Coleção 10 V - Livro 8 - Matemática - Aluno by Editora Elabore

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MATEMÁTICA Por falar nisso Basicamente, todas as imagens que percebemos por meio da nossa visão são imagens projetadas. Nesse contexto, é possível compreender a importância dessa parte da matemática que se ocupa em estudar as relações entre o objeto real e sua imagem projetada denominada Geometria Projetiva. A Geometria Projetiva teve surgimento no século XVII, a partir do momento em que alguns matemáticos como o francês Girard Desargues (1591 – 1661) buscaram uma fundamentação matemática para as técnicas de desenho em perspectiva empregadas pelos artistas do Renascimento. Em 1636, Desargues publicou: exemplo de um método universal por Sieur Girard Desargues Lyonnais relativamente à prática da perspectiva, em que apresentou um método geométrico de construção de imagens em perspectiva de objetos. Contudo, a Geometria Projetiva se consolida como uma ciência independente, pelas mãos do matemático francês Jean Victor Poncelet (1788 – 1867), a partir da publicação do chamado Tratado das propriedades projetivas das figuras no ano de 1822. O trabalho mais importante de Desargues, Esboço para conseguir interceptar um cone com um plano, publicado em 1639, trata a teoria de secções cônicas por meio da Geometria Projetiva. As secções cônicas são curvas geradas ou encontradas na intersecção de um plano que atravessa um sólido geométrico denominado cone. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

A09 A10 A11 A12

Pirâmides – Troncos de pirâmides ................................................300 Cilindros – Áreas e volume ...........................................................304 Cones – Áreas e volume ...............................................................308 Cones – Cones semelhantes .........................................................313

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MATEMÁTICA

MÓDULO A09

ASSUNTOS ABORDADOS n Pirâmides - troncos de pirâmide n Tronco de pirâmide n Áreas do tronco de pirâmide n Volume do tronco de pirâmide

PIRÂMIDES - TRONCOS DE PIRÂMIDE A mastaba é um túmulo egípcio, uma capela, com a forma de um tronco de pirâmide. Por todo o Egito, existem milhares de mastabas com uma grande variedade de pinturas murais, algumas com valor artístico inestimável. Essas imagens retratam, geralmente, atividades do cotidiano no antigo Egito. Desse modo, esses monumentos funerários revelam-se uma fonte importantíssima de informação sobre esse período da história da humanidade, no que diz respeito à vida das classes mais modestas (ainda que fossem túmulos de luxo de personalidades eminentes). As pinturas que ornamentam as mastabas contrastam com as das pirâmides que representam, essencialmente, a vida na corte e as atividades no palácio do faraó. Fonte: http://pyramidengeheimnisse.de/index.php?top=pyr_e&page=bare Acesso: outubro de 2017

Considerando que a mastaba da figura abaixo tenha a forma de um tronco de pirâmide quadrangular regular de altura 15 m cujos lados das basessão 30 m e 40 m, é possível determinar, por exemplo, o volume de tijolos gasto na sua construção.

Nesta aula, abordaremos os aspectos mais importantes do estudo dos troncos de pirâmides.

300

Matemática e suas Tecnologias

Tronco de pirâmide

Área total (AT)

Ao interceptar uma pirâmide P1 por um plano α paralelo à sua base, vamos obter outra pirâmide P2 (semelhante à pirâmide P1) acima do plano α e um tronco de pirâmide abaixo do plano α. Observe as figuras a seguir:

A área total de um tronco de pirâmide é a soma das áreas das bases e da área lateral, ou seja: AT = AB + Ab + AL

Volume do tronco de pirâmide Considere o tronco de pirâmide da figura a seguir. V Pirâmide P2 d

D’

C’ h

A’

B’

D Pirâmide P1

Tronco da pirâmide AB

n n n n

O quadrilátero ABCD é sua base maior. O quadrilátero A’B’C’D’ é sua base menor. Os trapézios AA’B’B, BB’C’C, C’CDD’ e DD’A’A são suas faces laterais. k é a medida de sua altura.

Áreas do tronco de pirâmide Área da base maior (AB) A área da base maior de um tronco de pirâmide é a área delimitada pelo polígono dessa base. Área da base menor (Ab) A área da base menor de um tronco de pirâmide é a área delimitada pelo polígono dessa base. Área lateral (AL) A área lateral de um tronco de pirâmide é a soma das áreas de todas as suas faces laterais.

Nessa figura, temos que: n

AB é a área de sua base maior do tronco;

Ab é a área de sua base menor do tronco;

h é a altura da pirâmide VABCD;

d é a altura da pirâmide VA’B’C’D’;

k é a altura do tronco;

VT é o volume do tronco.

O volume VT desse tronco de pirâmide é dado por

(

k VT = ⋅ AB + AB ⋅ Ab + Ab 3

)

Demonstração: Primeiramente, note que VT = volume da pirâmide VABCD – volume da pirâmide VA’B’C’D’ Daí, temos que VT =

1 1 1 ⋅ AB ⋅ h - ⋅ Ab ⋅ (h - k ) = ⋅ ( AB - Ab ) ⋅ h + Ab ⋅ k  3 3 3

Como as pirâmides VABCD e VA’B’C’D’ são semelhantes, temos que 2

Ab  h - k  = ⇒h  = AB  h 

k ⋅ AB AB - Ab 301

A09  Pirâmides - Troncos de pirâmide

Na figura a seguir, vamos destacar os principais elementos de um tronco de pirâmide.

Matemática

Substituindo na expressão do volume do tronco, temos que

 1 k ⋅ AB 1  VT = ⋅ ( AB - Ab ) ⋅ + Ab ⋅ k  = ⋅   3  AB - Ab  3

(

)

AB + Ab ⋅ k ⋅ AB + Ab ⋅ k  

Daí, temos que VT =

(

)

1 k ⋅ AB ⋅ k + k ⋅ AB ⋅ Ab + k ⋅ Ab = ⋅ AB + AB ⋅ Ab + Ab 3 3

)

EXEMPLOS 01. Calcule a área total de um tronco de pirâmide quadrangular regular em que as arestas da base maior medem 8 dm, as arestas da base menor medem 2 dm e as arestas laterais medem 5 dm. RESOLUÇÃO

M 5

A’ M’

8 -2 = 3 cm. 2

No triângulo retângulo AA’B, temos que

( )

= 64 + 4 + 80 = 148

O volume do tronco de pirâmide tal que AB é a área da base maior, Ab é a área da base menor e k é a medida da altura, é dado por

(

k VT = ⋅ AB + AB ⋅ Ab + Ab 3

Nessa figura, temos que MM' é a altura do trapézio isósceles ABCD da face lateral. Daí, temos que = A'B

RESOLUÇÃO

( 8 + 2) ⋅ 4

02. Calcule o volume de um tronco de pirâmide quadrangular regular em que as arestas da base maior medem 10 dm, as arestas da base menor medem 4 dm e a altura mede 6 dm.

x2 + A'B

AT = 82 + 22 + 4 ⋅

Portanto, a área total do tronco é 148 dm2.

Observe a figura a seguir

A área total (AT) do tronco é dada por

= 52 ⇒ x2 + 32 = 52 ⇒ x = 4 cm

)

Assim, temos que

(

)

6 VT = ⋅ 82 + 82 ⋅ 42 + 42 =2 ⋅ ( 64 + 32 + 16 ) =224 3 Portanto, o volume do tronco é 224 dm3.

A09  Pirâmides - Troncos de pirâmide

Exercícios de Fixação 01. Considere um tronco de pirâmide quadrangular regular cujas arestas das bases medem 24 cm e 8 cm. Sabendo-se que o apótema lateral desse tronco é de 6 cm, calcule: a) As áreas de cada uma das bases 576 cm2 e 64 cm2 b) A área lateral 384 cm2 c) A área total 1 024 cm2 d) A medida das arestas laterais 10 cm 02. Calcule o volume de um tronco de pirâmide quadrangular regular de 18 cm de altura cujas arestas das bases maior e menor medem, respectivamente, 12 cm e 8 cm. 1 824 cm3 03. Considere um objeto no formato de um tronco de pirâmide triangular regular de 6 3 cm de altura cujas arestas das bases medem 4 cm e 6 cm. Qual é o volume, em cm3, desse objeto? 114 cm3

04. Um recipiente em forma de tronco de pirâmide quadrangular regular tem volume igual a 336 cm3. Sabendo que as me-

302

didas das arestas das bases medem 6 cm e 12 cm, calcule: a) A medida da altura; 4 cm b) A área lateral. 180 cm2 05. (Uel PR) Considere o tronco de uma pirâmide regular de bases quadradas representado na figura a seguir.

60°

Se as diagonais das bases medem 10 2 cm e 4 2 cm, a área total desse tronco, em centímetros quadrados, é: a) 168 c) 258 e) 284 b) 186 d) 266

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UFRGS) O primeiro prêmio de um torneio recebe um troféu sólido confeccionado em metal, com as medidas abaixo. 10

04. (UFRGS) Considere a planificação do sólido formado por duas faces quadradas e por quatro trapézios congruentes, conforme medidas indicadas na figura representada abaixo.

2 2

10 20

O volume desse sólido é: 16 2 a) 3

Considerando que as bases do troféu são congruentes e paralelas, o volume de metal utilizado na sua confecção é

a) 100 3

d) 1500 3

c) 8 2

b) 150 3

e) 3000 3

d) 16 2

28 2 3

e) 20 2

02. (ESPCEX) Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base quadrada e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais externas cobertas por uma tinta impermeável, cujo rendimento é de 11 m2 por galão. 2,40 cm A 3,20 cm B 7,20 cm

Se os pontos A e B representam os centros das bases do tronco de pirâmide, então o número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é a) 6 c) 9 e) 11 b) 7 d) 10 03. (Puc Campinas SP) Considere dois troncos de pirâmides retas exatamente iguais. A base maior é um quadrado de lado igual a 2 metros, a base menor um quadrado de lado igual a 1 metro, e a distância entre as bases é igual a 1 metro. Um monumento foi construído justapondo-se esses dois troncos nas bases menores, apoiando-se em um piso plano por meio de uma das bases maiores, formando um sólido. Dessa maneira, a medida da área da superfície exposta do monumento é, em m2, igual a a) 4 + 6 5 b) 8 c) 12 2 + 4 d) 16/3 e) 12 2 - 8

05. (Puc RJ) Um tronco de pirâmide de bases quadradas tem 21 dm3 de volume. A altura do tronco mede 30 cm e o lado do quadrado da base maior 40 cm. Então, o lado do quadrado da base menor mede a) 8 cm c) 10 cm e) 14 cm b) 6 cm d) 12 cm 06. (Cefet PR) Seja o reservatório mostrado na figura abaixo formado por um tronco de pirâmide quadrangular regular com lados das bases iguais a 3 m e 7 m e apótema do tronco igual a 2,5 m e um condutor ligado ao reservatório com a forma de um prisma quadrangular regular de lado da base 20 cm e altura 2,5 m. Tanto o reservatório quanto o condutor estão lotados com grãos. Um caminhão que possui sua caçamba em forma de paralelepípedo com 3 m de largura, 8 m de comprimento e 1,70 m de altura estaciona para receber essa carga.

Após concluída a operação de carga desse caminhão, pode-se afirmar que a altura de grãos na caçamba, em m, é de: a) 1,56 c) 1,00 e) 1,48 b) 1,70 d) 1,65

303

A09  Pirâmides - Troncos de pirâmide

c) 1000 3

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MATEMÁTICA

MÓDULO A10

ASSUNTOS ABORDADOS n Cilindros – Áreas e volume n Definição e elementos n Classificação n Seção transversal n Seção meridiana de um cilindro reto n Cilindro equilátero n Áreas do cilindro reto n Volume

CILINDROS – ÁREAS E VOLUME O termo reciclar significa transformar objetos materiais usados (ou lixo material) em novos produtos para o consumo. Essa necessidade foi despertada pelas pessoas comuns e governantes, a partir do momento em que se observaram os benefícios que a reciclagem apresenta para o nosso planeta. Desde a década de 1980, a produção de embalagens e produtos descartáveis cresceu significativamente, assim como a produção de lixo, principalmente nos países industrializados. Muitos governos e ONGs estão cobrando das indústrias atitudes responsáveis. Nesse sentido, o desenvolvimento econômico deve estar aliado à preservação do meio ambiente. Atividades como campanhas de coleta seletiva de lixo e reciclagem de alumínio, plástico e papel, já são corriqueiras em várias cidades do mundo. No processo de reciclagem, que além de preservar o meio ambiente também gera renda, os materiais mais reciclados são o vidro, o alumínio, o papel e o plástico. Essa reciclagem ajuda a diminuir significativamente a poluição da água, do ar e do solo. Muitas empresas estão reciclando materiais como forma de diminuir os custos de produção de seus produtos.

Figura 01 - Latinhas de alumínio a caminho da reciclagem.

304

Extraído de: http://www.todabiologia.com/ecologia/reciclagem.htm Acesso: Outubro de 2017

Matemática e suas Tecnologias

O Brasil é o primeiro lugar no ranking mundial na reciclagem de latas de alumínio, com 94,4% do material consumido sendo reaproveitado. O segundo lugar é o Japão com 90,9% de aproveitamento e o terceiro é a Argentina, com 88,2%, segundo levantamento da Associação Brasileira de Alumínio (ABAL). As latinhas de alumínio recicladas mais comuns têm a forma de um sólido geométrico chamado cilindro. Nesta aula iremos abordar os aspectos mais importantes desse tipo de sólido.

Definição e elementos Dados dois planos α e β paralelos, um círculo contido em a e uma reta r secante a esses dois planos, denomina-se cilindro a figura geométrica espacial obtida pela união de todos os segmentos paralelos a r com uma extremidade no círculo em α outra em β. Observe a figura a seguir:

Um cilindro será reto quando suas geratrizes forem perpendiculares às bases.

Um cilindro será oblíquo quando suas geratrizes forem oblíquas às bases.

Observe as figuras a seguir: O2

O1 Cilindro reto

Cilindro oblíquo

Note que: n

No cilindro reto, as geratrizes e a altura possuem medidas iguais. No cilindro oblíquo, as geratrizes e altura possuem medidas diferentes.

O cilindro reto também pode ser chamado de cilindro de revolução, pois é obtido por meio de uma revolução(rotação) de 360° de uma região delimitada por um retângulo em torno de um dos seus lados. Observe as figuras a seguir:

Na figura a seguir, podemos destacar os seus principais elementos. O2

Cilindro de revolução R

Os círculos de centros O1 e O2 e raio R são as bases do cilindro.

A reta que passa por O1 e O2 é o eixo do cilindro.

Os segmentos paralelos ao eixo com extremidades nas bases são as geratrizes do cilindro.

A distância h entre as bases é a altura do prisma.

Classificação

Seção transversal A secção transversal de um cilindro é um círculo obtido por meio da intersecção do cilindro e de um plano paralelo às suas bases. Observe a figura a seguir: A10  Cilindros – Áreas e volume

De acordo com a inclinação das geratrizes, um cilindro pode ser reto ou oblíquo. 305

Matemática

Seção meridiana de um cilindro reto A seção meridiana de um cilindro reto é um retângulo obtido por meio da intersecção do cilindro e de um plano que contém o eixo desse cilindro. Observe as figuras a seguir: R

Para melhor visualização das superfícies que compõem esse cilindro, vamos fazer a planificação dessas superfícies. Observe a figura a seguir: R

Base

Super cie lateral 2 R

R Base R

Secção meridiana

Portanto, para um cilindro reto, temos as seguintes áreas:

Cilindro equilátero Um cilindro reto será equilátero se, e somente se, sua secção meridiana for um quadrado. Observe a figura a seguir: A

Área da base (AB) A área da base é dada pela área delimitada pelo círculo que compõe essa base, ou seja:

AB = πR2

Área lateral (AL)

A área lateral é dada pela área de um retângulo de base 2πR e altura h, ou seja: AL = 2πRh

Como, ABCD é um quadrado, temos que, h = 2R. Área total (AT)

Áreas do cilindro reto Na figura a seguir, temos um cilindro reto de raio da base R e altura h.

A área total é dada pela soma das áreas das duas bases com a área lateral, ou seja: AT = 2AB + AL = 2πR2 + 2πRh Daí, temos que:

AT = 2πR ⋅ (R + h)

Volume

O volume (V) de um cilindro é dado pelo produto da área da base (AB) pela altura h, ou seja: V = πR2 ⋅ h

EXEMPLOS

A10  Cilindros – Áreas e volume

01. Calcule a área total de um cilindro circular reto cuja medida do raio da base é 10 cm e a medida da altura é 12 cm. RESOLUÇÃO

AT = 100π + 240π = 340π cm2 Portanto, a área total é 340π cm2. 02. Calcule o volume de um reservatório no formato cilíndrico reto com 5 dm de raio da base e 18 dm altura.

A área da base é: ÁB = πR2 = π ⋅ 102 = 100π cm2 A área lateral é: AL = 2πRh = 2π ⋅ 10 ⋅ 12 = 240π cm2 A área total é dada por:

306

RESOLUÇÃO O volume é dado por: V = πR2h = π52 ⋅ 18 = 450π dm3 Portanto, a capacidade é 450π dm3.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Calcule a área lateral e o volume de um cilindro reto de 6 cm de altura e raio da base igual a 3 cm. 9π cm2 e 54π cm3

05. (Uerj RJ) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme indicado na figura.

02. Calcule a área lateral e a área da secção meridiana de um cilindro reto de 10 dm de altura, sabendo que sua área lateral e sua área da base são iguais. 400π dm2 e 400 dm2 03. Calcule a área lateral de um cilindro de revolução que possui de área total, sabendo que a medida do raio da base é igual a terça parte da medida da altura. 12π m2 04. Determine as dimensões de um retângulo cujas medidas estão na proporção 1:3 que, ao girar 360° em torno do maior lado, determina um cilindro de revolução de 24. 2 m e 6 m

Imergindo-se totalmente um bloco cúbico no recipiente, o nível da água sobre 25%. Considerando π igual a 3, a medida, em cm, da aresta do cubo colocado na água é igual a: a) 10 2

c) 10 12

d) 10 3 12

b) 10 2

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UFSCar SP) Em um reservatório cilíndrico, com 2 metros de diâmetro, foram colocados 12 000 litros de água, fazendo com que a água atingisse 80% da altura total do reservatório. Considerando π = 3, pode-se concluir que a altura, em metros, desse reservatório é: a) 4,5 b) 5,0 c) 5,5 d) 6,0 e) 6,5

suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de: (utilize π = 3) a) 20 mL d) 120 mL b) 24 mL e) 600 mL c) 100 mL

02. (Ufop MG) Num cilindro circular reto, o raio da base e a 3 altura medem cm e 2 cm, respectivamente. Então 2 podemos afirmar que o valor de sua área lateral em cm é: a) π b) 6π c) 2π d) 2π 6 π e) 3

04. (Enem MEC) O administrador de uma cidade, implantando uma política de reutilização de materiais descartados, aproveitou milhares de tambores cilíndricos dispensados por empresas da região e montou kits com seis tambores para o abastecimento de água em casas de famílias de baixa renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada família envolvida com o programa irá pagar somente R$ 2,50 por metro cúbico utilizado.

Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, n. 166, mar 1996.

Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e

40 cm

Uma família que utilizar 12 vezes a capacidade total do kit em um mês pagará a quantia de: (considere π = 3) a) R$ 86,40 d) R$ 7,20 b) R$ 21,60 e) R$ 1,80 c) R$ 8,64

307

A10  Cilindros – Áreas e volume

03. (Enem MEC) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la.

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MATEMÁTICA

MÓDULO A11

ASSUNTOS ABORDADOS n Cones – Áreas e volume n Definição e elementos n Classificação n Relação notável do cone reto n Secção meridiana do cone reto n Cone equilátero

CONES – ÁREAS E VOLUME De acordo com o Código de Trânsito Brasileiro (CTB), capítulo III, das Normas Gerais de Circulação e Conduta, sobre a utilização de cones em vias públicas, o Artigo 26 é claro: Os usuários das vias terrestres devem: n

Abster-se de todo ato que possa constituir perigo ou obstáculo para o trânsito de veículos, de pessoas ou de animais, ou ainda causar danos a propriedades públicas ou privadas;

Abster-se de obstruir o trânsito ou torná-lo perigoso, atirando, depositando ou abandonando na via objetos ou substâncias, ou nela criando qualquer outro obstáculo.

n Áreas do cone reto n Volume

Os cones cotidianamente utilizados no trânsito têm a finalidade de sinalizar áreas de trabalho, obras em vias públicas ou rodovias, orientação de trânsito de veículos e de pedestres. Entretanto o que se vê em várias cidades brasileiras é uma banalização do seu uso. É possível observar a utilização desses cones por oficinas que os colocam para consertar carros nas ruas, os guardadores de carros para reservar vagas, como também são utilizados por outras pessoas para marcar suas garagens etc. Esse equipamento de segurança do trânsito é um sólido geométrico chamado cone circular, ou simplesmente cone. Nesta aula, abordaremos os aspectos mais importantes desse tipo de sólido.

Figura 01 - Cones de trânsito dividindo uma rua ao meio.

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Matemática e suas Tecnologias

Definição e elementos Dado um plano α, um círculo C nele contido e um ponto V fora de α, denomina-se cone, a figura geométrica espacial obtida pela união de todos os segmentos com uma extremidade no ponto V outra extremidade no círculo. Observe as figuras a seguir: V

Note que: n No cone reto, todas as geratrizes possuem medidas iguais. n No cone oblíquo, as geratrizes possuem medidas diferentes. O cone reto também é chamado de cone de revolução, pois é obtido por meio de uma revolução (rotação) de 360° de uma região delimitada por um triângulo retângulo em torno de um dos seus catetos. Observe as figuras a seguir: V

Na figura a seguir, podemos destacar os seus principais elementos.

Relação notável do cone reto

Em qualquer cone reto, o triângulo formado pelo raio da base (R), pela geratriz (g) e pela altura h é retângulo. Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo VOA, temos que:

g2 = R2 + h2 O

n n n n

O círculo de centro O e raio R é a base. O ponto V é o vértice. Os segmentos VA e VB são as geratrizes.  A reta VO é o eixo. A distância h entre V e base é a altura.

A seção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles obtido por meio da intersecção do cone e de um plano que contém o eixo desse cone. Observe a figura a seguir:

Classificação

Quanto à inclinação do seu eixo, um cone pode ser reto ou oblíquo. n n

Um cone será reto quando seu eixo for perpendicular à base. Um cone será oblíquo quando seu eixo for oblíquo à base.

Observe as figuras a seguir: V

g h

Cone equilátero Um cone reto será equilátero se, e somente se, sua secção meridiana for um triângulo equilátero. Observe a figura a seguir:

A11  Cones – Áreas e volume

Secção meridiana do cone reto

g h

O Cone reto

O Cone oblíquo

Como o triângulo é equilátero, temos que g = 2R. 309

Matemática

Áreas do cone reto Na figura ao lado, temos um cone reto de raio da base R e geratriz g.

Para melhor visualização das superfícies que compõem esse cone, faremos a planificação dessas superfícies. Observe a figura a seguir:

Base A

Super cie lateral

2 R Portanto, para um cone reto, temos as seguintes áreas: Área da base (AB) A área da base é dada pela área delimitada pelo círculo que compõe essa base, ou seja: AB = πR2 Área lateral (AL) A área lateral é dada pela área do setor circular que compõe a superfície lateral, ou seja: AL = πRg Demonstração:

 é proporcional à área do setor circular VAB.Assim, poO comprimento do arco AB demos estabelecer a seguinte regra de três simples: Comprimento do arco

Área

2πg

πg2

2πR

Daí, temos que: 2πg ⋅ AL = 2πR ⋅ rg2 Portanto, temos que: A11  Cones – Áreas e volume

AL = πRg Área total (AT) A área total (AT) é dada pela soma da área da base e da área lateral, ou seja: AT = AB + AL = πR2 + πRg Portanto, temos que: AT = πR(R + g) 310

Matemática e suas Tecnologias

Volume O volume (V) de um cone é dado pelo produto de um terço da área da base (AB) pela altura h, ou seja:

1 V = πR2 ⋅ h 3

EXEMPLOS 01. Calcule a medida da geratriz de um cone reto, sabendo que a medida do diâmetro é 10 cm e a medida da altura é 12 cm.

Daí, temos que: g2 = 122 + 162 ⇒ g2 = 400 ⇒ g = 20 cm A área total AT é dada por:

RESOLUÇÃO Para um cone reto de raio da base R, altura h e geratriz g, temos que g2 = R2 + h2. Observe a figura a seguir:

AT = πR(R + g) = π12(12 + 20) = 384π cm2 O volume de um cone é dado por:

1 1 V = πR2 ⋅ h = π122 ⋅ 16 = 768π cm3 3 3

12 cm

03. Calcule o volume e a área total de um cone equilátero de raio da base 15 dm. RESOLUÇÃO

5 cm

Daí, temos que:

Para um cone equilátero, temos que g = 2R. Assim, temos que:

g2 = 52 + 122 ⇒ g2 = 169 ⇒ g = 13 cm

g = 2 ⋅ 15 = 30 dm

Portanto, a medida da geratriz é 13 cm. 02. Calcule a área total e o volume de um cone reto sabendo que a medida do raio da base é 12 cm e a medida da altura é 16 cm. RESOLUÇÃO Para um cone reto de raio da base R, altura h e geratriz g, temos que g2 = R2 + h2.

g = R2 + h2 ⇒ 302 = h2 + 152 2

h2 = 675 ⇒ h = 15 3 dm Daí, temos que:

1 1 V = πR2 ⋅ h = π152 ⋅ 15 3 = 1 125 3 cm3 3 3 AT = πR(R + g) = π15(15 + 30) = 675π cm2

Exercícios de Fixação

02. Dado um cone equilátero de geratriz 24 m, calcule a área lateral e o volume desse cone. 144 m2 e 288 3 m3 03. Calcule a medida da geratriz de um cone reto que tem área lateral igual a 192 dm² e o raio da base medindo 12 dm. 16 dm 04. Na figura a seguir, temos um sólido composto de um cilindro e um cone.

Cilindro

Cone

Sabendo que os raios das bases do cilindro e do cone possuem a mesma medida, calcule o volume sólido. 24π m3 05. Calcule a área lateral e a área total de um cone reto cuja superfície lateral é um setor circular de raio 10 m e um ângulo central de 108°. 30π m2 e 39π m2

311

A11  Cones – Áreas e volume

01. Considerando um cone reto de altura de 12 m e raio da base 9m, calcule: a) A medida da geratriz. 15 m b) A área total. 216π m2 c) O volume. 324π m3

Matemática

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Cesgranrio RJ) No desenho a seguir, dois reservatórios de altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas de mesma vazão.

04. (Cefet PR) O raio de um cone equilátero cujos valores numéricos de sua área total e de seu volume se equivalem, em unidades de comprimento, é: a) 3 3 b) 3 c) 3 d) e) 1

Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isso ocorra com o reservatório cônico será de: a) 2 h b) 1 h e 30 min c) 1 h d) 50 min e) 30 min 02. (Ufam AM) A geratriz de um cone circular reto mede 10 cm e sua área total é 75π cm2. Então o raio da base é igual a: a) 15 cm d) 6 cm b) 5 cm e) 8 cm c) 10 cm 03. (FGV) A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto:

252° 10 10

O cone a que se refere tal planificação é: a)

d) 10

10 6

A11  Cones – Áreas e volume

e) 10

c) 10 8

312

10 7

3 3

05. (UFSC) A geratriz de um cone equilátero mede 2 3 cm. Calcule a área da seção meridiana do cone, em cm2, e multiplique o resultado por 3 . 9 06. (UFG GO) A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de 6 m de raio e 1,25 m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60° com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina. Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de: a) 2,0. b) 2,8. c) 3,0. d) 3,8. e) 4,0. 07. (Unicamp SP) Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone circular reto, com bases paralelas. As aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede 30 cm. O tecido do abajur rasgou e deseja-se substituí-lo. a) Determine os raios dos arcos que devem ser demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que foi danificado. 30 cm e 60 cm b) Calcule a área da região a ser demarcada sobre o tecido que revestirá o abajur. 1 125π cm2 08. (FM Petrópolis RJ) Um recipiente cilíndrico possui raio da base medindo 4 cm e altura medindo 20 cm. Um segundo recipiente tem a forma de um cone, e as medidas do raio de sua base e de sua altura são iguais às respectivas medidas do recipiente cilíndrico. Qual é a razão entre o volume do recipiente cilíndrico e o volume do recipiente cônico? a) 1/2 b) 1/5 c) 3 d) 4 e) 5

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO A12

CONES SEMELHANTES Repleta de ícones, a gastronomia americana está difundida pelo mundo com variados queridinhos para o nosso paladar. Com diferentes sabores e cores, o milk shake é um legítimo representante do estilo. Mas você sabia que, na sua origem, o milk shake era uma bebida para adultos?

ASSUNTOS ABORDADOS n Cones semelhantes n Secção transversal do cone n Cones semelhante

A primeira versão do alimento é do final do século XIX. Nos Estados Unidos, país de sua origem, a batida era um tônico para doentes, feito com leite, whisky e chocolate. Em 1937, o americano Ray Kroc inventou o milk shake que tomamos hoje. Tudo começou quando ele teve a brilhante ideia de usar o multi-mixer: um liquidificador especial que batia 6 milk shakes de uma só vez! A partir daí a bebida passou a ser produzida com xarope de chocolate, morango ou baunilha. Como, frequentemente, as pessoas pediam sorvete para acompanhar, nos anos 30, o gelado passou a fazer parte da sobremesa. O milk shake é uma bebida batida composta de leite, sorvete, chantilly e cobertura. O nome, originário do inglês, surgiu dessa combinação do leite (milk) e da batida (shake). Além desses ingredientes básicos, muitos incrementam com polpa de frutas, achocolatado em pó, cereais, leite condensado, entre outros. A decoração do milk shake pode ser feita com chantilly, coberturas para sorvete, chocolates, frutas, leite condensado e cereais. Os ingredientes para fazer o chantilly são leite, pó para preparo de chantilly e pó saborizante.

313

Matemática

“Despeje o leite na batedeira, na quantidade indicada na embalagem do pó para chantilly. Adicione o pó e o saborizante. Se você quiser branco, não deve adicionar o saborizante. Bata em velocidade alta até que a mistura fique bem firme”.

número k a razão semelhança dos dois sólidos. Dessa forma, a razão entre um comprimento qualquer do primeiro sólido e o comprimento correspondente (homólogo) no segundo é constante e igual a k.

Mas para completar, ainda faltava o canudinho (straw). Essa ideia foi do empresário Marvin Stone, que não terminava o dia sem tomar o mint julep, feito com whisky, açúcar e menta. No entanto, a bebida precisa ser tomada tão gelada que as mãos não aguentam segurar o copo. Naquela época, os canudos eram produzidos com capim, que desagradava por deixar gosto de mato no drinque. Com alguns pedaços de papel em volta de um lápis, ele pingou umas gotinhas de cola para que o canudo não desenrolasse. Assim, Stone teve a grande sacada usada até os dias de hoje.

Ao seccionar um cone de altura h por um plano paralelo à base, distando d de seu vértice, obteremos dois cones. n

Cone C1 de vértice V, raio da base r e altura d.

Cone C2 de vértice V, raio da base R e altura h.

Esses dois cones são semelhantes. Observe a figura a seguir: V d O1 r

Fonte: http://circuitomt.com.br/editorias/artigos/ 73523-a-origem-do-milK-shaKe.html. Acesso: Outubro de 2017

Assim, considere que em um dia de muito calor, Bruna senta-se à mesa de uma sorveteria e pede um milk shake que é servido em taças com formato de um cone invertido com 20 cm de profundidade e capacidade total de 800 ml. Supondo que a quantidade de milk shake colocada na taça a encheu até a altura de 15 cm, quantos mL de milk shake foram colocados nessa taça? Para determinar essa quantidade temos que relacionar os elementos de dois sólidos semelhantes: o cone que representa toda a taça e o cone que representa a parte da taça preenchida com milk shake. Nesta aula, iremos abordar os aspectos mais importantes do estudo de cones semelhantes.

Assim, as medidas dos raios das bases e alturas desses dois cones são proporcionais. Daí, podemos estabelecer as seguintes relações: n

Para os raios das bases: r d = = k R h

Para as áreas das bases: 2

AB1  d  2 = =  k AB2  h 

Secção transversal do cone A intersecção de um cone com um plano α paralelo à sua base é denominada secção transversal cone. Observe a figura a seguir

Sendo AB1 a área da base do cone C1 e AB2 a área da base do cone C2. n

Para as áreas laterais: 2

AL1  d  2 = =  k AL2  h 

A12  Cones semelhantes

Sendo AL1 a área lateral do cone C1 e AL2 a área lateral do cone C2. n

Cones semelhantes Já sabemos que dois sólidos geométricos são semelhantes quando as medidas de um deles valem k vezes as medidas correspondentes (ou homólogas) do outro, sendo o 314

Para os volumes: 3

V1  d  3 = =  k V2  h  Sendo V1o volume do cone C1 e V2o volume do cone C2.

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Um cone circular reto tem altura 30 cm. A que distância do vértice se deve traçar um plano paralelo à base, de forma que o volume do novo cone, assim obtido, seja a metade do volume do cone original?

02. A que distância da base de um cone reto de 3 3 cm raio da base e 12 cm de altura deve ser feita uma secção transversal para que essa secção transversal tenha 12π cm² de área.

RESOLUÇÃO

Observe a figura a seguir:

Como esses cones são semelhantes, sendo V1 o volume do cone original e V2 o volume do cone menor, temos que: 3

V2 1 V2  x  1  x  = e=   ⇒=   V1 2 V1  30  2  30 

1 x 30 = ⇒ x = 3 ⇒ x = 15 3 4 2 30 2

Portanto, a distância é 15 3 4 cm .

3 3 Como esses cones são semelhantes, sendo A1 a área da base do cone original e A2 a área da base do cone menor, temos que: 2

( )

A1 = π 3 3 = 27π cm2 e

A2  x  12π  x  = =   ⇒   A1  12  27π  12 

4  x  x 2 =   ⇒ = ⇒x= 8 9  12  12 3 Portanto, a distância é 8 cm.

Exercícios de Fixação 01. Um cone reto tem altura de 12 cm e raio da base 15 cm foi interceptado por um plano paralelo à base e distante 4 cm do vértice. Calcule o raio da secção transversal obtida. 5 cm 02. Um cone reto foi seccionado por um plano paralelo à base, a 3 cm do vértice. Se a medida de sua altura é 9 cm e a área dessa secção é de 2π cm², calcule o volume dessa pirâmide. 54π cm3 03. Considere que um cone C1 de 24 cm de altura foi interceptado por um plano paralelo à sua base situado a 20 cm dela. Após esse corte, um cone C2 semelhante a C1 foi obtido. Determine a razão entre as áreas laterais de C2 e C1, nessa ordem. 1/36

A que distancia do vértice deve ser feita uma marca na superfície lateral do recipiente para indicar a metade do seu volume? 12 3 4 cm 05. (Unifesp SP) Em uma lanchonete, um casal de namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho. 10 cm

20 cm

24 cm

a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote π = 3. 500 ml b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido. 87,5%

315

A12  Cones semelhantes

04. Na figura abaixo, temos um recipiente na forma de um cone.

Matemática

Exercícios C om p l em en t ares 01. Na figura abaixo temos, apoiado no plano α, um cone circular reto de altura 8 cm e raio da base 6 cm.

05. (Ufam AM) Uma lanchonete utiliza copos no formato cônico com 10 cm de altura e 2 cm de raio da base. Nesse copo são servidos açaí e farinha de tapioca, sendo que o açaí é completado até atingir a altura de 9 cm do copo, e o restante é completamente preenchido com farinha de tapioca. 1m

Sabendo que o plano β é paralelo a α e a distância entre os dois planos é de 6 cm, determine a área total do cone que está apoiado no plano β. 24π cm2 02. (UFPI) Um cone de revolução de altura 6 cm é cortado por um plano paralelo à base, formando um novo cone de volume 1/27 do anterior. A distância do vértice ao plano é: a) 1 cm d) 4/3 cm b) 3/2 cm e) 4/27 cm c) 2 cm 03. (UEL PR) Um cone circular tem volume V. Interceptando-o na metade de sua altura por um plano paralelo à base, obtém-se um novo cone cujo volume é: a)

04. (Ufac AC) Um depósito de água, de 2 m de altura, tem forma de um “pedaço” de um cone. Os segmentos de reta contidos nas laterais com extremidades nas retas de mesma direção que contêm os diâmetros dos círculos da base e superior, quando prolongados, interceptam-se no ponto V, que dista 6 m do centro do círculo da base.

A razão entre os volumes de açaí e farinha de tapioca servidos nesse copo é aproximadamente de: a) 1,37 d) 2,50 b) 1,65 e) 2,69 c) 2,25 06. (UFCG PB) Um funil de laboratório, cujo interior está coberto por um filtro de papel, tem o formato de um cone circular reto com 12 cm de altura e 9π cm2 de área da base. Colocou-se nesse funil uma mistura química a ser filtrada, enchendo-o até a altura de 9 cm. O volume dessa mistura, em cm3, é de: a) 24π d) 243/16 b) 16π e) 243π/16 c) π/16 07. (Uerj RJ) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe água na razão constante de 1 cm3/s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base mede 3 cm. Conforme ilustra a imagem, a altura h do nível da água no recipiente varia em função do tempo t em que a torneira fica aberta.

2m R

24 cm

6m h V

A12  Cones semelhantes

Dado que o raio do círculo superior mede 2 m e o do círculo da base mede 1,5 m, o volume do depósito é igual a: a) 8π m3 b) 37π/6 m3 c) 40π/3 m3 d) 37π m3 e) 25π m3

316

A medida de h corresponde a distância entre o vértice do cone e a superfície livre do líquido. a) h = 4 3 t b) h = 2 3 t c) h = 2 t d) h = 4 t

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (FGV RJ) A figura abaixo mostra um tronco de pirâmide regular formado por dois quadrados ABCD e A’B’C’D’ de centros O e O’ contidos em planos paralelos e quatro trapézios congruentes. Os quadrados são as bases do tronco e a sua altura é a distância OO’ = h entre os planos paralelos. D’ O’ A’

C’

( ) d) ( 4 + 7 ) m e) 4 m

04. (UFSCar SP) Retirando-se um semicilindro de um paralelepípedo reto-retângulo, obtivemos um sólido cujas fotografias, em vista frontal e vista superior, estão indicadas nas figuras.

O B

Se S e S’ são as áreas das bases de um tronco de pirâmide de altura h, o volume desse tronco é dado pela fórmula h V= S + S'+ SS' . 3

(

2 ≅ 1,41 ,

3 ≅ 1,73 ,

5 ≅ 2,24 ,

7 ≅ 2,65 .

02. (IME RJ) Um tronco de pirâmide regular possui 12 vértices. A soma dos perímetros das bases é 36 cm, a soma das áreas das bases é 30 3 cm2 e sua altura mede 3 cm. Calcule o volume do tronco de pirâmide. a) 50 cm3 b)

42 3 3 cm 3

43 3 3 cm 2

d) 43 2 cm3 e) 42 3 cm3 03. (UFGD MS) Um tanque de combustível possui a forma de um cilindro circular reto com diâmetro interno medindo 8 metros e 15 metros de comprimento. Super cie do álcool h

Vista superior

Vista frontal

)

São dadas, em decímetros, as medidas das arestas: AB = 12, A’B’ = 6 e AA’ = 9. Calcule o volume desse poliedro em decímetros cúbicos e dê um valor aproximado, usando algum dos dados abaixo. 668 dm3 Dados:

c) 4 - 7 m B’

Sabendo-se que o tanque está mais cheio do que vazio, e que a superfície do combustível dentro do tanque forma um retângulo de área igual a 90 m2, qual o desnível (h) entre a superfície do combustível e o ponto mais alto no teto do tanque? a) 6 m

3 cm

7 cm

2 cm

1,5 cm

4 cm

1,5 cm

Se a escala das medidas indicadas na fotografia é 1:100, o volume do sólido fotografado, em m³, é igual a: a) 2 ⋅ (14 + 2π) d) 2 ⋅ (21 – π) b) 2 ⋅ (14 + π) e) 2 ⋅ (21 – 2π) c) 2 ⋅ (14 – π) 05. (UFPE) Um plano que passa pelo vértice de um cone reto intercepta o círculo da base deste em uma corda de comprimento 6. Este plano forma com o plano da base do cone um ângulo de 40° e a altura do cone é 3,36. Indique o inteiro mais próximo do volume do cone. (Use as aproximações tg 40° = 0,84 e π = 3,14). 88 06. (UECE) Um cone circular reto, cuja medida do raio da base é R, é cortado por um plano paralelo a sua base, resultando dois sólidos de volumes iguais. Um desses sólidos é um cone circular reto, cuja medida do raio da base é r. A relação existente entre R e r é: c) R3 = 2r3 a) R3 = 3r3 2 2 b) R = 2r d) R2 = 3r2 07. (ESPM SP) Uma indústria de bebidas criou um brinde para seus clientes com a forma exata da garrafa de um de seus produtos, mas com medidas reduzidas a 20% das originais. Se em cada garrafinha-brinde cabem 7 ml de bebida, podemos concluir que a capacidade da garrafa original é de: a) 875 ml d) 693 ml b) 938 ml e) 567 ml c) 742 ml 317

FRENTE

B Solstício de verão no deserto de Utah, EUA.

MATEMÁTICA Por falar nisso Ao fincar uma vara vertical em um plano horizontal, verificamos que durante o dia o comprimento da sombra projetada pela vara apresenta variações. No início do dia, o comprimento da sombra é bem longo e, no decorrer do dia seu o tamanho vai diminuindo até chegar a um valor mínimo para, posteriormente, voltar a crescer até o sol se pôr. Denomina-se meio-dia, o momento em que a sombra projetada pela vara tem o menor comprimento. Ao medir o comprimento da sombra dessa vara, sempre ao meio-dia, durante vários dias, observaremos que esse comprimento também é variável. Os povos mais antigos já sabiam que, quanto mais quente estava o clima, menor era o comprimento dessa sombra ao meio-dia. O solstício de verão (momento em que se inicia o verão) é o dia em que o comprimento dessa sombra é mínimo. De forma análoga, o solstício de inverno (momento em que se inicia o inverno) é o dia em que o comprimento dessa sombra é máximo. No Hemisfério Norte, o solstício de verão ocorre por volta do dia 21 de junho e o solstício de inverno por volta do dia 21 de dezembro, datas que marcam o início das respectivas estações do ano nesse Hemisfério. No Hemisfério Sul, o fenômeno é simétrico: o solstício de verão ocorre em dezembro e o solstício de inverno ocorre em junho. O termo solstício vem do latim e significa sol estático. Valendo-se desse fenômeno e utilizando conceitos básicos de geometria, o matemático grego Erastótenes conseguiu obter um valor para a medida da circunferência da Terra. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

B09 B10 B11 B12

Transformações trigonométricas – Parte II .................................. 320 Transformações trigonométricas – Parte III ................................. 324 Equações trigonométricas – Parte I.............................................. 328 Equações trigonométricas – Parte II............................................. 332

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B09

ASSUNTOS ABORDADOS n Transformações trigonométricas

– Parte II

n Fórmulas do arco duplo n Fórmulas do arco metade

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – PARTE II Machu Pichu é um monumento inca descoberto no ano de 1911 pelo antropólogo norte-americano Hiram Bingham, que estava à procura da legendária capital inca de Vilcabamba. Não se tem um registro preciso de sua construção, mas alguns especialistas indicam que Machu Picchu foi finalizada no século XV, antes da aparição dos primeiros europeus na América. O monumento localiza-se no Peru, na Cordilheira dos Andes, e é considerada uma histórica cidade perdida, totalmente erigida com pedras, no topo de uma montanha a mais de 2 400 metros de altitude, dando a ideia de proximidade com o Divino. Por ser uma sociedade antiga de forte inclinação religiosa, os incas construíram Machu Picchu em adoração ao deus Sol, pontuando praças, cemitérios e casas em lugares estratégicos para dar passagem à divindade adorada. Toda a cidade histórica é feita de pedra, hoje em ruínas. Além das casas e praças, havia santuários para celebração religiosa, aquedutos e grandes terraços onde os incas desenvolviam a agricultura. Atualmente, Machu Picchu preserva apenas 30% de sua estrutura original – o restante foi restaurado com encaixes de pedras menores mais espaçadas. É considerada patrimônio mundial pela UNESCO e um dos principais destinos dos turistas que visitam a América Latina. Em 2007, Machu Picchu foi eleita oficialmente como uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno. Fonte: https://www.infoescola.com/civilizacao-inca/machu-picchu/. Acesso: Outubro de 2017

Figura 01 - Machu Picchu, no Peru, uma das Sete Maravilhas do Mundo Moderno

320

Matemática e suas Tecnologias

Suponha que os símbolos a seguir tenham sido encontrados em uma caverna em Machu Picchu e cientistas julgam que extraterrestres os desenharam. Tais cientistas descobriram algumas relações trigonométricas entre os lados das figuras, como é mostrado abaixo. cos a

sen a sen b sen b sen a

cos a

sen b sen b

cos b cos b cos a

Na hipótese de a + b = 30°, qual seria a soma das áreas dessas figuras? Para se determinar o valor numérico dessa soma, temos que utilizar as fórmulas da soma e subtração de arcos. Nesta aula, veremos que, a partir das fórmulas da soma e subtração de arcos, também é possível obter relações envolvendo arco duplo e arco metade.

Fórmulas do arco duplo São fórmulas que permitem obter as razões trigonométricas de arcos da forma 2a, ou seja, arcos duplos. São casos particulares das fórmulas da adição. Expressão do sen (2a) Para determinar a expressão de sen (2a), basta fazer b = a em expressão de sen (a + b), ou seja, sen (a + a) = sen a ⋅ cos a + sen a ⋅ cos a = 2 sen a ⋅ cos a

tg ( 2a) =

2 ⋅ tg a 1 - tg2 a

Fórmulas do arco metade São fórmulas que permitem obter as razões trigonométria cas de arcos da forma , ou seja, arcos metades. São casos 2 particulares das fórmulas do arco duplo.

b sen   Expressão do sen 2 b Para determinar a expressão do sen   , vamos utilizar a 2 expressão do cos (2a) e a relação sen2 a + cos2 a = 1. cos (2a) = cos2 a – sen2 a ⇒ cos 2a = 1 – sen2 a – sen2 a ⇒ cos (2a) = 1 – 2sen2 a Daí, temos que: 2sen2 a = 1 – cos (2a) ⇒ sen2a = Fazendo a = sen2a =

1 - cos ( 2a) 2

b , temos que: 2 1 - cos ( 2a) 2

 b  1 - cos b 2 2

⇒ sen   = 2

Portanto,

Portanto, temos que

1 - cos b b sen  = ± 2 2

sen ( 2a) = 2 ⋅ sen a ⋅ cosa Expressão do cos (2a) Para determinar a expressão de cos (2a), basta fazer b = a em expressão de cos (a + b), ou seja, cos (a + a) = cos a ⋅ cos a – sen a ⋅ sen a = cos2 a – sen2 a Portanto, temos que

cos= (2a) cos2 a - sen2a

b sen   Expressão do cos 2

b Para determinar a expressão do cos   , vamos utilizar a 2 expressão do cos (2a) e a relação sen2 a + cos2 a = 1. cos (2a) = cos2 a – sen2 a ⇒ cos (2a) = cos2 a – (1 – cos2 a) ⇒ cos (2a) = 2cos2 a – 1 Daí, temos que:

Expressão da tg (2a)

2cos2 a = 1 + cos (2a) ⇒ cos2 a =

Para determinar a expressão de tg (2a), basta fazer b = a em expressão de tg (a + b), ou seja, = tg ( a + a)

tg a + tg a 2 ⋅ tg a = 1 - tg a ⋅ tg a 1 - tg2 a

1 + cos ( 2a) 2

b Fazendo a = , temos que: 2 cos2 a =

1 + cos b 1 + cos 2a 2b ⇒ cos   = 2 2 2 321

B09  Transformações trigonométricas – Parte II

cos a

Portanto, temos que

Matemática

Portanto,

Fazendo a = 1 + cos b b cos   = ± 2 2  

b , temos que: 2

b sen  ± 1 - cosb 2 b  2 = tg   = 1 + cosb  2  cos  b    ± 2 2

b Expressão dasen tg   2

b Para determinar a expressão da tg   , vamos utilizar as 2

Portanto, temos que: 1 - cosb b tg   = ± 1 + cosb 2

sen a b b . expressões do sen   , cos   e a relação tg a = cos a 2 2

EXEMPLOS 01. Sabendo que sen α = a) sen 2α b) cos 2α

4 , com 0 < α < π/2, calcule: 5

2⋅ 2 ⋅ tg α tg ( 2α ) = = 1 - tg2 α 1 Portanto, tg 2α = -

RESOLUÇÃO

2 3 = =- 3 1-3

RESOLUÇÃO

16 9 3 3 4 cos2α = 1 –   ⇒ cos2α = 1 - = ⇒ cos α = ± ⇒ cos α = 25 25 5 5 5

1 + cos b b , temos que Fazendo b = 45° em cos   = ± 2 2

(α pertence ao 1º quadrante)

4 3 24 a) sen ( 2α ) = 2 ⋅ sen α ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ = 5 5 25

2 2+ 2 1+ 1 + cos 45°  45°  2 2 ± = ± = ± cos  = 2 2 2  2 

3 4 9 16 7 b) cos ( 2α ) = cos2 α - sen2α =   -   = - = 25  5   5  25 25

Daí, temos que

02. Sabendo que sec α = -2, com π < α < 3π/2, calcule tg 2α.

cos ( 22,5° ) =± RESOLUÇÃO

tg2 α + 1 = sec2 α ⇒ tg2 α + 1 = (-2)2 ⇒ tg α = ± 3 ⇒ tg α =

2+ 2 2+ 2 2+ 2 =± = 4 2 2

(22,5° pertence ao 1º quadrante)

Utilizando a relação tg2 α + 1 = sec2 α, temos que 3

Portanto, cos 22,5° =

(α pertence ao 3º quadrante)

B09  Transformações trigonométricas – Parte II

03. Calcule o valor de cos 22° 30’.

Da 1ª relação fundamental, temos que:

( 3) ( 3)

2+ 2 . 2

Exercícios de Fixação 01. Sabendo que x é um arco do 1º quadrante tal que sen x = 12/13, calcule: a) sen (2x) 120/169 b) cos (2x) -119/169 c) tg (2x) -120/119 02. Calcule o valor de sen 2x, sabendo que sen x – cos x = 1/4. 15/16 03. Sabendo que tg x = 2, calcule: a) tg 2x -4/3 b) tg 4x 24/7 322

04. Sabendo que x é um arco do 1º quadrante tal que cos x = 2/3, calcule: a) sen (x/2) 6 / 6 b) cos (x/2) 30 / 6 c) tg (x/2) 5 / 5 x 05. (Ufam AM) Dado tg   = 2. Então, tg x é igual a: 2 a) -3/5 d) 4/3 b) 4/5 e) -5/3 c) -4/3

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Fuvest SP) No quadrilátero ABCD, onde os ângulos A e C são retos e os lados têm as medidas indicadas, A 2x B 2x

D x

o valor de sen B̂ é: a)

  π  π  06. (UFU MG) O valor de sen  -  + cos    é 12    12   

2- 3 2 c) 2/3 d) 1/2 e)

5 /5

2+ 3 2

b) 2 5 / 5

1+ 3 2

07. (Uerj RJ) Observe a figura abaixo

c) 4/5 d) 2/5

C B

e) 1/2

02. (Fuvest SP) Um arco x está no terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5cos (2x) + 3sen x = 4. Determine os valores de sen x e cos x. 1 / 5 e 1 6 / 5 03. (UFG GO) A figura a seguir representa uma quadra retangular inscrita num terreno semicircular cujo raio mede 10 m.

Ela representa um papel quadrado ABCD, com 10 cm de lado, que foi dobrado na linha AM , em que M é o ponto médio do lado BC . Se, após a dobra, A, B, C, D e M são coplanares, determine a) a distância entre o ponto B e o segmento CD . b) o valor de tg θ. a) 2 cm

Nessas condições, a) A = 50 ⋅ cos (2θ) a) expresse a área da quadra em função do ângulo θ. b) determine as dimensões da quadra que possui área máxima. 10 2 e 5 2 π π 04. (UFPI) O valor do produto sen   ⋅ cos   é igual a 8 8 2 /8

3/4

2 /2

3 /2

2/4

08. (PUC RJ) Sabemos que cos x = 4/5 e x ∈ [0, π/2]. Quanto vale tg 2x? a) 3/4 b) 7/24 c) 24/7 d) 1/25 e) 1/24 09. (UCS RS) Qual é o valor de sen(2α) para α tal que sen α = 1/4 e π/2 ≤ α ≤ π?

05. (Uerj RJ) Lembrando que cos (a + b) = cos a ⋅ cos b – sen a ⋅ sen b

a) -

15 4

b) -

15 8

e sen (a + b) = sen a ⋅ cos b, + sen b ⋅ cos a, c)

a) demonstre as identidades: n cos (2θ) = 2cos2 θ− 1

d) -

n cos (3θ) = 4cos3 θ− 3cos θ

b) usando a identidade cos (3θ) = 4cos³ θ – 3cos θ, mostre que cos 40° é raiz da equação 8x − 6x + 1 = 0. Demonstrações 3

B09  Transformações trigonométricas – Parte II

b) ¾

15 8 3 4 15 4

323

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B10

ASSUNTOS ABORDADOS n Transformações trigonométricas

– Parte III

n Fórmulas da fatoração

TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – PARTE III De maneira geral, os sofismas são raciocínios que partem de premissas verdadeiras, mas são concluídos de uma forma absurda. Os sofismas têm como objetivo, disfarçar a verdade apresentando-a por meio de ideias que aparentam seguir as leis da lógica. Vários são os exemplos de sofismas matemáticos muito interessantes. Vamos apresentar dois: 1º problema: Três amigas almoçaram em um restaurante. A conta deu R$ 30,00 e cada uma delas paga R$ 10,00 ao garçom. Quando este leva o dinheiro ao caixa, o gerente diz que aquelas são clientes antigas, e vai cobrar apenas R$ 25,00 reais em vez de R$ 30,00. Assim, devolve ao garçom o troco sob a forma de cinco moedas de R$ 1,00. O garçom volta à mesa devolve os R$ 5,00 às moças que então decidem dar R$ 2,00 ao garçom a título de gorjeta. Logo, cada uma das três fica com uma moeda de R$ 1,00 de troco. A questão é: cada cliente pagou R$ 10,00 e recebeu R$ 1,00. Portanto, cada uma pagou R$ 9,00, e as três juntas pagaram R$ 27,00. O garçom ficou com mais R$ 2,00, perfazendo R$ 29,00. Para aonde foi R$ 1,00 que ficou faltando?

Figura 01 - Três amigas tentando entender aonde foi parar o R$ 1,00 que ficou faltando.

324

A maneira com que é feita uma das operações está propositalmente errada, nos levando a essa conclusão absurda. Para saber a resposta desse e de vários outros problemas muito interessantes, a sugestão é ler o livro O homem que calculava, do matemático e escritor brasileiro Júlio Cesar de Mello e Souza (1895-1974), mais conhecido por Nalba Tahan.

Matemática e suas Tecnologias

Vamos provar por a + b que 1 + 1 = 1

p a + b = Fazendo  e resolvendo o sistema, temos que a b = q 

p-q p+q e b= 2 2

1º passo: Sejam a e b números reais não nulos tais que a = b.

2º passo: Se a = b, podemos multiplicar os dois membros dessa igualdade por a e obter: a2 = ab.

3º passo: A seguir, subtraímos b2 dos dois membros da igualdade: a2– b2 = ab – b2.

4º passo: Fatorando as expressões, temos: (a + b) ⋅ (a – b) = b ⋅ (a – b).

5º passo: Agora, dividir ambos os membros por (a – b) e obtemos: a + b = b.

6º passo: Como no início, supomos que a = b, podemos substituir a por b. Assim: b + b = b.

Para determinar a expressão de sen p + sen q, basta adicionar as expressões de sen (a + b) e sen (a – b) membro a membro. Assim, temos que

7º passo: Colocando b em evidência, obtemos: b ⋅ (1 + 1) = b.

sen (a + b) = sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a

8º passo: Por fim, dividimos a equação por b e concluímos que: 1 + 1 = 1.

É evidente que essa demonstração está incorreta. A operação errada foi no 5º passo. É que ao dividir por a – b (1 – 1 = 0) estamos dividindo (a + b) ⋅ (a – b) e b ⋅ (a – b) por zero, o que obviamente não é possível. No 4º passo dessa demonstração, as expressões envolvidas na igualdade foram fatoradas. Já sabemos que fatorar uma expressão algébrica significa transformá-la numa outra equivalente que esteja na forma de produto. Também podemos fatorar expressões algébricas envolvendo as razões trigonométricas. Nesta aula, iremos abordar a fatoração dessas expressões por meio de fórmulas denominadas fórmulas prostaférese.

Fórmulas da fatoração São expressões que permitem a transformação em produto de expressões envolvendo as razões trigonométricas. Tais expressões também são chamadas de fórmulas de prostaférese.

Finalmente, substituindo em sen (a + b) + sen (a – b) = 2 ⋅ sen a ⋅ cos b, temos que:

p+q p-q sen p + sen q = 2 ⋅ sen  ⋅ cos   2    2  Expressão do sen p – sen q

sen (a – b) = sen a ⋅ cos b – sen b ⋅ cos a Subtraindo as expressões do seno da soma (a + b) e do seno da diferença (a – b) membro a membro, temos que: sen (a + b) – sen (a – b) = (sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a) – (sen a ⋅ cos b – sen b ⋅ cos a) sen (a + b) – sen (a – b) = 2 ⋅ sen b ⋅ cos a p a + b = Fazendo  e resolvendo o sistema, temos que: q a - b =

p+q p-q e b= 2 2

Finalmente, substituindo em sen (a + b) + sen (a – b) = 2 ⋅ sen a ⋅ cos b, temos que:

p-q p+q sen p - sen q = 2 ⋅ sen  ⋅ cos   2    2 

Expressão do sen p + sen q

Expressão do cos p + cos q

Para determinar a expressão de sen p + sen q, basta adicionar as expressões de sen (a + b) e sen (a – b) membro a membro. Assim, temos que:

Para determinar a expressão de cos p + cos q, basta adicionar as expressões de cos (a + b) e cos (a – b) membro a membro. Assim, temos que:

sen (a + b) = sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a

cos (a + b) = cos a ⋅ cos b – sen a ⋅ sen b

sen (a – b) = sen a ⋅ cos b – sen b ⋅ cos a

cos (a – b) = cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b

Adicionando as expressões do seno da soma (a + b) e do seno da diferença (a – b) membro a membro, temos que:

Adicionando as expressões do cosseno da soma (a + b) e do cosseno da diferença (a – b) membro a membro, temos que:

sen (a + b) + sen (a – b) = (sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a) + (sen a ⋅ cos b – sen b ⋅ cos a)

cos (a + b) + cos (a – b) = (cos a ⋅ cos b – sen a ⋅ sen b) + (cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b)

sen (a + b) + sen (a – b) = 2 ⋅ sen a ⋅ cos b

cos (a + b) + cos (a – b) = 2 ⋅ cos a ⋅ cos b 325

B10  Transformações trigonométricas – Parte III

2º problema:

Matemática

p a + b = Fazendo  e resolvendo o sistema, temos que: q a - b =

Subtraindo as expressões do cosseno da soma (a + b) e do cosseno da diferença (a – b) membro a membro, temos que: cos (a + b) – cos (a – b) = (cos a ⋅ cos b – sen a ⋅ sen b) – (cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b)

p+q p-q a= e b= 2 2 Finalmente, substituindo em cos (a + b) + cos (a – b) = 2 ⋅ cos a ⋅ cos b, temos que:

p+q p-q cos p + cos q = 2 ⋅ cos   ⋅ cos    2   2  Expressão do cos p – cos q Para determinar a expressão de cos p – cos q, basta subtrair as expressões de cos (a + b) e cos (a – b) membro a membro. Assim, temos que:

cos (a + b) – cos (a – b) = -2 ⋅ sen a ⋅ sen b p a + b = Fazendo  e resolvendo o sistema, temos que: a b q = 

p+q p-q e b= 2 2

Finalmente, substituindo em cos (a + b) – cos (a – b) = -2 ⋅ sen a ⋅ sen b, temos que:

p+q p-q cos p - cos q =-2 ⋅ sen  ⋅ sen  2    2 

cos (a + b) = cos a ⋅ cos b – sen a ⋅ sen b cos (a – b) = cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b

EXEMPLOS 01. Transforme em produto das expressões a seguir:

02. Simplifique a expressão

a) sen 5x + sen 3x. b) cos 13x – cos 5x.

