https://fb.com/ebook.sos https://ebooksos.blogspot.com BUYING EBOOKS ON AMAZON , KINDLE Hỗ trợ mua ebook trên amazon.com, Kindle Giá Rẻ EBOOK SOS có thể giúp bạn mua ebook trên Amazon với giá rẻ. Giá hỗ trợ = 10~20% giá của ebook Amazon. Ebook Amazon ---- Price support <$15 ---------------> $1.5 ~ 30.000 đ $15 - $30 ---------> $3.0 ~ 60.000 đ $30 - $40 ---------> $4.0 ~ 80.000 đ $40 - $50 ---------> $5.0 ~ 100.000 đ $50 - $60 ---------> $6.0 ~ 120.000 đ $60 - $70 ---------> $7.0 ~ 140.000 đ $70 - $80 ---------> $8.0 ~ 160.000 đ $80 - $90 ---------> $9.0 ~ 180.000 đ > $90 --------------> 10-20% giá trên Amazon Tỷ giá USD/VND theo thời điểm mua. Ebook AZW, PDF đọc/ in được trên PC, Ipad, kindle, Smartphone,...
☞ Email: ebooksos.vn@gmail.com ☞ Inbox: fb.com/ebook.sos
c Mirella vẽ. Hình ngoài bìa: � E-book này được gộp lại từ 2 quyển sách: Các bài giảng về toán cho Mirella (Quyển I) và Các bài giảng về toán cho Mirella, Quyển II Về tác giả: GS Nguyễn Tiến Dũng đoạt huy chương vàng Olympiad Toán Quốc Tế năm 1985, tốt nghiệp Đại học Quốc gia Moskva mang tên Lomonosov (Liên Bang Nga) năm 1991, bảo vệ luận án tiến sĩ về toán năm 1994 ở Đại học Strasbourg, trở thành nghiên cứu viên của Trung tâm Nghiên cứu Khoa học Quốc gia Pháp (CNRS) vào năm 1995, được bổ nhiệm làm giáo sư tại Đại học Toulouse năm 2002, và được Ủy ban Quốc gia của Pháp (Conseil National des Universités) phong chức giáo sư ngoại hạng (professeur classe exceptionnelle) năm 2015. GS Nguyễn Tiến Dũng là một chuyên gia trong các lĩnh vực hình học vi phân, hệ động lực, và toán tài chính, và từng có thời gian làm Viện trưởng Phân viện Toán lý thuyết (với 70 cán bộ nghiên cứu có biên chế) của Viện toán Toulouse.
2
Bản e-book số: SE004-MM-LBP-ST
Mục lục Quyển I
6
Lời giới thiệu của Giáo sư Hà Huy Khoái . . . . . .
8
Lời tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1
Bài toán của công chúa Dido . . . . . .
16
2
Đường ngắn nhất nối 4 đỉnh hình vuông
31
3
Con khỉ đi bán chuối . . . . . . . . . . .
45
4
Các hình đa giác và các nhóm đối xứng
56
5
Vấn đề lát gạch . . . . . . . . . . . . . .
70
6
Bài toán về các con kiến . . . . . . . . .
81
7
Cắt ghép hình vuông thành tam giác đều 89
8
Bài toán bò ăn cỏ . . . . . . . . . . . . .
