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P R I M E R
Relaciones y funciones
PARCIAL Vera Alvarado Diana Silvia 3”B” Ingenierías
Índice: Evaluación de funciones Operaciones con funciones Tipos de funciones Relaciones y funciones Guía del primer parcial
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RELACIONES Y FUNCIONES
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OPERACIONES Y FUNCIONES
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GUIA DEL EXAMEN
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LIMITES
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S E G U N D O
P A R C I A L
Índice Función por partes Casos de limites Aplicación de la definición de límite de una función y sus propiedades Limites en el infinito Guía segundo parcial
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Función por partes
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Casos de límites
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APLICACIÓN DE LA FUNCION DE LIMITE DE UNA FUNCIÓN Y SUS PROPIEDADES
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Limites en el infinito
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Guia del segundo parcial
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DIFERENCIAL
Tercer Parcial
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C A L C U L O
Índice Límite de funciones exponenciales Razón de cambio promedio Razón de cambio instantánea Derivada de funciones
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Limite de funciones exponenciales
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Razon de cambio promedio
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Razón de cambio instantánea
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DERIVADA DE FUNCIONES
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C D A I L F C E U R L E O N
CUARTO PARCIAL Vera Alvarado Diana Silvia 3”B” Ingenierías
C I A L
Índice: Máximos y mínimos de una función (local y absoluto)
Pág. 3
Graficas
Pág. 4
Ejemplos
Pág. 5-6
Concavidad de la curva
Pág. 7
Ejemplos
Pág. 8
Bibliografias Pág.10
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Introducción: En este cuarto parcial para portafolio de cálculo diferencial veremos que son los máximos y mínimos de una función, así podremos elaborar gráficas y ver ejemplos. MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Entre los valores que puede tener una función (Y) puede haber que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos. Si una función continua es ascendente en un intervalo a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo. Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto el cual empieza a ascender, a ese punto lo llamamos punto crítico relativo, o simplemente mínimo. Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos. Curva sin máximos ni mínimos, función sin máximos ni mínimos.
Los máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores más grandes( Máximos) o más pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad. REGLA PARA ENOCNTRAR LOS MAXIMOS Y MINIMOS. Se encuentra la primera derivada de la función. Se iguala a cero la primera derivada y se encuentra las raíces de la ecuación resultante, estas raíces son los valores críticos de la variable. Se considera los valores critico uno por uno y se calculan los signos de la primera derivada en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que el valor crítico. Si el signo de la derivada es + y después – la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable, en caso contrario tiene un mínimo, Si el signo no cambia la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor critico considerado.
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Hallaremos la primera derivada y calcularemos sus raíces. F’(x) = 3x2 -3 =0
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X= -1
X=1
Realizaremos la segunda derivada F’’(x) >0 (Mínimo) F’’(x)<0
(Máximo)
F’’(x)=6x F’’(-1)= -6 F’’(1) =6 EJERCICIOS: Ejercicio numero 1 Calculamos los extremos F(-1) = (-1)3 – 3(-1)+2=4 F(1)= (a)3 -3(1)+2=0 MAXIMO (-1, 4) Minimo (1,0) Ejercicio numero 2 F(x) = X4 -8X2+3 F’(x)= 4x3 – 16x
= 4x3-16x=0
X=-2 x=0
x=2
F’’(x)= 12x2 -16 F’’(-2)=12(-2)2 -16>0 Mínimo (-2, -13) F’’(0)=12(0)2 -16 <0
Máximo (0,3)
F’’(2)=12(2)2-16 >0
Mínimo (2,-13)
Ejercicio numero 3
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Ejercicio numero 4
Ejercicio numero 5
Puntos de inflexión y concavidad de la curva Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe. En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.
En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente
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de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente: 1. Se halla la primera derivada de 2. Se halla la segunda derivada de 3. Se halla la tercera derivada de 4. Se iguala la segunda derivada a 0: 5. Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma: 6. Se halla la imagen de cada
sustituyendo la variable dependiente en la función.
7. Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada
:
1. Si
, se tiene un punto de inflexión en
2. Si
, debemos sustituir
.
en las sucesivas derivadas hasta sea
distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la que
no sea nulo, hay
que ver qué derivada es: 1. Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión. 2. Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión. La ecuación no tiene puntos de inflexión, porque la derivada segunda es siempre mayor o igual a cero, por tanto no hay cambio de concavidad dado que es no negativa en todo su dominio. Sin embargo en derivada no nula en presenta un extremo en
la derivada segunda se anula y la primera
es la derivada cuarta, que es par. Obsérvese que .
Ejemplo 1
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tampoco
Ejemplo 2
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Ejemplo 3
Ejemplo 4
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Bibliografías
http://www.slideshare.net/ceciliateresa/maximos-y-minimos-de-una-funcion http://matematica1.com/category/maximos-y-minimos-relativos-de-una-funcion/page/3/ http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html http://www.dervor.com/derivadas/punto_inflexion.html
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