RESOLUÇÃO

Utilizando as fórmulas da fatoração, temos:

 5x + 3x   5x - 3x  a) sen( 5x ) + sen( 3x ) = 2 ⋅ sen 2 ⋅ sen4x ⋅ cos x  ⋅ cos  =  2   2 

b) cos (13x ) - cos5x =-2 ⋅ sen 13x + 5x  ⋅ sen 13x - 5x  = -2 ⋅ sen9x ⋅ sen 4x 



sen40° - sen10° . cos70° + cos20°





 40 - 10   40 + 10  2 ⋅ sen  ⋅ cos    2   2  = o o  70 + 20   70 - 20  2 ⋅ cos   ⋅ cos    2   2  2 ⋅ sen15° ⋅ cos25° = =2 ⋅ sen15° 2 ⋅ cos45° ⋅ cos25° sen40° - sen10° = cos70° + cos20°

Exercícios de Fixação

B10  Transformações trigonométricas – Parte III

01. Transforme em produto cada uma das expressões a seguir: a) sen 30° + sen 10° 2sen 20° ⋅ cos 10° b) sen 32° – sen 18° 2sen 7° ⋅ cos 25° c) cos 65° + cos 15° 2cos 40° ⋅ cos 20° d) cos 47° – cos 25° -2sen 36° ⋅ sen 11°

a) sen (20x) + sen (6x) 2sen (13x) ⋅ cos (7x) b) sen (9x) – sen (5x) 2sen (2x) ⋅ cos (7x) c) cos (15x) + cos (7x) 2cos (11x) ⋅ cos (4x) d) cos (17x) – cos (11x) -2sen (3x) ⋅ sen (14x)

326

sen ( 3x ) + senx cos ( 3x ) + cos x

= tg ( 2x ) .

senx + seny x+y = tg   . Demonstração cos x + cos y  2 

05. Transforme em produto cada uma das expressões a seguir:

02. Transforme em produto cada uma das expressões a seguir:

03. Mostre que

04. Mostre que

Demonstração

a) 1 + sen (4x) 2sen (45 + 2x)° ⋅ cos (45 – 2x)° b) cos (6x) – 1 -2sen2 3x c) cos (8x) + 1/2 2cos (4x + 30)° ⋅ cos (4x – 30)° 06. (Mackenzie SP) Se N = cos 20° ⋅ cos 40° ⋅ cos 80°, então log2 N vale: a) 2 b) 3 c) -1 d) -2 e) -3

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. Transforme em soma cada uma das expressões a seguir: a) 2sen 65° ⋅ cos 25° 1 + sen 40° b) 2sen 45° ⋅cos85° sen 130° – sen 40° c) 2cos(16x) ⋅ cos(8x) cos (24x) + cos (8x) d) -2sen (12x) ⋅ sen (6x) cos (18x) – sen (6x) 02. (PUC SP) Transformando-se em produto a expressão trigonométrica sen 70° + cos 30°, obtém-se: a) 2cos 25° cos 5°

06. (Cefet PR) A expressão y = sen 3x ⋅ cos 5x é equivalente a: a)

1 1 sen 9x + sen(–3x) 2 2

b) cos x + cos 5x. 1 1 c) sen 8 x – sen 2x 2 2 1 1 d) cos 2x + cos 4 x 4 4 e)

1 1 sen 3x + cos 5x 2 2

b) 2cos 25° sen 5° c) 2sen 25° sen 5° d) 2sen 25° cos 5° e) nda

cotg ( a + b ) 2 tg ( a + b ) 2 1 sen ( a + b )

04. (Fatec SP) Da trigonometria sabe-se que quaisquer que sejam p+q p-q os números reais pe q, sen p + sen q = 2 ⋅ sen   ⋅ cos    2   2  Logo, a expressão cos x ⋅ sen 9x é idêntica a: a) sen 10x + sen 8x. b) 2 ⋅ (sen 6x + sen 2x). c) 2 ⋅ (sen 10x + sen 8x). sen 6x + sen 2x d) 2 e)

sen 10x + sen 8x 2

b) 2 ⋅ sen 40° ⋅ cos 20° c) –2 ⋅ cos 5° ⋅ cos 65° d) –2 ⋅ sen 20° ⋅ cos 40° e) –2 ⋅ sen 40° ⋅ sen 20° 08. (Mackenzie SP) A expressão sen (135° + x) + sen (135° – x) é igual a: a)

2 ⋅ sen x

3 ⋅ cos x

c) –1 d)

2 ⋅ cos x

e) - 2 ⋅ sen x

09. (Ufop MG) O valor de a)

sen75° + sen15° é igual a: sen75° - sen15°

b) - 3 c) 1 d) –1 e)

3 2

B10  Transformações trigonométricas – Parte III

cos 70° – sen 60°, obtém-se: a) 2 ⋅ cos 5° ⋅ cos 65°

sena + senb onde exis03. (Fei SP) Transformando a expressão cosa + cosb tir, temos: a) sen (a + b) 1 b) cos ( a + b )

07. (UFSM) Transformando-se em produto a expressão

05. (Mackenzie SP) Simplificando-se y = cos 80° + cos 40° – cos 20°, obtém-se: a) 0 b) sen 20° c) 1 d) 1/2 e) -1

327

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B11

ASSUNTOS ABORDADOS n Equações trigonométricas – Parte I n Equações trigonométricas fundamentais n Equações do tipo sen α = sen β n Equações do tipo cos α = cos β n Equações do tipo tg α = tg β

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – PARTE I As marés são alterações periódicas do nível das águas do mar devido aos efeitos gravitacionais causados pela Lua e pelo Sol. Assim como a Terra atrai a Lua, fazendo-a girar ao seu redor, a Lua também atrai a Terra. Porém, a atração gravitacional de nosso satélite tem pouco efeito sobre os continentes, que são sólidos, mas afeta consideravelmente a superfície dos oceanos devido à fluidez, com grande liberdade demovimento da água. A cada dia, a influência lunar provoca correntes marítimas que geram duas marés altas (quando o oceano está de frente para a Lua e em oposição a ela) e duas baixas (nos intervalos entre as altas). O Sol, mesmo estando muito mais distante da Terra que a Lua, também influi no comportamento das marés devido à sua grande massa. Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu que a altura H das marés, em metros, é dada em função do tempo t, em horas a partir da meia-noite, pela expressão a seguir: H = 1, 6 + 1,3 sen

Figura 01 - A ilustração mostra o momento em que ocorre uma maré alta.

328

Assim, para saber os momentos do dia em que a maré está alta ou baixa, o especialista deverá obter os valores de t, em horas, para os quais o valor de H, em metros, é máximo e mínimo por meio de uma igualdade cuja variável é o tempo t. Tal igualdade é uma equação cuja variável está presente em uma razão trigonométrica. Essas igualdades são denominadas equações trigonométricas. Nesta aula, estudaremos as equações trigonométricas fundamentais envolvendo seno, cosseno e tangente.

Matemática e suas Tecnologias

Equações trigonométricas fundamentais As equações trigonométricas são aquelas em que as incógnitas são as medidas de arcos de razões trigonométricas. Por exemplo: n 2sen x – 1 = 0 n cos (2x) – cos2 x = 0 n 3tg2 x – 1 = 0 De maneira geral, quase todas as equações trigonométricas reduzem-se a uma das seguintes equações fundamentais: n n n

sen α = sen β. cos α = cos β. tg α = tg β.

Equações do tipo sen α = sen β Se sen α = sen β = ON , então as imagens de α e β estão sobre a reta r paralela ao eixo das abscissas, ou seja, nos pontos P’ e P”. Observe a figura a seguir:

P’’

P’

Assim, temos que: sen α = sen β ⇔ α = β + 2kπ ou α = (π - β) + 2kπ

Equações do tipo cos α = cos β Se cos α = cos β = OM , então as imagens de α e β estão sobre a reta r paralela ao eixo das ordenadas, ou seja, nos pontos P’ e P”. Observe a figura a seguir: r P’’

B11  Equações trigonométricas – Parte I

P’

Assim, temos que: cos α = cos β ⇔ α = β + 2kπ ou α = -β + 2kπ ⇒ α = ±β + 2kπ

r P’

Equações do tipo tg α = tg β Se tg α = tg β = AT , então as imagens de α e β estão sobre a reta r determinada pelos pontos O e T, ou seja, nos pontos P’ e P”. Observe a figura ao lado: Assim, temos que: tg α = tg β ⇔ α = β + 2kπ ou α = (β + π) + 2kπ ⇒ α = β + kπ

P’’

329

Matemática

EXEMPLOS 01. Considerando a equação trigonométrica sen x = sen seu conjunto solução para

π , determine 5

a) Daí, para x ∈ [0, 2π], temos que: cos x = cos

a) x ∈ [0, 2π]. b) x ∈ IR. RESOLUÇÃO Dois arcos que possuem o mesmo seno têm extremidades sobre uma reta paralela ao eixo das abscissas (simétricas em relação ao eixo dos senos). Observe a figura a seguir:

2π 2π 12π ⇔x= ou x = 7 7 7

 2π 12π  Portanto, o conjunto solução dessa equação é S =  , . 7 7  b) Para x ∈ IR, basta acrescentar todos os arcos côngruos aos valores obtidos para x na primeira volta, ou seja, x=

2π 12π + 2kπ ou x = + 2kπ, com k ∈ Z. 7 7

Portanto, o conjunto solução dessa equação é

= 4 5 5

 2π 12π  S = x ∈IR x = + 2kπ ou x = + 2kπ ,com k ∈ Z . 7 7  

03. Considerando a equação trigonométrica tg x = 1, determine seu conjunto solução para a) x ∈ [0, 2π]. b) x ∈ IR.

a) Daí, para x ∈ [0, 2π], temos que: sen x = sen

π 4π π ⇔x= ou x = 5 5 5

RESOLUÇÃO

 π 4π  Portanto, o conjunto solução dessa equação é S =  ,  5 5  b) Para x ∈ IR, basta acrescentar todos os arcos côngruos aos valores obtidos para x na primeira volta, ou seja, x=

Marca-se 1 no eixo das tangentes. Os arcos de primeira volta com extremidades no diâmetro que intercepta o eixo das tangentes no ponto com essa ordenada são π/4 e 5π/4 (simétricos em relação ao centro da circunferência trigonométrica). Observe a figura a seguir:

π 4π + 2kπ ou x = + 2kπ, com k ∈ Z. 5 5

Portanto, o conjunto solução dessa equação é

 π 4π  S = x ∈IR x = + 2kπ ou x = + 2kπ ,com k ∈ Z . 5 5   02. Considerando a equação trigonométrica cos x = cos seu conjunto solução para

2π , determine 7

a) x ∈ [0, 2π]. b) x ∈ IR.

= 5 4 4

a) Daí, para x ∈ [0, 2π], temos que: RESOLUÇÃO

B11  Equações trigonométricas – Parte I

Dois arcos que possuem o mesmo cosseno possuem extremidades simétricas em relação ao eixo dos cossenos. Observe a circunferência trigonométrica a seguir:

2 7

π π 5π ⇔x= ou x = 4 4 4

 π 5π  Portanto, o conjunto solução dessa equação é S =  ,  . 4 4  b) Para x ∈ IR, basta acrescentar todos os arcos côngruos aos valores obtidos para x na primeira volta, ou seja, x=

π π 5π + 2kπ ou x = + 2kπ ⇒ x = + kπ, com k ∈ Z. 4 4 4

Portanto, o conjunto solução dessa equação é

0 2 2 = 12 7 7

330

tg x = tg

 π  + kπ ,com k ∈ Z . S = x ∈IR x = 4  

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Resolva as equações trigonométricas para x ∈ [0, 2π]. π 7 a) sen x = sen S , 8 8 8 5 1 b) sen x = S 6 , 6 2 3 c) sen x = -1 S 2 3 4 5 d) sen x = S , 2 3 3

02. Resolva as equações trigonométricas para x ∈ [0, 2π]. a) cos x = cos

π S , 17 9 9 9

b) cos x = 0 S , 3 c) cos x =

3 2

2 2 11 S , 6 6

2 d) cos x = 2

3 7 S , 4 4

03. Resolva as equações trigonométricas para x ∈ [0, 2π]. π 8 a) tg x = tg S , 7 7 7 4 b) tg x = 3 S 3 , 3 3 7 , 4 4

c) tg x = -1 S

3 3

d) tg x = -

5 11 S , 6 6

04. Resolva as seguintes equações trigonométricas para x ∈ IR. π 7 S x IR x 2k ou x 2k , com k Z a) sen x = sen 8 8 8 3 S x IR x 2k , com k Z b) cos x = 6 2 k , com k Z 8 2 sen 3x = 0 S x IR x k , com k Z 3

c) tg 2x = 1 S x IR

05. (Uerj RJ) Uma população P de animais varia, aproximadamente, segundo a equação abaixo.  (t + 3)π  P = 800 – 100 sen    6  Considere que t é o tempo medido em meses e que 1° de janeiro corresponde a t = 0. Determine, no período de 1° de janeiro a 1° de dezembro de um mesmo ano, os meses nos quais a população de animais atinge a) um total de 750. março e novembro b) um total de 700. janeiro

Exercícios C om p l em en t ares

02. (FGV SP) Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da água do mar em certo ponto era dada por  πx  f(x)= 4 + 3cos   em que x representa o número de  6  horas decorridas a partir de zero hora de determinado dia, e a altura f(x) é medida em metros. Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a altura de 2,5 m naquele dia? a) 5 e 9 horas d) 3 e 7 horas b) 7 e 12 horas e) 6 e 10 horas c) 4 e 8 horas 03. (UCSAL BA) Se x ∈ [0, π],a equação 8sen2 x – 4 = 0 tem duas soluções reais e distintas α e β. Sabendo que α > β, é verdade que a) α = 3β b) α = 2β c) α + β =

π 3 π e) α – β = 6

d) α + β =

04. Qual o conjunto solução da equação trigonométrica π 1  3 para x ∈ [0, 2π]? S , sen  x -  = 2 2 4 2   05. (PUC RJ) A equação tg x = cos x tem, para o intervalo [0, π/2[, uma raiz x = θ sobre a qual podemos dizer que a) θ =

b) sen θ = c) sen θ = d) cos θ = e) θ =

π 2

π 4 B11  Equações trigonométricas – Parte I

01. (PUC RJ) Os ângulos (em graus) θ entre 0° e 360° para os quais senθ = cosθ são a) 45° e 90° d) 45°, 90° e 180° b) 45° e 225° e) 90°, 180° e 270° c) 180° e 360°

2 2 1-+ 5 2

1 2

π 3

331

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO B12

ASSUNTOS ABORDADOS n Equações trigonométricas –

Parte II

EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS – PARTE II Por que os preços dos alimentos variam tanto durante o ano? Isso ocorre porque existe uma época ideal para o plantio e para a colheita desses alimentos. Na época da safra (ou da colheita), há maior disponibilidade do produto, logo o preço fica melhor para nós consumidores. Quando não se está mais na época da safra, o preço do alimento se torna mais elevado e a qualidade desse produto também é muitas vezes inferior. Também não podemos nos esquecer de que a qualidade e produtividade dos produtos agrícolas dependem de fatores climáticos. Se tivermos, por exemplo, escassez ou excesso de chuva, podemos ter uma quebra na safra (redução na produção). Outro aspecto a ser observado é que, diferentemente da indústria que fabrica o seu próprio produto, normalmente os compradores dos produtos agrícolas utilizam uma cotação média do mercado para adquirir esses produtos. Essa prática também constitui uma das dificuldades dos produtores agrícolas, pois na época do plantio, eles não sabem ao certo o valor que irão receber por sua produção. De olho nessa variação de preços, para nós consumidores, a ideia é tentar sempre comprar as hortaliças e frutas que estão em plena colheita (produtos da estação). Assim, garantimos melhor preço e uma qualidade maior do que em outras épocas. Suponha que o preço aproximado P, em reais, do quilograma de pimentão seja dado pela expressão a seguir

π  = P 4,4 + 0,8cos  t  6  Sendo t é o número de meses contados de janeiro (t = 1) até dezembro (t = 12) de um determinado ano.

332

Matemática e suas Tecnologias

Assim, para se obterem os momentos do ano em que o preço P do quilograma de pimentão seja igual a R$ 4,80, devemos obter os valores de t para os quais P = 4,80 por meio de uma igualdade, cuja variável é o tempo t. Tal igualdade é uma equação cuja variável está presente em uma razão trigonométrica. Essas igualdades são denominadas equações trigonométricas. Nesta aula, iremos abordar a resolução de equações trigonométricas mais complexas,envolvendo alguns artifícios matemáticos. Observe os seguintes exercícios resolvidos.

EXEMPLOS 01. Resolva a equação sen 3x = -1 para x ∈ [-π, π].

k= 2 ⇒ x=

RESOLUÇÃO

Atribuindo valores inteiros para k na expressão x =

Para x ∈ IR, teríamos as seguintes soluções:

obter os valores de x ∈ [0, 3π].

π 2kπ 3π + 2kπ ⇒ x = + 2 2 3

π 2kπ + Atribuindo valores inteiros para k, na expressão x= , vamos 2 3 obter os valores de x ∈ [-π, π]. π 2π π k =-1 ⇒ x = - =2 3 6

k =0⇒x =

π 2

k=0⇒ x = k= 1 ⇒ x=

π π Portanto, o conjunto solução é S= - , .

π 7π + 2π = 3 3

π (não pertence ao intervalo dado) 3 k =1 ⇒ x =

 6 2

5π 3

Portanto, o conjunto solução é S =  π , π , 3π , 5π , 5π  . 3 2 2

RESOLUÇÃO

2 

03. Resolva, em IR, a equação sen 9x + sen 7x = 0.

Fatorando a equação, temos 2cos2 x – cos x = 0 ⇒ cos x(2cos x – 1) = 0 ⇒ cos x = 0 ou 2cos x – 1 = 0.

1 Daí, temos que cos x = 0 ou cos x = . 2

cos x = 0 ⇒ x =

 9x + 7x   9x - 7x  sen 9x + sen 7x = 2sen ⋅   ⋅ cos   =0  2   2 

π + kπ 2

Daí, temos que kπ  9x + 7x  sen  =0 ⇒ sen 8x =0 ⇒ 8x =kp ⇒ x 8  2 

1 π cosx = ⇒ x =± + 2kπ 2 3 Atribuindo valores inteiros para k na expressão x = ter os valores de x ∈ [0, 3π].

k = 0 ⇒x =

π 2

π 3π + π= 2 2

RESOLUÇÃO Fatorando a expressão sen 9x + sen 7x, temos que

Para x ∈ IR, teríamos as seguintes soluções:

k= 1 ⇒ x=

π 3

π - + 2kπ , vamos Atribuindo valores inteiros para k na expressão x = 3 obter os valores de x ∈ [0, 3π]. k =0 ⇒ x =-

02. Resolva a equação 2cos2 x – cos x = 0, para x ∈ [0, 3π].

π + 2kπ , vamos 3

B12  Equações trigonométricas – Parte I I

sen 3x = -1 ⇒ 3x =

π 5π + 2π = 2 2

π + kπ , vamos ob2

π  9x - 7x  cos   = 0 ⇒ cosx = 0 ⇒ x = + kπ 2  2 

Portanto, o conjunto solução é

 π  kπ S = x ∈IR x = ou x = + kπ , com k ∈ Z  . 8 2  

333

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Resolva das equações trigonométricas: a) b) c)

5 7 S , , 2sen4 x – sen2 x = 0, para x ∈ [π, 2π[ 4 4 4cos2 x + 4cos x – 3 = 0, para x ∈ [-π, π] S 3 , 3 3tg2x + 2 3 tgx - 3 = 0 , para x ∈ [0, π] S , 2 6 3

02. Resolva as equações trigonométricas a seguir, sendo x ∈ [0, 2π]. a) sen2 x – 2cos x + 2 = 0 S 0,2 b) 3cos2 x + 10sen x – 10 = 0 S 2 c) sec2 x + tg2 x = 7 S , 2 , 4 , 5 3 3

04. Resolva as equações trigonométricas a seguir, sendo x ∈ [0, 2π]. 2 4 3 , , , 2 3 3 2 tg 2x + 2sen x = 0 S 0, , , 5 ,2 3 3 5 3 2sen x – 2cos x + cotg x – 1 = 0 S , , , 6 4 6 4

a) cos 2x + cos x + 1 = 0 S b) c)

05. (UFSC) No intervalo [0, 3π], o número de soluções da equação sen 2x = 2 cos x é a) 3

03. Resolva as equações trigonométricas para x ∈ IR.

k ou x k , com k Z S x IR x 6 2 sen 7x + sen 5x = 0 cos 6x + cos 2x = 0 S x IR x k ou x k , com k Z 8 4 4 2

a) b) c) sen x + sen 3x + sen 5x = 0

b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

k ou x k , com k Z S x IR x 3 3

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Unifor CE) No intervalo [-π, π], o número de soluções da equação 2cos 4x = 1 é a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) maior que 8 02. (UFC) Considere a equação cos2x – cos x – 2 = 0. Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que pertencem ao intervalo [0, 4π] é a) 1 b) -1 c) 0 d) 4π e) 2π

B12  Equações trigonométricas – Parte II

3 2 3

07. (UFU MG) Determine a soma das raízes de log2(senx) – log2 (cos x + sen x) = 0, contidas no intervalo [-2π, 2π]. zero 1,5 , 08. (Acafe SC) A respeito da solução da equação 3 ⋅ sen x = tal que 0 ≤ x ≤ 2π, é correto afirmar: a) Possui apenas uma solução, e esta pertence ao primeiro quadrante. b) Possui apenas uma solução, e esta pertence ao segundo quadrante. c) Existem duas soluções no intervalo de zero a 2π. d) Possui quatro soluções. 09. (PUC RS) Se 0 ≤ x < 2π, então o conjunto solução da equação

03. (PUC PR) Todo x do intervalo [0, 2π] que satisfaz a equação 16sen x 1 pertence ao intervalo = 4 5sen x 64

a) 0° ≤ x ≤ 72° b) 72° ≤ x ≤ 144° c) 144° ≤ x ≤ 216° d) 216° ≤ x ≤ 288° e) 288° ≤ x ≤ 360° 04. (UFMG) Determine todos os valores de x pertencentes ao in-

5 S , tervalo ]0, π[ que satisfazem a equação 3tg x + 2cos x = 3sec x. 6 6

05. (UFRJ) A equação x2 – (cos θ) ⋅ x + sen2θ = 0 possui raízes reais iguais. Determine θ, 0 ≤ θ ≤ 2π. S , 3 , 5 , 7 4 4

334

06. (Fuvest SP) Ache todas as soluções da equação sen3x ⋅ cos x – 3sen x ⋅ cos3x = 0 no intervalo [0, 2π[. S 0, , , 2 , , 4 , 3 , 5

senx = 1 - cos2 x é: a) S = [0, π/2[ b) S = [π/2, π] c) S = [π, 3π/2] d) S = [0, 2π[ e) S = [0, π] 10. (UEFS BA) O número de soluções da equação sen 2x = cotg x no intervalo 0 ≤ x < 2π 0 é a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (Fuvest SP) As retas r e s são paralelas e A é um ponto entre elas que dista 1 de r e 2 de s. Considere um ângulo reto, de vértice em A, cujos lados interceptam r e s nos pontos B e C, respectivamente. O ângulo agudo entre o segmento AB e a reta r mede α. B

r A

06. (Mackenzie SP) Em [π/2, 2π], as soluções da equação |sen x + 1/8| – 8/9 = 0 são em número de a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 07. (Fuvest SP) Determine as soluções da equação trigonométrica (2cos2x + 3sen x) ⋅ (cos2 x – sen2 x) = 0 que estão no intervalo [0, 2π]. , 3 , 7 , 5 , 7 , 11

s C

4 4

2 A sen 2

a) Calcule a área do triângulo ABC em função do ângulo α. b) Para que valor de α a área do triângulo ABC é mínima? 45°

02. (Fuvest SP) ABC é um triângulo retângulo em A e o segmento ˆ , onde X é ponto do lado AB . A CX é bissetriz do ângulo BCA medida do segmento CX é 4 cm e a do segmento BC , 24cm. Calcule a medida de AC . 3 cm 03. (ITA SP) Se x, y e z são ângulos internos de um triângulo ABC seny + senz e senx = , prove que o triângulo ABC é retângulo. cos y + cosz Demonstração

08. (Unicamp SP) Considere a equação trigonométrica 1 sen2 θ – 2cos2 θ + sen 2θ = 0. 2 a) Mostre que não são soluções dessa equação os valores de θ para os quais cos θ = 0. demonstração b) Encontre todos os valores de cos θ que são soluções da 2 5 equação. ou 2

09. (Escs DF) Um observador de 1,80 m de altura vê o ponto mais alto de uma torre segundo um ângulo de 25° em relação ao plano horizontal que passa pelos seus olhos. Caminhando 50 m em direção à torre, passa a vê-la sob ângulo de 50°, como está representado no esquema abaixo.

04. (UECE) O valor de tg 35° + tg 55° é: a)

1 sen70o

1 cos70o

2 sen70°

2 cos70o

05. (ITA SP) O conjunto solução da equação trigonométrica cos 2x = sen 3x é dado por:

  π 2kπ π ou x = + 2kπ ,com k ∈ Z  a) x ∈IR x = + 10 5 2     π 2kπ π ou x = + 2kπ ,com k ∈ Z  b) x ∈IR x = + 5 5 2     π 2kπ ou x = π + 2kπ ,com k ∈ Z  c) x ∈IR x = + 10 5     π kπ π d) x ∈IR x = + ou x = + 2kπ ,com k ∈ Z  10 5 2     π 2kπ π + ou x = + kπ ,com k ∈ Z  e) x ∈IR x = 10 5 2  

50°

25° 1,80 m

50 m

Sabendo que o seno de 25° é igual a 0,42 e que o cosseno de 25° é igual a 0,91, a altura h da torre em relação ao solo é de, aproximadamente: a) 44 m b) 42 m c) 40 m d) 38 m e) 36 m

335

FRENTE

Fonte: shutterstock.com/ Peter de Kievith

MATEMÁTICA Por falar nisso Em 1834, o matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), criador do conceito moderno de função, enunciou o seguinte princípio: “Seja dada uma casa de pombos com n buracos e suponha que haja m pombos querendo ocupá-los. Se m > n, então algum buraco deverá ser ocupado por mais de um pombo.” Isso foi apelidado de Princípio da Casa de Pombos. Esse princípio também leva o nome de Princípio das Gavetas, pois pode ser reescrito, de modo equivalente: “Se n objetos forem colocados em, no máximo, n – 1 gavetas então pelo menos uma dessas gavetas conterá pelo menos dois objetos” Utilizando a teoria de funções, teríamos o seguinte enunciado equivalente aos anteriores: “Se o número de elementos de um conjunto finito A é maior do que o número de elementos de um outro conjunto B, então uma função de A em B não pode ser injetora.” Apesar de ser um fato extremamente elementar, ele é útil para resolver problemas que, pelo menos à primeira vista, não são imediatos. Observe, a seguir, um exemplo desses problemas. Em uma urna, há 3 tipos de bolas (azuis, vermelhas e amarelas). Quantas bolas, no mínimo, devemos retirar dessa urna para garantir que temos duas bolas da mesma cor? Solução Na “pior das hipóteses”, ao retirar 3 bolas, teremos as cores: azul, vermelha e amarela (em qualquer ordem). Ao retirar mais uma bola, a cor será uma das obtidas anteriormente. Justificativa • Como temos 3 possibilidades de cor (buracos), se houver 3 + 1 = 4 bolas (pombos), teremos uma cor que se repete mais do que uma vez (Princípio das Casas dos Pombos). • Como temos 3 possibilidades de cor (gavetas), se houver 3 + 1 = 4 bolas (objetos), teremos uma cor que se repete mais do que uma vez (Princípio das Gavetas). Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

C09 C10 C11 C12

Sistemas lineares – Escalonamento.............................................. 338 Sistemas lineares – Discussão....................................................... 343 Análise combinatória – Princípio fundamental da contagem ...... 349 Análise combinatória – Fatorial .................................................... 354

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C09

ASSUNTOS ABORDADOS

SISTEMAS LINEARES – ESCALONAMENTO

n Sistemas lineares – Escalona-

Você conhece os benefícios da caminhada para o corpo e a mente?

mento

n Sistemas escalonados n Sistemas equivalentes n Escalonamento

Saiba que essa atividade física reúne um grande número de vantagens para quem já gosta de se exercitar e também para quem deseja praticar alguma atividade física e não sabe por onde começar. Todos nós aprendemos muito cedo a caminhar. É um movimento natural, e por isso mesmo, somos biomecanicamente mais eficientes durante uma caminhada quando comparamos com os movimentos executados em outras modalidades esportivas como o remo, a natação, o ciclismo entre outros. Independentemente da idade ou condicionamento físico, caminhar é um exercício leve, fácil de executar, de baixo custo, que ajuda a emagrecer, tonificar os músculos e ainda reduz o risco de doenças. Outra grande vantagem da caminhada é que essa atividade pode ser praticada por qualquer pessoa e em qualquer lugar, proporcionando os mesmos benefícios, tanto em ambientes fechados utilizando as esteiras quanto ao ar livre. Caminhar também é uma atividade aeróbica bastante segura do ponto de vista cardiovascular e ortopédico. Uma caminhada mais rápida, dificilmente, sobrecarregará o coração e com relação às articulações, o risco de lesões nos joelhos e tornozelos é bem pequeno. Entre os benefícios da caminhada para o corpo e a mente já citados, ainda podemos destacar: n Combate ao colesterol ruim; n Estimula a circulação sanguínea; n Melhora a capacidade cardiorrespiratória e também a densidade óssea; n Favorece um bom controle do diabetes e da hipertensão arterial; n Ameniza problemas de desequilíbrios posturais e articulares; n Proporciona um bom alto astral; n Promove o bem-estar levando o estresse e o mau humor para bem longe; n Combate a insônia, a ansiedade e também a depressão; n Promove uma excelente oportunidade de socialização.

Figura 01 - Ilustração mostra várias pessoas cuidando da saúde com a prática da caminhada.

338

Fonte: https://saudesporte.com.br/os-beneficios-da-caminhada-para-o-corpo-e-a-mente/ Acesso: novembro de 2017

Matemática e suas Tecnologias

Para isso, basta equacionar o problema e, sem seguida, resolver o sistema linear com três equações e três incógnitas assim obtido. Nesta aula, aprenderemos a resolução desses sistemas.

Sistemas escalonados com número de equações menor que número de incógnitas O sistema linear, na forma escalonada a seguir, possui duas equações e três incógnitas. 13 x - 3y + 2z =  y+ z = 4 

Para resolvê-lo, temos que seguir os seguintes passos: n

Sistemas escalonados Um sistema linear está na forma escalonada se, e somente se, nesse sistema a quantidade de coeficientes nulos que precedem o primeiro coeficiente não nulo aumentarem de equação para equação. Por exemplo 5 2x + 3y =  = 2y 6 

11 x - 2y + 4z =  y z 4 + = 

Na resolução de sistemas escalonados, vamos considerar dois tipos de sistemas escalonados. Sistemas escalonados com número de equações igual ao número de incógnitas O sistema linear, na forma escalonada a seguir, possui três equações e três incógnitas.

5 2x + y - 6z =  2y + z = -7   3z = 9  Para resolvê-lo, vamos seguir os seguintes passos: n

Determinar y na 2ª equação 2y + z = -7 ⇒ 2y + 3 = -7 ⇒ y = -5

Determinar x na 1ª equação 2x + y – 6z = 5 ⇒ 2x + (-5) – 6 ⋅ 3 = 5 ⇒ ⇒ 2x – 5 – 18 = 5 ⇒ 2x = 28 ⇒ x = 14

Assim, o conjunto solução desse sistema será dado por S = {(–14, –5, 3)}. Esse tipo de sistema linear escalonado sempre apresenta solução única, ou seja, é sempre um sistema do tipo possível e determinado (SPD).

Substituir o valor de y na 1ª equação para obter o valor de x.

x – 3⋅(4 – z) = 13 – 2z ⇒ x – 12 + 3z = 13 – 2z ⇒ x = 25 – 5z Assim, o conjunto solução desse sistema será dado por S = {(25 - 5z, 4 - z, z)}, com z ∈ IR. Esse tipo de sistema linear escalonado sempre apresenta infinitas soluções, ou seja, é sempre um sistema do tipo possível e indeterminado (SPI).

Sistemas equivalentes Dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, eles possuem o mesmo conjunto solução. Por exemplo: 4 x + 2y = -x + 5y =3 Os sistemas lineares  e são equi11 3x - 4y = 2 3x + 5y = valentes, pois o conjunto solução de ambos é S = {(2, 1)}. Veja

Determinar z na 3ª equação 3z = 9 ⇒ z = 3

x - 3y = 13 - 2z  y= 4 - z  n

5 2x + y - 6z =  2y + z = -7   3z 9 = 

Identificar a incógnita ou incógnitas que não aparecem no início de nenhuma das equações. Essas incógnitas são chamadas de variáveis livres e devemos transpor todas elas para o 2º membro de todas as equações. Para esse sistema, a única variável livre é z. Transpondo-a para 2º membro de todas as equações, temos:

4 x + 2y = Substituindo (2, 1) em  , temos: 11 3x + 5y =

2 + 2 ⋅1 4 = = 4 4 ⇒ .  3 2 5 1 11 ⋅ = + ⋅ =  11 11 -x + 5y =3 n Substituindo (2, 1) em  , temos 2 3x - 4y = + 5 ⋅1 3 = -2 = 3 3 ⇒ .  4 ⋅1 2 = 3 ⋅ 2 -= 2 2

Dado um sistema linear S1, podemos utilizar algumas operações entre suas equações para se obter outro sistema linear S2 equivalente a S1. 339

C09  Sistemas lineares – Escalonamento

Assim, considere que João faz caminhadas regulares em uma pista próxima a sua casa. Ao longo da pista, existem uma lanchonete, um posto médico e uma banca de revista. Fazendo o mesmo caminho diariamente, João constatou que, da lanchonete à banca de revistas, passando pelo posto médico, caminhou 1 000 passos. Do posto médico à lanchonete, passando pela banca de revista, caminhou 800 passos e da banca de revista ao posto médico, passando pela lanchonete, caminhou 700 passos. Considerando que cada um dos passos de João mede 90 cm, é possível determinar o comprimento dessa pista.

Matemática

1ª operação n

Ao trocar de posição duas ou mais equações de um sistema linear S1, obteremos um outro sistema S2 equivalente a S1.

Por exemplo

 x + y + 2z =4  4x - 2y + z =8  5x - y + 2z = 10 

9 4x - 2y = Dado o sistema S1 :  , ao trocar as suas duas = x y 4  4 x - y = equações de posição, obteremos o sistema S2 :  = 4x 2y 9  com o mesmo conjunto solução de S1.

-4x - 4y - 8z = -16 4x - 2y + z = 8

2ª operação n

- 6y - 7z = -8

Ao multiplicar uma equação de um sistema linear S1 por um número real não nulo, obteremos um outro sistema S2 equivalente a S1.

-5x - 5y - 10z = -20 5x - y + 2x = 10

Por exemplo

5 2x - y = Dado o sistema S1 :  , ao multiplicar a sua 2ª 12 x + 2y = 5 2x - y = equação por -2, obteremos o sistema S2 :  -24 -2x - 4y = com o mesmo conjunto solução de S1.

- 6y - 8z = -10 n

3ª operação n

11 3x - 2y = Dado o sistema S1 :  , ao substituir a sua 2ª x y 4 = 

C09  Sistemas lineares – Escalonamento

Por exemplo

4  x + y + 2z =  8 utilizando o Resolver o sistema linear 4x - 2y + z =  5x - y + 2z = 10  escalonamento.

340

- z =-2

Finalmente, obtemos o sistema a seguir

Determinando z na 3ª equação, temos que -z = -2 ⇒ z = 2

Escalonamento Dado um sistema linear S1, escalonar esse sistema significa transformá-lo em outro sistema linear S2 equivalente a S1, na forma escalonada tornando a sua resolução mais simples.

6y + 7z = 8 -6y - 8z = -10

 x + y + 2z =4  -8  0x - 6y - 7z = 0x + 0y - z = -2 

equação pela adição dessa equação membro a membro com 11 3x - 2y = a sua 1ª equação, obteremos o sistema S1 :  7 4x - 3y = com o mesmo conjunto solução de S1.

Assim, obtemos o sistema a seguir. Agora, vamos zerar o coeficiente da variável y na 3ª equação. Para isso, basta substituir a 3ª equação pela soma dela com a 2ª equação multiplicada por-1. Observe os cálculos a seguir

 x + y + 2z = 4  0x - 6y - 7z =- 8 0x - 6y - 8z = -10 

Ao substituir uma equação de um sistema linear S1 pela adição membro a membro dessa equação com outra, obteremos um S2 equivalente a S1.

Por exemplo:

Vamos zerar os coeficientes da variável x na 2ª e 3ª equações. Para isso, basta substituir a 2ª equação pela soma dela com a 1ª equação multiplicada por-4 e substituir a 3ª equação pela soma dela com a 1ª equação multiplicada por -5. Observe os cálculos a seguir

Determinando y na 2ª equação, temos que -6y – 7 ⋅ 2 = -8 ⇒ -6y = -6 ⇒ y = -1

Determinando x na 1ª equação, temos que x + (-1) + 2 ⋅ 2 = 4 ⇒ x = 1.

Portanto, o conjunto solução desse sistema é S = {(1, -1, 2)}.

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 6  x+ y+ z =  11 . 01. Obtenha o conjunto solução do sistema linear  x + 2y + z = 3x + 2y + 2z = 10 

1  x + 2y =  02. Obtenha o conjunto solução do sistema linear 3x + 7y =5 .  -4 2x + y =

RESOLUÇÃO

Vamos zerar os coeficientes da variável x na 2ª e 3ª equações. Para isso, basta substituir a 2ª equação pela soma dela com a 1ª equação multiplicada por -1 e substituir a 3ª equação pela soma dela com a 1ª equação multiplicada por -3.

x+y+z=6 + x + 2y + z = 11 3x + 2y + 2z = 10

-1

-3 +

Assim, obtemos o sistema a seguir. Agora, vamos zerar o coeficiente da variável y na 3ª equação. Para isso, basta substituir a 3ª equação pela soma dela com a 2ª equação.

x+y+z=6 0x + y + z = 5 0x - y + 2z = 11

Finalmente, obtemos o sistema a seguir:

x + y + z =6  0x + y + z =5  0x + 0y - z =-3 Determinando z na 3ª equação, temos que: -z = -3 ⇒ z = 3 Determinando y na 2ª equação, temos que : y+3=5⇒y=2 Determinando x na 1ª equação, temos que: x+2+3=6⇒x=1 Portanto, o conjunto solução desse sistema é S = {(1, 2, 3)}.

Vamos zerar os coeficientes da variável x na 2ª e 3ª equações. Para isso, basta substituir a 2ª equação pela soma dela com a 1ª equação multiplicada por -3 e substituir a 3ª equação pela soma dela com a 1ª equação multiplicada por -2.

x + 2y = 1 3x + 7y = 5 2x + y =-4

-2 +

-3

Assim, obtemos o sistema a seguir. Agora, vamos zerar o coeficiente da variável y na 3ª equação. Para isso, basta substituir a 3ª equação pela soma dela com a 2ª equação multiplicada por 3.

x + 2y = 1 0x + y = 2 0x- 3y =-6

Daí, obtemos o sistema.

1  x + 2y =  2 0x + y =  0x + 0y = 0  Finalmente, eliminando a 3ª equação, obteremos o sistema.

1  x + 2y =  + = 0x y 2  Determinando x na 1ª equação, temos que x + 2 ⋅ 2 = 1 ⇒ x = -3 Portanto, o conjunto solução desse sistema é S = {(-3, 2)}.

Exercícios de Fixação

0 x + 2y - z =  + = x y z 13  x + y + 2z = 5 

Calcule (a + b + c)4. 81 02. Dado o sistema linear a seguir S = {(1, 2, 1), (-4, -1, 2)}

1 x - y + 2z =  + = y 3z 5  determine as soluções (a, b, c) desse sistema tais que a ⋅ b = 2c. 03. (Unifor CE) Uma loja coloca saias, blusas e gravatas em promoção. Sabe-se que uma blusa e uma gravata custam, juntas, R$ 14,00 a mais que uma saia; uma saia e uma gravata

custam, juntas, R$ 18,00 a mais que uma blusa; uma saia e uma blusa custam, juntas, R$ 6,00 a mais que uma gravata. Nessas condições, qual a quantia a ser desembolsada pela compra de 2 saias, 3 blusas e 1 gravata? R$ 70,00 04. (UFBA) Um teatro colocou à venda ingressos para um espetáculo, com três preços diferenciados de acordo com a localização da poltrona. Esses ingressos, a depender do preço, apresentavam cores distintas: azul, branco e vermelho. Observando-se quatro pessoas na fila da bilheteria, constatou-se o seguinte: a primeira comprou 2 ingressos azuis, 2 brancos e 1 vermelho e gastou R$ 160,00; a segunda comprou 2 ingressos brancos e 3 vermelhos e gastou R$ 184,00 e a terceira pessoa comprou 3 ingressos brancos e 2 vermelhos, gastando R$ 176,00. Sabendo-se que a quarta pessoa comprou apenas 3 ingressos azuis, calcule, em reais, quanto ela gastou. 84 341

C09  Sistemas lineares – Escalonamento

01. (UFPE) Se (a, b, c) é a solução do sistema

Matemática

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UFU MG) Considere que os sistemas S1 e S2 abaixo possuem o mesmo conjunto solução.

7 6x - ay = S1 :  bx y 13 + = 

b) 100 c) 60

03. (UFRS) Em cada prova de uma competição esportiva, foram distribuídas uma medalha de ouro (3 pontos), uma de prata (2 pontos) e uma de bronze (1 ponto). Foram realizadas dez provas, e três equipes conquistaram todas as medalhas da competição, sendo vencedora a equipe que obteve o maior número de pontos. Observe a tabela a seguir, que apresenta a distribuição das medalhas.

C09  Sistemas lineares – Escalonamento

sas com exatamente quatro pessoas era a) 120

1 3x - y = S2 :  x 2y 12 + = 

Então, log2(a ⋅ 2b) é igual a a) 16 b) 4 c) 1 d) 2 -7 x + 4z =  02. (Fuvest SP) Se x - 3y = -8 , então x + y + z é igual a: y + z = 1  a) -2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

Ouro

Prata

Bronze

Equipe I

Equipe II

Equipe III

Considerando-se que a equipe III obteve 18 pontos, a equipe vencedora obteve a) 19 pontos b) 20 pontos c) 21 pontos d) 22 pontos e) 23 pontos 04. (UFG GO) Para uma festa de aniversário foram reservadas 50 mesas com seis cadeiras em cada uma. No decorrer da festa, observou-se que elas estavam assim ocupadas: algumas com apenas dois convidados, outras com quatro e o restante com seis. Sabendo-se que havia 200 pessoas na festa, das quais 30% ocupavam mesas com exatamente seis

342

pessoas, então o número de convidados que ocupavam me-

d) 40 e) 20 05. (Fuvest SP) Um caminhão transporta maçãs, peras e laranjas, num total de 10 000 frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, peras e laranjas tem, respectivamente, 50 maçãs, 60 peras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 20, 40 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 140 caixas e custa R$ 3.300 reais, calcule quantas maçãs, peras e laranjas estão sendo transportadas.

2 000 maçãs; 3 000 peras; 5 000 laranjas

06. (ITA SP) Se a quadra ordenada (x, y, z, t) é solução do sistema 0 x - y + 2z - t =  + + + = 3x y 3z t 0 , qual das alternativas abaixo é verdadeira?  x - y - z - 5t = 0 

a) x + y + z + t e x tem o mesmo sinal. b) x + y + z + t e t tem o mesmo sinal. c) x + y + z + t e y tem o mesmo sinal. d) x + y + z + t e z tem sinais contrários. e) nda. 07. (Mackenzie SP) a, b e c são números naturais tais que a + b + c = 25 e a + 2b + 3c = 40. Se c assume o maior valor possível, o produto a⋅b vale a) 7 b) 17 c) 18 d) 20 e) 21 08. Resolva e classifique os seguintes sistemas lineares: 0  x + 2y - z =  a)  y+z= 5  z=3 

S = {(-1, 2, 3)} (SPD)

x - y + 2z =-3  b)  - y + 3z = 1  3y - 9z = 5 

S = ∅ (SI)

1  x - 2y + z =  c)  x + y - z = 2 3x - 3y + z = 4 

S = {(x, 2x – 3, 3x – 5)}, x ∈ IR (SPI)

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C10

SISTEMAS LINEARES – DISCUSSÃO

ASSUNTOS ABORDADOS

Os números de identificação utilizados no cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de Carteira de Identidade etc.), usualmente, possuem um dígito de verificação, normalmente representado após o hífen, como em 12 278-4. Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar erros no preenchimento ou digitação de documentos. Assim, considere que, em um grande banco, os números de todas as contas são formados por algarismos de 0 a 9 na forma ABCDEF-XY em que a sequência ABCDEF representa, nessa ordem, os algarismos do número da conta os algarismos X e Y, nessa ordem, representam os dígitos verificadores. Para obter os dígitos X e Y, o sistema de processamento de dados do banco constrói as seguintes matrizes:

1 -2 1  M = 0 1 0  0 2 -1 

X  N =  Y   Z 

n Sistemas lineares – Discussão n Forma matricial n Regra de Cramer n Discussão n Sistema homogêneo

(A - B) P  (C- D)  =  (E - F) 

Os valores de X e Y são obtidos pelo resultado da operação matricial M ⋅ N = P, desprezando-se o valor de Z. Assim, é possível obter os dígitos verificadores correspondentes a uma conta corrente, resolvendo o sistema linear equivalente à equação matricial dada. Nesta aula, utilizaremos as teorias de matrizes e determinantes na resolução e discussão dos sistemas lineares.

Forma matricial Denomina-se forma matricial de um sistema linear de m equações e n incógnitas (x1, x2,..., xn) a representação desse por meio de matrizes. Assim, genericamente, temos que a11 x1 + a x +  21 1    am1 x1 +

a12 x 2 + ... + a1n xn = b1 a22 x 2 + ... + a2n xn = b2

 a11 a12 a a ⇔  21 22        am2 x 2 + ... + amn xn = bm am1 am2

 a1n   x1  b1   a2n   x 2  b2  . =           amn   xn  bn 

Figura 01 - Ilustração mostra uma pessoa acessando sua conta corrente por meio de um celular.

343

Matemática

Sendo  a11 a12  a1n  a a  a  21 22 2n  n A=  a matriz dos coeficientes.         am1 am2  amn   x1  x  2 n X =   a matriz das incógnitas.     xn  b1  b  2 n B =   a matriz dos termos independentes.    bn 

Por exemplo:

11 2x1 + 3x 2 - 3x 3 =  13 é dada por A forma matricial do sistema linear 4x1 + 7x 2 - 5x 3 =  x - 9x + 2x = -7 2 3  1  2 3 -3   x1   11        4 7 -5  . x 2  =  13   1 -9 2   x   -7     3  

Regra de Cramer A regra de Cramer é uma das maneiras de se resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas nos quais o número de equações e o número de incógnitas forem iguais. Daí, dado um sistema linear possível e determinado com n equações e n incógnitas (x1, x2, ..., xn), de acordo com a regra de Cramer, temos que x1 =

D1 D D D , x = 2 , x = 3 ,..., xn = n D 2 D 3 D D

C10  Sistemas lineares – Discussão

Sendo n

D o determinante da matriz dos coeficientes.

Di o determinante da matriz que se obtém substituindo os coeficientes da incógnita xi na matriz dos coeficientes pelos termos independentes.

Por exemplo : -2 2x - 5y = Vamos resolver o sistema linear  pela regra de Cramer. 3x 2y 16 + =  n

O determinante D da matriz dos coeficientes é dado por D=

344

2 -5 3 2

=4 + 15 =19

Matemática e suas Tecnologias

O determinante DX da matriz que se obtém substituindo os coeficientes de x pelos termos independentes é dado por Dx =

-2 -5 =-4 + 80 =76 16 2

O determinante Dy da matriz que se obtém substituindo os coeficientes de y pelos termos independentes é dado por Dy =

2 -2 = 32 + 6 = 38 3 16

Assim, temos que = x

Dy 38 Dx 76 = = 4 e= y = = 2 D 19 D 19

Portanto, seu conjunto solução é S = {(4, 2)}.

Discussão Discutir um sistema linear segundo um ou mais parâmetros nele contidos significa determinar os valores desses parâmetros para os quais o sistema é possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI). 1º caso Sistema linear em que o número de equações é igual ao número de incógnitas Nesse caso, é conveniente utilizar a regra de Cramer associada ao método do escalonamento. Assim, sendo D o determinante da matriz dos coeficientes, temos que n

Se D ≠ 0, temos um sistema possível e determinado (SPD).

Se D = 0, temos um sistema possível e indeterminado (SPI) ou um sistema impossível (SI).

Por exemplo 3 x + ay = Discutir o sistema linear  segundo os valores das constantes reais a e b. x y b + =  n

O determinante D da matriz dos coeficientes é dado por D=

1 a 11

= 1-a

Para que o sistema seja possível e determinado, devemos ter

C10  Sistemas lineares – Discussão

D≠0⇒1–a≠0⇒a≠1 Para que o sistema seja possível e indeterminado ou impossível, devemos ter D=0⇒1–a=0⇒a=1 n

Substituindo a = 1 no sistema, temos 3 x + y =  x y b + = 

345

Matemática

Para resolver esse sistema, vamos substituir a 2ª equação pela soma dela com a 1ª equação multiplicada por -1. x+y=3 x+y=b

A partir da igualdade (c – 5)z = -4, temos que n

Para que o sistema seja possível e indeterminado, devemos ter c – 5 ≠ 0 ⇒ c ≠ 5.

Para que o sistema seja impossível, devemos ter

-1

Assim, obtemos o sistema a seguir 3  x+ y=  0x + 0y =b - 3

c–5=0⇒ c = 5. Portanto, temos

Para que o sistema seja possível e indeterminado, devemos ter b – 3 = 0 ⇒ b = 3.

Para que o sistema seja impossível, devemos ter b – 3 ≠ 0 ⇒ b ≠ 3.

Portanto, temos: n

O sistema será possível e determinado se, e somente se, a ≠ 1 e b ∈ IR.

O sistema será possível e indeterminado se, e somente se, a = 1 e b = 3.

O sistema será impossível se, e somente se, a = 1 e b ≠ 3.

O sistema será possível e indeterminado se, e somente se, c ≠ 5.

O sistema será impossível se, e somente se, c = 5.

Sistema homogêneo Um sistema linear será homogêneo se, e somente se, esse sistema for formado apenas por equações lineares homogêneas, ou seja, com termos independentes iguais a zero. Por exemplo Observe o sistema linear a seguir

2º caso

0  2x + 3y + 6z =  0 4x - 2y + 5z = 2x + 5y - 9z = 0 

Sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas Nesse caso, como a matriz dos coeficientes não é quadrada, não é possível calcular seu determinante e, consequentemente, utilizar parte da regra de Cramer. Assim, é conveniente utilizar apenas o método do escalonamento.

Note que, ao substituir o conjunto ordenado (0, 0, 0) nas variáveis x, y e z desse sistema homogêneo, todas igualdades obtidas serão verdadeiras.

Por exemplo

0  2 ⋅ 0 +3 ⋅ 0 +6 ⋅ 0 =  ⋅ ⋅ + ⋅ = 4 0 2 0 5 0 0  2 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 - 9 ⋅ 0 = 0 

1  x - 2y + z = Discutir o sistema linear  segundo os 5x 10y cz 1 + =  valores reais da constante c. n

Para resolver esse sistema, vamos substituir a 2ª equação pela soma dela com a 1ª equação multiplicada por -5. x - 2y + z = 1 5x - 10y + cz = 1

C10  Sistemas lineares – Discussão

-5

Assim, obtemos o sistema a seguir. z = 1  x - 2y +  + + = 0x 0y (c 5)z 4 

Note que esse sistema está na forma escalonada e a quantidade de equações é menor que o número de incógnitas. Sistemas desse tipo são possíveis e indeterminados ou impossíveis.

346

Perceba, assim, que todo sistema linear homogêneo admite uma solução nula chamada solução trivial. A partir dessa constatação, podemos concluir que um sistema linear homogêneo é possível e determinado ou possível e indeterminado, porém nunca impossível. Daí, considerando um sistema linear homogêneo tal que o número de equações seja igual ao número de incógnitas e D é o determinante da matriz dos seus coeficientes, temos que n

Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado, admitindo uma única solução chamada solução trivial (0, 0, ..., 0).

Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções além da trivial.

Matemática e suas Tecnologias

Por exemplo

0  x + 2y - 2z =  0 segundo os valores reais da constante k. Discuta o sistema linear 3x - 4y - 3z = 6x + 2y + kz = 0  n

O determinante D da matriz dos coeficientes é dado por

1 2 -2 D =3 -4 -3 =-10k - 90 6 2 k n

Para que o sistema seja possível e determinado, devemos ter D ≠ 0 ⇒ -10k – 90 ≠ 0 ⇒ k ≠ -9

Para que o sistema seja possível e indeterminado, devemos ter D = 0 ⇒ -10k – 90 = 0 ⇒ k = -9

Portanto, temos n

O sistema será possível e determinado se, e somente se, k ≠ -9.

O sistema será possível e indeterminado se, e somente se, k = -9.

EXEMPLOS 1 2   x   5  01. Resolva a equação matricial   .   =   . 4 3  y  10  RESOLUÇÃO

2  x   5  x + 2y = 5 .= ⇒ 3  y  10  4x + 3y = 10

Substituindo a 2ª equação pela soma dela com a 1ª equação multiplicado por -4, temos

5 x + 2y =  -10  - 5y =

Sendo D o determinante da matriz dos coeficientes, temos que

3 2 -5 D= 2 -6 a = 22a - 88 5 -4 -1 Para que o sistema seja impossível, temos que D = 22a – 88 = 0 ⇒ a = 4 Substituindo a = 4 no sistema, temos que

3 3x + 2y - 5z =  9 2x - 6y + 4z = 5x - 4y - z = 4  Substituindo a 2ª equação pela soma dela com a 1ª equação, temos que

Na 2ª equação, temos -5y = -10 ⇒ y = 2 Substituindo na 1ª equação, temos x+2⋅2=5⇒x=1 Portanto, o conjunto solução é S = {(1, 2)}.

3 3x + 2y - 5z =  02. Determine o valor de a para que o sistema 2x - 6y + az = 9 seja im5x - 4y - z = a  possível.

3x + 2y- 5z = 3 5x- 4y- z = 12 5x- 4y- z = 4

-1

Substituindo a 3ª equação pela soma dela com a 2ª equação multiplicada por -1, temos que

3 3x + 2y - 5z =  12 5x - 4y - z = 0x + 0y + 0z = -8  Note que não existe um conjunto ordenado (x0, y0, z0) que satisfaz a 3ª equação. Portanto, para a = 4 o sistema é impossível.

347

C10  Sistemas lineares – Discussão

1 4 

RESOLUÇÃO

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Determine os valores de m para os quais o sistema

12 mx - 3y = seja:  3x my + = -12 

04. Determine os valores reais da constante c, para que o siste3 x - 2y - 3z =  ma linear cx + y - 5z = 1 admita: 3x - 5y - z = 5 

a) Possível e determinado. m ≠ ±3 b) Possível e indeterminado. m = 3 c) Impossível. m = -3.

a) Apenas uma solução. c ≠ -1 b) Infinitas soluções. c = 1

02. Determine os valores da constante real b, para que o siste-1 x + by = admita: ma linear  0 (b + 1 ) x + 2y = a) Uma única solução. b ≠ -2 e b ≠ 1 b) Nenhuma solução b = -2 ou b = 1

05. (UFTM MG) Seja o sistema linear nas variáveis x, y e z: 0 x + y + mz =  + = x y z 0  2x + my + z = 0 

a) Determine os valores do parâmetro m para que o sistema

03. Discuta o sistema linear a seguir em função das constantes reais a e b. SPD: a ≠ -2; SPI: a = -2 e b = -6; SI: a = -2 e b ≠ -6

tenha apenas a solução nula. m ≠ -1 e m ≠ 0 b) Resolva o sistema para m = -1. S = {(0, z, z)}, z ∈ IR

1 -2  x  3 a 4  .  y  = b       

Exercícios C om p l em en t ares 01. (PUC RJ) Ache os valores de a e b para que o sistema

6 2x + 3y = tenha mais do que uma solução.  ax 5y b + = 

a = 10/3 e b = 10

02. (PUC RJ) Considere o sistema linear a seguir

5 3x + 2y =  y kx + 1 = a) Resolva o sistema para k = 1. S = {(3/5, 8/5)} b) Ache o valor de x na solução do sistema para k = 0; k = 2; k = 3 e k = 5. 3/7; 1/3 e 13/3 c) Para quais valores de k o sistema não tem solução? k = -3/2 03. (FGV) Considere o sistema linear a seguir nas incógnitas x e y

C10  Sistemas lineares – Discussão

3 mx - 2y =  n 4x + y = a) SPD: m ≠ 8; SPI: m = -8 e n = -3/2; SI: m = -8 e n ≠ -3/2

a) Para que valores de m e n o sistema é determinado? indeterminado? impossível? b) Resolva o sistema para m = 3 e n = -2. S = {(-1/11, -18/11)}

1 x + ky = 04. (Mackenzie SP) Com relação ao sistema  k ∈ IR, kx y 1 -k + =  considere as afirmações: 1. É indeterminado para um único valor de k. 2. Sempre admite solução, qualquer que seja k.

348

3. Tem solução única, para um único valor de k. Das afirmações acima a) somente 1 está correta. b) somente 1 e 2 estão corretas. c) somente 2 e 3 estão corretas. d) nenhuma está correta. e) todas estão corretas. 05. (UECE) A soma de todos os valores de k para os quais o sistema 0 x - y - z =  = x 2y kz 0 admita uma infinidade de soluções é igual a  2x + ky + z = 0 

a) -2

b) -1

c) 0

d)1

06. (FGV) A condição necessária e suficiente para que a representação gráfica no plano cartesiano das equações do sistema linear

(m + 1)x - y =2  2n 3x + 3y = nas incógnitas x e y seja um par de retas paralelas coincidentes é a) m ≠ -2 e n ≠ -3. c) m = -2 e n ≠ -3. e) m = -2 e n = -3. b) m ≠ -2 e n = -3. d) m = -2.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C11

ANÁLISE COMBINATÓRIA – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

ASSUNTOS ABORDADOS n Análise combinatória – Princípio

fundamental da contagem

n Princípio fundamental da contagem (princípio multiplicativo)

Fonte: shutterstock.com/ SOMPORN MUANGSIRI

Originalmente criado para auxiliar os mercados a aumentar a velocidade do processo de verificação na saída de produtos, atualmente os códigos de barras são encontrados em praticamente todas as atividades comerciais. Por meio dessa ferramenta, é possível identificar um produto de maneira rápida e prática, controlar sua entrada e saída no estoque, reduzindo as chances de erros a praticamente zero, uma vez que eles são padronizados e lidos automaticamente.

Figura 01 - Ilustração mostra o escaneamento de um código de barras.

O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste em um conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe a seguir um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras.

Note que n Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: 01011010111010110001. n Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: 10001101011101011010. No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima. 349

Matemática

Assim, em um sistema de códigos que utilize apenas oito barras, qual seria a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras? Para se obter essa quantidade de códigos, devemos recorrer a um dos métodos de contagem estudados em uma parte da Matemática denominada Análise Combinatória. Podemos entender a Análise Combinatória como sendo a parte da Matemática que trata dos problemas que envolvem contagens por meio de métodos que nos permitem determinar a quantidade de maneira que um acontecimento pode ocorrer sem, necessariamente, descrever essas maneiras. Basicamente, os métodos de contagem que iremos abordar na Análise Combinatória são: o princípio fundamental da contagem, o arranjo, a combinação e a permutação. Nesta aula, abordaremos o princípio fundamental da contagem.

Princípio fundamental da contagem (princípio multiplicativo) Se um acontecimento pode ser dividido em n etapas sucessivas e independentes sendo p1 o número de possibilidades da 1ª etapa, p2 o número de possibilidades da 2ª etapa; p3 o número de possibilidades da 3ª etapa e assim sucessivamente até a enésima etapa, então o número de possibilidades de ocorrer esse acontecimento é dado por p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ⋅... ⋅ pn. Por exemplo No lançamento simultâneo dos dois dados da figura ao lado, quantos são os resultados possíveis?

C11  Análise combinatória – Princípio f undamental da contagem

Para efetuar essa contagem, vamos apresentar os resultados possíveis de cada um dos dados {1, 2, 3, 4, 5 e 6} em uma tabela formada por todos os pares ordenados (x, y), sendo x os possíveis resultados no dado preto e y os possíveis resultados no dado alaranjando. Observe 1

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

(1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

Nessa tabela, temos todos os 36 possíveis resultados do acontecimento. Note que n

As possibilidades de resultados para o dado preto são elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo são 6 possibilidades.

As possibilidades de resultados para o dado alaranjado são elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo são 6 possibilidades.

Assim, dividindo esse acontecimento em duas etapas distintas e independentes, temos que n

O número de possibilidades da 1ª etapa é p1 = 6 (resultados do dado preto).

O número de possibilidades da 1ª etapa é p2 = 6 (resultados do dado alaranjado).

Pelo princípio fundamental da contagem, temos que o número total de possibilidades é igual a 6 ⋅ 6 = 36. 350

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5?

RESOLUÇÃO Vamos dividir esse acontecimento em três etapas:

RESOLUÇÃO Vamos dividir esse acontecimento em três etapas: n 1ª etapa Escolha do algarismo das centenas. Temos 5 possibilidades para escolher o algarismo das centenas, porque o número pedido não pode começar com 0 (zero). n 2ª etapa Escolha do algarismo das dezenas. Temos 6 possibilidades para escolher o algarismo das dezenas. n 3ª etapa: escolha do algarismo das unidades. n Temos 6 possibilidades para escolher o algarismo das unidades. Assim, temos: centenas

dezenas

unidades

n 1ª etapa Escolha do algarismo das unidades. Temos 3 possibilidades para escolher o algarismo das unidades, visto que o número pedido é ímpar (termina com 1, 3 ou 5). n 2ª etapa Escolha do algarismo das centenas. Temos 4 possibilidades para escolher o algarismo das dezenas, pois ele não pode ser 0 (zero) e igual ao algarismo já escolhido. n 3ª etapa Escolha do algarismo das dezenas. Temos 4 possibilidades para escolher o algarismo das dezenas porque ele não pode ser igual aos algarismos já escolhidos. Assim, temos: centenas

dezenas

unidades

Pelo princípio fundamental da contagem, o total de números é dado por 5 ⋅ 6 ⋅ 6 = 180

Pelo princípio fundamental da contagem, o total de números é dado por: 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60

Portanto, são 180 números. 02. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5? RESOLUÇÃO Vamos dividir esse acontecimento em três etapas:

Portanto, são 60 números. 04. Ricardo é um empresário que possui 15 ternos, 26 camisas, 30 gravatas e 12 pares de sapatos. De quantas maneiras ele poderá se arrumar para uma reunião importante, sabendo que ele vai usar um terno, uma camisa, uma gravata e um par de sapatos?

n 1ª etapa Escolha do algarismo das centenas.

