ÔN THI CAO HỌC TOÁN CAO CẤP 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ư N

ẠO

TP .Q U

CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC (HÀM SỐ)

ẦN

Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học

Hàm số mũ: y = ax

-L Í-

Nếu a=1 thì hàm làm hàm hằng, nên ta chỉ tính khi a≠1 Điều kiện đối với a>0, a≠1 MGT: (0,+∞) Khi 0<a<1: • Hàm nghịch biến

IỄ

ÀN

ÁN

MXĐ: (-∞,+∞),

lim a x = 0, lim a x = +∞

x →+∞

x→−∞

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học Khi a>1:

x →−∞

ẠO

TP .Q U

x →+∞

lim a x = +∞, lim a x = 0

Hàm đồng biến

ẦN

Ư N

So sánh 3 hàm y=2x, y=ex, y=3x

Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học

Hàm logarit: y=logax , a>0, a ≠1

ÁN

a>1:

-L Í-

MXĐ : (0,+∞), MGT: (- ∞,+∞)

ÀN

Hàm đồng biến

lim log a x = −∞ lim log a x = +∞

x →+∞

IỄ

x →0 +

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học 0<a<1:

Hàm nghịch biến

lim log a x = +∞

x →0 +

TP .Q U

lim log a x = −∞

x →+∞ x→+∞

ẠO

Tính chất:

log a ( x. y ) = log a x + log a y

log a (a x ) = x, ∀x

log a

y = log a x ↔ x = a y

Ư N

x = log a x − log a y y

a log a x = x, ∀x > 0

ẦN

log a ( x r ) = r log a x, ∀r ∈5R

So sánh một số hàm logarit với a>1 cụ thể

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học

Đặc biệt: khi a=e, ta kí hiệu đơn giản logex=lnx ln b và ta có công thức log a b = ln a 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học Hàm lũy thừa : y=xa

ẠO

TP .Q U

MXĐ, MGT : Tùy thuộc vào a

Ư N

a=3, 5: MXĐ: (- ∞,+∞), MGT: (- ∞,+∞) 7

ẦN

a=2, 4, 6: MXĐ: (- ∞,+∞), MGT: (0,+∞)

ÁN

-L Í-

Giới hạn và liên tục – Nhắc lại các hàm đã học

IỄ

ÀN

y= x

a = -1: MXĐ: R*=R\{0}, MGT: R*. Ta còn gọi đây là đường Hyperbol

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

a=1/2: MXĐ (0,+∞), MGT (0,+∞) 8

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược Hàm hợp : Cho 2 hàm g : X → Y , f : Y → Z

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

Ta gọi hàm hợp của 2 hàm trên là h = f g Được xác định như sau : h : X → Z, h(x) = f (g(x))

Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược

-L Í-

Ví dụ : Cho 2 hàm f ( x) = 2 x + 1, g ( x) = x 2 + 1 Tìm f g, g f và tính giá trị của chúng tại x = 2

ÁN

f g(x) = f (g(x)) = f ( x2 +1) = 2 x2 +1 +1

IỄ

ÀN

⇒ f g (2) = 2 5 + 1

g f ( x) = g (2 x + 1) = (2 x + 1)2 + 1 = 4 x 2 + 4 x + 2

⇒ g f (2) = 26

Lưu ý : Nói chung 2 hàm f g , g f không bằng nhau 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn và liên tục – Hàm hợp và hàm ngược

f g ( x) = f ( g ( x)) = f ( 3 x − 1) = 6 x − 1

Ví dụ : Cho 2 hàm f ( x) = x , g ( x) = 3 x − 1 Tìm các hàm và MXĐ của chúng f g, g f , f f , g g

MXĐ là [1,+∞)

TP .Q U

g f ( x) = g ( x ) = 3 x − 1

MXĐ là [0, +∞)

x = 4 x MXĐ là [0, +∞)

ẠO

f f ( x) = f ( f ( x)) = f ( x ) =

ẦN

Ư N

g g(x) = g(g(x)) = g(3 x −1) = 3 3 x −1 −1 MXĐ là R

Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

ÁN

-L Í-

Hàm ngược của hàm y = sinx : hàm y=arcsinx

 2 2

Hàm y = sinx nhận giá trị thuộc [-1,1].

Tồn tại hàm ngược là hàm y=arcsinx

IỄ

ÀN

Trên đọan − π , π 

Hàm y=arcsinx có MXĐ là [-1,1]

MGT là  − π , π   2 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

Ơ ẠO Đ

Ư N

ẦN

3 π )= 2 3

π 1 π arcsin(−1) = − ,arcsin(− )=− 2 4 2

TP .Q U

 π π arcsin(sin x) = x, x ∈  − ,   2 2 sin(arcsin x) = x, x ∈ [ −1,1]

arcsin(0) = 0,arcsin(

 π π y = arcsin x, x ∈ [ −1,1] ⇔ x = sin y, y ∈  − ,   2 2

Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

-L Í-

Hàm ngược của hàm y = cosx : hàm y=arccosx

π 2

− arcsin x

IỄ

ÀN

ÁN

arccos x =

Trên đoạn [0,π], hàm y=cosx là hàm 1-1, tồn tại hàm ngược

y=arccosx, MXĐ là [-1,1], MGT là [0,π]

y = arccos x ⇔ x = cos y π 1 π 1 2π arccos(0) = ,arccos( ) = ,arccos(− ) = 14 2 4 2 3 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

TP .Q U

Hàm ngược của hàm y = tanx : hàm y=arctanx

ẠO

y = tan x ⇔ x = arctan y

Hàm y=arctanx, MXĐ là R, MGT là  π π   − 2 , 2 

Trên đọan − π , π   2 2

Ư N

Hàm y=tanx là hàm 1-1

ẦN

π π 2π 1 π arctan(−∞) = − ,arctan(1) = ,arctan( 3) = ,arctan(− ) = − 15 6 2 4 3 3

Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

-L Í-

Hàm ngược của hàm y = cotx : hàm y=arccotx

ÁN

Trên đọan [0,π] hàm là hàm 1-1

IỄ

ÀN

Hàm y=arccotx có MXĐ là R, MGT là [0,π]

y = cot x ⇔ x = arccot y arc cot(0) = 0, arc cot(

1 π 5π ) = , arc cot(− 3) = 3 6 3

arccot x = Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

− arctan x

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

Ơ H

cosh(x) =cthx sinh(x)

ẦN

cotan hyperbolic coth(x) =

Ư N

sinh(x) =thx cosh(x)

tanh(x) =

tan hyperbolic

TP .Q U

cos hyperbolic

ex + e−x cosh(x) = =chx 2

ẠO

sin hyperbolic

ex −e−x sinh(x) = =shx 2

Định nghĩa (hàm Hyperbolic)

Hàm y = coshx (chx)

Hàm y = sinhx (shx)

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

TP .Q U

Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

Hàm y=cothx (ctx)

ẦN

Ư N

Hàm y = tanhx (thx)

Giới hạn & liên tục – Hàm lượng giác ngược & hàm hyperbol

-L Í-

Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác)

1/ ch2x – sh2x = 1

ÁN

2/ sh(2x)=2shx.chx, ch(2x) = ch2x + sh2x

4/ ch(x-y) = chx.chy - shx.shy 5/ sh(x+y) = shx.chy + shy.chx

IỄ

ÀN

3/ ch(x+y) = chx.chy + shx.shy

6/ sh(x-y) = shx.chy - shy.chx 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

Giới hạn ở vô cực :

lim f ( x) = a ⇔ ∀ε > 0 ∃A > 0

x →+∞

y=a

TP .Q U

∀x ∈ D f , x > A ⇒| f ( x) − a |< ε .

ẠO

y=a

Ư N H

ẦN

∀x ∈ D f , x < B ⇒| f ( x) − a |< ε .

lim f ( x) = a ⇔ ∀ε > 0 ∃B < 0

x →−∞

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

Giới hạn ra vô cực :

-L Í-

lim f ( x) = +∞ ⇔ ∀M > 0 ∃δ > 0

x → x0

ÁN

∀x ∈ D f ,| x − x0 |< δ ⇒ f ( x) > M .

IỄ

ÀN

x0-δ x0+δ

lim f ( x) = −∞ ⇔ ∀M < 0 ∃δ > 0

x → x0

∀x ∈ D f ,| x − x0 |< δ ⇒ f ( x) < M .

y=M 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

Tính chất của giới hạn hàm

2) lim ( f + g ) = a + b

x → x0

1) lim (α f ) = α a, α ∈ R

x → x0

Cho : lim f ( x) = a, lim g ( x) = b

TP .Q U

f a = , b≠0 x → x0 x → x0 g b 5) ( ∀x ∈ Vε ( x0 ), f ( x) ≤ g ( x) ) ⇒ a ≤ b

3) lim ( f ⋅ g ) = a ⋅ b

ẠO

4) lim

Ư N

 f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x) g ( x) = a (Định lý kẹp) 6)  lim f = lim h = a ⇒ xlim → x0 x → x0  x → x0

ẦN

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

Giới hạn dạng u(x)v(x) :

 lim u ( x) = a > 0  x → x0  v( x) = b  xlim → x 0 

ÁN

-L Í-

Giả sử :

lim ( u ( x) )

v( x)

x → x0

= lim e

v ( x ) ln ( u ( x ) )

x → x0

lim v ( x ) ln( u ( x ))

x → x0

= eb ln a = a b .

IỄ

ÀN

Ta có :

Vậy:

lim u ( x)

x→ x0

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

v( x)

lim v ( x )

= lim u ( x) x → x0

x→ x0

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

Các dạng vô định:

ln I

Ơ H N Y

,0 , ∞ →1),2)

ẠO

TP .Q U

∞

0 ∞ 2) 0 ⋅ ∞ → ,  1  1     ∞ 0

0 ∞ 1) , 0 ∞

1 x

lim(1+ x ) =e

ẦN

4) ± [(+∞) − (+∞)]

Ư N

x→0

 1 lim 1 +  = e x →+∞  x

 1 lim 1 +  = e x →−∞   x

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Số e :

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

1 x

lim (1 + x ) = e x →0

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ư N

Ơ H N

ẠO

TP .Q U

Giới hạn cơ bản thường gặp khi x→0 sin x arcsin x 1) lim = 1 7) lim =1 x →0 x →0 x x ex −1 tan x 2) lim =1 x →0 8) lim =1 x x →0 x 1 − cos x 1 3) lim = 1/ x 2 x →0 9) lim 1 + α x = eα ( ) x 2 x →0 ln(1 + x) 4) lim =1 shx x →0 x 10) lim =1 x →0 x (1 + x)α − 1 5) lim =α x →0 x chx − 1 1

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

11) lim

arctan x 6) lim =1 x →0 x

2 27

ẦN

x →0

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

Giới hạn cơ bản thường gặp khi x→∞

-L Í-

α 1) xlim x = +∞, α > 0 →+∞ α

IỄ

ÀN

ÁN

2) lim ( ln x ) = +∞, α > 0 x →+∞

3) lim a x = +∞, a > 1 x →+∞

γ x+b

 α  4) lim  1 +  x→ ∞ x + a β   5) lim sin x không tồn tại

α .γ β

x →+∞

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản

et − 1

)

sin e − 1

ln(1 + t )

t →0 t

t e −1 =1 ln(1 + t ) t

t →0

(

t = x − 1lim

)

Ư N

= lim

ln x

(

sin et − 1

x →1

)

ẦN

L2 = lim

(

sin e x −1 − 1

ẠO

TP .Q U

ln(1 + (cos x − 1)) x2 cos x − 1 1 1 L1 = lim = 1.1.( − ) = − x →0 cos x − 1 ln(1 + x 2 ) x 2 2 2

0 ) 0

ln(cos x) (Dạng x →0 ln(1 + x 2 )

L1 = lim

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản

ÁN

-L Í-

 1  1 − cos x 1 − cos x x L3 = lim  − cot x  = lim = lim . .x x →0  sin x x →0 sin x  x →0 sin x x2 =0

IỄ

ÀN

1 π  π  L4 = lim  − x  tan x = lim  − x  x →π  2 x →π  2   tan π − x 2 2 2

(

)

1 t m x −1 (t + 1) m − 1 = lim m = n L5 = lim n t = x − 1lim x →1 1 1 m x →1 x − 1 t →0 t n (t + 1) − 1 n

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

3x x −2  x2 −2  3 

lim

 

3x 2 e x→∞ x − 2

TP .Q U

x   x2 + 1  3  L6 = lim  2  = lim 1 + 2  x →∞ x − 2   x→∞  x − 2  

Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản

 7  x  7  3   − 1 x  x ln 3 x x e 3 − 1   3 7 −3       L7 = lim 2 = lim = lim x →0 2 x + 3 x x →0 x ( 2 x + 3 ) x →0 x.3  x ln 7  1. e 3 − 1 ln 7 1 7 . 3 = lim  = ln 31 x →0 3 x ln 7 3 3 3

ẦN

Ư N

ẠO

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm

-L Í-

Ví dụ: Tính các giới hạn sau bằng cách áp dụng các giới hạn cơ bản

ÁN

3x 2 + ln(1 + x 2 ) L8 = lim =2 x →0 1 − cos(2 x ) x →1+

sin 2( x − 1) e x −1 − cos x − 1

4 3

e2 x − esin x 1 L10 = lim = x →0 t an3x 3

IỄ

ÀN

L9 = lim

L11 = lim x →0

32 + x − 2 1 = 80 x

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ: Tính các giới hạn

  x x L1 = lim x  ln 1 +  − ln  x →+∞   2 2

Dạng ∞(∞ - ∞)

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

1+ x 2 = lim x ln(1 + 2 ) = lim x. 2 L1 = lim x ln =2 x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x 2

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

Giới hạn 1 phía:

-L Í-

Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu

x → x0

ÁN

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D f ,0 < x0 − x < δ ⇒| f ( x) − a |< ε . ký hiệu lim f ( x) = a −

IỄ

ÀN

Số a gọi là giới hạn phải của y = f(x) tại điểm x0, nếu

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D f ,0 < x − x0 < δ ⇒| f ( x) − a |< ε . ký hiệu lim f ( x ) = a + x → x0

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

Giới hạn 1 phía:

H N

TP .Q U

Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới hạn trái, giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau.

Định lý:

Chú ý:

Ư N

ẠO

1. Ta có thể dùng định lý trên để chứng minh không tồn tại giới hạn hàm 2.Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc hàm ghép.

ẦN

Giới hạn & liên tục – Giới hạn hàm số

-L Í-

Ví dụ: Tính giới hạn lim

x →1± 0

1 2 x −1

1 → +∞ Vậy: x −1

lim

x →1+ 0

Giới hạn trái: x→1- ⇒ x < 1 ⇒ x − 1 < 0

1 2 xx−−1

= +∞

Tức là

IỄ

ÀN

ÁN

Giới hạn phải: x→1+ ⇒ x > 1 ⇒ x − 1 > 0 Tức là

1 → −∞ Vậy: x −1

lim

x →1− 0

1 2 x −1

=0 36

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

-L Í-

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn Chú ý: Khi tính các giới hạn chỉ được thay các nhân tử bằng các vô cùng bé tương đương.

IỄ

ÀN

ÁN

Chú ý: Tổng của các vô cùng bé khác cấp tương đương với vô cùng bé cấp thấp hơn trong 2 VCB đó.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

Chú ý: Khi tính các giới hạn chỉ được thay các nhân tử bằng các vô cùng lớn tương đương.

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Chú ý: Tổng của các vô cùng lớn khác cấp tương đương với vô cùng lớn cấp cao hơn trong 2 VCL đó.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q U

Giới hạn & liên tục – Vô cùng bé và vô cùng lớn

ẠO

Chú ý: Khi x → +∞ ta có

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

lnα x << x β << a x << x x (∀β > 0, a > 1)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Giới hạn & liên tục – Liên tục

ÁN

-L Í-

Hàm liên tục: Hàm y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x=a thuộc MXĐ của hàm nếu lim f ( x) = f ( a )

Hàm gián đoạn tại x=a nếu nó không liên tục tại đó

IỄ

ÀN

x →a

Đồ thị của hàm y=f(x) gián đọan tại x=3 74

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Giới hạn & liên tục – Phụ lục

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

1  x  5  2 1 +  − 1 5  32   32 + x − 2 = lim L1 = lim x →0 x →0 x x 1 x 2. 1 5 32 3 2 = lim = x →0 x 80 cos3 x − cos 7 x (cos3x − 1) − (cos 7 x − 1) L 2 = lim = lim x →0 x →0 x2 x2 1 1 − 9 x 2 + 49 x 2 2 = lim 2 = 20 2 x →0 78 x

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Phụ lục

L3 = lim cot 2 x ⋅ cot(π / 4 − x) x →π /4

π − 2x 2 = lim tan(π − 2 x) = l im =2 2 x →π /4 π x /4 → π π tan( − x) −x

tan 2 x

 = lim  1 − tan 2 x x →0 

1/tan 2 x  sin 2 (2 x )

)

 

lim

1 x→0 (2 x )2 1 = =4 e e

Ư N

(

N Y

)

x →0

TP .Q U

L 4 = lim 1 − tan x

1/sin 2 (2 x )

ẠO

(

ẦN

Giới hạn & liên tục – Phụ lục

 = lim (1 + (ch x − 1) ) x →0 

1/(1− cos x )

-L Í-

x →0

L5 = lim ( cosh x )

IỄ

ÀN

 2x + 3  L6 = lim  2  x →∞ 2 x − 1   2

lim

  

ÁN

1 x2 lim 2 x→0 1 x 2 2 e

ch x −1 1 1− cos x ch x −1

4 x2

x→∞ 2 x 2 −1

2 x −1  2 x  4  4    = lim 1 + 2   x →∞  2x −1   

−1

= e2 80

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N Y TP .Q U

Ư N

ẠO

2x − x2 (4.2 x −2 − 4) − ( x 2 − 4) L7 = lim = lim x →2 x − 2 x→2 x−2  4(e( x −2)ln 2 − 1)  = lim  − ( x + 2)  x→2 x−2   4(( x − 2)ln 2) = lim − 4 = 4(ln 2 − 1) x →2 x−2

