TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 - GV TRẦN HOÀNG LONG

TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ LỚP 12 MÔN TOÁN

vectorstock.com/3818668

Ths Nguyễn Thanh Tú eBook Collection DẠY KÈM QUY NHƠN EBOOK PHÁT TRIỂN NỘI DUNG

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 GV TRẦN HOÀNG LONG WORD VERSION | 2020 EDITION ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM Tài liệu chuẩn tham khảo Phát triển kênh bởi Ths Nguyễn Thanh Tú Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật : Nguyen Thanh Tu Group Hỗ trợ trực tuyến Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon Mobi/Zalo 0905779594

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

MỤC LỤC PHẦN I. HÀM SỐ ................................................................................................................................. 4 1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 4 1.1. Định nghĩa................................................................................................................................ 4 1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm ......................................................................................... 4 1.3. Bảng công thức tính đạo hàm................................................................................................... 5 1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức ..................................................................... 5 1.5. Đạo hàm cấp 2 .......................................................................................................................... 5 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ ........................................................................................................................ 7 2.1. Định nghĩa................................................................................................................................ 7 2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ......................................................................................... 8 2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị .......................................................................................... 8 2.4. Quy tắc tìm cực trị .................................................................................................................... 8 3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ ................................................ 9 3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y = ax + bx + cx + d . ..................................................... 9 3

3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương

2

y = ax 4 + bx 2 + c,

(a ≠ 0 ) .................................. 12

4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ........................................................................... 14 4.1. Định nghĩa. ............................................................................................................................. 14 4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN .......................................................................................... 14 5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ........................................................................... 15 5.1. Đường tiệm cận ngang .......................................................................................................... 15 5.2. Đường tiệm cận đứng ........................................................................................................... 15 6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ .......................................................... 15 6.1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức.................................................................. 15 6.2. Một số phép biến đổi đồ thị ................................................................................................... 17 7. TIẾP TUYẾN ................................................................................................................................ 19 7.1. Tiếp tuyến .............................................................................................................................. 19 7.2. Điều kiện tiếp xúc .................................................................................................................. 20 8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ .............................................................................................................. 20 9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG ............................................................................. 20 9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong....................................................................... 20 9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên ....................................................................................... 21 9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng ................................................................................ 21 9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách ................................................................................ 22 PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT .............................................................................................................. 24 1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA ....................................................................................... 24 1.1. Khái niệm lũy thừa................................................................................................................. 24

Page 1

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 1.2. Phương trình x

n

= b. ............................................................................................................ 24

1.3. Một số tính chất của căn bậc n .............................................................................................. 25 1.4. Hàm số lũy thừa ..................................................................................................................... 25 1.5. Khảo sát hàm số mũ y = a , x

( a > 0, a ≠ 1) . ................................................................... 26

2. LOGARIT ..................................................................................................................................... 27 2.1. Khái niệm Logarit ................................................................................................................... 27 2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-logarit thường gặp ..................................................................... 27 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. .............................................................................. 28 3.1. Bất phương trình mũ cơ bản .................................................................................................. 28 3.2. Bất phương trình logarit cơ bản ............................................................................................. 28 4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG........................................................................................ 29 4.1. Lãi đơn ................................................................................................................................... 29 4.2. Lãi kép .................................................................................................................................... 29 4.3. Tiền gửi hàng tháng ............................................................................................................... 30 4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng ............................................................................. 30 4.5. Vay vốn trả góp ...................................................................................................................... 30 4.6. Bài toán tăng lương ................................................................................................................ 31 4.7. Bài toán tăng trưởng dân số ................................................................................................... 31 4.8. Lãi kép liên tục ....................................................................................................................... 31 PHẦN III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ......................................... 32 1. NGUYÊN HÀM ............................................................................................................................ 32 1.1. Định nghĩa .............................................................................................................................. 32 1.2. Tính chất của nguyên hàm ..................................................................................................... 32 1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm ..................................................................................................... 32 1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp............................................................................. 32 1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng .................................................................................................... 33 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM .......................................................................... 34 2.1. Phương pháp đổi biến ............................................................................................................ 34 2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần ................................................................................... 35 3. TÍCH PHÂN ................................................................................................................................. 36 3.1. Công thức tính tích phân ........................................................................................................ 36 3.2. Tính chất của tích phân .......................................................................................................... 36 4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ......................................................................................... 37 4.1. Phương pháp đổi biến ............................................................................................................ 37 4.2. Phương pháp tích phân từng phần ........................................................................................ 38 5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN ......................................................................... 38 5.1. Tích phân hàm hữu tỉ ............................................................................................................. 38 5.2. Tích phân hàm vô tỉ................................................................................................................ 40

Page 2

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 5.3. Tích phân hàm lượng giác ...................................................................................................... 43 6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN .......................................................................................................... 46 6.1. Diện tích hình phẳng .............................................................................................................. 46 6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay ............................................................................. 46 PHẦN IV. SỐ PHỨC ........................................................................................................................... 48 1. SỐ PHỨC ..................................................................................................................................... 48 1.1. Khái niệm số phức.................................................................................................................. 48 1.2. Hai số phức bằng nhau .......................................................................................................... 48 1.3. Biểu diễn hình học số phức .................................................................................................... 48 1.4. Số phức liên hợp..................................................................................................................... 48 1.5. Môđun của số phức ................................................................................................................ 48 2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC .............................................................................. 49 2.1. Phép cộng và phép trừ số phức .............................................................................................. 49 2.2. Phép nhân số phức ................................................................................................................. 49 2.3. Chia hai số phức ..................................................................................................................... 49 3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC .................................................................................... 49 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC ...................................................................... 50 4.1. Căn bậc hai của số thực âm .................................................................................................... 50 4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực ...................................................................................... 50 5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC............................................ 50

Page 3

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

PHẦN I. HÀM SỐ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1. Định nghĩa

( )

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f x xác định trên K ta có:

( )

• Hàm số y = f x được gọi là đồng biến(tăng) trên K nếu:

( )

( )

∀x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 < f x 2

( )

• Hàm số y = f x được gọi là nghịch biến(giảm) trên K nếu:

( )

( )

∀x 1, x 2 ∈ K , x 1 < x 2 ⇒ f x 1 > f x 2

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K * Nhận xét:

( )

• Hàm số f x đồng biến trên K ⇔ của hàm số đi lên từ trái sang phải.

( )

• Hàm số f x nghịch biến trên K ⇔

( )

( ) > 0 ∀x , x

f x 2 − f x1

2

∈ K , x 1 ≠ x 2 . Khi đó đồ thị

( ) < 0 ∀x , x

∈ K , x 1 ≠ x 2 . Khi đó đồ thị

x 2 − x1

( )

1

f x 2 − f x1 x 2 − x1

1

2

của hàm số đi xuốngtừ trái sang phải.

( )

( )

( ) ( ) Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ ( a; b ) ⇒ hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng (a;b ) .

Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ (a;b ) ⇒ hàm số f ( x ) không đổi trên khoảng (a;b ) .

Nếu f ( x ) đồng biến trên khoảng (a;b ) ⇒ f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ (a;b ) .

Nếu f ( x ) nghịch biến trên khoảng (a;b ) ⇒ f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ (a;b ) .

Nếu thay đổi khoảng (a;b ) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

• Nếu f ′ x > 0, ∀x ∈ a;b ⇒ hàm số f x đồng biến trên khoảng a;b .

• • • • •

1.2. Quy tắc và công thức tính đạo hàm

( )

( )

Quy tắc tính đạo hàm:Cho u = u x ; v = v x ; C : là hằng số .

• Tổng, hiệu: u ± v ′ = u ′ ± v ′.

(

)

( )′ = u ′.v + v ′.u ⇒ (C .u )′ = C .u ′.

• Tích: u.v

Page 4

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

 u  u ′.v − v ′.u  C ′ C .u ′ , v ≠ 0 ⇒ • Thương:   =   =− 2 2 v u v  u 

(

)

( )

( )

• Đạo hàm hàm hợp: Nếu y = f u , u = u x ⇒ yx′ = yu′ .ux′ .

1.3. Bảng công thức tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm sơ cấp

Đạo hàm của hàm hợp

(C )′ = 0 (C là hằng số).

(x )′ = α .x

(x )′ = α .x

( u )′ = α . u

α

α

α −1

α

α −1

α −1

.u′

 1 ′ 1   = − 2 (x ≠ 0) x x 

 1 ′ u′   =− 2 u ≠ 0 u u 

( x )′ = 2 1x (x > 0)

( u )′ = 2u′u (u > 0)

( sin x )′ = cos x

( sin u )′ = u ′. cos u

( cos x )′ = − sin x

( cos u )′ = −u ′. sin u

( tan x )′ = cos1 x

( tan u )′ = cosu

( cot x )′ = − sin1 x

( cot u )′ = − sinu u

(e )′ = e (a )′ = a . ln a

(e )′ = u ′.e (a )′ = u ′.a . ln a

( ln x )′ = x1

( ln u )′ = uu′

( log x )′ = x ln1 a

u′ ( log u )′ = u.ln a

(

2

u 2

x

x

′ 2

′

2

x

)

u

x

u

u

a

u

a

1.4 . Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức

 ax + b ′ ad − bc .

•   = 2  cx + d  cx + d

(

)

a b

x2 + 2

a c

x+

d f  ax 2 + bx + c ′ d e •  2  =  dx + ex + f  dx 2 + ex + f

(

)

2

b c e f

.

1.5. Đạo hàm cấp 2 1.5.1. Định nghĩa Page 5

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 f ′′ ( x ) =  f ′ ( x ) 

1.5.2. Ý nghĩa cơ học

()

′

( )

( )

tại thời điểm t 0 là: a t 0 = f ′′ t 0 .

Gia tốc tức thời của chuyển động s = f t

1.5.3. Đạo hàm cấp cao f

* Một số chú ý:

( )

• Nếu hàm số f x

( )

( )

f x +g x

(n )

′

(x ) =  f ( ) (x ) , (n ∈ ℕ , n ≥ 2 ) . n −1

( )

và g x

cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số

cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính chất này có thể không đúng

( ) ( ) Nếu hàm số f ( x ) và g ( x ) là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) trên K thì hàm số f ( x ) .g ( x ) cũng đồng biến (nghịch biến) trên K . Tính chất này có thể không đúng khi các hàm số f ( x ) , g ( x ) không là các hàm số dương trên K .

Cho hàm số u = u ( x ) , xác định với x ∈ (a;b ) và u ( x ) ∈ (c; d ) . Hàm số f u ( x )  cũng xác định với x ∈ (a;b ) . đối với hiệu f x − g x .

•

•

Ta có nhận xét sau:

( )

( )

• Giả sử hàm số u = u x đồng biến với x ∈ a;b . Khi đó, hàm số f u ( x )  đồng biến

( )

( )

với x ∈ a;b ⇔ f u đồng biến với u ∈ ( c ; d ) .

( )

( )

• Giả sử hàm số u = u x nghịch biến với x ∈ ( a; b ) . Khi đó, hàm số f u x  nghịch  

( )

biến với x ∈ ( a; b ) ⇔ f ( u ) nghịch biến với u ∈ c; d .

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

( )

( )

• Nếu f ' x ≥ 0 với mọi x ∈ K và f ' x = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm

x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K .

( )

( )

• Nếu f ' x ≤ 0 với mọi x ∈ K và f ' x = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số f nghịch biến trên K .

Chú ý: * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y =

ax + b  d  x ≠ −  thì dấu " = " khi xét dấu cx + d  c

đạo hàm y ′ không xảy ra.

( )

( )

Giả sử y = f x = ax 3 + bx 2 + cx + d ⇒ f ′ x = 3ax 2 + 2bx + c.

Hàm số đồng biến trên ℝ

Hàm số nghịch biến trên ℝ Page 6

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  a > 0   ∆ ≤ 0 ⇔ f ′ x ≥ 0; ∀x ∈ ℝ ⇔  a = 0 .   b = 0   c > 0

 a < 0   ∆ ≤ 0 ⇔ f ′ x ≤ 0; ∀x ∈ ℝ ⇔  a = 0 .   b = 0   c < 0

( )

( )

( )

Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f x = d (Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu) * Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng l ta giải như sau:

(

)

Bước 1: Tính y ′ = f ′ x ; m = ax 2 + bx + c.

(x ; x ) ⇔ y ′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

Bước 2: Hàm số đơn điệu trên

1

2

∆ > 0 ⇔ (* ) a ≠ 0 Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng l

(

⇔ x1 − x 2 = l ⇔ x1 + x 2

()

)

2

( )

− 4x 1x 2 = l 2 ⇔ S2 − 4 P = l 2 * *

( )

Bước 4: Giải * và giao với * * để suy ra giá trị m cần tìm.

2. CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1. Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x 0 ∈ K . Ta nói:

• x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( a; b ) chứa x 0 sao cho

( a; b ) ⊂ K và f (x ) > f (x ) , ∀x ∈ (a;b ) \ {x } .Khi đó f ( x ) 0

0

0

được gọi là giá trị cực tiểu

của hàm số f .

( )

• x 0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b

( a; b ) ⊂ K và f (x ) < f ( x ) , ∀x ∈ (a;b ) \ {x } .Khi đó f (x ) 0

0

0

chứa x 0 sao cho

được gọi là giá trị cực đại

của hàm số f .

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.

• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị củahàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K.

• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trịcực trị (hay cực trị) củahàmsố.

Page 7

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

(

( ))

• Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm x 0 ; f x 0

được gọi là điểm cực trị của

đồ thị hàm số f . * Nhận xét:

( ) f ( x ) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số

• Giá trị cực đại (cực tiểu) f x 0 nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D;

0

f trên một

( )

khoảng a;b nào đó chứa x 0 hay nói cách khác khi x 0 điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn

( )

tại khoảng (a;b) chứa x 0 sao cho f x 0 là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên

( )

khoảng a;b .

• Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K . Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước.

2.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1:

( )

( )

Giả sử hàm số y = f x đạt cực trị tại điểm x 0 . Khi đó, nếu y = f x có đạo hàm tại điểm

( )

x 0 thì f ′ x 0 = 0.

Chú ý:

• Đạo hàm f ′ ( x ) có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 .

• Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

• Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x 0 thì f ' ( x0 ) = 0 .

( )

(

• Nếu f ′ x > 0 trên khoảng x 0 − h; x 0

)

và f ′ x < 0 trên khoảng x 0 ; x 0 + h thì x 0 là

( )

(

)

)

và f ′ x > 0 trên khoảng ( x0 ; x0 + h ) thì x 0 là

()

một điểm cực đại của hàm số f x .

( )

(

• Nếu f ′ x < 0 trên khoảng x 0 − h ; x 0

( )

( )

một điểm cực tiểu của hàm số f x .

2.4. Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1:

( )

• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ′ x .

Page 8

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

(

)

• Bước 2: Tìm các điểm x i i = 1;2;... mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

( )

( )

• Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f ′ x . Nếu f ′ x đổi dấu khi đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i .

Định lí 3:

( ) Nếu f ′ ( x ) = 0, f ′′ ( x ) < 0 thì hàm số Nếu f ′ ( x ) = 0, f ′′ ( x ) > 0 thì hàm số

(

)

Giả sử y = f x có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x 0 − h; x 0 + h với h > 0. Khi đó:

• •

0

0

f đạt cực đại tại x 0 .

0

0

f đạt cực tiểu tại x 0 .

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số

Quy tắc 2:

( )

• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f ′ x .

(

)

( )

• Bước 2: Tìm các nghiệm x i i = 1;2;... của phương trình f ′ x = 0.

()

( )

• Bước 3:Tính f ′′ x và tính f ′′ x i .

( ) Nếu f ′′ ( x ) > 0 thì hàm số f

∗ Nếu f ′′ x i < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x i . ∗

i

đạt cực tiểu tại điểm xi .

3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 3.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d .

3.1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng quát:

(

)

Cho hàm số y = f x ; m = ax 3 + bx 2 + cx + d . Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x 1, x 2 thỏa mãn điều kiện K cho trước?

Phương pháp: •

Bước 1:

∗ Tập xác định: D = ℝ. ∗ Đạo hàm: y ′ = 3ax 2 + 2bx + c = Ax 2 + Bx + C •

Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu)

⇔ y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y ′ đổi dấu qua 2 nghiệm đó

⇔ phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

A = 3a ≠ 0 a ≠ 0 ⇔ ⇔ 2 ⇒ m ∈ D1.

2 2 ∆y ′ = B − 4AC = 4b − 12ac > 0 b − 3ac > 0 Page 9

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 •

Bước 3: Gọi x 1, x 2 là hai nghiệm của phương trình y ′ = 0.

 B 2b x 1 + x 2 = − = − A 3a .

Khi đó:  C c x .x = =  1 2 A 3a •

Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được m ∈ D2 .

•

Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m = D1 ∩ D2 .

(

)

* Chú ý: Hàm số bậc ba: y = ax 3 + bx 2 + cx + d a ≠ 0 .

Ta có: y ' = 3ax 2 + 2bx + c. Điều kiện

Kết luận

b − 3ac ≤ 0

Hàm số không có cực trị.

2

Hàm số có hai điểm cực trị. b 2 − 3ac > 0 Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu.

Hàm số có 2 cực trị trái dấu

⇔ phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ AC . = 3ac < 0 ⇔ ac < 0.

Hàm số có hai cực trị cùng dấu ⇔ phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

 ∆y ′ > 0  ⇔ C >0 P = x 1.x 2 = A  Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương ⇔ phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm dương phân biệt   ∆y ′ > 0  B ⇔ S = x 1 + x 2 = − > 0 A  P = x .x = C > 0 1 2  A

Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm

⇔ phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm âm phân biệt   ∆y ' > 0  B ⇔ S = x 1 + x 2 = − < 0 A  C P = x .x = >0 1 2  A Page 10

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x 1, x 2 thỏa mãn:

x1 < α < x2

x1 < x2 < α α < x1 < x 2

Hai cực trị x 1, x 2 thỏa mãn x 1 < α < x 2

(

)(

)

(

)

⇔ x 1 − α x 2 − α < 0 ⇔ x 1.x 2 − α x 1 + x 2 + α 2 < 0 Hai cực trị x 1, x 2 thỏa mãn x 1 < x 2 < α

(

)(

)

(

)

 x − α x − α > 0 x .x − α x + x + α 2 > 0 1 2 1 2 ⇔ ⇔ 1 2 x + x < 2 x + x < 2 α α 2 2  1  1 Hai cực trị x 1, x 2 thỏa mãn α < x 1 < x 2

(

)(

)

(

)

 x − α x − α > 0 x .x − α x + x + α 2 > 0 1 2 1 2 ⇔ ⇔ 1 2 x x 2 x x 2 + > + > α α 2 2  1  1

Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

khi có 1 nghiệm là x =

x = −3

−b , có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là 3a

d . a

3.1.2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng:

(

)

(

)

Cho 2 điểm A x A ; yA , B x B ; yB và đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0.

(

)(

)

Nếu ax A + byA + c ax B + byB + c < 0 thì hai điểm A, B nằm về hai phía so với đường thẳng ∆.

(

)(

)

Nếu ax A + byA + c ax B + byB + c > 0 thì hai điểm A, B nằm cùng phía so với đường thẳng ∆.

Một số trường hợp đặc biệt: • Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy

⇔ hàm số có 2 cực trị cùng dấu ⇔ phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu • Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy

⇔ hàm số có 2 cực trị trái dấu ⇔ phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm trái dấu • Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox ⇔ phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT > 0

Đặc biệt: • Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox Page 11

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 y .y > 0 ⇔ phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và  C Đ CT yC Đ + yCT > 0

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox y .y > 0 ⇔ phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và  C Đ CT yC Đ + yCT < 0

• Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox ⇔ phương trình y ′ = 0 có hai nghiệm phân biệt và yC Đ .yCT < 0 (áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox

⇔ đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt

( )

⇔ phương trình hoành độ giao điểm f x = 0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)

3.1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị

 2c 2b 2  y′.y′′ bc y ′.y ′′ . hoặc g x = y − g x = − hoặc g ( x ) = y − x + d − 18a 9a  9a 3y ′′′ 3

()

( )

3.1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là

AB =

4e + 16e 3 b 2 − 3ac với e = a 9a

3.2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c,

(a ≠ 0 )

3.2.1. Một số kết quả cần nhớ • Hàm số có một cực trị ⇔ ab ≥ 0.

• Hàm số có ba cực trị ⇔ ab < 0. a > 0 • Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu ⇔  . b ≥ 0 a < 0 • Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại ⇔  . b ≤ 0 a > 0 • Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại ⇔  . b < 0 a < 0 • Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại ⇔  . b > 0

3.2.2. Một số công thức tính nhanh

 ∆  ∆ b b Giả sử hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có 3 cực trị: A(0;c), B  − − ; −  ,C  − ; −   2a 4a   2a 4a   tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện: ab < 0 Page 12

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

=α Đặt: BAC y

Tổng quát:

α

−b 3 cot = 2 8a 2

A O

B

Dữ kiện

x

C

Công thức thỏa mãn ab < 0; c ≠ 0

Tam giác ABC vuông cân tại A

b 3 = −8a

Tam giác ABC đều

b 3 = −24a

Tam giác ABC có diện tích S ∆ABC = S 0

32a 3 (S 0 )2 + b 5 = 0

Tam giác ABC có diện tích max (S 0 )

b5 S0 = − 32a 3

Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội

r =

tiếp r∆ABC = r0

Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại

b2  b3   4 a 1 + 1 −  8a   

b 3 − 8a

tiếp R∆ABC = R

R=

Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m 0

am 02 + 2b = 0

Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n 0

16a 2n 02 − b 4 + 8ab = 0

Tam giác ABC có cực trị B,C ∈ Ox

b 2 = 4ac

Tam giác ABC có 3 góc nhọn

b(8a + b 3 ) > 0

Tam giác ABC có trọng tâm O

b 2 = 6ac

Tam giác ABC có trực tâm O

b 3 + 8a − 4ac = 0

Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp

8ab

b 2 = 2ac b 3 − 8a − 4abc = 0 b 3 − 8a − 8abc = 0

Tam giác ABC có cạnh BC = kAB = kAC

b 3 .k 2 − 8a(k 2 − 4) = 0

Trục hoành chia tam giác ABC thành

b 2 = 4 2 ac

hai phần có diện tích bằng nhau Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành

b 2 = 8ac Page 13

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

( )

Đồ thị hàm số C : y = ax 4 + bx 2 + c cắt trục

100 2 Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số b = 9 ac cộng Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ

( )

thị C : y = ax 4 + bx 2 + c và trục hoành có b 2 =

36 ac 5

diện tích phần trên và phần dưới bằng nhau.

Phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là:

2 ∆  2 ∆  + c y + c  − x 2 + y2 −  − =0  b 4a   b 4a  4. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 4.1. Định nghĩa.

( )

Cho hàm số y = f x xác định trên tập D.

 f (x ) ≤ M , ∀x ∈ D • Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f x trên D nếu:  . Kí ∃x 0 ∈ D, f (x 0 ) = M

( )

hiệu: M = max f ( x ) . x∈D

( )

• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f x trên D nếu:

 f (x ) ≥ m, ∀x ∈ D . Kí  ∃x 0 ∈ D, f (x 0 ) = m

hiệu: m = min f (x ) . x ∈D

4.2. Phương pháp tìm GTLN,GTNN 4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp

( )

• Bước 1: Tính f ′ ( x ) và tìm các điểm x 1, x 2 ,..., x n ∈ D mà tại đó f ′ x = 0 hoặc hàm số không có đạo hàm.

• Bước 2:Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn • Bước 1:

( )

∗ Hàm số đã cho y = f x xác định và liên tục trên đoạn a ;b  .

( )

( )

( )

∗ Tìm các điểm x 1, x 2 ,..., x n trên khoảng a;b , tại đó f ′ x = 0 hoặc f ′ x không xác định.

() ( ) ( )

( ) ()

• Bước 2: Tính f a , f x 1 , f x 2 ,..., f x n , f b .

• Bước 3: Khi đó:

( )

{( ) ( )

( ) ( ) ( )}

∗ max f x = max f x 1 , f x 2 ,..., f x n , f a , f b . a ,b 

Page 14

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

{( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )}

∗ min f x = min f x 1 , f x 2 ,..., f x n , f a , f b . a ,b 

4.2.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng • Bước 1:Tính đạo hàm f ′(x ) .

• Bước 2:Tìm tất cả các nghiệm x i ∈ (a ;b ) của phương trình f ′(x ) = 0 và tất cả các điểm

α i ∈ (a ;b) làm cho f ′(x ) không xác định.

• Bước 3. Tính A = lim+ f (x ) , B = lim− f (x ) , f (x i ) , f (α i ) . x →a

x →b

• Bước 4.So sánh các giá trị tính được và kết luận M = max f (x ) , m = min f (x ) . (a ;b )

(a ;b )

Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Chú ý:

( ) () ( ) ()

min f x = f a  a ;b  • Nếu y = f x đồng biến trên a;b  thì    . f x =f b max  a ;b 

( )

() ()

min f (x ) = f b  a ;b  .

• Nếu y = f x nghịch biến trên a ;b  thì    f (x ) = f a max  a ;b 

( )

• Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 5.1. Đường tiệm cận ngang

(

)(

)

Cho hàm số y = f (x ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng a; +∞ , −∞;b hoặc

( −∞; +∞ ) ). Đường thẳng hàm số

y = f (x )

y = y 0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị

nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

lim f (x ) = y 0 , lim f (x ) = y 0

x →+∞

x →−∞

5.2. Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x = x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x ) = +∞, lim− f (x ) = −∞, lim+ f ( x ) = −∞ , lim− f ( x ) = +∞

x →x 0 +

x →x 0

x → x0

x → x0

Lưu ý: Với đồ thị hàm phân thức dạng y = ngang là y =

ax + b cx + d

(c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )

luôn có tiệm cận

a d và tiệm cận đứng x = − . c c

6. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 6.1.Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức Page 15

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

(a ≠ 0 )

6.1.1. Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d TRƯỜNG HỢP

a<0

a >0

Phương trình y = 0 có /

y

y 1

2 nghiệm phân biệt

1

O

x

1 1

O

Phương trình y / = 0 có

x

y

y

nghiệm kép

1 1

1

O

x

1

O

Phương trình y / = 0 vô

x

y

y

nghiệm 1

O

1 x

1 1

O

x

6.1.2. Hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c TRƯỜNG HỢP Phương trình y = 0 /

(a ≠ 0 ) a<0

a >0 y

y

có 3 nghiệm phân biệt (ab<0)

1 1

1

O

x

O

1 x

Page 16

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Phương trình y / = 0

y

y

có 1

1 nghiệm.

1 1

O 1

O

6.1.3. Hàm số nhất biến y =

ax + b cx + d

x

x

( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 )

D = ad − bc > 0

D = ad − bc < 0

6.2. Một số phép biến đổi đồ thị 6.2.1. Dạng 1

( )

( )  f ( x ) Ta có: y = f ( x ) =   f ( −x )

( )

( )

Từ đồ thị C : y = f x suy ra đồ thị C ′ : y = f x .

khi x ≥ 0 khi x < 0

( ) là hàm chẵn nên đồ thị (C′) nhận Oy làm trục đối xứng.

và y = f x

( )

( )

* Cách vẽ C ′ từ C :

( )

( )

• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị C : y = f x .

( )

• Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của C , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

( )

( )

Ví dụ: Từ đồ thị C : y = f x = x 3 − 3x

( )

y

3

suy ra đồ thị C ′ : y = x − 3 x .

3

− 3x

1 -1

( )

Biến đổi C :

O

x

-2

( )

• Bỏ phần đồ thị của C

bên trái

( )

Oy, giữ nguyên C bên phải Oy.

• Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy .

(C ) : y = x

2

(C ′) : y = x

3

−3x

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 y

-1

1

O

x

-2

6.2.2. Dạng 2

( )

( )  f ( x ) Ta có: y = f ( x ) =  − f ( x ) * Cách vẽ (C ′ ) từ ( C ) :

( )

( )

Từ đồ thị C : y = f x suy ra đồ thị C ′ : y = f x .

( ) f (x ) < 0

khi f x ≥ 0 khi

( )

• Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Oxcủa đồ thị (C): y = f x .

• Bỏ phần đồ thị phía dưới Oxcủa (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Ví dụ: Từ đồ thị ( C ) : y = f ( x ) = x 3 − 3 x

y

(C ) : y = x

2

suy ra đồ thị y = x − 3x .

3

-1

( )

Bỏ phần đồ thị của C

( )

Ox , giữ nguyên C

O

x

-2

dưới

phía trên

(C ′) : y = x

y

Ox.

•

− 3x

1

Biến đổi ( C ) : •

3

3

− 3x

2

Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox .

-1

O

1

x

( ) ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y = f ( x ) và y = f (x )

Chú ý với dạng: y = f x

( )

( )

Ví dụ: Từ đồ thị C : y = f x = x 3 − 3x

y

(C ′′) : y =

3

suy ra đồ thị y = x − 3 x . Biến đổi

(C )

( )

2

3

để được đồ thị C ′ : y = x − 3 x .

( )

3

Biến đổi C ′ : y = x − 3 x ta được đồ

( )

-1

O

1

3

thị C ′′ : y = x − 3 x .

6.2.3. Dạng 3

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Từ đồ thị C : y = u x .v x suy ra đồ thị C ′ : y = u x .v x .

x

3

x −3x

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

( ) () ( ) () ( ) ()

( ) khi u ( x ) < 0

u x .v x = f x Ta có: y = u x .v x =  −u x .v x = f x

() ( )

khi u x ≥ 0

( )

* Cách vẽ C ′ từ ( C ) :

( ) ( ) ( ) Bỏ phần đồ thị trên miền u ( x ) < 0 của (C ) , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ

• Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u x ≥ 0 của đồ thị C : y = f x .

•

qua Ox.

Ví dụ

( ) ( ) suy ra đồ thị (C ′ ) : y = x − 1 ( 2x

a) Từ đồ thị C : y = f x = 2x 3 − 3x 2 + 1 2

( ) ( )

 f x y = x − 1 2x 2 − x − 1 =  − f x

(

)

−x −1

)

khi x ≥ 1 khi x < 1

Đồ thị (C’):

• Giữ nguyên (C) với x ≥ 1 .

( )

( )

ra đồ thị C ′ : y =

•

( ) khi x ∈ ( −∞;1)

khi x ∈ 1; +∞

Bỏ phần đồ thị của x < 1,

phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

x suy x −1

x x −1

 x x  y= = x − 1 x − 1 − x  x − 1 Đồ thị (C’):

• Bỏ (C) với x < 1 . Lấy đối xứng

(C')

( )

b) Từ đồ thị C : y = f x =

giữ nguyên

(C ) (C )

.

với với

x > 1.

y

•

Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

1

O

y

1

x 1

O

(C)

1

x

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị nên lấy đối xứng các điểm Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì đặc biệt của (C): giao điểm với Ox, Oy, nên lấy đối xứng các đường tiệm cận để CĐ, CT…

thực hiện phép suy đồ thị một cách tương đối chính xác.

7. TIẾP TUYẾN 7.1. Tiếp tuyến

(

)

Cho hàm số y = f ( x ) , có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M 0 x 0 ; y0 ∈ (C ) có

( )(

)

dạng: y = f ′ x 0 x − x 0 + y 0 .

Page 19

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Trong đó:

(

( )

)

( )

Điểm M 0 x 0 ; y0 ∈ (C ) được gọi là tiếp điểm. ( với y 0 = f x 0 ) và k = f ' x 0 là hệ số góccủa tiếp tuyến.

7.2. Điều kiện tiếp xúc

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()

( )

Cho hai hàm số C : y = f x và C ' : y = g x . Đồ thị (C ) và (C ′ ) tiếp xúc nhau khi chỉ y  f x = g x khi hệ phương trình:  / có nghiệm. /  f x = g x y0

x

x0 O

8. TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f (x ) có đồ thị (C 1 ) và y = g(x ) có đồ thị (C 2 ) .

()

Phương trình hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C2 ) là f (x ) = g(x ) 1 . Khi đó:

• Số giao điểm của (C1 ) và (C 2 ) bằng với số nghiệm của phương trình (1) .

()

•

Nghiệm x 0 của phương trình 1 chính là hoành độ x 0 của giao điểm.

•

Để tính tung độ y 0 của giao điểm, ta thay hoành độ x 0 vào y = f x hoặc y = g x .

•

Điểm M ( x0 ; y0 ) là giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) .

( )

( )

9. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 9.1. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong Xét họ đường cong (C m ) có phương trình y = f (x , m ) , trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Tìm những điểm cố định thuộc họ đường

cong khi m thay đổi?

Phương pháp giải: • Bước 1: Đưa phương trình y = f ( x , m ) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau: Am + B = 0 hoặc Am 2 + Bm + C = 0 .

• Bước 2:Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

A = 0 A = 0  hoặc B = 0 .  B = 0 C = 0  • Bước 3:Kết luận: - Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (C m ) không có điểm cố định.

- Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C m ) .

Page 20

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 9.2. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên Cho đường cong (C ) có phương trình y = f (x ) (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên.

Phương pháp giải: • Bước 1:Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.

• Bước 2:Lập luận để giải bài toán.

9.3. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng Cho đường cong (C ) có phương trình y = f (x ) . Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng.

( )

( )

Bài toán 1: Cho đồ thị C : y = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D trên đồ thị C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I (x I , y I ) .

Phương pháp giải:

(

) (

• Gọi M a; Aa 3 + Ba 2 + Ca + D , N b; Ab 3 + Bb 2 + Cb + D

)

( )

là hai điểm trên C

đối

xứng nhau qua điểm I .

a + b = 2x I • Ta có  .

3 3 2 2 A(a + b ) + B a + b + C a + b + 2D = 2yI

(

)

(

)

Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được toạ độ M, N.

( )

( )

Bài toán 2: Cho đồ thị C : y = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D . Trên đồ thị C

tìm những cặp điểm đối

xứng nhau qua gốc tọa độ.

Phương pháp giải:

(

) (

• Gọi M a, Aa 3 + Ba 2 + Ca + D , N b, Ab 3 + Bb 2 + Cb + D

)

là hai điểm trên

(C )

đối

xứng nhau qua gốc tọa độ.

a + b = 0 • Ta có  .

3 3 2 2 A(a + b ) + B a + b + C a + b + 2D = 0

(

)

(

)

• Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được toạ độ M , N .

( )

( )

Bài toán 3: Cho đồ thị C : y = Ax 3 + Bx 2 + Cx + D trên đồ thị C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = A1x + B1 .

Phương pháp giải:

(

) (

)

• Gọi M a; Aa 3 + Ba 2 + Ca + D , N b; Ab 3 + Bb 2 + Cb + D là hai điểm trên ( C ) đối xứng nhau qua đường thẳng d .

I ∈ d (1)

• Ta có:  (với I là trung điểm của MN và u d là vectơ chỉ phương của MN .u d = 0 (2) đường thẳng d ).

Page 21

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • Giải hệ phương trình tìm được M, N.

9.4. Bài toán tìm điểm đặc biệt, khoảng cách 9.4.1. Lý thuyết:

(

) (

)

• Cho hai điểm A x 1; y1 ; B x 2 ; y2 ⇒ AB =

(

(x

2

− x1

) + (y 2

2

− y1

)

2

)

• Cho điểm M x 0 ; y 0 và đường thẳng d : Ax + By + C = 0 , thì khoảng cách từ M đến d

(

)

là h M ; d =

Ax 0 + By 0 + C

.

A2 + B 2

• Cho hàm phân thức: y =

ax + b tiếp tuyến tại M cắt TCĐ,TCN ở A và B thì M là cx + d

trung điểm của AB. Thì diện tích tam giác MAB không đổi: S MAB =

2 ad − bc . c2

9.4.2. Các bài toán thường gặp

(

)

ax + b c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 có đồ thị C . Hãy tìm trên (C ) hai điểm cx + d A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.

Bài toán 1: Cho hàm số y =

( )

Phương pháp giải: •

(C )

d do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai c phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α , β là hai số dương. có tiệm cận đứng x = −

• Nếu A thuộc nhánh trái: x A < −

d d d ⇒ x A = − − α < − ; y A = f (x A ) . c c c

• Nếu B thuộc nhánh phải: x B > −

d d d ⇒ x B = − + β > − ; y B = f (x B ) . c c c

• Sau đó tính:

(

AB 2 = x B − x A

) + (y 2

B

− yA

)

2

(

) (

)

2

(

)

2

=  a + β − a − α  + y B − yA .  

• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ tìm ra kết quả.

( )

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số C có phương trình y = f (x ) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (C ) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.

Phương pháp giải:

( )

• Gọi M x ; y và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì d = x + y .

• Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.

• Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.

• Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d .

Page 22

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Bài toán 3: Cho đồ thị (C ) có phương trình y = f ( x ) . Tìm điểm M trên (C ) sao cho khoảng cách từ M đến Ox bằng k lần khoảng cách từ M đến trụcOy .

Phương pháp giải:

( ) ( )

 f x = kx y = kx ⇔ Theo đầu bài ta có y = k x ⇔  .  f x = −kx y = −kx ax + b ( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) . Tìm tọa độ cx + d điểm M trên (C ) sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).

Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y = f ( x) =

Phương pháp giải: • Tiệm cận đứng x =

−d a ; tiệm cận ngang y = . c c

 −d a  • Ta tìm được tọa độ giao điểm I  ;  của hai tiệm cận.  c c 2

2

 d  a • Gọi M ( x M ; y M ) là điểm cần tìm, thì: IM 2 =  x M +  +  yM −  = g ( x M ) c  c  • Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả.

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y = f (x ) và đường thẳng d : Ax + By + C = 0 .

Tìm điểm I trên (C ) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất.

Phương pháp giải:

(

)

• Gọi I thuộc (C ) ⇒ I x 0 ; y 0 ; y 0 = f (x 0 ) .

( )

• Khoảng cách từ I đến d là g(x 0 ) = h I ;d =

Ax 0 + By 0 + C A2 + B 2

• Khảo sát hàm số y = g(x ) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu.

Page 23

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

PHẦN II. MŨ VÀ LOGARIT 1. LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 1.1. Khái niệm lũy thừa 1.1.1. Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n là một số nguyên dương.

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a .

a n = a .a ...... a ( n thừa số).

n

a −n =

Với a ≠ 0. thì a 0 = 1

1 an

Ta gọi a là cơ số, n là mũ số. Và chú ý 00 và 0 − n không có nghĩa.

1.1.2. Một số tính chất của lũy thừa • Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa: aα ⋅ a β = aα +β ;

aα = a α − β ; (a α )β = a α . β ; (ab)α = a α ⋅ b α ; β a α

a  aα =   bα b 

a  ;  b 

−α

α

b  =  ⋅ a 

• Nếu a > 1 thì a α > a β ⇔ α > β ; • Nếu 0 < a < 1 thì a α > a β ⇔ α < β .

• Với mọi 0 < a < b , ta có: a m < bm ⇔ m > 0 a m > bm ⇔ m < 0

Chú ý: • Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.

• Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .

• Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. n 1.2. Phương trình x = b.

Ta có kết quả biện luận số nghiệm của phương trình x n = b như sau:

• Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b , phương trình có nghiệm duy nhất.

• Trường hợp n chẵn:

Với b < 0 , phương trình vô nghiệm.

Với b = 0 , phương trình có một nghiệm x = 0.

Với b > 0 , phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là

n

b , còn

giá trị âm là − b . n

Page 24

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 1.3. Một số tính chất của căn bậc n Với a, b ∈ ℝ; n ∈ ℕ * , ta có:

•

2n

a 2n =, a ∀a

•

2 n +1

•

2n

•

2 n +1

•

2n

•

2n +1

a 2n +1 = a , ∀a

ab = 2n⋅ a 2n b , ∀ab ≥ 0

ab = 2n +1 a ⋅ 2n +1 b , ∀a, b

a 2n a = , ∀ab ≥ 0,b ≠ 0 2n b b 

•

n

•

n m

a = b

am =

2n +1 2n +1

a

( a) n

, ∀a, ∀b ≠ 0

b m

, ∀a > 0 , n nguyên dương, m nguyên

a = nm a , ∀a ≥ 0 , n , m nguyên dương

• Nếu

p q = thì n a p = m a q , ∀a > 0, m, n nguyên dương p, q nguyên n m

Đặc biệt: n a =

m ⋅n

am

1.4. Hàm số lũy thừa 1.4.1. Khái niệm Xét hàm số y = x α , với α là số thực cho trước.

Hàm số y = x α , với α ∈ ℝ , được gọi là hàm số lũy thừa.

Chú ý.

Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α tùy thuộc vào giá trị của α . Cụ thể.

• Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ.

• Với α nguyên âm hoặc bằng 0 , tập xác định là ℝ \{0} .

• Với α không nguyên, tập xác định ( 0; +∞ ) .

1.4.2. Khảo sát hàm số lũy thừa y = x α Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x α luôn chứa khoảng ( 0; +∞ ) với mọi α ∈ ℝ. Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y = x α trên khoảng này. y = x α , α > 0.

y = x α , α < 0.

Page 25

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

(

)

(

)

1. Tập xác định: 0; +∞ .

1. Tập xác định: 0; +∞ .

2. Sự biến thiên

2. Sự biến thiên

y ' = α .x

α −1

>0

∀x > 0.

Giới hạn đặc biệt: α

lim+ x = 0,

x →0

lim x = +∞.

x →+∞

3. Bảng biến thiên.

0 +∞

y

+∞

∀x > 0.

Giới hạn đặc biệt: α

Tiệm cận: không có. x y’

y ' = α .x α −1 < 0

lim+ xα = +∞ ,

x →0

lim xα = 0.

x →+∞

Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang.

Oy là tiệm cận đứng.

+

3. Bảng biến thiên.

0

x y’

0 +∞

y

+∞

−

0

Đồ thị của hàm số.

( )

Đồ thị của hàm số lũy thừa y = xα luôn đi qua điểm I 1;1 .

1.5. Khảo sát hàm số mũ y = a x ,

(

y = ax , a > 1

)

( a > 0, a ≠ 1) . y = a x , ( a < 1)

1. Tập xác định: ℝ.

1. Tập xác định: ℝ.

2. Sự biến thiên.

2. Sự biến thiên.

y ' = a ln a > 0, ∀x. x

Giới hạn đặc biệt:

Giới hạn đặc biệt: lim a x = 0,

x →−∞

y ' = a x ln a < 0, ∀x

lim a = +∞.

x →+∞

lim a x = +∞,

x →−∞

lim a x = 0.

x →+∞

Tiệm cận:

Tiệm cận:

Ox là tiệm cận ngang.

Ox là tiệm cận ngang.

3. Bảng biến thiên.

3. Bảng biến thiên.

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 −∞ 0

x y'

1

+∞

+++ a +∞ 1

y

−∞

x

0

1

+∞

−−−

y'

+∞ y

0 Đồ thị như hình sau.

1 a 0

Đồ thị như hình sau.

2. LOGARIT 2.1.Khái niệm Logarit Cho hai số dương a, b với a ≠ 1 . Số α thỏa mãn đẳng thức a α = b được gọi là logarit cơ số a của b và được kí hiệu là loga b .

α = log a b ⇔ aα = b.

Không có logarit của số âm và số 0.

2.2. Bảng tóm tắt công thức Mũ-loarrit thường gặp

(

)

• a 0 = 1, a ≠ 0 .

•

(a )

•

()

•

() (a )

•

( a) .(b) = ( a)

•

(a ) . (b )

•

(a) α (b)

1

a

a

• loga

=a

−α

=

• loga

1 aα

α β

α

α

α

α −β

β

α

α +β

( )

= a.b α

α

• log aα a =

1

• loga β b =

1

, ( 0 < a ≠ 1)

α α • log a b = α .log a b , ( a , b > 0, a ≠ 1)

()

= a

( ) a = 1, ( 0 < a ≠ 1) a = α , ( 0 < a ≠ 1)

• loga 1 = 0, 0 < a ≠ 1

α

a =   , (b ≠ 0) b

β

• log a β bα =

.loga b

α .log a b β

( )

• loga b + loga c = loga bc

b  • loga b − loga c = loga   c 

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 α β

(a ) , ( β ∈ ℕ )

•

(a )

•

(a ) = (a )

•

(a )

= β

α

α

β

α

*

• loga b =

αβ

1 . logb a

= b ⇒ α = loga b

3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT. 3.1. Bất phương trình mũ cơ bản Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a x > b (hoặc a x ≥ b , a x < b , a x ≤ b ) với a > 0, a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình có dạng a x > b.

• Nếu b ≤ 0 , tập nghiệm của bất phương trình là ℝ , vì a x > b, ∀x ∈ ℝ. .

• Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với a x > a

loga b

.

Với a > 1 , nghiệm của bất phương trình là x > loga b.

Với 0 < a < 1 , nghiệm của bất phương trình là x < loga b.

Ta minh họa bằng đồ thị sau: • Với a > 1 , ta có đồ thị sau.

• Với 0 < a < 1 , ta có đồ thị sau.

3.2. Bất phương trình logarit cơ bản Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log a x > b (hoặc log a x ≥ b , log a x < b ,log a x ≤ b ) với a > 0, a ≠ 1.

Xét bất phương trình loga x > b.

Page 28

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • Trường hợp a > 1 , ta có: loga x > b ⇔ x > a b .

• Trường hợp 0 < a < 1 , ta có: log a x > b ⇔ 0 < x < a b .

Ta minh họa bằng đồ thị như sau.

• Với a > 1 , ta có đồ thị sau.

• Với 0 < a < 1 , ta có đồ thị sau.

Quan sát đồ thị, ta thấy rằng: • Trường hợp a > 1 : log a x > b khi và chỉ khi x > ab .

• Trường hợp 0 < a < 1 : loga x > b khi và chỉ khi 0 < x < ab .

4. BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 4.1. Lãi đơn 4.1.1. Định nghĩa Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến rút tiền ra.

4.1.2. Công thức tính Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ∈ ℕ * ) là:

(

S n = A + nAr = A 1 + nr

)

Chú ý:trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là

r .

100

4.2. Lãi kép 4.2.1. Định nghĩa Lãi kép làtiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.

4.2.2. Công thức tính Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng Page 29

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n ∈ ℕ * ) là:

(

Sn = A 1 + r

⇒

)

n

S n = log(1+r )  n A 

r% = A=

n

Sn A

  

−1

Sn

(1 + r )

n

4.3. Tiền gửi hàng tháng 4.3.1. Định nghĩa Tiền gửi hàng tháng là mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.

4.3.2. Công thức tính Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r% /tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n ∈ ℕ * ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là S n .

Sn =

(

A 1+r r 

)

n

(

− 1 1 + r 

)

 S .r  n n = log(1+r )  + 1 A 1+r   

⇒

A=

(

)

Sn .r

(1 + r ) (1 + r )

n

− 1 

4.4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng Công thức tính Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r% /tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là X đồng. Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?

(

Sn = A 1 + r

)

n

(1 + r ) −X

n

r

−1

⇒

(

X = A 1 + r 

)

n

− Sn  

r

(1 + r )

n

−1

4.5. Vay vốn trả góp 4.5.1. Định nghĩa Vay vốn trả góp là vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r% /tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng.

4.5.2. Công thức tính Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có

Page 30

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

(

Sn = A 1 + r

(1 + r ) −X

n

)

n

−1

r

Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S n = 0 nên

(

A 1+r

)

n

(1 + r ) −X

X =

n

−1

=0

r

(

A 1+r

)

(1 + r )

n

n

.r

−1

4.6. Bài toán tăng lương 4.6.1. Định nghĩa Bài toán tăng lương được mô tả như sau: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì lương người đó được tăng thêm r% /tháng. Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?

4.6.2. Công thức tính

(1 + r ) = Ak

k

Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là Skn

−1

r

4.7. Bài toán tăng trưởng dân số Công thức tính tăng trưởng dân số

(

Xm = Xn 1 + r

)

m −n

(

, m, n ∈ ℤ + , m ≥ n

)

Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m X m dân số năm m X n dân số năm n

Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là r % = m −n

Xm Xn

−1

4.8. Lãi kép liên tục Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm

(n ∈ ℕ ) là: S *

n

(

= A 1+r

)

n

. Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi m .n

 r  r % thì số tiền thu được sau n năm là: S n = A  1 +  suất mỗi kì hạn là m m 

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m → +∞ , gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là:

S = Ae n .r

( công thức tăng trưởng mũ) Page 31

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

PHẦN III.NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1. NGUYÊN HÀM 1.1. Định nghĩa

( )

( )

Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x

( )

( )

( )

được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x = f x với mọi x ∈ K .

Kí hiệu:

∫ f (x ) dx = F (x ) + C .

Định lí:

( )

( ) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G ( x ) = F ( x ) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) trên K .

2) Nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên K thì mọi nguyên hàm của f ( x ) trên K đều có dạng F ( x ) + C , với C là một hằng số.

Do đó F ( x ) + C ,C ∈ ℝ là họ tất cả các nguyên hàm của f ( x ) trên K .

1) Nếu F x

là một nguyên hàm của f x

1.2. Tính chất của nguyên hàm •

( ∫ f (x ) dx )′ = f (x ) và ∫ f ' (x ) dx = f (x ) + C ; d ( ∫ f (x ) dx ) = f (x ) dx (

)

• Nếu F(x) có đạo hàm thì: ∫ d F (x ) = F (x ) + C •

∫ kf (x ) dx = k ∫ f (x ) dx

•

∫  f ( x ) ± g (x )  dx = ∫ f (x ) dx ± ∫ g (x ) dx

với k là hằng số khác 0 .

( )

( )

• Công thức đổi biến số: Cho y = f u và u = g x .

Nếu

∫ f (x )dx = F (x ) + C thì ∫ f (g(x )) g '(x )dx = ∫ f (u)du = F (u ) + C

1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí:

( )

Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

1.4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp 1.

∫ 0dx = C

3. ∫ x α dx = 4.

1

∫x

2. ∫ dx = x + C

(

1 x α +1 + C α ≠ −1 α +1

dx = − 2

1 +C x

)

(

)

α +1

1 ax + b 16. ∫ (ax + b ) dx = a α +1 α

17. ∫ xdx =

+ c , α ≠ −1

x2 +C 2

Page 32

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 5.

1

∫ x dx = ln x

+C

18.

6. ∫ e xdx = e x + C 7. ∫ a xdx =

ax +C ln a

dx

1

∫ ax + b = a ln ax + b

+c

19. ∫ e ax +bdx =

1 ax +b e +C a

20. ∫ a kx +bdx =

1 a kx +b +C k ln a

8.

∫ cos xdx = sin x + C

21.

∫ cos (ax + b ) dx = a sin (ax + b ) + C

9.

∫ sin xdx = − co s x + C

22.

∫ sin (ax + b ) dx = − a cos (ax + b ) + C

∫ tan x .dx = − ln | cos x | +C

10.

11. ∫ cot x .dx = ln | sin x | +C

13. ∫

1 23. ∫ tan (ax + b ) dx = − ln cos (ax + b ) + C a 24. ∫ cot (ax + b ) dx =

1 ln sin (ax + b ) + C a

25.

∫ cos (ax + b ) dx = a tan (ax + b ) + C

1 dx = − cot x + C sin2 x

26.

∫ sin (ax + b ) dx = − a cot (ax + b ) + C

27.

∫ (1 + tan (ax + b )) dx = a tan (ax + b ) + C

2

x

(

)

14. ∫ 1 + tan2 x dx = tan x + C

∫ (1 + cot x ) dx = −co t x + C 2

15.

1

dx = tan x + C

1

∫ cos

12.

1

1

1

2

1

1

2

1

2

(

))

(

(

)

1 28. ∫ 1 + cot2 ax + b dx = − co t ax + b + C a

1.5. Bảng nguyên hàm mở rộng

∫a

2

∫a

2

∫ ∫ ∫x

dx 1 x = arctg + C 2 a a +x

∫ arcsin a dx = x arcsin a +

dx 1 a +x = +C ln 2 2a a −x −x

∫ arccos a dx = x arccos a −

= ln ( x + x 2 + a 2 ) + C

dx x +a 2

2

dx a −x 2

= arcsin

2

dx

x −a 2

2

=

x +C a

x

x

a2 − x 2 + C

x

x

a2 − x2 + C

∫ arctan a dx = x arctan a − 2 ln (a x

x

a

∫ arc cot a dx = x arc cot a + 2 ln (a x

x

a

2

+ x2 ) +C

2

+ x2 ) +C

1 x arccos + C a a

1 a + x 2 + a2 = − +C ∫ x x 2 + a 2 a ln x dx



dx

1

∫ sin (ax + b ) = a ln tan

b

∫ ln (ax + b ) dx =  x + a  ln (ax + b ) − x ∫+eC cos bx dx = e ax

ax

ax + b +C 2

(a cos bx + b sin bx ) a 2 + b2

+C

Page 33

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

∫

a 2 − x 2 dx =

x a2 − x 2 a2 x e ax (a sin bx − b cos bx ) + arcsin + C ax e bx = +C sin dx 2 2 a∫ a 2 + b2

2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 2.1. Phương pháp đổi biến 2.1.1. Đổi biến dạng 1 Nếu :

∫ f (x )dx = F (x ) + C

()

và với u = ϕ t là hàm số có đạo hàm thì :

∫ f (u )du = F (ϕ(t )) + C 2.1.1.1. Phương pháp chung

()

() Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx = ϕ ' (t ) dt Bước 3: Biến đổi : f (x )dx = f ϕ (t )  ϕ ' (t ) dt = g (t ) dt  

• Bước 1: Chọn x = ϕ t , trong đó ϕ t là hàm số mà ta chọn thích hợp .

• •

• Bước 4: Khi đó tính :

∫ f (x )dx = ∫ g(t )dt = G (t ) + C .

2.1.1.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp Dấu hiệu

Cách chọn

 π π Đặt x = a sint ; với t ∈  − ;  . hoặc x = a cost ;  2 2

a2 − x2

với t ∈  0; π  . Đặt x = x 2 − a2

a  π π . ; với t ∈  − ;  \ 0 hoặc x = sint cost  2 2 a

{}

π  với t ∈ 0; π  \   . 2   π π Đặt x = a tant ; với t ∈  − ;  . hoặc x = a cot t  2 2

a2 + x2

( )

với t ∈ 0; π .

a +x . hoặc a −x

a −x . a +x

(x − a )(b − x ) 1 a + x2 2

Đặt x = acos 2t Đặt x = a + (b – a )sin 2t

 π π Đặt x = atant ; với t ∈  − ;  .  2 2

2.1.2. Đổi biến dạng 2

()

()

()

Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x = ϕ t . Trong đó ϕ t cùng với đạo hàm của nó ( ϕ ' t là những hàm số liên tục) thì ta được :

Page 34

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

∫ f (x )dx = ∫ f ϕ (t ) ϕ ' (t ) dt = ∫ g(t )dt = G (t ) + C .

2.1.2.1. Phương pháp chung

( )

( ) Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt = ϕ ' (t ) dt .

Bước 3: Biểu thị : f (x )dx = f ϕ (t )  ϕ ' (t ) dt = g(t )dt .  

• Bước 1: Chọn t= ϕ x . Trong đó ϕ x là hàm số mà ta chọn thích hợp .

• •

• Bước 4: Khi đó : I = ∫ f (x )dx = ∫ g (t )dt = G (t ) + C

2.1.2.2. Các dấu hiệu đổi biến thường gặp : Dấu hiệu

Cách chọn

Hàm số mẫu số có

t là mẫu số

Hàm số : f x ; ϕ x

t= ϕ x

(

( )

Hàm f x =

( )

Hàm f x =

( ))

( )

a. s inx+b.cosx c.s inx+d.cosx+e

 x  x t = tan ;  cos ≠ 0  2  2  Với : x + a > 0 và x + b > 0 .

1

(x + a )(x + b )

Đặt : t = x + a + x + b Với x + a < 0 và x + b < 0 . Đặt : t =

−x − a + −x − b

2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K:

∫ u(x ).v '(x )dx = u(x ).v(x ) − ∫ v(x ).u '(x )dx Hay

∫ udv = uv − ∫ vdu

( )

( )

( với du = u’ x dx , dv = v’ x dx )

2.2.1. Phương pháp chung • Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu về dạng : I = ∫ f (x )dx = ∫ f1(x ).f2 (x )dx

u = f1(x ) → • Bước 2: Đặt :  dv = f2 (x ) 

du = f '1(x )dx  v = ∫ f2 (x )dx 

• Bước 3: Khi đó : ∫ u.dv = u.v − ∫ v.du

2.2.2. Các dạng thường gặp 2.2.2.1.Dạng 1 sin x    I = ∫ P (x ) cos x  .dx . Đặt  x  e 

u = P (x ) u '.du = P '(x )dx   sin x  − cos x       ⇒     dv = cos x  .dx v = sin x  e x  e x           

Page 35

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

− cos x    Vậy: I = P (x ) sin x  e x   

− cos x    sin x   .P '(x )dx ∫ e x   

2.2.2.2.Dạng 2

u = ln x  1  du = dx ⇒ I = ∫ P (x ). ln xdx . Đặt  x dv = P (x )dx v = ∫ P (x )dx = Q(x )  

( )

1 Vậy I = lnx .Q x = ∫ Q(x ). dx x 2.2.2.3.Dạng 3 sin x  I = ∫ ex   dx .Đặt cos x 

u = e x du = e xdx   sin x  − cos x  ⇒  dv = cos x  .dx v = sin x       

− cos x  Vậy I = I = e x  sin x  

 − cos x  x e dx  

∫ sin x

Bằng phương pháp tương tự ta tính được

− cos x  x e dx sau đó thay vào I  

∫ sin x

3. TÍCH PHÂN 3.1. Công thức tính tích phân b

∫ f (x )dx = F (x )

b a

= F (b ) − F (a ) .

a

b

* Nhận xét:Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi

b

∫ f (x )dx hay

∫ f (t )dt.

a

a

Tích

phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

3.2. Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên K , a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có : a

1. ∫ f (x )dx = 0 a b

a

2. ∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx . a

b

b

c

b

a

a

c

3. ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx b

b

b

a

a

a

4. ∫  f (x ) ± g(x ) dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx .

Page 36

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 b

b

a

a

5. ∫ kf (x )dx = k .∫ f (x )dx . b

6. Nếu f(x) ≥ 0, ∀x ∈ a;b  thì :

∫ f (x )dx ≥ 0∀x ∈ a;b  a b

b

a

a

7. Nếu ∀x ∈ a;b  : f (x ) ≥ g(x ) ⇒ ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx .

(

b

)

(

)

8. Nếu ∀x ∈ a;b  Nếu M ≤ f (x ) ≤ N thì M b − a ≤ ∫ f (x )dx ≤ N b − a . a

4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 4.1. Phương pháp đổi biến 4.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1 4.1.1.1. Định lí Nếu

1) Hàm x = u(t ) có đạo hàm liên tục trên α ; β    2) Hàm hợp f (u (t )) được xác định trên α ; β  ,   3) u (α ) = a, u(β ) = b b

β

a

α

Khi đó: I = ∫ f (x )dx = ∫ f (u(t ))u ' (t )dt .

4.1.1.2. Phương pháp chung

()

• Bước 1: Đặt x = u t

• Bước 2: Tính vi phân hai vế : Đổi cận:

x =b x =a

⇒

x = u(t ) ⇒ dx = u '(t )dt

t =β t =α

• Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t b

β

β

a

α

α

β

Vậy: I = ∫ f (x )dx = ∫ f u(t ) u '(t )dt = ∫ g(t )dt = G (t ) = G (β ) − G (α ) α

4.1.2. Phương pháp đổi biến dạng 2 4.1.2.1. Định lí Nếu hàm số u = u(x ) đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b  sao cho

(

)

b

u (b )

a

u (a )

f (x )dx = g u(x ) u '(x )dx = g (u )du thì: I = ∫ f (x )dx =

∫ g(u)du .

4.1.2.2. Phương pháp chung • Bước 1: Đặt u = u(x ) ⇒ du = u ' (x )dx • Bước 2: Đổi cận :

x =b x =a

⇒

u = u(b) u = u(a )

Page 37

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • Bước 3:Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo u b

b

u (b )

a

a

u (a )

Vậy: I = ∫ f (x )dx = ∫ g u(x ).u '(x )dx =

∫

g(u)du

4.2. Phương pháp tích phân từng phần 4.2.1. Định lí Nếu u ( x) và v ( x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên a;b  thì: b

b

b

b

∫ u(x )v (x )dx = (u(x )v(x )) a − ∫ v(x )u (x )dx '

'

a

Hay

b

b

∫ udv = uv a − ∫ vdu a

a

a

4.2.2. Phương pháp chung • Bước 1: Viết f ( x ) dx dưới dạng udv = uv 'dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f ( x ) làm u ( x ) và phần còn lại dv = v '(x )dx

• Bước 2: Tính du = u ' dx và v = ∫ dv = ∫ v '(x )dx • Bước 3: Tính

b

b

∫ vu '(x )dx và uv a a

*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. Đặt u theo thứ tự ưu tiên:

b

b

b

b

x ∫ P (x )e dx

∫ P(x ) ln xdx

∫ P(x ) cos xdx

∫e

a

a

a

a

x

cos xdx

Lốc-đa-mũ-lượng u

P(x)

lnx

P(x)

dv

e xdx

P(x)dx

cosxdx

ex cosxdx

Chú ý: Nên chọn u là phần của f ( x ) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv = v 'dx là phần của f ( x ) dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.

5. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 5.1. Tích phân hàm hữu tỉ 5.1.1. Dạng 1 β

β

β

dx 1 adx 1 I= ∫ = ∫ = ln ax + b . a α ax + b a α ax + b α β

β

(với a≠0)

dx 1 1 = ∫ (ax + b)−k .adx = .(ax + b)−k +1 Chú ý: Nếu I = ∫ k aα a(1 − k ) α (ax + b )

β α

5.1.2. Dạng 2 β

I =

∫ α ax

2

dx + bx + c

(a ≠ 0 ) ( ax

2

+ bx + c ≠ 0 với mọi x ∈ α ; β  )  

Xét ∆ = b 2 − 4ac .

• Nếu ∆ > 0 thì x1 =

−b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a Page 38

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

 1 1 1 1 1  = = −   thì : ax + bx + c a(x − x1 )(x − x 2 ) a(x1 − x 2 )  x − x1 x − x 2  2

β  1 1 1  1 ln x − x1 − ln x − x2  −  dx = ∫  a(x1 − x2 ) α  x − x1 x − x2  a(x1 − x2 )  x − x1 β 1 ln = a(x1 − x2 ) x − x2 α

I =

• Nếu ∆ = 0 thì

1 1 = ax + bx + c a(x − x 0 )2 2

β

thì I =

β

β

Đặt x +

b = 2a

α

 −b  x0 =  2a  

dx 1 dx 1 ∫α ax 2 + bx + c = a α∫ (x − x )2 = − a(x − x ) 0 0

• Nếu ∆ < 0 thì I =

β

β α

β

dx dx ∫α ax 2 + bx + c = α∫  2 2  −∆     b a  x +  +     2a   4a 2    

−∆ 1 −∆ tan t ⇒ dx = 1 + tan2 t dt 2 2 2 a 4a

(

)

5.1.3. Dạng 3 β

I =

∫ α ax

(trong đó f (x ) =

mx + n dx , 2 + bx + c

(a ≠ 0 ) .

mx + n liên tục trên đoạn α ; β  ) ax 2 + bx + c

• Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: A(2ax + b) B mx + n A(ax 2 + bx + c)' B = 2 + 2 = + 2 2 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c β

• Ta có I=

∫

α β

Tích phân

∫ α

β

∫

α

∫ α ax

2

dx + bx + c

β

A(2ax + b) B dx + ∫ dx 2 2 ax + bx + c ax + bx + c α

A(2ax + b) dx = A ln ax 2 + bx + c 2 ax + bx + c

β

Tích phân

mx + n dx = ax 2 + bx + c

β α

thuộc dạng 2.

5.1.4. Dạng 4 I =

b

P (x )

∫ Q(x ) dx

với P ( x ) và Q ( x) là đa thức của x .

a

• Nếu bậc của P ( x ) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q ( x ) thì dùng phép chia đa thức.

• Nếu bậc của P ( x ) nhỏ hơn bậc của Q ( x ) thì có thể xét các trường hợp: • Khi Q ( x ) chỉ có nghiệm đơn α 1, α 2 ,..., α n thì đặt

Page 39

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

A1 A2 An P (x ) = + + ... + .

Q(x ) x − α1 x − α 2 x − αn • Khi Q ( x ) có nghiệm đơn và vô nghiệm

)(

(

)

Q(x ) = x − α x 2 + px + q , ∆ = p 2 − 4q < 0 thì đặt

P (x ) A Bx + C . = + 2 Q(x ) x − α x + px + q • Khi Q ( x ) có nghiệm bội Q (x ) = (x − α )(x − β )2 với α≠β thì đặt

A P (x ) B C = + + Q(x ) x − α x −β x −β

(

)

2

.

Q (x ) = (x − α )2 (x − β )3 với α≠β thì đặt

P(x ) A B C D E = + + + + 2 3 2 3 2 x −β (x − α ) (x − β ) (x − α ) (x − α ) (x − β ) (x − β ) 5.2. Tích phân hàm vô tỉ b

Trong đó R ( x, f ( x )) có dạng:

∫ R(x, f (x ))dx a

 a −x • R  x,  a +x 

  π  Đặt x = acos2t, t ∈ 0;    2 

• R x, a 2 − x 2

) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t

 ax + b • R  x, n  cx + d 

 ax + b  Đặt t = n  cx + d 

(

( ( )) = (ax + b)

• R x, f x

(

1

)

(

Với α x 2 + β x + γ ' = k ax + b

αx + β x + γ 2

Đặt t = α x 2 + β x + γ , hoặc Đặt t =

)

1 ax + b

)

(

 π π • R x , a 2 + x 2 Đặt x = a tan t , t ∈  − ;   2 2

( R(

) Đặt x = cos x , t ∈ [0;π ] \ π2  x ;...; x ) Gọi k = BSCNN (n ; n ;...; n ) . Đặt x = t a

• R x, x 2 − a 2 •

n1

x;

n2

ni

1

2

k

i

5.2.1. Dạng 1 β

I =

∫ α

1

ax 2 + bx + c

dx

(a ≠ 0 ) Page 40

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12  b 2 x+ =u     b ∆  2a  Từ : f(x)=ax 2 + bx + c = a  x + − ⇒ ↔ du = dx   2a  ∆ 4a 2      =K  2a Khi đó ta có :

(

)

• Nếu ∆ < 0, a > 0 ⇒ f (x ) = a u 2 + k 2 ⇔

f (x ) = a . u 2 + k 2 (1)

a > 0 2  b   • Nếu : ∆ = 0 ⇒ f (x ) = a  x + (2) b  ⇔ 2a    f (x ) = a x + 2a = a . u  • Nếu : ∆ > 0 .

(

)( ) f (x ) = a . (x − x )(x − x ) (3) Với a < 0 : f (x ) = −a ( x − x )( x − x ) ⇔ f (x ) = −a . ( x − x )( x − x ) (4)

Với a > 0 : f (x ) = a x − x 1 x − x 2 ⇔

1

1

2

2

1

2

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :

Phương pháp :

(

)

* Trường hợp : ∆ < 0, a > 0 ⇒ f (x ) = a u 2 + k 2 ⇔

f (x ) = a . u 2 + k 2

Khi đó đặt : ax 2 + bx + c = t − a .x

 2 t2 − c x tdt ;dx = =  bx + c = t 2 − 2 ax b 2 a + 2 b + a  ⇒ ⇔ t2 − c x = α → t = t0 , x = β → t = t1  . t − a x = t − a  b+2 a 

)

(

a > 0 2  b   * Trường hợp : ∆ = 0 ⇒ f (x ) = a  x + b  ⇔ 2a    f (x ) = a x + 2a = a . u  β

Khi đó : I =

∫

α

1 a x+

b 2a

dx =

1

* Trường hợp : ∆ > 0, a > 0 . Đặt :

a

β

∫

α

 1  b β b ln  x +  >0 α :x + 2a  2a 1  a  dx =  β b  − 1 ln  x + b  : x + b < 0 x+ 2a  a  2a  α 2a 

( ( ( x a ( x − x )( x − x ) =  ( x

) ) − x )t − x )t

 x −x t 1 ax 2 + bx + c = a x − x 1 x − x 2 =   x − x 2 t

(

* Trường hợp : ∆ > 0, a < 0 . Đặt : ax 2 + bx + c =

)(

1

)

1

2

2

5.2.2. Dạng 2 β

I =

∫ α

mx + n

ax 2 + bx + c

dx

(a ≠ 0 )

Phương pháp : • Bước 1: Page 41

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 Phân tích f (x ) =

mx + n

ax 2 + bx + c

=

Ad .

( ax

2

+ bx + c

ax 2 + bx + c

)+

B

ax 2 + bx + c

(1 )

• Bước 2: Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A, B

• Bước 3: Giải hệ tìm A, B thay vào (1)

• Bước 4 : Tính I = 2A

(

ax 2 + bx + c

β

Trong đó

∫ α

1

ax + bx + c 2

)

β β 1 dx (2) + B∫ 2 α ax + bx + c α

(a ≠ 0 ) đã biết cách tính ở trên

dx

5.2.3. Dạng 3 β

I =

∫ α

(mx + n )

1 ax 2 + bx + c

dx

(a ≠ 0)

Phương pháp : • Bước 1: Phân tích :

1

(mx + n )

ax 2 + bx + c

=

1  n m  x +  ax 2 + bx + c m 

. (1)

• Bước 2:  1  n 1 dx y =  t =  → dy = − x +t  m x +t 1 n  Đặt : = x + ⇒ 2 y m x = 1 − t ⇒ ax 2 + bx + c = a  1 − t  + b  1 − t  + c      y y  y   • Bước 3: β'

Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : I = ± ∫

α'

dy

Ly + My + N 2

. Tích phân này chúng ta đã

biết cách tính .

5.2.4. Dạng 4 β β  αx + β  I = ∫ R x ; y dx = ∫ R  x ; m  dx   x + γ δ α α  

( )

( Trong đó : R ( x; y ) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và α , β , γ , δ là các hằng số đã biết )

Phương pháp : • Bước 1: Đặt : t = m

αx + β (1) γx + δ Page 42

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • Bước 2:

()

Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x = ϕ t

• Bước 3:

()

Tính vi phân hai vế : dx = ϕ ' t dt và đổi cận

• Bước 4: β β'  αx + β   dx = ∫ R ϕ t ; t ϕ ' t dt Tính : ∫ R  x ; m  γ x + δ  α α' 

( () ) ()

5.3. Tích phân hàm lượng giác 5.3.1. Một số công thức lượng giác 5.3.1.1. Công thức cộng cos(a ± b ) = cos a.cos b ∓ sin a.sin b sin(a ± b) = sin a.cos b ± sin b. cos a

tan(a ± b ) =

tan a ± tan b 1 ∓ tan a. tan b

5.3.1.2. Công thức nhân đôi cos 2a = cos2 a – sin2 a = 2 cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2 a =

sin 2a = 2 sin a.cos a =

2 tan a 1 + tan2 a

; tan 2a =

1 − tan2 a 1 + tan2 a

2 tan a cos 3α = 4 cos 3 α − 3 cos α ; 2 1 − tan a

sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α

5.3.1.3. Công thức hạ bậc sin2 a =

1 − cos 2a 1 + cos 2a 1 − cos 2a ; cos2 a = ; tan2 a = 2 2 1 + cos 2a

3 sin α − sin 3α ; 4 5.3.1.4. Công thức tính theo t sin 3 α =

cos 3 α =

cos 3α + 3 cos α 4

a 2t 2t 1 − t2 Với t = tan Thì sin a = ; ; tan a = cos a = 2 2 2 1+t 1+t 1 − t2 5.3.1.5. Công thức biến đổi tích thành tổng

1  cos(α + β ) + cos(α − β ) 2 1 sin α .sin β =  cos(α − β ) − cos(α + β ) 2 1 sin α .cos β =  sin(α + β ) + sin(α − β ) 2 5.3.1.6. Công thức biến đổi tổng thành tích cos α .cos β =

Page 43

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 cos α + cos β = 2 cos

α+β

cos α − cos β = −2 sin sin α + sin β = 2 sin

2

.cos

α+β 2

α −β

.sin

α+β

2

α −β 2

α −β

.cos 2 2 α+β α −β sin α − sin β = 2 cos .sin 2 2 sin(α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β

Công thức thường dùng:

3 + cos 4α 4 5 3 cos 4α + cos6 α + sin6 α = 8 cos4 α + sin 4 α =

Hệ quả:   π π cos α + sin α = 2 cos  α −  = 2 sin  α +  4 4     π π cos α − sin α = 2 cos  α +  = − 2 sin  α −  4 4  

5.3.2. Một số dạng tích phân lượng giác b

• Nếu gặp I = ∫ f ( sin x ) .cos xdx ta đặt t = sin x . a b

• Nếu gặp dạng I = ∫ f ( cos x ) .sin xdx ta đặt t = cos x . a b

• Nếu gặp dạng I = ∫ f ( tan x ) a b

• Nếu gặp dạng I = ∫ f ( cot x ) a

dx ta đặt t = tan x . cos 2 x dx ta đặt t = cot x . sin 2 x

5.3.2.1. Dạng 1 I1 =

∫ ( sinx )

n

dx ; I 2 ∫ ( cosx ) dx n

* Phương pháp • Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc • Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi • Nếu 3n lẻ ( n = 2 p + 1) thì thực hiện biến đổi: I1 =

∫ ( sinx )

n

dx =

∫ ( sinx )

2p+1

dx = ∫ ( sin x ) sin xdx = − ∫ (1 − cos2 x ) d ( cos x ) 2p

p

k p k p   = − ∫ C p0 − C p1 cos2 x + ... + ( −1) C pk ( cos2 x ) + ... + ( −1) C pp ( cos2 x )  d ( cos x )   ( −1)k k ( −1)p p 2 k +1 2 p +1 1 1 0 3 = − C p cos x − C p cos x + ... + C p ( cos x ) + ... + C p ( cos x )  + c 3 2k + 1 2p + 1  

Page 44

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

I 2 = ∫ ( cosx ) dx = ∫ ( cosx ) n

2p+1

∫ (1 − sin x )

dx = ∫ ( cos x ) cos xdx = 2p

2

p

d ( sin x )

k p k p = ∫ C p0 − C p1 sin2 x + ... + ( −1) C pk ( sin2 x ) + ... + ( −1) C pp ( sin2 x )  d ( sin x ) k p   ( −1) k ( −1) p 2k +1 2 p +1 1 1 0 3 = C p sin x − C p sin x + ... + C p ( sin x ) + ... + C p ( sin x )  + c 3 2k + 1 2p + 1  

5.3.2.2. Dạng 2

I = ∫ sin m x cos n xdx

(m, n ∈ N )

* Phương pháp • Trường hợp 1: m, n là các số nguyên

a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng. b. Nếu m chẵn, n lẻ ( n = 2 p + 1) thì biến đổi: I=

m 2p m m 2p+1 2 ∫ ( sinx ) ( cosx ) dx = ∫ ( sin x ) ( cos x ) cos xdx = ∫ ( sin x ) (1 − sin x ) d ( sin x ) p

k p m k p = ∫ ( sin x ) C p0 − C p1 sin2 x + ... + ( −1) C pk ( sin2 x ) + ... + ( −1) C pp ( sin2 x )  d ( sin x ) = 2k +1+m 2 p +1+m m +3 c.  ( sin x )m +1  ( ) ( ) ( ) k p 1 sin x k sin x p sin x ( ) ( ) C p0  −Cp + ... + −1 C p + ... + −1 C p +c m +1 m+3 2k + 1 + m 2p + 1 + m  

Nếu

m lẻ (m = 2 p + 1) , n chẳn thì biến đổi: I=

∫ ( sinx ) ( cosx ) 2p+1

n

dx = ∫ ( cos x ) ( sin x ) sin xdx = − ∫ ( cos x ) (1 − cos2 x ) d ( cos x ) 2p

n

p

n

k p n  k p  = − ∫ ( cos x ) C p0 − C p1 cos2 x + ... + ( −1) C pk ( cos2 x ) + ... + ( −1) C pp ( cos2 x )  d ( cos x ) = n +3 2k +1+n 2 p +1+n  ( cos x )n +1  ( ) ( cos x ) ( cos x ) k p 0 1 cos x k p  +c − C p −Cp + ... + ( −1) C p + ... + ( −1) C p n +1 n+3 2k + 1 + n 2p + 1 + n  

d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.

• Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sinx m B = ∫ sin x cos xdx = ∫ ( sin x ) ( cos2 x ) m

n

Tích phân (*) tính được ⇔ 1 trong 3 số

n −1 2

n −1

cos xdx = ∫ u (1 − u 2 ) 2 du m

(*)

m +1 n −1 m +k ; ; là số nguyên 2 2 2

5.3.2.3. Dạng 3

∫ ( tan x )

I1 =

n

dx ; I 2 =

∫ ( cot x )

n

•

dx ∫ (1 + tan x ) dx = ∫ cos x = ∫ d ( tan x ) = tan x + c

•

dx ∫ (1 + cot x ) dx = ∫ sin x

•

∫ tan xdx = ∫ cos x dx = −∫

•

∫ cot xdx = ∫ sin x dx = ∫

dx ( n ∈ N ).

2

2

2

2

sin x

cos x

= − ∫ d ( cot x ) = − cot x + C

d ( cos x ) = − ln cos x + C cos x

d ( sin x ) = ln sin x + C sin x

Page 45

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 6. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 6.1. Diện tích hình phẳng 6.1.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ) liên tục trên đoạn a;b  , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S =

b

∫ f (x ) dx a

y

y = f (x)

O

a c1

c2

c3

y = f (x)  y = 0 (H )  x = a  x = b

b x

S =

b

∫ f (x ) dx a

6.1.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ) , y = g(x ) liên tục trên đoạn a;b  và hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S =

b

∫ f (x ) − g(x ) dx a

y

 (C 1 ) : y = f1 ( x )   (C ) : y = f 2 ( x ) (H )  2 x = a x = b 

(C 1 ) (C 2 )

O

a c1

c2

b

x

S =

b

∫

f1 (x ) − f2 (x ) dx

a

b

- Nếu trên đoạn [a;b ] , hàm số f (x ) không đổi dấu thì:

∫

f (x ) dx =

a

b

∫ f (x )dx a

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y ) , x = h(y ) và hai đường thẳng y = c , y = d được xác định: S =

d

∫ g(y ) − h(y ) dy c

6.2. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay 6.2.1. Thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S (x ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , (a ≤ x ≤ b ) . Giả sử S (x ) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b] .

Page 46

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

(V ) a

O

b

x b

x

V = ∫ S (x )dx a

S(x)

6.2.2. Thể tích khối tròn xoay - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: y y = f (x)

O

a

b

x

 (C ) : y = f ( x )  b  (O x ) : y = 0 2 V x = π ∫ [ f ( x )] dx  a x = a  x = b

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y ) , trục hoành và hai đường thẳng y = c , y = d quanh trục Oy: y

(C ) : x = g( y )  (Oy ) : x = 0  y = c  y = d

d

c O

d

V y = π ∫ [ g ( y )] dy 2

c

x

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x ) , y = g (x ) và hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: b

V = π ∫ f 2 (x ) − g 2 (x ) dx a

Page 47

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12

PHẦN IV. SỐ PHỨC 1. SỐ PHỨC 1.1. Khái niệm số phức

(

)

• Số phức (dạng đại số) : z = a + bi; a, b ∈ ℝ . Trong đó : a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i 2 = −1.

• Tập hợp số phức kí hiệu: ℂ .

(

)

• z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 b = 0 .

(

)

• z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) ⇔ phần thực bằng 0 a = 0 .

• Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

1.2. Hai số phức bằng nhau

(

)

(

)

• Hai số phức z1 = a + bi a, b ∈ ℝ và z 2 = c + di c, d ∈ ℝ bằng nhau khi phần thực và phần ảo của chúng tương đương bằng nhau.

a = c • Khi đó ta viết z1 = z 2 ⇔ a + bi = c + di ⇔  b = d y

1.3. Biểu diễn hình học số phức

(

)

M (a;b)

( )

Số phức z = a + bi a, b ∈ ℝ được biểu diễn bởi điểm M a;b

hay bởi u = a;b trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy .

( )

O

x

1.4. Số phức liên hợp

(

)

Số phức liên hợp của z = a + bi a, b ∈ ℝ là z = a − bi .

• z =z;

z  z z .z ' = z .z ';  1  = 1 ; z  z 2  2

z ±z' =z ±z';

z .z = a 2 + b 2 .

• z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo z = −z .

1.5. Môđun của số phức

Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z . Vậy z = OM

hay z = a + bi = OM = a 2 + b 2 .

Một số tính chất:

• z = a 2 + b 2 = zz = OM ;

z = z

• z ≥ 0, ∀z ∈ ℂ; z = 0 ⇔ z = 0 .

• z1 .z 2 = z1 . z 2 ;

z1 z2

=

z1 z2

;

z1 z2

=

z1 z 2 z2

2

.

Page 48

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 •

z1 − z 2 ≤ z1 ± z 2 ≤ z1 + z 2 .

2. PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 2.1. Phép cộng và phép trừ số phức

(

)

(

)

Cho hai số phức z 1 = a + bi a, b ∈ ℝ và z 2 = c + di c, d ∈ ℝ . Khi đó:

(

) (

)

z1 ± z 2 = a + c ± b + d i • Số đối của số phức z = a + bi là −z = −a − bi .

• Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số thực đó: z = a + bi, z + z = 2a .

2.2. Phép nhân số phức

(

)

(

)

• Cho hai số phức z 1 = a + bi a, b ∈ ℝ và z 2 = c + di c, d ∈ ℝ .

(

)(

) (

) (

)

Khi đó: z 1z 2 = a + bi c + di = ac – bd + ad + bc i .

(

)

• Với mọi số thực k và mọi số phức z = a + bi a, b ∈ ℝ , ta có

(

)

k .z = k . a + bi = ka + kbi. Đặc biệt: 0.z = 0 với mọi số phức z .

• Lũy thừa của i : i 0 = 1, i 4n = 1,

i 4n +1 = i,

i 1 = i,

i 4n +2 = −1,

i 2 = −1,

i 4n + 3 = −i,

i 3 = i 2 .i = −i

∀n ∈ ℕ ∗ .

2.3. Chia hai số phức Số phức nghịch đảo của z khác 0 là số z −1 =

1 z

Phép chia hai số phức z ' và z ≠ 0 là

2

z.

z' z '.z z '.z = z ' z −1 = 2 = . z z .z z

3. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:

• ax + by + c = 0 ⇒ tập hợp điểm là đường thẳng • x = 0 ⇒ tập hợp điểm là trục tung Oy • y = 0 ⇒ tập hợp điểm là trục hoành Ox •

( x − a ) + (y − b ) (

2

2

) (

)

( )

< R 2 ⇒ tập hợp điểm là hình tròn tâm I a ;b , bán kính R

 x − a 2 + y − b 2 = R2 •  2 ⇒ tập hợp điểm là đường tròn có tâm I a ;b , bán kính x + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 

( )

R = a 2 + b2 − c

• x > 0 ⇒ tập hơp điểm là miền bên phải trục tung • y < 0 ⇒ tập hợp điểm là miền phía dưới trục hoành • x < 0 ⇒ tập hợp điểm là miền bên trái trục tung Page 49

TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH GIẢI TÍCH 12 • y > 0 ⇒ tập hợp điểm là phía trên trục hoành • y = ax 2 + bx + c ⇒ tập hợp điểm là đường Parabol •

x 2 y2 + = 1 ⇒ tập hợp điểm là đường Elip a 2 b2

•

x 2 y2 − = 1 ⇒ tập hợp điểm là đường Hyperbol a 2 b2

4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 4.1. Căn bậc hai của số thực âm

• Cho số z , nếu có số phức z 1 sao cho z 12 = z thì ta nói z 1 là một căn bậc hai của z .

• Mọi số phức z ≠ 0 đều có hai căn bậc hai.

• Căn bậc hai của số thực z âm là ±i z .

Tổng quát, các căn bậc hai của số thực a âm là ±i a .

4.2. Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0, ∀a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0 . Xét biệt số ∆ = b 2 − 4ac của phương trình. Ta thấy:

b .

2a

• Khi ∆ = 0 , phương trình có một nghiệm thực x = −

• Khi ∆ > 0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 = • Khi ∆ < 0 , phương trình có hai nghiệm phức x1,2 =

−b ± ∆ .

2a

−b ± i ∆

.

2a 5. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MÔ ĐUN SỐ PHỨC

 z r max z = 2 + z1 z1  • Cho số phức z thỏa mãn z1 .z + z2 = r , ( r > 0 )  . z r min z = 2 −  z1 z1  • Cho số phức z thỏa mãn z1 .z − z2 = r1 , ( r1 > 0 ) . max P =

z2 z1

− z3 +

r1 z1

và min P =

z2 z1

− z3 −

(

r1 z1

)

• Cho số phức z thỏa mãn z1 .z + z 2 + z1.z − z 2 = k, k > 0 .

k max z = và min z = 2 z1

k 2 − 4 z2

2

2 z1

Page 50