9
Các số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . 106
10
Tổng bình phương của cấp số cộng . . . 119
11
Tích phân là gì . . . . . . . . . . . . . . 131
12
Bánh xe hình vuông! . . . . . . . . . . . 144
99
Phụ lục: lời giải cho một số bài tập . . . . . . . . . 156 4
Quyển II
163
Lời giới thiệu của GS Nguyễn Văn Mậu . . . . . . . 164 Lời tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Compter avec l’autre . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 13
Số học trên mặt phẳng . . . . . . . . . . 181
14
Pythagoras và tích vô hướng
15
Các đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . 216
16
Công thức Euler . . . . . . . . . . . . . 234
17
Con thỏ của Mirella . . . . . . . . . . . 246
18
Xổ số có giải tỷ đô la . . . . . . . . . . . 254
19
Đạo hàm là gì . . . . . . . . . . . . . . . 263
20
Nguyên lý biến phân Fermat . . . . . . . 279
21
Entropy và trò chơi đoán số . . . . . . . 298
22
Bài toán cân 12 đồng tiền . . . . . . . . 320
. . . . . . 204
Đáp án cuộc thi “Compter avec l’autre” . . . . . . 334
Dành riêng cho: Lê Bich Phượng
5
Lời giới thiệu của GS Hà Huy Khoái Đọc cuốn “Các bài giảng về toán cho Mirella”, tôi gặp lại cái cảm giác tươi mát của 4-5 năm trước, khi đến thăm ngôi nhà nhỏ của Dũng–Mai–Tito–Mirella ở Toulouse. Ngôi nhà có mảnh vườn nhỏ, với những luống cà chua và mấy khóm rau thơm mang giống từ Việt Nam. Bữa ăn hôm đó thơm mùi cà chua mới hái trong vườn, lại còn được nghe chủ nhà kể về cái cách chăm sóc chúng với niềm say mê thực sự của người làm vườn. Hôm nay, ông chủ của khu vườn đó lại dẫn chúng ta vào một khu vườn khác, cũng với niềm say mê như thế. Không những ta được ông chủ chỉ cho xem, được chiêu đãi những hoa thơm quả ngọt của khu vườn, mà còn được tận tình chỉ bảo cách tạo nên những hoa thơm qủa ngọt đó. Khu vườn có tên là Toán học. Không ít người từng ngại ngần khi bước vào khu vườn bí hiểm đó, với những lối đi chẳng khác nào labyrinth. Nhưng đi theo người làm vườn thành thạo đã hiểu mọi ngõ ngách khu vườn như lòng bàn 8
tay, ta bỗng thấy mọi điều trở nên thật dễ dàng. Tất cả đều hiện lên với một vẻ đẹp thật đơn giản và thuần khiết. Hơn thế nữa, ta bỗng thấy háo hức muốn cầm ngay xẻng, cuốc để tự mình trồng vài cái cây, vài khóm hoa, luống rau. Đối với tôi, khu vườn toán học đó không có gì xa lại. Vậy mà đi theo người làm vườn Nguyễn Tiến Dũng, tôi vẫn ngạc nhiên thú vị về cái cách anh giảng giải chuyện làm thế nào để trồng được mấy khóm cây đó, như chuyện kể về lý thuyết nhóm thông qua việc xoay xoay mấy hình đa giác, hay bài toán tìm hình có chu vi cho trước với diện tích cực đại bằng cái dây da trâu của công chúa Dido. Các bài giảng về toán cho Mirella thực sự là một cuốn sách giáo khoa toán học cho tất cả mọi người, đặc biệt cho những ai muốn tìm hiểu vẻ đẹp của toán học mà còn ngại tính toán! Nói cho cùng, trong toán học có hai phần “tính” và “toán”. Nếu như các kỳ thi thường hay bắt thí sinh phải thạo “tính”, thì tác giả lại cho người đọc hiểu phần “toán”, tức là phần bản chất nhất của toán học. Hơn nữa, khi đã hiểu “toán” thì việc “tính” cũng sẽ tự nhiên như trồng một cái cây, gieo một hạt giống thôi. Đã đến lúc chúng ta cùng người làm vườn và cô bé Mirella bước vào khu vườn Toán học, với niềm vui của người khám phá và sáng tạo. GS Hà Huy Khoái (Viện sĩ TWAS, nguyên Viện trưởng Viện Toán học Hà Nội) Dành riêng cho: Lê Bich Phượng
9
6 Bài toán về các con kiến Con kiến mà leo cành đa Leo phải cành cụt leo ra leo vào ... Có một bài toán đố vui về các con kiến như sau, mà trong một lần đi chơi cùng Mirella, Tito, và hai anh họ, papa đã đem ra đố cả 4 anh em, rồi sau đó thảo luận lời giải và đặt thêm các câu hỏi khác xung quanh: Giả sử có một cái thanh ngang có hai đầu. Một con kiến đi từ đầu này đến đầu kia của thanh thì mất 2 phút. Khi đi đến một trong hai đầu, thì kiến sẽ rơi xuống đất thay vì đi quay lại như trong bài thơ. Bây giờ giả sử có 10 con kiến trên thanh ngang và đi với cùng tốc độ như vậy, nhưng về các hướng khác nhau. Nếu có hai còn nào đi ngược hướng đến cùng 1 vị trí trên thanh ngang thì chúng chạm đầu vào nhau và quay ngược lại đi tiếp. Hỏi rằng sau bao nhiêu thời gian thì chắc chắn rằng cả 10 con kiến sẽ cùng rơi xuống 81
Chương 6. Bài toán về các con kiến
đất? Trước khi xem gợi ý và lời giải phía dưới đây, bạn đọc hãy thử tự nghĩ cho đến khi tìm được lời giải hoặc ít nhất 15 phút xem sao? Giả thiết tự hiểu ở đây là các con kiến có độ dài không đáng kể (nhỏ như là các điểm), và khi chúng đụng đầu nhau và quay ngược lại thì quá trình đụng đầu và quay đầu đó cũng không mất thời gian gì cả. Thời gian hỏi trong bài là thời gian để cho cả 10 con kiến đều rơi xuống trong trường hợp “tồi” nhất, tức là trường hợp tốn nhiều thời gian nhất, còn tất nhiên khi cả 10 con đều ở sát các đầu và con nào cũng đi về phía đầu gần nó nhất, thì sẽ hầu như không tốn tý thời gian nào để cả 10 con cùng rơi xuống đất. Bài toán đố trên có lẽ là một trong những bài toán đố thú vị nhất cho học sinh, và cho cả người lớn. Nó vừa dễ vừa khó, bởi vì lời giải của nó học sinh lớp 1 cũng có thể hiểu được, nhưng mà người lớn cũng khó nghĩ ra lời giải đúng. Papa không rõ xuất xứ của nó, tuy có nhớ mang máng là có một lần thấy nó xuất hiện trong một quyển sách phổ biến kiến thức của nhà toán học Ian Stewart. Nó được truyền miệng từ người này sang người khác. Bản thân papa biết về nó là do một bạn đồng nghiệp của papa, GS. Jean-Marc Schlenker, kể trong một lần ăn trưa. Sau 82
Bản e-book số: SE004-MM-LBP-ST
Chương 6. Bài toán về các con kiến
đó, papa có đem bài này đi đố lại rất nhiều người, trong đó chỉ có vài người giải đúng mà không cần gợi ý. Nếu bạn đọc đã nghĩ ra hoặc biết lời giải rồi, thì thử nghĩ tiếp 2 câu hỏi sau: Câu hỏi 2: 10 con kiến đó có thể đụng đầu nhau nhiều nhất là bao nhiêu lần trước khi tất cả rơi xuống ? Câu hỏi 3: Một con kiến (trong số 10 con đó) thì có thể đụng đầu vào các con khác nhiều nhất là bao nhiêu lần trước khi rơi xuống?
Giải bài toán con kiến Nếu đã biết lời giải rồi thì không nói làm gì. Nhưng giả sử là ta chưa biết lời giải, khi đó làm thế nào để tìm lời giải? Thứ nhất là có thể kiểm tra nhanh một cái, rằng các con kiến thể nào cũng sẽ rơi xuống hết, chứ không bị mắc lại trên thanh ngang mãi vì cứ đi đâm đầu vào nhau. Thật vậy, xét con kiến ở phía ngoài cùng bên phải. Nếu nó đi về phía bên phải, thì sẽ không đâm đầu vào con nào và cứ thế là rơi xuống. Nếu nó đi về phía bên trái rồi chẳng may đụng đầu, thì nó quay lại đi về phía bên phải, và khi đó nó vẫn ở ngoài cùng bên phải nên sẽ rơi xuống mà không đụng đầu thêm con nào. Cứ tiếp tục như thế, lần lượt tất Dành riêng cho: Lê Bich Phượng
83
Chương 6. Bài toán về các con kiến
cả các con kiến sẽ đều rơi xuống. Thứ hai là đến “đoán mò” ước lượng thời gian. Nếu như có thể chỉ ra rằng, trong mọi trường hợp, con ngoài cùng bên phải đi mất không quá 2 phút để rơi xuống, thì theo qui nạp n con sẽ cần không quá 2n phút để toàn bộ rơi xuống. Thế nhưng 2n có phải là đáp án không, hay là chúng cần ít thời gian hơn để tất cả cùng rơi? Thứ ba là, nếu ta làm trường hợp tổng quát n con (n = 10 trong bài toán) khó quá, thì đầu tiên ta thử tìm lời giải cho các trường hợp n nhỏ đã, rồi tìm cách tổng quát hóa lên sau. Vậy nếu chỉ có 2 con (n = 2) hoặc 3 con (n = 3) thì sao? Trường hợp n = 2: Chỉ có cùng lắm là 1 lần đụng đầu, và nếu không đụng đầu thì sau 2 phút chắc chắn cả hai con đều rơi, vì quãng đường cần đi của mỗi con đều ngắn hơn hoặc bằng so với toàn bộ chiều dài của thanh ngang, và toàn bộ chiều dài đó mới cần đến 2 phút. Nếu có đụng đầu thì sao? Giả sử đụng đầu sau thời gian t (tính từ thời điểm bắt đầu đi), và điểm đụng đầu cách đầu bên phải là a và cách đầu bên trái à b. Ở đây, a và b là hai đại lượng đo bằng thời gian để đi, tính theo đơn vị phút, tức là nếu con kiến đi từ điểm đụng đầu đó đến đầu bên trái của thanh ngang mà không bị vướng con nào thì đi mất a phút, còn đi đến đầu bên phải thì mất b phút. Khi đó a + b = 2 là 84
Bản e-book số: SE004-MM-LBP-ST
Chương 6. Bài toán về các con kiến
độ dài thanh ngang. Ngoài ta phải có a ≥ t, vì con kiến đi từ bên trái đi mất t thời gian cho đến thời điểm đụng đầu, được một đoạn đường nằm trong đoạn từ đầu bên trái đến điểm đụng đầu. Con kiến bên phải sẽ rơi xuống sau tổng thời gian là t + b. Nhưng vì t ≤ a nên t + b ≤ a + b = 2. Như vậy con bên phải rơi xuống sau không quá 2 phút. Tương tự như vậy với con bên trái. Vậy là, khi có 2 con kiến thì cũng chỉ mắt cùng lắm là 2 phút, chứ không phải là 2 × 2 = 4 phút!
