Vector 6 - september 2019

VECTOR SEPTEMBER 2019 - nummer 6

TIJDSCHRIFT voor wiskundeonderwijs

SPEELKAARTEN, PRALINES EN DE STELLING VAN HALL 14 WISKUNDE ACHTER DE WALIBI-SPEEDY-PASS 32 EEN IMAGINAIRE DECATLON

3

Met medewerking van Uitwiskeling, VVWL (Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars), GeoGebra Instituut, Vlaamse Wiskunde Olympiade en Pythagoras

Vector6.indd 1

9/09/19 11:30

2

VECTOR

INHOUD

Vector6.indd 2

3 SPEELKAARTEN,

22 KWADRATISCHE

PRALINES EN DE STELLING VAN HALL

VERGELIJKINGEN MEETKUNDIG AANGEPAKT

PAUL LEVRIE, RUDI PENNE

JEANINE DAEMS

SOPHIE GERMAIN 8 EEN ONVOLDOENDE BEKENDE PIONIER

DE RINGEN VAN 31 PYTHAGORAS IVAN DE WINNE

PAUL IGODT, ANN KIEFER

14 WISKUNDE ACHTER DE

32 EEN IMAGINAIRE

WALIBI-SPEEDY-PASS

DECATLON ELS VANLOMMEL

GERD HAUTEKIET

BOEKRECENSIES 19

VEELKELS 38 ILSE DE BOECK

PAUL LEVRIE

VECTOR 2e jaargang - nummer 6 REDACTIE Nicolas Ruys, Tom Harteel, Thomas D'Haeninck, Maaike Spanhove, Ellemijn Van Puymbroeck - die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge, educatief@diekeure.be EXTERNE AUTEURS die occasioneel of op geregelde basis een bijdrage willen leveren, kunnen contact opnemen met educatief@diekeure.be.

VECTOR Vector is gratis voor alle leerkrachten wiskunde in België.

VERANTWOORDELIJKE UITGEVER die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge VORMGEVING EN DRUK Isabelle Tilleman, Nathalie Hamelinckx - die Keure, Brugge REACTIES Al je reacties, suggesties en opmerkingen zijn welkom op educatief@diekeure.be

9/09/19 11:30

3 PYTHAGORAS

SPEELKAARTEN, PRALINES EN DE STELLING VAN HALL PAU L L E V R I E E N R U D I P E N N E

- UA N T W E R P E N

EEN GOOCHELTRUC? We verdelen een spel van 52 speelkaarten, na zorgvuldig mengen, in 13 stapeltjes van 4 kaarten, die we openleggen zoals in de figuur. De vraag is: kun je in elk groepje van 4 kaarten 1 kaart kiezen op zo’n manier dat de 13 gekozen kaarten de 13 verschillende waarden hebben, dus aas, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, B, D, H? Probeer het even: zoek dus naar een manier om uit elk groepje 1 kaart te selecteren zodat we uiteindelijk één kaart voor elk van de 13 waarden hebben. Kleuren (schoppen, klaveren, ruiten en harten) hebben geen belang.

In dit geval lukt het. Je ziet een oplossing van het probleem rechts. Meng nu zelf de kaarten opnieuw, verdeel ze in 13 groepen en probeer nog eens. Lukt het?

Als het niet lukt, zoek dan nog even verder, want dankzij een stelling uit de wiskunde zijn we er zeker van dat het altijd kan!

EEN ANDER VOORBEELD Ik krijg wel eens een doos pralines cadeau. Maar zoals dat ook bij veel andere mensen het geval is, vind ik niet alle pralines even lekker. Gelukkig zijn er dan familieleden die ook pralines lusten en een andere smaak hebben dan ik. Laat ons even veronderstellen dat er nog 6 pralines over zijn in de doos, allemaal verschillende smaken. We zijn met vijf thuis en ik laat iedereen een lijstje maken met daarop de pralines die zij lusten.

De vraag is dan: is het altijd mogelijk om iedereen (minstens) één praline te geven die op zijn of haar lijstje staat?

Vector6.indd 3

9/09/19 11:30

4

In figuur 1 zie je een mogelijk lijstje voorkeuren. Links staan mijn familieleden, die we voor de eenvoud geen naam maar een nummer hebben gegeven.

Figuur 2

Figuur 1

In dit geval kunnen we elk familielid een praline van haar/zijn lijstje geven. Zie je hoe? Er zijn meerdere oplossingen. Merk op dat we per rij 1 kruisje (= praline) willen en dat alle gekozen kruisjes in verschillende kolommen moeten staan.

Soms, als je een kieskeurige familie hebt, gaat het duidelijk mis, zoals in figuur 2.

Als je de keuze van familieleden 1 en 2 bekijkt, dan zie je dat ze allebei maar 1 soort praline lusten, en omdat het toevallig dezelfde is, en er van elke soort praline maar eentje is, is het natuurlijk onmogelijk om in dit geval ieders keuze te volgen. Als je kijkt naar de keuze van familieleden 3, 4 en 5, dan zie je een gelijkaardig probleem: in hun keuze zitten in totaal maar 2 verschillende pralines, en omdat ze met 3 zijn, zal het nooit lukken. We zetten deze zaken even op een rijtje en veralgemenen: • Als eender welke twee familieleden maar 1 praline in hun voorkeurslijstje hebben staan, en het is voor beiden dezelfde praline, dan is er geen oplossing (1 en 2 in figuur 2).

Vector6.indd 4

• Als in de voorkeurslijstjes van eender welke drie familieleden samen minder dan 3 verschillende pralines zitten, dan is er geen oplossing (3, 4 en 5 in figuur 2).

• Meer algemeen: als je de voorkeurslijstjes van eender welke 4 familieleden samenlegt en je merkt dat er 3 of minder verschillende pralines in voorkomen, dan is er geen oplossing. En ook: als je de lijstjes van alle 5 de familieleden samenlegt en je hebt minder dan 5 verschillende pralines, dan is er geen oplossing.

Dat is natuurlijk erg logisch: het zijn allemaal gevallen waarin het duidelijk niet zal lukken. Maar wanneer lukt het dan zeker wel? Dat is precies wat de huwelijksstelling van Hall ons zegt: indien we in geen van de vorige gevallen zitten, dan is er zeker een oplossing!

STELLING (HALL) Een noodzakelijke en voldoende voorwaarde voor het bestaan van een oplossing is dat elke groep van (met ) familieleden samen ten minste verschillende pralines in hun voorkeurslijstje hebben staan.

Deze stelling, die dateert uit 1935, bracht een omwenteling teweeg in het deel van de wiskunde dat met eindige verzamelingen bezig is.

9/09/19 11:30

5

Figuur 3

Ga zelf na dat er in figuur 1 inderdaad aan deze voorwaarden voldaan is. Hoeveel combinaties van familieleden moet je dan controleren?

TERUG NAAR DE SPEELKAARTEN En hoe zit het dan bij de truc met de speelkaarten?

We maken een overzicht zoals in het vorige voorbeeld.

De rol van de familieleden wordt gespeeld door de 13 groepjes met 4 willekeurige kaarten, de verschillende pralines worden vervangen door de 13 verschillende waarden die kaarten kunnen hebben. In figuur 3 staan links de groepjes kaarten en in elke rij geven we aan welke waarden voorkomen in het groepje links.

In dit geval is het aantal groepjes precies gelijk aan het aantal verschillende waarden die speelkaarten hebben,

Vector6.indd 5

nl. 13. De vraag is dus of we uit elk groepje kaarten 1 kaart kunnen kiezen op zo’n manier dat de 13 gekozen kaarten (de) 13 verschillende waarden hebben, of nog: kunnen we in elke rij een vinkje kiezen zodat al die vinkjes in verschillende kolommen staan? In figuur 4 zie je de oplossing van in het begin.

Wat zegt de stelling van Hall in dit geval? Is er voldaan aan de voorwaarden? Aangepast aan dit geval moeten we het volgende nagaan: als we willekeurig (met ) van de groepjes van 4 kaarten nemen, zitten er dan steeds ten minste kaarten met verschillende waarden bij? Het antwoord is hoeft geen uitleg. overduidelijk ja. Het geval : bevatten 2 groepjes van 4 kaarten Neem bijv. minstens 2 kaarten met een verschillende waarde?

9/09/19 11:30

6

Figuur 4

Natuurlijk wel: er zijn in een kaartspel telkens maar 4 kaarten met dezelfde waarde, en we hebben 2 maal 4 is 8 kaarten. Op dezelfde manier geldt het ook kaarten, voor andere waarden van : je hebt dan nl. dus minstens verschillende waarden.

De stelling van Hall garandeert ons dan het bestaan van een oplossing!

UITBREIDING We kunnen zelfs nog verder gaan. Indien we de 13 gekozen kaarten verwijderen, dan blijven er nog 13 groepjes van 3 kaarten over. Hiermee kunnen we precies hetzelfde doen: we kunnen in elk groepje

Vector6.indd 6

van 3 een kaart kiezen op zo’n manier dat we (opnieuw) 13 kaarten met verschillende waarden hebben (oranje in figuur 5). En met de 13 groepjes van 2 lukt dat ook (blauw in figuur 5). Ga zelf na dat er in deze gevallen opnieuw voldaan is aan de voorwaarden van de stelling van Hall.

Meer over de huwelijksstelling van Hall (o.a. waarom deze stelling zo genoemd wordt) kun je lezen in het gelijknamige artikel van Dion Gijswijt dat in januari 2009 in Pythagoras is verschenen.

9/09/19 11:30

7

Figuur 5

De auteurs van dit artikel hebben dit verhaal ook gebracht voor de Universiteit van Vlaanderen, zie: http://youtube.com/watch?v=22YBZV_XRzY. Deze conferentie is gratis, inschrijving is verplicht.

Ook voor klassen van het SO!

Vector6.indd 7

9/09/19 11:30

8

SOPHIE GERMAIN EEN ONVOLDOENDE BEKENDE PIONIER PAU L I G O D T E N A N N K I E F E R

IN HET LIJSTJE VAN BREED BEKENDE GROTE WISKUNDIGEN HOOR JE, ONTERECHT, ZELDEN OVER SOPHIE GERMAIN. OPGEGROEID IN EEN TIJD MET VEEL STUDIEBELEMMERINGEN VOOR VROUWEN ONTWIKKELDE ZIJ ZICH ALS EEN AUTODIDACT TOT EEN TOPWISKUNDIGE DIE EEN ORIGINELE INBRENG HAD IN MEERDERE DOMEINEN. ZIJ WERD DE EERSTE VROUW DIE IN FRANKRIJK DOOR DE ACADÉMIE DES SCIENCES GELAUWERD WERD. VOORAL IN DE GETALTHEORIE BLIJFT ZIJ TOT OP VANDAAG BEKEND MET EEN NAAR HAAR GENOEMDE STELLING. 1 SOPHIE GERMAIN: EEN ECHTE BAANBREEKSTER Sophie Germain werd op 1 april 1776 in Parijs geboren in een welstellend handelaarsgezin en raakte vroeg geïnteresseerd in de studie van de wiskunde. In die tijd was het onderwijs voor meisjes echter zeer beperkt. In het beste geval, zoals voor meisjes uit gegoede gezinnen, was het beperkt tot basisonderwijs en had het als hoofddoel hen een algemene cultuur aan te leren zodat ze met potentiële toekomstige echtgenoten in de salons een gesprek konden voeren. Het boek Il newtonianismo per le dame, van de Italiaan Francesco Algarotti was in die middens toen zeer populair.

Het opzet van dit boek was onderwerpen die als mannelijk werden beschouwd, zoals wetenschap,

Vector6.indd 8

interessant te maken voor vrouwen.

De formuleringen in het boek waren echter ver van wetenschappelijk, laat staan wiskundig; de volgende zin, die de wet van de zwaartekracht als omgekeerde kwadratenwet wil uitleggen, illustreert dit ten volle: “Deze wet van inverse aantrekking zou van toepassing kunnen zijn op liefde: na acht dagen afstand is liefde vierenzestig keer intenser.”

Het was ongetwijfeld niet dit soort boek dat bij Sophie Germain de interesse voor wiskunde aanwakkerde.

Naar verluidt raakte zij op haar dertiende geboeid door wiskunde door het lezen van het boek dat Jean-Étienne Montucla in 1758

publiceerde over de geschiedenis van de wiskunde. Daarin las ze het verhaal over de dood van Archimedes bij de inname van Syracuse door de Romeinen. Archimedes had, in gedachten verzonken, meetkundige figuren in het zand getekend toen er plots een soldaat over zijn tekening liep. Archimedes riep luid “Verstoor mijn cirkels niet!” en werd daarop door de soldaat gedood.

