Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG Phần I. Đặt vấn đề TRƯỜNG THCS THỔ TANG

BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối Môn: Toán Tổ bộ môn: Toán – Lý – Tin Mã:30 Người thực hiện: Lê Nguyệt Thu Điện thoại: 0978119467, Email: lenguyetthu@gmail.com

Vĩnh Tường, tháng 4 năm 2014

1

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H

Ó

A

Sau khi dạy bài : Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút :

Í-

Đề bài: Giải các phương trình sau:( mỗi câu 5 phút ):

ÁN

-L

1 / 2x + 1 = 5 ;

2/ x + 5 = 3x + 1 ;

3/ x + 1 + x − 1 = 10

Tỷ lệ học sinh làm bài cụ thể như sau: Làm được hoàn chỉnh trong thời gian khảo sát 15 phút

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

Câu 1

2

5,0

5

12,5

20

50,0

13

32,5

Câu 2

2

5,0

4

10,0

19

47,5

15

37,5

Câu 3

1

2,5

2

5,0

17

42,5

20

50,0

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

Số HS lớp 8B dự khảo sát: 40em

Từ 11 – 15 phút

Trước 10 phút

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

Làm xong nhưng hết > 15 phút

Không làm được(hoặc không đúng)

H Ơ N

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

C

ẤP

2+

3

10

00

B

TR ẦN

Trải qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn toán, bản thân tôi đã tự nghiên cứu tài liệu và học hỏi kinh nhiệm của các bạn đồng nghiệp để tìm ra các phương pháp giải hay ngắn gọn cho từng dạng toán và ứng dụng của nó. Nhiều năm liền tôi được nhà trường phân công dạy toán lớp 7, 8, 9 tôi thấy rằng : học sinh thường ngại khi gặp các bài toán liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối. Có những phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuỵêt đối rất đơn giản nhưng các em vẫn lúng túng khi trình bày bài. Nguyên nhân là các em chưa hiểu cặn kẽ định nghĩa về giá trị tuyệt đối, chưa phân định rõ ràng từng dạng bài vì vậy không xác định được phương pháp giải. Mặt khác thời gian phân phối cho các tiết học này rất ít vì vậy các em chưa nắm vững kiến thức về GTTĐ .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

Đại số là một là một môn học có thể được xem là dễ học hơn so với bộ môn hình học theo quan niệm của một số giáo viên và học sinh, nhưng để dạy tốt- học tốt bộ môn đại số thì cũng không phải là điều dễ. Để học sinh có thể học chắc, hình thành cho mình kĩ năng và phương pháp giải toán thì giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản cần thiết không chỉ là những kiến thức cơ bản được đưa ra trong SGK mà giáo viên cần phải tham khảo các tài liệu, chắt lọc những kiến thức cơ bản mở rộng, đúc rút những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy để mở rộng kiến thức phù hợp với đối tượng học sinh từ đó nâng cao hiểu biết về kiến thức cũng như trau dồi phương pháp giải toán cho các em. Để làm tốt được điều này đòi hỏi mỗi giáo viên toán phải thường xuyên nghiên cứu, trăn trở để hệ thống lại những kiến thức theo từng chuyên đề lôgic với nhau, biết tổng hợp các phương pháp giải từng dạng toán và các ứng dụng của nó từ đó giúp học sinh hình thành cho mình những phương pháp giải từng dạng toán, đó là chìa khoá để giải những bài toán khó, gây hứng thú học toán cho học sinh.

N

I.Lý do chọn đề tài

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 2 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

TR ẦN

2.1 Mục tiêu

B

_ Mục tiêu của đề tài phục vụ cho công tác giảng dạy ,bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh đại trà và lạm tài liệu cho học sinh tự học tự nghiên cứu.

10

00

2.2 Phạm vi nghiên cứu

3

_Giới hạn đề tài: các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

2+

_Đối tượng : nghiên cứu việc dạy và học môn toán ở trường THCS Thổ Tang

ẤP

III .Phương pháp nghiên cứu

C

+Phương pháp nghiên cứu thực tiễn lý thuyết.

Ó

A

+Phương pháp phân tích, tổng kết kinh nghiệm

Í-

H

+Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

-L

IV.Ý nghĩa thực tiễn

ÁN

Đề tài dễ áp dụng,phù hợp với giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

V. Cấu trúc của chuyên đề +Phần I :Đặt vấn đề

H Ơ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

H

II .Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

Qua kết quả khảo sát trên tôi nhận thấy học sinh chậm phát hiện ra cách giải quyết vấn đề trong thời gian cho phép, nhiều học sinh có làm được nhưng thời gian hết nhiều. Đa số các em giải rất máy móc đối với câu 1 nhiều em phớt lờ xem như không có dấu giá trị tuyệt đối nên đã bỏ mất nghiệm.Với các phương trình có chứa từ 2 dấu giá trị tuyệt đối trở nên các em rất lúng túng trong vấn đề xét khoảng và lấy nghiệm số học sinh giải được câu 3 rất ít. Vậy làm thế nào để học sinh dễ nắm được các kiến thức,nắm vững các phương pháp,các bước giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối .Trong nhiều năm qua từ thực tế giảng dạy,trao đổi với đồng nghiệpvà các tài liệu tôi xin mạnh dạn đề xuất hệ thống các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thường gặp và các bước giải từng dạng phương trình này.Với hệ thống kiến thức này học sinh sẽ dễ tiếp thu và giải thành thạo các phương trình chứa dấu giá trị tuyêt đối trong chương trình toán 8.Tôt hi vọng rằng đề tài sẽ giúp ích cho các em học sinh ở trường trung học cơ sở,từ đó các em có hứng thú học tập hơn, đạt được kết quả cao hơn trong học tập và nghiên cứu.

N

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

+Phấn II :Nội dung +Phần III Kết kuận và kiến nghị Trong phạm vi một đề tài SKKN tôi đưa ra: “Phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá tị tuyệt đối” với mục đích nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn Đại số và giúp học sinh nhanh chóng tìm ra chìa khoá cho những bài toán khó, cũng từ đó các em biết chọn cho mình những con đường đi ngắn nhất để

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 3 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

N

đến đích một cách nhanh chóng mà không còn vướng mắc, tạo cho các em hứng thú học bộ môn Đại số nói riêng, bộ môn Toán nói chung. SKKN được nghiên cứu trong thời gian từ tháng 9 năm 2011 đến tháng 4 năm 2013, với đối tượng học sinh lớp 8 trường THCS Thổ Tang.

