Horizon Cahier d'apprentissage 3e secondaire

INCLUANT

De nombreux exercices et problèmes bien gradués

Des situations-problèmes au contexte signifiant

Des activités d’amorce pour explorer les concepts

Des exercices interactifs autocorrectifs

Des vidéos et animations

ANNIE DUPRÉ ANTOINE LEDOUX

• Les

• La résolution d’un système

•

•

• La notation exponentielle

• Les lois des exposants

• Les préfixes du système international d’unités (SI)

• Les principaux énoncés de géométrie

• L’aire de solides

• Le volume de solides

• L’aire de figures planes

• Les unités de mesure de volume

• Les unités de mesure de capacité

PRÉSENTATION CAHIER DU

Destinée à l’enseignement du cours de Mathématique au 2e cycle du secondaire, la collection Horizon couvre l’ensemble des concepts prescrits par le Programme de formation du MEES. Elle tient également compte de la Progression des apprentissages (PDA).

Cette collection propose une approche notionnelle par chapitre dont la séquence respecte la pratique enseignante. Elle permet une grande souplesse dans l’enseignement de la mathématique tout en favorisant le travail autonome des élèves.

Les chapitres

Tous les chapitres s’ouvrent sur un Rappel qui, à l’aide d’encadrés théoriques, vise à réactiver les connaissances préalables à l’acquisition des concepts abordés dans le chapitre.

Vient ensuite une Activité d’exploration qui se veut une activité d’amorce proposant un contexte concret. Cette activité donne l’occasion aux enseignants de discuter avec les élèves des concepts qui seront abordés dans le chapitre.

Les chapitres sont divisés en sections. Dans chaque section, des encadrés théoriques présentent les notions à l’étude. Des exercices et quelques problèmes permettent ensuite aux élèves de consolider leur compréhension des notions fraîchement acquises.

Des exercices de type défi notés par une étoile sont parfois proposés aux élèves.

RAPPEL Les modes de représentation

On peut représenter une situation de diverses façons à l’aide d’une description verbale, d’une table de valeurs, d’un graphique ou d’une règle, par exemple. j La description verbale Parfois accompagnée d’un dessin, la description verbale permet de décrire sommairement une situation. Exemple Un élève fait de la randonnée en montagne. Au départ, son altitude est de 15 m. Ensuite, elle augmente de 10 m/min.

j La table de valeurs Une table de valeurs est un tableau qui comporte des couples de valeurs permettant de décrire numériquement une situation. Elle peut être représentée horizontalement ou verticalement.

j Le graphique Le graphique permet de visualiser une situation à l’aide de points, d’une courbe ou d’un ensemble de courbes. Il permet d’observer le comportement des variables l’une par rapport l’autre.

À l’occasion, des capsules sur le monde du travail, de connaissances générales ou donnant une astuce aux élèves sont présentées.

Exemple Altitude (m) Temps écoulé (min)

ACTIVITÉ D EXPLORATION Le téléchargement Louisa et Émile téléchargent la même liste de lecture sur leur ordinateur portable respectif. La vitesse de téléchargement

Exemple Temps écoulé (min) Altitude (m) Ce nombre indique l’altitude de départ, soit 15 m. Ce nombre indique la variation de l’altitude, soit 10 m/min.

30

60

est de 2 Mo/s. a) À plusieurs moments, Louisa observe les données téléchargées. Remplis la table de valeurs qui correspond à ce qu’elle peut observer, puis représente graphiquement la situation l’aide d’une droite. Données téléchargées selon le temps écoulé Temps écoulé (s) Données téléchargées (Mo)

© 2022, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite Les relations et les fonctions 41

10 b) Émile s’intéresse plutôt au temps écoulé selon les données téléchargées. Remplis la table de valeurs qui correspond à ce qu’il peut observer, puis représente graphiquement la situation l’aide d’une droite. Temps écoulé selon les données téléchargées Données téléchargées (Mo) Temps écoulé (s)

14 20

2.3 Les fonctions polynomiales de degré 0 et du premier degré 20 (20, 19) (10, 7) 1 10

c) Compare les données des deux tables de valeurs. Que remarques-tu d) 1) Trace d’un trait pointillé la bissectrice du quadrant de chaque graphique. 2) Compare les deux droites tracées par rapport à la bissectrice. Que remarques-tu

© 2022, Les Éditions CEC inc. Chapitre 2 42

Quantité de neige tombée lors d’une tempête Afin d’établir des prévisions, les météorologistes analysent et interprètent des données relatives des phénomènes météorologiques, climatiques et atmosphériques. de variation Dans une relation entre deux variables, le taux de variation est la comparaison entre deux variations correspondantes de ces variables. Taux de variation variation de la variable dépendante variation correspondante de la variable indépendante Le taux de variation entre les couples y et se calcule de la façon suivante. a y Exemple Le taux de variation de la fonction associée à cette droite correspond au taux de variation entre les couples (10, 7) et (20, 19) a D 20 10 10 1,2 10 20

15

taux 1 12 1 Calcule le taux de variation de chaque droite. a) b) c) 2 Sachant que chacune des paires de couples ci-dessous appartient une fonction, détermine le taux de variation de cette fonction. a) 5, 3) et (5, 7) b) (10, 42) et 3, 10) c) 7, 3) et (1, 2)

SYNTHÈSE DU CHAPITRE 2 Questions à choix multiple 1 Quelle relation n’est pas une fonction ? a) b) c) d) y 2 Soit la fonction représentée ci-contre. Quel graphique correspond à la réciproque de cette fonction a) b) c) d) 3 Quels sont le domaine et le codomaine de la fonction représentée a) Domaine 15, 15] b) Domaine 25, 25[ Codomaine 25] Codomaine 15, 15] c) Domaine 25[ d) Domaine r Codomaine 15] Codomaine r 4 Quelle table de valeurs représente une fonction de variation inverse ? a) c)

glace (en

L’achat d’une voiture Pour acheter une voiture usagée, Anthony planifie ses économies et les dépenses en lien avec cet achat. Dans un compte bancaire réservé aux transactions liées à l’achat de la voiture, Anthony a économisé 4350 $. Après l’achat de la voiture, prévoit déposer 300 $ par mois dans ce compte. Anthony compte payer la voiture par versements égaux. Cette situation est représentée dans le plan cartésien ci-contre. Anthony commencera faire les versements dès la prise de possession du véhicule.

la température hivernale

dans cette étude.

17,2 15,6 13,8 12,1 10,4 8,9 8,3 6,8 3,8 À l’aide de ces données, démontre qu’en 2035, l’épaisseur moyenne de la glace du lac étudié par les climatologues devrait se situer entre et cm.

b) d) y 4,5 7,5 9 y 1,5 4,5 7,5

Altitude au cours d’une randonnée Les relations et les fonctions 85

10 16 20 12

10

20 10 10 20 20 (25,

Chapitre 98

2022, Les Éditions CEC inc.

MONDE TRAVAIL DU © 2022, Les Éditions CEC inc. 10

Temps (s) 2022, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite Chapitre

20 12 6 10 Reproduction interdite

b) Indique le meilleur modèle pour cette situation.

c) Trace la droite représentative de l’ensemble des points du nuage de points. d) Détermine la règle de la fonction pouvant servir de modèle à cette situation.

Réponse e) Si le prix du billet continue de varier au même rythme, estime sa valeur à la 14 semaine d’observation.

Chaque chapitre se clôt par une Synthèse qui propose des exercices récapitulatifs sur les notions vues dans le chapitre. Cette section comporte des questions à choix multiple, à réponse courte et à développement et se termine par une situation d’application (CD 2) et une situation-problème (CD 1).

16 4 © 2022, Les Éditions CEC inc. • Reproduction interdite Présentation du cahier VI

Garder le cap

RÉVISION DU CAHIER

carrés a-t-il dans un mètre carré a) 10 000 cm b) 1000 cm c) 100 cm d) 10 cm 2 Quel nombre correspond au nombre 145 000 000 écrit en notation scientifique a) 145 3 10 b) 1,45 10 c) 1,45 10 d) 14,5 10 3 Quelle est la capacité d’un contenant dont le volume est de 43 cm a) 0,43 L b) 43 ml c) 43 cl d) 0,43 cl 4 Quel est le volume d’un contenant qui peut contenir 50 L de liquide a) 50 m b) 5 m c) 0,5 m d) 0,05 m

5 CH. Quelle valeur de x vérifie l’équation x 3 a) b) 27 c) 91 d) Aucune

SITUATION-PROBLÈME

suivant ? a) (1, SITUATION D APPLICATION Le ballon percé Hector gonfle un ballon avec de l’air. Le ballon est percé et de l’air s’en échappe. Cette table de valeurs montre la quantité d’air dans le ballon selon le temps. Quantité d’air dans un ballon percé Temps (min) 0,5 2 2,5 4 5 Quantité d’air (cm 4600 1150 920 575 460 faut 10 min à Hector pour trouver d’où provient la fuite et colmater le trou. Une fois le ballon réparé, la quantité d’air restante dans le ballon diminue au rythme de 0,4 cm /min. Combien de temps après qu’Hector a gonflé le ballon reste-t-il 200 cm d’air dans celui-ci ? Réponse

Annexes

Révision du cahier

3) Un exemple du corrigé du cahier est montré sur cette page. Reproduction interdite Garder le cap

b) (3, 1) c) (6, 2) d) (2, 6) 10 CH. Quelle est, arrondie au centième près, la mesure manquante du triangle illustré ci-contre ? a) 11,18 mm c) 18,03 mm b) 5 mm d) 10,85 mm

y 2 1 15 mm

La Révision du cahier permet aux élèves de faire un survol de l’ensemble des notions vues au cours de l’année. On y  trouve des questions à choix multiple, à réponse courte et à développement.

Les Annexes permettent aux élèves d’accéder rapidement à un résumé des concepts utiles à leur apprentissage de la mathématique.

La livraison de miroirs Une équipe doit emballer individuellement 3 10 miroirs et les transporter dans un entrepôt situé à 320 km. Pour éviter de briser les miroirs, chacun est recouvert de 3 couches de pellicules plastiques de différentes épaisseurs. L’épaisseur totale des trois couches doit être comprise entre 3,45 3 10 mm et 4,02 3 10 mm. Voici les pellicules plastiques disponibles Pellicules plastiques disponibles Pellicule plastique Épaisseur A 1,05 10 B 1,12 3 10 1,15 3 10 D 1,24 3 10 1,38 3 10 1,62 3 10 mm Ces graphiques donnent des exemples du coût total de l’emballage selon le nombre de miroirs à emballer et du coût de transport selon la distance à parcourir. Choisis trois pellicules plastiques que l’équipe pourrait utiliser et calcule le coût total de l’emballage et du transport des miroirs. 100 200 300 400 500 Nombre de miroirs Coût de l’emballage ($) 400 800 1200 1600 2000 Coût total de l’emballage 500 1000 1500 2000 Coût du transport ($) Coût du transport Distance (km) 100 200 300 400 500 © 2022, Les Éditions CEC inc. Reproduction interdite 427 Annexes

Index

Un Index simple et facilitant le repérage des différents concepts étudiés se trouve à la fin du cahier.

Pictogramme

CLIC

Ce pictogramme indique qu’un clic + complète les notions présentées dans l’encadré théorique. Les clics + modélisent la démarche qui permet d’effectuer un exercice ou de résoudre un problème. Ils seront offerts sous forme de suppléments numériques sur maZoneCEC.

LES RELATIONS ET LES FONCTIONS

Sommaire

•

RAPPEL

Les modes de représentation

On peut représenter une situation de diverses façons : à l’aide d’une description verbale, d’une table de valeurs, d’un graphique ou d’une règle, par exemple.

j La description verbale

Parfois accompagnée d’un dessin, la description verbale permet de décrire sommairement une situation.

Exemple : Un élève fait de la randonnée en montagne. Au départ, son altitude est de 15 m. Ensuite, elle augmente de 10 m/min.

j La table de valeurs

Une table de valeurs est un tableau qui comporte des couples de valeurs permettant de décrire numériquement une situation. Elle peut être représentée horizontalement ou verticalement.

j Le graphique

Le graphique permet de visualiser une situation à l’aide de points, d’une courbe ou d’un ensemble de courbes. Il permet d’observer le comportement des variables l’une par rapport à l’autre.

Exemple : Altitude au cours d’une randonnée

j La règle

Altitude (m) Temps écoulé (min) 0 2 4 30 60 Altitude au cours d’une randonnée

Une règle est une équation qui traduit une régularité entre des variables. Lorsqu’on représente une situation à l’aide d’une règle, on doit définir ce que les variables représentent.

Exemple : Soit t, le temps écoulé (en min) depuis le début de la randonnée et a, l’altitude (en m).

La règle qui représente cette situation est : a 5 10t 1 15

Ce nombre indique l’altitude de départ, soit 15 m.

Le téléchargement

Louisa et Émile téléchargent la même liste de lecture sur leur ordinateur portable respectif. La vitesse de téléchargement est de 2 Mo/s.

a) À plusieurs moments, Louisa observe les données téléchargées. Remplis la table de valeurs qui correspond à ce qu’elle peut observer, puis représente graphiquement la situation à l’aide d’une droite.

Données téléchargées selon le temps écoulé

b) Émile s’intéresse plutôt au temps écoulé selon les données téléchargées. Remplis la table de valeurs qui correspond à ce qu’il peut observer, puis représente graphiquement la situation à l’aide d’une droite.

écoulé selon les données téléchargées

c) Compare les données des deux tables de valeurs. Que remarques-tu ?

d) 1) Trace d’un trait pointillé la bissectrice du quadrant de chaque graphique.

2) Compare les deux droites tracées par rapport à la bissectrice. Que remarques-tu ?

2.1 Les relations, les fonctions et les réciproques

j Les relations : la variable indépendante et la variable dépendante

• Un lien entre deux variables est appelé relation.

• Généralement, dans une relation entre deux variables : – celle dont la variation entraîne la variation de l’autre est appelée variable indépendante ; – celle dont la variation réagit à la variation de l’autre est appelée variable dépendante.

Exemple : On observe le temps de cuisson (en min) d’une pomme de terre selon sa masse (en g). Dans cette situation, puisqu’on détermine le temps de cuisson à partir de la masse de la pomme de terre :

• la variable indépendante est la masse de la pomme de terre (en g) ;

• la variable dépendante est le temps de cuisson de la pomme de terre (en min).

1 Pour chaque relation :

1) surligne la variable qui correspond logiquement à la variable indépendante ;

2) souligne la variable qui correspond logiquement à la variable dépendante.

a) La distance parcourue par une voiture et le temps écoulé

b) Le nombre d’heures de travail d’une personne et son salaire

c) Le nombre d’abonnements à un magazine et le chiffre d’affaires de ce magazine

d) Le nombre de caisses dans un magasin à rayons et le temps moyen d’attente des clients à ces caisses

e) Le temps nécessaire pour parcourir un trajet et la vitesse à laquelle ce trajet est effectué

f) Le coût d’un forfait cellulaire et la quantité de données comprises dans ce forfait

g) La somme d’argent remise à chaque gagnant ou gagnante d’une loterie et le nombre de gagnants

2 Pendant son entraînement, Arnaud effectue en moyenne une longueur de la piscine à la nage en 54 s. Dans cette situation, définis :

1) la variable indépendante ; 2) la variable dépendante.

j Les fonctions

• Une fonction est une relation entre deux variables selon laquelle à chaque valeur de la variable indépendante correspond une et une seule valeur de la variable dépendante.

• Dans la représentation graphique d’une fonction, on associe la variable indépendante à l’axe des abscisses (axe horizontal) et la variable dépendante à l’axe des ordonnées (axe vertical).

Exemple : Les relations A et B sont des fonctions. La relation C n’est pas une fonction, car elle comporte, entre autres, les couples ( 2, 3) et ( 2, 3).

Si une ligne verticale imaginaire peut couper une représentation graphique en deux points ou plus, la relation n’est pas une fonction.

• On associe la variable indépendante à la première rangée ou colonne de la table de valeurs d’une fonction, selon que celle-ci est représentée à l’horizontale ou à la verticale.

• De façon générale, on utilise la variable x pour désigner la variable indépendante et la variable y pour désigner la variable dépendante.

• Dans la règle d’une fonction, on peut désigner la variable dépendante à l’aide de la notation fonctionnelle f (x) plutôt que par y.

Exemple : Une baignoire contient 220 L d’eau. On tire sur le bouchon et la baignoire se vide à un débit constant de 40 L/min.

Vidange d’une baignoire

La règle f (x) 5 40x 1 220 représente cette situation, où x est le temps écoulé (en min) et f (x), la quantité d’eau restante (en L) dans la baignoire.

À l’aide de la règle, on peut calculer la quantité d’eau restante dans la baignoire après 3 min, soit f(3).

f(3) 5 40x 1 220

5 40 3 3 1 220

5 100 L Il reste 100 L d’eau dans la baignoire après 3 min.

3 Dans chaque cas, indique si la relation est une fonction.

4 Voici les règles de quelques fonctions :

Détermine à quelle fonction appartient chacun des couples suivants.

5 Il est certain que l’une de ces relations n’est pas une fonction. Laquelle ?

a) Une relation à laquelle appartiennent les couples (0, 0) et (3, 0).

b) Une relation à laquelle appartiennent les couples ( 5, 8) et ( 5, 15).

c) Une relation à laquelle appartiennent les couples ( 11, 7) et (11, 7).

d) Une relation dont l’ordonnée de chaque couple est 9.

6 Olivia vient de s’acheter une voiture électrique. À la signature du contrat, elle a donné un acompte de 5500 $. Elle paiera le reste de la somme due en versements mensuels égaux de 450 $ chacun. Cette situation peut se traduire par la règle f (x) 5 450x 1 5500.

a) Dans cette situation, définis :

1) la variable indépendante ; 2) la variable dépendante.

b) Calcule :

c) Remplis la table de valeurs qui représente cette situation, puis trace le graphique correspondant.

d) Est-ce que cette relation est une fonction ? Explique ta réponse.

j Les réciproques

• Une réciproque s’obtient en intervertissant les valeurs de chacun des couples d’une relation entre deux variables. Ainsi, (x, y) (y, x).

• Le graphique d’une relation et celui de sa réciproque sont symétriques par rapport à la bissectrice du premier quadrant.

Exemple :

La relation B est la réciproque de la relation A et vice versa. La relation A est une fonction.

pas une fonction.

7 Dans chaque cas :

1) remplis la table de valeurs associée à la réciproque de la relation donnée ;

2) selon les couples obtenus, indique si cette réciproque est une fonction.

8 Il est certain que la réciproque d’une de ces relations n’est pas une fonction. Laquelle ?

a) Une relation à laquelle appartiennent les couples (4, 4) et (3, 4).

b) Une relation à laquelle appartiennent les couples ( 2, 6) et ( 2, 9).

c) Une relation à laquelle appartiennent les couples (5, 9) et ( 5, 9).

d) Une relation dont l’abscisse de chaque couple est 13.

9 Relie le graphique de chaque relation au graphique de sa réciproque.

10 Dans chaque cas, indique si les deux relations représentées sont des réciproques l’une de l’autre.

11 Dans chaque cas :

1) remplis la table de valeurs de la fonction et celle de sa réciproque ;

2) représente graphiquement la réciproque.

12 Dans un centre de location, on loue des kayaks au coût de 4 $/h auquel on ajoute des frais fixes de 5 $. Pour 10 h et plus de location, le coût de location est de 45 $, incluant les frais fixes.

a) Remplis la table de valeurs correspondant à cette situation.

b) Cette situation peut-elle être représentée par une fonction ? Explique ta réponse à l’aide du contexte.

c) À partir des données de la table de valeurs ci-dessus, complète la table de valeurs qui correspond à la réciproque de la situation.

d) La réciproque est-elle une fonction ? Explique ta réponse à l’aide du contexte.

a) 1) 2)

b) 1) 2)

13 Dans un parc d’attractions, un inspecteur étudie les variations de la hauteur d’un véhicule de montagnes russes pendant qu’il effectue un tour du manège. Voici le graphique que cet inspecteur a tracé à la suite de ses observations :

a) Définis la variable dépendante et la variable indépendante de cette relation.

b) Représente la réciproque de cette fonction.

c) La réciproque est-elle une fonction ? Explique ta réponse.

d) L’inspecteur s’intéresse aux moments où le véhicule atteint la hauteur maximale des montagnes russes. De la fonction initiale ou de sa réciproque, est-il préférable que l’inspecteur étudie un graphique plutôt que l’autre ? Explique ta réponse.

2.2 Les propriétés des fonctions

Pour analyser ou décrire une fonction, on peut étudier ses propriétés, entre autres les suivantes.

• Le domaine est l’ensemble des valeurs prises par la variable indépendante (x).

• Le codomaine (ou image) est l’ensemble des valeurs prises par la variable dépendante (y).

• Les coordonnées à l’origine sont :

– la ou les abscisses à l’origine (ou zéros), c’est-à-dire la ou les valeurs de la variable indépendante (x) lorsque celle de la variable dépendante (y) est zéro Graphiquement, un zéro est une abscisse à l’origine, c’est-à-dire l’abscisse d’un point d’intersection de la courbe et de l’axe des abscisses ;

– l’ordonnée à l’origine (ou valeur initiale), c’est-à-dire la valeur de la variable dépendante (y) lorsque celle de la variable indépendante (x) est zéro. Graphiquement, la valeur initiale correspond à l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire l’ordonnée du point d’intersection de la courbe et de l’axe des ordonnées.

• Les extremums sont :

– le minimum, c’est-à-dire la plus petite valeur prise par la variable dépendante (y) ;

– le maximum, c’est-à-dire la plus grande valeur prise par la variable dépendante (y).

Exemple :

Les propriétés sont exprimées sous forme d’intervalles lorsqu’elles représentent un ensemble de nombres réels.

• Domaine : [0, 19] s

• Codomaine : [ 25, 45] °C

• Abscisses à l’origine : 8 s, 16 s

• Ordonnée à l’origine : 15 °C

• Minimum : 25 °C

• Maximum : 45 °C

1 Pour chaque fonction, indique :

1) le domaine ; 2) le codomaine.

2 Pour chaque fonction, détermine, s’il y a lieu, les coordonnées à l’origine :

l’abscisse à l’origine ;

l’ordonnée à l’origine.

3 Pour chaque fonction, détermine, s’il y a lieu, les extremums :

le minimum ;

le maximum.

4 Relie la représentation graphique de chaque fonction aux propriétés qui lui correspondent.

On peut aussi étudier ces deux propriétés d’une fonction.

• La variation (croissance, décroissance et constance)

Sur un intervalle du domaine, une fonction est :

– croissante lorsque la variable indépendante (x) et la variable dépendante (y) varient dans le même sens ;

– décroissante lorsque la variable indépendante (x) et la variable dépendante (y) varient dans le sens contraire ;

– constante lorsqu’une variation de la variable indépendante (x) n’entraîne aucune variation de la variable dépendante (y).

• Le signe (positif et négatif)

Sur un intervalle du domaine, une fonction est :

– positive si les valeurs de la variable dépendante (y) sont positives, c’est-à-dire au-dessus ou sur l’axe des x ;

– négative si les valeurs de la variable dépendante (y) sont négatives, c’est-à-dire en dessous ou sur l’axe des x.

Exemple :

La partie constante d’une fonction est incluse dans la partie croissante et dans la partie décroissante, à moins qu’on précise « strictement croissante » ou « strictement décroissante ».

Si on exclut les valeurs nulles de la variable dépendante, on s’intéresse aux intervalles sur lesquels la fonction est strictement positive ou strictement négative

Cette fonction est :

• croissante sur [0, 10] s et strictement croissante sur [0, 6] s ;

• constante sur [6, 10] s ;

• décroissante sur [6, 18] s et strictement décroissante sur [10, 18] s ;

• négative sur [0, 2] < [16, 18] s ;

• positive sur [2, 16] s.

1 Domaine : r 2 Abscisse à l’origine : 1

3 Maximum : 2 4 Ordonnée à l’origine : 2

5 Codomaine : [ 1, 1`[

5 Détermine la variation de chaque fonction.

fonction de la gauche vers la droite.

6 Détermine le signe de chaque fonction.

7 Pour chacune des fonctions représentées, indique :

1) le domaine ;

2) le codomaine ; 3) la valeur initiale ;

5) la variation ; 6) le signe. a)

4) les zéros, s’ils existent ;

Trace le graphique d’une fonction qui prouve chaque énoncé.

a) Le codomaine d’une fonction n’est pas toujours r.

b) Une fonction peut être strictement négative.

c) Une fonction peut ne pas avoir d’extremums.

d) Une fonction peut être seulement constante.

e) Une fonction peut avoir trois abscisses à l’origine et une ordonnée à l’origine.

f) Une fonction peut ne pas avoir d’ordonnée à l’origine.

9 Le maximum d’une fonction est 3. De plus, cette fonction est croissante sur [5, 9] et décroissante sur [9, 15]. Quel énoncé est nécessairement vrai à propos de cette fonction ?

a) Cette fonction n’a aucun zéro.

c) Le couple (3, 9) appartient à la fonction.

b) Elle a au moins un zéro.

d) Le couple (9, 3) appartient à la fonction.

10 On fait varier la température dans une pièce pendant 20 h. Le graphique ci-contre représente la température dans la pièce selon le temps écoulé depuis le début de l’expérience.

a) Quel est le codomaine de cette fonction et que représente-t-il dans le contexte ?

b) Quelle est la valeur initiale et que représente-t-elle dans le contexte ?

c) Quels sont les zéros de la fonction et que représentent-ils dans le contexte ?

d) Pendant combien de temps la température est-elle constante ?

e) À quel moment la température dans la pièce connaît-elle la plus forte croissance et quelle est cette variation de température ?

11 Pendant 10 jours, on note la variation du prix de l’essence selon le temps écoulé depuis le début des observations.

Indique la propriété de la fonction qui est décrite.

a) Le prix plancher de l’essence est de 1,10 $/L.

b) Le prix de l’essence varie de 1,10 $/L à 1,35 $/L.

c) Pendant les observations, le prix le plus élevé atteint est de 1,35 $/L.

d) Au début des observations, le prix de l’essence est de 1,20 $/L.

e) Le prix augmente du 3e au 4e jour.

f) La variation du prix de l’essence est observée du jour 0 au 10e jour.

12 Le graphique ci-dessous illustre l’évolution de la fréquence cardiaque d’une athlète lors d’un entraînement.

MONDE TRAVAIL DU

Par le biais d’activités physiques, les kinésiologues guident des personnes qui veulent se remettre en forme, améliorer leurs performances sportives ou simplement apprendre à mieux bouger afin d’éviter des blessures. L’analyse de l’évolution de la fréquence cardiaque d’une personne au cours d’un entraînement peut leur servir d’outil de travail.

a) Quelle est la valeur initiale et que représente-t-elle dans le contexte ?

b) Quelle est la durée de l’entraînement de l’athlète ?

c) Pendant combien de temps la fréquence cardiaque :

1) augmente-t-elle strictement ?

2) diminue-t-elle strictement ?

d) Quelle est la fréquence cardiaque maximale atteinte ?

e) Quelle est la fréquence cardiaque de l’athlète une fois la période de récupération terminée ?

f) L’entraînement est efficace seulement si la fréquence cardiaque correspond à au moins 80 % de la fréquence cardiaque maximale atteinte, et ce, pendant au moins 10 min. Cet entraînement a-t-il été efficace ? Explique ta réponse.

g) Pendant combien de temps la fréquence cardiaque est-elle d’au moins 120 battements/min ?

13 Fabien fait voler son drone pendant 10 min. Voici la description des déplacements de l’appareil :

• Au départ, le drone se trouve sur le toit d’un bâtiment dont la hauteur est de 5 m.

• Au cours de la première minute de son vol, le drone atteint une hauteur de 35 m.

• Il maintient cette hauteur pendant les 2 minutes suivantes.

• Durant la minute qui suit, il descend de 15 m.

• Il remonte durant les 3 minutes suivantes pour atteindre 45 m.

• Il redescend durant les dernières minutes pour atterrir au sol.

a) Décris les propriétés suivantes de cette fonction.

1) Domaine

2) Codomaine

3) Minimum

4) Maximum

b) Quel est le zéro de cette fonction et que représente-t-il dans le contexte ?

c) On s’intéresse à la fonction qui représente la hauteur du drone (en m) selon le temps écoulé (en min). Trace une représentation graphique possible de cette fonction.

14 Ce graphique représente le vol et le plongeon d’un fou de Bassan.

Sur l’île Bonaventure, en Gaspésie, se trouve l’une des plus grandes colonies de fous de Bassan du monde. Il y en a plus de 100 000. Excellents plongeurs, ces oiseaux se nourrissent surtout de poissons.

On s’intéresse aux montées et aux descentes du fou de Bassan. Détermine la propriété étudiée et précise sa valeur.

2.3 Les fonctions polynomiales de degré 0 et du premier degré

j Le taux de variation

• Dans une relation entre deux variables, le taux de variation est la comparaison entre deux variations correspondantes de ces variables.

Taux de variation 5 variation de la variable dépendante variation correspondante de la variable indépendante

• Le taux de variation a entre les couples (x1, y1) et (

2) se calcule de la façon suivante.

Exemple : Le taux de variation de la fonction associée à cette droite correspond au taux de variation entre les couples (10, 7) et (20, 19) :

On représente la variation des variables à l’aide de la lettre grecque ∆, qui se lit « delta ».

1 Calcule le taux de variation de chaque droite.

2 Sachant que chacune des paires de couples ci-dessous appartient à une fonction, détermine le taux de variation de cette fonction.

42) et ( 3, 10)

3 Sachant que toutes ces droites passent par l’origine du plan cartésien, calcule mentalement leur taux de variation.

a) b) c)

4 Observe le taux de variation des droites suivantes, puis surligne le mot qui complète chaque affirmation.

a) Lorsque le taux de variation est positif :

• la droite est croissante / décroissante ;

• plus la valeur de a augmente / diminue, plus la droite se rapproche de l’axe des ordonnées.

b) Lorsque le taux de variation est négatif :

• la droite est croissante / décroissante ;

• plus la valeur de a augmente / diminue, plus la droite se rapproche de l’axe des ordonnées.

c) Les droites dont le taux de variation est opposé / inverse sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

5 Dans chaque cas, indique le taux de variation.

a) Louis regarde une série télévisée dont chaque épisode dure 43 min. On s’intéresse au temps écoulé (en min) selon le nombre d’épisodes regardés.

Le taux de variation est parfois donné dans la description verbale d’une situation : il est équivalent au taux unitaire. On le reconnaît facilement, car il fait intervenir deux unités de mesure différentes.

b) À l’épicerie, Justine achète des céréales à 5,99 $ et des raisins à 4 $/kg. On s’intéresse au prix total (en $) selon la quantité de raisins (en kg) achetée.

c) Samedi, Caroline a parcouru 400 km en voiture. Dimanche, elle a roulé à une vitesse moyenne de 100 km/h. On calcule la distance totale (en km) parcourue au cours de la fin de semaine selon le temps de conduite (en h) le dimanche.

d) Un verre de 250 ml de jus d’orange contient 20 g de sucre. On s’intéresse à la quantité de sucre (en g) selon la quantité de jus d’orange (en ml).

j La fonction polynomiale de degré 0

• Une fonction polynomiale de degré 0 est une relation où des variations de la variable indépendante (x) entraînent des variations nulles de la variable dépendante (y).

• La règle est de la forme : f (x) 5 b, où b est une constante.

• La représentation graphique est une droite parallèle à l’axe des abscisses qui croise l’axe des ordonnées en (0, b).

• Une fonction polynomiale de degré 0 est aussi appelée fonction de variation nulle.

Exemple : Soit une fonction de degré 0. Description verbale Règle Table de valeurs

6 Dans chaque cas, détermine la règle de la fonction polynomiale de degré 0.

7 Représente graphiquement chacune des fonctions polynomiales suivantes.

8 Complète chacun des énoncés suivants à l’aide de la banque de mots. verticale indépendante dépendante horizontale fonction

a) Une fonction de variation nulle est représentée graphiquement par une droite .

b) Peu importe la valeur de la variable , une fonction de variation nulle est caractérisée par une valeur constante de la variable .

c) La réciproque d’une fonction de variation nulle n’est pas une , car elle est représentée par une droite .

9 On s’intéresse à la relation entre le nombre de messages texte envoyés et reçus par une personne et le prix de son forfait cellulaire. Le graphique ci-contre représente cette situation.

a) Détermine le prix du forfait pour :

1) 0 message texte ;

2) 400 messages texte ;

3) 10 000 messages texte.

b) Que peux-tu conclure au sujet de la messagerie texte offerte dans ce forfait ?

c) Pour cette fonction, détermine :

1) le domaine ;

2) le codomaine ;

3) la variation ;

4) le minimum ;

5) le maximum ;

6) la valeur initiale.

d) Quelle est la règle de cette fonction ?

10 Une tondeuse à gazon contient 1,3 L d’essence. En octobre, on remise la tondeuse dans le cabanon jusqu’en avril. On s’intéresse à la relation entre le temps écoulé (en semaines) d’octobre à avril et la quantité d’essence contenue dans la tondeuse (en L). Cette situation peut-elle être associée à une fonction de variation nulle ? Explique ta réponse.

j La fonction polynomiale du premier degré

• Une fonction polynomiale du premier degré est une relation où des variations constantes de la variable indépendante entraînent des variations constantes et non nulles de la variable dépendante.

• La règle est de la forme : f (x) 5 ax 1 b, où a Þ 0.

Dans cette règle, a est le taux de variation et b, la valeur initiale.

• La représentation graphique est une droite oblique qui croise l’axe des ordonnées en (0, b).

• Parmi les fonctions polynomiales du premier degré, on trouve la fonction de variation directe et la fonction de variation partielle.

La fonction de variation directe

– La règle s’écrit f (x) 5 ax, où a Þ 0.

– Sa représentation graphique est une droite oblique qui passe par (0, 0).

– Elle traduit une situation de proportionnalité. – On l’appelle aussi fonction linéaire.

La fonction de variation partielle

– La règle s’écrit f (x) 5 ax 1 b, où a Þ 0 et b Þ 0.

– Sa représentation graphique est une droite oblique qui ne passe pas par (0, 0).

– Elle ne traduit pas une situation de proportionnalité.

11 Détermine si les situations suivantes traduisent une variation nulle, directe ou partielle.

a) Un bassin est vide. On le remplit d’eau à l’aide d’un tuyau ayant un débit de  2,5 L/min pendant 60 min.

b) Le bassin contient 150 L d’eau. La quantité d’eau reste stable durant 60 min.

c) Le bassin contient 150 L d’eau. On le vide pendant 60 min à l’aide d’une pompe dont le débit est de 2,5 L/min.

12 Relie chaque table de valeurs à la règle de la fonction qui lui correspond.

13 Voici les règles de quelques fonctions polynomiales du premier degré :

14 Dans chaque cas, représente graphiquement la fonction.

À l’aide des taux de variation proposés, complète la règle de chaque fonction de variation partielle représentée dans le plan cartésien.

4 40 0,4 4

Ce pictogramme indique qu’un clic + complète les notions présentées dans un encadré théorique (voir la page 100 du présent extrait).

j La recherche de la règle

• On peut utiliser la démarche suivante pour déterminer la règle d’une fonction polynomiale du premier degré à partir : – du taux de variation et d’un seul couple de valeurs ;

Démarche

Exemple : Détermine la règle de la droite dont le taux de variation est de 2 et qui passe par le point de coordonnées (4, 3).

1. Écris la règle de la fonction sous la forme f (x) 5 ax + b en remplaçant le taux de variation, a, par sa valeur. a 5 2, donc : f (x) 5 2x 1 b

2. Dans la règle obtenue à l’étape 1, substitue le couple de valeurs aux variables. 3 5 2 3 4 1 b

3. Résous l’équation afin de déterminer la valeur initiale, b

4. Écris la règle de la fonction.

de deux couples de valeurs. Démarche

1. Calcule le taux de variation, a

2. Substitue le taux de variation calculé à l’étape 1 à a dans la règle sous la forme f (x) 5 ax + b, et substitue l’un des deux couples de valeurs aux variables.

3. Résous l’équation afin de déterminer la valeur initiale, b.

4. Écris la règle de la fonction.

Exemple : Détermine la règle de la droite qui passe par les points de coordonnées (1,5, 6) et (4,5, 15).

16 Le taux de variation et un couple associés à une fonction polynomiale du premier degré sont donnés ci-dessous. Dans chaque cas, détermine la valeur initiale de cette fonction, puis donne la règle de la fonction.

a) 4 et (0, 0)

b) 3 et (0, 0)

c) 11 et (0, 2)

d) 5 et (5, 4)

e) 0,5 et ( 13, 7)

f) 2 et (3, 9)

17 Chacune des paires de couples ci-dessous appartient à une fonction polynomiale du premier degré. Dans chaque cas, détermine la règle de cette fonction.

a) (1, 1) et (3, 4)

b) (2, 5) et ( 2, 6)

c) ( 6, 4) et (5, 18)

d) (8, 24) et (14, 42)

e) (4, 1,44) et ( 30, 6,2)

f) ( 1, 1) et (2, 0)

18 Annabelle tond les pelouses de ses trois voisins en échange d’un salaire. Pour chaque situation, où x est le temps (en h) et y, le salaire (en $), détermine :

1) le type de variation (nulle, directe ou partielle) ;

2) la règle de la fonction qui lui est associée.

a) Le voisin A lui donne 25 $ peu importe le temps qu’elle prend à tondre sa pelouse.

b) Le voisin B lui donne 8 $ pour le déplacement et 13 $/h pour la tonte de sa pelouse.

c) Le voisin C lui donne 17 $/h pour la tonte de sa pelouse.

19 Détermine la règle de chacune de ces fonctions polynomiales du premier degré.

20 Une cuve contient initialement 1,5 L d’eau. Cette quantité augmente de façon continue à un débit de 350 ml/min. On s’intéresse à la fonction qui permet d’associer la quantité Q d’eau (en L) dans la cuve au temps t (en min) écoulé.

a) De quel type de fonction s’agit-il ?

b) Détermine la règle de cette fonction.

c) Représente graphiquement cette fonction dans le plan cartésien ci-contre.

d) Quelle est la quantité d’eau dans la cuve après 1 h 45 min ?

Réponse :

21 Lors de l’atterrissage d’un avion, l’altitude a (en m) de l’avion évolue selon le temps t (en s) d’après la fonction représentée ci-dessous.

a) Quelle est la valeur initiale dans cette situation et que représente-t-elle dans le contexte ?

b) Quel est le taux de variation dans cette situation et que représente-t-il dans le contexte ?

Réponse :

c) Combien de temps après le début de l’atterrissage l’avion touche-t-il le sol ?

22 La vitesse d’une voiture entre deux arrêts consécutifs est représentée par deux fonctions polynomiales du premier degré et une fonction polynomiale de degré 0, comme le montre le graphique ci-contre.

Une fonction définie par parties est constituée de plusieurs fonctions définies sur différents intervalles de son domaine.

a) Définis les deux variables de cette fonction.

b) Écris la règle de la fonction pour chaque intervalle.

c) À quelle vitesse la voiture roulait-elle 42 s après le départ ?

Réponse :

d) À quels moments la voiture roulait-elle à 22 km/h ?

Réponse :

1) x P [0, 16]

2) x P [16, 36]

3) x P [36, 46]

23 La règle de la fonction polynomiale du premier degré représentée dans le plan cartésien ci-contre permet de convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit.

La température peut se mesurer en degrés Fahrenheit ou en degrés Celsius. Au Québec, on utilise surtout les degrés Fahrenheit pour indiquer la température d’un four. Pour parler de la température ambiante, on utilise l’unité du système international d’unités, le degré Celsius.

Calcule l’abscisse et l’ordonnée à l’origine de cette fonction et précise ce qu’elles représentent dans le contexte.

Réponse :

24 Lucas fait de la musculation, puis il prend en note l’énergie (en calories) qu’il a dépensée. Il va ensuite courir à un rythme constant. À quelques reprises, il observe le nombre de pas qu’il a effectués et l’énergie qu’il a dépensée, incluant celle dépensée lors de sa séance de musculation. Remplis la table de valeurs qui représente cette situation.

2.4 La fonction rationnelle

j La fonction rationnelle

• Une relation entre deux variables dont le produit des valeurs de chacun des couples est constant et non nul est une fonction rationnelle. Elle traduit une situation inversement proportionnelle, aussi appelée situation de variation inverse.

• La règle d’une fonction rationnelle s’écrit : f (x) 5 k x , où k . 0 et x Þ 0.

Dans cette règle, k correspond au produit des valeurs de chacun des couples (x, y) de la fonction. En effet, k 5 xy.

• La représentation graphique d’une fonction rationnelle montre une courbe ou des points d’une courbe dont les extrémités se rapprochent de plus en plus lentement des axes sans y toucher.

• La réciproque d’une fonction rationnelle est aussi une fonction rationnelle et possède la même règle lorsqu’elle est de la forme f ( x) 5 k x . En effet, dans ce cas, f ( x) 5 f 1(x).

• Le domaine et le codomaine de cette fonction sont r*.

Exemple :

1 Quelle ou quelles tables de valeurs représentent une fonction rationnelle ?

3 À l’aide de chaque règle :

1) remplis la table de valeurs ; 2) représente graphiquement la fonction.

4 Indique les propriétés de cette fonction rationnelle.

a) Domaine

b) Codomaine

c) Abscisse(s) à l’origine

d) Ordonnée à l’origine

e) Extremum(s)

f) Variation

g) Signe

5 Quelle situation peut être associée à une situation inversement proportionnelle ?

a) On s’intéresse au nombre de places inoccupées dans une salle de cinéma selon le nombre de spectateurs dans cette salle.

b) On s’intéresse au montant d’essence à payer par chaque passager ou passagère d’un véhicule selon le nombre de passagers dans le véhicule.

c) On s’intéresse au nombre d’années avant qu’une personne prenne sa retraite selon son âge.

j La recherche de la règle

On peut utiliser la démarche suivante pour déterminer la règle d’une fonction rationnelle qui s’écrit sous la forme f(x) 5 k x , où k . 0 et x Þ 0.

Démarche

Exemple : Détermine la règle de la fonction rationnelle représentée dans le plan cartésien ci-dessous.

1. Détermine les coordonnées d’un point ou plus de la courbe.

2. Détermine la valeur du paramètre k en calculant le produit des valeurs de chaque couple de coordonnées.

3. Écris la règle de la fonction obtenue sous la forme

6 Détermine la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous.

7 Détermine la règle de la fonction rationnelle associée à chacune des tables de valeurs suivantes.

8 Remplis chacune des tables de valeurs suivantes sachant qu’elle est associée à une fonction rationnelle.

9 Soit la fonction rationnelle représentée ci-contre. Détermine :

a) l’abscisse du point A ; b) l’ordonnée du point B.

10 Un forfait Internet pour cellulaire comprend un nombre fixe de données partageables également entre les personnes abonnées à ce forfait. Complète les affirmations suivantes à l’aide du graphique qui représente cette situation.

a) Ce graphique représente une situation .

b) Le produit des valeurs de chacune des deux variables est .

c) Plus le nombre d’abonnés augmente, plus la quantité de données par personne . Cette fonction est donc sur tout son domaine.

d) Au total, le forfait comprend de données. Le codomaine de la fonction est donc .

e) Si chaque personne a droit à 5 Go de données, personnes partagent ce forfait.

f) Si 12 personnes partagent ce forfait, chacune aura droit à de données.

11 L’aire d’un rectangle est de 72 cm2. On fait varier sa base b de façon que son aire demeure constante et on analyse la variation de sa hauteur h.

a) Remplis la table de valeurs ci-contre.

b) À quel type de fonction cette situation peut-elle être associée ? Explique ta réponse.

c) Quelle est la règle de cette fonction ?

d) Représente graphiquement cette fonction dans le plan cartésien ci-contre.

e) Explique pourquoi la représentation graphique de cette situation est limitée au 1er quadrant.

12 François fait partie du comité d’organisation de la fête de fin d’année de son école. Il doit louer une salle et répartir le prix de location entre tous les élèves qui participent à la fête. Voici une table de valeurs qui correspond à cette situation :

a) Établis la règle qui permet de calculer le prix P (en $) par élève en fonction du nombre N d’élèves.

b) Quel est le prix de location de la salle ?

c) François doit aussi répartir entre tous les élèves les frais de 450 $ encourus pour l’animation de la soirée. Quel sera le prix par élève si 200 élèves participent à la fête ? Réponse :

13 Samuel veut acheter une console de jeux vidéos qui coûte 500 $ plus des taxes de 15 %. Sa mère propose de lui prêter l’argent à condition qu’il rembourse la somme totale en versements égaux.

a) Définis les variables de la fonction associée à cette situation.

b) Écris la règle de la fonction qui représente cette situation.

Réponse :

c) Remplis la table de valeurs de cette fonction. Remboursement d’un prêt

1 2 4 5 10

d) Samuel veut effectuer des versements de 28,75 $. S’il fait un versement par semaine, combien de semaines prendra-t-il pour rembourser son prêt ?

Réponse :

14 Toute l’année, un comptoir alimentaire amasse de l’argent qui servira à distribuer des paniers de  valeur égale à des familles durant les Fêtes. Le graphique ci-contre représente cette situation.

La guignolée des médias permet de soutenir des comptoirs alimentaires de la province. La collecte la plus importante de cet organisme a lieu durant la période des Fêtes.

Combien de familles peut-on aider si on veut offrir à chacune un panier d’une valeur d’au moins 200 $ ?

2.5 La modélisation

• Les données d’une situation faisant intervenir deux variables ne montrent pas toujours une tendance parfaite. On tente alors de déceler si le lien entre les deux variables peut être décrit par un modèle mathématique, c’est-à-dire par une fonction dont le comportement est à la fois connu et prévisible.

• Un modèle mathématique adéquat permet d’obtenir une courbe représentative de la majorité des points du nuage.

• La modélisation d’une situation permet de prévoir ou d’estimer la valeur d’une variable si on connaît la valeur de l’autre variable.

j La modélisation à l’aide d’une fonction polynomiale de degré 0 ou du premier degré

On peut utiliser la démarche suivante pour modéliser une situation faisant intervenir deux variables lorsque les points du nuage de points qui la représente montrent un certain alignement.

1. Décèle une tendance dans le nuage de points.

2. Trace une droite qui est représentative de la majorité des points en tenant compte des critères suivants :

• l’inclinaison de la droite est celle suggérée par le nuage de points ;

• si possible, autant de points sont situés de part et d’autre de la droite.

3. Établis la règle de la fonction servant de modèle mathématique. Pour ce faire, détermine la valeur des paramètres a et b à l’aide des coordonnées de deux points de la droite.

Les points de ce nuage sont relativement bien alignés, une caractéristique d’une fonction polynomiale du premier degré.

La droite est représentative de l’ensemble des points du nuage.

Les points de coordonnées (2, 50) et (12, 5) appartiennent à la droite.

On utilise le symbole « < » puisqu’on a modélisé la situation. Les valeurs sont donc des approximations.

La règle du modèle mathématique est f(x) < 4,5x 1 59.

1 Sur chaque nuage de points, on a identifié le point A dont les coordonnées correspondent à la moyenne des abscisses et à la moyenne des ordonnées des autres points. Dans chaque cas :

1) trace une droite passant par le point A et représentative de l’ensemble des points ;

2) détermine la règle de la fonction polynomiale de degré 0 ou du premier degré représentée par cette droite ;

3) prédis la valeur de la fonction lorsque x vaut 10.

j La modélisation à l’aide d’une fonction rationnelle

• On peut utiliser la démarche suivante pour modéliser une situation faisant intervenir deux variables lorsque les points du nuage de points qui la représente sont disposés selon une tendance qui correspond à celle d’une fonction rationnelle.

Démarche Exemple

1. Trace une courbe qui est représentative de la majorité des points en tenant compte des critères suivants :

• la courbe ne doit pas toucher les axes ;

• si possible, autant de points sont situés de part et d’autre de la courbe.

2. Établis la règle de la forme f(x) 5 k x à l’aide d’un couple appartenant à la courbe tracée. La valeur du paramètre k correspond au produit des coordonnées du point choisi.

La courbe est représentative de l’ensemble des points du nuage.

Soit le point P(20, 30) appartenant à la courbe.

k 5 20 3 30 5 600

La règle du modèle mathématique est f(x) < 600 x .

• On peut utiliser la démarche suivante pour modéliser une situation faisant intervenir deux variables dont le produit des valeurs de chaque couple montre une certaine constance.

1. Cherche une régularité dans la table de valeurs.

Le produit des valeurs de chaque couple est sensiblement le même, une caractéristique propre à une fonction rationnelle.

2. Établis la règle de la fonction servant de modèle mathématique. Pour ce faire, détermine la valeur du paramètre k en calculant la moyenne des produits des valeurs de chaque couple de la table de valeurs.

2 Encercle les nuages de points dont le meilleur modèle est une fonction rationnelle.

b) c) d)

3 Chacun des nuages de points ci-dessous peut être modélisé par une fonction rationnelle. Dans chaque cas :

1) trace une courbe représentative de l’ensemble des points ;

2) détermine la règle de la fonction pouvant servir de modèle ;

3) prédis la valeur de la fonction lorsque x vaut 10.

4 Chacune des tables de valeurs fournit des données pouvant être modélisées par une fonction de variation inverse. Détermine la règle pouvant servir de modèle à chaque situation.

5 Pendant une tempête de neige, on observe la quantité deneige au sol (en cm) selon le temps (en h). Le graphique ci-contre montre les données recueillies au cours de l’observation.

Si la neige continue de s’accumuler au même rythme, dans combien de temps y en aura-t-il 25 cm au sol ?

Afin d’établir des prévisions, les météorologistes analysent et interprètent des données relatives à des phénomènes météorologiques, climatiques et atmosphériques.

Réponse : 6 Monica recherche régulièrement le prix d’un billet d’avion pour un vol aller-retour de Montréal à Paris. Cette table de valeurs fournit des informations sur ses observations.

Variation du prix d’un billet d’avion

a) Trace le nuage de points qui représente cette situation.

b) Indique le meilleur modèle pour cette situation.

c) Trace la droite représentative de l’ensemble des points du nuage de points.

d) Détermine la règle de la fonction pouvant servir de modèle à cette situation.

Réponse :

e) Si le prix du billet continue de varier au même rythme, estime sa valeur à la 14e semaine d’observation.

7 La table de valeurs ci-dessous montre les données recueillies par un groupe de randonneurs sur la vitesse v (en km/h) et le temps t (en h) pour parcourir un sentier pédestre en montagne. Randonnée en montagne

a) Construis le nuage de points associé à cette situation.

b) Détermine le type de fonction qui peut modéliser ce nuage de points.

c) À l’aide de la table de valeurs, établis la règle de cette fonction. Réponse :

d) Représente graphiquement la fonction dont tu as déterminé la règle en c).

e) D’après ce modèle, prédis :

1) le temps nécessaire (en min) pour parcourir un sentier pour un randonneur dont la vitesse est de 15 km/h ;

Réponse :

2) la vitesse d’un randonneur qui prend 1,5 h pour parcourir le sentier.

Réponse :

Des chimistes s’interrogent sur la relation qui existe entre la température t de 1 L d’eau (en °C) et le temps d (en s) nécessaire pour y dissoudre totalement 1 g de sel. La table de valeurs ci-dessous montre les données qu’ils ont recueillies lors d’une expérience sur ce sujet.

a) Construis le nuage de points associé à cette situation, puis trace une courbe représentative de l’ensemble des points.

b) Détermine :

1) le type de la fonction associée à cette courbe ;

2) la règle de cette fonction.

:

9 Dans une entreprise, on observe la façon dont se déroule la réalisation d’une tâche lorsque le nombre d’employés qui y travaillent augmente. Voici des données recueillies :

Remplis la table de valeurs sachant que cette situation peut être modélisée à l’aide d’une fonction rationnelle.

SYNTHÈSE DU CHAPITRE 2

Questions à choix multiple

1 Quelle relation n’est pas une fonction ?

2 Soit la fonction représentée ci-contre.

Quel graphique correspond à la réciproque de cette fonction ?

3 Quels sont le domaine et le codomaine de la fonction représentée ?

a) Domaine : [ 15, 15] b) Domaine : [ 25, 25[

Codomaine : ] `, 25] Codomaine : [ 15, 15]

c) Domaine : ] `, 25[ d) Domaine : r

Codomaine : ] `, 15]

Codomaine : r

4 Quelle table de valeurs représente une fonction de variation inverse ?

5 Quel graphique représente la fonction dont la règle est y 5 10x 4 ?

b) c) d)

6 Quel couple n’appartient pas à la même fonction rationnelle que les trois autres ?

(16, 6)

(5, 19,2)

(0,1, 960) d) (96, 10)

7 Quelle est la règle de la fonction polynomiale du premier degré dont l’ordonnée à l’origine est 5 et le taux de variation est 0,9 ?

y 5 0,9x 5

0,9

8 Quelle droite modélise le mieux ce nuage de points ?

9 La location d’un autobus qui peut transporter 30 passagers coûte 450 $. Ce coût est réparti équitablement entre les passagers. Encercle l’énoncé qui ne correspond pas à cette situation.

a) Le domaine de la fonction est {1, 2, 3, 4, …, 28, 29, 30} passagers.

b) Le codomaine de la fonction est [15, 450] $.

c) La variable dépendante de cette situation est le coût par passager ou passagère (en $).

d) Cette fonction est croissante sur tout son domaine.

10 La valeur d’une pièce de collection achetée 15 $ augmente de 2 $ par année. Cette situation peut être représentée par une fonction polynomiale du premier degré. Si x est le temps écoulé (en années) depuis l’achat de la pièce et y, sa valeur actuelle (en $), quelle table de valeurs représente cette fonction ?

Questions à réponse courte

11 Voici les règles de quelques fonctions :

12 Établis la règle de chaque fonction.

13 Pour chacune des fonctions représentées ci-dessous, indique :

1) le domaine et le codomaine ;

4) le ou les zéros ;

2) la valeur initiale ;

5) la variation ;

3) le ou les extremums ;

6) le signe.

14 Relie chaque table de valeurs à la règle de la fonction qui lui correspond.

15 Détermine si chaque description est associée à une fonction polynomiale de degré 0, à une fonction polynomiale du premier degré ou à une fonction rationnelle.

a) On s’intéresse au temps nécessaire pour effectuer un même trajet à différentes vitesses moyennes.

b) On s’intéresse au coût d’un billet de cinéma selon la durée d’un film.

c) On s’intéresse au temps nécessaire pour télécharger un document à une vitesse constante selon la taille du document.

16 Les couples de la table de valeurs ci-dessous appartiennent à une fonction rationnelle f.

a) Remplis la table de valeurs associée à la fonction g, la réciproque de la fonction f.

b) Détermine la règle de : 1) la fonction f ; 2) la fonction g.

17 Représente graphiquement chacune des fonctions dont la règle est donnée.

18 Le 1er juillet, il y a 10 240 abeilles dans une ruche. Chaque semaine, du 1er juillet au 25 août, on observe l’évolution de la population d’abeilles dans la ruche. Elle croît de 1980 abeilles hebdomadairement.

a) Dans cette situation, définis :

1) la variable indépendante ; 2) la variable dépendante.

1)

2)

b) Quelle est la règle de cette fonction ?

c) Quel est le taux de variation et que représente-t-il ?

À l’étranger et au Québec, l’engouement pour le miel est en croissance. Pour devenir apiculteur ou apicultrice, c’est-à-dire élever des abeilles, il est possible de suivre une courte formation collégiale qui permet entre autres de se familiariser avec l’entretien des ruches et la récolte du miel. Cette formation porte aussi sur la gestion de petite entreprise et la comptabilité d’entreprise apicole.

d) Quelle est l’ordonnée à l’origine et que représente-t-elle ?

e) Quels sont le domaine et le codomaine de cette fonction ?

f) La réciproque de cette fonction est-elle une fonction ? Si oui, décris ce qu’elle représente dans cette situation.

MONDE TRAVAIL DU

19 Pour assurer la sécurité des adolescents, une compagnie de taxi offre de les raccompagner à leur domicile au prix de 10 $, peu importe la distance (en km) à parcourir.

a) Complète la table de valeurs qui correspond à cette situation.

b) Détermine la règle de cette fonction.

c) De quel type de fonction s’agit-il ?

d) À quoi ressemble le graphique de cette fonction ?

20 Le propriétaire d’un immeuble veut répartir les frais de déneigement des espaces de stationnement entre les locataires de l’immeuble. On s’intéresse aux frais F (en $) par locataire en fonction du nombre N de locataires. Le graphique ci-dessous illustre cette situation.

a) Détermine la règle de cette fonction.

Réponse :

b) Quels sont les frais totaux de déneigement ?

c) Remplis la table de valeurs qui correspond à cette situation.

21 Une météorologiste étudie les températures moyennes hebdomadaires atteintes durant quelques semaines de la saison estivale. Elle fait les observations suivantes.

• Domaine : [1, 5] semaines

• Codomaine : [12, 32] °C

• Croissance : [1, 4] semaines

• Décroissance : [2, 3] < [4, 5] semaines

• Minimum : 12 °C

• Maximum : 32 °C

Trace un graphique qui peut correspondre aux observations de la météorologiste.

Questions à développement

22 Le propriétaire d’un chenil observe la quantité de nourriture sèche qui reste dans le bac de nourriture selon le temps. Voici les données qu’il a recueillies :

a) Construis le nuage de points associé à cette situation, puis trace une courbe représentative de l’ensemble des points.

b) Quelle est la règle de cette fonction ?

Réponse :

c) Après combien de temps le propriétaire aura-t-il écoulé 40 % du contenu du bac ?

Réponse :

d) Si un chiot mange environ 0,04 kg de nourriture par jour, combien de chiots y a-t-il dans le chenil ?

:

23 Après que plusieurs clients ont manifesté leur mécontentement sur les réseaux sociaux, une entreprise voit les abonnés à son infolettre diminuer de façon constante, d’heure en heure. Après 30 h, il y a 4245 abonnés et après 42 h, il n’en reste plus que 2445.

Si la tendance se maintient, après combien d’heures n’y aura-t-il plus d’abonnés à l’infolettre de cette entreprise ?

Réponse : 24 Le nuage de points ci-contre montre la relation entre le temps t (en h) nécessaire pour effectuer des travaux et le nombre n d’ouvriers qui exécutent ces travaux.

Combien de temps ces travaux nécessiteront-ils si 12 ouvriers les exécutent ?

Réponse :

25 Milan vient d’acheter une passe de saison de ski alpin au coût de 672 $ taxes incluses. Il s’intéresse au coût quotidien (en $) selon le nombre de journées passées à skier. Combien de jours doit-il aller skier afin que le coût quotidien soit inférieur à 50 $ ?

Réponse :

26 Deux récipients contiennent chacun 1 L d’eau. On fait chauffer l’eau dans chacun d’eux. La température de l’eau augmente de façon constante dans chaque récipient, comme le montrent les graphiques suivants.

A

Calcule le délai entre les moments où l’eau de chaque récipient atteindra le point d’ébullition (100 °C).

27 Dans un laboratoire, on étudie le nombre de bactéries dans une culture.

Au départ, il y a 125 bactéries dans la culture. On remarque qu’il y en a 150 de plus chaque heure. Si on commence les observations à 13 h 45, montre qu’à 15 h 25, le nombre de bactéries dans la culture aura triplé.

Réponse :

28 On s’intéresse à l’altitude (en m) d’une plongeuse selon le temps écoulé (en min) depuis le début de sa plongée. Voici le déroulement de cette plongée :

• Au départ, la plongeuse se trouve à 0 m.

• Elle commence une descente constante d’une durée de 6 min et atteint une altitude de 15 m.

• Elle reste pendant 3 min à cette altitude.

• Elle monte ensuite de façon constante de 5 m en 4 min.

• Elle reste 3 min à cette altitude, puis remonte directement à la surface de l’eau à la même vitesse que pendant sa première montée.

Représente graphiquement cette plongée afin de démontrer qu’elle est caractérisée par trois fonctions polynomiales du premier degré et deux fonctions de degré 0.

Les plongeurs sousmarins doivent remonter à la surface par paliers. En effet, les gaz dissous dans le corps sont soumis à une forte pression en profondeur. Si la remontée est trop rapide, la pression diminue trop vite et ces gaz se dilatent brusquement, pouvant causer des dommages importants. Temps

SITUATION D , APPLICATION

L’épaisseur de la glace

Des climatologues s’intéressent à l’épaisseur de la glace d’un lac situé dans une région nordique. Les températures hivernales moyennes (en °C) depuis le 1er janvier 2010 varient de la façon suivante dans cette région.

Pour prédire les variations de l’épaisseur de la glace, les climatologues consultent une étude qui établit un lien entre l’épaisseur moyenne de la glace (en cm) de divers lacs du monde et la température hivernale moyenne (en °C). La table de valeurs ci-dessous montre les données présentées dans cette étude.

de la glace de divers lacs

Réponse :

SITUATION-PROBLÈME

L’achat d’une voiture

Pour acheter une voiture usagée, Anthony planifie ses économies et les dépenses en lien avec cet achat.

Dans un compte bancaire réservé aux transactions liées à l’achat de la voiture, Anthony a économisé 4350 $. Après l’achat de la voiture, il prévoit déposer 300 $ par mois dans ce compte.

Anthony compte payer la voiture par versements égaux. Cette situation est représentée dans le plan cartésien ci-contre. Anthony commencera à faire les versements dès la prise de possession du véhicule.

Au moment de l’achat, Anthony devra payer 315 $ pour son permis de conduire et l’immatriculation de la voiture.

Également, à ce moment, les pneus de la voiture auront parcouru 12 000 km. À court terme, Anthony devra acheter quatre nouveaux pneus. Chaque pneu coûte 120 $ taxes incluses. Pour être légale et sécuritaire, l’épaisseur de la bande de roulement d’un pneu doit être supérieure à 1,6 mm. Celle-ci diminue de façon constante à chaque kilomètre parcouru. La table de valeurs suivante représente cette situation.

Épaisseur de la bande de roulement d’un pneu

En moyenne, Anthony parcourra 2500 km par mois avec cette voiture. Les assurances coûtent 450 $ par année plus 0,02 $ par kilomètre parcouru. Les assurances sont payables en 3 versements consécutifs égaux commençant dès la prise de possession de la voiture.

Finalement, Anthony prévoit un budget de 245 $ d’essence par mois.

Propose à Anthony un nombre de versements pour l’achat de la voiture. Remplis la table de valeurs qui décrit les variations du solde bancaire au cours des 10 premiers mois suivant l’achat de la voiture. À la fin de chaque mois, le solde du compte doit s’élever à au moins 200 $, ce montant étant réservé aux réparations imprévues de la voiture.

Nombre de versements pour le paiement de la voiture : Variation du solde du compte bancaire après l’achat de la voiture

Temps écoulé (mois) 0123456789 10

Solde du compte ($)

Les clics + modélisent la démarche qui permet d’effectuer un exercice ou de résoudre un problème. Ils seront offerts sous forme de suppléments numériques sur maZoneCEC.

Cahier, page 65

j La recherche de la règle d’une fonction polynomiale du premier degré

Détermine la règle de la fonction représentée dans le plan cartésien ci-dessous.

Voici un exemple de démarche possible.

Détermine les coordonnées de deux points par lesquels passe la droite.

À l’aide des coordonnées de ces deux points, calcule le taux de variation, a.

Dans la règle de la forme y 5 ax 1 b, substitue :

– le taux de variation a calculé à l’étape précédente ;

– chaque coordonnée d’un des deux points à la variable x ou y correspondante.

Résous l’équation afin de déterminer la valeur initiale, b.

La droite passe par les points de coordonnées ( 1, 1) et ( 3, 4).

Soit le point de coordonnées ( 1, 1).

y 5 ax 1 b

1 5 2,5 3 1 1 b

Écris la règle de la fonction sous la forme f(x) 5 ax 1 b en substituant aux paramètres a et b les valeurs trouvées précédemment.

Cahier, page 73

j La recherche de la règle d’une fonction rationnelle

Détermine la règle de la fonction rationnelle associée à la table de valeurs suivante.

Voici un exemple de démarche possible.

Choisis un des couples de la table de valeurs. Soit le couple ( 4, 11,25).

Détermine la valeur du paramètre k en multipliant ensemble les valeurs du couple choisi.

Écris la règle de la fonction sous la forme f(x) 5 k x en substituant au paramètre k la valeur trouvée précédemment.

GARDER CAP LE

Questions à choix multiple

1

Quelle égalité est fausse ?

2

Quelle expression est égale à 512 ?

Quelle expression réduite correspond à

4

La vitesse de téléchargement d’un modem est de 875 Mbit/s. Quelle expression correspond à cette vitesse de téléchargement ?

5

À quel ensemble de nombres appartient le nombre 7 , 526 ?

a) N (nombres naturels)

c) Q (nombres rationnels)

b) Z (nombres entiers)

d) Q (nombres irrationnels)

6

Quelle règle est celle d’une fonction de variation directe ?

7

Le taux de variation d’une fonction polynomiale du premier degré est 6,2. Le couple (5, 32) appartient à cette fonction. Quelle est la règle de cette fonction ?

8

Quelle est la règle de la fonction représentée ci-contre ?

Questions à réponse courte

9

Réduis ces expressions.

10

Place ces durées dans l’ordre croissant.

11

Pour chaque relation, indique la variable qui joue le plus naturellement :

1) le rôle de variable indépendante ;

a) La quantité d’eau bue et la température extérieure

2) le rôle de variable dépendante.

b) Le temps restant avant le début de la compétition et le niveau de stress

c) La longueur des cheveux et le temps

d) Le nombre de battements de cœur et la vitesse de course

13

Pendant 10 s, on observe un oiseau plonger dans un lac pour y saisir un poisson. Ce graphique montre l’altitude de l’oiseau par rapport à la surface de l’eau. Pour cette fonction, indique :

a) le domaine ;

b) le codomaine ;

c) la variation ;

d) le minimum ;

e) le signe ;

f) la valeur initiale ;

g) les zéros.

Détermine la règle de la fonction polynomiale associée à chaque table de valeurs.

14

Soit les fonctions représentées ci-contre.

a) De A ou B, quelle est la fonction :

1) polynomiale du premier degré ?

2) rationnelle ?

b) Quel est le taux de variation de la fonction A ?

c) Quelle est la valeur initiale de la fonction A ?

d) Quel est le zéro de la fonction A ?

e) Quelle est la règle de la fonction B ?

Questions à développement

15 CH. 1

Dans les villes, les murs des immeubles arborent parfois de gigantesques murales colorées. L’aire de la murale carrée illustrée ci-contre est de

m. Quel est son périmètre ?

Réponse :

16 CH. 1 La masse d’un érable est de 1,4 3 106 g. De cette masse :

• 45 % correspondent à la masse du tronc ;

• 28 % correspondent à la masse des branches ;

• 20 % correspondent à la masse des racines ;

• 5 % correspondent à la masse de la sève ;

• le reste correspond à la masse des feuilles.

Cet érable compte 32 000 feuilles. Détermine la masse moyenne en microgrammes (mg) d’une feuille. Exprime ta réponse en notation scientifique.

Réponse :

17 CH. 2 Simone aime patiner sur le lac gelé situé près de sa maison. À la fin de l’hiver, l’épaisseur de la glace diminue à mesure que la température augmente. Ce graphique montre l’évolution de l’épaisseur de la glace depuis le début du printemps.

Pour des raisons de sécurité, on arrête de patiner sur le lac lorsque l’épaisseur de la glace est de 10 cm ou moins. À quel moment Simone doit-elle cesser de patiner ?

Réponse :

18 CH. 2 Le graphique ci-dessous montre la relation entre les mesures de la petite et de la grande diagonale d’un losange. Calcule la mesure de la grande diagonale de ce losange si celle de la petite est de 2,25 cm.

SITUATION D , APPLICATION

Le ballon percé

Hector gonfle un ballon avec de l’air. Le ballon est percé et de l’air s’en échappe.

Cette table de valeurs montre la quantité d’air dans le ballon selon le temps.

d’air dans un ballon percé

Il faut 10 min à Hector pour trouver d’où provient la fuite et colmater le trou.

Une fois le ballon réparé, la quantité d’air restante dans le ballon diminue au rythme de 0,4 cm3/min.

Combien de temps après qu’Hector a gonflé le ballon reste-t-il 200 cm3 d’air dans celui-ci ?

Réponse :

SITUATION-PROBLÈME

La livraison de miroirs

Une équipe doit emballer individuellement 5 3 103 miroirs et les transporter dans un entrepôt situé à 320 km. Pour éviter de briser les miroirs, chacun est recouvert de 3 couches de pellicules plastiques de différentes épaisseurs. L’épaisseur totale des trois couches doit être comprise entre 3,45 3 10 4 mm et 4,02 3 10 4 mm. Voici les pellicules plastiques disponibles :

Ces graphiques donnent des exemples du coût total de l’emballage selon le nombre de miroirs à emballer et du coût de transport selon la distance à parcourir.

Choisis trois pellicules plastiques que l’équipe pourrait utiliser et calcule le coût total de l’emballage et du transport des miroirs.

RÉVISION DU CAHIER

Questions à choix multiple

1 CH. 1 Combien de centimètres carrés y a-t-il dans un mètre carré ? a) 10 000 cm2

2

3

4

5

1000 cm2

100 cm2

Quel nombre correspond au nombre 145 000 000 écrit en notation scientifique ?

6 Quelle est la capacité d’un contenant dont le volume est de 43 cm3 ? a) 0,43 L

43 ml

43 cl

6 Quel est le volume d’un contenant qui peut contenir 50 L de liquide ?

50 m3

5 m3

5 Quelle valeur de x vérifie l’équation x 1 3 5 3 ?

Cet extrait montre 5 pages de la Révision du cahier, qui comportera 20 pages au total

10 cm2

0,43 cl

0,5 m3 d) 0,05 m3

a) 9 b) 27 c) 91 d) Aucune

6 CH. 3 On double le rayon d’une sphère. Parmi les énoncés ci-dessous, lequel est vrai ?

a) L’aire double également.

c) L’aire quadruple.

7 CH. 2

b) Le volume double également.

d) Le volume quadruple.

Parmi les relations représentées ci-dessous, indique celle dont la réciproque n’est pas une fonction. a) b) c) d)

8 CH. 4

9

5

10

Quelle expression algébrique correspond au développement du produit (2x 1 3)(3x 2) ?

6x 2 6

6x 2 1 6

Quelle est la solution du système d’équations suivant ? a) (1, 3)

(3, 1)

Quelle est, arrondie au centième près, la mesure manquante du triangle illustré ci-contre ?

a) 11,18 mm c) 18,03 mm b) 5 mm

10,85 mm

(2, 6)

Questions à réponse courte

11 CH. 4 Réduis chacune des expressions algébriques suivantes.

12 CH. 2 Détermine la règle de chacune des fonctions représentées ci-dessous.

13

Détermine la solution du système d’équations représenté ci-dessous.

14 CH. 5

Sachant que x  R, représente l’ensemble-solution de chacune des inéquations suivantes sur une droite numérique.

a) 4x 1 3  19

b) 3( 2x 1 4)  x

15

Détermine le volume de chacun des solides suivants.

16

Détermine la règle de chaque fonction si :

a) les couples (4, 5) et (7, 2) appartiennent à une fonction polynomiale du premier degré ;

b) le couple (3, 12) appartient à une fonction rationnelle.

17 CH. 8

On tire aléatoirement et sans remise 6 lettres d’une boîte qui contient les 26 lettres de l’alphabet. Détermine la probabilité d’obtenir les 6 voyelles dans :

a) un ordre précis ;

18

b) n’importe quel ordre.

Détermine la probabilité qu’un point choisi au hasard dans le solide ci-contre soit situé dans la région verte.

Questions à développement

19 CH. 7 Les diagrammes de quartiles ci-dessous ont été construits à partir de tous les résultats (en %) en mathématique obtenus par deux élèves au cours d’une année scolaire. Résultats en mathématique pour une année scolaire

Qui a connu la meilleure année ? Explique ta réponse.

20 CH. 3 On doit appliquer du vernis sur 300 pochettes en forme de crayon formées chacune d’un cône circulaire droit, d’un cylindre circulaire droit et d’une demi-sphère, comme illustré ci-contre. On sait que 0,4 L de vernis couvre une surface de 1 m2. Si 1 L de vernis coûte 8,25 $, quel est le coût total pour vernir ces pochettes ?

Réponse :

Dans une ville, on choisit deux terrains pour l’aménagement de nouveaux quartiers résidentiels. Avant d’acquérir ces terrains, on doit établir leur coût d’achat à l’aide des informations suivantes. Terrain

Sachant que les superficies de ces deux terrains sont égales, quel sera leur coût d’achat (en $/km2) ?

Réponse :

Montre à l’aide de la relation de Pythagore que l’apothème a d’un hexagone régulier dont un côté mesure c correspond à Ï3 2 c.

Destinée à l’enseignement du cours de Mathématique au 2e cycle du secondaire, la collection HORIZON couvre l’ensemble des concepts prescrits par le Programme de formation du MEES.

Cette collection propose une approche notionnelle par chapitre dont la séquence respecte la pratique enseignante. Elle permet une grande souplesse dans l’enseignement de la mathématique tout en favorisant le travail autonome des élèves.

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