Apostila 1

COLÉGIO ESTADUAL DO PARANÁ

MATEMÁTICA EQUIPE: SÉRGIO (A) ITAMAR (B) CORUJA (C e D) DENISE (assistência)

ALUNO (A):

Inclusão para a vida

UNIDADE 1 ARITMÉTICA BÁSICA

Matemática A Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 se o último algarismo for 0 ou 5.

Exemplos: 235, 4670, 87210.

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que c é múltiplo de a e b.

Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 se for simultaneamente divisível por 2 e 3.

Exemplos: 24, 288, 8460.

Exemplo: Múltiplos de 3 M(3) = {0, 3, 6, 9, ....}

Divisibilidade por 7 Processo prático: Veja o número 4137

Observações:  O zero é múltiplo de todos os números.  Todo número é múltiplo de si mesmo.  Os números da forma 2k, k  N, são números múltiplos de 2 e esses são chamados números pares.  Os números da forma 2k + 1, k  N, são números ímpares.

1º Passo: separa-se o último algarismo e dobra-se o seu valor.

4137  7  2 x 7 = 14

DIVISOR DE UM NÚMERO Sendo a, b e c números naturais e a . b = c, diz-se que a e b são divisores c.

3º Passo: procede-se assim até se obter um número múltiplo de 7.

Exemplo: Divisores de 12 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Observações:  O menor divisor de um número é 1.  O maior divisor de um número é ele próprio.

Quantidade de divisores de um número Para determinar a quantidade de divisores de um número procede-se assim: a)

Decompõem-se em fatores primos o número dado; b) Toma-se os expoentes de cada um dos fatores e a cada um desses expoentes adiciona-se uma unidade. c) Multiplica-se os resultados assim obtidos.

Exemplo: Determinar o número de divisores de 90 90 = 21 . 32 . 51 (1 + 1).(2+1).(1 +1) = 2.3.2 = 12 Logo, 90 possui 12 divisores CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 se for par.

Exemplos: 28, 402, 5128.

Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 se a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplos: 18, 243, 3126.

Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4 ou quando o número terminar em 00.

Exemplos: 5716, 8700, 198200.

Pré-Vestibular da UFSC

2º Passo: subtrai-se o número assim obtido do número que restou após a separação do último algarismo.

413 – 14 = 399

399  9  2 x 9 = 18 39 – 18 = 21 21  1  2 x 1 = 2 2–2=0 Logo 4137 é múltiplo de 7 Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos forem divisíveis por 8 ou forem três zeros.

Exemplos: 15320, 67000.

Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9.

Exemplos: 8316, 35289.

Divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10 se o último algarismo for zero.

Exemplos: 5480, 1200, 345160.

NÚMEROS PRIMOS Um número p, p  0 e p  1, é denominado número primo se apresentar apenas dois divisores, 1 e p.

Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,.....

Observação: Um número é denominado composto se não for primo.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM Denomina-se menor ou mínimo múltiplo comum (M.M.C) de dois ou mais números o número p diferente de zero, tal que p seja o menor número divisível pelos números em questão.

Exemplo: Determinar o M.M.C entre 6 e 8.

Processo 1: M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, ....} M(8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, ...} Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 24 1

Matemática A Processo 2:

6–8 3–4 3–2 3–1 1–1

Inclusão para a Vida encontrar de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades constantes?

2 2 2 3

8. Três vizinhos têm por medidas de frente: 180m, 252m e

Logo o M.M.C. entre 6 e 8 é 23.3 = 24 MÁXIMO DIVISOR COMUM Denomina-se máximo divisor comum (M.D.C) de dois ou mais números o maior dos seus divisores comuns.

Exemplo: Determinar o M.D.C. entre 36 e 42 Processo 1: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} D(42) = {1, 2, 3, 6, 7, 21, 42} Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

Processo 2: 36 = 22.32 e 42 = 2.3.7 Os fatores comuns entre 36 e 42 são 2.3 Logo, o M.D.C. entre 36 e 42 é 6.

Exercícios de Sala  1. (UFSC) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro.

Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o próximo alinhamento é:

2. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 12 e 20, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 c) 100 e) 230 b) 120 d) 340 3. O número de divisores naturais de 72 é: a) 10 c) 12 e) 14 b) 11 d) 13 Tarefa Mínima  4. Considere os números A = 24, B = 60; C = 48.

Determine: a) M.M.C entre A e B b) M.D.C entre B e C c) M.M.C entre A, B e C d) M.D.C entre A, B e C

Tarefa Complementar 9. Um alarme soa a cada 10 horas, um segundo alarme a cada 8 horas, um terceiro a cada 9 horas e um quarto a cada 5 horas. Soando em determinado instante os quatro alarmes, depois de quanto tempo voltarão a soar juntos? a) 240 horas c) 32 horas e) 320 horas b) 120 horas d) 360 horas

10. Três tábuas medindo respectivamente 24cm, 84cm e 90 cm serão cortadas em pedaços iguais, obtendo assim tábuas do maior tamanho possível. Então cada tábua medirá: a) 10 cm c) 8 cm e) 4 cm b) 6 cm d) 12 cm

11. Sejam os números A = 23.32. 5

B = 22 . 3 . 52

Então o M.M.C e o M.D.C entre A e B valem respectivamente: a) 180 e 60 d) 1800 e 60 b) 180 e 600 e) n.d.a. c) 1800 e 600

12. (Santa Casa-SP) Seja o número 717171x, onde x indica o algarismo das unidades. Sabendo que esse número é divisível por 4, então o valor máximo que x pode assumir é: a) 0 c) 4 e) 8 b) 2 d) 6

13. (PUC-SP) Qual dos números abaixo é primo? a) 121 c) 362 e) n.d.a. b) 401 d) 201 14. (PUC-SP) Um lojista dispõe de três peças de um

5. Sejam x e y o m.d.c e o m.m.c de 20 e 36, respectivamente. O valor de x. y é: a) 240 c) 120 e) 230 b) 720 d) 340

6. Determine o número de divisores naturais dos números a) 80

324m, respectivamente, e mesmas medidas para os fundos.

Queremos dividi-los em faixas que tenham me didas iguais de frente e cujo tamanho seja o maior possível. Então cada faixa medirá na frente: a) 12 m c) 24 m e) 36 m b) 18 m d) 30 m

b) 120

7. Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos e outro ciclista em 20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se 2

mesmo tecido, cujos comprimentos são 48m, 60m e 80m.

Nas três peças o tecido tem a mesma largura. Deseja vender o tecido em retalhos iguais, cada um tendo a largura das peças e o maior comprimento possível, de modo a utilizar todo o tecido das peças. Quantos retalhos ele deverá obter?

15. (UEL-PR) Seja p um número primo maior que 2. É verdade que o número p2 – 1 é divisível por: a) 3 c) 5 e) 7 b) 4 d) 6 16. Sejam A e B o máximo divisor comum (M.D.C) e o mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente.

O produto A.B é dado por: 2x.3y.5z, então x + y + z vale: Pré-Vestibular da UFSC

Inclusão para a vida 17. (Fuvest-SP) O menor número natural n, diferente de zero, que torna o produto de 3 888 por n um cubo perfeito é: a) 6 c) 15 e) 24 b) 12 d) 18 18. (ACAFE) Um carpinteiro quer dividir em partes iguais três vigas, cujos comprimentos são, respectivamente, 3m, 42dm, 0,0054 km, devendo a medida de cada um dos pedaços ser a maior possível. O total de pedaços obtidos com as três vigas é: a) 18 c) 210 e) 20 b) 21 d) 180

UNIDADE 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos Números Naturais N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } Um subconjunto importante dos naturais (N) é o conjunto N* ( naturais sem o zero ) N* = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }  a, b  N, (a + b)  N e (a . b)  N Conjunto dos Números Inteiros Os números inteiros surgiram com a necessidade de calcular a diferença entre dois números naturais, em que o primeiro fosse menor que o segundo.

Matemática A c) decimais exatos ( 0,2 =

d) dízimas periódicas ( 0,333... =

Geratrizes de uma dízima periódica Toda fração que dá origem a uma dízima periódica se chama GERATRIZ. Para determinarmos a GERATRIZ de uma dízima periódica, procedemos assim: a) Dízima Periódica Simples: é um número fracionário cujo numerador é o algarismo que representa a parte periódica e o denominador é um número formado por tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

7 9 3 1 b) 0,333....=  9 3 43 c) 0,434343... = 99 a) 0777...=

b) Dízima Periódica Composta: é um número fracionário cujo numerador é a diferença entre a parte não periódica seguida de um período e a parte não periódica, e cujo o denominador é um número formado de tantos noves quantos são os algarismos do período, seguido de tantos zeros quantos são os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

37  3 34 17   90 90 45

b) 0,32515151... =

a , com a  Z, b  Z* } b

Ou seja, todo número que pode ser colocado em forma de fração é um número racional.

São exemplos de números racionais: a) Naturais b) Inteiros

Pré-Vestibular da UFSC

)

As quatro operações são definidas nos racionais.

Com a ressalva que a divisão por zero é impossível (exceto quando o numerador for zero também).

Podemos citar alguns subconjuntos dos inteiros Z* = inteiros não nulos... { ... -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... } Z+ = inteiros não negativos... { 0, 1, 2, 3, ... } Z*+ = inteiros positivos... { 1, 2, 3, 4, ... } Z _ = inteiros não positivos... { ..., -3, -2, -1, 0} Z*_ = inteiros negativos... { ... -3, -2, -1 }

Q={x|x

1 3

a) 0,3777... =

Conjunto dos Números Racionais Os números Racionais surgiram com a necessidade de dividir dois números inteiros, onde o resultado era um número não inteiro.

