Magnetismo Dr. Alberto Marcos Vásquez UBA

FISICA 3. Magnetismo 1er cuatrimestre de 2012 J. Miraglia (Dated: July 13, 2012)

Abstract LEY DE BIOT Y SAVART. Fuerza magnetica sobre una corriente. Principio de accion y reaccion. Aplicaciones elementales de la ley de Biot-Savart. − → EL POTENCIAL VECTOR A − → Ley de Gauss y Ampere. Propiedades del potencial vector A . Potencial magnetico escalar. Relacion entre el dipolo magnetico y el momento angular.

EXPANSION MULTIPOLAR Dipolo magnetico. Atomos Hidrogenoides. Relacion entre el dipolo magnetico y el momento angular. Dipolos magneticos en campos magneticos constantes y variables.

LEY DE FARADAY. Falta INDUCTANCIAS Falta ENERGIA MAGNETOSTATICA Energia acumulada por un circuito. Energia acumulada por un ensamble de circuitos.

MATERIALES MAGNETICOS Modelo simple. Magnetostatica macroscopica. Efecto de bordes: el iman. Energia en presencia de materiales magneticos. Condiciones de contorno entre dos medios magneticos.

(Falta: incluir figuras y tablas, corregir, poner acentos. FARADAY e INDUCTANCIAS. Incluye: manipulacion algebraica) PACS numbers:

1

I.

LEY DE BIOT Y SAVART (1820)

Repasemos la ley de Coulomb: → → − → dq1 (− r −− r 1) d E = ke − .

(1) → − → | r − r 1 |3 → La fuerza que sufre una particula (carga q y velocidad − v ) en presencia de un campo mag− → netico (o mejor, induccion magnetica) B esta dado por: − → − → F = q E,

con

− → − → → F =q − v ×B .

(2)

− → El campo B es ocasionado por corrientes electricas. Se encuentra experimentalmente que − → → un diferencial de circuito dl 1 situado en la posicion − r 1 por el que circula una corriente i1 − → genera un diferencial de campo magnetico d B dado por − → → → r −− r 1) − → i1 dl × (− d B = km , − → − → 3 | r − r 1| µ0 = 10−7 = constante magnetica, 4π Tesla × m µ0 = 4π10−7 = permitividad magnetica del vacio, Ampere N × seg Kg Weber [B] = Tesla = = = = 104 Gauss , C×m C×m m2 = unidad de campo magnetico . km =

(3)

(4) (5) (6) (7)

El campo magnetico terreste es del orden de 0.5 Gauss. El maximo campo magnetico encontrado en la naturaleza es de un pulsar: 1011 Tesla. Se vera posteriormente que 1 m c= √ = 3 × 108 = velocidad de la luz . ε 0 µ0 seg

(8)

Si el circuito es cerrado (como debe ser) entonces − → B = km

C1

− → → → i1 dl × (− r −− r 1) . − → − → 3 | r − r 1|

(9)

Notese que para determinar el campo electrico es necesaria una sola medicion de la fuerza − → − → − → − → sobre una carga q: E = F /q, ya que F ⇈ E , pero en magnetismo se necesitan dos − → → mediciones: una medicion F 1 de una particula de carga q que se mueve con − v 1 y otra 2

− → → → → medicion F 2 sobre q que se mueve con − v 2 tal que − v2·− v 1 = 0, entonces resulta que (ver Apendice): − → → → 1 − → (F 2 × − v 2) · − v 1− − → → F × v + v1 , (10) 1 1 (qv1 )2 q(v1 v2 )2 → − − → − → → De acuerdo a la ley de Biot y Savart: dW = F · dl = F · − v dt = 0 ya que por definicion del − → − producto vectorial es F ⊥ → v . Por lo tanto la fuerza magnetica no hace trabajo. Si ademas − → del campo magnetico hay un campo electrico E entonces la fuerza que recibe la particula − → B =

sera simplemente la suma: − → − → − → → F =q− v × B + qE,

relacion o fuerza de Lorentz .

(11)

Tenemos que reconocer 3 tipos de densidad de corriente; lineal (tal como en (9)), superficial o volumetricas como veremos a continuacion.

A.

Fuerza magnetica sobre una corriente

Ya que una corriente es un conjunto de cargas en movimiento, debido a la relacion de − → Lorentz es natural pensar que el campo magnetico B ejerza una fuerza lateral sobre un hilo conductor por el que circula una corriente i. Supongamos un segmento de conductor de longitud dl y area S→ 0 (alambre) por el que circulan electrones en el sentido de la corriente convencional. La carga dq encerrada en dicho volumen dV = S dl, es

dq = eNe = endV = enS dl, donde e = carga del electron, y Ne Ne n = = = densidad de electrones , dV S dl

(12) (13)

→ Esos electrones, como vimos, se desplazan con la velocidad de desplazamiento − v d , por lo − → − → − → → que la ley de Biot y Savart nos dice que en presencia de B sufre un d F = dq − v d × B, y reemplazando dq nos queda − → − → − → − → − → − → − → d F = endV v d × B = dV en v d × B = dV J × B , → − J

dq

3

(14)

− → y J es la densidad de corriente. Para el conductor lineal podemos hacer − → → → dV − v d = Sdl − v d = Svd d l ,

(15)

− → − → → → ya que− v d ⇈ d l , hicimos dl − v d = dl vd , entonces

− → − − → − − → → → d F = enSvd d l × B = id l × B ,

− → i = J ·n ds = envd S ,

con

(16) (17)

S

Hay una tercera posibilidad y es que la corriente se desplace en una superficie, entonces − → − → → d F = ds − g ×B ,

(18)

→ → donde − g =− g (s) es la densidad de corriente superficial tal que, la corriente resulta i=

− → → d l ⊥·− g =

→ dl⊥ n ·− g ,

(19)

y l⊥ es la longitud transversal del segmento en cuestion y n su perpendicular. Entonces

tenemos las 3 alternativas de acuerdo considerar: corrientes volumetricas, superficiales o lineales

− → − → − → − → − → → d F = i1 dl ⇔ dV J × B ⇔ ds − g ×B .

(20)

→ → Como siempre se denota dV = d− r . Recordemos que [i] =Ampere, [− g ] =Ampere/m, − → y [ J ] =Ampere/m2 . Usaremos la version mas conveniente en cada caso y luego invocaremos esta equivalencia para generalizarlas. Estructuramenete poemos pasar de uno a otro invocando i

B.

− → dl ≡

→ ds − g ≡

− → dV J

(21)

Principio de accion y reaccion

En electrostatica resulto inmediato probar que la ley de Coulomb satisfacia la tercera ley − → − → de Newton ( F 12 = − F 21 ). En magnetismo no es evidente. Consideremos la interaccion 4

de 2 espiras C1 y C2 por las cuales circulan corrientes i1 y i2 ; de acuerdo a Biot y Savart la fuerza que ejerce sobre el circuito 1 le ejerce el 2 es

− → F 12 = i1

− → − → → d l 1 × B 1 (− r 1 ) = i1

C1

= km i1 i2

C1 C1

− → → d l 2×− r 12 , 3 r12

(22)

→ → → con − r 12 = (− r 1−− r 2) ,

(23)

− → d l 1 × km i 2

C1

− → − → → d l 1 × (d l 2 × − r 12 ) , 3 r12

C2

Por otro lado (1↔2)

− → F 21 = km i1 i2

C1 C1

− → − → → d l 2 × (d l 1 × − r 21 ) → → → → , con − r 21 = (− r 2−− r 1 ) = −− r 12 .

