Formulas Dr. Alberto Marcos Vásquez UBA

Page 1

FISICA 3. Apendice Matematico. Resumen de las ecuaciones usadas 1er cuatrimestre de 2012 J. Miraglia, A. Vasquez y C. Archubi (Dated: July 13, 2012)

Abstract SISTEMAS DE COORDENADAS − → cartesiano, esfericas y cilindricas.formulas que contienen ∇. Integrales de interes.Operaciones vectoriales simples.Expansiones elementales.El teorema de Green. El teorema de Stokes. EXPRESIONES EXPLICITAS DE LOS OPERADORES Expresion explicita de los operadores gradiente, divergencia, laplaciano y las direccionales. LA FUNCION δ DE DIRAC y Θ DE HEAVISIDE Funciones δ de Dirac en una y tres dimensiones. La funcion Θ de heaviside. Propiedades. Ecuaciones de Poisson y Green. DESARROLLOS PARTICULARES. − → P/Determinar campo magneticos. P/Materiales magneticos. P/Divergencia nula de A . Un truco basico. PACS numbers:

1

I.

SISTEMAS DE COORDENADAS

→ Coordenadas cartesianas: {x, y, z}, d− r = dxdydz, x ∈ {−∞, ∞}, y ∈ {−∞, ∞}, z ∈ − → {−∞, ∞}. Los vectores se escriben como F = Fx ex + Fy e y + Fz e z , Fx,y,z , con Fx,y,z (x, y, z), y los versores satisfacen

ex × e y = e z ,

ey × e z = ex ,

e x · e y = e y · ez = e z · e x = 0 ,

Coordenadas esfericas: {r, θ, ϕ},

ez × ex = ey ,

(1) (2)

→ d− r = r2 sin θ drdθdϕ, r ∈ {0, ∞}, θ ∈ {0, π}, ϕ ∈

{−π, π}. La transformacion {r, θ, ϕ} ←→ {x, y, z} es:   r = x2 + y 2 + z 2    θ = arc cos √ 2 z 2 2 , x +y +z     ϕ = arctan y x      x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ .     z = r cos θ

(3)

(4)

− → Los vectores se escriben como F = Fr er + Fθ eθ + Fϕ eϕ , con Fr,θ,ϕ = Fr,θ,ϕ (r, θ, ϕ) y los versores satisfacen

e r × e θ = eϕ ,

eθ × eϕ = e r ,

e r · e θ = eθ · e ϕ = eϕ · e r = 0,

eϕ × e r = eθ ,

   er = sin θ cos ϕ ex + sin θ sin ϕ ey + cos θ ez  

eθ = cos θ cos ϕ ex + cos θ sin ϕ ey − sin θ ez     eϕ = − sin ϕ ex + cos ϕ ey

   ex = sin θ cos ϕ er + cos θ cos ϕ eθ − sin ϕ eϕ   ey = sin θ sin ϕ er + cos θ sin ϕ eθ + cos ϕ eϕ     ez = sin θ er − sin θ ey 2

(5) (6)

(7)

(8)

→ Coordendas cilindricas: {ρ, ϕ, z}, d− r = ρ dρdϕdz, ρ ∈ {0, ∞}, ϕ ∈ {−π, π}, z ∈ {−∞, ∞}. La transformacion {ρ, ϕ, z} ←→ {x, y, z} es:   ρ = x2 + y 2  ϕ = arctan

y x

  x = ρ cos ϕ

y

 y = ρ sin ϕ

(9)

− → y obviamente z = z. Los vectores se escriben como F = Fρ eρ + Fϕ eϕ + Fz e z , con Fρ,ϕ,z =

Fρ,ϕ,z (ρ, ϕ, z) y los versores satisfacen:

eρ × e ϕ = ez ,

e ϕ × ez = eρ ,

eρ · e ϕ = eϕ · e z = ez · eρ = 0

  ex + sin ϕ ey eρ = cos ϕ  eϕ = − sin ϕ ex + cos ϕ ey

y

y obviamente e z = ez . A.

ez × e ρ = eϕ   ex = cos ϕ eρ − sin ϕ eθ  ey = sin ϕ eρ + cos ϕ eθ

(10) (11)

(12)

Vectores

Recodar que

− → − → − → − → A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz = AB cos α, /α= A B e x e e y z − → − → − → − → − → − → A × B = Ax Ay Az = − B × A = AB sin α e / e ⊥ ( A , B ) Bx By Az

Formulas especificas de interes en el curso seran:

3

(13)

(14)

− → − → − →

A· B×C = − → − → − →

A× B×C = − → − → − → (A × B) × C = → − − → − → − → ( A × B ) · (C × D) = =

B.