Als iemand zo gefascineerd kan zijn door wiskunde dat hij zich geen rekenschap geeft over zijn omgeving, zelfs als hij op het punt staat vermoord te worden, dan moet wiskunde toch wel een boeiend onderwerp zijn. Sophie Germain, gegrepen door dit verhaal, besloot daarop wiskunde zelf aandachtig te bestuderen.

9/09/19 11:30

9

Uit de goed gevulde bibliotheek van haar vader begon Sophie alle boeken over wiskunde te lezen.

Alhoewel aanvankelijk tegengewerkt door haar ouders, bleef ze hardnekkig doorzetten. Pas na verloop van tijd gaven de ouders hun tegenwerking op en lieten ze Sophie toe om haar passie voor wiskunde te volgen.

worden en ook privélessen te geven.

Met de hulp van Lagrange zette Germain aldus haar eerste stappen in het wiskundeonderzoek. Al heel vroeg interesseerde zij zich voor de laatste stelling van Fermat.

In 1794 opende de École Polytechnique in Parijs. Het was op dat moment ondenkbaar dat zij als vrouw daar kon studeren. Toch kon zij aan de cursussen wiskunde geraken, dankzij de student Antoine Auguste Le Blanc, een vriend van haar. Toen Le Blanc enige tijd later de school verliet maar daarover niet informeerde, studeerde Sophie Germain verder met zijn naam als pseudoniem. Ze diende ook teksten en taken in, ondertekend met die naam. Onder de indruk van de originaliteit en de kwaliteit van haar teksten vroeg een van de professoren van de École Polytechnique om een ontmoeting.

Daarop was ze dus gedwongen haar ware identiteit bekend te maken.

Haar eerste eigen werk stond precies in verband met deze stelling, waarvoor zij een idee had opgevat voor een mogelijk bewijs. Op dat moment was Carl Friedrich Gauss (1777-1855) de grootste en bekendste specialist in getaltheorie. In 1804, 28 jaar jong, en na het lezen van Gauss’ meesterwerk “Disquisitiones arithmeticae”, besloot Sophie Germain om contact op te nemen met Gauss en aan hem haar idee uit te leggen. Uit angst niet ernstig genomen te worden, behield ze haar pseudoniem Antoine Auguste Le Blanc.

Het was niemand minder dan Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) die haar wou spreken. Lagrange stelde haar voor om haar mentor te

Gauss was effectief in haar idee geïnteresseerd en antwoordde vriendelijk. Dit werd het begin van een vrij intense briefwisseling. In 1806,

Vector6.indd 9

toen Napoleon Pruisen binnenviel en de stad Braunschweig - waar Gauss woonde - veroverde, vroeg Germain aan een generaal uit het Franse leger die ze persoonlijk kende om Gauss te beschermen. Hij deed dat, maar vertelde hierbij aan Gauss dat hij zijn bescherming aan een zekere mevrouw Germain te danken had; op dat ogenblik voor Gauss een onbekende. Sophie Germain kon niet anders dan haar ware identiteit bekendmaken. Ook Gauss reageerde hierop zeer positief en schreef in een brief Comment vous décrire mon admiration et mon étonnement, en voyant se métamorphoser mon correspondant estimé M. Leblanc en cet illustre personnage, qui donne un exemple aussi brillant de ce que j’aurais peine de croire. [. . .] Le goût pour les sciences abstraites en général et surtout pour les mystères des nombres est fort rare: [. . .] les charmes enchanteurs de cette sublime science ne se décèlent dans toute leur beauté qu’à ceux qui ont le courage de l’approfondir.

Mais lorsqu’une personne de ce sexe, qui, par nos murs et par nos préjugés, doit rencontrer infiniment plus d’obstacles et de difficultés, que les hommes, à se familiariser avec ces recherches épineuses, sait néanmoins franchir ces entraves et pénétrer ce qu’elles ont de plus caché, il faut sans doute, qu’elle ait le plus noble courage, des talents tout à fait extraordinaires, le génie supérieur. [. . .]

9/09/19 11:30

10

Gauss toont hiermee meteen ook dat hij zich ervan bewust was dat het voor een vrouw vele keren moeilijker was om toegang tot de wetenschap te verwerven. De correspondentie tussen Germain en Gauss eindigde vrij abrupt in 1808, het jaar waarin Gauss aangesteld werd als professor astronomie aan de universiteit van Göttingen. De resultaten van Germain over de laatste stelling van Fermat werden pas in 1830 publiek gemaakt in het boek Théorie des nombres van Adrien-Marie Legendre (1752-1833).

In een voetnoot schreef hij dat een van de stellingen uit zijn boek oorspronkelijk van Sophie Germain was.

Hoe dan ook, het werk van Germain vormde de belangrijkste vooruitgang tussen 1738 en 1840 op het bewijs van de laatste stelling van Fermat.

toe. Helaas kon ze deze bekroning nooit persoonlijk ontvangen, want getroffen door borstkanker overleed zij in 1831.

Binnen het Institut de France werd begin van deze eeuw een Fondation Sophie Germain opgericht die jaarlijks, op voordracht van de Académie des Sciences, de Prix Sophie Germain uitreikt voor fundamenteel onderzoek in de wiskunde (zie [3]).

2 DE LAATSTE STELLING VAN FERMAT Pierre de Fermat (1601-1665), een Franse jurist met een uitgesproken wiskundebelangstelling en -talent, noteerde 1637 in een kopie van Diophantus’ boek Arithmetica, en dan nog wel in de marge, een tot de verbeelding sprekende zin Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Sophie Germain leverde ook een belangrijke bijdrage aan de elasticiteitstheorie. Hiervoor kreeg ze overigens in 1816, als eerste vrouw ooit, een prijs van de Académie des Sciences. Dit feit werd in 2016 in Frankrijk herdacht door de uitgave van een bijzondere postzegel.

Op voordracht van Gauss kent de universiteit van Göttingen haar in 1830 een doctoraat honoris causa

Vector6.indd 10

In eigen taal luidt dit als volgt: Het is onmogelijk een derde macht op te splitsen in twee derde machten, of een vierde macht in twee vierde machten, of in het algemeen elke macht hoger dan de tweede in twee machten met diezelfde graad: voor welke stelling ik waarlijk een spectaculair bewijs heb

gevonden. Deze rand is te smal om het te bevatten.

In wiskundetaal gesteld beweerde Fermat een elegant bewijs te hebben voor de volgende stelling: Voor elk natuurlijk getal strikt groter dan heeft de vergelijking geen oplossingen ( , , ) in gehele getallen (verschillend van nul).

Een spoor naar het mooie (“mirabilem”) bewijs van Fermat werd nooit teruggevonden. Dat hij enerzijds beweerde dat het elegant was, en dat het anderzijds over een eenvoudig te begrijpen bewering gaat, heeft honderden wiskundigen, zowel wetenschappers als amateurs, meer dan 3 eeuwen lang aan het zoeken gezet.

Ook Sophie Germain geraakte hierdoor geboeid. Toen zij zich hierover boog, was er enkel een bewijs bekend voor de gevallen (door Fermat zelf) en (door Leonhard Euler, 1753).

Pas in 1995 heeft Andrew Wiles (1953- ), toen verbonden aan de prestigieuze universiteit van Princeton, de correctheid van deze stelling kunnen aantonen, en dan nog als een gevolg van een algemener resultaat dat een beroep doet op de bijzonder ingewikkelde en abstracte wiskunde van elliptische krommen en modulaire vormen.

Fermat zal het zeker niet over dit type bewijs gehad hebben in zijn kanttekening. Wiles werd in 2016 laureaat van de Abelprijs en werd

9/09/19 11:30

11

in 2018 aangesteld als allereerste Regius Professor wiskunde aan de universiteit van Oxford.

Fermats laatste stelling is ook buiten de academische wereld bron van inspiratie geworden. Even googelen kan hierbij zeker helpen.

Zo vind je bijvoorbeeld een Tsjechische postzegel en de volgende limerick van Ted Munger.

With an integer greater than 2 It’s something one simply can’t do.

If this margin were fat, I’d show you all that.

But it’s not, so the proof is on you!

3 HET GROTE PLAN VAN SOPHIE GERMAIN We proberen op een zo bondig mogelijke manier een idee te geven van hoe het strategisch plan van Sophie Germain opgevat was om de laatste stelling van Fermat aan te pakken. Dit is echter een verregaande vereenvoudiging van wat Germain bereikte en kon aantonen. Voor een boeiend geschreven nauwkeurig historisch relaas verwijzen we graag naar de zeer lezenswaardige publicaties [1] en [2]. In de eerste tekst werkt Kiefer de wiskundige argumentatie van Germain nauwkeurig uit. Het moge

Vector6.indd 11

duidelijk zijn dat Germain uitgebreid werk van hoog niveau verrichtte en tot een aantal zeer interessante nieuwe inzichten kwam.

Laat ons beginnen met een eenvoudige observatie: indien er een drietal ( , , ) van gehele getallen zou , dan bestaan zodat bestaat er ook een drietal ( , , ) van onderling relatief priem gehele getallen waarvoor dit geldt. Het volstaat uit , en de grootste gemene deler weg te delen om dit in te zien. Het zal dus volstaan om aan te tonen dat er geen relatief priem drietallen ( , , ) bestaan waarvoor de vergelijking opgaat. al Omdat het geval voor aangetoond werd, vergt het geen grote inspanning om in te zien dat de stelling ook geldt voor alle die viervouden zijn.

Hieruit volgt dat het zal volstaan om Fermats stelling aan te tonen , een oneven priemgetal. voor Bedenk hiervoor het volgende: als niet priem is, dan heeft priemdelers. Ofwel heeft geen oneven priemdelers. In dat geval is een macht van 2 en dus een viervoud. Hiervoor geldt de stelling.

Ofwel heeft wel degelijk een oneven priemdeler, bijvoorbeeld . voor Dit wil zeggen dat zekere . Als er een oplossing ( , , ) zou zijn voor de vergelijking dan zal , ) een oplossing zijn voor ( , . de vergelijking Er moet dus “enkel” aangetoond worden dat voor elk oneven

priemgetal er geen drietallen gehele getallen ( , , ) ( , en verschillend van nul) bestaan, die onderling relatief priem zijn en . waarvoor Het is handig om nu ook enige vaardigheid te hebben in het modulorekenen. Voor gehele getallen , en een natuurlijk getal , zeggen we dat een -voud modulo als is. Een meer formele manier van noteren gaat als volgt: mod . De verzameling van de gehele getallen modulo . In het bijzonder noteren we met wordt rekenen modulo een priemgetal interessant. In dat geval heeft elk element dat niet nul een multiplicatief invers. is in dat Zo geldt bijvoorbeeld in . mod 7 De getallen 3 en 5 zijn elkaars multiplicatief invers (modulo 7).

Sophie Germain maakte de volgende observatie. Veronderstel even dat en twee verschillende priemgetallen zijn. Veronderstel zou verder dat . voldoen aan Veronderstel ook dat , en relatief priem zijn, en dat geen van deze getallen deelt. Dan geldt de natuurlijk gelijkheid ook wanneer er modulo gerekend wordt. Omdat geen θ-voud is en dus verschilt van nul (modulo θ), een heeft en dus ook multiplicatief invers modulo θ.

Bijgevolg zal gelden dat modulo .

9/09/19 11:30

12

Er zijn dus twee -de machten (modulo θ) die slechts 1 van elkaar verschillen. Germain noemt dit twee opeenvolgende -de machten (modulo ).

Voorbeeld. Beschouw nu even de . In priemgetallen berekenen we voor elk niet-nul element , de 5e macht . Dan vind je

Er zijn in dit geval dus slechts twee 5e machten modulo 11, met name 1 en 10, en dus geen twee opeenvolgende 5e machten.

Oefening.

1. Beschouw nu het tweetal ,θ ). priemen ( Controleer dat de verzameling 5e machten van de niet-nul elementen gelijk is aan van

Ook hier is het verschil tussen twee 5e machten (modulo 41) altijd minstens 2.

2. Onderzoek nu de situaties met ( en ) en kijk na of er in die situaties 5e machten modulo θ zijn die op elkaar volgen.

Vector6.indd 12

Deze eenvoudige observaties verklaren allicht waarom Sophie Germain veel aandacht voor tweetallen priemen ( , θ) had waarbij de -de machten van getallen modulo θ telkens minstens 2 van elkaar verschillen (m.a.w. waarbij er geen opeenvolgende -de machten modulo θ zijn). Ze concentreert zich hierbij bovendien op priemgetallen θ van de vorm .

Het “grand plan” van Sophie Germain bestond erin om voor elk priemgetal een oneindig aantal verwante te priemgetallen construeren, waarvoor alle -de machten (modulo )θ minstens 2 van elkaar verschillen. Indien ze dit kon aantonen, dan lag een bewijs voor de laatste stelling van Fermat binnen handbereik. Helaas ontdekte ze zelf al dat dit niet kon werken voor , wat allicht een morele tegenvaller was.