3 r21

(24)

− → − → Y no es inmediato ver que F 12 = − F 21 . Recurriendo al Apendice tenemos que − → − → − → − → → − → − → → → d l 1 × (d l 2 × − r 12 ) = d l 2 (d l 1 · − r 12 ) − (d l 2 · d l 1 )− r 12 .

(25)

− → El primer termino del RHS (right hand side) se anula bajo la integracion de d l 1 en el circuito cerrado C1 , queda luego − → F 21 = −km i1 i2

− → dl 2·

C1

→ − → − − → r 12 d l 1 3 = − F 21 ; r12

(26)

C1

con lo cual queda satisfecho el principio de accion y reaccion.[Notese la analogia de (26) con la interaccion Coulombiana entre dos distribuciones de carga]

C.

Aplicaciones elementales de la ley de Biot-Savart

Hay cuatro casos en que esta ley involucra integrales muy sencillas y sus resultados seran muy utiles. Todos tienen simetria cilindrica { eρ , eϕ , ez }.

− → 1) Sea un conductor rectilineo infinito por el que circula una corriente i (id l = idz ez ), − → el campo B a una distancia ρ del conductor resulta ser − → µ0 i 1 B = eϕ .

2πρ

Esta ecuacion es una simple aplicacion de la ley de Ampere.

5

(27)

− → 2) El campo B en el eje de una espira de radio ρ1 por el que circula una corriente − → i (id l = ir1 dϕ eϕ ) r12 − → µ0 i1 B = ez .

2 (z 2 + ρ21 )3/2

(28)

A grandes distancias (z ≫ ρ1 ) sera el campo de un dipolo en el eje. − → 3) El campo B en el eje de un cilindro conductor infinito de radio ρ1 , por el que circula una corriente por unidad de longitud di/dz constante ,resulta ser (regla de la mano derecha) − → di B (z) = µ0 ez . dz

(29)

Si el cilindro esta formado por un arrollamiento de un conductor por el que circula i0 y tiene una densidad de espiras n (n = N/l= numero vueltas por undidad de longitud), entonces − → i = nz i0 , di/dz = n i0 , y entonces B (z) = µ0 ni0 ez . Que resultara ser el campo magnetico en el eje de un solenoide (o toroide).

− → 4) La fuerza que sobre un diferencial d l 1 de un conductor rectilineo infinito por el que − → circula una corriente i1 (i1 d l 1 ), le ejerce otro conductor rectilineo infinito paralelo a una − → distancia ρ por el que circula una corriente i2 (i2 d l 2 ) resulta − → − → − → µ i1 i2 d F 12 = −(d l 2 · d l 1 ) 0 e ρ .

(30) dl1 2πρ − → − → La fuerza es atractiva si: d l 2 · d l 1 = 1 ( igual sentido de las corrientes, ⇉), y repulsiva si: − → − → d l 2 · d l 1 = −1 (sentidos opuestos, ⇄).

II.

− → EL POTENCIAL VECTOR A

− → → Vimos que el campo electrico E se puede expresar en terminos del potencial escalar V (− r)

− → − → − → ρ(r′ ) − → − → ′ − − E = −∇→ ke d r − = −∇→ r rV( r ) , → − → ′ |r − r | − → − → El potencial de B no es un escalar, sino un vector A tal que

6

(31)

− → − → − → B = ∇×A , con,

− → ′ − → − J (r ) → A (→ r ) = km d− r′ − , ó alternativamente , → → |r −− r ′| − →

→ id l (r′ ) ds − g (r′ ) = km = k . m → → → → |− r −− r ′| |− r −− r ′|

(32) (33) (34)

La demostracion es inmediata. Usando la identidad

− → ′ − → − → ′ − → ′ − → − → 1 J (r ) 1 − − − ∇→ = − ∇→ , r × − r × J (r ) − J (r ) × ∇ → r − → − → → − → → → ′ ′

|r − r | | r − r | |r −− r ′|

(35)

0, estac.

− → → − → r −− r′ → d− r ′ J (r′ ) × − 3 . (36) → |→ r −− r ′| − → − → La eleccion de A segun (33-34) fue arbitraria. Por ejemplo, si hubiesemos elegido A ′ = − → − → − → − → − → → − → − → − → − → − − → r = ∇ × A + 0 = B . Una propiedad A +→ r , entonces B ′ = ∇ × A ′ = ∇ × A + ∇ × − − → − →− → particular de A definida en (33-34), es que ∇· A = 0. Se prueba con la siguientes identidades. − → − → − →′ − → − − Compactemos ∇ = ∇ → r y ∇ = ∇→ r ′ , (en el Apendice se demuestra la ecuacion (39), aca − → − → − → B = ∇ × A = −km

− → − → 1 → − d− r ′ J (r′ ) × ∇ → = km r − → → |r −− r ′|

se repite el calculo) − →− − → − → →′ − → →′ − → − → J (→ r ′) 1 1 ∇· − = ∇ · J (− r )− + J (− r )· ∇ − . → − → → − → → → ′ ′ | r − r | | r − r | |r −− r ′|

(37)

0

Por otro lado,

− →− J (→ r ′) → →′ → − →′ − → − 1 − → →′ − 1 ∇ · − = ∇ ′ · J (− r )− + J (− r ) · ∇′ − , → − → → − → → → ′ ′

| r − r | |r − r | |r −− r ′|

(38)

0, estac

→ →′ − → − donde hemos usado el hecho que tenemos un estado estacionario ( ∇ ′ · J (− r ) = 0, estamos − → − → − −1 −1 → → → en magnetostatica). Usando la propiedad: ∇ |→ r −− r ′ | = − ∇ ′ |− r −− r ′ | , tenemos − →− − →− − → J (→ r ′) − →′ J (→ r ′) ∇· − = − ∇ · , → → → |→ r −− r ′| |− r −− r ′|

luego

− →−

− →− → − →′ J (→ r ′) J (→ r ′) − → − → ′ − ′ − d r ∇→ · = −k d r ∇ · , m r → → → → |− r −− r ′| |− r −− r ′|

− →− − → − → J (→ r ′) ∇ · A = −km da − ·n =0, → |→ r −− r ′| − → − → ∇ · A = km

∞

7

(39)

(40) (41)

− → →′ donde hemos usado el hecho de que J (− r ) en el infinito es nulo. Volveremos mas adelante cuano discutamos el gauge de Coulomb.

A.

