Matematika 7 mak

JOVO STEFANOVSKI NAUM CELAKOSKI

Osumgodi{no osnovno obrazovanie

Devetgodi{no osnovno obrazovanie

2009 Skopje

Drag u~eniku! Ovaa kniga }e ti pomogne da gi izu~i{ predvidenite sodr`ini vo programata. ]e u~i{ novi interesni sodr`ini za vektori, translacija i rotacija. ]e stekne{ va`ni znaewa za stepeni, koreni i polinomi. ]e gi pro{iri{ znaewata po geometrija. ]e presmetuva{ plo{tina na figuri. ]e stekne{ novi soznanija za funkcija i proporcionalnost. Knigava e podelena na pet tematski celini, a sekoja od niv e podelena na pottemi. Tematskite celini zapo~nuvaat so sodr`ina, a nastavnite edinici vo niv se numerirani. Vo nastavnite edinici ima oznaki vo boja i preku niv se ispi{ani poraki, aktivnosti, obvrski i drugi sugestii, i toa:

Potseti se!

A 1. 2.

,

B

...

...

Nastavnite edinici zapo~nuvaat so ne{to {to ti e poznato. Treba da se potseti{ i da gi re{i{ dadenite barawa. Toa }e ti koristi pri izu~uvaweto na novoto vo lekcijata. So ovie oznaki nastavnata edinica e podelena na delovi (porcii) koi se odnesuvaat na novite poimi.

So vakvite oznaki se ozna~eni aktivnostite, pra{awata i zada~ite {to }e gi re{ava{ samostojno ili so pomo{ na tvojot nastavnik. Vo ovoj del go u~i{ novoto vo lekcijata, zatoa treba da bide{ vnimatelen i aktiven za podobro da go nau~i{ i razbere{. Najbitnoto e oboeno so `olta boja. Najbitnoto od lekcijata e izdvoeno vo vid na pra{awa, zada~i ili tvrdewa. Toa treba da go pameti{ i koristi{ vo zada~i i prakti~ni primeri.

Treba da znae{:

Ovoj del sodr`i pra{awa i zada~i so koi mo`e{ da se proveri{ dali pogolemiot del od izu~enoto go razbira{ za da mo`e{ da go primenuva{ i koristi{ vo sekojdnevniot `ivot.

Proveri se!

Zada~i

Treba redovno i samostojno da gi re{ava{ ovie zada~i. So toa podobro }e go razbere{ izu~enoto, a toa }e ti bide od golema polza.

Obidi se ...

Potrudi se da gi re{ava{ zada~ite i problemite vo ovoj del (ova ne e zadol`itelno). So toa }e znae{ pove}e i }e bide{ pobogat so idei.

PROVERI GO SVOETO ZNAEWE

Na krajot od sekoja tema ima{ test od pra{awa i zada~i. Re{i go samostojno testot i so toa }e gi proveri{ tvoite znaewa od izu~enata tema.

Koga }e naide{ na te{kotii pri izu~uvaweto na matematikata ne otka`uvaj se, obidi se povtorno, a upornosta }e ti donese rezultat i zadovolstvo. ]e ne raduva ako so ovaa kniga ja zasaka{ matematikata pove}e i postigne{ odli~en uspeh. Od avtorite

TEMA 1.

VEKTORI. TRANSLACIJA

VEKTORI. OPERACII SO VEKTORI 1. Naso~enost na polupravite. Nasoka 4 2. Vektori 7 3. Ednakvost na vektori 11 4. Sobirawe na vektori 14 5. Odzemawe na vektori 19

TRANSLACIJA 6. Translacija 7. Svojstva na translacijata 8. Primena na translacijata Proveri go tvoeto znaewe

Vektor. Operacii so vektori

22 24 27 30

3

1

VEKTORI. OPERACII SO VEKTORI NASO^ENOST NA POLUPRAVITE. NASOKA

A 1.

Potseti se! Nacrtaj prava a i na nea ozna~i to~ka O.

Na pravata p voo~i gi polupravite OA, O1A, OB i O1B.

To~kata O ja deli pravata a na dva dela ili dve mno`estva. Kako se vika delot od pravata koj ja sodr`i to~kata O i eden od dvata dela na koi e razdelena pravata a so to~kata O? Na crte`ot e nacrtana polupravata OM so po~etna to~ka O i proizvolna to~ka M. M O Nacrtaj polupravi AB i AC, taka {to to~kite A, B i C ne le`at na ista prava. Nacrtaj prava a i na nea ozna~i to~ki M i N. [to pretstavuva presekot na polupravite MN i NM? So pravata b na crte`ot ramninata e podelena na dve poluramnini, od koi ednata e oboena. C B b A Koi od ozna~enite to~ki le`at vo ista poluramnina? [to e pravata b za poluramninata?

2.

V

Koja polurava e podmno`estvo na polupravata OA? Koja poluprava e podmno`estvo na polupravata O1B? Voo~iv deka: Site to~ki na polupravata O1A pripa|aat na polupravata OA, t.e. O1A Í OA. Site to~ki na poluravata OB pripa|aat na polupravata O1B, t.e. OB Í O1B. Za polupravite OA i O1A velime deka se istonaso~eni. I polupravite OB i O1B se istonaso~eni. Za polupravite OA i O1B velime deka se sprotivnonaso~eni. I polupravite OA i OB se sprotivnonaso~eni. Istonaso~enite polupravi }e gi ozna~uvame so znakot "­­ , a sprotivnonaso~enite so znakot "­¯ . Primer: OA­­O1A; OA­¯O1B.

Razgledaj go crte`ot; voo~i gi paralelnite pravi a i b i na niv ozna~enite polupravi OA, O1B i O1C. Koi od polupravite le`at vo ista poluramnina so grani~na prava OO1?

4

p

A

O1

O

Tema 1. Vektori. Translacija

A

O

a b

1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 11234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012 1234567890123456789012

C

O

B

Voo~iv deka polupravite OA i O 1 B le`at vo ista poluramnina so grani~na prava OO1.

Za polupravite OA i O 1 B velime deka se istonaso~eni, t.e. OA­­O1B. Polupravite OA i O1C ne le`at vo ista poluramnina so grani~na prava OO 1 i za niv velime deka se sprotivnonaso~eni, t.e. OA­¯O1C.

Va`i i op{to Za dve polupravi velime deka se istonaso~eni (ili: imaat ista nasoka) ako le`at na edna prava i ednata e podmno`estvo od drugata ili ako le`at na paralelni pravi i pripa|aat na ista poluramnina so grani~na prava niz nivnite po~etni to~ki. Za dve polupravi koi le`at na ista prava ili na paralelni pravi i ne se istonaso~eni velime deka se sprotivnonaso~eni (ili: imaat sprotivni nasoki).

3.

Odredi kako se naso~eni:

a) polupravite OA i O1A; b) polupravite OA i O1A; v) polupravite OB i O1A; g) polupravite OB i O1D; O1D i O1C; OB i O1C.

a)

O1

A

b) O º O 1

O

v) g)

B

O

A

B

A O º O1

A

a

a||b

b D

O1

C

Ova ti e poznato Na crte`ot ima soobra}ajni znaci koi ozna~uvaat nasoka. KUMANOVO VELES

Objasni {to poka`uva sekoj od znacite. Zborot nasoka ~esto go upotrebuvame; na primer: "veterot duva vo severna nasoka , "avionot leta vo nasoka Skopje - Ohrid , itn.

B 4.

Nacrtaj poluprava OA i potoa: Nacrtaj dve polupravi O1A1 i O2B2 istonaso~eni so polupravata OA. Kako se naso~eni polupravite O1A1 i O2B2? Kolku polupravi mo`e da se konstruiraat vo ramninata istonaso~eni so polupravata OA?

Vektor. Operacii so vektori

5

Zaklu~iv deka vo ramninata postojat beskone~no mnogu polupravi istonaso~eni so dadenata poluprava OA.

Mno`estvoto S od edna poluprava i site istonaso~eni polupravi na nea vo ramninata se vika nasoka. Nasokata S ja pretstavuvame so edna poluprava AB od mno`estvoto istonaso~eni polupravi i velime polupravata AB ima nasoka S. B

5.

Dadeni se polupravite OA, O1A1 i O2A2,taka {to OA­­O1A 1; O 1A 1­¯O2A 2. So polupravata OA e opredelena nasokata S,a so polupravata O2A2 nasokata R. O

Treba da znae{:

da objasni{ {to e nasoka i so {to se pretstavuva nasoka.

A S

[to e to~no: O1A1 Î S; O1A1 Î R?

da objasni{ koi dve polupravi imaat ista nasoka, odnosno sprotivna nasoka;

S A

O1

A1

O2

R A2

Proveri se! Na crte`ot pravite a i b se paralelni. Koi od polupravite OA, A O O1C i O1B: se istonaso~eni; se sprotivnonaso~eni; opredeluvaat ista nasoka? C

O1

a

B

b

Zada~i 1. Kakva figura mo`e da bide presekot na:

3. Nacrtaj pravoagolnik ABCD i neka O e

2. Kakva figura mo`e da bide unijata na:

4. Na pravata a se dadeni polupravite

prese~nata to~ka na negovite dijagonali. Koi od polupravite: AB, DC, BA, AO, OC i DB se: a) istonaso~eni; b) sprotivno naso~eni?

a) dve istonaso~eni polupravi {to le`at na edna prava; b) dve sprotivnonaso~eni polupravi {to le`at na edna prava?

a) dve istonaso~eni polupravi {to le`at na edna prava; b) dve sprotivnonaso~eni polupravi {to le`at na edna prava?

6

Tema 1. Vektori. Translacija

OA, O1A i O2A,takvi {to OA­­O1A, a

O1A­¯O2A. Kako se naso~eni polupravite OA i O2A ?

2

VEKTORI

Potseti se!

A 1.

So zapisot (a, b) ozna~uvame podreden par. Vo podredeniot par to~no se znae koj e prv, a koj vtor element. Za podredeniot par to~ki, (A, B), to~kata A e prva komponenta, a to~kata B e vtora komponenta. Neka podredeniot par (5, 8) ozna~uva petti red i osmo sedi{te vo edna kino sala. Dali podredeniot par (8, 5) ozna~uva isto sedi{te?

Neka A i B se krajnite to~ki na otse~kata a. a B

A

Koe od slednite tvrdewa e to~no: a) $% %$ ; b) AB i BA e istata otse~ka; v) {A, B} = {B, A}; g) (A, B) = (B, A)?

Voo~iv deka: tvredewata pod a), b) i v) se to~ni; tvrdeweto pod g) ne e to~no, bidej}i kaj podredenite parovi va`i: (A, B) ยน (B, A), koga A ยน B. Otse~kata AB na koja ednata krajna to~ka se zema za po~etok, a vtorata to~ka za kraj se vika naso~ena otse~ka i se ozna~uva so AB. B

Krajnite to~ki na naso~enata otse~ka AB pretstavuvaat podreden par (A, B). Naso~enata otse~ka AB, na crte`, se pretstavuva so strelka od po~etnata to~ka A kon krajnata to~ka V. To~kata A se vika po~etok, a to~kata B kraj na naso~enata otse~ka AB.

A

a

2.

Na crte`ot polupravite AB, CD i EF le`at na paralelnite pravi a, b i c. Kako se naso~eni polupravite: AB, CD i EF? Sporedi gi dol`inite na otse~kite: AB i CD; AB i EF.

A C

B

b

D

c

F

E Voo~i gi naso~enite otse~ki AB, CD, EF i vo narednoto iska`uvawe potrudi se da sfati{ za koi dve naso~eni otse~ki se veli deka se ednakvi.

Voo~iv deka polupravite AB, CD i EF se istonaso~eni;

$% = &' ; $% < () .

Vektor. Operacii so vektori

7

Nasokata {to ja opredeluva polupravata AB se vika nasoka na naso~enata otse~ka AB. Spored toa, naso~enite otse~ki AB, CD i EF se istonaso~eni. Dol`inata na otse~kata AB se vika dol`ina (ili intenzitet) na naso~enata otse~ka AB; se ozna~uva so |AB|. Spored toa, |AB| = |CD|, a |AB| < |EF|. Naso~ena otse~ka ~ij{to po~etok se sovpa|a so krajot (AA, BB, ...) se vika nulta naso~ena otse~ka. Taa nema odredena nasoka, a nejzinata dol`ina e nula. Naso~enite otse~ki AB i CD se ednakvi, ako imaat ednakva

B

A

dol`ina i ista nasoka, t.e. |AB| = |CD| i AB­­CD. Zapi{uvame: AB = CD.

B 3.

D

C

Neka to~kata O se pomesti za ~etiri edinici nadesno po pra-

G

F

O

A

B

C

D

E p

vata p, kade {to 2$ . Vo koja to~ka }e se pomesti, t.e. }e se preslika to~kata O na pravata p? Voo~iv deka to~kata O }e se pomesti (}e se preslika) vo to~kata D. To~kata O e po~etna, a to~kata D krajna vo ova pomestuvawe. [to pretstavuvaat to~kite O i D?

To~kite O i D se krajni to~ki na naso~enata otse~ka OD. Tie pretstavuvaat podreden par (O, D).

Ova pomestuvawe na to~ka vo ramninata e izvr{eno vo odredena nasoka i na odredeno rastojanie. Na crte`,

O

nego go pretstavuvame so naso~enata otse~ka OD.

D

Neka e pretstavena edna naso~ena otse~ka AB. Kolku naso~eni otse~ki ednakvi na AB postojat? Mo`am da nacrtam mnogu naso~eni otse~ki ednakvi

F

E

D

C A

na AB, a ima beskone~no mnogu {to se ednakvi na nea.

B G

H

Voo~i i zapomni! Mno`estvoto od edna naso~ena otse~ka i site naso~eni otse~ki ednakvi na nea se vika vektor. Mno`estvoto od site nulti naso~eni otse~ki se vika nulti vektor.

8

Tema 1. Vektori. Translacija

Ova e va`no!

a A

Vektorot na crte` }e go pretstavuvame so edna naso~ena otse~ka, t.e. so eden pretstavnik od mno`estvoto ednakvi naso~eni otse~ki. Spored toa, naso~enata otse~ka }e ni pretstavuva vektor.

B D

b

C c F

Vektorot }e go ozna~uvame so AB ili so mala bukva i strelka

E

nad nea. Na crte`ot se dadeni vektorite: AB = a ; CD = b i EF = c .

4.

Ozna~i ~etiri to~ki A, B, C i D. Pretstavi gi vektorite: a = AB; b = DC i c = AD.

Toa {to go nau~i za naso~enite otse~ki, mo`e da se iska`e i za vektorite. Neka e daden vektor a so naso~enata otse~ka AB. Nasokata na naso~enata otse~ka AB pretstavuva nasoka na vektorot a .

a B

A

Dol`inata na naso~enata otse~ka AB se vika dol`ina (ili intenzitet) na vektorot a i se ozna~uva so | a | ili so |AB|.

5.

Nacrtaj dva vektora AB i CD, taka {to tie da se: a) istonaso~eni;

b) sprotivnonaso~eni. a) Vektorite AB i CD vo barawata a) i A b) mo`e{ da gi pretstavi{ kako na crte`ot.

B C

b)

A

B D

D

C

Zabele`av deka: nasokata na vektor se opredeluva na ist na~in kako i kaj naso~enite otse~ki, bidej}i vektor se pretstavuva so naso~ena otse~ka.

6.

Nacrtaj vektor AB i ozna~i to~ki C i M (kako na crte`ot). Nacrtaj vektor CD taka {to CD ­­ AB.

B

A

Nacrtaj vektor MN taka {to MN ­¯ AB.

C M

Voo~i i zapomni!

Za vektorite {to imaat ista nasoka ili sprotivna nasoka velime deka se kolinearni, t.e vektorite AB i CD se kolinearni, ako AB ­­ CD ili AB ­¯ CD. Za kolinearnite vektori velime deka imaat ist pravec.

Vektor. Operacii so vektori

9

7.

Nacrtaj dva kolinearni vektori a i b, taka {to tie da le`at: na paralelni pravi i a ­­ b;

na paralelni pravi i a ­¯ b;

na ista prava i a ­¯ b;

na ista prava i a ­­ b, | a | = 3 cm, | b | = 5 cm.

Nulta naso~ena otse~ka pretstavuva nulti vektor; toj se ozna~uva so 0. Nultiot vektor go smetame za kolinearen so sekoj drug vektor i so dol`ina ednakva na nula.

Treba da znae{: da objasni{ {to e naso~ena otse~ka i {to e vektor;

da odredi{ (i objasni{ za) vektori so: ista nasoka, sprotivni nasoki i kolinearni vektori.

Proveri se! Na crte`ot pravata p e paralelna so pravata q. Koi vektori se pretstaveni na crte`ot? d

M

N A

p

F

B

q

b

c

a

D

E C

Kakva nasoka imaat vektorite: a i b; a i c ; b i c ? Dali vektorite a i d se kolinearni? Zo{to? Dali vektorite a, b i c se kolinearni? Zo{to?

Zada~i

3. Na crte`ot se dadeni vektori vo

kvadratna mre`a. Kako se naso~eni vektorite?

1. Zapi{i gi vektorite {to se opredeleni so podredenite parovi to~ki: (A, B), (C, D), i (E, F).

2. Poznato e deka vektorite AB i CD se

a) AB i AC;

b) AB i EF;

v) AC i EF;

g) PQ i RS;

d) MN i TL;

|) EF i PQ ?

kolinearni. Dali se kolinearni vektorite: AB i DC;

BA i DC?

C E

Tema 1. Vektori. Translacija

B F P

M

10

A

T

N

Q

S R L

3

EDNAKVOST NA VEKTORI

A 1.

Potseti se! Za koi dva vektori AB i CD velime deka imaat ista nasoka? [to pretstavuva dol`ina na vektorot AB?

~eni se vektorite AB = a; DC = b; AD = c; CB = d. D

gi nivnite dol`ini i odredi kako se naso~eni. D

C

b

C

b

c

Na pravoagolnikot ABCD pretstaveni se vektorite AB = a i DC = b. Sporedi

Vo paralelogramot ABCD ozna-

d

a A

B

Sporedi gi dol`inite i odredi kako se naso~eni vektorite a i b, odnosno vektorite c i d.

a A

B

Sprotivnite strani vo sekoj paralelogram se paralelni i ednakvi.

Voo~iv deka: vektorite a i b imaat ista nasoka i ednakvi dol`ini; vektorite c i d imaat sprotivni nasoki i ednakvi dol`ini.

Voo~i i zapomni! Dva vektori a i b se ednakvi ako imaat ista nasoka i ednakvi dol`ini, t.e. a = b ako

1. a ­­ b i 2. | a | = | b |.

Dva vektori c i d se sprotivni, ako imaat sprotivni nasoki i ednakvi dol`ini. Za vektorot d se veli deka e sprotiven na vektorot c. Sprotiven vektor na c se ozna~uva so -c, t.e. d = -c.

2.

Nacrtaj vektor MN ednakov na daden vektor a = AB.

Prvo }e nacrta{ vektor AB i }e ozna~i{ proizvolna to~ka M. Kako }e ja odredi{ to~kata N za

Niz to~kata M }e povle~am poluprava MD istonaso~ena so polupravata AB. Na polupravata MD }e odredam to~ka

vektorot MN?

N taka {to 01 = $% .

Vektor. Operacii so vektori

11

Voo~i deka za daden vektor a mo`e{ da nacrta{ bezbroj mnogu ednakvi vektori na nego. Eden vektor a e opredelen ako e dadena negovata nasoka S i dol`inata | a | = r ili ako e daden podredeniot par to~ki (A, B) - negoviot po~etok A i krajot B.

3.

Nacrtaj vektor a, ako e dadena negovata nasoka S i dol`inata | a | = r. Voo~i ja postapkata i sporedi go tvoeto re{enie.

F

Na crte`ot e dadena nasokata S so polupravata

F F

Od proizvolna to~ka M konstruirame poluprava MD istonaso~ena so AB.

AB i dol`inata r = 34 na vektorot a.

r

P S

A

N

a

M

Q

B

D

Na polupravata MD odreduvame to~ka N, taka {to 01 = r.

B

So toa e opredelen vektorot MN = a .

4.

Daden e vektorot AB = a i to~kata M. Nacrtaj vektor MN = -a .

5.

Spored crte`ot, odredi koi od slednite vektori se ednakvi, odnosno sprotivni: a) a i b ;

g) e i r ;

b) a i c ;

d) g i h ;

v) b i c;

|) c i n :

B 6.

a

A

M b

a c

n

r

e g

h

Daden e vektorot AB = a i to~kata O. Konstruiraj vektor OC ednakov na vektorot AB.

Razgledaj go re{enieto i obrazlo`i ja postapkata.

F F Kako ja odredi to~kata C na vektorot OC?

Na koj na~in ja konstruira prvo polupravata OD?

B A

a

O

C

D

a

Voo~i i zapomni! Ako vo ramninata e daden vektor AB = a i proizvolna to~ka O, toga{ postoi edinstven vektor OC so po~etok vo to~kata O koj{to e ednakov na vektorot a. Konstruiraweto na vektorot OC ednakov na vektorot a , go vikame prenesuvawe na vektorot a vo to~kata O.

12

Tema 1. Vektori. Translacija

7.

Izberi ~etiri to~ki O, A, B i C. Vo to~kata O prenesi gi vektorite AB i BC.

8.

Dadeni se vektorite a i b . Vo krajnata to~ka na vektorot a prenesi go vektorot b . Razgledaj go re{enieto i obrazlo`i ja postapkata.

F Prvo konstruiraj ja polupravata BD so nasoka na b . F Kako ja odredi to~kata C za vektorot BC da e ednakov na b ?

B b

C

D

a b A

Voo~i i zapomni! Za vektorot a i preneseniot vektor b velime deka se nadovrzani. Dva vektori se nadovrzani ako krajot na edniot vektor se sovpa|a so po~etokot na drugiot vektor.

Treba da znae{: da objasni{ koi dva vektori se ednakvi, odnosno sprotivni; da prenese{ daden vektor vo dadena to~ka i na daden vektor da nadovrze{ drug daden vektor.

Proveri se! Na vektorot a nadovrzi go vektorot -b. Obrazlo`i ja postapkata.

A

a

B

M

b

N

Zada~i 1. Nacrtaj dva kolinearni vektori a i b i na vektorot a nadovrzi go vektorot b.

4. Dadeni se dve proizvolni to~ki A i B.

Dali vektorot BA e sprotiven na vektorot AB? Obrazlo`i!

2. Nacrtaj dva sprotivni vektori a i b i

5. Izberi dva vektori a = AB i b = CD.

na vektorot a nadovrzi go vektorot b.

Na vektorot a nadovrzi go vektorot b .

3. Dali ednakvite vektori se kolinearni?

6. Dadeni se vektorite a, b, c i to~kata

Obrazlo`i!

O. Prenesi gi trite vektori vo to~kata O.

Vektor. Operacii so vektori

13

4

SOBIRAWE NA VEKTORI

Potseti se!

A 1.

Obrazlo`i ja postapkata za prenesuvawe na daden vektor a vo dadena to~ka O. Na vektorot a nadovrzi go vektorot b. Obrazlo`i ja postapkata!

Dadeni se vektorite a, b i to~kata O vo ramninata. Prenesi gi vektorite a i b taka

b

O a

{to OA = a i AB = b.

Konstruiraj go vektorot c = OB. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto i obrazlo`i ja postapkata.

b

B

c O

b

go prenese vektorot a = OA i vektorot A a a F Kako b = AB? go odredi vektorot c = OB? F Kako F Koja e po~etnata, a koja krajnata to~ka na vektorot c ? [to pretstavuva to~kata O za vektorot a i to~kata B za vektorot b ? FVoo~i i zapomni deka vaka konstruiraniot vektor c se vika zbir na vektorite a i b .

Ova e va`no pravilo za sobirawe na vektori! Zbir na dva nadovrzani vektori a i b pretstavuva vektorot c , ~ij po~etok se sovpa|a so po~etokot na vektorot a , a krajot mu se sovpa|a so krajot na vektorot b , t.e. ako a = OA i b = AB , toga{ a + b = OB. Izberi druga to~ka O1 razli~na od O i prenesi go vektorot a = O1A1 i b = A1B1. [to pretstavuva vektorot O1B1 za vektorite a i b ? Sporedi gi vektorite OB i O1B1.

Voo~i i zaklu~i! Vektorot O1B1 = OB = c. Zbirot na dva vektori e ednozna~no opredelen i e nezavisen od izborot na po~etnata to~ka O.

2. 14

Nacrtaj dva nekolinearni vektori a i b i konstruiraj go nivniot zbir.

Tema 1. Vektori. Translacija

Kako polesno }e go izvr{i{ sobiraweto na vektorite a i b, bidej}i nivniot zbir ne zavisi od izborot na po~etnata to~ka O?

]e go prenesam samo vektorot b , odnosno na vektorot a }e go nadovrzam vektorot b , a potoa }e go odredam nivniot zbir.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

N

F F [to pretstavuva vektorot AC za vektorite a i b ? F

Imenuvaj gi dadenite vektori so nivnite po~etni i krajni to~ki. Kako e konstruiran vektorot BC = b ?

b M

Voo~i deka odreduvaweto zbir na dvata vektori se sveduva na konstrukcijata na triagolnikot ABC. Zatoa velime, zbirot na dvata vektori e odreden po praviloto na triagolnik.

3.

c

A

Dadeni se vektorite a, b i c . Konstruiraj go zbirot:

=

a

+

a

a

b + c.

a + b;

C b

b B

c b

4.

a

Dadeni se kolinearnite vektori AB = a ; CD = b i

A

EF = c. Konstruiraj go zbirot: a) a + b ;

b) a + c ;

v) b + c

B c

E

D

C

F D

Razgledaj go re{enieto pod a). AB = a ; BD = b i AD = a + b .

b

b

B a Voo~i kako e primeneto praviloto za sobirawe na vektori. Obrazlo`i ja postapkata.

B 5.

A

Odredi go zbirot na nultiot vektor 0 i vektorot a .

Voo~i deka za zbirot na vektorite AA = 0 ; AB = a, spored praviloto za sobirawe na vektori va`i: 0 + a = AA + AB = AB = a . Isto taka: a + 0 = AB + BB = AB = a .

Va`i i op{to Za sekoj vektor a se to~ni ravenstvata: 0 + a = a = a + 0 .

6.

A

Dadeni se vektorite a i AA = 0 . Konstruiraj go vektorot 0 + a .

Vektor. Operacii so vektori

a

15

7.

Nacrtaj dva sprotivni vektori a i - a , a potoa odredi go nivniot zbir. Ako a = AB i - a = BA , toga{ spored praviloto za sobirawe na vektori sleduva: a + (- a ) = AB + BA = AA = 0 . Isto taka: (- a ) + a = BA + AB = BB = 0 .

Va`i i op{to Za sekoj vektor a se to~ni ravenstvata: a + (- a ) = 0 = (- a ) + a .

8.

Neka se dadeni dva nekolinearni vektori a i b . Konstruiraj gi zbirovite a + b i b + a . Sporedi gi vektorite a + b i b + a . Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto i voo~i ja postapkata.

F Izbirame to~ka A. Vektorot

D

a go prenesu-

vame so po~etok vo to~kata A i na nego go

b

nadovrzuvame vektorot b , t.e. AB = a , BC = b; dobivame: AC = a + b .

a

b

a a b+ b a+

C

b

a

B A konstruirame paralelogramot ABCD, t.e. F goGo odreduvame temeto D. vo paralelogramot sprotivnite strani se paralelni i ednakvi, dobivame: F Bidej}i DC = AB = a , AD = BC = b .

F Toga{: AC = AD + DC = b + a , pa: a + b = b + a . Va`i i op{to Za koi bilo dva vektori a i b e to~no ravenstvoto: a + b = b + a , t.e. sobiraweto na vektori go ima komutativnoto svojstvo.

Spored crte`ot, mo`e{ li da voo~i{ drug na~in za sobirawe na vektorite a i b ?

Vektorite a i b }e gi prenesam vo zaedni~ki po~etok (AB = a i AD = b ), a potoa }e konstruiram paralelogram ABCD. Vektorot {to go opredeluva dijagonalata AC e zbirot a + b .

Ova pravilo za sobirawe na vektori e nare~eno pravilo na paralelogram.

16

Tema 1. Vektori. Translacija

9.

Nacrtaj dva nekolinearni vektori a i b i konstruiraj go nivniot zbir po praviloto na paralelogram.

a+

Sporedi so tvoeto re{enie so dadenoto na crte`ot i obrazlo`i ja postapkata.

10.

a

C

D

b

b

B

a

A

b

Daden e ~etiriagolnikot ABCD. Neka AB = a , BC = b ,

D c

CD = c i AD = d .

deka: AC + CD = AD, t.e. F Od DACD mo`e{ da (voo~i{ a+b)+c=d.

c

a

Voo~i na crte`ot deka vektorite a , b i c se nadovrzani.

+b

a

A

C

b+

d

Obidi se da poka`e{ deka ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

b

B

F Od DABD sleduva: AB + BD = AD, t.e. a + ( b + c ) = d . F Spored toa, ( a + b ) + c = a + ( b + c ). Va`i i op{to Za sekoi tri vektori a , b i c e to~no ravenstvoto: ( a + b ) + c = a + ( b + c ), t.e. za sobiraweto na vektori va`i asocijativnoto svojstvo. Poradi toa, zbirot na trite vektori mo`e da se zapi{e i bez zagradi: a + b + c .

Voo~i i zapomni Zbir na tri ili pove}e nadovrzani vektori e vektor ~ij po~etok se sovpa|a so po~etokot na prviot vektor, a krajot mu se sovpa|a so krajot na posledniot nadovrzan vektor.

Na crte`ot e konstruiran zbirot na vektorite a , b , c i d , t.e. a + b + c + d = e. c

d

c

d

b a

e

a

b

Nacrtaj tri nekolinearni vektori a , b i c , a potoa konstruiraj go nivniot zbir.

Vektor. Operacii so vektori

17

Treba da znae{:

Proveri se!

da konstruira{ zbir na dva vektori po praviloto na triagolnik i na paralelogram; da gi iska`e{ i da gi primeni{ svojstvata na sobirawe na vektori.

Nacrtaj dva vektori a i b , taka {to dadeniot vektor c da pretstavuva niven zbir.

c

Zada~i

1. Dadeni se vektorite (kako na crte`ot) AB = a , CD = b i PP = 0. B

3. Daden e ~etiriagolnikot ABCD i vek-

torite AB = a , BC = b , CD = c i DA = d . Spored crte`ot odredi go zbirot:

P

a A C

D

b

a) a + b ;

v) a + b + c ;

b) d + a ;

g) a + b + c + d . D

Konstruiraj gi so po~etok vo dadena to~ka M, vektorite: a) - a ;

b) - b ;

v) a + b ;

g) a + 0;

d) - b + 0;

|) a + (-a ).

c C

d

b A

a

B

2. Daden e triagolnikot ABC i vektorite AB = a , BC = b i CA = c. Koi od slednive ravenstva se to~ni?

4.

C

A

18

a

c , taka {to vektorot b da ima sprotivna nasoka od vektorite a i c .

b

c

Nacrtaj tri kolinearni vektori a , b ,

Konstruiraj gi zbirovite: B

a) a + b = c ;

b) a + b = - c ;

v) a + c = a ;

g) a + b + c = 0 ?

Tema 1. Vektori. Translacija

a) a + b ;

b) a + c ;

v) b + c ;

g) a + b + c .

5

ODZEMAWE NA VEKTORI

A 1.

Potseti se!

OA = a i OB = b .

Dadeni se vektorite a i b . C b B

Dadeni se vektorite b

Konstruiraj go vektorot x , taka {to

A Nacrtaj vektor c , taka {to a + b = c.

Razgledaj go re{enieto (na crte`ot) i obrazlo`i go. Koja e po~etnata, a koja krajnata to~ka na vektorot x ?

a

O

b+x=a.

a

B

A

B x

b O

a

A

Voo~iv deka vektorot x treba da bide nadovrzan na vektorot b , a krajot da mu se sovpa|a so krajot na vektorot a , t.e. x = BA .

F Vaka konstruiraniot vektor x se vika razlika na vektorite a i b ; toj se ozna~uva so a - b , t.e. x = a - b .

Voo~i i zapomni Razlika na vektorite a i b pretstavuva vektorot x , takov {to b + x = a , t.e. ako b + x = a , toga{ x = a - b .

2.

Dadeni se vektorite a i b .

b

Konstruiraj go vektorot c = a - b .

a

Razgledaj go re{enieto i voo~i ja postapkata.

M b

ab

to~ka, no poprakti~no e edniot vektor da go prenese{ vo po~etokot na drugiot vektor.

c=

Za da ja konstruira{ razlikata a - b treba prethodno F vektorite a i b da gi dovede{ vo proizvolna zaedni~ka A

a

B

F Ako AB = a i AM = b, toga{ vektorot a - b go konstruira{ spored zaklu~okot: MB = a - b .

Vektor. Operacii so vektori

19

3.

a

Dadeni se kolinearnite vektori a , b i c. Konstruiraj go vektorot:

b

a) m = a - b ; b) n = b - c.

c

Voo~i go re{enieto i obrazlo`i go. Spored crte`ot: a) OB = a ; OA = b ; AB = m = a - b ;

O

b) OB = c ; OA = b ; BA = n = b - c .

a

A

B n

b O

4.

m

b

c

A

B

Nacrtaj dva vektori a i b taka {to | a | = 5 cm, a | b | = 3 cm i konstruiraj go vektorot c=a-b.

5.

C

Spored crte`ot koe od slednite ravenstva e to~no:

B

a) b + a = c ;

b) c - b = a ;

v) c = a - b ;

g) c - a = b ?

b A

a c

B

Ti se zapozna so vektorite, gi zapozna nivnite svojstva i nekoi operacii so niv. Vo ponatamo{noto tvoe izu~uvawe na matematikata, fizikata i drugite nauki }e ja sogleda{ nivnata golema primena.

Ako zapi{e{ deka dol`inata na u~ilnicata e 10 m ili deneska temperaturata e +12oC, toga{ so ovie podatoci napolno se odredeni dol`inata na u~ilnicata i temperaturata. Veli~inite kako {to se na primer: dol`inata, plo{tinata, volumenot, masata, temperaturata i dr., celosno se opredeleni so broevi. Takvi veli~ini se vikaat skalarni veli~ini ili skalari.

6.

Dali e dovolen podatokot ako re~eme deka vetrot ima brzina 20 km na ~as?

Ne e dovolen podatokot. Vetrot se karakterizira i so svojata nasoka koja mo`e da bide severna, ju`na, isto~na itn. Prirodno e veli~inite koi se karakteriziraat, osven so svojata brojna vrednost, u{te so svojata nasoka da gi nare~eme vektorski veli~ini. Koi veli~ni ti se poznati kako vektorski veli~ini?

7.

Takvi veli~ni se: brzinata, silata, zabrzuvaweto i dr.

Vodata vo edna reka te~e so brzina od 4 m vo sekunda. Eden ~amec trgnuva od edniot breg, normalno na drugiot breg, so sopstvena brzina od 3 m vo sekunda. Odredi vo koja nasoka }e se dvi`i ~amecot i so koja brzina.

20

Tema 1. Vektori. Translacija

Razmisli za re{enieto, a potoa sogledaj ja slednata postapka.

F

So vektorot v1 (|v1| = 3 m) e pretstavena sopstvenata brzina na ~amecot vo mirna voda.

vektorot v (|v | = 4 m) e pretstavena brzinata F So na rekata. v = v + v ja pretstavuva brzinata na F Vektorot dvi`eweto na ~amecot. na vektorot v e nasoka na dvi`eweto F Nasokata na ~amecot, a dol`inata na vektorot v pretsta2

v2

A

2

1

v1

2

v=

v1

+

v2

v1 reka B

v2

vuva kolku metri vo sekunda se dvi`i ~amecot.

F Izmeri kolku metri vo sekunda se dvi`i ~amecot. Treba da znae{: da ja iska`e{ definicijata i na~inot za odzemawe na dva vektori; da konstruira{ razlika na dva vektori; da objasni{ koi se skalarni, a koi vektorski veli~ini.

Zada~i 1. Dadeni se vektorite AB = a; CD = b i EF = c .

F

b

a A

D

C Konstruiraj ja razlikata: a) a - b ;

b) b - c ;

v) a - c ;

g) ( a - b ) - c .

Nacrtaj dva kolinearni vektori, a potoa odredi ja nivnata razlika.

3. Dadeni se vektorite a , b i c taka {to a i b se kolinearni vektori. a

E

Konstruiraj go vektorot ( a + b ) - c.

MM = 0 .

C b D

Konstruiraj go vektorot: a) a - b ;

b) a - 0 ;

v) 0 - a ;

g) ( a + b ) - 0.

c

b

2. Dadeni se vektorite AB = a , CD = b i

A

Nacrtaj vektor a , a potoa pretstavi go kako razlika na dva vektori.

c

B

a

Proveri se!

M

4. Nacrtaj pravoagolnik ABCD i stavi AB = a , BC = b. So vektorite a i b izrazi go vektorot a) AC;

b) BD.

Vektor. Operacii so vektori

21

TRANSLACIJA

6

TRANSLACIJA

A 1.

Potseti se!

Vo ramninata e daden vektorot a i to~kite A, B i C.

Vektorot go pretstavuvame so naso~ena otse~ka, a naso~enata otse~ka, na crte`, se pretstavuva so strelka. a Na crte`ot e pretstaB

B a Odredi gi A to~kite A 1, B1 i C1, taka C {to vektorite AA1, BB1 i CC1 da se ednakvi na

ven vektorot AB = a.

A So {to e opredelena nasokata na vek-

vektorot a .

torot a ? Odredi ja dol`inata na vektorot a.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

Za koi dva vektori a i b velime deka se ednakvi?

A1 a

B

A

B1 C1

C

Voo~i deka to~kata A e pomestena (preslikana) za vektorot a vo to~kata A1, B vo B1 i C vo C1. Za to~kata A1 velime deka e slika na to~kata A pri toa pomestuvawe, a to~kata A e original na to~kata A1. Koja to~ka e slika na to~kata B, a koja to~ka e original na to~kata C1? [to pretstavuvaat to~kite A i A1, odnosno B i B1, odnosno C i C1 za vektorot a ?

To~kata A e po~etna to~ka, a slikata A1 krajna to~ka na vektorot a . Soodvetno va`i i za to~kite B i B1, odnosno C i C1.

Voo~i deka sekoja to~ka X od ramninata mo`e da se pomesti (preslika), za daden vektor a , vo samo edna to~ka X1.

Treba da zapomni{ Pomestuvaweto (preslikuvaweto) vo ramninata, pri koe na sekoja to~ka M odgovara to~kata M1, takva {to, vektorot MM1 e ednakov na daden vektor a , se vika translacija (ili paralelno pomestuvawe) za vektor a .

vektor a se vika vektor na translacija. Translacijata za vektor F Dadeniot simboli~ki ja zapi{uvame so t . a

22

Tema 1. Vektori. Translacija

a

Za soodvetnite to~ki M i M velime: M e slika na na M, a M e original na M . U{te F velime deka na to~kata M sme izvr{ile translacija za vektorot a . 1

F 2.

Ako M1 e slika na M zapi{uvame: M t

1

a

1

M1 ili M1 = t a (M).

Dadeni se vektorite a i b i to~kata M vo ramninata. Odredi gi to~kite t a (M) i t b (M).

M a b

t a (M)

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Vo to~kata M prenesi gi vektorite a i b .

F F Krajot na preneseniot vektor a e to~kata t

t b (M) a

(M).

a

M

Kako e odredena to~kata t b (M)?

Koi translacii se izvr{eni na to~kata M? Kolku translacii se opredeleni so eden vektor a ?

b

Na to~kata M se izvr{eni translaciite t a i t b . Eden vektor a opredeluva samo edna translacija.

Voo~i deka edna translacija e opredelena so vektor a ili so eden par to~ki (M, t a (M)), t.e. so M - original i M1 = t a (M) - nejzinata slika.

Razmisli kakva translacija opredeluva nultiot vektor. Translacijata za vektor 0 se vika identi~na translacija.

Po~etnata to~ka na nultiot vektor se sovpa|a so krajnata to~ka. Sleduva deka translacijata za vektorot 0 , sekoja to~ka M ja preslikuva sama na sebe.

Treba da znae{: da objasni{ {to e translacija; so {to e opredelena edna translacija; da odredi{ slika na dadena to~ka pri translacija za daden vektor a .

Proveri se! Odredi ja to~kata A, ako e dadena nejzinata slika A1 = t a (A) pri translacija za vektor a . a

t a (A)

Translacija

23

Zada~i

B

t(A)

par to~ki (A, t(A)).

1. Dadeni se vektorot a i to~kite A, B i C.

Konstruiraj go vektorot a na translacijata t.

a A

C

7

A

2. Daden e podredeniot

3. Na dadena to~ka

A

M izvr{i translacija t dadena so podredeniot par to~ki (A, t(A)).

Izvr{i translacija na to~kite A, B i C za vektorot a .

t(A) M

SVOJSTVA NA TRANSLACIJATA

Potseti se!

A 1.

Objasni kakvo pomestuvawe vo ramninata e translacijata. So {to e opredelena edna translacija?

Daden e vektorot a i razli~nite to~ki A, B i C1. Odredi gi to~kite A1 = t a (A) i B1 = t a (B).

Za koi dve figuri F1 i F2 se veli deka se skladni?

C1

a A

B

Razmisli dali to~kite A1 i B1 mo`e da se sovpa|aat pri nekoja translacija. Odredi to~ka C taka {to to~kata C1 da e nejzinata slika pri translacija za vektor a . Dali sekoja to~ka od ramninata e slika na nekoja to~ka pri translacija za vektor a ? A1 C1

Razgledaj go re{enieto i voo~i: AA = a , BB = a i to~kite A i B se F Bidej}i razli~ni, toga{ i to~kite A i B se razli~ni. izbranata to~ka C , mo`e{ da konstruira{ vektor F Za CC = a , t.e. da odredi{ to~ka C taka {to C da e 1

a

1

1

1

A

1

1

nejzinata slika pri translacijata t a .

B1

B

C

1

Voo~i deka sekoja translacija go ima slednoto svojstvo. Razli~ni to~ki A i B pri translacija za vektor a imaat razli~ni sliki i F sekoja to~ka C od ramninata e slika na nekoja to~ka pri translacijata t . 1

2.

Dadena e otse~kata AB i vektorot a (na crte`ot). Odredi gi to~kite A1 = t a (A) i B1 = t a (B). Poka`i deka otse~kata A1B1 e paralelna i ednakva so otse~kata AB.

24

Tema 1. Vektori. Translacija

a

a A

B

Poka`i deka otse~kata A1B1 e slika na otse~kata AB pri translacijata t a .

F

A1

Razgledaj go re{enieto i voo~i ja postapkata.

X1

B1

a

To~kite A, B i nivnite sliki A1, B1, dobieni so translacija t a , formiraat ~etiriagolnik ABB1A1.

F

Bidej}i AA1 = a = BB1 , sleduva deka ~etiriagolnikot A ABB1A1 ima dve sprotivni strani (AA1 i BB1) paralelni i ednakvi, pa ~etiriagolnikot ABB1A1 e paralelogram.

F

Ako X e koja bilo to~ka od otse~kata AB, toga{ X1 = t a (X) e to~ka od otse~kata A1B1. (Zo{to?) Obratno: za koja bilo to~ka X1 od otse~kata A1B1 ima to~ka X na otse~kata AB, takva {to t a (X) = X1. Spored toa, otse~kata A1B1 e slika na otse~kata AB.

X

B

Go sogleda slednoto svojstvo.

F Pri sekoja translacija otse~ka se pomestuva (se preslikuva) vo ednakva i paralelna otse~ka na nea, t.e. ako t a (A) = A1 i t a (B) = B1, toga{ $% = $ % i AB % A1B1. Voo~i deka pri translacija rastojanieto pome|u to~kite ne se menuva. Ako namesto otse~kata AB, nacrta{ prava AB, toga{ vo {to }e se preslika pravata AB pri translacijata t a ?

A1

a

Pravata AV }e se preslika vo prava A1B1 paralelna na nea.

B1

A B AB || A1B1

Op{to, va`i svojstvoto:

F Pri sekoja translacija prava se pomestuva (se preslikuva) vo prava paralelna na nea. 3.

Nacrtaj otse~ka AB, prava CD i vektor a . Izvr{i translacija na otse~kata AB i na pravata CD za vektor a .

4.

Nacrtaj prava AB i izvr{i translacija na pravata AB za vektor a = AB . Vo {to se preslikuva pravata AB?

5.

C

Daden e triagolnikot ABC i vektorot a .

a

Izvr{i translacija za vektor a na temiwata A, B i C. Neka t a (A) = A1 i t a (B) = B1 i t a (C) = C1. Poka`i deka DABC @ DA1B1C1.

A

B

Translacija

25

Na crte`ot e prika`ana translacijata za vektor a na DABC. Primeni go svojstvoto na translacija na otse~ka i priznakot CCC za skladnost na triagolnici. So toa }e poka`e{ deka DABC @ DA1B1C1. Spored crte`ot, mo`e{ da si pretstavi{ deka DABC e pomesten (preslikan) za vektor a i se sovpa|a so DA1B1C1. Za DA1B1C1 velime deka e slika na DABC pri translacijata t a .

a C

C1 X1

X

A

B

B1

A1

Zna~i, slikata na daden triagolnik pri translacija e triagolnik, skladen so dadeniot. Op{to, dve figuri F i F1 se skladni ako postoi preslikuvawe f: F ÂŽ F1, takvo {to sekoja to~ka od F1 e slika na barem edna to~ka od F i za sekoi dve to~ki A, B ĂŽ F i f(A) = A1, f(B) = B1, da sleduva $%

$ % .

Va`i slednoto svojstvo.

F

Pri translacija za vektor a sekoja figura F se preslikuva vo figura F1 {to e skladna na nea.

Voo~i deka translacijata za sprotivniot vektor - a , sekoja to~ka X1 od figurata F1 ja "vra}a# vo po~etnata polo`ba H, t.e. figurata F e slika na figurata F1 pri translacijata t- a . Translacijata za vektorot - a (sprotiven na a ), pretstavuva inverzna translacija na translacijata za vektor a .

Proveri se!

Treba da znae{: da gi iska`e{ i obrazlo`i{ svojstvata na translacijata za vektor a ; da gi primenuva{ svojstvata na translacija vo zada~i.

Zada~i

Nacrtaj otse~ka AB i na nea izvr{i translacija za vektor a = AB.

3. Nacrtaj agol AOB i vektor a .

Izvr{i translacija na agolot AOB za vektorot a .

1. Nacrtaj otse~ka AB i potoa izvr{i translacija na AB za: a) daden vektor a ;

4. Dadena e kru`nica k so centar O i radius r i vektor a , so | a | = 2r. Izvr{i translacija na kru`nicata k za vektorot a .

b) za vektor a = BA .

2. Nacrtaj prava p i vektor a . Izvr{i translacija na pravata p za vektorot a .

5. Daden e DABC i vektor a . Izvr{i translacija na triagolnikot ABC za:

a) vektorot - a ; b) vektorot c = AB .

26

Tema 1. Vektori. Translacija

8

PRIMENA NA TRANSLACIJATA

Potseti se!

So pomo{ na translacijata se doka`uvaat pove}e geometriski teoremi i se re{avaat zada~i. Kako se primenuva translacijata sogledaj na narednite primeri.

A

Vo kakva figura, preslikuva: a) to~ka; v) poluprava; d) agol; e) triagolnik;

pri translacija, se b) otse~ka; g) prava; |) kru`nica; `) dve pravi {to se se~at?

1.

Doka`i deka:

a) dva agli so istonaso~eni kraci se ednakvi; b) dva agli so sprotivnonaso~eni kraci se ednakvi;

Nacrtaj agol AOB i vektor a . Izvr{i translacija na AOB za vektorot a . Kakvi se po golemina AOB i negovata slika A1O1B1?

v) dva agli, takvi {to edniot par kraci im se istonaso~eni, a drugiot par sprotivnonaso~eni, se suplementni.

Razgledaj gi crte`ite i voo~i ja postapkata pri doka`uvaweto. a)

b)

B1

B

B a O

v)

B2

A1 O1 A

OA ­­ O1A1 OB ­­ O1B1

A1 O

B1

B a B1

O1

A2

A

OA ­¯ O1A1 OB ­¯ O1B1

A1 O

O1 A

OA ­¯ O1A1 OB ­­ O1B1

Primeni go svojstvoto: pri translacija, edna figura se preslikuva vo skladna figura na nea, pa agol se preslikuva vo agol ednakov (skladen) so nego.

F a)

F b)

Neka OO1 = a . Pri translacija za vektor a agolot AOB se pomestuva vo agolot A1O1B1, t.e. t a ( AOB) = A1O1B1. Spored toa AOB = A1O1B1. Neka OO1 = a . Pri translacija za vektor a , AOB se pomestuva vo agolot A2O1B2, t.e. t a ( AOB) = A2O1B2. Spored toa AOB = A2O1B2.

Voo~i deka A2O1B2 = A1O1B1 kako nakrsni agli. Mo`e{ da zaklu~i{ deka AOB = A1O1B1.

F Na sli~en na~in doka`i go tvrdeweto v).

Translacija

27

2.

So primena na translacija doka`i deka zbirot na vnatre{nite agli na triagolnik e 180o.

b 1 g1 a 1 C g

Voo~i ja postapkata i postapi spored barawata.

F F F F F F F 1

Neka AC = a i BC = b .

2

Na agolot a izvr{i translacija za vektorot a ,

b

a a

t.e. t a (a) = a1.

b

A

B

3

Kakvi se aglite a i a1 po golemina?

4

Na agolot b izvr{i translacija za vektorot b , t.e. t b (b) = b1.

5

Kakvi se aglite b i b1 po golemina?

6

Temiwata na aglite a i b se pomesteni vo temeto C. Obrazlo`i, vo {to se preslikani kracite na aglite a i b.

F

Obrazlo`i, zo{to a + b + g = 180o.

Zo{to g = g1?

3.

Dadeni se pravite p, q i vektorot a . Na pravata q kon-

8

Zo{to a1 + b1 + g1 = 180o?

F

7

9

q

a

struiraj to~ka M1 koja{to e slika na nekoja to~ka M od pravata p pri translacijata t a .

p

Analiza na re{enieto Pretpostavi deka zada~ata e re{ena (vidi go crte`ot). Od analizata sogledaj ja postapkata za konstrukcijata na to~kite M i M1.

F F F F F 1

M1

Neka M1 e slika na to~kata M pri t a .

q

a

p1

a M

p

2

MM1 = a . Zo{to?

3

Pravata p1 e slika na pravata p pri t a .

4

To~kata M1 mo`e{ da ja konstruira{ kako prese~na to~ka na p i p1.

5

To~kata M mo`e{ da ja konstruira{ kako slika na to~kata M1 pri translacija za vektorot - a.

28

Tema 1. Vektori. Translacija

Konstrukcija q

F F F 1

p1

Izberi to~ki A i B na p i konstruiraj ja pravata p1 = t a (p).

2

M1 e prese~na to~ka na q i p1.

3

M = t- a (M1).

M1

A1

a B1

-a

p

M

A

B

Treba da znae{: da izvr{i{ analiza na dadena zada~a i da proceni{ dali so primena na translacija mo`e{ da ja re{i{.

Proveri se!

B

k

Dadena e prava AB, kru`nica k i vektor a . Na pravata AB konstruiraj to~ka koja se preslikuva na kru`nicata k pri translacija za

A

O a

vektorot a . Kolku takvi to~ki mo`e da ima pravata AB?

Zada~i 1. Dadeni se pravite p, q i otse~ka AB. q

2. Konstruiraj kru`nica {to minuva niz dadena to~ka M i dopira dve paralelni pravi p i q.

A B

q p

M p

Konstruiraj otse~ka MN paralelna i ednakva na AB, ~ii krajni to~ki le`at na dadenite pravi p i q.

Translacija

29

U^E[E ZA VEKTORI I TRANSLACIJA. PROVERI GO TVOETO ZNAEWE

1.

Za koi dve polupravi velime deka se istonaso~eni?

7.

Nacrtaj dva vektori a i b, a potoa konstruiraj go: a) vektorot c = a + b ;

2.

b) vektorot c = a - b .

Dadena e polupravata OA. a) Nacrtaj poluprava O1A1 istonaso~ena so polupravata OA.

8.

b) Nacrtaj poluprava O2A2 sprotivnonaso~ena so polupravata OA.

3.

Za koi dva vektori velime deka se kolinearni?

Dadeni se vektorite a, b i MM = 0. So po~etok vo dadena to~kata A konstruiraj go vektorot: a) -a + 0;

9.

b) 0 - b.

Dadeni se: to~kata A i to~kata A1, {to e slika na to~kata A pri translacijata t za vektor a. Odredi go vektorot a na

4.

translacijata t. So po~etok vo dadena to~ka A konstruiraj vektor AB, takov {to ima dadena nasoka S i |AB| = 3 cm.

10. Dadena e otse~ka AB i vektor a = AB.

Izvr{i translacija t na otse~kata AB za vektorot -a.

5.

Dadeni se vektorite AB, CD i to~kata M. Konstruiraj vektor: a) MN ednakov na AB.

11. Dadeni se kru`nicite k(O, r), k1(O1, r1) i pravata p. Konstruiraj prava q paralelna na p, taka {to taa pri se~ewe na kru`nicite obrazuva ednakvi tetivi.

b) MD sprotiven na CD.

6.

Nacrtaj dva sprotivni vektori a i b, a potoa na vektorot a nadovrzi go

12. Dadeni se dve kru`nici k1 i k2 {to se

vektorot b.

30

Tema 1. Vektori. Translacija

se~at. Niz ednata prese~na to~ka povle~i prava p, taka {to tetivite na kru`nicite koi pripa|aat na p se ednakvi.

TEMA 2.

STEPENI. KVADRATEN KOREN

STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ 1. Stepen 32 2. Pretstavuvawe broj vo vid na stepen. Presmetuvawe broen izraz 35

KVADRAT I KVADRATEN KOREN NA RACIONALEN BROJ 5. Kvadrat na broj. Kvadraten koren 45 6. Presmetuvawe kvadraten koren ne e zadol`itelno 49

OPERACII SO STEPENI 3. Mno`ewe i delewe na stepeni so ednakvi osnovi 4. Stepenuvawe na stepen, proizvod i koli~nik

REALNI BROEVI 7. Iracionalni broevi 8. Mno`estvo realni broevi Proveri go tvoeto znaewe

39 42

52 54 56

Sre}en 22 + 3 × 4- ti rodenden

Stepen so pokazatel priroden broj

31

1

STEPEN SO POKAZATEL PRIRODEN BROJ STEPEN Amebata e ednokleto~en `iv organizam. Taa se razmno`uva so prosta delba. Sekoja ameba se deli na dve novi amebi.

A

Potseti se! Zbir od isti sobiroci kratko se zapi{uva kako proizvod. 3+3+3+3=4×3 Zapi{i gi slednite zbirovi kako proizvodi:

1.

36 + 36 =

Neka edno oboeno kruk~e pretstavuva edna ameba. Voo~i go brojot na amebi {to se dobiva pri razmno`uvaweto od edna ameba.

120 + 120 + 120 + 120= Proizvodot od isti mno`iteli kratko se zapi{uva kako stepen. 6 × 6 × 6 = 63

Prvo delewe

Zapi{i gi slednite proizvodi kako stepeni:

Vtoro delewe

2=2 2 × 2 = 22 = 4

2×2×2×2= Treto delewe

18 × 18 =

2 × 2 × 2= 23 = 8 Zapi{i go kako proizvod na ednakvi mno`iteli ~etvrtoto delewe na amebata. Zapi{i go kako stepen ~etvrtoto delewe na amebata. Kolkav e brojot na amebi po ~etvrtoto delewe? Proizvodot 2 × 2 × 2 × 2 kratko se zapi{uva 24 (se ~ita "dva na ~etvrti#), a negovata brojna vrednost e 16.

Zna~i, stepenot 2 4 e kratok zapis na proizvodot od 4 mno`iteli, ednakvi na brojot 2.

Op{to Proizvodot od n ednakvi mno`iteli ednakvi na brojot a se ozna~uva so an i se vika stepen na a, t.e.

D ¹ D ¹ D ¹

¹ D = an.

Stepen

F

Q UFYN

Po dogovor: a1 = a.

2. 32

Zapi{i go kako stepen proizvodot: (- 3,2) × (- 3,2) × (- 3,2);

Eksponent, stepenov pokazatel

nE

aE

Osnova na stepenot

Se ~ita: a na enti. Pro~itaj go stepenot: 712.

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

Stepenot 34 zapi{i go kako proizvod i presmetaj ja negovata vrednost. Operacijata so koja se presmetuva brojnata vrednost na stepenot na nekoj broj se vika stepenuvawe.

B 3.

Voo~i gi primerite kade {to e izvr{eno stepenuvawe.

3 = (3 Ă— 3) Ă— (3 Ă— 3) = 9 Ă— 9 = 81 F 3 = 3 Ă— 3 Ă— 3 Ă—ili 3 Ă— (3 Ă— 3 Ă— 3)= 3 Ă— 27 = 81 4

F

(- 4)2 = (- 4) Ă— (- 4) = 16 (- 4)3 = (- 4) Ă— (- 4) Ă— (- 4) = 16 Ă— (- 4) = - 64

§ ¡ § ¡ § ¡ § ¡ § ¡ ¨ ¸ =¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— ¨ ¸= Š š Š š Š š Š š Š š

=

Koristi go asocijativnoto svojstvo kako {to ti e najpogodno. Voo~i go znakot na osnovata i znakot na vrednosta na stepenot, a osobeno dali eksponentot e paren ili neparen broj.

Ă— =

F (-1 1)= 1=Ă— (-1 Ă— 1)1 Ă—Ă—1(-Ă— 11)Ă— Ă—1(-Ă— 11)= =1 - 1 7

3

(- 1)6 = (- 1) Ă— (- 1) Ă— (- 1) Ă— (- 1) Ă— (- 1) Ă— (- 1) = 1

F 0 =0Ă—0Ă—0Ă—0Ă—0Ă—0=0 6

Kolku e vrednosta na stepenot so osnova 1, a kolku na stepenot so osnova (- 1)? Dali vrednosta na stepenot so osnova 0, zavisi od eksponentot?

099 = ˜ ˜ ˜ ˜

˜ = 0 SZQN

Presmetaj ja vrednosta na sekoj od stepenite:

§ ¡ (1,2) = ; (- 5) = ; (- 3) = ; ¨ ¸ = ; 018 = ; 16 = ; 71 = . Š š Slednava tabela }e ti pomogne da proceni{ kakov broj e vrednosta na stepenot zavisno od osnovata na stepenot i eksponentot na stepenot. 3

4

3

Osnova na stepenot

Eksponent

Vrednost na stepenot

Pozitiven broj 1 0

Koj bilo priroden broj

Negativen broj

Paren broj Neparen broj

Pozitiven broj 1 0 Pozitiven broj Negativen broj

Koj bilo broj

1

Samiot toj broj

Stepen so pokazatel priroden broj

33

4.

Koristej}i gi pravilata od tabelata odredi kakov broj }e bide vrednosta na sekoj od stepenive:

§ · § · 6 ; (- 6) ; ¨ ¸ ; ¨ ¸ ; 61; (- 0,23)1; 260; 1103; 020. © ¹ © ¹ 3

3

5.

Voo~i, brojnata vrednost na stepenot (- 2)3, e presmetana so digitron:

-2 y x 3 = -2

×

Ako kalkulatorot ima tastaturata.

-8

=

4

=

-8

y x ili x y na

Ako kalkulatorot nema y x ili x y na tastaturata.

So kalkulator presmetaj: 33 =

;

0,5 10 =

;

(- 1,2) 4 =

;

(-136)3 =

; 152 =

Treba da znae{: {to e stepen, osnova na stepenot i eksponent (stepenov pokazatel); da odredi{ brojna vrednost na stepen; da ja proceni{ brojnata vrednost na stepenot.

.

Proveri se! Odredi {to e to~no za stepenot a n: a) a e eksponent, a n e osnova na stepenot; b) n poka`uva kolku pati brojot a e zemen za mno`itel; v) vrednosta na a n e pozitiven broj ako a < 0 i n e neparen broj. Tvrdewata {to za a n ne se to~ni, korigiraj gi i zapi{i gi.

Obidi se da odgovori{: Izrazot - 4x6 ne e stepen, a izrazot (- 4x)6 e stepen. Zo{to? Zapi{i go sekoj od izrazite kako proizvod. Voo~i ja razlikata me|u zapisite.

34

Problem so algite Vo edna ~a{a ima algi. Algite se takvi {to za eden den nivniot broj se zgolemuva dvapati. Bile potrebni 10 dena za ~a{ata da se napolni so algi. Za kolku dena ~a{ata bila do polovina polna so algi? Obrazlo`i go svojot odgovor.

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

Zada~i 1. Odredi gi osnovata i eksponentot za sekoj od stepenive:

3. Zapi{i gi kako proizvod stepenive: 64 =

Ăˆ [ Ă˜ 63; 36; 4,267; (3p)m; (-x + 4) p; (- p8)4; ÉÊ Ă™ ; 020. Ăš

2. Zapi{i gi kako stepen proizvodite: (- 2,5) Ă— (- 2,5) =

;

xĂ—xĂ—xĂ—xĂ—xĂ—x=

;

6Ă—6Ă—6Ă—6Ă—6= § ¡ § ¡ ¨ ¸ Ă— ¨ ¸ Ă— Š š Š š

; § ¡ ¨ ¸ = Š š

(x + 6) Ă— (x + 6) =

2

;

(- 2)4 =

§ ¡ ¨ ¸ = Š š

;

§ ¡ ¨ ¸ = Š š

(m3)4 =

;

; .

Presmetaj ja vrednosta na sekoj od stepenite: § ¡ 5 ; (- 2) = ; ¨ ¸ = Š š (- 5)2 =

;

;

4.

(a + b) Ă— (a + b) Ă— (a + b) =

(- x + 3)3=

;

;

(- 0,6 )7 =

;

Proveri go tvojot rezultat so kalkulator.

.

PRETSTAVUVAWE BROJ VO VID NA STEPEN. PRESMETUVAWE BROJNA VREDNOST NA IZRAZ

A 1.

Potseti se! Proizvodot 10 Ă— 10 Ă— 10, zapi{an kako stepen e 103. Odredi gi osnovata i eksponentot na stepenot 103. Zapi{i go stepenot 106 kako proizvod na ednakvi dvocifreni mno`iteli.

Sporedi gi: brojot na nulite vo sekoja dekadna edinica, brojot na mno`itelite vo proizvodot i eksponentot vo zapisot kako stepen.

Vo tabelata nekoi dekadni edinici se zapi{ani kako proizvod od isti mno`iteli i kako stepeni so osnova 10.

Dekadna edinica

Proizvod

Stepen

100 10 Ă— 10 10 000 10 Ă— 10 Ă— 10 Ă— 10 100 000 10 Ă— 10 Ă— 10 Ă— 10 Ă— 10 1 000 000 10 Ă— 10 Ă— 10 Ă— 10 Ă— 10 Ă— 10

102 104 105 106

Voo~iv deka brojot na nulite vo dekadnata edinica e ednakov na pokazatelot vo nejziniot zapis vo vid na stepen so osnova 10.

Stepen so pokazatel priroden broj

35

2.

Zapi{i gi vo vid na stepen broevite {to se sre}avaat vo sekoja od re~enicite: Masata na Neptun e okolu

kilo-

Masata na Mese~inata e okolu

SZQN

SZQN

grami.

kilogrami. Masata na Sonceto e okolu deset milioni pati pogolema od masata na Mese~inata. Zapi{i ja masata na Sonceto vo vid na stepen. Jas imam 107 pati pogolema masa

3.

Zapi{i gi kako proizvod stepenite: 109; 1011; 1010. Zapi{i ja dekadnata edinica {to e ednakva na stepenot 107.

Broevite {to mo`e da se zapi{at kako proizvod od broj i dekadna edinica, mo`e da se zapi{at i kako proizvod od broj i stepen so osnova 10. Na primer: 265 000 000 = 265 × 1 000 000 = 265 × 106.

4.

Brzinata na svetlinata e 300 000 kilometri vo sekunda. Zapi{i ja brzinata na svetlinata kako proizvod od broj i stepen so osnova 10. Patot {to go pominuva svetlinata za edna godina se vika svetlosna godina. Kolku kilometri ima edna svetlosna godina?

Potseti se! 1 godina = 365 dena; 1 den = 24 ~asa; 1 ~as = 60 minuti; 1 minuta =60 sekundi; 1 svetlosna = 300 000 × 365 × 24 × 60 × 60 = godina

Zapi{i ja svetlosnata godina kako proizvod na dva broja od koi edniot e stepen so osnova 10 i pokazatel 8.

Dosega sogleda deka golemite broevi mo`e da se zapi{at kako proizvod na dva broja, od koi edniot e stepen so osnova 10. Na sli~en na~in, malite broevi mo`e da se zapi{at kako stepen so osnova 0,1 ili proizvod na broj i stepen so osnova 0,1.

B 5.

36

Vo tabelata voo~i gi decimalnite broevi {to se zapi{ani kako proizvod na ednakvi mno`iteli i kako stepeni so osnova 0,1.

Broj

Zapis kako proizvod

Stepen

0,01 0, 001 0,0001 0,00001

0,1 × 0,1 0,1 × 0,1 × 0,1 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1 × 0,1

0,12 0,13 0,14 0,15

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

Sporedi go brojot na decimalnite mesta po zapirkata vo brojot, so eksponentot vo zapisot na brojot kako stepen.

6.

Voo~iv deka eksponentot vo zapisot kako stepen e ednakov so brojot na decimalni mesta po zapirkata vo brojot.

Zapi{i gi kako stepen so osnova 0,1 broevite: 0,0000000001 i 0,0000001. ; 0,19 =

Stepenot so osnova 0,1 zapi{i go kako decimalen broj: 0,11 =

.

Sekoj decimalen broj mo`e da se zapi{e kako proizvod od dva mno`itela taka {to edniot e stepen od 0,1.

7.

Voo~i go primerov:

0,007 = 7 Ă— 0,001 = 7 Ă— (0,1 Ă— 0,1 Ă— 0,1) = 7 Ă— 0,13

Zapi{i gi kako proizvod od cel broj i stepen so osnova 0,1 broevite: 0,3 =

;

0,0008 =

;

Potseti se! No, prvo vo zagradite.

To~kite odat pred crti~kite.

0,000362 =

V

8. Presmetaj:

¡ § 3 + ¨ ¸- 2 = š Š

.

Red na operacijata

Broen izraz (816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8) Ă— 2

Zagradi

810 : (-3)4 - (63 : 8) Ă— 2 =

Tret red

= 810 : 81 - (216 : 8) Ă— 2 =

Vtor red

= 10 - 27 Ă— 2 =

Prv red

= 10 - 54 =

Rezultat

- 44

;

1,05 =

.

Operacijata stepenuvawe e operacija od tret red.

Voo~i go premestuvaweto na brojnata vrednost na izrazot (816 - 6) : (-3)4 - (63 : 8) Ă— 2.

Jas sum od tret red, no na prvo mesto.

2

a 1

n + -

Stepen so pokazatel priroden broj

3 37

Pri presmetuvaweto na brojnata vrednost na izrazot, operacijata stepenuvawe se izvr{uva pred operaciite od vtor red (mno`ewe i delewe), a na krajot se operaciite od prv red (sobirawe i odzemawe). Se razbira, treba da se vnimava na zagradite.

Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: a) 620 + 3 Ă— 5 - 147 : (- 7) = 2

2

§ ¡ § ¡ b) 32 Ă— ¨ ¸ - 16 : ¨ ¸ + 20 : (- 1)123 = Š š Š š

;

.

Proveri se!

Treba da znae{: da zapi{uva{ golemi i mali broevi vo vid na stepen; da go primenuva{ redosledot na operaciite pri presmetuvawe brojna vrednost na izraz.

Plo{tinata na Zemjata, koja{to iznesuva okolu 510 000 000 km2, zapi{i ja kako proizvod na dva mno`iteli od koi edniot e stepen so osnova 10. Zapi{i go redosledot po koj se izvr{uvaat operaciite sobirawe, odzemawe, mno`ewe, delewe i stepenuvawe vo broen izraz.

Zada~i 1. Zapi{i gi kako proizvod od dva mno-

`iteli, taka {to edniot da e stepen na brojot 10 (ili obratno) broevite {to se sre}avaat vo sekoja od re~enicite:

3. Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: (16 - 13)2 : 3 = =

Masata na Jupiter e okolu

toni.

;

;

43 + 4 Ă— (8 : 23) =

;

˜

= ˜

.

SZQN

Mars ima masa okolu 6,4 Ă— 1020 toni. Vo ~ovekovoto telo ima okolu 0,1 Ă— 1015 kletki.

2. Presmetaj:

38

435 Ă— 104 =

;

26783 Ă— 102 =

6,9 Ă— 102 =

;

0,45 Ă— 103 =

15 Ă— 0,13 =

;

0,392 Ă— 0,12 =

; ;

4. Voo~i go brojniot izraz 6 : 3 + 3 Ă— 32.

Kade treba da se zapi{at zagradi taka {to da bide to~na negovata brojna vrednost? 6 : 3 + 3 Ă— 32 = 45; 6 : 3 + 3 Ă— 32 = 9; 6 : 3 + 3 Ă— 32 = 29.

.

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

OPERACII SO STEPENI

3

MNO@EWE I DELEWE NA STEPENI SO EDNAKVI OSNOVI

A 1.

Potseti se! Stepenot a n vo vid na proizvod se zapi{uva D ˜ D ˜ D ˜

˜ D ; a1 = a. Q UFYN

Pretstavi gi kako proizvod na ednakvi mno`iteli stepenite: 73 =

; (- 2)2 =

.

Razgledaj ja tabelata za mno`ewe na stepeni.

Mno`ewe na stepeni 23 × 22 (-3)2 × (-3)

È Ø È Ø ÉÊ ÙÚ × ÉÊ ÙÚ

54 × 52

Zapis na stepenite kako Proizvod na proizvodi stepenite (2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 23+2 = 25 2×2×2×2×2 ((-3) × (-3)) × (-3) = (-3)2+1 = (-3)3 (-3) × (-3) × (-3) È Ø È Ø ÉÊ ¹ ¹ ¹ ÙÚ × ÉÊ ¹ ¹ ¹ ÙÚ = È Ø È Ø =É Ù ÉÊ ÙÚ Ê Ú ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ (5 × 5 × 5 × 5) × (5 × 5) = 54+2 = 5 5×5×5×5×5×5

Voo~i deka pri mno`eweto na dva stepeni so ednakvi osnovi: osnovata na rezultatot e ista kako i na mno`itelite; stepenoviot pokazatel na rezultatot e zbir od pokazatelite na mno`itelite.

F F

Koj e stepenoviot pokazatel {to nedostasuva vo posledniot od slu~aite dadeni vo tabelata? Proizvodot na stepeni so ednakvi osnovi e stepen so istata osnova kako osnovite na mno`itelite i pokazatel ednakov na zbirot od pokazatelite na mno`itelite.

2.

Polesno e za pomnewe:

am × an = am + n

Odredi gi proizvodite: a4 × a5; ( - 2)7 × (- 2)2; (a - 3) × (a - 3)6. Zapi{i go rezultatot od mno`eweto na stepenite: x5 × x6 = ; ( - k)p × (- k)m = .

3.

Voo~i kako e presmetan proizvodot (x2 × x4) × x3. (x2 × x4) × x3 = (x2 + 4) × x3 = x6 × x3 = x6 + 3 = x9

I ova e lesno, osnovata ja prepi{uvam, a stepenovite pokazateli gi sobiram.

Pretstavi gi vo vid na stepen proizvodite: § · § · § · b3 × (b7 × b2) = . §¨ ·¸ × ¨ ¸ × ¨ ¸ × ¨ ¸ = © ¹ © ¹ © ¹ © ¹

am × an × ap = am+n+p .

Operacii so stepeni

39

4.

Razlo`i go stepenot 69 na tri mno`iteli. Voo~i deka ima pove}e re{enija, no ti zapi{i samo dve. Proizvodot na eden mno`itel i na a7 e ednakov na a97. Koj e toj mno`itel? Koj broj e stepenoviot pokazatel {to nedostasuva vo mno`eweto: 63 Ă— 6 = 612?

Potseti se!

B 5.

Ako a, b i n se prirodni broevi i n e delitel na a i b, toga{

D E

D Q . E Q

Delewe na stepeni

Zapis na stepenite kako delewe na proizvodi

Koli~nik na stepenite

25 : 22

š š š š =2Ă—2Ă—2 š

25-2 = 23

(-3)2 : (-3)

š

= (-3)

(-3)2-1 = (-3)

57 : 53

š š š š š š =5Ă—5Ă—5Ă—5 š š

57-3 = 54

96 : 9

š š š š š =9Ă—9Ă—9Ă—9Ă—9

96-1 = 9

Skrati gi dropkite:

š š ; ; ; . š š š Primer:

Razgledaj ja tabelata za delewe na stepeni so ednakvi osnovi.

= = ili

š = = š

Voo~i deka pri deleweto na dva stepeni so ednakvi osnovi va`i slednoto: osnovata na koli~nikot e ista kako osnovata na delenikot i delitelot; stepenoviot pokazatel na koli~nikot e razlikata od pokazatelite na delenikot i delitelot. Koj broj e stepenoviot pokazatel {to nedostasuva vo posledniot primer daden vo tabelata?

F F

Koli~nikot od stepeni so ednakvi osnovi (razli~ni od 0) e stepen so istata osnova i pokazatel ednakov na razlikata od pokazatelite m i n, m > n, na delenikot i delitelot.

6.

Polesno e za pomnewe: aš0 a m : a n = a m - n; m > n

Voo~i go presmetuvaweto na koli~nikot (-6)5 : (-6)3 =

(-6)5 : (-6)3 =

=

š

.

= (-6)3 + 2 - 3 = (-6)2.

Ili skrateno: (-6)5 : (-6)3 = (-6)5 - 3 = (-6)2. Presmetaj: 16 : 16 = 9

7. 40

3

;

(-3,5) : (-3,5) = 7

2

;

106

100

: 106 = 99

;

Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ

Ăˆ Ă˜ : ÉÊ ÙÚ =

Voo~i go deleweto na stepeni so ednakvi osnovi koga delenikot i delitelot imaat isti eksponenti.

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

.

DQ

= 1, bidej}i broitelot i imenitelot se ednakvi. F DQ F Ako go primeni{ praviloto za delewe na stepenot so ednakvi osnovi, }e dobie{: Ako a š 0, toga{ a n : a n =

a n : a n = a n - n = a o. Sogledaj deka vo prviot slu~aj dobi 1, a vo vtoriot a o.

]e smetame deka

Odredi go koli~nikot: (-6)3 : (-6)3 =

8.

;

12,02100 : 12,02100 =

;

(a -1)5 : (a -1)5 =

Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ

;

a o = 1.

Ăˆ Ă˜ : ÉÊ ÙÚ

=

.

Voo~i go deleweto na stepeni so ednakvi osnovi koga pokazatelot na delenikot e broj {to e pomal od pokazatelot na delitelot. (-2)6 : (-2)8 = = = .

š

Presmetaj:

(-13) : (-13) = 4

7

Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ ÉÊ ÙÚ : ÉÊ ÙÚ =

;

;

Treba da znae{: da gi iska`e{ i primenuva{ pravilata:

Fa Fa Fa Fa

m

Ă— a n = a m + n, za m, n ĂŽ N;

: a n = a m - n, za a š 0 i m > n; m : a n = Q P , za a š 0 i m < n; D n n : a = a 0 = 1, za a š 0 i n ĂŽ N. m

Zada~i 1. Presmetaj gi proizvodite na stepenite: x5 Ă— x15 =

; y100 Ă— y2 =

x 3 Ă— x 5 Ă— x2 =

; 615 Ă— 6100 =

; (-b) Ă— (-b)5 Ă— (-b)10 =

; .

2. [to treba da se zapi{e vo sekoe od

kvadrat~iwata da bidat to~ni ravenstvata: a Ă— 6

9

p Ă—p Ă— 4

=a ;

7 Ă—7

15 4

=p ? 10

100

=7 ; 135

Proveri se! Iska`i go praviloto za mno`ewe stepeni so ednakvi osnovi. Objasni kako se delat stepeni so ednakvi osnovi. Koj broj e koli~nikot pri deleweto na dva stepeni so ednakvi osnovi (razli~ni od nula) i ednakvi eksponenti? Koja e brojnata vrednost na stepen so koja bilo osnova a š 0 i eksponent 0?

3. Presmetaj gi koli~nicite na stepenite: 174 : 172 =

;

x9 : x12 =

;

126 : 126 =

1,14 : 1,1 =

;

35 : 318 = ;

;

a3 : a3 =

.

4. Presmetaj ja brojnata vrednost na sekoj od izrazive: š

=

2Ă—3 -6Ă— 2

;

š

=

+ 5 Ă— (75 : 72) =

; .

Operacii so stepeni

41

5. Presmetaj go koli~nikot 6.

N N

za k = 2 i za k = -2. Kolku bakterii ima?

Brojot na bakterii vo nekoj proizvod dvapati se zgolemuva sekoi 6 minuti. Kolku bakterii }e ima vo proizvodot za 1 ~as, ako na po~etokot imalo edna bakterija?

4

STEPENUVAWE NA STEPEN, PROIZVOD I KOLI^NIK

Potseti se!

A 1.

Stepenot a3 se zapi{uva kako proizvod vaka: a3 = a × a × a

[to e osnova, a {to eksponent na stepenot? Voo~i deka 2 3 pretstavuva osnova na stepenot, a zapisot (23)4 - stepenuvan stepen.

Zapi{i gi kako proizvod stepenite:

a) (-6) =

È Ø b) É Ù = Ê Ú

;

2

v) (x + y)3 =

Zapisot (23)4 pretstavuva stepen.

;

Zapi{i go stepenot (23)4 kako proizvod od ednakvi mno`iteli.

;

Zapi{i go praviloto za mno`ewe stepeni so ednakvi osnovi.

Stepenot zapi{an kako proizvod e: (23)4 = 23 × 23 × 23 × 23.

Mo`e{ li stepenot (23)4 da go zapi{e{ kako stepen so osnova 2? Mo`e{ li da sogleda{ skraten na~in za stepenuvawe na stepenot (23)4? Stepen se stepenuva taka {to osnovata na stepenot se stepenuva so proizvodot od stepenovite pokazateli.

Lesno e! (23)4 = 23 × 23 × 23 × 23 = = 23+3+3+3 = 212. Ili (23)4 = 23 × 4 = 212.

Zna~i, osnovata se prepi{uva, a eksponentite se mno`at.

(a m)n = a m × n 2.

Voo~i go primerov: (x4)2 = x4 × 2 = x8.

Stepenuvaj gi stepenite:

42

(0,23)2 =

;

ÈÈ Ø Ø ÉÊ ÉÊ ÙÚ ÙÚ =

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

;

((ab)2)4 =

.

¹ È Ø È Ø È Ø È Ø È Ø ÈÈ Ø Ø Razgledaj go primerov: É Ù × É É Ù Ù = × É Ù = × É Ù = ÉÊ ÙÚ = ÉÊ ÙÚ . Ê Ú ÊÊ Ú Ú Ê Ú Ê Ú

3.

Uprosti gi izrazite:

B 4.

¹

=

;

(-4)8 : ((-4)2)4 =

.

Odredi ja brojnata vrednost na: i b) 32 × 52 = . a) (3 × 5)2 =

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenovo: b) 32 × 52 = (3 × 3) × (5 × 5) = 9 × 25 = 225. a) (3 × 5)2 = 152 = 15 × 15 = 225. [to zaklu~i za brojnite vrednosti na a) i b)? Voo~i deka (3 × 5)2 = 32 × 52. Op{to, stepen na proizvod e ednakov na proizvodot od stepenuvanite mno`iteli so dadeniot pokazatel, t.e.

Zna~i, proizvod stepenuvam taka {to go stepenuvam sekoj mno`itel i dobienite stepeni gi mno`am.

(a × b)n = an × bn.

5.

Razgledaj gi primerive:

a) (x × y)3 = x3 × y3;

b) (p4 × k)2 = (p4)2 × k2 = p8 × k2.

Stepenuvaj gi proizvodite: a) (a × b × c)10 =

;

b) (4xy)2 =

;

v) (-ax)4 =

;

;

ÈÈ Ø Ø |) É ÉÊ ÙÚ ¹ S Ù = Ê Ú

g) -(ab) =

;

6

V 6.

d) (7x ) = 2 6

.

Odredi ja brojnata vrednost na:

È Ø a) É Ù = Ê Ú

i

b)

=

.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenovo: ¹ ¹ È Ø × × = = . a) É Ù = Ê Ú ¹ ¹

b)

=

¹ ¹ = . ¹ ¹

[to zaklu~i za brojnite vrednosti na a) i b)?

È Ø Voo~i deka É Ù = ili (2 : 3)3 = 23 : 33. Ê Ú

Operacii so stepeni

43

Op{to, stepen na koli~nik e ednakov na koli~nikot od stepenuvaniot delenik i delitel so dadeniot pokazatel, t.e.

Zna~i, koga stepenuvam koli~nik gi stepenuvam delenikot i delitelot (ili broitelot i imenitelot) posebno i dobienite stepeni gi delam.

Q

DQ Ăˆ DĂ˜ = ; b š 0. ÉÊ ÙÚ E EQ

7.

Ăˆ [Ă˜ a) É Ă™ ĂŠ \Ăš

8.

N

Ăˆ N Ă˜ N N š b) É Ă™ = = = . ĂŠ SĂš S š S S

Ăˆ Ă˜ Razgledaj gi primerive: a) É Ă™ = = ; ĂŠ [Ăš [ [ Stepenuvaj gi koli~nicite:

=

Ăˆ Ă˜ ; b) É Ă™ = ĂŠ [Ăš

; v) (c : 2)3 =

; g) (x3 : y7)2 =

; d) (2m : 3n)4 =

.

Voo~i go uprostuvaweto na izrazot (x4)3 : x2 so primena na operaciite so stepeni. (x4)3 : x2 = x4 Ă— 3 : x2 = x12 : x2 = x12 - 2 = x10. Uprosti gi izrazite: a)

D š D

D

=

;

b) (y13 Ă— y) : (y7)2 =

;

v) (b4)3 : (b4 Ă— b3 Ă— b2) =

;

g) (2 Ă— 3)4 : 63 =

.

Presmetaj ja vrednosta na brojnite izrazi:

9.

Ăˆ Ă˜ a) É Ă™ Ă— (32)3 = ĂŠ Ăš

10.

;

b) (2 Ă— 3)4 : 33 =

;

v) ((-4)8 : (-4)4) : (-4)2 =

Dadenite izrazi zapi{i gi kako stepeni so osnova 2, no prethodno razgledaj go re{eniot primer. a) 27 : 42 =

;

b)

š

=

.

.

Primer: 164 : 83 = (24)4 : (23)3 = = 24 Ă— 4 : 23 Ă— 3 = 216 : 29 = 216 - 9 = 27.

Treba da znae{: da gi iska`e{ pravilata za stepenuvawe na proizvod, koli~nik i stepen Stepenuvawe na proizvod Stepenuvawe na koli~nik Stepenuvawe na stepen (a Ă— b)n = an Ă— bn

(a : b)n = an : bn; b š 0

(am)n = am

Ă— n

da gi primeni{ postapkite za stepenuvawe proizvod, koli~nik i stepen vo zada~i.

Proveri se!

44

Izvr{i stepenuvawe vo sekoj od izrazite: Ăˆ š Ă˜ Ăˆ Ă˜ 3 4 5 (x y ) = ; ; ÉÊ ÙÚ = ÉÊ Ă™ = [ Ăš

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

.

Zada~i 4. Zapi{i go stepenot a18, kako stepen so

1. Stepenuvaj gi proizvodite: (a3b)2 =

;

(ay3b5)2 =

(x4y3)7 = ;

osnova:

;

(7a6b4)9 =

a) a2;

.

;

È D F Ø ÉÊ ÙÚ = E

È D ¹ D Ø a) É za a = 3; Ê D ¹ D ÙÚ

.

3. Zapi{i go koli~nikot kako stepen: D

E

ÈDØ ÉÊ E ÙÚ

;

S

È Ø ÉÊ S ÙÚ

[

\

=

È [ ¹ [ Ø b) É Ù za x = 2. Ê [ ¹ [Ú

6. Dadenive proizvodi od stepeni, zapi{i

;

v) a9.

5. Odredi ja vrednosta na izrazite:

2. Stepenuvaj go sekoj koli~nik: È [ \ Ø ÉÊ ÙÚ = D

b) a6;

.

gi kako stepen od proizvodi. a) a2b2 =

;

v) x8 y4 z12 =

;

b) 36x6 =

;

g) 8x9 y6 =

.

KVADRAT I KVADRATEN KOREN NA RACIONALEN BROJ

5

KVADRAT NA BROJ. KVADRATEN KOREN

Potseti se! P=a×a

a

Izmeri ja i zapi{i ja dol`inata na stranata na kvadratot na crte`ot.

a

A 1. 5×5=

Presmetaj gi proizvodite: ; (-4) × (-4) =

;

× =

Zapi{i gi kako stepen proizvodite:

× × × =

Presmetaj ja plo{tinata na kvadratot i zapi{i ja vo mm2.

a) 7 × 7 × 7 =

Presmetaj ja plo{tinata na kvadrat so

v) 6 × 6 =

;

g) (-0,5) × (-0,5) =

d) x × x =

;

|) ab × ab =

strana

cm.

.

;

b)

;

.

Voo~i Proizvodot od dva ednakvi mno`iteli se vika kvadrat na toj mno`itel.

Kvadrat i kvadraten koren na racionalen broj

45

;

Odreduvaweto na brojnata vrednost na kvadratot na broj se vika kvadrirawe. Op{to, za koj bilo racionalen broj x, proizvodot x × x, kratko se zapi{uva kako stepen x2. x × x = x2 (se ~ita: "iks na kvadrat#) x2 e kvadrat na racionalniot broj x.

2.

Zapi{i go vo vid na proizvod od dva ednakvi mno`iteli:

3 = 2

;

4 =

;

2

(-5) =

;

2

(0,5) =

È Ø ÉÊ ÙÚ =

;

2

Presmetaj: 6 =

È Ø ÉÊ ÙÚ =

;

2

;

(0,1)2 =

(-0,1)2 =

.

; 2 ; -10.

Kvadriraj go sekoj od broevite: 2; -2; 1;

3.

;

.

Presmetaj gi zapi{anite kvadrati:

3 = 2

;

È Ø ÉÊ ÙÚ =

;

È Ø ÉÊ ÙÚ =

Voo~i deka vo sekoj od primerite rezultatot e pozitiven broj ili nula.

4.

;

02 =

.

Zapomni: Za koj bilo racionalen broj x razli~en od nula, brojot x2 e pozitiven broj, a e 0 za x = 0.

Voo~i gi primerite za kvadrirawe so kalkulator:

È Ø b) É Ù = Ê Ú

a) 7 = 2

7

×

=

49

1

:

5 ±

×

-0.2

=

0.04

Kvadriraj so kalkulator: a) 123 = 2

;

-46 =

;

2

b) (0,3) = 2

;

È Ø ÉÊ ÙÚ =

.

Presmetaj gi vrednostite na brojnite izrazi, a potoa izvr{i proverka so kalkulator. a) 4122 - 5 × 792 =

B 5.

.

b) 40,42 - 10 × 2,282 =

Plo{tinata na eden kvadrat e

.

81 cm2.

Odredi ja dol`inata na stranata na kvadratot.

46

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

Voo~i go crte`ot

81 cm2 x

Neka dol`inata na stranata na kvadratot e x. Plo{tinata na kvadratot e P = x Ă— x ili P = x2. Plo{tinata na kvadratot e x2 = 81. Za da ja presmeta{ stranata na kvadratot treba da ja re{i{ ravenkata x2 = 81.

6.

x

Zna~i treba da odredam vrednost za x, taka {to x Ă— x = 81. Za x = 9, to~no e deka 9 Ă— 9 = 81, no i za x = (-9) e to~no deka (-9) Ă— (-9) = 81. Bidej}i dol`inata sekoga{ e pozitiven broj, sleduva deka stranata na kvadratot e 9 cm.

Razgledaj go primerov: Broevite 4 i -4 se re{enija na ravenkata x2 = 16, zatoa {to 42 = 4 Ă— 4 = 16 i (-4)2 = (-4) Ă— (-4) = 16. Proveri dali broevite

7.

Ăˆ Ă˜ i É Ă™ se re{enija na ravenkata x2 = . ĂŠ Ăš

a) x2 = 1;

V 8.

b) x2 =

Jas imam dve re{enija.

2

Odredi gi re{enijata na:

.

=a

Jas sum pozitiven.

Odredi gi samo pozitivnite re{enija na ravenkite: a) x2 = 25; b) x2 = 9; v) x2 = 144.

Voo~i Ne negativnoto re{enie na ravenkata x2 = a; a Âł 0, se vika kvadraten koren na a i se zapi{uva

Razgledaj go primerov:

D.

Koj broj e kvadraten koren od: 49, 25, 16 i

10.

Doka`i deka se to~ni ravenstvata:

= 20;

b)

= 11;

v)

e znak za kvadraten koren, a

vo zapisot D , brojot a e osnova na korenot ili potkorenova veli~ina.

Ăˆ Ă˜ zatoa {to ÉÊ ÙÚ

9.

a)

Znakot

.

?

= 0,2;

g)

= 0,5.

Kvadrat i kvadraten koren na racionalen broj

47

11.

Zapomni! D = b (a Âł 0), ako b2 = a (b Âł 0).

Voo~i ja i obrazlo`i ja dadenata {ema.

Zna~i, za da presmetam kvadraten koren od a treba da opredelam nenegativen broj b ~ij kvadrat e ednakov na brojot a.

12.

Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazite: 4Ă—

13.

=

;

-2 Ă—

=

=

;

+

;

=

.

Razgledaj gi primerite za odreduvawe kvadraten koren so kalkulator. 2.5 .

7 ; b) 6,25

a) 49

Presmetaj so kalkulator:

=

=

;

;

=

=

;

;

=

.

(-0,3)2 =

.

Izvr{i proverka na rezultatite so kvadrirawe.

Treba da znae{:

Proveri se!

da odredi{ kvadrat na racionalen broj; da odredi{ re{enija na ravenka od vidot x2 = a; so kalkulator da presmeta{ kvadrat i kvadraten koren na broj.

Presmetaj: 32 =

;

(1,6)2 =

Proveri dali

;

e re{enie na ravenkata

. Proveri dali e to~no: x2 =

Zada~i 1. Presmetaj:

48

2. Odredi go x vo ravenkite:

a) (16 - 13)2 : 2 =

;

b) 82 + (4 Ă— 8 : 4) =

;

v)

š = š

= 2,3.

.

a) x = 144; 2

b) 2x = 72; 2

[ v) + 2 = 20.

3. Presmetaj ja dol`inata na stranata na kvadrat so plo{tina 324 cm2.

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

Jas znam da presmetam kvadrat na broj na drug na~in! Voo~i kako se presmetani kvadratite: 22 = 3 × 1 + 1 = 4;

32 = 4 × 2 + 1 = 9;

42 = 5 × 3 + 1 = 16;

52 = 6 × 4 + 1 = 25.

Otkrij go praviloto na presmetuvawe. Zapi{i: 62, 72 i 82 na ovoj na~in. Presmetaj 192, 312 i 992 koristej}i ja dadenata postapka. Proveri gi svoite rezultati so kvadrirawe.

6

PRESMETUVAWE KVADRATEN KOREN - ne e zadol`itelno

Potseti se! Vo tabelata se dadeni vrednosti za brojot a. Odredi gi kvadratite na tie broevi. a a2

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

25

100

Koristej}i gi vrednostite od tabelata presmetaj: =

A 1.

;

=

;

-

=

;

× =

.

Treba da znae{ da proceni{ kolku cifri }e ima kvadraten koren na daden broj. Sogledaj gi podatocite vo tabelata. Kolku cifri ima kvadratniot koren na brojot: a) 5625 ; b) 1 000 000 ; v) 625 × 108? Presmetaj so digitron i proveri go svojot odgovor za broevite a) i b).

Broj a

Kvadraten koren

D

Ednocifren ili dvocifren

ednocifren

Tricifren ili ~etiricifren

dvocifren

Petcifren ili {estcifren

tricifren

Primer

=3 = 5 = 11 = 60 = 101 = 800

...

Kvadrat i kvadraten koren na racionalen broj

49

Vnimatelno prosledi go primerot 1. ]e nau~i{ da presmetuva{ kvadraten koren na broj bez digitron.

B Primer 1.

F

Dadenata potkorenova veli~ina se deli na klasi oddesno nalevo po dve cifri vo klasa (prvata klasa odlevo mo`e da ima i edna cifra).

F

Prvata cifra na korenot od brojot e cifrata 3 i se dobiva kako broj ~ij kvadrat e najblisku do 11 i pomal od 11 (prvata klasa odlevo). Potoa od prvata klasa se odzema kvadratot na brojot 3, t.e. 3 Ă— 3 = 9.

F

Do dobienata razlika 2 (11 - 9 = 2) oddesno se zapi{uva narednata klasa (97) i se dobiva brojot 297 od koj se odvojuva poslednata cifra (7). Dvocifreniot broj 29 se deli so dvojniot proizvod na prvata cifra od rezultatot, 3 Ă— 2 = 6. Pritoa 29 : 6 = 4 i brojot 4 e vtora cifra od rezultatot. Cifrata 4 se dopi{uva do 6 (se dobiva 64) i taka dobieniot broj se mno`i so 4, a dobieniot proizvod se odzema od 297.

F

Do razlikata od odzemaweto (297 - 256 = 41) se zapi{uva narednata klasa (16). Se dobiva brojot 4116 od koj se odvojuva poslednata cifra cifrata 6 (se dobiva brojot 411) i taka dobieniot broj se deli so dvojniot proizvod na brojot od prvata i vtorata cifra na korenot (34 Ă— 2 = 68). Pritoa se dobiva (411 : 68 = 6) tretata cifra na korenot. Taa se dopi{uva do 68 i taka dobieniot broj se pomno`uva so nea; se dobiva (686 Ă— 6 = 4116) proizvod koj se odzema od dadeniot broj. Ostatokot od ova delewe e 0.

= 3 -9 2

= 34 -9 29 7 : 64 Ă— 4 - 25 6 41

= 346 -9 29 7 : 64 Ă— 4 - 25 6 411 6 : 686 Ă— 6 - 411 6 0

Primer 2. = 23,6 -4 15 6 : 43 Ă— 3 - 12 9 279 6 : 466 Ă— 6 279 6 0

50

Postapkata e sli~na za decimalen broj. Edinstvenata razlika e {to deleweto na klasi e vo dve nasoki: od decimalnata zapirka nalevo po dve cifri i nadesno po dve cifri. Ako poslednata klasa oddesno ima samo edna cifra, se dopi{uva 0. Voo~i deka pred da se spu{ti prvata klasa od decimalite, vo rezultatot se stava zapirka.

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

Ako po spu{taweto na poslednata klasa ima ostatok, postapkata mo`e da prodol`i, taka {to dodava{ klasa od dve nuli, a vo rezultatot stava{ zapirka.

Primer 3.

= 25,59 Âť 25,6

-4 25 5 : 45 Ă— 5 - 22 5 300 0 : 505 Ă— 5 - 252 5 4750 0 : 5109 Ă— 9 - 4598 1 1519

So ponatamo{no dodavawe na klasa od dve nuli postapkata mo`e da prodol`i. Kvadraten koren na broj presmetuva{ do odreden broj decimali.

2.

Presmetaj: a)

=

v)

=

; ;

=

=

;

;

=

=

b)

=

;

;

.

Vo slu~ajot pod v) zaokru`i go rezultatot na edna decimala.

Treba da znae{: da odredi{ kvadraten koren na daden pozitiven broj.

Proveri se! Presmetaj:

=

;

=

.

Kolku cifri ima brojot {to e kvadraten koren od petcifren broj? Odredi

i proveri go rezultatot so kalkulator.

Zada~i 1. Odredi gi broevite ~ij kvadrat e me|u: a) 4 i 9;

b) 9 i 16.

a)

Obrazlo`i go odgovorot.

2. Zapi{i po dva celi broja {to se naj-

blisku do vrednosta na slednite kvadratni koreni:

;

;

3. Proveri dali e to~no

4. Proveri koe od ravenstvata e to~no:

.

.

š

š ;

b) š

š ;

v)

;

g)

.

5. Kolku e perimetarot na kvadrat ~ija{to plo{tina e 25 cm2?

Kvadrat i kvadraten koren na racionalen broj

51

REALNI BROEVI

7

IRACIONALNI BROEVI

Potseti se!

A 1.

Racionalni broevi se broevite {to mo`e da se zapi{at vo vid na dropka

Eden kvadrat ima plo{tina 2 cm2. Kolku e dol`inata na negovata strana?

Voo~i go re{avaweto. Bidej}i P = a 2, brojnata vrednost na dol`inata na stranata e broj takov {to

D , kade a i b se celi broevi i b š 0. E Mno`estvoto racionalni broevi se

a2 = 2, t.e. a =

D | a, b ĂŽ Z, b š 0}. E Sekoj racionalen broj mo`e da se pretstavi kako kone~en decimalen broj ili kako periodi~en decimalen broj.

No, dali

ozna~uva so Q i Q = {

1<

.

e cel broj?

< 2 zatoa {to 12 = 1 i 22 = 4. Spo-

red toa,

ne e cel broj.

So procenuvawe i proverka mo`e da se odredi:

Broevite:

1,4 <

a) 15; 4,27 se kone~ni decimalni broevi;

< 1,5;

1,41 <

< 1,42, ...

Zna~i, dol`inata na stranata na kvadratot e "broj# me|u 1,41 i 1,42.

= 1,666...; = 0,2777... se periodi~ni decimalni broevi.

b)

So kalkulator mo`e da se presmeta deka Âť 1,4142135..., t.e. e beskone~no neperiodi~en decimalen broj.

Bidej}i sekoj racionalen broj se pretstavuva kako kone~en decimalen broj ili beskone~en periodi~en decimalen broj, zaklu~uvame deka Sekoj decimalen broj {to ima beskone~no decimali i e neperiodi~en se vika iracionalen broj. Taka,

e iracionalen broj.

ne e racionalen broj.

I broevite: , , , - , - itn. se prika`uvaat kako beskone~ni decimalni broevi {to se neperiodi~ni, pa i tie se iracionalni broevi.

Iracionalnite broevi vo decimalen zapis gi zapi{uvame so pribli`na vrednost.

2.

So kalkulator odredi gi pribli`nite vrednosti na iracionalnite broevi vo decimalen zapis so dve decimali. ; = ; = . = ; = Mno`estvoto na iracionalnite broevi se ozna~uva so bukvata I.

52

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

3.

Koristej}i gi vrednostite na procenka so kalkulator.

4.

Proveri dali va`i neravenstvoto 10 <

5.

Odredi ja pribli`nata vrednost na:

i

proceni ja vrednosta na i proveri ja svojata < 11.

so to~nost na 1 decimalno mesto; so to~nost na 2 decimalni mesta.

6.

Dali postoi otse~ka ~ija{to dol`ina ima meren broj

?

C

Razgledaj go crte`ot i sledi go objasnenieto. Stranata na kvadratot AKBS ima dol`ina 1 cm, pa plo{tinata mu e PAKBS = 1 Ă— 1 = 1.

F F Dijagonalata na kvadratot AKBS e strana na kvadratot ABCD. da se poka`e deka kvadratot ABCD ima dvapati F Mo`e pogolema plo{tina od plo{tinata na kvadratot AKBS, t.e.

S

D

B

A

1

1

K

PABCD = 2 Ă— PAKBS =2 Ă— 1 = 2.

Odredi ja dol`inata na stranata na kvadratot ABCD, ako plo{tinata mu e 2 cm2.

Zna~i, postoi otse~ka so dol`ina

Potseti se na zada~ata 1. Kvadrat so plo{tina 2 ima strana so dol`ina

B 7.

, a taa e AB.

.

Ako saka{ pove}e da znae{... Voo~i kako e pretstaven na brojna prava iracionalniot broj

1

-

-1

A

O

-2

0

1

.

F

Nad otse~kata 2$ = 1 se konstruira kvadrat. Negovata plo{tina e 1.

F

Dijagonalata na kvadratot (nejzinata dol`ina) se prenesuva na brojnata prava. Rastojanieto od O do dobienata to~ka

2

vo pozitivna nasoka e -3

-2

-1

tivna nasoka e - .

0

1

, a vo nega-

2

3

F

Voo~uva{ deka 1<

< 2;

-2 < - < -1.

Realni broevi

53

Treba da znae{: Proveri se!

koj broj se vika iracionalen broj.

Zapi{i 4 broevi {to se iracionalni.

Zada~i 1.

Koi od broevite ;

;

;

;

3.

Iracionalnite broevi {to se dadeni vo brojnite izrazi zaokru`i gi na dve decimalni mesta. Odredi ja brojnata vrednost na izrazite:

se iracionalni?

Proveri go re{enieto so presmetuvawe na kvadratnite koreni so kalkulator.

b)

2. Pretstavi gi na brojna prava broevite: -3; - ; 0; 0,5;

8

=

a) 4 +

+

v) 3 ×

; 2; 3 i 4.

g)

=

+

-

; ;

=

+

;

=

.

MNO@ESTVO REALNI BROEVI Dosega nau~i da sobira{, odzema{, mno`i{ i deli{ broevi, da odredi{ stepen i kvadraten koren na broj.

A

Potseti se! N e mno`estvo prirodni broevi: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Z e mno`estvo celi broevi: Z = { ..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}.

1.

Q e mno`estvo racionalni broevi: Q={

D | a, b Î Z, b ¹ 0}. E

Presmetaj:

a) 106 - 95 = g) 9 - 15 = e) 1 : 2 =

; b) 47 × 102 = ;

d) 135 : 5 = `) 63 =

;

;

; v) 316 + 316 =

;

; |) 816 - 816 =

;

z) 1 : 3 =

.

Odredi na koe mno`estvo broevi pripa|a vrednosta na sekoj od brojnite izrazi. Voo~i deka:

vrednostite na izrazite a) , b), v), d) i `) se elementi na N; vrednostite od a) do |) i `) se elementi na mno`estvoto Z; vrednostite na site izrazi od a) do z) se elementi na mno`estvoto Q.

2.

Odredi go re{enieto na ravenkata x2 = 3. Dali ravenkata x2 = 3 ima re{enie {to e element na mno`estvoto Q? Voo~i deka x2 = 3 ima re{enie x =

ix=-

e iracionalen broj i ne e element na Q. Vo koe mno`estvo pripa|aat broevite: , i

54

. ?

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

3.

Spored elementite na mno`estvata: N - prirodni broevi, Z - celi broevi, Q - racionalni broevi i I - iracionalni broevi, odgovori na pra{awata: Dali sekoj element od N pripa|a i na Z?

Dali sekoj element od Z pripa|a i na Q?

Dali sekoj element na N pripa|a i na Q?

Dali sekoj element na Q pripa|a i na I?

Dali nekoi elementi na Q pripa|at i na I?

R

Voo~i go venoviot dijagram:

F

Q

Za mno`estvata N, Z, Q i I va`i: NĂŒZĂŒQ iQÇI=Æ Mno`estvoto ~ii elementi se site racionalni broevi i site iracionalni broevi se vika mno`estvo na realni broevi i se ozna~uva so R.

I

N

Z

R=QĂˆI

4.

Odredi na koe mno`estvo pripa|a sekoj od broevite: 2; 106; -53; 0,002; 6,6666; -1028937.

E -5

6.

5.

Za sekoj realen broj ima to~ka na brojnata prava.

B

-4

D

-3

Na brojnata prava se ozna~eni to~ki. Koja od niv e pridru`ena na racionalen, a koja na iracionalen broj? A

C

-2 - -1 -

1

0

Na brojna prava pretstavi gi broevite: - 2; -

Treba da znae{:

Zada~i ; - 2; - ; - ; 0; 1; 2; Koi broevi se elementi na N? Koi broevi se elementi na Z? Koi broevi se elementi na Q? Koi broevi se elementi na R?

2. .

33

1,5 2 ; -

; 0; ;

4

; 2; 3

5

; 4,5.

Dali e to~no tvrdeweto: Ako brojot a e element na mno`estvoto celi broevi Z, toga{ toj broj e element i na Q i na R. Obrazlo`i!

da navedi{ primeri na realni broevi.

- ; -

B

F

Proveri se!

koi broevi se elementi na mno`estvoto R;

1. Dadeni se broevite:

; - ;

[to od navedenoto e to~no: a)

e iracionalen broj;

b) - e realen broj; v) e iracionalen i racionalen broj; g) 7 e priroden broj, e cel broj, e racionalen broj i e realen broj.

Realni broevi

55

U^E[E ZA STEPENI. KVADRATEN KOREN. PROVERI GO SVOETO ZNAEWE 1. Koj broj e osnova, a koj eksponent na

9. Izvr{i stepenuvawe na stepenot.

stepenot 53 ?

2.

a)

a) Pretstavi gi vo vid na stepeni proizvodite: 3Ă—3Ă—3Ă—3Ă—3Ă—3=

3.

; (-2)3 =

;

;

(x - y)5 =

a) (ab)3 =

.

5.

;

b) 2,103 =

;

b) 32 - (23 + 1) + 200 Ă— 0,12 =

.

Odredi go koli~nikot na stepenite: a) a15 : a5 =

56

b) (a + 1)3 Ă— (a + 1) =

;

;

b)

[ [

.

g) §¨ ¡¸ = ŠDš

;

; .

11.

[ ˜ [ zapi{i go kako stepen [ so osnova x.

12.

Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot:

Izrazot

a) -22 Ă—

=

; .

13. Re{i ja ravenkata: a) 3x2 = 48;

b) x2 + 15 = 96.

14. Presmetaj so kalkulator:

Odredi go proizvodot na stepenite: a) x7 Ă— x3 =

8.

.

;

b) (2x3y)4 =

b) 15 - 23(32-3 ) - 7 =

.

Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: a) 8 - 22 Ă— 3 + 4 =

7.

.

Zapi{i go brojot vo vid na proizvod od priroden broj i stepen so osnova 0,1. a) 0,00025 =

6.

b) 7 050 000 =

=

.

;

v) (x2 : y)3 =

Zapi{i go brojot vo vid na proizvod od priroden broj i stepen so osnova 10. ;

i koli~nicite:

Presmetaj ja vrednosta na stepenot so osnova (-5) i eksponent:

a) 25 000 =

10. Izvr{i stepenuvawe na proizvodite

a) 4; b) 3; v) 1; g) 0.

4.

b)

;

b) Pretstavi gi vo vid na proizvod stepenite: x7 =

=

§ § ¡ ¡ v) ¨ ¨ ¸ ¸ = ¨Š š ¸ Š š

;

(a - 1)(a - 1)(a - 1) =

a)

=

;

b)

=

15. Dadeni se broevite: ; 0,5; ; ; 3,2(7); 12. Koi od broevite pripa|aat na: a) N; b) Z; v) Q; g) I; d) R. -3; -

Tema 2. Stepeni. Kvadraten koren

.

TEMA 3.

