Probabilidad by DIGEDUCA MINEDUC

APRENDER DEL ERROR

¿Cómo usar este documento?

PRESENTACIÓN

La Dirección General de Evaluación e Investigación Educativa –Digeduca– del Ministerio de Educación, encargada de velar y ejecutar los procesos de evaluación e investigación para asegurar la calidad educativa, pone en sus manos esta publicación que espera sea de utilidad a los docentes del área curricular de Matemática, del Ciclo de Educación Básica del Nivel de Educación Media, como un instrumento para reflexionar en torno a los resultados de las evaluaciones aplicadas en el año 2013.

OBJETIVOS OBJETIVOS • Analizar desde los procesos cognitivos, los errores más comunes en la resolución de los ítems de las pruebas de Matemática, aplicadas a los estudiantes de tercer grado del Ciclo de Educación Básica del Nivel de Educación Media. • Sugerir a los docentes actividades de enseñanzaaprendizaje que coadyuven al desarrollo de las competencias matemáticas en los estudiantes.

Para conseguir el objetivo de aprender del error, el presente documento se ha estructurado en tres apartados que se espera sean útiles para mejorar el proceso de aprendizaje de los estudiantes del Ciclo de Educación Básica del Nivel de Educación Media. En primer lugar se ofrece una cápsula informativa acerca de la teoría que sustenta la enseñanza de la probabilidad. A continuación, se presenta un ítem clonado de la prueba de Matemática que resuelven los estudiantes de tercero básico en las evaluaciones nacionales que aplica la Digeduca, con la finalidad de que el docente ubique el estudio de las probabilidades, dentro de lo que establece el Currículum Nacional Base –CNB–, la competencia matemática que apoya la destreza evaluada, el proceso cognitivo que el estudiante utiliza al aplicar el contenido y el porcentaje de ítems que fueron resueltos correctamente a nivel nacional. En el apartado Análisis del error, se explican las posibles causas que llevaron a los estudiantes a seleccionar una opción incorrecta. Aquí radica la razón del título de esta publicación, se espera que los docentes utilicen este análisis para identificar las posibles deficiencias y promover estrategias para fortalecer los aprendizajes. Como complemento del análisis del error, se brindan algunas sugerencias para mejorar los aprendizajes, que desde luego no quedan agotadas en este bifoliar. Finalmente, se refiere una lista de referencias bibliográficas que pueden ser consultadas para completar la información aquí incluida. La Digeduca espera con esta publicación, hacer un aporte que favorezca la calidad educativa de la enseñanza en nuestro país.

Para facilitar la lectura de este documento, se usan los términos docentes y estudiantes para referirse a hombres y mujeres.

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PROBABILIDAD La probabilidad indica la posibilidad de que ocurra un suceso, expresándola mediante un número entre 0 y 1. Cuanto más próxima es a 1, el suceso es más probable. En un experimento aleatorio, los resultados dependen del azar. Y a cada uno de los resultados posibles se le denomina caso o suceso individual. El conjunto de todos los casos o sucesos individuales constituye el espacio muestral (Blasco, 2014).

Así, en un experimento que consiste en lanzar dos monedas de 25 centavos al aire, puede determinarse que al caer al suelo, la probabilidad de que quede a la vista una cara es de 0.5. Espacio muestral

A = 1 cara

Cuando en un espacio muestral todos los sucesos son equiprobables, es decir, cuando todos los casos tienen la misma probabilidad de ocurrir, la probabilidad P de un suceso A puede calcularse mediante la regla de Laplace (CIDEAD, 2009): P(A) =

P(A)

4 = 1 2

número de casos favorables al suceso A

número de casos posibles

= 0.5

Análisis del ítem El siguiente ítem evalúa si los estudiantes pueden determinar la probabilidad de un suceso. Se preguntó a una muestra aleatoria de 800 guatemaltecos con qué alimento acompañan su almuerzo. De ellos, 320 contestaron que comen tortilla, 120 comen arroz, 280 comen pan y 80 comen papa. ¿Cuál es la probabilidad de que un guatemalteco elegido al azar coma pan a la hora del almuerzo?

7 20

7 13

13 20

20 7

Porcentaje de respuestas correctas en los ítems que evalúan probabilidad

32.35 %

Descripción del ítem Competencia del CNB Destreza evaluada Demanda cognitiva Opción correcta

4 Cálculo de probabilidades Comprensión a

La demanda cognitiva para responder el ítem implica que el estudiante, luego de comprender lo que ha leído, identifica detalles relevantes de la información, reconoce los sucesos posibles y calcula la probabilidad de un caso.

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Análisis del error lo de ñanza del cálcu Previo a la ense urar eg as rio sa es nece probabilidades, : de n sió la compren aleatorios 1. Experimentos strales ue m s cio pa 2. Es s so ce su de 3. Tipos con sucesos 4. Operaciones

El ítem consiste en identificar la probabilidad del suceso A = elegir a un guatemalteco que coma pan para almorzar. Para calcular esta probabilidad, el estudiante reconoce que los resultados del experimento son aleatorios, es una elección al azar, y considera los datos de la muestra. En el estudio participaron 800 guatemaltecos que constituyen el número de casos posibles y 280 de ellos acompañan su almuerzo con pan (número de casos favorables al suceso). P(A) = 280 = 7 800 20

La opción correcta es a. Los posibles errores cometidos por los estudiantes son: • Si seleccionaron la opción b, calculan la probabilidad de los casos no favorables al suceso. Suman el número de casos de guatemaltecos que comen con tortilla, arroz y papa (320 + 120 + 80 = 520), y a partir de ello, estiman la probabilidad P(A) = 520/80 = 13/20. En lugar de lo solicitado, los estudiantes calculan, según los datos de la muestra, la probabilidad de que un guatemalteco elegido al azar no coma pan durante el almuerzo. • Los estudiantes que seleccionaron c, no consideran los casos de guatemaltecos que consumen pan para el total de casos posibles en el experimento. Identifican 280 como los sucesos favorables para encontrar un guatemalteco que acompaña su almuerzo con pan. Pero estiman como el total de casos posibles a los casos no favorables al suceso, es decir, los guatemaltecos que comen tortilla, arroz y papa (320 +120 + 80 = 520). De este modo P(A) = 280/520 = 7/13. • Si seleccionaron d, los estudiantes calculan equivocadamente la probabilidad como el cociente del número de casos posibles, dividido entre el número de casos favorables al suceso. Estiman P(A) = 800/280 = 20/7 como la probabilidad de que un guatemalteco elegido al azar coma pan a la hora del almuerzo.

En conclusión, los errores evidencian que los estudiantes no identifican casos favorables y casos posibles en un experimento aleatorio de sucesos equiprobables. Fallan en la aplicar la regla de Laplace para el cálculo de probabilidad de un suceso.

En el CNB la competencia 4 expresa que el estudiante “emite juicios referentes a preguntas que se ha planteado, buscando, representando e interpretando información de diferentes fuentes”. Se propone como indicador de logro la utilización de “conceptos probabilísticos al resolver problemas”. Los contenidos declarativos y procedimentales que permiten desarrollar la competencia prevista son el cálculo de probabilidades de eventos y el cálculo de probabilidades condicionadas. Currículo Nacional Base. Nivel de Educación Media, Ciclo Básico, Tercer Grado, 2010, p.51.

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Sugerencias de estrategias de aprendizaje 1. Los dados pueden utilizarse como material concreto para facilitar la comprensión de conceptos en la enseñanza de la probabilidad. Pueden ser elaborados con cartulina por los mismos estudiantes, armando el patrón de un cubo y numerando los seis lados. En el experimento “lanzar dos dados”, ¿los resultados son equiprobables, tienen la misma posibilidad de ocurrir?, ¿cuál es el espacio muestral?, ¿cuáles son los sucesos elementales? Apoyándose en el material, el docente responde con los estudiantes estas preguntas y les solicita que calculen la probabilidad de un suceso específico. Diferencian entre casos favorables y casos posibles, y aplican la Regla de Laplace para calcular la probabilidad de que un evento ocurra. El espacio muestral de este experimento está compuesto por 36 sucesos. La probabilidad de que ambos dados queden del mismo lado, es P(A) = 6/36. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par?, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número impar?, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los dados sea mayor a 5?...

2. El problema de las tres cartas (adaptado de Pajares y Tomeo, 2009) puede trabajarse en grupos pequeños o en parejas para comprobar probabilidades. Se necesitan tres sobres no transparentes y tres tarjetas de doble cara, una con dos lados amarillos (AA), otra con dos lados blancos (BB) y otra con un lado amarillo y otro blanco (AB). Los estudiantes comprueban las distintas caras de las tarjetas y se coloca una tarjeta en cada sobre. Se mezclan los tres sobres y un estudiante elige uno. Con cuidado se saca media tarjeta, mostrando solo uno de los lados, el estudiante debe adivinar el color de la otra cara y luego se comprueba si acertó. El experimento se repite al menos 10 veces y se registra: 1

Color que se mostró Color predicho Color de la otra cara Hay tres caras amarillas y tres blancas, ¿la probabilidad de acertar es 1/2? El docente discute con los estudiantes esta probabilidad en contraste con la probabilidad que puede deducirse de la tabla. Si observan amarillo, puede ser la tarjeta AA o AB, pero no BB; si observan blanco, puede ser la tarjeta BB o AB, pero no AA; la probabilidad de que el color mostrado sea el mismo es 2/3. ¿Pueden mejorar sus predicciones si usan esta información?

Referencias Blasco, F. (2014). Matemáticas: 3.° de ESO. Recuperado de http://www.apuntesmareaverde.org.es/ CIDEAD –Centro para la Información y Desarrollo de la Educación a Distancia–. (2009). Probabilidad. Recuperado desde http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatema ticas/3quincena52/3eso_quincena52.pdf DIGECUR – Dirección General de Currículo–. (2010). Currículo Nacional Base. Nivel de Educación Media, Ciclo Básico, Tercer Grado. Versión preliminar. Guatemala: Ministerio de Educación. Pajares, A. y Tomeo, V. (2009). Didáctica de la Estadística y la Probabilidad en Secundaria: experimentos motivadores. Cuadernos de trabajo, Escuela Universitaria de Estadística (3), 1-23.

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