Ax Ay Az Bx By Bz Cx Cy Cz − → − → − → − → − → − →

B· A·C −C· A·B ó

− → − → − → − → − → − → B· A·C −A· B·C − → − → − → − →

− → − → − → − →

C A· B×D −D A· B×C − → − → − → − →

− → − → − → − →

B A· C ×D −A B· C ×D

(15)

(16) (17) ó

(18) (19)

− → Formulas que contienen ∇

Que contienen el gradiente, − → − → − → ∇(u + v) = ∇u + ∇v, − → − → − → ∇(u v) = v ∇u + u ∇v, − →− →− → − → − →− → − → − →− → − → − → − → − → − → − → ∇( A . B ) = ( B · ∇) A + ( A · ∇) B + B × ( ∇ × A ) + A × ( ∇ × B ),

(20) (21) (22)

que contienen la divergencia, − → − → − → ∇ · (A + B) − → − → ∇ · (u A ) − → − → − → ∇ · (A × B) − → − → ∇ · ( ∇ × u)

− → − → − → − → = ∇ · A + ∇ · B, − → − → − → − → = ( ∇u) · A + u( ∇ · A ), − → − → − → − → − → − → = B · ( ∇ × A ) − A · ( ∇ × B ), = 0,

!!

(23) (24) (25) (26)

que contienen el rotor, − → − → − → ∇ × (A + B) − → − → ∇ × (u A ) − → − → − → ∇ × (A × B) − → − → − → ∇ × (∇ × A ) − → − → ∇ × ( ∇u)

− → − → − → − → = ∇ × A + ∇ × B, − → − → − → − → = ( ∇u) × A + u( ∇ × A ), − → − →− → − → − →− → − →− → − → − → − → − → = ( B · ∇) A − ( A · ∇) B − B ( ∇ · A ) + A ( ∇ · B ), − → − →− → − → = ∇( ∇ · A ) − ∇2 A , = 0

!!

(27) (28) (29) (30) (31)

y que contienen el Laplaciano, 4

− → − → ∇2 (uv) = u∇2 v + v∇2 u + 2 ∇u ¡ ∇v . C.

Integrales de interes

C1

C1

− → dl 1 = 0

(33)

− → − dl 1 ¡ → r = 0

(34)

C1

− → − → r Ă— dl 1 = 2A

/ A = area encerrada

− → − → → → dl 1 Ă— (− − → dl 1 r −− r 1) = âˆ‡Ă— − → − → 3 − → − → | r − r 1| C1 C1 | r − r 1 | → − − → dl 1 ¡ (→ r −− r 1) = 0 3 − → − → | r − r 1| C1 − →− − →− → → − → A (→ r 1 ) Ă— (− r −− r 1) A (→ r 1) − → − → dr1 = ∇ Ă— d r 1 − → → 3 − → − → |r −− r 1| |r − r | V V

1

1

D.

(32)

(35) (36) (37) (38)

1

Operaciones vectoriales simples

Que contienen el gradiente, − → ∇r − → n ∇r − →1 ∇ r − → 1 ∇ 2 r − → 1 ∇ n r − → − →→ ∇ ( A .− r)

= = = = = =

− → r r = , r → n−1 nr r = nrn−2 − r , − → r r − 2 =− 3 , r r − → r r −2 3 = −2 4 , r r − → r r −n = −n n+2 , n > 0 . r1 r − → A ,

(39) (40) (41) (42) (43) (44)

que contienen la divergencia, → − → − r ∇¡ 3 = 0, r − → − ∇ ¡â†’ r = 3, − → − → → → → − → − r A (− m¡âˆ’ r )− → A ¡ ∇ 3 = 3 −3 r , 5 r r r 5

(45) (46) (47)

que contienen el rotor, − → − ∇ ×→ r =0,

(48)

y que contienen el laplaciano, ∇2 2

2

(∇ + k )

E.

eÂąi

1 → = −4Ď€δ(− r ) Poisson ; r

→ − → k ¡âˆ’ r

r

→ = −4Ď€δ(− r ) funcion de Green .

(50)

Expansiones elementales

− − → − → →2 R ¡â†’ r 1 1 3( R ¡ − r) 1 2 − → + −r +O . + 3 3 2 → − R→∞ R R 2R R R4 r (R>>r) R − → 1

− → → 3R ¡ − r 1 1 → + +O . − 3 3 4 R→∞ R → − (R>>r) R R5 → R − r 1

F.

