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APRENDER DEL ERROR
¿Cómo usar este documento?
PRESENTACIÓN
La Dirección General de Evaluación e Investigación Educativa –Digeduca– del Ministerio de Educación, encargada de velar y ejecutar los procesos de evaluación e investigación para asegurar la calidad educativa, pone en sus manos esta publicación que espera sea de utilidad a los docentes del área curricular de Matemática, del Ciclo de Educación Básica del Nivel de Educación Media, como un instrumento para reflexionar en torno a los resultados de las evaluaciones aplicadas en el año 2013.
OBJETIVOS OBJETIVOS • Analizar desde los procesos cognitivos, los errores más comunes en la resolución de los ítems de las pruebas de Matemática, aplicadas a los estudiantes de tercer grado del Ciclo de Educación Básica del Nivel de Educación Media. • Sugerir a los docentes actividades de enseñanzaaprendizaje que coadyuven al desarrollo de las competencias matemáticas en los estudiantes.
Para conseguir el objetivo de aprender del error, el presente documento se ha estructurado en tres apartados que se espera sean útiles para mejorar el proceso de aprendizaje de los estudiantes del Ciclo de Educación Básica del Nivel de Educación Media. En primer lugar se ofrece una cápsula informativa acerca de la teoría que sustenta la enseñanza de la factorización de polinomios. A continuación, se presenta un ítem clonado de la prueba de Matemática que resuelven los estudiantes de tercero básico en las evaluaciones nacionales que aplica la Digeduca, con la finalidad de que el docente ubique el estudio de la factorización, dentro de lo que establece el Currículum Nacional Base –CNB–, la competencia matemática que apoya la destreza evaluada, el proceso cognitivo que el estudiante utiliza al aplicar el contenido y el porcentaje de ítems que fueron resueltos correctamente a nivel nacional. En el apartado Análisis del error, se explican las posibles causas que llevaron a los estudiantes a seleccionar una opción incorrecta. Aquí radica la razón del título de esta publicación, se espera que los docentes utilicen este análisis para identificar las posibles deficiencias y promover estrategias para fortalecer los aprendizajes. Como complemento del análisis del error, se brindan algunas sugerencias para mejorar los aprendizajes, que desde luego no quedan agotadas en este bifoliar. Finalmente, se refiere una lista de referencias bibliográficas que pueden ser consultadas para completar la información aquí incluida. La Digeduca espera con esta publicación, hacer un aporte que favorezca la calidad educativa de la enseñanza en nuestro país.
Para facilitar la lectura de este documento, se usan los términos docentes y estudiantes para referirse a hombres y mujeres.
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FACTORIZACIÓN La factorización es un proceso que consiste en escribir una expresión algebraica como el producto de dos o más expresiones. Es posible que un monomio o un polinomio, tenga varias maneras de descomponerse en factores. La factorización es completa cuando los factores están expresados de la forma más simple. Ejemplo: 12a2 + 18a = a (12a + 18) 12a2 + 18a = 2a (6a + 9) 12a2 + 18a = 3a (4a + 6) 12a2 + 18a = 6a (2a + 3) Todas las anteriores son factorizaciones del polinomio 12a2 + 18a. La última es la factorización completa.
Existen algunas reglas que facilitan la factorización de polinomios. Entre ellas: la factorización por factor común, de diferencia de cuadrados, de trinomio cuadrado perfecto, de trinomio de segundo grado de la forma x2 + bx + c, y de trinomio de segundo grado de la forma ax2 + bx + c con a ≠ 0.
¿Cómo factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c? Un trinomio de segundo grado resulta del producto de dos binomios: (x + m)(x + n) = x2 + (m+n)x + mn Si b= m + n y c = mn, entonces (x + m)(x + n) = x2 + bx + c. De manera que el trinomio puede factorizarse como: x2 + bx + c = (x + m)(x + n) El primer factor en cada binomio es x –la raíz cuadrada del primer término del trinomio–. Los otros factores, sumados dan el segundo término del trinomio –b– y multiplicados, el tercero –c–. Ejemplo: x2 + 10x + 21 = (x + __ )(x + __ ) b= m + n 10 = 3 + 7 c = mn 21 = 3 • 7 x2 + 10x + 21 = (x + 3)(x + 7)
Análisis del ítem El siguiente ítem evalúa si los estudiantes pueden factorizar un trinomio de segundo grado. El área de un rectángulo está dada por la siguiente expresión algebraica: x2 + 24x + 108. ¿Cuáles son los binomios que representan el valor de cada uno de los lados?
a. (x + 12)(x + 9)
c. (x - 4)(x + 27)
b. (x - 16)(x - 8)
d. (x + 6)(x + 18)
Porcentaje de respuestas correctas en los ítems que evalúan factorización.
37.63 %
Descripción del ítem Competencia del CNB Destreza evaluada
1 Factorización
Demanda cognitiva Opción correcta
Comprensión d
La demanda cognitiva para responder el ítem implica que el estudiante, luego de comprender lo que se le solicita, identifica los datos relevantes, reconoce el tipo de polinomio que necesita factorizar y ubica la regla pertinente para simplificar la expresión algebraica.
S Análisis del error la en se ña nz a de ar Pr ev io a la ur eg as rio sa nece factorización es : de la comprensión de enteros 1. Factorización ebraicas alg es ion es pr 2. Ex n monomios y co es ion ac 3. Oper polinomios
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El ítem consiste en factorizar un trinomio de segundo grado de la forma x2 + bx + c. El estudiante reconoce que puede factorizar el trinomio como el producto de los binomios (x + m)(x + n). Y al descomponer el término c en factores primos, identifica m y n. 108 2 54 27 9 3 1
2 3 3 3
b = (2•3) + (3•3•2)
c = (2•3)(3•3•2)
b = (6) + (18) = 24
c = (6)(18) = 108
m=6
n = 18
x2 + 24x + 108 = (x + 6)(x + 18)
La opción correcta es d. Los posibles errores cometidos por los estudiantes son: • Si seleccionaron la opción a, descomponen el tercer término e identifican m como el producto de 2•2•3 y n como el producto de 3•3. Al considerar estos términos se obtiene que mn = c porque mn = (12)(9) = 108. Pero se equivocan con la otra parte de la regla de factorización, m+n ≠ b, m+n = 12+9 = 21. De manera que los binomios (x + 12)(x + 9) no representan los factores del trinomio. • Los estudiantes que seleccionaron b reconocen el polinomio como un trinomio de la forma x2 + bx + c pero fallan en la utilización de la regla para factorizar. No identifican los factores del término c y eligen -16 y -8 como m y n. Definen erróneamente que m + n = b cuando m + n = (-16) + (-8) = -24. Y al seleccionar los binomios no consideran que mn ≠ c ya que mn = (-16)(-8) = 128. • Si seleccionaron c, los estudiantes determinan que m = 2•2 = -4, y n = 3•3•3 = 27. Estos términos pueden deducirse de la factorización de 108 que representa el término c. Sin embargo la opción es incorrecta, (x - 4)(x + 27) = x2 + 23x -108 de manera que el producto de los binomios no resulta en el trinomio planteado, m+n ≠ b y mn ≠ c.
En conclusión, los errores evidencian que los estudiantes no descomponen un polinomio de la forma x2 + bx + c en factores. Es posible que identifiquen algunas reglas de factorización pero no las apliquen adecuadamente.
En el CNB la competencia 1 expresa que el estudiante “produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos, aplicando propiedades y relaciones”. Se propone como indicador de logro la aplicación de “la factorización de polinomios”. Entre los contenidos declarativos y procedimentales que permiten desarrollar la competencia prevista están: factorización, identificación del factor común, diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos, trinomio cuadrado, trinomio cuadrado perfecto y algunas combinaciones entre ellos. Currículo Nacional Base. Nivel de Educación Media, Ciclo Básico, Tercer Grado, 2010, p.51.
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Sugerencias de estrategias de aprendizaje El «álgebra geométrica» permite la construcción de ideas algebraicas utilizando situaciones propias del área de geometría y como recurso didáctico, puede facilitar la comprensión de la factorización (Ballen, 2012). 1. El área de un rectángulo es el producto de base y altura, A = b•a. Si un rectángulo tiene un área A = x2 + bx + c, la factorización del trinomio permitirá identificar su base y su altura. Se utiliza un ejemplo como el siguiente para explicar el área de un rectángulo definida de manera algebraica como un trinomio de segundo grado. El docente con apoyo de la gráfica expone que los términos de los factores representan los lados de la figura. Se eligen polinomios de segundo grado de la forma x2 + bx + c que representen el área de un rectángulo. Se grafican en hojas de papel o cartulinas para que a partir del rectángulo, los estudiantes realicen la factorización del trinomio. 2. Una vez que los estudiantes comprenden el área de manera algebraica, el docente puede enseñar la estrategia «de la caja» (Levy, 2006) para la factorización de polinomios. Se dibuja una caja dividida en cuatro cuadrados –utilizar esta herramienta no requiere que el dibujo del rectángulo sea a escala–, y se siguen los pasos que se ilustran en el siguiente ejemplo:
Referencias Ballén, J. (2012). El álgebra geométrica como recurso didáctico para la factorización de polinomios de segundo grado (Tesis de maestría). Recuperado desde http://www.bdigital. unal.edu.co/8063/ Dirección General de Currículo. (2010). Currículo Nacional Base. Nivel de Educación Media, Ciclo Básico, Tercer Grado. Versión preliminar. Guatemala: Ministerio de Educación. Levy, A. (2006). The Box Method for Factoring a Polynomial. Recuperado desde http://seattlecentral.edu/faculty/alevy/ Box_%20Method.pdf
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