Khi n = 3 thì sao? Có khá nhiều trường hợp hơn so với n = 2. Có thể liệt kê một danh sách đầy đủ các trường hợp. Bạn đọc thử viết tỷ mỉ ra rồi tính toàn bộ các trường hợp xem. Kết quả cuối cùng là gì? Là 3 phút hay 4 phút? Nếu tìm ra là 3 phút hay 4 phút thì lời giải bị sai. Lời giải đúng là: cũng chỉ cần 2 phút khi có 3 con! Thứ tư là, khi ta đã có đáp số cho các trường hợp n = 1, n = 2, n = 3, thì ta dựa vào đó để đoán trường hợp tổng quát. Vì n = 1, 2, 3 đều cho ra kết quả là 2 phút, nên đoán là trường hợp tổng quát cũng chỉ có 2 phút. Có ngạc nhiên không? Bản thân papa lần đầu khi thấy vậy rất ngạc nhiên, vì cứ hình dung các con kiến đập đầu vào nhau quay đi quay lại nhiều lần sẽ phải tốn nhiều thời gian đi vòng vo trước khi rơi xuống! Thứ năm là, sau khi có giả thuyết (chỉ cần thời gian 2 Dành riêng cho: Lê Bich Phượng
85
Chương 6. Bài toán về các con kiến
phút) rồi, làm sao chứng minh nó? Bạn đọc đã được gợi ý cho đáp số rồi, hãy tìm cách chứng minh nó thật lâu đi trước khi “đầu hàng” đọc tiếp lời giải.
Mấu chốt của lời giải Điểm mấu chốt của lời giải là: nếu có một người quan sát “nhìn từ xa”, không phân biệt các con kiến với nhau, thì việc chúng quay đầu đi ngược lại cũng không khác gì việc chúng cứ thế đi tiếp: nếu chẳng hạn con kiến A đụng đầu con kiến B rồi đi ngược lại, thì cũng cứ như là A cứ đi tiếp và B cứ đi tiếp nhưng “đổi tên” hay “đánh tráo” chúng cho nhau thôi. Nếu chỉ nhìn tổng thế chứ không phân biệt các con kiến, thì việc có quay đầu lại hay không vẫn thế. Và tất nhiên, nếu không cần quay đầu lại, thì thời gian tối đa cần thiết để chúng rơi xuống hết là 2 phút. Suy luận như trên chính là một điểm rất quan trọng trong tư duy toán học: Nhìn thấy sự giống nhau trong các vấn đề khác nhau, và đưa vấn đề phức tạp về vấn đề đơn giản hơn. Ở đây, bài toán con kiến có một sự “đối xứng” giữa các con kiến, tức là không thay đổi nếu ta hoán vị các con kiến. Nhóm đối xứng ở đây là nhóm hoán vị Sn . 86
Bản e-book số: SE004-MM-LBP-ST
Chương 6. Bài toán về các con kiến
Bao nhiêu lần đụng đầu? Để trả lời câu hỏi 2, nhận xét rằng số lần đụng đầu cũng bằng số lần đi qua nhau nếu ta coi các con kiến cứ đi tiếp mà không quay đầu. Con số này nhiều nhất nếu mọi con đi về hướng bên phải đều đi qua mọi con đi về phía bên trái. Khi đó số lần đụng đầu là a × b, trong đó a là số kiến đi về phía bên phái, b là số kiến đi về phía bên trái, a + b = 10. Cực đại đạt được khi a = b = 5, tức là nhiều nhất có 25 lần đụng đầu. Thế còn một con kiến thì đụng đầu nhiều nhất được bao nhiêu lần? Đáp số là 9. Hãy tự tìm lời giải! Xem Hình 6.1. Bài tập 6.1. Thế còn một cặp 2 con kiến (trong bài toán với 10 con kiến này) thì có thể đụng đầu nhau cùng lắm là bao nhiêu lần ?