Giới hạn & liên tục – Phụ lục

ẦN

Giới hạn & liên tục – Phụ lục

-L Í-

 1/ x 1  L8 = lim  e +  x →∞  x

1 ( e1/ x −1+ ) x x 

IỄ

ÀN

ÁN

1  1  e1/ x −1+ 1   1/ x  = lim 1 + (e − 1 + )  x x →∞   x   

1/ x −1+ 1 ) x ( e lim x x →∞

2 ( lim x ) x x →∞

= e2 82

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Giới hạn & liên tục – Phụ lục

N N

x →+∞

L9 = lim

x 2 + 14 + x x > 0 lim 2 x = 1 x →+∞ 2 x 2 x −2 + x

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

1   2 14 (− x)  (1 − 2 ) − 1   2 x x + 14 + x   x < 0 lim L10 = lim 1 2 x →−∞ x →−∞   x −2 + x 2 2 ( − x)  (1 + 2 ) − 1   1 −14 x   . 2 2 x = −7 = lim x →−∞ 1 2 . 2 83 2 x

Giới hạn & liên tục – Phụ lục

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

 1+ x    x x 2 L12 = lim x  ln 1 +  − ln  = lim x  ln x  x →+∞ 2  x→+∞    2  2  2  2 = lim x ln 1 +  = lim x. = 2 x →+∞  x  x→+∞ x 1 − cos xsin x 1 − esin x ln(cos x ) L13 = lim = lim x →0 x →0 x2 x2 − sin x ln(1 + (cos x − 1)) − x(cos x − 1) = lim = lim =0 2 2 0 → x →0 x x x 84

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

TP .Q U

CHƯƠNG 2:

ẦN

Ư N

ẠO

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

-L Í-

( )

IỄ

ÀN

ÁN

( ) ( )

Đạo hàm Bảng đạo hàm các hàm cơ bản ′ ′ −1 1/ a x = a x ln a ⇒ e x = e x 9 / ( arccos x )′ = 1 − x2 a ′ a −1 2 / x = a.x ′= 1 10 / arctan x 1 1 ( ) 3 / ( log a x )′ = ⇒ ( ln x )′ = 1 + x2 x ln a x ′ = −1 ′ 11 / arcc ot x ( ) 4 / ( sin x ) = cos x 1 + x2 5 / ( cos x )′ = − sin x 12 / ( shx )′ = chx 1 2 6 / ( tan x )′ = = 1 + tan x 13 / ( chx )′ = shx 2 cos x ′= 1 1 14 / thx ( ) 2 7 / ( cot x )′ = − 2 = −(1 + cot x) ch 2 x sin x ′=− 1 15 / cthx ( ) 1 sh 2 x 2 8 / ( arcsin x )′ = 1 − x2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N Y TP .Q U

h = f g ⇒ h′ = f ′.g ′

Đạo hàm hàm hợp

Đạo hàm Các quy tắc tính đạo hàm ′ − g ′f ( f ± g )′ = f ′ ± g ′  f ′ f g = g ′ g2   ( f .g ) = f ′g + g ′f

y = g ( x), h( x) = f ( y ) ⇒ h′( x) = f ′( y ).g ′( x)

Tức là

ẠO

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm : a) f(x) = tan (x3+x)

b) g(x) = esinx

Ư N

1 3x 2 + 1 3 a ) f ′( x) = ( x + x)′ = 2 3 cos ( x + x) cos 2 ( x3 + x) b) g ′( x) = esin x .(sin x)′ = cos x.esin x

ẦN

Đạo hàm

Đạo hàm của các hàm hợp cơ bản ′ ′ 1/ a f ( x ) = a f ( x ) .ln a. f ′( x) ⇒ e f ( x ) = e f ( x ) . f ′( x)

(

)

-L Í-

(

ÁN

2 / ( ln f ( x) )′ =

(

3 / f ( x)

1 . f ′( x) f ( x)

′

) = a. f ( x)

. f ′( x)

ÀN Đ N IỄ

5 / ( cos f ( x) )′ = − sin f ( x). f ′( x)

f ′( x) cos 2 ( f ( x))

− f ′( x) 7 / ( cot f ( x) )′ = sin 2 f ( x) Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

8 / ( arcsin f ( x) )′ =

a −1

4 / ( sin f ( x) )′ = cos f ( x). f ′( x)

6 / ( tan f ( x) )′ =

)

9 / ( arccos f ( x) )′ =

f ′( x) 1 − f 2 ( x) − f ′( x) 1 − f 2 ( x)

f ′( x) 1 + f 2 ( x) − f ′( x) 11 / ( arccot f ( x) )′ = 1 + f 2 ( x)

10 / ( arctan f ( x) )′ =

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đạo hàm

Đạo hàm của các hàm hợp cơ bản

( )′ = a .ln a.u ' ⇒ ( e )′ = e .u ' u

a −1

.u '

4 / ( sin u )′ = cos u.u '

9 / ( arccos u )′ =

1− u −1

.u '

1− u 1 10 / ( arctan u )′ = .u ' 1+ u2

ẠO

5 / ( cos u )′ = − sin u.u '

1 .u ' cos 2 u

−1 11 / ( arccot u )′ = .u ' 1+ u2

Ư N

6 / ( tan u )′ =

8 / ( arcsin u )′ =

′

( ) = a.u

3/ u

1 2 / ( ln u )′ = .u ' u

TP .Q U

1/ a u

ẦN

−1 7 / ( cot an u )′ = .u ' sin 2 u

Đạo hàm

ÁN

-L Í-

x  Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm y = cos 2  sin  3  x x  u = cos  sin  ⇒ y = u 2 , v = sin ⇒ u = cos v 3 3 

x x 1 ⇒ v = sin t ⇒ v ' = cos t.t ' = (cos ). 3 3 3 x 1 x  u = cos v ⇒ u ' = − sin v.v ' = − sin  sin  . cos 3 3 3 

IỄ

ÀN

x x 1 x   y′ = 2u.u ' = −2cos  sin  .sin  sin  . cos 3 3 3 3   −1 x x = .cos .sin(2sin ) 6 3 3 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đạo hàm

Ví dụ: Tính đạo hàm của y = arctan( e x +1 − 1)

TP .Q U

y' =

1 .u ' = 2 1+ u

ẠO

Suy ra:

u = e x +1 − 1 ⇒ y = arctan u

Đặt:

ẦN

Ư N

e x +1 = 1 + (e x +1 − 1) 2

Đạo hàm

Đạo hàm hàm số dạng y=u(x)v(x):

-L Í-

Chú ý:

u = e ln u

ÁN

v( x) = ev ( x ) ln u ( x ) Cách 1:Ta viết lại dạng uv thành u ( x)

Suy ra :

v( x)

v ( x ) ln u ( x )

)′

ÀN

 u′( x)  = ev ( x ) ln u ( x ) . v′( x)ln u ( x) + v( x) u ( x)  

Đ N IỄ

(u ( x )

(u( x) )′ = ( e

v(x)

)′ = u ( x )

v(x)

 u ′( x )   v ′ ( x ) ln u ( x ) + v ( x ) u ( x )   

Cách 2: Lấy logarit 2 vế Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đạo hàm

Đạo hàm hàm số dạng y=u(x)v(x):

Cách 3:Ta xét

−1

v ( x ) −1

g = a v ( x ) , a = u ( x)

).u '( x)

) = α (u( x)α ).u '( x) = v( x) (u( x)

′

TP .Q U

(

⇒ f ' = u ( x)α

f = u ( x)α ,α = v( x)

′ ⇒ g ' = a v ( x ) = a v ( x ) .ln a.v '( x) = u ( x)v ( x ) .ln u ( x).v '( x)

)

ẠO

(

Suy ra :

ẦN

Ư N

y′ = f '+ g ' = v( x)u( x)v( x)−1.u′( x) + u( x)v( x) ln u( x).v′( x)

Đạo hàm

y = xx

-L Í-

Ví dụ: Tính đạo hàm

Cách 1:Ta viết lại dạng uv thành

y = e x ln x

ÁN

′ ⇒ y ' = e x ln x = e x ln x .( x ln x )′ = x x ( ln x + 1)

(

)

Lấy đạo hàm 2 vế:

IỄ

ÀN

Cách 2: Lấy ln 2 vế hàm đã cho

Vậy:

ln y = x ln x

y′ = ( x ln x )′ = ln x + 1 y

⇒ y ' = x x ( ln x + 1) 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đạo hàm

Cách 3:Ta xét

f = xα ,α = x ′ ⇒ f ' = xα = α xα −1 = x.x x −1 g = ax,a = x

ẠO

( )

Suy ra :

′ ⇒ g ' = a x = a x .ln a = x x .ln x

TP .Q U

( )

ẦN

Ư N

y′ = f '+ g ' = x.x x−1 + x ln x

Đạo hàm

-L Í-

Ví dụ: Tính đạo hàm

(ln x) x y = ln x x

Vậy:

(ln x) x  1 2ln x  y ' = ln x  ln ln x + −  ln x x  x 

IỄ

ÀN

ÁN

x ln x Lấy ln 2 vế hàm đã cho ln y = ln((ln x) ) − ln( x ) y′ = ( x ln((ln x)) )′ − ( ln x.ln x )′ Lấy đạo hàm 2 vế: y

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đạo hàm cấp cao

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Y

TP .Q U

Tiếp tục quá trình đó, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n

Cho hàm y = f(x) có đạo hàm z = f ’(x). Lấy đạo hàm của hàm z, ta được đạo hàm cấp 2 của hàm f(x) – kí hiệu là f ′′( x )

f ( n ) ( x) = ( f ( n −1) ( x))′

ẠO

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp 1, 2 của hàm y = tan(x2+1)

ẦN

Ư N

2x 2cos( x 2 + 1) + 2.2 x.2 x.sin( x 2 + 1) y′ = ⇒ y′′ = 2 2 cos ( x + 1) cos3 ( x 2 + 1)

Vi phân

-L Í-

Từ công thức df ( x) = f ′( x)dx ta suy ra cách tính vi phân cũng như bảng vi phân các hàm cơ bản giống như đạo hàm.

ÁN

Ví dụ: Tính dy nếu y = arctan(x2+x)

IỄ

ÀN

Ta tính đạo hàm, sau đó thay vào công thức vi phân 2x + 1 2x + 1 ′ y′ = ⇒ dy = y . dx = dx 2 2 2 2 1 + ( x + x) 1 + ( x + x) Ví dụ: Tính dy nếu y = ln(sinx+cosx) cos x − sin x cos x − sin x ⇒ dy = y′.dx = y′ = dx sin x + cos x sin x + cos x

⇒ dy = cot( x + π )dx 4 Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vi phân

*Vi phân cấp 2 của hàm f(x) là vi phân (nếu có) của vi phân cấp 1: d2f = d(df) Vi phân cấp 2 của biến độc lập x bằng 0 :

d2x = d(dx)=0

TP .Q U

d 2 f ( x) = d (df ( x)) = d ( f ′( x).dx)

= d ( f ′( x))dx + f ′( x).d ( dx) = f "( x) dx 2 + f '( x)d 2 x

ẠO

Nếu x là biến độc lập thì d 2 x = 0 ⇒ d 2 f = f ′′( x)dx 2

d f ( x) = f

(dx = ( dx) ) 15

ẦN

( x)dx

Ư N

*Vi phân cấp n của hàm f(x) là vi phân (nếu có) của vi phân cấp (n-1). Tương tự như trên nếu x là biến độc lập thì n ( n) n n n

Vi phân

Ví dụ: Cho hàm f ( x) = ln(e 2 x − e − x + 1) Tính df, d2f tại x=0

ÁN

-L Í-

Ta tính đạo hàm rồi thay vào công thức vi phân 2e 2 x + e − x f ′( x) = 2 x − x ⇒ f ′(0) = 3 e − e +1

IỄ

ÀN

f ′′( x) =

4e 2 x − 9e x − e − x

−e

−x

)

⇒ f ′′(0) = −6

2e 2 x + e − x dx ⇒ df (0) = 3dx Vậy: df ( x) = 2 x − x e − e +1 4e 2 x − 9e x − e − x 2 2 2 2 d f ( x) = ⇒ = − 0) dx d f ( 6 dx 2 2x −x e − e +1

(

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

)

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3. lim−

Ơ lim−

f ′( x) =A g ′( x)

x→b

f ( x) =A g ( x)

ẦN

Ư N

ẠO

x →b

Khi đó:

2.g ′( x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b)

lim g ( x) = 0(∞)

x →b −

x →b

TP .Q U

1. lim− f ( x) = 0(∞),

Quy tắc L’Hospital Định lý 1 (dạng 0 , ∞ ) 0 ∞ Cho 2 hàm f(x), g(x) khả vi trên khỏang (a,b) thỏa

Quy tắc L’Hospital

Chú ý: Ta thường trình bày như sau (nếu giới hạn cuối cùng tồn tại ):

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Chú ý: 1. Định lý vẫn đúng khi x→a+,xₒ 2. Định lý vẫn đúng khi b =+∞, a= -∞ 3. Định lý tương tự nếu ta phải tính đạo hàm n lần

f ( x) f ′( x) f ( n ) ( x) lim = lim− = ... = lim− ( n) x→b− g ( x) x →b g ′( x) x→b g ( x) 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Quy tắc L’Hospital

Ví dụ: Tính các giới hạn x − tan x ln cos 2 x 1.lim 2.lim x →0 x →0 sin2x x3

ln x (α > 0) x →+∞ xα

TP .Q U

2 x − tan x 1 − (1 + tan2 x) tan x − 1 − x2 1.lim = lim = lim = = lim x →0 x→0 x →0 3 x 2 x3 3x2 x →0 3 x 2 3

3. lim

ẠO

−2sin2x ln cos 2 x 2.lim = lim cos 2 x = 0 x →0 sin2x x →0 2cos2x

Ư N

1 ln x 1 x 3. lim α (α > 0) = lim = lim =0 x →+∞ x x →+∞ α xα −1 x →+∞ α xα

ẦN

Quy tắc L’Hospital

Ví dụ: Tính các giới hạn

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

  x x L1 = lim x  ln 1 +  − ln  Dạng ∞(∞ - ∞) x →+∞   2 2 2 ln(1 + ) x 1+ 2 x 2 = lim x ln(1 + ) = lim L1 = lim x ln 1 x x →+∞ x →+∞ x →+∞ x 2 x ln(1 + t ) = lim 2. =2 2 t t = →0 x

L2 = lim ( tan x ) x −π 4 = lim e π x→

x →π

1+ tan 2 x lim tan x x→π 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

= e2

x −π

lim

ln(tan x ) 4

x →π

ln tan x x −π

4 20

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Quy tắc L’Hospital

x →+∞

2 x ln 3 2 lim x→+∞ 2 x ln 2 2 e

2 x ln 2 2 lim x→+∞ 1+ 2 x ln 2 e

lim

)

1+ 2 x ln 2 lim x →+∞ x + 2 x e

ln x x→0+ 1 x e

L4 = lim+ xsin x = lim+ esin x ln x = x →0 x →0

Đ G +

Ư N

= e x→0

lim ( − x )

ẦN

1 lim x x→0+ −1 2 x e

ẠO

lim

x →+∞

(

1 ln( x + 2 x ) ex

TP .Q U

L3 = lim

1 x + 2x x =

Quy tắc L’Hospital

π −2 x

-L Í-

L3 = lim + ( tan x )

TO ÀN Đ N IỄ

(π − 2 x ) 2

= lim +

= lim + x →π

1 cos x.tan x 2 (π − 2 x )2

x →π

= lim + e x →π

x →π

ÁN

x →π

= lim + e(π − 2 x )ln(tan x ) = lim + e

ln(tan x ) 1 (π − 2 x )

(π − 2 x ) 2 (π − x ) 2 π 2.( − x )2 2 e

x →π

2.sin 2 (π − x ) cot(π − x ) 2 2 e

= e0 = 1

2 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Quy tắc L’Hospital

L6 = lim+ x x →0

= lim+ e

ẠO

= e3 ln x ln( e x −1)

ln x e ln x

1 ln( e x −1)

ln( x + e2 x ) e x→0 x lim

TP .Q U

)

x →0 1+ 2 e2 x lim 2x e x→0 x + e

1 ln( x + e2 x ) lim e x x →0

= lim+

(

1 x + e2 x x

Ư N

L5 = lim

x   1 1− x L4 = lim+  − = −1  = lim+ x →1  ln x ln x  x →1 ln(1 + ( x − 1))

x →0

ẦN

Quy tắc L’Hospital

-L Í-

Các trường hợp không dùng được quy tắc L’Hospital

x + cos x 1 − sin x = lim x →∞ x →∞ x 1

f ′( x) x →∞ g ′( x )

∃ lim

x 1 + x2 Sau khi dùng L’H thì vẫn = lim lim x →∞ x →∞ x 1 + x 2 chỉ được giới hạn ban đầu

IỄ

ÀN

ÁN

lim

x + sin x x →0 cot x lim

Giới hạn dạng 0 = 0 ∞ 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x)

Các bước khảo sát và dựng đồ thị hàm y=f(x)

1. Tìm MXĐ, tính chẵn, lẻ, chu kỳ tuần hoàn (nếu có)

TP .Q U

3. Tìm cực trị, khoảng tăng giảm, tiệm cận đặc biệt

2. Tìm tiệm cận

ẠO

4. Tìm khỏang lồi, lõm và điểm uốn (nếu cần)

Ư N

5. Lập bảng biến thiên

ẦN

6. Dựng đồ thị

Khảo sát hàm y=f(x)

1. Tìm MXĐ, hàm chẵn lẻ, tính tuần hoàn

-L Í-

Hàm chẵn nếu f(x) = f(-x), khi đó đồ thị hàm nhận trục Oy là trục đối xứng

ÁN

Hàm lẻ nếu f(x) = -f(-x), khi đó đồ thị nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng

IỄ

ÀN

Hàm tuần hoàn nếu tồn tại hằng số T sao cho f(x) = f(x+T). Hằng số T>0 được gọi là chu kỳ tuần hoàn của hàm f(x) nếu T là số dương nhỏ nhất thỏa f(x)=f(x+T) và khi đó ta chỉ phải khảo sát hàm trong 1 chu kỳ 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x)