Ley de Gauss y Ampere

Nos preguntamos ahora las propiedades del campo magnetico como campo vectorial: pasaremos a calcular la divergencia y el rotor. − → − → − → − → La divergencia es nula: ∇ · B = 0. Su demostracion es inmediata, ya que: ∇ · B = − → − → − → ∇ · ( ∇ × A ) = 0 tal como lo vimos en el Apendice matematico. Esto implica que no hay − → − → fuentes ni sumideros que generen B . Las lineas B son cerradas. Como veremos formalmente mas adelante, no existen monopolos magneticos. Una forma alternativa de la ley de Gauss es usar el teorema del gradiente,

V

− → − → → d− r ∇·B =

S

− → ds B · n =0

ley de gauss del magnetismo .

(42)

Si, en analogia con la electricidad, llamamos − → dφB = B · n ds = diferencial de flujo magnetico

(43)

resulta que la integral sobre una superficie cerrada φ es nula. Recordemos que en el caso electrico nos daba la carga neta encerrada.

Calculemos ahora el rotor − → − → − → − → − → − →− →− → − → ∇ × B = ∇ × ( ∇ × A ) = ∇( ∇. A ) − ∇2 A ,

(44)

− →− → en nuestro caso ∇. A = 0, por lo que

− → − → − → ∇ × B = −∇2 A = −km

− → − → − →→ ∇ × B = µ0 J (− r)

− − −4πδ(→ r −→ r ′)

− → 1 − →→ → → d− r ′ J (− r ′ )∇2 − = 4πkm J (− r), → − → ′ |r − r | ley de Ampere .

Sin embargo la forma mas util de la ley de ampere es la expresion integral,

8

(45) (46)

S

− → − → − →→ − → → d s · ∇ × B = µ0 d− s · J (− r),

(47)

S

− → − → d l · B = µ0 ienc ,

(48)

C

donde C es la frontera de S, e ienc es la corriente electrica que circula a travez de C. Esta formula sera tan util como la de Gauss para la electricidad. [En realidad Gauss en electricidad es mas versatil, ya que puede aplicarse a problemas con simetrias planas, cilindricas y esfericas, mientras que Ampere solo funciona bien para simetrias cilindricas]. Resumimos

− → − → ∇ · B = 0,

ó

S

− →→ − → − → r) ó ∇ × B = µ 0 J (−

− → ds B · n = 0,

− → − → d l · B = µ0 ienc ,

ley de gauss del magnetismo,(49) ley de Ampere.

(50)

C

B.

− → Propiedades del potencial vector A

− → De (45) y (41) tenemos las dos propiedades pricipales de A . − → − →→ ∇2 A = −µ0 J (− r ),

y

− → − → ∇·A =0

(gauge de Coulomb) .

(51)

El campo electrico tiene una libertad (obvia) y es que si tomamos V ′ = V + cte, entonces − →′ − → − → − → − → − → E = − ∇V ′ = − ∇V − ∇cte = − ∇V = E . Lo cual ratifica el hecho que lo importante es la diferencia de potencial. El campo magnetico tiene una libertad de gauge. Supongamos − → − → que partamos de nuestro gauge de Coulomb tal que ∇ · A = 0, podemos construir cualquier − → otro potencial vector A λ tal que: − → − → − → A λ = A + ∇λ ,

(52)

− → − → donde λ es una funcion arbitraria. Este potencia A λ produce el mismo valor de B , ya que − → − → − → − → − → − → − → − → B λ = ∇ × A λ = ∇ × A + ∇ × ∇λ = B .

0

9

(53)

Esta propiedad puede usarse para beneficio del calculo. Hay expresiones de λ tal que pro− → ducen una expresion de A λ mas conveniente. [En cuantica, por ejemplo, a veces es conveniente trabajar en el gauge de posicion o aceleracion. El resultado final debe ser el mismo!]. − → Aun asi, el gauge de Coulomb NO es unico. Hay infinidades de expresiones ∇ξ tal que − → sumadas a A mantienen la condicion del gauge de Coulomb − → − → − → − → − → − → − → 0 = ∇ · A ξ = ∇ · ( A + ∇ξ) = ∇ · A + ∇2 ξ = ∇2 ξ = 0 ;

(54)

0

con lo cual tengo una libertad de elegir ξ tales que ∇2 ξ = 0. Por ejemplo trabajariamos en el gauge de Coulomb si elejimos ξ = x2 − y 2 , etc. En este curso solo trabajaremos en el gauge de Coulomb.

C.

Potencial magnetico escalar

− → − → − → − → − → La relacion entre el campo magnetico B y la fuente J esta dado por ∇ × B = µ0 J . Si − →→ estamos interesados en espacios distantes de las fuentes, J (− r ) = 0, la ecuacion se reduce a − → − → − → − → ∇ × B = 0. Al igual que el campo electrico ( ∇ × E = 0), podemos pensar que existe un potencial escalar magnetico Vm tal que − → − → B = − ∇Vm .

(55)

∇2 Vm = 0 .

(56)

− → − → Si ademas aplicamos la ley de Gauss, ∇ · B = 0, resulta que Vm satisface la ecuacion de Laplace

Por lo tanto, lejos de las fuentes los campos electricos y magneticos son similes matematicos Pueden usarse los mismos codigos numericos (¡hay que tener cuidado con las condiciones de contorno!)

III.

EXPANSION MULTIPOLAR

El objetivo es determinar la expresion del campo magnetico a grandes distancias en relacion a las dimensiones de las fuentes. Seguiremos el mismo camino que en la expansion

10

multipolar electrica. Usando las expansiones del Apendice para grandes distancias se muestra que la expresion del potencial vector a gran distancia (r → ∞) es

− →

→ → − →′ 1 − − →− id l r ·− r′ 1 → , lim A ( r ) = lim km = km id l + +O 3 − → − → ′ 3 r→∞ r→∞ |r − r | r r r

− → → − − →′ i i 1 = km r ·→ r ′) + O 3 , d l + k m 3 d l ′ (− r r r

(57) (58)

donde r es mucho mayor que las dimensiones del cuerpo en cuestion. Usando las ecuaciones del Apendice tenemos

− → d l ′ = 0, no hay monopolo magnetico ,

− →′ − − →′ − → − → → − → → ′ ′ ′ ′ dl (r · r ) = ds n ×∇(r · r )= ds n ×− r ,

C′

− f (→ r ′)

− f (→ r ′)

S′

(59) (60)

S′

donde C ′ es la frontera de S ′ siendo n ′ el versor perpendicular definido segun la regla de la mano derecha. Reemplazando − →− A (→ r) − → m





− → → 1 m ×− r → ds′ n  × − r =km , → km 3 i 3 r→∞ r r S′

= i ds′ n = iS n dipolo magnetico .

(61) (62)

S ′′

La ecuacion (59) prueba que no hay monopolo magnetico. Un resultado previsible ya que − → − → ∇ · B = 0. La contribucion mas importante a grandes distancias es entonces el dipolo magnetico que resulta ser simplemente la corriente i por el area de la espira S en la direccion del versor perpendicular n . Hay tambien otra expresion equivalente que se relaciona con la de las orbitas de Kepler (velocidad aerolar constante) i − → m= 2 A.

− → − → r ′×d l ′ .

