Electromagnetismo - Estática Electricidad Elemento Fuente Campo
Campo en Distrib. continuas
Leyes (estática)
{
{
Forma Integral
Forma Diferencial
Gauss
Q ∯ Ē⋅d̄S = εenc 0
E conservativo
∮ Ē⋅d̄l =0
̄ E ̄= ρ ∇⋅ ε0 ̄ E ̄ =0 ∇×
̄ ⋅d̄l = Δ W V B −V A =−∫A E Q B
Potencial
Magnetismo
I: cantidad de carga que pasa por unidad λ densidad lineal de carga [C/m] λ(̄r ') dl ' I d̄l , ̄I = λ ̄ v 2 de tiempo = dQ/dt [C/seg=Ampere] σ densidad superficial de carga [C/m ] q ' ̄v = ̄g dA , ̄ dQ ' = σ (̄r ') dS ' g =σ ̄v g: densidad superf. de corriente [A/m] ρ densidad volumétrica de carga [C/m3] J̄ dV , ̄ J = ρ ̄v J: densidad volumétrica [C/m3*m/s=A/m2] ρ( ̄r ') dV ' [T (Tesla)=N/(C m/s)=N/A m] 1 μ ̄ (̄r )= q (̄r −̄r ' )3 E ̄ (̄r )= 1 ∫ dQ ' (̄r − ̄r3 ' ) [N/C=V/m] B E ̄ (̄r )= 0 (q v̄ )×( r̄−3̄r ' ) Gauss= 10-4 T 4π ε 0 ∥̄r − ̄r '∥ 4π ε 0 4π ∥̄r − ̄r '∥ ∥̄r −̄r '∥ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ λ ( ̄r ' ) dl ' R ρ ( ̄r ' ) dV ' R (i ̄ (̄r )=k e ∫ ̄ (̄r )=k e ∭ ̄ (̄r )=k m∫ d l ' 3)× R ̄ (̄r )=k m∭ ( J dV '3)× R E E B B 3 3 R R R R C V C V ̄ 1 ̄ μ0 σ ( ̄r ' ) dS ' R ( g dS ')× R ̄ k e= ̄ (̄r )=k e ∬ ̄ (̄r )=k m∬ E k m= B 3 4π ε0 4π R3 R S S ̄ ̄ r: vector donde evalúo el campo r': vector de fuente de campo, sobre el cual integro R =̄r −̄r ' , R=∥R∥
V ( ̄r )=k e∫
dQ ' r
̄ =−∇ V E
Trabajo = Fuerza x Dist. Potencial = Trabajo /Carga = Campo x Dist.
̄ =Q E ̄ =−Q ∇ V ( ̄r )=−∇ U ( ̄r ) F
Fuerza Poisson
Forma Integral
Forma Diferencial
Ampere
∮ B̄⋅d̄l= μ0 I enc
̄ B ̄ = μ 0 J̄ ∇×
∄ monopolo
∯ B̄⋅d̄S =0
̄ B ̄ =0 ∇⋅
̄ ̄ (̄r )=k m∭ J (̄r ') dV ' A R V
̄ × ̄A ̄ =∇ B
Potencial vectorial con gauge de Coulomb
̄ =q ̄v × B ̄ ̄ = I d̄l × ̄B F F 2 ̄ =− μ0 J̄ ( ∇ 2 A x =−μ0 J x , ∇ 2 A y =−μ0 J y , ∇ 2 A z=−μ0 J z ) ∇ A
∇ 2 V =− ρ/ ε0
Expansión Multipolar y Momentos Electricidad Expansión del potencial V Campo E del dipolo Expansión ̄ ̄r ( p⋅r ) r Q ̄p⋅̄r ̄r Q ̄ (̄r )≈k e − ̄p3 +3 ̄ ̄5 ̄ + + +⋯ E Multipolar V ( ̄r )≈k e 5 r r3 r r 2r
[
Momentos
]
(
Magnetismo Expansión del potencial A Campo B del dipolo m× r ̄ ̄ ̄ +3 ( m⋅ ̄ ̄r ) ̄r ̄ ( r̄ )≈k m ̄ ( r̄ )=k m − m A +⋯ B 3 5 r3 r r
)
[
Monopolo Q: carga total Dipolo ̄p =q d̄ (dir de - → + ) ̄p =∭V ̄r ' ρ ( r̄ ' ) dV ' [C m2]
̄ Qi , j =∭ ρ( ̄r ' ) ( 3 xi ' x j ' −r ' 2 δ i j ) dV ' [C m2] Q/ V xi,j= x, y o z. δij: delta de Kronecker. ̄ E fijo=0 F ̄ E var =∇ ( ̄p⋅E ̄ ) ̄τ = ̄p × E ̄ U =− ̄p⋅E ̄ Fuerzas Dip F Cuadrup.