(49)

(51)

(52)

El teorema de Green

→ Si la superficie S es el borde del volumen V y d− s = ds n , con n normal a la superficie, entonces vale (en lo que sigue S es la integral sobre la superficie cerrada S)

V

→ d− r

− → − →

∇¡A =

S

− → ds n ¡ A ,

de la divergencia,

− →

→ ∇f = d− s f, del gradiente, V S − → − →

− → − → → dr âˆ‡Ă— A = d− s Ă— A, del rotor, y V S − →

2 → 2 − → − → → ∗ − ∗ d r f ∇f = d r f ∇ f + d− r ∇ f . → d− r

V

G.

(53)

− d→ s

V

(54) (55) (56)

V

El teorema de Stokes

− → Si la curva c es el contorno de S y que d l y n satisfacen la regla de la mano derecha,

entonces vale

6

− → → − →

− → − − → ds âˆ‡Ă— A = A ¡d l S C − → − → → d− s Ă— ∇f = f ¡d l variacion S

II.

(57) (58)

C

EXPRESION EXPLICITA DE LOS OPERADORES A.

El gradiente

En Coordenadas cartesianas (x, y, z), − → ∇f =

∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z

en Coordenadas esfericas (r, θ, Ď•),

f=

∂ ∂ ∂ f, f, f ∂x ∂y ∂z

,

− → ∂ 1 ∂ 1 ∂ ∇f = f er + f e θ + f e Ď• , ∂r r ∂θ r sin θ âˆ‚Ď•

(59)

(60)

y en Coordenadas cilindricas (Ď , Ď•, z),

− → ∂ 1 ∂ ∂ f eĎ + f eĎ• + f e z . ∇f = âˆ‚Ď Ď âˆ‚Ď• ∂z B.

(61)

La divergencia

En Coordenadas cartesianas (x, y, z),

− → F = Fx e + Fy ey + Fz e z , con Fx,y,z = Fx,y,z (x, y, z) , x − → − → ∂ ∂ ∂ ∇¡F = , , ¡ (Fx, Fy , Fz ) , ∂x ∂x ∂x ∂ ∂ ∂ = Fx + Fy + Fz , ∂x ∂y ∂z

(62) (63) (64)

en Coordenadas esfericas (r, θ, Ď•), − → − → 1 ∂ 2 1 1 ∂ ∂ ∇¡F = 2 r Fr + (sin θ Fθ ) +, FĎ• r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ âˆ‚Ď•

y en Coordenadas cilindricas (Ď , Ď•, z)

7

(65)

− → − → 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∇·F = (ρFρ ) + Fϕ + Fz ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z C.

(66)

El rotor

− → En coordenadas cartesianas: F = Fxe x + Fy e y + Fz ez , con Fx,y,z = Fx,y,z (x, y, z) , e e x y e z → − → − → ∂ ∂ ∂ − ∇ × F = ∂x = B = (Bx, By , Bz ) , ∂y ∂z Fx Fy Fz ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = Fz − Fy , − Fz + Fx , Fy − Fx , ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y

(67)

(68)

− → er + Fθ e θ + Fϕ eϕ , con Fr,θ,ϕ = Fr,θ,ϕ (r, θ, ϕ) , en Coordenadas esfericas: F = Fr eθ r sin θ eϕ er r − − → − → 1 ∂ ∂ → ∂ ∇×F = 2 ∂r ∂θ = B ∂ϕ r sin θ Fr rFθ r sin θFϕ

(69)

− → y en Coordenadas cilindricas: F = Fρ eρ + Fϕ eϕ + Fz ez , con Fρ,ϕ,z = Fρ,ϕ,z (ρ, ϕ, z) ,

D.

El Laplaciano

e r ρ eϕ ez − → − → 1 ∂ ∂ ∂ ∇ × F = ∂ρ ∂ϕ ∂z ρ Fρ ρFϕ Fz

− → = B

(70)

En Coordenadas cartesianas (x, y, z), ∂2 ∂2 ∂2 f + f + f, ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(71)

1 ∂ 2∂ 1 ∂2 1 ∂2 cot θ ∂ (r f ) + f + f + f, 2 r2 ∂r ∂r r2 ∂θ r2 sin θ ∂ϕ2 r2 ∂θ

(72)

∇2 f = en coordenadas esfericas (r, θ, ϕ), ∇2 f =

y en Coordenadas cilindricas (ρ, ϕ, z), 8

∂ 1 ∂2 1 ∂ ∂2 ∇f= Ď f + 2 2 f + 2 f, Ď âˆ‚Ď âˆ‚Ď Ď âˆ‚θ ∂z − → Ocacionalmente opera sobre vectores. Por ejemplo F = (Fx , Fy , Fz ) 2

(73)

− → − → ∇2 F = (∇2 Fx , ∇2 Fx , ∇2 Fx ) = B

(74)

El gadiente y la divergencia direccional − ∂ ∂ ∂ → − →

A ¡ ∇ f = (Ax , Ay , Az ) ¡ , , f ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ + Ay + Az f = Ax ∂x ∂y ∂z − − − − → − → − → → − →

→ − →

→ − →

A¡âˆ‡ B = A ¡ ∇ Bx , A ¡ ∇ By , A ¡ ∇ By III. A.