)

10

Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

 a, b  Z, (a + b)  Z, (a . b)  Z e (a – b)  Z

2

3251  32 3219 1073   9900 9900 3300

Conjunto dos Números Irracionais Apesar de que entre dois números racionais existir sempre um outro racional, isso não significa que os racionais preencham toda reta. Veja o seguinte exemplo.

Dado o triângulo retângulo abaixo de catetos 1 e 1.

Calcular o valor da hipotenusa. x 1 1 Aplicando o teorema de Pitágoras temos: x2 = 12 + 12 x=

2

Extraindo a raiz de 2, teremos um número que não é natural, inteiro, nem racional, surge então os números irracionais.

3

Matemática A

Inclusão para a Vida

Os números irracionais são aqueles que não podem ser colocados em forma de fração, como por exemplo: a)  = 3,14... b) e = 2, 71... c) toda raiz não exata

Notação de intervalo. Exemplo: ]2, 3]

Conjunto dos Números Reais Os números reais surgem da união dos números racionais com os irracionais.

Exemplo:

QUADRO DE RESUMO Q



| x | = k, com k > 0, então: x = k ou x =  k

Representação Gráfica.

Veja outros exemplos:



1) {x  R| x > 2} = ]2, [ I

Z N

Por enquanto, nosso conjunto universo será o campo dos reais. Porém, é necessário saber que existem números que não são reais, estes são chamados de complexos e serão estudados mais detalhadamente adiante.

2) {x  R| x  1} = ] -, 1]

3) {x  R| 3  x < 4} = [3, 4[

PROPRIEDADES EM      

Comutativa: a + b = b + a e a . b = b . a Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) e (a.b).c = a.(b.c) Elemento neutro: a + 0 = a e a . 1 = a Simétrico: a + (– a) = 0 1 Inverso: a . = 1, a  0 a

INTERVALOS NUMÉRICOS E MÓDULO DE UM NÚMERO REAL INTERVALOS NUMÉRICOS Chamamos intervalo qualquer subconjunto contínuo de .

Serão caracterizados por desigualdades, conforme veremos a seguir:  {x  R| p  x  q} = [p, q]  {x  R| p < x < q} = ]p, q[  {x  R| p  x < q} = [p, q[  {x  R| p < x  q} = ]p, q]  {x  R| x  q} = [q, [  {x  R| x > q} = ]q, [  {x  R| x  q} = ] -, q]  {x  R| x < q} = ] -, q[

MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Módulo ou valor absoluto de um número real x é a distância da origem ao ponto que representa o número x.

Indicamos o módulo de x por | x |.

Definição  x, se x  0 x  - x, se x  0 Exemplos: a) como 3 > 0, então | 3 | = 3 b) como – 3 < 0, então |–3| = –(–3) = 3 Propriedades  |x|0  | x |2 = x2

x | x |   |x – y| = |y – x|  |x . y| = | x |. | y | 2



x x  y y

Os números reais p e q são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.

Equação Modular

Observações  O intervalo [x, x] representa um conjunto unitário {x}  O intervalo ]x, x[ representa um conjunto vazio { }  O intervalo (  , +  ) representa o conjunto dos números reais (R)  (x, y) = ]x, y[ Pode-se representar um intervalo real de 3 maneiras:

Equação Modular é a equação que possui a incógnita x em módulo.

Notação de conjunto. Exemplo: {x  R| 2 < x  3} 4

Tipos de equações modulares: Exemplo 1: | x | = 3 x = 3 ou x = -3 S = {-3, 3} Exemplo 2: Resolva a equação |x + 2|= 6 x+2=6 ou x + 2= - 6

Pré-Vestibular da UFSC

Inclusão para a vida x=4 S = {-8, 4}

ou

Matemática A x=-8



| x | = k, com k = 0, então: x = 0



| x | = k, com k < 0, então: não há solução

b)

20 43 e 99 99

e)

2 1 e 10 5

c)

23 43 e 99 198

2

c 1

Sendo k > 0, as expressões do tipo | x | < k, | x |  k, | x | > k, | x |  k denominam-se inequações modulares.

Tipos de inequações modulares:

| x | < k, com k > 0, então:  k < x < k |x|<3  –3<x<3 | x | < 10  – 10 < x < 10

| x | > k, com k > 0, então: x < k ou x > k

Exemplos:

23 23 e 100 99

6. (ACAFE) O valor da expressão , a.b  c

Inequação Modular



são respectivamente:

1 1 d) e 3 10

Exemplo 2: |x + 2| = -10 S=

Exemplos:

{x  N| 2 < x  7} {x  Z| - 1  x < 3} {x| x = 2k, k  N} {x| x = 2k + 1, k  N}

5. As geratrizes das dízimas: 0,232323... e 0,2171717... a)

Exemplo 1: | x | = - 3 S=



c) d) e) f)

| x | > 3  x < – 3 ou x > 3 | x | > 10  x < –10 ou x > 10

Exercícios de Sala 

quando

a = 0,333...; b = 0,5 e c = - 2 é igual a:

7. Resolva em  as seguintes equações: a) |x| = 10

c) |x – 2| = -3

b) |x + 1| = 7

d) x 2 + 3 x - 4 = 0 é:

8. A solução da inequação (2 x  1)  5 2

a) b) c) d) e)

{x  | – 2  x  3} {x  | – 1  x  6} {x  | x  3} {x  | x  7} {x  | – 3  x  2}

Tarefa Complementar  9. (FATEC-SP) Se a = 0,666..., b = 1,333...

e

1. Calcule o valor das expressões abaixo:

c = 0,1414..., então a.b-1 + c é igual a:

a)  3  1  2  1   4 8  5 3 

10. (FGV-SP) Quaisquer que sejam o racional x e o

b)  2  3  : 1  4  5  3 

irracional y, pode-se dizer que: a) x.y é racional. b) y.y é irracional. c) x + y racional.

2. (PUC-SP) Considere as seguintes equações:

d) x - y + 2 é irracional. e) x + 2y é irracional.

I - x2 + 4 = 0 II - x2 – 4 = 0 III - 0,3x = 0,1

Sobre as soluções dessas equações é verdade afirmar que: a) II são números irracionais. b) III é um número irracional. c) I e II são números reais. d) I e III são números não reais. e) II e III são números racionais.

3. Resolva em  as seguintes equações: a) | x | = 3

d) |x + 2| = –3

b) |2x – 1| = 7

e) |x|2 – 5|x| + 4 = 0

c) |x2 –5x | = 6

Tarefa Mínima

(FUVEST) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a posição do número xy?

11.



4. Enumere os elementos dos conjuntos a seguir: a) {x  N| x é divisor de 12} b) {x  N| x é múltiplo de 3} Pré-Vestibular da UFSC

a) à esquerda de 0 b) entre zero e x c) entre x e y

d) entre y e 1 e) à direita de 1

12. Determine a soma dos números associados às proposições corretas: 01. É possível encontrar dois números naturais, ambos divisíveis por 7 e tais que a divisão de um pelo outro deixe resto 39.

02. Sejam a e b números naturais. Sendo a = 1 + b2 com b sendo um número ímpar, então a é par.

04. O número

75 2

é real.

5

Matemática A

Inclusão para a Vida PRINCÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO DA IGUALDADE

08. Existem 4 números inteiros positivos e consecutivos tais que o produto de 2 deles seja igual ao produto dos outros dois.

16. o número 247 é um número primo.

13. A expressão|2x – 1| para x < a) 2x – 1 b) 1 – 2x c) 2x + 1

1 é equivalente a: 2

d) 1 + 2x e) – 1

14. Assinale a alternativa correta: 2

a) Se x é um número real, então x  |x | b) Se x é um número real, então existe x, tal que |x| < 0 c) Sejam a e b dois números reais com sinais iguais, então |a + b| = |a| + |b| d) Sejam a e b dois números reais com sinais opostos, então |a + b| > |a| + |b| e) | x | = x, para todo x real.

15. (UFGO) Os zeros da função f(x) = a) 7 e 8 b) 7 e 8

c) 7 e 8 d) 7 e 8

2x  1  3 são: 5

e) n.d.a.

Se: a = b então para m  a + m = b + m Se: a = b então para m  0  a . m = b . m INEQUAÇÕES DO 1º GRAU Inequações são expressões abertas que exprimem uma desigualdade entre as quantidades dadas.

Uma inequação é dita do 1º grau quando pode ser escrita na forma: ax + b > 0 ax + b < 0 ax + b  0 ax + b  0 Nas inequações do 1º grau valem também, os princípio aditivo e multiplicativo com uma ressalva. Veja: Se: a > b então para m  a + m > b + m Se: a > b então para m > 0  a . m > b . m Se: a > b então para m < 0  a . m < b . m

Exercícios de Sala  1. Resolva em R as seguintes equações e inequações: a) ax + b = 0, com a  0

16. (FGV-SP) Qual dos seguintes conjuntos está contida no conjunto solução da inequação a) b) c) d) e)

(1  x)  1?

2

{x  R  - 5  x  - 1} {x  R  - 4  x  0} {x  R  - 3  x  0} {x  R  - 2  x  0} Todos os conjuntos anteriores

17. (ITA-SP) Os valores de x  R para os quais a função real dada por f(x) =

5 || 2 x  1 | 6 | está definida,

formam o conjunto: a) [0, 1] b) [-5, 6] c) [-5,0]  [1, )

d) (-, 0]  [1, 6] e) [-5, 0]  [1, 6]

UNIDADE 3 EQUAÇÕES DO 1º GRAU INEQUAÇÕES DEFINIÇÃO Uma sentença numérica aberta é dita equação do 1º grau quando pode ser reduzida ao tipo ax + b = 0, com a diferente de zero.