Bản e-book của Lê Bich Phượng, e-mail: lebichphuong1709@gmail.com
Dành riêng cho: Lê Bich Phượng
87
Chương 6. Bài toán về các con kiến
Hình 6.1: Đường đi của con kiến đụng đầu 9 lần
88
Bản e-book số: SE004-MM-LBP-ST
17 Con thỏ của Mirella Con thỏ của Mirella là một con thỏ rất to, to đến mức papa cũng ngạc nhiên. Nó to đến như thế nào, thì xem tiếp sẽ rõ.
Con thỏ lớn nhanh Số là thế này. Một lần, Mirella nghĩ ra bài toán con thỏ để đố papa. Mirella nói: “con thỏ này cứ mỗi ngày lại to lên gấp đôi, papa phải đưa ra định lý cho nó”. Papa liền trả lời: - Thế thì chẳng mấy chốc con thỏ sẽ to hơn cả quả đất. - Nhưng mà đến ngày thứ 151 thì nó thôi không lớn thêm nữa. - Mirella nói. - Thế thì nó vẫn to lắm, có khi vẫn to hơn cả trái đất. Papa đáp lại. 246
Chương 17. Con thỏ của Mirella
Papa và Mirella liền rủ nhau ước lượng xem con thỏ của Mirella sẽ to ra bằng từng nào, và so với trái đất thì sao. Con thỏ của Mirella tăng trong vòng 150 ngày, mỗi ngày tăng gấp đôi. Cứ 10 ngày thì nó tăng lên gấp khoảng 1000 lần. Mirella đính chính lại là, 10 ngày thì nó tăng 1024 lần. Nhưng thôi ta cứ coi là 1000 lần, hay 103 , cho tiện. Sau 150 ngày, tức là 15 lần 10 ngày, thì con thỏ sẽ tăng lên quãng (103 )15 , tức là thành 1045 lần, vì 15×3 = 45. Nếu giả sử lúc ban đầu con thỏ nặng quãng 100 gram, tức là 1/10 kg, thì sau khi tăng 1045 lần, nó sẽ thành quãng 1044 kg, hay là 1041 tấn. Thực ra thì thỏ tăng lên hơn 1045 lần (nếu tính chính xác hơn, dùng 210 = 1024 thay vì 1000, thì được 102415 ≈ 1.42 × 1045 lần cơ), nhưng mà hôm đầu tiên thỏ cũng không nặng đến 1/10 kg, nên cuối cùng đến ngày thứ 151 thỏ thôi không lớn nữa thì vẫn coi là nặng thành 1044 kg được. Mirella đồng ý với papa là thỏ nặng từng đó. Thế còn trái đất nặng quãng bao nhiêu?
So sánh với trái đất Papa đã kể cho Mirella một lần rằng chu vi của trái đất dài khoảng 40 nghìn km. Chu vi bằng 2 lần π nhân với bán Bản e-book của Lê Bich Phượng
247
Chương 17. Con thỏ của Mirella
kính, trong đó π xấp xỉ bằng 3.14. Lấy 40 nghìn chia cho 2 rồi chia cho hơn 3 một chút, ta được một số hơn 6 nghìn một chút, chưa đến 6 nghìn rưỡi. Papa với Mirella tính xấp xỉ “thô” thôi, chứ không định tính thật chính xác. Công thức tính thể tích hình cầu thì Mirella cũng nhớ: nó bằng 4/3 nhân với π nhân với bán kính lập phương. Bán kính là quãng 6 nghìn km. 6 lập phương bằng quãng 200, còn 4 nhân π chia 3 thì được hơn 4 nhưng chưa được 5, nhân với 6 lập phương thì ta cứ coi như là 200 nhân với 5, thành ra 1000, tức là 103 . Nhưng số 6 ở đây là ở vị trí hàng nghìn, nên phải tính thêm 1000 lập phương nữa, thành 109 . Nhân 103 với 109 được 1012 . Như vậy, thể tích của trái đất ở vào cỡ 1012 km khối. Một ki-lô-mét thì bằng 103 mét, và một ki-lô-mét khối thì bằng (103 )3 = 103 mét khối, nên thể tích trái đất ở vào cỡ 1012 × 109 = 1021 mét khối. Tính thêm tiếp: 1 mét thì bằng 10 dm (đê-xi-mét), và 1 mét khối thì bằng 103 dm khối. Nhân 1021 với 103 , ta được thể tích trái đất vào cỡ 1024 dm khối. Từ thể tích làm sao ước lượng ra khối lượng? Mirella không biết. Papa mới mách cho Mirella một “bí mật” là, 1 deximet khối nước nặng quãng 1kg. Nhưng trái đất không phải là nước, trong trái đất có kim loại nặng hơn nhiều so với nước. Ta coi là nặng trung bình gấp 10 lần nước chẳng 248
Bản e-book của Lê Bich Phượng
Chương 17. Con thỏ của Mirella
hạn, tức là mỗi dm khối của trái đất nặng trung bình quãng 10 kg. Như vậy, trái đất sẽ nặng quãng 1024 × 10 = 1025 kg. Tất cả các phép tính ước lượng trên mà papa làm với Mirella là tính nhẩm, không hề dùng đến giấy bút hay máy tính. Theo ước tính của Mirella và papa, thì trái đất nặng vào cỡ 1025 kg, hay là 1022 tấn.
