DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA II
UNIVERSIDAD NACIONAL DE LOJA Facultad de la Educación, el Arte y la Comunicación CARRERA DE EDUCACIÓN BÁSICA
GUÍA DIDÁCTICA DEL ÁLGEBRA DE BALDOR Realizado por: Edison Mauricio Puglla Vélez Año: 2021 - 2022
Las matemáticas tienen belleza y romance. El mundo de las matemáticas no es un lugar aburrido en el que estar. Es un lugar extraordinario; merece la pena pasar el tiempo allí. (Marcus du Sautoy)
PRELIMINARES 1 Álgebra Es la rama de la Matemática que estudia la cantidad considerada de modo más general posible.
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NOTACIÓN ALGEBRAICA
Los símbolos usados en Algebra para representar las cantidades son los números y letras. 6 Signos de operación En Algebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en aritmética: suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.
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CARÁCTER DEL ALGEBRA Y SU DIFERENCIA CON LA ARITMÉTICA
En aritmética las cantidades se representan por números y estas expresan valores determinados. En Algebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores.
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FÓRMULAS
Fórmula algebraica: es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.
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COEFICIENTE
En el producto de dos factores, cualquiera de los factores es llamado coeficiente del otro factor. Existen los coeficientes numéricos, coeficiente literal
5 Signos del algebra Los signos empleados en algebra son de tres clases: Signos de operación, signos de relación y Signos de agrupación.
8 SIGNOS DE RELACIÓN
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Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. igual a = mayor que > menos que <
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Los signos de agrupación son: paréntesis ordinario () paréntesis angular o corchete [] llaves {} barra o vínculo _____
cantidades positivas y negativas
14 VALOR ABSOLUTO Y RELATIVO
En Algebra, cuando se estudian cantidades que pueden tomarse en dos sentidos opuestos o que son de condición o de modo de ser opuestos, se expresa el sentido, condición o modo de ser (valor relativo de la cantidad por medio de los signos + y -. 15
cantidades aritméticas algebraicas
SIGNOS DE AGRPACIÓN
Valor absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad.
y
Cantidades aritméticas: son las que se expresan solamente el valor absoluto de las cantidades representado por los números. Cantidades algebraicas: son las que se expresan solamente el valor absoluto de las cantidades y además su sentido o valor relativo por medio del signo.
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expresión algebraica
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Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas.
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el grado de un término
Pueden ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra.
término
Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra.
20 clases de términos Término entero es el que no tiene denominador literal. Término fraccionario es el que tiene denominador literal. Término racional es el que no tiene radical. Término irracional es el que tiene radical. Término homogéneo son los que tienen el mismo grado absoluto. Término heterogéneo son los de distinto grado absoluto.
CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS 21 MONOMIO Es una expresión algebraica que consta de un solo término.
23 el grado El grado de un polinomio puede ser absoluto y con relación a una letra.
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POLINOMIO
Es una expresión algebraica que consta de más de un término. Binomio: polinomio de dos términos. Trinomio: polinomio de tres términos
24 clases de polinomios Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal. Fraccionario: cuando alguno de sus términos tiene letras en el denominador. Racional: cuando no tiene radicales. Irracional: cuando contiene radical. Homogéneo: cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto. Heterogéneo; cuando sus términos no son del mismo grado.
Polinomio completo con relación a una letra es el que contiene todos los exponentes sucesivos de dicha letra.
Polinomio ordenado con respecto a una letra es un polinomio en el cual los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz, van aumentando o disminuyendo.
25 Ordenar un polinomio es escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra escogida, llamada letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente. 26 Término independiente de un polinomio con relación a una letra es el término que no tiene dicha letra. 27 Términos semejantes Dos o más términos son semejantes cuando tiene la misma parte literal o sea, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. 28 Reducción de términos semejantes Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes.
a. reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.
Regla: Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.
Ejercicio 7: Reducir
b. reducción de dos términos semejantes de distinto signo.
Regla: Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
Ejercicio 8: Reducir
c. reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos
Regla: Se reducen a un solo término todos los positivos, se reducen a un solo término todos los negativos y a los resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior Ejercicio 9: Reducir
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
!PARA RECORDAR!
Criterio de divisibilidad del 2 Todo número par, que termina en 0,2,4,6 u 8 es divisible entre dos. Ejemplo: 282 es divisible entre 2. Termina en 2. Criterio de divisibilidad del 3 Un número es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es igual a 3 o a un múltiplo de 3. Ejemplo: 249 es divisible entre 3 porque: 2 + 4 + 9 = 15 (múltiplo de 3).
Criterio de divisibilidad del 4 Un número es divisible entre 4 cuando sus últimos dígitos son 0 o un múltiplo de 4. Ejemplo: 424 es divisible entre 4 porque termina en 24, múltiplo de 4. Criterio de divisibilidad del 5 Un número es divisible entre 5 cuando su último dígito es un 5 o un 0. Ejemplo: 36485 termina en 5, por lo tanto es divisible para 5. Criterio de divisibilidad del 6 Un número debe cumplir con los criterios de divisibilidad del 2 y del 3 para ser divisible entre 6. Ejemplo: El número natural 918 termina en un número par (8). Como resultado, 918 es divisible por 2 [918 ÷ 2 = 459, resto 0]. La suma de los dígitos del número 918 es 18 (9 + 1 + 8 = 18). Tenga en cuenta que la suma de los dígitos del número 18 es 9 (1 + 8 = 9). Como 18 y 9 son divisibles entre 3, 918 es divisible por 3 [918 ÷ 3 = 306, resto 0]. Dado que 918 es divisible por 2 Y 3, 918 es divisible por 6. Criterio de divisibilidad del 7 Se debe multiplicar el último dígito por 2 y restarlo al número que conforman los demás dígitos. Esto, hasta que quede un número de un solo dígito. Si este es un 0 o un 7, el número es divisible entre 7.
Ejemplo: 105 5x2=10 10-3=7. 105 es divisible entre 7.
Criterio de divisibilidad del 8 Los últimos tres dígitos debe ser un múltiple de 8 o iguales a 0. Ejemplo: 1144 es divisible entre 8 porque 1144 / 8 = 143 Criterio de divisibilidad del 9 La suma de los dígitos debe ser un múltiplo de 9. Ejemplo: 810 es divisible entre 9 porque: 8 + 1 + 0 = 9, múltiplo de 9 Criterio de divisibilidad del 10 Para que un número sea divisible entre 10 solo debe terminar en 0. Ejemplo: 100 es divisible entre 10 porque termina en cero y 100/10 = 10.
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reducción de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases
Ejercicio 10: Reducir los polinomios siguientes:
valor numérico
Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas. 30
valor numérico expresiones simples
de
Ejercicio 11: Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para a=1, b=2, c=3, m=1/2, n=1/3, p=1/4.
31 valor numérico de expresiones compuestas Ejercicio 12: Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para a=3, b=4, c=1/3, d=1/2, m=6, n=1/4.
Ejercicio 13: Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para a=1, b=2, c=3, d=4, m=1/2, n=2/3, p=1/4, x=0.
Capítulo I SUMA 33 la suma o adición Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). 35
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carácter general agebraica
de
la
En aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en Algebra la suma es un concepto más general, puede significar aumento o disminución.
Regla general para sumar Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.
I. SUMA DE MONOMIOS
Ejercicio 14: Sumar:
suma
Ii. SUMA DE polinomios
Ejercicio 17: Hallar la suma de:
suma de polinomios con coeficientes fraccionarios
Ejercicio 18: Hallar la suma de:
recordemos
conversión de números fraccionarios
a. de una fracción mixta a fracción común
Se multiplica la parte entera por el denominador, luego sumar el numerador, la fracción queda con el mismo denominador: Ejemplo: 2 1/2 2x2=4+1=5 5/2
b. de una fracción común a fracción mixta
1. Dividimos el numerador para el denominador. Ejemplo:
2. Conservamos el denominador, el cociente es el número entero de una fracción mixta y el numerador es el residuo de la operación. Ejemplo:
Ejercicio 19: Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a=2, b=3, c=10, x=5, y=4, m=2/3, n=1/5.
Capítulo II restA 38 resta o sustracción Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo. 39
Regla general para restar Se escribe el minuendo con sus propios signos, a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay.
I. RESTA DE BINOMIOS
Ejercicio 20: De:
Ii. resta DE polinomios
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Cuando el sustraendo es un polinomio, hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo escribiremos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos.
Ejercicio 21: De:
Ejercicio 22: Restar:
Ejercicio 23: De:
42 resta DE polinomios con coeficientes fraccionarios Ejercicio 24: De:
Ejercicio 25: Restar:
Ejercicio 26: Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a=1, b=2, c=3, x=4, y=5, m=3/2, n=2/5. De:
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suma y resta combinadas coeficientes enteros
de
polinomios
con
Ejercicio 27:
44 suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios
Ejercicio 29: