SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN CHO HỌC SINH THPT by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN CHO HỌC SINH THPT, ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài:

MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

MỤC LỤC Trang

Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ

1. Lí do chọn đề tài

2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phần II. NỘI DUNG

1. Tầm quan trọng và ý nghĩa của việc dạy và học hàm ẩn

2. Thực trạng dạy và học về các bài toán về hàm ẩn.

3. Cơ sở lí luận

4. Dạy học các bài toán về hàm ẩn

4.1. Các bài toán hàm ẩn về tính đơn điệu của hàm số

4.2 Các bài toán hàm ẩn về cực trị của hàm số

4.3. Các bài toán hàm ẩn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

4.4. Các bài toán hàm ẩn về tiệm cận của đồ thị hàm số

4.5. Các bài toán hàm ẩn về bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số

4.6. Các bài toán hàm ẩn về tích phân

5. Một số kinh nghiệm về dạy học hàm ẩn

5.1. Các biện pháp dạy học bài toán về hàm ẩn đạt hiệu quả.

5.2 Một số sai lầm thường gặp khi dạy học các bài toán về hàm ẩn

6. Kiểm tra thực nghiệm đề tài

6.1. Phương pháp kiểm tra thực nghiệm

6.2. Kết quả kiểm tra thực nghiệm

7. Giáo án thực nghiệm

Phần III. KẾT LUẬN

1. Kết luận

2. Kiến nghị

TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt

Viết đầy đủ

Giáo viên

Học sinh

NXB

Nhà xuất bản

SGK

Sách giáo khoa

THCS

Trung học cơ sở

THPT

Trung học phổ thông

ĐC

Đối chứng

Thực nghiệm

GTLN, GTNN

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Phần I. Đ/ẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài Trong chương trình môn Toán ở trường THPT, các bài toán về hàm ẩn đóng vai trò hết sức quan trọng. Đây là dạng bài tập khá trừu tượng dối với HS. Thường khi giải toán HS đã quen với việc cho trước một hàm số nào đó sau đó HS xét các bài toán liên quan đến hàm số đó. Tuy nhiên các bài toán về hàm ẩn HS lại chỉ có được một số tính chất của hàm số mà chưa có hàm số. Để giải được bài tập HS có thể phải đưa về việc tìm hàm số hoặc sử dụng các định nghĩa và tính chất của hàm số để giải quyết vấn đề. Học sinh thường gặp khó khăn khi làm các bài tập dạng này. Thông thường các bài toán về hàm ẩn có trong đề thi THPT Quốc Gia thường là các bài tập ở các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao. Để HS học tốt và thi THPT đạt điểm cao, GV cần phải định hướng được các dạng bài tập về hàm ẩn tốt từ đó giúp HS có tư duy tốt để giải quyết các bài tập dạng này. Dạy các bài toán về hàm ẩn không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng giải toán mà còn rèn luyện cho học sinh tính linh hoạt, đức tính cẩn thận, chính xác và tính sáng tạo. Học toán luôn phải gắn liền với sự sáng tạo mà toán học đã mang lại vì vậy các HS thường yêu thích học môn Toán nếu người GV tạo được niềm say mê, hứng thú và có tác động tích cực đến việc học và giải toán. Một trong những phần mà học sinh thích thú trong toán học THPT là các bài toán liên quan đến hàm ẩn. Thích thú ở đây không chỉ là HS chưa dễ dàng giải quyết ngay được mà mỗi bài giải còn có nhiều cách giải khác nhau, ấn tượng ở đây là giải toán rất dễ mang lại sai lầm. Về bài tập thì việc lựa chọn cách giải nào, phương pháp nào thì nhiều học sinh còn mơ hồ và khó diễn đạt theo ý mà mình muốn nói. Trong các bộ môn toán, học sinh thường học chưa hiệu quả về các bài toán về hàm ẩn. Ngày nay, trong những kỳ thi quốc gia, quốc tế thường không vắng bóng các bài toán về hàm ẩn. Khi giải các bài toán này, các học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân: Học sinh chưa hiểu được, chưa linh hoạt sử dụng các định nghĩa, tính chất, quy tắc nên đã gặp một số sai lầm khi giải toán. Qua quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp bài toán về hàm ẩn còn lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải. Tuy nhiên các bài tập trong SGK hầu như không có các dạng bài tập này, vì thế với hình thức thi trắc nghiệm đổi mới so với hình thức thi tự luận như trước thì việc bổ các bài toán về hàm ẩn là hết sức quan trọng đối với HS. Qua nhiều năm giảng dạy ôn thi THPT Quốc Gia chúng tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm khi dạy các bài toán này, nhờ đó mà kết quả dạy học cho học sinh được nâng cao. Vì sự thiết yếu đó, chúng tôi đã nghiên cứu, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp nghiên cứu viết thành đề tài: “Một số kinh nghiệm về dạy học các bài toán về hàm ẩn cho học sinh trung học phổ thông”. Với mong muốn chia sẻ sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) với đồng nghiệp, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy và kết quả học tập của học sinh ở trường THPT. 2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. 1

+ Đề tài này áp dụng cho học sinh lớp 12 + Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “Các bài tập liên quan đến hàm ẩn với các chuyên đề về hàm số và tích phân” Sách giáo khoa Giải tích lớp 12 ban cơ bản. + Đề tài áp dụng cho HS ôn thi THPT * Kiến thức vận dụng: Giải tích Lớp 12. + Một số các tính chất về hàm số: Tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất + Đạo hàm, nguyên hàm và tích phân * Bài tập: + Trong đề tài sử dụng một số bài tập sách giáo khoa, sách bài tập Giải tích lớp 12 trích một đề trong kì thi THPT Quốc Gia và đề thi thử THPT của các trường trong Tỉnh Nghệ An và một số tỉnh khác, một số sách tài liệu tham khảo. + Trên cở sở của phương pháp, trong mỗi ví dụ có nêu nhận xét, cách giảng dạy của giáo viên, hướng phân tích lời giải, gợi mở hướng mới và bài tập phát sinh.

Phần II. NỘI DUNG 1. Tầm quan trọng và ý nghĩa của việc dạy và học hàm ẩn Chuyên đề hàm ẩn là chuyên đề trong chương trình Toán đặc biệt trong các đề thi THPT Quốc Gia mà HS gặp nhiều trong các bài tập về hàm ẩn. Chuyên đề này cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ năng giải toán mà còn rèn luyện cho học sinh vận dụng kiến thức sáng tạo và góp phần giúp học sinh phát triển được năng lực tư duy, khả năng quan sát, trí tưởng tượng. Từ đó bồi dưỡng cho học sinh tư duy sáng tạo, tạo nên phẩm chất của con người lao động mới. Vì đa số HS chỉ mới biết vận dụng kiến thức đã học khi có hàm số cụ thể nên việc giải bài tập hàm ẩn rất khó khăn dối với HS. HS thường sẽ thấy khó vì sự trừu tượng hơn của các bài tập dạng này. Hiện nay với hình thức thi THPT là trắc nghiệm, các bài toán về hàm ẩn được đưa vào đề thi tương đối nhiều với các bài tập ở các mức độ. Trong đề thi THPT Quốc Gia thường xuất hiện nhiều câu có liên quan hàm ẩn và ở tất cả các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Việc dạy học cho HS nắm được các khái niệm cũng như các công thức và áp dụng trực tiếp được các công thức này không khó khăn. Tuy nhiên khi chưa có hàm số HS thấy khó khăn. khó định hướng được và bài tập về hàm ẩn các dạng bài rất đa dạng. Đối với các bài toán này, HS thường có những cách giải khác nhau cách nào cũng thấy có lý nhưng lại có những kết quả khác nhau. Như vây các bài toán về hàm ẩn lại dễ mắc sai lầm cho HS khi giải. Chính vì vậy việc dạy học hàm ẩn GV cần khắc phục được những sai sót thường gặp cho HS. Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi đổi mới PPDH môn toán để phát huy tính tích cực , chủ động sáng tạo cho HS, vì vậy GV cần phải gây được hứng thú cho các em bằng cách thiết kế bài giảng khoa học, hợp lý, phải gắn liền với thực tiễn và phù hợp với chương trình thi cử hiện nay của các em. Vì vậy, chuyên đề này nhằm giúp GV giảng dạy để HS có cách tiếp cận tốt hơn, hiệu quả hơn đối với các bài tập về hàm ẩn. Chuyên đề cung cấp một số kiến thức cho học sinh từ đó nâng cao kĩ năng giải toán cho HS đặc biệt là tăng cường sự vận dụng kiến thức nâng cao tư duy cho HS THPT. 2. Thực trạng của việc dạy và học về các bài toán về hàm ẩn Trong chương trình GDPT hiện nay, việc thay đổi hình thức thi THPT từ tự luận sang trắc nghiệm, các bài tập trong SGK không đủ các dạng bài để HS có thể ôn luyện đầy đủ được, đặc biệt các bài tập về hàm ẩn là một trong các dạng bài tập mà HS cần được bổ sung. Trong đề thi tự luận thường đề thi ít ra với các bài toán về hàm ẩn nhưng với hình thức thi trắc nghiệm rất nhiều bài tập về dạng này mà HS cần biết đến. Với đối tượng học sinh trung bình và yếu ở Trường THPT nơi chúng tôi giảng dạy chiếm đa số, việc học các bài toán về hàm ẩn gặp khó khăn. Đối với các bài toán về hàm ẩn HS trung bình, yếu thường không muốn học và làm bài, còn đối với các HS khá giỏi khi làm các bài tập dạng này vẫn gặp khó khăn đối với các bài tập vận dụng. Vì thế kết quả học của HS chưa tốt ở phần bài tập này. Sau các buổi dạy về chuyên đề về hàm ẩn, chúng tôi đã cho HS làm bài về dạng hàm ẩn và thấy kết quả HS thấp chiếm đa số và đối với kiểm tra trắc nghiệm rất nhiều HS khoanh mò đáp án. Chúng tôi xin trích kết quả bài kiểm tra kiến thức chuyên đề về 3

hàm ẩn môn Giải tích lớp 12 của một số lớp 12 ở Trường THPT nơi chúng tôi công tác những năm gần đây như sau: 2.1. Năm học 2016 – 2017 STT

Lớp

Sĩ số

Đạt điểm TB, Yếu, Kém SL %

Đạt điểm Đạt điểm loại giỏi loại khá

Đạt điểm Đạt điểm trung bình loại yếu

Đạt điểm loại kém

12A1

12B1

2.5

27,5

b. Năm học 2017 - 2018. STT

Lớp

Sĩ số

Đạt điểm Đạt điểm loại giỏi loại khá

Đạt điểm Đạt điểm trung bình loại yếu

Đạt điểm loại kém

Đạt điểm TB, Yếu, Kém SL %

12A1

4,8

7,3

24,4

19,5

12B3

2,6

5,3

31,6

24,4

10,5

18,4

Tác giả đã lấy ngẫu nhiên kết quả kiểm tra chuyên đề của các lớp 12 trong 02 năm học 2016 - 2017; năm học 2017- 2018. Từ kết quả đó cho thấy: đa số học sinh có kết quả còn ở mức trung bình. 3. Cơ sở lý luận Đối với chương trình toán THPT, thông thường các học sinh đều có khả năng tiếp thu kiến thức. Đối với HS năng lực học khá và giỏi nếu GV khơi dậy được năng lực thì HS sẽ có thể phát triển tư duy tốt hơn và từ đó có thể làm các bài toán mức dộ vận dụng và vận dụng cao đạt hiệu quả. Để học sinh có lực học trung bình và yếu về môn toán lĩnh hội được kiến thức, đòi hỏi nhiều công sức và thời gian hơn so với các học sinh khác. Đối với các HS khá và giỏi thường HS thích thú khi làm các bài tập về hàm ẩn nhưng chưa có định hướng phù hợp nên vẫn gặp khó khăn, còn các HS trung bình và yếu thường không muốn làm các bài tập về hàm ẩn vì thấy các bài tập này trừu tượng hơn các bài tập đã có hàm số cụ thể . Vì vậy người GV cần lựa chọn bài tập phù hợp để HS giải phù hợp với năng lực học tập của HS. Để có biện pháp phù hợp giúp đỡ học sinh trung bình và yếu và các HS khá, giỏi giải toán, giáo viên thường phân loại đối tượng học sinh khá , giỏi, trung bình, yếu dựa vào các nguyên nhân giải toán của học sinh. Từ đó có biện pháp phù hợp để dạy HS. - Đối với các học sinh hổng kiến thức cơ bản, nên việc tiếp thu kiến thức mới gặp nhiều khó khăn. GV cần lập kế hoạch trong thời gian lâu dài, bằng nhiều phương pháp nhằm lấp dần lỗ hổng kiến thức. Giáo viên tìm ra các kiến thức cũ có liên quan và tái hiện lại kiến thức cũ và hướng dẫn học sinh sử dụng kiến thức mới một cách linh hoạt. - Đối với học sinh không tích cực trong học toán, giáo viên cần phát hiện năng lực của mỗi em, tạo điều kiện để cho các em có cơ hội để phát huy năng lực của mình. 4

Đối với các HS này, GV cần tạo cho HS niềm say mê học Toán. Giáo viên nên động viên kịp thời, phù hợp để các em tự tin trong học tập môn toán bằng cách ra các bài tập vừa sức, khen ngợi khi các em biết hướng giải, giải đúng, cố gắng làm bài. Đối với các HS này giáo viên cũng cần nghiêm khắc và có sự kết hợp với gia đình để có sự quan tâm của phụ huynh trong việc học tập của học sinh hơn. - Với các HS tiếp thu bài nhanh nhưng kỹ năng làm bài chưa tốt, GV cần định hướng cách giải rồi để HS tìm ra hướng giải quyết và lời giải. GV phân các dạng phù hợp để HS có thể làm các bài tập từ dễ đến khó. Đa số HS kỹ năng làm bài chưa tốt nên GV cần phải có định hướng cụ thể về các dạng bài tập về hàm ẩn. Đặc biệt đối với bài tập trắc nghiệm, GV cần hướng dẫn HS cách giải phù hợp nhanh và chính xác không để nhầm lẫn các phương án, có nhứng bài giải có thể giải bằng cách chọn hàm đặc biệt. Đề xuất quy trình để giải toán để HS có thể hiểu rõ và rèn luyện kĩ năng giải toán tốt. Đối với các HS khá giỏi, GV cần tạo các tình huống có vấn đề để tạo cho HS phát triển tư duy giúp HS làm được các bài tập vận dụng, từ đó hướng đến khả năng vận dụng. GV hướng dẫn HS khá giỏi tổng quát các kết quả bài toán. 4. Dạy học các bài toán về hàm ẩn Trong mục này SKKN đã hệ thống cách dạy học các bài toán hàm ẩn về: Tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số, các bài toán về tích phân. Chúng tôi hệ thống kiến thức và đưa các bài tập theo các mức dộ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Mỗi bài tập đều có phân tích và hướng dẫn cho HS cách giải các bài tập và bài tập phát sinh, một số các kết quả được tổng quát, dấu hiệu khi giải toán trắc nghiệm. Một số bài toán có hướng giải hình thức trắc nghiệm như chọn hàm đặc biệt. 4.1. Các bài toán hàm ẩn về tính đơn điệu của hàm số 4.1.1. Các kiến thức cơ bản a. Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên K * Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2  f ( x1 ) < f ( x2 ) * Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K : x1 < x2  f ( x1 ) > f ( x2 ) Chú ý : K là một khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng b. Định lý : Cho hàm số y = f ( x ) đạo hàm trên K a) Nếu f '( x ) > 0, ∀ x ∈ K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K b) Nếu f '( x ) < 0, ∀ x ∈ K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K c. Định lý mở rộng : Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên K + Nếu f '( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ K và f '( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K + Nếu f '( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ K và f '( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K 5

+ Nếu f '( x ) = 0, ∀x ∈ K thì f ( x ) không đổi trên K

4.1.2. Các dạng bài tập Bài 1. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên bên. Mệnh đề nào sau đây sai?

ℝ

và có đồ thị là đường cong trong hình

A.Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng mỗi khoảng (−∞;0);(2; +∞). B. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) . C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng mỗi khoảng (−1;1);(3; +∞). D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) . Nhận xét: Để giải bài tập này, GV cho HS nhắc lại mối quan hệ giữa tính đơn điệu và đồ thị của hàm số. “Nếu đồ thị hàm số trên khoảng (a;b) là một đường đi lên từ trái sang phải thì hàm số đó đồng biến trên khoảng (a;b). Nếu đồ thị hàm số trên khoảng (a;b) là một đường đi xuống từ trái sang phải thì hàm số đó nghịch biến trên khoảng (a;b)” Bài tập này, GV gọi HS yếu và trung bình lên giải rồi chốt lại kiến thức cho HS. Lời giải: Từ đồ thị hàm số ta có: Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng mỗi khoảng (−∞;0);(2; +∞). vì trên khoảng này khi x tăng thì y tăng và hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) . do trên khoảng này khi x tăng thì y giảm. Như vậy các mệnh đề A, B, D đúng. Ta có nhận xét: Mệnh đề C sai vì trên khoảng (-1;0) hàm số đồng biến do đồ thị đi lên từ trái sang phải, trên khoảng (0;1) hàm số nghịch biến vì đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng này nên mệnh đề C là sai. Chọn C. Bài 2. (Đề minh họa THPT năm 2020) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trong khoảng nào dưới đây? A. (1;+∞ ) .

B. ( −1;0) . C. ( −1;1) . D.

( 0;1) .

Lời giải: Hàm số đã cho đồng biến khi và chỉ khi f ' ( x ) không âm. Từ bảng biến thiên ta thấy: f ' ( x ) có dấu dương trên mỗi khoảng ( −∞; −1) và ( 0;1) . Vì vậy, trên khoảng (0;1) hàm số đồng biến nên ta chọn phương án D. Nhận xét : Ở bài tập 2, HS sẽ dễ dàng làm được sau khi đã làm được bài tập sau khi hiểu về kiến thức về tính đơn điệu của hàm số. GV cho gia tăng các bài tập tương tự để HS yếu và trung bình luyện tập trong phần bài tập tự luyện và bài tập về nhà. Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải rồi chốt lại kiến thức. Bài 3. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( − 1;1) . B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2 ) . C. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( − 2;1) . D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) . Lời giải: Chọn D. Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên. Từ đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) . Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y = f ' ( x ) Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K . Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc) thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K . Nếu trong khoảng K đồ thị hàm số f ' ( x ) vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa có phần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó.

Trên khoảng ( 0; 2) ta thấy đồ thị hàm số y = f ' ( x ) nằm bên dưới trục hoành, nên hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) . Nhận xét: Ở bài tập này, GV nhấn mạnh mối liên quan giũa dấu đạo hàm với đồ thị của đạo hàm. Bài tập này ở mức độ thông hiểu. Ở bài tập này GV sẽ hỏi HS trung bình trả lời để hướng dẫn điều chỉnh kết quả. Sau đó chốt phương án cho tất cả HS hiểu. Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải rồi chốt lại kiến thức. Bài 4. ( Trích đề THPT minh họa năm 2018 Câu 39). Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ′( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y = f (2 − x ) đồng biến trên khoảng A. (1;3) .

B. (2; +∞ ) .

C. ( −2;1) .

D. ( −∞; −2) .

Lời giải: Cách 1: Hàm số y = f (2 − x ) đồng biến ⇔ y ′ ≥ 0 ⇔ − f ′(2 − x ) ≥ 0 ⇔ f ′(2 − x ) ≤ 0 . Từ đồ f ′(2 − x ) < 0 ⇔ 2 − x < − 1

thị

hoặc 1 < 2 − x < 4 ⇔ x > 3 hoặc −2 < x < 1 . Vì vậy ta chọn

phương án D. Cách 2: GV có thể yêu cầu HS lập bảng biến thiên để giải toán. Nhận xét: Đây là câu mức độ vận dụng nhưng khi đã hiểu cách giải HS sẽ không còn thấy khó khăn khi chọn đáp án kể cả HS mức độ trung bình. Nhận thấy các nghiệm của g ′( x ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu. Như vậy, dấu của g ′ ( x ) còn có thể được xác định bằng cách: Trên mỗi khoảng lấy một giá trị rồi thay trực tiếp vào. Đây cũng là cách xác định dấu của đạo hàm mà HS cần linh hoạt sử dụng. Sau khi làm bài tập 4 về hàm số hợp, khi đã hiểu HS khá sẽ dễ dàng làm được dạng bài tập xét tính đơn điệu của hàm số hợp. Bài 5.( Trích đề minh họa THPT năm 2020, câu 50) Cho hàm số f ( x ) . Đồ thị y = f ' ( x ) cho như hình bên. Hàm số g ( x ) = f (1 − 2 x ) + x 2 − x nghịch biến trong khoảng nào dưới đây? A.  3  . 1;   2

B.  1  .  0;  

C. ( −2;1) .

2

( 2;3) . Lời giải: Cách 1: Đặt 1 − 2 x = t ta có g ' ( x ) = −2 f ' ( t ) − t; Hàm số g ( x ) nghịch biến khi và chỉ khi: g ' ( x ) ≤ 0 ⇔ f ' ( t ) ≥ − 1 t . 2

Vẽ đường thẳng d: y = − 1 t và đồ thị f ' ( t ) trên cùng một hệ trục. 2

d đi qua các điểm (-2; 1) và (4; -2) . Từ đồ thị ta có: f ' t > − 1 t trên (-2; 0) hay ta () 2

có:

 1 3  , mà −2 < 1 − 2 x < 0  x ∈  ;  2 2

 3 1 3  1;  ⊂  ;   2 2 2

Vì vậy hàm số g(x) nghịch biến

trên  3  . Chọn A. GV có thể hướng dẫn HS giải cách khác  1; 2  



Cách 2: Hàm số nghịch biến khi và chỉ khi g ' ( x ) ≤ 0 ⇔ f ' ( t ) ≥ − 1 t . Ta có: 2

3 1 <x<   −2 < t < 0  −2 < 1 − 2 x < 0 1 2 g ' ( x ) < 0 ⇔ −2 f ' ( t ) − t < 0 ⇔ f ' ( t ) > − t ⇔  ⇔ ⇔ 2 2  t>4  1 − 2x > 4  x < −3  2 thế hàm số g(x) nghịch biến trên  3  . Nên chọn phương án A. 1;   2

Vì

Cách 3: Lập bảng biến thiên. Nhận xét: Ở bài tập này HS dễ mắc sai lầm nhiều HS chọn phương án C vì không giải ra tìm kết quả x mà chỉ xét đến t=1-2x. Ở bài tập này HS được luyện tập lại bài toán đơn điệu của hàm số hợp. Qua đây giúp HS rèn luyện kĩ năng giải toán và phát triển tư duy. Để xét dấu đạo hàm GV có thể hướng dẫn HS lấy giá trị cụ thể xét trên từng khoảng. Bài tập này ở mức độ vận dụng cao nên GV sẽ gọi HS khá giỏi lên rồi chốt kiến thức cho các HS. Bài tập tự luyện Bài 1. Cho hàm số y = f ( x ) . có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây sai? A. (1; 3) .

B..

C. ( −2;1) .

D. ( −∞; −2) . A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; +∞ ) B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞;1) C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3; +∞ ) D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3)

Bài 2. Cho hàm số f ( x ) xác định trên R và có đồ thị y = f ' ( x ) cho như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞; −2)(0; +∞ ) B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( −2; 0) C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −3; +∞ ) D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞; 0) Bài 3. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f '( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = g ( x ) = f (2 − x) đồng biến trên khoảng A. (1;3) \

B. ( 2; +∞ ) D. ( −∞ ; −2 )

C. ( −2;1)

Bài 4. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập R và hàm số y = f ′( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y = f (3 − 2 x ) nghich biến trên khoảng A. (0; 2) .

B. ( −∞; −1) .

C. (1;3) .

D. (−1; +∞ )

Bài 5. Trích đề THPT năm 2018, mã đề 103. Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) . Hai hàm số y = f ′ ( x ) và y = g ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y = g ′ ( x ) . Hàm số h x = f x + 4 − g  2 x − 3  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? ( ) ( )   

2

A.  5; 31  .   

5 

 9 .  ; 3 4 

C.  31 ; + ∞  .   5

 

D.  6; 25  .   

4 

4.2. Các bài toán hàm ẩn về cực trị của hàm số 4.2.1. Các kiến thức cơ bản a. Định nghĩa: 10

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a ; b), x0 ∈ ( a; b). nếu ∃ h > 0 sao cho: +) ∀ x ∈ ( x0 - h ; x0 + h) và x ≠ x0 mà ta có f(x) > f(x0) ,ta nói rằng f(x) đạt cực đại tại x0 +) ∀ x ∈ ( x0 - h ; x0 + h) và x ≠ x0 mà ta có f(x) < f(x0) ,ta nói rằng f(x) đạt cực tiểu tại x0 Các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số gọi chung là các điểm cực trị

b. Các định lý : * Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K= ( x0 - h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K trừ điểm x0 + Nếu f’(x) < 0 khi x < x0 và f’(x) > 0 khi x > x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 + Nếu f’(x) < 0 khi x > x0 và f’(x) > 0 khi x < x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0

Chú ý: Nếu f’(x) không đổi dấu khi x đi qua x0 thì hàm số không đạt cực trị tại x0 * Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm bậc 2 trong khoảng K= ( x0 - h ; x0 + h) và f’(x0 ) = 0 + Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 + Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

4.2.2. Các dạng bài tập Bài 1.

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Tìm số cực trị của hàm số

y = f ( x)

A. 3 . B. 4 . C. 2 . D. 1 Lời giải: Từ đồ thị hàm số, theo định nghĩa cực trị hàm số có 3 điểm cực trị nên đáp án đúng là A. Nhận xét: Sau khi HS học định nghĩa về cực trị, HS trung bình có thể giải được bài tập này dựa vào mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số và cực trị của hàm số. Ở bài này với mức độ nhận biết HS sau khi hiểu bài dễ dàng làm được. Sau khi làm bài tập 11

này, GV có thể hỏi thêm: Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại, điểm cực tiểu? Qua đó HS nắm được cách tìm điểm cực đại, cực tiểu bằng đồ thị. GV gọi HS yếu và trung bình lên làm bài. Bài 2. (Trích đề minh họa THPT 2020 Câu 8) Cho hàm số

có bảng biến thiên

như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng A. 2 .

