360 matematica seriado by Editora FTD

Matemรกtica CADERNO DE ATIVIDADES ENEM E VESTIBULAR

VOLUME 1

José Ruy Giovanni

José Ruy Giovanni Júnior

José Roberto Bonjorno

Paulo Roberto Câmara de Sousa

Bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Professor de Matemática em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1960.

Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo. Professor e assessor de Matemática em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1985.

Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras “Professor Carlos Pasquale”. Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Professor de Matemática e Física em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1973.

Mestre em Educação pela Universidade Federal da Paraíba. Especialização em Educação Matemática pela Universidade Federal Rural de Pernambuco. Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Pernambuco. Professor de Matemática em escolas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio desde 1974. Professor de programas de formação continuada e pós-graduação desde 1990. Professor do Departamento de Matemática do Centro Acadêmico do Agreste – UFPE.

Matemática Completa

VOLUME 1

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Copyright © José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Jr., José Roberto Bonjorno, Paulo Roberto Câmara de Sousa, 2017 Diretor editorial Gerente editorial Editora Editores assistentes Assessoria Gerente de produção editorial Coordenador de produção editorial Gerente de arte Coordenadora de arte Projeto gráfico Projeto de capa Supervisora de arte Diagramação

Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações e cartografia Ilustrações Cartografia Coordenadora de preparação e revisão Supervisora de preparação e revisão Revisão Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Iconografia Licenciamento de textos Supervisora de arquivos de segurança Diretor de operações e produção gráfica

Lauri Cericato Flávia Renata P. A. Fugita Cibeli de Oliveira Chibante Bueno Juliana Montagner, Adriano Rosa Lopes, Marcos Antônio Silva Rodolfo Campos Mariana Milani Marcelo Henrique Ferreira Fontes Ricardo Borges Daniela Máximo Casa Paulistana Casa Paulistana, Daniela Máximo Isabel Cristina Corandin Marques Adriana M. Nery de Souza, Dayane Santiago Martins, Débora Jóia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin, Márcia Sasso, Nadir Fernandes Racheti, Sara Slovac Savero Eziquiel Racheti Marcia Berne Alex Argozino, Luis Moura, Alberto De Stefano, Alexandre S. Paula Allmaps Lilian Semenichin Izabel Cristina Rodrigues Carolina Manley, Desirée Araújo, Dilma Dias Ratto, Iara R. S. Mletchol, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso, Lilian Vismari, Regina Barrozo, Yara Affonso Elaine Bueno Gabriela Araújo, Priscilla Liberato Narciso André Mota, Mayara Ribeiro Silvia Regina E. Almeida Reginaldo Soares Damasceno

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 360° matemática completa, 1 / José Roberto Bonjorno... [et al.]. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2017. Outros autores: José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Júnior, Paulo Roberto Câmara de Sousa ISBN: 978-85-96-00860-0 (aluno) ISBN: 978-85-96-00861-7 (professor) 1. Matemática (Ensino médio) I. Bonjorno, José Roberto II. Giovanni, José Ruy. III. Giovanni Júnior, José Ruy. IV. Sousa, Paulo Roberto Câmara de. 17-00992

CDD-510.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino médio 510.7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens presentes nesta obra didática. No entanto, colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões de crédito e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo. Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à EDITORA FTD.

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Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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Matemática

Apresentação Este livro tem o objetivo de auxiliar e estimular você a compreender a Matemática para utilizá-la em seu dia a dia e na continuação dos seus estudos. Após cada conceito, com a intenção de ampliar, aprofundar e integrar os conhecimentos adquiridos, os capítulos trazem exercícios resolvidos e propostos que priorizam a compreensão e a aplicação do conteúdo abordado. Além dos conteúdos matemáticos específicos, o livro ainda traz possibilidades de explorar o uso de recursos tecnológicos, como softwares de geometria dinâmica e planilhas eletrônicas, e de refletir sobre as relações entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. Bons estudos! Os Autores

Capítulo 1

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Física: Ciência e tecnologia

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2. Observe na imagem as informaĂ§Ăľes a respeito da variaĂ§ĂŁo de temperatura e de altitude de cada camada que compĂľe a atmosfera. Qual ĂŠ a caracterĂstica que varia conforme a altitude aumenta e que justifica a convenĂ§ĂŁo de divisĂŁo das camadas da atmosfera?

Unidade

Estudo das funĂ§Ăľes afim, quadrĂĄtica e modular

Apresenta por meio de imagens, de um pequeno texto e algumas questĂľes um tema relacionado ao conteĂşdo matemĂĄtico que serĂĄ desenvolvido na unidade.

Unidade 3

As operaĂ§Ăľes com intervalos reais funcionam da mesma maneira que as operaĂ§Ăľes com conjuntos estudadas no capĂtulo anterior. No caso dos intervalos ĂŠ interessante comeĂ§ar analisando os extremos. Assim, a uniĂŁo dos intervalos A e B ĂŠ dada por: B

5 3

8 5

ResoluĂ§ĂŁo 4

1 3

A diferenĂ§a entre os conjuntos ĂŠ A B {x R | 3 x 1}.

23. Usando a notaĂ§ĂŁo de conjuntos, escreva no caderno os intervalos a seguir que estĂŁo representados na reta real.

a) [6, 10]

b) ] 1, 5]

c) ] 6, 0[ d) [0, [

e) ] , 3[

1 5

balĂŁo metereolĂłgico

Trop opa usa

km 12 Â°C 0 6

1 2

a) A {x R | 0 x 3} e B {x R | 1 x 5}

f) ] 10, 10[

b) A {x R | 4 x 1} e B {x R | 2 x 3}

d) [2, [

b) ] , 2]

e) {x R | 2 x 5}

c) [ 6, 1[

f) {x R | 2 x 2}

c) A {x R | 2 x 5} e B {x R | 1 x 4} d) A {x R | 2 x 2} e B {x R | x 0} 25. Dados os conjuntos A [ 1, 6[; B ] 4, 2]; E ] 2, 4[, calcule: a) (B E) A

CapĂtulo 4

b) E (A B)

CapĂtulo CapĂtulo22 Conjuntos ConjuntosnumĂŠricos numĂŠricos

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FunĂ§ĂŁo afim

ExercĂcios resolvidos e propostos

AlimentaĂ§ĂŁo

Unidade Unidade11 Conjuntos Conjuntos

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eo zĂ´ nio RepresentaĂ§ĂŁo fora de escala e em cores-fantasia.

Os exercĂcios resolvidos aparecem apĂłs a apresentaĂ§ĂŁo de cada conteĂşdo, seguidos de exercĂcios propostos para consolidar a teoria abordada. Em cada capĂtulo, hĂĄ uma atividade diferenciada, denominada ConexĂľes, que apresenta textos que exploram a aplicaĂ§ĂŁo da MatemĂĄtica em diversas ĂĄreas do conhecimento.

a) De acordo com o texto, quais sĂŁo as caracterĂsticas de uma alimentaĂ§ĂŁo saudĂĄvel? b) Quais problemas de saĂşde estĂŁo associados ao consumo excessivo de produtos que contĂŞm aĂ§Ăşcares, gorduras saturada e trans e sĂłdio? c) VocĂŞ jĂĄ ouviu falar no IMC? O Ă?ndice de Massa CorpĂłrea (IMC) ĂŠ adoIMC ClassificaĂ§ĂŁo tado pela OrganizaĂ§ĂŁo Mundial de SaĂşde para o cĂĄlculo do â&#x20AC;&#x153;pesoâ&#x20AC;? ideal Menor que 18,5 Magreza de cada indivĂduo. O cĂĄlculo pode ser realizado por meio da relaĂ§ĂŁo â&#x20AC;&#x153;pesoâ&#x20AC;? Entre 18,5 e 24,9 Normal . O valor obtido pode ser interpretado conforme o IMC (altura)2 Entre 25,0 e 29,9 Sobrepeso quadro ao lado. i) Determine a classificaĂ§ĂŁo de uma pessoa de 80 kg e 1,70 m. Entre 30,0 e 39,9 Obesidade ii) Podemos escrever a faixa do IMC que determina a classificaĂ§ĂŁo Maior que 40,0 Obesidade Grave "magreza" como IMC 18,5. Utilizando essa mesma simbologia escreva as demais faixas. Fonte: ABESO. Diretrizes brasileiras de DisponĂvel em: <http://abeso. d) Reflita sobre seus hĂĄbitos alimentares e o que pode ser melhorado para obesidade. org.br/pdf/diretrizes_brasileiras_obesidade_ 2009_2010_1.pdf>. Acesso em: 7 nov. 2016. que vocĂŞ tenha uma alimentaĂ§ĂŁo saudĂĄvel.

24. Determine A B em cada caso a seguir.

22. Represente, na reta real, os intervalos a seguir.

Ca m ada d

ra sfe po Tro

AGĂ&#x160;NCIA NACIONAL DE VIGILĂ&#x201A;NCIA SANITĂ RIA (ANVISA). AlimentaĂ§ĂŁo saudĂĄvel: fique esperto! BrasĂlia. DisponĂvel em: <http://www.anvisa.gov.br/propaganda/alimento_saudavel_gprop_web.pdf>. Acesso em: 7 nov. 2016.

IlustraĂ§Ăľes: Editoria de arte

21. Usando a notaĂ§ĂŁo de conjuntos, escreva no caderno os intervalos a seguir.

Estrat opau sa

bomba de hidrogĂŞnio Tsar

era osf rat Es t

No entanto, todos esses novos produtos reduziram a qualidade nutricional dos alimentos. Alguns deles tĂŞm se tornado tĂŁo populares que passaram a ser cada vez mais desejados, como os salgadinhos, refrigerantes, sorvetes, biscoitos e muitos outros. EntĂŁo, parte da populaĂ§ĂŁo habituou-se a comer esses alimentos somente para saciar desejos e estar â&#x20AC;&#x153;na modaâ&#x20AC;?, sem considerar que os excessos podem trazer problemas Ă saĂşde, como a obesidade, a pressĂŁo alta, o diabetes e as doenĂ§as do coraĂ§ĂŁo. [...]

ExercĂcios propostos

a) [2, 8]

km 50 Â°C 5

ondas de rĂĄdio

AĂ§Ăşcar: ĂŠ fonte de energia para o ser humano. Mas, quando comemos em exagero, pode causar aumento de peso e excesso de gordura no sangue. Gordura saturada: ĂŠ um tipo de gordura muito encontrada em alimentos de origem animal. ComĂŞ-la excessivamente pode provocar o acĂşmulo de gordura nos vasos sanguĂneos e causar doenĂ§as do coraĂ§ĂŁo. Gordura trans: ĂŠ produzida pela transformaĂ§ĂŁo de Ăłleos vegetais em gordura vegetal hidrogenada. EstĂĄ presente em produtos como biscoitos e chocolates. Consumida, em excesso, pode causar problemas de saĂşde, principalmente ao coraĂ§ĂŁo. SĂłdio: faz parte do sal de cozinha e ĂŠ acrescentado aos alimentos pelas indĂşstrias para dar sabor mais salgado e aumentar o tempo de conservaĂ§ĂŁo [...] do produto. Comer muito sĂłdio pode causar pressĂŁo alta.

