SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

GIẢI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ

vectorstock.com/28062405

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ, ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN WORD VERSION | 2022 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM

Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TÂY HIẾU

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ”

THUỘC MÔN: TOÁN HỌC

Sáng kiến kinh nghiệm

A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài Công cuộc Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đòi hỏi Giáo dục phổ thông phải có “ chuyển biến căn bản toàn diện về chất lượng và hiệu quả; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực” (Nghị quyết 88/2014/QH13 của Quốc hội). Mục tiêu của chương trình giáo dục phổ thông mới là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa. Do vậy việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng và cần thiết của người giáo viên. Học sinh cần có kĩ năng tốt mới có khả năng vận dụng thành thạo các kiến thức để giải quyết các nhiệm vụ được giao. Qua quá trình đó mới dần hình thành phẩm chất và năng lực cần thiết của người học. Chủ đề hàm số là một nội dung cơ bản của chương trình toán THPT. Trong đó bài toán về sự tương giao giữa các đồ thị hàm số là một trong những bài toán cơ bản của nội dung này, thường xuất hiện trong các đề thi THPTQG, đề thi tốt nghiệp, các đề đánh giá năng lực của các trường đại học…những năm gần đây.Tuy nhiên nhiều học sinh chưa có kĩ năng quan sát bảng biến thiên, kĩ năng quan sát đồ thị và thực sự chưa hiểu và nắm được cách giải các dạng bài liên quan tới sự tương giao của hàm số, đặc biệt là các bài liên quan tới hàm hợp, các bài toán chứa tham số... Vì vậy khi đứng trước các bài toán đó các em thường tỏ ra lúng túng, một số thì hiểu mơ màng dẫn tới mất nhiều thời gian mới giải quyết được hoặc không giải quyết được bài toán. Do vậy vấn đề đặt ra là cần phải rèn luyện kĩ năng giải toán tương giao cho học sinh để giúp học sinh dễ dàng vận dụng được các kiến thức đã học, khả năng quan sát, tư duy và kĩ năng phản xạ lựa chọn cách giải tối ưu để giải quyết nhanh chóng bài toán. Chính vì thế chúng tôi lựa chọn đề tài: “Rèn luyện kĩ năng cho học sinh qua giải toán tương giao của hàm số”

Trang 1

Sáng kiến kinh nghiệm

2. Mục đích nghiên cứu Mục đích rèn luyện kĩ năng cho học sinh khi giải một số dạng bài liên quan tới sự tương giao của đồ thị các hàm số, thường gặp trong quá trình học tập, trong các kì thi tốt nghiệp hay thi thử tốt nghiệp lớp 12. 3. Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 12 và giáo viên THPT Các bài toán tương giao của đồ thị hai hàm số từ đó rút ra một số kĩ năng cần thiết cần rèn luyện cho học sinh 4. Phạm vi nghiên cứu Bám sát nội dung chương trình Toán THPT. Mở rộng phù hợp với nội dung thi tốt nghiệp lớp 12. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết Nghiên cứu SGK, sách giáo viên Nghiên cứu tài tiệu tham khảo Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy tại trường THPT Tây Hiếu Qua dự giờ đồng nghiệp, qua học hỏi kinh nghiệm của các thầy cô đi trước Qua trao đổi với học sinh để tìm hiểu nhũng khó khăn, qua các bài kiểm tra, qua các hình thức đánh giá và vở bài tập của học sinh

Trang 2

Sáng kiến kinh nghiệm

B. NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận và cở thực tiễn của đề tài 1.1. Cơ sở lý luận a) Khái niệm kĩ năng Theo tác giả Đặng Thành Hưng, kỹ năng là một dạng hành động được thực hiện tự giác dựa trên tri thức về công việc, khả năng vận động và những điều kiện sinh học – tâm lí khác của cá nhân (tức chủ thể của kỹ năng đó), như nhu cầu, tình cảm, ý chí, tính tích cực cá nhân... để đạt được kết quả theo mục đích hay tiêu chí đã định, hoặc mức độ thành công theo chuẩn mực hay quy định. Nhà tâm lý học người Liên Xô L.D.Leviton cho rằng “Kỹ năng là sự thực hiện có kết quả một động tác nào đó hay một hoạt động phức tạp hơn bằng cách lựa chọn và áp dụng những cách thức đúng đắn, có tính đến những điều kiện nhất định”. Theo ông, người có kỹ năng hành động là người phải nắm được và vận dụng đúng đắn các cách thức và quy tắc nhằm thực hiện hành động có kết quả. Ông cũng cho rằng con người có kỹ năng không chỉ nắm lý thuyết về hành động mà còn phải vận dụng vào thực tế. Theo tác giả Vũ Dũng thì kỹ năng là năng lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ tương ứng. Tác giả Thái Duy Tuyên định nghĩa kỹ năng là sự ứng dụng kiến thức trong hoạt động. Mỗi kỹ năng bao gồm một hệ thống thao tác trí tuệ và thực hành mà nếu thực hiện trọn vẹn hệ thống thao tác này sẽ đảm bảo đạt được mục đích đặt ra cho hoạt động. Điều đáng chú ý là việc thực hiện một kỹ năng luôn luôn được kiểm tra bằng ý thức, nghĩa là khi thực hiện bất kỳ một kỹ năng nào đều nhằm vào một mục đích nhất định. Nhìn chung, các tác giả đều cho rằng kỹ năng là quá trình áp dụng những tri thức đúng đắn mà một cá nhân tích lũy được để thực hiện mục tiêu đã đề ra. b) Kĩ năng học tập môn toán Trong tâm lý - giáo dục, người ta thường chia kĩ năng học tập cơ bản thành bốn nhóm: kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức và kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá. Trang 3

Sáng kiến kinh nghiệm

*) Kĩ năng nhận thức +) Kĩ năng nắm vững khái niệm +) Kĩ năng nắm vững định lí +) Kĩ năng vận dụng các quy tắc +) Kĩ năng dự đoán và suy đoán *) Kĩ năng thực hành +) Hoạt động giải toán +) Kĩ năng toán học hóa tình huống thực tiễn *) Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức *) Kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá 1.2.Cơ sở thực tiễn a) Thực trạng của việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh khi giải toán tương giao Các bài toán về sự tương giao của hàm số xuất hiện một cách thường xuyên trong các đề thi THPTQG và đề thi tốt nghiệp 12, bài tập mức độ nhận biết thông hiểu cũng có mà ở mức độ vận dụng và vận dụng cao cũng có. Ngoài ra sự tương giao còn được lồng ghép trong quá trình giải toán về cực trị hàm số, về sự đồng biến nghịch biến của hàm số…và rất nhiều các dạng toán khác. Tuy nhiên qua kết quả khảo sát kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 35 học sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về giải toán tương giao của hàm số như sau: Điểm dưới 5

Điểm từ 5-6

Điểm từ 6-8

Điểm từ 8-10

31,1

8,9

Một trong những nguyên nhân dẫn tới khó khăn trên của học sinh đó là: +) Học sinh chưa nắm vững kiến thức về sự tương giao của hàm số. Trong quá trình giải toán chưa nắm được bản chất số nghiệm của phương trình chính là bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số.

Trang 4

Sáng kiến kinh nghiệm

+) Một số học sinh còn hạn chế trong việc quan sát và đọc số liệu “ biết nói” trong bảng biến thiên của đồ thị hàm số +) Khi giải các bài toán tương giao chứa tham số thì việc xác định điều kiện có nghiệm, có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước của phương trình còn mơ màng, chưa chính xác. +)Khi giải các bài toán tương giao liên quan tới hàm hợp thì kĩ năng tìm điều kiện cho biến mới khi đổi biến, kĩ năng giải phương trình lên quan tới biến mới, kĩ năng vận dụng mối liên hệ giữa biến mới và biến cũ, giữa biến mới với đồ thị, bảng biến thiên đã cho còn hạn chế. Do đó học sinh gặp khó khăn trong việc lập bảng biến thiên hay vẽ đồ thị của hàm số đặc biệt là các hàm số cho ở dạng hàm hợp, khó khăn trong việc quan sát bảng biến thiên, đồ thị để tìm ra kiến thức cần sử dụng. b) Giải pháp Củng cố khắc sâu lí thuyết về sự tương giao của hàm số, hệ thống lại các kiến thức có liên quan như kiến thức về phương trình bậc hai, phương rình bậc ba, điều kiện có nghiệm …Bên cạnh đó rèn luyện kĩ năng vẽ và đọc bảng biến thiên hay đồ thị của hàm số. Đặc biệt, với các bài toán tương giao của hàm hợp chúng tôi chú trọng việc rèn kĩ năng ghép trục tọa độ trong các bài toán hợp để giải nhanh một số bài toán đó. Với mỗi dạng bài tập giáo viên chọn một vài ví dụ điển hình để phân tích và hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải và chọn ra cách giải tối ưu cho bài toán. Từ đó đưa ra hệ thống bài tập tương tự dưới hình thức trắc nghiệm nhằm củng cố kiến thức, giúp học sinh hiểu rõ và nắm chắc phương pháp giải Tổ chức kiểm tra đánh giá sau mỗi chủ đề nhằm đánh giá khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức cũng như các năng lực cần hình thành của học sinh để rút ra phương pháp phát huy điểm mạnh khắc phục điểm yếu cho học sinh.

Trang 5

Sáng kiến kinh nghiệm

II. Những kĩ năng cần rèn luyện cho học sinh qua việc giải toán tương giao của hàm số II.1. Rèn kĩ năng giải toán tương giao của hàm số thông qua đồ thị, bảng biến thiên cho trước. 1. Kĩ năng tìm số nghiệm của phương trình af ( x ) + b = 0 , a f ( x) + b = 0,... Kiến thức trọng tâm: + Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là ( C1 ) ; hàm số y = g ( x ) có đồ thị là ( C2 ) Số giao điểm của 2 đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) chính là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: f ( x ) = g ( x ) và ngược lại Phương pháp: Để tìm số nghiệm của phương trình af ( x ) + b = 0, a f ( x) + b = 0,... bằng phương pháp bảng biến thiên, hoặc đồ thị hàm số ta làm như sau: +) Đưa phương trình về dạng f ( x) =

−b −b hoặc f ( x) = ,… a a

+) Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , y = f ( x) ,… +) Dựa vào BBT, hoặc đồ thị hàm số và giả thiết để đưa ra kết luận Kĩ năng cần rèn luyện: Rèn luyện cho sinh kĩ năng vận dụng kiến thức về sự tương giao để tìm số nghiệm của phương trình Rèn luyện cho học sinh kĩ năng quan sát bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = f ( x ) …với đường thẳng y=k Rèn kĩ năng vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) khi biết bảng biến thiên hay đồ thị hàm số y = f ( x ) Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau

Trang 6

Sáng kiến kinh nghiệm

Tìm số nghiệm phương trình 2 f ( x) −1 = 0 Hướng dẫn 1 2

Ta có, phương trình 2 f ( x ) − 1 = 0 ⇔ f ( x ) = . 1 bằng số giao điểm 2 của đồ thị hàm số y = f ( x) và đường thẳng y = 1 . 2

Khi đó số nghiệm phương trình f ( x ) =

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đường thẳng y = 1 và đồ thị 2

hàm số y = f ( x) có 4 giao điểm phân biệt. Do đó, phương trình 2 f ( x) −1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm thực của phương trình 2 f (x) − 5 = 0 là Hướng dẫn 5 2

Ta có, phương trình 2 f ( x ) − 5 = 0 ⇔ f ( x ) = . Khi đó số nghiệm phương trình f ( x ) =

5 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 2

y = f ( x) và đường thẳng y = 5 . 2

Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng y = 5 và đồ thị hàm số y = f ( x) có 1 giao

2 điểm phân biệt. Do đó, phương trình 2 f (x) − 5 = 0 có 1 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số là đường cong trong hình vẽ . Tìm

Trang 7

Sáng kiến kinh nghiệm

số nghiệm của phương trình 2 f ( x ) = 3

Hướng dẫn 3 2

Ta có, phương trình 2 f ( x ) = 3 ⇔ f ( x ) = . Khi đó số nghiệm phương trình 2 f ( x ) = 3 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 3

y = f ( x ) và đường thẳng y = . 2

Dựa vào đồ thị, ta thấy đường thẳng y = 3 và đồ thị hàm số y = f ( x ) có 4 giao 2 điểm phân biệt. Do đó, phương trình 2 f ( x ) = 3 có 4 nghiệm phân biệt.

Bài tập tương tự: Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Trang 8

Sáng kiến kinh nghiệm

Số nghiệm thực của phương trình 3 f ( x) + 5 = 0 là A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

C. 3 .

D. 1 .

Bài tập 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như sau

Phương trình f ( x ) = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0 .

B. 2 .

Bài tập 3: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x ) − 1 = 0 là A.6. 2. Kĩ

năng

B. 4 . tìm

tham

số

C. 2 . m

để

phương

D. 3 . trình

af ( x ) + bg ( m ) = 0 ,

a f ( x) + bg (m) = 0 có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Để tìm số nghiệm của phương trình af ( x ) + bg ( m ) = 0, a f ( x) + bg (m) = 0,... bằng phương pháp bảng biến thiên, hoặc đồ thị hàm số ta làm như sau: +) Đưa phương trình về dạng f ( x) =

−bg (m) −bg (m) hoặc f ( x) = ,… a a

+) Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) , y = f ( x) ,… +) Dựa vào BBT, hoặc đồ thị hàm số và giả thiết để đưa ra kết luận cho tham Trang 9

Sáng kiến kinh nghiệm

số m Kĩ năng cần rèn luyện: Ngoài những kĩ năng cần rèn luyện cho học sinh trong phần 1 (trang5) ta cần rèn luyện thêm cho học sinh khả năng biện luận, dự đoán, phân tích các kết quả −bg (m) xảy ra khi đường thẳng y = thay đổi a Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 2x3 − 6x + 2m = 0 có hai điểm phân biệt? Hướng dẫn: Ta có 2 x3 − 6 x + 2m = 0 ⇔ − x3 + 3x = m (1) x =1  x = −1

Xét hàm số f ( x ) = − x3 + 3 x ( C ) .Ta có f ′ ( x ) = −3x2 + 3 = 0 ⇔ 

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số f ( x ) = − x3 + 3 x ( C ) giao đường thẳng y = m tại hai điểm phân biệt. Do đó m = 2 hoặc m = −2 . Vậy chỉ có một giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f ( x) − m = 0 có nghiệm duy nhất lớn hơn 2.

Hướng dẫn Trang 10

Sáng kiến kinh nghiệm

Ta có f ( x) − m = 0 ( ∗) Xem phương trình ( ∗ ) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) : y = f ( x) và đường thẳng d : y = m . Số giao điểm của (C) và d là số nghiệm của

(∗ ) . Dựa vào đồ thị hàm số, yêu cầu bài toán

⇔ m < −4 .

Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên ℝ \ {0} , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số

sao cho phương trình f ( x ) = m

có hai nghiệm thực phân biệt? Hướng dẫn: Phương trình f ( x ) = m có 2 nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại hai điểm phân biệt. Dựa vào bảng biến thiên  m ∈ ( −∞; −1] ∪ {2} . Ví dụ 7: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số là đường cong trong hình vẽ . Tìm tất cả các giá trị thực của

để phương trình f ( x ) = m có 4 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn:  f ( x ) khi Ta có : f ( x ) = 

 − f ( x ) khi

f ( x) ≥ 0 f ( x) < 0

. Trang 11

Sáng kiến kinh nghiệm

Suy ra, đồ thị hàm số y = f ( x ) gồm 2 phần: Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f ( x ) ở phía trên trục Phần 2: Lấy đối xứng qua trục

Ox .

phần đồ thị hàm số y = f ( x ) phía dưới trục

Ox .

Số nghiệm của phương trình f ( x ) = m là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = m .

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi

0< m < 4.

Ví dụ 8: Hình vẽ sau là đồ thị của một hàm trùng phương y = f ( x ) . Tìm giá trị của m để phương trình f ( x ) = m có 4 nghiệm phân biệt A. m = 0; m = 3. C. −3 < m < 1.

B. 1 < m < 3. D. m < 0.

Hướng dẫn Đồ thị hàm số y = f ( x) như hình vẽ

Số nghiệm phương trình f ( x) = m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) và đường thẳng y = m . Trang 12

Sáng kiến kinh nghiệm

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình f ( x ) = m có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m = 0 hoặc m = 3 . Bài tập tương tự: Bài tập 1: Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị

dương để

phương trình f ( x) + 2m +1 = 0 có hai nghiệm là

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Bài tập 2: Cho đồ thị của hàm số y = f ( x ) như hình vẽ. Tìm số giá trị nguyên của m

để phương trình f ( x ) = m có đúng

nghiệm phân biệt.

A. 0 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . Bài tập 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như đường cong trong hình vẽ dưới đây. Tìm giá trị của tham số

để phương trình f ( x ) + 1 = m có 6 nghiệm phân biệt?

Trang 13

Sáng kiến kinh nghiệm

A. 4 < m < 5

B. m > 5

C. 0 < m < 4

D. −4 < m < −3

II.2. Rèn kĩ năng giải toán tương giao của hàm số thông qua hàm số cho trước. 1. Kĩ năng tìm số giao điểm, tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị y = f ( x ) và y = g ( x) Phương pháp: +) Lập phương trình hoành độ giao điểm: f ( x ) = g ( x ) (1) +) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm + Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị Kĩ năng cần rèn luyện: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị, kĩ năng giải phương trình để tìm ra tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số Ví dụ 9: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x + 3 và đường thẳng y = x . Hướng dẫn:  x = 1  −1 + 13 3 3 . Xét phương trình hoành độ giao điểm: x − 3 x + 3 = x ⇔ x − 4 x + 3 = 0 ⇔  x = 2   x = −1 − 13  2

Vậy đồ thị hai hàm số có ba giao điểm. Ví dụ 10: Đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 và đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 có bao nhiêu giao điểm? Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm x 3 − 3 x 2 + 1 = x 3 − 3 x 2 . Phương trình này vô nghiệm nên hai đồ thị không có giao điểm. Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y = − x 4 + 2 x 2 + 3 và trục hoành có bao nhiêu điểm chung? Trang 14

Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm:

−x4 + 2x2 + 3 = 0 ⇔( x2 +1) (x2 −3) = 0 ⇔ x2 = 3 ⇔ x =± 3 . Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Ví dụ 12: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 4 − 5 x 2 + 5 và đường thẳng

y =1

Hướng dẫn Xét phương trình hoành độ giao điểm:  x 4 − 5x 2 + 5 = 1  x 4 − 5x 2 + 4 = 0  x2 = 4 ∨ x2 = 1 x − 5x + 5 = 1 ⇔  4 ⇔ 4 ⇔ 2 2 2 2  x − 5 x + 5 = −1  x − 5 x + 6 = 0 x = 3∨ x = 2  x = 2 ∨ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = −1 ⇔ x = 3 ∨ x = − 3 ∨ x = 2 ∨ x = − 2 4

Vậy có 8 giao điểm Ví dụ 13: Cho hàm số y = f ( x ) = x 4 + 2 x 2 . Tìm số giao điểm của đồ thị y = f ( x + 1 ) và đường thẳng y=3:

Hướng dẫn: Ta có: f ( x + 1 ) = x + 1 4 + 2 x + 1 2 = ( x + 1)4 + 2 ( x + 1)2 . Do đó số giao điểm của đồ thị y = f ( x + 1 ) và đường thẳng y = 3 là nghiệm của phương trình: ( x + 1)2 = 1  f ( x + 1 ) − 3 = 0 ⇔ ( x + 1) + 2 ( x + 1) − 3 = 0 ⇔ ⇔ ( x + 1)2 = −3 < 0 4

x = 0  x = −2 . 

Vậy có 2 giao điểm. Ví dụ 14: Cho hàm số y = f ( x ) = − x 4 + 3x 2 . Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) và đường thẳng y = −4

Hướng dẫn Xét phương trình hoành độ giao điểm f ( x − 2 ) = −4 . 4

⇔ − ( x − 2) + 3 ( x − 2)

 ( x − 2 ) 2 = −1 < 0 x =4  x = 4 ∨ x = −4 . = −4 ⇔  ⇔ ⇔   ( x − 2 ) 2 = 4 x = 0  x = 0 

Trang 15

Sáng kiến kinh nghiệm

Ta có số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x − 2 ) và đường thẳng

y = −4

bằng số

nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Vậy có 3 giao điểm. Ví dụ 15: Gọi

M, N

lần lượt là giao điểm của đường thẳng

y = x +1

và đồ thị hàm

số y = 2 x + 4 . Tìm hoành độ của trung điểm I của đoạn thẳng MN . x −1

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm: x + 1 = 2 x + 4 ( x ≠ 1) x −1

Hoành độ của

M,N

là các nghiệm của phương trình (1) nên theo định lý Viet:

xM + x N = 2

Suy ra hoành độ của trung điểm I của đoạn thẳng MN là: xI = xM + xN = 1 . 2

Ví dụ 16: Cho hàm số y = x + 1 có đồ thị ( C ) và đường thẳng x −1

d : 2x − y −1 = 0 .

Biết d

cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) . Tính y1 + y2 . Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm: 2 x − 1 = x + 1 ( x ≠ 1) ⇔ 2 x 2 − 4 x = 0 x −1

Hoành độ của

M,N

x1 + x2 = 2 . Suy

ra y1 + y2 = ( 2 x1 − 1) + ( 2 x2 − 1) = 2

(1)

là các nghiệm của phương trình (1) nên theo định lý Viet:

2. Kĩ năng tìm tham số m để đồ thị hai hàm số y = f ( x, m ) và y = g ( x, m) cắt nhau tại n điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. Để tìm điều kiện của tham số m sao cho đồ thị hai hàm số cắt nhau thỏa mãn điều kiện cho trước thì học sinh vẫn phải vận dụng kiến thức dùng phương trình hoành độ giao điểm sau đó biến đổi phù hợp với yêu cầu bài toán cần hướng tới. Với mục đích khắc sâu và nâng cao khả năng vận dụng kiến thức khi giải toán tương giao của hàm số tác giả chia làm ba loại hàm thường gặp: hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và hàm số bậc nhất trên bậc nhất Ngoài ra học sinh còn phải biết vận dụng kiến thức về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai, điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện Trang 16

Sáng kiến kinh nghiệm

cho trước, kĩ năng vận dụng kiến thức hình học vào giải toán như: tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, diện tích tam giác, tích vô hướng…,và kĩ năng vận dụng kiến thức về cấp số cộng, cấp số nhân để giải toán 2.1. Kĩ năng tìm tham số m trong bài toán tương giao đồ thị hàm số bậc ba Phương pháp giải toán tương giao đồ thị của hàm số bậc ba +) Lập phương trình hoành độ giao điểm Phương trình hoành độ giao điểm được đưa về dạng ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) . Để giải bài toán về tương giao của đồ thị hàm bậc ba với đường thẳng, parabol hoặc đồ thị hàm bậc ba khác về nguyên tắc ta sẽ xét phương trình hoành độ giao điểm (với bậc cao nhất là bậc ba). Tuy nhiên, trong chương trình phổ thông thì phương trình bậc ba không được học cách giải tổng quát, do đó có nhiều bài phải dùng đến những kĩ thuật khác nhau xoay quanh các phương pháp: nhẩm nghiệm hữu tỉ của phương trình bậc ba, dựa vào hình dạng đồ thị và cực trị hàm bậc ba,… sao cho phù hợp. Đối với những bài toán có chứa tham số, thì ta nên áp dụng các cách giải theo các thứ tự ưu tiên sau: Giải pháp thứ nhất: Biết được (1) có một nghiệm

x =α

. khi đó

x = α

ax3 + bx2 + cx + d = 0 ⇔ ( x − α ) ( a1 x 2 + b1 x + c1 ) = 0 ⇔ 

2  a1 x + b1 x + c1 = 0

Tùy yêu cầu mà ta có điều kiện tương ứng của phương trình a1 x2 + b1 x + c1 = 0 . Giải pháp thứ hai: Không biết được nghiệm của (1) nhưng có thể cô lập biến số và tham số về 2 vế của phương trình rồi lập BBT của hàm số chứa biến đã được cô lập. Quan sát BBT sẽ nhìn thấy điều kiện để phương trình thỏa mãn yêu cầu. Giải pháp thứ ba: Hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có các điểm cực trị là số đẹp, khi đó ta có +) (1) có 1 nghiệm ⇔ f ( x ) không có cực trị hoặc có cực trị thỏa mãn f CD . fCT > 0 . +) ( 2 ) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ f ( x ) có cực trị thỏa mãn f CD . fCT = 0 . Trang 17

Sáng kiến kinh nghiệm

+) ( 2 ) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ f ( x ) có cực trị thỏa mãn f CD . f CT < 0 . Giải pháp thứ tư: Hàm số f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d có các điểm cực trị là số lẻ, khi đó ta sử dụng tới đường thẳng đi qua hai điểm cực trị và kết hợp với định lý Viet để tính f CD . f CT . Tóm tắt các dạng cụ thể. *) Phương trình (1) có một nghiệm (H.1). Phương trình a1x2 + b1x + c1 = 0 vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm kép trùng α .  f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

Hoặc hàm số y = f ( x ) không có cực trị ⇔ 

 f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ

Hoặc hàm số y = f ( x ) có cực đại, cực tiểu và f CD . fCT > 0

*) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (H.2) Phương trình a1x2 + b1x + c1 = 0 có nghiệm kép khác α . Hoặc a1x2 + b1x + c1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt và có 1 nghiệm bằng α . Hoặc hàm số y = f ( x ) có cực đại và cực tiểu thỏa mãn f CD . fCT = 0 *) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt (H.3) Phương trình a1x2 + b1x + c1 = 0 có nghiệm kép khác α . Hoặc hàm số y = f ( x ) có cực đại và cực tiểu thỏa mãn f CD . f CT < 0

Trang 18

Sáng kiến kinh nghiệm

*) Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. ⇔ Phương trình (1) có 3 nghiệm dương phân biệt. ⇔ x = α > 0 và phương trình a1x2 + b1x + c1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt dương khác α .  f CD . fCT < 0  Hoặc hàm số y = f ( x ) có cực đại và cực tiểu thỏa mãn  xCD > 0, xCT > 0  af 0 < 0  ( )

*) Tìm điều kiện để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm. ⇔ Phương trình (1) có 3 nghiệm âm phân biệt. ⇔ x = α < 0 và phương trình a1x2 + b1x + c1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt âm khác α .  f cd . f ct < 0  Hoặc hàm số y = f ( x ) có cực đại và cực tiểu thỏa mãn  xcd < 0, xct < 0  af 0 > 0  ( )

Trang 19

Sáng kiến kinh nghiệm

Đặc biệt: Trong bài toán tương giao có chứa tham số và liên quan tới cấp số cộng, cấp số nhân ta phải giả sử phương trình có ba nghiệm từ đó dùng phương pháp đồng nhất hệ số để đưa ra mối liên hệ cần thết giữa ba nghiệm đó Ví dụ 17: Tìm giá trị của tham số

để đồ thị hàm số ( C ) : y = −2 x3 + 3x 2 + 2m − 1 cắt

trục hoành tại một điểm duy nhất. Hướng dẫn Ta có phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục hoành là: −2 x3 + 3x 2 + 2m − 1 = 0 ⇔ 2 x3 − 3 x 2 = 2m − 1.

(1)

(Nhìn vào phương trình hoành độ giao điểm ta có thể cô lập tham số nên ta dùng giải pháp 2)

Số giao điểm của ( C ) và trục hoành chính là số nghiệm của phương trình (1) . Mặt khác số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị ( C ′ ) của hàm số y = 2x3 − 3x2 với đường thẳng dm : y = 2m −1 . x = 0 . x = 1

Xét hàm số y = 2x3 − 3x2 . Ta có y′ = 6 x2 − 6 x = 0 ⇔  Bảng biến thiên:

Trang 20

Sáng kiến kinh nghiệm 1  m>  2m − 1 > 0  ′ d Khi đó yêu cầu bài toán ⇔ ( C ) cắt m tại 1 điểm duy nhất ⇔  ⇔ 2  2m − 1 < −1  m < 0 

Ví dụ 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ −2019; 2019 để đồ thị hàm số y = x3 + (m + 2) x +1 cắt đường thẳng y = 2x −1 tại một điểm duy nhất và thỏa mãn hoành độ dương ? Hướng dẫn (Tương tự như ví dụ 17 ta có thể sử dụng giải pháp 2 cô lập tham số m) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là: x3 + mx + 2 = 0

Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình tương đương với m = −x2 −

2 x

( x ≠ 0)

2 −2 x 3 + 2 Xét hàm số f ( x) = − x 2 − 2 với x ≠ 0 , suy ra f '( x) = −2 x + 2 = , 2 x

f '( x ) = 0 ⇔ x = 1

Bảng biến thiên: x

−∞

f '( x )

1 0

+∞ -

-3

+∞

f ( x) −∞

−∞

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị của một điểm duy nhất có hoành độ dương.

−∞ m

để đồ thị cắt trục hoành tại

Ví dụ 19: Tìm các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x 3 + 3mx 2 − 3m cắt đường thẳng y = 3 x − 2 tại ba điểm phân biệt. Hướng dẫn ( Nhận thấy phương trình hoành độ có một nghiệm đẹp x=1 nên ta dùng giải pháp 1 để giải) Trang 21

Sáng kiến kinh nghiệm

Phương trình hoành độ giao điểm là

x 3 + 3mx 2 − 3m = 3 x − 2 ⇔ x 3 + 3mx 2 − 3 x − 3m + 2 = 0

x = 1 . ⇔ ( x − 1)  x 2 + (3m + 1) x + 3m − 2  = 0 ⇔  2  x + (3m + 1) x + 3m − 2 = 0

Đặt g ( x ) = x 2 + (3m + 1) x + 3m − 2 . Đồ thị của hàm số y = x 3 + 3mx 2 − 3m cắt đường thẳng y = 3 x − 2 tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình x 2 + (3m + 1) x + 3m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt  ∆ = 9 m 2 − 6 m + 9 > 0, ∀m

khác 1 ⇔ 

 g (1) = 6m ≠ 0

⇔ m ≠ 0. Vậy m ∈ ℝ \ {0} .

Ví dụ 20: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số tham số m thuộc khoảng ( −2020; 2020 ) để parabol y = x 2 − 3x + 2 cắt đồ thị của hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 3m 2 x + m 2 + 1

tại ba điểm phân biệt?

Hướng dẫn ( Trong ví dụ này ta đề cập tới giải pháp thứ 3 tức là hàm số trong vế trái của phương trình hoành độ có các điểm cực trị là số đẹp) Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − 2 x 2 − 3m 2 x + m 2 + 1 = x 2 − 3 x + 2 ⇔ x 3 − 3 x 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 2 − 1 = 0

Đặt f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 2 − 1 . Ta có f '( x ) = 3 x 2 − 6 x + 3(1 − m 2 ) .  x = 1− m f '( x) = 0 ⇔  . Ta có f (1 − m) = 2m 3 − 2m 2 ; f (1 + m ) = −2 m 3 − 2 m 2 . x = 1 + m 

Parabol y = x 2 − 3 x + 2 cắt đồ thị của hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 3m 2 x + m 2 + 1 tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình x 3 − 3 x 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 2 − 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt m ≠ 0  m < −1 m ≠ 0 ⇔ ( m − 1)( m + 1) > 0 ⇔ ⇔  ⇔ m > 1 . 3 2 3 2  f (1 − m). f (1 + m) < 0  (2m − 2m ).( −2m − 2m ) < 0

Vì

nguyên thuộc khoảng ( −2020; 2020 ) nên m ∈ {−2019; −2018;...; −3; −2} ∪ {2;3;..; 2018; 2019} .

Trang 22

Sáng kiến kinh nghiệm

Vậy có tất cả 4036 giá trị của tham số

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 21: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + ( m + 1) x + 1 có đồ thị ( C ) . Tìm m để đường thẳng d : y = x +1 cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt P ( 0;1) ; M ; N sao cho bán kính đường tròn

ngoại tiếp tam giác OMN bằng

5 2 (với O là gốc tọa độ). 2

Hướng dẫn ( Ví dụ 21 lại sử dụng giải pháp 1, tuy nhiên học sinh còn phải biết vận dụng công thức liên quan tới bán kính đường tròn ngoại tiếp,định lí Vi-ét để giải) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d :  x = 0 ( y = 1) x 3 − 3 x 2 + ( m + 1) x + 1 = x + 1 ⇔  2  x − 3 x + m = 0 (1)

(C) cắt d tại ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0  ∆ = 9 − 4m > 0 9 ⇔  2 ⇔ 0 ≠ m < (*) 4 0 − 3.0 + m ≠ 0

Gọi M (x1; x1 +1), N(x2 ; x2 +1) với x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1). x + x = 3 1 Theo hệ thức Viet ta có:  1 2 . Khoảng cách từ O đến d là: h = 2  x1 x2 = m

Ta có: SOMN = MN .OM .ON ⇔ 1 MN .h = MN .OM .ON ⇔ OM .ON = 5 4R

⇔ (2 x12 + 2 x1 + 1)(2 x22 + 2 x2 + 1) = 25 ⇔ 4( x1 x2 )2 + 4 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 2( x1 + x2 )2 + 2( x1 + x2 ) = 24 m = 0 ⇔ 4m(m + 3) = 0 ⇔  Đối chiếu (*) ta được m = −3 . m = −3

Ví dụ 22: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − 9 x + m có đồ thị ( Cm ) . Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng? Hướng dẫn Trang 23

Sáng kiến kinh nghiệm

Phương trình hoành độ giao điểm: x 3 − 3 x 2 − 9 x + m = 0 (∗) Giả sử đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thì x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình (∗) .

( x1 < x2 < x3 )

Khi đó: x3 − 3x2 − 9 x + m = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) = x 3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x − x1 x2 x3

 x1 + x2 + x3 = 3 (1)

Do x1 , x2 , x3 lập thành một cấp số cộng ⇔ x1 + x3 = 2 x2 (2) . Thế (2) vào (1) ta có: x2 = 1 . Thay x2 = 1 vào phương trình (∗) , tìm được m = 11 . Thử lại thấy có m = 11 thỏa yêu cầu bài toán. Vậy có 1 giá trị

thỏa mãn.

Ví dụ 23: Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − 6 x − 8 có đồ thị ( Cm ) . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của

để đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập

thành cấp số nhân? Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm: x3 − mx2 − 6x − 8 = 0 Ta chứng minh nếu x1 , x2 , x3 là nghiệm của phương trình x3 − mx2 − 6x − 8 = 0 thì x1 x2 x3 = 8 .

Thật vậy x3 − mx 2 − 6 x − 8 = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) x3 − mx 2 − 6 x − 8 = x3 − ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x − x1 x2 x3  x1 x2 x3 = 8 .

Phương trình x3 − mx2 − 6x − 8 = 0 có ba nghiệm thực x1 < x2 < x3 lập thành một cấp số nhân  x1.x3 = x22  x1.x2 .x3 = x23  8 = x23  x2 = 2 . Vậy phương trình x3 − mx2 − 6x − 8 = 0 phải có nghiệm bằng 2 . Thay x = 2 vào phương trình ta có m = −3 . Trang 24

Sáng kiến kinh nghiệm

Thử lại với m = −3 ta thấy thỏa mãn. Qua các ví dụ từ 17 tới 21 mỗi ví dụ đều dùng giải pháp khác nhau để xử lí nhằm minh họa một cách rõ ràng các phương pháp có thể áp dụng. Từ đó giúp học sinh nâng cao được kĩ năng giải toán từ đó phát triển tư duy cho học sinh Như đã nói ở trên, bài toán tìm điều kiện của tham số m để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng hay cấp số nhân trong ví dụ 22, ví dụ 23 tưởng như rất phức tạp nhưng nếu ta biết sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để đưa ra mối quan hệ của các nghiệm thì bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều Bài tập tương tự Bài tập 1: Số giao điểm của đồ thị y = x3 − 2 x 2 + x − 1 và đường thẳng A. 1 .

B. 3 .

C. 0 .

y = 1− 2x

là

D. 2 .

Bài tập 2: Đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 2 và đồ thị hàm số y = − x3 + 8 x − 2 có bao nhiêu giao điểm? A. 1 .

B. 3 .

C. 0 .

D. 2 .

Bài tập 3: Biết đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 2 và đồ thị hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 x − 1 có duy nhất một giao điểm là A( a ; b ) . Hãy tính a + b . A. 1 .

B. 3 .

Bài tập 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của parabol y = −10x2 + x −1 tại đúng 1 điểm? A. 9 .

B. 10 .

C. 0 . a

D. 2 .

để đồ thị hàm số y = x3 + ax2 cắt C. 11 .

D. 8 .

Bài tập 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số 2 y = x3 − 3x 2 + ( 2m2 + 1) x + m − 1 và parabol y = 2x + x − m có hai giao điểm phân biệt và tổng hoành độ hai giao điểm đó là 3 ? A. 2 .

B. 0 .

C. 3 .

D. 1 .

Bài tập 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số tham số m để đồ thị hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 + 1 cắt đồ thị của hàm số y = x 3 − 6 x 2 + 9 x + m − 1 tại ba điểm phân biệt ? A. 33 .

B. 30 .

C. Vô số.

D. 31 . Trang 25

Sáng kiến kinh nghiệm

Bài tập 7: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = m ( x − 1) cắt đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 > 5 . A. m ≥ −3 .

B. m ≥ −2 .

C. m > −3 .

D. m > −2

Bài tập 8: Cho hàm số y = 1 x 3 − 2 x 2 + 3 x − 1 có đồ thị là ( C ) . Biết có duy nhất một 3

giá trị m 0 để đường thẳng d : y = mx − 1 cắt đồ thị ( C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C 3

với A cố định và SOBC = 2 SOAB . Chọn khẳng định đúng? A. m0 ∈ ( 0;1) .

B. m0 ∈ (1; 2 ) .

C. m0 ∈ ( 2;3) .

D. m0 ∈ ( 3; 4 ) .

Bài tập 9: Cho hàm số y = x3 − ( 4m + 5) x 2 + ( 3m2 + 12m + 8) x − 7m2 − 8m có đồ thị ( Cm ) . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của m để đồ thị ( Cm ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng? A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 0 . 3 2 Bài tập 10: Cho hàm số y = x − ( 2m + 5 ) x + 14mx − 8 có đồ thị ( Cm ) . Biết m là giá trị để đồ thị ( Cm ) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân, hỏi m thuộc khoảng nào dưới đây?  5 1 1 5 A.  − ;  .B.  ;  . 2 2 2 2 







5 9

C.  ;  . 2 2

 9 5 D.  − ; −  .  2

2

2.2. Kĩ năng tìm tham số m trong bài toán tương giao đồ thị hàm số trùng phương Để xét sự tương giao của đồ thị hàm trùng phương với đường thẳng với đồ thị một hàm số nào đó ta cũng xét phương trình hoành độ giao điểm sau đó dựa vào yêu cầu của bài toán để đưa ra các điều kiện ràng buộc cho nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.Chẳng hạn y = kx + n ,hoặc

+ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0 ) và đường thẳng y = k là: ax 4 + bx 2 + c = k ⇔ ax 4 + bx 2 + c − k = 0 . Số nghiệm của phương trình này là số giao điểm của đồ thì hàm số và đường thẳng đã cho. + Đặt t = x 2 ( t ≥ 0 ) . Phương trình trở thành at 2 + bt + c − k = 0 (*) . TH1: Phương trình (*) có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì chúng không có điểm chung. Trang 26

Sáng kiến kinh nghiệm

TH2: Phương trình TH3: Phương trình TH4: Phương trình TH5: Phương trình có 3 điểm chung.

(*) (*) (*) (*)

có 2 nghiệm trái dấu thì chúng có hai điểm chung. có 2 nghiệm dương phân biệt thì chúng có 4 điểm chung. có nghiệm kép dương thì chúng có 2 điểm chung. có 01 nghiệm dương và 01 nghiệm bằng 0 ( c = k ) thì chúng

b = 0 phương trình (*) trở thành at 2 = 0 ( a ≠ 0 ) thì chúng có 1 giao điểm c = k

TH6: Nếu  duy nhất.

Ví dụ 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y = mx 4 − ( 2m − 10 ) x 2 + 6m + 10 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt? Hướng dẫn Để phương trình mx4 − ( 2m −10) x2 + 6m +10 = 0 có 4 nghiệm phân biệt ta có   2 ( m − 5) − m ( 6m + 10 ) > 0  −5 < m < 1 ∆ ' > 0  5   2m − 10  >0 ⇔ m ∈ ( −∞, 0 ) ∪ ( 5, +∞ ) ⇔ −5 < m < − . S > 0 ⇔  3 P > 0  m  − 5    6 m + 10  m ∈  −∞,  ∪ ( 0, +∞ )  m > 0  3  

nguyên nên m = −2; −3; −4. Vậy có 3 giá trị của tham số

Ví dụ 25: Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng ( −20;20) để đồ thị hàm số y = ( m + 5) x4 + ( m − 3) x2 − m cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt Hướng dẫn Để phương trình ( m + 5) x4 + ( m − 3) x2 − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt ta xét 4 trường hợp TH1: m = −5 thỏa mãn TH2:

( m − 3 ) 2 + 4 m ( m + 5 ) = 0  ⇔  m−3 − > 0   m+5

 m = −1(TM )   m = −1 −9 m = ( KTM 5 

thỏa mãn.

TH3: m= 0 bị loại. m > 0  m = −19,.., −6;1,..19. m < −5

TH4: ( m + 5) m > 0 ⇔ 

Trang 27

Sáng kiến kinh nghiệm

Như vậy có các giá trị sau của tham số trị này bằng 2 + 3 + 4 = 9.

m : − 19; − 18;...; − 5; − 1;1; 2;...;19.

Ví dụ 26: Cho hàm số y = x 4 − ( m − 1) x 2 − m (C). Tìm

m để ( C )

Tổng các giá

cắt O x tại 2 điểm

phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 4 . Hướng dẫn  x 2 =−1 4 2  − − − ⇔ x ( m 1) x m =0 Xét phương trình hoành độ giao điểm  x 2 =m 

Đề

(C )

cắt O x tại 2 điểm phân biệt thì m> 0 . Khi đó x1 = m; x2 = − m .

x1 + x2 = 4 ⇔ 2 m = 4 ⇔ m = 2 ⇔ m = 4.

Vậy giá trị cần tìm là m= 4 . Ví dụ 27: Cho hàm số y = x4 − ( 2m + 4) x2 + m2 với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Hướng dẫn 4 2 Sử dụng công thức giải nhanh sau: Đồ thị hàm số y =ax +bx +c cắt trục hoành tại bốn điểm lập thành một cấp số cộng thì điều kiện:

  1  1.m2 > 0 ac > 0 m=     3 (*) ab < 0 ⇔ 1.  − ( 2m + 4 )  < 0 ⇔  m = − 3   100 2 100 2 2 b = ( 2m + 4 ) = ac  4 m 9   9

Chứng minh công thức (*): Phương trình hoành độ giao điểm: Đặt

t = x2 ≥ 0 .

ax 4 + bx 2 + c = 0

Phương trình trở thành:

(1)

at 2 + bt + c = 0

(2)

4 2 Đồ thị hàm số y =ax +bx +c cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi

phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt t1, t2 . Điều kiện để PT (2) có hai nghiệm dương phân biệt là: Trang 28

Sáng kiến kinh nghiệm a ≠ 0  2 a ≠ 0  ∆ = b − 4ac > 0  2   ∆ = b − 4ac > 0 b (I) ⇔  S = t1 + t2 = − > 0  ab < 0 a     ac > 0 c  P = t1.t2 = > 0 a 

Với ĐK (I) phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt 0 < t1 < t2 . Khi đó phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt: x1 = − t2 , x2 = − t1 , x3 = t1 , x4 = t2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi b  t1 + t 2 = − a x2 − x1 = x3 − x2 = x4 − x3 ⇔t2 = 9t1 . Theo định lý Viet:  .Từ đó b 2 = 100 ac (II) c 9 t t = 1 2  a

Từ (I) và (II) suy ra công thức (*). Bài tập tương tự Bài tập 1: Tìm m để đường thẳng

y = −1

y = x − (3m + 2) x + 3m tại 4 điểm phân biệt có hoành 1  1  − < m < 1 m < − A. m> 0 . B.  3 . C.  3.  m ≠ 0  m ≠ 0 4

cắt đồ thị hàm số

(C ) : m

độ nhỏ hơn 2. D. m ≥ 1.

Bài tập 2: Cho hàm số y = x 4 − 2( m + 1) x 2 + 2 m + 1 . Tìm m không âm để đồ thị hàm số 2 2 2 2 cắt trục O x tại 4 điểm có hoành độ là x1, x2 , x3, x4 sao cho x1 + x2 + x3 + x4 đạt giá trị nhỏ nhất. A. m= 0 . B. m = 1. C. m= 2 . D. m= 3 . Bài tập 3: Cho hàm số y = x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 có đồ thị là ( Cm ) . Định

để đồ thị

( Cm ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.  

4 9

A. m = 4; −  .

 4  9

B. m = −  .

C. m = {4} .

 

4 9

D. m = −4; 

Bài tập 4: Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số y = x 4 − ( 3m − 2 ) x + 2m2 − 5m − 1 ,

là tham

số. Giá trị m để ( Cm ) cắt đường thẳng d : y − 2 = 0 tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng thuộc khoảng? A. m∈ ( −3;0) .

B. m∈( 0;3) .

C. m∈( 3;6) .

D. m∈( 6;9) . Trang 29

Sáng kiến kinh nghiệm

ax + b cx + d ( c ≠ 0 ) với đường thẳng y=kx+n

2.3 .Kĩ năng tìm tham số m trong bài toán tương giao đồ thị hàm số y = Để xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ax + b cx + d

hoặc với đồ thị hàm số

a'x + b' y= (c ' ≠ 0) c'x+ d '

2 hay đồ thị hàm số y = Ax + Bx + C ( A ≠ 0)

ax + b

ta đều đi xét phương trình hoành độ giao điểm chẳng hạn: cx + d = kx + n sau đó dựa vào yêu cầu của bài toán để đưa ra các điều kiện ràng buộc cho nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. Ví dụ 28: Cho hàm số y =

x có đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y = − x + m . Tìm các x −1

giá trị thực của tham số

để

cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt?

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng x  x 2 − mx + m = 0 = − x + m (1) ⇔  x −1 x ≠ 1

và đồ thị ( C ) là

(2)

Để d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là phương trình hai nghiệm phân biệt, hay ( 2 ) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Tức là:

(1)

có

 ∆ = m 2 − 4m > 0 m > 4 ⇔   m < 0. 1 ≠ 0

Ví dụ 29: Cho hàm số y =

x+2 mx + 1 có đồ thị (C ) và hàm số y = có đồ thị là ( C ') x +1 x −1

, với m là tham số. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của để ( C ) cắt ( C ') tại hai điểm phân biệt.

thuộc khoảng ( −5;15 )

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và

( C ') là:

x + 2 mx + 1 = (1) x +1 x −1

 x ≠ −1  x ≠ −1   x ≠ 1  ⇔ x ≠ 1 ⇔ ⇔ x ≠ 1 2 ( m − 1) x + mx + 3 = 0  m − 1 x2 + mx + 3 = 0  x + 2 x − 1 = mx + 1 x + 1 )( ) ( )( ) ( ) (

( 2)

Trang 30

Sáng kiến kinh nghiệm

(vì ∀m ∈ℝ thì x = −1 không là nghiệm của (2))

( C ) cắt

( C ')

tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ trình

phương

( 2)

có

hai

nghiệm

phân

biệt

 m ≠ 1 m − 1 ≠ 0 m ≠ 1  2   ⇔ ∆ > 0 ⇔  m − 12m + 12 > 0 ⇔  m ≠ −1   m ≠ −1  m − 1 + m + 3 ≠ 0   m ∈ −∞;6 − 2 6 ∪ 6 + 2 6; +∞

(

m∈ℤ

và m ∈ ( −5;15 ) nên

)

m ∈ {− 4; − 3; − 2; 0;11;12;13;14}

Vậy tổng tất cả các giá trị của Ví dụ 30: Tìm tập hợp

) (

khác

bẳng: 41

tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y =

x−2 cắt x +1

parabol y = x 2 − mx + 2m − 4 tại ba điểm phân biệt. Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của y =

x−2 và parabol y = x 2 − mx + 2m − 4 là: x +1

x−2 = x2 − mx + 2m − 4 (*) ⇔ x − 2 = ( x + 1) ( x 2 − mx + 2m − 4 ) (Do x = − 1 không phải là x +1 nghiệm của phương trình) ⇔ x − 2 = ( x + 1)( x − 2 )( x + 2 − m ) x = 2 ⇔ ( x − 2 )  x2 + ( 3 − m ) x + 1 − m = 0 ⇔  2  x + ( 3 − m ) x + 1 − m = 0 (1)

Đồ thị hàm số y =

x−2 cắt parabol y = x 2 − mx + 2m − 4 tại ba điểm phân biệt x +1

⇔ Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 2  4 + 2 ( 3 − m ) + 1 − m ≠ 0 11 ⇔ ⇔m≠ . 2 3  ∆ = ( 3 − m ) − 4 (1 − m ) > 0

2x +1 có đồ thị (C). Gọi S là tập tất cả các giá trị của x +1 tham số m để đường thẳng d : y = x + m −1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B

Ví dụ 31: Cho hàm số y =

sao cho AB = 2 3 . Tính tổng bình phương các phần tử của S. Trang 31

Sáng kiến kinh nghiệm

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là  x ≠ −1 2x +1 = x + m −1 ⇔  2 x +1  x + ( m − 2) x + m − 2 = 0 (*).

Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác −1 (m − 2)2 − 4(m − 2) > 0  ∆ (*) > 0 m < 2 ⇔ ⇔ m2 − 8m + 12 > 0 ⇔  (**). ⇔ 2 ( −1) − ( m − 2) + m − 2 ≠ 0 m > 6 1 ≠ 0

Khi đó, A( x1 ; x1 + m − 1) và B ( x2 ; x2 + m − 1) , với x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Hơn nữa, ta có AB = 2 3 ⇔ AB 2 = 12 ⇔ 2( x2 − x1 ) 2 = 12 ⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 = 6 , với x1 + x2 = 2 − m

 m = 4 + 10

và x1 x2 = m − 2 . Từ đó, ta có m2 − 8m + 6 = 0 ⇔ 

 m = 4 − 10

So điều kiện (**), ta nhận hai giá trị m trên. Do đó,

{

S = 4 − 10; 4 + 10 2

Vậy, tổng bình phương các phần tử của S là ( 4 − 10 ) + ( 4 + 10 ) = 52. Ví dụ 32: Cho hàm số y =

x −1 có đồ thị ( C ) . Tìm tất cả giá trị thực của m để 2x

đường thẳng ( d ) : y = −x + m cắt đồ thị hàm số ( C ) tại hai điểm phân biệt cho tam giác OMN vuông tại O .

M,N

sao

Hướng dẫn Phương trình hoành độ giao điểm của ( d ) và ( C ) : 2 x −1  g ( x ) = 2 x − ( 2m − 1) x − 1 = 0 = −x + m ⇔  2x  x ≠ 0

Đường thẳng ( d ) cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt  ∆ = 4m − 4m + 9 > 0

(1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ 

(1) M,N

khi phương trình

 g ( 0 ) = −1 ≠ 0

⇔ m∈ℝ.

Trang 32

Sáng kiến kinh nghiệm

Gọi x1, x2 ( x1 ≠ x2 ) lần lượt là hoành độ của M và N thì x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1) . Theo định lí Vi-et, ta có: x1 + x2 =

2m − 1 1 ; x1.x2 = − . 2 2

Khi đó tọa độ giao điểm M ( x1; −x1 + m) , N ( x2 ; −x2 + m) ∆OMN vuông tại O  OM ⊥ ON ⇔ OM .ON = 0 ⇔ x1.x2 + ( − x1 + m) .( − x2 + m) = 0 ⇔ 2 x1.x2 − m ( x1 + x2 ) + m2 = 0 ⇔ −1 − m.

2m − 1 + m2 = 0 ⇔ m = 2 2

Bài tập tương tự x+2 có đồ thị (C ) và đường thẳng d : y = − x + m với m x +1 là tham số. Tổng tất cả các giá trị của m để d và (C ) có duy nhất một điểm chung.

Bài tập 1: Cho hàm số y =

A. 0 .

B. 2 .

C. −2 .

Bài tập 2: Tập tất cả các giá trị của tham số hàm số y =

D. 4 .

để đường thẳng

y = x+m

cắt đồ thị

x+2 tại hai điểm phân biệt là x −1

A. ℝ .

B. ( − 2; +∞ ) .

Bài tập 3: Tìm tập hợp

C. ( − ∞ ; 3 ) .

D. ( −2; 3 ) .

tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y =

x −3 và 1− x

parabol y = x 2 − ( m + 1) x + 3m − 6 có đúng một điểm chung. A.

S =∅

S =ℝ

C. S = ( −∞;1) ∪ ( 5; +∞ ) .

Bài tập 4: Cho hàm số y =

x 1− x

(C ) và điểm

D. S = (1;5) .

A ( −1;1). Tìm

m để đường thẳng

d : y = mx − m −1 cắt (C ) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM 2 + AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

A. m = −1.

B. m = 0 . C. m = −2 .

Bài tập 5: Cho hàm số y =

2 3

D. m = − .

2x +1 có đồ thị ( C ) . Tìm các giá trị của tham số m để x +1

đường thẳng d : y = x + m −1 cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt A , B sao cho AB = 2 3 . Trang 33

Sáng kiến kinh nghiệm

A. m = 4 ± 3 .

B. m = 4 ± 10 .

C. m = 2 ± 10 .

D. m = 2 ± 3

II.3. Rèn kĩ năng giải toán tương giao của hàm số qua các bài toán hàm hợp. Xét bài toán : Cho đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) . Xét giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( u ( x ) ) với đường thẳng d . Giải pháp 1: + Đặt u ( x ) = t , xác định điều kiện của t . Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , xác định các giao điểm của đồ thị y = f ( t ) với d . + Với mỗi giao điểm có hoành độ ti , thay vào u ( x ) = t để xác định các giá trị của x tương ứng. Để xác định x trong phương trình u ( x ) = t ta thường hay phải vẽ đồ thị hoặc lập bảng biến thiên của y = u ( x ) sau đó tìm giao điểm với y = t Từ các giá trị x này đánh giá được giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( u ( x ) ) với đường thẳng d . Tuy nhiên trong trường hợp u ( x ) = x + a để vẽ đồ thị hay lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x + a ) ta có thể dùng phương pháp tịnh tiến đồ thị như sau: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị (G) của hàm số y = f ( x ) ; p và q là hai số dương tùy ý. Khi đó: 1) Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x ) + q . 2) Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x ) − q . 3) Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x + p ) . 4) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số y = f ( x − p ) . Giải pháp 2: Dùng cách ghép trục như sau: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm y = f ( u ( x ) ) , giả sử ta được tập xác định D = ( a1 ; a2 ) ∪ ( a3 ; a4 ) ∪ ... ∪ ( a n −1 ; an ) . Ở đây có thể là a1 ≡ −∞ ; a n ≡ +∞ .

Bước 2: Xét sự biến thiên của u = u ( x ) và hàm

y = f ( x) .

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa

[u; g =

 x ; u = u ( x ) 

và

f (u ) ] .

Bảng này thường có 3 dòng dạng

Trang 34

Sáng kiến kinh nghiệm

Cụ thể các thành phần trong BBT như sau Dòng 1: Xác định các điểm kỳ dị của hàm u = u ( x ) , sắp xếp các điểm này theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau: a1 < a 2 < .... < a n −1 < a n ( đó là điểm biên của tập xác định D , các điểm cực trị của u = u ( x ) .). Dòng 2: Điền các giá trị ui = u ( ai ) với ( i = 1,..., n ) Trên mỗi khoảng ( ui ; ui +1 ) , i = 1, n −1 cần bổ xung các điểm kỳ dị b1 ; b2 ;...; bk của của hàm y = f ( x ) . (đó là các điểm tại đó f ( x ) và f ′( x ) không xác định; các điểm cực trị hàm số y = f ( x ) . Trên mỗi khoảng ( ui ; ui +1 ) , i = 1, n −1 cần sắp xếp các điểm u i ; bk theo thứ tự chẳng hạn: ui < b1 < b2 < ... < bk < ui +1 hoặc ui > b1 > b2 > ... > bk > ui +1 Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g = f ( u ( x ) ) dựa vào BBT của hàm y = f ( x ) bằng cách hoán đổi: u đóng vai trò của x ; f ( u ) đóng vai trò của f ( x ) . Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp g = f ( u ( x ) ) ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này. Bước 4: Dùng BBT hàm hợp

g = f (u ( x ))

giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài

toán và kết luận. Ví dụ 33: Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau

a) Tìm số nghiệm của phương trình f ( x ) = 0 (1) b) Tìm số nghiệm của phương trình f ( x + 1) = 0 (2) Trang 35

Sáng kiến kinh nghiệm

c) Tìm số nghiệm của phương trình f ( x 2 − 2 x + 1) = 0 (3) d) Tìm số nghiệm của phương trình f ( x3 − 3x ) = 0 (4)

 π 5π  e) Tìm số nghiệm của phương trình f ( sin x + 1) = 0 (5) trên khoảng  − ;   2 2 

(

)

f) Tìm số nghiệm của phương trình f ex − 3 + 1 = 0 (6) Hướng dẫn Trong ví dụ 33 các câu tăng dần mức độ các hàm u=u(x) (từ câu b) thay đổi từ dễ đến khó,tư đơn giản đến phức tạp. Tuy nhiên, câu nào cũng làm được bằng hai cách, ngoài phương pháp đặt truyền thống ta còn có thể hướng dẫn học sinh cách ghép trục để quyết nhanh các câu đó. a) Đây là bài toán thuộc dạng cơ bản. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị y = f ( x) và đường thẳng y=0. Theo bảng biến thiên suy ra phương trình có 4 nghiệm phân biệt b) Cách 1: Dùng phương pháp tịnh tiến đồ thị Đồ thị của hàm số y = f ( x + 1) có được khi tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) sang trái 1 đơn vị, do đó bảng biến thiên của hàm số y = f ( x + 1) là

Từ bảng biến thiên suy ra số nghiệm của phương trình f ( x + 1) = 0 là 4 nghiệm Cách 2: Đặt t = x + 1 . Khi đó phương trình trở thành phương trình f ( t ) = 0 ( 2 ') . Số nghiệm x của phương trình (2) bằng số nghiệm t của phương trình ( 2 ') . Số nghiệm của phương trình ( 2 ') bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng y = 0 . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 0 và đồ thị hàm số y = f ( t ) có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình ( 2 ') có 4 nghiệm t phân biệt. Do đó phương trình (2) có 4 nghiệm phân biệt x c) Cách 1: Đặt

t = x2 − 2x +1 .

Trang 36

Sáng kiến kinh nghiệm

Khi đó phương trình trở thành phương trình f ( t ) = 0 ( 3 ' ) . Số nghiệm của phương trình ( 3 ' ) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng y = 0 . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 0 và đồ thị hàm số y = f ( t ) có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình ( 3 ' ) có 4 nghiệm t phân biệt đó là t  t f (t ) = 0 ⇔  t   t

= a ∈ ( −∞ ; − 2 ) = b ∈ ( − 2; 0 ) = c ∈ ( 0; 2 ) = d ∈ ( 2; +∞ )

 x2  2 x  2 x  2  x

− 2 x + 1 = a ∈ ( −∞ ; − 2 ) − 2 x + 1 = b ∈ ( − 2; 0 ) − 2 x + 1 = c ∈ ( 0; 2 ) − 2 x + 1 = d ∈ ( 2; +∞ )

( 3.1) ( 3.2 ) ( 3.3 ) ( 3.4 )

Số nghiệm của các phương trình (3.1), (3.2),(3.3), (3.4) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 1 và các đường thẳng y = a , y = b, y = c, y = d . Dựa vào dồ thị ta thấy phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt.(Ta có thể có nhiều cách để tính nghiệm của 4 phương trình (3.1), (3.2),(3.3), (3.4)) Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục Phân tích: +) Đặt t = x 2 − 2 x + 1  t ' = 0 ⇔ x = 1 khi đó trên dòng 1 của bảng biến thiên có điểm cực trị của t = x 2 − 2 x + 1 là x=1

Trang 37

Sáng kiến kinh nghiệm

+) Trên dòng 2 ta tính giá trị cực trị của hàm số t = x 2 − 2 x + 1 tại x=1 là t(1)=0. Đồng thời lim t ( x) = −∞; lim t ( x) = +∞ , trong khoảng ( −∞;0 ) hàm số y=f(t) có điểm x→−∞

x→+∞

cực trị là x=-2, trong khoảng ( 0;+∞ ) hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=2.Nên ta bổ sung hai điểm cực trị của hàm này trên dòng 2 của BBT +) Trên dòng 3 ta tính các giá trị của hàm y=f(t) và xác định được sự biến thiên của hàm số dựa vào giải thiết. Từ đó hoàn thành BBT của hàm số bằng cách ghép trục. +) Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán ta suy ra được kết quả ta cần Lời giải Đặt

t = x2 − 2 x + 1  t ' = 0 ⇔ x = 1

ta có bảng biến thiên

−∞

y = f (t )

-2

t = x2 − 2 x + 1 −∞

+∞ 2

+∞

+∞ -2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (t ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt d) Cách 1: Đặt

t = x3 − 3 x .

Khi đó phương trình trở thành phương trình f ( t ) = 0 ( 4 ') . Số nghiệm của phương trình ( 4 ') bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng y = 0 . Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 0 và đồ thị hàm số y = f ( t ) có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình ( 4 ') có 4 nghiệm t phân biệt đó là t  t f (t ) = 0 ⇔  t t 

= a ∈ ( −∞ ; − 2 ) = b ∈ ( − 2; 0 ) = c ∈ ( 0; 2 ) = d ∈ ( 2; +∞ )

 x3  3 x  3 x  3  x

− 3 x = a ∈ ( −∞ ; − 2 ) − 3 x = b ∈ ( − 2;0 ) − 3 x = c ∈ ( 0; 2 ) − 3 x = d ∈ ( 2; +∞ )

( 4.1) ( 4.2 ) ( 4.3 ) ( 4.4 ) y=d

y=c 1 -1

O y=b -2

y=a

Trang 38

Sáng kiến kinh nghiệm

Số nghiệm của các phương trình (4.1), (4.2),(4.3), (4.4) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = x3 − 3x và các đường thẳng y = a , y = b, y = c, y = d . Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (4) có 8 nghiệm phân biệt. Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục Phân tích: x = 1  x = −1

+) Đặt t = x 3 − 3 x  t ' = 0 ⇔  cực trị của

t = x 3 − 3 x là

khi đó trên dòng 1 của bảng biến thiên có điểm

x=1 và x=-1

+) Trên dòng 2 ta tính giá trị cực trị của hàm số t = x 3 − 3 x tại x=1,x=-1 là t(-1)=2; t(1)=-2. Đồng thời lim t ( x) = −∞; lim t ( x) = +∞ , trong khoảng ( −∞;2) hàm số x→−∞

x→+∞

y=f(t) có điểm cực trị là x=-2 và x=0 , trong khoảng ( −2;2) hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=0, trong khoảng ( −2; +∞ ) hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=0 và x=2. Nên ta bổ sung các điểm cực trị của hàm này trong mỗi khoảng trên dòng 2 của BBT +) Trên dòng 3 ta tính các giá trị của hàm y=f(t) và xác định được sự biến thiên của hàm số dựa vào giải thiết. Từ đó hoàn thành BBT của hàm số bằng cách ghép trục. +) Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán ta suy ra được kết quả ta cần x = 1  x = −1

Lời giải: Đặt t = x 3 − 3 x  t ' = 0 ⇔ 

−∞

t = x3 − 3x

−∞

y = f (t )

ta có bảng biến thiên

−1 -2

+∞ -2

1 0

-2

1 -2

+∞ 0

1 -2

+∞ +∞

-2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (t ) = 0 có 8 nghiệm phân biệt e) Cách 1: Đặt

t = sin x + 1 .

Khi đó phương trình trở thành phương trình f ( t ) = 0 ( 5 ') . Số nghiệm của phương trình ( 5 ') bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng y = 0 . Trang 39

Sáng kiến kinh nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 0 và đồ thị hàm số y = f ( t ) có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình ( 5 ') có 4 nghiệm t phân biệt đó là t  t f (t ) = 0 ⇔  t  t 

= a ∈ ( −∞ ; − 2 ) = b ∈ ( − 2;0 ) = c ∈ ( 0; 2 ) = d ∈ ( 2; +∞ )

 sin x + 1 = a ∈ ( −∞ ; − 2 )   sin x + 1 = b ∈ ( − 2; 0 )  sin x + 1 = c ∈ ( 0; 2 )   sin x + 1 = d ∈ ( 2; +∞ ) 

( 5.1 ) y=d ( 5.2 ) ( 5.3 ) ( 5.4 )

y=c

y=b y=a

Số nghiệm của các phương trình (5.1), (5.2),(5.3), (5.4) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = sin x + 1 và các đường thẳng y = a , y = b, y = c, y = d . Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (5) có 3 nghiệm phân biệt. Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục. Tương tự như phân tích câu c) và d) ta có BBT của hàm số Đặt t = sin x + 1  t ' = cos x, t ' = 0 ⇔ x = π ; x = 3π ta có bảng biến thiên 2

−

t = sin x + 1 0 y = f (t )

5π 2

3π 2 0

1 -2

-2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (t ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt f) Cách 1: Đặt t = e x − 3 . 2

Khi đó phương trình trở thành phương trình f ( t ) = −1

( 6 ') .

Số nghiệm của phương trình ( 6 ' ) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( t ) và đường thẳng y = − 1 . Trang 40

Sáng kiến kinh nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 0 và đồ thị hàm số y = f ( t ) có đúng 4 giao điểm phân biệt nên phương trình ( 6 ' ) có 4 nghiệm t phân biệt đó là t  t f (t ) = 0 ⇔  t   t

= a ∈ ( −∞ ; − 2 ) = b ∈ ( − 2; 0 ) = c ∈ ( 0; 2 ) = d ∈ ( 2; +∞ )

e x2  e x2  2 e x  e x2 

− 3 = a ∈ ( −∞ ; − 2 ) − 3 = b ∈ ( − 2; 0 ) − 3 = c ∈ ( 0; 2 ) − 3 = d ∈ ( 2; +∞ )

( 6.1) ( 6.2 ) ( 6.3 ) ( 6.4 )

y=d 2

y=c

O y=b y=a

-2

Số nghiệm của các phương trình (6.1), (6.2),(6.3), (6.4) là số giao điểm của 2

đồ thị hàm số y = e x − 3 và các đường thẳng y = a , y = b, y = c, y = d . Dựa vào dồ thị ta thấy phương trình (6) có 6 nghiệm phân biệt. Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục 2

Đặt t = e x − 3  t ' = 2 xe x , t ' = 0 ⇔ x = 0 ta có bảng biến thiên

−∞ 2

t = ex − 3 y = f (t )

+∞

-2

+∞ -2

+∞ 0

1 -2

+∞ +∞

-2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (t ) = 0 có 6 nghiệm phân biệt Trong những năm gần đây BGD thường rất hay ra các câu tương giao hàm hợp trong đề thi THPTQG cũng như trong đề thi tốt nghiệp lớp 12 mà một phương án Trang 41

Sáng kiến kinh nghiệm

tối ưu để học sinh tìm ra nhanh kết quả bài toán chính là phương pháp ghép trục, chẳng hạn đề thi năm 2019. Ví dụ 34 (Mã 101 đề thi THPTQG năm 2019): Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình f ( x3 − 3x ) = A. 3 . Hướng dẫn:

B. 8 .

4 là 3

C. 7 .

D. 4 .

Cách 1: (Đáp án của BGD) 4 (1) . 3 Đặt t = x 3 − 3 x , ta có: t ′ = 3 x 2 − 3 ; t′ = 0 ⇔ x = ±1 .

Xét phương trình: f ( x 3 − 3 x ) = Ta có bảng biến thiên:

Phương trình (1) trở thành f ( t ) =

4 với t ∈ ℝ . 3

Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ban đầu, ta suy ra đồ thị hàm số y = f ( t ) như sau:

Trang 42

Sáng kiến kinh nghiệm

Suy ra phương trình f ( t ) =

4 có các nghiệm t1 < −2 < t2 < t3 < 2 < t4 . 3

Từ bảng biến thiên ban đầu ta có: +) x3 − 3x = t1 có 1 nghiệm x1 . +) x3 − 3x = t4 có 1 nghiệm x2 . +) x3 − 3x = t2 có 3 nghiệm x3 , x3 , x5 . +) x3 − 3x = t3 có 3 nghiệm x6 , x7 , x8 . Vậy phương trình f ( x 3 − 3 x ) =

4 có 8 nghiệm. 3

Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục

b a

Từ đồ thị y = f ( x ) ta gọi điểm cực đại, điểm cực của đồ thị của hàm số lần lượt là M ( a; f (a) ) , với f ( a ) > 2, và N (b; −1) 4  f (t ) =  4 3 f (t ) = ⇔  3  f (t ) = − 4  3

x = 1  x = −1

Khi đó

x = 1  x = −1

khi đó trên dòng 1 của bảng biến thiên có điểm

Đặt t = x 3 − 3 x  t ' = 0 ⇔ 

Phân tích để đưa ra BBT +) Đặt t = x 3 − 3 x  t ' = 0 ⇔  cực trị của

t = x 3 − 3 x là

x=1 và x=-1 Trang 43

Sáng kiến kinh nghiệm

x→+∞

y=f(t) có điểm cực trị là x=a , trong khoảng ( −2;2) hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=a, trong khoảng ( −2; +∞ ) hàm số y=f(t) có điểm cực trị là x=a và x=b. Nên ta bổ sung các điểm cực trị của hàm này trong mỗi khoảng trên dòng 2 của BBT +) Trên dòng 3 ta tính các giá trị của hàm y=f(t) và xác định được sự biến thiên của hàm số dựa vào giải thiết. Từ đó hoàn thành BBT của hàm số bằng cách ghép trục. +) Dựa vào BBT và yêu cầu bài toán ta suy ra được kết quả ta cần Ta có bảng biến thiên

−∞

t = x3 − 3x

−∞

y = f (t )

-1 a

f(a)

1 a

-2

+∞ a

+∞

f(a)

+∞ 0

-1

−∞

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (t ) = 0 có 8 nghiệm phân biệt Ví dụ 35: Cho hàm số bậc ba y = f ( x) có đồ thị trong hình vẽ dưới đây

a) Tìm số nghiệm phương trình f ( f ( x )) = 0 b) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( f ( x )) = m có nghiệm thuộc khoảng ( 0; 1) . Tìm số phần tử của tập S . Trang 44

Sáng kiến kinh nghiệm

c) Xét các số thực

m ∈ [ 0; 2 ] ,

3 2

khi đó phương trình f ( x3 − 2 x2 + 2021x) = m2 − 2m + có

bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? d) Tìm các giá trị thực của tham số

m để

bất phương trình f

)

(

4 − x 2 = m có

nghiệm thuộc nửa khoảng  − 2 ; 3 ) Hướng dẫn a) Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số ta có: x = a  f ( x ) = 0 ⇔  x = b với − 2 < a < − 1, 0 < b < 1, 1 < c < 2 .  x = c   f ( x) = a (1)  f ( f ( x)) = 0 ⇔  f ( x) = b (2) . Số nghiệm phương trình (1), (2), (3) lần lượt là: 1, 3, 3.   f ( x) = c (3) 

Vậy phương trình có tất cả 1 + 3 + 3 = 7 nghiệm. Cách 2: Dùng phương pháp ghép trục  x = −1 . Ta có BBT t = f ( x ), t ' = f '( x ), t' = 0 ⇔  x = 1 

−∞

t = f ( x)

−∞

y = f (t )

-1 -1

1 1

f(3)

+∞ -1

+∞

+∞ −∞

-1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f (t ) = 0 có 7 nghiệm phân biệt (vì theo đồ thị f(3)>3) b) Trong trường hợp bài toán chứa tham số thì ta thấy phương pháp ghép trục dường như chiếm ưu thế rõ rệt.

Trang 45

Sáng kiến kinh nghiệm

 x = −1 Đặt t = f ( x ), t ' = f '( x ), t' = 0 ⇔  . Khi đó ta có phương trình: f (t ) = m x =1

Tương tự câu a) ta có bảng biến thiên

−∞

t = f ( x)

−∞

-1

+∞

-1

+∞ 1

y = f (t )

f(3)

+∞ −∞

-1

Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình đã cho có nghiệm trên khoảng (0;1)

⇔ −1 < m < 3  m = {0;1;2} c) Đặt t = x3 − 2 x2 + 2021x  t ' = 3x2 − 4 x + 2021. Ta thấy t ' > 0∀x 3 2

Mặt khác .Xét g (m) = m2 −2m + với

m ∈ [ 0; 2 ] , g ′( m) = 2m − 2; g ' (m) = 0 ⇔ m = 1

Bảng biến thiên:

1 3 2 2

Dựa vào bảng biến thiên ta có: ∀m ∈ [0; 2] ⇒ g (m) ∈ [ ; ] ⇒−1 < g (m) < 3 . Khi đó ta có bảng biến thiên của y = f (t ) :

+∞

−∞

t = x3 − 2 x 2 + 2021x −∞ 1 y = f (t )

3 −∞

+∞

y=g(m)

+∞

-1 Trang 46

Sáng kiến kinh nghiệm

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt ∀m ∈[ 0;2] d) Đặt t = 4 − x2 , t ' = 0 ⇔ x = 0 Ta có bảng biến thiên của y = f (t ) trên  − 2;3

-2

t = 4 − x2

y = f (t )

1 f

)

− 2

( 2)

-1

3 -1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy có nghiệm thuộc nửa khoảng  − 2 ; 3 ) khi và chỉ khi m∈ ( −1;3] Trong các ví dụ 33, 34, 35 ta đề cập tới vấn đề xét tương giao của đồ thị hàm hợp y = f ( u( x) ) và đường thẳng y = k có đồ thị song song với trục Ox . Tuy nhiên vấn đề đặt ra là với các bài toán tương giao của đồ thị hàm y = f ( u( x) ) với các đồ thị các hàm số khác không phải là y = k thì ta làm như thế nào? Có còn làm được hai cách nữa hay không? Ta đi xét tiếp các ví dụ sau Ví dụ 36: Cho hàm số f ( x ) = ax 3 + bx 2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm nằm  −π 9π  ;  của   2 2  f ( cos x + 1) = cos x + 1 .

trong

phương

trình

Hướng dẫn  x = a ∈ ( −∞; 0 )  Từ đồ thị ta có f ( x ) = x ⇔  x = b ∈ ( 0;1) x = 2 

Trang 47

Sáng kiến kinh nghiệm  cos x + 1 = a ∈ ( −∞;0 ) cos x = a − 1 = t1 ∈ ( −∞; −1) (VN )   Do đó f ( cos x + 1) = cos x + 1 ⇔  cos x + 1 = b ∈ ( 0;1) ⇔ cos x = b − 1 = t2 ∈ ( −1; 0 ) (1)  cos x + 1 = 2 cos x = 1 (2)   Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình (1) có 4 nghiệm nằm trong  −π 9π   −π 9π  ;  .Phương trình (2) có 6 nghiệm nằm trong  ; .   2 2   2 2   −π 9π  Vậy phương trình ban đầu có tất cả 10 nghiệm nằm trong  ;  .  2 2 

Ví dụ 37: Cho hàm số y = f (x ) liên tục, có đạo hàm trên −2; 4 và có bảng biến thiên như hình vẽ

 −3 3  Tìm số nghiệm của phương trình 3 f (−2 x + 1) = 8 x3 − 6 x trên đoạn  ;   2 2  −3 3  Hướng dẫn. Đặt t = −2 x + 1 .Với x ∈  ;   t ∈ [ −2;4] .  2 2 Mỗi nghiệm của t cho duy nhất một nghiệm của x . 3 3 Biến đổi 8 x 3 − 6 x = ( 2 x ) − 3 ( 2 x ) = (1 − t ) − 3 (1 − t ) = −t 3 + 3t 2 − 2 .

(

)

Phương trình trở thành 3 f ( t ) − −t 3 + 3t 2 − 2 = 0 . Xét hàm số g (t ) = 3 f ( t ) − −t 3 + 3t 2 − 2  g '(t ) = 3  f '(t ) − −t 2 + 2t    t = 0 t = 0 g '(t ) = 0 ⇔ f ' ( t ) = −t 2 + 2t . Ta có f ' ( t ) = 0 ⇔  ; - t 2 + 2t = 0 ⇔  t = 2 t = 2 Từ đó ta có bảng biến thiên sau:

(

)

(

)

Trang 48

Sáng kiến kinh nghiệm

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình g ( t ) = 0 có 1 nghiệm nên phương trình ban đầu có 1 nghiệm. Ví dụ 38 (Trích đề thi khảo sát chất lượng của tỉnh Nghệ An 2020-2021) Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f’(x) trên ℝ và đồthị hàm y=f’(x) như hình vẽ. y

1 x

-1

O 1

-2

Hỏi phương trình f  1 cos 2 x + 1  − 1 cos 6 x − 1 sin 2 2 x + 7 − f  1  = 0 có bao 2 3 4 24 2 2 π  nhiêu nghiệm thuộc  ;2π  4  Hướng dẫn Biến đổi phương trình đã cho ta được

(

)

f cos 2 x −

1 7 1 cos 6 x − 1 − cos 2 x cos 2 x + − f  =0 3 24 2

(

)

π  Đặt t = cos2 x . Với x ∈  ;2π   t ∈ [ 0;1] 4 

Khi đó phương trình trở thành: 1  7 1 f (t ) −  t 3 − t 2 + t  + − f  =0 3  24 2

Xét hàm số 1  7 1 g (t ) = f (t ) −  t 3 − t 2 + t  + − f  3  24 2

1 x

-1 O

-2

Trang 49

Sáng kiến kinh nghiệm

(

)

(

)

 g ' ( t ) = f ' ( t ) − t 2 − 2t + 1 .  g ' ( t ) = 0 ⇔ f ' ( t ) = t 2 − 2t + 1

Từ đồ thị suy ra g ' ( t ) = 0 ⇔ t = 0; t = 1 với t ∈ [ 0;1] và g '(t ) > 0 ∀t ∈[ 0;1] nên hàm

1 số đồng biến trên (0;1). Nhận thấy g   = 0  phương trình g(t)=0 có nghiệm 2 duy nhất t =

1 1 π   cos 2 x = phương trình có ba nghiệm trên  ;2π  là 2 2 4 

 3π 5π 7π  x∈ ; ;  4 4 4  Ví dụ 39: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ dưới. Gọi S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

nghiệm thuộc khoảng

(0; π ) .

để phương trình f (sin x ) = 2 sin x + 2 m có

Tổng các phần tử của

bằng:

Hướng dẫn: Đặt

t = sin x

với x ∈ ( 0; π )  t ∈ ( 0;1] . Xét phương trình

f ( t ) = 2t + 2 m .

Để phương trình có nghiệm thì đồ thị hàm y = f ( t ) cắt đồ thị hàm số ít nhất một điểm có hoành độ t thuộc ( 0;1] .

y = 2t + 2 m

tại

Trang 50

Sáng kiến kinh nghiệm

Từ đồ thị ta suy ra đồ thị hàm số y = 2t + 2 m nằm ở phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 hàm số y = 2t + 1 và y = 2t − 3 . Từ đó suy ra −3 ≤ 2m < 1  m ∈ {−1;0} . Vậy tổng các phần tử bằng −1 . Tóm lại: +) Qua các ví dụ trên ta thấy khi xét tương giao hàm hợp với đường thẳng y=k (song song với Ox) ta có thể dễ dàng hướng dẫn học sinh làm theo hai phương pháp đặc biệt là phương pháp ghép trục giúp học sinh nhanh chóng tìm ra kết quả của bài toán. Tuy nhiên khi xét với các hàm số khác không phải dạng y=k thì phương pháp truyền thống vẫn là tối ưu hơn. +) Đặc biệt, sự tương giao của hàm số còn xuất hiện trong các ứng dụng khác của hàm số như: sự đồng biến,nghịch biến, cực trị của hàm số…có nhiều bài toán dùng kiến thức tương giao của hàm số để tìm nghiệm của phương trình đạo hàm từ đó có thể tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số rất hay. Tuy nhiên trong đề tài này chúng tôi chỉ tập trung viết về các vấn đề sự tương giao để có thể viết sâu sắc nhất. Bài tập tương tự Bài tập 1(Trích đề minh họa của BGD 2019-2020, lần 1) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [ −π ; 2π ] của phương trình 2 f ( sin x ) + 3 = 0 là A. 4 .

B. 6 .

C. 3.

D. 8.

Bài tập 2(Trích đề minh họa của BGD 2019-2020, lần 2) Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Trang 51

Sáng kiến kinh nghiệm 5π  của phương trình f ( sin x ) = 1 là  2 

 Số nghiệm thuộc đoạn 0;

A. 7 .

B. 4 .

C. 5.

D. 6 .

Bài tập 3: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f ( 3x 4 − 6 x 2 + 1) = 1 là A. 4 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 3.

Bài tập 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị được cho như ở hình vẽ bên dưới . Hỏi 3 phương trình f ( x − 3x +1) − 2 = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 8.

B. 6.

C. 9.

D. 11.

Bài tập 5: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f ( x 2 − x ) = 2 là: A. 1 .

C. 2 .

D. 4 .

Bài tập 6: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau Trang 52

Sáng kiến kinh nghiệm

Số nghiệm của phương trình f ( e x − 4 ) − 1 = 0 trong đoạn [ln 2 ; ln 6] là A. 1.

B. 2.

Bài tập 7: Cho hàm số x

y = f ( x)

D. 4 .

có bảng biến thiên như sau:

∞ +

C. 3.

1 2

+∞ + +∞

1 y ∞

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

để phương trình

  f ( sin 4 x + cos 4 x ) = m có nghiệm x ∈ 0;  .  4

A. 1 . Bài tập 8: Cho hàm số

B. f ( x)

D. 4.

có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [ −2019;1] của phương trình f ( ln x ) = 4 A. 2020

B. 4.

C. 2019.

D. 3.

Bài tập 9: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Trang 53

Sáng kiến kinh nghiệm

)

(

Số nghiệm của phương trình f 4 − x 3 − 6 x 2 + 9 x − 3 = 0 là A. 5.

B. 6 .

C. 3.

D. 4 .

Bài tập 10: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên.

Số giá trị nguyên của tham số

để phương trình f ( cos x ) + ( 3 − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 = 0 có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc m

  đoạn − ;π  là  3 

A. 5 .

B. 6 .

C. 7 .

D. 4 .

III. Thực nghiệm sư phạm 1. Mục đích thực nghiệm. Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm. 2. Nội dung thực nghiệm Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm. 3. Tổ chức thực nghiệm Trang 54

Sáng kiến kinh nghiệm

3.1 Địa điểm và đối tượng thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT Tây Hiếu, Thị Xã Thái Hòa, Tỉnh Nghệ An. + Lớp thực nghiệm: 12K + Lớp đối chứng: 12H Tôi đã tìm hiểu rất kỹ và nhận thấy trình độ chung về môn toán tương ứng của các lớp 12K,12H là tương đương nhau. Trên cơ sở đó, tôi đã đề xuất được thực nghiệm tại các lớp 12K và lấy 12H làm lớp đối chứng. 3.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm được tiến hành từ ngày 19/10/2020 đến 07/11/2020 với số buổi dạy 9 tiết/ 1 lớp (khoảng 3 buổi chiều ôn tốt nghiệp) (trong đó có 1 bài kiểm tra). Phần lớn số tiết này được giảng dạy cho học sinh trong các buổi chiều ôn thi THPTQG, các tiết tự chọn, tiết luyện tập 3.3. Công tác chuẩn bị và tổ chức thực hiện a) Công tác chuẩn bị: - Điều tra thực trạng học tập của lớp thực nghiệm - Soạn bài giảng dạy theo nội dung của sáng kiến. b).Tổ chức thực hiện: * Ở lớp dạy thực nghiệm: - Dạy theo nội dung Sáng kiến trong các giờ luyện tập, các tiết tự chọn, các buổi ôn thi THPTQG - Quan sát hoạt động học tập của học sinh xem các em có rèn luyện được các kĩ năng cần thiết qua từng dạng bài hay không, như kĩ năng nhận thức, kĩ năng giải toán, kĩ năng quan sát,... Trang 55

Sáng kiến kinh nghiệm

- Tiến hành bài kiểm tra (45 phút) sau khi thực nghiệm. * Ở lớp đối chứng: - Giáo viên thực hiện quan sát hoạt động học tập của học sinh ở lớp đối chứng được Giáo viên giảng dạy các bài tập cùng nội dung trong SKKN nhưng không theo hướng đi của sáng kiến. - Tiến hành cùng một đề kiểm tra như lớp thực nghiệm *Kết quả thực nghiệm Lớp

Điểm dưới 5

Điểm từ 5-6

Điểm từ 6-8

Điểm từ 8-10 % SL

Sĩ số

12H

31,1

8,9

12K

22,2

44,4

33,4

C. KẾT LUẬN 1.Ý nghĩa của đề tài. Đề tài đã làm sáng tỏ các kĩ năng học sinh cần rèn luyện đặc biệt kĩ năng nhận thức và kĩ năng thực hành đó là hoạt động giải toán. Đề tài giúp học sinh tích cực chủ động nắm vững kiến thức về sự tương giao của hàm số, biết phân tích, dự đoán và vận dụng các kiến thức vào làm các dạng bài tập. Phát triển và rèn luyện kĩ năng quan sát bảng biến thiên, đồ thị hàm số, biết lập bảng biến thiên của các Trang 56

Sáng kiến kinh nghiệm

hàm phức tạp. Ngoài ra đề tài còn giúp cho học sinh một số kĩ năng giải phương trinh chứa tham số, tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước … Đề tài giúp học sinh giải được và giải thành thạo các bài toán về sự tương giao của hàm số, đặc biệt là các bài toán tương giao của hàm số hợp bằng phương pháp đặt truyền thống và phương pháp ghép trục tọa độ. Từ đó giúp học sinh tìm được nhanh kết quả bài Qua mỗi dạng bài đều có các bài tập tương tự giúp học sinh có thể rèn luyện thêm và dựa trên cơ sở đó giáo viên có thể rèn luyện thêm cho học sinh kĩ năng tự kiểm tra đánh giá, đồng thời đưa ra các hình thức kiểm tra phù hợp cho mỗi học sinh qua mỗi dạng bài toán 2. Phạm vi áp dụng của đề tài 3. Kiến nghị và đề xuất

TÀI LIỆU THAM KHẢO TÁC GIẢ

Phan Văn Đại Lương Thị Lan Phương

Trang 57

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH QUA GIẢI TOÁN TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ

Articles inside

2.Cơ sở thực tiễn