Trắc nghiệm môn Toán Hình học không gian cổ điển và pp tọa độ trong không gian by Dạy Kèm Quy Nhơn Official

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN 1: KHỐI ĐA DIỆN. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

H Ơ

VẤN ĐỀ 1: KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I: KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ

1. Khái niệm về hình đa diện

TP .Q

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau:

ẠO

+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc

có một cạnh chung.

Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.

Ư N

+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

TR ẦN

Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện. 2. Khái niệm về khối đa diện

Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa

•

diện đó.

+ Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập

hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

+ Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện

ẤP

ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong

của khối đa diện.

Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh,

mặt, điểm trong, điểm ngoài,…của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm

-L

Í-

trong, điểm ngoài,…của hình đa diện tương ứng. Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ.

ÁN

•

Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp.

Ỡ N

Khối đa diện được gọi là khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp cụt. Tương tự ta có các định nghĩa về khối chóp n-giác, khối chóp cụt n-giác, khối chóp

•

Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp

giới hạn nó.

BỒ

ID Ư

đều, khối hộp….

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ: Hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A’B’C’D’E’ ta có khối lăng trụ ngũ giác ABCDE. A’B’C’D’E’; với hình chóp tứ giác đều S.ABCD ta có khối chóp tứ giác đều

H Ơ

S.ABCD;… II: PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN\

có điểm trong chung thì ta nói có thể phân chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1)

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) không

TP .Q

và (H2). Khi đó, ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) để được khối đa diện (H).

Ư N

tam giác S.ABC và S.ACD. ta thấy rằng:

Ví dụ 1: Với khối chóp tứ giác S.ABCD, ta hãy xét hai khối chóp

ẠO

Sau đây là một số ví dụ về phân chia các khối đa diện:

+ Hai khối chớp S.ABC và s.ACD không có điểm trong và là điểm trong chung của khối kia và ngược lại).

TR ẦN

chung (tức là không tồn tại điểm chung trong của khối chóp này + Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối

chóp S.ABCD

Vậy khối chóp S.ABCD được phân chia thành hai khối chóp S.ABC và S.ACD hay hai khối

chóp S.ABC và S.ACD được ghép lại thành khối chóp S.ABCD.

ẤP

Ví dụ 2:

+ Cắt khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bởi mặt phẳng (A’BC).

Khi đó, khối lăng trụ được phân chia thành hai khối đa diện

A’ABC và A’BCC’B’.

-L

Í-

+ Nếu ta cắt khối chóp A’BCC’B’ bởi mặt phẳng

ÁN

(A’B’C’) thì ta chia khối chóp A’ BCC’B’ thành hai khối chóp A’BCB’ và A’CC’B’.

Như vậy khối lăng trụ ABC.A’B’C’ được chia thành ba khối tứ diện A’ABC, A’BCB’, và

Ỡ N

A’CC’B’.

BỒ

ID Ư

Nhận xét: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia thành những khối tứ diện. Ví dụ 3: với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta có thể phân

chia

thành 5 khối tứ diện sau: + DA’D’C’ + A’ABD Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ C’BCD + BA’B’C’

H Ơ

+ BDC’A’ B. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.

TP .Q

Kết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh.

Kết quả 3: Cho (H) là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh. Nếu số

ẠO

mặt của (H) là lẻ thì p phải có số chẵn.

Chứng minh: Gọi m là số các mặt của khối đa diện (H). vì mỗi mặt của (H) có p

pm . Vì m lẻ nên p phải là số chẵn. 2

Ư N

giác nên số cạnh của (H) bằng c =

cạnh nên m mặt sẽ có pm cạnh. Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa

TR ẦN

Kết quả 4 (Suy ra từ chứng minh kết quả 3): Cho (H) là đa diện có m mặt, mà các mặt của nó là những đa giác co p cạnh. Khi đó số cạnh của (H) là c =

pm . 2

Kết quả 5: Mỗi khối đa diện có các mặt là các tam giác thì tổng số các mặt của nó

phải là một số chẵn.

Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là c và m.

Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh

ẤP

3m 3m (có thể áp dụng luôn kết quả 4 để suy ra c = ) 2 2

của đa diện là c =

Suy ra 3m = 2n ⇒ 3m là số chẵn ⇒ m là số chẵn.

Một số khối đa diện có đặc điểm như trên mà có số mặt bằng 4, 6, 8, 10:

Í-

+ Khối tứ diện ABCD có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác.

-L

+ Xét tam giác BCD và hai điểm A, E ở về hai phía của mặt phẳng (BCD). Khi đó ta

ÁN

có khối lục diện ABCDE có 6 mặt là những tam giác.

+ Khối bát diện ABCDE có 8 mặt là các tam giác.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

+ Xét ngũ giác ABCDE và hai điểm M, N ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác. Khi đó khối thập diện MABCDEN có 10 mặt là các tam giác.

Kết quả 6: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện.

Kết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh. Kết quả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.

Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tổng quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số đỉnh là một số chẵn.

H Ơ

Kết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh. Kết quả 10: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.

Y U

TP .Q

Kết quả 12: Với mỗi số nguyên k ≥ 4 luôn tồn tại một hình đa diện có 2k + 1 cạnh.

Kết quả 11: Với mỗi số nguyên k ≥ 3 luôn tồn tại một hình đa diện có 2k cạnh. Kết quả 13: Không tồn tại một hình đa diện có:

ẠO

+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh;

Kết quả 14: tồn tại khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều.

+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.

Ư N

Khối tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều. Ghép hai khối tứ diện đều bằng nhau (một

mặt của tứ diện này ghép vào một mặt của tứ diện kia) ta được khối đa diện H có 6 mặt là

TR ẦN

tam giác đều. Ghép thêm vào H một khối tứ diện đều nữa ta được khối đa diện H có 8 mặt là

ẤP

các tam giác đều. Bằng cách như vậy, ta được khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều.

-L

Í-

ÁN

VẤN ĐỀ 2: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

Ỡ N

Phép biến hình F trong không gian là một quy tắc để với mỗi điểm M xác định được một

BỒ

ID Ư

điểm M’ duy nhất gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F. Ta còn nói F biến điểm M thành điểm M’ và kí hiệu M’ = F(M)

Qua phép biến hình F, mỗi hình (H) được biến thành hình (H’) gồm tất cả các ảnh của các

điểm thuộc hình (H). I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ SỰ BẰNG NHAU CỦA CÁC HÌNH Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1. Định nghĩa phép dời hình Phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo tồn khoảng cách

H Ơ

giữa hai điểm bất kỳ, nghĩa là nếu F biến hai điểm bất kỳ M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì M’N’ = MN.

Tính chất: Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt

phẳng,…

TP .Q

2. Các phép dời hình trong không gian thường gặp a. Phép đối xứng qua mặt phẳng

ẠO

Định nghĩa: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến

hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó và biến mỗi

Ư N

điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt

TR ẦN

phẳng trung trục của đoạn MM’.

Định lí: Nếu phép đối xứng qua mp (P) biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì M’N’ = MN.

Như vậy: Phép đối xứng qua mặt phẳng là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm

bất kì.

Mặt phẳng đối xứng của một hình: Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H)

thành chính nó thì (P) là mặt phẳng đối xứng qua hình (H).

ẤP

Ví dụ 1: Mọi mặt phẳng (P) đi qua tâm I của mặt cầu (S) đều là mặt

Í-

phẳng đối xứng của mặt cầu (S).

-L

Ví dụ 2: Hình tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng. đó là

ÁN

các mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện.

Chẳng hạn: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Khi đó ta có (ABM) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ABCD.

b. Phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến theo vecto v là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM ' = v . Kí hiệu là T v Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

c. Phép đối xứng trục Cho đường thẳng d, phép đối xứng qua đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M

H Ơ

thuộc d thành chính nó và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực đoạn MM’.

TP .Q

cho điểm O, phép đối xứng qua điểm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM + OM ' = 0

d. Phép đối xứng tâm

ẠO

3. Định nghĩa hai hình bằng nhau

Hai hình (H) và (H’) gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

G H

(vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A. A’B’C’D’ biến

Ư N

+ Các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Khi đó:

TR ẦN

thành hình chóp C’.ABCD).

+ Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’

bằng nhau (Qua phép đối xứng qua mặt phẳng (AB’C’D) thì

hình lăng trụ ABC.A’B’C’ biến thành hình lăng trụ

AA’D’.BB’C’).

ẤP

Định lý: Hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau, nghĩa là:

AB = A’B’, BC = B’C’, CD = C’D’, DA = D’A’, AC = A’C’, BD = B’D’.

III. PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN

-L

a. Định nghĩa

Í-

1. Phép vị tự trong không gian

ÁN

Cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định. Phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành điểm M’ thỏa mãn: OM ' = kOM được gọi là phép vị tự. Điểm O gọi là tâm vị

BỒ

ID Ư

Ỡ N

tự, số k được gọi là tỉ số vị tự.

Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

ẠO

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ư N

b. Các tính chất cơ bản của phép vị tự

+ Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì M ' N ' = k MN ,

TR ẦN

và do đó M ' N ' = k MN .

+ Phép vị tự biến ba điểm thẳng hảng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng.

2. Hai hình đồng dạng

Hình (H) được gọi là đồng dạng với hình (H’) nếu có phép vị tự biến hình (H) thành hình

(H1) mà hình (H1) bằng hình (H’).

B. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG

ẤP

Kết quả 1: Phép biến hình biến mỗi điểm M của không gian thành chính nó gọi là

phép đồng nhất, thường được kí hiệu là e. Phép đồng nhất e là một phép dời hình.

Kết quả 2: Phép dời hình biến một mặt cầu thành một mặt cầu có cùng bán kính.

Í-

Kết quả 3: Cho hai điểm phân biệt A, B và phép dời hình f biến A thành A, biến B

-L

thành B. Khi đó f biến mọi điểm M nằm trên đường thẳng AB thành chính nó.

ÁN

Kết quả 4: Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó

với f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C. Khi đó, f biến mọi điểm M của mặt phẳng (ABC)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

thành chính nó, tức là f(M) = M.

Kết quả 5: Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là một phép tịnh tiến. Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên (P) và (Q) sao cho AB ⊥ (P). Khi đó, thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) thì kết quả là phép tịnh tiến theo vecto v = 2 AB

Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Kết quả 6: Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng (là phép đối xứng qua đường thẳng

H Ơ

giao tuyến của (P) và (Q)).

Kết quả 7: phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc

trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt

TP .Q

phẳng đó.

Kết quả 8: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k ≠ 1 và phép vị tự V’ tâm O’ tỉ số k’. Khi đó

ẠO

nếu k.k’ = 1 thì hợp thành của V và V’ là một phép tịnh tiến.

Kết quả 9: Hai hình hộp chữ nhật bằng nhau nếu các kích thước của chúng bằng

nhau.

Ư N

Kết quả 10: Hai hình lập phương bằng nhau nếu các đường chéo của chúng có độ dài

bằng nhau.

TR ẦN

Kết quả 11: Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng song song, tức là:

Khi đó hai tứ diện đã cho đồng dạng.

AB//A’B’, AC//A’C’, AD//A’D’, CB//C’B’, BD//B’D’, DC//D’C’.

Kết quả 12: Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng tỉ lệ, tức

là:

ẤP

A ' B ' B 'C ' C ' D ' D ' A ' A 'C ' B ' D ' = = = = = =k AB BC CD DA AC BD

Khi đó hai tứ diện đã cho đồng dạng.

VẤN ĐỀ 3: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

-L

Í-

1: Khối đa diện lồi

Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kỳ hai điểm A và B nào của nó thì mọi

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó.

Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khối đa diện lồi 2: Khối đa diện đều

H Ơ

Khối đa diện không lồi

a. Định nghĩa

Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

+ Các mặt là những đa giác đều n cạnh.

TP .Q

+ Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh. Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện loại {n, p}.

ẠO

b. Định lí

Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại {5;3}, loại {3;5}.

Ư N

Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối

lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.

Khối đa diện đều

Số đỉnh

Số cạnh

Số mặt

Loại

{3;3}

4;3}

{3;4}

{5;3}

{3;5}

Tứ diện

TR ẦN

3: Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

ẤP

Khối lập phương

-L

Í-

Mười hai mặt đều

Bát diện đều

ÁN

Hai mươi mặt đều

Chú ý: giả sử khối đa diện đều loại {n;p} có D đỉnh, C cạnh và M mặt.

Ỡ N

Khí đó: pD = 2C = nM

BỒ

ID Ư

B. MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG Kết quả 1: Cho một khối tứ diện đều. Khi đó: + Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều; + Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).

Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Kết quả 2: Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một khối bát diện đều.

H Ơ

Kết quả 3: Tâm của các mặt của một khối bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.

TP .Q

chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đồi diện gọi

Kết quả 4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:

ẠO

+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; + Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;

Ư N

+ Ba đường chéo bằng nhau.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM “PHẦN 1: KHỐI ĐA DIỆN.

TR ẦN

PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN”

ẤP

Câu 1:

A. hình (a)

-L

Í-

Mỗi hình trên gồm một hữu hạn đa giác phẳng ( kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là

B. hình (b).

C. hình (c)

D. hình (d)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

Câu 2:

Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Mỗi hình trên gồm một hữu hạn đa giác phẳng ( kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là

C. hình (c)

D. hình (d)

B. hình (b).

H Ơ

A. hình (a)

ẠO

TP .Q

Câu 3:

là.

B. 2

C. 3

TR ẦN

A. 1

Ư N

Mỗi hình trên gồm một hữu hạn đa giác phẳng ( kể cả các điểm trong của nó), số hình đa diện

ẤP

Câu 4:

D. 4

B. hình (b).

C. hình (c)

D. hình (d)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

Câu 5:

-L

A. hình (a)

Í-

phải đa diện là.

Mỗi hình trên gồm một hữu hạn đa giác phẳng ( kể cả các điểm trong của nó), hình không

Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Mỗi hình trên gồm một hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình không phải đa diện là.

C. hình (c)

D. hình (d)

B. hình (b).

H Ơ

A. hình (a)

Câu 6: Trong các mặt của khối đa diện, số cạnh cùng thuộc một mặt tối thiểu là C. 4

D. 5

B. 3

A. 2

B. khối bát diện đều

C. khối hai mươi mặt đều

D. khối mười hai mặt đều.

ẠO

A. khối lập phương

D. 10π

C. 12π.

Ư N

B. 8π.

Câu 8: Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {4;3} là A. 4π.

TP .Q

Câu 7: Khối đa diện đều loại {5;3} có tên gọi là:

B. 6π

C. 8π.

TR ẦN

A. 4π.

Câu 9: Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {3;3} là:

D. 10π

Câu 10: Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {3; 4} là: B. 6π

C. 8π.

D. 10π

A. 4π.

B. 36π

C. 18π

D. 24π

A. 12π.

Câu 11: Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {5;3} là

Câu 12: Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại {3;5} là: B. 16π

ẤP

A. 12π

C. 20π

D. 24π

C. 8

D. 12

Câu 13: Số đỉnh của một bát diện đều là: B. 10

A. 6

Í-

Câu 14: Số đỉnh của một hình mười hai mặt đều là: B. 19

C. 20

D. 24

C. 16

D. 10

-L

A. 12

ÁN

Câu 15: Số cạnh của một bát diện đều là:

A. 8

B. 12

Câu 16: Số cạnh của một hình mười hai mặt đều là: B. 20

C. 30

D. 24

Ỡ N

A. 12

BỒ

ID Ư

Câu 17: Tổng diện tích tất cả các mặt của hình tứ diện đều cạnh a bằng: A.

3a 2 2

B. 2 3a 2

3a 2

D. 4 3a 2

Câu 18: Tổng diện tích tất cả các mặt của hình tám mặt đều cạnh a bằng: A. 4 3a 2

B. 6 3a 2

C. 2 3a 2

D. 8 3a 2

Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 19: Tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đều loại {4;3} cạnh a bằng: B. 6a2

C. 8a2

D. 10a2

A. 4a2

B. 6 3a 2

C. 3 3a 2

D. 8 3a 2

A. 5 3a 2

H Ơ

Câu 20: Tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện đều loại {3;5} cạnh a bằng

B. 12; 30; 20

C. 6, 12, 8

ẠO

C. 6; 12; 8.

D. 8; 12; 6.

B. 12; 30; 20.

D. 8, 12, 6

Câu 22: Khối đa diện đều loại {3;3} có số định, số cạnh và số mặt lần lượt bằng. A. 4; 6; 4.

TP .Q

A. 4; 6; 4

Câu 21: Khối đa diện đều loại {4;3} có số đỉnh, số cạnh và số mặt lần lượt bằng

A. 4; 6; 4.

B. 12; 30; 20.

C. 6; 12; 8.

Ư N

Câu 23: Khối đa diện đều loại {3; 4} có số định, số cạnh và số mặt lần lượt bằng.

D. 8; 12; 6.

diện đều”.

A. Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều.

Câu 25: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

TR ẦN

Câu 24: Phát biểu sau đây là đúng (Đ) hay sai (S): “Khối lăng trụ đều bất kì là một khối đa

B. Tồn tại khối lăng trụ đều là khối đa diện đều.

C. Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều.

D. Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều.

ẤP

Câu 26: Có bao nhiêu khối đa diện đều? B. 3.

A. 2.

C. 4.

D. 5.

Câu 27: : Khối đa diện đều loại được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của số mặt là: B. {3;3}, {4;3}, {3;4}, {5;3}, {3;5}.

C. {3;3}, {3;4}, {4;3}, {3;5}, {5;3}.

D. {3;3}, {4;3}, {3;4}, {3;5}, {5;3}.

Í-

A. {3; 3}, {3;4}, {3;5}, {4;3}, {5;3}.

ÁN

diện đều”.

-L

Câu 28: Phát biểu sau đây là đúng (Đ) hay sai (S): “ khối lăng trụ đều bất kì là một khối đa

Câu 29: Phát biểu sau đây là đúng (Đ) hay sai (S): “tồn tại khói đa diện đều có số cạnh bằng

số mặt”.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 30: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Số đỉnh và số mặt của mọi hình đa diện luôn bằng nhau. B. Số đỉnh của mọi hình đa diện luôn lớn hơn 4. C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh gấp 2 lần số đỉnh. D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh nhỏ hơn 6. Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 31: Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt M và số cạnh C của đa diện đó thỏa mãn:

C. M ≥ C.

D. 3M = 2D.

B. C = M + 2.

H Ơ

A. 3M = 2M.

Câu 32: Các khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh D. 3C = 2Đ.

C. 3Đ = 2C

B. Đ ≥ C.

TP .Q

A. Đ = C – 2.

Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn: Câu 33: Khối tứ diện đều, khối bát diện đều và khối hai mươi mặt đều có số đỉnh Đ, số cạnh

2M . 3

B. M =

2C . 3

C. M = Đ.

D. C = 2Đ.

A. C =

ẠO

C, số mặt M thỏa mãn:

C. hai mặt.

A. 10.

D. ba mặt.

TR ẦN

Câu 35: Số mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:

Ư N

B. bốn mặt.

A. năm mặt.

Câu 34: Mỗi đỉnh của hình đa diện đều là đỉnh chng của ít nhất:

B. 8.

C. 6.

D. 4.

Câu 36: Số mặt phẳng đối xứng của hình bát diện đều là: C. 12.

B. 6.

D. 9.

A. 4.

C. 7.

B. 8.

D. 6.

A. 9.

Câu 37: Số mặt phẳng đối xứng của đa diện đều loại {4;3} là:

ẤP

Câu 38: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆’ cắt ∆

khi và chỉ khi

A. ∆ ⊂ (P).

B. ∆ cắt (P).

Í-

C. ∆ không vuông góc với (P).

-L

D. ∆ cắt (P) nhưng không vuông góc với (P).

ÁN

Câu 39: Hãy chọn cụm từ ( hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống, mệnh đề “ Số cạnh của một hình đa diện luôn……. Số mặt của hình đa diện ấy”.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

sau trở thành mệnh đề đúng.

A. lớn hơn.

B. bằng.

C. nhỏ hơn hoặc bằng.

D. nhỏ hơn.

Câu 40: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. Hình hộp là hình đa diện lồi. B. Tứ diện là đa diện lồi. C. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép vào nhau là một hình đa diện lồi. Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D. Hình lập phương là đa diện lồi. Câu 41: Cho một hình đa diện. trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

H Ơ

A. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh. B. Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.

C. Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt. Câu 42: Hình chóp tứ giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng? A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

TP .Q

D. Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.

C. 2a 2 3 .

D. 8a 2 3 .

B. a 2 3 .

A. 4a 2 3 .

ẠO

Câu 43: Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 2a là:

B. 8.

C. 4.

D. 6.

A. 2.

Ư N

Câu 44: Có thể chia một hình lập phương thành bao nhiêu khói tứ diện bằng nhau?

B. lớn hơn hoặc bằng 5.

C. lớn hơn 5.

D. lớn hơn hoặc bằng 4.

Câu 46: Số các cạnh của hình đa diện luôn luôn:

A. lớn hơn 4.

TR ẦN

Câu 45: Số các đỉnh hoặc số các mặt bất kì hình đa diện nào cũng:

B. lớn hơn 7.

A. lớn hơn 6.

D. lớn hơn hoặc bằng 8.

C. lớn hơn hoặc bằng 6.

Câu 47: Trung đểm của tất cả cạnh của hình tứ diện đều là các đỉnh của:

D. hình tứ diện đều.

C. hình hộp chữ nhật.

B. hình tám mặt đều.

ẤP

A. hình lập phương.

Câu 48: Phát biểu sau đây đúng (Đ) hay sai (S)?

Í-

“Tâm của tất cả các mặt của hình tứ diện đều lập thành hình tứ diện đều”.

-L

Câu 49: Tâm của các mặt hình tám mặt đều diện đều là các đỉnh của

ÁN

A. hình lập phương.

D. hình tứ diện đều.

C. hình hộp chữ nhật.

B. hình tám mặt đều.

Câu 50: Biết rằng khối đa diện mà mỗi mặt đều là hình tam giác. Gọi n là số mặt của khối đa

BỒ

ID Ư

Ỡ N

diện đó, lúc đó ta có:

A. n là số chia hết cho 3.

B. n là số chẵn.

C. n là số lẻ.

D. n là số chia hết chho 5.

Câu 51: Biết rằng khối đa diện mà mỗi mặt đều là hình ngũ giác. Gọi C là số cạnh của khối đa diện đó, lúc đó ta có:

A. C là số chia hết cho 3.

B. C là số chẵn.

Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. C là số lẻ.

D. C là số chia hết cho 5.

Câu 52: Phép đói xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thẳng d thành chính nó khi và chỉ khi. B. d nằm trên (P).

C. d ⊥ (P).

D. d nằm trên (P) hoặc d ⊥ (P).

Câu 53: Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Có bao nhiêu phép đối xứng qua mặt phẳng biến

H Ơ

A. d song song với (P).

A. có một.

B. có hai.

TP .Q

d thành d’?

C. không có.

D. có vô số.

Câu 54: Cho hai đường thẳng phân biệt d và d’ đồng phẳng. có bao nhiêu phép đối xứng qua

ẠO

mặt phẳng biến d thành d’?

B. có một.

C. có hai.

D. có một hoặc hai.

Ư N

A. không có.

Câu 55: Một hình hộp chữ đứng có đáy là hình thoi ( không phải là hình vuông) có bao nhiêu A. 1.

TR ẦN

mặt phẳng đối xứng?

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 56: Cho phép vị tự tâm O biến điểm A thành điểm B, biết rằng OA = 2OB. Khi đó, tỉ số vị

1 C. ± . 2

B. -2.

1 . 2

A. 2.

tự là bao nhiêu?

Câu 57: Cho hai đường thẳng song song d, d’ và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao

ẤP

nhiêu phép vị tự tâm O biến d thành d’?

B. không có.

A. có một.

D. có một hoặc không có.

C. có hai.

Câu 58: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

-L

Í-

A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau. B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau.

ÁN

C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh.

D. Tốn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 59: Cho khối chóp có đáy là n – giác. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? A. Số cạnh của khối chóp bằng n + 1. B. Số mặt của khối chóp bằng 2n. C. Số đỉnh của khói chóp bằng 2n + 1. D. Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó. Câu 60: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng? Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. Phép vị tự biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song với nó. B. Phép vị tự biến mặt phẳng qua tâm vị tự thành chính nó.

H Ơ

C. Không có phép vị tự nào biến hai điểm phân biệt A và B lần lượt thành A và B.

D. Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

TP .Q

Đáp án 2-D

3-C

4-B

5-B

6-B

7- D

8- C

9- A

11- B

12- C

13- A

14- C

15- B

16- C

17- C

18- C

19- B

21- D

22- A

23- C

24- sai

25- D

26- D

27- B

28-sai

29-đúng

30- C

31- D

32- C

33- B

34- D

35- C

36- D

37- A

38- D

39- A

40- C

41- C

42- D

43- A

44- D

45- D

46- C

47-B

48-đúng

49- B

50-B

51- D

52- D

53- B

54- D

55- C

56- C

57- D

58- B

59- D

60- B

10- C

20- A

TR ẦN

Ư N

ẠO

1-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án A

Áp dụng các tính chất của hình đa diện:

+ Mỗi cạnh là cạnh chung bất kì của đúng hai mặt;

+ Hai mặt bất kì hoặc có 1 đỉnh chung, hặc 1 cạnh chung, hoặc không có điểm chung nào.

ẤP

Câu 2: Đáp án D

Áp dụng các tính chất của hình đa diện:

+ Mỗi cạnh là cạnh chung bất kì của đúng hai mặt;

Í-

+ Hai mặt bất kì hoặc có 1 đỉnh chung, hoặc 1 cạnh chung, hoặc không có điểm chung

-L

nào.

ÁN

Câu 3: Đáp án C

Áp dụng các tính chất của hình đa diện: + Hai mặt bất kì hoặc có 1 đỉnh chung, hặc 1 cạnh chung, hoặc không có điểm chung

Ỡ N

+ Mỗi cạnh là cạnh chung bất kì của đúng hai mặt;

BỒ

ID Ư

nào.

Câu 4: Đáp án B Áp dụng tính chất của khối đa diện lồi (H): “đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H)”.

Câu 5: Đáp án B Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Áp dụng tính chất của khối đa diện lồi (H): “đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H)”.

H Ơ

Câu 6: Đáp án B Do mỗi mặt của hình đa diện tối thiểu là tam giác nên số cạnh tối thiểu của mỗi mặt là 3, Áp

dụng tính chất của khối đa diện lồi (H): “đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc

(H)”.

Tứ diện đều

{3;4}

{5;3}

{3;5}

Khối lập

Khối bát diện

Khối mười

Khối hai mươi

phương

đều

hai mặt đều

ẠO

Tên

{4;3}

{3;3}

mặt đều

Ư N

Loại

TP .Q

Câu 7: Đáp án D

Câu 8: Đáp án C

TR ẦN

Khối đa diện đều lọai {4;3} là khối lập phương, gồm 6 mặt là các hình vuông nên tổng các góc bằng 6.2π = 12π.

Câu 9: Đáp án A

Khối đa diện đều loại {3;3} là khối tứ diện đều, gồm 4 mặt là các tam giác đều nên tổng các

góc bằng 4.π = 4π.

Câu 10: Đáp án C

Khối đa diện đều loại {3;4} là khối tám mặt đều, gồm 8 mặt là các tam giác đều nên tổng các

ẤP

góc bằng 8.π = 8π.

Câu 11: Đáp án B

Khối đa diện đều loại {5;3} là khối mười hai mặt đều, gồm 12 mặt là các ngũ giác đều nên

Í-

tổng các góc bằng 12.3π = 36π.

-L

Lưu ý: đa giác đều n cạnh có góc bằng (n – 2)π.

ÁN

Câu 12: Đáp án C

Khối đa diện đều loại {3;5} là khối mười hai mặt đều, gồm 20 mặt là các tam giác đều nên

tổng các góc bằng 20.π = 20π.

Ỡ N

Câu 13: Đáp án A

BỒ

ID Ư

Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n; p}. Ta có pĐ = 2C= nM Bát diện đều loại {3;4} ⇒ n =3, p = 4. Ta có: 4 Đ = 3.8 ⇔ Đ= 6.

Câu 14: Đáp án C Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n; p}. Ta có pĐ = 2C= nM

H Ơ

Hình mười hai mặt đều loại {5;3} ⇒ n =5, p = 3.

Ta có: 3 Đ = 5.12 ⇔ Đ= 20.

TP .Q

Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n;

Câu 15: Đáp án B p}. Ta có pĐ = 2C= nM

ẠO

Bát diện đều loại {3;4} ⇒ n =3, p =4.

Ta có: 2C = 3.8 ⇔ C= 12.

Câu 16: Đáp án C

Ư N

Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n;

p}. Ta có pĐ = 2C= nM

TR ẦN

Hình mười hai mặt đều loại {5;3} ⇒ n =5, p = 3. Ta có: 2C = 5.12 ⇔ C = 30.

Câu 17: Đáp án C

3a 2 = 3a 2 4

là S = 4.

Tứ diện đều có 4 mặt là các tam giác đều cạnh a nên tứ diện có tổng diện tích tất cả các mặt

ẤP

Câu 18: Đáp án C

Hình tám mặt đều có 8 mặt là các tam giác đều cạnh a nên tứ diện có tổng diện tích tất cả các

3a 2 = 2 3a 2 . 4

Í-

Câu 19: Đáp án B

mặt là S = 8.

-L

Đa diện đều loại {4;3} là khối lập phương nên có 6 mặt là hình vuông cạnh a nên hình lập

ÁN

phương có tổng diện tích tất cả các mặt là S = 6.a2 = 6a2.

Câu 20: Đáp án A

Đa diện đều loại {3;5} là khối hai mươi mặt đều nên có 20 mặt là các tam giác đều cạnh a

BỒ

ID Ư

Ỡ N

nên hình hai mươi mặt đều có tổng diện tích tất cả các mặt là S = 20.

3a 2 = 5 3a 2 . 4

Câu 21: Đáp án D Cách 1: Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của khối đa diện đều loại {n; p}. Ta có pĐ = 2C= nM

Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tứ diện đều

{4;3}

Lập phương

{3;4}

Bát diện đều

{5;3}

Mười hai mặt đều

{3;5}

Hai mươi mặt đều

ẠO

{3;3}

H Ơ

Số mặt

Số cạnh

Số đỉnh

Tên gọi

TP .Q

Loại

Cách 2: bảng tổng hợp 5 loại đa diện đều.

Câu 22: Đáp án A

Tương tự câu 21.

Ư N

Câu 23: Đáp án C

Tương tự câu 21.

TR ẦN

Câu 24: Đáp án

Phát biểu sai (S), do chỉ có khối lập phương là khối đa diện đều.

Câu 25: Đáp án D

Trong 5 loại khối đa diện đều không tồn tại khối chóp có đáy là tứ giác.

Câu 26: Đáp án D

Có 5 khối đa diện đều.

Câu 27: Đáp án B

ẤP

Sắp xếp theo tự tăng dần số mặt của các khối đa diện đều là: khối tứ diện {3;3}, khối lập

phương {4;3}, khối tám mặt đều {3;4}, khối mười hai mặt đều {5;3} và khối hai mươi mặt

Í-

Câu 28: Đáp án

đều {3;5}.

-L

Phát biểu sai (S). chỉ có khối chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau là khối đa diện

ÁN

đều loại {3;3}.

Câu 29: Phát biểu sai (S). Khối đa diện đều có số cạnh luôn lớn hơn số mặt. Câu 30: Đáp án C

Ỡ N

Khối lập phương có số cạnh bằng 12 và số mặt bằng 6

BỒ

ID Ư

Câu 31: Đáp án D Tổng số cạnh của hình đa diện là 2C. Tổng số mặt của hình đa diện là M và mỗi mặt đều là

tam giác nên có tổng số cạnh 3M. Vậy ta có 3M = 2C.

Câu 32: Đáp án C

Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tổng số cạnh của hình đa diện là 2C. Do mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng ba mặt nên suy ra các cạnh của hình đa diện là 3Đ. vậy ta có 3Đ = 2C.

H Ơ

Câu 33: Đáp án B Dựa vào bảng tổng hợp 5 khối đa diện đều (câu 21) ta suy ra 3 khối tứ diện đều, khối bát diện

2C ⇒ Chọn đáp án B 3

đều và khối hai mươi mặt đều có M =

TP .Q

Câu 34: Đáp án D

Dựa vào khái niệm và điều kiện xác định của hình đa diện ta suy ra mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít

ẠO

nhất 3 mặt

Câu 35: Đáp án C

Ư N

Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh và qua trung

điểm cạnh đối diện. vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng.

TR ẦN

Câu 36: Đáp án D

Gọi bát diện đều ABCDEF, có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng là mặt

phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD).

là

diện đều loại {4;3}

hình

lập phương,

g ọi

ẤP

Đa

Câu 37: Đáp án A

ABCD.A’B’C’D’, có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt

phẳng trung trực của 3 cạnh AB, AD, AA’ và 6 mặt phẳng mà

mỗi mặt phẳng đi qua hai cạnh đối diện.

Í-

Câu 38: Đáp án D

-L

Trong trường hợp ∆ ⊂ (P) thì ảnh của ∆ qua phép đối xứng theo giả thiết là ∆. Giả thiết câu

ÁN

B, trong trường hợp ∆ ⊥ (P) thì ảnh của ∆ qua phép đối xứng theo giả thiết là ∆ và giả thiết

câu C thì trong trường hợp ∆ // (P) thì không thoả yêu cầu bài toán.

Câu 39: Đáp án A

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Dựa vào khái niệm hình đa diện và mối quan hệ giữa số cạnh, số mặt ta có kết quả.

Câu 40: Đáp án C

Ta thấy các đáp án A, B, D đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện lồi.

Câu 41: Đáp án C Ta thấy các đáp án A, B, D đều đúng dựa vào khái niệm hình đa diện.

Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 42: Đáp án D Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

H Ơ

+ 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy. + 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy.

S xq = 4.

TP .Q

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt là các tam giác đều cạnh 2a nên diện tích xung quanh là

Câu 43: Đáp án A

3(2a 2 ) = 4 3a 2 4

Ư N

trụ ABD.A’B’D’ và BCD.B’C’D’. Với khối ABD.A’B’D’ta lần

Lần lượt dùng mặt phẳng (BDD’B’) ta chia thành hai khối lăng

ẠO

Câu 44: Đáp án D

lượt dùng các mặt phẳng (A’B’D’), (AB’D) ta chia thành 3 khối

TR ẦN

tứ diện bằng nhau. Tương tự với khối BCD.B’C’D’.

Câu 45: Đáp án D

Xét hình đa diện là hình tứ diện thì kết quả về quan hệ số đỉnh và số mặt thoả mãn đáp án D

Câu 46: Đáp án C

Xét hình đa diện là hình tứ diện thì kết quả về quan hệ số đỉnh và số mặt thoả mãn đáp án C

Câu 47: Đáp án B

1 độ dài cạnh tứ diện đều. vậy đa diện là hình tám mặt đều 2

Câu 48:

Phát biểu đúng (D)

ẤP

đều bẳng nhau và bằng

Tứ diện đều có 6 cạnh nên có 6 trung điểm. nối các điểm này ta được hình đa diện có các cạnh

-L

Í-

Tứ diện đều có 4 mặt nên có 4 tâm các mặt suy ra có 6 cạnh nối các điểm này. Nối các tâm ta

ÁN

được các cạnh với độ dài bằng nhau và bằng

1 độ dài cạnh tứ diện đều. 3

Câu 49: Đáp án B

Lập luận tương tự câu 47, 48.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 50: Đáp án B Gọi C là số cạnh của đa diện. Do mỗi mặt của khối đa diện là các tam giác nên ta có 2C = 3n. Vậy n là số chẵn.

Câu 51: Đáp án D Gọi C là số cạnh của đa diện. Do mỗi mặt của khối đa diện là các ngũ giác nên ta có 2C = 5n. Vậy n là số chia hết cho 5. Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 52: Đáp án D Kiểm tra thấy các đáp án A, B, C không thoả mãn giả thiết đề bài (chú ý yếu tố khi và chỉ khi

H Ơ

tức là bao gồm tất cả các trường hợp xảy ra).

Câu 53: Đáp án B

Tồn tại hai mặt phẳng thoả yêu cầu là các mặt phẳng chứa các đường phân giác của góc tạo

bởi hai đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng (d,d’).

TP .Q

Câu 54: Đáp án D

Hai đường thẳng phân biệt là hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau. Trong trường hợp hai

ẠO

đưởng thẳng song song thì tồn tại một phẳng thoả yêu cầu, đó là mặt phẳng vuông góc với

(d,d’) và cách đều hai đường thẳng. Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau, như câu 53,

Ư N

có hai mặt phẳng thoả yêu cầu.

Câu 55: Đáp án C

TR ẦN

Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

+ 2 mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy.

+ Mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên.

Câu 56: Đáp án C

, V

1  0; −  2 

biến điểm A thành điểm B.

1  0;   2

ẤP

Vậy có hai phép vị tự V

1 1 Ta có hai hệ thức tương ứng thỏa giả thiết OA = 2OB là OB = OA và OB = − OA 2 2

Câu 57: Đáp án D

+ Trong trường hợp O, d, d’ đồng phẳng thì tồn tại duy nhất phép vị tự tâm O biến d

Í-

thành d’.

-L

+ Trong trường hợp O ∉ (d,d’) thì không tồn tại phép vị tự tâm O biến d thành d’.

ÁN

Câu 58: Đáp án B

Hình tứ diện có 4 đỉnh và 4 mặt

Câu 59: Đáp án D

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Đáy là n-giác nên đáy có n đỉnh. Ta nối đỉnh của khối chóp với n đỉnh của đa giác đáy thì khối chóp có n + 1 mặt. do khối chóp có n + 1 đỉnh nên đáp án đúng là D.

Câu 60: Đáp án B Do phép vị tự tâm I bất kì, biến A thành A’ thì I, A, A’ thẳng hàng. Do đó khi ta chọn 2 điểm thuộc mặt phẳng đi qua tâm thì phép vị tự biến mặt phẳng chính nó.

Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN 2: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH VẤN ĐỀ 1: GÓC TRONG KHÔNG GIAN

H Ơ

DẠNG 1: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1. Phương pháp

+ Nếu a và b cắt nhau thì góc giữa chúng là góc nhỏ nhất trong các góc được tạo bởi hai

+ Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 00.

TP .Q

đường thẳng.

+ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi

ẠO

qua một điểm và lần lượt song song ( hoặc trùng) với a và b.

Ư N

a / / a' Tức là:  ⇒ ( a, b ) = ( a ', b' ) b/ / b'

Chú ý:

TR ẦN

a, b ) ≤ 900 * 00 ≤ (

* Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể lấy một điểm (thuộc một trong hai đường

)

(

CD = ( AB, AE ) = BAE Khi đó: AB,

Ví dụ: Để tính AB, CD . Ta kẻ AE // CD.

(

thẳng đó) từ đó kẻ đường thẳng song song với đường còn lại.

ẤP

* Nếu u1 , u 2 lần lượt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì:  u1 , u 2 = α khi α ≤ 900  ( a, b ) = 1800 − α khi α > 900  u1.u 2 Tức là: cos ( a, b ) = cos u1 , u 2 = . u1 . u 2

)

(

)

ÁN

-L

Í-

(

1. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi α là góc

BỒ

ID Ư

Ỡ N

giữa hai đường thẳng AB và DM, khi đó cos α bằng

3 6

2 2

3 2

1 2

Lời giải Gọi N là trung điểm của AC => MN là đường trung bình của ∆ABC

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a 3 . 2

Vì ∆BCD và ∆ACD là các tam giác đều cạnh bằng a ⇒ MD = ND =

H Ơ

MN / /AB  ⇒ 1 MN = 2 AB

TP .Q

AB, DM ) = ( MN, DM ) Vì MN / /AB ⇒ α = ( Xét ∆MND , ta có:

ẠO

MN 2 + MD 2 − ND 2 2MN.MD 2

= cos NMD

Ư N H TR ẦN

< 900 ⇒ ( MN, DM ) = NMD ⇒ NMD = 3 ⇒ Chọn đáp án A. Vậy cos α = cos NMD 6

2 a a 3 a 3  −    + 2  2   2  1 3 = = = >0 6 a a 3 2 3 2. . 2 2

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a; SA

2 4

ẤP

2 2

vuông góc với đáy và SA = a 3 . Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng:

3 2

3 4

Lời giải

Gọi I là trung điểm của SD

Í-

=> OI là đường trung bình của ∆SBD

ÁN

-L

OI / /SB  ⇒ SB SA 2 + AB2 3a 2 + a 2 OI = = = =a   2 2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

SB, AC ) = ( OI, AC ) = AOI Vì OI / /SB ⇒ ( Ta có: AI =

SD SA 2 + AD 2 3a 2 + a 2 = = =a 2 2 2

⇒ AI = OI ⇒ ∆AOI cân tại I. Gọi H là trung điểm của OA ⇒ IH ⊥ OA .

Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

OA AC a 2 = = . 2 4 4

a 2 4 = 2 a 4

H Ơ

= OH = Xét ∆OHI , ta có: cos HOI OI

Và OH =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

= 2 ⇒ Chọn đáp án B. Vậy cos ( SB, AC ) = cos HOI 4 ta có thể tính cách khác như sau: Chú ý: Để tính cos AOI

Ư N

ẠO

a 2 2 2   +a −a 2 2 2 2 2  = OA + OI − AI =  . = cos AOI 2.OA.OI 4 a 2 2. .a 2

B. 450

C. 600

D. 750

A. 300

a) Góc giữa đường thẳng SB và DC bằng:

2a 3 . 3

AB = 2a, AD = DC = a,SA ⊥ AB,SA ⊥ AD và SA =

TR ẦN

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; cạnh

42 14

ẤP

3 14

Gọi α là góc giữa SD và BC. Khi đó, cos α bằng:

42 28

3 28

Lời giải:

a) Vì DC / /AB

Í-

SB, DC ) = ( SB, AC ) = SBA ⇒ (

-L

< 900 ). (vì ∆SAB vuông tại A ⇒ SBA

ÁN

Xét ∆SAB vuông tại A, ta có:

Ỡ N

2a 3 = SA = 3 = 3 ⇒ SBA = 300 tan SBA AB 2a 3

BỒ

ID Ư

= 300 SB, DC ) = SBA Vậy ( => Chọn đáp án A. b) Gọi E là trung điểm của AB. Khi đó, BCDE là hình bình hành.

Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ DE / /BC ⇒ ( SD, BC ) = ( SD, DE ) = α

H Ơ

 7  2 4a 2 7a 2 2 2 2 + a2 = SE = SD = a SE = SD = SA + AD = Ta có:  3 3 ⇒ 3 DE 2 = 2a 2   DE = a 2

= 42 ⇒ Chọn đáp án B. ⇒ cos α = cos SDE 14

TR ẦN

DẠNG 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Ư N

=α Vậy ( SD, BC ) = ( SD, DE ) = SDE

TP .Q

2a 2 3 42 < 900 = = > 0 ⇒ SDE 14 14 7 2a. .a 2 3

ẠO

2 2 2 = SD + DE − SE = cosSDE 2SD.DE

Áp dụng định lí hàm cosin trong tam giác SDE, ta được:

1. Phương pháp

+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa hai đường thẳng a và mặt

phẳng (P) bằng 900.

Tức là: a ⊥ ( P ) ⇒ ( a, ( P ) ) = 900

+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình

ẤP

chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Tức là: Nếu a ⊥ ( P ) và a’ là hình chiếu của a trên (P) thì ( a, ( P ) ) = ( a, a ') = ϕ .

Chú ý:

Í-

* 00 ≤ ( a, ( P ) ) ≤ 900

ÁN

-L

a / / ( P ) ⇒ ( a, ( P ) ) = 00 . * Nếu  a ⊂ ( P )

Tìm giao điểm M = a ∩ ( P ) . Lấy một điểm A tùy ý trên a và xác định hình chiếu H của A trên (P). Khi đó, a’ là

đường thẳng đi qua hai điểm A và M. 2. Một số loại góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thường gặp đối với hình chóp

BỒ

ID Ư

Ỡ N

* Để tìm hình chiếu a’ của a trên (P) ta có thể làm như sau:

Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy H là hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)

H Ơ

=> HD là hình chiếu vuông góc của SD trên (ABCD)

. Vậy ( SD, ( ABCD ) ) = ( SD, HD ) = SDH

Góc giữa cạnh bên và mặt đứng

TP .Q

Dựng CE ⊥ HD ( E ∈ HD ) .

ẠO

CE ⊥ HD Vì  ⇒ CF ⊥ ( SDH ) CE ⊥ SH

=> E là hình chiếu vuông góc của C trên (SHD).

Ư N

=> SE là hình chiếu vuông góc của SC trên (SHD).

TR ẦN

SC,SE = CSE Vậy ( SC, ( SHD ) ) = ( ) .

Góc giữa đường cao và mặt bên

Dựng HE ⊥ CD ( E ∈ CD )

CD ⊥ HE Vì  ⇒ CD ⊥ ( SHE ) CD ⊥ SH

⇒ ( SCD ) ⊥ ( SHE )

ẤP

Mà ( SCD ) ∩ ( SHE ) = SE

=> SE là hình chiếu vuông góc của SH trên (SAD).

Í-

3. Ví dụ minh họa

Vậy ( SH, ( SAD ) ) = ( SH,SE ) = HSE

ÁN

-L

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; SA vuông góc

với đáy và SA =

a 6 . Gọi α là góc giữa SC và (ABCD), khi đó số đo góc α bằng: 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Lời giải

Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

SC, ( ABCD ) ) = ( SC, AC ) = SCA Do đó: α = (

Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

< 900 ). (vì ∆SAC vuông tại A ⇒ SCA

Xét ∆SAC vuông tại A, ta có:

H Ơ

a 6 SA 3 = = 300 tan SCA = 3 = ⇒ α = SCA AC a 2 3

=> Chọn đáp án A.

TP .Q

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a; SA vuông góc với

đáy và SA = 2a . Gọi α là góc giữa SC và mặt phẳng (SAB), khi đó tan α nhận giá trị nào

51 17

4 3 17

2 3 17

3 17

Ư N

ẠO

trong các giá trị sau:

Lời giải

TR ẦN

Gọi M là trung điểm của AB ⇒ CM ⊥ AB .

CM ⊥ AB   SA ⊥ ( ABC )  Vì  CM SA do ⊥     CM ⊂ ( ABC )     

⇒ CM ⊥ ( SAB ) ⇒ SM là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAB).

SC, ( SAB ) ) = ( SC,SM ) = CSM Khi đó; α = (

ẤP

CM ⊥ ( SAB ) < 900 ). (vì  ⇒ CM ⊥ SM ⇒ ∆SCM vuông tại S ⇒ CSM SM ⊂ SAB ( ) 

a 3 2 4a 2 +

a2 4

51 17

ÁN

-L

Í-

CM = CM = Xét ∆SCM vuông tại S, ta có: tan CSM = SM SA 2 + AM 2

= 51 => Chọn đáp án B. Vậy tan α = tan CSM 17

Ỡ N

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại A; BC = a và a 3 . Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng: 3

A. 300

B. 450

BỒ

ID Ư

SA = SB = SC =

C. 600

D. 900

Lời giải Gọi H là trung điểm của BC.

Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vì ∆ABC vuông tại A nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

BC a = . 2 2

H Ơ

và AH =

Mà SA = SB = SC ⇒ SH là trục của đường tròn ngoại tiếp

∆ABC ⇒ SH ⊥ ( ABC )

TP .Q

=> HA là hình chiếu của SA trên (ABC).

SA, ( ABC ) ) = ( SA, HA ) = SAH ⇒ (

ẠO

< 900 ). (Vì ∆SHA vuông tại H nên SAH

Xét ∆SHA vuông tại H, ta có:

= 300 ⇒ Chọn đáp án A. Vậy ( SA, ( ABC ) ) = SAH

TR ẦN

Ư N

a AH 3 = = 300 cosSAH = 2 = ⇒ SAH SA a 3 2 3

DẠNG 3: GÓC GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1. Phương pháp

Đề xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có thể thực hiện theo một trong các cách

ẤP

Cách 1: Theo định nghĩa

a ⊥ ( P ) a, b ) ⇒ ( ( P ) , ( Q ) ) = (  b ⊥ ( Q )

Í-

Cách 2: Khi xác định được ( P ) ∩ ( Q ) = c thì ta làm như sau:

-L

+ Bước 1: Tìm mặt phẳng ( R ) ⊥ c

Ỡ N

ÁN

p = ( R ) ∩ ( P ) + Bước 2: Tìm  q = ( R ) ∩ ( Q ) Khi đó: ( p, q ) ( P ) , ( Q ) ) = (

BỒ

ID Ư

Đặc biệt: Nếu xác định được 2 đường thẳng p, q sao cho: ( P ) ⊃ p ⊥ c p, q ) ⇒ ( ( P ) , ( Q ) ) = (  Q ⊃ q ⊥ c ( ) 

Ví dụ: Góc giữa mặt bên và mặt đáy Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Dựng HE ⊥ CD ( E ∈ CD )

H Ơ

CD ⊥ HE Vì  ⇒ CD ⊥ ( SHD ) ⇒ CD ⊥ SE CD ⊥ SH

TP .Q

( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD  Vì CD ⊥ HE ⊂ ( ABCD )  CD ⊥ SE ⊂ ( SCD )

ẠO

SE, HE ) = SEH ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( (

⇒

Ư N

S' S

TR ẦN

S' = S.cos ϕ ⇒ cos ϕ =

Cách 3: Theo định lí về hình chiếu

2. Ví dụ minh họa

ẤP

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao hình chóp bằng

a 3 . Góc giữa mặt bên và mặt đáy là: 2

B. 450

C. 600

Í-

A. 300

D. 750

Lời giải

-L

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và E là trung điểm của CD.

ÁN

=> OE là đường trung bình của ∆ACD .

Ỡ N

OE / /AD  ⇒ 1 a OE = 2 AD = 2

BỒ

ID Ư

Vì OE / /AD ⇒ OE ⊥ CD

CD ⊥ OE Vì  ⇒ CD ⊥ ( SOE ) ⇒ CD ⊥ SE CD ⊥ SO

Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

( ABCD ) ∩ ( SCD ) = CD  SE, OE SEO ⇒ ( ( ABCD ) , ( SCD ) ) = ( Vì SE ⊥ CD )= OE ⊥ CD 

= 60 ( ABCD ) , ( SCD ) ) = SEO (

Y U TP .Q

Vậy

a 3 = SO = 2 = 3 ⇒ SEO = 600 Xét ∆SEO vuông tại O, ta có: tan SEO a OE 2 => chọn đáp án C.

ẠO

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi O’ là tâm của hình

1 2

B. tan α = 2

C. sin α = Lời giải

1 2

D. tan α =

1 2

TR ẦN

A. cos α =

thức nào sau đây ?

Ư N

vuông A’B’C’D’ và α là góc giữa hai mặt phẳng (O’AB) và (ABCD). Góc α thỏa mãn hệ

3 2+

ẤP

( O 'AB ) ∩ ( ABCD ) = AB  Vì OI ⊥ AB O 'I ⊥ AB 

AB ⊥ OI Vì  ⇒ AB ⊥ ( OIO ' ) ⇒ AB ⊥ O ' I AB ⊥ OO '

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của AB ⇒ OI ⊥ AB

⇒ ( 'OI = α ( O 'AB ) , ( ABCD ) ) = ( OI, O 'I ) = O

Xét ∆O 'OI vuông tại I, ta có: OO ' a = =2 a OI 2

ÁN

-L

Í-

tan α = tan O 'IO =

=> Chọn đáp án B.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BA = BC = a ;

BỒ

ID Ư

Ỡ N

SA vuông góc với đáy, SA = a . Góc α giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng:

A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Lời giải Gọi H là trung điểm của AC ⇒ BH ⊥ AC

Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

BH ⊥ AC   SA ⊥ ( ABC )  Vì  ⊥   BH SA do   BH ⊂ ( ABC )     

S∆SHC . S∆SBC

TP .Q

⇒ ∆SHC là hình chiếu của ∆SBC lên ( SAC ) ⇒ cos α =

⇒ BH ⊥ ( SAC )

+ ta có: AC = BA 2 + BC2 = a 2 .

ẠO

1 1 a 2 a2 2 S∆SHC = SA.HC = a. = 2 2 2 4

TR ẦN

⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.

Ư N

BC ⊥ AB + Vì  BC ⊥ SA ( do SA ⊥ ( ABC ) )

1 1 a2 2 Khi đó : S∆SBC = SB.BC = . a 2 + a 2 .a = 2 2 2

S∆SHC S∆SBC

Vậy cos α =

a2 2 1 = 2 4 = ⇒ α = 600 => Chọn đáp án C. a 2 2 2

ẤP

Bình luận: Trong bài toán trên, ta dễ dàng xác định được giao tuyến SC = ( SAC ) ∩ ( SBC )

nhưng lại gặp khó khăn trong việc tìm một mặt phẳng vuông góc với SC, mất nhiều thời gian

tính toán… không phù hợp với yêu cầu tốc độ của hình thức thi trắc nghiệm. Đồng thời nhận

Í-

thấy rằng việc xác định hình chiếu của B lên (SAC) và tính diện tích của hai tam giác

-L

∆SHC; ∆SBC là khá dễ dàng nên ta vận dụng cách 3 trong nội dung phương pháp đã trình

ÁN

bày ở trên để giải quyết nhanh bài toán.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 1: GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 1: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau ? A. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. B. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn. C. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song hoặc trùng với c.

Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

D. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c.

H Ơ

Câu 2: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau ? A. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó

trên mặt phẳng đã cho.

B. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P)

TP .Q

khi a và b song song hoặc trùng nhau.

C. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q)

ẠO

thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

D. Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P)

Ư N

thì a song song với b.

Câu 3: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau ?

TR ẦN

A. Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.

B. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (R) khi (Q) song song hoặc trùng (R). phẳng (R) thì (Q) song song (R).

D. Cả ba mệnh đề trên đều đúng.

C. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt

Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng. B. 450

ẤP

A. 300

C. 600

D. 900

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và các cạnh bên

(

)

bằng: đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc MN,SC B. 450

C. 600

D. 900

-L

Í-

A. 300

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là

ÁN

giao điểm của AC và BD. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD) bằng 900 .

B. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SCD) bằng góc giữa đường thẳng BC và mặt

BỒ

ID Ư

Ỡ N

phẳng (SCD).

C. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng góc giữa đường thẳng BC và mặt

phẳng (SCD).

D. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SCD) bằng tích

2 với góc giữa đường thẳng

SO và mặt phẳng (SCD).

Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 7: Cho hình chóp ngũ giác đều S.ABCDE. Góc giữa cạnh bên SA và các cạnh đáy có số đo lớn nhất là: C. 720

D. 900

B. 540

H Ơ

A. 360

Câu 8: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDE có cạnh đáy bằng a. Gọi O là hình chiếu của S C. 600

D. 900

B. 450

TP .Q

A. 300

lên mặt đáy và SO = a . Góc giữa cạnh bên SA và các cạnh đáy có số đo nhỏ nhất là.

Câu 9: Cho điểm S không thuộc mặt phẳng (P), đoạn vuông góc SH = 1 và các đoạn xiên

ẠO

SA = 2,SB = 3 và SC = 4 . Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi SA, SB, SC và mặt phẳng (P).

B. β > 450

D. γ > 600

C. β < γ

A. α < 450

Khẳng định nào sau đây đúng ?

Ư N

Câu 10: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, BC, BD bằng nhau và đôi một vuông góc với nhau.

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

TR ẦN

. A. Góc giữa AC và (BCD) là góc ACD

. D. Góc giữa CD và (ABD) là góc CBD

. C. Góc giữa AC và (ABD) là góc CAB

. B. Góc giữa AD và (ABC) là góc ADB

Câu 11: Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O và

ẤP

vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Nếu góc giữa SA và (ABCD) có số đo bằng 450 thì độ

dài đoạn SO bằng

A. SO = a 3

C. SO =

a 3 2

D. SO =

a 2 2

B. SO = a 2

Í-

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; SA vuông góc

-L

với đáy và SA = a 6 .

ÁN

a) Góc giữa SC và (ABCD) có số đo bằng:

B. 450

A. 300

C. 600

D. 750

BỒ

ID Ư

Ỡ N

b) Góc α giữa SB và (SAC) thỏa mãn hệ thức nào sau đây ?

A. cos α =

14 14

B. sin α =

14 14

C. cos α =

2 14

D. sin α =

2 14

c) Góc β giữa AC và (SBC) thỏa mãn hệ thức nào sau đây ?

A. cos β =

21 7

B. sin β =

3 7

C. cos β =

3 7

D. sin β =

21 7

Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Số

C. 600

H Ơ

B. 450

D. 750

A. 300

đo của góc giữa SA và (ABC) bằng:

đo góc giữa SA và (ABC) bằng: B. 450

C. 600

D. 750

ẠO

A. 300

TP .Q

chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm của cạnh BC. Biết SB = a , khi đó số

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a . Hình

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Góc giữa đường thẳng SC và mp(SAB) là SA = a ,

B. tan α = 2

C. tan α = 1

1 2

D. tan α = 3

TR ẦN

A. tan α =

Ư N

khi đó tan α nhận giá trị nào trong các giá trị sao ?

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Đường thẳng SA

3 3

00 C. tan ϕ = 2

D. tan ϕ = 3

B. tan ϕ = 1

A. tan ϕ =

tan ϕ nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?

vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a . Góc giữa mp(SCD) và mp(ABCD) là ϕ , khi đó

ẤP

Câu 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xét mặt phẳng (A’BD). Trong các mệnh đề

sau, mệnh đề nào đúng ?

A. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng

nhau.

Í-

B. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng

-L

nhau và phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.

ÁN

C. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các mặt của hình lập phương bằng α

mà tan α =

1 . 2

Ỡ N

D. Cả ba mệnh đề trên đều sai.

BỒ

ID Ư

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) và đáy ABC là tam giác vuông tại A. Khẳng định nào sau đây sai ? A. ( SAB ) ⊥ ( ABC ) B. ( SAB ) ⊥ ( SAC ) Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). C. Vẽ AH ⊥ BC, ( H ∈ BC ) ⇒ góc AHS

. D. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAC) là góc ACB

H Ơ

Câu 19: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD . Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng

định nào sau đây sai ?

. A. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc AIB

TP .Q

B. ( BCD ) ⊥ ( AIB )

ẠO

. C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là góc CBD

D. ( ACD ) ⊥ ( AIB )

(SBC) và (ABC) là góc nào sau đây ?

Ư N

Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) và AB ⊥ BC . Góc giữa hai mặt phẳng

B. Góc SCA

C. Góc SCB

với I là trung điểm của BC. D. Góc SIA

TR ẦN

A. Góc SBA

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt

phẳng đáy. Khẳng định nào sau đây sai ?

. A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ABS

(với O là tâm của hình vuông B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc SOA

ẤP

ABCD).

D. ( SAC ) ⊥ ( SBD )

. C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc SDA

-L

3 2

2 2

1 2

1 3

ÁN

Í-

Câu 22: Cosin của góc giữa hai mặt của tứ diện đều bằng

Câu 23: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Số đo của góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng: B. 450

C. 600

D. 750

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. 300

Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a 2 và chiều cao bằng

a 2 . Số đo 2

của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

A. 300

B. 450

C. 600

D. 750

Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Cosin của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy bằng:

1 3

1 2

H Ơ

a 3 2

a 2 3

a 3 3

ẠO

TP .Q

a 2

mặt đáy bằng 600 . Khi đó, độ dài đường cao SH bằng:

Câu 26: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa một mặt bên và

Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Biết SO ⊥ ( ABCD ) ,

SO = a 3 và đường tròn nội tiếp đáy ABCD có bán kính bằng a. Góc hợp bởi mỗi mặt bên

C. 600

B. 450

D. 750

TR ẦN

A. 300

Ư N

với đáy bằng.

Câu 28: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AA ' = a, BC = 2a, CA = a 5 . Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Đáy ABC là tam giác vuông.

B. Hai mặt phẳng (AA’B’B) và (BB’C) vuông góc với nhau.

C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) có số đo bằng 450.

D. AC ' = 2a 2 .

ẤP

Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA vuông

góc với (ABCD), AB = BC = a, AD = 2a . Nếu góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450

thì góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD) bằng

B. 300

-L

Í-

A. 600

 6 C. arccos    3 

D. 450

ÁN

Câu 30: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là

trung điểm của BB’, CD, A’D’. Góc giữa MP và C’N bằng.

B. 450

C. 600

D. 900

A. 300

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 31: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2a và SA vuông

góc với đáy. Để thể tích của khối chóp S.ABC bằng a 3 3 thì góc giữa hai mặt phẳng (SBC)

và (ABC) bằng:

A. 600

B. 300

C. 450

D. Đáp án khác.

Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 32: Cho tứ diện ABCD có AB = 72cm, CA = 58cm, BC = 50cm, CD = 40cm và

B. 300

C. 600

D. Đáp án khác.

H Ơ

A. 450

CD ⊥ ( ABC ) . Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) bằng:

(ABC) và (AB’I) bằng

3 10

3 2

5 3

ẠO

2 2

TP .Q

= 1200 , BB' = a và I là trung điểm của CC’. Cosin của góc giữa hia mặt phẳng góc BAC

Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a

Câu 34: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh bằng a,

Ư N

A 'A = A 'B = A 'C = m . Để góc giữa mặt bên (ABB’A’) và mặt đáy bằng 600 thì giá trị của

a 21 3

a 7 6

a 21 6

TR ẦN

m là:

a 21 21

Câu 35: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi O là tâm của đáy và M,

N lần lượt là trung điểm của SA, BC. Nếu góc giữa MN và (ABCD) bằng 600 thì độ dài đoạn

a 5 2

a 2

MN là:

a 10 2

a 2 2

ẤP

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2-B

3-B

4-D

5-D

6-B

7-D

8-B

9-A

10-C

11-B

12-C,B,D

13-B

14-C

15-A

16-B

17-A

18-D

19-C

20-A

21-C

22-D

23-C

24-B

25-B

26-A

27-C

28-D

29-A

30-D

31-A

32-A

33-B

34-C

35-C

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

ÁN

-L

Í-

1-C

Câu 1: Đáp án C Câu 2: Đáp án B

Ỡ N

Câu 3: Đáp án B

BỒ

ID Ư

Câu 4: Đáp án D

Trong tứ diện đều thì hai cạnh đối diện luôn vuông góc với nhau

AB, CD ) = 900 Do đó: AB ⊥ CD ⇒ (

Câu 5: Đáp án D Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

MN,SC ) = ( SA,SC ) Vì MN / /SA ⇒ (

Ta có: AC = AB2 + BC2 = a 2 + a 2 = a 2

H Ơ

Vì SA 2 + SC 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 = AC2

⇒ ∆SAC vuông tại S.

TP .Q

SA,SC ) = 900 ⇒ SA ⊥ SC ⇒ ( MN,SC ) = ( SA,SC ) = 900 . Vậy (

ẠO

Câu 6: Đáp án B

+ A sai, vì ∆SBD và ∆SAC vuông tại S nên nếu SB ⊥ ( SCD ) thì SA ⊥ ( SCD )

d ( B, ( SCD ) )

BC, ( SCD ) ) = sin (

d ( B, ( SCD ) )

TR ẦN

+ B đúng, vì sin ( SB, ( SCD ) ) =

Ư N

⇒ SA ≡ SB (vô lí).

SB, ( SCD ) ) = ( BC, ( SCD ) ) ⇒ (

+ C sai, vì AB / / ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = d ( B, ( SCD ) )

ẤP

d ( A, ( SCD ) ) d ( B, ( SCD ) ) SA, ( SCD ) ) = BC, ( SCD ) ) ⇒ sin ( = = sin ( SA BC

SA, ( SCD ) ) = ( BC, ( SCD ) ) ⇒ ( sai,

vì

sin ( SA, ( SCD ) ) = 2 sin ( SO, ( SCD ) )

không

suy

được

-L

Í-

SA, ( SCD ) ) = 2 ( SO, ( SCD ) ) . (

ÁN

Chú ý: Để giải quyết nhanh bài toán trên, tác giả đã sử dụng một kết quả sau (mối liên hệ

giữa các góc và khoảng cách).

BỒ

ID Ư

Ỡ N

d ( A, ( P ) ) = AH  Giả sử: AH ⊥ ( P ) ⇒  ( AB, ( P ) ) = ABH

Trong ∆AHB vuông ta có:

= sin ABH

d ( A, ( P ) ) AH ⇒ sin ( AB, ( P ) ) = AB AB

Câu 7: Đáp án D Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Ta đã biết góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 900, nên nếu có một cạnh đáy vuông góc với SA thì góc lớn nhất là 900.

H Ơ

+ Vì SC = SD và AC = AD (hai dây chắn hai cung bằng nhau trong đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều ABCDE) nên SA ⊥ CD .

Vậy góc giữa cạnh bên SA và các cạnh đáy có số đo lớn nhất là 900.

TP .Q

Câu 8: Đáp án B

Đ Ư N

= SAF nên ta chỉ cần so sánh SAB,SAO . Mà SAB

SO SA SI . SA

< sin SAB ⇒ SAO < SAB Vì SO < SI ⇒ sin SAO

TR ẦN

= Kẻ SI ⊥ AB, ( I ∈ AB ) , khi đó sin SAB

= Ta có: sin SAO

ẠO

CD / /AF  . Vì ED / /AB nên ta chỉ tính và so sánh các góc SAB,SAF,SAO EF / /AO 

nhỏ nhất và bằng 450 vì ∆SAO vuông cân Vậy SAO

Câu 9: Đáp án A

1 1 1 > sin β = > sin γ = ⇒ α = 300 > β > γ 2 3 4

ẤP

sin α =

Câu 10: Đáp án C

. + A sai, vì ( AC, ( BCD ) ) = ACB

Í-

AD, ( ABC ) ) = BAD + B sai, vì (

ÁN

-L

CD, ( ABD ) ) = BDC + D sai, vì (

Câu 11: Đáp án B

Ỡ N

Ta có: AC = 2a 2 ⇒ OA =

BỒ

ID Ư

= 45 SA, ( ABCD ) ) = SAO (

AC =a 2 2

Khi đó, ∆SAO là tam giác vuông cân tại O. Suy ra SO = OA = a 2 .

Câu 12: a) Đáp án C Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Xét ∆SAC vuông tại A, ta có:

SA a 6 = 600 = = 3 ⇒ SCA AC a 2

H Ơ

= tan SCA

= 600 Vậy ( SC, ( ABCD ) ) = SCA

b) Đáp án B

TP .Q

Dễ dàng chứng minh được BO ⊥ ( SAC ) => SO là hình chiếu của SB lên (SAC).

G Ư N H

a 2 BO 14 = Xét ∆SBO vuông tại O, ta có: sin BSO = 2 = . SB a 7 14

ẠO

SB, ( SAC ) ) = ( SB,SO ) = BSO ⇒ α = (

TR ẦN

= 14 . Vậy sin α = sin BSO 14

c) Đáp án D

BC ⊥ ( SAB ) Vì  ⇒ BC ⊥ AH AH ⊂ ( SAB )

Trong (SAB), kẻ AH ⊥ SB, ( H ∈ SB ) .

ẤP

AH ⊥ SB Vì  ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ HC là hình chiếu của AC lên (SBC). AH ⊥ BC

. Do đó: β = ( AC, ( SBC ) ) = ( AC, HC ) = ACH

-L

Í-

= Xét ∆ACH vuông tại H, ta có: sin ACH

SA.AB 2

SA + AB

a 6 7

ÁN

Mà trong ∆SAB , ta có: AH =

AH . AC

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a 6 = AH = 7 = 21 . Vậy sin β = sin ACH AC a 2 7

Câu 13: Đáp án B Gọi H là trung điểm của BC

SA, ( ABC ) ) = ( SA, HA ) = SAH ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ HA là hình chiếu của SA lên ( ABC ) ⇒ ( Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vì AH, SH lần lượt là đường cao trong hai tam giác đều ABC và SBC có cạnh bằng a nên AH = SH .

H Ơ

= 450 . ⇒ ∆SAH vuông cân tại H ⇒ SAH

= 450 SA, ( ABC ) ) = SAH Vậy (

TP .Q

Câu 14: Đáp án C Gọi H là trung điểm của BC ⇒ SH ⊥ ( ABC )

ẠO

=> HA là hình chiếu của SA lên (ABC).

SA, ( ABC ) ) = ( SA, HA ) = SAH . ⇒ (

TR ẦN

Ư N

2  a a 3 SH = SB2 − BH 2 = a 2 −   =  2  2 Ta có:   BC a AH = 2 = 2

ẤP

Câu 15: Đáp án A

= 600 SA, ( ABC ) ) = SAH Vậy (

a 3 SH = = 600 . Xét ∆SAH vuông tại H, ta có: tan SAH = 2 = 3 ⇒ SAH a AH 2

SC, ( ABCD ) ) = SCA Tương tự câu 12a, ta có: (

Xét ∆SAC vuông tại A, ta có:

SA a 1 = = AC a 2 2

-L

Í-

= tan SCA

ÁN

= 1 . Vậy tan ( SC, ( ABCD ) ) = tan SCA 2

Câu 16: Đáp án B

BỒ

ID Ư

Ỡ N

( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD  CD ⊥ ( SAD ) Vì  ( SAD ) ∩ ( SCD ) = SD  SAD ∩ ABCD = AD ) ( ) (

SD, AD ) = SDA ⇒ ϕ = ( (SCD ) , ( ABCD ) ) = ( Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= tan SDA

Xét ∆SAD vuông tại A, ta có:

SA a = = 1. AD a

H Ơ

=1 Vậy tan ϕ = tan SDA

Câu 22: Đáp án D

Giả sử có tứ diện đều ABCD cạnh a. Cần tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

TP .Q

AH ⊥ CD Gọi H là trung điểm của CD ⇒  SH ⊥ CD

ẠO

Mà ( ACD ) ∩ ( BCD ) = CD

AH, BH ) = AHB ⇒ ( ( ACD ) , ( BCD ) ) = (

Ư N

a 3 . 2

Ta có: AH = BH =

TR ẦN

Áp dụng định lí cosin trong ∆ABH , ta được:

AH 2 + BH 2 − AB2 2AH.BH

a 3 a 3 2   +  −a 2 2 1    = = cos AHB 3 a 3 a 3 2. . 2 2

= cos AHB

ẤP

Câu 23: Đáp án C

Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒ HC là hình chiếu của SC trên

SC, ( ABC ) ) = ( SC, HC ) = SCH ( ABC ) ⇒ (

-L

Í-

Gọi I là trung điểm của AB.

ÁN

Vì ∆ABC đều cạnh a ⇒ CI =

a 3 2

2 a 3 ⇒ CH = CI = 3 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Xét ∆SCH vuông tại H, ta có: = tan SCH

SH a = 600 = = 3 ⇒ SCH HC a 3 3

= 600 . SC, ( ABC ) ) = SCH Vậy ( Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 24: Đáp án B

a 2 với O 2

H Ơ

Giả sử có hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng a 2 và chiều cao SO = là tâm của hình vuông ABCD.

TP .Q

OI ⊥ CD  Gọi I là trung điểm của CD ⇒  CD a 2 . = OI = 2 2 

Đ G

Ư N

( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD  SI, OI = SIO Vì SI ⊥ CD ⇒ ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( ) . OI ⊥ CD 

ẠO

CD ⊥ SO Vì  ⇒ CD ⊥ ( SOI ) ⇒ CD ⊥ SI . CD ⊥ OI

= 45 ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SIO (

. ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SIO (

ẤP

Tương tự câu 24, góc giữa một mặt bên và một mặt đáy là

CD a = 2 2

Ta có: OI =

Câu 25: Đáp án B

Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy là

TR ẦN

a 2 SO = = 450 . Xét ∆SIO vuông tại O, ta có: tan SIO = 2 = 1 ⇒ SIO OI a 2 2

Í-

Vì ∆SCD đều cạnh a nên SI =

a 3 . 2

ÁN

-L

a OI 1 = Xét ∆SIO vuông tại O, ta có: cosSIO = 2 = SI a 3 3 2

Câu 26: Đáp án A

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Gọi I là trung điểm của BC.

Khi đó,

= 60 SI, AI ) = SIA ( SBC ) , ( ABC ) ) = ( (

Ta có: AI =

a 3 1 a 3 ⇒ HI = AI = 2 3 6

Xét ∆SHI vuông tại H, ta có:

Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

= tan SIH

SH = a 3 . tan 600 ⇒ SH = HI. tan SIH HI 6

a 2

H Ơ

⇒ SH =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 27: Đáp án C

Gọi I là trung điểm của CD.

TP .Q

SI, O I ) = SIO Ta có: ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = (

ẠO

Đường tròn nội tiếp đáy ABCD có bán kính bằng a ⇒ OI = a

SO a 3 = 600 = = 3 ⇒ SIO OI a

Ư N

= tan SIO

Xét ∆SIO vuông tại O, ta có:

TR ẦN

= 600 . Vậy ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SIO

Câu 28: Đáp án D 2

AB2 + BC 2 = a 2 + ( 2a ) = 5a 2 = AC2

⇒ ∆ABC vuông tại B ⇒ AB ⊥ BC

ẤP

 AB ⊥ BC Vì  ⇒ AB ⊥ ( BB 'C ' )  AB ⊥ BB '

⇒ ∆ABC vuông tại B => A đúng.

Dễ dàng chứng minh được BC ⊥ ( AA 'B'B )

⇒ BC ⊥ A ' B

⇒ ( AA 'B'B ) ⊥ ( BB'C ' ) => B đúng.

ÁN

-L

Í-

( ABC ) ∩ ( A 'BC ) = BC  AB, A 'B = ABA Vì  AB ⊥ BC ⇒ ( ( ABC ) , ( A ' BC ) ) = ( ) ' = 450  A 'B ⊥ BC 

(vì ∆ABA ' vuông cân tại A) => C đúng.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

(

Ta có: AC ' = AA '2 + A 'C '2 = a 2 + a 5

)

= a 6 => D sai.

Câu 29: Đáp án A

Gọi H là trung điểm của AD. => ABCH là hình vuông ⇒ CH ⊥ AD

⇒ CH ⊥ ( SAD ) Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ ∆SHD là hình chiếu của ∆SCD lên (SAD). Gọi ϕ là góc giữa mặt phẳng (SAD) và (SCD).

H Ơ

S∆SHD S∆SCD

Khi đó: cos ϕ =

= 450 SC, ( ABCD ) ) = ( SC, CA ) = SCA Ta có: (

TP .Q

SA = AC = a 2 ⇒ ∆SAC vuông cân tại A ⇒  SC = 2a

ẠO

1 1 a2 2 + S∆SHD = SA.HD = .a 2.a = 2 2 2

Ư N

+ Ta có AC = CD = a 2 ⇒ AC 2 + CD 2 = 2a 2 + 2a 2 = 4a 2 = AD 2 ⇒ ∆ACD vuông tại

C ⇒ CD ⊥ AC

S∆SHD S∆SCD

Vậy cos ϕ =

a2 2 1 = 2 2 = ⇒ ϕ = 600 a 2 2

1 1 Khi đó: S∆SCD = SC.CD = .2a.a 2 = a 2 2 2 2

TR ẦN

CD ⊥ AC Vì  ⇒ CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ SC ⇒ ∆SCD vuông tại C. CD ⊥ SA

ẤP

Câu 30: Đáp án D

Gọi Q là trung điểm CC’ ⇒ MQ / /BC

H Í-

⇒ MQ ⊥ C ' N

Mà BC ⊥ ( CC ' D 'D ) ⇒ MQ ⊥ ( CC ' D ' D ) ⊃ C ' N

-L

Trong hình vuông CC’D’D, ta có: C ' N ⊥ D 'Q

ÁN

C ' N ⊥ MQ Vì  ⇒ C ' N ⊥ ( MPD 'Q ) ⇒ C ' N ⊥ MP C ' N ⊥ D 'Q

C ' N, MP ) = 900 Vậy (

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 31: Đáp án A

Gọi I là trung điểm của BC

AI ⊥ BC  Vì ∆ABC đều cạnh 2a nên  2a 3 =a 3 AI =  2

Trang 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BC ⊥ AI ⇒ BC ⊥ ( SAI ) ⇒ BC ⊥ SI Vì  BC ⊥ SA

H Ơ

( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC  Vì SI ⊥ BC AI ⊥ BC 

SA ⇒ SA = AI.tan SIA AI

ẠO

= Xét ∆SAI vuông tại A, ta có: tan SIA

TP .Q

SI, AI ) = SIA ⇒ ( (SBC ) , ( ABC ) ) = (

G Ư N

)

TR ẦN

(

3 = 6V S.ABC = 6.a 3 = 3 ⇒ SIA = 600 ⇒ tan SIA 2 2 AI .BC a 3 .2a

1 1 1 AI / BC Vì SA ⊥ ( ABC ) ⇒ VS.ABC = SA.S∆ABC = .AI. tan SIA. 3 3 2

= 600 Vậy ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = SIA

Câu 32: Đáp án A

Trong (ABC), kẻ CH ⊥ AB, ( H ∈ AB )

ẤP C

( ABC ) ∩ ( ABD ) = AB  Vì CH ⊥ AB DH ⊥ AB 

AB ⊥ CH Vì  ⇒ AB ⊥ ( CDH ) ⇒ AB ⊥ DH . AB ⊥ CD

-L

Í-

CH, DH ) = CHD ⇒ ( ( ABC ) , ( ABD ) ) = (

ÁN

= Xét ∆CHD vuông tại C, ta có: tan CHD

AB + BC + CA 72 + 50 + 58 = = 90 2 2

Ta có: p = p ∆ABC =

CD CH

BỒ

ID Ư

Ỡ N

⇒ S∆ABC = p ( p − AB )( p − BC )( p − AC ) = 90 ( 90 − 72 )( 90 − 50 )( 90 − 58 ) = 1440cm 2

Mặt khác: S∆ABC =

2S 1 2.1440 CH.AB ⇒ CH = ∆ABC = = 40cm 2 AB 72

= Do đó: tan CHD

CD 40 = 450 = = 1 ⇒ CHD CH 40

Trang 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

V ậy

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 45 . ( ABC ) , ( ABD ) ) = CHD ( 0

Câu 33: Đáp án B

N Y

1 AB.AC.sin BAC 2

TP .Q

+ Ta có: S∆ABC =

S∆ABC S∆AB'I

Vì ∆ABC là hình chiếu của ∆AB'I trên (ABC) nên cos ϕ =

H Ơ

Gọi ϕ là góc giữa mặt phẳng (ABC) và (AB’I).

ẠO

1 a2 3 = .a.a.sin1200 = 2 4

TR ẦN

 AB ' = a 2   a2 a 5 Ta có: AI = a 2 + = 4 2   a2 13a 2 a 13 B ' I = B 'C '2 + C 'I 2 = 3a 2 + = = 4 4 2 

Ư N

= a 2 + a 2 − 2a.a.cos1200 = 3a 2 + B 'C '2 = BC2 = AB2 + AC 2 − 2.AB.AC.cos BAC

5a 2 13a 2 = = B' I2 ⇒ ∆AB'I vuông tại A. 4 4

Í-

a2 3 3 Vậy cos ϕ = 2 4 = 10 a 10 3

ẤP

1 1 a 5 a 2 10 AB '.AI = a 2. = 2 2 2 4

⇒ S∆AB'I =

⇒ AB'2 + AI 2 = 2a 2 +

-L

Câu 34: Đáp án C

ÁN

Gọi O là trọng tâm của ∆ABC đều => O là tâm đường

tròn ngoại tiếp ∆ABC .

Mà A 'A = A 'B = A 'C

BỒ

ID Ư

Ỡ N

⇒ A 'O ⊥ ( ABC ) ⇒ A 'O ⊥ AB

Gọi I là trung điểm của AB OI ⊥ AB   1 1 a 3 a 3 = OI = CI = . 3 3 2 6 

Trang 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ ( A 'OI ) ⇒ AB ⊥ A 'I Vì  AB ⊥ A 'O

H Ơ

( ABB 'A' ) ∩ ( ABC ) = AB  Vì A 'I ⊥ AB OI ⊥ AB 

TP .Q

A ' I, OI ) = A 'OI = 600 . ⇒ ( ( ABB ' A ') , ( ABC ) ) = ( Xét ∆A 'OI vuông tại O, ta có:

 a 3   a  2 a 21 m = A 'A = A ' I + AI =   +   = 6  2   2 2

TR ẦN

Xét ∆A ' IA vuông tại I, ta có:

Ư N

ẠO

a 3 OI OI a 3 ⇒ A 'I = = 6 0 = cos A 'OI = A 'I 3 cos SIA cos 60

Câu 35: Đáp án C

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ ( ABCD ) (1)

Gọi H là trung điểm của OA

⇒ MH / /SO (2).

ẤP

Vì (1) và (2) ⇒ MH ⊥ ( ABCD )

=> HN là hình chiếu của MN trên (ABCD).

Í-

3 3 3a 2 AC = .a 2 = 4 4 4

-L

Ta có: CH =

= 600 MN, ( ABCD ) ) = ( MN, NH ) = MNH ⇒ (

ÁN

Trong ∆CNH , ta có:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

NH = CN 2 + CH 2 − 2CN.CH.cos 450 2

2 a 3a 2 2 a 10  a   3a 2  =   +  = .  − 2. . 2 4 2 4  2  4 

Xét ∆MNH vuông tại H, ta có: a 10 NH NH a 10 = cos MNH ⇒ MN = = 4 0 = cos 60 MN 2 cos MNH

Trang 27

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VẤN ĐỀ 2: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN DẠNG 1: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

H Ơ

1. Phương pháp Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ là MH,

với H là hình chiếu vuông góc của M trên đường

TP .Q

thẳng ∆ . MH ⊥ ∆ → d ( M, ∆ ) = MH (H ∈ ∆)

ẠO

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song

song là khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường

Ư N

thẳng này đến đường thẳng kia.

TR ẦN

a / /b → d ( a, b ) = d ( M, a ) = MH M∈b

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = 3a,

7a 5 5

3a 2 2

8a 3 3

5a 6 6

SB = a,SC = 2a . Khi đó, khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng:

Lời giải:

ẤP

Vì SA, SB, SC đôt một vuông góc với nhau nên SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC

Trong (SBC), kẻ SH ⊥ BC, ( H ∈ BC )

-L

Í-

 BC ⊥ SH Vì  ⇒ BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ AH BC ⊥ SA

ÁN

⇒ d ( A, BC ) = AH = SA 2 + SH 2

Xét ∆SBC vuông tại S và có đường cao SH, ta có:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

SH =

SB.SC

SB2 + SC2

a.2a a 2 + 4a 2

2a 5 5 2

Vậy d ( A, BC ) = AH = SA + SH =

( 3a )

 2a 5  7a 5 => Chọn đáp án B. +   =  5  5 

Ví dụ 2: Cho hình chóp A.BCD có AC ⊥ ( BCD ) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a 2 và M là trung điểm của BD.

Trang 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a) Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng:

2a 3 3

4a 5 3

a 11 2

3a 2 2

H Ơ

6 11

C. a

7 5

D. a

4 7

Lời giải:

ẠO

CM ⊥ BD  Vì ∆BCD đều cạnh a có đường trung tuyến CHỨNG MINH nên  a 3. CM =  2

B. a

2 3

TP .Q

A. a

b) Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng:

TR ẦN

Ư N

BD ⊥ CM   AC ⊥ ( BCD )  a) Vì  ⊥  do  BD AC   CM ⊂ ( BCD )     

⇒ BD ⊥ ( ACM ) ⇒ BD ⊥ AM

(a 2 )

00 2

a 3 a 11 => Chọn đáp án D. +   = 2  2 

⇒ d ( A, BD ) = AC + CM =

Vì AM ⊥ BD ⇒ d ( A, BD ) = AM

ẤP

b) Trong (ACM), kẻ CH ⊥ AM, ( H ∈ AM ) .

a 3 2 = a 6 => Chọn đáp án B. 11 a 11 2

a 2.

Í-

AC.CM Khi đó: d ( C, AM ) = CH = = AM

-L

= 600 và Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC

ÁN

SA = 2a,SA ⊥ ( ABCD ) . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng SC bằng:

3a 2 2

4a 3 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

2a 5 5

5a 6 2

Lời giải:

 AB = BC = a Trong tam giác ABC có  ⇒ ∆ABC đều. = 600  ABC

⇒ AC = a

Trong (SAC), kẻ AH ⊥ SC, ( H ∈ SC )

Trang 29

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SA.AC

Khi đó: d ( A,SC ) = AH =

SA 2 + AC2

+ a2

2a 5 5

( 2a )

H Ơ

2a.a

⇒ d ( A,SC ) =

=> Chọn đáp án C.

TP .Q

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) và

thẳng SC bằng:

a 3 4

a 2 3

TR ẦN 00

AH / /OK Xét ∆AHC , có  ⇒ HK = KC AO = OC

Khi đó: d ( O,SC ) = OK AH ⊥ SC Trong (SAC), ta có:  ⇒ AH / /OK OK ⊥ SC

Lời giải: Trong (SAC), kẻ AH ⊥ SC, ( H ∈ SC ) và OK ⊥ SC, ( K ∈ SC )

a 2 4

a 3 3

Ư N

ẠO

SA = 2a . Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó khoảng cách từ điểm O đến đường

AH 1 SA.AC = . 2 2 SA 2 + AC2

2a.a 2

( 2a )

(

+ a 2

)

a 3 => Chọn đáp án A. 3

-L

Í-

1 ⇒ d ( O,SC ) = OK = . 2

⇒ OK =

ẤP

=> OK là đường trung bình của ∆AHC .

ÁN

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a; góc hợp bởi một cạnh bên và mặt

đáy bằng α . Khi đó, khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng: B. a 2.tan α

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. a 2.cot α

a 2 .cos α 2

a 2 .sin α 2

Lời giải:

Giả sử, hình chóp tứ giác đều là S.ABCD với đáy ABCD có tâm O, cạnh bằng a. Trong (SBD), kẻ OH ⊥ SD, ( H ∈ SD ) . Khi đó, khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên là d ( O,SD ) = OH .

Trang 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ta có: OD =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BD BC2 + CD 2 a2 + a2 a 2 = = = 2 2 2 2

H Ơ

Vì OD là hình chiếu của SD lên (ABCD) nên

SD, ( ABCD ) ) = ( SD, OD ) = SDO α = (

OH a 2 ⇒ OH = OD.sin α = .sin α OD 2

TP .Q

Xét ∆OHD vuông tại H, ta có: sin α =

DẠNG 2: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

ẠO

1. Phương pháp:

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là MH, với H

là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).

TR ẦN

Ư N

MH ⊥ ( P ) → d ( M, ( P ) ) = MH H ∈ (P)

Phương pháp giải chung: Muốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, trước hết

ta phải tìm hình chiếu vuông góc của điểm đó trên mặt phẳng. Việc xác định hình chiếu của

điểm trên mặt phẳng ta thường dùng một trong các cách sau: Cách 1:

+ Bước 1: Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc

ẤP

với (P).

+ Bước 2: Xác định giao tuyến: ∆ = ( P ) ∩ ( Q )

+ Bước 3: Trong (Q), dựng MH ⊥ ∆, ( H ∈ ∆ ) .

ÁN

-L

Í-

( P ) ⊥ ( Q )  Vì ∆ = ( P ) ∩ ( Q ) ⇒ MH ⊥ ( P )  ( Q ) ⊃ MH ⊥ ∆

⇒ d ( M, ( P ) ) = MH

Ỡ N

Cách 2:

BỒ

ID Ư

Nếu đã biết trước một đường thẳng d ⊥ ( P ) thì ta sẽ dựng Mx / / d , khi đó: H = Mx ∩ ( P ) là hình chiếu vuông góc của M trên (P).

⇒ d ( M, ( P ) ) = MH Cách 3: Trang 31

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Dựa vào tính chất trục của tam giác: Cho ∆ABC nằm trên (P), nếu MA = MB = MC thì hình chiếu vuông góc của điểm

H Ơ

M trên (P) chính là tâm O của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC .

TP .Q

Khi đó: MO ⊥ ( P ) ⇒ d ( M, ( P ) ) = MO .

Khoảng cách dựng trực tiếp

ẠO

Khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên

Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông

góc lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm H đến

Ư N

mặt bên (SAB).

TR ẦN

+ Kẻ HI ⊥ AB, ( I ∈ AB ) + Kẻ HK ⊥ SI, ( K ∈ SI )

SH 2 + HI 2

SH.HI

Khi đó: d ( H, ( SAB ) ) = HK =

Khoảng cách từ một điểm trên mặt đáy tới mặt đứng (chứa đường cao)

Bài toán: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vuông góc

ẤP

lên mặt đáy là H. Tính khoảng cách từ điểm A bất kì đến mặt bên (SHB).

+ Kẻ AK ⊥ HB

Í-

AK ⊥ HB + ⇒ AK ⊥ ( SHB ) AK ⊥ SH

-L

⇒ d ( A, ( SHB ) ) = AK

ÁN

Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau

Cho hình chóp có đỉnh S có các cạnh bên có độ dài bằng nhau:

SA = SB = SC = SD (đáy có thể là bốn đỉnh hoặc ba đỉnh). Khi

BỒ

ID Ư

Ỡ N

đó nếu như O là tâm đường tròn ngoại tiếp đi qua các đỉnh nằm trên mặt đáy thì SO là trục đường tròn ngoại tiếp của đa giác

đáy

hay

nói

cách

khác:

SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ d ( S, ( ABCD ) ) = SO Chú ý: Trang 32

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Nếu đáy là: + Tam giác đều, O là trọng tâm

H Ơ

+ Tam giác vuông, O là trung điểm cạnh huyền. + Hình vuông, hình chữ nhật, O là giao điểm của 2 đường chéo đồng thời là trung điểm mỗi

đường.

TP .Q

TÍNH KHOẢNG CÁCH BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP

Giả sử ta muốn dựng trực tiếp khoảng cách từ điểm (P) tới mặt phẳng (P) mà không thực

ẠO

hiện được. Đồng thời từ điểm B ta lại dựng được trực tiếp khoảng cách tới (P), khi đó ta sẽ thực hiện tính khoảng cách gián tiếp như sau:

Cách 1: (Đổi điểm): Tính thông qua tỉ số khoảng cách: AB ∩ P

AI  → BI

d ( B, ( P ) )

d ( A, ( P ) )

AB ∩ P = I

( ) {} →

TR ẦN

Ư N

( ) → → d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) ) 

ẤP

Cách 2: (Đổi đỉnh): Sử dụng phương pháp thể tích để tìm khoảng cách:

Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong nhiều trường hợp có thể qui

về bài toán thể tích khối đa diện. Việc tính khoảng cách này dựa vào công thức:

3V : V, S, h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều của hình chóp. S

+ h=

V : V, S, h lần lượt là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ. S

ÁN

-L

Í-

+ h=

Phương pháp này áp dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tìm

khoảng cách về bài toán tìm chiều cao của một hình chóp (hoặc một lăng trụ) nào đó. Dĩ

Ỡ N

nhiên, các chiều coa này thường là không tính được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương

BỒ

ID Ư

pháp thông thường như định lí Pitago, công thức lượng giác… Tuy nhiên, các khối đa diện này lại dễ dàng tính được thể tích và diện tích đáy. Như vậy, chiều cao của nó sẽ được xác định bởi công thức đơn giản trên.

Trang 33

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a ; SA vuông góc với đáy và SA = a . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng

2a 3 3

2a 5

3a 7

H Ơ

3a 2 2

Lời giải

TP .Q

Trong (SAD), kẻ AH ⊥ SD, ( H ∈ SD ) .

ẠO

CD ⊥ AD AH ⊂ ( SAD ) Vì  ⇒ SA ⊥ ( SAD )  → CD ⊥ AH CD ⊥ SA

a.2a

Ư N

SA 2 + AD 2

a 2 + 4a 2

2a => Chọn đáp án C 5

TR ẦN

⇒ d ( A, ( SCD ) ) =

SA.AD

⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH =

AH ⊥ SD Vì  ⇒ AH ⊥ ( SCD ) AH ⊥ CD

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 .

2a 3 3

C. a

a 5 2

ẤP

Khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên bằng

3 10

D. a

2 5

Lời giải

Vì O là tâm của đáy của hình chóp tam giác đều S.ABC nên SO ⊥ ( ABC ) ⇒ SO = a 3 .

Gọi M là trung điểm của BC.

ÁN

-L

Í-

AM ⊥ BC  Vì ∆ABC đều cạnh bằng 2a ⇒  . 2a 3 =a 3 AM =  2

1 a 3 Khi đó OM = AM = . 3 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

BC ⊥ AM Vì  ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAM ) BC ⊥ SO Trong (SAM), kẻ OH ⊥ SM, ( H ∈ SM ) .

( SAM ) ⊥ ( SBC )  Vì ( SAM ) ∩ ( SBC ) = SM ⇒ OH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH .  ( SAM ) ⊃ OH ⊥ SM Trang 34

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Xét ∆SOM vuông tại O có đường cao OH, ta có:

(a 3 )

a 3 +   3 

3 => Chọn đáp án C 10

OS + OM

H Ơ

d ( O, ( SBC ) ) = OH =

a 3 3

Khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên bằng:

a 3 2

a 2 3

2a 5 3

Lời giải

a 5 2

ẠO

TP .Q

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a 2 .

a 3.

OS.OM

Ư N

Vì O là tâm của đáy của hình chóp tứ giác đều S.ABCD nên SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO = a 2 .

TR ẦN

OM ⊥ CD  Gọi M là trung điểm của CD ⇒  BC a . OM = 2 = 2

Trong (SOM), kẻ OH ⊥ SM, ( H ∈ SM ) .

a +  2

a 2 => Chọn đáp án B 3

(a 2 )

OS2 + OM 2

Vậy d ( O, ( SCD ) ) =

a 2

ẤP

a 2.

OS.OM

⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( O, ( SCD ) ) = OH =

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AD = 2a, AB = a . SAD là tam

Í-

giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S

-L

trên mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SHB) bằng:

ÁN

A. a 2

B. a 3

a 2 2

a 3 2

Lời giải

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Gọi H là trung điểm của AD ⇒ SH ⊥ AD .

( SAD ) ⊥ ( ABCD )  Vì ( SAD ) ∩ ( ABCD ) = AD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .  ( SAD ) ⊃ SH ⊥ AD Dễ thấy rằng ∆ABH vuông cân tại A và ∆CDH vuông cân tại D.

Trang 35

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= CHD = 450 ⇒ BHC = 900 ⇒ CH ⊥ HB ⇒ AHB

H Ơ

CH ⊥ HB   SH ⊥ ( ABCD )  ⇒ CH ⊥ ( SHB ) Vì  CH ⊥ SH  do CH ⊂ ABCD  ( )   

TP .Q

Suy ra d ( C, ( SHB ) ) = CH = CD 2 + DH 2 = a 2 => Chọn đáp án A.

= 300 , tam giác Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC

ẠO

SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ

a 39 13

a 13 13

a 13 26

a 39 26

Ư N

điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng:

Lời giải

d ( H, ( SAB ) )

CB =2 HB

ẤP

⇒ d ( C, ( SAB ) ) = 2d ( H, ( SAB ) )

d ( C, ( SAB ) )

Vì CH ∩ ( SAB ) = B =

( A 'BC ) ⊥ ( AA ' I )  Vì ( A 'BC ) ∩ ( AA 'I ) = A 'I ⇒ AH ⊥ ( A ' BC )  ( AA 'I ) ⊃ AH ⊥ A 'I

TR ẦN

Gọi H là trung điểm của

Gọi E là trung điểm của AB ⇒ HE / /AC ⇒ HE ⊥ AB

Trong (SHE), kẻ HK ⊥ SE, ( K ∈ SE ) (1)

-L

Í-

AB ⊥ HE HK ⊂ (SHE ) Vì  ⇒ AB ⊥ ( SHE )  → AB ⊥ HK (2) AB ⊥ SH 

ÁN

Từ (1) và (2) ⇒ HK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H, ( SAB ) ) = HK

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 a 3 SH =  2 Ta có:  a AC BC.sin ABC  = = = HE  2 2 4

Xét ∆SHE vuông tại H có đường cao HK, ta có: HK =

Vậy d ( C, ( SAB ) ) = 2d ( H, ( SAB ) ) = 2HK =

SH.HE 2

SH + HE

a 39 . 26

a 39 .=> Chọn đáp án B 13

Trang 36

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a ; cạnh bên

2a 3

2a 5 5

a 3 2

H Ơ

2a 3 3

SA = a và vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng:

Lời giải

TP .Q

Trong (ABCD), kẻ AE ⊥ BD, ( E ∈ BD ) . Trong (ABCD), kẻ AH ⊥ SE, ( H ∈ SE ) (1)

ẠO

BD ⊥ SA Vì  ⇒ BD ⊥ ( SAE ) ⇒ BD ⊥ AH (2). BD ⊥ AE

Ư N

Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( A, ( SBD ) ) = AH

AB.AD 2

AB + AD

a.2a

a + 4a

2a 5

TR ẦN

AE =

Xét ∆ABD vuông tại A có đường cao AH, ta có:

SA + AE

 2a  a2 +    5

2a 3

2a 5

AH =

SA.AE

Xét ∆SAE vuông tại A có đường cao AH, ta có:

ẤP

2a => Chọn đáp án B. 3

Vậy d ( A, ( SBD ) ) = AH =

Ví dụ 7: [Trích Đề Minh Họa - 2017]: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông

Í-

cạnh bằng a 2 . Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy.

-L

Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng

ÁN

2 a 3

4 B. h = a 3

8 C. h = a 3

3 D. h = a 4

Lời giải

A. h =

4 3 a . Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD). 3

1 ⇒ VS.ABCD = .SI.SABCD 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Gọi I là trung điểm của AD, vì ∆SAD cân tại S nên SI ⊥ AD ⇒ SI ⊥ ( ABCD )

Trang 37

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

4 3. a 3 3VSABCD ⇒ SI = = 3 2 = 2a SABCD a 2

)

H Ơ

(

Trong (SAD), dựng IH ⊥ SD, ( H ∈ SD )

TP .Q

CD ⊥ AD Vì  ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ IH . CD ⊥ SI

AD .d ( I, ( SCD ) ) = 2IH HD

TR ẦN

4a => Chọn đáp án B. 3

Vậy d ( B, ( SCD ) ) = 2IH =

Ư N

a 2 .2a 2a IH = = = 2 = 3 ID 2 + IS2 ID 2 + IS2 a2 + 4a 2 2

ID.IS

Xét ∆SID vuông tại I có đường cao IH, ta có:

ID.IS

AI ∩( SCD ) ={D}

AB / / ( SCD ) ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) ========

ẠO

IH ⊥ SD ⇒ IH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( I, ( SCD ) ) = IH  IH ⊥ CD

Bình luận: Thông thường khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt ta có 3 hướng đi chính: Đổi

điểm, đổi đỉnh và đổi sang hình tọa độ không gian (phương pháp tọa độ hóa). Nếu đi theo

ẤP

hướng giải đổi điểm là đổi gián tiếp từ B sang A rồi sang H (như lời giải trên) sẽ mất nhiều

thời gian không đáp ứng được yêu cầu về tốc độ thi theo hình thức trắc nghiệm. Đồng thời

khi nhận ra đề bài cho thể tích V của khối chóp S.ABCD cho trước bạn nên dùng phương

pháp đổi đỉnh sẽ phù hợp hơn. Cụ thể:

ÁN

-L

Í-

3 4 3 VS.ABCD . a 3VS.BCD 3. 2 2 3 d ( B, ( SCD ) ) = = = = 1 1 SSCD 2 2 .SD.CD .a 2. SI + ID 2. 2 2

4a 2

( 2a )

a 2 +   2 

4a . 3

Ví dụ 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA ' = a, AB = a . Khoảng cách từ A tới

2a 21 7

2a 7 7

a 21 7

a 21 21

Lời giải

BỒ

ID Ư

Ỡ N

mặt phẳng (A’BC) bằng

Trang 38

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

AI ⊥ BC  Gọi I là trung điểm của BC ⇒  AB 3 a 3 . = = AI   2 2

Trong (AA’I), kẻ AH ⊥ A 'I, ( H ∈ A 'I ) .

TP .Q

BC ⊥ AI Vì  ⇒ BC ⊥ ( AA 'I ) ⇒ ( A 'BC ) ⊥ ( AA 'I ) . BC ⊥ AA '

Đ G

a 3 a2 +    2 

a 21 => Chọn đáp án C. 7

TR ẦN

AA ' + AI

Ư N

a 3 2

AA '.AI

⇒ d ( A, ( A 'BC ) ) = AH =

ẠO

( A 'BC ) ⊥ ( AA ' I )  Vì ( A 'BC ) ∩ ( AA 'I ) = A 'I ⇒ AH ⊥ ( A ' BC )  ( AA 'I ) ⊃ AH ⊥ A 'I

= 600 đồng Ví dụ 9: Hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD

thời AA ' = a . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Khoảng cách từ G tới mặt phẳng (A’BD)

2a 7 7

d ( G, ( A 'BD ) ) d ( A, ( A 'BD ) )

a 21 7

a 21 21

Lời giải =

GO 1 = AO 3

Vì AG ∩ ( A 'BD ) = {O} ⇒

2a 21 7

ẤP

bằng

-L

Í-

1 ⇒ d ( G, ( A 'BD ) ) = d ( A, ( A 'BD ) ) 3

ÁN

BD ⊥ AC Vì  ⇒ BD ⊥ ( AA 'O ) ⇒ ( A 'BD ) ⊥ ( AA 'O ) BD ⊥ AA '

Trong (AA’O), kẻ AH ⊥ A 'O, ( H ∈ A 'O ) .

BỒ

ID Ư

Ỡ N

( A 'BD ) ⊥ ( AA 'O )  Vì ( A 'BD ) ∩ ( AA 'O ) = A 'O ⇒ AH ⊥ ( A 'BD )  ( AA 'O ) ⊃ AH ⊥ A 'O ⇒ d ( A, ( A ' BD ) ) = AH =

AA '.AO AA '2 + AO 2

Trang 39

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a 3 3 a +   2 

H Ơ

3 AA '2 + AO 2

a 21 . 21

a 3 2

AA '.AO

=> Chọn đáp án D.

3a ; hình chiếu 2

ẠO

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SD =

TP .Q

Vậy d ( G, ( A 'BD ) ) =

d ( A, ( A ' BD ) )

= 600 ⇒ ∆ABD đều có cạnh bằng a ⇒ AO = a 3 Tam giác ABD cân có BAD 2

Ư N

bằng

2 2

3 2 2

C. Lời giải

3 3 2

Theo đề bài, ta có: SH ⊥ ( ABCD )

3 2

TR ẦN

d ( H, ( SDC ) )

vuông góc của S trên (ABCD) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Khi đó, tỉ số

HI = a Gọi I là trung điểm của CD ⇒  . HI ⊥ CD

ẤP

CD ⊥ HI Vì  ⇒ CD ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SCD ) ⊥ ( SHI ) CD ⊥ SH

Trong (SHI), kẻ HK ⊥ SI, ( K ∈ SI ) .

-L

Í-

( SCD ) ⊥ ( SHI )  Vì ( SCD ) ∩ ( SHI ) = SI ⇒ HK ⊥ ( SCD )  ( SHI ) ⊃ HK ⊥ SI

ÁN

SH.HI

Suy ra : d ( H, ( SCD ) ) = HK =

SH 2 + HI2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

5a 2 a Ta có: HD 2 = AH 2 + AD 2 =   + a 2 = 4 2 2

2  3a  5a ⇒ SH = SD 2 − HD 2 =   − =a 4  2

Do đó: d ( H, ( SCD ) ) = HK =

SH.HI 2

SH + HI

a.a 2

a +a

a 2 2

Trang 40

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a 2 2 = 2 = => Chọn đáp án A. a 2

Vậy

d ( H, ( SCD ) )

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

DẠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG.

KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. Phương pháp

TP .Q

a) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( α )

ẠO

song song với ∆ là khoảng cách từ một điểm M bất kì

thuộc ∆ đến mặt phẳng ( α ) :

Ư N

∆ / / (α) d ( ∆, ( α ) ) = d ( M, ( α ) ) = MH M∈∆

TR ẦN

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ

( α ) / / ( β ) d ( ( α ) , ( β ) ) = d ( ∆, ( β ) ) A ∈ ∆ ⊂ ( α ) = d ( A, ( β ) ) = AH

một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

ẤP

Như vậy, việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song; khoảng cách giữa

hai mặt phẳng song song đều quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Cần lưu ý việc chọn điểm trên đường hoặc trên mặt sao cho việc xác định khoảng cách là đơn

-L

Í-

giản nhất.

ÁN

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông có chiều cao AB = a và

SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khoảng cách giữa đường

BỒ

ID Ư

Ỡ N

thẳng IJ và mặt phẳng (SAD) bằng:

a 2 2

a 3 3

a 2

a 3

Lời giải

IJ / /AD Vì  ⇒ IJ / / ( SAD ) IJ ⊄ ( SAD )

Trang 41

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ d ( IJ, ( SAD ) ) = d ( I, ( SAD ) )

H Ơ N

AB a = 2 2

Vậy d ( IJ, ( SAD ) ) = d ( I, ( SAD ) ) = IA =

IA ⊥ AD Vì  ⇒ IA ⊥ ( SAD ) ⇒ d ( I, ( SAD ) ) = IA IA ⊥ SA

TP .Q

=> Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D, AD = 2a . Trên đường thẳng vuông

ẠO

góc với (ABCD) tại D lấy điểm S sao cho SD = a 2 . Khoảng cách giữa đường thẳng CD và

a 2

C. a 2

TR ẦN

Lời giải CD / /AB Vì  ⇒ CD / / ( SAB ) CD ⊄ ( SAB )

a 3 3

2a 3

Ư N

mặt phẳng (SAB) bằng:

⇒ d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) )

Trong (SAD), kẻ DH ⊥ SA

AB ⊥ AD Vì  ⇒ AB ⊥ ( SAD ) ⇒ AB ⊥ DH AB ⊥ SD

ẤP

DH ⊥ SA Vì  ⇒ DH ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( D, ( SAB ) ) = DH DH ⊥ AB

SD.AD 2

SD + AD

a 2.2a

(a 2 )

+ ( 2a )

2a 3

-L

Í-

Vậy d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = DH =

ÁN

=> Chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều cao bằng a 3 .

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SAB) bằng:

a 3 2

a 3 4

C. a 3

a 3 3

Lời giải

SO ⊥ ABCD Gọi O là tâm của đáy ⇒  SO = a 3 Vì CD / / ( SAB ) ⇒ d ( CD, ( SAB ) ) = d ( C, ( SAB ) )

Trang 42

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

d ( C, ( SAB ) ) d ( O, ( SAB ) )

CA =2 OA

Vì CO ∩ ( SAB ) = {A} ⇒

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

⇒ d ( C, ( SAB ) ) = 2d ( O, ( SAB ) )

a.a 3

(

a2 + a 3

a 3 = a 3 => Chọn đáp án C. 2

)

a 3 2

ẠO

SO + OI

Ư N

Vậy d ( C, ( SAB ) ) = 2d ( O, ( SAB ) ) = 2.

SO.OI

Trong (SOI), kẻ OH ⊥ SI ⇒ d ( O, ( SAB ) ) = OH =

TP .Q

OI ⊥ AB  Gọi I là trung điểm của AB ⇒  BC OI = 2 = a

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần bằng:

a 4

a 3

a 3 3

a 2 4

TR ẦN

lượt là trung điểm của AD, DC, A’D’. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ACC’)

Lời giải

Dễ thấy ( MNP ) / / ( ACC ' )

d ( M, ( ACC ') ) d ( D, ( ACC; ) )

MA 1 = . DA 2

Vì DM ∩ ( ACC ' ) = {A} ⇒

ẤP

⇒ d ( ( MNP ) , ( ACC ') ) = d ( M, ( ACC ' ) )

Í-

1 ⇒ d ( M, ( ACC ' ) ) = d ( D, ( ACC ' ) ) 2

ÁN

-L

DO ⊥ AC  Gọi O là tâm của đáy ABCD ⇒  BD a 2 = DO = 2 2 

BỒ

ID Ư

Ỡ N

DO ⊥ AC Vì  ⇒ DO ⊥ ( ACC ') ⇒ d ( D, ( ACC ' ) ) = DO DO ⊥ AA '

Vậy d ( ( MNP ) , ( ACC ') ) = d ( M, ( ACC ' ) ) =

1 1 a 2 a 2 d ( D, ( ACC ') ) = . = 2 2 2 4

=> Chọn đáp án D.

Trang 43

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 600 , đáy ABC là tam giác đều và A’ cách đều A, B, C. Khoảng cách giữa hai đáy của hình

a 3 2

2a 3

B. a 2

A. a

H Ơ

trụ bằng.

TP .Q

Lời giải Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của ∆ABC

ẠO

2 a 3 AM = 3 3

Ư N

Khi đó: AG =

AB 3 a 3 = . 2 2

Vì ∆ABC đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và AM =

Hình chóp A’.ABC có A 'A = A 'B = A 'C và ∆ABC đều nên A’.ABC là hình chóp đều.

TR ẦN

Suy ra A 'G ⊥ ( ABC ) Do đó: d ( ( ABC ) , ( A ' B'C ' ) ) = A 'G

Vì A 'G ⊥ ( ABC ) ⇒ AG là hình chiếu vuông góc của AA’ lên (ABC).

ẤP

A 'G a 3 ⇒ A 'G = AG.tan A 'AG = .tan 600 = a => Chọn đáp án A. AG 3

tan A ' AG =

Xét ∆A ' AG vuông tại G, ta có:

AA ', ( ABC ) ) = ( AA ', AG ) = A ' AG = 600 Suy ra: (

DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

1. Phương pháp

Í-

a) Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

-L

Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng a, b và cùng vuông góc với mỗi

ÁN

đường ấy gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đoạn thẳng MN

Ỡ N

gọi là đoạn vuông góc chung của a và b.

BỒ

ID Ư

b) Một số hướng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau. TH1: Khi a, b chéo nhau và a ⊥ b + Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại M.

Trang 44

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Bước 2: Trong (P) dựng MN ⊥ b tại N.

+ Bước 3: Đoạn MN là đoạn vuông góc chung của a và b ⇒ d ( a, b ) = MN

H Ơ

TH2: Khi a, b chéo nhau và a ⊥ b

Mục tiêu: Chuyển về khoảng cách từ một điểm đến một mặt

phẳng.

TP .Q

Hướng 1: Chuyển thông qua khoảng cách từ một đường đến một mặt phẳng.

d ( a, ( P ) )

b ∈ (P)

a / / (P)

Ư N

* Bước 2: d ( a, b )

ẠO

* Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.

M∈a

==== d ( M, ( P ) )

TR ẦN

Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách giữa mặt phẳng song song. * Bước 1: Dựng hai mặt phẳng (P), (Q) sao cho

a ⊂ (P) / / (Q) ⊃ b .

* Bước 2: Khi đó

d ( a, b ) = d ( ( P ) , ( Q ) ) = d ( M, ( Q ) ) 2. Ví dụ minh họa

ẤP

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc

với mặt phẳng đáy, SA = a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng.

B. a 2

C. a 3

A. a

D. 2a

Í-

Lời giải

-L

Vì CD / / ( SAB )

ÁN

⇒ d ( CD,SB ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) )

Ỡ N

DA ⊥ AB Vì  ⇒ DA ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( D, ( SAB ) ) = DA = a DA ⊥ SA

BỒ

ID Ư

Vậy d ( CD,SB ) = d ( D, ( SAB ) ) = a => Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

a 3 2

a 2 3

a 2 2

a 3 3

Trang 45

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Lời giải Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

H Ơ N

AN ⊥ CD a 3 và  ( *) 2 BN ⊥ CD

AN = BN =

Vì ∆BCD và ∆ACD là các tam giác đều cạnh bằng a nên

TP .Q

MN ⊂ ( ABN ) CD ⊥ MN (1) (*) ⇒ CD ⊥ ( ABN ) →

Mặt khác, vì AN = BN ⇒ ∆ABN cân tại N.

ẠO

⇒ MN ⊥ AB ( 2 )

Ư N

Do đó: d ( AB, CD ) = MN = AN 2 − AM 2 2

TR ẦN B

a 2 => Chọn đáp án C. 2

 a 3   a 2 a 2 =   −   = 2  2  2 Vậy d ( AB, CD ) =

Từ (1) và (2) => MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của S trên (ABC) đường thẳng SA và BC bằng: a 3 4

ẤP

a 3 2

a 2 3

2a 2 3

Lời giải

trùng với trung điểm của BC. Biết SA hợp với đáy một góc 300. Khi đó, khoảng cách giữa hai

Í-

Gọi H là trung điểm của BC ⇒ SH ⊥ ( ABC )

-L

⇒ SH ⊥ BC (1)

ÁN

AH ⊥ BC ( 2 )  Vì ∆ABC đều ⇒  a 3 . AH =  2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ ( SAH ) .

Trong (SAH), kẻ HK ⊥ SA, ( K ∈ SA ) ( 3)

BC ⊥ ( SAH ) Vì  ⇒ BC ⊥ HK HK ⊂ ( SAH ) Từ (3) và (4) => HK là đoạn vuông góc chung của SA và BC ⇒ d ( SA, BC ) = HK .

Trang 46

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒ HA là hình chiếu của SA trên (ABC).

N U

a 3 => Chọn đáp án B. 4

TP .Q

Vậy d ( SA, BC ) = HK =

HK =a 3 ⇒ HK = AH.sin HAK AH 4

= Xét ∆AHK vuông tại K, ta có: sin HAK

H Ơ

= 300 SA, ( ABC ) ) = ( SA, HA ) = SAH ⇒ (

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2; AB = 2a , cạnh

ẠO

SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SB tạo với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc

2a 21 7

a 21 14

TR ẦN

Lời giải

a 21 21

a 21 7

Ư N

600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng.

Vì AB / / ( SCD ) ⇒ d ( AB,SC ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) )

CD ⊥ AD Vì  ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AH CD ⊥ SA

Trong (SAD), kẻ AH ⊥ SD, ( H ∈ SD )

ẤP

AH ⊥ SD Vì  ⇒ AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH AH ⊥ CD

= 600 SB, ( ABCD ) ) = ( SB, AB ) = SBA Ta có: (

Í-

= Xét ∆SAB vuông tại A, ta có: tan SBA

SA.AD SA 2 + AD 2

2a.a 3 4a 2 + 3a 2

2a 21 => Chọn đáp án B. 7

ÁN

-L

Vậy d ( AB,SC ) = AH =

SA = a. tan 600 = a 3 ⇒ SA = AB.tan SBA AB

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A với BC = 2a,

BỒ

ID Ư

Ỡ N

AB = a . Khi đó, tỉ số

9 2

3d ( AA ', BC ') bằng: a

3 2

C. 2

D. 1

Lời giải Vì AA '/ / ( BB'C 'C )

⇒ d ( AA ', BC ') = d ( AA ', ( BB'C 'C ) ) = d ( A, ( BB'C 'C ) ) Trang 47

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Trong (ABC), kẻ AH ⊥ BC, ( H ∈ BC ) .

H Ơ

AH ⊥ BC Vì  ⇒ AH ⊥ ( BB'C 'C ) AH ⊥ BB'

AB.AC

⇒ d ( A, ( BB 'C 'C ) ) = AH =

AB2 + AC2

a.a 3 2

a + 3a

a 3 2

a 3 3. 3d ( A, ( BB 'C 'C ) ) 3d ( AA ', BC ' ) 2 =3 = = a a a 2

Vậy

ẠO

AB + AC

AB.AC

Ư N

⇒ d ( A, ( BB 'C 'C ) ) =

TP .Q

Ta có: AC = BC2 − AB2 = 4a 2 − a 2 = a 3

2 2

3 2 4

2 4

TR ẦN

a 2 .d ( MN, A 'C ) điểm của AB và CD. Khi đó, tỉ số bằng: VA.A 'B'C'D '

Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung

2 3

Lời giải

ẤP

1 1 1 Ta có: VA.A 'B'C'D' = AA '.SA 'B'C'D' = .a .a 2 = a 3 3 3 3

Vì MN / / ( A 'BC ) ⇒ d ( MN, A 'C ) = d ( MN, ( A ' BC ) ) = d ( M, ( A ' BC ) )

d ( M, ( A ' BC ) )

Vì AM ∩ ( A 'BC ) = {B} ⇒

d ( A, ( A 'BC ) )

MB 1 = AB 2

1 d ( A, ( A ' BC ) ) 2

Í-

-L

⇒ d ( M, ( A ' BC ) ) =

ÁN

BC ⊥ ( AA 'B ' B ) Trong (AA’B’B), kẻ AH ⊥ A 'B, ( H ∈ A ' B ) . Vì  ⇒ BC ⊥ AH AH ⊂ ( AA 'B ' B )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

AH ⊥ A 'B Vì  ⇒ AH ⊥ ( A 'BC ) ⇒ d ( A, ( A 'BC ) ) = AH = AB2 − BH 2 AH ⊥ BC  2

a 2 A 'B a 2 a 2 Ta có: BH = = ⇒ AH = a 2 −   = 2 2 2  2 

1 1 a 2 Khi đó: d ( MN, A 'C ) = d ( M, ( A ' BC ) ) = d ( A, ( A ' BC ) ) = AH = 2 2 4 Trang 48

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

2 a 2 a 2 .d ( MN, A 'C ) a . 4 3 2 = = Vậy 1 VA.A 'B'C'D' 4 a3 3

“VẤN ĐỀ 2: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN”

TP .Q

Câu 1: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B không nằm trong (P). Đặt d1 = ( A, ( P ) ) và

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

d 2 = ( B, ( P ) ) . Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng ? d1 = 1 khi và chỉ khi AB song song với (P). d2

d1 ≠ 1 khi và chỉ khi đoạn thẳng AB cắt (P). d2

Đ G Ư N H

d1 ≠ 1 thì đoạn thẳng AB cắt (P). d2

IA d1 . = IB d 2

D. Nếu đường thẳng AB cắt (P) tại điểm I thì

TR ẦN

C. Nếu

ẠO

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SC. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. d ( A, ( SBC ) ) = AH

D. d ( S, ( ABC ) ) = SA

ẤP

C. d ( C, ( SAB ) ) = BC

B. d ( A, ( SBC ) ) = AK

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông

góc với mặt phẳng đáy, SA = a . Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến mặt

-L

a 2 2

B. a

C. a 2

D. 2a

ÁN

Í-

phẳng (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

Câu 4: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA = 3a ,

BỒ

ID Ư

Ỡ N

OB = 2a, OC = a . Gọi d là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC. Khi đó, tỉ số

2 3

5 7

3 8

a bằng: d

6 5

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a; SA ⊥ ( ABC ) và SA = a 6 . Gọi M là trung điểm của BC, khi đó khoảng cách từ A đến đường thẳng SM bằng

Trang 49

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. a 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. a 3

C. a 6

D. a 11

Câu 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc

H Ơ

với đáy. Biết SA = a và AB = b . Khi đó, khoảng cách từ trung điểm M của AC tới mặt

a 2 + b2

3ab

a 2 + b2

2 a 2 + b2

2ab

TP .Q

phẳng (SBC) bằng:

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy b và đường cao SH = a . Khoảng

12a 2 + b 2

3ab

2ab

a 2 + b2

ẠO

cách từ H tới mặt phẳng (SBC) bằng:

a 2 + b2

Ư N

Câu 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy b và đường cao SO = a . Tính

ab 2

4a + b

3ab

4a + b

2ab

TR ẦN

khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SCD) bằng: 2

4a + b

2 4a 2 + b 2

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, bốn cạnh bên đều bằng 3a và

a 3 2

C. 2a 2

D. a 2

A. 2a 3

AB = a, BC = a 3 . Khoảng cách từ S đến (ABCD) bằng:

ẤP

Giả thiết sau đây dùng cho các câu 10, 11, 12, 13: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Í-

a 3 3

3a 4

a 6 3

a 3 6

a 6 3

a 3 6

a 6 9

a 3 4

-L

Câu 10: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) bằng

ÁN

Câu 11: Khoảng cách giữa AD và BC bằng: 2a 3 3

a 2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 12: Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng: A.

2a 3 3

a 6 3

a 6 6

Câu 13: Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) bằng: A.

a 6 2

a 6 3

a 3 3

Trang 50

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 14: Cho hình lăng trục ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và AA ' = a . Khoảng cách giữa AB’ và CC’ bằng:

a 2

a 2 2

a 3 2

a 2 3

H Ơ

2a 6 3

a 3 3

Y D.

a 6 3

TP .Q

4a 3 3

vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:

Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, 2SA = AC = 2a và SA

ẠO

Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B với AB = a, BC = 2a và

a 5 5

2a 5

Ư N

2a 5 5

SA ⊥ ( ABC ) . Khoảng cách từ B đến (SAC) bằng:

a 5

TR ẦN

Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = SB = SC = a . Khi đó, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng:

a 3

a 2

a 3

Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều; tam giác SBC đều và nằm trong

a 15 5

ẤP

2a 15 5

a 5 5

2a 5 5

mặt phẳng vuông góc với đáy. Nếu AB = a thì khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng

= 1200 . Cạnh SA vuông góc với Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có AB = a, AC = 2a, BAC

3a 2 7

Í-

ÁN

-L

(SBC) bằng:

mặt phẳng đáy và (SBC) tạo với đáy một góc 600 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

3a 7 2

a 7 2

2a 7 3

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khi đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

bằng:

a 21 3

CB.

a 21 14

a 21 7

a 21 21

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và cạnh bên SC hợp với đáy một góc 450 . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng

Trang 51

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a 2 3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2a 6 3

a 6 3

2a 2 3

H Ơ

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và

2a 5 5

a 5

a 6 3

a 5 5

SA = 2a . Nếu điểm M thuộc đoạn AD thì khoảng cách từ M đến (SBC) bằng

TP .Q

Câu 23: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai

a 2

a 3

a 2 2

a 3 3

ẠO

đường thẳng BB’ và AC bằng:

Ư N

Câu 24: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Khoảng cách giữa hai

3 3

2 2

2 2 5

TR ẦN

đường thẳng AA’ và BD’ bằng:

3 5 7

Câu 25: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu của A’

lên (ABC) trùng với trung điểm H của AC. Biết A 'H = 3a . Khi đó, khoảng cách từ điểm C

5a 7

6a 7

đến mặt phẳng (ABB’A’) bằng:

3a 7

4a 7

a 2 2

a 3 2

mặt phẳng (A’BC) bằng:

ẤP

Câu 26: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm D đến

a 5 2

a 2

Í-

Câu 27: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA ' = AB = a . Gọi M là trung điểm của

ÁN

-L

CC’, khi đó khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BM) bằng:

a 3 2

a 5 2

a 2

a 2 2

Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

BỒ

ID Ư

Ỡ N

SA ⊥ ( ABCD ) ,SA = a . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, khi đó khoảng cách từ điểm G

đến mặt phẳng (A’BD) bằng A.

a 2 2

a 2

a 2 6

a 2 3

Trang 52

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 29: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; hình chiếu của A’ lên (ABCD) trùng với O. Khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD)

a 2 2

a 2

H Ơ

a 5 2

a 3 2

Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với

bằng:

B. 4

C. 1

D. 3

A. 2

ẠO

6.d bằng: a

góc 450. Gọi d là khoảng cách từ điểm B đến (SCD), khi đó tỉ số

TP .Q

AB = 2a, AD = a, CD = a . Cạnh SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) hợp với đáy một

Ư N

Câu 31: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A; mặt bên

ABB’A’ là hình vuông. Biết B 'C ' = a 3 , góc giữa B’C và mặt phẳng (A’B’C’) bằng 300.

a 2

TR ẦN

Khoảng cách giữa hai đường thẳng BA’ và B’C bằng:

3a 2

C. a

D. 2a

Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; tam giác SAB đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD.

3a 2 2

3a 2 8

ẤP

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCN) bằng:

3a 2 4

5a 2 3

Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với

mặt phẳng đáy. Cạnh SC hợp với đáy một góc 600 , gọi d là khoảng cách từ điểm A đến mặt

78 13

ÁN

-L

Í-

phẳng (SBD). Khi đó, tỉ số

d bằng: a

18 13

58 13

38 13

Câu 34: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của

hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm của SH đến (SBC) bằng b. Thể tích khối chóp

BỒ

ID Ư

Ỡ N

S.ABCD là:

2a 3 b 2

3 a − 16b

a 3b 2

3 a − 16b

2a 3 b 2

a − 16b

2ab 3

Câu 35: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và AD = 2a 2, BC = a 2 . Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông

Trang 53

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

góc với đáy. Mặt phẳng (SCD) hợp với đáy một góc bằng 600 . Khoảng cách từ trung điểm

2a 15 5

3a 15 20

3a 15 10

9a 15 20

H Ơ

của AB đến mặt phẳng (SCD) bằng:

2-B

3-B

4-B

5-A

6-D

7-B

8-C

9-C

10-C

11-B

12-D

13-B

14-D

15-D

16-A

17-B

18-B

19-A

20-C

21-C

22-B

23-C

24-B

25-A

26-B

27-D

28-D

29-B

30-A

31-A

32-B

33-A

34-A

35-D

ẠO

TP .Q

1-D

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Ư N

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

TR ẦN

Câu 3: Đáp án B

CD / / ( SAB ) Vì  M ∈ CD

⇒ d ( M, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) ) = DA = a

ẤP

Câu 6: Đáp án D

d ( M; ( SBC ) ) d ( A; ( SBC ) )

MC 1 = AC 2

Vì AM ∩ ( SBC ) = {C} ⇒

-L

Í-

1 ⇒ d ( M; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) 2

ÁN

Kẻ AH ⊥ SB, ( H ∈ SB ) ta có:

d ( A, ( SBC ) ) = AI =

SA.AB 2

SA + AB

ab 2

a + b2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 ab Do đó: d ( M, ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) = 2 2 a 2 + b2

Câu 7: Đáp án B

Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ HK ⊥ SI, ( K ∈ SI )

Trang 54

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SH.HI

⇒ d ( H, ( SBC ) ) = HK =

SH 2 + HI 2

H Ơ

b 3 2

Vì ∆ABC có cạnh AB = b ⇒ AI =

TP .Q

1 b 3 ⇒ HI = AI = 3 6 b 3 6

ẠO

ab 3 ab 6 Vậy d ( H, ( SBC ) ) = = = 2 2 2 12a + b 12a 2 + b 2 b 3 2 a +  2 3  6  a.

d ( O, ( SCD ) )

AC =2 OC

d ( A, ( SCD ) )

TR ẦN

Vì AO ∩ ( SCD ) = {C} ⇒

Ư N

Câu 8: Đáp án C

1 b CD = 2 2

Kẻ OH ⊥ SI, ( H ∈ SI )

Gọi I là trung điểm của CD ⇒ OI =

⇒ d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( O, ( SCD ) )

ẤP

SO 2 + OI2

A Ó

4a 2 + b 2

2ab

4a 2 + b 2

Í-

⇒ d ( A; ( SCD ) ) = 2d ( O; ( SCD ) ) =

b 2

b a2 +   2

Khi đó: d ( O; ( SCD ) ) = OH =

SO.OI

-L

Câu 9: Đáp án C

ÁN

Gọi O là tâm của đáy ABCD

({O} = AC ∩ BD )

Vì hình chóp S.ABCD có các bên bằng nhau nên

Ỡ N

SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ d ( S, ( ABCD ) ) = SO = SC2 − OC 2

(

BỒ

ID Ư

Ta có: AC = AB2 + BC2 = a 2 + a 3

OC =

)

= 2a

AC =a. 2

Vậy d ( S, ( ABCD ) ) = SO = SC2 − OC2 =

( 3a )

− a 2 = 2a 2

Trang 55

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 10: Đáp án C

Vì AO ⊥ ( BCD ) ⇒ d ( A, ( BCD ) ) = AO

H Ơ

Gọi N là trung điểm của BC.

Y U

a 3 1 a 3 ⇒ ON = DN = 2 3 6

Ta có: AN = DN =

TP .Q

a 3 a 3 a 6 AO = AN − ON =   −   =   3  2   6  2

Ư N

⇒ d ( AD, BC ) = MN

Gọi M là trung điểm AD => MN là đoạn vuông góc chung của AD và BC.

ẠO

Câu 11: Đáp án B

TR ẦN

a 2 2

Vậy d ( AD, BC ) = MN =

a 6 a 3 . 3 2 =a 2 a 2

Ta có: S∆AND

1 1 AO.ND = AO. N D = MN.AD ⇒ MN = = 2 2 AD

Câu 12: Đáp án D

Kẻ OH ⊥ AI, ( H ∈ AI ) ⇒ OH ⊥ ( ABC )

ẤP

AO.OI 2

AO + OI

a 6 9

Í-

Câu 13: Đáp án B

a 6 a 3   +   3   6 

⇒ d ( O, ( ABC ) ) = OH =

a 6 a 3 . 3 6

ÁN

-L

Vì DO ∩ ( ABC ) = { N} ⇒

d ( A, ( ABC ) ) d ( O, ( ABC ) )

⇒ d ( A, ( ABC ) ) = 3d ( O, ( ABC ) ) = 3.

AN =3 ON

a 6 a 6 = 9 3

Ỡ N

Câu 14: Đáp án D

BỒ

ID Ư

Gọi I là trung điểm của AB ⇒ CI ⊥ AB

CI ⊥ AB   AA ' ⊥ ( ABC )  ⇒ CI ⊥ ( AA ' B'B ) Vì  CI ⊥ AA '  do CI ⊂ ABC  ( )     Trang 56

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ d ( C, ( AA ' B'B ) ) = CI

H Ơ

a 3 2

⇒ d ( CC ', AB ') = d ( CC ', ( AA 'B ' B ) ) = d ( C, ( AA 'B ' B ) ) = CI =

Vì CC '/ / ( AA 'B'B )

Câu 15: Đáp án D

TP .Q

Kẻ AH ⊥ SB, ( H ∈ SB )

ẠO

BC ⊥ AB AH ⊂ ( SAB ) Vì  ⇒ BC ⊥ ( SAB )  → BC ⊥ AH BC ⊥ SA

Ư N

AH ⊥ BC Vì  ⇒ AH ⊥ ( SBC ) AH ⊥ SB

SA.AB

⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH =

AC =a 2 2 =

SA 2 + AB2

(

a2 + a 2

)

a 6 3

Câu 16: Đáp án A

a.a 2

SA.AB

Vì ∆ABC vuông cân tại B ⇒ AB = Vậy d ( A, ( SBC ) ) = AH =

TR ẦN

SA 2 + AB2

ẤP

Kẻ BH ⊥ AC, ( H ∈ AC ) ⇒ BH ⊥ ( SAC )

AB.BC 2

AB + BC

a.2a

a + ( 2a )

2a 5 5

-L

Í-

⇒ d ( B, ( SAC ) ) = BH =

Câu 17: Đáp án B

ÁN

Gọi I là trung điểm của BC ⇒ SI ⊥ BC

SB.BC 2

SB + SC

a.a

a +a

a 2 2

Ỡ N

Khi đó: SI =

BỒ

ID Ư

Kẻ SH ⊥ AI, ( H ∈ AI ) ⇒ SH ⊥ ( ABC )

⇒ d ( S, ( ABC ) ) = SH =

SA.SI 2

SA + SI

a 2 2

a 2  a2 +    2 

a 3

Trang 57

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 18: Đáp án B

H Ơ

SH ⊥ BC  Gọi H là trung điểm của BC ⇒  a 3 SH =  2

TP .Q

( SBC ) ⊥ ( ABC )  Vì ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ⇒ SH ⊥ ( ABC )  ( SBC ) ⊃ SH ⊥ BC

ẠO

Kẻ HI ⊥ AC, ( I ∈ AC ) . Khi đó: AC ⊥ ( SHI )

Kẻ HK ⊥ SI, ( K ∈ SI )

Ư N

Vì AC ⊥ ( SHI ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SHI )

d ( H, ( SAC ) )

B 00

BC = 2 ⇒ d ( B, ( SAC ) ) = 2d ( H, ( SAC ) ) = 2HK HC

d ( B, ( SAC ) )

SH.HI 2

SH + HI

a 3 a 3 . 2 4

= 2.

a 3 a 3   +   2   4 

a 15 5

Vậy d ( B, ( SAC ) ) = 2HK = 2.

ẤP

Vì BH ∩ ( SAC ) = {C} ⇒

= a .sin 600 = a 3 Ta có: HI = HC.sin ACB 2 4

TR ẦN

( SHI ) ⊥ ( SAC )  SH.HI Vì ( SHI ) ∩ ( SAC ) = SI ⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( H, ( SAC ) ) = HK = SH 2 + HI2  ( SHI ) ⊃ HK ⊥ SI

-L

Í-

Câu 19: Đáp án A

ÁN

Kẻ AH ⊥ BC, ( H ∈ BC ) và AK ⊥ SH, ( K ∈ SH ) .

Khi đó: d ( A, ( SBC ) ) = AK

Ỡ N

Ta có: BC = AB2 + AC 2 − 2AB.AC.cos1200 = a 7

BỒ

ID Ư

S∆ABC =

1 1 AB.AC.sin1200 = AH.BC 2 2

⇒ AH =

AB.AC.sin1200 a 3 = BC 7

= 600 SH, AH ) = SHA Ta có: ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = ( Trang 58

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= a 3 .sin 600 = 3a Vậy d ( A, ( SBC ) ) = AK = AH.sin SHA 7 2 7

a 3 . 2

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH =

H Ơ

Câu 20: Đáp án C

TP .Q

AB / / ( SCD ) Vì  ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = d ( H, ( SCD ) ) H ∈ AB

ẠO

Gọi K là trung điểm của CD ⇒ HK = a .

SH + HK

a 21 7

TR ẦN

Vậy d ( A, ( SCD ) ) = d ( H, ( SCD ) ) =

Ư N

SH.HK

Khi đó: d ( H, ( SCD ) ) = HI =

Kẻ HI ⊥ SK, ( I ∈ SK )

Câu 21: Đáp án C

SA.AB

Khi đó d ( A, ( SBC ) ) = AH =

SA 2 + AB2

Kẻ AH ⊥ SB, ( H ∈ SB )

ẤP

= 450 SC, ( ABCD ) ) = ( SC, AC ) = SCA Ta có: (

⇒ ∆SAC vuông cân tại A.

⇒ SA = AC = a 2 + a 2 = a 2

a 2.a

(a 2 )

-L

Í-

Vậy d ( A, ( SBC ) ) =

+ a2

a 6 3

ÁN

Câu 22: Đáp án B

AD / / ( SBC ) Vì  ⇒ d ( M, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) M ∈ AD

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Kẻ AH ⊥ SB, ( H ∈ SB )

Khi đó: d ( A, ( SBC ) ) = AH =

SA.AB

SA 2 + AB2

⇒ d ( M, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) =

2a.a

( 2a )

+ a2

2a 5 5

Trang 59

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 23: Đáp án C Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

H Ơ

Khi đó: BO ⊥ AC . (1)

BB ' ⊥ ( ABCD ) Vì  ⇒ BB ' ⊥ BO . (2). BO ⊂ ( ABCD )

TP .Q

BD a 2 = . 2 2

ẠO

⇒ d ( BB ', AC ) = BO =

Từ (1) và (2) => BO là đoạn vuông góc chung của BB’ và AC

Câu 24: Đáp án B

Ư N

Vì AA '/ / ( BB' D 'D ) nên

d ( AA ', BD ') = d ( AA ', ( BB' D ' D ) ) = d ( A, ( BB' D ' D ) )

TR ẦN

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó: AO ⊥ ( BB'D'D )

AC 2 = 2 2

⇒ d ( A, ( BB 'D 'D ) ) = AO =

Câu 25: Đáp án A

d ( H, ( ABB 'A') )

CA =2 HA

ẤP

d ( C, ( ABB 'A' ) )

⇒

Vì CH ∩ ( ABB'A ' ) = {A}

⇒ d ( C, ( ABB'A ' ) ) = 2d ( H, ( ABB'A ' ) )

Í-

Kẻ HI ⊥ AB, ( I ∈ AB ) và HK ⊥ A 'I, ( K ∈ A'I )

ÁN

-L

Khi đó: HK ⊥ ( ABB' A ' )

⇒ d ( H, ( ABB 'A ' ) ) = HK =

A 'H.HI A ' H 2 + HI 2

Vậy d ( C, ( ABB 'A') ) = 2d ( H, ( ABB 'A ') ) = 2.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

= a .sin 600 = a 3 Ta có HI = AC.sin BAC 2 4 A ' H.HI A 'H 2 + HI 2

3a. = 2.

( 3a )

a 3 4

a 3 +   4 

6a 7

Câu 26: Đáp án B Trang 60

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi I là tâm của hình vuông CDD’C’ ⇒ DI ⊥ CD'

Vì BC ⊥ ( CDD 'C ' ) ⇒ BC ⊥ DI

N U

C 'D a 2 = 2 2

TP .Q

⇒ d ( D, ( A ' BC ) ) = DI =

H Ơ

DI ⊥ CD ' Vì  ⇒ DI ⊥ ( A ' BCD ' ) ≡ ( A ' BC ) DI ⊥ BC

Câu 27: Đáp án D

ẠO

Vì AA ' = AB ⇒ AA ' B 'B là hình vuông

⇒ MA = MB ' ⇒ ∆ MAB' là tam giác cân ở M.

G Ư N H

⇒ MI ⊥ AB' ⇒ MI ⊥ AI

TR ẦN

2  a a 5 MA = AC2 + CM 2 = a 2 +   = 2  2 Ta có:  2  a 5 a 2 2 2 MB ' MC ' B 'C ' a = + = +    = 2  2 

Gọi I là tâm của hình vuông AA’B’B ⇒ AI ⊥ A 'B

AI ⊥ MI AB' a 2 ⇒ AI ⊥ ( A ' BM ) ⇒ d ( A, ( A ' BM ) ) = AI = = Vì  2 2 AI ⊥ A 'B

Câu 28: Đáp án D

ẤP

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Vì G là trọng tâm tam giác ABD nên

2 2 AC AC 2AC AO = . = ⇒ GC = 3 3 2 3 3

Í-

AG =

d ( G, ( SBC ) ) d ( A, ( SBC ) )

GC 2 = AC 3

ÁN

-L

Vì AG ∩ ( SBC ) = {C} ⇒

2 ⇒ d ( G, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Kẻ AH ⊥ SB, ( H ∈ SB ) Khi đó d ( A, ( SBC ) ) = AH =

SA.AB 2

SA + AB

a.a 2

a +a

a 2 2

2 2 a 2 a 2 Vậy d ( G, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = . = 3 3 2 3

Câu 29: Đáp án B Trang 61

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi {I} = AB'∩ A ' B . Vì AA’B’B là hình bình hành nên AI = IB'

d ( A, ( A 'BD ) )

B'I =1 AI

d ( B ', ( A 'BD ) )

H Ơ

Vì AB '∩ ( A ' BD ) = {I} ⇒

⇒ d ( B', ( A ' BD ) ) = d ( A, ( A ' BD ) )

TP .Q G

1 1 a2 AB.AD = a.a = 2 2 2

1 1 a 2 A 'O.BD = A 'O.a 2 = .A 'O 2 2 2

a2 .A 'O a 2 S∆ABD .A 'O 2 Vậy d ( A, ( A ' BD ) ) = = = S∆A 'BD 2 a 2 .A 'O 2

TR ẦN

+ A 'O ⊥ ( ABCD ) ⇒ A 'O ⊥ BD ⇒ S∆A 'BD =

Ư N

+ S∆ABD =

S∆ABD .A 'O S∆A 'BD

ẠO

⇒ d ( A, ( A 'BD ) ) =

1 1 Ta có: VA '.ABD = A 'O.S∆ABD = d ( A, ( A 'BD ) ) .S∆A 'BD 3 3

Câu 30: Đáp án A

Vì AB / / ( SCD ) ⇒ d ( B, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) = d

SA.AD

Khi đó: d ( A, ( SCD ) ) = AH =

ẤP

Kẻ AH ⊥ SD, ( H ∈ SD )

SA 2 + AD 2

Dễ dàng chứng minh được:

-L

Í-

BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ SC.

ÁN

( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC  SC, AC = SCA ⇒ ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) = ( ) = 450 BC ⊥ SC BC ⊥ AC 

BỒ

ID Ư

Ỡ N

⇒ ∆SAC vuông cân ở A ⇒ SA = AC = a 2

Vậy d = AH =

6d ⇒ = a

SA.AD 2

SA + AD

a.a 2

(

a2 + a 2

)

a 6 3

a 6 3 =2 a

Trang 62

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 31: Đáp án A Gọi O là tâm của hình vuông ABB’A’.

H Ơ

AC ⊥ AB Vì  ⇒ AC ⊥ ( ABB 'A ' ) ⇒ AC ⊥ BA ' AC ⊥ AA '

Trong (AB’C) , kẻ OH ⊥ B'C, ( H ∈ B'C ) (1)

TP .Q

BA ' ⊥ AC Vì  ⇒ BA ' ⊥ ( AB 'C ) BA ' ⊥ A'B

ẠO

Mà OH ⊂ ( AB'C ) ⇒ BA ' ⊥ OH ( 2 )

OH OB' AC.OB' = ⇒ OH = AC CB' CB'

B 'C ' a 3 = = 2a 0 cos CB 'C ' cos 30

+ CB ' =

TR ẦN

B 'C, B'C' = CB 'C ' = 300 Ta có: ( B 'C, ( A 'B 'C ' ) ) = ( )

Ư N

Vì ∆HB 'O và ∆AB 'C đồng dạng nên

Từ (1) và (2) => OH là đoạn vuông góc chung của BA’ và B’C ⇒ d ( BA ', B'C ) = OH

' = a 3.tan 300 = a ⇒ AA ' = CC ' = a + CC ' = B'C ' tan CB'C

Vì ABB’A’ là hình vuông nên AB = AA ' = a .

ẤP

⇒ AB ' = AB 2 = a 2 ⇒ OB ' =

(a 3 )

+ AC = BC2 − AB2 =

− a2 = a 2 a 2 2 =a 2a 2

a 2.

-L

Í-

AC.OB ' Vậy d ( BA ', B 'C ) = OH = = CB '

AB ' a 2 = 2 2

ÁN

Câu 32: Đáp án B

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 AB 3 a 3 = SM = Vì tam giác SAB đều nên  2 2 SM ⊥ AB 

( SAB ) ⊥ ( ABCD )  Vì ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SM ⊥ ( ABCD )  ( SAB ) ⊃ SM ⊥ AB ⇒ SM ⊥ CN

Mà CN ⊥ DM ⇒ CN ⊥ ( SMI ) ⇒ ( SCN ) ⊥ ( SMI ) , ({I} = CN ∩ DM )

Trang 63

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Kẻ MH ⊥ SI, ( H ∈ SI )

H Ơ N U

AD MD AD.ND = ⇒ ID= ID ND MD

a 3 3a 5 . 2 10

Vậy d ( M, ( SCN ) ) = MH =

3a 2 8

 a 3   3a 5    +  2    10 

TR ẦN

Ư N

a 5 a 5 3a 5 − = 2 5 10

Khi đó: MI = MD − ID =

ẠO

a  a AD=a,ND = 2 a. AD.ND a 5  Ta có:  ⇒ ID = = 2 = 2 MD 5 a 5 MD = AD 2 + AM 2 = a 2 +  a  = a 5    2 2 2

TP .Q

Vì ∆AMD và ∆IND đồng dạng nên

( SCN ) ⊥ ( SMI )  SM.MI Vì ( SCN ) ∩ ( SMI ) ⇒ MH ⊥ ( SCN ) ⇒ d ( M, ( SCN ) ) = MH = SM 2 + MI 2  SMI ⊃ MH ⊥ SI ) (

Câu 33: Đáp án A

Gọi O là tâm của đáy. Kẻ AH ⊥ SO, ( H ∈ SO ) .

ẤP

BD ⊥ AC Vì  ⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SBD ) ⊥ ( SAC ) BD ⊥ SA

-L

Í-

( SBD ) ⊥ ( SAC )  Vì ( SBD ) ∩ ( SAC ) = SO ⇒ AH ⊥ ( SBD )  ( SAC ) ⊃ AH ⊥ SO SA.AO

SA 2 + AO 2

ÁN

⇒ d = d ( A, ( SBD ) ) = AH =

SC, AC = SCA Ta có: ( SC, ( ABCD ) ) = ( ) = 600

Vì O là tâm của đáy nên O là trung điểm của AC ⇒ AO =

AC a 2 = 2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

= a 2. tan 600 = a 6 Xét ∆SAC vuông tại A, ta có: SA = AC.tan SCA

Trang 64

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

(a 6 )

a 2 +   2 

a 78 d 78 ⇒ = 13 a 13

Khi đó: d =

a 2 2

H Ơ

a 6.

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 34: Đáp án A

TP .Q

AB a = 2 2 SI 1 = SH 2

ẠO

d ( H, ( SBC ) )

d ( I, ( SBC ) )

Vì IH ∩ ( SBC ) = {S} ⇒

⇒ HM =

Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và SH.

Ư N

⇒ d ( H, ( SBC ) ) = 2d ( I, ( SBC ) ) = 2b

Khi đó: d ( H, ( SBC ) ) = HK = 2b Xét ∆SHM vuông tại H và có đường cao HK, ta có:

TR ẦN

Kẻ HK ⊥ SM, ( K ∈ SM )

HM 2 − HK 2

a 2

2 a   − ( 2b ) 2

2ab

a 2 − 16b 2

ẤP

⇒ SH =

2b.

HK.HM

1 1 1 1 1 1 = + ⇒ = − 2 2 2 2 2 HK SH HM SH HK HM 2

1 1 2ab 2a 3 b Vậy VS.ABCD = SH.SABCD = . .a 2 = 3 3 a 2 − 16b 2 3 a 2 − 16b 2

Í-

Câu 35: Đáp án D

ÁN

-L

Gọi {O} = AC ∩ BD

Ỡ N

( SAC ) ⊥ ( ABCD )  Vì ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD )  ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO

BỒ

ID Ư

Vì ABCD là hình thang cân và AC ⊥ BD nên ∆AOD và ∆BOC là các tam giác vuông cân ở O AD  AO = 2 = 2a 1 ⇒ ⇒ OC = AC BC 3 CO = =a  2

Trang 65

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi E là trung điểm của AD và {I} = AC ∩ BE

AD =a 2 2

H Ơ

Ta có: ED =

BC = ED = A 2 Vì  ⇒ BCDE là hình bình hành ⇒ BE / /CD BC / /AD

TP .Q

IE / /CD 1 Xét ∆ACD , có  ⇒ AI = IC ⇒ AI = AC 2 AE = ED

ẠO

Gọi M là trung điểm của AB.

G Ư N

9 d ( O, ( SCD ) ) (2). 4

⇒ d ( N, ( SCD ) ) =

d ( O, ( SCD ) )

3 AC NC 4 9 = = = OC 1 AC 4 3

Vì NO ∩ ( SCD ) = {C} ⇒

d ( N, ( SCD ) )

TR ẦN

Vì MN / /CD ⇒ d ( M, ( SCD ) ) = d ( N, ( SCD ) ) (1)

AI 1 3  = AC ⇒ NC = AC AN = NI AN = Khi đó:  ⇒ 2 2 4 MN / /BE MN / /CD 

Kẻ đường thẳng qua M, song song với BE và cắt AC tại N.

ẤP

Kẻ OH ⊥ CD, ( H ∈ CD ) và OK ⊥ SH, ( K ∈ SH )

Khi đó: d ( O, ( SCD ) ) = OK = OH.sin SHO

OC.OD

Í-

+ OH =

Ta có:

-L

OC + OD

a.2a a 2 + ( 2a )

2a 5 5

ÁN

= 600 SH, OH ) = SHO + ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = (

9 a 15 9a 15 Từ (1), (2) và (3) ⇒ d ( M, ( SCD ) ) = . = 4 5 20

BỒ

ID Ư

Ỡ N

= 2a 5 .sin 600 = a 15 ⇒ d ( O, ( SCD ) ) = OK = OH.sin SHO 5 5

Trang 66

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN 3: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

H Ơ

1 Thể tích khối chóp: V = Sđáy .h 3

+ Sđáy : Diện tích mặt đáy.

TP .Q

+ h: Độ dài chiều cao khối chóp.

ẠO

1 VS.ABCD = d (S.( ABCD )) .SABCD 3

Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy .h

Ư N

+ Sđáy : Diện tích mặt đáy.

TR ẦN

ẤP

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cính là cạnh bên.

+ h: chiều cao khối chóp.

Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

Thể tích khối lập phương: V = a 3

* Chú ý:

•

Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2

•

Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

•

Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là:

•

Đường cao của tam giác đều cạnh a là

a 2 + b2 + c2

H Ơ

a 3 2

CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG

1. Hệ thức lượng trong tam giác

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

a) Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH.

AB2 = BH.BC

AC 2 = CH.BC

AH.BC = AB.AC

AH 2 = BH.HC

AB2 + AC 2 = BC 2

ẤP

1 1 1 = + 2 2 AH AB AC2

AB = BC.sin C = BC.cos B = AC.tan C = AC = cot B

b) Cho có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m a , m b , mc ; bán kính đường tròn

Í-

ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.

-L

Định lí hàm số cosin:

ÁN

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A; b 2 = c 2 + a 2 − 2a.cos B; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cos C

Định lí hàm số sin:

a b c = = = 2R sin A sin B sin C

BỒ

ID Ư

Ỡ N

2. Các công thức tính diện tích

a) Tam giác:

1 1 1 S = a.h a = b.h b = c.h c ( h a , h b , h c : ba đường cao) 2 2 2

Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 bc.sin A = ca.sin B = ab.sin C 2 2 2

abc 4R

H Ơ

S = pr

AB.AC BC.AH = 2 2

ẠO

∆ ABC vuông tại A: S =

TP .Q

S = p ( p − a )( p − b )( p − c )

S = a2

(a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật:

S = ab

(a, b: hai kính thước)

TR ẦN

b) Hình vuông:

Ư N

a 3 a2 3 ∆ ABC đều, cạnh a: AH = , S= 2 4

d) Hình bình hành: S = đáy × cao = AB.AD.sin BAD

= 1 AC.BD S = AB.AD.sin BAD 2 1 ( a + b) h 2

f) Hình thang:

e) Hình thoi:

1 AC.BD 2

ẤP

g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S =

(a, b: hai đáy, h: chiều cao)

PHƯƠNG PHÁP CHUNG TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

-L

1. Phương pháp

Í-

CÔNG THỨC

DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TRỰC TIẾP

ÁN

Bước 1: Tính các yếu tố cần thiết: chiều cao, diện tích đáy,…

Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích

+ Trong nhiều trường hợp, chiều cao này được xác định ngay từ đầu bài (chiều cao cho trực

BỒ

ID Ư

Ỡ N

tiếp), nhưng cũng có trường hợp việc xác định phải dựa vào các định lí về quan hệ vuông góc đã

học ở lớp 11 (chiều cao cho gián tiếp): hay dùng nhất là định lí 3 đường vuông góc, các định lí về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng,…

+ Việc tính độ dài chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lí Pitago, hoặc nhờ hệ thức lượng trong tam giác,..

Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Đôi khi ta phải sử dụng cách gián tiếp: chuyển về bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng.

IA IB

d ( B, ( P ) )

d ( A,( P ) )

TP .Q

* Nếu AB ∩ ( P ) = {I} thì

H Ơ

* Nếu AB / / ( P ) thì d ( A, ( P ) ) = d ( B, ( P ) )

Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết: Nhìn chung dạng toán loại này rất cơ bản,

ẠO

chỉ đòi hỏi tính toán cẩn thận và chính xác (có thể dùng phương pháp phần bù để tính).

Bước 2: Sử dụng công thức tính thể tích.

CÁCH XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO CỦA KHỐI ĐA DIỆN

Ư N

CHIỀU CAO CHO TRỰC TIẾP

- Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

TR ẦN

Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Ví dụ 1: Hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ h = SA

- Hình lăng trụ đứng

ẤP

Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên.

ÁN

-L

Í-

Ví dụ 2: Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ ⇒ h = AA ' = BB ' = CC '

- Cho biết vị trí chân đường cao

Ví dụ 3: Hình chóp S.ABC, hình chiếu S trên (ABC) là H thuộc cạnh AB

BỒ

ID Ư

Ỡ N

sao cho HA = 2HB ⇒ h = SH

Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật và

hình chiếu của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm O cảu AC và BD

ẠO

TP .Q

H Ơ

⇒ h = A 'O

Ư N

CHIỀU CAO CHO GIÁN TIẾP - Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy

TR ẦN

Chiều cao hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với

đáy.

Ví dụ 5: Hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông

góc với mặt đáy (ABCD) ⇒ h = SA

ẤP

- Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.

Ví dụ 6: Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy

(ABCD) thì chiều cao của hình chóp là chiều cao của ∆ SAB (hay h = SH

ÁN

-L

Í-

với H là hình chiếu của S trên AB).

Ỡ N

- Hình chóp đều

BỒ

ID Ư

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy

Ví dụ 7: Hình chóp đều S.ABC (hoặc hình chóp đều S.ABCD) có O là tâm của ∆ ABC (hình vuông ABCD) h ⇒ SO Tâm của đa giác đáy là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

2. Ví dụ minh họa

= 600 cạnh bên Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, ACB

Ư N

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450. Thể tích khối chóp

a3 3 B. 18

a3 3 C. 9

TR ẦN

a3 3 A. 6

1 BA.BC 2

a3 3 D. 12

Phân tích: + ∆ ABC vuông tại B nên S∆ ABC =

S.ABC là:

Để tính BC ta dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC.

ẤP

Ta có BC = AB.cot ACB

+ AB là hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC)

) (

(

= 450 AB = SBA ⇒ SB, ( ABC ) = SB,

)

-L

Í-

= AB.tan 450 = a + ∆ SAB vuông tại A nên: SA = AB.tan SBA

ÁN

1 + Thể tích khối chóp S.ABC tính theo công thức VS.ABC = .S∆ ABC .SA 3 Lời giải:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Đáp án B

= a.cot 600 = a 3 + ∆ ABC vuông tại B nên BC = AB.cot ACB 3 ⇒ S∆ ABC

1 1 a 3 a2 3 = BA.BC = a. = 2 2 3 6

+ Ta có AB là hình chiếu vuông góc của SB trên (ABC)

Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

) (

(

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 450 AB = SBA ⇒ SB, ( ABC ) = SB,

)

H Ơ

= AB.tan 450 = a ∆ SAB vuông tại A nên: SA = AB.tan SBA

1 1 a2 3 a3 3 Vậy VS.ABC = SABC .SA = . .a = 3 3 6 18

TP .Q

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD có diện tích là 16cm 2 , diện tích một mặt bên là 8 3cm 2 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

32 11cm3 C. 3

D. 4cm 3

Ư N

Phân tích:

ẠO

32 13cm3 B. 3

32 2cm3 A. 3

+ S.ABCD là chóp tứ giác đều ⇒ SO ⊥ ABCD . Đề bài đã cho

TR ẦN

diện tích đáy, ta chỉ cần tìm chiều cao SO.

+ Bốn mặt bên có diện tích bằng nhau nên ta lấy một mặt là tam

giác SCD có diện tích 8 3 cm 2 , dễ dàng tính được chiều cao SH

của tam giác SCD.

+ Dựa vào tam giác SOH vuông tại O ta tính được SO.

ẤP

1 + Thể tích khối chóp S.ABCD tính theo công thức VS.ABCD = .SABCD .SO 3

Đáp án C

Lời giải:

Í-

+ Ta có SABCD = 16 cm 2 ⇒ CD = 4 cm

ÁN

-L

1 S∆ SCD = 8 3 cm 2 ⇒ SH.CD = 8 3 cm 2 ⇒ SH = 4 3 cm 2

+ Xét ∆ SOH vuông tại O có: SO = SH 2 − OH 2 =

(4 3)

− 22 = 2 11 cm

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 1 32 11 3 Vậy VS.ABCD = .SABCD .SO = .16.2 11 = cm 3 3 3

Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh

2 2

3 2 2

Phân tích:

G Ư N

⇒ S∆ ABC =

1 BC 2 1 1 AM.BC = BC 2 2 4

AM =

ẠO

+ Gọi M là trung điểm BC. Do ∆ ABC vuông cân tại A nên

H Ơ

B. 3

A. 1

6V là: a3

TP .Q

Thể tích khối chóp S.ABC bằng V. Giá trị

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 450.

cùng

vuông

) (

(

góc

với

giao

= 450 SBC ) , ( ABC ) = SM, AM = SMA ⇒ (

)

tuyến

phẳng

hai

mặ t

TR ẦN

+ Góc giữa (SBC) và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng thuộc

Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông SAM tính được SA = AM. tan SMA

ẤP

1 + Thể tích khối chóp S.ABC tính theo công thức VS.ABC = .SABC .SA 3

Đáp án C

Lời giải:

1 a 2 1 1 a2 BC = ⇒ S∆ ABC = AM.BC = BC 2 = 2 2 2 4 2

-L

Í-

+ Gọi M là trung điểm BC ⇒ AM =

(

ÁN

+ Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC và BC ⊥ AM nên BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ AM

) (

)

= 450 SBC ) , ( ABC ) = SM, AM = SMA ⇒ (

BỒ

ID Ư

Ỡ N

= AM = a 2 + Ta có ∆ SAM vuông tại A ⇒ SA = AM. tan SMA 2 1 1 a 2 a 2 a3 2 Vậy VS.ABC = .SABC .SA = . . = 3 3 2 2 12

Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), hai mặt phẳng (SAB)

= 450 , ASB = 300 . Thể tích khối chóp S.ABC là và (SBC) vuông góc với nhau, SB = a 3, BSC

N 8 3 3

2 3 3

4 3

Phân tích:

ẠO

+ Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( ABC )

8 3

TP .Q

H Ơ

a3 là: V. Tỉ số V

Ư N

( SBC ) ⊥ ( SAB ) , ( ABC ) ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ ( SAB )  ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC

TR ẦN

∆ ABC, ∆ SBC là các tam giác vuông tại B.

+ Dựa vào hệ thức lượng trong ∆ SAB vuông tại A tính được

AB có: AB = SB.sin ASB

+ Dựa vào hệ thức lượng trong ∆ SBC vuông tại B tính được BC

1 AB.BC 2

ẤP

⇒ S∆ ABC =

có: BC = SB.tan BSC

1 + Thể tích khối chóp S.ABC tính theo công thức VS.ABC = .S∆ ABC .SA 3

-L

Í-

Đáp án A

Lời giải:

ÁN

+ Ta có: SA ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SAB ) ⊥ ( ABC )

( SBC ) ⊥ ( SAB ) , ( ABC ) ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ ( SAB )  ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC

BỒ

ID Ư

Ỡ N

∆ ABC, ∆ SBC là các tam giác vuông tại B.

= a 3 , SA = SB.cos ASB = 3a + Xét ∆ SAB vuông tại A có: AB = SB.sin ASB 2 2

=a 3 + Xét ∆ SBC vuông tại B có: BC = SB. tan BSC

Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 1 a 3 3a 2 AB.BC = . .a 3 = 2 2 2 4

⇒ S∆ ABC =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

1 1 3a 2 3a 3a 3 a3 8 Vậy VS.ABC = .S∆ ABC .SA = . ⇒ = . = 3 3 4 2 8 V 3

Tổng quát: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), hai mặt phẳng

SB3 .sin 2α.tan β 12

ẠO

VS.ABC =

TP .Q

= α, ASB = β . Thể tích khối chóp S.ABC là: (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau, BSC

Chứng minh:

Ư N

1 1 AB.BC = .SB2 .sin α.tan β 2 2

TR ẦN

+ Xét ∆ SBC vuông tại B có: BC = SB. tan β ⇒ S∆ ABC =

+ Xét ∆ SAB vuông tại A có: AB = SB.sin α, SA = SB.cos β

1 1 1 SB3 .sin 2α. tan β Vậy VS.ABC = .S∆ ABC .SA = . .SB2 .sin α. tan β.SB.cos α = 3 3 2 12

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4, mặt bên SAB là tam giác

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh

ẤP

mãn bất đẳng thức nào dưới đây:

C. x 2 + xy − y 4 < 145

Phân tích:

là

ÁN

-L

Í-

x 2 − xy + y 4 > 125

Gọi

B. x 2 − 2xy + 2y 2 < 109

A. x 2 + 2xy − y 2 > 160

SD, CD, BC. Thể tích khối chóp S.ABPN là x, thể tích khối tứ diện CMNP là y. Giá trị x, y thỏa

trung

đi ể m

AB.

∆ ABC

đều

và

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD )

Ỡ N

SABPN = SABCD − SADN − SCNP

BỒ

ID Ư

Thể

tích

khối

chóp

S.ABPN

thính

theo

công

thức

1 VS.ABPN = .SABPN .SH 3

1 Gọi AN ∩ HD = {K} ta có MK là đường trung bình của ∆ DHS ⇒ MK = SH 2

Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 + Thể tích khối chóp CMNP tính theo công thức VCMNP = .S∆ CNP .MK 3

H Ơ

Thay x, y vào các đáp án được kết quả đúng.

Lời giải:

AD.DN CN.CP 4.2 2.2 − = 42 − − = 10 2 2 2 2

TR ẦN

1 1 20 3 20 3 ⇒ VS.ABPN = .SABPN .SH = .10.2 3 = ⇒x= 3 3 3 3

Ư N

+ Ta có: SABPN = SABCD − SADN − SCNP = AB2 −

ẠO

3AB =2 3 2

Xét ∆ ABC đều: SH =

TP .Q

+ Gọi H là trung điểm AB. Do ∆ ABC đều và ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD )

Đáp án C

1 + Gọi AN ∩ HD = {K} ta có MK là đường trung bình của ∆ DHS ⇒ MK = SH 2

1 1 1 1 1 2.2 2 3 2 3 2 3 ⇒ VCMNP = .S∆ CNP .MK = . .CN.CP. .SH = . . = ⇒y= 3 3 2 2 3 2 2 3 3

Thay vào các đáp án.

ẤP

= 1500 , đường thẳng Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = 3, BC = a, ACB

H Í-

a 3 105 14

a 3 339 14

a 3 339 28

ÁN

Phân tích:

-L

a 3 105 28

ABC.A’B’C’ là:

1 . Thể tích khối lăng trụ 4

B’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc α thỏa mãn sin α =

1 AC.BC.sin ACB 2

+ Ta có S∆ ABC =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

+ Kẻ CH ⊥ AB ta xác định được góc α

'C, ( ABB' A ' ) ) = ( B 'C, B ' H ) = CB' H=α ( B

+ Tính CH =

2.S∆ ABC

. Xét tam giác B’HC vuông tại H dựa vào tính

được B’C Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Áp dụng định lí Pitago cho tam giác B’BC vuông tại B ta tìm được BB’.

+ Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tính theo công thức VABC.A ' B 'C ' = S∆ ABC .BB '

H Ơ

Lời giải:

Đáp án A

2 1 = 1 a 3.a.sin1500 = 3a AC.BC.sin ACB 2 2 4

ẠO

+ Kẻ CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ ( ABB'A ') nên B’H là hình chiếu vuông góc của B’C lên

'C, ( ABB' A ' ) ) = ( B 'C, B ' H ) = CB' H=α ( ABB ' A ') ⇒ ( B

a 21 CH 2a 21 ⇒ B'C = = 14 sin α 7

a 35 7

+ Xét ∆ BB 'C vuông tại B có: BB' = B'C2 − BC 2 =

TR ẦN

2.S∆ ABC

Ư N

AB2 = AC 2 + BC2 − 2AC.BC.cos1500 = 7a 2 ⇒ AB = a 7 CH =

TP .Q

+ Ta có S∆ ABC =

3a 2 a 35 a 3 105 . = 4 7 28

Vậy VABC.A ' B 'C ' = S∆ ABC .BB ' =

= 1200 , cạnh Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ tam giác ABC cân tại A và BAC

ẤP

AA ' = a , hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AC, góc tạo bởi a3 8

3a 3 8

Phân tích:

a3 3 4

a3 3 8

Í-

-L

BB’ với (ABC) bằng 600. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

ÁN

+ H là trung điểm AC ⇒ A 'H ⊥ ( ABC )

(

) (

)

', ( ABC ) = AA ', ( ABC ) = A ' A ' H = 600 Do AA '/ / BB ' ⇒ BB

BỒ

ID Ư

Ỡ N

+ Xét tam giác A’HA vuông tại H có:

A ' H = AA '.sin A ' AH

AH = A A '.cos A 'AH ⇒ AC = AB = 2AH + Ta có S∆ ABC =

1 AB.AC.sin BAC 2

Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tính theo công thức VABC.A 'B 'C ' = S∆ ABC .AA '

Lời giải

) (

(

)

H Ơ

Đáp án B

', ( ABC ) = AA ', ( ABC ) = A ' A ' H = 600 + H là trung điểm AC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ BB

TP .Q

+ Xét tam giác A’HA vuông tại H có:

G Ư N

3a 2 a 3 3a 3 . = 4 2 8

TR ẦN

Vậy VABC.A ' B 'C ' = S∆ ABC .AA ' =

2 1 = 1 a.a. 3 = a 3 AB.AC.sin BAC 2 2 2 4

+ Ta có S∆ ABC =

ẠO

a 3 a A ' H = AA '.sin A ' AH = = , AH = A A '.cos A ' AH = ⇒ AC = AB = 2AH = a 2 2

= 600 , hình chiếu vuông góc của Ví dụ 8: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = a, BC = 2a, ABC

B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC, góc tạo

a3 4

a3 2

3a 3 4

3a 3 2

bởi AB’ với (ABC) bằng 450. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

(

1 AB.BC.sin ABC 2

+ S∆ ABC =

ẤP

Phân tích:

)

Í-

B ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ AB ', ( ABC ) = B ' AH = 450

-L

+ Xét tam giác ABH vuông tại H có: AH = AB.sin ABH

ÁN

' AH + Xét tam giác AHB’ vuông tại H có: BH ' = AH.tan B

Lời giải:

Ỡ N

+ Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tính theo công thức: VABC.A ' B 'C ' = S∆ ABC .B ' H

BỒ

ID Ư

Đáp án C + S∆ ABC =

2 1 = 1 a.2a.sin 600 = a 3 AB.BC.sin ABC 2 2 2

' AH = 450 Ta có B ' H ⊥ ( ABC ) ⇒ ( AB ', ( ABC ) ) = B

Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= a.sin 600 = a 3 + Xét tam giác ABH vuông tại H có: AH = AB.sin ABH 2

N U

a 2 3 a 3 3a 3 . = 2 2 4

TP .Q

Vậy VABC.A ' B 'C ' = S∆ ABC , B ' H =

H Ơ

a 3 a 3 + Xét tam giác AHB’ vuông tại H có: BH ' = AH.tan B ' AH = . tan 450 = 2 2

Ví dụ 9: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường

a3 6 3

a3 6 9

ẠO

TR ẦN

Phân tích:

a3 2 6

a3 2 2

Ư N

1 . Thể tích khối lăng trụ là: 2

chéo A’C của lăng trụ hợp với đáy ABCD góc α thỏa mãn tan α =

+ AA ' ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( A 'C, ( ABCD ) ) = A 'CA = α

+ SABCD = a 2

'CA + Xét tam giác A’AC vuông tại A có: AA ' = AC. tan A

+ Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ tính theo công thức:

Lời giải:

ẤP

VABCD.A ' B 'C ' D ' = SABCD .AA '

Đáp án A

+ SABCD = a 2

-L

Í-

+ Ta có AA ' ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( A 'C, ( ABCD ) ) = A 'CA = α

ÁN

+ ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AC = a 2

Ỡ N

a 2 ∆ AA 'C vuông tại A có: AA ' = AC.tan A 'CA = a 2.tan α = 2

BỒ

ID Ư

Vậy VABCD.A ' B 'C ' D '

a 2 a3 2 = SABCD..AA ' = a . = 2 2 2

Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, khoảng cách từ C’ đến (A’BD) bằng

4a 3 . 2

Thể tích khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ là:

Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

B. 6a 3

C. 8a 3

D. 27a 3

H Ơ

A. a 3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích: vuông

bằng

nhau

gọi

là

trọng

hình

tâm

TP .Q

các

+ Ta có C’A’BD là tứ diện đều vì có các cạnh đều là đường chéo

Đ Ư N

2 AC ' 3

⇒ C ' H = 2AH =

C ' H A 'C = =2 AH AO

+ ∆ AHO ∼ ∆C ' HA ' ⇒

ẠO

∆ A 'BD ⇒ C 'H ⊥ ( A 'BD ) ⇒ d( C,( A 'BD ) ) = C 'H

lập phương VABCD.A ' B 'C ' D ' = x 3

Lời giải:

TR ẦN

+ Đặt độ dài cạnh hình vuông là x ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa x và a từ đó tính thể tích khối

Đáp án C

+ Ta có C’A’BD là tứ diện đều vì có các cạnh đều là đường chéo các hình vuông bằng nhau gọi

4a 3 2

C ' H A 'C 2 = = 2 ⇒ C ' H = 2AH = AC ' AH AO 3

+ ∆ AHO ∼ ∆C ' HA ' ⇒

ẤP

H là trọng tâm ∆ A ' BD ⇒ C ' H ⊥ ( A ' BD ) ⇒ d ( C,( A ' BD )) = C ' H =

Í-

Đặt AB = x ⇒ AC = x 2 ⇒ AC ' = AC2 + CC '2 = x 3

-L

2 2x 3 4a 3 2x 3 AC ' = ⇒ = ⇒ x = 2a 3 3 3 3

ÁN

Ta có C ' H =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Vậy VABCD.A ' B 'C 'D ' = ( 2a ) = 8a 3

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN

1 Câu 1: Khối đa diện nào sau đây có công thức thể tích là V = B.h (B là diện tích đáy; h là 3

chiều cao).

A. Khối lăng trụ

B. Khối chóp

C. Khối lập phương

D. Khối hộp chữ nhật.

Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 2: Khi tăng độ dài tất cả các cạnh của một khối hộp chữ nhật lên gấp đôi thì thể tích khối B. 4 lần.

C. 6 lần.

D. 8 lần.

Câu 3: Cho hình chóp tam giác có đường cao bằng 25cm và các cạnh đáy có độ dài lần lượt

D. 2537,5cm 3

C. 420cm 3

TP .Q

B. 5250cm 3

bằng 20cm, 21cm, 29cm . Thể tích của hình chóp là:

A. 1750cm 3

H Ơ

A. 2 lần.

hộp tương ứng sẽ tăng lên bao nhiêu lần

ẠO

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AC ' = 5 3cm . Thể tích của khối lập phương

B. 75cm 3

C. 100cm 3

D. 125cm 3

A. 50cm 3

ABCD.A’B’C’D’ là:

Ư N

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam

giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là:

a3 3 4

a3 3 8

a3 3 12

TR ẦN

a3 3 24

a3 4

3a 3 8

a3 8

1 abc 3

1 abc 6

3a 3 4

Câu 6: Khối lăng trụ tam giác đều cạnh a, chiều cao bằng a 3 có thể tích là:

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

Câu 7: Cho hình vẽ:

A. abc

BỒ

ID Ư

Khối chóp trên có thể tích là: 1 abc 2

Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 900 , BSC = 1200 , ASC = 900 . Thể Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB

a3 6

a3 3 4

a3 3 12

H Ơ

a3 2

tích khối chóp S.ABC là:

a 5 . Thể tích khối chóp 3

1 1 2 + 2 − 2 − 150 là: 2 x y z

S.ADCM, khối chóp S.BCM và khối chóp S.BCD lần lượt là x,y,z. Giá trị

ẠO

thẳng vuông góc (ABCD) và trên đó lấy điểm S sao cho SI =

TP .Q

Câu 9: Cho ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M là trung điểm AB. Qua điểm M dựng đường

C. 8,4

D. 5,2

B. −247, 6

Ư N

A. −17, 2

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh

TR ẦN

= 600 , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác AB = a 3, ACB ABC, gọi E là trung điểm AC, góc giữa SE và mặt phẳng đáy là 300. Thể tích khối chóp S.ABC

a3 18

a3 6

a3 9

a3 12

là:

ÁN

-L

Í-

ẤP

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD như hình vẽ, đáy ABCD là hình vuông.

Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

a3 3 B. 6

a3 2 C. 6

a3 2 D. 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a3 3 A. 3

Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 600 , hình chiếu vuông Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC

1 2

2 2

N Y

1 6

TP .Q

3 2

H Ơ

6V là: a3

với mặt phẳng (ABCD) góc 450. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng V. Giá trị

góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (SAC) hợp

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 2a, AD = a . Hình chiếu

V gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau: a3

A. 0,5

B. 1

C. 1,5

Ư N

300. Thể tích khối chóp S.ABCD là V thì tỉ số

ẠO

vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB. SC tạo với đáy một góc bằng

D. 2

TR ẦN

Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc giữa SG và mặt phẳng (SBC) là 300. Thể tích khối chóp S.ABC là:

a3 3 8

a3 3 12

a3 3 4

a3 3 24

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác

nhất giá trị nào dưới đây.

B. 7

C. 8

a3 gần V

D. 9

A. 5

ẤP

đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

Câu 16: Cho hình hộp chữ nhật có các cạnh AB = 3a; AD = 2a; AA ' = 2a như hình vẽ

Thể tích của khối chóp A’.ACD’ là:

A. a 3

B. 2a 3

C. 3a 3

D. 6a 3

Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 17: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,

= 600 . Đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) AC = 12cm, ACB

B. 1411cm 3

C. 4233cm 3

D. 8466cm 3

A. 2117cm 3

H Ơ

một góc 300. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau:

TP .Q

Câu 18: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A’ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 . Thể tích khối lăng trụ

a3 3 C. 6

a3 3 D. 4

a3 3 B. 2

A. a

ẠO

ABC.A’B’C’ là:

Ư N

Câu 19: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng 5cm. Thể tích khối lăng

125 3 3 cm 4

125 2 cm3 12

125 3 3 cm 12

TR ẦN

trụ ABC.A’B’C’ là:

125 2 cm3 4

Câu 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2a, AD = a, AC ' = a 7 . Thể tích

B. 2a 3 2

a3 2 3

khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là:

2a 3 2 3

a3 2 3

ẤP

Câu 21: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA ' = 2a , mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy

16a 3 2 3

8a 3 2 3

16a 3 2 9

8a 3 2 9

Í-

góc 600 và A’C hợp với đáy góc 300. Thể tích khối hộp chữ nhật là:

-L

Câu 22: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a 3, AD = AA ' = a , O là giao điểm

x + y là:

ÁN

của AC và BD. Thể tích khối chóp OA’B’C’D’ là x, thể tích khối chóp OBB’C’ là y. Giá trị

5a 3 3 B. 8

5a 3 3 C. 4

a3 3 D. 12

Câu 23: Hình vẽ bên là bản vẽ thiết kế làm cái dốc để dắt xe từ sân vào trong nhà theo tỉ lệ 1:25.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

5a 3 3 A. 12

Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

C. 360cm 3

D. 225000cm 3

B. 120cm 3

TP .Q

A. 75000cm 3

Thể tích vật liệu cần dùng là:

B. 1504cm 3

C. 1632cm 3

D. 1824cm 3

A. 1440cm 3

Thể tích của khối vật là:

TR ẦN

Ư N

ẠO

Câu 24: Một vật có 2 mặt tam giác vuông cân bằng nhau, 5 mặt hình chữ nhật như hình vẽ.

ẤP

Câu 25: Một khối có 4 mặt tam giác cân bằng nhau, 5 mặt hình chữ nhật có kích thước như hình

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

vẽ.

BỒ

ID Ư

Thể tích khối trên gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau:

A. 1410cm 3

B. 1420cm 3

C. 780cm 3

D. 2350cm 3

Câu 26: Một tờ giấy được cắt sẵn để gấp thành một hình hộp chữ nhật như hình vẽ.

Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Thể tích khối hộp chữ nhật là:

B. 120cm 3

C. 80cm 3

D. 140cm 3

ẠO

A. 40cm 3

Câu 27: Một phòng họp có chiều dài 12m, chiều rộng 8m và chiều cao 4m. Người thiết kế phòng

Ư N

họp tư vấn cần phải mở rộng thêm chiều dài phòng họp tối thiểu x mét nữa để phòng họp có thể

chứa 100 người, biết mỗi người cần có đủ 4,48m3 không khí để đảm bảo sức khỏe. Giá trị của x

A. 1m

TR ẦN

là:

B. 2m

C. 3m

D. 4m

Câu 28: Một bể nước có dạng hình hộp chữ nhật, chiều dài là 2,5m, chiều rộng là 1,6m và chiều

cao là 1,4m, biết rằng bề dày thành bể và đáy bể là 10cm. Thể tích nước có trong bể khi bể chứa

B. 31,556m3

2-D

3-A

4-D

11-A

12-C

13-B

14-D

21-B

22-A

23-D

D. 40m 3

Đáp án

5-D

6-A

7-D

8-D

9-C

10-B

15-B

16-B

17-C

18-D

19-A

20-B

24-C

25-B

26-B

27-B

28-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT

ÁN

-L

Í-

1-B

C. 31,878m3

ẤP

A. 35, 64cm3

đầy nước là:

Câu 1: Đáp án B Khối chóp

Ỡ N

Câu 2: Đáp án D

BỒ

ID Ư

V = abc ⇒ V ' = 2a.2b.2c = 8V

Câu 3: Đáp án A

p = ( 20 + 21 + 29 ) : 2 = 35cm ⇒ S∆ = p ( p − a )( p − b )( p − c ) = 210 cm 2

Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1 ⇒ V = S.h = .210.25 = 1750 cm3 3 3

2AA '

)

= 5 3 cm ⇒ AA ' = 5 cm

TP .Q

⇒ VABCD.A ' B 'C ' D ' = AA '3 = 125cm3 Câu 5: Đáp án D

ẠO G

1 a2 BC.AH = 2 4

Ư N

S∆ ABC =

BC a = 2 2

Gọi H là trung điểm của BC ⇒ AH =

TR ẦN

SH ⊥ BC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) a 3 2

+ ∆ SBC đều ⇒ SH =

1 a3 3 Vậy VS.ABC = .S∆ ABC .SH = 3 24

Câu 6: Đáp án A

ẤP

a3 3 3a 3 .a 3 = 4 4

(

AA '2 + A 'C '2 = AC ' = 5 3 cm ⇒ AA '2 +

H Ơ

Câu 4: Đáp án D

Câu 7: Đáp án D

1 1 1 bc ⇒ VSABC = .S∆ ABC .SA = abc 2 3 6

ÁN

-L

Í-

Tam giác ABC vuông tại B nên S∆ ABC =

Câu 8: Đáp án D

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ta có SA ⊥ SB, SA ⊥ SC ⇒ SA ⊥ ( SBC )

1 1 3 a2 3 S∆ SBC = SB.SB.sin1200 = a 2 . = 2 2 2 4 1 1 a2 3 a3 3 ⇒ VS.ABC = VA.SBC = S∆ SBC .SA = . .a = 3 3 4 12

Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

( AM + CD ) .AD = 3 4

+ Ta có: SADCM =

Câu 9: Đáp án C

U TP .Q Đ

BM.BC 1 = 2 4

+ SBCM =

ẠO

5 5 ⇒ x2 = 12 144

+ SBCD =

TR ẦN

1 1 5 1 5 5 5 ⇒ VS.BCM = .SM.SBCM = . . = ⇒y= ⇒ y2 = 3 3 3 4 36 36 1296

Ư N

1 1 5 3 5 ⇒ VS.ADCM = .SM.SADCM = . . = 3 3 3 4 12

BC.CD 1 1 1 5 1 5 5 5 = ⇒ VS.BCD = .SM.SBCD = . . = ⇒z= ⇒ z2 = 2 2 3 3 3 2 18 36 324

1 1 2 42 + 2 − 2 − 150 = = 8, 4 2 5 x y z

Vậy

Câu 10: Đáp án B

ẤP

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC SG ⊥ ( ABC )

AB = 2a ⇒ BC = AC 2 − AB2 = a sin ACB

AC =

Xét tam giác ABC vuông tại B có

Í-

1 a2 3 AB.BC = 2 2

-L

⇒ S∆ ABC =

ÁN

1 1 a 2 3 a 3 a3 Vậy VS.ABC = .S∆ ABC .SG = . . = 3 3 2 9 18

Câu 11: Đáp án A

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Tam giác SAD vuông tại A có: SA = SD 2 − AD 2 =

( 2a )

− a2 = a 3

1 1 a3 3 Vậy VS.ABCD = .SABCD .SA = .a 2 .3 3 = 3 3 3

Câu 12: Đáp án C Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 600 nên tam giác ABC đều + Ta có BAC

a2 3 2

H Ơ

⇒ SABCD = 2.SABC =

+ Gọi O = AC ∩ BD

= 450 Mặt khác OB ⊥ AC ⇒ ( ( SAC ) , ( ABCD ) ) = SOB

TR ẦN

Câu 13: Đáp án B + Ta có SABCD = AB.AD = 2a 2 là

hình

chiếu

vuông

góc

c ủa

lên

(ABCD)

Ư N

1 1 a 3 a 2 3 a3 6V 1 = ⇒ 3 = Vậy VS.ABCD = SG.SABCD = . . 3 3 6 2 12 2 a

ẠO

= OG.tan 450 = 1 .BO = a 3 + Xét tam giác SOG vuông tại G: SG = OG. tan SOB 3 6

TP .Q

Ta có AC ⊥ BD, AC ⊥ SG ⇒ AC ⊥ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ SO

⇒ ( SC, ( ABCD ) ) = SCH = 300

+ Xét tam giác BHC vuông tại B có:

ẤP

HC = BH 2 + BC2 = a 2

+ Xét tam giác SHC vuông tại H có:

= HC.tan 300 = a 6 SH = HC. tan SHC 2

Í-

-L

Vậy VS.ABCD

1 1 a 6 a3 6 V = SABCD .SH = .2a. = ⇒ 3 ≈ 0,82 3 3 a 3 a

ÁN

Câu 14: Đáp án D

+ Do ABCD đều nên S∆ ABC =

a2 3 4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

+ Do S.ABC là hình chóp tam giác đều

⇒ SG ⊥ ( ABC ) ⇒ SG ⊥ BC

Mà BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAM )

Trang 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

) (

(

H Ơ

( SBC ) ∩ ( SAM ) = SM nên hình chiếu vuông góc của SG lên (SBC) là SM  ⊥ ⊂ SBC SAM , SG SAD ( ) ( ) ( ) 

= GSM = 300 ⇒ SG, (SBC ) = SG,SM

)

+ Xét tam giác SGM vuông tại M có:

TP .Q

= 1 .AM.cot 300 = 1 . a 3 . 3 = a SG = GM.cot SGM 3 3 2 2

ẠO

1 1 a 2 3 a a3 3 Vậy VS.ABC = .SABC .SG = . . = 3 3 4 3 24

Ư N

Câu 15: Đáp án B

+ SABCD = a 2

TR ẦN

+ Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD.

Ta có: CD ⊥ SH mà SH ⊥ MN ⇒ SH ⊥ ( ABCD )

Kẻ SH ⊥ MN

ẤP

+ Xét tam giác SMN có:

a 3 CD a = , SN = 2 2 2

tại S ⇒ SM =

+ Ta có SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân

 a 3   a 2 2 2 SM + SN =   +   = a = MN  2  2

ÁN

-L

Í-

a 3 a . SM.SN a 3 ⇒ Tam giác SMN vuông tại S ⇒ SH = = 22 2= MN 4 a

1 1 a 3 a3 3 a3 Vậy VS.ABCD = .SABCD .SH = a 2 . = ⇒ = 4 2 ≈ 6, 93 3 3 4 12 V 1 1 1 1 VA '.ACD ' = VC.AA ' D ' = .S∆ AA ' D ' .CD = . AA '.A ' D.CD = .AA '.AD.AB = 2a 3 3 3 2 6

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 16: Đáp án B

Trang 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 17: Đáp án B

H Ơ

1 1 AB.AC = .12.12 3 = 72 3 cm 2 2 2

⇒ SABC =

= 12 3 cm + Ta có AB = AC.tan ACB

TP .Q

' A = 600 + ( BC ', ( AA 'C 'C ) ) = BC

AC ' = AB.cot BC 'A = 12 3. 3 = 36 cm

ẠO

+ Xét tam giác AA’C’ vuông tại A’ có:

Câu 18: Đáp án D

Ư N

VABC.A ' B 'C ' = S∆ ABC .AA ' = 72. 3.24 2 = 1728 6 cm3 ≈ 4233cm3

AA ' = AC '2 − A 'C '2 = 362 − 122 = 24 2 cm

a2 3 4

TR ẦN

+ Tam giác ABC đều ⇒ S∆ ABC =

+ A’ABC là tứ diện đều nên trọng tâm G của tam giác

Tam giác A’AG vuông tại G có:

A 'G = AG.tan A ' AG = a

2 a 3 AM = , ( A ' A, ( ABC ) ) = A ' AG = 600 3 3

ẤP

AG =

ABC là chân đường cao hạ từ A’

a3 3 4

Í-

Vậy VABC.A ' B 'C ' = S∆ ABC .A 'G =

-L

Câu 19: Đáp án A

ÁN

S∆ ABC

AB2 3 25 3 2 125 3 3 cm ⇒ VABC.A ' B 'C ' = S∆ ABC .AA ' = cm = = 4 5 4

Câu 20: Đáp án B

BỒ

ID Ư

Ỡ N

SABCD = 2a 2 , A A ' = AC '2 − A 'C '2 = AC '2 − AB2 + AD 2 = a 2

(

)

⇒ VABC.A ' B 'C ' = SABCD .AA ' = 2a 3 2 Câu 21: Đáp án B 'CA = 300 + Ta có AA ' ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( A 'C, ( ABCD ) ) = A

Trang 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

BC ⊥ AB, BC ⊥ AA ' ⇒ BC ⊥ ( ABB 'A ')

H Ơ

' BA = 600 ⇒ ( A ' BC, ( ABCD ) ) = A

4a 6 3

16a 3 2 3

Ư N

Vậy VABCD.A ' B 'C 'D ' = AB.BC.AA ' =

+ ∆ ABC vuông tại B ⇒ BC = AC2 − AB2 =

TP .Q

2a 3 3

ẠO

+ ∆ A ' AB vuông tại A ⇒ AB = AA '.cot 600 =

+ ∆ A ' AC vuông tại A ⇒ AC = AA '.cot 300 = 2a 3

Câu 22: Đáp án A

TR ẦN

+ Ta có VABCD.A ' B 'C 'D ' = AB.AD.AA ' = a 3 3

Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên:

00 3

M là trung điểm BC ⇒ OM ⊥ ( BB 'C ')

VO.A 'B 'C ' D '

1 a3 3 = VABCD.A ' B 'C ' D ' = 3 3

ẤP

VO.BCC '

1 1 1 a3 3 = .S∆ BCC ' .OM = . .B'C ', BB '.OM = 3 3 2 12

Í-

Câu 23: Đáp án D

a 3 3 a 3 3 5a 3 3 + = 3 12 12

⇒x+y=

ÁN

-L

1 Dốc có dạng hình lăng trụ: V = .6.2, 4.2.253 = 22500 cm3 2

Câu 24: Đáp án C Khối vật gồm một khối hộp chữ nhật và một khối lăng trụ

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Thể tích khối hộp chữ nhật là: V1 = 8.12.15 = 1440 cm3 1 Thể tích khối lăng trụ là: V2 = . 32. 32.12 = 192 cm3 2 Vậy V = V1 + V2 = 1632 cm3

Câu 25: Đáp án B Trang 27

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Khối vật gồm một khối hộp chữ nhật và một khối chóp đều

Thể tích khối hộp chữ nhật là: V1 = 12.10.8 = 960 cm3

H Ơ

1 Thể tích khối chóp là: V2 = .12.10. 134 = 40 134 cm3 3

Vậy V = V1 + V2 = 960 + 40 134 = 1423cm3

TP .Q

Câu 26: Đáp án B

ẠO

Khi gấp giấy được khối hộp chữ nhật có V = 2,5.6.8 = 120 cm3

Ư N

Thể tích phòng họp đảm bảo tối thiểu cho 100 người là: 4, 48.100 = 448 m3

Câu 27: Đáp án B

Vậy cần phải mở rộng tối thiểu chiều dài 2m nữa

Câu 28: Đáp án C

V = ( 2,5 − 2.0,1)(1, 6 − 2.0,1)(1, 4 − 0,1) = 31,878 m3

TR ẦN

Chiều dài tối thiểu là: 448 : ( 8 x 4 ) = 14 m

KHỐI HOẶC SO SÁNH KHỐI (TỈ SỐ)

DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN BẰNG CÁCH NHÂN CHIA LẮP GHÉP

Trong nhiều bài toán, việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 (phương pháp

ẤP

trực tiếp) có thể gặp khó khăn vì hai lí do:

+ Hoặc là khó xác định và tính được chiều cao

+ Hoặc tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng.

-L

1. Phương pháp

Í-

Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp gián tiếp được trình bày ngay sau đây.

ÁN

Tính thể tích bằng cách chia nhỏ

+ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính thể tích của chúng.

+ Sau đó, ta cộng các kết quả lại, ta sẽ có kết quả cần tìm.

Ỡ N

Tính thể tích bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác,

BỒ

ID Ư

sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích.

Tính thể tích bằng tỉ số thể tích: So sánh thể tích khối cần tính với một đa diện khác đã biết trước hoặc dễ dàng tính thể tích. Trong phương pháp này, ta thường hay sử dụng kết quả của bài toán:

Trang 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Bài toán: Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương tứng trên cạnh SA, SB, SC.

VS.A 'B'C' SA ' SB ' SC ' = . . VS.ABC SA SB SC

H Ơ

Khi đó

Chứng minh:

TP .Q

1 d A ', SB 'C ' ) ) .S∆SB'C' VS.A 'B'C' VA 'SB'C 3 ( ( Ta có = = 1 VS.ABC VASBC d ( A, ( SBC ) ) .S∆SBC 3

Đ G Ư N H

SA ' SB ' SC ' ⇒ (đpcm) . . SA SB SC

TR ẦN

ẠO

1 1 d ( A ', ( SBC ) ) . .SB'.SC '.sin α 2 =3 1 1 d ( A, ( SBC ) ) . .SB.SC.sin α 3 2

'SC ' = BSC Trong đó α = B

SA ' SA

d ( A, ( SBC ) )

d ( A ', ( SBC ) )

Vì AA '∩ ( SBC ) = S ⇒

Chú ý: Kết quả trên vẫn đúng nếu như trong các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm

A ≡ A ', B ≡ B ', C ≡ C ' . Thông thường, đối với loại ày, đề thường cho điểm chia đoạn theo tỉ lệ,

ẤP

song song, hình chiếu, …

2. Ví dụ minh họa

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

Ví dụ 1: Cho hình vẽ với E, F là trung điểm các cạnh bên SB và SC.

Khối S.AEF có thể tích là: 1 abc 24 Trang 29

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

1 abc 12

1 abc 8

11 abc 12

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích:

1 BA.BC 2

H Ơ

+ Tam giác ABC vuông tại B nên S∆ABC =

+ SA là chiều cao của khối chóp SABC nên ta tính được thể tích chóp SABC theo công thức

VSAEF SA SE SF ta tìm được VSAEF . . = VSABC SA SB SC

ẠO

+ Áp dụng công thức tỉ lệ thể tích

TP .Q

1 VSABC = .S ∆ABC .SA 3

1 1 1 bc ⇒ VSABC = S∆ABC .SA = abc 2 3 6

Ư N

Tam giác ABC vuông tại B nên S∆ABC =

Lời giải

TR ẦN

VSAEF SA SE SF 1 1 1 1 1 = . . = . = ⇒ VSAEF = VSABC = abc ⇒ Chọn đáp án A VSABC SA SB SC 2 2 4 4 24

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC, trên AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

8 3

4 3

5 6

D. 1

AM = 2MB , BN = 4NC,SP = PC . Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S.BMN và A.CPN là:

Phân tích:

ẤP

+ Để áp dụng được công thức tỉ lệ thể tích ta cần đối đỉnh sao

cho khối chóp cần tính có các cạnh tỉ lệ tương ứng với các cạnh

hình chóp SABC

+ Với khối chóp S.MNB ta chuyển đỉnh là B đáy là SMN

ÁN

-L

Í-

VS.BMN VB.MNS BM BN BS . . = = VS.ABC VB.ACS BA BC BS

AM = 2MB ⇒

BM 1 BN 4 = , BN = 4BC ⇒ = BA 3 BC 5

BỒ

ID Ư

Ỡ N

+ Với khối chóp ACP ta chuyển đỉnh là C đáy là ANP: VA.CPN VC.ANP CA CN CP CN 1 CP 1 = = = ,SP = PC ⇒ = . . , BN = 4BC ⇒ VS.ABC VC.ABS CA CB CS' CB 5 CS 2

Sau đó lập tỉ lệ của hai tỉ số thu được kết quả Lời giải

Trang 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VA.CPN VC.ANP CA CN CP 1 1 1 = = . . = . = VS.ABC VC.ABS CA CB CS' 5 2 10

VS.BMN 4 1 8 = : = ⇒ Chọn đáp án B. VA.CNP 15 10 3

TP .Q

⇒

H Ơ

VS.BMN VB.MNS BM BN BS 1 4 4 = = = . = . . VS.ABC VB.ACS BA BC BS 3 5 15

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

= BSC = 600 , ASC = 900 . Thể tích Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = a,SC = 2a, ASB

ẠO Đ C.

4 6 3

3 3

6V là: a3

Ư N

của khối chóp S.ABC bằng V. Tỉ số

TR ẦN

Phân tích: Bài toán yêu cầu tính thể tích của khối S.ABC ta rất khó xác định chiều cao của khối chóp do vậy cần dựng thêm

đường phụ.

Gọi M là trung điểm SC, ta có SM = a ⇒ ∆SAM vuông cân

1 a 2 AM = 2 2

ẤP

tại S. Gọi H là trung điểm của AM ⇒ SH =

1 a 2 AM = ⇒ SH 2 + BH 2 = SB2 = a 2 ⇒ ∆SHB vuông cân tại H 2 2

Í-

⇒ BH =

⇒ ∆ABM vuông cân tại B

Ta có AB = BM = a và AB2 + BM 2 = AM 2

ÁN

-L

1 Ta có SH ⊥ AM,SH ⊥ HB ⇒ SH ⊥ ( ABM ) ta dễ dàng tính được VS.ABM = SH.S∆ABM 3 VS.ABC SC = = 2 ⇒ VS.ABC = 2VS.ABM VS.ABM SM

Dựa vào tỉ số thể tích

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Lời giải Gọi M là trung điểm SC, ta có SM = a ⇒ ∆SAM vuông cân tại S. Gọi H là trung điểm của AM ⇒ SH =

1 a 2 AM = 2 2

= 60° ⇒ ∆BSM đều Ta có SM = SB = a và BSC

Trang 31

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có AB = BM = a ⇒ ∆ABM cân tại B.

H Ơ

1 a 2 AM = 2 2

⇒ ∆ABM vuông cân tại B (định lý Pitago đảo) ⇒ BH =

Mặt khác AB2 + BM 2 = 2a 2 và AM 2 = 2a 2 ⇒ AB2 + BM 2 = AM 2

a 2  a 2 2 2 2 2 2 Ta có SH + BH =   +  2  = a ⇒ SH + BH = SB = a 2    

TP .Q

ẠO

⇒ ∆SHB vuông cân tại H (định lý Pitago đảo)

1 a2 1 1 a 2 a2 a3 2 AB.BM = ⇒ VS.ABM = SH.S∆ABM = . = 2 2 3 3 2 2 12

Ư N

S∆ABM =

Ta có SH ⊥ AM,SH ⊥ HB ⇒ SH ⊥ ( ABM )

TR ẦN

VS.ABC SC a3 2 6V = = 2 ⇒ VS.ABC = 2VS.ABM = ⇒ 3 = 2 ⇒ Chọn đáp án B. VS.ABM SM 6 a

= α, BSC = β, ASC =γ. * Tổng quát: Cho chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c và ASB

abc 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + 2 cos α.cos β.cos γ 6

Thể tích khối chóp S.ABC là VS.ABC =

ẤP

6V = 2 ⇒ Chọn đáp án B. a3

⇒

a.a.2a a3 2 1 − cos 2 60° − cos 2 60° − cos 2 60° + 2 cos 60°.cos 60°.cos 60° = 6 6

VS.ABC =

Áp dụng vào bài này ta được:

Í-

Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 ,

ÁN

-L

SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 2a . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của

A trên các cạnh SB và SC. Thể tích của khối chóp A.BHKH là V. Tỉ số

a3 gần nào nhất giá trị V

nào trong các giá trị sau:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Phân tích 1 1 S∆ABC = .AB.BC ⇒ VS.ABC = .AB.BC.SA 2 6 Mặt phẳng (AHK) chia khối SAB thành hai khối: SAHK và ABCKH

Trang 32

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ VABCKH = VSABC − VSAHK

H Ơ N

SH SK . SB SC

Dựa vào các tam giác vuông SAB, SAC ta tính được tỉ lệ

VSAHK SA SH SK SH SK . . . = = VSABC SA SB SC SB SC

Ta tính VSAHK dựa vào công thức

TP .Q

Lời giải: + Ta có:

ẠO

1 1 a3 3 VS.ABC = .AB.BC.SA = a.a 3.2a = 6 6 3

Ư N

AC = AB2 + BC2 = a 2 + 3a 2 = 2a

⇒ ∆SAC vuông cân tại A ⇒ K là trung điểm của SC

TR ẦN

+ ∆SAB vuông tại A có:

10 3

2 2 a 3 3 2a 3 3 = .VS.ABC = . = 5 5 3 15

a 3 3 2a 3 3 a 3 3 − = 3 15 5

a3 5 = ≈ 2,89 ⇒ Chọn đáp án C. V 3

Í-

⇒

Vậy VABCKH = VSABC − VSAHK =

ẤP

⇒ VS.AHK

VS.AHK SA SH SK 4 1 2 = = . = . . VS.ABC SA SB SC 5 2 5

⇒

SH SH.SB SA 2 SA 2 4a 2 4 = = = = = 2 2 2 2 2 2 SB SB SB SA + AB 4a + a 5

-L

Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt

ÁN

1 bên và mặt phẳng đáy là α thỏa mãn cos α = . Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt 3

phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là

A. 0,11

B. 0,13

C. 0,7

D. 0,9

BỒ

ID Ư

Ỡ N

gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau:

Trang 33

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Phân tích:

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều SO ⊥ ( ABCD ) .

H Ơ

Các mặt bên tạo với đáy góc bằng nhau nên ta chỉ

cần chọn mặt (SCD)

)

(

TP .Q

SCD ) , ( ABCD ) = SNO ⇒ ( Kẻ CM ⊥ SD .

Ư N

⇒ SD ⊥ ( ACM ) ⇒ ( ACM ) ⊥ ( SAD ) nên mặt phẳng (P) là (ACM)

ẠO

AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ SD Ta có   AC ⊥ SO

TR ẦN

Ta sẽ tính tỉ số thể tích của khối MACD so với khối SABCD

+Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối MACD và SABCM

Dễ thấy VS.ABCD = 2VS.ACD đến đây ta đổi đỉnh khối M.ACD thành D.MAC và vận dụng công thức tỉ

VD.AMC DM DA DC DM = . . = VD.SABC DS DA DC DS

lệ thể tích

Việc tính DM, DS chỉ dựa vào hệ thức lượng trong các tam giác vuông.

Lời giải:

ẤP

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều SO ⊥ ( ABCD ) . Gọi N là trung điểm CD

 CD ⊥ SN, CD ⊥ ON SCD ) , ( ABCD ) = SNO ⇒ ⇒ ( SCD ∩ ABCD = CD ( ) ( ) 

)

(

ÁN

-L

Í-

AC ⊥ BD ⇒ AC ⊥ ( SBD ) ⇒ AC ⊥ SD Kẻ CM ⊥ SD . Ta có   AC ⊥ SO

⇒ SD ⊥ ( ACM ) ⇒ ( ACM ) ⊥ ( SAD ) nên mặt phẳng (P) là (ACM)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a ON 3a + Xét tam giác SON vuông tại O có: SN = =2= cosSNO 1 2 3 2

 3a   a  SO = SN 2 − ON 2 =   −   = a 2  2  2

Trang 34

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Xét tam giác SOD vuông tại O có: SD = SO + OD =

a 2  a 10 +   = 2  2 

3a .a 1 1 SN.CD 3a 10 = CM.SD = SN.CD ⇒ CM = = 2 = 2 2 SD 10 a 10 2

Ta có S∆SCD

(a 2 )

H Ơ

TP .Q

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

 3a 10  a 10 + Xét tam giác MCD vuông tại M có: DM = CD − CM = a −   = 10  10  2

VMACD 1 = ≈ 0,11 ⇒ Chọn đáp án A. VS.ABCM 9

Do đó:

9 VS.ABCD 10

⇒ VS.ABCD = VMACD + VS.ABCM ⇒ VS.ABCM =

1 VS.ABCD . Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối MACD và S.ABCM 10

⇒ VMACD =

TR ẦN

Ư N

a 10 VMACD VMACD 1 DM DA DC 1 DM 1 10 1 = = . . . = . = . = Ta có: VS.ABCD 2VSACD 2 DS DA DA 2 DC 2 a 10 10 2

ẠO

ẤP

Tổng quát: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt

bên và mặt phẳng đáy là a. Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia khối V1 = cos 2 α V2

Í-

chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là

-L

Lời giải:

ÁN

Ta có:

SD = SN 2 + ND2 = ON 2 .

1 1 CM.SD = SN.CD 2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ta có: S∆SCD =

1 a 1 a + ND2 = +1 = cos 2 α + 1 2 2 cos α 2 cos α cos SNO 2

Trang 35

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a cos 2 α + 1 2.cos α

a 1 + cos 2 α

SN.CD = SD

a 1 .a 2 cos α

H Ơ

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a2 a cos α ⇒ DM = CD − CM = a − = 2 1 + cos α 1 + cos 2 α

a cos α a 1 + cos 2 α 2 cos α

cos 2 α 1 + cos 2 α

ẠO

1 + cos 2 α

VMACD V 1 DM DA DC 1 DM 1 = MACD = . = . = . . VS.ABCD 2VS.ACD 2 DS DA DC 2 DS 2

TP .Q

VMACD = cos 2 α VS.ABCM

TR ẦN

Do vậy:

 cos 2 α cos 2 α  1 V ⇒ V = 1 − .VS.ABCD   .VS.ABCD = S.ABCD S.ABCM 2 2 1 + cos α 1 + cos2 α  1 + cos α 

Ư N

⇒ VMACD =

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN

V 3

V 4

3V 4

2V 3

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích là V. Thể tích khối chóp ACB’D’ là:

ÁN

-L

Í-

ẤP

Câu 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích là V.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Trong các hình dưới đây, hình có thể tích

A. A.A’B’C’.

B. C’.ABC

2V là: 3

C. I.ABB’A’

D. A’.BCC’B’.

Câu 3: Cho hình vẽ với E, F là trung điểm các cạnh bên SB và SC.

Trang 36

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 abc 12

1 abc 8

1 abc 3

1 abc 24

Ư N

ẠO

Khối ABCFE có thể tích là:

= 600 , BSC = 900 , Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2cm,SB = 3cm,SC = 4cm, ASB

A. 2 2

B. 3 2

TR ẦN

= 1200 . Thể tích của khối chóp S.ABC là: ASC

C. 2 3

D. 3 3

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 20cm, cạnh SA = 30cm

và vuông góc với đáy. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt

B. 2770cm3

A. 2120cm3

phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Thể tích khối chóp S.AB’C’D’ gần nhất giá trị nào dưới đây.

C. 1440cm3

D. 1470cm3

ẤP

Câu 6: Cho hình chóp đều S.ABCD. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác

1 2

Í-

-L

SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tỷ lệ T =

3 8

VS.ABMN có giá trị là: VS.ABCD

1 4

3 4

ÁN

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 15cm. Gọi M là điểm thuộc AA’

sao cho AM = 10cm . Mặt phẳng (P) chứa CM và song song với BD chia khối lập phương thành

hai phần. Thể tích của phần lớn hơn là:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

A. 1687,5cm 3

B. 2531, 25cm 3

C. 2250cm3

D. 1125cm3

Câu 8: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh AA ' = 2a và tạo với đáy một góc 450. Thể tích khối tứ diện ACA’B’ là:

a3 6 12

a3 6 8

a3 6 4

a3 6 6

Trang 37

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 9: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 4cm, BC = 8cm, AA ' = 6cm . Lấy E, F

lần lượt là trung điểm của BC và CD. Mặt phẳng (A’EF) chia khối hộp thành hai phần. Gọi

C. 544

D. 128

B. 512

A. 160

H Ơ

x ( cm 3 ) là thể tích phần nhỏ, y ( cm 3 ) là thể tích phần lớn. Giá trị 5x − 7y là:

Câu 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác

TP .Q

ABC, góc giữa SG và mặt phẳng (SBC) là 300. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với SA

1 7

6 7

2 3

1 6

Đáp án

TR ẦN

Câu

Ư N

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

ẠO

chia khối chóp S.ABC thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là:

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1.

VACB'D ' = V − VB.AB'C − VA 'AB'D ' − VC '.CB'D ' − VD.ACD '

V V = ⇒ Chọn đáp án B. 6 3

ÁN

-L

Í-

ẤP

⇒ VACB'D' = V − 4.

Chú ý: Khối tứ diện có 6 cạnh tạo bở 3 cặp đường chéo (không song song) của các mặt bên song

BỒ

ID Ư

Ỡ N

song của hình hộp có thể tích: VTu dien =

Câu 2. VA '.BCC'B =

VHop

2V ⇒ Chọn đáp án D. 3

Câu 3. Tam giác ABC vuông tại B nên S∆ABC =

1 1 1 bc ⇒ VS.ABC = .S∆ABC .SA = abc 2 3 6

Trang 38

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VS.AEF SA SE SF 1 1 1 1 1 . . abc = = . = ⇒ VS.AEF = VS.ABC = VS.ABC SA SB SC 2 2 4 4 24

H Ơ

1 1 1 ⇒ VABCFE = VSABC − VSAEF = abc − abc = abc ⇒ Chọn đáp án C. 6 24 8

Câu 4. Tương tự ví dụ 3, hoặc áp dụng công thức giải nhanh: abc 1 − cos 2 α − cos 2 β − cos 2 γ + cos α.cos β.cos γ 6

VS.ABC =

2.3.4 1 − cos 2 60° − cos 2 90° − cos 2 120° + 2 cos 60°.cos 90°.cos120° = 2 2 6

ẠO

TP .Q

VS.ABC =

⇒ Chọn đáp án A.

Ư N

Câu 5.

TR ẦN

1 1 + VS.ABCD = SA.SABCD = .30.202 = 4000cm3 3 3

00 10

SD ' SA 2 SA 2 302 9 = = = = 2 2 2 2 2 SD SD SA + AD 30 + 20 13

SC ' SA 2 SA 2 302 9 = = = = 2 2 2 2 2 2 SC SC SA + AC 30 + 20 + 20 17

ẤP

VS.AB'C'D' 2VSAC'D ' SA SC ' SD ' SC ' SD ' = = . . = . VS.ABCD 2VSACD SA SC SD SC SD

9 9 81 324000 ≈ 1466cm3 ⇒ . VS.ABCD = .400 = 17 13 221 221 Chọn đáp án D.

⇒ VS.AB'C'D ' =

Í-

Câu 6.

VS.ABMN VSAMN + VSABM VSAMN V = = + SABM VS.ABCD VSACD + VSABC 2VSACD 2VSABC

+ T=

ÁN

điểm SC, SD

-L

+ ( SCD ) ∩ ( P ) = MN ⇒ CD / /MN nên M, N lần lượt là trung

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 SA SM SN 1 SA SB SM 1 1 3 = . + . = + = . . . . 2 SA SC SD 2 SA SB SC 8 4 8

⇒ Chọn đáp án B Câu 7.

Trang 39

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ OO '∩ MC = K , Từ K kẻ đường thẳng song song với BD cắt

BB’, DD’ lần lượt tại N và P mặt phẳng (P) là (MNCP)

1 AM = 5cm ⇒ DP = OK = 5cm 2

⇒ OK =

H Ơ

+ OK là đường trung bình của ∆CAM

TP .Q

+ VABCD.A 'B'C 'D ' = 153 = 3375cm 3 mặt phẳng (P) chia khối lập

Ư N

1 1 VABCDPMN = 2VCADPM = 2. .SADPM .CD = . ( DP + AM ) .AD.CD = 1125cm3 3 3

+ Ta có (ACC’A’) chia khối ABCDPMN thành hai phần bằng nhau do vậy:

ẠO

phương thành hai phần A’B’C’D’MNCP và ABCDPMN

TR ẦN

⇒ VA 'B'C 'D '.MNCP = 3375cm 3 − 1125cm 3 = 2250cm 3 ⇒ Chọn đáp án C.

Câu 8.

a2 3 4

+ ∆ABC đều ⇒ S∆ABC =

)

(

', ( ABC ) = A 'AH = 45° + Ta có AA

ẤP

∆A ' AH vuông tại H có:

A ' H = AA '.sin A ' AH = a 2

a3 6 4

VABC.A 'B'C' = S∆ABC .A ' H =

Í-

Khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp

-L

C.A’B’C’, B’.ABC, ACA’B’ ta có:

ÁN

1 1 VC.A 'B'C' = VABC.A 'B'C' và VB'.ABC = VABC.A 'B'C' 3 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 a2 6 ⇒ VACA 'B' = VABC.A 'B'C' − VC.A 'B'C' − VB'.ABC = VABC.A 'B'C' = ⇒ Chọn đáp án A. 3 12

Câu 9. + Ta có VABCD.A 'B'C 'D ' = AB.BC.AA ' = 192cm 3 + Mặt phẳng (A’EF) cắt các đoạn AB, AD, BB’, DD’ lần lượt tại I, J, M, N.

Trang 40

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

BM IB 1 DN JD 1 = = và = = AA ' IA 3 DD ' JA 3

1 1 AI.AJ.AA ' = .12.6.6 = 72cm3 6 6

H Ơ

VA 'AB =

Ta có:

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

TP .Q

8 1 1 BC AB BB ' 1 VMBIE = .BE.BI.MB = . . . = .4.2.2 = cm 3 , 6 6 2 2 3 6 3 1 1 DC AD DD ' 1 8 VNDFJ = DF.DJ.ND = . . . = .2.4.2 = cm3 6 6 2 2 2 6 3

376 3 cm ⇒ 5x − 7y = 544 3

⇒ VA 'B'C'D'.NFEM = VABCDA 'B'C'D' − VA 'MEFNDAB =

ẠO

200 3 cm 3

Ư N

⇒ VA 'MEFNDAB = VA 'AIJ − VMBIE − VNDFJ =

TR ẦN

⇒ Chọn đáp án C. Câu 10.

+ Do S.ABC là hình chóp tam giác đều

⇒ SG ⊥ ( ABC ) ⇒ SG ⊥ BC,

Mà BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( SAM )

ẤP

⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAM )

hình

chiếu

 (SBC ) ∩ ( SAM ) = SM nên  ( SBC ) ∩ ( SAM ) ,SG ⊂ ( SAD )

vuông góc của SG lên (SBC) là SM

) (

(

-L

Í-

= GSM = 30° ⇒ SG, ( SBC ) = SG,SM

)

ÁN

+ Kẻ MN ⊥ SA , ta có BC ⊥ ( SAM ) ⇒ SA ⊥ BC ⇒ SA ⊥ ( NBC ) nên (P) là (NBC).

+ Xét tam giác SGM vuông tại M có:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a 2 a 3 = 1 .AM.cot 30° = 1 . a 3 . 3 = a ⇒ SM = SG SG = GM.cot GSM = . = 3 3 2 2 3 cos GSM 2 3 2

a 21 a 2 a 3 + Xét tam giác SGA vuông tại G có: SA = SG + AG =   +  .  = 6 2 3 2  2

Trang 41

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a a 3 . 1 1 SG.AM 2 2 3a 7 = MN.SA = SG.AM ⇒ MN = = = 2 2 SA 14 a 21 6

H Ơ

S∆SAM

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Xét tam giác SNM vuông tại N có: 2

TP .Q Đ

ẠO

a 21 1 1 SN SB SC SN = . . = = 42 = ⇒ VSNBC = VSABC . Mặt phẳng (P) chia khối chóp SA SB SC SA a 21 7 7 6

VSNBC VSABC

Ư N

Ta có:

 a 3   3a 7  a 21 SN = SM − MN =   −   = 42  3   14  2

6 VSABC 7

VSNBC 1 = ⇒ Chọn đáp án A VNABC 6

Vậ y

TR ẦN

thành 2 khối SNBC và NABC ⇒ VSABC = VSNBC + VNABC ⇒ VNABC =

DẠNG 3: BÀI TOÁN THỂ TÍCH KẾT HỢP VỚI VIỆC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT.

1. Phương pháp

ẤP

Nội dung bài toán: Thể tích khối đa diện trong các dạng toán này phụ thuộc một tham số nào đó

(tham số có thể là góc, hoặc là độ dài cạnh). Bài toán đòi hỏi xác định giá trị của tham số để thể

Phương pháp giải:

tích đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

ÁN

khối đa diện.

-L

Í-

+ Bước 1: Chọn tham số, thực chất là chọn ẩn. Ẩn này có thể là góc α hoặc cạnh thích hợp trong

+ Bước 2: Với ẩn số được chọn ở bước 1, ta xem đó như là các yếu tố đã cho để tính thể tích V của khối đa diện theo các phương pháp đã biết.

Ỡ N

+ Bước 3: Đến đây, nhiệm vụ của bài toán hình học coi như đã “kết thúc”. Ta có một hàm số

BỒ

ID Ư

f ( x ) , ∀x ∈ D mà cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó. Dùng bất đẳng thức cổ điển

(AM-GM hay Cauchy-Schwarz) hoặc sử dụng tính đơn điệu của hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ấy.

2. Ví dụ minh họa Trang 42

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 1: Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng 16. Tổng độ dài ba cạnh xuất phát từ cùng một B. 10

C. 12

D. 16

H Ơ

A. 8

đỉnh đạt giá trị nhỏ nhất là:

Lời giải:

Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp chữ nhất lần lượt là a, b, c với a, b, c > 0. Ta có V

TP .Q

= a.b.c = 16

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: a + b + c ≥ 3 a.b.c = 12

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hình hộp chữ nhật trở thành hình lập phương.

ẠO

Tổng độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh a + b + c

Ư N

⇒ Chọn đáp án C nhật là: S S 3

S S 36

S 6S 36

S 3S 9

TR ẦN

Ví dụ 2: Một hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần là S. Thể tích lớn nhất của khối hộp chữ

Lời giải:

Gọi chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hình hộp chữ nhật lần lượt là a, b, c với a, b, c > 0. Ta có S

= 2ab + 2ac + 2bc

ẤP

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: S = 2ab + 2ac + 2bc ≥ 3 3 2ab.2ac.2bc = 6 3 a 2 b2 c2

S3 S3 S 6S ⇒ abc ≤ = 216 216 36

6 3 a 2 b 2 c 2 ≤ S ⇒ a 2 b2 c2 ≤

Í-

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hình hộp chữ nhất trở thành hình lập phương

-L

⇒ Chọn đáp án C.

ÁN

Ví dụ 3: Trên 3 tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi, lấy lần lượt các điểm A, B, C soa

cho OA = a;OB = b; OC = c . Giả sử A cố định còn B, C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa

Ỡ N

OA = OB + OC . Thể tích khối tứ diện OABC lớn nhất là:

BỒ

ID Ư

a3 6

a3 8

a3 24

a3 32

Lời giải: 2

VOABC =

1 1 1 b+c a3 abc = a ( bc ) ≤ a.  =  6 6 6  2  24

Trang 43

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(

)

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA là đoạn thẳng thay đổi sao cho SA = x, x ∈ 0; 3 , các

1 12

1 16

Lời giải:

ẠO

3 4

Ta có tam giác ABC đều ⇒ S∆ABC =

1 8

1 4

TP .Q

cạnh còn lại đều bằng 1. Thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất là:

a ⇒ Chọn đáp án C 2

H Ơ

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = c =

Ư N

Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA và BC.

Ta có ∆SAB và ∆SAC là hai tam giác cân tại B và C nên

TR ẦN

SA ⊥ BM,SA ⊥ CM

⇒ SA ⊥ ( BCM ) ⇒ SA ⊥ BC

⇒ ∆BMC cân tại M ⇒ MN ⊥ BC

x2 = 1− 4

BM = CM = AB − ( AM )

Mặt khác:

ẤP

⇒ BC ⊥ ( SAN ) . Kẻ SH ⊥ AN . Do BC ⊥ ( SAN ) ⇒ BC ⊥ SH ⇒ SH ⊥ ( ABC )

3 x2 1 − = 3 − x2 Ta có: MN = SN − SM = 4 2 2 2

ÁN

-L

Í-

1 1 SA.NM x 3 − x2 S∆SAN = SA.NM = SH.AN ⇒ SH = ⇒ SH = 2 2 AN 3

1 x 3 − x2 1  x2 + 3 − x2  1 ≤ . VS.ABC = S∆ABC .SH = = 3 12 12  2  8 1 3 6 đạt được khi và chỉ khi: x 2 = 3 − x 2 ⇔ x 2 = ⇔ x = 8 2 2

⇒ Chọn đáp án B.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Vậy MaxVS.ABC =

Trang 44

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tổng quát: Cho hình chóp S.ABC có SA là đoạn thẳng thay đổi sao cho SA = x, các cạnh còn lại

(

)

H Ơ N

a3 = 8

VS.ABC

đều bằng a (a là hằng số) với x ∈ 0;a 3 . Thể tích khối chóp S.ABC đạt giá trị lớn nhất là

và CD là α . Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất là:

B. 52

C. 64

D. 36

ẠO

A. 48 Lời giải:

) (

Dựng hình bình hạnh BCDE

(

TP .Q

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD, có AB = CD = 6 , khoảng cách giữa AB và CD là 8, góc giữa AB

)

Ư N

CD = AB, BE = α Ta có: AB,

TR ẦN

1 ⇒ S∆ABE = .AB.BE.sin α = 18sin α 2

00 10

π 2

ẤP

Do sin α ≤ 1 đẳng thức ⇔ α =

1 VABCD = VABED = S∆ABE .d ( D,( ABE ) ) = 48.sin α 3

CD / / ( ABE ) ⇒ d ( D,( ABE ) ) = d( AB,CD) = 8

Vậy MaxVABCD = 48 ⇒ Chọn đáp án A.

Ví dụ 6: Cho tứ diện S.ABC, có SA, AB, AC đôi một

abc 2 4

abc 2 8

abc 2 12

abc 2 24

Lời giải:

ÁN

-L

giá trị lớn nhất là:

Í-

vuông góc với nhau, độ dài các cạnh BC = a;SB = b;SC = c . Thể tích khối tứ diện S.ABC đạt

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ta có: BC2 = AB2 + AC2 (1) ,SB2 = SA 2 + AB2 ( 2 ) ,SC2 = SA2 + AC2 ( 3)

Trang 45

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SB2 + SC2 − BC2 b 2 + c 2 − a 2 = ( 2 ) + ( 3) ⇒ SA = 2 2 2 2 2 2 BC + SB − SC a + b 2 − c2 = (1) + ( 2 ) ⇒ AB2 = 2 2 2 2 2 2 BC + SC − SB a + c2 − b2 2 1 + 3 ⇒ AC = = () ( ) 2 2

)(

)

(

)

H Ơ N Y ẠO

Ta có: b 2 + c2 − a 2 a 2 + b2 − c2 = b 4 − a 2 − c2

(

+ c 2 − a 2 )( a 2 + b 2 − c 2 )( a 2 + c2 − b 2 )

TP .Q

≤ b4

⇒ (b + c − a

2 2

) (a

+b −c

2 2

) (a

+c −b

2 2

)

4 4

≤ a b c ⇒ VSABC

1 a 2 b 2c2 abc 2 ≤ . = 6 8 24

abc 2 ⇒ Chọn đáp án D. 24

Dấu đẳng thức ⇔ a = b = c . Vậy MaxVSABC =

TR ẦN

Ư N

Tương tự: ( a 2 + c 2 − b 2 )( a 2 + b 2 − c 2 ) ≤ a 4 , ( b 2 + c 2 − a 2 )( a 2 + c 2 − b 2 ) ≤ c 4

VSABC

1 1 = .SA.AB.AC = 6 6

Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD nội tiếp đường tròn đường kính

= α, CBD = β , tam giác A’AC đều. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) BD = a 3, ABD

là trung điểm H của AC. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ đạt giá trị lớn nhất

9a 3 4

a3 3 4

Lời giải:

Í-

AC = 2R = BD ⇒ AC = 3.sin ( α + β ) ABC

-L

Ta có:

a3 3 12

ẤP

3a 3 4

AC 3 3a.sin ( α + β ) = 2 2

ÁN

∆A 'AC đều ⇒ A ' H =

+ ∆BAD vuông tại A ⇒ AB = BD cos α

BỒ

ID Ư

Ỡ N

⇒ S∆ABD =

1 1 AB.BD.sin α = BD 2 .sin α.cos α 2 2

3a 2 3a 2 sin α.cos α = sin 2α 2 4

+ ∆BCD vuông tại C ⇒ BC = BD cos β

Trang 46

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 1 3a 2 3a 2 BC.BD.sin β = BD 2 .sin β.cos β = .sin β.cos β = sin 2β 2 2 2 4

⇒ S∆BCD =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Y U TP .Q

9a 3 4

Ta có sin 2 ( α + β ) .cos ( α − β ) ≤ 1 ⇒ VABCDA 'B'C'D ' ≤

TR ẦN

Ư N

 α =β π  Dấu đẳng thức ⇔  π ⇔α =β= 4 α + β = 2 9a 3 = ⇒ Chọn đáp án C 4

Vậy MaxVABCDA 'B'C'D '

ẠO

9a 3 sin 2 ( α + β ) .cos ( α − β ) 4

H Ơ

3a sin ( α + β ) cos ( α − β ) 3a 2 ⇒ S∆ABCD = S∆ABD + S∆BCD = ( sin 2α + sin 2β ) = 4 2 2 3a sin ( α + β ) .cos ( α − β ) 3a sin ( α + β ) VABCD.A 'B'C'D' = SABCD .A ' H = . 2 2

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại C và SA vuông góc với

mặt phẳng đáy. Cho SC = a, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc α . Thể tích khối chóp

) (

(

a3 3 27

ẤP

a3 16

a3 3 48

a3 2 24

S.ABC đạt giá trị lớn nhất là:

=α + ( SBC ) , ( ABC ) = SC, AC = SCA

)

-L

Í-

 SA = SC.sin α = a sin α + ∆SAC vuông tại A có:  AC = SC.cos α = a cos α

ÁN

1 1 1  ⇒ VS.ABC = S∆ABC .SA = .  AC 2  .SA 3 3 2 

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 a3 2 = . ( a cos α ) .a sin α = cos 2 α.sin α 6 6

VS.ABC đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi biểu thức P = cos 2 α.sin α = (1 − sin 2 α ) .sin α đạt giá trị lớn nhất

Cách 1:

Trang 47

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

(

)

Vì 0 < α < 90° ⇒ sin α > 0 ⇒ P = 1 − sin α sin

(1 − sin α )(1 − sin α )( 2sin α ) α=

H Ơ

Áp dụng AM-GM cho 3 số dương 1 − sin 2 α,1 − sin 2 α, 2 sin 2 α , ta được:

Đẳng thức xảy ra khi 1 − sin 2 α = 2 sin 2 α ⇔ sin α =

a3 a3 2 3 a3 3 = .Pmax = . = ⇒ Chọn đáp án B. 6 6 9 27

Y U TP .Q

TR ẦN

Vậy MaxVS.ABC

3 3

ẠO

4 4 2 3 ⇒ P 2 max = ⇒ Pmax = 27 27 9

(1 − sin α )(1 − sin α )( 2sin α ) ≤ ⇒

Ư N

 (1 − sin 2 α ) + (1 − sin 2 α ) + ( 2sin 2 α )  8  = (1 − sin α )(1 − sin α )( 2sin α ) ≤  3   27 2

Cách 2:

Đặt t = sin α . Vì 0 < α < 90° nên 0 < sin α < 1 ⇒ 0 < t < 1

3 ( tm ) 3 3 ( loai ) 3

ẤP

  t= 2 f ′ ( t ) = −3t + 1 ⇒ f ′ ( t ) = 0 ⇔   t = − 

Ta có: P = f ( t ) = (1 − t 2 ) .t = − t 3 + t xác định và liên tục trên ( 0;1)

f(t)

Ó H

3 3

0 +

-L

f’(t)

ÁN

− 3 3

Í-

Bảng biến thiên:

1 -

BỒ

ID Ư

Ỡ N

2 3 9

Dựa vào bảng biến thiên, ta có Maxf ( t ) = [0;1]

Vậy MaxVS.ABC =

2 3 3 khi t = 9 3

a3 a3 2 3 a3 3 3 khi và chỉ khi sin α = ⇒ Chọn đáp án C. .Pmax = . = 6 6 9 27 3

Trang 48

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt

2a 3 3 9

H Ơ

4a 3 3 27

4a 3 15 75

4a 3 7 49

 π phẳng đáy là α với α ∈  0;  . Thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị lớn nhất là:  2

TP .Q

Lời giải:

AC ∩ BD = {O} ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

ẠO

Gọi M là trung điểm CD

)

(

Ư N

= 60° ⇒ ( SCD ) , ( ABCD ) = SMO Gọi độ dài một cạnh hình vuông là x

TR ẦN

x2 4

SM = SC2 − CM 2 = a 2 −

+ Tam giác SMC vuông tại M có:

+ Tam giác SOM vuông tại O có:

2 2 2 2 = 1 . a 2 − x ⇒ x = cos α. a 2 − x ⇒ x =  a 2 − x  cos 2 α OM = SM.cos SMO   2 4 2 4 4  4 

ẤP

1 4a 2 . 2 2 4a .cos α 4a 2 2a 4a 2 1 + tan 2 α = ⇒ x2 = = ⇒ x = ⇒ S = ABCD 1 1 + cos 2 α 2 + tan 2 α 2 + tan 2 a 2 + tan 2 α 1+ 1 + tan 2 α a.tan α 2 + tan 2 α

-L

Í-

= x .tan α = Ta có SO = OM.tan SMO 2

ÁN

1 1 4a 2 a.tan α 4a 3 . tan α VS.ABCD = .SABCD .SO = . . = 3 3 2 + tan 2 α 2 + tan 2 α 3 2 + tan 2 α 3 ( )

lớn nhất. Ta xét f ( α ) =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

4  π Do α ∈  0;  ⇒ tan α > 0 . Thể tích khối chóp đạt giá trị lớn nhất khi 3  2

a 3 . tan α 2

( 2 + tan α )

đạt giá trị

tan 2 α 2

( 2 + tan α )

Trang 49

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Áp dụng AM-GM cho ba số dương

( 2 + tan α )

tan 2 α 1 1 . . 2 2 2 + tan α 2 + tan α 2 + tan 2 α

H Ơ

tan 2 α

f (α) =

tan α 1 1 ta có: ; ; 2 2 2 + tan α 2 + tan α 2 + tan 2 α

TP .Q

 1  tan 2 α  1 1 1 ≤  + +  = 2 2 2  3  2 + tan α 2 + tan α 2 + tan α   27

( 2 + 1)

4a 3 3 ⇒ Chọn đáp án B 27

4a 3

Ư N

Vậy MaxVS.ABCD =

ẠO

π 1 tan 2 α 1 ⇔ = ⇔ tan 2 α = 1 ⇔ α = f (α) = 2 2 27 2 + tan α 2 + tan α 4

TR ẦN

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP PHẦN THỂ TÍCH DẠNG 1: HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, thì cạnh bên đó là chiều cao của khối chóp

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA vuông góc với mặt

B. 2a 3

A. a 3

phẳng (ABC), SA = a 3 . Thể tích khối chóp S.ABC là:

C. 6a 3

D. 12a 3

ẤP

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB = 3a ,

BC = 4a, AC = 5a, AD = 6a . Thể tích khối tứ diện ABCD là:

B. 12a 3

C. 18a 3

D. 36a 3

A. 6a 3

Í-

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc

1 3

ÁN

-L

với mặt phẳng đáy và có độ dài là a. Thể tích khối chóp S.ABD bằng V. Giá trị

1 2

2 3

6V là: a3

D. 1

Ỡ N

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = 2a,SA = 3a . Thể

BỒ

ID Ư

tích khối chóp S.ABCD là:

A. a 3

B. 2a 3

C. 6a 3

D. 12a 3

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một và AB = 2, AC = 4, AD = 6 . Thể tích khối tứ diện ABCD là:

Trang 50

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. 4

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. 6

C. 8

D. 12

9a 3 4

3a 3 2

9a 3 2

3a 3 4

TP .Q

là:

H Ơ

phẳng đáy, SA = AB = a, AD = 3a . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Thể tích khối chóp S.ABMD

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt

Câu 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BC = 3a, AC = a 10 ,

ẠO

cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 300. Thể

a3 3 3

a3 3 2

D. a 3 3

Ư N

a3 3 6

tích khối chóp S.ABC là:

TR ẦN

= 300 , Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có BAC

= 450 và SA vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC bằng V. Tỉ số V gần SA = a,SCA a3 B. 0,05

C. 0,08

A. 0,01

giá trị nào nhất trong các giá trị sau ?

D. 1

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân BA = BC = a . SA vuông góc

3a 3 có giá trị là: V

bằng V. Tỉ số

ẤP

với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB với mặt phẳng đáy bằng 300. Thể tích của khối chóp S.ABC

B. 18

A. 24

C. 8

D. 6

-L

Í-

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với

ÁN

đáy, AB = a, BC = a 3,SA = a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Thể tích khối chóp

S.GBC bằng V. Tỉ số

BỒ

ID Ư

Ỡ N

6 2

a3 là: V

B. 3 6

6 3

Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = CD = 2a , cạnh bên BC vuông góc với mặt phẳng (ACD). Thể tích khối tứ diện là:

Trang 51

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

B. 2a 3 3

a3 3 3

2a 3 3 3

= 600 , SA vuông góc Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC

a3 3 2

a3 3 6

a3 6

a3 2

TP .Q

với mặt phẳng đáy, SC = 2a . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. a 3 3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, cạnh bên SD

4a 3 3

a3 2 3

2a 3 2 3

2a 3 3

Ư N

ẠO

vuông góc với đáy, cho AB = AD = a, CD = 3a,SA = a 3 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Câu 14: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với mặt phẳng

TR ẦN

(ABC), góc giữa BD và mặt phẳng (DAC) là 300. Thể tích khối tứ diện ABCD là V. Tỉ số

B. 4

C. 8

A. 3

a3 6 là V

D. 12

Câu 15: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), hai mặt phẳng (SAB) và

= 600 , ASB = 450 . Thể tích khối tứ diện S.ABC là: (SBC) vuông góc với nhau, SB = a 2, BSC B.

a3 3 6

ẤP

a3 3 2

2a 3 6 3

a3 6 12

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D có AB = 2a,

Í-

AD = CD = a,SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.BCD là V.

-L

a3 gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau ? V

ÁN

Tỉ s ố

A. 1,75

B. 1,15

C. 3,5

D. 4,2

= 1200 , cạnh bên SA vuông Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD

BỒ

ID Ư

Ỡ N

góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, cạnh SM tạo với mặt phẳng đáy góc

300. Thể tích khối chóp S.AMCD là:

3a 3 3 16

a3 3 16

3a 3 3 8

a3 3 8

Trang 52

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 1200 , BC = 2a , SA Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, BAC

vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Thể tích khối chóp

a3 3 18

a3 6

a3 18

a3 3 6

H Ơ

S.ABC là:

TP .Q

Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a, AD = 2a ,

B. 2 7

A. 2 3

3V là: a3

C. 3 7

Ư N

S.ABCD là V. Tỷ số

ẠO

= 600 . SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy góc 450. Thể tích khối chóp BAD

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi AC = 2a, BD = 3a, AC ⊥ BD và

TR ẦN

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc α thỏa mãn

2a 3 3

a3 3

1 tan α = . Thể tích khối chóp S.ABCD là: 3

a3 4

a3 12

ẤP

Đáp án

Câu

Đáp án

Câu 1.

( 2a )

S∆ABC =

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

ÁN

-L

Í-

Câu

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Ỡ N

1 1 = a 2 3 ⇒ VS.ABC = S∆ABC .SA = a 2 . 3. 3a = a 3 ⇒ Chọn đáp án A 3 3

BỒ

ID Ư

Câu 2. 2

∆ABC có: AB2 + BC 2 = ( 3a ) + ( 4a ) = 25a 2 ⇒ ∆ABC vuông tại B S∆ABC =

1 1 1 AB.BC = 6a 2 ⇒ VABCD = S∆ABC .AD = .6a 2 .6a = 12a 3 ⇒ Chọn đáp án B 2 3 3

Trang 53

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 3.

SABCD a 2 1 1 a2 a3 6V = ⇒ VS.ABD = S∆ABD .SA = . .a = ⇒ 3 = 1 ⇒ Chọn đáp án D 2 2 3 3 2 6 a

H Ơ

S∆ABD =

Câu 4.

U TP .Q

Ta có: AB ⊥ AC, AB ⊥ AD ⇒ AB ⊥ ( ACD )

Ư N

1 1 1 AB.AC = 4 ⇒ VABCD = S∆ABC .AD = .4.6 = 8 ⇒ Chọn đáp án C. 2 3 3

ẠO

Câu 5.

S∆ABC =

1 1 SABCD = AB.BC = 2a 2 ⇒ VS.ABCD = SABCD .SA = .2a 2 .3a = 2a 3 ⇒ Chọn đáp án B 3 3

Câu 6.

1 9a 2 1 3a 3 ⇒ VS.ABMD = SABMD .SA = ⇒ Chọn đáp án A AB ( AD + BM ) = 2 4 3 4

TR ẦN

SABMD =

Câu 7.

)

(

= 30° SBC ) , ( ABC ) = SBA + (

1 3a 2 AB.BC = 2 2

ẤP

⇒ SABC =

+ Ta có AB = AC2 − BC2 = a

=a 3 ∆SAB vuông tại A ⇒ SA = AB. tan SBA 3

-L

Í-

1 1 3a 2 a 3 a 3 3 Vậy VS.ABC = .SABC .SA = . . = 3 3 2 3 6

Câu 8.

ÁN

⇒ Chọn đáp án A.

= 45° ⇒ AC = SA.tan SCA =α Ta có SCA

BỒ

ID Ư

Ỡ N

= a.cos 30° = 3a AB = AC.cos BAC 2 2 1 = 1 . a. 3.a . 1 = a 3 ⇒ S∆ABC = AB.AC.sin BAC 2 2 2 2 8

Trang 54

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

V 3 = ≈ 0, 072 ⇒ Chọn đáp án C. 3 24 a

⇒

1 1 a2 3 a3 3 Vậy VS.ABC = .SABC .SA = . .a = 3 3 8 24

Câu 9.

TP .Q

1 a2 + S∆ABC = .BA.BC = 2 2 = 30° ⇒ SA = AB.tan SBA =a 3 + SB, ( ABC ) = SBA 3

Ư N

1 a3 3 Vậy VS.ABC = S∆ABC .SA = 3 18

3a 3 = 18 ⇒ Chọn đáp án B. V

TR ẦN

⇒

Câu 10.

1 1 a2 3 AB.BC = .a.a 3 = 2 2 2

Ta có: S∆ABC =

ẠO

)

(

ẤP

GH GM 1 1 a2 3 = = ⇒ S∆GBC = .SABC = AB AM 3 3 6 1 1 a2 3 a3 6 ⇒ VS.GBC = .S∆ABC .SA = . .a 2 = 3 3 6 18

a 3 18 ⇒ = = 3 6 ⇒ Chọn đáp án B V 6

-L

Í-

Câu 11.

= a2 3

ÁN

∆ACD ⇒ S∆ACD =

( 2a )

Ỡ N

1 1 2a 3 3 ⇒ V = .S∆ACD .BC = .a 2 . 3.2a = 3 3 3

BỒ

ID Ư

⇒ Chọn đáp án D

Trang 55

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 12.

H Ơ

2 =a 3 SABCD = BA.BC.sin ABC 2

= 60° ⇒ ∆ABC đều ABC

TP .Q

+ ∆SAC vuông tại A ⇒ SA = SC2 − AC2 = a 3

ẠO

1 a3 Vậy V = .SABCD .SA = ⇒ Chọn đáp án A. 3 2

= 2a 2

( AB + CD ) .AD ( a + 3a ) .a

TR ẦN

+ SABCD =

Ư N

Câu 13.

Vậy VS.ABCD

1 1 2 2a 3 2 = .SABCD .SD = .2a .a 2 = 3 3 3

+ SD = SA 2 − AD2 = 3a 2 − a 2 = a 2

ẤP

⇒ Chọn đáp án D.

Câu 14.

Í-

Ta có ABC là tam giác đều ⇒ S∆ABC

a2 3 = 4

-L

Gọi M là trung điểm AC

(

ÁN

Ta có BM ⊥ AC, BM ⊥ DA ⇒ BM ⊥ ( DAC )

)

= 30° ⇒ BD, ( DAC ) = BDM

BỒ

ID Ư

Ỡ N

+Xét ∆BMD vuông tại M có: DM = BM.cot 30° =

a 3 3a . 3= 2 2

+Xét ∆DAM vuông tại A có:

Trang 56

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

9a 2 a 2 − =a 2 4 4

DA = DM 2 − AM 2 =

H Ơ

1 1 a2 3 a3 6 a3 6 Vậy VABCD = .SABC .DA = . . 2a = ⇒ = 12 ⇒ Chọn đáp án D. 3 3 4 12 V

Câu 15. SB3 .sin 2α.tan β 12

ẠO

Hoặc sử dụng công thức giải nhanh VS.ABC =

TP .Q

Tương tự ví dụ 4. Dạng 1: Tính thể tích khối đa diện bằng cách sử dụng trực tiếp công thức.

⇒ Chọn đáp án D.

TR ẦN B

ẤP

a3 6 ⇒ = ≈ 3, 46 ⇒ Chọn đáp án C. V 3

2 ( 2a + a ) .a 2a.a a 2 ⇒ S∆BCD = − = 2 2 2 2 1 1 a a3 3 VSBCD = S∆BCD .SA = . .a 3 = 3 3 2 6

AB.AD 2

−

( AB + CD ) .AD

Câu 16. S∆BCD = SABCD − SABD =

Ư N

⇒ VS.ABC

( a 2 ) .sin120°.tan 45° = a =

Câu 17.

Í-L

a a 3  a + .  ( AD + MC ) .AM  2  2 3a 2 3 = = = 2 2 8

⇒ SAMCD

a 3 2

ÁN

Và AM =

= 120° ⇒ BAC = 60° ⇒ ∆ABC đều ⇒ AM ⊥ BC BAD

BỒ

ID Ư

Ỡ N

= 30° ( ABCD ) ) = SMA (SM, = a 3 .tan 30° = a ⇒ SA = AM.tan SMA 2 2

Vậy VS.AMCD

1 1 3a 2 3 a a 3 3 = SAMCD .SA = . ⇒ Chọn đáp án B. . = 3 3 8 2 16

Trang 57

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 18.

Gọi M là trung điểm BC ⇒ AM ⊥ BC

H Ơ

= 120° ⇒ BAM = 60° BAC

Y U TP .Q

)

ẠO

(

= BC .cot 60° = a 3 ⇒ AM = BM.cot BAM 2 3 2 1 1 a 3 a 3 .2a = ⇒ SABC = AM.BC = . 2 2 3 3 = 30° SBC ) , ( ABC ) = SMA (

AB2 + AD 2 BD 2 a 7 − = ⇒ AC = a 7 2 4 2 = 45° ⇒ SA = AC = a 7 SC, ( ABCD ) = SCA

⇒ AO =

ẤP

)

(

= a.2a. 3 = a 2 3 SABCD = AB.AD.sin BAD 2 2 2 = 3a 2 BD = AB + AD − 2AB.AD.cos BAD

TR ẦN

Câu 19.

1 1 a2 3 a a3 3 ⇒ Chọn đáp án B VS.ABC = SABC .SA = . . = 3 3 2 3 18

Ư N

= a 3. 3 = a ⇒ SA = AM.tan SMA 3 3 3

Câu 20.

-L

Í-

3V = 21 ⇒ Chọn đáp án D. a3

ÁN

⇒

1 1 a 3 21 Vậy VS.ABCD = SABCD .SA = .a 2 3.a 7 = 3 3 3

AC ⊥ BD ⇒ SABCD =

AC.BD = 3a 2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

= α ⇒ SA = AC.tan α = 2a ( ABCD ) ) = SCA (SC, 3 1 1 2a 2a 3 = VS.ABCD = SABCD .SA = .3a 2 . 3 3 3 3

⇒ Chọn đáp án A.

Trang 58

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

DẠNG 2: HÌNH CHÓP ĐỀU

H Ơ

Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

+ Đáy là 1 đa giác đều

+ Hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống đáy là tâm của đáy (chân đường cao trùng với tâm của đáy).

TP .Q

+ Các mặt bên là cac tam giác cân và bằng nhau. Đường cao vẽ từ đỉnh của 1 mặt bên gọi là trung

đoạn của hình chóp đều.

ẠO

+ Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.

+ Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau.

a3 6 3

a3 2 2

a3 2 6

TR ẦN

SA = SB = SC = SD = a . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Ư N

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và

a3 3 3

Câu 2: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA = a 2 . Thể tích

a3 3 12

a3 5 12

a3 5 6

a3 3 6

2a 3 2 3

khối chóp S.ABC là:

a3 2 3

a3 3 24

a3 3 8

ẤP

Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD cạnh 2a. Thể tích khối tứ diện ABCD là:

Í-

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 4, chiều cao bằng

3 3 . Thể tích 2

-L

khối chóp S.ABCD là:

ÁN

4 3 3

B. 8 3

8 3 3

D. 4 3

Câu 5: Cho tứ diện đều cạnh a. Nếu tăng chiều dài tất cả các cạnh lên hai lần thì thể tích khối tứ

BỒ

ID Ư

Ỡ N

diện tăng lên số lần là:

A. 2

B. 3

C. 6

D. 8

Câu 6: Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình lập phương cạnh a có thể tích là: A.

a3 6

a3 3 4

a3 12

a3 3 2

Trang 59

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 7: Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt bên ta được khối lập phương có thể

B. 7,8

C. 15,6

D. 22,6

A. 9,5

a3 gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau ? V

H Ơ

tích bằng V. Tỷ số

Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng

a3 24

a3 3 48

a3 12

TP .Q

a3 3 24

ẠO

đáy góc 600. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, AC = 2a . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600.

a3 6 3

2a 3 3 3

Ư N

2a 3 6 3

a3 3 3

TR ẦN

Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là α . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

a 3 . tan α 6

a 3 . tan α 3

a 3 . tan α 2

2a 3 .tan α 3

= α với α ∈  π ; π  . Thể Câu 11: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB   4 2

a 3 . tan α 2

a 3 . tan α 6

a 3 . tan 2 α − 1 2

a 3 . tan 2 α − 1 6

ẤP

tích khối chóp S.ABCD là:

-L

Í-

Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt

sau ?

ÁN

đáy là 600. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng V. Tỉ số

B. 3,2

C. 5

D. 1,5

A. 7

a3 gần nhất giá trị nào trong các giá trị V

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 13: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với (SBC), góc giữa (P) với mặt phẳng đáy là α . Thể tích khối chóp S.ABC là:

a 3 cot α A. 24

a 3 cot α B. 8

a 3 3 cot α C. 24

a 3 3 cot α D. 8

Trang 60

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 14: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho

a 3 26 10

3 và tạo với mặt phẳng đáy

Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng

a 3 26 5

góc 600 . Thể tích khối chóp S.ABC là: 9 3 32

3 3 32

3 32

Đáp án

Câu

Đáp án

Ư N

TR ẦN

Câu

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

9 3 16

ẠO

H Ơ

a 3 26 15

a 3 26 30

TP .Q

3AM = 2BM . Góc giữa SM và mặt phẳng đáy là 450. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

-L

Í-

∆SOM vuông tại O có:

a 3 2

∆SAB đều ⇒ SM =

ẤP

Gọi M là trung điểm AB.

AC ∩ BD = {O} ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

Câu 1.

ÁN

SO = SM 2 − OM 2 =

1 1 2 a 2 a3 2 = .SABCD .SO = .a . = 3 3 2 6

Vậy VS.ABCD

3a 2 a 2 a 2 − = 4 4 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

⇒ Chọn đáp án C.

Câu 2. Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC )

∆ABC đều ⇒ AM =

a 3 a 3 ⇒ AG = 2 3

Trang 61

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

∆SGA vuông tại G có:

a 2 a 15 SG = SA − AG = 2a − = 3 3 2

H Ơ

1 1 a 2 3 a 15 a 3 5 Vậy VS.ABC = .SABC .SG = . . = 3 3 4 3 12

TP .Q

⇒ Chọn đáp án A. Câu 3.

= a2 3

Ư N

∆ABC đều S∆ABC =

( 2a )

ẠO

Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒ DG ⊥ ( ABC )

−

4a 2 2a 6 = 3 3

1 1 2a 6 2a 3 2 Vậy VSABC = .SABC .DG = a 2 3. = 3 3 3 3

TR ẦN

( 2a )

DG = DA 2 − AG 2 =

∆DGA vuông tại G có:

⇒ Chọn đáp án D.

Câu 4.

ẤP

1 3 3 VS.ABCD = .4 2. = 8 3 ⇒ Chọn đáp án B. 3 2

Câu 5.

Í-

V ′ = 2.2.2V = 8V ⇒ Chọn đáp án D.

-L

Câu 6.

ÁN

BD a 2 a2 2 O 2 O3 = = ⇒ SO1O2O3O4 = ( O 2 O3 ) = 2 2 2

OO ′ a = 2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Chiều cao khối chóp O1O 2 O 3 O 4 là h =

1 a2 a a3 ⇒ VOO1O2O3O4O′ = 2VOO1O2 O3O4 = 2. . . = 3 2 2 6

⇒ Chọn đáp án A. Câu 7. Trang 62

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 1 a 2 MN = BD = 3 3 3

+ G1 G 2 =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

N Y U

a 3 27 2 = ≈ 9, 5 ⇒ Chọn đáp án A. V 4

TP .Q

⇒

H Ơ

a 2 2a 3 2 + V =   = 27  3 

a2 3 = 4

+ ∆ABC đều ⇒ S∆ABC

ẠO

Câu 8.

Ư N

+ Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC )

)

(

TR ẦN

= 60° ⇒ ( SBC ) , ( ABC ) = SMG Xét ∆SGM vuông tại G có:

= 1 .AM.tan 60° SG = GM.tan SMG 3

1 a 3 a ⇒ SG = . . 3= 3 2 2

ẤP

1 1 a 2 3 a a3 3 Vậy VSABC = .S∆ABC .SG = . ⇒ Chọn đáp án A. . = 3 3 4 2 24

Câu 9.

)

(

AC ∩ BD = {O} ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

-L

Í-

= 60° ⇒ ( SC ) , ( ABCD ) = SCO

ÁN

+ Tam giác SOC vuông tại O có:

= a.tan 60° = a 3 SO = OC. tan SCO

AC = 2a ⇒ AB = a 2 ⇒ SABCD = 2a 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 1 2a 3 3 VS.ABCD = .SABCD .SO = .2a 2 .a 3 = 3 3 3

⇒ Chọn đáp án C. Câu 10.

Trang 63

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

AC ∩ BD = {O} ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

Gọi M là trung điểm CD

)

(

H Ơ

=α ⇒ ( SCD ) , ( ABCD ) = SMO

+ Tam giác SOM vuông tại O có:

TP .Q

= a .tan α SO = OM.tan SMO 2

ẠO

1 1 a a 3 .tan α VS.ABCD = .SABCD .SO = .a 2 . .tan α = 3 3 2 6

⇒ Chọn đáp án B.

Ư N

Câu 11.

TR ẦN

AC ∩ BD = {O} ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

Gọi M là trung điểm AB.

∆SMA vuông tại M có:

= a.tan α ⇒ SM = AM.tan SAB 2

∆SOM vuông tại O có:

a  a.tan α   a  SO = SM − OM =  tan 2 α − 1  −  = 2 2 2    

ẤP

1 1 a a 3 tan 2 α − 1 VS.ABCD = .SABCD .SO = .a 2 . tan 2 α − 1 = 3 3 2 6

-L

Í-

⇒ Chọn đáp án D.

ÁN

Câu 12.

AC ∩ BD = {O} ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

Gọi M là trung điểm CD

(

)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

= 60° ⇒ ( SCD ) , ( ABCD ) = SMO

Gọi độ dài một cạnh hình vuông là x

+ Tam giác SMC vuông tại M có:

SM = SC2 − CM 2 = a 2 −

x2 4

Trang 64

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Tam giác SOM vuông tại O có:

H Ơ

2 2 2 = 1 a2 − x ⇒ x = 1 a2 − x ⇒ x2 = a2 − x OM = SM.cosSMO 2 4 2 2 4 4 2

TP .Q

 2a 5  x 1 x2 x2 2a 5 4a 2 ⇒ = . a2 − ⇒ x2 = a2 − ⇒x= ⇒ SABCD =   = 2 2 4 4 5 5  5 

ẠO

= a 5 . tan 60° = a 15 Ta có: SO = OM. tan SMO 5 5

1 1 4a 2 a 15 4a 3 15 a3 75 VSABCD = SABCD .SO = . . = ⇒ = ≈ 4,84 ⇒ Chọn đáp án C. 3 3 5 5 75 V 4 15

( 2 + tan α )

( 2 + tan

60° )

4a 3 15 ⇒ Chọn đáp án C 75

4a 3 . tan 60°

TR ẦN

4a 3 .tan α

VABCD =

Ư N

Cách khác: Áp dụng công thức tính nhanh Câu 9. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thể tích:

a2 3 4

+ ∆ABC đều ⇒ S∆ABC =

Câu 13.

ẤP

+ Gọi (P) ∩ ( SBC ) = EF ⇒ EF / /BC

+ Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC )

⇒ (P) ∩ ( SBC ) = Ax với Ax / /EF / /BC

+ Gọi M là trung điểm của BC, SM ∩ EF = N

-L

Í-

Ta có: AM ⊥ BC,SG ⊥ BC

ÁN

⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ AN ⊥ BC ⇒ AN ⊥ Ax

(

Mà AM ⊥ BC, BC / /Ax ⇒ AM ⊥ Ax

)

Ỡ N

=α ⇒ ( P ) , ( ABC ) = NAM

BỒ

ID Ư

= NAM = α (cùng phụ với SMA ) Ta có: GSM

Xét ∆SGM vuông tại G có: = 1 .AM.cot α ⇒ SG = 1 . a 3 .cot α = a 3.cot α SG = GM.cot GSM 3 3 2 6

Trang 65

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1 a 2 3 a 3.cot α a 3 .cot α Vậy VSABC = .S∆ABC .SG = . = ⇒ Chọn đáp án A. . 3 3 4 6 24

H Ơ

Câu 14.

+ SABCD = a 2

TP .Q

+ AC ∩ BD = {O} ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

)

(

⇒ SM, ( ABCD ) = SMO

ẠO G

2 2 AB = a 5 5

Ư N

3AM = 2BM ⇒ AM =

2 .a 2

Ta có AC = 2.a ⇒ AO =

26a 10

= MO = AM 2 + AO 2 − 2AM.AO cos MAO

TR ẦN

+ Xét tam giác MAO có:

= 45° ⇒ ∆SOM vuông cân tại O ⇒ SO = MO = Ta có SMO

26a 10

1 1 a 2 26a a 3 26 Vậy VS.ABCD = .SABCD .SO = . = ⇒ Chọn đáp án A. 3 3 10 30

ẤP

Câu 15.

+ Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC )

Í-

Xét ∆SGA vuông tại G có: SG = SA.sin 60° =

3 2

3 3 3 3 ⇒ AM = .AG = 2 2 4

-L

ÁN

AG = SA.cos 60° =

Ỡ N

+ ∆ABC đều ⇒ AM =

BỒ

ID Ư

⇒ AB =

2 3

AM =

3 AB 2

3 AB2 3 9 3 ⇒ S∆ABC = = 2 4 16

1 1 9 3 3 9 3 Vậy VS.ABC = .S∆ABC .SG = . ⇒ Chọn đáp án A. . = 3 3 16 2 32

Trang 66

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

DẠNG 3: HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

a3 3 8

H Ơ

a3 3 4

a3 3 12

TP .Q

a3 3 24

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S.ABC là:

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A; SBC là tam giác đều cạnh a

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, cạnh AB = a, BC = a 3 , mặt bên

ẠO

(SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối

a3 3 12

a3 6 12

a3 6 4

a3 3 4

Ư N

chóp S.ABC là:

TR ẦN

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AB = a, BC = a 3 . Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SA = 2a và SA tạo với mặt phẳng đáy

a3 3 là: V

C. 3

B. 6

D. 1

A. 2

góc bằng 300. Thể tích khối chóp S.ABC bằng V. Tỉ số

3a , tam giác 2

ẤP

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SD =

SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp

a3 S.ABCD bằng V. Tỷ số có giá trị là: V B. 2

Í-

A. 1

C. 3

D. 6

-L

Câu 5: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác cân tại A, tam giác BCD vuông cân tại D, hai

ÁN

mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc với nhau, cạnh AD = 2 và hợp với (BCD) góc 300.

Thể tích khối tứ diện ABCD là: 1 6

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 4

2 2

2 4

= 300 . SBC là tam Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC

giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là:

3 3a 3 16 Trang 67

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

3a 3 16

a3 16

3a 3 16

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, mặt bên SAB là tam giác đều và

2a 3 3 3

8a 3 3 3

a3 3 3

H Ơ

4a 3 3 3

nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tam giác SAB cân tại S và

TP .Q

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

2a 3 15 3

4a 3 15 3

Đáp án

Ư N

TR ẦN

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu

2a 3 3 3

ẠO

a3 3 3

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Đáp án A

ẤP

( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC )  ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC

+ Kẻ AH ⊥ BC

a 3 . 2

+ Ta có: ∆SAB đều ⇒ SH =

1 a BC = . 2 2

-L

Í-

+ ∆ABC vuông tại A có: AH =

ÁN

1 1 a a2 ⇒ SABC = .AH.BC = . .a = . 2 2 2 4

Ỡ N

1 1 a2 a 3 a3 3 . Vậy VS.ABC = .SABC .SH = . . = 3 3 4 2 24

BỒ

ID Ư

Câu 2: Đáp án C + Ta có: AC = BC 2 − AB2 = a 2.

+ SABC =

1 a2 2 AB.AC = . 2 2

Trang 68

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

a 3 . 2

+ ∆SAB đều ⇒ SH =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

1 1 a 2 2 a 3 a3 6 Vậy VS.ABC = .SABC .SH = . . . = 3 3 2 2 12

1 1 a2 3 . = BA.BC = .a.a 3 = 2 2 2

TP .Q

+ SABC

Câu 3: Đáp án B

ẠO

Kẻ SH ⊥ BC .

Ư N

( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC )  ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC

TR ẦN

= 30o SA, ( ABC ) ) = SAH ⇒ (

+ Xét ∆SHA vuông tại H có:

= 2a.sin 30o = a SH = SA.sin SAH

1 1 a2 3 a3 3 a3 3 Vậy VS.ABC = SABC .SH = a= ⇒ = 6. 3 3 2 6 V

Câu 4: Đáp án C

+ ∆SHD vuông tại H có:

SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ HD

ẤP

+ SABC = a 2 . Gọi H là trung điểm của AB.

-L

Í-

SH = SD 2 − DH 2 = SD 2 − ( AH 2 + AD 2 ) = a.

ÁN

1 a3 a3 ⇒ = 3. Vậy VS.ABCD = .SABCD .SH = 3 3 V

Câu 5: Đáp án D

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Kẻ AH ⊥ BC .

( ABC ) ⊥ ( BCD ) = 30o AD, ( BCD ) ) = ADH ⇒ AH ⊥ ( BCD ) ⇒ (  ( ABC ) ∩ ( BCD ) = BC

Xét tam giác AHD vuông tại H:

Trang 69

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2 2 = 2.cos30o = 6 DH = AD.cos ADH 2

H Ơ

= 2.sin 30o = AH = AD.sin ADH

Xét ∆BCD vuông tại D có: BC = 2DH = 6

TP .Q

1 1 6 3 ⇒ SABCD = .DH.BC = . . 6= 2 2 2 2

ẠO

1 1 3 2 2 Vậy VABCD = SBCD .AH = . . . = 3 3 2 2 4

Ư N

Câu 6: Đáp án C

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có: SH ⊥ ( ABC ) .

TR ẦN

∆ABC vuông tại A có: a a 3 AC = BC sin 30o = ; AB = 2 2

Câu 7: Đáp án A

1 a3 Vậy VS.ABC = .SABC .SH = . 3 16

a 3 2

ẤP

∆SBD đều ⇒ SH = SB.sin 60p =

1 a2 3 AB.AC = 2 8

⇒ SABC =

Í-

Kẻ SH ⊥ AB.

ÁN

-L

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ ( ABCD )  ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB AB 3 =a 3 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

∆SAB đều ⇒ SH =

1 1 4a 3 3 . ⇒ VS.ABCD = .SABCD .SH = 4a 2 .a 3 = 3 3 3

Câu 8: Đáp án C + SABCD = 4a 2 .

Trang 70

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ Gọi H là trung điểm của AB. Do tam giá SAB cân tại

H Ơ

S ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD )

+ ∆BHC vuông tại B ⇒ CH = CB2 + BH 2 = a 5

= 60o SC, ( ABCD ) ) = SCH + (

DẠNH 4: HÌNH CHÓP CÓ HAI MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

ẠO

1 1 2 4a 3 15 . = SABCD .SH = .4a .a 15 = 3 3 3

Vậy VS.ABCD

TP .Q

∆SHC vuông tại H ⇒ SH = CH.tan 60o = a 15.

Ư N

Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến của hai

mặt phẳng đó.

TR ẦN

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = 3a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, SC hợp với mặt đáy một góc 60o. Thể tích

B. 2a 3 .

3a 3 .

A. a 3 .

khối chóp ABCD là:

D. 2 3a 3 .

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD)

ẤP

cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 30o. Thể tích khối

3V là: a3

3 . 3

Í-

chóp S.ABCD là V. Tỉ số

3 . 2

3 . 6

-L

Câu 3: Cho hình tứ diện S.ABC với các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC) vuông góc với nhau

ÁN

từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là 18cm 2 , 24cm 2 , 26cm 2 . Thể tích

khối tứ diện S.ABC là:

B. 24 39cm3 .

C. 4 39cm3 .

D. 8 39cm3 .

Ỡ N

A. 48 39cm3 .

BỒ

ID Ư

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hai mặt phẳng (SAB) và

(SAC) cùng vuông góc với đáy, SB = a 3. Thể tích khối chóp S.ABC là V. Giá trị

A. 12.

B. 6.

C. 4.

a3 6 là: V

D. 3.

Trang 71

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Câu

Cho

hình

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

chóp

S.ABCD

có

đáy

ABCD

là

hình

bình

hành,

cạnh

= 60o. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc đáy, góc giữa AB = a, AD = 2a, BAD

D. 2a 3 7.

C. 2 a 3 21.

B. a 3 7.

A. a 3 21.

H Ơ

SC với mặt đáy là 60o. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

TP .Q

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB = 2a, AD = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) là 45o.

B. 0,5.

C. 0,75.

ẠO

D. 1,5.

A. 0,25.

V gần nhất giá trị nào dưới đây? a3

Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số

Ư N

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi có AC ⊥ BD, AC = 2a, BD = 3a, gọi

SO = 3a. Thể tích khối chóp S.ABCD là: B.

a3 2 . 2

a3 6 . 2

a3 2 . 6

a3 6 . 6

TR ẦN

O là giao điểm của BD và AC, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy và

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông tại A và D, cạnh AB = 2a,

AD = DC = a. Hai mặt phẳng (SAC) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng

ẤP

(SBC) và (ABCD) bằng 45o. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

a3 6 . B. 6

a3 6 . C. 2

a3 2 . A. 6

a3 2 . D. 2

Đáp án

ÁN TO

Í-

-L

Câu

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Ỡ N

Câu 1: Chọn đáp án B

BỒ

ID Ư

Ta có: SABCD = AB.BC = a 2 3.

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , (SAD ) ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) Xét tam giác SAC vuông tại A có:

Trang 72

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= AB2 + BC 2 .tan 60o = 2 3a SA = AC. tan SCA

H Ơ

1 1 Vậy VS.ABCD = .SABCD .SA = .a 2 3.2a 3 = 2a 3 . 3 3

Câu 2: Chọn đáp án A

TP .Q

Ta có: SABCD = a 2 .

ẠO

( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , (SAD ) ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABCD )

Ta có: BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ ( SAB )

Ư N

⇒ BC ⊥ SB

TR ẦN

SB ⊥ BC, AB ⊥ BC Ta có:  ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC

= 30o ⇒ SA = AB.tan SBA =a 3 ⇒ ( (SBC ) , ( ABCD ) ) = SBA 3

1 1 a 3 a3 3 3V 3 Vậy VS.ABCD = .SABCD .SA = a 2 . = ⇒ 3 = 3 3 3 9 a 9

Câu 3: Chọn đáp án D

ẤP

1 1 AS ⊥ ( SBC ) ⇒ VS.ACB = SSBC .SA = SA.SB.SC 3 6 2 SSAB = 18cm ⇒ SA.SB = 36

SSBC = 24cm 2 ⇒ SB.SC = 48 2

Í-

SSAC = 30cm 2 ⇒ SA.SC = 52

-L

⇒ ( SA.SB.SC ) = 36.48.52

Ỡ N

ÁN

⇒ SA.SB.SC = 48 39 1 ⇒ VS.ABC = .SA.SB.SC = 8 39cm3 . 6

BỒ

ID Ư

Tổng quát: Cho khối tứ diện S.ABC với các mặt phẳng (SAB), (SBC). (SAC) vuông góc với

nhau từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là S1 ,S2 ,S3 . Thể tích khối tứ diện là V =

2S1.S2 .S3 . 3

Trang 73

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 4: Chọn đáp án A

a2 3 4

H Ơ

∆ABC đều ⇒ SABC =

( SAB ) ⊥ ( ABC ) , (SAC ) ⊥ ( ABC ) ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABC )

TP .Q

SA = SB2 − AB2 = 3a 2 − a 2 = a 2

ẠO

1 1 a2 3 a3 6 VS.ABC = SABC .SA = a 2= 3 3 4 12 3 a 6 ⇒ = 12. V

Ư N

Câu 5: Chọn đáp án B

TR ẦN

= a2 3 SABCD = AB.AD.sinBAD

( SAB) ⊥ ( ABCD ) , (SAD ) ⊥ ( ABCD ) ( SAB) ∩ ( SAD ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABCD )

Tam giác ABC có:

ẤP

= 60 o SC, ( ABCD ) ) = SCA Ta có: (

=a 7 AC = AB2 + BC 2 − 2.AB.BC.cos ABC

= 7a.tan 60o = 21a. ∆SAC vuông tại A có: SA = AC. tan SCA

1 Vậy VS.ABCD = .SABCD .SA = 7a 3 . 3

-L

Í-

Câu 6: Chọn đáp án C

ÁN

Ta có: SABCD = AB.AD = 2a 2 .

( SAB) ⊥ ( ABCD ) , (SAD ) ⊥ ( ABCD ) ( SAB) ∩ ( SAD ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABCD )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Ta có: AD ⊥ AB, AD ⊥ SA ⇒ AD ⊥ ( SAB )

⇒ AD ⊥ SB. Kẻ AH ⊥ SB ⇒ SB ⊥ ( AHD )  AH ⊥ SB, HD ⊥ SB ⇒ SB ⊥ HD. Ta có:  ( SAB ) ∩ ( SBD ) = SB Trang 74

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 45o ⇒ AH = AD = a. ⇒ ( ( SAB ) , ( SBD ) ) = AHD

AB − AH

2a.a

4a − a

H Ơ

2a 3 3

AB.AH

1 1 1 = + ⇒ SA = 2 2 AH SA AB2

Xét tam giác SAB vuông tại S, có:

TP .Q

1 1 2a 3 4a 3 V 4 3 VS.ABCD = .SABCD .SA = .2a 2 . = ⇒ 3= ≈ 0, 77. 3 3 3 9 a 9

Câu 7: Chọn đáp án B

ẠO

AC.BD = 3a 2 . 2

SABCD =

Ư N

( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

TR ẦN

1 1 VS.ABCD = .SABCD .SO = .3a 2 .3a = 3a 3 . 3 3

AD ( AB + CD ) 3a 2 = 2 2 ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAD ) ⊥ ( ABCD )

Câu 8: Chọn đáp án D

10 3

( SAC ) ∩ ( SAD ) = SA ⇒ SA ⊥ ( ABCD )

SABCD =

ẤP

Gọi M là trung điểm của AB. Ta có:

1 CM = AB = a ⇒ ∆ACB vuông tại B ⇒ AC ⊥ CB. 2

Í-

Mà SA ⊥ CB ⇒ BC ⊥ ( SAC )

ÁN

-L

= 45o ⇒ ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) = SCA

Ta có: AC = AD 2 + CD 2 = a 2 ⇒ SA = AC. tan 45o = a 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 1 3a 2 .a 2 a 3 2 Vậy VS.ABCD = .SABCD .SA = . . = 3 3 2 2

DẠNG 5: HÌNH CHÓP CÓ SH VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY (H THUỘC MẶT PHẲNG ĐÁY, S LÀ ĐỈNH HÌNH CHÓP, H LÀ HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA S XUỐNG MẶT

PHẲNG ĐÁY)

Trang 75

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 300 , SAB là tam giác đều Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC

cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Thể tích của

a3 C. 9

a3 3 D. 9

a3 B. 18

a3 3 A. 3

H Ơ

khối chóp S.ABC là:

TP .Q

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, cạnh BC = 2a , gọi M là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AM, tam giác

a3 2

a3 3

a3 9

a3 6

Ư N

ẠO

SAM vuông tại S. Thể tích của khối chóp S.ABC là:

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC có, AB = 19cm, BC = 20cm , AC = 37cm ,

TR ẦN

cạnh bên SA = 985cm , gọi M là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

C. 1520cm 3

B. 760cm 3

D. 1140cm 3

A. 570cm 3

1 (ABC) là điểm H thỏa mãn AH = AM . Thể tích của khối chóp S.ABC là: 3

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, cạnh AB = a, BC = a 3 ,

tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm

a3 4

a3 2

ẤP

H của đoạn AO. Tính thể tích khối chóp S.ABC là:

a3 6

a3 8

Í-

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a . Hình chiếu vuông

-L

góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy một

a3 B. 6

a3 2 C. 2

a3 2 D. 6

a3 A. 2

ÁN

góc 450. Thể tích khối chóp S.AHCD là:

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, cạnh SA tạo với mặt phẳng

đáy một góc 600 gọi G là trọng tâm tam giác ABC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng

(ABC) là trung điểm AG. Thể tích của khối chóp S.ABC là:

A. 2a 3 3

B. a 3 3

a3 3 4

a3 3 3

Trang 76

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của

3 10

9 5

3 5

TP .Q

9 10

trị là:

H Ơ

a3 3 có giá V

mặt phẳng đáy một góc bằng 300. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng V. Tỷ số

S trên mặt phẳng (ABCD) đáy là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB = 3HA , cạnh SC tạo với

ẠO

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có cạnh bằng a,

= 600 . Gọi H là trung điểm của OB và SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa BAD

a 3 13 24

a 3 39 24

Ư N

a 3 13 8

a 3 39 8

TR ẦN

SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Thể tích của khối chóp S.AHCD là:

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 2a, BC = 2a 3 . Gọi M là

trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy là điểm H nằm trên AM thỏa mãn AH = 2HM . Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 450. Thể tích khối chóp

8a 3 C. 3

8a 3 3 B. 9

ẤP

8a 3 3 A. 3

S.ABC là:

8a 3 D. 9

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác vuông

tại S. Hình chiếu vuông góc của S trên AB là H sao cho BH =

-L

Í-

S.ABCD là:

a3 3 B. 12

ÁN

a3 3 A. 4

3a 3 3 C. 4

a3 3 D. 2

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

G Ỡ N ID Ư

BỒ

1 AB . Thể tích khối chóp 4

Câu

Đáp án

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Chọn đáp án B Trang 77

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a 3 . 2

Ta có: ∆SAB đều ⇒ SH =

H Ơ

= a 3. ∆ABC vuông tại A có: AC = AB. tan ABC 3

U TP .Q

1 1 a2 3 a 3 a3 . = .SABC .SH = . = . 3 3 6 3 18

ẠO

Vậy VS.ABC

1 a2 3 . ⇒ SABC = .AB.AC = 2 6

Câu 2: Chọn đáp án A

ẤP

Câu 3: Chọn đáp án D

AB + BC + AC = 38cm 2

+ Ta có: p =

1 1 a a3 Vậy VSABC = .SABC .SH = .a 2 . = . 3 3 2 6

AM a = . 2 2

∆SAM vuông tại S có: SH =

TR ẦN

1 AB.AC = a 2 . 2

⇒ SABC =

BC a. 2

BC = 2a ⇒ AB = AC = a 2, AM =

Ư N

∆ABC vuông cân tại A có:

Í-

⇒ SABC = 38 ( 38 − 19 )( 38 − 20 )( 38 − 37 ) = 114 cm 2 AB2 + AC 2 BC 2 − = 3 85 cm 2 4

ÁN

-L

+ AM =

1 ⇒ AH = AM = 85 cm. 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

+ ∆SAH vuông tại H: SH = SA 2 − AH 2 = 30 cm.

1 1 Vậy VS.ABC = .SABC .SH = .114.30 = 1140 cm3 . 3 3 Câu 4: Chọn đáp án B

Trang 78

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 a2 3 AB.BC = . 2 2

SABC =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

∆ABC vuông tại B: AC = AB 2 + BC 2 = 2a.

AC AO a = a ⇒ HO = = 2 2 2

∆SAC vuông tại S: SO = AO =

TP .Q

a2 a 3 ∆SHO vuông tại H: SH = SO − HO = a − = 4 2 2

ẠO

1 1 a 2 3 a 3 a3 Vậy VS.ABC = SABC .SH = . . = . 3 3 2 2 4

Ư N H

( AH + DC ) .AD = 3a 2 2

TR ẦN

+ SAHCD =

Câu 5: Chọn đáp án C

+ ∆BHC vuông tại B: HC = BC 2 + BH 2 = a 2

⇒ ∆SHC vuông cân tại H ⇒ SH = HC = a 2

= 45o + ( SC, ( ABCD ) ) = SCH

ẤP

1 1 3a 2 a3 2 .a 2 = . Vậy VS.AHCD = .SAHCD .SH = . 3 3 2 2

Câu 6: Chọn đáp án B

AB2 3 = a2 3 4

∆ABC đều ⇒ SABC =

Í-

AB 3 1 a 3 = a 3 ⇒ AH = AM = 4 3 3

-L

AM =

ÁN

= 60 SA, ( ABC ) ) = SAH (

BỒ

ID Ư

Ỡ N

= a 3. 3 =a ∆SAH vuông tại H có: SH = AH. tan SAH 3

1 Vậy VS.ABC = .SABC .SH = a 3 3. 3 Câu 7: Chọn đáp án A + SABCD = 4a 2 .

Trang 79

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

5a 2

+ ∆BHC vuông tại B: HC = BC2 + BH 2 =

H Ơ

= 30o + ( SC, ( ABCD ) ) = SCH

= 5a 3 ∆SHC vuông cân tại H SH = HC.tan SCH 6

TP .Q

1 1 5a 3 10a 3 3 a3 3 9 Vậy VS.AHCD = .SAHCD .SH = .4a 2 = ⇒ = . 3 3 6 9 V 10

3 2

Ư N

=a + SABCD = AB.AD.sinBAD

ẠO

Câu 8: Chọn đáp án B

TR ẦN

= 60o ⇒ ∆BAD đều ⇒ OC = OA = a 3 + BAD 2 ∆OHC vuông tại O:

2 13 a a 3 HC = OH + OC =   +  a.  = 4 4  2  2

= 30o. SC, ( ABCD ) ) = SCH + (

ẤP

= a 39 . ∆SHC vuông tại H có: SH = HC. tan SCH 12

Vậy VS.ABCD

1 1 a 2 3 a 39 a 3 13 . . = SABCD .SH = . = 3 3 2 12 24

-L

Í-

Câu 9: Chọn đáp án D

ÁN

∆ABC vuông tại A có:

AC2 = BC 2 − AB2 = 2 2a

Ỡ N

1 ⇒ SABC = .AB.AC = 2 2a 2 2

BỒ

ID Ư

Kẻ HN ⊥ AB tại N ⇒ AB ⊥ ( SHN ) = 60o ⇒ ( ( SAB ) , ( ABC ) ) = SNH

Do HN ⊥ AB, AB ⊥ AC ⇒ HN // AC. Gọi I là trung điểm AB ⇒ HN // MI. Trang 80

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

AH HN 2 2 1 2a 2 = = ⇒ HN = MI = AC = AM MI 3 3 3 3

⇒

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

= 2a 2 . ∆SHN vuông tại H: SH = HN. tan SNH 3

TP .Q

1 1 2a 2 8a 3 . Vậy VS.ABCD = SABCD .SH = .2a 2 2. = 3 3 3 9

Câu 10: Chọn đáp án A

ẠO

+ SABCD = a 2 .

+ ∆SAB vuông tại S: SH 2 = AH.BH

Ư N

a 3a 3a 2 a 3 ⇒ SH 2 = . = ⇒ SH = 4 4 16 4

TR ẦN

1 1 3a 2 3a 3 . Vậy VS.ABCD = SABCD .SH = . = 3 3 4 12

DẠNG 6: HÌNH CHÓP CÓ CÁC CẠNH BÊN BẰNG NHAU HOẶC CÁC CẠNH BÊN,

MẶT BÊN CÙNG TẠO VỚI ĐÁY NHỮNG GÓC BẰNG NHAU

a3 3 B. 4

ẤP

a3 3 A. 12

một góc 60 0 . Thể tích của khối chóp là:

Câu 1: Chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy

3a 3 3 C. 4

a3 3 D. 6

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có AB = 10cm, BC = 12cm, AC = 14cm , các mặt bên

cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau và đều bằng α , thỏa mãn tan α = 3 . Thể tích

B. 576cm 3

C. 192cm 3

D. 384cm 3

ÁN

A. 228cm 3

-L

Í-

khối chóp S.ABCD là:

= 1200 các cạnh Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a, BAC

Ỡ N

bên bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng đáy các góc 300 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

a3 3 12

a3 4

a3 3 4

a3 12

BỒ

ID Ư

Trang 81

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

9 . Thể tích khối chóp 5

B. 300cm 3

C. 900cm 3

D. 1200cm 3

A. 600cm 3

S.ABCD là:

H Ơ

với mặt phẳng đáy các góc bằng nhau và đều bằng α thỏa mãn tan α =

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 10cm, các mặt bên cùng tạo

TP .Q

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên bằng nhau và đều bằng a 3 . Thể tích khối chóp S.ABC là:

a3 3 6

a3 2 6

a3 2 4

ẠO

a3 3 2

Ư N

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = a, AD = 2a . Đỉnh S

cách đều các đỉnh A, B, C, D của mặt đáy và SB = a 5 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

a 3 15 8

a 3 15 6

a 3 15 4

TR ẦN

a 3 15 3

Đáp án

Câu

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

ẤP

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Chọn đáp án A

Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC ) .

a 3 a 3 . ⇒ AG = 2 3

-L

Í-

∆ABC đều ⇒ AM =

ÁN

=a ∆SGA vuông tại G có: SG = AG.tan SAG

BỒ

ID Ư

Ỡ N

1 1 a2 3 a3 3 V .S .SG . .a . = = = Vậy S.ABC 3 ABC 3 4 12 Câu 2: Chọn đáp án C

AB + BC + AC = 18 cm. 2

S = 18 (18 − 10 )(18 − 12 )(18 − 14 ) = 24 6 cm 2 . Trang 82

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau nên hình

chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn nội tiếp

S 4 6 cm. = p 3

TP .Q

S = p.r ⇒ IM = r =

H Ơ

tam giác ⇒ SI ⊥ ( ABC ) .

= 4 6 .3 = 4 6 cm. ∆SIM vuông tại I có: SI = IM.tan SMI 3

ẠO

1 1 Vậy VS.ABC = .SABC .SI = .24. 6.4. 6 = 192 cm3 . 3 3

Ư N

Câu 3: Chọn đáp án D

TR ẦN

SABC

1 a2 3 . = AB.AC.sin BAC = 2 4

Cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với đáy các góc 30o nên hình chiếu của S lên (ABC) là tâm

= 30o đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ⇒ SO ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SA, ( ABC ) ) = SAO

abc a.a.a 3 a 2 3 = = ⇒ OA = a. 4R 4.OA 4

ẤP

=a 3 ∆ABC có: BC = AB2 + AC2 − 2AB.AC.cosBAC

1 1 a2 3 a 3 a3 . = SABC .SO = . = . 3 3 4 3 12

Í-

Vậy VSABC

=a 3 ∆ABC có: SO = OA.tan SAO 3

-L

Câu 4: Chọn đáp án B

ÁN

SABCD = 10 2 cm 2 = 100cm 2

AC ∩ BD = O ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

BỒ

ID Ư

Ỡ N

= α. ( SCD ) , ( ABCD ) ) = SMO (

9 ∆SOM vuông tại O có: SO = OM.tan SMO = 5. = 9cm 5

1 1 Vậy VSABCD = SABCD .SO = .100.9 = 300cm3 3 3 Câu 5: Chọn đáp án C Trang 83

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi G là trọng tâm ∆ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC ) .

a 3 a 3 ⇒ AG = 2 3

H Ơ

∆ABC đều ⇒ AM =

Y U

2a 6 3

TP .Q

SG = SA 2 − AG 2 =

∆SGA vuông tại G có:

ẠO

1 1 a 2 3 2a 6 a 3 2 . . Vậy VS.ABC = SABC .SG = . = 3 3 4 3 6

TR ẦN

AC∩ B D = SO. Do S cách đều A, B, C, D ⇒ SO ⊥ ( ABCD )

SABCD = AB.AD = 2a 2 .

Ư N

Câu 6: Chọn đáp án D

BD = AB2 + AD 2 = a 5.

BD 3 a 15 . = 2 2

nên tam giác SBD đều ⇒ SO =

⇒ SB = SD = BD = a 5

DẠNG 7: LĂNG TRỤ ĐỨNG

ẤP

1 1 a 15 2 a 3 15 .2a = . Vậy VS.ABCD = SO.SABCD = . 3 3 2 3

Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Thể tích

3a 3 4

-L

Í-

của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

a3 3 4

3a 3 3 4

a3 4

ÁN

Câu 2: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’, đáy là tam giác ABC vuông tại A,

= 300 , cạnh C’A hợp với mặt đáy góc 600. Thể tích khối lăng trục ABC.A’B’C’ là: AB = a, ABC a3 6

a3 2

a3 3 6

a3 3 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Trang 84

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân, AB = AC = a ,

N D.

4 3

C. 4

B. 8

TP .Q

8 3

H Ơ

a3 có giá trị là: V

bằng V. Tỷ số

= 1200 . Mặt phẳng (AB’C’) tạo với mặt đáy góc 300. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ BAC

Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy là tam giác ABC vuông cân tại A,

B. 1

ẠO

3 2

1 2

C. 3

Ư N

a3 có giá trị là: V

BC = 2a, A ' B = a 3 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng V. Tỷ số

TR ẦN

Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AB = 26cm, BC = 60cm, AC = 74cm , diện tích xung quanh bằng 2880cm 2 . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

B. 3840cm 3

C. 12960cm 3

D. 11520cm 3

A. 4320cm 3

Câu 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh

= 300 , cạnh BC hợp với mặt bên (ACC’A’) góc 300. Thể tích khối lăng trụ AC = a, ABC

1 3

có giá trị là:

ẤP

3 3

A. 1

V 3

ABC.A’B’C’ bằng V. Tỷ số

Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A,

ÁN

B. 13a

5a 3 C. 2

13a 3 D. 2

A. 5a

-L

Í-

AA ' = 2a, A ' B = 3a . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

= 1200 , cạnh C’A hợp với Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, AB = a, AC = 2a, BAC

2a 3 3 3

B. 2a 3 3

a3 3 3

D. a 3 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

mặt đáy góc 450. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Trang 85

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh

BC = a 2 góc giữa hai đường thẳng AC’ và BA’ bằng 600. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

a3 3

a3 3 3

a3 2

a3 3 2

H Ơ

là:

TP .Q

Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa hai a3 6 là: đường thẳng AB’ và BC’ bằng 60 . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng V. Giá trị V

C. 4

D. 1

B. 12 1

Ư N

Đáp án

TR ẦN

Câu

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

A. 3

ẠO

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

10 3

a2 3 a3 3 .a = . = SABC .AA = 4 4

ẤP

Vậy VABC.A'B'C'

a2 3 . = 4

∆ABC đều ⇒ SABC

Câu 1: Chọn đáp án B

Câu 2: Chọn đáp án C

1 a2 3 AB.AC = . 2 6

ÁN

⇒ SABC =

a 3 . 3

-L

Í-

∆ABC vuông tại A có: AC = AB. tanABC =

' AC = 60o. Ta có: C' A, ( ABC ) = C

)

(

BỒ

ID Ư

Ỡ N

' AC = a. ∆ACC' vuông tại C: CC' = AC. tan C

Vậy VABC.A'B'C' = SABC .CC' =

a2 3 a3 3 .a = . 6 6

Câu 3: Chọn đáp án B

Trang 86

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2 1 = a 3. AB.AC.sin BAC 2 4

SABC =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

Gọi M là trung điểm B'C' ⇒ A' M ⊥ B'C'

' MA = 60o ⇒ ( AB'C' ) , ( ABC ) = A

)

(

TP .Q

∆A ' MC' vuông tại M có:

ẠO

a ' ' A ' M = A 'C' .sin A C M = a.sin 30o = . 2

∆AA ' M vuông tại A ' có:

Ư N

a a 3 ' A ' A = A ' M. tan A MA = .tan 30o = . 2 6

a2 3 a 3 a3 a3 = SABC .AA = . = ⇒ = 8. 4 6 8 V

VABC.A'B'C'

TR ẦN

Câu 4: Chọn đáp án B

1 AB.AC = a 2 2

⇒ SABC =

∆ABC vuông cân tại A và có cạnh huyền BC = 2a ⇒ AB = AC = a 2.

ẤP

∆A ' AB vuông tại A có:

AA ' = A ' B2 − AB2 = a.

Í-

a3 = 1. V

-L

⇒

Vậy VABC.A'B'C' = SABC .AA ' = a 3 .

AB + BC + AC = 80 cm. 2

ÁN

Câu 5: Chọn đáp án C

Ỡ N

⇒ SABC = 80 ( 80 − 26 )( 80 − 60 )( 80 − 74 ) = 720 cm 2 .

BỒ

ID Ư

Gọi chiều cao khối lăng trụ là x, các mặt bên là hình chữ nhật nên: Sxq = 26x + 60x + 74x = 2880cm 2 ⇒ x = 18cm.

Vậy VABC.A 'B'C' = 720.18 = 12960 cm 3 .

Trang 87

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 6: Chọn đáp án A

' BA ⊥ ( ACC' A ' ) ⇒ BC' , ( ACC' A ' ) = BC A = 30o

)

H Ơ

(

1 a2 3 AB.AC = . 2 2

TP .Q

⇒ SABC =

= a 3. ∆ABC vuông tại A có: AB = AC.cot ABC

ẠO

' ' B = a 3. 3 = 3a ∆ABC' vuông tại A có: AC ' = AB.cot AC

TR ẦN

Câu 7: Chọn đáp án A

AB = A ' B2 − AA '2 = a 5

B 00

VABC.A'B'C'

1 5a 2 AB.AC = 2 2 ' = SABC .AA = 5a 3

⇒ SABC =

ẤP

2 1 = a 3. AB.AC.sin BAC 2 2

Câu 8: Chọn đáp án D SABC =

a2 3 V .2a 2 = a 3 6 ⇒ 3 = 1. 2 a 6

Ư N

VABC.A'B'C' = SABC .CC' =

∆ACC' vuông tại C có: CC' = AC'2 − AC 2 = 2a 2.

' AC = 45o Ta có: C' A, ( ABC ) = C

)

(

Í-

⇒ ∆ACC' vuông cân tại C ⇒ CC' = AC = 2a a2 3 .2a = a 3 3. 2

ÁN

-L

Vậy VABC.A'B'C' = SABC .CC' =

Câu 9: Chọn đáp án D

1 a2 AB.AC = 2 2

Ỡ N

BC = a 2 ⇒ AB = AC = a ⇒ SABC =

BỒ

ID Ư

Lấy D, D ' sao cho ABCD.A ' B'C' D'

' BD' = ( AC' , BA ' ) = 60o ⇒ BD' // AC' ⇒ A Mà AB = AC ⇒ A ' B = BD' ⇒ ∆A' BD' đều.

Trang 88

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do A ' B'C' D' là hình chữ nhật nên A ' D' = B'C' = a 2 ⇒ A ' B = a 2 ⇒ AA ' = a

H Ơ

a3 . 2

Vậy VABCD.A'B'C'D' = SABC .AA ' =

a2 3 . 4

TP .Q

∆ABC đều ⇒ SABC =

Câu 10: Chọn đáp án C

Lấy điểm D đối xứng với C qua B.

ẠO

Tứ giác BDB'C' là hình bình hành.

Đặt AA ' = x ( x > 0 )

Ư N

⇒ AB' = BC' = DB' = a 2 + x 2 ; BD = CB = a

⇒ AD 2 = AB2 + BD 2 − 2AB.BD.cos120o = 3a 2

TR ẦN

'  AB D = 120o ⇒ ( AB' .BC' ) = ( AB' , B' D ) = 60o ⇒  '  AB D = 60o 

' Trường hợp 1: AB D = 120o ⇒ AD 2 = AB'2 + DB'2 − 2AB' .DB' .cos120o

⇒ 3a 2 = a 2 + x 2 + a 2 + x 2 + a 2 + x 2 ⇒ x = 0 (vô lý)

' D = 60o ⇒ ∆AB' D đều ⇒ AB' = BD = a 2 + x 2 = a 3 ⇒ x = a 2. Trường hợp 2: AB

ẤP

a2 3 a3 6 a3 6 .a 2 = ⇒ = 4. 4 4 V

Vậy VABC.A'B'C' = SABC .AA ' =

DẠNG 8: LĂNG TRỤ XIÊN

Í-

Câu 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = a 3 hình

-L

chiếu vuông góc của B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam

ÁN

giác ABC, góc tạo bởi AB’ với (ABC) bằng 600. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

3a 3 4

3a 3 C. 4

3 3a 3 B. 4

3a 3 D. 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh AA ' = a 3 , hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AC, góc tạo bởi AA’ với (ABC)

bằng 450. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

3a 3 6 A. 2

a3 6 B. 3

a3 3 C. 4

D. a 3 6

Trang 89

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 3: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ đáy là hình thang cân ABCD có AC ⊥ BD, AC = 2a ,

cạnh AA’ tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) là điểm H

a3 3 3

B. 2a 3 3

D. a 3 3

2a 3 3 3

TP .Q

H Ơ

1 thuộc đoạn AC sao cho AH = HC . Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là: 3

Câu 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = 6a, BC = 8a , hình

ẠO

chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC, góc tạo bởi hai mặt phẳng

A. 32

B. 24

C. 96

là:

Ư N

(C’AC) và (ABC) bằng 600. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng V. Giá trị

D. 72

TR ẦN

Câu 5: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh dài 20cm. Hình chiếu của A’ xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA’ hợp với

A. 1000 3m3

đáy một góc 450. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

C. 2000 3m3

D. 1000m 3

B. 2000m 3

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Đáp án

ẤP

Câu

Câu 1: Chọn đáp án B

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

-L

Í-

1 1 a2 3 AB.BC = a.a 3 = . 2 2 2

ÁN

SABC =

' AH = 60o Ta có: B' H ⊥ ( ABC ) ⇒ ( AB' , ( ABC ) ) = B

Ỡ N

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

BỒ

ID Ư

AH =

AB.AC AB2 + AC 2

a.a 3 a 2 + 3a 2

a 3 2

a 3 3a ' AH = .tan 60o = . Xét tam giác AHB' vuông tại H có: B' H = AH.tan B 2 2

Trang 90

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a 2 3 3a 3 3a 2 . = . 2 2 4

Vậy VABC.A'B'C' = SABC .B' H =

H Ơ

Câu 2: Chọn đáp án A

H là trung điểm của AC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) o

TP .Q

AA , ( ABC ) ) = A AH = 45 (

Xét tam giác A ' HA vuông cân tại H:

Đ G Ư N H TR ẦN

a 6 3a 3 6 . = SABC .A H = 3a = 2 2 '

Vậy VABC.A'B'C'

ẠO

2 a 6 ' AH = a 3. A ' H = AA ' .sin A = 2 2 a 6 ⇒ AH = A ' H = ⇒ AB = AC = 2AH = a 6 2 1 SABC = AB.AC = 3a 2 2

1 AC.BD = 2a 2 2 1 1 a AH = HC ⇒ AH = AC = 3 4 2 ' AA ' , ABCD = A AH = 60o

ABCD là hình thang cân ⇒ AC = BD = 2a

Câu 3: Chọn đáp án D

ẤP

⇒ SABCD =

))

(

Í-

Xét tam giác A ' HA vuông tại H có:

ÁN

-L

a a 3 ' A ' H = AH. tan A AH = 3= . 2 2 a 3 = a3 3 2

Vậy VABCD.A'B'C'D' = SABCD .A ' H = 2a 2 .

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 4: Chọn đáp án C

SABC =

1 AC.BC = 24a 2 . 2

H là trung điểm BC ⇒ C' H ⊥ ( ABC )

Trang 91

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

⇒ C' H ⊥ AC mà AC ⊥ BC ⇒ AC ⊥ ( CC ' H ) ' CH = 60o ⇒ AC ⊥ CC' ⇒ ( C' AC ) , ( ABC ) = C

)

H Ơ

(

Xét tam giác C' HC vuông tại H có:

VABC.A'B'C' = SABC .C' H = 24a 2 .4a 3 = 96a 3 3 ⇒

V a

TP .Q

' C' H = CH.tan C CH = 4a 3

= 96

ẠO

Câu 5: Chọn đáp án B AB2 3 = 100 3 cm 2 . 4 ' ' AO = 45o ( AA , ( ABC ) ) = A

Ư N H TR ẦN

∆ABC đều ⇒ AH =

SABC =

AB 3 = 10 3 cm 2

00 3

20 3 cm. 3

20 3 = 2000 cm3 . 3

ẤP

Vậy VABC.A'B'C' = SABC .A 'O = 100 3.

A 'O = AO =

' A AO = 45o ⇒ ∆A ' AO vuông cân tại O

DẠNG 9: HÌNH HỘP

Câu 1: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ đáy ABCD là hình vuông có cạnh

-L

A. 144 2cm 3

Í-

AC = 8cm, A 'C = 10cm . Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là:

B. 192 2cm 3

C. 144cm 3

D. 192cm 3

ÁN

Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A 'C = 4 3 . Thể tích khối lập phương

ABCD.A’B’C’D’ là

B. 4 3

C. 4 6

Ỡ N

A. 2 3

BỒ

ID Ư

Câu 3: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hinh thoi, AC = 6a, BD = 8a . Chu vi của 1 đáy bằng 4 lần chiều cao khối hộp. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’.

A. 40a 3

B. 80a 3

C. 240a 3

D. 120a 3

Trang 92

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 600 , Câu 4: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi, BAD

C. 4 6

H Ơ

B. 4 3

A. 2 3

AC = BD ' = 2 3 . Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là:

= 1200 . Câu 5: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD ABCD.A’B’C’D’ là:

a3 3

a3 6

a3 12

ẠO

A. a 3

TP .Q

Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, góc tạo bởi C’G và mặt đáy bằng 300. Thể tích khối hộp

Ư N

Câu 6: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 50cm, người ta cắt bỏ đi mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 16cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Thể tích khối hộp chữ

A. 18496cm 3

TR ẦN

nhật là:

B. 8704cm 3

C. 57800cm 3

D. 17408cm 3

Câu 7: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh 15cm và đường

B. 1125cm 3

C. 1591cm 3

D. 2756cm 3

A. 1949cm 3

trong các giá trị sau ?

chéo BD’ với đáy ABCD một góc 300. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ gần nhất giá trị nào

ẤP

Câu 8: : Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 15 ,

AD = 5 . Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với mặt phẳng đáy những góc 300 và

600, cạnh bên có độ dài bằng 1. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là:

B. 15

C. 15

Í-

A. 21

-L

= 600 Câu 9: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD BH , A ' AH = 300 . Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là: 2

AH =

ÁN

hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB thỏa mãn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

a3 6

a3 2

a3 3 6

a3 3 2

Câu 10: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình bình hành có

= 1200 , AA ' = 3a , hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) AB = a, AD = 3a, BAD là trọng tâm tam giác ABD. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là:

Trang 93

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

a3 5 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2a 3 5 3

C. a 3 5

D. 2a 3 5

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Đáp án

TP .Q

Câu

H Ơ

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

HƯỚNG DẪN GIẢI CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

AC = 4 2cm. 2

Ư N

∆ABC vuông cân tại B có: AB =

ẠO

Câu 1: Chọn đáp án D

∆D ' DB vuông tại D có:

TR ẦN

AA ' = A 'C 2 − AC 2 = 102 − 82 = 6cm.

Vậy VABCD.A'B'C'D' = AB.AD.AA ' = 192cm 3 .

Câu 2: Chọn đáp án C

Đặt AB = x ⇒ AC = x 2

∆A ' AC vuông tại A có:

ẤP

A 'C = AA '2 + AC 2 = 2x 2 + x 2 = x 3

A 'C = 4 3 ⇒ x 3 = 4 3 ⇒ x = 4

-L

AC.BD = 24a 2 . 2

ÁN

Ta có: SABCD =

Í-

Câu 3: Chọn đáp án D

Vậy VABCD.A 'B'C'D' = 43 = 64cm 3 .

∆OAB vuông tại O: AB = OA 2 + OB2 = 5a. 20a = 5a 4

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Chu vi đáy: 5a.4 = 20a ⇒ AA ' = VABCD.A 'B'C'D' = SABCD .AA ' = 120a 3 .

Câu 4: Chọn đáp án C

= 60o ⇒ ∆ABD ⇒ AO = 3AB Ta có: BAD 2 Trang 94

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3AB = 3 ⇒ AB = 2 2

AC = 2 3 ⇒ AO = 3 ⇒

H Ơ

=2 3 ⇒ SABCD = AB.AD.sin BAD

− 22 = 2 2

TP .Q

(2 3)

DD ' = BD '2 − BD 2 =

∆D ' DB vuông tại D có:

Vậy VABCD.A'B'C'D' = SABCD .DD ' = 2 3.2 2 = 4 6.

a2 3 = AB.AD.sin B AD = 2

Ư N

SABCD

ẠO

Câu 5: Chọn đáp án B

= 120o ⇒ ∆ACD đều ⇒ AC = a Ta có: BAD

TR ẦN

2 2a AC = 3 3 ' C'G, ABCD = C GC = 30o

CG = CO + OG =

))

(

∆C'GC vuông tại C có:

2a 3 ' CC' = CG.tan C GC = 9

ẤP

a3 . 3

Câu 6: Chọn đáp án A

Vậy VABCD.A'B'C'D' = SABCD .CC' =

Í-

AA' = BB' = CC' = DD' = 16 cm

-L

nên ABCD là hình vuông có AB = 50 − 16 = 34 cm.

ÁN

Vậy VABCD.A'B'C'D' = AB.AC.AD = 34.34.16 = 18496 cm 3 .

Câu 7: Chọn đáp án D

Ỡ N

SABCD = 152 = 225 cm 2 .

BD , ( ABCD ) ) = D BD = 30 (

BỒ

ID Ư

∆ABD vuông tại A có: BD = AB 2 = 15 2 cm.

' ∆D ' BD vuông tại D có: DD ' = BD. tan D BD = 5 6 cm.

Trang 95

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy VABCD.A'B'C'D' = SABCD .DD ' = 1125 6 ≈ 2756 cm3

H Ơ

Câu 8: Chọn đáp án B

SABCD = AB.AD = 5 15

Kẻ A ' H ⊥ ( ABCD ) , MH ⊥ AB, NH ⊥ AD ' MH = 30o ⇒ ( ABB' A ' ) , ( ABCD ) = A

NH = 60 ( ADD A ) , ( ABCD ) ) = A ( '

TP .Q

)

ẠO

(

3 − 4x 2 x 3 15 HM = AA − A N ⇒ = ⇒x= 3 3 5 '

15 = 15. 5

Vậy VABCD.A'B'C'D' = SABCD .A ' H = 5 15.

Ư N

x 2x 3 x 3 = , HM = x.cot 60o = o sin 60 3 3

TR ẦN

A'N =

Đặt A' H = x, khi đó:

3 2+

ẤP

BH AB a ⇒ AH = = 2 3 3

AH =

SABCD

=a = AB.AD.sin BAD

Câu 9: Chọn đáp án A

-L

Í-

a 3 ' ∆AA ' H vuông tại H có: A ' H = AH.tan A AH = 9

ÁN

Vậy VABCD.A'B'C'D' = SABCD .A ' H =

a 2 3 a 3 a3 . = . 2 9 6

Câu 10: Chọn đáp án C 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

SABCD

= 3a = AB.AD.sin BAD 2

= 13a 2 BD 2 = AB2 + AD 2 − 2.AB.AD.cos BAD

AB2 + AD 2 BD 2 7 AO = − = 2 4 2

Trang 96

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

2AO 7 = 3 3

N H Ơ

3a 2 2a 5 . = SABCD .A G = = a 3 5. 2 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

TR ẦN

Ư N

ẠO

TP .Q

Vậy VABCD.A'B'C'D'

2a 5 3

⇒ A 'G = AA '2 − AG 2 =

⇒ AG =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Trang 97

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

PHẦN 4: MẶT NỐN - MẶT TRỤ- MẶT CẦU VẤN ĐỀ 1: MẶT NÓN – HÌNH NÓN - KHỐI NÓN

H Ơ

1. Định nghĩa mặt nón

Trong không gian, cho đường thẳng ∆ cố định. Một đường thẳng l cắt ∆ tại S và tạo với một góc α không đổi 00 < α < 900 .

)

(

TP .Q

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh ∆ gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón).

ẠO

+ ∆ : trục của mặt nón

+ l : đường sinh của mặt nón

+ S: đỉnh của mặt nón

Ư N

+ 2α : góc ở đỉnh

2. Hình nón và khối nón

TR ẦN

a. Hình nón: Cho mặt nón (N) với trục ∆ , đỉnh S và góc ở đỉnh là 2α . Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với ∆ tại O,

cắt mặt phẳng theo thiết diện là đường tròn

( O; r ) ; (P’) là mặt phẳng vuông góc với tại S.

( O ≠ S) ,

Khi đó phần của mặt nón (N) giới hạn bởi hai mặt (P) và

ẤP

(P’) cùng với hình tròn ( O; r ) được gọi là hình nón.

Với hình nón (N) ta có:

+ S là đỉnh và SO là trục của hình nón.

+ 2α : góc ở đỉnh của hình nón

Í-

+ SO = h: chiều cao của hình nón.

-L

+ OA = r: bán kính hình nón.

ÁN

+ SA=SB=SM=l : đường sinh của hình nón.

Nhận xét:

+ Thiết diện của hình nón và mặt phẳng qua đỉnh của hình nón là 1 tam giác cân tại đỉnh hình

BỒ

ID Ư

Ỡ N

nón (có các cạnh bên tam giác cân là l ) + ∀M ∈ ( O; r ) : SM = l : cách xác định 1 đường sinh của hình nón.

với SA và SB, (AB là đường kính đáy) là hai đường sinh của hình nón. + Góc 2α là góc ASB b. Khối nón: là phần không gian giới hạn bởi hình nón, kể cả hình nón đó (hoặc hình nón cùng phần bên trong của nó gọi là khối nón).

Trang 1

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3. Diện tích hình nón và thể tích khối nón Cho hình nón (N) có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.

H Ơ

+ Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq = πrl

+ Diện tích toàn phần của hình nón: Stp = πrl + πr 2

TP .Q

1 + Thể tích khối nón: V = πr 2 h 3

ẠO

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN

Câu 1: Với điểm O cố định thuộc mặt phẳng (P) cho trước, xét đường thẳng l thay đổi đi qua O và B. hai đường thẳng

C. một mặt trụ

D. một mặt nón

Ư N

A. một mặt phẳng

tạo với (P) một góc. Tập hợp các đường thẳng l trong không gian là

πa 2 4

B. Sxq =

π 2a 2 6

C. Sxq =

π 3a 2 6

D. Sxq =

2 πa 2 3

A. Sxq =

TR ẦN

Câu 2: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nội tiếp tứ diện đều có cạnh bằng a là

π 2a 2 3

C. Sxq =

B. Sxq =

πa 2 3

π 3a 2 3

D. Sxq =

π 3a 2 6

A. Sxq =

Câu 3: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều có cạnh bằng a là

Câu 4: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, bán kính đáy r = 5. Một thiết

4 13 3

3 13 3

ẤP

diện qua đỉnh là tam giác SAB đều có cạnh bằng 8. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng

C. 3

13 3

Í-

Câu 5: Cho hai điểm A, B cố định. Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho diện tích tam

-L

giác MAB không đổi là

ÁN

A. mặt nón tròn xoay

D. hai đường thẳng song song

C. mặt cầu

B. mặt trụ tròn xoay

Câu 6: Cho hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân. Trong các khẳng

BỒ

ID Ư

Ỡ N

định sau, khẳng định nào sai?

A. Đường cao hình nón bằng bán kính đáy của nó. B. Đường sinh hợp với đáy một góc 450 . C. Đường sinh hợp với trụ một góc 450 . D. Hai đường sinh tùy ý thì vuông góc với nhau. Trang 2

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4 cm . Gọi V1 , V2 , V3 lần lượt là thể tích của khối tròn xoay hình thành khi quay tam giác ABC quanh AB, AC và BC. Trong các kết

C. V3 > V1 > V2

D. V3 = V1 + V2

3πa 3 9

6πa 3 9

6πa 3 27

TP .Q

3πa 3 27

Câu 8: Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp một hình nón. Thể tích khối nón là A.

H Ơ

B. V2 > V1 > V3

A. V1 > V2 > V3

luận sau, kết luận nào đúng?

ẠO

Câu 9: Cắt hình nón (N) bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền

bằng a. Trong bảng sau, nối mỗi ý ở cột bên trái với một ý ở cột bên phải để được mệnh đề đúng.

a) Diện tích xung quanh của hình nón (N) là

TR ẦN

πa 3 24

(

πa 3 6

π 2a 2 4

a 2

a 2 2

-L

Í-

ẤP

d) Độ dài đường sinh hình nón (N) là

)

π 1+ 2 a2

b) Thể tích của khối nón (N) là

c) Diện tích toàn phần của hình nón (N) là

Cột phải

Ư N

Cột trái

ÁN

Câu 10: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng

A. một nửa tích của chu vi đáy với độ dài đường cao của nó.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

B. một nửa tích của chu vi đáy với độ dài đường sinh của nó. C. tích của chi vi đáy với độ dài đường cao của nó. D. tích của chu vi đáy với độ dài đường sinh của nó.

Câu 11: Một hình nón (N) sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Diện tích xung quanh của hình nón đó bằng

πa 2 4

πa 2 2

πa 2 3 4

D. πa 2

Trang 3

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 12: Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. Hình trụ luôn chứa một đường tròn.

H Ơ

B. Hình nón luôn chứa một đường tròn. C. Hình nón luôn chứa một đường thẳng.

D. Mặt trụ luôn chứa một đường thẳng. tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc AC’A’ khi quanh trục AA’ bằng

B. πa 2 3

C. πa 2 5

D. πa 2 6

ẠO

A. πa 2 2

TP .Q

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Diện tích xung quanh của hình nón

Câu 14: Một hình nón có đường sinh bằng 8cm, diện tích xung quanh bằng 240 π cm 2 . Đường

C. 60 cm

D. 50 cm

Ư N

B. 30 cm

A. 2 30 cm

kính của đường tròn đáy hình nón bằng

TR ẦN

Câu 15: Cho điểm M cố định thuộc mặt phẳng ( α ) cho trước, xét đường thẳng d thay đổi đi qua M và tạo với ( α ) một góc 600 . Tập hợp các đường thẳng d trong không gian là

B. hai đường thẳng

C. mặt nón

D. mặt trụ

A. mặt phẳng

Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600 . Diện tích 3πa 2 2

3πa 2 4

ẤP

3πa 2 6

3πa 2 8

toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là

Câu 17: Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 900 . Cắt hình nón bằng mặt

2a 2 3

ÁN

-L

thiết diện bằng

Í-

phẳng ( α ) đi qua đỉnh sao cho góc giữa ( α ) và mặt đáy của hình nón bằng 600 . Khi đó diện tích

3a 2 2

2a 2 3

3a 2 2

Câu 18: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Một hình nón có đỉnh là tâm

hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A’B’C’D’. Diện tích xung quanh

BỒ

ID Ư

Ỡ N

của hình nón đó là

3πa 2 3

2 πa 2 2

3πa 2 2

6πa 2 2

Câu 19: Cho hai điểm A, B cố định, M là điểm di động trong không gian sao cho góc giữa hai đường thẳng AB và AM bằng 300 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Trang 4

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

A. M thuộc mặt cầu cố định

B. M thuộc mặt trụ cố định

C. M thuộc mặt phẳng cố định

D. M thuộc mặt nón cố định

H Ơ

Câu 20: Cho hình nón có đường sinh l = 4r , với r là bán kính đường tròn đáy. Khai triển mặt xung quanh hình nón theo một đường sinh, ta được một hình quạt tròn có bán kính bằng l và góc ở

π 4

C. α =

π 2

D. α =

π 3

B. α =

π 6

TP .Q

A. α =

đỉnh của hình quạt là α . Trong các kết luận sau đây, kết luận nào đúng?

Câu 21: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3cm, AC = 4 cm . Thể tích khối nón tròn xoay sinh

80 π 3 cm 3

C. 48π cm3

D. 16 π cm3

Ư N

A. 80 π cm3

ẠO

ra khi quay tam giác ABC quanh AB

Câu 22: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Diện tích

3πa 2 2

TR ẦN

A. 2 3πa 2

xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bằng 2 3πa 2 3

3πa 2 3

Câu 23: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc

với cạnh BC. Khi quay các cạnh tứ diện đó xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón

B. 2

A. 1

được tạo thành

C. 3

D. 4

ẤP

Câu 24: Cho hình nón có đỉnh S, độ dài đường sinh bằng 2a. Một mặt phẳng qua đỉnh S cắt hình

nón theo một thiết diện, diện tích lớn nhất của thiết diện là

B. a 2

C. 4a 2

3a 2

A. 2a 2

Câu 25: Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Khai triển hình nón theo một đường

π 2

ÁN

A. α =

-L

Í-

sinh, ta được một hình quạt tròn có góc ở tâm là α . Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng? 2π 3

C. α =

3π 4

D. α = π

Đáp án

2-A

3-C

4-B

5-B

6-D

7-A

8-B

10-B

11-B

12-C

13-D

14-C

15-C

16-A

17-A

18-C

19-D

20-C

21-D

22-C

23-B

24-A

25-D

1-D

Ỡ N ID Ư

BỒ

B. α =

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Đáp án D Trang 5

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi ∆ là đường thẳng qua O và vuông góc với (P). Do góc giữa l và (P) bằng 300 nên góc giữa l và ∆ bằng 600 .

H Ơ

Do O và ∆ cố định nên tập hợp các đường thẳng l là mặt nón

tròn xoay với đỉnh O, trục ∆ , góc ở đỉnh 1200 .

TP .Q

Câu 2: Đáp án A Gọi G là trọng tâm tam giác BCD.

Vậy diện tích xung quanh hình nón bằng: Sxq = πrl =

πa 2 4

Câu 3: Đáp án C

TR ẦN

Ư N

ẠO

 a 6 2 2 h = AG = AB − BG = 3   a 3 Hình nón có: l = AM = 2   BM a 3 = r = GM = 3 6 

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD.

ẤP

 a 6 2 2 h = AG = AB − BG = 3  Hình nón có: l = AD = a  r = BG = 2BM = a 3  3 3

Í-

Vậy diện tích xung quanh hình nón bằng: Sxq = πrl =

3πa 2 3

-L

Câu 4: Đáp án B

ÁN

OM = 3 Ta có:  2 2 SO = SM − OM = 39

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Gọi M là trung điểm AB.

AB ⊥ OM Ta có:  ⇒ AB ⊥ ( SOM ) AB ⊥ SO

Dựng OH ⊥ SM ⇒ OH ⊥ ( SAB ) Tam giác SOM vuông tại O có:

Trang 6

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

1 1 1 16 3 13 = + = ⇒ OH = 2 2 2 117 4 OH OM SO

H Ơ

Câu 5: Đáp án B

2SMAB (không đổi) AB

TP .Q

d ( M; AB ) =

yêu cầu đề bài là mặt trụ tròn xoay với trục là đường thẳng AB (cố định) và bán kính trụ là

Yêu cầu phân biệt một số dạng mặt tròn xoay. Trong trường hợp này, tập hợp các điểm M thỏa

Câu 6: Đáp án D

ẠO

Ta có góc giữa hai đường sinh đối xứng nhau qua trục bằng. Đối với hai đường sinh bất kì, ta chưa

thể kết luận điều gì.

Ư N

Câu 7: Đáp án A Ta có: BC = 5cm và AH = 2,4

TR ẦN

1  2 3 V1 = 3 ABπAC = 16π cm  1  Dễ thấy: V2 = .ACπAB2 = 12π cm3 3  1 48π  3 V3 = 3 π.5, 76.5 = 5 cm 

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD

Câu 8: Đáp án B

ẤP

 a 6 2 2 h = AG = AB − BG =  3 Hình nón có:  r = GB = 2BM = a 3  3 3

-L

Í-

1 6πa 3 Vậy thể tích khối nón bằng: V = hπr 2 = 3 27

ÁN

Câu 9: Đáp án: a – (4), b - (1), c – (2), d – (6) a 2 2

Tam giác vuông cân SAB có: AB = a ⇒ SA = SB =

BỒ

ID Ư

Ỡ N

 AB a r = 2 = 2  a 2  Hình nón có: l = SB = 2  AB a  h = 2 = 2 

Trang 7

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Suy ra: Sxq = πrl =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

π 2a 2 4

 2 2 π 1+ 2 a2 Stp = πrl + πr 2 = π 2a + πa =  4 4 4 ⇒ 3  1 πa 2 V = 3 hπr = 24

H Ơ

)

(

TP .Q

Câu 10: Đáp án B

ẠO

Ta có: Sxq = ( πr ) .l

Câu 11: Đáp án B

G Ư N H

πa 2 2

TR ẦN

Vậy Sxq = πrl =

 BC a = r = Hình nón có:  2 2 l = AC = a

Câu 12: Đáp án C

Chú ý phân biệt khái niệm hình nón và mặt nón

Câu 13: Đáp án D

ẤP

r = A 'C ' = a 2  Hình nón có:  2 2 l = AC ' = ( AA ') + ( AC ') = a 3

Vậy Sxq = πrl = 6πa 2

Câu 14: Đáp án C

Í-

Ta có: l = 8cm . Suy ra: Sxq = πrl = 240π cm 2 ⇔ r =

240π = 30 cm πl

-L

Vậy đường kính mặt đáy: 2r = 60 cm

ÁN

Câu 15: Đáp án C

Tập hợp các đường thẳng d trong không gian là mặt nón có đỉnh M (cố định), đường sinh d, góc ở

đỉnh 600 (không đổi)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 16: Đáp án A

. Góc giữa SA và mặt đáy là góc SAO

= Tam giác SAO vuông tại O: tan SAO

SO a 6 ⇔ SO = AO 2

Trang 8

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy diện tích toàn phần của hình nón là: Sxq = πrl + πr 2 =

πa 2 2 3πa 2 2

TP .Q

Suy ra diện tích đáy của hình nón: S = πr 2 =

H Ơ

h = SO  a 2  Ta có: r = OA = 2  l = SA = 2a 

ẠO

Câu 17: Đáp án A

G Ư N

Í-

3πa 2 2

-L

Vậy Sxq = πrl =

ẤP

 h = AA ' = a   O'A ' a 2 = r = 2 2   6a 2 2 l = OA ' = ( O 'O ) + ( O ' A ' ) =  2

Câu 18: Đáp án C

1 2a 2 Vậy diện tích thiết diện: S = SM.BC = 2 3

a 3 2a 3 ⇒ BC = 2CM = 3 3

⇒ CM = SC 2 − SM 2 =

SO a 6 ⇒ SM = SM 3

TR ẦN

= Tam giác SMO vuông tại O: sin SMO

Góc giữa thiết diện và dáy là góc SMO

ÁN

Câu 19: Đáp án D

Tập hợp các điểm M cần tìm là mặt tròn xoay với đỉnh A (cố định),

BỒ

ID Ư

Ỡ N

trục là đường thẳng AB (cố định) và góc ở đỉnh bằng 600

Câu 20: Đáp án C Ta có chu vi đáy của hình nón là C = 2πr , cung AB có độ dài là lα .

Trang 9

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2πr π = , do l = 4r l 2

Vậy lα = 2πr ⇔ α =

H Ơ

Câu 21: Đáp án D

h = AB = 3cm Ta có:  r = AC = 4 cm

TP .Q

1 Suy ra: V = hπr 2 = 16π cm 2 3

ẠO

Câu 22: Đáp án C

Ư N H

2 3πa 2 3

Vậy Sxq = πrl =

TR ẦN

 a 33 2 2 h = SG = SA − AG = 3  Tam giác SAG vuông tại G: l = SA = 2a  r = GA = a 3  3

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC )

Câu 23: Đáp án B

ẤP

BC ⊥ DA Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( ABD ) ⇒ BC ⊥ AB BC ⊥ BD

Khi quay các cạnh cảu tứ diện ABCD quanh trục AB thì hình thành hai hình nón tròn xoay là hình

Câu 24: Đáp án A

nón (N) với đỉnh B, đường sinh BD và hình nón (N’) với đỉnh A, đường sinh AC.

-L

Í-

Thiết diện là tam giác cân tại S với SA = SB = l

ÁN

2 2 1 = l sin ASB ≤l Diện tích thiết diện?: S∆ ABC = .SA.SB.sin ASB 2 2 2

Ỡ N

Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện bằng

BỒ

ID Ư

nhau. Lúc đó: Smax =

l2 khi thiết diện đi qua hai đường sinh vuông góc với 2

l2 = 2a 2 2

Câu 25: Đáp án D Ta có chu vi đáy của hình nón là C = 2πr , cung AB có độ dài là lα . Vậy lα = 2πr ⇔ α =

l 2πr = π , do r = l 2

Trang 10

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

VẤN ĐỀ 2: MẶT TRỤ - HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ 1. Định nghĩa mặt trụ

H Ơ

Trong không gian, cho đường thẳng ∆ cố định. Một đường thẳng l song song với ∆ và cách ∆ một khoảng không đổi r. Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh ∆ gọi là mặt trụ

tròn xoay (hay đơn giản là mặt trụ).

+ ∆ : trục của mặt trụ

TP .Q

+ l: đường sinh của mặt trụ + r: bán kính của mặt trụ

ẠO

2. Hình trụ và khối trụ

a. Hình trụ

Ư N

Cho mặt trụ có trục ∆ , đường sinh l và bán kính r. Cắt mặt trụ bởi 2 mặt phẳng (P) và (P’) cùng

vuông góc với ∆ ta được thiết diện là 2 đường tròn ( O; r ) và ( O '; r ) .

TR ẦN

Khi đó phần mặt trụ giới hạn bởi hai mặt mặt phẳng (P) và (P’) cùng với hai đường tròn ( O; r ) và ( O '; r ) được gọi là hình trụ.

Lúc đó:

+ OO ' = h : chiều cao hình trụ

+ ( O; r ) và ( O '; r ) : hai đường tròn đáy của hình trụ và r là bán kính hình trụ. + BC = AD = l : đường sinh hình trụ

ẤP

b. Khối trụ: Là phần không gian giới hạn bởi hình trụ, kể cả hình trụ đó (hoặc hình trụ cùng phần

bên trong vủa nó được gọi là khối trụ).

3. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ

Í-

Cho hình trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.

-L

+ Diện tích xung quanh: Sxq = 2πrl

ÁN

+ Diện tích toàn phần: Stp = 2πrl + 2πr 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

+ Thể tích: V = πr 2 h

Nhận xét:

+ Rõ ràng: h = l + Mặt phẳng bất lì song song với trục của hình trụ (hay qua trục) cắt hình trụ theo thiết diện là

hình chữ nhật. + Mặt phẳng bất kì vuông góc với trục của hình trụ theo thiết diện là đường tròn có bán kính r.

Trang 11

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

+ ∀M ∈ ( O; r ) , N ∈ ( O; r ) : MN / / OO ' : cách xác định 1 đường sinh của hình trụ.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN

H Ơ

Câu 1: Cho mặt phẳng (P) và một điểm cố định trên mặt phẳng (P). Gọi d là đường thẳng vuông

D. một mặt nón

C. một mặt trụ

B. một mặt cầu

TP .Q

A. một mặt phẳng

góc với mặt phẳng (P) và cách I một khẳng k không đổi. Tập hợp các đường thẳng d là

Câu 2: Hình chữ nhật ABCD có AB = 3cm, AD = 5cm . Thể tích khối trụ hình thành được khi

B. 75π cm 3

C. 50 π cm 3

D. 45π cm3

A. 25π cm3

ẠO

quay hình chữ nhật ABCD quanh đoạn AB bằng

Ư N

Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, với AB = a. Góc giữa A’B và mặt đáy bằng 450 . Diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp lăng trụ

A. πa 2

TR ẦN

ABC.A’B’C’ bằng 3πa 2

C. 2 πa 2

2 πa 2

Câu 4: Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh 2a. Gọi S1 và S2 lần lượt là diện A. 4S1 = 3S2

tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ. Chọn kết luận đúng trong các kết luận sau

C. 2S1 = S2

D. 2S1 = 3S2

B. 3S1 = 2S2

Câu 5: Tỉ số thể tích của khối trụ nội tiếp và khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng a

1 3

1 2

1 6

1 4

ẤP

bằng

Câu 6: Cho hình trụ có bán kính đáy r, đường cao h = OO ' . Cắt hình trụ đó bằng mặt phẳng ( α )

có tính chất

-L

Í-

tùy ý vuông góc với đáy và cách điểm O một khoảng m cho trước ( m < r ) . Khi ấy, mặt phẳng ( α )

ÁN

A. cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông

B. luôn cách một mặt phẳng cho trước qua trục hình trụ một khoảng h.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

C. luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định. D. cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích r 2 − m 2

(

)

Câu 7: Một khối hộp hình chữ nhật nội tiếp trong một hình trụ. Ba kích thước của khối hộp hình chữ nhật là a, b, c. Thể tích khối trụ bằng

π a 2 + b2 c

(

)

π c2 + b2 a

(

)

Trang 12

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

π a 2 + c2 b

(

)

π a 2 + b2 c

(

)

∪

π a 2 + c2 b

(

)

∪

π c2 + b 2 a

(

)

H Ơ

Câu 8: Một hình trụ (H) có diện tích xung quanh bằng 4 π . Biết thiết diện của (H) qua trục là hình B. 10 π

C. 8π

D. 12 π

A. 6 π

vuông. Diện tích toàn phần của (H) bằng

TP .Q

Câu 9: Một hình trụ có diện tích xung quanh là 4 π , thiết diện qua trục là hình vuông. Một mặt

phẳng ( α ) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABBA’, biết một cạnh của thiết diện là

B. 2 3

C. 2 2

D. 3 2

ẠO

một dây của đường tròn đáy hình trụ và căng một cung 1200 . Diện tích thiết diện ABBA’ bằng

Ư N

Câu 10: Người ta bỏ bốn quả bóng bàn cùng kích thước, bán kính bằng a vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn. Biết quả bóng nằm dưới cùng, quả bóng trên

TR ẦN

cùng lần lượt tiếp xúc với mặt đáy dưới và mặt đáy trên của hình trụ đó. Lúc đó, diện tích xung quanh của hình trụ bằng

A. 8πa 2

B. 4 πa 2

C. 16 πa 2

D. 12 πa 2

Câu 11: Cho hình trụ (H) có bán kính đáy bằng a và thể tích bằng 2 πa 3 . Trong bảng sau, nối mỗi

ý ở cột bên trái với một ý ở cột bên phải để được mệnh đề đúng Cột trái

Cột phải 1) a

b) Diện tích xung quanh của hình trụ (H) bằng

2) 4 πa 2

ẤP

a) Chiều cao của hình trụ (H) bằng

3) πa 2

c) Diện tích toàn phần của hình trụ (H) bằng

5) 4a 2 6) 2a 7) 2a 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

d) Mặt phẳng (P) qua trục và cắt hình trụ (H) theo thiết diện có4) 6 πa 2 diện tích bằng

Câu 12: Cho hình trụ (H) có hai đáy là hai đường tròn ( O; r ) và ( O '; r ) . Hình nón (N) có đỉnh O và đáy của hình nón là đường tròn ( O '; r ) . Lúc đó, tỉ số thể tích của khối trụ (H) và khối nón (N) bằng

Trang 13

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

1 3

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. 3

1 2

D. 2

Câu 13: Một hình thang vuông ABCD có đường cao AD = a, đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 2a.

1 C. V = πa 3 3

B. V = 2 πa 3

D. V = 3πa 3

4 3 πa 3

A. V =

H Ơ

Cho hình thang đó quay quanh CD, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng

TP .Q

Câu 14: Cho hình lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh đáy bằng a 2 , cạnh bên bằng 2a. Xét hình trụ tròn xoay ngoại tiếp hình lăng trụ đó. Xét hai khẳng định sau:

ẠO

(I) Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông.

(II) Thể tích khối trụ là V = πa 3

Ư N

Hãy chọn phương án đúng.

B. chỉ (II) đúng

C. cả (I) và (II) đều sai

D. cả (I) và (II) đều đúng

TR ẦN

A. chỉ (I) đúng

Câu 15: Một hình lập phương có cạnh bằng 1. Một hình trụ tròn xoay có đáy là 2 đường tròn nội tiếp 2 hình vuông đối diện của hình lập phương. Hiệu số thể tích của khối lập phương và khối trụ

B. 1 −

π 4

C. 1 −

π 2

π2 4

3 4

A. 1 −

đã cho là

Câu 16: Một hình trụ tròn xoay, bán kính đáy bằng r, trục OO ' = r . Một đoạn thẳng AB = r 2 ,

ẤP

với A ∈ ( O; r ) , B ∈ ( O '; r ) . Góc giữa AB và trục của hình trụ là

B. 300

A. 450

C. 600

D. 750

Câu 17: Cho ABCD là thiết diện song song với trục OO’ của hình trụ (A, B thuộc đường tròn tâm

Í-

O). Biết AB = 4, AD = 3 và thể tích của khối trụ là 24 π . Khi đó, khoảng cách từ tâm O đến mặt

ÁN

A. 1

-L

phẳng (ABCD) bằng

B. 4

C. 3

D. 2

Câu 18: Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi

đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi

BỒ

ID Ư

Ỡ N

xung quanh đều tiếp xúc cới các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình

trụ bằng

A. 16 πr 2

B. 18πr 2

C. 9 πr 2

D. 36 πr 2

Câu 19: Một lăng trụ có bán kính đáy bằng r và thiết diện qua trục là hình vuông. Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ bằng

Trang 14

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. 3r 3

A. 4r 3

D. 5r 3

C. 2r 3

Câu 20: Diện tích toàn phần của một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4 π , thiết diện qua C. 8π

H Ơ

B. 10 π

D. 12 π

A. 6 π

trục là hình vuông bằng

Câu 21: Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

TP .Q

A. một nửa của chu vi đáy với độ dài đường cao của nó B. hai lần tích của chu vi đáy với độ dài đường cao của nó.

ẠO

C. một nửa tích của chu vi đáy với độ dài đường cao của nó. D. tích của chu vi đáy với độ dài đường sinh của nó.

Câu 22: Một hình trụ có hai đáy ngoại tiếp hai đáy một hình lập phương. Biết thể tích khối trụ đó

B. 2

1 4

TR ẦN

A. 1

Ư N

π thì thể tích khối lập phương bằng 2

là

3 4

Câu 23: Một hình trụ có đáy là hai hình tròn ( O;6 ) , ( O ';6 ) và OO ' = 10 . Một hình nón có đỉnh

O’ và có đáy là hình tròn ( O;6 ) . Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần. Thể

B. 90 π

A. 60π

tích phần khối trụ còn lại (không chứa khối nón) bằng

C. 120 π

D. 240 π

ẤP

Câu 24: Một khối trụ có bán kính đáy r = 10 cm , khoảng cách giữa hai đáy bằng 8cm. Cắt khối

trụ bởi một mặt phẳng sing song với trục và cách trụ 6cm. Diện tích thiết diện được tạo thành là

B. 64 cm 2

C. 118cm 2

D. 128cm 2

A. 138cm 2

Câu 25: Hình khai triển mặt xung quanh của hình trụ là một hình chữ nhật có diện tích bằng 48π ,

-L

Í-

biết đường cao hình trụ bằng 4. Bán kính của đường tròn đáy hình trụ bằng

C. 4

D. 3

Đáp án 3-D

4-B

5-A

6-C

7-D

8-A

9-B

10-C

11-

12-B

13-A

14-A

15-B

16-A

17-D

18-C

19-A

20-A

21-D

22-A

23-D

24-D

25-B

G Ỡ N ID Ư

BỒ

B. 6

2-B

1-C

ÁN

A. 12

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C Trang 15

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Tập hợp các đường thẳng d là mặt trụ với trục của trụ là đường thẳng ∆ qua I, vuông góc với mặt

H Ơ

phẳng (P) (cố định) và bán kính mặt trụ là k (không đổi).

TP .Q

Câu 2: Đáp án B

ẠO

h = AB = 3cm Hình trụ có:  r = AD = 5cm

Thể tích khối trụ là V = hπr 2 = 75π cm 2

Ư N

Câu 3: Đáp án D

Tam giác ABC có BC = a 2

TR ẦN

Do AA ' ⊥ ( ABC ) nên góc giữa A’B và (ABC) là góc

A 'BA = 450 ⇒ AA ' = AB = a

 BC a 2 = r = Hình trụ có:  2 2 l = AA ' = a 

ẤP

Diện tích xung quanh trụ là: Sxq = 2πrl = 2πa 2

Câu 4: Đáp án B

Ó H Í-

-L

l = AB = 2a   BC r = 2 = a

Gọi thiết diện là ABCD với AB = BC = 2a , nên hình trụ có:

ÁN

2 S1 = 2πrl = 4πa Suy ra:  2 2 S2 = 2πrl + 2πr = 6πa

Vậy 3V1 = 2V2

Ỡ N

Câu 5: Đáp án B

BỒ

ID Ư

Gọi hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, AB = a

Trang 16

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ N

πa 3 2

Thể tích (H) là V = hπr 2 =

h = AA ' = a  Hình trụ (H) ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có:  a 2 r = OA =  2

TP .Q

πa 3 V' 1 = . Suy ra: V 2 4

Câu 6: Đáp án C

Ư N

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra H là hình chiếu vuông góc của O

ẠO

Thể tích (H’) là V ' = h ' π ( r ' ) =

h ' = AA ' = a  Hình trụ (H’) nội tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có:  AB a r ' = 2 = 2

TR ẦN

lên cạnh AB của thiết diện. Lúc đó, mặt phẳng ( α ) luôn tiếp xúc với mặt trụ có trục là OO’ (cố định) và bán kính mặt trụ bằng m (không

đổi).

Câu 7: Đáp án D

Gọi các cạnh của hình hộp chữ nhất đã cho là AA ' = a, AB = b, AD = c . Do khối trụ ngoại tiếp

ẤP

hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nên ta có 3 trường hợp sau:

A Ó

π b2 + c2 a

)

-L

(

 AD '  V = AB.π    2 

TH 3: h = c 2

π a 2 + c2 b

(

)

 AB'  V = AD.π    2 

π a 2 + b2 c

(

)

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

TH 2: h = b

Í-

 AC  V = AA '.π    2 

TH 1: h = a

Câu 8: Đáp án A Gọi l, r lần lượt là độ dài đường sinh và bán kính của hình trụ.

Trang 17

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Do thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên r =

l 2

H Ơ

Ta có: Sxq = 2πrl = 4π ⇔ l 2 = 4 ⇔ l = 2 ⇒ r = 1

Vậy Stp = Sxq + 2πr 2 = 6π

Câu 9: Đáp án B l 2

ẠO

Do thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên r =

TP .Q

Gọi l, r lần lượt là độ dài đường sinh và bán kính của hình trụ.

Ta có: Sxq = 2πrl = 4π ⇔ l 2 = 4 ⇔ l = 2 ⇒ r = 1

Ư N H

AH = 3 ⇒ AB = 2AH = 3 ⇔ AH = OA.sin AOH OA 2

TR ẦN

= sin AOH

Xét tam giác OHA vuông tại A, có:

Vậy diện tích thiết diện bằng: S = AA '.AB = 2 3

Câu 10: Đáp án C

Theo giả thiết, hình trụ có bán kính r = a, độ dài đường sinh l = 4.2a = 8a

ẤP

Vậy Sxq = 2πrl = 16πa 2

Í-

Câu 11: Đáp án a) – 6, b) – 2, c) – 4, d) – 5

-L

Gọi h là chiều cao hình trụ, ta có:

ÁN

V = hπr 2 ⇔ hπa 2 = 2πa 3 ⇔ h = 2a ⇒ l = h = 2a

Sxq = 2πrl = 4πa 2 Suy ra:  2 2 Stp = 2πrl + 2πr = 6πa

AB = AD = 2a ⇒ SABCD = 4a 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Thiết diện là hình vuông ABCD có:

Câu 12: Đáp án B Trang 18

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Hình trụ (H) có chiều cao là OO’ và bán kính bằng r nên thể tích khối trụ là: V1 = OO ' πr 2

H Ơ N

V1 =3 V2

Vậ y

1 Hình nón (N) có chiều cao là OO’ và bán kính bằng r nên thể tích khối nón là: V2 = .OO '.πr 2 3

TP .Q

Câu 13: Đáp án A Gọi V1 là thể tích khối nón đỉnh C, đường cao CH = a, bán

ẠO

1 πa 3 kính đáy BH = a nên: V1 = CH.πBH 2 = 3 3

TR ẦN

4πa 3 3

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V = V1 + V2 =

đáy AD = a nên: V2 = HD.π.AD 2 = πa 3

Ư N

Gọi V2 là thể tích khối trụ có đường cao HD = a, bán kính

Câu 14: Đáp án A

Do ABCD là hình vuông cạnh AB = a 2 ⇒ AC = 2a . Vậy

thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông (do

ẤP

AC = AA ' = 2a )

-L

Í-

Lúc đó, thể tích khối trụ là: V = AA '.π. ( OA ) = 2πa 3

Câu 15: Đáp án B

ÁN

Thể tích khối lập phương là: V1 = l3 = 1

Hình trụ có đáy nội tiếp hình vuông cạnh bằng 1 nên có bán

BỒ

ID Ư

Ỡ N

kính đáy bằng

AB 1 = , chiều cao trụ là MM ' = AA ' = 1 2 2

Vậy khối trụ có thể tích là: V2 = hπr 2 =

π 4

Câu 16: Đáp án A Trang 19

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Dựng BB’ // OO’ suy ra góc giữa AB và OO’ là góc giữa AB và BB’.

H Ơ

BB ' r 2 ' = 450 = = ⇒ ABB AB r 2 2

' = Xét tam giác AB’B vuông tại B’, ta có: cos ABB

Câu 17: Đáp án D

TP .Q

Hình trụ có chiều cao h = AD = 3 Do thể tích khối trụ bằng 24π nên: hπr 2 = 24π ⇔ r = 2 2

ẠO

OH ⊥ AB Gọi H là trung điểm AB ⇒  ⇒ OH ⊥ ( ABCD ) OH ⊥ AD

TR ẦN

Xét tam giác AHB vuông tại H: OH = OA 2 − AH 2 = 2

Ư N

Suy ra: d ( O; ( ABCD ) ) = OH

Câu 18: Đáp án C

2r + 2r + 2r = 3r 2

Theo giả thiết, ta suy ra: R =

Gọi r là bán kính đáy của hình trụ

ẤP

Vậy diện tích đáy hình trụ là: S = πR 2 = 9πr 2

Câu 19: Đáp án A

Í-

Chiều cao hình trụ h = l = 2r

ÁN

-L

Do đáy của lăng trụ nội tiếp hình trụ nên OA = r ⇔

( 2r )

= 4r 3

Vậy thể tích khối lăng trụ là: V = 2r.

AB 2 = r ⇔ AB = r 2 2

Câu 20: Đáp án A

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Ta suy ra h = l = 2r

Do đó: Sxq = 2πrl = 4πr 2 . Từ giả thiết suy ra 4πr 2 = 4π ⇔ r = 1

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là: Stp = 2πrl + 2πr 2 = 6π

Câu 21: Đáp án D Công thức diện tích xung quanh của hình trụ là: S Sxq = ( 2πr ) l

Trang 20

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 22: Đáp án A Gọi cạnh hình lập phương là a.

H Ơ

h = a πa 3 π  Hình trụ có:  a 2 ⇒ V = hπr 2 = = ⇒ a =1 2 2 r =  2

TP .Q

Vậy thể tích khối lập phương là V = 13 = 1

Câu 23: Đáp án D

ẠO

+ Hình trụ có chiều cao h = OO ' = 10 và bán kính đáy r = 6 nên

khối trụ có thể tích là V1 = hπr 2 = 360π .

TR ẦN

Ư N

1 r = 6 nên khối nón có thể tích là V2 = hπr 2 = 120π . 3

+ Hình nón có đỉnh O’, chiều cao h = OO ' = 10 và bán kính đáy

Vậy V = V1 − V2 = 240π

Câu 24: Đáp án D

h = OO ' = 8cm và bán kính đáy r = 10 cm .

Gọi thiết diện là tứ giác ABCD. Hình trụ có chiều cao

ẤP

OH ⊥ AB Gọi H là trung điểm của AB ⇒  ⇒ OH ⊥ ( ABCD ) OH ⊥ BC

⇒ OH = d ( OO ', ( ABCD ) ) = 6 cm

Ta có: HB = OB2 − OH 2 = 8cm

Í-

⇒ AB = 16 cm

-L

Vậy SABCD = AB.BC = 128cm 2

ÁN

Câu 25: Đáp án B

Hình trụ có chiều cao h = AB = 4

Ta có: Sxq = 2πrl = 8πr

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Mặt khác SABCD = AB.AD = 4AD = 48π

Lúc đó ta có: 8πr = 48π ⇔ r = 6

VẤN ĐỀ 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU 1. Định nghĩa mặt cầu Trang 21

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Cho điểm I cố định và một số thực dương R. Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S ( I; R ) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) ⇒ d = IH

H Ơ

Kí hiệu: S ( I; R ) . Khi đó: S ( I; R ) = {M | IM = R}

d=R

d<R

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo

ẠO

d>R

TP .Q

là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P). Khi đó

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu: (P)

thiết diện là đường tròn có

Mặt cầu và mặt phẳng không

là mặt phẳng tiếp diện của mặt

tâm I’ và bán kính

r = R 2 − IH 2

TR ẦN

cầu và H là tiếp điểm.

Ư N

có điểm chung

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng kính

và thiết diện lúc đó được gọi là đường tròn lớn.

ẤP

3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng.

Cho mặt cầu S ( I; R ) và đường thẳng ∆ . Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ . Khi đó:

Í-

IH > R

∆ : tiếp xúc với mặt cầu. ∆ : tiếp tuyến của (S) và H:

tiếp điểm.

IH < R

∆ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

∆ không cắt mặt cầu

IH = R

Lưu ý: Trong trường hợp ∆ cắt (S) tại hai điểm A, B thì bán kính R của (S) được tính như sau: Trang 22

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

d = ( I; ∆ ) = IH  2   AB  2 2 2 R = IH + AH = IH +     2  

4. Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Cho S ( I; R ) . Khi đó:

4 3 πR 3

ẠO

+ Thể tích khối cầu: V =

TP .Q

+ Diện tích mặt cầu: S = 4πR 2

5. Điều kiện để hình chóp, hình lăng trụ tồn tại mặt cầu ngoại tiếp

Ư N

+ Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp.

+ Hinh lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi lăng trụ là lăng trụ đứng có đáy là đa giác

TR ẦN

nội tiếp.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN

B. 36π cm 2

C. 18π cm 2

A. 24π cm 2

Câu 1: Mặt cầu (S) có thể tích 36π cm 3 . Diện tích của mặt cầu (S) bằng D. 20π cm 2

B. 6π cm 2

A. 4π cm 2

Câu 2: Mặt cầu (S) có diện tích 16π cm 2 . Diện tích của đường tròn lớn của mặt cầu (S) bằng: C. 8π cm 2

D. 2π cm 2

ẤP

Câu 3: Cho mặt cầu (S) tâm O, có bán kính bằng r = 5 cm . Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu (S) theo

một dây cung AB = 6cm . Khoảng cách từ O đến đường thẳng ∆ bằng

B. 4 2 cm

C. 5 cm

D. 4 cm

A. 3 cm

Í-

Câu 4: Cho mặt cầu (S) tâm O, có bán kính bằng r = 3a . Mặt phẳng ( α ) cắt mặt cầu (S) theo

ÁN

A. 3a

-L

thiết diện là một đường tròn có diện tích πa 2 . Khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( α ) bằng

B. 2a

C. 2 2 a

D. 2 3 a

Câu 5: Cho mặt cầu S ( O; r ) và một điểm A với OA > r . Từ A dựng các tiếp tuyến với mặt cầu

BỒ

ID Ư

Ỡ N

S ( O; r ) , gọi M là tiếp điểm bất kì. Tập hợp các điểm M là A. một hình nón

B. một đường tròn

C. một đường thẳng

D. một mặt phẳng

Câu 6: Cho mặt cầu bán kính r và một hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao 2r. Tỉ số thể tích

giữa khối cầu và khối trụ là:

A. 2

3 2

2 3

1 2

Trang 23

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 7: Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón thì có bán kính bằng:

a 2 4

a 2 2

a 3 2

a 3 4

H Ơ

C. 8π

D. 16π

Câu 9: Cho điểm M nằm trong mặt cầu (S). Mệnh đề nào sau đây sai?

ẠO

A. Mọi mặt phẳng đi qua M đều cắt (S) theo một đường tròn

B. 4π

8 π 3

TP .Q

Câu 8: Một khối cầu có diện tích đường tròn lớn là 2π thì diện tích của khối cầu đó là

B. Có một mặt phẳng đi qua M không cắt (S)

Ư N

C. Mọi đường thẳng đi qua M đều cắt (S) tại hai điểm phân biệt

D. Đường thẳng đi qua M và tâm (O) của mặt cầu cắt (S) tại hai điểm đối xứng nhau qua (O)

bằng

C. 4

B. 8

S2 S1

D. 2

A. 16

TR ẦN

Câu 10: Hai khối cầu ( O1 ; R 1 ) và ( O 2 ; R 2 ) có diện tích lần lượt là S1 ,S2 . Nếu R 2 = 2R1 thì

Câu 11: Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Tồn tại duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau.

B. Tồn tại duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song

ẤP

C. Tồn tại duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau

D. Tồn tại duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng phân biệt

Câu 12: Cho hình trụ có bán kính đáy là 3cm , trục OO ' = 8cm và mặt cầu đường kính OO’. Hiệu B. 16π cm 2

C. 40π cm 2

D. 208π cm 2

-L

A. 6π cm 2

Í-

số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh hình trụ là

9πa 3 2

ÁN

Câu 13: Thể tích của khối cầu ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật có ba kích thước a, 2a. 2a bằng: B.

9πa 3 8

27πa 3 2

D. 36πa 3

Câu 14: Cho mặt cầu bán kính 5cm và một hình trụ có bán kính đáy 3cm nội tiếp trong hình cầu.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Thể tích của khối trụ là

A. 24π cm3

B. 36π cm3

C. 48π cm 3

D. 72π cm 3

Câu 15: Một mặt cầu có bán kính bằng 10 cm. Một mặt phẳng cách tâm mặt cầu 8cm cắt mặt cầu theo một đường tròn. Chu vi của đường tròn đó bằng

A. 6π cm

B. 12π cm

C. 24π cm

D. 36π cm 2

Trang 24

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 16: Một hình nón nội tiếp tong một mặt cầu. Biết bán kính mặt cầu bằng 5 cm, chiều cao

128π 3

64π 3

D. 16 5π

H Ơ

A. 128π

hình nón bằng 8 cm. Thể tích hình nón bằng

Câu 17: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? B. Mọi hình hộp đứng đều có mặt cầu ngoại tiếp C. Mọi hình hộp có một mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp

ẠO

D. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp

TP .Q

A. Mọi hình hộp đều có mặt cầu ngoại tiếp

Câu 18: Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cấu bán kính R thì

Ư N

A. hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất B. hình lập phương có thể tích lớn nhất

TR ẦN

C. hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác 0 có thể tích lớn nhất D. hình hộp có các kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất Câu 19: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp

C. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp

D. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp

a 2 4

C. a 2

D. 2a 2

a 2 2

ẤP

Câu 20: Mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh a có bán kính là

= 900 . Trong các Câu 21: Cho ba điểm A, B, C cùng nằm trên một mặt cầu, biết rằng góc ACB

-L

Í-

khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

ÁN

A. AC là một đường kính của mặt cầu B. Luôn có một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên mặt cầu

C. Tam giác ABC vuông cân tại C

D. Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 22: Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước bằng A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số

Câu 23: Cho hai điểm cố định A, B và một điểm M di động trong không gian nhưng luôn thỏa

= 900 . Khi đó điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau mãn điều kiện AMB A. mặt nón

B. mặt trụ

C. mặt cầu

D. mặt phẳng

Trang 25

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 24: Cho hai điểm cố định A, B và một điểm M di động trong không gian sao cho góc giwuax

hai đường thẳng AM và AB bằng α ( 00 < α < 900 ) . Khi đó điểm M thuộc mặt nào trong các mặt

B. mặt trụ

C. mặt cầu

D. mặt phẳng

B. 2 a 2 + b 2 + c 2

(a + b + c)

a 2 + b2 + c2

ẠO

2(a + b + c)

Ư N

TP .Q

(ABC) và có SA = a, AB = b, AC = c . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

Câu 25: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với mặt phẳng

A. Mặt nón

H Ơ

sau?

3-A

4-C

5-B

6-C

11-A

12-B

13-A

14-D

15-B

16-B

21-B

22-D

23-C

24-A

25-C

7-A

8-C

9-B

10-C

17-D

18-B

19-D

20-B

TR ẦN

2-B

1-B

Đáp án

LỜI GIẢI CHI TIẾT

-L

Í-

Câu 2: Đáp án B

Vậy S = 4πr 2 = 36π cm

4 3 πr = 36π ⇔ r 3 = 27 ⇔ r = 3cm 3

Theo giả thiết: V = 36π ⇔

ẤP

Gọi r là bán kính mặt cầu (S).

Câu 1: Đáp án B

Gọi r là bán kính mặt cầu (S).

ÁN

Theo giả thiết: S = 16π ⇔ 4πr 2 = 16π ⇔ r 2 = 4 ⇔ r = 2 cm Đường tròn lớn có bán kính là bán kính của mặt cầu (S).

Ỡ N

Vậy diện tích đường tròn lớn bằng S = πr 2 = 4π cm 2

BỒ

ID Ư

Câu 3: Đáp án C

Gọi H là trung điểm AB. 2

 AB  Xét tam giác OHA vuông tại H: OH = r 2 −   = 3cm  2  Trang 26

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Vậy d ( O; ∆ ) = OH = 3cm

Câu 4: Đáp án C

H Ơ

Gọi r’ là bán kính đường tròn giao tuyến của mặt phẳng ( α ) và mặt cầu (S). 2

Theo giải thiết: π ( r ') = πa 2 ⇔ r ' = a 2

TP .Q

Ta có: d ( O; ( α ) ) = r 2 − ( r ') = 2 2a

Câu 5: Đáp án B

ẠO

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên OA.

Xét tam giác OMA vuông tại M:

Ư N

1 1 1 1 1 1 = + ⇒ = 2+ 2 2 2 2 2 MH MO MA MH r OA − r 2

⇒ MH không đổi và H cố định

TR ẦN

Vậy M thuộc đường tròn ( H; MH )

Câu 6: Đáp án C

00 10 2+

V2 2 = V1 3

ẤP

Vậ y

4 3 πr 3

Thể tích khối cầu là V2 =

Thể tích khối trụ là V1 = hπr 2 = 2πr 3

Câu 7: Đáp án A

Í-

Hình nón có độ dài đường sinh l = a, bán kính đáy r =

a 2

-L

Suy ra diện tích toàn phần của hình nón là: Stp = πrl + πr 2 =

3πa 2 4

ÁN

Gọi R là bán kính măt cầu.

Diện tích mặt cầu là: S = 4πR 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Theo giả thiết ta có: 4πR 2 =

3πa 2 a 3 ⇔R= 4 4

Câu 8: Đáp án B

Gọi r là bán kính của mặt cầu. Diện tích đường tròn lớn bằng: πr 2 Theo giả thiết: πr 2 = 2π ⇔ r = 2 . Suy ra diện tích mặt cầu là: S = 4πr 2 = 8π

Trang 27

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 9: Đáp án B Do điểm M nằm trong mặt cầu (S) nên mọi đường thẳng qua M luôn cắt (S) theo hai điểm phân

H Ơ

biệt và mọi mặt phẳng qua M luôn cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn.

Câu 10: Đáp án C

Khối cầu ( O; R1 ) có diện tích là S1 = 4πR12

TP .Q

Khối cầu ( O; R 2 ) có diện tích là S2 = 4πR 22 2

ẠO

S R  Suy ra: 2 =  2  = 4 (do R 2 = 2R1 ) S1  R1 

TR ẦN

Qua O dựng ∆ vuông góc với mặt phẳng chứa ( O; R ) .

Ư N

cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng phân biệt.

Gọi A, B là giao điểm của hai đường tròn ( O; R ) , ( O; R ')

Câu 11: Đáp án A

Qua O’ dựng ∆ ' vuông góc với mặt phẳng chứa ( O; R ' ) .

∆ và ∆ ' không song song và cùng thuộc mặt phẳng trung

trực của đoạn AB nên ∆ và ∆ ' cắt nhau tại điểm duy nhất.

Gọi {I} = ∆ ∩ ∆ ' suy ra I là tâm mặt cầu cần tìm (cố định).

ẤP

Bán kính r = IO 2 + OA 2 (không đổi)

Câu 12: Đáp án B

Mặt cầu có bán kính r = 4 cm

Suy ra diện tích mặt cầu là: S = 4πr 2 = 64π cm 2

-L

Í-

Diện tích xung quanh của hình trụ là: Sxq = 2πrl = 48π cm 2

Ỡ N

ÁN

Vậy S − Sxq = 16π cm 2

BỒ

ID Ư

Câu 13: Đáp án A

Bán kính mặt cầu là 2

 2 2a   a  2 3a r = IA = OA + IO =   +   = 2  2  2 2

Trang 28

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Vậy thể tích khối cầu là V =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

4 3 9πa 3 πr = 3 2

H Ơ

Câu 14: Đáp án D Gọi O, O’ lần lượt là tâm của 2 đáy hình trụ.

Suy ra tâm của mặt cầu là trung điểm của OO’.

TP .Q

Ta có: IO = IA 2 − OA 2 = 4 cm ⇒ OO ' = 2IO = 8cm

ẠO

Vậy thể tích khối trụ là V = hπr 2 = 72π cm3

Câu 15: Đáp án B

Ư N

Xét tam giác IOA vuông tại O

Ta có: OA = IA 2 − IO 2 = 6 cm

TR ẦN

Suy ra chu vi đường tròn là:

C = 2πr = 12π cm

Câu 16: Đáp án B

Ta có: OA = r = 4 cm

ẤP

1 128π 3 cm Vậy thể tích khối nón là: V = hπr 2 = 3 3

-L

Í-

Câu 17: Đáp án D

ÁN

Điều kiện để hình lăng trụ nội tiếp được mặt cầu là hình lăng trụ có các tính chất:

+ Lăng trụ đứng.

+ Đáy lăng trụ là đa giác nội tiếp.

Ỡ N

Câu 18: Đáp án B

BỒ

ID Ư

Gọi các cạnh của hình hộp chữ nhật là a, b, c ( a > 0, b > 0, c > 0 )

Khi đó, thể tích khối hộp là V = abc Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho là:

a 2 + b2 + c2 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 = 4R 2 2

Trang 29

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Ta có: 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ ( a + b + c )

(

)

(1)

) ≥ (3

abc

)

(

⇔ 8R ≥ 3 abc

)

 2 2R  ⇔ abc ≤    3 

Từ (1) và (2) ⇒ 2 a + b + c

H Ơ

(

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: a + b + c ≥ 3 3 abc ( 2 )

TP .Q

Vậy Vmax

 2 2R  =   đạt được khi a = b = c  3 

ẠO

Khi đó hình hộp chữ nhật là hình lập phương.

Câu 19: Đáp án D

Điều kiện để hình chóp nội tiếp được mặt cầu là hình chóp có đáy là đa giác nội tiếp.

Ư N

Câu 20: Đáp án B

Do mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều ên tâm mặt cầu là trung điểm của đoạn

TR ẦN

vuông góc chung của các căpk cạnh đối của tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.

 MN ⊥ BC Ta có:  ⇒ MN là đoạn vuông góc chung của BC, AD  MN ⊥ AD

ẤP

 a 3   a 2 a 2 Xét tam giác AMN vuông tại N, ta có: MN = AM − AN =   −   = 2 2    2 2

a 2 4

Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là r = MN =

Câu 21: Đáp án B

Í-

= 900 ⇔ C thuộc đường tròn đường kính AB (ngoại tiếp tam giác Do ACB

-L

ABC)

ÁN

Câu 22: Đáp án

Có vô số mặt cầu chứa một đường tròn ( O; r ) cho trước, với tâm của mặt cầu

Ỡ N

nằm trên đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng chứa ( O; r )

BỒ

ID Ư

Câu 23: Đáp án C

= 900 ⇔ M thuộc mặt cầu đường kính AB Do AMB Câu 24: Đáp án A Tập hợp các điểm M trong không gian thỏa yêu cầu bài toán là mặt nón đỉnh A, trục AB, đường

sinh AM và góc ở đỉnh là 2α

Trang 30

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 25: Đáp án C Gọi H là trung điểm BC, K là trung điểm SA.

H Ơ

+ Qua H dựng đường thẳng ∆ ⊥ ( ABC ) ⇒ ∆ / / SA

+ Qua K dựng đường thẳng ∆ ' ⊥ SA ⇒ ∆ '/ /AH

Lúc đó ∆ ∩ ∆ ' = {I} : tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

TP .Q

S.ABC Xét tam giác IHA vuông tại H, ta có: 2

ẠO

a 2 + b2 + c2  SA   BC  IA = IH + AH =   +  = 2  2   2  2

Ư N

TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP

PHẦN 4: MẶT NÓN – MẶT TRỤ - MẶT CẦU

TR ẦN

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Lúc đó, thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình

B. V =

5 15π 54

C. V =

5 15π 8

A. V =

4 3π 27

chóp S.ABC là

D. V =

5π 3

bằng

B. 45o

ẤP

A. 30o

Câu 2: Nếu góc ở đỉnh của hình nón (N) bằng 60o thì góc giữa đường sinh và mặt đáy của (N) C. 60o

D. 90o

Câu 3: Cho một hình cầu S(O;r) và điểm A cố định với OA = d. Qua A, kẻ đường thẳng ∆ tiếp

r 2 − 2d 2

2r 2 − d 2

d2 − r2

d2 + r2

Í-

xúc với S(O;r) tại M. Độ dài AM bằng

-L

Câu 4: Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là

ÁN

A. trung điểm của đoạn thằng AB

B. mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AB C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB

Ỡ N

D. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

BỒ

ID Ư

Câu 5: Trong bảng sau, nối mỗi ý ở cột bên trái với một ý ở cột bên phải để được mệnh đề đúng. Cột trái

Cột phải

a) Khối trụ (H) có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a có thể tích bằng

πa 2 1) 2

Trang 31

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

có diện tích xung quanh bằng c) Khối trụ (H) có thiết diện qua trục là hình tam giác đều cạnh a có thể tích bằng

πa 3 4

4πa 3 3

4)πa 2

d) Khối trụ (H) có thiết diện qua trục là hình tam giác đều

b) Khối trụ (H) có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

ẠO

f) Mặt cầu S(O;a) có thể tích bằng

3πa 3 24 πa 3 2

πa 2 4

TR ẦN

Ư N

7)4πa 2

e) Mặt cầu S(O;a) có diện tích bằng

TP .Q

cạnh a có diện tích xung quanh bằng

Câu 6: Cho mặt nón (N) với góc ở đỉnh là 60o. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Góc giữa đường sinh bất kì và trục của mặt nón (N) bằng 30o

C. Mặt nón (N) chứa vô số đường sinh

B. Góc giữa hai đường sinh bất kì của mặt nón (N) bằng 60o D. Góc giữa hai đường sinh đối xứng nhau qua trục của mặt nón (N) là 60o

a 6 4

B. r =

A. r =

ẤP

Câu 7: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh bằng a là a 6 2

C. r =

a 3 4

D. r =

a 6 3

Í-

Câu 8: Cho hình thang ABCD vuông tại A, D với AB = AD = a, DC = 2a . Thể tích khối tròn

-L

xoay xinh ra khi quay hình thang ABCD quanh AD là

5πa 3 3

B. V =

7 πa 3 3

C. V =

8πa 3 3

D. V =

4πa 3 3

ÁN

A. V =

Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 4a, AB = 3a . Thể tích khối nón tròn xoay sinh

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ra khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC bằng

A. 12πa 3

B. 10πa 3

C. 8πa 3

D. 16πa 3

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 4a, AB = 3a . Quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được hình nón với góc ở đỉnh là α thỏa mãn

A. tan α =

3 4

B. cot α =

3 4

C. cot

α 3 = 2 4

D. tan

α 3 = 2 4

Trang 32

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và ABCD là hình vuông cạnh a. Biết góc giữa SB và mặt đáy bằng 45o. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là

C. S = 4πa 2

D. S = 2πa 2

B. S = 6πa 2

H Ơ

A. S = 3πa 2

Câu 12: Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a, M là trung điểm

4πa 3 9

4πa 3 3 27

4πa 3 3

πa 3 3 54

TP .Q

BC. Quay hình nón (C) xung quanh trục AM, ta được một khối cầu có thể tích bằng

ẠO

Câu 13: Một hình nón có đường kính đáy là 2a 3 , góc ở đỉnh là 120o. Thể tích của khối nón

3πa 3

C. 2 3πa 3

B. 3πa 3

D. πa 3

bằng

Ư N

Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết SA = a 3 và cạnh bằng a. Bán kính mặt cầu

3a 6 4

3a 6 8

TR ẦN

ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng

a 3 8

D. a 6

Câu 15: Một hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B 'C ' có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Bán

a 39 6

2a 3 3

kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A ' B 'C ' bằng

a 12 6

4a 3

a 6 4

a 6 8

B. r =

C. r =

a 6 6

D. r =

a 6 12

A. r =

ẤP

Câu 16: Bán kính r của mặt câu nội tiếp tứ diện đều cạnh a bằng

Câu 17: Một khối trụ có bán kính đáy a 3 , chiều cao 2a 3 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp

-L

Í-

khối trụ là

ÁN

A. 8 6πa 3

B. 6 6πa 3

4 6π 3 a 3

D. 4 3πa 3

Câu 18: Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Bán kính mặt cầu ngoại

BỒ

ID Ư

Ỡ N

tiếp hình nón đó bằng

B. 2 3

3 2

2 3 3

Câu 19: Trong các đa diện sau, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong một mặt cầu A. Hình chóp tam giác (tứ diện)

B. Hình chóp ngũ giác đều

C. Hình chóp tứ giác

D. Hình hộp chữ nhật

Trang 33

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 20: Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (ABC) , DB ⊥ BC, AB = AD = BC = a . Kí hiệu V1 , V2 , V3 lần lượt là thể tích của hình nón xoay bởi tam giác ABD khi quay quanh AD, tam giác ABC khi

C. V3 + V2 = V1

D. V1 = V2 = V3

B. V1 + V3 = V2

H Ơ

A. V1 + V2 = V3

quay quanh AB, tam giác DBC khi quay quanh BC. Trong các mệnh đều sau, mệnh đề nào đúng?

Câu 21: Cho các mệnh đề sau:

TP .Q

1) Hình chóp có đáy là hình thang thì có mặt cầu ngoại tiếp 2) Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp

ẠO

3) Hình chóp có đáy là hình chữ nhật thì có mặt cầu ngoại tiếp

4) Hình chóp có đáy là hình thoi thì có mặt cầu ngoại tiếp

B. 1

C. 2

D. 3

Ư N

A. 0

Số mệnh đề đúng là

Câu 22: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Diện tích xung quanh của hình trụ có đáy là đường

2 2πa 2 3

2πa 2 3

3πa 2

3πa 2 2

TR ẦN

tròn ngoại tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD bằng

Câu 23: Một tam giác ABC vuông tại A, có AB = 2, AC = 3 . Kẻ AH vuông góc với BC. Cho

quanh là S1 ,S2 và thể tích là V1 , V2

tam giác ABC quay quanh BC, tam giác AHB và AHC tạo thành hình nón có diện tích xung

2S2 = 3S1 ; (II): 2V2 = 3V1

ẤP

Xét hai phát biểu sau: (I):

Hãy chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:

A. Chỉ (I) đúng

D. Cả (I) và (II) đều đúng

Í-

C. Cả (I) và (II) đều sai

B. Chỉ (II) đúng

-L

Câu 24: Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C 'D ' . Gọi O, O’ là tâm của hai hình vuông

ÁN

A 'B 'C ' D ' và ABCD, OO ' = a . Gọi V1 là thể tích của khối trụ tròn xoay có đáy là hai đường

tròn ngoại tiếp các hình vuông ABCD.A ' B 'C 'D ' , V2 là thể tích của khối nón tròn xoay đỉnh O’

BỒ

ID Ư

Ỡ N

và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD. Tỉ số

A. 2

B. 6

V1 bằng: V2

C. 4

D. 3

Câu 25: Một hình trụ tròn xoay, bán kính đáy bằng r, trục OO ' = r . Một đoạn thẳng AB = r 2 với A ∈ (O; r) , B ∈ (O ', r) . Góc giữa AB và trục của hình trụ bằng

A. 30o

B. 45o

C. 60o

D. 75o

Trang 34

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 26: Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối

4 3a 8

2 3a 8

3a 8

Câu 27: Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90o. Cắt hình nón bằng mặt

H Ơ

2 3a 2

cầu có thể tích bằng thể tích của khối nón thì có bán kính bằng

thiết diện bằng

3a 2 2

2a 2 3

3a 2 2

ẠO

2a 2 3

TP .Q

phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy của hình nón bằng 60o. Khi đó diện tích

3πa 2 4

5πa 2 2

3πa 2 8

3πa 2 2

TR ẦN

Ư N

góc 60o. Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp bằng

Câu 28: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy một

Câu 29: Cho mặt cầu có bán kính r và một hình trụ có bán kính đáy r, chiều cao 2r. Tỉ số thể tích khối cầu và khối trụ bằng

2 3

C. 2

3 2

1 2

Câu 30: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng r, chiều cao r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB

và CD lần lượt thuộc các dây cung của hai đường tròn đáy, mặt phẳng (ABCD) không vuông góc

5 2r 2 2

B. 5r 2

5r 2 2

D. 5 2r 2

ẤP

với mặt phẳng đáy của hình trụ. Diện tích hình vuông ABCD bằng

Câu 31: Hình chóp S.ABC có SA ⊥ SB,SB ⊥ SC,SC ⊥ SA,SA = a,SB = b,SC = c . Mặt cầu

2(a + b + c) 3

ÁN

-L

Í-

ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính r bằng

B. 2 a 2 + b 2 + c 2

a 2 + b 2 + c2 2

a 2 + b2 + c2

Câu 32: Một mặt cầu bán kính r đi qua 8 đỉnh của hình lập phương. Cạnh của hình lập phương đó

BỒ

ID Ư

Ỡ N

bằng

2 3r 3

3r 2

3r 3

3r 6

Câu 33: Cho một tam giác vuông cân có các cạnh góc vuông có độ dài m. Một mặt cầu sinh bởi đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông đó khi quay quanh cạnh huyền có diện tích bằng

Trang 35

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

A. 8πm 2

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

B. 4πm 2

C. 2πm 2

2πm 2 4

H Ơ

Câu 34: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình vuông

2πa 3 6

2πa 3 12

2πa 3 4

2πa 3 3

ABCD quanh AC bằng

TP .Q

Câu 35: Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy bằng e, độ dài đường cao bằng h. Diện tích toàn phần của hình trụ là

B. πr(h + r)

C. πr(2h + r)

D. 2πr(h + r)

ẠO

A. 2hπr

Câu 36: Một hình trụ có đáy là hình tròn (O;6), (O’.6) và OO’=10. Một hình nón có đỉnh O’ và có khối trụ còn lại (không chứa khối nón) bằng

A. 60 π

C. 120 π

TR ẦN

B. 90 π

Ư N

đáy là hình tròn (O;6). Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần. Thể tích phần

D. 240 π

Câu 37: Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền

4πa 3 3

πa 3 24

πa 3 6

bằng a. Mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó có thể tích bằng

πa 3 3

1 2 πd 3

B. 2πd 2

C. 4πd 2

ẤP

A. 4πd 2

Câu 38: Cho mặt cầu (S) có đường kính bằng d. Diện tích của (S) bằng

Câu 39: Một hình trụ có bán kính đáy là 4cm, chiều cao 6cm. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình

Ó H

20 5 πcm 3 3

500 πcm3 3

C. 500πcm3

D. 100πcm3

-L

Í-

trụ đó bằng

Câu 40: Hình khai triển mặt xung quanh của hình nón là hình quạt tròn có bán kính bằng 9cm, số

ÁN

đo cung bằng 120o. Bán kính của đường tròn đáy hình nón bằng

A. 3 cm

B. 9 cm

C. 18 cm

D. 27cm

Câu 41: Một khối trụ có bán kính đáy R = 5cm, khoảng cách giữa hai đáy bằng 4cm. Cắt khối trụ

BỒ

ID Ư

Ỡ N

bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 4cm. Diện tích thiết diện được tạo thành là

A. 12cm 2

B. 20 cm 2

C. 24 cm 2

D. 10 cm 2

Câu 42: Cho đường tròn (O;r) và điểm I cố định, IO=2r. Qua I kẻ tiếp tuyến IM với (O; r) (M là tiếp điểm). Cho tam giác OMI quay quanh đường thẳng OI. Gọi H là hình chiếu của M lên OI. Thể tích khối tròn xoay do tam giác OMI sinh ra khi quay quanh OI, bằng

Trang 36

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

πr 3 4

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

πr 3 2

πr 3 3

2πr 3 3

H Ơ

Câu 43: Cho mặt cầu S(O; r) và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng d. Nếu d < r thì đường

r2 − d2

r2 + d2

r.d

r+d

tròn giao tuyến của (P) và mặt cầu S(O; r) có bán kính là

TP .Q

Câu 44: Một đường thẳng d thay đổi, qua A và tiếp xúc với S(O; R) tại M. Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng OA. Khi đó, điểm M thuộc mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

ẠO

A. Mặt phẳng vuông góc với OA tại O B. Mặt phẳng vuông góc với OA tại trung điểm OA

C. Mặt phẳng vuông góc với OA tại H

Ư N

D. Mặt phẳng vuông góc với OA tại A

Câu 45: Một đường thẳng d thay đổi, qua A và tiếp xúc với S(O; r) tại M, với OM = 2r. Gọi H là

r 2 2

r 3 3

r 3 2

3r 3 4

TR ẦN

hình chiếu của M lên đường thẳng OA. Khi đó, độ dài đoạn thẳng MH bằng

Câu 46: Giao tuyến của hai mặt cầu (S) và (S’) có thể là

B. Điểm, hình tròn

A. Đoạn thẳng, điểm

D. Điểm, đường tròn, tập hợp rỗng

C. Điểm, đường tròn

Câu 47: Cho đường tròn (C) có đường kính cố định AB = 2r và nằm trong mặt phẳng (P), ∆ là

ẤP

đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A. Trên ∆ lấy điểm S với SA = h, M là điểm di

động trên (C), I là trung điểm SM, I’ là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P). Diện tích

Í-

πrh 3

3πrh 2

πrh 2

D. πrh

-L

xung quanh của hình do II’ sinh ra khi M di động trên (C), bằng

ÁN

Câu 48: Cho hình trụ với đáy là đường tròn (O; R) và đường cao OO’ = h. Trên (O;R) lấy điểm A, trên (O’,R) lấy điểm A’ sao cho góc giữa AA’ và OO’ bằng 30o. Mặt phẳng chứa AA’, song song

BỒ

ID Ư

Ỡ N

với trục hình trụ và cắt hình trụ theo thiết diện. Diện tích thiết diện bằng

3h 2 2

3h 2 3

2 3h 2 3

2h 2 3

Câu 49: Cho hình cầu (S) tâm O, bán kính R, đường kính cố định AB. Gọi I là trung điểm của đoạn OB. Mặt phẳng (P) vuông góc với AB tại I, cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là

A. đường tròn tâm I, bán kính R 3 , nằm trong (P) B. đường tròn tâm I, bán kính R 3 Trang 37

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

C. đường tròn tâm I, bán kính

R 3 , nằm trong (P) 2

H Ơ

D. đường tròn tâm I, bán kính 2 R 3 , nằm trong (P)

giác ABC đều cạnh a, tam giác BCD vuông cân tại D. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

a 3 3

2a 3 3

a 3 2

ẠO

a 2 3

Đáp án 3-A

4-D

6-B

7-A

8-B

11-D

12-C

13-D

14-B

15-A

16-D

17-A

18-D

21-C

22-A

23-D

24-B

25-B

26-B

27-A

28-D

31-C

32-A

33-C

34-B

35-D

36-D

37-A

41-C

42-B

43-A

44-C

45-B

46-D

10-D 20-A

29-B

30-C

38-C

39-B

40-A

48-B

49-C

50-B

TR ẦN

Ư N

19-C

47-C

9-A

2-C

1-B

TP .Q

bằng

Câu 50: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc với nhau. Biết tam

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Đáp án B

Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB và ABC.

ẤP

Do các tam giác SAB và ABC là các tam giác đều cạnh bằng 1 nên P, Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác đó.

Qua P dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SAB),

Í-

qua Q dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC).

-L

Hai trục này cắt nhau tại I, suy ra IA = IB = IC = IS .

IC.

ÁN

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và R =

Xét

Ỡ N ID Ư

BỒ

1 3  2 3  15 ∆ IQC : IC = IQ + QC =  .  +  .  = 6 3 2  3 2 

Vậ y V =

4 3 5 15π πR = 3 54

Câu 2: Đáp án C Trang 38

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

= 300 . Dễ thấy góc giữa đường sinh SA và mặt Do góc ở đỉnh của hình nón bằng 600 nên OSA

. đáy là SAO

H Ơ

= 900 − OSA = 600 Xét tam giác SOA vuông tại O, ta có: SAO

Câu 3: Đáp án A

Vì ∆ tiếp xúc với S ( O; r ) tại M nên OM ⊥ ∆ tại M.

TP .Q

Xét tam giác OMA vuông tại M, ta có:

ẠO

AM 2 = OA 2 − OM 2 = d 2 − R 2

⇒ AM = d 2 − r 2

Câu 4: Đáp án D

Ư N

Gọi I là tâm mặt cầu đi qua hai điểm A, B cố định và phân biệt thì ta luôn có IA = IB.

Do đó, I thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB

TR ẦN

Câu 5: Đáp án a) – 2, b) – 4, c) – 5, d) – 7, e) – 3

+ Hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a nên có chiều cao h = a, độ dài đường sinh

a 2

πa 3 và diện tích xung quanh của hình trụ là 4

l = a, bán kính đáy r =

Vậy thể tích khối trụ là V = hπr 2 =

ẤP

Sxq = 2πrl = πa 2

+ Hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a nên có chiều cao h =

a . 2

Í-

đường sinh l = a, bán kính đáy r =

a 3 , độ dài 2

ÁN

-L

1 π 3a 3 Vậy thể tích khối nón là V = hπr 2 = và diện tích xung quanh của hình trụ là 3 24

Sxq = πrl =

πa 2 . 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

+ Mặt cầu S ( O;a ) có r = a nên diện tích mặt cầu là S = 4πr 2 = 4πa 2 và thể tích là

4 3 4πa 3 πr = 3 3

Câu 6: Đáp án B Góc giữa hai đường sinh bất kì thay đổi từ 00 đến 900

Câu 7: Đáp án A Trang 39

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, H là trung điểm cạnh AD. Qua H dựng đường thẳng ∆ ⊥ AD , ∆ cắt DG tại O. Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

H Ơ

ABCD và bán kính mặt cầu là r = OD.

Xét hai tam giác GDA và HDO đồng dạng, ta có:

OD HD DA.HD 6a = ⇔ OD = = DA GD GD 4

TP .Q

Câu 8: Đáp án B Gọi S là giao điểm của BC và AD

1 πa 3 kính đáy AB ⇒ V2 = SAπ AB2 = 3 3

7 πa 3 3

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng: V1 − V2 =

TR ẦN

+ Gọi V2 là thể tích khối nón đỉnh S, đường sinh SB, bán

Ư N

1 8πa 3 kính đáy DC ⇒ V1 = SDπ DC 2 = 3 3

ẠO

+ Gọi V1 là thể tích khối nón đỉnh S, đường sinh SC, bán

Câu 9: Đáp án A

Hình nón có chiều cao h = AC = 4, bán kính đáy r = AB = 3a.

ẤP

1 Vậy thể tích khối nón là V = hπr 2 = 12πa 3 3

Câu 10: Đáp án D

AB α 3 ⇔ tan = AC 2 4

-L

Í-

Câu 11: Đáp án D

= Tam giác ABC vuông tại A có: tan ACB

ÁN

Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên góc giữa SB và đáy là góc

= 450 ⇒ SA = AB = a SBA

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, qua O dựng đường thẳng

BỒ

ID Ư

Ỡ N

∆ / / SA , ∆ ∩ SC = {I} : Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp S.ABCD và bán kính r = IC =

SC a 3 = 2 2

Vậy mặt cầu có diện tích là: S = 4πr 2 = 3πa 2

Câu 12: Đáp án C Trang 40

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

a 3 2

a 3 3

TP .Q

Bán kính mặt cầu được tạo thành khi quay đường tròn (C) quanh trục AH là R = OA =

H Ơ

2 a 3 AH = 3 3

Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp ∆ ABC , thì O ∈ AH và OA =

Vì AH là đường cao trong tam giác đều cạnh a nên AH =

ẠO

4 4  a 3  4πa 3 3 Vậy thể tích của khối cầu tương ứng là: V = πR 3 = π   = 3 3  3  27

Câu 13: Đáp án D

TR ẦN

⇒ Chiều cao hình nón là: h = a

Ư N

OA a 3 = =a 0 tan 60 3

Xét tam giác SOA vuông tại O: SO =

= 600 Vì góc ở đỉnh là 1200 nên góc OSA

1 Vậy thể tích khối nón là V = πr 2 h = πa 3 3

Câu 14: Đáp án B

Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC, ta có SG ⊥ ( ABC ) nên SG là trục của tam giác ABC.

Gọi K là trung điểm của SA.

ẤP

Qua K dựng đường thẳng ∆ ⊥ SA, ∆ ∩ SG = {I} : Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

và bán kính là r = SO.

Í-

Xét hai tam giác SMO và SHA đồng dạng, ta có:

ÁN

-L

SM.SA Suy ra: r = SO = = SH

a 3 .a 3 2 a 3 3a −    3  2

SO SM SM.SA = ⇒ SO = SA SH SH

3a 3 3a 6 = 8 4 2

Câu 15: Đáp án A

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A’B’C’. Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên GG ' ⊥ ( ABC ) .

Gọi K là trung điểm AA’. Qua K dựng đường thẳng ∆ ⊥ AA ' .

Trang 41

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ta có điểm I,

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

({I} = ∆ ∩ GG ')

là tâm và R = AI là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

ABC.A’B’C’.

2 3a  AA '   2A ' M  =   +  = 3  2   3 

( IG ') + ( A 'G ')

IA ' =

H Ơ

Xét tam giác IA’G’ vuông tại G’, ta có:

TP .Q

Câu 16: Đáp án D Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a.

ẠO

a3 2 12

Ta tính được thể tích khối tứ diện đều là VABCD =

Ư N

Mặt khác, ta lại có: VABCD = VI.ABC + VI.ACD + VI.BCD + VI.ABD

TR ẦN

3V 1 1 1 1 4r a 6 ⇒ VABCD = r SABC + r SACD + r SBCD + r SABD = SABC ⇔ r = ABCD = 3 3 3 3 3 4SABC 12

Câu 17: Đáp án A

Gọi r là bán kính hình trụ, h là chiều cao hình trụ và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình trụ.

ẤP

Câu 18: Đáp án D

4 3 πR = 8 6πa 3 3

Vậy thể tích khối cầu là : V =

h Ta có: R = r 2 +   = a 6 2

Hình nón có bán kính đáy r = 1 và độ dài đường sinh l = 2. Suy ra đường cao của hình nón là:

h = l2 − r 2 = 3

Í-

Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón nằm trên trục hình nón. Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có: 2

-L

(

3−R

)

⇔ R 2 = 1 + 3 − 2 3R + R 2 ⇔ R =

ÁN

R = r2 +

4 2 3

2 3 3

Câu 19: Đáp án C

Dễ thấy hình chóp tứ giác trong trường hợp đáy là tứ giác không nội tiếp (ví dụ: hình bình hành,

Ỡ N

hình thang bất kì…) thì không tồn tại mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

BỒ

ID Ư

Câu 20: Đáp án A

BC ⊥ DB Ta có:  ⇒ BC ⊥ ( ABD ) ⇒ BC ⊥ AB BC ⊥ AD

Tam giác ABC vuông tại B ⇒ AC = a 2

Trang 42

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

H Ơ

 1 πa 3 2 V1 = AD.π.AB = 3 3   1 2πa 3 Lúc đó: V3 = BC.π.BD 2 = 3 3   1 πa 3 2 V2 = AB.π.BC = 3 3 

TP .Q

⇒ V1 + V2 = V3

Câu 21: Đáp án C

ẠO

Áp dụng điều kiện để hình chóp, hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp để đưa ra kết luận đúng cho

mỗi mệnh đề.

Ư N

1 – S, 2 – Đ, 3 – Đ, 4 – S Câu 22: Đáp án A

TR ẦN

Áp dụng điều kiện để hình chóp, hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp để đưa ra kết luận đúng cho mỗi mệnh đề.

Câu 23: Đáp án D

00 10

2 5 3 5 ; CH = BC − BH = 5 5

⇒ BH =

Ta có: AB2 = BH.BC

ÁN

-L

⇒ 2S2 = 3S1

Í-

 60π S1 = π AH.AB =  5 Suy ra:  S = π AH.AC = 90π  2 5

30 5

ẤP

Mặt khác: AH.BC = AB.AC ⇒ AH =

Ỡ N

1  2 V1 = 3 HC.π.AH 2CH =3BH Tương tự:   → 2V2 = 3V1 1 V = BH.π.AH 2  2 3

BỒ

ID Ư

Vậy cả (I) và (II) đều đúng

Câu 24: Đáp án B + Hình trụ có chiều cao h1 = OO ' = a và bán kính đáy r1 = OA =

a 2 2

Trang 43

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

πa 3 2

⇒ V1 = h1πr12 =

H Ơ N

1 a AB = 2 2

r2 =

+ Hình trụ có chiều cao h 2 = OO ' = a và bán kính đáy

TP .Q

V1 =6 V2

ẠO

Vậ y

1 πa 3 2 ⇒ V2 = h 2 πr2 = 3 12

BB ' 2 ' = 450 = ⇒ ABB AB 2

TR ẦN

= cos ABB'

Xét tam giác ABB’ vuông tại B’:

Ư N

Dựng BB’ // OO’ suy ra góc giữa AB và trục OO’ là góc ABB'

Câu 25: Đáp án B

Câu 26: Đáp án B

a 3 a , bán kính đáy r = 2 2

Hình nón có chiều cao h =

ẤP

1 3πa 3 Thể tích khối nón là: V = hπr 2 = 3 24

4 3 πR 3

Gọi R là bán kính mặt cầu, suy ra thể tích khối cầu tương ứng là:

4 3πa 3 3a 3 πrR 3 = ⇔ R3 = 3 24 32

-L

Í-

Theo giả thiết:

ÁN

⇔R=

a 3 3 a 3 3. 3 4 a 3 4 3 = = 8 8 33 4

Câu 27: Đáp án A

Gọi thiết diện là tam giác SAB.

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Gọi H là trung điểm AB.

 AB ⊥ OH Ta có:  ⇒ góc giữa ( α ) và mặt đáy là SHO AB ⊥ SH 

= Tam giác SOH vuông tại O: sin SHO

SO a 6 ⇒ SH = SH 2

Trang 44

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

3a 3

Suy ra: AH = SA 2 − SH 2 =

2 3a 3

H Ơ

⇒ AB =

Câu 28: Đáp án D

TP .Q

Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Suy ra góc giữa SA và mặt

= 600 . đáy là SAO

ẠO

SO a 6 ⇒ SO = AO 2

= Tam giác SOA vuông tại O: tan SAO

Ta có: SA = AO 2 + SO 2 = a 2

H TR ẦN

3πa 2 2

Suy ra: Stp = πrl + πr 2 =

Ư N

l = SA = a 2  Hình nón có:  a 2 r = OA = 2 

4 3 πr 3

+ Khối cầu có thể tích: V1 =

Câu 29: Đáp án B

V1 2 = V2 3

Suy ra

ẤP

+ Khối trụ có thể tích: V2 = hπr 2 = 2πr 3

Câu 30: Đáp án C

-L

AB, CD.

Í-

Gọi hình vuông ABCD bằng a, H, K lần lượt là trung điểm

ÁN

Gọi {I} = HK ∩ OO ' ⇒ I là trung điểm của OO’

Xét tam giác OIH vuông tại O:

Ỡ N

IH 2 = OI 2 + OH 2

BỒ

ID Ư

⇔ IH 2 = OI 2 + OB2 − HB2

⇔

(

)

a2 r2 2 a2 5r 2 = + r − ⇔ a2 = 4 4 4 2

Câu 31: Đáp án C Trang 45

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

SA ⊥ SB Ta có:  ⇒ SA ⊥ ( SBC ) SA ⊥ SC

H Ơ

Gọi H, K lần lượt là trung điểm BC và SA.

+ Qua H dựng đường thẳng ∆ ⊥ ( SBC ) ⇒ ∆ / / SA

+ Qua K dựng đường thẳng ∆ ' ⊥ SA ⇒ ∆ '/ / SH

a 2 + b 2 + c2  SA   BC  Xét tam giác HIS vuông tại H: SI = IH + SH =   +  = 2  2   2  2

ẠO

TP .Q

Khi đó giao điểm {I} = ∆ ∩ ∆ ' là tâm và SI là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Câu 32: Đáp án A tiếp hai hình vuông đó.

TR ẦN

Gọi I là trung điểm OO’, suy ra IA = IA’. Vậy I là tâm mặt

Ư N

Gọi O, O’ lần lượt là tâm các hình vuông ABCD, A’B’C’D’, suy ra OO’ là trục đường tròn ngoại

cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, Bán kính r = IA.

Gọi cạnh hình lập phương là a.

Ta có: r = IA = OA 2 + IO 2

ẤP

 a 2   a 2 2 3r =   +   ⇔ a = 3  2  2

Câu 33: Đáp án B

Đường tròn ngoại tiếp tam giác có bán kính bằng

m 2 2

-L

Í-

Vậy mặt cầu có diện tích là: S = 4πr 2 = 2πm 2

ÁN

Câu 34: Đáp án B

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, suy ra: OA = OC = OB = OD =

a 2 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Gọi V1 là thể tích khối nón đỉnh B, đường cao OB, bán kính đáy OC.

1 2πa 3 Ta có: V1 = OB.π.OC 2 = 3 12

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V = 2V1 =

2πa 3 6

Câu 35: Đáp án D Trang 46

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Hình trụ có độ dài đường sinh l = h

Vậy diện tích toàn phần của hình trụ là: Stp = 2πrl + 2πr 2 = 2πr ( h + r )

H Ơ

Câu 36: Đáp án D

+ Khối trụ có thể tích: V1 = OO '.π.OA 2 = 360π

TP .Q

1 + Khối nón có thể tích: V2 = OO '.π.OA 2 = 120π 3

ẠO

Vậy thể tích khối cần tìm là: V = V1 − V2 = 240π

Câu 37: Đáp án A

Ư N

Tâm mặt cầu nằm trên đoạn SO. Gọi SI = r là bán kính mặt cầu.

TR ẦN

Ta có: SI = IA = r. Xét tam giác IOA vuông tại O: IA 2 = OA 2 + IO 2 2

4 3 πa 3 πr = 3 6

Vậy thể tích khối cầu là: V =

a2  a  a + −r ⇔ r = 4 2  2

⇔ r2 =

ẤP

d 2

Mặt cầu (S) có bán kính r =

Câu 38: Đáp án C

Câu 39: Đáp án B

Vậy diện tích mặt cầu (S) là: S = 4πr 2 = πd 2

-L

Í-

Gọi O, O’ là tâm hai đáy của hình trụ.

ÁN

Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình trụ là trung điểm của OO’.

Bán kính mặt cầu là: r = IA = OA 2 + OI 2 = 5cm 4 3 500π 3 cm πR = 3 3

Ỡ N

Vậy thể tích khối cầu là: V =

BỒ

ID Ư

Câu 40: Đáp án A Ta có chu vi đáy của hình nón bằng 2πr Số đo cung 1200 =

2π 3

Trang 47

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

Ta có: I = Rα ⇔ 2πr =

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

2π .9 ⇔ r = 3cm 3

Câu 41: Đáp án C

H Ơ

Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABCD.

Gọi H là trung điểm AB

TP .Q

OH ⊥ AB ⇒ ⇒ OH ⊥ ( ABCD ) OH ⊥ BC

ẠO

Suy ra: d ( OO ', ( ABCD ) ) = OH = 4 cm

Tam giác OAH vuông tại H:

AH = OA 2 − OH 2 = 3cm ⇒ AB = 6 cm

Ư N

Vậy diện tích thiết diện là: S = AB.BC = 24 cm 2

TR ẦN

Câu 42: Đáp án B Gọi V3 là thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác

OMI quanh cạnh OI; V1 là thể tích khối tròn xoay khi quay

ẤP

 1 3πr 3 2 V = IM. π .OM =  1 3 3 Ta có:  1  V = OM.π.IM 2 = πr 3  2 3

xoay khi quay tam giác OMI quanh cạnh OM.

tam giác OMI quanh cạnh IM; V2 là thể tích khối tròn

1 1 1 πr 3 + + ⇒ V = 3 2 V12 V22 V32

-L

Í-

Áp dụng kết quả:

ÁN

Câu 43: Đáp án A

Gọi r’ là bán kính đường tròn giao tuyến.

Suy ra: r ' = r 2 − d 2

BỒ

ID Ư

Ỡ N

Câu 44: Đáp án C

Xét tam giác OMA vuông tại M:

1 1 1 = + ⇒ MH không 2 2 MH OM MA 2

đổi.

Mặt khác do MH ⊥ OA nên suy ra tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu

Trang 48

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

cầu bài toán là đường tròn tâm H, bán kính MH. Từ đây suy ra M thuộc mặt phẳng vuông góc với OA tại H.

H Ơ

Câu 45: Đáp án B

Xét tam giác OMA vuông tại M:

TP .Q

1 1 1 3r 2 r 3 2 = + ⇔ MH = ⇔ MH = 2 2 2 4 2 MH OM AM

Câu 46: Đáp án D Số giao điểm

(S) và (S’) không cắt nhau

ẠO

Trường hợp

Ư N

(S) và (S’) tiếp xúc nhau

Vô số điểm và các điểm này cùng nằm trên một

(S) và (S’) cắt nhau

TR ẦN

đường tròn

Câu 47: Đáp án C

1   II ' = 2 h Ta có:  OA = 1 AB = r  4 2

πrh 2

Sxq = 2πrl =

ẤP

Vậy diện tích xung quanh của khối tròn xoay là:

Câu 48: Đáp án B

Í-

Dựng A 'B '/ / OO ' ⇒ góc giữa AA’ và OO’ là góc

-L

AA 'B ' = 300

ÁN

Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABA’B’

Xét tam giác AB’A’ vuông tại B’:

AB ' h 3 ⇔ AB ' = A 'B ' 3

Vậy diện tích thiết diện là: S = AB '.A 'B ' =

3h 2 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

tan B ' A 'A =

Trang 49

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

www.twitter.com/daykemquynhon www.google.com/+DạyKèmQuyNhơn

www.facebook.com/daykem.quynhon www.daykemquynhon.blogspot.com

Câu 49: Đáp án C Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến của (P) và mặt cầu (S).

ẠO

TP .Q

H Ơ

R 3 R Ta có: r = R 2 −   = 2 2

Câu 50: Đáp án B

Do ( ABC ) ⊥ ( BCD ) và tam giác BCD vuông cân tại D nên AH

Ư N

Gọi G là trọng tâm tam gaics ABC, H là trung điểm cạnh BC.

TR ẦN

là đường trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Suy ra: G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và bán kính

2 a 3 AH = 3 3

BỒ

ID Ư

Ỡ N

ÁN

-L

Í-

ẤP

R = AG =

mặt cầu là

Trang 50

Sưu tầm bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial