360 matematica by Editora FTD

Matemática Fundamental: uma nova abordagem PARTE I VOLUME

788596 001267

11615641

ÚNICO

ISBN 978-85-96-00126-7

Giovanni Giovanni Jr. Bonjorno Paulo Câmara

Matemática Fundamental: Uma Nova Abordagem PARTE I

VOLUME

ÚNICO

José Ruy Giovanni

Bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP. Professor de Matemática em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1960.

José Ruy Giovanni Jr.

Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo – USP. Professor de Matemática em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1985.

José Roberto Bonjorno

Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC-SP. Professor de Matemática e Física em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1973.

Paulo Roberto Câmara de Sousa

Mestre em Educação pela Universidade Federal da Paraíba – UFPB. Especialização em Educação Matemática pela Universidade Federal Rural de Pernambuco – UFRPE. Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Pernambuco – UFPE. Professor de Matemática do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1974. Professor de programas de formação continuada e pós-graduação desde 1990.

Matemática Fundamental: Uma Nova Abordagem PARTE I

VOLUME

ÚNICO

2ª edição São Paulo – 2015

Copyright © José Ruy Giovanni, Jóse Ruy Giovanni Jr., José Roberto Bonjorno, Paulo Roberto Câmara de Sousa, 2015 Diretor editorial Lauri Cericato Gerente editorial Flavia Renata P. de Almeida Fugita Editora Valquiria Baddini Tronolone Editores assistentes Adriano Rosa Lopes, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Juliana Montagner, Kátia Takahashi, Lucas Maduar Mota, Marcos Antonio Silva, Pedro Almeida do Amaral Cortez Assistentes editoriais Carolina Bussolaro Marciano, Rodolfo da Silva Campos Colaboradores Claudia Virgílio, Diana Maia, Enrico Casentini, Larissa Gachet Calazans Cifre, Patrícia Furtado, Tomoko Tadano, Vanessa Siqueira de Oliveira, Wanusa Rodrigues Ramos Estagiário: Davi José dos Santos Guimarães Gerente de produção editorial Mariana Milani Coordenadora de produção Marcia Berne Coordenadora de arte Daniela Di Creddo Máximo Projeto gráfico e capa Casa Paulistana Supervisor de arte Roque Michel Jr. Editora de arte Isabel Cristina Corandin Marques Diagramação Adriana M. Nery de Souza, Eduardo Benetorio, José A. Amorim, Nadir Fernandes Racheti, Sara Slovac Savero, Setup Bureau Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin Preparação Preparadores: Dilma Dias Ratto, Iraci Miyuki Kishi, Renato Colombo Jr. Revisão Líder: Izabel Cristina Rodrigues. Revisores: Alessandra Maria R. da Silva, Iara R. S. Mletchol, Juliana Rochetto, Jussara Gomes, Pedro Fandi, Solange Guerra Supervisora de iconografia Célia Maria Rosa de Oliveira Iconografia Assistente de iconografia: Priscila Massei. Pesquisadoras: Elaine Bueno e Izilda Canosa Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 360º matemática fundamental : uma nova abordagem : partes 1, 2 e 3, volume único / José Ruy Giovanni... [et al.]. -- 2. ed. -- São Paulo : FTD, 2015. Outros autores: José Ruy Giovanni Jr., José Roberto Bonjorno, Paulo Roberto Câmara de Sousa ISBN 978-85-96-00126-7 (aluno) ISBN 978-85-96-00127-4 (professor) 1. História (Ensino médio) I. Giovanni, José Ruy. II. Giovanni Junior, José Ruy. III. Bonjorno, José Roberto. IV. Sousa, Paulo Roberto Câmara de. 15-02514 CDD-907 Índices para catálogo sistemático: 1. História : Ensino médio 907 Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens presentes nesta obra didática. No entanto, colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões de crédito e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo. Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à

FTD EDUCAÇÃO Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: ensino.medio@ftd.com.br

Impresso no Parque Gráfico Editora FTD S.A. Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

Apresentação Este livro tem o objetivo de auxiliar e estimular você a compreender a Matemática e sua presença dinâmica no dia a dia. Após cada conceito, com a intenção de ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos adquiridos, os capítulos trazem exercícios resolvidos que priorizam a compreensão e aplicação do conteúdo abordado. Além dos conteúdos matemáticos específicos, o livro ainda traz possibilidades de explorar o uso de recursos tecnológicos, como softwares e calculadora, e de reﬂetir sobre as relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. Bons estudos! Os Autores

Abertura de Unidade

Crédito????????????

Geometria e Álgebra no plano cartesiano

Apresenta um tema relacionado ao conteúdo matemático que será desenvolvido no capítulo.

Capítulo 8

Função logarítmica

• Logaritmo • Propriedades dos logaritmos • Função logarítmica 610 Unidade 12 Geometria e Álgebra no plano cartesiano • Equações logarítmicas • Inequações logarítmicas

Capítulo 24

Geometria Analítica: pontos e retas

Introdução O aparecimento dos logaritmos ocorreu no início do século XVII, quando já era premente a necessidade de facilitar os cálculos trigonométricos de Astronomia e navegação. Levava-se muito tempo para realizar operações de multiplicação e divisão em estudos na área de qualquer ciência em que se necessitava trabalhar com medidas. Para simplificar esses cálculos, foram desenvolvidos os logaritmos. A ideia básica dos logaritmos é utilizar uma adição para resolver uma multiplicação e usar uma subtração para solucionar uma divisão. O desenvolvimento dos logaritmos deve-se principalmente a dois matemáticos do período Renascentista, o suíço Jobst Bürgi (1552-1632) e o escocês John Napier (1550-1617), cujos trabalhos foram produzidos independentemente um do outro.

Abertura de capítulo Scorpp/Shutterstock.com

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Unidade

160

Unidade 4

Em geral, os conteúdos são introduzidos por uma abordagem histórica ou por uma aplicação. Em seguida, os conceitos são formalizados e explorados em exercícios resolvidos e propostos.

Estudo das funções exponencial e logarítmica

Capítulo 8

Infográfico

A Lua

Oferece de forma dinâmica e visual o conhecimento envolvido em determinadas situações.

Função logarítmica

Distância entre a Lua e a Terra

A Lua

384 400 km

Observada desde tempos remotos e representada na mitologia, a Lua é um símbolo que faz parte de numerosas culturas. O único satélite do nosso planeta Terra também é o quinto maior do Sistema Solar e o único corpo celeste que foi pisado pelo ser humano. Revoluções da Lua

Fases da Lua Quando a Lua fica entre a Terra e o Sol, a parte dela mais próxima à Terra está escura, motivo pelo qual não podemos vê-la. Essa fase é chamada lua nova. Quando a Terra fica entre o Sol e a Lua, a parte dela mais próxima à Terra está iluminada. Essa fase é chamada lua cheia. Quando a Lua se encontra em posições intermediárias, apenas a metade da parte mais próxima à Terra está iluminada. Portanto, vemos somente um quarto da Lua. Essas duas fases são chamadas quartos crescente ou minguante, dependendo se a parte iluminada visível da Terra tende a crescer ou decrescer.

Quarto crescente

Para completar a volta ao redor do nosso planeta mantendo uma órbita elíptica, a Lua demora 27 dias, 7 horas e 43 minutos. No entanto, para completar seu ciclo de fases demora aproximadamente um mês (mês lunar), ou seja, 29,5 dias ou 29 dias, 12 horas, 44 minutos e 2,8 segundos. Como dar uma volta sobre seu próprio eixo e dar uma volta ao redor da Terra demora o mesmo tempo, a Lua sempre mostra o mesmo lado, escondendo o lado oposto, ou seja, seu lado escuro. A revolução que corresponde ao tempo que demora o ciclo de fases lunares é o que rege as fases lunares, os eclipses e as marés lunissolares.