]
(
Monopolo No existe monopolo magnético 1 m= I∮ ̄ r ' ×d̄l ' ̄ I S n̂ =I S̄ m= ̄ 2
C
)
1 d m= ̄ 2 ̄r × J̄ dv
S: Área del dipolo. n̂ Normal a la corriente con mano derecha. m en [A m2]
Dipolo
̄ B fijo =0 F ̄ B var =∇ ( m ̄ ) ̄τ = m× ̄ U =− m ̄ F ̄ ⋅B ̄ B ̄ ⋅B
Electromagnetismo en Medios Materiales Campos
Electricidad ̄ =ε 0 E ̄ +P ̄ Desplazamiento D
̄ E ̄ =0 ∇× ρ +ρ Leyes en ∇⋅ ̄ E ̄= L P Medios ε0
Magnetismo ̄ =B ̄ / μ 0− M ̄ Intensidad Magnética H
̄ D ̄ P ̄ = ∇× ̄ ∇× ̄ D ̄ = ρ0 o ∯ D ̄ ⋅d̄S =Q L enc ∇⋅ S
̄ B ̄ = μ 0 ( J̄L+ J̄M ) ∇× ̄ B ̄ =0 ∇⋅
̄ H ̄ = J̄L o ∇×
Ley de Gauss en medios eléct., rotor ≠ 0
Si JM =0, Ampere en B Fuentes
̄ × ̄P , ̄P × n̂ E: ρ L , σ L , ρ P ,σ P D: ρ L , σ L , ∇ ̄ ×D ̄ , D× ̄ n̂ . P: ρ P ,σ P , ∇
̄ P ̄ ρ P =− ∇⋅ ̄ ⋅̂n σ P= P
B: J̄L , ḡL J̄M , ḡM
̄ d̄l=∬ J̄L⋅d̄S ∮C H⋅ S
Ley de Ampere en medios magnéticos, pero ̄ H ̄ M ̄ =− ∇⋅ ̄ = ρM (divergencia ≠ 0) ∇⋅
Si ρM =0, Ampere en H
H: J̄L , ḡL ρ M , σ M
M: J̄M , ḡM − ρ M ,−σ M
̄ M ̄ Densidades volumétrica (JM)y superficial (gM) de J̄M = ∇× ̄ × n̂ corriente de magnetización. JL y gL densidades de ḡM = M n̂
Densidades volumétrica (ρP) y superficial corriente libres. separa los medios. (σP) de carga de polarización. ρL y σL dens. ̄ Densidades volumétrica (ρM) y superficial (σM) de carga ̄ ρ =− ∇⋅ M M de cargas libres. n̂ separa medios. ̄ n magnética. Funcionan como cargas magnéticas, en pares σ M = M⋅̂ (σM polos Norte y Sur). n̂ separa los medios. ̄ = Δ ̄p / Δ v es la polarización del medio (momento ̄ = Δ m/ P M ̄ Δv es la magnetización del medio (momento magnético por dipolar por unidad de volumen) unidad de volumen)
Teoría Macroscópica 〈V ( ̄r ) 〉= k e
[∭ V
ρ P (̄r ') σ (̄r ' ) dV ' +∯ P dA' ∥̄r − ̄r '∥ ∥ r̄ −r̄ '∥ S
Potencial eléctrico
En Medios LIH C. Cont.