POLINOMI

MONOMI I POLINOMI 1. Izrazi 2. Monomi 3. Sobirawe i odzemawe na monomi 4. Polinomi 5. Mno`ewe i stepenuvawe na monomi 6. Sobirawe i odzemawe na polinomi 7. Mno`ewe na polinom so monom 8. Mno`ewe na polinomi 9. Proizvod od zbir i razlika na dva izraza 10. Kvadrat na binom 11. Delewe na monomi. Delewe na polinom so monom

(A + B)2

58 63 67 69 73 74 76 78 81 83 86

12. Delewe na polinom so polinom 88 13. Racionalni izrazi 90 RAZLO@UVAWE POLINOMI NA MNO@ITELI 14. Razlo`uvawe polinom so izvlekuvawe zaedni~ki mno`itel pred zagradi i so grupirawe 93 15. Razlo`uvawe na polinom od vidot 95 A2 - B2 na prosti mno`iteli 16. Razlo`uvawe na polinom od vidot A2 + 2AB + B2 i A2 - 2AB + B2 na prosti mno`iteli 97 RABOTA SO PODATOCI 17. Pribirawe podatoci 99 Proveri go tvoeto znaewe 102

A2 + 2AB +B2

Monomi i polinomi

57

MONOMI I POLINOMI

1

IZRAZI

Potseti se!

A 1.

Zapisite: 5 Ă— 4 - 2; 7,5 - 3,8 : 2 + 22; 3 - 1,75 : 0,5 + 3,8 Ă— 2 se brojni izrazi.

Po koj redosled }e gi izvr{uva{ operaciite vo dadenite brojni izrazi?

Presmetaj ja vrednosta na izrazite: 3 Ă— 8 - 2,5 Ă— 6 + 8 : (-4);

š . Vo dadenite izrazi prvo }e gi izvr{am operaciite mno`ewe i delewe, a potoa operaciite sobirawe i odzemawe.

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto.

F 3 Ă— 8 - 2,5 Ă— 6 + 8 : (-4) = 24 - 15 - 2 = 9 - 2 = 7, t.e. vrednosta na izrazot e 7; ¸ , t.e. vrednosta na izrazot e 3.

F

Brojot {to se dobiva otkako }e se izvr{at site operacii vo daden broen izraz se vika brojna vrednost na izrazot.

2.

Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot

Kolku e vrednosta na izrazot vo imenitelot? Dali so toj broj mo`e{ da izvr{i{ delewe?

˜ .

Vrednosta na izrazot 10 : 2 - 5 = 0, so nula ne se deli, t.e. deleweto so nula nema smisla.

Za broen izraz vo koj ima delewe so nula se veli deka nema brojna vrednost ili deka nema smisla.

3.

Odredi koj od navedenite izrazi nema brojna vrednost: 36 - 9 Ă— 4

58

(3 Ă— 5 - 15) : 8;

Tema 3. Polinomi

; ˜

. ˜

4.

Presmetaj ja brojnata vrednost na slednive izrazi: a) 12 - 2 × 5 + 30 : 6;

b) 6 - 4 : 2 + 7;

v) 52 - 3 × 8 + 18 : 3.

Koi od dadenite izrazi imaat ednakvi brojni vrednosti? Voo~i deka izrazite a) i v) imaat ednakvi brojni vrednosti. Za brojnite izrazi koi{to imaat ednakvi brojni vrednosti se veli deka se ednakvi brojni izrazi.

5.

Daden e brojniot izraz 15 - 32 + 2,4 × 5 - (3,6 - 1,2) : 2. Od {to e sostaven dadeniot broen izraz? Sogledaj deka ovoj broen izraz (i drugi brojni izrazi {to si gi izu~uval) e sostaven od broevi, od znacite za operaciite: sobirawe, odzemawe, mno`ewe i delewe i stepenuvawe so eksponent priroden broj, kako i od zagradi. Broevite: 15, 3; 2,4; 5; 3,6 se konstanti. Konstanti se i: , praviot agol, {1, 2, 3, 4}. Mo`e da se ka`e deka konstanti se to~no opredeleni matemati~ki objekti.

Potseti se!

B 6.

Neka vo DABC: b = 9 cm i c = 5 cm.

Perimetarot na ramnostran triagolnik se presmetuva so pomo{ na izrazot 3 × a.

Kolkava mo`e da bide dol`inata na stranata a?

So koi simboli e obrazuvan ovoj izraz? [to ozna~uva sekoj od simbolite? Mo`e li a da bide: 5; 27; 3,2; ?

Koi broevi gi zamenuva bukvata a, ako nejziniot meren broj e priroden broj? Koi neravenstva va`at za stranite a, b i c vo triagolnikot? Pri re{avaweto na zada~ata primeni gi niv.

Za stranite vo triagolnikot va`at neravenstvata: a < b + c i a > b - c.

F Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. a < 9 + 5, a < 14; a > 9 - 5, a > 4.

Voo~i deka bukvata a e zamena za broevite: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 i 13.

7.

Neka x e oznaka za elementite na mno`estvoto {1, 2, 3, 4, 5}. Koi konstanti gi zamenuva bukvata x? Voo~i deka bukvata x e zamena za broevite 1, 2, 3, 4 i 5. Sekoj od tie broevi e nejzina vrednost.

Monomi i polinomi

59

Promenliva e simbol (naj~esto bukva) koja{to pretstavuva zaedni~ka oznaka za elementite na dadeno mno`estvo. Mno`estvoto se vika domen na promenlivata (naj~esto se ozna~uva so D), a sekoj negov element pretstavuva vrednost na promenlivata. Ako ne e zadaden domenot na promenlivata }e smetame deka toj e mno`estvoto R na realnite broevi.

8.

Odredi go domenot na sekoja od promenlivite vo prethodnite dve zada~i.

Voo~i i zapomni , -9, , ... se izrazi. Promenlivite: x, y, z,... , a, b, c, ... se izrazi.

Konstantite: 1, 2, 0,

[ i drugi, obrazuvani od konstanti i promenlivi [ so pomo{ na znaci za operacii, se izrazi. Zapisite: 3 + 5 Ă— 2, x + y2, x Ă— (y - 4),

Ako vo izrazot ima promenliva, toga{ toj se vika izraz so promenliva.

9.

Koj od slednive izrazi e izraz so promenliva: 3 Ă— 8 - 4 2;

[ - 3y;

5x - 2;

.

Izrazot so promenliva 5x - 2 mo`e da se ozna~i so A(x) = 5x - 2.

V 10.

Presmetaj ja vrednosta na izrazot A(x) = x2 - 2x - 3 za x = -2.

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. x2 - 2x - 3 = (-2)2 - 2 Ă— (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5, t.e. brojot 5 e vrednost na izrazot x2 - 2x - 3 za x = -2 ili A(-2) = 5. Na daden izraz so promenliva mu odgovara soodveten broen izraz, ako promenlivata se zameni so odredena vrednost; vrednosta na brojniot izraz e brojna vrednost na izrazot so promenliva.

11.

Presmetaj ja vrednosta na izrazot: 5x - 2 za x = 2;

60

2x - y za x = 7,2 i y = 6,8.

Tema 3. Polinomi

12.

[ . [ Odredi gi vrednostite na A(x) i B(x) za x ĂŽ {-2, -1, 0, 1, 2} = D.

Neka se dadeni izrazite: A(x) = x2 - 4x - 5 i B(x) =

Voo~i go vo tabelata re{avaweto na ovaa zada~a.

x

-2

-1

0

1

A(x)

7

0

-5

-8

-1

-2

B(x)

2

-9 nema -5 vrednost

Od tabelata voo~uva{ deka mno`estvoto vrednosti na izrazot A(x) = x2 - 4x - 5 vo domenot na promenlivata D = { -2, -1, 0, 1, 2} e mno`estvoto M = {7, 0, -5, -8, -9}. Mno`estvoto vrednosti na izrazot B(x) =

[ za x ĂŽ { -2, -1, 0, 1} e N = { - , -1, -2, -5}. [

Za koja vrednost na x ĂŽ D izrazot B(x) nema vrednost?

13.

Neka se dadeni izrazite: A(x) = x2 + 2x i B(x) = x(x + 2). Odredi gi mno`estvata vrednosti na A(x) i B(x), ako x ĂŽ {-2, -1, 1, 2} = D. Sporedi gi mno`estvata vrednosti na A(x) i B(x). [to zabele`uva{?

Sogledaj go vo tabelava re{avaweto na ovaa zada~a. x

-2

-1

1

2

A(x)

0

-1

3

8

B(x)

0

-1

3

8

Voo~uva{ deka za sekoja vrednost na x ĂŽ D, A(x) = B(x). Izrazite so promenliva {to imaat ednakvi brojni vrednosti za sekoja vrednost na promenlivata od domenot se vikaat identi~ni izrazi.

14.

Dadeni se izrazite A(x) = x2 -3x i B(x) = x(x - 3), so domen D = {1, 2, 3, 4}. Proveri dali izrazite A(x) i B(x) se identi~ni.

Ako dva identi~ni izrazi se svrzat so znakot za ednakvost (=) se dobiva ravenstvo {to se vika identitet.

15.

Zapi{i go identitetot od zada~ata 14.

Monomi i polinomi

61

Treba da znae{: Proveri se!

da presmeta{ vrednost na broen izraz;

Presmetaj ja brojnata vrednost na slednive izrazi:

da razlikuva{ broen izraz od izraz so promenliva;

˜ ;

{to e: konstanta, promenliva i domen na promenliva.

.

Dadeni se izrazite: A(x) = 6x - 3x2 i B(x) = 3x (2 - x), so domen D = {1, 2, 3, 4}. Poka`i deka ravenstvoto A(x) = B(x) e identitet.

Zada~i 1.

2.

3.

Presmetaj ja brojnata vrednost na slednive izrazi: b) ˜ - 2,5; a) 5 + 3 Ă— 22 - 12; ˜ ˜ ; g) . v)

a)

˜ ;

b)

;

v)

˜ ˜

g)

. ˜

Koi od slednive izrazi se izrazi so promenliva:

v)

62

[ ; [

b) 32 Ă— 2 - 1; g)

[ ?

Presmetaj ja brjnata vrednost na izrazot x2 - 3x + 5 za x = -2.

Tema 3. Polinomi

Za koja vrednost na x izrazot nema vrednost?

[ [

6.

Vo mno`estvoto D = {1, 2, 3, 4} se zadadeni izrazite: A(x) = 2x2 - 4x i B(x) = 2x(x - 2). Poka`i deka izrazite A(x) i B(x) se identi~ni.

7.

Poka`i deka ravenstvoto 4x2 - 4 = 4(x2 - 1), za x ĂŽ {0, 1, 2, 3}, e identitet.

8.

Dadeni se izrazite: A(x) = 3x - 6, B(x) = 3(x - 2) i C(x) = 3(x - 6), pri {to x ĂŽ {0, 1, 2, 3, 4}.

Odredi koj od slednive brojni izrazi nema brojna vrednost;

a) a + 2;

4.

5.

Odredi koe od ravenstvata: A(x) = B(x), A(x) = C(x) ili B(x) = C(x) e identitet.

2

MONOMI

Potseti se! 3 [ xy ; \ ; izrazeni so promenliva. 3a; 2x3y2; x3 - 5;

[ se [

A 1.

Dadeni se izrazite: 5x2;

2 2 xy;

-2ab2; y3; 8; z. Od koi konstanti i promenlivi e formiran sekoj od izrazite?

Koi se konstanti, a koi promenlivi vo x; z? izrazite: 2x; 3x2y;

Koi operacii se zastapeni vo dadenite izrazi?

Voo~i deka nekoi izrazi se samo konstantni, a nekoi samo promenlivi. Vo drugite izrazi me|u konstantite i promenlivite ima samo operacija mno`ewe. Nekoi promenlivi se zapi{ani vo vid na stepen. Dadenite izrazi pretstavuvaat monomi.

Op{to Monomi se: konstanti, promenlivi i izrazi {to se proizvod od konstanti i stepeni na promenlivi.

2.

Odredi koi od slednite izrazi se monomi i obrazlo`i go odgovorot. 2x2y;

[ ; \

(ab)3; x + 2; 4(z - 3)2; ; y.

Potseti se! Proizvodot na stepeni so isti osnovi e stepen so istata osnova i eksponent ednakov na zbirot od eksponentite na mno`itelite. Odredi gi slednive proizvodi: a4 Ă— a2; x3 Ă— x5 Ă— x. Pomno`i gi stepenite so isti osnovi vo monomot 2a2a3b2b.

B 3.

Daden e monomot 4xy3x2y2. Od koi mno`iteli e sostaven monomot? So koi mno`iteli vo monomot mo`e da se izvr{i operacijata mno`ewe? Izvr{i go mno`eweto so tie mno`iteli.

Ako primeni{ komutativno i asocijativno svojstvo na mno`itelite vo dadeniot monom i go izvr{i{ mno`eweto }e dobie{ identi~en monom na dadeniot.

Monomi i polinomi

63

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto.

F 4x × x × y × y = 4(x × x ) × (y × y ) = 4x y . deka dobieniot monom 4x y ima samo eden broen mno`itel i nema stepeni so F Voo~i ednakvi osnovi. 2

3

2

2

3

2

3 5

3 5

Ako vo eden monom e izvr{ena operacijata mno`ewe so negovite mno`iteli za koi toa e mo`no, velime deka toj monom e sveden vo normalen vid.

4.

Voo~i kako se sveduva monomot -3x2y22x3y2 vo normalen vid.

F -3x y 2x y 2 2

5.

3 2

= (-3 × 2)(x2 × x3) × (y2 × y2) = -6x5y4.

Zapi{i gi vo normalen vid slednive monomi: 5a 2b32a4b2;

6.

-2x2y33y2x2;

2x3y3xy2(-3)xy.

Daden e monomot -6x5y3. Koi mno`iteli vo monomot se konstanti, a koi se promenlivi? Voo~i deka vo monomot -6x5y3 mno`itelot -6 e konstanta, a promenlivi se x i y. Brojniot mno`itel vo normalniot vid na monomot (vo slu~ajov: -6) se vika koeficient na monomot, a proizvodot od promenlivite (vo slu~ajov: x5y3), se vika glavna vrednost na monomot.

7.

Odredi gi koeficientot i glavnata vrednost na slednive monomi: 3a2b3;

-2x2y5;

-5x2y32x3y.

Monomite: x; x 2y; ab imaat koeficient eden. Edinicata kako koeficient ne ja zapi{uvame. Koja e glavnata vrednost na ovie monomi? Monomite: -x2; -ab; -x2y imaat koeficient -1. Zapi{i ja glavnata vrednost na ovie monomi.

V 8.

Dadeni se monomite -3x3y2 i 4x3y2. Voo~i gi koeficientite i glavnite vrednosti na dvata monoma. [to e zaedni~ko za dvata monoma?

64

Tema 3. Polinomi

Dvata monoma imaat ednakvi glavni vrednosti.

Monomi koi imaat ednakvi glavni vrednosti se vikaat sli~ni monomi.

9.

Odredi koi od slednive monomi se sli~ni. 2x5y2;

DEF ;

[ \ ;

-3a2b5c3;

-2x5y2;

7x5a2.

Potseti se! Dva racionalni broja so ista apsolutna vrednost i sprotivni znaci se vikaat sprotivni broevi.

Zapi{i go sprotivniot broj na sekoj od broevite: a) -5; b) 7,8; v) ; g) 9,25.

10.

Dadeni se sli~nite monomi: -3x2y3 i 3x2y3. Kakvi se me|u sebe koeficientite na dadenite monomi?

Voo~i deka koeficientite na monomite: -3x2y3 i 3x2y3 se sprotivni broevi. Dva sli~ni monoma ~ii{to koeficienti se sprotivni broevi se vikaat sprotivni monomi.

11.

Zapi{i go sprotivniot monom na monomot:

12.

Odredi koi od slednive monomi se sprotivni.

G 13.

5a2x 3y; -7a2bc3;

-7a3b2. 7ab 2c 3;

7a2bc3.

Vo monomot 5x3y2z promenlivata x e od tret stepen, y od vtor stepen i z od prv stepen. Zbirot na stepenite od site promenlivi e 3 + 2 + 1 = 6; zatoa se veli deka monomot 5x3y2z e od {esti stepen. Odredi go stepenot na sekoja od promenlivite vo slednive monomi: 5x3y2z;

2a3b 3c 2.

Voo~i i zapomni Stepen na monom pretstavuva zbirot od eksponentite na promenlivite vo monomot. Ako monomot e konstanta, toga{ se smeta deka toj ima nulti stepen.

F

Na primer, monomot 4a5bc2 e od osmi stepen, bidej}i 5 + 1 + 2 = 8, a monomot 7 e od nulti stepen.

Monomi i polinomi

65

14.

Odredi go stepenot na sekoj od monomite: -2x3;

5a2b;

-4x2yz;

8a2b2c 5.

Treba da znae{:

Proveri se!

da sveduva{ monom vo normalen vid; da odredi{ koeficient i glavna vrednost na monom;

Zapi{i go vo normalen vid monomot -2x2y3 Ă— (-3)xy2 i odredi gi koeficientot i glavnata vrednost na monomot;

da definira{ sli~ni i sprotivni monomi;

Daden e monomot -4x3y2z.

da odredi{ stepen na monom.

a) Zapi{i eden sli~en monom na dadeniot. b) Zapi{i go sprotivniot monom na dadeniot. v) Odredi go stepenot na dadeniot monom.

Zada~i 1.

Zapi{i gi vo normalen vid monomite: -3a3b42a2c;

2.

[ \ [\ .

D E F.

3.

Zapi{i monom so koeficient -0,5 i glavna vrednost a2b3.

4.

Odredi koi od slednive monomi se sli~ni: -3a2b2c; 2xy2z 3;

[\ ] ; 5a 2b2c.

Tema 3. Polinomi

Odredi koi od slednive monomi se sprotivni:

D E F;

Odredi gi koeficientite i glavnite vrednosti na slednite monomi: -4x2y3;

66

5.

2a2b 3c;

-2ab 2c3;

6.

Zapi{i go sprotivniot monom na monomot

7.

D E F.

Odredi go stepenot na sekoj od slednive monomi: 3a2bc3;

8.

D E F.

-2x2y;

-5a;

4x3yz.

Zapi{i dva monomi so koeficient -3 i promenlivi a i b, taka {to edniot da bide od ~etvrti stepen, a drugiot od petti stepen.

3

SOBIRAWE I ODZEMAWE NA MONOMI

Potseti se!

A 1.

Zbirot -5 + 12 + 3 - 10 - 7 se presmetuva na sledniov na~in:

Dali se sli~ni tie monomi? Obrazlo`i go svojot odgovor.

-5 + 12 + 3 - 10 - 7= (-5 - 10 - 7) + + (+12 + 3) = -22 + 15 = -7. Presmetaj go zbirot: a) 9 - 4 - 15 + 2 + 8 - 6; b) -6,5 + 2,4 + 3,1 - 4,8 - 0,5.

Dadeni se monomite: 5x2y; -2x2y i 3x2y.

Zapi{i gi monomite vo zbir i razmisli kako }e go presmeta{ toj zbir. Voo~i ja postapkata za sobirawe na dadenite sli~ni monomi.

POSTAPKA

RE[AVAWE

1

Zapi{uvawe na zbirot na monomite:

2

Osloboduvawe od zagradite:

3

Spored distributivnoto svojstvo:

4

Sobirawe na koeficientite:

5x2y + (-2x2y) + 3 x2y 5x2y - 2x2y + 3 x2y (5 - 2 + 3) x2y 6x2y

Dali monomot {to e rezultat od sobiraweto e sli~en so monomite - sobiroci?

2.

Odredi go zbirot na monomite: -9a3b2, 2a3b2 i -4a3b2.

Voo~i i zapomni Zbirot na sli~ni monomi e monom sli~en na monomite {to se sobiraat, so koeficient ednakov so zbirot od koeficientite na monomite-sobiroci.

3.

Odredi go zbirot na monomite: 5x2y3, 4x3y2, -2x2y3 i -2x3y2. Vo zada~ava ima monomi {to ne se sli~ni: kako }e go izvr{i{ sobiraweto vo vakov slu~aj?

Vo vakov slu~aj }e gi grupiram sli~nite monomi i potoa }e gi odredam zbirovite.

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto.

F =5x3xy y+ +4x2xy y-. 2x y 2 3

2 3

3 2

3 2

2 3

- 2x3y2 = (5x2y3 - 2x2y3) + (4x3y2 - 2x3y2) = (5 - 2)x2y3 + (4 - 2)x3y2 =

Monomi i polinomi

67

Potseti se!

B 4.

Od monomot 9a2b4 da se odzeme monomot -4a2b4.

Da se odzeme racionalniot broj b od racionalniot broj a zna~i: na brojot a da mu se dodade sprotivniot broj na brojot b, t.e. a - b = a + (-b).

Voo~uva{ deka monomite {to treba da se odzemat se sli~ni monomi.

Presmetaj ja razlikata na broevite: 9 i 4; 9 i -4; -9 i -4.

Voo~i ja postapkata za odzemawe na sli~ni monomi.

1

Zapi{uvawe na razlikata:

2

Osloboduvawe od zagradite:

3

Primena na distributivnoto svojstvo:

4

Operacija so koeficientite:

9a2b4 - (-4a2b4) = 9a2b4 + (+4a2b4) 9a2b4 + 4a2b4 (9 + 4) a2b4 13a2b4

Dali monomot {to e razlika e sli~en na monomite namalenik i namalitel? Da se odzeme monomot B od monomot A zna~i na monomot A da mu se dodade sprotivniot monom na monomot B, t.e. A - B = A + (-B). Monomot A - B se vika razlika na monomite A i B.

5.

Od monomot 4a2b odzemi go monomot 7a2b. Voo~i ja postapkata: 4a2b - (+7a2b) = 4a2b + (-7a2b) = 4a2b - 7a2b = (4 - 7)a2b = -3a2b.

6.

Od monomot 7a2x3 odzemi go monomot:

a) 4a2x3; b) -4a2x3.

Treba da znae{:

Proveri se!

da odreduva{ zbir na dva i pove}e monomi;

Odredi go zbirot na monomite: -5x3y2, -2x3y2, -3xy2, 4x3y2 i -2xy2.

da ja presmeta{ razlikata na dva sli~ni monomi.

Od zbirot na monomite: -2x2y3 i 5x2y3 odzemi go monomot -x2y3.

Zada~i 1.

Odredi go zbirot na monomite: a) -3a2b i 5a2b;

2.

b) 2x2y5, -5x2y5 i x2y5.

Odredi go zbirot na monomite: a) 6a2b, -5a2b2, -2a2b i -a2b2 b) 5x2, -2x3, -3x2, -x3 i 6x3.

68

Tema 3. Polinomi

3.

Od monomot 3ay3 odzemi go monomot -5ay3.

4.

Od zbirot na monomite -3x2y i -2x2y odzemi go monomot -7x2y.

5.

Od zbirot na monomite 5a2b3 i -2a2b3 odzemi ja nivnata razlika.

4

POLINOMI

A 1.

Potseti se! [to e monom? Koi monomi se vikaat sli~ni monomi? Zapi{i gi vo zbir monomite: 2a2b, -3ab2, 3a2b, ab2. Odredi go zbirot na sli~nite monomi. Kolku monomi ima vo zbirot na dadenite monomi?

Dadeni se izrazite: 5x2y - 3xy2 i 3a3 - 2a2b + b3. Od kolku monomi e formiran sekoj od dadenite izrazi?

Ima li sli~ni monomi vo sekoj od dadenite izrazi? Voo~uva{ deka vo izrazot 5x2y - 3xy2, sobiroci se monomite: 5x2y i -3xy2, koi ne se sli~ni.

Zbir od dva monoma koi ne se sli~ni se vika binom. Izrazot 3a3 - 2a2b + ab2 e zbir na monomite: 3a3, -2a2b i ab2, koi ne se sli~ni. Zbir od tri monomi, koi ne se sli~ni, se vika trinom.

2.

Odredi koj od navedenite izrazi e binom, a koj e trinom: 5x2y - 3xy2; 5x2 - 3x + 5; ax2 - 3a2y; 3x2y - 2xy2 + y3; 5x2y3;

7x3 - 2x2 - 3x - 7.

Monomite, binomite i izrazite koi se zbir na tri ili pove}e monomi se vikaat polinomi. Monomite od koi e obrazuvan polinomot se vikaat ~lenovi na polinomot.

3.

Kolku ~lenovi ima sekoj od slednive polinomi: a2b - 2ab2 + 3;

x3 + 2y3;

3x2y?

Potseti se! Zapi{i gi vo normalen vid slednive monomi: 5xy23x3y2; -2x4y23xy2. Monomi {to imaat ednakvi glavni vrednosti se vikaat sli~ni monomi. Zapi{i dva monoma {to se sli~ni na monomot -2x3y2.

F 3x y + 2x x y 2

2 2 2

B 4.

Razgledaj go polinomot 3x2y + 2x2x2y2 - 2xy2x2y - 5.

Voo~i gi ~lenovite na polinomot {to ne se zapi{ani vo normalen vid. Zapi{i gi site ~lenovi na polinomot vo normalen vid. Voo~i ja postapkata na zapi{uvawe na ~lenovite na polinomot 3x2y + 2x2x2y2 - 2xy2x2y - 5 vo normalen vid.

- 2xy2x2y - 5 = 3x2y + 2x4y2 - 2x3y3 - 5.

Monomi i polinomi

69

5.

Daden e polinomot 4x3y2 - 2x2y(3xy2) - 3x3y2xy. Zapi{i go polinomot taka {to site negovi ~lenovi da bidat monomi vo normalen vid.

6.

Daden e polinomot 3x2y - 2xy2 - 3x3y3 - 4xy2 + x2y. Dali vo dadeniot polinom ima ~lenovi koi se sli~ni monomi? Grupiraj gi sli~nite monomi vo polinomot, a potoa na sli~nite monomi izvr{i gi operaciite (sobirawe, odnosno odzemawe). Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto i voo~i ja postapkata.

F 3x y - 2xy 2

2

- 3x3y3 - 4xy2 + x2y = (3x2y + x2y) + (-2xy2 - 4xy2) - 3x3y3 = 4x2y - 6xy2 - 3x3y3.

Dali ima sli~ni monomi vo taka dobieniot polinom?

Ako vo eden polinom nekoi ~lenovi gi svede{ vo normalen vid ili izvr{i{ sobirawe (ili odzemawe) na ~lenovi {to se sli~ni monomi, toga{ se veli deka na toj polinom e izvr{ena identi~na transformacija. Voo~uva{ deka vo polinomot 4x2y - 6xy2 - 3x3y3 site ~lenovi se zapi{ani vo normalen vid i nema sli~ni monomi.

Op{to Ako vo eden polinom site ~lenovi se zapi{ani vo normalen vid i nema sli~ni monomi, se veli deka polinomot ima normalen vid.

7.

Odredi koi od slednive polinomi se vo normalen vid. 5x2 + 3xy + 2y2;

2x2 - 3xy + y2 + 3x2;

7a2b - 2abb2 - 3a2bab2;

3x3y - 2x2y2 + xy3.

8.

Transformiraj go vo normalen vid polinomot 7x3y2 - 2x2y3 - 2x3y2 - 3x2y3.

9.

Daden e polinomot 2x2 - 3xy + 5y2. Odredi go koeficientot na sekoj ~len na dadeniot polinom. Voo~i deka koeficienti na ~lenovite na polinomot 2x2 - 3xy + 5y2 se broevite: 2, -3 i 5. Vo polinomot ax3 - bx2 + cx - 5 so promenliva x koeficienti na negovi ~lenovi se: a, -b, c i -5. Koeficientite na monomite {to se ~lenovi na polinomot se vikaat koeficienti na polinomot.

70

Tema 3. Polinomi

10.

Odredi gi koeficientite na slednive polinomi so promenliva y. 4y2 - 2y - 5;

ay4 - 2by2 -4.

Potseti se!

V

Za koi dva monoma se veli deka se sprotivni monomi? Zapi{i go sprotivniot monom na monomot -3x2y3. Stepen na monom pretstavuva zbirot od eksponentite na promenlivite vo nego.

11.

Dadeni se polinomite: 6x3y - 2x2y2 - 3x i -6x3y + 2x2y2 + 3x Voo~i gi sli~nite monomi vo dvata polinoma. Kakvi monomi se sli~nite monomi od dvata polinoma? Voo~i gi sprotivnite monomi vo dvata polinoma.

Odredi go stepenot na monomot 2x3y2z3.

Sprotivni se monomite: 6x3y i -6x3y; -2x2y2 i 2x2y2, -3x i 3x. Za polinomite: 6x3y - 2x2y2 - 3x i -6x3y + 2x2y2 + 3x se veli deka se sprotivni polinomi.

Op{to Za dva polinoma se veli deka se sprotivni ako site ~lenovi od edniot polinom se sprotivni monomi so ~lenovite na drugiot polinom i obratno.

12.

Zapi{i go sprotivniot polinom na polinomot 7x2y3 - 2x3y2 + 5xy.

G 13.

Daden e polinomot -3x3y5 + 2x4y2 + 5x3y - 6.

Odredi go stepenot na sekoj od ~lenovite na polinomot. Koj ~len na polinomot ima najgolem stepen? Od koj stepen e ~lenot -6? Voo~uva{ deka prviot ~len (-3x3y5) e od osmi stepen, vtoriot (2x4y2) e od {esti stepen, tretiot (5x3y) e od ~etvrti stepen i ~etvrtiot ~len (-6) e od nulti stepen bidej}i vo nego nema promenliva. Najgolem stepen (osmi) ima prviot ~len. Za polinomot -3x3y5 + 2x4y2 + 5x3y - 6 se veli deka e od osmi stepen.

Monomi i polinomi

71

Op{to Stepen na polinom vo normalen vid e najgolemiot od stepenite na monomite {to se ~lenovi na polinomot.

14.

Odredi go stepenot na sekoj od slednive polinomi: 2x + 3;

7x3y2 + xy3 - 2xy;

3a2b - ab3;

Treba da znae{:

5x - 7y + 2.

Proveri se!

da odredi{ dali daden polinom e vo normalen vid;

Dovedi go vo normalen vid polinomot: 3x2y - 5x2y2x3y + 2x2y.

da dovede{ polinom vo normalen vid;

Zapi{i go sprotivniot polinom na polinomot: 1 + 5x - 2x2 - 3x3.

da objasni{ koi polinomi se sprotivni;

Podredi gi po golemina na stepenite, po~nuvaj}i od najgolemiot, ~lenovite na polinomot 5x3y - 2x2y3 - 3x5y + 8. Odredi go stepenot na dadeniot polinom.

da odredi{ stepen na polinom i da ja objasni{ postapkata za odreduvawe stepen.

Zada~i 1.

Svedi gi vo normalen vid ~lenovite na polinomot: 2x2yxy2 - 3x3yy3x2; -5a3b2b2 + 3a2b4b - 8a2b2.

2.

4.

Odredi gi koeficientite na polinomot po promenlivata x: 5x3 - 2ax2 + bx - 3.

5.

Zapi{i go sprotivniot polinom na polinomot: 4a2b - 2ab2 + 3ab;

Svedi go vo normalen vid polinomot. 2x2y3 - 3x3y2 + 3x2y3 - 5x3y2

6.

Presmetaj ja brojnata vrednost na polinomot x3 + 6x2 - 5x - 3 za x = -2.

7.

Odredi go stepenot na polinomot:

7x + 2x - 3x - 2x + 2x 3

3.

2

3

2

Transformiraj go vo normalen vid polinomot: 2x3y2y2 + 5x2y3 - 2x2y3 - 2x2x2y, -2x2y2 + 3x3y - 2x3y + 2x2y2 + 7xy3.

72

Tema 3. Polinomi

-x2y3 + 3xy2 - 2xy.

9x5y2 - 2x3y2 + 2x2y4; -4a8b + 2a7b - 3a6b.

8. Vo polinomot 5x2y - 2x3y2 + 3x2y4 - 7

podredi gi negovite ~lenovi spored goleminata na stepenite.

5

MNO@EWE I STEPENUVAWE NA MONOMI

Potseti se!

A 1.

Proizvodot na stepenite a i a e m

n

a m × a n = a m + n. Presmetaj gi slednive proizvodi: x 5 × x 3;

Presmetaj go proizvodot na monomite: 3x2y3 i 2x3y. Voo~i gi koeficientite i stepenite so ednakvi osnovi. Kako }e go izvr{i{ mno`eweto?

a3 × a.

Stepen se stepenuva na toj na~in {to osnovata na stepenot se stepenuva so proizvodot na pokazatelite, t.e. (a m) n = a m × n

Mo`am me|u sebe da gi pomno`am koeficientite i stepenite so ednakvi osnovi od dvata monoma.

Presmetaj: a) (x2)3; b) (a2)5. Proizvod se stepenuva so priroden broj taka {to se stepenuvaat so toj broj site mno`iteli.

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto. 3x2y3 × 2x3y = (3 × 2) × (x2 × x3) × (y3 × y) = 6x5y4.

Na primer: (a3 × b2)2 = a6b4. Presmetaj: a) (x5y2)3; b) (ab4)2.

Obrazlo`i ja postapkata pri presmetuvaweto.

Monomi se mno`at na toj na~in {to se mno`at nivnite koeficienti i stepenite so isti osnovi, pri {to se dobiva monom vo normalen vid.

2.

Odredi go proizvodot na monomite: -8x2y i 2xy2;

B 3.

[ i [\ ;

-0,6a2b3c i 2,5a3bc2;

DE F i 0,5ac2.

Odredi go tretiot stepen na monomot 2x3y2. Tretiot stepen na monomot e: (2x3y2)3 = (2x3y2) × (2x3y2) ×(2x3y2). Taka dobivam proizvod na tri monomi, koj mo`am da go presmetam.

Mo`e{ li stepenot (2x3y2)3 da go zapi{e{ kako proizvod?

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F (2x y ) = 2x y × 2x y × 2x y = (2 × 2 × 2) × (x × x F Voo~i deka: (2x y ) = 2 × (x ) × (y ) = 8x y . 3 2 3

3 2

3 2

3 2 3

4.

3 2 3

3

3 3

Izvr{i go stepenuvaweto:

2 3

3

× x3) × (y2 × y2 × y2) = 23 × (x3)3 × (y2)3 = 8x9y6.

9 6

(5a2b4c)2;

(-3x2y3z)3;

(-2a2xy3)4.

Monomi i polinomi

73

Treba da znae{: Proveri se!

da presmeta{ proizvod na monomi;

Odredi go proizvodot: (2x3y2) × (-3xy2z) × (xy2z).

da stepenuva{ monom so eksponent priroden broj.

Odredi go ~etvrtiot stepen na monomot -2x2yz3.

Zada~i 1.

2.

Odredi go proizvodot na monomite: DEF . -2a2b3c i 2ab2 i 3a2b;

5.

Odredi gi slednive proizvodi na monomi: (-5a3b2c) × (2a2b3c);

6.

a) -2x2y3;

(1,2x2y) × (-2xy2) × (3,5x3y3).

3. 4.

6

Poka`i deka za proizvodot na monomite; -3a2b3 i 2a3b2 va`i komutativnoto svojstvo na mno`eweto.

7.

Poka`i deka za proizvodot na monomite: -2a2bc, 3ab2c i -4abc2 va`i asocijativnoto svojstvo na mno`eweto.

8.

D EF

b)

Izvr{i go stepenuvaweto na monomite: (-3y2)2;

(-2,5a2b3)2;

(3x2y3)3;

D EF .

Presmetaj: (-2a2b)2 × (3ab2);

(3x3y2) × (-2x2y4)3.

Presmetaj: ((x2y)2)3;

((-2a3b2)3)2.

SOBIRAWE I ODZEMAWE NA POLINOMI

Potseti se! [to e polinom? Imenuvaj gi ~lenovite na polinomot 5x3y - 2x2y2 - 3xy3. Formiraj polinom ~ii{to ~lenovi se monomite: -5a3b3; 2a2b2 i 3ab. Brojnata vrednost na zbirot od brojnite izrazi: -12 + 3 + 18 i 5 - 9 + 1 se presmetuva vaka: (-12 + 3 + 18) + (5 - 9 + 1) = = -12 + 3 + 18 + 5 - 9 + 1 = =(-12 - 9) + (3 + 18 + 5 + 1) = = -21 + 27 = 6. Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot (-9 - 4 + 15) + (-2 + 8 - 16).

74

Odredi go vtoriot stepen na monomot

Tema 3. Polinomi

A 1.

Odredi go zbirot na polinomite: 3x3y - 3x2y2 - 2xy3 i 4x3y - 2x2y2.

Voo~i ja postapkata za sobirawe na dadenite polinomi. (3x y - 3x y - 2xy ) + (4x y - 2x y ) F Zapi{uvawe na zbirot: F Osloboduva3x y - 3x y - 2xy + we od 3

2 2

3

zagradite:

F Grupirawe na sli~nite monomi:

F Izvr{uvawe na operaciite so sli~nite monomi:

3

3

2 2

3

2 2

+ 4x3y - 2x2y2 =

= (3x3y + 4x3y) + + (-3x2y2 - 2x2y2) + (-2xy3) =

= 7x3y - 5x2y2 - 2xy3

Da se soberat polinomi zna~i da se zapi{at posledovatelno (kako zbir) site nivni ~lenovi so nivnite znaci, a potoa da se izvr{i sveduvawe na sli~nite monomi, ako gi ima.

2.

Odredi go zbirot na polinomite: a) 5x3 - 2x2 - 3x + 1 i 4x2 - 2x + 3;

B

b) 2a3 - 3a2 + 2a - 4 i 3a3 - 5a + 7.

Potseti se! Od monomot A da se odzeme monomot B zna~i na monomot A da mu se dodade sprotivniot monom od monomot B, t.e. A - B = A + (-B). Odredi ja razlikata na monomite: 5x2y3 i -2x2y3.

3.

Odredi ja razlikata na polinomite: 7a3b - 5a2b2 - 6ab3 i 3a3b - 2a2b2 + 3ab3.

F Zapi{uvawe na razlikata: F Osloboduvawe od zagradite: F Grupirawe na sli~nite monomi: na operaciite so monoF Izvr{uvawe mite:

(7a3b - 5a2b2 - 6ab3) - (3a3b - 2a2b2 + 3ab3) 7a3b - 5a2b2 - 6ab3 - 3a3b + 2a2b2 - 3ab3 = = (7a3b - 3a3b) + (-5a2b2 + 2a2b2) + (-6ab3 - 3ab3) = 4a3b - 3a2b2 - 9ab3

Voo~i i zapomni Da se odzeme polinomot B od polinomot A zna~i na polinomot A da mu se dodade sprotivniot polinom od polinomot B, t.e. A - B = A + (-B).

4.

Presmetaj:

(3ax3 - 5bx2) - (-ax3 + 2bx2);

Treba da znae{: da presmeta{ zbir na polinomi; da presmeta{ razlika na dva polinoma; da ja objasni{ postapkata za sobirawe, odnosno odzemawe polinomi.

(7x3 - 12x2 + 3x) - (5x3 - 6x2 - 2).

Proveri se! Transformiraj go vo normalen vid na polinom izrazot: (5a5b2 - 2a3b4) + (-a5b2 + 5a3b4) + + (2a5b2 - 3a3b4) Utvrdi dali e to~no ravenstvoto: (9a3 - 4a2 - 3) - (7a3 - a2 - 3) = 2a3 - 3a2.

Monomi i polinomi

75

Zada~i 1.

Presmetaj go zbirot na polinomite:

6.

a) 3a2b - 2ab2 i a2b - 3ab2,

a) 7x3 - 2x2 - 5x i 4x3 - 5x2 - 4x;

b) 7x3 - 4x2 + x - 3 i 7x2 - 3x + 5.

b) 2,5a3 - 3b3 i -1,8a3 - 0,6b3.

2.

Transformiraj go vo normalen vid na polinom izrazot: 4 a) (5x - 2x3 + 8) + (4x4 - x3 + 2x2 - 5);

7.

2 2

3

3

2 2

3

3.

Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: (6y - 7y2 + y) + (-4y3 + 2y2 - y), za y = 2.

b) (x2 - 4xy + 4y2) - (3x2 - y2).

8.

3

Kon polinomot 5x2y3 - 2x3y2 dodaj go zbirot na polinomite: 2x2y3 + x3y2 i x2y3 - x3y2.

5.

Poka`i deka vrednosta na izrazot 2

7

9.

Odredi polinom P takov {to: P + (x2 + 2xy - 3y2) = 3x2 - 4xy - 3y2.

10. Za polinomite: A=3a2 - 4a + 1,

B = - a2 + 5a - 4 i C = 2a2 - a + 6 odredi:

2

A - (B + C);

A - (B - C).

MNO@EWE NA POLINOM SO MONOM

Potseti se! Monom se mno`i so monom taka {to }e se pomno`at nivnite koeficienti i stepenite so isti osnovi, pri {to se dobiva monom vo normalen vid. Na primer: -3a2b × 2a3b2 = =(-3 × 2) × (a2 × a3) × (b × b2) = -6a5b3. Presmetaj: -3x5y2 × 4xy2. Distributivnoto svojstvo na mno`eweto vo odnos na sobiraweto se zapi{uva: (a + b) × c = a × c + b × c; a × (b + c) = a × b + a × c. Presmetaj na dva na~ina: (15 + 8) × 6 = 23 × 6 = ; (15 + 8) × 6 = 15 × 6 + 8 × 6 =

76

Odredi ja brojnata vrednost na izrazot: (3x3 - 2x2 - 4x - 1) - (-x3 + x2) za x = -2.

(3x - 2x + 5) + (-x - 2x + 1) + (-2x + 4x -2) ne zavisi od x. 2

Transformiraj go vo normalen vid na polinom izrazot: a) (3x2 - 2xy - 2y2) - (x2 + 2xy - 6y2);

b) (-8a b - 4a b + 3ab ) + (a b + 4a b -ab ). 3

4.

Presmetaj ja razlikata na polinomite:

.

Tema 3. Polinomi

A

1.

Distributivnoto svojstvo na mno`eweto sprema sobiraweto ovozmo`uva proizvodot na polinom i monom da se pretstavi vo vid na polinom. Voo~i kako se presmetuva proizvodot na polinomot 3x2 + 4y3 i monomot 2x3y2.

na F Zapi{uvawe proizvodot: na disF Primena tributivnoto

(3x2 + 4y3) × (2x3y2)

svojstvo na mno- = (3x2 × 2x3y2) + (4y3 × 2x3y2) `eweto sprema sobiraweto:

F Mno`ewe monomite

na vo zagradite (t.e. = 6x5y2 + 8x3y5 sveduvawe na normalen vid):

2.

Odredi go proizvodot:

(2x3 - 3x2 + 5x) Ă— 4x2;

(3a2 - 2ab + b2) Ă— 5a2b2.

Polinom se mno`i so monom na toj na~in {to sekoj ~len na polinomot }e se pomno`i so monomot i dobieniot zbir }e se pretstavi kako polinom vo normalen vid.

3.

Odredi go proizvodot:

4ax2 Ă— (2a3x - 5a2x2 + 3ax3);

Treba da znae{:

(2,5xy2 - 1,4x2y) Ă— (-2x2y2).

Proveri se!

da pomno`i{ polinom so monom;

Presmetaj go proizvodot: a) (-5) Ă— (4x3 - 3x2 + x); b) (-2x3y - 3xy3 + 5) Ă— (-2x2y2).

da ja objasni{ postapkata na mno`ewe polinom so monom.

Zada~i 1.

Presmetaj go proizvodot: a) (2x2 - 3y3) Ă— 4xy; b) (5a3b - 3a2b2 + ab3) Ă— (-2a2b2).

2.

Odredi go proizvodot: a) 4 Ă— (5a2 + 2a - 3); b) (-2) Ă— (-3,5x3 + x2y2 - 3y3).

3.

4.

Neka se dadeni izrazite: A = 2x3 - 3x2 + x, B = x3 + x2 - 3x i C = 5x2. Svedi gi na polinom vo normalen vid izrazite: a) (A + B) Ă— C; b) C Ă— (A - B).

5.

Pretstavi gi kako polinom vo normalen vid izrazite: a) (3a2b - ab2) Ă— a2b2 - 2a2b Ă— ab3; b) (3x3 - x2 + 2x) Ă— 5x - (4x2 - 3) Ă— x2.

6.

Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot (3x2 - 2x + 1) Ă— 2x - (x2 - 3x + 5) Ă— 4x za x = 2.

Odredi gi slednive proizvodi: a)

D E DE E ˜ DE

b) [\ ˜

[ [ \ [\ \ .

Monomi i polinomi

77

8

MNO@EWE NA POLINOMI

A 1.

Potseti se! Polinom se mno`i so monom na toj na~in {to sekoj ~len od polinomot se mno`i so monomot i dobienite proizvodi se sobiraat. Presmetaj go proizvodot: a) (a + b) × c; b) x (2 + y); v) (2a2b - 3ab2 + 5) × 2ab.

Dadeni se polinomite a + b i c + d. Presmetaj go proizvodot (a + b) × (c + d). Na {to }e se svede mno`eweto, ako binomot c + d go zameni{ so A?

Toga{ mno`eweto }e se svede na proizvodot (a + b)A, t.e. (a + b)A = aA + bA.

[to }e dobie{ ako A go zameni{ so c + d?

]e dobijam: aA + bA = a(c + d) + b(c + d).

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto: (a + b) × A = aA + bA F (a + b) × (c + d) == a(c + d) + b(c + d)

(pri {to A = c + d)

= ac + ad + bc + bd , t.e.

(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd. Proizvodot na polinomite a+b i c+d e ednakov na zbirot od proizvodite na sekoj ~len od edniot polinom so sekoj ~len od drugiot polinom.

2.

Presmetaj go proizvodot (2x + 3) × (y + 5).

3.

Poka`i deka ravenstvoto (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd mo`e da se tolkuva geometriski kako ednakvost me|u: plo{tinata na golemiot pravoagolnik i zbirot od plo{tinite na ~etirite pomali pravoagolnici (na crte`ot). Zapi{i gi plo{tinite na sekoj od pravoagolnicite spored dadenite dimenzii.

4. 78

d

c

a

Presmetaj go proizvodot na polinomite: 4x2 - 5x + 3 i 2x - 3.

Tema 3. Polinomi

b

Voo~i ja postapkata za mno`ewe na dadenite polinomi.

F Zapi{uvawe na proizvodot: na sekoj ~len od edniot polinom F Mno`ewe so sekoj ~len od drugiot: F Izvr{uvawe na mno`eweto: F Sveduvawe na polinom vo normalen vid:

(4x2 - 5x + 3)(2x - 3) = 4x2 × 2x + 4x2 × (-3) - 5x × 2x - 5x (-3) + + 3 × 2x + 3 × (-3) = 8x3 - 12x2 - 10x2 + 15x + 6x - 9 = 8x3 - 22x2 + 21x - 9.

Polinom se mno`i so polinom na toj na~in {to sekoj ~len od edniot polinom }e se pomno`i so sekoj ~len na drugiot polinom i dobieniot zbir }e se pretstavi kako polinom vo normalen vid.

5.

Presmetaj go proizvodot (a3 + 2a2b - 3ab2) × (5a - 3b).

6.

Transformiraj go proizvodot (2x - 3) × (3x + 2) × (5x - 1) vo polinom {to }e ima normalen vid. Voo~i deka dadeniot proizvod, poradi asocijativnoto svojstvo na mno`eweto, mo`e da se zapi{e: ((2x - 3) × (3x + 2)) × (5x - 1) i da se izvr{i prvo mno`eweto na prvite dva mno`itela.

Potseti se! Dvocifren broj so cifra na desetkite a i cifra na edinicite b vo razviena forma se zapi{uva 10a + b. Zapi{i gi vo razviena forma broevite 62 i 68.

7.

B

Praviloto za mno`ewe na polinomi ima mnogu primeni. Eve edna (mala) primena za brzo opredeluvawe na proizvodi na broevi od vidot: 62 × 68; 74 × 76; 53 × 57; toa se proizvodi na broevi od ista desetka na koi zbirot od edinicite e ednakov na 10.

Presmetaj go proizvodot (10a + b) × (10a + c), pri {to b + c = 10. Koristej}i go dobieniot rezultat, presmetaj 62 × 68. Voo~i ja postapkata za odreduvawe na proizvodot (10a + b) × (10a + c), kade {to b + c = 10. (10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10ac + 10ab + bc = 100a2 + 10a(b + c) + bc = =100a2 + 10a × 10 + bc (za b + c = 10) = 100a2 + 100a + bc = 100a(a + 1) + bc.

Monomi i polinomi

79

Ravenstvoto (10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc mo`e{ da go iskoristi{ za re{avawe na zada~ata. Spored toa ravenstvo: 62 Ă— 68 = 100 Ă— 6 Ă— 7 + 2 Ă— 8 = 4200 + 16 = 4216. Proizvodot 62 Ă— 68 mo`e da se presmeta i usno na toj na~in {to brojot na desetkite (6) se mno`i so broj {to e za 1 pogolem od nego (7) i kon dobieniot proizvod (42) se dopi{uva proizvodot od edinicite na dvata broja (16), t.e. 62 Ă— 68 = 4216.

8.

Presmetaj gi usno proizvodite: a) 34 Ă— 36; b) 81 Ă— 89; v) 53 Ă— 57.

Treba da znae{:

Proveri se!

da opredeluva{ proizvod na polinomi;

Presmetaj go proizvodot: (4a2 - 2ab + b2) Ă— (2a + b).

da ja objasnuva{ postapkata za opredeluvawe proizvod na polinomi.

[to nedostasuva za ravenstvoto da bide to~no: (2x2 - 3)(3x2 - 2) = 2x2 Ă— 3x2 - 3(-2)?

Zada~i 1.

Presmetaj gi slednive proizvodi: a) (2a + 3b)(a - 2b); b) (x2 + 2xy - 5y2)(2x - 3y).

4.

Transformiraj go vo polinom vo normalen vid izrazot: (3x2 - 2x + 5)(4x - 3)(2x - 1).

2.

Presmetaj: a) (a3 - a2b + ab2 - b3)(a + b); b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y).

5.

Presmetaj ja vrednosta na izrazot: (x + 1)(x + 2) + (x - 3)(x + 4) za x = 3.

3.

Presmetaj: a) (1,2a3 - 2,5a2 + 0,2a)(a2 - 1,4);

6.

Presmetaj gi usno proizvodite: a) 72 Ă— 78; b) 63 Ă— 67.

b)

80

[ [ [ [ .

Tema 3. Polinomi

9

PROIZVOD OD ZBIR I RAZLIKA NA DVA IZRAZA

Potseti se!

A 1.

Polinom se mno`i so polinom taka {to sekoj ~len na edniot polinom se mno`i so sekoj ~len od drugiot polinom i dobieniot zbir se pretstavuva kako polinom vo normalen vid.

Neka A i B se izrazi. Presmetaj go proizvodot (A + B) (A - B) i dobieniot polinom svedi go vo normalen vid. Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto:

+ B)(A - B) = A - AB + BA - B F (A t.e. se dobiva identitetot 2

Odredi go proizvodot: (2a2 - 3b2)(4a - b2).

2

= A2 - B2,

(A + B)(A - B) = A2 - B2

Zbirot na dva sprotivni monomi e nula. Koj od navedenite izrazi ima vrednost 0: a) -3a2b + 3ab2; b) 2x3y2 - 2x3y2; v) a2b - ab2; g) -x3y + x3y?

Zapomni Proizvodot od zbirot i razlikata na dva izraza e ednakov na razlikata od nivnite kvadrati.

Identitetot (A + B)(A - B) = A2 - B2 pretstavuva formula za skrateno mno`ewe na zbir i razlika na dva izraza.

2.

Presmetaj go proizvodot (2a + 3b)(2a - 3b) so pomo{ na formulata za skrateno mno`ewe: (A + B)(A - B) = A2 - B2. Voo~i na {to e ednakvo A, a na {to B. Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto i voo~i ja postapkata.

F Sogledaj deka A = 2a i B = 3b. F Zameni vo formulata za skrateno mno`ewe: A so 2a i B so 3b: F (2a + 3b)(2a - 3b) = (2a) - (3b) = 4a - 9b . 2

3.

2

2

2

So pomo{ na formulata za skrateno mno`ewe presmetaj go proizvodot: a) (3x - y)(3x + y);

B 4.

b) (5a + 2b)(5a - 2b);

v) (a2 - 3)(a2 + 3);

g) (40 -1 )(40 + 1).

So pomo{ na formulata (A + B)(A - B) = A2 - B2, presmetaj go proizvodot 42 Ă— 38. Brojot 42 mo`e da se pretstavi kako zbir na broevite 40 i 2, t.e. 42 = 40 + 2. Zapi{i go brojot 38 kako razlika na istite broevi. Voo~i kako }e se primeni formulata, za da se presmeta proizvodot 42 Ă— 38:

Monomi i polinomi

81

F 42 Ă— 38 = (40 + 2)(40 - 2) = 40 - 2 = 1600 - 4 = 1596. 2

2

Ova e eden na~in za presmetuvawe proizvod na dva broja, od koi edniot mo`e da se zapi{e kako zbir od dva broja, a drugiot kako razlika od istite broevi.

5.

So pomo{ na formulata za skrateno mno`ewe, presmetaj: a) 43 Ă— 37;

b) 68 Ă— 72;

v) 201 Ă— 199.

Treba da znae{:

Proveri se!

da odredi{ proizvod od zbir i razlika na dva monoma;

Odredi go proizvodot:

da ja objasni{ postapkata za odreduvawe proizvod od zbir i razlika na dva monoma;

(-2a2 + 3b2) Ă— (-2a2 - 3b2) Presmetaj go usno proizvodot: 73 Ă— 67.

da ja primenuva{ postapkata za odreduvawe proizvod od zbir i razlika na dva monoma vo re{avawe zada~i.

Zada~i 1.

Odredi gi proizvodite: a) (x - 3) (x + 3);

2.

5.

b) (2a + 3)(2a - 3).

Pretstavi gi kako polinom vo normalen vid izrazite: a) (3x2y - 2xy2)(3x2y + 2xy2);

a) (x - 2y)(x + 2y) + 2x2 - y2; b) (a2b + ab2)(a2b - ab2) + 2a(a3b2 - ab4).

6.

b) (6ab3 - 5a3b)(6ab3 + 5a3b).

3.

Odredi ja vrednosta na slednive izrazi:

Odredi ja vrednosta na proizvodite: a) 93 Ă— 87;

82

b) 202 Ă— 198.

Tema 3. Polinomi

Odredi go proizvodot {to e ednakov na razlikata od kvadratite: a) x2 - 9;

7.

a) (60 - 1)(60 + 1); b) (100 + 4)(100 - 4).

