LIBRO: MATEMÁTICAS EN CONTEXTO by Diego Fernando Borja

Matemรกticas en Contexto

Escuela Nacional de Instructores Servicio Nacional de Aprendizaje - SENA http://www.sena.edu.co

Licencia Creative Commons Reconocimiento - No Comercial 3.0 Unported Licence (la "Licencia"). Usted puede utilizar este archivo de conformidad con la Licencia. Usted puede obtener una copia de la Licencia en http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0. A menos que lo requiera la ley aplicable o se acuerde por escrito, el software distribuido bajo la Licencia se distribuye “tal y como está”, sin garantías ni condiciones de ningún tipo, ya sea expresa o implícita. Primera Edición, Diciembre 2016

Equipo Editorial Diego Fernando Borja Monta帽a - Asesor pedag贸gico de la Escuela Nacional de Instructores

CAPÍTULO 0 ÍNDICE GENERAL

Presentación

vii

Introducción

viii

1 Nociones de Didáctica de las Matemáticas 1.1 ¿Qué es la didáctica de las matemáticas? . . . . . . . . . 1.2 Acciones del pensamiento lógico-matemático . . . . . . . 1.2.1 ¿Qué son las matemáticas? . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Pensamiento lógico-matemático . . . . . . . . . . 1.2.3 ¿Qué significa ser matemáticamente competente? 1.2.4 Teoría de las Situaciones didácticas . . . . . . . . 1.3 ¿Cómo planear mis clases de matemáticas? . . . . . . . 1.3.1 Herramientas Metacognitivas . . . . . . . . . . . 1.3.2 Mapa Conceptual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 ¿Qué herramientas se puede emplear en la formación? . 1.5 Modelación Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Sistemas de Representación . . . . . . . . . . . . 1.5.3 El proceso de modelación . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Mediación Tecnológica . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.5 Software: GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ARITMÉTICA 2.1 Sistemas Numéricos . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Conjunto de los Números Naturales . . 2.1.2 Conjunto de los Números Enteros . . . 2.1.3 Conjunto de los Números Racionales . 2.1.4 Conjunto de los Números Irracionales 2.1.5 Conjunto de los Números Reales . . . 2.2 Operaciones Aritméticas . . . . . . . . . . . . 2.3 Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . v

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

1 . 1 . 1 . 1 . 2 . 3 . 3 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 5 . 6 . 8 . 10

. . . . . . . .

11 11 11 11 12 14 15 16 16

. . . . . . . .

ÍNDICE GENERAL

3 Álgebra 17 3.1 Concepto de Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Geometría 18 4.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.3 Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 Estadística 19 5.1 Variables Estadísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.2 Estadística Descriptiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.3 Gráficos Estadísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 MATLAB 6.1 Acerca del Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 20 20 20

Primer Apéndice

Segundo Apéndice

CAPÍTULO 0 PRESENTACIÓN

En un mundo laboral permeado por la tecnología, con una creciente cantidad de información y de constantes transformaciones, las matemáticas juegan un papel relevante porque éstas subyacen en cada avance tecnológico y en las revoluciones científicas, además por estar íntimamente ligadas al desarrollo del pensamiento lógico de los individuos, favorece la formulación, planteamiento y resolución de problemas a partir de situaciones de la vida cotidiana y otras ramas del conocimiento. Esto hace que las matemáticas deban ser concebidas más allá de un simple conjunto de definiciones, teoremas y algoritmos que un individuo debe repetir y recordar, desde esta perspectiva las matemáticas favorecen la realización de análisis y razonamiento sobre situaciones en diferentes contextos; la identificación de variables, el reconocimiento de relaciones entre éstas, la capacidad para formular problemas y soluciones a los mismos. Así mismo permiten que el sujeto desarrolle destrezas para elaborar argumentos que justifiquen los procedimientos que realiza; argumentos, que muy seguramente, transitarán del lenguaje cotidiano al matemático a partir de la utilización de diferentes sistemas de representación propios de este tipo de lenguaje. En síntesis estos procesos describen lo que significa ser matemáticamente competente. La finalidad de la enseñanza de las matemáticas se puede enmarcar desde dos campos: Desde lo social, proporciona al ciudadano común unas herramientas básicas para la interpretación de la enorme cantidad que se recibe diariamente favoreciendo su desempeño social. Por otro lado en el contexto laboral, como se resalta en Aymerich y Macario (2006) “es cualificar profesionalmente para atender las necesidades del mercado de trabajo y los retos organizativos y de gestión que tiene planteados la sociedad actual”. En el contexto laboral y productivo existe un gran número de fenómenos en los cuales subyace un modelo matemático; particularmente la modelación matemática ofrece los elementos para la identificación de estos modelos a partir de los diferentes sistemas de representación empleados en las matemáticas, sus símbolos, cantidades y sus relaciones matemáticas, todo estos para la solución particular de situaciones problemáticas. En relación a lo anterior, es importante resaltar que el desarrollo de competencias matemáticas básicas hace parte fundamental de la formación profesional integral de acuerdo con el enfoque de formación por competencias del SENA, donde éstas se consideran como un eje medular para el crecimiento personal y social, y para el fortalecimiento de las otras competencias específicas y transversales.

vii

CAPÍTULO 0 INTRODUCCIÓN

El presente documento tiene como propósito mostrar la estructura operativa para la implementación del proyecto de Matemáticas en Contexto (MEC) en Acosta y Mariño (2014), tomando como referente un pilotaje preliminar, realizado en tres programas de tecnólogo del Centro de Electrónica, Electricidad y Telecomunicaciones del Complejo Sur, Regional Distrito Capital. La finalidad principal de este curso es aportar en la formación matemática de los instructores y aprendices en diferentes programas de tecnólogos; se propone una metodología que privilegia el diálogo permanente entre instructores técnicos y matemáticos, con el fin de posibilitar la construcción de conocimiento en el instructor frente al diseño de material didáctico y la apropiación de conceptos matemáticos para la solución de problemas en diferentes contextos.

viii

CAPÍTULO 1 NOCIONES DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

1.1

¿Qué es la didáctica de las matemáticas?

En este capítulo se darán algunas nociones sobre la didáctica de las matemáticas. Es la disciplina científica y el campo de investigación cuyo objetivo es identificar, caracterizar y comprender los fenómenos y los procesos que condicionan la enseñanza y el aprendizaje de la matemática. (D’ Amore). 1.2 1.2.1

Acciones del pensamiento lógico-matemático ¿Qué son las matemáticas?

De acuerdo con la definición de la RAE, las matemáticas son: 1. f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. Concepción idealista-platónica: conjunto de estructuras fundamentales de forma axiomática (Mundo de las ideas1 ) Concepción constructivista: Las matemáticas surgen una respuesta natural y espontánea de la mente y el genio humano a los problemas que se presentan en el entorno físico, biológico y social en que el hombre vive.

“las matemáticas es algo inventado por el hombre, a diferencia del lenguaje, pues los niños nacen con una estructura lingüística. El punto es que la matemática no es evolutiva. La matemática es artificial. Y aquí viene el gran problema.” Dr. Rodolfo Llinás2 . 1

Otro pie de página Tomado del artículo ¿Fracasó la enseñanza de las matemáticas? del Espectador. Disponible en: http://www.elespectador.com/impreso/vivir/articuloimpreso168021-fracaso-ensenanza-de-matematicas. Consultado el 24 de Septiembre de 2015 2

CAPÍTULO 1. NOCIONES DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

La lógica, es la juventud de la matemática y, la matemática es la madurez de la lógica. Bien entendido, lo admito. No veo matemática donde no vea una dinámica de relaciones lógicas. Bertrand Russell (1985) Razonar: Discurrir, ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión. Razonamiento inductivo: Proceso de pensamiento mediante el cual pasamos del conocimiento de menor grado de generalización a un nuevo conocimiento de mayor grado de generalización. La inducción es una forma de lógica que trabaja de lo específico a lo general, estableciendo conclusiones probables a partir de las premisas. Razonamiento Deductivo: Proceso contrario y complementario del razonamiento inductivo. La deducción es una forma de lógica que trabaja de lo general a lo específico, estableciendo conclusiones necesarias a partir de las premisas. 1.2.2