RESOLUÇÃO Considere, como exemplo, a equação 2x + 1 = 9.

Nela o número 4 é solução, pois 2.4 + 1 = 9. O número 4 nesse caso é denominado RAIZ da equação Duas equações que têm o mesmo conjunto solução são chamadas equivalentes.

b) – 4(x + 3) + 5 = 2(x + 7) c) x  1  2 x  3  10 3 4 d) 502x = 500x e) 0.x = 0 f) 0.x = 5 g)

x 1 2



8

2. Obtenha m de modo que o número 6 seja raiz da equação 5x + 2m = 20

3. Resolva em R, o seguinte sistema: x  3 y  1  2 x  3 y  2

Tarefa Mínima 4. Resolver em R as equações:

6x – 6 = 2(2x + 1) 2(x + 1) = 5x + 3 (x + 1)(x + 2) = (x + 3)(x + 4) – 3 2(x – 2) = 2x – 4 3(x – 2) = 3x f) x  1  x  1 2 3 4

a) b) c) d) e)

5. A solução da equação a) x = – 2 b) x = – 3

6

3x

x 3



c) x = 3 d) x = 2

x 1 2

 x é:

e) x = 1

Pré-Vestibular da UFSC

Inclusão para a vida 6. (FGV–SP) A raiz da equação a) b) c) d) e)

Matemática A

x 1 3



2x  1 4

 1 é:

Um número maior que 5.

Um número menor que – 11.

Um número natural.

Um número irracional.

Um número real.

17. (UNICAMP) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um deles tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde, o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.

7. Determine a solução de cada sistema abaixo: a) 2 x  y  3 x  y  3

x y 5 b)   x  y  1

c) 3x  y  1

 2 x  2 y  1

8. Resolva em R as inequações: a) 3(x + 1) > 2(x – 2) b)

x  10 4



vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão de 23 para 21?

c)

1 3



x 2



1 4

3x 2



Tarefa Complementar

2x  3y  21 9. O valor de x + y em  é: 7x  4y  1 10. Obtenha o maior de três números inteiros e consecutivos, cuja soma é o dobro do menor.

11. (UFSC) A soma dos quadrados dos extremos do intervalo que satisfaz simultaneamente, as inequações: x + 3  2 e 2x - 1  17; é:

18. (UEL-PR) Um trem, ao iniciar uma viagem, tinha em um de seus vagões um certo número de passageiros. Na primeira parada não subiu ninguém e desceram desse vagão 12 homens e 5 mulheres restando nele um número de mulheres igual ao dobro do de homens. Na segunda parada não desceu ninguém, entretanto subiram, nesse vagão, 18 homens e 2 mulheres, ficando o número de homens igual ao de mulheres. Qual o total de passageiros no vagão no início da viagem?

UNIDADE 4 EQUAÇÕES DO 2º GRAU Denomina-se equação do 2º grau a toda equação que pode ser reduzida a forma: ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e a  0.

RESOLUÇÃO 1º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente b for igual a zero procede-se assim: ax2 + c = 0 ax2 =  c

12. As tarifas cobradas por duas agências de locadora de automóveis, para veículos idênticos, são:  Agência AGENOR: R$ 90,00 por dia, mais R$ 0,60 por quilômetro rodado.  Agência TEÓFILO: R$ 80,00 por dia, mais R$ 0,70 por quilômetro rodado.

Seja x o número de quilômetros percorridos durante um dia. Determine o intervalo de variação de x de modo que seja mais vantajosa a locação de um automóvel na agência AGENOR do que na agência TEÓFILO.

13. (UFSC) A soma dos dígitos do número inteiro m tal 8 que 5 m + 24 > 5500 e  m + 700 > 42 – m, é: 5 14. (UFSC) Para produzir um objeto, um artesão gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de 123,50, independente da quantidade de objetos produzidos.

O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O número mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é:

x2 =



x=



S = 



c a 

c a

c c  ,   a a

2º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, o coeficiente c for igual a zero procede-se assim: ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b = 0 S = {0,



b } a

3º CASO: Se na equação ax2 + bx + c = 0, a, b, c  0 aplica-se a fórmula de Bháskara

15. (UFSC) A soma das idades de um pai e seu filho é 38 anos. Daqui a 7 anos o pai terá o triplo da idade do filho. A idade do pai será:

16. (UFSC) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe Pré-Vestibular da UFSC

x=

b Δ onde:  = b2 – 4ac 2a

Nessa fórmula,  = b2 – 4ac é o discriminante da equação, o que determina o número de soluções reais da equação. Pode-se ter as seguintes situações: 7

Matemática A

  

  

Inclusão para a Vida

> 0. Existem duas raízes reais e distintas = 0. Existem duas raízes reais e iguais < 0. Não há raiz real

RELAÇÕES DE GIRARD Sendo x1 e x2 as raízes da equação ax2 + bx + c, tem-se: x1 + x2 = 

b

x1 . x2 =

a

c a

Exercícios de Sala  1. Resolva, em reais, as equações: a) 2x2 – 32 = 0

c) 2x2 – 5x – 3 = 0

b) x2 – 12x = 0

2. Considere a equação x2 – mx + m = 0 na incógnita x.

Para quais valores reais de m ela admite raízes reais e iguais? a) 0 e 4 d) 1 e 3 b) 0 e 2 e) 1 e 4 c) 0 e 1

3. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x + 1 = 0, determine: a) x1 + x2

c)

1 x1



b) x1 . x2

1 x2

Tarefa Complementar  2

1

 1 9. Resolver em R a equação 2  x 1 x 1

10. A maior solução da equação 2x4 – 5x2 – 3 = 0 é: a)

3

b) 2

c) 3

d) 1

e)

2

11. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0,

determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: 01. x1 e x2 são iguais 02. x1 + x2 = 3 3 04. x1 . x2 =  2 1 1  08. = –2 x1 x 2 16. x12 + x22 = 12 9 32. x12.x2 + x1.x22 =  2

12. A solução da equação x – 3 =

x  3 é:

13. (MACK-SP) Se x e y são números reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então x + y vale: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 c) 6

14. Determine a soma dos números associados às

Tarefa Mínima 

proposições corretas:

4. Resolva em R, as equações:

01. Se a soma de um número qualquer com o seu inverso é 5, então a soma dos quadrados desse número com o seu inverso é 23.

x2 – 5x + 6 = 0 – x2 + 6x – 8 = 0 3x2 – 7x + 2 = 0 x2 – 4x + 4 = 0 2x2 – x + 1 = 0 4x2 – 100 = 0 x2 – 5x = 0

a) b) c) d) e) f) g)

02. Se x1 e x2 são as raízes da equação 2x2 – 6x – 3 = 0, 9 então o valor de x12.x2 + x1.x22 =  2 04. Se x e y são números reais positivos, tais que x2 + y2 + 2xy + x + y – 6 =0, então, x + y vale 2

5. Os números 2 e 4 são raízes da equação: 2

a) x – 6x + 8 = 0 b) x2 + x – 6 = 0 c) x2 – 6x – 6 = 0

2

d) x – 5x + 6 = 0 e) x2 + 6x – 1 = 0

6. (PUC-SP) Quantas raízes reais tem a equação 2

2x – 2x + 1 = 0? a) 0 c) 2 b) 1 d) 3

e) 4

7. A soma e o produto das raízes da equação 2x2 – 6x + 9 = 0 são respectivamente: a) 3 e 4,5 d) 4,5 e 5 b) 2 e 4 e) n.d.a. c) – 3 e 2

08. Se x é solução da equação x2 – 3 +

x  3 = 2, então, o valor de x4 = 16 2

1

1

16. O valor de 8 3  16 2 é 5

15. Considere a equação 2x2 – 6x + 1 = 0. Sendo x1 e x2,

raízes dessa equação, pode-se afirmar: 01. x1  x2 02. o produto das raízes dessa equação é 0,5 04. a soma das raízes dessa equação é 3 08. a soma dos inversos das raízes é 6 16. a equação não possui raízes reais

16. A maior raiz da equação x4 – 10x2 + 9 = 0 é: a) 3

b) 4

c) 8

d) 9

e) 1

8. Sendo x1 e x2 as raízes da equação 2x2 – 5x – 1 = 0.

17. Assinale a soma dos números associados às

Obtenha 1  1 x1 x 2

proposições corretas:

8

Pré-Vestibular da UFSC

Inclusão para a vida 3 01. A maior raiz da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 2 2 02. A maior raiz da equação 3x – 7x + 2 = 0 é 2 04. As raízes da equação x2 – 4x + 5 = 0 estão compreendidas entre 1 e 3 08. A soma das raízes da equação x6 – x3 – 2 = 0 é 3 16. A equação x2 – 4x + 2 = 0 não possui raízes reais

18. Determine o valor de x que satisfaz as equações: a) x  1  3  x b)

3

2x  x 1  2

Matemática A Valor de uma Função Denomina-se valor numérico de uma função f(x) o valor que a variável y assume quando a variável x é substituída por um valor que lhe é atribuído.

Por exemplo: considere a relação y = x2 , onde cada valor de x corresponde um único valor de y.

Assim se x = 3, então y = 9.