O conjunto A B ĂŠ formado pelos elementos que pertencem a A e nĂŁo pertencem a B. B

km 80 Â°C 95

Com a evoluĂ§ĂŁo da sociedade, muitos tipos de alimentos foram criados e, para garantir maior aceitaĂ§ĂŁo da populaĂ§ĂŁo, foram introduzidos novos ingredientes. Com isso, surgiram produtos cada vez mais atraentes e saborosos. Por exemplo: aĂ§Ăşcar para adoĂ§ar; gordura saturada e gordura trans para dar maior maciez, leveza e cremosidade; sĂłdio para acentuar o sabor; corantes para dar cor especial e aromatizantes para criar um cheirinho irresistĂvel. [...]

3. 7 Dados A {x R| 3 x 4} e B {x R|1 x 7}, calcule A B.

Meso paus a

MudanĂ§as na alimentaĂ§ĂŁo ao longo do tempo e seu impacto na saĂşde

Assim, temos: A B ]2, 8[ e A B [3, 5[.

A B

raio cĂłsmico

AlimentaĂ§ĂŁo saudĂĄvel

Para a intersecĂ§ĂŁo, vamos analisar os extremos dos intervalos. Observe que 3 ĂŠ elemento de A e tambĂŠm de B; e 5 ĂŠ elemento de B e nĂŁo ĂŠ elemento de A. Os elementos de 3 atĂŠ 5, excluĂdo este Ăşltimo, pertencem a A e a B. Logo:

A B

4. A camada de ozĂńio estĂĄ contida na Estratosfera e exerce papel vital aos seres vivos. Realize uma pesquisa para obter mais informaĂ§Ăľes sobre os impactos das aĂ§Ăľes humanas na camada de ozĂńio e sobre as consequĂŞncias dessas aĂ§Ăľes para o planeta. Converse com os colegas a respeito dos riscos aos seres vivos que a reduĂ§ĂŁo da camada de ozĂńio pode causar.

fera sos Me

A alimentaĂ§ĂŁo para os seres humanos possui significado maior do que apenas garantir as necessidades do corpo. O ato de comer estĂĄ relacionado a valores sociais, culturais, afetivos e sensoriais. Na maioria das vezes, comer ĂŠ um momento de prazer e confraternizaĂ§ĂŁo com nossos amigos e familiares. O alimento torna-se, assim, muito mais do que uma fonte de nutrientes. Apreciamos as cores e gostamos de sentir a textura e o sabor da comida. Mas isso nĂŁo ĂŠ tudo! Nesse jogo de sensaĂ§Ăľes, precisamos lembrar que uma alimentaĂ§ĂŁo saudĂĄvel: â&#x20AC;˘ nĂŁo precisa ser cara, pois pode ser feita com alimentos naturais, produzidos na regiĂŁo em que vivemos; â&#x20AC;˘ deve ser colorida e composta por alimentos variados; Frutas e legumes sĂŁo alguns â&#x20AC;˘ ĂŠ saborosa; alimentos saudĂĄveis. â&#x20AC;˘ precisa ter qualidade e ser consumida na quantidade certa; â&#x20AC;˘ deve ser segura para o consumo, ou seja, estar livre de contaminaĂ§ĂŁo. [...]

3. As camadas e as ĂĄreas de descontinuidade entre elas tĂŞm nomenclatura semelhante entre si, como os elementos de composiĂ§ĂŁo "-sfera" e "-pausa", respectivamente. Pesquise o significado de cada radical e apresente outras palavras que tĂŞm esses mesmos elementos.

nave espacial

26. HĂĄbitos saudĂĄveis, como exercĂcios regulares, quantidade de sono adequada e uma alimentaĂ§ĂŁo adequada sĂŁo alguns dos fatores para uma vida com qualidade. Leia o texto a seguir a respeito de uma alimentaĂ§ĂŁo saudĂĄvel e faĂ§a o que se pede em cada item.

ResoluĂ§ĂŁo

A B

era o sf

chuva de meteoros

ConexĂľes

2. 6 Se A ]2, 5[ e B [3, 8[, determine A B e A B.

m Ter

Estudo das funĂ§Ăľes afim, quadrĂĄtica e modular

ExercĂcios resolvidos

Term opau sa

km 500 Â°C 1000

A atmosfera terrestre ĂŠ uma camada gasosa relativamente fina que circunda o planeta, composta por gases como o nitrogĂŞnio e o oxigĂŞnio, que ocupam cerca de 99% do seu volume, alĂŠm de argĂńio, diĂłxido de carbono, ozĂńio e outros gases, que integram o 1% restante. Esses gases ficam retidos ao redor da Terra, atraĂdos pela forĂ§a da gravidade e pela aĂ§ĂŁo do campo magnĂŠtico que a envolve. A vida na Terra depende da existĂŞncia da atmosfera, pois ela ĂŠ a responsĂĄvel por manter os gases necessĂĄrios aos seres vivos, na concentraĂ§ĂŁo adequada, alĂŠm de determinar o clima e suas variaĂ§Ăľes. De acordo com a variaĂ§ĂŁo de temperatura, a atmosfera ĂŠ dividida em camadas: Troposfera, Estratosfera, Mesosfera, Termosfera e Exosfera. As ĂĄreas de transiĂ§ĂŁo entre as camadas, conhecidas como ĂĄreas de descontinuidade, sĂŁo denominadas Tropopausa, Estratopausa, Mesopausa e Termopausa. A maior parte do gĂĄs ozĂńio existente na atmosfera estĂĄ localizado na Estratosfera. Esse gĂĄs ĂŠ responsĂĄvel pela proteĂ§ĂŁo dos seres vivos Ă exposiĂ§ĂŁo das radiaĂ§Ăľes solares ultravioletas atuando como um filtro. A queima de combustĂveis fĂłsseis afeta direta e negativamente a camada de ozĂńio, reduzindo sua existĂŞncia e eficĂĄcia, o que impacta fortemente no clima do planeta.

1000

Luis Moura

Abertura de unidade

sfe Exo

monticello/ Shutterstock.com

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1. VocĂŞ jĂĄ conhecia a classificaĂ§ĂŁo das camadas que compĂľem a atmosfera? Em qual dessas camadas o ser humano habita? Converse com os colegas a respeito.

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HistĂłria da MatemĂĄtica Os nĂşmeros irracionais e seu contexto histĂłrico BRIDGEIMAGES/KEYSTONE

HistĂłria da MatemĂĄtica

Desde o sĂŠculo VI a.C., os matemĂĄticos gregos, a comeĂ§ar por um certo PitĂĄgoras, jĂĄ tinham descoberto que a diagonal de um quadrado â&#x20AC;&#x153;nĂŁo tem nenhuma medida comumâ&#x20AC;? com o seu lado. De fato, tanto pela medida quanto pelo raciocĂnio, o comprimento de sua diagonal nĂŁo corresponde a um nĂşmero inteiro de metros. Ou seja, uma vez que tal ĂŠ seu comprimento matemĂĄtico, a 2 ĂŠ um nĂşmero â&#x20AC;&#x153;incomensurĂĄvelâ&#x20AC;?. Foi a descoberta do que hoje denominamos â&#x20AC;&#x153;nĂşmeros irracionaisâ&#x20AC;?, os que nĂŁo sĂŁo nem inteiros nem fraĂ§Ăľes. Esta descoberta provocou uma grande consternaĂ§ĂŁo no seio dos pitagĂłricos, que pensavam entĂŁo que â&#x20AC;&#x153;o nĂşmero rege o universoâ&#x20AC;?, pensando deste modo nos nĂşmeros â&#x20AC;&#x153;racionaisâ&#x20AC;?, isto ĂŠ, nos nĂşmeros naturais e nas suas combinaĂ§Ăľes mais simples, que sĂŁo as fraĂ§Ăľes ordinĂĄrias. O prĂłprio nome

Esta seĂ§ĂŁo relaciona os conteĂşdos abordados Ă histĂłria da MatemĂĄtica por meio de um texto acompanhado de questĂľes.

destas grandezas ĂŠ uma prova, desde que foram denominadas â&#x20AC;&#x153;inexprimĂveisâ&#x20AC;?. Assim, foi feito um juramento de nunca se divulgar junto aos profanos a existĂŞncia desses â&#x20AC;&#x153;seres disformesâ&#x20AC;?: era absolutamente necessĂĄrio guardar segredo desta inexplicĂĄvel falha na obra do arquiteto supremo, para nĂŁo despertar sua cĂłlera. Mas, depois de PitĂĄgoras e de seus adeptos, este segredo logo se tornou propriedade de cabeĂ§as bem-pensantes que discutiram o inexprimĂvel, nomearam o inominĂĄvel e o entregaram aos profanos [...]. Livre destas contingĂŞncias mĂsticas, a existĂŞncia de outros nĂşmeros alĂŠm dos nĂşmeros naturais e das fraĂ§Ăľes ordinĂĄBusto de PitĂĄgoras de Samos (c. 569 a.C-c. 475 a.C.) no Museu Capitolino, em Roma (ItĂĄlia).

rias foi admitida: os nĂşmeros â&#x20AC;&#x153;irracionaisâ&#x20AC;?, dentre os quais 2,

7 e o famoso Ď&#x20AC; sĂŁo apenas alguns exemplos.

No entanto, esta categoria de nĂşmeros ficou ainda pouco precisa durante sĂŠculos por causa das numeraĂ§Ăľes imperfeitas de outrora, que nĂŁo permitiam a representaĂ§ĂŁo destes nĂşmeros de modo coerente, jĂĄ que eles eram designados por palavras e valores aproximados aparentemente sem nenhuma relaĂ§ĂŁo uns com os outros. [...] Beneficiados por uma notaĂ§ĂŁo numĂŠrica muito eficaz e por uma ciĂŞncia cada vez mais avanĂ§ada, os matemĂĄticos europeus dos tempos modernos conseguiram ter sucesso onde seus antecessores tinham falhado. Eles descobriram que estes nĂşmeros eram identificĂĄveis a nĂşmeros decimais sem fim, cujos algarismos apĂłs a vĂrgula nunca se reproduzem na mesma ordem. 2 = 1,41421356237â&#x20AC;Ś Descoberta fundamental, que permitiu uma melhor compreensĂŁo desta categoria de nĂşmeros, jĂĄ que eles tĂŞm por caracterĂstica esta propriedade. Fonte: IFRAH, G. Os nĂşmeros. HistĂłria de uma grande invenĂ§ĂŁo. TĂtulo original: Les Chiffres ou Lâ&#x20AC;&#x2122;Histoire dâ&#x20AC;&#x2122;une Grande Invention. TraduĂ§ĂŁo de Stella Maria de Freitas Senra. 10. ed. SĂŁo Paulo: Ed. Globo, 1985. p. 329-330.