(63)

Dipolo magnetico

− → − → Una vez determinado el potencial vector A , del dipolo es inmediato obtener B a traves de la definicion 11

−

→ → → → − → − → − → − → m ×− r − → − r − → − r − → − → B = ∇ × A = ∇ × km = km − m · ∇ 3 + m ∇ · 3 . r3 r r

(64)

Usando el Apendice

− → r

− → → → m (− m·− r )− → − 3 r , y 3 3 5 r r r − → km → → B = 3 [3 (− m · r ) − − m] r Esta expresion es igual a la del dipolo electrico haciendo − → − → m·∇

→ − → − r ∇· 3 =0, r

=

resulta ,

(65)

.

(66) − → − → → → B → E , − m→− p y obviamente

km → ke . Esta analogia matematica nos permite inferir su potencial magnetico escalar Vm = km

1.

− → → m ·− r , 3 r

y

− → − → B = − ∇Vm .

(67)

Atomos Hidrogenoides

Como una aplicacion, calculemos el dipolo magnetico de un atomo hidrogenide modelizado como un movimiento circular uniforme de un electron de carga e y masa me que se mueve en una orbita circular atraida por la carga central Ze. Si ω = 2πf es la velocidad angular, y f la frecuencia, entonces podemos interpretar la corriente electrica convencional como ω e v = , (68) 2π 2π r donde v es la velocidad tangencial y r el radio de rotacion. La velocidad v puede obtenerse i = ef = e

con la ley de Newton sabiendo que la fuerza central esta determinada por la ley de Coulomb

1 Ze2 v2 Ze2 F = = m a = m =⇒ v = .

(69) e r e 4πε0 r2 r 4πε0 me r Reemplazando (69) en (68) podemos calcular el dipolo magnetico e 1 − → m = iS n= 2π r

Ze2 e2 2 πr n = 4πε0 me r 2

Zr n .

4πε0 me

(70)

En MKSC, Z = 1 (hidrogeno), e = 1.6 × 10−19 , me = 9.1 × 10−31 , r = 5.1 × 10−11 ,

ε0 = 8.9 × 10−12 , resulta que mH = 9.1 × 10−24 ampere×m2 . El valor experimental es el

magneton de Bohr y resulta ser 9.27400915 × 10−24 .

12

B.

Relacion entre el dipolo magnetico y el momento angular

Sigamos con el dipolo magnetico encontrado anteriormente. Este dipolo es creado por el movimiento orbital del electron girando alrededor del nucleo. En nuestro modelo, el giro − → del electron tiene un cierto momento angular l orbital, dado por

− → → → l orb = − r ×− p = rme v n = rme − → m orb =

→ e − l orb , 2me

Ze2 2me − → n = m; 4πε0 mer e

o

(71) (72)

Esta relacion es mas general; tambien se verifica para el caso de rigidos. En este caso el movimiento es de spin (rotacion sobre su mismo eje). A los efectos practicos consideremos una esfera hueca (modelo clasico muy primitivo para el electron). Supongamos una esfera → hueca de radio R, carga e y que rota a una velocidad angular − ω = 2πf ω . La densidad de carga sera σ = dq/ds = e/(4πR2 ). Una faja (una espira) ubicada en un angulo polar entre

θ y θ + dθ, tiene una longitud l = 2πr = 2πR sin θ, y un ancho de arco da = Rdθ por lo la

carga en dicha espira (o faja) sera: σ

ds

e 2πR sin θ Rdθ , dq = σds = 4πr2 l

i(θ) =

y la corriente es

(73)

da

dq eω e ω 2πR sin θRdθ = = dqf = sin θdθ .

2 dt 2π 4π

4πR dq

(74)

f

Esa espira tiene un (diferencial) de dipolo magnetico de spin dado por

eω eR2 → sin θdθ π(R sin θ)2 n ω= sin3 θn− ω .

4π 4 Sumando todas las posible espiras (integrando θ entre 0 y π), resulta: → d− m spin = iS ω=

(75)

eR2 4 − er2 − − → → → ω = ω .

(76) m spin = 4 3 3 Sabiendo que el momento de la esfera hueca es I = (2/3) me R2 , y que el momento angular − → → de un rigido es L = I − ω , entonces: → e − − → L . m spin = 2me 13

(77)

Y nuevamente tenemos la misma relacion en este caso para una rotacion de spin. [Notemos que si consideramos el radio clasico del electron que llamamos radio de Thompson R = 2.81 × 10−15 m, el ecuador del rigido tendria que ir a velocidades mas rapidas que de la luz (critica de Lorentz)]. Estas relaciones seran muy importante en mecanica cuantica en relacion al efecto Zeeman.

C.

Dipolo magnetico en un campo magnetico

− → Comenzemos viendo que efecto tiene un campo magnetico constante B sobre un dipolo. m. En electricid trabajamos mas artesanalmente para entender la fisica. Aqui seremos mas expeditivos y recuriremos a las matematica. La fuerza total sera − → F =

− → dF =

− → − → id l × B

→ − B =cte

=i

− → − → dl ×B =0,

(78)

0

tal como en el caso electrico. De cualquier manera sufre un torque, ya que el dipolo debe tratarse como un rigido,

− → τ =

− → − → r × dF = − f (→ r)

− → − → − → r × id l × B ; segun Apendice ,

(79)

− f (→ r)

→ − − →− − → → − → − → − − →− − → − → → → − → → = i d l ( r · B ) − i B (d l · r ) = i d s × ∇( r · B ) − i B d l · − r , (80)

→ − C S B 0

− → − → → → − → τ = i d− s ×B =− m×B , torque , (81) S

exactamente similar al caso electrico. Sigue la energia potencial U de un dipolo en un campo magnetico constante. Se demuestra exactamente igual al caso electrico,

U=

0

θ

dU =

0

θ

− → − → τ ·dθ =

0

θ

− → − → − → → → (− m × B ) · d θ = −− m·B

energia potencial . (82)

Por ultimo tenemos que determinar la fuerza que sufre un dipolo en un campo magnetico − →→ variable B (− r ) externo. De vuelta, el algebra es totalmente equivalente al caso electrico

14

− → − → − →→ − → − →− → − → − →→ − − → − → − → − → − → F = − ∇U = ∇(− m · B ) = (− m · ∇) B + ( B · ∇)− m+→ m × ( ∇ × B ) + B × ( ∇ ×→ m (83) ),

0 0

0

− → − → − → ∂ ∂ ∂ → F = − m · ∇ B = mx (84) + my + mz (Bx , By , Bz ) , ∂x ∂y ∂z

− → − → − → en total analogia con la electricidad. Hemos considerado en (83) que ∇ × B = µ0 J = 0, − → invocando que no hay corrientes; lejos de la fuente de B . − → Si pensamos que el campo magnetico externo B es generado por un bobinado de espiras − → → al que le podemos asignar un dipolo total primario M = Σ m, . al actuar sobre − m, lo atraera i

o repelera exactamente igual a los casos electricos vistos.

IV. V.

LEY DE FARADAY INDUCCION ELECTROMAGNETICA

VI.

ENERGIA MAGNETOSTATICA

Para construir una configuracion de cargas electricas se requiere energia (trabajo). Dividimos el desarrollo en dos niveles: cargas puntuales y distribucion continua. En el primer caso encontramos que

1 U = qj 2 j=1

i =j

1 Vij 2 i=1

1 = q·V , 2

i =j 1 1 ke = qj − qi = q ⊗ P ⊗ q , → − → 2 j,i=1 | r i − r j | 2

(85)

(86)

y para distribuciones continuas encontramos tres expersiones

1 1 ke − → → − → → → → → ′ − ′ ′ U = d r ρ( r )V ( r ) = d− r ρ(− r) − d− r ′ ρ(− r ′) , → → 2 2 |r −− r ′|

−

ε0 → 2 → d− r ′ E , = 2 ∞

(87) (88)

Y recordemos que teniamos problemas con la autoenergia de cada particula aislada: esto es la energia que requeria construir "electricamente" una particula.

15

A.

Energia acumulada por un circuito

Comenzaremos por determinar la energia que requiere construir un circuito de autoinductancia L. Lo determinaremos de una manera primitiva para visualizarla mejor. Conectemos el circuito (espira) a una bateria con fem ε. En forma cuasiestacionaria comenzemos a circular corriente hasta llegar a la corriente i, que nos interesa, con la ayuda de una resistencia R. Apliquemos la ley de Kirchoff a la unica malla que tenemos: dφ , multiplicando por i = i(t) , dt 2 i dφ d 2 2 iε = i R + i =i R+ L , dt dt 2 Wf em = WR + WL iR = ε −

(89) (90) (91)

y φ es el (auto) flujo magnetico. La lectura de esta identidad es simplemente la conservacion de la energia iempo a tiempo: iε es la potencia entregada por la bateria (Wf em ), i2 R es la potencia disipada por la resistencia(WR ) por lo que WL = idφ/dt es la potencia almacenada por la la espira con φ = φ(t), el flujo magnetico . Como WL = dU/dt, entonces: dU = WL dt, e integrando

U=

i

dtWL (t) =

0

0

dφ(t) dt i (t) = dt ′

0

i

di′ (t) L dt i (t)L = dt 2 ′

i

dt

0

di′2 (t) 1 = Li2 , (92) dt 2

donde i = i (t = ∞) y L = iφ.( fijarse la analogia con el capacitor: U = Q2 /2C).

B.

′

i

Energia acumulada por un ensamble de circuitos

Ahora pasemos a construir un sistema de circuitos acoplados. Aplicando el principio de superposicion tenemos 1 1 i j φj = i · φ , 2 j=1 2 1 1 1 = ij φji = ij Lji ii = i ⊗ L ⊗ i , 2 j,i=1 2 j,i=1 2

U =

(93) (94)

donde hemos considerado el acoplamiento φji = flujo que sobre el circuito j le hace el i. Notese que aqui, a difiencia de electricidad, i = j (autoinduccion) es posible. Notese 16

tambien la igualdad entre las estructuras de (93) y (94) de magnetismo con (85) y (86) de electricidad.

Antes de continuar, sera util encontrar otra formula para el flujo magnetico. A partir de la definicion φ=

S

− → ds B · n =

− → − → ds n· ∇ × A =

S

− → − → dl ·A .

(95)

C

Ahora podemos usar (95) para re-escribir (93) y generalizarla segun (21) 1 U= ij 2 j=1

Cj

− → − → 1 dlj·A = 2 j=1

Sj

Partiendo de la identidad (ver Appendice)

− → 1 dsj n j · A = 2 j=1

− → − → − → − → − → − → − → − → − → ∇ · ( A × B ) = B · ∇ × A − A · ∇ × B = µ0 → − B

→ − µ0 J

∞

− → − → → d− r J ·A .

→ − → 1 2 − B −A· J µ0

(96)

,

y reemplazando en la RHS de (96) resulta 1 U= 2µ0

→ 2 − → − → − → 1

− → → ′ − d r B − d− r ∇ · (A × B) , 2µ0 ∞

∞ S

(97)

→ − → − ds n ·( A × B )→0

− → − → donde hemos supuesto que en el infinito el termino ( A × B ) tiende a cero mas rapidamente que la superficie. Y asi llegamos al equivalente magnetico de (88) 1 U= 2µ0 VII.

∞

−

→ 2 → d− r ′ B .

(98)

MATERIALES MAGNETICOS

Estrictamente, en magnetismo no hay un simil a conductores ideales, simplemente porque no hay monopolos magneticos que puedan comportarse como un gas de electrones libres de modo tal que hagan B = 0 dentro de un determinado cuerpo. Sin embargo hay equivalentes a los dielectricos, que son los materiales magneticos. La fisica es escencialmente la misma: ante un campo magnetico local los dipolos magneticos se alinean y el medio se magnetiza.

17

− → Por campo magnetico local nos referimos al campo externo ( B 0 ) mas los campos creados − → por los dipolos vecinos ( B ind ). En electricidad construimos un vector de desplazamieno − − → → − → D = ε0 E + P y lo relacionamos a las cargas libres ó externas ρ0 . Aqui seguiremos un − → − → − → camino analogo: construiremos un vector llamado intensidad magnetica H = B /µ0 − M − → y lo relacionaremos con las corrientes libres o externas J 0 . Magnetismo es mas rico. En muchisimos casos los materiales electricos pueden ser considerados LIH. En magnetismo no tantos. Hay fisicas muy particulares tales como el ferromagnetismo que son mas comunes y variadas que los electretes.

A.

Modelo simple

Supongamos dos bobinas cilindricas ideales (o toroides de Rowland) e identicas geometricamente (caracterizados por n = N/l, S y l), una en el vacio y la otra con un cierto material magnetico dentro. Pensemos como ingenieros.

Primera experiencia: Si a la bobina en el vacio, se la somete a una cierto potencial de modo que circule una corriente di0 (t)/dt y que entre sus extremos se detecte una diferencia de potencial V0 (t). entonces calculamos la inductancia como: L0 = −

V0 (t) d i (t) dt 0

= µ0 n2 Sl .

(99)

En la bobina con el material magnetico bajo estudio, se encuentra que si circula la misma corriente di0 (t)/dt entre sus extremos se mide una caida de tension V (t) = Km V0 (t), entonces L=−

V (t) d i (t) dt 0

=−

Km V0 (t) = Km L0 . d i (t) dt 0

(100)

Hay que tener cuidado ya que esta experiencia se hace a la misma corriente di0 (t)/dt. (bien podria ser que Km = Km (i0 ) ) por lo que, para estar seguro, necesitamos otra experiencia.

Segunda experiencia: Si a ambas bobinas se les regula la misma caida de tension V0 (t) entonces encontramos que por la bobina que contiene el material circula di(t)/dt = 1/Km di0 (t)/dt, entonces se obtiene: L=−

V0 (t) Km V0 (t) =− 1 d = Km L0 , d i(t) i (t) dt Km dt 0

o sea la misma relacion. De esta manera Km obtiene el certificado de una constante.