]
[∭ [∭
̄ (̄r )〉=k m 〈A
V
] ]
J̄M (̄r ) ḡ (̄r ) dV ' +∯ M dA' Potencial magnético vectorial ∥̄r − ̄r '∥ r −̄r '∥ S ∥̄
ρM (̄r ) σ (̄r ) dV ' +∯ M dA' Potencial magnético escalar ∥ r − r '∥ ∥ r − r '∥ ̄ ̄ ̄ ̄ V S ̄ ̄ k: constante dieléctrica, ≥ 1 ̄ =B ̄ / μ μ: Permeabilidad magnética ̄ = χm H ̄ H M ̄ = χe E ̄ D =ε E P χm: Suceptibilidad mag.. Diamagnéticos <0, ε=k e ε0 χe: suceptibilidad dieléctrica μ− μ0 μ= k m μ0 χ e =ε−ε 0 Electrete: Con Eext=0: P≠ 0 y puede χ m = μ k e =1+ χ e k m=1+ χ m Paramagnéticos >0, Ferromagnéticos >>0 0 ̄ ̄ Ē 1 ∥= Ē2 ∥
V M (̄r )=k m
̄ = ∇ × ̄P ∃ D ≠ 0. ∇ × D ̄1 ⊥ = D ̄2 ⊥ D
km: Permeabilidad relativa. B̄1 ⊥ = B̄2 ⊥ H̄ 1 ∥= H̄ 2 ∥
Conductores Ideales Toda la carga en las superficies. En interior:E=D=P= 0 o V=cte. E ┴ superficie del conductor, con valor σ/ε0 Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012
Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC
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Corrientes ̄ J̄ dV . Normal hacia I =∬S J̄⋅̂n dS . Por conservación de cargas, corriente ingresando en superficie cerrada S: I =−∯S J̄⋅̂n dS =−∭V ∇⋅ dQ d ∂ρ ̄ = ∭ ρ(̄r ' ) dV ⇒ ∭ ( + ∇⋅̄ J )dV =0⇒ afuera de S, I positivo si entra carga en S. I = dq dt V ∂t v ∂ρ ̄ ̄ ̄ . σ: conductibilidad (en [Ω m]), ρ = 1/ σ resistividad. + ∇⋅J =0 Ley de Ohm Microscópica: ̄J =σ E ∂t ̄⋅d̄l =E l . Pero I =∬ ̄ J⋅d̄S =JS =σES ⇒ I =JS /l ΔV . Llamo JS/l = R la resistencia En un cable recto, la diferencia de potencial es ΔV =−∫C E S
Ecuación de Continuidad: ΔV =RI
del cable, y queda:
Ley de Ohm Macroscópica. R en [V/ A = Ohm (Ω)]
Inducción dΦ ̄ d̄S Flujo Magnético: Φ=∬ B ̄ ⋅d̄S (unidades: Weber, [1 Wb = 1 T.m2]). . ε=∮ E dt Ley de Lenz: La dirección de la corriente inducida produce un campo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético que genera esa corriente (1-Defino n̂ para la superficie. 2-Veo signo de Φ. 3-Veo signo de dΦ/dt, si >0, ε<0 y viceversa. 4-Dirección de la corriente para ε>0 con ̄ ̄ ×E ̄ =− ∂ B regla mano derecha pulgar apuntando en n̂ , al revés para ε<0). ∇ ∂t dΦ dΦ dΦ dI dI Autoinductancia. L= , queda ε=− para un circuito fijo =− ⇒ ε=−L dI dt dI dt dt dΦ ∂Φ dI Inductancia Mutua. ε 12=− 12 M 12= 12 ε 12=−M 12 2 Φ 12=∬1 B̄2⋅d ̄S 1 . Φ12 es el flujo del campo magnético del objeto 2 sobre el área dt ∂I2 dt dI dI dI dI del objeto 1. ε12 es la emf asociada al cambio de este flujo con el tiempo. M12 = M21 = M. ε 1 =−L1 1 −M 2 , ε 2 =−M 1 − L 2 2 dt dt dt dt
Ley de Faraday: ε=−
Circuitos Elemento Voltaje React. (Ω) Imped. (Ω) Amplit. I Fase ϕ Resistencia V=IR R ZR=R IR0=V0/R I en fase con V: V→, I→ Capacitor V=Q/C Inductor
XC=1/ωC
V=L dI/dt XL=ωL