B. 3 . C. 0 . D. −4 .

Lời giải: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x=3 và giá trị cực tiểu là: f (3)= -4. Chọn D. Nhận xét: Ở bài tập này dù mức độ nhận biết nhưng HS vẫn có thể bị nhầm lẫn và chọn phương án B nên GV cần nhắc HS giá trị cực tiểu là giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu, còn điểm cực tiểu của hàm số là x cực tiểu. Đây là hai khái niệm mà HS hay nhầm lẫn. Bài tập này mức độ nhận biết, GV gọi HS yếu và trung bình giải bài. Bài 3. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số

y = f '( x )

có đồ thị như hình bên.

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) .

A. 2. B.3. C.4. D.5. Lời giải: Ta thấy đồ thị hàm số y = f '( x ) có 4 điểm chung với trục hoành tại các điểm có hoành độ là: x1 ; 0; x 2 ; x 3 .Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số y = f ( x ) . có 2 điểm cực trị . Chọn phương án A. Nhận xét: Sau khi HS học định lý về cực trị, GV nhấn mạnh điều kiện để hàm số đạt cực trị tại điểm x0 là x0 thuộc tập xác định của hàm số và đạo hàm qua điểm này phải đổi dấu. Như vậy qua bảng xét dấu của đạo hàm ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị. HS trung bình có thể giải được bài tập này dựa vào mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm của hàm số và cực trị của hàm số. Ở bài này với mức độ nhận biết Sai lầm phổ biến của HS khi giải bài này: HS chọn phương án C vì thấy đạo hàm bằng 0 tại 4 điểm. GV cần hướng dẫn HS nắm chắc định lý điều kiện đủ để hàm số có trị. Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải bài. Bài 4. Cho hàm số: y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) là 3 A. B. 4 . C. 2 . Lời giải: Từ đồ thị hàm số đã cho, vẽ đồ thị hàm số: y = f ( x )

D. 7 .

Từ đồ thị và theo định nghĩa cực trị của hàm số, ta có: hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị. Chọn A Nhận xét: Ở bài tập này, GV hướng dẫn HS vẽ đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối, sau đó từ đồ thị xác định số điểm cực trị của hàm số. Đây là bài tập về số cực trị của 13

hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản. Tuy nhiên HS khá và trung bình nếu chưa được hướng dẫn sẽ gặp khó khăn. GV có thể hướng dẫn HS tổng quát cách tìm số điểm cực cực trị của hàm số y = f ( x ) Tổng quát: Số điểm cực cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng 2m+1 với m là số điểm cực trị dương của hàm số f(x). Nhận xét: Như vậy trong bài 4, số điểm cực trị dương của hàm số f(x) bằng 1 nên số điểm cực cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng 2.1+1=3. Bài 5. Cho hàm số bậc bốn có bảng biến thiên như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x) + 1 là: A. 10 . C. 8 . D.7

B. 9 .

Lời giải: Về cách giải, GV có thể hướng dẫn HS cách vẽ đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x) + 1 từ đó xác định số điểm cực trị của hàm số g(x). Đáp án D.

Chú ý: GV có thể hướng dẫn HS cách giải nhanh:Hàm số y = f ( x ) đã cho có 3 điểm cực trị nên hàm số y = f ( x ) + 1 cũng có 3 điểm cực trị. Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra phương trình f ( x ) + 1 = 0 ⇔ f ( x ) = −1 có 4 nghiệm đơn phân biệt. Suy ra số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x) + 1 là 3 + 4 = 7 . Nhận xét: GV bổ sung kiến thức sau cho HS ghi nhớ khi giải nhanh các bài tập trắc nghiệm sau khi giải bài 5, GV có thể hướng dẫn cho HS tổng quát về số điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = f ( x) Bài 6. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ.

Biết f ( a ) > 0 . Hỏi đồ thị hàm số y = f ( x ) + 2021m có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 4 . C.5 D. 7 14

Lời giải: Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên:

x f ′ ( x)

f ( x)

−∞ −

a 0

−

c 0

+∞ +

−∞

+∞

f ( b) f ( a) f ( c)

Hàm số y = f ( x ) có 3 điểm cực trị. Để đồ thị hàm số y = f ( x ) + 2021m có số điểm cực trị lớn nhất thì y = f ( x ) cắt trục hoành tại số điểm là nhiều nhất  f ( c ) < 0 Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt O x tại nhiều nhất hàm số y = f ( x ) + 2021m có tối đa 5 số điểm cực trị  Chọn C.

điểm nên

Nhận xét: Đây là bài tập về số điểm cực trị của hàm số có tham số và chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đối với bài tập trắc nghiệm, GV có thể hướng dẫn HS đưa ra nhận xét. Tổng quát: Số điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = f ( x) là m+n với m là số điểm cực trị của hàm số f ( x ) còn n là số giao điểm của đồ thị hàm số f ( x ) không trùng với điểm cực trị của đồ thị hàm số đó. Chú ý: 1) Số điểm cực trị của hàm số y=f(x) bằng số điểm cực trị của hàm số y=f(x+m), bằng số điểm cực trị của hàm số f(x-m) với m là tham số 2) Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng số điểm cực trị của hàm số y = f ( x + m ) ; y = f ( x − m ) với m là tham số Bài tập tự luyện Bài 1. Trích đề minh họa THPT năm 2018 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đạt cực đại tại điểm: A. x = 1 .

B. x = 0 .

C. x = 5 . D. x = 2 .

Bài 2. Cho hàm số y = f ( x ). Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f ( x 2 − 3). A. C.

Bài 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y = f ′ ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình dưới.

Có bao nhiêu số nguyên m∈ [ −2019;2019] để hàm số y = f ( x + 1 − m ) có nhiều điểm cực trị nhất? A. 2024 . 2017

B. 2025 . D. 2016 .

Bài 4. Cho hàm số

xác định trên R và hàm số

bên dưới. Đặt số

có đồ thị như hình

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để hàm

có 5 điểm cực trị?

− 2 < m < 2.

m > 2.

m ≥ 2.

 m ≤ −2  . m ≥ 2 

Bài 5. Cho y = f ( x) là hàm bậc 3 có đồ thị như hình vẽ ở bên. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có 7 điểm cực trị.

A. 0 < m < 2 . .

B. −4 < m < 0 C. m < 0 . D. −2 < m < 0 . 16

Bài 6. Cho hàm số bậc bốn

Tìm tất cả các giá trị của A.

− 2 < m < 2.

y = f (x )

có đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới

để hàm số g ( x ) =

m > 2.

f (x ) − m

m ≥ 2.

có

điểm cực trị. D.

 m ≤ −2  . m ≥ 2 

4.3. Các bài toán hàm ẩn về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 4.3.1. Các kiến thức cơ bản xác định trên a.Định nghĩa: Cho hàm số 1.Nếu tồn tại một điểm sao cho là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu 2. Nếu tồn tại một điểm sao cho là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu

thì số

được gọi

thì số

được gọi

;

b. Phương pháp tìm GTLN,GTNN của hàm số : Cho hàm số xác định trên thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau: Bài toán 1.Nếu 1.Tìm tập xác định của hàm số ,giới hạn hai biên 2.Tính và giải phương trình tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên 4 Dựa vào BBT.kết luận thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau: Bài toán 2. Nếu 1.Tìm tập xác định của hàm số 2.Tính và giải phương trình Tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Tính 4.Kết luận ∙ Đặc biệt: Nếu f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì

Nếu f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì 4.3.2. Bài tập Bài 1. (Trích đề minh họa bộ giáo dục năm 2018-2019) . Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ − 1; 3 ] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [ − 1; 3] . Giá trị của M − m bằng

A. 1 B. 4 C. 5 D. 0 Lời giải Dựa vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số và từ đồ thị hàm số suy ra: M = f ( 3 ) = 3; m = f ( 2 ) = −2 . Vậy M − m = 5 . Chọn C. Nhận xét: Đây là bài tập mức độ nhận biết. Tuy nhiên nếu HS chưa nắm chắc định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số thì HS vẫn sẽ gặp khó khăn khi chọn phương án. Có thể sử dụng đồ thị hàm số để tìm GTLN,NN trên [a;b] GTLN là tung độ của điểm cao nhất trên [a;b], GTNN là tung độ của điểm thấp nhất trên đoạn này. Bài tập này mức độ nhận biết, GV cho HS mức độ trung bình làm bài. Bài 2. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên [ −2;2] , có đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) như hình bên. Tìm giá trị x0 để hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên

[ −2;2] .

A. x0 = 2 . B. x0 = −1 . x0 = −2 . x0 = 1 . Lời giải: Chọn D Từ đồ thị ta có

C. D.  x = −1 . Bảng biến thiên: f ′( x) = 0 ⇔  x = 1

Như vậy : hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên [ −2;2] khi x0 = 1 Nhận xét: Để tìm giá trị x0 để hàm số y = f ( x ) đạt giá trị lớn nhất trên [ −2;2] . GV cần yêu cầu HS sử dụng các bước tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn. Có hai hướng để giải quyết bài tập này, GV hướng dẫn HS xét sự biến thiên của hàm số trên [ −2;2] . Bài tập này mức độ thông hiểu, GV gọi HS mức độ trung bình và khá làm bài rồi chốt lại phương pháp giải. Bài 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f ( 0) + f (1) − 2 f ( 2) = f ( 4) − f ( 3) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f ( x ) trên đoạn [0;4] ? A. m = f ( 4 ) , M = f ( 2 ) .

B. m = f ( 4) , M = f (1) .

C. m = f ( 0 ) , M = f ( 2 ) .

D. m = f (1) , M = f ( 2) .

Lời giải:

Dựa vào BBT ta có M = f ( 2 ) , GTNN chỉ có thể là f ( 0 ) hoặc f ( 4 ) Ta lại có: f (1) ; f ( 3 ) < f ( 2 )  f (1) + f ( 3 ) < 2 f ( 2 ) ⇔ 2 f ( 2 ) − f (1) − f ( 3 ) > 0 f ( 0 ) + f (1) − 2 f ( 2 ) = f ( 4 ) − f ( 3) ⇔ f ( 0 ) − f ( 4 ) = 2 f ( 2 ) − f ( 3) − f (1) > 0  f (0) > f ( 4).

Vậy m=f(4) . Chọn A Nhận xét: Sau khi HS làm được các bài tập trước, HS sẽ làm được bài tập này mặc dù đây là bài tập mức độ vận dụng. Bài tập này, GV gọi các HS khá lên giải bài và chốt kết quả cho cả lớp. Bài 4. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ. 19

Biết rằng f ( −1) + f ( 2) = f (1) + f ( 4) , các điểm A (1;0) , B ( −1;0) thuộc đồ thị. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) trên đoạn [ −1;4] lần lượt là: m, M A. f (1) ; f ( −1) . B. f ( 0 ) ; f ( 2 ) .

C. f ( −1) ; f ( 4 ) .

D. f (1) ; f ( 4 ) .

Lời giải:Chọn D Bảng biến thiên:

Ta có: f (1) < f ( −1) , f (1) < f ( 2 ) , f (1) < f ( 4 )

mà f ( −1) + f ( 2 ) = f (1) + f ( 4 )  f ( 2 ) − f (1) = f ( 4 ) − f ( −1) > 0  f ( 4 ) > f ( −1) Như vậy : m = f (1) ; M = f ( 4 ) Nhận xét : Đây là bài tập mức độ vận dụng, sau khi giải được các bài tập trên, HS sẽ tự giải được bài tập này. Từ đó tư duy HS sẽ được nâng cao hơn. Bài tập này, GV sẽ gọi HS khá lên giải bài rồi GV chữa lại cả lớp. Bài 5. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị y = f ′ ( x ) như hình vẽ. Xét hàm số 1 3 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? g ( x ) = f ( x ) − x3 − x 2 + x + 2018 3 4 2

A. min g ( x ) = g ( −1) . −3; 1 [

]

B. min g ( x ) = g (1) . −3; 1 [

]

g ( x ) = g ( −3) . C. min −3; 1 [

]

min g ( x ) = [ −3; 1]

g ( −3) + g (1) . 2

Lời giải: Ta có:

1 3 3 3 3 g ( x ) = f ( x ) − x 3 − x 2 + x + 2018  g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − x 2 − x + 3 4 2 2 2  g′ ( x ) = 0 ⇔ f ′( x ) = x2 +

3 3 . Vẽ đồ thị x− 2 2

(P) hàm số: y = x 2 + 3 x − 3 2

3 3 và đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) : trên cùng Vẽ đồ thị ( P) của hàm số y = x2 + x − 2

hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường nét đứt ), ta thấy ( P) đi qua các điểm ( −3;3) , ( −1; −2) , (1;1) với đỉnh  3 33  . Ta có: I − ;−   4 16 

3 3 , nên g ′ ( x ) > 0 ∀x ∈ ( −1;1) + Trên khoảng ( −1;1) thì ′ f ( x ) > x2 + x − 2

3 3 , nên g ′ ( x ) < 0 ∀x ∈ ( −3; −1) + Trên khoảng ( −3; −1) thì ′ f ( x ) < x2 + x − 2

Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm y = g′ ( x ) trên [ −3;1] như sau: .

Vậy min g ( x ) = g ( −1) . Chọn A. −3; 1 [

]

Nhận xét: Đây là bài tập vận dụng, tuy nhiên sau khi HS đã hiểu bài tập trước sẽ nhiều HS giải được bài tập này, nên GV sẽ yêu cầu tất cả các HS giải sau đó yêu cầu các HS khá lên trình bày. Ở bài này, để xét dấu đạo hàm của hàm số g(x) cần xét sự tương giao của hàm số trong bài đến hàm số bậc hai đồ thị là parabol. Qua đó nắm bắt được khả năng linh hoạt của HS. GV gọi HS khá, giỏi lên giải bài. Bài tập tự luyện Bài 1. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên ℝ . Biết rằng đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) như dưới đây. 21

Lập hàm số g ( x ) = f ( x) − x 2 − x . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. g ( −1) > g (1) . g (1) > g ( 2) .

B. g ( −1) = g (1) .

C. g (1) = g ( 2) .

Bài 2. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ:

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

3  x  trên f  2  2

đoạn [0;2] . Khi đó M + m là: A. 3 . B. 1. C. 2 . D. 0 . Bài 3. Cho hàm số

Xét

hàm

có đồ thị

số thì điều kiện của . B.

như hình vẽ:

Để

với

là . C.

Bài 4. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm là f ′ ( x ) . Đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) được cho như hình vẽ bên. Biết rằng f ( 0) + f ( 3) = f ( 2) + f ( 5) . Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f ( x ) trên đoạn [ 0;5] ?

A. m = f ( 0) , M = f ( 5) . B. m = f ( 2 ) , M = f ( 0 ) . C. m = f (1) , M = f ( 5) . D. m = f ( 2) , M = f ( 5) . 4.4. Các bài toán hàm ẩn về tiệm cận của đồ thị hàm số 4.4.1. Các kiến thức Định nghĩa: Cho hàm số: y = f ( x ) có đồ thị (C) +) Đường thẳng

x=a

được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị(C) ⇔ lim f ( x ) = ±∞ x →a

+) Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị (C) ⇔ lim f ( x ) = b x →±∞

4.4.2. Bài tập Bài 1. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau: x

−∞

−

−2

+∞

− +∞

−∞

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng: A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 Lời giải: Dựa vào định nghĩa tiệm cận của đồ thị hàm số và BBT ta thấy đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = −2, x = 0 là các tiệm cận đứng và đường thẳng y = 0 làm tiệm

cận ngang. Như vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Chọn: D Nhận xét: Để làm được bài tập này, HS cần sử dụng định nghĩa tiệm cận. Vì vậy GV gọi HS trung bình để hỏi và yêu cầu HS làm bài tập này. Từ đó nếu HS thấy khó khăn sẽ hướng dẫn cách khắc phục. Bài 2. Cho hàm số f ( x) = a x4 + bx2 + c có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số 2018 x có bao nhiêu đường tiệm cận? g ( x) = f ( x )( f ( x ) − 1)

A. . B. . C. . D. . là hàm phân thức hữu tỷ với bậc của tử nhỏ hơn bậc Lời giải: Chọn B Ta có cảu mẫu nên , do đó đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y=0. Mỗi phương trình đều có của tử số) nên đồ thị hàm số có đúng cận ngang và tiệm tiệm cận đứng là 9.

nghiệm phân biệt khác ( là nghiệm tiệm cận đứng. Vậy ( C) tổng số tiệm

Nhận xét: Đây là bài tập mức độ vận dụng nên ban đầu HS sẽ thấy khó khăn, GV hướng dẫn cách giải và chữa bài cho HS. Bài tập này, GV gọi HS khá chữa bài rồi GV chữa lại cho các HS. Bài 3. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên . Đồ thị hàm f ( x ) như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? x2 −1 g ( x) =

f 2 ( x) − 4 f ( x)

A. 4. B. 3.

C. 1. D. 2. Lời giải: Chọn A Xét

 f ( x) = 0(1) . f 2 ( x) − f ( x) = 0 ⇔   f ( x ) = 4(2)

Xét f ( x ) = 0 có 2 nghiệm x1 ≠ ±1 và x2 = 1 là nghiệm bội (do đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại x = 1 . Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng. Xét f ( x ) = 4 có 2 nghiệm x3 ≠ ±1 và x4 = −1 là nghiệm bội (do đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại x = −1 . Trường hợp này có 2 tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có 4 tiệm cận đứng. Chọn đáp án B. Nhận xét: Ở bài tập này, GV chốt lại cách tìm tiệm cận đứng của (C). Bài tập này GV gọi HS khá giỏi lên giải bài tập. Sau khi hiểu bài tập 3, HS sẽ có hướng để giải bài tập 4. Bài 4. Cho hàm số bậc ba f ( x) = a x3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số

g ( x) =

( x 2 − 3 x + 2) x − 1 có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? x[f 2 ( x) − f ( x )]

A. . B.

. C.

D. . Lời giải: Chọn D Điều kiện:

. Ta có

 x = 0(1) x[f 2 ( x) − f ( x)] = 0 ⇔  2  f ( x) − f ( x ) = 0(2)  f ( x) = 0(2 a) f 2 ( x) − f ( x) = 0 ⇔   f ( x ) = 1(2b)

. Dựa vào đồ thị ta có:

+ Phương trình (2a) có hai nghiệm nhưng

là nghiệm kép của mẫu nên

(loại:

; loại

vì

)

thỏa.

+ Phương trình (2b) có ba nghiệm: (loại), (thỏa). Vậy đồ thị ba đường tiệm cận đứng.

(thỏa) và

Nhận xét: Bài tập 4 là một bài tập tương tự bài 3. Khi đã hiểu bài tập 3, HS sẽ dễ dàng làm được bài tập này. GV gọi HS giỏi giải và chốt kết quả. Bài tập tự luyện Bài 1. Cho hàm số bậc ba f ( x) = a x3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? hàm số (x − 2 x ) 2 − x g ( x) =

( x − 4)[f 2 ( x) + 2 f ( x)]

A. . B.

. C.

. D. .

Bài 2. Cho hàm số bậc ba f ( x) = a x3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? ( x 2 − 2 x) 1 − x g ( x) =

( x − 3)[f 2 ( x) + 3 f ( x)]

A. . B.

. C.

. D. .

Bài 3. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên R \ {−1;1} , liên tục trên khoảng xác định và có bảng biến thiên sau: x -1 0 1 −∞ +∞ y’ 26

+∞

-2

+∞

-1 −∞

2 −∞

Hỏi khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai? A. Hàm số không có đạo hàm tại điểm x=0 B. Đồ thị hàm số có hai điểm tiệm cận đứng là các đường thẳng x = −1 và x = 1 C. Hàm số đạt cực trị tại điểm x = 0 . D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = −2 và y = 2 Nhận xét: Đây là các bài tập sử dụng định nghĩa tiệm cận và vận GV yêu cầu tất cả các HS làm bài tập này, GV kiểm tra và theo dõi kết quả làm bài. 4.5. Các bài toán hàm ẩn về bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số 4.5.1. Kiến thức Các bài tập hàm ẩn liên quan đến đồ thị hàm số như các bài tập về tương giao hai đồ thị, số nghiệm của phương trình, tiệm cận. Trong phạm vi SKKN này, chúng tôi chỉ đưa vài dạng toán đã sử dụng trong đề thi thử các trường và đề thi THPT các năm gần đây. 4.5.2. Bài tập Bài 1. (Trích đề THPTQuốc Gia năm 2018). Cho hàm số f ( x ) = a x 3 + b x 2 + cx + d ( a, b, c, d ∈ ℝ ) . Đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x ) + 4 = 0 là

A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải:

Ta có: 3 f ( x ) + 4 = 0 ⇔ f x = − 4 . ( ) 3

Dựa vào đồ thị đường thẳng y = − 4 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại ba điểm phân biệt. 3

Đáp án A. Nhận xét: Ỏ bài tập này,, GV có thể hướng dẫn cho HS số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị hàm số. GV có thể ra thêm bài tập tương tự về số nghiệm của phương trình khi biết bảng biến thiên của hàm số. Ở bài tập này GV yêu cầu tất cả HS giải, sau đó chọn HS trung bình để giải.Từ đó nắm bắt được khả năng tiếp thu bài của HS. Bài 2. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Số nghiệm của phương trình 2 f 2 ( x) − 5 f ( x) = 0 là: A. 3. B. 2. C. 5. D. 4. Lời giải:

 f ( x ) = 0(1) 2 f ( x) − 5 f ( x) = 0 ⇔   f ( x ) = 5 (2)  2 2

Phương trình (1) có 2 nghiệm.Phương trình (2) có 3 nghiệm không trùng với nghiệm của (1).Vậy phương trình: 2 f 2 ( x) − 5 f ( x) = 0 có 5 nghiệm. Đáp án C.

Nhận xét: Ở bài tập này sau khi HS đã hiểu bài tập trước sẽ có thể hiểu các bài tập này và tích cực làm bài. GV gọi các HS trung bình làm bài để nắm bắt mức độ học tập để điều chỉnh kiến thức và bổ sung. Hs có thể giải bằng cách chọn hàm số. Bài 3. (Trích đề minh họa THPT năm 2020 Câu 45). Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ;2π ] của phương trình 2 f ( sinx ) + 3 = 0 là A. 4 .

B. 6 . C. 3 . D. 8 .

Lời giải: Cách 1: Đặt sin x = t ∈ [ −1;1] . Trước hết xét

2 f (t ) + 3 = 0 ⇔ f (t ) = −

3 2

có hai

nghiệm đối nhau là: t = ±a ∈ ( −1;1) . + Trở về phương trình sin x = −a ∈ ( −1;0) , x ∈[ −π ;2π ] , phương trình này có 4 nghiệm (Nhưng chỉ có hai điểm cuối). + Trở về phương trình sin x = a ∈ ( 0;1) , x ∈ [ −π ;2π ] , phương trình này có hai nghiệm. Chọn B. Cách 2: Khi giải trắc nghiệm, GV có thể hướng dẫn HS cách thử. Các em có thể lấy 1 a = ± để thử. 2

Nhận xét: Khi giải trắc nghiệm, có thể kết hợp nhiều phương pháp giải. GV cần hướng dẫn cho HS khi giải bài. Bài tập này mức độ vận dụng, Gv gọi HS khá lên bảng chữa bài rồi chốt kết quả. Bài 4. (Mã đề 102 – Đề thi THPT, Bộ giáo dục năm 2019) Cho hàm số f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ.

