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Espace Math 5 /6
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(6 pÉR./sEM.)
ADAM CORRIGé BAUDELET SEBILLE
T2
EM566GCO ISBN 978-2-8041-5732-6
www.education.deboeck.com
ADAM • BAUDELET • SEBILLE
Espace Math
5 /6 e
CORRIGé et notes méthodologiques TOME 2 GéOMéTRIE & COMPLéMENTS
6 périodes par semaine
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Cor566G-Intro
24/10/08
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TABLE DES MATIÈRES
Géométrie synthétique & Géométrie vectorielle — dans le plan — dans l'espace 1
Parallélisme et orthogonalité …………………………………5
2
Calcul vectoriel
3
Calcul vectoriel (suite) : Produit scalaire
4
Transformations du plan et de l'espace ……………………76
………………………………………………35 …………………51
Algèbre linéaire & Géométrie analytique 5
Géométrie analytique dans l'espace (1re partie) …………87
6
Matrices et déterminants ……………………………………90
7
Systèmes linéaires …………………………………………107
8
Géométrie analytique dans l'espace (2e partie) …………124
9
Géométrie analytique plane: les coniques ………………144
10
Trajectoires
…………………………………………………185
11
Lieux géométriques …………………………………………198
Compléments 12
Nombres complexes
………………………………………233
13
Combinatoire et binôme de Newton ………………………269
14
Statistiques — Probabilités …………………………………285
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PRÉLIMINAIRES
La rédaction d’un corrigé d’exercices est une vaste entreprise tant pour les encodeur, dessinateur et metteur en page (que nous remercions chaleureusement) que pour les auteurs. Ces derniers n’ont pas voulu donner des solutions ne comportant qu’une suite de calculs et une réponse. Ils ont tenu à rédiger des stratégies de résolution, des justifications, des variantes ainsi que de nombreux conseils, fruits de leurs expériences. Merci à tous ceux qui voudraient contribuer à améliorer ce corrigé en transmettant leurs remarques aux Éditions De Boeck & Larcier Fond Jean-Pâques, 4 B-1348 — Louvain-la-Neuve info@education.deboeck.com
GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE & GÉOMÉTRIE VECTORIELLE – DANS LE PLAN – DANS L’ESPACE
1 PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ Les constructions dans l’espace (point de perce´e d’une droite dans un plan, section d’un solide par un plan) ont ´ete ´ ´etudie ´es en 4e des ´ecoles de la FESeC et doivent ˆetre traite ´es en 5e des ´etablissements de la Communaute´. Il s’agit de consolider les acquis des anne´es pre ´ce ´dentes en ge ´ome ´trie de l’espace. Cette dernie`re s’e ´labore au de ´part de l’observation de solides. En 1re partie, on y traite particulie`rement les proble`mes d’incidence et de paralle ´lisme qui pre ´parent les ´ele`ves au calcul vectoriel dans l’espace. Le but est donc d’inse ´rer la ge ´ome ´trie plane dans celle de l’espace. La construction du mode`le ge ´ome ´trique fera clairement apparaıˆtre les proprie ´te ´s admises a ` partir de l’observation et celles qui seront de´montre ´es. Une attention particulie`re sera porte ´e aux re `gles de la logique : contrapose ´e d’implications ou d’e ´quivalences, re ´ciproques, de ´monstrations par l’absurde, crite`res faisant intervenir des conditions ne ´cessaires et suffisantes. En 2e partie, tous les ´ele`ves de 5e ´etudieront les proble`mes d’orthogonalite ´ de plans, de droites, de droites et de plan, ainsi que la construction de la perpendiculaire commune a ` deux droites et du plan me ´diateur d’un segment de droite.
ACTIVITÉS POUR DÉCOUVRIR 1 a) [AA ] et [DD ] sont paralle`les; [AB] et [AA ] sont perpendiculaires; [AB] et [DD ] sont gauches. d et[DD ] forment un angle droit en E.
B
C d
A
D B'
A'
E
D'
C'
1. Parallélisme et orthogonalité
6
b) – AB et CC ; B C et AA ; – BC et AD ; CC et BD ; – A C et AB ; A B et C D. c) Cette perpendiculaire est unique. Puisque DD est verticale, d doit ˆetre horizontale. Les perpendiculaires horizontales a ` AB forment le plan ABC. Puisque ABC ∩ DD = {D}, la seule de ces droites qui convient est AD. Elle est appele´e « la perpendiculaire commune aux droites gauches AB et DD ». d) La distance entre deux droites gauches est celle se ´parant leurs intersections avec leur perpendiculaire commune. Soit 5 cm.
2 a) Oui, puisque la porte peut tourner a ` 180◦ , il existe une position pour chaque droite CM. Ces droites sont perpendiculaires. b) a ⊥ α ⇔ ∀d ⊂ α telle que A ∈ d, a ⊥ d. c) Deux car une droite se ´cante a ` un plan est toujours perpendiculaire a ` l’une des droites de α passant par A. √ √ d) 1) AM = k. Puisque BAP est un angle droit, par le the ´ore`me de Pythagore, BP = k 2. De meˆme BM = k 2. Donc le triangle MBP est isoce` le. 2) • Le triangle MAP est isoce`le MA = PA . = Donc la bissectrice b3 de MAP θ est aussi la me ´diatrice de [MP]. = 90◦ . De`s lors, MQA 2 2 2 2 2 Dans le triangle MQA rectangle en Q, AQ = AM − MQ ou AQ = k2 − MQ . • Le triangle MBP est isoce`le MB = BP . MQ = QP (dans le triangle MAP, la bissectrice b3 est la médiane de [MP]). Donc la me ´diane [BQ] est aussi la me ´diatrice de [MP] et BQ ⊥ MP. ◦ BQM mesure donc 90 . 2 2 2 2 2 Dans le triangle BQM rectangle en Q, BQ = BM − MQ ou BQ = 2k2 − MQ . 2 2 2 2 2 2 ` BQ − AQ = k2 . • BQ − AQ = 2k2 − MQ − k2 − MQ . D’ou De`s lors, AB ⊥ AQ (réciproque du théorème de Pythagore). c.-a `-d. a ⊥ b3 . e) En prenant une droite b4 , bissectrice de l’angle forme´ par b1 et b3 ; une droite b5 , bissectrice de l’angle forme´ par b3 et b2 ; en montrant ensuite que la droite a est perpendiculaire a ` b4 et ` a b5 ...
POUR APPLIQUER 1.1 Conventions de représentation 1.2 Coffre à outils de géométrie dans l’espace 1.3 Point de percée d’une droite dans un plan intersection d’un solide et d’un plan 1. A
A
E D
E
B C
vue du dessus
D
B C
vue du dessous
1. Parallélisme et orthogonalité
7
Les ´ele`ves ´eprouvent souvent de nombreuses difficulte´s : • vu le manque d’habitude du dessin en perspective, ils ne savent pas qu’un carre´ se repre ´sente par un paralle ´logramme; • ils ´eprouveront souvent des difficulte´s pour reproduire deux fois le meˆme dessin; • une fois les dessins re ´alise ´s, ils devront repre ´senter les parties vues et cache ´es.
2. A
B
A
A' A"
B
B'
A'
B"
B'
A"
B"
• Dans le premier dessin, l’œil de l’observateur est en-dessous. Il voit donc la face A B B A . • Dans le second dessin, l’observateur voit le solide (un prisme) du dessus. Il est face au plan oblique AA B B et l’areˆte [AB] est au-dessus du plan A B B A .
3.
β γ
b
a
α
γ
α
a
β
β
γ
c
α
c
c a
b
b
a
4. a
a
A
A
α β
B
yeux de l’observateur au-dessus de α
a
A
α β
B
yeux de l’observateur au-dessous de β
α β
B
yeux de l’observateur entre α et β
COMPLÉMENTS
12 NOMBRES COMPLEXES Dans l’ensemble des nombres re´els, les proprie ´te ´s des ope ´rations ont ´ete ´, dans le passe ´, mises en ´evidence d’un point de vue alge ´brique et d’un point de vue ge ´ome ´trique. Il en va de meˆme, en sixie`me anne ´e, pour l’e ´tude du champ des nombres complexes car la ge ´ome ´trie y est ´etroitement associe ´e a ` la trigonome ´trie et a ` certains groupes de transformations du plan.
ACTIVITÉS POUR DÉCOUVRIR 1 a) 1) Soit l’e ´quation x3 − 18x − 35 = 0 avec p = −18 et q = −35. 3 • 4p + 27q2 = 4(−18)3 + 27(−35)2 = 9 747. Puisque ce nombre est positif, il est le´gitime d’utiliser la formule de Cardan. • Une solution particulie`re est donc donne ´e par 3 3 − 35 − 35 9 747 9 747 + + − − x= − 2 108 2 108 3 3 √ √ 35 361 35 361 3 3 = + + − = 27 + 8 = 5. 2 4 2 4
• Puisque le re´el x = 5 est solution de l’e´quation x3−18x−35 = 0, celle-ci peut aussi s’e´crire (x−5) x2 +mx+n = 0. En utilisant la me ´thode des coefficients inde ´termine ´s, on a (x − 5) x2 + mx + n = x3 − 5x2 + mx2 − 5mx + nx − 5n. (coefficients de x2 ) m−5=0 3 3 2 D’ou ` x − 18x − 15 = x + x (m − 5) + x(n − 5m) − 5n ⇔ n − 5m = −18 (coefficients de x) −5n = −35 (termes indépendants) De`s lors m = 5 et n = 7. 2 • L’e ´quation initiale peut alors s’e´crire (x − 5) x + 5x + 7 = 0. Le re ´alisant du 2e facteur vaut ρ = 52 − 4 . 1 . 7 = −3. • L’unique solution re´elle de l’e ´quation x3 − 18x − 35 = 0 est x = 5.
2) Soit l’e ´quation x3 − 3x + 2 = 0 avec p = −3 et q = 2 ´gitime d’utiliser la formule de Cardan. • 4p3 + 27q2 = 4 . (−3)3 + 27 . 22 = 0. Il est donc le • Une solution particulie ` re est donc donne ´ e par 3 3 √ √ 2 2 x = − + 0 + − − 0 = −2. 2 2
• Puisque le re´el x = −2 est solution de l’e´quation x3−3x+2 = 0, celle-ci peut aussi s’e´crire (x+2) x2 +mx+n = 0. En utilisant la me ´thode des coefficients inde ´termine ´s, on a
12. Nombres complexes
234
(x + 2) x2 + mx + n = x3 + 2x2 + mx2 + 2mx + nx + 2n.
D’ou ` x − 3x + 2 = 0 = x + x (m + 2) + x(2m + n) + 2n ⇔ 3
3
2
m+2=0 2m + n = −3 2n = 2
(coefficients de x2 ) (coefficients de x) (termes indépendants)
De`s lors m = −2 et n = 1. • L’e ´quation initiale peut alors s’e ´crire (x + 2) x2 − 2x + 1 = 0 ou encore (x + 2)(x − 1)2 = 0 • Les solutions re ´elles de l’e ´quation x3 − 3x + 2 = 0 sont donc x = −2 et x = 1 (racine double). b) • f : R → R : x → x3 − 18x − 35
• f : R → R : x → x3 − 3x + 2 y
y
O
x
x
O
y = x3 Ð 18x Ð 35
y = x3 Ð 3x Ð 2
2 On conside`re l’e ´quation x3 − 15x − 4 = 0 avec p = −15 et q = −4. a) 4p3 + 27q2 = 4 (−15)3 + 27(−4)2 = −13 608. La formule de Cardan n’est pas applicable puisque 4p3 + 27q2 < 0. On ne peut extraire les racines carre ´es d’un nombre strictement ne ´gatif. b) • En notant i une racine carre ´e de −1, cela signifie que i2 = −1. On peut alors ´ecrire le nombre −13 068 sous la forme 13 068i2 . En utilisant la formule de Cardan, une solution particulie`re de l’e ´quation x3 − 15x − 4 = 0 est donc 3 3 √ √ √ √ 3 3 −4 −4 13 068i2 13 068i2 3 3 + + − − = 2 + 121i2 + 2 − 121i2 = 2 + 11i + 2 − 11i. x = − 2 108 2 108 Il est difficile de faire admettre que ce nombre complexe ´egale 4. Toutefois, √ lorsque l’e´criture trigonome ´trique ´ ´etudie ´e, on pourra ´ecrire √ d’un complexe aura ´ete 2 + 11i 125 cis 79, 695◦ et 2 − 11i 125 cis (−79, 695◦ ). √ 6 Une racine cubique de 2 + 11i est √ 125 (cis 26, 565◦ ), 6 une racine cubique de 2 − 11i est 125 (cis (−26, 565◦ )). √ √ √ 6 3 3 D’ou ` 2 + 11i + 2 − 11i √125 (cos 26, 565◦ + i sin 26, 565◦ + cos 26, 565◦ − i sin 26, 565◦ ) 6 = 125 . 2 cos 26, 565◦ 4.
12. Nombres complexes
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• Le re ´el 4 est une solution de l’e ´quation x3 − 15x − 4 = 0 puisque 43 − 15 . 4 − 4 = 64 − 60 − 4 = 0. 3 De`s lors, l’e´quation x − 15x − 4 = 0 peut s’e ´crire sous la forme (x − 4) x2 + mx + n = 0. En utilisant la me ´thode des coefficients inde ´termine ´s, on a (x − 4) x2 + mx + n = x3 − 4x2 + mx2 − 4mx + nx − 4n. (coefficients de x2 ) m−4=0 3 3 2 D’ou ` x − 15x − 4 = x + x (m − 4) + x(n − 4m) − 4n ⇔ n − 4m = −15 (coefficients de x) −4n = −4 (termes indépendants) De`s lors m = 4 et n = 1. • L’e ´quation initiale peut donc s’e´crire (x−4) x2 +4x+1 = 0. Le re´alisant du 2e facteur vaut ρ = 42 −4 . 1 . 1 = 12. √ √ − 4 ± 12 Les solutions de l’e ´quation x2 + 4x + 1 = 0 sont donc x = = −2 ± 3. 2 √ √ • Les trois solutions re ´elles de l’e ´quation x3 − 15x − 4 = 0 sont 4; −2 − 3 et −2 + 3. • La solution trouve ´e gra ˆce ` a la formule de Cardan est donc un nombre re ´el malgre ´ son apparence. y
O
x
y = x3 Ð 15x Ð 4
3 a) (−i)2 = i2 = −1. −1 admet de`s lors 2 racines carre ´es, a ` savoir i et −i. b) −36 = 36(−1) = 36i2 . Les deux racines carre ´es de −36 sont donc 6i et −6i. c) 2x + 2x + 5 = 0
ρ = 2 − 4 . 2 . 5 = −36 = 36i .
d) 1) x2 + x + 1 = 0
ρ = 12 − 4 . 1 . 1 = −3 = 3i2 .
2
2) x − x + 1 = 0 2
2
√ − 2 ± 36i2 − 2 ± 6i Donc x = = 4 4
2
Donc x =
ρ = (−1) − 4 . 1 . 1 = −3 = 3i . 2
2
−1± 2
Donc x =
√
1±
3i2
√ 2
3i2
=
√ −1±i 3 2
√ 1±i 3 = 2
− 1 + 3i 2 − 1 − 3i 2 √ −1+i 3 2 √ −1−i 3 2 √ 1+i 3 2√ 1−i 3 2