cho 2047 Tìm soá dö khi chia 3523127 cho 2047 c) Tìm soá dö r cuûa pheùp chia 2345678901234 cho 4567 Gi¶i: a) Qui tr×nh tÝnh sè d− khi chia 20052006 cho 2005105 A 20052006  A = = 10, 00047678    = 10 B 2005105 B  A  Sè d− cña phÐp chia A cho B lμ: A − B.   = 20052006 - 2005105 ×10 = 956 B

24

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs Ta lμm nh− sau: Ên 20052006 ÷ 2005105 = Ta cã kÕt qu¶ 10, 00047678 Ta ®−îc kÕt qu¶: 956 LÊy 20052006 - 2005105 × 10 =

VËy sè d− cña phÐp chia lμ: 956 4. −íc vμ béi: a) LÝ thuyÕt:

b) VÝ dô: T×m tÊt c¶ c¸c −íc cña 120 +) Sö dông m¸y tÝnh CASIO 500MS Ta Ên c¸c phÝm sau: Shift

1

STO

A / 120

A

:

= / A

+ 1 Shift

STO

A /= /

=/...

chän c¸c kÕt qu¶ lμ sè nguyªn KÕt qu¶: ¦(120) = Gi¶i: Quy tr×nh t×m c¸c −íc cña 60 trªn m¸y tÝnh Casio 570 Esv lμ 1 SHIFT

STO

A Ghi lªn mμn h×nh A = A + 1: 120 ÷ A sau ®ã Ên CLR Ên dÊu =

liªn tiÕp ®Ó chän kÕt qu¶ lμ sè nguyªn KÕt qu¶: ¦ (60) = {±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±8 ± 10 ± 12; ±15; ±20; ±24; ±30; ±40; ±60; ±120} V. TÝnh chÝnh x¸c gi¸ trÞ cña biÓu thøc sè:

LÝ thuyÕt:  VÝ dô 1: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2004-2005- H¶i D−¬ng) Bμi 5(2, 0 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ chÝnh x¸c cña 10384713.

Gi¶i: §Æt a = 1038 ; b = 471 Khi ®ã D = 10384713 = ( a.103 + b ) = ( a.103 ) + 3. ( a.103 ) .b + 3 ( a.103 ) .b2 + b3 3

3

2

= a 3 .109 + 3.a 2b.106 + 3a.b 2103 + b3

LËp b¶ng gi¸ trÞ ta cã:

( a.10 )

3 3

3. ( a.103 ) .b 2

3 ( a.103 ) .b 2

1

1

1

8

3

8

6

8

7

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

5

2

2

4

2

8

3

7

2

0

0

0

0

0

0

6

9

0

8

1

2

8

7

4

0

0

0

25

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

b

3

D

1

1

1

9

9

0

9

Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:

9

9

1

1

0

4

4

8

7

1

1

1

2

8

9

3

6

1

1

1

1

D = 10384713 =1119909991289361111

Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64.

 VÝ dô 2: (5 ®iÓm)

Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.

Gi¶i:

Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chÝnh là giá trị của đa thức tại x = 1.

Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264.

2 Để ý rằng : 264 = ( 232 ) = 42949672962 . Đặt 42949 = X ; 67296 = Y Ta có : A = ( X.105 +Y)2 = X 2 .1010 + 2XY.105 + Y 2 Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: X2.1010 2XY.105 Y2 A

= 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 = 5 7 8 0 5 = = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7

0 9 4 3

0 1 5 7

0 8 2 0

0 0 8 9

0 8 7 5

0 0 5 5

0 0 1 1

0 0 6 6

0 0 1 1

0 0 6 6

VËy A = 18446744073709551616  VÝ dô 3:

Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính A = x3000 + y3000 Gi¶i: Ñaët a = x1000, b = y1000. Ta coù: a + b = 6,912; a2 + b2 = 33,76244 3

3

3

3

Khi ñoù : a + b = (a + b) - 3ab(a + b) = (a + b) - 3.

(a + b)

2

− ( a 2 + b2 )

2

⋅ ( a + b)

Ñaùp soá : A = 184,9360067 4) VÝ dô 4: Cho: P(x) =ax17 + bx16 + cx15 + . . . + m biÕt: P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . . . ; P(17) = 17.

Tính P(18)

Bμi tËp: 1. Bμi 1: TÝnh kÕt qu¶ ®óng ( kh«ng sai sè ) cña c¸c tÝch sau: a)

P = 1234567892 ;

b)

Q = 20082008.20092009

Gi¶i: a) Ta cã: P = (12345.104 + 6789 )

2

P = (12345.104 ) + 2.12345.104.6789 + 67892 = …

2

b)

Q = ( 2008.104 + 2008 ) . ( 2009.104 + 2009 ) =

26

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

2. Bμi 2: Tính keát quaû ñuùng ( khoâng sai soá ) cuûa caùc tích sau a) P = 13032006 × 13032007 b) Q = 3333355555 × 3333377777 Gi¶i: a) §Æt a = 1303 ; b = 2006 , c = 2007 Khi ®ã ta cã: P = 13032006 × 13032007 = ( a ×104 + b ) . ( a ×104 + c ) = = a 2 ×108 + (b + c).a ×104 + b.c LËp b¶ng gi¸ trÞ ta cã: a 2 ×108

1

6

9

7

(b + c).a ×104

8

0

9

0

0

0

0

0

0

0

0

5

2

2

8

9

3

9

0

0

0

0

4

0

2

6

0

4

2

3

4

1

6

0

4

2

b.c

P

1

6

9

8

3

3

Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:

1

9

P = 169833193416042

b) §Æt a = 33333 ; b = 55555 , c = 77777 Khi ®ã ta cã: Q = 3333355555 × 3333377777 = ( a × 105 + b ) . ( a ×105 + c ) = a 2 × 1010 + (b + c).a ×105 + b.c

LËp b¶ng gi¸ trÞ ta cã: a 2 ×1010

1

1

1

1

0

(b + c).a ×105

8

8

8

8

9

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

4

4

4

4

3

5

5

5

5

6

0

0

0

0

0

4

3

2

0

9

0

1

2

3

5

9

8

7

6

5

0

1

2

3

5

b.c

P

1

1

1

1

1

3

3

3

Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:

3

2

P = 169833193416042

Q = 11111333329876501235 3. Bμi 3:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tính S = 1 +  1 + +  1 + + +  ... 1 + + + + ... +  2 2 3 2 3 4 2 3 4 10







 



chính xác đến 4 chữ số thập phân.

Gi¶i:

Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X, B, C. Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1 ÷ X : B = B + A : C = C . B rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ số thập phân của S là: 1871,4353 27

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

4. Bμi 4:

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: A = 200720082 vμ B = 5555566666 × 7777788888  A =  B = a- TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c tÝch sau: M = 3333355555 × 3333366666 N = 20052005 × 20062006 b) Tính C = 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + …… + 16 × 16! c) Tính keát quaû ñuùng cuûa tích A = 2222288888 × 2222299999 e) Tính keát quaû ñuùng cuûa tích A = 200820092 f) Tính B =

22 h 25′18′′ × 2,6 + 7h 47′53′′ .

9h 28′16′′

5. Bμi 5: So s¸nh c¸c cÆp sè sau: a) A = 5× 555 222 vμ b)

A =

2006 2007

2007

2008

+1 +1

vμ

B = 2× 444 B =

2007 2008

333

2008

+1

2009

+1

.

1 + (1 + 2 ) + (1 + 2 + 3) + .... + (1 + 2 + 3 + .... + 2008 ) vμ 1.2008 + 2.2007 + 3.2006 + ..... + 2007 .2 + 2008 .1 6. Bμi 6: TÝnh tæng c¸c ph©n sè sau:

c) A =

36 36 36 + + ........ + .

1 .3 .5 3 .5 .7 45 .47 .49 1 1  1 1   b) B =  1 − . 1 − . 1 − ........  1 − 10000 16  9 3   ....... 333 . c) C = 3 + 33 + 333 + 3333 + ....... + 333 

B=1

a) A =

 . 

n

PhÇn 4: C¸c bμi to¸n sè häc: I. Sè nguyªn tè: 1. LÝ thuyÕt: §Ó kiÓm tra mét sè nguyªn a d−¬ng cã lμ sè nguyªn tè hay kh«ng ta chia sè nguyªn tè tõ 2 ®Õn a . NÕu tÊt c¶ phÐp chia ®Òu cã d− th× a lμ sè nguyªn tè.

VÝ dô 1: §Ó kiÓm tra sè 647 cã lμ sè nguyªn tè hay kh«ng ta chia 647 lÇn l−ît cho c¸c sè 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29. c¸c phÐp chia ®Òu cã d− khi ®ã ta kÕt luËn sè 647 lμ sè nguyªn tè.

VÝ dô 2 : Chæ vôùi caùc chöõ soá 1, 2, 3, hoûi coù theå vieát ñöôïc nhieàu nhaát bao nhieâu soá töï nhieân khaùc nhau maø moãi soá ñeàu coù ba chöõ soá ? Haõy vieát taát caû caùc soá ñoù.

Gi¶i: 28

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

C¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè ®−îc lËp tõ 3 sè 1; 2; 3 lμ: 27 sè 111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133; 211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233 311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333; VÝ dô 3:

Trong taát caû n soá töï nhieân khaùc nhau maø moãi soá ñeàu coù baûy chöõ soá, ñöôïc vieát

ratöø caùc chöõ soá 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì coù k soá chia heát cho 5 vaø m soá chia heát cho 2.

H·y tính caùc soá n, k, m.

Gi¶i: II. ¦CLN; BCNN: 1. LÝ thuyÕt: §Ó t×m ¦CLN, BCNN cña hai sè A vμ B ta rót gän ph©n sè Tõ ®ã :

A a = B b

¦CLN (A; B) = A : a BCNN(A; B) =

A×B = UCLN(A,B)

A .b

2. VÝ dô: Cho hai soá A = 1234566 vaø B = 9876546 a) Tìm ÖCLN(A, B) vaø BCNN(A,B) ? c) Goïi D = BCNN(A,B) Tính giaù trò ñuùng cuûa D3 ? Tính vaø ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng. ¦CLN(A, B) =

BCNN(A,B) =

D3 = a) VÝ dô 1: T×m ¦CLN; BCNN cña A = 209865 vμ B = 283935 Gi¶i: Ta cã:

A 209865 17 a = = = B 283935 23 b

 ¦CLN (A; B) = A : a = 209865: 17 = 12345

BCNN (A; B) = A .b = 209865.23 = 4826895.  §¸p sè:

(A; B)= 12345

; [ A; B ] = 4826895

Ta cã Goïi D = BCNN(A,B)= 4826895  D3 = 48268953 §Æt a = 4826  D3 = ( a. 103 + 895 ) = ( a. 103 ) + 3 ( a. 103 ) .895 + 3. ( a. 103 ) . ( 895 ) + ( 895 ) 3

3

2

2

3

b) VÝ dô 2: T×m UCLN cña 40096920, 9474372 vμ 51135438 29

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

Gi¶i: (Nªu ®−îc c¬ së lý thuyÕt vμ c¸ch gi¶i 2 ®iÓm; KÕt qu¶ 3 ®iÓm) Do maùy caøi saün chöông trình ñôn giaûn phaân soá neân ta duøng chöông trình naøy ñeå tìm Öôùc soá chung lôùn nhaát (ÖSCLN)

A a = Ta có : B b

(

a toái giaûn) b

ÖSCLN(A;B) = A ÷ a AÁn 9474372 : 40096920 = Ta ñöôïc: 6987 : 29570 ÖSCLN cuûa 9474372 vaø 40096920 laø 9474372 ÷ 6987 = 1356 Ta ñaõ bieát : ÖSCLN(a ; b ; c ) = ÖSCLN(ÖSCLN( a ; b ) ; c ) Do ñoù chæ caàn tìm ÖSCLN(1356 ; 51135438 ) AÁn 1356 : 51135438 =  Ta ñöôïc: 2 : 75421 Keát luaän : ÖSCLN cuûa 9474372 ; 40096920 vaø 51135438 laø : 1356 ÷ 2 = 678 ÑS : 678 c) VÝ dô 3: Cho ba soá A = 1193984 ; B = 157993 ; C = 38743 c) Tìm UCLN cuûa A , B , C d) Tìm BCNN cuûa A , B , C vôùi keát quaû ñuùng.