Sophie Germain zet echter door en maakt heel veel concrete berekeningen, o.a. voor alle priemen kleiner dan 100. Ze slaagt erin het volgende resultaat aan te tonen en blijft hiermee voor altijd een grote dame in de getaltheorie.

Stelling (Stelling van Sophie Germain). Veronderstel dat een oneven priemgetal is. Als er een priemgetal van de vorm bestaat zó dat zelf geen -de macht is van • een getal modulo en • er geen -de machten van getallen modulo bestaan die opeenvolgend zijn, dan zal in elke oplossing van de vergelijking minstens één van de getallen , of deelbaar zijn door .

REFERENTIES [1] Kiefer, A. (2012) Le théorème de Fermat vu par M. Le Blanc (Fermat’s theorem seen by M. Le Blanc), Brussels Summer School of Mathematics, Notes de la cinquième BSSM, pages 51-65 [2] Laubenbacher, R. and Pengelley, D. (2010), “Voici ce que j’ai trouvé”: Sophie Germain’s grand plan to prove Fermat’s last theorem, Historia Math., 37 (4), 641-692 [3] Institut de France, Fondation Sophie Germain http://www.institut-de-france. fr/fr/prix-fondations/ fondationsophie-germain, 2003 [4] Singh, S. (2018) Het laatste raadsel van Fermat, Rainbow, 1ste druk, 367 pagina’s

Paul Igodt, KU Leuven Campus Kulak, Kortrijk – E-mail: Paul.Igodt@kuleuven.be Ann Kiefer, VUB, Departement Wiskunde, Brussel – E-mail: ann.kiefer@vub.be

9/09/19 11:30

35ste Vlaamse Wiskunde Olympiade

Wiskunde gaat niet Wiskunde niet kort doorgaat de bocht! kort door2020 de bocht!

15 januari 35ste Vlaamse Wiskunde Olympiade

VWO wordt eveneens gesteund door de KU Leuven, de KU Leuven Campus Kulak Kortrijk, de Universiteit Antwerpen, de Universiteit Gent, de Universiteit Hasselt, de Vrije Universiteit Brussel, het Belgisch Wiskundig Genootschap, New Scientist, Rhombus, de Vlaamse Vereniging voor WiskundeLeraren, Wolfram Mathematica, Wetenschap in Beeld.

Met dank aan Toon Baeyens. - V.U. Paul Igodt, Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, E. Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk

oppervlak?

Met dank aan Toon Baeyens. - V.U. Paul Igodt, Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, E. Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk

Hoe ga je rechtdoor Hoeopgaeen je krom rechtdoor oppervlak? op een krom

Met dank aan Toon Baeyens. - V.U. Paul Igodt, Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw, E. Sabbelaan 53, 8500 Kortrijk

15 januari 2020

VWO wordt eveneens gesteund door de KU Leuven, de KU Leuven Campus Kulak Kortrijk, de Universiteit Antwerpen, de Universiteit Gent, de Universiteit Hasselt, de Vrije Universiteit Brussel, het Belgisch Wiskundig Genootschap, New Scientist, Rhombus, de Vlaamse Vereniging voor WiskundeLeraren, Wolfram Mathematica, Wetenschap in Beeld.

VWO_AFFICHE_2019.indd 1

Vector6.indd 13

VWO_AFFICHE_2019.indd 1

18/07/19 14:09

9/09/19 11:30 18/07/19 14:09

14 UITWISKELING

WISKUNDE ACHTER DE WALIBI-SPEEDY-PASS G E R D H AU T E K I E T

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

OP 12 JUNI 2013 STOND VOLGEND ARTIKEL IN DE STANDAARD, MET DAARIN EEN VERWIJZING NAAR EEN OORSPRONKELIJK ARTIKEL UIT EOS.

Naar aanleiding van het invoeren van de ‘voorsteekpas’ ontstond een boeiende maatschappelijke discussie.

Door voorstanders werd gewezen op de marktwerking en het feit dat overal voorrangstarieven bestaan, zelfs in de culturele sector, terwijl tegenstanders vreesden voor pretparkplezier met twee snelheden, eentje voor rijk en eentje voor arm. Ondertussen bestaat de Speedy Pass nog steeds, maar het succes ervan is eerder beperkt.

Bij de redactie van Uitwiskeling zagen we ook een mooie toepassing van rationale functies en die kans mochten we niet laten liggen!

Waarom is het interessant om dit onderwerp in je les te gebruiken?

Pretparken is een context regelrecht uit de leefwereld van leerlingen, van eenmalige tot trouwe bezoeker.

Sommigen interesseren zich er misschien helemaal niet voor maar kunnen zich de situatie wel goed voorstellen. Iedereen moet al eens wachten in een rij: aan een loket, aan de kassa in de supermarkt… Het is een context die toelaat om in de wiskundeles een maatschappelijk thema aan te kaarten, om te praten over het effect van de pasjes op de wachtrijen of over het al of niet ethisch verantwoord zijn van dit soort pasjes. Je kunt het probleem immers ook opentrekken naar andere situaties: eerste klas-reizen in treinen, een vipbehandeling bij allerlei evenementen… Betalen voor een betere bediening wordt meestal nog aanvaard maar dat wie meer betaalt, sneller wordt bediend ten koste van de groep die niet meer wil of kan betalen, is niet zo gemakkelijk te aanvaarden. Deze context is ook geschikt om aan taal te werken binnen de wiskundelessen.

Vector6.indd 14

9/09/19 11:30

15

Een tweede voordeel is dat je met dit onderwerp echt alle kanten op kan onder andere qua moeilijkheidsgraad.

We vertrekken van formules om de wachttijd aan een attractie in een pretpark te berekenen in functie van een aantal variabelen: het aantal voorsteekpasjes dat die dag is verkocht, de bezettingsgraad van de attracties en de gemiddelde bedieningstijd aan een attractie. We gaan hier niet in op het opstellen van deze formules. Het is wel de bedoeling deze formules in de klas op verschillende manieren te analyseren. Je kunt je beperken tot het bespreken van de invloed van de verschillende parameters op de wachttijd (wat als?), je kunt de verschillende soorten afhankelijkheid laten ontdekken (lineair, omgekeerd evenredig…), je kunt verschillende grafieken laten tekenen, je kunt de beperkingen en de grenzen van het model bespreken, je kunt een beter model proberen zoeken. Het kan een kennismaking zijn met de wiskunde van de wachtlijntheorie. Dit kan dan weer een mooi onderwerp zijn voor een GIP, een eindwerk of voor de vrije ruimte.

We proberen in deze les de wachttijden te voorspellen en te vergelijken aan de hand van een vereenvoudigd model uit de wachtlijntheorie. Deze voorspelt de wachttijd van klanten in een wachtlijn en is dus ook toepasbaar op de rij van bezoekers aan een attractie.

Om het geheel modelleerbaar te houden maken we een aantal vereenvoudigingen: • de bezoekers komen individueel en op willekeurige tijdstippen aan bij een attractie; • iedere bezoeker krijgt evenveel bedieningstijd; • de bezoekers met en zonder pasje zijn volledig gemixt; • de bezoekers houden geen rekening met de lengte van de wachtrij op dat moment.

1. Waarom zijn deze veronderstellingen niet altijd realistisch?

Meestal komen de bezoekers in groepjes naar een attractie en bij veel attracties moet in groep ingestapt worden. De bezoekers komen ook in groep uit een attractie en zwermen dan opnieuw uit. Als bezoekers een lange rij aantreffen, zijn ze niet altijd geneigd in de rij te gaan staan…

We geven hieronder een tekst die een aanzet wil zijn voor een lesactiviteit die je zeker nog moet aanpassen voor jouw leerlingen, afhankelijk van het aantal uren wiskunde per week (meer of minder tussenvraagjes, bijkomende vraagjes, een open onderzoeksopdracht…)

Ook de vorm waarin je onderstaande tekst gebruikt, kun je zelf kiezen. Je kunt het gebruiken als een werktekst waarmee de leerlingen zelfstandig werken, je kunt aan de hand van de vragen klassikaal een onderwijsleergesprek voeren, je kunt er een groepswerk van maken...

WISKUNDIG BEWEZEN: “VOORSTEEKPAS IS RAMP VOOR GEWONE BEZOEKER” Met de Speedy Pass van pretpark Walibi krijg je voorrang op de attracties. Het idee druist echter in tegen het intuïtieve rechtvaardigheidsgevoel, het verdeelt de bezoekers in twee categorieën, die met en die zonder pasje. Maar het probleem zit dieper.

Er is immers nog het aspect van de wachttijd: gaat vermindering van de wachttijd van bezoekers met pasje niet ten koste van de bezoekers zonder pasje? Zien deze laatsten hun wachttijd omhooggaan?

Vector6.indd 15

De formules die we hieronder geven zijn dus slechts bij benadering van toepassing maar in de praktijk blijken ze toch een goede inschatting van de wachttijd op te leveren. geeft de gemiddelde wachttijd in seconden van een willekeurige klant aan een attractie in een systeem zonder pasjes.

met de bezettingsgraad van de attractie, 0,85 voor een attractie die 85% van bijvoorbeeld de tijd in actie is. de vaste bedieningstijd per klant, • 6 seconden voor een attractie die bijvoorbeeld om de drie minuten 30 bezoekers bedient.

•

9/09/19 11:30

16

2. Bereken de gemiddelde wachttijd in enkele concrete gevallen.

Je kunt hier als leerkracht zelf concrete waarden opgeven of de leerlingen zelf waarden laten kiezen.

0,85 en 6 s vinden we bijvoorbeeld Voor een gemiddelde wachttijd van 17 s. Je kunt ook dieper ingaan op de situaties aan de rand van het 0 bestaat het probleem van de domein. Voor 1 is de functie wachttijden gewoon niet. Voor niet gedefinieerd. De wachttijd zou oneindig lang zijn. Dit heeft te maken met de vereenvoudiging van het model: in de praktijk zijn er altijd piek- en dalmomenten.

3. De wachttijd is een functie van twee variabelen. Leg uit waarom een grafiek van deze functie tekenen niet zo eenvoudig is.

Je kunt dieper ingaan op een functie met twee variabelen. Je kunt voor één variabele een waarde kiezen en de andere laten variëren en een grafiekenbundel maken (zie figuur 1) of je kunt bijvoorbeeld laten zien hoe je een grafiek van een functie met twee variabelen maakt (zie figuur 2) en interpreteert. De eerste grafiek kan gezien worden als de doorsnede van de tweede grafiek met een aantal evenwijdige vlakken (zie ook Uitwiskeling 24/2 en Hofstede).

Figuur 2

4. Welk soort functie krijg je als je voor de bedieningstijd een vaste waarde kiest en de bezettingsgraad verandert?

Door een vaste waarde te geven, krijg je een homografische functie. Dit is een rationale functie met zowel in de teller als de noemer een eerstegraadsfunctie.

5. Wat gebeurt er met de wachttijd als de bezettingsgraad constant blijft maar de bedieningstijd halveert?

Dan halveert de wachttijd, er is een recht evenredig en . verband tussen

Figuur 1

Vector6.indd 16

9/09/19 11:30

17

Als er een systeem met pasjes bestaat, komt er nog een variabele bij en krijgen we twee verschillende formules voor de gemiddelde wachttijd voor iemand met ( ) en zonder pasje ( ):

8. Komen deze resultaten overeen met onderstaande grafiek uit het tijdschrift Eos?

Hier kun je ook wijzen op het feit dat de waarde van geen invloed heeft op de procentuele toename van de wachttijd. Uiteraard is wel belangrijk voor de wachttijd zelf.

met gelijk aan de fractie bezoekers 0,2 als 2 op de 10 met een pasje, bijvoorbeeld bezoekers een pasje hebben.

6. Welke grootheden moeten vergeleken worden om de invloed van het pasje na te gaan voor wie er geen heeft?

Als we en vergelijken, vinden we Dit is het verband tussen de wachttijden van een bezoeker zonder pasje bij de systemen met en zonder voorsteekpas.

.

7. Bereken voor een bezettingsgraad van 95% het verband tussen deze grootheden als 1 op 10 een pasje heeft. Doe hetzelfde voor het geval dat 1 op 3 en 1 op 2 een pasje heeft.

9. Onderzoek nu ook de invloed van de populariteit (de bezettingsgraad) op de toename van de wachttijd.

Als 1 op 10 een pasje heeft, nemen de wachttijden met 10% toe. Als 1 op 3 een pasje heeft wordt dit 46% en als 1 op 2 een pasje heeft wordt dit zelfs 90%.

Vector6.indd 17

9/09/19 11:30

18

Op de grafieken hierboven zie je de toename van de wachttijd tegenover het percentage van bezoekers met een pasje voor verschillende bezettingsgraden.

De bezettingsgraden nemen telkens met 10% af, van 95% tot 5%. We lezen af dat voor lage bezettingsgraden de pasjes nauwelijks nadeel bezorgen aan de bezoekers zonder pasje. Het effect van het pasje is vooral groot bij drukbezette attracties.

10. Wat gebeurt er met de wachttijden van klanten met een pasje? Welke grootheden moet je nu vergelijken?

We vergelijken nu en .

Het verband tussen deze grootheden is .

11. Bereken de verhouding van deze wachttijden als de minderheid van de bezoekers over een pasje 0,5) voor de populaire attracties beschikt ( 0,80)? (

In de situatie waarbij 0,5 en 0,80 zal de wachttijd met een pasje slechts één derde zijn van de wachttijd zonder pasje. Drijven we de populariteit 0,90 dan zal de wachttijd op naar bijvoorbeeld met een pasje slechts 18% zijn van de wachttijd zonder pasje. De populariteit van een attractie maakt het voordeel van het pasjesgebruik groter.

Verlagen we het percentage pasjesgebruikers 0,2 bij 0,8 dan zal de naar bijvoorbeeld wachttijd met een pasje ongeveer 24% zijn van de wachttijd zonder pasje. Ook bij het verlagen van het aantal pasjesgebruikers zal het voordeel van het pasjesgebruik toenemen.

12. Zijn volgende uitspraken waar?

• ‘Klanten met pasje moeten bijna niet meer wachten, ten koste van klanten zonder pasje.’

© Shutterstock.com/g/Genaro Diaz Melendrez

Als het pretpark de pasjes duur genoeg maakt, zal beperkt blijven. Maar voor de heel populaire attracties is er een ander probleem: mensen met pasje kunnen deze attracties meermaals kort na elkaar doen. In dat geval kan voor die attractie oplopen tot 0,50 en verdubbelt de wachttijd dus voor de anderen! Tenslotte blijft nog de vraag: als er veel mensen zijn die een Speedy Pass kopen, moeten zij onderling ook wachten. Komt er dan nog een duurdere Speedy Pass om die mensen voor te kunnen steken?

BRONNEN http://www.standaard.be/cnt/dmf20130612_00619929 https://www.eoswetenschap.eu/natuurwetenschappen/ de-wiskunde-achter-de-walibi-pas http://www.hhofstede.nl/modules/meervariabelen.htm Deze bijdrage verscheen in Uitwiskeling 29/4. Benieuwd naar meer? Op www.uitwiskeling.be vind je alle info. Daar kun je ook de werkteksten uit het artikel downloaden.

• ‘Als het aandeel van klanten met pasje beperkt blijft tot bv 10%, dan is dit geen probleem voor de klanten zonder pasje.’

Vector6.indd 18

9/09/19 11:30

19

BOEK RECENSIES PAU L L E V R I E

SANNE BLAUW: HET BESTVERKOCHTE BOEK OOIT*. HOE CIJFERS ONS LEIDEN, VERLEIDEN EN MISLEIDEN. Uitgave: De Correspondent, oktober 2018.

ISBN: 9789082821642 Sanne Blauw heeft econometrie gestudeerd en is correspondent ontcijferen voor De Correspondent, een online journalistiek platform. Van haar verscheen vorig jaar het boek Het bestverkochte boek ooit, waarin ze ons ervan probeert te overtuigen dat er veel te veel belang wordt gehecht aan cijfers in deze maatschappij, vooral omdat liegen met cijfers erg eenvoudig is, en voortdurend gebeurt. Of zoals ze het zelf zegt in het voorwoord: “Dit boek ontcijfert de wereld van getallen, zodat iedereen voortaan zelf het juiste gebruik van cijfers kan onderscheiden van het misbruik. En zodat we ons kunnen afvragen: welke rol willen we dat cijfers spelen in ons leven en in de samenleving? Het is tijd om cijfers op hun plek te zetten. Niet op een voetstuk, niet bij het vuilnis. Maar waar ze horen: naast woorden.” * met deze titel

Vector6.indd 19

Sanne Blauw doet dit op deskundige wijze en in zes hoofdstukken. In een eerste hoofdstuk gaat het over hoe het begonnen is, met o.a. het verhaal van Florence Nightingale, die met cijfers de autoriteiten tijdens de Krimoorlog wist te overtuigen dat er iets moest gedaan worden aan de hygiëne in de (militaire) ziekenhuizen om de sterfte daar te verminderen. In de volgende hoofdstukken geeft ze dan voorbeelden van hoe cijfers gebruikt en misbruikt werden en worden.

Ze heeft het o.a. over IQ-testen, het Kinsey-rapport, het verband tussen roken en longkanker, en wijst erop dat het belangrijk is dat we constant kritisch blijven als we cijfers gebruikt zien worden (“… als je een cijfer ziet, doe dan eerst een stap terug en vraag jezelf af: wat voel ik?”). Het door elkaar halen van causaliteit en correlatie is daar een goed voorbeeld van, of hoe je met cijfers kan bewijzen dat baby’s gebracht worden door de ooievaar. De komst van de computer, waardoor het verzamelen en analyseren van gegevens er heel wat gemakkelijker op is geworden (bigdata-algoritmes krijgen meer en meer macht), verbetert de zaken niet, integendeel.

Het boek eindigt met een checklist: wat doe je als je een cijfer tegenkomt?

Aan de uitgebreide lijst bronnen achteraan in het boek (o.a. het onvolprezen How to lie with statistics van Darrell Huff uit 1954) zie je hoe zorgvuldig de auteur te werk is gegaan bij het schrijven ervan… En toch blijft het boek heel laagdrempelig.

BEN ORLIN: WISKUNDE IS OVERAL. INCLUSIEF HEERLIJK SIMPELE TEKENINGEN! Uitgave: Lannoo, juni 2019.

ISBN: 9789401459297 Ben Orlin, bekend van zijn blog mathwithbaddrawings.com (met ondertitel Lover of math. Bad at drawing.), heeft een heerlijk boek geschreven over wiskunde. Hij neemt je mee op een reis door de wiskunde van alledag, en allereerst legt hij de lezer een variant voor van het spelletje OXO (boter, kaas en eieren) als voorbeeld van iets alledaags waar wel wat wiskunde achter zit. Orlin is wiskundeleraar en speelt het spel wel eens met zijn

9/09/19 11:30

20

leerlingen. Af en toe stelt een van hen hem de onnozele maar logische vraag: “Oké, leuk spelletje, maar wat heeft het met wiskunde te maken?”

Orlin maakt dan in het boek een bruggetje naar hoe leerlingen en wiskundigen kijken naar wiskunde.

Daarover gaat het eerste deel van het boek, het heeft de titel Denken als wiskundige. De andere delen gaan over meetkunde, kansrekenen, statistiek. Het laatste deel, Op het keerpunt, gaat over hoe kleine veranderingen grote gevolgen kunnen hebben. Hij heeft het dan o.a over belastingschijvologie (sic) en verkiezingen.

Orlin gebruikt geen formules in het boek, die stelt hij uit tot de Noten aan het eind. Dat vind ik een krachttoer, want als je zelf wiskundige bent, dan wil je ook dat wel delen, denk ik zo. Bovendien zorgt hij er met zijn illustraties voor dat het boek ook interessant is voor de wiskundigen onder ons, en dat is erg knap. Zijn `heerlijk simpele tekeningen’ (bad drawings) nemen voor een deel de functie van wiskundeformules over. Waar een formule in een wiskundeboek je altijd wat tijd vraagt om ze te begrijpen, heb je hier iets gelijkaardigs bij de figuren. Er wordt niet al te veel uitleg bij gegeven, en daarom moet je er wel over nadenken. En figuren zeggen heel veel (a picture is worth a thousand words?).

Orlin beperkt zich tot onderwerpen die met wiskunde te maken hebben waar we dagelijks mee geconfronteerd worden, zoals kansrekening (lotto) of statistiek. Wat dit laatste

Vector6.indd 20

betreft, heeft het boek wel wat gemeen met dat van Sanne Blauw.

Ook Orlin waarschuwt voor de gevaren van statistiek: het manipuleren van cijfers. De volgende uitspraak van de Schotse schrijver Andrew Lang vindt hij geweldig, omdat ze klopt: “Politici gebruiken statistiek zoals een dronkaard lantaarnpalen gebruikt: als ondersteuning, niet ter verlichting.”

Een aanrader!

Twee minpuntjes. In deel vier (over statistiek) staat een heel hoofdstuk over honkbal. Omdat honkbal hier in Vlaanderen niet echt tot onze leefwereld behoort, vond ik het een hele klus om er door te geraken.

Verder zullen de wiskundige lezers zich druk maken over de typische vertaalfouten die je krijgt als je een wiskundeboek laat vertalen door een niet-wiskundige: je leest bijvoorbeeld op p. 66 dat de vierkantswortel van twee een irrationeel getal is.

STEFAN BUIJSMAN: PLUSSEN EN MINNEN. WISKUNDE EN DE WERELD OM ONS HEEN. Uitgave: De Bezige Bij, oktober 2018.

ISBN: 9789403136202

inslag als dat van Orlin, maar spijtig genoeg bereikt Buijsman zijn doel helemaal niet. Na een eerste hoofdstuk waarin hij wat voorbeelden geeft waaruit blijkt dat wiskunde wel echt nodig is, zoals bij de dienstregeling van de NS, of bij de aanbevelingen die je van Netflix krijgt, duikt Buijsman de geschiedenis in, kort en bondig. Hij laat zien dat de wiskunde vooral om praktische, vaak administratieve redenen is ontstaan en gegroeid is tot wat het nu is. Hij stelt zich ook de relevante vraag hoe het eraan toegaat zonder wiskunde, en verwijst naar enkele culturen die het nog steeds doen zonder. Eenmaal aangekomen bij Newton en Leibniz, de grondleggers van de calculus, het rekengedeelte van de hogere wiskunde, nodig om bijvoorbeeld vliegtuigen te doen vliegen, gaat het mis. Buijsman probeert uit te leggen wat die calculus nu precies inhoudt, wat dat afleiden en integreren nu precies is, en dat lukt hem niet: zelfs voor een wiskundige is zijn redenering moeilijk te volgen.

Ook in het volgende hoofdstuk, over statistiek, gaat het op dezelfde manier mis. Na een hoofdstuk met wat meer of minder bekende toepassingen van de grafentheorie, eindigt hij met het houden van een pleidooi voor de wiskunde.

Stefan Buijsman (1995) studeerde filosofie in Leiden en behaalde op zijn twintigste een doctoraat in Stockholm. Hij doet nu onderzoek in de filosofie van de wiskunde.

Zijn boek heeft ongeveer dezelfde

9/09/19 11:30

21

OEFENING

A

B

C

D

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, EERSTE RONDE 2019, VRAAG 22 Op de reële getallenas staan de getallen a, a2 en a3 aangeduid. Welk van de volgende getallen is een mogelijke waarde voor a?

E

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OEFENING KANGOEROE, EDITIE WALLABIE 2019, VRAAG 13 Een groot vierkant is verdeeld in kleinere vierkanten. Welk deel van het grote vierkant is gekleurd?

A

2 3

B

2 5

C

4 7

D

4 9

E

5 12

KANGOEROE, EDITIE WALLABIE 2019, VRAAG 4 De Maya’s schreven getallen met stippen en strepen. Een stip heeft waarde 1. Een streep heeft waarde 5.

Hoe schreven de Maya’s het getal 17?

A

Vector6.indd 21

B

C

D

E

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OEFENING

9/09/19 11:30

22 PYTHAGORAS

KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN MEETKUNDIG AANGEPAKT J E A N I N E DA E M S

AL VROEG IN DE GESCHIEDENIS VAN DE WISKUNDE HIELD MEN ZICH BEZIG MET WAT WIJ NU KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN NOEMEN. DE BABYLONIËRS KENDEN AL EEN RECEPT DAT LIJKT OP ONZE ABC-FORMULE. OOK DE ARABISCHE WISKUNDIGEN ROND HET JAAR 800 LOSTEN KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN OP MET EEN STANDAARDRECEPT. DIE CULTUREN KENDEN ECHTER NOG GEEN FORMULES, ZE BESCHREVEN HUN RECEPTEN IN WOORDEN EN VOORBEELDEN. HUN AANPAK WAS ANDERS DAN DE ONZE, NAMELIJK MEETKUNDIG. IN DIT ARTIKEL BEKIJKEN WE HOE DE BABYLONISCHE EN ARABISCHE WISKUNDIGEN SOMMIGE VAN DEZE VERGELIJKINGEN OPLOSTEN EN VERGELIJKEN WE DIE MET ONZE MANIEREN VAN OPLOSSEN. KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN Een kwadratische vergelijking zoals wij die kennen of iets dat heeft meestal de vorm daarop lijkt: een onbekende die als letter voorgesteld wordt en een relatie tussen het kwadraat van de onbekende, een aantal keer de onbekende zelf en een getal. We zouden zo'n vergelijking ook gewoon in woorden kunnen uitdrukken: "Ik zoek een getal waarvan het kwadraat opgeteld bij twee keer het getal zelf precies acht oplevert." Dat is langer, maar dat is wel hoe vergelijkingen vroeger werden opgeschreven vóór onze algebraïsche notatie ontstond: in woorden. Formules zijn efficiënter, ook handiger als je het over meer dan één onbekende wil hebben (dan kies je gewoon nog een andere letter), en het is door gebruik van parameters (weer andere

Vector6.indd 22

letters) ook mogelijk om een vergelijking in algemene vorm uit te drukken, zoals de die we gebruiken om de abc-formule te kunnen opschrijven.

Wij lossen kwadratische vergelijkingen op verschillende manieren op: als de vergelijking van is, trekken we gewoon de wortel: de vorm . Als er wel een term met de voorkomt, kun je proberen of ontbinden in factoren lukt. Als dat niet lukt gebruik je de abc-formule, die werkt altijd. Misschien heb je ook geleerd hoe kwadraat afsplitsen werkt, ook dat werkt altijd. Merk op dat dit allemaal algebraïsche aanpakken zijn: je bent alleen met formules bezig en niet met wat de vergelijking zou kunnen betekenen.

9/09/19 11:30

23

ARABISCHE WISKUNDE We gaan in dit artikel niet helemaal in de juiste tijdsvolgorde te werk, we beginnen bij de Arabische wiskundigen rond het jaar 800. In die tijd bestond er in het Midden-Oosten een hoogstaande wetenschappelijke cultuur die voortbouwde op de kennis uit de Griekse oudheid. Een van de beroemdste wiskundigen uit die tijd is Al-Khwarizmi (volledig: Muhammed ibn Musa Al-Khwarizmi), hij kwam uit PerziĂŤ, leefde tussen ongeveer 780 en 850, studeerde en werkte in Bagdad en schreef in het Arabisch. Zijn werk was niet bijzonder origineel, maar zijn boeken werden wel beroemd. Ons woord "algebra" is ontstaan vanuit de titel van een van zijn boeken waarin het woord "al-dzjabr" voorkomt, dat "restauratie" betekent. Ons woord algoritme komt overigens ook van Al-Khwarizmi, zijn naam werd in Latijnse vertalingen verbasterd tot "algorismi". Dan stond er bij een rekenrecept "algorismi dixit", ofwel "Al-Khwarizmi heeft gezegd", waardoor uiteindelijk zo'n rekenrecept een algoritme ging heten.

tien af. De rest is drie. Dit is de wortel van het getal dat je aan het zoeken bent. Het kwadraat zelf is negen."

In zijn boek bekijkt hij bijvoorbeeld de vergelijking .

Al-Khwarizmi legt in zijn boek ook uit waarom dat recept klopt, en dat doet hij aan de hand van meetkunde.

OPGAVE Los die vergelijking eerst zelf op op je eigen manier.

OPLOSSING en Hoe je het ook doet, je zou moeten krijgen als oplossingen.

Al-Khwarizmi beschreef die vergelijking in woorden: "Een kwadraat en tien keer zijn wortel vormen samen negenendertig eenheden. Dit wil zeggen: wat moet het kwadraat zijn dat, aangevuld met tien van zijn wortels, negenendertig oplevert?"

OPGAVE Komt deze oplossing overeen met je eigen oplossing(en)?

OPLOSSING Wij zoeken de , Al-Khwarizmi vraagt naar de .

Hij vindt wel dezelfde positieve oplossing, 3. Hij vindt de negatieve oplossing niet, wat logisch is, aangezien je die niet als een lengte van een lijnstuk kunt zien. (Al-Khwarizmi kende overigens nog geen negatieve getallen.)

OPGAVE Probeer het recept van Al-Khwarizmi ook eens uit . Klopt het dan ook? op de vergelijking

OPGAVE Kun je zelf bedenken hoe je zo'n vergelijking als een meetkundig probleem kunt voorstellen? (Hint: neem een lijnstuk met lengte , vraag je af hoe je dan meetkundig kunt voorstellen.) en Als je een lijnstuk met lengte hebt, kun je voorstellen kun je voorstellen als als een vierkant met zijde . De een rechthoek met zijden 10 en . Als je die aan elkaar plakt, heb je een rechthoek die in totaal als oppervlakte blijkbaar 39 moet hebben. (Merk op dat Al-Khwarizmi die lengte niet noemt, maar het plaatje is verder hetzelfde.)

Hij lost hem op volgens een standaardrecept:

"De oplossing is: neem de helft van (in dit geval) tien, en vermenigvuldig dit met zichzelf, dus je krijgt: vijf keer vijf is vijfentwintig. Dit product wordt bij negenendertig opgeteld, de som is vierenzestig. Neem hiervan de wortel, dit is acht. Trek van acht de helft van (in dit geval)

Vector6.indd 23

9/09/19 11:30

24

In het recept staat dat je de helft van de 10 moet nemen en die met zichzelf moet vermenigvuldigen.

In zijn meetkundige uitleg wordt duidelijk waarom: Al-Khwarizmi knipt de rechthoek van 10 bij in tweeën en plakt één helft aan de onderzijde van het vierkant:

OPGAVE Ook nu kun je een groot vierkant maken door de vier hoekjes op te vullen. Hoe groot zijn die hoekjes?

Dus hoe groot is de oppervlakte van het grote vierkant dan? Los hiermee de vergelijking verder op.

OPGAVE a) Hoe groot is deze nieuwe figuur? b) Je kunt van deze nieuwe figuur een groter vierkant maken door de hoek rechtsonder op te vullen, hoe groot is die hoek en hoe groot wordt het grote vierkant? c) Hoe groot is de zijde van het grote vierkant en hoe groot is dus?

OPLOSSING a) Nog steeds 39. b) Die hoek is een vierkant van 5 bij 5 en heeft dus oppervlakte 25. Het grote vierkant heeft dus . oppervlakte c) De zijde van het grote vierkant is dus 8 en je ziet . dat Al-Khwarizmi geeft ook nog een ander plaatje om diezelfde vergelijking op te lossen. Daarin verdeelt hij de rechthoek van 10 bij niet in twee gelijke delen, maar in vier gelijke stukken, die hij vervolgens ook aan het onbekende vierkant plakt:

Vector6.indd 24

OPLOSSING 〖, dus in De hoekjes zijn nu alle vier bij. Het grote vierkant totaal komt er , de zijden zijn heeft dus oppervlakte , dus we vinden weer dat ook nu . dus Al-Khwarizmi's methode werkt niet voor alle kwadratische vergelijkingen, de vergelijking bijvoorbeeld moet je op een andere manier meetkundig voorstellen en die moet je ook anders oplossen. Al-Khwarizmi had zo voor elke vorm een meetkundig recept.

KWADRAAT AFPLITSEN Misschien heb je op school al geleerd hoe kwadraat afsplitsen werkt, misschien ook niet. Als je al weet hoe dat moet, maak dan de volgende opgave en lees verder bij het kopje "Babylonië". Als je dat nog niet weet, lees dan eerst het stuk in het kader.

9/09/19 11:31

25

OPGAVE op met behulp van Los de vergelijking kwadraat afsplitsen. Vergelijk je stappen met de eerste meetkundige oplossing van Al-Khwarizmi hierboven.

OPLOSSING

of of Je ziet dat de stappen bij de positieve oplossing precies hetzelfde zijn als die van Al-Khwarizmi: het halveren van de 10, je krijgt het kwadraat van dat gelijk is aan 64, enzovoorts.

Je kunt kwadratische vergelijkingen van de vorm eenvoudig oplossen door de wortel van dat getal te of . Het zou dus handig zijn als trekken: je een kwadratische vergelijking kunt schrijven als een onbekend getal in het kwadraat aan de ene kant van het -teken en een getal aan de andere kant.

Laten we dat eens proberen bij de vergelijking . Het vervelende is hier de term .

Maar misschien lukt het ons wel om deze vergelijking 〖, waarbij op om te schrijven naar de vorm de puntjes alleen getallen staan. Dat zou al helpen, want een vergelijking van die vorm is eenvoudig op te lossen, probeer maar.

OPGAVE Los de volgende vergelijkingen op (zonder 〖 en eerst haakjes uit te werken!): 〖.

OPLOSSING of Eerste vergelijking: of . Tweede vergelijking: , dus of . of

, dus

Kortom: het helpt als we onze vergelijking kunnen omschrijven naar die vorm.

Vector6.indd 25

OPGAVE te schrijven als a) Probeer eens om , waarbij op de puntjes een getal staat. Je zult zien dat dat niet helemaal lukt, waarom niet? b) Maar we kunnen wel zorgen dat de termen met en kloppen. Welk getal moet dan op de puntjes staan?

OPLOSSING uitwerkt, krijg je altijd ook nog a) Als je 〖 een getal als term, namelijk het kwadraat van het getal op de puntjes. b) Daar moet een 5 staan, want als je dan de . haakjes uitwerkt krijg je 〖 niet helemaal hetzelfde is als Je ziet dat , maar het verschil is alleen maar een getal, niet meer een term met en erin. Dat is geen groot probleem, want dat kunnen we compenseren aan de andere kant van . Wat weten het -teken. We weten dat ? Nou, 〖 , we dan over , dus 25 méér dan 39. dus dat is 25 méér dan . En nu kunnen we de Dus we vinden dat 〖 vergelijking zonder problemen verder oplossen. Deze methode heet "kwadraat afsplitsen".

OPGAVE a) Welk getal moet er op de puntjes bij ? En bij ? Kun je een algemene regel formuleren? Waarom klopt die? b) Los deze vergelijkingen verder op met kwadraat afsplitsen.

OPLOSSING a) Op de puntjes moet steeds de helft van de coëfficiënt van de , want dan krijg je weer het dubbele daarvan voor de als je de haakjes uitwerkt. 〖, dus , dus b) . of 〖, dus , dus . of Maak nu de opgave die je net had overgeslagen.

9/09/19 11:31

26

Je ziet dus dat Al-Khwarizmi's methode precies de meetkundige versie van het algebraïsche kwadraat afsplitsen is!

BABYLONIË In Mesopotamië, het gebied waar nu ongeveer Irak en Syrië liggen, ontstond rond 3000 v. Chr. een complexe beschaving waarin een schrift ontwikkeld werd. Ook werd daar een getalsysteem ontwikkeld dat uiteindelijk evolueerde tot een geavanceerd zestigtallig stelsel, opgeschreven in spijkerschrift op kleitabletten. De beschaving in Mesopotamië omvatte veel volkeren en een lange tijd, we gooien hier alles op één hoop en spreken over de "Babylonische wiskunde".

Op kleitabletten zijn veel wiskundeproblemen teruggevonden, waarschijnlijk was dat vaak gewoon schoolwerk. Kwadratische vergelijkingen komen vaak voor als problemen over het vinden van de lengte en breedte van een rechthoek of vierkant waar bepaalde andere eigenschappen voor gegeven zijn.

Een van de eenvoudigste voorbeelden is de volgende opgave. Ik heb de getallen al in onze notatie geschreven.

"Een getal is 7 groter dan zijn omgekeerde. Wat zijn dit getal en zijn omgekeerde?"

Met "omgekeerde" of "reciproke" wordt bedoeld: een getal dat met dit getal vermenigvuldigd 60 oplevert.

Dus 2 en 30 zijn reciproken van elkaar, 4 en 15 ook, enzovoorts.

OPGAVE Probeer dit probleem eerst zelf op te lossen. Kom je een kwadratische vergelijking tegen of heb je het anders gedaan?

De oplossing van de Babyloniërs gaat als volgt. Het klinkt wat cryptisch, daarna gaan we bekijken wat ermee bedoeld wordt.

Vector6.indd 26

"Breek de 7 die de ene omgekeerde uitsteekt over de andere in tweeën, dat wordt 3,5. Combineer 3,5 met 3,5 zodat we 12,25 krijgen. Tel 60, de oppervlakte, op bij 12,25, dat wordt 72,25. Wat geeft in het kwadraat 72,25? Dat is 8,5. Teken 8,5 en 8,5, haal van de ene 3,5 af en tel bij de andere 3,5 op. De ene wordt 5, de andere wordt 12. Het getal is 12, de omgekeerde is 5."

Als je je deze vergelijking meetkundig voorstelt blijkt dat je best kunt snappen wat hier gebeurt!

OPGAVE Vertaal het Babylonische probleem naar een meetkundig probleem en los het op op de manier van Al-Khwarizmi. Kijk nu nog eens naar de Babylonische oplossing. Begrijp je nu wat daar gebeurt?

OPLOSSING die We krijgen een rechthoek van bij als oppervlakte 60 heeft. Die rechthoek kunnen we opdelen in een vierkant van bij en een rechthoek van bij 7, net zoals in Al-Khwarizmi's voorbeeld. Als we het recept van Al-Khwarizmi volgen, moeten we de 7 in tweeën delen, dat wordt 3,5. Een rechthoek van 3,5 bij halen we weg en die plakken we onder het vierkant van bij , de missende hoek rechtsonder kunnen we opvullen met een vierkantje van 3,5 bij 3,5, dus oppervlakte 〖. Dan hebben we een groot vierkant en met een oppervlakte van . Omdat geldt een zijde van , dus . De andere zijde van dus de rechthoek is dan dus 12. We zien deze stappen precies terug in het Babylonische recept.

Een ander probleem is het volgende: "Ik heb de oppervlakte en zijde van mijn vierkant opgeteld en dat werd 0,75."

9/09/19 11:31

27

OPGAVE a) Welke vergelijking hoort hierbij, in moderne notatie? b) Een oppervlakte en een zijde optellen is meetkundig een beetje gek, een oppervlakte heeft twee dimensies en een zijde maar ĂŠĂŠn.

Kun je hier een oplossing voor verzinnen, zodat je toch een meetkundig probleem over oppervlaktes krijgt?

OPLOSSING a) b) Je kunt een rechthoek van oppervlakte maken door de ene zijde lengte te geven en de andere zijde lengte 1.

De oplossing op het kleitablet luidt als volgt: "Je schrijft 1 op, het uitsteeksel. Je breekt de helft van 1 af. Je combineert 0,5 en 0,5. Je telt 0,25 op bij 0,75. 1 is het kwadraat van 1. Je haalt de 0,5 die je gecombineerd had weg van de 1 zodat de vierkantszijde 0,5 is."

OPGAVE Los het probleem op met de meetkundige aanpak die Al-Khwarizmi ook gebruikte en laat zien dat deze oplossing ook weer precies overeenkomt met het Babylonische recept.

OPLOSSING Dit is weer precies het probleem van Al-Khwarizmi, maar dan met een vierkant van bij en een rechthoek van bij 1. We krijgen dan een "groot" en oppervlakte vierkant met zijde , dus zijde 1, dus .

OPGAVE a) Welke vergelijking hoort hierbij? b) Beschrijf - nog zonder naar het recept voor de oplossing te kijken - de overeenkomsten en verschillen met het vorige probleem.

OPLOSSING a) b) Het gaat weer over een vierkant waarvan de zijde onbekend is. We moeten er nu echter de zijde van afhalen in plaats van erbij doen. We krijgen dus wel weer met eenzelfde dimensieprobleem te maken, dat we weer kunnen oplossen door een rechthoek van bij 1 te gebruiken.

Het recept bij dit probleem luidt als volgt: "Je schrijft 1 op, het uitsteeksel. Je breekt de helft van 1 af. Je combineert 0,5 en 0,5. Je telt 0,25 op bij 870.

870,25 is het kwadraat van 29,5. Je telt de 0,5 die je gecombineerd hebt op bij 29,5 zodat de vierkantszijde gelijk is aan 30."

OPGAVE Probeer het probleem meetkundig op te lossen.

Vergelijk je oplossing met de stappen in het Babylonische recept.

OPLOSSING Hier hoort het volgende plaatje bij:

We bekijken nu een Babylonisch probleem dat hier wat op lijkt, maar toch echt anders is. Het gaat hier weer over een onbekend vierkant waar we de zijde van moeten bepalen: 1

"Ik heb mijn vierkantszijde van het binnenste van de oppervlakte afgehaald zodat het 870 werd."

Vector6.indd 27

9/09/19 11:31

28

Dit is een vierkant van bij waar een rechthoek van 1 bij is afgehaald. We weten dat de oppervlakte van het gekleurde deel 870 is. Het recept heeft het ook hier over het halveren van de 1, dus die rechthoek verdelen we in twee gelijke delen:

0,5 0,5

Nu is de vraag wat er met die delen gebeuren moet om er een nieuw (in dit geval: kleiner) vierkant te maken. We kunnen de linkerhelft van de gearceerde rechthoek horizontaal leggen, dan houden we linksonder in ieder geval een vierkant over:

BEWIJS VAN DE ABC-FORMULE Al-Khwarizmi's meetkundige methode werkt alleen bij de vergelijkingen die de juiste vorm hebben.

Bovendien moeten bij hem alle oplossingen en ook alle coëfficiënten positieve getallen zijn. We hebben echter gezien dat zijn methode overeenkomt met het kwadraat afsplitsen, en dat werkt wél voor alle vormen van kwadratische vergelijkingen. Als de en aan de andere kant van het -teken staan, zoals bijvoorbeeld , waar Al-Khwarizmi een ander recept bij voor nodig had, kunnen wij die met onze moderne notatie en negatieve getallen wel omschrijven naar de . handige vorm: OPGAVE Los die vergelijking op met kwadraat afsplitsen en laat zien dat dat geen probleem is.

OPLOSSING 〖, dus of

, dus

.

OPGAVE Los ook de laatste Babylonische vergelijking, , op met kwadraat afsplitsen en vergelijk je stappen weer met het meetkundige recept.

0,5

OPLOSSING

0,5

Alleen: je ziet dat de twee rechthoeken die verwijderd zijn elkaar overlappen in de hoek rechtsboven. De oppervlakte van het vierkant linksonder is nu dus , we hebben dat vierkantje er tenslotte één keer minder afgetrokken dan in het originele probleem. De zijde van het vierkant . Dus ook nu vinden we dat is gelijk aan , dus .

Vector6.indd 28

,〖 dus , dus of . De Babyloniërs zullen alleen de positieve oplossing vinden, en omdat de vraag over een vierkantszijde gaat is dat ook de enige kloppende hier.

De stappen zijn precies die van het meetkundige recept. Merk op dat het optellen van die hier vanzelf volgt uit de algebra: die komt nu voort uit het feit dat bij haakjes uitwerken aan de 〖 ontstaat. Bij de linkerkant een meetkundige oplossing kwam dat doordat we een vierkantje een keer te weinig hadden afgetrokken, zodat dat er weer bij moest.

9/09/19 11:31

29

Op precies deze manier kun je het principe van kwadraat afsplitsen gebruiken om de abc-formule te bewijzen! Dat is wel wat gepruts met letters, maar het kan. Een leuke uitdaging!

OPGAVE op met Los de vergelijking behulp van kwadraat afsplitsen. Schrijf daartoe , eerst de vergelijking in de vorm deel de hele vergelijking door en ga verder met kwadraat afsplitsen tot je de abc-formule hebt.

OPLOSSING

Kwadraat afsplitsen geeft nu (waarbij we weer de helft van de coëfficiënt van de lineaire term nemen): 〖.

Voor het gemak werken we rechts de haakjes uit en maken we de breuken gelijknamig:

zoekt nieuwe redacteurs!

.

In de teller herken je de discriminant al! Het is dus handig om de termen even om te wisselen en we concluderen: 〖.

Nu lossen we de vergelijking "gewoon" op door te worteltrekken: .

Nu trekken we aan beide kanten □ we de oplossing:

af en dan vinden

.

Nu is een klein beetje herschrijven genoeg: .

Al bijna 60 jaar is Pythagoras het tijdschrift dat jongeren laat zien hoe mooi en divers wiskunde kan zijn.

Wil je leerlingen graag laten zien dat er méér is dan de wiskunde die ze kennen van school? Vind je het leuk om na te denken over hoe je wiskunde uitdagend en begrijpelijk kan presenteren? Kun je enthousiast schrijven over wiskundige stellingen, afleidingen en toepassingen? Ontwikkel je graag wiskundige puzzels, breinbrekers en vraagstukken?

Minstens één keer ja geantwoord?

Help ons mee de wiskunde te promoten en kom in de redactie van Pythagoras!

Neem contact op met Roosmarij Vanhommerig (hoofdredacteur@pyth.eu).

Vector6.indd 29

9/09/19 11:31

OEFENING

JUNIOR WISKUNDE OLYMPIADE, EERSTE RONDE 2019, VRAAG 14 Als tandwiel 1 in wijzerzin draait, hoeveel tandwielen draaien er dan in tegenwijzerzin?

JUNIOR WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE 2018, VRAAG 7 De omtrek van een driehoek bedraagt 48 cm.

Louise verdeelt elke zijde in vier gelijke delen.

De drie verdeelpunten van elke zijde verbindt ze in kleur (zoals in de figuur). Hoe groot is de totale lengte van alle gekleurde lijnstukken?

A

0

B

C

6

7

D

8

E

15

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OEFENING

A

24 cm

D

68 cm

B

36 cm

E

72 cm

C

48 cm

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

30

VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE, TWEEDE RONDE 2019, VRAAG 11 Kleine zus speelt in een ballenbad met 110 rode, 120 gele en 140 blauwe ballen. Zonder te kijken neemt ze een aantal ballen uit het bad. Hoeveel ballen moet ze minstens nemen om zeker te zijn dat er 113 van dezelfde kleur bij zijn?

A

Vector6.indd 30

322

B

326

C

335

D

337

E

339

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OEFENING

9/09/19 11:31

31

DE RINGEN VAN PYTHAGORAS PROBLEEMSTELLING I VA N D E W I N N E

- W W W. M AT H E L O . N E T

Beschouw een rechthoek OABC met als diagonalen OB en AC.

OPLOSSING Oppervlakte van de (gele) cirkel met straal OA

Teken drie cirkels met als middelpunt O en gaande door de punten A, B en C.

Oppervlakte van de (blauwe) cirkel met straal OB

Bepaal de oppervlakte van drie cirkels en de buitenste ring en onderzoek het verband tussen deze oppervlakten. Bewijs de gevonden eigenschap door gebruik te maken van de stelling van Pythagoras.

Oppervlakte van de (oranje) cirkel met straal OC Oppervlakte van de buitenste ring

is gelijk aan

(1)

BEWIJS Rekening houdende met de stelling van Pythagoras waarbij in dit geval b de schuine zijde is,

bekomt met

(2)

Vervang (2) in (1) Oppervlakte van ring is gelijk aan Dit is de oppervlakte van de kleine cirkel.

Uitgewerkt GeoGebra bestand www.geogebra.org/classic/raumrupr

Vector6.indd 31

9/09/19 11:31

32 UITWISKELING

EEN IMAGINAIRE DECATLON E L S VA N L O M M E L

- R E DAC T I E U I T W I S K E L I N G

NAAR AANLEIDING VAN DE OLYMPISCHE ZOMERSPELEN VAN 2012 IN LONDEN, MAAKTE LIEVEN SCHEIRE (O.A. GEKEND VAN DE NEVENEFFECTEN) EEN GRAPPIG FILMPJE, TE VINDEN OP YOUTUBE, WAARIN HIJ UITLEGT HOE HIJ DE MEDAILLE VOOR DE TIENKAMP IN DE WACHT ZOU KUNNEN SLEPEN. Je kunt dit filmpje bij verschillende lesonderwerpen gebruiken zoals modelleren met lineaire en exponentiële functies, machten met rationale coëfficiënten of complexe getallen. Om alles helemaal te begrijpen moeten de leerlingen iets meer dan de basisleerstof over complexe getallen kennen, maar dat belet niet om het filmpje in de klas te gebruiken. Je kunt die uitbreiding heel beknopt illustreren en verder negeren.

HET PUNTENSYSTEEM BIJ DE TIENKAMP Bij de tienkamp of decatlon moeten de atleten in twee dagen tijd tien atletieknummers afleggen: 100 m hardlopen, verspringen, kogelstoten, hoogspringen, 400 m hardlopen, 110 m horden, discuswerpen, polsstokhoogspringen, speerwerpen en 1500 m hardlopen. Bij elke discipline kunnen er punten verdiend worden en diegene die na twee dagen de meeste punten heeft verzameld, wint de tienkamp.

De International Association of Athletics Federations (wereldatletiekbond) legt het systeem van de puntentelling vast. En dat is niet zo eenvoudig: een tijd op de 100 m vergelijken met een hoogte gesprongen bij het polsstokhoogspringen is als appelen met peren vergelijken. De tienkamp staat sinds de zomerspelen van 1912 op het programma en sindsdien zijn al verschillende puntentellingen gebruikt. Deze systemen

Vector6.indd 32

kunnen mooi gebruikt worden om het modelleren met lineaire en exponentiële functies te illustreren.

Vóór 1912 gebruikte men een plaatssysteem: bij elk onderdeel werd de rangorde als puntenaantal genomen. Deze punten werden opgeteld en de atleet met het laagste puntentotaal was de winnaar. Er werd dus alleen naar de volgorde van de uitslag per onderdeel gekeken. Of iemand met een honderdste van een seconde won of met een straatlengte voorsprong, speelde geen rol. Al snel had men behoefte aan een systeem waarbij de verschillen in de prestaties per onderdeel wél meegewogen worden. De eerste officiële tienkamptelling van 1912 was een lineair systeem. Voor een loopnummer werden de punten ( ) berekend waarbij de tijd in met de formule seconden is. en zijn parameters die per discipline verschillen en die door de IAAF zó werden vastgelegd dat de puntenwaarderingen zowel van de topper als van de beginneling een redelijke indruk geven van de prestaties. Bij de 100 m hardlopen zou voorbeeld gelijk kunnen zijn aan de erg zwakke tijd van 18 s (het door de IAAF gekozen nulpunt) en zou zo gekozen kunnen worden dat een goede tijd van 10,4 s een score . van 1000 punten oplevert, dus De formule voor de punten wordt dan .

9/09/19 11:31

33

exponentiële functies en de formules kun je vinden op de website van de IAAF. De wereldatletiekbond geeft zelf aan dat ze met dit model een scoresysteem wil dat vooral aan twee eisen voldoet: • elk onderdeel draagt ongeveer evenveel punten bij aan de totaalscore, • een goede score in één onderdeel mag niet direct bepalend zijn voor de einduitslag.

Figuur 1 Lineair model voor de 100 m hardlopen

De keuze van de parameters wordt in het filmpje heel mooi getoond. Bovendien toont het één van de nadelen van het lineaire systeem. Dit systeem houdt immers geen rekening met het feit dat het bijvoorbeeld veel moeilijker is om sneller te lopen dan een toptijd, dan sneller te lopen dan een heel zwakke tijd. Meer concreet: je krijgt evenveel punten extra, nl. (afgerond naar beneden, volgens de regels van de IAAF) 65 punten, als je bij de 100 m een halve seconde sneller loopt dan de toptijd van 10,4 s, als wanneer je een halve seconde sneller loopt dan de heel zwakke tijd van 18 s. En dat is niet correct. Daarom werden er in latere puntentellingen naast lineaire ook andere verbanden gebruikt waarop we hier niet verder ingaan. Deze verbanden kennen wat men noemt een progressief verloop: een verbetering van een resultaat op een onderdeel levert beduidend meer extra punten naarmate de prestatie beter is. Gaandeweg zijn deze systemen geëvolueerd naar het huidig puntensysteem dat in 1984 ingevoerd werd. Het gebruikt eenvoudige

Vector6.indd 33

De gebruikte modellen zijn van de vorm waarbij de betekenis van de variabelen en de waarden van de parameters verschillen naargelang de disciplines (zie figuur 2). Je kunt de leerlingen vragen naar de betekenis van de parameters , en .

De parameter is telkens de minimumwaarde wanneer je punten krijgt. De parameter is altijd groter dan 1 om een progressief systeem te krijgen waarbij de scorefunctie steiler is in de buurt van topscores dan bij zwakke scores (zie figuur 3 verderop). Een prestatieverbetering wordt zo méér beloond naarmate de prestatie beter is. Er wordt een onderscheid gemaakt tussen loopnummers, springonderdelen en werpnummers. De resultaten van de berekeningen worden steeds naar beneden afgerond op een geheel getal.

Je kunt (bijvoorbeeld als toepassing bij machten met rationale exponenten) de leerlingen aan de hand van deze tabel de punten laten berekenen van de Amerikaan Ashton Eaton. Hij behaalde op de Olympische Spelen van Londen in 2012 een wereldrecord. Dit zijn de resultaten die tot dat record hebben geleid: 100 m hardlopen 10,21 s verspringen 8,23 m kogelstoten 14,2 m hoogspringen 2,05 m 400 m hardlopen 46,7 s 110 m hordenlopen 12,7 s discuswerpen 42,81 m polsstokhoogspringen 5,3 m speerwerpen 58,87 m 1500 m hardlopen 4 min 14,5 s Hij behaalde hiermee een totaal van 9039 punten.

9/09/19 11:31

34

zich de vraag hoe snel Usain Bolt zijn 100 m had moeten lopen om bijvoorbeeld, zoals Jürgen Schult, 1383 punten te halen. De berekening is een mooie oefening op -demachtswortels:

waaruit volgt dat 8,91 s. Analoog kun je narekenen dat Sergei Bubka maar liefst 30 cm hoger moet springen dan zijn wereldrecord om evenveel waardering te krijgen als Jürgen Schult!

Figuur 2 Formules en waarden voor het scoresysteem bij meerkampen (mannen)

Ik heb mijn leerlingen ook laten berekenen wat het aantal punten zou zijn van alle wereldrecordhouders op de aparte disciplines samen. Zij gebruikten onderstaande data. De getallen tussen haakjes zijn telkens de punten.

100 m, Usain Bolt verspringen, Mike Powell kogelstoten, Randey Barnes hoogspringen, Javier Sotomayor 400 m, Michael Johnson 110 m horden, Aries Merritt discuswerpen, Jürgen Schult polsstokspringen, Sergej Boebka speerwerpen, Jan Zelezny 1500 m, Hicham El Guerrouj

9,58 s (1202) 8.94 m (1312) 23.12 m (1295) 2,45 m (1244) 43,18 s (1156) 12.80 s (1135) 74.08 m (1383) 6.14m (1277) 98.48 m (1331) 3min26s(1218)

Het valt ook op dat de exponent in de formules ongeveer 1,8 is voor de loopnummers, ongeveer 1,4 voor de springnummers en 1,1 voor de werpnummers.

Het is, zoals hiervoor al gezegd, interessant om aan leerlingen te vragen hoe het komt dat overal groter dan 1 is. Ook interessant is de vraag waarom de waarde voor verschillend is tussen de verschillende soorten disciplines. Een mogelijke verklaring is dat de modellen van de IAAF sterk progressief zijn voor de loopnummers, matig progressief voor de springnummers en weinig progressief voor de werpnummers. Men lijkt ervan uit te gaan dat in de loopnummers veel moeilijker nog progressie kan worden gemaakt bij de toptijden dan bij de werpnummers. Daarom is de waarde van de parameter groter bij loopnummers. Het is hier moeilijker om het wereldrecord fel te overtreffen.

Bijgevolg is de waarderingsfunctie voor deze disciplines steiler rond het wereldrecord.

De totaalscore van deze wereldrecordhouders is 12553 punten, 3514 punten meer dan het wereldrecord van Ashton Eaton.

Het valt in deze tabel op dat je met de werpnummers relatief gezien meer punten krijgt. Een leerling stelde

Vector6.indd 34

9/09/19 11:31

35

In figuur 3 zie je voor de 100 m hardlopen het verschil tussen het lineair model (figuur 1) en het progressief exponentieel model dat vandaag wordt gebruikt.

DE IMAGINAIRE SCORE VAN LIEVEN SCHEIRE Lieven Scheire daagt in het tweede deel van zijn filmpje het tienkamppuntensysteem uit. Hij kraakt het puntensysteem door in de loopnummers zo slecht te presteren dat hij trager loopt dan de minimumtijden uit de tabel van hierboven. De factoren van de vorm worden dan negatief zodat we rationale machten van negatieve getallen krijgen. Zijn scores worden hierdoor complexe getallen.

En hier is, enkel ter illustratie, een beknopte extra uitleg aangewezen bovenop de basiskennis van complexe getallen. Men definieert machten van complexe getallen als volgt. Als en complexe getallen zijn met dan geldt dat waarbij men in het filmpje kiest voor waarden van 〗 tussen en . Verder moeten leerlingen weten dat .〗 〖 levert dit:

Toegepast op bijvoorbeeld 〖 〗〗

Figuur 3 Progressief exponentieel model voor de 100 m

Wat als we gelijk zouden nemen aan 2 voor alle disciplines? Dan zouden we een extreem progressief systeem krijgen dat in het voordeel is van atleten die uitzonderlijk presteren in bijvoorbeeld slechts één discipline.

En dit laatste is, afgerond op twee decimalen, gelijk . Met een (grafisch) rekentoestel kun aan je deze complexe machten onmiddellijk uitrekenen en hoef je dus niet telkens deze berekening te doen.

We kunnen nu de punten van Lieven Scheire analyseren. Hij behaalt in het filmpje volgende scores:

Door allerlei vragen te stellen met betrekking tot het model en de keuze van de parameters zien de leerlingen in dat er altijd een subjectieve factor is bij de keuze van de parameters. Een andere keuze voor de parameters leidt ongetwijfeld tot een heel andere lijst met wereldrecordhouders.

Een leerling stelde de vraag of er methoden zijn om de resultaten van decatlon-atleten uit verschillende perioden (sinds 1912) met elkaar te vergelijken. Dit lijkt me een mooie vraag voor een onderzoeksopdracht!

Vector6.indd 35

Figuur 4 Scoretabel Lieven Scheire

9/09/19 11:31

36

Je ziet dat hij niet voor alle sporten minder dan de prestatie van een ‘elfjarig kind’ (de nulwaarde ) heeft gescoord. Voor polsstokspringen (een hilarische kniehoge sprong) voldeed hij nog net aan deze minimumnorm.

Voor speerwerpen (minder dan een stap ver) was het ook nog binnen de normen. Maar uitgerekend voor de 100 meter, de 400 meter, de 1500 meter en het hordenlopen, zit hij echt een stuk onder het toelaatbare. Waarom juist voor deze sporten? Zijn de minimumnormen voor de loopsporten zo hoog dat ze zelfs door een sportieveling als Lieven Scheire niet kunnen worden gehaald? Nee hoor. We merkten hierboven al op dat de waarde van voor de loopnummers bijna 2 is. Je kunt narekenen dat het argument van deze machten dan bijna 2 is. Wanneer je de scores voorstelt als vectoren in het complexe vlak, zoals in het filmpje, dan zullen de eindpunten van deze vectoren dicht bij de positieve -as liggen (in het vierde kwadrant). De sommen van al de scorevectoren zullen elkaar dan optimaal versterken. Mocht Lieven bovendien het onderdeel kogelstoten heel slecht doen, dan zou de scorevector die daarbij hoort in de richting van de negatieve -as wijzen en de andere vectoren dus ‘tegenwerken’.

Het resultaat is een mooie totaalscore die op figuur 5 in het complexe vlak wordt voorgesteld. De scorevector van Ashton Eaton (9039 punten) is ook toegevoegd. Met wat goede wil moet je toch erkennen dat Lieven Scheire het wereldrecord verpulverd heeft? Niet alleen is het reëel deel van zijn totaalscore groter, maar ook de norm van zijn scorevector is groter.

Uiteraard moet je hierbij opmerken dat complexe getallen niet van klein naar groot kunnen worden gerangschikt: er bestaat geen ordening op die verenigbaar is met de bewerkingen. Lieven Scheire besluit in zijn filmpje dan maar dat hij gewonnen is ‘in een andere dimensie’, het tweedimensionale vlak van de complexe getallen.

BRONNEN Lieven Scheire, Imaginary decathlon. Geraadpleegd op 2 juli 2019 van http://www.youtube.com/watch?v=LHuNjHojurU John Barrow, Decathlon: the art of scoring points. Geraadpleegd op 9 juli 2019 van http://sport.maths.org/content/decathlonart-scoring-points-0 International Association of Athletics Federations. Opgehaald op 2 juli 2019 van http://www.iaaf.org/home Opgave finale-opdracht Wiskunde A-lympiade. Geraadpleegd op 9 juli 2019 van http://www.fi.uu.nl/alympiade/nl/opgaven/ opgaven2012-2013/finaleopdracht_Alymp2012_2013%20 NL%20def.pdf Dit artikel verscheen in Uitwiskeling 30/1. Benieuwd naar meer?

Op www.uitwiskeling.be vind je alle info.

Figuur 5 Het imaginaire record van Lieven Scheire

Vector6.indd 36

9/09/19 11:31

JUNIOR WISKUNDE OLYMPIADE, EERSTE RONDE 2017, VRAAG 12 An, Bea en Carl hebben samen 39 knikkers. An geeft Bea 6 knikkers. Bea geeft Carl 5 knikkers. Carl geeft An 3 knikkers. Daarna hebben ze alle drie evenveel knikkers. Hoeveel knikkers had Bea eerst?

A

11

B

12

C

13

D

15

E

16

OEFENING KANGOEROE, EDITIE WALLAROE 2019, VRAAG 22 De pagina’s van het boek van Juliette zijn allemaal genummerd. De eerste pagina heeft nummer 1.

De paginanummers bevatten 8 keer het cijfer 2. Welk paginanummer heeft de laatste pagina van dit boek?

A

Vector6.indd 37

2

B

12

C

20

D

24

E

32

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

OEFENING

© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

37

9/09/19 11:31

38 WISKUNDE & ONDERWIJS

VEELKELS ILSE DE BOECK

Enige tijd geleden kwam ik op de Nederlandse site van het wiskundetijdschrift Pythagoras een interessant artikel tegen over een ‘vierkel’, een soort kruising tussen een cirkel en een vierkant (Odegard, 2017). Op de site werden verschillende manieren gegeven om de oppervlakte van zo’n ‘vierkel’ te berekenen. Dat riep bij mij de vraag op of het mogelijk was om dit te veralgemenen: is het mogelijk om een meer algemene ‘veelkel’ te definiëren en hiervoor een formule voor de oppervlakte op te stellen? Hierna volgt het verslag van de zoektocht.