N

Phần II. Nội dung

Y

A .Cơ sở lý luận

ẠO

-Rèn cho học sinh những kỹ năng thực hành giải toán về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

H

-Rèn cho học sinh các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các môm học khác,mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.

TR ẦN

-Ngoài ra còn rèn luyện cho học sinh những đức tính cẩn thận,sáng tạo ,chủ động trong giải toán.

00

B

A.2 Các kỹ năng ,kiến thức khi làm một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

2+

3

-Giá trị tuyệt đối của một số

10

-Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số

ẤP

- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối của môt biểu thức

C

-Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

A

-Giải phương trình bậc nhất một ẩn

H

Ó

-Một số kiến thức khác có liên quan

Í-

B. Mô hình nghiên cứu

-L

- Các bước tiến hành

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết SKKN -Trao đổi thảo luận trong tổ

-Xây dựng đề cương

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

-Rèn cho học sinh các thao tác tư duy, so sánh,khái quát hóa ,trừu tượng hóa,tương tự hóa......

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

A.1Mục đich ý nghĩa của việc dạy giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

-Thu thậptổng hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết SKKN .Qua các tài liệu,qua khảo sát các bài kiểm tra, các giờ luyện tập ,ôn tập,các buổi học chuyên đề,buổi bồi dưỡng học sinh giỏi.

-Lựa chọn hệ thống bài tập -Kết luận C. Vận dụng lý luận vào thực tiễn

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 4 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

i. c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ GI¸ TRÞ TUYÖT §èi

Tr−íc khi ®−a ra c¸c d¹ng to¸n vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cïng víi ph−¬ng ph¸p

H Ơ

N

gi¶i th× gi¸o viªn ph¶i cho häc sinh hiÓu s©u s¾c vµ nhí ®−îc ®Þnh nghÜa vÒ gi¸

N

trÞ tuyÖt ®èi, tõ ®Þnh nghÜa suy ra mét sè tÝnh chÊt ®Ó vËn dông vµo lµm bµi tËp.

-a

a

H

H×nh 1

TR ẦN

VÝ dô 1: 3

10

00

B

a = 3 ⇒ a =  − 3 Do ®ã ®¼ng thøc ®H cho ®−îc nghiÖm ®óng bëi hai sè t−¬ng øng víi hai ®iÓm trªn trôc sè ( h×nh 2)

0

3

H×nh 2

C

ẤP

2+

3

-3

a = b

b b ⇒a= ; a = b ⇒a= − b − b b > 0

-L

Í-

H

Ó

A

Tæng qu¸t: 

ÁN

VÝ dô 2:

a ≤ 3 nÕu a ≥ 0

⇔ -3 ≤ a ≤ 3

⇔

-a ≤ 3 nÕu a < 0

-3 ≤ a < 0

Do bÊt ®¼ng thøc ®H ®−îc nghiÖm ®óng bëi tËp hîp c¸c sè cña ®o¹n [− 3;3] vµ trªn trôc sè th× ®−îc nghiÖm ®óng bëi tËp hîp c¸c ®iÓm cña ®o¹n [− 3;3] ( h×nh 3)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

a ≤3⇒

0 ≤ a ≤3

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

a

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

-a

G

Đ

0

ẠO

TP .Q

a, §Þnh nghÜa 1( líp 6) : Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña sè nguyªn a, kÝ hiÖu lµ a , lµ kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm a ®Õn ®iÓm gèc 0 trªn trôc sè ( h×nh 1).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

1. §Þnh nghÜa

-3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

0

3

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 5 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H×nh 3 VÝ dô 3:

-a ≥ 3 nÕu a < 0

N

⇔ 3 ≤ a hoÆc a ≤ 3

⇔

H Ơ

a ≤ 3⇒

a ≥ 3 nÕu a ≥ 0 a ≤ -3 v nÕu a < 0

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

Ư N

a ≥ b Tæng qu¸t: a ≥ b ⇔   a ≤ −b b, §Þnh nghÜa 2 ( líp 7-9): Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè thùc a, ký hiÖu a lµ: a nÕu a ≥ 0 a = -a nÕu a < 0 15 = 15 − 32 = 32 0 =0 VÝ dô1:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

−1 = 1 − 17 = 17 *Më réng kh¸i niÖm nµy thµnh gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc A(x), kÝ hiÖu A(x) lµ: A(x) nÕu A(x) ≥ 0 A(x) = -A(x) nÕu A(x) < 0 VÝ dô 2:

2x - 1 nÕu 2x- 1 ≥ 0

2x −1 =

2x - 1 nÕu x ≥ =

-(2x - 1) nÕu 2x - 1 < 0 2. C¸c tÝnh chÊt 2.1. TÝnh chÊt 1:

1 - 2x nÕu x <

1 2

1 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

H×nh 4

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

3

ẠO

0

-3

TP .Q

U

Y

Do bÊt ®¼ng thøc ®H ®−îc nghiÖm ®óng bëi tËp hîp c¸c sè cña hai nöa ®o¹n (∞ ; 3] vµ [3; + ∞ ) vµ trªn trôc sè th× ®îc nghiÖm ®óng bëi hai nöa ®o¹n t−¬ng øng víi c¸c kho¶ng sè ®ã. (h×nh 4)

N

a ≥ 3 nÕu a ≥ 0

a ≥0∀a

2.2. TÝnh chÊt 2: a = 0 ⇔ a = 0 2.3. TÝnh chÊt 3: - a ≤ a ≤ a

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 6 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2.4 TÝnh chÊt 4: a = − a Dùa trªn ®Þnh nghÜa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ng−êi ta rÔ thÊy ®−îc c¸c tÝnh chÊt

N

trªn

H Ơ

2.5. TÝnh chÊt 5: a + b ≤ a + b

H

a − b ≤ a∓b

00

a − b a−b = (3) − ( a − b )

B

b − a ≤ b − a = − (b − a ) = a − b ⇒ −( a − b ) ≤ a − b

10

Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ a − b ≤ a − b

(4)

2+

3

a − b ≤ a − − b ≤ a − ( −b ) ≤ a + b ⇒ a − b ≤ a + b

(5)

ẤP

Tõ (4) vµ (5) ⇒ ®pcm.