4.

Transformiraj go vo polinom vo normalen vid izrazot:

Transformiraj go dadeniot izraz vo binom: a) (0,2ab - c)(0,2ab + c); b)

8.

b) 4x2 - 9y2.

[ [\ [\ [ ˜ .

Pretstavi go dadeniot izraz vo polinom vo normalen vid. a) (z + 3)(z - 3)(z2 + 9); b) (x + y - 1)(x + y + 1).

10

KVADRAT NA BINOM

Potseti se! Ako A i B se koi bilo monomi, toga{ izrazite (A+B)2 i (A-B)2 se vikaat kvadrat na zbir, odnosno kvadrat na razlika na dva monoma. Zapi{i go kvadratot od zbirot i razlikata na monomite: 3x i 2y.

A 1.

Zapi{i gi kako proizvod stepenite: a) a2;

b) (a + b)2;

v) (a - b)2.

Odredi go kvadratot na zbirot A+B. Kako }e postapi{ za da odredi{ (A+B)2?

]e zapi{am: (A + B)2 = (A+B)(A+B), a potoa }e go presmetam proizvodot.

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto: (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + AB + B2 =A2 + 2AB + B2, t.e. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Voo~i i zapomni! Kvadratot od zbir na dva monoma e ednakov na zbirot od kvadratot na prviot monom, udvoeniot proizvod na prviot i vtoriot monom, i kvadratot na vtoriot monom.

F

Voo~i ja postapkata za odreduvawe kvadrat na zbir na sledniov primer:

2.

Odredi gi kvadratite na slednite binomi:

3.

(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 Ă— 2x Ă— 3y + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2. (3a + 2b)2;

Daden e kvadratot ABCD, so strana $% = a + b. Presmetaj ja plo{tinata na toj kvadrat.

(x2 + y2)2.

D b

Voo~i na kolku delovi e podelen kvadratot ABCD so otse~kite MN i PS.

S P3 = ab

M

Voo~i gi dimenziite na sekoj od delovite. Odredi ja plo{tinata na sekoj del.

a

Plo{tinata na kvadratot P e zbir od plo{tinite P1, P2, P3 i P4 na delovite, t.e. P = P1 + P2 + P3 + P4.

P4 = b2 N

K P2 = ab

P1 = a2 A

Zapi{i go toa so odredenite plo{tini.

C

a

P

b

B

Voo~uva{ deka: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Na crte`ot geometriski e prika`ana formulata (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Monomi i polinomi

83

4.

So primena na formulata (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 mo`e da se presmeta 622. Zapi{i go brojot 62 vo razviena forma. Primeni ja formulata. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F

622 = (60 + 2)2 = 602 + 2 × 60 × 2 + 22 = 3600 + 240 + 4 = 3844.

B 5.

Odredi go kvadratot na razlikata A - B. ]e postapam na sledniot na~in: (A - B)2 = (A - B)(A - B) = A2 - AB - AB + B2 = = A2- 2AB + B2.

Kako }e postapi{ za da odredi{ (A - B)2?

Voo~uva{ deka:

(A - B)2 = A2 - 2AB + B2.

Zapomni! Kvadratot na razlika na dva monoma e ednakov na kvadratot na prviot monom, minus dvojniot proizvod na prviot i vtoriot monom, plus kvadratot na vtoriot monom. Formulite: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 i (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 u{te se vikaat formuli za skrateno mno`ewe. ja postapkata za odreduvawe kvadrat na razlika na sledniov primer: F Razgledaj (5a - 2b) = (5a) - 2 × 5a × 2b + (2b) = 25a - 20ab + 4b . 2

6. 7.

2

2

2

Odredi gi kvadratite na slednive polinomi:

2

(3x - 4y)2;

(2a2 - b2)2.

So primena na formulata za kvadrat na razlika na dva monoma, presmetaj 482. Obidi se sam. Zapi{i go brojot 48 kako razlika na 50 i 2.

F

Primeni ja formulata (A - B)2 = A2 - 2AB + B2.

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto

F 8.

84

Presmetaj: 692

482 = (50 - 2)2 = 502 - 2 × 50 × 2 + 22 = 2500 - 200 + 4 = 2304. 372

982.

Tema 3. Polinomi

Treba da znae{: Proveri se!

da odredi{ kvadrat na zbir od dva monoma; da ja objasni{ postapkata za odreduvawe kvadrat na zbir na dva monoma i da ja primeni{ vo zada~i;

Odredi:

(a + 3b)2;

Odredi:

da odredi{ kvadrat na razlika na dva monoma; da ja objasni{ postapkata za odreduvawe kvadrat na razlika na dva monoma i da ja primenuva{ vo zada~i.

822.

[ \ ;

572.

Zada~i 1.

Odredi gi slednive kvadrati:

6.

a) (a - 3)2; b) (3x - 2y)2; v) (4a2- b2)2.

a) (x + 4)2; b) (2x + 7y)2; v) (3x2 + 5y2)2.

2.

So primena na formulata (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 odredi: a) 412; b) 722;

3.

4.

So primena na formulata (a - b)2= a2- 2ab + b2 odredi: a) 382;

8.

b) 592;

v) 962.

Zapi{i go kako polinom vo normalen vid izrazot:

a) (a + 3)2 + (a + 4)2;

a) (3x - y)2 + (x - 2y)2;

b) (3x + 2y)2 + (2x + y)2 - (x + y)2.

b) (5a - 2b)2 - (a - b)2 + (a + 3b)2.

Odredi koj binom na kvadrat e ednakov na trinomot: a) a2 + 2ax + x2; b) 4x2 + 12xy + 9y2.

5.

7.

v) 1052.

Zapi{i go kako polinom vo normalen vid izrazot:

Odredi gi slednive kvadrati:

Re{i gi slednive ravenki: a) (x + 2)2 - x2 = 16; b) (3x + 5)2 - 9x2 = 55.

9.

Odredi koj binom na kvadrat e ednakov na trinomot: a) x2 - 4x + 4;

b) 9x2 - 12xy + 4y2.

10. Svedi go na normalen vid polinomot: a) (3x -1)2 + (x - 5)(x + 5); b) (2a - 3b)2 + (2a + 3b)2.

Monomi i polinomi

85

11

DELEWE NA MONOMI. DELEWE NA POLINOM SO MONOM

Potseti se!

A

Stepeni so ednakvi osnovi se delat taka {to osnovata se prepi{uva, a eksponentite na stepenite se odzemaat. Na primer: a8 : a3 = a8 - 3 = a5.

1.

Voo~i ja postapkata: 6x4y5 : (2x2y2) = (6 : 2)(x4 : x2)(y5 : y2) = 3x2y3.

Odredi gi koli~nicite: a) x7 : x2;

Presmetaj go koli~nikot na monomite: 6x4y5 i 2x2y2.

Obrazlo`i kako e izvr{eno deleweto na monomite.

b) y5 : y4.

Podeleni se koeficientite i podeleni se stepenite so isti osnovi. Zapi{i go deleweto na monomite vo vid na dropka, a potoa odredi go koli~nikot. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto:

2.

[ \ [ \

[ \ ˜ ˜ [ \

[ \ .

Presmetaj go koli~nikot 12a6y7 : (-6a3y2). Monom so monom se deli taka {to }e se podeli koeficientot na delenikot so koeficientot na delitelot, a stepenite od glavnata vrednost na delenikot se delat so stepenite so isti osnovi od glavnata vrednost na delitelot i dobienite koli~nici se zapi{uvaat kako proizvod.

3.

Odredi gi koli~nicite:

-15a5x7 : (5a2x3);

Potseti se! Distributivnoto svojstvo na deleweto oddesno vo odnos na sobiraweto mo`e da se zapi{e: (a + b) : c = a : c + b : c. Presmetaj: (32 + 48) : 8 = 32 : 8 + 48 : 8 =

;

(x5 + x7) : x2 = x5 : x2 + x7 : x2 =

.

[ \

B

4.

[ \ .

Polinomot 8a5 - 4a4 + 6a3 podeli go so monomot 2a2. Kako }e go iskoristi{ distributivnoto svojstvo?

Sekoj ~len na polinomot 8a5 - 4a4 + 6a3 }e go podelam so monomot 2a2.

Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto.

F (8a 86

5

- 4a4 + 6a3) : (2a2) = (8a5) : (2a2) + (-4a4) : (2a2) + (6a3) : (2a2) = 4a3 - 2a2 + 3a.

Tema 3. Polinomi

5.

Izvr{i go deleweto na polinomot so monomot: (-6x5 - 9x4 + 3x3) : (-3x2). Primeni go distributivnoto svojstvo. Izvr{i gi nazna~enite delewa. Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto!

F (-6x

5

- 9x4 + 3x3) : (-3x2) = (-6x5) : (-3x2) + (-9x4) : (-3x2) + (3x3) : (-3x2) = 2x3 + 3x2 - x.

Polinom se deli so monom taka {to sekoj ~len od polinomot }e se podeli so monomot, a dobienite koli~nici }e se soberat.

6.

Presmetaj gi koli~nicite: (18x5y3 - 24x4y4 + 12x3y5) : (6x2y2);

(4a3b2 - 8a4b3) : (-4a2b).

Treba da znae{:

Proveri se!

da odredi{ koli~nik na dva monoma; Svedi go na polinom vo normalen vid izrazot:

da ja objasni{ postapkata za delewe na monom so monom;

(-4x3y4) : (2x2y2) + (-6x5y3) : (-2x3y2) =

da podeli{ polinom so monom;

Odredi go koli~nikot:

da ja objasni{ postapkata za delewe na polinom so monom.

Zada~i 1.

Presmetaj gi slednive koli~nici: a) (16x y ) : (4xy); 3 2

2.

a) (1,44x y ) : (1,2x y ); b) D E D E .

3.

5.

2 2

Svedi gi na monom vo normalen vid izrazite:

4.

Presmetaj ja vrednosta na izrazot: D E za a = -2 i b = 2. D E

Presmetaj gi koli~nicite: b) (12a3x4 - 8a4x3 - 4a5x2) : (4a2x2).

6.

Presmetaj: a) (-4x5 + 12x4y + 16x3y2) : (4x3); b) (4a2b - 12a4b3) : (4a2b).

7.

Svedi gi na polinom vo normalen vid slednive izrazi: a) (9a2b3 - 12a4b4) : 3a2b - (2 + 3a2b) × b2;

a) ((-2a3b) × (-3ab3)) : (-6a2b2); §§ · § ·· § · b) ¨ ¨ [ \ ¸ ¨ [ \ ¸ ¸ ¨ [ \ ¸ . ¹ © ¹¹ © ©© ¹

.

a) (4x5y2 - 6x4y3 - 8x3y4) : (2x3y2);

2 2

Presmetaj: 5 2

(6a5b4 - 9a4b3 + 3a3b2) : (3a3b2) =

b) (-9a b ) : (3a b ). 3 5

.

b) (x2 - 2xy) × (3x2) - (9xy3 - 12x4y2) : (3xy).

8.

Odredi go x od ravenkite: a) 6x + (4x3 - 12x2) : 2x2 = 10; b) 6x - (14x2 - 21x3) : 7x2 = 16.

Monomi i polinomi

87

12

DELEWE NA POLINOM SO POLINOM

Potseti se!

A 1.

Ako (2a2 - 5)(3a - 2) = 6a3 - 4a2 - 15a + 10, toga{ na {to e ednakvo: (6a3 - 4a2 - 15a + 10) : (2a2 - 5); (6a3 - 4a2 - 15a + 10) : (3a - 2)? Kako e dobien prviot ~len na proizvodot 6a3 - 4a2 - 15a + 10?

Polinomot 6x3 - 7x2 - 7x + 6 da se podeli so polinomot 2x - 3.

Podeli go prviot ~len na delenikot so prviot ~len na delitelot. Pomno`i go delitelot 2x - 3 so dobieniot koli~nik. Obidi se dobieniot proizvod da go odzeme{ od delenikot.

Ako gi izvr{i prethodnite tri aktivnosti, ti go dobi prviot ~len 3x2 od koli~nikot. Ako gi sprovede{ istite tri aktivnosti so ostatokot i delitelot }e go dobie{ vtoriot ~len od koli~nikot. Voo~i ja postapkata za delewe na dadenite polinomi. Sogledaj kako taa prakti~no se izveduva. Zapi{uvawe na deleweto

Postapki pri deleweto

Izvr{uvawe na oddelnite operacii

(6x3 - 7x2 - 7x + 6) : (2x - 3) = 3x2 + x - 2 6x3 9x2 2 1 + -

Prviot ~len 6x3 na delenikot se deli so prviot ~len 2x na delitelot i se dobiva prviot ~len na koli~nikot;

(6x3) : (2x) = 3x2

-

E F E F E F F F F F

2x2 - 7x + 6 2x2 - 3x +

- 4x + 6 - 4x + 6 +

-

4

2

6

0

Prviot ~len 2x2 na ostatokot od odzemaweto se deli so prviot ~len 2x na delitelot i se dobiva vtoriot ~len na koli~nikot;

(2x2) : (2x) = x

Delitelot 2x - 3 se mno`i so vtoriot ~len x na koli~nikot i dobieniot proizvod se odzema od ostatokot 2x2 - 7x + 6;

(2x - 3) Ă— x = 2x2 - 3x

Prviot ~len -4x na ostatokot -4x + 6 se deli so prviot ~len 2x na delitelot 2x - 3 i se dobiva tretiot ~len na koli~nikot;

(-4x) : (2x) = -2

6

Delitelot 2x - 3 se mno`i so tretiot ~len -2 na koli~nikot i dobieniot proizvod se odzema od ostatokot 4x + 6.

(2x - 3) Ă— (-2) = -4x + 6

7

Se dobiva ostatok 0, so {to deleweto e zavr{eno.

3

4

5

88

Delitelot 2x - 3 se mno`i so prviot ~len 3x2 na koli~nikot i dobieniot proizvod 6x3 - 9x2 se odzema od de(2x - 3) Ă— (3x2) = 6x3 - 9x2 lenikot, t.e. so menuvawe na znacite se dodava sprotivniot izraz -6x3 + 9x.

Tema 3. Polinomi

Spored postapkata {to ja sogleda pri deleweto na polinomite, odgovori na pra{awata: So koj ~len od delitelot se vr{i delewe? Koi ~lenovi se delat so prviot ~len na delitelot?

2.

Razgledaj ja postapkata na delewe polinom so polinom na primerot (x4- 3x3 + 3x2 + 6x - 10) : (x2 - 2). Obrazlo`i gi postapkite od 1 do 6 {to se zapi{ani.

(x4 - 3x3 + 3x2 + 6x - 10) : (x2 - 2) = x2 - 3x + 5 - 2x2 x4 +

-

- 3x3 + 5x2 + 6x - 10 + 6x - 3x3 +

-

5x2 - 10 5x2 - 10 +

-

0

1. x4 : x2 = x2 2. (x2 - 2) Ă— x2 = x4 - 2x2 3. (- 3x3) : x2 = -3x 4. (x2 - 2) Ă— (-3x) = -3x3 + 6x 5. (5x2) : x2 = 5 6. (x2 - 2) Ă— 5 = 5x2 - 10. Voo~i deka pri deleweto na polinom so polinom treba prethodno ~lenovite vo polinomite da bidat podredeni od najgolem do najmal stepen na edna od promenlivite.

3.

Odredi gi koli~nicite: a) (x3 + 5x2 + 8x + 4) : (x + 1); b) (3a3 - 5a2 + 14a - 8) : (3a - 2).

4.

Proveri dali e to~no izvr{eno deleweto: (3a4 - 2a3 - 8a2 + 6a - 3) : (a2 - 3) = 3a2 - 2a + 1.

Treba da znae{: da deli{ polinom so polinom; da ja objasni{ postapkata za delewe na polinom so polinom.

Proveri se! Odredi go koli~nikot na polinomite 2x3 + x2 - 5x + 2 i x + 2, a potoa proveri dali to~no si go izvr{il deleweto.

Zada~i 1.

2.

Ako (a - 1)(a + 1) = a2 - 1, toga{ na {to e ednakvo a) (a2 - 1) : (a - 1); b) (a2 - 1) : (a + 1)?

3. Proveri dali se to~ni ravenstvata:

Odredi gi slednive koli~nici: a) (2a2 - 7ab + 6b2) : (a - 2b); b) (6x3 - 11x2 + 13x - 12) : (3x - 4); v) (2a3 + 5a2b - 5ab2 + b3) : (2a - b).

4. Odredi go polinomot A taka {to da

a) (6x3 - 11x2 + 23x - 15) : (x2 - x + 3) = = 6x - 5 b) (2a3 + 5a2 - 6a - 15) : (a2 - 3) = 2a + 5. bide to~no ravenstvoto: (x3 - y3) : A = x - y.

Monomi i polinomi

89

13

RACIONALNI IZRAZI

Potseti se!

A 1.

Brojni izrazi se: 14 - 6; 25 + 3 Ă— 6; 100 - 52; (1,6 + 3,8) : (7 - 6,5);

Dadeni se izrazite: a) 2a + 3b;

b) x2 - 5x + 7;

§ ¡ itn. ¨ ¸Â˜ Š š Presmetaj ja vrednosta na brojniot izraz (13,5 - 8,25) : (4 - 1,5).

[ \ . [ Od koi konstanti i promenlivi e formiran sekoj od dadenite izrazi?

Izrazi so promenlivi se:

So koi operacii se svrzani konstantite i promenlivite vo dadenite izrazi?

v)

[ \ itn. [ \ Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot x2 - 2x + 1 za x = -2. x + 8; 3y2 - 5,

Voo~i gi vo tabelava konstantite, promenlivite i operaciite so niv vo dadenite izrazi.

izraz

2a + 3b

konstanti

2; 3

promenlivi

a; b

operacii

[ \ [

x2 - 5x + 7 1; -5; 7

1; -2; 3

x

mno`ewe i sobirawe

x; y

odzemawe, mno`ewe, sobirawe i stepenuvawe.

odzemawe, mno`ewe i delewe.

Od tabelata mo`e{ da voo~i{ deka dadenite izrazi se formirani od konstanti (broevi) i promenlivi (bukvi), svrzani so operaciite: sobirawe, odzemawe, mno`ewe, delewe i stepenuvawe so eksponent priroden broj, i samo so niv. [ \ Izrazite kako: 2a + 3b; x2 - 5x + 7 i se vikaat racionalni izrazi. [ Izrazot x2 - 3 [ ne e racionalen, za{to promenlivata x e pod znakot za korenuvawe.

2.

Koi od slednive izrazi se racionalni izrazi: x2 - 2x + 1;

B 3.

[ \ ; [

˜ [ ;

D [.

Dadeni se slednive racionalni izrazi:

[ \ [ [ ; ; ; (x2 - 1) : (x + 2). [ Vo koi od dadenite racionalni izrazi ima delewe so promenlivite? 3x2 - 1;

90

Tema 3. Polinomi

[to zna~i izrazot da ima delewe so promenliva?

Toa zna~i delitelot, odnosno imenitelot vo izrazot da sodr`i promenliva.

[ \ [ nema delewe so proi menliva. Takvi racionalni izrazi u{te se vikaat celi racionalni izrazi.

Voo~uva{ deka vo racionalnite izrazi: 3x2 - 1,

[ i (x2 - 1) : (x + 2), vo koi e zastapeno delewe so promelnivi se [ vikaat drobni racionalni izrazi.

Izrazite, kako

4.

Koi od slednive racionalni izrazi se: a) celi racionalni izrazi;

[ ;

5.

\ ;

; [

b) drobni racionalni izrazi?

[ ; [

Dadeni se polinomite: 3x2y, 2x - 3y, navedenite polinomi?

Potseti se!

˜ ? ˜ Za koja vrednost na x imenitelot na

[ e nula? [

Dali za x = 3 dadeniot izraz ima vrednost?

[ . [

x2 - 3x + 5. Koj vid racionalni izrazi se

V 6.

Koj od slednive brojni izrazi nema brojna vrednost:

racionalnit izraz

[ ; [

Presmetaj ja brojnata vrednost na racionalniot izraz x2 - 2x - 1 za x = -2. Zameni ja promenlivata x so -2, kakov izraz }e dobie{ po zamenata?

]e go dobijam brojniot izraz: (-2)2 - 2(-2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7. Brojnata vrednost na izrazot x2 - 2x - 1 za x =- 2 e 7.

7.

Presmetaj ja brojnata vrednost na racionalniot izraz

8.

Daden e racionalniot izraz

[ \ za x = 3 i y = -1. [ \

\ . \ Za koja vrednost na promenlivata y vrednosta na imenitelot e nula?

Koi se dopu{tenite vrednosti na promenlivata y vo dadeniot izraz?

Monomi i polinomi

91

Voo~uva{ deka: ako y = -3, toga{ y + 3 = -3 + 3 = 0. Spored toa ako y = -3, toga{ racionalniot izraz

\ nema vrednost. Mno`estvoto dopu{teni vrednosti na ovoj \

izraz e R \ {-3}, t.e. site realni broevi osven brojot -3.

9.

Odredi gi dopu{tenite vrednosti na promenlivata vo sekoj od izrazite:

[ ; [

[ [ ; [ [

. [

Treba da znae{:

Proveri se!

da navede{ primeri za racionalni izrazi; da definira{ cel racionalen izraz; da definira{ droben racionalen izraz; da odredi{ brojna vrednost na racionalen izraz; da odredi{ dopu{teni vrednosti na promenlivata vo racionalen izraz.

Kakvi racionalni izrazi se polinomite? Koi od navedenite racionalni izrazi se celi, a koi drobni racionalni izrazi? [ [ x2 - 3x + 5; . ; [ Odredi gi dopu{tenite vrednosti na promenlivata x vo racionalniot izraz [ . [ [

Zada~i 1.

Odredi koi od slednive izrazi se racionalni izrazi. 5x - 2;

2.

3.

92

[ ; [

[ \ ;

[ [ ;

[ ; [

[ . [

Odredi ja brojnata vrednost na racionalniot izraz x2 - 3x + 5 za x = 2.

Tema 3. Polinomi

Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazot

[ [ .

Odredi koi od slednive izrazi se celi, a koi drobni racionalni izrazi. 2x2 - 3y2;

4.

5.

[ za x = 4. [

Za koi vrednosti na promenlivata y izrazot

\ nema smisla? \

6. Odredi go mno`estvoto dopu{teni

vrednosti na promenlivata vo racionalniot izraz

[ . [ [

RAZLO@UVAWE POLINOMI NA MNO@ITELI

14

RAZLO@UVAWE POLINOM SO IZVLEKUVAWE ZAEDNI^KI MNO@ITEL PRED ZAGRADA I SO GRUPIRAWE

Potseti se!

A 1.

Vo proizvodot 60 = 4 × 15 broevite 4 i 15 se mno`iteli, a brojot 60 nivni proizvod.

Potseti se na distributivnoto svojstvo na mno`eweto.

Se veli deka vo zapisot 60 = 4 × 15 brojot 60 e razlo`en na mno`iteli. Ako se zapi{e: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 kade mno`itelite se prosti broevi, se veli brojot 60 e razlo`en na prosti mno`iteli. Razlo`i go brojot 36 na mno`iteli. Razlo`i go brojot 28 na prosti mno`iteli. Odredi gi slednite proizvodi: a(x + y ). 2

2

(a + 3) (x + y).

Polinomot ax2 + ay2 zapi{i go kako proizvod.

Polinomot ax2 + ay2 se dobiva koga polinomot x2 + y2 }e se pomno`i so monomot a. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F ax

+ ay2 = a(x2 + y2).

2

Se veli deka so ovaa identi~na transformacija polinomot ax2 + ay2 e razlo`en na mno`iteli so izvlekuvawe zaedni~ki mno`itel pred zagradi.

2.

Razlo`i gi na mno`iteli slednive polinomi:

3.

Razlo`i go na mno`iteli polinomot 3ax2 + 6bx2 - 12cx2. Koj e zaedni~kiot mno`itel za site ~lenovi na dadeniot polinom? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

3a + 3b;

ax2 - bx2.

Zaedni~ki mno`itel na site ~lenovi na polinomot e 3x2. Zna~i za da ja re{am zada~ata nego }e go izvle~am pred zagradi.

F 3ax

2

+ 6bx2 - 12cx2 = 3x2(a + 2b - 4c).

Voo~i deka polinomot vo zagradite go dobivame so delewe na dadeniot polinom so zaedni~kiot mno`itel izvle~en pred zagradite.

4.

Razlo`i gi na mno`iteli slednive polinomi:

5.

Razlo`i go na mno`iteli izrazot 2a(x - y) - 3b(x - y).

10x3 -5x2 + 15x;

4a3b -6a2b2 + 8ab3.

Razlo`uvawe polinomi na mno`iteli

93

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F 2a(x - y) - 3b(x - y) = (x - y)(2a - 3b).

6.

Razlo`i gi na mno`iteli sledniov izraz 5x(a + 2b) - 2y(a + 2b).

7.

Razlo`i gi na mno`iteli polinomot ax + 3x + 3y + ay. Dali imaat zaedni~ki mno`itel site ~lenovi na polinomot? Kako }e go razlo`i{ polinomot na mno`iteli?

Site ~lenovi nemaat zaedni~ki mno`itel. ]e gi grupiram prviot so ~etvrtiot i vtoriot so tretiot ~len, ili: prviot so vtoriot i tretiot so ~etvrtiot.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F ax + 3x + 3y + ay = (ax + ay) + (3x + 3y) = a(x + y) + 3(x + y) = (a + 3) (x + y). 8.

Razlo`i gi na mno`iteli polinomot 2ax - 6ay + bx - 3by.

Treba da znae{:

Proveri se!

da razlo`i{ polinom na mno`iteli so izvlekuvawe na zaedni~ki mno`itel pred zagrada i so grupirawe na ~lenovite;

Razlo`i gi na mno`iteli slednive izrazi: 15a2b - 10ab2 + 5ab.

da ja objasni{ postapkata za razlo`uvawe polinom na mno`iteli so izvlekuvawe zaedni~ki mno`itel pred zagrada.

ax(a - x) + (a - x). ax + bx + a + b.

Zada~i 1.

Razlo`i gi na mno`iteli slednive polinomi: a) 5a + 5x;

2.

b) 2ax + 4ay;

v) axy - bxy.

Razlo`i gi na mno`iteli slednive polinomi: a) 12x2y - 9xy2 + 3x3y3; b) 7x3y2 - 14x2y3 + 21x3y3; v) 6a3b2 - 9a2b3 + 3a2b2.

3.

Razlo`i gi na mno`iteli slednive izrazi: a) 2a(x - 3) - 3b(x - 3); b) 5x(5 - x) - 3y(5 - x); v) 3x(2a - 3b) - (2a - 3b).

4. Razlo`i gi na prosti mno`iteli slednive izrazi:

a) 2a(3y - 4) - 5b(4 - 3y); upatstvo: -5b(4 - 3y) = 5b(3y - 4);

b) 3x3 - 3x2 + y2 - xy2; v) 3a2x - 2a2y - 2y + 3x.

94

Tema 3. Polinomi

15

RAZLO@UVAWE NA POLINOMI OD VIDOT A2 - B2 NA PROSTI MNO@ITELI

Potseti se!

A 1.

Proizvodot od zbir i razlika na dva izraza e ednakov na razlikata na kvadratite na prviot i vtoriot izraz, t.e. (A + B)(A - B) = A2 - B2.

Voo~i deka 4a2 = (2a)2 i 9b2 = (3b)2. Kako mo`e{ da ja primeni{ formulata A2 -B2 = (A + B) (A - B)?

Odredi gi proizvodite: (x + 5) (x -5);

Razlo`i go na mno`iteli polinomot 4a2 - 9b2.

(3a - 2b)(3a + 2b). Ako A2 = (2a)2 i B2 = (3b)2 toga{ 4a 2 - 9b 2 = (2a) 2 - (3b) 2 . Sega mo`am da ja primenam formulata A2 - B2 = (A + B)(A - B).

Zapi{i go proizvodot od koj e dobien izrazot 4x2 - y2.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F 4a

- 9b2 = (2a)2 - (3b)2 = (2a + 3b)(2a - 3b).

2

2.

Razlo`i gi na mno`iteli slednive polinomi:

B 3.

9x2 - y2;

4a2 - 25x2.

Razlo`i go na mno`iteli polinomot 18x2 - 50y2. Vo ovoj slu~aj nema broj koj dignat na kvadrat dava 18 ili 50. Kako }e go razlo`i{ ovoj polinom na mno`iteli?

Vo dadeniot polinom }e izvle~am pred zagrada 2 i }e dobijam 2(9x2 - 25y2), a potoa za izrazot vo zagradite }e ja primenam formulata A2 - B2 = (A + B)(A - B).

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F 18x

2

- 50y2 = 2(9x2 - 25y2) = 2((3x)2 - (5y)2) = 2(3x + 5y)(3x - 5y).

Voo~i deka polinomot 18x2 - 50y2 e razlo`en na mno`iteli. Nitu eden od mno`itelite ne mo`e da se razlo`uva. Zatoa se veli deka polinomot e razlo`en na prosti mno`iteli.

4.

Razlo`i gi na prosti mno`iteli slednive polinomi: 12a2x - 27b2x;

3ax2 - 12ay2.

Razlo`uvawe polinomi na mno`iteli

95

V 5.

Razlo`i go na prosti mno`iteli izrazot (a + 5)2 - (b - 2)2. Neka a + 5 = A i b - 2 = B. Kako }e ja primeni{ formulata A2 - B2 = (A + B)(A - B)?

Ako a + 5 = A i b - 2 = B, toga{ (a + 5)2 = A2 i (b - 2)2 = B2, a (a + 5)2 - (b - 2)2 = (a + 5 + b - 2)(a + 5 -b + 2).

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F (a + 5)

2

6.

- (b - 2)2 = (a + 5 + b - 2)(a + 5 - b + 2) = (a + b + 3)(a - b + 7).

Razlo`i gi na prosti mno`iteli slednive izrazi: (2x - 3)2 - (3y + 2)2;

(x + y)2 - x2y2.

Treba da znae{: da razlo`i{ na mno`iteli polinom od vidot A2 - B2; da ja objasni{ postapkata za razlo`uvawe polinom od vidot A2 - B2 na mno`iteli.

Proveri se! Razlo`i gi na prosti mno`iteli polinomite: a2 - 25b2;

7a2b2 - 28;

(5a - 3b)2 - (2a - 7b)2.

Zada~i 1.

Razlo`i gi na mno`iteli polinomite: a) x2 - b2; b) 4a2 - 49y2; v) 16a4b2 - 25.

2.

Razlo`i gi na prosti mno`iteli slednive polinomi: a) 5a2 - 20x2; b) 7a2x2 - 63x2b2; v) 5x - 5x. 3

3.

Razlo`i gi na prosti mno`iteli polinomite: a) (x - 5)2 - (y - 3)2; b) (4a + 3b)2 - (a - 2b)2; v) (x2 + 6)2 - 49.

4. Presmetaj gi na ednostaven na~in proizvodite:

a) 642 - 362; b) 752 - 252; v) 7252 - 2752; upatstvo: 642 - 362 = (64 + 36)(64 - 36).

96

Tema 3. Polinomi

16

RAZLO@UVAWE NA POLINOM OD VIDOT A2 + 2AB + B2 I A2 - 2AB + B2 NA PROSTI MNO@ITELI

Potseti se!

A 1.

Ako A i B se koi bilo monomi, toga{ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 i (A - B)2 = A2 - 2AB + B2.

Odredi go binomot A + B, kade {to A i B se monomi, za da bide to~no ravenstvoto 4x2 + 12xy + 9y2 = (A + B)2.

Odredi (3x + y)2.

Koi ~lenovi vo polinomot 4x2 + 12xy + 9y2 pretstavuvaat A2 i B2? Kako }e gi odredi{ A i B?

Koj binom dignat na kvadrat dava 9x2 - 6xy + y2?

Bidej}i (A + B)2 = A2 + 2AB + B2, sleduva deka A2 = 4x2 i B2 = 9y2, od kade {to A = 2x i B = 3y; 2AB = 2 × 2x × 3y = 12xy. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F 4x + 12xy + 9y = (2x) + 2 × 2x × 3y + (3y) = (2x + 3y) ; zna~i A + B = 2x + 3y. 2

2

2

2

2

Voo~uva{ deka polinomot 4x2 + 12xy + 9y2 mo`e da se zapi{e 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2. So toa polinomot 4x2 +12xy + 9y2 e razlo`en na prosti mno`iteli (2x + 3y)2 = (2x + 3y) (2x + 3y).

2.

Razlo`i gi na prosti mno`iteli slednive polinomi: x2 + 4x + 4;

B 3.

4a2 + 20ab + 25b2.

Razlo`i go na mno`iteli polinomot 25a2 - 20ab + 4b2. Koja formula }e ja primeni{ vo ovoj slu~aj?

Vo ovoj slu~aj }e ja primenam formulata: A2 - 2AB + B2 = (A - B)2.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F 25a - 20ab + 4b = (5a) - 2 × 5a × 2b + (2b) = (5a - 2b) , t.e. 25a - 20ab + 4b = (5a - 2b) . 2

4.

2

2

2

Razlo`i gi na mno`iteli slednive polinomi:

2

2

a2 - 6ab + 9b2;

2

2

4x2 - 4x + 1.

Razlo`uvawe polinomi na mno`iteli

97

V 5.

Razlo`i go na mno`iteli polinomot 12ax2 + 12axy + 3ay2. Kako }e go razlo`i{ na mno`iteli dadeniot polinom koga nema monom koj dignat na kvadrat dava 12ax2?

Prvo }e go izvle~am pred zagradi zaedni~kiot mno`itel 3a, a potoa }e go razlo`am izrazot vo zagradite.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F 12ax 6.

2

+ 12axy + 3ay2 = 3a(4x2 + 4xy + y2) = 3a((2x)2 + 2 × 2x × y + (y)2) = 3a(2x + y)2.

Razlo`i gi na mno`iteli slednive polinomi: 4x3 + 12x2 + 9x;

18a3 - 24a2b + 8ab2.

Treba da znae{: da razlo`i{ na mno`iteli polinom od vidot A2 + 2AB + B2 i A2 - 2AB + B2; da ja objasni{ postapkata za razlo`uvawe na mno`iteli polinom od vidot A2 + 2AB + B2 i A2 - 2AB + B2.

Proveri se! Razlo`i gi na mno`iteli slednive polinomi: 25a4 + 20a2 + 4;

4x2 - 4ax + a2.

Zada~i 1.

Razlo`i gi na mno`iteli polinomite: a) a2 + 6a + 9;

2.

3.

4.

b) 4x2 + 20xy + 25y2.

Transformiraj go brojniot izraz, a potoa presmetaj ja negovata vrednost.

5.

Razlo`i gi na mno`iteli polinomite: a) 25x2 - 10x + 1;

6.

b) 4a2 - 28ab + 49b2.

Presmetaj ja po kus pat brojnata vrednost na izrazot:

a) 482 + 2 × 48 × 52 + 522;

a) 562 - 2 × 56 × 16 + 162;

b) 272 + 2 × 27 × 33 + 332.

b) 472 - 2 × 47 × 27 + 272.

Razlo`i gi na prosti mno`iteli slednive polinomi:

7.

Razlo`i gi na prosti mno`iteli slednive polinomi:

a) 2x2 + 12x + 18; b) 2xy2 + 16xy + 32x.

a) 50x2 - 20xy2 + 2y4;

Odredi go monomot A taka {to da bide to~no ravenstovoto:

b) 2ax2 - 16ax + 32a.

8.

a) 25 + 10y + y = (5 + A) ;

Odredi go polinomot A taka {to da bide to~no ravenstvoto:

b) 4y4 + 4y2 + 1 = (A + 1)2.

a) 81x2 - 18xy2 + y4 = (9x - A)2;

2

4

2

b) 16a2 - 8a + 1 = (4a - A)2.

98

Tema 3. Polinomi

R A B O T A P O D A T O C I

S O

17

PRIBIRAWE PODATOCI

A 1.

Brojot na ~asovi vo koi greelo sonce (son~evi ~asovi) vo edna sedmica e zapi{an vo slednava tabela.

Den

P

V

S

^

P

S

N

Br. na ~asovi

3

4

2

0

5

8

4

Podatoci mo`e da se priberat na razli~ni na~ini. Vo ovoj primer, tie se pribrani so nabquduvawe i merewe na dol`inata na traewe na nastanot.

Kolku vkupno son~evi ~asovi imalo vo tekot na sedmicata? Koj den bilo cel den obla~no?

Koj den bil najson~ev?

Koi denovi imale ednakov broj son~evi ~asovi?

2.

Jovan pribral podatoci za vidot na doma{ni mileni~iwa {to gi ima sekoj u~enik vo negovata paralelka. Podatocite se dadeni vo tabelata podolu. Za da pribere{ vakvi podatoci preku nabquduvawe potrebno e mnogu vreme. No, podatoci mo`e da se priberat so postavuvawe pra{awa, popolnuvawe pra{alnik.

Vid Ma~ka Ku~e mileni~e Broj na 4 9 deca

Ptica Ribi 12

5

Jovan gi pribral podatocite so pra{alnik koj sodr`el dve pra{awa: 1. Dali ima{ doma{no mileni~e?

Da

Ne

Zapi{i go vtoroto pra{awe, od pra{alnikot na Jovan. Podatoci mo`e da se pribiraat na razli~ni na~ini: pra{uvawe po telefon, koristewe pra{alnik, prebaruvawe po spisanija, enciklopedija, u~ebnik i dr. Podatocite mo`e da se pribiraat za veli~ini so vrednosti realni broevi. Na primer: broj na u~enici - so prirodni broevi; temperatura - so celi broevi; vreme so racionalni broevi itn.

3.

U~enicite vo VII3 oddelenie bile podeleni vo grupi i sekoja grupa trebalo da pribere podatoci. Zapi{i go najsoodvetniot na~in za pribirawe podatoci za sekoja od postavenite zada~i: a) Imiwata i visinite na {este najvisoki planini vo svetot;

Rabota so podatoci

99

b) Najgledana detska emisija od u~enicite vo VII3; v) Vremeto vo Skopje vo mesec mart; g) Bojata na avtomobilite {to pominale po ulicata pred u~ili{teto za 1 ~as. Obrazlo`i zo{to na~inot {to ti go izbra e najsoodveten. Obrazlo`i zo{to e podobro da pra{a{ vo meteorolo{kata stanica za koli~estvoto do`d {to navrnal vo Prilep vo eden mesec, mesto da nabquduva{ i meri{.

B

4.

Pribranite podatoci treba da se grupiraat i podredat i mo`e da se pretstavat na razli~ni na~ini. ]e se potsetime na slednite primeri. Podatocite za toa kolku ~asa bilo obla~no vo edna sedmica se dadeni so stolbest dijagram. Sostavi tabela i podatocite zapi{i gi vo nea.

~asovi 12 10 8 6 4 2

Koj den najdolgo vremeto bilo obla~no?

P

S

^

P

S

N

Den

Obla~no vreme vo edna sedmica.

Koj den voop{to ne bilo obla~no?

5.

V

Ovoj slikovit dijagram go poka`uva brojot na u~ili{ta {to se natprevaruvale na me|uu~ili{niot sportski natprevar. 9 se natprevaruvale vo fudbal (F); 6 se natprevaruvale vo rakomet (R); 5 se natprevaruvale vo ko{arka (K). Zapi{i gi podatocite vo tabela i pretstavi gi so stolbest dijagram.

Me|uu~ili{ten natprevar F: R:

Eden znak pretstavuva dve u~ili{ta.

K:

Vreme / h

6.

Na dadeniot liniski dijagram se dadeni podatocite za toa kolku ~asovi vo edno denono}ie treba da spijat lu|eto od razli~ni vozrasni grupi.

16

Podatocite od liniskiot dijagram pretstavi gi vo tabela.

10

[to mo`e{ da ka`e{ za potrebata od spiewe na lu|eto od 15 do 25 godi{na vozrast i od 30 do 40 godi{na vozrast?

100

Tema 3. Polinomi

14 12 8 6 4 2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Vozrast (godini)

Potreba za spiewe

7.

Podatocite od tabelava: populacijata vo svetot od 1900 do 2000 godina i predviduvaweto na Unesko za 2020 godina, pretstavi gi so liniski dijagram.

Godina

1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020

@iteli vo milijardi

1,6

1,9

2,3

3,0

4,4

6,2

7,7

Zapomni Sekoga{ koga crta{ dijagram, vnimavaj na toa deka sekoj dijagram mora da ima: Naslov, koj jasno ka`uva {to e pretstaveno na dijagramot; Ime (opis) na sekoja od oskite so jasno nazna~ena merna edinica; Opis na simbolot, ako se raboti za slikovit dijgram; Crte`ot treba da bide jasen za da mo`e lesno da se ~ita.

Treba da znae{: podatoci mo`e da se priberat na razli~ni na~ini; pribranite podatoci treba da se zapi{at, grupiraat, izbrojat i podredat; podatocite se pretstavuvaat na razli~ni vidovi dijagrami.

Zada~i 1. Ilija sakal da utvrdi kolku ~itale

negovite drugari minatiot mesec. [to e posoodvetno: a) Da go pra{a sekoj drugar kolku knigi pro~ital? b) Da proveri vo u~ili{nata biblioteka kolku knigi sekoj od niv pozajmil minatiot mesec? Obrazlo`i go svojot odgovor.

2. Na eden test po matematika maksimalniot broj poeni bil 20. Testot go re{avale 24 u~enici i nivniot broj poeni bil: 15 6 19 20 18 15

10 18 18

19 10 12

5 4 15

20 13 20

17 20 5

12 18 6

Prepi{i ja tabelata i zapi{i gi potrebnite podatoci.

Proveri se! Zapi{i eden primer na podatoci {to mo`e da se priberat so merewe. Obrazlo`i koi elementi treba da gi ima sekoj dijagram.

Broj na osvoeni 0 - 4 5 - 9 10 - 14 15 - 20 poeni Frekfencija (broj na u~enici)

Podatocite pretstavi gi so stolbest dijagram. Ako za postignati 15 - 20 poeni ocenkata e 5, kolku u~enici dobile 5 na testot?

3. Za eden ~as pred edna u~ili{na zgrada

pominale: 16 beli avtomobili, 12 crveni, 5 sini, 7 crni i 2 avtomobili so srebrena boja. Zapi{i gi podatocite vo tabela. Sostavi stolbest dijagram i pretstavi gi podatocite. Vnimavaj dijagramot da gi sodr`i site potrebni elementi.

Rabota so podatoci

101

U^E[E ZA POLINOMI. PROVERI GO SVOETO ZNAEWE

1.

Od koi konstanti i od koi promenlivi

ab;

se formirani izrazite: 2x; -0,5x2y?

2.

Pretstavi go kako monom vo normalen vid izrazot: 5ab(a b) - (a b) - 2a b . 3

3.

2

2

8.

4 2

Odredi go stepenot na sekoj od monomite: 5; 2x; 3xy; x2y3.

Pretstavi go kako polinom vo normalen vid izrazot: (x2 - 1)(x2 + 1) - x (x3 - x2 + 2).

9.

Presmetaj: a) 6a b c : (3a bc); 5 2

3

[ \ ] b) . [\

10. Odredi go koli~nikot: (6x5y3 - 3x4y4 + 2x3y5) : (3x3y3).

4.

Odredi go zbirot i razlikata na monomite: -2x2y i -5x2y.

11. Odredi go koli~nikot: (x5 - 3x3 - 3x2 + 2x + 6) : (x2 - 2).

5.

Svedi go na polinom vo normalen vid izrazot: (3x2 - 5xy + 4y2) + (2x2 - xy - y2) -

12. Razlo`i gi na mno`iteli polinomite: a) 3a2b + 6ac;

b) 2x3y2 + 4x2y3 - x2y.

- (4x2 - 4xy + 2y2).

13. Razlo`i go na mno`iteli polinomot: 6.

a) 2a2(a - 3x) - x2(3x - a); Presmetaj:

b) 3ax + 3bx - 5a - 5b.

a) 3x y × (-2xy ); 2

7.

3

§ · b) ¨ [ \ ] ¸ . © ¹

(3x - 2x y + xy - y ) × (-3x y ).

102

2

2

3

Tema 3. Polinomi

36a2 - (5a - 3)2.

15. Razlo`i go na mno`iteli polinomot:

Odredi go proizvodot: 3

14. Razlo`i go na mno`iteli izrazot:

2 2

x4 - 6x2y + 9y2.

TEMA 4.

KRU@NICA I MNOGUAGOLNIK. PLO[TINA

AGLI VO KRU@NICA 1. Centralen agol 104 2. Periferen agol 107 3. Talesova teorema 110 TETIVEN I TANGENTEN ^ETIRIAGOLNIK 4. Tetiven ~etiriagolnik 113 5. Tangenten ~etiriagolnik 115 PRAVILNI MNOGUAGOLNICI 6. Pravilni mnoguagolnici. Agli i perimetar 118 7. Svojstva na pravilen mnoguagolnik 121 8. Konstrukcija na pravilni mnoguagolnici 124 PITAGOROVA TEOREMA 9. Pitagorova teorema 126 10. Primena na Pitagorovata teorema kaj pravoagolnik, kvadrat i ramnostran triagolnik 129 11. Zada~i so primena na Pitagorovata teorema 131

PLO[TINA NA MNOGUAGOLNIK 12. Poim za plo{tina 134 13. Plo{tina na pravoagolnik i kvadrat 138 14. Plo{tina na paralelogram 142 15. Plo{tina na triagolnik 145 16. Plo{tina na trapez i deltoid 149 17. Plo{tina na pravilen mnoguagolnik 152 18. Zada~i za plo{tina na mnoguagolnici 155 PERIMETAR I PLO[TINA NA KRUG 19. Perimetar na krug. Dol`ina na kru`en lak 158 20. Plo{tina na krug, kru`en ise~ok i kru`en prsten 163 RABOTA SO PODATOCI 21. Sektorski dijagram 167 22. Aritmeti~ka sredina. Medijana. Moda. Rang 169 Proveri go tvoeto znaewe 172

Agli vo kru`nica

103

1

AGLI VO KRU@NICA CENTRALEN AGOL

A 1.

Potseti se! Razgledaj ja kru`nicata k na crte`ot i odgovori na pra{awata: B N Koja to~ka na crte`ot e centar na kru`nicata? k M O Koja to~ka le`i na A kru`nicata? r=

2

cm

Temeto na AOB e vo centarot na k(O, r). Sekoj takov agol se vika centralen agol vo k.

Otse~kata OB e radius na kru`nicata. Koja od otse~kite ON, OM, OA, MN e radius na taa kru`nica?

To~kite C i D, na crte`ot, ja delat kru`nicata na dva kru`ni laka; mal &*' . &' i pogolem - siniot q crveniot q

104

r O

r

A

Voo~i gi nivnite kru`ni laci q $% i q 01 . Zabele`i deka tie se zafateni so soodvetnite centralni agli.

Dve kru`nici se skladni ako imaat ednakvi radiusi. Vo tetratkata nacrtaj k(O; 2,5 cm), a na proyirna hartija k1(O1; 2,5 cm). Potoa poka`i deka tie se sovpa|aat.

veli deka e dijametar na kru`nicata? Krajnite to~ki na eden dijametar ja delat kru`nicata na dve polukru`nici.

B

k Nacrtaj dva razli~ni centralni agli vo edna kru`nica k(O, r): AOB i MON.

Koja to~ka e vnatre{na to~ka za kru`nicata? Dali M Î k?

Razgledaj go crte`ot i odgovori: [to e tetiva na D E edna kru`nica? C Koja od otse~O kite AB, CD, M N EF, MN e teti- A va na kru`B k nicata? F G Za koja tetiva se

Razgledaj go crte`ot i voo~i:

Za centralniot agol AOB i kru`niot lak q $% se veli deka se soodvetni pome|u sebe. Sekoj centralen agol ima soodvetna tetiva i soodveten kru`en lak. Dali sekoj kru`en lak ima soodveten centralen agol? Da, i pritoa ima samo eden centralen agol.

2.

Na crte`ot e d a d e n a kru`nicata k(O; 2 cm). Na proyirna hartija nacrtaj k1(O1; 2 cm).

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

B

75 o

A

O k

Zo{to k i k1 se skladni kru`nici? Nacrtaj centralen agol MO1N = 75o. Toj e skladen so AOB. Zo{to? Postavi go proyirniot list taka {to da se sovpa|aat kru`nicite k i k1, odnosno centralnite agli AOB i MON. [to zabele`uva{? Zabele`a deka soodvetnite tetivi i soodvetnite kru`ni laci se sovpa|aat, t.e. q q $% = 01 i $% = 01 .

B

3.

M

k

Vo kru`nicata k(O; 2 cm) nacrtani se dva centralni agla: MON i POQ. Ako MON = POQ, doka`i

N

deka tetivite MN i PQ se ednakvi, t.e. 01 = 34 . Voo~i deka DMON i DPQO se ramnokraki so kraci ednakvi na radiusot na kru`nicata. Spored priznakot SAS, triagolnicite

O

se skladni. Spored toa 01 = 34 .

P

Q

Va`i op{to! Ako dva centralni agli, vo edna kru`nica ili vo dve skladni kru`nici, se ednakvi, toga{ nivnite soodvetni tetivi, odnosno soodvetnite kru`ni laci se ednakvi. B

4.

Kru`nite laci q $$ i q %% na kru`nicata k, na crte`ot, se ednakvi (t.e. skladni).

k

B1 O

Soodvetnite centralni agli se ozna~eni so a i b. Poka`i deka a = b. A Voo~i deka i tetivite AA1 i VV1 se ednakvi. Kako }e poka`e{ deka a = b ?

b a A1

Ramnokrakite triagolnici OAA1 i OB1B spored priznakot SSS se skladni, t.e. DOAA1 @ DOB1B i poradi toa a = b.

Op{to! Ako dva kru`ni laci vo edna kru`nica ili vo dve skladni kru`nici se ednakvi, toga{ soodvetnite centralni agli (odnosno soodvetnite tetivi) se ednakvi.

Agli vo kru`nica

105

5.

Nacrtaj dve kru`nici k(O; 2 cm) i k 1(O 1; 3 cm) i nacrtaj gi centralnite agli AOB = 55o i A1O1B1 = 55o. Sporedi gi tetivite AB i A1B1, odnosno kru`nite laci q $% i q $ % . [to zabele`uva{? Zo{to?

6.

Kolkav e centralniot agol i kolkava e tetivata {to se soodvetni na edna polukru`nica od k(O; 1,5 cm)?

Treba da znae{: da prepoznava{ centralen agol vo dadena kru`nica, negovata soodvetna tetiva i negoviot soodveten kru`en lak; da obrazlo`i{ deka centralnite agli nad ednakvi kru`ni laci (vo ista ili skladni kru`nici) se ednakvi me|u sebe.

Proveri se! Kolku stepeni ima centralen agol {to e soodveten na kru`niot lak: a) cela kru`nica; b) polukru`nica; v) tretina od kru`nica; g) ~etvrtina od kru`nica; d) {estina od kru`nica? Nacrtaj dve kru`nici k(O; 2 cm) i k1(O; 2,5 cm) i vo niv nacrtaj tetivi 01 = 3 cm i 0 1 = 3 cm. Dali MON = M1O1N1? Zo{to?

Zada~i 1. Nacrtaj ramnostran DABC i opi{i

kru`nica okolu nego. Kolku stepeni ima centralniot agol nad edna negova strana koja le`i na nego?

4. Vo kru`nica k(O; r) e vpi{an ramno-

krak triagolnik ABC so osnova AB. Ako AOB = 135o, odredi gi AOC i BOC ( AOB, AOC i BOC zafa}aat razli~ni oblasti od kru`nicata).

2. Nacrtaj edna kru`nica i edna nejzina tetiva so dol`ina ednakva na radiusot. Kolku stepeni ima centralniot agol vo koj le`i taa soodvetna tetiva?

3. Vo kru`nica k(O; r) e vpi{an DABC taka

{to AOB = 112o 24', BOC = 98o 46' i tie zafa}aat razli~ni oblasti od kru`nicata. Kolkav e konveksniot agol AOC?

106

5. So to~kite A, B, C, D i E, kru`nicata

k(O; r) e podelena na 5 laci, taka {to q $% iznesuva 5%, q %& - 15%, q &' q 20%, '( - 25% od kru`nicata. Najdi gi soodvetnite centralni agli: AOB, BOC, COD, DOE i EOA.

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

2

PERIFEREN AGOL

Potseti se! Nacrtaj DABC i ozna~i gi negovite agli a, b i g. Ozna~i go so a1 nadvore{niot agol {to e pridru`en na a. Za aglite vo DABC va`i: a + b + g = 180o; a + a1 = 180o; a1 = b + g.

A 1.

Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata: Kade le`i temeto na “AMB i {to se negovite kraci za kru`nicata?

Za “AMB i lakot q $% , obi~no se veli deka se soodvetni

M k

B

me|u sebe.

O

Nacrtaj kru`nica i na nea eden lak q $% . Nad lakot nacrtaj go soodvetniot centralen agol.

Dali mo`e{ da nacrta{ drug agol nad A lakot q $% , a temeto da le`i na kru`ni-

Nacrtaj kru`nica k(O; 2 cm) i na nea eden lak q &' . Nad lakot nacrtaj nekolku agli ~ie teme e: a) vnatre{na to~ka; b) nadvore{na to~ka; v) to~ka od kru`nicata.

cata? Voo~i na crte`ot deka vo edna kru`nica postojat beskone~no mnogu agli nad ist lak q 34

k O

ili nad ista tetiva PQ ~ii temiwa le`at na kru`nicata.

Q

P

Sekoj agol ~ie{to teme e to~ka od kru`nica, a kracite na agolot ja se~at kru`nicata se vika periferen agol.

2.

Nacrtaj kru`nica i ozna~i eden nejzin dijametar MN. Potoa, nacrtaj nekolku periferni agli nad dijametarot MN. Za sekoj takov agol se veli deka e periferen agol vo polukru`nica ili deka e vpi{an vo polukru`nica.

B 3.