(75) (76)

LA FUNCION δ DE DIRAC Y Θ DE HEAVISIDE En una dimension

Se define la funcion δ de Dirac de infinitas maneras; la mas rustica es:

δ(x) = Lim δ Îľ (x) = ξ→0

Otras definiciones de interes son

δ ξ (x) =

  1/ξ,  0,

para |x|<Îľ/2 para |x|>Îľ/2

1 ξ 2 ξ3 = , π (ξ2 + x2 ) π 2 (ξ2 + x2 )2

1 sin(x/Îľ) Îľ sin2 (x/Îľ) = , Ď€ x Ď€ x2 1 1 2 = √ e−|x|/Îľ = e−(x/Îľ) , Îľ Ď€ 2Îľ =

.

(77)

(78) (79) (80)

y muchisimas mas. La δ esta normalizada

+∞

dx δ(x) =

−∞

La propiedad mas importante es que

+∞ −∞

9

dx δ(x − x0 ) = 1 .

(81)

+∞

dx δ(x − x0 )f(x) = f (x0 ), o´  b  f(x ) 0 dx δ(x − x0 )f(x) =  0 a

(82)

−∞

si x0 ∈ [a, b] si x0 ∈ / [a, b]

.

(83)

Otras propiedades de interes son

δ(x − x0 )f (x) = f(x0 ) ,

(84)

xδ(x) = 0 ,

(85)

δ(x) = δ(−x) , +∞ δ(x1 − x2 ) = dx δ(x − x1 )δ(x − x2 ) ,

(86) (87)

−∞

1 δ(x), si c = cte; |c| 1 δ(x − xi ), tal que g ′ (xi ) = 0 . δ(g(x)) = ′ |g (xi )| j δ(cx) =

(88) (89)

Tambien hay una definicion muy usada en el contexto de la transformada de Fourier,

+∞

dk Âąikxâˆ’Îľ|x| δ(x) = Lim δ Îľ (x) = e = ξ→0 −∞ 2Ď€ +∞ dk ′ (1) ik eikx , δ (x) = δ (x) = 2Ď€ −∞ +∞ (−1)n f (n) (0) = dx δ (n) (x)f (x) .

+∞

−∞

dk Âąikx e , 2Ď€

(90) (91) (92)

−∞

La funcion escalon (step function) Ăł Θ de Heaviside

Θ(x) = LimÎ˜Îľ (x) = ξ→0

Las propiedades mas importantes son

     1,

0,     1/2,

para x > 0 para x < 0 para x = 0

d Θ(x) = δ(x) dx x Θ(x − x0 ) = dx δ(x) −∞

10

(93)

(94) (95)

B.

En 3 dimensiones

Las extensiones son obvias. En coordenadas cartesianas, → → δ(− r −− r 0 ) = δ(x − x0 )δ(y − y0 )δ(z − z0 ) ,

(96)

en esfericas → → δ(− r −− r 0) =

r2

1 δ(r − r0 )δ(θ − θ0 )δ(Ď• − Ď•0 ) , sin θ

(97)

y en cilindricas 1 → → δ(− r −− r 0 ) = δ(r − Ď 0 )δ(Ď• − Ď•0 )δ(z − z0 ) , Ď

(98)

En todos los casos, satisfacen C.

→ → → d− r δ(− r −− r 0) = 1 .

(99)

Ecuacion de Poisson

El resultado mas importante es 1 → ∇2 = −4Ď€δ(− r ) ecuac de Poisson r

(100)

y la generalizada que se utilza en la determinacion de la funcion de Green → − → −

2 expÂąi k ¡ r → = −4Ď€δ(− r) ∇ + k2 r IV.

(101)

DESARROLLOS PARTICULARES

P/Determinar campo magneticos − → − → − → − → − → − → − → − → Si F 1 = A 1 Ă— B , F 2 = A 2 Ă— B y A 1 ¡ A 2 = 0 (son perpendiculares) entonces − → − → − → − →

− → − → A ¡ ( F Ă— A ) ¡ A1 1 2 2 − → F 1 Ă— A1 B = + A21 A21 A22 P/Materiales magneticos 11

(102)

− → − → − → − →− → − → − → − →− → − →− → − → ∇ × (M × G ) = − ∇(M · G ) + 2( G · ∇)M − G ( ∇ · M ) − → − → − → − → − → − → − → − → − → +M ( ∇ · G ) + G × ( ∇ × M ) + M × ( ∇ × G )

(103)

− → − →→ − → − → − Si M = M(− x ) no depende de las varilables de derivacion de ∇ = ∇ → r : − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − − − − ∇→ r × (M × G ) = − ∇ → r (M · G ) + M ( ∇ → r · G ) + M × (∇→ r × G)

(104)

− → − →→ Si ademas G = G (− r ) tiene la siguiente expresion

− →− − → − → 1 1 − − G (→ r ) = ∇→ = −∇→ (105) x − r − → − → → → |r − x| |r −− x| − → − → − → − → − → − → − → − → 2 − − − entonces ∇ → r × G = 0, y ∇ → r · G = −∇→ r 1/| x − r | = +4Ï€δ( x − r ), con lo que queda − →− − → − →− − → − → 1 − → 1 − →→ → → → → − − − − ∇→ = −∇→ M( x ) · ∇→ + 4Ï€δ(− x −− r )M (− r) r × M( x ) × ∇→ r − r r − → − → → − → |x − r | |x − r | (106) − → P/Divergencia nula de A − →− − → − →→ − → 1 J (→ x) → − − ∇r − = J (− x ) · ∇→ r − → − → → → |r − x| |r −− x| − →− → − → − →− − →→ − → − → 1 1 J (x) → − − = ∇→ + J (− x ) · ∇x − ∇→ x − x · J (x) − → − → → − → → → | r − x | |r − x| |r −− x|

(107) (108)

0

− → − → Si ∇ · J = 0, y sabiendo que

− → → − → − → 1 r −− x 1 − − ∇→ = − = −∇→ , r − x − → − → − → − → → → 3 |r − x| |r − x| |r −− x|

Un truco basico

− →− − →− − → − → J (→ x) J (→ x) − → − ∇→ = − ∇ . r − x − → − → → → |r − x| |r −− x|

entonces

(109)

(110)

En varias situaciones vamos a estar interesado en calcular → f (− r)=

∞

− →− − → 1 − → → − d x A ( x ) · ∇→ , x − → |→ r −− x| 12

(111)

donde el ∞ indica que tenemos que integrar en todo el espacio. Usando (24)

− − →− − →− − → → − →− − → 1 1 1 → → → − → − → − A ( x ) ¡ A ( x ) , ∇→ = A ( x ) ¡ ∇ + ∇ x x − x → → → → → |− r −− x| |→ r −− x| |− r −− x|

(112)

(111) queda

→ f(− r)=

∞

−

→ − →− → → − ∇ x ¡ A( x ) − → − →− 1 → → − d− x ∇→ A (→ x) − x − d− , x → − → → → |r − x| |− r −− x|

(113)

∞

y usando Gauss

→ f (− r)=

S∞

− − →− →→ → − → − ¡ A ( x ) n ¡ A (− x) −∇→ x → ds − + d− x . → − → − → → |r − x| |r −− x|

(114)

∞

− →→ Y aqui simpre tenemos dos caminos. Primer camino: si A (− x ) es no nulo dentro de un cierto volumen V cuya superficie es S entonces → f (− r)=

S

− −

→− →→ → − → − n ¡ A (− x) −∇→ ¡ A ( x ) x → ds − + d− x → − → − → → |r − x| |r −− x|

(115)

V

− →→

asi la cantidad n ¡ A (− x ) se asociara a una distribucion superficial de cargas electricas o −

→− → − → − de polos magneticos, y − ∇ → x ¡ A ( x ) se interpretara como una distribucion volumetrica

de cargas o polos.

El segundo camino consiste en mantener la integral hasta el infinito con lo que alli − →− A (→ x ) = 0 y por lo tanto la primera integral del RHS se anula. Sobrevive la segunda. − →→ − → − En ese caso A (− x ) tendra un rango limitado por la Θ de heaviside y el ∇ → x (derivada) generara (de acuerdo a (94)) una funcion δ de Dirac en la superficie, que reproducira el − →→

termino n ¡ A (− x ) superficial anteriormente mencionado. Ambas estrategias son equivalentes.

13

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.