Gi¶i: c) Ñaùp soá: D = UCLN(A,B) = 583 ; UCLN(A,B,C) = UCLN(D,C) = 53 d) E = BCNN ( A, B) =

A×B = 323569644;  BCNN(A, B,C) = BCNN(E,C) = 326529424384 UCLN(A, B)

4) VÝ dô 4: Cho: P(x) =ax17 + bx16 + cx15 + . . . + m biÕt: P(1)=1; P(2)=2; . . . . . . ; P(17)=17.

Tính P(18) Bμi tËp ¸p dông: 1. Bμi 1: Tìm ÖCLN vaø BCNN cuûa hai soá A = 1234566 vaø B = 9876546 (ÖCLN = 18; BCNN = 677402660502) 2. Bμi 2:

T×m ¦CLN vμ BCNN cña c¸c cÆp sè sau:

a) 12356 vμ 546738

b) 20062007 vμ 121007

c) 2007 vμ 2008 vμ 20072008.

3. Bμi 3:

Tìm UCLN, BCNN của A = 45563, B = 21791, C = 182252 .

Gi¶i 30

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs UCLN(A,B,C) = 1981 A : B = 23 : 11  UCLN(A,B) = A : 23 = D

UCLN( C,D) = 1981  BCNN(A,B) = 45563x11 = E

BCNN(C,E) = 46109756

BCNN(A,B,C) = 46109756

4. Bμi 4: T×m ¦CLN vμ BCNN cña c¸c cÆp sè sau: a)12356 vμ 546738

b)20062007 vμ 121007

c)2007 vμ 2008 vμ 20072008.

5. Bμi 5: Cho hai soá A = 2419580247 vaø B = 3802197531 g) Tìm ÖCLN(A, B) ? h) Tìm BCNN(A,B) ?

Tính vaø ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng . ÖCLN(A, B) = . . . . . . . .. .. . . . ..

BCNN(A,B) = . . . .. . .. . .. . . .. . .

6. Bμi 6: Tìm ƯSCLN của 40096920 , 9474372 vμ 51135438.

DS: 678

Gi¶i Do maùy caøi saün chöông trình ñôn giaûn phaân soá neân ta duøng chöông trình naøy ñeå tìm a toái giaûn)  ÖSCLN : A ÷ a b Ta ñöôïc : 6987 ÷ 29570

Öôùc soá chung lôùn nhaát (ÖSCLN) Ta tinh :

A a = B b

(

AÁn 9474372 ÷ 40096920 =  ÖSCLN (9474372; 40096920) = 9474372 ÷ 6987 = 1356 Ta ñaõ bieát : ÖSCLN(a ; b ; c ) = ÖSCLN(ÖSCLN( a ; b ) ; c ) Do ñoù chæ caàn tìm ÖSCLN(1356 ; 51135438 ) Aán: 1356 ÷ 51135438 = 2 ÷ 75421 Keát luaän: ÖSCLN ( 9474372 ; 40096920 ; 51135438 )= 1356 ÷ 2 = 678 ÑS : 678 7. Bμi 7:

a) Tìm tổng các ước số lẻ của số 7677583 b) T×m −íc sè chung lín nhÊt vμ Béi sè chung nhá nhÊt cña hai sè 12705, 26565.

USCLN: 1155 BSCNN: 292215 c) T×m −íc sè chung lín nhÊt vμ Béi sè chung nhá nhÊt cña hai sè 82467, 2119887.

USCLN: 4851 BSCNN: 36.038.079 Gi¶i: a) Ta cã ¦(7677583) = {83;92501}  Tæng c¸c −íc d−¬ng cña sè 7677583 lμ: 83 + 92501 = 92584 b) Ta cã:

12705 11 = 26565 23

VËy

 ÖSCLN(12705; 26565) = 12705 ÷ 11 = 1155

USCLN: 1155 31

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs A×B 12705 x 26565 = Ta cã E = BCNN ( A, B) = = 292215 UCLN(A, B) 1155

VËy BSCNN: 292215 82467 17 = 2119887 437

c) Ta cã:

VËy

 ÖSCLN(82467, 2119887) = 82467÷ 17 = 4851

USCLN: 4851

Ta cã E = BCNN ( A, B) =

A×B 82467 x 2119887 = = 36 038 079 UCLN(A, B) 4851

VËy BSCNN: 36.038.079 III. T×m sè d− cña phÐp chia A cho B 1. LÝ thuyÕt:

A a) Sè d− cña phÐp chia A cho B lμ: : A − B.   B

A (trong ®ã:   lμ phÇn nguyªn cña th−¬ng A cho B) B

b) VÝ dô 1: T×m sè d− cña phÐp chia 22031234 : 4567 Ta cã:

A 22031234  A = = 4824, 005693    = 4824 B 4567 B

 A  A − B.   = 22031234 − 4567.4824 = 26 B

§¸p sè : 26

c) VÝ dô 2: T×m sè d− cña phÐp chia 22031234 : 4567 Ta cã:

A 22031234  A = = 4824, 005693    = 4824 B 4567 B  A  A − B.   = 22031234 − 4567.4824 = 26 B

§¸p sè : 26

Tìm soá dö r khi chia 39267735657 cho 4321

Bμi tËp 1:

IV. −íc vμ béi: a) LÝ thuyÕt:

b) VÝ dô: T×m tÊt c¶ c¸c −íc cña 120 +) Sö dông m¸y tÝnh CASIO 500MS Ta Ên c¸c phÝm sau: 1

Shift

STO

A / 120

:

A

= / A

+ 1 Shift

STO

A /= /

=/...

chän c¸c kÕt qu¶ lμ sè nguyªn 32

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

KÕt qu¶: ¦(120) = Gi¶i: Quy tr×nh t×m c¸c −íc cña 60 trªn m¸y tÝnh Casio 570 Esv lμ 1 SHIFT

STO

A Ghi lªn mμn h×nh A = A + 1: 120 ÷ A sau ®ã Ên CLR Ên dÊu =

liªn tiÕp ®Ó chän kÕt qu¶ lμ sè nguyªn KÕt qu¶: ¦ (60) = {±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±8 ± 10 ± 12; ±15; ±20; ±24; ±30; ±40; ±60; ±120} V. TÝnh chÝnh x¸c gi¸ trÞ cña biÓu thøc sè:

LÝ thuyÕt:  VÝ dô 1: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2004-2005- H¶i D−¬ng) Bμi 5(2, 0 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ chÝnh x¸c cña 10384713.

Gi¶i: 10384713 = (138.103+471)3 tÝnh trªn giÊy céng l¹i: 10384713 =1119909991289361111 Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64.  VÝ dô 2: (5 ®iÓm)

Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.

Gi¶i:

Tổng các hệ số của đa thức Q(x) là giá trị của đa thức tại x = 1.

Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264.

2 Để ý rằng : 264 = ( 232 ) = 42949672962 . Đặt 42949 = X, 67296 = Y, ta có : A = ( X.105 +Y)2 = X2.1010 + 2XY.105 + Y2 .

Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: X2.1010 2XY.105 Y2 A

= 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 = 5 7 8 0 5 = = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7

0 9 4 3

0 1 5 7

0 8 2 0

0 0 8 9

0 8 7 5

0 0 5 5

0 0 1 1

0 0 6 6

0 0 1 1

0 0 6 6

VËy A = 18446744073709551616  VÝ dô 3:

Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính A = x3000 + y3000 Gi¶i: Ñaët a = x1000, b = y1000. Ta coù: a + b = 6,912; a2 + b2 = 33,76244 3

3

3

3

Khi ñoù : a + b = (a + b) - 3ab(a + b) = (a + b) - 3.

(a + b)

2

− ( a 2 + b2 ) 2

⋅ ( a + b)

Ñaùp soá : A = 184,9360067

Bμi tËp: 33

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

1. Bμi 1: TÝnh kÕt qu¶ ®óng ( kh«ng sai sè ) cña c¸c tÝch sau: a)

P = 1234567892 ;

Q = 20052005.20062006

b) Gi¶i:

a) Ta cã: P = (12345.104 + 6789 )

2

P = (12345.104 ) + 2.12345.104.6789 + 67892 = …

2

b)

Q = ( 2005.104 + 2005 ) . ( 2006.104 + 2006 ) =

2. Bμi 2: Tính keát quaû ñuùng ( khoâng sai soá ) cuûa caùc tích sau a) P = 13032006 × 13032007 b) Q = 3333355555 × 3333377777 Gi¶i: a) P = 169833193416042 b) Q = 11111333329876501235 3. Bμi 3:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tính S = 1 +  1 + +  1 + + +  ... 1 + + + + ... +  2 2 3 2 3 4 2 3 4 10







 



chính xác đến 4 chữ số thập phân.

Gi¶i:

Sử dụng máy tính Casio 570 MS, Gán số 1 cho các biến X, B, C. Viết vào màn hình của máy dãy lệnh: X=X+1: A = 1 ÷ X : B = B + A : C = C . B rồi thực hiện ấn phím = liên tiếp cho đến khi X = 10, lúc đó ta có kết quả gần đúng chính xác đến 4 chữ số thập phân của S là: 1871,4353 4. Bμi 4:

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: P = 13032006 x 13032007  P = 169833193416042 Q = 3333355555 x 3333377777  Q = 11111333329876501235 A = 200720082 vμ B = 5555566666 × 7777788888  A =  B = a- TÝnh kÕt qu¶ ®óng cña c¸c tÝch sau: M = 3333355555 × 3333366666 N = 20052005 × 20062006 b) Tính C = 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + …… + 16 × 16! c) Tính keát quaû ñuùng cuûa tích A = 2222277777 × 2222288888 2 i) Tính keát quaû ñuùng cuûa tích A = 20122007 j) Tính B =

22 h 25′18′′ × 2,6 + 7h 47′53′′ .

9h 28′16′′

5. Bμi 5: So s¸nh c¸c cÆp sè sau: a) A = 5× 555 222 vμ

B = 2× 444

333

34

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

b)

A =

2006 2007

2007 2008

+1 +1

vμ

B =

2007 2008

2008

+1

2009

+1

.

1 + (1 + 2 ) + (1 + 2 + 3) + .... + (1 + 2 + 3 + .... + 2008 ) vμ 1.2008 + 2.2007 + 3.2006 + ..... + 2007 .2 + 2008 .1 6. Bμi 6: TÝnh tæng c¸c ph©n sè sau:

c) A =

36 36 36 + + ........ + .

1 .3 .5 3 .5 .7 45 .47 .49 1 1  1 1   b) B =  1 − . 1 − . 1 − ........  1 − 10000 16  9 3   ....... 333 . c) C = 3 + 33 + 333 + 3333 + ....... + 333 

B=1

a) A =

 . 

n

PhÇn 5: C¸c bμi to¸n vÒ ®a thøc: XÐt ®a thøc P ( x ) ta cã c¸c d¹ng to¸n sau: §Ó gi¶I ®−îc c¸c néi dung nμy cÇn ph¶I n¾m v÷ng c¸c néi dung sau:

1. PhÐp g¸n: 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vμ hÖ ph−¬ng tr×nh: (dïng Mode) 3. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (Dïng Solve) Khi gi¶i ph−¬ng tr×nh - HPT ta ph¶i ®−a ph−¬ng tr×nh vμ HPT vÒ d¹ng chuÈn: +) Ph−¬ng tr×nh bËc hai mét Èn:

ax 2 + bx + c = 0

+) Ph−¬ng tr×nh bËc ba mét Èn:

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0

a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2

+) HÖ 2 ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: 

a1 x + b1 y + c1 z = d1 +) HÖ 3 ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt ba Èn: a2 x + b2 y + c2 z = d 2 a x + b y + c z = d 3 3 3  3

I. TÝnh P ( a ) : TÝnh sè d− cña ®a thøc P ( x ) cho nhÞ thøc G ( x ) = x − a 1. VÝ dô 1: Cho P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x - 50. Gäi r1 lμ phÇn d− cña phÐp chia P(x) cho x - 2 vμ r2 lμ phÇn d− cña phÐp chia P(x) cho x - 3. ViÕt quy tr×nh tÝnh r1 vμ r2 sau ®ã t×m BCNN (r1;r2)?

2. VÝ dô 2: a) Vieát phöông trình aán phím ñeå: 35

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs Tìm m ñeå ña thöùc x 5 + 5 x 4 + 3 x 3 − 5 x 2 + 17 x + m − 1395 chia heát cho ( x + 3)

b) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì ña thöùc 4 x 5 + 9 x 4 − 11x 2 + 29 x − 4 + 3m chia heát cho 6x + 9 ?

Bμi tËp ¸p dông: 1. Baøi 1:

Cho ña thöùc P ( x ) = x 5 − 3 x 4 + 4 x 3 − 5 x 2 + 6 x + m

a) Tìm soá dö r trong pheùp chia P(x) cho ( x – 3,5 ) khi m = 2005 b) Tìm giaù trò m1 ñeå ña thöùc P(x) chia heát cho x – 3,5 c) Tìm giaù trò m2 ñeå ña thöùc P(x) coù nghieäm x = 3 Gi¶i: 2. Bμi 2: Tìm m ñeå ña thöùc x 5 + 5 x 4 + 3 x 3 − 5 x 2 + 17 x + m − 1395 chia heát cho ( x − 3)

3. Bμi 2: Cho P ( x ) =

35 x 2 − 37 x + 60080 x 3 − 10 x 2 + 2007 x − 20070

vaø Q ( x ) =

a bx + c + 2 x − 10 x + 2007

a) Vôùi giaù trò naøo cuûa a, b, c thì P(x) = Q(x) ñuùng vôùi moïi x thuoäc taäp xaùc ñònh . b) Tính giaù trò cuûa P(x) khi x = c) Tính n ñeå T ( x ) =

P ( x)

−13 .

5

( x − 10 ) ( x 2 + 2007 )

− n2 chia heát cho x + 3 .

4. Bμi 4: Baøi 2: a) Khi chia ña thöùc 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho ña thöùc x – 2 ta ñöôïc thöông laø ña thöùc Q(x) coù baäc laø 3 . Haõy tìm heä soá cuûa x2 trong Q(x) ?

5. Bμi 5: Cho ña thöùc P ( x ) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e vaø cho bieát P(1) = 1 , P(2) = 7 , P(3) = 17 , P(4) = 31 , P(5) = 49 . Tính P(6) , P(7) , P(8) , P(9) , P(10) vaø P(11) ?

P(6) = P(7) = P(8) = P(9) =

P(10) =

P(11) =

II. Gi¶I ph−¬ng tr×nh: VÝ dô 1: Tìm nghiệm thực của phương trình : 1 1 1 1 4448 + + + = x x + 1 x + 2 x + 3 6435 ĐS : 4,5 ; - 0,4566 ; - 1,5761 ; - 2,6804 Gi¶i: Ghi vaøo maøn hình : 36

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

1 1 1 1 4448 + + + = x x + 1 x + 2 x + 3 6435 Aán SHIFT SOLVE Maùy hoûi X ? aán 3 = Aán SHIFT SOLVE . Keát quaû : x = 4,5 Laøm töông töï nhö treân vaø thay ñoåi giaù trò ñaàu ( ví duï -1 , -1.5 , -2.5 ) ta ñöôïc ba nghieäm coøn laïi . ĐS : 4,5 ; - 0,4566 ; - 1,5761 ; - 2,6804 ( Neáu choïn giaù trò ñaàu khoâng thích hôïp thì khoâng tìm ñuû 4 nghieäm treân ) VÝ dô 2: : Tìm 2 nghiệm thực gần đúng của phương trình: x 70 − x 45 + 5 x 20 − 10 x 12 + 4 x − 25 = 0 ĐS : -1,0476 ; 1,0522 Gi¶i:

Ghi vaøo maøn hình : x − x + 5 x − 10 x + 4 x − 25 Aán SHIFT SOLVE Maùy hoûi X ? aán 1.1 = Aán SHIFT SOLVE . Keát quaû : x = 1,0522 Laøm töông töï nhö treân vaø thay ñoåi giaù trò ñaàu ( ví duï -1.1 ) ta ñöôïc nghieäm coøn laïi ĐS : 1,0522 ; -1,0476 ( Neáu choïn giaù trò ñaàu khoâng thích hôïp thì khoâng tìm ñöôïc 2 nghieäm treân ) VÝ dô 3: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2005-2006 – CÈm Giμng) 70

45

20

12

a) T×m x biÕt: n ( x − 2) 2 + 4n x 2 − 4 = 5n ( x + 2) 2 b) Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau: x2 - 2006 [x ] + 2005 = 0 Trong ®ã [x ] lμ phÇn nguyªn cña x.

Gi¶i:

VÝ dô 4: a)T×m a biÕt 2 ph−¬ng tr×nh: x 3 − 7 x + a = 0 vμ biÕt ax 2 − 1,73 x + 0,86 = 0 cïng cã nghiÖm lμ x= 1

2 3

b) Cho ph−¬ng tr×nh: x 2 + ax + b = 0 cã 2 nghiÖm lμ x1 = 2 + 1 vμ x2 = 2 − 1 T×m a, b; TÝnh x15 + x 25 1 1  13 2 5 : 2 .1  − − 15,2.0,25 − 48,51 : 14,7  44 11 66 2  5 = Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3,2 + 0,8(5,5 − 3,25) 3,145 x − 2,006

Tr¶ lêi:

x = 8,586963434 Gi¶i:

VÝ dô 5: 37

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

a) Giải phương trình (lấy kết quả với các chữ số tính được trên máy) 130307+140307 1+x =1+ 130307-140307 1+x



4 điểm

x = -0,99999338

b) Giải phương trình (lấy kết quả với các chữ số tính được trên máy) : x+178408256-26614 x+1332007 + x+178381643-26612 x+1332007 = 1

2 điểm 2 điểm 2 điểm

X1 = 175744242 X2 = 175717629 175717629 < x <175744242 VÝ dô 6: T×m x biÕt: Kªt qu¶:

a)

1 1  2 2  2 11 5  1 15, 25  + 0,125.2  − 3,567.  1 −   1 − −  .1 4 5  5 11  =  3 7 11  46 0,(2)x − 2, 007 9, 2 + 0, 7 ( 5, 65 − 3, 25 )

X = - 390,2316312 0,(3) + 0,(384615) +

b)

0, 0(3) + 13

3 x 13 = 50 85



x = 30

1 9

( 2,3 + 5 : 6, 25 ) .7   1 4  6   x = - 20,384  = 1 7  7  8.0, 0125 + 6, 9   14   1 3  1    0,3 −  .1    x − 4 2  : 0, 003 1 20  2   e)   −  : 62 + 17,81 : 0, 0137 = 1301 1  2  1 20   1   3 20 − 2, 65  .4 : 5  1,88 + 2 55  . 8       1 1  13 2 5 : 2  x1  − − 15,2 x0,25 − 48,51 : 14,7  44 11 66 2  5 = f) x  1  3,2 + 0,8 x 5 − 3,25   2  c) 5 : x : 1,3 + 8, 4. . 6 −

3 VÝ dô 7: Tìm moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình : z + 5z − 2 = 0

VÝ dô 8: Khi t×m mét nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh: x6 - 5x3 + x2 = 27 theo ph−¬ng ph¸p lÆp; mét häc sinh ®· nªu ®iÒu kiÖn (1) vμ t×m ra gi¸ trÞ x = 4 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1) ®ã. H·y viÕt l¹i cho râ ®iÒu kiÖn (1) råi viÕt quy tr×nh bÊm phÝm ®Ó t×m mét nghiÖm gÇn ®óng; tõ ®ã t×m ra nghiÖm gÇn ®óng ë trªn. (NghiÖm gÇn ®óng nμy lÊy chÝnh x¸c ®Õn 6 ch÷ sè thËp ph©n

Bμi tËp ¸p dông: 1. Bμi 1: Trình baøy caùch giaûi vaø giaûi phöông trình baäc nhaát moät aån sau :  1+ 3 4− 7 17 + 12  5 + 19 + − x x   = 4 7 + 3 11 3 − 3 2  9 − 4 15  17 + 8

38

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs    1  4,5  47,375 −  26 − 18 x  × 2, 4 : 0,88  3    =4 a) Tìm x bieát 2 5 17,81:1,37 − 23 :1 3 6 2 y 1,826 − 3 12, 04 b) Tìm y bieát =1 5 4   2,3 + ×7   3 5 18  15 −  0, 0598 15 + 3 6       3 c) Tìm moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình : z + 5z − 2 = 0

x=

Tính vaø ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng . y=

z =

2. Bμi 2: Vieát phöông trình aán phím ñeå: a) Tìm m ñeå ña thöùc x 5 + 5 x 4 + 3 x 3 − 5 x 2 + 17 x + m − 1395 chia heát cho ( x + 3) b) Tính giaù trò cuûa A =

3. Bμi 3:

a) Tìm x bieát

1 + x + x2 + x3 + x 4 1 + y + y2 + y3 + y 4

khi x = 1,8597 ; y = 1,5123

1 1 1 1 101 + + + + = 2 ⋅ 5 5 ⋅ 8 8 ⋅ 11 x ( x + 3) 1540

b) Tìm moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình : x9 + x – 7 = 0 4. Bμi 4:

a) Tìm x bieát

       1 x.  1 + 1  1+ 1  1+  1 1+  1  1+ 1  1+  1+1 

       1  = 2+ 1  2+ 1  2+  1 2+  1  2+ 1  2+  1  2+ 2+

       1 + x.  3 + 1  3− 1  3+  1 3−  1  3+ 1  3−  3 

               

1 2

1 1 1 1 1  + + + + +  ⋅ 140 + 1,08 : 0,3 ( x − 1) = 11 28 ⋅ 29 29 ⋅ 30   21 ⋅ 22 22 ⋅ 23 23 ⋅ 24

b) Tìm x : 

III. HÖ ph−¬ng tr×nh : VÝ dô 1 39

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs 1,341x − 4,216 y = −3,147 a) LËp quy tr×nh ®Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau:  8,616 x + 4,224 y = 7,121

b) Hai sè cã tæng b»ng 9,45583 vμ cã tæng nghÞch ®¶o b»ng 0,55617.

T×m 2 sè ®ã ? ( chÝnh x¸c ®Õn 5 ch÷ sè thËp ph©n) c) Cho P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x - 50. Gäi r1 lμ phÇn d− cña phÐp chia P(x) cho x - 2 vμ r2 lμ phÇn d− cña phÐp chia P(x) cho x - 3. ViÕt quy tr×nh tÝnh r1 vμ r2 sau ®ã t×m BCNN(r1;r2) ?

Gi¶i: VÝ dô 2:

(§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2004-2005- H¶i D−¬ng)  x = 0,3681 y; x > 0; y > 0 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:  2 2  x + y = 19,72

Gi¶i: Thay x = 0,3681y thÕ vμo ph−¬ng tr×nh x 2 + y 2 = 19, 72 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh 2 ( 0,3681y ) + y 2 = 19, 72 gi¶I ph−¬ng tr×nh nμy ta t×m ®−îc y = 4, 124871738 Tõ ®ã tÝnh x :

KÕt qu¶ : x ≈ 1, 518365287 ; y = 4, 124871738

Bμi tËp ¸p dông: 1. Bμi 1: a) LËp quy tr×nh ®Ó gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh sau:

1,341x − 4,216 y = −3,147  8,616 x + 4,224 y = 7,121

b) Hai sè cã tæng b»ng 9,45583 vμ cã tæng nghÞch ®¶o b»ng 0,55617.

T×m 2 sè ®ã ? (chÝnh x¸c ®Õn 5 ch÷ sè thËp ph©n) Gi¶i: 83249x + 16571y = 108249 x . TÝnh y 16571x = 41751 − 83249y

2. Bμi 2: Cho hÖ ph−¬ng tr×nh 

x = 4,946576969 y

b) Giaûi phöông trình :     8 2008 + 1 1 0,2 ⋅ 43 + 32  6 − + x − 201 −  1 2 0,4 1 − 2007 3−  21 8+  6  12 − 11 

r= c=

a= x=

     = 4 22 − 2 + 2 6 2 + 2 2 ⋅ x     

b=

3. Bμi 2: 40

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

4. Bμi 4: a) Cho phöông trình 2 x 3 + mx 2 + nx + 12 = 0 coù hai nghieäm x1 = 1 , x2 = - 2 .

Tìm m, n vaø nghieäm thöù ba x3 ?

100 51 2 b) Tìm phaàn dö R(x) khi chia ña thöùc x − 2 x + 1 cho x − 1 c) Cho ña thöùc f ( x ) = x 5 + x 2 + 1 coù 5 nghieäm x1 , x2 , x3 , x4 , x5 . Kí hieäu p ( x ) = x 2 − 81 .

Haõy tìm tích P = p ( x1 ) p ( x2 ) p ( x3 ) p ( x4 ) p ( x5 ) Tính vaø ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng . a) m = b) R(x) =

n= c) P =

x3 =

x = 1, 025 Cho x vaø y laø hai soá döông thoaû maõn ñieàu kieän :  y  x 2 − y 2 = 2,135 

5. Bμi 5:

a) Trình baøy lôøi giaûi tìm giaù trò cuûa x vaø y b) Tính giaù trò cuûa x vaø y vaø ñieàn keát quaû vaøo oâ vuoâng: 13,241x + 17, 436 y = −25,168 23,897 x − 19,372 y = 103,618

c) Giaûi heä phöông trình : 

III. T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó P ( x ) tho¶ m·n mét sè ®iÒu kiÖn nμo ®ã: 1. VÝ dô 1: Cho bieát ña thöùc P(x) = x4 + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia heát cho x – 2 vaø chia heát cho x – 3. Haõy tìm giaù trò cuûa m, n roài tính taát caû caùc nghieäm cuûa ña thöùc Gi¶i: 2. VÝ dô 2: (5 ®iÓm) Cho ña thöùc P(x) = x3 + ax2 + bx + c a) Tìm a, b, c bieát raèng khi x laàn löôït nhaän caùc giaù trò 1,2 ; 2,5 ; 3,7 thì P(x) coù giaù trò töông öùng laø 1994,728 ; 2060,625 ; 2173,653 b) Tìm soá dö r cuûa pheùp chia ña thöùc P(x) cho 12x – 1 c) Tìm giaù trò cuûa x khi P(x) coù giaù trò laø 1989 Gi¶i: 41

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

a) Thay lần lượt các giá trị x = 1,2 ; x =2,5 ; x=3,7 vào đa thức P(x) = x3+ax2 + c 1,44a + 1,2b + c = 1993 ta được hệ 6,25a + 2,5b + c = 2045 13,69a + 3,7b + c = 2123 

Giải hệ phương trình ta được a =10 ; b =3 ; c = 1975 b) Số dư của phép chia P(x) =x3+10x2+3x+1975 cho 2x+5 chính là giá trị P(-2,5) của đa thức P(x) tại x=-2,5. ĐS ; 2014,375 c) Giải phương trình P(x) =x3+10x2+3x+1975= 1989 hay x3+10x2+3x-14 =0 x=1 ; x= - 9,531128874 ; x= -1,468871126 3. VÝ dô 3: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2004-2005- H¶i D−¬ng) Bμi 6(2, 0 ®iÓm) Cho ®a thøc P(x) = x4 +5x3 - 3x2 + x - 1. TÝnh gi¸ trÞ cña P(1,35627).

Gi¶i: P(1,35627) = 10,69558718 4. VÝ dô 4: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2004-2005- H¶i D−¬ng) Bμi 9(2, 0 ®iÓm) Cho P(x) = x3 + ax2 + bx - 1 1) X¸c ®Þnh sè h÷u tØ a vμ b ®Ó x =

7− 5 7+ 5

lμ nghiÖm cña P(x);

2) Víi gi¸ trÞ a, b t×m ®−îc h·y t×m c¸c nghiÖm cßn l¹i cña P(x).

Gi¶i: Bμi 9: x = 6- 35  b =

1 − x 2 − ax =6+ 35 -(6- 35 )2 - a(6- 35 ) x

(a+13) = b+6a+65 = 0  a = -13 ; b =13  P(x) =x3-13x2+13x-1 (x-1)(x2-12x+1) = 0  x = 1 ; x ≈ 0,08392 vμ x ≈ 11,916 5. VÝ dô 5: Cho ña thöùc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Bieát raèng khi x laàn löôït nhaän giaù trò 1, 2, 3, 4 thì giaù trò töông öùng cuûa ña thöùc P(x) laàn löôït laø 8, 11, 14, 17. Tính giaù trò cuûa ña thöùc P(x) vôùi x = 11, 12, 13, 14, 15.

Gi¶i:

Bμi tËp ¸p dông: 1. Bμi 1: Ña thöùc P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e coù giaù trò baèng 5, 4, 3, 1, -2 laàn löôït taïi x = 1, 2, 3, 4, 5. Tính giaù trò cuûa a, b, c, d, e vaø tính gaàn ñuùng caùc nghieäm cuûa ña thöùc ñoù 2. Bμi 2: Cho phöông trình x 4 - 2x 3 + 2x 2 + 2x - 3 = 0 (1) 1. Tìm nghieäm nguyeân cuûa (1) 2. Phöông trình (1) coù soá nghieäm nguyeân laø (ñaùnh daáu ñaùp soá ñuùng) 42

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3. Bμi 3: Xaùc ñònh caùc heä soá a , b ,c cuûa ña thöùc P( x) = ax 3 + bx 2 + cx − 2007 ñeå sao cho P(x) chia cho (x – 13) coù soá dö laø 1 , chia cho (x – 3) coù soá dö laø 2 vaø chia cho (x - 14) coù soá dö laø 3. ( Keát quaû laáy vôùi 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân ) Gi¶i: LËp luËn ®−a ®Õn hÖ 2 ®iÓm; t×m ®−îc a,b,c ®óng mçi ý cho 1 ®iÓm §¸p sè: : a = 3,69 ; b = -110,62 ; c = 968,28 4. Bμi 4: Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c; P(1)=1; P(2)=4; P(3)=9. viÕt quy tr×nh ®Ó tÝnh P(9) vμ P(10) ?

Gi¶i: 5. Bμi 5: Cho ®a thøc P(x) = x3 + ax2 + bx + c. BiÕt P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9. a) T×m sè d− khi chia P(x) cho x - 4 ? b) T×m sè d− khi chia P(x) cho 2x + 3 ?

Gi¶i:

Q(x) = x5 + ax4 – bx3 + cx2 + dx – 2007 Tại các giá trị của x = 1,15 ; 1,25 ; 1,35 ; 1,45.

Biết rằng khi x nhận các giá trị lần lượt 1, 2, 3, 4 thì Q(x) có các giá trị tương ứng là 9, 21, 33, 45 (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân) a=

;b=

;c=

;d=

Q(1,15) =

; Q(1,25) =

; Q(1,35) =

; Q(1,45) =

6. Bμi 6:

1) Xác định đúng các hệ số a, b, c, d a = -93,5 ; b = -870 ; c = -2962,5 ; d = 4211 P(1,15) = 66,16 P(1,25) = 86,22 P(1,35 = 94,92 P(1,45) = 94,66 7. Bμi 7: Cho ®a thøc: P ( x) =

4 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

2)

x

4

3

2

+ a. x + b x + c.x + d .

a) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc P(x) t¹i x = -2 víi a = c = -2007 vμ b = d = 2008. b) Víi gi¸ trÞ nμo cña d th× ®a thøc P(x)  ( x -2 ) víi a = 2; b = -3; c = 4. c) T×m sè d− vμ hÖ sè x2 cña phÐp chia ®a thøc P(x) cho x - 5 víi a = d = -2; b = c= 2.

43

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs  P (1) = 5  P (2) = 8 d) Cho biÕt:   P ( 3) = 11  P ( 4 ) = 14

1) TÝnh P(5) ®Õn P(10).

2) TÝnh: A =

1 .(P (8) − P (6) ) − 2007 2008

3) T×m c¸c hÖ sè a, b, c, d, cña ®a thøc P(x).

8. Bμi 8:

Xác định các hệ số a, b, c của đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx – 2007 để sao cho P(x) chia hết cho (x – 13) có số dư là 2 và chia cho (x – 14) có số dư là 3.

(Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân) a=

;b=

;c= Gi¶i:

a = 3,69 b = -110,62 c = 968,28

4 điểm

Xác định các hệ số a, b, c, d và tính giá trị của đa thức.

9. Bμi 9: Cho P(x) =ax17 + bx16 + cx15 +. . . + m P(1) = 1; P(2) = 2; . . . . .; P(17) = 17. Tính P(18) 10. Bμi 10: 1) T×m x biÕt: (5, 2 x − 42,11 + 7, 43) ×1

a)

4 (2, 22 + 3,1) − 41,33 13

2 7 = 1321

(5,2 x − 42,11 + 7,43) × 1

b) (2,22 + 3,1)

x = - 7836,106032

4 − 41,33 13

2 7 = 1521

x = - 9023,505769

2) T×m nghiÖm gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh: a) 3x3 + 2,435x2 + 4,29x + 0,58 = 0 b) 3x3+2,735x2+4,49x+0,98 = 0 x = 0,145 3) T×m nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: a) x 2 − 2 x + 5 − x 2 + 2 x + 10 = 29 x = 0,20

x = 0,245 b)

x 2 − 4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5

x = 0,25

11. Bμi 11: a) Cho hai ®a thøc sau: 44

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

f(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + a g(x) = -3x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + b T×m ®iÒu kiÖn cña a vμ b ®Ó hai ®a thøc f(x) vμ g(x) cã nghiÖm chung x = 0,25 ? b) Cho ®a thøc: Q(x) =5x5 - x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + 32 Sö dông c¸c phÝm nhí. LËp quy tr×nh t×m sè d− trong phÐp chia ®a thøc Q(x) cho 2x + 3?

12. Bμi 12:

Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9, P(4) = 11. a. Tìm a, b, c, d b. Tính A =

P (15 ) + P ( −12 ) + 15 .

20

Gi¶i:

a, C1: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)(x – 4) + 2x + 3 Suy ra a, b, c, d C2: Giải hệ phương trình , suy ra a, b, c, d

a. a = - 10, b = 35 c = - 48, d = 27

b, Nhập P(x) = x4 - 10x3 + 35x2 - 48x + 27 vào máy Dùng lệnh Calc nhập 15 Shift Sto A ; Calc nhập (-)12 shift Sto B; Nhập ( Alpha A + Alpha B ) : 20 + 15 =

b. 3400.8000

13. Bμi 13: Cho ®a thøc: P ( x) = x 4 + ax3 + bx 2 + c.x + d . a) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc P(x) t¹i x = -2 víi a = c = -2007 vμ b = d = 2008. b) Víi gi¸ trÞ nμo cña d th× ®a thøc P(x)  ( x -2 ) víi a = 2; b = -3; c = 4. c) T×m sè d− vμ hÖ sè x2 cña phÐp chia ®a thøc P(x) cho x - 5 víi a = d = -2; b = c = 2.  P (1) = 5  P (2) = 8 d) Cho biÕt:   P ( 3) = 11  P ( 4 ) = 14

1) TÝnh P(5) ®Õn P(10).

2) TÝnh: A =

1 .(P (8) − P (6) ) − 2007 2008

3) T×m c¸c hÖ sè a, b, c, d, cña ®a thøc P(x).

14. Bμi 14: Cho P ( x ) = 2 x3 − 15 x 2 + 16 x + m vaø Q ( x ) = 9 x3 − 81x 2 + 182 x + n d) Tìm m ñeå P(x) chia heát cho 2x + 1 ? e) Vôùi m vöøa tìm ñöôïc , Tính soá dö r khi chia P(x) cho x – 2 vaø phaân tích ña thöùc P(x) thaønh tích caùc thöøa soá baäc nhaát ?

45

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

f) Tìm n ñeå 1 nghieäm cuûa P(x) cuõng laø 1 nghieäm cuûa Q(x) , bieát nghieäm ñoù phaûi khaùc – 0,5 vaø 2 ? Phaân tích ña thöùc Q(x) thaønh tích caùc thöøa soá baäc nhaát ? m= r= P(x) = n= Q(x) = 15. Bμi 15: Cho ña thöùc P ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d bieát P(1) = 5, P(2) = 7, P(3) = 9,P(4) = 11 a) b) c) d)

Tìm caùc heä soá a , b, c , d cuûa ña thöùc P(x) .

Tính caùc giaù trò cuûa P(10) , P(11) , P(12) , P(13) .

Vieát laïi P(x) vôùi heä soá laø caùc soá nguyeân Tìm soá dö r1 trong pheùp chia P(x) cho (2x + 5) ( chính xaùc ñeán 2 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân ) Haõy ñieàn caùc keát quaû tính ñöôïc vaøo oâ vuoâng . a= b = c= d= P(10) =

P(11) =

P(x) = 16. Bμi 16:

P(12) =

P(13) =

r1 =

Cho ña thöùc P ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d bieát P(1) = 4 , P(-2) = 7 , P(3) = 24 , P(-4) = 29 Tính giaù trò cuûa a , b , c , d vaø P(40) , P(2008) ?

Haõy ñieàn caùc keát quaû tính ñöôïc vaøo oâ vuoâng . a= b= c= d= P(40) = P(2008) = 17. Bμi 17: Cho ña thöùc P ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d bieát P(1) = - 5 , P(2) = -3 , P(3) = -1 , P(4) = 1 e) f) g) h)

Tìm caùc heä soá a , b, c , d cuûa ña thöùc P(x) .

Tính caùc giaù trò cuûa P(22) , P(23) , P(24) , P(25) .

Vieát laïi P(x) vôùi heä soá laø caùc soá nguyeân Tìm soá dö r1 trong pheùp chia P(x) cho (7x -5) ( chính xaùc ñeán 5 chöõ soá ôû phaàn thaäp phaân ) . Haõy ñieàn caùc keát quaû tính ñöôïc vaøo oâ vuoâng . a= b = c= d=

P(22) =

P(23) =

P(24) =

P(25) =

P(x) = r1 = 18. Bμi 18: Cho P ( x ) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e bieát P(1)=1, P(-2) = 4, P(3) =9, P(-4) =16, P(5)=25 i) Tìm caùc heä soá a , b, c , d vaø f cuûa ña thöùc P(x) .

j) Tính caùc giaù trò cuûa P(20) , P(21) , P(22) , P (π ) .

46

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

k) Vieát laïi P(x) vôùi heä soá laø caùc soá nguyeân l) Tìm soá dö r1 trong pheùp chia P(x) cho (x + 3) .

Haõy ñieàn caùc keát quaû tính ñöôïc vaøo oâ vuoâng . a= b = c= d= P(20) =

P(21) =

f= P (π )

P(22) =

=

r1 =

P(x) = 19. Bμi 19:

Cho ña thöùc P ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d bieát P(1) = 1 , P(2) = 13 , P(3) = 33 , P(4) = 61 m) Tìm caùc heä soá a , b, c , d cuûa ña thöùc P(x) . n) Tính caùc giaù trò cuûa P(5) , P(6) , P(7) , P ( 8) . o) Vieát laïi P(x) vôùi heä soá laø caùc soá nguyeân p) Tìm soá dö r1 trong pheùp chia P(x) cho (2x - 5) .

Haõy ñieàn caùc keát quaû tính ñöôïc vaøo oâ vuoâng . a= b = c= P(5) =

P(6) =

d= P ( 8)

P(7) =

=

P(x) = r1 = 20. Bμi 20: a) Xaùc ñònh ña thöùc dö R(x) khi chia ña thöùc P ( x ) = 1 + x + x 9 + x 25 + x 49 + x 81 cho Q ( x ) = x 3 − x . Tính R(701,4) ? Ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng :

R(x) = 21. Bμi 21:

R(701,4) =

a Cho P ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d bieát P(1)= 0, P(2)=4, P(3)=18, P(4)=48. Tính P(2007) ? b) Cho ña thöùc P ( x ) = x 4 + 5 x 3 − 4 x 2 + 3 x − 50 . Goïi r1 laø phaàn dö cuûa pheùp chia P(x) cho x - 2 vaø r2 laø phaàn dö cuûa pheùp chia P(x) cho x - 3. Tìm BCNN ( r1 , r2 ) ?

Haõy ñieàn caùc keát quaû tính ñöôïc vaøo oâ vuoâng .

P(2007) = BCNN ( r1 , r2 ) = 3 2 22. Bμi 22: Cho hai ña thöùc P ( x ) = x + ax + bx + c ; Q ( x ) = x 4 − 10 x 3 + 40 x 2 − 125 x − P ( −9 ) 2

1

39

3

407

1

561

  ; P  = a) Tính a, b , c vaø P   , bieát P   = ; P   = 2 8  4  64  5  125 3 b) Vôùi a, b, c tìm ñöôïc ôû treân, Tìm thöông T(x) vaø soá dö G(x) cuûa pheùp chia ña thöùc Q(x) cho x – 11 c) Chöùng toû ña thöùc R(x) = P(x) + Q(x) luoân laø soá chaün vôùi moïi soá nguyeân x.

23. Bμi 23: 47

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

Khi chia ña thöùc 2x4 +8x3 -7x2 +8x -12 cho ña thöùc x – 2 ta ñöôïc thöông laø ña thöùc Q(x) coù baäc laø 3 . Haõy tìm heä soá cuûa x2 trong Q(x) ?

24. Bμi 24: a) Cho ña thöùc P ( x ) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e vaø cho bieát P(-1) = -2 , P(2) = 4 , P(3) = 10 , P(-4) = 10 , P(5) = 28 . Tính P(38) vaø P(40) ? b) Cho daõy soá xaùc ñònh bôûi coâng thöùc xn +1 =

4 xn3 + 3 ( n ∈ N , n ≥ 1) bieát x1 = 2. Tính x5 ? xn2 + 1

4 3 2 c) Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû : A = 5x − 4 x − 11x + 4 x + 5 Haõy ñieàn caùc keát quaû tính ñöôïc vaøo oâ vuoâng .

P(38) = P(40) = x5 = A= 25. Bμi 25:

a) Tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình

x + y + x − y = 7920

b) Tìmsoá töï nhieân n ( 20349 ≤ n ≤ 47238) ñeå 4789655 – 27n laø laäp phöông cuûa moät soá töï nhieân ?

26. Bμi 26:

Cho ña thöùc P ( x ) = 5 x 5 + 8 x 4 − 12 x 2 + 7 x − 1 + 3m .

a) Tính soá dö r trong pheùp chia P(x) cho x – 4,138 khi m = 2007 ? b) Tính giaù trò m1 ñeå ña thöùc P(x) chia heát cho 3 x + 2 ? c) Muoán ña thöùc P(x) coù nghieäm x = 3 thì m2 coù giaù trò bao nhieâu ? r= m1 = m2 = 27. Bμi 27: a) Cho P ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d bieát P(1) = 0,5 , P(2) = 2 , P(3) = 4,5 , P(4) = 8 .

Tính giaù trò cuûa a , b , c , d vaø P(8) , P(2007) b) Tính soá dö r trong pheùp chia

?

x − 6, 723 x + 1,857 x 2 − 6,458 x + 4,319 x + 2,318 5

3

28. Bμi 28: a) Tìm moät nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình : x9 + x – 7 = 0 b) Cho A = 532588 vaø B = 110708836 . Tìm ÖCLN (A ,B ) vaø BCNN(A,B ) ? c) Tìm caùc soá töï nhieân thoaû maõn phöông trình x2 + 2y2 = 2377 Tính vaø ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng . x= BCNN(A,B ) = ÖCLN (A ,B ) = x =  y =

48

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

D.

Liªn ph©n sè:

C¸C D¹NG TO¸N VÒ LI£N PH¢N Sè 1. TÝnh gi¸ trÞ cña liªn ph©n sè:  VÝ dô1: Vieát keát quaû cuûa caùc bieåu thöùc sau döôùi daïng phaân soá a) A =

2+

20 1 3+

b) B = 1

1 4+ 5

2 5+

c) C =

1 6+

1 1 7+ 8

2+

2003 3 4+

5 6+

7 8

Gi¶i:  VÝ dô2: T×m c¸c sè tù nhiªn a vμ b biÕt Gi¶i:  VÝ dô3: T×m c¸c sè tù nhiªn a vμ b biÕt Gi¶i:  VÝ dô4: Gi¶i:

Bμi tËp ¸p dông: Bμi 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau: Bμi 2: Bμi 3: Bμi 4: Bμi 5: Bμi 6: 2. T×m sè trong liªn ph©n sè:  VÝ dô1: T×m c¸c sè tù nhiªn a vμ b biÕt

329 = 1051 3 +

1 1 5+

1 a+

1 b

49

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

 VÝ dô2: Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e biết:

5584 =a + 1051 b+

1 1 c+

1 d+

1 e

Gi¶i:

Ta có

a=5

5584 =5+ 1051 3+

b=3

1 1 5+

c =5

 VÝ dô3: T×m c¸c sè tù nhiªn a vμ b biÕt

1 1 9 d=7

7+

329 = 1051 3 +

e=9 1 1 5+

1 a+

1 b

Gi¶i:

 VÝ dô4: T×m c¸c sè tù nhiªn a vμ b biÕt

329 = 1051 3 +

1 1 5+

1 a+

1 b

Gi¶i:

3. Gi¶I ph−¬ng tr×nh cã liªn quan ®Õn liªn ph©n sè:

50

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs 3 381978 = 3 382007 8+ 3 8+ 3 8+ 3 8+ 3 8+ 3 8+ 3 8+ 3 8+ 1 1. VÝ dô1: Tìm x bieát : 8+ 1+ x

Gi¶i: (lËp quy tr×nh 2®iÓm; KÕt qu¶ 3 ®iÓm) Laäp quy trình aán lieân tuïc treân maùy fx- 500 MS hoaëcfx-570MS 381978 ÷ 382007 = 0.999924085 AÁn tieáp phím x −1 × 3 - 8 vaø aán 9 laàn phím = .

Luùc ñoù ta ñöôïc Ans =

1 tieáp tuïc aán Ans 1+ x

x −1 - 1

=

Keát qu¶ø : x = - 1.11963298 2. VÝ dô2:

Gi¶i:

 VÝ dô3: T×m c¸c sè tù nhiªn a vμ b biÕt

329 = 1051 3 +

1 1 5+

1 a+

1 b

Gi¶i:

 VÝ dô4: T×m c¸c sè tù nhiªn a vμ b biÕt

329 = 1051 3 +

1 1 5+

1 a+

1 b

Gi¶i:

51

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

Bμi tËp ¸p dông:      1 1 1   = + x.  4 + 3 2 1   2+ 3+ 1+  5 3 1 4+ 5+ 1+   7 4 2  6+ 7+ 8 9

1. Bμi 1: Tìm nghieäm cuûa phöông trình:

E.

To¸n vÒ d·y sè:

I. Mét sè vÊn ®Ò lÝ thuyÕt vμ vÝ dô minh ho¹:

 VÝ dô 1: Cho daõy soá saép xeáp thöù töï U1 ; U2 ; U3 ;. . . ; Un ; Un+1; . . . bieát U5 = 588 ; U6 = 1084 ; U n +1 = 3U n − 2U n −1 . Tính U1 ; U2 ; U25 Gi¶i:

Ta có U n −1 =

3U n − U n +1 2

nên U4 = 340 ;

U3 = 216; U2 = 154; U1 = 123;

Và từ U5 = 588 ; U6 = 1084 ; U n +1 = 3U n − 2U n −1  VÝ dô 2:



U25 = 520093788

Cho U 0 = 2 ; U1 = 10 vaø U n +1 = 10U n − U n −1 , n = 0; 1; 2; 3; . . .

1. Laäp quy trình tính U n +1 .

2. Tìm coâng thöùc toång quaùt cuûa U n .

3. Tính U 2 ; U 3 ; U 4 ; U 5 ; U 6 .

Gi¶i: 1. 10 SHIFT STO A x 10 – 2 SHIFT STO B Laëp laïi daõy phím : x 10 – ALPHA A SHIFT STO A x 10 – ALPHA B SHIFT STO B 2. Coâng thöùc toång quaùt cuûa un laø : U n +1 = 10U n − U n −1  U n =

U n +1 + U n −1 10

52

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

3. Thay U 0 = 2 ; U1 = 10 vμo c«ng thøc U n +1 = 10U n − U n −1 ta tÝnh ®−íc c¸c gi¸ trÞ U 2 = 98 ; U 3 = 978 ; U 4 = 9778 ; U 5 = 97778 ; U 6 = 977778

Cho daõy soá : 13; 25; 43; …; 3(n2 + n) + 7

 VÝ dô 3:

a. Goïi Sn laø toång cuûa n soá haïng ñaàu tieân cuûa daõy. Tính S15; S19; S20 b. Laäp quy trình baám phím lieân tuïc ñeå tính Sn c. CMR trong daõy ñaõ cho khoâng coù soá haïng naøo laø laäp phöông cuûa soá töï nhieân Gi¶i: Cho caùc soá a1 , a2 , a3 ,…………,a2003.

VÝ dô 4:

Bieát ak =

3k 2 + 3k + 1

(k

2

+ k)

vôùi k = 1 , 2 , 3 ,………….., 2002, 2003.

3

Tính S = a1 + a2 + a3 + . . . . + a2003 Gi¶i: Ta cã: ak = Do ñoù:

1 1  3- 3 1 2

(k

3

+ 3k 2 + 3k + 1) - k 3

( k + 1)

3

.k

3

3

( k + 1) - k 3 = 3 ( k + 1) .k 3

a1 + a2 + a3 + . . . + a2003 =

  1 1 + 3 - 3  2 3

1   1  + ....... +  3 3   2003 2004

=

1 1 3 k ( k + 1)3

1 8048096063  =  = 1− 3 8048096064 2004 

VÝ dô 5: Gi¶i:

II. Bμi tËp ¸p dông:

1. Bμi 1: Gi¶i:

(3 + 2 ) − (3 − 2 ) = n

2. Bμi 2:

Cho daõy soá U n

2 2

n

n = 1; 2; 3; . . .

1. Tính U1; U2; U3; U4; U5 53

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs 2. Chöùng minh : U n + 2 = 6U n +1 − 7U n

3. Laäp quy trình baám phím lieân tuïc tính Un+2 treân maùy tính Gi¶i:

3. Bμi 3: Cho daõy soá u1 = 2; u2 = 20, U n +1 = 2U n + U n −1 ( n ≥ 2 ) 1. Tính U 3 ; U 4 ; U 5 ; U 6 ; U 7 ; U 8 2. Vieát quy trình baám phím lieân tuïc ñeå tính giaù trò cuûa un vôùi u1 = 2; u2 = 20 3. Söû duïng quy trình treân ñeå tính giaù trò cuûa U 22 ; U 23 ; U 24 ; U 25 .

Gi¶i: 1. TÝnh ®−îc:

U 3 = 42 ; U 4 = 86 ; U 5 = 174 ; U 6 = 350 ; U 7 = 702 ; U 8 = 1406

2. baám phím 20 SHIFT STO A x 2 + 2 SHIFT STO B Roài laëp laïi daõy phím x 2 + ALPHA A SHIFT STO A x 2 + ALPHA B SHIFT STO B

+) Sö dông m¸y tÝnh Casio FX 570MS 2 SHIFT STO A 20 SHIFT STO B Khai baùo coâng thöùc un+1 = 2un + un-1 ALPHA C ALPHA = 2 ALPHA B + ALPHA A ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA B ALPHA : ALPHA B ALPHA C Roài laëp laïi daõy phím =

(2 + 3) − (2 − 3) = n

4. Bμi 4: Cho daõy soá

Un

n

2 3

, n = 0, 1, 2 …

1. Tính 8 soá haïng ñaàu tieân cuûa daõy 2. Laäp coâng thöùc truy hoài ñeå tính un+2 theo un+1 vaø un 3. Laäp moät quy trình tính un 4. Tìm taát caû caùc soá n nguyeân ñeå un chia heát cho 3 Gi¶i: 54

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

2. Ta seõ chöùng minh un+2 = 4un+1 – un thaät vaäy, ñaët : an

(2 + 3) =

n

; bn

2 3

(2 − 3) =

n

2 3

Khi ñoù Un = an – bn un+1 = (2 + 3 )a n − (2 − 3 )bn

(

)

2

(

)

(

)

2

(

)

(

)

(

)

(

)

U n + 2 = 2 + 3 an − 2 − 3 bn = 7 + 4 3 an − 7 − 4 3 bn = 8 + 4 3 an − 8 − 4 3 bn − ( an − bn )

(

)

= 4  2 + 3 an − 2 − 3 bn  − ( an − bn ) = 4U n +1 − U n  

 U n + 2 = 4U n +1 − U n

3. 1 SHIFT STO A x 4 – 0 SHIFT STO B Laëp laïi daõy phím x 4 – ALPHA A SHIFT STO A x 4 – ALPHA B SHIFT STO B 4. un chia heát cho 3 khi vaø chæ khi n chia heát cho 3 n

5. Bμi 5:

n

 3+ 5   3− 5  Cho daõy soá : U n =   +   − 2 , n = 1, 2, . . .

2 2    

1. Tính 5 soá haïng ñaàu tieân cuûa daõy soá 2. Laäp coâng thöùc truy hoài ñeå tính un+1 theo un vaø un-1 3. Laäp moät quy trình tính un+1 4. Chöùng minh raèng un = 5m2 khi n chaün vaø un = m2 khi n leû Gi¶i:

6. Bμi 6: Daõy soá an ñöôïc xaùc ñònh nhö sau : a1 = 1; a2 = 2; an + 2 = an +1 + an vôùi moïi n ∈ N*.

Tính toång cuûa 10 soá haïng ñaàu tieân cuûa daõy soá ñoù.

Gi¶i:

1 3

1 2

55

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

(4 + 3 ) − (4 − 3 ) = n

7. Bμi 7:

Cho daõy soá Un

n

2 3

vôùi n = 0 , 1 , 2 , ……………

a) Tính U0 , U1 , U2 , U3 , U4 b) Laäp coâng thöùc ñeå tính Un+2 theo Un+1 vaø Un c) Tính U13 , U14 Gi¶i: a) U0 = 0 ; U1 = 1 ; U2 = 8 ; U3 = 51 ; U4 = 304 ; U5 = 1769 b) Un+2 = 8 Un+1 - 13 Un c) U13 = 2081791609 ; U14 = 11932977272 8. Bμi 8: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2004-2005- H¶i D−¬ng) Bμi 4(3, 0 ®iÓm) D·y sè un ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: u0 = 1; u1 = 1; un+1= 2un - un-1 + 2, víi n = 1, 2, . . .

1) LËp mét qui tr×nh bÊm phÝm ®Ó tÝnh un; 2) TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña un , khi n = 1, 2, . . . ,20.

Gi¶i: Trªn fx500A: 1 (Min) (×) 2 (-) 1 (+)2 (=) lÆp l¹i d·y phÝm (SHIFT)(X↔M)(+/-)(+)2(+)2(×)(MR) (=) fx500MS : (SHIFT)(STO)(A)( ×)2(-)1(SHIFT)(STO)(B) lÆp l¹i (×)2(-)(ALPHA)(A)(+)(SHIFT)(STO)(A)(×)2(-)(ALPHA)(B)(+) 2(SHIFT)(STO)(B) 2) u1= 1, u2=3, u3 =7, u4 =13, u5 =21, u6 =31, u7 =43, u8 =57, u9 =73, u10 =91, u11 =111, u12 =133, u13 =157, u14 =183, u15 =211, u16 = 241, u17 =273 , u18 = 307, u19 =343, u20 =381.

9. Bμi 9: Cho Un+1 = Un + Un-1 , U1 = U2 = 1. TÝnh U25 ( Nªu râ sè lÇn thùc hiÖn phÐp lÆp)?

Gi¶i:

10. Bμi 10:

(§Ò thi HSG casio líp 9- CÈm §μn - HuyÖn S¬n ®éng - N¨m 2007 - 2008)

Cho d·y sè: u1=21, u2=34 vμ un+1=un+un-1 a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh un+1? b/ ¸p dông tÝnh u10, u15, u20 Gi¶i: a/ Quy tr×nh bÊm phÝm ®Ó tÝnh un+1 34 SHIFT STO X + 21 SHIFT STO Y

vμ lÆp l¹i d·y phÝm: + ALPHA SHIFT STO X + ALPHA Y SHIFT STO Y

b/

u10 = 1597 u15=17711 56

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

u20 = 19641 6. Bμi 6: Gi¶i:

D. To¸n thèng kª To¸n thèng kª

x¸c xuÊt: x¸c xuÊt:

1. Bμi 1: Trong ñôït khaûo saùt chaát löôïng ñaàu naêm cuûa 3 lôùp 7A, 7B, 7C ñöôïc cho trong baûng sau: Ñieåm

10

9

8

7

6

5

4

3

7A

16

14

11

5

4

1

0

4

7B

12

14

16

7

1

1

4

0

7C

14

15

10

5

6

4

1

0

a. Tính ñieåm trung b×nh cuûa moãi lôùp b. Tính ñoä leäch tieâu chuaån, phöông sai cuûa moãi lôùp c. Xeáp haïng chaát löôïng theo ñieåm cuûa moãi lôùp 2. Bμi 2: Bμi kiÓm tra m«n Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio cña 22 em häc sinh víi thang ®iÓm lμ 90 cã kÕt qu¶ ®−îc thèng kª nh− sau.

30

40

30

45

50

60

45

25

30

60

55

50

45

55

60

30

25

45

60

55

35

50

1. L©p b¶ng tÇn sè.

2. TÝnh gi¸ trÞ trung b×nh: X .

4.TÝnh : Σx2 .

5. TÝnh δn.

6. TÝnh δ(n-1)

3. TÝnh tæng gi¸ trÞ:Σx 7. TÝnh δ2n.

Baøi 9: Trong ñôït khaûo saùt chaát löôïng ñaàu naêm , ñieåm cuûa ba lôùp 9A , 9B , 9C ñöôïc cho trong baûng sau : Ñieåm 10 9 8 7 6 5 4 3 9A 16 14 11 5 4 1 0 4 9B 12 14 16 7 1 1 4 0 9C 14 15 10 5 6 4 1 0 57

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

a) Tính ñieåm trung bình cuûa moãi lôùp ? b) Tính ñoä leäch tieâu chuaån , phöông sai cuûa moãi lôùp ? c) Xeáp haïng chaát löôïng theo ñieåm cuûa moãi lôùp ?

Ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng : Lôùp 9A : σ = σ2 = X= Lôùp 9B: σ = σ2 = X= Lôùp 9C : σ = σ2 = X= c)

E. D©n sè

ng©n hμng:

I. D¹ng To¸n vÒ ng©n hμng: 1. VÝ dô 1: Mét ng−êi muèn r»ng sau 8 th¸ng cã 50000 ®« ®Ó x©y nhμ. Hái r»ng ng−êi ®ã ph¶i göi vμo ng©n hμng mçi th¸ng mét sè tiÒn (nh− nhau) bao nhiªu biÕt l·i xuÊt lμ 0,25% 1 th¸ng?

Gi¶i: Gäi sè tiÒn ng−êi ®ã cÇn göi ng©n hμng hμng th¸ng lμ a, l·i xuÊt lμ r = 0,25%. Ta cã: a (1 + r )8 + (1 + r )7 + ... (1 + r ) = 50000 Tõ ®ã t×m ®−îc a = 6180,067 2. VÝ dô 2: phßng gd&§t s¬n ®éng Tr−êng THCS CÈm §μn

thi gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio N¨m häc: 2007-2008

Mét ng−êi hμng th¸ng göi vμo ng©n hμng mét sè tiÒn lμ a ®ång víi l·i suÊt m % mét th¸ng (göi gãp). BiÕt r»ng ng−êi ®ã kh«ng rót tiÒn l·i ra. Hái sau n th¸ng ng−êi ®ã nhËn ®−îc bao nhiªu tiÒn c¶ gèc vμ l·i.

Gi¶i: - Gäi sè tiÒn l·i hμng th¸ng lμ x ®ång - Sè tiÒn gèc cuèi th¸ng 1: a ®ång - Sè tiÒn l·i cuèi th¸ng 1 lμ a.x ®ång - Sè tiÒn c¶ gèc vμ l·i cuèi th¸ng 1: a+a.x = a( 1+x) ®ång - Sè tiÒn c¶ gèc vμ l·i cña cuèi th¸ng 1 l¹i lμ tiÒn gèc cña ®Çu th¸ng 2, nh−ng v× hμng th¸ng ng−êi ®ã tiÕp tôc göi a ®ång nªn ®Çu th¸ng 2 sè tiÒn gèc lμ: a

a

(1 + x ) − 1 = (1 + x ) − 1 ®ång a.(1 + x) + a = a (1 + x ) + 1 =  x  (1 + x) − 1 

- Sè tiÒn l·i cuèi th¸ng 2 lμ:

2

2

a 2 (1 + x ) − 1 .x ®ång  x

58

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs a a 2 2 - Sè tiÒn c¶ gèc vμ l·i cuèi th¸ng 2 lμ: (1 + x ) − 1 + (1 + x ) − 1 .x x x a a 2 3 = (1x ) − 1 (1 + x ) = (1 + x ) − (1 + x)  ®ång x x

- V× ®Çu th¸ng 3 ng−êi ®ã tiÕp tôc göi vμo a ®ång nªn sè tiÒn gèc ®Çu th¸ng 3 lμ: a a a 3 3 3 (1 + x ) − (1 + x)  + a = (1 + x ) − (1 + x) + x  = (1 + x ) − 1 ®ång  x x x

- Sè tiÒn cuèi th¸ng 3 (c¶ gèc vμ l·i): a a a 3 3 3 1 + x ) − 1 + (1 − x ) − 1 .x = (1 + x ) − 1 (1 + x) ®ång (  x   x x

T−¬ng tù, ®Õn cuèi th¸ng thø n sè tiÒn c¶ gèc vμ l·i lμ: a n (1 + x ) − 1 (1 + x) ®ång  x

Víi a = 10.000.000 ®ång, m = 0,6%, n = 10 th¸ng th× sè tiÒn ng−êi ®ã nhËn ®−îc lμ: 10000000  10 (1 + 0, 006 ) − 1 (1 + 0, 006)  0, 006

TÝnh trªn m¸y, ta ®−îc 103.360.118,8 ®ång 3. VÝ dô 3: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2005-2006 - CÈm Giμng) Mét ng−êi göi vμo ng©n hμng mét sè tiÒn lμ a ®ång víi l·i suÊt lμ x% mét th¸ng. Hái sau n th¸ng ng−êi Êy nhËn ®−îc bao nhiªu tiÒn c¶ gèc lÉn l·i, biÕt r»ng ng−êi ®ã kh«ng rót tiÒn l·i?

- ¸p dông víi: a = 100000; x = 0,5% ; n = 12 th¸ng.

Gi¶i: - Gäi sè tiÒn l·i hμng th¸ng lμ x ®ång - Sè tiÒn gèc cuèi th¸ng 1: a ®ång - Sè tiÒn l·i cuèi th¸ng 1 lμ a.x ®ång - Sè tiÒn c¶ gèc vμ l·i cuèi th¸ng 1: a+a.x = a( 1+x) ®ång - Sè tiÒn c¶ gèc vμ l·i cña cuèi th¸ng 1 l¹i lμ tiÒn gèc cña ®Çu th¸ng 2, nh−ng v× hμng th¸ng ng−êi ®ã tiÕp tôc göi a ®ång nªn ®Çu th¸ng 2 sè tiÒn gèc lμ: a

a

(1 + x ) − 1 = (1 + x ) − 1 ®ång a.(1 + x) + a = a (1 + x ) + 1 =  x  (1 + x) − 1  2

2

a 2 1 + x ) − 1 .x ®ång (  x a a 2 2 - Sè tiÒn c¶ gèc vμ l·i cuèi th¸ng 2 lμ: (1 + x ) − 1 + (1 + x ) − 1 .x x x a a 2 3 = (1x ) − 1 (1 + x ) = (1 + x ) − (1 + x)  ®ång x x

- Sè tiÒn l·i cuèi th¸ng 2 lμ:

- V× ®Çu th¸ng 3 ng−êi ®ã tiÕp tôc göi vμo a ®ång nªn sè tiÒn gèc ®Çu th¸ng 3 lμ: a a a 3 3 3 1 + x ) − (1 + x)  + a = (1 + x ) − (1 + x) + x  = (1 + x ) − 1 ®ång (   x  x x

- Sè tiÒn cuèi th¸ng 3 (c¶ gèc vμ l·i): a a a 3 3 3 1 + x ) − 1 + (1 − x ) − 1 .x = (1 + x ) − 1 (1 + x) ®ång (  x   x x

T−¬ng tù, ®Õn cuèi th¸ng thø n sè tiÒn c¶ gèc vμ l·i lμ: a n (1 + x ) − 1 (1 + x) ®ång  x

59

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

Víi a = 10.000.000 ®ång, m = 0,6%, n = 10 th¸ng th× sè tiÒn ng−êi ®ã nhËn ®−îc lμ: 10000000  10 1 + 0, 006 ) − 1 (1 + 0, 006) (  0, 006 

TÝnh trªn m¸y, ta ®−îc 103.360.118,8 ®ång 4. VÝ dô 4:

a) Một người vay vốn ở một ngân hàng với số vốn là 50 triệu đồng, thời hạn 48 tháng, lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ, trả đúng ngày qui định. Hỏi hàng tháng, người đó phải đều đặn trả vào ngân hàng một khoản tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu để đến tháng thứ 48 thì người đó trả hết cả gốc lẫn lãi cho ngân hàng? b) Nếu người đó vay 50 triệu đồng tiền vốn ở một ngân hàng khác với thời hạn 48 tháng, lãi suất 0,75% trên tháng, trên tổng số tiền vay thì so với việc vay vốn ở ngân hàng trên, việc vay vốn ở ngân hàng này có lợi gì cho người vay không?

Gi¶i:

a) Gọi số tiền vay của người đó là N đồng, lãi suất m% trên tháng, số tháng vay là n, số tiền phải đều đặn trả vào ngân hàng hàng tháng là A đồng.

- Sau tháng thứ nhất số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: N 1 + 

m   – A đồng.

100 

- Sau tháng thứ hai số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: m    m   m   m     N .  1 + 100  − A  1 + 100  − A = N . 1 + 100  – A.  1 + 100  + 1 đồng.           2

- Sau tháng thứ ba số tiền gốc còn lại trong ngân hàng là: 2 2   m  m  m     m    .

1 + − 1 + + 1 1 + − {N 1 + N A A     =   100     100  100 100            

N 1 + 

3

2

m  m   m    – A[ 1 +  + 1 +  +1] đồng 100   100   100 

Tương tự : Số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n là : n

m  m   N 1 +   – A[ 1 +  100   100 

n −1

m  + 1 +   100 

n−2

+...+ 1 + 

m   +1] đồng.

100 

m  Đặt y = 1 +  , thi ta có số tiền gốc còn lại trong ngân hàng sau tháng thứ n sẽ là: 

100 

Nyn – A (yn-1 +yn-2 +...+y+1). Vì lúc này số tiền cả gốc lẫn lãi đã trả hết nên ta có : 60

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs Ny n Ny n ( y − 1) n n-1 n-2 Ny = A (y +y +...+y+1)  A = n −1 n −2 = y + y + ... + y + 1 yn −1

Thay bằng số với N = 50 000 000 đồng, n = 48 tháng, y = 1,0115 ta có : A = 1.361.312,807 đồng. b) Nếu vay 50 triệu đồng ở ngân hàng khác với thời hạn như trên, lãi suất 0,75% trên tháng trên tổng số tiền vay thì sau 48 tháng người đó phải trả cho ngân hàng một khoản tiền là: 50000000 + 50000000 x 0,75% x 48 = 68 000 000 đồng.

Trong khi đó vay ở ngân hàng ban đầu thì sau 48 tháng người đó phải trả cho ngân hàng một khoản tiền là: 1.361.312,807 x 48 = 65 343 014,74 đồng. Như thế việc vay vốn ở ngân hàng thứ hai thực sự không có lợi cho người vay trong việc thực trả cho ngân hàng.

Bμi tËp ¸p dông: Baøi 1: Moät ngöôøi baùn 1 vaät giaù 32000000 ñoàng . OÂng ta ghi giaù baùn, ñònh thu lôïi 10% vôùi giaù treân. Tuy nhieân oâng ta ñaõ haï giaù 0,8% so vôùi döï ñòn . Tìm : a) Giaù ñeà ra b) Giaùbaùn thöïc teá c) Soá tieàn maø oâng ta ñöôïc laõi Ñieàn caùc keát quaû tính vaøo oâ vuoâng : Giaù ñeà ra laø Giaùbaùn thöïc teá laø Soá tieàn maø oâng ta ñöôïc laõi laø Baøi 2: a) Moät ngöôøi baùn leû mua moät moùn haøng vôùi giaù 24000 ñoàng giaûm 12,5%, sau ñoù anh ta 1 3

baùn moùn haøng vôùi soá tieàn lôøi baèng 33 % giaù voán sau khi ñaõ giaûm bôùt 20% treân giaù nieâm yeát. Hoûi anh ta ñaõ nieâm yeát moùn haøng ñoù giaù bao nhieâu ? b) Quyõ hoïc sinh gioûi döï ñònh chi heát trong 8 naêm . Nhöng thöïc teá moãi naêm taêng 15% .

Hoûi phaûi chi trong bao nhieâu naêm ? Ñieàn caùc keát quaû tính vaøo oâ vuoâng : Giaùnieâm yeát moùn haøng ñoùù laø Chi heát laø 3 Bμi 3: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2004-2005- H¶i D−¬ng) Mét ng−êi göi 10 triÖu ®ång vμo ng©n hμng trong thêi gian 10 n¨m víi l·i suÊt 5% mét n¨m. Hái r»ng ng−êi ®ã nhËn ®−îc sè tiÒn nhiÒu h¬n hay Ýt h¬n bao nhiªu nÕu ng©n hμng tr¶ l·i suÊt

5 % mét th¸ng.

12

Gi¶i: Gäi sè a lμ tiÒn göi tiÕt kiÖm ban ®Çu, r lμ l·i suÊt, sau 1 th¸ng: sÏ lμ a(1+r) th¸ng sè tiÒn c¶ gèc l·i A = a(1 + r)n

sau n 61

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs 5  sè tiÒn sau 10 n¨m: 10000000(1+ )10 = 162889462, 7 ®ång 12

Sè tiÒn nhËn sau 10 n¨m (120 th¸ng) víi l·i suÊt 5/12% mét th¸ng: 10000000(1 +

5 )120 = 164700949, 8 ®ång 12.100

 sè tiÒn göi theo l·i suÊt 5/12% mét th¸ng nhiÒu h¬n: 1811486,1 ®ång 4. Bμi 4: Mét ng−êi hμng th¸ng göi vμo ng©n hμng mét sè tiÒn lμ 5.000 ®« la víi l·i suÊt lμ 0,45% th¸ng. Hái sau mét n¨m ng−êi Êy nhËn ®−îc bao nhiªu tiÒn c¶ gèc lÉn l·i ?

Gi¶i: 5. Bμi 5: a) Chieàu roäng cuûa moät hình chöõ nhaät taêng theâm 3,6cm coøn chieàu daøi giaûm ñi 16% , keát quaû laø dieän tích hình chöõ nhaät môùi lôùn hôn hình cuõ 5% . Tính chieàu roäng hình chöõ nhaät môùi . b) Moät ngöôøi göûi 20 trieäu ñoàng vaøo ngaân haøng vôùi laõi suaát 0,5%/thaùng . Hoûi sau 3 naêm thì ñöôïc caû voán laãn laõi laø bao nhieâu ?

Ghi keát quaû vaøo oâ vuoâng Chieàu roäng hình chöõ nhaät môùi laø Soá tieàn caû voãn laãn laõi sau 3 naêm laø Gi¶i: 6. Bμi 6: Boán ngöôøi goùp voán buoân chung . Sau 5 naêm, toång soá tieàn laõi nhaän ñöôïc laø 9902490255 ñoàng vaø ñöôïc chia theo tæ leä giöõa ngöôøi thöù nhaát vaø ngöôøi thöù hai laø 2 : 3, tæ leä giöõa ngöôøi thöù hai vaø ngöôøi thöù ba laø 4 : 5, tæ leä giöõa ngöôøi thöù ba vaø ngöôøi thöù tö laø 6 : 7 .

Trình baøy caùch tính vaø tính soá laõi cuûa moãi ngöôøi ?

Gi¶i: 7. Bμi 7: Một người gửi tiết kiệm 100 000 000 đồng (tiền Việt Nam) vào một ngân hàng theo mức kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng. a) Hỏi sau 10 năm, người đó nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng.

Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó. b) Nếu với số tiền trên, người đó gửi tiết kiệm theo mức kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,63% một tháng thì sau 10 năm sẽ nhận được bao nhiêu tiền (cả vốn và lãi) ở ngân hàng. Biết rằng người đó không rút lãi ở tất cả các định kỳ trước đó.

(Kết quả lấy theo các chữ số trên máy khi tính toán) 62

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

Theo kỳ hạn 6 tháng, số tiền nhận được là : ……………………………………………

Theo kỳ hạn 3 tháng, số tiền nhận được là : ……………………………………………

Gi¶i:

a) Theo kỳ hạn 6 tháng, số tiền nhận được là : Ta = 214936885,3 đồng b) Theo kỳ hạn 3 tháng, số tiền nhận được là : Tb = 211476682,9 đồng

3 điểm 2 điểm

8. Bμi 8: Mét ng−êi göi tiÕt kiÖm 1000 ®« trong 10 n¨m víi l·i suÊt 5% mét n¨m. Hái ng−êi ®ã nhËn ®−îc sè tiÒn nhiÒu h¬n hay Ýt h¬n nÕu ng©n hμng tr¶ l·i

5 % mét th¸ng ( Lμm trßn 12

®Õn hai ch÷ sè thËp ph©n sau dÊu phÈy Gi¶i: 120

Theo th¸ng: Theo n¨m: 9. Bμi 9:

5   1000.  1 +   1200 

≈ 1647, 01

1000. (1 + 0, 05 ) ≈ 1628,89 10

1) Mét ng−êi göi vμo ng©n hμng mét sè tiÒn lμ a §« la víi l·i suÊt kÐp lμ m%. BiÕt r»ng ng−êi ®ã kh«ng rót tiÒn l·i ra. Hái sau n th¸ng ng−êi ®ã nhËn ®−îc bao nhiªu tiÒn c¶ gèc vμ l·i. ¸p dông b»ng sè: a = 10.000 §« la, m = 0,8%, n = 24.

2) Mét ng−êi hμng th¸ng göi vμo ng©n hμng mét sè tiÒn lμ a ®ång víi l·i suÊt lμ m% mét th¸ng. BiÕt r»ng ng−êi ®ã kh«ng rót tiÒn l·i ra. Hái cuèi th¸ng thø n th× ng−êi Êy nhËn ®−îc bao nhiªu tiÒn c¶ gèc vμ l·i. ¸p dông b»ng sè: a = 10.000 §« la, m = 0,8%, n = 24.

Gi¶i:

10. Bμi 10: a) Moät ngöôøi baùn leû mua moät moùn haøng vôùi giaù 24000 ñoàng giaûm 12,5% , sau ñoù anh ta 1 3

baùn moùn haøng vôùi soá tieàn lôøi baèng 33 % giaù voán sau khi ñaõ giaûm bôùt 20% treân giaù nieâm yeát . Hoûi anh ta ñaõ nieâm yeát moùn haøng ñoù giaù bao nhieâu ? b) Quyõ hoïc sinh gioûi döï ñònh chi heát trong 8 naêm . Nhöng thöïc teá moãi naêm taêng 15% 63

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

Hoûi phaûi chi trong bao nhieâu naêm ? Ñieàn caùc keát quaû tính vaøo oâ vuoâng : Giaù nieâm yeát moùn haøng ñoùù laø Chi heát laø Gi¶i:

11. Bμi 11: Mét ng−êi sö dông M¸y vi tÝnh cã gi¸ trÞ ban ®Çu lμ 12.000.000 ®ång. Sau mçi n¨m gi¸ trÞ cña M¸y vi tÝnh gi¶m 20% so víi n¨m tr−íc ®ã. a) TÝnh gi¸ trÞ cña M¸y vi tÝnh sau 5 n¨m. b) TÝnh sè n¨m ®Ó M¸y vi tÝnh cã gi¸ trÞ nhá h¬n 2.000.000 ®ång.

Gi¶i:

II. D¹ng To¸n vÒ D©n sè: 1. Bμi 1: Để đắp một con đê , địa phương đã huy động 4 nhóm người gồm học sinh , nông dân , công nhân và bộ đội . Thời gian làm việc như sau (giả sử thời gian làm việc của mỗi người trong một nhóm là như nhau ): Nhóm bộ đội mỗi người làm việc 7 giờ; nhóm công nhân mỗi người làm việc 4 giờ; Nhóm nông dân mỗi người làm việc 6 giờ và nhóm học sinh mỗi em làm việc 0,5 giờ. Địa phương cũng đã chi tiền bồi dưỡng như nhau cho từng người trong một nhóm theo cách: Nhóm bộ đội mỗi người nhận 50.000 đồng; Nhóm công nhân mỗi người nhận 30.000 đồng; Nhóm nông dân mỗi người nhận 70.000 đồng; Nhóm học sinh mỗi em nhận 2.000 đồng .

Cho biết : Tổng số người của bốn nhãm lμ 100 người .

Tổng thời gian à lμm việc của bốn nhãm lμ 488 giờ Tổng số tiền của bốn nhóm nhận là 5.360.000 đồng .

Tìm xem số người trong từng nhóm là bao nhiêu người . : 6 người ; Nhóm công nhân : 4 người иp sè: Nhóm bộ đội Nhóm nông dân : 70 người ; Nhóm học sinh : 20 người Gi¶i:

Gọi x, y, z, t lần lượt là số người trong nhóm học sinh , nông dân, công nhân và bộ đội . Điều kiện : x; y; z; t ∈ Z + , 0 < x; y; z; t < 100 Ta coù heä phöông trình:

 x + y + z + t = 100   0,5 x + 6 y + 4 z + 7t = 488 2 x + 70 y + 30 z + 50t = 5360 

11y + 7 z + 13t = 876  17 y + 7 z + 12t = 1290

64

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs  t = 6 y − 414 do 0 < t < 100  69 < y < 86 876 − 11 y − 13t Töø 11y + 7 z + 13t = 876  z = 7

Duøng X ; Y treân maùy vaø duøng A thay cho z , B thay cho t trong maùy ñeå doø : Aán 69 SHIFT STO Y Ghi vaøo maøn hình : Y = Y + 1 : B = 6Y – 414 : A = ( 876 – 11Y – 13B ) ÷ 7 : X=100 – Y – B – A Aán = . . . = ñeå thöû caùc giaù trò cuûa Y töø 70 ñeán 85 ñeå kieåm tra caùc soá B , A , X laø soá nguyeân döông vaø nhoû hôn 100 laø ñaùp soá .

Ta ñöôïc : Y = 70 ; B = 6 ; A = 4 ; X = 6 ÑS : Nhoùm hoïc sinh (x) : 20 ngöôøi Nhoùm noâng daân (y) : 70 ngöôøi Nhoùm coâng nhaân (z) : 4 ngöôøi Nhoùm boä ñoäi (t) : 6 ngöôøi 2. Bμi 2: D©n sè x· A hiÖn nay cã 10000 ng−êi. Ng−êi ta dù ®o¸n sau 2 n¨m d©n sè x· A lμ 10404 ng−êi. Hái trung b×nh hμng n¨m d©n sè x· A t¨ng bao nhiªu phÇn tr¨m ?

Gi¶i: 3. Bμi 3: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2007-2008 - HuyÖn Ninh Hoμ) Daân soá Huyeän Ninh Hoaø hieän nay coù 250000 ngöôøi . Ngöôøi ta döï ñoaùn sau 2 naêm nöõa daân soá Huyeän Ninh Hoaø laø 256036 ngöôøi . k) Hoûi trung bình moãi naêm daân soá Huyeän Ninh Hoaø taêng bao nhieâu phaàn traêm ? l) Vôùi tæ leä taêng daân soá haøng naêm nhö vaäy, Hoûi sau 10 naêm daân soá Huyeän Ninh Hoaø laø bao nhieâu ?

Haõy ñieàn caùc keát quaû tính ñöôïc vaøo oâ vuoâng . a) Tæ leä taêng daân soá haøng naêm laø : . . . . . . .. . . . b) Sau 10 naêm daân soá Huyeän Ninh Hoaø laø : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Bμi 4: (§Ò thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2005-2006- H¶i D−¬ng) Theo B¸o c¸o cña ChÝnh phñ d©n sè ViÖt Nam tÝnh ®Õn th¸ng 12 n¨m 2005 lμ 83,12 triÖu ng−êi, nÕu tØ lÖ t¨ng trung b×nh hμng n¨m lμ 1,33%. Hái d©n sè ViÖt nam vμo th¸ng 12 n¨m 2010 sÏ lμ bao nhiªu?

Gi¶i: Tr¶ lêi: D©n sè ViÖt Nam ®Õn th¸ng 12-2010: 88796480 ng−êi 5. Bμi 5: Theo di chóc, bèn ng−êi con ®−îc h−ëng sè tiÒn lμ 9902490255 ®ång chia theo tû lÖ nh− sau: Ng−êi con thø nhÊt vμ ng−êi con thø hai lμ 2: 3; Ng−êi con thø hai vμ ng−êi con

65

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

thø ba lμ 4: 5; Ng−êi con thø ba vμ ng−êi con thø t− lμ 6: 7. Hái mçi ng−êi con nhËn ®−îc sè tiÒn lμ bao nhiªu ?

Gi¶i: 6. Bμi 6: Coù 3 thuøng taùo coù toång hôïp laø 240 traùi . Neáu baùn ñi vaø

2 3 thuøng thöù nhaát ; thuøng thöù hai 3 4

4 thuøng thöù ba thì soá taùo coøn laïi trong moãi thuøng ñeàu baèng nhau. Tính soá taùo lóc ñaàu 5

cuûa moãi thuøng ? Ñieàn caùc keát quaû tính vaøo oâ vuoâng : Thuøng thöù nhaát laø: 60 qu¶ Thuøng thöù ba laø: 100 qu¶

Thuøng thöù hai laø:

80 qu¶

PhÇn 7: Hμm sè vμ ®å thÞ hμm sè 1 2

Bμi 1: Hai ®−êng th¼ng y = x +

3 2 7 (1) vμ y = x + ( 2 ) c¾t nhau t¹i A Mét ®−êng th¼ng (d) 2 5 2

®i qua ®iÓm H(5; 0), song song víi trôc tung Oy vμ ®−êng th¼ng nμy c¾t c¸c ®−êng th¼ng (1) vμ (2) theo th− tù t¹i B vμ C a) VÏ c¸c ®−êng th¼ng (1) ; (2) ; (d) trªn cungf mét mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy? T×m to¹ ®é cña c¸c ®iÓm A; B; C (ViÕt d−íng d¹ng ph©n sè) b) TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC theo qui −íc mçi ®é dμi b»ng 1 cm c) TÝnh sè ®o mçi gãc cña tam gi¸c ABC trªn vÏ chÝnh x¸c ®Õn phót.

Ghi kÕt qu¶ vμo « vu«ng: A ( ; ) B ( ; ) C ( ; ) SABC = A =

= C

= B

Bài 10. (5 điểm) 3 5

Cho hai hàm số y= x+2

2 5 (1) và y = - x+5 (2) 5 3

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số trên mặt phẳng tọa độ của Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A(xA, yA) của hai độ thị (kết quả dưới dạng phân số hoặc hỗn số) c) Tính các góc của tam giác ABC, trong đó B, C thứ tự là giao điểm của đồ thị hàm số (1) và độ thị của hàm số (2) với trục hoành (lấy nguyên kết quả trên máy) d) Viết phương trình đường thẳng là phân giác của góc BAC (hệ số góc lấy kết quả với hai chữ số ở phần thập phân) XA = YA = B= 66

Gi¸o ¸n: «n hsg thi Gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh Casio - thcs

C= y

A= Phương trình đường phân giác góc ABC :

x O

y=

Bài 10 (5 điểm)

a) Vẽ đồ thị chính xác

1 điểm

39 5 =1 34 34 105 3 yA = =3 34 34

0,5 điểm

b) x A =

0,5 điểm

c) B = α = 30o57’49,52" C = β = 59o2’10,48" A = 90o

0,25 điểm 0,5 điểm

 : d) Viết phương trình đường phân giác BAC

3 2

Bài 7: Cho 3 đường thẳng (d1) y= x + 3 ; (d2): y=

y = 4x -

35 17

( 2 điểm )

−2 −1 x + 5 ;(d3) y= x + 2 3 3

(d1) cắt (d2) tại A ,(d2) cắt (d3) tại C ,(d1) cắt (d3) tại B .Các đường thẳng (d1);(d2) ;(d3) lần lượt cắt trục hoành tại các điểm D,E ;F a/ Tìm toạ độ của các điểm A,B,C b/ Tính diện tích tứ giác ABFE A( x= ,y= ) SABFE =:

):

B(x=

,y=

)

:C (x=

67