Limites by Diana Julie Hincapie Guerrero

M A PA CO N CE PT U A L 1: L ÍM IT ES Y S U S AP LIC AC IO N ES

LIM IT ES Se sim b o liza p o r

Se d e fin e n fo rm a lm e n te a sí

So n

lim f ( x)  L

lim f ( x)  L S ig n ific a q u e   0

V a lo re s a lo s c ua le s se ac erc a un a fu n c ió n

x 0

f (x) d e p e nd ie n d o d e l v a lo r a l cu a l se

x 0

a ce rq ue

P u e d e n se r LA T ERA LE S

D E F U N C IO N ES RA C IO N A L ES

C uando

Com o

L os a c erca m ien tos d e

x a a s on p or la izq u ierda o p or la d erec ha

D E F U N C IO N ES RA D IC A LES

D E F U N C IO N ES T RIG O N O M .

D E F U N C IO N ES IN D ET ERM IN A D A S

Com o

p( x) lim x a q ( x )

lim

xa

  0 ta l q u e , p a ra to d o x , si x  a   , e n to n c e s, f ( x)  L 

f ( x)

senx xa x

lim

Q u e so n

x 0

1   x

lim f ( x)   xa

P o r la

iz q u ie rd a

d e re c h a

A sí

lim f ( x)  L

lim f ( x)  L

xa

C u y o s re su lta d o s p u e d e n se r

 ; Si e l g rad o d e p ( x )  Q( x )

Y s e util iz a n p a ra d e fin ir la

lim

x a

p( x) q( x)

m ; Si e l g rad o d e n

0 ; Si e l g rad o d e

p ( x )  Q( x )

p ( x )  Q( x )

x a

C o n tin u id a d d e u n a fu n c ión

D isc o n tin u id a d de u n a fu nc ió n

La c u a l se a n a liz a e n

Q u e p u e d e se r

U n p u n to a

U n in te rv a lo a b ierto a, b 

S i c u m p le

f (a) e xist e

Q ue e s con tin ua en to d o s lo s p un to s d e l in terva lo

lim f ( x) e xis te x a

f (a)  lim f ( x) xa

C á lc ul o d i fe re n c ia l

U n in te rv a lo ce rra d o

a, b

S i c u m p le

e s c o n tin ua e n

a, b

E v ita b le s

N o e v ita b le s

C uando

f (a) , s i x  a f (a) y lim f ( x)

N o ex is te

lim f ( x)  f (a)

E x is ten

lim f ( x)  f (b)

p ero n o c oin cid en .

xa

lim f ( x) n o e xis te x a

x a

xb

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

E L P R O C E S O D E L L ÍM IT E e d e e sa situa c ió n. A sí, d e la P a ra

tr a b a ja r

e s te

c a p ítu lo

re q u ie re

in d is p e n s a b le m e n te e l c o n c e p to d e f u n c ió n y lo s tip o s d e fu n c io n e s (C a p ít u lo 1).

M edia nte grá ficos y ta b la s de va lores de la s fu ncio nes se introd uce el con cept o d e lím ite d e una f unci ón en un pun to. T a m b ién s e prop orciona ca sos en los cua les el lím ite no ex iste.

se a c e rc a a

H a c ia 2 p o r la izq uie rd a

S o lu c ió n : La fig . 2 .1 co rre spo n de a la g rá fic a d e e sta fu n c ió n .

va lo re s

f (x)

e nc ue ntra n

más

T a b la 2 .1 .

3 , ta nto pa ra va lo re s m a y o res q ue 3 c o m o p a ra

va lo re s m e no re s q ue 3, lo s va lo re s d e

f (x)

se a p ro x im a n a

12 .

E je m p lo 2. C o n la g rá fic a y una ta b la d e va lo re s. Si x 2  4 ¿ a q ué va lo r se ap ro x im a f x  si x se a p ro x im a a 2? f ( x)  x2 S o lu c ió n : E n la

Fig ura 2 .2 .

se tie ne la g ra fic a d e

f x  . P o d e m o s

ve r q ue , a ún c ua nd o la g rá fica p re se nta una ruptura ( hue c o ) e n e l p unto ( 2,4) , la s im á g e ne s d e va lo re s d e x m uy c e rc a no s a 2 so n m uy c e rc a na s a 4. T am b ié n una ta b la d e va lo re s utiliz a nd o va lo re s d e x p ró x im o s a 2 ta nto p o r la izq uie rd a ( m e no re s q ue 2) c o m o p o r la d e re c ha (m a y o re s q ue 2) , no s C á lc ul o D if e re n c ia l

H a c ia 2 p o r la d e re c ha

1 ,5

1 ,9

1 ,9 9

1 ,9 9 9

2 ,0 0 1

2 ,0 1

2 ,1

2 ,5

f(x )

3 ,5

3 ,9

3 ,9 9

3 ,9 9 9

4 ,0 0 1

4 ,0 1

4 ,1

4 ,5

H a c ia 4 p o r la d e re c ha

Fig ura 2 .2 . T a b la 2 .2 .

c e rc a no s a 12 . La ta b la 2.1 d e va lo re s Fig ura 2 .1 . re fue rz a e sa p e rc e p c ió n g rá fic a. P od e m o s ve r q ue a H a c ia 3 p o r la iz q uie rd a 3 H a c ia 3 p o r la d e re c ha m e d id a 2 ,5 2 ,9 2 ,9 9 2 ,9 9 9 3 ,0 0 1 3 ,0 1 3 ,1 3 ,5 x q ue to m a m o s f(x ) 9 ,5 1 1 ,4 1 1 1 ,9 4 01 1 1 ,9 9 40 0 1 1 2 ,0 0 60 0 1 1 2 ,0 6 01 1 2 ,6 1 1 5 ,2 5 va lo re s H a c ia 1 2 p o r la izq uie rd a 12 H a c ia 1 2 p o r la d e re c ha x de más p ró x im o s a

H a c ia 4 p o r la izq uie rd a

E n e lla p o d e m os ve r q ue e ntre m á s c e rca se e nc ue ntre n d e 3 lo s va lo re s d e x , e nto nc e s lo s

se a p ro x im a n a 4 c ua nd o lo s va lo re s d e

f (x)

a p ro x im a n a 2.

E je m p lo 1. C o n la g rá fic a y una ta b la d e va lo re s ¿Q ué le suc e d e a f  x   x 2  3 c ua nd o

c o nve nc d e d uc im o s q ue lo s va lo re s

ta b la 2 .2

E je m p lo 3. P o r la d e re c ha y p o r la izq uie rd a C o nsid e re m o s a ho ra la func ió n f  x   x . x S o lu c ió n : E n su g rá fic a ve m o s q ue p o r la d e re c ha d e 0 la s im á g e ne s so n 1, m ie ntra s q ue p o r la iz q uie rd a d e 0 las im ág e ne s so n -1, la g rá fic a p rese nta un "sa lto " y e nto nc e s la s im á g e nes no se a c e rc a n a un m ism o va lo r. P od e m o s ve r q ue e l lím ite no e x iste . H ag am o s una tab la c om o las d e lo s e jem p lo s a nte rio re s p a ra ve rlo d e o tra m a ne ra . E ste c a so d ifie re d e lo s a nte rio re s p o rq ue si to m a m o s va lo re s d e x p o r la iz q uie rd a d e 0 e nto nc e s f( x ) se hac e -1, p e ro a l to m a r va lo re s p o r la d e re c ha d e 0 e nto nc e s f( x ) se ha c e 1. E sto e s: la te nd e nc ia d ifie re se g ún e l la d o e n q ue to m em o s lo s va lo re s.

H a c ia 0 p o r la iz q uie rd a

H a c ia 0 p o r la d e re c ha

-0 ,5

-0 ,1

-0 ,0 1

-0 ,0 0 1

0 ,0 0 1

0 ,0 1

0 ,1

0 ,5

f(x )

-1

H a c ia -1 p o r la iz q uie rd a

1 | -1

T a b la 2 .3 .

H a c ia 1 p o r la d e re c ha

Fig ura 1 .3 .

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

E je m p lo 4. C re c im ie nto lim ita d o . A ho ra hag am o s lo m ism o pa ra

1 f x   , x

p a ra

va lo re s

c e rc a no s

S o lu c ió n : E n la fig ura 2.4. ve m o s q ue a m e d ida q ue no s a c e rc a m o s a 0 p o r la d e re c ha , la g rá fic a d e la func ió n "sub e ilim ita d am e nte " sin a p rox im a rse a ning ún va lo r e n pa rtic ula r. Si va m o s p o r la iz q uie rd a d e 0, la g rá fic a d e la func ió n "b a ja ilim ita d am e nte '' y ta m p o c o se a p ro x im a a ning ún va lo r e n p a rtic ula r. La tab la ta m b ié n ind ic a e sa te nd e nc ia.

H a c ia 0 p o r la iz q uie rd a

E n e l e je m p lo 1 ,

-0 ,5

-0 ,1

-0 ,0 1

-0 ,0 0 1

0 ,0 0 1

0 ,0 1

0 ,1

0 ,5

g (x )

-2

-1 0

-1 0 0

-1 0 0 0

1000

100

la iz q uie rd a o p o r la d e re c h a , lo s v a lo re s d e a u n v a lo r fijo

e sc rib im o s

se v a n a p ro x im a n d o

f (x)

tie n d e a

f ( x)  L

La situ a c ió n c o m p le ta se e x p re sa a sí:

"El lím ite d e f(x ) c u an d o x tie nd e a c e s igu a l a L" . S im b ó lic am e n te

lim f ( x)  L x c

lim x 2  3  12 x 3

H a c ia ? p o r la d e re c ha

E n e l e je m p lo 2 : lim x  4  4 2

T a b la 2 .4 .

Fig ura 1 .4 .

f (x)

D e c im o s e n e ste c a so q u e

S e tie n e e n to n c e s q ue , e n el e je m p lo 1 : H a c ia ? p o r la izq u ie rd a

tie nd e a 2; e n

tie nd e a 0.

E n se g und o lug a r, e n lo s e je m p lo s 2 y 3, a m ed id a q ue no s a p ro x im a m o s a l va lo r d a d o d e x , no im p o rta si lo ha c e m o s p o r

H a c ia 0 p o r la d e re c ha

tie nd e a 3; e n e l e je m p lo 2,

lo s e je m p lo s 3 y 4,

x2

x2

E n e l e je m p lo 3 te n e m o s u n a situ a c ió n d ife re n te . E n e ste c a so , c u a n d o

V ie nd o la ta b la 2.4 y p e nsa nd o e n va lo re s d e

a ún m á s

p ró x im o s a 0 es fá c il c o nve nc e rse q ue si va m o s p o r e l la d o d e re c ho lo s va lo re s d e

f x 

c re c e n ilim ita da m e nte ( se d ic e

q ue c re c e n sin c o ta ) y si va m os p o r e l lad o izq uie rd o lo s va lo re s d e c re c e n ilim itad a m e nte (d e c re c e n sin c o ta) .

x x

tie n d e a 0 p o r la d e re c h a e n to nc e s

f (x)

tie n d e a 0 p o r la iz q u ie rd a se tie ne q u e

c irc u n sta n c ia s se d ic e q u e el lím ite d e e x iste .

E s d e c ir

lim x 0

f (x)

tie n d e a 1 , p e ro c u a n d o

f (x)

tie n d e a -1 . E n e sta s

c uando

tie n d e a 0 n o

n o e x iste .

C o m e n ta rio so b re lo s e je m p lo s a n te rio re s F in alm e nte, e n e l eje m p lo 4 tam p oco ex iste el lím ite d e

Esto s 4 ejem plo s tien en co sa s en co m ún y co sa s en la s c ua les difieren :

E n p rim e r lug a r, tie ne n e n c o m ún e l he c ho d e q ue te ne m o s un va lo r d a d o d e x ( e s d e c ir un va lo r d e c p re via m e nte fija d o) d ig a m os

tie nd e a

y , lue g o , c o nsid e ram o s va lo re s d e

f (x) c ua n do

tie n de a 0, p o rque la ta bla no p rese n ta ten d enc ia h acia nin gú n v alo r fijo sin o q ue las im á ge ne s c rece n o d ec re cen sin lím ite a m e did a q ue a p rox im am os x a 0 . E sto es:

lim

x 0

1 x

n o existe.

c a d a vez m ás p ró x im o s a c, ta nto va lo re s m a y o re s q ue c (p o r la d e re c ha ) c o m o va lo res m e no re s q ue c ( p o r la iz q uie rd a) . E sta x tie nd e a c y situa c ió n se ex p re sa d ic ie nd o q ue sim b ó lic a m e nte se ind ic a p o r C á lc ul o d i fe re n c ia l

x c.

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

2.2.

e x iste p o rq ue , si no s a p ro x im a m o s a 4 p o r la d e re c ha, lo s va lo re s

D EF IN IC IO N ES D EL L ÍM ITE D E U N A F U N C IÓ N

D e finic ió n intuitiva :

2 .2 .1 .

D e a c u e rd o c o n lo a n te rio r, d a m o s

f x 

se a p ro x im a n a 4, y si lo ha c e m o s p o r la iz q uie rda , lo s

f x  se

va lo re s d e

a c e rc a n a 3.

la sig u ie n te :

D e fin ic ió n in tu itiv a d e lím ite . D e fin ic ió n 2 .2 .1 . D e fin ic ió n in tu itiv a : D e c im o s q u e el lím ite d e

c uando

tie n d e a c e s ig u a l a L si a m e d id a q u e

f x 

se a c e rc a a c ,

y a se a p o r la d e re c h a c o m o p o r la iz q u ie rd a , e n to n c e s lo s v a lo re s d e f x  se a p ro x im a n a

E sto se e sc rib e

2.2.2.

D e fin ic ió n fo rm a l:

D e a c ue rd o c o n lo a nte rio r, d a m o s la sig uie nte D e finic ió n fo rm a l d e lím ite.

lim f ( x)  L . x c

D e finic i ó n 2 .2 .2 . El lím ite : D e fi nic ió n fo rm a l . S e a f un a fun c ió n d e fin id a e n c a d a n úm e r o d e a l g ún in te rv a l o

G rá fic a m e n te se p u e d e ve r e n la s fig ura s 2 .5 y 2 .6 .

a b ie rto q ue c o n te n ga a p o sib le m e n te m ism o .

x se

a p ro xim a a

com o

El lim ite d e

e xc e p t o

n úm e ro

q u e se e sc rib e

y  f (x)

L  2

f (x) c o n fo rm e

L , lo

lim f ( x)  L

L  2

si g uie n te

x 0

p ro p o sic ió n

c u a lq u ie r



pequeña Fig ura 2 .5 .

p a ra

lim f ( x)  L

Fig ura 2 .6 .

x c

x tie n d e a c .

v e rd a d e ra :

dad a

0 , n o im p o rta c u a n

se a ,

to d o

a  2

  0 ta l q u e , si 0  xa  ,

d ife re nc ia e ntre

f x 

L se

a  2

Fig . 2.8 R ep res enta c ión g raf ica -id ea f orm a l d e lím ite d e u na f un c ión .

e n to n c e s, f ( x)  L 

La d e finic ió n fo rm a l sig nific a : p a ra E je m p lo 5. Ex iste nc ia d e lo s lím ite s.

lim f x   L x 0

sig nific a q ue la

p ue d e ha c e r a rb itra ria m e nte

lim f ( x)  1

lim f ( x)  1,5

p e q ue ña si x e stá lo sufic ie nte m e nte c e rc a d e a , x  a . T e ng a p re se nte q ue la d e finic ió n fo rm a l no m e nc io na na d a re fe re nte a c ua nd o x  a , y a q ue a l ca lc ula r lim f x lo q ue

lim f ( x)  1

lim f ( x)  2,5

inte re sa e s "lo q ue suc e d e c o n

fig ura

2 .7

y  f x  .

re p re se nta una func ió n

A p a rtir d e l d ib ujo te ne m o s

x  4

x 2

x 6

x 1

Por

o tra

p a rte :

lim f x  no e x iste ,

x  3

p o rq ue

y  f (x)

c e rc a

p ró x im o s a

c re c e sin c o ta y

func ió n

lim f x  no

F igura 2 .7 .

y  f x 

im p o rta si

c y f c 

f x 

 

pa ra va lo re s d e

no lo q ue suc e d e e n

m uy

m ism o ". Es d e c ir, no

e x iste o no ex iste , y si ex istie ra no inte re sa q uié n

se a ; e l lím ite no tie ne q ue ve r c o n

f x  p a ra x

xc

c e rc a no a

f c 

sino c o n lo s va lo re s d e

x 4

C á lc ul o D if e re n c ia l

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

E je m plo 6: U tilic e la d e finic ió n fo rm a l d e lím ite p a ra d e m o stra r lim 4 x  5  3 q ue

  0,025 .

C ua lq uie r núm e ro p o sitivo

x2

e m p le a rse ta m b ié n c o m o la



m e no r q ue

1  4

p ue d e

re q ue rida .

So luc ió n: E l p rim e r re q uisito d e la d e finic ió n fo rm a l d e l lím ite e s q ue 4 x  5 e sté d e finid a e n c a da núm e ro d e un inte rva lo a b ie rto q ue c o nte ng a a 2, e x c ep to p o sib le m e nte e n 2. P ue sto

q ue 4 x  5 4e stá d e finid o p a ra to d o s lo s núm e ro s re a les, c ua lq uie r inte rva lo a b ie rto q ue c o nte ng a a 2 sa tisfac e é ste re q uisito .

A ho ra se d eb e d e m o stra r q ue p a ra

  0 ta l q ue : 0  x2 

e x iste una Si

 

0  x2  0  x2 

c ua lq uie r  0

4x  5  3  ( 2)

e nto nc e s

4 x  2 

e nto n c e s

E l lím ite d e f x  c ua nd o tie nd e a

debem os

te ne r

2 e nto nc e s se tie ne q ue lim x  4  4 x2

x2

x2

p ue d e e x istir a ún c ua nd o

f c  no e x ista . P o r e je m p lo , re c ue rd e q ue si

( p o rq ue e n

f x  

x2  4 x2

f 2 no e x iste

y sin e m ba rg o

e l d e no m ina d o r se ha c e c e ro) .

P o r e l c o ntra rio , p ue d e se r q ue

1 x2   4

e nto nc e s

C ua nd o tra ta m o s c o n lo s lím ite s c o nsid e ra c ió n una se rie d e situa c io ne s:

f c  e x ista y sin e m b a rg o lim f x  x c

no e x ista, ta l es e l c a so si c o nsid e ra m o s c  4 e n la fig u ra 2.7. P ue d e se r q ue ta nto lim f  x  c o m o f c e x ista n p e ro no se a n

 ig ua le s. E n la fig u ra 2.7, p o r e je m p lo , f 2   2,5 x c

E sta

p ro p o sic ió n

 sa tisfa c to ria .

d e no ta

q ue

p a ra

C o n e sta e le c c ió n d e

c ua lq uie r

 se

1  4

una

tie ne e l a rg um e nto

sig uie nte : Si



4 x  2  4



4x  8  4

 

vim o s

P o r ta nto ,

( p o rq ue



1  4 )

p a rtic ula r si

 0,1 ,

C á lc ul o d i fe re n c ia l

E sto se d em ue stra q ue e nto nc e s se to m a



tie nd e a c y e ste lím ite e s ig ua l a

f c  .

x  3  12

a nte s

q ue lim

x 3

ta m b ié n,

P o r e je m p lo ,

f x   x 2  3

f 3  12 .

D e to d o esto lo q ue d eb e q ued a r b ie n c la ro e s: a l ca lc ula r lim f x  lo q ue inte re sa e s "lo q ue suc e d e c o n f x  p a ra va lo re s x c

1   4 , e nto nc e s se c um p le se ha estab le c id o q ue si

la p ro p o sic ió n ( 2) .

e nto nc e s

4x  5  3  4  4x  5  3 

x2

F ina lm e nte , e n m uc ha s o c a sio ne s e x iste e l lím ite d e la func ió n c ua nd o

0  x2 

y lim f x   1,5 .

lim 4 x  5  3 x 2

. En 1 0,1  4 e s d e c ir

m uy p ró x im o s a

y no lo q ue suc e d e e n

m ism o ". E s

f (c) e x iste o no ex iste, y si ex istie ra no d e c ir, no im p o rta si f (c) sino c o n inte re sa q uié n se a ; e l lím ite no tie ne q ue ve r c o n lo s va lo re s d e f (x) p a ra x c e rc a no a c .

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

2.3.

3 .1 . F u n c io ne s d e fin id a s "p or p a rte s"

L O S L ÍM ITES L A TER A L ES

Eje m p lo 1 . D a d a la fu n c ió n d e fin id a "p o r p a rte s" En

eje m p lo

3 e stu d ia m o s

g ( x) 

4  x, si , x  1 fig u ra f ( x)   2  x  1, si, x  1

E n e sa

o c a sió n , m e d ia n te u n a ta b la v im o s q u e el lím ite n o e x iste , p u e s si to m a m o s v a lo re s d e x c a d a v e z m á s p ró x im o s a 0 p e ro m a y o re s q u e 0 se o b tie n e c o m o re su lta d o 1 , m ie n tra s q u e si lo h a c e m o s p o r

la iz q u ie rd a se o b tie ne co m o re sulta d o -1 . S in e m b a rg o , p o d e m o s h a b la r d e u n a m a n e ra m á s re strin g id a d e lím ite p o r la iz q u ie rd a y lím ite p o r la d e re c h a . E n e l c a so q u e n o s o c u p a d e c im o s q u e e l lím ite p o r la d e re c h a e s 1 y q u e e l lím ite p o r la

f (0,5) f ( 3 2)

b. f.

f (0) f (2)

fo rm u la

iz q u ie rd a e s -1 . F ig u ra 2 .9 . a.

f ( x)  4  x

f (3)

lim f ( x)

c. g.

So lu c ió n : P a ra c a lc u la r Fig ura 2 .9 .

2 .1 1 . c a lc u la r:

x 1

f (0,5) , f (0)

f (1) lim f ( x) x 1

f (3)

Fig ura 2 .1 1 .

lim f ( x) x1

d e b e m o s u sa r la

y a q u e é sta e stá d a d a p a ra to d o s lo s

f (0,5)  4  0,5  4,5

f (0)  4  0  4

x  1,  :

f (3)  4  3  1

D e fin ic ió n 3 .1 . Lím ite s la te ra le s P a ra c a lc u la r D e c im o s q u e e l lím ite p o r la d e re c h a de

f (x)

c ua nd o

tie n d e a

f ( x)  x  1 2

s i a m e d id a q u e to m a m o s v a lo re s d e

c a d a ve z m á s p ró x im o s a

f (x)

m a y o re s

que

a p ro xim a

e n to n c e s

Sim b ó lic a m e n te

f ( 3 2 )   3 2   1  13 4 2

x  1 , e n to n c e s: f (2)  22  1  5

lim f ( x)

x 1

, de b em o s an aliz a r e l com p o rta m ie n to d e la



c ua nd o

tie n d e a

c a d a ve z m á s p ró x im o s a

f (x)

a p ro xim a

d e b e m o s u sa r la fo rm u la

to m a v alo re s p o r la iz q uie rd a de 1 , lo q ue in d ic a e n to nce s p a ra c alc ula r éste lím ite u sam o s la fo rm ula f ( x)  4  x , : g.

qu e a

e n to n c e s

p e ro se

Sim b ó lic a m e n te

lim f ( x)  lim 4  0,99999..  4,99999..  5

x 1

x 1

h . P a ra c a lc u la r

s i a m e d id a q u e to m a m o s v a lo re s d e m e n o re s

f (1)  1  1  2

fun ció n a m e did a q ue

D e c im o s q u e e l lím ite p o r la iz q u ie rd a

f (2)

y a q u e é sta e stá d a d a p a ra to d o s lo s

P a ra c alc ula r

x c

f (x)

p e ro

lim f ( x)  L .

f (1) , f ( 3 2 )

Fig ura 2 .1 0 .

lim f ( x) ,

x 1

fu n c ió n a m e d id a q u e in d ic a

e n to nc e s

f ( x)  x 2  1 

p a ra

lim f ( x)  L . Fig ura 2 .1 0 .

x c

d e b e m o s a n a liz a r e l c o m p o rta m ie n to d e la to m a v a lo re s

c a lc u la r

é ste

p o r la d e re c h a d e 1 , lo q u e lím ite

u sa m o s

fo rm u la

lim f ( x)  lim x 2  1  1,00001 ..  1  2,00001 ..  2 2

x 1

i. P a ra c a lc u la r é ste lim ite , p o d e m o s te n e r p re se n te q u e p a ra q u e u n lim ite ex iste a m e d id a q u e x se a p ro x im e a 1 p o r iz q u ie rd a y p o r d e re c h a e l lím ite e xistirá e n c a so c o n tra rio n o . C o m o p o r e l lite ra l g y h sa b e m o s q u e que

lim f ( x)

lim f ( x)  5  lim f ( x)  2

x 1

e n to n c e s p o d e m o s c o n clu ir

x 1

n o e x iste . (c o m o se

o b se rv a e n la fig u ra 3 .3 e n

x  1 la

x1

C á lc ul o D if e re n c ia l

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

fu n c ió n tie ne u n a a b e rtu ra la c u a l co n firm a la no ex iste nc ia , e sto e s , la fu n c ió n N O se a p ro x im a a u n m ism o v a lo r a m e d id a q u e x se a p ro x im a a 1 p o r iz q u ie rd a y p o r d e re c h a .

E n esta s ec ción se esta b lec en propi eda des de los lím ites q ue da n a lgu na s t éc nica s qu e p erm iten ca lcula r m u chos lím ites de fun cio nes a lgeb ra ica s y tra sc ende ntes , sin te ner

2.4. C Á LC U LO DE LÍM ITE S 2.4.1. A p lic a n d o pro p ie d a d e s:

q ue rec urrir a ta b la s .

C o n c lu sió n im po rta n te : El c o nc e p to d e la ex iste nc ia o n o e x iste n c ia d e u n lím ite d e u n a fu n c ió n d e p e n d e d e lo s lím ite s la te ra le s. S i lo s lím ite s la te ra le s so n ig u a le s, e n to n c e s e l lím ite d e la fu n c ió n e x iste . S i lo s lím ite s la te ra le s so n d ife re n te s, e l lím it e d e la fu n ció n n o e xiste . E sto e s,

lim f ( x)  L

sí y só lo sí

x c

lim f ( x)  L

x c 

lim f ( x)  L .

x c 

E n fu n cio n e s d efin id a s "p o r p a rte s", c o m o la a n te rio r, si se q u ie re v e rific a r la e xiste n cia d e l lím ite e n e l p u n to o p u n to s d o n d e se p a rte , de be n c a lc u la rse se p a ra d a m e n te lo s d o s lím ite s la te ra le s y c o rro b o ra rse si so n ig u a le s o n o . Eje m p lo 2 . D a d a la fu n c ió n

3x  2, si , x  2 c a lc u la r f ( x)   4 x  2, si , x  2 So lu c ió n : Te n e m o s

H a sta a q uí he m o s ca lc ula d o lím ite s m e d ia nte la e lab o ra c ió n d e una ta b la o vie nd o g rá fic as d e func io ne s. E n la s ta b las he m o s e sc rito va lo re s d e x sufic ie nte m e nte c e rc a no s a l va lo r x  c d a d o y he m o s c o nsig na d o la s c o rre sp o nd ie nte s im ág e ne s o b te nid a s m e d ia nte e l uso d e una c a lc ulad o ra . A p a rtir d e e sta s im á g e nes he m o s infe rid o e l va lo r d e l lím ite o he m o s d e te rm ina d o q ue no ex iste. E sto está b ie n pa ra introd uc ir el co nce pto y trata r de a clarar su sig nific ad o. E n alg unas oc asio nes e sto nos p erm ite tam b ién te ne r una id ea ba sta nte a ce rtada d el lím ite, sin em b arg o e l uso d e g rá fica s o de tablas pa ra ca lc ula r lím ite s no es tod o lo e fic ie nte q ue q uisié ram os. Básic am ente te nem os alg unos p roblem as:

lim f ( x) .

A v e c e s n o se c o n oc e la g rá fic a d e u n a fu n c ió n , o e s m u y d ifícil d e tra z a r. Para algunas funciones en general es m uy engorrosa la elaboración de la

x 2

lim f ( x)  lim 3x  2  4

x 2 

x 2

tabla utilizando únicamente una sencilla calculadora. N o sie m p re e l v a lo r q u e u n o p ue d e in fe rir d e la ta b la e s e l c o rre c to .

lim f ( x)  lim 4 x  2  10

Com o

lim 3x  2  4 y lim f ( x)  10 c o n clu im o s

x 2

lim f ( x) n o

q ue

Fig ura 2 .1 2

x 2

e x iste . F ig u ra 3 .4 .

x 2

Eje m p lo 3 . D a d a la fu n c ió n

 x  5, si , x  2 c a lc u la r lim f ( x) . f ( x)   2 x  2 x  3 , si , x   2  So lu c ió n : Te n e m o s

lim f ( x)  lim   x  5  7

x  2 

x  2

Com o

x  2





Fig ura 2 .1 3 .

lim 3x  2  7 y lim  f ( x)  7 c o n clu im o s q ue

x  2 

lim f ( x)  7 . F ig u ra 3 .5 . x 2

x  2

Do s lím ite s e sp e cia le s E l lím ite d e u n a fu n c ió n c o n sta n te :

lim f ( x)  lim  x 2  3  7

x  2 

C om o suced e m uy a m enudo en m atem áticas, se pued e to m ar atajos que no s p e rm ite n e fe ctuar cálculos m ás rápid os y, a la vez, con la ce rteza de la validez de los resultad os obtenidos. E n el ca so de los lím ites esto se logra co n el uso ad ecua do de alg unos teorem as q ue darem os a c ontinuac ió n c om o pro pieda des d e los lím ites. P rim eram ente, co m e ntarem os dos lím ites espec iales.

D e la fig ura 2.14 p o d e m o s ve r q ue pa ra c ua lq uie r va lo r d e te ne m o s q ue E je m p lo 6.

lim k  k x c

lim 2  2 x 5

lim 2 2  2 1

x 3

lim 3,5  3,5

x 12

F igura 2 .1 4 .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

E jerc icio s R e s u e lto s : A plica c ió n p ro pie d ad e s y lím ite s

El lím ite d e la fu n c ió n id e n tid a d

e s p e c ia le s

D e la g rá fic a 2 .1 5 p o d e m o s o b se rv a r q u e p a ra c u a lq u ie r v a lo r

xc

se tie n e q u e

E je m p lo 7. a . lim x  5 b . x 5

lim x  c

A p lic a c io n e s de la s p ro p ie d a d es d e lo s lím ite s

x c

lim x  3 c . lim1 x  x 2

x 3

1 2

Eje m p lo 8 . Fig ura 2 .1 5 .

b . Pro p ie d a d e s d e lo s lím ites Lo s lím ite s e sp e cia le s c om e n ta d o s a n te rio rm e n te ju n to c o n la s p ro p ie d a d e s g e n e ra le s d e lo s lím ite s q u e v a m o s a d a r a q u í, n o s p e rm itirá n c a lc u la r u n a g ra n c a n tid a d d e lím it e s sin re c u rrir a ta b la s o a g rá fic a s.

lim x  15  lim x  lim 15 x3

x3

P ro p ie d a d 1

 3  15  18 b.

lim x  15  lim x  lim 15 x 3

x 3

P ro p ie d a d 1

 3  15  12 T e ore m a 2 .1 : P ro p ie d a de s d e lo s lím ite s. S u p o n g a q u e f (x) y g (x) so n fu n c io ne s ta le s q u e

lim g x   M

lim f x   L

x c

e n to n c e s se tie n e n la s sig u ie n te s p ro p ie d a d e s:

lim 4 x  lim 4.lim x x 5

x 5

lim  f x   g x   L  M

"El lím ite d e una s u m a (o d ife re nc ia ) d e func io ne s e s ig ua l a la

x c

s um a (o d ife re nc ia ) d e lo s lím ite s d e la s func io ne s (c ua n d o é s to s e x is te n)''

lim  f x .g x   L.M

"El lím ite d e un p ro d uc to d e func io ne s e s e l p ro d uc to d e lo s lím ite s

x  15 x  15 xlim  2 x  2 x  5 lim x  5 lim

d e la s func io ne s (c ua n d o é s to s e x is te n)''.

nN 

L  0 . "El lím ite d e un a p o te nc ia d e una fu nc ió n e s la p o te nc ia d e l lím ite d e la func ió n (c u a nd o é s te e x is te y e n c a s o d e q ue n  0 , L  0 )". n  N ,  , lim  f x  1 n  L . S i n e s p a r, L  0 "El lím ite d e

lim  f  x   L n

n0

 e.

se d e b e ten e r en c ue n ta q ue

 

x2

P ro p ie d a d 4

x2

 23  8 la ra íz n-

x c

é s im a d e una func ió n e s la ra íz n - és im a d e l lím ite d e la func ió n (c ua nd o é s te e x is te y c ua nd o n e s p a r,

13 13  7 7

lim x3  lim x

x c

P ro p ie d a d 3

x  2

x c

 f x  L . "El lím ite de un co c ie nte de func io nes es e l coc ie nte de los lím ite s de lim    ;M  0 x c g x    M e sa s func io nes (cua ndo és tos ex is te n y e l lím ite e n e l de nom ina do r  0 )"

P ro p ie d a d 2

 4.5  20

x c

x 5

L  0 )" .

 

lim x 2  lim x 1

x  4

x 2

P ro p ie d a d 5

  4  2  2 1

A c o n tin u a c ió n se d a u n a se rie d e e je m p lo s q u e ilu stra n la s p ro p ie d a d e s in d ic a d a s. E n to d o s lo s c a so s lo s c á lc u lo s e s tá n b a sa d o s e n lo s lím ite s d e la fu n ció n c o n sta n te y d e la fu nc ió n id e n tid a d y a d a d o s. C á lc ul o D if e re n c ia l

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

2.4.2.

P e ro la e v a lu a ció n d ire c ta n o sie m p re fu n cio n a .

Po r su stitu c ió n d irec ta :

C o n sid e re m o s n ue v a m e n te

f (x) c u a n d o x tie n d e

S e sa b e q u e el lím ite d e

c no

f (c) .

lim f ( x)  f c 

Esta a firm a c ió n n os p erm ite c on c lu ir q ue : a lg u n a s fu nc io n es.

xc

p a ra

Este m é to d o p a ra c a lcu la r lím ite s se lla m a d e

su stitu c ió n d ire c ta .

x 2





Eje m p lo 1 0 .

Eje m p lo 1 1 .

lim

x 3

lim

x2  2  1

x 5 3

Eje m p lo 1 2 .

a. b.

lim  f x  x c



5  4 1 3

52  2  1



9 1 2 1   27  1 4 2

x 2  1 22  1 5   x2 x  2 22 4 x  4 3  4 1 lim   x 3 x  5 35 8

lim 3x  1

lim 3x  1  lim 3x  1x2  32  1  49

lim 5 x  4 x  1

x

C á lc ul o d i fe re n c ia l

 lim 5 x  4 x  1

lim  x

x1

lo q u e su c e d e a q u í e s q u e

lim x  2  0 x2

y e n to nc e s la p ro p ie d a d d e l lím ite d e u n c o cie n te n o se p u e d e a p lic a r p o rq u e e l lím ite d el d e n o m in a d o r e s ig u al a 0 . S in em b a rg o , e n e l e je m p lo 2, se cc ió n 1 , h a b ía m o s d ic h o , m e d ia n te e l u so d e u n a ta b la ,

lim

x2  4 4 x2

La re sp u e sta a e sta p re g u n ta e stá fu n d a m e n ta d a e n e l sig u ie n te te o re m a :

f (x)

p a ra to d o

x 2

x2  4 x2

g (x) so n fu n c io n e s d e fin id a s e n u n

c y si f ( x)  g ( x) con x d istin to a

in te rv a lo a b ie rto q u e c o n tie n e a

x 2

x2

lim 5 x  4 

x  1 lim x

lim

T e ore m a 2 .2 : Do s lím ite s c o inc id e n si ...

x

S o lu c ió n :

tie n d e se o b tie n e e l v a lo r d e l lím ite . E n c a so co n tra rio

e ste v a lo r e s c o rre c to?



x 2

¿ S e rá q u e la ta b la n o s e n g a ñ ó o h a b rá u n a m a n e ra d e v e rific a r q u e

Eje m p lo 1 3 : c a lcu la r lo s sig uie n te s lím ite s: a.

V o lv a m o s a

x2

 lim f x  xc

2.4.3. Lím ites d e fu n c io ne s in d e term in a d a s

que

lim g  x 

x c

e x p re sió n in d efin id a .

d e b e m o s e c h a r m a n o d e o tro s a sp e c to s d e la fu n c ió n p a ra e n c o n tra r e l lím ite p ro p u e sto .

lim



y e sta e s u n a

q u e a c a b a m o s d e v e r se lla m a la fo rm a in d e term in a d a 0 /0 . C u a n d o a l in te n ta r c a lc u la r u n lím ite se o b tie n e u n a fo rm a in d e te rm in a d a

T a m b ié n se p u e d e c a lc u la r el lím ite d e la p o te nc ia d e u n a fu n ció n , c u a n d o la p o te n c ia e s o tra fu n c ió n , p o r e l p rin cip io d e su stitu c ió n . A sí: g x

22  4 0  22 0

se d ic e q u e e s in d e te rm in a d o . E x iste n v a ria s fo rm a s in d e te rm in a d a s; la

x  4 1

S i in te n ta m o s e v a lu a r e n 2 o b te n e m o s

h a c ia e l q u e

x  1 3  1 10   2 x2 3 2 5 2

x2  4 x2

D e c im o s q u e e l lím ite e s d e te rm in a d o si a l e v a lu a r la fu n c ió n e n e l v a lo r

lim x  2 x  3  2  2(2)  3  5

Eje m p lo 9 .

x2

de pe nde de

. P e ro , p a ra a lg u n a s fu n c io n e s e ste lím ite e s p re cisa m e n te

lim

 5 1  4

  1

c e n to n c e s   5  4

d e l in te rv a lo

g ( x) lim f x   lim x c x c

 9

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

En otras pala bras, lo que está diciendo el te orem a es que no im porta lo que pase en

si las funciones coinciden para valores cerca nos a c los lím ites

P rim e r

indicados son iguales. En el Fig ura 2.16 . se d an tres funciones que coinciden excepto en

c . Se ve en ellas que los lím ites cuando x

tiende a

m é to do :

fa c toriza r

sim p lific a r

(Lím ite s

fu n c io ne s

ra c io n a les) Si

c tienen que

ser igu ales.

P(x) y Q(x) so n

lim

x c

P( x) 0  Q( x) 0

p o lin o m io s d e g ra d o

n y m , re sp e c tiv a m e n te , y

la in d e te rm in a c ió n se e v ita fa c to riz a n d o

x  a  se

Q(x) , d e m o d o q u e e l b in o m io x  aP1 ( x)  lim P1 ( x) P( x ) lim  lim xc Q( x) xc x  a Q ( x) xc Q ( x) 1 1

P(x) y /o

sim plifiq u e

a sí:

Eje m p lo 1 4 : C a lcu la r lo s sig uie n te s lím ite s: a.

x 3

Fig ura 2 .1 6 .

Sign ificado teorem a 2.2 : si se logra transform a r adecu ad am ente la función da da en otra que sea e quivalente a ella (salvo en el valo r

dado) y si la

función nueva tiene un lím ite determ in ado , entonces: éste es tam bién el lím ite de la función o riginal. R e g re sa n d o

una

ve z

m ás

lim

x2

x 2  4  x  2x  2   x2 x2 x2

lim

sie m p re q u e

x2  4 , x2

sa b e m o s

que

x sea distinto de 2 .

a . lim

x  2x  2  lim x  2  4 ta l c o m o x 4  lim x  2 x2 x2 x2

lim

x 1

x3 1 x2 1

x 3

x2

a l h a c e r su stitu c ió n d ire c ta , o b te n em o s fo rm a in d e te rm in a d a

x 3  x 2  3x  2 x 2  5x  6

0 0

x2  9 32  9 0   2 2 x  x 6 3 36 0

lo q u e in dic a q u e se d e b e tra n sfo rm a r la

fu n c ió n p a ra a sí c a lc ula r e l lím ite . En to n c e s:

lim

x 3

in d ic ó la ta b la .

x2  9 x2  9  lim 2 x  x  6 x 3 x  x  6 x  3x  3  lim x 3  x  3 x  2  x 3

 b.

lim

x 1

P rop ieda d ref lex iva

 lim

ra cion aliz ación y sim plific ación de ex p re sio ne s a lg e b ra ic as e n ge ne ral.

x  3 x  2

3  3  6 3  2  5

Fa c torizan d o (d if eren c ia d e cu a d ra d os )

Sim p lif ic an d o Su s titu c ión d irec ta

x3  1 x2 1

A c o n tin u a c ió n se p re se n ta v a rio s e je m p lo s q ue ilu stra n e sto s p ro c e d im ie n to s. E n to d o s lo s c a so s se tra ta d e lím ite s in d e te rm in a d o s d e la fo rm a 0 /0 . C u a n d o e sté c a lc u la n do lím ite s h a g a sie m p re e n

a l h a c e r su stitu c ió n d ire c ta , o b te n e m o s

p rim e r lu g a r SU ST ITU C IÓ N D IREC T A p o rq u e si e l lím ite n o e s in d e te rm in a d o n o e s ne c e sa rio re a liz a r la s tra n sfo rm a c io n e s p o r m á s

in d e te rm in a d a

C á lc ul o D if e re n c ia l

lim

x 3

A p a rtir del eje m plo a n te rio r v em os q ue co n el o bje to d e re aliz a r e sta s tra n sfo rm acion es se u tiliz a los c on ocim ie ntos d el álge b ra bá sic a tale s c om o o pe racion es c on fra ccione s racion ales, fac to riz ació n de po lin om ios,

"e x tra ñ a " q u e se a la fu nc ió n .

lim

x2  9 x2  x  6

x 2

So lu c ió n :

D e e sta m a n e ra , se g ú n e l te o re m a :

lim

x2  9 x  x6 2

lim

x 1

x 3  1 13  1 0   x 2  1 12  1 0

fo rm a

0 lo q u e in d ic a q u e se d e b e tra n sfo rm a r la fu n ció n 0 C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

p a ra a sí c a lc u la r e l lím ite . E n to nc e s:

x 1 x 1  lim 2 2 x  1 x 1 x 1 3

lim

x 1

Eje m p lo 1 5 : C a lcu la r lo s sig uie n te s lím ite s:

x 2 x4

P rop ieda d ref lex iva

x 1x 2  x  1  lim x 1 x 1x  1

x  lim x 1



1



x4



x  4 1

lim

2x  7  1

x 3

Sim p lif ic an d o

11 3  1  1 2

lim

Fa c toriza nd o (d if eren c ia d e cu b os y d e c u ad ra d os )

 x 1 x  1

lim

x 3

6 x  x 3 x

1 1  lim x  2 x x 0 x

So lu c ió n :

Su s titu c ión d irec ta

x 2 al x4 x 2 42 0 lim   x4 x  4 44 0

lim

hac er

su stitu c ió n

d ire c ta ,

o b te n e m o s

x4

x 3  x 2  3x  2 al hac er su stitu c ió n d irec ta , o b te n e m o s x2 x 2  5x  6 x 3  x 2  3x  2 2 3  2 2  32  2 0 fo rm a in d e te rm in a d a 0 lo q u e lim   x 2 0 0 x 2  5x  6 2 2  52  6

c . lim

in d ic a q u e se d e b e tra n sfo rm a r la fu n c ió n p a ra a sí c a lc u la r e l lím ite . E n to n c e s:

x 3  x 2  3x  2 x 3  x 2  3x  2 lim  lim x2 x2 x 2  5x  6 x 2  5x  6



P rop ieda d ref lex iva



x3  x 2  2 x  x  2 x x 2  x  2   x  2 xx  2x  1  x  2  lim  lim x 2 x 2 x 2 x  2x  3 x  2x  3 x  2x  3

 lim

x  2xx  1  1  lim x  2x 2  x  1  lim x 2 x 2 x  2x  3 x  2x  3

x  lim x 2

2  B.

Sim p lif ic an d o



 2 1 5   5 2  3  1

Su s titu c ión d irec ta

x 2 x 2 P rop ieda d ref lex iva  lim x 4 x  4 x4 x  4 x 2 x 2 R a c iona liza nd o y Mu ltip lica nd o  lim  lim x 4  x  4  x  2 x4 x  4 x  2 1 Sim p lif ic an d o  lim x4 x 2

lim

x 4

lim

xc

f ( x) 0  g ( x) 0

fu n cio n e s ra d ic a le s

la in d e te rm in a ció n se

e v ita ra c io n a liz a n d o







6 x  x 3 x 63 3 0 lim  x 3 33 0





Su s titu c ión d irec ta

1  42 4



lim

hac er

su stitu c ió n

d ire c ta ,

o b te n e m o s

x 3

lim

fo rm a in d e te rm in a d a

0 0

lo q u e in d ic a q u e se d e b e

f (x) y /o g (x)

6 x  x 6 x  x P rop ieda d ref lex iva  lim x  3 3 x 3 x 6 x  x 6 x  x  lim x 3 3  x  6  x  x



     6  x  x  lim 3  x  6  x  x  2

R a c ion a lizan d o y M u ltip lic a nd o

x 3

6  x  x2 x  3 3  x  6  x  x

 lim C á lc ul o d i fe re n c ia l



x 3

f (x) y g (x) so n



tra n sfo rm a r la fu n c ió n p a ra a sí c a lc u la r e l lím ite . E n to n c e s:

Se g u n d o m é to do : rac io n a liza r y sim p lific a r (Lím ite s de fun c io ne s ra d ic a le s)

d e b e tra n sfo rm a r la fu n c ió n p a ra a sí c a lc u la r e l lím ite . E n to n c e s:

F a c to riza nd o (a g rup a c ió n, fa c to r c o m ún

y trino m io )



 x 1 x  3

fo rm a in d e te rm in a d a 0 lo q u e in d ic a q u e se



 C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

6  x  x2

 lim

x 3

 lim

3  x 



6 x  x

 x x6 2



d . lim x  2 x 0

Fa c torizan d o

3  x  6  x  x   x  3x  2  lim x  3 3  x  6  x  x  3  x x  2  lim x  3 3  x  6  x  x  3  x x  2  lim x  2  lim x  3 3  x  6  x  x  x 3  6  x  x  x 3

6 x  x  3 x

 x  2



6 x  x

3 2 5  63 3 6



 

1 1 1 1 1   2 a l h a c e r S.D ., o b te n e m o s lim x  2 2  0  2 2  0 x 0

1 1 1 1   x  2 2 x  2 x lim  lim x 0 x 0 x x Sim p lif ic an d o

 lim

x 0

 lim

x 0

lim

x 3

lim

x  3

x  4 1 a l

lim

su stitu c ió n

d ire c ta ,

o b te n e m o s

 lim

2x  7  1

x  4 1 2x  7  1

x 0



q u e se d e b e E n to n c e s:

x3

hac er

 3  4 1

2 3  7  1



tra n sfo rm a r

0 0

fo rm a in d e te rm in a d a 0 lo q u e in d ic a

fu n c ió n

x  4 1 x  4 1  lim 2 x  7  1 x3 2 x  7  1

x 0

a sí c a lc u la r e l lím ite .

P rop ieda d ref lex iva

 x  4  1 x  4  1 2x  7  1  2x  7  1 x  4  1 2x  7  1   x  4   1  2 x  7  1 x  4  1 2 x  7  1   lim   lim  x  4  12 x  7  1  x  4  1  2 x  7   1  x  3 2 x  7  1  lim  x  4  12x  6  lim

x  3

R a c iona liza nd o (p a ra el num era d or y el d en om in ad or) y Mu ltip lic an d o

x  3  lim



2x  7  1 Fa c torizan d o x 3 x  4  1 2x  3  2x  7  1  2 3  7  1  2  1 Sim p lif ic an d o y  lim x 3 2 x  4  1 2  3  4  1 4 2





 lim

0 p a ra

fo rm a

2.4.3.

1 1  x2 2 x 2  x  2 2 x  2  x x 2 x  2  x x x x  2 

E fe c tu a n d o n u m e ra d o r y

o p e ra c ió n d el le y d e e x tre m o s y

m e d io s.

S im p lific a n d o y S .D .

Lím ite s d e fu nc io n e s trig o n o m é tric a s

Lo s lím ite s d e la s se is fu nc io n e s trig o n om é tric a s se p u e d e n c a lc ula r m e d ia n te su stitu ció n d ire c ta . A sí: 1.

lim senx  senc

lim cos x  cosc

lim tan x  tan c

lim cot x  cot c

lim sec x  sec c

lim cscx  cscc

x c

P a ra Sus titu c ión d irec ta

P ro p ie d a d re fle x iv a

1 1  x 1 1 1 x  2 2  lim lim  lim   x 0 x  0 x2 x  4  x 0 0  4 x 4 4

c a lc u la r

a lg u n o s

x c xc

lím ite s

lim

xc

f ( x) 0 ,  g ( x) 0

u sa n p a ra

la s

xc

lo s

senx 1 x 0 x

lim

id e n tid a d e s

tra n sfo rm a rlo s

sig u ie n te s lím ite s e sp ec ia le s:

x c

fu n c io n e s

trig o n o m é tric a s, p a ra lo s c u a le s se c um p le q u e

trig o n o m é tric a s

C á lc ul o D if e re n c ia l

p a ra a sí c a lc u la r e l lím ite . E n to nc e s:

Su s titu c ión d irec ta



0 lo q u e in d ic a q u e se d e b e t ra n sfo rm a r la fu n c ió n 0

in d e te rm in a d a

x 3

lim



1  cos x 0 x 0 x

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

E jerc icio s R e s u e lto s : Lím ites trig o n o m é tric o s d.

Eje m p lo 1 6 : C a lcu la r lo s sig uie n te s lím ite s:

tan x x  0 senx

lim

sen 2 x x 0 x

lim

21  cos x  x 0 x

lim

sen 2 x sen 2 x  lim x  0 x x

lim

x 0

x x  0 senx

lim

lim

x

1  tan x 4 senx  cosx

sen2 x senx.senx senx  lim  lim . lim senx x 0 x 0 x 0 x x x x 0

 lim g.

lim x



sen 2 x  senx.senx

cos x tan x

So lu c ió n :

lim

x 0

tan x tan x  lim senx x0 senx senx senx 1  lim cos x  lim  lim x 0 senx x 0 senx cos x x 0 cos x tan x 

lim

tan x 1 1   1 senx cos 0 1

lim

x 0

senx cos x

 lim

x0

x x  lim senx x  0 senx x lim 1 1 lim x  lim  x 0 x  0 senx x  0 senx senx lim x  0 x x x x x 1 lim  lim  1 x 0 senx x 0 senx 1 lim

x 0

Su s titu c ión d irec ta

lim

x 0

1  cos x 0 y x

Su s titu c ión d irec ta

P rop ieda d ref lex iva

senx cos x  lim x  4 senx  cos x c osx  senx c osx  lim x  4 senx  c osx 1

 lim

Us an d o la id en tida d

cos x  senx cos xsenx  cos x 

 senx  cos x  4 cos x senx  cos x 

 lim

y s im p lif ica n d o

x

Su s titu c ión d irec ta

lim

x 3 4

P rop ieda d ref lex iva

1  tan x 1 1 1  2  lim     2 senx  cos x x 4 cos x cos 4  2 2 2 Sim p lif ic an d o y Sus titu c ión d irec ta

D iv id ie nd o p o r x y p ro p ie d a d e s d e lo s lím ite s .

L ím ite d e un a c on s ta nte y

lim

x 0

lim x

 2

cos x cos x P rop ieda d reflex iva  lim  tan x x  tan x 2

cos x cos x c os2 x  lim  lim   senx  senx x  tan x x x 2 2 2 cos x

 lim

senx 1 x

cosx cos2  2  0   0 sen 2  1 2 tan x

lim

x

C á lc ul o d i fe re n c ia l

Us a nd o

1  tan x 1  tan x  lim x 4 senx  cos x 4 senx  cos x

x 4

sen2x  2senxcosx

p roa . pa ra el lím ite d e u n p rod u cto.

lim

x

senx 1 x

P rop ied ad ref lexiv a

1  c osx 

x 0

 2.0  0

P rop ieda d ref lex iva

sen 2 x lim  2 cos 0  2(1)  2 x 0 x c.

x 0

Us an d o la id en tid ad

lim

x 0

 lim 2. lim

P rop ieda d ref lex iva

Su stitu c ión d irec ta

2senx cos x  lim 2 cos x x0 senx

Us a nd o

21  cos x  21  cos x   lim x 0 x x

lim

, ley d e m ed ios y extrem os y s im plific a nd o

sen 2 x sen 2 x  lim x  0 x x

y p rop ied ad pa ra el lím ite d e u n p rod u cto.

 1 . 0  0

x 0

P rop ieda d ref lex iva

Us an d o tan

x

senx . cos x

Su s titu c ión d irec ta

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

3 . L ÍM IT E S IN F IN I T O S Y A S ÍN T O T A S V E R T IC A L E S C o n sid e re m o s e l sig uie n te lím ite :

lim

x 0

D e u n m o do p a recido d efinim o s la no tación lim f ( x)   (e l lím ite d e

1 x

xc

f (x) c u an d o x

C o m o p o d e m o s v e r d e la g rá fic a , si h a c em o s v a ria r

te n d ie n d o a

(p o r la d e re c h a y p o r la iz q u ie rd a ), la g rá fic a "su b e" ilim ita d a m e n te . C o n stru y a m o s , a d e m á s, u n a ta b la con v a lo re s d e

c e rc a n o s

H a c ia 0 p o r la iz q uie rd a

x f ( x) 

H a c ia 0 p o r la d e re c ha

-0 ,5

-0 ,1

-0 ,0 1

-0 ,0 0 1

0 ,0 0 1

0 ,0 1

0 ,1

0 ,5

100

1000

100

H a c ia ? p o r la izq u ie rd a

con

1 f ( x)   2 x c uando

la fig u ra 2 .1 7 . y c o n la ta b la

H a c ia ? p o r la d e re c ha

C a lc u la r

c uando

tie n d e a

ta b la

x m uy

lim

f (x)

-0 ,0 1

-0 ,0 0 1

0 ,0 0 1

0 ,0 1

0 ,1

0 ,5

f ( x)  1 x 2

-4

-1 0 0

-1 0 0 00

-1 0 0 00 0

-1 0 0 00

-1 0 0

-4

c e rc a n o a

tie n d e a in fin ito . E sc rib im o s

e sta

situ a c ió n

si se p u e d e h a c e r

q u ie ra a l e sc o g e r

c . Se

H a c ia ? p o r la d e re c ha

Ta b la 2 .6 .

lim

x 0

c re c e ilim ita d a m e n te se

lim

se ría

D e fin ic ió n 2 .1 . Lím ite s in fin ito s D e c im o s q ue f (x) tie n d e a infin ito c u a n d o com o

H a c ia 0 p o r la d e re c ha

-0 ,1

1   . La figu ra 2 .18 . re p re sen ta la g rá fic a x2

1  . x

E je m p lo 2 . C a lc ula r e l lím ite ( Lím ite in finito c u a n d o

f (x)

sig u ie n te :

ta n g ra n d e

x su ficie n te m e n te

e sc rib e lim f ( x)   x c

lim

x 1

f ( x) 

1 c uando x 1

tie n d e a

1 ). 1 , p o r lo ta n to x 1

h a re m o s u n a ta b la d e v a lo re s to m a n d o c e rc a n o a

tie n d e a

So lu c ió n : D e b e m o s c a lc u la r e l

H a c ia ? p o r la izq u ie rd a

x 0

tie n d e a

Fig ura 2 .1 8 .

d e e sta func ió n.

p e ro e sa situ a c ió n e sp e c ia l e n la q u e

ta n to

-0 ,5

E s b as ta nte c la ro , a

E n la situ a ció n ex p u e sta a n te rio rm e n te d ijim o s q ue e l lím ite no e xiste ,

info rm a l

 1 , p o r lo x2

Fig ura 2 .1 7 .

3.1. Lím ite s in fin ito s (D e finic ió n):

(Lím ite in finito

0 ).

p a rtir d e la ta b la 2.6., q ue

d e fin ició n

H a c ia 0 p o r la iz q uie rd a

c e rc a n o a

iz q u ie rd a te n e m o s q u e lo s v a lo re s d e la fu n ció n c re c e n ilim ita d a m e n te .

Una

lím ite

h a re m o s d e va lo re s to m a n d o

2 .5 ., d e c im o s q u e el lím ite p ro p u e sto n o e xiste p o rq u e a m e d id a q u e n o s a p ro x im a m o s a c e ro ta n to p o r la d e rec h a c o m o p o r la

f (x)

e s m e no s infinito ).

So lu c ió n: D e be m o s c alc ula r el

una

T a b la 2 .5 .

e x p re sa d ic ie n d o q u e

x0

a c u e rd o

E je m p lo

tien de a

x m uy

A p a rtir d e

ta b la 2 .7 .

p o d e m o s d e c ir q u e

1 1  lim   y lim x 1 x  1 x 1 x  1

Fig ura 2 .1 9 .

La g rá fic a d e e sta fu nc ió n se re p re se n ta e n la fig u ra 2 .1 9 .

(E sto se le e : e l lím ite d e f(x ) c u a n d o x tie n d e a c e s in finito ).

C á lc ul o D if e re n c ia l

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

3.3. C a lc ula r lím ites infin ito s H a c ia 0 p o r la iz q uie rd a

H a c ia 0 p o r la d e re c ha

Lo s 3 te o re m a s sig u ie n te s so n m u y ú tile s e n e l c á lc u lo d e lím ite s in finito s.

x 1 x 1

f ( x) 

0 ,5

0 ,9

0 ,9 9

0 ,9 9 9

1 ,0 0 1

1 ,0 1

1 ,1

1 ,5

-2

-1 0

-1 0 0

-1 0 0 0

1000

100

H a c ia ? p o r la izq u ie rd a

T e o re m a 2 .3 . 1 . S i r e s c u a lq u ie r n ú m e ro e n te ro p o s itiv o , e n to n c e s :

H a c ia ? p o r la d e re c ha

T a b la 2 .7 .

lim

x 0 

1   xr

2 . El lím it e in fin i to

3.2. A sín to ta s

si r es par  1     si r es impar  x r  -  1 se c a lc ula te n i e n d o e n lim x  c  x  c n

lim

x0

La s g rá fic a s d e la s situ a cio n e s d a d a s a n te rio rm e n te tie n e n cie rta c a ra c te rístic a e n c o m ú n : e n lo s tre s c a so s h a y u n a re c ta v e rtic a l a la

2 .1 . S i n e s un n úm e ro e n te r o p o sit iv o p a r, e n t o n c e s

c u a l la fu n ció n "se v a p e g a n d o ". E sta s re c ta s se lla m a n a sín to ta s. A sí,

2 .2 . S i n e s un e n t e ro p o si tiv o im p a r e n to n c e s:

La fu n c ió n

1 f ( x)  x

La fu n c ió n

f ( x)  

Y la fu n ció n

f ( x) 

tie n e a sín to ta v e rtic a l q ue e s el e je

1 x2

tie n e a l eje

1 x 1

tie n e a la re c ta

lim

x c

2 .2 .1 .

lim

x c 

1 y x  c n

2 .2 .2 .

lim

x c 

c ue n ta :

1  x  c n

1   x  c n

c o m o a sín to ta v e rtic a l.

x  1 c o m o a sín to ta v e rtic a l.

Eje m p lo 3 . A p lic a ció n d e l te o re m a 4 .1 . D e a c u e rd o c o n e l teo re m a a n te rio r te n e m o s q u e :

E n g e n e ra l, p o d e m o s d a r la sig u ie n te d efin ic ió n : 1.

lim

x 3

D e fin ic ió n 2 .2 . A sín to ta v e rtic a l La re c ta

xc

2. e s un a a sín t o ta v e rti c a l d e

f (x)

si se c um p le a l m e n o s un a

lim

1  x  32 1

n  2 e s un n úm e ro p a r).

(p ue s

 

x4

x  43

lim

1  x  4 3

lim

1   x 8

(p ue s

n  3 e s un n úm e ro im p a r y x  4 ).

d e la s si gu ie n t e s p o sib il id a d e s :

lim f ( x)   , lim f ( x)   , lim f ( x)   lim f ( x)  

x c 

x c 

x c

x4

x8

n  3 e s un n úm e ro im p a r

x  4 ).

n  1 e s un n úm e ro im p a r y

x  8 ).

(p ue s

T e o re m a s a n á lo g o s se p u e d e n d a r p a ra e l c a so d e p a ra c u a n d o C á lc ul o d i fe re n c ia l

  y ta m b ié n

x  c y x  c . C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

T e ore m a 2 .4 . O p era c ion e s c o n lím ite s in fin ito s. S i a.

L  0 y f x   0

aR

a tra v é s d e v a lo re s p o s it iv o s d e

y si

lim f x   0

x a

lim g x   L

lim

g x    f x 

lim

g x    f x 

lim

g x    f x 

lim

g x    f x 

f x  , e n to n c e s :

x 0

L  0 y f x   0

f x  , e n to n c e s :

a tra v é s d e v a lo re s n e g a tiv o s d e

x 0

L  0 y f x   0

f x  , e n to n c e s :

a tra v é s d e v a lo re s n e g a tiv o s d e

x 0

L  0 y f x   0

f x  , e n to n c e s :

a tra v é s d e v a lo re s n e g a tiv o s d e

x 0

L  0 y lim f x   0

e n to n c e s :

x a

L  0 y lim f x   0

lim

g x    f x 

lim

g x    f x 

x 0

e n to n c e s :

x a

x 0

L  R, L  0 ,

donde

:

x a

T e o re m a 2 .5 : a.

lim f x   

x a

lim f x   

lim f x   

x a

d o n d e L e s u n a c u a lq u ie r c o n s ta n te , e n to n c e s :

lim g x   L

d o n d e L e s u n a c u a lq u ie r c o n s ta n te , e n to n c e s :

x a

lim g x   L

donde

x a

lim f x    y lim g x   L x a

lim f x    x a

lim f x   L x a

L  R, L  0 ,

:

c .1 . S i

L  0 lim  f x g x   

c .2 .

donde

L  R, L  0 ,

e n to n c e s

:

d .1 . S i

L  0 lim  f x g x   

d .2 . S i

x a

lim

x 0

L  0 lim  f x g x    x a

x a

L  0 lim  f x g x    x a

g x  0 f x 

T e o re m a s a n á lo g o s se p u e d e n d a r p a ra e l c a so d e

C á lc ul o D if e re n c ia l

lim  f x   g x    x a

x a

lim  f x   g x    x a

x a

lim g x   L

  y ta m b ié n p a ra c u a n d o x  c  y x  c  .

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

E J E R C IC IO S R E S U E L T O S : T E O R E M A S 2 .3 ., 2 .4 ., Y 2 .5 . E je m p lo 4. C a lc ula r lo s sig uie nte s lím ites. te o re m a s 4.1., 4.2., y 4.3.) .

( Ap lic a c io ne s d e lo s

E l re sultad o o bte nid o ind ic a: Q u e e l lím ite p e d ido n o e x iste ,

3x lim x  2  x  2 2

2x b . lim 2  x 1 x  1 x6 e . lim 2 x 5  x  5 x

3  5x x  1  x  12

d . lim

lim 

x  3

S o lu c ió n : a.

lim

x2

Q ue

x2 x2  9

A l ha c e r sustituc ió n d ire c ta, o b te ne m os una

fo rm a ind e te rm inad a Y c o m o la func ió n

k , a sí: 0

3(2) 6  2 2  2 0 3x e stá to ta lm e nte fa c to riz a da , f ( x)   x  2 2

p o d e m o s d e c ir q ue te ne m o s un lím ite infinito ( lím ite q ue no e x iste ) c uy o resulta d o se rá   o   e l c ua l va m o s a d e te rm ina r c o n e l p ro c ed im ie nto sig uie nte .

fo rm a

lim

x 2

 x  2

 lim 3x. x 2

 x  2 2

 lim 3 x. lim x2

 6.

x2

P a ra lim 3x P o r sustituc ió n d ire c ta y, Pa ra

lim x1

x2

3x  x2  x  2 2

C á lc ul o d i fe re n c ia l

x  22

P o r te o re m a 4.1. N um e ra l 2.1.

P o r te o re m a 4.3. Lite ra l c .1. ( P ro d uc to)

p o se e u n a a sín to ta v e rtic a l e n

A l ha c e r sustituc ió n d ire c ta , o b te ne m o s una

k , así: 0

2(1) 2  2 1 1 0

( te ne m o s un lím ite

2x 2x Fa c torizan d o (d if eren c ia d e cu a d ra d os ) n um erad or  lim x 2  1 x1 x  1x  1 2x 1 P or p rop ieda d es d e los lím ites  lim . lim x 1  x  1 x 1  x  1 1 1 P or p rop ieda d es d e los lím ites  lim 2 x. lim . lim x1 x1  x  1 x1  x  1 1 1 su s titu c ión d irec ta y, Pa ra P a ra lim 2 x y  2.. lim x1 x 1  x  1 2 



lim x 1

 1.



x  1 P or

P or teorem a 4 .1. Num era l 2 .2 .

op era c ion es

en tre

núm eros

rea les

lim x1

2x  x2 1

P or teorem a 4 .3 . litera l c .1 (p rodu c to)

x 2

 x  2 2

infinito ) . O bse rve q ue p o d e m os e sc rib ir:

P o r p ro p ie da d e s d e lo s lím ite s

x  22 lim

lim

e nto nc e s,

f ( x) 

ind e te rm inad a



O b se rve q ue p o d e m o s e sc rib ir:

a p ro x im a

(h a y a b e rtu ra e n la fu n c ió n ).

2x . x 1

lim

x se

2 p o r iz q u ie rd a y p o r d e re c h a y ,

x2 x 1

c re c e ilim ita d a m e n te a m e d id a q u e

Q u e la fu n ció n

x  22

f (x)

E l re sultad o o bte nid o ind ic a: Q u e e l lím ite p e d ido n o e x iste , Q ue a

f (x)

c re c e ilim ita d a m e n te a m e d id a q u e

x se

a p ro x im a

1 p o r d e re c h a y , C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

Q ue la func ió n f ( x)  lim 2 x p o se e una a sínto ta ve rtic a l 2 x 1  x  1

x  1 ( hay a b e rtura

 1    lim 3. lim  lim 5 x P or p ro p ieda d es d e los lím ites 2  x  1 x  1 x  1   x  1   P a ra  lim 3 y  lim 5 x s us titu c ión d irec ta y ,  3  5

e n la func ió n) .

x  1

lim 

x  3

x2 . x2  9

P a ra

A l ha c e r sustituc ió n d ire c ta, o b te nem o s una

fo rm a ind e te rm inad a

 3  lim   5x   2  x  1 

k , a sí: 3 2  1 ( lím ite infinito ) lim  2 x 3  3  9 0 0

lim

x  1

x  12

P or th 4 .1. Num era l

P or teorem a 4 .2. Num era l 2 (p rod u cto)

x  1



E sc rib im o s:

lim

x3

x2 x2 Fa c torizan d o (d if eren c ia d e cu a d ra d os ) n um erad or  lim x 2  9 x3 x  3x  3 x2 1 P or p rop ieda d es d e los lím ites  lim  . lim x  3  x  3 x  3  x  3 1   .   6

P a ra

lim

x3

Q ue

x  2 s u stitu ción direc ta y ,

 x  3 1 P or th lim x   3  x  3 

x2   x2  9

4 .1. Num era l 2 .2 .2

E l re su lta d o o b te n id o in dic a :

d e c re c e

f (x)

a p ro x im a a

x  3

ilim ita d a m e n te

m e d id a

que

x se

 3 p o r iz q u ie rd a y ,

x  2 p o se e u n a a sín to ta v e rtic a l en f ( x)  2 x 9

Q u e la fu nc ió n

(h a y a b e rtu ra e n la fu n c ió n ).

3  5 x . A l ha c e r sustituc ió n d ire c ta, o b te ne m o s una x  12 k , a sí: 3 3 fo rm a ind e te rm inad a  5 1   5 ( lím ite infinito ) 0 0  1  12 lim

x  1

E sc rib im o s:

lim

x 1

x  1

x se

a p ro x im a

x  1 (h a y a b e rtu ra e n la fu n c ió n).

 5x  lim

C á lc ul o D if e re n c ia l

x 1

x  12

 lim 5x

lim

x 5 

x6 . x2  5x

A l ha c e r sustituc ió n d ire c ta , ob te ne m o s una

fo rm a ind e te rm inad a

Q u e e l lím ite p e d ido n o e x iste ,

c re c e ilim ita d a m e n te a m e d id a q u e

P or teorem a 4 .2 . L itera l f .

Q ue

f (x)

 1 p o r iz q u ie rd a y p o r d e re c h a y ,  3  Q u e la fu n c ió n f ( x)    5 x  p o se e u n a a sín to ta v e rtic a l 2   x  1   a

x  3 

P a ra

lim 

E l re su lta d o o b te n id o in dic a : Q u e e l lím ite p e d ido n o e x iste ,

 1 ( lím ite infinito ) k , a sí: 5  6  2 5  5.5 0 0

E sc rib im o s:

x6 x  6 Fa c torizan d o(fa c tor c om ú n ) n um erad or  lim 2 x  5 x  5x x( x  5) x6 1 P or p rop ieda d es d e los lím ites  lim . lim x5 x x5 ( x  5) 1 x  6 s u stitu ción direc ta y , P a ra lim  .  x5 5 x 1 P or th 4 .1. Num era l 2 P a ra lim x5 ( x  5) x6 P or teorem a 4 .2 . Nu m era l 2 (p rod u c to) lim 2  x5 x  5 x lim

x 5

P or p rop ieda d es d e los lím ites

x 1

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

4 . LÍM IT E S A L IN F IN IT O Y A S ÍN T O T A S H O R IZ O N T A L E S

E l re su lta d o o b te n id o in dic a : Q u e e l lím ite p e d ido n o e x iste , Q ue

f (x)

c re c e ilim ita d a m e n te a m e d id a q u e

x se

a p ro x im a

4.1. Lím ite s a l in fin ito (D e fin ic ió n in fo rm a l)

a 5 p o r iz q u ie rd a y p o r d e re c h a y , Q u e la fu n c ió n

x5

f ( x) 

x  6 p o se e x 2  5x

u n a a sín to ta v e rtic a l e n

(h a y a b e rtu ra e n la fu n c ió n ).

E n lo q ue sig ue va m o s a e stud ia r lo s lím ites infinito s p a ra d ive rsa s func io ne s. A q uí c o nsid e ra re m o s un p ro b le m a d ife re nte a l c o nsid e ra d o e n c a p ítulo s a nte rio re s. E n e llo s no s he m o s p re g unta d o q ué pa sa c o n f (x) c ua nd o x se a p ro x im a a un va lo r d e te rm inad o

E je m p lo 5. D e te rm ina r la s a síntota s ve rtic a les d e la func ió n

3x  1 f ( x)  2 2 x  3x  2 3x  1 3x  1  2 x  3x  2 2 x  1 x  2

E je m p lo 7. C a lc ula r e l lím ite d e c ua nd o

x  2 o x  m ane ra q ue hay 2 p osib le s a síntotas ve rticales: x  2 y x  1 2 C a lc ulam o s lo s lím ite s lim

x  2 

3x  1 3x  1 y lim 1  x  2 x  1x  2 2 x  1x  2 2

p a ra d e te rm ina r si su re sulta d o e s   o   y a sí p o d e r c o nc luir

x  2 y x  1 2

so n asínto ta s ve rtic a les.

3x  1 3x  1 5 lim  lim  . lim x  2  .  1.   x  2  2 x  1 x  2  x  2 2 x  1 x  2  5

x  12

3x  1 3x  1 1  lim . lim   1.   1 1 x  x  2 x  1x  2 x  2 2 2 x  1 2

P o r lo ta nto las re c tas ve rtic a le s.

x  2 y x  1 2

so n a m ba s a sínto tas

c re c e sin c o ta ) o

f ( x) 

2x  5 x2

c re c e y d e c re c e ilim ita d a m e nte .

( C re c im ie nto ilim ita d o d e

x ).

S o lu c ió n : La g rá fic a d e la func ió n, fig ura 2.20. ind ic a q ue a m e d id a q ue x c re c e o d e c re c e ilim ita da m e nte , lo s va lo re s d e f (x) se a c e rc a n a rb itra riam e nte a C onstruyam os 2 tablas de valores que nos refuerza lo que vem os e n la gráfica: a . C o n la tab la 2.8. c o m p ro b a m os q ue a m e d id a q ue lo s va lo re s x c re c e n sin de c o ta , lo s va lo re s de

f (x) se

a p ro x im a n a C á lc ul o d i fe re n c ia l

c re c e ilim ita d a m e nte (

V e m o s que el d e no m ina do r se hac e 0 c ua nd o

lim

A q uí no s p reg unta re m os q ué p a sa c o n

c ua nd o d e c re c e ilim ita d am e nte ( d e c re c e sin c o ta) . E sto s so n lo s lím ite s a l infin ito.

S o lu c ió n : P o d e m o s e sc rib ir f ( x) 

q ue la s re c tas

f (x) c ua nd o

Fig ura 2 .2 0

2. h a c ia

x f ( x) 

2x  5 x2

1000

10000

100000



3 ,1 2 5

2 ,0 0 9

2 ,0 0 9 08

2 ,0 0 0 09

T a b la 2 .8 .

ha c ia

x f ( x) 

2x  5 x2

-1 0

-1 0 0 0

-1 0 0 00

-1 0 0 00 0



3 ,1 2 5

2 ,0 0 9

2 ,0 0 0 90 8

2 ,0 0 0 09

T a b la 2 .9 .

2. C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

x c re c e sin c o ta " x tie nd e a infinito . T o da

x

La e x p re sió n "

se sim b o liza c o n

d ic e q ue

la situa c ió n a nte rio r se esc rib e

sim b ó lic a m e nte c o m o

lim

x 

y se

2x  5 2 x2

lla m a n a sín to ta s h orizo n ta le s d e la g rá fic a d e f (x)

y e stá n

e stre c ha m e nte re la c io nad a s c o n lo s lím ite a l infinito . D e he c ho , p o d e m o s d a r la sig uie nte d e finic ió n: D e fin ic ió n 2 .7 . A sín to ta h o rizo n ta l

b . C o n la tab la 2.9.. V em o s q ue a m ed id a q ue lo s va lo re s d e

x d e c re c e n

sin c o ta , lo s va lo res d e f (x) se ap ro x im a n a

La e x p re sió n " d ic e q ue

x d e c re c e

sin c o ta " se sim b o liz a c o n

x  

y  k e s un a a sín t o ta h o riz o n ta l d e la lim f ( x)  k o q ue lim f ( x)  k .

D e c im o s q ue la re c ta si se c um p le q ue

y se

x 

grá fic a d e

x  

tie nd e a m e no s infinito . La situa c ió n a nte rio r se

e sc rib e sim b ó lic a m e nte c o m o lim 2 x  5  2

x2

x

N ue va m e nte , a pa rtir d e la ta b la 2.8. y 2.9. P o d em o s da r una d e finic ió n info rm a l p a ra e stas situa c io ne s.

m e d id a q ue h a c e m o s c re c e r

f (x) se

a p ro xim a n a

lím ite d e

f (x) c u an d o

x x

m e d id a q u e h a c e m o s d e c re c e r a p ro x im a n a

lím ite d e

f (x) c u an d o

f (x)

e s i g ua l a

si a

tie n d e a

( E s to s e lee: el



f (x)

e s igua l a

si a

ilim i ta d a m e n te e n t o n c e s lo s v a lo re s d e

tien d e a in f in ito es

a sínto ta s

( E s to s e lee: el

M ).

2.21

re p re se n ta

g rá fic a

y  3 lim f ( x)  4 q ue

so n

y y

x 

Fig ura 2 .2 2 .

4.3. Asín to ta s O b lic u a s

N o te q ue e n e l d ib ujo , a d e m á s d e la a sínto ta ve rtic a l x  2 , se o b se rva o tra re c ta a la c ua l la g rá fic a d e la func ió n se "va p e g a nd o ": é sta e s la re c ta ho riz o nta l y 

func ió n

tie ne

una

a sínto ta

o b lic ua

lim

x

f ( x) x

f ( x) e s finito y d istinto d e c e ro . x D e f. 2 .8 . A sín to ta o b lic u a .

La re c ta

2x  5 f ( x)  x2

C á lc ul o D if e re n c ia l

ho riz o nta le s

E l sig uie nte te o re m a no s sirve pa ra ca lc ula r lím ites a l infinito .

x  

A hí ve m o s q ue ha y d o s

lim f ( x)  3 .

U na

4.2. Asín to ta s ho rizo n ta le s fig ura

y  4 T e ne m o s

lim

x 

L ).

M . S im b ó lic a m e n te lim f ( x)  M . x   x

ilim ita d a m e n t e e n t o n c e s l o s v a lo re s d e

tien d e a in f in ito es

D e c im o s q ue e l lím it e c ua n d o

f (x) se



tie n d e a

L . S im b ó lic a m e n te lim f ( x)  L . x  x

E n la fig ura 4.12 se re p re se nta la g rá fic a d e una func ió n

D e fin ic ió n 2 .6 . Lím ite s a l in fin ito D e c im o s q ue e l l ím it e c ua n d o

E je m p lo 8. D o s a síntota s ho riz o nta le s.

y  mx  b e s la e c ua c ió n d e la a sín t o ta o b li c ua d e f (x) S i:

lim  f ( x)  (mx  b)  0

x

m  lim F igura 2 .2 1 .

x 

f ( x) x

b  lim  f ( x)  mx x

lim  f ( x)  (mx  b)  0 , e n

donde

x

m  lim

x  

f ( x) x

b  lim  f ( x)  mx x

2 . E stas re c ta s se C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

4.4.C a lc u lar lím ite s a l infin ito E je m p lo 8.a . D e te rm ina r si la

C u a n d o se c a lc u la n lím ite s a l infin ito se p re se n ta n 2 c a sos:

x 2  2 tie ne f ( x)  x 1

func ió n

C a so 1: Lím ite s q ue se c a lc ula n te nie nd o e n c ue nta num e ra le s d e l te o re m a 4.4. (E sp e cia lm e n te p ro p ie d a d 6).

a sínto ta o b lic ua. Si la a sínto ta e x iste , e sc rib ir su e c ua c ió n.

A d e m á s, so n vá lid a s la s p ro p ied a d e s da d as e n lo s te o re m a s 2.1 y 4.2 si e n ve z d e x tie nd e a c e sc rib im o s x   o e sc rib im o s x   .

S o lu c ió n : Se

lo s

c a lc ula

f ( x) , x

lim

x

a sí:

x 2 f ( x) x2  2 lim  lim x  1  lim 1 x  x  x   x  x  1 x x

T e ore m a 2 .6 . P ro p ie d a de s d e lo s lím ite s a l in fin ito 1.Si

F igura 2 .2 3

2.Si

e s un a c o n sta n t e e n to n c e s

e s un n úm e ro n a tura l p a r e n t o n c e s

4.Si

d o nd e :

x

e s un n úm e ro n a tura l p a r e n t o n c e s

y  x 1

lim x n  

x

lim x n  

x

lim m x   x

k e s un n úm e ro ra c io n a l p o si tiv o y r

6. Si

 x2  2   x 2  2  x( x  1)   b  lim  f ( x)  mx  lim   (1) x   lim  x  x  x 1  x 1  x     x2  2  x2  x   x  2   lim   lim   1 x  x  x  1 x  1    

e n to n c e s

r 0 x  x k

lim

x

r 0 xk

x

x  

e s un n úm e ro re a l a rb itra rio

sie m p re q ue

e st é d e fin id o .

E je m p lo 9. a.

lim 439  439

P or teorem a 4 .4 . N um era l 1 , sien d o

x  

lim x 2  

y c.

lim x 2  

y e.

x  x 

lim x  

lim 3 x   y

C á lc ul o d i fe re n c ia l

lim x  

x

Lue g o , la e c ua c ió n d e la a síntota ob lic ua es

x 

m e s un n úm e ro n a tura l im p a r e n to n c e s lim m x   y lim

5.Si

x 2 f ( x) x2  2 m  lim  lim x  1  lim 1 x x x x x  1 x x

lim k  k

x

c o m o e ste lím ite e x iste y e s d ife re nte d e c e ro , e nto nc e s, la

y  mx  b

x  

n e s un n úm e ro n a tura l im p a r e n to n c e s lim x n  

3.Si

func ió n tie ne a sínto ta o b lic ua y es la re c ta

lim k  k

lim x 2  

P or th . 4 .4 . N . 2 , sien d o

n  2 (p a r).

lim x 2  

P or th 4 .4 . N . 3, s ien d o

n  5 (im p a r).

x   x  

P or th 4 .4 . N . 4 , s ien d o

x

x 

42 0 x  x 4

lim

y j.

k  439 .

lim

x  

x  

42 0 x   x 4 lim

m  2 (p a r).

P or th 4 .4 . N . 5, s ien d o

m  3 (im p a r).

P or th 4 .4 . N . 6, s ien d o

r  42

k  4.

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

C a so 2: Lim ite s e n e l in fin ito d e u n a fu nc ió n ra c io n a l.

d e l lím ite p o r e l té rm ino d e m ay o r e xp o ne nte d e la fra c c ió n. V e a m o s:

So n lím ite s d e func io ne s ra c io na le s p a ra los c ua le s se p rese nta la ind e te rm ina c ió n  . P a ra c a lc ula r e l lím ite d e e sta s func io ne s,



se d ivid e e l num e ra d o r y e l d e no m ina d o r d e la func ió n e ntre la p o te nc ia d e m ay o r g ra d o. E je m p lo 10 . C a lc ula r a .

1 lim 3  12 x  x



lim  3x  5x  6

x



S o lu c ió n : a . lim 1  12  lim 1  lim 12 3 3 x 

x 

1 p or teorem a 4 .4 . Num era l 6, pa ra P a ra lim x x 3 lim 12 p or p rop ieda d es d e los lím ites .

 0  12

x 

lim

x 

1  12  12 x3



lim  3x 2  5x  6

x



U sua lm e nte, c o n e l fin d e utiliza r e l 0

te o re m a 4.4., se p ro c e d e e n e sto s c aso s d e l sig uie nte m o d o:





5 2  lim  3x 2  5 x  6  lim  3x 2 1   2  Fa c torizan d o (fa c tor c om ú n x x  3x x 



 lim  3x 2





x



lim  3x 2  5x  6  3  

x

 3x 2 ).

P or Teorem a 4 .4 . n um era l 6 . P or teorem a 4 .3 . litera l c.2 .

O b se rve q ue lo q ue se hiz o fue fa c to riz a r la e xp re sió n "sa c a nd o " e l té rm ino d e m a y o r ex p o ne nte , p o r e sta ra z ó n d e ntro d e l p a ré nte sis q ue d a n fra c c io ne s e n la s q ue a pa re c e la va ria b le e n e l d e no m ina d o r. E l o b je tivo q ue se p e rsig ue c o n e sto e s m uy c la ro : e sta s fra c c io ne s q ue a c a ba m o s d e m e nc io na r tie nd e n a

0 y , p o r lo ta nto, e l lím ite so lo va a d e p e nd e r d e l té rm ino d e m a y o r e xp o ne nte . E n a lg uno s te x tos no ta rá q ue e ste p ro c e d im ie nto se ind ica , d ivid ie nd o c ad a uno d e lo s té rm ino s C á lc ul o D if e re n c ia l

S o lu c ió n : A l ha c e r sustituc ió n d ire c ta o bte ne m o s una fo rm a 



x 2 5x 4  2 2 2 2 x  5x  4 x lim 2  lim x 2 x x  3 x  2 x  1 x 3 x 2x 1  2  2 x2 x x

D iv id iend o p or la m a y or p oten c ia

50 40  x x2  lim x  2 1 3  0  02 x x x 2  5x  4 1 lim 2  x  3 x  2 x  1 3 1

P rop ieda d es d e los lím ites

x 

x 2  5x  4 x  3 x 2  2 x  1

E je m p lo 11 : C a lc ula r lim

Sim p lif ic an d o

P rop ieda d d e los lím ites y t h . 4 .4 . N . 6 .

A p a rtir d e e ste p ro c e so se p re se nta n 3 c aso s: T e o re m a 2 .7 . L im i te s e n e l in fin i to : S i

P(x)

Q(x)

s o n p o lin o m io s d e g ra d o

m re s p e c tiv a m e n te , y S i P( x) a x n  a x n 1  ....... a1 x  a0  , e n to n c e s :  lim n m n 1 m 1  lim x  Q( x) x  b x  b  ....... b1 x  b0  m m 1 x

nm

e l lím ite n o e x is te y e s c rib im o s

   d e p e n d ie n d o d e la s

p ro p ie d a d e s a n te r io re s . b.

nm

nm

e l lím ite e x is te y e s

an bm

e l lí m ite e x is te y e s 0 .

Sim ple m e nte lo q ue d ic e el te o rem a 2.7.. es q ue al c a lc ular lo s lím ite s a l infinito d e un p o lino m io ba sta c o nsid e ra r sol o e l té rm ino d e m a y o r g ra d o. D el m ism o m o d o, al c a lc ula r lo s lím ite s a l infinito C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

d e un c o c ie nte d e po lino m io s ba sta c o nsid e ra r so la m e nte e l c o c ie nte d e lo s té rm ino s d e m ay o r g ra do d e am b os p o lino m ios.

D iv id ie n d o p o r la m a y o r p o te nc ia b.

x 

E je m p lo 12. C a lc ula r lo s sig uie nte s lím ite s: a.

lim

x 

x 1 2x  3

x3  3 x 2  5 x  8 x  x4  1

lim

x 

lim

3x  8 x2  1

c . lim 5 x  4 x  1 2 5 5

x 

 3x  4 x

3x 2  4 x  1

x

lim

x4  1

3x  8 x2  1

U sa n d o te o re m a 4 .5 .

sust it uc i ó n d ire c ta se o b tie n e la

x 

fo rm a in d e t e rm in a d a

 

3x  2 3x  8 lim 2  lim x 2 x  x  1 x  x  x2

8 x2 1 x2

3x  8 x2  1

S .D .

in d e te rm in a d a

C om o

fo rm a

 

gra d o

m en or

del

n 1es

n um e ra d o r

gra d o

del

d e n o m in a d o r

D iv id ie nd o c a d a té rm ino p o r la m a yo r p o te nc ia “

S o lu c ió n :

lim

m  2 e n to n c e s

x2 ”

e l lím ite

e xis te y e s c e ro , e s to e s ,

3 8  2  lim x x  0 x  1 1 2 x

lim

x

3x  8 0 x2  1

S im p lific a nd o th 2 .7 . n. 6 y p ro p ie d a d e s d e lím ite s .

D iv id ie n d o p o r la m a y o r p o te nc ia

x 1 x  2 x  3

Po r s.d . se o b tie n e la fo rm a

lim

in d e te rm in a d a

U sa n d o te o re m a 4 .5 .

 

lim

x 

x 1 2x  3

S .D .

in d e te rm in a d a C om o

x 1  x 1 lim  lim x x x  2 x  3 x  2 x 3  x x D iv id ie nd o c a d a té rm ino p o r la m a yo r p o te nc ia

fo rm a c.

 

gra d o

d el

n um e ra d o r

n  1es

ig ua l

gra d o

d e n o m in a d o r

d el

m 1

e n to n c e s e l lím i te e xis te y

1 x 1  lim x  3 2 2 x 1

S im p lific a nd o y T h. 2 .7 . n um e ra l 6 y p ro p ie d a d e s d e lím ite s

e s la d iv isi ó n d e lo s c o e fi c ie n te s d e la m a y o r p o te n c ia , e st o e s,

lim

x 

x 1 1  2x  3 2

5 x5  4 x3  1 x   3x 2  4 x5

su sti tu c ió n d ir e c ta se

lim

o b tie n e la fo rm a in d e te rm in a d a 5

 

F o rm a in d . C om o 3

5x 4x 1  5  5 5 5 x5  4 x3  1 x x lim  lim x x   3x 2  4 x5 x   3x 2 4 x5  5 x5 x D iv id ie nd o c a d a té rm ino p o r “

 lim

x 

x5 ” 4 1  x 2 x5  5 3 4 4 x3

5

5 x5  4 x3  1 x   3x 2  4 x5

lim

S .D .

 

gra d o

n um e ra d o r

ig ua l al g ra d o d e n o m in a d o r

m  5 e n to n c e s

d el

n  5 es d el

e l lím it e

e xis te y e s la d iv isi ó n d e lo s c o e f ic i e n te s d e la m a yo r p o t e n c ia , e s to e s,

5x5  4 x3  1 5  x   3 x 2  4 x 5 4

lim

S im p lific a nd o y T h 2 .7 . num e ra l 6 .

C á lc ul o d i fe re n c ia l

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

x 3  3x 2  5 x  8 lim x x4 1

x 3  3x 2  5 x  8 S .D . lim x  x 4 1

sust it uc i ó n d ire c ta

se o b tie n e la fo rm a in d e te rm in a d a

 

C om o

x 3 3x 2 5 x 8  4  4  4 4 x 3  3x 2  5 x  8 x x x lim  lim x 4 x  x  x4 1 x 1  x4 x4 D iv id ie n d o c a d a t é rm in o p o r

 

F o rm a in d . el

gra d o

n  3es

n um e ra d o r

E je m p lo 13 : D e te rm ina r si las sig uie nte s func io ne s p o se e n o no a sínto ta s ho riz o nta le s. a.

f ( x)  2 x  4 x  1 3

d el

m en or

a l gra d o d e l d e n o m in a d o r

m  4 e n to n c e s

lím it e

e xis te y e s c e ro , e s to e s ,

1 3 5 8  2 3 x 3  3x 2  5 x  8 x x4  0 lim  lim x x x x 1 x4  1 1 4 x

lim

x 

x3  4 x  1 x5  x  1

U na funció n p ose e asínto ta ho riz o nta l la re cta

yc

e n aq ue llo s valo res d o nde el lim ite n e l infinito d e l a funció n e x ista .

x  3x  5 x  8 0 x4  1 3

S olu ció n:

f ( x) 

2x2  4x  1 f ( x)  3x 2  x  1

lim 2 x3  4 x  1   x 

C o m o e l lím ite d e la infinito no ex iste

la func ió n no p o se a a síntota ho riz o nta l. b.

S im p lifi c a n d o y T h 2 .7 . n um e ra l 6 .

2x2  4x  1 2  x  3x 2  x  1 3

C o m o e l lím ite d e la e x iste ,

lim

e nto nc e s la func ió n p o se e una a sínto ta e n

x  4x  1  0 C om o x  x5  x  1

y

D iv id ie n d o p o r la m a y o r p o te nc ia

3x  4 x  1 2

lim

x

3x  4 x  1 2

susti tu c ió n

x 1

d ire c ta

 

3x 2 4 x 1  2  2 2 3x  4 x  1 x x lim  lim x x x x4  1 x4 1  x4 x4 2

D iv id ie n d o c a d a t é rm in o p o r “

lim

4 1 3  2 x x 3  lim x  1 1 4 x S im p lific a n d o y T h 2 .7 . n um e ra l 6 .

”

S .D .

x4  1

x

o b tie n e la fo rm a in d e te rm in a d a

C á lc ul o D if e re n c ia l

U sa n d o te o re m a 4 .5 .

F o rm a in d . C om o

 

del

e l lím it e

e xis te y e s la d iv i sió n d e lo s c o e fic ie n t e s d e la m a yo r p o t e n c ia , e st o e s,

lim

x

3x 2  4 x  1 x4  1

y0

del

n  2es

ig ua l al gra d o d e n o m in a d o r

m  2 e n to n c e s

la func ió n p o se e una a síntota e n

e l lím ite d e la e x iste , e nto nc e s

4.5. Lím ite s E xp o n e n c ia le s

gra d o

n um e ra d o r

lim

3

E x iste n a lg una s func io n e s e sp e c ia le s, la s c ua le s p ro d uc e n un re sulta d o im p o rta nte c ua nd o se c a lc ula n lím ites.

Lím ite s e x p o n en c ia le s. Si

 1 f ( x)  1    x

lím ite c u a n d o

p a ra

x  Z  , el

x   d e f (x) 

La ta b la d e va lo re s y la g ra fic a ( fig ura 2.24.) d e la func ió n x

 1 f ( x)  1   p a ra x 

x  Z  , se p re se nta

a c o ntinua c ió n.

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

 1 f ( x)  1   x 

…

2 ,2 5

2 ,3 7 0 3

2 ,4 4 1 4

2 ,4 8 8 3

2 ,5 2 1 6

…





Lím ite s e x p o ne nc ia le s

C a so 2: E x iste no d e los lím ites infinito s.

lim f x   L  1

lim g x    se

x

im p o rta nte s :

a . lim 1  x  x  1

x 

re sue lve d e a c ue rd o c o n lo s re sultad o s d e l la d o izq uie rd o .

x 0

b. lim  x   x 

c . lim  x  0 x 

Po r

e je m p lo:

 x 2  1  se re sue lve 1ro . e l  lim  x  3  2 x 2   

A l re so lve r e l

 x 2  1  a sí:  lim  x 3  2 x 2   

   x 1    lim   lim x  3  2 x 2    x   

F igura 2 .2 4 .

Lím ite s d e la form a

lim f x 

g ( x)

xa

lim f x 

g ( x)

x 

: Lue g o se re sue lve

Se p re se nta n d o s c a so s:

e nto nc e s,

lim f x 

g ( x)

x a

lim g x   N

xa

lim f x   L x a

 1     1 2  1 x    lim   x   3  2  2  2   x  

lim x   , a sí: x



 x 1   1     0 lim  x  3  2 x 2    2 2

C a so 1: Ex iste n lo s lím ite s finito s.

x2 1  x2 x2 3 2x2  2 x2 x

L

In d e te rm in ac io n es.

Po r e je m p lo : A l re so lve r e l

 sen3x  lim   x 0  x  Lue g o

1 x

 3sen3x   lim   x 0  3x 

 sen3x  lim   x 0  x 

C á lc ul o d i fe re n c ia l

 sen3x  lim   x 0  x  1 x

1 x

se tie ne :

 sen3x   3 lim   x 0  3x 

1 x

 3x1  3 1

L0  1

0 L     L   0

0  0

si si si si

0  L 1 L 1 L 1 L 1

   f.

  0

0 si L  1 0L    si L  1

1 x

3

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

5 . C O N T IN U ID A D

E je m p lo 2. D isc usió n so b re la c o ntinuid a d d e a lg una s func io ne s Si te ne m o s una func ió n c o nsta nte

U na fu n c ió n e s c o n tin u a c ua nd o a p e q ue ña s va ria c io ne s d e la va ria b le ind e p e nd ie nte c o rre sp o nd e n p eq ue ña s va ria c io ne s d e la va riab le d ep e nd ie nte .

C asi sie m p re, a l op e ra r func io nes c o ntinuas, se o b tie ne func io ne s q ue tam bié n so n c o ntinuas. P o r eso se p re se nta e l te o rem a 3.1.

P o r e je m p lo , la s func io ne s c uy as g ra fic a s se p re se nta n e n la fig u ra 2 .2 5 ., so n func io ne s c o ntinua s.

E n re a lid a d, si a l c a lc ula r un lím ite c ua nd o x tie nd e a c é ste se o b tie ne p o r sim p le e va lua c ió n ( e s d e c ir: no e s un lím ite ind e te rm ina d o) , e nto nc e s la func ió n e s c o ntinua e n c .

é sta se rá

sie m p re c o ntinua. La s func io ne s p o linó m ic a s so n c o ntinua s e n to d o num e ro re a l a. La s func io ne s trig o no m é tric as so n func io ne s c o ntinua s e n su re sp e c tivo d o m inio .

5.1. F u n c io n e s c o n tin u a s:

f ( x)  k ,

x D e fin ic ió n 2 .9 .. C on tin u id a d d e u n a fun c ió n e n u n p u n to S up o n ga q u e

F ig. 2 .2 5 . F un c i o n e s C o n tin ua s

e s un a f un c i ó n q ue e s tá d e fin id a

in te rv a lo a b ie rt o q ue c o n te n ga a e s c o n tin ua e n

xc

c . D e c im o s

q ue la f un c i ó n

so n

f un c io n e s c o n tin ua s e n

xc

f (c) , e s to e s : c e s tá e n e l d o m in i o d e f T a m b ié n e xist e lim f ( x ) .

e n to n c e s

f  g , la d if e re n c ia ta m b ié n so n c o n tin ua s e n la sum a f  g , e l p ro d uc to f .g y , si g (c)  0 , e l c o c ie n t e f g . f e s c o n tin ua Po r o tra p a rte , si g e s c o n tin ua e n c y e n g (c) e n t o n c e s la c o m p o sic ió n f  g e s c o n tin ua e n c .

F u n c io ne s

c o n tin u a s.

La s

sig uie nte s

ta m b ié n so n c o ntinua s e n to d o s lo s p unto s d e a.

f ( x)  3x  3x  1 2

C á lc ul o D if e re n c ia l

2 b . g ( x)  x  1 2 2x  4

func io ne s

c . h( x )  5 x  3 x2  2

x c

E je m p lo

si s e c um p l e n la s si g uie n te s c o n d ic io n e s:

Exi ste

T e ore m a 3 .1 . O p era c ion e s c o n fun c ion e s c o n tin u a s Si

e n a lg ún

A d e m á s. Si

lim f ( x)  f (c) x c

n o e s c o n tin ua e n

c se d ic e q ue e s d isc o n tin ua

5.1.1. C o n tin u id a d d e u n a fu n ció n e n u n p u n to

E je m p lo 3: D e te rm ina r si las func io ne s d a d a s so n c o ntinua s e n e l p unto d ad o . a.

f ( x)  x 2  1

e n e l p u nto

x 1

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

2 x  1  f ( x)    x  2 

x 1

e n e l p unto

x 1

b . La func ió n

x 1

x 1

2 x  1  f ( x)    x  2 

x 1

se rá c o ntinua e n e l p unto

x 1

si c um p le la s tre s c o nd ic io ne s d e la d e finic ió n 2.9.

S o lu c ió n : a.

La func ió n

f ( x)  x 2  1

E nto nc e s: se rá c o ntinua e n e l p unto

x 1

ve rific a

2 x  1  f ( x)    x  2 

c um p le las tre s c o nd ic io ne s d e la d e finic ió n 3.1. E nto nc e s: Se ve rific a si

f (1) e x iste . 2 2 Si f ( x)  x  1 ,  , f (1)  1  1  2 . f (1)  2 Lue g o , f (1) e x iste . E sto es:

f (1) e x iste . ,

x 1

Si,

x 1

f (1)  2(1)  1  3 . f (1)  3

Lue g o , f (1) e x iste .

E sto e s:

Se ve rific a si

lim f ( x) e x iste .

C om o

F igura 2 .2 7 .

x1

Se ve rific a si

la func ió n e stá d e finid a a tro z o s, p a ra c a lc ula r e l lím ite se c a lc ula n lo s lím ite s la te ra les. A sí, lim f x   lim 2 x  1  3 y

lim f ( x) e x iste . x1

f ( x)  x 2  1 ,

Se ve rific a si

E sto es:

x 1

lim x 2  1  2

x 1

C om o

lo s

x 1

lím ite s

late ra le s

so n

x 1

d istinto s, e nto nc e s,

F igura 2 .2 6

x 1

lim f ( x)  f (1) .

lim f x   lim  x  2  1

Lue go,

x 1

lim x 2  1 e x iste . x 1

x 1

 , lim x2  1  2 .

lim f ( x) no

e x iste .

x1

A p a rtir d e lo s d o s íte m s

a nte rio re s se p ue d e c o nc luir q ue :

lim x  1  f (1)  2 . 2

x 1

26.

E n c o nc lusió n, c o m o no se c um p le la se g und a c o nd ic ió n d e la d e finic ió n 2.9. , e nto nc e s la func ió n e s d isc o ntinua e n g ra fic a a p a rec e e n la fig ura 3.

x  1.

5.1.2. C o n tin u id a d d e u n a fu n ció n e n u n in te rva lo E n c o nc lusió n p o d e m o s d e c ir q ue la func ió n c o ntinua e n

x  1.

f ( x)  x 2  1

La g ra fic a ap a re c e e n la fig ura 2.

D e fin ic ió n 2 .1 0 . C o n tin u id a d de u n a fun c ió n e n u n in terv a lo 1.

f Si

no e s c o ntinua e n

d isc o ntinua e n

x  co

x  c,

e nto nc e s, se d ic e q ue

q ue tie ne una d isc o ntinuid a d e n

x  c.

a, b si a, b .

e s c o ntin ua e n u n inte rv a l o a b ie rto

e s c o n tin ua e n t o d o s lo s p un to s d e l in t e rv a lo

U n a fun c ió n

C á lc ul o d i fe re n c ia l

U n a fun c ió n

e s c o ntin ua e n un inte rv a lo c e rr a d o

e s c o n t in ua e n e l in te rv a l o a b i e rto

a, b .

a, b si :

lim f x   f (a) y lim f x   f (b)

x a 

xb

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

E je m p lo 4: De te rm ina r si la func ió n d a da e s c o ntinua e n e l inte rva lo d ad o . a.

x2  4  f ( x)   x  2 4   1   f ( x)  0  1 

a nte rio re s p ue d e q ue :

x2

lim

x 1

x0



e n e l inte rva lo c e rrad o  2,2



x0

continua e n todos los p untos de este intervalo, así p ues q ue verifica rem os la c ontinuidad sólo e n un punto y sobre el concluirem os. E l punto e n e l q ue se verifica la c ontinuidad será x  2 , ya que este e l punto e n do nde la func ió n (po r partes) puede presentar p rob lem a. Así, se verifica n la s tres c ond iciones de co ntinuidad en el punto x  2 .

f (2) e x iste . f (2)  4 , e nto nc e s, e x iste f (2) .

Se ve rific a si

E sto e s:

x 2 4 x2

se c o nc luir

 f (2)  4 .

En conclusió n podem os decir que la func ión es continua en x  2 y es continua en el intervalo

x0

f (2)  4

A p a rtir d e lo s d o s íte m s

x2

x  2 e n e l inte rva lo ab ie rto  3,3

S o lu c ió n : a. Debem os com p roba r si la función es co ntinua e n un inte rva lo abierto  3,3 . Para que sea c ontinua en e ste intervalo debe ser

com o

Se ve rific a si lim f ( x)  f (2) .

abierto

 3,3 . La grafica

F igura 2 .2 7 . a . S in e v ita r la d i sc o n tin uid a d

aparece en la figura 2.27.

b . Ev i ta n d o la d isc o n tin uid a d

D eb em o s c o m p ro b a r si la fu n c ió n es c o ntinu a en un interv a lo c erra d o

 2,2 .

Pa ra q u e sea c o n tin u a en este in terv a lo d eb e

c u m p lir la s c o n d ic io n es d e la d efin ic ió n 2 .10 . S e v erific a si

f (x) es

c o n tin ua en el in te rv a lo a b ierto

 2,2 .

Pa ra q u e sea c o n tinu a en este in terv a lo d eb e ser c o n tin u a en to do s lo s p un to s d e éste, a sí p u es , v erific a rem o s la c o ntinu id a d só lo en u n p un to y so b re el c on c lu irem o s. El p u nto en el q u e se v erific a la c on tin uid a d será x  0 , ya q u e este el p u nto en d o n d e la fu n c ió n (p or p a rtes) p u ed e p resen ta r p ro b lem a . A sí, se v erific a n la s tres c o n d ic io n es d e c o n tinu id a d en el p u n to

Se ve rific a si

lim f ( x) e x iste . C o m o

la func ió n e stá d e finid a a

x 2

tro z o s, p a ra c a lc ula r e l lím ite se c a lc ula n lo s lím ite s la te ra les.

x  2x  2  lim x  2  4 x2  4 lim f x   lim  lim x2 x2 x  2 x2 x2 x2

A sí,

x  2x  2  lim x  2  4 x 4  lim x2 x  2 x2 x2 C o m o lo s lím ite s la te ra le s so n ig ua le s, e nto nc e s, lim f  x   lim

x2

x  0 . La

fu n c ió n será c o n tinu a en el p u n to

lim f ( x) x 2

e x iste , e sto e s, lim f ( x)  4 x 2

Se ve rific a si

f (0) e xiste . Si,

Lueg o f (0) , ex iste. Esto es: Se ve rific a si

 1   f ( x)  0  1 

x0

e ntonce s, f (0)  0 .

x0 x0

f (0)  0

lim f ( x) e x iste.

C o m o la func ió n e stá d e finid a

x0

tro z o s, p a ra

la te ra le s. A sí, C á lc ul o D if e re n c ia l

si c u m p le la s

tres c o n d ic ion es d e la d efin ic ió n 3 .1 . En ton c es:

x2

x 1

c a lc ula r e l lím ite se c a lc ula n lo s lím ite s

lim f x   lim  1  1

x 0

x 0

lim f x   lim 1  1

x 0 

x 0

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

C o m o lo s lím ite s late ra le s so n d istinto s, e nto nc e s,

lim f ( x) no x1

e x iste .

U na fu n c ió n n o e s c o n tin u a o sim p le m e nte e s d isc o n tin u a c ua nd o no se ve rific a a lg una d e la s c o nd ic io ne s e sta b le c i da s p a ra se r c o ntinua . La s sig uie nte s g ra fica s c o rre sp o nd e n a func io ne s d isc o ntinua s e n un p unto .

E n c o nc lusió n, c o m o no se c um p le la se g und a c o nd ic ió n d e la d e finic ió n 2.9. , e nto nc e s la func ió n es

d isc o ntinua e n x  0 , p o r lo ta nto la func ió n no e s c o ntinua e n e l inte rva lo

 2,2 ,

a b ie rto

lo q ue ind ic a q ue no

c o ntinua e n e l inte rva lo c e rra d o

 2,2 .

G rafica

c um p le la c o nd ic ió n 1 d e la d e finic ió n 2.10. y p o r lo ta nto la func ió n no e s

F igura 2 .2 9

La g ra fica ap a re c e e n la fig ura 2.29.

to d o

p a ra e l c ua l la sig uie nte fu nc ió n se a c o ntinua e n

Comportamiento

E je m p lo 5. B u sc ar la c o n tin u id a d si h a y u n p a rá m e tro . E nc o ntra r un va lo r d e

5.2. F u n c io n es d isco n tin u a s

lim f ( x) n o

x c ex is te

f (c)

lim f ( x) n o

lim f ( x) s í

ex is te

x c

f (c)

s i ex is te

lim f ( x) s í

x c

n o ex iste

x c ex is te sí

f (c)

ex is te, p ero

n o ex iste.

lim f ( x)  f (c) x c

Conclusi ón

F unc ió n d isc o ntinua e v ita b le , sie m p re

no ha y

F unc ió n d isc o ntinua no e v ita b le , sie m p re ha y a sínto ta .

sa lto

F unc ió n d isc o ntinua e v ita b le , sie m p re ha y un

F unc ió n d isc o ntinua e v ita b le , sie m p re ha y un ro to .

ro to .

S o lu c ió n : D e ntro d e c a d a pa rte la func ió n e s c o ntinua . P a ra q ue a d e m á s se a

c o ntinua

f (2)  lim f ( x)  lim f ( x) x 2

d eb e m o s Es

x 2

d e c ir,

te ne r

q ue

e sta

4d  2d  3  2  2d  5  d  5 2

p re se nta una func ió n

4d  3  2d  2

( re e m p la z a nd o 2 e n la func ió n) Re so lvie nd o

E je m p lo 6. D isc o ntinuid a d e s d e d ife re nte s tip o s. E n la fig ura 2.34. se

e c ua c ió n

re sulta

Podem os ve r q ue la func ió n p re se nta c uatro p unto s de d isc o ntinuid a d. En

xa

se tie ne q ue

f (a)

Fig ura 2 .3 4 D if erentes tip os d e d is c on tinu id a d es

e x iste p e ro

lim f x  no

e x iste .

x a

E nto nc e s si

d  52

C á lc ul o d i fe re n c ia l

se tie ne q ue

e s c o ntinua e n to d o

xb

se tie ne q ue

f (b)

no e x iste p e ro

lim f x  no e x iste . xb

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

xc

se tie ne q ue

f (c) no

e x iste p e ro

lim f x 

si e x iste .

xc

xd

p e ro

se tie ne q ue

f (d )

e x iste,

lim f x  ta m b ié n

e x iste,

x d

lim f x   f (d )

x d

O b se rva nd o

b ie n

g rá fic a,

podem os

ve r

q ue

la s

d isc o ntinuid a d e s so n d e d ife re nte tip o . E n c y e n d la g rá fic a so lo re p re se nta una "le ve " rup tura , so lo se inte rrum p e e n un p unto . M ie ntra s q ue e n a la g rá fica "sa lta " d e un lug a r a o tro y e n b la g rá fic a "b a ja " ind e finid a m e nte. E n lo s p unto s e n lo s q ue la g rá fic a so lo se inte rrum p e e n un p unto suc e d e q ue e l lím ite e x iste , m ie ntra s q ue e n la s o tra s c irc unsta nc ia s e l lím ite no e x iste . C o n ba se e n e sto d a m o s la d e finic ió n sig uie nte. Las d isco ntinuidad es d e las funcio ne s se p ue de n divid ir e n d os tip os, disc o ntinuid ade s evita bles y d isco ntinuidad es no evita bles.

5.2.1.

D isc o n tin u id a d e s e vita b le s:

P a ra q ue una func ió n d isc o ntinua, q ue c um p le c o n a lg una d e la s c o nd ic io ne s a nte rio re s, se p ue d a c o nve rtir e n una func ió n c o ntinua , se e fe c túa una re d e finic ió n d e la fu nc ió n o rig ina l, d e finie nd o a

p a ra

c de

ta l fo rm a q ue

E je m p lo 7: Determ inar si la discontinuidad de las siguientes funciones es evitable. En caso de serlo, redefinir la func ión para que sea continua.

lim f x   f (c) . x c

x 2  25 f ( x)  3 x  15

si x  1 3  f ( x)   2 x 1  si x  1  x  1

S o lu c ió n : 2 a . La func ió n f ( x)  x  25 e s d isc o ntinua e n x  5 ( va lo r q ue ha c e 3 x  15 0 a l d e no m ina d o r).

P a ra d e te rm ina r c a lc ula m o s:

d isc o ntinuid a d

x  5 es

e vita b le ,

x 2  25 5 2  25 0 f (5) no e x iste.  f (5)   3x  15 35  15 0 x  5x  5  lim x  5  10 e x iste , e nto nc e s la x 2  25 lim  lim x 5 3x  15 x 5 x 5 3x  5 3 3 d isc o ntinuid a d e n x  5 e s e vitab le . f ( x) 

E nto nc e s se p ued e sig uie nte m a ne ra : x2 1 si x  5   x 1 f ( x)   10 si x  5  3

d e finir

H a c ie nd o

func ió n

f ( x) 

nue va m e nte

x 2  25 x  5x  5 10   3x  15 3x  5 3

D e fin ic ió n 2 .1 1 . D isco n tin u id a d e v ita b le U n a fun c i ó n

e s d isc o ntin ua e v it a b le si s uc e d e

a lg un a d e la s sig ui e n te s c o n d ic i o n e s :

f (c) , si x  c f (c) y lim f x  p e ro n o s o n i g ua le s

N o e xis te

Exi ste

xc

C á lc ul o D if e re n c ia l

. tin u id ad Fig u ra 2 .35 . a. Sin ev ita r la d is cb on b . E v itan d o la d is c on tinu ida d

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

La func ión

si x  1 3   f ( x)   2 x 1  si x  1   x 1

P a ra d e te rm ina r c a lc ula m o s:

discontinua en

x  1(1 hace 0 a l deno minad or).

So luc ió n : La fu n c ió n e s d isc o n tin u a e n

P a ra

d isc o ntinuid a d

x  1e s

e vitab le ,

f (1)

f (1)  0

si ex iste .

x  1 e s

e vita b le

no,

f (1) si e xiste . C o m o la fu n ció n e stá d e finid a a tro z o s, p a ra c a lc u la r e l

lim f x   lim  x  1  (1)  1  2 y lim f x   lim

x 1

x  1

x 1

x 1  11  0

x  1

C o m o lo s lím ite s la te ra le s so n d istin to s, e n to n ce s,

si e x iste.

f (1)  lim f x 

d isc o n tin uid a d

lím ite se c a lc u la n lo s lím ite s la te ra le s. A sí,

x  1x  1  lim x  1  2 x 1 lim f x   lim  lim x  1 x  1 x  1 x  1 x  1 x 1 Com o

x 1

lim f x   2

c a lc u la m o s:

lim f ( x) .

f (1)  3

x 1

d e te rm in a r

x  1 .

e n to n c e s la d isc o n tin uid a d e s e v ita b le .

Lo a n te rio r in d ic a q u e la d isc o n tin uid a d e n

lim f ( x) n o

x 1

e x iste .

x  1 e s n o e vita b le .

x 1

E je m p lo 9. In d iq u e c u á le s so n lo s p u n to s d e

E nto nc e s se p ue d e d e finir la func ió n n u e va m e nte d e la sig uie nte m a ne ra : x 1  f ( x)   x  1  2  2

si x  1

3x  1 si   f ( x)   x 2  3 si  4 x  1 si 

x 1

y  4x  1

, a d e m á s,

1 x  3 x3

c u a le s so n e vita b le s y cu a le s no ev ita bles.

si x  1 a.

H a c ie nd o f ( x) 

d isc o n tin u id a d d e

x  1 x  1x  1   x  1  f (1)  2 x 1 x 1 2

So lu c ió n : La fu nc ió n e stá d e fin id a e n

Fig u ra 2 .35 . a. Sin ev ita r la d is c on tin u id ad b . E v itan d o la d is c on tinu ida d

La func ió n a sí d e finida e s una func ió n c o ntinua . F ig ura 2.35.

R  1,3

tie n e e n to n c e s d o s p u n to s d e d isc o n tin u id a d :

x 1y

x 3 x 1es

P a ra d e te rm in a r si la d isc o n tin u id a d e v ita b le , c a lc u la m o s:

5.2.2 D isc o n tin u id a d e s n o e vita b le s (o in e vita b le s): E ste tip o d e d isc o ntinuida d e s se p re se nta n a p a rt ir d e d o s ca so s: A lg uno s de lo s la te ra le s no e x iste .

lim f x   lim f x 

x c

lím ite s

lim f x  xc

e xis te .

func ió n

e stá

x1



x1

x1



C om o los lím ites laterales son ig uales, ento nces,

C á lc ul o d i fe re n c ia l

lim f ( x)

. Lo ante rior in dica que la discontinuida d en

x 1

8: De te rm in a r si la fu nció n  x  1 si x  1 p o see d isc o n tin uid a d ,  f ( x)    x  1 si x  1  e n c aso de ten e rla , d ec ir si e s e vita b le o n o .

x1

existe, y es

x1

lim f ( x)  4

E je m p lo

Fig u ra 2 .37 .

d e finid a a tro z o s, p a ra c a lc ula r e l lím ite se c a lc ula n lo s lím ite s late ra le s. A sí, lim f x  lim 3x  1  3(1)  1  4 y lim f x  lim x 2  3  12  3  4

e s d is c o nti nu a no

e v ita b le o e se n c ia l si

x1

D e finic i ó n 2 .1 2 . D isc o ntin uid a d no e v ita b le U n a fun c ió n

y  3x  1

f (1) n o e x iste . lim f ( x) . C o m o

P a ra d e te rm ina r c a lc ula m o s:

d isc o ntinuid a d

x  1 es

x  3es

evitable.

e vitab le ,

f (3)  x 2  3  12 e x iste . Fig u ra 2 .36 .

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

lim f ( x) . C o m o la func ió n e stá d e finid a a tro z o s, pa ra x 3

c a lc ula r e l lím ite se ca lc ula n lo s lím ite s la te ra le s. A sí, 2 lim f x   lim x 2  3  3  3  12 y lim f x   lim 4 x  1  4(3)  1  13 x3

x3

x3

l im y  3

y2  9 2y2  7y  3

lim

h 0

h 1 1 h

x3

C o m o lo s lím ite s la te ra le s so n d ife re nte s, e nto nc e s, lim f ( x) no x3

e x iste . Lo a nte rio r ind ic a q ue la d isc o ntinuid a d e n

x 3

e s no

E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S U N ID A D 2 e vita b le . m. 1. E sc rib ir lo s c inc o p rim e ro s té rm ino s d e c ad a suc e sió n: a.

 1 1    n

(1)

n 1

ar n 1 }

n 1  n2

1 1 1 1 1 , , , , , 2 6 12 20 30 1 1 1 1 1 d. , , , , ,  2! 4! 6! 8! 10!

1 3 5 7 9 , , , , , 53 55 5 7 59 511

3. C a lc ula r: a.

lim

x  1

lim x2

lim

x 2

lim

x 1

lim y  2

x

 2 x 2  3x  4



lim x 0

x2  4 x 2  5x  6 x2

x2  4 x 1 x2  3  2 y3  8 y2

C á lc ul o D if e re n c ia l

4. C a lc ula r:

2 3 4 5 6

x 3

2 x 3  5x 2  2 x  3 4 x 3  13 x 2  4 x  3

 (2n)!   n n1  3 5 

2. D ete rm ina r E L T é rm ino g e ne ra l d e c a da suc esió n a . 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,

lim

x2 x 2 x2  4 x  h 3  x 3 lim h 0 h lim

lim t 2

3 x  3 x 3 x  3 x

lim

x  3

t2 5 2t 3  6 x 2  5x  6 x 2  x  12

2x 2 1 lim x  6  x  3x 2

lim

d . x 

lim

x 

lim x  

3 x  3 x 3 x  3 x

x

1  x

lim

x 2  5x  6 x 1

lim

2x  1 5x  2

x 

e . x  



c . x 2

x2 x2  4 y2  4

lim

y4

f. y   

x 3

lim

x  

lim

 x  3 x3  1



4x 3  2x 2  5 8x 3  x  2

5. ¿ C uá l es e l va lo r d e lim

x 

a0 x m  a1 x m1    am d o nd e a b  0 y 0 0 b0 x n  b1 x n1    bn

m y n so n e nte ro s p o sitivos c ua nd o a) m > n; b )

m =n; c) m <n?

x0  f ( x)  x  f ( x)  x  1 x  0

6. Inve stig a r e l c o m p o rtam ie nto d e 

c ua nd o

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

 0.

D ib uja r un g rá fic o . 1) D e m o stra r q ue lim

x 1

so n ig ua le s y p o r lo ta nto

7. U sa r la d e finic ió n rig uro sa pa ra p ro b a r: a.

lim

x 3

5x  15

lim

x 2

x2  4

f ( x) x1

x

lim

x 2



 3x  5  3

2) D e m o stra r q ue lim  x 1

g ( x)

so n ig ua le s y p o r lo ta nto lim

8. U sa r la d e finic ió n rig uro sa pa ra p ro b a r: a.

lim

x 1

x  x 1

x2 lim  x  x  1

2 si x  1 a . h( x )   1 si x  1 ;   3 si 1  x  1)

lim

x 1

h( x )

2 r  3 b . g ( r )  2  7  2r  1) c. 1)

d. 1)

10.

l im

g (r )

x 1

f ( x)  x  5

lim

x 5

F ( x) 

lim

x 0

x 1

h( x )

lim

x 1

x 5 

f ( x)

x 1

x 2

x x4

x 3

lim

x 3

lim

x 0 

Da d a f ( x)   x  3 

C á lc ul o d i fe re n c ia l

x  1

d) l

 x  x

y  

f) lim

3 x

x 0

2y3  4 5y  3

1 1    2 x x 

12. E n lo s sig uie nte s e je rc ic io s e nc o ntra r la s a sínto ta s ho riz o nta le s y ve rtic a le s d e la g rá fic a d e la func ió n d e finid a p o r la e c ua c ió n d a da , y tra za r la g rá fic a .

l im

f ( x)

lim

F ( x)

x0

si x  1 si x  1

x 2

x2 x2  4

g (r )

x5

F ( x)

b ) lim

x2  9 x 3

lim

f ( x) 

;

x F ( x)

f ( x). g ( x)

lim

x1

f ( x). g ( x)  lim

lim h( x)

;

l im

a) l

x1

g ( x) no e x iste.

11. E n lo s sig uie nte s e je rc ic io s c a lc ula r e l lím ite

g (r )

g ( x) e x iste n p e ro no

lim

x 1

x1

lim

si r  1 si r  1 ; si 1  r

f ( x)

lim

3) E nc o ntra r fo rm ula s p a ra f( x) .g (x ). 4) P ro ba r q ue lim f ( x).g ( x) e x iste d em o stra nd o q ue x 1

9. E n lo s sig uie nte s e je rc ic io s, tra z a r la g rá fic a y e nc o ntra r e l lím ite ind ic ad o si e x iste ; si e l lím ite no e x iste da r la raz ó n.

f ( x) e x iste n p e ro no

lim

x 1

f ( x) no e x iste .

lim

x1

1 l im  x 0 x

x 2 g ( x)   2

si x  1 si x  1

F ( x) 

3  x  2 2

2 x2  4

g ( x) 

G ( x) 

1 2 x  5x  6

h( x ) 

4x 2 x2  9

4x 2 x2  2

13. E n lo s sig uie nte s e je rc ic io s d e m o stra r q ue la func ió n e s d isc o ntinua e n e l núm e ro a . Lue g o d e te rm ina r si la d isc o ntinuid a d e s re m o vib le o e se nc ia l. Si la d isc o ntinuid a d e s C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

re m o vib le , d e finir f(a ) d e m a ne ra q ue la d isc o ntinuid a d se a re m o vib le .

a ) f ( x) 

9x 2  4 2 ;a 3x  2 3

23 x 2 ; x 8

h( x ) 

a =8

 x 3 g ( x)    2 3  t  4 F (t )    t

si x  3   si x  3 

 9x2  5  x  lim  2 x   8 x  3x  1   

; a= 3

3 x 4  5 x 1

 4 x  6 x  1  1 x 6  lim  4 x  2 x  3x  8   

m. a= 2

2 2x3 4x2 ñ. lim  2 x  3x  1  x   4 x 3  5 x  1   

R E S P U E S T A S E J E R C IC I O S C A P ÍT U L O 2 : L Í M IT E S 1. a. 2, 2 , 4 , 5 , 5

x2

 sen 2 x   lim  x  0 1  cos x x 2   

a,  ar, ar 2 ,  ar 3 , ar 4

2 2 3 2 4 7.2 7 7.2 8 , , , , 3 3.5 3.5 3 2.5 2 3.5 2

3 3 4 6

13. C a lc ula r lo s sig uie nte s lím ites:

 41  cos x   lim   x 0 x  

2 x 3 x 1

x6 7 x

si t  2  ; si t  2 

 9 x 6  3x  8   lim  4 x 2 x  5 x  6   

2 x 3

 1  cos x  lim   x 0  cos x   tan 2 x  lim   x 0  senx 

1 2

x 1

2 5

3 10

n n 1

2. a.

b .  1n 1

1 n2  n

3x 6

3. a . 0

b. 0

1 22

i. 12



c . -4

1 7

2n  1 5 2 n 1

1 e. 4 1 30 5

 1n1

2n !

3x 2

g. 2

1 3

11 17



lim 8 x  4

cos x 2

x0

 sen6 x  lim   x0  4x 

  sen  x  2 

 sen  x      lim   x 0  x  

 5x  2 x  1   lim  3 x 4  x   3

4. a .



f. 1

2 3

,

g. 0

5. a . N o hay lím ite

 6x  8x  1   lim  3 x  3x  5 x  2    4

C á lc ul o D if e re n c ia l

 2 x  9 x  5x   lim  5 x   4 x  5x  1  4

no ha y lím ite h. -  i.

a0 b0

c. 0

d. 1

2 5

1 2 c. 0

lim f ( x) no existe x 0 C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d

1) 5

1) 0

1) 1

2) 5

2) 0

2) -1

3) 5

3) 0

2 si x  1  h( x)   1 si x  1  3 si 1  x 

2 r  3  g ( r )  2 7  2r 

4x 2 h( x )  2 x 9

si r  1 si r  1 si 1  r

d . x = -2, x =2; y =0

3) no ex iste

f ( x)  x  5 d.

11.

1) 0

2) 0



e. - 

12. a. x =-2; y =0 13.

f ( x) 

3  x  2 2

3) 0

b.  f. - 

F ( x) 

2 x2  4

x   2, x  2

x c. + 

d. + 

b . x = -6, x =1; y =0

G ( x) 

4x 2 x2  2

13. a . re m o vib le ; 4 b . rem o vib le ; 0 c . re m o vib le;

g ( x) 

1 x  5x  6 2

1 48

d . e se nc ia l

c . x =3, x = -3;

y =4, y =0 C á lc ul o d i fe re n c ia l

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y c o n tin uid a d

C á lc ul o D if e re n c ia l

C a p ít ulo 2 : Lím i te s y C o n tin uid a d