Trong khi đó con thỏ của Mirella sẽ nặng những 1041 tấn, tức là sẽ nặng gấp những 1019 lần trái đất! Sau khí tính toán ước lượng nhẩm về trái đất, papa và Mirella tra internet xem các con số thực sự ra sao. Kết quả wikipedia(1) như sau: Thể tích trái đất bằng 1.08321 × 1012 km khối.
Khối lượng trái đất bằng 5.9736 × 1024 kg, tức là quãng 0.6 × 1022 tấn.
Xem ra, ước lượng của papa và Mirella về thể tích trái đất khá tốt, lệch có 8%, còn ước lượng về khối lượng thì bị lệch nhiều hơn: khối lượng thực sự chỉ có 0.6 × 1022 tấn trong khi papa và Mirella ước lượng ra thành khoảng 1022 tấn. Ước lượng về khối lượng bị sai chủ yếu là do papa và Mirella “đoán mò” sai về mật độ của trái đất: mật độ của trái đất chỉ có 5.515kg/dm3 (tức nặng gấp khoảng 5.5 lần so với nước) trong khi papa và Mirella coi nó nặng gấp những 10 lần so với nước. (1)
Xem http://en.wikipedia.org/wiki/Earth
Bản e-book của Lê Bich Phượng
249
Chương 17. Con thỏ của Mirella
Ăn cả Ngân Hà Ước lượng tính nhẩm của Mirella và papa về khối lượng trái đất tuy không thật chính xác, nhưng đúng được về cỡ 1025 kg của nó (nhân với một số nào đó gần 1, theo nghĩa log của số đó gần bằng 0), và con thỏ của Mirella nặng bằng quãng những 5/3 × 1019 trái đất. Thế so với mặt trời thì sao? Vẫn theo wikipedia(2) , các nhà thiên văn đo được rằng, chu vi của mặt trời dài gấp 109 lần chu vi của trái đất. Nếu so sánh thể tích thì phải lấy lập phương của số đó, tức là thể tích của mặt trời bằng quãng 1093 ≈ 1.3 triệu lần thể tích trái đất. So với mặt trời, thì quả là trái đất bé tí xíu. Nhưng mặt trời “loãng” hơn trái đất, mật độ chỉ bằng quãng 1/4 mật độ của trái đất, nên khối lượng không phải là gấp 1.3 triệu lần khối lượng trái đất, mà chỉ gấp 333 nghìn lần thôi, hay có thể viết là 1/3 × 106 lần. So với thỏ của Mirella thì mặt trời vẫn quá bé: thỏ của Mirella nặng gấp những (5/3 × 1019 )/(1/3 × 106 ) = 5 × 1013 lần mặt trời! Vì trong hệ mặt trời, chỉ có mặt trời là lớn nhất chiếm gần hết khối lượng rồi, có cộng tất cả các hành tinh của hệ mặt trời vào thêm cũng không ăn thua mấy, nên có thể coi là thỏ của Mirella nặng gấp 5 × 1013 lần toàn bộ hệ mặt trời. (2)
X em: http://en.wikipedia.org/wiki/Sun
250
Bản e-book của Lê Bich Phượng
Chương 17. Con thỏ của Mirella
Hình 17.1: Thỏ của Mirella. Tranh do Mirella vẽ. Thế so với dải Ngân Hà chứa hệ mặt trời của chúng ta thì sao?(3) . Theo các nhà thiên văn, thì dải Ngân Hà chứa từ 100 tỷ đến 400 tỷ vì sao (mỗi vì sao là một thiên thể tỏa sáng mạnh, tương tự như là mặt trời vậy), và họ ước lượng rằng khối lượng của dải Ngân Hà bằng quãng 5.7 × 1011 (tức 570 tỷ) khối lượng của mặt trời. Thật là một con số lớn khủng khiếp. Nhưng vẫn thua thỏ của Mirella: thỏ của (3)
Xem Milky Way galaxy: http://en.wikipedia.org/wiki/Milky_Way. Sở dĩ thiên hà chứa hệ mặt trời của chúng ta được gọi như vậy là vì có thể nhìn thấy nó trên bầu trời có hình như là một dòng sông màu sữa, hay màu bạc
