DETERM2

1. (Ufrj 2003) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.

Calcule o determinante da matriz

Justifique.

2. (Ita 2005) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A£ + 2AB - B = 0. Se B é inversível, mostre que (a) AB¢ = B¢A e que (b) A é inversível

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3. (Ita 2003) Sejam a, b, c e d números reais não-nulos. Exprima o valor do determinante da matriz

na forma de um produto de números reais.

4. (Ita 2004) Se A é uma matriz real, considere as definições: I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e A¢ = A .

II. Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se a‹Œ = 0, para todo i, j = 1,..., n, com i · j.

Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais.

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5. (Uerj 2001) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17.

Considere o determinante de ordem 3 abaixo:

Demonstre que esse determinante é divisível por 17.

6. (Ufrrj 2001) Dada a matriz A = (a‹Œ)‚Ö‚, tal que

a‹Œ = 2, se i < j a‹Œ = 3i + j, se i µ j,

encontre o DETERMINANTE da matriz A .

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7. (Ufrrj 2004) Resolvendo a equação

encontramos 3 raízes reais.

Determine-as, sabendo que a soma de duas dessas raízes é igual a 4.

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8. (Ufscar 2003) Sejam as matrizes

Calcule: a) o determinante da matriz (B - A). b) a matriz inversa da matriz (B - A).

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9. (Unesp 2004) Considere a matriz

a) Determine todos os números reais — para os quais se tem det (A - —I) = 0, onde I é a matriz identidade de ordem 3. b) Tomando — = - 2, dê todas as soluções do sistema ý(6 - —) x - 3y = 0 þ- 3x + (6 - —) y = 0 ÿx - y + (2 - —) z = 0

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10. (Unesp 2005) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde

Com base na fórmula p(x) = det A, determine: a) o peso médio de uma criança de 5 anos; b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.

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11. (Unesp 2006) Sejam

matrizes reais. a) Calcule o determinante de A, det(A), em função de x e y, e represente no plano cartesiano os pares ordenados (x,y) que satisfazem a inequação det(A) ´ det(B). b) Determine x e y reais, de modo que A + 2B = C.

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12. (Unicamp 2003) Seja a um número real e seja:

a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0. b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO (Puccamp 2005) O biodiesel resulta da reação química desencadeada por uma mistura de óleo vegetal (soja, milho, mamona, babaçu e outros) com álcool de cana. O ideal é empregar uma mistura do biodiesel com diesel de petróleo, cuja proporção ideal ainda será definida.

Quantidades exageradas de biodiesel fazem decair o desempenho do combustível.

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13. Considerando-se que f(p) = 12 p - p£ e g(p) = p¤ - 24p£ + 144p, o valor do determinante da matriz

é igual a a) 4 620 b) 2 420 c) 2 200 d) 400 e) 220

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14. (Fgv 2003) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3 e O a matriz nula também de ordem 3. Assinale a alternativa correta: a) Se A . B = O, então: A = O ou B = O b) det(2 . A) = 2 det(A) c) Se A . B = A . C, então B = C d) A. (B . C) = (A . B) . C e) det(A + B) = det(A) + det(B)

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15. (Ufsc 2005) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(01) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema da figura 1.

(02) A matriz A = (a‹Œ) Öƒ, tal que a‹Œ = i -3j é A = [-2 -5 -8].

(04) A soma dos elementos da inversa da matriz da figura 2 é igual a 2.

(08) Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se A = -A, sendo A a transposta da matriz A. Nessas condições pode-se afirmar que a matriz da figura 3 é anti-simétrica.

(16) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas na figura 4, para que PQ - R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2.

(32) A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições pode-se afirmar que det(A) = 5 det(B), sendo que det(A) e det(B) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.

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16. (Ufsc 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(01) Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z. As unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em três meses consecutivos são os dados na tabela abaixo. Então, os preços dos produtos x, y e z só podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00. (figura 1) (02) Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar solução para ele.

(04) A solução da equação (figura 2) é x = 1.

(08) A matriz (figura 3) não possui inversa.

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17. (Pucpr) O determinante a) 1 b) cos£‘ cos£’ cos£– c) (cos‘ cos’ cos–)£ d) tg£‘ sec£‘ + tg£’ sec£’ + tg£– sec£– e) 0

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18. (Fatec 2005) O polinômio

admite: a) três raízes reais. b) uma raiz de multiplicidade 2. c) nenhuma raiz real. d) uma única raiz real. e) uma raiz de multiplicidade 3.

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19. (Fatec 2006) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. Se os números inteiros x e y são tais que a matriz

tem traço igual a 4 e determinante igual a -19, então o produto xy é igual a a) - 4 b) - 3 c) - 1 d) 1 e) 3

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20. (Fei 99) As faces de um cubo foram numeradas de 1 a 6, depois em cada face do cubo foi registrada uma matriz de ordem 2, com elementos definidos por:

ý 2i + f a‹Œ

=

se i = j

þ ÿj

se i · j

onde f é o valor associado à face correspondente.

Qual o valor do determinante da matriz registrada na face 5? a) 63 b) 61 c) 60 d) 6 e) 0

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21. (Fgv 2002) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det(A)=7. Nessas condições, det(3A) e det(A¢) valem respectivamente: a) 7 e -7 b) 21 e 1/7 c) 21 e -7 d) 63 e -7 e) 63 e 1/7

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22. (Fgv 2005) Seja

Se D = 0 e ™ ´ x ´ 2™, então: a) x = ™ b) x = 2™ c) x = (5™)/4 d) x = (4™)/3 e) x = (7™)/6

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23. (Ita 2004) Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n × n, n µ 2: I. O determinante de A é nulo se, e somente se, A possui uma linha ou uma coluna nula.

II. Se A = (a‹Œ) é tal que a‹Œ = 0 para i > j, com i, j = 1,2,...,n, então det A = a a‚‚...aŠŠ.

III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por (Ë2) + 1 e a segunda por (Ë2) - 1, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então det B = det A. Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) a) apenas II. b) apenas III. c) apenas I e II. d) apenas II e III. e) todas.

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24. (Ita 2004) Seja x Æ IR e a matriz

Assinale a opção correta. a) ¯ x Æ IR, A possui inversa. b) Apenas para x > 0, A possui inversa. c) São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa. d) Não existe valor de x para o qual A possui inversa. e) Para x = log‚ 5, A não possui inversa.

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25. (Ita 2006)

a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16

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26. (Mackenzie 2001) Se A = (a‹Œ) é uma matriz quadrada de terceira ordem tal que

a‹Œ = -3, se i = j a‹Œ = 0, se i · j

então o determinante de A vale: a) -27 b) 27 c) 1/27 d) -1/27 e) zero

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27. (Mackenzie 2003) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e A¢ a sua inversa. Se 16 . det A¢ = det (2A), então o determinante de A vale: a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) 16

28. (Pucmg 2003) A matriz A é de quarta ordem, e seu determinante é -8. Na equação det(2A) = 2x -150, o valor de x é: a) 11 b) 16 c) 43 d) 67

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29. (Pucmg 2004) Considere as matrizes

É CORRETO afirmar que o valor do determinante da matriz AB é: a) 32 b) 44 c) 51 d) 63

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30. (Pucpr 2001) O valor de x no determinante: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

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31. (Pucpr 2004) A soma dos valores de — para que det (A + —I) = 0, onde I é matriz identidade e

é: a) 5 b) -7 c) 2 d) -3 e) 0

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32. (Pucpr 2004) Calcular o valor de x para que o determinante

a) 128 b) 64 c) 32 d) 16 e) 256

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33. (Pucpr 2005) Sendo 0 ´ x ´ ™/2, o valor de x para que o determinante da matriz

seja nulo é: a) ™/2 b) ™/3 c) ™/6 d) ™/4 e) ™

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34. (Pucrs 2001) Se

então det (A£ B£) é igual a a) -1 b) 1 c) 5 d) -7/5 e) 7/5

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35. (Pucrs 2004) Se a matriz

tem inversa, então det A¢ é a) bc - ad b) (1/ad) - (1/bc) c) c) det A d) - (1/bc) c) det Ad) 1/det A e) 1/(det A)£

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36. (Pucrs 2005) O determinante da matriz

é a) 0 b) 1 c) sen x + cos x d) sen£x e) ( sen x + cos x )£

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37. (Pucsp 2001) Seja a matriz A = (a‹Œ)ƒ Ö ƒ, tal que

ýcos 7™/i se i = j a‹Œ=

þ ÿsen 7™/j se i · j.

O determinante da matriz A é igual a a) - (Ë3/2) b) - (1/2) c) - 1 d) 1/2 e) (Ë3/2)

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38. (Pucsp 2003) Indica-se por det A o determinante de uma matriz quadrada A. Seja a matriz A = (a‹Œ), de ordem 2, em que

ý sen[(™/4) . (i + j)], se i = j a‹Œ = þ ÿsen[x . (i - j)], se i · j

Quantos números reais x, tais que -2™ < x < 2™, satisfazem a sentença det A = 1/4? a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 e) 2

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39. (Ueg 2005) Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes

é verdade que y/x é igual a a) 1/20 b) - 1/20 c) 20 d) - 20 e) 3/20

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40. (Uel 2001) O determinante mostrado na figura a seguir

é positivo sempre que a) x > 0 b) x > 1 c) x < 1 d) x < 3 e) x > -3

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41. (Uerj 2003) Observe a matriz a seguir.

Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte resultado: a) 1 b) sen x c) sen£ x d) sen¤ x

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42. (Ufc 99) Considere a matriz mostrada na figura adiante

onde ‘ representa qualquer uma das raízes (complexas) da equação x£+x+1=0. Se detM simboliza o determinante da matriz M, assinale a opção na qual consta o valor de (detM)£+(detM)+1. a) i. b) 0. c) -1. d) 1. e) -i.

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43. (Ufc 2000) Considere a matriz A mostrada na figura adiante.

O valor de a para o qual a equação detA=1 possui exatamente uma raiz real é: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

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44. (Ufc 2002) Sejam A e B matrizes 3 × 3 tais que detA = 3 e detB = 4. Então det(A × 2B) é igual a: a) 32 b) 48 c) 64 d) 80 e) 96

45. (Ufes 2001) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A)=3 e se k é um número real tal que det(kA)=192, então o valor de k é a) 4 b) 8 c) 32 d) 64 e) 96

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46. (Ufes 2004) Se as matrizes A e B a seguir, com k È {-1,0,1}, então o determinante da matriz BAB¢ é

a) - 1 b) 0 c) 1 d) k e) 1/k

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47. (Uflavras 2000) Os valores de "a" na matriz adiante,

que satisfazem f(det M) = 0, para f(X) = X + a, são a) -1, 1 b) 0, -1 c) 0, 1 d) 0, 2 e) -2, 2

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48. (Ufsc 2003) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).

(01) O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.

(02) Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.

(04) A soma das raízes da equação

(08) Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas.

(16) O sistema ý3x - 2y = 0 þ

é indeterminado.

ÿx + y = 0

Soma (

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)

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49. (Ufscar 2000) A condição para que o determinante da matriz A mostrada na figura a seguir seja diferente de zero é: a) a = -1 e a = 2. b) a · 1 e a · -2. c) a > 0. d) a · -1 e a · 2. e) a · 1 e a · 2.

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50. (Ufscar 2005) Seja A = (a‹Œ) uma matriz quadrada de ordem 3 tal que, ýp, se i = j a‹Œ = þ ÿ2p, se i · j com p inteiro positivo. Em tais condições, é correto afirmar que, necessariamente, det A é múltiplo de a) 2. b) 3. c) 5. d) 7. e) 11.

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51. (Ufsm 2001) Analise as afirmações a seguir.

I. A matriz adiante é invertível se x = 2b.

II. Se det(AB) = m, pode-se garantir que existe detA e detB. III. Se detA = m · 0 e detB = 1/m, então det(AB)=1.

Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III.

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52. (Ufsm 2002) Seja A uma matriz 2 x 2 com determinante não-nulo. Se det A£ = det (A + A), então det A é a) - 4 b) 1 c) 4 d) 8 e) 16

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53. (Ufsm 2002) 09. A equação

na variável x, tem duas soluções reais a) somente para m Æ Z b) para todo m Æ IR c) somente para m=O d) somente para m = 1/3 e) para m = 1 + i, onde i é a unidade imaginária

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54. (Ufsm 2003) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A = det B · 0, então det [(1/2) . A . B¢] é igual a a) 1/(2¾) b) 1/2 c) (1/2) . det A d) [1/(2¾)] . det A e) 2¾

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55. (Ufsm 2003) Sendo

então a soma de todos os valores reais x, tal que det (A£ - xI) = 0, é igual a a) -5 b) 0 c) 5 d) 7 e) 4Ë2 + 7

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56. (Ufv 2000) Seja a matriz A‚Ö‚ mostrada na figura adiante.

O determinante de A vale: a) 1 b) sen10° c) sen 190° d) cos£10° e) cos 20°

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57. (Ufv 2002) Seja A uma matriz inversível de ordem 2. Se det(2A)=det(A£), então o valor de det A é: a) 3 b) 4 c) 2 d) 0 e) 1

58. (Ufv 2004) Na matriz quadrada A = (aij) de ordem 2, os elementos a••, a ‚, a‚ e a‚‚, nesta ordem, apresentam a seguinte propriedade: "Os três primeiros estão em progressão aritmética e os três últimos em progressão geométrica, ambas de mesma razão". Se a ‚ = 2, o determinante de A vale: a) -8 b) 8 c) 0 d) -4 e) 4

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59. (Unesp 2003) Seja a matriz

onde a, b, c e d Æ R. Se os números a, b, c e d, nesta ordem, constituem uma P.G. de razão q, o determinante desta matriz é igual a a) 0. b) 1. c) q£a¤. d) q¤a£. e) 2q¤a£.

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60. (Unifesp 2004) Se |A| denota o determinante da matriz A, e se

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GABARITO

1.

Como a, b, c, d estão em PA, então, para algum número real n, temos b = a + n, c = a + 2n, d = a + 3n.

Portanto, detA = e£ò®¤¾ - e£ò®¤¾ = 0.

2. a) Se B é inversível, temos: AB = BA Ì AB . B¢ = BA . B¢ Ì A = BA . B¢ Ì B¢ . A = B¢. BA . B¢ Ì B¢ . A = A . B¢ c.q.d.

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b) Como A e B comutam, tem-se: A£ + 2AB - B = 0 Ì B = A(A +2B) Aplicando determinantes em ambos os membros, obtemos: det B = det [ A (A+2B) ] Ì det B = det A . det (A+2B) Como B é inversível, det B = k, k · 0.

Supondo que A não é inversível, isto é, det A = 0, temos: k = 0 . det (A+2B) Ì k = 0 O que é uma contradição, pois k· 0.

Portanto, A é inversível. c.q.d.

3. (b - a) (c - a) (d - a) (c - b) (d - b) (d - c)

4. Ver figura de resolução.

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5. det = 80 + 140 - 64 - 20 det = 136 det = 17 . 8 é divisível por 17

6. det (A ) = 18

7. 2; 2 + Ë7 e 2 - Ë7

8. a) 50 b)

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9. a) — = 2 ou — = 3 ou — = 9 b) S = { (0, 0, 0) }

10. a) 18 kg

b) 11 anos

11. a) det(A) = y - 4x

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b) x = 1 e y = 2

12. a) 3; 1 - 2i; 1 + 2i b) {a Æ IR | - 3 < a ´ 5}

13. [E]

14. [D]

15. 02 + 16 = 18

16. proposições corretas: 04 e 08 proposições incorretas: 01 e 02

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17. [E]

18. [D]

19. [B]

20. [B]

21. [E]

22. [B]

23. [D]

24. [A]

25. [D]

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pag.60

26. [A]

27. [D]

28. [A]

29. [B]

30. [B]

31. [B]

32. [B]

33. [D]

34. [B]

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pag.61

35. [D]

36. [B]

37. [A]

38. [B]

39. [D]

40. [B]

41. [D]

42. [D]

43. [E]

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pag.62

44. [E]

45. [A]

46. [A]

47. [C]

48. 04

49. [B]

50. [C]

51. [C]

52. [C]

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pag.63

53. [B]

54. [A]

55. [D]

56. [A]

57. [B]

58. [A]

59. [A]

60. [D]

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