NAAR EEN DEFINITIE VOOR EEN ‘VEELKEL’ Eerst proberen we om deze definitie te veralgemenen.

We starten met een regelmatige veelhoek (een -hoek) met zijde 1 en tekenen cirkelbogen met telkens als middelpunt een hoekpunt en als straal 1 (meer algemeen: met straal gelijk aan de zijde van de -hoek).

De snijpunten van twee bogen die horen bij twee opeenvolgende hoekpunten en binnen of op de regelmatige veelhoek vallen, bepalen opnieuw een 6. We noemen regelmatige veelhoek, tenzij voor de figuur begrensd door de delen van de cirkelbogen tussen de opeenvolgende hoekpunten van deze binnenste regelmatige veelhoek een veelkel, en, meer specifiek, een -kel wanneer we gestart zijn met een regelmatige -hoek.

VOORBEELDEN 3 vinden we een gekende figuur, de Voor Reuleauxdriehoek, een figuur met constante breedte (Weisstein, Reuleaux Triangle, 2018).

Figuur 1: de vierkel

De vierkel ontstaat door vanuit de hoekpunten van een vierkant cirkelbogen te tekenen met de zijde van het vierkant als straal. De delen van deze cirkelbogen tussen de verschillende snijpunten bepalen een vlakke figuur, de vierkel. Die lijkt op een ‘afgerond vierkant’.

De oppervlakte van een vierkel in een vierkant met zijde 1 is gelijk aan .

Vector6.indd 38

Figuur 2: de Reuleauxdriehoek

9/09/19 11:31

39

Voor

4 vinden we de vierkel (zie Odegard, 2017).

5 vinden we de vijfkel. Merk op dat deze niet Voor gelijk is aan de Reuleauxveelhoek met vijf hoekpunten, een veelhoek met constante breedte (zie Weisstein, Reuleaux Polygon, 2018).

Merk op dat de oppervlakte van de -kel voor afneemt als groter wordt.

6

6 wordt de veelkel gereduceerd tot een punt Voor omdat de straal van de omgeschreven cirkel van de veelhoek gelijk is aan de zijde waardoor de cirkelbogen elkaar snijden in een punt.

Figuur 3: de vijfkel Figuur 5: de zeskel wordt gereduceerd tot een punt

Bij elk van deze figuren is er een ‘overschot’: de oppervlakte van de figuur is groter dan die van de regelmatige -hoek gevormd door de snijpunten van de cirkelbogen. De cirkelbogen vallen buiten de -hoek en voegen dus oppervlakte toe aan de -hoek.

We tonen dit op een uitvergroot deel van de figuur bij de vijfkel.

Vanaf 7 worden er opnieuw veelkels gevormd maar nu met een ‘tekort’. De cirkelbogen vallen binnen de -hoek en nemen dus oppervlakte weg van de -hoek.

Figuur 6: de zevenkel Figuur 4: de vijfkel met binnenin de gearceerde regelmatige vijfhoek

Vector6.indd 39

9/09/19 11:31

40

Om dit te verduidelijken, hebben we in volgende figuur het middelste deel opnieuw uitvergroot.

Zo blijken er bijvoorbeeld gelijkzijdige driehoeken tevoorschijn te komen, die bruikbaar zijn bij het vinden van de formule.

6 OPPERVLAKTE VAN VEELKELS MET We redeneren op de figuur van de vijfkel, maar de uitleg 6. is ook geldig voor de andere veelkels met Bekijk driehoek ABF. Vanwege de constructie is dat een gelijkzijdige driehoek met zijde 1. Analoog is ook driehoek AEC gelijkzijdig. Dat betekent dat de hoeken in deze driehoeken 60° zijn. .

Dus

Anderzijds weten we dat de hoeken van een regelmatige -hoek gelijk zijn aan

.

Figuur 7: zevenkel die binnen de gearceerde zevenhoek ligt

.

Dus Wanneer groter wordt, zoals bij de achtkel, neemt de oppervlakte van de -kel opnieuw toe.

Voor

6 is

en is er dus overlap tussen de hoeken De hoek

en

.

is dan gelijk aan .

Figuur 8: achtkel

We gaan op zoek naar een algemene formule voor de oppervlakte van zo’n veelkel. We maken een onderscheid naargelang kleiner of groter is dan 6.

Bij het zoeken van deze oppervlakteformule blijkt GeoGebra een bruikbaar hulpmiddel, niet enkel omdat je de figuren naar hartenlust kan verkleinen of vergroten, maar ook om mogelijke verbanden te zien.

Vector6.indd 40

Figuur 9: berekenen van de oppervlakte van de -kel voor

6

9/09/19 11:31

41

We berekenen nu de zijde |EF| van de binnenste -hoek.

De oppervlakte van de driehoek AEF

Daarvoor gebruiken we de cosinusregel in driehoek AEF

met basis

(met |AE|

|AF|

1 en

.

²

is gelijk aan .

We vinden dan de oppervlakte van de -kel door bij de oppervlakte van de -hoek keer het verschil tussen ) bij te tellen. deze laatste twee oppervlaktes ( Dit geeft:

We vinden: |EF|²

en hoogte

2

Hiermee kunnen we de oppervlakte van de binnenste regelmatige -hoek berekenen. Merk immers op dat de binnenste regelmatige -hoek bestaat uit gelijkbenige driehoeken met basis en hoogte .

De oppervlakte van de binnenste regelmatige -hoek wordt dan:

De oppervlakte van de cirkelsegmenten die erbij komen, kunnen we bepalen als het verschil tussen de oppervlakte van een cirkelsector en een driehoek.

Figuur 10: berekenen van het ‘overschot’ voor

6

De oppervlakte van de cirkelsector bepaald door de van de cirkel met middelpunt en straal 1 boog is gelijk aan

Vector6.indd 41

.

Voor de veelkels met 6 kunnen we vrij analoog te werk gaan. Ook hier komen gelijkzijdige driehoeken tevoorschijn.

6 OPPERVLAKTE VAN VEELKELS MET We bekijken dit op de figuur van de zevenkel, maar de 6. uitleg is ook geldig voor de andere veelkels met

Figuur 11: berekenen van de oppervlakte van een -kel met

6

Bekijk driehoek ABE. Vanwege de constructie is dat een gelijkzijdige driehoek met zijde 1. Analoog is ook driehoek AFC gelijkzijdig. Dat betekent dat de hoeken in deze driehoeken 60° zijn.

9/09/19 11:31

42

Dus

.

De oppervlakte van de driehoek AEF is gelijk aan

Anderzijds weten we dat de hoeken van een regelmatige -hoek gelijk zijn aan . Dus

Voor

We vinden dan de oppervlakte van de -kel door van keer het verschil de oppervlakte van de -hoek ) af te tussen deze laatste twee oppervlaktes ( trekken.

.

6 is

.

Dit geeft:

Er is dus geen overlap tussen de hoeken en . is dan gelijk aan

De hoek

. .

We berekenen nu de zijde |EF| van de binnenste -hoek.

Daarvoor gebruiken we de cosinusregel in driehoek AEF (met |AE| |AF| 1 en

Maar omdat de cosinus van een hoek en zijn tegengestelde hoek gelijk zijn aan elkaar en de tangens van een hoek gelijk is aan het tegengestelde van de tangens van de supplementaire hoek, kunnen we deze laatste uitdrukking herschrijven als:

We vinden: |EF|²

²

2

.

Hiermee kunnen we de oppervlakte van de binnenste regelmatige -hoek berekenen.

De oppervlakte van de binnenste regelmatige -hoek wordt dan, analoog aan hierboven:

Ook de oppervlakte van de cirkelsegmenten die eraf gaan (die we hierboven de ‘tekorten’ hebben genoemd) 6: kunnen we analoog berekenen als in het geval van de cirkel De cirkelsector bepaald door de boog met middelpunt en straal 1 is gelijk aan .

Vector6.indd 42

De formule voor de oppervlakte blijkt bijgevolg in beide gevallen dezelfde te zijn.

Omdat er al formules voor de oppervlakte van de vierkel en de Reuleauxdriehoek gekend zijn, kunnen we deze gebruiken om de algemene oppervlakteformule te controleren.

CONTROLE Wanneer we vinden we dat:

3 nemen in de formule hierboven,

, wat overeenkomt met de gekende formule voor de oppervlakte van de Reuleauxdriehoek (Weisstein, Reuleaux Triangle, 2018).

9/09/19 11:31

43

Voor

4 vinden we:

,

wat ook overeenkomt met de formule voor de oppervlakte van de vierkel (Odegard, 2017).

6 vinden we inderdaad 0.

En voor CONCLUSIE Hiermee eindigt (eindigde?) voorlopig mijn zoektocht.

Een bedenking hierbij is dat ik niet weet of dergelijke figuren al bestudeerd werden en of ze eventueel gekend zijn onder een andere naam. Indien u als lezer daar iets meer over weet, zou ik het appreciëren als u me daarvan op de hoogte brengt.

leerlingen en studenten vaak heel wat creativiteit die we soms wat te weinig benutten.

Ten slotte roept elke oplossing nieuwe vragen op. Er zijn nog andere snijpunten van de cirkelbogen om te bekijken. We kunnen ook de snijpunten bestuderen van cirkelbogen die horen bij hoekpunten die net niet opeenvolgend zijn, maar waar juist één ander hoekpunt tussen ligt. Ik heb deze figuren maar al ‘sterkels’ genoemd, omdat ze lijken op een ster.

Wie kan hier een oppervlakteformule voor vinden?

Misschien een leuk probleem om eens aan te pakken met de leerlingen?

Voor mij was het aangenaam om vast te stellen dat binnen meetkunde nog steeds nieuwe zaken ontdekt kunnen worden, en dat met technieken die eigenlijk niet geavanceerd zijn. Meetkunde is geen afgerond geheel, het is nog steeds een speeltuin met ruimte voor creativiteit. Misschien is dat een mooie boodschap om aan leerlingen mee te geven?

Een tweede belangrijk aspect is het gebruik van moderne hulpmiddelen zoals GeoGebra bij het zoekproces, en dan niet enkel bij het tekenen, maar ook bij het redeneren. Ik heb het dan niet over het feit dat een goede tekening maken in GeoGebra op zich al een denkoefening is, maar ook over het vinden van een oplossing. Als de figuur onduidelijk wordt, kan je gemakkelijk slepen of uitzoomen. Als je denkt iets te ‘zien’ wat kan helpen bij een bewijs, kan je ook direct controleren of het zo is. En wanneer je overtuigd bent van iets, is het ook gemakkelijker om het te verklaren.

Een pleidooi dus om binnen het onderwijs ook hier voldoende aandacht aan te besteden. Waarom de leerlingen niet eens wat meer laten experimenteren met dit programma en zelf vermoedens laten formuleren en onderzoeken?

REFERENTIES Gheysens, L. T. (2016). Een driehoeksprobleem Wiskunde & Onderwijs, nr. 167, p. 229-230.

Odegard, D. (2017, 11 01). Vierkel. Opgehaald van www.pyth.eu: https://www.pyth.eu/vierkel Weisstein, E. W. (2018, 11 29). Reuleaux Polygon. Opgehaald van MathWorld--A Wolfram Web Resource: http://mathworld. wolfram.com/ReuleauxPolygon.html Weisstein, E. W. (2018, 11 29). Reuleaux Triangle. Opgehaald van MathWorld--A Wolfram Web Resource: http://mathworld. wolfram.com/ReuleauxTriangle.html Wiskunde & Onderwijs is het tijdschrift uitgegeven door VVWL. Voor meer info: www.vvwl.be

Toen ik een paar jaar geleden het puntspiegelprobleem (Gheysens, 2016) voorlegde aan mijn studenten, gingen twee van hen direct met GeoGebra aan de slag. Ze deden een vaststelling die aanleiding gaf tot een kort en elegant bewijs. Er zit bij

Vector6.indd 43

9/09/19 11:31

Wiskunde met die Keure Mee met de hervorming - Al jaar en dag dĂŠ referentie in wiskunde - Een degelijke, kwalitatieve methode - Expertise van de leerkracht centraal

www.vbtl.diekeure.be

Nando

Wiskunde met pit

- Vernieuwend en motiverend wiskundeonderwijs - Sterke focus op differentiatie - Leerkracht als coach

850000945

www.nando.diekeure.be

Vector6.indd 44 VECTOR6_adv_Nando_VBTL_NIEUW.indd 1

9/09/19 11:31 11:06