Bất phương trình f ( x ) > x + m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0; 2 ) khi và chỉ khi 29

A. m ≤ f ( 0 ) . B. m < f ( 0 ) . C. m ≤ f ( 2 ) − 2 . D. m < f ( 2 ) − 2 . Lời giải Xét bất phương trình f ( x ) > x + m ⇔ m < f ( x ) − x . Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x với x ∈ ( 0; 2 ) . Ta có g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 1 . g ′ ( x ) = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 1 . Từ đồ thị ta thấy đường thẳng y = 1 không cắt đồ thị y = f ′ ( x ) tại bất kỳ điểm nào có hoành độ thuộc khoảng ( 0 ; 2 ) nên phương trình f ′ ( x ) = 1 vô nghiệm với x ∈ ( 0; 2 ) . Ta có bảng biến thiên như sau:

(do f ′ ( x ) < 1 với x ∈ ( 0 ; 2 ) ). Từ bảng biến thiên ta thấy để m < g ( x ) với x ∈ ( 0 ; 2 ) ⇔ m ≤ g ( 2 ) ⇔ m ≤ f ( 2 ) − 2 . Chọn C. Nhận xét: GV gọi HS khá, giỏi lên bảng làm bài và chốt đáp án cho HS. Bài 5. Cho hàm số

xác định trên

và có bảng biến thiên như hình vẽ. Số

nghiệm của phương trình 3 f ( 2 x − 1) − 10 = 0 là

A. 2.

B. 1. C. 4. D. 3. Lời giải:

Đặt t = 2 x − 1 , ta có phương trình trở thành một nghiệm của

f (t ) =

10 3

. Với mỗi nghiệm của t thì có

t + 1 nên số nghiệm t của phương trình 10 f (t ) = 2 3 3 f ( 2 x − 1) − 10 = 0 . Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) là x=

bằng số nghiệm

Suy ra phương trình

f (t ) =

10 3

có 4 nghiệm phân biệt nên phương trình

có 4 nghiệm phân biệt. Chọn C

3 f ( 2 x − 1) − 10 = 0

Nhận xét: Đây là bài tập vận dụng nhưng khi HS hiểu bài tập 5 sẽ làm được bài tập này. Qua các bài tập này năng lực tư duy và giải toán được nâng lên. Bài 6. Cho hàm số

có bảng biến thiên như hình vẽ

Phương trình A.

có bao nhiêu nghiệm.

. B. . C.

. D. . Lời giải:

Bảng biến thiên

Vậy

có bốn nghiệm. Chọn A 31

Nhận xét: Đây là bài tập mức độ vận dụng, GV có thể hướng dẫn HS lập bảng biến thiên hàm số g(x) từ đó xét sự biến thiên của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. GV gọi HS khá, giỏi lên chữa bài và chốt phương án. Bài tập tự luyện Bài 1. Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường

tròn lượng giác biểu diễn nghiệm của phương trình f ( f ( cos 2 x ) ) = 0 ?

A. 3.

B. 4. C. 2. D. 1.

Bài 2. Cho hàm số vẽ bên. Biết

có đạo hàm trên , hỏi phương trình

, đồ thị hàm số như trong hình có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Bài 3. Cho hàm số trình

có đồ thị như hình vẽ. Phương

có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 3. B. 7. 32

C. 9. D. 5. Bài 4. Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau

Với các giả trị thực của tham số

, phương trình

có nhiều nhất bao

nhiêu nghiệm? A. B. C. D. 4.6. Các bài toán hàm ẩn về tích phân 4.6.1. Kiến thức a. Định nghĩa tích phân : Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f(x) từ a đến b và ký hiêu là: trong trường hợp a < b ta gọi

là tích phân của f(x) trên đoạn [a;b]

người ta còn dùng ký hiệu để chỉ hiệu số F(b) – F(a) Theo định nghĩa ta có : = = F(b) – F(a) b. Tính chất của tích phân : giả sử các hàm số f(x) ,g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c là các số thuộc K. (1) (2) (3) (4)

(5)

(k : hằng số)

4.6.2. Bài tập Bài 1. Trích đề minh họa THPT năm 2020.Câu 7. 33

Biết



f ( x ) dx = −2

và



f ( x ) dx = 1,

khi đó

 f ( x ) dx

bằng

A. −3 . B. −1. C. 1 . D. 3 . Lời giải: Áp dụng tính chất của tích phân, ta có: 3

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = −2 + 1 = −1

. Chọn B.

Nhận xét: Đây là bài tập mức độ nhận biết, HS cần nắm được tính chất của tích phân. GV yêu cầu HS yếu lên giải bài. Sau đó chốt đáp án cho tất cả HS. Bài 2.( Trích đề minh họa THPT năm 2018) Cho hàm số

có đạo hàm trên đoạn A. 1 B. .

và

. Tính .

Lời giải: Theo tính chất nguyên hàm và định nghĩa tích phân ta có: . Nhận xét: Phân tích phương án nhiễu: Học sinh thường nhầm phương án B, C do nhầm cận. Chọn đáp án A. Bài tập này với mức độ thông hiểu, GV gọi HS trung bình giải và chốt lại kiến thức dùng định nghĩa tích phân và tính chất nguyên hàm để giải bài tập này. Bài 3. Cho . A. Lời giải:

. Tính tích phân B. I=8. Đặt

Đổi cận: Khi đó:

nên ta chọn B.

Nhận xét: Phân tích phương án nhiễu, HS hay mắc sai: - Đổi biến nhưng hs chuyển đổi nhầm C. Hoặc không đổi cận

dẫn đến Chọn

dẫn đến Chọn D.

- Tính sai dẫn đến kết qua A. Bài tập này mức độ vận dụng thấp, GV gọi HS khá giải và chốt lại cách giải cho các HS. 34

Bài 4. Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên R, f (5)=1 và

K =  xf ( 5 x ) dx = 1 0

Tính I=

x 2 f ′ ( x ) dx =

∫ 0

A. I= -25

Lời giải: Cách 1: (PP tự luận) Đặt: t = 5x  dt = 5dx Đổi cận x = 0  t = 0; x = 1  t = 5 .Khi đó: 5

t dt f ( t ) = 1   tf ( t )dt = 25   xf ( x )dx = 25(*) 5 5 0 0 0

K =

du = f ' ( x ) dx u = f ( x)    1 2 dv = xdx v = x  2 5

(*) ⇔

5 1 2 1 25 1 2 x . f ( x) −  x 2 f ′ ( x ) dx = 25 ⇔ −  x f ′ ( x ) dx = 25   x 2 f ′ ( x ) dx = −25 2 2 2 20 0 0 0

Cách 2: (PP trắc nghiệm) GV hướng dẫn HS chọn hàm số phù hợp. Đặt f(x)=ax+b. Từ giả thiết ta có:  f (5) = 1 5a + b = 1 5a + b = 1  −3    a = −3 1  1  ⇔ ⇔  5a b ⇔ x+4 5 ⇒ f ( x) = ∫ xf (5 x) dx = 1 ∫ x(a.5 x + b)dx = 1  + = 1  5  0  0  3 2 b = 4 ⇒ f ′(x) =

−3 ⇒ 5

∫

x 2 f ′ ( x )dx =

∫

x 2 .(

−3 ) dx = − 25 5

Nhận xét: Qua bài tập này, GV hướng dẫn cho HS cách chọn hàm đặc biệt. Đây cũng là một phương pháp rất cần khi HS giải toán trắc nghiệm. 1 là hàm số chẵn và xác định trên R, và Bài 5. Cho hàm số H =  f ( x ) dx = 2 0

Tính I=

K =  f ( 2 x ) dx = −3

∫

f ( x )dx

−1

A. I= -4

Lời giải: Cách 1: (PP tự luận) + Đặt: t = 2x  dt = 2dx Đổi cận x = 0  t = 0; x = 2  t = 4 . 4 4 4 Khi đó: dt K =  f (t ) 0

= −3   f ( t )dt = −6   f ( x )dx = −6

+ Đặt: t = −x  dt = −dx Đổi cận x = −1  t = 1; x = 0  t = 0 . Khi đó:

∫

f ( x )dx =

−1

⇒

∫

−1

f ( x ) dx =

∫ 1

1 1

∫

f ( x )dx + ∫ f ( x )dx =

∫

−1

f (−t ) (−dt) = − ∫ f (t ) dt =

∫

f ( x )dx

f ( x ) d x + ∫ f ( x ) d x = 2 + (− 6) = − 4 0

Cách 2: (PP trắc nghiệm) GV hướng dẫn HS chọn hàm số phù hợp. Vì giả thiết f(x) là hàm chẵn, đặt: f ( x) = 3ax2 + b . Từ giả thiết ta có: 1  1  f ( x)dx = (3ax2 + b)dx = a + b = 2  −7  f (5) = 1 a = ∫ ∫  30 0 0  1 ⇒  ⇒  1 ∫ xf (5x) dx = 1  1  67  0 ∫ f (2 x)dx = ∫ (3a(2 x)2 + b)dx = 32a + 2b =−3 b = 30   0 0  4

−21 2 67 −21 2 67 ⇒ f ( x) = x + ⇒ ∫ f ( x) dx = ∫ ( x + ).dx =−4 30 30 −1 30 30 −1

Nhận xét: Qua bài tập này, GV hướng dẫn cho HS cách chọn hàm đặc biệt thỏa mãn điều kiện cho trước.bài tập này giả thiết yêu cầu f(x) là hàm chẵn ta chọn hàm số chẵn đơn giản thỏa mãn điều kiện giả thiết. Đây cũng là một phương pháp rất cần khi HS giải toán trắc nghiệm. Cũng qua bài tập này GV yêu cầu HS chứng minh kết quả tổng quát sau đây: Tổng quát: a) Cho f (x ) là hàm số lẻ trên [-a;a] ta có: và ∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx; ∫ f (x )dx = 0 b) Cho f (x ) là hàm số chẵn trên [-a;a ] ta có: 0

−a

. và ; f x dx = 2 f x dx; ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx; ∫ () ∫ () 0

−a

Nhận xét: Các bài tập tích phân về hàm số chẵn, hàm số lẻ rất nhiều bài tập về hàm ẩn mà cần khai thác và hướng dẫn cho HS chọn hàm đặc biệt, nhưng trong phạm vi SKKN này chúng tôi chỉ đưa ra một vài bài tập. Các bài tập dạng khác ra trong phần bài tập tự luyện và bài tập về nhà. Hướng phát sinh bài toán mới và chọn hàm đặc biệt chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu sau. Bài 6. Trích đề minh họa THPT năm 2020. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ . Biết cos 2 x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) e x Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số I = f ' ( x ) e x là

A. − sin 2 x + cos 2 x + C . B. − 2 sin 2 x + cos 2 x + C . C. − 2 sin 2 x − cos 2 x + C . D. 2 sin 2 x − cos 2 x + C . Lời giải: Nguyên hàm từng phần: Đặt u = ex

du = ex dx .    dv = f ' ( x ) dx v = f ( x )

(Chú ý ( cos 2 x ) ' = f ( x ) ex )  I ( x) = f ( x ) e x −  f ( x ) e x dx = −2sin 2 x −  (cos 2 x)' dx .

Hay ta có

I ( x ) = − 2 sin 2 x − cos 2 x + C

. Chọn C. 36

Nhận xét: Đây là bài tập mức độ vận dụng. HS cần linh hoạt sử dụng phương pháp tích phân từng phần. GV hướng dẫn cho HS khi dùng phương pháp từng phần cần linh hoạt đặt u và dv phù hợp để suy ra hàm số f(x). GV gọi HS khá lên chữa bài. Bài 7. Trích đề minh họa THPT năm 2020.Câu 48. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ sao cho: xf ( x 3 ) + f (1 − x 2 ) = − x10 + x 6 − 2 x, ∀x ∈ ℝ . (1) 0

I =

 f ( x )dx −1

Khi đó I bằng: A. −

−

17 20

13 . 4

17 . 4

D. −1. Lời giải. Cách 1. Từ giả thiết ta có: (2).

3 x 2 f ( x 3 ) + 3 xf (1 − x 2 ) = − 3 x11 + 3 x 7 − 6 x 2

Đến đây ta thấy + Tích phân thứ nhất + Tích phân thứ hai:

2 3  3x f ( x ) dx =



−1

 f ( x ) dx = I

(3).

−1 1

1 1 1 f (v ) d (v ) = −  f ( x ) d ( x ) = − K  20 20 2

xf (1 − x 2 ) dx = −



f ( u ) du =

−1

(4)

Từ (2) lấy tích phân trên đoạn [-1; 0], ta có: 0

3 17 I − K =  ( −3x11 + 3x7 − 6 x 2 ) dx = − (*) 2 8 −1

+ Tích phân thứ nhất

+ Tích phân thứ hai:

 3x f ( x ) dx =  f ( u ) du =  f ( x ) dx = K 1

2  xf (1 − x ) dx = − 0

1 1 1 f (v ) d (v ) =  f ( x ) d ( x ) = K  21 20 2

Từ (2) lấy tích phân trên đoạn [0; 1],Ta có Từ (*) và (**) Suy ra

I =

(5).

− 13  f ( x )dx = 4

(6)

K+

3 15 K =  ( − 3 x11 + 3 x 7 − 6 x 2 ) dx = − (**) 2 8 0

. Chọn B.

−1

Nhận xét: GV có thể hướng dấn cho HS giải cách khác. Cách 2: Từ giả thiết ta có: 3 x 2 f ( x 3 ) + 3 xf (1 − x 2 ) = − 3 x11 + 3 x 7 − 6 x 2

+ Tích phân thứ nhất + Tích phân thứ hai:

2 3  3x f ( x ) dx =



−1

 −1

(2). Đến đây ta thấy

xf (1 − x 2 ) dx = −

f ( u ) du =

 f ( x ) dx = I

(3).

−1 1

1 1 1 f (v ) d (v ) = −  f ( x ) d ( x ) = − K  20 20 2

(4) 37

Từ (2) lấy tích phân trên đoạn [-1; 0], Ta có

3 17 I − K =  ( −3x11 + 3x7 − 6 x 2 ) dx = − (*) 2 8 −1

xf ( x 3 ) + f (1 − x 2 ) = − x10 + x 6 − 2 x , ∀ x ∈ ℝ (a)

Từ (a), thay x bởi –x ta có: − xf ( − x 3 ) + f (1 − x 2 ) = − x10 + x 6 + 2 x (b ) Từ (a) và (b) ta có: xf ( x 3 ) + xf ( − x 3 ) = −4 x  x 2 f ( x 3 ) + x 2 f ( − x 3 ) = − 4 x 2 0



x 2 f ( x 3 ) dx +

−1



x 2 f ( − x 3 ) dx =

−1 0

2  − 4 x dx = −1

−4 1 1 −4   f ( u ) du −  f ( v ) dv = 3 3 −1 31 3

−4 −4 1 1 1 1   f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  I+ K = (c) 3 −1 30 3 3 3 3

Từ (*) và ( c) ta có:

I =

− 13  f ( x )dx = 4

−1

Nhận xét: Đây là bài tập vận dụng cao, GV hướng dẫn HS về cách giải. Trong bài tập này, biểu thức dưới dấu nguyên hàm có xuất hiện f ( x 3 ) ta dùng phương pháp đổi biến đặt t = x 3 , khi đó nhân 2 vế với 3x 2

để xuất hiện 3x2 f ( x3 ) = f ( x3 )d ( x3 ) .Tương tự như thế trong biểu thức dưới dấu tích phân có xuất hiện f (1 − x2 ) nên ta nhân hai vế với x khi đó: −2 xf (1 − x2 ) = f (1 − x2 )d(1 − x2 )

Qua bài tập này, GV sẽ tạo cho HS sự linh hoạt khi làm bài tập hàm ẩn.

Cách 3: (Chỉ sử dụng PP trắc nghiệm) GV có thể định hướng cho HS chọn hàm f(x) thỏa mãn yêu cầu bài ra. Ta thấy bậc của vê phải của (1) bằng 10. Giả sử f(x) là đa thức bậc n, khi đó bậc của xf ( x 3 ) là 3n+1, bậc của f (1 − x2 ) là 2n. Vì vậy bậc của vế trái của (1) là 3n+1. Ta có 3n+1=10 nên n=3. Ta có: f ( x ) = a x 3 + bx 2 + cx + d

+Cho x=0 thì: f(1)=0 ta có: f ( x ) = − (x − 1)(x 2 + bx + c )

+Cho x=1 thì: f(1)+f(0)= -2 ta có: f(0)=-2 nên c = -2 + Cho x=-1 thì: f(-1)=-4 nên b=1. Vậy: 0

f ( x ) = − (x − 1)(x 2 + x − 2)  I =

 −1

f ( x )dx =

 ( − (x − 1)(x −1

+ x − 2))dx =

−13 4

Nhận xét: GV hướng dẫn HS cách chọn hàm đặc biệt khi giải bằng hình thức trắc nghiệm vì cơ sở là nếu đúng với mọi hàm số thì cũng sẽ đúng với hàm cụ thể. 38

Bài 8. Cho f ( x ) là hàm liên tục và a > 0 . Giả sử rằng với mọi x ∈[0; a] , ta có f ( x) > 0 a và f ( x ) f ( a − x ) = 1. Tính 1 . I = dx 1+ f ( x) 0 A.

a 3

B. 2a . a ln (1+ a) . D.

a 2

Lời giải : Ta có

1 dx = 1+ f ( x) 0

I =

 0

1 1+

1 f (a − x)

dx =

f (a − x)

 f ( a − x ) + 1 dx

Đặt a − x = t thì dx = −dt . Với x = a  t = 0 ; x = 0  t = a . Ta được

I = − a

Do đó, ta có

a f (t ) f ( x) dt =  dx f (t ) + 1 f ( x) +1 0 a

2I =  0

a a f ( x) 1 . a dx +  dx =  dx = x 0 = a f (x) +1 f ( x) +1 0 0

V ậy

a 2

. Đáp án D.

Nhận xét : Bài tập là bài tập mức độ vận dụng, GV hướng dẫn HS cách giải. GV hướng dẫn HS khi gặp biểu thức dưới dấu tích phân là f(x-a) ta thường dùng đổi biến đặt t=x-a. Bài tập này GV gọi HS khá lên giải bài và chốt lại kiến thức. Bài 9. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ℝ và 3 f ( − x ) − 2 f ( x ) = tan 2 x . Tính

π 4

π f ( x )dx

−

1−

B. π

π . 2

−1

C. D.

2−

π 2

Lời giải: Theo đề bài, ta có 3 f ( − x ) − 2 f ( x ) = tan 2 x (1) Thay x bởi −x ta được: 3 f ( x ) − 2 f ( − x ) = tan 2 ( − x ) = tan 2 x

( 2)

Từ (1) và ( 2 ) suy ra: f ( x ) = tan 2 x . I=

π

−

f ( x )dx =

4  1  2 2 2   tan x d x = 2 tan x d x = 2 1 + tan x − 1 d x = 2 π     cos 2 x − 1dx 

−

(

)

. Chọn đáp án D

= 2 ( tan x − x ) 4 = 2 − 2 0

Nhận xét: Đối với bài tập này, GV yêu cầu HS tìm được hàm số f(x). Từ đó tính tích phân cần tìm. Bài tập này là bài tập vận dụng, GV gọi HS khá lên chữa bài và khắc sâu kiến thức. Bài 10. (Trích đề THPT năm 2018 ) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn của f (1) bằng A.

−

f (2) = −

2 9

và

f ′ ( x ) = 2 x  f ( x ) 

35 . 36

với mọi x ∈ ℝ . Giá trị 2. 3 19 − . 36

−

2. 15

Lời giải: Ta có

f ( x ) ≠0

f ′ ( x ) = 2x  f ( x )  ⇔

Từ

f (2) = −

2 9

suy ra

C =−

.  1 ′ 1 2 = 2x ⇔  = −x + C  = −2x ⇔ 2 f ( x)  f ( x)   f ( x ) 

1 2

f ′ ( x)

. Do đó f 1 = ()

1 2 . Chọn đáp án B. =− 3  1 −12 +  −   2

Nhận xét: Ở bài tập này, GV có thể hướng dẫn cho HS phương pháp đổi biến. Đặt t=f(x). Bài tập này ở mức độ vận dụng, nhưng khi HS hiểu các bài tập thì các HS kể cả mức độ trung bình vẫn làm được bài này. GV gọi HS trung bình chữa và chốt kiến thức. Bài 11.

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ thỏa

∫ ( x + 1) f ′ ( x ) dx = 10

và

2 f (1) − f (0) = 2 . Tính I =

∫

f (x )d x

A. I =−12 . C. I = 12 .

B. I = 8 . D. I = −8 .

Lời giải: Đặt u = x +1

du = dx . ⇒   dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x )

Khi đó:

∫

1 ⇔ 2 f (1) − f (0) − I = 10 . ( x + 1) f ′ ( x ) d x = 10 ⇔ ( x + 1) f ( x ) − ∫ f ( x ) d x = 10

Suy ra I =−8 . Chọn đáp án D.

Nhận xét: Đây là bài tập mức độ vận dụng. HS cần linh hoạt sử dụng phương pháp tích phân từng phần. GV hướng dẫn cho HS khi dùng phương pháp từng phần cần linh hoạt đặt u và dv phù hợp để suy ra hàm số f(x).Thông thường khi dùng phương pháp từng phần nếu cần xuất hiện f(x) mà biểu thức dưới dấu tích phân có f ′ ( x) dx khi đó ta thường đặt : dv = f ′ ( x) dx ⇒ v = f ( x) . Trong phạm vi SKKN này chúng tôi không nghiên cứu nhiều về sử dụng tích phân từng phần giải toán nên còn các dấu hiệu sẽ được nghiên cứu tiếp theo ở các SKKN khác. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho f ( x ) là hàm liên tục trên [ 0;1] . Giả sử rằng với mọi x∈[ 0;1] , ta có 1 dx . A. 1 . B. 2. f ( x) > 0 và f ( x ) . f (1 − x ) = 4 . Tính 0 2 + f ( x ) C. 1 . D. 1 . 2

Bài 2. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và thỏa mãn f ( −x ) + 2018 f ( x ) = x sin x. Tính π A. 2 .B. 1 . C. 1 . D. 1 . 2 I=

2019

π f ( x )dx

2019

1009

2018

− 2

Bài 3. Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn



f ( x ) dx = 3

và f ( 2) = 2 . Tính

 f ′(

)

x dx

A. I = 2 .

B. I = 3 . C.

I =5

D. I = 1.

Bài 4. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn 1 1 . Giá trị của bằng I =  f ( x ) dx  x  f ′ ( x ) − 2  d x = f (1) 0

A. 1 . B. 2. C. −1. D. −2. . Bài 5. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục với mọi x ≠ 1 thỏa mãn  x + 1  f  = x + 3, x ≠ 1  x −1 

Tính

e +1

 f ( x ) dx

A. I = 4 e − 1 .

B. I = e + 2 . C.

I = 4e − 2 .

I = e+3.

5. Một số kinh nghiệm dạy học về hàm ẩn 41

5.1. Các biện pháp dạy học bài tập về hàm ẩn 5.1.1. Cách thức tổ chức rèn luyện kĩ năng cho học sinh giải các bài toán về hàm ẩn Để rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán cho học sinh giáo viên cần phải xác định rõ từng kĩ năng cụ thể trong mỗi dạng bài tập và mức độ yêu cầu tương ứng. Trong mỗi kĩ năng cụ thể này có thể gồm nhiều kĩ năng riêng lẻ. Để rèn luyện kĩ năng cho học sinh giải bài toán về hàm ẩn, giáo viên cần tổ chức cho học sinh thực hiện theo các bước sau đây: Bước 1: Học sinh xác định mục đích bài toán. Bài toán cần giải quyết điều gì? Bước 2: Giáo viên làm mẫu. Giáo viên chọn bài toán đơn giản. Yêu cầu học sinh khá giỏi trình bày và trao đổi kết quả cho cả lớp, hoặc giáo viên sử dụng phương pháp gợi mở để dạy cho cả lớp. Sau đó giáo viên chữa bài tập để làm mẫu cho học sinh.

Bước 3: Yêu cầu cả lớp giải bài tập tương tự. Thông thường các bài tập từ dễ đến mức độ cao hơn. Luyện tập các bài toán tổng hợp nhằm rèn luyện cho học sinh biết vận dụng, phối hợp linh hoạt các thao tác giải toán. Các dạng bài tập này được nâng cấp dần từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển kĩ năng một cách tốt nhất. Bước 4: Hình thành quy trình giải toán. Bước 5: Tập luyện theo quy trình. Để rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán cho học sinh giáo viên cần phải xác định rõ từng kĩ năng cụ thể trong mỗi dạng bài tập và mức độ yêu cầu tương ứng. Trong mỗi kĩ năng cụ thể này có thể gồm nhiều kĩ năng riêng lẻ. Để rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán cho học sinh giáo viên cần phải xác định rõ từng kĩ năng cụ thể trong mỗi dạng bài tập và mức độ yêu cầu tương ứng. Trong mỗi kĩ năng cụ thể này có thể gồm nhiều kĩ năng riêng lẻ. Để rèn luyện kỹ năng học tập cho học sinh. Giáo viên cần cung cấp cho học sinh quy trình các bước giải một bài toán: Bước 1: Tìm hiểu về bài toán: Đọc thật kỹ đề ra, chú ý các chi tiết nổi bật, khắc sâu từng ý cơ bản và lưu ý mối quan hệ của chúng. Bước 2: Tìm lời giải: Xem xét bài toán thuộc dạng nào, phương pháp giải ra sao? Bước 3: Thực hiện lời giải: Trình bày và viết lập luận của mình. Bước 4: Kiểm tra: Kiểm tra lại bài giải và thử xem phương pháp khác để giải bài toán trên hoặc phát triển một bài toán mới từ bài toán đã cho Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: Học sinh không nắm vững kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kĩ năng. Muốn hình thành được kĩ năng, đặc biệt là kĩ năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo 42

để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kĩ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Do quen với tư duy cụ thể, nên khi tiếp cận với kiến thức mới trừu tượng đòi hỏi tư duy cao, suy luận logic, các em sẽ gặp nhiều khó khăn. Từ đó giảm đi hứng thú học tập của các em. Ví dụ: Kĩ năng vận dụng định nghĩa, định lý. Sau khi học xong bài “ Sự biến thiên của hàm số” làm rõ cho học sinh nắm được định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b). Qua đó HS sẽ nắm được hàm số đồng biến trên khoảng K nếu trên K đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên K đồ thị hàm số sẽ đi xuống từ trái sang phải trên khoảng này. Khi sử dụng định lý GV hướng dẫn HS tránh mắc sai lầm khi giải toán sử dụng hai dạng toán này. Khi xét sự biến thiên của hàm số, GV đưa hai bài tập về đồ thị hàm số y=f(x) và đồ thị hàm số của đạo hàm GV cần hướng dẫn cho HS mối liên hệ của đồ thị hàm số và tính đơn điệu của hàm số. Mối liên hệ của đồ thị đạo hàm của hàm f(x) và dấu của đạo hàm. Xác định rõ nguyên nhân sai lầm các dạng toán đối với mỗi học sinh là một việc rất quan trọng, sau đó giáo viên có biện pháp để xóa bỏ dần các nguyên nhân, tạo nên sự tự tin và niềm hứng thú cho học sinh đối với việc học môn toán nói chung.