Bản e-book của Lê Bich Phượng
251
Chương 17. Con thỏ của Mirella
Mirella nặng bằng gần 100 lần dải Ngân Hà! Thế so với cả vũ trụ thì sao? Người ta đếm được trong vũ trụ có đến 1.7 × 1011 các thiên hà (galaxy) khác nhau. Thỏ của Mirella, tuy to gấp cả trăm lần dải Ngân Hà, nhưng cũng chỉ bằng một thiên hà loại lớn thôi, và như vậy vẫn còn rất bé so với toàn bộ vũ trụ. Mirella phấn khởi nói: “Thế là con thỏ đầu tiên có thể ăn trái đất, rồi ăn hệ mặt trời, rồi ăn dài Ngân Hà, rồi ăn thêm các thiên hà khác, để lớn được thành như vậy!".
Con thỏ bé hơn Papa đề nghị với Mirella là, không cho con thỏ lớn lên trong những 150 ngày liền như vậy nữa, vì nó sẽ ăn hết mất bao nhiêu là thiên hà mất. Mirella thì nói là nó có thể ăn cả các thế giới song song (parallel worlds) nữa để mà lớn. Sau một hồi kỳ kèo mặc cả, Mirella đồng ý với papa là, thôi bây giờ chỉ cho nó lớn lên trong vòng 60 ngày thôi, mỗi ngày tăng lên gấp đôi, nhưng từ ngày thứ 61 sẽ không lớn thêm nữa. Con thỏ “bé” này của Mirella chỉ tăng được có (103 )6 = 1018 lần thôi, chứ không phải 1045 lần như trước. Vẫn với giả sử lúc đầu nó nặng gần bằng 1/10 kg như trước, thì con thỏ này sẽ “chỉ” nặng có 1018 × 1/10 = 1017 kg, hay là 252
Bản e-book của Lê Bich Phượng
Chương 17. Con thỏ của Mirella
1014 tấn, sau khi thôi lớn. So với trái đất, lần này thỏ “bé” của Mirella quả là bé: trái đất năng 0.6 × 1025 kg, tức là nặng gấp những 6 × 107 (tức 60 triệu) lần con thỏ.
Trong lúc papa dẫn Mirella đi mua một cái xe đạp mới thay cho cái xe đạp cũ đã trở nên cũn cỡn, Mirella tò mò muốn biết con thỏ 1014 tấn là nặng như thế nào so với các thứ khác trên trái đất. Mirella mới hỏi papa: “một cái nhà nhỏ thì nặng quãng bao nhiêu?”. Papa không biết, nhưng đưa ra đại một con số: “quãng 100 tấn”. “Một thành phố thì có quãng bao nhiêu nhà?” – Mirella hỏi tiếp. Papa trả lời là một thành phố lớn, thì có tương đương với khoảng 1 triệu (106 ) cái nhà nhỏ. Như vậy, một thành phố lớn, thì nhà cửa nặng khoảng 106 × 100 = 108 tấn. “Thế một nước thì có bao nhiêu thành phố?”. Một nước rất lớn, thì có thể coi tương đương với 100 thành phố. Như vậy nhà cửa của một nước rất lớn nặng 100 × 108 = 1010 tấn. Trong khi đó con thỏ “bé” của Mirella nặng những 1014 tấn. Mirella khoái chí lắm, vì con thỏ “bé” của mình nặng bằng những một vạn nước lớn! Bản e-book của Lê Bich Phượng, e-mail: lebichphuong1709@gmail.com
Bản e-book của Lê Bich Phượng
253
Chỉ mục bài toán cắt ghép hình, 81 bài toán công chúa Dido, 10 bài toán cực trị, 276, 280 bài toán con kiến, 73 bài toán gà và chó, 92, 96 bài toán khỉ bán chuối, 39 bài toán Steiner, 35 bài toán thứ 3 của Hilbert, 90 bội điểm, 179 BĐT Cauchy–Bunyakovsky, 206 biến số, 276 bit, 294, 304 Boltzmann (nhà vật lý), 305
