Vector 18

VECTOR OKTOBER 2023 - nummer 18

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

3 OMKEERPERSPECTIEF IN KASTJES 17 TOKARSKY'S ONVERLICHTBARE KAMER TAART SNIJDEN OP EEN WETENSCHAPPELIJKE MANIER

44

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade, Ars et Mathesis en Pythagoras

2 INHOUD

3 OMKEERPERSPECTIEF IN KASTJES

MERKWAARDIGE LIMIETEN 12

VECTOR

17

TOKARSKY'S ONVERLICHTBARE KAMER EERSTE HULP BIJ NEPNIEUWS MET MISLEIDENDE GRAFIEKEN 21

28

WAKKER GESCHUD DOOR DE L'HOSPITAL 400 JAAR MECHANISCH REKENEN 30 35

EERSTEGRAADSFUNCTIES ALS WISKUNDIG MODEL: RECHTE ALS TRENDLIJN TAART SNIJDEN OP EEN WETENSCHAPPELIJKE MANIER 44

VECTOR 6e jaargang - nummer 18 REDACTIE Nicolas Ruys, Tom Harteel, Anke Oderij, Karel Sierens - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be.

VECTOR is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België.

VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

3 ARS ET MATHESIS

OMKEERPERSPECTIEF IN KASTJES

EEN REVERSPECTIVE OF OMKEERPERSPECTIEF IS EEN OPTISCHE ILLUSIE AANGEBRACHT OP EEN DRIEDIMENSIONAAL OPPERVLAK WAARBIJ DE DELEN DIE HET MEEST VERAF ZIJN DICHTBIJ WORDEN AFGEBEELD EN OMGEKEERD. HET DRIEDIMENSIONALE OPPERVLAK KAN EEN ZIGZAG GEVOUWEN STUK PAPIER ZIJN OF EEN STELSEL (AFGEKNOTTE) PIRAMIDES. DE BRITSE KUNSTENAAR PATRICK HUGHES (GEB. 1939) IS HIER DE BEDENKER VAN. ZIJN WERK THE STICKING-OUT ROOM UIT 1964 WAS HET EERSTE REVERSPECTIVE, MAAR PAS IN DE JAREN NEGENTIG IS HIJ ZICH MEER OP DEZE KUNSTVORM GAAN TOELEGGEN. K L A A S L A K E M A N , A R S E T M AT H E S I S

4

De benaming reverspective is een samentrekking van de woorden reverse perspective. In het Nederlands omgekeerd perspectief of kortweg omkeerperspectief. Een reverspective of omkeerperspectief is dus een driedimensionaal schilderij. Wanneer je dat van voren bekijkt krijg je de indruk van een geschilderd plat oppervlak met perspectivische diepte werking. Met de term omkeerperspectief wordt echter ook de gebruikte methodiek aangegeven.

Na een eerste kennismaking in het voorjaar van 2004 in Galerie Vieleers te Amsterdam was in 2014 in het Panorama Mesdag in Den Haag een uitgebreide tentoonstelling met werk van Patrick Hughes. Naast enkele andere objecten waren daar veel van zijn vaak enorm grote reverspectives te zien. De aankondigende flyer van deze expositie bevatte een weergave van Seaside Reading (20082011) bestaande uit olieverf op een zigzag gevouwen board-constructie

Figuur 1 Aankondiging van de expositie Bewegende Ruimte.

Figuur 2 De flyer zigzag gevouwen.

met afmetingen van 52 X 152 X 25 cm (figuur 1). Op de flyer is het werk recht van voren gefotografeerd en lijkt dus een plat oppervlak met dieptewerking. Stapels boeken op de voorgrond en op de achtergrond.

Door die flyer op de juiste manier zigzag te vouwen kan een indruk worden verkregen van het werkelijke object (figuur 2). De vier stapels op de achtergrond in figuur 1 zitten dan op de naar voren gevouwen delen.

En de grote stapels op de voorgrond zitten in de naar achteren gevouwen vouwdalen.

PROBEERSEL VAN BRUNO ERNST In het deel van het legaat van Bruno Ernst (1926-2021) dat de Stichting Ars et Mathesis kreeg toegewezen, zat een soort bouwplaatje van circa 22 cm bij 12 cm. Nadere beschouwing leert dat het een provisorisch zelfgemaakt omkeerperspectief betreft. Figuur 3 is daar een foto van die recht van voren is gemaakt. In figuur 4A is het plat neergelegd. Een foto schuin van de onderkant genomen toont dan hoe het in elkaar zit. Het lijken drie aan elkaar geschakelde puntdaken die van voren en van achteren een beetje taps toelopen (figuur 4B).

Duidelijk is dat het Bruno Ernst niet zo zeer ging om het artistieke aspect. De tekening op de daken is dan ook een simpel potloodschetsje van een vertrek met boekenkasten. Alles duidt er op dat het meer een studie is naar de elementaire werking van omkeerperspectief. En om daarmee te experimenteren.

5

Figuur 3

Vergelijking van de figuren 3 en 4 leert dat de twee kamerhoeken die in figuur 3 naar voren lijken te steken in figuur 4 beneden tussen de daken zitten. De drie hoeken die in figuur 3 meer naar achteren zitten, vormen in figuur 4 juist de bovenste randen of vorsten van de daken. Als figuur 4 rechtop zou staan zouden ze naar voren steken. Verder zie je dan dat alles wat naar voren komt juist kleiner is getekend om onze hersenen de indruk te geven dat dat juist naar achteren steekt zoals we gewoon zijn waar te nemen. Hoe eenvoudig het omkeerperspectief van Bruno Ernst ook is, het leent zich uitstekend om de werking ervan op ons

Figuur 4

brein te bestuderen. In feite leidt een omkeerperspectief onze hersenen om de tuin. Onze hersenen reageren erop zoals ze gewend zijn: dichtbij is alles groter dan veraf.

DE KASTJES VAN MONIKA BUCH Op dezelfde elementaire manier als

Bruno Ernst experimenteerde de kunstenares Monika Buch zo rond 2013 met zigzag gevouwen omkeerperspectieven in kleine houten kastjes (figuur aan het begin). Het zijn geen uitgebreide afbeeldingen maar slechts simpele gekleurde motieven.

Heel anders dan de vaak enorme

6

reverspectives van Patrick Hughes.

Waar Hughes uitgaat van de realiteit, probeert Monika Buch het met abstracties van gebouwen en raampartijen. Ook heeft zij onderzocht in hoeverre de inversie is te bewerkstelligen door gebruik van kleur.

Het aller eenvoudigst is wel het kastje van figuur 5. Het bevat een stuk aluminiumfolie waarin slechts één V-vouw met daarop gekleurde papieren stroken. De lange gele stroken zitten achterin het kastje, de korte stroken links en rechts steken juist voren. Hoe eenvoudig ook, het geheel levert een fraai aanzicht.

Figuur 5

Figuur 6

Figuur 7

Figuur 8

Merk op dat de lichtere gele kleur van de lange stroken tegen de donkere kleuren van korte stroken links en rechts de inversie accentueren.

Figuur 6 is eveneens een gevouwen stuk aluminiumfolie met daarop een blauw geschakeerd papieren patroon dat veel lijkt op de raampartij

7

van een gebouw. Bij het kastje van figuur 7 is sprake van een omkeerperspectief aangebracht op zigzag naast elkaar staande verticale spiegels. Onontkoombaar is dat hier heel vaag de fotograaf op de achtergrond ook zichtbaar is.

De figuren 8 tot en met 12 tonen nog enkele fraaie kastjes die voor zichzelf spreken. Bij de kastjes van de figuren 10 en 11 komen de licht gele paaltjes juist door hun kleur nog eens extra naar voren. Bij het kastje aan het begin en die van de 9 en 12 is dat in mindere mate het geval. Om een indruk te krijgen van het formaat van

Figuur 9

Figuur 10

Figuur 11

Figuur 12

de kastjes nog een foto van Bruno Ernst (figuur 13) vol bewondering voor de kastjes van de figuren 6 en 12.

PROEF Kijk met één oog dicht geknepen langdurig naar figuur 14 . Het ene moment lijken de twee witte vlakjes naar voren te steken als de boven-

8

kanten van afgetopte piramides. Het andere moment lijken die twee witte vlakjes juist de bodems van naar beneden taps toelopende putten. Die beelden wisselen elkaar automatisch in een ritme van enkele seconden af.

Daar kan je geen invloed op uitoefenen. Zonder bijkomende gegevens kan je brein niet uitmaken welke interpretatie het moet hebben. Het kiest daarom afwisselend voor de twee verschillende mogelijkheden die in het dagelijks leven het meest voorkomen, zeg maar bol en hol.

Alles kan immers ook in één en hetzelfde platte vlak liggen of links kan bol zijn en rechts hol of juist andersom. Voor die mogelijkheden opteert je brein niet omdat die niet veel voorkomen in het dagelijks leven.

Figuur 13

Figuur 14 Bergen of dalen?

Bij een normale perspectivische tekening wordt door bijkomende gegevens doorgaans de mogelijkheid van een bolle interpretatie onderdrukt. Patrick Hughes en Monika Buch proberen bij een bol voorwerp met hun bijkomende gegevens die mogelijkheid te onderdrukken en je de interpretatie van een hol voorwerp op te dringen. De juiste interpretatie (de bolle) krijgt geen kans en wordt heel bewust uitgesloten.

BEWEGENDE RUIMTE Zoals vermeld, recht van voren bekeken geeft een omkeerperspectief de indruk van een geschilderd plat oppervlak met perspectivische diepte werking. Maar zodra je een klein beetje naar links of naar rechts beweegt zal door de veranderde kijkrichting het perspectief verschuiven.

De delen die het verst naar voren

9

steken (en dus het verst verwijderde deel van de afbeelding weergeven) blijven op hun plaats, maar de verst naar achter gelegen delen lijken iets te bewegen. Het wekt daardoor de illusie dat de hele ruimte iets meebeweegt. Om daarvan enigszins een indruk te krijgen moet je het kastje van figuur 12 waar het recht van voren is gefotografeerd, maar eens vergelijken met datzelfde kastje in figuur 13. Daar heeft de fotograaf een stapje naar rechts moeten doen om kastjes en Bruno Ernst tegelijk op de foto te krijgen. Of vergelijk figuur 15 een beetje schuin van links genomen met figuur 6 of het omkeerperspectief van Bruno Ernst uit figuur 3 met figuur 16 eveneens een beetje schuin van links gefotografeerd.

Figuur 15

Vooral bij de grote stukken van Patrick Hughes in Panorama Mesdag maakte dat destijds veel indruk. Als je daar al kijkend langzaam langs liep kreeg je het gevoel dat de afgebeelde ruimte als het ware met je ‘meebewoog’. Vandaar ook de benaming van de betreffende expositie.

Ga je echter te ver zijwaarts, dan houdt die ‘beweging‘ op en kijk je tegen de naar voren stekende afgeknotte piramides of vouwen aan. Wil je van die beweging enigszins een indruk krijgen, vouw dan een A4velletje een paar keer zigzag zoals de flyer uit figuur 2. Voorzie dat naar voorbeeld van Bruno Ernst of Monika Buch van een simpel motief. Zet het verticaal voor je neer, kijk er met één oog dichtgeknepen naar en beweeg je hoofd er langzaam voor langs.

Figuur 16

Pauline heeft 20 speelgoedautootjes: 10 blauwe cabrio’s met een lengte van 4 cm en 10 rode bussen met een lengte van 7 cm. Door er een aantal bumper aan bumper te plaatsen, maakt zij een rij van 62 cm. Hoeveel bussen staan in die rij?

A

B

C

D

E

2

3

4

5

6

OEFENING 2 Een 1×6-blokje is het kleinste LEGO®-blokje dat schuin op een rechthoekige ondergrond past (met behulp van 1x1-blokjes op de uiteinden), zoals in de figuur. Wat is het op een na kleinste blokje dat ook schuin past op een rechthoekige ondergrond?

De figuur hiernaast toont 12 eilanden verbonden met bruggen die vierkanten en gelijkzijdige driehoeken afbakenen. Op 10 eilanden staat een hoek aangegeven. De bruggen waarlangs je een eiland betreedt en verlaat, moeten onderling steeds die aangegeven hoek vormen. Hoeveel bruggen steek je over als je op die manier van A naar B wil gaan?

A 9

A

B

C

D

E

Een 1x7-blokje

Een 1x8-blokje

Een 1x9-blokje

Een 1x10-blokje

Een 1x11-blokje

B

10

C

11

D 12 E

13

© Junior Wiskunde Olympiade vzw - Eerste Ronde JWO 2022-23, vraag 29

© Junior Wiskunde Olympiade vzw - Eerste Ronde JWO 2022-23, vraag 24

© Junior Wiskunde Olympiade vzw - Eerste Ronde JWO 2022-23, vraag 16

OEFENING 1

OEFENING 3

10

© Junior Wiskunde Olympiade vzw - Tweede Ronde JWO 2022-23, vraag 15

11

OEFENING 4 In een Zeeslagpuzzel moet je de zes bootjes hieronder in het rooster zien te lokaliseren. Verschillende schepen mogen elkaar niet raken, ook niet diagonaal. De cijfers rondom het rooster geven aan hoeveel cellen in die rij of kolom bezet worden. Hoeveel bedraagt het weggelaten cijfer?

A

B

C

D

E

0

1

2

3

4

© Junior Wiskunde Olympiade vzw - Eerste Ronde JWO 2022-23, vraag 24

OEFENING 5 Drie kubussen hebben twee aan twee een ribbe gemeen zoals in de figuur. Dat bouwwerk wordt gesneden door het vlak bepaald door de drie aangeduide punten. Wat is de vorm van de doorsnede van het bouwwerk met dat vlak?

A

B

C

D

E

12 VVWL

MERKWAARDIGE LIMIETEN G R I C H A P L U S N I N , AU T E U R

VAN

�NAAR…?

Even geleden zette ik enkele limieten, zoals die van de titel op mijn website home.scarlet.be/gricha/ en . Je zou misschien durven nl. denken dat die limieten gelijk zijn, omdat in de omgeving geldt dat . Dat is echter niet het van geval. De eerste is gelijk aan , de tweede aan . In dit artikel gaan we dieper in op dit merkwaardige verschil.

of kansen op twee manieren kan berekenen. Het is geruststellend als je twee keer hetzelfde resultaat krijgt.

Hier zie je de grafieken van de twee corresponderende functies, de eerste (figuur 1) online met www.desmos. com/calculator, de tweede (figuur 2) met Graphmatica.

BEREKENING MET DE L’HOSPITAL Bewijzen? Toch niet moeilijk, hoor ik je zeggen: even een “Hospitalleke” toepassen en we zijn er.

Bij de eerste limiet is het inderdaad (na twee of drie keer de l’Hospital) snel duidelijk dat het resultaat moet zijn.

Bij de tweede is het wat moeilijker:

GRAFISCHE HULP Het is met menig grafisch programma snel te controleren of je wel het correcte resultaat hebt gevonden. Dit geeft je een zekere gemoedsrust. Moet je doen bij elke limiet waarvan je het resultaat niet bij voorbaat kent! Om die reden is het ook leuk dat je bijvoorbeeld een reekssom met Excel goed kan benaderen of dat je tellingen

Figuur 1 De grafiek van de functie

13

Figuur 2 De grafiek van de functie

Figuur 3 De grafiek van de functie

In figuur 1 is het discontinuïteitspunt uitvergroot. Als je niet uitvergroot maar ‘wijst’ naar het discontinuïteitspunt kan je iets krijgen zoals (–0.002, 0.1667) en als je zeer goed mikt, kan je zelfs (0,undefined) krijgen.

BEREKENING ZONDER DE L’HOSPITAL ?

We kunnen ons de vraag stellen of het niet mogelijk zou zijn die twee limieten zonder de regel van de l’Hospital te berekenen. Voor de tweede lukt het vrij aardig :

Merk op dat bij Graphmatica de discontinuïteit zichtbaar wordt door een cirkeltje op de x-as. (Waarom het cirkeltje daar staat, weet ik niet, maar bij de grafiek van (zie figuur 3) krijg je het bolletje wel daar waar je het ook in de klas zou zetten.)

Als je het scherm (figuur 2) groot maakt en “goed mikt”, is het zelfs mogelijk om onderaan te zien verschijnen on ” “At point

Voor de eerste (die van de titel), die je bijna op zicht met de l’Hospital kon oplossen, zou je ten minste een even gemakkelijke weg veronderstellen. Vergeet het maar.

Je zal diep moeten grabbelen in je ‘trukendoos’. Je kan dit eventueel ontdekken, zelfs in twee versies, door het downloaden van home.scarlet.be/gricha/gricha/ v6213.docx.

14

SCHRIK VAN HOGERE MACHTEN ?

Enige tijd geleden kwam ik gelijkaardige limieten tegen maar dan met derdemachten in de teller.

Dit was de trigger om eens verschillende machten te proberen in combinatie met sin� , tan� en . Om er zeker van te zijn welke machten je kan combineren in teller en noemer om een limiet te verkrijgen die een van nul verschillend reëel getal oplevert, maakte ik eerst de grafiek met Graphmatica. Ik merkte dat, als de macht in de noemer precies 2 meer was dan de macht in de teller, ik telkens een limiet kreeg die een van nul verschillend reëel getal opleverde. Bovendien kon ik dan ook onmiddellijk zien welke uitkomst ik moest krijgen. Eerst dacht ik vaak hetzelfde getal te zullen vinden, maar niets daarvan. Tot hiertoe heb ik wel al tien verschillende uitkomsten gekregen, dus ‘voorspellen’ is bijna onmogelijk.

Om dat te illustreren, ziehier een voorbeeld met zesdemachten in de teller en een achtstemacht in de . Ik hoor al iemand roepen “verschil noemer: van derdemachten”, iemand anders “verschil van kwadraten”. Ik heb het in eerste instantie inderdaad zo aangepakt. Je moet wel álle verschillen van kwadraten en derdemachten die je tegenkomt ontbinden. Het is te doen. Maar ik heb nog een betere manier gevonden, die meer veralgemeenbaar is en dus ook lukt voor bijvoorbeeld een vijfdemacht in de teller: een verschil is altijd deelbaar door . van n-de machten� is cruciaal voor de limietberekening, De factor met de andere lange factor wordt een fluitje van een cent als je die tenminste voorziet van de juiste macht:

Merk op dat deze limiet dus kan worden opgelost ofwel zonder de regel van de l’Hospital ofwel door slechts één keer de afgeleide te nemen van teller en noemer en dan nog van basisfuncties. Als je op de gegeven limiet direct de l’Hospital zou loslaten, dan moet je ervoor zorgen dat je je niet verslikt in de lange berekeningen, als je er überhaupt al uit zou geraken.

Nog een paar gelijksoortige limieten waarop één of twee keer de regel van de l‘Hospital (afgeleide op basisfuncties) toegepast kan worden:

en

Bovendien moet de noemer niet noodzakelijk een macht van zijn:

15

Ook mag bijvoorbeeld

twee keer voorkomen :

Het berekenen van al die limieten blijkt zich toe te spitsen op het berekenen van de van de volgende breuken: limieten voor enzovoort.

WAT HEBBEN WE VANDAAG GELEERD? Ik heb in dit artikel een beetje in de pot met limieten geroerd. Laat me daarom ook concluderen zoals een bekende kok: 1. Stort je niet als een hongerige leeuw op de regel van de l’Hospital vanaf het moment dat je een onbepaalde vorm ziet.

2. Ontbinden in factoren is niet ouderwets en kan bij limieten met succes worden gebruikt, ook .

3. In 99 % van de gevallen kan je het resultaat van een limiet zeer goed schatten en controleren met een grafisch programma.

OVER DE AUTEUR Gricha Plusnin kan terugblikken op een carrière als leraar wiskunde in het atheneum van Ekeren. Daar is hij in 1985 begonnen met het maken van meerkeuzevragen.

Vandaag zijn er al meer dan 6 000 te vinden op zijn website home.scarlet.be/gricha/.

Gricha Plusnin is ook al meer dan 30 jaar jurylid van en een uiterst productieve bedenker van vragen voor de Vlaamse Wiskunde Olympiade.

E-mail: gricha@antwerpen.be.

Artikel uit “Wiskunde en Onderwijs” van de Vlaamse Vereniging Wiskundeleraars.

16 39e Vlaamse Wiskunde Olympiade

Wiskunde: nieuw inzicht brengt de

Met dank aan Jens Bossaert. V.U. Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, E. Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk � 432.328.406 � RPR Gent, afdeling Kortrijk � vwo@kuleuven.be

oplossing!

Eerste ronde

17 januari 2024

Deze dertienhoek betegelt het vlak zonder regelmatige herhalingen. Dat dit met één veelhoek mogelijk is, werd pas in 2023 ontdekt.

