CQFD Maths 5e by Groupe De Boeck

Annick VAN EERDENBRUGGHE Anne BOUSSON

CQFD-Manuel5e+4e-195_Mise en page 1 23/06/10 13:12 Page1

Le manuel CQFD 5e contient la matière vue en classe de 5e année (4 périodes de maths par semaine) et est conforme aux programmes des réseaux de la Communauté française de Belgique.

u Des savoirs et savoir-faire mis en lien avec le quotidien des élèves u De nombreux exercices accompagnés d'un Cahier de fiches d'exercices (vendu séparément)

u La synthèse consiste à articuler les références pratiques et théoriques. u Les exercices sont diversifiés et classés selon certaines compétences.

CQFD 5e, c'est également : CQFD 5e FICHES D’EXERCICES Des fiches de travail personnel et des fiches autocorrectives facilitent la régularité et le suivi du travail des élèves.

ISBN : 978-2-8041-2416-8

www.deboeck.com 9 782804 124168 CQFD5

MANUEL

u L’exploration propose, sous la guidance de l’enseignant, des activités pour mener rapidement aux notions nouvelles et concepts qu’il faut apprendre.

4 PÉRIODES PAR SEMAINE

u La construction des savoirs se fait de manière guidée

u L’introduction situe les apprentissages dans la réalité quotidienne ou culturelle et indique à l’élève ce qu’il faut apprendre.

CQFD 5e CORRIGÉ Le corrigé contient les solutions de tous les exercices du manuel et des fiches de 5e année.

CQFD MATHS 5e

u Une mise en page structurée et en couleurs

Avec CQFD, acquérir les compétences en maths se fait via des activités et des résolutions de problèmes, simples, rapides et pratiques. Chaque chapitre est structuré selon le même schéma :

Conception graphique : Primo&Primo

UNE COLLECTION DE MANUELS DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL, DE LA 1re À LA 6e, SOUS LA DIRECTION DE FRANÇOISE VAN DIEREN

Annick VAN EERDENBRUGGHE Anne BOUSSON

4 PÉRIODES / SEMAINE

s o p o r p avant Chaque fois que l’on arrive au bout d’une démonstration, on écrit : CQFD (« Ce Qu’il Fallait Démontrer ») ! Faire des mathématiques, c’est s’appuyer sur des arguments pour Démontrer, mais c’est aussi Découvrir, Démonter, Démystifier. Au fil des pages de la collection « CQFD », selon les contenus et les contextes, ces compétences alternent, se complètent… Les huit chapitres du manuel CQFD 5 e couvrent l’ensemble des programmes des deux réseaux. En particulier, le chapitre 6, « Géométrie dans l’espace », répond au programme de la Communauté française et le chapitre 7, « Produit scalaire dans le plan », au programme de la Fesec. Le manuel s’adresse aux élèves qui suivent un cours à 4 périodes par semaine. Dans chaque chapitre, la construction progressive du savoir s’articule selon un même parcours : – un texte introductif situe les matières ; –  une exploration, basée sur des situations concrètes, fournit des informations et des pistes de travail pour l’apprentissage de nouvelles notions ; –  une synthèse, structure théorique, s’organise en questions pour permettre à l’élève d’expliciter, organiser et fixer les concepts ; elle donne des exemples et des modèles ; –  des exercices, classés par compétences, portent sur la synthèse, développent l’habileté calculatoire et la capacité à résoudre des problèmes. En outre, des fiches support, autocorrectives et de travail personnel – réunies dans un cahier séparé – facilitent l’élaboration de tableaux et graphiques, proposent des exercices supplémentaires et permettent l’évaluation des savoirs. La sélection des activités présentées vise à développer, chez l’élève, de multiples compétences : maîtriser ses connaissances, conjecturer, vérifier, argumenter. Les références entre les différentes parties du manuel et les fiches sont indiquées dans l’exploration de chaque chapitre. Nous espérons que les élèves qui utilisent ce livre développeront un réel intérêt pour les mathématiques ! Nous tenons à remercier Françoise Van Dieren, directrice de la collection « CQFD », pour son dynamisme, ses conseils éclairés et sa participation à la réalisation des chapitres de géométrie ; Sabine Hausmann et Marc Annoye qui ont relu l’épreuve et donné leurs avis constructifs ; Jean-Pierre et Bernard pour leurs encouragements et leur patience. Les auteurs

Avant-propos

III

? e r d n e r p y ’ s t n e comm Le manuel est structuré en 8 chapitres qui proposent, chacun, un déroulement identique. Tracer le graphique d’une fonction du second degré, recherche r son maximum ou son minimum, déterminer ses intervalles de croissance ou de décroissan ce ne posent guère de difficultés dès qu’on connaît les caractéristiques de cette fonction. Il en va autrement pour des fonctions polynômes d’un degré supérieur ou pour des fonctions dont l’expression est plus élaborée. La notion de dérivée découverte dans ce chapitre permet d’étudier de nombreuses fonctions sous différents aspects : croissance, extrema, représentation graphique… Les domaines d’application de la dérivée sont nombreux. On peut citer, entre autres, les sciences (étude des mouvements en physique, de la vitesse de réaction en chimie…), l’économie (tendance des marchés et variation des coûts…), le monde technique (conception de ponts, raccordement de courbes…). Historiquement, le concept de dérivée a été inventé au XVIIe siècle quasi simultanément par deux mathématiciens : l’Anglais NEWTON et l’Allemand LEIBNIZ. Le premier aborde la dérivée par les « infiniment petits » dans l’étude du mouvement des corps, tandis que le second cherche à résoudre des problèmes de tangentes.

Lis attentivement l’introduction pour situer ce que l’on va apprendre.

exploration 6. Le déboisement dans le monde En classe, avec le professeur et les autres élèves, tu découvres les nouvelles notions.

On s’intéresse ici à des données fournies par le site IDD (Indicateurs pour un Développement Durable), qui distingue seulement deux catégories : les régions du globe situées au Nord et celles situées au Sud. On peut y voir que le taux de déboisement n’est pas uniforme dans les différentes parties du monde. Le tableau ci-dessous présente des chiffres calculés à partir de données fournies par ce site et par celui de l’Organisation des Nations Unies pour l’alimentation et l’agriculture (FAO, 1999). Partie du monde

Superﬁcie boisée en milliers d’hectares, début 1990

Variation annuelle en %

Nord

1 618 431

+ 0,1

Sud

1 892 296

– 0,7

Calculer les superficies boisées de chaque partie du globe, année après année jusque fin 1995.

synthèse 4. Comment découvrir la limite d’une fonction en l’inﬁni ? Pour découvrir • lim f ( x) , on observe une suite de puissances de 10 et leurs images ; x→ + ∞

• lim f ( x) , on observe une suite d’opposés de puissances de 10 et leurs images. x→ - ∞

Énoncé 4.2 lim f ( x) = b signifie que f (x) peut être aussi proche que l’on veut de b, pour autant que x soit suffisamx→ + ∞ ment grand. lim f ( x) = b signifie f (x) peut être aussi proche que l’on veut de b, pour autant que les valeurs de x x→ − ∞ négatives soient suffisamment grandes en valeur absolue.

Comment s’y prendre ?

Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.

exercices Expliciter les savoirs et les procédures 1. Lecture sur le graphique Indiquer sur la fig. 19 (fiche 23) ce que représentent les expressions suivantes : h ; f ( a) ; f ( a + h) ; f ( a + h) - f ( a) ; f ( a + h) - f ( a) ; h

lim h→0

Les exercices Expliciter les savoirs et les procédures permettent de fixer l’essentiel et d’appliquer directement ce que tu as étudié.

y = f (x)

f ( a + h) - f ( a) . h

a+h

fig. 19

Avec les exercices Appliquer une procédure, tu acquiers un « savoir-faire » qui s’appuie sur les énoncés et les méthodes découverts.

exercices Appliquer une procédure 6. Calculer des composantes de vecteurs On donne les points A(1 , 2 , – 1), B(2 , 1 , 0), C (3 , 2 , – 7) et D(1 , 1 , 1). a. Calculer les composantes des vecteurs

u = AB

v = CD

u+v

b. Calculer la coordonnée du point M tel que BM =

2u - 3v 1 AC . 2

exercices Résoudre un problème 15. Chaud et froid L’ensemble des relevés de température au cours d’une journée se prête parfois à une modélisation par une fonction de la forme f ( t) = A sin(ωt + ϕ) + b , dans laquelle t est le temps exprimé en heures et f ( t) la température en degrés Celsius. Dans ce cas, minuit correspond à t = 0 et on suppose que la température décroît dans les premières heures de relevés.

Les problèmes proposés mobilisent les concepts dans des situations variées.

a. Quelle est la fonction qui modélise l’évolution de la température d’une journée durant laquelle le maximum est de 10 °C et le minimum, atteint à 3 h, est de – 2 °C ? b. Quelle était la température à minuit ? c. Pendant combien de temps a-t-il gelé ? d. Pendant quelles périodes de la journée a-t-on eu une température supérieure à 8 °C ?

Le cahier de fiches d’exercices se compose de fiches numérotées de 1 à 42 qui suivent l’ordre des chapitres du manuel. Il existe trois types de fiches : de travail personnel, autocorrectives et « support ».

Avec les fiches de travail personnel, tu résous des problèmes faisant appel à plusieurs notions du chapitre.

Comment s’y prendre ?

e r i a m m so 1. Fonctions et graphiques

2. Des fonctions trigonométriques aux équations

3. Suites

4. Limites et asymptotes

5. Dérivées et applications

6. Géométrie dans l’espace

119

7. Produit scalaire dans le plan

141

8. Vecteurs et produit scalaire dans l’espace

151

Annexes

161

Index

167

Sommaire

e i r t é m o é g e c a p s e ’ l s dan La géométrie est utilisée de manière constante en construction , en architecture, dans la menuiserie… Elle fournit le cadre théorique pour certains aspect s de la cartographie, de l’astronomie, de la physique. Dans tous ces domaines, la géométrie se rapporte à des objets de l’espace à trois dimensions (les plus simples ont une hauteur, une longueur et une largeur). La géométrie dans l’espace présente donc une difficulté particu lière : pour étudier ces objets et communiquer à leur propos, il faut passer par une représentatio n plane à deux dimensions. On perd donc certaines informations.

Diverses techniques de représentation ont été utilisées au cours de l’histoire. Certaines ont été mises au point par des peintres. C’est le cas de la perspective à point de fuite à l’époque de la Renaissance en Italie. D’autres ont été progressivement élabor ées par des architectes, des inventeurs ou des stratèges. C’est le cas de la perspective cavaliè re, utilisée pour établir les plans de bataille : d’où son nom. Dans toutes les questions de géométrie dans l’espace que nous étudierons ici, nous utiliserons la perspective parallèle (c’est ainsi que l’on nomme la perspe ctive cavalière dans le cadre de la géométrie) déjà abordée dans les classes précédentes. Il nous faut à présent construire un cadre plus abstrait de notion s et de propriétés qui dépassent et englobent les solides familiers : examiner d’abord les positio ns relatives des droites et des plans pour revenir ensuite à des constructions plus complexes. On apprendra par exemple comment construire exactement l’ombre d’un objet, comment déterminer la section plane d’un cube ou d’une pyramide.

Scenes in a theatre tea-house, Hishikawa Moronobu, British Museum . La peinture japonaise du xVii e siècle utilise la perspective parallèle. On peut vériﬁer que les lignes de la cloison centrale par exemple sont exactement parallèles. Or elles donnent l’impression d’être divergentes. Ceci vient de ce que la représentation de la réalité la plus proche de notre vision est la perspective à point de fuite. Curieusement, nous avons une meilleure impression de parallélisme lorsque les droites concourent vers un point de fuite. Cette perspective permet aussi de ne pas réduire la taille des personn ages représentés à l’arrière plan.

n o i t a r o l exp 1. Du parallélépipède aux positions relatives de droites et de plans Les arêtes de cette boîte (fig. 1) sont des segments de droites et ses faces sont des parties de plans. On s’en sert ici pour recenser toutes les positions relatives de plans et de droites dans l’espace. La photo de la boîte est une image en perspective centrale. Elle correspond à notre vision de l’objet. Dans ce type de perspective, le parallélisme de droites est-il conservé ? La fig. 2 est une représentation en perspective parallèle. L’observateur est situé en haut à droite. Les arêtes cachées sont représentées par des pointillés. H

fig. 1

E D

fig. 2

a. Les sommets du parallélépipède déterminent plusieurs droites. Examiner deux à deux les droites AB, AE, CG, HF, DB et BG et préciser si elles sont parallèles, sécantes ou non coplanaires. Les droites non coplanaires sont appelées droites gauches. b. Les différentes faces de cette boîte sont des parties de plans. Repérer deux paires de plans parallèles et deux paires de plans sécants. c. C aractériser la position des droites DB, EG, HB par rapport au plan ABC.

2. Intersection ou illusion ? a. Sur cette représentation d’un parallélépipède rectangle (fig. 3), les droites AH et EG ont un point commun. Et dans la réalité ? H

G F

E D

C B fig. 3

120

6. Géométrie dans l’espace

b. La figure (fig. 4 et fiche 29) est une représentation en perspective cavalière de deux bâtons en appui sur le mur et sur le sol.

Les bâtons se touchent-ils ? Indication – Projeter les extrémités des bâtons sur le sol. – Situer les bâtons l’un par rapport à l’autre. β

B D

α C A

fig. 4

3. Déterminer un plan a. On plante des piquets dans le sol pour surélever une planche. Que se passe-t-il si on plante deux piquets, trois ou quatre piquets ? b. Si les trois pieds d’un tabouret sont de longueurs différentes, est-il instable ou simplement incliné ? c. D eux points de l’espace déterminent un segment. Déterminent-ils aussi une droite, un plan, un cercle, une sphère ? d. Et si on donne trois points, quatre points ? e. Et si on donne deux droites sécantes, deux droites parallèles ?

Exploration

121

4. Vrai ou faux ? Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Fournir un exemple ou un contre-exemple à partir d’éléments d’un parallélépipède rectangle (fig. 5 et fiche 29) ou d’une pyramide (fig. 6 et fiche 29) qu’il faut éventuellement compléter. Si nécessaire, recourir à une maquette. A

B C

C fig. 5

fig. 6

a. Lorsque deux plans sont sécants, leur intersection est une droite. b. Deux plans peuvent n’avoir aucun point commun. c. Une droite peut n’avoir aucun point commun avec un plan. d. Si deux plans sont sécants, toute droite qui coupe l’un coupe l’autre. e. Par un point de l’espace, on ne peut mener qu’une seule droite parallèle à un plan donné. f. P ar un point de l’espace, on ne peut mener qu’une seule droite parallèle à une droite donnée. g. Par un point de l’espace, on ne peut mener qu’un seul plan parallèle à une droite donnée. h. Par un point de l’espace, on ne peut mener qu’un seul plan parallèle à un plan donné. i. Si ( α  β et β  γ ), alors α  γ . j. Si ( d1  d2 et d2  d3 ), alors d1  d3 . k. Si la droite d est incluse dans le plan α et est parallèle au plan β, alors les plans a et β sont parallèles. l. Si ( α  d et β  d ), alors α  β .

122

6. Géométrie dans l’espace

5. Positions relatives de trois plans a. Trouver dans la classe trois plans qui se coupent en un seul point.

b. La fig. 7 (fiche 29) peut-elle représenter un objet de l’espace en perspective parallèle ?

α c. O n considère trois plans sécants deux à deux. Les deux figures (fig. 8 et 9) représentent deux situations possibles. Démontrer qu’il n’y en a pas d’autre.

fig. 7

Indication Utiliser l’énoncé 6.2 pour montrer que les droites d, d ′ et d ″ ne peuvent être que parallèles ou concourantes. A

P A

d′

d″

d′ E d″ C

fig. 8

fig. 9

Synthèses 1 à 8 Exercices 1 et 2

6. Point de percée et sections planes Le soleil qui pénètre dans une pièce laisse une tache lumineuse sur le sol ou sur un mur. Le soleil étant très éloigné de la terre, on considère que ses rayons sont parallèles entre eux. a. Sur la photo ci-contre (fig. 10 et fiche 29), on a relié un point précis à son ombre pour repérer la direction des rayons solaires. Une mouche s’est arrêtée sur la vitre au point A. Déterminer son image sur le sol.

fig. 10 Exploration

123

b. Le soleil entre dans la pièce par une baie vitrée rectangulaire. On connaît l’image A1 du point A (fig. 11). La trace lumineuse laissée sur le sol est une section plane du prisme de lumière. Justifier les constructions qui ont permis de tracer l’image de la baie vitrée sur le sol (fig. 12). C

A1 fig. 11

fig. 12

c. S ur cette photo (fig. 13), la trace lumineuse de la baie vitrée apparaît sur le sol et sur le mur. La photo est modélisée par les fig. 14 et 15. Reconstituer et expliquer les étapes de la construction (fiche 29).

fig. 14

fig. 15

fig. 13

Synthèses 9 à 11 Exercices 3 à 11 Fiches 30 à 36

124

6. Géométrie dans l’espace

e s è h t n y s 1. C omment caractériser et représenter un plan de l’espace ? Une droite de l’espace ? Pour représenter un plan, on utilise généralement un parallélogramme. Énoncé 6.1

Un plan est déterminé lorsqu’on en connaît soit trois points distincts non alignés, soit une droite et un point extérieur à cette droite, soit deux droites sécantes, soit deux droites parallèles distinctes. Trois points distincts non alignés Plan (ABC) A

Une droite et un point n’appartenant pas à cette droite Plan (A, d1) d1

A B

fig. 17

C fig. 16

Deux droites sécantes

Deux droites parallèles distinctes Plan (d4, d5)

Plan (d2, d3)

d5 fig. 18

fig. 19

Un plan est souvent désigné par une lettre grecque, telle que π, a, b… ou par trois de ses points. Dans l’espace, comme dans le plan, une droite est déterminée par deux points distincts. Dans tout plan de l’espace, tout théorème de géométrie plane reste vrai.

Synthèse

125

2. Quelles sont les positions relatives de deux droites ? En géométrie plane, deux droites sont soit sécantes soit parallèles (on considère que des droites confondues sont parallèles). Ces positions relatives se retrouvent aussi dans l’espace. Deux droites parallèles de l’espace sont toujours incluses dans un même plan, de même deux droites sécantes. Mais dans l’espace, deux droites peuvent n’être ni parallèles, ni sécantes ; dans ce cas elles ne sont pas incluses dans un même plan. On dit qu’elles sont gauches. Énoncé 6.2

Dans l’espace, deux droites distinctes sont : – soit coplanaires : dans ce cas, elles sont parallèles ou sécantes ; – soit non-coplanaires : dans ce cas, elles sont gauches. Exemple Les droites HB et DF, situées dans le plan DBF, sont sécantes en M. Les droites EG et AC sont parallèles. Les droites AH et FC sont gauches. H

G F

E D

C B

fig. 20

3. Quelles sont les positions relatives d’une droite et d’un plan ? Énoncé 6.3

Dans l’espace, un plan étant donné, une droite est soit incluse dans ce plan (droite et plan ont une infinité de points communs), soit parallèle à ce plan (aucun point commun), soit sécante à ce plan (un et un seul point commun). incluse

parallèle

sécante d

B A

C α

α fig. 21

126

11.Géométrie 6. Trigonométrie dansdu l’espace triangle rectangle

fig. 22

fig. 23

Énoncé 6.4

Une droite passant par deux points d’un plan est entièrement contenue dans ce plan.

4. Quelles sont les positions relatives de deux plans ? Énoncé 6.5

Dans l’espace, deux plans distincts sont soit parallèles, soit sécants et dans ce cas, leur intersection est une droite. Énoncé 6.6

Si deux plans distincts ont un point commun, ils ont une droite commune passant par ce point. Hypothèse Les plans α et β sont distincts ; A ∈ ( α ∩ β ) . d

Thèse La droite d est incluse aux plans a et b et A∈ d. Démonstration Les plans α et b ont un point A commun, ils sont donc sécants et ont une droite commune d. Il n’y a que deux possibilités : soit A ∈ d , soit A ∉ d . Si A ∈ d , la thèse est vérifiée.

fig. 24

Supposons A ∉ d . Dans ce cas, le plan ( A , d ) est confondu avec le plan α et avec le plan b (énoncé 6.1). Ce qui est impossible puisque les plans α et b sont distincts. Supposer que A ∉ d est donc faux, donc A ∈ d .

Remarque Cette démonstration est appelée démonstration par l’absurde. On suppose que le contraire de la proposition à démontrer est vrai et on montre que cette supposition est « absurde » car en contradiction avec une des hypothèses. On prouve ainsi que la supposition était fausse, et donc que la proposition est vraie.

Synthèse

127

Énoncé 6.7

Si un plan p coupe un plan a suivant une droite d, alors il coupe tout plan parallèle à p suivant une droite d ′ parallèle à d.

d′

fig. 25

Énoncé 6.8

Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l’un coupe l’autre. d A

α B

β fig. 26

5. Quelles sont les positions relatives de trois plans ? Énoncé 6.9

Si trois plans sont sécants deux à deux, alors les trois droites d’intersection sont sécantes ou sont parallèles. Hypothèse α ∩ β = d , β ∩ γ = d ′ , α ∩ γ = d ′′

Thèse ( d  d ′ et d  d ′′ ) ou d, d′ et d″ ont un seul point commun. Démonstration Dans le plan β, les droites d et d′ ne peuvent être que parallèles ou sécantes.

128

11.Géométrie 6. Trigonométrie dansdu l’espace triangle rectangle

F γ d′

α E

d P

d C

d″

d′ γ

B fig. 27

β C

fig. 28

a. Supposons d  d ′ (fig. 27). Si la droite d ′′  d , cela signifie que d″ est sécante à d et à toute parallèle à d, donc à d′. –  Soit d″ les coupe en un même point, et donc les droites d et d′ sont sécantes, ce qui contredit le fait que ces droites sont parallèles, –  soit elle les coupe en deux points distincts et d″ est alors incluse dans le plan β (énoncé 6.1), ce qui est impossible puisque d″ est l’intersection des plans α et γ. Ainsi, supposer d ′′  d (donc aussi d ′′  d ′ ) est faux ; on conclut que les droites d, d′ et d″ sont parallèles. b. Supposons d et d′ sécantes en P (fig. 28). – P appartient à la droite d, donc au plan α. – P appartient à la droite d′, donc au plan γ. – P appartient aux plans α et γ, et donc à leur intersection, la droite d″ (énoncé 6.6). Les trois droites sont donc concourantes en P.

6. Quelles sont les propriétés de la perspective parallèle ? Lorsqu’on étudie les propriétés de figures dans l’espace, on réfléchit à partir de représentations en perspective parallèle. Certaines propriétés des solides et des figures de l’espace sont conservées, d’autres pas. Lorsque l’on dit qu’une propriété est conservée, cela signifie qu’elle est présente dans la réalité et sur sa représentation, quelles que soient les positions des éléments concernés.

Synthèse

129

La perspective parallèle conserve les propriétés d’incidence, le parallélisme des droites et les rapports entre segments d’une même droite. Ces propriétés sont détaillées dans ce tableau. Si, dans la réalité...

... alors, sur une représentation en perspective parallèle, ...

A∈ d

l’image de d passe par l’image de A.

A, B et C sont alignés

la droite AB passe par l’image de C.

d1 // d2

image de d1 // image de d2

P appartient à d1 et d2 (d1 ≠ d2)

l’intersection des images de d1 et d2 est l’image de P

A, B et C appartiennent à d et

AB BC

les images de A, B et C appartiennent à l’image de d et les rapports entre les longueurs des images correspondantes est k.

Attention ! Ce tableau se lit de gauche à droite. Ainsi, par exemple, à trois points alignés dans un dessin en perspective parallèle ne correspondent pas nécessairement trois points alignés dans la réalité. Notons par ailleurs que : –  trois points non-alignés dans un dessin en perspective parallèle sont toujours nonalignés dans la réalité ; –  deux droites qui se coupent sur un dessin en perspective parallèle ne sont pas nécessairement sécantes dans la réalité ; –  deux droites parallèles sur la représentation ne le sont pas nécessairement dans la réalité ; –  les longueurs et les amplitudes ne sont pas conservées. Seules les mesures de segments ou d’angles situés dans un plan frontal (le plan qui fait face à l’observateur) sont représentées en vraie grandeur ou à l’échelle.

7. Quelles sont les propriétés liées au parallélisme dans l’espace ? Énoncé 6.10

Par un point de l’espace, on ne peut mener qu’une seule droite parallèle à une droite donnée. d′ A

d fig. 29

130

11.Géométrie 6. Trigonométrie dansdu l’espace triangle rectangle

Énoncé 6.11

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan. d′

fig. 30

Énoncé 6.12

Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à deux droites sécantes de l’autre. A α B β

d1 d2 d3

fig. 31

8. Que devient le théorème de Thalès dans l’espace ? Les droites d1 et d2 ne sont pas coplanaires d1

Les droites d1 et d3 sont coplanaires

d2 B

A A′

A′

B′

B′ C′

A″

B″

C″

fig. 32

AA ′ AA ′′

fig. 33

BB ′

AA ′

BB ′′

AA ′′

AC ′ AC ′′

A ′C ′ A ′′C ′′

Synthèse

131

Le rapport A ′C ′ (fig. 33) n’est égal aux deux autres que si les droites qui coupent les plans A ′′C ′′ sont coplanaires. Énoncé 6.14

Trois plans parallèles découpent sur deux droites de l’espace des segments homologues proportionnels. Énoncé 6.15

Si trois plans déterminent sur deux droites des segments homologues proportionnels, alors ces plans sont parallèles.

9. Comment déterminer le point de percée d’une droite dans un plan ? Pour déterminer le point d’intersection d’une droite d1 dans un plan α, on procède de la manière suivante : – définir un plan auxiliaire p, contenant la droite d1 et sécant au plan α ; – déterminer la droite d2 commune aux plans p et α ; – s’il existe, le point cherché est le point d’intersection des droites d1 et d2. Concrètement, le choix du plan auxiliaire π est guidé par les données du problème : il faut pouvoir déterminer son intersection avec le plan α.

d2 α fig. 34

Dans la fig. 35, on connaît A1, projection sur le sol du point A. Pour déterminer le point de percée de la droite d dans le sol, on choisit comme plan auxiliaire le plan projetant du point B. Pour ce faire :

–  on mène par B la parallèle à AA′ ; on trouve B′ qui est un point du sol ; –  par B′, on mène d′ parallèle à A′A1 ; la droite d′ est

A′

incluse dans le plan du sol et dans le plan auxiliaire.

Le point d’intersection B1 des droites d et d′ est le point de percée de la droite d dans le plan du sol.

132

11.Géométrie 6. Trigonométrie dansdu l’espace triangle rectangle

B d

B′

d′ fig. 35

10. Comment déterminer l’intersection de deux plans ? Deux possibilités : –  repérer deux points distincts dont on peut montrer qu’ils appartiennent chacun aux deux plans. Cela revient parfois à chercher les points de percée de deux droites d’un même plan dans l’autre plan ; –  repérer un point commun aux deux plans et la direction de la droite d’intersection en se référant aux propriétés de la figure.

11. Comment déterminer la section d’un polyèdre par un plan ? La section d’un polyèdre par un plan est le polygone dont les côtés sont déterminés par l’intersection des faces du polyèdre avec ce plan. Le plan de section ne coupe pas nécessairement toutes les faces du polyèdre.

a. Section d’un parallélépipède (fig. 36) par un plan

(PQR)

Les points P, Q et R, situés sur les arêtes du parallélépipède, sont des points de la section.

1) Par R, on mène, dans la face arrière, une paral-

lèle à PQ (énoncé 6.7) qui coupe l’arête [HD] en un point S situé dans la face gauche.

S F R

2) On trace [SP].

B fig. 36

3)  Le quadrilatère PQRS est la section cherchée. b.  Section d’une pyramide (fig. 37) par un plan

(MNP)

Les points M, N et P situés sur les arêtes du tétraèdre sont des points de la section.

1) On cherche le point d’intersection Q de la

droite MN et de l’arête AC du tétraèdre.

2)   On trace la droite QP qui coupe l’arête BC

en R (énoncé 6.9).

3)   On trace [RM]. 4) Le quadrilatère MNPR est la section cherchée.

R B

fig. 37

Synthèse

133

s e c i c r e x e Expliciter les savoirs et les procédures 1. Réalité ou illusion ? Ces solides (fig. 38 à 41) paraissent « normaux » et pourtant, dans la réalité il est impossible de les construire. Expliquer pourquoi. a.

fig. 39

fig. 38

fig. 41

fig. 40

2. Droites et plan On donne un parallélépipède (fig. 42). Préciser les positions relatives des droites AC, AF, HF, DH, GP, HE et EA par rapport au plan (GDB). Justifier chaque réponse.

G H

Appliquer une procédure a. On donne le dessin d’un piquet et de son ombre (fig. 43 et fiche 30), construire l’ombre sur le sol d’un autre piquet.

Justifier les étapes de la construction.

O 134

6. Géométrie dans l’espace

B′

fig. 43

E C

3. Ombre au soleil

B P

A fig. 42

b. Construire l’ombre sur le sol et sur la caisse d’un bâton vertical (fig. 44 et fiche 30). Construire ensuite l’ombre de la caisse sur le sol.

fig. 44

c. Construire l’ombre sur le sol et sur les caisses d’un bâton vertical (fig. 45 et fiche 30).

fig. 45

d. Un cube est posé sur le sol, on connaît l’ombre d’une de ses arêtes (fig. 46 et fiche 30). Dessiner son ombre sur le sol.

fig. 46

e. On donne l’ombre d’une arête d’un cube (fig. 47 et fiche 30). Dessiner l’ombre de ce cube sur le sol.

fig. 47

Exercices

135

4. Au-delà du cube Ces polyèdres (fig. 48, 49 et fiche 30) sont formés à partir de deux cubes. X E M

A B N

P H D

G C

fig. 48

B H

C G

fig. 49

a. Tracer l’intersection de ce solide et du plan p parallèle à MNP passant par le point X. b. Tracer l’intersection du cube d’arêtes [AB] et [CG] et du plan p.

5. Objet tranchant Un tétraèdre en matière synthétique (fig. 50) est traversé par une lame d’acier. Compléter le dessin de la lame (fiche 30).

B A C

fig. 50

136

6. Géométrie dans l’espace

Résoudre un problème

6. Section plane d’un tétraèdre (exercice partiellement résolu)

Déterminer la section plane du tétraèdre ABCD par le plan PQR.

a. Exercice résolu (fig. 51 et 52)

Les données et les points découverts au cours des étapes successives de la construction sont encodés dans un tableau qui A met en évidence l’appartenance des points aux différents plans du tétraèdre.

R B

ABC

ABD

ACD

BCD

fig. 51

Y D

Dès qu’un plan d’une face contient deux points de la section, on peut tracer l’intersection du plan de section avec cette face ([PQ] dans ACD et [QR] dans BCD).

P Q

Dans le plan ADC, on cherche l’intersection X des droites PQ et AC. Ce point X est aussi situé dans le plan ABC ; on le joint au point R. L’intersection de XR et AB est un point du plan de section, c’est le point Y.

C A

La section est donc le quadrilatère PQRY.

Y B

fig. 52

b. Exercices non résolus (figures disponibles sur la fiche 31) 1) P ∈ [AB] ; Q ∈ [AC] ; R ∈ [AD]

2) P ∈ [AB] ; Q ∈ [DC] ; R ∈ [AD]

Q Q A

C A P

fig. 53

fig. 54

Exercices

137

3) P ∈ [AB] ; Q ∈ [AC] ; R ∈ face (ADB)

4) P ∈ BC ; Q ∈ DC ; R ∈ [AC] D

R Q

A P

B fig. 55

fig. 56

7. Section plane d’un cube (exercice partiellement résolu)

P ∈  C ′D ′  ;

Déterminer la section plane du cube ABCDA′B′C′D′ par le plan PQR.

Q ∈  A ′B ′  ;

a. Exercice résolu (fig. 57 et 58) Les données et les points découverts au cours des étapes successives de la construction sont encodés dans un tableau qui met en évidence l’appartenance des points aux différentes faces du cube. Haut

Bas

Gauche

Droite

Avant

Arrière

R ∈ BC  D′

C′

Q A′

B′

Q S

S T

C R

La face supérieure du cube contient deux points de la section, on peut donc tracer l’intersection du plan de section avec cette face, le segment [PQ].

B fig. 57

Dans la face avant, on trace [ QS] , et dans la face arrière, [ PT ]  [QS] . La section est PQSRT.

A′

C′

D′

Le point R est dans la face inférieure. Par l’énoncé 6.7, on sait que [ RS]  [ PQ] .

B′

T D

138

6. Géométrie dans l’espace

C R S

B fig. 58

b. Exercices non résolus (figures disponibles sur la fiche 31) 2) P ∈ AA ′ ; Q ∈ CC ′ ; R ∈  BB ′ 

1)  P ∈  AA ′  ; Q ∈  BB ′  ; R ∈  CC ′  C′

D′ A′

A′

B′

R D

B fig. 59

)

(

C′

D′

B′

C′

fig. 60

C′

D′

A′

4) P ∈  A ′B ′  ; Q ∈ AD  ; R ∈  CC ′ 

3) P ∈ face ADD ′ ; Q ∈  B ′C ′  ; R ∈  C ′D ′  D′

A′

B′

B′ R

Q A

B fig. 61

C B fig. 62

8. Section d’une poutre On coupe cette pièce métallique (fig. 63) par le plan défini par les points A, B et C. Colorier la section obtenue (fiche 32).

fig. 63

Exercices

139

9. Ombre d’une pyramide

Cette pyramide régulière (fig. 64 et fiche 32) a une base carrée dans le plan du sol. Les points A et B sont dans un même plan horizontal, le point A′ est l’ombre du point A. Tracer l’ombre de cette pyramide sur le sol.

A′

10. Ombre du campanile

fig. 64 A′

fig. 65

Le Campanile de la place Saint-Marc à Venise (Il Campanile di San Marco) a été construit au xii e siècle. Haut de 98 mètres, il servait de phare aux navigateurs. À son sommet, une statue de l’Archange Gabriel indique le sens du vent.

a. Compléter le dessin (fig. 65 et fiche 32) en traçant les pointillés. b. Trouver l’ombre de ce clocher sachant que le point A′ est l’ombre de l’extrémité de la statue placée en haut du clocher.

11. Démontrer

Les points M, N et P sont situés sur les arêtes SA, SB et SC de la pyramide SABC (fig. 66). a. On désigne par I l’intersection de MN et AB, par J l’intersection de NP et BC et par K l’intersection de MP et AC. Compléter la fig. 66 (fiche 32). Démontrer que les points I, J et K sont alignés.

M P

b. Quelle conclusion peut-on formuler dans le cas où MP et AC sont parallèles ? Tracer la figure. c. Que peut-on dire si les points I, J et K n’existent pas ?

C A N B

140

6. Géométrie dans l’espace

fig. 66

Le manuel CQFD 5e contient la matière vue en classe de 5e année (4 périodes de maths par semaine) et est conforme aux programmes des réseaux de la Communauté française de Belgique.

u Une mise en page structurée et en couleurs u La construction des savoirs se fait de manière guidée u Des savoirs et savoir-faire mis en lien avec le quotidien des élèves u De nombreux exercices accompagnés d'un Cahier de fiches d'exercices (vendu séparément)

Avec CQFD, acquérir les compétences en maths se fait via des activités et des résolutions de problèmes, simples, rapides et pratiques. Chaque chapitre est structuré selon le même schéma : u L’introduction situe les apprentissages dans la réalité quotidienne ou culturelle et indique à l’élève ce qu’il faut apprendre. u L’exploration propose, sous la guidance de l’enseignant, des activités pour mener rapidement aux notions nouvelles et concepts qu’il faut apprendre. u La synthèse consiste à articuler les références pratiques et théoriques. u Les exercices sont diversifiés et classés selon certaines compétences.

CQFD 5e, c'est également : CQFD 5e FICHES D’EXERCICES Des fiches de travail personnel et des fiches autocorrectives facilitent la régularité et le suivi du travail des élèves.

Plus d’infos ? Contactez Jean-Raymond Jehu au 0476 396 247 ISBN : 978-2-8041-2416-8

jeanraymond.jehu@deboeck.be

www.deboeck.com 9 782804 124168 CQFD5

CQFD 5e CORRIGÉ Le corrigé contient les solutions de tous les exercices du manuel et des fiches de 5e année.

Conception graphique : Primo&Primo

UNE COLLECTION DE MANUELS DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL, DE LA 1re À LA 6e, SOUS LA DIRECTION DE FRANÇOISE VAN DIEREN