2. Tìm tiệm cận

2)Nếu

thì hàm có TCN y = y0

Ơ H

thì hàm có TCĐ x = x0

TP .Q U

x → x0

1)Nếu: lim f ( x) = ∞

Với x0 hay ±∞ là điểm biên của MXĐ nhưng không thuộc MXĐ của hàm :

lim f ( x) = y0

x →∞

ẦN

Ư N

ẠO

 lim f ( x) = ∞ x →∞ 3)Nếu  f ( x)  = a ≠ 0 thì hàm có TCX y = ax+b  lim  x→∞ x  lim [ f ( x) − ax ] = b  x→∞ 27

Khảo sát hàm y=f(x)

2x x2 − 5x + 6

-L Í-

Ví dụ: Tìm tiệm cận của hàm MXĐ : R\{2, 3}

2x = ∞ Hàm có TCĐ: x = 2 x →2 x→2 x 2 − 5 x + 6 2x lim f ( x) = lim 2 = ∞ Hàm có TCĐ: x = 3 x →3 x →2 x − 5 x + 6 2x lim f ( x) = lim 2 = 0 Hàm có TCN: y = 0 x →∞ x →∞ x − 5 x + 6

IỄ

ÀN

ÁN

lim f ( x) = lim

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

x=2

x=3

TP .Q U

2x x5 − 5 x + 6

Ư N

y=0

ẦN

Khảo sát hàm y=f(x)

Ví dụ: Tìm tiệm cận của hàm y =

2 xe x

-L Í-

MXĐ: R\{0}

2 2 − 2 ex lim+ y = lim+ xe x + 1 = 1 + lim+ = 1 + lim+ x 1 x →0 x →0 x →0 x →0 1 − 2 x x 2 = 1 + lim+ 2e x = ∞ Hàm có TCĐ x = 0 x →0

IỄ

ÀN

ÁN

2 ex

lim y = lim−

x →0 −

x →0

lim y = lim

x →∞

2 xe x

x →∞

2 xe x

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

+1 = 1

Hàm không có TC tương ứng

+1 = ∞ 30

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x)

lim ( y − x) =

x →∞

 2 1 = lim  e x +  = 1 x →∞  x  

2 lim ( xe x x →∞

y lim = lim x →∞ x x →∞

2 xe x

x →∞

 2  + 1 − x) = 1 + lim x  e x − 1  x →∞   

TP .Q U

x →∞

+1 = ∞

ẠO

lim y = lim

2 xe x

2 = 1 + lim x. = 3 x →∞ x

Hàm có TCX y = x+3

Ư N

Vậy hàm đã cho có 1 TCĐ x = 0 và 1 TCX y = x+3

y = xe

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x)

3. Tìm khỏang tăng giảm, cực trị :

Tính đạo hàm cấp 1 và giải phương trình y’ = 0

TP .Q U

ẠO

Nếu y’<0 trong (a,b) thì hàm giảm trong (a,b)

Nếu y’>0 trong (a,b) thì hàm tăng trong (a,b)

Ư N

Nếu y’=0 hoặc không tồn tại y’ tại x=x0 và y’ đổi dấu khi đi qua x=x0 thì hàm đạt cực trị tại x=x0

ẦN

Khảo sát hàm y=f(x)

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm

-L Í-

x3 x−2

x ≤ 0∨ 2 < x

1 2 x 2 ( x − 3) x3 x3 ⇒ y' = . = u,u = 2 2 u ( x − 2) x−2 x−2

ÁN

MXĐ :

IỄ

ÀN

y′ = 0 ⇔ x = 3

Như vậy, ta có 1 điểm nghi ngờ hàm đạt cực trị là x=3 Ta lập bảng biến thiên x −∞ 2 3 0 +∞ Vậy hàm có 1 cực tiểu y’ - 0 + yct=y(3) y 34 CT 0

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x)

4. Tìm khỏang lồi lõm, điểm uốn

Tính đạo hàm cấp 2 và giải phương trình y” = 0

Nếu y”>0 trong (a,b) thì hàm lõm trong (a,b)

Nếu y”<0 trong (a,b) thì hàm lồi trong (a,b)

TP .Q U

Nếu y”=0 hoặc không tồn tại y” tại x=x0 và y” đổi dấu khi đi qua x=x0 thì hàm có điểm uốn là (x0,f(x0))

ẦN

Ư N

ẠO

Hàm lồi trong (a,b) khi y”<0

Khảo sát hàm y=f(x)

Ví dụ: Tìm khỏang lồi lõm và điểm uốn của hàm y=x2lnx

-L Í-

y′ = 2 x ln x + x, y′′ = 2ln x + 3 1

ÁN

y′′ = 0 ⇔ x =

x 0 y”

1/ e3

IỄ

ÀN

Ta cũng lập bảng biến thiên để khảo sát -

+∞

1 Vậy hàm lồi trong khỏang (0, ) , lõm trong khỏang 3 e 1 −3 1 ( , ) ( , +∞) Và có điểm uốn là 36 3 6 3 e 2 e e

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x)

Ví dụ: Khảo sát và dựng đồ thị hàm y = e

−x

−x=∞

x →∞

Tiệm cận: lim y = lim e

MXĐ : R\{0}

x →0

lim− y = lim− (e

ẠO

− x) = 0

ẦN

x →0

− x) = +∞ TCĐ: x=0

x →0

Ư N

lim+ y = lim+

x →∞ 1 (e x

x →∞

TCX: y=-x+1

lim ( y + x) = lim e

TP .Q U

y e x−x lim = lim = −1 x →∞ x x →∞ x

−x

y=e

Khảo sát hàm y=f(x)

+∞ − −∞

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

1 1x e x + x2 Cực trị: y′ = − 2 e − 1 = − x x2 y′ < 0, ∀x ∈ R* x −∞ 0 − y’ +∞ y +∞

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x) exp(1/x) - x

TP .Q U

ẠO

-2

-4

-6 0 x

−x

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

y=e

Ư N

-2

-4

ẦN

-6

y=e

−x 40

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x)

Ví dụ: Khảo sát và dựng đồ thị hàm y = 3 x ( x − 1) 2

MXĐ: R

x →∞

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

3 y x ( x − 1) 2 ( x − 1) 2 lim = lim = lim =∞ 3 2 x →∞ x x →∞ x →∞ x x Hàm không có tiệm cận Cực trị: y′ = 1 ( x − 1) 2 + 2 3 x ( x − 1) 33 x2 x = 1 Và y’(0)=+∞ y′ = 0 ⇔  x = 1/ 7 41

x →∞

Tiệm cận: lim y = lim 3 x ( x − 1) 2 = ∞

1 3

( x − 1) 2 + 2 3 x ( x − 1)

y′ =

Khảo sát hàm y=f(x)

−∞

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

x2 Vì đạo hàm cấp 2 phức tạp nên ta sẽ không tính Bảng biến thiên +∞ 0 1/7 1 x −∞ + + 0 0 + y’ +∞ y 0.3841

Tiếp tuyến nằm ngang 42

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x)

Đồ thị

TP .Q U

y=0.3841

y = 0.3841

ẠO

x=1/7

y = 3 x ( x − 1) 2

ẦN

Ư N

y = 3 x ( x − 1)

Khảo sát hàm y=f(x)

-L Í-

MXĐ: R+

Ví dụ: Khảo sát và dựng đồ thị hàm y = lnx-x+1

IỄ

ÀN

ÁN

Tiệm cận: lim+ y = lim+ (ln x − x + 1) = −∞ Hàm có TCĐ x = 0 x →0 x →0  ln x  = −∞ lim y = lim (ln x − x + 1) = 1 + lim x  − 1 x →+∞  x x →+∞ x →+∞ 

y ln x − x + 1 1  ln x = lim = lim  − 1 +  = −1 x →+∞ x x →+∞ x →+∞  x x x lim

lim ( y + x) = lim (ln x − x + 1 + x) = lim ( ln x + 1) = +∞

x →+∞

Hàm không có TCX Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x →+∞

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x)

1 −1 x

1 =1⇔ x =1 x

y′ = 0 ⇔

+∞ -

0 0

ẠO

Bảng biến thiên: x 0 y’ +

y′ =

TP .Q U

Cực trị:

-∞

ẦN

Ư N

-∞

Khảo sát hàm y=f(x)

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Đồ thị

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục

sin x x

y=0

ẠO

TP .Q U

y = 3 x3 − x 2

1 1 x=− ,y = x+ e e 1 y = x− 3

1 y = x ln(e + ) x

Tìm tiệm cận của các hàm

1 −1 x y= e x

ẦN

Ư N

x=0, y=0

Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục

-L Í-

Tìm cực trị của các hàm

ÁN

y = x 1− x

x ln x

| x − 1| x2

y min = y (

−1 1 ), y max = y ( ) 2 2

y min = y (e) y min = y (1), ymax = y (2)

IỄ

ÀN

y = 3 x2 − 2 x

y min = y(1) 48

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khảo sát hàm y=f(x) – Phụ lục

Khảo sát và vẽ đồ thị

x2 + 1

Ơ H

ẠO

| x2 − 3 | 3. y = x

4. y = x + x 2 − 1 2

10. y = x 2 ln x 49

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ẦN

Ư N

5. y = e4 x − x

6. y = x3e − x 1 7. y = x 2 ( x 2 − 3) 2 4 x2 + 1 8. y = 2 x − 4x + 5 8x 9. y = x2 − 4

TP .Q U

2. y =

1. y = (1 + x)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Y TP .Q U 1

ẦN

Ư N

ẠO

CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Tích phân bất định

-L Í-

Nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trong khỏang (a,b) nếu tại mọi điểm x thuộc (a,b) ta đều có F’(x) = f(x)

ÁN

Từ định nghĩa nguyên hàm ta suy ra:

IỄ

ÀN

1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C cũng là nguyên hàm của hàm f(x) 2. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C

Định lý: Mọi hàm liên tục trên [a,b] (liên tục ∀x ∈ (a, b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a) thì có nguyên hàm trên [a,b] 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

Định nghĩa tích phân bất định : Nếu hàm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) thì F(x)+C (C: hằng số) được gọi là tích phân bất định của hàm f(x), kí hiệu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C

TP .Q U

Tính chất:

∫ F '( x)dx = F ( x) + C

ẠO

d f ( x)dx = f ( x) ∫ dx

Ư N

∫ a. f ( x)dx = a.∫ f ( x)dx

ẦN

∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

Tích phân bất định

1 ∫ x dx = ln x + C

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Bảng tích phân các hàm cơ bản 1 xα +1 α α = + , ≠ − 1 x dx C ∫ 2 dx = tan x + C ∫ α +1 cos x 1 ax x a dx = + C ∫ 2 dx = − cot x + c ∫ ln a sin x xdx 1 1 1 x = ln x 2 + a + C dx = arctan +C ∫ 2 ∫ 2 2 a a x +a 2 a +x

∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + c

∫

dx x ∫ sin x = ln tan 2 + C

dx x π = ln tan ∫ cos x  +  +C 2 4 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 1 x+a ln dx = +C 2 2 2a x − a a −x

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

x = +c arcsin ∫ 2 2 a a −x

∫

xdx a2 − x2

N Ơ

x2 ± a2

= − a2 − x2 + C

x2 ± a2

= ln x + x 2 ± a 2 + C

∫

= x2 ± a2 + C ∫

xdx

TP .Q U

a x x2 + a 2 +C ∫ x + a .dx = ln | x + x + a | + 2 2 2

ẠO

a2 x x a2 − x2 arcsin + +C ∫ a − x .dx = 2 a 2 ∫ shxdx = chx + C ∫ dx = thx + C ∫ dx = −cthx + C 2 2 ch x sh x chxdx = chx + C ∫ 2

ẦN

Ư N

Tích phân bất định

Phương pháp tích phân từng phần:

ÁN

-L Í-

Định lý: Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và u(x), v’(x) có nguyên hàm trên (a,b). Khi ấy hàm u’(x), v(x) cũng có nguyên hàm trên (a,b) và ta có ∫ u ( x)v′( x)dx = u ( x)v( x) − ∫ u′( x)v( x)dx

IỄ

ÀN

Đẳng thức trên tương đương với: ∫ ( u′( x)v( x) + u ( x)v′( x) ) dx = u ( x)v( x) Đẳng thức này hiển nhiên đúng theo công thức đạo hàm của tích

Ta còn viết CT trên ở dạng

∫ udv = uv − ∫ vdu 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

1) ∫ x neα x dx : u = x n , dv = eα x dx

Ví dụ: Tính I 5 = ∫ x 2e 2 x dx

1 u = x 2 , dv = e 2 x dx ⇒ du = 2 xdx, v = e 2 x 2 2x 2x 2 2x e e x e I5 = x2 − ∫ d ( x2 ) = − ∫ xe2 x dx 2 2 2

ẠO

TP .Q U

Đặt

Tương tự,lấy tích phân từng phần 1 lần nữa:

ẦN

Ư N

x 2e 2 x  xe 2 x 1 2 x  x 2 e 2 x xe 2 x e 2 x I5 = − − ∫ e dx  = − + +C 2 2 2 2 4  2 

Tích phân bất định

2) ∫ x n cos α xdx : u = x n , dv = cos α xdx

-L Í-

n n sin : = , dv = sin α xdx x xdx u x α ∫

ÁN

2 Ví dụ: Tính I 6 = ∫ x cos xdx

u = x 2 , dv = cos xdx ⇒ du = 2 xdx, v = sin x I 6 = x 2 sin x − ∫ 2 x sin xdx = x 2 sin x + 2 x cos x − 2 ∫ cos xdx

IỄ

ÀN

Đặt

= x 2 sin x + 2 x cos x − 2sin x + C 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

3) ∫ xα ln n xdx,α ≠ −1: u = ln n x, dv = xα dx

Đ G Ư N

ẦN

x3 ln x x3 = − +C 3 9

ẠO

x3 ln x x2 I6 = − ∫ dx 3 3

TP .Q U

3 dx x Đặt u = ln x, dv = x dx ⇒ du = ,v = x 3 2

I 7 = ∫ x 2 ln xdx

Ví dụ: Tính

Tích phân bất định

4) I = ∫ e kx cos α xdx : u = e kx , dv = cos α xdx

-L Í-

J= ∫ e kx sin α xdx : u = e kx , dv = sin α xdx

ÁN

Ví dụ: Tính

x I = ∫ e 2 x cos dx 2

IỄ

ÀN

Đặt u = e 2 x , dv = cos x dx ⇒ du = 2e 2 x dx, v = 2sin x

x x I = 2e 2 x sin − 4.∫ e 2 x sin dx 2 2 x x = 2e 2 x sin − 4[−2e 2 x cos + 4 I ] 2 2 1 x x ⇒ I = {2e 2 x sin + 8e2 x cos } + C 17 2 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

5) Hàm ngược = u

Ví dụ: Tính I8 = ∫ arcsin xdx

Đặt u=arcsinx, dv=dx

TP .Q U

I 5 = ∫ udv = uv − ∫ vdu = x arcsin x − ∫ xd (arcsin x)

1 d (1 − x 2 ) = x arcsin x + ∫ = x arcsin x − ∫ 2 2 1− x 1 − x2

ẠO

xdx

ẦN

Ư N

= x arcsin x + 1 − x 2 + C

Tích phân bất định

Tính tích phân

In = ∫

du (u 2 + a 2 ) n

ÁN

-L Í-

du u u 2 du = 2 + 2n ∫ 2 In = ∫ 2 2 n 2 n (u + a ) (u + a ) (u + a 2 ) n +1

IỄ

ÀN

du u (u 2 + a 2 − a 2 )du In = ∫ 2 = 2 + 2n ∫ 2 n 2 n (u + a ) (u + a ) (u 2 + a 2 )n +1 u 2 In = 2 + 2 n ( I − a .I n +1 ) n 2 n (u + a )

Tích phân tính bằng công thức truy hồi

I n +1 = ∫

 du u 1  = + (2 n − 1) I  n 12 (u 2 + a 2 ) n +1 2na 2  (u 2 + a 2 ) n 

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

Phương pháp đổi biến: Định lý: Nếu ∫ f ( x)dx = F ( x) + C Thì: ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt = F (ϕ (t )) + C

Với φ(t) là hàm khả vi

( F (ϕ (t )) + C )′ = F ′(ϕ (t )).ϕ ′(t )

= f (ϕ (t )).ϕ ′(t )

TP .Q U

Ta kiểm tra lại bằng cách tính đạo hàm vế phải:

ẠO

Ta được hàm dưới dấu tích phân vế trái tức là định lý được chứng minh

ẦN

Ư N

Định lý trên là cơ sở của 2 cách đổi biến thường gặp sau đây

Tích phân bất định

Phương pháp đổi biến 1: Đặt x = φ(t), φ(t) là hàm khả vi và có hàm ngược t= φ-1(x) thì ta có

-L Í-

∫ f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt

ÁN

Nếu nguyên hàm của f(φ(t))φ’(t) là G(t) thì −1 ∫ f ( x)dx = G (t ) + C = G (ϕ ( x)) + C

IỄ

ÀN

Ví dụ: Tính tích phân I1 = ∫ 1 − x 2 dx

Đặt x = sint thì

dx = cos tdt t = arcsin x và   2 2  1 − x = cos t sin2t = 2 x 1 − x

I1 = ∫ cos 2 tdt 1 + cos 2t 1 1 arcsin x x 1 − x 2 =∫ dt = t + sin2t + C = + 14+ C 2 2 4 2 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

Phương pháp đổi biến 2: Đặt u = φ(x), du=φ(x)dx và giả sử ∫ f ( x) dx = ∫ g (ϕ ( x ))ϕ ′( x)dx với

∫ g ( x)dx = G ( x) + C

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

dx x2 + a2 x 1 Đặt u = ⇒ du = dx ⇒ dx = adu a a 1 adu 1 1 x I2 = 2 ∫ 2 = arctan u + C = arctan + C a a a u +1 a Ví dụ: Tính I 2 = ∫

Thì ∫ f ( x)dx = G (ϕ ( x)) + C

Tích phân bất định

Ví dụ: Tính I 3 = ∫ e x 4 + e x dx

-L Í-

Đặt u = 4 + e x

ÁN

I3 =

⇒ e x = u 2 − 4 ⇒ e x dx = 2udu 2

3 x 3 2 ∫ 2u du = 3 u + C = 3 (e + 4) + C

dx 2x + 1 2 x dx 1  x  1 I4 = ∫ x x = ∫ x − x 2 dx = ∫ dx − J 2 (2 + 1) 2 +1 2 du 2 x dx du ln(2 x − 1) x x = 2 dx ⇒ J = ∫ x =∫ = Đặt u = 2 +1⇒ ln 2 ln 2 u ln 2 2 +1 x ln(2 − 1) ⇒ I4 = x − +C 16 ln 2

IỄ

ÀN

Ví dụ: Tính I 4 = ∫

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

Pn ( x) Qm ( x)

Tích phân hàm hữu tỉ: f ( x) =

)

(

1. Tích phân phân thức đơn giản lọai 1:

TP .Q U

(

b M d x+ a M dx = k ∫ ∫ k k (ax + b) a x+b a

)

ẦN

Ư N

(

ẠO

1− k M 1 b + C , khi k ≠ 1  a k 1 − k x + a =  M ln x + b + C , khi k = 1 a  a

Tích phân bất định

(N − )dx M (2ax + b)dx a = + ∫ 2 k ∫ 2a (ax + bx + c) (ax 2 + bx + c) k

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

2. Tích phân phân thức đơn giản lọai 2: với ax2+bx+c là tam thức bậc 2 không có nghiệm thực Thêm bớt để tử số thành đạo Mx + N dx hàm của tam thức bậc 2 cộng 1 ∫ 2 k (ax + bx + c) hằng số Mb

M (2ax + b)dx +∫ ∫ 2a (ax 2 + bx + c) k

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

(N −

Mb )dx a k

b2 c b2  k 2 b a x + x+ 2 + − 2  a a 4a  18 4a  www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

Mb  b  )d  x +  a 2a  

N Ơ

  

   

2 k

 2 b   c b2 k  a x+  + − 2    a 4a 2a   

TP .Q U

du Đặt u = ax + bx + c thì tích phân thứ 1 có dạng ∫ k u

M d (ax 2 + bx + x) = +∫ ∫ 2a (ax 2 + bx + c) k

(N −

b du tích phân thứ 2 có dạng ∫ 2 (u + a 2 ) k 2a

Ư N

Đặt u = x +

ẠO

Tích phân này ta tính bằng công thức truy hồi

ẦN

Tích phân bất định

-L Í-

2. Tích phân phân thức đơn giản lọai 2: với x2+px+q là tam thức bậc 2 không có nghiệm thực Đặt

u = x+

p 2

ÁN

Mx + N dx ∫ 2 k ( x + px + q )

IỄ

ÀN

Ta đựơc tổng của 2 tp cơ bản dạng

I =∫

udu du , J = ∫ 2 2 k (u 2 + a 2 )k (u + a )

Tích phân I ta tính bằng cách đặt

t = u2 + a2

Tích phân J ta tính bằng công thức truy hồi 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

ẠO

TP .Q U

Tách tử số thành tổng đạo hàm của tam thức bậc 2 và 1 hằng số để chia hàm thành tổng 2 hàm với hàm thứ 2 có mẫu số đã tách thành tổng bình phương của 1 nhị thức và hằng số 1 2 ( ) d x + ( 2 x + 1)dx 2 I9 = ∫ 2 +∫  x + x +1 1 2 3 2 x + + ( ) ( )   2 2  

Tích phân bất định 2x + 3 dx Ví dụ: Tính I 9 = ∫ 2 x + x +1

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ư N

4 2x + 1 arctan +C 3 3

ẦN

= ln( x 2 + x + 1) +

I9 = ∫

Đặt

u = x+

1 2

2udu 2du +∫ 3 3 u 2 + ( )2 u 2 + ( )2 2 2

= ln u 2 + (

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Tích phân bất định 2x + 3 dx Ví dụ: Tính I 9 = ∫ 2 x + x +1

3 2 2 2u ) + 2. arctan +C 2 3 3

= ln( x 2 + x + 1) +

4 2x + 1 arctan +C 3 3 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định Trường hợp 1: n < m Bước 1: Giả sử

Ơ H

Ư N

ẠO

TP .Q U

Trong đó l1+l2+…+lr+k1+k2+…+ks=m và các tam thức bậc 2 dạng - cx2+dx+e - không có nghiệm thực Bước 2: Ta phân tích hàm f(x) thành tổng các phân M jx + N j thức đơn giản dạng Mi , (ai x + bi )li (c j x 2 + d j x + e j ) k j Bước 3: Đồng nhất hệ số 2 vế để xác định cụ thể các hệ số M, N.

Qm ( x) = (a1x + b1 )l1 ...(ar x + br )lr (c1x 2 + d1x + e1 )k1 ...(cs x 2 + d s x + es ) ks

ẦN

Bước 4: Tính các tp các hàm đơn giản, cộng lại ta được tp cần tính

ÁN

-L Í-

Tích phân bất định 2x − 3 Ví dụ: Tính I8 = ∫ 3 dx 2 x − 5x + 6 x 2x − 3 a b c Giả sử : = + + x3 − 5 x 2 + 6 x x x − 2 x − 3

IỄ

ÀN

⇔ 2 x − 3 = a( x − 2)( x − 3) + bx( x − 3) + cx( x − 2) Ta chọn các giá trị đặc biệt x = 2 : 1 = −2b ⇔ b = −1 x = 0 : −3 = 6a ⇔ a = −1 2 2 x = 3 : 3 = 3c ⇔ c = 1 −dx −dx dx I8 = ∫ +∫ +∫ 2x 2( x − 2) x−3 −1 −1 = ln x + ln x − 2 + ln x − 3 + C 2 2 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

)

(

Tích phân bất định x+5 Ví dụ: Tính I9 = ∫ dx 2 ( x − 1)( x + x + 1) x+5 A Bx + C = + Đặt ( x − 1) x 2 + x + 1 x − 1 x 2 + x + 1

TP .Q U

⇔ x + 5 = A ( x + x + 1) + ( x − 1)( Bx + C ) 2

ẦN

Ư N

ẠO

x = 1 ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2   x = 0 ⇒ 5 = A − C ⇒ C = −3  2  x ⇒ 0 = A + B ⇒ B = − A = −2 dx (2 x + 3) dx ⇒ I 9 = 2.∫ −∫ 2 x −1 x + x +1 4 2x + 1 = 2ln x − 1 − ln( x 2 + x + 1) − arctan +C 3 3

-L Í-

Tích phân bất định P ( x) Tích phân hàm hữu tỉ: f ( x) = n Qm ( x) Trường hợp 2 : n ≥ m

ÁN

Ta chia đa thức : Pn ( x) = Qm ( x).Tk ( x) + Rl ( x), l < m

∫ f ( x)dx = ∫

IỄ

ÀN

Và được:

Pn ( x) R ( x) dx = ∫ Tk ( x)dx + ∫ l dx Qm ( x) Qm ( x)

Khi đó, hàm hữu tỉ cần tính tích phân là phân thức thực sự tức là bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số. Ta chuyển sang trường hợp 1. 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q U

Tích phân bất định x3 + x − 1 Ví dụ: Tính I 9 = ∫ dx 2 x + 5x + 4 22 x + 19   I9 = ∫  x − 5 + 2  dx x + 5x + 4   22 x + 19 a b Giả sử: = + ( x + 1)( x + 4) x + 1 x + 4

ẠO

Nhân 2 vế với (x+1) rồi cho x = -1 ta được a = - 1

ẦN

Ư N

Nhân 2 vế với (x+4) rồi cho x = -4 ta được b = 23 −1 23 I 9 = ∫ ( x − 5)dx + ∫ dx + ∫ dx x +1 x+4 2 x = − 5 x − ln x + 1 + 23ln x + 4 + C 2

Tích phân bất định

∫ f (cos x,sin x)dx

ÁN

-L Í-

4. Tích phân hàm lượng giác dạng

x 2 dt 1− t2 2t t = tan ⇒ dx = , cos x = ,sin x = 2 1+ t2 1+ t2 1+ t2

IỄ

ÀN

Đổi biến tổng quát: đặt t=tan(x/2)

Ví dụ: Tính I 20 = ∫

dx 4sin x + 3cos x + 5 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

=∫

t 2 + 4t + 4

Ơ N

H =

(t + 2)2

−1 +C t+2

−1 +C x tan   + 2 2

TP .Q U

4.2t + 3(1 − t 2 ) + 5(1 + t 2 )

ẠO

=∫

1+ t

1+ t2

I 20 = ∫

2dt

x 2dt 1− t2 2t t = tan ⇒ dx = ,cos x = ,sin x = 2 1+ t2 1+ t2 1+ t2

Ư N

Đặt:

ẦN

Tích phân bất định

Đổi biến đặc biệt :

-L Í-

a. Nếu f(-sinx,cosx) = - f(sinx,cosx): đặt t=cosx

ÁN

b. Nếu f(sinx,-cosx) = - f(sinx,cosx): đặt t=sinx

t = tan x ⇒ dt =

IỄ

ÀN

c. Nếu f(-sinx,-cosx) = f(sinx,cosx): đặt t=tanx(cotanx)

t = tan x ⇒ dx =

dt 1+ t2

dx cos 2 x

,sin x =

= (1 + tan 2 x)dx t 1+ t2

,cos x =

1 1+ t2 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I 21 = ∫ 2sin 2 x − sin2x + 3cos 2 x Hàm dưới dấu tp là chẵn với sinx, cosx nên ta đặt dx

cos 2 x = 2 2 cos x 2 tan x − 2 tan x + 3 dt (t − 1 ) dt 1 2 =∫ = ∫ 2 (t − 1 )2 + ( 5 )2 2t 2 − 2t + 3 2 2

TP .Q U

⇒ I 21 = ∫

Ư N

1 2t − 1 1 2 tan x − 1 arctan +C = arctan +C 5 5 5 5 31

ẦN

ẠO

t = tan x ⇒ dt =

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

d (t − 1 ) 1 2 = ∫ I 21 = ∫ 2 (t − 1 )2 + ( 5 )2 1 + t 2 2t 2 − 2t + 3 2 2 dt

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I 21 = ∫ 2sin 2 x − sin2x + 3cos 2 x Hàm dưới dấu tp là chẵn với sinx, cosx nên ta đặt dt t 1 t = tan x ⇒ dx = ,sin x = ,cos x = 1+ t2 1+ t2 1+ t2

1+ t2

1 2t − 1 1 2 tan x − 1 arctan +C = arctan +C 5 5 5 5 32

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Tích phân bất định cos x.dx I 22 = ∫ 4 − sin 2 x

Ví dụ: Tính

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO Đ 33

ẦN

Ư N

1 sin x − 2 = − ln | | +C 4 sin x + 2

TP .Q U

1 t−2 I 22 = − ∫ = − ln | | +C 2 4 t+2 t −4 dt

Hàm dưới dấu tp là lẻ với cos x nên ta đặt t=sin x

Tích phân bất định

Tích phân hàm lượng giác dạng

ÁN

-L Í-

m n ∫ cos x.sin xdx

a. Nếu m là số nguyên lẻ : đặt t=sinx c. Nếu m+n=-2k: đặt t=tanx( hay cotanx) d. Nếu m và n là số nguyên chẵn không âm : HẠ BẬC

IỄ

ÀN

b. Nếu n là số nguyên lẻ : đặt t=cosx

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

sin 3 x.dx

Ví dụ: Tính

I 22 = ∫ 4 cos x

7 1 − t −1 I 22 = ∫ .dt = ∫ (t 4 − t 4 )dt = 4t

Ta có n là số nguyên lẻ nên ta đặt t=cos x

ẠO Đ G

Ư N

11 3 4 4 = cos x 4 − cos x 4 + C

ẦN

TP .Q U

4 4 = t 4 − t4 +C 11 3

Ví dụ: Tính

Tích phân bất định

-L Í-

I = ∫ cos −13/3 x.sin1/3 xdx

IỄ

ÀN

ÁN

Ta có m+n = -4 nên đặt t=tanx

I = ∫ cos −13/3 x.sin1/3 xdx 1 dx = ∫ tan1/3 x. . cos 2 x cos 2 x 3 3 = ∫ t1/3 (1 + t 2 )dt = tan 4/3 x + tan10/3 x + C 4 10 36

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ví dụ: Tính

Tích phân bất định 4 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

I = ∫ cos x.sin xdx

Ta có m=2 , n=4 là các số chẵn không âm : HẠ BẬC

Đ G

ẦN

Ư N

x sin 4 x sin 3 2 x = − + +C 16 64 48

ẠO

TP .Q U

sin 2 2 x 1 + cos 2 x I =∫ . dx 4 2 1 1 − cos 4 x 1 = ∫ dx + ∫ sin 2 2 x.d (sin 2 x) 8 2 16

I 22 = ∫ tan 5 x.dx

Ví dụ: Tính

Tích phân bất định

-L Í-

I 22 = ∫ (tan5 x + tan3 x)dx − ∫ ( tan3 x + tan x)dx

ÁN

+ ∫ tan xdx = ∫ tan3 x.d (tan x) − ∫ tan x.d (tan x) +

Ví dụ: Tính

I 22 = ∫ cos9 x.cos5 x.dx

IỄ

ÀN

tan 4 x tan 2 x + ∫ tan xdx = − − ln | cos x | +C 4 2

1 sin 4 x sin14 x x + x dx = + +C (cos 4 cos14 ) ∫ 2 8 28 38

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

$.Tích phân 1 số hàm vô tỉ ax + b cx + d

Đặt: t = n

ax + b )dx cx + d

1.∫ f ( x, n

ax + b n ax + b , ,...)dx cx + d cx + d

Đặt:

ẠO

ax + b s =t cx + d

.∫ f ( x, m

TP .Q U

để đưa tp này thành tp hàm hữu tỉ

ẦN

Ư N

với s là bội số chung nhỏ nhất của m,n,… để đưa tp này thành tp hàm hữu tỉ

ÁN

-L Í-

Ví dụ: Tính

Tích phân bất định

Đặt: t = 3

I11 = ∫ 3

x + 1 dx x − 1 ( x − 1)3

x +1 2 −6t 2dt ⇒ x − 1 = 3 , dx = 3 x −1 t −1 (t − 1) 2

IỄ

ÀN

Ta được:

−6t 2 dt (t 3 − 1)3 3 3 = − 6 t (t − 1)dt I11 = ∫ t 3 ∫ 2 8 (t − 1) 7 4  t7 t4  6 3  x +1 −6 3  x + 1  = −6  −  + C =   +   +C 7 4 − − 7 1 4 1 x x       40

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Tích phân bất định dx Ví dụ: Tính I11 = ∫ x + 3( 4 x + 3 − 1)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Đặt: t = 4 x + 3

⇒ x = t 4 − 3, dx = 4t 3dt

ẠO Đ G Ư N

x + 3 −1 + C

ẦN

= 4 4 x + 3 + ln

TP .Q U

4t 3dt ⇒ I11 = ∫ 2 t (t − 1) 1   I11 = 4 ∫ 1 +  dt t − 1   = 4t + 4ln t − 1 + C

Tích phân bất định

x −1 dx x +1

-L Í-

Ví dụ : Tính I = 1 ∫x 12

ÁN

Đặt: t =

4t 2 dt 4t 1 2   1 =∫ = + − dt ∫1− t 1+ t 2 2 2 (1 − t )(t + 1) 1+ t   = ln t + 1 − ln 1 − t − 2arctan t + C

IỄ

ÀN

⇒ I12

x −1 1+ t2 4tdt ⇒x= , dx = x +1 1− t2 (1 − t 2 ) 2

= ln

x +1 + x −1 x −1 − 2arctan +C x +1 x +1 − x −1 42

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

2.∫ f ( x, ax 2 + bx + c )dx

x2 + a 1

a2 − x2

dx = − a 2 − x 2 + c

dx = ln x + x 2 + a + C

x2 + a 1

dx = x 2 + a + C 2.∫

3.∫

TP .Q U

1.∫

x dx = arcsin + c a a2 − x2 a x x2 + a 2 2 5.∫ x + adx = ln | x + x + a | + +C 2 2

ẠO

4.∫

Ư N

a2 x x a2 − x2 6.∫ a − x dx = arcsin + +C 2 a 2 2

ẦN

Tích phân bất định

2.∫ f ( x, ax 2 + bx + c )dx

ax + b

ÁN

-L Í-

7.∫

u = x+

p ⇒ 1. + 3. 2

u = x−

p ⇒ 2. + 4. 2

− x 2 + px + q

9.∫ x 2 + px + qdx,

u = x+

IỄ

ÀN

8.∫

x 2 + px + q ax + b

dx,

10.∫ − x + px + q .dx

p ⇒ 5. 2

p u = x − ⇒ 6. 2 44

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Tích phân bất định

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ: Tính I13 = ∫

x2 − 2 x + 5

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

I13 = ∫

TP .Q U

u = x −1 ⇒

Đặt:

= ln u + u 2 + 22 + C

ẠO

u 2 + 22

ẦN

Ư N

= ln ( x − 1) + ( x − 1) 2 + 22 + C

I15 = ∫

IỄ

ÀN

ÁN

Đặt

-L Í-

Ví dụ: Tính

Tích phân bất định

u = x+

( x + 4)dx 2 − x − x2

1 1 ⇒ dx = du , u 2 = x 2 + x + 2 4

udu 7 du + ∫ 2 9 9 − u2 − u2 4 4 9 7 2u =− − u 2 + acr sin +C 4 2 3 7 2x +1 = − 2 − x − x 2 + arcsin +C 2 3

I1 5 = ∫

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

2.∫ f ( x, ax 2 + bx + c )dx Đặt u = | a |( x +

b ) 2| a|

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

b. Dạng u2-a2: đặt u=a/cost hoặc u=a/sint

H N Y 47

ẦN

Ư N

ẠO

c. Dạng a2-u2: đặt u=a.cost hoặc u=a.sint

TP .Q U

a. Dạng u2+a2: đặt u=a.tant hoặc u=a.cotant

Đưa tam thức bậc 2 về dạng u2+a2, u2-a2, a2-u2 và dùng các cách đổi biến lượng giác:

Tích phân bất định

Đặt

-L Í-

Ví dụ: Tính I14 = ∫ a 2 − x 2 dx

IỄ

ÀN

ÁN

x = a sin t I14

x ⇒ t = arcsin , a 2 − x 2 = a cos t , dx = a cos tdt a a2 2 2 = ∫ a cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt 2

a2 sin 2t = (t + )+C 2 2

a2 = (t + sin t cos t ) + C 2

a2 x x a2 − x2 ⇒ ∫ a − x dx = +C arcsin + 2 a 2 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định 3

)

x a adt ⇒ t = arctan , x 2 + a 2 = , dx = a cos t cos 2 t 1 1 I = ∫ 2 cos tdt = 2 sin t + C a a 1 x a 1 = . . +C = 2 tan t.cos t + C 2 2 2 a a x +a a

x +a

ẦN

Ư N

⇒I =

ẠO

TP .Q U

x = a tan t

x +a

Đặt

(

Ví dụ: Tính

I =∫

Tích phân bất định

x 2 − 1dx =∫ x

-L Í-

Ví dụ: Tính I14

1 sin udu ⇒ x 2 − 1 = tan u , dx = , cos u cos 2 u

ÁN

Đặt x =

tan u.sin u.du = ∫ tan 2 udu = ∫ (tan 2 u + 1)du − ∫ du cos u cosu

= tan u − u + C

IỄ

ÀN

I14 = ∫

1 = x 2 − 1 − arccos + C x Chú ý : Có thể đặt t =

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

x2 − 1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Ơ H N

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

Tích phân bất định Trường hợp sau, có thể dùng cách tính như tp hàm mx + n hữu tỉ dx ∫ 2 ax + bx + c ( x + 4)dx I = Ví dụ: Tính 15 ∫ 2 − x − x2 d (x + 1 ) −1 (−2 x − 1)dx 7 2 I15 = ∫ + ∫ 2 2 − x − x 2 2 9 − ( x + 1 )2 4 2 d (x + 1 ) −1 d (2 − x − x 2 ) 7 2 = ∫ + ∫ 2 2 ( 3 )2 − ( x + 1 )2 2 − x − x2 2 2 7 2x +1 = − 2 − x − x 2 + arcsin +C 2 3 51

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Tích phân bất định

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân bất định

=∓

TP .Q U

=∓

ẠO

=∓

Ư N

=∓

ẦN

Dấu – nếu x>0 , dấu + nếu x<0 .

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Tích phân bất định

ax − n + b = t s , 54

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q U

Tích phân bất định

u = t +1 ⇒

ẦN

Ư N

ẠO

 u −8 u −9  u −1 −9 −10 ⇒ I = 4 ∫ 10 du = 4 ∫ (u − u )du = 4  − +C u  −8 −9 

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Tích phân bất định

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ư N

ẠO

TP .Q U

Tích phân bất định

ẦN

-L Í-

Tích phân bất định

ÁN

Cách khác :Ta có thể đưa tích phân này về dạng 2. bằng phép đổi biến:

ÀN Đ N IỄ

1 1 dt ⇒ x = , dx = − 2 x t t 1 − dx I =∫ = − ∫ t 3 (t 2 + 1) 2 dt x4 x2 + 1 t=

Đây là tích phân dạng 2.Ta đổi biến: 1 u = t + 1 ⇒ I = ∫ (1 − u )du = x + 1 + 3 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

−2

(

−2

)

x +1 + C 58

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Y TP .Q U

Ư N

ẠO

CHƯƠNG 4: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẦN

Tích phân xác định

ÁN

-L Í-

Công thức đạo hàm dưới dấu tích phân  b( x ) ′  ∫ f (t )dt  = f (b( x)).b′( x) − f (a ( x)).a′( x)  a( x)    cos x sin x

f ′( x) = cos(cos 2 x)(− sin x) − cos(sin 2 x)cos x

IỄ

ÀN

Ví dụ: Tính đạo hàm theo x của f ( x) = ∫ cos(t 2 )dt

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân xác định x

lim 0

x2 + 1

x →+∞

Ví dụ: Tính giới hạn

2 ∫ (arctan t ) dt

dạng ∞ , nên ta áp dụng quy tắc L’Hospital ∞

(arctan x) 2 x 2 + 1 π 2 = lim = x x →+∞ 4

2 ∫ (arctan t ) dt

ẠO

TP .Q U

x →+∞ 0

lim ∫ (arctan t )2 dt = +∞ tức là giới hạn trên có

Vì

Ư N

x2 + 1

ẦN

Tích phân xác định

Công thức Newton – Leibnitz:

-L Í-

Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì ta có

ÁN

∫ f ( x) dx = G (b) − G (a)

IỄ

ÀN

2ln 2 dx Ví dụ: Tính tích phân I 2 = ∫ x ln 2 e − 1 x 2ln 2 2ln 2

 1 1  = ∫  −  de x x x x x ln 2 e (e − 1) ln 2  e − 1 e 

I2 = ∫

e dx

= ln(e x − 1)

ln 4 ln 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

− ln(e x )

ln 4 ln 2

= ln 3 − ln 4 + ln 2 = ln

3 2

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân xác định

Phương pháp đổi biến

Thì

TP .Q U

 f ( x) liên tục trên [a,b]  Nếu ϕ (t ) khả vi, liên tục trên [t1,t2] ϕ [t , t ] ⊂ [a, b], ϕ (t ) = a,ϕ (t ) = b 1 2  ( 1 2 )

ẦN

Ư N

ẠO

∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt

Tích phân xác định 6

dx 1 1 + 3x − 2 2t x = 1, t = 1 3x − 2 = t ⇒ dx = dt , 3 x = 6, t = 4

-L Í-

Ví dụ: Tính I3 = ∫

ÁN

Đặt

2 4 1  I3 = ∫ = ∫ 1 −  dt 3 1 + t 3 t + 1  1 1 2 4 = ( t − ln t + 1 ) 1 3

IỄ

ÀN

4 2tdt 1

2 5 =  3 − ln  3 2 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ư N

ẠO

TP .Q U

Tích phân xác định

ẦN

Tích phân xác định

Phương pháp tích phân từng phần

-L Í-

Nếu 2 hàm u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a,b] thì b b ∫ u ( x)v′( x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ u′( x)v( x)dx a a

ÁN

1 arcsin xdx

ÀN

Ví dụ: Tính I 4 = ∫ 1

1+ x 1

I 4 = 2 ∫ arcsin xd ( 1 + x ) = 2 arcsin x 1 + x − 2 ∫ 1 + x d (arcsin x) 0

IỄ

π 2

1+ x

1 dx = 2π + 4 1 − x = 2π − 4 0 2 0 1 − x2 2

. 2 − 2∫

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H

−e x

= ln | x | −e = 0

TP .Q U

Cách tính này sai vì hàm dưới dấu tp không liên tục trên [-e,e]

∫

e dx

Tích phân xác định Lưu ý 2: Các tích phân không áp dụng được công thức Newton – Leibnitz

e dx

= ∫ +∫ x x −e −e 0 x Hai tp thành phần ta gọi là tp của hàm không bị chặn hay là tp suy rộng lọai 2 9

ẦN

Ư N

∫

0 dx

e dx

ẠO

Để tính đúng tp trên, ta phải chia tp ra làm 2 với điểm chia là điểm gián đọan của hàm: x=0

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Cho đường cong 1 y= x Giả sử ta cần tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi đường cong trên và 2 nửa dương 2 trục Ox, Oy

Tích phân suy rộng lọai 1

Khi đó, theo phần trên ta có

+∞ 1

S ( D) = ∫

0 x

dx 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng lọai 1

Để có diện tích miền D, ta sẽ phải tính tích phân khi x→∞ và khi x→0

Ơ H N

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

Có 2 loại tích phân suy rộng: Tích phân với cận vô tận (tp suy rộng loại 1) và tích phân của hàm không bị chặn (tp suy rộng loại 2)

Ta gọi những tích phân như vậy là tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng lọai 1 Định nghĩa tích phân suy rộng lọai 1: Cho hàm f(x) khả tích trên [a,b] , ∀b > a b

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx

-L Í-

Tích phân

+∞ a

b →+∞ a

Tương tự, ta có thêm 2 dạng tp suy rộng lọai 1:

IỄ

ÀN

ÁN

được gọi là tp suy rộng lọai 1 của hàm f(x) trên[a,+∞) Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tp hội tụ, tp không hội tụ thì gọi là tp phân kỳ

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx −∞

a →−∞ a

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng lọai 1

+∞

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx −∞

−∞

Tp ở vế trái hội tụ khi và chỉ khi cả 2 tp ở vế phải hội tụ

TP .Q U

Sử dụng CT Newton – Leibnitz để tính tp suy rộng: +∞

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx = lim G ( x) a b→+∞

b→+∞ a

ẠO

Nếu hàm f(x) có nguyên hàm là G(x) trên [a,+∞) thì

Ư N

= lim G (b) − G ( a ) = G ( x) +∞ = G (+∞) − G (a ) a 13

ẦN

b→+∞

-L Í-

Tích phân suy rộng lọai 1 +∞ dx Ví dụ: Xét tp Riemman sau I1 = ∫ α 1 x b dx

ÁN

Nếu α=1: I1 = lim ∫

1−α b

x b1−α 1 Nếu α≠1: I1 = lim ∫ = lim = lim − b→+∞ 1 xα b→+∞ 1 − α b→+∞ 1 − α 1 − α 1 Nếu 1- α>0 : I1 = +∞ Tp phân kỳ 1 Tp hội tụ Nếu 1- α<0 : I1 = − 1−α Vậy tích phân I1 hội tụ nếu α>1 và phân kỳ nếu α≤114

ÀN Đ N IỄ

= lim ln x 1 = lim ln b = +∞ b→+∞ 1 x b→+∞ b→+∞ Tp phân kỳ

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

b dx

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng lọai 1 1 , x = 1, y = 0 Ví dụ: Tính dt miền D ghạn bởi y = 2 x − 5x + 6

S ( D) = ∫

2 −∞ x − 5 x + 6

1 −∞

TP .Q U

= ln x − 3 − ln x − 2 

ẠO

Ta có giới hạn dạng vô định ∞ - ∞ 1

ẦN

Ư N

 x −3  = ln 2 S ( D) = ln   x − 2  −∞

-L Í-

Tích phân bất định +∞ x+5 Ví dụ: Tính I= ∫ dx 2 − + + ( x 1)( x x 1) 2 x+5 A Bx + C = + Đặt ( x − 1) x 2 + x + 1 x − 1 x 2 + x + 1

(

)

IỄ

ÀN

ÁN

⇔ x + 5 = A ( x + x + 1) + ( x − 1)( Bx + C ) 2

x = 1 ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2   x = 0 ⇒ 5 = A − C ⇒ C = −3  x 2 ⇒ 0 = A + B ⇒ B = − A = −2  x+5 I9 = ∫ dx 2 ( x − 1)( x + x + 1) 4 2x +1 = 2ln x − 1 − ln( x 2 + x + 1) − arctan +C 3 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

H N Y

ẠO Đ 17

ẦN

Ư N

1 4 π 5 ⇒ I = 2ln − ( − arctan ) 7 3 2 3

TP .Q U

+∞

 ( x − 1)2 4 2 x + 1 ⇒ I = 2ln 2 − arctan  3 3 x x 1 + +  2

( x − 1)2 4 2x + 1 ⇒ I9 = 2ln 2 − arctan +C 3 3 x + x +1

Tích phân suy rộng lọai 1 Khảo sát sự HT của tp suy rộng lọai 1 với hàm không âm

-L Í-

Tiêu chuẩn so sánh 1:

ÁN

Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞) thỏa f(x) ≥ g(x) ≥ 0 ở lân cận của ∞. Ta có: +∞

+∞

∫ g ( x)dx PK ⇒ ∫ f ( x)dx PK

IỄ

ÀN

∫ f ( x) dx HT ⇒ ∫ g ( x)dx HT

+∞ dx

α > 1: HT α α ≤ 1: PK x  18 a >0

Ta thường so sánh với tp Riemman: ∫ Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng loại 1 +∞ ln(1 + x ) Ví dụ: KS sự HT của I 2 = ∫ dx x 1

x2 + x

H N

+∞ 4 Vì ∫ dx HT 2 1 x 19

ẦN

Suy ra tp I3 HT

x2 + x

1 x +

Ư N

3 + sin2x

I3 = ∫

TP .Q U

Ví dụ: KS sự HT của

ẠO

+∞ 3 + sin2x

Khi x > e-1 thì ln(1+x)>1, suy ra ln(1 + x) > 1 > 0 x x +∞ 1 Vậy I2 PK Mà ∫ dx PK 1 x

Tích phân suy rộng loại 1

Tiêu chuẩn so sánh 2:

ÁN

-L Í-

Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,+∞) f ( x) Nếu lim = K thì ta có các kết luận sau: x →∞ g ( x )

IỄ

ÀN

K=0:

+∞

∫ g ( x)dx HT ⇒ ∫ f ( x)dx HT

a +∞

K=+∞: ∫ f ( x)dx HT ⇒ ∫ g ( x)dx HT

0<K<+∞: 2 tp trên cùng HT hoặc cùng PK Đặc biệt khi k=1 ⇔ f ∼ g 2 tích phân trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng loại 1 +∞

Để khảo sát sự HT của tp

∫ f ( x ) dx ta làm như sau:

H N

TP .Q U

3. Nếu là hàm tương đương thì dùng t/c so sánh 2, nếu là hàm nhỏ hay lớn hơn thì dùng t/c so sánh 1

2. Khi x→+∞, tìm hàm g(x) tương đương với f(x) hoặc đánh giá f(x) lớn hay nhỏ hơn hàm g(x)

1. Xác định hàm f(x) không âm với mọi x>a

ẠO

Lưu ý: 1. Ta ký hiệu f(x)~g(x) khi x →xₒ nếu

f ( x) =1 x → x0 g ( x )

Ư N

lim

ẦN

2.Tìm hàm g(x) ~ f(x) bằng cách sử dụng các giới hạn cơ bản, có thể đổi biến t=1/x để khi x→∞ thì t→0 21

Tích phân suy rộng loại 1 +∞

-L Í-

Ví dụ: KS sự HT của I 4 = ∫ (1 − cos 1 )dx x 1

1 1 0 ≤ f = 1 − cos ∼ x 2 x2

Vậy tp của 2 hàm cùng HT hoặc cùng PK

IỄ

ÀN

ÁN

Khi x→+∞ , hàm đã cho không âm.

+∞ 1 Do ∫ dx HT (α =2>1) nên tp I4 HT (ss2) 2 1 x 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng loại 1

Ví dụ: KS sự HT của I5 = ∫

H N Y

1 1 ∼ 3 x( x − 1)( x − 2) x 2

ẠO

Khi K hi x → +∞: f ( x) =

1 >0 x( x − 1)( x − 2

f ( x) =

TP .Q U

Với x≥3,

1 dx x( x − 1)( x − 2)

+∞

+∞ 1 Do ∫ dx HT 3/2 3 x

Ư N

3   α = > 1 . Vậy tp I5 HT(ss2)  2  

ẦN

-L Í-

Tích phân suy rộng loại 1 +∞ ln x Ví dụ: KS sự HT của I 6 = ∫ 2 dx 1 x

x → +∞ thì

ÁN

Ta có khi

IỄ

ÀN

1 ln x 1 ln x < x 2 ⇒ < 2 3 x x2

Mà

+∞ 1 J= ∫ dx 3 1 x2

hội tụ

(α =

3 > 1) 2

Vậy Tp I6 hội tụ ( ss1) 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng loại 1

Tích phân hàm có dấu bất kỳ +∞

+∞

Nếu ∫ f ( x) dx HT Thì

N Ơ

+∞

∫ f ( x) dx HT

Khi đó, ta nói tp ∫ f ( x)dx là tp hội tụ tuyệt đối

TP .Q U

ẠO

Nếu là tp của hàm có dấu bất kỳ, ta sẽ khảo sát tp của hàm không âm sau bằng 1 trong 2 tiêu chuẩn so sánh +∞

∫ f ( x) dx

Ư N

Tp trên HT thì Tp cần khảo sát là tp HTTĐ

ẦN

Tp trên PK thì chưa có kết luận cho tp cần khảo sát 25

Tích phân suy rộng loại 1 +∞

sin xdx 2 0 x + ln 2 +∞ sin xdx 1 sin xdx +∞ sin xdx I7 = ∫ 2 =∫ 2 + ∫ 2 =I+J 0 x + ln 2 0 x + ln 2 1 x + ln 2

ÁN

-L Í-

Ví dụ: KS sự HT của I7 = ∫

IỄ

ÀN

Tp I hội tụ vì là tp xác định (không suy rộng)

xx→+∞ →+∞ 1 sin x 1 f ( x) = 2 ≤ 2 ∼ 2 x + ln 2 x + ln 2 x +∞ 1 Mà ∫ 2 dx HT(α =2>1) 1 x +∞ 1 dx HT(ss2) ⇒ I7 HT ⇒ J= ∫ 2 1 x + ln 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng loại 1 +∞ cos x Ví dụ: KS sự HT của I9 = ∫ dx x 1

+∞ 1 ∫ 2 dx 1 x

là Tp HT Suy ra J là tp HTTĐ

+∞ sin x 1 − ∫ sin xd ( ) = − sin1 + ∫ dx 2 x 1 1 x

TP .Q U

I9 = ∫

+∞

sin x = x 1

≤

Ư N

ẠO

= − sin1 + J

sin x

+∞

+∞ d (sin x )

Trước tiên, ta tính tp từng phần

Mặt khác, sin1 là hằng số hữu hạn nên I9 HT

ẦN

Tích phân suy rộng loại 2

-L Í-

Định nghĩa: Cho hàm f(x) xác định và khả tích trong [a,c] với mọi c: a≤c<b và lim f ( x) = ∞ x →b−

Tích phân trên [a,b] b

ÁN

∫ f ( x)dx = lim− ∫ f ( x)dx

c →b a

IỄ

ÀN

Được gọi là tp suy rộng lọai 2 (tp của hàm không bị chặn) của hàm f(x) trên [a,b]

Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói tp là HT, tp không HT thì gọi là tp PK 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng loại 2 b

Nếu lim f ( x ) = ∞ Thì ∫ f ( x )dx = lim+ ∫ f ( x) dx

TP .Q U

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx

Nếu trong [a,b] có 1 điểm c mà tại đó hàm f(x) không bị chặn thì b c b

c →a c

x→a+

ẠO

Tức là ta có tổng 2 tp suy rộng lọai 2. Nếu 2 tp thành phần HT thì tổng HT b

Ta cũng có công thức: c c→b a

c→b

Ư N

∫ f ( x)dx = lim− ∫ f ( x)dx = lim− G(c) − G(a) = G(b) − G(a) 29

ẦN

Trong đó G(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [a,b]