Nacrtaj tri periferni agli b1, b2 i b3 nad lakot q 01 od kru`nicata k so centar vo to~kata O:

b2 b3

a) eden krak na b1 da minuva niz centarot O na kru`nicata; b) centarot O da e vnatre{na to~ka na b2; v) centarot O da e nadvore{na to~ka na b3.

b1

O

k M

Agli vo kru`nica

N

107

Razgledaj go crte`ot i sporedi go so tvojot crte`!

Sogledaj deka centarot na kru`nicata O za sekoj periferen agol: ili le`i na eden F negov krak ili e negova vnatre{na ili e negova nadvore{na to~ka.

4.

C

Na lakot q $% , na crte`ot, se nacrtani soodvetniot centralen agol a i periferniot agol b pri {to eden negov krak minuva niz centarot O (t.e. e dijametar na kru`nicata). D Poka`i deka b = .

O

r b

a

k A

r

b B

Nadvore{niot agol a e ednakov na zbirot od dvata vnatre{ni nesosedni agli, t.e. a = 2b.

Voo~i go DOBC. Sogledaj deka toj e ramnokrak ( 2% 2& ), pa B = C = b. Na {to e ednakov nadvore{niot agol a?

Zna~i, b =

D .

5.

Nacrtaj kru`nica k(O; 2,5 cm) i centralen agol od 80o (so aglomer). Kako }e konstruira{ agol od 40o (samo so linijar)?

6.

Nacrtaj pravoagolen triagolnik ABC so prav agol vo temeto C i opi{i kru`nica okolu nego (potseti se deka centarot O na taa kru`nica e sredina na hipotenuzata AB). Najdi gi ostrite agli na DABC ako AOC = 110o.

V 7.

Razgledaj gi crte`ite vo koi centarot O na kru`nicata k e a) vnatre{na, b) nadvore{na to~ka na periferniot agol ACB. Vo dvete kru`nici e nacrtan dijametarot CD. D Poka`i deka periferniot agol e polovina od centralniot, t.e. b = . C

a)

b)

b C

b 1 b2 k

O a a1 a2 A D

108

k B

O a1 a

D

b1

b

B A

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

Ima{ li ideja za da go doka`e{ tvrdeweto vo dvata slu~ai (a) i b))?

Vo slu~ajot pod a) mo`am da go koristam obrazlo`enieto vo zada~ata 4. bidej}i e isto za DAOC i DOBC.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto i voo~i ja postapkata. a)

F F F F

a = a 1 + a 2; b = b 1 + b 2;

F F F F

b)

a1 = 2b1; a2 = 2b2; a = a1 + a2 = 2b1 + 2b2 = 2(b1 + b2); D a = 2b ili b = .

DOB = a1 + a; DCB = b1 + b; DOB = 2 DCB i a1 = 2b1; a1 + a = 2(b1 + b); 2b1 + a = 2b1 + 2b; a = 2b; ili b =

D .

Gi sogleda tvrdewata i treba da zapomni{

Periferniot agol vo edna kru`nica e ednakov na polovina od centralniot agol {to e nad ist kru`en lak.

8.

Razgledaj go crte`ot i odgovori zo{to site nacrtani periferni agli se ednakvi me|u sebe. O

Va`i op{to

9.

Nacrtaj ja opi{anata kru`nica na DABC i na lakot q $% zemi proizvolna to~ka M.

10.

Poka`i deka AMC = B i BMC = A.

Treba da znae{: da go iska`e{ odnosot me|u periferniot agol i centralniot agol nad ist kru`en lak; da go obrazlo`i{ toj odnos i da go primeni{ vo zada~i.

Proveri se!

B

A

Site periferni agli nad ist kru`en lak se ednakvi me|u sebe, bidej}i sekoj od niv e polovina od soodvetniot centralen agol AOB!

Zbirot na eden periferen agol i negoviot soodveten centralen agol e 210o. Kolkavi se tie agli?

Poka`i so crte` deka nad eden kru`en lak mo`e da se nacrtaat

pove}e (beskone~no mnogu) periferni agli. Kakvi se tie agli me|u sebe? Nacrtaj polukru`nica so r = 2 cm i vpi{i vo C nea dva periferni agli. Po kolku stepeni ima sekoj od tie agli? Nad stranata AB na ramnostraniot DABC e nacrtana polukru`nica (AB e nejzin dijametar) koja{to gi se~e drugite dve strani vo to~kite M i N. Opredeli gi centralnite agli x, y i z. Upatstvo: MAB e periferen agol vo taa polukru`nica.

M

N x

A

y z O

Agli vo kru`nica

B

109

Zada~i

4. Ako q $% i q &' se kru`ni laci od ista

1. Koj od parovite agli:

a) 35o, 75o; b) 35o, 70o; v) 35o, 35o mo`e da bide par od periferen agol i soodveten centralen agol?

2. Eden periferen agol i soodvetniot centralen agol imaat zaedno 132 . Po kolku stepeni ima sekoj od niv? o

3. Na edna kru`nica k(O; r) se izbrani

to~ki A i V, taka {to “AOB = 120o. Na pogolemiot od lacite opredeleni so tie to~ki e izbrana to~ka S, taka {to “AOC = 110o. Presmetaj gi aglite na DABC.

3

kru`nica i ako q $% = q &' , toga{ sekoj periferen agol AMB e ednakov so sekoj periferen agol CND. Zo{to?

5. Ako centralniot agol:

a) se zgolemi tri pati; b) za 15o, kolku }e se zgolemat perifernite agli nad istiot kru`en lak?

6. Eden periferen agol e konstruiran nad kru`en lak {to e:

; v) ; g) a) ; b) od kru`nicata. Kolku stepeni ima toj agol?

TALESOVA TEOREMA

Potseti se!

M

k

b

Na crte`ot e dadena kru`nica k i O dva agli: “AMB = b a i “AOB = a. B Odgovori {to e A to~no: a) a < b, b) a > b, v) a = b, g) a = 2b, d) a = 3b. Po kolku stepeni imaat aglite a i b, ako tetivata AB e dijametar na kru`nicata k? Na crte`ot pravata TP e tangenta na kru`nicata k 1 so dopir vo to~kata T. Kolkav e “O1TP?

P T

O1

k1

A 1.

Na crte`ot AB e dijametar na kru`nicata k. Dali “AOB e cenM3 M2 M1 tralen agol? Koja e k negovata soodvetna A B tetiva? O Kolku stepeni ima toj agol? Imenuvaj gi perifernite agli {to se konstruirani nad taa tetiva (t.e. nad dijametarot AB). Dali mo`e da se nacrtaat i drugi takvi agli? Za sekoj periferen agol nad dijametarot vo edna polukru`nica se veli deka e vpi{an vo polukru`nicata. Zo{to sekoj takov agol e prav agol?

Zapomni! Sekoj agol vpi{an vo polukru`nica e prav agol.

110

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

Ova svojstvo e poznato pod imeto Talesova teorema, nare~eno spored Tales koj `iveel pred pove}e od 2500 godini.

2.

Konstruiraj pravoagolen triagolnik ako se zadadeni hipotenuzata c i edna kateta a so pomo{ na Talesovata teorema. Nad hipotenuzata nacrtaj edna polukru`nica na koja }e le`i temeto na praviot agol; toa teme }e go odredi{ so pomo{ na dadenata kateta. a

B 3.

Na crte`ot pravata a e tangenta na kru`nicata k so dopir vo to~kata A; taa e normalna na radiusot OA. Niz to~kata P, {to e nadvor od kru`nicata minuvaat beskone~no mnogu pravi.

P

A

T

O

Dali nekoja od niv ja dopira kru`nicata k, odnosno e tangenta na k? Takva prava postoi! Razmisli kako da ja konstruira{; koristi ja Talesovata teorema. Mo`am da go voo~am slednoto: 1) ako ima prava niz P {to ja dopira kru`nicata vo to~kata T,toga{ “OTP = 90o; 2) bidej}i “OTP e prav agol, spored Talesovata teorema, negovoto teme T treba da le`i na polukru`nicata so dijametar OP i, sekako, na kru`nicata k. Zna~i T e nivna prese~na to~ka; 3) pravata PT e tangenta na k so dopir vo T. Tvrdeweto e to~no. No, nad OP mo`e da se nacrta u{te edna polukru`nica. Zna~i, postojat dve tangenti! Razgledaj go crte`ot i zapomni go redosledot na konstrukcijata. 1) Dadeno: k (O; r) i P; 2) S - sredina na OP; 3) k1(S; 63 ); 4) k Ç k1 = { T1, T2}; 5) pravite PT1 i PT2 se baranite tangenti.

t2 k

T2 P

O

t1

S T1

k1

Sogleda deka tangentite t1 i t2 se povle~eni od to~kata P. Spored crte`ot, odgovori na pra{awata: Od koj vid se triagolnicite POT1 i POT2? Zo{to 27 27 ? Kako se vika zaedni~kata strana?

Koi agli im se soodvetno ednakvi?

Dali ovie triagolnici se skladni?

Koi se nivni parovi soodvetni elementi?

Voo~i gi otse~kite PT1 i PT2 na tangentite t1 i t2 na crte`ot.

Agli vo kru`nica

111

Otse~kata na tangentata od dopirnata to~ka do to~kata od koja taa e povle~ena se vika tangentna otse~ka. Od skladnosta na triagolnicite OT1P i OT2P sogledaj deka:

PT OT e deltoid; F ^etiriagolnikot F OP e simetrala na T OT i na T PT ; F 37 1

2

1

2

1

2

37 , t.e.

Dol`inite na tangentnite otse~ki na dvete tangenti {to se povle~eni od edna to~ka kon kru`nicata se ednakvi.

4.

Nacrtaj k(O; 3 cm) i to~ka M, taka {to 20 = 4 cm. Konstruiraj gi tangentite na kru`nicata povle~eni od M. Ako tie ja dopiraat k vo to~kite T1 i T2, odredi go zbirot T1OT2 + T1MT2.

Treba da znae{: da ja obrazlo`i{ Talesovata teorema i da ja primeni{ vo zada~i; da konstruira{ tangenta na kru`nica od to~ka {to e nadvor od kru`nicata.

Proveri se! Nacrtaj pravoagolen triagolnik so kateta 3 cm i hipotenuza 5 cm so pomo{ na Talesovata teorema. To~kite A i B se od razli~ni strani na pravata p i

$% = 4 cm. Konstruiraj pravoagolen triagolnik taka {to AB e negovata hipotenuza, a temeto C na praviot agol da le`i na p.

Zada~i 1. To~kite A i B ne le`at na pravata p. Na

pravata opredeli to~ka M takva {to AMB da bide prav. Kolku re{enija ima?

2. Dadena e prava p i to~ka M {to ne le`i

na nea. So pomo{ na Talesovata teorema konstruiraj normala spu{tena od M na pravata p. (Upatstvo: zemi proizvolna to~ka N od p i iskoristi ja otse~kata MN.)

3. Polukru`nicata nad osnovata na eden

ramnokrak triagolnik gi se~e kracite vo to~ki {to se podno`ja na visinite spu{teni od temiwata pri osnovata. Obrazlo`i go toa.

112

4. Na kru`nicata k(O; r) se zadadeni

to~kite A i B pri {to AOB = 100o. Vo A i B se povle~eni tangenti t1 i t2 na k(O; r) {to se se~at vo to~kata P. Najdi gi aglite na DABP. Napravi crte`.

5. So to~kite M1, M2 i M3 kru`nicata e podelena na tri kru`ni laci: q 0 0 iznesuva 25%, a q 0 0 - 35% od kru`nicata. Niz M1, M2 i M3 povle~i tangenti na kru`nicata; tie se se~at dve po dve vo A, B i C. Najdi gi aglite na DABC.

6. Dve kru`nici so centri vo to~kite O i

O1 se se~at vo to~kite A i B. Niz to~kata A se povle~eni dijametrite AA1 i AB1 na tie kru`nici. Obrazlo`i zo{to to~kite A1, B i B1 le`at na edna prava.

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

TETIVEN I TANGENTEN ^ETIRIAGOLNIK

4

TETIVEN ^ETIRIAGOLNIK

Potseti se! Izberi tri to~ki A, B, C na edna kru`nica i nacrtaj go DABC.

C

A

A

Za DABC se veli deka e vpi{an vo kru`nica.

k

r

B Dali sekoj triagolnik mo`e da se vpi{e vo nekoja kru`nica? Koja e taa kru`nica? Dali sekoj ~etiriagolnik mo`e da se vpi{e vo kru`nica? Na crte`ot zabele`uva{ deka sekoj pravoagolnik mo`e da se vpi{e vo kru`nica (zo{to?); kade e nejziniot centar? D

A

r a

r

C b

k

B

D

a k

a

C

k

Mnoguagolnik ~ii{to temiwa se to~ki od edna kru`nica se vika tetiven mnoguagolnik. agli se periferni agli vo F Negovite kru`nicata.

B1 B B2

Zabele`uva{ deka romb {to ne e kvadrat ne mo`e da se vpi{e vo kru`nica, a nekoj trapez mo`e, no nekoj ne mo`e.

B 2.

r

strani se tetivi na kru`niF Negovite cata.

r A

Sekoj triagolnik, nekoj ~etiriagolnik, nekoj petagolnik, nekoj {estagolnik itn, mo`e da se vpi{e vo edna kru`nica.

1.

Presmetaj gi aglite na tetivniot ~etiriagolnik ABCD, ako “B= 85 o43', a negovata dijagonala BD e dijametar na kru`nicata opi{ana okolu nego.

D

Razgledaj go crte`ot na eden tetiven ~etiriagolnik i odgovori na pra{awata: Kolkav e zbirot na aglite a, b, g i d na ~etiriagolnikot ABCD?

A

a

d a g1 1

Razmisli i obidi se da gi presmeta{ zbirovite a + g i b + d.

Tetiven i tangenten ~etiriagolnik

g

C

b B

113

a i g se periferni agli i a e soodveten na centralniot agol a1, a g na g1. Voo~i deka

D J , g= i a1 + g1= 360o. D J D J R Spored toa a + g = + = = .

a=

Zna~i: a + g = 180o.

Poka`i deka i b + d = 180o.

Toa {to sogleda e edno va`no svojstvo na tetiven ~etiriagolnik. Vo sekoj tetiven ~etiriagolnik zbirot na sprotivnite agli e 180o.

3.

Neka e daden ~etiriagolnik ABCD vo koj zbirot na eden par sprotivni agli e 180o, na primer a + g = 180o. Kolkav e zbirot na drugiot par sprotivni agli, b + d =? Mo`e da se poka`e deka sekoj ~etiriagolnik so ova svojstvo e tetiven.

Voo~i i zapomni! Ako vo eden ~etiriagolnik eden par sprotivni agli se suplementni, toga{ toj ~etiriagolnik e tetiven. Ova tvrdewe e priznak so koj mo`e{ da utvrdi{ dali eden ~etiriagolnik e tetiven.

Treba da znae{: da go objasni{ i da go definira{ poimot tetiven ~etiriagolnik; da go obrazlo`i{ svojstvoto za sprotivnite agli kaj tetiven ~etiriagolnik i da go koristi{ vo zada~i.

Zada~i 1. Dali ~etiriagolnikot ABCD e tetiven

ako negovite agli (po redot na temiwata) iznesuvaat: a) 15%, 30%, 35%, 20%; b) 40%, 20%, 15%, 25%; v) 45%, 30%, 5%, 20% od polniot agol?

2. Od to~kata P vo nekoj agol AOB se spu-

{teni normali na kracite ~ii{to

114

Proveri se! Mo`e li da se opi{e kru`nica okolu ~etiriagolnikot ABCD, ako negovite agli (po redot na temiwata) se: a) 90o, 90o, 60o, 120o; b) 70o, 130o, 110o, 50o; v) 45o, 75o, 135o, 105o? Poka`i deka sekoj ramnokrak tapez e tetiven ~etiriagolnik. podno`ja se A1 na krakot OA i B1 na krakot OB. Obrazlo`i zo{to ~etiriagolnikot OA1PB1 e tetiven.

3. Dali ~etiriagolnikot ABCD so agli:

a) “A = 80o, “B = 80o, “C = 100o; b) “A = 30o, “C = 128o, “D = 150o; v) “B = 117o, “C = 121o, “D = 63o mo`e da se vpi{e vo nekoja kru`nica?

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

5

TANGENTEN ^ETIRIAGOLNIK

Potseti se! Izberi tri to~ki P, Q, T na edna kru`nica k i nacrtaj gi tangentite p, q, t {to ja dopiraat k vo to~kite P, Q, T. C P q p

A

O

D B

k

O t

Q

Zapomni!

(na primer: &3 &7 ). Dali vo sekoj triagolnik mo`e da se vpi{e kru`nica? Kade e nejziniot centar? Dali vo ~etiriagolnik mo`e da se vpi{e kru`nica? Na crte`ot zabele`uva{ deka vo romb i vo deltoid mo`e da se vpi{e kru`nica. a b b a

a

a

a Na crte`ot zabele`uva{ deka vo paralelogram {to ne e romb ne mo`e da se vpi{e kru`nica. Vo nekoj trapez mo`e, a vo nekoj ne mo`e da se vpi{e kru`nica. a C D b

b a

C

T

Neka p i q se se~at vo A, q i t vo B, t i p vo C. Za DABC se veli deka e opi{an okolu kru`nicata k ili deka vo DABC e vpi{ana kru`nicata k. Voo~i gi tangentnite otse~ki na sekoja tangenta i sogledaj go nivnoto svojstvo

a

Voo~i na crte`ot deka vo ~etiriagolnikot ABCD e vpi{ana kru`nica, t.e. sekoja strana na ~etiriagolnikot ja dopira kru`nicata.

A

^etiriagolnik ~ii strani dopiraat edna kru`nica se vika tangenten ~etiriagolnik.

1.

Kru`nicata k vpi{ana vo DABC gi dopira stranite na triagolnikot, i toa: AB vo to~kata C1, BC vo A1 i CA vo B1. Ako $& = 5cm, %& = 3cm i &$ = 4 cm, presmetaj go perimetarot na DABC.

2.

Nacrtaj kru`nica k(O; 2,5 cm) i vo nea tetiva $% = 2cm. Nacrtaj gi tangentite na k so dopir vo A i vo B; neka tie se se~at vo to~kata C. Zo{to DABC e ramnokrak? [to e osnova, a {to se kraci na toj triagolnik?

B 3.

Na crte`ot e pretstaven eden tangenten ~etiriagolnik ABCD. C N

P

B

D A

B1 B B2

B

A

Q A

M

Tetiven i tangenten ~etiriagolnik

115

Negovite strani ja dopiraat vpi{anata kru`nica, i toa: AB vo M, BC vo N, CD vo P i DA vo Q. Zapi{i nekolku para ednakvi otse~ki (kako %0 = %1 ) i objasni zo{to tie se ednakvi. Razmisli i obidi se da sogleda{ nekoja vrska me|u sprotivnite strani na ~etiriagolnikot. Od crte`ot mo`e{ da sogleda{ deka: $0 = $4 , %0 = %1 , &3 = &1 , '3 = '4 . Zapi{i go zbirot na levite strani i zbirot na desnite strani od ravenstvata. Zo{to tie zbirovi se ednakvi? Mo`e{ da zapi{e{ deka: ( $0 + %0 ) + ( &3 + '3 ) = ( $4 + '4 ) + ( %1 + &1 ). Voo~i deka ravenstvoto mo`e da se zapi{e samo so stranite na ~etiriagolnikot ABCD: $% + &' = $' + %&

F Toa e osnovno svojstvo na sekoj tangenten ~etiriagolnik. Ako ~etiriagolnikot ABCD e tangenten, toga{ zbirovite od dol`inite na negovite sprotivni strani se ednakvi, t.e. $% + &' = $' + %& .

4.

Na crte`ot e daden tangenten pravoagolen trapez. Spored podatocite na crte`ot:

D

C

1

a) proveri dali va`i $% + &' = %& + '$ ; b) presmetaj go perimetarot na trapezot ABCD. A 2

V

4

B

Mo`e da se poka`e deka e to~no i obratnoto tvrdewe na osnovnoto svojstvo na tangenten ~etiriagolnik.

Ako vo eden ~etiriagolnik zbirot od dol`inite na dve sprotivni strani e ednakov so zbirot na dol`inite na drugite dve sprotivni strani, toga{ ~etiriagolnikot e tangenten. Ova tvrdewe e priznak so koj mo`e{ da utvrdi{ dali eden ~etiriagolnik e tangenten.

116

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

5.

Kako }e utvrdi{ deka vo daden ~etiriagolnik mo`e da se vpi{e kru`nica?

6.

Nacrtaj: a) kvadrat; b) romb; v) deltoid. Potoa, vo sekoj od niv, konstruiraj kru`nica. Pomo{. Centarot na vpi{anata kru`nica e vo presekot na dijagonalite, a dopirnite to~ki na kru`nicata so stranite se podno`ja na visinite spu{teni od centarot.

Treba da znae{:

Proveri se!

da go objasni{ i da go definira{ poimot tangenten ~etiriagolnik;

Osnovite na eden ramnokrak trapez se 10 cm i 6 cm. Kolkav treba da e krakot, pa vo nego da mo`e da se vpi{e kru`nica?

da ja sogleda{ i da ja obrazlo`i{ vrskata me|u zbirovite na sprotivnite strani kaj tangenten ~etiriagolnik.

Zada~i 1. Tri strani na eden tangenten ~etiriagolnik se: $% = 7 cm, %& = 12 cm i

4.

Tangentniot ~etiriagolnik ABCD ima perimetar 28 cm, $% = 7,5 cm i

$' = 5 cm. Odredi ja &' .

%& = 6,5 cm. Odredi gi dol`inite na stranite CD i AD.

2. Koj paralelogram e i tetiven i tangenten ~etiriagolnik?

5.

3. Dali e tangenten ~etiriagolnikot ABCD

ako dol`inite na negovite strani (posledovatelno) se: a) 5cm, 4cm, 6cm i 7cm; b) 11cm, 9cm, 10cm i 8cm?

Doka`i deka srednata linija na tangenten trapez e ednakva na viot perimetar.

od nego

Tetiven i tangenten ~etiriagolnik

117

PRAVILNI MNOGUAGOLNICI

6

PRAVILNI MNOGUAGOLNICI. AGLI I PERIMETAR

Potseti se! Kolkav e zbirot na aglite vo eden triagolnik?

A 1.

Razgledaj gi crte`ite i odgovori na pra{awata. Na kolku triagolnici e razdelen petagolnikot so dijagonalite povle~eni od edno negovo teme?

Kako se obrazlo`uva deka zbirot na aglite vo sekoj ~etiriagolnik e 360o? Na kolku triagolnici e podelen {estagolnikot so dijagonalite povle~eni od edno teme? Razmisli na kolku triagolnici }e bide podelen eden n-agolnik so dijagonalite povle~eni od edno negovo teme.

Sogleda deka Petagolnikot e podelen na tri triagolnici, t.e. na (5 - 2) triagolnici, {estagolnikot na ~etiri, t.e. na (6 - 2) triagolnici, a n-agolnikot e podelen na n - 2 triagolnici, t.e. za dva pomalku od brojot na stranite.

2.

Odredi go zbirot na vnatre{nite agli vo: a) petagolnik, b) {estagolnik, v) n - agolnik. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F Zbirot na aglite vo sekoj triagolnik e 180 . F Brojot na triagolnicite e: a) 3; b) 4; v) n - 2. F Zbirot na aglite e: a) 3 × 180 = 540 ; b) 4 × 180 = 720 ; o

o

o

o

o

v) (n - 2) × 180o.

Zbirot na vnatre{nite agli vo n-agolnik iznesuva (n - 2) × 180o.

3.

Najdi go zbirot na aglite vo n-agolnikot, ako: a) n = 7; b) n = 8; v) n = 10; g) n = 15.

4.

Razgledaj go petagolnikot ABCDE i odgovori na barawata.

118

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

Koi agli se vnatre{ni, a koi se nadvore{ni agli na petagolnikot? Zo{to sekoj vnatre{en agol i negoviot pridru`en nadvore{en agol se suplementni, t.e. a + a1 = 180o, b + b1 = 180o? Odredi go zbirot na nadvore{nite agli na petagolnikot. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

d1

g1 C g

D d

E

j j1

b

B

a

a F A F Zbirot na vnatre{nite agli e: (5 - 2) Ă— 180 = 3 Ă— 180 = 540 . F Zbirot na nadvore{nite agli e: 5 Ă— 180 - (5 - 2) Ă— 180 = 900 - 540 = 360 . Zbirot na vnatre{nite i nadvore{nite agli e 5 Ă— 180o = 900o. o

o

o

5.

b1

1

o

o

o

o

o

Obidi se da obrazlo`i{ na ist na~in deka: Zbirot na nadvore{nite agli na sekoj n-agolnik e 360o. Sogledaj ja postapkata: n Ă— 180o - (n - 2) Ă— 180o = n Ă— 180o - n Ă— 180o + 2 Ă— 180o = 360o.

B 6. Kakvi se me|u sebe stranite, a kakvi aglite na: a) ramnostraniot triagolnik; b) kvadratot? Za ramnostraniot triagolnik velime deka e pravilen triagolnik, a za kvadratot pravilen ~etiriagolnik. Mnoguagolnik na koj site strani mu se ednakvi i site agli mu se ednakvi se vika pravilen mnoguagolnik.

7.

Potseti se! Perimetarot na pravilen triagolnik so strana a = 5 cm e: L = 3 Ă— a;

L = 3 Ă— 5;

L = 15 cm.

Odredi go perimetarot na pravilen ~etiriagolnik so strana a = 9 cm.

8.

Odredi go perimetarot na pravilen osumagolnik so strana a = 10 cm. Kako }e go presmeta{ perimetarot na pravilen n - agolnik so strana a?

Perimetarot }e go presmetam so formulata L = n Ă— a.

Presmetaj go vnatre{niot agol na pravilen osumagolnik. Sogledaj deka zbirot na vnatre{nite agli e (8 - 2) Ă— 180o = 1080o, a š R eden vnatre{en agol iznesuva

R = 135o.

H A

a

a1 B

Pravilni mnoguagolnici

C b1

119

Voo~i deka: Vnatre{niot agol a na pravilen n-agolnik se presmetuva so formulata:

9.

F

a=

Q ยน R Q

Kakvi se me|u sebe nadvore{nite agli na pravilen mnoguagolnik?

Tie se ednakvi i nivniot zbir e 360o. Nadvo-

Kako }e go presmeta{ nadvore{niot agol na pravilen n-agolnik?

re{niot agol e:

R . Q

Presmetaj go vnatre{niot i nadvore{niot agol na pravilen: a) 7-agolnik; b) 10-agolnik.

Treba da znae{: da go odredi{ zbirot na vnatre{nite i nadvore{nite agli na eden n-agolnik; da definira{ pravilen mnoguagolnik; da obrazlo`i{ kako se odreduva vnatre{en, odnosno nadvore{en agol na pravilen n-agolnik; da obrazlo`i{ kako se presmetuva perimetar na pravilen n-agolnik.

Zada~i 1. Kaj koj mnoguagolnik zbirot na vnatre{nite agli iznesuva: a) 1260 , b) 900 , v) 1440o? o

o

2. Kaj koj mnoguagolnik zbirot na nadvo-

Proveri se! Kaj koj mnoguagolnik zbirot na vnatre{nite agli iznesuva: a) 360o; b) 1800o? Odredi gi vnatre{niot agol, nadvore{niot agol i perimetarot kaj pravilen 12-agolnik.

6. Odredi go perimetarot na pravilen petnaesetagolnik ako negovata strana e a = 0,25 dm.

7. Kolkava e stranata na pravilniot se-

re{nite agli iznesuva: a) 180o, b) 360o?

dumagolnik ako negoviot perimetar e 77,7 dm?

3. Odredi go vnatre{niot i nadvore{niot

8. Koj pravilen mnoguagolnik so strana

agol kaj pravilen: a) desetagolnik, b) dvaesetagolnik.

4. Vo koj pravilen mnoguagolnik negoviot nadvore{en agol e: a) 36o, b) 24o, v) 60o?

5. Kolku strani ima pravilen mnoguagolnik ako negoviot vnatre{en agol ima: a) 144o, b) 156o?

120

2,2 cm ima perimetar 24,2 cm?

9. Za koj pravilen n - agolnik va`i:

a) nadvore{niot agol e ednakov so vnatre{niot; b) nadvore{niot agol e dvapati pogolem od vnatre{niot; v) nadvore{niot agol e tri pati pomal od vnatre{niot;

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

7

SVOJSTVA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK

A 1.

Potseti se! Presekot O na simetralite na stranite na DABC pretstavuva centar na opi{anata kru`nica na DABC. C O A

K

F

Triagolnikot EFG na crte`ot e ramnokrak. [to pretstavuva visinata GK za osnovata EF, a {to za EGF pri vrvot G? Kakvi se me|u sebe (. i .) ?

O

Objasni kako se odreduva centarot na opi{anata i vpi{anata kru`nica na kvadratot.

B

G

E

O

H

[to pretstavuva presekot H na simetralite na aglite na triagolnikot?

Pravilniot triagolnik ima opi{ana i vpi{ana kru`nica.

2.

O

Dali sekoj pravilen mnoguagolnik ima opi{ana kru`nica? Odgovorot e potvrden. Za da go sogleda{ toa, razgledaj go crte`ot, na koj e pretstaven pravilen 9 - agolnik; pravite s1 i s 2 se simetrali na dva sosedni agli: KAB i ABC.

Sega sledi gi objasnuvawata.

F F F F

1 = 2 = 3 = 4, kako poluagli na dva ednakvi agli. Simetralite s1 i s2 se se~at vo edna to~ka O, za{to 2 + 3 < 180o. Poradi 2 = 3, sleduva deka DABO e ramnokrak, so vrv O i kraci 2$ = 2% .

H K

Site drugi temiwa }e gi povrzeme so to~kata O; taka se dobivaat 9 triagolnici so zaedni~ko teme i ednakvi osnovi.

F

G

a

E

s2

s1 O

12

3

A

a

D

4

a

C

B

F DAOB @ DCOB (spored koj priznak?), od {to sleduva 2$ = 2% = 2& . se prodol`i ponatamu so sporeduvawe na sosedni triagolnici, }e se poka`e deka F Ako site tie se ramnokraki triagolnici, deka site se skladni me|u sebe, pri {to: 2$ = 2% = 2& = ... = 2. .

Istiot zaklu~ok va`i za koj bilo pravilen mnoguagolnik.

Pravilni mnoguagolnici

121

Od toa mo`e{ da zaklu~i{: Site temiwa na pravilen mnoguagolnik se ednakvo oddale~eni, od edna negova vnatre{na to~ka O, odnosno deka le`at na kru`nica so centar O.

B 3.

Na crte`ot e daden pravilen petagolnik i negovata opi{ana kru`nica. Poka`i deka vo nego mo`e da se vpi{e kru`nica.

Razgledaj go crte`ot i odgovori na barawata.

H3

D

C H2

H4 O

E

Obrazlo`i zo{to visinite na site pet ramnokraki triagolnici ABO, BCO, ... spu{teni od nivniot zaedni~ki vrv O se ednakvi me|u sebe. Podno`jeto H1 na visinata OH1 e sredina na stranata AB. Zo{to?

H5

B H1

A

Od 2+ = 2+ = ... = 2+ sleduva deka sredinite na stranite na pravilniot petagolnik se ednakvo oddale~eni od to~kata O. Zna~i postoi kru`nica so centar vo O {to gi dopira site strani na pravilniot petagolnik. Istiot zaklu~ok va`i za koj bilo pravilen mnoguagolnik.

Zapomni Okolu sekoj pravilen mnoguagolnik mo`e da se opi{e kru`nica. Vo sekoj pravilen mnoguagolnik mo`e da se vpi{e kru`nica. Tie kru`nici se koncentri~ni. Za nivniot centar se veli deka e centar na pravilniot mnoguagolnik.

4.

Nacrtaj: a) pravilen triagolnik; b) pravilen ~etiriagolnik, i konstruiraj gi opi{anata i vpi{anata kru`nica.

5.

Vo dadena kru`nica so radius R vpi{i: a) pravilen triagolnik; b) pravilen ~etiriagolnik. O

V

Na crte`ot e daden eden od sostavnite ramnokraki triagolnici, DAOB, na pravilen mnoguagolnik. Za DAOB se veli deka e karakteristi~en triagolnik na pravilniot n-agolnik.

R

A

r H1

D

122

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

R

B

Negovite elementi go odreduvaat n-agolnikot: O - centarot;

“AOB =

R - centralniot agol; Q

$% = a - stranata;

2$ = R - radiusot na opi{anata kru`nica; 2+ = h = r - radiusot na vpi{anata kru`nica ili apotemata, na pravilniot n-agolnik.

6.

Nacrtaj go karakteristi~niot triagolnik na: a) pravilen triagolnik; b) pravilen ~etiriagolnik, ako radiusot na opi{anata kru`nica e R = 3 cm.

7.

Konstruiraj karakteristi~en triagolnik na pravilen 12-agolnik so strana 2 cm. Kako }e go odredi{ agolot pri osnovata?

Treba da znae{:

Proveri se!

da gi iska`e{ i obrazlo`i{ tvrdewata za opi{anata i vpi{anata kru`nica na pravilen mnoguagolnik;

Kako }e go odredi{ agolot pri osnovata na karakteristi~niot triagolnik ako:

da definira{ karakteristi~en triagolnik, apotema i centralen agol na pravilen mnoguagolnik.

Odredi go centralniot agol na pravilniot: a) triagolnik; b) ~etiriagolnik; v) petagolnik; g) {estagolnik; d) osumagolnik.

a) n = 5;

b) n = 8;

v) n = 9?

Zada~i 1. Odredi go vnatre{niot, nadvore{niot i centralniot agol kaj pravilen: a) 12-agolnik; b) 15-agolnik; v) 20-agolnik.

2. Dali postoi pravilen n - agolnik vo koj centralniot agol e: g) 100o; a) 40o; d) 120o? b) 80o; v) 90o;

3. Koj pravilen n - agolnik ima: a) centralen agol od 45o; b) nadvore{en agol od 30o; v) vnatre{en agol od 144o?

4. Nacrtaj go karakteristi~niot triagol-

nik na pravilen desetagolnik so strana 2 cm.

5. Poka`i deka vo sekoj pravilen mnoguagolnik negoviot centralen agol e ednakov so negoviot nadvore{en agol.

Pravilni mnoguagolnici

123

8

KONSTRUKCIJA NA PRAVILNI MNOGUAGOLNICI

Potseti se! Za koj mnoguagolnik se veli deka e pravilen? Dali opi{anata i vpi{anata kru`nica na pravilen n-agolnik se koncentri~ni?

A 1.

Razgledaj go re{enieto na crte`ot i postapi spored upatstvata. C

DOAB na crte`ot e karakteristi~en triagolnik na pravilen n-agolnik. Kolku stepeni ima centralniot agol g?

Presmetaj go centralniot agol g; g=

Kolku stepeni ima agolot d? O

A

d

h=r

R

a

R

d

d=

A

B

Povle~i ja tetivata AB i prenesi ja na

R

J ;

kru`nicata taka {to $% %& &$ . (Voo~i deka DABO e karakteristi~en za pravilniot triagolnik, DABC.) Objasni zo{to DABC e baraniot pravilen triagolnik.

B

Dali mo`e da se nacrta karakteristi~niot DOAB na pravilen n-agolnik ako se znae samo a ili samo R ili samo h = r?

R .

O g

Nacrtaj kru`nica k(O; 2,5 cm) i centralen agol g = “AOB = 120o.

R g= ; Q

g

Vo kru`nica so r = 2,5 cm vpi{i pravilen triagolnik.

2.

Konstruiraj pravilen ~etiriagolnik, t.e. kvadrat so strana a = 4 cm, so pomo{ na karakteristi~niot triagolnik.

Razgledaj go re{enieto na crte`ot i postapi spored upatstvata. R Presmetaj go centralniot agol g (g = ) i agolot d pri osnovata na karakteristi~niot triagolnik (d = 45o). Nacrtaj ja otse~kata AB, $% = 4 cm i aglite “BAX = “ABY = 45o.

D

Objasni zo{to presekot O na kracite AX i BY e centar na kvadratot. Nacrtaj kru`nica k(O; 2$ ). Prenesi ja tetivata AB po kru`nicata taka {to $% %& &' '$ . Objasni zo{to dobieniot ~etiriagolnik ABCD e baraniot kvadrat.

A

C Y X O 90o 45o 45o

B

3.

Poka`i deka karakteristi~niot triagolnik na pravilen {estagolnik e ramnostran triagolnik.

4.

Kolkavi se aglite na karakteristi~niot triagolnik na pravilen dvanaesetagolnik?

124

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

B 5.

Nacrtaj pravilen devetagolnik vpi{an vo kru`nica so radius R = 3 cm.

Pravilen devetagolnik ne mo`e da se konstruira samo so {estar i linijar. Zatoa }e koristime i aglomer. D Razgledaj go re{enieto na crte`ot i postapi spored E C upatstvata. Nacrtaj kru`nica k(O; 3 cm) i centralen agol “AOB = 40o.

h

Prenesi ja tetivata AB po kru`nicata taka {to $%

%&

m B O R=3c 40o

F

To~kite A i B se na kru`nicata i tie se dve sosedni temiwa na devetagolnikot.

70o

G

A

&' +. .

H

Objasni zo{to e pravilen dobieniot devetagolnik.

6.

K F

Nacrtaj pravilen devetagolnik so strana a = 2 cm.

G

E

Razgledaj go crte`ot i postapi spored upatstvata. Nacrtaj go karakteristi~niot triaglnik DOAB, t.e. ram-

H

O

nokrak triagolnik so osnova $% = a = 2 cm i agli na osnovata a = 70o.

40o 70o 70o

Prenesi ja tetivata AB po kru`nicata taka {to

7.

%&

C

K

Nacrtaj k(O; 2$ ). $%

D

A

&' +. = 2 cm.

Konstruiraj pravilen {estagolnik vpi{an vo kru`nica so R = 3 cm.

Treba da znae{: da konstruira{ pravilni mnoguagolnici vpi{ani vo kru`nica; da ja objasni{ (so karakteristi~niot triagolnik) i da ja primenuva{ postapkata za taa konstrukcija.

Zada~i 1. Nacrtaj pravilen triagolnik:

a) vo kru`nica so r = 4 cm; b) opi{an okolu kru`nica r = 2,5 cm.

2. Nacrtaj pravilen {estagolnik vo kru`nica so r = 4 cm.

8.

B

Nacrtaj kvadrat opi{an kru`nica so r = 2,5 cm.

okolu

Proveri se! Konstruiraj go karakteristi~niot triagolnik na pravilen dvanaesetagolnik. Kolkavi se aglite na toj triagolnik? Nacrtaj pravilen petagolnik vpi{an vo kru`nica so R = 3 cm.

3. Nacrtaj pravilen petagolnik:

a) so strana a = 3 cm; b) ako se znae r na vpi{anata kru`nica; b) ako se znae R na opi{anata kru`nica.

Pravilni mnoguagolnici

125

PITAGOROVA TEOREMA

9

PITAGOROVA TEOREMA

A 1.

Potseti se!

Konstruiraj pravoagolen triagolnik so hipotenuza c = 5 cm i kateta b = 4 cm, so pomo{ na Talesovata teorema. Izmeri ja drugata kateta.

[to e kvadrat na eden broj? Kako se odreduva kvadraten koren od zadaden broj? Presmetaj: 52; 122; 32 + 42; 52 - 32;

.

Nacrtaj eden pravoagolen triagolnik i ozna~i gi temiwata, aglite i stranite. Kako se vika stranata {to le`i sproti praviot agol? Kako se vikaat drugite dve strani?

2.

Ako dobro si izmeril, si dobil 3 cm.

3 5

3 5 4

Daden e pravoagolen triagolnik so kateti a = 3 cm, b = 4 cm i hipotenuza c = 5 cm.

4

Razgledaj go crte`ot i obidi se da sogleda{ edna vrska me|u kvadratite na stranite na pravoagolniot triagolnik. Sekoj od kvadratite e podelen na kvadrat~iwa so strana 1 cm. Kolku kvadrat~iwa ima sekoj kvadrat? Za brojot na kvadrat~iwata sogleda deka:

F Nad a se 9, t.e. a = 3 ; a = 9; F Nad b se 16, t.e. b = 4 ; b = 16; F Nad c se 25, t.e. c = 5 ; c = 25. [to zabele`uva{ za zbirot od kvadratite na katetite i kvadratot na hipotenuzata?

126

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Zabele`uvam deka zbirot od kvadratite na katetite e ednakov so kvadratot na hipotenuzata, t.e. 9 + 16 = 25 ili a2 + b2 = c2.

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

Za triagolnikot vo koj mernite broevi na negovite strani se 3, 4 i 5 u{te starite Egip}ani znaele deka e pravoagolen. Poradi toa se vika egipetski triagolnik. Starite Indijci znaele za pravoagolen triagolnik so strani 5, 12 i 13; toj e poznat kako indiski triagolnik. Proveri dali va`i ravenstvoto a2 + b2 = c2 za indiskiot triagolnik. Svojstvoto {to go sogleda kaj egipetskiot i indiskiot triagolnik va`i za sekoj pravoagolen triagolnik i e poznato pod imeto Pitagorova teorema.

Pitagorovata teorema glasi: Vo sekoj pravoagolen triagolnik kvadratot na hipotenuzata e ednakov so zbirot od kvadratite na katetite.

3.

F Skica:

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

b = 6 cm

Presmetaj ja hipotenuzata c na pravoagolniot triagolnik, ako negovite kateti se a = 8 cm i b = 6 cm. c=?

F Dadeno: a = 8 cm i b = 6 cm. a = 8 cm F Se bara: c = ? F Bidej}i triagolnikot e pravoagolen, spored Pitagorovata teorema imame: c = a + b ; 2

t.e. c =

B

D E ;

c2 = 82+62; F

; F

2

2

; c = 10 cm.

Zapomni deka vo sekoj pravoagolen triagolnik so kateti a, b i hipotenuza c va`i formulata: c 2 = a2 + b2

B a C

c b

F Ako se dadeni dvete kateti, a se bara hipotenuzata, toga{: c2 = a2 + b2, t.e.

A

c=

D E .

se dadeni hipotenuzata i ednata kateta, a se bara drugata F Ako kateta, toga{: a2 = c2 - b2 , t.e.

4.

a=

F E

,

ili

b2 = c2 - a2 , t.e.

b=

F D .

Za pravoagolniot triagolnik so kateti a = 12 cm, b = 16 cm i hipotenuza c = 20 cm, proveri gi formulite od Pitagorovata teorema.

Pitagorova teorema

127

To~na e i obratnata na Pitagorovata teorema: Ako vo nekoj triagolnik va`i ravenstvoto c2 = a2 + b2, toga{ toj triagolnik e pravoagolen.

5.

So pomo{ na Pitagorovata teorema, proveri dali triagolnikot so strani 9, 10, 14 e pravoagolen.

Treba da znae{:

Proveri se!

da ja iska`e{ Pitagorovata teorema; da ja izrazi{ sekoja strana na pravoagolniot triagolnik so pomo{ na ostanatite.

Dali e pravoagolen triagolnikot so strani: a) 12; 16; 21; b) 3; 1,6; 3,4? Najdi ja nepoznatata strana na pravoagolniot triagolnik so kateti a i b i hipotenuza c: a) c = 2,9, b = 2; b) c = 1, a = 0,8.

Zada~i 1. Stranite na DABC se: a) 7; 24; 25; b) 8; 10; 15; v) 8; 15; 17; g) 12; 15; 20. Dali DABC e pravoagolen?

5.

Najdi go perimetarot na DABC spored podatocite na crte`ot.

B 20

x

A 5 D

16

C

2. Najdi ja nepoznatata strana na pravoagolniot triagolnik so kateti a, b i hipotenuza c:

a) a = 56, b = 33;

b) b = 12, c = 37;

v) a = 25, b = 31;

g) c = 2,9, a = 2;

d) a = 0,3, c = 0,34.

3

6. Najdi go perimetarot na

~etiriagolnikot od crte`ot.

4

12

3. Najdi go perimetarot na pravoagolniot triagolnik ako negovite kateti se: a) 0,5 cm i 1,2 cm; b) 1,5 dm i 2 dm.

4. Najdi go perimetarot na pravoagolniot triagolnik so hipotenuza i kateta: a) 1 m i 0,8 m; b) 0,17 dm i 0,15 dm.

128

7. Mo`e li site tri strani na pravoago-

len triagolnik da bidat: a) parni, b) neparni prirodni broevi? Obrazlo`i go odgovorot.

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

10

PRIMENA NA PITAGOROVATA TEOREMA KAJ PRAVOAGOLNIK, KVADRAT I RAMNOSTRAN TRIAGOLNIK

Potseti se! Za stranite na pravoagolen triagolnik va`i Pitagorovata teorema. c

a b

1.

^esto pati e potrebno so pomo{ na pravoagolniot triagolnik da re{i{ nekoj problem od sekojdnevniot `ivot, tehnikata, geodezijata itn. Vo mnogu geometriski figuri toj mo`e da se sogleda i da ti pomogne da izvr{i{ odredeni presmetuvawa.

A

c2 =a2 + b2 a2 =c2 - b2 b2 =c2 - a2

Na crte`ot e pretstaven pravoagolnik ABCD so strani a = 12 cm i b = 5 cm.

D d

Voo~i ja dijagonalata $& = d. Razmisli kako }e ja odredi{ dol`inata na dijagonalata. Kakov triagolnik e DABC? Vo koe teme e praviot agol? Koi se katetite, a koja e hipotenuzata na DABC? Voo~i deka, spored Pitagorovata teorema: d 2 = a2 + b2; d 2 = 122 + 52 = 169; d =

2.

B

C b

a

A

B

; d = 13 cm.

Najdi go radiusot na kru`nicata opi{ana okolu pravoagolnikot so strani a = 32 cm, b = 24 cm. D C

3.

Presmetaj ja dol`inata na dijagonalata na kvadrat so strana a.

d

Razgledaj go crte`ot i voo~i deka:

F F Spored Pitagorovata teorema:

DABC e ramnokrak pravoagolen.

4.

5.

a

A d2 = a2 + a2 = 2a2;

d=

D ;

Presmetaj ja dijagonalata na kvadrat so strana: a) a = 6 cm; b) a = 1,2 cm.

d=a ;

Odredi gi radiusite na vpi{anata i opi{anata kru`nica na kvadrat so strana a = 3 cm.

B

Âť 1,41.

D

D A

a

C R

r

O a

Pitagorova teorema

d B

129

Znae{ deka dijagonalata na kvadrat so strana a e: d = a . Mo`e{ li so pomo{ na a da gi zapi{e{ radiusot R na opi{anata i radiusot r na vpi{anata kru`nica?

V

6.

Od crte`ot mo`am da zaklu~am deka: r =

D G D ,aR= ,R= . C

Na crte`ot e pretstaven ramnostran triagolnik ABC. Spored crte`ot odgovori na pra{awata.

a

h O

[to pretstavuva otse~kata CC1 za DABC? [to pretstavuva otse~kata CC1 za pravoagolniot triagolnik AC1C? A [to pretstavuvaat otse~kite OD, odnosno OB?

D

Zo{to ortocentarot O (presek na visinite) se sovpa|a so te`i{teto (presek na te`i{nite linii) vo ramnostran triagolnik?

D

r R C1

B

So pomo{ na stranata a zapi{i gi: h - visinata; r - radiusot na vpi{anata kru`nica; R - radiusot na opi{anata kru`nica. Mo`e da se poka`e deka vo ramnostran triagolnik prese~nata to~ka O na visinite i te`i{nite linii ja deli visinata (te`i{nata linija) na delovite: 2&

K ; 2&

K.

Voo~i go odreduvaweto na: h, r, R vo ramnostran triagolnik. Od pravoagolniot triagolnik AC1C sleduva:

F

2 D Ăˆ DĂ˜ = a; h = a - ÉÊ ÙÚ = a2

F

r=

2

7.

2

D h= Ă—

; r=

D

.

D D ; h=

h=

F

R=

;

D h= Ă—

Âť 1,73.

; R=

D

.

Presmetaj gi h, R i r na ramnostran triagolnik so strana a = 30 cm.

Treba da znae{: da ja primeni{ Pitagorovata teorema vo pravoagolnik, kvadrat i ramnostran triagolnik.

130

Proveri se! Kolkav e radiusot na opi{anata kru`nica okolu kvadrat so strana a = 10 cm? Odredi ja visinata i radiusite na opi{anata i vpi{anata kru`nica na ramnostran triagolnik so strana 10 dm.

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

Zada~i 1. Odredi ja dijagonalata na pravoagolnik so strani: a) 0,28 dm; 0,96 dm; b) 300 cm; 160 cm.

2. Odredi go perimetarot na pravoagolnik, zadaden so: a) d = 13 m, a = 12 m; b) d = 8,5 dm; b = 1,3 dm.

3. Vo kru`nica so R = 10 dm e vpi{an 4.

pravoagolnik so strana 8 dm. Odredi go negoviot perimetar. Sredinite na stranite na kvadratot so strana 10 cm se temiwa na eden ~etiriagolnik. Odredi go negoviot perimetar.

6. Odredi gi h, R i r na ramnostran triagolnik so strana:

a) a = 1, b) a = 100; v) a = .

7. Vo eden ramnostran triagolnik e vpi{ana kru`nica so r = 3,46 cm. Odredi go negoviot perimetar.

8. Dali mo`e dijagonalata i stranite na eden pravoagolnik da imaat dol`ini: a) 30, 40, 50; b)20, 30, 40;

v) 10, 20, 30; g) 150, 200, 250?

9. Dadeni se dva kvadrati. Edniot so

5. Odredi gi radiusite na vpi{anata i opi{anata kru`nica na kvadratot so: a) a = 10 cm; b) d = 10 cm.

11

strana a = 3 cm, a drugiot so strana b = 4 cm. Odredi ja stranata c na tret kvadrat ~ija{to plo{tina e ednakva na zbirot od plo{tinite na dadenite kvadrati.

ZADA^I SO PRIMENA NA PITAGOROVATA TEOREMA

Potseti se! Za koj triagolnik se veli deka e ramnokrak? Kakov ~etiriagolnik e rombot?

C

D a S

d1

A Koj trapez e ramnokrak? b h b Razgledaj gi crte`ite i iska`i gi svojstvata a a na sekoja figura. a A B

A 1.

C

d2 a

c

B A

a

Db C b b

c

h

a

a

B

Razgledaj go ramnokrakiot triagolnik na crte`ot i odgovori na pra{awata. C

Dali pravoagolniot triagolnik BCD e sostaven del na ramnokrakiot triagolnik DABC? Koi elementi na DABC se katetite i hipotenuzata na DBCD? Pitagorovata teorema ovozmo`uva da se sogleda edna vrska me|u osnovata, krakot i visinata na ramnokrak triagolnik. Zabele`a deka:

È DØ b = h + ÉÊ ÙÚ 2

2

b

b h a

A

a D D B

.

Pitagorova teorema

131

2.

Odredi ja visinata na ramnokrak triagolnik so osnova 10 cm i krak 13 cm. Napravi crte` na ramnokrak triagolnik ABC i povle~i ja visinata CD.

Ăˆ DĂ˜ Od DBCD voo~i deka: h = b - ÉÊ ÙÚ ; h2 = 132 - 52= 169 - 25 = 144. 2

Zna~i h2 = 144;

3.

h=

2

= 12, t.e. h = 12 cm.

Presmetaj go perimetarot na ramnokrak triagolnik ako se dadeni osnovata 14 cm i visinata kon osnovata 24 cm.

B

4.

Razgledaj go crte`ot i voo~i kako }e se primeni Pitagorovata teorema kaj ramnokrak trapez.

D b C

Sogledaj od crte`ot kako mo`e da se najdat dol`inite

c

c

h

$' = x.

D E

x

b

F

Sogledaj deka a = b + 2x; 2x = a - b; x =

5.

Odredi go krakot na ramnokrak trapez so osnova 30 cm, 16 cm i visina 24 cm.

.

A

D1

x

a

B

Nacrtaj ramnokrak trapez ABCD, ozna~i gi elementite i povle~i visina DD1.

F Dadeno e: a = 30, b = 16 i h = 24. F Od pravoagolniot triagolnik AD D vo zada~ata 4, se dobiva: 1

Ăˆ D EĂ˜ c2 = h2 + ÉÊ Ă™ Ăš

;

Ăˆ Ă˜ c2 = 242 + ÉÊ Ă™ = 576 + 49 = 625, odnosno c = Ăš

6.

= 25; c = 25 cm.

Najdi ja visinata h na ramnokrak trapez so osnovi 7 dm, 3 dm i krak 2,9 dm.

V 7.

Razmisli kako }e ja najde{ stranata a na romb, ako se dadeni negovite dijagonali d1 i d2. D C Razgledaj go crte`ot i odgovori na pra{awata. Imenuvaj eden pravoagolen triagolnik vo rombot ABCD. Koi elementi na rombot se strani na na toj triagolnik?

d1

Koi se katetite i hipotenuzata vo pravoagolniot DABS?

ĂˆG Ă˜ ĂˆG Ă˜ Obrazlo`i zo{to a = ÉÊ ÙÚ + ÉÊ ÙÚ 2

132

.

S

a

A

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

d2

a

B

8.

Najdi go perimetarot na rombot so dijagonali 24 cm i 10 cm. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

F Dadeno e: d = 24 i d = 10. 1

2

ĂˆG Ă˜ ĂˆG Ă˜ Ăˆ Ă˜ Ăˆ Ă˜ a = ÉÊ ÙÚ + ÉÊ ÙÚ ; a2 = ÉÊ ÙÚ + ÉÊ ÙÚ =122 + 52 = 144 +25 = 169;

F F a= 2

9.

= 13 cm.

F L = 4a; L = 4 Ă— 13 = 52, t.e. L = 52 cm.

Vo eden romb dadeni se stranata a = 13 cm i dijagonalata d1 = 24 cm. Odredi ja drugata dijagonala d2.

Treba da znae{: da ja primeni{ Pitagorovata teorema vo zada~i za ramnokrak triagolnik, ramnokrak trapez, romb i vo vrugi zada~i.