5.1.2. Một số kinh nghiệm của GV khi dạy học phần hàm ẩn cho HS + Để dạy học hàm ẩn cho HS có hiệu quả, GV cần quan tâm đến việc xây dựng hệ thống bài tập.

- Hệ thống bài tập về hàm ẩn được xây dựng với mục đích rèn luyện kĩ năng giải toán cần thiết cho học sinh trung học phổ thông với những yêu cầu sau đây: - Bám sát nội dung chương trình sách giáo khoa, khai thác và sử dụng hiệu quả hệ thống bài tập trong sách giáo khoa và cách bài tập. Bổ sung các kiến thức cơ bản cho HS. - Hệ thống bài tập được chọn lọc, phân loại hợp lí, có tính phân hóa, phù hợp với nhiều loại đối tượng học sinh. Đối với từng đối tượng HS, GV cần có bài tập phù hợp năng lực. Đối với HS ôn thi THPT Quốc gia cần có các bài tập đủ các mức độ. Đối với HS ôn thi HS giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc Gia… cần các bài tập với cấp độ vận dụng cao để tăng sáng tạo và tăng cường tư duy cho HS. - Bài tập có tính tổng hợp, đề cập đến nhiều nội dung kiến thức trong chương trình học. GV cần tổng quát hóa các bài tập và tạo cho HS biết tổng quát hóa và đặc biệt hóa khi học các bài toán về hàm ẩn. - Bài tập giúp học sinh nâng cao tính độc lập, chủ động, tích cực, sáng tạo trong học tập, gắn thực tiễn.

+ Một trong các hoạt động cơ bản của học sinh học tập môn toán ở trường phổ thông là hoạt động giải toán. Hoạt động học và giải toán của học sinh thường diễn ra theo trình tự: quan sát, tiếp thu kiến thức, làm bài có sự hướng dẫn, tự làm theo mẫu, độc lập làm bài. Qua thực tế tình hình chất lượng học sinh tôi đã đưa ra một số phương pháp để dạy học sinh môn toán như sau: - Nắm chắc đối tượng học sinh. 43

-Trên cơ sở điều tra phân loại ban đầu, giáo viên có cách nhìn nhận và thái độ phù hợp đối với từng học sinh: nhẹ nhàng khích lệ, động viên đối với học sinh có hoàn cảnh đặc biệt hoặc bị hổng kiến thức. GV cần bổ sung và cung cấp thêm các kiên thức cho HS trong quá trình học để lấp lỗ hổng kiến thức.

- Luyện tập vừa sức đối với học sinh. Gia tăng số lượng bài tập cùng thể loại và mức độ. Để hiểu một kiến thức, rèn luyện một kỹ năng nào đó cho học sinh trung bình, yếu kém cần những bài tập cùng thể loại và cùng mức độ với số lượng nhiều hơn so với các em khá, giỏi, phần gia tăng này thực hiện trong những tiết học dạy tự chọn hay những tiết học phụ đạo học sinh trung bình, yếu. Đối với HS khá giỏi, GV cần ra các bài tập mức độ tăng dần cho các HS khá giỏi phát triển tư duy. Cần bổ sung bài tập khái quát hóa và tổng quát hóa các bài toán, yêu cầu HS tìm các quy trình giải toán. - Giúp đỡ học sinh học tập: Rèn luyện kỹ năng học tập thực sự cần thiết đối với học sinh. Vì vậy, một trong những biện pháp nâng cao kết quả học tập của HS là giúp đỡ các em về phương pháp học tập. Đối với học sinh cần hướng dẫn cho các em về cách thức học tập toán như: nắm được lý thuyết mới làm bài tập, đọc kỹ đề bài.

5.2. Một số sai lầm thường gặp khi dạy học các bài toán về hàm ẩn Trong phần này đề tài nêu ra các sai lầm phổ biến khi HS giải các bài toán về hàm ẩn và giúp HS có định hướng cách giải tránh gặp sai lầm. Mỗi chuyên đề, mỗi bài tập HS đều có sự nhầm lẫn phổ biến. Đối với người GV cần phải tìm ra lỗi sai để nhắc HS không mắc sai lầm. Ví dụ: Khi dạy bài tính đơn điệu của hàm số, đề ra cho đồ thị hàm số f(x) thì dựa vào đồ thị HS cần nhìn vào đồ thị thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng nào là hàm đồng biến trên khoảng đó, đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Tuy nhiên nếu đề ra cho đồ thị của đạo hàm, HS cần chú ý nếu đồ thị của đạo hàm nằm trên trục hoành trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Nếu đồ thị đạo hàm nằm dưới trục hoành thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó. Ví dụ: Khi dạy bài cực trị của hàm số, nếu đề ra cho đồ thi hàm số f(x) thì để xác định điểm cực trị cần dùng định nghĩa cực trị, còn khi cho cho đồ thị của đạo hàm thì HS cần xác định cực trị dựa vào dấu của đạo hàm, sự đổi dấu của hàm số này. Trong bài này, HS hay sai lầm ở chỗ nghĩ hàm số đạt cực trị tại điểm nào thì tại đó đạo hàm bằng 0 tuy nhiên chỉ cần đạo hàm qua điểm đó dổi dấu và hàm số xác định tại điểm đó. GV hướng dẫn cho HS tổng quát hóa bài tập số cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ: Khi dạy bài GTLN và GTNN của hàm số, GV hướng dẫn HS hiểu định nghĩa và định lý từ đó sẽ làm được các bài tập mức độ từ thấp đến cao. Ví dụ: Khi dạy bài tiệm cận GV cần cho HS nắm định nghĩa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. HS dễ nhầm lẫn giũa tiệm cận ngang và tiệm cận đứng.GV chốt điều kiện để một đường thẳng là tiệm cận của đồ thị hàm số.

Ví dụ: Khi dạy bài toán hàm ẩn về đồ thi hay tích phân, GV có thể hướng dẫn HS tìm hàm số phù hợp rồi thực hiện như các bài không còn hàm ẩn. Vì các bài toán hàm ẩn HS thấy trừu tượng nên GV cần hướng dẫn từ định nghĩa, định lý. Các phương pháp khi làm bài, GV có thể cho HS chọn hàm phù hợp. Đặc biệt hóa cũng là cách giải phương pháp trắc nghiệm. GV hướng dẫn HS cách chọn hàm đặc biệt.

6. Kiểm tra thực nghiệm đề tài 6.1. Phương pháp kiểm tra thực nghiệm Sử dụng hình thức đề thi kiểm tra gồm các bài tập chương I, chương III giải tích lớp 12, làm bài trong 45 phút, thang điểm 10. Mỗi năm khảo sát 2 lớp học sinh khối 12, trong đó cụ thể là : - Lớp 12A1, 12B1 (Năm học 2016-2017) và các lớp 12A1, 12B3 (Năm học 20172018) làm lớp đối chứng (ĐC): Lớp chưa tiến hành sử dụng kết quả trong SKKN. - Lớp 12A2, 12B1 (Năm học 2019-2020) và lớp Lớp 12A, 12A2 (Năm học 20202021) làm lớp thực nghiệm (TN): Lớp được tiến hành sử dụng kết quả trong SKKN.

6.2. Kết quả kiểm tra thực nghiệm Khảo sát học sinh, ở 04 lớp 12 ở các năm học 2016 - 2017; 2017 – 2018 (lớp đối chứng : không sử dụng các kinh nghiệm trong đề tài này) qua bài kiểm tra chuyên đề lớp 12. Khảo sát học sinh mức độ học tương đồng với các lớp đối chứng ở 04 lớp 12 năm học 2019 - 2020 ;2020-2021 (lớp thực nghiệm: sử dụng các kinh nghiệm trong đề tài này) qua bài kiểm tra chuyên đề hàm số và nguyên hàm tích phân, kết quả về điểm số như sau:

6.2.1. Kết quả kiểm tra của lớp đối chứng (Lớp chưa sử dụng các kinh nghiệm trong đề tài này). a. Năm học 2016 - 2017. STT

Lớp

Sĩ số

Đạt điểm TB, Yếu, Kém SL %

Đạt điểm Đạt điểm loại giỏi loại khá

Đạt điểm Đạt điểm trung bình loại yếu

Đạt điểm loại kém

12A1

12B1

2.5

27,5

b. Năm học 2017 - 2018. STT

Lớp

Sĩ số

Đạt điểm Đạt điểm loại giỏi loại khá

Đạt điểm Đạt điểm trung bình loại yếu

Đạt điểm loại kém

Đạt điểm TB, Yếu, Kém SL %

12A1

4,8

7,3

24,4

19,5

12B3

2,6

5,3

31,6

24,4

10,5

18,4

6.2.2. Kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm (Lớp sử dụng các kinh nghiệm trong đề tài này) a. Năm học 2019 - 2020. STT

Lớp

Sĩ số

Đạt điểm loại giỏi

Đạt điểm loại khá

Đạt điểm trung bình

Đạt điểm loại yếu

Đạt điểm loại kém

2,8

16,2

12A2

12B1

8 6

2,8

b. Năm học 2020 - 2021.

STT

Lớp

12A

12A2

Sĩ số 41 42

Đạt điểm loại giỏi

Đạt điểm loại khá

Đạt điểm trung bình

Đạt điểm loại yếu

Đạt điểm loại kém

24,4

34,1

36,6

2,4

28,6

47,6

2,4

So sánh kết quả của lớp đối chứng và lớp thực nghiệm ở cả 2 năm cho thấy: - Tỉ lệ điểm giỏi: Lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. - Tỉ lệ điểm khá: Lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. - Tỉ lệ điểm trung bình và yếu: Lớp thực nghiệm thấp hơn so với lớp đối chứng. - Tỉ lệ điểm kém: Lớp thực nghiệm thấp hơn so với lớp đối chứng. Như vậy ở lớp đối chứng số học sinh có điểm trung bình và yếu cao hơn, trong khi đó ở lớp thực nghiệm có điểm khá và giỏi cao hơn vượt trội. Kết quả này chứng tỏ sử dụng kết quả của SKKN có hiệu quả rất tốt, có tính ứng dụng rộng rãi và dễ áp dụng cho rất nhiều đối tượng học sinh.

7. GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM Luyện tập: Ôn tập: Các bài toán về hàm ẩn về hàm số và tích phân I/ Mục tiêu bài dạy: Qua bài học HS cần: 1) Về kiến thức: Ôn tập lại kiến thức cơ bản: + Về hàm số: Tính đơn điệu, cực trị, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tiệm cận của đồ thị hàm số. Bài toán về đồ thị hàm số. + Về tích phấn 2) Về kĩ năng: - Áp dụng được lý thuyết vào giải các bài tập: Tính đơn điệu, cực trị, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tiệm cận của đồ thị hàm số. Bài toán về đồ thị hàm số 46

- Tính tích phân hầm ẩn.

3) Về tư duy và thái độ: Phát triển tư duy trừu tượng, khái quát hóa, tư duy lôgic,… Học sinh có thái độ nghiêm túc, say mê trong học tập, biết quan sát và phán đoán chính xác, biết quy lạ về quen.

4) Về phát triển năng lực cho học sinh: Đưa các ví dụ và đặt các tình huống nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực thực nghiệm, năng lực khái quát hóa, năng lực đánh giá kết quả. II/ Chuẩn bị: 1. Giáo viên: Giáo án, Sách giáo khoa, đồ dùng dạy học, thiết bị dạy học. 2.Học sinh: Ôn tập lí thuyết và làm bài tập trước ở nhà

III/ Phương pháp: Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm. Kết hợp với cách thức tổ chức rèn luyện kĩ năng cho học sinh giải toán về hàm ẩn. III/ Tiến trình bài dạy: 1/ Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số 2/ Kiểm tra bài cũ, tìm hiểu năng lực học sinh và chia nhóm (Chia nhóm dựa vào năng lực học tập của học sinh) - Giáo viên: Phát phiếu học tập cho học sinh (Lần 1 phát phiếu học tập số1 cho mỗi học sinh, lần 2 phát tiếp hiếu học tập số2 cho học sinh nếu đã làm xong phiếu học tập số 1. Tiếp tục lần 3, 4... cho đến hết thời gian quy định 6 phút). - Học sinh: Hoàn thành các bài tập trong phiếu học tập (trong tổng thời gian quy định 6 phút, nếu học sinh hoàn thành trước thời gian quy định thì nạp bài và tiếp tục nhận phiếu học tập tiếp theo). Phiếu học tập số 1. + Hãy nêu định nghĩa tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tiệm cận của đồ thị hàm số. + Hãy nêu định lý tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tiệm cận của đồ thị hàm số. + Nêu định nghĩa, tính chất về tích phân.

Phiếu học tập số 2. - Giáo viên thu bài và chia nhóm học sinh theo năng lực. (Từ 4- 6 nhóm) (Thời gian 1 phút) HS làm phiếu học tập số 2 ( Bài 1) Nhóm 1,2: Đối tượng học sinh trung bình, yếu và kém (Điểm đạt được dưới 6,5 điểm) Nhóm 3,4: Đối tượng học sinh khá, giỏi (Điểm đạt được từ 6,5 điểm trở lên) 3/Tiến trình dạy học bài mới 47

Hoạt động của GV và HS

Nội dung ghi bảng

Hoạt động 1: Chữa bài

Luyện tập

tập phiếu học tập số

Phiếu số 1:

1,(Thời gian 5 phút):

Phiếu số 2: Làm bài 1

- Giáo viên: Yêu cầu học Phiếu số 3: Làm bài 2 sinh nhóm 1,2 trình bày.

Phiếu số 4: Làm bài 3

Học sinh nhóm 3,4 nhận

Bài 1. Trích đề THPT năm 2018.

xét và bổ sung.

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Sử dụng máy chiếu hỗ trợ, chiếu kết quả. - Học sinh: Trả lời và nhận xét - Máy chiếu: Chiếu kết quả

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( −1; 0)

B. ( −∞; 0 ) .

C. (1; + ∞ ) . D.

yêu cầu trả lời.

( −1; 0) .

Hoạt động 2: Chữa bài

Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .

tập phiếu học tập số 2, (Thời gian 5 phút): - Giáo viên: Yêu cầu học sinh nhóm 1,2 trình bày. Học sinh nhóm 3,4 nhận

Chọn A.

Bài 2. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ℝ \ {0} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau.

xét và bổ sung. Sử dụng máy chiếu hỗ trợ, chiếu kết quả.

Hàm số đã cho có bao nhiêm điểm cực trị? A. 3 . - Học sinh: Trả lời và nhận B. 1 . C. 2. D. 0 . xét Bài 3. Cho hàm số y = f ( x). Đồ thị hàm số y = f ′( x) - Máy chiếu: Chiếu kết quả như hình bên. Hỏi hàm số g ( x) = f ( x2 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? yêu cầu trả lời.

Hoạt động 3: Chữa bài tập phiếu học tập số 3:

Yêu cầu học sinh nhóm 3 trình bày. Học sinh nhóm 4 nhận xét và bổ sung.

*Khi dạy học sinh giải các bài tập trong tiết dạy giáo B. (−1;+∞). viên tiến hành theo các A. (−∞;−1). C. (−1;0). D. (0;1). bước: Lời giải Bước 1: Học sinh xác định Cách 1. Ta có ′ g ( x ) = 2xf ′ ( x 2 ). mục đích bài toán. Bài toán Hàm số g( x) đồng biến cần giải quyết điều gì?

Bước 2: Giáo viên làm mẫu. Giáo viên chọn bài toán đơn giản. Yêu cầu học

 x > 0  x > 0    f ′ x 2 > 0 −1 < x 2 < 0 ∨ x 2 > 1  ( )  theo do thi f '( x )  ⇔ g ′(x ) > 0 ⇔  ←   →   x < 0 x < 0     2  ′ 2 2  f (x ) < 0  x < −1 ∨ 0 < x < 1  x > 1 ⇔ . − 1 < x < 0 

sinh khá giỏi trình bày và Đối chiếu với các đáp án, ta chọn C trao đổi kết quả cho cả lớp, Cách 2. Ta có hoặc giáo viên sử dụng phương pháp gợi mở để dạy cho cả lớp.

x = 0   x 2 = −1 x = 0 theo do thi ' f x ( ) g ′ ( x ) = 0 ⇔  ←   →  2 ⇔ 2 x = 0  f ′ ( x ) = 0  2  x = 1

x = 0  .  x = ±1 

Bảng biến thiên

Bước 3: Yêu cầu cả lớp giải bài tập tương tự.

Bước 4: Hình thành quy trình giải toán

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, - Giáo viên: Giáo viên chốt ta chọn C lại cách giải để hình thành Chú ý: Dấu của g ′( x ) được xác định như sau: Ví dụ kĩ năng cho học sinh khi xét trên khoảng (1;+∞) x ∈(1;+∞) → x > 0. (1) giải dạng toán ….. x ∈(1;+∞) →x2 >1. - Học sinh: Trả lời và nhận theo do thi f '( x ) Với x 2 > 1  → f ′ ( x 2 ) > 0. (2) xét Từ (1) và (2), suy ra g ′( x) = 2xf ( x 2 ) > 0 trên khoảng - Máy chiếu: Chiếu kết quả (1;+∞) nên g ′( x ) mang dấu + . yêu cầu trả lời.

Nhận thấy các nghiệm của g ′( x ) là nghiệm bội lẻ nên 49

Giáo viên :chốt lại cách qua nghiệm đổi dấu. xác Bài 4. Cho hàm số giải để hình thành kĩ năng định trên R và hàm số cho học sinh có đồ thị như hình bên dưới: Hoạt động 4: Chữa bài Xét các khẳng định sau: có ba cực trị. tập 4( Cả 4 nhóm làm bài) (I) Hàm số + Giáo viên:- tổ chức cho các nhóm tích cực hoạt động -Yêu cầu học sinh các nhóm thảo luận. -Giáo viên cho học sinh nhắc lại các bước tính xác suất của biến cố

(II) Phương trình có nhiều nhất ba nghiệm. (III) Hàm số biến trên khoảng

nghịch .

Số khẳng định đúng là: A. B.

Lời giải

+ Học sinh: Độc lập làm bài theo mẫu.

Chọn B Phương pháp: Từ đồ thị hàm số

-Học sinh nhóm 1, 2 trình bày bài giải câu a.

của đồ thị hàm số

lập BBT

và kết luận.

Cách giải: Ta có

Học sinh nhóm 3, 4 nhận xét và bổ sung. BBT:

Từ BBT ta thấy (I) đúng, (II) sai. Với nghịch biến trên khoảng

Hàm số .

=> (III) đúng. Vậy có hai khẳng định đúng. Chọn phương án B.

Hoạt động 6: Củng cố: Để tránh các sai lầm đáng tiếc trong khi giải bài toán, nhìn bài toán ở nhiều góc độ để tìm các cách giải khác nhau của bài toán đó. Hoạt động 7: Bài tập về nhà: Bài tập sách bài tập, các đề luyện thi THPT ở các trường Bài tập (Trích đề minh họa của Bộ Giáo Dục năm 2017) Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 . B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng −1 . C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 . D. Hàm số có đúng một cực trị. Lời giải Đáp án A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị. Đáp án B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu y = −1 khi x = 0 . Đáp án C sai vì hàm số không có GTLN và GTNN trên ℝ . Đáp án D đúng vì hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 . Vậy chọn phương án C.

Phần III. KẾT LUẬN 51

1. Kết luận. Trong giai đoạn hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là một nhiệm vụ hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực sự. Chúng tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học sinh nên chúng tôi luôn cố gắng tìm ra giải pháp để giảng dạy có kết quả tốt. Đề tài cũng giúp ích cho công việc giảng dạy của chúng tôi, góp phần giúp học sinh hiểu kĩ hơn và vận dụng tốt hơn vào giải toán, nâng cao khả năng vận dụng các kiến thức thực tiễn và nâng cao chất lượng học trong bộ môn giải tích đặc biệt bài toán về hàm ẩn. Thông qua các tiết dạy, lý thuyết, luyện tập, sử dụng giải pháp của sáng kiến kinh nghiệm cho thấy: + Học sinh nắm được các dạng toán trong chương và biết cách giải các dạng toán, từ đó kết quả học sinh được nâng lên. + Tinh thần và thái độ học tập của học sinh tốt hơn. + Học sinh đã chủ động sáng tạo khi học bộ môn giải tích các bài toán về hàm ẩn và khắc phục được một số sai lầm khi giải toán.Học sinh cảm thấy yêu thích học tập môn toán hơn và đặc biệt là bộ môn giải tích các bài toán về hàm ẩn . + Khi dạy học sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này kết quả học tập của học sinh với mức độ học tương đồng có sự thay đổi rõ rệt. Số lượng điểm 9; 10 và 7; 8 tăng đáng kể, tỉ lệ học sinh dưới điểm trung bình trở xuống giảm rõ rệt. Bước đầu cho thấy tính khả thi của sáng kiến kinh nghiệm. Với nhiều năm giảng dạy ở trường THPT, chúng tôi thấy sự khó khăn khi học sinh giải các bài toán về hàm ẩn và sự khó khăn của giáo viên khi giảng dạy các bài toán về hàm ẩn Với sự trăn trở đó, chúng tôi đã nêu lên một số biện pháp để khắc phục khó khăn khi dạy bộ mộn hàm ẩn.

2. Kiến nghị - Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập cần hiểu đối tượng học sinh, các định nghĩa, các tính chất, cách giải các dạng toán để có thể vận dụng có hiệu quả SKKN trong nhiều dạng bài tập liên quan khác. - SKKN đã được triển khai có hiệu quả ở nhiều lớp 12 tại trường THPT Nghi Lộc 3. SKKN cũng được chúng tôi chia sẻ chuyên môn với các đồng nghiệp tại nhiều trường THPT như: THPT Nguyễn Trường Tộ, THPT Hà Huy Tập, THPT Nghi Lộc 2, THPT Cửa Lò 2 và thấy có kết quả tốt. Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu để SKKN có nhiều kết quả tốt hơn nữa cho HS và là tài liệu có ich cho GV. Mong rằng trong thời gian tới SKKN tiếp tục được áp dụng với nhiều trường, nhiều lớp, nhiều đối tượng học sinh hơn nữa, đồng thời kính mong các đồng nghiệp góp ý xây dựng để SKKN được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giáo và bạn đọc ! TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Bộ Giáo dục và Đào tạo, Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội. 2. Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng phát triển năng lực học sinh. 3. Nguyễn Hữu Châu, Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình dạy học, NXB Giáo dục, Hà Nội 2006. 4. Nguyễn Bá Kim, Tôn Thân, Vương Dương Minh, Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán, NXB Giáo dục, Hà Nội 1999. 5. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Phạm Văn Kiều, Phát triển Lí luận dạy học môn Toán, NXB Giáo dục, Hà Nội 1997. 6.

Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên.

7. Trần văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, SGK Giải tích lớp 12 cơ bản, NXB Giáo dục 2007. 8. Tài liệu tập huấn phương pháp và kĩ thuật tổ chức hoạt động học theo nhóm và hướng dẫn học sinh tự học. 9. Trần văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương Sách Giáo viên Giải tích lớp 12 cơ bản, NXB Giáo dục 2007. 10.

Chuẩn kiến thức kỹ năng môn Toán lớp 12.

11. Các bài tập trong các đề thi THPT của Bộ giáo dục và các đề thi thử các trường THPT và bài tập trong diễn đàn Giáo viên Toán. 12. Nguồn tài liệu Internet. 13. Bộ Giáo Dục, Chương trình tổng thể môn Toán, 2018.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM ẨN CHO HỌC SINH THPT

Articles inside

5.2 Một số sai lầm thường gặp khi dạy học các bài toán về hàm ẩn