Atividades 1. De acordo com o texto, qual foi a descoberta que provocou grande consternaĂ§ĂŁo entre os pitagĂłricos? 2. Qual foi a descoberta dos matemĂĄticos dos tempos modernos que permitiu melhor compreensĂŁo dos nĂşmeros irracionais?

Unidade 1

Conjuntos

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Unidade 1

CapĂtulo 2

Conjuntos numĂŠricos

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Os caminhos da FĂsica

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Explorando a tecnologia Os coeficientes da funĂ§ĂŁo quadrĂĄtica e a parĂĄbola do grĂĄfico Estudamos que, em uma funĂ§ĂŁo quadrĂĄtica, o sinal do coeficiente a determina se a concavidade da parĂĄbola serĂĄ voltada para cima ou para baixo. Agora, vamos utilizar o GeoGebra para analisar como o parĂ˘metro c influencia na construĂ§ĂŁo da parĂĄbola. Para isso, siga a sequĂŞncia de passos abaixo. 1. No Campo de Entrada do GeoGebra, digite â&#x20AC;&#x2DC;f(x)=x^2+4x+câ&#x20AC;&#x2122; e pressione enter. 2. O programa exibirĂĄ uma tela perguntando se vocĂŞ deseja criar um Controle Deslizante para o coeficiente c. Clique em â&#x20AC;&#x153;Criar Controles Deslizantesâ&#x20AC;?. 3. O programa exibirĂĄ o grĂĄfico da funĂ§ĂŁo f e o Controle Deslizante para o coeficiente c. Altere a posiĂ§ĂŁo do ponto ao longo do controle para alterar o valor de c e veja o que acontece com o grĂĄfico de f. 4. Por padrĂŁo, o Controle Deslizante ĂŠ criado limitado ao intervalo [ 5, 5]. Para alterĂĄ-lo, clique com o botĂŁo direito do mouse em cima do controle e em seguida em â&#x20AC;&#x153;Propriedadesâ&#x20AC;?. Na aba â&#x20AC;&#x153;Controle Deslizanteâ&#x20AC;?, altere os campos de â&#x20AC;&#x153;min:â&#x20AC;? e â&#x20AC;&#x153;max:â&#x20AC;? para os valores desejados, por exemplo, 10 e 10. Em seguida, clique em â&#x20AC;&#x153;Fecharâ&#x20AC;?.

Retomando e pesquisando Na abertura desta unidade, vimos como a atmosfera estĂĄ dividida, alĂŠm do comportamento da temperatura em funĂ§ĂŁo da altitude em cada uma de suas camadas.

A tela do GeoGebra ficarĂĄ semelhante Ă figura abaixo.

O grĂĄfico ao lado mostra a variaĂ§ĂŁo de temperatura em funĂ§ĂŁo da altitude.

Atividades 1. Deslize o controle e observe as mudanĂ§as que ocorrem na parĂĄbola. Descreva o que acontece com o grĂĄfico. 2. Utilizando o mesmo recurso, construa a parĂĄbola da funĂ§ĂŁo dada por g(x) = axÂ˛, na qual o coeficiente a seja manipulado por um Controle Deslizante. Em seguida, observe o grĂĄfico e descreva o que acontece quando a = 1, a = 1, a = 2, a = 0,5 e a = 0.

e modular

CapĂtulo 5

FunĂ§ĂŁo quadrĂĄtica

117

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Explorando a tecnologia Nesta seĂ§ĂŁo sĂŁo apresentadas atividades relacionadas ao conteĂşdo em estudo, utilizando software de geometria dinĂ˘mica e planilha eletrĂ´nica. Unidade 3

Estudo das funĂ§Ăľes afim, quadrĂĄtica e modular

100

Termosfera

Mesopausa

1. O grĂĄfico apresentado ao lado pode ser interpretado como o grĂĄfico de uma funĂ§ĂŁo definida por mais de uma sentenĂ§a, em que cada camada da atmosfera tem uma ou mais leis de formaĂ§ĂŁo diferente. A partir dessas informaĂ§Ăľes, responda:

Altitude (km)

a) Qual das grandezas do grĂĄfico ĂŠ a variĂĄvel dependente? E qual ĂŠ a variĂĄvel independente? Converse com os colegas e o professor a respeito da posiĂ§ĂŁo em que elas estĂŁo no grĂĄfico e os possĂveis motivos dessa escolha.

Retoma e discute o tema da abertura da unidade, relacionando-o aos conteĂşdos estudados ao longo da unidade.

5. Repita o processo alterando a lei da funĂ§ĂŁo, mas mantendo o coeficiente c com o Controle Deslizante e verifique o que acontece com o grĂĄfico da funĂ§ĂŁo.

110

Com base nessas informaĂ§Ăľes, utilize seus conhecimentos a respeito dos conteĂşdos abordados nessa unidade para realizar as atividades a seguir.

Retomando e pesquisando

Editoria de arte

Geogebra

A camada da atmosfera mais prĂłxima da superfĂcie terrestre ĂŠ a Troposfera, que se estende a uma altitude mĂŠdia de 12 km. PrĂłximo da linha do equador, essa altitude mĂŠdia ĂŠ de aproximadamente 20 km, e nos polos da Terra, chega apenas a 8 km. Nela, a temperatura decresce, de maneira aproximadamente linear em relaĂ§ĂŁo Ă altitude, com taxa de variaĂ§ĂŁo vertical mĂŠdia da temperatura de 6,5 Â°C/km.

Mesosfera

Estratopausa

O Z Ă&#x201D; N I O

Estratosfera

b) Na Troposfera, o comportamento das grandezas indicadas no item a pode ser modelado por qual tipo de funĂ§ĂŁo? Qual ĂŠ o grau dessa funĂ§ĂŁo?

Tropopausa Troposfera

0 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

Temperatura (Â°C)

c) A funĂ§ĂŁo indicada no item b ĂŠ crescente ou decrescente? Justifique sua resposta.

d) Nas demais camadas da atmosfera, o comportamento da variaĂ§ĂŁo de temperatura em funĂ§ĂŁo da altitude tambĂŠm pode ser associado ao mesmo tipo de funĂ§ĂŁo que modela essa variaĂ§ĂŁo na Troposfera. No entanto, as funĂ§Ăľes nĂŁo tĂŞm a mesma lei de formaĂ§ĂŁo. Quais elementos distinguem as leis de formaĂ§ĂŁo dessas funĂ§Ăľes? e) Em quais camadas a funĂ§ĂŁo correspondente ĂŠ crescente e em quais ĂŠ decrescente? 2. Considere os dados do texto acima e suponha que a temperatura na superfĂcie terrestre, em um determinado ponto, seja 20 Â°C. a) Qual ĂŠ a lei da funĂ§ĂŁo que representa a temperatura em funĂ§ĂŁo da altitude na Troposfera? Considere a variaĂ§ĂŁo mĂŠdia da temperatura indicada no texto. b) Qual ĂŠ o zero da funĂ§ĂŁo representada no item a? Qual ĂŠ o significado desse valor no contexto da situaĂ§ĂŁo apresentada? c) Analise o que acontece com a temperatura em altitudes acima do valor encontrado no item anterior. d) Supondo que estivĂŠssemos em um dos polos da Terra, qual seria a temperatura na altitude mĂŠdia limite da Troposfera? (considere a medida indicada no texto) e) Usando a lei da funĂ§ĂŁo definida no item a, ĂŠ possĂvel fazer o cĂĄlculo da temperatura para a altitude de 100 km? Justifique sua resposta. CapĂtulo 6

FunĂ§ĂŁo modular

153

12/9/16 10:01 AM

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ExercĂcios complementares 7. (FGV-SP) Consideremos os seguintes dados:

8. (IFCE) Sejam x, y R com x 1 e y 1. A expressĂŁo 2 log9 x + log3 6 â&#x20AC;&#x201C; 6 log9 y pode ser simplificada para:

2. Sendo 2 10

0,301

, 3 10

0,477

e 5 10

0,699

, determine o

logaritmo decimal de: a) 36 b) 30

36x 2 a) log9 y3 ďŁŤ 2x ďŁś 6ďŁˇ b) log3 ďŁŹ ďŁ6 y ďŁ¸

ritmo desse mesmo nĂşmero numa base igual Ă metade

4. (Uniube-MG) Acrescentando-se 16 unidades a um 2 unidades. Calcular esse nĂşmero.

40 cm de profundidade, a intensidade de luz ĂŠ reduzi-

x y 1 x

2x y 1 x

da em 20%, de acordo com a equaĂ§ĂŁo I I0 Âˇ 0,8 40, na

x 2y 1 x

3x 2y 1 x

qual I ĂŠ a intensidade da luz em uma profundidade h, em centĂmetros, e I0 ĂŠ a intensidade na superfĂcie. Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz, em um ponto P, ĂŠ de 32% daquela observada na superfĂcie. A profundidade de P, em metros, considerando log 2 0,3, equivale a: a) 0,64 b) 1,8 c) 2,0 d) 3,2

valor de log 2 ( ab ) a)

( 6)

valores de x para os quais f faz sentido.

ĂŠ:

c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b), esboce os grĂĄficos de f e de g.

e) 300 000 carros. 1 x

a) Mostre que f(log10(2

18. (UFG-GO) O eucalipto ĂŠ muito usado para a produĂ§ĂŁo de papĂŠis e celulose por causa da qualidade da matĂŠria-prima e seu curto ciclo de vida. Um produtor de eucalipto possui uma plantaĂ§ĂŁo de determinada espĂŠcie adequada ao clima e ao tipo de solo de sua regiĂŁo. Essa espĂŠcie tem seu crescimento modelado kt pela funĂ§ĂŁo h(t) 50 (1 10 ), onde h ĂŠ a altura (em metro) em funĂ§ĂŁo do tempo t (em ano) e k ĂŠ uma constante. Sabe-se que esse eucalipto alcanĂ§a a altura de 10 m em 2 anos e que o produtor realizarĂĄ o corte quando as ĂĄrvores tiverem 8 anos. Com base nessas informaĂ§Ăľes, calcule o valor da constante k e a altura que os eucaliptos terĂŁo, em metro, quando o produtor for realizar o corte.

101 x,

3 )) ĂŠ um nĂşmero inteiro.

16. (UFJF-MG) No grĂĄfico a seguir, representou-se a funĂ§ĂŁo f: R * ĂŠ R definida por f(x) log2 x. Define-se ainda, conforme a figura, um triĂ˘ngulo retĂ˘ngulo MNP, reto em N, com os vĂŠrtices M e P pertencendo Ă curva definida por f. A partir das informaĂ§Ăľes apresentadas no grĂĄfico de f, responda Ă s questĂľes a seguir detalhando os seus cĂĄlculos.

Para calcular o pH dessa soluĂ§ĂŁo, ele usou os valores aproximados de 0,30 para log 2, e de 0,48 para log 3. EntĂŁo, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa soluĂ§ĂŁo foi:

EquaĂ§Ăľes logarĂtmicas

1 0

a) 0,18 b) 0,36 c) 0,78 d) 0,90

21. (Umesp-SP) Um aluno, que tinha um certo valor no visor da calculadora, apertou a tecla log por trĂŞs vezes seguidas e, curiosamente, obteve resultado zero. Qual era o valor que estava no visor da calculadora?

a) Qual o valor de a e b obtidos a partir do grĂĄfico de f.

simplificar a expressĂŁo 1 1 1 S 2 log 2 2016 5 log 3 2016 10 log 7 2016

)

(

Ă§ĂŁo log x 2 3x 2 4 2 ?

e) 1,70 P

d) 7,74

a) 10 b) 103

b) Calcule a medida da ĂĄrea do triĂ˘ngulo MNP.

c) 105

c) Determine o(s) valor(es) de x tal que 2 [f(x)] 5 [f(x)] 6.

d) 3

10 10

e) 10

200 Unidade Unidade FunĂ§Ăľes exponencial e logarĂtmica 4 4 FunĂ§Ăľes exponencial e logarĂtmica

CS-MAT-EM-3048-V1-U04-C08-LA-M17.indd 200

No final de cada capĂtulo, esta seĂ§ĂŁo apresenta questĂľes relacionadas aos conteĂşdos trabalhados ao longo do capĂtulo. SĂŁo apresentadas questĂľes autorais, de vestibulares, do Enem e de outros concursos nacionais.

20. (Unicid-SP) Se 22x 4 3 2x 1 16, log 2 0,30 e log 3 0,48 entĂŁo log (x 1) ĂŠ igual a:

a) 7,26 b) 7,32 c) 7,58

ExercĂcios complementares

19. (UEL-PR) No universo R, quais as soluĂ§Ăľes da equa-

b) Sabendo que log10 2 0,3, encontre os valores de x para os quais f(x) 52.

10. (UFMG) O pH de uma soluĂ§ĂŁo aquosa ĂŠ definido pela expressĂŁo pH log[H ], em que [H ] indica concentraĂ§ĂŁo, em mol/l, de Ăons de hidrogĂŞnio na soluĂ§ĂŁo e log, o logaritmo na base 10.

11. (Fuvest-SP) Use as propriedades do logaritmo para

d) 2 3

d) 250 000 carros.

b) 220 000 carros. c) 232 000 carros.

b) 2 6 c) 4 3

a) 200 000 carros.

15. (Unicamp-SP) Considere a funĂ§ĂŁo f(x) 10 definida para todo nĂşmero real x.

Ao analisar uma determinada soluĂ§ĂŁo, um pesquisador verificou que, nela, a concentraĂ§ĂŁo de Ăons de hidrogĂŞnio era [H ] 5,4 10 8 mol/l.

6. (Ufla-MG) Se log 2 a 2 e log 2 b 3 , entĂŁo, o

x 9 log 6 x ( x 5) . Encontre os 2

14. (UEPA) Por volta dos anos 80, durante a implantaĂ§ĂŁo do projeto ProĂĄlcool, uma montadora estimou que sua produĂ§ĂŁo de carros a ĂĄlcool teria um crescimento anual de 5 acordo com a expressĂŁo: P(t) 10 log3 (t 1), onde P ĂŠ a quantidade produzida e t o nĂşmero de anos. Dessa forma, daqui a 8 anos a produĂ§ĂŁo estimada serĂĄ de:

x 2y a) 1 x b)

( 4x ) , se x R, x 4. ( 23 ) , f(2), f(3), g( 4), g(0) e g(2).

g(x) log2 1 a) Calcule f

b) Encontre x, 1 x 4, tal que f(x) g(x).

da por f(x)

e) log3 (1 + 6xy)

nĂşmero positivo, seu logaritmo na base 3 aumenta

5. (UERJ) Admita que, em um determinado lago, a cada

f(x) 2log2(x 1), se x R, x 1,

1 e) 10

13. (Ufop-MG) Seja f a funĂ§ĂŁo real de variĂĄvel real defini-

9. (IME-RJ) Se log10 2 = x e log10 3 = y, entĂŁo log5 18 vale:

da anterior ĂŠ 6. Determine o nĂşmero procurado.

1 5

1 7

FunĂ§ĂŁo logarĂtmica

d) log3 (x2 36 y 3)

3. O logaritmo de um nĂşmero em certa base ĂŠ 3. O loga-

12. (PUC-SP) Se log 2 x e log 3 y, determine log 375.

c) log9 (2x 6(1 y ))

c) 180

1 3

CapĂtulo FunĂ§ĂŁo logarĂtmica 201 CapĂtulo 8 8 FunĂ§ĂŁo logarĂtmica

12/12/16 1:25 PM

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Legenda

CONTEXTO HISTĂ&#x201C;RICO

X NĂşmero correspondente

Principais conteĂşdos matemĂĄticos abordados nesta coleĂ§ĂŁo

Werner Forman/ Werner Forman/Corbis/Latinstock

2 b) log (50 5x x )

ao volume em que o conteĂşdo ĂŠ apresentado.

Milhares de anos Estilo geomĂŠtrico produzido por povos ancestrais do Brasil, Gruta do Pitoco (MS).

NĂşmeros

InfogrĂĄfico: Contexto histĂłrico

PRĂ&#x2030;-HISTĂ&#x201C;RIA (cerca de 2,5 milhĂľes de anos atrĂĄs-4000 a.C.)

Trecho do papiro restaurado de Ahmes.

1800 a.C. ProgressĂľes

No Egito antigo, os escribas, grupo profissional que detinha o domĂnio da leitura e da escrita, produziram uma vasta quantidade de documentos sobre diversos assuntos concernentes a essa civilizaĂ§ĂŁo. Atualmente, tais documentos sĂŁo uma preciosa fonte de estudo para a compreensĂŁo dos aspectos relevantes dessa civilizaĂ§ĂŁo. Em um papiro elaborado pelo escriba Ahmes, por exemplo, aparecem problemas envolvendo sequĂŞncias aritmĂŠticas e geomĂŠtricas.

Imagem de agrimensores egĂpcios trabalhando em uma plantaĂ§ĂŁo Ă s margens do rio Nilo.

Conceito de ĂĄrea As ĂĄreas de figuras prĂłximas do retĂ˘ngulo eram calculadas no antigo Egito pelo produto das mĂŠdias dos lados opostos do quadrilĂĄtero. NĂŁo era um mĂŠtodo exato, mas resultava em uma boa aproximaĂ§ĂŁo para a ĂĄrea. Tal conhecimento foi imprescindĂvel para o surgimento da agrimensura, atividade que tem como funĂ§ĂŁo medir e dividir lotes de terra. Em muitas imagens produzidas por essa sociedade, podemos observar o ĂĄrduo trabalho dos agrimensores Ă s margens do rio Nilo, sua principal fonte de ĂĄgua.

Sistema numĂŠrico arcaico desenvolvido na SumĂŠria (atual Iraque).

ANTIGUIDADE

(4000 a.C.-476 d.C.)

Fragmento de osso marcado por comunidades da PrĂŠ-HistĂłria.

288

2000 a.C.

SĂŠculo XVI a.C.

FraĂ§Ăľes

SĂŠculo VI a.C.

Medida de Ă˘ngulos

Por volta do segundo milĂŞnio antes de Cristo, povos antigos jĂĄ contavam com muitas invenĂ§Ăľes consagradas, a exemplo da roda, da escrita, da Astronomia e do calendĂĄrio. Em tal contexto, mesopotĂ˘micos e egĂpcios criaram sĂmbolos para representar as fraĂ§Ăľes. Os egĂpcios usavam apenas fraĂ§Ăľes de numerador 1. Assim, no Egito antigo, 3 a fraĂ§ĂŁo era representada como 5

Os mesopotĂ˘micos conheciam o hexĂĄgono regular. Como seu sistema de numeraĂ§ĂŁo era em base 60, optaram por dividir cada â&#x20AC;&#x153;Ă˘ngulo grandeâ&#x20AC;? em 60 partes.

Busto de Tales de Mileto, considerado o primeiro filĂłsofo da HistĂłria ocidental.

SemelhanĂ§a Cada um destes â&#x20AC;&#x153;Ă˘ngulos grandesâ&#x20AC;? foi dividido em 60 partes.

1 1 1 . 3 5 15

Editoria de Arte

Registro numĂŠrico A partir do perĂodo NeolĂtico, diversas comunidades humanas sedentarizaram-se e passaram a estocar o alimento excedente. Gradualmente, surgem os primeiros centros urbanos, as relaĂ§Ăľes comerciais, a divisĂŁo social e o conceito de propriedade privada. A necessidade de contar motivou a associaĂ§ĂŁo entre uma quantidade de objetos e a mesma quantidade de pequenos seixos. Surgem registros de nĂşmeros, como marcas em ossos, pedaĂ§os de madeira e pedra.

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Nas colĂ´nias gregas da Ă sia Menor (atual Turquia), um grupo de pensadores desprendeu-se gradualmente das explicaĂ§Ăľes mitolĂłgicas usadas para a compreensĂŁo do mundo. Esse lento processo promoveu o surgimento do racionalismo, da Filosofia e do pensamento cientĂfico. Seu precursor foi Tales de Mileto (c. 623 a.C. â&#x20AC;&#x201C; c. 546 a.C.), um hĂĄbil astrĂ´nomo que sustentava a ideia de que todos os elementos do Universo foram criados a partir da ĂĄgua. Na MatemĂĄtica, Tales de Mileto demonstrou diversas propriedades de figuras geomĂŠtricas e desenvolveu o conceito de semelhanĂ§a mostrando diversas aplicaĂ§Ăľes.

Fonte de pesquisa do infogrĂĄfico: BOYER, Carl Benjamin. HistĂłria da MatemĂĄtica. Trad. Elza F. Gomide. 3 ed. SĂŁo Paulo: Edgar BlĂźcher, 2012. EVES, Howard. IntroduĂ§ĂŁo Ă HistĂłria da MatemĂĄtica. SĂŁo Paulo: Unicamp, 2007. KINDER, Hermann; HILGEMANN, Werner; HERGT, Manfred. Atlas histĂłrico mundial: De los orĂgenes a nuestros dĂas. Madrid: Akal, 2007.

289

A linha do tempo nĂŁo estĂĄ representada em escala.

12/12/16 6:18 PM

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CapĂtulo 1

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SĂŠculo XVI a.C.

4000 a.C.

James Di Loreto & Donald H. Hurlbert. Smithsonian Institution

Ao final do volume hĂĄ um infogrĂĄfico que apresenta uma linha do tempo, relacionando os conteĂşdos abordados na coleĂ§ĂŁo com tĂłpicos da histĂłria da MatemĂĄtica.

Durante o perĂodo PaleolĂtico, a maioria das comunidades humanas usava apenas trĂŞs nĂşmeros: um, dois e â&#x20AC;&#x153;muitosâ&#x20AC;?. Mesmo com um conhecimento numĂŠrico rudimentar, tais povos vivenciavam a MatemĂĄtica de uma forma empĂrica, ao entrar em contato com elementos geomĂŠtricos da natureza.

SĂtio ArqueolĂłgico gruta do Pitoco, AlcinĂłpolis. MS. Bufinha/SEMUDES

NĂşmeros naturais Durante a Antiguidade, egĂpcios, mesopotĂ˘micos e outras civilizaĂ§Ăľes promoveram um notĂĄvel desenvolvimento da MatemĂĄtica, impulsionado, sobretudo, por demandas do cotidiano. A construĂ§ĂŁo de monumentos fĂşnebres, a contagem do tempo e a construĂ§ĂŁo de canais de irrigaĂ§ĂŁo sĂŁo alguns dos problemas superados com o auxĂlio do saber matemĂĄtico. MesopotĂ˘micos e egĂpcios criaram sĂmbolos para representar os nĂşmeros naturais. EgĂpcios usavam base 10, mas notaĂ§ĂŁo nĂŁo posicional. JĂĄ os sumĂŠrios, um dos povos da MesopotĂ˘mia, usavam base 60 com notaĂ§ĂŁo posicional. Os matemĂĄticos da antiga SumĂŠria precisavam de 59 sĂmbolos diferentes para representar seus nĂşmeros. NĂŁo existia representaĂ§ĂŁo do zero. Quando nada havia, deixava-se um espaĂ§o em branco.

Editoria de Arte

3000 a.C.

Corbis/Latinstock

2 a) log5 (x 4x 5)

17. (Fuvest-SP) Considere as funĂ§Ăľes f e g definidas por

O valor de S ĂŠ 1 a) 2

log 2 0,3 e log 3 0,48. Nessas condiĂ§Ăľes, determine o valor de log 15.

1. DĂŞ a condiĂ§ĂŁo de existĂŞncia de:

Album/Latinstock

Logaritmo

12/12/16 6:18 PM

FĂsica: CiĂŞncia e tecnologia

12/13/16 4:35 PM

Sumário PARTE I UNIDADE 1

Conjuntos | 12

Retomando e pesquisando | 43

Capítulo 2 Conjuntos numéricos | 26 Conjunto dos números naturais | 26 Conjunto dos números inteiros | 27

UNIDADE 2

n ro Vo

Introdução às funções | 44

História da Matemática | 60

Zero e estudo do sinal de uma função | 64

Retomando e pesquisando | 83

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7 in

st er

12/22/16 2:33 PM

UNIDADE 3

Estudo das funções afim, quadrática e modular | 84

Capítulo 5 Função quadrática | 112 Gráfico da função quadrática | 115 Explorando a tecnologia | 117 Zeros da função quadrática | 118

Retomando e pesquisando | 153

Lefteris Pitarakis/AP/ Glow Images

Respostas da parte I | 154

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12/22/16 2:33 PM

Scorpp/Shutterstock.com

Sumário

PARTE II UNIDADE 4

Funções exponencial e logarítmica | 162

Inequações exponenciais | 177

Exercícios complementares | 200

Exercícios complementares | 179

Retomando e pesquisando | 203

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12/22/16 2:34 PM

UNIDADE 5

Estudo das progressões e Matemática financeira | 204

Capítulo 10 Noções de Matemática financeira | 228 Porcentagem | 228 Aumentos e descontos | 228 Variação percentual | 229

Soma dos termos de uma PA | 213

Lucro e prejuízo | 231

Progressão aritmética e função afim | 214

Juro | 231

História da Matemática | 214

Juro simples | 231

Progressão geométrica | 217

Juro composto | 234

Termo geral de uma PG | 219 Soma dos termos de uma PG finita | 221 Soma dos termos de uma PG infinita | 222

Juro e funções | 240 Exercícios complementares | 243

Retomando e pesquisando | 245

PHOTOBUAY/Shutterstock.com

Progressão geométrica e função exponencial | 223 Exercícios complementares | 226

Explorando a tecnologia | 238

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Sumário UNIDADE 6

Introdução à Trigonometria | 246

Retomando e pesquisando | 286

Infográfico: Contexto histórico | 287 Respostas da parte II | 296 Lista de siglas | 303 Referências bibliográficas | 304

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iStockphoto/Getty Images

Sugestões para pesquisa e leitura | 301

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Stock Photos/Glowimages.com

Respostas da parte I | 154

Capítulo 1

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Física: Ciência e tecnologia

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Unidade

Tucano, cerca de 55 cm de comprimento.

Conjuntos

A taxonomia é o ramo da Biologia que estuda a classificação dos seres vivos. Ao classificá-los, os cientistas utilizam critérios de semelhança, organizando-os em grupos. Assim, é possível estabelecer, por exemplo, a existência de um ancestral comum entre grupos diferentes. Todos os seres vivos podem ser classificados em seis grupos, chamados reinos. Cada reino é dividido em filos, que incluem uma ou mais classes. As classes são formadas por ordens, que contêm famílias. As famílias são constituídas de gêneros, que contêm uma ou diversas espécies. Assim como na taxonomia, é possível fazer agrupamentos de acordo com uma ou mais características comuns em diversas situações do cotidiano. No supermercado, por exemplo, os produtos são distribuídos de acordo com algumas características, como alimentos, bebidas, produtos de limpeza, utilidades domésticas etc. Dentro desses grupos é possível ainda criar subgrupos. Para o caso dos alimentos, por exemplo, podemos ter: em conservas, não perecíveis, refrigerados e assim por diante. Os agrupamentos auxiliam na organização dos dados, produtos, elementos, e são especialmente úteis quando há uma grande quantidade de dados para ser analisada.

Quati, cerca de 50 cm de comprimento.

Paisagem com rio, no Pantanal, Brasil (2014). Em destaque, alguns animais típicos da região.

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Paisagem do Pantanal: Stock Photos/Glowimages.com; Tucano: Getty Images; Joseph Van Os/The Image Bank/Getty Images; Quati: Rosa Jay/Shutterstock.com; Garça: Getty Images/S.B. Nace/Lonely Planet Image; Tuiuiu: Getty Images/LucasAmorelli/iStockphoto; Pintado: GERSON SOBREIRA/Terra Stock; Dourado: Alamy/Michael Patrick O'Neill/Latinstock; Onça-Pintada: Anan Kaewkhammul/Shutterstock.com; Capivara: Anan Kaewkhammul/Shutterstock.com

Tuiuiú, cerca de 1,5 m de altura.

Garça, cerca de 90 cm de comprimento.

Onça-pintada, cerca de 2 m de comprimento.

Pintado, cerca de 1 m de comprimento.

Dourado, cerca de 40 cm de comprimento.

Capivara, cerca de 1,2 m de comprimento.

1. Você já conhecia a taxonomia? Qual é a classificação taxonômica do ser humano? Converse com os colegas a respeito. 2. Pense em três situações em que usamos os agrupamentos no dia a dia e faça o que se pede. a) Conte aos colegas as situações pensadas. Vocês pensaram nas mesmas situações? b) Como seriam essas situações sem os agrupamentos? 3. Observe as imagens destas páginas e elabore: a) um agrupamento possível para os animais. b) um esquema que ilustre esse agrupamento. c) com o auxílio do esquema, uma explicação sobre sua divisão e compare com os esquemas feitos por seus colegas.

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12/9/16 9:33 AM

CAPÍTULO 1

Introdução aos conjuntos

• Conceitos iniciais • Subconjuntos • Operações entre conjuntos

Phillip Minnis/Shutterstock/Glow Images

Nos mercados e feiras livres os produtos geralmente são organizados por semelhança, ou seja, produtos que possuem alguma característica em comum ficam juntos. O mesmo raciocínio é utilizado na formação de conjuntos, em que agrupamos elementos que tenham um ou mais atributos em comum. Usamos a ideia de conjunto em várias situações do dia a dia. Ao organizar a lista de amigos para uma festa, ao preparar o material escolar, ao formar um time, por exemplo, estamos constituindo conjuntos. Neste capítulo estudaremos os conjuntos do ponto de vista matemático, analisando algumas propriedades e operações.

Conceitos iniciais Um conjunto é uma coleção de objetos, chamados de elementos, que possuem uma propriedade comum ou que satisfazem determinada condição.

Representações de um conjunto Um conjunto pode ser representado de várias maneiras. Geralmente indicamos os conjuntos utilizando letras maiúsculas (A, B, C, D, ...) e adotamos letras minúsculas para representar seus elementos (a, b, c, d, ...). Por exemplo, podemos representar o conjunto A, formado pelas vogais do nosso alfabeto, das seguintes maneiras:

Parte de barraca de feira na qual as frutas estão organizadas por especialidade.

a) os elementos do conjunto são colocados entre chaves separados por vírgula, ou ponto e vírgula: A {a, e, i, o, u}. b) os elementos do conjunto são nomeados por uma ou mais propriedades que os caracterize: A {x | x é vogal do nosso alfabeto}. c) os elementos do conjunto aparecem no interior de uma curva fechada denominada diagrama de Venn:

a e o

O diagrama de Venn foi desenvolvido pelo matemático inglês John Venn (1834-1923).

Unidade 1

u i

Editoria de arte

Bridgemanimages/Keystone

Este símbolo significa tal que.

Para indicar que um elemento faz parte de determinado conjunto, usamos o símbolo (pertence) e para indicar que ele não faz parte, usamos o símbolo (não pertence). Por exemplo, tomando A {a, e, i, o, u}, temos: • i A (lê-se: i pertence a A);

• d A (lê-se: d não pertence a A).

Conjuntos

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12/9/16 9:33 AM

Tipos de conjuntos Quanto ao número de elementos, os conjuntos podem ser classificados como finitos ou infinitos. Um conjunto é finito quando tem um número determinado de elementos. Por exemplo, o conjunto A das vogais de nosso alfabeto: A {a, e, i, o, u}

Utilizamos a notação n(A) para indicar o número de elementos do conjunto A. Nesse exemplo, temos n(A) 5.

Um conjunto é infinito quando não é finito, ou seja, não é possível a contagem de todos os seus elementos. Por exemplo, o conjunto B dos números naturais ímpares: B {1, 3, 5, 7, 9, ...}

As reticências antes ou depois de todos os elementos indicam que o conjunto é infinito.

Embora conjunto passe uma ideia de coleção, existem dois conjuntos muito especiais para a Matemática que não correspondem a essa noção, o conjunto unitário e o conjunto vazio. Um conjunto é unitário quando é formado por um único elemento. Por exemplo: H {x | x é um número natural maior que 6 e menor que 8} Como só existe um número natural maior que 6 e menor que 8, temos que H {7}. Logo, H é um conjunto unitário. O conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Ele é representado por { } ou . Por exemplo: V { x | x é um número natural menor que zero}

Igualdade de conjuntos Analisando os conjuntos A {vogais da palavra livro} e B {i, o}, observamos que eles possuem exatamente os mesmos elementos. Nesse caso, dizemos que A e B são iguais. Agora, observe os conjuntos X {1, 2, 3} e Y {0, 1, 2}. Como existem elementos diferentes em cada conjunto, dizemos que X e Y são diferentes. Dois conjuntos A e B são iguais, indicamos A B, quando possuem os mesmos elementos. Dois conjuntos A e B são diferentes, indicamos A B, se pelo menos um dos elementos de um dos conjuntos não pertence ao outro.

A ordem em que os elementos estão dispostos em um conjunto não o diferencia. Por exemplo, os conjuntos X {1, 2, 3} e W {2, 3, 1} possuem os mesmos elementos, então X W. Da mesma maneira, os conjuntos P {1, 5, 6} e Q {1, 5, 6, 5} também são iguais, ou seja, têm os mesmos elementos, pois, apesar de o número 5 aparecer duas vezes em Q, elementos repetidos não diferenciam um conjunto do outro. Capítulo 1

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Introdução aos conjuntos

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Considerando os conjuntos A {1, 3, 7} e B {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}, observamos que todo elemento do conjunto A tambĂŠm ĂŠ elemento de B. Nesse caso, dizemos que A ĂŠ um subconjunto de B. Veja ao lado a representaĂ§ĂŁo desses conjuntos por diagramas.

B A

1 7

Um conjunto A ĂŠ subconjunto de outro conjunto, B, quando qualquer elemento de A tambĂŠm pertence a B.

Em algumas situaĂ§Ăľes envolvendo conjuntos, todos os conjuntos considerados sĂŁo subconjuntos de um mesmo conjunto, denominado conjunto universo e representado por U. Nos diagramas, ĂŠ usual representar o conjunto universo por um retĂ˘ngulo. Por exemplo: a) Ao lado representamos os conjuntos U Z, A { 1, 0, 1, 2} e B { 2, 1, 2, 3}:

De maneira geral, temos:

IlustraĂ§Ăľes: Editoria de arte

Subconjuntos

U A

B 0 1

1 2

2 3

b) No conjunto universo U N, a equaĂ§ĂŁo x 3 1 nĂŁo tem soluĂ§ĂŁo. No entanto, sendo U Z, a equaĂ§ĂŁo tem soluĂ§ĂŁo x 2. Quando um conjunto A ĂŠ subconjunto de um conjunto B, temos uma relaĂ§ĂŁo de inclusĂŁo e dizemos que A estĂĄ contido em B ou, ainda, que A ĂŠ parte de B. Podemos dizer tambĂŠm que B contĂŠm A. Indica-se: A B

(lĂŞ-se: A estĂĄ contido em B ou A ĂŠ parte de B) Este sĂmbolo significa estĂĄ contido.

B A

(lĂŞ-se: B contĂŠm A) Este sĂmbolo significa contĂŠm.

Veja alguns exemplos: a) Sendo A {1, 2} e B {0, 1, 2, 3}, tem-se A 3 B.

c) {4, 5, 6} 3 {4, 5, 6}

b) {3, 4, 5} 3 {1, 2, 3, 4, 5, 6}

d) {8} 3 {2, 4, 6, 8}

Propriedades da relaĂ§ĂŁo de inclusĂŁo Ă&#x2030; possĂvel demonstrar que sĂŁo vĂĄlidas as seguintes propriedades para a relaĂ§ĂŁo de inclusĂŁo entre conjuntos: a

1 ) Propriedade reflexiva: A A, para qualquer A, ou seja, um conjunto sempre ĂŠ subconjunto dele mesmo. 2a) Propriedade antissimĂŠtrica: Se A B e B A, entĂŁo A B. 3a) Propriedade transitiva: Se A B e B C, entĂŁo A C. ObservaĂ§Ăľes:

â&#x20AC;˘ A relaĂ§ĂŁo de pertinĂŞncia (x A) ĂŠ entre elemento e conjunto, enquanto a relaĂ§ĂŁo de inclusĂŁo (A B) ĂŠ entre dois conjuntos. â&#x20AC;˘ Se existir pelo menos um elemento de A que nĂŁo pertenĂ§a a B, dizemos que A nĂŁo estĂĄ contido em B ou que B nĂŁo contĂŠm A. â&#x20AC;˘ O sĂmbolo significa nĂŁo estĂĄ contido. â&#x20AC;˘ O sĂmbolo significa nĂŁo contĂŠm. â&#x20AC;˘ O conjunto vazio ĂŠ subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, A, qualquer que seja o conjunto A.

Unidade 1

Conjuntos

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ExercĂcios resolvidos 3. 1 Descreva os conjuntos a seguir, enumerando seus elementos: a) V {x ĂŠ vogal da palavra estacionamento} b) P {x ĂŠ um nĂşmero natural primo menor que 50}

ResoluĂ§ĂŁo a) As vogais do nosso alfabeto sĂŁo: a, e, i, o, u. Na palavra estacionamento, as vogais sĂŁo: a, e, i, o. Portanto, V {a, e, i, o}. b) Os nĂşmeros primos sĂŁo aqueles que possuem apenas dois divisores distintos, o nĂşmero 1 e ele mesmo. Logo, os nĂşmeros primos menores que 50 sĂŁo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47. Portanto, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.

3. 2 Verifique se o conjunto A {0, 3, 5} ĂŠ subconjunto de B {0, 1, 2, 3, 4}. ResoluĂ§ĂŁo Comparando, um a um, os elementos dos conjuntos A e B, verificamos que o elemento 5 do conjunto A nĂŁo pertence a B, ou seja, 5 B. Logo, A nĂŁo estĂĄ contido em B, isto ĂŠ, A B. Portanto, A nĂŁo ĂŠ subconjunto de B.

3. 3 Determine todos os subconjuntos de A {1, 2, 3}. ResoluĂ§ĂŁo Os subconjuntos de A sĂŁo os seguintes: â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

o conjunto vazio: os conjuntos com apenas 1 elemento: {1}, {2}, {3} os conjuntos com 2 elementos: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} o prĂłprio conjunto A, com 3 elementos: {1, 2, 3}

E H F

Editoria de arte

3. 4 Observe o diagrama:

Quais afirmativas sĂŁo verdadeiras? Justifique sua resposta. a) E F

c) H F

e) F H

b) F E

d) E H

f) H E

ResoluĂ§ĂŁo Analisando as afirmativas, uma a uma, temos: a) Verdadeira, pois existem elementos que pertencem a E e nĂŁo pertencem a F. b) Falsa, pois existem elementos que pertencem a E e nĂŁo pertencem a F. c) Falsa, pois existem elementos que pertencem a H e nĂŁo pertencem a F. d) Verdadeira, pois todos os elementos de H pertencem a E. e) Verdadeira, pois existem elementos que pertencem a H e nĂŁo pertencem a F. f) Verdadeira, pois todos os elementos de H pertencem a E.

CapĂtulo 1

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IntroduĂ§ĂŁo aos conjuntos

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ExercĂcios propostos 1. Escreva os conjuntos descritos abaixo: a) O conjunto A representado pelos nĂşmeros naturais mĂşltiplos de 3 menores que 20.

8. Dados os conjuntos A {1}, B {0, 1}, C {1, 2, 3} e D {0, 1, 2, 4}, relacione cada par de conjuntos a seguir usando o sĂmbolo ou .

b) O conjunto B representado pelos nĂşmeros naturais primos menores que 27.

a) A e B

d) B e C

b) A e C

e) B e D

c) O conjunto C representado pelos nĂşmeros naturais menores que 50 e mĂşltiplos de 7.

c) A e D

f) C e D

2. Dado o conjunto B {1, 1, 2, 2}, responda se as proposiĂ§Ăľes abaixo sĂŁo verdadeiras ou falsas: a) 1 B

9. Sejam A, B e C os conjuntos a seguir: A {x | x ĂŠ nĂşmero natural par compreendido entre 3 e 15}; B {x | x ĂŠ nĂşmero natural par menor que 15};

b) {1} B

C {x | x ĂŠ nĂşmero natural par diferente de 2}.

c) {{2}} B

Relacione cada par a seguir usando o sĂmbolo ou .

d) 2 B

a) A e B

e) { 1} B

b) A e C

f) 1 B 3. Observe o conjunto A {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}. Represente os subconjuntos de A formados: a) pelos nĂşmeros maiores que 5 e menores que 10; b) pelos nĂşmeros pares; c) pelos nĂşmeros Ămpares maiores ou iguais a 7. 4. Dado o conjunto E {2, 4, 6, 8}, escreva no caderno todos os subconjuntos de E formados por:

c) B e C 10. Dado o conjunto A {0, 2, 3}, diga se as proposiĂ§Ăľes a seguir sĂŁo verdadeiras ou falsas. a) 0 A

e) {1, 2} A

b) 1 A

f) A

c) 3 A

g) A

d) {3} A

h) {3} A

11. Indique apenas as afirmaĂ§Ăľes verdadeiras.

a) 3 elementos;

a) {5} {0, 5, 10, 15}

b) 4 elementos. 5. Sejam a e b nĂşmeros naturais, determine o valor de a + b, tal que {0, 1, 2} {2, a, b}.

b) {a, b, c} {b, a, c}

6. Uma pessoa tem quatro opĂ§Ăľes de mĂşsica para escutar: a, b, c e d. Se ela quiser ouvir apenas duas mĂşsicas diferentes por dia, quais possibilidades de pares ela tem para escolher?

d) 8 {2, 4, 6, 8, 10}

7. No diagrama abaixo, A, B e C sĂŁo trĂŞs conjuntos nĂŁo vazios.

g) 3 {0, 3, 6, 9}

Editoria de arte

B A

c) 2 {0, 2, 4}

e) {1, 2, 3} {1, 2} f ) { 1, 6} {nĂşmeros naturais}

1 {nĂşmeros naturais} 2

12. Sendo P e Q dois conjuntos nĂŁo vazios, de modo que P Q, indique apenas as afirmaĂ§Ăľes verdadeiras. a) Sempre existe x, x P, tal que x Q. b) Sempre existe x, x Q, tal que x P. c) Se x Q, entĂŁo x P.

Associe V ou F a cada uma das seguintes sentenĂ§as, conforme ela seja verdadeira ou falsa.

a) A B

e) B A

b) C B

f) A C

c) B A

g) B A

d) A C

h) A B

Unidade 1

d) Se x Q, entĂŁo x P. e) P e Q nĂŁo tĂŞm elementos em comum. 13. Quantos conjuntos M satisfazem Ă sentenĂ§a: {1, 2} M {1, 2, 3, 4} 14. Qual deve ser a relaĂ§ĂŁo entre os conjuntos A, B e C para que A B, B C e C A?

Conjuntos

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Operações entre conjuntos União de conjuntos

Por exemplo, dados os conjuntos A {0, 2, 4, 6} e B {0, 1, 2, 3, 4}, a união desses conjuntos é o conjunto obtido pela junção dos elementos dos conjuntos A e B, isto é: A B {0, 1, 2, 3, 4, 6}

0 6

Lê-se: A união B ou A reunião B.

Observe que qualquer que seja um elemento de A B, ele pertence ao conjunto A ou ao conjunto B (ou a ambos).

Ilustrações: Editoria de arte

A união ou reunião de dois conjuntos A e B, que indicamos por A B, é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B: A B { x | x A ou x B}

A parte pintada dos conjuntos indica A 6 B.

Intersecção de conjuntos A intersecção de dois conjuntos A e B, que indicamos por A B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B: A B { x | x A e x B}

Por exemplo, a intersecção dos conjuntos A e B do exemplo anterior é o conjunto cujos elementos pertencem, ao mesmo tempo, ao conjunto A e ao conjunto B. Veja: A B {0, 2, 4} Lê-se: A intersecção B.

0 6

A parte pintada dos conjuntos indica A 5 B.

Observação: Se os conjuntos A e B não possuem elementos comuns (A B ), dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

Propriedades da união e da intersecção de conjuntos Dados três conjuntos, A, B e C, é possível demonstrar que valem as seguintes propriedades: 1a) Propriedade comutativa

A B B A A B B A

comutativa da união comutativa da intersecção

2 ) Propriedade associativa

(A B) C A (B C) (A B) C A (B C)

associativa da união associativa da intersecção

3a) Propriedade distributiva

A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)

distributiva da intersecção em relação à união distributiva da união em relação à intersecção

4 ) Propriedade

Se A B, então A B B e A B A. Da mesma maneira, se A B B ou A B A, então A B. Capítulo 1

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Introdução aos conjuntos

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NĂşmero de elementos da uniĂŁo de conjuntos Sendo A e B dois conjuntos finitos, o nĂşmero de elementos do conjunto A B, que indicamos por n(A B), ĂŠ dado pela seguinte relaĂ§ĂŁo: n(A B) n(A) n(B) n(A B)

Por exemplo, dados A {0, 2, 4, 6} e B {0, 1, 2, 3, 4}, ao adicionarmos o nĂşmero de elementos de A ao nĂşmero de elementos de B, o nĂşmero de elementos de A B ĂŠ contado duas vezes. Ă&#x2030; por isso que subtraĂmos n(A B). Assim:

A B A

0 6

IlustraĂ§Ăľes: Editoria de arte

n(A B) 4 5 3 Ă¤ n(A B) 6

ObservaĂ§ĂŁo: Para A B , temos: n(A B) 0 e n(A B) n(A) n(B).

DiferenĂ§a de conjuntos A diferenĂ§a de dois conjuntos A e B, que indicamos por A B, nessa ordem, ĂŠ o conjunto dos elementos que pertencem a A e nĂŁo pertencem a B: A B { x | x A e x B}

A parte pintada nos conjuntos indica A B.

Por exemplo, dados os conjuntos A {1, 2, 3, 4, 5} e B {2, 4, 6, 8}, a diferenĂ§a A B ĂŠ formada por todos os elementos que pertencem a A, mas nĂŁo pertencem a B. A B {1, 3, 5} LĂŞ-se: A menos B.

Se B A, a diferenĂ§a A B ĂŠ denominada complementar de B em relaĂ§ĂŁo a A e pode ser indicada por: BA A B

A 2

0 1

3 4

A parte pintada nos conjuntos B

indica A.

Unidade 1

Por exemplo, se B {2, 3} e A {0, 1, 2, 3, 4}, o complementar de B em relaĂ§ĂŁo a A ĂŠ o que falta para o conjunto B ficar igual ao conjunto A, ou seja: AB A B {0, 1, 4} No caso de termos um determinado conjunto universo U, do qual A ĂŠ subconjunto, o complementar de A em relaĂ§ĂŁo a U pode ser indicado por: A A. A AU U A

Conjuntos

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ExercĂcios resolvidos 3. 5 Dados os conjuntos A {0, 1, 2, 3, 4} e B {1, 3, 5, 7}, determine A B, A B, A B e represente cada um desses conjuntos por meio de um diagrama.

ResoluĂ§ĂŁo Juntando todos os elementos que pertencem a A ou a B, temos:

0 1

IlustraĂ§Ăľes: Editoria de arte

A B {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}

0 1 5

Em seguida, colocamos o valor 50 na intersecĂ§ĂŁo de S e P, que representa as pessoas que consomem os dois produtos. Ă&#x2030; importante comeĂ§ar pela intersecĂ§ĂŁo, pois assim nĂŁo corremos o risco de contar mais de uma vez essas 50 pessoas. P

A B {1, 3}

Tomando os elementos comuns a A e a B, temos:

Assim, das 210 pessoas que consomem o produto S temos que 50 consomem tambĂŠm o produto P. EntĂŁo, o nĂşmero de pessoas que consomem somente o produto S ĂŠ 210 50 160. Portanto, colocamos 160 na parte que representa somente S. Veja: S

160

Considerando os elementos que pertencem a A e nĂŁo pertencem a B, temos:

A B {0, 2, 4} A

Analogamente, das 180 pessoas que consomem o produto P, temos 50 pessoas que tambĂŠm consomem o produto S. EntĂŁo, o nĂşmero de pessoas que consomem somente o produto P ĂŠ 180 50 130. Portanto, colocamos 130 na parte que representa somente quem consome o produto P. Veja:

0 1

3. 6 Em uma cidade sĂŁo consumidos dois produtos, S e P, sendo S um tipo de sabonete e P um tipo de perfume. Uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos levantou os seguintes dados. Produto consumido NĂşmero de consumidores

SeP

Nenhum dos dois

210

180

Fonte: Dados fictĂcios.

Quantas pessoas foram consultadas nessa pesquisa?

160

130

Por Ăşltimo, acrescentamos as 40 pessoas que nĂŁo consomem nenhum dos produtos. S

160

130

ResoluĂ§ĂŁo Em primeiro lugar, vamos considerar os conjuntos S e P, que correspondem aos consumidores dos produtos S e P, respectivamente, e fazer um diagrama. O diagrama deve apresentar intersecĂ§ĂŁo, pois existem pessoas que consomem os dois produtos (S e P) ao mesmo tempo.

Para determinar quantas pessoas foram consultadas, adicionamos os nĂşmeros marcados no diagrama: 160 50 130 40 380 Assim, foram consultadas 380 pessoas nessa pesquisa. CapĂtulo 1

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IntroduĂ§ĂŁo aos conjuntos

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ExercĂcios propostos 15. Sendo A {0, 1, 2, 3}, B {0, 2, 3, 5}, C {x x ĂŠ nĂşmero natural par menor que 10} e D {x x ĂŠ nĂşmero Ămpar compreendido entre 4 e 10}, determine: d) C D a) A B b) A D

e) (A B) C

c) B C

f) (B C) D

16. Sendo A {0, 1, 2, 3, 4}, B {0, 1, 2}, C {x x ĂŠ nĂşmero par menor que 10}, D {x x ĂŠ nĂşmero Ămpar compreendido entre 0 e 6}, determine: a) A B

d) B C

b) A C

e) (A B) C

c) A D

f ) (A C) D

21. Dados U {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A {0, 2, 5}, B {1, 3, 5, 7} e E {2, 4, 6}, determine: a) UA

b) U

c) U

22. Representa-se por M(a) o conjunto dos mĂşltiplos de a e por D(a) o conjunto dos divisores de a. Enumere os conjuntos a seguir: a) M(3) D(30)

c) D(100) D(50)

b) M(2) M(4)

d) M(7) M(5)

23. (UFF-RJ) Os conjuntos S, T e P sĂŁo tais que todo elemento de S ĂŠ elemento de T ou P. O diagrama que pode representar esses conjuntos ĂŠ: a)

d) T

17. Dados A {0, 1, 2, 3}, B {1, 2, 3} e C {2, 3, 4, 5}, determine: d) (A B) C e) (A C) (B C) f) A

a) A B b) A C c) B C

e) T P S

18. Considere o diagrama a seguir.

2 4

IlustraĂ§Ăľes: Editoria de arte

24. Em uma pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 nĂŁo liam jornal. Quantas pessoas foram consultadas?

Determine: a) A B

e) A 5 B 5 C

b) A C

f) A C

c) A B C

g) (A 5 C) B

d) B 5 C 19. Os conjuntos A, B e E sĂŁo tais que A B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A B {4, 5}, E B {1, 2}, B A {6, 7}, E B e E A. E Calcule A. 20. Enumere os conjuntos:

25. Em uma escola, hĂĄ 630 alunos, dos quais 350 estudam PortuguĂŞs, 210 estudam Espanhol e 90 estudam as duas disciplinas (PortuguĂŞs e Espanhol). Pergunta-se: a) Quantos alunos estudam apenas PortuguĂŞs? b) Quantos alunos estudam apenas Espanhol? c) Quantos alunos estudam PortuguĂŞs ou Espanhol? d) Quantos alunos nĂŁo estudam nenhuma das duas matĂŠrias? 26. Em um grupo de 99 esportistas, 40 jogam vĂ´lei, 20 jogam vĂ´lei e xadrez, 22 jogam xadrez e tĂŞnis, 18 jogam vĂ´lei e tĂŞnis, 11 jogam as trĂŞs modalidades.

a) {10, 11, 12} {7, 8, 9, 10, 11}

O nĂşmero de pessoas que jogam xadrez ĂŠ igual ao nĂşmero de pessoas que jogam tĂŞnis. Quantos jogam:

b) { 3, 2, 1, 0} {0, 1, 2, 3}

a) tĂŞnis e nĂŁo jogam vĂ´lei?

{12 , 41 , 13} {15 , 61}

Unidade 1

b) xadrez ou tĂŞnis e nĂŁo jogam vĂ´lei? c) vĂ´lei e nĂŁo jogam xadrez?

Conjuntos

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Voto e cidadania

CONEXÕES Conexões

27. Atualmente, o Brasil é uma república democrática, em que o voto constitui um dos principais símbolos do exercício da cidadania. Leia o texto a seguir a respeito do voto e faça o que se pede em cada item.

Voto Consciente: um forte instrumento de mudança política e social [...] [A] República Federativa do Brasil constitui-se em Estado democrático de direito no qual “todo poder emana do povo, que o exerce por meio de representantes eleitos ou diretamente” (art. 1o, parágrafo único, da Constituição Federal de 1988). Assim, o sentido da democracia está na possibilidade de o cidadão exercer a soberania popular, que se concretiza pelo sufrágio universal e pelo voto direto e secreto na escolha dos governantes. Daí, o eleitor tem em suas mãos um importante instrumento de mudança política e social: o voto. O Brasil é um país reconhecido pela sua ampla representatividade democrática. No entanto, nem sempre foi assim. Houve momentos em nossa história de grandes restrições ao direito de participação popular no processo de escolha dos governantes: as mulheres não tinham direito de votar; o voto era definido pela renda (voto censitário — direito apenas dos ricos) e, ainda, controlado por coronéis (voto de cabresto). Desse modo, no atual contexto político e social do Brasil, os dias destinados à realização das eleições representam um dos raros momentos em que todos se igualam, pois não há diferença de raça, sexo, condição financeira, classe ou grupo social, já que existe igualdade de valor no voto dado por cada cidadão. [...] Conhecer o funcionamento do processo eleitoral brasileiro, entender o sistema por meio do qual os candidatos são eleitos, perceber o que é legítimo e aquilo que ofende a moralidade da disputa eleitoral contribui para a conscientização do eleitor na escolha de seus representantes. [...] O eleitor deve estar atento à atuação de cada candidato. Aqueles que possam tentar comprar votos ou oferecer alguma vantagem em troca de apoio político certamente continuarão a promover a corrupção se forem eleitos. Precisamos entender, contudo, que nem todo político é igual ou corrupto. Existem candidatos interessados em promover uma mudança social e política, por isso devemos buscar conhecer as propostas do candidato e do seu partido, assim como o seu passado. [...] Logo, o eleitor que exercer o seu direito ao voto — a partir de uma decisão madura, refletida e consciente — contribuirá para impedir a eleição de maus políticos e possibilitará o alcance de uma maior legitimidade no processo eleitoral.

Constituição Federal de 1988 Constitui a lei suprema do Brasil, promulgada em 5 de outubro de 1988, atribuindo efetividade aos direitos fundamentais de todo cidadão brasileiro.

Sufrágio, voto e escrutínio Sufrágio é o direito de votar e de ser votado; voto é a forma de exercer o direito ao sufrágio; e escrutínio é a forma como se pratica o voto, seu procedimento. Fonte: DELITTI, Luana Souza. Qual a diferença entre sufrágio, voto e escrutínio? Jusbrasil. Disponível em: <http://lfg.jusbrasil.com.br/ noticias/2157529/qual-a-diferencaentre-sufragio-voto-e-escrutinioluana-souza-delitti>. Acesso em: 5 set. 2016.

Fonte: DIAS, Renata Livia Arruda de Bessa. Voto Consciente: um forte instrumento de mudança política e social. Revista Eletrônica da EJE, Brasília, n. 5, ano II, ago./set. 2012. Disponível em: < http://www.tse.jus.br/institucional/escola-judiciaria-eleitoral/revistas-da-eje/artigos/revista-eletronica-ano-ii-no-5/ voto-consciente-um-forte-instrumento-de-mudanca-politica-e-social>. Acesso em: 5 set. 2016.

a) Após a leitura do texto e utilizando seus conhecimentos pessoais, responda: que ações devem ser tomadas pelo eleitor antes do momento do voto para que a escolha dos candidatos seja consciente? Converse com os colegas a respeito. b) Pesquise quais são as condições para que ocorra segundo turno nas eleições. Quais são as regras para a decisão em segundo turno? o

c) Agora que você já sabe o significado de 2 turno, suponha que uma pesquisa de intenção de votos, realizada uma o semana antes do 2 turno de uma eleição para presidente, tenha indicado os seguintes resultados: Luciana Whitaker/Pulsar Images

• 67% votariam no candidato A; • 56% votariam no candidato B; • 4% votariam branco ou nulo. A pesquisa revela qual porcentagem de eleitores ainda está indecisa, podendo votar em A ou em B? Suponha que esses eleitores indecisos não votariam em branco ou nulo e indique qual é essa porcentagem. De acordo com a Constituição Federal, o voto é obrigatório para os cidadãos brasileiros alfabetizados, maiores de 18 e menores de 70 anos, e facultativo para quem tem 16 e 17 anos, para os maiores de 70 anos e para as pessoas analfabetas. Capítulo 1

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Introdução aos conjuntos

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ExercĂcios ExercĂcios complementares complementares Subconjuntos

OperaĂ§Ăľes entre conjuntos

1. Descreva os conjuntos mostrados, enumerando seus elementos: a) F = {x N | x 9}

7. Dados os conjuntos A {1, 2, 3} e B {3, 4}, determine o conjunto M tal que: A M {1, 2, 3} e B M {3, 4}.

b) G = {x Z | x 2, x ĂŠ impar}

8. Considere o diagrama. X

d) I = {x N | x 1}

e) J = {x N | 3 x 5}

2. Dados os conjuntos A {0, 2, 4, 6} e B {x x2 11x 18 0}, use o sĂmbolo ou para relacionar: a) 0 e A

d) 2 e B

b) 0 e B

e) 9 e A

c) 2 e A

f) 4 e B

3. (Mack-SP) Se A e B sĂŁo dois conjuntos tais que A B e A , entĂŁo:

5 Z

Determine: a) X Y

c) Y Z

b) X Z

d) X Y Z

9. Sejam os conjuntos: A {divisores naturais de 30},

a) sempre existe x A tal que x B.

B {mĂşltiplos positivos de 6} e

b) sempre existe x B tal que x A.

C {mĂşltiplos positivos de 3}.

c) se x B entĂŁo x A.

Determine:

d) se x B entĂŁo x A.

a) A C

e) A B

b) A (B C)

4. Indique as sentenĂ§as verdadeiras em relaĂ§ĂŁo aos conjuntos A, B e C. a) Se A B e B A, entĂŁo A B. b) ? B Ă¤ B.

c) A B C d) os elementos de A que nĂŁo pertencem a B 10. (PUC-MG) Se, A ] 2; 3] e B [0; 5] entĂŁo os nĂşmeros inteiros que estĂŁo em B A sĂŁo:

c) Se C A e A B, entĂŁo C B.

a) 2, 1 e 0

d) 3, 4 e 5

d) Se x A e x B, entĂŁo A B.

b) 1 e 0

e) 0, 1, 2 e 3

5. Dados os conjuntos A {0, 1}, B {0, 2, 3} e C {0, 1, 2, 3}, classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmaĂ§ĂŁo abaixo: a) A B

d) B C

b) {1} A

e) B C

c) A C

f) {0, 2} B

6. Diga se as proposiĂ§Ăľes abaixo sĂŁo verdadeiras ou falsas:

c) 4 e 5 11. Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {1, 3, 5, 6}, calcule BA. 12. Dado o diagrama seguinte, determine os conjuntos pedidos, escrevendo os seus elementos. 10 E

a) {1, 2, 3} {3, 2, 1}

4 3

c) 4 {4} d) {1, 2, 3}

1 2

b) {1, 2} {1, 2, 3}

IlustraĂ§Ăľes: Editoria de Arte

c) H = {x N | x 3, x ĂŠ par}

7 8

11 (A B)

e) {2, 3} {x | x2 5x 6 = 0}

a) AE

c) E

f) {b, r, a, s, a} {b, r, a, s}

b) BE

d) E

Unidade 1

(A B)

Conjuntos

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13. (UFAC) Sejam A e B dois conjuntos distintos e nĂŁo vazios tais que A B A e A B . EntĂŁo, vale que: a) B A B b) B A c) A B d) B A e) A e B sĂŁo conjuntos disjuntos.

1 3

Editoria de Arte

14. Considere o diagrama a seguir, representando os conjuntos A, B e C.

5 C

Determine: a) A, B e C b) A B e B C c) A B C d) A C e) B C f) A B C g) C (A B) h) (A B) C 15. (PUC-RJ) Uma prova com duas questĂľes foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questĂľes, 25 acertaram a primeira e 20 acertaram a segunda questĂŁo. Quantos alunos erraram as duas questĂľes?

17. (PUC-RN) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que 10 destas pessoas nĂŁo usam o produto B e que 2 destas pessoas nĂŁo usam o produto A, qual ĂŠ o nĂşmero de pessoas que utilizam os produtos A e B? 18. (Ufersa-RN) Numa pesquisa sobre a preferĂŞncia em relaĂ§ĂŁo a dois tipos de tecidos, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas preferem o tipo de tecido algodĂŁo, 180 preferem o tipo de tecido dry fit e 60 preferem os dois tipos de tecidos. O nĂşmero de pessoas que nĂŁo tĂŞm preferĂŞncia com relaĂ§ĂŁo aos dois tipos de tecidos ĂŠ igual a a) 100

d) 190

b) 120

e) 390

c) 150 19. (UnB-DF) De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferĂŞncias em assistir aos campeonatos de corrida pela televisĂŁo, foram colhidos os seguintes dados: 55 dos entrevistados nĂŁo assistem; 101 assistem Ă s corridas de FĂłrmula 1 e 27 assistem Ă s corridas de FĂłrmula 1 e de Motovelocidade. Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, Ă s corridas de Motovelocidade? 20. (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam Ă lideranĂ§a de certo partido polĂtico. Para escolher o lĂder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferĂŞncia. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequĂŞncia: a) venceu A, com 120 votos. b) venceu A, com 140 votos.

a) 40

c) A e B empataram em primeiro lugar.

b) 10

d) venceu B, com 140 votos.

c) nenhum

e) venceu B, com 180 votos.

d) 8 e) 5 16. (PUC-RJ) Num colĂŠgio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos nĂŁo gostam de nenhum dos dois sabores? a) 0 b) 10

21. (FGV-SP) Uma pesquisa de mercado sobre determinado eletrodomĂŠstico mostrou que 37% dos entrevistados preferem a marca X, 40% preferem a marca Y, 30% preferem a marca Z, 25% preferem X e Y, 8% preferem Y e Z, 3% preferem X e Z e 1% prefere as trĂŞs marcas. Considerando que hĂĄ os que nĂŁo preferem nenhuma das trĂŞs marcas, a porcentagem dos que nĂŁo preferem nem X nem Y ĂŠ:

c) 20

a) 20%

d) 42%

d) 30

b) 23%

e) 48%

e) 40

c) 30% CapĂtulo 1

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IntroduĂ§ĂŁo aos conjuntos

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