18

(101)

El modelo mas simple es pensar que hay una cierta corriente inducida i0ind en la superficie del material en contacto con cada espira de igual signo, tal que la corriente sea la suma, o sea: i = i0 + i0ind = Km i0

=⇒

i0ind = i0 (Km − 1) .

(102)

En el caso de la bobina en el vacio podemos usar la ley de Ampere sin inconvenientes

− → − → d l · B 0 = µ0 (N i0 ) = µ0 I0 ,

tal que:

I0 = N i0 .

(103)

C

En el caso de la bobina con el medio magnetico tenemos un problema, ya que la corriente total encerrada por C es Ni0 + N i0ind = I0 + Iind , Iind = N i0ind , entonces la ley de ampere resulta

− → − → d l · B = µ0 (I0 + Iind ) .

(104)

C

En principio, tenemos un problema ya que no conocemos Iind . Si usamos (102) Iind = N i0ind = I0 (Km − 1), entonces

− → − → d l · B = µ0 (I0 + Iind ) = µ0 I0 (1 + Km − 1) = µ0 Km I0 .

(105)

C

− → − → Comparando (105) con (103) resulta que B = Km B 0 . Podemos considerar que tenemos dos − → − → campos magneticos: B 0 (externo generado por I0 ) y otro B ind (generado por Iind ), tal que − → − → − → B = B 0 + B ind . En terminos de Km resulta − → − → − → − → B = B 0 + B ind = B 0 Km

=⇒

− → − → B ind = B 0 (Km − 1) .

(106)

De (105), y llamando

µ = Km µ0 − → − → H = B /µ

permitividad magnetica del medio, intensidad magnetica. ,

Podemos escribir la ley de Ampere en su forma mas util

19

(107) (108)

− → − → d l · H = I0 = N i0

ley de Ampere para medios magneticos.

(109)

C

Y asi evitamos trabajar con las corrientes inducidas.

Como primer ejemplo, consideremos un cable recto infinito por el que circula una corriente i0 en un medio caracterizado con µ. Haciendo una circulacion en la ley de Ampere para medios magneticos a una diatancia r, nos da:

− → − → d l · H = i0

=⇒ H=

B i0 = .

2πr µ

⇒

B=µ

i0 , 2πr

(110)

C

que es lo mismo que en el vacion con µ en lugarbde µ0 .

Como segundo ejemplo consideremos una bobina (solenoide o toroide) compuesta por N espiras por el que circula una corriente i0 . La ley de ampere para medios magneticos nos dice que

− → − → d l · H = Ni0 = I0

=⇒ H=

N i0 B = ni0 = l µ

⇒

B = µni0

(111)

C

El valor de L es entonces φ

B

φB B

− → ∂ ∂ ∂ ∂ − → L = φ = ds ·B = (µni0 ) N S, BN S = ∂i0 B ∂i0 ∂i0 ∂i0

(112)

S

= µn2 Sl = Km µ0 n2 Sl = Km L0 ,

(113)

que confirma las experiencias de partida.

B.

Magnetostatica macroscopica

Pasemos a una descripcion macroscopica en terminos de valores medios. Consideremos → → → un elemento de volumen d− r ′ centrado en la posicion − r ′j . Un solo dipolo magnetico − mj − → → ubicado en la posicion − r dentro de dicho diferencial genera un potencial vector A en la j

j

→ posicion − r , que esta dado por (61) − → → → − → m j × (− r −− r j) A j (r) = km . − → − → | r − r j |3 20

(114)

Sumemos ahora todos los dipolos ubicados en el elemento de volumen

− → − → − → −

→ m j Ă— ( r − r j ) − → A j (r) = d A (r) = km

→ → |− r −− r j |3 → − j j

− r j ≃→ r′

→ → → − m j Ă— (− r −− r ′) ≃ km , − → − → | r − r ′ |3 j

(115)

Definiendo:

− → →′ M (− r ) =

− → j mj = Magnetizacion, Ăł → d− r′

(116)

= densidad de dipolos magneticos por unidad de Volumen, (117) − − → → y haciendo j A j (r) = d A (r) resulta: − → →′ → → − r −− r ′) − → M (− r ) Ă— (− d A (r) = km d→ r′, → → |− r −− r ′ |3

− →− − → − →′ − →′ → − → ′ M( r ) Ă— ( r − r ) A (r) = km d r . → → |− r −− r ′ |3

(118) (119)

− → →′ → → mδ(− r ′ ), Para chequear que esta bien, consideremos un solo dipolo en el origen M (− r )=− entonces recobramos la ecuacion (61). Trabajandolo con las formulas del Apendice se llega a

− − → → − → →′ 1 → A (r) = km d− r ′ M (− r ) Ă— âˆ‡â€˛ − , → → |r −− r ′| − →′ − → →′

− → →′ ∇ Ă— M (− r ) →′ M(− r ) − → − → ′ â€˛âˆ’ = km d r − k d r ∇ Ă— , m − → − → − → → | r − r ′| |r −− r ′| V V −

→− →′ − → ′

− → →′ ∇ Ă— M( r ) M (− r ) − → ′ ′ = km d r − km ds n Ă— − , − → − → → → ′ |r − r | |r −− r ′| V S − −

→ → →′ − → →

∇ ′ Ă— M (− r ′) M (− r )Ă—n

→ = km d− r′ + km ds′ − , → → → |− r −− r ′| |→ r −− r ′| V

(120) (121) (122)

(123)

S

Y, a igual que en electricidad, aqui tenemos dos caminos. − → →′ Primer camino. Si integramos SOLO en el volumen V, o sea donde M (− r ) = 0, y la segunda integral sobre la superficie que lo encierra (denotado con S), entonces podemos 21

interpretar que la superficie

− → A (r) es ocasionado por dos densidades de corrientes, en el volumen y en

− → −

− → − − →′ →′ → − → ′ J ind ( r ) ′ j ind ( r ) A (r) = km d r − + km , ds − → → |→ r −− r ′| |→ r −− r ′| V

(124)

S

 → − − → − → →′ ďŁ˛âˆ’ J ind (→ r ′ ) = ∇ ′ Ă— M(− r ), densidad de corriente inducida volumetrica − → − → − → − →  j ind ( r ′ ) = M ( r ′ ) Ă— n , densidad de corriente inducida superficial

(125)

− → j ind produce la corriente inducida i0ind , introducida en la seccion anterior (modelo simple) que se formaba en la superficie del material en contacto con cada espira Como en el − → →′ r ). Ya que las caso electrico, tambien aparece una corriente inducida volumetrica J ind (− corrientes inducidas no introducen corrientes netas se verifica que

0 =

V

=

V

− → →′ → d− r ′ J ind (− r )+

− → ds′ j ind ,

(126)

S

→ − −

→− → →′ − → → ′ − ′ ′ r )Ă—n d r ∇ Ă— M( r ) + ds′ M (− ′ . , S

−

S

→ → ′ ′ − − ds Ă—M( r ′) n − d→ s′

(127)

que se satisface, ya que es el teorema de rotor (ver Apendice).

