Atividades adicionais – 7ª série – Capítulo 7 – Produtos notáveis / Frações algébricas
2
ATIVIDADES ADICIONAIS — 7ª SÉRIE Capítulo 7 – Produtos notáveis / Frações algébricas 1. Desenvolva: a) (x – 2)2 (x + 4)2 b) (x – 3) (x + 3) (x2 + 9) c) (a – 1) (a + 1) (a2 + 1) (a4 + 1) 2
1 d) 3x x 1 1 e) x3 3 x3 3 x x
2. A área do retângulo é de 75 m2. Calcule n e o perímetro do retângulo.
3. Desenvolva: 3
a) b) c) d)
1 2x 2 (a – 2)3 – (a – 2) (a + 2) + (a + 2)2 (3a2 + 2a + 3)2 (a – b + c) (a – b – c)
4. Fatore as expressões: a) 3a3 + a2b2 + 3ab4 + b6 b) a3 – 64 c) 4a4 – 4a2b + b2 5. Calcule o valor de
x2 y 2 para x = 2,7 e y = 0,3 3x 3 y
6. Simplifique as expressões: a)
4 p 2 9 p 3
2
2
x3 x 2 x 1 b) x2 2 x 1
c)
x
2
2 x x 2 1 2
x 2 x3 x 2
4a 2 4ab b 2 d) 8a3 4a 2b 2ab 2 b3
x6 1 7. a) Se x – 1 = 14, calcule o valor de . 2 x3 2 3
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b) Calcule o valor de
a 3 b3 para a = 93 e b = 92. a 2 ab b 2
8. Determine o MDC e o MMC dos polinômios A e B, nos casos: a) A = 3x3 – 3 e B = x4 – 1 b) A = 3x3 – 3x2 – 18x e B = x4 – 4x3 + 3x2 9. Dado que x a) x 2
1 2 , obtenha o valor de: x
1 x2
b) x 4
10. Fatore: a) a3 + 3a2b + 3ab2 + 2b3
1 x4
b) a9 – 1
2 1 3 m2 1 , determine o valor da expressão . m 1 m 1 1 m2 2 x y x2 3 y 2 5 3 b) Para x e y , calcule o valor de . 2 4 x y x2 y 2
11. a) Para m
x2 y 2 2. y 2 x2 a b b) Se a + b = 5 e a b = 10, determine o valor de . b a
12. a) Se xy = 2 e x2 + y2 = 5, calcule o valor de
13. Se x y
14. Se E
1 e x y = 90, determine o valor da expressão (x + y)3 – (x3 + y3). 54
x 2 y 2
x y
1
:
a) simplifique a expressão E; b) calcule o valor de E para x + y = 1,5 e x y = 1,75. 15. Se x = 59 e y = 57, então o valor de a) 0 b) 57
x4 y 4 8 xy 2 x 2 y
2
é igual a:
c) 58 d) 59
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Resoluções 1.
a) (x – 2)2 (x + 4)2 = (x2 – 4x + 4) (x2 + 8x + 16) = = x4 + 8x3 + 16x2 – 4x3 – 32 x2 – 64x + 4x2 + 32x + 64 = = x4 + 4 x3 – 12 x2 – 32x + 64 b) (x – 3) (x + 3) (x2 + 9) = (x2 – 9) (x2 + 9) = x4 – 81 c) (a – 1) (a + 1) (a2 + 1) (a4 + 1) = (a2 – 1) (a2 + 1) (a4 + 1) = = (a4 – 1) (a4 + 1) = a8 – 1 2
1 1 d) 3x 9 x 2 6 2 x x 1 1 1 e) x3 3 x3 3 x 6 6 x x x 2.
(n + 5) (n – 5) = 75 n2 + 25 = 75 n2 = 100 n = 10 2p = (15 + 5) 2 2p = 40 m 2
3.
a) b) c) d)
4.
5.
6.
1 1 2 2x 4x 2x 2 4 3 (a – 2) – (a + 2) (a – 2) + (a + 2)2 = = a3 – 6a2 + 12a – 8 – a2 + 4 + a2 + 4a + 4 = a3 – 6a2 + 16a (3a2 + 2a + 3)2 = 9a4 + 4a2 + 9 + 2 3a2 2a + 2 3a2 3 + 2 2a 3 = = 9a4 + 4a2 + 9 + 12a3 + 18a3 + 12a = 9a4 + 12a3 + 22a2 + 12a + 9 (a – b + c) (a – b – c) = [(a – b) + c] [(a – b) – c] = a2 + b2 – c2 – 2ab
a) 3a3 + a2b2 + 3ab4 + b6 = a2 (3a + b2) + b4 (3a + b2) = = (3a + b2) (a2 + b4) b) a3 – 64 = (a – 4) (a2 + 4a + 16) c) 4a4 – 4a2b + b2 = (2a2 – b)2
x 2 y 2 x y x y x y 2, 7 0,3 1 3x 3 y 3 3 3 ( x y)
a) b)
4 p 2 9 p 3
2
2 p 2 (2 p 2) 4 p (3 p 3) (3 p 3)
6 p
x3 x 2 x 1 x 2 ( x 1) ( x 1) = x 2x 1 ( x 1)2 =
c)
2
( x 1) ( x 2 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) x 1 ( x 1)2 ( x 1)2
x
2
2 x x 2 1 2
x 2 x3 x 2
x 2 x 2 x 1 x 1 = x 2 x 2 x 1 2
= (x – 2) (x – 1)
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2a b 4a 2 4ab b 2 d) = 2 3 2 2 3 8a 4a b 2ab b 4 a 2 a b b 2 2a b 2
=
2a b 2a b 2 2 2a b 4a b 2a b 2a b 2a b
=
1 2a b
2
7.
a)
x
6
1
2 x3 2
x
3
1 x3 1
2 x3 1
2
x3 1 14 7 2 2
a b a 2 ab b2 a 3 b3 b) 2 a b a ab b 2 a2 ab b2 8.
a – b = 93 – 92 = 1 a) A = 3x3 – 3 = 3(x3 – 1) = 3 · (x – 1) (x2 + x + 1) B = (x4 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) MDC(A, B) = x – 1 MMC(A, B) = 3 (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) (x2 + x + 1) 2
9.
1 1 1 a) x 22 x 2 2 2 4 x 2 2 2 x x x 2
1 1 1 b) x 2 2 22 x 4 2 4 4 x 4 4 2 x x x 10.
a) a3 + 3a2b + 3ab2 + 2b3 = (a +b)3 + b3 = = (a + b + b) [(a + b)2 – (a +b) b + b2] = = (a + 2b) (a2 + 2ab + b2 – ab – b2 + b2) = = (a + 2b) (a2 + ab + b2) b) a9 – 1 = (a3 – 1) (a6 + a3 + 1) = = (a – 1) (a2 + a + 1) (a6 + a3 + 1)
2 m 1 m 1 3 m 2 2 1 3 m2 11. a) = = m 1 m 1 1 m2 m2 1 m m 1 2m 2 m 1 3 m 2 m2 m = = = = m2 1 m 2 1 (m 1) (m 1) 1 m = m 2 (m 1) Assim: 1 2 1 1 1 2 =
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2 2 x y x2 3 y 2 x y x 3 y b) 2 x y x y2 ( x y) x y 2
=
x 2 2 xy y 2 x 2 3 y 2 2 xy 2 y 2 = = x y x y x y x y
=
2y x y
2 y ( x y)
x y x y
=
5 3 e y , então: 2 4 3 2 4 = 34 6 5 3 2 7 7 2 4
Mas x
12.
a)
x2 y 2 x4 y 4 2x2 y 2 = 2 y 2 x2 x2 y 2
x =
2
y2
2
x2 y 2
52 25 22 4
a b a 2 b 2 a b 2ab b) = b a ab ab 52 2 10 5 1 = 10 10 2 2
13.
(x + y)3 – (x3 + y3) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 – (x3 + y3) = 3 xy (x + y) 1 Portanto: 3 90 =5 54
x 2 y 2 14. a) E ( x y ) 1 b)
1 1 y 2 x2 2 x 2 y 2 x y 2 xy x2 y 2 x2 y 2 E = 1 1 xy xy xy xy
1,52 2 1, 75 2, 25 3,5 1, 25 5 1, 75 1, 75 1, 75 7
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15.
c
x4 y 4 8 xy 2 x 2 y =
x
2
2
x =
2
y 2 x2 y 2
8 xy 2 x y
y 2 x2 y 2
8 xy 4 x 8 xy 4 y
x =
2
2
y 4
2
2
x =
2
y 2 x2 y 2
8 xy 4 x 2 2 xy y 2
y 2 x2 y 2 4 x2 4 y 2
= x
2
=
y 2 x2 y 2
4 x2 y 2
=
= x y x y 4 x y4 4
Portanto:
2
2
x
8 xy 2 x 2 y
2
Para x = 59 e y = 57, temos:
=
x y x y 4
x y x y = 59 57 59 57 116 2 4
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4
4
= 58
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