2.8. TÝnh chÊt 8:

C

a.b = a . b

H

Ó

A

ThËt vËy: a = 0, b = 0 hoÆc a = 0, b ≠ 0 hay a ≠ 0, b= 0 (1) ⇒ a.b = a . b

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

a > 0 vµ b > 0 ⇒ a = a, b = b vµ a.b > 0 ⇒ a.b = a.b = a . b ⇒ a.b = a . b (2)

ID Ư

BỒ

(1) (2)

TR ẦN

ThËt vËy: a − b ≤ a − b

a < 0 vµ b < 0 ⇒ a = -a, b = -b vµ a.b > 0 ⇒ a.b = a.b = (−a)(−b) = a . b ⇒ a.b = a . b

a > 0 vµ b < 0 ⇒ a = a, b = -b vµ a.b < 0 ⇒ a.b = −a.b = a.(−b) = a . b ⇒ a.b = a . b (4) Tõ (1), (2), (3) vµ (4) ⇒ ®pcm.

2.9. TÝnh chÊt 9:

(3)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

ẠO

(1) a − b = a + ( − b ) ≤ a + − b = a + b ⇒ a − b ≤ a + b (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ ®pcm.

2.7. TÝnh chÊt 7:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ThËt vËy: a = a − b + b ≤ a − b + b ⇒ a − b ≤ a − b

TP .Q

U

Y

a+b 2.6. TÝnh chÊt 6: a - b ≤ a −b ≤ a + b

N

ThËt vËy: - a ≤ a ≤ a ; - b ≤ a ≤ b ⇒ -( a + b ) ≤ a + b ≤

a a = (b ≠ 0) b b

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 7 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(1)

b

b

(2)

b

(3)

a a a a a a > 0 vµ b < 0 ⇒ a = a, b = -b vµ < 0 ⇒ = − = = b

b

b

−b

b

−b

Tõ (1), (2), (3) vµ (4) ⇒ ®pcm.

b

Y

b

(4)

TP .Q

b

N

a a a −a a a < 0 vµ b < 0 ⇒ a = -a, b = -b vµ > 0 ⇒ = = =

U

b

b

ẠO

II) CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

b) Nếu a ≥ 0

TR ẦN

a) Nếu a<0 kết luận phương trình vô nghiệm.

Ư N

Phương pháp giải :

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

A = a ( A là nhị thức bậc nhất ,a là hằng số).

đưa về phương trình : A = a hoặc A = - a

1) 2 x + 4 = −8

3) 10 x + 40 = 0

10

00

2) 3x − 2 = 5

B

Bài tập ví dụ: Giải các phương trình:

3

Giải :

C

ẤP

2+

1) 2 x + 4 = −8 PT vô nghiệm vì VT luôn không âm với mọi x còn vế phải luôn âm.  3x − 2 = 5



7

7 3

Vậy PT có hai nghiệm là: x1= ; x2=-1



H

Ó

A

x= 2) 3x − 2 = 5 ⇔  ⇔ 3 3 x − 2 = − 5   x = −1

-L

Í-

3) 10 x + 40 = 0 ⇔ 10x + 40 = 0 ⇔ x = −4 . PT có nghiệm là : x = - 4.

ÁN

Dạng 2. phương trình bậc nhất dạng: A = B ( A,B là các nhị thức)

TO

1. Phương pháp giải:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Cách 1: Nếu A ≥ 0 phương trình có dạng: A = B

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

Dạng 1. Phương trình bậc nhất dạng:

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

a a a a a > 0 vµ b > 0 ⇒ a = a, b = b vµ > 0 ⇒ = =

N

a a a =0⇒ = ≡0 b b b

H Ơ

ThËt vËy: a = 0 ⇒

Nếu A<0 phương trình có dạng: -A = B

Nghiệm của các phương trình trên thoả mãn điều kiện trong từng khoảng đang xét là nghiệm của PT đã cho. B ≥ 0  B≥0 Hoặc  A = B  A = −B

Cách 2: A = B ⇔  2. Bài tập ví dụ:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 8 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài 1: Giải các phương trình: 1) 3x − 1 + 2 = 3x + 4

H Ơ

N

2) x − 3 = x + 1

N

3) x − 2005 = x − 2005

TP .Q ẠO

2) x − 3 = x + 1

B

Nếu x ≥ 0 phương trình đã cho tương đương với pt: Do x ≥ 0 nên x + 1> 0

10

00

Khi đó : x − 3 = x + 1 ⇔ x − 3 = x + 1 hoặc x - 3= - x - 1

3

* x − 3 = x + 1 ⇔ −3 = 1 ( vô lý)

2+

* x - 3= - x - 1 ⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 0 )

ẤP

Nếu x < 0 phương trình đã cho tương đương   −1 ≤ x < 0   2 = 0(volý )  −1 ≤ x < 0  x = −2( Loai )

Í-

H

Ó

A

C

  −1 ≤ x < 0  x + 3 = x +1 Với: − x − 3 = x + 1 ⇔ x + 3 = x + 1 ⇔   ⇔  − 1 ≤ x < 0   x + 3 = − x − 1

x − 2005 = x − 2005 ⇔ x − 2005 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2005

ÁN

3)

-L

Vậy PT đã cho có nghiệm là: x=1

TO

Vậy Phương trình có vô số nghiệm thoả mãn x ≥ 2005 . x − 1 = 3x + 2m (1) (m là tham số).

Giải :

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Bài 2: Giải pt :

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ G Ư N

−1 6

TR ẦN

Vậy : PT có nghiệm là x=

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

 −2 x ≥     3x + 2 ≥ 0  − 1 =32   3 x − 1 = 3x + 2 1) 3x − 1 + 2 = 3x + 4 ⇔   ⇔  −2 x≥  3 x + 2 ≥ 0   3 3 1  −1  x − = −3 x − 2  x = 6 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

Giải:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 9 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ N Y TP .Q

Vậy để phương trình (1) có nghiệm thì phải có:

ẠO

3 2m + 1 thì pt (1) có nghiệm x = 2 2

3 1 − 2m thì pt (1) có nghiệm x = 2 4

00

B

m≤−

10

Bài 3: Giải PT sau theo tham số m.

2+

3

m x − 3 = 4 − m (1)

ẤP

1) Nếu m>0 phương trình (1)

H

 0<m≤4 7−m ⇔  x= m

Ó

A

C

 0<m≤4  mx − 3 = m − 4

 0<m≤4 Hoặc ⇔ mx − 3 = 4 − m ⇔  mx − 3 = 4 − m

Í-

-L

0 < m ≤ 4

Hoặc  x = m − 1 

m

ÁN

2) Nếu m < 0 phương trình (1) ⇔ − mx − 3 = 4 − m ⇔ mx + 3 = 4 − m

TO

(Vì m < 0 nên 4- m > 0)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

 m < 0 m<0 m<0   1 − m Hoặc Hoặc:  ⇔ ⇔ x= mx + 3 = 4 − m mx + 3 = m − 4  m

 m < 0 x = m − 7  m

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Tóm lại: m ≤ −

Đ

−3 1 − 2m − 2m ≥ ⇔m≥ 4 3 2

G

b)Nếu

Ư N

− 2m − 1 2m 3 ≥− ⇔m≤− 2 3 2

H

a)Nếu

TR ẦN

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

− 2m − 1 2m 1 − 2m − 2m ≥− hoặc: ≥ 2 3 4 3

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

x − 1 = 3 x + 2m

N

 − 2m  x ≥ 3    3 x + 2m ≥ 0 − 2m − 1  x =  x − 1 = 3 x + 2 m 2 ⇔ ⇔   − 2m   3 x + 2m ≥ 0  x≥  3   x − 1 = −3 x − 2 m  1 − 2m  x =   4

Tóm lại: • Nếu m < 0 thì phương trình có nghiệm là:

x=

1− m m−7 hoặc x = m m

• Nếu 0 < m ≤ 4 thì phương trình có nghiệm là: x=

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

7−m m −1 hoặc x = m m

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 10 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nếu m = 4 thì phương trình có nghiệm là:

x=

3 4

N

• Nếu m= 0 hoặc m > 4 thì phương trình vô nghiệm .

H Ơ

•

Y

N

Dạng 3. Phương trình bậc nhất dạng: A = B (A,B lµ c¸c nhÞ thøc).

2) Bài tập ví dụ:

2 x − 2005 = 2005 x − 2

 x = −1

Bài 2: Giải phương trình:

ẤP

2 ; x = −4 3

C

⇒x=

2+

3

10

00

B

TR ẦN

H

 5x − 1 − 2 = 4 x − 3  5 x − 1 = 4 x − 1(1) 5x − 1 − 2 = 4 x − 3 ⇔  ⇔ (1)  5x − 1 − 2 = 3 − 4 x  5 x − 1 = 5 − 4 x ( 2)   1 5  x≥ x≤     4 4  4 x − 1 ≥ 0  5 − 4 x ≥ 0   x = 0(loai )   2      x = 5x − 1 = 4 x − 1 5x − 1 = 5 − 4 x     ⇔ ⇔  ⇔ ⇔  1 (2) 3 x≥  4 x − 1 ≥ 0  5 − 4 x ≥ 0    5  4     x ≤ 2 5 x − 1 = 4 − 5 x  5 x − 1 = 1 − 4 x   x = (loai )  x = −44 9  

2 3

H

Ó

A

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x = ; x = −4 . x +1 3 + = 2 (1) x +1 3 §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh lµ x ≠ -1 Ta cã thÓ lùa chän mét trong hai c¸ch sau: x +1 C¸ch 1: §Æt t = ®iÒu kiÖn t > 0 3 1 Khi ®ã (1) ⇔ + t = 2 ⇔ t 2 − 2t + 1 = 0 ⇔ t = 1 t x +1 x + 1 = 3 x = 2 ⇔ =1⇔ x +1 = 3 ⇔  ⇔ 3 x + 1 = −3 x = −4 ⇔ VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = -4 vµ x = 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

Bµi 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = - 1 và x = 1.

Đ

ẠO

Bài1: Giải phương trình: 2 x − 2005 = 2005 x − 2 ⇔  ⇔ 2 x − 2005 = 2 − 2005 x  x =1

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

1) Phương pháp giải: A = B ⇔ A =B Hoặc A = - B

C¸ch 2: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta cã:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 11 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

x +1 3 3 x +1 =2 . ≥ 2 + x +1 3 x +1 3

N

x +1 3 + = 2) x +1 3

H Ơ

Ta thÊy dÊu b»ng x¶y ra (Tøc lµ

x +1 x + 1 = 3 x = 2 3 = ⇔ 9 = (x + 1)2 ⇔  ⇔ x +1 3 x + 1 = −3  x = −4 VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x = -4 vµ x = 2 §èi víi nh÷ng ph−¬ng tr×nh cã tõ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi trë lªn ta nªn gi¶i theo

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

x lµm mèc ®Ó x¸c ®Þnh biÓu thøc trong trÞ tuyÖt ®èi ©m hay kh«ng ©m. Nh÷ng gi¸

Ư N

trÞ x nµy sÏ chia trôc sè thµnh c¸c kho¶ng cã sè kho¶ng lín h¬n sè c¸c trÞ tuyÖt

TR ẦN

H

®èi lµ 1. Khi ®ã ta xÐt gi¸ trÞ x trong tõng kho¶ng ®Ó bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi vµ gi¶i ph−¬ng tr×nh t×m ®−îc.

2+

3

10

00

B

Bµi 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x − 1 + x − 3 = 2 Ta thÊy x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 x - 3 ≥ 0 ⇔x ≥ 3 Khi ®ã ®Ó thùc hiÖn viÖc bá dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ta cÇn ph¶i xÐt ba tr−êng hîp.

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

+Tr−êng hîp 1: NÕu x < 1 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: - x + 1 - x + 3 = 2 ⇔ -2x = - 2 ⇔ x = 1 (kh«ng t/m ®k) +Tr−êng hîp 2: NÕu 1 ≤ x < 3.

Khi ®ã ta cã ph−¬ng tr×nh: x - 1 - x + 3 = 2 ⇔ 0x = 0 lu«n ®óng => 1 ≤ x < 3 lµ nghiÖm. +Tr−êng hîp 3: NÕu x ≥ 3 Khi ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: x - 1 + x - 3 = 2 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 (t/m ®k) VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ 1 ≤ x ≤ 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

c¸ch ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Mçi trÞ tuyÖt ®èi sÏ cã mét gi¸ trÞ

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

TP .Q

U

Y

khi

N

VT =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Dạng 1: a) f ( x) < a b) f ( x) < g ( x) 1)Phương pháp giải: a) f ( x) < a ⇔ −a < f ( x) < a (với a>0)

b) f ( x) < g ( x) ⇔ − g ( x) < f ( x) < g ( x)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 12 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2) Bài tập ví dụ: Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

H Ơ

N

a) 2 x + 3 < 7 ⇔ −7 < 2 x + 3 < 7 ⇔ −5 < x < 2

N

− 5 < x < 2.

1  2 x − 2 > − x − 1 1 x > ⇔ 3⇔ < x<3 3  2x − 2 < x + 1  x < 3

U TP .Q

1 < x < 3.

3

ẠO

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

Y

b) 2 x − 1 < x + 1 ⇔ 

G Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) f ( x) > g ( x)

(với a>0).

TR ẦN

 f ( x) < −a

a) f ( x) > a   f ( x) > a

H

1) Phương pháp giải:

 f ( x) > g ( x)

2+

3

a) 2 x − 3 > 5 x +1 2

ẤP

b) x − 3 >

00 10

2) Bài tập áp dụng:

B

b) f ( x) > g ( x) ⇔   f ( x) < − g ( x)

A

C

Giải:

x +1 ⇔ 2

 2( x − 3) < − x − 1  2( x − 3) > x + 1 ⇔ 

ÁN

-L

b) x − 3 >

 x < −1 x>4 

Í-

H

Ó

2 x − 3 < −5 a) 2 x − 3 > 5 ⇔  ⇔  2x − 3 > 5

5  x < 3 x > 7 

TO

Dạng 3: f ( x) > g ( x)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

1) Phương pháp giải:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Dạng 2: a) f ( x) > a

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

2

2

f ( x ) > g ( x ) ⇔ [ f ( x ) ] > [g ( x ) ]

2) Bài tập áp dụng: Giải bất phương trình: x − 3 > x + 2 ⇔ ( x − 3) 2 > ( x + 2) 2 ⇔ x 2 − 6 x + 9 > x 2 + 4 x + 4 ⇔ x <

1 2

Dạng 4:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 13 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N

 f ( x ) + g ( x ) > m  f ( x ) − g ( x ) > m − f ( x ) − g ( x ) > m a) f ( x) + g ( x) > m ⇔ (1) f ( x) ≥ 0 (2) f ( x) ≥ 0 (3) f ( x) < 0    g ( x) ≥ 0 g ( x) < 0 g ( x) < 0   

TP .Q

(Có thể lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối để việc xét khoảng thuận tiện hơn)

ẠO

b) f ( x) + g ( x) > h( x)

Bài tập ví dụ:

TR ẦN

H

Giải các bất phương trình sau: a) x + 1 + x − 1 > 5

5 2

B

• Nếu x < -1 ta có bất phương trình: - x – 1 + 1 – x > 5 ⇔ x < − (thỏa mãn

10

00

điều kiện)

3

• Nếu -1 ≤ x ≤ 1 ta có bất phương trình: x + 1 + 1 – x > 5 ⇔ 0 x > 5 vô nghiệm.

5 2

C

mãn điều kiện)

ẤP

2+

• Nếu x > 1 ta có bất phương trình: x + 1 + x – 1 > 5 ⇔ 2 x > 5 ⇔ x > (thỏa

Ó

A

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: ⇔ x < −

5 5 hoặc x > .

2 2

Í-

H

b) x − 1 + x − 2 > x + 3

ÁN

-L

• Nếu x< 1 ta có bất phương trình: 1 - x +2 - x > x + 3 ⇔ x < 0 (thỏa mãn điều kiện).

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

• Nếu 1 ≤ x ≤ 2 ta có bất phương trình: x-1+2 - x > x + 3 ⇔ x < −2 ( Không thuộc khoảng đang xét).

• Nếu x > 2 ta có bất phương trình: x – 1 + x – 2 > x + 3 ⇔ x > 6 (Thỏa mãn điều kiện).

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

Đối với dạng này ta lập bảng xét dấu loại bỏ giá trị tuyệt đối rồi giải bất PT trong từng khoảng .

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

Y

N

H Ơ

− f ( x ) + g ( x ) > m (4)  f ( x) < 0  g ( x) ≥ 0 

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: ⇔ x < 0 hoặc x > 6 .

Bài tập áp dụng : Giải các bất phương trình sau : 1) x − 2 < 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 14 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2) 3x − 2 < x + 1 3) x + 1 > x − 2

H Ơ

N

4) x − 1 > x + 2 − 3

N

5) x3 + 1 ≥ x + 1

Bài tập 1:Giải các phương trình : 3

b) x − 3 x + 2 = 0

ẠO

a) x x + 3 − x 2 + x + 1 = 1

G

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

3 > 0 Do đó : x 2 + x + 1 = x 2 + x + 1 .

4

Ư N

1 2

a) Ta có : x2 + x+1=(x+ )2+

TR ẦN

H

Phương trình đã cho tương đương với:

x x + 3 − x 2 + x + 1 = 1 ⇔ x x + 3 = x 2 + x + 1 + 1 ⇔ x x + 3 = x 2 + x + 2(1)

B

• Nếu x ≥ - 3 PT (1) ⇔ x( x + 3) = x 2 + x + 2 ⇔ 2 x = 2 ⇔ x = 1 (thỏa mãn).

10

00

• Nếu x < - 3 PT (1) ⇔ x(− x − 3) = x 2 + x + 2 ⇔ − x 2 − 3x = x 2 + x + 2 .

3

⇔ 2 x 2 + 4 x + 2 = 0 ⇔ ( x + 1) 2 = 0 ⇔ x = −1 ( loại vì không thỏa mãn điều kiện).

2+

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x=1.

ẤP

b) Đặt t = x > 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành phương trình:

A

C

t3-3t +2 =0 ⇔ t 3 − t − 2t + 2 = 0 ⇔ (t 3 − t ) − 2(t − 1) = 0 ⇔ t (t 2 − 1) − 2(t − 1) = 0

Ó

⇔ t (t − 1)(t + 1) − 2(t − 1) = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + t − 2) = 0 ⇔ (t − 1) 2 (t + 2) = 0 ⇔ t = 1 (thỏa mãn

Í-

H

điều kiện t >0) hoặc t = - 2 (Loại vì không thỏa mãn điều kiện t > 0).

-L

* Với t =1 ta có x= ± 1

ÁN

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm : S = {− 1;1} .

TO

Bài 2: Giải phương trình:

x 3 + 100 x 2 = x + 100

(1)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Cách 1: phương trình (1)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Giải :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ĐƯA VỀ PT CÓ CHƯA DẤU GTTĐ

 x + 100 = 0  x = −100 ⇔ x 3 + 100 x 2 − x + 100 = 0 ⇔ ( x + 100)( x 2 − 1) = 0 ⇔  2 ⇔  x −1 = 0  x = ±1

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x = ± 1; x = −100 .

Cách 2: Phương trình (1)

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 15 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

 x 2 ( x + 100) − ( x + 100) = 0 ⇔ 2 ⇔  x ( x + 100) + ( x + 100) = 0

( x 2 − 1)( x + 100) = 0  x = ±1; x = −100 ⇔  2 x = −100  ( x + 1)( x + 100) = 0

H Ơ

N

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: x = ± 1; x = −100 .

N

Bài 3: Giải phương trình:

Y

x + 5 − 4 x + 1 + x + 10 − 6 x + 1 = 1

2

Phương trình ⇔ ( x + 1 − 2) + ( x + 1 − 3) 2 = 1 ⇔ x + 1 − 2 + x + 1 − 3 = 1 (*) x +1 − 2 + 3 − x +1 = 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 3 ≤ x ≤ 8 .  x +1 < 2

• Nếu 

⇔ −1 ≤ x ≤ 3 ta có phương trình:

00

B

 x ≥ −1

TR ẦN

Cách 2: Từ pt (*) ta có:

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Dấu (=) xảy ra khi ( x + 1 − 2 )(3- x + 1 ) ≥ 0 ⇔ 3 ≤ x ≤ 8

⇔ 3 ≤ x ≤ 8 Phương trình có dạng:

ẤP

x ≥1



không

2+

2 ≤ x + 1 ≤ 3

• Nếu 

vì

3

10

2- x + 1 + 3 − x + 1 = 1 ⇔ 5 − 2 x + 1 = 1 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x = 3 (Loại thoả mãn điều kiện trên).

A

C

x + 1 − 2 + 3 − x + 1 = 1 ⇔ 1 = 1 vô số nghiệm x ∈ [3;8]

H

Ó

3 ≤ x + 1

• Nếu 

⇔ x>8

Í-

 x ≥ −1

ÁN

-L

Phương trình (*) ⇔ x + 1 − 2 + x + 1 − 3 = 1 ⇔ 2 x + 1 = 6 ⇔ x = 8 ( loại vì không thoả mãn điều kiện x > 8).

TO

IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CÓ CHƯA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

5 3 x − 2 + 7 5 y − 1 = 88 (I ) 3x + 5 y = 7 

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Bài 1: Giải hệ phương trình sau:  5 3 x − 2 + 7 5 y − 1 = 88

(I) ⇔  

- Nếu x ≤

5 y − 1 = 6 − 3x

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

x +1 − 2 + 3 − x +1 ≥

G

x +1 − 3 =

Ư N

x +1 − 2 +

ẠO

Cách 1: Ta thấy :

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

ĐKXĐ của phương trình: x ≥ −1

5 3 x − 2 + 21 2 − x = 88 ⇔ 3x + 5 y = 7 

2 ta cóhệ: 3

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 16 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5(−3 x + 2) + 21(2 − x ) = 88  36 x = −36  x = −1 (Thuộc khoảng đang xét). ⇔ ⇔  3x + 5 y = 7  3 x + 5 y = 7 y=2

Y

N

khoảng xét).

N

− 56 − 28  5(3 x − 2) + 21(2 − x) = 88 2 x = = ≤ x ≤ 2 ta có hệ:  ⇔ 6 3 ( không thuộc x y 3 + 5 = 7 3  

H Ơ

- Nếu

G

TR ẦN

 x − 2y = m  m x + 4 y = 1

H

Bµi 2: Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph−¬ng tr×nh:

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Tóm lại : Hệ đã cho có nghiệm là: 

(1) ( 2)

10

m x + 2( x − m) = 1 ⇔ m x + 2 x = 2m + 1

00

B

Gi¶i: Tõ ph−¬ng tr×nh (1) ta cã 2y = x - m thay vµo pt (2) ta cã:

2+

3

• NÕu x ≥ 0 ta cã ph−¬ng tr×nh: mx + 2x = 2m + 1 ⇔ (m + 2) x = 2m + 1(3)

C

2m + 1 §Ó gi¸ trÞ nµy lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ta cÇn cã: m+2

A

Khi m ≠ 2 ⇒ x =

ẤP

Khi m = - 2 PT (3) ⇔ 0 x = −3 ( v« lý ) do ®ã hÖ v« nghiÖm.

Ó

−1 2m + 1 HoÆc m < -2 ≥0⇔m≥ m+2 2

Í-

H

x=

-L

• NÕu x < 0 ta cã –mx + 2x = 2m + 1 ⇔ (2 − m) x = 2m + 1(4) .

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

Khi m = 2 ph−¬ng tr×nh (4) 0x = 5 (v« lý do ®ã hÖ v« nghiÖm.)

Khi m ≠ 2 ⇒ x =

2m + 1 §Ó gi¸ trÞ nµy lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ta cÇn 2−m

cã:

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

 x = −1; y = 2 35 − 14 x = ; y = 9 15 

ẠO

mãn).

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

35   x= 9 5(3 x − 2) + 21( x − 2) = 88  36 x = 140 (Thoả - Nếu x > 2 ta có hệ:  ⇔ ⇔ 14 3x + 5 y = 7  3 x + 5 y = 7 y = − 15 

2m + 1 1 <0⇔m≥− HoÆc m > 2. m+2 2

x=

KÕt luËn:  m < −2 • NÕu m ≥ − 1  2

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

2m + 1  x = m + 2 th× hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ:  x−m y= 2 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 17 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2m + 1  x = 2 − m  x−m y=  2

N

 m>2 • NÕu m ≤ − 1 th× hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ:  2

H Ơ N

m≤2

TP .Q

U

Y

• NÕu  th× hÖ ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm .  m ≥ −2

Bµi 3: T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm.

(2)

ta

(x-y)2

cã

-

(x-y)

 x − y =1  x − y = −m

+

–

y

-

1)

=

TR ẦN

H

0 ⇔ ( x − y + m)( x − y − 1) = 0 ⇔ 

m(x

G

Tõ

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Gi¶i : Tõ ph−¬ng tr×nh (1) ta cã 1 = x − 1 + y − 2 ≥ x − y + 1 (3)

NÕu x - y = 1 th× tõ (3) ⇒ 1 ≥ 2

B

NÕu x - y = - m th× tõ (3) ⇒ 1 ≥ 1 − m ⇔ 0 ≤ m ≤ 2

10

00

VËy nghiÖm cña hÖ lµ: 0 ≤ m ≤ 2 .

2+

3

V. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA ĐA THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

ẤP

1) Phương pháp giải :

A

C

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức A = − A và A + B ≥ A + B .Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi A.B ≥ 0 (Thường dùng đối với các đa thức có hai dấu GTTĐ)

Í-

H

Ó

Cách 2: Lập bảng xét dấu loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi đánh giá giá trị của đa thức trong từng khoảng xét.

-L

2) Bài tập ví dụ.

ÁN

Bài 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 1 + x − 3

TO

Giải:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

Cách 1: A = x − 1 + x − 3 = x − 1 + 3 − x ≥ x − 1 + 3 − x = 2

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

ẠO

 x − 1 + y − 2 = 1(1)  2 ( x − y ) + m( x − y − 10 = x − y (2)

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Vậy : Amin=2 đạt được khi và chỉ khi (x-1)(3-x) ≥ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 .

Cách 2: Trong khoảng x < 1 thì A = 1 - x + 3 – x = 4 - 2x.

Do x < 1 nên -2x > -2 đo đó 4 – 2x > 2.

Trong khoảng 1 ≤ x ≤ 3 thì A = x – 1 + 3 – x = 2.

Trong khoảng x > 3 thì A = x – 1 + x – 3 = 2x – 4.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 18 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do x > 3 nên 2x – 4 > 2.

N

So sánh giá trị của A trong các khoảng trên ta thấy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2 khi và chỉ khi 1 ≤ x ≤ 3 .

H Ơ

Bài 2: Tìm GTNNcủa B = x − 2006 + x − 2007 + x − 2008

Do x < 2006 nên 6021- 3x > 3.

ẠO

• Nếu 2006 ≤ x < 2007 ta có : B = x - 2006 + 2007 – x + 2008 – x =2009 – x.

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

• Nếu 2007 ≤ x < 2008 ta có : B = x – 2006 + x – 2007 + 2008 – x = x – 2005.

H

Do 2007 ≤ x < 2008 nên 2 ≤ B < 3 Đẳng thức xảy ra khi x = 2007.

TR ẦN

• Nếu x > 2008 ta có B = x – 2006 + x – 2007 + x – 2008 = 3x – 6000 > 3.

B

So sánh giá trị của B trong các khoảng trên ta thấy giá trị nhỏ nhất cuả B bằng 2 đạt được khi x = 2007.

10

00

Bài 3:Cho C = a + 3 − 4 a − 1 + a + 15 − 8 a − 1 a)Tìm điều kiện của a để C được xác định.

2+

3

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của C và giá trị tương ứng.

Ó

A

b) Tacó:

C

a) ĐKXĐ: x ≥ 1

ẤP

Giải :

2

a −1 − 2 +

a −1 − 4 ≥

Í-

H

C = ( a − 1 − 2) + ( a − 1 − 4) 2 =

a −1 − 2 + 4 − a −1 = 2

ÁN

-L

Vậy MinA = 2 đạt được khi và chỉ khi 2 ≤ a − 1 ≤ 4 ⇔ 5 ≤ a ≤ 17 .

CÁC BÀI LUYỆN TẬP

TO

Bài 1: Giải các phương trình :

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

1) 2 x − 3 = 10 x

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Do 2006 ≤ x < 2007 nên 2 < B ≤ 3 đẳng thức xảy ra khi x = 2006.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

U

TP .Q

• Nếu x< 2006 ta có B =2006 – x + 2007 – x + 2008 – x = 6021 - 3x.

Y

N

Giải : Xét các trường hợp:

2) 12 2 x − 9 = 15 + x 3) x − 2005 = x − 200 4) 3x − 1 + 1 = 3x + 4

5) 2x − 1 + 2x − 5 = 4

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 19 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

6) 2 x − 3 + 5x − 1 = 0 7) x − 2 x + 1 + 3 x + 2 = 0

H Ơ

N

8) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x

N

9) x x + 3 − x 2 + x + 1 = 1 3

Bài 2: Cho phương trình với tham số m.

ẠO

1 1 1 (3 x − m ) + 1 = ( 2 x + m ) + m + 3 x − 35 2 5 10

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

b) Phải cho m giá trị nào để có x = 36

H

c) Tìm những giá trị nguyên của m để có nghiệm x thuộc khoảng (0;8)

TR ẦN

Bài 3: Giải các phương trình ; 1) x 3 + x 2 + x = x

=

3 + x − 4 x −1

1+ x −1

00 10 3

2

ẤP

4)

15 4 5

2+

3) 3 + x − 4 x − 1 + x =

B

2) x 5 + x 4 + x 3 + x 2 = 2( x + 1)

A

-L

Í-

H

Ó

1 1  x + y + 1 = 0,6 1) 3 2  − = 1,3 y −1  x

C

Bài 4:Giải các hệ phương trình sau:

TO

ÁN

 mx + 3 y = 5 3)  (m − 1) x + 2 y = 3

 x 5 =  y 7  2)   x + 500 = 8  y + 500 11   x + y =1 4)  x + 2 y = m

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

- Kết quả khảo sát khảo sát cụ thể như sau: (Khảo sát học sinh lớp 8b trường THCS Thổ Tang)

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G

Đ

a) Giải phương trình đã cho.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

Y

10) x − 3 x + 2 = 0

Đề bài: Giải phương trình: Câu 1: Câu 2:

x −3 + x + 2 = 7 x +1

x

=5

Câu 3: Giải bất phương trình:

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 20 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

x −1 + x − 2 > x + 3

N

H Ơ

N

Làm được hoàn chỉnh trong thời Làm xong Không làm Số HS lớp gian khảo sát 15 phút nhưng hết > 15 được 8B dự khảo Từ 11 – 15 phút Trước 10 phút sát: 40 em phút %

SL

%

SL

%

SL

%

Câu 1

13

32,5

20

50

5

12,5

2

5,0

Câu 2

15

37,5

19

47,5

4

10,0

2

Câu 3

20

50,0

17

42,5

2

5,0

1

5,0

2,5

00

B

Phần III. Kết luận và kiến nghị

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

-Trong quá trình dạy học tôi đã áp dụng SKKN này không chỉ để dạy và bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi mà còn linh hoạt dạy cho cả học sinh đại trà.Đặc biệt là đối với học sinh lớp 8 ,các bài toán bước đầu vối các em còn lạ và trừu tượng, đòi hỏi tư duy cao.Do đó lúc đầu nhiều em còn rất ngại học.Hầu như HS chỉ có ý thức làm bài tìm một lời giải và dừng lại không suy nghĩ thêm sau khi có kết quả của bài toán,thỏa mãn với chính mình .Các em chưa thấy được tác dụng mạnh mẽ của việc nhìn lại bài toán dưới nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác sẽ củng cố được kiến thức cho mình ,rèn cho mình thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, tính kiên trì độc lập,những đức tính tốt của người học toán. Song, qua một thời gian kiên trì,linh hoạt áp dụng SKKN và dạy học sinh theo ý tưởng trên,đến nay hầu hết học sinh đã tham gia, hưởng ứng một cách tích cực, chủ động vận dụng kiến thức khá thành thạo khi làm một số dạng bài toán từ dễ đến khó.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

