1
U N ID A D 1 : F U N C IO N E S Y S U S G R A F IC A S Intro d uc c ió n: Q uiz á s la id ea c e ntra l e n la m a te m átic a sea e l c o nc e p to d e func ió n. E n la histo ria d e la m a te m á tica , p a re c e se r REN É D E SC A RT E S q uie n intro d ujo p rim e ra m e nte e n e l a ño d e 1637 e l c o nc e p to d e func ió n, p a ra sig nific a r la p o te nc ia e nte ra d e la va ria b le x . P o ste rio rm e nte LE IB NIZ ( 1646 – 1716) utiliz ó d ic ho c o nc e p to p a ra d e no ta r la s c a ntida d e s a so c iad a s a una c urva. LE O N H A RD E U LE R ( 1706 – 1783) lo utiliz ó lue g o pa ra id e ntific a r la re la c ió n e ntre va ria b le y c o nsta nte s e n una fó rm ula. P e ro , la d e finic ió n q ue se usa a c tua lm e nte d e func ió n e s d e b id a a D IRIC H LET ( 1805 – 1859) la c ua l d e sc rib e a una func ió n c o m o u na re g la d e c o rre sp o nd e nc ia e ntre d o s c o njunto s. Intuitiva m e nte se c o nsid e ra q ue la c a ntida d c a ntid a d
x,
e s func ió n d e la
si e x iste a lg una re g la, le y o p ro c e d im ie nto q ue
y,
p e rm ita a sig na r un va lo r únic o d e c o nsid e re d e
y
x
p a ra c a da va lo r q ue se
, d e ntro d e c ie rto c o njunto p o sib le d e v a lo re s.
M uc ha s ve c e s e s p o sib le ex p re sa r d ic ha re g la o le y p o r m ed io d e una e c ua c ió n m a te m á tic a c om o o c urre p o r e je m p lo, c o n e l á re a
y
d e un c írc ulo , e n func ió n d e l ra d io
x ; y px 2 ;
y
p a ra c a da va lo r d e
x.
Lo q ue inte re sa re a lm e nte es p o d e r d e te rm ina r un c o njunto d e p a re s o rd e na d o s
x, y , ind e p e nd ie nte m e nte d e
q ue re la c io na la s va ria b les
x
e
e m p íric a o sim p le m e nte d e sc riptiva .
C á lc ul o d i fe re n c ia l
y es
C ua nd o se va a l m e rc a d o o a c ua lq uie r c e ntro c o m e rc ia l, sie m p re se re la c io na un c o njunto d e d e te rm ina d o s o b je to s o p ro d uc to s a lim e ntic ios, c o n e l c o sto e n p e so s p a ra a sí sab e r c uá nto p o d e m o s c o m p ra r; si lo lle va m o s a l p la no , p o d em o s e sc rib ir e sta c o rre sp o nd e nc ia e n una e c ua c ió n d e func ió n "x " c o m o e l p re c io y la ca ntid ad d e p ro d ucto c o m o "y ". E l c o nc e p to d e func ió n e s e l m e jo r o b je to q ue lo s m a te m á tic o s ha n p o d id o inve nta r p a ra e x p resa r e l c a m b io q ue se p ro d uc e e n la s c o sa s a l pa sa r e l tiem p o .
o tra s
ve c e s e s d ifíc il o a ún im p o sib le ha lla r la fó rm ula m a te m á tic a q ue re la c io na la s va riab le s x e y a unq ue sig a sie nd o p o sib le la a sig na c ió n d e un va lo r únic o d e
A sí, te nd ie nd o e n c ue nta la d e sc rito e n la c o lum na a nte rio r, g e ne ra lm e nte se ha c e uso d e las func io ne s re a le s, (a ún c ua nd o e l se r hum a no no se d a c ue nta), e n e l m a ne jo d e c ifra s num é ric a s e n c o rre sp o nd e nc ia c o n o tra , d e b id o a q ue se e stá usa nd o sub c o njunto s d e lo s núm e ro s re a le s. La s func io ne s so n d e m uc ho va lo r y utilid a d p a ra re so lve r p ro b le m a s d e la vida d ia ria, p ro b le m a s d e fina nz a s, d e e c o no m ía, d e e sta d ístic a, d e ing e nie ría , d e m e d ic ina, d e q uím ic a y física , d e a stro no m ía , d e g e o lo g ía, y d e c ua lq uie r á re a so c ia l d o nd e ha ya q ue re la c io na r va ria b le s.
si la le y o re g la
E n e ste c a p ítulo c o m e nz a re m o s p o r p re pa ra r e l c a m ino p a ra lo s sig uie nte s a l a na liza r a sp e c to s b á sic o s d e la s func io ne s ta le s c o m o : id e ntific a r c uá nd o u na re la c ió n e ntre d o s c o njunto s e s una func ió n, visua liz a r una func ió n a tra vé s d e d istinto s m é to d o s, o b te ne r info rm a c ió n d e e sa re p re se nta c ió n y re c o no c e r c ie rto s c o njunto s a so c ia d o s a la s func io ne s ta les c o m o e l d o m inio y la im a g e n.
d e tip o m a te m á tic o, H a re m o s hinc a p ié e n q ue una func ió n p ue d e re p re se nta rse d e d ife re nte s m o d o s: m e d ia nte una e c uac ió n, c o n una g rá fic a, o c o n p a lab ra s.
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
2
M A PA CO N CE PT U A L 1: F U N C IO N ES S e c la s ific a n e n :
R EL A C IÓ N A
Iny e c tiv a S e d e fin e c o m o : Ele m e nt a le s
tra sc e n de n te s
Po lin ó m ic a C o n sta n te Lin e a l C ua d rá tic a Ra c i o n a l V a lo r a b s o l.
d e d o s c o n ju n to s A y B . e s to e s A X B .
Ra n go .
FU N C IÓ N
x f y; f : x y; y f x , lo q ue sign ifica q ue f en v ía x a y.
S i se c um p le q u e :
c o m p o rta m i e n t o
es
S e a si gn a a c a d a un o d e lo s e l e m e n t o s “ x” d e l c o n j un to “ A ” un ún i c o e l e m e n t o “ y” d e l c o n jun to “ B ” .
Todos los valores de "y" (el codom inio) son im ágen de un valor
x, y en R para los x, y es un par ordenado de la función
Es el conjunto de puntos cuales
f
.
Es in y e c t iv a la v e z .
D o m in io
Hacer valores están dados
tabla de en dond e los valore s a
x
y
los
y.
C on ju n to d e en los qu e
v a lores p u ed e
C o n e l e je Son reales cuales
los
C o n e l e je
x
n úm ero s
x
para
los
f x 0 . A
y
A q ue ll o s n úm ero s reales p a ra lo s c ua l e s s e d é
estos núm eros se le s llam a tam bién "cero s" de la función f.
C á lc ul o d i fe re n c ia l
f (0) .
f
5 7
1 2 3
2
4
ev a lua rs e la fu n ción .
f
B 1 7 6
F . n o in y ec tiv a
A
B
f 6 6
0
4
5
6 2 6
3
8
B
B
A
f
1
1
0
6
2 3 4
7 6 2
5 3
2 6 8
F. no biyectiva
f ( x) f ( x) x dom f
eq uiva len te c uand o
x, y se sustituye po r x, y .
ec uac ión
d e la
x, y se sustituye po r x, y
fun c i ó n
n o te n d rá
c um p l e n in gun o d e lo s c a so s a n te ri o re s.
sim e tría
Si
f ( x) f ( x) x dom f
Fu n c ión pa r
Fu n c ión im pa r
C re c ie nte Si
La grafica de la fun c ión es sim é trica c on resp e c to a l origen si la fun ción no se a ltera c uand o : S e o btien e un a ec uac ión eq uiva len te c uand o
x
x
im p a r
SIM ET R ÍA . T e n d r á si: La gra fica d e la fun ción es sim é trica c on resp ec to a l e je y si la c uan do : S e ob tiene una
y
y
Si
A lg un a s p ue d e n te n e r :
N o te ndrá si: La gra fic a
f
F. s ob rey ectiv a F. no sobreyectiva
Par
Se llam a Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que obtiene la función al reem plazar x. Este se puede encontrar despejando x en la función.
func ión n o se a ltera S us in tersec c ion e s c on lo s e je s, se lo gra n a sí:
1 7 6
F. Biny ec tiva
id e n tifica d a la fun c ión , d e te rm in a r sus c a ra c terística s y c o n ba se e n e llas gra fica r.
correspondiente s hallados de
Id e ntific a ció n d e la func ió n Un a v ez
A
Ra n g o
Pa ra gra fi c a rla p o d e m o s re c urrir a : T a b ulac ió n
y
so b re y e c tiv a a
2
B
B
A
B iy e c tiv a Si
Y s e l e s p ue d e h a lla r :
2 3 4
8
Ran f Cod f
a d e c ua d o re p r e se n ta rla grá fi c a m e n t e . Su g ra fic a :
1
A
Si
de "x" (el dom inio). Pu e d e se r:
f
F. iny ec tiva
So b re y e c tiv a
S e d e n o ta n :
Pa rte e n te ra .
su
únic o e le m en to d e l
Q ue p ue d e se r:
H ip e rb . in ve rsa
o b s e rv a r
A cada e le m en to del do m inio le corresp ond e un
C o rre s p o n d e n c ia q u e h a y e n tre lo s e le m e n to s
Exp on en c ia l Lo ga rítm ic a T rigon om e trica T rig. in v ersa H ip e rb ó lica
N o Ele m e nta le s
Pa ra
Si
y
y
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
x
x
D e c re c ie nte Si
si n o se
x1 x2
F . c re c ie n t e
F . d e c r e c ie n te
f ( x1 ) f ( x2 )
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
3
G ra fic a d e una func ió n :
S e lo gra c o n e l c o n j un t o d e p a re ja s o rd e n a d a s L a cu a l se d e fin e: S e a
M A PA CO N CE PT U A L 2: G R AF IC A D E U N A F U N C IÓ N
y f x
f : A RB R
x, y R 2 . M u e stra
u n a f u n c ió n r e al
x, y R 2
x, y p er ten ec e f x , x D f .
ta le s q u e la p ar ej a o r d en ad a
E s d ecir , G r á fi ca d e
f x, y R / y 2
c on
clar id ad , la exi st e en tr e
d e v a r i a b le r e a l. L a g r á f ic a d e f es el con ju n t o d e p u n t o s a f.
x
e
y
m ay or
r e la ci ón q u e l as v ar i ab l es
d e u n a f u n ci ón .
G R A F IC A DE UNA F U N C IÓ N A lg un a s p o s e e n f un c i o n e s in v e rsa s.
La s f un c i o n e s in v e rsa s d e
un a f un c ió n se p u e d e n id e n tifi c a r a sí (c rit e rio gra fi c o ) : C R IT E R IO D E L A R EC T A H O R IZ O N T A L : U n a fun c ió n p o se e in v e rsa si a l tra z ar re c ta s h o riz o n ta le s é sta s c o rta n a la fun c ió n e n un so lo p un to ; e n c a so c o n tra rio la fun c ió n a la q ue se le tra z a n re c ta n h o riz o n ta le s n o p o se e in v e rsa .
La fun c ió n sí p o se e fun c ió n In v ersa ya q ue a l tra z a r re c ta s
La fun c ió n n o p o se e fun c ió n In v e rsa ya q ue a l tra z ar re c ta s
h o riz o n ta le s, é sta s c o rta n a la fun c ió n e n un só lo p un to .
h o riz o n ta le s, é sta s c o rta n a la f un c ió n e n v a r io s p un to s.
Fig ura 1 .1 .
C á lc ul o d i fe re n c ia l
La re stri c c i ó n d a d a e n la d e fin ic ió n d e f un c i ó n , d e q ue n o e xis te n 2 p a re ja s q ue te n ga n la p rim e ra c o m p o n e n te ig ua l , s e tra d uc e e n la gra fic a d e la f un c i ó n d e la si g ui e n te m a n e ra : C R IT E R IO D E LA R EC T A V ER T I C A L: U n a gra fic a c o rre sp o n d e a un a fun c i ó n si a l tra z a r v e rtic a l e s é sta s c o rta n a la f un c ió n e n un s o l o p un to .
re c ta s
La gra fi c a si e s f un c i ó n , la re c ta v e rti c a l toca la
La gra fi c a n o e s f un c ió n , la re c ta v e r tic a l to c a la
fun c i ó n e n un s o l o p un to .
fun c i ó n e n 3 p un to s.
Fig ura 1 .2 .
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
4
E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 1 y 2 C o n c e p to Fu n c ió n
So luc ió n:
1. D e te rm ina r c ua les d e la s sig uie nte s re la c io ne s so n func io ne s y c ua le s no .
a.
f : A B donde A m, n, o, p , B r , s, t y f m, r , n, s , o, t , p, s
a . la re la c ió n b.
x
y
a
m n o p
b c d
c.
c.
f si e s func ió n, y a q ue a c ad a e le m e nto d e A le c o rre sp o nd e un únic o e le m e nto d e B. g no e s func ió n, p ue s e l e le m e nto c d e l c o njunto x e stá a so c ia d o c o n 2 e le m e nto s e n e l c o njunto y, y to d os lo s e le m e nto s d e l c o njunto x no fo rm a n pa rte d e l d om inio . H si e s func ió n, p o rq ue e n la g ra fic a se o b se rva q ue no ex iste n 2 p a re jas o rd e nad a s e n las c ua le s se re p ita la seg und a c o m p o ne nte , e s d e c ir, c ad a e le m e nto d e x e stá a so c ia d o c o n un únic o e le m e nto d e y.
p a ra lo s c ua le s
f (x) e stá
d e finid a. C o m o
p ue d e to m a r c ua lq uie r va lo r, se d ic e q ue e l d o m inio d e
f ( x) 2 x 1 c o rre sp o nd e a l c o njunto f ( x) 2 x 1 R
d e lo s núm e ro s re a les.
o ( e n no ta c ió n d e c o njunto s
, . x
e n la func ió n
x / x R
f ( x) 2 x 1 .
f ( x) 2 x 1 y 2x 1 y 1 x 2 C o m o y p ue d e to m a r c ua lq uie r va lo r, se d ic e q ue e l ra ng o f ( x) 2 x 1 c o rre sp o nd e a l c o njunto d e lo s núm e ro s re a les. Ra ng o
de
f ( x) 2 x 1 R
o
(en
no ta c ió n
y / y R o e n no ta c ió n d e inte rva lo s , .
de
de
c o njunto s
¿F u n c ió n iny e c tiva ? La func ió n
f ( x) 2 x 1
e s in ye c tiva , p ue s a c a d a núm e ro
d ife re nte d e l d o m inio le c o rre sp o nd e un únic o núm e ro d e l ra ng o . A lg e b ra ica m e nte, se p ue d e e x p lica r:
2. Da d as las sig uie nte s func io ne s, e nc o ntra r d o m inio y ra ng o. A d e m á s d e te rm ina r, si so n iny e c tiva s ( uno a uno ), b iy e c tiva s, so b re y e c tivas, pa r, im pa r, c re c ie nte, d e c re c ie nte , sim é tric a. Lue g o , tra z a r la g ra fica ( tab ula c ió n).
C á lc ul o d i fe re n c ia l
x
c o rre sp o nd e a to d o s lo s
A sí;
q
f ( x) 2 x 1
x
R a n g o : Se o b tie ne d e sp e ja nd o
T ip o d e F u n c ió n :
a.
p o sib le s va lo re s d e
f ( x) 2 x 1
o e n no ta c ió n d e inte rva lo s
Fig ura 1 .3 .
b.
D o m in io : E l d o m inio d e
Dom
S o lu c ió n : a.
f ( x) 2 x 1
b.
f ( x) x 2 2
c.
f ( x) x 3 x
f x1 f x2 2 x1 1 2 x2 1 2 x1 2 x2 x1 x 2 Lo q ue m ue stra q ue la ig ua lda d d e im á g e ne s im p lica ig ua lda d d e p re im á g e ne s. C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
5
¿F u n c ió n S o b re y e c tiva ?
f ( x) 2 x 1
La func ió n
¿S im é tric a co n re sp e c to a l e je y , sim é tric a c o n re sp e c to a l o rig e n o n in g u n a ?
se rá so b re y e c tiva si e l ra ng o d e la
func ió n e s ig ua l a l c o d o m inio 1 d e la func ió n, e sto e s, si e l
La grafica de la función
c o d o m inio e s ig ua l a lo s
eje
C om o
equivalente c uando
La
R. f ( x) R Codomf ( x) func ió n f ( x) 2 x 1 e s so bre y ec tiva . Ra n
¿F u n c ió n B iy ec tiva ? C om o
la
func ió n
f ( x) 2 x 1 e s
iny e c tiva
y
sob re y e c tiva,
e nto nc e s e s b iy e c tiva .
y
x, y se sustituye p or x, y ,
f ( x) 2 x 1 y 2x 1 y 2 x 1 y 2 x 1 C om o
f ( x) 2 x 1 se a lte ra a l ca m b ia r x, y por
x, y no hay sim e tría co n respe cto a l eje y .
f ( x) 2 x 1 se rá p a r si f ( x) f ( x) x dom f . f ( x) 2 x 1 f ( x) 2 x 1 c o m o f ( x) f x La func ió n n o e s p ar .
La func ió n
f ( x) 2 x 1 se rá im p a r si f ( x) f ( x) x dom f . f ( x) 2 x 1 f ( x) 2 x 1 c o m o f ( x) f x La func ió n n o e s im p a r.
La func ió n
func ió n
es sim étrica c on respe cto al
si la funció n no se alte ra cua ndo: Se obtiene una e cua ción
¿F u n c ió n p a r, im p a r o n in g u n a ?
La
f ( x) 2 x 1
f ( x) 2 x 1 n o
e s p ar n i im p a r.
¿F u n c ió n C rec ie n te, d e cre c ie n te o c o n sta n te ?
La gra fica d e la func ió n
f ( x) 2 x 1 es
sim étrica c on respe cto al
orig en si la func ió n no se altera cua ndo: Se obtiene una e cua ción equivalente c uando
x, y se sustituye p or x, y
f ( x) 2 x 1 y 2x 1 y 2 x 1 y 2 x 1 C om o f ( x) 2 x 1 se a lte ra a l ca m b ia r x, y por x, y no ha y sim etría co n respe cto a l o rige n. La g ra fic a d e f ( x) 2 x 1 no p o se e sim etría . G rafic a. La o btenem os a tra vés d e tab la d e va lo re s. F ig ura 1.4.
La func ió n e s c re cie n te e n to d o su d o m in io, y a q ue p a ra c a da
x1 x2 sie m p re f x1 f x2 .
M á s a d e la nte se trab a ja rá n uno s
c rite rio s m ás c o nc re to s so b re é ste ite m .
1
El c o d o m inio y ra ng o d e una func ió n so n d ife re nte s . Te ng a p re s e nte s la s d e finic io ne s d a d a s .
C o d o m inio : El c o do m inio o c o njunto d e lle ga d a de
f
e s e l c o njunto
Im a g e n, re c o rrid o o ra ng o : L a im a g e n, re c o rrid o o ra ng o d e
f
Y y se de nota Codf
m is m a . Es e l c o nju nto d e to d o s lo s o b je to s tra ns fo rm a d o s , s e d e no ta
R f y Y / x X , f x y C á lc ul o d i fe re n c ia l
o b ie n
Cf
.
e s tá fo rm a d a p o r lo s v a lo res q ue a lc a nza la
Ran f o b ie n R f
y e s tá d e fin id a p o r:
x
2 1 0 3 4
f (x) f (2) 2(2) 1 5 f (1) 2(1) 1 3 f (0) 2(0) 1 1 f (3) 2(3) 1 5 f (4) 2(4) 1 7 Fig ura 1 .4 .
.
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
6
f ( x) x 2 2
b.
¿F u n c ió n C rec ie n te, d e cre c ie n te o c o n sta n te ? D e a c ue rd o a la fig ura 1.5. la func ió n e s d e c re c ie nte
D o m in io : E l c o njunto d e los núm e ro s rea le s.
f ( x) x 2 2 R
Dom
o ( e n no tac ió n d e c o njunto s
e n no ta c ió n d e inte rva lo s
, .
R a n g o : Se o b tie ne d e sp e ja nd o
f ( x) x 2
A sí;
y
x
e n la func ió n
y x 2
2
2
p ue d e to m a r c ua lq uie r va lo r e n d o nd e
f ( x) 2 x 1 c o rre sp o nd e re a le s ta le s q ue y 2 .
Ra nf:
y 2
o ( e n no ta c ió n d e c o njunto s
no ta c ió n d e inte rva lo s
2, .
f ( x) x 2 .
La gra fica de la func ió n eje
d ic e
a l c o njunto d e lo s
y / y 2
y
f ( x) x 2 2
e s sim étric a c on respe cto al
si la funció n no se alte ra cua ndo: Se obtiene una e cua ción
equivalente c uando
x, y se sustituye p or x, y ,
f ( x) x 2 2
y x2 2
y x 2 2
o en
y x2 2
C om o
f ( x) x 2 2 no se altera al cam biar x, y por
x, y hay sim etría con respecto al eje y . Adem ás, es im portante
f ( x) x 2 2
n o e s in y ec tiva , p ue s ex iste n núm e ro s
d ife re nte s e n e l d o m inio q ue tie ne n la m ism a e je m p lo , -1, 1. A sí,
,0 y c re c ie nte e n e l inte rva lo 0, .
¿S im é tric a co n re sp e c to a l e je y , sim é tric a c o n re sp e c to a l o rig e n o n in g u n a ?
¿F u n c ió n iny e c tiva ? La func ió n
inte rva lo
2
x y2 y 2 0 y +2, se
q ue e l ra ng o d e núm e ro s
x / x R o
en el
1 1
sin e m b a rg o ,
determ inar que si la grafica de una función es par, podem os c oncluir que es sim étrica con respe cto al eje y.
im ag e n, p o r
f 1 f 1 1
G rafic a. La o btenem os a tra vé s d e tabla d e valo re s. F ig ura 1.5.
¿F u n c ió n S o b re y e c tiva ?
y 2 y p o r c o d o m inio : R. C om o Ra n f ( x) Codomf ( x) La func ió n f ( x) x 2 2 n o e s so b rey e c tiva. La func ió n tie ne p o r ra ng o
¿F u n c ió n B iy ec tiva ? C om o
la
func ió n
no
f ( x) x 2 e s 2
iny e c tiva
y
no
so b re y e c tiva, e nto nc e s n o e s b iy e c tiva .
es
x
f (x)
2
f 2 2 2 2
1
f 1 1 2 1
2
2
0
f 0 0 2 2
1
f 1 1 2 1
2
f (2) (2) 2 2 2
2
2
¿F u n c ió n p a r, im p a r o n in g u n a ? La func ió n
f ( x) x 2 2
se rá p a r si
f ( x) f ( x) x dom f .
f ( x) x 2 f ( x) x 2 c o m o f ( x) f x La func ió n e s p ar. 2
C á lc ul o d i fe re n c ia l
2
Fig ura 1 .5 .
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
7
c.
f ( x)
¿F u n c ió n p a r, im p a r o n in g u n a ?
1 x
La func ió n f ( x) 1
D o m in io : E l c o njunto d e lo s núm e ro s rea le s d ife re nte s d e 0 ( ya q ue no e stá p e rm itida la d ivisió n e ntre 0).
1 Dom f ( x) x ,0 0, .
x R / x 0
y
f ( x)
o
en
no ta c ió n
de
1 x
inte rva lo s
1 x
y
x
e n la func ió n
1 x
x
1 f ( x) . x
c o rre sp o nd e a l c o njunto
ra ng o d e
y R / y 0 o e n n o ta c ió n
,0 0, .
d e inte rva lo s
f ( x)
1 e s in ye c tiva , p ue s a c a da núm e ro d ife re nte x
d e l d o m inio le c o rre sp o nd e un únic o núm e ro d e l ra ng o . ¿F u n c ió n S o b re y e c tiva ? La func ió n tie ne p o r ra ng o C om o
La
Ra n
La func ió n e s im p a r.
y 0 y p o r c o d o m inio : y 0.
func ió n f ( x) 1 e s so bre y ec tiva .
x
¿F u n c ió n B iy ec tiva ? C o m o la func ió n f ( x) 1 no x e nto nc e s n o e s b iy ec tiva .
De acuerdo a la fig. 1.6. la función es decreciente en todo su dom inio.
La gra fica de la func ió n f ( x) 1 es sim étrica co n respe cto a l e je
y
si
x
la función no se a lte ra c uando: Se obtie ne una e cuac ió n equiva le nte
x, y se sustituye p or x, y ,
cua ndo
1 x 1 f ( x) x
y
1 1 x x 1 1 y x x
N o e s sim é tric a c o n re sp e c to a l e je y . S i e s sim é tric a co n re sp e c to a l o rige n .
G rafic a. La o btenem os a tra vé s d e tabla d e valo re s. F ig ura 1.6.
x
f ( x) Codomf ( x)
C á lc ul o d i fe re n c ia l
c o m o f ( x) f x
1 1 f ( x) x x
f ( x)
¿F u n c ió n iny e c tiva ? La func ió n
f ( x) f ( x) x dom f
im p a r si
¿S im é tric a co n re sp e c to a l e je y , sim é tric a c o n re sp e c to a l o rig e n o n in g u n a ?
1 y
p ue d e to m a r c ua lq uie r va lo r d ife re nte d e 0. E l
f ( x)
f ( x) f ( x) x dom f o se rá
¿F u n c ió n C rec ie n te, d e cre c ie n te o c o n sta n te ?
R a n g o : Se o b tie ne d e sp e ja nd o A sí;
se rá p a r si
x
f (x)
2 1 12 1
2
f 2
1 1 2 2
f 2
1 1 1
f 1 2
1 2 12 1 f 12 2 1
e s iny e c tiva y si e s sob re y e c tiva,
2
1
f 1
1 1 1
2
f 2
1 1 2 2
Fig ura 1 .6 .
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
8
D o m in io y R a n g o .
b . g x
1 x2
3. Hallar el dom inio y rango d e cada función. Luego, trazar la grafica. a.
f x 3x 2 1
3x 2 d . ix x3
b . g x
1 x2
j x
1
e.
4 x
h x
c.
f. k x
1 x 4 2x 1
f x 3x 2 1
D o m in io : La c ua d rá tic a,
x
p ue s
x2 0
c ua nd o
1 no e stá d e finid a p a ra x2
x 2.
Lue g o,
x2
Dom g ( x) R 2
R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí:
g x
S o lu c ió n : a.
g x
D o m in io : La func ió n
2
func ió n c o rre sp o nd e a una func ió n p o linó m ic a p ue d e to m a r c ua lq uie r va lo r e n e l c o njunto d e lo s
R . Lue g o Domf R
1 x2 1 y x2 1 x2 y
Lue g o ,
x 1 2 y
xR
sí y só lo sí
y 0.
Ra n
g R 0
R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí:
f x 3x 2 1
G ra fic a: F ig ura 1.8.
x
y 3x 2 1
1
x y 1
3x 2 y 1
3
f 1
1 1 1 2 3 1 1 f 0 02 2 1 f 1 1 1 2
0
C o m o no se p ue d e n o b te ne r ra íc e s c ua d ra da s d e núm e ro s ne g a tivo s, e nto nc e s d e te rm inam o s c ua nd o y 1 0 y 1
1
3
Ra n f 1,
f (x)
y 1
o
Fig ura 1 .8 .
G ra fic a:
x
f (x)
2 1 0 1 2
f 2 3 2 1 13
c.
2
f 1 3 1 1 4
h x
1 x 4 2
2
D o m in io :
f 0 30 1 1 2
f 1 31 1 4
h x
2
f 2 32 1 13 2
Fig ura 1 .7 .
La
1
func ió n
x 2x 2
x 2
Lue g o ,
, e nto nc e s
h x
h(x)
1 x2 4
es
e q uiva le nte
no e stá d e finid a p a ra
x2
Dom h( x) R 2,2
R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí: C á lc ul o d i fe re n c ia l
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
a y
9
G ra fic a: F ig ura 1.10 .
h x
1 x2 4 1 y 2 x 4
x
10
x
x2 4
1 y
Lue g o ,
xR
sí y só lo sí
1 4 y
y 0.
x
f (x)
3
1 f 3 32 4 5 1 1 f 1 3 12 4 1 1 f 0 4 02 4
0
Ra n
h R 0
f 5
3(5) 2 13 53 8
j x
1
j x
ix
3x 2 x3
no e stá d e finid a pa ra
x 3
4 x j x
1 4 x
4 x 0, x 4
e stá d e finid a p a ra a q ue llo Lue g o ,
Dom j ( x) x 4
4 x 1
4 x
4 x Lue g o ,
3x 2 ix x3 3x 2 y x3
4 x
1 y
xR
10
xy 3 y 3x 2 x y 3 3 y 2 x 3 y 2 y( x 3) 3x 2
y3
sí y só lo sí
y 3 .
Ra n
sí y só lo sí
1 y2
y 0.
x 4 Ra n
1 y2
j R 0
G ra fic a: F ig ura 1.11.
x
C á lc ul o d i fe re n c ia l
Fig ura 1 .1 0 .
1
y
Dom h( x) R 3
xR
5
R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí: Fig ura 1 .9 .
R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí:
Lue g o ,
3(0) 2 2 ( 0) 3 3
va lo re s e n q ue
3x 2 x3
D o m in io : La func ió n Lue g o ,
f 0
D o m in io : La func ió n
1 1 12 4 3 1 1 f 3 2 3 4 5
d. ix
3(5) 2 17 (5) 3 2 3(2) 2 f 2 8 (2) 3
0
e.
f 1
3
3(10 ) 2 32 (10 ) 3 7
f 5
2
1
1
f 10
5
G ra fic a: F ig ura 1.9 .
1
f (x)
xy 3x 3 y 2
0 3
i R 3
f (x) f 5 f 0
1
4 5 1
f 3
4 0 1
1 3
1 2
4 3
1 Fig ura 1 .1 1 . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
10
f. k x 2 x 1
P a ra ha lla r lo s c o rte s c o n e l e je
D o m in io : La func ió n k x
e s d e c ir lo s p unto s d e la fo rm a
q ue ha c e n
e stá d e finid a pa ra aq ue llo s
2x 1
1 2x 1 0 , e sto e s, x 1 Lue g o , Dom k ( x) x 2 2
R a n g o : E l ra ng o d e f se p ue d e ha lla r a sí:
es
y 2x 1
0,1 .
y
Fig u ra 1.13 .
Fig ura 1 .1 3 .
2
kR
b.
G ra fic a: F ig ura 1.12.
e s d e c ir lo s p unto s d e la
(x,0) se ig ua la la func ió n a 0 y se d e sp e ja x . x 1 0 x 1 lo s p unto s d e c o rte c o n e l e je x so n 1,0 y 1,0 .
f (x) k ( ) 2 12 1 0 1 2
k (1) 21 1 1
5 2
k ( ) 2 1 2
5
k (5) 25 1 3
P a ra ha lla r lo s c o rte s c o n e l e je
(0, y ) se
5 2
x
c a lc ula
y,
e s d e c ir lo s p unto s d e la fo rm a
f (0) .
f (0) 0 1 1 e l p unto d e c o rte c o n 2
Fig ura 1 .1 2 .
C o rtes c o n e l e je
x,
2
1 2
5 2
P a ra ha lla r lo s c o rte s c o n e l e je
fo rm a
x
1
e l p unto d e c o rte c o n e l e je
2 x y 1
y2 2x 1 Lue g o , Ra n
(0, y ) se c a lc ula f (0) . f (0) 20 1 1
k x 2 x 1
y,
y c o n el e je
y
es
0,1 .
F ig u ra 1.14.
y
4.
H a lla r los p unto s d e c o rte d e la func ió n d a da c o n los e je s c o o rd e na d o s. Lue g o g ra fic a r.
a.
f ( x) 2 x 1
b.
e l e je
f ( x) x 2 1
S o lu c ió n : a.
P a ra ha lla r lo s c o rte s c o n e l e je
fo rm a
(x,0) se
x,
e s d e c ir lo s p unto s d e la
ig ua la la func ió n a 0 y se d e sp e ja
x
2x 1 0 e l p unto d e
1 2
c o rte c o n e l e je
C á lc ul o d i fe re n c ia l
x
es
12 ,0 .
x. Fig ura 1 .1 4 .
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
11
E je r c ic io s R e s u e lt o s . S it u a c io n es q u e s e r e p r es e n t a n c o n fu n c io n e s 1. A un ta nq ue q ue tie ne la fo rm a d e u n c o no c irc ula r re c to inve rtid o d e 4 m ts. d e rad io y 16 m ts. d e a ltura e ntra ag ua a una ra z ó n d e te rm ina d a. Ex p re sa r e l vo lum e n d e a g ua e n un insta nte dado: a . E n func ió n d e la a ltura h. b . E n func ió n d e l rad io d e la b ase x . S o lu c ió n . En la fig u ra 1.15. a p a re c e e l c o no c o n la s d im e nsio ne s da d a s y una p o rc ió n del vo lum e n e n e l insta nte d e te rm ina d o.
2. U n a la m b re d e 100 c m . d e lo ng itud se c o rta a una d ista nc ia x d e uno d e sus e x trem o s e n d os pa rte s, fo rm a nd o c o n una d e e lla s un c írc ulo y c o n la o tra un c uad ra d o (fig u ra s 1.16. y 1.17) . a . E x p rese e l p e rím e tro d e ca d a fig ura e n func ió n d e x . b . E xp re se e l á re a to ta l d e la s fig u ra s 1.16. y 1.17. e n func ió n d e x . ¿ C uá le s so n sus re sp e c tivo s d o m inio s? S o lu c ió n .
Fig ura 1 .1 6 .
E l vo lum e n d e l ag ua e n e l insta nte d e te rm inad o vie ne d a d o p o r:
Lo n g it ud d e la
p e rím e tro d e l
C irc un fe re n c ia = x
c ua d ra d o = 1 0 0 -x
Fig ura 1 .1 7 .
F ig u r a 1 .1 5
lc 2r x r
Lo ng itud d e la c irc unfe re nc ia : a . P e rím e tro d e l c ua d rad o Pc
C o m o lo s triá ng ulo s O D E y O B C so n sem e ja nte s, se tie ne :
( 2) a . Si se q uie re e x p resa r e l vo lum e n e n func ió n d e la a ltura h, se d e b e d esp e ja r x e n ( 2) y sustituirlo e n ( 1) . A si,
P1 x x P2 x 100 x A ho ra :
4 L 100 x L
1 x 2
1 100 x 4
Pe rím e tro d e la c ir c un fe r e n c ia Pe rím e tro d e l c ua d ra d o
DP1 x DP2 x 0,100 ( D om inio d e P1 x ). 2
1 2 1 Ac r 2 A1 x x x 4 2 2 1 1 Á re a d e l c ua d ra d o Acua L2 A x 100 x 100 x 2 2 4 16 b . Á re a d e l c írc ulo
Lue g o ,
e nto nc e s,
b . P a ra e x p resa r e l vo lum e n e n func ió n d e l ra d io x , se sustituy e ( 2) e n ( 1).
A si q ue: d o nd e
A si C á lc ul o d i fe re n c ia l
Ax A1 x A2 x
0 x 100
Ax
1 2 1 2 x 100 x 4 16
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
12
3. Se d isp o ne d e una c a rtulina c ua d ra d a de la d o a y se q uie re ha c e r una c a ja sin ta p a re c o rta nd o c ua d ra d o s Fig ura 1 .1 8 . ig ua le s en la s e sq uina s y d o b la nd o sus lad o s ( V e r fig.). E x p rese e l vo lum e n d e la c a ja e n func ió n d e l la d o d e l c uad ra d o re c o rta d o.
So luc ió n. V o lum e n = ( Á rea d e la b ase ) . (a ltura)
AC.BD .200 V 2
60 .30 3 .200 180000 3cm3 2
V Lue g o ,
E n e l insta nte p o ste rio r e n e l q ue se m id e e l vo lum e n, las c a ra s la te ra le s so n triá ng ulo s c uya b a se e s x y c uya a ltura e s h. A si q ue
So luc ió n.
BD 30 3 y AC 60 .
P e ro
V
x.h .200 100x.h 2
A ho ra , c o m o lo s triá ng ulo s A BC y M BN so n se gm e nto s, se tie ne : V o lum e n d e la c a ja = Á rea d e la b ase x a ltura
v x a 2 x .x
60 30 3 2 3 x h x h
2
v x a 2 x .x a 2 4ax 4 x 2 .x 4 x 3 4ax 2 a 2 a 2 x 0 x a2 2
p a ra
4. U n a b re va d e ro q ue e stá lle no d e a g ua tie ne 2 m ts. de la rg o y sus e x tre m o s tie ne n la fo rm a d e triá ng ulo s e q uilá te ro s inve rtid o s d e 60 c m . Fig ura 1 .1 9 . de la d o (Ver fig .1.17.) . ¿ C uá l e s e l vo lum e n d e ag ua e n e l a b re vad e ro ? Si a l ab re va d e ro se le a b re un o rific io e n e l fo nd o y e l ag ua se e sc a p a a una raz ó n d a da . Ex p re se e l vo lum e n e n un insta nte d a d o p o ste rio r e n func ió n: a. b.
D e la b a se d e l triá ng ulo. D e la a ltura d e l triá ng ulo . C á lc ul o d i fe re n c ia l
a . Pa ra e xp re sa r e l vo lum e n e n func ió n d e la b a se d e l triá ng ulo , se d e sp e ja h e n y se sustituy e e n A si,
3 x 2
h
Lue g o ,
V 100 x.
v0 0
3 x 2
V 50 3 x 2 c o n 0 x 60
( e l ta nq ue e stá va c ío)
V 60 50 3.60 2 180000 3cm3
( e l ta nq ue e stá lle no )
b . Ig ua lm e nte , si se q uie re e x p resa r e l vo lum e n e n func ió n d e la a ltura h, d e se tie ne :
x
2h 3
y sustituy e nd o e n se o b tie ne : V
E sto e s,
V h
200 3 2 h 3
con
200 3 2 2h 100 .h .h 3 3
0 h 30 3 C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
13
N o te q ue :
v0 0
hasta D por tierra, im plicando un gasto total de
975k
pesos.
( e l ta nq ue e stá va c ío)
2 200 3 V 30 3 . 30 3 180000 3cm3 3
5. Los punto s A y B e stán situad os uno fre nte a l otro y e n lad os op ue stos d e un rio re cto de 300 m ts. de a nc ho. Los p untos Q y D e stá n re spe ctivam e nte y e n la m ism a o rilla d e B a x m ts. y a 600 m ts. ( Ver fig 1.20).
ii. ( e l ta nq ue e stá lle no )
C 600
5 k 6002 3002 375 5k 838.5k 4
Esto significa q ue si x 600 , el punto Q c oinc ide co n D y e n e ste caso, e l cab le se deb e te nde r direc tam e nte desd e A hasta D p or agua, dem a ndando un gasto to tal d e aprox. 838.5k peso s. iii.
C 400
5 k 4002 3002 200k 825k 4
E sto sig nific a q ue si e l p unto Q e stá a 400 m ts. d e B y se tie nd e e l c a b le p o r a g ua d e sd e A ha sta Q y p o r tie rra d e sd e Q ha sta D , d e m a nda ría un g a sto m e no r p a ra la c o m p a ñía q ue lo s d o s c a so s a nte rio re s. M a s a d e la nte se d e m o stra rá usa nd o D e riva c ió n, q ue c ua lq uie r v a lo r d e x , x ¹ 400 , d e m a nd a rá un g a sto m a y o r p a ra la c o m pa ñía .
Fig ura 1 .2 0 .
U na c om pa ñía d e te lé fo nos de sea te nd e r un c ab le d esd e A hasta 5
D p a sa ndo p o r Q . Si e l c o sto p o r m e tro d e c ab les e s d e 4 k p e so s b a jo e l ag ua y d e k pe sos po r tie rra ; ex p re se e l co sto total c om o una funció n x. ¿C uá l es e l d om inio d e la func ió n c o sto ?. S o lu c ió n . La func ió n c o sto to ta l vie ne d a da p o r:
5 C k.d A, Q k.d Q, D 4 C x
con
5 k x 2 3002 k 600 x 4
p arte esféric a e s d e 4 dó la re s p or
0 x 600 con
e s d e 2 dó la re s po r func ió n de l rad io
0 x 600
E l D o m inio d e la func ió n c o sto to ta l e s e l inte rva lo 0,600 .
C 0
Esto
Q c oinc ide co n B y e n este
pie
2
Fig ura 1 .2 1 .
pie 2 y
e l d e la pa rte c ilínd rica
. E xpresar el volum e n d e l tanque en
x.
S o lu c ió n . E n la fig ura 1.21. A p a re c e el ta nq ue q ue se d e se a c o nstruir.
N o te q ue : i.
5 k 3002 600k 975k 4 significa que si x 0 , el punto
6. Se disp o ne de 1000 d ó lares pa ra co nstruir un tanque cilíndric o de altura y p ie s, rem ata do en sus e xtre m o s p o r d os se m ies feras d e ra dio x p ies. (V e r fig 1.21.). E l c osto de m ateria l de la
F ig u ra 1.22.
caso, el cable se debe te nder desde A hasta B p or agua y desde B C á lc ul o d i fe re n c ia l
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
14
La p arte c ilínd rica es eq uiva lente al rec tá ng ulo d e lo ng itud y y a ncho 2x .
Lue g o , e l á re a d e la p a rte c ilínd ric a e s: 2xy y su c o sto dado por
C1
vie ne
C1 4xy .
C o m o lo s e x tre m o s so n d o s se m ie sfe ra s, su á re a e s e q uiva le nte a l á re a d e una e sfe ra d e ra d io dado por A si q ue,
C 2 16x
2
x,
4x 2 , y
e sto es
su c osto
C2
vie ne
.
C1 C 2 1000
7. U na p iscina re cta ng ular d e 20 m ts. d e la rgo p or 10 m ts. de a nch o, tiene 4 m ts. d e p ro fund ida d en un ex trem o y 1 m ts. e n e l otro. La figura a djunta ilustra una vista tra nsversa l de la p isc ina. E l ag ua pa ra lle nar la pisc ina es bo m be ada po r el ex trem o p rofund o. a. Determ ine una func ió n q ue expre se el volum e n V d e agua e n la piscina com o funció n de su p ro fund idad x e n el extrem o profundo. b . C a lc ula r V 1 y V 2 . Fig ura 1 .2 3 .
C1 C 2 4xy 16x 1000 xy 4x 250 2
A ho ra P e ro ,
Vt Vc V E
VC x 2 y
2
S o lu c ió n .
( V o lum e n to ta l)
a . Se a L la lo ng itud d e la m e d id a d e l nive l d e l a g ua d e sd e e l e x tre m o p ro fund o ha sta e l m e no s p ro fund o .
( V o lum e n d e l c ilind ro )
4 VE x 3 3
( V o lum e n d e la esfe ra )
D e e sta fo rm a : VT
4 x 2 y x 3 3
N o te q ue L y x so n lo s la d o s d e un triá ng ulo re c tá ng ulo se m e ja nte a l triá ng ulo c uy o s lad o s so n 20 y 3 m ts.
D e e sta fo rm a , se p ue d e e stab le c e r la sig uie nte p ro p o rc ió n:
C o m o se d e b e e x p re sa r e l vo lum e n to ta l e n func ió n d e únic a m e nte , se d e sp e ja la va ria b le .A si, d e se tie ne q ue: de
y
en
y
y
250 4x 2 x
x
e n y se sustituy e e n , y sustituy e nd o e ste va lo r
2 se p ue d e e sc rib ir: V x x 2 250 4x 4 x 3 , y
x 8 sim p lific a nd o se o btie ne fina lm e nte : V x 250 x x 3 3
3
¿ E s p o sib le e x p re sa r e l vo lum e n d e l ta nq ue e n func ió n d e y ? ¡T ra te d e hac e rlo !
C á lc ul o d i fe re n c ia l
L 20 20 L x x 3 3
con
0 x3
A ho ra , e l vo lum e n V e n un insta nte d e te rm inad o vie ne d ad o p o r : V = (Á re a d e la se c c ió n tra nsve rsa l) . ( a nc ho)
V
L.x .10 2
b .V
20 3
x.x 100 2 .10 x 2 3
V x 100 x 3 3
1 100 12 100 33,3mt 3
;
3 3 100 400 V 2 .4 133,3mt 3 3 3
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
15
1 .1 : C L A S IF IC A C IÓ N D E F U N C IO N E S Y a se an alizó el con cep to d e fun ción y su s elem en to s ; aho r a no s cen t r ar em os en la gr afica d e fun cion es , no t ab ulació n,
usad o
en
los
ejer cicios
r esu elt os
an t er io r es,
s in o,
d et erm in an do el t ipo d e fun ción y su s car a ct er íst icas p ar a as í p o d er g r aficar d e u n a m an er a m ás an alít ica y ex act a. P ar a
d ar
in icio
a
la
g r afica
de
2.
co n el m ét od o d e
p o lino m ial po r o tr a, no idént icam en t e n ula. 3. Fu n ció n v alo r abs olut o. 4.
fu n cio n es
po r
m edio
de
su s
Fu n ció n r acion al: S on fun cio n es o bt enid as al d ivid ir un a fun ción
Fu n ció n r aíz o r ad ical.
car act er íst icas, clasificar em o s las fun cion e s .
F U N C I O N ES T RA S CE N D EN T E S
F U N C I O N E S A LG E B R A I C A S O E LE M E N T A LE S .
N o siem pr e s e p ued e m o delar co n fun cion es d el t ipo alg eb r aico; esto h a d ado lug ar al d esar rollo de ot ro tip o de fun cion es, las fun cion es
Un a fun ción alg ebr aica explícit a o elem ent al es aqu ella cuy a v ariable s e obt ien e com b in ando un núm ero finito de veces la v ariable
y y
x
const ant es reales por m edio de op er aciones alg eb raicas d e sum a, r est a, m ultiplicación, divisió n, elev ación a pot en cias y ext racción d e r aíces.
inv er s as , relacio n ad as con el tr iángu lo r ect án gulo ; y las log arít m icas y ex pon en ciales, m ás aso ciad as a un a v ariación en p rog r es ión g eom ét rica (cr ecim iento p ob lacion al, por ejem p lo ).
“L as fun cione s alg e b r aicas s on a que llas c uya r e g la
1.
Fu n ció n exp on en cial :
d e cor r e s p ond e ncia e s un a e x p r e s ión alg e b r aica”.
2.
Fu n ció n log arítm ica :
3.
Fu n cio n es
A est e g ru po p ert en ecen : 1.
t r as cen d ent es , las cu ales se clasifican en : l as t rigono m étr icas y s us
Fu n cio n es p olin ó m icas : S on las fun cion es u n po lin om io en
x,
x P x ,
gr ado 0, y a qu e 1.2. Fu n ció n lin eal:
P
es
es d ecir u n a sum a fin it a d e p ot en cias d e
x
1.4 . Fu n ció n
cú b ica :
6.
s ecan t e
hip er b ólico,
hip er bó licas
hip er b ólico h ip er bó lica
s eno
h ip er b ólico
in v er s o,
in v ers o,
inv er s as :
t an g en t e
hip erb ólica
in v er s o,
in ver so ,
co s ecant e
hip er b ólica
in v er s o,
co t an gent e hip er bó lica in ver so .
g r ad o.
C á lc ul o d i fe re n c ia l
Fu n cio n es co s eno
un cua tr im oni o d e 3 e r .
1.5. Función polinómica grado 4 . f x a n x n a n 1 x n 1 ..... a1 x a 0
hip er bó licas : s en o h ip er b ólico , cos eno
co t an gent e hip er bó lica.
un tr inom i o d e 2 d o . g r ad o.
f x ax 3 bx 2 cx d e s
Fu n cio n es
t an g en t e h ip er bó lica , s ecan t e h ip er bó lica, co s ecant e hip er bó lica,
es un b in om io d e 1er . G r ado .
f x ax bx c e s 2
Fu n cio n es t rigo no m ét r icas inv er s as : seno inverso, c oseno inverso, tangente inverso, secante in verso, cosecante in verso, cotangente in verso.
5.
k kx0 . ( x 0 1 pro p. Poten cias ).
1.3 . Fu n ció n cu ad r át ica :
4.
f x k , k es const ant e. Es un m onom io de
f x ax b
t r ig on om ét ricas : s eno , co s en o, t an g en t e, s ecan t e,
co s ecan t e, co t an g en t e . d on d e
m ultip licad o s p o r co eficien t es r eales. 1.1. Fu n ció n con st ant e :
f x a x f x log a x
Fu n cio n es no elem en t ales 1.
Fu n ció n p a rt e ent er a . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
16
M A PA CO N CE PT U A L 3: F U N C IO N ES P O L IN Ó M ICA S
F U N C IO N ES PO L IN Ó M IC A S
D o m inio : T o d o s lo s re a le s
S e d e fin e c o m o
f x a n x n a n 1 x n 1 ..... a1 x a 0 ;
con
a n 0 , n Z a 0 , a1 , a 2 ,..., a n
c o n s ta n te s , l la m a d a s c o e fi c ie n te s d e l
p o lin o m i o . Su g r a fic a e s un a c urv a s ua v e y c o ntin ua , e sto e s , si n c a m b io s b r usc o s
D e p e n d ie n d o d e su g ra d o se id e n tific a su g ra fic a :
G ra d o p o lin o m io : 0
F U N C IÓ N C O N ST A N T E
y f x b
bR
S u gra fic a e s
G ra d o p o lin o m io : 1
F U N C IÓ N LIN EA L
y f x mx b
G ra d o p o lin o m io : 2
G ra d o p o lin o m io : > =3
F U N C IÓ N C U A D RÁ T IC A
y f x ax 2 bx c
S u gra fic a e s
S u gra fic a e s
Líne a re c t a c o rte e n e j e y: b y , p e n d ie n te : m .
P a rá b o la
Pa ra gra fi c a rla si ga lo s si g uie n te s p a so s :
a0
con
1 . D e te rm in e lo s b ra z o s d e la grá fic a , Es to es ,
Líne a re c t a p a ra le la a l e j e x
a b re h a c ia a rrib a s i a b re h a c ia a rrib a s i
a0 a0
Si
y
n
es im p a r y
an 0
la g raf ic a in ic ia c on u n b ra zo c a íd o y term in a en un b ra zo leva n ta d o Si
n
es im p a r y
an 0
la g raf ic a in ic ia c on u n b ra zo leva n ta d o y term ina en u n b ra zo c aíd o
A p licació n :
L a s f unc io ne s po lin ó m ic a s t ie ne n u na g ra n a p lic a ci ón e n l a
e la bo ra c ió n d e m o d e los q ue d e s c ri be n f e n óm e n os re a le s . A lgu nos
de
e llos s on: la c onc e n t ra c ió n d e una s us ta nc i a e n un c om pue s to , la d is ta nci a re c o rr id a po r un m óv il a v e loc id a d c ons ta n te , la co m p ra d e cie rt a ca nt id a d d e obje tos a un pre c io un ita ri o, e l s a la ri o d e u n t ra ba j a d o r m á s s u c om is ió n, la v a ria c i ón d e la a ltu ra d e u n p roye c ti l, e n tre o t ros .
Si
n
es p a r y
a n 0 ; la g ra f ica in ic ia y term ina c on
b ra zos leva n ta d os
Si
n
es p a r y
a n 0 ; la g ra f ica in ic ia y term ina c on
b ra zos c a íd os
2 . Id e n tifiqu e n úm ero d e va lle s y c ú sp ide s, Es to es , Núm ero c om b in ad o d e va lles y c ú s pid es n o d eb e ex c ed er a n 1 a u n qu e pu ed e s er m en or. 3 . H a lle lo s c o rte s c o n e l eje x , Es to es ,
a n x n a n 1 x n 1 ... a1 x a 0 0
H ág a lo p or fa c toriza c ión o teorem a d e las ra íc es ra c iona les. Th d e la s ra íc e s ra c iona le s: D ad o c eros s on d e la f orm a
p d on d e q
a n x n a n 1 x n 1 ... a1 x a 0 0 ,p os ibles
p es un div is or d e a 0 y q es un div is or d e
an
4 . Id e n tifiqu e la p o sic ió n d e la gra fic a , c on re sp e c to a l e je x, Es to es , D eterm in e a p a rtir d e los c eros s i la g ra fic a s e en c u en tra p or en c im a o p or d eb a jo d el eje x . 5 . c o n la info rm a c ió n ob te n ida e n lo s íte m s an te rio re s, g ra fiq u e la fu n c ió n.
C á lc ul o d i fe re n c ia l
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
17
M A PA CO N CE PT U A L 4: F U N C IÓ N L IN E AL D o m in io : R
F U N C IÓ N L IN EA L G rá fic a m e n te le c o rre sp o n d e
P a ra g ra fic a rla p ro c e d a
L IN EA R EC TA
d e la sig u ie n te m a n e ra :
Q u e se d e te rm in a co n
y mx b U b iq u e e l c o rte e n e l e je y : b . A p a rtir d e b h a g a Si
EC U A C IÓ N C A N Ó N IC A
EC U A C IÓ N G EN ER A L
S e d e fin e c o m o :
y mx
y mx b
Si
Si
C ru z a p o r
0,0
u n d e sp la z a m ie n to v e rtic a l d e la s u n id a d e s e sta b le c id a s en el d e n o m in a d o r de la
S e d e fin e c o m o :
N o c ru z a p o r
Ax By C 0 D o n d e A, B, C R
p e n d ie n te : m ,
a
p a rtir
de
a llí
haga
un
d e sp la z a m ie n to h o riz o n ta l de la s u n id a d e s e sta b le c id a s e n e l n u m e ra d o r d e la p e n d ie n te :
m,
0,0
a llí u b iq u e e l se g u n d o p u n to .
C o n lo s d o s
p u n to s tra c e la g ra fic a d e la lín e a re c ta .
T ie n e
Pe n d ie n te Q u e se d e fin e : Si
e s e l á ng ulo d e inc li na c ió n d e u n a re c ta
p( x1 , y1 ) y
p( x2 , y2
l,y
) so n d o s p unto s d istinto s d e
D e te rm in a
0o , e nto nc e s , la
l , s e c um p l e q ue :
Si
p e n d ie nte
y y1 , m 2 x2 x1
m d e l e s:
e nto nc e s ,
m tan . A d e m á s , si y y1 m tan 2 x2 x1
l1 y l2 so n d o s re c ta s d e p e n d i e n te s m1 y m2
re sp e c tiv a m e n t e , Pe rm i te id e n t ific a r :
Ec u a c io ne s p a ra la re c ta
Re c ta s p a ra le la s
Re c ta s P e rpe n d ic u la re s
Re c ta s se c an te s
Q u e so n
Si
Si
Si
S e c r uz a n y s us p e n d ie n t e s P e nd ie nte y - inte rc e p to
y mx b
m : Pe n d ie n t e b : y- in te rc e p to C á lc ul o d i fe re n c ia l
P unto - p e n d ie nte
y y1 mx x1
S us p e n d ie n t e s s o n i g ua le s
m1 m2
so n in v e rsa s c o n tra rio y á n gul o d e
y
d e sign o s fo rm a n un
S e c r uz a n e n un p un to
90 0 m 1 1 m2
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
18
M A PA CO N CE PT U A L 5: F U N C IÓ N CU AD R ÁT IC A
F U N C IÓ N C U A D R Á TIC A S e d e fin e c o m o
f x ax 2 bx c ;
D e te rm in a
a, b, c R y a 0
con
S u g ra fic a e s
EC U A C IO N ES C U A D RÁ T IC A S
P A RÁ BO LA
Q ue so n d e la fo rm a
a, b, c R y a 0
ax2 bx c 0 ; c o n
El e je d e sim e tría : Es la rec ta c on res p ec to a la cu a l la ram a d e la pa ráb ola s e refl eja en la otra . V é rtice :p un to de in ters ecc ión en tre la p a ráb ola y s u eje d e sim etría . A b ertura :
Y s e s o l uc i o n a n p o r
Form ula gen eral pa ra ecu ac iones d e 2do g rad o.
C om p leta c ión d e c u ad ra d os
Fa c toriza c ión
S u fo rm a
C u y o s ele m e n to s so n
y f x ax 2 bx c , a 0 ,
Si en
la
pa rá b ola ab re ha c ía a rrib a . En es te ca s o exis te
u n p u nto m ín im o llam ad o v é rtic e .
Q ue e s
y f x ax 2 bx c , a 0 ,
Si en
la p a rá b ola a b re ha c ía a rrib a . E n este c a s o, el
v értic e es un pu nto m á x im o.
x
El d i sc rim in a n te
b b 2 4ac 2a
b2 4ac
A m p litud : El v alor d e
a en la fu n c ión y f x ax 2 bx c , tam b ién ind ic a la ab ertu ra d e
la pa rá b ola as í, s i:
Y d e te rm in a
a 1.
A p a rtir d e l c ua l se c a lc ula n la s
a 1 , la pa ráb ola es + es trec ha , en rela c ión c on la p a ráb ola d ond e
S o lu c io n e s d e la e c ua c ió n
0 a 1 , la pa ráb ola es m ás an c h a, en rela c ión c on la p a ráb ola d on d e
a 1.
Q ue p u e d e n s e r 2 s olu cion es rea les , Si
1:
b 4ac 0
y f x ax 2 ,
d o nd e
b 4ac 0
Si
Si
2
b 4ac 0 2
bc0
Esta p a rá b o la tie n e v é rt ic e e n e l e je
2:
0,0 .
E je d e sim e tría :
y f x ax 2 c , d o nd e b 0
Esta paráb o la tien e vé rtice en sim e tría e s e l e je
y.
a 0 la
p a rá b o la a b re h a c ía arrib a ;
Si
a 0 la
A d e m á s, s i
a 0 ,la
p a rá b o la se c ie rra e n re la c ió n
c o n la p a rá b o la y x 2 y si
a 1 ,la
e n re la c i ó n c o n la p a rá b o la
y ax 2
y
E je d e s im etría
p a rá b o la se a b re
Si Si
c 0 la c 0 la
x
C á lc ul o d i fe re n c ia l
o
0,c .
y ax 2
y
y.
y f x ax 2 bx c
Eje d e sim e tría es una re c ta v ertica l para le la a l e je El v é rtice e s le p un to d e co o rd enad as
b e 2a
y
x
tra sla c ió n es ha c ia ab a jo .
o b ten id o de
a >0
y ax c 2
y
E je d e s im etría
V értic e
El e je d e
y f x ax 2 bx , d o nd e c 0
o
tra sla c ió n es ha c ia a rriba .
x V értic e
0, c
Si
S i a 0 la p aráb o la ab re ha c ía a rriba ; S i a 0 la p aráb o la ab re ha c ía a ba jo .
y x2 . a <0
3:
c T ra slad a la paráb o la v e rtic a lm e n te .
p a rá b o la a b re h a c ía a b a jo .
a >0
G ra fiq u e la p a rá b o la te n ie n d o e n c u e n ta lo s sig u ie n te s 3 c a so s:
1 s olu ción rea l, 2 s olu cion es c om p lejas , Si
2
0,c
V é rtic e E je d e
sim e tría
x
a <0
Si
y ax c 2
a >0
se o b tien e re em p laza nd o e l va lo r
x
e n la fun c ión da da .
y ax 2 bx
y ax 2 bx c
a <0
x Eje d e
x
x, y
sim e trí a e V é rtic
y ax 22 bx c y ax bx y
y
0, c Ve é rtic
sim e tría
y.
a 0 la p ará bo la ab re ha c ía arriba ; a 0 la p aráb o la ab re ha c ía a ba jo .
y
E je d e
x, y d ond e
x, y
V é rtic e x Eje d e sim e trí a
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
19
E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 3 , 4 y 5 G ra fic a s fu nc io n e s p o lin óm ic a s PO LIN Ó M IC AS T IE N E Dom: R G ra fic a r. a. f x
3
h x x 2 4
j. y
x 3x 1 e . f x x 3 2 x 2 3x b. g
d . f x x 2 3x 4 g.
(T O D AS
LA S
F U NC IO N ES
Ran: R )
Dom: R c . 3x 2 y 1 0 f. f x 3 x 2 24 x 50
h. f x 6 x 4 12 x 2 3x 13 i. f x 12
x2 9 x3
3 1 y x 2 2
0, 1 2
y , e sto
a p a rtir d e a llí ub ic am o s
Ran : 3
d e sp laz am ie nto ho riz o nta l 2 , a llí se ub ic a e l seg und o p u nto y se g ra fica la líne a re c ta . 1 .2 7 . Fig ura 1 .2 5 .
Fig ura 1 .2 5 .
d.
Fig ura
f x x 2 3x 4 Ran: R Dom: R
La e c u ac ió n c o rre spo n d e a u n a fu nc ió n c u a d rá tic a cuya g ra fic a es una p a rá b o la . P a ra g ra fic a rla te ne m o s e n
Ran: R
d e sp e ja da ( c o m o e n e fe c to lo e stá ), ub ic a m os e l c o rte e n e l e je y ( té rm ino ind e p e nd ie nte, pa ra
Fig ura 1 .2 7 .
3,
La e c ua c ió n c o rre sp o nd e a una func ió n line a l ( p o lino m io d e g ra d o 1) , c uy a g ra fic a e s una línea re c ta . P a ra g ra fic a rla ráp id am e nte , debem os te ne r a y g (x)
c u en ta
los
v a lo re s
n u e stro ejem p lo
de
a, b, c . P a ra a 1 , b 3 y c 4 .
El vé rtic e es c o o rd e na d a s:
el
p unto
de
2ba , f 2ba = 23. , f 32 32 , 254
Fig ura 1 .2 6 .
e ste e je m p lo e s 1) , a p a rtir d e e ste p unto g ra fic a m o s la p e nd ie nte ( núm e ro q ue a c om p a ña a l e je x ) , d e la sig uie nte m a ne ra: ha c e m o s un d e sp la za m ie nto ve rtic a l d e 3 unid a d e s ( num e ra d o r d e la p e nd ie nte) y a pa rtir d e a llí un d e sp laz a m ie nto d e 1 unid a d ( d e no m inad o r d e la p e nd ie nte ), a llí ub ic a m o s e l seg und o p unto y lue g o tra z am o s la g ra fic a . Fig ura 1 .2 6 . C á lc ul o d i fe re n c ia l
y.
p e nd ie nte , d e sp la za m ie nto ve rtic a l
g x 3x 1
Dom: R
d e sp e ja r a
e s,
C o rre sp o nd e a una func ió n c o nsta nte ( p o linó m ic a d e g ra d o 0) . Su g ra fica e s una líne a re c ta ho riz o nta l p a sa nd o p o r e l va lo r d e 3.
b.
La e c ua c ió n c o rre sp o nd e a una func ió n line a l y su g ra fic a es una líne a re c ta , p a ra g ra fic a rla
U b ic a m o s e l c o rte e n le e je
f x 3
Dom: R
Ran: R
3x 2 y 1 0
S o lu c ió n : a.
3x 2 y 1 0
c.
Fig ura 1 .2 8 .
E je d e sim e tría e s la re cta v e rtic a l p a ra le la a l e je
y , x 2ba
C o m o a 1 0 la p a rá b o la a b re ha c ía a ba jo . C o rte s e n e l e je
x:
V a lo re q ue ha c e n 0 a la func ió n.
x 2 3x 4 0
x 2 3x 4 0
x 4, x 1 Lo s c o rte s c o n e l e je C o rte s e n e l e je
y:
E l c o rte c o n e l e je
Hacer
y : 0,4 .
x 4x 1 0
x : 4,0, 1,0
f (0) . f (0) 02 30 4 4 Fig ur a 1 .2 8 . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
3 2
20
e.
f.
f x x 2 x 3x 3
Ran: R
Dom: R
La ecua ción correspond e a una fun ción cu ad rátic a cu ya gra fica es una
D e te rm ina r b ra z os d e la g ra fic a . C o m o la func ió n e s im p a r, la g ra fic a tie ne un b ra z o c a íd o y otro le va ntad o .
f x
f x 3x 2 24 x 50
2
entre valles y cúspid es tien e m á xim o 2, ya qu e
pará bola . Para graficarla tenem os en cu enta los va lores d e a, b, c . Para nu estro ejem plo
a 3 , b 24
n 1 3 1 2 .
E l vé rtic e es e l p unto d e c o o rd e na da s:
2ba , f 2ba = 4, f 4 4,2
E nc o ntra r lo s c e ro s d e l p o lino m io , e sto e s, lo s p unto s d o nd e c o rta e l e je x . E sto e s, lo s va lo re s d e
x
E je d e sim e tría e s la re cta ve rtic a l
x( x 2 2 x 3) 0 x( x 3)(x 1) 0
x 3 2 x 2 3x 0
p a ra le la a l e je
q ue hac e n c e ro la func ió n so n:
x 3 0 x 3; x 1 0 x 1 x están da do s po r lo s pun tos: 0,0 , 3,0 , 1,0 .
x 0;
y c 50 .
C om o
Así, los co rte s co n el eje
a 30
b y , x 2 a 4
la p arábola a bre hacía a rrib a.
C o rte s e n e l e je
V a lo re q ue ha c e n
x:
Fig ura 1 .3 1 .
Determ in ar en u na recta re al po r
0 a la func ió n.
donde v a la función, esto es: Ubicam os los 3 punto s que c ortan al
c o m o b 4ac 24 4 x3x50 24 0 la func ió n d e ntro d e l c o njunto d e lo s re a le s no p o se e va lo re s q ue la ha g a n 0, lo q ue im p lica q ue no tie ne c o rte s c o n e l e je x .
eje
x en
2
el plano cartesiano . (fig
1.29.) Esto divide el plano e n 4 intervalos. Aho ra tom am os un v alor de cad a intervalo, lo evalu am os en
C o rte s e n e l e je
la está
por e ncim a y si obtenem os un núm ero negativo la función está por deb ajo.
g. inte rv a lo
N o. del inte rv a lo
sig no
x 3
-4
-
3 x 0
-1
+
Po r e n c im a d e l e je
0 x 1
1 /2
-
Po r d e b a jo d e l e j e
2
+
Po r e n c im a d e l e je
x0
P o sic ió n f unc ió n Po r d e b a jo d e l e j e
x x x x
h x x 2 4
Hacer
y : 0,50 .
f (0) . f (0) 302 24 0 50 50 Fig ur a 1 .3 1 .
Ran: R
Dom: R
La ecuación corresponde a una función cuadrática cuya grafica es una parábola. Para graficarla tenem os presente que no tiene término lineal ( bx ) lo que indica que es una parábola trasladada verticalm ente -4 unidades del origen (ya que c 4 0 , así la parábola
G ra fic a m o s la func ió n te nie nd o e n c ue nta la info rm a c ió n d e lo s íte m s a nte rio re s.
y:
E l c o rte c o n e l e je
Fig ura 1 .2 9 .
la función; si obtenem o s un nú m ero positivo función
2
tiene
por vértice
el punto
de
coordenadas (0,4) . Abriendo hacía arriba ya que a 1 0 y con eje de sim etría el eje C o rtes en el eje
y
Fig ura 1 .3 2 .
.
x:
V a lo re s q u e h a c en 0 a la fu n c ió n .
y:
H a c er
x 4 0 x 2x 2 0 .Lo s c o rtes c o n el eje x so n 2,0, (2,0) 2
C o rtes en el eje Fig ura 1 .3 0 . C á lc ul o d i fe re n c ia l
c o n el eje
y : 0,4 .
f (0) . f (0) 0 2 4 4
El c o rte
Fig u ra 1 .32 . C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
21
h. f x 6 x 4 12 x 2 3x 13
j.
y
D e te rm ina r b raz o s d e la g ra fic a . C o m o la func ió n e s pa r y
a n 6 0 la g ra fic a tie ne 2 b raz o s ca íd o s.
f x
Y a q ue e stá d e te rm ina d o un va lo r pa ra y p o r ca d a va lo r d e x
entre valles y cúspid es tien e m á xim o 3 ya qu e
C ortes c on el eje
C o rte e n e l e je
y
e s:
n 1 4 1 3 .
Ha c e r f 0 60 12 0 30 13 13 4
y.
x2 9 x3
2
(0,13)
e x c e p to
x 3,
e l d o m inio d e G c o nsiste d e tod o s lo s núm e ro s
re a le s e x c e p to 3. C ua nd o
x 3
F a c to riza nd o e l num e ra d o r e n
Esta grafica (por ahora) requiere e la ayuda d e una calculado ra graficadora para su m odelació n o recurrir a la tabulación. Tabla de valores para com pletar su análisis (m ás adelante usarem os la derivada para hacer la
x
f x
-2
-29
-1
22
2
-41
grafica m ás precisa).
( x 3)(x 3)
te ne m o s
( x 3)( x 3) o y x3, ( x 3) sup o nie nd o q ue x 3 . E n o tras p a la b ras, la func ió n d e to da s la s p a re ja s o rd e nad a s ( x, y ) ta le s q ue y
y x3
G ra fic a m o s la func ió n te nie nd o e n c ue nta la info rm a c ió n d e lo s íte m s a nte rio re s.
e l num e ra d o r y e l d e no m ina d o r
so n c e ro , y 0/0 n o e stá d e finid o .
y
G c o nsiste
x3
E l ra ng o d e G c o nsiste d e tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to 6. La g rá fic a c o nsiste d e to d o s los p unto s e n la re c ta e x c e p to e l p unto
( 3, 6) .
y x3
F ig ura 1.35.
Fig ura 1 .3 3 .
i.
f x 12
C orre spo nde a una func ió n c onstante (polinóm ica d e grad o 0). Su gra fica es una línea recta ho riz onta l pasa ndo p or el valo r de
12
.
Dom: R
Ran : 3
Fig ura 1 .3 5 .
Fig ura 1 .3 4 . Fig ura 1 .3 4 .
C á lc ul o d i fe re n c ia l
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
22
M A PA CO N CE PT U A L 6: F U N C IÓ N RA C IO N A L D o m inio : T o d o s lo s re a le s e xc e p to
F U N C IÓ N RA C IO N A L
lo s q ue h a ga n 0 a l d e n o m in a d o r .
S e d e fin e c o m o
f x
p( x) a m x m a m1 x m1 ..... a1 x a 0 q ( x) bn x n bn 1 x n 1 ..... b1 x b0
P a ra g ra fic a rla , sig a lo s sig u ie n te s p a so s:
; con
p(x) y q(x) p o lin o m io s y q( x) 0
Sim e tría co n resp e cto al e je y : S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p laz ar Sim e tría co n resp e cto al e je x :
1 . A N A LÍ C E SI M ET R ÍA S
S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p laz ar Sim e tría co n resp e cto al o rig e n: S i la fun c ión n o se a ltera a l rem p laz ar
x, y p o r x, y x, y p o r x, y x, y p o r x, y
N um e ra d o r y d e n o m in a d o r si e s p o sib l e y l u e g o sim p l ifiq u e
2 . FA C T O R I C E
S e o b tie n e n d e a c u e rd o a l gra d o d e l n um e ra d o r y d e n o m in a d o r
Lín e a re c ta q ue , p r o lo n ga d a , se a c e rc a in d e fin id a m e n te a un a c urv a , sin l le ga r a e n c o n tra rla .
3 . D ET ER M IN E A SÍN T O T A S
m = gra d o d e l n um e ra d o r; n = gra d o d e l d e n o m in a d o r
Pu e d e n s e r:
H o riz o n ta le s
V e rtic a le s
O b lic u a s
T ie n e s ó lo sí :
T ie n e s ó lo sí :
T ie n e s ó lo sí :
mn Si Si
4 . EN C U EN T R E C O R T ES C O N L O S E JES
5 . G R A FI Q U E
C á lc ul o d i fe re n c ia l
mn mn
o
mn
mn
La a sín t o ta e s La a sín t o ta e s
y0 y
am bn
Si
mn
mn
La (s) a sín t o ta (s) so n lo s
v a lo re s d e
x
q u e h a cen
0 al
d e n o m in a d o r.
Pe ro
m d e b e se r m a y o r q u e n
e n só l o 1 un id a d . S i e st o s e c um p l e s e h a c e la d iv isi ó n .
C o rte s C o n e l e j e x: v a lo r e s q ue h a c e n 0 a l n um e ra d o r . C o rte s c o n e l e j e y: e s h a c e r
f (0)
Eje m p lo
f ( x)
x2 m 2 n 1 x 1
S e h a c e la d iv i sió n p a ra e n c o n tra r la a sín t o ta o b li c ua .
x1
x2 - x2 x -x x1 1
x2 1 x 1 x 1 x 1
x1 A s ín tota ob licu a
O b te n ga o tr o s v a l o re s si e s n e c e sa rio p a ra id e n ti fic a r p o r d ó n d e v a la gra fic a y trá c e la c o n lo s p un to s o b te n id o s y la s a sín to ta s.
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
23
E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 6 H o rizo n ta l: N o tie ne y a q ue
Fu n c ió n ra c io n a l. 1. G ra fic a r la s sig uie nte s func io ne s ra c io na les. a.
f x
2
x x 1
b.
g x
2 x2
c.
V e rtic a l:
hx
2
2x x 1x 2
S o lu c ió n : a.
f x
m 2 > n 1.
V a lo re s q ue ha c e n 0 a l d e no m ina d o r.
a sínto ta ve rtic a l e s la re c ta
x 1
O b lic u a : T ie ne ya q ue e l g ra d o d e l num e ra d o r
x 1 0
m2
excede
a l g ra d o d e l d e no m ina d o r n 1 e n só lo 1 unid a d . A ho ra e nc o ntra re m o s la a sínto ta ob lic ua , ha c ie nd o la d ivisió n.
x2 x 1
x 1 x x x 1 x x 1 1 x2
D o m in io y ra n g o . D o m in io : T od o s las R m e no s lo s va lo re q ue ha c e n 0 a l d e no m ina d o r.
x2 1 x 1 x 1 x 1
2
Domf R 1
R a n g o : O b te nid o d e sd e la g ra fic a
,4 0, .
A s ín tota O b licu a
y x 1
Inte rse c cione s c on lo s e je s.
S im e tría s: C o n e l e je y. Sustituy a m os 2 x x2 y x 1 x 1
e je
x, y p o r x, y
la func ió n se a lte ra a l sustituir
x, y p o r
x, y no ha y sim e tría c o n re sp e c to a l e je y . C o n e l o rig e n . Sustituya m o s x, y p o r x, y y
x 2 x 2 x 1 x 1
la func ió n se a lte ra a l sustituir
x, y p o r
C o rte e n e l e je x.
0,0 .
Pu n to s e stra té g ic o s
x
2
P a ra e nc o ntra rla s se tie ne e n c ue nta q ue g ra d o y g ra d o d e l d e no m ina d o r
x0
0 1
La func ió n e stá tota lm e nte fa c to riza d a.
m2
q ue
l num e ra d o r.
C o rte e n e l e je y . 0,0 .
F a c to riza c ió n d e la fu n ció n .
num e ra d o r
x2 0
V a lo re s 0
2 e je y. Ha c e r f 0 0 0 .
x, y no ha y sim e tría c o n re sp e c to a l o rig e n.
A sín to ta s:
x.
ha c e n
2
f ( x) f (2)
f (2)
x2 x 1
22 4 2 1
22 4 2 1 3
Fig ura 1 .3 6 .
n 1
G ra fic a d e la func ió n. F ig ura 1.36. C á lc ul o d i fe re n c ia l
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
24
b.
g x
V e rtic a l:
2 x2
D o m in io y ra n g o .
Rango:
y
g x
2 x2
Domf R 2
Inte rse c cione s c on lo s e je s.
2 x2
e je
xy 2 y 2
x
Ranf R 0
2 2 y
2 1 02
C o rte e n e l e je y .
0,1 .
x, y p o r x, y
x, y no ha y sim e tría c o n re sp e c to a l e je y . C o n e l orig e n . Su stituya m o s
x, y p o r x, y
x
g x
3
f (3)
1
f (1)
2 2 2 la func ió n se a lte ra a l sustituir y y x2 x2 x2
F a c to riza c ió n d e la fu n ció n . La func ió n e stá to ta lm e nte fa c to riz a da .
m0
y g ra d o d e l d e no m ina d o r
n 1
H o rizo n ta l: Si tie ne . C o m o g ra d o num e ra d o r m 0 e s m e no r q ue g ra d o d e no m ina d o r, e nto nc e s la a sínto ta ho riz o nta l e s e l
x ( re c ta y 0 ) .
C á lc ul o d i fe re n c ia l
2
3 2
2
2 2 1 2 3
G ra fic a d e la func ió n. F ig ura 1.37.
c.
P a ra e nc o ntra rla s se tie ne e n c ue nta q ue g ra d o
2 x2
Fig ura 1 .3 7 .
x, y p o r x, y no ha y sim e tría c o n re sp e c to a l o rig e n.
num e ra d o r
a l num e ra d o r. N o hay ning ún
P unto s e straté g ic o s
2 2 la func ió n se a lte ra a l sustituir x, y p o r y y x2 x2
A sín to ta s:
V a lo re s q ue ha c e n 0
e je y . H a c e r f 0
C o n e l e je y . Sustituya m o s
e je
x.
va lo r q ue hag a c e ro a l num e ra d o r. P o r lo ta nto la func ió n no c o rta a l e je x .
S im e tría s:
y
x 2
O b lic u a : N o tie ne. Y a q ue una func ió n no p ue d e te ne r a sínto ta ho riz o nta l y o b lic ua a l m ism o tie m p o .
D o m in io : T od o s las R m e no s lo s va lo re q ue ha c e n 0 a l d e no m ina d o r.
x20
V a lo re s q ue ha c e n 0 a l d e no m ina d o r.
A sínto ta ve rtic a l es la re c ta
hx
2x 2 x 1x 2
D o m in io y ra n g o . D o m in io : T od o s las R m e no s lo s va lo re q ue ha c e n 0 a l d e no m ina d o r.
Domf R 1,2
R a n g o : D e sd e la g ra fic a e n a l fig ura 1.37.
(,0 2,
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
25
Inte rse c cione s c on lo s e je s.
S im e tría s: C o n e l e je y . Sustituya m o s
y
2x
e je
x, y p o r x, y
2 x 2x y x 1 x 2 x 1 x 2 2
2
x 1x 2
y
2
x, y
func ió n se a lte ra a l sustituir sim e tría c o n re sp e cto a l e je C o n e l orig e n . Sustituya m o s
por
x, y no
x
ha y
e je y . H a c e r f 0 C o rte e n e l e je y .
por
0,0
2x 2 0 x 0 .
20 0 0 20 1 2
0,0 .
P unto s e straté g ic o s
2 x2 2 x 2x2 y y x 1x 2 x 1 x 2 x 1 x 2
x, y
p unto
la
x, y p o r x, y
func ió n se a lte ra a l sustituir
V a lo re s q ue ha c e n 0 a l num e ra d o r.
C o rte c o n e je
y.
2
y
x.
x, y no
la
x
hx
ha y
sim e tría c o n re sp e cto a l o rig e n. F a c to riza c ió n d e la fu n ció n .
3
2
h 3
2x 2 x 1x 2
2 3 18 9 3 1 3 2 4 2
h 3
2
22 8 2 2 12 2 4 2
La func ió n e stá to ta lm e nte fa c to riz a da . A sín to ta s:
P a ra e nc o ntra rla s se tie ne e n c ue nta q ue g ra d o y g ra d o d e l d e no m ina d o r
n2
H o rizo n ta l: Si tie ne . C o m o g rad o num e ra d o r
m2
num e ra d o r
m2
g ra d o d e no m inad o r
n 2,
G ra fic a d e la func ió n. F ig ura 1.38.
e s ig ua l a l
e nto nc e s la a sínto ta ho riz o nta l e s
2 e l e je la re c ta y 2 ) . 1 V e rtic a l:
Va lores
q ue
ha ce n
0
al
d e no m ina do r.
x 2x 1 0 Asínto tas vertica le s so n las re ctas
x 2 y x 1
O b lic u a : N o tie ne. Y a q ue una func ió n no p ue d e te ne r a sínto ta ho riz o nta l y o b lic ua a l m ism o tie m p o . Fig ura 1 .3 8 .
C á lc ul o d i fe re n c ia l
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
26
M A PA CO N CE PT U A L 7: F U N C IÓ N VA LO R A BS O L U T O
D o m inio : T o d o s lo s re a le s
F U N C IÓ N V A L O R A B SO L U TO S e d e fin e c o m o
x f x x - x
x x 0 x 0
si si
R e p re se n te la d ista n c ia , a sí
e s la d ista n c ia d e l o ri ge n a
to d o s l o s p un t o s d e la gra fi c a c ua n d o
Eje m p l o :
x 3 4 sign ific a q u e la d ista n c ia d e l p un to x a l p un to 3 e s d e T ra b a ja n d o so b re la re c ta re a l, e xis te n 2 p un t o s q ue e s tá n
x 0 , con x 0.
b a sta a v a n z a r
4 un id a d e s a
-2
x3 4 M a te m á tic a m e n te ,
V a ria c io n e s d e la fu n c ió n v a l o r a b so lu to
E n la
E n la
E c u a c ió n
G ra fic a
C á lc ul o d i fe re n c ia l
3 y q ue p a ra e n c o n tra rlo s 3 o 4 un id a d e s a la iz q uie rd a .
x3 4 x 7
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
4 un id a d e s 4 un id a d e s o
x 3 4 x 1
1 . S e a la rga v e rt ic a lm e n te . Po r c a d a un
y Ax
3 . D e sp la za m ie nto e n
la d e r e c h a d e
G rá fic a m e n te ,
S e p u e d e n re a liz a r
2 . D e sp la za m ie nto e n
x h a sta
sit ua d o s a 4 un id a d e s d e d is ta n c ia d e l p un to
U n ió n d e t o d o s l o s p un to s d e la gra fi c a c ua n d o
1 . A m p litud
d ista n c ia d e l p un t o
a.
4 un id a d e s .
S u g ra fic a e s
x . x a e s la
m o v im ie n t o e n
x
y xB
2. Si
y
y x C
3. Si
Si
Si
x
tie n e
A
m o v im ie n to e n
y.
B 0 se tra sla d a B un id a d e s a la iz q uie rd a . B 0 se tra sla d a B un id a d e s a la d e re c h a . C 0 se tra sla d a C un id a d e s h a c ía a rrib a . C 0 se tra sla d a C un id a d e s h a c ía a b a j o .
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
27
Si la fun c ió n p os ee un p o lin o m i o e n e l d e n o m in a d o r, p a ra gra fic a rla se uti liz a e l tra ta m ie n t o d e s c rit o fun c i o n e s ra c io n a le s.
p a ra
Po r e je m p l o
f ( x)
x;
x 1 ; ( x 1) g ( x) h( x ) x2 3
F U N C IÓ N RA D IC A L
3
la s U n a fun c ió n ra d ic a l e s un a fun c i ó n
1
4
q ue c o n t ie n e ra íc e s d e v a ria b le s .
Su d o m i nio
9 : FU N C IÓ N SEG M EN TA D A
Su R a ng o
D e p e n d e d e l ín d i c e d e la ra íz .
Pu e d e
S i e l ín d ic e e s p a r; la f un c ió n n o e stá d e fin id a p a ra v a lo re s d e x p a ra c ua l e s e l ra d i c a n d o e s n e ga t iv o .
M APA C O N C EPTU A L
d e t e rm in a rse
al
O A T R O ZO S
tra z a r su grá fi c a .
lo s
S i e l ín d ic e e s im p a r, la fun c ió n e stá d e fin id a p a ra t o d o s l o s n úm e ro s re a l e s.
El dom inio de la función es la unión de los F U N C IÓ N SEG M E N T A D A O A T RO ZO S
Su d o m i nio y su R a ng o
n o só lo un a f ó rm u la d e s c rib e s u c o m p o rta m ie n t o ,
dom inios de ca da pa rte y el rango de la función es la unión de los rangos de cad a pa rte.
se lla m a n se gm e n ta d a s o d e fin id a s p o r in te rv a l o s T ie ne l a sig uie nte fo rm a :
M A PA C O N C EPTU A L 8: F U N C IÓ N R A D IC A L
f1 ( x), si x I1 f ( x), si x I 2 f ( x) 2 f n ( x), si x I n
Pa ra la s c ua le s,
I1 I 2 I n ;
la grá fic a d e la f un c ió n e q u iv a le a la un ió n d e la s grá fic a s d e c a d a p a rte .
C á lc ul o d i fe re n c ia l
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
28
E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 7 , 8 , Y 9 F u n c ió n V a lo r a b so lu to , fu n ció n r a d ic a l y .
N o tie ne a sínto ta ra c io na l.
1. G ra fic a r la s sig uie nte s func io ne s. a.
c.
f ( x) x f ( x) 2 x 1
h( x)
x2 x 1
b.
d.
ho riz o nta l, y a
q ue no e s una
O tro s va lo re s y la g rá fic a d e la func ió n so n lo s sig uie nte s:
g ( x) x 3 3
1 x f ( x) 2 3
G ra fic a d e la func ió n.
Fig ura 1 .3 9 .
si x 2 si 2 x 2 si x 2
x
f (x)
1
1
2 e.
g.
f ( x) x
f.
f ( x) x 2 1
y 5 x
h.
3x 2 y 2 x
5
si x 1 b.
Ra n
f 0,
Lue g o , la g rá fic a e m p ie za a pa rtir d e
1 2
.
1. 2 N o e x iste n a sínto ta s ve rtic a le s, y a q ue no e s una func ió n ra c io na l. x
N o tie ne inte rse c c ió n c o n e l e je y , y a q ue
x 0.
C á lc ul o d i fe re n c ia l
Rang : R
g ( x ) 3 x 3 e stá d e finida e n to d o R . Lue g o, g ( x) 0 si x 3 .
f ( x) 2 x 1 no e stá d e finid a si 2x 1 0 ; e s d e c ir, si x
d e finid o p a ra
g ( x) 3 x 3
Domg : R ,
1 f , , 2
3
si 1 x
f ( x) 2 x 1 Dom
3
Fig ura 1 .3 9 .
S o lu c ió n : a.
func ió n
f (x)
no e stá
N o e x iste n a sínto ta s ve rtic a le s. Inte rse c c ió n c o n e l e je y:
g (0) 3 0 3 3 3 1,44
N o tie ne asínto ta ho riz o nta l. O tro s va lo re s y la g rá fic a d e la func ió n se m ue stra n a c o ntinua c ió n:
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
29
T a b la d e va lo re s y g ra fic a e n la fig ura 1.40.
h(x) x
-3
g (x)
-2
3
5 1,7
1
3
2 1,2
4
1
11
2
-2
2
3
1 2
4 Fig ura 1 .4 0 .
c.
h( x)
x2 x 1
D om h (,1) 2,
x2 h( x) 0 h( x) x 1 d e finid a si 1 x 2 . A sínto ta ve rtic a l: la re c ta
d.
R a n h 0, 1 si
x 2.
A d e m á s,
h(x)
no e stá
x 1.
5 1,58 2
2 0,63 5
1 x f ( x) 2 3
Fig ura 1 .4 1 .
si x 2 si 2 x 2 si x 2
Domf Domf 1 Domf 2 Domf 3 (,2) 2, 2 2, (, ) Ranf Ranf1 Rangf 2 Rangf 3 1 1,1 3 1,1 3
N o tie ne inte rse c c ió n c o n e l e je y , p ue s la func ió n no e stá d e finid a pa ra
x 0.
C o m o e l g ra d o d e l num e ra d o r es ig ua l a l g rad o d e l d e no m ina d o r, e s d e c ir, n m , ha y una a sínto ta ho riz o nta l e n
y
1 , 1
e s d e c ir,
y 1.
O tro s va lo re s y la g rá fic a ( fig ura 1.41) d e la func ió n se m ue stra n a c o ntinua c ió n:
C á lc ul o d i fe re n c ia l
La g rá fic a d e f e s la unió n d e c a d a una d e la s g rá fic a s d e
f3 .
f1 , f 2
y
Fig u ra 1.42.
Fig ura 1 .4 2 .
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
30
e.
f ( x) x E l d o m inio d e la func ió n e s e l c o njunto d e lo s núm e ro s re a le s;
Donf R
La
g rá fic a
f ( x) x 1 2
E l ra ng o d e la func ió n e s e l c o njunto d e lo s núm e ro s re a le s
f R 0 0, .
La ta b la d e va lo re s y la g rá fic a se m ue stra n e n la fig ura 1.43.
x
-2
-1
0
1
2
f (x)
2
1
0
1
2 Fig ura 1 .4 3 .
f ( x) x
f ( x) x 1 . f ( x) x 1 2
g.
se
p ue d e
e sc rib ir
en
y 5 x
, 5 y e l ra ng o d e
si ( x 1)(x 1) 0 si ( x 1)(x 1) 0
( x 1)(x 1) 0 la so luc ió n d e , 1 y (1, ) q ue e ntre
c o rre sp o nd e a la c urva de la p a rá b o la P a ra e l c a so
( x 1)(x 1) 0
d e te rm ina q ue e n e l inte rva lo la c urva d e la pa rá b o la
C á lc ul o d i fe re n c ia l
la ine c ua c ió n la
g rá fic a
x 2 1.
la so luc ió n d e la ine c ua c ió n
1, 1 la g rá fic a c o rre sp o nd e a
( x 2 1) .
3x 2 y 2 x
0, . F ig ura 1.45.
y 5 x F ig u ra 1.45.
fo rm a
h.
P a ra e l c a so d e te rm ina
Fig ur a 1 .4 4 .
f e s e l c o n junto d e to d o s lo s núm e ro s re a le s no ne g a tivos,
e q uiva le nte c o m o:
x 1 f ( x) ( x 2 1)
la
f ( x) x 2 1
e l c ua l e s
2
en
E l d o m inio d e f e s e l c o njunto d e to d o s lo s núm e ro s rea le s m e no re s q ue o ig ua le s a 5, e l
2
func ió n
m ue stra
func ió n
fig u ra 1.44.
c ua l e s
La
se
la
p o sitivo s y e l c e ro; Ra n
f.
de
3x 2 y 2 x
si x 1 si 1 x
E l d o m inio d e F e s de F es
( , ) .
( , ) ,
y e l ra ng o
F ig ura 1.46 .
Fig ura 1 .4 6 ,
si x 1
si 1 x
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
31
M A PA CO N CE PT U A L 10 :
O PER A C IO N ES EN TR E F U N C IO N ES D a d a s 2 fu n c io n e s
O PE R AC IO NES AR IT M ÉT IC A S
f (x)
y
O P ER AC IO N ES E N T RE F U N C IO N ES
g (x) , se c o m b in a n a tra v é s d e : IN V ERSA S
C O M P O SIC IÓ N
f
Si
Sum a
f
g x f x g x
Do min io f g Domf Domg
L a f u n ción c om p u es ta d en ota da p or
g f
es tá d ef in id a
y el d om in io d e
g x f x g x
Do min io f g Domf Domg
f un c ió n
f
,
que
f
g x f x g x
el
d o m in io d e
f f
f
Si
f x
g
D o m in io d e Ra n g o d e
f
f
p a re s
1
f
de
f
1
sí
es el
es el
.
f
1
f
1
c om o
es u na f u n ción u n o a u n o
c om o su inv ers a. Ad em ás ,
f f 1 x x
g f x Ra n g o d e
de
f 1 y x
es u na f u n ción u n o a un o y tien e a
f 1 f x x
x
f
p or
y e l Ra n g o d e
el s u in v ers a , en ton c es
D o m in io d e
un a
A d e m á s:
y tien e a
f f x x g x g f Do min io Domf Domg/ g x 0 g
un o
e xis te
c o n j un to
y f x . El d o m in io
ra n go d e
g f x g f x S ign if ic a a p l ic a r
Do min io f g Domf Domg C o c ie n te
a
, lla m a d a in v e rsa d e
y, x d e fin id a
p rim e ro
Pro d u c to
un o
en ton ce s
1
f
es
o rd e n a d o s y só lo sí
f y d e sp u é s g . f g x f g x S ign if ic a a p l ic a r p rim e ro g y d e sp u é s f .
x, y ,
fun c i ó n in v e rsa
R e sta
f
un a
o rd e n a d o s
g f es el g f x g f x c on ju nto d e tod os los n úm eros x d el d om in io d e g ta les q u e g (x) es tá en el d om in io d e f . p or
es
c o n sid e ra d a c o m o e l c o n j un t o d e p a re s
p a ra tod o
x en el d om in io d e f
p a ra tod o
x en el d om in io d e f
. y
1
.
Pa ra h a lla r la f un c i ó n in v e rsa d e un a f un c i ó n se p ro c e d e a sí
g 1 . s e es c rib e
y f x
.
2 . Se c om p ru eb a s i la f un c ión d a da es b iy ec tiva . 3 . Se d es p eja térm in os d e
la ecu a c ión y f x en y , pa ra ob ten er un a e4 cu a c ión d e
x de
la f orm a x f
1
4 . Se in terc am bia
y .
x
p or
y p u es to q u e n o im p orta
el s ím b olo q u e s e us e pa ra la va ria ble. 5 . Se c om p ru eb an las c ond ic ion es :.
f 1 f x x p a ra tod o
f f 1 x x p a ra tod o C á lc ul o d i fe re n c ia l
x en el d om in io d e f . y x en el d om in io d e f 1 . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
32
E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 1 0
( g g )(x) x 1 x 1 0
O p e ra c io n es e n tre fu n c io ne s : Si
f g
f ( x) x 3 y g ( x)
x 1
, ha lla r la s func io ne s f + g, 3f – g ,
g g e s
y g – g, e stip ula nd o e l d om inio d e ca d a uno d e e lla s.
f ( x) 5 x 2
Se a
y
f g x
a.
g ( x) log 5 x b.
2. Sea
H a lla r:
g f x
b.
4.
f
1
y f x x 1 2
si
la s
func io ne s
a.
y f ( x) x 3 1
y
b.
tie ne n func ió n inve rsa , e n c a so d e te ne rla ,
S o lu c ió n
– g,
P a ra em p e za r, o b se rvam o s q ue e l d o m inio d e
g
f g x
g ( x) log 5 x
H a lla r:
g f x
b.
3. H a lla r la inve rsa d e la func ió n g rá fic a d e
f
3f
e s to da la re c ta
e s e l c o njunto d e to d o s lo s x 1 . A ho ra,
( f g )(x) x 3 x 1
C on
Dom( f g ) {x / x 1}
(3 f g )(x) 3( x 3) x 1 3x 9 x 1 ; Dom(3 f g ) es {x / x 1}.
f f ( x) x 3 Domg ( x) {x / x 1} ( x) g ( x) x 1 g C á lc ul o d i fe re n c ia l
f x
y
f
1
Lu e g o , traz a r la
f x ln 2 x
y ln 2 x
f es f ( x1 ) f x2 ln 2 x1 ln 2 x2
Pa so 2°:
f x ln 2 x .
( x)
H a lla nd o la func ió n inve rsa d e Pa so 1°:
f ( x) x 3 y g ( x) x 1 , ha lla r la s func io ne s f + g, f y g – g, e stip ula nd o e l d o m inio d e ca d a uno d e e lla s. g
re a l y e l d e
y
e nc o ntra rla ; e n c a so d e no te ne rla , ind ic a r si es p o sib le ha c e r a lg o p a ra q ue la te nga .
1. Si
f ( x) 5 x 2
(g o f )(x) g (f(x)) g 5 ( x 2) Log5 5 ( x 2) x 2
( x) .
D e te rm ina r
{x / x 1}.
(f o g)(x) f(g(x)) f log 5 x 5 (log5 x 2) x.5 2 25x
H a lla r la inve rsa d e la func ió n f( x ) = Ln2x. Lug o , traz a r la g rá fic a d e f(x ) y
A unq ue la ex p re sió n fina l e stá d e finid a pa ra to d o x , e l d o m inio d e p e nd e d e lo s p aso s inte rm ed io s. E n e ste c a so, e l d o m inio d e
se c o m p rue ba si
b iy e c tiva D e finic ió n
ln 2 ln x1 ln 2 ln x 2 ln x1 ln x2
A p lic a nd o p ro p log a rítm o s
e e x1 x 2
E x p o ne nc ia l a a m b o s la d os
ln x1
ln x2
O p e ra nd o
D e f. F unc ió n inve rsa
Lue g o , f e s in y e c tiva.
ey Ranf R y ln 2 x x 2 e s b iy e c tiva
e s so b re y e ctiva
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
33
Pa so 3°:
Pa so 4°:
y ln 2 x x
e x iste uno y so lo un va lo r d e
ey ey f 1 ( y ) 2 2
c o nse c ue nc ia , la e c ua c ió n d o m inio e s e l ra ng o d e
ey ex f ( y) f 1 ( x) 2 2
no s d e fine o tra fu nc ió n c uy o
y c uy o ra ng o es e l d o m ino d e
f 1 ( x)
f ( x) ln 2 x
va lo r
.
y 7 , le asig na e l va lo r d e x 3 7 1 2 . Si se quiere ahora rep resentar, c om o es usua l, c on y
x
e e s la func ió n inve rsa 2 f ( x) ln 2 x y f 1 ( x) e
x
Fig ura 1 .4 7 .
con
x
y
interca m bia
a la variable indep end ie nte a
la
x co n y
dependie nte,
se m ue stra n E n fig .1.47.
en la ecuac ió n
La func ió n de finida po r D e te rm ina r
si
y f x x 1 2
la s
func io ne s
a.
y f ( x) x 1 3
y
b.
e nc o ntra rla ; e n c a so d e no te ne rla, ind ic a r si e s p o sib le ha c e r a lg o p a ra q ue la te nga .
y f x x 2 1
c uy a g rá fic a se m ue stra e n la fig ura 1.49.
U sa nd o e l c rite rio d e la re c ta ve rtic a l p a ra d e te r m ina r si una func ió n tie ne o no func ió n inve rsa ( fig ura 1.48) o b se rva m o s q ue la
y f ( x) x 1 p o se e func ió n inve rsa , y a q ue la s re cta s 3
to c a n a la func ió n e n un so lo p unto .
Domf R y e l Ranf 1, .
A l d e sp e ja r
x,
se o b tie ne:
x y 1 .
E sta últim a e c ua c ió n, d ic e q ue p a ra c ad a va lo r q ue se le a sig ne a la va ria b le y , le c o rre sp o nd e n 2 va lo re s a la va ria b le
A l d e sp e ja r
x
e n la e c ua c ió n se o btie ne :
x y 1
c o nse c ue nc ia , e sta d e fine una func ió n.
3
P o r la fo rm a q ue p rese nta e sta e c ua c ió n, se sab e q ue da d o c ua lq uie r va lo r d e C á lc ul o d i fe re n c ia l
y,
to m a d o d e l ra ng o d e
es
y f ( x) x 3 1 Las gra ficas de y f 1 3 x 1 se rep resentan e n la fig. 1.48.
Fig ura 1 .4 8 .
C o nsid e re a ho ra la func ió n
Domf ranf R .
f 1 3 x 1
y f ( x) x 3 1 . la funció n inversa de
tie ne n func ió n inve rsa , e n c a so d e te ne rla ,
Pa ra y f ( x) x 3 1
se
3 y así se obtiene: y x 1 . 3 1 3 Es decir, y f ( x) x 1 f x x 1
2
func ió n
f
La se g und a e c ua c ió n, e fe c túa la o p e ra c ió n in ve rsa , e sto e s a l
1
La s g rá fic a s d e
4.
. En
A si p o r e je m p lo , la e c ua c ió n a sig na a l va lo r x = 2 , un únic o va lo r d e y , e n e ste c a so, y = 2 3 – 1 = 7.
e ln 2 x 2 x a ) f ( f ( x)) f ln 2 x x 2 2 ex ex ln 2 b) f ( f 1 ( x)) f ln e x x 2 2 1
de
f
f
1
Pa so 5°: Se c o m p rue ba n la s c o nd ic io ne s
Lue g o ,
situa d o e n e l d o m inio d e
x
f
( e sto e s, d e
R ),
últim a
x,
y en
e c ua c ió n
no
E n e ste c a so se d ic e q ue la func ió n inve rsa o q ue
f
1
Fig ura 1 .4 9 .
y f x x 2 1
no tie ne
no e x iste . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
34
C o nsid e re m o s nue va m e nte la func ió n
y f x x 2 1.
se m e nc io nó a nte s, la func ió n :
y f x x 2 1
N o tie ne inve rsa (p ue s
Domf R y f no e s iny e c tiva
el
C om o
Ranf 1,
o uno a uno , p o r lo
ta nto no e s b iy e c tiva , c o nd ic ió n ne c e sa ria p a ra q ue una func ió n te ng a inve rsa ). Sin e m b a rg o , la func ió n
y f x x 2 1 g e ne ra
f : dom ,0 ran1, sie nd o f ( x) x 1
2 func io ne s: Fig ura 1 .6 2 .
2
y
g : dom0, Ran1,
En
f
donde
g so n
sie nd o
Fig ura 1 .6 1 ..
g ( x) x 2 1 A d e m á s,
y
u n o a u n o e n su s
Ig ua lm e nte,
f f 1 x f x 1
tie n e n in ve rsa .
la
f 1 f x x
E s d e c ir,
re sp e c tiv o s d o m in io s ( fig . 1 .5 0 ) y e n c o n se c ue n c ia
P a ra
f 1 f x f 1 x 2 1
fu n c io n e s
x x
E s d e c ir,
func ió n
f f
1
x
2
1 1 x2 x x x 2
p a ra c a da
x 1
2
x ,0 D f .
1 x 1 1 x
p a ra c a da
.
x 1, D f 1
Fig ura 1 .5 0 .
f se tie ne : f : dom ,0 ran1, sie nd o f ( x) x 2 1
Se d e ja p a ra e l lec to r e l ha c e r las m ism a s c o nsid e ra c io ne s pa ra la func ió n
g
y
g 1 .
P o r func ió n inve rsa a:
f
1
( x) x 1 f : dom1, ran ,0
La s g rá fic a s d e
f
f
y
1
Se m ue stra e n la
Ig ua lm e nte, p a ra la func ió n
g ( x) x 2 1
con
g
y
g 1 ( x) x 1 f : dom1, ran,0,
g 1
Se m ue stra e n la
A l p ro c e so a p lic ad o a la func ió n
f ( x) x 2 1
( func ió n q ue no
tie ne func ió n inve rsa p a ra to d o su d o m inio ) p a ra q ue sí te nga func ió n inve rsa , se le c o no c e re stric c ió n d e l d o m in io p a ra la
se tie ne :-
dom0, Ran1,
P o r func ió n inve rsa a: La s g rá fic a s d e
g
fig ura 1 .6 1 .
O b se rvac io ne s Im p o rta ntes:
fig ura 1 .6 2 .
e x is te n c ia d e fu n c ió n in v e r s a .
f y f 1 ) y y f x x ;
N ó te se e n la s fig ura s 1.61. y 1.62. q ue las g rá fic as d e ( (
g
y
g 1 )
so n sim étric a s c o n re sp e cto a la re cta
A sí, u n a fu n c ió n y su in v e rs a sie m p r e se v e n re fle ja d a s e n la
fu n c ió n id e n tid a d C á lc ul o d i fe re n c ia l
y f x x .
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
35
F U N C IO N E S T R A S C E N D E N T E S A plicac ion es d e a lgunas d e las func iones trascen den te s.
El c re cim ie nto p obla cio nal (D e m o gra fía) d e un a re gión o p ob lac ión en añ os, pare c e estar sobre una curva d e cara c terística e xp on enc ial q ue sugiere el m od elo m a te m átic o da do
Funció n lo g arítm ic a
por:
La ge olo gía c om o cienc ia req uiere de l plan team ien to de e c uac ion es lo garítm icas para el cálc ulo de la in tensid ad de un ev ento , tal co m o e s e l caso de un sism o. La m a gn itud de un terrem oto e stá d efinida c om o
intensidad y
A0
es una c onstante . (
A en la esca la de Rich ter, dond e R log A0
A
R
es la
A es la am p litud d e un sism ó gra fo estánda r, q ue está
a 100 kiló m e tro s de l epic entro de l terrem o to). Lo s a strón om o s p ara d eterm inar una m a gnitud estelar de una estrella o plane ta utilizan ciertos cá lc ulo s d e cará cter lo garítm ico . La e c uac ión lo garítm ica les perm ite de t erm inar la brillan tez y la m a gn itud . En la físic a la func ión lo garítm ica tien e m uchas ap licac ione s entre la s c uales se p ue de
L " en d ec ibe le s d e un sólido , para e l c ual se em plea I , d ond e I es la intensidad d el son id o (la en ergía
m enc ionar el cálc ulo de l v olum en " la siguien te e c uac ión
L 10. log I0
cayend o en una unid ad de área p or se gund o),
I0
es la intensidad d e sonid o m á s baja
que e l oíd o h um ano pued e oír (lla m ad o um bra l a ud itivo). Una c onv ersa ción en v oz alta tiene un ruid o d e fon do d e 65 d ec ibe le s.
N N 0 kt , don de
N0
es la p obla ción inicia l, t es e l tiem p o transcurrid o en añ os y
k e s una c onstante . (En 17 98, e l ec on om ista in glés Th om as Malth us ob serv ó que la relac ión
N N 0 kt
era válida para de term inar el crec im iento d e la p obla ción m und ial y
establec ió, ad em ás, q ue com o la c antidad de a lim entos cre cía d e m anera line al, el m und o n o p odía re so lv er e l problem a de l ham bre. Esta lúgubre pre dicción ha tenid o un im pac to tan im p ortan te en el p ensam ien to e con óm ic o, q ue e l m ode lo e xp onen cia l de cre cim ien to p ob lac iona l se con oc e c on e l n om bre d e m ode lo Ma lth usian o). En la m e dicina, m uch os m e dicam en tos son utilizad os para e l c uerp o h um ano , d e m anera que la can tida d presente sigue una le y e xp on encial de d ism inución . En M ate m átic a Fina nciera (A dm in istra ción), para el cálc ulo de interé s c om p uesto se em plean las fun cione s e xp onen ciales. Por ejem plo : sup on gam os q ue se tien e c ierta cantidad inic ial de d inero P0 q ue se c olo ca a un in teré s an ual d el i% . A l fina l d el prim er año se tendrá e l ca pital inic ial m ás lo q ue se ha ganado de interés P0i, si e ste proc eso se con tin úa p or n añ os, la e xpresión q ue se ob tiene está dad a por:
p p 0 1 i n , d onde P
es el cap ita l final si los intereses se ac um ulan en un p eríod o d e tie m po , P0 es e l c apital inic ial, i e s la tasa de in terés (an ual, m ensual, diaria) y n e s el p eríodo d e tiem p o (añ o, m eses, día s, e tc.). Funcio nes trigo no m étric as
Funció n Exp o ne ncial
Las razon es trigono m é tricas se pued en utilizar, fun dam enta lm en te, para re so lv er trián gulo s, así c om o para re so lv er diferen te s situa cione s prob le m ática s en otra s c ien cia s.
Se aplica a la q uím ic a y físic a. En algun os elem en tos rad ioa ctiv os son de tal na turaleza que su can tidad dism in uye c on re spe cto a l tiem p o , se c um p le la ley e xpon enc ial y se dice
En T op ografía se p uede de term inar la altura d e un edificio, teniend o la base y el án gulo. Por ejem p lo , la torre d e Pisa , fue con struida sobre una base de arena p oc o c onsisten te; debid o a ello ésta se aparta cada v ez m á s de su v ertical. O rigina lm en te tenía una a ltura
que el elem en to d e cre ce o d e cae . En la q uím ica, el PH d e e s la con cen tra ción de H +, d onde H + una sustan cia se d efine com o :
H log
ion es d e una sustan cia e xpre sada en m o le s p or litro. El P H de l a gua
destilada e s 7. Una sustanc ia c on un PH m enor q ue 7, se d ic e que e s ácida , m ientras q ue su PH es m a yor q ue 7 , se d ic e q ue e s base . Los am b ien ta listas m id en c onstan tem en te el PH de l agua d e lluv ia deb id o al efe cto dañin o de la "lluv ia ácida" q ue se origina p or las em isione s de dió xid o d e az ufre de las fá bricas y plan ta s e lé ctrica s q ue traba jan con carbón . O tras d e la a plica ción d e la s func ion es e xp onen cia l fue c on el desc ub rim ie nto d el Polo nio (elem ento radioa ctiv o) de sc ub ierto por Marie C urie en 1 898 d eca e expon enc ialm en te de ac uerdo a la fun ción:
m
m m0
e s la m asa al cab o d e un tiem p o y
C á lc ul o d i fe re n c ia l
0 , 005 t
t
, dond e
m0
es la m asa in icial de l Polonio ,
es e l tiem p o en día s.
de 54 ,6m , apro xim adam en te . En 199 0 un ob serva dor situad o a 46 m d el cen tro de la ba se de la torre , de term in ó un án gulo de eleva ción de 54º a la pun ta de la torre, e l ob serva dor para determ inar al de splaz am iento (h undim ien to en e l sue lo es m uy peq ueño , c om para do con la a ltura d e la torre) aplic ó la le y de l sen o para d eterm inar el án gulo d e inc lina ción y la le y de l co sen o para de term inar el de splazam iento de la torre . En Ó ptica , en las disp ersion es en prism a o c uand o un ra yo de luz a trav ie sa un a pla ca de cierto m aterial. En la A via ción, si do s avione s parten de una ba se a érea a la m ism a velo cidad form an do un án gulo y siguien do en tra yec torias re ctas, se p ued e d eterm inar la distancia q ue se enc uentran en tre los m ism os. El capitán d e un barc o p ue de d e term inar el rum b o eq uiv o cad o de l barco , siem pre en línea re cta, ord enand o m odific ar e l rum b o en grado para d irigirse direc tam en te a l p un to destin o c orre cto . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
36
M A PA CO N CE PT U A L 11 : F. E XP O N E N CIAL Y F. L O G A R ÍT M IC A
F U N C IÓ N EX PO N EN C IA L
C uya gra fi c a
F U N C IÓ N EX P O N E N C IA L N A T U RA L
C uya gra fi c a
S e d e fin e c o m o
S e d e fin e c o m o
y a x , a R y a 1
y x , con
C u y a s p ro p ie d a d e s so n
C u y a s c a ra c te rístic a s so n C o rta e l e je 3 . El e je 4. Si
a
y e n 0,1
x e s un a
1,
2 . D o m in io :
R , Ra n g o : R
1.
a x .a y a x y
2.
a sín t o ta d e la fun c ió n .
y a x es c rec iente.
5 . N o ti e n e c o rt e s c o n e l e j e
0 a 1 , y a x es d ec recien te. x . 6 . a m b n sí y s ó lo sí m n Si
x
4.
ax a x b b
5.
T ie n e p o r fu nc ió n in v e rsa
F U N C IÓ N L O G A R ÍTM IC A
ax a x y ay
a
x y
a xy
3.
abx
6.
a0 1
C uya gra fi c a
C uya gra fi c a
a log a x x y log a a x x ln x x ln x x o
F U N C IÓ N LO G A RIT N O N A T U RA L S e d e fin e c o m o
y log a x, a 1, a 0
y ln x
C u y a s p ro p ie d a d e s so n
C u y a s c a ra c te rístic a s so n
1 . C o rta e l e j e
4 .S i
a xb x
P o r é sta p ro p ie d a d , se c u m p le :
S e d e fin e c o m o
3 . E je
2,71
x e n 1,0
2 . D o m in i o :
R , Ra n go : R
y e s un a a s ín to ta d e la f un c i ó n .
a 1 , y log a x
c rec ien te. Si
0 a 1 , y log a x
La f un c ió n n o e stá d e fin id a p a ra n úm e r o s n e ga tiv o s .
C á lc ul o d i fe re n c ia l
d ec rec ien te.
1.
log a mn log a m log a n
3.
log a m p p log a m
4.
ln 1 0
m log a log a m log a n n ln 1 6 . ln 0 (a s íntota )
2.
5.
Se a p lic an tam b ién para
f x ln x
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
y
37
M A PA CO N CE PT U A L 12 : FU N CIO N E S
F U N C IO N ES C IR C U LA R ES S e d e fin e c o m o
x cost
S ie m p re q ue
y
C IRC U LA RE S S e tra z a n
x cost
t R y p( x, y ) e s e l p un to d e in te rse c c i ó n
La s lín e a s trig o no m é tric a s
Q u e so n
d e la c irc un fe re n c ia
un ita ria c o n e l la d o f in a l d e l á n g ul o c u ya m e d id a e s
t ra d ia n e s.
S e gm e n to s c uya l o n gi tud c o in c id e c o n e l v a lo r a b so l u to d e la s s e is fun c io n e s trig o n o m é tric a s d e un á n g ulo d a d o .
S e C a ra c te riz a n p o r se r Fu nc io ne s p e ri ó d ic a s
S e u tiliz a n p a ra e la b o ra r
Ya que La s g ra fic a s d e la s S o n fun c io n e s c u ya s im á g e n e s se r e p ite n e xa c ta m e n te e n e l m ism o o rd e n a i gua l e s in te rv a lo s d e s u d o m in io .
FU N C IO N ES T R IG O N O M ÉT R IC A S S e a n a liz a n D o m in io y Ra n go
S e p u e d e n re a liz a r V a ria c io n e s d e la s fun c io n e s trig o n o m é tric a s
1.
A m p litud
S e re strin g e p a ra d e fin ir
E n la
E n la
E c u a c ió n
G ra fic a
y Asenx
1 . S e a la r ga v e rt ic a lm e n te . 2 . S e re p i te la gra fic a d e la fun c ió n la s v e c e s q ue d iga
y senBx
2.
P e río d o
3.
D e sp la za m ie nto d e f a se
y senBx C
C á lc ul o d i fe re n c ia l
B e n e l p e río d o . S i B 1se c o m p rim e h o riz o n ta lm e n te . S i 0 B 1se a la r ga h o riz o n ta lm e n te . 3 . S i C 0 se tra sla d a C un id a d e s a la iz q uie rd a . S i C 0 se tra sla d a C un id a d e s h a c ía la d e r e c h a .
La s f un c i o n e s tri go n o m é tric a s in v e rsa s
Q u e so n A rc o s e n o : A rc o c o se n o : A rc o ta n ge n te : A rc o c o ta n g e n te : A rc o se c a n te : A rc o c o se c a n te :
Arcsenx ó sen 1 x Arcos x ó cos1 x Arc tan x ó tan 1 x Arccot x ó cot 1 x Arcsec x ó sec 1 x Arccscx ó csc1 x
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
38
M A PA CO N CE PT U A L 13 : FU N CIO N E S
FU N C IO N ES T R IG O N O M ÉT R IC A S f ( x) senx 1.
Dom R
2.
Ran 1,1 . sen x senx es
Fu n c ión im pa r, pu es
4.
s im étric a c on res p ec to a l orig en . E s u n f un c ión p eriód ica , c on p eríod o
2
senx senx 2k .
f ( x) cot x 2. Dom R n n Z
3 . F un c ión p eriód ic a, c on p eríod o im p a r. 4 . As íntotas v ertica les
Ran R .
; es u na f un c ión
x 2 n
C á lc ul o d i fe re n c ia l
; es d ec ir,
1.
2. Ran 1,1 . cos x cos x es s im étric a c on res p ec to a l eje y . F un c ión p eriód ic a, c on p eríod o 2 ; es d ec ir, cos x cos x 2k . In ters ec c ion es c on los ejes : x n ; y 1 2
Dom R
1.
Dom R 2 n n Z
,
y n o tien e
2. Ran R . ; es u na f un c ión im p a r. n , n Z ;
3 . Es pa r, pu es
3 . F un c ión p eriód ic a, c on p eríod o
4.
4 . As íntotas v ertica les
5.
1.
Dom R 2 n n Z
2.
x 2
5 . In ters ec c ion es c on los ejes
f ( x) sec x
x n , n Z ;
5 . In ters ec c ion es c on los ejes
f ( x) tan x
f ( x) cos x
3.
1.
T R IG O N O M ÉT R IC AS
x n
Ran ,1 1, .
1.
Dom R n n Z
2. Ran ,1 1, . ; es u na f un c ión im p a r. x n , n Z ;
3 . F un c ión p eriód ic a, c on p eríod o
4 . As íntotas v ertica les
4 . As íntotas v ertica les
x 2 n , n Z ; x
n o tien e ,
y0
f ( x) cscx
3 . F un c ión p eriód ic a, c on p eríod o 2 ; es u na fu n ción pa r.
5 . In ters ec c ion es c on los ejes
,
y 1
5 . In ters ec c ion es c on los ejes
x
n o tien e ,
y n o tien e
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
39
E je r c ic io s R e s u e lt o s . M a p a C o n c e p t u a l 1 1 , 1 2 Y 1 3 F u n c ió n e xp o n e n c ia l, trig o n o m é tric a s.
fu n c ió n
lo g a rítm ic a
y
F u n c io ne s
c.
f ( x) ln( x 2) f ( x) Lnx 3
P o r lo ta nto la func ió n p a sa
f ( x) Log e (1 x)
b.
p o r e l p unto 1.71,1
f x 3 x
d.
1 x 0 x 1
x
e. g. i.
1 f ( x) 3 f ( x) 2sen 2 x f ( x) 2sen3x
f.
f ( x) 3senx
Po r lo ta nto la fun c ión tien e p o r a sín tota la rec ta
h.
f ( x) cos3 x 5 2
f ( x) ln( x 2) Sa b e m o s q ue : ln 1 ; ln 0
1 x 1 x 1 1 x 0
G ra fic a , la
a.
no e sta d e finid o y e n c ue nta e sto d e te rm ine m o s:
x 2 x 2 x 4,71 P o r lo ta nto la func ió n p a sa p o r e l p unto
ln 1 0
c.
f ( x) Lnx 3
f ( x) Lnx 3 3Lnx
4.71,1
A sí, g ra fic a r e sta func ió n e s g ra fic a r
P o r lo ta nto la func ió n tie ne p o r a sínto ta la re c ta
x2
x 2 1 x 1 2 x 3 P o r lo ta nto la func ió n p a sa
la
func ió n
f ( x) ln x
m ultip lic a da p o r 3. g ra fic a tie ne por unid a d e s. A sí si
f ( x) ln x
3,0 .
C á lc ul o d i fe re n c ia l
te nie nd o
Fig ura 1 .6 4 .
fig ura 1 .6 4 .
P o r p ro p ie da d d e lo s lo ga ritm o s:
x2 0 x 02 x 2
D e sp ué s de d ete rm ina r e sto ub ic a m o s la asínto ta c o m o una líne a p unte a d a , ub ic a m o s lo s 2 p unto s y lue g o g ra fic am o s. F ig u ra 1.63.
x 1
P o r lo ta nto la func ió n p a sa p o r e l p unto 0,0 .
S o lu c ió n :
p o r e l p unto
f ( x) Log e (1 x)
1 x x 1 x 1,71
G ra fic a r: a.
b.
Es d e c ir la a m p litud 3 la func ió n
p a sa p o r e l p unto d e
c o o rd e na d a s
f ( x) Lnx
p e ro
3
,1 ,
la
func ió n
p a sa p o r e l p unto d e
c o o rd e na d a s
,3
F ig ura 1.65 .
Fig ura 1 .6 3 . C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
40
f x 3
d.
E l p e río d o d e
f ( x) 3senx
x
La grafica de la func ió n co rta al e je y en e l punto 0,1 , ya que 30 1
Lo s
x.
x
o la re c ta
e.
y 0.
0,1 , ya que x
1 f ( x) e s 3 1 0 1. 3
y en
1 1 3
ya
q ue h.
e stá n
d e c ir, la g ra fic a c o rta e l e je
x se Fig ura 1 .6 8 .
f ( x) 2 sen 2 x , se tie ne :
x. x
o la re cta
y 0.
fig ura 1 .6 7 .
5 2
52 y
La g ra fic a d e la fun c ión se m u estra en la fig u ra 1 .69 .
senx
por
f ( x) 3senx e s 3 y e l a m p litud d e f ( x) 3senx e s 3 .
E n p a rtic ula r, e l va lo r m á x im o d e
3 . E nto nc e s la 3 3senx 3
c a da va lo r d e
A
P e río d o : T 2 2 B 3
f ( x) 3senx se p ue d e o b te ne r a pa rtir de
f ( x) senx m ultip lic a nd o
f ( x) 52 cos 3 x
A m p litud:
f ( x) 3senx
La g ra fic a d e la func ió n
Fig ura 1 .6 9 .
P a ra f ( x) 52 cos 3 x , se tie ne :
Fig ura 1 .6 7 .
C á lc ul o d i fe re n c ia l
ve c e s.
La g ra fic a d e la fun c ión se m u estra en la fig u ra 1 .69 .
La g ra fica d e la func ió n se m ue stra e n la
A sí,
g ra fic a
A 2 2 y P e río d o : T 2 2 4 B 2
0
d e c re c ie nte
m ínim o e s
, e s d e c ir, la
A m p litud:
La func ió n tie ne p o r a sínto ta e l e je
la g ra fic a d e
f ( x) 2sen 2 x
P a ra
La func ió n no c o rta a l e je
f.
g.
fig ura 1 .6 6 .
x
La gra fica d e la fun ción corta al eje el punto
func ió n
es
Fig ura 1 .6 6.
La g ra fica d e la func ió n se m ue stra e n la
1 f ( x) 3
la
La g ra fic a d e la func ió n m ue stra e n la fig u ra 1.68 .
La func ió n tie ne p o r a sínto ta e l e je
de
x n , n Z , e s d e f ( x) 3senx e n ,2 ,3 ,....
f x 3 x e s c re c ie nte y a q ue 3 1. La func ió n no c o rta a l e je
c e ro s
se
f ( x) 3senx rep ite ca d a
3.
va lo r
i.
Fig ura 1 .7 0 .
f ( x) 2sen3x
A m p litud:
A 2 y
P e río d o : T 2 2 B 3 D esfa s e C
B
3
La g ra fic a d e la fun c ión se m u estra en la fig u ra 1 .69 .
Fig ura 1 .7 1 . C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
de
41
M A PA CO N CE PT U A L 14 : F. T R IG O N O M ÉT R IC AS IN VE RS AS
F U N C IO N ES TR IG O N O M ÉTR IC A S IN V ER SA S E x is ten s ólo si s e res tring e el d om in io d e las fu n c ion es trig on om étrica s , y a qu e és ta s n o s on f un c ion es b iy ec tiva s , p u es n ing un a es in y ec tiv a (c ond ic ión p a ra qu e u na f un c ión ten ga in v ersa ). Si
Se re stri ng e e l d o m i nio d e :
y senx
y cos x
y tan x
C o m o p o r e jem p lo a :
C o m o p o r e jem p lo a :
C o m o p o r e jem p lo a :
2 , 2
0,
S e tie n e la fu n ció n in ve rsa
y arcsenx ó y sen 1 x Con
Dom 1,1 Ran , 2 2 C u y a g ra fic a e s
C á lc ul o d i fe re n c ia l
S e tie n e la fu n ció n in ve rsa
y arccosx ó 1
y cos x Con
Dom 1,1, Ran0, C u y a g ra fic a e s
2 , 2 S e tie n e la fu n ció n in ve rsa
y arctan x ó 1
y tan x Con
DomR Ran , 2 2
y sec x
y cscx
C o m o p o r e jem p lo a :
C o m o p o r e jem p lo a :
C o m o p o r e jem p lo a :
0,
0,
, 0
S e tie n e la fu n ció n in ve rsa
S e tie n e la fu n ció n in ve rsa
S e tie n e la fu n ció n in ve rsa
y arc cot x ó
y ar sec x ó
y arc cscx ó
y cot x
y sec1 x
y csc1 x
Con
Con
Con
y cot x
1
DomR , Ran0, C u y a g ra fic a e s
2
2
2
DomR 1,1, Ran0, 2 DomR 1,1, Ran 2 , 2 0 C u y a g ra fic a e s
C u y a g ra fic a e s
C u y a g ra fic a e s
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
42
F U N C IO N ES H IPER B Ó L IC A S c om b in a c ion es d e x y Su g raf ica es
Son a n á log as a las f un c ion es trig on om étrica s . L os v a lores d e es ta s f u n cion es están rela c ion ad os c on las c oord en a da s d e los pu ntos d e un a h ip érb ola equ ilátera d e m an era s em eja nte a la f orm a en q u e los v a lores d e las f u n cion es trig on om étric as c orres p on d ien tes es tá n rela c ion ad os c on las c oord ena da s d e los p un tos d e un a c irc u nf eren c ia .
x
Se ob tien en d e c om b in a cion es d e x y x Se d ef in en a s í Se d ef in en a s í
y senhx
x x 2
y cosh x
x x 2
C on
Se d ef in en a s í y tanh x
senhx x x cosh x x x
C on
y coth x
Se d ef in en a s í x
senhx cosh x x x x
C on
Dom : ,0 0, , Ran : ,1 1,
y sec hx
1 2 cosh x x x
C on
Se d ef in en a s í y cschx
1 2 senhx x x
C on
Dom : R 1,1Ran : 0, 2 Dom : R 1,1Ran : 2 , 2 0
Dom : R, Ran : R
Dom : R, Ran : 1,
Su g raf ica es
Su g raf ica es
Su g raf ica es
Su g raf ica es
Su g raf ica es
Su g raf ica es
T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa
T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa
T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa
T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa
T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa
T ie n e p o r fun c ió n in v e rsa
y arcsenhx
y arccoshx
y arctanhx
y arc coth x
y arc sec hx
y arc cschx
S u g ra fic a e s
S u g ra fic a e s
S u g ra fic a e s
S u g ra fic a e s
S u g ra fic a e s
S u g ra fic a e s
C á lc ul o d i fe re n c ia l
Dom : R, Ran : 1,1
Se d ef in en a s í
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
43
F U N C IÓ N P A R T E E N T E R A E je m p lo : g ra fic a r
F u n c ió n p a rte e n tera o m a y or e n tero Es
a q ue lla
func ió n
f : R Z
d e finid a
f ( x) x donde x e s e l m a y o r e nte ro m e no r d e c ir; f ( x) x n n x n 1, n Z .
m e d ia nte
o ig ua l q ue x, e s
S o lu c ió n : C om o
g
e stá d e finid a p a ra tod o s lo s va lo re s d e
, a p a rtir d e la d e finic ió n d e
E l d o m inio d e la func ió n e s e l c o njunto d e lo s núm e ro s re a le s; Domf R .
si 2 x 1 si 1 x 0
E l ra ng o d e la func ió n e s e l c o njunto d e lo s núm e ro s e nte ro s, Ranf Z . La ta b la d e va lo re s se m ue stra a c o ntinua c ió n. x
f (x)
… …
2 x 1
-2
1 x 0 -1
0 x 1 0
1 x 2 1
g x x x
2 x3
2
3 x 4 3
Si
si
0 x 1
si
1 x 2
si
2 x3
x
x,
su d o m inio e s
se o btie ne lo sig uie nte .
x 2; por tan to, G( x) 2 x x 1; por tan to, G( x) 1 x x 0; por tan to, G( x) x x 1; por tan to, G( x) 1 x x 2; por tan to, G( x) 2 x
… … y a sí suc e siva m e nte. D e m o d o m ás g e ne ra l, si n e s c ua lq uie r núm e ro e nte ro , e nto nc e s
La g rá fica d e la func ió n se re p re se nta e n la fig u ra 1.72.
si n x n 1,
x n;
por tan to, G( x) n x
C o n e sto s va lo re s d e func ió n se p ue d e d ib uja r la g rá fic a G , m o stra da e n la fig ura. A p a rtir d e la g rá fic a se o bse rva q ue e l c o ntra d o m inio e s (-1,0]. A l tra z a r la g rá fic a d e G( x) INT ( x) x se o b tie ne la fig ura 1.72. a ., lo c ua l ap o y a la resp ue sta .
Fig ura 1 .7 2 .
f ( x) x
Fig ura 1 .7 2 .a .
C á lc ul o d i fe re n c ia l
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
44
E je r c ic io s P r o p u e s t o s : C a p ít u lo 1 1.
Si A ={1,2,3} y B ={4,5,6,7}. H a lla r la s p a re jas q ue c um p le n c a d a re la c ió n. Lue g o , ha lla r su d o m inio y su ra ng o . a.
R 1 : “La sum a d e la p rim e ra c o m p o ne nte c o n la se g und a c o m p o ne nte e s m a y o r q ue 7” .
b.
R 2 : “E l p ro d uc to d e la p rim e ra c o m p o ne nte c o n la se g und a c o m p o ne nte es un núm e ro im p a r” .
c.
R 3 : “La p rim e ra c o m p o ne nte e q uiva le a la se g und a
d.
2.
3.
m.
b.
Si X R, Y R, R3 {( x, y ) / y x 2 1}
E va lua r ca d a func ió n p a ra lo s va lo re s q ue se ind ic a n.
c.
a.
R 4 : “La se g und a c o m p o ne nte e s e l d o b le d e la p rim e ra c o m p o ne nte ” .
b.
b.
4.
j.
R1 {( a, x), (b, y ), (c, z )} R2 {(1, x), (1, y ), (3, z )}
a.
f ( x) x 3 16 x
c o m p o ne nte d ism inuid a e n uno ” .
Ind ic a r c uá le s d e la s sig uie nte s re la c io ne s so n func io ne s. Lue g o justific a r la re sp ue sta. a.
x 2 4 si x 3 h( x ) 2 x 1 si 3 x x3 2x 2 f. g ( x ) x2 x h. f ( x ) x d.
f ( x) 2 x 2 3 ; p a ra f( -2) , f( 0) , f( 1) 6x 3 m f ( x) ; p a ra f(-1), f( 3m +1) , f 2 2 1 f ( x) 3x 5 ; p a ra f , f a 2 a 1 4
E n c a da uno d e lo s sig uie nte s e je rc ic ios, la func ió n e s el c o njunto d e to d as las pa re ja s (x , y) q ue sa tisfa c e n la e c ua c ió n d a da . E nc o ntra r e l d o m inio y e l ra ng o d e la func ió n y tra za r la g rá fic a d e la func ió n.
f ( x) 3 x 1 C á lc ul o d i fe re n c ia l
b.
g ( x) 3x 4
c.
h( x) 3x 2
h( x) x 1x 1x 3
f ( x) x 3 3x 4 p . h( x) x x 3 x 1 l.
f ( x)
e.
g.
x 1x 2 3x 10 x 2 6x 5
g ( x) x 2 1
i.
x si x 0 h( x) 2 si x 0
k.
g ( x) x 2 2 x 3
n.
h( x) x 1 x 3 x 2
o.
g ( x) x 4 4 x 3 2 x 2 12 x 3
2
5. E n lo s e je rc ic io s sig uie nte s, la s func io ne s f y g está n d e finida s. E n c a d a p ro b le m a d e finir la s sig uie nte s func io ne s y d e te rm ina r e l d o m inio d e la func ió n re sulta nte : 1) f+g; 2) f -g; 3) f.g ; 4) f/g; 5) g /f ; 6) g /f; 7) f o g; 8) g o f. a. b. c.
f ( x) x 5; g ( x) x 2 1 x 1 1 f ( x) ; g ( x) x 1 x
f ( x) x 2 1; g ( x) x 1
6. Da d as las sig uie nte s func io ne s, e nc o ntra r d o m inio y ra ng o. A d e m á s d e te rm ina r, si so n iny e c tiva s ( uno a uno ), b iy e c tiva s, so b re y e c tivas, pa r, im pa r, c re c ie nte, d e c re c ie nte , sim é tric a. Lue g o , tra z a r la g ra fica ( tab ula c ió n).
a ) f ( x) 2 x 4 3 x 2 1 c) g ( x) x
b) f ( x) 5x 7 1 x 1 d ) h( x) x 1 C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
45
6.
D e m o stra r q ue si f y g so n func io ne s im p a re s, e nto nc e s f.g y f/g so n func io ne s p a re s.
7.
Si
f ( x) x 2 2 x 2 ,
c ua le s 8.
f
R e s p u e s t as E je r c ic io s P r o p u e s t os : C a p ít u lo 1
e nc o ntra r d o s func io ne s g p a ra las
o g ( x) x 2 4 x 5
b. R 2 = {( 1,5) ,( 1,7) ,( 3,5) ,( 3,7) }; D o m R 2 ={1,3}; Ra n R 2 ={5,7}
Ev a lu a r la exp resió n f ( x h) f ( x) p a ra la s sig u ien tes fu n c ion es:
a ) f ( x) 3 x x 2
b) f ( x ) 2 x
c) g ( x) 3 x 5
d ) h( x ) x 3 2
c . R 3 = {( 3,4) }; D o m R 3 ={3}; Ra n R 3 ={4} d. R 4 = {( 2,4) ,( 3,6) }; D o m R 4 :={2,4}; Ra n R 4 :={3,6}
H a lla r una fó rm ula p a ra la func ió n f c uy o g rá fic o c o nsta de
x, y q ue
lo s p unto s
sa tisfa c e n ca d a una d e la s sig uie ntes
e c ua c io ne s.
a) x 5 y 4 x 2 0
b) x
2 y 2 y
c) 4 x 2 4 xy y 2 0
b.
5 x 1.7
b)
5 2 x1 7 x2 c.
11. E n lo s sig uie nte s e je rc ic io s e nc o ntra r la inve rsa d e f(x ). a)
f ( x)
3 x2
b)
f ( x) x 3
c)
f ( x) 2 x 3 1
d)
3
y sec x 2
b)
y 2senx
c ) y 3sen x 2
e)
1 y 4 tan x 2
f) y csc x
3 18m 9 m 3m 3 ; f 3m 1 ; f 2 2 2 2 1 17 f 4 4 f (1)
4. a. d om inio :
12. D e te rm ina r la a m p litud, p e rio d o y d e sfa sa m ie nto d e ca da func ió n. Lue g o , tra za r la g rá fic a q ue se d e sc rib e e n un p e rio d o . a ) y 4 sen x
2. a. Sí p o rq ue a c a da e lem e nto d e l d o m inio le c o rre sp o nd e uno y só lo un e lem e nto e n e l ra ng o. b. N o p o rq ue a un e le m e nto d e l d o m inio le c o rre sp o nd e n d o s e le m e nto s e n e l ra ng o . c . Sí p o rq ue a c ad a e le m e nto d e l d o m inio le c o rre sp o nd e uno y só lo un e le m e nto e n e l ra ng o . 3. a. f(-2) =5; f( 0) =3 y f( 1) =5
10. Re so lve r p a ra x: a)
R1 {(1,7), (2,6), (2,7), (3,5), (3,6), (3,7) }; D o m R 1 ={1,2,3}; Ra n R 1 ={5,6,7}
h
9.
1. a.
3
ra ng o
,
f ( x) 3 x 1 4 3 , ; g ( x) 3x 4
b . d o m inio :
3
, ;
ra ng o
0,
14. G ra fic a r la s sig uie nte s func io ne s lo g a rítm ic a s y ex p o ne nc ia le s: a)
f ( x) 2 x
C á lc ul o d i fe re n c ia l
b) f ( x) 3
2
x
c) g ( x) ln 5 x
d) f ( x) log 2 x 2 1
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s
46
c . d o m inio:
, ;
ra ng o
0,
b . 1) x 2 x 1 , d o m inio : to d o s lo s núm e ro s re a le s e x c ep to 0 y 1 2
h( x) 3x 2 2) 3) d . d o m inio :
, ;
ra ng o
4,
4)
x 2 4 si x 3 H ( x) 2 x 1 si 3 x
0,
e . d o m inio : to d o s lo s núm e ro s re a le s e x c e p to -5 y -1; ra ng o to d o s lo s núm e ro s re a le s ex c e p to -7 y -3. 0,
x 1x 2 3x 10 f ( x)
5) 6) 7)
c.
x 2 6x 5
x2 x x 2 1 , d om inio : tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to 0 y 1 x2 x x 1 , d om inio : tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to 0 y 1 x2 x x 2 x , d om inio : tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to 0 y 1 x 1 x 1 , d o m inio : to d o s lo s núm e ro s re a le s e x c ep to -1, 0 y 1 x2 x x 1 , d om inio : tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to 0 y 1 1 x
x 1 , 1 x
1) 2) 3)
f. d o m inio : to d o s lo s núm e ro s re a le s e x c ep to 2; ra ng o
0, 0,
4)
x3 2x 2 g ( x) x2
5)
x 2 1 x 1 , d o m inio : 1,
1, x 1 x 1 , d om inio : 1, x 1 , d om inio : 1, 1 , d om inio : 1, x2 1 x 1 ,
x2,
2) 3) 4)
x 5 / x
2
1 ,d o m : to d os lo s núm e ro s re a les ex c e p to -1 y 1
6. a ) p a r; 8.
d om inio :
6) 7)
x 6 , d om inio , x 2 10 x 24 , d om inio , 2
g( x) = x – 3;
9. a ) 3 2x h
C á lc ul o d i fe re n c ia l
10. a ) f ( x) 11. a )
, 2 y 2,
b) ning una ;
b)
2 4x x5
x 0.33
c ) pa r;
d ) ning una
g (x ) = 1 - x
5) x 1 / x 5 , d o m inio : to d o s lo s núm e ro s re a le s e x c ep to 5 2
2,
x 2 1 1 , d om inio :
7)
x 2 x 6 , d o m inio: , x 2 x 4 , d om inio , x 3 5x 2 x 5 , d o m inio : ,
d om inio :
x 1
6)
5. a. 1)
d om inio : tod o s lo s núm e ro s rea le s ex c e p to -1 y 1
2
2x h 2 x
c) 3
b ) f ( x) 2x 1
x 1
b)
d) 3x 2 3xh h 2
c ) f(x ) = 2x
x 4.325
C a p í t ulo 1 : F un c io n e s
47
12. a )
13. a)
f 1 ( x)
3 2x x
b)
f
A 4, T 2 , desfase :
y 4 sen x 3
1
( x) 3 x
c)
f 1 ( x) 3
x 1 2
e ) A no tiene, T 4 , desfase : no hay
1 y 4 tan x 2
3 f)
A no tiene, T 2 , desfase :
y csc x 3 b)
A 2, T 2 , desfase :
14. a )
y 2senx
c)
A 3, T 2 , desfase :
2 y 3sen x 3
d)
C á lc ul o d i fe re n c ia l
b)
3 f ( x) 2
x
2 3 c)
g ( x) ln 5 x
d)
f ( x) log 2 x 2 1
A no tiene, T 2 , desfase :
y s ec x 2
f ( x) 2 x
3
2
C a p í tul o 1 : F un c i o n e s