Đồng nhất thức hình bình hành, 204 Định luật Snell, 282 đối ngẫu, 220 đối xứng quay, 51, 60 đối xứng trục, 14, 51, 60 đồ thị phẳng, 236 đạo hàm, 31, 255, 260 định lý Bézout, 185 định lý Dehn, 90 định lý Lagrange, 61, 148 định lý Pythagoras, 197 định lý lớn của Fermat, 273 định lý nhỏ của Fermat, 273 đường võng, 135, 140 đa diện Kepler–Poinsot, 226 đa giác đều, 18, 61 đa giác nguyên, 193 điểm nguyên, 174 điểm nguyên tố, 176
công thức Euler, 229 công thức Leibniz, 265 công thức Pick, 194 chỗ lõm, 211 chiếu trực giác lên hình lồi, 37 chu vi trái đất, 239 chuỗi số, 248 Chuỗi số Riemann, 253 con thỏ của Mirella, 238, 243 cosh, 137, 144
bất đẳng thức Shannon, 309 bất đẳng thức tam giác, 222 bánh xe hình vuông, 133 Bézout (nhà toán học), 184 bài toán bò ăn cỏ, 91
dải Ngân Hà (Milky Way), 243
340
Đáp án cuộc thi “Compter avec l’autre”
Descartes (nhà toán học), 273 diện tích, 121 Dido (công chúa), 10 entropy, 289, 304 Escher (họa sĩ), 64 Euler (nhà toán học), 230 Fermat (nhà toán học), 272 Fibonacci (nhà toán học), 100 giới hạn, 259 giá trị trung bình, 261 hình đa diện, 211 hình đa diện đối ngẫu, 224 hình đa diện đều, 216 hình đa giác, 49 hình bình hành nguyên tố, 191 hình lồi, 210 hình lõm, 210 hình tam giác đều, 49 hình tròn, 15 hình vuông, 25, 51, 133, 138 hình xuyến (torus), 236 hàm lồi, 303 hàm ngược, 268 hệ nghìn phân, 293 hệ phương trình tuyến tính, 92, 93, 116 hệ số khúc xạ, 283 hội tụ, 248
Ibn Sahl (nhà bác học), 283 information, 304 khối lượng trái đất, 241 không gian Euclid, 199 không-điểm, 176 kim tự tháp, 111, 138 lát gạch, 63 lát gạch Penrose, 71 lời giải một số bài tập, 145–149 lưới hai chiều, 175 lưới nguyên, 175 lược nhóm, 70 lượng thông tin, 304 lưỡng tuyến tính, 201 Leibniz (nhà bác học), 266 Leibniz (nhà toán học), 125 limit, 259 máy tính điện tử, 294 Newton (nhà bác học), 255 nguyên lý biến phân Fermat, 270 nguyên tố cùng nhau, 176 nhóm, 49, 56 nhóm đối xứng, 49, 53–55, 60 nhóm hai phần tử, 58 nhóm hoán vị, 78 nhóm nhị diện, 61 nhị thức Newton, 263
Bản e-book của Lê Bich Phượng
341
Đáp án cuộc thi “Compter avec l’autre”
Pascal (nhà toán học), 273 phép nhân trong nhóm, 56 phép tính vi phân, 255 phân kỳ, 248 phương pháp biến phân, 274 phương pháp qui nạp, 117 phương trình đặc trưng, 104 phương trình bậc 2, 104 Pick (nhà toán học), 195 Platonic solid, 216
thể tích hình cầu, 128 thể tích trái đất, 240, 241 trò chơi đoán số, 289 trung bình cộng, 280 trung bình nhân, 280 von Neumann (nhà toán học), 305 Wiles (nhà toán học), 274 xác suất, 300, 301, 309
qui hoạch tuyến tính, 47 qui nạp, 302 số Fibonacci, 98 số nguyên tố, 56 số nhị phân, 291 số thập phân, 291 Shannon (nhà toán học), 304 Snell (nhà thiên văn học), 282 tích phân, 121 tích vô hướng, 200 tính chất lồi, 16 tính chất lũy thừa, 102 tính chất tuyến tính, 264 tô pô, 227 tổng bình phương, 110 tổng quát hóa, 228 tỷ lệ vàng, 107 tam giác nguyên tố, 181
342
Bản e-book của Lê Bich Phượng