Segundo camino. Si integramos en TODO el espacio (aqui denotado con ∞ ), hasta el − → →′ infinito, alli M (− r ) = 0, por lo que la integral sobre la superficie cerrada en el infinito es nula. Entonces solo sobrevive el primer termino de la RHS de (124)

− → − − →′ → − → ′ J ind ( r ) A (r) = km dr − , → |→ r −− r ′| ∞ − → − − → − →→ J (→ r ) = ∇ Ă— M (− r). ind

y

(128) (129)

La condicion de corriente neta nula se reduce a:

∞

− → →′ → d− r ′ J ind (− r )=0.

22

(130)

Volviendo a la ecuacion del rotor del campo magnetico (46) y considerando que hay aparte − → − → J ind generado por los dipolos magneticos, hay corrientes externas real J 0 ( libre (free) o real (true) ó externa) tenemos: − → − → ∇× B

− → → − → 1 − ∇× B −M µ0 → − → 1 − B −M µ0 − → − → ∇×H

−

− → → − → − → − → − → = µ0 J total = µ0 J 0 + J ind = µ0 J 0 + ∇ × M , (131)

= µ0 ,

llamando,

− → = H =

intensidad magnetica ,

− → = J0 ,.

(132)

(133) (134)

− → − → − → − → − → − → − → Notemos que ahora ∇ · H = ∇ · B /µ0 − M = − ∇ · M . Resumiendo

− → − → ∇· B =0

− − → − → → − → . ∇ × B = µ0 J 0 + J ind

− → − → − → − → ∇ · H = −∇ · M − → − → − → ∇×H = J0

(135)

Las versiones integrales resultan ser, usando Stokes y Gauss

C

(136)

− → − → d l · H = I0 ,

ley de Amperes para medios magneticos

(137)

ley de Gauss del magnetismo

(138)

C

S

− → ds B · n = 0,

S

C.

− → − → d l · B = µ0 (I0 + Iind )

− → ds H · n = −

V

− → − → →′ → d− r ′ ∇ ′ · M (− r )

(139)

Medios lineales isotropos y homogeneos (LIH)

− → − → La expresion del vector intensidad magnetica H depende de la magnetisacion M segun la ecuacion (??). Lo mas general es que la polarizacion sea expresada en terminos de una expansion en serie de potencias de H − → − →→ − → − → − → − → M = M (− r ) = M 0 + χ1 × H + H × χ2 × H + O(H 3 ) .

23

(140)

− → Si M 0 = 0 significa que el material tiene una polarizacion magnetica permanente, aun en − → ausencia de H. Este material es un iman: en particular los ferromagneticos. Si M 0 = 0 y − → − → el segundo termino es suficiente para describir la polarizacion, entonces M = χ1 × H y el → termino se llama lineal. Si ademas es isotropo entonces χ = χ(− r ) Si ademas el material 1

→ es homogeneo (y lo denotaremos con LIH) entonces χ(− r ). = χm = susceptibilidad magnetica.. Por conveniencia escribimos χm = (µ − µ0 )/µ0 y entonces: − → − → (µ − µ0 ) − → M = χm H = H , entonces , (141) µ0

→ − → → − → − → 1 − µ 1 − B −M = B − −1 H , (142) H = µ0 µ0 µ0 − → 1 − → H = B , (143) µ − → − → que es la expresion encontrada en el modelo sencillo. Vimos que B es un valor medio, M − → tambien es un valor medio (densidad de dipolos magneticos), por lo que H tambien debe entenderse como un valor medio valido a escala macroscopica.

D.

Polos Norte y Sur

Dado

−

− →− →→ − → − →→ A (→ r ) nos preguntamos como es B (− r ) = ∇ × A (− r)

−

→− − → − → →′ − → 1 → → B ( r ) = km ∇ × d− . r ′ M (− r ) × ∇′ − → → |r −− r ′|

(144)

En el Apendice se muestra que

− → − →− − →′ − → − →− − →′ − → →′ 1 1 → → → → ′ ′ ∇ × M( r ) × ∇ − = −∇ M( r ) · ∇ − + 4πM (− r ) δ(− r −− r ′) , → − → → − → ′ ′ |r − r | |r − r | (145) reemplazando,

−

→− µ0 →− − →′ 1 − →− µ0 → − → → − → → → ′− ′ ′ B( r ) = − d r M( r ) · ∇ − + d r 4π M (→ r ′ ) δ(− r −− r ′ ) (,146) → − → ′ 4π | r − r | 4π − → − →− → − → = −µ0 ∇VH ( r ) + µ0 M( r ) , (147) donde hemos llamado 24

1 → VH (− r)= 4π Podemos entonces escribir

− → →′ − → 1 → d− r ′ M (− r ) · ∇′ − . → → |r −− r ′|

(148)

− → − → 1 − → − → H= B − M = − ∇VH . µ0

(149)

→ →′ − → →′ − →′ − 1 r ) − →− − →′ − → ′ M (− r ) ∇ · M (− → ′ M( r ) · ∇ − =∇ − − − → − → → − → → − → ′ ′ |r − r | |r − r | | r − r ′|

(150)

− → − → Con lo cual encontramos una total analogia con el campo electrico, ( E = − ∇V ). Para ver − → cual es el equivalente de las "cargas" de H , hagamos el truco de siempre

con lo que

− → →′

− →′ − →− →′ 1 → ′ M (− r ) − → − → ′− ′ ∇ · M( r ) dr ∇ − − d r , → → → |→ r −− r ′ | 4π |− r −− r ′|

− → →′

− →′ − →− →′ 1 M(− r )·n

1 − → ′ − ∇ · M( r ) = ds − d r + ; → → → 4π |→ r −− r ′| 4π |− r −− r ′|

1 → r) = VH (− 4π

S

=

1 4π

S

usando Gauss (151) o mejor

(152)

donde

(153)

V

→ − →′ σ M (− 1 r ′) − → ′ ρM ( r ) + , ds − dr − → → |→ r −− r ′ | 4π |→ r −− r ′| V

 − →− → →  σ (− M r ) = M( r ) · n − → − →→ →  ρ (− r ) = − ∇ · M (− r) M

densidad superficial de polos magneticos densidad volumetrica de polos magneticos

(154)

Recordemos que el potencial de polarizacion para el caso electrico era:

V (r) = ke

S

→ − →′ σ P (− r ′) − → ′ ρP ( r ) ds − + k d r , e → → → |→ r −− r ′| |− r −− r ′| V

 − →− → →  σ (− P r ) = P(r )·n − → − →→ , →  ρ (− r ) = − ∇ · P (− r)

.

donde

(155)

(156)

P

→ → → con lo cual encontramos tambien una analogia entre ρP (− r ) y ρM (− r ), y σ P (− r ) con − → − → → σ M (− r ). Podemos decir que P y M , son similes matematicos. La polarizacion electrica induce cargas y el campo magnetico induce corrientes. En magnetismo los efectos se interpretan como cargas magneticas o polos. Para el caso de M = cte por ejemplo, resulta que − →→ cuando M (− r )·n sobrevive σ M y llamamos 25

 → − M ·n > 0 , polo norte , − →  M ·n < 0 , polo sur .