Podemos descrever essa situação como: f(3) = 9 Exemplo 1: Dada a função f(x) = x + 2. Calcule o valor de f(3) Resolução: f(x) = x + 2, devemos fazer x = 3 f(3) = 3 + 2 f(3) = 5

UNIDADE 5 ESTUDO DAS FUNÇÕES

Exemplo 2: Dada a função f(x) = x2 - 5x + 6. Determine o valor de f(-1).

Sejam A e B dois conjuntos não vazios e uma relação R de A em B, essa relação será chamada de função quando todo e qualquer elemento de A estiver associado a um único elemento em B.

Resolução: f(x) = x2 - 5x + 6, devemos fazer x = -1 f(-1) = (-1)2 - 5(-1) + 6 f(-1) = 1 + 5 + 6 f(-1) = 12

Formalmente: f é função de A em B  (x  A,  y  B | (x, y)  f)

Exemplo 3: Dada a função f(x  1) = x2. Determine f(5).

Numa função podemos definir alguns elementos.

   

Conjunto de Partida: A Domínio: Valores de x para os quais existe y.

Contra Domínio: B Conjunto Imagem: Valores de y para os quais existe x.

Resolução: f(x 1) = x2, devemos fazer x = 6 f(6  1) = 62 f(5) = 36 Observe que se fizéssemos x = 5, teríamos f(4) e não f(5).

Exercícios de Sala  1. Seja o gráfico abaixo da função f, determinar a soma dos números associados às proposições corretas:

Observações:  A imagem está sempre contida no Contra Domínio (Im  C.D)  Podemos reconhecer através do gráfico de uma relação, se essa relação é ou não função. Para isso, deve-se traçar paralelas ao eixo y. Se cada paralela interceptar o gráfico em apenas um ponto, teremos uma função.  O domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo representado pela projeção do gráfico no eixo y.

01. O domínio da função f é {x  R | - 3  x  3} 02. A imagem da função f é {y  R | - 2  y  3} 04. para x = 3, tem-se y = 3 08. para x = 0, tem-se y = 2 16. para x = - 3, tem-se y = 0 32. A função é decrescente em todo seu domínio

2. Em cada caso abaixo, determine o domínio de cada função: a) y = 2x + 1

c) Domínio = [a, b]

y=

3x  2

7 2x  7  x3 y= 2x  2

b) y =

d)

Imagem = [c, d]

Pré-Vestibular da UFSC

9

Matemática A 2x -1, se x  0  3. Seja f ( x)  5, se 0  x  5  2  x  5x  6, se x 

Inclusão para a Vida 16. A função é crescente em todo seu domínio .

5

Calcule o valor de: f (3)  f ( ) f (6)

6. Determine o domínio das seguintes funções: 2 a) y = b) y = x  3 3x  9 x6 x2

x5

Tarefa Mïnima 

c) y =

4. (UNAERP-SP) Qual dos seguintes gráficos não

7. (UFSC) Considere as funções f: R  R e g: R  R 3 dadas por f(x) = x2  x + 2 e g(x) =  6x + . Calcule 5 1 5 f( ) + g(1).

2 4

representa uma função f: R  R ? a)

b)

c)

d) y =

3

8. (UFPE) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define uma função de A em B. a) {(a, 1), (b, 3), (c, 2)} b) {(a, 3), (b, 1), (c, 5), (a, 1)} c) {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d, 1)} d) {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)} e) {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, a)} Tarefa Complementar  9. (UFC) O domínio da função real y = x  2 é:

d)

e)

x7

a) {x  R| x > 7} b) {x  R| x  2} c) {x  R| 2  x < 7} d) {x  R| x  2 ou x > 7}

10. Considere a função f(x) = x2 – 6x + 8. Determine:

a) f(3) b) f(5) c) os valores de x, tal que f(x) = 0

11. (USF-SP) O número S do sapato de uma pessoa está relacionado com o comprimento p, em centímetros,do seu pé pela fórmula S =

5. Assinale a soma dos números associados às proposições corretas:

5 p  28 . Qual é o comprimento do 4

pé de uma pessoa que calça sapatos de número 41? a) 41 cm b) 35,2 cm c) 30,8 cm

d) 29,5 cm e) 27,2 cm

12. (FUVEST) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é: a) f(x) = x – 3 d) f(x) = - 3x b) f(x) = 0,97x e) f(x) = 1,03x c) f(x) = 1,3x 01. O domínio da função f é {x  R | - 2  x  2} 02. A imagem da função f é {y  R | - 1  y  2} 04. para x = -2 , tem-se y = -1 08. para x = 2, tem-se y = 2 10

13. ( FCMSCSP ) Se f é uma função tal f(a + b) = (a).f(b), quaisquer que sejam os números reais a e b, então f(3x) é igual a: a) 3.f(x) d) [f(x)]3 b) 3 + f(x) e) f(3) + f(x) c) f(x3)

Pré-Vestibular da UFSC

Inclusão para a vida 14. (FGV-SP) Numa determinada localidade, o preço da energia elétrica consumida é a soma das seguintes parcelas: 1ª . Parcela fixa de R$ 10,00; 2ª . Parcela variável que depende do número de quilowatt-hora (kWh) consumidos; cada kWh custa R$ 0,30. Se num determinado mês, um consumidor pagou R$ 31,00, então ele consumiu: a) 100,33 kWh b) mais de 110 kWh c) menos de 65 kWh

d) entre 65 e 80 kWh e) entre 80 e 110 kWh

15. (PUC-Campinas) Em uma certa cidade, os taxímetros

Matemática A Interceptos:

 Ponto que o Gráfico corta o eixo y: deve-se fazer x = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo y tem coordenadas (0,b).  Ponto que o Gráfico corta o eixo x: deve-se fazer y = 0. Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem coordenadas (  b ,0). O ponto que o gráfico corta o a

eixo x é chamado raiz ou zero da função.

RESUMO GRÁFICO f(x) = ax + b, a > 0

f(x) = ax + b, a < 0

marcam, nos percursos sem parada, uma quantia de 4UT (unidade taximétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taxímetro registrava 8,2 UT, o total de quilômetros corridos foi:

16. (UFSC) Dadas as funções f(x) = 3x + 5, g(x) = x2 + 2x  1 e h(x) = 7  x, o valor em módulo da expressão:  1  4 h    g  4  2     f ( 1)

Função crescente

Exemplo: Esboçar o gráfico da função da função f(x) = – 3x + 1.

17. (UFSC) Considere a função f(x) real, definida por f(1) = 43 e f(x + 1) = 2 f(x)  15. Determine o valor de f(0).

18. (UDESC) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2.

Nessas condições, f(3x + 2) é igual a:

Resolução: o gráfico intercepta o eixo y em (0,b). Logo o gráfico da função f(x) = – 3x + 1 intercepta o eixo y em (0,1).

Para determinar o ponto que o gráfico corta o eixo x deve-se fazer y = f(x) = 0.

UNIDADE 6

– 3x + 1 = 0 x=

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

1 3

Logo, o ponto que o gráfico corta o eixo x tem

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

coordenadas (

Uma função f de R em R é do 1º grau se a cada x  R, associa o elemento ax + b.

Forma: f(x) = ax + b

Função decrescente

1 , 0) 3

com a  0.

a é o coeficiente angular e b o coeficiente linear.

Gráfico O gráfico será uma reta crescente se a for positivo e decrescente se a for negativo.

D=

C.D. = 

Im = 

FUNÇÃO CONSTANTE Uma função f de R em R é constante se, a cada x  R, associa sempre o mesmo elemento k  R. D(f) = R e Im (f) = k Forma: f(x) = k Gráfico: Exemplo: y = f(x) = 2

Como o gráfico de uma função do 1º Grau é uma reta, logo é necessário definir apenas dois pontos para obter o gráfico.

Pré-Vestibular da UFSC

11

Matemática A

Inclusão para a Vida 7. (UFMA) O gráfico da função f(x) = ax + b intercepta o eixo dos x no ponto de abscissa 4 e passa pelo ponto (1, 3), então f(x) é: a) f(x) = x  3 d) f(x) = 2x  1 b) f(x) = x  4 e) f(x) = 3x  6 c) f(x) = 2x  5

D=

C.D. = 

Exercícios de Sala

Im = {2}

8. Sendo f(x) = 2x + 5, obtenha o valor de



com t  .

f (t )  f ( ) t 



1. Considere as funções f(x) = 2x – 6 definida em reais.

Determine a soma dos números associados às proposições corretas :

Tarefa Complementar

01. a reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,- 6) 02. f(x) é uma função decrescente 04. a raiz da função f(x) é 3 08. f(-1) + f(4) = 0 16. a imagem da função são os reais 32. A área do triângulo formado pela reta que representa f(x) e pelos eixos coordenados é 18 unidades de área.

f(x) = 2x + k, deve-se ter a) k = 0 b) k = - 2 c) k = 6 d) k = -6 e) k = 2

9. (UCS-RS) Para que – 3 seja raiz da função

10. (UFPA) A função y = ax + b passa pelo ponto (1,2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Então, a  2b é igual a: a) 12 b) 10 c) 9 d) 7 e) n.d.a.

11. (Fuvest-SP) A reta de equação 2x + 12y – 3 = 0, em

2. (PUC-SP) Para que a função do 1º grau dada por f(x) = (2 - 3k)x + 2 seja crescente devemos ter: a) k 

2 3

b) k 

2 3

c) k 

2 3

d) k  

2 3

e) k  

2 3

3. (UFSC) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se

relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os eixos do sistema um triângulo cuja área é: a) 1/2 b) 1/4 c) 1/15 d) 3/8 e) 3/16

12. O gráfico da função f(x) está representado pela figura abaixo:

que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8).