Wiskunde biedt weeral oneindige variatie.

www.vwo.be www.facebook.be/vlaamsewiskundeolympiade

VWO wordt eveneens gesteund door de KU Leuven, de KU Leuven Campus Kulak Kortrijk, de Universiteit Antwerpen, de Universiteit Gent, de Universiteit Hasselt, de Vrije Universiteit Brussel, het Belgisch Wiskundig Genootschap, New Scientist, de Vlaamse Vereniging voor WiskundeLeraren, Wolfram Mathematica, Wetenschap in Beeld.

17

TOKARSKY’S ONVERLICHTBARE KAMER

PYTHAGORAS

EIGENLIJK IS DE TITEL VAN DIT STUKJE EEN BEETJE MISLEIDEND, MAAR IK WILDE JE LOKKEN MET EEN INTRIGERENDE OMSCHRIJVING. DE KAMER VAN TOKARSKY IS TROUWENS HELEMAAL NIET ONVERLICHTBAAR. JE KUNT ER GEWOON EEN LAMP AANDOEN. MAAR ALS JE DEZE LAMP (WEL ALS ‘PUNTBRON’ OPGEVAT) OP EEN SPECIALE PLEK AANDOET, BLIJFT HET OP EEN ANDERE PLEK IN DIE KAMER DONKER. TOEN IK HET IDEE EN DE OPLOSSING ZAG IN HET WISKUNDEBOEK VAN CLIFFORD PICKOVER UIT 2010, INSPIREERDE HET MIJ TOT ONDERSTAANDE VARIANT. JAAP KLOUWEN

In het leuke boek van Pickover wordt, gekoppeld aan een jaartal, een aansprekend idee of een nieuwe ontwikkeling uit de wiskunde kort beschreven. Voor het jaar 1969 is gekozen voor die onverlichtbare kamer van Tokarsky. Het is een ruimte met allemaal rechte, verticale (binnen) spiegels, waarbij de rand zichzelf niet doorsnijdt en geen ‘gaten’ bevat. ‘Kan er een ruimte bestaan die niet vanuit elk punt geheel kan worden verlicht’ was in 1969 de vraag en zo ja, wat is dan het minimale aantal rechte wanden? Let op: alleen punten binnen de ruimte worden beschouwd, dus niet die van de randen. De ruimte mag ook geen ‘gaten’ hebben. Tokarsky vond in 1995 een oplossing met 26 wanden. In 1997 vond David Castro een oplossing met 24 wanden. Beide

oplossingen staan hieronder. In beide kamers zijn de twee bedoelde punten aangegeven; ze liggen in het verlengde van de lange horizontale wand. Lichtstralen die in een hoekpunt eindigen of samenvallen met delen van een wand (zoals tussen de twee punten in de kamers van Tokarksy en Castro) zijn niet toegestaan.

Je zou kunnen zeggen dat het ‘spiegelgetal’ van deze twee vormen ‘oneindig’ is. Met het spiegelgetal van een vorm bedoel ik het aantal spiegelingen (of spiegelpunten) dat in het meest ongunstige geval nodig is om vanuit het ene punt van die vorm naar het andere te komen met een (oneindig gedachte) lichtstraal.

Een gewoon vierkant heeft dan spie-

Figuur 1 De kamer van Tokarsky

Figuur 2 De kamer van Castro

18

gelgetal 0, want elk punt kan direct verbonden worden met een ander: er zijn daarvoor geen spiegelwanden nodig (figuur 3).

Het spiegelgetal van de tweede vorm in figuur 3 is 2, want het ‘lastigste geval’ is het tweetal hoekpunten A en B, dat vrij eenvoudig door twee spiegelingen (45°-lijnen) verbonden kan worden. Merk op dat de lichtstraal van hoekpunt C naar hoekpunt D niet mag: hij snijdt het verst naar binnen gelegen hoekpunt (rand) van de figuur. (Ook een lichtstraal die eindigt in een hoekpunt zoals A, B, C of D mag niet,

want daarbij is geen terugkaatsende straal te bepalen.) Veel moeilijker te bewijzen is dat het spiegelgetal van de derde figuur maar liefst 7 is. Ook dit is een zogeheten polyomino: een vorm met minstens één zijde aan elkaar geplakte vierkantjes.

We beperken ons, in tegenstelling tot Tokarsky en Castro, tot polyomino’s en geven je vier opdrachten.

Opdracht 1.

Bepaal het spiegelgetal van

Nog een voorbeeld: het spiegelgetal van onderstaande polyomino (een ‘hexamino’, met dus zes vierkantjes) is 4, getuige de twee ‘moeilijkst’ te verbinden punten en hun ‘stralengang’ (met richtingscoëfficiënt −5/6 dan wel 5/6): (figuur 4).

Opdracht 2.

Bepaal het spiegelgetal van

Figuur 3

Opdracht 3.

Bedenk welk spiegelgetal nooit voorkomt bij polyomino’s.

Opdracht 4.

Bedenk een andere, nietpolyominovorm waarbij het spiegelgetal uit opdracht 3 wél optreedt.

Figuur 4

19

ANTWOORDEN De antwoorden van de vier opdrachten zijn: 1. Het spiegelgetal van de ‘pentomino’ (vijf vierkantjes) met de ‘plus’-vorm is 4. Het lastigste tweetal punten wordt hieronder getoond. In vier spiegelingen bereikt een lichtstraal vanuit A punt B (of omgekeerd). Door de regel ‘hoek van inval = hoek van uitval’ en de rechte hoeken van polyomino’s zijn er steeds maar twee richtingen van de lichtstraal mogelijk.

Uit de vergelijking van de y-coördinaat volgt: � . Invullen geeft . Voor de lijn door S2 en S3 geldt iets soortgelijks:

Op eenzelfde wijze als hiervoor volgt dan . Evenzo is dan . Als laatste moet de lichtbundel vanuit S4 uiteraard in B eindigen, dus moet gelden:

Dit stelsel van twee vergelijkingen en twee onbekenden heeft als oplossing en .

2. Het spiegelgetal van de ‘arc’ is 6. Hieronder staan drie lastige puntenparen en daarbij hun afstand (gemeten in het aantal spiegelingen).

Als we de punten, links onderaan beginnend, voor het gemak even de geheeltallige coördinaten (0, 0), (0, 1), (−1, 1), (−1, 2) etcetera geven, dan zijn de vier spiegelpunten van de lichtstraal tussen A(1, 0) en B(2, 1): en . De bepaling van deze baan kan bijvoorbeeld berekend worden door vectorvoorstellingen. Stel dat het eerste spiegelpunt S1 de coördinaten (0, xx) heeft en dat de richtingsvector vanuit A dus (−1, xx) is, dan heeft de lijn door S1 en S2 de richtingsvector (1, xx). Snijden we deze lijn met de lijn y = 3, dan is S2 te berekenen uit:

3 spiegelingen

5 spiegelingen

6 spiegelingen

20

De coördinaten zijn met dezelfde methode gevonden die ik introduceerde bij het ‘plus’-pentomino.

Zoals het spreekwoord ’de keten is zo sterk als z’n zwakste schakel’ zegt, is het spiegelgetal van de arc-septomino dus 6. Maar pas op: er zijn ook ‘foute’ routes. Onderstaand een intrigerende lichtstraal, weliswaar ook met afstand 6, maar door het niet toegestane punt (1, 2).

3. Het enige spiegelgetal dat nooit voorkomt bij polyomino's is 1. Oorzaak is uiteraard de vierkante vorm van elk deel van de polyomino. Het formele bewijs van deze eigenschap zal ik hier maar achterwege laten.

Dit brengt mij op het vermoedelijke spiegelgetal 7 van de ‘letter G’ uit de tekst. Elke route vanuit een punt wordt bepaald door het slechts noemen van de richtingsvector, of korter, de richtingscoëfficiënt. Die richtingscoëfficiënt is hier, vanuit het punt helemaal rechtsboven, 8/9. Daarmee kun je de route zelf wel bepalen/tekenen. De hoeken van de lichtstraal lijken loodrecht op elkaar te staan, maar dat is schijn. Dat is natuurlijk alleen zo bij een richtingscoëfficiënt 1 of −1.

(De hoeken zijn in onderstaande figuur iets meer dan 93 graden.) Met dank aan Bart Van Gasse, die mijn gevonden spiegelgetal van 9 naar 7 verkleinde.

Dit artikel verscheen eerder in Pythagoras.

Ontdek meer op www.pyth.eu

4. Voorbeelden van andere, niet-polyominovormen waarbij dit spiegelgetal 1 wél optreedt zijn:

21 PYTHAGORAS

EERSTE HULP BIJ NEPNIEUWS MET MISLEIDENDE GRAFIEKEN GRAFIEKEN ZIJN HEEL GESCHIKT OM VEEL EN COMPLEXE INFORMATIE WEER TE GEVEN: ZE BIEDEN IN ÉÉN OOGOPSLAG OVERZICHT EN DUIDELIJKHEID. BOVENDIEN HEBBEN ZE EEN OBJECTIEVE UITSTRALING WAARDOOR ZE HET VAAK GOED DOEN ALS ARGUMENT BIJ EEN BEWERING: “DE CIJFERS LIEGEN NIET.” BEHALVE ALS ZE DAT WEL DOEN, EN DAT KOMT HELAAS MAAR AL TE VAAK VOOR. DAAROM HIER EEN LESJE IN HET DOORPRIKKEN VAN NEPNIEUWS MET MISLEIDENDE GRAFIEKEN. W I N N I F R E D W I J N K E R , SA N N E W I L L E M S , UNIVERSITEIT LEIDEN

Om jezelf tegen misleiding te wapenen is het handig iets te begrijpen van hoe wij grafieken uitlezen. Hoewel vrijwel iedereen beweert gewoon goed naar de cijfers te kijken, blijkt uit onderzoek dat dat eigenlijk pas stap twee is in het leesproces. Zodra je een grafiek onder ogen krijgt, start eerst een intuïtieve fase van lezen: het vormen van een oordeel op basis van je eerste indruk. Dat wil zeggen dat je direct al een inschatting maakt van welk verhaal de grafiek je vertelt door puur af te gaan op het beeld dat de grafiek je voorschotelt. Zie je een opgaande lijn? Dan is er een toename van het een of ander. Zijn er staven van verschillende lengten? Dan is er van het één meer dan van het ander.

Dit soort van oordelen hebben we

geleerd te maken van kleins af aan, door onze interactie met de wereld om ons heen: klim je een heuvel op, dan win je aan hoogtemeters en van het grootste koekje uit de trommel kun je het langste genieten. Pas als we dit oordeel hebben geveld, treedt de tweede fase van grafieken uitlezen in werking en gaan we kijken naar de assen en de labels en proberen we precieze cijfers af te lezen.

bespreken we zo. Nou denk je misschien dat je die trucjes wel doorziet en dat jij je niet laat vangen, maar dat is helaas niet zo. Onderzoek laat zien dat iedereen – ja, echt iedereen – door zulke grafieken wordt misleid.

Als je heel goed bent met grafieken (je grafiekgeletterdheid) en cijfers (gecijferdheid) is het effect wat kleiner.

Maar ook bij de knapste koppen heeft een misleidende grafiek effect!

Misleidende grafieken hebben je vaak al te pakken in die eerste fase, doordat ze je een verkeerd beeld voorschotelen. Dat doen ze bijvoorbeeld door een misleidend perspectief te gebruiken door met de assen te knoeien of door zaken weg te laten. Hoe dat er precies uitziet,

Het probleem van misleiding zit dus in de eerste intuïtieve leesfase en daar doe je niks tegen. De manier om die misleiding te doorprikken zit ‘m erin om de misleiding te herkennen en recht te zetten in de tweede fase.

Om je daarin te trainen bespreken we hier de drie meest voorkomende

22

manieren van misleiding in grafieken en geven we je een checklist om jezelf mee te wapenen.

1. 3D-PERSPECTIEF Grafieken zijn beelden opgebouwd uit lijnen, vormen, tekst en getallen.

Soms worden er plaatjes van het onderwerp aan toegevoegd om de grafiek aantrekkelijker te maken of om snel zichtbaar te maken waar de grafiek over gaat. In de regel zijn grafieken plat, dus tweedimensionaal, zodat ze gemakkelijk zijn af te lezen en verschillende punten goed met elkaar zijn te vergelijken. Schending van deze regel door een driedimensionale grafiek te maken zorgt ervoor dat onderdelen op de voorgrond groter of belangrijker lijken dan die op de achtergrond en aan de zijkanten (zie figuur 1).

2. VREEMDE ASSEN Veel grafieken hebben een verticale en een horizontale as. Op beide assen moeten de waarden logisch gekozen en in gelijke stappen verdeeld zijn.

Figuur 2: Een grafiek met een horizontale as die niet chronologisch is geordend, suggereert een verkeerde indruk van de ontwikkeling.

Op de horizontale as staan bijvoorbeeld verschillende momenten in de tijd om een verloop over een periode weer te geven, of verschillende categorieën die met elkaar worden vergeleken. Als de horizontale as een verloop over tijd weergeeft is die in de regel chronologisch geordend en verdeeld in gelijkmatige stapjes.

Een niet-chronologische volgorde zou onlogisch zijn en daardoor een

Figuur 1: In een driedimensionale grafiek lijken onderdelen op de voorgrond groter of belangrijker dan die op de achtergrond en aan de zijkanten.

verkeerde indruk van de ontwikkeling over de tijd wekken (zie figuur 2).

De verticale as geeft vaak de waarde in een bepaalde eenheid weer, zoals percentages, euro’s of aantal personen. De minimale en maximale waarden op de as moeten passen bij de data en het interval daartussen moet in gelijke stappen verdeeld zijn.

De verticale as begint in de regel op nul (de nullijn). Schending van deze regel door de nullijn weg te laten zorgt er vaak voor dat de verschillen tussen de waarden groter lijken (zie figuur 3). De as eindigt meestal rond de grootste waarde, zodat het hele oppervlak van de grafiek wordt benut, van onder tot boven. Als je een veel groter maximum kiest, lijken de verschillen tussen de data juist kleiner (zie figuur 4).

23

figuur 5). In taartdiagrammen en staafdiagrammen die categorieën vergelijken, staan in de regel alle belangrijke categorieën. Schending van deze regel zorgt voor een scheef beeld in de onderlinge verhoudingen (zie figuur 6).

CHECKLIST Met deze checklist kun je jezelf tegen misleiding wapenen.

Figuur 3: In een grafiek met een verticale as die niet op nul begint, lijken de verschillen tussen de data groter.

� ✔ Is de grafiek in 2D weergegeven? ✔ Is de horizontale as chronologisch geordend? ✔ Begint de verticale as op nul? ✔ Is de stapgrootte op de verticale as passend voor de spreiding van de data? ✔ Zijn de stappen op de assen gelijkmatig verdeeld? ✔ Zijn de categorieën compleet?

Figuur 4: In een grafiek met een te grote stapgrootte op de verticale as lijken de verschillen tussen de data kleiner.

Kom je een grafiek tegen en is het antwoord op één of meerdere van deze vragen “nee”, krab jezelf dan achter de oren en wees extra kritisch op de afzender: vraag je af waarom de maker het nodig vindt om ontwerpstandaarden van grafieken te schenden. Is een eerlijke grafiek misschien niet zo overtuigend…?

doorzien, maar door te kijken naar de waarden op de assen of naar de legenda in taartdiagrammen (die laat zien wat elke kleur weergeeft) kun je daar wel een idee van krijgen. In de regel hebben horizontale assen een gelijkmatig interval (stapjes) waarbij geen punten ontbreken. Bij schending van deze regel laat de grafiek een ontwikkeling zien die niet klopt (zie

DE GRAFIEKPOLITIE Om mensen te beschermen tegen nepnieuws, hebben we onderzocht wat een effectieve methode is om hen te helpen. We hebben een aantal vormen uitgeprobeerd en zagen dat het vooral helpt als het eerste intuïtieve beeld wordt gecorrigeerd door het juiste plaatje ernaast te zetten met een waarschuwing.

Maandelijks corrigeren we op deze

3. CHERRY PICKING Een grafiek kan er heel netjes uitzien met een mooie spreiding, een nullijn en een heldere tweedimensionale opmaak en toch misleidend zijn, doordat ze niet het hele verhaal vertelt. De cijfers die erin staan kloppen dan wel, maar er is veel informatie weggelaten. Dit type misleiding is niet altijd makkelijk te

24

manier als Grafiekpolitie grafieken die we tegenkomen in het nieuws of op social media en spreken de makers erop aan dat ze hun lezers misleiden.

We bespreken op de website van Nieuwscheckers.nl waar het misgaat en waarom dat misleidend is. Daar vind je ook meer informatie over ons onderzoek. Laat jezelf niet neppen en volg de Grafiekpolitie op www.nieuwscheckers.nl!

Figuur 5: Een grafiek met een ongelijkmatig interval op de horizontale as laat een ontwikkeling zien die niet klopt. Hier ontbreken de dalingen in 2015 en 2018.

Figuur 6: Een grafiek met een incomplete set categorieën geeft een scheef beeld van de verhoudingen weer. De oranje groep lijkt in de linker grafiek de kleinste, maar misschien is oranje niet zo uitzonderlijk en zijn er nog meer kleine groepen (zoals groen).

Figuur 7: Voorbeeld van een door de Grafiekpolitie gecorrigeerde misleidende grafiek. In de misleidende grafiek leek het of mannen uit Indonesië zó klein zijn dat ze maar tot de knieën van Nederlanders komen!

25

OEFENING 6

© � Junior Wiskunde Olympiade vzw, Wombat - 2022-2023, vraag 10

Julia knipt een vierkant in stukken.

Ze maakt een kangoeroe.

Welk stuk blijft over?

A B C D E

Vik, Julie en Elias gaan één voor één het spookhuis binnen. Vik vertrekt niet als eerste, Julie vertrekt niet als tweede en Elias vertrekt niet als derde. Op hoeveel manieren kunnen ze het spookhuis binnengaan?

A

1

B

2

C

3

D

4

E

6

© � Junior Wiskunde Olympiade vzw, Koala - 2022-2023, vraag 23

OEFENING 7

eën

rategi n zoekst Er bestaa jn. je leren. sser te zi n lo ka op en em oploss proble n co o le is ee Problemen n eë om lpen strategi d ie je he d ie zoek Een van

EEN

VULLEN

N OF AAN

G MAKE TEKENIN

van rwerken in het ve st. Kan je k el beter te ve n jn ee zi van enen ? rwerken Onze hers oplossen in het ve evragen ing dan Kangoero e d en een teken lg anier vo op d ie m

Er staan 12 neushoorns aan de ingang van Tomorrowland.

Flor staat op de 7de plaats. Gust is voorlaatste. Hoeveel neushoorns staan tussen Flor en Gust?

1

3

2

4

5

Wallaroe 2019, vraag 9

Sushi, de stoute poes, heeft een stuk van de kalender opgegeten. Op welke dag valt de 25e hier?

MA

6

maandag

DI WO DO VR

7

ZA

ZO

1

2

3

4

5

8

9

10

11

12

woensdag

donderdag

zaterdag

zondag

Koala 2018, vraag 7

Floris rijdt met zijn fiets door het park. Hij begint bij START. Hij fietst in de richting van de pijl.

• Bij het eerste kruispunt slaat hij rechts af.

START

• Bij het volgende kruispunt slaat hij links af.

• Bij het volgende kruispunt slaat hij rechts af.

• Bij het volgende kruispunt slaat hij links af.

Voorbij welk kasteel rijdt Floris niet?

Sneeuwwitje organiseert een toernooi voor haar 7 kleine vrienden.

Iedere kleine vriend speelt juist 1 spel met iedere andere kleine vriend.

Op de eerste dag van het toernooi speelt Doc 6 spelletjes, Giechel 5, Bloosje 4, Dommel 3, Niezel 2 en Grumpie 1 spel. Hoeveel spelletjes

Springmuis 2015, vraag 18

speelt Stoetel op die dag?

1

2

3

4

5

Wallabie 2023, vraag 21

21 maart 2024 Wereldwijde Kangoeroedag

Deelnemen kan van 21 maart tot 25 april 2024 Internationale wedstrijd in 5 edities met prijzen voor alle deelnemers:

Hoeveel stenen 6

van de iglo zijn er weg?

7

8

Wombat 1e en 2e leerjaar Springmuis 3e en 4e leerjaar Koala 5e en 6e leerjaar Wallabie/Wallaroe 1e en 2e leerjaar secundair onderwijs A- en B-stroom

9

10

Wombat 2017, vraag 6

www.kangoeroe.org instagram.com/kangoeroewedstrijd facebook.com/kangoeroewedstrijd

VWO vzw - E. Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk - 432.328.406 - RPR Gent, afdeling Kortrijk - kangoeroe@kuleuven.be

27

De neushoorn loopt over het pad. Hij slaat nooit links af of rechts af. In welke volgorde loopt hij voorbij de vlaggen?