Proveri se! Dijagonalite na eden romb se 12 cm i 16 cm. Presmetaj go negoviot perimetar. Perimetarot na ramnokrak triagolnik so krak 41 cm iznesuva 100 cm. Najdi ja visinata kon osnovata.

Zada~i 1. Osnovata na ramnokrak triagolnik e 24 cm, a negoviot perimetar 98 cm. Presmetaj ja visinata kon osnovata.

5. Presmetaj go krakot na ramnokrak trapez so osnovi 30 cm, 6 cm i visina 35 cm.

2. Osnovata na ramnokrak triagolnik e 28

6. Najdi go perimetarot na ramnokrak

3. Dijagonalite na eden romb se:

7. Da se najde visinata na ramnokrak

cm, a negovata visina e 48 cm. Najdi go perimetarot na triagolnikot.

a) 42 i 50; b) 24,6 i 56,8. Kolku pribli`no iznesuva stranata na rombot?

4. Stranata na rombot e 2,9 dm, a edna dijagonala e 4 dm. Najdi ja drugata dijagonala.

trapez so osnovi 34 cm i 16 cm i visina 12 cm.

trapez so osnovi 16 cm, 30 cm i krak 25 cm.

8. Edna skala dolga 3 m e potprena na

yid. Nejziniot dolen del e na 1,8 m od yidot. Do koja visina stignala skalata na yidot?

Pitagorova teorema

133

PLO[TINA NA MNOGUAGOLNIK

12

POIM ZA PLO[TINA

Potseti se!

A 1.

Na crte`ot se dadeni: a) pravoagolnik P i kvadrat K; b) dva skladni pravoagolnici Y i T; v) figura F, razdelena na tri pravoagolnici: F1, F2 i F3 {to ne se preklopuvaat.

Na kvadratnata mre`a ima tri figuri: A, B i C. B C A

a) P1

P2

P3

Ako za merna edinica se zeme plo{tinata E na edno kvadrat~e od mre`ata, toga{ plo{tinata P 1 na figurata A iznesuva P1 = 12E. Merniot broj na plo{tinata P 1, pri edninicata E e 12. Kolkava e plo{tinata P2 na figurata B, odnosno plo{tinata P3 na figurata C, pri mernata edinica E? Kolku pati e pogolema plo{tinata P1 od plo{tinata P2? Kolkav e zbirot na plo{tinite P2 i P3? Kolkava plo{tina se dobiva ako plo{tinata P1 se pomno`i so 5? Koj znak treba da stoi vo kruk~eto za da se dobie to~en iskaz: P2 + P3

P 1?

P

E

K

E

b) Y T

v)

F F2

F1 F3

Plo{tinata E na edno kvadrat~e od mre`ata e zemena za merna edinica.

Odredi ja plo{tinata na pravoagolnikot P i kvadratot K; kakva vrednost (pozitivna ili negativna) ima merniot broj na plo{tinata na sekoj od niv? Kakvi se me|u sebe plo{tinite na pravoagolnicite Y i T? Odredi ja plo{tinata P na figurata F i plo{tinite P1, P2, P3 na figurite F1, F2, F3 soodvetno. Potoa sporedi ja plo{tinata P so zbirot P1 + P2 + P3.

134

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

[to mo`e{ da zaklu~i{ za plo{tinite na mnoguagolnicite pod a), b) i v) od prethodnata zada~a?

Mo`am da zaklu~am deka: a) plo{tinata na pravoagolnikot i kvadratot se iska`ani so pozitivni broevi; b) skladnite pravoagolnici imaat ednakvi plo{tini; v) plo{tinata na figurata F e ednakva so zbirot od plo{tinite na sostavnite pravoagolnici.

Za plo{tinata na mnoguagolnik op{to, va`at slednite osnovni svojstva.

1o 2o 3o

Plo{tinata na eden mnoguagolnik se iska`uva so pozitiven broj.

4o

Plo{tinata na kvadrat so strana 1 m se zema za osnovna merna edinica; taa se vika kvadraten metar i se ozna~uva: 1 m2.

Ako dva mnoguagolnika se skladni, toga{ tie imaat ednakvi plo{tini. Ako mnoguagolnikot e sostaven od dva ili pove}e mnoguagolnici {to ne se preklopuvaat, toga{ negovata plo{tina e ednakva na zbirot od plo{tinite na tie mnoguagolnici.

Od mernata edinica 1 m2 se izveduvaat pomali edinici: 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2 i pogolemi: 1 dam2, 1 hm2, 1 km2. Koi od pravoagolnicite na crte`ot imaat ednakvi plo{tini i vrz osnova na koe svojstvo?

25 cm 40 cm

3.

b) 35 cm

a)

35 cm

v)

3, 5

g)

dm

6 3,

dm

d) 5 3,

4 dm

2.

2,5 dm

3, 5

dm

dm

Na crte`ot, dvata pravoagolnika na figurata pod a) se preklopuvaat, a pod b) - ne. Za koja od tie dve figuri va`i svojstvoto 3o, a za koja ne va`i? a)

b)

Plo{tini na mnoguagolnik

135

B 4.

Na crte`ot se dadeni dva skladni pravoagolni triagolnici, T1 i T2, a potoa od niv se sostaveni, tri geometriski figuri: a), b), v).

T2 T1

T2

T1

T2

T1

a)

T2

T1

b)

v)

Imenuvaj ja sekoja od figurite a), b) i v). Kakvi se me|u sebe plo{tinite na T1 i T2? Zo{to? Kakvi se me|u sebe plo{tinite na figurite a) i b); b) i v)? Zo{to?

Za dve figuri se veli deka se ednakvoplo{ni, ako imaat ednakvi plo{tini. Dve figuri {to mo`at da se sostavat ili mo`at da se razdelat na ist broj soodvetno skladni figuri se ednakvoplo{ni. Figurite a), b) i v) od zada~ata 4 se ednakvoplo{ni.

5.

Odredi koi od figurite na crte`ot se ednakvoplo{ni.

a)

b)

v)

Treba da znae{: Proveri se! da go objasni{ poimot plo{tina na mnoguagolnik; da prepoznae{ ednakvoplo{ni mnoguagolnici; da razlo`uva{ mnoguagolnici na delovi i da sostavuva{ od niv drugi, ednakvoplo{ni figuri.

136

Iska`i gi osnovnite svojstva za plo{tina. Ako dve figuri se skladni, toga{ tie se ednakvoplo{ni. Dali sekoi dve ednakvoplo{ni figuri se skladni? Obrazlo`i! Kako }e razlo`i{ romboid za da sostavi{ pravoagolnik od delovite? Objasni go toa na crte`ot.

D

A

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

C

B

Zada~i 1. Izre`i dva skladni pravoagolni tri-

agolnici i od niv sostavi: a) ramnokrak triagolnik; b) pravoagolnik; g) romboid. Zo{to site dobieni figuri se ednakvoplo{ni?

2. Kvadrat e razre`an po dijagonalite.

Od dobienite triagolnici sostavi tri konveksni mnoguagolnici. Nacrtaj gi i imenuvaj gi.

3. Ako dva mnoguagolnika se ednakvoplo{ni, dali mora da imaat ist broj strani?

4. Ako dva ramnostrani triagolnici

imaat ednakvi perimetri, dali mora da imaat ednakvi plo{tini?

7. Figurata na crte-

`ot podeli ja na ~etiri skladni trapezi.

Obidi se ... 8. Daden e kvadrat ABCD

D

G

C

(na crte`ot). E, F, G, H M N se sredinite na negoF vite strani. Sporedi H L ja plo{tinata na ~eK tiriagolnikot KLMN so A E B plo{tinata na kvadratot ABCD.

9. Vo kvadratnata mre`a e nacrtana kri5. Ako dva pravoagolnika imaat ednakvi

perimetri, dali mora da imaat ednakvi plo{tini?

6. Utvrdi dali e to~en sledniot iskaz.

a) Skladnite figuri se ednakvoplo{ni. b) Ednakvoplo{nite figuri se skladni. v) Ramnostranite triagolnici se skladni. g) Ramnostranite triagolnici so soodvetno ednakvi strani se ednakvoplo{ni. d) Kvadrati so soodvetno ednakvi dijagonali se ednakvoplo{ni.

voliniska figura. Napravi ({to e mo`no podobra) procenka za nejzinata plo{tina P zemaj}i ja za merna edinica plo{tinata E na edno kvadrat~e od mre`ata.

Da napravi{ procenka za P zna~i da najde{ dva broja, m i n, takvi {to mE ÂŁ P ÂŁ nE.

Plo{tini na mnoguagolnik

1 cm2

137

13

PLO[TINA NA PRAVOAGOLNIK I KVADRAT

Potseti se!

A 1.

Dol`inata na osnovata AB i dol`inata na visinata BC na pravoagolnikot ABCD (na crte`ot) se izrazeni so celi broevi:

C Da se najde plo{ti- D nata na daden pravoagolnik zna~i da se doznae kolku kvadrat~iwa, so strana A B ednakva na izbrana merna edinica za dol`ina, }e se smestat vo pravoagolnikot i }e go pokrijat.

$% = 7 cm, %& = 4 cm. D

C

4 3 2

Koja bilo od stranite na pravoagolnikot ABCD mo`e da se smeta za negova osnova; vo toj slu~aj, koja bilo od nejzinite sosedni strani se smeta za visina na pravoagolnikot.

1

A 1 2 3 4 5 6 7B

Po prebrojuvaweto na kvadrat~iwata, sekako utvrdi deka plo{tinata iznesuva 28 cm2. No, kako mo`e{ da go dobie{ brojot na kvadrat~iwata {to go ispolnuvaat pravoagolnikot, a bez da gi broi{?

Kolku kvadrat~iwa so strana 1 cm ima vo redicata {to se grani~i so osnovata, a kolku cm ima osnovata? Kolku kvadrat~iwa go ispolnuvaat pravoagolnikot? Kolkava e plo{tinata na pravoagolnikot izrazena vo cm2? ]e gi pomno`am osnovata i visinata i }e dobijam: 7 × 4 = 28.

Zna~i, plo{tinata na pravoagolnikot ABCD e ednakva na proizvodot od osnovata i visinata.

2.

Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnikot so osnova 15 dm i visina 6 dm vo dm2 spored podatocite na crte`ot.

B

Potseti se deka: osnovna merna edinica za plo{tina e kvadraten metar (m2). Kvadraten metar e plo{tinata na kvadrat so strana 1 m. Pomali merni edinici od 1 m2 se:

Pogolemi merni edinici od 1 m2 se: ar = 1 dam2

× 100

ha = 1 hm2

× 10 000

1 km2 Kolku cm2 ima vo 1 dm2?

138

× 1 000 000

1 m2

Kolku mm2 ima vo 8 cm2?

: 100

1 dm2

: 10 000

1 cm2

: 1 000 000

1 mm2

Kolku dm2 ima vo 25 cm2?

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

3.

Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnikot ABCD, pri koj dol`inata na osnovata i visinata se izrazeni so decimalni broevi: $% = 7,5 cm i %& = 4,3 cm.

D

C

4,3 cm

Ako go izbere{ 1 mm kako merna edinica za dol`i-

7,5 cm

A

nite, so koi celi broevi }e bidat izrazeni $% i %& ?

B

Voo~i deka $% = 75 mm, %& = 43 mm. Najdi ja plo{tinata P na pravoagolnikot vo mm2. Dobieniot broj (P = 75 × 43 = 3 225; P = 3 225 mm2), izrazi go vo cm2 i sporedi go so proizvodot od dol`inata na osnovata i visinata: 7,5 × 4,3. [to mo`e{ da zaklu~i{ od toa? Mo`am da zaklu~am deka plo{tinata na pravoagolnikot se dobiva kako proizvod na osnovata i visinata i vo ovoj slu~aj, koga tie se izrazeni so decimalni broevi. Va`i i op{to: Plo{tinata na pravoagolnik e ednakva na proizvodot od dol`inata na osnovata i visinata:

h a

P=a×h P - plo{tinata;

a - osnovata;

h - visinata

Posebno, ako a = h, toga{ pravoagolnikot e kvadrat, pa P = a × h = a × a = a2. Plo{tinata na kvadrat e ednakva na kvadratot od dol`inata na negovata strana:

a

P=a

2

a Formulata P = a × h va`i i koga osnovata i visinata se izrazeni so koi bilo realni broevi.

"dol`inata na osnovata#, nakuso se veli i samo: "osnovata#. Sli~no za: F Namesto "visinata#, "dijagonalata# i dr.

4.

Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnik so osnova 12,4 dm i visina 7,05 dm.

5.

Presmetaj ja plo{tinata na kvadrat so strana a = 3,4 cm.

Plo{tini na mnoguagolnik

139

Potseti se!

V 6.

B Za pravoagolniot DABC so hipotenuza c i kateti a, b va`i ravenstvoto (Pita- a gorovata teorema): C c2 = a2 + b2

Presmetaj ja plo{tinata P na pravoagolnik so osnova a = 12 cm i dijagonala d = 13 cm.

c

Ako ne se seti, voo~i ja postapkata. b

A

Razgledaj go pravoagolnikot ABCD na crte`ot i voo~i go pravoagolniot DABC, vo koj hipotenuzata d i katetata a se poznati, a ne e poznata katetata h.

Kolku iznesuva c, ako a = 5, b = 12? Kolku e a, ako c = 10, b = 6? Kolku e c, ako a = b = 1?

D Izrazi ja katetata h so pomo{ na d i a. Dobienata vrednost za h (h = G D =

d

=

= 12) zameni ja vo formulata P = a Ă— h.

=

7.

C

A

Presmetaj ja plo{tinata P na kvadrat so dijagonala d = 6 cm.

h

a

B

N

M d

a

Sporedi go tvoeto re{enie i voo~i ja postapkata: plo{tinata a da ja izrazi{ so dijagonalata d. K a L F Treba F Vo pravoagolniot triagolnik KLM, spored Pitagorovata teorema va`i: d = a + a ; 2

2

2

2

G G . Namesto P = a2 mo`e{ da zapi{e{ P = . G P= ; P= ; P= ; P = 18 cm2. Va`i i op{to:

d2 = 2a2; a2 =

F

Plo{tinata P na kvadrat so dijagonala d mo`e da se presmeta so formulata P=

G .

Treba da znae{: da odredi{ plo{tina na pravoagolnik i kvadrat po soodvetnata formula i da ja izrazi{ vo soodvetni merni edinici; da gi koristi{ svojstvata na pravoagolnik i kvadrat vo poslo`eni zada~i za plo{tina.

140

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

Proveri se! Plo{tinata na eden pravoagolnik e 72 dm2, a visinata mu e 60 cm. Kolku e osnovata? Perimetarot na eden kvadrat e 10 dm. Kolku e negovata plo{tina? Plo{tinata na eden kvadrat e 18 dm2. Kolku e dijagonalata?

Zada~i 1. Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnik so strani: a) 24 cm, 36 cm; b) 7,8 dm; 4,5 dm; cm; 8 cm. v) 3

2. Presmetaj go perimetarot na kvadrat, ednakvoplo{ten so pravoagolnik so dimenzii 63 cm i 28 cm.

3. Najdi ja plo{tinata

na pravoagolnata ramka spored cr- 42 te`ot. Dimenziite se dadeni vo cm.

30

46

56 4. Presmetaj ja plo{tinata na kvadrat so: a) strana 5,3 cm; b) dijagonala 6,4 dm.

5. Kako }e se promeni plo{tinata na pra-

voagolnikot ako: a) osnovata mu se zgolemi 3 pati, a visinata 4 pati; b) osnovata i visinata mu se namalat 2 pati; v) osnovata mu se zgolemi 4 pati, a visinata mu se namali 4 pati; g) osnovata mu se zgolemi 3 pati, a visinata ostane ista?

6. Kako }e se izmeni plo{tinata na kvadratot ako negovata strana: a) se zgolemi 2 pati; b) se namali 3 pati; v) se zgolemi 1,5 pati; g) se zgolemi 50%; d) se namali 50%; |) se namali 60%?

7. Kako }e se promeni plo{tinata na

pravoagolnik so strani a i b (cm), pri {to b > 1 (cm), ako a se zgolemi za 1 (cm), a b se namali za 1 (cm)?

8. Kolkav procent }e se zgolemi plo{ti-

nata na pravoagolnik ako dol`inite na stranite se zgolemat po 10%?

9. Kolku pati treba da se zgolemi stranata na kvadratot za da se zgolemi negovata plo{tina 2,25 pati?

10. Plo{tinata na eden pravoagolnik e 168 cm2, a ednata strana mu e 24 cm. Presmetaj ja dijagonalata.

11. Dijagonalata na eden kvadrat e 4 cm. Presmetaj ja: a) plo{tinata; b) perimetarot na kvadratot.

12. Perimetarot na nekoj pravoagolnik e

12 cm, a mernite broevi na negovite strani se prirodni broevi. a) Kolku takvi pravoagolnici postojat? Presmetaj gi nivnite plo{tini. b) Koj od niv ima najgolema plo{tina?

13. Dol`inata na edna soba e 4,2 m, a {i-

rinata e 5,4 m. Vo sobata ima dva prozorci so {irina 1,2 m i visina 1,6 m. Osvetlenosta na sobata se smeta za dovolna, ako plo{tinata P1 na prozorcite pretstavuva 20% od plo{tinata P na podot. Dali e dovolno osvetlena sobata?

Plo{tini na mnoguagolnik

141

14

PLO[TINA NA PARALELOGRAM

Potseti se!

A 1.

Koja bilo od stranite na paralelogramot mo`e da se nare~e osnova na paralelogramot.

Od temiwata D i C na paralelogramot (na crte`ot) se spu{teni visini kon osnovata AB. D

C

^etiriagolnikot ABCD, na crte`ot e paralelogram, a otse~kite DD1 i CC1 se normalni na osnovata AB. D

C

A

G

B

F

Razgledaj gi DAFD i DBGC i razmisli dali tie se skladni. A

D1

B

C1

Kakvi se me|u sebe dol`inite '' i && ?

[to se otse~kite DD1, CC1 (i nivnite dol`ini) za paralelogramot ABCD? Kakvi se me|u sebe DAD1 i CBC1? Kako se vika paralelogramot ABCD, ako: a) $% = $' ? b) A = 90o?

Mo`e{ da sogleda{ deka: $' = %& , DAF = CBG i ADF = BCG F (agli so paralelni kraci).

F DAFD @ DBGC (spored priznakot ASA). Poka`i deka ~etiriagolnikot FGCD e pravoagolnik. Objasni zo{to $% = )* . Dali se ednakvoplo{ni paralelogramot ABCD i pravoagolnikot FGCD? Zo{to?

v) $% ¹ $' i A e ostar?

Da, za{to sekoj od niv e sostaven od trapezot FBCD i od po eden triagolnik, a tie triagolnici se skladni. Od toa mo`e{ da sogleda{ deka: Plo{tinata P na paralelogramot ABCD e ednakva so plo{tinata na pravoagolnikot FBCD, pa

P = )* × )' = $% × )' .

Va`i i op{to: D

Za paralelogram so osnova $% = a i visina ') = h plo{tinata e proizvod od negovata osnova i soodvetnata visina, t.e. P = a × h.

142

C

h A

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

F

a

B

2.

Presmetaj ja plo{tinata na paralelogram so osnova a = 6,2 cm i visina spu{tena kon taa osnova, h = 4,5 cm. P = a × h; P = 6,2 × 4,5; P = 27,9 cm2.

3.

Stranite na eden romboid se a = 8 cm i b = 6 cm. Visinata kon stranata a e 3 cm. Kolkava e visinata kon stranata b?

4.

Stranata na eden romb e 12,5 cm, a plo{tinata mu e 40 cm2. Presmetaj ja visinata na rombot.

5.

Pogolemata strana na eden paralelogram e 41 cm, visinata kon pomalata strana e 40 cm, a pomalata dijagonala e 50 cm. Presmetaj ja plo{tinata na paralelogramot. D

Za da ja presmeta{ plo{tinata na paralelogramot vo ovoj slu~aj neophodno e da ja primeni{ Pitagorovata teorema. Napravi crte` kako dadeniot i voo~i deka P = $% × 40 cm2. Za da ja najde{ $% , razgledaj gi pravoagolnite triagolnici AFD

C

50

41

40

i BFD, a potoa presmetaj gi: $) , )% , $% = $) + )% . A

B 6.

Na crte`ot e pretstaven romb ABCD. Potoa e konstruiran ~etiriagolnikot KLMN, taka {to negovite strani se paralelni so dijagonalite na rombot. So pomo{ na crte`ot, obidi se da najde{ formula za presmetuvawe plo{tina na rombot ako se dadeni negovite dijagonali d1 i d2.

B

F

N

D

M

d1

A

C

d2 K

B

L

Razgledaj go crte`ot i odgovori na slednite pra{awa Kakva e zaemnata polo`ba na dijagonalite na rombot? Od koj vid e ~etiriagolnikot KLMN? Kolku iznesuva plo{tinata na ~etiriagolnikot KLMN, izrazena so pomo{ na d1 i d2? Kolku pati e pogolema plo{tinata na ~etiriagolnikot KLMN od plo{tinata na rombot? Ako odgovori pravilno na prethodnite pra{awa, mo`e{ da zaklu~i{ deka: Plo{tinata P na romb so dijagonali d1 i d2 e ednakva na polovinata od proizvodot na dijagonalite, t.e. P=

d ×d 1 2

d1

d2

Plo{tini na mnoguagolnik

143

7.

Presmetaj ja plo{tinata na romb so dijagonali d1 = 6 dm i d2 = 45 cm. P=

Ă— 60 Ă— 45 = 1 350;

P = 13,5 dm2.

Treba da znae{: da presmetuva{ plo{tina na paralelogram (romb i romboid) spored soodvetna formula; da ja obrazlo`i{ to~nosta na formulite za presmetuvawe plo{tina na romboid i romb; da gi koristi{ svojstvata na romboid i romb za re{avawe poslo`eni zada~i za plo{tina.

Proveri se! Kolku e plo{tinata na romboid so osnova 12 cm i visina 7 cm? Kolkava e stranata na romb so visina h = 8 cm i plo{tina P = 96 cm2? Romb so dijagonala d1 = 9 dm ima plo{tina P = 27 dm2. Kolkava e drugata dijagonala?

Zada~i 1. Presmetaj ja plo{tinata na metalna plo~a vo forma na romboid so strana 25,8 cm i visina kon taa strana 8,4 cm.

2. Presmetaj ja plo{tinata na romb so dijagonali 18 cm i 3 dm.

3. Presmetaj ja plo{tinata na romboid na koj stranite mu se 12,5 dm i 32,5 cm, a visinata kon pomalata strana e 10 cm. Potoa, najdi ja drugata visina.

4. Stranite na eden paralelogram se 9 cm

i 12 cm. Presmetaj ja negovata plo{tina ako pogolemata od negovite visini e 8 cm.

5. Presmetaj ja plo{tinata na paralelogram so strani 6 cm i 8 cm, a so ostar agol od 30o.

6. Presmetaj ja plo{tinata na romb koj ima strana 8,4 dm i tap agol od 150o.

7. ^etiriagolnikot na

crte`ot e paralelogram. Izvr{i gi neophodnite merewa na nego i presmetaj mu ja plo{tinata.

144

8. Mo`e li plo{tinata na paralelogram da bide ednakva na proizvodot od osnovata i edna dijagonala?

9. Plo{tinata na eden paralelogram e

144 cm2. Presekot na dijagonalite e oddale~en od stranite 3 cm i 4 cm. Presmetaj go perimetarot na paralelogramot.

10. a) Kako da se podeli daden romb na tri dela, od koi mo`e da se sostavi pravoagolnik, taka {to osnovata da mu bide ednata od dijagonalite na rombot? b) Koristej}i go toa, izvedi ja formulata {to ja izrazuva plo{tinata na rombot preku negovite dijagonali.

11. Pomalata strana na paralelogramot e 13 cm, visinata spu{tena kon pogolemata strana e 12 cm, a pomalata dijagonala e 15 cm. Najdi ja plo{tinata na paralelogramot.

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

Obidi se ... D

C

B E

F

12. Podno`jata E i F od visinite na paralelogramot ABCD,

spu{teni od D i C soodvetno, pa|aat nadvor od osnovata AB (kako na crte`ot). Poka`i deka plo{tinata PABCD (na paralelogramot ABCD) e ednakva so plo{tinata P EFCD (na pravo-

A

agolnikot EFCD) i PABCD = $% Ă— '( .

Pomo{: PABCD + PBFC = PEFCD + PAED; DAED @ DBFC, pa PABCD = PEFCD; $% = () .

15

PLO[TINA NA TRIAGOLNIK

Potseti se!

A 1.

Za DABC na crte`ot, koja bilo od stranite mo`e da se zeme za negova osnova.

Paralelogramot ABCD na crte`ot ima osnova a = 9 cm i visina h = 4 cm. A

Otse~kata AD (i dol`inata $' = h) e visina, soodvetna na osnovata BC.

D 4 cm

F

A h B

D

K

B

h C

G

9 cm

C

Presmetaj ja negovata plo{tina. a

Sogledaj deka DABC @ DCDA; kakvi se me|u sebe plo{tinite na tie triagolnici?

H

Razgledaj go paralelogramot FGHK.

Kolku e plo{tinata na DABC? Zo{to? Kolku pati taa e pomala od plo{tinata na paralelogramot?

Kolku e negovata plo{tina, ako a e osnovata i h soodvetnata visina? Kakvi se me|u sebe DFGH i DHKF?

A

2.

Na crte`ot e daden DABC, ~ija{to osnova e a i soodvetnata visina h.

h B

a

C

Plo{tini na mnoguagolnik

145

a × h.

Formulata za presmetuvawe na plo{tinata na DABC e: P = Obidi se da go doka`e{ toa.

Dali toa ti dava ideja kako }e se dobie baranata formula od ona {to go znae{ za paralelogramot?

D

A

Pri re{avaweto na zada~ata 1, rabote{e so paralelogram ABCD kako na crte`ot.

h B

a

C

Ako ne se seti, prosledi go slednoto razmisluvawe. Kakvi se me|u sebe DABC i DCDA? Kolku e plo{tinata na paralelogramot ABCD? Kakva vrska ima plo{tinata na DABC so plo{tinata na paralelogramot ABCD? Zna~i: plo{tinata na DABC e P = PABC =

3.

F DABC @ DCDA (Zo{to?) F P =a×h P = P = a×h F ABCD

ABC

ABCD

a × h, a toa treba{e da go doka`e{.

Presmetaj ja plo{tinata na triagolnik so osnova a = 8 cm i soodvetna visina ha = 9 cm. P=

4.

a ha = × 8 × 9 = 36; P = 36 cm2.

A b

Kako glasi formulata za plo{tinata na DABC so osnova b i soodvetna visina hb?

Voo~i i zapomni

hb B

C

Sekoja strana na DABC mo`e da se zeme za osnova i zatoa e to~no deka P=

a ha = b hb = c hc ,

t.e. plo{tinata na triagolnikot e ednakva so poluproizvodot od osnovata i soodvetnata visina.

5.

A

Na crte`ot e daden pravoagolen DABC so kateti a i b.

b

[to e soodvetnata visina na katetata a? Zapi{i ja formulata za presmetuvawe na negovata plo{tina.

146

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

B

a

C

Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolniot triagolnik so kateti a = 10 dm i b = 7 dm. Plo{tinata na pravoagolen triagolnik so kateti a i b mo`e da se presmeta so formulata: P=

B 6.

ab. C

Presmetaj ja plo{tinata P na ramnokrakiot triagolnik so osnova a = 10 cm i krak b = 13 cm.

Razmisli kako }e ja najde{ visinata h = &' za da ja prime-

b

ah. Iskoristi go svojstvoto na ramnokrak triagolnik: visinata

b

h

ni{ formulata P =

F spu{tena od vrvot e simetrala na osnovata, pa F Primeni ja Pitagorovata teorema: 7.

A

$' = %' .

D

Ăˆ DĂ˜ h = b - ÉÊ ÙÚ . 2

2

Presmetaj ja plo{tinata na ramnostran triagolnik so strana a = 8 cm.

a

h

a

a

Potseti se deka za ramnostran triagolnik va`i:

B

D a

DK D P= = ;

F

D Ăˆ DĂ˜ h = a - ÉÊ ÙÚ = ;

8.

Daden e DABC so strani a = 7 cm, b = 9 cm i c = 12 cm. Kolku e negovata plo{tina?

2

2

D h= ;

K P= .

Plo{tinata na triagolnik so strani a, b i c mo`e da se presmeta i po formulata

P=

b

a

V š V D V E V F ,

kade {to s e poluzbirot od stranite, t.e.

V

c

D E F .

Ovaa formula se vika Heronova formula (po imeto na anti~kiot matemati~ar Heron).

V 3

= 14; š š š =

š š š =

; P Âť 31,3 cm2.

Plo{tini na mnoguagolnik

147

Treba da znae{: da odredi{ plo{tina na triagolnik so dadena osnova i soodvetni visini;

da ja obrazlo`i{ formulata P = ah, za plo{tina na triagolnik; da re{ava{ poslo`eni zada~i za plo{tina na triagolnik.

Proveri se! Plo{tinata na eden triagolnik e 56 cm2, a edna negova strana e 14 cm. Kolkava e soodvetnata visina? Vo eden pravoagolen triagolnik, ednata kateta e 12 mm, a hipotenuzata e 13 mm. Kolkava e plo{tinata?

Zada~i 1. Najdi ja plo{tinata na triagolnik so osnova a i soodvetna visina h ako:

a) a = 7 cm, h = 8 cm; b) a = 6 dm, h = 12 cm; v) a = 18,4, h = 13,5.

2. Kolku }e se promeni plo{tinata na triagolnik ako:

5. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak triagolnik so osnova 18 cm i krak 41 cm.

6. Presmetaj ja plo{tinata na ramnostran triagolnik so strana a = 8 cm.

7. Najdi ja plo{tinata na triagolnik ako se dadeni trite strani:

a) osnovata mu se zgolemi tripati, a visinata mu se namali dvapati;

a) a = 6 cm,

b) osnovata mu se namali dvapati i visinata mu se namali petpati?

v) a = 7 cm,

3. Kolku procenti }e se zgolemi plo{-

tinata na triagolnik ako osnovata mu se zgolemi 50%, a visinata mu se namali 30%?

b) a = 13 dm,

b = 8 cm; b = 14 dm; b = 11 cm;

c = 10 cm; c = 15 dm; c = 12 cm.

8. Najdi ja plo{tinata na ramnokrak pravoagolen triagolnik, ako dol`inata na negovata hipotenuza e c.

Obidi se ...

4. Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolen triagolnik so kateti a i b, ako: a) a = 15, b = 9; b) a = 20 i eden od aglite e 45o.

148

9. Najdi ja plo{tinata na ramnokrak tri-

agolnik, ako visinata, spu{tena kon osnovata e 30 cm, a visinata spu{tena kon bo~nata strana e 36 cm.

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

16

PLO[TINA NA TRAPEZ I DELTOID

Potseti se! ^etiriagolnikot ABCD na crte`ot e trapez, pri {to AB % DC. A

A 1. D

Na crte`ot e daden trapez so osnovi 12 cm i 8 cm, i visina 5 cm. D 8 cm C

C

F

5 cm

B

Imenuvaj gi: osnovite, kracite i visinata na trapezot.

Ako s u{te ne se seti, eve edna ideja: razdeli go trapezot (so edna dijagonala) na dva triagolnika - kako za zada~ata vo "Potseti se!#, na primer, so DB; }e dobie{:

ako $% = 8 cm, '& = 5 cm, ') = 4 cm.

Voo~i deka izrazot

Ă— 12 Ă— 5 + Ă— 8 Ă— 5 = 50;

Ă— 12 Ă— 5 + Ă— 8 Ă— 5

Ă— 5. Koi operacii se izvr{eni so dadenite elementi na trapezot? mo`e da se zapi{e

2.

B

Odredi ja negovata plo{tina.

Presmetaj ja: a) plo{tinata na DABD; b) plo{tinata na DBCD,

P = PABD + PBCD =

12 cm

A

P = 50 cm2.

Plo{tinata na trapezot e presmetana taka {to poluzbirot od osnovite e pomno`en so visinata.

Daden e trapez so osnovi a i b, i visina h. Poka`i deka negovata plo{tina mo`e da se presmeta so formulata: P=

D E šK,

t.e. plo{tinata na trapezot e ednakva so proizvodot na poluzbirot od negovite osnovi i visinata. D

Razgledaj go trapezot ABCD, koj{to e podelen so dijagonalata BD na dva triagolnika. Vo kakva vrska e plo{tinata P na trapezot so plo{tinite PABD i PBCD (na DABD i DBCD)? So pomo{ na a, b i h, zapi{i kolku e PABD i kolku e PBCD, a potoa soberi gi dobienite izrazi.

C

b

h A

a

Plo{tini na mnoguagolnik

B

149

Voo~i deka od prethodnite dve barawa proizleguva slednoto: P = PABD + PBCD =

DยนK EยนK D E ยน K , t.e. formulata {to se bara{e. + =

3.

Presmetaj ja plo{tinata na trapezot so osnovi 5 dm i 4 dm, i visina 25 cm.

4.

^etiriagolnikot ABCD na crte`ot e pravoagolen trapez. Izvr{i gi neophodnite merewa kolku {to mo`e{ poprecizno, i presmetaj mu ja plo{tinata. Koja e visinata na trapezot?

5.

C

D

B

A

Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrakiot trapez so osnovi a = 48 cm, b = 30 cm i krak 41 cm. D 30 C Obidi se sam, a potoa prosledi go upatstvoto.

F Nacrtaj ramnokrak trapez ABCD kako na crte`ot. 41 h F Za da ja najde{ visinata h, prvo treba da go odredi{ x = $) . x D E A F F Voo~i deka $) = *% = x, pa x = = = 9. F Potoa, za da ja odredi{ visinata h, primeni ja Pitagorovata teorema. B 6.

Potseti se! ^etiriagolnikot ABCD na crte`ot e

S

Presmetaj ja plo{tinata P na deltoidot ABCD ( na crte`ot),

%' = 8 cm. B

C A

B Koi strani se ednakvi me|u sebe?

Ako $& = 10 cm i %' = 6 cm, kolku e plo{tinata na a) DACD; b) DABC?

C D

Kakvi se me|u sebe negovite dijagonali? Kakvi se me|u sebe DABC i DADC?

150

B

ako dijagonalite se: $& = 14 cm,

deltoid (so: $% = $' ). D A

48

G

Presmetaj ja prvo plo{tinata PABC, potoa plo{tinata PADC i, na krajot, presmetaj: P = P ABC + PADC.

7.

Najdi formula za presmetuvawe na plo{tinata na deltoid so pomo{ na negovite dijagonali d1 i d2.

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

Razmisli sam, a potoa razgledaj go deltoidot ABCD na crte`ot i prosledi go objasnenieto.

F F F F

DABC @ DADC;

C

6% = 6' = d2;

D d1

S

A

B

PABC = PADC = × $& × 6' = d1 × d2 = dd. 1 2 P = PABCD = PABC + PADC =

d2

d1d2 + d1d2 = dd. 1 2

Voo~i i zapomni: Plo{tinata na deltoidot e ednakva na poluproizvodot od negovite dijagonali, t.e. d2 d1

8.

F

P=

G ¹ G .

So istata formula mo`e da se presmeta plo{tinata i na koj bilo ~etiriagolnik so zaemno normalni dijagonali d1 i d2.

Daden deltoid ima plo{tina 90 dm2, a ednata dijagonala mu e 15 dm. Kolkava e drugata dijagonala?

Treba da znae{: da presmetuva{ plo{tina na trapez i deltoid.

Zada~i 1. Osnovite na eden trapez se 8 cm i 4 cm, a negovata plo{tina e 42 cm2. Presmetaj ja visinata.

2. Plo{tinata na eden trapez e 150 cm2, ednata osnova e 11 cm, a visinata e 10 cm. Kolkava e drugata osnova?

3. Presmetaj ja dol`inata na srednata linija na trapez, ~ija{to plo{tina e 180 cm2, a visinata e 12 cm.

Proveri se! Presmetaj ja plo{tinata na trapezot so osnovi a = 9 dm i b = 5 dm i visina 8 cm. Eden deltoid ima plo{tina 90 cm2, a ednata dijagonala e 20 cm. Kolkava e drugata dijagonala?

4. Presmetaj ja plo{tinata na eden pravoagolen trapez, ako pomalata osnova mu e 7 cm, a kracite se 4 cm i 5 cm.

5. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 9 cm i 15 cm, a eden od aglite pri osnovata e 45o.

6. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak trapez so: a) osnovi 17 cm i 7 cm, i krak 13 cm; b) pomala osnova 16 cm, krak 25 cm i visina 24 cm.

Plo{tini na mnoguagolnik

151

D

7. Presmetaj ja plo{tinata na deltoid so

C

dijagonali 15 cm i 4 cm.

Presmetaj ja plo{tinata na deltoid so strani 16 cm i 20 cm, a dijagonalata {to ne e simetrala na negovite agli e 24 cm.

8.

9.

Presmetaj ja plo{tinata na trapez ~ii{to osnovi se 11 cm i 9 cm, a edniot od kracite ima 10 cm i obrazuva so osnovata agol od 30o.

10. Na crte`ot e daden trapezot ABCD,

S A

B

M

a) Vrz osnova na crte`ot, utvrdi deka trapezot e ednakvoplo{ten so triagolnikot AMD. b) Izvedi ja formulata za plo{tina na trapez, koristej}i ja formulata za plo{tina na triagolnik.

pri {to to~kata S e sredina na krakot CB.

17

PLO[TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK

Potseti se! Mnoguagolnik na koj site strani mu se ednakvi i site agli mu se ednakvi se vika pravilen mnoguagolnik. Na crte`ot e daden pravilen {estagolnik ABCDEF. Od negoviot centar O e povle~en radiusot do sekoe negovo teme. E D O O C F h a A B A B Na kolku triagolnici e razdelen {estagolnikot? Koj bilo od tie triagolnici, na primer DABO, se vika karakteristi~en triagolnik za {estagolnikot. Kako se vika negovata visina h? Kako se vika negovata strana OA? Kolku e perimetarot L na {estagolnikot ako stranata mu e a = 4 cm?

A 1.

Na crte`ot e pretstaven pravilen petagolnik. Presmetaj ja negovata plo{tina P, ako mu e zadadena stranata a = 3 cm i apotemata h = 2 cm. Kolku pati plo{tinata na petagolnikot e pogolema od plo{tinata na karakteristi~niot triagolnik?

Ako ne se seti, prosledi ja postapkata. Svrzi go sekoe teme na petagolnikot ABCDE so negoviot centar O, kako na crte`ot - }e dobie{ pet skladni triagolnici.

O

E a

C

h A

B

Presmetaj ja plo{tinata na karakteristi~niot DABO. Presmeta deka:

152

D

DยนK

ยน = 3.

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

Sekoj karakteristi~en triagolnik na petagolnikot ima plo{tina 3 cm2. Kako }e ja presmeta{ plo{tinata na petagolnikot?

Plo{tinata P na petagolnikot e petpati pogolema od P=5×

D¹K , t.e.

D¹K = 5 × 3; P = 15 cm2.

Sogledaj deka va`i i op{to: Plo{tinata na pravilen n-agolnik so dadena strana a i apotema h se dobiva koga plo{tinata

D¹K na karakteristi~niot triagolnik na n-agolnikot }e se pomno`i so n, t.e. P=n×

2.

D¹K .

N

Daden e pravilen n-agolnik so temiwa K, L, M, N, ..., strana a i apotema h. Od negoviot centar O se povle~eni radiusite do temiwata, kako na crte`ot. Izrazi ja plo{tinata P na n-agolnikot so pomo{ na negoviot perimetar L.

O

M h

K

a

L

Sogledaj deka: n-agolnikot e razdelen na n skladni triagolnici. Plo{tinata na sekoj od tie triagolnici e Plo{tinata na n-agolnikot e n × Bidej}i na = L, sleduva deka P =

D¹K .

Q ¹ D K D¹K , t.e. .

Lh.

Va`i op{to: Plo{tinata na pravilen mnoguagolnik e ednakva so poluproizvodot od negoviot perimetar i apotemata, t.e. P=

3.

Lh.

Presmetaj ja plo{tinata na pravilen {estagolnik so strana 3,5 dm i apotema 0,3 m.

Plo{tini na mnoguagolnik

153

4.

Najdi ja stranata na pravilen desetagolnik so plo{tina P = 769 cm2 i apotema h = 15,38 cm. P = 10 Ă—

5.

D š DšK ; 769 = 10 Ă— ; 769 = 76,9 a; a = 10 cm.

O

R 4 cm

Najdi ja plo{tinta P na pravilen {estagolnik so strana 4 cm. Voo~i deka “AOB = 360o : 6 = 60o.

A Karakteristi~niot triagolnik ABO e ramnostran triagolnik. Zo{to?

F F

a

B

Voo~i deka vo pravilen {estagolnik radiusot na opi{anata kru`nica e ednakov so negovata strana, t.e. R = a.

F F F

Plo{tinata na karakteristi~niot triagolnik e:

D .

Plo{tinata na pravilniot {estagolnik e: P = 6 Ă—

D .

Za a = 4 cm, P =

Ă— 42 Ă—

=

Ă— 16 Ă—

da re{ava{ zada~i za plo{tinata na pravilen mnoguagolnik.

Zada~i

.

Proveri se! Zapi{i ja formulata spored koja }e se presmetuva plo{tinata na pravilen sedumagolnik. Kolku lim e potreben za da se izraboti tablata STOP (pravilen osumagolnik) so strana a = 32 cm i apotema h = 38,62 cm?

1. Presmetaj ja plo{tinata na pravilen n-agolnik so strana a i apotema h: a) n = 3; a = 8 cm; h = 2,31 cm. b) n = 4; a = 6 cm; h = 3 cm. v) n = 5; a = 4 cm; h = 2,74 cm. g) n = 8; a = 16,6 cm; h = 2 dm.

2. Najdi ja stranata na pravilen petagolnik so plo{tina P = 61,5 cm 2 i apotema 4,1 cm.

154

2 a

= 24 ; P Âť 24 Ă— 1,73; P Âť 41,52 cm2.

Treba da znae{: da ja izrazi{ plo{tinata na pravilen n-agolnik so pomo{ na stranata i apotemata i obratno;

P=

STOP

3. Najdi ja plo{tinata na pravilen desetagolnik so perimetar 14 dm i apotema k.

4. Najdi ja plo{tinata na pravilen triagolnik so:

a) strana 6 cm; b) apotema 3 cm; v) perimetar 24 cm.

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

5. Najdi ja plo{tinata na pravilen {estagolnik so:

a) strana 12 cm; b) radius na opi{anata kru`nica 6 cm;

Obidi se ... ne e zadol`itelno

7. Najdi ja dol`inata na stranata a na pra-

vilen {estagolnik so plo{tina ednakva na plo{tinata od ramnostran triagolnik so perimetar 36 cm.

v) apotema 2 cm; g) perimetar 48 cm.

6. Pravilen desetagolnik ima perimetar

8. Doka`i deka: ako eden pravilen tri-

agolnik i eden pravilen {estagolnik imaat ednakvi perimetri, toga{ plo{-

40 i plo{tina 40k. Najdi ja apotemata.

tinata na triagolnikot e nata na {estagolnikot.

18

od plo{ti

ZADA^I ZA PLO[TINA NA MNOGUAGOLNICI

Potseti se! Za presmetuvawe plo{tina na razni vidovi mnoguagolnici mo`e{ da koristi{ soodvetni formuli: a

pravoagolnik:

h

P=aĂ—h

d

d2

a c

V V D V E V F ,

b

h a

V

G

trapez:

triagolnik:

P=

d1

P=

a

paralelogram:

DšK

d

b

P=aĂ—b

P=

kvadrat, romb i deltoid

D E F

d1 d2

P=

G š G

D E P= h

b h a

pravilen n - agolnik P=

QšDšK /šK ;P=

h a

Plo{tini na mnoguagolnik

155

A

1.

D

Kolku dekari ima nivata so forma na pravoagol-

C m 130

nik (kako na crte`ot) so strana $% = 120 m i dijagonala $& = 130 m?

Za da ja presmeta{ plo{tinata, treba da ja odredi{ dol`inata na stranata BC. Presmetaj ja %& od pravoagolniot DABC: %& =

B

.

Treba da dobie{: P = 120 Ă— 50 = 6 000, t.e. P = 6 000 m2;

2.

120 m

A

1 da = 1 000 m2, pa P = 6 da.

Presmetaj ja plo{tinata na edna gradina so forma na pravoagolnik na koj ednata od stranite e 65 m i dijagonalata e 97 m. Izrazi ja plo{tinata P vo: a) kvadratni metri; b) ari; v) dekari.

3.

D

Pokusata dijagonala na eden romb ima ista dol`ina kako stranata. Presmetaj ja plo{tinata na rombot, ako podolgata dijagonala e 12 cm.

S 6

Razgledaj go rombot ABCD od crte`ot, na koj '% = $% = a i $& = 12 cm. Izrazi ja plo{tinata P na rombot so pomo{ na negovite dijagonali (ili kako zbir od plo{tinite na DABD i DBCD).

C

A

a

D B

Za da ja odredi{ stranata a, primeni ja Pitagorovata teorema na DABS. Ako re{ava{e pravilno, sigurno dobi: P = 6 a ; a = 4 ; P = 24 cm2 . Re{i ja zada~ata so direktno koristewe na formulata za plo{tina na ramnostran triagolnik. Dvajca bra}a treba da podelat niva so forma na triagolnik, na dva triagolnika so ednakvi plo{tini. Mo`e{ li da im ja izvr{i{ podelbata?

Zo{to DADC i DDBC imaat ednakvi plo{tini?

5.

D

B

0m 14

Presmetaj ja plo{tinata na zemji{nata parcela vo forma na ~etiriagolnik, pretstavena na crte`ot. Plo{tinata P na ~etiriagolnikot e ednakva na zbirot od plo{tinite P1 i P2 na dvata triagolnika na koi e podelen. So koja formula mo`e da se presmeta plo{tinata na triagolnik ~ii strani se zadadeni?

156

A

13 0

m

120 m

Tema 4. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

150 m

Ako ti e neophodna pomo{, razgledaj go DABC na crte`ot; h e visinata, a CD e te`i{nata linija kon stranata AB.

h

90 m

4.

C

s1 =

( 90 + 120 + 130) = 170; P1 = š š š  5 215; s2 = ( 130 + 140 + 150) = 210;

P2 = š š š = 8 400; P = P1 + P2  13 615 m2.

Zada~i 1. Plo{tinata na nacionalniot park Ga-

li~ica e 23 000 ha. Kolku kvadratni kilometri e toa?

2. Parcela vo forma na pravoagolnik so strani 140 m i 180 m e naseana so p~enka. Pri seeweto e potro{eno vo prosek 115 kg na 1 ha. Kolku seme e vkupno upotrebeno?

3. Vo eden pravoagolen hodnik so dimenzii 5,1 m i 2,7 m treba da se stavat kvadratni plo~ki so strana 15 cm. Kolku plo~ki se potrebni za toa?

9. Najdi ja plo{tinata na parcelata vo

ari, ako nejziniot plan e daden na crte`ot. Na crte`ot dol`inite se dadeni vo milimetri, a sekoj milimetar ozna~uva 1 m vo priroda.

20 20

30

18

25

25

18

16

4. Kolku piperki }e se dobijat od parcela

so forma na pravoagolnik na koj dimenziite mu se 250 m i 180 m, ako prinosot iznesuva 14,5 t na 1 ha?

10. Vo trapezot ABCD se povle~eni dijagonalite. Doka`i deka: D

5. Dvorno mesto so forma na pravoagolnik

S

ABCD ima plo{tina 2 000 m2 i strana

$% = 80 m; od nego, so prava paralelna na stranata AD da se oddeli parcela so plo{tina 750 m2.

6. Konstruiraj kvadrat so dijagonala 5 cm; potoa konstruiraj kvadrat {to }e ima dvapati pomala plo{tina. 7. Kolku pati e pogolema plo{tinata na

opi{aniot kvadrat od plo{tinata na vpi{aniot kvadrat vo edna kru`nica?

8. Odredi ja najgolemata visina na triagolnikot ~ii strani se 13, 84, 85.

C

A

B

a) DABD e ednakvoplo{ten so DABC; b) DACD e ednakvoplo{ten so DBDC; v) DASD e ednakvoplo{ten so DBSC. Za a): voo~i deka triagolnicite imaat zaedni~ka osnova AB i ednakvi visini, pa PABD = PABC. Za v): PASD = PABD - PABS = PABC - PABS = PBSC.

Plo{tini na mnoguagolnik

157

PERIMETAR I PLO[TINA NA KRUG

19

PERIMETAR NA KRUG. DOL@INA NA KRU@EN LAK

Potseti se!

A 1.

Na crte`ot e pretstaven kvadrat so strana a i pravilen {estagolnik so strana a.

a

Izmeri gi stranite na kvadratot i odredi go negoviot perimetar L (vo mm).

2.

[to e otse~kata AB za kru`nicata? Izmeri ja i A sporedi ja so r.

r O

k B

Kako se vika figurata obrazuvana od kru`nicata i nejzinata vnatre{na oblast?

a

Zapi{i ja formulata za presmetuvawe na perimetarot na sekoja od tie figuri.

Na crte`ot e dadena kru`nica so centar O i radius r.

Bidej}i krugot e del od ramninata, ograni~en so kru`nica, za dol`inata na kru`nicata e voobi~aeno da se veli deka e perimetar na krugot.

Ozna~i to~ka O i so proizvolen otvor na {estarot nacrtaj krug so centar O. Izmeri go: a) radiusot; b) dijametarot na krugot. Razmisli kako bi ja izmeril ili presmetal dol`inata na kru`nicata, t.e. perimetarot na krugot. Sekako ovaa zada~a e pote{ka od zada~ata za perimetarot na kvadratot ili {estagolnikot. Vo narednata zada~a }e go sogleda{ odgovorot.

3.

158

Kru`ni formi ima kaj razni predmeti (na primer: kofa, ~a{a, metalni pari, predmeti so cilindri~na forma).

Tema 3. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

Na crte`ot e pretstavena saksija ~ij otvor ima kru`na forma; nejziniot otvor }e go smetame za krug.

r

k r

Koi merewa (i kako) treba da se izvr{at za da se presmeta koli~nikot L : 2r, kade {to L e perimetarot, a 2r e dijametarot na krugot? Razgledaj go crte`ot i voo~i gi postapkite. konec (ili so lenta) i so metar }e ja izmerime F So dol`inata (L) na kru`nicata k.

F Dol`inata na dijametarot (2r) }e ja izmerime so metar. F ]e go presmetame koli~nikot L : 2r. (]e se dobie broj {to e malku pogolem od 3.) 4.

Pronajdi tri (ili pove}e) modeli na krug. Izvr{i gi neophodnite merewa, nacrtaj tablica kako {to e prika`ano i popolni ja. Za koli~nicite L : 2r si dobil vakvi broevi: 3; 3,1; 3,14; itn., {to zavisi od preciznosta na tvoeto merewe.

2Ă—r L L : 2r

Matemati~arite {to go re{avale ovoj problem do{le do zaklu~ok deka: Za koj bilo krug, koli~nikot od perimetarot L i dijametarot 2r e postojan broj. Toj broj e iracionalen i pribli`no iznesuva: 3,14159... Se ozna~uva so gr~kata bukva p (se ~ite: "pi#) Zna~i za sekoj krug va`i: L : 2r = p, t.e. L = 2rp.

Voo~i i zapomni Perimetarot na krugot e ednakov na proizvodot od negoviot dijametar i brojot p.

L = 2rp

p Âť 3,14

Pri prakti~ni presmetuvawa, obi~no se zema: p Âť 3,14. Anti~kiot matemati~ar Arhimed za brojot p zemal

.

Perimetar i plo{tina na krug

159

5.

Presmetaj go perimetarot na krugot so: a) radius 4 cm; b) dijametar 10 cm. a) L = 2 Ă— r Ă— p = 2 Ă— 4 Ă— p Âť 8 Ă— 3,14; L Âť 25,12 cm.

6.

b) L = 2 Ă— r Ă— p = 10 Ă— p Âť 10 Ă— 3,14; L Âť 31,4 cm.

Perimetarot na nekoj krug e 25,12 cm. Kolkav e negoviot radius? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto: L = 2 Ă— r Ă— p;

rÂť

= 4;

r Âť 4 cm.

Na crte`ot se prika`ani tri kru`nici so radiusi r = 2 cm, centralni agli i soodvetni kru`ni laci.

Presmetaj gi dol`inite na kru`nite laci q $% , q &' i q () .

B

r = 2 cm

P

A

E

m

O

2c

Kolkav del od dol`inata na kru`nicata pretstavuva dol`inata na kru`niot lak: q $% , q &' i q () ?

8.

/ / ; r= ; S S

r=

B 7.

2r =

C

60

o

r = 2 cm Q 180o

F

D

Kako }e ja presmeta{ dol`inata 6 na kru`en lak vo kru`nica so radius r, ako soodvetniot centralen agol e a? Razgledaj go crte`ot i sledi go razmisluvaweto. Zamisli deka kru`nicata e podelena na 360 ednakvi delovi kru`ni laci so centralen agol 1o.

6

r a

1o

61

O Dol`inata 61 na kru`en lak so centralen agol od 1o e 360 pati SU US pomala od dol`inata na kru`nicata, t.e. 61 = ili 61 = . Ako, pak, na kru`niot lak mu odgovara agol a, toga{ negovata dol`ina }e bide a pati US pogolema od 61, t.e. 6 = Ă— a.

Voo~i i zapomni

160

Dol`inata na kru`niot lak se presmetuva so formulata:

Tema 3. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

6=

USD .

9.

Vo kru`nica so radius r = 12 cm, presmetaj ja dol`inata na kru`en lak so centralen agol: a) a = 30o; a) a = 30o 45'. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto: U SD ˜ S ˜ a) 6 = = = 2p; 6 = 2p cm ili 6 Âť 6,28 cm.

F F

6=

10.

˜ S ˜ = 2,05p; 6 = 2,05p ili 6 Âť 6,437 cm.

U SD da go presmeta{: a) radiusot r, ako se zadadeni a i 6; b) centralniot agol a, ako se zadadeni r i 6?

Kako mo`e{ od formulata 6 =

Tvoeto re{enie sporedi go so dadenoto. Od 6 =

F 11.

R

§ ¡ b) Prvo treba a = 30o 45' da go pretvori{ vo stepeni; 45' = ¨ ¸ = 0,75o, pa a = 30,75o; Š š

r=

A . SD

F

USD se dobiva rpa = 1806, pa: a=

A . SU

Presmetaj go: a) radiusot na kru`nicata, ako na centralen agol od 40o mu pripa|a kru`en lak so dol`ina 6,28 cm; b) centralniot agol, ako se dadeni r = 6 cm i 6 = 7,85 cm.

Treba da znae{: da obrazlo`i{ {to pretstavuva brojot p; da zapi{e{ perimetar na krug so pomo{ na radiusot i brojot p; da ja odredi{ ednata od veli~inite: dol`ina na kru`en lak, centralen agol, radius, ako se poznati drugite dve.

Proveri se! Kolku e koli~nikot od perimetarot i dijametarot na daden krug? Kolkava treba da bide dol`inata na `elezna pra~ka za da mo`e od nea da se napravi obra~ so radius 45 cm? Stranata na kvadratot e 4 cm. Presmetaj ja dol`inata na lakot AB na vpi{anata kru`nica. Kolku e dol`inata na q $0% ?

B M

O

Perimetar i plo{tina na krug

A

161

Zada~i 1. Presmetaj go perimetarot na krugot so radius: a) 3 cm; b) 0,5 dm; v) 4

cm.

2. Presmetaj go radiusot na krugot ako perimetarot e:

a) 31,4 cm; b) 18,84 cm; v) 8p cm.

9. Perimetarot na eden krug e 62,8 cm.

Kolkav e perimetarot na krug ~ij{to radius e pomal za 1 cm?

10. Presmetaj ja dol`inata 6 na kru`en lak vo kru`nica so radius r = 18 cm i centralen agol a: a) 15o; b) 120o; v) 25o36'.

3. Nacrtaj dva razli~ni kruga, izvr{i gi

neophodnite merewa i presmetaj im gi perimetrite.

4. Prepi{i ja i popolni ja tablicata vo

11. Opredeli go centralniot agol ako: a) r = 5 cm, 6 = 6,28 cm; b) r = 3 cm, 6 = 2p cm.

koja se dadeni nekoi elementi na krug. r cm L cm

3

12. Presmetaj go radiusot na kru`nicata ako se dadeni:

3,14 10p 25,12

p

5. Presmetaj ja dol`inata na kru`nicata a) vpi{ana vo kvadrat so strana 11 cm; b) opi{ana okolu kvadrat so strana 11 cm;

6. Kolkav }e bide dijametarot na obra~

a) a = 150o, 6 = 31,4 cm; b) a = 80o, 6 = 18 cm.

13. Dijametarot na trkaloto od edna lokomotiva e 1 m. Za 2,5 minuti toa svrtuva 500 pati. Presmetaj ja brzinata na dvi`eweto na lokomotivata.

14. Tetivata vo edna kru`nica e ednakva

napraven od metalna lenta so dol`ina 31,4 dm?

na radiusot. Presmetaj ja dol`inata na pomaliot soodveten kru`en lak, ako radiusot e 2,5 cm.

7. Presmetaj ja dol`inata na ekvatorot

15. Periferen agol od 37o30' zafa}a kru-

8. Krug so perimetar 25,12 cm e vpi{an vo

16. Kru`en lak {to odgovara na centralen

(smetaj}i go za kru`nica) ako radiusot na Zemjata se zeme 6 370 km.

kvadrat. Presmetaj go perimetarot i plo{tinata na toj kvadrat.

162

`en lak so dol`ina 15,7 cm. Presmetaj go radiusot na kru`nicata.

agol od 150o vo kru`nica so radius 12 cm, svitkan e vo kru`nica. Presmetaj go radiusot na taa kru`nica.

Tema 3. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

20

PLO[TINA NA KRUG, KRU@EN ISE^OK I KRU@EN PRSTEN

Potseti se!

A 1.

Plo{tinata na pravilen mnoguagolnik

se presmetuva so formulata P = Lh, kade {to L e perimetarot, a h e apotemata. Kako se dobiva taa formula? Pravilniot mnoguagolnik razdeli go h na triagolnici, kako na crte`ot, i potoa plo{tinata na mnoguagolnikot presmetaj ja kako zbir od plo{tinite na tri-

QDK = Lh. agolnicite, t.e. P =

Daden e krug so radius r.

r

O Kako da najdeme na~in (formula) so koj }e odredime broj {to }e pretstavuva plo{tina na krugot? ]e primenime sli~na postapka kako za pravilnite mnoguagolnici. Voo~i ja idejata i postapkata. Mo`eme li krugot da go podelime na triagolnici? ne moF O~igledno `eme, no mo`eme

O h

da vpi{eme pra-

vilen mnoguagolnik podelen na skladni ramnokraki triagolnici, kako na crte`ot.

F

Pravilniot mnoguagolnik vpi{an vo krug ima plo{tina P1 =

L h. 1 1

Zamisli deka vo krugot e vpi{an pravilen mnoguagolnik so u{te pogolem broj strani (kako na crte`ot). Toj bi imal perimetar L2, apotema h2 i plo{tina P2. Proceni i podredi gi po golemina, po~nuvaj}i od najmaliot: b) radiusot r na krugot, h1 i h2. a) perimetarot L na krugot, L1 i L2; Ako brojot na stranite na vpi{aniot pravilen mnoguagolnik neograni~eno se zgolemuva, toga{: perimetarot na mnoguagolnikot }e se razlikuva zanemarlivo malku od perimetarot na krugot;

F F apotemata na mnoguagolnikot bi bila pribli`no ednakva na radiusot na krugot. F Bidej}i perimetarot na krugot e L = 2pr, mo`eme da zaklu~ime deka: Plo{tinata P na krugot mo`e da se presmeta so formulata:

P=

/˜U SU ˜ U = ,

t.e.

P = r2p

Perimetar i plo{tina na krug

163

Na primer, plo{tinata na krug so radius r = 3 cm e: P = r2 p; P = 32p » 3 × 3 × 3,14 = 28,26; P » 28,26 cm2.

2.

Prepi{i ja i popolni ja slednata tablica.

r cm

3

P cm2

28,26

2

10

0,5

1

Delot od krugot (na crte`ot) ograni~en so radiusite OA, OB i kru`niot lak AB se vika kru`en ise~ok.

B

B

Agolot AOB = a e centralen agol na kru`niot ise~ok.

3.

O

a A

Nacrtaj krug so radius 3 cm, a potoa vo nego kru`en ise~ok so centralen agol: a) 90o; b) 60o; v) 180o. Kru`niot ise~ok so centralen agol od 180o, vsu{nost, e polukrug, pa negovata plo{tina e ednakva na polovinata od plo{tinata na krugot.

Kolkav del od plo{tinata na krugot e plo{tinata na kru`niot ise~ok so centralen agol: a) 90o; b) 60o? Presmetaj ja plo{tinata na sekoj od tie kru`ni ise~oci.

4.

r

Razmisli kako }e ja presmeta{ plo{tinata na kru`en ise~ok koj{to ima radius r i centralen agol a.

O

Razgledaj go crte`ot i zamisli deka krugot e razdelen na 360 ednakvi kru`ni ise~oci, sekoj so centralen agol 1o. Voo~i go slednoto:

F Plo{tinata P

1

a

1o

na eden takov kru`en ise~ok e 360 - ti del od plo{tinata na krugot,

t.e. P1 =

U S .

F Ako centralniot agol e a, toga{ kru`niot ise~ok }e ima a pati pogolema plo{tina od P1, t.e. P = P1 × a =

U S × a.

Zapomni Vo krug so radius r, plo{tinata na kru`en ise~ok so centralen agol a se presmetuva so formulata

5. 164

U S P= ×a

Presmetaj ja plo{tinata na kru`en ise~ok ako r = 3 cm i a = 40o.

Tema 3. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

6.

Vo krug so radius 4 cm, daden e kru`en ise~ok ~ij{to kru`en lak ima dol`ina 6 = 6,28 cm. Presmetaj ja plo{tinata na kru`niot ise~ok.

O

Potseti se deka dol`inata na kru`en lak se presmetuva so:

r

U SD 6= i voo~i deka plo{tinata na kru`niot ise~ok e:

7.

P=

U ˜ U SD U SD U U ˜A U ˜A U SD = = Ă— = ; P= ; ˜

P=

˜ = 2 Ă— 6,28 = 12,56; P = 12,56 cm2.

Presmetaj ja plo{tinata na kru`niot ise~ok, ako: a) r = 2 cm, 6 = 3,14 cm;

8.

b) r = 3 cm, 6 =

S cm.

Nacrtaj dva koncentri~ni kruga, edniot so radius r1 = 2 cm, a drugiot so radius r2 = 4 cm. Presmetaj ja razlikata na nivnite plo{tini. B Dva koncentri~ni kruga so radiusi r1 = 4& i r2 = 2% (r1 < r2) ograni~uvaat del od ramninata koj{to se vika kru`en prsten (oboeniot del na crte`ot). Plo{tinata na kru`niot prsten e ednakva na razlikata od plo{tinite na krugovite, t.e. P = U S U S ;

9.

6

r2 O r 1

A

P = U U S

Presmetaj ja plo{tinata na kru`niot prsten, ako radiusite na krugovite se 6 cm i 5 cm.

Treba da znae{: da presmetuva{ plo{tina na: krug, kru`en ise~ok i kru`en prsten.

Proveri se! Stranata na eden kvadrat e 2,5 cm. Kolku e plo{tinata na vpi{aniot krug? Presmetaj go centralniot agol i plo{tinata na kru`niot ise~ok ako radiusot e 6 cm, a soodvetniot lak e 6 = 3,14 cm.

Perimetar i plo{tina na krug

165

Zada~i 1. Presmetaj ja plo{tinata na krug so: a) radius 8 cm; b) dijametar 9 cm; v) perimetar 18,84 cm.

2. Odredi go radiusot na krug so plo{tina 200,96 cm2.

3. Kolku pati }e se zgolemi plo{tinata na krugot ako negoviot radius se zgolemi 10 pati?

4. Dve kru`nici, ednata so radius 6 cm, a

drugata so 2 cm, se dopiraat odnatre. Presmetaj ja plo{tinata na figurata ograni~ena od tie kru`nici.

5. Katetite na pravoagolen triagolnik se 9 cm i 12 cm. Presmetaj ja plo{tinata i perimetarot na opi{aniot krug okolu triagolnikot.

6. Dadeni se dva kruga so radiusi 6 cm i

8 cm. Najdi go radiusot na krugot ~ija plo{tina e ednakva: a) na zbirot od nivnite plo{tini; b) na razlikata od nivnite plo{tini.

7. Presmetaj ja plo{tinata na kru`en ise~ok ako se dadeni: a) r = 6 cm i a = 45o; b) r = 4,8 cm i a = 80o; v) r = 9 cm i a = 45o 30'; g) r = 7,8 cm i 6 = 10 cm.

8. Kru`en ise~ok so radius 10 cm ima plo{tina 78,5 cm2. Odredi go centralniot agol.

10. Kolku procenti od plo{tinata na celiot krug e plo{tinata na kru`en ise~ok so centralen agol 108o?

11. Presmetaj ja plo{tinata na kru`en

prsten {to go formiraat opi{anata i vpi{anata kru`nica: a) na kvadrat so strana a = 4 cm; b) na ramnostran triagolnik so strana 2 cm; v) na pravilen {estagolnik so strana 6 cm.

Obidi se ...

12. Na crte`ot e daden ramnokrak pravoagolen DABC. Nad hipotenuzata AB, kako nad dijametar, opi{ana e polukru`nica, a i kru`en lak so centar C i radius &$ . Poka`i deka A oboenite delovi imaat ednakvi plo{tini.

166

B

a

a

C 13. Oboenite figuri nad katetite se nare~eni Hipokratovi mese~ini. Tie se ograni~eni so polukru`nici na koi dijametri im se stranite na pravoagolniot triagolnik EFG. Doka`i deka zbirot od plo{tinite na mese~inite e ednakov so plo{tinata na triagolnikot. G

9. Vo krug so radius 6 cm e daden kru`en

ise~ok so centralen agol 70o. Presmetaj ja dol`inata na negoviot lak i negovata plo{tina.

c

a

b

E

c

Tema 3. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

F

R A B O T A P O D A T O C I

S O

21

SEKTORSKI DIJAGRAM

Potseti se! Podatocite dadeni vo procenti ili kako del od celo naj~esto se pretstavuvaat so sektorski dijagram.

A 1.

Podatocite za na~inot na koj patuvaat do u~ili{teto 90 u~enici, se dadeni vo slednata tabela.

Na~in na patuvawe

Pe{

Velosiped

11

26

Broj na u~enici

Voo~i !

AvtoAvtoTaksi bus mobil 33

12

8

Ovie podatoci mo`e da se pretstavat so sektorski dijagram. Eve kako }e go presmeta{ agolot vo sektorski dijagram. Polniot agol ima 360o; a brojot na u~enici e 90. 360o : 90 = 4o. Agol od 4o vo dijagramot odgovara na eden u~enik. Kolkav agol }e odgovara na u~enicite {to odat pe{? Bidej}i 11 u~enici odat pe{, sleduva deka 11 × 4o = 44o i 44o e agolot {to odgovara na delot u~enici {to odat pe{ na u~ili{te. Na~in na patuvawe

Broj na u~enici

Agol vo sektorskiot dijagram 11 × 4

44

Velosiped

26

26 × 4

104o

Avtobus

33

33 × 4

132

Taksi

12

12 × 4

48

Avtmobil

8

8×4

32o

Vkupno

90

90 × 4

360o

Taksi

o

o

Pe{

Velosiped o

11

32

Pe{

Avtomobil

o

48o 44o

104o 132o

Avtobus

Zapomni ja postapkata ! Za da se pretstavat podatoci so sektorski dijagram treba: 1o da se odredi vkupniot broj na podatoci {to treba da se pretstavat; 2o da se podeli 360o (stepenite na polniot agol) so dobieniot vkupen broj; 3o sekoj od podatocite da se pomno`i so dobieniot koli~nik, so {to se dobiva agolot na sektorot za toj podatok.

Rabota so podatoci

167

2.

Podatocite za vremeto vo koe po~nuvaat so rabota 1800 vraboteni vo konfekcijata "Moda#. Pretstavi gi podatocite so sektorski dijagram. Voo~uva{ deka: kolku sektorot vo dijagramot e pogolem, tolku e pogolem i brojot na podatoci {to se pretstaveni so toj sektor. Ako vo sektorskiot dijagram e poznat brojot na podatoci pretstaveni so eden od sektorite, ili vkupniot broj podatoci, lesno mo`e da se odredi brojot vo drugite sektori.

B

3.

Vreme

Broj

Me|u 5 h i 6 h

240

Me|u 6 h i 7 h

180

Me|u 7 h i 8 h

768

Me|u 8 h i 9 h

612

Vkupno

1800

Vo edna biblioteka imalo 720 knigi. Tie bile grupirani kako: lektiri, nau~ni knigi, u~ebnici, prira~nici i slikovnici. Podatocite se pretstaveni so sektorskiot dijagram podolu. Vkupno imalo 720 knigi. Zna~i 360 : 720 = 0,5, na edna kniga odgovaraat 0,5o od krugot. Sektorot za u~ebnici ima agol 60o, zna~i 60 : 0,5 = 120, odnosno imalo 120 u~ebnici.

Lektiri

60o 70o

40o 80o Nau~ni

Prira~nici

U~e bni ci

Odredi go brojot na prira~nici, nau~ni knigi i slikovnici vo u~ili{nata biblioteka. Kolku stepeni e agolot na sektorot {to gi pretstavuva lektirite?

Slikovnici

Kolkav e brojot na lektiri vo bibliotekata?

Zada~i 1. Podatocite vo tabelata poka`uvaat na koj na~in se zagaduvaat okeanite. 1% = 3,6o Zagaduva~i

Procent

Zagaduvawe od rekite

54%

Zagaduvawe od vozduh

33%

Zagaduvawe od ribarstvo

12%

Proizvodstvo na nafta

1%

Vkupno

100%

Pretstavi gi podatocite so sektorski dijagram.

168

2. Vo eden sportski centar ~lenuvaat lu|e od razli~ni vozrasti, i toa: Pomladi od 20 godini

30 lica

od 20 do 29 godini

15 lica

od 30 do 39 godini

29 lica

od 40 do 49 godini

14 lica

postari od 50 godini

12 lica

Kolku vkupno ~lenovi ima sportskiot centar? Podatocite pretstavi gi so sektorski dijagram.

Tema 3. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

3. Na sektorskiot dijagram podolu se pretstaveni podatocite

za razli~ni vidovi gorivo potro{eni na edena benzinska pumpa. Bilo nato~eno 2415 6 dizel gorivo.

Benzin

230o

Kolku bezoloven benzin e prodadeno?

105o B e

Kolu benzin e prodadeno? Kolku vkupno gorivo e prodadeno?

4.

zo lo ve n

Dizel

Edna turisti~ka agencija pribrala podatoci za interesot za godi{en odmor. Bile pra{ani 720 ispitanici i nivnite odgovori se pretstaveni vo sektorski dijagram.

Doma

Ohrid

Izmeri gi aglite na sekoj sektor; Po kolku ispitanici se izjasnile za sekoe od mestata za godi{en odmor?

22

ja ci r Tu

Kolku ispitanici se izjasnile za godi{en odmor nadvor od na{ata zemja?

Bugarija

Kolku stepeni pretstavuva eden ispitanik?

Grcija

ARITMETI^KA SREDINA. MEDIJANA. MODA. RANG

Potseti se!

A

^lenovite na likovnata sekcija bile pra{ani po kolku ~asovi gi rabotele svoite posledni crte`i. Tie odgovorile: 2, 3, 4, 3, 5, 10, 5, 6, 3. Gi podreduvame podatocite po~nuvaj}i od onoj so najmala brojna vrednost: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 10. Podatokot {to naj~esto se pojavuva e brojot 3. Brojot 3 e moda za ovie podatoci.

Aritmeti~kata sredina, medijanata i modata se vrednosti {to se koristat za opi{uvawe na "centarot#, t.e. sredinata na niza podatoci. Tie se vikaat merki na centralna tendencija.

1.

Aritmeti~kata sredina ili prose~nata vrednost se presmetuva taka {to zbirot od brojnite vrednosti na niza podatoci se podeluva so brojot na podatocite.

Brojot 4 e podatok {to se nao|a vo sredinata na nizata posle podreduvaweto. Brojot 4 e medijana za ovie podatoci.

Presmetaj ja aritmeti~kata sredina na nizata:

= ,

b) 18, 14, 18, 14, 18, 17;

Âť 4,55, vrednosta 4,55 e aritmeti~ka sredina za ovie podatoci.

g) 21, 46, 29, 27, 42, 34, 25;

a) 8, 11, 14, 8, 9; v) 9, 12, 10, 9, 9, 11, 12, 11; d) 9, 8, 9, 8, 9, 8.

Rabota so podatoci

169

2.

Podatokot {to se nao|a vo sredinata na nizata, koga ~lenovite vo nizata }e se podredat po~nuvaj}i od najmaliot e medijana. Odredi ja medijanata vo nizite pod a, b i g vo zada~a 1. Vnimavaj, medijanata za niza od paren broj podatoci e aritmeti~ka sredina na dvata podatoka vo sredinata.

3.

Podatokot {to se javuva naj~esto vo edna niza podatoci se vika moda. Edno mno`estvo podatoci mo`e da nema moda, da ima edna moda ili da ima pove}e od edna moda. Odredi ja modata za nizite a, b, v, g, d vo zada~a 1.

4.

Dadena e nizata broevi: 61, 57, 55, 60 i 62. Odredi gi aritmeti~kata sredina i medijanata. Brojot 62 zameni go so 262 i za taka dobienata niza odredi gi aritmeti~kata sredina i medijanata. Vo nizata dadena na po~etokot, zameni go brojot 55 so 5 i za taka dobienata niza odredi gi aritmeti~kata sredina i medijanata. Sporedi gi vrednostite na dobienite aritmeti~ka sredina i medijana. Na {to vlijae pove}e golemata ili malata vrednost na podatokot: na aritmeti~kata sredina ili na medijanata?

5.

Zapi{i: niza od 5 broevi ~ija medijana e 7, a moda e 6; niza od 5 broevi so medijana 8 i aritmeti~ka sredina 7; niza od 5 broevi so moda 4 i aritmeti~ka sredina 6.

6.

B

Zapi{i 6 broevi koi formiraat niza vo koja medijanata e broj pomal od 10, aritmeti~kata sredina na nizata e 10 i najgolemiot od {este broevi e 25.

Potseti se! Eden den vo Bitola bila izmerena najvisoka temperatura 17oC, a najniska -9oC. Razlikata me|u najvisokata i najniskata temperatura bila 26oC. 17 - (-9) = 26. Razlikata me|u najgolemata vrednost na podatocite i najmalata vrednost na podatocite se vika rang (opseg). Rang = (najgolema vrednost) - (najmala vrednost)

170

Tema 3. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

7.

Voo~i go primerot. Dadena e nizata broevi: 29, 61, 17, 80, 32. Najgolema vrednost e 80.

Najmala vrednost e 17.

Rang = 80 - 17 = 63.

Odredi go rangot na nizite broevi: a) 107, 15, 36, 94, 27, 100; b) 3,26; -0,24; -5,15; 1,13; 7.

8.

Deset u~enici na testot po matematika gi osvoile slednive bodovi: U~enik

U1

U2

U3

U4

U5

U6

U7

U8

U9

U 10

Bodovi

78

80

65

56

87

94

29

63

55

56

Odredi go rangot me|u u~enikot so najgolem broj osvoeni bodovi i u~enikot so najmal broj osvoeni bodovi. Za sekoj u~enik posebno, odredi go rangot me|u brojot na osvoenite bodovi i 100 bodovi (najgolemiot broj bodovi {to se predvideni za testot).

9.

Osumnaeset atleti~ari se natprevaruvale na 20 km. Nivnite vremiwa vo minuti se slednite: 96, 90, 115, 112, 111, 96, 100, 112, 117, 90, 98, 100, 101, 95, 99, 110, 98, 119. Koe e najdobroto vreme postignato na trkata? Koe e najslaboto vreme postignato na trkata?

Zada~i 1.

Vo 7 ednakvi gajbi imalo praski. Brojot na praski vo sekoja gajba - soodvetno bil: 35, 45, 46, 37, 55, 37, 32. Kolku e prose~niot broj praski vo edna gajba? Odredi ja medijanata. Koj broj e moda? Kolku e rangot?

2.

Od 5 testa, Tina osvoila prose~no 66 boda. Za da ima petka, nejziniot prosek treba da bide 70 boda od 6 testa. Kolku najmalku bodovi treba da osvoi Tina na {estiot test?

3.

Jovan i Ilija se natprevaruvale vo pikado, so po 6 strelki. Nivnite rezultati (rastojanie od centarot vo centimetri) se dadeni vo tabelata. Strelka

1

2

3

4

5

6

Jovan

10

4

5

5

7

8

Ilija

12

11

5

6

10

6

Presmetaj go prose~noto rastojanie do centarot za sekoj natprevaruva~. Odredi go rangot na sekoj natprevaruva~. Koj natprevaruva~ e pouspe{en? Obrazlo`i go svojot odgovor.

Rabota so podatoci

171

U^E[E ZA KRUG, MNOGUAGOLNIK I NIVNITE PLO[TINI. PROVERI GO TVOETO ZNAEWE 1.

Zbirot na eden periferen agol i negoviot soodveten centralen agol e 180o. Odredi ja goleminata na aglite.

2.

Daden e ostroagolen triagolnik ABC. Polukru`nicata nacrtana nad stranata AB gi se~e drugite dve strani vo to~kite M i N. Konstruiraj go ortocentarot H na DABC samo so linijar.

3.

Vo tetiven ~etiriagolnik ABCD se poznati A = 108o i B = 98o. Najdi gi C i D.

4.

Za tangentniot ~etiriagolnik ABCD e poznato $% = 7 cm, %& = 12 cm,

9.

Kolku {tici so dol`ina 3 m i {irina 25 cm se potrebni za pokrivawe na pod so pravoagolna forma, so dimenzii 6 m i 3,5 m?

10. Presmetaj ja plo{tinata na kvadrat so dijagonala 6 cm.

11. Stranite na eden romboid se a = 12 cm

i b = 8 cm. Visinata kon stranata a e 4 cm. Kolkava e visinata kon stranata b?

12. Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolen triagolnik so kateta 24 cm i hipotenuza 30 cm.

$' = 5 cm. Najdi ja &' .

13. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 18 cm i 10 cm, a krak 5 cm.

5.

Kolku strani ima pravilniot mnoguagolnik, ako negoviot vnatre{en agol ima: a) 135o; b) 150o; v) 140o?

6.

Nacrtaj pravilen petagolnik so apotema h = 2,5 cm.

7.

Koja kateta e pogolema, a ili b, kaj pravoagolen triagolnik daden so a = 7 dm i c = 25 dm?

15. Kolku pati }e se svrti trkaloto na

Odredi go perimetarot na ramnokrak triagolnik so osnova a = 1 dm i visina kon osnovata h = 1,2 dm.

16. Vo eden romb so perimetar 48 cm e

8.

172

14. Pravilen devetagolnik so strana a = 8 cm ima plo{tina P = 395,28 cm2. Kolku e negovata apotema?

eden traktor, koe ima radius 40 cm, na pat od 2512 m?

vpi{an krug so plo{tina 25p cm 2. Presmetaj ja plo{tinata na rombot.

Tema 3. Kru`nica i mnoguagolnik. Plo{tina

TEMA 5.

FUNKCIJA. PROPORCIONALNOST

PRAVOAGOLEN KOORDINATEN SISTEM VO RAMNINA 1. Dekartov proizvod 2. Koordinatna ramnina PRESLIKUVAWE (FUNKCIJA) 3. Relacii 4. Preslikuvawe (funkcija) 5. Na~ini na zadavawe na preslikuvawa

174 176

181 183 187

PROPORCIJA 6. Razmer 7. Proporcija 8. Geometriska sredina. Prodol`ena proporcija PROPORCIONALNI VELI^INI 9. Pravo proporcionalni veli~ini 10. Obratno proporcionalni veli~ini 11. Prosto trojno pravilo Proveri go tvoeto znaewe

190 195 199 202 206 210 213

3:1

Pravoagolen

koordinaten

sistem

vo

ramnina

173

PRAVOAGOLEN KOORDINATEN SISTEM VO RAMNINA

1

DEKARTOV PROIZVOD

A

Potseti se! Vo V oddelenie u~e{e... Parot vo koj a e prv element, a b e vtor element se vika podreden par i se ozna~uva so (a, b).

Na crte`ot so strelki se pretstaveni podredenite parovi (a, b), (c, c) i ( h, g). b

Elementite na podreden par se vikaat komponenti. Dva podredeni para se ednakvi ako soodvetnite komponenti im se ednakvi. Odredi gi x i y taka {to (x, 2) = (5, y).

a

1.

Dekartov proizvod A x B na mno`estvata A i B e mno`estvoto od site podredeni parovi taka {to prvata komponenta e element od mno`estvoto A, a vtorata od mno`estvoto B. Neka A = {2, 3}, B = {5, 10, 15}. Odredi go mno`estvoto A x B i pretstavi go na tabelaren na~in. Mno`estvoto A x A ili A se vika dekartov kvadrat. Neka A = {a, b}. Odredi go A2. 2

2.

Podreden par grafi~ki se pretstavuva so strelka od prvata do vtorata komponenta.

h g

c

Voo~i gi podredenite parovi na A crte`ot. Zapi{i gi site podredeni parovi.

2

1

B

4

3

6 8

5

Dali e pretstaven podredeniot par (4, 5)? Od koe mno`estvo se prvite komponenti na podredenite parovi? Dali ima podreden par ~ija prva komponenta e od mno`estvoto B?

Dadeni se mno`estvata A = {a, b} i B = {m, n, p}. Pretstavi gi so venov dijagram. Elementite na dekartoviot proizvod A x B pretstavi gi so strelki. Sogledaj go toa na crte`ot i sporedi go tvoeto re{enie.

vaka pretstaven dekartov proizvod velime deka e daden F Za so graf. proizvod grafi~ki mo`e da se pretstavi i so koorF Dekartov dinatna {ema na sledniot na~in:

174

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

A

a b

m n p

B

B

m n p

(a, m)

(b, m)

(a, n)

(b, n)

(a, p)

(b, p)

AxB

Poprakti~no B m n

a

b

p

A

(a, m)

(b, m)

(a, n)

(b, n)

(a, p)

(b, p)

b

a

3.

A

Dekartoviot proizvod G x H na mno`estvata G = {1, 2, 3, 4} i H = {a, b} pretstavi go so graf;

na tabelaren na~in;

4.

AxB

so koordinatna {ema.

Vo koordinatnata {ema na dekartoviot proizvod A x B, se zapi{ani elementite (1, n), (2, m) i (3, p). Zapi{i gi elementite na mno`estvoto A i na mno`estvoto B. Zapi{i go dekartoviot proizvod A x B na tabelaren na~in.

AxB

B p

(3, p) (1, n)

n

(2, m)

m

1

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

2

3

A

F Elementot (1, n) Î A x B, {to e zapi{an vo {emata, poka`uva deka 1 Î A i n Î B. F Na sli~en na~in voo~i deka 2 Î A, m Î B, 3 Î A i p Î B. Zna~i A = {1, 2, 3}, B = {m, n, p}. F A x B = {(1, m), (1, n), (1, p), (2, m), (2, n), (2, p), (3, m), (3, n), (3, p)}. 5.

Pretstavi go so graf i so koordinatna {ema dekartoviot kvadrat na mno`estvoto a) M = {1, 2}; b) P = {a, b, c}. Voo~i gi grafot i koordinatnata {ema na M2 i sporedi go tvoeto re{enie. M M2 1

2

2 1

(1, 2)

(2, 2)

(1, 1)

(2, 1)

2

1

6.

M2

M

Daden e dekartoviot proizvod K x L = {(1, a), (2, a), (3, a)}. Zapi{i gi tabelarno mno`estvata K i L.

Pravoagolen

koordinaten

sistem

vo

ramnina

175

Treba da znae{:

Proveri se!

grafi~ki da pretstavi{ podreden par;

Koi podredeni parovi se dadeni na crte`ot?

da pretstavi{ dekartov proizvod so graf i so koordinatna {ema.

Pretstavi go so graf dekartoviot kvadrat P2 na mno`estvoto P = { 1, 5}.

Zada~i 1. Nacrtaj graf na sekoj od podredenite parovi (1, 5), (m, 2) i (4, 4).

2. Neka A x B = {(a, 1), (b, 1), (c, 1)}. Zapi{i gi elementite na mno`estvata A i B.

m

a

n

b

4. Zapi{i gi mno`estvata A i B spored koordinatnata {ema na dekartoviot proizvod A x B.

B

(3, p) (a, 2)

3. Pretstavi go so koordinatna {ema

dekartoviot proizvod na mno`estvata A = { ยก, *, D} i B = {d, m, p, s}. 1

2

4

m

5A

n

KOORDINATNA RAMNINA

Potseti se! -2

-1

O

E

A

0

1

2

Kako se vika brojot {to e pridru`en na dadena to~ka od brojnata oska? a

Na brojnata prava a so strelka e ozna~ena pozitivnata nasoka. Brojnata prava se vika i brojna oska.

A -3

-2

B -1

0

C 1

22 3 a

Voo~i ja to~kata A na brojnata oska. Taa ima koordinata - 2, t.e. A(- 2).

Na to~kata O e pridru`en brojot 0, a na to~kata A brojot 2.

Zapi{i gi to~kite B i C so nivnite koordinati.

Otse~kata OE e edini~na otse~ka, t.e.

Pretstavi gi to~kite M(-1

2( = 1.

176

2

P(3, 4) na brojna oska.

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

) i

A

Na crte`ot se prika`ani imiwata na u~enicite od edno oddelenie, kako {to sedat vo u~ilnicata. Na vertikalnata linija OB se ozna~eni rednite broevi na redicite, a na horizontalnata linija OA - rednite broevi na kolonite.

B 7

Bojan

Dare

Done

Mirko

6

Mare

Pero

Mile

Zoran

5

Vlado

Nada

Vera

Petko

4

Maja

To{e

Ice

Darko

3

Kire

Eli

Ema

Donka

Kade sedi Jovan? Kako }e go 2 pretstavi{ negovoto mesto? 1

Mira

Alek

Jovan

Rajna

Igor

Ivo

Ana

Goran

1

2

3

4

Kako mo`e da se pretstavi mestoto na koe sedi odreden u~enik?

Jovan sedi vo 3-ta kolona i 2-ta redica. Toa mo`e da se pretstavi so podredeniot par (3, 2).

O

A

Odredi go mestoto na u~enikot spored kolonata i redicata i zapi{i go kako podreden par: a) Igor; b) Nada; v) Done; g) Darko. Imenuvaj go u~enikot {to sedi na mestoto: a) (2, 1); b) (2, 3); v) (4, 7); g) (3, 5). Opi{i ja polo`bata na mestata na koi sedat u~enicite Ice i Donka. Zapi{i gi podredenite parovi na tie mesta. [to zabele`uva{ za tie parovi?

y

Zapi{i go mestoto kako podreden par na koe ti sedi{ vo tvojata u~ilnica.

2.

Na crte`ot se dadeni dve zaemno normalni brojni oski x i y, so ednakvi edini~ni otse~ki. Tie se se~at vo to~kata O. Vo ramninata na oskite se objektite (to~kite) A, B, C, D i E. Patekata do sekoj objekt "poa|a# od O. Taa e ozna~ena so boja.

x

Voo~i gi patekite do A e: 3 edinici vo poF Patekata zitivnata nasoka na oskata x (t.e.

+3), a potoa 2 edinici vo pozitivnata nasoka na oskata y (t.e. +2). Pravoagolen

koordinaten

sistem

vo

ramnina

177

F Skrateno mo`e{ da zapi{e{ A(+3, +2) ili A(3, 2). F Patekata do B, zapi{ana skrateno e B(+1, +3) ili B(1, 3). do C: 2 edinici vo negativnata nasoka na oskata x (t.e. -2), a potoa 3 edinici F Patekata vo pozitivnata nasoka na oskata y (t.e. +3) . F Skraten zapis: C(-2, +3) ili C(-2, 3). Komponentite na podredeniot par (-2, 3) se vikaat koordinati na to~kata C.

Zapi{i gi skrateno patekite do objektite D i E. Izminatiot pat go ozna~uvame so + ili -, zavisno od toa dali se dvi`ime vo pozitivna ili negativna nasoka na oskata.

Zapomni! y

M

M2

Za to~kata P {to ima apscisa a i ordinata b zapi{uvame P(a, b).

apscisa

Za to~kata M (na crte`ot) velime deka ima apscisa +4 i ordinata +3. Zapi{uvame M(+4, +3) ili samo M(4, 3).

O

ordinata

Koordinatite na to~ka se vikaat apscisa i ordinata. Tie pretstavuvaat podreden par vo koj apscisata e prva komponenta, a ordinatata vtora.

M1

x

Zaemno normalnite brojni oski se vikaat koordinatni oski, a nivniot presek se vika koordinaten po~etok. Ednata koordinatna oska se vika apscisna oska ili x-oska, a drugata ordinatna oska ili y-oska. Dve zaemno normalni brojni oski, so ednakvi edini~ni otse~ki i so zaedni~ka nulta to~ka (koordinaten po~etok), obrazuvaat celina (sistem). Toj se vika dekartov pravoagolen koordinaten sistem (spored Rene Dekart - francuski matemati~ar, fizi~ar i filozof koj prv go vovel vo upotreba ovoj sistem). Kuso se veli koordinaten sistem i se ozna~uva: Oxy.

B

Ramninata vo koja e daden dekartov pravoagolen koordinaten sistem se vika koordinatna ramnina. Koordinatnite oski ja delat ramninata na ~etiri pravi agli, koi se numerirani kako na crte`ot. Tie se vikaat kvadranti.

II

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

y

(- , +) -3 -2 -1

III

(- , -) 178

Rene Dekart 1596 - 1650

0

3 2 1

I

(+ , +)

1 2 3 -1 -2 -3

IV

x

(+ , -)

Zapomni! Vo I kvadrant: apscisata i ordinatata se pozitivni. Vo II kvadrant: apscisata e negativna, a ordinatata pozitivna. Vo III kvadrant: apscisata i ordinatata se negativni. Vo IV kvadrant: apscisata e pozitivna, a ordinatata negativna.

3.

Odredi vo koj kvadrant se nao|a sekoja od to~kite A(+3, +5), B(-2, -1), C(+4,2; -6 D(-1, +5).

),

Voo~uva{ deka:

F Apscisata i ordinatata na A se pozitivni, t.e. to~kata A se nao|a vo I kvadrant. To~kata B se nao|a vo III kvadrant. Objasni zo{to. Postapi sli~no za to~kite C i D.

Ova e va`no Na sekoja to~ka od koordinatnata ramnina odgovara samo eden par koordinati. Na sekoj par koordinati odgovara samo edna to~ka od koordinatnata ramnina.

4.

Pretstavi gi vo koordinatna ramnina to~kite:

y

A(-1, -2), B(- , 2), C(2, -1), D(2,5; 1,5). Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. To~kite od x-oskata imaat ordinata 0.

B

D

1,5

1

-2

-1

To~kite od y-oskata imaat apscisa 0. Koordinatniot po~etok ima apscisa 0 i ordinata 0.

2

0 -1

1

2 2,5 3 x C

-2

A

5.

Pretstavi gi vo koordinatna ramnina to~kite A(0, -3), B(-2, 0), C(0, 0), D(0, 1), E(2, 0).

6.

Odredi gi koordinatite na to~kite A1 i B1 {to se simetri~ni so to~kite A(-2, 5) i B(4, 7) vo odnos na a) x-oskata; b) y-oskata. Pravoagolen

koordinaten

sistem

vo

ramnina

179

Treba da znae{: da objasni{ kako e formiran pravoagolniot koordinaten sistem; {to e koordinatna ramnina;

Proveri se! Koja od to~kite P(3, 8) ili S(5,1) e poblisku do x-oskata? [to e koordinatna ramnina?

{to se koordinati na to~ka;

Vo koj kvadrant le`i to~kata A(2, -4)?

da pretstavi{ to~ka vo koordinatna ramnina.

Na koja od koordinatnite oski le`i to~kata M(0, -1)?

Zada~i 1. Odredi gi to~kite vo koordinatna ramnina {to odgovaraat na podredenite parovi: (1, -1); (3, 2); (-1, - ); (- , 2); (-4, 1); (0, -2); (-3, -1);

(-2,4; 0).

2. Odredi gi koordinatite na to~kata {to

e simetri~na so to~kata M(2, -1) vo odnos na: a) apscisnata oska i ozna~i ja so M1; b) ordinatnata oska i ozna~i ja so M2; v) koordinatniot po~etok i ozna~i ja so M3.

3. Nacrtaj otse~ka AV ako A(-1, 3), V(-4, -2). 4. Nacrtaj triagolnik AVS, ako:

a) A1(-2, -1), V1(3, -2), S1(-1, 3); b) A2(-3, 0), V2(0, -4), S2(3, 1);

5. Odredi gi koordinatite na to~kite A, B, C, D, E i F spored crte`ot: y 5 4

A

E 2 x

1

B

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

-1

5

6

D

-2 -3

C

-4 -5

6. Nacrtaj go DABC, a potoa odredi gi dol`inite na negovite strani ako: a) A1(-4, 0), B1(0, 1), C1(-1, 3); b) A2(-1, -3), B2(4, 0), C2(3, -4).

7. Vo koordinatnata ramnina pretstavi to~ka M so apscisa

i ordinata - .

Potoa nacrtaj go DABC: A( , 1), V(-3,

180

F

3

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

), S(-2, -3).

PRESLIKUVAWE (FUNKCIJA)

3

RELACII

A 1.

Potseti se! So koordinatna {ema e pretstaven dekartoviot kvadrat na mno`estvoto A = { 1, 2, 3, 4, 5}. A 5 4 3 2 1

R1

AxA R2

Dadeni se mno`estvata A = {Dragan, Ilija, Sa{o} i B = {matematika, fizika, hemija, biologija}. Me|u elementite na mno`estvata A i B e dadena vrska (relacija): "... ima odli~na ocenka po ...#, koja na grafot e pretstavena so strelki od A kon B. A

Dragan

matematika fizika hemija biologija

Ilija 1 2 3 4 5

A

Voo~i gi podmno`estvata R1 i R2 za koi va`i: R1 Ì A x A i R2 Ì A x A. R1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)}. Za elementite na R1 va`i: prvata komponenta e za 1 pomala od vtorata komponenta. Zapi{i go tabelarno mno`estvoto R2. Iska`i nekoja vrska (relacija) me|u komponentite vo podredenite parovi na mno`estvoto R2.

Sa{o

Kolku elementi ima dekartoviot proizvod A x B i koi se tie? Zapi{i go na tabelaren na~in mno`estvoto R od podredeni parovi za koi va`i relacijata "... ima odli~na ocenka po ...#. Pretstavi gi mno`estvata A x B i R vo koordinatna {ema. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. B AxB

matematika

hemija

Sa{o

biologija

Ilija

Ako podredeniot par mu pripa|a na R, toga{ toj mu pripa|a i na A x B, t.e. R Ì A x B.

R

fizika

Dragan

Dali sekoj podreden par {to pripa|a na R, pripa|a i na AxB? [to pretstavuva mno`estvoto R za dekartoviot proizvod AxB?

B

A

Preslikuvawe (funkcija)

181

Zapomni! Koe bilo podmno`estvo R od dekartoviot proizvod A x B se vika relacija od A kon B. Neka R Í A x B.

F Ako podredeniot par (x, y) Î R, ~esto zapi{uvame x R y; ~itame: x e vo relacija R so y. F Mno`estvoto od site podredeni parovi koi mu pripa|aat na R u{te se vika grafik na relacijata R i se ozna~uva so 5 , t.e. 5 = {(x, y) | x Î A, y Î B i x R y}.

2.

Relecijata R: "... e pomal za 2 od ...# od mno`estvoto A = {1, 4, 7, 12} kon mno`estvoto B = {3, 6, 14, 20} e pretstavena so graf.

A 1

R

B 3

Pretstavi go dekartoviot proizvod A x B so koordinatna {ema.

4

6

Zapi{i gi podredenite parovi {to se elementi na grafikot 5 .

7

14

12

20

Poka`i deka grafikot 5 e podmno`estvo na dekartoviot proizvod A x B.

3.

Na crte`ot e dadeno mno`estvoto A x A i relacijata R vo mno`estvoto A. Proveri dali so relacijata R e pretstavena slednata vrska me|u elementite "... e pomal od ...#, t.e. dali R = {(x, y) | x, y Î A i x < y}.

5 4

AxA R

3 2 1

Pretstavi ja relacijata so graf.

4.

(1,5) (2,5)

1

2

3

4

5

Edno semejstvo ima pet ~lena: tatko - Mirko, majka - Cveta i deca: Biljana, Jovan i Sa{o. Pretstavi ja so graf relacijata R: a) "... e majka na ...#; b) "... e brat na ...#;

Treba da znae{: da objasni{ {to e relacija od dadeno mno`estvo A kon dadeno mno`estvo B; da pretstavi{ dadena relacija so graf, so grafik i so koordinatna {ema.

182

Proveri se! Vo mno`estvoto A = {1, 2, 3, 4} e dadena relacijata R: "... e za 2 pogolem od ...#. Pretstavi ja relacijata R so graf i so grafik.

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

Zada~i 1. So graf pretstavi ja relacijata R od mno`estvoto A = {12, 16, 22, 28, 32} kon mno`estvoto B = {17, 21, 27, 33, 37}, ako:

a) R: " < #;

b) R: "... e za 5 pomal od ...#.

2. Vo

mno`estvoto A = {a, b, c, d, e} so graf e dadena relacijata R. Zapi{i go grafikot na relacijata R na tabelaren na~in.

A

a

a) Pretstavi ja relacijata R so graf. b) Grafikot na relacijata pretstavi go na tabelaren na~in.

4. Pretstavi ja so graf i so koordinatna {ema relacijata dadena so:

b

5 = {(0, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 5), (1, 5)} od A = {0, 1, 2, 3} kon B = {1, 3, 5}.

e

5. Vo mno`estvoto M = {1, 2, 3, 4, 5} e c

dadena relacija R so:

d

5 = {(x, y) | x, y Î M i y = 6 - x}.

3. Vo mno`estvoto S = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12}

a) Zapi{i go grafikot na R tabelarno. b) Pretstavi ja relacijata R so graf. v) Pretstavi ja relacijata R so koordinatna {ema.

dadena e relacijata R so:

5 = {(x, y) | x, y Î S i y = 2x}.

4

PRESLIKUVAWE (FUNKCIJA)

Potseti se! Relacija od A kon V e koe bilo podmno`estvo od dekartoviot proizvod A x B na mno`estvata A i V. Razgledaj gi relaciite R1 i R2. R1 R2 B A A

B

A

1.

]e razgleduvame samo takvi relacii me|u dve mno`estva pri koi sekoj element od prvoto mno`estvo e vo relacija samo so po eden element od vtoroto mno`estvo. Od mno`estvoto A = {1, 2, 3, 4} kon mno`estvoto B = {2, 4, 6, 8, 10} e dadena relacijata R: ... e 2 pati pomal od...

Voo~i gi koordinatnata {ema i grafot na relacijata. Obrazlo`i za koja od relaciite R1 ili R2 va`i slednoto:

F sekoj element od A e vo relacija so element od B;

F

sekoj element od A e vo relacija samo so po eden element od B.

R

B 10 8 6 4 2

AxB R

1 2 3 4

A

A

Preslikuvawe (funkcija)

B

183

Mo`e{ da sogleda{ deka sekoj element od A e vo relacija samo so po eden element od B. Za takva relacija se veli deka e preslikuvawe.

Zapomni Ako sekoj element od mno`estvoto A e vo relacija R samo so po eden element od mno`estvoto B, takvata relacija se vika preslikuvawe (ili funkcija) od A vo B. Ako sekoj element od A ima samo edna strelka kon nekoj element od B.

Kako od grafot na relacijata R od A kon B }e odredi{ dali taa e preslikuvawe? Koja od relaciite R1, R2 i R3 e preslikuvawe? A

R1

B

A

R2

B

A

R3

B

Samo relacijata R2 e preslikuvawe. R1 ne e preslikuvawe, bidej}i od 4 ima dve strelki. R3 ne e preslikuvawe, bidej}i od 2 nema strelka kon element od B.

B

Preslikuvawe f od mno`estvoto A vo mno`estvoto B e relacija od A kon V pri koja sekoj element od A e vo vrska samo so eden element od V i se ozna~uva so: I o% f : A ® B ili $

F Mno`estvoto A se vika domen ili definiciono mno`estvo. F Mno`estvoto B se vika kodomen na preslikuvaweto f. 2.

Dadeno e so graf (na crte`ot) preslikuvawe f : A ® B, kade {to A = {1, 2, 3, 4}, B = {6, 12, 18, 24, 30, 32}. Koj e domenot, a koj e kodomenot na ova preslikuvawe? Elementot 1 Î A e vo relacija f so elementot 6 Î B. Se veli: na elementot 1 mu e pridru`en so f elementot 6 ili I o 6 e slika na 1 pri preslikuvaweto f . Zapi{uvame ili f(1) = 6. Za 1 se veli deka e original za 6 pri preslikuvaweto f.

184

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

A

B

f

V

Zapi{i gi slikite na elementite 2, 3 i 4 od A, pri preslikuvaweto f. Voo~i deka V Í B. Za V velime deka e mno`estvoto sliki, t.e. mno`estvoto vrednosti na f. ]e zapi{uva{: f(1) = 6; f(2) = 12; f(3) = 18; f(4) = 24. Koi broevi se sliki na broevite 3 i 4?

Op{to Mno`estvoto ~ii elementi se slikite na elementite od domenot pri dadeno preslikuvawe se vika mno`estvo vrednosti na preslikuvaweto. Ako y Î B e vrednost na x Î A, t.e. y e slika na x pri preslikuvaweto f , zapi{uvame f : x ® y ili y = f (x). Mno`estvoto od site podredeni parovi na relacijata f od A kon B {to pretstavuva preslikuvawe se vika grafik na preslikuvaweto f i se ozna~uva so Gf . Zna~i ako f : A ® B, toga{ Gf = {(x, y) | x Î A i y = f (x)}.

3.

So graf e pretstaveno preslikuvaweto f : "... e 3 pati pomal od ... , od mno`estvoto A = {1, 3, 5, 7} kon mno`estvoto B = {3, 9, 15, 18, 21, 24}.

A

B

Zapi{i go tabelarno grafikot na f . Odredi gi domenot, kodomenot i mno`estvoto vrednosti na f . Zapi{i na {to e ednakvo: f (3).

Treba da znae{: da objasni{ {to e preslikuvawe; da pretstavi{ preslikuvawe so graf i grafik; da obrazlo`i{ {to e domen, kodomen i mno`estvo vrednosti na preslikuvawe.

Preslikuvawe (funkcija)

185

Proveri se!

A

B

A B

So koj od crte`ite e dadeno preslikuvawe od A vo B? Od grafikot Gf = {(1, 5), (3, 2), (5, 4), (6, 7), (8, 11)} odredi gi domenot i mno`estvoto vrednosti na preslikuvaweto f.

Zada~i 1.

Objasni zo{to relacijata R, {to e dadena so grafot, ne e preslikuvawe. A

B

a)

B b)

A

4.

Dadeno e preslikuvaweto f : A ® B, kade {to A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; B = {0, 1, 2, ..., 10, 11, 12}, so praviloto f : x ® 2x, t.e. f (x) = 2x. Odredi: f (0); f (3) i f (5). Zapi{i go mno`estvoto vrednosti na funkcijata.

2. So grafot e dadena funkcijata f : A ® B. Odredi gi: A B

domenot; kodomenot;

5. To~kite od polukru`nicata P se pres-

likuvaat vo to~ki od dijametarot D taka {to slikata Y na to~ka X Î P se nao|a vo presekot na normalata od to~kata X kon dijametarot. X

mno`estvoto vrednosti na funkcijata f.

3. Preslikuvaweto f : A ® B, kade {to

A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 4, 6, 8, 10, ..., 20, 22} e opredeleno so relacijata: "... e za 5 pomal od ... , t.e. f (x) = x + 5. Odredi go a vo ravenstvoto:

A

D

B

Odredi gi: domenot, kodomenot i mno`estvoto vrednosti na ova preslikuvawe.

f (1) = a; f (5) = a; f (9) = a; f (a) = 8; f (a) = 12.

186

Y

P

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

5

NA^INI NA ZADAVAWE NA PRESLIKUVAWA

Potseti se!

A

1.

Na koi na~ini dosega zadavavme preslikuvawe? A f B Preslikuvaweto f : A ® B e -2 dadeno so grafot. 4 -1 1 Zapi{i go grafikot Gf 2 1 na preslikuvaweto f.

Neka A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {6, 7, 8, 9, 10}. Preslikuvaweto f : A ® B, e dadeno so praviloto: x e za 5 pomal od y Spored dadenoto pravilo sostavi tabela na originalite i slikite pri ova preslikuvawe.

Zapi{i gi elementite na Gf vo tabela.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

Pretstavi go preslikuvaweto so koordinatna {ema.

deka slikata y e za 5 pogolema F Voo~i od originalot x.

Zatoa: f : 1 ® 1 + 5, t.e. f (1) = 1 + 5; f (1) = 6;

f : 2 ® 2 + 5, t.e. f (2) = 2 + 5; f (2) = 7.

Sli~no sledi: f (3) = 8; f (4) = 9; f (5) = 10.

F Gi dobi podredenite parovi od originali i sliki: (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10). x 1 2 3 4 5 gi vo tabela taka {to vo eden red F Vnesi da bidat originalite, a vo drug nivnite y = f (x)

sliki.

6

7

8

9

10

Preslikuvaweto mo`e da bide zadadeno so tabela vo koja se vneseni originalite (t.e. elementi od domenot) i nivnite sliki (t.e. soodvetnite elementi od kodomenot). Takvoto zadavawe se vika tabelaren na~in na zadavawe na preslikuvawe.

2.

Preslikuvaweto f e dadeno so tabela vo koja se sodr`i domenot i kodomenot. x

1

3

4

0

-1

-3

- 10

y = f (x)

a

a

a

n

b

b

b

B 3.

Zapi{i gi a) grafikot; b) domenot; v) mno`estvoto vrednosti na preslikuvaweto.

Dadeno e preslikuvaweto f : A ® B, kade {to A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3,. .., 20} so praviloto x e 4 pati pomal od y . Spored praviloto, zapi{i formula so koja se dobivaat slikite pri toa preslikuvawe. Odredi go mno`estvoto vrednosti na preslikuvaweto. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Voo~i deka slikata y e 4 pati pogolema od originalot x. Preslikuvawe (funkcija)

187

F

Primeni go toa za da gi odredi{ slikite na elementite od mno`estvoto A. f : 1 ® 4 × 1, t.e. f (1) = 4 × 1 = 4; f : 2 ® 4 × 2, t.e. f (2) = 4 × 2 = 8; itn. f : 5 ® 4 × 5, t.e. f (5) = 4 × 5 = 20.

Op{to, za koj bilo element x Î A, i za negovata slika y = f (x) va`i: f : x ® 4 × x, t.e. f (x) = 4x. Zapisot f (x) = 4x pretstavuva op{ta postapka (formula) po koja se vr{i preslikuvaweto.

Voo~i deka Preslikuvaweto mo`e da bide zadadeno so formula po koja se odreduvaat vrednostite na preslikuvaweto. Ova se vika analiti~ki na~in na zadavawe na preslikuvaweto.

4.

Preslikuvaweto f : A ® B, kade A = {-5, -4, -3, 0, 2, 4, 5}, B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e dadeno so formulata f(x) = x + 1. Zapi{i go: a) grafikot Gf; b) mno`estvoto vrednosti na f.

B 5.

Preslikuvaweto f : A ® B kade {to A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, e dadeno so grafik vo koordinatna {ema.

Odredi gi elementite na mno`estvoto vrednosti V Í B na f. Koi broevi treba da stojat na mestata od pra{alnicite: a) f (?) = 3; b) f (?) = 0; v) f (4) = ?

y 5 4 3 2 1 0

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.

2 3 4 5

x

Ozna~enite to~ki na crte`ot imaat koordinati: (1, 3), (2, 1), (3, 0), (4, 5) i (5, 2). Elementi na mno`estvoto vrednosti V se vtorite koordinati na to~kite. Zna~i V = {3, 1, 0, 5, 2} y f : 1 ® 3, t.e. f (1) = 3; f : 2 ® 1, t.e. f (2) = 1; f : 3 ® 0, t.e. f (3) = 0;

f : 4 ® 5, t.e. f (4) = 5; f : 5 ® 2, t.e. f (5) = 2.

Preslikuvaweto mo`e da bide zadadeno grafi~ki so koordinatna {ema. Vo takov slu~aj velime deka toa e zadadeno grafi~ki.

6.

5 4 3 2 -4 -3 -2 -1 0

Preslikuvaweto f : A ® B, A = {x | x Î Z, -3 £ x £ 5} i B = Z e zadadeno na crte`ot so grafik, vo koordinatnata {ema. Pretstavi go grafikot Gf na preslikuvaweto f tabelarno. Sostavi tabela na preslikuvaweto.

188

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

x

1 -1 -2 -3

1

2

3

4

5

Treba da znae{: da gi objasni{ na~inite na koi mo`e da bide zadadeno edno preslikuvawe.

Proveri se! Preslikuvaweto f : A ® B, kade {to A = {1, 2, 3, 4}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} e zadadeno so praviloto f : x ® x - 2. Sostavi ja tabelata na toa preslikuvawe. Zapi{i go grafikot tabelarno. Potoa, to~kite od grafikot pretstavi gi vo koordinatna ramnina.

4. Pretstavi ja grafi~ki funkcijata f(x)

Zada~i 1. a)

Preslikuvaweto f : A ® B e zadadeno so tabela. Vo nea se dadeni site elementi na A i B. x -2 -1 0 f(x) 0

b)

1

2

1

2

3

3

4

5

x -3 -2 -1 0

1

2

f(x) -1 -1 -1 0

1

1

v)

x

f(x)

0

0

1

5

2

10

3

15

Odredi gi domenot i mno`estvoto vrednosti na f.

2. Grafikot na preslikuvaweto f e: Gf = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}. Odredi kolku e f(1) i f (3). Za koja vrednost na x e f (x) = 1?

3. Preslikuvaweto f : A ® B, kade {to A = {-5, -2, -1, 0, 2}, a B = Q, e zadadeno so praviloto I [ o

[ . Zapi{i go

grafikot Gf tabelarno.

zadadena analiti~ki so formulata f(x) = x - 1, kade {to domenot i kodomenot e mno`estvoto R (za ovaa funkcija velime deka e realna funkcija). Postapi spored barawata.

Popolni ja tabelata x

-2

0

0,5

3

f(x) Dobienite podredeni parovi vo tabelata zapi{i gi kako koordinati na to~ki, po red: A, B, C i D. Pretstavi gi to~kite A, B, C i D vo koordinatna ramnina. Proveri so linijar dali to~kite le`at na ista prava. Izberi proizvolno nekolku vrednosti za x. Odredi gi nivnite sliki f(x) i dobienite podredeni parovi pretstavi gi na istiot crte`. Proveri dali i tie to~ki le`at na ista prava. Voo~i deka grafikot na funkcijata f(x) = x - 1 e: Gf = {(x, y) : x Î R i y = x - 1} i toj, pretstaven grafi~ki, e prava. Preslikuvawe (funkcija)

189

PROPORCIJA

6

RAZMER

A 1.

Potseti se! Presmetaj go koli~nikot 28 : 7. [to poka`uva vrednosta (4) na ovoj koli~nik? Zapi{i koli~nik spored re~enicata: "Delenikot e 42 i toj e 3 pati pogolem od delitelot.#

Presmetaj: 27 : 3;

: 6;

9,6 : 1,2.

Za sekoj od trite koli~nici se veli deka e razmer ili odnos me|u dadenite broevi. Se ~ita: "27 sprema 3”, "

sprema 6”,...

Op{to Ako a i b se dva broja pri {to b z 0, toga{ razmer ili odnos na brojot a sprema

D ); a se vika prv ~len, a b - vtor ~len na E razmerot. Ako a : b = k, brojot k se vika vrednost na razmerot.

brojot b se vika koli~nikot a : b (ili

2.

Odredi ja vrednosta na razmerot: a) 255 : 17; [to poka`uva negovata vrednost?

b) 17 : 255.

Sporedi go tvojot odgovor so dadeniot. a) 255 : 17 = 15. Vrednosta 15 poka`uva deka brojot 255 e 15 pati pogolem od brojot 17. b) 17 : 255 =

. Vrednosta poka`uva deka brojot 17 e del od brojot 255.

3.

Sporedi gi broevite: a) 184 i 23;

4.

Vrednosta na eden razmer e 5. Odredi go prviot ~len, ako vtoriot ~len e 8.

5.

Dadeni se razmerite 18:3 i

b) 16 i 48.

. Odredi gi nivnite vrednosti i sporedi gi.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto. Prviot razmer 18:3 ima vrednost 6. I vtoriot razmer ima vrednost 6, t.e.

190

˜

.

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

Razmerite {to imaat ednakvi vrednosti se vikaat ednakvi razmeri.

6.

Proveri dali se ednakvi razmerite: a) 4 : 25 i

7.

Potseti se!

8.

Zapi{i go obratniot razmer na: a) 5 : 8, b) 1 : 4.

b) 1,4 : 3,5 i 0,2 : 0,5.

Razmerite 3 : 5 i 5 : 3 se razlikuvaat po mestata na nivnite ~lenovi.

Recipro~nata vrednost na brojot 5 e

, a na e . brojot Koja e recipro~nata vrednost na 0,4? Odredi go proizvodot na brojot i negovata recipro~na vrednost.

;

Zapi{i eden razmer na dva broja. Potoa, sostavi go razmerot na istite broevi, no so obraten redosled od prethodniot razmer.

Zapomni Razmerite a : b i b : a (a š 0, b š 0) se vikaat zaemno obratni razmeri, t.e. razmerot a : b e obraten na razmerot b : a, a razmerot b : a e obraten na razmerot a : b.

Odredi go proizvodot na sekoj od dadenite razmeri so obratniot razmer. Sporedi go tvoeto re{enie za a). Obraten na razmerot 5 : 8 e razmerot 8 : 5. (5 : 8) Ă— (8 : 5) =

˜ = 1.

Va`i i op{to Proizvodot na eden razmer a : b so obratniot razmer b : a e 1, t.e. (a : b) Ă— (b : a) = 1, (a š 0, b š 0) .

9.

Kako }e objasni{ deka razmerite a : b i

, a š 0, b š 0 se zaemno obratni razmeri? D E

Pomo{. Vtoriot razmer zapi{i go kako dvojna dropka i uprosti go.

B 10.

a) Pravoagolnikot na crte`ot ima 6 cm2.

[to e mereno kaj pravoagolnikot i e dobien brojot 6 cm2? 1 cm2

Proporcija

191

b) Cvetan se izmeril na doma{nata vaga i utvrdil deka ima 46 kg. [to merel Cvetan na vagata i dobil 46 kg? v) Dadeni se otse~kite $% = 6 cm i &' = 2 cm. Otse~kata AB e za 4 cm pogolema od otse~kata CD, zatoa {to

$% - &' = 6 cm - 2 cm = 4 cm. [to sporeduva{e kaj dvete otse~ki i go dobi brojot 4 cm?

Sporedi gi tvoite odgovori so slednite Brojot 6 cm2 pretstavuva plo{tina na pravoagolnikot; Cvetan na vagata ja merel sopstvenata masa; kaj otse~kite AB i CD gi sporeduvavme nivnite dol`ini. Kako utvrdi deka vo }eseto ima 3 kg {e}er?

]eseto go staviv na vaga i negovata masa ja sporediv so masata na tegovite. Vagata be{e vo ramnote`a koga staviv 3 tega od po 1 kg.

Zapomni Plo{tina, masa, dol`ina, volumen, temperatura, vreme, brzina... pretstavuvaat veli~ini. Karakteristika na veli~nite e {to tie mo`at da se merat. Da se izmeri edna veli~ina zna~i taa da se sporedi so soodvetna merna edinica i da se odredi kolku pati mernata edinica se sodr`i vo taa veli~ina, t.e. da se odredi merniot broj na veli~inata.

11.

Kolku pati otse~kata $% = 6 cm e podolga od otse~kata &' = 2 cm?

Ova ti e poznato Otse~kata od 6 cm e 3 pati podolga od otse~kata od 2 cm, t.e. 6 cm : 2 cm = 3. Otse~kata od 2 cm e od otse~kata od 6 cm, t.e. 2 cm : 6 cm = .

192

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

6 cm 2 cm

2 cm

2 cm

Voo~uva{ Sporeduvaweto na dol`inite na otse~kite go izvr{ivme preku sporeduvawe na nivnite merni broevi. Vrednosta na razmerot na dve dol`ini e neimenuvan broj. Se sporeduvaat samo istorodni veli~ini.

Voo~i i zapomni Razmer ili odnos na dve istorodni veli~ini se vika koli~nikot od merniot broj na ednata veli~ina i merniot broj na drugata veli~ina, mereni so ista merna edinica. Vrednosta na razmerot sekoga{ e neimenuvan broj.

12.

Koi od slednive koli~nici se razmeri: a) 3 : 31; b) 12 m2 : 4 m2; Zo{to koli~nikot 6 m : 3 ne e razmer? Dali 8 min : 5 s mo`e da se smeta za razmer?

13.

v) 6 m : 3;

g) 8 min : 5 s?

Vrednosta na koli~nikot 6 m : 3 e 2 m, a toa e imenuvan broj. Zatoa ovoj koli~nik ne e razmer. Koli~nikot 8 min : 5 s mo`e da se smeta za razmer ako negovite ~lenovi se pretstavat so ista merna edinica.

Odredi ja vrednosta na razmerite: a) 72 : 4;

b) 4 kg : 60 kg;

Potseti se! pro{iri ja so 5. Dropkata skrati ja so 4.

Dropkata

v) 5 km : 200 m;

g) 2 6 : 5 d6.

V 14.

Daden e razmerot 12 : 8.

Odredi ja negovata vrednost. ^lenovite na razmerot pomno`i gi prvo so 2, a potoa so 4, i presmetaj ja vrednosta na sekoj od dobienite razmeri. Sporedi gi vrednostite na razmerite.

[to voo~i?

Vrednostite na trite razmeri se ednakvi na 1,5.

Proporcija

193

Va`i i op{to Vrednosta k na razmerot a : b ne se menuva ako negovite ~lenovi se pomno`at ili, pak, se podelat so ist broj m ¹ 0, (a × m) : (b × m) = k pro{iruvawe na razmerot

(a : m) : (b : m) = k, (m ¹ 0) skratuvawe na razmerot

Toa e osnovno svojstvo na razmerot.

15.

^lenovite na razmerot (ili mernite broevi vo niv) zapi{i gi so prirodni broevi. 4,8 : 0,12;

16.

1,5 kg : 5 kg;

: 2,5;

450 m : 2,5 km.

Slednite razmeri se izedna~eni so nivnite vrednosti. Odredi ja nepoznatata vo sekoe ravenstvo: a) x : 3 = 5;

b) a : 12 = 20;

v) 6 : y = 2;

g) 25 : b = 12,5.

Prosledi go re{enieto za a) i v). a) x e delenik. Delenikot e ednakov na proizvodot od delitelot i koli~nikot, t.e. x = 3 × 5; x = 15. v) y e delitel; y = 6:2; y = 3.

Treba da znae{: da objasni{ {to e razmer; {to se ~lenovi i {to e vrednost na razmer; da go iska`e{ i koristi{ osnovnoto svojstvo na razmer; koi razmeri se ednakvi, a koi se zaemno obratni; da odredi{ razmer na dve veli~ini.

Proveri se! Odredi ja vrednosta na razmerot 27 : 36. Proveri dali razmerite 6 : 5 i 90 : 75 se ednakvi. Razmerot 3 : 10 pro{iri go so 4. Zo{to 15 m3 : 5 m2 ne e razmer? Odredi go x ako a) x : 2=20; b) 8 : x = 32.

Zada~i 1. Dedoto ima 63 godini, a vnukata ima 9 godini.

Za kolku godini dedoto e postar od vnukata? Kolku pati dedoto e postar od vnukata?

194

2. Dali se ednakvi razmerite: a)

b)

i 27 m3 :10 m3?

i 76 : 55?

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

3. Koj razmer e obraten na razmerot: a) 96 : 24;

b) 3,4 : 3

6. Zapi{i go razmerot taka {to prviot ~len da mu bide 1:

?

4. Koj od koli~nicite pretstavuva razmer: a) 4 m : 24;

b) 3 kg : 8 kg;

v) 5 km : 5 cm;

g)

a) 4 : 5;

v) 90 min :

kg : 8 cm?

a) [

d) 1 dm : 1 m;

;

v) x : 0,1 = 0,01;

b) 4,74 : 3;

h;

;

8.

g) 6 km : 600 m.

b)

[

;

g) 2,7 : x =

.

Vo kakov razmer se: a) plo{tinite;

|) 1 km : 1 m;

v) 2,7 m :12 cm.

7. Presmetaj go nepoznatiot ~len x:

5. Odredi ja vrednosta na razmerot: a) 324 : 4;

b)

b) volumenite;

na dve kocki so rabovi 4 m, odnosno 6 m?

e) 1 m : 1 ar. 2

7

PROPORCIJA

A 1.

Potseti se! Najdi ja vrednosta na razmerite 32 : 8 i 20 : 5.

Razmerot 24 : 8 e ednakov so razmerot 45 : 15. Zatoa mo`e{ da go zapi{e{ (to~noto) brojno ravenstvo

Kakvi se me|u sebe tie dva razmeri? Koe to~no ravenstvo me|u niv mo`e{ da go zapi{e{?

24 : 8 = 45 : 15, t.e.

.

Zapi{i dva ednakvi razmeri i sostavi (to~no) ravenstvo me|u niv.

Zapomni Ravenstvo na dva ednakvi razmeri se vika proporcija. Razmerite a : b i c : d {to imaat ednakvi vrednosti, t.e. a : b = k i c : d = k ja obrazuvaat proporcijata

a : b = c : d, t.e.

D E

F . G

Se ~ita: "a sprema b se odnesuva isto kako c sprema d#. a, b, c i d se ~lenovi na proporcijata. a e prv ~len, b e vtor, c e tret, d e ~etvrti ~len. a i d se vikaat nadvore{ni ~lenovi, a b i d se vikaat vnatre{ni ~lenovi. Proporcija

195

Sekoj ~len od proporcijata se vika ~etvrta geometriska proporcionala za drugite tri ~lena. Vrednosta k na razmerite se vika koeficient na proporcionalnosta.

2.

Vo proporcijata 17 : 68 = 21 : 84 na mestoto od sekoj razmer zapi{i go negoviot obraten razmer i uveri se deka dobienoto ravenstvo e proporcija.

Va`i i op{to Ako a, b, c, d š 0 i a : b = c : d e proporcija, toga{ i ravenstvoto b : a = d : c e proporcija. Voo~i go obrazlo`enieto.

. N

F F Od c : d = k, sleduva deka b : a = N . F Razmerite b : a i d : c se ednakvi, pa b : a = d : c Od a : b = k, sleduva deka b : a =

3.

e proporcija.

Proveri dali pak se dobiva proporcija ako vo proporcijata 15 : 9 = 90 : 54 se promenat mestata na: 15 i 54;

15 i 90;

9 i 90;

Nezadol`itelno So razmestuvawe na ~lenovite vo edna proporcija a : b = c : d se dobivaat u{te 7 proporcii.

Potseti se! sledi 3 Ă— 20 = 5 Ă— 12. [ Odredi go x vo ravenstvoto taka {to }e izvr{i{ "vkrsteno mno`ewe#. x Ă— 27 = 3 Ă— 8, t.e. x = . Voo~i: od

196

9 i 54.

Sogledaj gi a:b=c c:d=a d:b=c a:c=b

: : : :

d b a d

B 4.

c:a=d:b d:c=b:a b:a=d:c b:d=a:c

Zapi{i gi razmerite vo proporcijata 4 : 5 = 28 : 35 vo vid na dropka.

Izvr{i vkrsteno mno`ewe i sporedi gi dobienite proizvodi. [to voo~uva{?

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

sleduva 4 Ă— 35 = 5 Ă— 28 = 140, t.e. proizvodot od nadvore{ nite ~lenovi na proporcijata e ednakov na proizvodot od vnatre{nite ~lenovi. Voo~iv: od

Va`i i op{to

a:b=c:d

Vo proporcijata a : b = c : d proizvodot od nadvore{nite ~lenovi e ednakov na proizvodot od vnatre{nite ~lenovi.

Ă— Ă—

Ova e osnovno svojstvo na proporcijata.

F F F 5.

aĂ—d=bĂ—c

Prosledi go obrazlo`enieto. Ednakvite razmeri imaat ednakvi vrednosti: a : b = k; c : d = k, t.e. a = kb; c = kd.

Proizvodot na nadvore{nite ~lenovi a i d e: a Ă— d = (k Ă— b) Ă— d = k Ă— (b Ă— d). (Zo{to?) Proizvodot na vnatre{nite ~lenovi b i c e: b Ă— c = b Ă— (k Ă— d) = k Ă— (b Ă— d). (Zo{to?) Zna~i a Ă— d = k Ă— (b Ă— d) = b Ă— c. Odredi go nepoznatiot ~len x vo proporcijata: x : 12 = 9 : 4;

15 : x = 3 : 5;

[

.

Za da go odredi{ x vo sekoja od trite proporcii iskoristi go osnovnoto svojstvo na proporcijata.

6.

Odredi ja ~etvrtata geometriska proporcionala za ~lenovite vo proporcijata: a) 2 : 3 = 5 : x;

7.

b) 2 : 7 = x : 77.

Za broevite 3, 4, 9 i 12 e to~no 3 Ă— 12 = 4 Ă— 9. Sostavi proporcija ~ii ~lenovi }e bidat 3, 4, 9 i 12. Edno re{enie e 3 : 4 = 9 : 12. Ima 8 re{enija. Najdi u{te nekoe.

Na primer: 3 : 9 = 4 : 12; 12 : 4 = 9 : 3; 12 : 9 = 4 : 3 itn.

Va`i i op{to Ako za nekoi ~etiri broja a, b, c i d, {to se razli~ni od nula, proizvodot na dva od tie broevi e ednakov so proizvodot na drugite dva broja, toga{ tie ~etiri broja se ~lenovi na proporcija. Proporcija

197

7.

Sostavi proporcija (ako e mo`no) od broevite: a) 3; 16; 6; 8;

b) 3; 0,4; 0,5; 2,4;

v) 2; 3; 4; 5.

Treba da znae{:

Proveri se!

da objasni{ {to e proporcija i da gi imenuva{ nejzinite ~lenovi; da go iska`e{ i primenuva{ osnovnoto svojstvo na proporcija; da odredi{ nepoznat ~len vo proporcija.

Iska`i go osnovnoto svojstvo na proporcija. Dali e to~no deka 2 :

=3: ?

Odredi go x vo proporcijata 1 : 5 = x : 4. Dali brojot 3 e ~etvrta geometriska proporcionala za broevite 5, 12 i 20?

Zada~i 1. Pro~itaj ja proporcijata i imenuvaj gi nadvore{nite i vnatre{nite ~lenovi: a) 0,2 : 3 = 1 : 15;

b) a : x = b : y.

6. Sostavi proporcija od broevite vo ravenstvoto:

a) 6 Ă— 8 = 16 Ă— 3;

2. Sostavi proporcija za koja 5 e koeficient na proporcionalnosta.

3. Dadeni se proporciite: b)

4. Vo proporcijata ni gi mestata na:

razme

; b) 4 i 8; v) i 8. Dali sekoga{ se dobiva proporcija?

a) 4 i

5. Odredi go x vo proporcijata: a) x : 63 = 8 : 21;

g) 2 : x = 5 : 30;

b) 304 : 456 = x : 768; d) 3,03 : x = 5,05 : 6; v) 2x : 3,7 = 8 : 7,4;

198

˜

˜ .

7. Dali mo`e da se sostavi proporcija od broevite:

. Razmeni gi mestata na ~lenovite vo sekoj razmer. Proveri dali pak se dobi proporcija.

a) 14 : 56 = 23 : 92;

b)

|) 3,4 : 17 = 0,1x : 4.

a) 3, 4, 9 i 12;

v) 3, 5, 8 i 13;

b) 1, 5, 17 i 85;

g)

i ?

8. Prviot ~len vo edna proporcija e 7,5 pati pogolem od vtoriot ~len. Ako tretiot ~len e tiot ~len.

, odredi go ~etvr

9. Brojot na ~lenovite vo sekcijata "Mladi matemati~ari# sprema brojot na ~lenovi vo sekcijata "Mladi prirodnici# se odnesuva kako 5 : 2. Ako brojot na mladi prirodnici e 24, kolkav e brojot na mladi matemati~ari?

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

8

GEOMETRISKA SREDINA. PRODOL@ENA PROPORCIJA

Potseti se!

A

1.

So pomo{ na osnovnoto svojstvo na proporcija, proveri dali e proporcija: a) 1 : 3 = 3 : 9;

Presmetaj go nepoznatiot ~len x vo proporcijata: a) 3 : x = x : 27; b) x : 4 = 36 : x

b) 5 : 2 = 12,5 : 5.

taka {to ~lenovite da bidat pozitivni.

Prosledi go re{enieto za a).

F Primeni go svojstvoto na proporcija: 3 : x = x : 27; 3 Ă— 27 = x Ă— x; F Presmetaj ja vrednosta na x: x = + , x = - ; x = 9, x = -9. F Odredi go re{enieto spored uslovot: x = 9. [to voo~uva{ kaj ~lenovite na dvete proporcii?

x2 = 81.

Kaj prvata proporcija vnatre{nite ~lenovi se ednakvi, a kaj vtorata nadvore{nite ~lenovi se ednakvi.

Zapomni Ako vo edna proporcija vnatre{nite ~lenovi se ednakvi (a : b = b : c), toga{ ~lenot {to se povtoruva se vika geometriska sredina (ili sredna geometriska proporcionala) za drugite dva ~lena.

a:b=b:c

F

b=

b e geometriska sredina za a i c.

2.

F

a:b=c:a

DF

a=

EF

a e geometriska sredina za b i c.

Odredi ja geometriskata sredina na broevite: 4 i 16;

i 8;

4 i 9;

1 i 49.

Koj pozitiven broj e geometriska sredina za broevite 4 i 16?

B

3.

Sporedi gi vrednostite na razmerite:

Toa e brojot brojot 8.

: 5;

8:

˜ , odnosno

i 3 : 20.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto:

: 5 = 0,15;

= 24 : 160 = 0,15;

F F F 3 : 20 = 0,15. F Zna~i, vrednostite na trite razmeri se ednakvi. 8:

Proporcija

199

Mo`e{ da zapi{e{:

:5=8: = 3 : 20.

Va`i i op{to Ako tri ili pove}e razmeri, na primer a : a1, b : b1 i c : c1, se ednakvi, toga{ tie mo`at da se zapi{at vo vid na prodol`ena proporcija a : a1 = b : b1 = c : c1, t.e.

Skrateno se zapi{uva:

4.

D E F = = . E F D

a : b : c = a1 : b1 : c1 prvi ~lenovi

vtori ~lenovi

Zapi{i ja skrateno prodol`enata proporcija: 2 : 6 = 3 : 9 = 7 : 21;

5.

: 5 = 21,25 : 100 = : 4.

Dadena e prodol`enata proporcija 3 : 5 =

: = 2,4 : 4.

Formiraj razmer ~ij{to prv ~len e zbirot na prvite ~lenovi na proporcijata, a vtor ~len - zbirot na vtorite ~lenovi. Sporedi ja vrednosta na ovoj razmer so vrednosta na koj bilo razmer na prodol`enata proporcija. [to zabele`uva{? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto:

F F Site razmeri se ednakvi. Nivnata vrednost e 3 : 5 = 0,6. na dobieniot razmer e ednakva na vrednosta na koj bilo razmer od prodolF Vrednosta `enata proporcija.

Va`i i op{to Vo prodol`ena proporcija zbirot na site prvi ~lenovi na proporcijata sprema zbirot na site nejzini vtori ~lenovi e ednakov na vrednosta na koj bilo razmer od prodol`enata proporcija. Na primer, ako a : a1 = b : b1 = c : c1 = d : d1 = k, toga{ (a + b + c + d) : (a1 + b1 + c1 + d1) = k, t.e.

D E F G D E F G

Ova se vika osnovno svojstvo na prodol`ena proporcija.

200

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

N.

6.

Vo eden triagolnik vnatre{nite agli a, b i g se odnesuvaat kako: a) 2 : 3 : 4;

b) 1 : 5 : 12.

Odredi gi aglite a, b i g. Raboti spored upatstvoto i sporedi go re{enieto. Zapi{i go zbirot na aglite vo triagolnikot: a + b + g = 180O . . . . (1)

F ja prodol`enata proporcija (preku ednakvi razmeri) a : 2 = b : 3 = g : 4. F Zapi{i e k vrednosta na sekoj razmer. Izrazi gi aglite a, b i g so pomo{ na k. F Neka a : 2 = k, t.e. a = 2k; b : 3 = k, t.e. b = 3k; g : 4 = k, t.e. g = 4 k. F F Zameni gi izrazite za a, b i g vo ravenstvoto (1) i presmetaj go k. F

2k + 3k + 4k = 180; 9k = 180; k = 20. Odredi gi aglite a, b i g. a = (2 Ă— 20)o; a = 40o; b = (3 Ă— 20)o, b = 60o; g = 80o.

Treba da znae{: da presmeta{ geometriska sredina na dva broja ili na dve veli~ini; da objasni{ {to e prodol`ena proporcija; da go iska`e{ i primenuva{ osnovnoto svojstvo na prodol`ena proporcija;

Proveri se! Kako se vika ~lenot a vo proporcijata 8 : a = a : 32? Dali 6 e geometriska sredina na broevite 1 i 36? Proveri dali zapisite: 3 : 9 = 5 : 15 = 28 : 84 i 3 : 5 : 28 = 9 : 15 : 84

Dadena e prodol`enata proporcija 3 : 2 = 15 : 10 = 105 : 70 pri koja sekoj razmer ima vrednost 1,5. Bez da presmetuva{, odredi ja vrednosta na razmerot (3 + 15 + 105) : (2 + 10 + 70).

4. Brojot 2 160 pretstavi go kako zbir na

Zada~i

3 broja koi }e se odnesuvaat kako: 1 : 5 : 12;

1. Odredi go x od proporcijata: a) x : 8 = 50 : x;

pretstavuvaat ista prodol`ena proporcija.

b) x : 15 = 15 :

v) 6 : x = x : 24.

.

2. Formiraj proporcija ~ii ~lenovi }e bidat 8, 12, 18 i 12.

3. Odredi gi broevite a, b i c taka {to a + b + c = 39 i a : b : c = 3 : 4 : 6.

1 : 10 : 25.

5. Za sobirawe na letninata vo edna

farma rabotele firmite A, B i C. Tie ostvarile soodvetno 16 000, 20 000 i 30 000 rabotni ~asa. Za izvr{enata rabota farmata im isplatila vkupno 330 000 denari, proporcionalno spored ostvarenite rabotni ~asovi. Po kolku denari dobila sekoja firma? Proporcija

201

PROPORCIONALNI VELI^INI

9

PRAVO PROPORCIONALNI VELI^INI

A

Potseti se!

1.

Kako }e se promeni perimetarot L na kvadrat ako negovata strana a: a) se zgolemi; b) se namali?

Daden e razmerot 21 : 7. Zapi{i tri razmeri {to se ednakvi so nego. Vrednosta na razmerot a : b e 5. Ako ~lenot b e 8, kolku e ~lenot a? Ako b se namali 4 pati, kako }e se promeni ~lenot a? Voo~i go toa menuvawe na slednata tabela: a (cm)

1

2

2,5

3

4

5

L (cm)

4

8

10

12

16

20

Zabele`uva{ deka ima dve promenlivi veli~ini (ili samo: promenlivi): stranata na kvadratot i perimetarot na kvadratot. Sogledaj od tabelata kolku pati }e se zgolemi perimetarot, ako stranata se zgolemi dvapati (na primer: od 2 na 4 ili od 2,5 i 5).

2.

Eden avtomobil se dvi`i ramnomerno i izminuva 2 km za 1 min. Kolku kilometri }e iznesuva izminatiot pat ako vremetraeweto na dvi`eweto e 2 min; 4 min; 5 min? Ako se zgolemi vremetraeweto na dvi`eweto, {to }e se slu~i so izminatiot pat?

Voo~i deka

F F F 202

I vo ovaa zada~a ima dve promenlivi: vremetraeweto na dvi`eweto na avtomobilot (da ja ozna~ime so x) i dol`inata na izminatiot pat (da ja ozna~ime so y). Promenlivite x i y se zavisni me|usebno, za{to promenata na vrednosta na ednata vlijae na vrednosta na drugata promenliva. Zavisnosta na promenlivite x i y se gleda podobro od slednava tabela: x (min)

1

2

3

y (km)

2

4

6

3,5

5

6

10

12

6,5

8 16

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

10 10,5

12

15 30

Vrednostite na promenlivata x se dadeni proizvolno od 1 do 15. Soodvetnite vrednosti na y se dobieni so presmetuvawe. Se voo~uva deka sekoja vrednost na y e dvapati pogolema od soodvetnata vrednost za x.

[to voo~uva{ kaj vrednostite na promenlivata x, a {to kaj vrednostite na y?

Mo`e{ da zapi{e{ deka y : x = 2 ili y = 2x. Dol`inata na patot se zgolemila tolku pati kolku {to se zgolemilo vremetraeweto na dvi`eweto: dva pati (od 6 km na 12 km) ili tri pati (od 10 km na 30 km).

Kako se promenila dol`inata na patot koga vremetraeweto na dvi`eweto na avtomobilot se zgolemuva 2 pati (od 3 min na 6 min) ili 3 pati (od 5 min na 15 min)?

Se veli deka: na zgolemuvaweto (odnosno na namaluvaweto) na vrednosta na ednata promenliva odgovara proporcionalno zgolemuvawe (odnosno proporcionalno namaluvawe) na vrednosta na drugata promenliva. Takva zavisnost me|u dve veli~ini se vika prava proporcionalnost, a promenlivite x i y se veli deka se pravo proporcionalni veli~ini.

Op{to Za promenlivata veli~ina y se veli deka e proporcionalna na veli~inata x ako za koj bilo par soodvetni vrednosti na y i x, koli~nikot (k š 0).

\ [

N,

t.e.

\ e ednakov na eden ist broj k [

y=kĂ—x

Brojot k se vika koeficient na proporcionalnosta, a ravenkata y = kx funkcija (ili formula) na proporcionalnosta. Ravenkata y = kx mo`e da se napi{e i vo oblik cionalno so y, so koeficient na proporcionalnosta

3.

\ . Vo toj slu~aj x e proporN

[ . N

Cenata na 1 kg jabolka e 20 denari. Kolku pari se potrebni za 4,5 kg jabolka? Kolku kilogrami jabolka mo`e da se kupat za 330 denari? Prosledi go re{enieto i voo~i ja postapkata:

F Ozna~i ja so x masata na jabolka vo kg, a so y soodvetnata suma denari. Proporcionalni veli~ini

203

F

\ , mo`e{ da zapi{e{ y = 20x. Za 4,5 kg jabolka se potrebni [ y = 20 Ă— 4,5 = 90; 90 denari.

F

Bidej}i [

Poradi

jabolka.

4.

˜

˜ \ , za y = 330 denari mo`e da se kupat [ N

x = 16,5 kg

Za da se varosaat 15 m2 od stanot potrebno e 2,4 6 belilo. Kolku belilo e potrebno za da se varosaat 70 m2? Sporedi go tvoeto re{avawe so dadenoto:

F F F

x - plo{tina (vo m2), y - koli~ina belilo (vo 6).

\ e koeficient na proporcionalnosta. [ Za x = 70 m2 se dobiva y = 0,16 Ă— 70 = 11,2; t.e. potrebni se 11,2 6 belilo.

B 5.

So formulata \

[ e dadena prava proporcionalnost me|u veli~inite x i y.

Prepi{i ja dadenata tabela i dopi{i gi vo nea soodvetnite vrednosti za y. x

-2

-1

y

-1 -0,5

0

1

2

3

4

y

2

3 2

Pretstavi gi parovite (x, y): (-2, -1), (-1, -0,5), itn. (vkupno 7) kako to~ki vo koordinatna ramnina. Tvojot crte` treba da e kako dadeniot.

1 -2

x

-1 0

So pomo{ na linijar uveri se deka dobienite to~ki na crte`ot le`at na ista prava.

204

3

4

y 3

Presmetaj gi soodvetnite vrednosti na y. Zapi{i gi dobienite podredeni parovi od racionalni broevi i pretstavi gi vo koordinatnata ramnina.

U{te pove}e, sekoja to~ka so apscisa x i ordinata y = 0,5x, za x ĂŽ R le`i na istata prava od crte`ot.

2

-1

Kako vrednosti za x zemi gi broevite 0,5; -1; 2; 3; 4.

Uveri se deka i tie se kolinearni so prethodnite to~ki.

1

2 1 -2

x

-1 -1,2

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

0 0,5 1 -1

2

3

3,4

4

Zapomni Grafikot na prava proporcionalnost {to e zadaden so formulata y = 0,5x e prava.

6.

Nacrtaj grafik na prava proporcionalnost zadadena so formulata y = 2x.

Treba da znae{: da objasni{ koga dve veli~ini se pravo proporcionalni; da ja prepoznava{ formulata na prava proporcionalnost; da nacrta{ grafik na prava proporcionalnost.

Proveri se! Dadena e prava proporcionalnost na dve veli~ini x i y so formulata y = 4x. Sostavi tabela. Potoa nacrtaj grafik na pravata proporcionalnost za

½ ­ [ � Ž ž . ¿ ¯

Zada~i 1. Koi od slednite veli~ini se pravo proporcionalni?

a) Strana na kvadrat i perimetar na kvadrat. b) Radius na krug i plo{tina na krug. v) Izminat pat i brzina pri ramnomerno dvi`ewe. g) Broj na rabotnici i vreme potrebno za izvr{uvawe na rabota. d) Rab na kocka i plo{tina na kocka.

2. Veli~inite x i y se pravoproporcionalni so koeficient na proporcionalnost k = 3. a) Zapi{i ja formulata na pravata proporcionalnost. b) Odredi gi soodvetnite vrednosti za y ako x ĂŽ {-2, -1, 0, 1, 2, 3}.

3.

Zapi{i formula za perimetar na: a) kvadrat so strana a; b) kru`nica so radius r; v) ramnostran triagolnik so strana y.

Za sekoja formula odredi go koeficientot na proporcionalnost i objasni dali taa e formula na prava proporcionalnost.

4. Pretstavi ja so grafik pravata proporcionalnost a) y : x = 1 : 2;

b) y = 3x.

5. Na crte`ot e daden grafik na prava proporcionalnost na veli~inite x i y. y 2 1 -2

-1 0

1

2

3

4

x

-1

Sostavi tablica, spored crte`ot. Odredi go koeficientot na proporcionalnosta. Zapi{i formula na pravata proporcionalnost.

Proporcionalni veli~ini

205

10

OBRATNO PROPORCIONALNI VELI^INI

A 1.

Potseti se! Neka x i y se pravo proporcionalni veli~ini, svrzani so formulata Za x = 4, kolku e y?

\ [

.

Ako vrednosta na x se zgolemi 5 pati (na primer: od 4 na 20) kako }e se promeni vrednosta na y?

Pravoagolnik so strana a i b ima plo{tina 36 cm2, t.e. a × b = 36. Vo tabelata se dadeni dol`inite na stranite na nekolku pravoagolnici so plo{tina 36 cm2. a (cm)

1

2

3

4

5

6

b (cm)

36

18

12

9

7,2

6

Kako se menuva dol`inata na stranata b koga stranata a se zgolemuva: a) 2 pati (na primer: od 1na 2; od 2 na 4); b) 3 pati (na primer: od 1 na 3; od 2 na 6)?

Voo~iv deka kolku pati se zgolemuva stranata a, tolku pati stranata b se namaluva.

2.

Ako 24 rabotnici so ednakva rabotosposobnost edna rabota mo`at da ja srabotat za 16 dena, za kolku dena istata rabota bi ja srabotile: 2 pati pomalku (t.e. 12) rabotnici; 4 pati pomalku (t.e. 6) rabotnici; 2 pati pove}e (t.e. 48) rabotnici? Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto:

F

2 pati pomalku (t.e. 12) rabotnici bi ja srabotile rabotata za 2 pati pove}e (t.e. 32) dena;

F

4 pati pomalku (t.e. 6) rabotnici bi ja srabotile rabotata za 4 pati pove}e (t.e. 64) dena;

F

2 pati pove}e, (t.e. 48) rabotnici bi ja srabotile rabotata za 2 pati pomalku (t.e. 8) dena.

F

Sogledaj deka: 24 × 16 = 12 × 32 = 6 × 64 = 48 × 8 = 384.

Op{to N [ (k - konstanta), t.e. proizvodot od vrednosta na promenlivata x i soodvetnata vrednost na promenlivata y e konstanten. Ako brojot na rabotnicite e x, a brojot na denovite e y, toga{ x × y = k ili \

Za vakvi dve veli~ini se veli deka se obratno proporcionalni.

206

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

Od primerite voo~i So zgolemuvawe na vrednosta na ednata promenliva m pati, soodvetnata vrednost na drugata promenliva se smaluva m pati. Se veli: na zgolemuvaweto na vrednosta na ednata promenliva odgovara proporcionalno smaluvawe na vrednosta na drugata promenliva. Takvata zavisnost na dve veli~ini se vika obratna proporcionalnost.

Zapomni Za x i y se veli deka se obratno proporcionalni veli~ini, so koeficient na obratnata proporcionalnost k (k > 0), ako x Ă— y = k.

N [

Ravenstvoto \

3.

se vika funkcija (ili formula) na obratna proporcionalnost.

Za sekoj par soodvetni vrednosti za x i y odredi go proizvodot y Ă— x i utvrdi dali veli~inite x i y se obratno proporcionalni. a)

B 4.

x

3

4

5

6

y

8

6

4,8

4

b)

x

10

20

30

40

60

y

60

70

40

30

20

Obratnata proporcionalnost me|u veli~inite x i y e dadena so formulata

\

. [

Sostavi tabela zemaj}i x ĂŽ {-12, -8, -6, -4, -3, -2, -1

, -1, 1, 1 , 2, 3, 4, 6, 8, 12}.

Dobienite podredeni parovi pretstavi gi kako to~ki vo koordinatna ramnina. Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto: x

\

[

-12

-8

-1 -

-6

-4

-3

-2

-2

-3

-4

-6

-

-8

-1

1

-12 12

2

3

4

6

8

6

4

3

2

8

12

1

Proporcionalni veli~ini

207

Voo~uva{

F F

Na pozitivnite vrednosti za x im odgovaraat pozitivni vrednosti za y. Na "golemi” vrednosti na x odgovaraat "mali” vrednosti na y i obratno.

Primer: za x = 12: y = 1; za x = 120: y = 0,1; a za x = 12 000: y = 0,001. za x = 2: y = 6; za x = 0,2: y = 60; a za x = 0,002: y = 6000.

F

Na negativnite vrednosti na x im odgovaraat negativni vrednosti za y.

5.

Dadena e funkcijata na obratna proporcionalnost \ Za x ĂŽ {-6, -4, -3, -2, -1 vrednosti.

. [

, -1, 1, 1 , 2, 3, 4, 6} sostavi tablica na soodvetni

Dobienite podredeni parovi (x, y) od tablicata, pretstavi gi kako to~ki vo pravoagolen koordinaten sistem. Nacrtaj go grafikot na funkcijata \

. [

Dali to~kata A(2 400; 0,0025) mu pripa|a na toj grafik? Sporedi go tvojot grafik so dadeniot na crte`ot.

6.

Koj broj treba da stoi na mestoto od pra{alnikot vo tabelata, ako se znae deka x i y se obratno proporcionalni veli~ini? a)

x

1

2

3

4

y

?

?

4

?

b)

x

-3

-2

2

y

?

?

3

v)

x

1

5

50

y

?

20

?

Zapi{i ja formulata na obratnata proporcionalnost vo sekoj od slu~aite a), b), v).

208

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

Treba da znae{: da objasni{ koga dve veli~ini se obratno proprocionalni;

Proveri se! Od tablicata izdvoj dva para vrednosti za obratno proporcionalnite veli~ini X i Y i sostavi proporcija.

da zapi{e{ formula za obratna proporcionalnost; da utvrdi{ obratna proporcionalnost na dve veli~ini spored dadeni vrednosti (tablica i sl.); da nacrta{ grafik na obratna proporcionalnost na dve veli~ini.

X

2

3

4

5

6

Y

1

Nacrtaj go grafikot na funkcijata na

, otka[ ko }e sostavi{ tablica, zemaj}i x ĂŽ {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}. obratna proporcionalnost \

Zada~i 1. Utvrdi koi od slednite veli~ini se

pravo proporcionalni, a koi obratno proporcionalni: a) napre~en presek na cevkata od koja se polni bazenot i vremeto za koe se polni; b) izminat pat na voziloto i potro{eniot benzin; v) masata na teloto i zabrzuvaweto {to toa go dobiva pri deluvawe na sila so postojana ja~ina; g) plo{tinata na kvadrat i dol`inata na negovata strana.

2. Veli~inite x i y se obratno proporcio-

nalni so koeficient na proporcionalnost k = -4. Odredi gi vrednostite za y ako x ĂŽ {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

3. Obratnata proporcionalnost e zada . [ a) Odredi gi vrednostite veli~inata y soodvetno vrednostite za x ĂŽ {-5, -4, -2, 2, 4, 5, }. dena so formulata \

za na

b) Odredi gi vrednostite za x soodvetno na vrednostite za y ĂŽ {-2, 1, -

, , 1, 4}.

4. Pretstavi ja grafi~ki obratnata proporcionalnost: a) \

; b) \ [

; v) \ [

Proporcionalni veli~ini

. [

209

11

PROSTO TROJNO PRAVILO

Potseti se! Mile se ka~uval po eden rid. Koga strmninata bila pogolema, Mile pobavno se ka~uval. Na mestata kade {to padinite na ridot bile poblagi, Mile go zabrzuval ka~uvaweto.

A 1.

Eden avtomobil {to se dvi`i ramnomerno, za 3 ~asa pominal 216 km. Kolku kilometri }e pomine istiot avtomobil za 7 ~asa? Mimoza i Roza re{avale samostojno, sekoja na svoj na~in.

Kakvi se me|usebno veli~inite: brzinata na ka~uvaweto na Mile i strmninata na ridot?

Mimoza Za eden ~as avtomobilot pominal 216 : 3 = 72, t.e. 72 km. Za 7 ~asa toj }e pomine 7 × 72 = 504, t.e. 504 km.

Mile patuval so avtomobil. Za 2 ~asa toj stignal vo mestoto vo koe patuval. Ako so avtomobilot se dvi`el pobrzo, toj }e stignel za pomalku od 2 ~asa.

Roza

Kakvi se me|usebno veli~inite: brzinata na avtomobilot na Mile i vremetraeweto na vozeweto do odredenoto mesto?

Ako x e patot {to treba da go pomine avtomobilot, toga{ za 3 ~asa avtomobilot pominal patot x, t.e. 216 =

Voo~i

t.e. 504 km.

od

× x, x = = 504,

Veli~inite pat i vreme vo zada~ava se pravo proporcionalni. Ako x e dol`inata na baraniot pat, toga{ razmerot 3 ~asa : 7 ~asa e ednakov na 216 km : x km, t.e. 3 : 7 = 216 : x, 3x = 7 × 216, x = 504, t.e. 504 km. Popregledno toa se zapi{uva na sledniot na~in:

F F F F 210

3 ~asa

216 km

7 ~asa

x km

Vo prviot red se zapi{uvaat poznatite ~lenovi 3 ~asa .... 216 km. Vo vtoriot red se zapi{uva preostanatiot poznat ~len i nepoznatiot, vodej}i smetka pri potpi{uvaweto eden pod drug imenuvanite broevi da bidat od ist vid. Redot so poznatite ~lenovi se vika usloven stav, a redot {to go sodr`i nepoznatiot ~len - pra{alen stav. Postavi strelka od nepoznatiot ~len do ~lenot {to e nad nego.

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

F

Postavi strelka pred poznatite dva ~lena (vo drugata kolona) istonaso~ena so strelkata pred x - ako veli~inite se pravoproporcionalni, a sprotivno naso~eni ako tie se obratno proporcionalni.

F

Formiraj proporcija od dvata para taka {to vo sekoj od razmerite prviot ~len da bide onoj {to e na po~etokot, a vtor onoj {to e na krajot od strelkata: x : 216 = 7 : 3.

F

Vrednosta na nepoznatiot ~len na proporcijata e re{enie na zada~ata; 3x = 216 Ă— 7, x = 504 km.

Zapomni Postavuvaweto proporcija spored prika`anata {ema se vika prosto trojno pravilo.

2.

Za 6 dena kroja~ot mo`e da so{ie 2 kostumi. a) Kolku kostumi bi mo`el da so{ie toj kroja~ za 24 dena? b) Za kolku dena toj kroja~ bi so{il 9 kostumi?

3.

Nekoj rakopis od 126 stranici ima po 45 reda na sekoja stranica. Kolku stranici bi imal rakopisot ako na sekoja stranica ima po 35 reda? Eve kako re{avale Jovan i Bojan. Bojan

Jovan Ako sekoja stranica ima po 35 reda, rakopisot }e ima 126 stranici i (126 Ă— 10) reda = 1 260 reda; 1260 : 35 = 36 stranici. Vkupno }e ima 126 + 36 = 162, t.e. 162 stranici.

Brojot na redovite i brojot na stranicite se obratno proporcionalni. Ako x e brojot na stranicite na rakopisot so po 35 reda na sekoja stranica, toga{ 45 : 35 = x :126; 35x = 45 Ă— 126; x = 162, t.e. 162 stranici.

Popregledno 126 stranici

45 reda

x stranici

35 reda

E E

usloven stav pra{alen stav

x : 126 = 45 : 35; x = 162 stranici.

Vo pra{alniot stav (vtoriot red) se postavuva pra{aweto: Ako brojot na redovi na edna stranica treba da se namali (od 45 na 35), {to }e se slu~i so brojot na stranicite na toj rakopis? Odgovor: Brojot na stranicite }e se zgolemi Zna~i, veli~inite: brojot na redovite na edna stranica i brojot na stranicite (za ist rakopis) se obratno proporcionalni. Proporcionalni veli~ini

211

3.

Firmata "Zdrava hrana” gi ora povr{inite so 6 traktori, za koi ima gorivo za 15 dena. Po 5 dena se vklu~ile u{te 4 takvi traktori. Za kolku dena rezervite gorivo }e se potro{at ako traktorite imaat ista potro{uva~ka?

Pomo{ Kolku dena orale 6 traktori, a kolku 10 traktori? Razgledaj dve sostojbi za preostanatite 10 dena: 1) koga bi orale 6 traktori, gorivo }e ima za 10 dena; 2) koga bi orale (6 + 4) traktori za kolku dena }e ima gorivo?

Proveri se!

Treba da znae{: da gi zapi{e{ ~lenovite na proporcijata vo dva reda, taka {to vo edniot od niv da se sodr`i ~lenot {to se bara;

Ako 12 kg kafe ~ini 2 160 denari, toga{ kolku denari ~ini 23 kg kafe?

so pra{alniot stav da odredi{ kakva e proprcionalnosta - prava ili obratna;

Postavi gi strelkite.

da postavi{ proporcija i da go odredi{ nepoznatiot ~len vo nea.

Zada~i 1.

Ako 17 kg meso ~ini 3 060 denari, toga{ kolku denari ~ini 71 kg od istoto meso?

2. Edna rabota 24 rabotnici mo`at da ja zavr{at za 8 dena. Za kolku dena, pod istite uslovi, rabotata mo`at da ja zavr{at 16 rabotnici?

3. Eden avtomobil potro{il 22,5 6

za da izmine 250 km pat. Kolku kilometri }e izmine avtomobilot so 90 6?

212

Sostavi ja {emata! Presmetaj go nepoznatiot ~len vo proporcijata.

4. Eden avtomobil se dvi`el so 60 km/h i za 6

~asa go pominal rastojanieto od mestoto A do mestoto B. Za kolku ~asa avtomobilot }e go pomine rastojanieto od A do B ako se dvi`i so brzina od 80 km/h?

5. Trojca yidari za 14 dena mo`at da soyidaat 150 m3 yid. Za kolku dena 7 yidari pod isti uslovi mo`at da soyidaat 375 m3 yid?

Upatstvo: primeni go dvapati prostoto trojno pravilo.

~asa podignuva 360 h6 voda na viso~ina od 25 m. Kolku hektolitri voda digalkata }e podigne za 8 ~asa na viso~ina od 10 m?

6. Edna pumpa za

Tema 5. Funkcija. Proporcionalnost

U^E[E ZA FUNKCIJA I PROPORCIONALNOST. PROVERI GO TVOETO ZNAEWE A So grafot treba da bide pretstaven dekartoviot kvadrat na mno`estvoto A = {a, b, c}. Kolku strelki nedostasuvaat? Koi se tie?

1.

2.

Nacrtaj go DABC, A (3,1), B(-1,2), C(-2,-3) vo koordinatna ramnina.

3.

Dadeni se mno`estvata A = {a, b, c, d, e, f }, B = {1, 2, 3, 4, 5}.

4.

7.

Koi dve strelki treba da se izbri{at za da se dobie preslikuvawe od A vo V?

B 5 4 3 2 1

8.

Nabroj gi na~inite na koi se zadava preslikuvawe.

9.

Odredi go nepoznatiot ~len vo ravenstvoto: a) x : 0,5 = 2,5; b) 3 Ă— x = 4 . dat mno`itelite vo ravenstvoto 7 Ă— 24 = 6 Ă— 28.

Pretstavi go dekartoviot proizvod A x B so koordinatna {ema.

11. Presmetaj go nepoznatiot ~len x vo

Vo koordinatnata {ema prika`i relacija R, razli~na od A x B.

12. Veli~inite x i y,

So grafot e dadena relacija R vo mno`estvoto A = {1, 2, 3}. Zapi{i go nejziniot grafik.

6.

B

10. Sostavi proporcija ~ii ~lenovi }e bi-

Vo mno`estvoto T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e dadena relacijata R = {(1, 1), (1, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4), (6, 5), (6, 6)}. Pretstavi ja relacijata R vo koordinatna {ema.

5.

A

A

{to se dadeni so tabelata se pravo proporcionalni.

x

2

4

6

7

y

7 14 21 ?

Odredi go koeficientot na proporcionalnosta. [to treba da stoi na mestoto od pra{alnikot vo tabelata?

13. Veli~inite x i y se obratno propor-

cionalni so koeficient na proporcionalnosta k = 20. [to treba da stoi na mestata od pra{alnicite vo tabelata?

Koja od relaciite R1 ili R2 e preslikuvawe (funkcija) od A vo V? AxB B AxB 5 R1 R2 4 3 2 1 1 2 3 4 A

proporcijata 3 : 8 = x : 60.

1 2 3 4 5 6

A

x y

4

4 800 120

64

14. Za 5 dena 12 u~enici posadile 940 bor~iwa.

a) Za kolku dena istata rabota bi ja zavr{ile 30 u~enici? b) Kolku u~enici istata rabota bi ja zavr{ile za eden den? Proveri go tvoeto znaewe

213

ODGOVORI I RE[ENIJA zada~ite

NA

VEKTORI, TRANSLACIJA I ROTACIJA

TEMA 1.

2.

a) poluprava, b) prava ili "prekinata prava#.

3.

a) AB i DC; AO i OC; b) AB i BA; DC i BA.

4.

OA ­¯ O2A. 2.

AB, CD, EF.

1. a)

b

v)

a-

a

5.

b C

1. a) -a v)

M

a

2. b) i g).

-b + 0

3.

c

b)

(a +

c

|)

b) c

b

M

4. a) AC = a + b ; b) BD = b - a .

a -a

M

a+b

a b

6

1.

A 2. A

a

c

B1

B

a

a+c

b+c

214

b

a+b

a)

b

0-a a

a

0 3. a) AC; b) DB; v) -d; g) 0;

c

v) M

a

b a +

b v)

M

g)

M

-b

a

a

4.

c

b

d)

+0

O

b)

M g)

b

a-0 a

a-b

0

4

a

c

M

b) M

b

b) -

A

a

a)

Da.

b

a

D

b

a

(a +

a

6.

E

4.

b

B

b

b 2.

Da.

a-

b

3.

c

a

2.

c

b)

3

b

b

g)

c

Da; da.

b

c

c

Istonaso~eni se vektorite pod b), g), d). Sprotivnonaso~eni se vektorite pod a), v). Nasokite na vektorite pod |) ne se sporeduvaat. a

b-c

a

3.

1.

b)

-

1.

5

(a

2

a) poluprava, b) to~ka, otse~ka ili Æ.

b

1.

a-

1

Odgovori i re{enija na zada~ite

t(A) a

C1

A1 C 3.

t(A) M1