Resistencia:
En serie: R = R1 + R2
Capacitancia:
Placas paralelas C=
t=∞
Complejos Z̄ =a+b i=∣Z̄ ∣e i φ ∣Z̄ ∣= √ a 2 +b 2 ,φ=tan −1 (b /a ) r ei φ=r (cos φ+i sin φ)
ZC= - i/(ωC) IC0=V0/ZC I delante de V 90°: V→, I↑ ZL=i ωL
IL0=V0/ZL I atrás de V 90°: V→, I↓
Resistencia úníco elemento que disipa potencia, P=I2R=IV
En paralelo: 1/R = 1/R1 + 1/R2
ε0 A ̄= σ = Q ,E d ε0 A ε0
Cilíndrico C=
2π ε 0 L . ln (b /a )
En serie: 1/C = 1/C1 + 1/C2 En paralelo: C = C1 + C2
Inductancia:
t=0
Esférico C=4π ε 0 a b . b−a
Esfera aislada C=4π ε 0 R
Con Dieléctrico: C=ke C0 (ke=ε/ε0)
μ l Cable: L= 0 8π
μ l μ l μ l Cilindro hueco: L= 0 (ln (2 l/ r)−1) , l≫r Cables paralelos: L= 0 ln( d /r ) , l≫d ≫r Coaxil: L= 0 ln( b /a) 2π π 2π En serie: L = L1 + L2 En paralelo: 1/L = 1/L1 + 1/L2 [r radio del cilindro / cable, d dist. entre cables, a y b radios coaxil]
Impedancia: En serie: Z = Z1 + Z2 En paralelo: 1/Z = 1/Z1 + 1/Z2 Z complejo: Re(Z)= Resistencia (R), Im(Z)=Reactancia (X) Leyes de Kirchoff: 1.Ley de Nodos: La suma de las corrientes en cada nodo Thevenin: 1-Remover RL y reemplazar por terminales abiertas A y B. 2-Encon= 0 (corriente que entra al nodo = a la que sale). 2.Ley de Mallas.En cada malla (o loop) la suma de las diferencias de tensión (V) = 0. Para sumar elijo una Dir para cada I, y una Dir de Giro en la malla. En bats, si Dir de Giro va de | a │ ⇒ +ε . En Rs, si Dir de Giro = Dir de I ⇒ -RI. En Cs, si Dir de Giro va de +q│ a │-q ⇒ -q/C
trar Is con Kirchoff (circuito ab. en A y B para Is). 3-Encontrar Vth agregando bat Vth entre A y B, con cualquier malla que pase por Vth, y con Is calculadas en 2 (I=0 para elementos en terminales abiertas). 4-Encontrar Rth con cortocircuito en baterías (salvo sus resistencias si tienen) y calculando R equivalente = Rth.
Corriente Alterna. Régimen transitorio: 1er orden (Circ RL): x˙ +(1 /τ ) x=b , x h (t)=k e−t / τ , x p (t )=bτ , x (t)= x h + x p=k e−t / τ +bτ 2do Orden (Circ. RLC)
λ t λ t x¨ +2b x˙ +ω20 x= F (t) , x h (t)= A e 1 +B e 2 λ 1,2=−b± b 2−ω20 , ω= ω02−b 2
√⏟
√
α
b>ω0 Sobreamortiguado xh(t)=e -bt (A e αt + B e-αt) b<ω0
Subamortiguado xh(t)=e
-bt
(A e
iωt
Antioscilador
-iωt
)=A1 e
+Be
-bt
cos (ωt+ φ0)
b=ω0 Amortig. Crítico xh(t)=e -bt (A+ B t) b=0 Osc. Armónico xh(t)=A e i ω0t + B e -i ω0t= A1 cos (ω0t+ φ0)
x¨ −ω02 x= F (t ) xh(t)=Ae ω0t+Be
ω0t
Régimen estacionario: Ley de Ohm de Fasores: ̄ε = Z ̄ ̄I . V(t)= V0 cos(ωt). V(t)=V0 e iωt . I(t)= I0 cos(ωt - ϕ). I(t)=I0 e i(ωt-ϕ). ∣Z∣=V ef / I ef En Serie: I(t) igual para todos los elementos, V(t) desfasado. Dibujar Fasores de V. En paralelo: I(t) desfasada, V(t) igual. Dibujar Fasores de I. 2 I V V Potencia entregada x fuente: P(t)=I(t)V(t). 〈 P 〉= 0 0 cos(ϕ)= 0 cos(ϕ Z T )=I rms V rms cos(ϕ)=I 2rms R .ϕ: fase de Zeq, cos(ϕ):Factor de Potencia, 2 2∣Z̄T∣ Vrms= V0 / √2. Transformador Ideal:
V 2 N 2 I1 = = , M2=L1L2, Pin=I1V1=Pout=I2V2. V 1 N1 I 2
Energía Distribuciones Discretas Continuas En medios Densidad
Electricidad k q 1 ' U = ∑ q j V i j , conV i j = e i 2 j ∣r̄i −r̄j∣ 1 ε U = ∭ ρ(̄r ' )V ( ̄r ' ) dV ' U = 0 ∭∣̄ E∣2 dV 2 V' 2 ∞ 1 ̄⋅D ̄ dV U= ∭ E 2 ∞ 2 2 ε q CV u E= 0 E 2 = Energía de un Capacitor: U E = 2 2C 2
Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012
Magnetismo dΦ ji 1 U = ∑ I j Φ j , con dΦ j =∑ dI =∑ M ji dI i 2 j dI i i i i 1 1 U = ∑ ∮ d̄l j⋅̄A U= ∭∣B̄ ∣2 dV 2 μ0 ∞ 2 j C 1 ̄ ⋅H ̄ dV U= ∭ B 2 ∞ 2 1 B Energía de un solenoide: U B = L i 2 u B= 2 2 μ0
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j
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Ejemplos de Campos Electricidad Magnetismo q 1 1 I q: carga, r: distancia. V=0 en | Cable ̄ =k e 2 ̂r ̄ =k m (sin θ 2−sinθ 1 ) θ̂ r distancia ┴ al cable,θ1 y θ2 ángulos E V =k e Q − B subtendidos en r por los extremos r r ref z|=∞ finito r r μ0 I Q Q Adentro E=0. Q: Carga total. r distancia ┴ al cable. Cable en ̄ =k e 2 ̂r E ̄= V =k e , r≥R θ̂ Cable ∞ B Similar a esf. conductora dirección z. r 2π r r R 1 λ μ g ̄= E ̂r V = λ ln( ref ) r: distancia ┴a la línea. V=0 ̄ =± 0 ̂y , z > 0 Plano en xy, g en dirección x+ Plano ∞ B en r=Rref 2π ε0 r 2π ε 0 r 2 < 1 σ Plano ∞ E Solenoide B Solenoide en xy, I en dirección x+, ̄ =± V =V 0 − σ ∣z∣ V=V0 en z=0 n̂ ̄ =μ 0 n I ẑ L= μ0 n 2 A l 2 ε0 2 ε0 n =N/ l (densidad de espiras) ∞ 2 Q Q z μ Anillo E E medido en eje z. R: ̄ =k e 2 2 3/2 ̂z V =k e Espira B B en eje de la espira. Espira en ̄ = 0 2 R I2 3/2 ̂z uniforme ( z +R ) 2 (z +R ) plano xy. R radio espira √( z 2+ R 2) radio. V=0 en |z|=∞ circular E medido 2 2 ∣z∣ σ Disco σ R μ μ ̄ =± E 1− 2 2 ẑ V = ∣z∣ 1+ 2 −1 en eje z. ̄ = 0 N I θ̂ L= 0 N S B dentro del toroide. N:vueltas Toroide B 2 ε0 uniforme 2ε 0 √R + z z 2π r 2π r totales. r: radio toroide. S: área tor. V=0 |z|=∞
(
Carga Puntual Esfera carga un. Línea de carga ∞
(
)
(√
)
)
Constantes Constante eléctrica
Permitiv. el. vacío
2
Nm 1 k e =8.988×10 = 2 4π ε 0 C 9
−12
ε 0 =8.85×10
2
Coulomb
Constante magnética Permeab. mg. vacío Velocidad de la luz
18
C 1C=6.2×10 e N m2 e=carga electrón
−7
μ0 =4π×10
T⋅m N = 2 A A
−7
μ0 =4π×10
T⋅m A
c=
1
√ ε o μ0
≈3×10
8
m seg
Apédice Matemática Tipos de Integrales
Simple
De función escalar f (̄r ) Integral simple
̄ (̄r ) De campo vectorial F Integral simple sobre un campo
∫ f (t )dt =k
∫ F̄ (t)dt =∫ F 1 (t)dt x̂ +∫ F 2 (t)dt ̂y +∫ F 3 (t )dt ̂z= ̄r
Integral de línea
Curva
∫C
Circulación de un campo – Vector dot dl = escalar
b
b
f (̄r )dl =∫a f (̄γ (t)) ∥̄γ ' (t)∥dt= k
∫C F̄ (̄r )⋅d̄l=∫a F̄ (̄γ (t))⋅ ̄γ ' (t)dt =∫C F x dx + F y dy+ F z dz=k
γ(t):[a , b]→ℝ 3 parametrización regular de C
Vector por dl = Vector
Si f ( ̄ r )⩾0 se puede interpretar como el “área de una valla”
∫C F̄ (̄r )dl =∫
C
Doble
Integral doble / de área
Integral doble sobre un campo
∬D f ( x , y ) dA=∬D f ( x , y) dx dy=k
∬D F̄ ( x , y) dA=∬D F 1 ( x , y) dx dy x̂ +∬D F 2 ( x , y) dx dy ̂y= ̄r
Integral de superficie
∬S f (̄r ) dS=∬D f
F 1 ( r̄) dl x̂ +∫C F 2( ̄r ) dl ̂y +∫C F 3 ( r̄) dl ̂z = ̄ r
Flujo de un Campo – Vector dot dS = escalar
(T̄ (u , v ))∥T̄ u×T̄ v∥du dv=k
Superficie
̄ d̄S =∬ F ̄ (̄r )⋅̂n dS =∬ F n dA= k ∬S F⋅ S Integral de superficie sobre un campo - vector por dS
∬S F̄ ( r̄)dS =∬S F 1 (̄r )dS
x̂ +∬S F 2 (̄r ) dS ̂y +∬S F 3 ( r̄ )dS ̂z =̄r
Ejemplo: Campo eléctrico de una superficie
Volumen
Integral triple / de volumen
∭V
Integral de volumen sobre un campo
f (̄r )dV =∭V f ( x , y , z) dx dy dz=k
∭V F̄ (r̄)dt =∭
V
F 1 (̄r ) dV x̂ +∭V F 2 (̄r ) dV ̂y +∭V F 3 ( ̄r ) dV ̂z =̄r
Teoremas de Cálculo Vectorial Cambio de Variable: T : ℝ 2 →ℝ 2 inyec. y C 1 . D*⊂ℝ 2 acotado y f : D=T ( D* )→ℝ integrable. Si DT inversible en D* ⇒
∫D
D*
T
f =∫D * ( f ∘ t )∣det (D T )∣ . Ej. polares, D círculo r=R, D* r x θ: [0,R] x [0,2π], T(r,θ)={x=r cos θ, y=r sin θ} 2
Stokes
Green (o Stokes en áreas de ℝ )
̄ F ̄ ̄l =∬ ( ∇× ̄ )⋅k̂ dA ∮∂ D=C F⋅d D
D f ◦T
f
ℝ
Gauss
̄ d̄l ∬S ( ∇̄ × F̄ )⋅d̄S=∮∂ S =C F⋅
̄ F ̄ )dV =∯ ̄ n dS F⋅̂ ∭V ( ∇⋅ ∂V = S
2
La integral del rotor de un campo en un área de ℝ es El flujo del rotor de un campo sobre una superficie La integral de volumen de la div. de un campo es igual al es igual a la circulación del campo sobre la frontera flujo del campo sobre la superficie que envuelve al vol. igual a la circulación del campo sobre el borde
Expansión Binomial: (1±ε)n ≃1±n ε+… (ε ≪1) . Ej.:
2 −1/ 2
( ) (
1 1 1 L = = 1+ √ r 2+ L 2 √ r 2 (1+ L 2 /r 2) r r 2
≃
2
)
2
2
1 1L 1 L L 1− = − 3 ( L≪r ,ε= 2 ) r 2 r2 r 2r r
Integrales Relevantes ̄ ∮C d̄l =0 ∮C ̄r⋅d̄l =0 ∮C ̄r × d l =2 A
(A:Área encerrada)
Productos Escalar y Vectorial ̄⋅B ̄ = A x B x + A y B y + A z + B z =∣A∣∣B∣cos θ A
∮ C'
d̄l '⋅( ̄r −̄r ' ) =0 3 ∣̄r −̄r '∣
∣
∮ C'
d̄l ' ×(̄r −̄r ' ) ̄ d̄l ' = ∇ ×∮ 3 ∣ r −̄r '∣ ̄ ∣̄r −̄r '∣ C'
∭ V'
̄ ×( ̄r −̄r ' ) A ̄ ∭ ̄A dV ' dV ' = ∇× 3 r −̄r '∣ ∣̄r − r̄ '∣ V ' ∣̄
∣
̂y ̂z x̂ ̄ ×B ̄ = A x A y A z =− ̄B× ̄A=∣A∣∣B∣sin θ ê , ê ⊥ ( ̄A , B ̄) A Bx B y Bz Regla de la mano derecha: Pulgar A, Índice B, del Medio A x B
Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012
Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC
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Identidades y Operaciones Simples Con Gradiente
∇ ( f + g )=∇ f +∇ g
̄ A ̄ A ̄ ̄B ̄+̄ ̄ + ∇⋅ Con Divergencia ∇⋅( B )= ∇⋅ ̄ ×( ̄A + B ̄ × ̄A+ ∇× ̄ B ̄ )= ∇ ̄ ∇
Con Rotor
∇ ( f g )=g ∇ f + f ∇ g
̄ ) ̄A+( A ̄ )B ̄ ̄ ̄ ×B ̄ )=( B ̄ ⋅∇ ̄ ⋅∇ ̄+B ̄ ×( ∇× ̄) ∇ ( ̄A⋅B A )+ ̄A×( ∇
̄ f ̄A)=(∇ f )⋅̄A + f ( ∇⋅ ̄ A ̄) ∇⋅(
̄ A ̄ × ̄A)− ̄A⋅( ∇ ̄ ×B ̄ ∇ ̄ × f )=0 ̄ ×B ̄ )= B ̄ ⋅( ∇ ̄ ) ∇⋅( ∇⋅(
̄ ×( f ̄A)=(∇ f )× A ̄ ×A ̄ + f (∇ ̄) ∇
̄ ×( ∇ ̄ × ̄A)=∇ ( ∇⋅ ̄ ̄A)−∇ 2 A ̄ ∇
̄ ×( B ̄ ×C ̄ )= B ̄ (A ̄⋅C ̄ )−C ̄ ( ̄A⋅̄B ) ( ̄A× ̄B)× C= ̄ B ̄ (A ̄⋅C ̄ )− ̄A ( B ̄ ⋅C ̄) A
̄ ×(∇ f )=0 ∇
̄ )A ̄ )B ̄ ̄A)+ ̄A( ∇⋅ ̄ B ̄⋅∇ ̄ −( ̄A⋅∇ ̄ −B ̄ ( ∇⋅ ̄) ∇ ×( ̄A× ̄B )=( B
Con Laplaciano ∇ 2 ( f g )=g ∇ 2 f + f ∇ 2 g+2 (∇ f⋅∇ g ) Operaciones Simples
r ∇ r=r̂ = ̄ r
∇ r =n r
∇ ( ̄A⋅r̄ )= ̄A
̄ ̄r / r 3 =0 ∇⋅
n
n−1
n−2 r̂ =n r ̄r
1 r̂ r ∇ =− 2 =− ̄3 r r r
∇
1 r̂ r =−2 3 =−2 ̄4 r2 r r
̄ ̄ ∇⋅ r =3
̄ ×̄r =0 ∇
∇
1 r̂ r =−n n+1 =−n ̄n+2 , n>0 rn r r 2
∇ (1/ r)=−4π δ( ̄ r)
Coordenadas Polares / Cilíndricas (̂r , θ̂ , ̂z ) ̂ F z ẑ ̄ =F r r̂ +F θ θ+ F
Cartesianas ( x̂ , ̂y , ̂z ) ̄ = F x x̂ +F y ̂y + F z ̂z F
Vectores
Cart.: x̂ × ̂y =̂z ̂y ×̂z = x̂ ẑ × x̂ = ̂y Coord Cilíndricas: Notación altern: (ρ, θ o φ, z) ̂ ẑ = r̂ ̂z ×̂r = θ̂ r̂ × θ̂ =̂z θ× Esféricas: Notación alter.: (r, θ, φ o ϕ) Versores
(radial, cenital, azimutal)
̂ ẑ = r̂ ̂z ×̂r = θ̂ r̂ × θ̂ =̂z θ×
r= √ x + y : [ 0,+∞ ) θ=tan −1 ( y/ x): [0,2 π] z=z (−∞ ,+∞) 2
2
r̂ = x/ r ̂x + y/ r ̂y ̂ θ=− y/ r ̂x +x / r ̂y ̂z =̂z
x=r cos(θ ) y=r sin(θ ) z=z
x̂ =cos θ r̂ −sinθ θ̂ ̂y =sin θ ̂r +cos θ θ̂ ̂z =̂z
̂ , θ) ̂ ϕ cenital, θ azimutal Esféricas (̂r , ϕ ̂ F θ θ̂ ̄ = F r ̂r + F ϕ ϕ+ F r= √ x + y +z : [ 0,+∞ ) ϕ=cos−1 ( z/ r): [0, π ] θ=tan −1 ( y/ x): [0,2 π] 2
2
2
x=r cos(θ )sin (ϕ) y=r sin (θ )sin (ϕ) z=r cos(ϕ)
r̂ =sin ϕ cosθ x̂ +sin ϕ sin θ ̂y +cos ϕ ̂z ̂ ̂ ϕ=cos ϕ cosθ x̂ +cosϕ sin θ ̂y −sin ϕ ̂z θ=−sin θ x̂ +cos θ ̂y ̂ x̂ =sin ϕ cosθ ̂r +cos ϕcos θ ϕ−sin θ θ̂ ̂ ̂y=sin ϕ sin θ r̂ +cosϕ sin θ ϕ+cosθ θ̂ ẑ =cos ϕ r̂ −sin ϕ ϕ̂
r2 sin ϕ ̂ sin ϕ dθ θ̂ dr r̂ +r dϕ ϕ+r 2 r sin (ϕ)dr dθ ϕ̂ r sin(ϕ)dϕ dθ r̂
d̄l d̄S dV
1 dx x̂ +dy ̂y +dz ̂z dy dz x̂ dx dz ̂y dx dy ̂z dx dy dz
r ̂ dr r̂ +r dθ θ+dz ̂z r dθ dz ̂r r dr dθ ẑ dr dz θ̂ r dr dθ dz
̄ f ∇
∂ ̂x + ∂ ŷ + ∂ ̂z ∂x ∂y ∂z
∂ r̂ + 1 ∂ θ+ ̂ ∂ ̂z ∂r r ∂θ ∂z
̄ F ̄ ∇⋅
∂ F x ∂ F y ∂F z + + ∂x ∂ y ∂ z
∂Fθ ∂ 1 ∂ (r F r )+ + (r F z ) r ∂r ∂θ ∂z
1 ∂ 2 1 ∂ (sin ϕ F )+ 1 ∂ F θ (r F r )+ ϕ r sin ϕ ∂ ϕ r sin ϕ ∂θ r2 ∂ r
) (
1 ∂ (sin ϕ F )− ∂ F ϕ ̂r + θ r sin ϕ ∂ ϕ ∂θ 1 1 ∂ Fr ∂ 1 ∂ (r F )− ∂ F r θ̂ ̂ + − (r F θ ) ϕ+ ϕ r sin ϕ ∂ θ ∂ r r ∂r ∂ϕ
Jacob.
̄ F ̄ ∇×
̄ F ̄ ∇× Det.
(
) (
)
(
∣
x̂ ∂ ∂x Fx
)
̂y ∂ ∂y Fy
̂z ∂ ∂z Fz
r= ˙ x˙ x̂ + ˙y ŷ + z˙ ẑ r= ¨ x¨ x̂ + ¨y ̂y + z¨ ẑ
∇2 f
∂ f ∂ f ∂ f + + ∂ x 2 ∂ y2 ∂ z 2
2
] )
∂Fr ∂ Fz ̂ 1 ∂F z ∂ Fθ − ̂r + − θ+ r ∂θ ∂z ∂z ∂r 1 ∂(rF θ ) ∂ F r + − ̂z r ∂r ∂θ
(
∣
∣
r˙ , r¨
2
(
)
r̂ ∂ ∂r Fr
r θ̂ ∂ ∂θ r Fθ
̂z ∂ ∂z Fz
2
2
[
]
[
] [
∣
∣
r̂ 1 ∂ r 2 sin ϕ ∂ r Fr
̂ z˙ ẑ r= ˙ r˙ r̂ +r θ˙ θ+ 2 ̂ z¨ ẑ ¨ θ+ r=( ¨ r¨ −r θ˙ ) r̂ +(2 r˙ θ˙ +r θ)
2
r sin ϕ dθ dϕ dr 1 ∂ r̂ + 1 ∂ ϕ+ ∂ θ̂ ̂ ∂r r ∂ϕ r sin (ϕ) ∂ θ
[
∂F z ∂ F y ∂F x ∂ Fz − x̂ + − ̂y + ∂y ∂z ∂z ∂x ∂ F y ∂ Fx + − ̂z ∂x ∂y
r dr dϕ θ̂
2
2
1∂f ∂ f 1 ∂ f ∂ f + + + r ∂ r ∂ r 2 r 2 ∂ θ2 ∂ z 2
]
̂ r sin ϕ θ̂ rϕ ∂ ∂ ∂ϕ ∂θ r F ϕ r sin ϕ F θ
∣
r= ˙ r˙ r̂ +r sin(ϕ) θ˙ θ̂ +r ϕ˙ ϕ̂ r¨ =( r¨ −r ϕ˙ 2−r sin 2 ϕ θ˙ 2 ) ̂r +( 2 sin ϕ θ˙ r˙ +2r cos ϕ θ˙ ϕ˙ + 2 ̂ ̂ ( 2 r˙ ϕ+r ˙ ϕ−r ¨ +r sin ϕ θ¨ ) θ+ sin ϕcos ϕ θ˙ ) ϕ
(
)
(
2
)
1 ∂ 2∂ f 1 ∂ f ∂ sin ϕ ∂ f + 1 r + 2 ∂r ∂ ϕ r 2 sin 2 ϕ ∂θ 2 r2 ∂ r r sin ϕ ∂ ϕ
ϕ̂
r dϕ
θ̂
r̂
r sin (ϕ) dθ
dr
Áreas / Volúmenes Esfera: Area: 4π r2 Vol:4/3 π r3. Cilindro: Area:2π r2+ 2π r h Vol:π r2 h. Círculo: Area: π r2 Diámetro:2 π r.
Resumen Fórmulas Física 3 - Catedra Miraglia, 1 er sem 2012
Por A. Frenkel, 2012 CC - BY - NC
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