- Tôi thấy tinh thần học tập của các em sôi nổi, phấn khởi hơn,khả năng tư tìm tòi cách các dạng toán của các em được phát huy một cách tích cực, kết quả học tập môm toán được năng lên rõ rệt.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

Như vậy so với lúc các em chưa được học chuyên đề này số học sinh làm xong bài 1 trong khoảng thời gian từ 11-15 phút tăng 37,5 %, làm xong bài 2 trong khoảng thời gian từ 11- 15 phút tăng 37,5%; làm xong bài 3 trong khoảng từ 11 – 15 phút tăng 37%. Số học sinh không làm được bài 1 chỉ còn 5% (lúc chưa học số HS không làm được bài 1 là 32,5%); số HS không làm được bài 2 còn 5 % (lúc chưa học số HS không làm được bài 2 là 37,5%); số HS không làm được bài 3 còn 2,5 % (lúc chưa học số HS không làm được bài 3 là 50%);

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

ẠO

TP .Q

U

Y

SL

-Qua các buổi phụ đạo, tôi đã cung cấp cho các em học sinh các kiến thức lý thuyết, sau đó đưa ra các bài tập áp dụng cụ thể từng dạng bài và những kinh nghiệm, cách nhìn nhận, phán đoán để có phương pháp giải nhanh đối với từng bài, kết quả thu được sau 8 buổi :

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 21 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ N

Y

-Trang bị thêm cho các em những kiến thức về giá trị tuyệt đối mà các em thường mắc sai lầm, vì vậy mà các em không ngại khi gặp các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

N

- Học sinh biết phân loại và nắm được phương pháp giải các dạng phương trình , bất phương trình, hệ phương trình và một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

ẠO

- Xây dựng cho các em niềm đam mê và hứng thú học tập bộ môn toán, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo trong học tập.

ẤP

2+

3

10

-Hy vọng rằng với một số ví dụ tôi đưa ra trong SKKN này giúp các em học sinh sẽ biết làm chủ được kiến thức của mình, tìm tòi các phương pháp giải ngắn gọn và hay nhất,thêm yêu mến môn toán, tự tin trong quá trính học tập và nghiên cứu sau này.

Tôi xin chân thành cám ơn!

Vĩnh Tường, tháng 4 năm 2014

Người viết

Lê Nguyệt Thu

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

Vì trình độ chuyên môn có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tôi viết không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong các ý kiến đóng góp của các thầy cô để chuyên đề được hoàn thiện hơn.

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

Đ

Để chất lượng giảng dạy ngày một nâng lên đảm bảo theo yêu cầu của ngành giáo dục, bản thân mỗi thầy cô giáo chúng ta phải chịu khó suy nghĩ trau dồi phương pháp, đúc rút những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, biết chắt lọc, hệ thống kiến thức theo từng chuyên đề bám sát, nâng cao phù hợp đối tượng học sinh từng lớp. Phải thường xuyên kiểm tra đánh giá kết quả học tập của các em, kịp thời bổ sung sữa chữa những sai lầm về kiến thức, phương pháp giải đặc biệt là rèn luyện kĩ năng trình bày bài. Giáo viên phải có kế hoạch phân chia kiến thức thành các chuyên đề lôgíc, theo hệ thống. Dạy sâu, dạy chắc kiến thức và phải kết hợp giữa các dạng bài khác nhau.

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

TP .Q

U

- Học sinh giải thành thạo các bài toán tìm GTLN, GTNN của các biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 22 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com TÀI LIỆU THAM KHẢO

Sách giáo khoa Toán lớp 8

NXB Giáo dục

Tác giả Phan Đức Chính Tôn Thân

Y

NXB Giáo dục

U

Sách bài tập Toán lớp 8

TP .Q

2.

N

Tôn Thân Nguyễn Huy Đoan Sách giáo viên Toán 8

NXB Giáo dục

Phan Đức Chính

ẠO

3.

Để học tốt Toán 8

NXB Đại học Hoàng Chúng Quốc gia Hà Nội

5.

Các dạng toán và phương pháp NXB Giáo dục giải toán 8

00

B

TR ẦN

H

Ư N

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

G

4.

Nâng cao và phát triển toán 8

7.

Nâng cao và các chuyên đề toán NXB Giáo dục 8

NXB Giáo dục

ẤP

2+

3

10

6.

Bài tập nâng cao và một số NXB Giáo dục chuyên đề toán 8

9.

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh NXB Giáo dục giỏi toán THCS

Vũ Hữu Bình Nguyễn Vũ thanh Bùi Văn Tuyên Vũ Hữu Bình Vũ Dương Thụy Nguyễn Ngọc Đạm Bùi Văn Tuyên Nguyễn Vũ Thanh

Í-

H

Ó

A

C

8.

Tôn Thân

NXB Giáo dục

Bùi Văn Tuyên

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

10. Tài liệu bồi dưỡng toán 8

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Tôn Thân

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Nhà xuất bản

N

1.

Tên tài liệu

H Ơ

TT

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 23 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

MỤC LỤC TT

Tên tiêu đề

Ghi chú

Phần I. Đặt vấn đề

2.

Lý do chọn đề tài

3.

Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu

4.

Phần II. Nội dung

5.

Các dạng phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

6.

Bất phương trình chứa dấu GTTĐ

7.

Hệ phương trìnhbậc cao có chứa dấu GTTĐ, phương trình vô tỉ đưa về PT có chứa dấu GTTĐ

8.

Hệ phương trình bậc nhất có chứa dấu GTTĐ

9.

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có chứa dấu GTTĐ

10.

Kết luận và kiến nghị

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

G Ư N

H

TR ẦN

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

TO

ÁN

-L

Í-

H

Ó

A

C

ẤP

2+

3

10

00

B

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

Đ

ẠO

TP .Q

U

Y

N

H Ơ

N

1.

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 24 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

GTLN

3.

Giá trị nhỏ nhất

GTNN

4.

Giá trị tuyệt đối

GTTĐ

5.

Hệ phương trình

HPT

6.

Bất phương trình

BPT

7.

Vế trái

VT

8.

Vế phải

G TR ẦN B 00 10 3 2+ ẤP C A Ó H

Í-L ÁN TO

BỒ

ID Ư

Ỡ N

G

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/

Đ

Ư N

VP

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Giá trị lớn nhất

H Ơ

2.

N

SKKN

Y

Sáng kiến kinh nghiệm

U

1.

TP .Q

Viết tắt

ẠO

Cụm từ

H

www.daykemquynhon.ucoz.com MailBox : nguyenthanhtuteacher@hotmail.com

TT

N

CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 25 www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial