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U N ID A D 3 : LA D ER IVA D A N e w to n, ta rd ó m uc h o e n d a r a c o no ce r su s resu lta d o s. La n ota ció n q ue
IN TR O DU C C IÓN 1
Lo s
p ro b lem a s
típico s
qu e
die ro n
o rig en
u sa b a e ra m a s su g e stiv a : lo q ue n o so tro s lla m a m o s a l C á lcu lo
Infinite sim al,
c om e nz a ron a pla n te a rse en la é po ca c lá sic a de G recia (sig lo III a .C .), pe ro, n o se e nco n tra ron m é to d os sistem á tic os de resolu ció n h a sta 2 0 siglos d e spu és (e n el siglo XV II po r o b ra d e N ew to n y Le ib nitz). En lo qu e a ta ñe a las de riv a da s, existe n do s conce p tos de tipo geom é trico: el proble m a de la tange nte a u na cu rv a (conce p to g riego está tico en con tra ste con el co nce pto cinem á tico de A rq uím e des) y el p ro blem a de lo s extre m os (m áxim os y m ínim os) que e n su c onju nto die ro n origen a lo que m ode rn am ente se con oce co m o C álculo Dife rencial. El p ro blem a d e la ta n gen te a u n a c u rv a , fue a n aliz a do y re suelto p rim e ram en te po r A p olo nio (2 00 a .C .). En e l lib ro II de su o b ra , h ac e el e stu dio de los diám etros c onju g ad os y de las tan ge ntes a un a c ónica . Ig u alm en te , en el lib ro C Ó NIC AS V.8., A p olo nio d em ue stra u n te o rem a re la tivo a la n o rm al a u n a p a ráb ola , que p o d ría fo rm a r p a rte a ctu alm en te d e u n cu rso c om ple to de C álc ulo Dife re ncial. En cuanto al problem a de los extrem os relativos de una función, fue Pierre de Ferm at (1601 – 1665) quien en el año 1629, hizo dos im portantes descubrim ientos que están relacionados con sus trabajos sobre lugares geom étricos. En el m as im portante de ellos, titulado Methodus ad disquirendam m axim an et minim an ("Métodos para hallar m áxim os y m ínim os"), Ferm at expone un m étodo m uy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinóm ica de la form a
y f x , tom a un v alor m áxim o o m ínim o . El m étodo de Ferm at es equivalente a
calcular:
f c e igualar este límite a cero.
E sta fu e la ra z ón q ue a sistió a La p lac e a l acla m a r a F e rm a t co m o el v e rd a d e ro de scu b rid o r de l C álc ulo D ife ren cia l. Sin e m b a rg o , a u n q ue so n m u c ho s y n um e roso s lo s p rec u rso re s, a lgu n o s histo ria d o re s h a n conside ra do que e s a New ton (sir Isa ac Ne w to n. 1 64 2 – 17 27 . N acido en W oolsth a rpe (Inglaterra)) y a Leibnitz (G ottg rie d W ilhelm Leib nitz . 1 646 – 171 6. Nacido en Leipzig (Alem ania)) a q uiene s se les pue de atribuir justifica d am e nte la in vención de la s de riv ad a s y de la s in te grale s. 1
IN TRO D U C CIÓ N: Tom ada d e h ttp :/ /h u ito to .ud ea .ed u .c o/ Ma tem a tic a s/ 9.1 .h tm l
C á lc ulo d ife re n c ia l
f x ó y , é l lo lla m a b a
"c a n tid a d e s flue n tes", y la de riv a d a , Df x e ra lla m a b a "flu xión ". A d e m ás, se le e sc rib ía
AB
e n lu g a r de
Df x .
E l m ism o N e w to n e sc rib ía c osa s
c o m o la s sig uie n te s: "Lo s m o m e n tos - la s a c tu a le s d ife ren cia le s - d eja n d e se r m o m e n to s c u a n do a lc a n z a n un v a lo r finito, y d e b en p o r lo ta n to c o n sid e ra rse c o m o m a gn itu d e s fin ita s n ac ie n te s". F ra se s ta n c o nfu sas, q ue N e w to n d e bía e n te n d e rla s m uy b ie n, p e ro , p a ra o tro q u e n o fu e ra su in ve n to r de l m é to d o , su en a n b a sta n te inc o m p ren sible s. E n e l a ñ o d e 1 6 6 9 , Isa a c Ba rro w (1 6 3 0 – 1 6 7 7 ), re c ib ió d e su a lu m n o Isa a c N e w to n , u n fo lle to titu la d o D e A n a ly si p e r A e q u a tio n e s N u m e ro T e rm in o ru m In fin ita s. C o n te nía , n a d a m e n o s, q u e e l e sb o z o c a si c o m p le to d e l C á lc ulo D ife re n cia l e In te g ra l. A q u e l m ism o a ñ o , Ba rro w d e c id ió q u e su a lu m n o sa b ía m u c h o m a s q u e é l, y q u e te n ía p o r lo ta n to m u c h o m a s d e re c h o a la c á te d ra d e m a te m á tic a s c on m a s m e re c im ie n to s q u e el p ro p io Ba rro w ; su titu la r. C o n u n a g e n e ro sid a d y u n d e sin te ré s d ifíc ile s d e ig u a la r, Ba rro w c e d ió su c á te d ra a N e w to n . A lo s 4 0 a ñ o s, sien d o p ro fe so r d e m a te m á tic a s d e C a m b rid ge , N e w to n e sc rib ió lo s P rinc ipia M a the m a tic a , tal v e z e l tra ta d o cie ntífic o d e m ay o r in flue nc ia ja m á s p u blic a d o . E n el a p licó lo s c o nc e p to s de l c á lc ulo p a ra e x plo ra r e l u nive rso , in cluy e n do los m o vim ie nto s d e la tie rra , la lu n a y lo s p la n e ta s alre de d o r d el sol. S e dice q u e u n estu dia n te o b se rvó : "a h í v a el h o m b re qu e e sc rib ió un lib ro q ue ni é l n i lo s d em á s c o m p re n d e n". Leib nitz , co m p a rte co n Isa ac Ne w to n el c ré dito del d esc u b rim ie nto del c álculo. Fue el p rim e ro en p ub lic a r los m ism o s re su lta do s qu e Ne w ton d e sc ub rie ra die z añ os a n tes. La histo ria h a d ic ta m in a do qu e Ne w ton fu e el p rim e ro e n c on ce bir las p rin cip ale s id e as (16 65 – 16 66 ), p e ro que Leib nitz las d e sc ub rió in d e pen d ien te m e n te d u ran te los añ os de 1 67 3 – 1 67 6. Leibnitz fue q uizá el m ayo r inven tor de sím bolos m atem áticos. A él se deben los nom bres del C álculo Diferencial y el C álculo Integ ral, así com o los sím bolos y
dy dx
para la de riva da y la inte gral. Fue el prim ero en u tilizar el térm ino "función" y
el uso del sím bolo " = " para la igu ald ad. Por esta razón, debido a la superio rid ad del sim bolism o, el cálculo se desa rrolló con m ucha m ayor rapidez en el continente euro peo q ue en In glate rra de don de e ra o riundo New to n. C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a
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M A PA CO N CE PT U A L 1: DE RIVA D A D E U N A FU N CIÓ N
La d e riv a d a d e u n a fu n c ió n Su rg e a p a rtir d e
Se n o ta c o m o
La v a ria c ió n
f(x ) ,
Q u e p u e d e se r
f ´( x) lim
ha0
En u n in te rv a lo
In sta n tá n e a
M e d ia
f ( x h) f ( x ) h
f (a h) f (a) h en un punto a
f ´(a) lim
ha0
y se d e fine c o m o
y se d e fine c o m o
f ( x 2 ) f ( x1 ) Sien d o x1 x 2
E l v alor d e
y se d e fine c o m o
y f (b) f (a) x ba
lim
x 0
y x
Que equivale a
D a n d o lu g a r a
Lim V e loc id a d
P e n d ie n te d e la
m e d ia
re c ta se c a n te
q u e s e d efin e c om o
q u e s e d efin e c om o
ba
f (b) f (a) ba
d a n d o lu g a r a
v
s s (t2 ) s (t1 ) donde s (t ) t t2 t1
m
PQ xa
insta ntá ne a
P e nd ie nte d e la re c ta ta ng e nte
q u e se d e fin e c o m o
se d e fin e c o m o
f ( x x ) f ( x ) x
V e lo c id a d
es la posición de un objeto en el int ervalo t1 , t2
v1 Lím t 0
C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :
s(t t ) s(t ) s Lím t t 0 t
mtan Lím x 0
f ( x x) f ( x) x
La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s
87
D É D ÓN DE SU R GE L A DER IV A DA ?
La p e nd ie nte d e e sta se c a nte, d e no tad a
E n c o n tra r la ec u a c ió n d e u n a re c ta ta n g e n te a u n a c urva d a d a e n u n p u n to e sp e c ífic o a e lla E n á lg eb ra es fá c il e nc o ntra r la e c ua c ió n d e una re cta d a d o s 2 p unto s, P e ro si se ha c e ne c e sa rio e nc o ntra r la e c ua c ió n d e una líne a re c ta d a d o un p unto , e l p ro b le m a se ha c e c o m p le jo d e sd e e l á lg eb ra . P a ra hab la r so b re é ste te m a inte re sa nte q ue no s c o m p e te “E n c o n tra r la ec u a c ió n d e u n a re c ta ta n g e n te a u n a c urva d a d a e n u n p u n to e sp e c ífic o a e lla” usa re m o s e l c á lc ulo, p ue s no s p e rm itirá a ho nd a r e n situa c io ne s c o m o la p la nte ad a . E m p ezam os c on e l p ro blem a de la ta ng ente no so lo po r su im p o rta nc ia histó rica y prác tica, sino tam b ién p o rq ue la intuic ió n g eo m é tric a d el le cto r c o ntribuirá a ha ce r c o nc reta la q ue, d e otro m od o, se ría una no c ió n a bstra cta "(B ritto n, 1968, 323). D e finic i ó n
3 .1 . :
R e c ib e
el
n o m b re
de
C o m o la p e nd ie nte d e una re c ta e s ig ua l a la ta ng e nte d e l á ng ulo q ue fo rm a la re c ta c o n la pa rte p o sitiva d e l e je X, y c o m o es e se á ng ulo p a ra la re c ta se c a nte, e nto nc e s:
msec tan
f x f x0 x x0
Sup o ng a m o s q ue ex iste una re c ta ta ng e nte a la c urva e n P x o , y 0 Se a P T d ic ha re c ta . F ig ura 3.2. M ante nem os ahora el p unto P fijo y hace m os que e l punto Q se aproxim e a P, a lo larg o de la c urva. . Fig ura 3 .2 C uando esto suc ede, la inc linació n de la re cta seca nte se ap rox im a a la in clina ció n d e de la recta tange nte, lo que p ued e escribirse com o lim . En igua l fo rm a, la pend ie nte de la seca nte tiende a la pe ndiente d e la ta nge nte, es decir,
lim tan tan
. Figura 3.2.
Q p
C o m o a l c o no c e r la p e nd ie nte d e una re c ta y un p unto d e e lla , la re c ta q ue d a Fig ura 3 .1 . R e c t a s e c a nte c o m p le ta m e nte d ete rm ina da , se tie ne q ue e l p ro b le m a d e tra za r una re c ta ta ng e nte a una c urva da d a, p o r un p unto d e ésta, se re d uc e a e nc o ntra r la p e nd ie nte de la re c ta.
Adem ás, c uando Q tie nd e hac ia P, la abscisa
C onsid erem os
c urva e n
repre se ntac ió n
ecua ción y f x , dond e
f
grá fica
de
una
c urva
c on
lo que
lim tan tan
Q p
Se a P Q la re cta se c a nte q ue p asa p o r lo s p unto s
x x0
Pxo , y 0 ,
tie nde hacia
x 0 por
lim tan tan
x x0
x x0
x x0
Si d e no ta m o s p o r m tan
x0 la p e nd ie nte d e la re c ta ta ng e nte a la
e nto nc e s m
tan
lim
x x0
f x f x0 x x0
D e fin ic ió n 3.2.: La p e nd ie nte d e la re c ta ta ng e nte a la c urva
Pxo , y 0 y
y f x
mtan lim
x x0
C á lc ulo d ife re n c ia l
puede escribirse com o
Lue g o lim tan lim f x f x0 tan
es una función co ntinua. Se d esea trazar
la re cta ta ngente e n un p unto P x o , y 0 dado de la curva.
Q x, y d e la c urva .
d ad a p o r:
Q p
re c ta
se c a n te c ua lq ui e r re c ta q u e p a se p o r d o s p un to s d ife re n te s d e un a c urv a . Fig ur a 3 .1 .
la
m sec e stá
e n e l p unto
Pxo , y 0 ,
d e no ta da
mtan x0
e s ig ua l a
f x f x0 , sie m p re q ue e ste lím ite e x ista . x x0
C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a
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E JE R C IC IO S R E S U E L T O S : R E C T A T A N G E N T E A U N A C U R V A
E je m p lo 1:
H a lla r
una
e c uac ió n
de
la
re c ta
f ´(2)
ta ng e nte
y x 1 en x 1 2
So luc ió n: C a lc ula m o s la p e nd ie nte p o r la fó rm ula
a
1 1 20 2
E l p unto c o rre sp o nd ie nte a x =2 e s ( 2,1), y a q ue f( 2) =1. P o r ta nto , la e c ua c ió n d e la re c ta ta ng e nte e s:
f ( x h) f ( x ) f ´( x) Lim h 0 h f (1 h) f (1) f ´(1) Lim h 0 h
Fig ura 3 .4 .
1 h 1 1 1 2
Lim h 0
1 y x2 2
D E R IV A D A : D E F IN IC IÓ N Y N O T A C IÓ N
M ultip lic a r y c a nc e la r
h
1 2h h 2 1 2 h 0 h 2h h 2 h2 h C a nc e la r e l fa cto r c o m ún h Lim Lim h 0 h 0 h h Lim
La F unc ió n d e riva d a d e una func ió n func ió n, q ue a so c ia a c a da p unto d e riva d a
Lim2 h 2 h0
f x0 ,
y f x y e s una nue va x 0 d e l d o m inio d e f su
sie m p re y c ua nd o esta e x ista . Así,
E l p unto c o rre sp o nd ie nte a x =1 e s ( 1,2) y la re c ta d e p e nd ie nte 2 q ue p a sa p o r e l p unto ( 1,2) tie ne
D e fin ic ió n 3.3. D e riva d a d e u n a fu n c ió n . La func ió n d e riva d a
e c ua c ió n
N o ta c ió n :
y 2x 1 2 ,
d e la func ió n
o se a ,
y f x
e s y f x lim f x h f x h 0
h
y =2x . F ig ura 3.3. E je m p lo 2:
Se usa n d ive rsos sím b o lo s pa ra la s d e riva da s, sie nd o e l m á s
F ig u ra 3.3.
f x . E l sím b o lo y se c o m ún
2 H a lla r una e c ua c ió n d e la re c ta ta ng e nte a y en x 2 x f ( x h) f ( x ) A p lic a nd o f ´( x) Lim , se tie ne h 0 h 2 1 2 f (2 h) f (2) 2 h p o rq u e f ( 2 h) f ´(2) Lim Lim h 0 h 0 2h h h 2 ( 2 h) 2 2 h) ( 2 h) Lim (2 h) s um a r fra c c io n e s f ´(2) Lim h 0 h 0 h h h 1 C a n c e la re l fa c t o r c o m ún f ´(2) Lim Lim h 0 ( 2 h) h h 0 2 h C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :
E l sím b o lo a
y f x . d e riva d a d e f x
usa d e b id o a q ue
D x f x
ind ic a la
c o n re sp e c to
x.
E l sím b o lo p a ra
dy y e l sím b o lo d f x so n usad o s ind istinta m e nte dx dx
ind ica r la
d e riva d a d e La n o ta c ió n
f x
d e riva d a d e
y con
c o n re sp e c to a
d f x dx
re sp e c to a
x,
y la
x.
e n lla m a d a n o ta ció n d e Le ib n iz.
h
La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s
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Si o b se rva m o s la d e finic ió n 3.2. D e finic ió n d e la p e nd ie nte d e una re c ta ta ng e nte a una c urva e n un p unto d a d o y la d e finic ió n 3.3. d e riva d a d e una func ió n, p o d e m o s ob se rva s q ue é sta s so n ig ua le s, lo q ue no s p e rm ite c o nc luir: La d e riva da d e una func ió n re p re se nta la p e nd ie nte d e una re c ta ta ng e n te a una c urva e n un p unto d a d o.
e m b a rg o, f ’( 0) no ex iste ( e s d e c ir, f no e s d e riva b le e n x = 0) .
f ´(0) Lim h 0
Lim h0
f (0 h) f (0) f (h) f (0) Lim h 0 h h
h h
E n e fe c to , D E R V A B IL ID A D IM P L IC A C O N T IN U IDA D Si f e s una func ió n d e rivab le e n e l p unto c o ntinua e n
x1 ,
e nto nc e s f e s
x1 .
P a ra d e m o stra r q ue f e s c o ntinua e n
x x1
Se
x1 ,
o eq uiva le nte m e nte,
ba sta d em o stra r q ue
Lim f ( x) f ( x1 ) 0 x x1
.
f ( x) f ( x1 ) x x1 , x x1 x x1 f ( x) f ( x1 ) x x1 tie ne q ue : Lim f ( x) f ( x1 ) Lim x x1 x x1 x x1
E n e fe c to , c om o
f ( x) f ( x1 )
f ( x) f ( x1 ) Limx x1 Lim x x1 x x1 x x1 f ´( x1 ). 0 0 O b se rvac io ne s: i.
h h Lim Lim (1) h h 0 h h 0 h h 0 Lim h 0 h h h Lim Lim Lim (1) 1 h 0 h h 0 h 0 h Lim
D e m o stra ció n :
Lim f ( x) f ( x1 )
P a ra d e te rm ina r la ex iste nc ia o no d e l últim o lím ite se ha c e uso d e lo s lím ite s la te ra les. E sto e s,
E l re c íp ro c o d e l te o re m a 1 no sie m p re se c um p le , e s d e c ir, ex iste n func io ne s q ue so n c o ntinua s e n un p unto a llí. C o nsid é re se p o r e je m p lo la func ió n
x1
y no so n d e rivab le s
f ( x) x
.
f ´(0) Lim h 0
A sí q ue
no e x iste .
h h
no e x iste , y d e e sta fo rm a, la func ió n
f ( x) x
no e s
d e riva b le e n x = 0. ii. E n la g rá fic a d e la func ió n
f ( x) x
E n e l c a p ítulo 1 p ue d e no ta rse q ue e n e l p unto x = 0, la func ió n e s c o ntinua p e ro a llí se p re se nta una e sq uina ag ud a o un "p ic o ", ind ic a nd o c o n e sto un a rg um e nto se nc illo p a ra d e te rm ina r lo s p unto s d e l d o m inio e n los c ua les una func ió n no e s d e rivab le . F ue una g ra n so rp resa pa ra lo s m a tem á tic o s c ua nd o d e sc ub rie ro n func io ne s q ue e ra n c o ntinua s e n to d a s p a rte s, p e ro no e ra n d e riva b le s e n ning una p a rte . Lo s p rim e ro s p a so s e n la c o nstruc c ió n d e una ta l fu nc ió n se m ue stra n e n la fig 3.5. C o ntinua nd o e l p ro c e so infinita m e nte , se o b tie ne una func ió n q ue sa tisfa c e la s c o nd ic io ne s a nte s e sta b le c ida s.
P ue d e d e m o stra rse fá c ilm e nte q ue f e s c o ntinua e n x = 0. Sin C á lc ulo d ife re n c ia l
C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a
90
iii. M uc ha s ve c e s e s útil c o nsid e ra r e l co ntra rec íp ro co d e l te o re m a 1, e s d e c ir: Si f no e s c o ntinua e n
x1 ,
P ro b a r q ue la func ió n
e nto nc e s f no e s d e riva b le en d ic ho p unto .
1 ,8 , 2
El sig uie nte e je m p lo , ilustra la m a ne ra d e usa r e l te o re m a 1 e n su fo rm a e q uiva le nte d e l
x
rec íp ro c o . Se a f
la func ió n d e finid a p o r:
x si x 1 f ( x) 1 x si x 1 2 no es de rivable e n x = 1.
En e fec to, al hac er el a nálisis d e la c ontinuidad de f e n x = 1, se tie ne:
Lim f ( x) Lim x 1 x 1 x 1 Lim f ( x) no e x iste . 1 1 x 1 Lim f ( x) Lim x x 1 x 1 2 2
C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :
e n e l p unto
1 1 f h f f a h f a 2 1 2 f a lim f lim h 0 h h 2 h0 1 1 2 h 9 2 9 2 1 2 f lim h 2 h 0 1 2h 9 1 9 1 f lim h 2 h 0 2h 1 f lim h 0 h 2 1 f lim 2 2 2 h 0
x
E n c o nse c ue nc ia , f no e s c o ntin ua e n x = 1, y p o r lo ta nto , f no e s d e riva b le ( f’ ( 1) no e x iste ) e n x = 1. fig . 3.6.
f x 2 x 9
1 . 2
Lue g o
F igura 3 .6 .
e s c o ntinua e n e l p unto
g ra fic a r.
Se ha lla la d e riva d a d e la func ió n
Fig ura 3 .5 .
f x
f x 2 x 9
So luc ió n:
c o n tra
Dem ostra r que
E je m p lo 3:
1 , 2
f x 2 x 9 e s
d e riva b le
e nto nc e s e s c o ntinua e n
x
en
1 . 2
La fig ura 3.7. m ue stra la g ra fic a d e la func ió n.
. ul a s La d e riv a d a : C o n c e Fig p toura s y f3ó.7rm
91
D E R IVA D A S LAT ER A LE S La d e riva d a p o r la d e re c ha d e por
f ´ ( x1 ) ,
x1 ,
d e una func ió n f d e no ta da
f ´ (1) Lim x 1
se d e fine :
f ( x1 h) f ( x1 ) h f ( x) f ( x1 ) f ´ ( x1 ) Lim x x1 x x1 f ´ ( x1 ) Lim
ó e q uiva le ntem e nte :
h 0
ii.
x 1
La d e riva da p o r la izq uie rd a d e d e no ta d a p o r
f ´ ( x1 ) , se
x1 ,
d e una func ió n f
d e fine :
iii.
f ( x1 h) f ( x1 ) h 0 h f ( x) f ( x1 ) f ´ ( x1 ) Lim x x x x1 f ´ ( x1 ) Lim
ó e q uiva le ntem e nte :
Es d e c ir,
La s d e riva d a s la te ra le s, so n útile s p a ra d ete rm ina r a na lítica m e nte la e x iste nc ia o no d e la d e riva d a d e una func ió n a tra m o s, e n lo s p unto s e x trem o s d e lo s sub -d o m inio s. Esto
x 2 x 1 si x 1 f ( x) si x 1 4 x 1 Si se d ese a d e te rm ina r la ex iste nc ia o no d e la d e riva da d e f e n e l
f ´ (1)
x1 1 , y
la s d e riva da s la te ra les:
f ´ (1)
C á lc ulo d ife re n c ia l
no s p rop o rc io na n la info rm a c ió n. A ho ra ,
f ( x) f (1) (4 x 1) 3 Lim x 1 x 1 x 1 x 1 4x 4 Lim x 1 x 1 4x 1 Lim x 1 x 1 4 e s, f ´ (1) 4 2
f ´ (1) Lim
A sí, p o r e je m p lo , c o nsid e re la func ió n f d e finid a p o r:
f ´ (1) 31
T a m b ié n,
1
p unto
f ( x) f (1) ( x 2 x 1) 3 Lim x 1 x 1 x 1 2 x x 2 Lim x 1 x 1 x 2x 1 Lim x 1 x 1 Lim x 2 3
P ue d e no ta rse d e ( 1) y ( 2) q ue la s d e riva d a s late ra le s so n d ife re nte s, y e n c o nse c ue nc ia ,
f ´(1)
no ex iste .
La fig . 3.7. m ue stra e l c o m p o rta m ie nto d e la func ió n f e n e l p unto x = 1. N ó te se q ue e n e l p unto P ( 1, 3) la g rá fic a p re se nta un "p ic o ", ind ic a nd o c o n e sto d e m a ne ra intuitiva q ue f no e s d e riva b le a llí.
Fig ura 3 .7 . C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a
92
C ĂĄ lc ulo d ife re n c ia l C a p Ătulo 3 :
La d e riv a d a : C o n c e p to s y f Ăł rm ul a s
93
M A PA CO N CE PT U A L 2: F Ó RM U L AS
La s fo rm u la s d e d e riva c ió n
D E D ER IVA C IÓ N
Se e n tie n d en c om o T é cn ic a s p a ra d e riv a r fun c io ne s Q u e p u e d e n se r
F u n c ion e s tra sc e n de n te s
F u n c ion e s a lg e b ra ic a s
com o Com o
C o nsta nte
P o te nc ia
S e n o ta
S e n o ta
f ( x) c S u d e riv a d a e s
f ´( x) 0 Exp o n e n c ia l e s
L og a rítm ic as
f ( x) x
Sum a y re sta
P ro d uc to y c o c ie nte
S e n o ta
S e n o ta
f ( x) u ( x) v( x)
n
S u d e riv a d a e s
f ´( x) nx n 1
S u d e riv a d a e s
f ´( x) u´( x) v´( x)
f ( x) ln x S u d e riv a d a e s
f ´( x)
1 x
q u e p u e d e n se r
f ( x) Log a x S u d e riv a d a e s f ´( x)
C á lc ulo d ife re n c ia l
1 x ln a
f ( x) a
x
f ( x) e x
S u d e riv a d a e s S u d e riv a d a e s
f ´( x) a x ln a
f ´( x ) e x
S e n o ta
f ( x) u ( x).v( x) u ( x) f ( x) v( x)
S u d e riv a d a e s f ´( x) uv´u´v uv´u´v f ´( x) v2
( fo g )( x) S u d e riv a d a e s
f´( (g( x) ).g´(x ) R eg la d e la c a d ena
T rigo n o m é tri c a s
f ( x) senx q u e p u e d e n se r
C o m p ue sta
S u d e riv a d a e s
f ´( x) cos x
q u e p u e d e n se r
f ( x) cos x
S u d e riv a d a e s
f ´( x) senx
f ( x) tan x
S u d e riv a d a e s
f ´( x) sec2 x
f ( x) cot x
S u d e riv a d a e s
f ´( x) csc2 x
f ( x) sec x
S u d e riv a d a e s
f ´( x) sec x tan x
f ( x) csc x
S u d e riv a d a e s
f ´( x) csc xxotx C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a
94
T E CN ICA S DE DER IV A C IÓN Se p ue d e n usa r la s sig uie nte s té c nic a s p a ra c a lc ula r la d e riva da d e una func ió n:
Si f( x) y g (x ) so n d os func io ne s d e rivab le s e n un m ism o p unto x , e nto nc e s: ( f + g ), ( f – g) , ( f . g) y ( f / g) so n ta m b ié n d e riva b le s e n x , y se g e ne ra n la s sig uie nte s reg la s d e d e riva c ió n:
1. U sa r D efin ició n d eriva d a , e sto c o n la fó rm ula d e lím ite s.
mtan lim
x x0
f x f x0 x x0
C . D e riva d a d e u n a s u m a d e fu n cio n e s
t ( x) f ( x) g ( x) t´( x) f ´( x) g´( x)
2. T éc n ic a s d e d eriva c ió n. (ta b la ). Las sig uie nte s reg la s tie ne n p o r o b je to e l c a lc ula r la d e riva d a d e una func ió n sin usa r d ire c ta m e nte la d e finic ió n, c o nvirtie nd o la d e riva c ió n d e func io ne s e n un p ro c e so m e cá nic o .
D . D eriva d a d e u n a d ife re nc ia d e fu n c io ne s
t ( x) f ( x) g ( x) t´( x) f ´( x) g´( x)
A . D eriva d a d e u n a co n sta n te
f ( x) C , sie nd o C Se sue le e sc rib ir:
una c o nsta nte
f ´( x) 0
t ( x) f ( x).g ( x) t´( x) f ´( x).g ( x) f ( x).g´( x)
dC 0 dx
P rue b a :
f ´( x) Lim h 0
f ( x h) f ( x ) C C Lim Lim 0 0 h 0 h 0 h h
B . D eriva d a d e la fu n c ió n id e n tid a d
f ( x) x f ´( x) 1
Se sue le e sc rib ir:
h 0
dx 1 dx
f ( x h) f ( x ) xhx Lim Lim1 1 h 0 h 0 h h
C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :
P rue b a :
t´( x) Lim h 0
t ( x h) t ( x ) f ( x h) g ( x h) f ( x ) g ( x ) Lim h 0 h h
f ( x h ) g ( x h) g ( x h) f ( x ) g ( x h ) f ( x ) f ( x ) g ( x ) h 0 h g ( x h) f ( x h) f ( x) f ( x)g ( x h) g ( x) Lim h0 h f ( x h) f ( x ) g ( x h) g Lim g ( x h). Lim Lim f ( x). Lim h0 h0 h0 h0 h h g ( x). f ´( x) f ( x).g´( x) Lim
P rue b a :
f ´( x) Lim
E . D eriva d a d e u n pro d u c to d e fu n cio n e s
La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s
95
F.
D e riva d a d e la fu n c ió n
t ( x)
1 g´( x) t´( x) g ( x) g ( x)2
P rue b a :
1 1 t ( x h) t ( x ) g ( x h) g ( x ) t´( x) Lim Lim h 0 h 0 h h g ( x) g ( x h) g ( x h) g ( x) 1 Lim Lim . h 0 hg x h .g ( x) h 0 h g ( x h).g ( x) g ( x h) g ( x) 1 Lim Lim h 0 h 0 h g ( x h).g ( x) 1 g´( x) g´( x). 2 g ( x) g ( x)2 G . D eriva d a d e u n c o c ie n te d e fu n c io ne s
f ( x) f ´( x) g ( x) f ( x) g´( x) t ( x) , g ( x) 0 t´( x) g ( x) g ( x)2 P rue b a :
f ( x) 1 t ( x) f ( x). g ( x) g ( x) ´
utiliz a nd o la reg la 6
f ´( x) f ( x) g´( x) f ´( x) g ( x) f ( x) g´( x) t´( x) g ( x) g x 2 g x 2
´´
3. R e g la d e la C a d e n a
Si
y g u
u f x , e nto nc e s y g f x g f x y
c o m p o sic ió n:
A ho ra , si se q uie re c a lc ula r dy
se
p ue d e
o bte ne r
la
b a sta c o n d e riva r e sta últim a
dx re la c ió n . La sig uie nte re g la, c o no c id a c o m o la re g la d e la c a d e na, p ro p o rc io na o tra m a ne ra d e ha lla r la d e riva d a sin e fe c tua r la c o m p o sic ió n. R E G LA DE LA C A DE N A .
.
A sí q ue , usa nd o
La re g la d e la d e riva da d e un p ro d ucto d e func io ne s Se tie ne :
1 1 f ( x) t´( x) f ´( x) g ( x) g ( x)
´´
g´( x) f ´( x) t´( x) f ( x) 2 g ( x) g ( x)
Sup ó ng a se q ue
H g u
y
f
y
u f x ,
g
so n d o s func io ne s d e riva b le s ta le s q ue
e nto nc e s:
H x g f x g f x g f x . f x E n la d e m o stra c ió n se ha c e uso d e l sig uie nte le m a, q ue se p ue d e d e m o stra r fá c ilm e nte:
C á lc ulo d ife re n c ia l
C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a
96
LE M A : se a
g
g u
una func ió n ta l q ue
e x iste y c o nsid e re la
sig uie nte func ió n:
g (u h) g (u ) g´(u ), si h 0 G ( h) h si h 0 0, E nto nc e s: i.
ii.
H ( x t ) H ( x) f ( x t ) f ( x) g´(u ) G (h). t t
´
A l to m a r lím ite e n am b o s la d o s d e la últim a ig ua lda d c ua nd o
t 0,
se o b tie ne :
H ( x t ) H ( x) f ( x t ) f ( x) Lim Limg´(u ) G (h). t 0 t 0 t t ´
G e s c o ntinua e n h = 0
LimG(h) G(0) 0 h 0
g (u h) g (u ) hg´(u ) G(h)
P e ro ,
Limg´(u) G(h) Limg´(u) G(h) t 0
h 0
De Pru e b a d e la re g la d e la c a d e n a : C om o
H x g f x ,
g´(u) LimG(h) h0
e nto nc e s:
H x t H x g f x t g f x g ( f x t f x f x ) g f x
Se a
h f x t f x
g´(u) G(0) g´(u) G(0)
A sí q ue:
H x t H x hg u Gh
g´(u ) 0 g´(u ) Lim
f ( x t ) f ( x) f ´( x) , t
y,
Lim
H ( x t ) H ( x) H ´( x) t
A sí q ue d e
se o b tie ne fina lm e nte ,
A d em á s,
f e s una t 0h0
C om o
func ió n c o ntinua , se sig ue d e q ue:
A ho ra , ap lic a nd o e l le m a e n su pa rte ii. e n se tie ne :
H x t H x hg u Gh
Lue g o ,
H ( x t ) H ( x) h g´(u ) G (h). t t
C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :
( p o r se r G c o ntinua)
´
t 0
t 0
H´( x) g´( x). f ´( x) g´( f ( x)). f ´( x)
La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s
97
E JE R C IC IO S R ESU E LT OS D E M A PA C ON CE PTU A L 2 1.
H a lla r la d e riva d a d e:
a.
f ( x) x 7
b)
1 x
c.
f ( x)
e.
f ( x) 2 x 6 3 x
g.
f ( x)
i.
f ( x) x 3 2 x 5
k.
y sen3x cos 2 x
m.
d.
x2 2 x2 1
4
2
3
3
y x 2 senx
g (t ) t 95
f ´( x )
2 f ( x) 2 x 4 3x 5 x 2 x x
h.
f ( x) 1 5 x
e.
x 1 x 1
j.
f ( x)
l.
y x 2 senx
n.
f ( x) arc cot g
q.
f( x ) se p ue d e re esc rib ir c o m o :
f ( x) x
2
3
2 3 x 3
6
y
a
f ( x) 3 x 2 1
f ( x) 3 x 2
f.
ñ. f ( x) x a 2 x 2 a 2 arcsen x o . p . y ln 4 x 2 3 ln 2 x 1
d.
d d 2x 6 3 x dx dx 1 d 6 d 2 x 3 x 2 dx dx
f ´( x)
1 x 1 x
1 b arctg tan x ab a
f ( x) 2 x 6 3 x
1 1 2 6 x 5 3 x 2 2 3 12 x 5 2 x
3
y ln 2 x 2 3 3 ln( 2 x 1)
So luc ió n: a)
f ( x) x 7 f ´( x) 7 x 7 1 7 x 6 f.
b)
g (t ) t 95 g´(t ) 95 x 951 95 x 94
1 x f ´( x) (1) x 2 f ( x)
C á lc ulo d ife re n c ia l
f( x ) se p ue d e re esc rib ir c o m o :
f ( x) x 1
2 x
d 2 d 2 2 2 x 4 3x 5 x 2 x 2 x 4 3x 5 x x dx x dx x 2 1 2 8 x 3 3 x 2 x 2 x 4 3 x 5 2 x 2 x x 2 x
f ´( x) c.
f ( x) 2 x 4 3x 5 x 2 x
C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a
98
g.
x2 2 x2 1
f ( x)
j.
d 2 x 2 dx f ´( x)
h.
x
1 x2 2
2
x
2
2x x 2 1 x 2 2
x
1
2
1
d 2 x 1 dx
f( x ) se p ue d e re esc rib ir c o m o :
2
2 x
3
x
x
6x 2
1
2
2
1
f ( x) 1 5 x
6
5
d 1 5x dx
k.
5
3
4x 3 (2 x) 2 x 5 x 3 32 x 2 xx 3 2 x 5 17 x 27 x 20
5 (6 x
4 3 4 3 d 2 d x 3 2x3 5 x 2 3 2x3 5 dx dx 2
2
1 x 1 2 x 1
1
1 x 1 2 x 1
1
3
3
3
3
3
C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :
2
2
3
1
2
4
3
2
l. 2
)
2
1. x 1 x 1 .1
x 12
2
2
x 1 x 1 x 12 2 x 12
1
x 1
x2 1
y sen3x cos 2 x
y´ cos3x
4
f ( x) x 2 3 2 x 3 5
f ´( x)
1
301 5 x
i.
1 x 1 2 x 1
2
f ´( x) 61 5 x
x 1 f ( x) x 1
d x 1 x 1 x 1 d x 1 dx f ´( x) dx x 12
2
2x 2x 2x 4x 3
x 1 x 1
f ( x)
d 3x sen2 x d 2 x 3 cos3x 2sen2 x dx dx
y cot g 1 2 x 2
y´ csc2 1 2 x 2
dxd 1 2 x 4 x csc 1 2x 2
2
2
La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s
99
m.
y x 2 senx
y´ x 2
o.
d senx senx d x 2 x 2 cos x 2 xsenx dx dx
f ( x) arc cot g
f ´( x)
ñ.
1 1 x 1 1 x
2
1 x 1 x 1 1 1 x2 1 x 2
f ( x) x a 2 x 2 a 2 arcsen
1 f ´( x) x a 2 x 2 2
f ´( x) 2 a 2 x 2
C á lc ulo d ife re n c ia l
1
2
p.
y ln 4 x 2 3 ln 2 x 1
y´
8x 2 2 4x 3 2x 1
8 x2 x 1 2 4 x 2 3 y´ 4 x 2 3 2 x 1
x a
(2 x) a 2 x 2
1 b arctg tan x ab a
1 1 d b a2 b 1 y´ tan x sec2 x 2 2 2 2 ab b ab a b tan x a dx a 1 tan x a 2 sec x 1 y´ 2 2 2 2 2 a b tan x a cos x b 2 sen 2 x
1 x 1 x 1 d 1 x f ´( x) 2 1 x dx 1 x 1 1 x
n.
y
1
2
a2
1 1 x / a
2
1 a
q.
3
y ln 2 x 2 3 3 ln( 2 x 1)
y´ 3.
1 6 .2 2x 1 2x 1
C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a
100
D E R IVA C IÓN DE F U N C ION E S IM P L ÍC ITA S A l c o nsid e ra r la func ió n c o n e c ua c ió n
f x 3x 4 5 x 2 1
p o sib le
te o re m a s
f x c o n
d e te rm ina r
a nte rio rm e nte , ya q ue
f
lo s
, es
e nunc ia d o s
e s una func ió n d a d a im p líc ita m e nte e n
té rm ino s d e la va ria b le ind e p e nd ie nte
x.
Sin e m b a rg o, e x iste n func io ne s q ue no e stá n d e finid as e n fo rm a e x p líc ita, e je m p lo s d e la s c ua les so n la s sig uie nte s:
Pa so s p a ra c a lc ula r
e n té rm ino s d e " x ". Se d ic e q ue la func ió n
f
e stá d e finid a
im p líc ita m e nte p o r la s e c ua c io ne s:
1.
D e riva r a m b o s la d o s d e la e c ua c ió n re sp e c to a
2.
E fe c tua r la tra nsp o sic ió n d e té rm ino s, d e ja nd o aq ue llo s q ue
3
x 2 x 5 x f x f x 2
2
resp e c tivam e nte .
N o te q ue a m ba s ex p re sio ne s so n d e la fo rm a g e ne ra l
f x, y 0 .
P a ra ha lla r la d e rivad a d e ex p re sio ne s im p líc ita s, c om o la a nte rio r, se p ue d e a p lic a r e l m é tod o d e d e riva c ió n im p líc ita, e l c ua l c o nsiste e n d e riva r a m b os la d o s d e la e x p re sió n c o n
x,
y lue g o , re so lve r la e c ua c ió n re sulta nte p a ra
y .
dy e n e l p rim e r m ie m b ro . dx dy F a c to riza r . dx dy D e sp e ja r d ivid ie nd o am b o s la d o s d e la dx dy fa c to r d e q ue d eb e se r d istinto d e c e ro . dx
dy dx
ig ua ld a d e ntre le
H a sta a ho ra, se ha e stud ia d o la d e riva da d e una func ió n, ó , la p rim e ra d e rivad a d e una func ió n, ó la d e rivad a d e p rim e r o rd e n d e una func ió n. M uc ha s ve c e s, inte re sa e l c a so , e n e l c ua l la func ió n d e riva d a
f x ,
se p ue d e d e riva r nue va m e nte e n
un
inte rva lo
I
,
o b te nié nd o se d e e sta fo rm a la se g und a d e rivad a d e la func ió n. o E s d e c ir, si e x iste , d e riva d a d e d e no ta rá sím b o lo s:
C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :
x
D E R IVA D A S D E O R DE N S U PE RIO R
Inte re sa a ho ra d e te rm ina r la d e riva da d e una func ió n d a d a e n fo rm a im p líc ita .
re sp e c to a
3. 4.
3 x 2 f x 5 x f x x 5 2
y .
c o ntie ne n
E sta s e c ua c io ne s no p ue d e n se r re sue ltas e xp líc itam e nte p a ra
y"
o
Lo s p a so s pa ra c a lc ula r la d e riva d a d e y e n e x p resio ne s q ue c o ntie ne n a x y a y , so n:
3x 2 y 2 5 xy 3 x 5 , x 2 x 5 xy 2 y 2 "
dy dx
f
lim
h 0
f x h f x h
, se lla m a rá : la seg und a
, o ta m b ié n, la d e rivad a d e seg und o o rd e n y se por
f x , f , Dx 2 f , y ,
c ua lq uie ra
de
2
d y dx 2
.
La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s
lo s
101
Ig ua lm e nte, se p ue d e a na liz a r si
f
’’ e s d e riva b le, e n c uy o c a so,
se lla m a a la func ió n re sulta nte : la te rc e ra d e riva d a d e d e riva d a
de
o rd e n
3
y
q ue
se
f
d e no ta rá
, ó , la p o r:
3
d y f x , f , Dx f , y , 3 . dx 3
So luc ió n: a.
x 2 y xy 2 x 2 y 2 0
d 2 d d 2 d 2 x y xy 2 x y 0 dx dx dx dx d y y d x 2 x d y 2 y 2 d x d x 2 d y 2 0 x2 dx dx dx dx dx dx
Sig uie nd o e ste p ro c e so , se p ue d e p reg unta r p o r la e x iste nc ia o
P o r ta nto
no , d e la d e riva da n -sim a o la d e rivad a d e o rd e n
x 2 y´2 xy 2 xyy´ y 2 2 x 2 yy´ 0
c ua l se d e no ta rá p o r:
f n x , f n , Dx n f , y n ,
dny dx n
de
n
f
, la
T o d a s esta s no ta c io ne s se e xtie nd e n a las lla m a d a s: d e riva d a s d e o rd e n sup e rio r. O bse rve q ue a unq ue la no ta c ió n d e Le ib nitz p a ra
mas
a p ro p iad a
e sc rib ir:
d dy dx dx
y
na tura l, 2
com o
d y ; dx 2
a l m e no s
asi
lo
d dy dy dx dx dx
re sulta
Lue g o
c. p e nsa ba
él al
3
com o
d y dx 3
x 2 y xy 2 x 2 y 2 0
b.
x 2 xy y 2 3
c.
y e 2 x ln x
d.
y
y´
2x y x 2y
y e 2 x ln x
Lue g o :
y e 2 x ln x e 2 x e ln x e 2 x ( x) .
e2x y 2 x
Lue g o :
e2x x2 y 5 x 4 3x 2 3x 7
3. H a lla r la se g unda d e riva d a d e la func ió n: 4. Ha lla r la seg und a d e riva da d e la func ió n:
5
y x2 1 3x 2 f ( x) x 12
Así
y xe 2 x
y´ e 2 x 2 xe 2 x y´
d.
a.
C á lc ulo d ife re n c ia l
x 2 xy y 2 3 d 2 d d 2 x xy y 2 x xy´ y 2 yy´ 0 dx dx dx
se r la
D e riva r :
2. Ha lla r la te rc e ra d e riva d a d e la func ió n:
y 2 2 x 2 xy x 2 2 y 2 xy
b.
dy d 2 y d 3 y dx , dx 2 , dx 3 ,...
y´
.
O b se rva c ió n:
la s d e rivad a s es c o m p lica d a
2e 2 x x 2 e 2 x ( 2 x )
x
2 2
2 xe 2 x x 1 x4 2x 2e x 1 y´ x3 y´
2. Ha lla r la te rc e ra d e riva d a d e la func ió n:
y 5 x 4 3x 2 3x 7
y´ 20 x 3 6 x 3 y´´ 60 x 2 6 y´´´ 120x
C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a
102
3. H a lla r la se g unda d e riva d a d e la func ió n:
y x2 1
5
4 4 dy 5 x 2 1 (2 x) 10 x x 2 1 dx
10x
1 9 x 3
1
2
2
4. Ha lla r la seg und a d e riva da d e la func ió n:
x 12 (3) 3x 22( x 1)(1) x 14 x 13( x 1) 2(3x 2) x 14
f ´( x)
3x 3 6 x 4
x 1
f ( x)
3x 2 x 12
2 y 2 y´( x) 2 y´( x) 2 x 2x y´( x) 2 3y 2
1 3x x 13
2
2y´( x) 2 x
ha c ie nd o x =2 e y =1
y´(2)
4 4 32
La e c ua c ió n d e la re c ta ta ng e nte se o b tie ne d e
4
y 1 x2
o sea ,
y 1 4( x 2)
U sa r d e rivac ió n im p líc ita p a ra ha lla r y´´
A p lic a nd o otra vez la reg la d e l c o c ie nte,
x 13 (3) 1 3x 3( x 1) 2 (1) x 16 2 3 x 1 ( x 1) (1 3 x) x 16
y´´
3x 3 6 x 4
x 1 3(2 x) 6x 4 x 1 x 14 3
C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :
3x 3 2 y 3 5
9 x 2 6 y 2 y´ 0 6 y 2 y´ 9 x 2 y´
f ´´( x)
3 y
La p e nd ie nte d e la re c ta ta ng e nte e n e l p unto ( 2,1) se o b tie ne
3
d 2 d x y 3 2 y (3) dx dx 2 x 3 y 2 y´( x) 2 y´( x) 0 y p o r ta nto ,
4
10 x 2 1 8 x 2 x 2 1 3
C a lc ula r
S o lu c ió n : A p lic am o s d e riva c ió n im p líc ita
80 x 2 x 2 1 10 x 2 1
x2 y3 2 y 3.
H a lla r y ´( x) sa b ie nd o q ue
p e nd ie nte d e la re c ta ta ng e nte a la c urva e n e l p unto ( 2,1) .
3 4 d2y 10 x 4 x 2 1 (2 x) 10 x 2 1 2 dx 3
5.
6 y 2 (18x) (9 x 2 )(12 y ) y´
6 y
2 2
9x 2 6y2
108xy 2 108x 2 yy´ 36 y 4
108xyxy´ y 3x( xy´ y ) 3x 9 x 2 3 x 36 y 4 y3 y 6y2
3x 2 y 3 y
9x 2 2 6y
3x 2 2 y
La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s
la
103
E JE R C IC IO S P R OPU E ST O S C A P ÍTU L O 3 1. E n los sig uie nte s e je rc ic ios, c a lc ula r la d e riva da d e la func ió n d a d a y ha lla r la p e nd ie nte d e la re cta ta ng e nte a la g rá fic a p a ra c a da va lo r e sp e c ific ad o d e la va riab le ind e p e nd ie nte . a) c)
f ( x) 5 x 3 ; x =2 2 1 h( x ) ; x = x 2
b)
g ( x) 2 x 3 x 5 ;
d)
F ( x)
2
x =0
a)
f (t ) t 2 t 1 ;
t=2
b)
y x 2 2x 3
H ( x)
b)
y y
c)
f ( x) x 9 5 x 8 x 12
d)
e)
1 1 1 y 2 t t t
f)
g) i)
f ( x) x 3
1
3 x2
; x=
1 2
x3
1 2x 1 2x 1
x y 1 x
l) n)
y
u)
p)
2 x
4
5
y x 1 x 2 2 x 2
x 1 x 1
f ( x)
f ( x) 3 x x 3 1
r)
y 2x 2 2 x
t)
y 1 x
w)
x3 1 y 3 2x 1
4
4. E n los p rob le m a s sig uie nt e s usa r la re g la d e la c a d e na pa ra ha lla r
dy dx
x 1
3
b)
y x 2 2x 4
f ( x) 3 2 x 3 5x 2 x
d)
y
e)
f ( x) x 2 5 3 x 2 3
f)
f ( x) 9 9 x
g)
g ( x)
h)
h( x) 2x 3 4x 5
a)
y
c)
x 1
x 1 3
x 1
x
j) y = 10( 3u+1) ( 1-5u)
1 5 x 2x 3 1 k) f ( x) 3 t m ) f (t ) 2 t 2
C á lc ulo d ife re n c ia l
y´
2x 1 2x 1
2 3 h) y x 2 x 2 1 x 16 x 3x 2 3
f(x ) = ( 2x +1) ( 3x -2)
q) s)
3. E n los sig uie nte s e je rc ic ios d e riva r la func ió n d a da y sim p lific a r la s re sp ue sta s. a)
y
x ; x =9
2. E n lo s sig uie nte s e je rc ic io s ca lc ula r la d e riva d a d e la func ió n d a d a y ha lla r la e c ua c ió n d e la re c ta ta ng e nte a la g rá fic a p a ra c a d a va lo r e sp e c ific a d o d e x .
1
o)
x 1 x2
x3 3
3x 2 1
5. E n los p rob le m a s sig uie nte s, ha lla r la d e riva da ind ica d a. a)
y 3x 4 2 x 2 x 5 ;
c)
y
y 1 2x
x x 1
y´´´
b)
f ( x) 2 3 x 2
; f´´(x )
; y ´´
C a p ítulo 3 : L a d e riv a d a
104
6. E n los sig uie nte s e je rc ic ios, e nc o ntra r
D x y p o r d ife re nc ia c ió n o)
im p líc ita
x 2 y 2 16
a)
b)
x y 4
d)
f)
x y 2 x y 2
g)
x 3 y 3 8 xy
c)
1 1 1 x y
q ) y´
x2 y2 x2 y2
s)
x3 y3
u)
R ESP U ES TA S EJ ER C IC IO S PR O PU ES T OS CA P ÍT U L O 3 1.
a ) f´(x ) = 5; m = 5 c)
2.
2 h´( x) = t2
1
; m = -8
a ) f´( t) = 2t + 1; y = 5t - 3
3.
a)
dy 2x 2 dx
c)
f ´( x) 9 x 8 40 x 7 1
d ) y´
e)
dy 1 2 1 2 3 dt t t 2 t3
f)
g ) f ´( x) 3
2
4 1 2 x 2
y´
1
2 x
k) m)
f ´(t )
t2 2
t
2
2
2
C á lc ulo d ife re n c ia l C a p ítulo 3 :
22 x
5x
2 x
x 2x 2 1
x 1
a ) y´
1
x2 1 1
b)
2
3 2 x 5x x
3 x 5 2
g´( x) a)
3
2
x
3
2
3
2
1
4
2
f)
2
x2 7x2 3
3x
d)
6 x 10x 1 2
x 5x 2 1
1 4 x 1 x
y´
2 x
b)
3
3
1
5
2
y´
x5 6 x 13 x 1
4
1 4 9 9 x 9 x
3x 2 2
h´( x)
2x 3 4x 5
3
y´´´ 72x
y´ 6 x 2 x 2 x 1
f ´( x)
h)
36 x 2 x 3 1
f ´´( x)
6
2 3x 2
5
n) y´
w)
x 1 x
f ´( x)
+ 36
5.
t) y´
2
3
g)
6.
4 x 4x 1
5
3
2
2
8 y 3x 2 3 y 2 8x
a) D y x x
b)
Dx y
2 c) D y y x 2
d)
Dx y y 2 x
y
x
e)
3
r) y´ x 8 5 x
2x 4x 3
e ) f ´( x)
2
2
f ´( x)
p ) f ´( x) 12 1 x 2 3x x 3 1
1 x 6
c ) y´´
du 3 l) dy dx x 2 2
3
4
2x x
dy x 2 3 1 2 1 2 x 2 3 dx 8 x 2 3 3x dy f ´( x) 2 x 1 j) 300u 20 1 f ´( x) (5 x 4 6 x 2 ) 3
y´
1
c)
3
x
h)
i)
4.
b ) g ´( x) = 4x-3; m = -3
1 d ) F ´( x) = ; m= 6 2 x 6 b ) H ´( x) = ; y =-48x x3 4 b ) y´ 2 x 12
y´
x xy 2 Dx y 2 x yy
f)
1
1
2
3x 2 4 y Dx y 4x 3 y 2
1 2x
La d e riv a d a : C o n c e p to s y f ó rm ul a s