Vista no espaço, a Lua parece uma esfera cinza-esbranquiçada, com crateras de vários tamanhos. Área da superfície > 38 milhões de km2 > 3.476 km Diâmetro 1,62 m/s2 Gravidade > mínima: 40 K média Temperatura de dia: 380 K média de noite: 120 K Na superfície lunar, assim como na Terra, existem conjuntos de montanhas que possuem nomes máxima: 396 K

Lua gibosa crescente

Lua nova visível

como Alpes e Apeninos.

Luz solar

Sol

Movimento de rotação

Lua cheia

Lua nova

A Lua gira sobre um eixo de rotação que possui uma inclinação de 88,3º em relação ao plano da elípse de translação ao redor da Terra. Como a duração dos dois movimentos é a mesma, da Terra é constantemente visível o mesmo hemisfério da Lua.

TERRA As marés

Marés vivas

Eclipse da Lua

Lua minguante

Ór

bit

Lua gibosa minguante a Lu

Sombra

Sol

Lua

Terra Penumbra

338

São fenômenos provocados pela Lua. Quando se desloca ao redor da Terra, a Lua segue uma trajetória elíptica, cuja duração é de 29,53 dias. As marés são consequência da atração gravitacional que a massa do satélite exerce sobre a massa de água dos oceanos. Marés mortas Esse fenômeno é o causador das marés e é chamado de gradiente gravitacional. A principal força que age nas marés é proveniente da Lua, com um período (tempo entre duas altas) de 12 horas e 24 minutos, ou seja, a metade do tempo que a Terra demora a girar em torno do Sol. Outro componente das marés é a atração exercida pelo Sol, cujo período é de 23 horas ena sua intensidade é entre 20 e 30% da exercida pela Lua. Unidade 8 Trigonometria circunferência

Quarto minguante

Translação da Lua ao redor do Sol Ao se deslocar em volta do Sol, a Terra leva junto seu satélite, seguindo uma trajetória em forma de curva, cuja concavidade permanece voltada para o Sol. A velocidade com a qual a Lua de desloca em sua órbita ao redor da Terra é de 1 km/s.

Um eclipse da Lua é um fenômeno que acontece quando a Terra se interpõe entre o Sol e a Lua, deixando a Lua na região da sombra ocasionada pela Terra. Acontece na fase de lua cheia. A Terra projeta sombra e penumbra, sendo: • Sombra: a área onde não chega a radiação solar por causa do bloqueio causado pela Terra. • Penumbra: a área onde uma parte da radiação solar é bloqueada. Isso acontece porque a fonte de luz, no caso o Sol, não é uma fonte pontual. Capítulo 14 Funções trigonométricas

339

611

Crédito????????????

Este ícone indica a existência de um objeto educacional digital (OED). Trata-se de uma ferramenta multimídia relacionada ao tema ou assunto que você está estudando.

TECNOLOGIA Vamos estudar mais sobre funções exponenciais e seus gráficos. Usaremos o aplicativo Geogebra para construir gráficos de funções exponenciais. 1. Abra o Geogebra e exiba “Campo de Entrada”. . Essa função permite que você escreva um parâmetro que pode ser

2. Construa um “SELETOR”

alterado dentro de um intervalo predefinido. Crie o seletor com a instrução “a variando de 25 a 5 e com incremento de 0,1”. 3. Digite a lei da função exponencial: f(x) 5 a^x (o acento circunflexo indica a operação de potenciação). Observe que o seletor a é a base da função exponencial. e faça variar o valor de a.

4. Acione o botão “MOVER”

Seção Tecnologia

5. Você deve observar que: • quando a < 0, nenhum gráfico é exibido; • quando 0 , a , 1, o gráfico representa uma função decrescente; • quando a 5 1, o gráfico é uma reta paralela ao eixo x;

Neste boxe são trabalhadas atividades que utilizam algum recurso tecnológico, como calculadora e softwares matemáticos.

Fotos: Geogebra

• quando a . 1, o gráfico representa uma função crescente.

611

3. Escreva a lei da função: f(x) 5 2a ? x. No Geogebra, você deve digitar assim: f(x) 5 2^(a*x) 4. Construa o gráfico e faça o parâmetro a variar, analisando o que acontece quando: a) a , 0; b) a . 0; c) aumentamos o valor de a.

152

Unidade 4 Estudo das funções exponencial e logarítmica

Capítulo 7

Conexões Este boxe apresenta textos que exploram a relação entre a Matemática e outras áreas, ou entre conceitos da própria Matemática.

átomos de carbono na atmosfera

O carbono 14 (14C) forma-se no ar atmosférico quando nêutrons dos raios cósmicos colidem com núcleos de nitrogênio. O carbono 14 combiátomos de nado com o oxigênio constitui o gás carbono nas carbônico radioativo (CO2), que é abplantas sorvido pelos vegetais por meio da fotossíntese e pelos animais por meio Função exponencial da ingestão direta ou indireta de vegetais. átomos de carbono nos Dessa forma, a quantidade de caranimais bono 14 existente nos tecidos vegetais e animais vivos é praticamente Ciclo do carbono. constante. Assim, quando um ser morre, a quantidade de carbono 14 nele contida começa a diminuir à medida que esse ser não mais o absorve e entra em processo de decomposição. O período de meia-vida do carbono 14 (tempo necessário para que a metade da massa de um corpo formado por essa partícula se desintegre) é aproximadamente 5 370 anos. Os cientistas conseguem determinar a idade de um fóssil ou de um objeto muito antigo de madeira (com idade inferior a 40 000 anos), por exemplo, com base na relação entre a concentração de 14C restante e a concentração existente numa espécie semelhante atual. Para o cálculo de períodos maiores, o melhor é usar o urânio 238, que desintegra muito mais lentamente, transformando-se em chumbo 206. As rochas mais antigas são as que contêm maiores proporções de chumbo. De modo geral, supondo um corpo de massa M0 formado por uma partícula radioativa cuja taxa de desintegração é , sua massa M, após um tempo t (em anos) de desintegração, é dada por: M 5 M0 ? e2t, em que: n 2 5 e t0 é a meia-vida da partícula. t0

Marcio Jose Bastos Silva/ Shutterstock/Glow Images

Estimando a idade pelo método do carbono radioativo

2. Crie um SELETOR a que varia de 25 a 5 com incremento de 0,1.

Ilustra Cartoon

ConExõEs

ATIVIDADES 1. Abra um novo documento no Geogebra.

Fóssil de um peixe pré-histórico. Os fósseis são restos de animais ou plantas que ficam preservados por milhões de anos.

Acompanhe o exemplo a seguir. • O cobalto 60, usado em hospitais, tem meia-vida de 5 anos. Quantos gramas de cobalto 60 restarão após 20 anos em uma atmosfera que, inicialmente, continha 10 g dessa substância? Dados: M0 5 10 g; t0 5 5 anos; t 5 20 anos. Substituindo os dados na lei da função, temos:

M M M M M

10 e 5 10 e 4 n 2 10 2 4 10 0,0625 0,625

Como n 2 é o logaritmo natural de 2, ou seja, é loge 2, temos: e24 ? n 2 5 (en 2)24 5 224

Então, restará 0,625 grama de cobalto 60 após 20 anos.

Unidade 4

Estudo das funções exponencial e logarítmica

Capítulo 8

Função logarítmica

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EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

B (norte)

15. (Univag-MT) Recentemente, em Cuiabá, foi reinaugurada a Praça 8 de Abril (Praça do Chopão). Admita que a figura abaixo mostre esquematicamente a forma (triangular) e as dimensões da referida praça.

Considere Av. Isaac Póvoas

(oeste) C

d) 80 3

10. (UEM-PR) No problema a seguir, considere que qualquer trajetória do ciclista é feita em linha reta e com velocidade constante e igual a 10 m/s. Duas rodovias, H e R, cruzam-se em um ponto A, segundo um ângulo de 60°. Um ciclista parte do ponto A pela rodovia H e, após um terço de hora, atinge um ponto B, de onde é possível seguir para a rodovia R, percorrendo o menor caminho, atingindo-a no ponto C. Para retornar de C ao ponto A de origem, pela rodovia R, qual a distância que o ciclista deve percorrer, em quilômetro?

13. (Fuvest-SP) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E é um ponto sobre o lado AD tal que o ângulo AB BE mede 60° e os ângulos EB BC e BB CD são retos. Sabe-se ainda que AB 5 CD 5 3 e BC 5 1. Determine a medida de AD . D E

45°

Com esse procedimento, o ambientalista obteve como resultado que a altura da árvore era de:

A 60°

20 m

B 20 m

a) 65

b) 87

c) 89

d) 91

e) 99

16. (Unifor-CE) Num triângulo, dois lados, cujas medidas são 4 cm e 3 2 cm, formam um ângulo de 45°. Qual é a medida, em metros, do 3o lado? a) 5 2 m

c) 10 m

b) 10 m

d) 14 m

17. (UFABC-SP) Na Austrália, vários anos seguidos de secas impiedosas intensificaram a incidência de incêndios florestais. Para observar eventuais incêndios em uma reserva, duas torres (T1 e T2) foram instaladas, ambas na mesma altitude e distantes 6 km uma da outra. Um clarão anunciou um foco de incêndio (ponto I), que é observado da torre T1, sob um ângulo de 60°, e é observado da torre T2, sob um ângulo de 30°, conforme mostra a figura. T2

75°

solo

Utilizando-se as medidas indicadas na figura, é correto afirmar que a altura da pipa em relação ao solo, em metros, é

6 km 30°

T1 60°

a) 11

d) 1  10 3

b) 11 3

e) 1  5

c) 1  10 2

( 6  2)

19. (PUC-MG) Quatro estações de um metrô ocupam os vértices de um trapézio isósceles, conforme indicado na figura. A linha AD mede 15 km, a linha AB tem 8 km e o ângulo entre as linhas BC e CD, o maior do trapézio, mede 120°. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a extensão da linha AC, em quilômetro, é igual a: B C a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 D

20. (Vunesp-SP) Paulo e Marta estão brincando de jogar dardos. O alvo é um disco circular de centro O. Paulo joga um dardo, que atinge o alvo num ponto que vamos denotar por P; em seguida, Marta joga outro dardo, que atinge um ponto denotado por M, conforme figura.

P 14 cm

I 12 m

B 60°

15 m

Nessas condições, a distância, em metros, entre as pipas B e C é um número compreendido entre

c) 5 3  6

a) 11 e 12

c) 13 e 14

b) 5 3  5

d) 5 3  16

b) 12 e 13

d) 14 e 15

Introdução à trigonometria

14. (UECE) Um garoto situado no ponto A está empinando duas pipas B e C, no ar, conforme figura. A pipa B já levou 15 metros de linha e a pipa C, 12 metros. O ângulo formado entre as duas linhas é de 60°.

a) 5 3  15

Unidade 7

Lei dos cossenos

Ilustrações: Editoria de Arte

11. (UFRN) Para medir a altura de uma árvore, da qual não podia aproximar-se, um ambientalista colocou, a certa distância dessa árvore, um cavalete de 1 m de altura e observou seu ponto mais alto, segundo um ângulo de 30°. Aproximando-se mais 10 m, observou o mesmo ponto segundo um ângulo de 45°, conforme a figura abaixo.

280

100 m 70 m x

O valor de x em metro é:

e) 90 3

c) 60 3

30° 10 m

60°

120°

a) 30 3 b) 40 3

79 8,9

Av. Getúlio Vargas

Com base na figura, a distância em quilômetro que o avião voou partindo de A até chegar a B é:

raio forma com o solo um ângulo de 75° com a representação de um raio solar.

Ilustrações: Editoria de Arte

12. (Unicamp-SP) Para medir a largura AC de um rio um homem usou o seguinte procedimento: localizou um ponto B de onde podia ver na margem oposta o coqueiro C, de forma que o ângulo ABBC fosse 60°; determinou o ponto D no prolongamento de CA, de forma que o ângulo CBBD fosse 90°. Medindo AD 5 40 metros, achou a largura do rio. Determine essa largura e explique o raciocínio. Alberto De Stefano

9. (Vunesp-SP) Um pequeno avião deveria partir de uma cidade A rumo a uma cidade B ao norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120° à direita em um ponto C, de modo que seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.

e) 15 e 16

Desprezando-se as alturas das torres e supondo-se que os pontos T1, T2 e I sejam coplanares, determine a que distância cada uma das torres está do foco do incêndio. 18. (Cefet-SP) Um menino empina uma pipa com uma linha totalmente esticada de 20 m. A figura representa o instante em que um raio solar incide sobre a pipa e projeta sua sombra sobre o solo. A reta que contém o

120°

10 cm O

Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro O do alvo é PO 5 10 cm, que a distância de P a M é PM 5 14 cm e que o ângulo PBOM mede 1208, a distância, em centímetros, do ponto M ao centro O é a) 12 b) 9

c) 8

e) 5

d) 6 Capítulo 12

Trigonometria nos triângulos

281

Exercícios Complementares No final de cada capítulo, esta seção apresenta questões relacionadas aos conteúdos trabalhados, selecionadas de vestibulares, do Enem e de outros concursos nacionais.

Sumário Exercícios propostos 63, 66, 67, 71, 73, 76 Exercícios complementares

PARTE I

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Unidade 1 – Estudo dos conjuntos Capítulo 1 – Conjuntos

12 14 Introdução 14 O que é conjunto, representações e classificações 14 Representações de um conjunto 14 Relação de pertinência 15 Tipos de conjunto 15 Igualdade de conjuntos 16 Subconjuntos e a relação de inclusão 16 Relação de inclusão entre conjuntos................................. 16 Propriedades da relação de inclusão 17 União, intersecção e diferença de conjuntos 19 União de conjuntos 19 Intersecção de conjuntos 19 Propriedades da união e da intersecção de conjuntos 19 Número de elementos da união de conjuntos 20 Diferença de conjuntos 21 Exercícios propostos 18, 22 Exercícios complementares 24 Capítulo 2 – Conjuntos numéricos 26 Introdução 26 26 Conjunto dos números naturais Conjunto dos números inteiros 27 Números inteiros opostos 28 Módulo de um número inteiro 28 Conjunto dos números racionais 30 Inverso de um número racional 31 Números irracionais 33 Alguns números irracionais famosos 35 Conjunto dos números reais 37 Intervalos reais 38 Operações com intervalos reais 39 Exercícios propostos 29, 32, 36, 40 Exercícios complementares 41 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Unidade 2 – Introdução às funções Capítulo 3 – Funções

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Introdução Sistema cartesiano ortogonal A ideia de função

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Tabela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lei de formação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Definição de função Domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função

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Domínio e contradomínio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto imagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estudo do domínio de uma função real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gráfico de uma função

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44 46 46 47 49 49 50 51 54 55 55 55 58 59 59 61

Construção e leitura.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identificação do gráfico de uma função. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinação do domínio e do conjunto imagem de uma função com base no seu gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Variação de uma função Função par e função ímpar Funções sobrejetora, injetora e bijetora

Função sobrejetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Função injetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Função bijetora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Função composta

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Conceito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Função inversa

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Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lei da função inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gráficos f e f21.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64 67 68 68 68 69 72 72 72 74 74 74 75

48, 52, 57, 59, 60,

..................................................................

Unidade 3 – Estudo das funções polinomiais do 1o e do 2o grau Capítulo 4 – Função afim e função polinomial do 1o grau

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Introdução Função afim Função polinomial do 1o grau

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Função linear e proporcionalidade.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gráfico da função polinomial do 1o grau

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Valor inicial e taxa de variação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Crescimento e decrescimento da função polinomial do 1o grau Zero da função polinomial do 1o grau Estudo do sinal da função polinomial do 1o grau Inequações do 1o grau

80 82 82 83 83 83 86 86

91 92 92 95 Sistemas de inequações do 1o grau 97 Inequação-produto e inequação-quociente 98 Exercícios propostos 85, 89, 94, 96, 99 Exercícios Complementares 100 ............................................................................. ...................................

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Capítulo 5 – Função quadrática ou função polinomial do 2o grau

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Introdução Função quadrática Gráfico da função quadrática Zeros da função quadrática Vértice da parábola

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.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102 102 102 105 109 112 112

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As coordenadas do vértice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjunto imagem e intervalos de crescimento ou decrescimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Valor mínimo ou valor máximo da função quadrática. . . 113

Estudo do sinal da função quadrática

117

Inequações do 2o grau

118

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1o caso: D . 0.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2o caso: D 5 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3o caso: D , 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 ........................................................................

Sistemas de inequações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Inequação-produto e inequação-quociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Exercícios propostos 104, 107, 111, 115, 120, 124 Exercícios Complementares 124 Capítulo 6 – Função modular 127 Introdução 127 Módulo de um número real 127 Definição 127 Interpretação geométrica 127 Propriedades 128 Função modular 130 Definição 130 Gráfico da função modular 130 Equações modulares 135 Inequações modulares 137 Resolução de equações e inequações modulares por meio do gráfico da função associada 139 Exercícios propostos 129, 134, 136, 139, 140 Exercícios complementares 141 ..................

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Unidade 4 – Estudo das funções exponencial e logarítmica Capítulo 7 – Função exponencial

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Introdução Potenciação

Potências com expoente natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potências com expoente inteiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades da potenciação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potências com expoente racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potências com expoente real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142 144 144 144 144 145 145 147 147

Função exponencial

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150

Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Gráfico da função exponencial.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Equações exponenciais Inequações exponenciais Exercícios propostos Exercícios complementares

153 156 148, 151, 155, 157 158 Capítulo 8 – Função logarítmica 160 Introdução 160 Logaritmo 161 Definição 161 Cálculo de logaritmos pela definição 161 Condições de existência de um logaritmo 162 Consequências da definição de logaritmo 163 Sistemas de logaritmos 164 Uso da calculadora com logaritmos 165 Propriedades dos logaritmos 167 Logaritmo de um produto 167 Logaritmo de um quociente 167 Logaritmo de uma potência 168 Mudança de base 169 Função logarítmica 171 Definição 171 Gráfico da função logarítmica 171 ...................................................................... .................................................................

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Relação entre função exponencial e função logarítmica.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Equações logarítmicas 176 Inequações logarítmicas 178 Exercícios propostos 164, 166, 170, 174, 177, 179 Exercícios complementares 180 ........................................................................ ...................................................................

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Unidade 7 – Introdução à trigonometria Capítulo 11 – Proporcionalidade e semelhança

.. . . . . . . . . . . . . .

236

238 238 239 Segmentos proporcionais 239 Teorema de Tales 240 Teorema da bissetriz interna de um triângulo 241 Semelhanças 243 Noções de semelhança 243 Figuras semelhantes 244 Polígonos semelhantes 244 Semelhança de triângulos 247 Teorema fundamental da semelhança 248 Consequências da semelhança de triângulos 249 Relações métricas no triângulo retângulo 251 Teorema de Pitágoras 251 Outras relações métricas em um triângulo retângulo 253 Exercícios propostos 242, 246, 250, 255 Exercícios Complementares 256 Capítulo 12 – Trigonometria nos triângulos 260 Razões trigonométricas no triângulo retângulo 260 Seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo 260 Tabela de razões trigonométricas 262 Relação entre razões trigonométricas 264 Ângulos notáveis 268 Seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30° e 60° 268 Seno, cosseno e tangente do ângulo de 45° 268 Seno e cosseno de ângulos suplementares 271 Lei dos cossenos 272 Triângulo acutângulo 272 Triângulo obtusângulo 272 Triângulo retângulo 272 Lei dos senos 275 Área de um triângulo qualquer 277 Triângulo acutângulo 277 Triângulo obtusângulo 277 Exercícios propostos 266, 269, 274, 276, 278 Exercícios Complementares 279 ..................................................................................................

Introdução Proporcionalidade

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Unidade 5 – Estudo das progressões Capítulo 9 – Progressões

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Introdução Sequências numéricas

Lei de formação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Progressão aritmética

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182 184 184 185 185 189 189 190 192 195

Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classificação de uma PA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Termo geral de uma PA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soma dos termos de uma PA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Progressão aritmética e função polinomial do 1o grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

Progressão geométrica

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198

Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Classificação de uma PG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Termo geral de uma PG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Soma dos termos de uma PG finita.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Soma dos termos de uma PG infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Progressão geométrica e função exponencial.................................. 208

Exercícios propostos 187, 191, 194, 197, 201, 203, 205, 209 Exercícios Complementares 210 .................

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Unidade 6 – Matemática financeira Capítulo 10 – Noções de Matemática financeira

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214

216 216 217 Porcentagem de uma quantia 217 Aumento e desconto 220 Lucro e prejuízo 220 Variação percentual 220 Aumentos e descontos sucessivos 221 Juro 225 Introdução 225 Juro simples 226 Juro composto 228 Juros e funções 231 Exercícios propostos 219, 223, 227, 230, 232 Exercícios Complementares 233 .......................................................................................................

Introdução Porcentagem

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PARTE II Unidade 8 – Trigonometria na circunferência Capítulo 13 – Razões trigonométricas na circunferência

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Introdução Ângulo Circunferência: arco e ângulo central

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Arco de circunferência. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ângulo central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Unidades de medida de arcos e ângulos

..........................

Grau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radiano.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Comprimento da circunferência Relação entre grau e radiano Comprimento de um arco Circunferência trigonométrica

...............................................

306 308 308 308 309 309 309 310 310 310 312 312 313 316 316 316 317 319 319 320 320 323 323 324 324

..............................................................................................

.............................................................................................................

........................................................................................

Arco orientado.......................................................................................................................................................... A circunferência trigonométrica....................................................................................... Arcos côngruos.........................................................................................................................................................

Seno e Cosseno de um arco

......................................................................................................

Tangente de um arco

................................................................................................................................

Sumário Relações entre seno e cosseno

........................................................................................

326

Relação trigonométrica fundamental..................................................................326 Arcos complementares...........................................................................................................................326

Cotangente de um arco 328 Secante e cossecante de um arco 328 Exercícios propostos 311, 314, 318, 322, 325, 327, 329 Exercícios Complementares 330 Capítulo 14 – Funções trigonométricas 334 Função seno 334 Definição 334 O gráfico da função y 5 sen x 334 Função cosseno 340 Definição 340 O gráfico da função de y 5 cos x 340 Função tangente 343 Definição 343 Gráfico da função de y 5 tg x 343 Transformações trigonométricas 346 Fórmulas da adição e subtração de arcos 346 Fórmulas do arco duplo e do arco metade 349 Fórmulas de transformação em produto 350 Equações trigonométricas 352 Identidades trigonométricas 355 Inequações trigonométricas 356 Exercícios propostos 337, 343, 345, 351, 354, 357 Exercícios Complementares 357 ..................................................................................................................... ............................................................................

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Unidade 9 – Matrizes, determinantes e sistemas lineares Capítulo 15 – Matrizes

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Introdução Conceito Representação genérica de uma matriz Matrizes especiais

..............................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

Matriz linha..................................................................................................................................................................... Matriz coluna............................................................................................................................................................... Matriz nula........................................................................................................................................................................

Matriz quadrada

....................................................................................................................................................

Matriz triangular................................................................................................................................................. Matriz diagonal...................................................................................................................................................... Matriz identidade.............................................................................................................................................

Igualdade de matrizes Matriz transposta Matriz simétrica Adição e subtração de matrizes

............................................................................................................................

................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................

362 364 364 364 365 365 365 365 365 367 367 367 367 369 369 369 371 371 371 372 372

....................................................................................

Adição de matrizes.......................................................................................................................................... Subtração de matrizes.............................................................................................................................. Matriz oposta.............................................................................................................................................................. Propriedades da adição de matrizes.......................................................................

Multiplicação de um número real por uma matriz Multiplicação de matrizes

Propriedades e teoremas dos determinantes

........................

398

Propriedades dos determinantes.................................................................................... 398 Teorema de Jacobi........................................................................................................................................... 401 Teorema de Binet............................................................................................................................................... 402 Determinante da matriz inversa....................................................................................... 402

Exercícios propostos Exercícios Complementares

390, 392, 395, 404 405 Capítulo 17 – Sistemas lineares 408 Equação linear 408 Equações equivalentes 409 Sistemas lineares 409 Definição 409 Solução de um sistema linear 410 Sistemas lineares equivalentes 410 Sistemas lineares 2 3 2 413 Definição 413 Interpretação geométrica 413 Classificação de um sistema linear 2 3 2 413 Matrizes associadas a um sistema linear 415 Escalonamento 419 Sistemas escalonados 419 Resolução de um sistema linear por escalonamento 421 Classificação e discussão de um sistema linear 422 Classificação de um sistema linear 422 Discussão de um sistema linear 423 Sistema linear homogêneo 425 Exercícios propostos 411, 415, 417, 420, 422, 424, 426 Exercícios Complementares 427 ......................................................................

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Unidade 10 – Tópicos de Geometria plana e espacial 432 Capítulo 18 – Áreas 434 ..............................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................

Introdução Área das principais figuras planas

434 434 Área do retângulo 434 Área do quadrado 434 Área do paralelogramo 434 Área do triângulo 437 Área do losango 440 Área do trapézio 440 Área do círculo e de suas partes 443 Polígonos regulares 447 Elementos de um polígono regular inscrito 447 Relações métricas nos polígonos regulares 448 Área de um polígono regular 448 Razão entre áreas de figuras planas semelhantes 450 Exercícios propostos 436, 439, 442, 446, 450, 451 Exercícios Complementares 452 Capítulo 19 – Geometria espacial de posição 459 Introdução 459 Noções primitivas 460 Postulados 460 Postulado da reta 460 Postulados do plano 461 Determinação do plano 462 Posições relativas 463 Duas retas no espaço 463 Uma reta e um plano no espaço 464 Dois planos no espaço 464 Perpendicularismo entre reta e plano 466 Projeção ortogonal 467 Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano 467 Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano 467 .............................................................................................................................................................................. .........................................................................

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374 376 Propriedades da multiplicação de matrizes 378 Inversa de uma matriz 382 Exercícios propostos 366, 368, 370, 373, 375, 380, 383 Exercícios Complementares 384 Capítulo 16 – Determinantes 388 Introdução 388 Determinante 388 Determinantes de matrizes de ordens 1 e 2 389 Determinante de uma matriz de ordem 1 389 Determinante de uma matriz de ordem 2 389 Determinante de uma matriz de ordem 3 – 391 Regra de Sarrus Determinante de uma matriz de ordem 393 maior que 3 Cofator 393 Determinante definido pelo teorema de Laplace 393 ................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................

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Projeção ortogonal de uma figura geométrica sobre um plano.....................................................................................................................................468

Ângulo de uma reta com um plano Ângulo diedro Secção normal de um diedro Triedros Ângulos poliédricos Teoremas do paralelismo

..................................................................

469 470 470 471 472 472 472 473

.............................................................................................................................................................................................

Teorema 3.............................................................................................................................................................................473 Teorema 4.............................................................................................................................................................................473

Teoremas do perpendicularismo

................................................................................

475

Teorema 1.............................................................................................................................................................................475 Teorema 2.............................................................................................................................................................................476 Teorema 3.............................................................................................................................................................................476 Teorema 4.............................................................................................................................................................................476 Teorema 5............................................................................................................................................................................ 477

Exercícios propostos 462, 465, 468, 471, 474, 478 Exercícios Complementares 479 Capítulo 20 – Poliedros 483 Poliedros 483 Definição 483 Poliedros convexos 484 Poliedros regulares 485 Poliedros de Platão 485 Prismas 488 Definição 488 Elementos 488 Classificação 488 Prisma regular 489 Secção plana de um prisma 489 Áreas da superfície de um prisma 489 Volume 491 Paralelepípedo 491 Princípio de Cavalieri 493 Diagonal de um paralelepípedo retângulo 496 Área da superfície de um paralelepípedo retângulo 496 Diagonal de um cubo 497 Área da superfície de um cubo 497 Pirâmides 501 Definição 501 Elementos 501 Classificação 501 Pirâmide regular 502 Secção de uma pirâmide 503 Àrea da superfície de uma pirâmide 503 Volume de uma pirâmide 504 Tetraedro regular 505 Pirâmides semelhantes 508 Tronco de pirâmide 509 Áreas da superfície de um tronco de pirâmide 509 Volume de um tronco de pirâmide 510 Exercícios propostos 487, 490, 495, 498, 507, 512 Exercícios Complementares 513 Capítulo 21 – Corpos redondos 516 Introdução 516 Cilindros 516 Conceito 516 Elementos 517 Classificação 517 Área da superfície de um cilindro 518 Volume de um cilindro 520 Secção meridiana de um cilindro reto 522 Cilindro equilátero 522 Cones 523 Conceito 523 Elementos 523 Classificação 524 Área da superfície de um cone circular reto 524 Volume de um cone 526 Secção meridiana de um cone reto 528 Cone equilátero 529 Tronco de cone 529 Esferas 533 Definição 533 Elementos de uma esfera 534 Área da superfície esférica 534 Secção de uma esfera 534 Volume de uma esfera 536 Fuso esférico 538 Cunha esférica 539 Exercícios propostos 519, 521, 523, 526, 528, 529, 532, 535, 538, 539 Exercícios Complementares 540 ...........................

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Introdução Princípio multiplicativo

546 547 Árvore de possibilidades 547 Tabela de dupla entrada 547 Fatorial 551 Permutação simples 551 Arranjo simples 553 Combinação simples 556 Definição 557 Permutação com elementos repetidos 559 Número binomial 561 Números binomiais complementares 561 Propriedades 561 Triângulo de Pascal 562 Propriedades do triângulo de Pascal 562 Somatório 564 Binômio de Newton 566 Termo geral do binômio de Newton 569 Exercícios propostos 550, 553, 555, 558, 560, 565, 568, 570 Exercícios Complementares 571 Capítulo 23 – Probabilidade 574 Introdução 574 Experimentos aleatórios 575 Espaço amostral e evento 575 Espaço amostral 575 Evento de um espaço amostral 575 Tipos de eventos 575 Evento impossível 576 Evento certo 576 Evento simples ou elementar 576 Eventos complementares 576 Eventos mutuamente exclusivos 576 Probabilidade 577 Probabilidade da união de dois eventos 580 Probabilidade condicional 582 Eventos independentes 584 Experimentos não equiprováveis 587 O método binomial 588 Exercícios propostos 577, 579, 581, 583, 586, 588, 590 Exercícios Complementares 591 ............................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................ ....................................................................................................................

....................................................................................................................

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PARTE III

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Unidade 11 – Análise combinatória Capítulo 22 – Combinatória

.....................................................

544 546

....................................................................................................

Unidade 12 — Geometria e Álgebra no plano cartesiano 610 Capítulo 24 – Geometria Analítica: pontos e retas 612 .................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

Introdução Sistema cartesiano ortogonal Distância entre dois pontos Ponto médio de um segmento de reta

612 612 615 617 617 618 620 622 622 623 623

.....................................................................................................

.....................................................

Divisão de um segmento numa razão r............................................................. Baricentro de um triângulo..........................................................................................................

Condição de alinhamento de três pontos Equações da reta

........................................

...................................................................................................................................................

Equação geral da reta.............................................................................................................................. Inclinação de uma reta.......................................................................................................................... Coeficiente angular de uma reta.................................................................................... Equação da reta de coeficiente angular m e que passa por um ponto P(x1, y1)..............................................................................................................627 Equação reduzida da reta............................................................................................................. 628 Equação segmentária da reta................................................................................................ 629 Equações paramétricas.......................................................................................................................... 629

Posições relativas entre duas retas

631

.......................................................................

Ângulos entre duas retas.................................................................................................................. 635

Distância entre ponto e reta

................................................................................................

637

Sumário Área de um triângulo Exercícios propostos 630, 634, 639 Exercícios Complementares

637 614, 616, 619, 621, 626

...............................................................................................................................

....................................................

..........................................................................................................

642

Capítulo 25 – Geometria Analítica:

648 648 648 Equação reduzida da circunferência 648 Equação geral da circunferência 649 Posições relativas entre ponto e circunferência 651 Posições relativas entre reta e circunferência 654 Posições relativas entre duas circunferências 657 Exercícios propostos 651, 653, 656, 659 Exercícios Complementares 660 Capítulo 26 – Geometria Analítica: cônicas 664 Introdução 664 Elipse 665 Definição 665 Elementos 666 ............................................................................................................................................................

Introdução Equações da circunferência

.......................................................................

......................................................................................

...............

....................

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........................................................................

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.........................

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...................................................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................

Equação reduzida da elipse com eixos sobre os eixos coordenados ou paralelos a eles.................................................................... 666 ...................................................................................................................................................................................

672 672 673

Definição............................................................................................................................................................................... Elementos............................................................................................................................................................................ Equação reduzida da hipérbole com eixos sobre os eixos coordenados ou paralelos a eles.................................. 673 Assíntotas da hipérbole....................................................................................................................... 677 Hipérbole equilátera.................................................................................................................................. 678 Construção de uma hipérbole............................................................................................... 679

Parábola

........................................................................................................................................................................................

680

Definição...............................................................................................................................................................................680 Elementos............................................................................................................................................................................680 Equação reduzida da parábola com diretriz horizontal e vértice na origem........................................................................... 681 Equação reduzida da parábola com diretriz vertical e vértice na origem............................................................................................................................. 682 Equação da parábola com vértice fora da origem................... 683 Construção de uma parábola..................................................................................................686

Exercícios propostos Exercícios Complementares

.......................................................................

670, 676, 679, 687 688

..........................................................................................................

Unidade 13 – Tópicos de álgebra Capítulo 27 – Números complexos

.....................................................................

..................................................................

Introdução O conjunto dos números complexos

690 692 692 692 692 693

A unidade imaginária............................................................................................................................... Forma Algébrica de um número complexo..............................................

Representação geométrica de um número complexo Igualdade de números complexos Conjugado de um número complexo

Operações com números complexos na forma algébrica

......................................................................................................................................................................................

694 697 697 697 697 697 699

Adição e subtração de números complexos........................................... 699 Multiplicação de números complexos................................................................. 699 Divisão de números complexos............................................................................................702 Potências de i................................................................................................................................................................702 Potências de a 1 bi..........................................................................................................................................703

Módulo de um número complexo

................................................

695, 698, 701, 705, 707,

714 718 Introdução 718 Grau de um polinômio 719 Polinômio nulo 719 Valor numérico 719 Igualdade de polinômios 719 Adição e subtração de polinômios 721 Multiplicação de polinômios 722 Divisão de polinômios 723 Método da chave 724 Método dos coeficientes a determinar 725 Divisão de polinômios por binômios na forma ax 1 b 726 Divisão de polinômios por binômios na forma x 2 a 727 Dispositivo de Briot-Ruffini 728 Divisão de polinômios pelo produto (x 2 a) ? (x 2 b) 731 Exercícios propostos 720, 723, 729, 732 Exercícios Complementares 733 Capítulo 29 – Equações polinomiais 736 Introdução 736 Equação polinomial 736 Raiz 736 Conjunto solução 737 Teorema fundamental da álgebra 739 Teorema da decomposição em fatores 739 ...........................................................................................................

Capítulo 28 – Polinômios

..................................................................................................................

circunferência

Hipérbole

Radiciação.............................................................................................................................................................................711

Exercícios propostos 710, 713 Exercícios Complementares

706 Definição 706 Argumento de um número complexo 708 Forma trigonométrica de um número complexo 709 Operações com números complexos na forma trigonométrica 710 Multiplicação 710 Divisão 711 Potenciação 711 ........................................................................

........

.............................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................

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.......................................................................................................................................

Consequência imediata do teorema da decomposição...............................................................................................................................740

Multiplicidade de uma raiz Relações de Girard

740 742 742 743 743 743 746 747 738, 742, 745, 749 750

........................................................................................................

.............................................................................................................................................

Equação do 2o grau......................................................................................................................................... Equação do 3o grau......................................................................................................................................... Equação do 4 o grau......................................................................................................................................... Equação de grau n............................................................................................................................................

Raízes complexas Raízes racionais Exercícios propostos Exercícios Complementares

...................................................................................................................................................

..........................................................................................................

Unidade 14 – Estatística Capítulo 30 – Noções de Estatística

....................................................................................................................

Introdução

..............................................................

..............................................................................................................................................................................

752 754 754 755 755 755 757 757

População............................................................................................................................................................................. Amostra..................................................................................................................................................................................... Variável.......................................................................................................................................................................................

Frequências

............................................................................................................................................................................

Frequência absoluta e frequência relativa................................................

Representação gráfica da distribuição de frequências para dados não agrupados

761

Representação gráfica da distribuição de frequências para dados agrupados em intervalos de classe

767

Medidas de tendência central

769

................................................

Gráfico de barras.................................................................................................................................................. 761 Gráfico de setores...............................................................................................................................................762 Gráfico poligonal ou de linha..................................................................................................763 Pictogramas......................................................................................................................................................................763

..........................................................................................................................................

Histograma de frequências...........................................................................................................767 Polígono de frequências.....................................................................................................................767 ...........................................................................................

Média aritmética..................................................................................................................................................769 Média aritmética ponderada................................................................................................... 770 Mediana...................................................................................................................................................................................771 Moda...............................................................................................................................................................................................771

Medidas de dispersão

..............................................................................................................................

777

Desvio médio............................................................................................................................................................... 777 Variância e desvio padrão............................................................................................................... 778

Exercícios propostos Exercícios Complementares

.................................................

759, 765, 768, 776, 779 780

..........................................................................................................

Sumário – Parte I Unidade 1 – Estudo dos conjuntos

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Capítulo 2 – Conjuntos numéricos

Unidade 2 – Introdução às funções Capítulo 3 – Funções

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....................................

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............................................................................... ............

142

...............................................................

Capítulo 7 – Função exponencial Capítulo 8 – Função logarítmica

..................................

144

....................................

160

Unidade 5 – Estudo das progressões Capítulo 9 – Progressões

182

............................

184

..........................................................

Unidade 6 – Matemática financeira

Unidade 3 – Estudo das funções polinomiais do 1o e do 2o grau Capítulo 4 – Função afim e função polinomial do 1o grau

Unidade 4 – Estudo das funções exponencial e logarítmica

214

.................................

Capítulo 10 – Noções de Matemática financeira

............................................................................................................

..................................

Capítulo 5 – Função quadrática ou função polinominal do 2o grau

102

Capítulo 6 – Função modular

127

........................

..............................................

Unidade 7 – Introdução à trigonometria

...............

Capítulo 11 – Proporcionalidade e semelhança Capítulo 12 – Trigonometria nos triângulos

216 236

.................................................................................................

238

...........

260

Aguardando textos

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Capítulo 1 – Conjuntos

.......................................

Unidade

Estudo dos conjuntos

A taxonomia é o ramo da Biologia que estuda a classificação dos seres vivos. Ao classificá-los, os cientistas utilizam critérios de semelhança, organizando-os em grupos, conjuntos e subconjuntos. Assim, podem estabelecer, por exemplo, a existência de um ancestral comum entre grupos diferentes. A importância dessa classificação está em compreender a imensa biodiversidade do planeta Terra, buscando conhecer o histórico evolutivo dos seres vivos. Todos os seres vivos podem ser classificados em um dos seis reinos, que são: Archaebacteria, Eubacteria, Protista, Fungi, Plantae e Animalia. Cada reino é dividido em filos, que incluem uma ou mais classes. As classes são formadas por ordens, que contêm famílias. As famílias são constituídas de gêneros, que contêm uma ou diversas espécies. Espécie pode ser definida como a categoria taxonômica cujos indivíduos apresentam semelhanças morfológicas, fisiológicas e genéticas e cruzam-se gerando descendentes férteis. Ao lado representação da clas a si sifi fica fi caaçã ção o daa onça-pintada. onç nçaa-pi aa-pi pint ntad nt ad da. a classificação

Reino Filo Classe Ordem Família Gênero Espécie 12

Unidade 1

Estudo dos conjuntos

Imagem fora de escala e cores fantasia

I A M

SSE

M OS

ER MÍF

M DE

C OS

OR V Í N

MÍ A F

O AD

DE Í L E

ÊN

PA O R

ER H T N

ESPÉ CIE PA

D O L FI

C OS

O DA D

Capítulo 1

ONCA A R HE T N

Conjuntos

CAPÍTULO 1

Conjuntos

• • •

Conjuntos, representações e classiﬁcação subconjuntos operações com conjuntos

InTRodução Phillip Minnis/Shutterstock/Glow Images

Usamos a noção de conjunto frequentemente. A semelhança a um atributo comum a dois ou mais objetos é um dos critérios considerados na formação de conjuntos. Ao organizar a lista de amigos para uma festa, ao preparar o material escolar ou, então, ao formar um time, por exemplo, estamos constituindo conjuntos.

o Que É conjunTo, RePReSenTaçÕeS e claSSIfIcaçÕeS Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos, de pessoas, de números, de pontos, de figuras geométricas etc. Em geral, estudam-se os conjuntos formados por elementos que possuem uma propriedade comum ou que satisfazem a determinada condição.

Nos mercados e feiras livres é comum ver os produtos organizados por semelhança.

Representações de um conjunto Podemos representar um conjunto de várias maneiras. Uma delas, quando possível, é listando seus elementos um a um, colocando-os entre chaves, separando-os por vírgula e usando uma letra maiúscula para nomeá-lo. Exemplos: • Conjunto das vogais do nosso alfabeto. A 5 {a, e, i, o, u} • Conjunto dos números naturais ímpares menores que 10. E 5 {1, 3, 5, 7, 9} Também podemos representar um conjunto por meio de uma figura chamada diagrama de Venn (criado pelo matemático e lógico inglês John Venn, 1834-1923).

A a

e i

Editoria de Arte

Um conjunto também pode ser dado por uma propriedade que caracterize seus elementos. Veja: P 5 {x | x é vogal do alfabeto latino} Este símbolo significa tal que.

Unidade 1

Estudo dos conjuntos

Relação de pertinência Para indicar que um elemento faz parte de determinado conjunto, usamos o símbolo [ (pertence). Para indicar que ele não faz parte, usamos o símbolo  (não pertence). Por exemplo, tomando A 5 {a, e, i, o, u}, conjunto das vogais de nosso alfabeto, temos: • i [ A (lê-se: i pertence a A). • d  A (lê-se: d não pertence a A).

Tipos de conjunto Quanto ao número de elementos, os conjuntos podem ser classificados como finitos ou infinitos. • Conjunto finito é aquele que tem um número determinado de elementos. Por exemplo, o conjunto A das vogais de nosso alfabeto. Utilizamos a notação n(A) para indicar o número de elementos do conjunto A (finito). No exemplo acima, temos n(A) 5 5. • Conjunto infinito é aquele que não é finito. Por exemplo, o conjunto B dos números naturais ímpares. B 5 {1, 3, 5, 7, 9, ...} As reticências indicam que o conjunto é infinito.

Quando os elementos de um conjunto infinito não podem ser enumerados, esse conjunto é expresso de uma forma genérica, por uma propriedade comum aos seus elementos. Por exemplo, dada uma reta r, temos: M 5 {X | X é ponto da reta r } Embora conjunto passe uma ideia de coleção, existem dois conjuntos muito especiais para a Matemática que não correspondem a essa noção: o conjunto unitário e o conjunto vazio. H 5 {x | x é um número natural maior que 6 e menor que 8} 5 {7} • Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Ele é representado por { } ou por . Por exemplo: V 5 { x | x é um número natural e 2 2 x 5 6} 5 [ Por definição, o conjunto vazio é finito, com zero elemento. Em vários casos, é importante estabelecer o conjunto ao qual pertencem todos os elementos relacionados a determinada situação. • Conjunto universo é aquele que é formado por todos os elementos que representam a situação estudada. Em geral, ele é indicado por U. Exemplos: a) quando estudamos a população humana, o conjunto universo é constituído de todos os seres humanos; b) quando estudamos os números envolvidos em situações de contagem, o conjunto universo é o conjunto dos números naturais. Capítulo 1

Conjuntos

Igualdade de conjuntos Se A 5 {vogais da palavra livro} e B 5 {i, o}, os conjuntos A e B têm exatamente os mesmos elementos. Nesse caso, dizemos que A e B são iguais. Indica-se: A 5 B Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

Se pelo menos um elemento de um dos conjuntos não pertence ao outro, dizemos que esses conjuntos são diferentes.

{

Por exemplo, os conjuntos X 5 {1, 2, 3} e Y 5 0, 1, 2, Indica-se: X  Y

}

7 são diferentes, pois 3  X e 3  Y.

A ordem em que os elementos estão dispostos em um conjunto não o diferencia. Por exemplo, os conjuntos X 5 {1, 2, 3} e W 5 {2, 3, 1} possuem os mesmos elementos, ou seja, X 5 W.

Subconjuntos e a relação de inclusão

A 5 {1, 3, 7} B 5 {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}

A 5

1 3

Note que todos os elementos de A também pertencem a B. Um conjunto, A, é subconjunto de outro conjunto, B, quando qualquer elemento de A também pertence a B.

Relação de inclusão entre conjuntos Quando um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, dizemos que A está contido em B ou, ainda, que A é parte de B. Indica-se: A  B (Lê-se: A está contido em B). Este símbolo significa está contido.

Podemos dizer também que B contém A. Indica-se: B  A (Lê-se: B contém A). Este símbolo significa contém.

Observações: • A relação de pertinência (x  A) é entre elemento e conjunto, enquanto a relação de inclusão (A  B) é entre dois conjuntos. • Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em B ou que B não contém A. • O símbolo  significa não está contido. • O símbolo  significa não contém. • O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja,   A, qualquer que seja o conjunto A.

Unidade 1

Estudo dos conjuntos

Editoria de Arte

Consideremos os conjuntos A e B, também representados por um diagrama.

Propriedades da relação de inclusão São válidas as seguintes propriedades para a relação de inclusão entre conjuntos: A  A, para qualquer A, ou seja, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo. (reflexiva)

Se A  B e B  A, então A 5 B. (antissimétrica)

Se A  B e B  C, então A  C. (transitiva)

Exercícios resolvidos Verifique se o conjunto A 5 {0, 3, 5} é subconjunto de B 5 {0, 1, 2, 3, 4}. 1 RESOLUÇÃO Comparando, um a um, os elementos dos conjuntos A e B, verificamos que o elemento 5 do conjunto A não pertence a B, ou seja, 5  B. Logo, A não está contido em B, isto é, A  B. Portanto, A não é subconjunto B.

3. Determine todos os subconjuntos de A 5 {1, 2, 3}. 2 RESOLUÇÃO Os subconjuntos de A são os seguintes: • o conjunto vazio: \ • os conjuntos com apenas 1 elemento: {1}, {2}, {3} • os conjuntos com 2 elementos: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} • o próprio conjunto A, com 3 elementos: {1, 2, 3}

3. Observe o diagrama: 3 Quais afirmativas são verdadeiras? E

b) F . E

c) H , F d) E . H e) F  H

Editoria de Arte

a) E  F

f) H , E

RESOLUÇÃO Analisando as afirmativas, uma a uma, temos: a) Verdadeira, pois existem elementos que pertencem a E e não pertencem a F. b) Falsa, pois existem elementos que pertencem a E e não pertencem a F. c) Falsa, pois existem elementos que pertencem a H e não pertencem a F. d) Verdadeira, pois todos os elementos de H pertencem a E. e) Verdadeira, pois existem elementos que pertencem a H e não pertencem a F. f) Verdadeira, pois todos os elementos de H pertencem a E. Capítulo 1

Conjuntos

Exercícios propostos 1. Escreva os conjuntos abaixo: a) O conjunto A representado pelos números naturais múltiplos de 3 menores que 20. b) O conjunto B representado pelos números naturais primos menores que 27. c) O conjunto C representado pelos números naturais menores que 50 e múltiplos de 7. 2. Dado o conjunto B 5 { {1}, {{1}}, 2, {2}} responda se as proposições abaixo são verdadeiras ou falsas: a) 1 [ B

d) 2 [ B

b) {1} [ B

e) {{1}}  B

c) {{2}}  B

f) 1  B

9. Dado o conjunto A 5 {0, 2, {3}}, diga se as proposições a seguir são verdadeiras ou falsas: a) 0 [ A

d) {3} , A

g)  [ A

b) 1 , A

e) {1, 2} , A

h) 3 [ A

c) {3} [ A

f )  , A

10. Copie no caderno apenas as afirmações verdadeiras. a) {5}  {0, 5, 10, 15} b) {a, b, c}  {b, a, c} c) 2  {0, 2, 4} d) 8  {2, 4, 6, 8, 10} e) {1, 2, 3}  {1, 2} f ) {21, 6}  {números naturais}

3. Observe o conjunto A 5 {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Represente, em extensão, os subconjuntos de A formados: a) pelos números maiores que 5 e menores que 10 b) pelos números pares c) pelos números ímpares maiores ou iguais a 7 4. Determine todos os subconjuntos de F = {1, 2, 3, 4} que possuem:

g) 3  {0, 3, 6, 9} 1 h)  {número naturais} 2 11. Sendo P e Q dois conjuntos não vazios, de modo que P , Q, copie no caderno apenas as afirmações verdadeiras. a) Sempre existe x, x [ P, tal que x  Q. b) Sempre existe x, x [ Q, tal que x  P.

a) 1 elemento.

c) 3 elementos.

c) Se x [ Q, então x [ P.

b) 2 elementos.

d) 4 elementos.

d) Se x  Q, então x  P.

5. Escreva todos os subconjuntos de E 5 {2, 4, 6, 8} formados por: a) 3 elementos.

e) P e Q não têm elementos em comum. 12. Quantos conjuntos M satisfazem à sentença: {1, 2} , M , {1, 2, 3, 4}

b) 4 elementos. 6. Das muitas músicas gravadas em meu computador, tenho quatro preferidas: A, B, C e D.

13. Qual deve ser a relação entre os conjuntos A, B e C para que A , B, B , C e C , A?

Se eu quiser escutar por dia apenas duas das músicas preferidas, quais são os pares que posso escolher? Escreva todos os pares possíveis.

14. Sejam A 5 {x | x é número natural par compreendido entre 3 e 15}, B 5 {x | x é número natural par menor que 15} e C 5 {x | x é número natural par diferente de 2}. Usando o símbolo , ou , relacione entre si os conjuntos:

7. No diagrama ao lado, A, B e C são três conjuntos não vazios.

B A

Associe V ou F a cada uma das seguintes sentenças, conforme ela seja verdadeira ou falsa:

a) A e B

a) A , B

d) A , C

g) B . A

b) C , B

e) B  A

h) A  B

c) B , A

f ) A  C

8. Sejam A 5 {1}, B 5 {0, 1}, C 5 {1, 2, 3} e D 5 {0, 1, 2, 4}. Usando o símbolo , ou , relacione entre si os conjuntos:

b) A e C

15. (UFF-RJ) Dado o conjunto P 5 {{0}, 0, [, {[}}, considere as afirmativas: (I) {0}  P

(II) {0}  P

a) Todas são verdadeiras. b) Apenas a I é verdadeira. c) Apenas a II é verdadeira.

c) A e D

e) B e D

d) Apenas a III é verdadeira.

b) A e C

d) B e C

f ) C e D

e) Todas são falsas.

Estudo dos conjuntos

(III) [  P

Com relação a estas afirmativas conclui-se que:

a) A e B

Unidade 1

c) B e C