Pensamiento lógico-matemático

Razonamiento empírico-inductivo: Implica acciones del pensamiento que a través de ejemplos y contraejemplos, la solución de un caso particular, la posibilidad de modificar las condiciones iniciales etc. se elaboran proposiciones y teorías matemáticas. Observar: Disponer todos los sentidos para tener conocimientos de los objetos, fenómenos o procesos cuyos resultados se expresan en función del sujeto que aprende. Describir: Expresar el conocimiento del fenómeno u objeto de estudio en forma detallada Identificar: Se establece la identidad de un objeto sobre la base de sus rasgos característicos Comparar: Determinar los rasgos peculiares de dos o más procesos u objetos, fenómenos o procesos, implica poner en relación, contraponer las características de dos o más objetos para determinar sus similitudes y diferencias. Relacionar: Unir elementos utilizando un criterio, un atributo que tengan en común. Operar: Realizar un ejercicio matemático de combinación numérica Clasificar: Permite agrupar objetos en categorías en base de sus atributos. Ordenar: Disposición de uno o más elementos con un plan o de modo conveniente. Explicar: Esta habilidad permite establecer la relación entre los hechos, procesos y fenómenos, al revelar los vínculos causales, espaciales y temporales (en el caso de los hechos históricos), y las consecuencias. Analizar: Distinción y separación de las partes de un todo hasta llegar a conocer sus principios o elementos.

1.2. ACCIONES DEL PENSAMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO

Sintetizar: Composición de un todo por la reunión de sus partes. Justificar: Probar algo con razones convincentes, testigos o documentos Argumentar: Conjunto de razonamientos que se emplea para probar o demostrar una proposición Inferir: Sacar una consecuencia o deducir algo de otra cosa. Elaborar hipótesis: es una fórmula de la que se parte para alcanzar finalmente otra fórmula mediante deducciones. Ésta también es llamada Conjetura. 1.2.3

¿Qué significa ser matemáticamente competente?

Analizar y razonar sobre situaciones en diferentes contextos; la identificación de variables, el reconocimiento de relaciones entre éstas, la capacidad para formular problemas y soluciones a los mismos. Elaborar argumentos que justifiquen los procedimientos que realiza; argumentos, que muy seguramente, transitarán del lenguaje cotidiano al matemático a partir de la utilización de diferentes sistemas de representación propios de este tipo de lenguaje. 1.2.4

Teoría de las Situaciones didácticas

Una situación es didáctica cuando un individuo (profesor) tiene la intención de enseñar a otro individuo (aprendiz) un saber matemático dado explícitamente y debe darse en un medio (ambientes, recursos, etc.).

Fases de una situación Didáctica Acción: Es donde el aprendiz explora y trata de resolver problemas; como consecuencia construirá o adquirirá nuevos conocimientos matemáticos; las situaciones de acción deben estar basadas en problemas genuinos que atraigan el interés de los alumnos, para que deseen resolverlos; deben ofrecer la oportunidad de investigar por sí mismos posibles soluciones, bien individualmente o en pequeños grupos.

CAPÍTULO 1. NOCIONES DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

Formulación/Comunicación: cuando el alumno pone por escrito sus soluciones y las comunica a otros niños o al profesor; esto le permite ejercitar el lenguaje matemático. Validación: donde debe probar que sus soluciones son correctas y desarrollar su capacidad de argumentación. Institucionalización: donde se pone en común lo aprendido, se fijan y comparten las definiciones y las maneras de expresar las propiedades matemáticas estudiadas. 1.3

¿Cómo planear mis clases de matemáticas?

1.3.1

Herramientas Metacognitivas

1.3.2

Mapa Conceptual

1.4

¿Qué herramientas se puede emplear en la formación?

1.5

Modelación Matemática

Particularmente en los contextos laboral y productivo existe un gran número de fenómenos en los cuales subyace un modelo matemático que da cuenta del comportamiento y representación del fenómeno en cuestión; la modelación matemática ofrece los elementos para la identificación de estos modelos a partir de los diferentes sistemas de representación propios de las matemáticas, sus símbolos, cantidades y sus relaciones matemáticas para la solución particular de situaciones problemáticas o para el estudio de un fenómeno del mundo real. Se considera de gran importancia la modelación matemática para la enseñanza de las matemáticas ya que permite la apropiación de conceptos matemáticos de manera aplicada a situaciones cercanas al aprendiz así como de fortalecer habilidades para leer, interpretar, formular y solucionar situaciones en diferentes contextos. De acuerdo con lo anterior, el equipo de Matemáticas de la Escuela Nacional de Instructores ha querido darle relevancia a la Modelación Matemática como una estrategia didáctica para la construcción de los conceptos matemáticos asociados a la formación técnica. A continuación se presentan algunas definiciones importantes y se mostrará, a manera de ejemplo, una situación cotidiana que permite abordar el concepto de función lineal y sus elementos. Esta es una prueba del nuevo comando \shadow 1.5.1

Texto de Prueba

Modelo Matemático

Dala la amplia aplicación de las matemáticas para la solución de problemas en diferentes campos de las ciencias, existen diferentes definiciones de Modelo Matemático. Algunas de las definiciones planteadas son:

1.5. MODELACIÓN MATEMÁTICA

“Se llama simplemente modelo matemático, a un conjunto de símbolos y relaciones matemáticas que intentan explicar, predecir y solucionar algunos aspectos de un fenómeno o situación” Villa (2007, pág. 67).

“Se define un modelo matemático como una construcción matemática dirigida a estudiar un sistema o fenómeno particular del “mundo-real”. Este modelo puede incluir gráficas, símbolos, simulaciones y construcciones experimentales” Giordano et al. (2013, pág. 60).

En este orden de ideas, para la construcción de un modelo matemático se requieren conocimientos matemáticos, el conocimiento del contexto y una serie de habilidades tales como describir y representar las relaciones entre las variables involucradas en el estudio del fenómeno o situación que permiten a su vez la construcción de nuevo conocimiento. En el contexto científico el proceso por el cual se obtiene un modelo matemático a partir de un fenómeno real, es llamado modelización matemática y cuando este proceso se implementa y se adapta como metodología para la enseñanza de las matemáticas es llamado Modelación Matemática. 1.5.2

Sistemas de Representación

Toda acción humana ya sea individual o social, está mediada por alguna forma de herramienta, esta puede ser simbólica (el lenguaje con el que nos comunicamos, por ejemplo) o material (un compás o un computador, por ejemplo), que desde la perspectiva Vygotskyana favorece el desarrollo de las funciones mentales superiores. Una forma de aproximarse a los conceptos matemáticos es a través de los símbolos y signos propios que la humanidad ha elaborado y concertado para representar dichos conceptos matemáticos, es decir, dado que un concepto o idea matemática no es un objeto real, se debe recurrir a la representación de éste para su comprensión. En diversas investigaciones, Duval (1993) por ejemplo, se ha demostrado que la capacidad de transformar de un sistema de representación a otro un objeto matemático en estudio, favorece de manera significativa la aprehensión de éste en toda su complejidad, dado que un sistema de representación por sí solo no permitirá apreciar todas las propiedades del objeto matemático, lo importante es lograr que el aprendiz tenga la capacidad de relacionar las diversas formas de representar el concepto matemático. Un sistema de representación semiótica es entendido como un sistema de signos que tiene como función principal la de comunicación. En el caso de las matemáticas las representaciones cumplen además, otras funciones muy importantes que son la de mediación con los objetos matemáticos y la de favorecer el entendimiento. Registro de representación verbal Este es el texto Registro simbólico o algebraico Este es el texto

CAPÍTULO 1. NOCIONES DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

Registro gráfico Este es el texto Registro Tabular Este es el texto 1.5.3

El proceso de modelación

En Villa (2007) y Biembengut y Hein (2004) se describen los diferentes momentos en los que el instructor puede atravesar durante el desarrollo y ejecución de la modelación matemática dentro del ambiente de formación con sus aprendices. Estos momentos que el instructor debe asumir se describen de manera sucinta: 1. Observación y Experimentación: El instructor identifica un problema, fenómeno o situación que sea susceptible a ser modelada. Se deben tener en cuenta unos criterios para abordar el problema, su relación con el contexto productivo o la formación técnica, ser una situación real y estar asociado a un concepto matemático. 2. Delimitación del problema: Es un análisis inicial de la situación para identificar y modelar las variables y las posibles relaciones entre éstas. 3. Selección de estrategias: El instructor debe establecer los recursos y la metodología para abordar el problema, esto implica el uso de los diferentes sistemas de representación, repaso de conceptos y diseñar preguntas orientadoras que permitan las construcción del modelo. 4. Evaluación y validación: Se deben tener diversas formas de evaluar el modelo construido. Esto se puede realizar a través de simulaciones, contrastar resultados entre los aprendices, realizar experimentos o confrontar los resultados con expertos técnicos. 5. Conexión con otras situaciones: Una vez validado el modelo matemático, el instructor buscará otros fenómenos o situaciones en los cuales se puedan establecer relaciones entre los mismos conceptos matemáticos o ser abordadas con el mismo modelo. Con la intención de mostrar cada uno de los momentos del proceso de modelación, se ilustrará un ejemplo de una situación cotidiana sobre el llenado de un tanque como una estrategia para abordar el concepto de función lineal y sus elementos.

Ejemplo 1.1: Se llena un tanque de agua que tiene una capacidad de 10 litros, con una llave que posee un flujo máximo de 0,6 litros por segundo. Modele esta situación. A continuación se hará un análisis de este fenómeno para realizar una descripción del mismo e identificar variables y la relación entre éstas: Como en muchas situaciones cotidianas o

1.5. MODELACIÓN MATEMÁTICA

fenómenos naturales los cambios se presentan conforme pasa el tiempo; para este caso, a medida que transcurre el tiempo el volumen de agua dentro del tanque va aumentando, esto implica que la variables que subyacen al fenómeno son el tiempo y el volumen de agua. La variable independiente es el tiempo, ya que no se puede controlar o manipular, la variable dependiente es el volumen de agua dentro del tanque que cambia conforme varía el tiempo. También se puede establecer que a mayor flujo de agua, el tiempo para llenar completamente el tanque disminuye. Se asume que en el análisis de esta situación el flujo de agua es constante, esto quiere decir que la variación del volumen de agua por unidad de tiempo es igual, independiente del tiempo. Otro factor o variable que puede influir en este fenómeno es el volumen inicial de agua que contenga el tanque, ya que este puede determinar el tiempo requerido para llenar el tanque, no obstante en el estudio de este fenómeno se tiene un valor fijo de volumen inicial, es decir, que aunque puede variar el volumen inicial en una situación en particular este toma un valor fijo (en matemáticas a este tipo de variables es llamado Parámetro). De acuerdo con el análisis realizado se pueden establecer las siguientes variables y parámetros: Tiempo: t en segundos. Volumen de agua: V en litros. V es un número real definido entre 0 y 10 litros, esto se puede representar como V P R donde 0 ď V ď 10 o V P r0, 10s. Asimismo es una variable que depende del tiempo (t), esto se representa como: V ptq. Volumen Inicial: Vi en litros. Vi P R donde V P r0, 10s. Flujo: f en litros/segundos. De acuerdo con el enunciado del ejercicio, está definido entre 0 y 0,6 l/s, f P R donde 0 ď f ď 0, 6 o f P r0, 0, 6s.

CAPÍTULO 1. NOCIONES DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 .. .

V 2 “ p0q ¨ 0, 4 ` 2 2, 4 “ p1q ¨ 0, 4 ` 2 2, 8 “ p2q ¨ 0, 4 ` 2 3, 2 “ p3q ¨ 0, 4 ` 2 3, 6 “ p4q ¨ 0, 4 ` 2 4 4,4 4,8 5,2 5,6 6 .. .

0, 4 ¨ t ` 2

V (l) 5 4 3 2 1

t (seg)

0 1

1.5.4

Mediación Tecnológica

En la actualidad los recursos tecnológicos como calculadoras graficadoras, calculadoras algebraicas, software de geometría dinámica, simuladores entre otros, han transformado profundamente la forma de representar los objetos matemáticos creando un nuevo realismo, el cual a través de modelos manipulables de estos objetos, contribuyen a la transferencia entre sistemas de representación favoreciendo así la exploración y comprensión de los conceptos matemáticos. Fundamentalmente el aporte de estas tecnologías es crear nuevos sistemas de representación como herramientas de mediación, donde la principal característica es su naturaleza ejecutable, es decir, los sistemas de representación se vuelven procesables y manipulables. Por ejemplo se puede analizar el comportamiento de una familia de funciones polinómicas de manera dinámica, tal como se muestra en la figura.

1.5. MODELACIÓN MATEMÁTICA

5 a=5 b

f (x) = ax2 + x + 1

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

−2

Se puede graficar una función en tres dimensiones, rotarla y escalarla para tomar diferentes puntos de vista para su estudio, lo que sería muy difícil de hacer de manera tradicional en el papel o el tablero.

0.6 0.4 0.2 0 5 5 0

0 −5 y

−5 x

En geometría dinámica existe la posibilidad de realizar diferentes transformaciones de las

CAPÍTULO 1. NOCIONES DE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

figuras tales como desplazar o rotar, conservando sus relaciones estructurales. ´ Angulo = 180◦ b

Punto de Rotaci´on b

Estos nuevos sistemas de representación obtenidos a través de la mediación de recursos tecnológicos, desarrollan funciones cognitivas que antiguamente eran ajenas al ser humano; se fortalece la capacidad de interpretar un problema desde diferentes enfoques cognitivos, fomentan un espíritu crítico, estimulan la creatividad e incentivan la capacidad para procesar y estructurar la información basado en la práctica y la experimentación. La tecnología no es requerida para enseñar a través de ella, sino como el medio para alcanzar y socializar el conocimiento, esto implica una reflexión pedagógica de tal forma que no se confunda la innovación con la simple implementación o adquisición de tecnología; lo realmente importante es conocer el adecuado e innovador uso que se le puede dar a las mismas, buscando crear nuevas estrategias de incorporar las tecnologías en la educación y así poder generar procesos pedagógicos donde la herramienta sea un aporte a la formación. 1.5.5

Software: GeoGebra

CAPÍTULO 2 ARITMÉTICA

2.1

Sistemas Numéricos

Notas u observaciones para el instructor A continuación se dará la definición de número real, la definición de conjunto de los números reales y se ilustrarán con ejemplos las propiedades de las operaciones definidas en este conjunto numérico. Se profundizará en las distintas representaciones y aplicaciones de los números racionales, dada su estrecha relación con situaciones cotidianas y laborales propios del contexto de la formación en el SENA.

2.1.1

Conjunto de los Números Naturales

El número natural surge a partir de la necesidad de cuantificar los elementos de la naturaleza; históricamente las sociedades vieron la necesidad de asignar un símbolo o sistema de representación a una determinada cantidad de elementos. Cuando se da comunicación acerca del tamaño de un conjunto de elementos u objetos se asigna el Cardinal del conjunto. Cuando se indica el lugar de un elemento dentro de un conjunto ordenado se indica el Cardinal del elemento. Con lo anterior un número natural es cualquier número que se emplear para contar los elementos de un conjunto y pertenece al conjunto, representado por N N “ t0, 1, 2, 3, 4 . . .u 2.1.2

Conjunto de los Números Enteros

En ciertas situaciones un número natural no otorga la suficiente información para describir en términos cuantitativos una situación, por ejemplo:

Una sustracción de la forma 3 ´ 5

Temperaturas bajo cero.

Pérdidas de dinero en un Balance General

Alturas por debajo del nivel del mar

Posición de un objeto; izquierda o derecha con respecto a un punto de referencia 11

Este es un ejemplo de notas para el instructor

CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA

Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales a un nuevo sistema. En general los números enteros es la unión de los números naturales o enteros positivos y los números enteros negativos. Z “ t. . . , ´4, ´3, ´2, ´1, 0, 1, 2, 3, 4 . . .u Una forma de representar este conjunto numérico, es a través de la recta numérica entera.

´5 2.1.3

´4

´3

´2

´1

Conjunto de los Números Racionales

En procesos de medición, por ejemplo, se presentan situaciones en las que la longitud de un cuerpo es menor que la unidad del patrón de medido empleado. Por ejemplo si el patrón de medida para la longitud es el metro, y si un cuerpo tiene una longitud menor que 1 metro ¿Qué número se emplearía para representar esta situación? Si se lanza una pelota h, tal como se muestra en la figura. Después del primer rebote la pelota alcanza una altura menor que la altura inicial h, ¿Cómo representar esta altura en términos de la altura inicial h?

En las situaciones anteriormente ilustradas, los números naturales y los números enteros no proporcionan información cuantitativa suficiente que describa cada una de las situaciones. En estas situaciones se hace necesario expresar un número que represente la fracción de la unidad o la división de la unidad, a partir de esto se definen los números racionales. En general los números racionales son los que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. El conjunto de los números racionales está compuesto por los números naturales, números enteros, por los fraccionarios y los decimales. ! a) Q “ a, b P Z | b

2.1. SISTEMAS NUMÉRICOS

Esto quiere decir que para cualquier par de números a y b la división o el cociente de estos es un número racional.

Ejemplo 2.1: a “ ´1 b“2

a“2 b “ ´1

a“4 b“2

Entonces

a ´1 1 “ “ ´ “ 0, 5 b 2 2

a 2 “ “ ´2 b ´1

a 4 “ “2 b 2

Es un número racional

De aquí se afirma que tanto los números naturales como los números enteros son números racionales. Todo número racional se puede representar como una fracción o como un número decimal el cual contiene un bloque de cifras decimales que se repiten infinitamente llamado Periodo. Clasificación de los Decimales Decimales exactos o finitos: La parte decimal del número decimal exacto está compuesta por una cantidad finita de términos

§ §

1 “ 0, 5 2 5 “ 1, 25 4

Decimales periódicos puros: La parte decimal, llamada periodo, se repite infinitamente y empieza justo después de la coma decimal

§ §

1 “ 0, 333333 . . . 3 5 “ 0, 454545 . . . 11

Se acostumbra representar el periodo encima del bloque de números,

§ §

1 “ 0, 3 3 5 “ 0, 45 11

CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA

Decimales periódicos mixtos: Su parte decimal está compuesta por una parte no periódica y una parte periódica

§ 2.1.4

1 “ 0, 055555 “ 0, 05 18 Conjunto de los Números Irracionales

Desde la antigua Grecia se quería determinar con la mayor precisión la medida de la longitud por ejemplo de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 unidad. La medida de la hipotenusa corresponde a la raíz cuadrada de dos esto es:

2 “ 1, 41421356237309504880168872420969807856967187537694807311237667973799 . . .

Este es un ejemplo de número irracional cuya principal característica es que no se puede expresar como una fracción o como el cociente de dos números enteros tal como se define para los números racionales. Otra característica que lo define como irracional es que a pesar de tener infinitas cifras decimales, éste no posee periodo, es decir una cantidad infinita de cifras no periódicas. Esto hace que sean números realmente difíciles de manejar si se quieren expresar con cierta exactitud. De hecho, con total exactitud no se les puede manipular en operaciones aritméticas por su misma naturaleza. Entre los números irracionales más reconocidos son: π “ 3, 14159265358979323846 . . . corresponde a la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. e “ 2, 71828182845904523536 . . . número Euler asociado a fenómeno que tienen un comportamiento de crecimiento porcentual constante. Por ejemplo el crecimiento celular, reproducción de especies o en fenómenos eléctricos y electrónicos.

2.1. SISTEMAS NUMÉRICOS

2.1.5

Conjunto de los Números Reales

Es el conjunto formado por todos los números racionales y los, esto significa que todos los números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales son números Reales. Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real. Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero). El conjunto de los números reales (denotado por R) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales. Una forma de definir el conjunto de los números reales, es la unión del conjunto de los números racionales y los números irracionales, esto se puede simbolizar: R“QYI Para representar gráficamente se puede emplear la siguiente figura, que aunque se representen empleando un rectángulo cabe aclara que estos conjuntos son infinitos.

Otro sistema de representación de los números reales es a través de la recta real: Definiciones importantes Este es el mismo cuadro empleando \cuadro Ejemplo 2.1: ejemplo de una integral ż

xdx “

x2 `C 2

2.2

CAPÍTULO 2. ARITMÉTICA

Operaciones Aritméticas

´5 2.3

´4

´3

´2

Proporcionalidad

´1

CAPÍTULO 3 ÁLGEBRA

3.1

Concepto de Variable

3.2

Expresiones Algebraicas

3.3

Ecuaciones

CAPÍTULO 4 GEOMETRÍA

4.1

Conceptos Básicos

4.2

Polígonos

4.3

Trigonometría

CAPÍTULO 5 ESTADÍSTICA

5.1

Variables Estadísticas

5.2

Estadística Descriptiva

5.3

Gráficos Estadísticos

CAPĂ?TULO 6 MATLAB

6.1

Acerca del Programa

6.2

Aplicaciones

6.3

Actividades

CAPÍTULO 6 BIBLIOGRAFÍA

Acosta, E. y Mariño, V. (2014). Informe definitivo: Estructura operativa del curso de Matemáticas en Contexto (MEC). Escuela Nacional de Instructores. Aymerich, J. y Macario, S. (2006). Matemáticas para el siglo XXI. Publicaciones de la Universitat Jaume I. Biembengut, M. y Hein, N. (2004). Modelación matemática y los desafíos para enseñar matemática. Educación Matemática, 18:105 – 125. Cid, E., Godino, J., y Batanero, C. (2003). Sistemas numéricos y su didáctica para maestros. Proyecto Edumat-Maestros. Universidad de Granada. D’Amore, B. (2003). Didáctica de las Matemáticas. Editorial Magisterio. Duval, R. (1993). Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. Editorial Hitt, México: Grupo Editorial Iberoamérica. Giordano, F., Fox, W., y Horton, S. (2013). A First Course in Mathematical Modeling. Cengage Learning. Ministerio de Educación Nacional (1998). Lineamientos Curricularres: Matemáticas. Editorial Magisterio, Bogotá. Ministerio de Educación Nacional (2002). Formación de Docentes sobre el Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. Proyecto: Incorporación de nuevas tecnologías al currículo de matemáticas de la educación media de Colombia., Bogotá D.C. SENA (2012). Modelo Pedagógico de la Formación Profesional Integral del SENA. Dirección de Formación Profesional. SENA (2013). Proyecto Educativo Institucional SENA. Dirección de Formación Profesional. Sánchez, M. (2014). Los registros semióticos en Matemáticas como elemento personalizado en el aprendizaje. Revista de Investigación Educativa Conect@2, 4(9):27 – 57. Villa, J. (2007). La modelación como proceso en el aula de matemáticas. Un marco de referencia y un ejemplo. Tecno Lógicas, pages 63 – 85.

CAPÍTULO PRIMER APÉNDICE

The \appendix command should be used only once. Subsequent appendices can be created using the Chapter command.

CAPĂ?TULO SEGUNDO APĂ&#x2030;NDICE

Some text for the second Appendix. This text is a sample for a short bibliography. You can cite a book by making use of the command \citet{KarelRektorys}: ?. Papers can be cited similarly: ?. If you want multiple citations to appear in a single set of square brackets you must type all of the citation keys inside a single citation, separating each with a comma. Here is an example: SENA (2013).