Tarefa Mínima  4. Esboçar o gráfico das seguintes funções: a) f(x) = – x + 3 b) f(x) = 2x + 1

5. (FGV-SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos A(1, 2) e B(4, 2). Podemos afirmar que m + n vale em módulo:

Pode-se afirmar que f(4) é igual a:

13. (Santo André-SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto ( y) por uma empresa de cosméticos, na produção de perfume, varia com a quantidade de perfume produzida (x). Assim, podemos afirmar:

6. (UFMG) Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f(x) = ax + b é:

a) Quando a empresa não produz, não gasta. b) Para produzir 3 litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00. c) Para produzir 2 litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00. d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá 5 litros de perfume. e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que para fabricar o quinto litro.

14. (UFSC) Sabendo que a função: f(x) = mx + n admite 5 como raiz e f(-2) = -63, o valor de f(16) é: 12

Pré-Vestibular da UFSC

Inclusão para a vida

Matemática A

15. O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$800,00, e que daqui a 5 anos valerá R$160,00, o seu valor, em reais, daqui a três anos será: a) 480 b) 360 c) 380 d) 400 e) 416 16. (UFRGS) Considere o retângulo OPQR da figura baixo. A área do retângulo em função da abscissa x do ponto R é

 O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0.  O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0. a) A = x2 – 3x b) A = - 3x2 + 9x c) A = 3x2 – 9x

d) A = - 2x2 + 6x e) A = 2x2 – 6x

Coordenadas do vértice O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde

17. (UFRGS) Dois carros partem de uma mesma cidade, deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo apresenta as distâncias percorridas pelos carros em função do tempo.

Distância (em km )

b x  e v 2a

yv = 

 4a

Imagem da função quadrática

 } 4a   Se a < 0, então Im = {y  R| y   } 4a  Se a > 0, então Im = {y  R| y  

Resumo gráfico 

>0



=0

Temp o (em horas)

Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu primeiro foi alcançado pelo outro ao ter percorrido exatamente: a) 60km b) 85km c) 88km d) 90km e) 91km Estudo do vértice da parábola A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo com a parábola recebe o nome de vértice da parábola.

Pré-Vestibular da UFSC

13

Matemática A 

Inclusão para a Vida

<0

Estudo do vértice da parábola A Parábola que representa a função do 2º Grau é dividida em duas partes simétricas. Essa divisão é feita por um eixo chamado de eixo de simetria. A intersecção desse eixo com a parábola recebe o nome de vértice da parábola

18. (UERJ) Considere a função f, definida para todo x real positivo, e seu respectivo gráfico. Se a e b são dois meros positivos (a < b), a área do retângulo de vértices (a, 0), (b, 0) e (b, f(b) ) é igual a 0,2. f(x) = 1

x

 O vértice é o ponto de máximo da função se a < 0.  O vértice é o ponto de mínimo da função se a > 0.

Coordenadas do vértice O vértice é um ponto de coordenadas V(xv, yv) onde b x  e v 2a

yv = 

 4a

Imagem da função quadrática  } 4a   Se a < 0, então Im = {y  R| y   } 4a

 Se a > 0, então Im = {y  R| y   Calcule a área do retângulo de vértices (3a, 0), (3b, 0) e (3b, f(3b))

UNIDADE 7 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

Resumo gráfico 

>0



=0

Uma função f de R em R é polinomial do 2º grau se a cada x  R associa o elemento ax2 + bx + c, com a  0 Forma: f(x) = ax2 + bx + c, com a  0 Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º Grau de R em R é uma parábola. A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente a (coeficiente de x2). Assim, quando: a > 0 tem-se a parábola com concavidade para cima a < 0 tem-se parábola com concavidade para baixo nterceptos  O ponto que o gráfico corta o eixo y possui coordenadas (0,c)  Para achar o(s) ponto(s) que o gráfico corta o eixo x, deve-se fazer y = 0. Tem-se então uma equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, onde: x

b Δ , onde   b 2  4ac 2a

Se  > 0  Duas Raízes Reais Se  = 0  Uma Raiz Real Se  < 0  Não possui Raízes Reais

14

Pré-Vestibular da UFSC

Inclusão para a vida 

<0

Matemática A 7. (ACAFE-SC) Seja a função f(x) = - x2 – 2x + 3 de domínio [-2, 2]. O conjunto imagem é: a) [0, 3] c) ]-, 4] b) [-5, 4] d) [-3, 1]

e) [-5, 3]

8. ( PUC-SP) Seja a função f de R em R, definida por f( x)

Exercícios de Sala



1. Em relação a função f(x) = x2 – 6x + 8 definida de

 é correto afirmar: 01. 2 e 4 são os zeros da função f 02. o vértice da parábola possui coordenadas (3, -1) 04. O domínio da função f(x) é o conjunto dos números reais.

08. A imagem da função é: { y  R| y   1} 16. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é 4 unidades de área.

2. Em cada caso abaixo, esboce o gráfico de f e dê seu conjunto imagem. a) f:  , f(x) = x2 – 2x b) f:  ,

2

f(x) = – x + 4

= x2 – 3x + 4. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o vértice da parábola que representa f localizase: a) no primeiro quadrante. b) no segundo quadrante. c) no terceiro quadrante. d) sobre o eixo das coordenadas. e) sobre o eixo das abscissas.

Tarefa Complementar  9. (UFSC) Seja f: R  R, definida por: f(x) = - x 2 , termine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras: 01. O gráfico de f(x) tem vértice na origem.

02. f(x) é crescente em R. 04. As raízes de f(x) são reais e iguais.

08. f(x) é decrescente em [0, + ) 16. Im(f) = { y  R  y  0} 32. O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao eixo x.

10. (ESAL-MG) A parabola abaixo é o gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta:

c) f: [0, 3[ , f(x) = f(x) = x2 – 2x

3. Considere f(x) = x2 – 6x + m definida de  .

Determine o valor de m para que o gráfico de f(x): a) tenha duas intersecções com o eixo b) tenha uma intersecção com o eixo x c) não intercepte o eixo x

Tarefa Mínima  4. Determine as raízes, o gráfico, as coordenadas do vértice e a imagem de cada função. a) f:   , f(x) = x2 – 2x – 3 b) f:   , f(x) = (x + 2)(x – 4) c) f:   , f(x) = – x2 + 2x – 1 d) f:   , f(x) = x2 – 3x

5. Dada a função f(x) = x2 - 8x + 12 de R em R. Assinale as verdadeiras: 01. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de coordenadas (0,12).

02. As raízes de f são 2 e 6.

04. O domínio de f é o conjunto dos números reais.

08. O gráfico não intercepta o eixo x.

16. A imagem da função é { y  R| y   4 } 32. O vértice da parábola possui coordenadas (4, 4) 64. A função é crescente em todo seu domínio.

6. (UFSC) Considere a parábola y = -x2 + 6x definida em

a) a < 0, b = 0, c = 0 b) a > 0, b = 0, c < 0 c) a > 0, b < 0, c = 0

d) a < 0, b < 0, c > 0 e) a > 0, b > 0, c > 0

11. Considere a função definida em x dada por f(x) = x2 – mx + m. Para que valores de m o gráfico de f(x) irá interceptar o eixo x num só ponto?

12. (UFPA) As coordenadas do vértice da função

y = x2 – 2x + 1 são: a) (-1, 4) c) (-1, 1) b) (1, 2) d) (0, 1)

e) (1, 0)

13. (UFPA) O conjunto de valores de m para que o gráfico de y = x2 mx + 7 tenha uma só intersecção com o eixo x é: a) {  7} c) {  2 } b) { 0 }

d) {  2 7 }

14. (Mack-SP) O vértice da parábola y = x2 + kx + m é o ponto V(1, 4). O valor de k + m em módulo é:

R x R. A área do triângulo cujos vértices são o vértice da parábola e seus zeros, é: Pré-Vestibular da UFSC

15

Matemática A

Inclusão para a Vida

15. (UFSC) Dada a função f: R  R definida por f(x) = ax2 + bx + c, sabe-se que f(1) = 4, f(2) = 7 e f(-1) = 10.

Determine o valor de a - 2b + 3c.

16. A equação do eixo de simetria da parábola de equação y = 2x2 - 10 + 7, é: a) 2x - 10 + 7 = 0 d) y = 3,5 b) y = 5x + 7 e) x = 1,8 c) x = 2,5

17. O gráfico da função f(x) = mx2 – (m2 – 3)x + m3

S = {x  R | x  -1 ou x  3} ou S = ]-, -1]  [3, +[ b) resolver a inequação x2 – 7x + 10  0

intercepta o eixo x em apenas um ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de m é: a) – 3 b) – 4

c) – 2 d) 2

e) – 1 S = { x  R | 2  x  5} S = [2, 5]

18. (UFSC) Marque no cartão a única proposição correta. A figura abaixo representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é:

c) resolver a inequação –x2 + 5x – 4 > 0

S = { x  R | 1 < x < 4} S = [1, 4] 01. y = -2x + 2 02. y = x + 2 04. y = 2x + 1 08. y = 2x + 2 16. y = -2x – 2

Inequações Tipo Produto Inequação Produto é qualquer inequação da forma: a) f(x).g(x)  0 b) f(x).g(x) > 0 c) f(x).g(x)  0 d) f(x).g(x) < 0

UNIDADE 8

Para resolvermos inequações deste tipo, faz-se necessário o estudo dos sinais de cada função e em seguida aplicar a regra da multiplicação.

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU INEQUAÇÕES TIPO PRODUTO INEQUAÇÕES TIPO QUOCIENTE

Exemplo: Resolver a inequação (x2 – 4x + 3) (x – 2) < 0

INEQUAÇÕES DO 2O GRAU Inequação do 2º grau é toda inequação da forma: ax 2  bx  c  0  2 ax  bx  c  0  2 ax  bx  c  0 ax 2  bx  c  0 

com a  0

Para resolver a inequação do 2º grau se associa a expressão a uma função do 2º grau; assim, pode-se estudar a variação de sinais em função da variável. Posteriormente, selecionam-se os valores da variável que tornam a sentença verdadeira. Estes valores irão compor o conjuntosolução.

Exemplos: a) resolver a inequação x2 – 2x – 3  0

16

S = { x  R | x < 1 ou 2 < x < 3} Inequações Tipo Quociente Inequação quociente é qualquer inequação da forma: a)

f(x) g(x)

0

b)

f(x) g(x)

>0

c)

f(x) g(x)

0

d)

f(x) g(x)

<0

Para resolvermos inequações deste tipo é necessário que se faça o estudo dos sinais de cada função separadamente e, em seguida, se aplique a regra de sinais da divisão. É necessário lembrar que o denominador de uma fração não pode ser nulo, ou seja, nos casos acima vamos considerar g(x)  0.

Pré-Vestibular da UFSC

Inclusão para a vida

Matemática A

Exemplo: Resolver a inequação x  4 x  3 2

x2

7. Resolva, em R, as seguintes inequações: a) x  5 x  6 0 x  16

0

2

2

b) x  5 x  6 2

x  16 2

c)

x x  0 x 1 x 1

2 <1 x 1

d)

8. (ESAG) O domínio da função y =

S = { x  R | 1  x < 2 ou x  3}

1. Resolver em  as seguintes inequações: a) x2 – 8x + 12 > 0 b) x2 – 8x + 12  0 c) x2 – 9x + 8  0

Tarefa Complementar  9. Resolver em  as seguintes inequações:

a) x2 – 6x + 9 > 0 b) x2 – 6x + 9  0

2. O domínio da função definida por x 2  3x  10 x6

1  2 x nos reais é: x2  1

d) (-, -1)  [1/2, 1) e) { }

a) (-, -1 ) b) (-1, ½] c) (-, ½]

Exercícios de Sala 

f(x) =

0

é:

c) x2 – 6x + 9 < 0 d) x2 – 6x + 9  0

10. Resolver em  as seguintes inequações:

a) D = {x  R| x  2 ou x  5}  {6}. b) D = {x  R| x  - 2 ou x  5}  {6}. c) D = {x  R| x  - 2 ou x  5} d) D = {x  R| x  - 2 ou x  7}  {6}. e) n.d.a.

a) x2 – 4x + 5 > 0 b) x2 – 4x + 5  0

c) x2 – 4x + 5 < 0 d) x2 – 4x + 5  0

11. (CESGRANRIO) Se x2 – 6x + 4  – x2 + bx + c tem

como solução o conjunto {x  | 0  x  3}, então b e c valem respectivamente: a) 1 e – 1 d) 0 e 1 b) – 1 e 0 e) 0 e 4 c) 0 e – 1

3. Determine o conjunto solução das seguintes inequações: a) (x – 3)(2x – 1)(x2 – 4) < 0

x  7 x  10  0 x4 2

b)

12. (UNIP) O conjunto verdade do sistema

4. Resolver em  as seguintes inequações: x2 – 6x + 8 > 0 x2 – 6x + 8  0 – x2 + 9 > 0 x2  4 x2 > 6x x2  1

5.

(Osec-SP)

é:

a) ]1, 2] b) ]1, 4]

c) [2, 4[ d) [1, 8[

2

Tarefa Mínima  a) b) c) d) e) f)

x  9x  8  0  2 x  4  0

e) [4, 8[

13. (PUC-RS) A solução, em R, da inequação x2 < 8 é: a) { – 2

O

domínio

da

função

f(x) =  x2  2x  3 , com valores reais, é um dos conjuntos seguintes. Assinale-o. a) {x  R  -1  x  3 } d) { x  R  x  3} b) { x  R  -1 < x < 3 } e) n.d.a. c) { }

6. Resolva, em R, as seguintes inequações: a) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4) > 0 b) (x2 – 2x – 3).( – x2 – 3x + 4)  0 c) (x – 3) (x2 – 16) < 0 d) x3  x e) x3 – 3x2 + 4x – 12  0 Pré-Vestibular da UFSC

2;2 2}

b) [– 2

2;2 2]

c) (– 2

2;2 2)

d) (– ; 2

2)

e) (– ; 2

2]

14. (ACAFE) O lucro de uma empresa é dado por L(x) =

100(8 –x)(x – 3), em que x é a quantidade vendida. Neste caso podemos afirmar que o lucro é: a) positivo para x entre 3 e 8 b) positivo para qualquer que seja x c) positivo para x maior do que 8 d) máximo para x igual a 8 e) máximo para x igual a 3

15. (FATEC) A solução real da inequação produto (x2 – 4).(x2 – 4x)  0 é: a) S = { x  R| - 2  x  0 ou 2  x  4} b) S = { x  R| 0  x  4}

17

Matemática A

Inclusão para a Vida

c) S = { x  R| x  - 2 ou x  4} d) S = { x  R| x  - 2 ou 0  x  2 ou x  4} e) S = { }

16. (MACK-SP) O conjunto solução de 6 x a) { x  R  x > 15 e x < - 3} b) { x  R  x < 15 e x  - 3} c) { x  R  x > 0} d) {x  R  - 3 < x < 15} e) { x  R  - 15 < x < 15}

x3

5

f: A  B

Condição de Existência: é:

17. (Cescem-SP) Os valores de x que satisfazem a

inequação (x2 2x + 8)(x2 5x + 6)(x2 16) < 0 são: a) x < 2 ou x > 4 d) 4 < x < 2 ou 3 < x < 4 b) x < 2 ou 4 < x < 5 e) x < 4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 c) 4 < x < 2 ou x > 4

18. (FUVEST) De x4 – x3 < 0 pode-se concluir que: d) – 2< x < –1 e) x < –1 ou x > 1

a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) – 1< x < 0

g: B  C

UNIDADE 9 PARIDADE DE FUNÇÕES FUNÇÃO COMPOSTA e FUNÇÃO INVERSA

gof: A  C

Im(f) = D(g)

Alguns tipos de funções compostas são: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x))

d) g(g(x))

Exercício resolvido: Dadas as funções f(x) = x2 - 5x + 6 e g(x) = x + 1, achar x de modo que f(g(x)) = 0 Resolução: Primeiramente vamos determinar f(g(x)) e, em seguida, igualaremos a zero. f(x) = x2 - 5x + 6 f(g(x)) = (x + 1)2 - 5(x + 1) + 6 Daí vem que f(g(x)) = x2 - 3x + 2.

Igualando a zero temos: x2 - 3x + 2 = 0 Onde x1 = 1 e x2 = 2 FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA Função injetora: Uma função f: A  B é injetora se e somente se elementos distintos de A têm imagens distintas em B. Em Símbolos: f é injetora   x1, x2  A, x1  x2  f(x1)  f(x2)

Função Par Uma função é par quando para valores simétricos de x temos imagens iguais, ou seja: f(x) = f(x),  x  D(f) Uma consequência da definição é: Uma função f é par se e somente se, o seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Função sobrejetora: Uma função f de A em B é sobrejetora, se todos os elementos de B forem imagem dos elementos de A, ou seja: CD = Im

FUNÇÃO ÍMPAR Uma função é ímpar quando para valores simétricos de x as imagens forem simétricas, ou seja: f(x) =  f(x),  x  D(f) Como consequência da definição os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano.

Função bijetora: Uma função é bijetora se for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

FUNÇÃO COMPOSTA Dadas as funções f: A  B e g: B  C, denomina-se função composta de g com f a função gof: definida de A  C tal que gof(x) = g(f(x)) DICA: De R  R, a função do 1º Grau é bijetora, e a função do 2º Grau é simples.

FUNÇÃO INVERSA Seja f uma função f de A em B. A função f 1 de B em A é a inversa de f, se e somente se: fof -1(x) = x, x  A e f -1o f (x) = x, x  B. Observe que A = D(f) = CD(f -1) e B = D(f -1) = CD(f) 18

Pré-Vestibular da UFSC

Inclusão para a vida

Matemática A

IMPORTANTE: f é inversível  f é bijetora Para encontrar a inversa de uma função, o processo prático é trocar x por y e, em seguida, isolar y.

Os gráficos de duas funções inversas f(x) e f 1(x) são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. (f(x) = x)

3. (UFSC) Sendo f(x) = 4x + 1 e f(g(x)) = x2 + 1, com f e g definidas para todo x real, determine o valor numérico da função g no ponto x = 18, ou seja, g(18).

4. Determine a função inversa de cada função a seguir: a) y = 2x – 3 b) y = x  2

c) y = 2 x  1 , x  4 x4

4

5. (UFSC) Seja a função f(x) = determine f -1(2).

 2x , com x  2, x2

Tarefa Complementar 

Exercício Resolvido: Dada a função f(x) = 2x + 4 de R em R. determine a sua inversa.

Resolução: Como a função f(x) é bijetora, então ela admite inversa. Basta trocarmos x por y e teremos: f(x) = 2x + 4 x = 2y + 4 x - 4 = 2y  f -1(x) =

x4 2

6. (UFSC) Sejam f e g funções de R em R definidas por: f(x) = -x + 3 e g(x) = x2 - 1.Determine a soma dos números associados à(s) proposições verdadeiras.