(157)

Como siempre, podria integrar en todo el espacio hasta el infinito, por lo cual la integral de − → superficie alli se me anula, y ρM tiene la informacion superficial con el salto brusco de M. Y asi lo veremos en la proxima seccion.

E.

Efecto de bordes: el iman

− → − → Vamos a calcular como son los campos B y H de una barra imantada con M = cte.

Consideremos una barra cilindrida de radio ρ0 y largo 2Z0 imantada en la direccion z. La magnetizacion esta dada por − → − → M = M (ρ, z) = Mz e z = M0 Θ(ρ0 − ρ)Θ(|Z0 | − |Z|) ez

(158)

− → − → − → − → − → Las fuentes de H estan generadas por el gradiente, o sea ∇ · H = ρM = − ∇ · M , que en este caso es

− → − → − → ρM = − ∇ · M = − ∇ · M0 Θ(ρ0 − ρ)Θ(|Z0 | − |Z|) ez , ∂ = −M0 Θ(ρ0 − ρ) Θ(|Z0 | − |Z|) , ∂Z ∂ = −M0 Θ(ρ0 − ρ) [Θ (Z0 − (−Z)) − Θ(Z0 − Z)] , ∂Z = −M0 Θ(ρ0 − ρ)δ(Z0 − (−Z)) + M0 Θ(ρ0 − ρ)δ(Z0 − Z) ,

(159) (160) (161) (162)

que son dos discos ubicados en Z ± Z0 de radio ρ, que son las σ M ; o sea   M Θ(ρ − ρ)δ(Z − Z) = polo norte 0 0 0 .  −M0 Θ(ρ − ρ)δ(Z0 − (−Z)) = polo sur

(163)

0

− → Las lineas de H se comportan igual a un campo electrico: salen la lineas del polo norte (cargas positivas) y entran en el sur (cargas negativas). → − − → − → − → − → − → Las lines de B estan determinadas por ∇ × B = J ind = ∇ × M que en este caso es

26



− → − → − → 1  J ind = ∇ × M =  ρ



eρ ρ

eϕ ez ∂ ∂ρ

∂ ∂ϕ

∂ ∂z

0

0 Mz

   , 

(164)

∂ Θ(ρ0 − ρ) ; ∂ρ − → = M0 Θ(|Z0 | − |Z|)δ(ρ0 − ρ) eϕ = j ind ; = − eϕ M0 Θ(|Z0 | − |Z|)

(165) (166)

que es la densidad de corriente superficiales que dan lugar a las corrientes inducidas descriptas en el modelo sencillo. De vuelta, las corrientes superficiales son los efectos de los bordes (la derivada de Θ es la δ). − → − → Algo importante: las lineas de B (que resulta de j ind segun la ley de Biot y Savart) − → son cerradas. Mientras que las lines de H salen del polo norte y entran en el sur, tambien ⇓ − − → − → − → − → → dentro del material. Alli B y H tienen sentidos opuestos ya que H = B /µ0 − M .

F.

Energia en presencia de materiales magneticos

Para una distribucion en el vacio teniamos 1 U= 2

− → →′ − → → r ), d− r ′ J 0 (r′ ) · A 0 (−

(167)

− → − → donde A 0 es el potencial vector en el vacio ocacionado por las corrientes externas J 0 . − → − → Cuando tenemos materiales magneticos debemos construir J 0 en presencia de A oca-

cionado tambien por los dipolos magneticos. Entonces

→ 1 − → − → U = d− r′ J0· A , sabiendo que 2 − − → − → − → − → → − → − → ∇· A × H = H · ∇ × A − A · ∇ × H ,

→ − J0 → − B 1 U= 2

− → − → 1 → d− r′ H·B− 2

− → − → − → → d− r′ ∇· A ×H

ds

S

27

→ −

→ −

A × H

→0

en el ∞

(168) (169)

(170)

con lo que llegamos a 1 U= 2

− → − → → d− r′ H·B

(171)

Recordemos que en el caso electrico llegamos a un resultado equivalente: U =

1 2

− →− → → d− r ′ D·E.

Veamos el caso de un solenoide ideal (n, S y l) con un determinado material magnetico LIH

1 U = 2

− → − → 1− → − → 1 → d− r ′ H · B = H · B Sl = H µH Sl 2 2 B

1 1 1 µH 2 Sl = µ(ni0 )2 Sl = (Km µ0 )(ni0 )2 Sl = Km U0 2 2 2 1 1 1 2 2 U = Km µ0 n Sl i0 = Km L0 i20 = Li20 2 2 2 =

(172) (173) (174)

Donde hemos usado L0 = µ0 n2 Sl y L = Km L0 .

G.

Condiciones de contorno entre dos medios magneticos

− → − → Sean dos medios magneticos. un medio interno ”1” con B 1 y H 1 normal n , y un medio − → − → ”2” con B 2 y H 2 . Si hacemos un blister en la superficie y aplicamos el teorema de Gauss, resulta

− → − B · d→ a =0

⇒

S

− → − → =0.

B1 − B2 · n

(175)

Si hacemos una circulacion en un plano cuyo versor perpendicular sea n a y el versor en

el plano de la circulacion sea n a (tal que n a × n b = n , n a y n b tangentes a la superficie),

entonces

C

→ − → − H · d l = i0enc =

− → g 0·n a dlb ,

(176)

− → → donde − g 0 es la corriente libre superficial. Luego definiendo l b = lb n b − → → − → − → − → H 1 · (− lb ) + H 2 . l b = − g 0·n a lb ,

−

→ − → → → H 2 − H 1 .− nb = − g 0·n a , 28

(177) (178)

que es equivalente a escribir

Resumiendo

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; n Ă&#x2014; H2 â&#x2C6;&#x2019; H1 = â&#x2C6;&#x2019; g0

,

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; B1 â&#x2C6;&#x2019; B2 ¡ n =0,

â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; n Ă&#x2014; H2 â&#x2C6;&#x2019; H1 = â&#x2C6;&#x2019; g0.

(179)

(180)

Y asi se determina la componente perpendicular de la induccion magnetica y la paralela de â&#x2020;&#x2019; la intensidad magnetica. En el caso de tener â&#x2C6;&#x2019; g 0 = 0, resulta B1â&#x160;Ľ = B2â&#x160;Ľ y H2 = H1

(181)

Con lo cual se termina de definir la ley de Snell. No existe los conductores ideales en magnetismo, pero si consideramos medios LIH, entonces podemos B1,2 = Âľ1,2 H1,2 y H1â&#x160;Ľ =

Âľ2 H2â&#x160;Ľ Âľ1

y

H2 = H1

(182)

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; Si Âľ2 /Âľ1 â&#x2020;&#x2019; 0, H1â&#x160;Ľ /H2â&#x160;Ľ â&#x2020;&#x2019; 0 y el sistema luce como un conductor electrico. Las lineas de H salen casi perpendiculares hacia el medio 2, tal como el campo electrico de los conductores electricos.

29