Wallaroe 2023, vraag 4

Wallaroe

De figuur bestaat uit horizontale en verticale rechten. Wat is het ontbrekende deel?

Wallabie 2023, vraag 1

Wallabie

Hoeveel cirkels zijn er in de tekening?

Wombat 2023, vraag 1

Wombat

Liam draait aan het rad. Hij wint het stuk fruit aan de pijl bovenaan. Welk stuk fruit heeft de grootste kans om gewonnen te worden?

Springmuis 2023, vraag 7

Springmuis

Hoeveel lucifers gebruikt opa om het getal 23 te maken?

Koala 2023, vraag 1

Koala

28 UITWISKELING

WAKKER GESCHUD DOOR DE L’HOSPITAL REKENREGELS VERVALLEN SOMS NA EEN TIJDJE IN AUTOMATISMEN. DAT HEEFT ZIJN VOORDELEN; JE ONTLAST ER JE (WERK)GEHEUGEN MEE EN JE MOET NIET MEER OVER ALLES NADENKEN. MAAR JUIST IN DAT LAATSTE SCHUILT EEN GEVAAR. WE VERGETEN DAN WEL EENS DE VOORWAARDEN VAN DE STELLING (DE ZOGENAAMDE “KLEINE LETTERTJES”) NA TE GAAN. EN DAN KAN HET FOUT LOPEN. HET IS ZINVOL OM DE LEERLINGEN TE LATEN NADENKEN OVER DERGELIJKE “TEGENVOORBEELDEN” (ZIE MASON, 2009). OP DIE MANIER KRIJGEN ZE MEER FEELING VOOR DE CORRECTE FORMULERINGEN VAN STELLINGEN. H I L D E E G G E R M O N T, A N N E S C H AT T E M A N , R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

We illustreren dit met de berekening van lim

6𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥

!→#$ 2𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥

.

Zowel de teller als de noemer zijn afleidbare functies en voor beide is de limiet oneindig: lim (6𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥) = lim (2𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥) = +∞ .

!→#$

!→#$

De gevraagde limiet geeft dus aanleiding tot een onbe$ paaldheid van de vorm . In dergelijke situaties kunnen $ we de regel van de l’Hospital gebruiken: 6𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥 6 + cos 𝑥𝑥 = lim . !→#$ 2𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥 !→#$ 2 + cos 𝑥𝑥 lim

Deze laatste limiet is onbepaald. Betekent dit iets voor de oorspronkelijke limiet? Een andere aanpak laat zien dat deze limiet toch bestaat en gelijk is aan 3: sin 𝑥𝑥 6 + 𝑥𝑥 6𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥 = lim =3. sin 𝑥𝑥 !→#$ 2𝑥𝑥 + sin 𝑥𝑥 !→#$ 2+ 𝑥𝑥 lim

Waar zit het probleem dan? Er is inderdaad nog een bijkomende voorwaarde in de formulering van de regel van de l’Hospital. De gelijkheid lim

𝑓𝑓(𝑥𝑥)

!→% 𝑔𝑔(𝑥𝑥)

= lim

𝑓𝑓′(𝑥𝑥)

!→% 𝑔𝑔′(𝑥𝑥)

geldt immers alleen als de limiet uit het tweede lid bestaat. Het lijkt een evidente voorwaarde, maar dit voorbeeld laat zien dat we ze toch niet uit het oog mogen verliezen!

Dit kort artikel verscheen in Uitwiskeling 34/2.

Op www.uitwiskeling.be vind je meer info.

BRONNEN Mason, J., Klymchuk, S. (2009). Using Counter-examples in Calculus.

Londen: Imperial College Press.

© Junior Wiskunde Olympiade vzw tweede ronde JWO 2022-23, vraag 22

© Junior Wiskunde Olympiade vzw tweede ronde JWO 2022-23, vraag 14

29

OEFENING 8 Waaraan is 992 − 972 + 952 − 932 + … + 72 − 52 + 32 − 12 gelijk?

A

196

B

200

C

4802

D

5000

E

5000

OEFENING 9 Van de zevenhoek in de figuur zijn zes zijden en vijf hoeken gegeven. Waaraan is de lengte van de zevende zijde gelijk?

A

B

C

D

E

© Junior Wiskunde Olympiade vzw tweede ronde JWO 2022-23, vraag 29

OEFENING 10 In een vaas zitten 10 ballen die genummerd zijn met de getallen 1 tot en met 10. Dennis neemt lukraak drie ballen uit de vaas, in volgorde en zonder terugleggen. Wat is de kans dat het getal op de derde bal het gemiddelde is van de getallen op de eerste twee ballen?

A

B

C

D

E

30

400 JAAR MECHANISCH REKENEN PAU L L E V R I E , E RW I N S M E T, C H R I S T O P H E VA N D E V E L D E , FAC U LT E I T T O E G E PA S T E I N G E N I E U R SW E T E N S C H A P P E N , UA N T W E R P E N

SITUERING We zijn in het jaar 1601. De Deense astronoom Tycho Brahe (1546-1601) is in vrijwillige ballingschap in Praag, nadat hij in Denemarken in conflict was gekomen met de kerk, de koning en de adel. Brahe had een heel deel van zijn leven besteed aan het doen van waarnemingen van de posities van sterren en planeten aan de hemel.

Hij bouwde en gebruikte hiervoor enorme sextanten en cirkelkwadranten, instrumenten die hem toelieten om met het blote oog redelijk nauwkeurige waarnemingen te doen (er waren toen nog geen telescopen – bovendien werd tot kort tevoren ook verondersteld dat niet de

zon maar de aarde centraal staat in ons “zonnestelsel”).

Nu kwam het erop aan om met die waarnemingen ook echt iets te doen. Johannes Kepler (1571-1630) zou hem daarbij helpen, hij was in 1600 begonnen als leerling van Brahe. Tycho Brahe overleed echter op 24 oktober 1601, waardoor Kepler er alleen voor stond. De omstandigheden waarin Kepler moest werken waren de volgende: • De decimale schrijfwijze van getallen was toen nog niet ingeburgerd. Getallen werden in die tijd voorgesteld met behulp van breuken. In 1685 voerde Simon Stevin (1548-1620) in zijn boek De Thiende de decimale voorstelling van getallen in, maar het heeft

Figuur 1

Figuur 2

31

nog wel even geduurd voor de decimale getallen de norm werden.

• Alle berekeningen moesten in die tijd met de hand gedaan worden. Soms werd hierbij beroep gedaan op een rekenwonder: een persoon die extreem goed was met getallen en daardoor ook snel bewerkingen met (grote) getallen kon uitvoeren.

• De Napierstaafjes en de logaritme, een grote hulp bij het uitrekenen van producten, waren nog niet uitgevonden door John Napier (1550-1617). Dat gebeurde pas rond 1615.

In deze omstandigheden ging Kepler op zoek naar zijn drie wetten i.v.m. de beweging van planeten rond de zon, hierbij gebruikmakend van de meetgegevens van zijn leermeester Brahe.

WILHELM SCHICKARD In het begin van de 17de eeuw, vanaf 1615, nam Kepler gedurende enkele jaren loopbaanonderbreking om zijn moeder Katharina Kepler, die beschuldigd was van hekserij, te verdedigen voor het gerecht. Daarvoor moest

Figuur 3

hij in Tübingen zijn, waar hij in 1617 in contact kwam met Wilhelm Schickard (1592-1635), ook astronoom en wiskundige. Ze raakten goed bevriend. Vermoed wordt dat Kepler nogal vaak klaagde tegen Schickard over al dat saaie rekenwerk dat hij moest doen, met als gevolg dat Schickard speciaal voor Kepler in 1623 een rekenmachine ontwierp en ook liet bouwen: de rekenklok van Schickard. Met dat toestel kon je optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Het maakte gebruik van de Napierstaafjes die toen al waren uitgevonden. Schickard heeft twee van zijn rekenklokken laten bouwen, eentje voor hemzelf, en eentje voor Kepler. Dat laatste toestel is bij een brand vernield vóór Kepler het heeft kunnen proberen. De rekenklok van Schickard zelf is verdwenen.

DE REKENKLOK VAN WILHELM SCHICKARD, DE OUDSTE MECHANISCHE REKENMACHINE In figuur 1 zie je een foto van een moderne replica van de rekenklok van Schickard (gemaakt door Werner Starzl).

De machine maakt gebruik van Napierstaafjes (Napier’s bones), een tool om snel vermenigvuldigingen te kunnen doen (zie figuur 3 voor een 3D-geprinte replica), en ook van een opteller. In het tekstkader op de volgende pagina vind je een uitleg over hoe je Napierstaafjes moet gebruiken. Lees die eerst. Het bovenste gedeelte van de rekenklok vervangt de Napierstaafjes en wordt gebruikt om producten te berekenen. Die tussenproducten worden dan manueel overgebracht op een display met behulp van de draaiknoppen (zie detail boven in figuur 2).

Dat gebeurt door de knoppen te draaien in wijzerzin.

Wil je bijvoorbeeld het eerste tussenresultaat 1 570 ingeven, dan draai je de rechtse knop niet, de tweede van rechts 7 slagen, de derde van rechts 5 slagen, en de vierde 1 slag. Daarna bereken je het tweede tussenproduct (6 280), en breng je dat op dezelfde manier over op de display. Soms gebeurt het hierbij dat er een overdracht is. Bij het optellen van 6 280 bij het getal 1 570 dat op de display staat, moeten we bij de 7 een 8 optellen, en dat geeft 15: op de tweede plaats van rechts komt de 5 en op de derde plaats komt er een 1 bij. Het mechanisme dat Schickard voor deze overdrachten ontwierp is te zien in figuur 2 onderaan. Bij één volledige omwenteling van een knop, wordt de knop links ervan 1 slag gedraaid.

32

REKENEN MET NAPIERSTAAFJES, EEN VOORBEELD Hoe bereken je het product 314 x 825?

Leg de staafjes met bovenaan de cijfers van de eerste factor (314) in de juiste volgorde (figuur 4).

Bekijk nu enkel de rijen met links een cijfer van de tweede factor, te beginnen bij de eenheden. Bij elk van die cijfers hoort het getal dat rechts ervan staat waarbij de afspraak is dat we de twee cijfers die diagonaal boven elkaar staan, moeten optellen (zie figuren). Indien een van deze deelsommen 10 of meer geeft, dan moet een overdracht worden gedaan.

Dit geeft dan voor de eenheden van de tweede factor (figuur 5): 314 x 5: 1/5+0/5+2/0 => 1 570

Figuur 4

Figuur 5

Voor de tientallen van de tweede factor volgen we dezelfde werkwijze (figuur 6). Omdat we hier met tientallen te maken hebben, bekomen we het tussenresultaat door een “0” achteraan toe te voegen.

314 x 2: 0/6+0/2+0/8 => 628 => 6 280 Idem voor de honderdtallen (figuur 7): 314 x 8: 2/4+0/8+3/2 => 2 512 => 251 200 Het uiteindelijk product wordt bekomen door de tussenresultaten op te tellen: 314 x 825 = 1 570 + 6 280 + 251 200 = 259 050

Figuur 6

Figuur 7

33

Zo begint de geschiedenis van de mechanische rekenmachine. Het speciale mechanisme van de rekenklok waarmee de overdrachten gebeurden, werkte niet zo goed, en werd in de loop der jaren verbeterd. Blaise Pascal (1623-1662) was de eerste die dat deed, in 1642.

Pascal wist niets van de rekenklok van Schickard, maar ontwikkelde zelf, op negentienjarige leeftijd, een rekenmachine, nu de Pascaline genoemd. De machine kon enkel optellen en aftrekken, en had nogal wat succes.

Pascal liet tussen de 20 en de 50 Pascalines bouwen, waarvan er, voor zover we weten, nu nog 9 over zijn. In 1671 verbeterde Gottfried Leibniz (1646-1716) de machine van Pascal: de Leibnizmachine kon ook vermenigvuldigen en delen. Van zijn machine zijn in die tijd 3 prototypes gebouwd, waarvan er nog een te zien is in Hannover (Duitsland). Voor het ingeven van de getallen waarmee je wil rekenen, maakte Leibniz gebruik van wat nu een Leibnizcilinder wordt genoemd.

Figuur 9: Odhner Arithmometer (1889)

In de loop der eeuwen zijn er ook andere rekenmechanismen ontwikkeld, waarvan het penwiel (wieltje met instelbaar aantal tanden) misschien wel het meest gekende is. Mechanische rekenmachines bleven in gebruik tot in de jaren zestig van de vorige eeuw met de opkomst van de (elektronische) computers. Volgende figuren tonen in volgorde rekenmachines die gebruik maken van meerdere Leibnizcilinders, een penwiel, een toets-aangedreven mechanisme en tot slot één Leibnizcilinder.

Figuur 10: Comptometer (ca. 1900)

Figuur 8: Arithmomètre Thomas de Colmar (1881)

Figuur 11: Curta type I (1955)

34

Van 22 september 2023 tot 6 september 2024 kunt u deze en nog vele andere mechanische rekenmachines (gratis) komen ontdekken in de tentoonstelling: 400 jaar mechanisch rekenen aan de Universiteit Antwerpen, campus Groenenborger.

35 UITWISKELING

EERSTEGRAADSFUNCTIES ALS WISKUNDIG MODEL: RECHTE ALS TRENDLIJN EEN VAN DE NIEUWE EINDTERMEN VOOR STUDIERICHTINGEN UIT DE TWEEDE GRAAD MET DOORSTROOMFINALITEIT SCHRIJFT VOOR DAT LEERLINGEN HET VERBAND TUSSEN TWEE NUMERIEKE GROOTHEDEN IN EEN DATASET MOETEN KUNNEN ONDERZOEKEN: ZE MOETEN DE DATA IN EEN SPREIDINGSDIAGRAM KUNNEN VOORSTELLEN EN ZE MOETEN EEN GEPASTE TRENDLIJN KUNNEN BEPALEN MET BEHULP VAN ICT. MET DE TRENDLIJN WORDT DE REGRESSIELIJN BEDOELD, DIE BEPAALD WORDT MET DE KLEINSTE-KWADRATEN-METHODE. DEZE EINDTERM IS ONDER ANDERE VAN BELANG IN FUNCTIE VAN DE WETENSCHAPSVAKKEN, WAARIN LEERLINGEN VERBANDEN MOETEN KUNNEN BEPALEN OP BASIS VAN EXPERIMENTELE DATA, MAAR OOK IN ECONOMIE EN HUMANE WETENSCHAPPEN WORDEN TRENDLIJNEN FREQUENT GEBRUIKT. ZOALS DE EINDTERM GEFORMULEERD IS, HOORT HIJ THUIS ONDER DE BESCHRIJVENDE STATISTIEK, MAAR ER IS EEN EVIDENTE LINK NAAR FUNCTIES: ZO’N TRENDLIJN IS DE GRAFIEK VAN EEN FUNCTIE. IN DIT ARTIKEL BEKIJKEN WE HOE WE EERSTEGRAADSFUNCTIES IN VERBAND KUNNEN BRENGEN MET DEZE EINDTERM. J O H A N D E P R E Z , E L S VA N L O M M E L , R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

De trendlijn wordt met behulp van ICT bepaald. De meest voor de hand liggende hulpmiddelen zijn dan een grafische rekenmachine en een rekenblad (Excel, LibreOffice Calc, GNumeric, ...). De rekentechnische kant blijft daardoor erg beperkt en

komt niet expliciet aan bod. Dat biedt de gelegenheid om tijdens de lessen vooral in te zoomen op een aantal meer conceptuele aspecten en dat is wat we in dit artikel uitwerken.

EEN FUNCTIE ALS WISKUNDIG MODEL Tegenwoordig worden leerlingen er al vroeg vertrouwd mee gemaakt dat functies gebruikt worden om fenomenen uit de realiteit te beschrijven. In die toepassingen is

36

de functie in kwestie meestal gegeven, bijvoorbeeld in formulevorm of via een andere representatie die leerlingen dan moeten gebruiken om het voorschrift op te stellen. De eindterm over de trendlijn biedt de gelegenheid om met de leerlingen dieper in te gaan op het zelf zoeken van een geschikte functie: welk type van functie is geschikt en hoe vind je binnen dit type een gepaste functie?

Leerlingen moeten dus zelf een wiskundig model opstellen. Daarbij worden ze er nadrukkelijk mee geconfronteerd dat zo’n wiskundig model altijd een vereenvoudiging is: het is een idealisering die de realiteit slechts bij benadering beschrijft. In het begin kan dat verwarrend zijn voor de leerlingen. Deze manier van werken staat immers haaks op wat we gewoon zijn binnen de zuivere wiskunde. Daar leggen we immers juist de nadruk op exactheid. Daarom is het goed om in de les toch wat tijd uit te trekken om leerlingen vertrouwd te laten worden met deze nieuwe manier van werken. In Uitwiskeling 27/3 (Deprez, Op de Beeck en Van den Broeck, 2011) hebben we in detail uitgewerkt hoe je tijdens de les het modelleren kunt introduceren via eerstegraadsfuncties. We gaan er hier niet dieper op in.

In dat artikel van Uitwiskeling 27/3 hebben we de trendlijn op een heel informele manier bepaald: we bepaalden een rechte die de punten in het spreidingsdiagram op het zicht goed weergaf. Ook nu we in het kader van de nieuwe eindterm

de trendlijn met ICT zullen bepalen, vinden we het zinvol om in het begin even met deze heel intuïtieve manier te werken. Die laat immers een van de aspecten van het modelleren goed aanvoelen: we mogen het model niet verabsoluteren; elk model is maar één van de vele mogelijke modellen.

DRIE VOORBEELDEN Goede voorbeelden zijn van groot belang bij het leren van statistiek. We willen data in een zinvolle context waarbinnen het ook zinvol is om een trendlijn te zoeken. Anderzijds zochten we voorbeelden in functie van wat we vanuit wiskundig standpunt wilden uitwerken. Alle voorbeelden in deze paragraaf zijn gebaseerd op data die we vonden op de website ‘Data and Story Library’, die zich toelegt op het verzamelen van goede voorbeelden voor statistiekonderwijs. Je vindt het adres van deze website in de bibliografie van dit artikel. Je vindt nog meer inspiratie in een artikel dat we lang geleden maakten over regressie (Deprez, Roels en Tytgat, 2005).

Zoals eerder gezegd, gaan we hier niet in op de concrete handelingen die je moet uitvoeren om een spreidingsdiagram te maken en een trendlijn te tekenen, maar richten we onze aandacht op het interpreteren van de coëfficiënten en de vraag of de trendlijn zinvol is.

VOORBEELD 1: ROKERS De dataset uit de tabel hiernaast toont de evolutie van het percentage rokers bij 18- tot 24-jarige mannen

en vrouwen in de VS tussen 1999 en 2014. Je vindt de dataset ook in digitale vorm in digitale vorm op de website van Uitwiskeling..

Figuur 1: Evolutie van het percentage rokers bij 18- tot 24-jarige mannen en vrouwen in de VS

We laten de leerlingen eerst een spreidingsdiagram maken met daarin beide tijdreeksen. We laten hen ook de bijbehorende trendlijnen bepalen, evenals de waarde van R2.

Het resultaat (met Excel) vind je in figuur 2.

Merk op dat we hier werken met de determinatiecoëfficiënt R2 i.p.v. met de correlatiecoëfficiënt. In het geval van een lineaire trendlijn is R2 gewoon het kwadraat van de correlatiecoëfficiënt. De interpretatie loopt dus gelijk met die van de correlatiecoëfficiënt: hoe dichter R2

37

uit de dataset wel aangehouden zal kunnen worden. Het is dus wel duidelijk dat de constante term in de vergelijking van de trendlijnen in dit geval geen concrete betekenis heeft. Het zou een argument kunnen zijn om de tijd anders weer te geven, bijvoorbeeld met een tijdschaal die start in 1999.

We merken dat de waarde van R2 bij de vrouwen een stuk groter is dan die bij de mannen. Dat is in overeenstemming met wat we in het spreidingsdiagram zien: de datapunten bij de vrouwen sluiten veel beter aan bij de rechte dan de datapunten bij de mannen.

Figuur 2: Twee dalende trendlijnen

bij 1 ligt, hoe beter de rechte aansluit bij de datapunten. Het voordeel van de determinatiecoëfficiënt is dat hij wel nog gedefinieerd kan worden bij een niet-lineaire trendlijn, maar de correlatiecoëfficiënt niet.

Het maken van het spreidingsdiagram en het opstellen van de trendlijn is niet het einde van de oefening.

Integendeel, het belangrijkste werk moet nog komen: de interpretatie van de resultaten. Daarbij passeren allerlei elementen de revue, bijvoorbeeld: de coëfficiënten in de vergelijking van de trendlijn, de waarde van R2 en het maken van voorspellingen met de trendlijn.

De richtingscoëfficiënt in de trendlijn bij de vrouwen betekent dat het percentage rokers bij hen elk jaar met (afgerond) 0,76 procentpunt afneemt. We gebruiken hier bewust het woord ‘procentpunt’

i.p.v. ‘procent’ om verwarring te vermijden: het gaat immers over een absolute afname (je trekt 0,76 af van het percentage), niet over een relatieve afname (waarbij je het percentage zou vermenigvuldigen met 1 − 0,76). De richtingscoëfficiënt in de trendlijn bij de mannen toont dat het percentage rokers bij hen iets trager afneemt dan bij de vrouwen.

Omdat het verschil klein is, moet je al goed kijken om dat op de grafiek te kunnen aflezen.

Met de vergelijkingen van de trendlijnen kun je nu ook voorspellingen maken (of terugrekenen in de tijd).

Sommige van die voorspellingen zijn zinvol (bijvoorbeeld: wanneer je mag verwachten dat het aantal rokers bij mannen en vrouwen onder de 10% gezakt zal zijn), maar als je te ver in de toekomst (of in het verleden) kijkt, moet je je afvragen of de daling

Je moet zeker nog meer rechttoe rechtaan voorbeelden zoals dit behandelen, waarbij de trendlijn een goede beschrijving geeft van de datapunten en waarbij je de coëfficiënten van de trendlijn laat interpreteren en een voorspelling laat maken. Mits wat zoeken vind je hiervoor goede data en contexten.

De volgende twee voorbeelden liggen wat minder voor de hand: eerst laten we zien dat een rechte trendlijn niet altijd een goede beschrijving van de datapunten geeft en vervolgens geven we een voorbeeld waarin een rechte trendlijn tegen de verwachtingen in toch zinvol is.

VOORBEELD 2: PRIJZEN VAN EXTERNE HARDE SCHIJVEN De dataset uit de volgende tabel toont de grootte en de prijs van een aantal externe harde schijven, zoals genoteerd op Amazon.com in 2016.

38

Figuur 3: Grootte en prijs van externe harde schijven bij Amazon.com in 2016

We laten de leerlingen eerst het spreidingsdiagram maken en de trendlijn bepalen van de externe harde schijven tot en met 4 TB (zie figuur 4). We krijgen een goed bruikbare trendlijn, die laat zien dat elke extra TB aanleiding geeft tot een bijkomende kostprijs van (afgerond) 23 dollar.

Figuur 4: Een stijgende trendlijn voor kleine harde schijven

Ook voor de harde schijven van 4 t.e.m. 12 TB krijgen we een goed bruikbare trendlijn, maar in deze categorie van grootte betaal je (afgerond) 114 dollar per bijkomende TB (zie figuur 5).

Wil je de grootste harde schijf die te koop is, dan moet je voor de extra terabytes nog meer investeren: met de gegevens in de tabel kun je nagaan dat de sprong van 12 naar 32 TB een bijkomende kost van (afgerond) 169 dollar per TB met zich meebrengt.

Op basis van het voorgaande valt te verwachten dat we geen trendlijn zullen vinden die de volledige dataset goed weergeeft. Figuur 6 bevestigt dit, ook al heeft R2 een waarde die dicht bij 1 ligt.

Figuur 5: Een stijgende trendlijn voor middelgrote harde schijven

VOORBEELD 3: REGENVAL IN LOS ANGELES Figuur 7 toont de evolutie van de jaarlijkse hoeveelheid neerslag (in mm) in Los Angeles (we geven de data zelf hier niet, maar je vindt ze wel op de website van Uitwiskeling).

Het is wel duidelijk dat er heel wat variatie in de neerslaghoeveelheden

zit en dat de datapunten zeker niet allemaal dicht bij eenzelfde rechte liggen. De waarde voor R2 zal zeker niet dicht bij 1 liggen. Toch levert de trendlijn hier interessante informatie, zoals figuur 8 duidelijk maakt: ze laat ons vermoeden dat er doorheen alle variatie misschien toch wel een dalende trend aanwezig is.

39

Figuur 6: Een trendlijn voor grote en kleine harde schijven

Figuur 7: Evolutie van de jaarlijkse hoeveelheid neerslag (in mm) in Los Angeles

Figuur 8: Dalende trend in een diffuse puntenwolk

40

MOGELIJKE UITBREIDING: HOE WORDT DE TRENDLIJN BEPAALD? De trendlijn uit de eindterm is de regressielijn die bepaald wordt via de kleinste-kwadraten-methode.

In het kader van de eindterm hoef je op deze methode niet in te gaan en blijft het bepalen van de regressielijn dus een black box. Daar is niets op tegen. Ook het berekenen van een vierkantswortel met de rekenmachine, om maar iets te noemen, blijft voor de leerlingen een black box, zonder dat we ons daar zorgen over maken. En we hopen je er ondertussen ook van overtuigd te hebben dat er best wel interessante, wiskundige zaken te doen zijn rond de trendlijn zonder daarom te weten hoe die precies bepaald wordt. Een volledige afleiding van de kleinstekwadraten-methode, met alles erop en eraan, overstijgt trouwens de leerstof uit het secundair onderwijs, bijvoorbeeld omdat er gebruik gemaakt wordt van functies van meerdere veranderlijken.

waarmee je de waarde van a kunt instellen. De eerstegraadsfunctie die overeenkomt met de getekende rechte heeft dus als vergelijking , waarbij het zwaartepunt is en a de waarde die met de schuifbalk vastgelegd is. Het is duidelijk dat de waarde van b bepaald is eens de waarde van a gekozen is.

DE GEOGEBRA-APPLET: DE DATA EN EEN VEREENVOUDIGING De data waar we in de GeoGebraapplet mee werken, vind je in kolommen B en C van het (rekenblad)venster aan de rechterkant (zie figuur 9).

Het spreidingsdiagram vind je in het middelste (teken)venster. In het linkse (teken)venster zie je voorlopig niets.

Figuur 9: De gegevens in een puntenwolk samen met het zwaartepunt

Hoewel het dus niet per se hoeft, en het niet in zijn volledigheid kan, zijn er toch interessante mogelijkheden om een tip van de sluier op te lichten in de tweede graad van het secundair onderwijs. Dat tonen we in het vervolg van het artikel. We hebben hiervoor een GeoGebra-applet uitgewerkt die je op onze website (www.uitwiskeling.be) vindt.

DE RECHTE Als je het vakje ‘rechte tonen’ aanvinkt, krijg je een rechte te zien die door het zwaartepunt gaat (zie figuur 10). Er is ook een schuifknop Figuur 10: En samen met een kandidaat voor de best passende kromme

41

Een eerstegraadsfunctie wordt bepaald door twee parameters: de coëfficiënten a en b in het voor. Je kunt die schrift twee parameters echter eenvoudig reduceren tot één parameter als je bereid bent te steunen op een eenvoudige eigenschap van de trendlijn die we hier niet bewijzen: de trendlijn gaat door het ‘zwaartepunt’ van de puntenwolk (zie het rode kruis in figuur 9. De x-coördinaat van dat zwaartepunt is het gemiddelde xM van de x-waarden uit de dataset en zijn y-coördinaat is het gemiddelde yM van de y-waarden van de dataset. In de applet maken we gebruik van deze vereenvoudiging.

Op het einde van deze paragraaf komen we nog even terug op deze vereenvoudiging.

Met wat je nu in de applet ziet, kun je al proberen om een geschikte waarde voor a te vinden. Er is natuurlijk geen rechte die exact door alle datapunten gaat. Je probeert dus een rechte te vinden die zo

goed mogelijk bij de punten aansluit, waarbij de beoordeling voorlopig puur visueel gebeurt.

DE KLEINSTE-KWADRATENMETHODE GEVISUALISEERD De kleinste-kwadraten-methode geeft een getalsmatig beoordelingscriterium voor het bepalen van de waarde van a: - er wordt (op een welbepaalde manier, die we hieronder zullen uitleggen) een getal berekend dat meet hoe sterk de rechte van de punten afwijkt; - dat getal hangt af van de waarde van a; - voor a kiezen we dan de waarde waarvoor dit getal zo klein mogelijk is.

We werken dit hieronder stap voor stap uit aan de hand van de applet.

We starten met het aanvinken van het vakje ‘lijnstukken tonen’, waardoor er in de applet lijnstukjes getoond worden die de datapunten

verticaal verbinden met de rechte (zie figuur 11). Hoe langer deze lijnstukjes zijn, hoe meer de rechte afwijkt van de datapunten. We bekijken daarom hoe je hun lengte kunt bepalen. De lengte van zo’n verticaal lijnstukje is de absolute waarde van het verschil tussen de y-coördinaten van zijn twee randpunten. Het ene randpunt is het datapunt, waarvan de y-coördinaat gegeven is (zie kolom C in het rekenblad). De y-coördinaat van het andere randpunt is niet onmiddellijk gegeven, maar zijn x-coördinaat is gelijk aan die van het datapunt. Omdat dit andere randpunt bovendien op de rechte ligt, is zijn y-coördinaat dan gelijk aan de functiewaarde van deze x-coördinaat volgens de bijbehorende eerstegraadsfunctie (dus , gelijk aan waarin xi de x-waarde van de het i-de datapunt is en a de waarde die met de schuifbalk vastgelegd is).

Je vindt deze y-waarden ook terug in het rekenblad: zie kolom D. De lengte van de groene lijnstukjes vind je in kolom E. We kunnen de betekenis van de lengte van zo’n lijnstukje nu preciezer als volgt omschrijven: ze geeft aan hoe sterk de y-waarde volgens de rechte afwijkt van de y-waarde van het datapunt.

We vinken nu het vakje ‘vierkanten tonen’ aan.

Aan elk lijnstukje is nu een vierkant gehecht en onderaan in de figuur wordt de totale oppervlakte van al deze figuren getoond. Ook in het rekenblad wordt de oppervlakte berekend: in kolom F vind je de

Figuur 11: Visualisering van de som van de kwadratische afwijkingen

42

kwadraten van de getallen uit kolom E. Deze getallen geven dus de oppervlaktes van de vierkanten.

Onderaan vind je de som van al die getallen, d.w.z. de totale oppervlakte van alle vierkanten.

Welke betekenis kunnen we aan deze totale oppervlakte hechten?

We kennen reeds de betekenis van de lengte van een groen lijnstukje: hoe langer het lijnstuk, hoe groter de afwijking tussen de y-waarde volgens de rechte en de y-waarde van het datapunt. De overgang naar het vierkant betekent dat we deze lengte kwadrateren. In het totaal wegen grote afwijkingen daardoor sterker door dan kleine afwijkingen.

We besluiten dat de totale oppervlakte van alle vierkanten een maat is voor de ‘totale afwijking’ tussen de rechte en de datapunten. Daarom is het deze totale oppervlakte van de vierkanten die we zo klein mogelijk proberen te maken.

Met wat je nu in de applet ziet, kun je nu opnieuw proberen om een geschikte waarde voor a te vinden.

Probeer hierbij nu dus de totale oppervlakte zo klein mogelijk te maken.

EEN PARABOOL Vink tot slot het vakje ‘grafiek tonen’ aan. In het linkse venster zie je nu een parabool (zie figuur 12). Deze parabool toont hoe de totale oppervlakte van de vierkanten (uitgezet op de verticale as) samenhangt met de waarde van a (uitgezet op de horizontale as). Dit geeft meer inzicht bij het zoeken naar de optimale waarde

Figuur 12

van a. Het komt er dus blijkbaar op aan om het eerste coördinaatgetal van de top van de parabool te bepalen!

We hebben hiermee natuurlijk nog niet verklaard waarom de grafiek een parabool is. Voor een kleine en concrete dataset kun je dat misschien nog met de leerlingen doen, maar de algemene redenering is in de tweede graad wellicht een brug te ver.

Voor de volledigheid geven we ze hier wel, voor een algemene dataset, maar dus wel vertrekkend van de eigenschap dat de regressierechte door het zwaartepunt van de dataset gaat. Als je alles bijeenbrengt wat we hierboven besproken hebben, vind je (geformuleerd voor een dataset met n punten):

met

Nu we zo ver geraakt zijn, kunnen we het natuurlijk niet laten om ook de formule voor de optimale waarde van a af te leiden:

43

De parameter b kan (zoals voorheen) eenvoudig bepaald worden via

TERUG NAAR ONZE VEREENVOUDIGING De gedachtegang die we hierboven ontwikkeld hebben, steunt op de eigenschap dat de regressierechte door het zwaartepunt van de datapunten gaat. Op de GeoGebrawebsite vind je tal van applets die de kleinste-kwadraten-methode visualiseren met vierkanten zonder gebruik te maken van deze vereenvoudiging.

Je vindt dan twee schuifbalken, een voor a en een voor b. De eerste stappen uit de opbouw die we hierboven geschetst hebben, kun je met deze applets ook doen. De laatste stap, de overgang naar de parabool, kun je dan echter niet meer zetten. De totale oppervlakte van de vierkanten hangt nu immers af van twee variabelen: zowel a als b. De grafiek is nu een oppervlak in de driedimensionale ruimte (meerbepaald: een elliptische paraboloïde, als grafiek van een tweedegraadsfunctie van twee variabelen). Het bepalen van de optimale waarde van a en b via de grafiek wordt hierdoor in de praktijk ondoenbaar. Wat in deze algemene situatie wel kan, is het bepalen van de optimale waarde via een tabel. Op onze website vind je een rekenblad waarin dit uitgewerkt is: in een 2-dimensionale tabel wordt de totale oppervlakte van de vierkanten getoond als functie van a en b en worden de optimale waarden aangeduid.

Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 36/1 als onderdeel van een groter artikel over eerstegraadsfuncties in het wiskunde curriculum van het eerste tot het zesde jaar.

Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

BRONNEN Deprez, J., Op de Beeck, R., Van den Broeck, L. (2011). Leren modelleren. Uitwiskeling 27/3, 15-51.

Deprez, J., Roels, J., Tytgat, P. (2005).

Lineaire regressie. Uitwiskeling 21/2, 10-47.

Stewart, J. (2008, 2003). Calculus, sixth edition. Belmont: ThomsonBrooks/Cole.

The Data And Story Library. Geraadpleegd op 10 november 2019 via https://dasl.datadescription.com/

44 UITWISKELING

TAART SNIJDEN OP EEN WETENSCHAPPELIJKE MANIER G E R D H AU T E K I E T , R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

De meest gebruikte methode om een ronde taart te snijden, is om er zoals in figuur 1 een spie uit te snijden. Als de taart niet helemaal op geraakt, zal ze de volgende dag uitgedroogd zijn aan de snijkanten.

In een filmpje te vinden op het internet (Numberphile) wordt deze snijmethode getoond. Ik zag het filmpje enige tijd geleden en moet er sindsdien steeds aan denken als ik een taart aansnij. Uiteraard dacht ik ook na over wat ik er verder mee in de klas zou kunnen doen. Daarbij speelden de volgende vragen door mijn hoofd: - Welke vorm krijgt de taart als je de stappen uit de snijmethode een aantal keer herhaalt?

- Hoe breed moet de eerste reep in het midden zijn om bijvoorbeeld nog van de taart over te houden voor de volgende dag?

Figuur 1 Een taart met een spie eruit

De Britse wiskundige Francis Galton (1822-1911) kreeg waarschijnlijk meermaals een stuk uitgedroogde cake voorgeschoteld en stelde in een artikel in Nature van meer dan 100 jaar geleden een andere snijmethode voor (zie figuur 2). Snij zodat de restdelen van de taart bijeen geschoven kunnen worden en er geen aangesneden kant aan de lucht wordt blootgesteld.

Figuur 2 De snijmethode van Francis Galton

Om het eerste probleem op te lossen kun je een echte taart, een papieren taart of een Geogebra-taart gebruiken.

Om het tweede probleem op te lossen, heb je de formule nodig voor de oppervlakte van een cirkelsegment. Afhankelijk van het niveau van je leerlingen, kun je de formule gewoon laten opzoeken, kun je de formule ook laten verifiëren (met eenvoudige driehoeksmeetkunde is dit relatief gemakkelijk te doen) of kun je ze met integralen afleiden.

45

begin lesactiviteit

TAART SNIJDEN In deze opdracht snijden we een taart met de snijmethode van Francis Galton.

We berekenen hoe breed de eerste reep in het midden moet zijn om van de taart over te houden voor de volgende dag.

1. Welke vorm heeft het overblijvend deel?

Een aaneenschakeling van twee cirkelsegmenten.

2. Zoek de formule op voor de oppervlakte van het cirkeldeel.

Maak een duidelijke schets en duid de veranderlijken aan op de tekening.

4. Stel dat de taart een diameter heeft van 26 cm. Vul deze waarde in de vergelijking in zodat je alvast één veranderlijke minder hebt.

De oppervlakte van een cirkelsegment is gelijk aan

5. Welk verband bestaat er tussen d en k?

met R de straal van de cirkel, k de lengte van de koorde en d de afstand van de koorde tot het middelpunt. Deze formule is alleen correct als de inverse sinusfunctie wordt uitgedrukt in radialen.

6. Schrijf k in functie van d.

7. Schrijf de vergelijking uit vraag 3 in functie van d.

3. Stel een vergelijking op om het probleem op te lossen.

8. Kun je deze vergelijking algebraïsch oplossen?

Neen, het is een mengeling van een irrationale vergelijking met een cyclometrische.

46

9. Los deze vergelijking grafisch op.

Het zinvol domein van deze functie gaat van 0 tot 13 cm.

De afstand van het middelpunt van de cirkel tot de koorde is 2,57 cm, het stuk taart moet dan 5,14 cm breed zijn.

einde lesactiviteit

47

Het probleem is natuurlijk een beetje kunstmatig: hoe dikwijls komt het voor dat de taart niet in één keer opgeraakt en als het zo is, wie gaat het dan op deze manier berekenen?

DE LAATSTE KRUIMEL Deze techniek om een taart aan te snijden is ook zeer geschikt om het limietgevoel bij de leerlingen aan te wakkeren. Wat gebeurt er als je steeds maar stukken blijft wegsnijden tot er in de limiet nog maar enkele kruimels overblijven?

Wellicht zullen leerlingen struikelen over dit probleem. Ze identificeren één kruimel met één punt in het vlak en een punt heeft geen vorm. Maar het gaat hier niet over de eindkruimel, wel over het hele snijproces.

Tijdens het snijproces zal de taart altijd een bepaalde vorm hebben. En de vraag is welke deze vorm is in de limiettoestand.

Het is eenvoudig in te zien dat de afbakening van deze vorm bestaat uit vier lijnstukken. Immers, als je inzoomt op een klein stukje van een cirkel dan verdwijnt de kromming.

Je kan dit vergelijken met het ronde aardoppervlak. Het kleine deeltje waarop de school gelegen is, vertoont nauwelijks een kromming.

Na deze hint zullen de leerlingen er vast wel achter komen dat de richtingen van deze lijnstukken gelijk zijn aan +45° en -45°. Doorheen heel het snijproces zal er steeds een horizontale en een verticale symmetrie-as in de figuur zitten.

De enige mogelijke vorm voor de 'eindkruimel' is bijgevolg een vierkantje dat op een hoekpunt balanceert.

DE KAASVARIANT In Frankrijk is het probleem ook bekend: Comment couper le fromage? Daar is er nog een bijkomend probleem. Dicht bij de korst is de kaas iets meer uitgesproken van smaak, in het midden is hij zachter.

Het is dus belangrijk de korst gelijkmatig te verdelen over de verschillende porties. Afhankelijk van de vorm van de kaas, moet die dan ook anders gesneden worden!

Daarbij is het ook niet zo sociaal voor de laatste alleen maar korst over te laten!

Het probleem van de taart is niet het enige probleem dat Galton aan het denken gezet heeft. Het loont zeker de moeite leerlingen te laten opzoeken in welke domeinen deze wetenschapper actief geweest is!

Deze bijdrage verscheen in Uitwiskeling 30/4. Op www.uitwiskeling.be vind je meer info.

BRONNEN Numberphile http://www.numberphile. com/videos/cake_cutting.html http://www.produits-laitiers. com/2011/11/23/commentdecouper-les-fromages/

Nando

Wiskunde met pit

Ontdek onze wiskundemethodes met nieuw materiaal voor de 3e graad!

Digitaal aanbod op

ONTDEK MEER WISKUNDE

secundair.diekeure.be Laat je inspireren!

Kleine Pathoekeweg 3, B-8000 Brugge – 050 47 12 62 – so@diekeure.be – www.diekeure.be

@DieKeureEducatief /

@DieKeureEducatief /

@ DieKeure

850001211

Blended methodes wiskunde