01. A reta que representa a função f intercepta o eixo das ordenadas em (0,3).

02. f é uma função crescente.

04. -1 e +1 são os zeros da função g.

08. Im(g) = { y  R  y  -1 }.

16. A função inversa da f é definida por f -1(x) = -x + 3.

32. O valor de g(f(1)) é 3.

64. O vértice do gráfico de g é o ponto (0, 0).

7. Dadas as funções: f(x) =

5 x

e g(x) = x2 - 1, o

Exercícios de Sala 

valor de gof(4) é:

1. Dadas as funções f(x) = 2x – 1, g(x) = x2 + 2.

8. (UEL-PR) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = 2x2 + 1, g(x) = 2 - x. O valor de f(g(-5)) é:

Determine: a) f(g(x)) b) g(f(x))

c) f(g(3)) d) g(f(-2))

9. (Mack-SP) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x

2. (UFSC) Considere as funções f, g: R  R tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1. Calcule f(7).

 2 e f(g(x)) = 2x  3. Então g(f(x)) é definida por: a) 2x  1 c) 2x  3 e) 2x  5 b) 2x  2 d) 2x  4

3. Se x  3, determine a inversa da função

10. (F.C.Chagas-BA) A função inversa da função f(x) =

Tarefa Mínima 

a) f

1. Dadas as funções f(x) = x + 2 e g(x) = 2x2. Obter:

c) f

a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))

e) nenhuma das anteriores

2x 1 f ( x)  x 3

e) f(g(3)) f) g(f(1)) g) f(f(f(2)))

2. (UFU-MG) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 2x - 6 e g(x) = x2 + 5x + 3, pode-se dizer que o domínio da função h(x) =  fog x é: a) {x  R  x  -5 ou x  0} c) {x  R  x  -5} e) n.d.a.

Pré-Vestibular da UFSC

b) {x  R  x  0} d) { }

2x  1 é: x3 ( x) =

x+3 2x - 1

(x) =

1 - 2x 3-x

-1 -1

b) f

-1

d) f

(x) =

-1

(x) =

2x + 1 x-3 3x + 1 2-x

11. Obtenha as sentenças que definem as funções inversas de: a) f: [ – 3; 5]  [1, 17] tal que f(x) = 2x + 7 b) g: [2, 5]  [0,9] tal que g(x) = x2 – 4x + 4 c) h: [3, 6]  [–1, 8] tal que h(x) = x2 – 6x + 8 12. (MACK-SP) Se f(g(x)) = 2x2 – 4x + 4 e f(x – 2) = x + 2, então o valor de g(2) é: a) - 2 c) 0 b) 2 d) 6

e) 14 19

Matemática A 13. (UFSC) Seja f uma função polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que f(3) = 2 e f(f(1)) = 1. Determine a abscissa do ponto onde o gráfico de f corta o eixo x.

14. (UDESC) Se f(x) = ax2 + bx + 3, f(1) = 0 e f(2) = - 1.

Inclusão para a Vida Exercícios de Sala  7 1. (UFSC) Dado o sistema  x

2 x y

2  5

Calcule f(f(a))

15. (IME-RJ) Sejam as funções g(x) e h(x) assim

definidas: g(x) = 3x – 4; h(x) = f(g(x)) = 9x2 – 6x + 1.

Determine a função f(x).

UNIDADE 10

EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chama-se equação exponencial toda equação que pode ser reduzida a forma ax = b, com 0 < a  1.

Para resolver tais equações é necessário transformar a equação dada em:  Igualdade de potência de mesma base. af(x) = ag(x)  f(x) =g(x)  Potências de expoentes iguais. af(x) = bf(x)  a = b sendo a e b  1 e a e b  R*+.

Função Exponencial f(x) = ax 

(a > 1)  função crescente

 25

4

, o valor de  y  é:  x

2. (UFSC) O valor de x, que satisfaz a equação 22x + 1 3.2x + 2 = 32, é:

Tarefa Mínima  1. Resolva, em R, as equações a seguir: 1 16 d) 25.3x = 15x é:

a) 2 x = 128

EXPONENCIAL

y

1

b) 2x =

c) 3x  1 + 3x + 1 = 90 e) 22x  2x + 1 + 1 = 0

2. (PUC-SP) O conjunto verdade da equação

3.9x  26.3x  9 = 0, é: x 3. Dadas f(x) =  1  e as proposições:  2 I - f(x) é crescente II - f(x) é decrescente III - f(3) = 8 IV- ( 0,1 )  f(x) podemos afirmar que: a) todas as proposições são verdadeiras. b) somente II é falsa. c) todas são falsas. d) II e III são falsas. e) somente III e IV são verdadeiras.

4. Resolva, em R, as inequações a seguir:

a) 22x  1 > 2x + 1 b) (0,1)5x  1 < (0,1)2x + 8 c)  7  x 1  7  3     4 4 d) 0,5|x – 2| < 0,57 2



(0 < a < 1)  função decrescente

5. (OSEC-SP) O domínio da função de definida por y = , é: 1 x

 1    243  3

a) ( , 5 [ c) ( , 5 [

b) ] 5, + ) d) ] 5, +  )

e) n.d.a.

Tarefa Complementar  INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Para resolvermos uma inequação exponencial devemos respeitar as seguintes propriedades:  Quando as bases são maiores que 1 (a > 1), a relação de desigualdade se mantém. af(x) > ag(x)  f(x) > g(x)  Quando as bases estão compreendidas entre 0 e 1 (0 < < 1), a relação de desigualdade se inverte. af(x) > ag(x)  f(x) < g(x) 20

6. Resolvendo a equação 4x + 4 = 5.2x, obtemos: a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4

c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = x2 = 3

7. (Unesp-SP) Se x é um número real positivo tal que 2

2 x  2 x2 , então

 x

x

x

x2

é igual a:

8. A maior raiz da equação 4|3x  1| = 16 Pré-Vestibular da UFSC

Inclusão para a vida 9. (ITA-SP) A soma 9

x

1 2



4 1 x

3

das

Matemática A raízes

da

equação

Existe uma infinidade de sistemas de logaritmos. Porém, dois deles se destacam:

 1 é:

10. A soma das raízes da equação  2    3

2x

1

132 x 1 é: 3x 1

11. (UFMG) Com relação à função f(x) = ax, sendo a e x números reais e 0 < a  1, assinale as verdadeiras: 01. A curva representativa do gráfico de f está toda acima do eixo x.

02. Seu gráfico intercepta o eixo y no ponto (0, 1).

04. A função é crescente se 0 < a < 1 08. Sendo a = 1/2, então f(x) > 2 se x > 1.

12.

Determine

f ( x)  (1,4)

x 2 5

o

domínio

da

função

abaixo:

13. (UEPG-PR) Assinale o que for correto.

01. A função f(x) = ax, 1 < a < 0 e x  R, intercepta o eixo das abscissas no ponto (1,0)

02. A solução da equação 2x.3x = intervalo [0, 1]

3

36 pertence ao

04. Dada a função f(x) = 4x, então D = R e Im =

 2 x é crescente

a

R*

b

16.  1    1   a  b 2 2

y

5

x

3

Condição de Existência Para que os logaritmos existam é necessário que em: logab = x se tenha : logaritmando positivo b > 0  Resumindo  base positiva a > 0 e a  1 base diferente de 1  Consequências da Definição Observe os exemplos: 1) log2 1 = x  1 = 2x  20 = 2x  x = 0 2) log3 1 = x  1 = 3x  30 = 3x  x = 0 3) log6 1 = x  1 = 6x  60 = 6x  x = 0 loga 1 = 0 4) log2 2 = x  2 = 2x  21 = 2x  x = 1 5) log5 5 = x  5 = 5x  51 = 5x  x = 1

14. Determine o valor de x no sistema abaixo: x  y  x  y

Sistemas de Logaritmos Decimais: É o sistema de base 10, também chamado sistema de logaritmos comuns ou vulgares, ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglês (1561-1630)).

Quando a base é 10 costuma-se omitir a base na sua representação.

Sistemas de Logaritmos Neperianos É o sistema de base e (e = 2, 718...), também chamado de sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano deve-se a J. Neper (1550-1617).

5  7

08. A função f(x) =

2) log5 625 = x  625 = 5x  54 = 5x  x = 4

(x  1 e y  1)

15. Resolver, em reais, as equações abaixo: a) 5x + 0,2x = 5,2 b) 5.4x + 2.52x = 7.10x

loga a = 1 6) log2 23 = x  23 = 2x  x = 3 7) log5 52 = x  52 = 5x  x = 2 loga am = m 8) 2 log2 4  x  2 2  x  x  4 9) 3log3 9  x  32  x  x  9

UNIDADE 11 LOGARITMOS DEFINIÇÃO Dado um número a, positivo e diferente de um, e um número b positivo, chama-se logaritmo de b na base a ao real x tal que ax = b. (a > 0 e a  1 e b > 0) loga b = x  ax = b Em loga b = x temos que: a = base do logaritmo b = logaritmando ou antilogaritmo x = logaritmo Observe que a base muda de membro e carrega x como expoente.

Exemplos: 1) log6 36 = x  36 = 6x 

62 = 6 x  x = 2

Pré-Vestibular da UFSC

logab a b PROPRIEDADES OPERATÓRIAS Logaritmo do Produto O logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores. loga (b . c) = loga b + loga c Exemplos: a) log3 7.2 = log3 7 + log3 2 b) log2 5.3 = log2 5 + log2 3 Logaritmo do Quociente O logaritmo do quociente é o logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor.

21

Matemática A

Inclusão para a Vida 3. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o valor dos logaritmos abaixo:

b loga  loga b  loga c c

a) log 12 c) log 1,5

Exemplos: a) log3 7/2 = log3 7 - log3 2 b) log5 8/3 = log5 8 - log5 3 Logaritmo da Potência O logaritmo da potência é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

Exemplos: a) log2 53 = 3. log2 5 b) log3 4-5 = -5 log3 4

log10

log b n a  log b a n  3

2

1 3

= log10 2 

1 3

1 . log b a n

log10 2

Exercício Resolvido: Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47. Calcule o valor de log 18.

Resolução:

5. (FEI-SP) A função f(x) = log (50  5x  x2) é definida b) 10 < x < 5 d) x < 5

e) n.d.a.

Tarefa Complementar  1

Exemplo:

4. (UFPR) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28? a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107 para: a) x > 10 c) 5 < x < 10

loga xm = m . loga x

Caso Particular

b)log 54 d) log 5 512

2

log 18 = log(2.3 ) log 18 = log 2 + log 32 log 18 = log 2 + 2log 3 log 18 = 0,30 + 2.0,47 log 18 = 1,24

Exercícios de Sala 

6. (PUC-SP) Se lg 2 2 512  x , então x vale: 7. (PUC-SP) Sendo log10 2 = 0,30 e log10 3 = 0,47, então log a) 0,12 b) 0,22

6 2 é igual a: 5 c) 0,32 d) 0,42

e) 0,52

8. (ACAFE-SC) Os valores de m, com  R, para os quais

a equação x2 – 2x + log2(m – 1) = 0 admite raízes (zeros) reais e distintas são: a) 2 < m < 4 b) m< 3 c) m  3 d) 1  m  3 e) 1 < m < 3 9. Se log a = r, log b = s, log c = t e E = a 3 , então log E

1. Com base na definição, calcule o valor dos seguintes

b c 3

logaritmos:

é igual a:

a) log21024 b) log 0,000001

10. (ANGLO) Se log E = 2log a + 3log b – log c – log d, Então E é igual a:

c) log2 0,25 d) log4

13

11. (UFSC) Se 3lg x  y  lg125 , então o valor de x

128

lgx  lgy  lg14

2. Sabendo-se que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, calcule o valor de: a) log 6

b) log 8

c) log 5

d)log 18

+yé 3

360 , log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477, determine a parte inteira do valor de 20 log10 x.

12. Se x =

13. (UMC-SP) Sejam log x = a e log y = b. Então o log

x. y  é igual a:

Tarefa Mínima  1. Determine o valor dos logaritmos abaixo:

a) a + b/2

a) log2 512

b)log0,250,25

14. Determine o domínio das seguintes funções:

c) log7 1

d)log0,25 128

a) y = logx – 1 (3 – x)

13

2. Determine o valor das expressões abaixo a) 3 loga a5 + loga 1 – 4 lg a a , onde 0 < a  1, é: b) lg 2 8  lg9 22

1 3

 16.lg 625 5 é:

b) 2a + b

c )a + b

d)a+2b

e) a-b/2

b) y = log(5 – x) (x2 – 4)

15. Se x é a solução da equação

da expressão 2x7 + log7x – 1

x

xx

x ...

 7 , calcule o valor

7

Pré-Vestibular da UFSC

Inclusão para a vida

Matemática A

UNIDADE 12 LOGARITMOS MUDANÇA DE BASE Ao aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos ficamos sujeitos a uma restrição: os logaritmos devem ser de mesma base. Dado esse problema, apresentamos então um processo o qual nos permite reduzir logaritmos de bases diferentes para bases iguais. Este processo é denominado mudança de base. loga b =

l g c b l g c a

Como consequência, e com as condições de existência obedecidas, temos:

1 1) log B A  log AB

1 2 log A k B  log AB k

EQUAÇÃO LOGARÍTMICA São equações que envolvem logaritmos, onde a incógnita aparece no logaritmo, na base ou no logaritmando (antilogaritmo).

Existem dois métodos básicos para resolver equações logarítmicas. Em ambos os casos, faz-se necessário discutir as raízes. Lembrando que não existem logaritmos com base negativa e um, e não existem logaritmos com logaritmando negativo.

1º Método: loga X = loga Y  X = Y 2º Método: loga X = M  X = a Função Logarítmica f(x) = loga x

M

INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA 

a>1

loga x2 > loga x1  x2 > x1  0<a<1 loga x2 > loga x1  x2 < x1

Exercícios de Sala  1. Resolver as equações abaixo: a) logx (3x2 - x) = 2 b) log4 (x2 + 3x - 1) = log4 (5x  1) c) log2 (x + 2) + log2 (x  2) = 5

2. (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s).

01. O valor do log 0, 25 32 é igual a – 5 .

2

02. Se a, b e c são números reais positivos e x =

a b

então log x = 3log a – 2log b –

 (a > 1)  função crescente

1 2

2

3

, c

log c.

04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c diferentes de um, então tem-se log b  a

log b c

.

log a c

08. O valor de x que satisfaz à equação 4x – 2x = 56 é x = 3.

16.  (0 < a < 1)  função decrescente

2 3

2,3

>

2 3

1,7

Tarefa Mínima  1. (SUPRA) Se log5 2 = a e log5 3 = b então log2 6 é: a)

a+ b a

b) a+ b

c)

a b

d)

b a

e)

a+ b 2

2. (ACAFE) O valor da expressão log3 2. log4 3 é: a) ½ b) 3

Pré-Vestibular da UFSC

c) 4 d) 2/3

e) 2

23

Matemática A

Inclusão para a Vida a > 1, temos f crescente e g decrescente e para 0 < a < 1, temos f decrescentes e g crescentes.

3. Resolver, em R as equações:

a) log5 (1 – 4x) = 2 b) log[x(x – 1)] = log 2 c) log x  6 log x  9  0 d) log(log(x + 1)) = 0 e) log2 (x - 8)  log2 (x + 6) = 3 f) log5 (x  3) + log5 (x  3) = 2

16. log 360 = 3  log 2 + 2  log 3 + log 5.

2

3

N =  6,824.

32. Se log N =  3,412 então log

3

12. Resolva a equação

lg10 x  lg100 x  2 . (divida o

resultado obtido por 4).

(UFSC) A solução log2(x + 4) + log2(x – 3) = log218, é:

da

4.

equação:

5. Resolver, em reais, as seguintes inequações: a) log2 (x + 2) > log2 8 b) log1/2 (x  3)  log1/2 4

13. Assinale a soma dos números associados às proposições corretas: 01. A raiz da equação log(log(x + 1)) = 0 é x = 9.

02. A soma das raízes da equação.

1 + 2logx 2 . log4 (10  x) = 2 é 10. log x 4

log x

Tarefa Complementar 

04. A maior raiz da equação 9 . x 3 = x3 é 9.

08. O valor da expressão log3 2. log4 3 é /2.

6. (UFSC) Dada a função y = f(x) = loga x, com a > 0, a 

16. Se logax = n e logay = 6n, então lg a 3 x 2 y é igual a 7n.

32. A solução da equação 2x.3x = 3 36 pertence ao intervalo [0, 1].

1, determine a soma dos números associados às afirmativas verdadeiras.

01. O domínio da função f é R. 02. A função f é crescente em seu domínio quando a  (1, + ) 04. Se a = 1/2 então f(2) = 1

08. Se a = 3 e f(x) = 6 então x = 27 16. O gráfico de f passa pelo ponto P(1,0).

7. (ACAFE) Se log3 K = M, então log9 K2 é: a) 2M2 c) M + 2 e) M b) M2 d) 2M 8. (UFSC) Se loga x = 2 e logx y = 3, então, loga 5 xy 3 é igual a:

9. (UFSC) Determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: 01. O valor do log0,25 32 é igual a 

5

.

2 02. Se a, b e c são números reais positivos e a

3

então log x = 3 log a  2log b  1/2 log c.

2 b c 04. Se a, b e c são números reais positivos com a e c x=

diferentes de um, então tem-se loga b =

14. (UFPR) Com base na teoria dos logaritmos e Exponenciais, é correto afirmar que: 01. Se log3(5 – y) = 2, então y = - 4 02. Se x = loge 3, então ex + e-x = 10 3 04. Se a e b são números reais e 0 < a < b < 1, então |log10a| < |log10b| 08. Se z = 10t – 1, então z > 0 para qualquer valor real de t

15. (ITA - SP) O conjunto dos números reais que

verificam a inequação 3log x + log (2x + 3)3  3 log2 é dado por: a) { x  R| x > 3 } b) { x  R| 1  x  3 } c) { x  R| 0 < x  1/2 } d) { x  R| 1/2 < x < 1 } e) n.d.a.

log b c log a c

08. O valor de x que satisfaz à equação 4 x  2x = 56 é x=3 2  3 1 7 16.  2    2   3

 3

10. (UFSC) O valor de x compatível para a equação log(x2  1) - log(x  1) = 2 é:

11. (UFSC) Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s).

01. O conjunto solução da inequação log (x2 9)  log (3  x) é S = (, 4]  [3, +).

02. Para todo x real diferente de zero vale ln |x| < ex. x2

não possui solução inteira.

04. A equação e  e 08. Considere as funções f(x) = ax e g(x) = logax. Para x

24

Pré-Vestibular da UFSC