Resumo Álgebra (I e II) ARPA – 2º bimestre
Álgebra I A) Intervalos ≤ ou ≤ → bolinha fechada → [ ou ] O número está incluído < ou < → bolinha aberta → ] ou [ O número NÃO está incluído
Notação de conjuntos
Notação gráfica
+∞ → continua para a direita -∞ → continua para a esquerda
Notação de intervalos
{x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
[a;b]
{x ∈ R | a < x < b}
]a;b[
{x ∈ R | x ≥ a}
[a; +∞[
{x ∈ R | x < b}
]-∞; b[
B) Variação de sinal Exemplos: - Função do primeiro grau: y = 3x – 6 Primeiro, igualamos y a zero: 3x – 6 = 0 → 3x = 6 → x = 2 Depois, fazemos o esquema gráfico: Lembre-se: a < 0 → reta decrescente. 2 Os sinais representados não são para x, mas para o resultado, y.
E, por último, o estudo do sinal: y=0→x=2 y>0→x>2 y<0→x<2
- Função do segundo grau: y = x2 - 13x + 36 O processo é o mesmo: x2 - 13x + 36 = 0 → (x – 4)(x – 9) = 0 → x = 4 ou x = 9 +
+ 4
-
9
Lembre-se: a < 0 → parábola voltada para baixo. Os sinais representados não são para x, mas para o resultado, y.
C) Inequações Exemplos: - Função do primeiro grau: 3x – 4 ≤ 5x – 12 Isolamos a variável: -2x ≤ -8 → .(- 2x ≥ 8 → x ≥ 4 1) S = {x ∈ R | x ≥ 4}
y = 0 → x = 4 ou x = 9 y > 0 → x < 4 ou x > 9 y<0→4<x<9
Lembre-se: Quando multiplicamos a inequação por -1, devemos inverter o sinal de desigualdade.
- Função do segundo grau: x2 – 10x + 16 ≥ 0 Igualamos a zero para encontrar as raízes: x2 – 10x + 16 = 0 → (x – 2) (x – 8) → x = 2 ou x = 8 Hachuramos na representação os números pelos quais podemos + + substituir x para x2 – 10x + 16 ≥ 0. 2 8 S = {x ∈ R | x ≤ 2 ou x ≥ 8} = ]-∞; 2] U [8; +∞[
- Função do segundo grau (inequação produto): (2x – 10)(x2 – 11x + 18) < 0 Primeiro, devemos igualar os fatores a zero para então fazer seus esquemas gráficos: 2x – 10 = 0 → 2x = 10 → x = 5 x2 – 11x + 18 = 0 → (x – 2) (x – 9) = 0 → x = 2 ou x = 9 +
+ 5
2
-
Depois, fazemos o quadro de sinais: 2 5
99 9 sinais de (2x – 10) sinais de (x2 – 11x + sinais de (2x – 10)(x2
Hachuramos na representação os números pelos quais podemos substituir x para (2x – 10)(x2 – 11x + 18) < 0. Assim, temos: S = {x ∈ R | x < 2 ou 5 < x < 9} Inequação Quociente (como
3 – x > 0): O processo é o mesmo da inequação produto. x2 – 8x +7 Inequação Fracionária (como 3 – x > 3): Simplificando-a, chegamos a uma inequação quociente. x2 – 8x +7
D) Sistema de inequações
Exemplo: -2x ≤ 20 → x ≥ -10 → S1 ={x ∈ R | x ≥ -10} 3x – 5 ≤ 5x + 15 0 > x2 + 7x + 10 → (x + 2)(x + 5) = 0 → x = -2 ou x = -5 2 -x - 7x > 10 S2 = {x ∈ R | -5 < x < -2} ATENÇÃO: neste caso, não devemos -5 fazer um quadro de sinais. -5 -2 -
Igualamos a zero para encontrar as raízes
-2
S = {x ∈ R | -5 < x > -2}
S1 S2 S1 ∩ S2 2
Duplas desigualdades (como 10 ≤ x – 7x < 12): Dividimos em duas inequações e chegamos a um sistema de inequações.
E) Domínio de Funções (ou domínio de validade ou domínio de existência) Exemplos: f(x) = 2x - 1 devemos ter: x – 5 ≠ 0 → x ≠ 5 (pois em a:b, b ≠ 0 – não existe divisão por zero) x – 5 D = {x ∈ R | x ≠ 5} = R – {5} f (x) = √x-5
devemos ter : x – 5 ≥ 0 → x ≥ 5 (pois em D = {x ∈ R | x ≥ 5} = [5; +∞[
, se n for par, a ≥ 0)
Dicas: Cuidado com as bolinhas! Elas podem virar a sua nota se você não prestar atenção! Fazer a representação gráfica é SEMPRE imprescindível.
Álgebra II
Propriedades da Potenciação
Propriedades da Radiciação
Dicas: Realize as expressões etapa por etapa! Arme as contas para garantir que estejam certas. Lembre-se sempre! a1 = a; a0 = 1; 0n = 0/ n ≠ 0 e 1n = 1. Tenha decorado o quadrado dos números de 0 a 100 e também os números 2 a 7 elevados até o expoente 7. Módulo é a distância de um número até a origem (“zero”). É extremamente importante aplicar o módulo para obter a raiz de um “quadrado”. Toda raiz se transforma em potência de expoente fracionário, assim como toda a potência de expoente fracionário corresponde a uma raiz. Dê uma boa repassada nas operações com radicais. Importante! É melhor que tudo esteja dentro de uma só raiz. Caso seja uma multiplicação, o fator externo entra na raiz, elevando-o ao índice correspondente. Em caso de soma ou de subtração, é importante lembrar que os produtos notáveis e a simplificação são nossos amigos e podemos pedir uma ajuda para eles!
Boa Prova! Muita atenção! E uma dica, a última, confira! Isso é muito importante para ir bem! Conferir os cálculos! SEMPRE!