-L Í-

Chú ý :

Tích phân suy rộng loại 2

IỄ

ÀN

ÁN

Nếu tích phân suy rộng tại nhiều điểm thì để xét sự hội tụ của nó,ta phải tách nó ra thành tổng của các tích phân,mà mỗi tp chỉ suy rộng tại 1 điểm. Tp ban đầu hội tụ khi và chỉ khi tất cả các tp thành phần hội tụ

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng loại 2 1

Ví dụ: Tính I1 = ∫

1 − x2

H N

1 − x2

c →1 0

dx c

= lim− arcsin x 0 c →1

ẠO

π dx

I1 = ∫

1 − x2

= arcsin x 0 =

ẦN

Ư N

S ( D) =

TP .Q U

I1 = lim− ∫

Đặt:

−1

1 −2 x

I12 = ∫

x −1 dx x +1

-L Í-

Ví dụ : Tính

Tích phân suy rộng loại 2

= ln t + 1 − ln 1 − t − 2arctan t + C = ln

IỄ

ÀN

ÁN

+∞ 4t 2dt x −1 1+ t2 4tdt ⇒ I12 = ∫ t= ⇒x= , dx = 2 2 2 2 2 x +1 1− t (1 − t ) 3 (1− t )(t +1) 4tt 2 dt 4 1 2   1 ⇒I =∫ = + − dt ∫1− t 1+ t 2 2 2 (1 − t )(t + 1) 1+ t  

I12

t +1 = ln t −1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

+∞

− 2arctan t 3

+∞ 3

= ln

t +1 − 2arctan t + C t −1 3 −1 π π − 2( − ) 2 3 3 +1

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng loại 2

N −1

−1

∫x

x2 −1

−2

−1

∫

dt ∫ t 2 + 1 = arctan t 3 −1

= ln x + x − 1

x −1

=− 3

= − ln 3 − 2 −2

Ư N

−2

ẠO

−1

TP .Q U

x −1 dx dx 1 ( x − 1) 2 dx = ∫ dx = − 2 ∫ ∫ 2 x +1 x x − 1 x x − 1 x2 −1 −2 −2 −2

1 I12 = ∫ x −2

x −1 dx x +1

−1

I12 = ∫

1 −2 x

Ví dụ : Tính

−1

π 3

ẦN

I12 = I − J = ln 3 − 2 −

Tích phân suy rộng loại 2 b

dx ,a < b α a (b − x )

-L Í-

Ví dụ: Khảo sát sự HT của I 2 = ∫

ÁN

Nếu α = 1:

dx b I2 = ∫ = ln(b − x) a = −∞ Tp PK ab−x 1−α b

IỄ

ÀN

(b − x) Nếu α ≠ 1: I 2 = −1 + α

(b − x)1−α (b − a )1−α = lim + − − 1 + α 1−α x →b

I 2 = ∞, Tp PK (b − a )1−α I2 = − , Tp HT Nếu α<1: 1−α b b >0 dx Vậy b dx HT nếu α<1 dx , , ∫ α ∫ α ∫ α và PK nếu α≥134 a (b − x ) a ( x − a) 0 x Nếu α>1:

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng loại 2

Tiêu chuẩn so sánh 1:

Ơ H N

Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,b), không bị chặn tại b và f(x) ≤ g(x) với mọi x thuộc lân cận của b. Ta có:

TP .Q U

∫ g ( x)dx HT ⇒ ∫ f ( x)dx HT

ẠO

∫ f ( x)dx PK ⇒ ∫ g ( x)dx PK

1 1 rồi sử dụng kết quả trên , α α 35 (b − x) ( x − a)

ẦN

với

Ư N

Để khảo sát sự HT của tp ∫ f ( x) dx ta sẽ so sánh f(x)

Tích phân suy rộng loại 2

Tiêu chuẩn so sánh 2:

ÁN

-L Í-

Cho 2 hàm f(x), g(x) không âm, khả tích trên [a,b), f ( x) không bị chặn tại b và lim = K Ta có: − x →b g ( x ) b

a b

IỄ

ÀN

K = 0 : ∫ g ( x)dx HT ⇒ ∫ f ( x)dx HT

K = ∞ : ∫ f ( x)dx HT ⇒ ∫ g ( x)dx HT

0 < K < ∞ : 2 tp cùng HT hoặc cùng PK Ta cũng tìm hàm g(x) để so sánh như khi khảo sát tp suy rộng lọai 1 khi x→b-

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

xdx

1 − x3

Ví dụ: Khảo sát sự HT của I 3 = ∫

Tích phân suy rộng loại 2

1 − x3

H N Y

TP .Q U

x 1 − x 1 + x + x2

∼

1 3(1 − x)1/2

ẠO

Ư N

dx HT ⇒ I3 HT ∫ 1/2 0 3(1 − x )

ẦN

Mà:

f ( x) =

Hàm không xác định tại 1 điểm x = 1, tại đó hàm không bị chặn và đó là điểm duy nhất trên đọan lấy tp mà hàm không bị chặn. Ta sẽ chỉ xét x → 1-,

Tích phân suy rộng loại 2

Tích phân hàm có dấu bất kỳ - Hội tụ tuyệt đối

-L Í-

Với hàm f(x) khả tích trên [a,b) và không bị chặn tại b b

ÁN

Nếu ∫ f ( x) dx HT thì ∫ f ( x) dx HT

a 1

ln x dx 2 1 − x 0

ÀN

Ví dụ: Khảo sát sự HT của I 4 = ∫

IỄ

Xét tại 2 điểm đặc biệt x=0, x=1.

lim−

x →1

ln x 1 1 ln x lim = −∞ = lim = − , 2 2 − + 1 − x x →1 ( −2 x ) x 2 x →0 1− x

Tức là hàm chỉ không bị chặn tại x=0 Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng loại 2 Ta xét khi x → 0+ thì

TP .Q U

Và chọn hàm g(x) để so sánh với hàm f(x) dưới đây f ( x) − ln x =1 Ta có lim f ( x) = , g ( x) = − ln x + x →0 g ( x ) 1 − x2

1 − x2 → 1

ln x dx 2 01− x

I4 = ∫

ẠO

1 1 Tính tích phân ∫ g ( x)dx = ∫ − ln xdx = − x ln x + ∫ xd ln x 0 0 0 0 ln x 1 1 = −1.ln1 + lim + ∫ dx = 0 + x 0 = 1 x →0 1 x 0

Ư N

Tích phân này HT nên -I4 cũng HT.Suy ra I4 cũng HT

ẦN

-L Í-

Tích phân suy rộng loại 2 2 dx I = ∫ Ví dụ: Khảo sát sự HT của 6 0 x (2 − x)

ÁN

Hàm dưới dấu tp không bị chặn tại cả 2 đầu 1 2 dx dx I6 = ∫ +∫ 0 x (2 − x ) 1 x (2 − x ) +

−

Khi x → 2 : f ( x) =

1 ∼ x(2 − x)

1 2 .x1/2

dx ,∫ HT 1/2 0 2.x 2

,∫ 1/2

2.(2 − x)

dx HT 1/ 2 2.(2 − x)

IỄ

ÀN

Khi x → 0 : f ( x) =

1 ∼ x(2 − x)

Như vậy, I6 là tổng của 2 tp HT nên I6 HT 40

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng loại 2 +∞

Ví dụ: Khảo sát sự HT của I 7 = ∫

x 0 e − cos x

Khi x → 0+ :

ẠO

TP .Q U

1 dx dx I7 = ∫ x +∫ x 1 e − cos x 0 e − cos x +∞ dx −1 +∞ 1 1 1 Khi x → +∞ : f ( x) = ∼ , ∫ = = HT x x x x e e 1 e − cos x e 1 e

+∞

loại 2

Tp trên vừa là tp suy rộng lọai 1, vừa là tp suy rộng

1 1 dx f ( x) = = ∼ ,∫ 1 x x x e − cos x (e − 1) + (1 − cos x) 0 x

Ư N

Như vậy, I7 là tổng của 1 tp HT và 1 tp PK nên I7 PK

ẦN

-L Í-

Tích phân suy rộng loại 2 1 x − ln(1 + x) dx Ví dụ: Tìm α để tp sau HT I9 = ∫ α x 0 Ta xét khi x→0

(

)

IỄ

1 dx HT α −2 0 2x

Tp I9 HT khi và chỉ khi tp ∫ g ( x)dx = ∫ 0

ÀN

ÁN

1 x 2 + O( x 2 ) x − x − x − ln(1 + x) 1 2 f ( x) = = ∼ = g ( x) xα xα 2xxα −2 2

Vậy I9 HT khi và chỉ khi

α − 2 <1⇔ α < 3 42

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+∞

( x4 + ln(1 + x2 ) ) x5α

Ví dụ: Tìm α để tp sau HT I10 = ∫ +∞ 1

Khi x → 0 : f ( x) ∼

x5α + 2 1

Ơ H

)

+ ln(1 + x 2 ) x5α

−1  1 ⇒  ∫ f ( x)dx HT ↔ α <  5  0

TP .Q U

I10 = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x) dx, f ( x) =

Tích phân suy rộng loại 2

HT+PK

Ư N

-3/5

HT+PK

ẠO

−3   +∞ ⇒ f ( x ) dx HT ↔ α > Khi x → +∞ : f ( x) ∼ ∫  5  1 x5α + 4 -1/5

ẦN

 −3 −1  Rõ ràng, chỉ với α ∈  ,  tp I10 là tp HT  5 5 

I1 = ∫

A Ó

Tính các tp

Tích phân suy rộng - Phụ lục

-L Í-

4 x − x2 − 3 +∞ dx I2 = ∫ 3 0 x +1 +∞ dx I3 = ∫ 3 0 x −1 +∞ arctan x I4 = ∫ dx 2 3/2 0 (1 + x )

IỄ

ÀN

ÁN

+∞

I 5 = ∫ xe − x dx 0

x+2 I6 = ∫ dx 0 2− x 2 dx I7 = ∫ 0 ( x − 1) x 2 − x + 1 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

+∞

dx 3 2 0 x + 2x − x − 2 +∞ 1 dx ,t = 1+ 2 I9 = ∫ 2 2 x 0 (1 + 4 x ) 1 + x +∞ dx I10 = ∫ 2 2 ( x − 1) x − 2 I8 = ∫

+∞

I11 = ∫

x 3 arcsin xdx

|1 − x 2 |

x 4 dx

I12 = ∫

−1 (1 +

+∞

I13 = ∫ 1

x2 ) 1 − x2 dx

x 1 − 2x − x2

x 2 dx

−3

9 − x2

I14 = ∫

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tích phân suy rộng - Phụ lục

∞

1 dx 3 α 0 (1 + x )(1 + x ) ∞ 1 I4 = ∫ dx 3 α 2 1 x 1+ x +∞ dx I5 = ∫ α 2 x +1 x2 − 1

+∞

I3 = ∫

I8 = ∫

x +1 dx

α α −1

(5 + x )

( 4 x + 1) ⋅ 2− x dx

xα + 4

ẠO

I7 = ∫

3− x + 4 x

+∞

( x − 1)( x − 2)

+∞

I 9 = ∫ e − x xα −1dx 0

Ư N

xα dx I10 = ∫ 3 0 1+ x +∞

ẦN

)

(

(4 + x ) α

0 3

I2 = ∫

I6 = ∫

xα dx

2x + 3

+∞

TP .Q U

Tìm α để các tp sau HT +∞ dx I1 = ∫ α 0 1+ x

Ứng dụng của tích phân xác định 1.Bài toán diện tích hình thang cong:

ÁN

-L Í-

Cho hàm f(x) liên tục và không âm trên [a,b]. Tính diện tích hình thang cong D giới hạn bởi đường cong y=f(x), 3 đường thẳng x=a, x=b, y=0 b

S ( D) = ∫ f ( x)dx a

IỄ

ÀN

2.Bài toán diện tích hình phẳng: Cho hàm f(x),g(x) liên tục trên [a,b]. Tính diện tích miền D giới hạn bởi đường cong y=f(x),y=g(x),2 đường thẳng x=a, x=b. b

S ( D) = ∫ | f ( x) − g ( x) | dx a

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N Y

TP .Q U

Cho hàm f(x) liên tục và không âm trên [a,b]. Hình thang cong D giới hạn bởi đường cong y=f(x), 3 đường thẳng x=a, x=b, y=0. Tính thể tích vật thể tròn xoay nhận được khi D quay tròn quanh trục Ox,Oy

Ứng dụng của tích phân xác định 3.Bài toán thể tích vật thể tròn xoay:

Vx = π ∫ f 2 ( x)dx

ẠO

a b

Vy = 2π ∫ x. f ( x)dx

Ư N

(0 ≤ a < b)

ẦN

Ứng dụng của tích phân xác định VD1.Hình thang cong D giới hạn bởi đường cong y=sin x, 3 đường thẳng x=0, x=pi, y=0 π

-L Í-

S ( D) = ∫ sin xdx = − cos x |π0 = 2 π

1 1 π ( x − sin 2 x) |π0 = 2 2 2 π

Vy = 2π ∫ x sin xdx =2π ( − x cos x + sin x ) 0 = 2π 2 0

VD2.Miền D giới hạn bởi các đường cong

IỄ

ÀN

ÁN

Vx = π ∫ sin 2 xdx =π

y = x, y = x x = x ⇔ x = 0 ∨1⇒ 0 ≤ x ≤ 1⇒ x ≤ x 48

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com 1

 2 32 1 2  1 S ( D) = ∫ ( x − x)dx =  x − x  = 2 0 6 3 0 1

π 1  1 Vx = π ∫ ( x − x )dx =π  x 2 − x 3  = 3 0 6 2 0

ẠO Đ

 5 1 | = + ln(2 + 5)  2 4 49 0

ẦN

1  u 1+ u2 1 − ln | u + 1 + u 2  2  2 2

Ư N

L=∫

1 1 + 4 x .dx = ∫ 1 + u 2 .du = 20 2

TP .Q U

VD3.Tính độ dài cung y = x , 0 ≤ x ≤ 1

 2 52 1 3  2π Vy = 2π ∫ x( x − x) dx =2π  x − x  = 3  0 15 5 0 1

-L Í-

Ứng dụng của tích phân xác định VD8.Miền D giới hạn bởi các đường cong

y = x 2 , y = x3

IỄ

ÀN

ÁN

x 2 = x3 ⇔ x = 0 ∨ 1 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ x 2 ≥ x3 1

1  1 1 S ( D) = ∫ ( x 2 − x3 )dx =  x3 − x 4  = 4  0 12 3 0 1

1  2π 1 Vx = π ∫ ( x 4 − x 6 )dx =π  x 5 − x 7  = 7  0 35 5 0 1

π 1  1 Vy = 2π ∫ x( x 2 − x 3 )dx =2π  x 4 − x5  = 5  0 10 4 0 50

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q U

Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa Khoa:: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn môn:: Toán Ứng Dụng

Chương 5:PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

ÁN

-L Í-

1.Định nghĩa: Phương trình vi phân cấp 1 tổng quát có dạng

IỄ

ÀN

F(x, y, y’) = 0 hay y’ = f(x,y) Ở đây: x là biến độc lập, y(x) là hàm chưa biết và y’(x) là đạo hàm của nó

• Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 là hàm y=y(x) xác định và thỏa phương trình ít nhất trên 1 khoảng (a,b).

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2.Bài toán Cauchy

Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của

phương trình vi phân cấp 1 y’=f(x,y) thỏa

TP .Q U

điều kiện ban đầu y(xo) = yo .

ẠO

• Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

cấp 1 là họ các hàm y=φ(x,c) sao cho mọi

Ư N

bài toán Cauchy đều có duy nhất 1 nghiệm 3

ẦN

được rút ra từ họ này.

• Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng

-L Í-

quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể

ÁN

được gọi là nghiệm riêng. • Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

IỄ

ÀN

nhưng nghiệm này không nhận được từ nghiệm tổng quát cho dù c lấy bất kỳ giá trị

nào được gọi là nghiệm kỳ dị MATLAP : y=dsolve('Dy = -a*y’) y=dsolve('Dy = -a*y’,’x’) 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD: Xét phương trình vi phân cấp 1

⇒

N Ơ H N Y

( ĐK :y ≠ ± 1)

Ư N

dy = x + c ⇒ arcsin y = x + c 2 1− y Đây là tích phân tổng quát 5

ẦN

⇒∫

dy = dx 2 1− y

ẠO

Ta có:

(*)

TP .Q U

y' = 1 − y 2 dy y' = = 1 − y 2 dx

-L Í-

⇒ y = sin( x + c) Đây là nghiệm tổng quát

ÁN

Trường hợp: y=±1 thỏa phương trình

IỄ

ÀN

(*) nên cũng là nghiệm của phương trình vi phân này nhưng chúng không nhận được từ nghiệm tổng quát nên là nghiệm kỳ dị 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

dy y = dx x

y' =

y(1) = 2

thỏa

Ta có:

y x

y' =

VD: Xét bài toán Cauchy

dy dx = y x dy dx ⇒∫ =∫ ⇒ l n y = l n x + l n | c| y x

TP .Q U

⇒

ẠO

⇒ y = c. x

Từ điều kiện đầu y(1)=2 ta giải được c=2

y=2.x

ẦN

là

Ư N

Vậy nghiệm của bài toán thỏa điều kiện đầu y(1)=2

-L Í-

3 Các loại phương trình vi phân cấp 1

a. Dạng: g(y)dy = f(x)dx

b. Cách giải: Bằng cách lấy tích phân ta được nghiệm tổng quát của phương trình là:

IỄ

ÀN

ÁN

3.1 Phương trình tách biến

∫ g ( y)dy = ∫ f ( x)dx + C 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD: Giải phương trình vi phân

xdx + ydy = 0

TP .Q U

∫ xdx + ∫ ydy = c

Ta có:

ẠO

2 y x ⇒ + =c 2 2

G Ư N

là nghiệm của phương trình.

⇒ x 2 + y 2 = 2c = C

ẦN

-L Í-

c. Một số phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về dạng tách biến

ÁN

∗ Phương trình dạng: y’=f(y) tách biến:

dy = dx f (y)

IỄ

ÀN

• Nếu f(y) ≠ 0 thì phương trình trên đưa về dạng

• Nếu f(y) = 0

có nghiệm

y=b

thì

y=b

là

nghiệm riêng của phương trình. 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

TP .Q U

VD: Tìm nghiệm của phương trình − 1− y2 y' = thỏa điều kiện y( 1 ) = 1 y 2 2 y Ta có: 1− y2 ⇒ − dy dy = dx y' = = − 2 dx y 1− y y 2 ⇒ ∫− dy = ∫ dx ⇒ 1 − y = x + c 2 1− y Từ điều kiện đầu y ( 1 ) = 1 ta giải được c = 0 2 2

ẦN

1 − y2 = x

Ư N

Vậy nghiệm của bài toán là

∗ Phương trình dạng: -L Í-

f1 ( x ) . g1 ( y )dx + f 2 ( x ) . g 2 ( y )dy = 0 g1 ( y ) . f 2 ( x ) ≠ 0

trình cho

g1 ( y ) . f 2 ( x)

chia 2 vế phương ta được phương trình

tách biến:

IỄ

ÀN

ÁN

• Nếu

f1 ( x) g2 ( y) dy = 0 dx + f 2 ( x) g1 ( y ) 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

• Nếu

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

f2(x) = 0 tại x=a thì x=a là 1 nghiệm

Ơ N

g1( y) = 0 tại y=b thì y=b là 1 nghiệm

• Nếu

của phương trình.

TP .Q U

riêng của phương trình.

ẠO

VD1: Tìm nghiệm của phương trình

Ư N

(1 + x 2 ).(1 + y 2 ) ≠ 0

ẦN

Vì

x(1 + y 2 )dx + y (1 + x 2 )dy = 0

(1 + x 2 ).(1 + y 2 )

chia 2 vế phương trình cho

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

ta được phương trình tách biến:

x dx + y dy = 0 1 + x2 1 + y2 ⇒ ∫ x 2 dx + ∫ y 2 dy = c 1+ x 1+ y ⇒ 1 ln(1 + x2) + 1 ln(1 + y2) = c 2 2 ⇒ (1 + x 2 ).(1 + y 2 ) = e 2 c = c* 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD2: Tìm nghiệm của phương trình:

xy2dy = −( y + 1)dx

(*)

x.( y + 1) ≠ 0 , chia 2 vế phương trình cho 2 y x.( y + 1) ta được y + 1 dy + 1x dx = 0

TP .Q U

•Nếu

Ư N

ẠO

y2 ⇒∫ dy + ∫ 1 dx = c y +1 x y2 ⇒ − y + ln y + 1 + ln x = c 2 •Ta thấy x = 0 và y = −1 thỏa phương trình (*)

ẦN

nên đều là nghiệm của phương trình này.

∗ Phương trình dạng -L Í-

y ' = f (ax + by + c)

z = ax + by + c

ÁN

Đặt

Ta có:

y(x)

ta tìm hàm

z ' = a + by ',

z(x).

y ' = f ( z)

Từ đó ta có:

IỄ

ÀN

Thay vì tìm hàm

(với z=z(x))

z'=

dz = a + bf ( z ) dx 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

y' = 2 x + y

VD: Tìm nghiệm của phương trình

•Trường hợp z + 2 ≠ 0

dz = 2 + y' = 2 + z dx dz = dx ta có:

z = 2x + y ⇒ z ' =

⇒ z + 2 = C .e x

⇒ ln z + 2 = x + ln C

z+2

TP .Q U

Đặt

⇒ 2 x + y = −2 + c.e x ⇒ y = c.ex − 2x − 2

ẠO

z + 2 = 0 ⇒ y = −2 x − 2

•Trường hợp

Ư N

Đây là nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát ứng

ẦN

với C = 0 .

3.2 Phương trình đẳng cấp cấp 1:

-L Í-

a)Dạng:

y y' = f ( ) x

Đặt

y u = ⇒ y = u.x ⇒ y ' = u + xu ' x

Thay y’ vào phương trình đầu ta sẽ được:

IỄ

ÀN

ÁN

b)Cách giải:

xu ' = f (u ) − u 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD1: Tìm nghiệm của phương trình:

Ơ H N Y

TP .Q U

Đặt

y y' = e y x + + 1 x y u = ⇒ y = u.x ⇒ y ' = u + xu ' x y’ và vào phương trình đầu ta được

Thay phương trình:

ẠO

du = eu + 1 dx

u + xu ' = eu + u + 1 ⇒ x

Ư N

⇒ udu = dx e +1 x

(đây là phương trình tách biến)

ẦN

-L Í-

du eu ⇒∫ = ∫ (1 − u ) du = u e +1 1+e

dx ∫ x

ÁN

⇒ u − l n(1 + eu ) = l n x + c

y x

ta được

y − l n(1 + ey x ) = l n x + c x

VD2: Tìm nghiệm của phương trình

IỄ

ÀN

Thay

(x + 2 y)dx − xdy = 0 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

⇒

y ⇒ y = u.x ⇒ y' = u + xu' x

y u= x

Đ y = −x

và

thỏa mãn phương

Ư N

x=0

Trường hợp

y = x(cx − 1)

ta có:

ẠO

TP .Q U

⇒ du = dx (ĐK : 1 + u ≠ 0) 1+ u x 1+ ⇒ l n 1 + u = l n x + l n | c| ⇒ 1 + u = c.x Thay

y’ vào phương trình ta được u + xu ' = 1 + 2u

Thay

(ĐK :x ≠ 0)

dy y =1+ 2 dx x

Đặt

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

trình đầu nên ta nhận 2 nghiệm này.

ẦN

3.3 Phương trình tuyến tính cấp 1

y '+ P( x) y = Q( x)

(1)

-L Í-

a. Dạng:

y '+ P ( x) y = 0 (2)

IỄ

ÀN

ÁN

Phương trình

được gọi là phương trình tuyến tính cấp 1 thuần nhất tương ứng của phương trình tuyến tính cấp 1 không thuần nhất (1) ( Q( x) ≠ 0 ) 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

b.Cách giải: C1.Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange:

ẠO

TP .Q U

dy y '+ P ( x) y = 0 (2) ⇔ = − P( x) y dx − ∫ P ( x ) dx dy ⇔∫ = − ∫ P ( x)dx ⇔ y = C.e y

B1.Ta giải phương trình thuần nhất tương ứng (2):

Ư N

B2.Ta giải phương trình không thuần nhất (1) với y có dạng sau :

(3) 23

ẦN

− P ( x ) dx y = C ( x).e ∫

− P ( x ) dx − P ( x ) dx y ' = C '( x)e ∫ .P ( x ) − C ( x).e ∫

(1) ⇔ C '( x).e ∫

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

− P ( x ) dx

⇔ C '( x) = Q( x).e ∫

= Q( x)

P ( x ) dx

⇔ C ( x) = ∫ Q( x).e ∫

P ( x ) dx

dx + C

Thay vào (3) ta có nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 (1) có dạng:

y =e ∫

[∫Q(x).e∫

− P( x)dx

P( x)dx

dx+ c] 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ y ' = u '.v + u .v '

y = u.v (*)

B1.Ta đặt:

b.Cách giải: C2.Phương pháp biểu diễn thành tích:

⇔ u '.v + u.(v '+ p ( x).v) = q( x)

(3)

(4)

ẠO

Ta tìm một hàm v thỏa: v '+ p ( x).v = 0

dv = − P ( x )v dx

− P ( x ) dx dv (5) = − ∫ P ( x)dx ⇔ v = e ∫ v

ẦN

⇔∫

Ư N

v '+ P ( x)v = 0 (4) ⇔

TP .Q U

(1) ⇔ u '.v + u.v '+ p ( x)u.v = q ( x)

B2.Ta thay v vào (1):

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

− P ( x ) dx (1), (3 − 5) ⇔ u '( x).e ∫ = Q( x)

⇔ u '( x) = Q( x).e ∫

P ( x ) dx

P ( x ) dx ∫ ⇔ u ( x) = ∫ Q( x).e dx + C

Thay vào (*) ta có nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 (1) có dạng:

y =e ∫

[∫Q(x).e∫

− P( x)dx

P( x)dx

dx+ c] 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD1: Tìm nghiệm của phương trình

y '+ y cos x = sin x cos x

(1) N

C1.Ta giải phương trình thuần nhất tương ứng:

ẠO

TP .Q U

y '+ y cos x = 0 (2) dy ⇔ = − cos xdx ⇔ y = C.e − sin x y Ư N

(3) 27

ẦN

y = C ( x ) .e

− sin x

Ta giải phương trình không thuần nhất với y có dạng:

y ' = C ' ( x ) .e − sin x + C ( x ) .e− sin x .(− cos x)

-L Í-

(1) ⇔ C ' ( x ) .e

− sin x

t = sin x

C ( x) = ∫ sin x cos x.e

sin x

dx + C =

IỄ

ÀN

ÁN

= sin x.cos x

= ∫ t.et dt = t.et − ∫ et dt = esin x (sin x − 1) + C

(3) ⇒ y = e−sin x[esin x (sin x −1) +C]

⇒ y = (sin x −1) +Ce .

−sin x 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C2.Phương pháp biểu diễn thành tích: ⇒ y ' = u '.v + u .v '

y = u.v (*)

B1.Ta đặt:

TP .Q U

(3)

Ta tìm một hàm v thỏa: v '+ cos x.v = 0

(4)

ẠO

v '+ v cos x = 0 (4)

⇔ u '.v + u.(v '+ cos x.v) = sin x cos x

(1) ⇔ u '.v + u.v '+ cos x.u.v = sin x cos x

Ư N

dv = − cos xdx ⇔ v = e − sin x v

(5)

⇔

ẦN

B2.Ta thay v vào (1):

(1), (3 − 5) ⇔ u '( x).e − sin x = sin x cos x

-L Í-

⇔ u '( x) = sin x cos x.esin x

IỄ

ÀN

ÁN

u ( x) = ∫ sin x cos x.esin x dx = = ∫ t.et dt = t.et − ∫ et dt = sin x.esin x − esin x

Thay vào (*) ta có nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp 1 (1) có dạng:

⇒ y = (sin x −1) +Ce .

−sin x 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cách khác : Áp dụng công thức nghiệm P( x)dx

dx+ c]

[∫Q(x).e∫

− P( x)dx

y =e ∫

N Y

P ( x ) dx

TP .Q U

∫ Q ( x ). e ∫

∫ P(x)dx = ∫ cos xdx = sin x dx =∫ sin x cos x.esin x dx =

ẠO

= ∫ t.et dt = t.et − ∫ et dt = sin x.esin x − esin x

Ư N

⇒ y = e−sinx[esinx (sinx −1) + c]

ẦN

⇒ y = (sinx −1) + c.e−sinx

VD2: Tìm nghiệm của phương trình

y '+ tg x. y = 1 cos x

y =e ∫

[∫Q(x).e∫

− P( x)dx

P( x)dx

dx+ c]

∫ P(x)dx = ∫ tg xdx = − ln(cos x)

Chú ý: không phải là − ln | cos x |

∫ ∫ Q( x).e

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Áp dụng công thức nghiệm

P ( x ) dx

dx = ∫

1 1 . dx = tan x cos x cos x

⇒ y = cos x[tgx + c] 32

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3.5 Phương trình vi phân tòan phần

P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0

a) Dạng:

b) Cách giải:

N Y

ẠO

∃U(x, y) thỏa dU = P( x, y)dx + Q( x, y)dy

Khi đó:

TP .Q U

∂P = ∂Q ; ∀( x, y) ∈ D ∂y ∂x

điều kiện

Ở đây: P(x, y), Q(x, y) cùng các đạo hàm riêng của nó là các hàm liên tục trên miền D và thỏa mãn

U ( x, y ) = c 33

ẦN

Suy ra nghiệm của bài toán là:

Ư N

dU ( x, y ) = P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy = 0

U ( x, y )

dU (x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

-L Í-

Vì

Cách 1 tìm hàm

∂U = P , ∂U = Q ∂x ∂y

ÁN

nên

IỄ

ÀN

Từ

∂U = P ⇒ U ( x, y ) = P( x, y )dx + c( y ) ∫ ∂x ∂x ∂U = Q ⇒ ∂ ( P(x, y)dx) + c' ( y) = Q(x, y) ∂y ∂y ∫

Ta tính được

c' ( y ) , từ đó suy ra c( y )

và cuối cùng ta sẽ tìm được hàm

U ( x, y ) 34

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ơ H N

∫ P(x, y)dx + ∫ Q(x , y)dy 0

ẠO

U (x, y) =

TP .Q U

• Chọn Chọn (x0 , y0 )tù tùy y ý trên mi miềền liên tục tục của của cá cácc hàm hàm P,Q va và̀ các các đạo hà hàm m riêng cấp 1 của của chúng.Khi chúng.Khi ấy:

Cách 2 tìm hàm U ( x, y )

∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x, y)dy

U (x, y) =

Ư N

ẦN

VD1: Giải phương trình vi phân:

-L Í-

( x + y + 1)dx + ( x − y 2 + 3)dy = 0 ∂P = ∂Q = 1 nên đây là phương trình vi ∂y ∂x

ÁN

Vì

IỄ

ÀN

phân tòan phần.

Do đó:

∃U ( x, y) : dU = P( x, y)dx + Q( x, y)dy

 ∂U = P = x + y + 1  ∂x ⇒ ∂U 2 = = − +3 Q x y  ∂y

(1)

( 2)

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Từ (1)

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ U (x, y) = ∫ (x + y + 1)dx + c( y)

TP .Q U

x2 ⇒ U ( x, y ) = + xy + x + c( y ) (3) 2 ∂U (2), (3) ⇒ = x + c '( y ) = x − y 2 + 3 ∂y ∂y ⇒ c' ( y ) = − y 2 + 3

ẦN

Vậy:

Ư N

ẠO

y3 ⇒ c( y) = − + 3y 3 x2 y3 U ( x, y) = + xy + x − + 3y 2 3

Cách khác:chọn x0 = 0, y0 = 0 ta có

-L Í-

U ( x, y) = ∫ ( x + y + 1) dx + ∫ (0 − y2 + 3) dy = 0

VD2: Giải phương trình vi phân

IỄ

ÀN

ÁN

x2 y3 = + xy + x − + 3y 2 3 2 3 x y Nghiệm của bài toán là: + xy + x − + 3y = c 2 3

Vì

( x + y − 1)dx + (e y + x)dy = 0 ∂P = ∂Q = 1 nên đây là PT vi phân tòan phần ∂y ∂x

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do đó : ∃U ( x, y)

: dU = P( x, y)dx + Q( x, y)dy

TP .Q U

(1)  ∂U = P = x + y − 1  ⇒  ∂∂Ux ( 2) y Q e x = = +  ∂y Từ (1) ⇒ U ( x, y ) = ∫ ( x + y − 1) dx + c ( y )

ẠO

x2 ⇒ U ( x, y ) = + xy − x + c( y ) (3) 2

Ư N

∂U = x + c '( y ) = x + e y ∂y

ẦN

(2), (3) ⇒

⇒ c '( y) = ey ⇒ c( y) = ey

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

2 x Vậy U ( x, y) = + xy − x + ey 2 Cách khác:chọn x0 = 0, y0 = 0 ta có

U ( x, y) = ∫ ( x + y − 1) dx + ∫ (ey + 0) dy = x2 = + xy − x + ey − 1 2

Vậy nghiệm của phương trình là 2 x ⇒ + xy − x + e y = c 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

c) Thừa số tích phân

(1)

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

Xét phương trình

TP .Q U

H ( x, y ) sao cho H ( x, y ) P ( x, y ) dx + H ( x, y )Q ( x, y ) dy = 0 (2) có hàm

không là phương trình vi phân toàn phần nhưng

Đ (3)

Ư N

∂ ( H .Q) ∂ ( H .P ) = ∂x ∂y

H ( x, y ) là nghiệm phương trình:

ẠO

là phương trình vi phân toàn phần. Lúc này: Hàm H ( x, y ) được gọi là thừa số tích phân.

ẦN

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

Nói chung không có phương pháp tổng quát để tìm thừa số tích phân. Ta chỉ xét 2 trường hợp đơn giản nhất: ∂Q ∂P − ∂x ∂y •Nếu = f (x) Q

•Nếu

H ( x, y ) = H ( x ) = e ∫ ∂Q ∂P − ∂x ∂y = g ( y) P g ( y ) dy ∫ H ( x , y ) = H ( y ) = e khi đó: khi đó:

− f ( x ) dx

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD1 Giải phương trình vi phân

N Ơ H

ẠO

∂Q ∂P − ∂x ∂y 2 = Q x

Nhận xét:

Do đó thừa số tích phân là

= e −2ln x =

1 x2

ẦN

∫ − x dy

Ư N

H ( x) = e

TP .Q U

Vậy đây không phải là phương trình vi phân toàn phần.

Ta có:

(x2 − sin2 y)dx + x sin 2 ydy = 0 ∂P = −2 sin y cos y ; ∂Q = sin 2 y ∂y ∂x

-L Í-

⇒ 12 ( x 2 − sin 2 y ) dx + 12 ⋅ x sin 2 ydy = 0 x x là phương trình vi phân toàn phần.

IỄ

ÀN

ÁN

Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là:

sin2 y x+ =c x

VD2: Giải phương trình vi phân

( y 2 cos x + 1)dx + ( y sin x − x )dy = 0 y Ta có: ∂P = 2 y cos x ; ∂Q = y cos x − 1 y ∂y ∂x 44

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy đây không phải là phương trình vi phân toàn phần.

Do đó thừa số tích phân là

= e− ln y =

1 y

∫

H ( y) = e

1 dy y

−

TP .Q U

Nhận xét:

∂Q ∂P − 1 ∂x ∂y =− P y

ẠO

⇒ 1 ( y 2 cos x + 1)dx + 1 ( y sin x − x ) dy = 0 y y y

ẦN

y sin x + x = c y

Ư N

là phương trình vi phân toàn phần. Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát là:

-L Í-

VD 3:Tìm thừa số tích phân có dạng h= h(y) của phương trình sau:

ydx + (2x − ye y )dy = 0

IỄ

ÀN

ÁN

∂(hQ . ) ∂(h.P) = ∂x ∂y

⇔ [ h( y).(2x − yey )] x / = [ h( y). y] y / ⇔ h( y).2 = h/ ( y). y + h( y) h/ ( y) 1 ⇔ = ⇔ ln| h( y)| = ln| y| + ln| C| ⇔ h( y) = Cy h( y) y

h(1) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ h( y) = y 46

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD 4:

x 2 y 3 dx + x (1 + y 2 ) dy = 0

h ( x, y ) = xα y β

biết có thừa số tích phân dạng

Giải phương trình vi phân

TP .Q U

∂ ( h.Q ) ∂ ( h.P ) ∂ ( x α +1 y β (1 + y 2 )) ∂ ( x α + 2 y β + 3 ) a) = ⇔ = ∂x ∂y ∂x ∂y

ẠO

⇔ (α + 1) x α y β (1 + y 2 ) = ( β + 3) x α + 2 y β + 2 ⇔ α = − 1, β = − 3

x 2 y −2 1 + + ln | y | + b)U ( x, y) = ∫ xdx + ∫ y (1 + y )dy = 2 −2 2 0 1 −3

ẦN

Ư N

x2 y−2 U ( x, y) = + + ln | y |= C 2 −2

VD 5:Tìm thừa số tích phân có dạng H(x,y)=h(x+y²) của phương trình vi phân

-L Í-

(3 y 2 − x)dx + 2 y ( y 2 − 3 x)dy = 0 H ( x , y ) = h ( t ), t = x + y 2

ÁN

Ta có:

IỄ

ÀN

∂ ( H .Q) ∂ ( H .P ) ∂ ∂ = ⇔ [h(t ).(2 y 3 − 6 xy )] = [h(t ).(3y 2 − x )] ∂x ∂y ∂x ∂y

⇔ h '(t ).(2 y 3 − 6 xy ) + h(t ).(−6 y ) = h '(t ).2 y (3y 2 − x ) + h(t ).6 y h '(t ) −3 −3 ⇔ h '(t ).(4 y 3 + 4 xy ) = −h(t ).12 y ⇔ = = h(t ) x + y 2 t ⇔ ln | h(t ) |= −3ln | t | + ln | C |⇔ h(t ) =

C C ⇔ H = t3 ( x + y 2 )3 48

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ư N

ẠO

TP .Q U

Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng

ẦN

Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

IỄ

ÀN

ÁN

-L Í-

5.Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng Phương trình tuyến tính cấp 2 hệ số hằng có dạng tổng quát là:

với

y " + a1 y '+ a2 y = f ( x) (1)

là các hằng số thực.

Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng là :

y "+ a1 y '+ a2 y = 0

(2) 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) Phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ

(2)

y"+ a1 y '+ a2 y = 0

số hằng số: 2

TP .Q U

Phương trình k + a1k + a2 = 0 (3) được gọi là phương trình đặc trưng của các phương trình (1,2).

ẠO

phương trình đặc trưng có 2 nghiệm thực

k1 , k2

phân biệt

∗ Nếu

Ư N

Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình

y = c1e k1x + c2 e k2 x

ẦN

(2) là:

∗ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép -L Í-

k1 = k2

ÁN

Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (2)

y = (c1 + c2 x)e k1x

∗ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức k1 = α + iβ  k2 = α − iβ

IỄ

ÀN

là:

Lúc này: Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là:

y = eα x (c1 cos β x + c2 sin β x) 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD1: Giải phương trình vi phân:

k1 = −1, k2 = −3

N Y

ẠO

có nghiệm

k 2 + 4k + 3 = 0

TP .Q U

Ta có: Phương trình đặc trưng:

y"+4 y '+3 y = 0

ẦN

Ư N

y = c1e − x + c2e −3 x

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:

VD2: Giải phương trình vi phân:

-L Í-

y"−10 y '+25 y = 0

có nghiệm kép

k1 = k2 = 5

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:

IỄ

ÀN

ÁN

Ta có: Phương trình đặc trưng: k 2 − 10k + 25 = 0

y = (c1 + c2 x)e5 x 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD3: Giải phương trình vi phân:

Ơ H Y TP .Q U

ẠO

 k1 = −1 + 3 i  k2 = −1 − 3 i

k 2 + 2k + 4 = 0

Ta có: Phương trình đặc trưng: có nghiệm phức:

y"+2 y '+4 y = 0

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình này là:

ẦN

Ư N

y = e − x (c1 cos 3.x + c2 sin 3.x)

b) Phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất

-L Í-

với hệ số hằng số: y " + a y '+ a y = f ( x) (1) 1 2 Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

IỄ

ÀN

ÁN

y = y + y∗

y  Với   * y

là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:

y"+ a1 y '+ a2 y = 0

là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: y"+ a1 y '+ a2 y = f ( x ) 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cách tìm nghiệm riêng y* f ( x) = eαx Pn ( x)

Trường hợp

không phải là nghiệm của phương trình

k 2 + a1k + a2 = 0

đặc trưng:

y* = eαx .H n ( x)

thì:

TP .Q U

Nếu α

Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng:

ẠO

k 2 + a1k + a2 = 0

Ư N

k 2 + a1k + a2 = 0

y* = eα x .H n ( x).x thì: Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng: thì:

y* = eα x .H n ( x).x2

ẦN

VD1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

-L Í-

y"−3 y '+2 y = e3 x ( x 2 + x)

ÁN

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

Bước 1: Tìm

IỄ

ÀN

y = y + y∗

Phương trình đặc trưng nghiệm

k 2 − 3k + 2 = 0

có

k1 = 1 , k2 = 2 ⇒ y = c1e x + c2e 2 x 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

y* f ( x ) = e3 x ( x 2 + x )

Bước 2: Tìm

TP .Q U

nên nghiệm riêng của phương trình đầu có dạng:

α = 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng

Ta có:

ẠO

y* = e3x.(Ax2 + Bx + C)

Ư N

Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được:

ẦN

2.| y* = e3 x .( Ax2 + Bx + C)

−3.| y* / = 3e3 x .( Ax 2 + Bx + C) + e3 x .(2 Ax + B )

ÁN

-L Í-

1.| y* / / = 9e3 x .( Ax2 + Bx + C) + 6.e3 x .(2 Ax + B ) + e3 x .2 A

⇒ 2e3 x .( Ax 2 + Bx + C) + 3.e3 x .(2 Ax + B ) + e3 x .2 A = e3 x ( x 2 + x)

IỄ

ÀN

2 2 A = 1  ⇒ 2 B + 6 A = 1 2C + 3 B + 2 A = 0 

⇔ A=

Vậy

1 , B = −1, C = 1 2

y = (c1e x + c2e 2 x ) + e3 x ( 1 x 2 − x + 1) 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

• Xét điều kiện ban đầu:

TP .Q U

1 y '( x) = C1ex + C2 .2e2 x + 3e3 x ( x2 − x + 1) + e3 x ( x − 1) 2

 y(0) = 4   y '(0) = 6

⇒ C1 = 2, C2 = 1

ẠO

 y(0) = C1 + C2 + 1 = 4   y '(0) = C1 + C2 .2 + 2 = 6

ẦN

Ư N

1 ⇒ y = (2ex + e2 x ) + e3 x ( x2 − x + 1) 2

y"−4 y '+4 y = xe 2 x

-L Í-

VD2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y = y + y∗

Bước 1: Tìm

Phương trình đặc trưng

k 2 − 4k + 4 = 0

có

IỄ

ÀN

ÁN

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

nghiệm kép

k1 = k2 = 2 ⇒ y = (c1 + c2 x)e 2 x 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tìm nghiệm y*

Bước 2:

Ta có:

TP .Q U

α=2 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng

f ( x) = e2 x x

nên y* = e2x.(Ax + B).x² là nghiệm riêng của

ẠO

phương trình đầu.

ẦN

Ư N

Lấy y* thế vào phương trình đầu ta tính được

4.| y* = e2 x .( Ax3 + Bx2 )

-L Í-

−4.| y* / = 2e2 x .( Ax3 + Bx2 ) + e2 x .(3 Ax2 + 2 Bx)

⇒ e2 x .(6 Ax + 2 B ) = e2 x .x 6 A = 1 ⇒ 2 B = 0

2α

A=1 , B=0 6

IỄ

ÀN

ÁN

1.| y*// = 4e2x .( Ax3 + Bx2 ) + 4.e2x .(3Ax2 + 2Bx) + e2x .(6Ax + 2B)

Vậy

y = (c1 + c2 x)e 2 x + x 2 (1 x).e 2 x 6 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y " − 3 y '+ 2 y = (2 x − 4)e2 x

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

TP .Q U

y = y + y∗

ẠO

Bước 1: Tìm

k 2 − 3k + 2 = 0 có

Phương trình đặc trưng

k1 = 1 , k2 = 2 ⇒ y = c1e x + c2e 2 x 17

ẦN

Ư N

nghiệm

Bước 2: Tìm nghiệm

f ( x) = e2 x (2 x − 4)

-L Í-

Ta có:

là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng

ÁN

α=2

= e2x.(Ax + B).x là nghiệm riêng của

phương trình đầu. Lấy

thế vào phương trình đầu ta tính được

IỄ

ÀN

nên y*

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2.| y* = e2 x .( Ax2 + Bx)

−3.| y* / = 2e2 x .( Ax2 + Bx) + e2 x .(2 Ax + B )

1.| y*// = 4e2x .( Ax2 + Bx) + 4.e2x .(2Ax + B) + e2x .2A

TP .Q U

2α

ẠO

2 A = 2 ⇒  B + 2 A = −4

⇒ e2 x .(2 Ax + B ) + e2 x .2 A = e2 x .(2 x − 4)

A = 1, B = −6

Ư N

y = (c1ex + c2e2 x ) + e2 x ( x2 − 6 x)

Vậy

•Trường hợp

ẦN

-L Í-

f ( x ) = eα x [Pn ( x ) cos β x + Qm ( x ).sin β x ] Nếu α ± iβ không phải là nghiệm của phương

ÁN

trình đặc trưng thì

y * = eαx [ H l ( x ) cos β x + K l ( x ) sin β x ]

IỄ

ÀN

l = max{m, n}

Nếu α ± iβ là nghiệm bội h của phương trình đặc trưng thì

y* = eα x [ H l ( x) cos β x + K l ( x) sin β x].xh l = max{m, n} 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD4: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

y"+9 y = 18 cos 3 x − 30 sin 3 x

TP .Q U

phức là:

k 2 + 9 = 0 có nghiệm

Phương trình đặc trưng

Bước 1: Tìm y

ẠO

k1 = 3i, k2 = −3i

ẦN

Ư N

⇒ y = eox (c1 cos 3 x + c2 sin 3 x)

Bước 2: Tìm

-L Í-

f ( x ) = 18cos3 x − 30sin 3 x

IỄ

ÀN

ÁN

(α = 0,β =3, m = 0, n = 0⇒l = 0)

Ta có:

α ± iβ = ±3i

là nghiệm của phương trình

đặc trưng nên

y* = eox ( A cos 3 x + B si n 3 x).x Lấy

y * thế vào phương trình đầu ta tính được 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

9.| y* = ( A cos 3 x + B si n 3 x).x

0.| y* / = (−3 A si n 3 x + 3 B cos 3 x).x + ( A cos 3 x + B si n 3 x)

ẠO

−β

 −6 A = −30 ⇒ 6 B = 18

TP .Q U

⇒ 2.(−3 A si n 3 x + 3 B cos 3 x) = 18 cos 3 x − 30 si n 3 x

1.| y*// = −9.( A cos3x + B sin 3x).x + 2.(−3A sin 3x + 3B cos3x)

A=5 , B=3

Ư N

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đầu là:

y = (c1 cos3x + c2 sin 3x) + (5 cos3x + 3sin 3x).x

ẦN

VD5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

-L Í-

y " − 4 y '+ 4 y = cos 3 xe2 x

ÁN

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

Bước 1: Tìm

Phương trình đặc trưng

k 2 − 4k + 4 = 0

có

IỄ

ÀN

y = y + y∗

nghiệm kép

k1 = k2 = 2 ⇒ y = (c1 + c2 x)e 2 x 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bước 2: Tìm nghiệm

Ta có:

α+iβ=2+3i

f (x) = e2x.cos3x ⇒α = 2, β = 3, m = n = 0 ⇒ l = 0

= e2x.(Acos3x + Bsin3x)

ẠO

đặc trưng nên y*

TP .Q U

không là nghiệm của phương trình

thế vào phương trình đầu ta tính được

Ư N

Lấy

là nghiệm riêng của phương trình đầu.

ẦN

4.| y* = e2 x .( A cos 3 x + B si n 3 x)

-L Í-

−4.| y* / = 2e2 x .( A cos 3 x + B si n 3 x) + e2 x .(−3 A si n 3 x + 3 B cos 3 x)

ÁN

1.| y*// = (4 − 9)e2x .( A cos3x + B sin 3x) + 4e2x .(−3A sin 3x + 3B cos3x)

α2 − β2

−9 A = 1 ⇒ −9 B = 0

IỄ

ÀN

⇒ −9.e2 x .( A cos 3 x + B si n 3 x) = cos 3 x.e2 x

Vậy

2α

1 A = − ,B = 0 9

1 y = (c1 + c2 x)e − cos 3 x.e2 x 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

• Nguyên lý chồng chất nghiệm f (x) = f1(x) + f2(x)

f1 ( x), f 2 ( x) có dạng eαx Pn (x) hay eαx [ Pn ( x) cos βx + Qm ( x) sin βx] * * * Khi đó: Nghiệm riêng y = y1 + y2

Ơ H N Y

TP .Q U

 y1*    *  y2

là nghiệm riêng của phương trình:

ẠO

y"+ a1 y '+ a2 y = f1 ( x )

là nghiệm riêng của phương trình:

Ư N

Với

y"+ a1 y '+ a2 y = f 2 ( x)

ẦN

y"− y ' = 5e x − sin 2 x

-L Í-

phân:

VD6: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi

Nghiệm tổng quát của phương trình này là:

Bước 1: Tìm

Phương trình đặc trưng

k2 − k = 0

có nghiệm

IỄ

ÀN

ÁN

y = y + y∗

k1 = 0, k2 = 1

⇒ y = c1eox + c2e x 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

f 2 ( x) = − sin 2 x

y* = y1* + y2*

y1* là nghiệm riêng của phương trình

là nghiệm của phương trình đặc

α =1

Ta có:

ẠO

y"− y ' = 5e x (α = 1, Pn ( x) = 5)

TP .Q U

Với

. Vậy

với

f1 ( x) = 5e x ,

f ( x ) = f1 ( x) + f 2 ( x)

Bước 2: Tìm

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ư N

trưng nên:

ẦN

y1* = ex . A.x

y1* thế vào phương trình y"− y' = 5ex ta tính

được

A=5 y2* là nghiệm riêng của phương trình:

-L Í-

Lấy

IỄ

ÀN

ÁN

Với

y"− y ' = − sin 2 x

(α = 0, β = 2, Pn ( x ) = 0, Qm ( x ) = −1) Ta có: α ± iβ = ±2i không phải là nghiệm của

phương trình đặc trưng nên:

y2* = B cos 2 x + C sin 2 x 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

thế vào phương trình

B=−

1 1 ,C= 10 5

ta tính được

y"− y ' = − sin 2 x

y2*

x x + c2e ) + 5 xe + (− 1 cos 2 x + 1 sin 2 x) 10 5

= (c1e

y = y + y1* + y2*

Vậy

TP .Q U

Lấy

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5.Phương trình Euler

ẠO

a)Dạng:

(1)

Ư N

( ax + b) 2 y " + a1 ( ax + b) y '+ a2 y = f ( x )

a, b, a1 , a2 là các hằng số thực. 31

ẦN

với

b) Cách giải: Đổi biến:

-L Í-

t = l n | ax + b | ⇔| ax + b | = et ⇔ ax + b = ±et

IỄ

ÀN

ÁN

 ' a ' ' ' y y . t y = = ⋅  x t x  ax + b t ⇒ 2 a a a ' "  y" = − ⋅ y + ( y ⋅ ) xx t tt 2 ax + b ax + b (ax + b)  Khi ấy

a1 a2 1 −b ± et ' (1) ⇔ y + ( − 1) yt + 2 y = 2 f ( ) a a a a '' tt

(2) 32

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VD: Giải phương trình Euler:

Ơ H N Y TP .Q U ẠO Đ

y"xx , y x'

vào phương trình đầu ta được:

ẦN

Ư N

Thế

t = l n x ⇒ x = et  y x' = 1 ⋅ yt' x  ⇒  y "xx = 1 ( ytt" − yt' )  x2

Đặt:

(trong miền x>0)

x2 y"−xy'+ y = ln x

Đây là phương trình tuyến tính cấp 2 không thuần nhất hệ số hằng

⇒ y = y + y*

ÁN

-L Í-

ytt" − 2 yt' + y = t

ÀN

• Phương trình đặc trưng

có nghiệm kép

k 2 − 2k + 1 = 0

k1 = k2 = 1

IỄ

⇒ y = (c1 + c2t ).et •

f (t) = t (α = 0, Pn(t) = t) 34

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

α = 0 không phải là nghiệm của phương trình đặc ⇒ y* = eot.(At + B)

N Ơ

ytt" − 2 yt' + y = t

(*)

phương trình

là nghiệm riêng của

trưng

TP .Q U

y * thế vào phương trình (*) ta tính được

Lấy

A = 1, B = 2

ẠO

⇒ y* = t + 2

⇒ y = (c1 + c2t )et + (t + 2)

ẦN

Ư N

⇒ y = (c1 + c2 ln x ) x + (ln x + 2)

VD: Giải phương trình Euler:

(2 x − 1) 2 y "+ 8(2 x − 1) y '+ 8 y = 8 x

-L Í-

Đặt:

yx' =

Thế

2 4 " ' ⋅ yt' ⇒ y"xx = ( y − y ) tt t 2 2x −1 (2 x − 1)

y"xx , y x'

vào phương trình đầu ta được:

IỄ

ÀN

ÁN

t = l n | 2 x − 1| ⇔| 2 x − 1| = et ⇔ 2 x = ±et + 1

ytt" + 3 yt' + 2 y = ±et + 1 36

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial