I Unidad by diaz_salvatierra@hotmail.com

SOCIAL

FACULTAD DE PSICOLOGÍA Y TRABAJO SOCIAL

CURSO: LÓGICA RESUMEN: I UNIDAD

CURSO: LÓGICA

ÍNDICE

Presentación .............................................................................................. Introducción .............................................................................................. Indicadores editoriales .................................................................................

9 11 13

PRIMERA UNIDAD Conceptos básicoa ......................................................................................

Lección 1 La lógica y sus problemas......................................................................... 1.1. ¿Qué es la lógica? ........................................................................... 1.2. Premisas y conclusiones ...................................................................

17 17 19

Lección 2 Proposiciones e inferencias ....................................................................... 1.1. Concepto de proposición .................................................................. 1.2. Expresiones que no son proposiciones................................

29 29 30

Lección 3 y 4 Los principios lógicos ............................................................................... Los símbolos para la conjunción,la negación y la disyunción .......................... 1. Conjunción ..................................................................................... 2. Negación........................................................................................ 3. Disyunción ..................................................................................... 4. Puntuación ..................................................................................... Actividades de la Primera Unidad ...................................................................

39 39 40 42 43 44 47

P R E S E N TA C I Ó N El Fondo Editorial de la Universidad Inca Garcilaso de la Vega participa como editor de libros de ciencias, humanidades, artes y textos universitarios principalmente para sus alumnos de pregrado y posgrado de las diferentes modalidades de estudio que se imparten en nuestra institución y para el público en general. Dicho trabajo comprende la búsqueda de autores, la coordinación con las áreas académicas de la Universidad, el diseño, corrección de estilo e impresión de las obras. Esta labor de producción editorial se realiza bajo los más altos estándares de calidad que una institución superior, seria como la nuestra, debe cumplir, todo ello bajo una visión sistémica, pro desarrollo de la mente y del pensamiento crítico. Aunque en los últimos años, producto del proceso de digitalización que el mundo experimenta, se ha considerado la posibilidad de extinción de los libros en medio físico, se ha podido comprobar que este siempre mantendrá su mercado cautivo, y más bien los medios digitales han contribuido a expandir más su mercado, posibilitando incluso alcanzar nichos a los que anteriormente no se llegaba. Por todo ello, el Rectorado, a través del Fondo Editorial, reitera su compromiso con nuestra Universidad y con el País, de participar activamente y con su mejor disposición, en esta gran tarea que es la difusión del conocimiento entre su alumnado y en la sociedad en general, obra que debe ir acorde a las nuevos requerimientos y parámetros que el mundo en estos tiempos actuales demanda. Fondo Editorial

INTRODUCCIÓN Durante mucho tiempo se ha concebido a la lógica como una disciplina propedéutica y obligada en los estudios generales. También se ha identificado la lógica con su versión simbólica, al punto de creer que las inferencias lógicas y su simbolización lo eran todo. Consideramos que la lógica, en sentido general, es sumamente provechosa, pero para poder comprender al máximo este punto debemos indicar que hay una variedad de posibilidades para la lógica. En las cuatro unidades presentadas en este libro, veremos la lógica simbólica, la lógica de predicados, la teoría de la argumentación y la lógica deóntica. Ahora, debemos dejar en claro que son presentaciones a cada lógica. Luego es tu tarea profundizar más y usar la lógica que mejor te sirva y aprovecharla al máximo. En el caso de la primera parte del curso (primera y segunda unidad) se analizan aspectos básicos de la lógica. Te sugiero que prestes mucha atención a lo expuesto allí. Luego, en el caso de la segunda parte del curso (tercera y cuarta unidad), se exploran dos elementos importantes que actualmente han ido revitalizando su importancia: la teoría de la argumentación y la lógica deóntica. Se trata de dos elementos nuevos y no muy usuales en estos cursos, así que te pediría que te mantengas alerta. El material que compone este libro ha sido tomado de distintos libros de autores especializados en el tema de la lógica. Cada uno tiene, en este sentido, su estilo propio y también sus técnicas didácticas. Por ello también hay que mantenerse alerta en la lectura, anotando pasajes clave, así como definiciones. Completa las actividades al final de cada unidad y sigue las sugerencias para el estudio.

z 11 z

SUGERENCIAS PARA EL ESTUDIO Recuerda Para aprender es necesario un aprendizaje activo y reflexivo para lo cual tienes que: a. Activar la información previa que tienes con relación al tema y sobre la base de ella iniciar la construcción de tu aprendizaje: ¿qué sé sobre este tema?, ¿qué tarea me solicitan, es fácil o difícil?; ¿qué materiales necesito? b. Marcar y anotar las palabras nuevas a fin de que busques su significado y entiendas mejor el tema. En este libro no usamos glosario, pues eres tú quien debe construirlo para de esa forma fomentar el aprendizaje activo. c. En este libro los ejercicios están basados en el uso del lenguaje. Debes leer y resolver las interrogantes oportunamente, también debes disponer un tiempo en particular para ello. d. Al finalizar tu estudio la pregunta siempre debe ser: ¿Qué de nuevo aprendí?, ¿qué tema sigue? ¿Para qué me sirve lo aprendido?

z 12 z

indicaciones EDITORIALES Para poder mantener la fluidez de la sesiones, colocaremos aquí las referencias bibliográficas de los textos incluidos. Priemra unidad: Copi, I., & Cohen, C.

(2007). Introducción a la lógica. México D.F.: Limusa. pp. 17-30.

García Zarate, Ó.

(2003). Introducción a la lógica. Lima : Fondo Editorial UNMSM. pp. 71-81.

Copi, I., & Cohen, C.

( 2 0 0 7 ) . Int r od uc c ión a la lóg ic a. México D.F.: Limusa. pp. 322-331.

Segunda unidad: Copi, I., & Cohen, C.

(2007). Introducción a la lógica. México D.F.: Limusa. pp. 245-249.

Tercera unidad: Perelman, C., & Oldbercht-Tyteca, L. (1989). Tratado de la argumentación. Madrid: Editorial Gredos. pp. 47-52. Bustamante, A.

(2009). Lógica y argumentación. México D.F.: Pearson. pp. 9-22.

Perelman, C., & Oldbercht-Tyteca, L. (1989). Tratado de la argumentación. Madrid: Editorial Gredos. pp. 52-64.

z 13 z

Cuarta unidad: Alarcon, C.

(1989). Las l贸gicas de贸nticas de Georg H. von Wright. Alicante: Universidad de Alicante.

z 14 z

p r i m e r a

UNIDAD Conceptos básicos

¿Qué es la lógica? ¿Qué es razonamiento? ¿Qué son premisas y conclusiones? z 15 z

L e c c i ó n

LA LÓGICA Y SUS PROBLEMAS 1.1 ¿Qué es la lógica? La lógica es el estudio de los métodos y principios que se usan para distinguir el razonamiento bueno (correcto) del malo (incorrecto). Esta definición no implica que sólo el estudiante de lógica pueda razonar bien o correctamente. Pensar así es tan erróneo como creer que para correr bien se requiere estudiar la física y la fisiología asociadas con esa actividad. Algunos atletas excelentes ignoran por completo los procesos complejos que tienen lugar en el interior de su cuerpo cuando están compitiendo. Sobra decir que los viejos profesores que saben mucho al respecto no se atreverían a incursionar en el terreno atlético. Aun con el mismo aparato nervioso y muscular básico, la persona que posee tales conocimientos no puede sobrepasar al “ e a natural”. Pero dada la misma inteligencia nata, es más probable que una persona que ha estudiado lógica razone correctamente y menos probable que así razone una persona que nunca ha reflexionado acerca de los principios generales involucrados en esa actividad. Hay varias razones que explican esto. Primera, el estudio apropiado de la lógica la entenderá lo mismo como un arte que como una ciencia, y el estudiante se ejercitará en cada una de las partes de la teoría que está aprendiendo. En este como en cualquier otro caso, la práctica llevará al perfeccionamiento. Segunda, una parte tradicional del estudio de la lógica ha sido el examen y el análisis de las falacias, que son errores muy frecuentes y “ urales” del razonamiento. Esta parte del tema proporciona una visión más cabal acerca de los principios del razonamiento en general y de que la familiaridad con esas trampas nos ayuda a evitar caer en ellas. Por último, el estudio de la lógica proporcionará a los estudiantes, técnicas y métodos para verificar la corrección de muchos tipos diferentes de razonamiento, incluyendo el suyo propio; y cuando los errores se pueden detectar fácilmente, es menos probable que perduren.