RESOLUÇÃO

n 2ª etapa Escolha do algarismo das dezenas. Temos 5 possibilidades para escolher o algarismo das dezenas, visto que ele não pode ser igual ao algarismo já escolhido. n 3ª etapa Escolha do algarismo das unidades. Temos 4 possibilidades para escolher o algarismo das unidades, porque ele não pode ser igual aos algarismos já escolhidos. Assim, temos: centenas

dezenas

unidades

Pelo princípio fundamental da contagem, o total de números é dado por 5 ⋅ 5 ⋅ 4 = 100 Portanto, são 100 números. 03. Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Vamos dividir esse acontecimento em quatro etapas: n 1ª etapa Escolha do terno. Temos 15 possibilidades para escolher o terno. n 2ª etapa Escolha da camisa. Temos 26 possibilidades para escolher a camisa. n 3ª etapa Escolha da gravata. Temos 30 possibilidades para escolher a gravata. n 4ª etapa Escolha do par de sapatos. Temos 12 possibilidades para escolher o par de sapatos. Assim, temos: terno

camisa

gravata

sapato

Pelo princípio fundamental da contagem, o total de números é dado por 15 ⋅ 26 ⋅ 30 ⋅ 12 = 140 400 Portanto, são 140 400 maneiras de se arrumar.

351

C11  Análise combinatória – Princípio fundamental da contagem

Temos 5 possibilidades para escolher o algarismo das centenas, pois o número pedido não pode começar com 0 (zero).

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Responda aos itens a seguir: a) 12 144

b) 116 280

a) Uma corrida é disputada por 24 carros. Quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros colocados? b) O campeonato brasileiro de futebol, também conhecido como “Brasileirão” é disputado por 20 times. Quantas são as possibilidades de classificação para a Copa Libertadores da América, ou seja, para os quatro primeiros colocados? 02. O sistema decimal de numeração é aquele que utiliza 10 algarismos (símbolos) diferentes para representar todos os números. Formado pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, é um sistema posicional, ou seja, a posição do algarismo no número modifica o seu valor. Tal sistema foi concebido pelos hindus e divulgado no Ocidente pelos árabes. A seu respeito, responda aos itens a seguir: a) Quantos números de quatro algarismos existem? b) Quantos números de quatro algarismos distintos existem? c) Quantos números ímpares de quatro algarismos existem? d) Quantos números pares de quatro algarismos distintos existem? a) 9 000 b) 4 536 c) 4 500 d) 2 296 03. Atualmente, as placas dos veículos são formadas por três letras do nosso alfabeto (26 letras) seguidas de quatro algarismos do sistema decimal de numeração (10 algarismos). Nessas condições, responda aos itens a seguir:

C11  Análise combinatória – Princípio fundamental da contagem

a) Quantas placas distintas possuem o algarismo 0 (zero) na primeira posição reservada aos algarismos? 17 576 000 b) Quantas placas distintas possuem as letras ABC, nessa ordem. E o último algarismo é par? 5 000 c) Quantas placas distintas possuem apenas as duas primeiras letras iguais entre si? 6 500 000 04. (FGV SP) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? 120 05. (Fuvest SP) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? a) 551 b) 552 c) 553 d) 554 e) 555

352

06. (Enem MEC) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a seguir. Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos — uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. Grupos taxonômicos

Número de espécies

Artiodáctilos

Carnívoros

Cetáceos

Quirópteros

103

Lagomorfos

Marsupiais

Perissodáctilos

Primatas

Roedores

Sirênios

Edentados

Total

209

O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a: a) 1 320 b) 2 090 c) 5 845 d) 6 600 e) 7 245 07. (UFRJ) Quantos números de 4 algarismos podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece ao menos uma vez? 3 168 08. (EBMSP) Um estudo foi dividido em quatro tópicos distintos, ficando cada um deles sob a responsabilidade de dois pesquisadores, de modo que nenhum pesquisador fizesse parte de mais de um grupo. Para uma apresentação pública do referido estudo, deseja-se formar uma equipe com quatro desses pesquisadores de modo que nenhuma dupla responsável por um mesmo tópico faça parte da equipe. Nessas condições, o maior número de equipes distintas que pode ser formado é igual a: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UPF) Alice não se recorda da senha que definiu no computador. Sabe apenas que é constituída por quatro letras seguidas com, pelo menos, uma consoante.

04. (Enem MEC) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde

Usuário Alice

um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo

Senha

qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi

da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas

02. (Vunesp SP) Uma rede de supermercados fornece a seus clientes um cartão de crédito cuja identificação é formada por 3 letras distintas (dentre 26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma determinada cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último algarismo é zero e o penúltimo é 1. A quantidade total de cartões distintos oferecidos por tal rede de supermercados para essa cidade é: a) 33 600 b) 37 800 c) 43 200 d) 58 500 e) 67 600

devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 05. (Enem MEC) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura.

03. (UFRJ) Um construtor dispõe de quatro cores (verde, amarela, cinza e bege) para pintar cinco casas dispostas lado a lado. Ele deseja que cada casa seja pintada com apenas uma cor e que duas casas consecutivas não possuam a mesma cor. Por exemplo, duas possibilidades diferentes de pintura seriam:

Determine o número de possibilidades diferentes de pintura. 324

O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

353

C11  Análise combinatória – Princípio fundamental da contagem

Se considerarmos o alfabeto como constituído por 23 letras, bem como que não há diferença para o uso de maiúsculas e minúsculas, quantos códigos dessa forma é possível compor? a) 234 b) 233 ⋅ 18 c) 233 ⋅ 72 d) 234 – 54 e) 184 + 54

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO C12

ASSUNTOS ABORDADOS n Análise combinatória - Fatorial n Fatorial

ANÁLISE COMBINATÓRIA - FATORIAL Procon Goiás orienta consumidor sobre demora de atendimento em bancos. Por Welson Elias R. de Souza 12/03/2013

Diante da decisão do Tribunal de Justiça de Goiás (TJ-GO) que ordenou que o Banco do Brasil indenize um cliente que ficou cerca de duas horas na fila, o Procon Goiás esclarece que o consumidor precisa ser atendido dentro do prazo máximo estipulado por Lei, ou seja, 20 minutos. No ano de 2012, o Procon Goiás recebeu 1 199 consumidores que tiveram problemas com tempo de espera nas filas de bancos do Estado. Já nos primeiros meses de 2013, 319 consumidores foram atendidos pelo órgão com o mesmo problema. Os dados fazem referência a denúncias feitas por meio do telefone 151 ou de consumidores que se dirigem ao órgão com a senha do banco autenticada. No mês de fevereiro, a equipe de fiscalização do Procon Goiás autuou 27 agências bancárias por demorar mais de 20 para atender os consumidores. Em todos os casos, os fiscais vão conferir de perto e, caso seja constatada a irregularidade, é lavrado o auto de infração. O Procon Goiás disponibiliza o telefone de denúncias 151 para os consumidores que se sentirem prejudicados em relação ao tempo de espera na fila e comemora a decisão do TJ-GO, por entender que tal decisão fortalece as ações administrativas do órgão de defesa do consumidor. Figura 01 - Ilustração mostra pessoas na fila de um banco esperando para serem atendidas.

354

Fonte: http://www.procon.go.gov.br/noticias Acesso: novembro de 2017

Matemática e suas Tecnologias

Assim, suponha que, durante um dia de pouco movimento bancário, Bernardo encontra-se em uma fila de uma agência bancária juntamente com 9 pessoas. Fascinado por Matemática, para “matar o tempo” Bernardo propôs a si mesmo o seguinte problema de contagem: De quantas maneiras distintas seria possível organizar todas as 10 pessoas nessa fila em qualquer ordem? Pelo princípio fundamental da contagem, é fácil perceber que seriam 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 3 628 800 maneiras distintas Para facilitar as operações com expressões desse tipo (produto de números naturais consecutivos), vamos adotar uma notação que torna menos tediosa a resolução de vários problemas de Análise Combinatória. Nesta aula, discutiremos essa notação denominada fatorial.

Fatorial A multiplicação de números naturais consecutivos é bastante frequente na Análise Combinatória. Para facilitar essas operações, vamos adotar o símbolo n! (lê-se: n fatorial ou fatorial de n), para indicar o produto dos números naturais consecutivos n, n – 1, n – 2, ..., 1, sendo n ≥ 2. Assim, temos que

n! = n ⋅ (n – 1 ) ⋅ (n – 2 ) ⋅ ... ⋅ 1 Exemplos n 6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 720 n 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 n 3! = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 Propriedade fundamental dos fatoriais Na igualdade 6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1, podemos substituir o produto 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 por 5!. Assim, podemos estabelecer que 6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 ⋅ 5!. Assim, de maneira geral, para todo natural n ≥ 3, podemos estabelecer que

n!= n ⋅ (n – 1 )! Definições especiais Para que não tenhamos exceções nas utilizações das expressões da Análise Combinatória que veremos adiante, vamos definir que

= 0! 1= e 1! 1

EXEMPLOS 01. Calcule o valor de

2x – 3 = 5 ⇒ x = 4 Portanto, S = {4}. 03. Simplifique a expressão E =

RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO a) 7! = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5 040 b) 6! – 4! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4! – 4! = 4! ⋅ (30 – 1) = 24 ⋅ 29 = 696 10! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7! = = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 c) 7! 7! 02. Resolva a equação (2x – 3)! = 120. RESOLUÇÃO (2x – 3)! = 120 ⇒ (2x – 3)! = 5!

(n+ 1)!- n! . (n - 1)! C12  Análise combinatória - Fatorial

a) 7! b) 6! – 4! 10! c) 7!

(n + 1)!- n! (n + 1) ⋅ n ⋅ (n - 1)!- n ⋅ (n - 1)! = (n - 1)! (n - 1)!

2 (n - 1)!⋅ [(n + 1) ⋅ n - n] (n - 1)!⋅ n + n - n 2 = =n (n - 1)! (n - 1)!

Portanto, E = n2.

355

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Calcule o valor de a) 4! 24 b) 7! 5 040 c) 6! – 3! 714 6! d) 24 3!+ 4!

c) d)

02. Simplifique as seguintes frações: 7! a) 5!

6!⋅ 8! 5!⋅ 6!

n! (n + 1)!

336 1 n 1

(n + 1)!- n! d) n!

(n+ 5)! = 8 (n + 4)!

05. (UFBA) Sendo 8n! = n

S = {3}

(n+ 3)! = 56 (n + 1 )!

(n + 2)!+ (n + 1)! , então n é igual a (n + 1)

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

03. Resolva as equações seguintes: a)

(n + 1)!- n!

04. (UC PR) A soma das raízes de (5x – 7)! = 1 vale a) 3 b) 1 c) -3 d) 2 e) -2

(n+ 1 )!⋅ (n- 2)! = 4 S = {5/3} n!⋅ (n- 1 )! n!- (n- 1 )! 6 = S = {5}

S = {4}

Exercícios C om p l em en t ares

01. (ESPM SP) Para x ∈ IN e x > 2, a expressão é equivalente a a) x – 2 b) (x – 2)! c) (x – 1)! d) x e) x – 1 02. (UFRGS) A expressão te positivo, vale

C12  Análise combinatória - Fatorial

n2 + n a) 1+n b)

n2 - n 1+n

n 2+n

- 1 )! ⋅ x!

- 2)! ⋅ ( x + 1 )!

04. (UNAERP) Se a) -6 b) -5 c) 4

x!⋅ (x + 1)! = 20, então x vale (x - 1)!⋅ x! d) 5 e) 6

05. (PUC MG) O número natural que torna verdadeira a igualdade (n + 1)! - n! , com n natural estritamen(n + 1)! + n!

n2 + n - 1 d) 2 e)

n2 1+n

03. (FEI) Se (n + 4)! + (n + 3)!= 15(n + 2)!, então a) n = 4 b) n = 3 c) n = 2 d) n = 1 e) n = 0 356

(n+ 2)!⋅ (n2 )!

n ⋅ (n + 1 )!⋅ (n2 - 1 )!

a) 3

= 35 é

b) 4

06. (ESPM MG) A expressão a) 4 ⋅ 13! b) 4! ⋅ 13! c) 15! d) 16 ⋅ 13! e) 16!

c) 5

d) 8

2!⋅ 8!⋅ 13! equivale a 4!

07. (Unesp SP) Seja S = 1 ⋅ 1! + 2 ⋅ 2! + 3 ⋅ 3! + ... + n ⋅ n!, com n ∈ IN então a) S = (n + 2)! – (n + 1)! b) S = (n + 1)! – n! c) S = (n + 1)! – 1 d) S = (n!)2 – n! e) Nda.

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (UnB DF) Na França, três turistas trocaram por francos franceses (F), no mesmo dia, as quantias que lhes restavam em dólares, libras e marcos, das seguintes formas: • 1° turista: 50 dólares, 20 libras e 10 marcos por 502,90 F. • 2° turista: 40 dólares, 30 libras e 10 marcos por 533,40 F. • 3° turista: 30 dólares, 20 libras e 30 marcos por 550,70 F.

Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra

Calcule o valor de 1 libra, em francos franceses, no dia em que os turistas efetuaram a transação, desprezando a parte fracionária de seu resultado, caso exista. 08 02. (Unifesp SP) Em uma lanchonete, o custo de 3 sanduíches, 7 refrigerantes e uma torta de maçã é R$ 22,50. Com 4 sanduíches, 10 refrigerantes e uma torta de maçã, o custo vai para R$ 30,50. O custo de um sanduíche, um refrigerante e uma torta de maçã, em reais, é a) 7,00 b) 6,50 c) 6,00 d) 5,50 e) 5,00 03. (Unicamp SP) Encontre o valor de a para que o sistema a  2x - y + 3z =  seja possível. Para o valor encontrado + = x 2y z 3  7x + 4y + 3z = 13 

de a ache a solução geral do sistema, isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas 7 5z 5z 4 , ,z , z IR dessas soluções. a 2; S

04. (Fuvest SP) Seja o sistema 0 x + 2y - z =  0 x - my - 3z = x + 3y + mz = m 

a) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite solução. m ≠ -3 b) Resolva o sistema, supondo m = 0. S = {(3z, -z, z)}, z ∈ IR. 05. (UERJ) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.

O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contém uma quadra é igual a: a) 624 b) 676 c) 715 d) 720 06. (Cefet MG) Um grupo de amigos, ao planejar suas férias coletivas, listou 12 cidades brasileiras que pretendem conhecer juntos, sendo que seis ficam no litoral e seis no interior do país. O critério estabelecido foi de alternar as férias, em cada ano, ora em cidades litorâneas, ora, em interioranas, definindo-se que, nos próximos 12 anos, será visitada uma cidade diferente por ano. Desse modo, a quantidade de maneiras possíveis para atender a esse critério é: a) 2 ⋅ 3 ⋅ 11 d) 28 ⋅ 34 ⋅ 52 2 b) 2 ⋅ 3 ⋅ 11 e) 29 ⋅ 34 ⋅ 52 2 c) 2 ⋅ 3 ⋅ 11 3!⋅ (x - 1)! 182 ⋅ (x - 2)!- x! = é 07. (ESPCEX) A solução da equação 4 ⋅ (x - 3)! 2 ⋅ (x - 2)! um número natural a) maior que nove. d) divisível por cinco. . b) ímpar e) múltiplo de três. c) cubo perfeito. 08. (UFF RJ) O produto 20 ⋅ 18 ⋅ 16 ⋅ 14 ⋅ ... ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 é equivalente a 20! a) d) 210 ⋅ 10! 2 20! b) 2 ⋅ 10! e) 10! 20! c) 10 2 357

FRENTE

Rythme, Joie de vivre, de Robert Delaunay

Wikimedia Commons

MATEMÁTICA Por falar nisso Em linhas gerais, a arte abstrata é uma arte visual que não representa objetos concretos. O abstracionismo, que surgiu no início do século XX, é um estilo que brinca com as cores e as formas, com o intuito de dar significado às ideias sugeridas pelo artista. A interpretação da obra é uma escolha individual, ou seja, oferece, ao observador, liberdade para interpretar a obra, assim como oferece ao artista a oportunidade de se expressar de forma totalmente original. A relação entre as cores, formas, superfícies, linhas e traçados é forte nesse estilo, além disso, essa arte é capaz de sintetizar elementos da realidade natural em uma forma figurativa, fugindo da exatidão nos traços. O abstracionismo divide-se em duas tendências: Abstracionismo lírico e Abstracionismo geométrico. O Abstracionismo lírico, influenciado pelo expressionismo, inspiravase no instinto, no inconsciente e na intuição para construir uma arte imaginária ligada a uma “necessidade interior”. O Abstracionismo geométrico, influenciado pelo cubismo e pelo futurismo, se volta para a racionalização que depende de análises intelectuais e científicas. Inúmeras pinturas e desenhos abstratos em tela fazem uso de sobreposição de formas geométricas. Na figura, tem-se um quadro do pintor francês Robert Delaunay (1855 – 1941) intitulado Rythme, Joie de vivre, que utilizou a sobreposição de várias circunferências. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

D09 D10 D11 D12

Ângulo agudo entre retas e distância de ponto à reta ................. 360 Inequações do 1º grau .................................................................. 364 Equação reduzida da circunferência............................................. 368 Equação geral da circunferência................................................... 372

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D09

ASSUNTOS ABORDADOS n Ângulo agudo entre retas e dis-

tância de ponto à reta

n Ângulo agudo entre retas n Distância de um ponto a uma reta

ÂNGULO AGUDO ENTRE RETAS E DISTÂNCIA DE PONTO À RETA Desde seu treinamento inicial, os pilotos de aviões aprendem como construir uma navegação de voo, utilizando cartas aéreas, informações de aeroportos, meteorologia e performance da aeronave. Nas empresas aéreas, existe um setor especializado em confecção de planos de voo e rotas de navegação aérea. O profissional, denominado despachante operacional de voo (DOV), utiliza um banco de dados de informações para determinar quais as rotas de aviões que uma aeronave irá utilizar para voar de A até B. Nem sempre é possível voar em uma linha reta entre dois locais, devido ao dimensionamento do espaço aéreo. O gerenciamento e controle de tráfego aéreo no Brasil é realizado pela Força Aérea. Por uma questão de gerenciamento do fluxo de aeronaves, são definidas rotas específicas entre grandes aeroportos. Assim como nas cidades existem ruas e avenidas, no céu também há pontos específicos. Para voar de uma cidade a outra, os aviões não podem simplesmente fazer o caminho que quiserem. O céu tem inúmeras estradas invisíveis para orientar o voo dos aviões. Elas são as aerovias que possuem uma numeração específica. São áreas de controle de tráfego aéreo em forma de corredor por se deslocam os aviões. Quando próximo ao aeroporto, durante pousos e decolagens, os pilotos seguem cartas aeronáuticas específicas de cada aeródromo, que indicam como eles devem decolar e subir até interceptar uma aerovia, ou sair de uma delas até o pouso. Entre dois aeroportos, os pilotos utilizam as rotas de aviões para voar ordenadamente dentro do espaço aéreo e manter separação entre os outros voos. Fonte: http://www.aviationforall.com/como-os-pilotos-de-aviao-se-orientam/ Acesso: novembro de 2017

Assim, considere um mapa localizado sobre um sistema de eixos cartesianos ortogonal, de modo que a posição de uma cidade é dada pelo ponto A(1, 3) e um avião cujo plano de voo utiliza, como rota, os pontos da reta de equação r : x + 2y – 20 = 0. Nessas condições existe um ponto P da trajetória que se encontra mais próximo da cidade. Qual seria a distância do ponto P ao ponto A em que está localizada a cidade? Para se determinar essa distância, basta calcular diretamente a distância do ponto T à reta r. Nesta aula, analisaremos o cálculo da distância de um ponto a uma reta e o ângulo agudo formado por duas retas concorrentes.

Figura 01 - Ilustração mostra o voo de um avião em sua rota

360

Matemática e suas Tecnologias

Ângulo agudo entre retas Dadas duas retas concorrentes r e s, cujos coeficientes angulares são, mr e ms, respectivamente, que se interceptam segundo o ângulo θ ≠ 90°, ou seja, não perpendiculares. O ângulo agudo θ formado por essas duas retas é dado por:

tgθ =

mr - ms 1 + mr ⋅ ms

ax 0 + by 0 + c a2 + b2

Demonstração: Vamos demonstrar essa expressão, utilizando a área de um triângulo PAB, sendo A (xA, yA) e B (xB, yB) dois pontos distintos pertencentes a reta r e P (x0, y0) um ponto que não pertence à reta r. Observe a figura a seguir:

Demonstração:

P (x0, y0)

Observe a figura a seguir: A y

P’ s

B 0

x r: ax + by + c =0

Nessa figura, temos que β é um ângulo externo do triângulo, logo temos que: β = α + θ ⇒ θ = β – α ⇒ tg θ = tg (β – α)

Note que, a medida da altura PP' do triângulo PAB relativa ao lado AB é a distância d entre o ponto P e a reta r. Da geometria analítica, sabemos que a área APAB do triângulo PAB é dada por:

Daí, temos que:

tgβ - tgα tgθ = 1 + tgβ ⋅ tgα Nessa situação, temos ainda que tg β = mr e tg α = ms. Substituindo na equação anterior, temos que: tgθ =

tgθ =

mr - ms 1 + mr ⋅ ms

Observação: Se a reta s for vertical, então ms não existe e a tangente do ângulo agudo θ entre as retas r e s é dado 1 . por: tgθ = mr

Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P(x0, y0) e uma reta r: ax + by + c = 0, a distância d do ponto P à reta r é dada por:

Da geometria plana, sabemos que a área APAB do triângulo PAB é dada por: APAB=

dAB ⋅ dPP' 2

Daí, temos que:

mr - ms 1 + mr ⋅ ms

Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo θ pode ser agudo ou obtuso. Se ele for agudo, temos que:

APAB=

D 2

D dAB ⋅ dPP' ⇒ dPP' = 2 dAB

Assim, a distância d entre o ponto P e a reta r é dada por: d=

D dAB

Considerando os pontos A e B pertencentes a uma reta r, temos que:

x y 1 D = x A y A 1 =(y A - yB )x - (x A - xB )y + x A yB - xB y A (I) x B yB 1 Cálculo de dAB: dAB =

( x A - x B ) + ( y A - yB ) 2

(II)

361

D09  Ângulo agudo entre retas e distância de ponto à reta

Matemática

Cálculo de |D|:

x0 y0 1 D =x A y A 1 = (y A - yB )x 0 - (x A - xB )y 0 + x A yB - xB y A (III) x B yB 1 Fazendo a = yA – yB; b = xB – xA e c = xAyB – xByA em (I), obtemos a reta r: r: ax + by + c = 0 Fazendo a = yA – yB; b = xB – xA e c = xAyB – xByA em (II), obtemos a distância entre A e B: d= AB

a2 + b2

Fazendo a = yA – yB; b = xB – xA e c = xAyB – xByA em (III), obtemos o determinante D: D = ax0 + by0 + c Substituindo em d =

D dAB

, finalmente temos que: d=

ax 0 + by 0 + c a2 + b2

EXEMPLOS 01. Calcule o ângulo agudo formado pelas retas nos casos a seguir: a) r: 3x – 2y + 8 = 0 e s: x + 4 = 0 b) r: 2x + y – 5 = 0 e s: x + y – 4 = 0.

Portanto θ = arc tg 1 = 45°. 03. Calcule a distância entre o ponto P(1, 3) e a reta r: -3x + 4y + 1 = 0. RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO

A distância entre o ponto P(1, 3) e a reta r: -3x + 4y + 5 = 0 é dada por:

-3 3 = e ms não existe, pois a reta s é vertical. Daí, temos que a) mr = -2 2 a tangente do ângulo agudo θ formado por r e s é dado por:

D09  Ângulo agudo entre retas e distância de ponto à reta

tg= θ

1 1 3 = = . Portanto θ = arc tg (3/2). mr 2 / 3 2

-2 -1 = -2 e ms = = -1 .Daí, temos que a tangente do ângu1 1 lo agudo θ formado por r e s é dado por:

b) mr =

mr - ms -2 - (-1) -1 1 = tgθ = = = . Portanto θ = arc tg (1/3). 1 + mr ⋅ ms 1 + (-2) ⋅ (-1) 3 3 02. Determine o ângulo agudo formado entre as retas de equações r: y = -2x + 5 e s: y = 3x + 7. RESOLUÇÃO mr = -2 e ms = 3. Daí, temos que a tangente do ângulo agudo θ formado por r e s é dado por:

mr - ms -2 - 3 -5 = tgθ = = = 1 1 + mr ⋅ ms 1 + (-2) ⋅ (-3) 5

362

ax 0 + by 0 + c a2 + b2

-3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 + 1 = (-3)2 + 42

10 10 = = 2 25 5

Portanto, a distância é igual a 2. 04. Calcule a distância entre as retas r: 2x – y + 10 = 0 e s: 2x – y + 15 = 0 RESOLUÇÃO Note que r e s são duas retas paralelas. Para calcular a distância entre duas retas paralelas, basta calcular a distância de um ponto qualquer de uma delas à outra. Por exemplo, fazendo y = 0 na equação da reta r, obteremos um ponto P tal que: 2x – 0 + 10 = 0 ⇒ x = -5 ⇒ P(-5, 0) A distância entre r e s é igual à distância entre P e s. Assim, temos que: d=

ax 0 + by 0 + c a2 + b2

2 ⋅ (-5) - 1 ⋅ 0 + 15 = 22 + (-1)2

Portanto, a distância é igual a

5 3 . 3

5 5 3 = 3 3

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Determine o ângulo agudo formado entre as retas de equações:

a) 30°

b) 45°

c) arc tg (3)

a) r: y = –x + 3 e s: 2x – 5 = 0 b) r: y = 3x – 1 e s: y = –2x + 11

1 b) y = 2x ou y = x 2

c) r: x – y + 8 = 0 e r: 2x + y + 1 = 0 02. Calcule a tangente do ângulo agudo formado entre as retas de equações 6x – 2y + 3 = 0 e 3x + y + 6 = 0.

2/3

03. Determine a distância entre o ponto P e a reta r nos casos a seguir:

a) 2/5

b) 4

a) P(1, 0) e r: 3x + 4y – 1 = 0. b) P(2, 3) e r: 5x + 12y + 6 = 0. 04. Determine a distância entre as retas paralelas x + 2y + 2 = 0 e x + 2y –1 = 0.

06. (UFSM) As retas r: y = x – 1 e s: y = mx formam um ângulo θ cuja tangente é igual a 2. Então a equação de s é: 1 a) y = 2x ou y = - x 2

3 5/5

05. Calcule a medida da altura relativa ao lado BC do triângulo ABC cujos vértices são A(1, –5), B(1, 1) e C(–3, –2).24/5

1 c) y = 3x ou y = x 3 1 d) y = –3x ou y = - x 3 1 e) y = –3x ou y = - x 2

07. (UFGRS) A distância do ponto (2, m) à reta x – y = 0 é O valor de m é: a) –12 ou 6 b) –6 c) 2 d) –2 ou 6 e) 2 ou –6

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Omec SP) A reta r determina um ângulo de 120° com

04. (UFSC) Dados os pontos A(1, –1), B(–1, 3) e C(2, 7), determi-

a reta s, cujo coeficiente angular é −1/3. O coeficiente

ne a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC. Gabarito: 4

a) m = 3 b) m =

d) m =

6+5 3 3

c) m = -

6-5 3 3

e) m = 1/3

6+5 3 3

02. (Cefet PR) O ângulo agudo formado pelas retas concorrentes r: 3x – 2y – 1 = 0 e s: 5x + 2y – 10 = 0 é: a) arctg (4/19) b) arctg (6/19) c) arc tg (16/11) d) arc tg (11/4) e) arc tg (4/11) 03. (UFVMG) Considere os pontos A(2, –2) e B(0, 4) do plano euclidiano.

a) 1/2 b) 5/5

a) Determine o valor da constante k para que a reta y = kx + k passe pelo ponto médio do segmento AB. b) Calcule a distância da origem.

05. (FGV SP) No plano cartesiano, existem dois valores de m de modo que a distância do ponto P(m,1) à reta de equação cartesiana 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é: a) –16/3 b) –17/3 c) –18/3 d) –19/3 e) –20/3 06. (Unicamp SP) Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no plano xy. a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 45° com a reta dada acima? b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine as equações das retas mencionadas no item (a). a) 2 retas b) 2x – y + 1 = 0 e x + 2y – 12 = 0

07. (UFGO) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C, sendo que suas coordenadas, no plano cartesiano, são dadas por (4, 0), (1, 6) e (7, 4), respectivamente. Sendo PC a altura relativa ao lado AB, calcule as coordenadas do ponto P. P(3, 2)

363

D09  Ângulo agudo entre retas e distância de ponto à reta

angular de r é:

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D10

ASSUNTOS ABORDADOS n Inequações do 1º grau n Semiplanos- inequações do 1º grau

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU A agricultura é uma atividade essencial para a produção mundial de alimentos, cuja escassez, em 1786 foi prevista por Thomas Malthus, o qual verificou que o crescimento populacional era mais acentuado que o aumento da produção agrícola ao longo do tempo. Embora isso não tenha ocorrido devido à expansão das áreas de cultivo e ao incremento da produção agrícola, a população mundial continua crescendo e os agricultores precisam produzir mais em área cada vez menores, ou seja, precisam aumentar de maneira significativa a sua produtividade. Dentre os fatores que influenciam a produção agrícola, o uso correto de fertilizantes oferece uma resposta rápida no aumento da produtividade, contribuindo para reduzir o desmatamento, a erosão, a poluição da água, a emissão de gases do efeito estufa, o que afetaria a humanidade e o meio ambiente. Os fertilizantes constituem fontes de nutrientes que auxiliam as planta em seu ciclo de vida. Esses nutrientes são divididos em orgânicos (carbono, hidrogênio e oxigênio), provenientes do ar e da água; e minerais (nitrogênio, fósforo, potássio, cálcio, magnésio, enxofre, ferro, manganês, cobre, zinco, molibdênio, boro), fornecidos por meio da adubação.

Figura 01 - Ilustração de uma pessoa utilizando um fertilizante numa pequena planta

364

Assim, suponha que, na formulação de determinado fertilizante, os teores percentuais dos nutrientes associados ao nitrogênio, fósforo e potássio, respectivamente, são representados por x, y e z tais que 25% < x + y + z < 57%, x >12%, y > 20% e z = 15%. A região do plano cartesiano que representa os teores x e y admissíveis para esse fertilizante é um conjunto de pares ordenados (x, y), isto é , uma região limitada por retas. Nesta aula, estudaremos essas regiões denominadas semiplanos.

Matemática e suas Tecnologias

Semiplanos - inequações do 1º grau Toda reta, contida em um plano, divide esse plano em duas regiões chamadas de semiplanos, ambos com origem na própria reta. No plano cartesiano, cada um desses semiplanos pode ser representado por inequações do 1º grau com uma ou duas incógnitas. Observe os casos a seguir: 1º caso: Reta paralela ao eixo das abscissas Uma reta r, cuja equação é y = k, paralela ao eixo das abscissas divide o plano cartesiano em dois semiplanos. O semiplano acima de r é representado por y > k e o semiplano abaixo de r é representado por y < k. Observe as figuras a seguir: y

y r

k 0

y>k

k 0

y<k

2º caso: Reta paralela ao eixo das ordenadas Resposta questão 01. (Exercício de fixação)

Uma reta r, cuja equação é x = k, paralela ao eixo das ordenadas divide o plano cartesiano em dois semiplanos. O semiplano à direita de r é representado por x > k e o semiplano à esquerda de r é representado por x < k. Observe as figuras a seguir:

r y

x>k

-3

3º caso: Reta oblíqua aos eixos coordenados c)

a) y divide o plano Uma reta r, cuja equação é y = mx + n, oblíqua aos eixos coordenados cartesiano em dois semiplanos. O semiplano acima de r é representado por y > mx + n -1 e o semiplano abaixo de r é representado por y < mx + n. Observe as figuras a seguir:

D10  I nequações do 1° grau

b) 0

x<k

-1

x 6 x

y > mx + n

y < mx + n

-3

x -3

365

Matemática

EXEMPLOS 01. Observe a figura a seguir:

b) A solução gráfica da inequação y – 2 < 0 é dada apenas pela região abaixo da reta y = –2 (linha tracejada). Observe a figura a seguir:

y 2 x

Determine a inequação que corresponde à região destacada nesse plano cartesiano. RESOLUÇÃO

c) A solução gráfica da inequação 2x + y – 4 ≥ 0 ⇒ y ≥ -2x + 4 é dada pela região acima da reta y = -2x + 4, juntamente com os pontos dessa reta (linha cheia). Observe a figura a seguir:

x y A equação segmentária da reta é dada por + = 1. 5 3 Na forma geral, temos:

y 4

x y 3x + 5y 15 + =1 ⇒ = ⇒ 3x + 5y – 1 = 0 5 3 15 15

A região destacada encontra-se abaixo da reta 3x + 5y – 1 = 0. Portanto, a inequação que corresponde a essa região é dada por 3x + 5y – 1 < 0. 02. Represente as seguintes regiões do plano cartesiano: a) x –1 ≥ 0 c) 2x +y – 4 ≥ 0 b) y – 2 < 0 d) x – 2y + 2 > 0 RESOLUÇÃO a) A solução gráfica da inequação x –1 ≥ 0 é dada pela região à direita da reta x = –1, juntamente com os pontos dessa reta (linha cheia). Observe a figura a seguir:

d) A solução gráfica da inequação x – 2y + 2 > 0 ⇒ –2y > –x – 2 ⇒ x 2y <x + 2 ⇒ y < + 1 é dada apenas pela região abaixo da reta 2 x y= + 1 (linha tracejada). Observe a figura a seguir: 2

y 1

y -2

x 1

Exercícios de Fixação

D10  I nequações do 1° grau

01. Obtenha a região do plano cartesiano correspondente a cada uma das inequações a seguir: Gabarito na página anterior a) x + 1 ≤ 0 c) x – y < 0 b) y + 3 > 0 d) x – 2y – 6 ≥ 0 02. (UFRJ) Determine a área da região R definida pela intersecção de R1, R2 e R3, sendo: 4 unidades de área R1 = {(x, y) ∈ IR2 | 4x + 5y – 16 ≤ 0}. R2 = {(x, y) ∈ IR2 | 4x - 3y ≥ 0}. R3 = {(x, y) ∈ IR2 | y ≥ 0}. 03. (UFFRJ) A Segunda Guerra Mundial motivou o estudo de vários problemas logísticos relacionados com o transporte e com a distribuição de recursos. Muitos desses problemas podem ser modelados como um programa linear. Como um 366

exemplo de programa linear, considere o problema de encontrar o par ordenado (x, y) que satisfaz simultaneamente as condições –2x + y ≥ 0, x ≥ 0 e x –y ≥ –2 e cuja a soma das coordenadas x + y é máxima. Se (x0, y0) é a solução deste programa linear, é correto afirmar que: a) x0 + y0 = 7 d) x0 + y0 = 2 b) x0 + y0 = 6 e) x0 + y0 = 0 c) x0 + y0 = 8 04. (FGV SP) A região do plano cartesiano determinada pelas inequações x + y ≤ 5 y ≤ 3 x ≥ 0 y ≥ 0 tem uma área A. O valor de A é: a) 10,0 d) 11,5 b) 10,5 e) 12,0 c) 11,0

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Fuvest SP) Na figura a seguir, A é um ponto do plano cartesiano, com coordenadas (x, y).

y A

1 s

-1

1 2x

-2 -1 1

-2

1 -1

x r

3x 2y 4 0 3x 2y 4 0 y 1

Determine um sistema de inequações que caracterize os pontos (x, y) pertencentes a S.

Sabendo que A está localizado abaixo da reta r e acima da Questão 02 - a) demonstração reta s, tem-se: b) y a) y < x/2 e y < –x + 1 6 b) y < x/2 ou y > –x + 1 4 c) x/2 < y e y > –x + 1 2 d) –x + 1 < y < x/2 e) x/2 < y < –x + 1 23 4 x

05. (UFPE) Considere o seguinte sistema de inequações: x - y ≥ -1  x + y ≥ 1 y ≤ 3 

x+y=4 2x + y = 6

02. (Unifesp SP) Dois produtos P1 e P2, contendo as vitaminas v1 e v2, devem compor uma dieta. A tabela apresenta a quantidade das vitaminas em cada produto. A última coluna fornece as quantidades mínimas para uma dieta sadia. Assim, para compor uma dieta sadia com x unidades do produto P1 e y unidades do produto P2, tem-se, necessariamente, x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 4 e 2x + y ≥ 6.

Assinale a alternativa que corresponde à representação gráfica do conjunto solução desse sistema. a)

y 3

1 -1

1 1

-1

a) Mostre que com 1 unidade do produto P1 e 3 unidades do produto P2 não é possível obter-se uma dieta sadia. b) Esboce a região descrita pelos pontos (x, y) que fornecem dietas sadias. 03. (FGV SP) A representação gráfica do sistema de inequações 5x + 2y ≤ 30  é um: x ≥ 0 0 ≤ y ≤ 5 

a) quadrado de área igual a 25. b) retângulo de área igual a 30 c) trapézio de área igual a 24 d) retângulo de área igual a 20 e) trapézio de área igual a 25 04. (Fuvest SP) Seja S a região do plano cartesiano representada pelo triângulo ABC e seu interior.

-1

y 3 1 -1

06. (Fuvest SP) Sabe-se que os pontos (–1, 3) e (–3, a) estão em semiplanos opostos relativamente à reta x – 2y + 2 = 0. Um possível valor de a é: a) 1/4 b) –1/4 c) 2/5 d) –2/5 e) –4/7

367

D10  Inequações do 1° grau

A -2

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D11

ASSUNTOS ABORDADOS n Equação reduzida da circunfe-

rência

n Definição de circunferência n Equação reduzida da circunferência

EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA Em 13 de setembro de 1987, dois catadores de lixo de Goiânia deram início ao que seria o maior acidente radioativo do Brasil. Ao arrombarem um aparelho radiológico, encontrado nos escombros de um antigo hospital, expuseram o césio 137, pó branco que emitia um estranho brilho azul quando colocado no escuro. Considerado sobrenatural, o elemento radioativo criado em laboratório passou de mão em mão, contaminando o solo, o ar e centenas de moradores da capital goiana. Foram necessários 16 dias para perceberem que a substância estava deixando inúmeras pessoas doentes. Durante esse tempo, a contaminação só se espalhava. Após o desastre, os trabalhos de descontaminação produziram 13,4 toneladas de lixo radioativo entre roupas, utensílios, plantas, animais, restos de solo e materiais de construção. Tudo isso foi armazenado em cerca de 1 200 caixas, 1 900 tambores e 14 contêineres, guardados em um depósito construído na cidade de Abadia de Goiânia, a 24 quilômetros da capital, e lá deve ficar por, pelo menos, 180 anos. Fonte: http://guiadoestudante.abril.com.br/aventuras-historia/cesio-137-brilho-morte [Adaptado] Acesso: novembro de 2017

Os profissionais da CNEN lideraram os trabalhos de monitoração da radiação em pessoas, lugares e objetos, o que possibilitou a avaliação da dimensão do acidente. Em seguida, coordenaram também os esforços de diferentes setores da administração pública para o atendimento aos radio acidentados como também para a recuperação das áreas atingidas. Figura 01 - Ilustração mostra um técnico analisando material radioativo

368

Um símbolo que ficou marcado na memória das pessoas daquela época foi o do trifólio (símbolo da radiação) que foi rabiscado pela primeira vez em 1946 em uma Universidade da Califórnia.

Matemática e suas Tecnologias

Na figura ao lado temos um modelo de trifólio que lembra um trevo de três folhas localizado no interior de uma circunferência. Nesta aula, iniciaremos o estudo analítico de uma circunferência por meio de sua equação reduzida.

Definição de circunferência Da geometria plana, sabemos que, dados um ponto C e uma distância R, denomina-se circunferência o conjunto de pontos do plano distantes R do ponto C. Observe a figura a seguir: P R

Para essa circunferência, temos que: n n

O segmento CP de medida R é o seu raio. O ponto C é o seu centro.

Equação reduzida da circunferência Sendo P(x, y) um ponto qualquer de uma circunferência de centro C(x , y ) e raio R, a distância entre esses pontos é constante e igual R. Observe a figura a seguir: 0

y P(x,y) R C (x0,y0)

Daí, temos que: dPC= R ⇒

( x - x0 ) + ( y - y0 ) 2

= R

Elevando ambos os membros dessa equação ao quadrado, temos que:

( x - x0 ) + ( y - y0 ) 2

= R2

Essa é a equação reduzida de uma circunferência de centro C(x0, y0) e raio R.

D11  Equação reduzida da circunf erê ncia

Observação: n A equação de uma circunferência com o centro na origem do sistema cartesiano e raio R é dada por x2 + y2= R2. y R

-R

R 0

-R

369

Matemática

EXEMPLOS 01. Obtenha a equação reduzida da circunferência de centro C(-2, 3) e R = 4. RESOLUÇÃO Substituindo C(–2, 3) e R = 4 na equação reduzida (x – x0)2 – (y – y0)2 = R2, temos: (x – (-2))2 – (y – 3)2 = 42 ⇒ (x + 2)2 – (y – 3)2 = 16

= y0

O raio dessa circunferência R pode ser obtido por meio da distância entre os pontos A(0, 0) e C(2, 2), logo temos que: R = dAC ⇒ R =

Portanto, a equação reduzida é (x + 2)2 – (y – 3)2 = 16. 02. Na figura a seguir, temos uma circunferência de centro C e diâmetro AB .

y A + yB 0 + 4 = = 2 2 2

R =

(2 - 0 ) + (2 - 0 ) 2

4+4=

22 + 22

8= 2 2

Substituindo C(2, 2) e R = 2 2 na equação reduzida (x – x0)2 – (y – y0)2 = R2, temos:

( )

(x – 2)2 – (y – 2)2 = 2 2

52 ⇒ (x –2)2 – (y –2)2 = 8

Portanto, a equação reduzida é (x –2)2 – (y –2)2 = 8.

03. Obtenha a equação reduzida da circunferência de centro C(4, –1) que passa por P(7, 3)?

RESOLUÇÃO

Como a circunferência passa por P(7, –3), o raio R dessa circunferência é dado por: Obtenha sua equação reduzida sabendo que A(0, 0) e B(4, 4). RESOLUÇÃO

O centro da circunferência é o ponto C(x0, y0) que é o ponto médio do segmento AB , logo temos que:

x A + xB 0 + 4 = = 2 2 2

= x0

R = dCP ⇒ R =

( 4 - 7 ) + ( -1 - 3) 2

( -3) + ( -4 ) = 2

9 + 16=

25= 5

Substituindo C(4, –1) e R = 5 na equação reduzida (x – x0)2 – (y – y0)2 = R2, temos: (x – 4)2 – (y – (-1))2 = 52 ⇒ (x –4)2 – (y +1)2 = 25 Portanto, a equação reduzida é (x –4)2 – (y +1)2 = 25.

Exercícios de Fixação 01. Obtenha a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R nos casos a seguir:

D11  Equação reduzida da circunferência

a) C(0, 0) e R = 4 b) C(1, –2) e R = 3 c) C(–3, 4) e R = 10 d) C(0, –4) e R = 3 2

a) x2 + y2 = 16 b) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 c) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 100 d) x2 + (y + 4)2 = 18

b) Qual a equação reduzida de uma circunferência de centro C(–1, 4) que passa pelo ponto P(3, 7)? c) Qual a equação reduzida de uma circunferência de centro C(2, –2) tangente aos eixos coordenados? 04. Na figura a seguir temos uma circunferência de centro C(5, 4) e que passa pela origem do plano cartesiano.

02. Obtenha o centro C e o raio R das circunferências nos casos a seguir: a) x2 + y2 = 36 b) (x – 6)2 + (y + 1)2 = 7 c) x2 + (y – 1)2 = 20 d) (x –5)2 + y2 = 81

a) C(0, 0) e R = 6 b) C(6, -1) e R = 7 c) C(0, 1) e R = 2 5

C (5,4)

d) C(5, 0) e R = 9

03. Responda aos itens a seguir: a) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 8

b) (x + 1)2 + (y – 4)2 = 25

c) (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4

a) Qual a equação reduzida de uma circunferência de diâmetro AB sendo A(1, –4) e B(5, 0)?

370

Escreva a equação reduzida dessa circunferência. (x – 5)2 + (x – 4)2 = 41

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios C om p l em en t ares 01. (Feisp SP) Considere os pontos A(2,0) e B(0,4) dados em relação ao sistema cartesiano ortogonal xOy. Se esses pontos são extremos de um diâmetro de uma circunferência, então a equação reduzida dessa circunferência é dada por: a) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 3 b) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 c) (x – 2)2 + (y – 4)2 = 3 d) (x – 1)2 + (y – 2)2 = 5 e) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 02. (Fatec SP) Considerando que o triângulo equilátero ABC está inscrito na circunferência (x + 3)2 + (y – 2)2 = 27, então a medida do segmento AB é: a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 03. (UFRGS) Observe, abaixo, o círculo representado no sistema de coordenadas cartesianas. y

1. O ponto P(4, 2) pertence a C. 2. O raio de C é 5. 3. A reta 4x – 3y = 0 passa pelo centro de C. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. 06. (UFRJ) Os pontos (–6, 2), (3, –1), e (–5, –5) pertencem a uma circunferência. Determine o raio dessa circunferência. Gabarito: 5

07. (Unicamp SP) As transmissões de uma determinada emissora de rádio são feitas por meio de 4 antenas situadas nos pontos A(0, 0), B(100, 0), C(60, 40) e D(0, 40), sendo o quilômetro a unidade de comprimento. Desprezando a altura das antenas e supondo que o alcance máximo de cada antena é de 20 km, pergunta-se: Gabarito: a) Não b) 400 (8 – π) km2 a) O ponto médio do segmento BC recebe as transmissões dessa emissora? Justifique sua resposta apresentando os cálculos necessários. b) Qual a área da região limitada pelo quadrilátero ABCD que não é alcançada pelas transmissões da referida emissora? 08. (PUC RS) Resolver a questão com base na regra 2 da FIFA, segundo a qual a bola oficial de futebol deve ter sua maior circunferência medindo de 68 cm a 70 cm. y

Uma das alternativas a seguir apresenta a equação desse círculo. Essa alternativa é a) (x – 2)2+ (y – 3)2 = 10. b) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 13. c) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 13. d) (x – 2)2 + y2 = 10. e) x2 +(y + 3)2 = 13.

Considerando essa maior circunferência com 70 cm e usando um referencial cartesiano para representá-la, como no desenho acima, poderíamos apresentar sua equação como: 35 a) x2 + y2 = π

04. (Ufam AM) Uma circunferência passa pelos pontos A(0, 2), B(0, 8) e C(8, 8). Então a equação da circunferência é: a) (x – 4)2 + (y +5)2 = 25 b) (x + 4)2 + (y – 5)2 = 25 c) (x – 5)2 + (y – 4)2 = 25 d) (x + 5)2 + (y + 4)2 = 25 e) (x – 4)2 + (y - 5)2 = 25

 35  b) x2 + y2 =    π 70 c) x2 + y2 = π

05. (UFPR) Considerando a circunferência C de equação (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5, avalie as seguintes afirmativas:

 70  d) x2 + y2 =    π e) x2 + y2 = 702

371

D11  Equação reduzida da circunferência

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO D12

ASSUNTOS ABORDADOS n Equação geral da circunferência n Equação geral da circunferência n Equação geral do 2º grau com duas variáveis

EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA O Pilates é um método composto por exercícios físicos e alongamentos que utilizam o peso do próprio corpo na sua execução com técnicas de reeducação dos movimentos, objetivando trabalhar todo o corpo, trazendo equilíbrio muscular e mental. Nesse método, há o trabalho de vários grupos musculares ao mesmo tempo, por meio de movimentos suaves e contínuos, com ênfase na concentração, no fortalecimento e na estabilização dos músculos centrais do corpo (abdômen, coluna e pelve), ou seja, há uma clara mistura de treinos envolvendo força e flexibilidade possibilitando uma melhora significativa na postura, alongamento e tonificação dos músculos sem exageros. Portanto, o Pilates é um sistema de exercícios físicos que integra o corpo e a mente como um todo, desenvolvendo a estabilidade corporal necessária para uma vida mais saudável. A figura a seguir, mostra uma professora trabalhando um dos vários exercícios utilizados nos treinos de Pilates.

Figura 01 - Ilustração mostra pessoas executando um dos exercícios do Pilates.

372

Matemática e suas Tecnologias

Supondo que nessa situação, o arco AB gerado pela posição ocupada pelo corpo da professora é praticamente um quarto de uma circunferência cuja equação é dada por x2 + y2 – 40x – 60y – 1200 = 0 em um plano cartesiano de escala desconhecida, qual seria aproximadamente a altura da professora? Para obter essa medida, temos que saber como determinar o raio de uma circunferência a partir de sua equação cartesiana dada. Essa equação se encontra na chamada forma geral (ou desenvolvida), assunto que iremos abordar nesta aula.

Equação geral da circunferência A equação geral de uma circunferência é a equação obtida a partir do desenvolvimento da equação reduzida. Assim, dada uma circunferência de equação reduzida de uma circunferência de centro C(x0, y0) e raio R, temos que: (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2 ⇒ x2 – 2x0x + x02 + y2 – 2y0y + y02 = R2 Daí, temos que: x2 + y2 – 2x0x – 2y0y + (x02 + y02 – R2) = 0 Fazendo –2x0 = m, –2y0 = n e x02 + y02 – R2 = k, teremos a seguinte expressão: x2 + y2 + mx + ny + k = 0 Essa é a equação geral (ou desenvolvida) da circunferência. Determinação do centro e do raio a partir da equação geral Dada a equação de geral de uma circunferência, os elementos que caracterizam essa circunferência (centro e raio) não ficam tão evidentes quanto na forma reduzida. Assim, vamos apresentar um método para se obter a equação de uma circunferência na forma reduzida a partir da forma geral. Tal método consiste em completar os quadrados, obtendo a soma de dois trinômios quadrados perfeitos, tal como na expressão da equação reduzida. Observe o exemplo a seguir: Exemplo: Dada a circunferência de equação geral x2 + y2 + 4x – 8y –5 = 0, temos que: Agrupando os termos em x, os termos em y e passando o termo independente para o 2º membro da equação, temos: D12  Equação geral da circunf erê ncia

(x2 + 4x) + (y2 – 8y) = 5 Adicionando em ambos os membros da equação os mesmos números de modo que os agrupamentos em x e y se transformem em trinômios quadrados perfeitos, temos: (x2 + 4x + 4) + (y2 – 8y+ 16) = 5 + 4 + 16 Note que o termo a ser somado ao agrupamento em x é o quadrado da metade de coeficiente de x e o termo a ser somado ao agrupamento em y é o quadrado da metade do coeficiente de y.

373

Matemática

Escrevendo a equação na forma reduzida, temos: (x + 2)2 + (y – 4)2 = 25 Portanto, a circunferência x2 + y2 + 4x – 8y –5 = 0 tem centro C(–2, 4) e raio R = 5.

Equação geral do 2º grau com duas variáveis Denomina-se equação do 2º grau com duas variáveis x e y toda equação escrita na forma: Ax2 + Bx2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 Sendo A, B, C, D, E e F ∈ IR, com A, B e C não simultaneamente nulos. Uma equação dessa forma será uma circunferência se, e somente se, forem obedecidas as seguintes condições: n n n

1ª condição: A = B ≠ 0. 2ª condição: C = 0. 3ª condição: obedecidas às duas primeiras condições, a equação da forma (x – a)2 + (y – b)2 = k, com a, b, k ∈ IR, chamada equação reduzida, apresentar a constante k com um valor positivo.

EXEMPLOS 01. Obtenha a equação geral de uma circunferência de centro C(-2, 5) e raio R = 2. RESOLUÇÃO A equação reduzida dessa circunferência é dada por: (x + 2)2 + (y – 5)2 = 4 Desenvolvendo essa equação, temos que: x2 + 4x + 4 + y2 – 10y + 25 – 4 = 0

Comparando essa equação com a equação reduzida (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2, com R2> 0, temos que: –x0 = –1 ⇒ xo = 1 –y0 = –1 ⇒ xo = 1 R2 = –1 ⇒ não existe R Portanto, x² + y² – 2x – 2y + 3 = 0 não representa uma circunferência. 03. Determine os valores reais de k para que a equação x2 + y2 + 6x – 8y + k = 0 represente uma circunferência.

x2 + y2 + 4x – 10y – 25 = 0 Portanto, a equação geral dessa circunferência é dada por x2 + y2 + 4x – 10y – 25 = 0. 02. Verifique se equação x² + y² – 2x – 2y + 3 = 0 representa uma circunferência. D12  Equação geral da circunf erê ncia

RESOLUÇÃO Uma equação da forma Ax2 + Bx2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 representa uma circunferência se, e somente se: 1ª condição: A = B = 1 2ª condição: C = 0 Assim, x² + y² – 2x – 2y + 3 = 0 satisfaz às duas primeiras condições. Completando os trinômios quadrados perfeitos em x² + y² – 2x – 2y + 3 = 0, temos: (x² – 2x + 1) + (y² – 2y + 1) =-3 + 1 + 1 ⇒ (x – 1)2 + (y – 1)2 = –1

374

RESOLUÇÃO Completando os trinômios quadrados perfeitos em x2 + y2 + 6x – 8y + k = 0, temos: (x2 + 6x + 9) + (y2 – 8y + 16) = –k +9 + 16 ⇒ (x + 3)2 + (y – 4)2 = -k + 25. Comparando essa equação com a equação reduzida (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2, com R2 > 0, temos que: –x0 = 3 ⇒ x0 = –3. –y0 = –4 ⇒ y0 = 4. R2 = –k + 25 ⇒ –k + 25 > 0 ⇒ k < 25. Portanto, x2 + y2 + 6x – 8y + k = 0 representa uma circunferência para todo k ∈ IR tal que k < 25.

Matemática e suas Tecnologias

Exercícios de Fixação 01. Escreva cada uma das equações a seguir na forma geral. a) (x – 1) + (y + 3) = 18 b) (x + 2)2 + y2 = 9 c) x2 + (y – 5)2 = 25 2

05. (Cesgranrio RJ) Observe a figura a seguir:

a) x2 + y2 – 2x + 6y – 8 = 0

b) x2 + y2 + 4x – 5 = 0 c) x2 + y2 – 10y = 0

02. Obtenha o centro C e o raio R das circunferências a seguir. a) x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0 b) x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 c) x2 + y2 + 12y –4 = 0

b) C(1, 2) e R = 5

-3

c) C(0, –6) e R = 2 10

03. Verifique se a equação dada representa uma circunferência, nos seguintes casos: a) x – y + 2x – 3y + 1 = 0 b) x2 + y2 – 2xy + 2x + 4y + 3 = 0 c) x2 + y2 – 6x + 4y – 10 = 0 2

a) C(–3, 1) e R = 3

a) Não é uma circunferência

A equação da circunferência cuja representação cartesiana está indicada pela figura acima é:

b) Não é uma circunferência

a) x2 + y2 – 3x – 4y = 0

c) É uma circunferência

b) x2 + y2 + 6x + 8y = 0

04. (FGV SP) Determine uma equação da reta que passa pelo centro da circunferência de equaçãox2 + y2– 4x – 4y + 4 = 0 e é paralela à reta r, de equação 2x + 3y = 0. 2x + 3y – 10 = 0

c) x2 + y2 + 6x – 8y = 0 d) x2 + y2 + 8x – 6y = 0 e) x2 + y2 – 8x + 6y = 0

Exercícios C om p l em en t ares

02. (UFRS) As extremidades de uma das diagonais de um quadrado inscrito em uma circunferência são os pontos (1, 3) e (–1, 1). Então, a equação da circunferência é: a) x2 + y2 + 4y – 2 = 0 b) x2 + y2 – 4y + 2 = 0 c) x2 + y2 – 2y + 2 = 0 d) x2 + y2 + 2 = 0 e) x2 + y2 – 4y = 0 03. (Espcex SP) O ponto da circunferência x2 + y2 + 2x + 6y + 1 = 0 que tem ordenada máxima é: a) (0, –6) b) (–1, –3) c) (–1, 0) d) (2, 3) e) (2, –3)

04. (Cesgranrio RJ) O menor valor numérico de m para que a equação x2 + y2 + 8x – 2y – m = 0 represente uma circunferência é: a) –17 b) –16 c) 0 d) 16 e) 17 05. (FGV SP) No plano cartesiano, o ponto C(2, 3) é o centro de uma circunferência que passa pelo ponto médio do segmento CP, em que P é o ponto de coordenadas (5, 7). A equação da circunferência é: a) 4x2 + 4y2 – 16x – 24y + 27 = 0 b) x2 + y2 – 4x – 6y + 7 = 0 c) 4x2 + 4y2 – 16x – 24y + 29 = 0 d) x2 + y2 – 4x – 6y + 8 = 0 e) 4x2 + 4y2 – 16x – 24y + 31 = 0 06. (FGV SP) Dada a equação x2 + y2 = 14x + 6y + 6, se p é o maior valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então, 3p + 4q é igual a: a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 92

375

D12  Equação geral da circunferência

01. (UFSM) A massa utilizada para fazer pastéis folheados, depois de esticada, é recortada em círculos (discos) de igual tamanho. Sabendo que a equação matemática da circunferência que limita o círculo é x2 + y2 – 4x – 6y – 36 = 0 e adotando-se π = 3,14, o diâmetro de cada disco e a área da massa utilizada para confeccionar cada pastel são, respectivamente: a) 7 e 113,04 b) 7 e 153,86 c) 12 e 113,04 d) 14 e 113,04 e) 14 e 153,86

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (Unesp SP) Determine as equações das retas que formam um ângulo de 135° com o eixo dos x e estão à distância do ponto (-4, 3).

07. (Uespi PI) Indique a condição sobre os coeficientes a, b, c e d para que a equação a(x2 + y2) + bx + cy + d = 0 seja gráfico de

uma circunferência.

x+y+3=0ex+y–1=0

a) a ≠ 0 e b2 + c2 > 4ad

02. (UFC) Dada a reta r: y = 2x do plano cartesiano xy, determine a

b) a ≠ 0 e b2 + c2 < 4ad

equação da reta s, a qual é paralela à r, e está, de r, a uma dis-

c) a ≠ 0 e e b2 + c2 = 4ad

tância igual a 1 e não intercepta o quarto quadrante do plano cartesiano.

d) a > 0 e b2 – c2 > 4ad

y = 2x + 5

03. (UEMS) O conjunto {(x, y) | x, y ∈ IR e |x| + |y| ≤ 4} representa: a) o interior de um círculo.

e) a > 0 e b2 + c2 < 4ad 08. (FGV SP) A circunferência γ da figura seguinte é tangente aos eixos x e y e tem equação x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = 0.

b) o interior de um triângulo.

c) uma reta contida nos 2º, 3º e 4º quadrantes. d) duas retas paralelas.

e) o interior de um quadrado. 04. (UFGO) Um motobói entrega cartuchos (c) e bobinas (b) para uma empresa. Cada bobina pesa 0,3 kg e cada cartucho 0,25 kg. O motobói recebe R$ 0,30 por bobina e R$ 0,08 por cartucho entregue. Ele pode carregar no máximo 75 kg e

deve receber no mínimo R$ 30,00 por entrega. As quantidaA área da superfície sombreada é: a) 9(π − 1) b) 81π − 9 9(4 - π) c) 4 9(9π - 4) d) 4 6(6 - π) e) 4

des de cartuchos e bobinas a serem entregues pelo motobói, por entrega, de acordo com esses dados, determinam, no plano cartesiano b x c: a) um quadrilátero com um dos vértices na origem. b) dois triângulos com um vértice em comum. c) um trapézio determinado por duas retas paralelas. d) uma região triangular, no primeiro quadrante. e) uma região ilimitada, no primeiro quadrante. 05. (Fuvest SP) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja

09. Escreva uma inequação cuja representação gráfica se encontra em cada uma das regiões destacadas a seguir: a)

PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ, e com o

maior perímetro possível. Então, a área de PQR é igual a: a) 2 2 – 2

b) 2 2 – 1

x 8

-2

c) 2 2

d) 2 2 + 2

e) 2 2 + 4 06. (UFPB) Sejam r e s as retas tangentes à circunferência de equa-

-4

-3 0

ção x2 + y2 = 25, nos pontos A(-3, 4) e B(5, 0), respectivamente.

y 3

Sendo P o ponto de interseção dessas retas, calcule a área do triângulo ABP. 376

Gabarito: 40

a) y + 2 > 0

b) x + 3 ≤ 0

c) 3x + 4y – 24 ≤ 0

d) 3x – 4y + 12 ≥ 0

Matemática e suas Tecnologias

10. (Emescam ES) Em anatomia, denomina-se arcada dentária o arco formado pelo conjunto de dentes e respectivos ossos de sustentação de cada maxilar. Considere que a parte da arcada acima da seta horizontal na figura abaixo tenha aproximadamente o formato de uma semicircunferência de raio R centrada no ponto (1, 2) de um diagrama cartesiano.

a) 29 b) 20 c) 65 d) 28 14. (Unesp) Os pontos P e Q(3, 3) pertencem a uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano. P também é ponto de intersecção da circunferência com o eixo y. y P Q y= x 3 0

Considerando a circunferência completa, podemos afirmar que sua equação é dada por: a) x2+ y2+ 2x – 4y = R2 – 5 b) x2+ y2– 2x – 4y = R2– 5 c) x2– y2– 2x – 4y = R2– 5 d) x2+ y2– 2x + 4y = R2– 5 e) x2+ y2– 2x – 4y = R2+ 5

Considere o ponto R, do gráfico de y = x , que possui ordenada y igual à do ponto P. A abscissa x de R é igual a: a) 9 b) 12 c) 15 d) 12 e) 18 15. (CFT RJ) O arco de circunferência NP foi criado a partir de uma circunferência de raio MN, desenhada no plano cartesiano, conforme a figura a seguir, onde N(0, 12) E P(8, 0).

11. (PUC SP) Observe a figura a seguir: y 4

y N

2 x

12. (Unicamp SP) Considere a circunferência de equação cartesiana x2 + y2 = x – y. Qual das equações a seguir representa uma reta que divide essa circunferência em duas partes iguais? a) x + y = -1 b) x – y = -1 xc) x – y = 1 d) x + y = 1 13. (Acafe) Os pontos A(1, 1), B(1, 9) e C(7, 1) são os vértices do triângulo inscrito numa circunferência de equação x2 + y2 = mx + ny + p = 0. O valor de m + 2n + 3p é igual a:

Quais são as coordenadas do ponto m?

Gabarito: (-5, 0)

16. (UECE) No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, se a circunferência x2 + y2 + 8x – 6y + 16 = 0 possui n interseções com os eixos coordenados, então, o valor de n é: a) 2 c) 3 b) 1 d) 4 17. (UFRGS) A circunferência definida pela equação x2 + y2 – 6x + 2y = 6 está inscrita em um quadrado. A medida da diagonal desse quadrado é: a) 2 b) 2 2 c) 4 2 d) 6 2 e) 8 2 377

FRENTE D  Exercícios de Aprofundamento

O semiplano hachurado é o conjunto dos pontos (x, y) tais que: a) y < 2x + 4 b) y ≤ 2x + 4 c) y ≤ 4 – 2x d) y < 4 – 2x e) 2y ≤ x – 4

FRENTE

A ilustração mostra a simbologia própria da Matemática introduzida por François Viète.

Fonte: shutterstock.com/ Por spiber.de

MATEMÁTICA Por falar nisso François Viète (1540 – 1603) foi um notável matemático francês nascido na cidade de Fontenay-le-Comte. Fascinado pela álgebra, foi responsável pela introdução da primeira notação algébrica. Além de contribuir para a teoria das equações polinomiais, ficou conhecido como o “Pai da Álgebra”. Deve-se a Viéte a forma com que as equações polinomiais são hoje apresentadas por meio de símbolos. Foi ele, o primeiro a adotar vogais para as incógnitas, consoantes para os números conhecidos, gráficos para resolver equações cúbicas e biquadradas e relações trigonométricas para resolver as equações de graus mais elevados. Não há dúvidas de que, utilizando várias simplificações na resolução das equações, ele abriu caminho para posteriores trabalhos referentes às equações polinomiais de Descartes, Newton, entre outros. Seu livro Isagoge in artem analyticum (Tours, 1591) é considerado a obra mais antiga sobre a álgebra simbólica. Nas próximas aulas, estudaremos os seguintes temas

E09 E10 E11 E12

Números complexos – Fórmulas de Moivre................................. 380 Polinômios – Definição, grau e valor numérico............................ 385 Polinômios – Identidades ............................................................. 389 Polinômios – Divisão ..................................................................... 392

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E09

ASSUNTOS ABORDADOS n Números complexos – Fórmulas

de Moivre

n Fórmulas de Moivre

NÚMEROS COMPLEXOS – FÓRMULAS DE MOIVRE Em 1948, a empresa alemã Dóitx Gramofôn (Deutche Grammophon) lançava o primeiro disco em vinil que substituiu os discos de goma-laca de 78 rotações por minuto. Foi uma inovação histórica. Os discos de goma-laca permitiam a gravação de apenas uma música em cada face, enquanto que os de vinil, também chamados de Long Play ou LP, eram mais leves e resistentes e reproduziam um número maior de canções com mais qualidade sonora. No Brasil, o disco de vinil foi lançado comercialmente em 1951, mas só começou a suplantar o disco de 78 rotações em 1964, e dominou o mercado até 1996. A queda nas vendas dos chamados LPs começou de forma crescente, com o lançamento do Compact Disc, o CD, em 1984. Para se ter uma ideia, em 1991 foram vendidos 28 milhões de discos de vinil, cinco anos depois esse número caiu para 1,6 milhão e quase zero no ano seguinte. As grandes gravadoras produziram discos de vinil até 1997, restando a partir daí apenas uma gravadora independente, em Belford Roxo, na Baixada Fluminense, que faliu no ano 2000. Os LPs perderam o valor e passaram e ser comercializados nos chamados sebos, a preços muito baixos.

Figura 01 - Ilustração mostra uma antiga coleção de discos de vinil.

380

Nos Estados Unidos, os discos de vinil nunca saíram do mercado. Em 2013, foram vendidos cerca de 5 milhões de cópias e, no ano seguinte, foi registrado um aumento de 53% nas vendas, o que representou cerca de 6% do mercado de música daquele país. Com a recuperação das vendas de LPs nos Estados Unidos e na Europa, empresários brasileiros recuperaram, em 2009, as máquinas da gravadora de Belford Roxo e voltaram a produzir discos de vinil no Brasil. Com capacidade de produzir 28 mil LPs por mês, continua como a única empresa da América Latina. Mas, nos últimos anos, o preço do disco de vinil subiu. Hoje, um LP novo custa em torno de R$ 100,00. Fonte: http://radioagencianacional.ebc.com.br/geral/audio/2016-08/historia-hojelancamento-do-disco-de-vinil-foi-inovacao-historia-em-1948. Acesso: janeiro de 2018

Matemática e suas Tecnologias

Um interessante acontecimento matemático está por trás dos discos de vinil. A espiral de Arquimedes se fez presente nos sulcos das primeiras gravações dos discos de vinil para gramofones utilizando sulcos igualmente espaçados maximizando o tempo de gravação. Tal espiral é uma curva descrita por um ponto que se desloca com uma velocidade uniforme ao longo de uma semirreta, a partir da origem, que roda, com uma velocidade angular uniforme, em torno da origem. Observe a figura abaixo:

⋅ z ⋅ z ⋅ ... ⋅z ⇒ zn = z n vezes

ρ ⋅ρ ⋅ρ ⋅ ... ⋅ρ ⋅ [cos(θ + θ + ... + θ) + isen(θ + θ + ... + θ)] = n vezes

n vezes

= ρn ⋅ [cos (nθ) + isen(nθ)] Por exemplo

π π  Dado o número complexo z = 2 ⋅  cos + sen  , vamos 5 5  calcular z8.

Pela 1ª fórmula de Moivre, z8 é dado por:

  π 8π 8π   π   z8 =28 ⋅ cos  8 ⋅  + sen 8 ⋅   =256 ⋅  cos + sen  5 5   5     5

Sendo r é um número real positivo e i é a unidade imaginária, essa curva pode ser descrita, no plano complexo, como o conjunto dos pontos z que satisfaz a seguinte igualdade: z = r ⋅ [cos(r) + i sen(r)] Nesta aula, vamos abordar mais duas operações (potenciação e radiciação) entre números complexos na forma trigonométrica denominadas fórmulas de Moivre.

Fórmulas de Moivre Abraham Moivre (1667 – 1754) foi um matemático francês com contribuições em diversas áreas da matemática tais como: Geometria Analítica, Trigonometria e Probabilidades. Em 1739, apresentou um método para determinar as raízes de índice n de um número complexo. A seguir, vamos mostrar duas fórmulas que recebem o seu nome. Potenciação de um número complexo na forma trigonométrica (1ª fórmula de Moivre) Essa fórmula nos permite determinar a potência de um expoente inteiro de um número complexo escrito na forma trigonométrica. Assim, dado o número complexo z = ρ ⋅ (cos θ + isen θ) e n ∈ IN, a potência zn é definida por zn =ρn ⋅ cos (nθ ) + isen(nθ ) 

Demonstração Para se obter z , basta multiplicar z por ele mesmo n vezes. Observe. n

Radiciação de um número complexo na forma trigonométrica (1ª fórmula de Moivre) Essa fórmula nos permite calcular as raízes enésimas de um número complexo escrito na forma trigonométrica. Assim, dado o número complexo z = ρ⋅(cos θ + isen θ) e n ∈ IN*, as raízes enésimas de z são os números complexos w definidos por

wk =

  θ + 2kπ   θ + 2kπ   ρ ⋅ cos   + isen  ,  n    n 

sendo k = 0, 1, 2, ..., n – 1 Demonstração As raízes enésimas de z são os números complexos w = ϕ⋅(cos α + isen α) tais que wn = z. Daí, por meio da 1ª fórmula de Moivre para a potenciação, temos que: wn = z ⇒ ϕn ⋅ [cos (nα) + isen (nα)] = ρ ⋅ (cos θ + isen θ) Para que os números complexos wn e z sejam iguais, eles devem ter o mesmo módulo e argumentos côngruos. Assim, temos que:

ϕn = ρ ⇒ ϕ = n ρ   θ + 2kπ ,com k ∈ Z nα = θ + 2kπ ⇒ α = n  Substituindo em w = ϕ ⋅ (cos α + isen α), temos que

  θ + 2kπ   θ + 2kπ   . ρ ⋅ cos   + isen  n    n  

Para obtermos as raízes enésimas, devemos atribuir para k os n valores no conjunto {0, 1, 2, ..., n – 1}. Portanto, as raízes enésimas de z são da forma

  θ + 2kπ   θ + 2kπ   ρ ⋅ cos   + isen   , com k = 0, 1, 2, n    n   ..., n – 1 wk =

381

E09  Números complexos – Fórmulas de Moivre

A origem da semirreta é chamada de polo da espiral e a distância de um ponto da espiral ao polo é chamado de raio vetor desse ponto. Os ângulos de rotação são os ângulos contados a partir de uma posição inicial da semirreta, designada por eixo polar, de zero para infinito.

Matemática

Por exemplo Dado o número complexo z = 8 ⋅ [cos (π) + isen (π)], vamos determinar suas as raízes cúbicas. Pela 2ª fórmula de Moivre, as raízes cúbicas z de são dadas por:

  π + 2kπ   π + 2kπ   3 wk = 8 ⋅ cos   + isen   3    3  Para determinação das raízes cúbicas (n = 3), os valores a serem atribuídos a k serão 0, 1 e 2. n

Para k = 0, temos:

1  π  π 3   π   π  3 w0 = 8 ⋅ cos   + isen   = 2 ⋅ cos   + isen   = 2 ⋅  + i  = 1 + 3i  3   3   3  3 2 2  n

w= 1 n

w= 2

Para k = 1, temos: 3

  π + 2π   π + 2π   8 ⋅ cos   + isen   = 2 ⋅ cos ( π ) + isen( π )  = 2 ⋅ ( -1 + 0i) = -2 + 0i  3    3 

Para k = 2, temos:

 1   π + 4π    5π  3   π + 4π   5π   8 ⋅ cos  i  =-1 + 3i  + isen   =2 cos   + isen   =2 ⋅  - + 3 3 3 3 2 2             Portanto, as raízes cúbicas de z são: 1 + 3i, - 2 e - 1 + 3i . Observações n

Todo número complexo z ≠ 0 tem exatamente n raízes enésimas.

Todas as n raízes de um número complexo de módulo ρ têm módulo igual a n ρ . Assim, os afixos das raízes enésimas são equidistantes da origem do plano complexo, ou seja, esses afixos são pontos de uma circunferência com centro na origem e raio n ρ do plano complexo.

Os argumentos das n raízes de um número complexo de argumento θ formam θ 2π uma progressão aritmética cujo primeiro termo é igual a e razão . n n Os afixos das raízes quadradas de um número complexo são pontos diametralmente opostos de uma circunferência com centro na origem e raio n ρ do plano complexo.

E09  Números complexos – Fórmulas de Moivre

Os afixos das raízes enésimas (n ≥ 3) são vértices de um polígono regular inscrito numa circunferência com centro na origem e raio n ρ do plano complexo.

Do exemplo anterior, temos ainda que: n n n n n

382

w0tem afixo P0(1, 3 ), módulo 2 e argumento π/3. w1 tem afixo P1(-2, 0), módulo 2 e argumento π. w2 tem afixo P2(-1, 3 ), módulo 2 e argumento 5π/3. Os módulos das raízes cúbicas são iguais a 2. Os argumentos das raízes cúbicas formam a PA (π/3, π, 5π/3) com a1 = π/3 e r = 2π/3.

Matemática e suas Tecnologias

Os afixos das raízes cúbicas de z são vértices de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 2. Observe a figura a seguir: Im P0 (1, 3 ) P1 (-2,0) Re

P2 (-1, 3 )

EXEMPLOS 03. Calcule as raízes quartas do número complexo z = 16 e, em seguida, represente-as no plano complexo.

01. Dado o número complexo z= 1 + 3i , calcule z6. RESOLUÇÃO

RESOLUÇÃO Vamos escrever o número complexo z = 16 + 0i na forma trigonométrica.

Inicialmente, vamos escrever o complexo z= 1 + 3i na forma trigonométrica. Daí, temos que ρ =

tg θ =

12 +

( 3 )= 2

1 + 3=

= ρ

4= 2

cos= θ

162 += 02

256 = 16

16 0 = 1 e sen= θ = 0⇒= θ 0 16 16

Logo,

3 = 3 ⇒ θ = π / 3 , pois θ∈1º quadrante 1

  0 + 2kπ   0 + 2kπ   z =⋅ 16 ( cos 0 + isen 0 ) e wk = 4 16 cos   + isen   4    4 

 π  π  2 ⋅ cos   + isen   Logo, z =  3   3

Como n = 4, os valores de k serão 0, 1, 2 e 3. Para k = 0, temos:

Utilizando a 1ª fórmula de Moivre, temos

  π  π  z6 =26 ⋅ cos  6 ⋅  + isen 6 ⋅   = 64 ⋅ cos ( 2π ) + isen( 2π )   3    3

 0  0  4 w0 = 16 ⋅ cos   + isen   = 2 ⋅ [cos0 + isen0] = 2 + 0i  4   4

z6 = 64 ⋅ (1 + 0i) = 64

Para k = 1, temos

Portanto, z6 = 64. 02. Determine o menor valor de n ∈ IN para o qual

(

)

3 + i seja um

  0 + 2π   π  0 + 2π    π  4 w1 = 16 ⋅ cos  2 ⋅ cos   + isen   = 0 + 2i  + isen  =  4   2    4   2 Para k = 2, temos

número imaginário puro.

= w2 RESOLUÇÃO

  0 + 4π   0 + 4π  16 ⋅ cos   + isen   = 2 ⋅ [cos π + isenπ] = -2 - 0i  4    4 

z Vamos escrever o número complexo = trica. = ρ tg θ =

( 3)

2 + 1=

3 + i na forma trigonomé-

= 4 2

1 3 = ⇒ θ = π / 6 , pois θ∈1º quadrante 3 3

  0 + 6π    3π   0 + 6π    3π   4 w3 = 16 ⋅ cos  2 ⋅ cos   + isen   = 0 - 2i  + isen  =  4   2    4    2  Portanto, as raízes quartas de z = 16 são: 2, -2, 2i e -2i. Os afixos dessas raízes são vértices do quadrado P0P1P2P3 inscrito numa circunferência de raio 2. Observe a figura a seguir.

 π   π  π   π  2 ⋅ cos   + isen   e zn = 2n cos  n  + isen n   Logo z =  6   6   6   6 O zn é imaginário puro se, e somente se,

P1 (0, 2)

P0 (2, 0)

P2 (-2,0)

nπ π  nπ  + kπ ⇒ n= 3 + 6k cos   = 0 ⇒ = 6 2  6 

Fazendo k = 0, teremos o menor valor n ∈ IN, seja n = 3. Portanto, o menor natural é n = 3.

P3 (0,-2)

383

E09  Números complexos – Fórmulas de Moivre

Para k = 3, temos

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Dados os números complexos z1 = 3⋅(cos 20° + isen 20°) e z2 = 4 ⋅ (cos 80° + isen 80°), calcule:

05. As raízes cúbicas de z = 8 determinam, no plano complexo, um triângulo equilátero. a) Determine essas raízes. 2, 1 3i e 1 b) Calcule a área desse triângulo. 3 3

a) (z1)5 243 ⋅ (cos 100° + isen 100°) b) (z2)4 256 ⋅ (cos 320° + isen 320°) c) (z1⋅ z2)3 1 728 ⋅ (cos 300° + isen 300°)

06. As raízes da equação z4 =-81 determinam, no plano complexo, um quadrado.

1 3 02. Dado o número complexo z= + i , determine: 2 2 a) A forma trigonométrica de z. cos 60° + isen 60° b) A forma trigonométrica de z10. cos 240° + isen 240°

(

03. Encontre o menor valor de n para que z =- 3 + i

a) Determine essas raízes. 3, 3i, -3 e -3i b) Calcule a área desse quadrado. 18

)

seja

um número imaginário puro. 3

07. As raízes sextas de z = 64 determinam, no plano complexo, um hexágono regular. a) Determine essas raízes. 2, 1 3i, 1 b) Calcule a área desse hexágono. 6 3

04. Determine as raízes quadradas de z = 4 + 3i 1 + 2i e -1 – 2i

3i, -2, 1 3i e 1 3i

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UFPR) Considere os números complexos

05. (Unirio RJ) Uma das raízes cúbicas de um complexo é 2⋅(cos 300° + i sen 300°). Determine o conjugado da soma das outras raízes. 1 3i

π π  π  π = z cos   + isen  =  e w cos   + isen   . 9 9  18   18 

06. Na figura a seguir, estão representadas as raízes quintas do número complexo z com z1 = 3 ⋅ ( cos 90° + isen 90° ) .

a) Mostre que o produto z⋅w é igual a 3 + i . b) Mostre que z18 é igual a -1. Demonstrações

2 ⋅ cos ( π4 ) + isen ( π4 )  , 02. (UFSC) Dado o número complexo z = determine o valor z6 – 2z3. 8

Im Z1

2 64 8 2 i

03. (UFRJ) Determine o menor inteiro n ≥ 1 para o qual

(

3 +i

)

é um número real positivo. 12

04. (UFRJ) Um jantar secreto é marcado para a hora em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem representadas pelos números complexos z e w a seguir:

E09  Números complexos – Fórmulas de Moivre

 π  π  α cos   + isen    , w = z2, sendo α um número real z=  2   2

fixo, 0 < α < 1. 9 horas Eixo imaginário

Eixo real

a) z0 = 3⋅(cos 18° + isen 18°), z2 = 3⋅(cos 162° + isen 162°),

Determine z3 = 3⋅(cos 234° + isen 234°) e z4 = 3⋅(cos 306° + isen 306°) a) A forma trigonométrica de z0, z2, z3 e z4. b) A forma trigonométrica do complexo z. z = 243⋅(cos 90° + isen 90°) 07. (Unicamp SP) Um triângulo equilátero, inscrito em uma circunferência de centro na origem, tem como um de seus vértices o ponto do plano associado ao número complexo 3 + i . a) Que números complexos estão associados aos outros dois vértices do mesmo triângulo? Faça a figura desse triângulo. b) Qual a medida do lado desse triângulo? a) 3 i e 2i b) 2 2 Im Z2

Determine a hora do jantar. Re

384

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E10

POLINÔMIOS – DEFINIÇÃO, GRAU E VALOR NUMÉRICO

ASSUNTOS ABORDADOS n Polinômios – Definição, grau e

A poupança é a mais popular e tradicional aplicação financeira do Brasil. Entre as vantagens desse investimento, estão a isenção do Imposto de Renda para pessoas físicas e a liquidez é imediata.

valor numérico

O cálculo do rendimento mensal da poupança é 70% da Selic, quando esta taxa básica de juros estiver igual ou abaixo de 8,5%. Caso a Selic esteja acima desse patamar e, para os depósitos feitos antes de 4 de maio de 2012, vale a seguinte regra de rendimento: Taxa Referencial (TR), divulgada pelo Banco Central, acrescida de mais 0,5% ao mês.

n Raiz

n Definição n Grau n Valor numérico

Foi o imperador Dom Pedro II que instituiu a poupança no Brasil em 1861. Dez anos depois, uma lei permitiu aos escravos aplicar dinheiro na poupança por meio de doações recebidas, herança ou renda proveniente de alguma espécie de trabalho. Já as mulheres conquistaram a possibilidade de abrir uma conta poupança só em 1915. Fonte: http://www.brasil.gov.br. Acesso em: novembro de 2017

Assim, considere que uma pessoa tenha iniciado uma poupança com depósitos periódicos em determinada instituição financeira a partir do dia 5 de janeiro de 2017 da seguinte forma: No dia 5 de janeiro, ela deposita a reais; no dia 5 de fevereiro de 2017, deposita b reais; no dia 10 de março de 2017, c reais; no dia 10 de abril de 2017, mais d reais e, finalmente, no dia 10 de maio de 2017, e reais. Supondo que a taxa mensal de rendimento dessa poupança tenha sido constante e igual i% nesse período, vamos determinar qual o montante M obtido nessa poupança i no dia 5 de maio de 2017 em função do fator de correção x= 1 + . 100

Figura 01 - A ilustração indica uma pessoa “poupando” R$ 50,00 em um porquinho.

385

Matemática

Esse montante seria dado pela expressão 4

i  i  i  i      M =a ⋅  1 +  + b ⋅ 1 +  + c ⋅ 1 +  + d ⋅ 1 +  +e  100   100   100   100 

Tal expressão, escrita em função de x, seria dada por: P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Nesta aula, abordaremos os aspectos iniciais desse tipo de função denominada função polinomial ou, simplesmente, polinômio.

Definição Dados os números complexos an, an – 1, an – 2, ..., a1, a0 e o número natural n, denomina-se função polinomialou apenas polinômio, a função P: ℂ → ℂ definida por

P ( x ) = an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + ... + a1 x + a0

Sendo n

an, an – 1, an – 2, ..., a1, a0 seus coeficientes.

anxn, an – 1xn – 1, an – 2xn – 2, ..., a1x e a0 seus termos (ou monômios).

x uma variável complexa.

Observações n

O coeficiente an é denominado coeficiente dominante de P.

O coeficiente a0 é denominado termo de independente de P.

Por exemplo No polinômio P(x) = 5x3– 3x2 + 6ix +4, temos que n

Seus coeficientes são 5, -3, 6i e 4.

Seus termos são 5x3, -3x2, 6ixe 4.

Seu coeficiente dominante é 5.

Seu termo independente é 4.

Grau E10  Polinômios – Definição, grau e valor numérico

Dado o polinômio P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a1x + a0, o grau de P(x) é o número natural correspondente ao maior expoente de x com coeficiente não nulo. Portanto, se an ≠ 0, dizemos que n é o grau de P(x) e indicamos gr(P) = n. Por exemplo: No polinômio P(x) = 2x6 + x5–2x3 + 3x – 1, o maior expoente de x é 6, logo o grau de P(x) é 6. Simbolicamente, temos que gr(P) = 6.

Valor numérico O valor numérico de P(x), para x = α, é o número que se obtém ao substituir x por α e efetuar as operações que definem P(x). Portanto, o valor numérico de P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a1x + a0 para x = α, é dado por

P ( α ) = an αn + an–1 αn – 1 + an–2 αn – 2 + ... + a1 α + a0 386

Matemática e suas Tecnologias

Por exemplo: Vamos determinar alguns valores numéricos de P(x) = 2x3 – 3x2 + 6x – 1. n

Para x = 3, temos : P(3) = 2 ⋅ 33 – 3 ⋅ 32 + 6 ⋅ 3 –1 = 54–27+ 18–1 = 44

Para x = 1, temos: P(1) = 2 ⋅ 13 – 3 ⋅ 12 + 6 ⋅ 1 – 1 = 2 – 3 + 6 – 1 = 4

Note que P(1) representa a soma dos coeficientes de P. n

Para x = 0, temos : P(0) = 2 ⋅ 03 – 3 ⋅ 02 + 6 ⋅ 0 – 1 = -1

Note que P(0) representa o termo independente de P.

Raiz Dizemos que α é raiz do polinômio P(x) se, e somente se, o valor numérico de P(x), para x = α, for igual a zero,ou seja, P(α) = 0. Por exemplo: Vamos verificar se x = 2 é raiz do polinômio P(x) = x3 + 3x2– 7x – 6. P(2) = 23 + 3 ⋅ 22– 7 ⋅ 2 – 6 = 8 + 12 – 14 – 6 = 0 Como P(2) = 0, x = 2 é raiz de P.

EXEMPLOS

a) P seja um polinômio do 3° grau. b) P seja um polinômio do 2° grau. c) P seja um polinômio do 1° grau. RESOLUÇÃO a) Para que P seja do 3º grau, o coeficiente do termo que contém x3 deve ser diferente de zero. Daí, temos que k2 – 4 ≠ 0 ⇒ k ≠ ±2 Portanto, {k ∈ IR | k ≠ ±2} b) Para que P seja do 2º grau, o coeficiente do termo que contém x3 deve ser igual a zero e o coeficiente que contém x2 deve ser diferente de zero. Daí, temos que: k2 - 4 = 0 k = ±2 2 ⇒ ⇒ k=  k ≠ -2 k + 2 ≠ 0

Portanto, k = 2. c) Para que P seja do 1º grau, os coeficientes dos termos que contêm x3 e x2 devem ser iguais a zero e o coeficiente do termo que contém x deve ser diferente de zero. Daí, temos que k2 - 4 = 0 ±2 k =   k + 2 = 0 ⇒ k = 2 ⇒ k =-2   k - 2 ≠ 0 k ≠ 2  

Portanto, k = -2. 02. Considerando o polinômio P(x) = x3 + mx2 + k tal que P(-2) = -13 e P(3) = 12, calcule a soma dos coeficientes de P.

RESOLUÇÃO Calculando os valores numéricos que foram dados, temos: P(-2) = (-2)3 + m(-2)2 + k = -13 ⇒ -8 + 4m + k = -13 ⇒ 4m + k = -5 P(3) = 33 + m32 + k = 12 ⇒ 27 + 9m + k = 12 ⇒ 9m + k = -15 Daí, obtemos o seguinte sistema de equações

4m + k =-5  9m + k =-15 Resolvendo o sistema,obteremos m = -2 e k = 3. Assim, temos que P(x) = x3 – 2x2 + 3. Portanto, a soma dos coeficientes de P é 1 – 2 + 3 = 2. 03. Obtenha o polinômio P(x) do 2º grau tal que 3 e 5 sejam suas raízes e P(2) = -6. RESOLUÇÃO O polinômio procurado é dado por P(x) = ax2 + bx + c. Calculando os valores numéricos que foram dados, temos P(3) = a ⋅ 32 + 3b + c = 0 ⇒ 9a + 3b + c = 0 (x = 3 é raiz) P(5) = a ⋅ 52 + 5b + c = 0 ⇒ 25a + 5b + c = 0 (x = 5 é raiz) P(2) = a ⋅ 22 + 2b + c = 0 ⇒ 4a + 2b + c = -6 Assim, obtemos o seguinte sistema de equações

0 9a + 3b + c =  0 25a + 5b + c = 4a + 2b + c =-6  Resolvendo o sistema, obtemos a = -2, b = 16 e c = -30. Portanto, P(x) = -2x2 + 16x – 30.

387

E10  Polinômios – Definição, grau e valor numérico

01. Dado o polinômio P(x) = (m² – 4)x³ + (m + 2)x² + (m – 2)x + 1, com m ∈ IR, determine os valores de m de modo que:

Matemática

Exercícios de Fixação 01. Obtenha os valores de t para que P(x) = (t2 – 25)x3 + (t – 5)x2 + 2x – 1 de modo que P seja a) um polinômio de grau 3. {t ∈ IR | t ≠ ±5} b) um polinômio de grau 2. t = -5 c) um polinômio de grau 1. t = 5 02. Dado o polinômio P(x) = x3 – 3x2 + x – 1, calcule os seguintes valores numéricos: a) P(1) -2 b) P(-2) -23 c) P(i) 3 – i 03. A posição S, em metros, de uma partícula que se move em linha reta, em relação a um ponto de referência, é dada pela função polinomial S(t) = t3 – 4t2 + 3t + 2; sendo t o tempo em segundos. Nessas condições, calcule a velocidade média dessa partícula entre os instantes t = 1 e t = 4 segundos? 4 m/s

04. Verifique se os valores a seguir são raízes do polinômio P(x) = x4 – 4x3 + 5x2 – 4x + 4. a) x = 2 É raiz b) x = i É raiz c) x = -2 Não é raiz 05. Obtenha o valor de k ∈ IR para que x = 2 seja raiz do polinômio P(x) = x3 + 3x2 + kx – 4. -8 06. Obtenha os valores de m ∈ IR e n ∈ IR de modo que 1 e -1 sejam raízes do polinômio m = 5 e n = 3 P(x) = x3 + (m – 2)x2 + (n – 4)x – 3. 07. (ESPCEX) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1. Sabendo-se que -1 é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) – B(-1) é igual a a) 98 d) 103 b) 100 e) 105 c) 102

Exercícios C om p l em en t ares

E10  Polinômios – Definição, grau e valor numérico

01. (UFG GO) Considere o polinômio p(x) = (x – 1) ⋅ (x – 3)2 ⋅ (x – 5)3 ⋅ (x – 7)4 ⋅ (x – 9)5 ⋅ (x – 11)6. O grau de p(x) é igual a a) 6 b) 21 c) 36 d) 720 e) 1 080 02. (PUC SP) O polinômio na variável x, dado por f(x) = (2a2 + a – 3)x3 + (a2 – 1)x2 + (a + 1)x – 3, com a ∈ IR, tem grau a) 3, para todo a ∈ IR. b) 2, se a = 1. c) 3, se a ≠ -3/2. d) 1, se a = 1. e) 0, para todo a ∈ IR. 03. (UEMPR) Seja P(x) = ax² + bx + c, em que a, b, e c são números reais. Sabendo que P(0) = 9, P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3). zero 04. (Esan SP) Sendo P(x) = Q(x) + x² + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e que 1 é raiz de Q(x), então P(1) – Q(2) vale a) 0 b) 2 c) 3 d) 6 e) 10

388

05. (UFSC) O número complexo 1 + 4i é raiz da equação x² + px + q = 0 de coeficientes reais. Determine o valor q – p. 19 06. (UFPR) Sendo P(x) = (x³ – 4x² + x + 1)20, a diferença entre o termo independente de P(x) e a soma dos coeficientes de P(x) vale a) 0 b) 2 c) 1 d) -1 e) -2 07. (PUC Campinas SP) Dado o polinômio P(x) = xn + xn – 1 + ... + x2 + x + 3, se n for ímpar, então P(-1) vale a) -1 b) 0 c) 2 d) 1 e) 3 08. (Cefet MG) Se uma das raízes do polinômio P(x) = x4 – 8x2 + ax + b é 2 e P(1) = 9, então o valor de a5 – 4b é a) -64. b) -28. c) 16. d) 24.

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E11

POLINÔMIOS - IDENTIDADES

ASSUNTOS ABORDADOS

“Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la por meio de imitação e prática. (...) se você quer aprender a nadar você tem de ir à água e se você quer se tornar um bom “resolvedor” de problemas, tem que resolver problemas”. George Polya (1897 – 1985)

n Polinômios - Identidades n Polinômios idênticos n Polinômio identicamente nulo n Adição e subtração n Multiplicação

Filósofo e matemático, o húngaro George Polya foi um dos matemáticos mais importantes do século XX. Pesquisou sobre vários assuntos na Universidade de Stanford (EUA), tais como: probabilidade e equações diferenciais parciais. Entretanto, sua maior contribuição está relacionada à resolução de problemas com várias publicações a esse respeito, entre as quais se destaca o livro How To Solve It, que vendeu mais de um milhão de cópias no ano de 1957.

Fonte: Wikimedia Commons

De acordo com Poya, podemos dividir a resolução de problemas da seguinte forma: n 1ª etapa: Compreender o problema. n 2ª etapa: Construir uma estratégia de resolução. n 3ª etapa: Executar essa estratégia. n 4ª etapa: Revisar a solução.

Interpretar, resolver e verificar a solução encontrada de problemas matemáticos, sem sombra de dúvidas, estão entre as maiores dificuldades encontradas por muitos estudantes de vários níveis. A todo instante, em nosso cotidiano, nos vemos diante da oportunidade de efetuar operações matemáticas com o objetivo final de resolver algum problema que naturalmente nos é imposto. 389

Matemática

Assim, ao invés de simplesmente executar cálculos, é muito importante primeiramente compreender o problema, pensar em uma estratégia para resolvê-lo, executar essa estratégia e, por fim, verificar se a solução encontrada faz sentido dentro do contexto do problema. Nesse contexto, considere que parte da informação que constava em uma solução de um problema foi perdida, pois o papel foi rasgado e faz-se necessário encontrar três dos números perdidos que chamaremos de A, B e C na equação abaixo. Ax - 2 B Cx 2 - 9x - C + = x + x + 3 2x - 1 2x 3 + x 2 + 5x - 3 2

Para resolver esse problema, ou seja, determinar esses valores, temos que utilizar identidade entre polinômios, assunto que discutiremos nesta aula.

Polinômios idênticos Dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos se, e somente se, seus valores numéricos forem iguais para todo complexo α. Simbolicamente, temos:

A ( x )= B ( x ) ⇔A(α)= B(α),∀α∈ Para que essa identidade ocorra, basta que os coeficientes desses polinômios sejam ordenadamente iguais. Por exemplo:

Vamos deteminar os valores de a, b e c para que o polinômio P(x) = (a +2)x2 + (b –1)x + (c + 4) seja nulo. Para que isso ocorra, basta que os coeficientes de todos os termos sejam iguais a zero. Assim, temos que:

a + 2 =0 ⇒ a =-2  b - 1 = 0 ⇒ b = 1 c + 4 =0 ⇒ c =-4  Portanto, a = -2, b = 1 e c = -4.

Adição e subtração Dados dois polinômios A(x) e B(x).Para adicionar ou subtrair esses polinômios, basta adicionar ou subtrair seus coeficientes dos termos de mesmo grau. Por exemplo Dados os polinômios A(x) = 3x3 – 4x2 + 11x – 8 e B(x) = -2x3 + 9x2 – 2x + 16, vamos obter os polinômios C(x) = A(x) + B(x) e D(x) = A(x) – B(x). O polinômio C(x) é dado por n C(x) = (3x3 – 4x2 + 11x – 8) + (-2x3 + 9x2 – 2x + 16) n C(x) = (3 – 2)x3 + (-4 + 9)x2 + (11 – 2)x + (-8 + 16) n C(x) = x3 + 5x2 + 9x + 8

Vamos determinar os valores de a, b e c nos polinômios A(x) = 3x2 + bx + 2 e B(x) = ax2 + x – c para que eles sejam idênticos.

O polinômio D(x) é dado por n D(x) = (3x3 – 4x2 + 11x – 8) – (-2x3 + 9x2 – 2x + 16) n D(x) = (3 + 2)x3 + (-4 – 9)x2 + (11 + 2)x + (-8 – 16) n D(x) = 5x3 – 13x2 + 13x + 24

Para que isso ocorra, basta que os coeficientes dos termos de mesmo grau, sejam iguais. Assim, temos que:

Observação

3 = a  b = 1 2 = -c  Portanto, a = 3, b = 1 e c = -2.

Polinômio identicamente nulo E11  Polinômios - Identidades

Por exemplo:

Um polinômio P(x) é identicamente nulo se, e somente se, seu valor numérico for igual a zero para todo complexo α. Simbolicamente, temos :

P ( x )= 0⇔ P(a)= 0,∀α∈ Para que essa identidade ocorra, basta que os coeficientes desse polinômio sejam iguais a zero. Observação n Não se define grau para o polinômio identicamente nulo. 390

Sendo A(x) e B(x) dois polinômios não nulos, temos que n n

Se gr(A) > gr(B) ⇒ gr(A ± B) ≤ gr(A). Se gr(A) = gr(B) ⇒ gr(A ± B) = gr(A).

Multiplicação Considere-se os polinômios A(x) e B(x).Para multiplicar esses polinômios, basta multiplicar cada termo de A(x) por cada termo de B(x) e, em seguida, somar (ou subtrair) os coeficientes dos termos de mesmo grau. Por exemplo Com os polinômios A(x) = x2 + 3x – 4 e B(x) = x3 + 2x + 1, vamos obter o polinômio E(x) = A(x) ⋅ B(x). n n

D(x) = (x2 + 3x – 4) ⋅ (x3 + 2x + 1) = x5 + 2x3 + x2 + 3x4 + 6x2 + 3x – 4x3 – 8x – 4 D(x) = x5 + 3x4 – 2x3 + 7x2 – 5x – 4

Observação Sendo A(x) e B(x) dois polinômios não nulos, temos que n

gr(A ⋅ B) = gr(A) + gr(B).

Matemática e suas Tecnologias

EXEMPLOS 01. Para quais valores reais de a, b e c os polinômios A(x) = ax2 + bx + c e B(x) = 3(x – 1) ⋅ (x + 4) são idênticos? RESOLUÇÃO Para que A(x) e B(x) sejam idênticos, basta que os coeficientes de termos de mesmo grau sejam iguais. Daí, temos que

Portanto, resolvendo esse sistema, temos que a = -1, b = -1 e c = 3. 03. Determine os valores de a e b de modo que para todo x ∈ IR, tal que x ≠ ±1. RESOLUÇÃO

ax2 + bx + c = 3(x – 1) ⋅ (x + 4) ⇒ ax2 + bx + c = (3x – 3).(x + 4) ax2 + bx + c = 3x2 + 12x – 3x – 12 ⇒ ax2 + bx + c = 3x2 + 9x – 12 Portanto, a = 3, b = 9 e c = -12. 02. Determine os valores de a, b e c para que o polinômio P(x) = (a + b + c)x2 + (a – b)x + (c – 3) seja identicamente nulo. RESOLUÇÃO Para que o polinômio P(x) seja identicamente nulo, basta que todos os coeficientes sejam iguais a zero. Daí, temos que

0 a + b + c =  0 a - b = c - 3 = 0 

a b 2x + 6 + = , x - 1 x + 1 x2 - 1

a( x + 1 ) + b ( x - 1 ) 2x + 6 ax + a + bx - b 2x + 6 = ⇒ = ( x - 1 ) ⋅ ( x + 1 ) x2 - 1 ( x - 1 ) ⋅ ( x + 1 ) x2 - 1

(a + b) x + (a - b) = x2 - 1

2x + 6 ⇒ ( a + b ) x + ( a – b ) = 2x + 6 x2 - 1

Daí, temos que

2 a + b =  a b = 6  Portanto, resolvendo esse sistema, temos que a = 4, b = -2.

Exercícios de Fixação 01. Dados os polinômios A(x) = x3 + 2x2 – x + 2, B(x) = 2x3 + x2 – 3x + 1 e C(x) =-x3 – 5x2 + x – 3, obtenha o polinômio D(x) tal que D(x) = 4x3 + 8x2 – 5x + 6

D(x) = A(x) + B(x) – C(x)

02. Dados os polinômios A(x) = x2 + 2x + 1, B(x) = x3 – 4 e C(x) = x4 + 4x3 + x2 – 5x, obtenha o polinômio E(x) tal que E(x) = x5 + 3x4 + 5x3 – 3x2 – 13x – 4

E(x) = A(x) ⋅ B(x) + C(x)

03. Considerando um paralelepípedo reto-retângulo cujas arestas são numericamente iguais a x – 1, x + 2 e x – 3, obtenha os polinômios A(x) e V(x) que fornecem a área total e o volume desse paralelepípedo, respectivamente. A(x) = 6x2 – 8x – 10 e V(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6

04. Dados os polinômios A(x) = (a + 2)x3 + (a + b)x2 + x + (c + 3) e B(x) = 5x3 + 4x2 + x – 7, determine os valores de a, b e c de modo que esses polinômios sejam idênticos. a = 3, b = 1 e c = -10 05. Determine os valores de a, b e c de modo que (ax2 + bx + c) ⋅ (x + 1) = 2x3 + 3x2 − 2x – 3, para todo x∈C. a = 2, b = 1 e c = -3 06. Determine os valores de a e b na igualdade a b 3x - 4 + = , para todo x real tal que x ≠ ±1. x + 1 x - 1 x2 - 1 a = 7/2 e b = -1/2

07. Para quais valores de a, b e c o polinômio P(x) = (3a + 2)x³ – (3b – 6)x² + (5c + 1) é identicamente nulo? a = -2/3, b = 2 e c = -1/5

01. (Fei ISP) Determine a e b para que se verifique a identidade a b 3x - 5 seja verificada para todo x real tal + = x - 3 x + 1 x 2 - 2x - 3 que x ≠ -1 e x ≠ -3. a = 2 e b = 1 02. (UFPA) Dos polinômios abaixo, qual o único que pode ser identicamente nulo? a) a²x³ + (a – 1)x² – (7 – b)x b) (a + 1)x² + (b – 1)x + (a – 1) c) (a² + 1)x³ – (a – 1)x² d) (a – 1)x³ – (b + 3)x² + a² – 1 e) a²x³ – (3 – b)x² – 5x

03. (Uel PR)Para que o polinômio f(x) = x3 – 6x2 + mx + n seja um cubo perfeito, ou seja, tenha a forma f(x) = (x + b)3, os valores de m e n devem ser, respectivamente a) 3 e -1 c) -4 e 27 e) 10 e −27 b) -6 e 8 d) 12 e −8 04. (Unifesp SP) Se

x a b é verdadeira para = + x 2 - 3x + 2 x + 1 x - 2

todo x real, x ≠ 1, x ≠ 2, então, o valor de a ⋅ b é a) -4 b) -3 c) -2 d) 2

e) 6

05. (UFSC) Determine a + b + c na identidade 32 a b c com x ≠ 0, x ≠ 2 e x ≠ -2. =+ + x³ - 4x x x + 2 x - 2

a = 8, b = -4 e c = -4

391

E11  Polinômios - Identidades

Exercícios C om p l em en t ares

FRENTE

MATEMÁTICA

MÓDULO E12

ASSUNTOS ABORDADOS n Polinômios – Divisão n Divisão de polinômios

POLINÔMIOS – DIVISÃO A cidade de São Paulo atingirá, em alguns meses, a marca de 6 milhões de carros registrados. Se ainda existem mais seres humanos do que automóveis no município (cerca de dois para um), a tendência do crescimento de pessoas e carros em terras paulistanas pende positivamente para os últimos. É que, na maior metrópole brasileira, a quantidade de carros aumenta mais do que o próprio número de habitantes, numa taxa anual de dois novos veículos a cada novo morador. O índice anteriormente mencionado é sintomático de uma cidade (e de um país) que quase sempre estimulou, seja por vias diretas ou indiretas, o uso do transporte individual – principalmente pela falta de prioridade dos meios coletivos de locomoção, como metrô, trens e ônibus. Os carros correspondem ao tipo de veículo que mais roda nas vias da capital paulista: eles constituem nada menos do que 70% da frota de 8,3 milhões de automotores, que incluem motos (13%), caminhões (1,9%) e ônibus (apenas 0,5% do total). Estatísticas do Detran-SP (Departamento Estadual de Trânsito de São Paulo), órgão responsável por lacrar os veículos que circulam no Estado, mostram que, entre janeiro e dezembro de 2016, a cidade de São Paulo ganhou 114,8 mil carros. Na média, foram acrescidos à frota, por mês, 9,5 mil automóveis. Caso esse patamar permaneça estável, em setembro de 2017, o município atingirá o seu simbólico carro de número 6 milhões.

Figura 01 - A ilustração mostra um grande congestionamento na Avenida 23 de Maio, São Paulo SP.

392

Fonte: https://www.nexojornal.com.br/expresso/2017/02/23/São-Paulo-está-perto-de-ter-6-milhõesde-carros.-Por-que-isso-é-um-problema. Acesso: dezembro de 2017

Matemática e suas Tecnologias

Ciente de que esse problema não ocorre apenas na cidade São Paulo, foi realizado um estudo das quantidades de carros e pessoas de uma cidade e chegou-se às seguintes conclusões: do ano 2010 (x = 0) até o ano 2016 (x = 6), o número de automóveis variou conforme a função polinomial V(x) = 9x + 100, enquanto a população variou, nesse mesmo período, segundo a função polinomial P(x) = 1,8x2 + 47x + 300, sendo V(x) e P(x) dados em milhares de unidades.

Para se determinar, nesse período, a variação do número de habitantes por automóvel, devemos efetuar a divisão dos polinômios P(x) e V(x).Nesta aula, abordaremos sobre dois métodos para efetuar a divisão entre polinômios.

2x3 + 8x2 + 5x- 7 3

Q(x)

n n n

A(x) = B(x) Q(x) + R(x) gr(R) < gr(B) ou R(x) = 0

2x + 9x- 7 -2x2 - 6x + 4 3x2 - 3

Portanto, o quociente e o resto da divisão são, respectivamente, Q(x) = 2x + 2 e R(x) = 3x – 3.

Esse método consiste em obter os coeficientes do quociente Q(x) e do resto R(x) a partir da seguinte igualdade

A(x): o polinômio dividendo B(x): o polinômio divisor Q(x): o polinômio quociente R(x): o polinômio resto.

A(x) = B(x) ⋅ Q(x) + R(x)

Dizemos que o polinômio A(x) é divisível pelo polinômio B(x) se, e somente se, o polinômio R(x) for identicamente nulo.

Por exemplo Vamos dividir A(x) = x4–3x3 + 6x2 por B(x) = x2 + 1, utilizando o método dos coeficientes a determinar. Inicialmente, temos que : n

Como gr(A) = 4 e gr(B) = 2, temos que gr(Q) = gr(A) – gr(B) = 4 – 2 = 2. Logo, temos que Q(x) = ax2 + bx + c (2º grau).

Como gr(R) < gr(B), temos que g(R) < 2. Logo, temos que R(x) = dx + e (1º grau).

Assim, temos que: A(x) = B(x) ⋅ Q(x) + R(x) ⇒ x4–3x3 + 6x2= (x2 + 1) ⋅ (ax2 + bx + c) + (dx + e)

Método da Chave Esse método tem como base o algoritmo da divisão de números inteiros (Divisão Euclidiana). Por exemplo: Vamos dividir A(x) = 2x3+8x2 + 5x – 7 por B(x) = x2 + 3x – 2, utilizando o método da chave. Escrevem-se os polinômios A(x) e B(x) organizando seus termos segundo potências decrescentes de x. 3

2x + 8x + 5x- 7 n

x + 3x- 2

Método dos coeficientes a determinar

Para efetuar a divisão de A(x) por B(x), ou seja, determinar os polinômios Q(x) e R(x), podemos utilizar dois procedimentos: o método de chave e o método dos coeficientes a determinar.

2x + 8x + 5x- 7 2

Observação n

Repetimos esse procedimento até que o polinômio obtido pela soma (resto parcial) seja o polinômio nulo ou tenha grau menor que o grau do polinômio divisor.

Sendo n

2x + 9x- 7

x + 3x- 2

Divide-se o termo de maior grau de A(x) pelo termo de maior grau de B(x). Esse será o primeiro termo de Q(x). 2x3 + 8x2 + 5x- 7

x + 3x- 2 2x

Daí, temos que: x4 – 3x3 + 6x2 = ax4 + bx3 + cx2 + ax2 + bx + c + dx + e Reduzindo os termos semelhantes, temos x4–3x3 + 6x2= ax4 + bx3 + (a + c)x2 + (b + d)x + (c + e) Essa identidade se verifica se, e somente se

a = 1 b = -3  a + c = 6 ⇒ c = 5 b + d = 0 ⇒ d = 3  c + e =0 ⇒ e =-5

E12  Polinômios – Divisão

R(x)

x + 3x- 2

-2x + 6x + 4x

Dados os polinômios A(x) e B(x), com B(x) ≠ 0, dividir A(x) por B(x) significa determinar dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às seguintes condições: B(x)

-2x + 6x + 4x

Divisão de polinômios

A(x)

Multiplica-se 2x por todos os termos de B(x). Escrevem-se, abaixo de P(x), os opostos desses produtos e, em seguida soma-se P(x) a esse polinômio oposto. Esse é o primeiro resto parcial.

Portanto, Q(x) = x2 – 3x + 5 e R(x) = 3x – 5. 393

Matemática

EXEMPLOS 01. Determine o quociente e o resto da divisão de A(x) = x4 + 2x3 – 4x2 + 2x – 12 por B(x) = x2 + 4x + 3. RESOLUÇÃO Utilizando o método da chave, temos que 2

4 3 4 x + 2x - 4x + 2x- 12 x + 4x + 3

-x4 - 4x3 - 3x2

-2x3 - 7x2 + 2x- 10 3

2x - 8x + 6x x2 + 8x- 12 2 -x - 4x- 3

RESOLUÇÃO Utilizando o método dos coeficientes a determinar, temos que gr(Q) = gr(A) – g(B) = 3 – 1 = 2, logo Q(x) = ax2 + bx + c (2º grau). R(x) = 0 (divisão exata) Assim, temos que A(x) = B(x) ⋅ Q(x) + R(x) ⇒ x3 + 3x2 + x + k = (x – 2) ⋅ (ax2 + bx + c) + 0 Desenvolvendo, temos que x3 + 3x2 + x + k = ax3 + bx2 + cx – 2ax2 – 2bx – 2c Reduzindo os termos semelhantes, temos x3 + 3x2 + x + k = ax3 + (-2a + b)x2 + (-2b – c)x – 2c Essa identidade se verifica se, e somente se

a = 1 -2a + b = 3 ⇒ b = 5   -2b - c =1 ⇒ c =-11 k =-2c ⇒ k =22

4x- 15 Portanto, o quociente é Q(x) = x2 – 2x + 1 e R(x) = 4x – 15. 02. Determine o valor de k para que o polinômio A(x) = x3 + 3x2 + x + k seja divisível por B(x) = x – 2.

Portanto, k = 22.

Exercícios de Fixação 01. Obtenha o polinômio P(x) tal que ao ser dividido por D(x) = x2 + x + 2, obtém-se quociente Q(x) = x3– 3 e resto R(x) = x +1. P(x) = x5 + x4 + 2x3 – 3x2 – 2x – 5

02. Obtenha o quociente e o resto da divisão de A(x) por B(x) a) Q(x) = 3x – 11 e R(x) = 23 nos casos a seguir: b) Q(x) = x + 3 e R(x) = -7x + 5 c) Q(x) = 2x2 + x + 5 e R(x) = 6x – 4

a) A(x) = 3x2 – 5x + 1 e B(x) = x + 2 b) A(x) = x3 + 4x2 – 5x + 2 e B(x) = x2 + x – 1 c) A(x) = 2x4 – 3x3 + 5x2 – 3x + 1 e B(x) = x2 – 2x + 1

03. Determine os valores reais de a e b para que A(x) seja divisível por B(x) nos casos a seguir:

a) A(x) = x3 + ax + b e B(x) = x2 + x – 3 a = -4 e b = -3 b) A(x) = 2x4 – x3 + ax2 – bx + 2 e B(x) = x2 – x – 2 a = -6 e b = 1 04. Utilize o Método da Chave para mostrar que A(x) = x3 + 2x2 – 4x – 8 é divisível B(x) = (x + 2)2. Demonstração 05. Dividindo A(x) = x³ – 5x² + 8 por B(x), resulta no quociente Q(x) = x² – 2x – 6, e resto R(x) = –10. Utilize o método dos coeficientes a determinar para obter o polinômio B(x). a = 1 e b = -3 06. (UEM PR) Sabendo-se que o polinômio P(x) = x5 – x4 + 4x3 + Ax2 + Bx – 12 é divisível por q(x) = x2 – x + 3, o valor de |A| + |B| é ... 12

E12  Polinômios – Divisão

Exercícios C om p l em en t ares 01. (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4 – 4x3 + x – 1 por q(x) = 4x3 +1 é a) x – 5 c) x + 5 e) 4x + 8 b) x – 1 d) 4x – 5

04. (Ibmec RJ) Se o resto da divisão do polinômio P(x) = x3 + ax + b pelo polinômio Q(x) = x2 + x + 2 é igual a 4, então podemos afirmar que a + bvale a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 4

02. (UFPE) Qual o resto da divisão do polinômio x3 – 2x2 + x + 1 por x2 – x + 2? a) x + 1 c) -2x + 3 e) x – 2 b) 3x + 2 d) x – 1

05. (Unesp SP) Seja x um número real positivo. O volume de um paralelepípedo reto-retângulo é dado, em função de x, pelo polinômio x3 + 7x2 + 14x + 8. Se uma aresta do paralelepípedo mede x + 1, a área da face perpendicular a essa aresta pode ser expressa por d) x2 – 7x + 8 a) x2 – 6x + 8 e) x2 + 6x + 8 b) x2 + 14x + 8 c) x2 + 7x + 8

03. (UERN) O produto entre o maior e o menor dos coeficientes do quociente da divisão de P(x) = 6x5 + 3x4 + 5x3 – 2x2 – 4x + 5 por D(x) = 3x2 – 2x é a) 3 b) 4 c) -2 d) -5 394

FRENTE

MATEMÁTICA

Exercícios de A p rof u n dam en t o 01. (UFBA) Sendo z1 e z2 números complexos tais que: • z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante, • z2 satisfaz a equação x4 + x2 − 12 = 0 e Im (z2) > 0. calcule

z 3 ⋅ 1 + z2 . z2

d) 1 e) 3/2 06. (UFV MG) Se r é a razão de uma progressão geométrica cuja soma dos n primeiros termos é S e o primeiro termo é a, é correto afirmar que r é raiz do polinômio

02. (UFRGS) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte n

π π  imaginária do número complexo  cos + i ⋅ sen  é negativa é: 8 8  a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9 03. (PUC RS) A superfície e os parafusos de afinação de um tímpano da Orquestra da PUC-RS estão representados no plano complexo Argand-Gauss por um disco de raio 1, centrado na origem, e por oito pontos uniformemente distribuídos, respectivamente, como mostra a figura: y i

a) p(x) = xn – 1 + xn – 2 + ... + x + 1 – Sa b) p(x) = xn – 1 + xn – 2 + ... + x + 1 + S/a c) p(x) = xn – 1 + xn – 2 + ... + x + 1 – S/a d) p(x) = xn – 1 + xn – 2 + ... + x + 1 + As e) p(x) = xn – 1 + xn – 2 + ... + x + 1 + S + a 07. (UFU MG) A capacidade do corpo para metabolizar os medicamentos está intimamente relacionada com a exposição à luz solar e, portanto, pode variar até mesmo com as estações climáticas. Suponha que a função polinomial q(t), de variável real t (em minutos), definida por q(t) = t3 – 5t2 + 8t – 3, represente um modelo matemático que descreva, aproximadamente, a absorção, por um limitado período de tempo, de um determinado medicamento administrado a um doente, por via intravenosa, depois de transcorrido um tempo da aplicação. Descreva expressões matemáticas que conduzam aos valores de a, b e c, determinando-os, de forma que tornem iguais os polinômios q(t) e h(t) = (t + a)3 + (t + b)2 + c3. a = -2, b = -2 e c = 1 08. (UFC) Os números reais a, b, c e d são tais que, para todo x real, tem-se ax3 + bx2 + cx + d = (x2 + x – 2) ⋅ (x – 4) – (x + 1) ⋅ (x2 – 5x + 3). Desse modo, o valor de b + d é a) -2 b) 0 c) 4 d) 6 e) 10

Nessa representação, os parafusos de afinação ocupam os lugares dos números complexos z que satisfazem a equação: a) z8 = i b) z8 = -i c) z8 = 1 d) z8 = -1 e) z8 = 1 + i

09. (UFFRJ) Sabendo-se que para todo x ¹ -2, x ¹ -1 e x ¹ 1 tem-se

04. (Efei MG) Dado o polinômio P(x) = x + 2x + 3x + ... + 33x + 34x + 35, calcule o produto de P(-1) por P(1). 11 340

x2 + 1 A B C = + + , determine os va( x - 1 ) ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x + 1 ) x - 1 x + 2 x + 1

05. (ITA SP) No desenvolvimento de (ax2– 2bx + c + 1)5, obtém-se um polinômio p(x) cujos coeficientes somam 32. Se 0 e -1 são raízes de p(x), então a soma a + b + c é igual a a) -1/2 b) -1/4 c) 1/2

lores de A, B e C. A = 1/3, B = 5/3 e C = -1 10. (FGVSP) Sendo P(x) = 4x6 + 2x5 – 2x4 + x3 + αx2 + βx + θ e G(x) = 2x3 + x2 – 2x + 1, determine os valores de α, β e θ que tornam P(x) divisível por G(x) e também o polinômio Q(x), quociente da divisão de P(x) por G(x). α = -3, β = 3 e γ = -1

395

Matemática

11. (UFGO) Considere os polinômios p(x) = x4− 13x3 + 30x2 + 4x − 40 e q(x) = x2− 9x − 10. a) Calcule s(x) =

intenções de votos, durante a quinzena x, de dois candidatos

b) Resolva a inequação p(x) < 0. S = {x ∈ IR | -1 < x < 10 e x ≠ 2} 12. (ITA SP) Sejam a, b, c e d constantes reais. Sabendo que a divisão de P1(x) = x4 + ax2 + b por P2(x) = x2 + 2x + 4 é exata, e que a divisão de P3(x) = x3 + cx2 + dx – 3 por P4(x) = x2 – x + 2 tem resto igual a –5, determine o valor de a + b + c + d. 21 13. (ESPM SP) Do ano 2000 (x = 0) até o ano 2006 (x = 6), o número de automóveis numa certa cidade variou conforme a função V(x) = 9x + 100, enquanto a população variou, nesse mesmo período, segundo o polinômio P(x) = 1,8x2 + 47x + 300, sendo V(x) e P(x) dados em milhares de unidades. Podemos afirmar que, nesse período, o número de habitantes por automóvel variou segundo a função a) y = 0,2x + 2,4 d) y = 0,2x + 3 b) y = 0,3x + 1,8 e) y = 1,2x + 1,6 c) y = 3x + 0,6 14. (UEPG PR) Se uma das raízes quadradas do número complexo z 2 6 + i e uma das raízes cúbicas do número complexo w é 2 2 é 1 + i , assinale o que for correto. Gabarito: V V F V F

4 2. 01. z ⋅ w =

02. O argumento de w é

2π 2π   2  cos + isen  . 3 3  

15. (UECE) Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a –1, e n é um número natural maior do que 2, então, pode-se afirn mar corretamente que 2 + 2i é um número real sempre que Se desejar, utilize a forma trigonométrica de um número complexo. a) n for ímpar. b) n for um múltiplo de 4. c) n for um múltiplo de 3. d) n for um múltiplo de 5. FRENTE E  Exercícios de Aprofundamento

(

)

16. (UEAM) Dados os números complexos z1 = 1, z2 = – i e z3 = z1 + z2, a forma trigonométrica de (z3)2 é:

3π



3π 

a) 2 ⋅  cos + isen  2 2   π π    c) 2 ⋅ (cos π + isenπ)

b) 2 ⋅  cos + isen  2 2 

3π

 

3π 

d) 2 ⋅  cos + isen  2 2   π

e) 2 ⋅  cos + isen  2 2 396



P1 (x) = 0,004x2 + 0,9x + 8 e P2 (x) = –0,006x2 + 0,8x + 14, como modelos matemáticos que representam, em porcentagem, as

p(x) . s(x) = x2 – 4x + 4 q(x)

π . 4 04. w20 é um número real. 08. A forma trigonométrica de z é 16. z15 é um imaginário puro.

17. (Faculdade Santo Agostinho BA) Considere-se os polinômios

à prefeito de uma importante cidade. Sabendo-se que x é um número real tal que 0 ≤ x ≤ 36 e que a ordem de preferência das intenções de voto, em P1 e em P2, sofreu alterações em determinada quinzena x, desse intervalo, é correto afirmar que o valor de x é: a) 12 b) 16 c) 20 d) 24 e) 28 18. (Udesc SC) Um polinômio p(x) possui grau 4 e é divisível simul-

= 2x - 3 . Se p satisfizer taneamente por f(x)= x 2 + 5 e por g(x) as condições p(-1) = 150 e p(2) = 63, então a soma de todos os seus coeficientes é igual a: a) –18 b) –6 c) –8 d) –33 e) –25 19. (Mackenzie SP) Os valores de R, P e A para que a igualdade 2x 2 + 5x - 1 R P A seja uma identidade são, res=+ + x3 - x x x +1 x -1 pectivamente: a) 3, 1 e –2 b) 1, –2 e 3 c) 3, –2 e 1 d) 1, 3 e –2 e) –2, 1 e 3 20. (UECE) Se a expressão algébrica x2 + 9 se escreve identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) + c onde a, b e c são números reais, então o valor de a – b + c é: a) 9 b) 10 c) 12 d) 13 21. (UEFS BA) Os valores reais positivos de p e q para os quais a equação logarítmica log (8x3 + 4x2 – 2x – 1) = log (2x – 1) + 2 log (px + q) existe e tem solução real são: a) p = 2 e q = 1/2 b) p = 1/2 e q = 2 c) p = 2 e q = 1 d) p = 1 e q = 1/2 e) p = 2 e q = 2