z 17 z

lógica

En ocasiones, la apelación a las emociones es un recurso eficaz. Pero la apelación a la razón es más efectiva a la larga y se puede verificar y evaluar mediante criterios que definen la corrección de un argumento. Si estos criterios no se conocen, entonces no se pueden aplicar. El estudio de la lógica ayuda a descubrir y utilizar estos criterios de corrección de argumentos que pueden usarse. Frecuentemente, se ha definido a la lógica como la ciencia de las leyes del pensamiento. Pero esta definición, aunque proporciona una clave para comprender la naturaleza de la lógica, no es apropiada. En primer lugar, el pensamiento es estudiado por los psicólogos. La lógica no puede ser “ ” ciencia de las leyes del pensamiento porque la psicología también es una ciencia que trata de las leyes del pensamiento (entre otras cosas). Y la lógica no es una rama de la psicología; es un campo de estudio diferente e independiente. En segundo lugar, si “pe m e o” se refiere a cualquier proceso que tiene lugar en la mente de las personas, no todos los pensamientos son objeto de estudio de los lógicos. Todo razonamiento es un pensamiento, pero no todo pensamiento es razonamiento. Así, uno puede pensar en un número del uno al diez, como sucede en un juego de salón, sin hacer “razo m e o” alguno acerca de él. Hay varios procesos mentales o tipos de pensamiento que son diferentes del razonamiento. Uno puede recordar algo, imaginarlo o lamentarse de él, sin hacer razonamiento alguno en torno a ello. O puede dejar que los pensamientos “ su ur o” en un ensueño en una fantasía, haciendo lo que los psicólogos llaman asociación libre, en la cual una imagen reemplaza a otra en un orden que no es lógico. La secuencia de pensamientos en esa asociación libre frecuentemente tiene mucho significado y algunas técnicas psiquiátricas recurren a ella. El conocimiento que se logra del carácter de una persona al internarse en el curso de su flujo de ideas es la base de una técnica literaria muy eficaz iniciada por James Joyce en su novela Ulises. Por el contrario, si de antemano se conoce bien el carácter de una persona es posible reconstruir, o aun anticipar, el curso del flujo de ideas de esa persona. Sherlock Holmes, recordemos, acostumbraba romper los silencios de su amigo Watson para responder la misma pregunta a la que el doctor Watson se había visto “ ev do” en sus meditaciones. Esto parece mostrarnos que hay algunas leyes que gobiernan la asociación, pero éstas no son objeto de estudio de los lógicos. Las leyes que describen el curso de la mente en el sueño son premisas y conclusiones psicológicas, no lógicas. La definición de la “ ó ” como la ciencia de las leyes del pensamiento, la presenta como incluyendo demasiado. A veces se define a la lógica como la ciencia del razonamiento. Esta definición es mucho mejor, pero también resulta inapropiada. El razonamiento es una forma especial de pensamiento en la cual se resuelven problemas, se realizan inferencias, esto es, se extraen conclusiones a partir de premisas. Es un tipo de pensamiento, sin embargo, y por lo tanto, forma parte de los temas que interesan al psicólogo. Tal como los psicólogos examinan el proceso de razonamiento, encuentran que es extremadamente complejo, altamente emotivo, consistente de procedimientos de ensayo y error iluminados por momentos súbitos, y en ocasiones en apariencia irrelevantes, de comprensión o intuición. Estos destellos son muy importantes para la psicología. El lógico, empero, está interesado esencialmente en la corrección del proceso completo de razonamiento. El lógico pregunta: ¿Tiene solución el problema?, ¿se sigue la conclusión de las premisas que se han afirmado o supuesto?, ¿las premisas proporcionan buenas razones para aceptar la conclusión? Si el problema queda resuelto, si las premisas proporcionan las bases adecuadas para afirmar la conclusión, si afirmar las premisas constituye una z 18 z

Christian Córdova robles

verdadera garantía para afirmar la verdad de la conclusión, entonces el razonamiento es correcto. De lo contrario, es incorrecto. Esta distinción entre el razonamiento correcto e incorrecto es el problema central con el que trata la lógica. Los métodos y técnicas del lógico se han desarrollado con el propósito fundamental de aclarar esta distinción. Todo razonamiento (independientemente de su objeto) es de interés para el lógico, pero fijando su atención especialmente en la corrección como punto central de la lógica

1.2. Premisas y conclusiones Para aclarar la explicación de la lógica que se ofreció en la sección anterior, será útil enunciar y discutir algunos de los términos especiales que usan los lógicos en su trabajo. Inferencia es el proceso por el cual se llega a una proposición y se afirma sobre la base de una o más proposiciones aceptadas como punto inicial del proceso. Para determinar si una inferencia es correcta, el lógico examina las proposiciones que constituyen los puntos inicial y final de este proceso, así como las relaciones que existen entre ellos. Las proposiciones son o verdaderas o falsas, y en esto difieren de las preguntas, órdenes y exclamaciones. Solamente las proposiciones se pueden afirmar o negar; las preguntas se pueden responder, las órdenes se pueden dar y las exclamaciones pueden pronunciarse, pero ninguna de ellas se puede afirmar, negar o juzgarse como verdadera o falsa. Es usual distinguir entre las oraciones y las proposiciones que expresan. Dos oraciones, que son claramente distintas porque constan de diferentes palabras ordenadas en distintas formas, pueden en el mismo contexto tener el mismo significado y emplearse para afirmar la misma proposición. Por ejemplo, Juan ama a María. María es amada por Juan. Son dos oraciones diferentes, porque la primera contiene cuatro palabras mientras que la segunda contiene cinco; la primera comienza con la palabra “Ju ”, la segunda con “M r ”, y así sucesivamente. Pero las dos oraciones tienen exactamente el mismo significado. Usamos el término proposición para referirnos al contenido que ambas oraciones afirman. La diferencia entre oraciones y proposiciones puede entenderse mejor si se hace notar que una oración es siempre oración de un lenguaje particular, del lenguaje en el cual se emite, mientras que las proposiciones no son propias de ningún lenguaje. Las cuatro oraciones: It is raining. Está lloviendo. Ji pleut. Es regnet. z 19 z

lógica

Ciertamente son diferentes, porque están escritas en lenguajes diferentes: inglés, español, francés y alemán, pero tienen el mismo significado, y en un contexto apropiado se pueden usar para afirmar la proposición de la cual cada una es una formulación distinta. En diferentes contextos puede emitirse exactamente la misma proposición para establecer diferentes enunciados. Por ejemplo, uno puede emitir la oración: El actual presidente de Estados Unidos es un ex congresista. Que en 1990 correspondía a un enunciado verdadero acerca de George Bush, mientras que en 1987 correspondía a un enunciado falso sobre Ronald Reagan. En esos contextos temporales diferentes, se puede emitir dicha oración para afirmar diferentes proposiciones o establecer diferentes enunciados. Los términos “propo ó ” y “e u do” no son exactamente sinónimos, pero en el contexto de la investigación lógica se usan en un sentido muy parecido. Algunos autores prefieren el término “e u do” al de “propo ó ”, si bien este último ha sido más común en la historia de la lógica. En esta obra se usarán ambos términos. En correspondencia con cada inferencia posible hay un argumento, y el principal interés de los lógicos concierne a los argumentos. Desde el punto de vista del lógico, un argumento es cualquier conjunto de proposiciones de las cuales se dice que una se sigue de las otras, que pretenden apoyar o fundamentar su verdad. Por supuesto, la palabra “ r ume o” se usa frecuentemente en otros sentidos, pero en lógica tiene el sentido que se ha explicado. Un argumento, en el sentido lógico, no es una mera colección de proposiciones, sino que tiene una estructura. Al describir esta estructura, suelen usarse los términos “prem ” y “ o u ó ”. La conclusión de un argumento es la proposición que se afirma con base en las otras proposiciones del argumento, y estas otras proposiciones, que son afirmadas (o supuestas) como apoyo o razones para aceptar la conclusión, son las premisas de ese argumento. El tipo más simple de argumento consiste sólo de una premisa y una conclusión, que se dice está implicada por, o se sigue de, la primera. Un ejemplo en el que cada una de ellas se enuncia en una oración independiente es el siguiente: Estados Unidos es en lo fundamental un importador de energéticos. Por tanto, hay una certeza matemática de que la nación en su totalidad mejora, no empeora, con la baja de los precios del petróleo. Aquí se enuncia primero la premisa y luego la conclusión. Pero el orden en el que son enunciadas no es importante desde el punto de vista lógico. Un argumento en el que la conclusión se enuncia en la primera oración y la premisa en la segunda es: los casos que provocan escándalos, así como los difíciles, perjudican la aplicación de la ley. Los casos escandalosos se llaman así a causa de algún accidente de interés inmediato o sobresaliente que apela a los sentimientos y distorsiona la capacidad de apreciación de los jueces. En algunos argumentos, la premisa y la conclusión se enuncian en la misma oración. El siguiente es un argumento de una sola oración cuya premisa precede a su conclusión: Como las sensaciones son esencialmente privadas, no podemos saber cómo es el mundo para otras personas.

z 20 z

Christian Córdova robles

En ocasiones, la conclusión precede a la premisa en un argumento de una sola oración, como en el siguiente ejemplo: Cuando se ofrecen razones en un esfuerzo por persuadirnos a realizar una acción determinada, se nos presenta algo, que es, en efecto, un argumento aun cuando la “ o u ó ” se pueda expresar como una orden o un imperativo. Consideremos, por ejemplo, los siguientes dos pasajes: La sabiduría es lo principal; por tanto, hay que buscar la sabiduría. No hay que prestar ni pedir prestado; porque al hacerlo pierde uno mismo y pierde también a su amigo. Aquí la orden puede igualmente preceder o seguir a la razón o razones ofrecidas para persuadir al oyente o lector de hacer lo que se ordena. Por razones de uniformidad y simplicidad, es útil considerar las órdenes, en estos contextos, de forma indistinguible de las proposiciones en las que los oyentes (o lectores) reciben el mensaje de que deben o deberían actuar de determinada forma. La diferencia exacta que existe, si es que realmente la hay, entre una orden de hacer tal o cual cosa y el enunciado de que se debe hacer tal o cual cosa es un intrincado problema que no necesitamos explorar aquí. Ignorando la diferencia (si es que existe realmente) somos capaces de reconocer ambos tipos de argumentos como grupos estructurados de proposiciones. Algunos argumentos ofrecen varias premisas en apoyo a sus conclusiones. Ocasionalmente, estas premisas se enumeran como primera, segunda, tercera, o a), b), c), como en el siguiente argumento en el cual el enunciado de la conclusión precede a los enunciados de las premisas: Decir que los enunciados acerca de la conciencia son enunciados sobre procesos cerebrales es una falsedad manifiesta. Esto se muestra a) por el hecho de que uno puede describir las propias sensaciones e imágenes mentales sin saber nada acerca de los procesos cerebrales, ni siquiera de que existen, b) por el hecho de que los enunciados acerca de la propia conciencia y los enunciados acerca de los propios procesos cerebrales se verifican de maneras completamente distintas, y c) por el hecho de que no hay nada contradictorio en el enunciado “X siente un dolor pero no tiene ningún problema en el cerebro”. En el siguiente argumento la conclusión se enuncia al final, precedida por tres premisas: Puesto que la felicidad consiste en la paz de la mente y puesto que la paz mental perdurable depende de la confianza que tengamos en el futuro y la confianza se basa en el conocimiento que tenemos de la naturaleza de Dios y del alma, se sigue que la ciencia es necesaria para la verdadera felicidad. Saber contar las premisas de un argumento no es tan importante en esta etapa de nuestro estudio, pero adquirirá importancia más adelante a medida que avancemos en el análisis y la diagramación de argumentos más complicados. Para listar las premisas del argumento precedente, no podemos apelar simplemente al número de oraciones en las que están escritas. Si estuvieran todas ellas en una misma oración, no por ello deberíamos negar su multiplicidad. z 21 z

lógica

Debemos notar que “prem ” y “ o u ó ” son términos relativos: una y la misma proposición puede ser una premisa en un argumento y una conclusión en otro. Consideremos, por ejemplo, el argumento: las leyes humanas son apropiadas para la gran mayoría de los seres humanos. La mayoría de las personas no son perfectamente virtuosas. Por lo tanto, las leyes humanas no prohíben todos los vicios. Aquí, la proposición de que las leyes humanas no prohíben todos los vicios es la conclusión y las dos proposiciones anteriores son sus premisas. Pero la conclusión de este argumento es una premisa en el siguiente argumento (diferente): ...los actos viciosos son contrarios a los actos virtuosos. Pero las leyes humanas no prohíben todos los vicios,... Por lo tanto, tampoco prescriben todos los actos virtuosos. Ninguna proposición por sí misma, considerada en forma aislada, es una premisa ni una conclusión. Es una premisa solamente cuando aparece como supuesto de un argumento. Es una conclusión solamente cuando aparece en un argumento y pretende fundamentarse en otras proposiciones del argumento. Así, “prem ” y “ o u ó ” son términos relativos, como “emp e dor” y “emp e do”. Una persona en sí misma no es empleador ni empleado, pero puede ser cualquiera de las dos cosas en diferentes contextos: empleador de nuestro jardinero, empleado de la firma para la que uno trabaja. Los argumentos precedentes o bien tienen sus premisas seguidas de su conclusión, o a la inversa. Pero la conclusión de un argumento no necesita enunciarse como su parte final o al principio del mismo. Puede suceder, y frecuentemente sucede, que se halle en medio de diferentes premisas que se ofrecen en su apoyo. Este arreglo se ilustra como sigue: Puesto que la libertad y el bienestar son las condiciones necesarias de la acción y en general de la acción exitosa, cada agente debe reconocer estas condiciones como bienes necesarios para sí mismo, puesto que sin ellas no sería capaz de actuar para conseguir un propósito determinado, sea en absoluto o con las oportunidades generales de lograr el éxito”. Aquí la conclusión de que cada agente debe reconocer estas condiciones como bienes necesarios para sí mismo se afirma sobre la base de las proposiciones que la preceden y de las que la siguen. Para cumplir la meta del lógico de distinguir los argumentos buenos de los malos, uno debe ser capaz de reconocer los argumentos cuando ocurren y de identificar sus premisas y conclusiones. Dado un pasaje que contiene un argumento, ¿cómo puede uno decir cuál es su conclusión y cuáles sus premisas? Hemos visto ya que un argumento se puede enunciar poniendo primero su conclusión, colocándola al final o en medio de varias premisas. Por tanto, la conclusión de un argumento no se puede identificar en términos de su posición en la formulación del argumento. Entonces, ¿cómo se puede reconocer? A veces, por la presencia de palabras especiales que aparecen en diferentes partes de un argumento. Algunas palabras o frases sirven de manera característica para introducir la conclusión de un argumento.

z 22 z

Christian Córdova robles

Llamaremos “ d dore de la o u ó ” a tales expresiones. La presencia de cualquiera de ellas las anuncia frecuentemente, pero no siempre, que lo que sigue es la conclusión de un argumento. Esta es una lista parcial de indicadores de conclusión: •

por lo tanto

•

de ahí que

•

así correspondientemente

•

en consecuencia

•

consecuentemente

•

lo cual prueba que

•

como resultado

•

por esta razón

•

por estas razones

•

se sigue que

•

podemos inferir que

•

concluyo que

•

lo cual muestra que

•

lo cual significa que

•

lo cual implica que

•

lo cual nos permite inferir que

•

lo cual apunta hacia la conclusión de que

Otras palabras o frases sirven de manera característica para señalar premisas de un argumento. Llamaremos a tales expresiones “ d dore de premisas”. La presencia de cualquiera de ellas señala frecuentemente, pero no siempre, que lo que sigue es la premisa de un argumento. Esta es una lista parcial de indicadores de premisas: •

puesto que como es indicado por

•

dado que la razón es que

•

a causa de por las siguientes razones

z 23 z

lógica

•

porque se puede inferir de

•

pues se puede derivar de

•

se sigue de se puede deducir de

•

como muestra en vista de que

Una vez que se ha reconocido un argumento, estas palabras y frases nos ayudan a identificar las premisas y la conclusión. Pero no cualquier pasaje que contiene un argumento necesita contener estos términos lógicos especiales. Consideremos, por ejemplo: Dentro de 20 años, la única hoja de maple que quede en Canadá podría ser la del emblema nacional. La lluvia ácida está destruyendo los árboles de maple de la zona central y oriental de Canadá, lo mismo que de Nueva Inglaterra. Si bien no aparecen en el pasaje anterior los indicadores de premisas o de conclusión, se trata claramente de un argumento cuya conclusión está enunciada primero y se sigue de una premisa que se ofrece en su apoyo. La misma estructura aparece en el siguiente ejemplo: Un pequeño descuido puede ocasionar un gran problema... por falta de un clavo se perdió la herradura; por falta de herradura se perdió el caballo y por no haber caballo se perdió el jinete. Aunque lo anterior se podría considerar como la enunciación de una bien conocida verdad popular que se ilustra con la pérdida de la herradura y la consecuente pérdida del jinete, puede igualmente entenderse como un argumento cuya conclusión está enunciada primero y seguida por tres premisas que se dicen para apoyarla. Un ejemplo algo más complicado de un argumento en cuya formulación no aparecen indicadores de premisas ni de conclusión es el siguiente: Muestra de razonamiento obtuso es introducir el tema del “ bre ejer o” de la religión en el presente caso. Nadie está forzado a ir a las clases de religión y ninguna institución religiosa va a llevar su culto y su credo a los salones de clase de las escuelas públicas. Un estudiante no está obligado a tomar instrucción religiosa. En sus propios deseos están la forma o el momento de expresar su devoción religiosa, si la hay. Aquí la conclusión, que se puede parafrasear como “el caso presente no tiene nada que ver con el libre ejercicio de la religión”, está enunciada en la primera oración. Las últimas tres oraciones ofrecen bases o razones en apoyo a esa conclusión. ¿Cómo podemos saber que la primera oración enuncia la conclusión y las restantes expresan las premisas? El contexto es de enorme ayuda aquí, como siempre suele serlo. También resultan útiles algunas de las frases usadas para expresar las diferentes proposiciones. La frase “mue ra de razonamiento obtuso es introducir...” sugiere que la cuestión de si el “ bre ejercicio” de la religión está involucrado en este caso es precisamente el punto de desacuerdo. Sugiere que alguien ha reclamado que hay un problema de libertad religiosa en el caso y que la Corte rechaza el reclamo y, por tanto, arguye contra él. z 24 z

Christian Córdova robles

Las otras proposiciones se enuncian en términos de cuestiones de hecho, sugiriendo que no hay discusión acerca de ellos y, por tanto, no se cuestiona su aceptabilidad como premisas. No todo lo que se dice en el curso de un argumento es una premisa o la conclusión del mismo. Un pasaje que contiene un argumento puede también contener otros materiales que a veces pueden carecer de importancia, pero frecuentemente proporcionan importante información contextual que permite al lector o al oyente entender de qué trata el argumento. Por ejemplo, consideremos el argumento contenido en el siguiente pasaje: El glaucoma no tratado es causa principal de una ceguera progresiva sin dolor. Se dispone de métodos para la detección oportuna y el tratamiento efectivo. Por esta razón, la ceguera por glaucoma es especialmente trágica. La tercera proposición contenida en este pasaje es la conclusión, como se muestra por la presencia del indicador de conclusión “por esta razón”. La segunda proposición es la premisa. La primera proposición no es parte del argumento, estrictamente hablando. Pero su presencia nos permite entender que los métodos disponibles a los que se refiere en la premisa son métodos para la detección oportuna y el tratamiento efectivo del glaucoma crónico. Si quisiéramos proporcionar un análisis completo del argumento anterior, podríamos reformular las proposiciones que lo constituyen como sigue: PREMISA: Existen métodos para la detección oportuna y el tratamiento eficaz del glaucoma crónico CONCLUSIÓN: La ceguera por glaucoma crónico es especialmente trágica. Otro ejemplo de este punto se encuentra en uno de los ensayos de Schopenhauer: Si el derecho penal prohíbe el suicidio, esto no es un argumento válido para la Iglesia; y, además, la prohibición es ridícula, pues ¿qué pena puede atemorizar a una persona que no tiene miedo ni siquiera a la muerte? Aquí, el material de la frase que precede al punto y coma no es una premisa ni una conclusión. Pero sin esa información, no podríamos saber a qué prohibición se refiere la conclusión. En este caso la conclusión es que la ley criminal que prohíbe el suicidio es ridícula. La premisa ofrecida en apoyo de ella es que ninguna pena puede atemorizar a una persona que no tiene miedo a la muerte. Este ejemplo muestra también que las proposiciones se pueden afirmar en forma de preguntas retóricas, que se usan para hacer afirmaciones más bien que para plantear preguntas, aun cuando se expresan en forma interrogativa. Otros ejemplos de argumentos que contienen enunciados formulados como preguntas retóricas son los siguientes: ...si nadie desea ser miserable, nadie, Menón, desea el mal, pues ¿qué es la miseria sino el deseo y la posesión del mal?

z 25 z

lógica

Si una persona dice, amo a Dios y odio a mi hermano, está mintiendo: porque si no ama a su hermano, a quien ha visto, ¿cómo puede amar a Dios, a quien no ha visto? Al analizar el argumento de Schopenhauer, y el anterior que se refiere al libre ejercicio de la religión, fue útil reformular algunas de sus proposiciones constituyentes. El propósito en cada caso fue el de minimizar nuestra dependencia de sus contextos para comprender el argumento y los papeles que en él desempeñan sus partes constituyentes. Este interés estará presente a lo largo de este libro. Frecuentemente, queremos centrar nuestra atención en una proposición en particular, queremos saber si es verdadera o falsa, lo que ella implica, si es implicada por otras proposiciones, o si es la premisa o la conclusión de un determinado argumento. En tales casos, será útil contar con una formulación de la proposición que nos permita entenderla en forma tan independiente del contexto como sea posible. A veces, la naturaleza proposicional de un elemento constitutivo de un argumento se oculta bajo su expresión como frase nominal en lugar de como oración declarativa. Esto ocurre en el siguiente caso. Ethan Nadelmann, profesor asistente en la Escuela de Relaciones Públicas e Internacionales Woodrow Wilson, de la Universidad de Princeton, argumenta que la prohibición (de las drogas fuertes) ha sido un error. Cita las oleadas de asesinatos por motivos de narcotráfico en ciudades como Washington y Nueva York, el congestionamiento de los tribunales y prisiones federales y estatales con prisioneros acusados de narcotráfico, los disturbios políticos en Colombia provocados por traficantes de drogas y la corrupción relacionada con el narcotráfico en todo el mundo. El hecho de que este pasaje contiene un argumento está parcialmente obscurecido por la forma gramatical de sus premisas, que son precedidas por la conclusión. Estas premisas pueden reformularse como oraciones declarativas, y entonces quedarían como sigue: Se ha incrementado el número de asesinatos por narcotráfico en ciudades como Nueva York y Washington; los tribunales y prisiones federales y estatales están atestados de prisioneros acusados de narcotráfico; Colombia ha sido políticamente desestabilizada por los traficantes de drogas; y en todo el mundo hay corrupción relacionada con el narcotráfico. Resulta así evidente que la proposición que precede a estas premisas es la conclusión del argumento: La prohibición (de las drogas fuertes) ha sido un error. Aunque todo argumento tiene una conclusión, las formulaciones de algunos argumentos no contienen enunciados explícitos de sus conclusiones. ¿Cómo se puede entender y analizar un argumento de este tipo? La conclusión no enunciada de un argumento de este género frecuentemente está indicada por el contexto en el cual el argumento ocurre. Algunas veces las premisas enunciadas sugieren inequívocamente cuál debe ser la conclusión no enunciada, como en el siguiente caso: Si él es una persona lista, no va a ir por ahí disparando sobre una de esas personas, y él es una persona lista.

z 26 z

Christian Córdova robles

Aquí necesitaríamos conocer el contexto para saber quién es “u de esas personas”. Pero no necesitamos del contexto para saber que la conclusión es: Él no va a ir disparando por ahí sobre una de esas personas. Otro ejemplo de un argumento con una conclusión no enunciada es: La belleza espectacular de las costas de Mendocino y Humboldt del norte de California provoca cada ario enormes flujos turísticos hacia esos lugares, provenientes de otras partes de Estados Unidos y de todo el mundo... La región abunda en diversa flora y fauna marina, incluyendo las amenazadas ballenas, focas, morsas y pájaros marinos, y las riquezas pesqueras de esa región son de las más importantes de la costa occidental. El servicio de pesca y fauna ha dicho que el desarrollo petrolero tendría “efectos potencialmente devastadores” sobre estos recursos.” A partir de las cuatro premisas enunciadas de este argumento, puede inferirse su conclusión no enunciada: El desarrollo petrolero no se debe permitir en las aguas de las costas Mendocino y Humboldt del norte de California. Algunos lectores habrán quedado muy sorprendidos al leer que para analizar un argumento con una conclusión no enunciada, uno debe saber de antemano qué es lo que se seguiría lógicamente de las premisas enunciadas. Después de todo, ¡se supone que en este libro se está aprendiendo lógica! ¿Cómo se puede presuponer entonces que el lector ya sabe lógica? Si es así, ¿cuál es el objeto de leer este libro? Esta objeción no es difícil de responder. Se presupone alguna habilidad lógica para el estudio de cualquier tema, incluyendo la lógica misma. El estudio de la lógica puede ensanchar o agudizar la habilidad del lector para analizar argumentos y proporcionar técnicas efectivas para evaluar argumentos como buenos o malos, como mejores o peores. Pero debe existir alguna capacidad lógica que se pueda agudizar o ensanchar. Como escribió C. I. Lewis, un importante lógico del siglo XX: El estudio de la lógica no apela a criterios que no están presentes de antemano en la mente del estudiante... porque la tarea misma de aprender mediante la reflexión o la discusión supone ya que nuestro sentido lógico es una buena guía. En resumen: un argumento es un grupo de proposiciones de las cuales una, la conclusión, pretende derivarse o seguirse de las otras, que son las premisas. Las proposiciones son típicamente enunciadas en oraciones declarativas, pero en ocasiones aparecen como órdenes, preguntas retóricas o frases nominales. Un argumento completo se puede enunciar en una sola oración, pero frecuentemente varias oraciones se utilizan en su formulación. En la presentación de un argumento, su conclusión puede ir antes o después de las premisas, o en medio de ellas. La conclusión puede no enunciarse explícitamente, pero puede aclararse por el contexto, o quedar implicada por las premisas enunciadas explícitamente. La presencia de términos especiales que funcionan como indicadores de premisas o de conclusión a menudo ayudan a identificar y distinguir las premisas y la conclusión de un argumento. Un pasaje que contiene un argumento puede también contener proposiciones que no son premisas ni conclusión de ese argumento, pero que contienen información que ayuda al lector o al oyente a entender de qué tratan las premisas y la conclusión del argumento. Al analizar un argumento, a menudo es útil distinguir por separado las premisas que se pueden conjuntar en una oración simple. Y al reportar el resultado de nuestro análisis z 27 z

lógica

de un argumento en su premisa (o premisas) y conclusión, es frecuente y útil formular cada premisa independiente y la conclusión en una oración declarativa que se pueda entender sin importar el contexto.

z 28 z

L e c c i ó n

I I

PROPOSICIONES E INFERENCIAS 1.1. concePto de ProPosición El lenguaje, en sentido estricto, es un sistema convencional de signos, es decir, un conjunto de sonidos y grafías con sentido, sujeto a una determinada articulación interna. Sirve para afirmar o negar (oraciones aseverativas o declarativas); expresar deseos (oraciones desiderativas); formular preguntas (oraciones interrogativas); expresar sorpresa o admiración (oraciones exclamativas o admirativas) e indicar exhortación, mandato o prohibición (oraciones exhortativas o imperativas). De todas estas clases de oraciones la lógica sólo toma en cuenta las declarativas o aseverativas, las únicas que pueden constituir proposiciones, según cumplan o no determinados requisitos. La proposición es una oración aseverativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o falsa. Ejemplos: a)

Dolly fue la primera oveja clonada.

El átomo es una molécula.

‘ )’ y ‘b)’ son ejemplos de proposiciones, porque tiene sentido decir que ‘ )’ es verdadera y que ‘b)’ e falsa. En consecuencia, la verdad y la falsedad son sus propiedades, es decir, sólo las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas

z 29 z

lógica

1.2. exPresiones lingüísticas Que no son ProPosiciones Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones. En efecto, las oraciones interrogativas, las exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas o admirativas no son proposiciones porque ninguna de ellas afirma o niega algo y, por lo tanto, no son verdaderas ni falsas. Asimismo, las oraciones dubitativas, así como los juicios de valor —no obstante afirmar algo— no constituyen ejemplos de proposiciones, pues su verdad o falsedad no puede ser establecida. Ejemplos: c)

El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

¿Qué es la lógica?

Debemos honrar a nuestros héroes.

Sea en hora buena.

¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería!

Quizá llueva mañana.

Valentín es bueno.

‘ )’ es proposición porque es una oración aseverativa verdadera; ‘d)’ no es proposición porque es una oración interrogativa; ‘e)’ no es proposición porque es una oración imperativa o exhortativa; ‘f)’ tampoco es proposición porque es una oración desiderativa; ‘ )’ no es proposición porque es una oración exclamativa o admirativa; ‘h)’ no es proposición porque es una oración dubitativa, y finalmente; ‘ )’ no es proposición porque constituye un juicio de valor. Finalmente, toda proposición es una oración aseverativa, pero no toda aseverativa es una proposición. Ejemplos: j)

El triángulo es inteligente.

Eduardo es un número racional.

x +3 = 5

a es la capital del Perú.

z 30 z

oración

Christian Córdova robles

‘j)’, ‘k)’, ‘ )’ y ‘m)’ son ejemplos de oraciones aseverativas, mas no de proposiciones. ‘j)’ e ‘k)’ son expresiones linguísticas que tienen apariencia de proposiciones, pero que realmente no lo son porque no tiene sentido decir de ellas que son verdaderas o falsas. Son pseudoproposiciones, es decir, falsas proposiciones. ‘ )’ y ‘m)’ son también ejemplos de oraciones aseverativas, pero no de proposiciones; no son verdaderas ni falsas porque en ellas figura una o más letras sin interpretar, son ejemplos de funciones proposicionales. n)

El principal sospechoso de los atentados del 11 de setiembre de 2001 en los Estados Unidos.

El actual Presidente de la República del Perú.

‘ )’ y ‘o)’ no son proposiciones; son descripciones definidas, es decir, frases especiales que pueden ser reemplazadas por nombres propios. ‘ )’ puede ser sustituida por Osama bin Laden y ‘o)’ por Alejandro Toledo. p)

‘L realidad es dur

ó ’ (Bergson).

‘L materia se mueve en un ciclo e er o’ (Engels).

‘L condiciones de posibilidad de la experiencia en general son al mismo tiempo las de la posibilidad de los objetos de la exper e ’ (Kant).

‘Co dera bien quién eres. Ante todo, un hombre, es decir, un ser para el que nada existe más importante que su propia capacidad de op ó ’ (Epicteto).

‘F o of r (...) es el extraordinario preguntar por lo extra-ord

r o’

(Heidegger). u)

‘Nu filósofo alguno ha demostrado algo. Toda pretensión es espuria. Lo que tengo que decir es simplemente esto: los argumentos filosóficos no son deductivos, por lo tanto no son rigurosos, por lo que nada prueban; sin embargo, tienen fuerz ’ (F. Waismann).

La ciencia y la religión son, ambas, vías respetables para adquirir creencias respetables, no obstante tratarse de creencias que son buenas para propósitos muy diferentes (R. Rorty).

‘p)’, ‘q)’, ‘r)’, ‘ )‘, ‘ )’, ‘u)’ y ‘v)’ no son proposiciones, sino filosofemas, es decir, enunciados filosóficos. Ninguna de ellos puede calificarse de verdadero o falso. Su verdad o falsedad no puede ser establecida lógica o empíricamente. En filosofía no hay verdades, pues los enunciados filosóficos o filosofemas sólo expresan opiniones racionalmente fundamentadas.

z 31 z

lógica

EN CoNCLUSIóN: Para que una expresión requisitos:

ística sea proposición debe cumplir con los siguientes

Ser oración.

Ser oración aseverativa, y

Ser o bien verdadera o bien falsa.

Por esto, no son ejemplos de proposiciones: 1)

Las oraciones interrogativas, imperativas exclamativas o admirativas y las dubitativas.

Los juicios de valor.

Las pseudoproposiciones.

Las funciones proposicionales.

Las descripciones definidas, y

Los filosofemas.

exhortativas,

desiderativas,

PRoPoSICIóN, oRaCIóN Y ENUNCIaDo Es necesario distinguir una proposición (objeto conceptual o constructo) de las oraciones (objetos ísticos) que la designan, expresan o formulan, así como es preciso distinguir una oración de sus diversas enunciaciones (acto psicofísico) orales, escritas, o por ademanes. En efecto, cuando enuncio, o escucho, o escribo, o leo una oración, por ejemplo, ‘Tres es mayor que dos’, ejecuto un acto psicofísico. En consecuencia, la enunciación y la percepción de una oración son procesos y, como tales, objetos físicos en sentido lato. No así la oración misma: ésta puede considerarse como una clase de enunciaciones concretas en circunstancias particulares. Una misma oración podrá ser pronunciada por diversos sujetos, en distintas circunstancias y con diferentes tonos de voz. Cámbiese el sujeto, o las circunstancias, o el tono de voz, y se tendrán enunciaciones diferentes de la misma oración. Piénsese en la oración ‘3 > 2’ dicha en lenguaje interior, susurrada, gritada, o escrita en diversos lenguajes. Asimismo, ciertas oraciones designan o expresan proposiciones. Por ejemplo, las oraciones ‘3 > 2’, ‘III > II’, ‘Three is greater than wo’ y ‘Tres es mayor que do ’ expresan o designan una misma proposición. Pero si bien toda proposición es expresable por una o más oraciones, la recíproca no es cierta. En efecto, hay oraciones gramaticales que

z 32 z

Christian Córdova robles

no formulan proposición alguna, como por ejemplo ‘E número cinco cuadrada de una melodía es igual a un sueño’.

e eó’ y ‘L

raíz

En resumen, tenemos tres clases de objetos y dos relaciones entre ellos: enuncian expresan. Enunciados Oraciones Proposiciones (acto psicofísico) (objeto

ístico) (objeto conceptual)

CLaSES DE PRoPoSICIoNES Éstas pueden ser de dos clases: atómicas y moleculares. Las proposiciones atómicas (simples o elementales) carecen de conjunciones gramaticales típicas o conectivas (‘y’, ‘o’, ‘ ... entonces’, ‘si y sólo ’) o del adverbio de negación ‘ o’. Ejemplos: a)

San Marcos es la universidad más antigua de América.

La lógica es distinta a la matemática.

Las proposiciones atómicas de acuerdo a sus elementos constitutivos clasificarse en predicativas y relacionales.

pueden

Las proposiciones predicativas constan de sujeto y predicado. Ejemplos: c)

El número 2 es par.

El espacio es relativo.

Las proposiciones relacionales constan de dos o más sujetos vinculados entre sí. Ejemplos: e)

Silvia es hermana de Angélica.

5 es mayor que 3.

Las proposiciones moleculares (compuestas o coligativas) contienen alguna conjunción gramatical típica o conectiva o el adverbio negativo ‘ o’. Ejemplos: g)

La lógica y la matemática son ciencias formales.

El tiempo es absoluto o es relativo.

Si dos ángulos adyacentes forman un par lineal, entonces son suplementarios. z 33 z

lógica

Este número es par si y sólo si es divisible por dos.

El Inca Garcilaso de la Vega no es un cronista puneño.

CLaSIfICaCIóN DE LaS PRoPoSICIoNES MoLECULaRES Las proposiciones moleculares, según el tipo de conjunción que llevan, se clasifican en conjuntivas, disyuntivas, condicionales y bicondicionales; si llevan el adverbio de negación ‘ o’ se llaman negativas. • Las proposiciones conjuntivas llevan la conjunción copulativa ‘y’, o sus expresiones equivalentes como ‘e’, ‘pero’, ‘ u que’, ‘ u

cuando’, ‘

o... como...’, ‘

o’, ‘ ...

‘, ‘

embargo’,

‘ demá ’, etc. Ejemplos: a)

‘E ’ es un artículo y ‘de’ es una preposición.

El número dos es par, pero el número tres es impar.

Silvia es inteligente, sin embargo es floja.

Tanto el padre como el hijo son melómanos.

Manuel e Ismael son universitarios.

La materia ni se crea ni se destruye.

Iré a verte aunque llueva.

h) Ingresaré a la universidad aun cuando no apruebe el examen de admisión. En las proposiciones conjuntivas no es necesario que sus proposiciones componentes estén relacionadas en cuanto al contenido; es suficiente la presencia de la conjunción ‘y’. Una proposición conjuntiva es conmutativa, es decir, se puede permutar el orden de sus proposiciones componentes sin alterar la conjunción. Esto es posible en la lógica, pero no en el lenguaje natural. En efecto, la proposición ‘Angélica se casó y tuvo diez h jo ’ no significa lo mismo que ‘Angélica tuvo diez hijos y se casó’. En el lenguaje natural, la primera sugiere una relación de causalidad, en cambio la segunda no. Sin embargo, desde el punto de vista lógico, las dos proposiciones conjuntivas son equivalentes. Las pseudoproposiciones conjuntivas son proposiciones que se presentan como si fuesen proposiciones conjuntivas, pero que en realidad son proposiciones atómicas relacionales. La ‘y’, de los ejemplos, tiene carácter de término relacional y no propiamente de conjunción copulativa o conectiva. Ejemplos: z 34 z

Christian Córdova robles

Sansón y Dalila son hermanos.

Sansón y Dalila son primos.

Sansón y Dalila son vecinos.

Sansón y Dalila son compadres.

Sansón y Dalila son contemporáneos.

Sansón y Dalila son condiscípulos.

Sansón y Dalila son paisanos.

Sansón y Dalila son colegas.

Sansón y Dalila son cuñados.

Sansón y Dalila son enamorados.

Sansón y Dalila son novios.

Sansón y Dalila son esposos.

Sansón y Dalila son amantes.

Sansón y Dalila son mellizos.

Sansón y Dalila son siameses.

Sansón y Dalila comparten sus ganancias.

Sansón y Dalila obsequian una bicicleta a su sobrina Cleopatra.

• Las proposiciones disyuntivas llevan la conjunción disyuntiva ‘o’, o sus expresiones equivalentes como ‘u’, ‘ya... ya’, ‘b e ...b e ’, ‘ora... ora’, ‘ e ... sea’, ‘y/o’, etc. En español la disyunción ‘o’ tiene dos sentidos: uno inclusivo o débil y otro exclusivo o fuerte. La proposición disyuntiva inclusiva admite que las dos alternativas se den conjuntamente.

z 35 z

lógica

La proposición disyuntiva exclusiva no admite que las dos alternativas se den conjuntamente. Ejemplos: a)

Pedro es tío o es sobrino.

Elena está viva o está muerta.

Roberto es profesor o es estudiante.

Silvia es soltera o es casada.

‘ )’ y ‘ )’ son proposiciones disyuntivas inclusivas o débiles porque en ellas no se excluye la posibilidad de que Pedro pueda ser al mismo tiempo tío y sobrino o de que Roberto sea profesor y estudiante a la vez; en cambio ‘b)’ y ‘d)’ son proposiciones disyuntivas exclusivas o fuertes porque en ellas se excluye la posibilidad de que Elena pueda estar viva y muerta al mismo tiempo y que Silvia sea soltera y casada a la vez. En español no existe un signo especial para la disyunción inclusiva y otro para la exclusiva, es decir, en ambos casos se usa la misma partícula ‘o’; mientras que en lógica sí existen signos especiales para distinguirlas, como veremos más adelante. •

Las proposiciones condicionales llevan la conjunción condicional compuesta ‘si... entonces...’, o sus expresiones equivalentes como ‘ ’, ‘ empre que’, ‘ o tal que’, ‘pue o que’, ‘ya que’, ‘porque’, ‘ u do’, ‘de’, ‘ menos que’, ‘ no ser que’, ‘ vo que’, ‘ ó o ‘, ‘ o me e si’. Ejemplos: a)

Si es joven, entonces es rebelde.

Es herbívoro si se alimenta de plantas.

El número cuatro es par puesto que es divisible por dos.

Se llama isósceles siempre que el triángulo tenga dos lados iguales.

Cuando venga Raúl jugaremos ajedrez.

De salir el sol iremos a la playa.

La física relativista fue posible porque existió la mecánica clásica.

Nuestra moneda se devalúa solamente si su valor disminuye.

Toda proposición condicional consta de dos elementos: antecedente y consecuente. La proposición que sigue a la palabra ‘ ’ se llama antecedente y la que sigue a la palabra ‘e o e ’ se denomina consecuente. Toda proposición implicativa es condicional, pero no toda proposición condicional es implicativa. En efecto, sólo las proposiciones condicionales que son tautologías son implicativas. Para que una proposición condicional sea lógicamente correcta no es z 36 z

Christian Córdova robles

necesario que haya relación de atingencia entre el antecedente y el consecuente, es decir, que la verdad en una proposición condicional es independiente de las relaciones que puedan existir o no entre los significados del antecedente y el consecuente. Por ejemplo, la proposición “S tierra gira alrededor del sol, entonces Lima es capital del Perú” es verdadera no obstante no existir relación alguna entre los significados de sus proposiciones componentes. Finalmente, en toda proposición condicional el consecuente es condición necesaria del antecedente y el antecedente es condición suficiente del consecuente. Por ejemplo, en la proposición condicional ‘ los cuerpos se calientan, entonces se dilatan’, el consecuente ‘ e d ’ es condición necesaria del antecedente ‘ e e ca e ’ es condición suficiente del consecuente ‘ e dilatan’. •

’ y el antecedente ‘ e

Las proposiciones bicondicionales llevan la conjunción compuesta ‘... sí y sólo si...’, o sus expresiones equivalentes como ‘ u do y sólo cuando’, ‘ ..., entonces y sólo entonces...’, etc. Ejemplos: a)

Nunca he oído esa música.

Jamás he visto al vecino.

Es imposible que el átomo sea molécula.

Es falso que el juez sea fiscal.

Al papá de Nelly le falta carácter.

z 37 z

L e c c i ó n

I I I

I V

LOS PRINCIPIOS LÓGICOS los símbolos Para la conjunción, la negación y la disyunción En este capítulo estaremos involucrados con argumentos relativamente simples como los que se muestran a continuación: El prisionero ciego tiene un sombrero rojo o un sombrero blanco. El prisionero ciego no tiene un sombrero rojo. Por lo tanto, el prisionero ciego tiene un sombrero blanco. Y Si el señor Robinson es el vecino del maquinista, entonces el señor Robinson vive entre Detroit y Chicago. El señor Robinson no vive entre Detroit y Chicago. Por lo tanto, el señor Robinson no es el vecino del maquinista.

z 39 z

lógica

Cada argumento de este tipo general contiene por lo menos un enunciado compuesto. Al estudiar tales argumentos, dividimos todos los enunciados en dos categorías generales: simples y compuestos. Un enunciado simple es uno que no contiene ningún otro enunciado como componente. Por ejemplo, “C r o es mp o” es un enunciado simple. Un enunciado compuesto es un enunciado que contiene otro enunciado como parte. Por ejemplo, “C r o es limpio y Carlos es du e” es un enunciado compuesto, porque contiene dos enunciados simples como componentes. Por supuesto, los componentes de un enunciado compuesto pueden ellos mismos ser compuestos. La noción de un componente de un enunciado es sencilla, aunque no es exactamente lo mismo que “u parte que es ella misma un enunciado”. Por ejemplo, las últimas cuatro palabras del enunciado “E hombre que disparó a Lincoln era un actor” podrían de hecho considerarse como un enunciado por sí mismo. Pero ese enunciado no es un componente del enunciado mayor del cual esas cuatro palabras forman parte. Porque una parte del enunciado será un componente de ese enunciado solamente si se cumplen dos condiciones: primera, que la parte debe ser en sí misma un enunciado y, segunda, que si la parte en cuestión se reemplazara por otro enunciado el resultado sería significativo. Aunque la primera condición se satisface en el ejemplo dado, la segunda no. Porque si reemplazamos la parte “L o era un actor” por “Hay leones en África”, el resultado es la expresión carente de sentido: “E hombre que disparó hay leones en Áfr ”

1. conjunción Hay varios tipos de enunciados compuestos; cada uno requiere de su propia notación lógica. El primer tipo de enunciado compuesto será considerado como la conjunción. Podemos formar la conjunción de dos enunciados colocando la palabra “y” entre ellos: los dos enunciados así combinados se llaman conjuntos. Así, el enunciado compuesto “C r o es limpio y Carlos es du e” es una conjunción cuyo primer conjunto es “C r o es mp o” y su segundo conjunto es “C r o es dulce”. La palabra “y” es una palabra corta y conveniente, pero tiene otros usos aparte del que consiste en conectar enunciados. Por ejemplo, el enunciado “L o y Grant fueron o emporá eo ” no es una conjunción sino un enunciado simple que establece una relación. Para contar con un símbolo único cuya función exclusiva sea la de relacionar enunciados conjuntivamente introducimos el punto “•” como nuestro símbolo para la conjunción. Así, la conjunción previa se puede escribir como “C r o es limpio Carlos es dulce”. En términos más generales, donde p y q son cualesquiera enunciados, su conjunción se escribe p • q. Sabemos que cada enunciado es o bien verdadero o bien falso. Por lo tanto, decimos que cada enunciado tiene un valor de verdad, donde el valor de verdad de un enunciado verdadero es verdadero y el valor de verdad de un enunciado falso es falso. Usando este concepto de “valor de verd d” podemos dividir los enunciados compuestos en dos categorías distintas, según si el valor de verdad del enunciado compuesto está o no determinado completamente por los valores de verdad de sus partes, o bien por alguna otra cosa diferente. z 40 z

Christian Córdova robles

Apliquemos esta distinción a las conjunciones. El valor de verdad de la conjunción de dos enunciados está determinado exclusiva y totalmente por los respectivos valores de verdad de sus componentes. Si ambos conjuntos son verdaderos, la conjunción es verdadera; en cualquier otro caso es falsa. Por ello, se dice que una conjunción es un enunciado compuesto veritativo funcional y sus conjuntos son sus componentes veritativo funcionales. Sin embargo, no todos los enunciados compuestos son veritativo funcionales. Por ejemplo, el valor de verdad del enunciado “O e o cree que Desdémona ama a Casio” no está en modo alguno determinado por el valor de verdad de su enunciado componente “De démo ama a Casio”, porque Otelo puede creer que eso es cierto aun cuando no lo sea. Así, el componente “De démo ama a C o” no es un componente veritativo funcional del enunciado “O e o cree que Desdémona ama a C o” y este último no es un enunciado compuesto veritativo funcional. Para nuestros propósitos, definimos un componente de un enunciado compuesto como veritativo funcional si cuando todas las apariciones del componente se reemplazan en el enunciado por otro componente con Los símbolos para la conjunción, la negación y la disyunción el mismo valor de verdad (sustituyendo uniformemente todas las apariciones iguales del componente), el enunciado resultante tendrá el mismo valor de verdad que el enunciado original. Definimos ahora un enunciado compuesto como un enunciado compuesto veritativo funcional si todos sus componentes son componentes veritativo funcionales. Aquí estamos interesados solamente en aquellos enunciados compuestos que son veritativo funcionales. Por tanto, en el resto del libro usaremos el término “e u do mp e” para referirnos a cualquier enunciado, que no es un enunciado compuesto, veritativo funcional. Una conjunción es un enunciado veritativo funcional, así que nuestro símbolo es una conectiva veritativo funcional. Dados dos enunciados, p y q, hay solamente cuatro conjuntos posibles de valores para ellos, que se pueden exhibir como siguen: si p es verdadera y q es verdadera, p • q es verdadera si p es verdadera y q es falsa, p • q es falsa si p es falsa y q es verdadera, p • q es falsa si p es falsa y q es falsa, p • q es falsa Si representamos los valores de verdad “verd dero” y “f o” mediante las letras mayúsculas V y F, la determinación del valor de verdad de una conjunción por los valores de verdad de su conjunto se puede representar brevemente y con mayor claridad por medio de una tabla de verdad como la siguiente: Esta tabla de verdad se puede tomar como definición del símbolo de punto, puesto que explica qué valores de verdad toman p • q en cada caso posible.

z 41 z

lógica

Encontraremos conveniente abreviar los enunciados simples por medio de letras mayúsculas; generalmente usaremos para este fin una letra que nos ayude a recordar el enunciado que abrevia. Así, abreviaremos “C r o es limpio y Carlos es du e” como L • D. Algunas conjunciones cuyos conjuntos tienen el mismo sujeto, como por ejemplo “Byro fue un gran poeta y Byron fue un gran aventurero”, se enuncian más brevemente y quizás de manera más natural colocando la “y” entre los predicados y no repitiendo el nombre de Byron, como sucede en “Byro fue un gran poeta y gran aventurero”. Para nuestros propósitos, reconocemos la última formulación como el mismo enunciado que el anterior y simbolizamos cada uno de ellos indiferentemente como P • A. Si los dos conjuntos de una conjunción tienen el mismo predicado, omo “Lewis fue un famoso explorador y Clark fue un famoso explorador”, de nuevo usualmente escribiríamos más bien “Lew y Clark fueron exploradores famosos”. Su formulación simbólica es L • C. Como muestra la tabla de verdad que define el símbolo de punto, una conjunción es verdadera si y sólo si sus dos conjuntos son verdaderos. Pero la palabra “y” tiene otro uso en el cual significa no la mera conjunción (veritativo funcional) sino que tiene el sentido de “y subsecuentemente”, esto es, significa sucesión temporal. Así, el enunciado “Jo e entró al país por Nueva York y luego fue directamente a Ch o” es significativo y puede ser verdadero, mientras que Jones fue directamente a Chicago y entró al país por Nueva York” es ininteligible, dada la ubicación geográfica de ambas ciudades. Y hay una diferencia entre “ omó sus zapatos y se fue a la m ” y “ e fue a la cama y tomó sus zapatos”. Estos ejemplos enfatizan la necesidad de contar con un símbolo especial para representar exclusivamente la conjunción veritativo funcional. Debemos enfatizar que las palabras “pero”, “m e ras que”, “ mb é ”, “ embargo”, “má aún”, y otras, incluso los signos de puntación de “ om ” y de “pu o y om ” se pueden usar para conjuntar dos enunciados y, por tanto, se pueden representar mediante el símbolo de punto.

2. negación La negación (o contradictoria) de un enunciado en español frecuentemente se forma insertando un “ o” en el enunciado original. Alternativamente, uno puede expresar la negación de un enunciado prefijando la frase “e falso que”, o “ o es el caso que”. Es usual usar el símbolo “—” (llamado tilde) para formar la negación de un enunciado. Así, donde M simboliza el enunciado “Todos los humanos son mortales”, los enunciados “No todos los humanos son mor e ” , “Algunos humanos no son mortales”, “E falso que todos los humanos son mortales”, “No es el caso que todos los humanos son mor e ” se simbolizan por igual como —M. Más generalmente, donde p es un enunciado cualquiera su negación se escribe —p. Es obvio que la tilde es un operador veritativo funcional. Puede reconocer como la definición del símbolo de negación “–”.

z 42 z

Christian Córdova robles

3. disyunción La disyunción (o alternación) de dos enunciados se forma en español insertando la palabra “o” entre ellos. Los dos componentes combinados de esta forma se llaman disy Un tos (o alternativas). La palabra “o” es ambigua, tiene dos significados relacionados pero distintos, uno de ellos se ejemplifica en el enunciado “Se otorgarán compensaciones en el caso de enfermedad o desempleo”, porque aquí la intención obviamente es que estas compensaciones se otorgarán no solamente a las personas que enferman o que queden sin empleo, sino a las que les suceden los dos contratiempos a la vez. Este sentido de la palabra “o” se llama débil o inclusivo. Una disyunción inclusiva es verdadera solamente cuando uno o los dos disyuntos son verdaderos: solamente si los dos disyuntos son falsos, la disyunción inclusiva es falsa. El “o” inclusivo tiene el sentido de “ u qu er, posiblemente ambos”. Donde es vital la precisión, como en el caso de los documentos legales, esta disyunción se puede representar como “y / o”. La palabra “o” se usa también en un sentido fuerte o exclusivo, en el cual el significado no es “por lo menos u o” sino “u o y sólo uno”. Cuando un restaurante pone en su menú “e d o postre”, es claro que el precio especificado es para uno de los dos platillos, pero no ambos. Cuando la precisión es vital, se escribe “pero no mbo ” para referirse a este tipo de disyunción. Interpretamos la disyunción inclusiva de dos enunciados como una afirmación de que por lo menos uno de ellos es verdadero, y la disyunción exclusiva es una afirmación de que por lo menos uno de los enunciados es verdadero pero no los dos al mismo tiempo. Observemos aquí que los dos tipos de disyunción tienen una parte de significado en común. Ese significado parcial común, en que por lo menos uno de los disyuntos es verdadero, es el significado total del “o” inclusivo y una parte del significado del “o” exclusivo. Aunque las disyunciones se enuncian ambiguamente en español, no hay esa mb edad en latín. El latín tiene dos palabras diferentes que corresponden a los dos sentidos de la palabra en español. La palabra vel significa la disyunción débil o inclusiva, mientras que la palabra a ut corresponde a la disyunción fuerte o exclusiva. Se acostumbra usar la letra inicial de la palabra “ve ” para representar la disyunción en su sentido débil o inclusivo. Si p y q son dos enunciados cualesquiera, su disyunción débil o inclusiva se escribe como p v q. El símbolo para la disyunción inclusiva (una y) es también una conectiva veritativo funcional. Una disyunción débil es falsa solamente en el caso de que ambos disyuntos sean falsos. Podemos reconocer la definición de esta conectiva en la siguiente tabla: p q p v q V V V V F V F V V FFV z 43 z

lógica

El primer ejemplo de argumento que se presentó en esta sección fue un silogismo disyuntivo: El prisionero ciego tiene un sombrero rojo o un sombrero blanco. El prisionero ciego no tiene un sombrero rojo. Por lo tanto, el prisionero ciego tiene un sombrero blanco. Su forma se caracteriza diciendo que su primera premisa es una disyunción: su segunda premisa es la negación del primer disyunto de la primera premisa y su conclusión es el segundo disyunto de la primera premisa. Es evidente que el silogismo disyuntivo así definido es válido bajo cualquier interpretación de la palabra “o”, esto es, independientemente de si se trata de una disyunción inclusiva o exclusiva.’ Puesto que el argumento típico válido que descansa en una premisa disyuntiva es, como el silogismo disyuntivo, válido bajo cualquier interpretación de la palabra “o”, se puede efectuar una simplificación traduciendo la palabra “o” con el símbolo lógico “y” sin importar qué significado en español tenga la “o”. En general, solamente un examen más detallado del contexto o de las intenciones del hablante o escritor puede revelar el sentido de “o” que está usando. Este problema, frecuentemente difícil y hasta imposible de resolver, se puede evitar si acordamos tratar toda ocurrencia de “o” como inclusiva. Por otra parte, si se dice explícitamente que la disyunción es exclusiva, por medio de la frase “pero no ambos “, por ejemplo, tenemos la maquinaria para formular indirectamente esa condición en forma simbólica. En todos los casos en que los dos disyuntos tienen el mismo sujeto o el mismo predicado, frecuentemente es natural comprimir la formulación de su disyunción en español colocando el “o” de manera tal que se evite la repetición. Así, “O bien Smith es el propietario o Smith es el administrador” se puede escribir como “Sm h es el propietario o el administrador” y se simboliza como O v M. Y “Red es el culpable o Butch es el culpable” se enunciaría como “Red o Butch es el culpable” y se simboliza como R v B. Se puede observar que las palabras “a menos que” se pueden usar para formar la disyunción de dos enunciados. Así, “Se hará el picnic a menos que llueva” y “A menos que llueva se hará el picnic” equivalen a “Se hará el almuerzo o lloverá” y se simbolizan A y L.

4. Puntuación En español la puntuación se requiere para aclarar el significado de enunciados complejos. Se usa una gran variedad de signos de puntuación, sin los cuales muchas oraciones serían muy ambiguas. Por ejemplo, “E maestro dice Juan está o o” tiene significados muy diferentes dependiendo de la puntuación que tenga. Otras oraciones requieren de la puntuación para ser entendidas. De igual manera, la puntuación es necesaria en matemáticas. En ausencia de una convención especial, ningún número es denotado de manera única por 2 x 3 + 5, aunque cuando se aclara cómo están agrupados sus constituyentes significa 11 o 16, lo primero cuando se puntúa (2 x 3) z 44 z

Christian Córdova robles

+ 5 y lo segundo cuando se puntúa 2 x (3 + 5). Se requiere de la puntuación tanto en matemáticas como en español para evitar la mb edad y aclarar el significado. También se requiere de la puntuación en el lenguaje de la lógica simbólica, pues los enunciados compuestos pueden ellos mismos estar compuestos de otros enunciados complejos. Así, p•qvr es ambiguo, o bien significa la conjunción de p con la disyunción de q y r o puede significar la disyunción cuyos disyuntos son la conjunción de p y q y el enunciado r. Distinguimos entre estos dos sentidos diferentes puntuando la fórmula dada como p • (q v r) o bien como (p • q) v r. En lógica simbólica, los paréntesis, llaves y corchetes se usan como signos de puntuación. La diferencia que implican diferentes formas de puntuar es clara si conocemos el caso en que p es falso y q y r son ambos verdaderos. En este caso, la segunda fórmula puntuada es verdadera (puesto que su segundo disyunto es verdadero) mientras que la primera es falsa (puesto que el primer conjunto es falso). Aquí, la diferencia en la puntuación hace toda la diferencia entre la verdad y la falsedad, pues diferentes puntuaciones producen diferentes valores de verdad del enunciado ambiguo p • q v r. Las palabras “o b e ” tienen una variedad de significados y usos en el español. Tienen una fuerza conjuntiva en la oración “Hay peligro o bien de un lado o de otro “. Más frecuentemente se usan para introducir el primer disyunto de una disyunción, como sucede en “O bien el prisionero ciego tiene un sombrero rojo, o el prisionero ciego tiene un sombrero b o”: Ello contribuye al balance retórico de la oración pero no afecta su significado. Quizás el uso más importante de las palabras “o b e ” es puntuar el enunciado compuesto. Así la oración: La organización se reunirá el martes y Alicia será electa o bien la elección será pospuesta. puede tener su ambiguedad resuelta en una dirección colocando las palabras “o bien” en el comienzo, o en la otra dirección, insertando “o bien” antes de “Alicia”. Tal puntuación se efectúa en el lenguaje simbólico por medio de paréntesis. La fórmula ambigua p • q v r discutida en el párrafo precedente corresponde a la oración ambigua examinada. Las dos puntuaciones distintas de la fórmula corresponden a las dos puntuaciones diferentes de la oración que se efectúan mediante las dos diferentes inserciones de las palabras “o bien”. La negación de una disyunción frecuentemente se forma usando la frase “ ... ni”. Así, el enunciado “O bien Fillmore o Harding fue el mayor presidente or e mer o” se puede contradecir por medio del enunciado “N Fillmore ni Harding fue el mayor presidente norteamericano”. La disyunción se simbolizaría como F v H y su negación o bien como —(F v H) o como (—F) • (—H). (La equivalencia lógica de estas dos fórmulas simbólicas se discutirá en la sección 8.5.) Será claro que para negar una disyunción que enuncia que uno de los dos disyuntos es verdadero se requiere que ambos sean enunciados falsos.

z 45 z

lógica

En español, la palabr “ mbo ” desempeña varios papeles. Uno es cuestión de énfasis. Decir que “Ambos, Lewis y Clark, fueron exploradores f mo o ” es meramente enunciar con mayor énfasis que “Lew y Clark fueron exploradores famosos”, pero la palabra “ mbo ” también tiene una función de puntuación, comparable a la de “o bien”. Notamos en el párrafo anterior que “Ambos no son...” se puede usar para formularme mismo enunciado que “N ... ... es...”. El orden de las palabras “ mbo ” y “ o” es muy importante. Hay una diferencia considerable entre: Jane y Dick no serán ambos elegidos. Y Jane y Dick ambos no serán elegidos. La primera niega la conjunción J • D y se simbolizan como -(J • D). La segunda dice que ninguno de los dos será electo, y se simboliza como (-J) • (-D). Para fines de brevedad, esto es, de disminuir el número de paréntesis que se requiere, es conveniente establecer la convención de que en cualquier fórmula el signo de negación se entenderá como aplicable al enunciado más reducido que permite la puntuación. Sin esta convención, la fórmula -p v q es ambigua, significa o bien (-p) v q o bien -(p v q). Pero por nuestra convención adoptamos la primera de estas alternativas, pues la tilde puede (y de hecho así es por nuestra convención) aplicarse al primer componente, p, más bien que a la fórmula mayor p v q. Dado un conjunto de signos de puntuación para nuestro lenguaje simbólico, es posible escribir no solamente conjunciones, negaciones y disyunciones débiles, sino también disyunciones exclusivas. La disyunción exclusiva de p y q afirma que por lo menos uno de ellos es verdadero, lo cual se escribe simplemente como: (p v q) • (p • q). La frase “ menos que” se usa en español para formar la disyunción de dos enunciados. Así, “E picnic se hará a menos que lluev ” y “A menos que llueva se hará el p ” equivalen a “O bien el picnic se hará o llueve” y se simboliza como P v R. Cualquier enunciado compuesto construido a partir de enunciados simples usando solamente las conectivas veritativo funcionales punto, tilde y o, tiene su valor de verdad completamente determinado por la verdad o falsedad de sus enunciados componentes simples. Si conocemos los valores de verdad de los enunciados simples, el valor de verdad de cualquier compuesto veritativo funcional de ellos se puede calcular fácilmente. Al trabajar con tales componentes, siempre comenzamos con sus elementos más internos y trabajamos hacia afuera. Por ejemplo, si A y B son verdaderos y X y Y son falsos, calculamos el valor de verdad del enunciado compuesto -[-( A •X)•( Y v -B)] como sigue. Puesto que X es falso, la conjunción A • X es falsa y su negación -(A • X) es verdadera. B es verdadera, su negación -B, por ende, es falsa, y puesto que Y es falsa también, la disyunción de Y con -B también es falsa, Y y -B es falsa. La fórmula [-(A • X) • (Y y -B)] es la conjunción de un enunciado verdadero y otro falso y, por ello, es falsa. Por tanto, su negación, que es el enunciado completo, es verdadera. Tal procedimiento paso a paso siempre nos permite determinar el valor de verdad de un enunciado compuesto a partir de los valores de verdad de sus componentes. z 46 z

Christian Córdova robles

Actividades de la Primera unidad a. Reflexiona sobre que parte te llamó más la atención de esta unidad. b. Identifica 3 casos comunicación en noticias e identifica su estructura lógica. c. Indaga sobre la lógica de predicados.

z 47 z

z 48 z