Matemática conquista 8

JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR

MANUAL DO PROFESSOR

Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Médio desde 1985.

BENEDICTO CASTRUCCI (Falecido em 2 de janeiro de 1995) Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática da Pontifícia Universidade Católica (PUC-SP) e da Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática em escolas públicas e particulares de Ensino Fundamental e Ensino Médio.

Ensino Fundamental – Anos Finais Componente curricular: Matemática

4˜ edição – São Paulo – 2018

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Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni Júnior, 2018. Diretor editorial Diretora editorial adjunta Gerente editorial Editor Editores assistentes Assessoria Gerente de produção editorial Coordenador de produção editorial Gerente de arte Coordenadora de arte Projeto gráfico Projeto de capa Foto de capa Supervisora de arte Editora de arte Diagramação Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações e cartografia Ilustrações

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Giovanni Júnior, José Ruy A conquista da matemática : 8o ano : ensino fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo : FTD, 2018. “Componente curricular: Matemática.” ISBN 978-85-96-01917-0 (aluno) ISBN 978-85-96-01918-7 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Castrucci, Benedicto. II. Título. 18-20688

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Cibele Maria Dias – Bibliotecária – CRB-8/9427

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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apresentação O intuito desta obra é oferecer aos alunos e professores um material que norteie o trabalho com as ideias matemáticas, levando em consideração as especificidades da faixa etária a que se destina. Esperamos que este contato com os conceitos matemáticos contribua para que se estabeleça uma relação significativa entre o aluno e o conhecimento da Matemática, pautada pela curiosidade e pela reflexão. Ao longo dos volumes desta obra, pretendemos ainda estabelecer um elo entre a Educação Matemática e a formação do sujeito autônomo e consciente do seu papel, tendo em vista que paradigmas em Educação apontam para a formação de um aluno crítico, capaz de analisar, interpretar e participar ativamente na sociedade ao seu redor. Para descortinar o contexto permeado por múltiplas linguagens e tecnologias em que se inserem, assumindo-se como cidadãos autônomos e conscientes das relações sociais que vivenciam diariamente, nossos alunos precisam se apropriar dos conhecimentos sócio-historicamente construídos, valendo-se de estratégias e habilidades requeridas pelo mundo contemporâneo. E, no intuito de auxiliar você, professor, a capitanear essa aventura que é o processo de ensino e aprendizagem nos anos finais do Ensino Fundamental, foram elaboradas estas Orientações. Aqui, você encontrará diversas sugestões e bases para o seu trabalho diário. Esperamos que tudo isso possa contribuir para a dinâmica dos atos de aprender e de ensinar, levando a aprendizagens significativas e prazerosas na área da Matemática no Ensino Fundamental. Aventure-se você também!

Os autores.

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sumário

CONHEÇA AS ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR ...........................................V Material impresso ..................................................................................................V Material digital .....................................................................................................VI CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA ................................. VII Modelagem........................................................................................................ VIII Resolução de problemas ......................................................................................IX Tecnologias digitais: suas potencialidades no ensino e na aprendizagem .................................................................................................XI Comunicação nas aulas de Matemática............................................................ XII A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA ........................................................... XIII As competências ................................................................................................ XIV QUADRO DE HABILIDADES DA BNCC.........................................................XVI UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR E OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS .........XXV O PAPEL DO PROFESSOR ................................................................................. XXVI AVALIAÇÃO ...................................................................................................... XXVII CONHEÇA A OBRA ........................................................................................... XXX As aberturas de unidades ............................................................................... XXX Os capítulos .................................................................................................... XXXI Os boxes e as seções desta obra ................................................................... XXXI Quadros de conteúdos e habilidades da obra ........................................... XXXIV REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. XXXIX DOCUMENTOS OFICIAIS ......................................................................................XLI SUGESTÕES DE REVISTAS E OUTRAS PUBLICAÇÕES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR .....................................................XLII ENDEREÇOS DE OUTRAS ENTIDADES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR........................................................................XLIII SITES ..................................................................................................................... XLIV ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS DO VOLUME 8 Unidade 1 – Números racionais ........................................................................ 12 Unidade 2 – Potências, raízes e números reais ................................................ 38 Unidade 3 – Ângulos e triângulos .................................................................... 64 Unidade 4 – Expressões e cálculo algébrico .................................................... 96 Unidade 5 – Equações ..................................................................................... 134 Unidade 6 – Polígonos e transformações no plano ...................................... 166 Unidade 7 – Contagem, probabilidade e estatística .....................................200 Unidade 8 – Área, volume e capacidade ....................................................... 230 Unidade 9 – Estudo de grandezas ..................................................................248 Resoluções ....................................................................................................... 289

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CONHEÇA AS ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR MATERIAL IMPRESSO

Estas Orientações buscam elucidar os caminhos por nós percorridos desde a idealização desta obra até a efetivação das propostas apresentadas em cada volume. Acreditamos ser de grande relevância conhecer os pressupostos teóricos que a embasam para, a partir desses, perceber a estrutura e os elementos que a compõem. Além da apresentação desses norteadores, buscamos promover reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática e as possíveis ações e estratégias utilizadas em sala de aula. Não podemos deixar de mencionar que muitas explorações aqui apresentadas ao professor trata-se de sugestões e, portanto, podem e devem ser adaptadas sempre que necessário. Durante a elaboração deste manual, procuramos utilizar uma linguagem clara e objetiva que permita uma fácil visualização das articulações por nós idealizadas. Organizamos este material em duas partes: • Na primeira parte, serão apresentadas reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática e dos possíveis instrumentos e ferramentas que podem favorecer a construção do conhecimento matemático nos anos finais do Ensino Fundamental e, como dissemos anteriormente, muitas dessas abordagens nortearam a elaboração desta obra. Dentre os documentos por nós utilizados está a Base Nacional Comum Curricular (BNCC). • Na segunda parte, disposta em formato de U, o professor encontrará o detalhamento das situações e atividades propostas no livro do aluno, juntamente com sugestões que possam tornar o processo de ensino e aprendizagem mais rico e proveitoso. Além dessas indicações, será possível visualizar as habilidades e competências a serem desenvolvidas. Nessa parte o professor encontrará as seções:

Competências e Habilidades No início de cada Unidade serão explicitadas as competências (gerais e específicas) e as habilidades a serem exploradas e desenvolvidas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O professor encontrará comentários e orientações específicas referentes a cada página do livro do aluno; os comentários podem abordar o conteúdo principal a ser desenvolvido e/ou ainda as seções e boxes existentes na página que está sendo comentada. Acreditamos que essas indicações poderão favorecer o trabalho do professor levando a um melhor aproveitamento dos conhecimentos matemáticos a serem explorados.

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Ampliando Nesta Seção serão apresentadas atividades e leituras complementares que podem enriquecer o trabalho do professor e permitir o aprofundamento, tanto do professor quanto do aluno, das questões e abordagens apresentadas na referida Unidade.

NO DIGITAL Indicações de planos de desenvolvimento, projetos integradores, sequências didáticas e propostas de acompanhamento de aprendizagem que podem ser encontrados no Manual do professor – Material digital e que têm o propósito de enriquecer a sua prática pedagógica.

NO AUDIOVISUAL Indicações de materiais audiovisuais produzidos exclusivamente para a coleção.

Ao final da segunda parte, já não disposto em U, o professor encontrará a resolução das atividades propostas ao longo do volume. Esperamos que todos esses recursos possam contribuir com o trabalho do professor, dentro e fora da sala de aula, e com o alcance de um objetivo educacional ainda maior: a formação de um aluno crítico, capaz de analisar, interpretar e atuar no mundo de forma consciente, cooperativa e autônoma.

MATERIAL DIGITAL Além dos quatro volumes impressos deste Manual do Professor, a coleção apresenta quatro volumes de Manual do professor – Material digital. São recursos que ajudam a enriquecer o trabalho do professor e a potencializar as relações de ensino-aprendizagem em sala de aula. Os materiais digitais estão organizados em bimestres e cada um deles possui a composição a seguir. Plano de desenvolvimento: documento que apresenta os temas que serão trabalhados ao longo do bimestre, relacionando-os aos objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC. Também são sugeridas estratégias didático-pedagógicas que auxiliam o professor na gestão da sala de aula e fontes de pesquisa complementares que podem ser consultadas pelo professor ou apresentadas para os alunos. Cada Plano de desenvolvimento apresenta um Projeto integrador, cujo objetivo é tornar a aprendizagem dos alunos mais concreta, articulando diferentes componentes curriculares a situações de aprendizagem relacionadas ao cotidiano da turma. Por meio dos projetos, é possível explorar temas transversais, estimular o desenvolvimento das competências socioemocionais e trabalhar com habilidades próprias de diferentes componentes curriculares.

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Sequências didáticas: são um conjunto de atividades estruturadas aula a aula que relacionam objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC, de modo a ajudar o aluno a alcançar um objetivo de aprendizagem definido. Nas sequências didáticas, foram propostas atividades que podem ser aplicadas complementarmente ao livro impresso. Também estão presentes sugestões de avaliações que ajudam o professor a aferir se os alunos alcançaram os objetivos de aprendizagem propostos. Proposta de acompanhamento da aprendizagem: é um conjunto de dez atividades (e seus respectivos gabaritos) destinadas ao aluno, acompanhado de fichas que podem ser preenchidas pelo professor. Esse material tem o objetivo de ajudar a verificar a aprendizagem dos alunos, especialmente se houve domínio das habilidades previstas para o período, e a mapear as principais dificuldades apresentadas pela turma, auxiliando o trabalho de planejamento do professor e a autoavaliação da própria prática pedagógica. Material digital audiovisual: são vídeos e videoaulas produzidos para os alunos. Nesses materiais tivemos a preocupação de contextualizar os conteúdos, por vezes utilizando conexões com as demais áreas e/ou a história da Matemática. Esses recursos poderão complementar o trabalho do professor no desenvolvimento de habilidades e competências previstas na BNCC.

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA

A Matemática não reside apenas no trabalho com os números e as operações; ela vai além. Devemos considerar toda a amplitude que essa área de conhecimento pode oferecer à formação do indivíduo. Considerando a importância do ensino da Matemática na esfera escolar, devemos ter em mente que: O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabilidades sociais. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 263. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/abase/#fundamental/a-area-de-matematica>. Acesso em: 13 ago. 2018.

Desse modo, durante seu estudo, há uma série de habilidades que podem ser desenvolvidas visando capacitar o aluno a mobilizar as aprendizagens e solucionar situações do cotidiano. O aprendizado durante esse processo certamente servirá ao aluno como exercício para o desempenho de seu papel como cidadão em interação com o mundo que o cerca; afinal, não queremos formar uma pessoa que apenas saiba, mas que, com seus conhecimentos, possa estabelecer relações com o mundo ao seu redor e fazer intervenções e modificações em seu ambiente de maneira consciente, responsável e eficiente. Podemos dizer que compreender a Matemática é uma tarefa ampla e repleta de variáveis. Quando estamos diante da aprendizagem de um novo conceito, precisamos formular nossas hipóteses, escutar as dos outros, planejar a maneira de resolver determinado problema, confrontar nossas respostas ou hipóteses com as dos outros, antecipar e validar resoluções. Portanto, dentre as várias habilidades que são adquiridas ao desenvolver os conhecimentos matemáticos, podemos destacar o raciocínio lógico-dedutivo, que tem papel primordial na formação do sujeito. Todo esse percurso faz acontecer uma aprendizagem mais significativa e mais abrangente.

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A possibilidade de analisar várias formas de resolver determinados problemas e de confrontar e validar hipóteses também propicia uma aprendizagem que extrapola o ensino de Matemática, culminando na formação de um indivíduo mais atuante na sociedade, que se relaciona com grupos e que enfrenta situações-problema buscando soluções e não se inibindo diante de questões complexas. Além do raciocínio lógico, merece destaque o trabalho que envolve processos mentais básicos como as noções de correspondência, comparação, classificação, sequenciação, seriação, inclusão e conservação. Esses processos mentais podem ser desenvolvidos com base nas atividades da exploração matemática e também contribuem para que os alunos se tornem capazes de solucionar situações do cotidiano utilizando os conceitos, as diferentes maneiras de proceder e a antecipação de resultados. Temos assistido no desenvolvimento de pesquisas em Educação Matemática a uma forte conexão entre tendências que contextualizam os objetos matemáticos – como modelagem, resolução de problemas, interdisciplinaridade, pedagogia de projetos e uso de tecnologias digitais (TD) – e as justificativas educacionais que a sustentam, a tal ponto que fica difícil efetuar, por exemplo, a modelagem matemática aplicada ao ensino de Matemática sem tangenciar outra tendência, e a modelagem matemática torna-se fator de geração de problemas que vão sendo gerenciados por uma ou outra tendência. (MALHEIROS, 2012) A seguir apresentaremos algumas ideias acerca dessas tendências.

MODELAGEM

Para melhor compreendermos o significado da modelagem no contexto do ensino e da aprendizagem da Matemática, será preciso recuperá-lo no contexto da aplicabilidade da Matemática, aquela exercida por profissionais das mais diversas áreas do conhecimento humano. Segundo Bean (2001), ao falarmos das raízes da aplicabilidade da Matemática, temos em mente situações-problema complexas e não bem definidas encontradas nas indústrias, no setor da saúde e no meio ambiente, entre outras. Para encaminhamento de uma solução ou de uma melhor compreensão do que ocorre e precisa ser solucionado, será necessário que o profissional responsável crie ou pelo menos modifique modelos matemáticos já existentes, definindo parâmetros, características e relações entre eles. As características e relações, extraídas de hipóteses e aproximações simplificadoras, são traduzidas em termos matemáticos (o modelo), nos quais a matemática reflete a situação-problema. Durante e depois da criação do modelo o profissional verifica a coerência do modelo e a validade do modelo no contexto do problema original. BEAN, D. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001.

Segundo esse autor, uma transferência do método da modelagem, como exposto anteriormente, vem sendo implantada na Matemática desenvolvida nas escolas a fim de dar respostas às dimensões socioculturais da educação e ao baixo desenvolvimento do aluno na própria Matemática. Essa transferência de método se dá apoiada na resolução de problemas aplicados, os quais tratam de questões de relevância que motivem o aluno a buscar soluções. Esse autor estudou dissertações e teses de Educação Matemática e afirma que delas surgem duas abordagens: a modelagem como uma metodologia de problematização e a modelagem como aprendizagem baseada em problemas.

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As duas pretendem focar situações de interesse do aluno. A primeira problematiza uma situação dada, não bem definida, e é intitulada modelagem; e a segunda, chamada de modelação, trabalha uma situação dada já em forma de situação-problema relacionada ao conteúdo a ser ministrado. Bean (2001) salienta ainda que a modelagem difere da resolução de problemas quando a situação não for bem definida, tal qual proposto por Polya, que será abordado posteriormente nestas Orientações. Para Bean (2001), A essência da modelagem matemática consiste em um processo no qual as características pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, e representadas em termos matemáticos (o modelo). As hipóteses e as aproximações significam que o modelo criado por esse processo é sempre aberto a críticas e ao aperfeiçoamento. BEAN, D. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001.

Sem dúvida, uma vez que o modelo esteja formatado, há de se querer chegar a um resultado, solucionando-o. Daí a aproximação e o afastamento das metodologias – resolução de problemas, modelagem ou modelação – como propostas de ensino da Matemática. A resolução de problemas, na maioria dos casos, não envolve hipóteses e aproximações simplificadoras na criação de modelos. O problema dado já é bem definido. E, talvez, por causa das diferenças citadas é que a resolução de problemas se torna uma metodologia muito indicada para o Ensino Fundamental de Matemática na BNCC em detrimento da modelagem matemática e da modelação matemática, que têm sua maior projeção no Ensino Superior.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Muito já se pesquisou desde a apresentação das quatro etapas para se chegar à solução de um problema descritas por Polya, em seu livro intitulado How to Solve It, cuja primeira edição data de 1945. A tendência da Educação Matemática por “resolução de problemas” avança hoje para além das fronteiras de um método de resolução e passa a ser desenvolvida como uma perspectiva metodológica para o ensino da Matemática. Onuchic (1999) nos traz uma retrospectiva do desenvolvimento dessa tendência, evidenciando o trabalho realizado por Schoeder e Lester (1989) que aponta para diferentes modos de abordá-la. Pode-se adotar uma atitude educativa que corresponda a ensinar resolução de problemas. Nessa abordagem, os modelos de resoluções constituem o foco da atividade. Pode-se, por outro lado, ensinar a resolver problemas; o foco nesse caso é concentrar-se no ensino de Matemática e no que dela pode ser aplicado na solução de problemas rotineiros ou não; e, por último, pode-se assumir uma conduta de ensinar a Matemática por meio da resolução de problemas, na qual [...] os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender matemática, mas também, como um primeiro passo para se fazer isto. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas como respostas razoáveis para problemas razoáveis. [...], deste modo, pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar símbolos). ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 207.

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Para Onuchic, essa abordagem é a mais coerente com as indicações apresentadas nos PCNs e estendemos aqui essa coerência à BNCC, pela qual se espera que os alunos “desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da Matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das situações” (BNCC, p. 263). Onuchic afirma ainda que nessa abordagem “o aluno tanto aprende Matemática resolvendo problemas como aprende Matemática para resolver problemas” (p. 211). Embora não haja uma forma rígida de ensinar por meio da resolução de problemas, passaremos a descrever sucintamente um roteiro básico metodológico, que poderá ser desenvolvido com base em situações-problema propostas em cada volume da obra. O roteiro apresentado por Onuchic e Allevato (2011) pode ser dividido nas seguintes etapas: Preparação do problema: nesta primeira etapa, vale ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não foi trabalhado anteriormente em sala de aula. A ideia é que mobilizem os conhecimentos que possuem para, a partir deles, construir novos conhecimentos necessários para a resolução. Leitura do problema: é a etapa em que se promove uma leitura individual do problema, seguida de uma leitura em conjunto, a fim de propiciar esclarecimento de eventuais dúvidas. Resolução do problema: com base no entendimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Observar e incentivar: nesta etapa, o professor se torna um mediador e, portanto, não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Registro das resoluções no quadro de giz: representantes dos grupos são convidados a registrar e socializar, no quadro de giz, suas resoluções independentemente de estarem certas ou erradas. Plenária: para essa etapa, são convidados todos os alunos, a fim de discutirem as diferentes resoluções registradas no quadro de giz pelos colegas, defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. Nesse processo, o professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Busca do consenso: depois de sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso do resultado correto. Formalização do conteúdo: neste momento, denominado formalização, o professor registra no quadro de giz uma apresentação formal – organizada e estruturada em linguagem matemática –, padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos por meio da resolução do problema. Segundo Onuchic e Allevato (2009), durante a aplicação da metodologia surgem sempre oportunidades para avaliar a compreensão dos alunos dos conceitos que envolvem o problema proposto, possibilitando a você, professor, perceber o crescimento do conhecimento matemático deles, o que faz a aplicação do método ser um momento de ensino-aprendizagem-avaliação. Onuchic (1999) alerta para a importância de sua ação, professor, e de sua formação ao aplicar essa metodologia. Nisso vale ressaltar que o sucesso da operacionalização proposta depende, em grande parte, dos professores que irão implementá-la nas salas de aula e de como serão formados esses profissionais nessa perspectiva de trabalho. ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 212.

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TECNOLOGIAS DIGITAIS: SUAS POTENCIALIDADES NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM

É inegável a presença das Tecnologias Digitais (TD) nas nossas vidas particulares, no mundo do trabalho e no desenvolvimento do conhecimento gerado na época em que vivemos. Nossa intenção é promover algumas reflexões acerca das possíveis relações existentes entre as TD e o trabalho desenvolvido na escola pensando nos principais motivos que podem levar ao fortalecimento dessa relação. Borba, Scucuglia e Gadanidis (2014), no livro intitulado Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática, analisam as pesquisas desenvolvidas no Brasil, nos últimos 30 anos, que tratam da presença das tecnologias digitais na Educação Matemática. Essa tecnologia assumiu nomes distintos que simbolizaram diferentes épocas: Logo, informática, educação matemática online, tecnologias da informação, tecnologias da informação e comunicação, internet etc. Os diversificados termos utilizados enfatizaram diferentes aspectos desta tecnologia que, como o título sugere, está em movimento. BORBA, M. C.; SCUCUGLIA, R. R. S.; GADANIS, G. Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2014, p. 16.

As diferentes formas – de como a sala de aula de Matemática tem se transformado com o evento das tecnologias – foram classificadas pelos autores em quatro fases. Passaremos a expor um breve resumo de cada uma das fases por eles descritas. Para uma compreensão mais profunda sobre cada uma das fases e suas fundamentações, recomendamos a leitura do livro. A primeira fase, nos anos de 1980, já discutia o uso de calculadoras simples ou científicas e de computadores. Tecnologia de Informática (TI) era o termo utilizado para se referir a computadores e softwares. No entanto, o uso do software LOGO é que principalmente caracterizou essa fase fundamentada no construcionismo, que considerava o potencial da programação do LOGO ao enfatizar relações entre linguagem de programação e pensamento matemático. Havia nessa fase a preocupação com a implantação de laboratórios de informática nas escolas e a formação de professores, pois o papel atribuído às tecnologias era o de catalisador para as mudanças pedagógicas. A segunda fase teve início em 1990. Nela existiam muitas perspectivas de como os estudantes, professores e pesquisadores viam o papel dos computadores em suas vidas pessoais e profissionais. Muitos nem chegaram a usar os computadores, “outros ainda, por perceberem as transformações cognitivas, sociais e culturais que ocorriam com o uso de TI, buscavam explorar possibilidades didático-pedagógicas. Diversos softwares educativos foram então produzidos por empresas, governo e pesquisadores” (BORBA; SCUCUGLIA; GADANIDIS, 2014, p. 22). Nessa fase, os autores destacam o uso de softwares para o ensino de funções (como o Winplot, o Fun e o Graphmathica) e para o de geometria dinâmica (como o Cabri Géomètre e o Geometricks). Esses softwares abrem várias possibilidades didático-pedagógicas apoiadas nas ideias de manipulação, combinação, visualização e construção de objetos matemáticos, tudo minuciosamente descrito pelos autores. A terceira fase tem início em 1999, com o advento da internet. Em educação, a internet começa a ser utilizada como fonte de informação e como meio de comunicação. Surgem os cursos a distância para formação continuada de professores via e-mails, chats e fóruns. O termo agora utilizado é Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Em termos de pesquisa, muitas são as questões investigadas, por exemplo: Qual é a natureza do pensamento matemático em cursos on-line? Como a Matemática é transformada em ambientes on-line? Em termos de oportunidades didático-pedagógicas, os pesquisadores colocam em evidência que a interação em ambientes virtuais de aprendizagem oferece nuances cognitivas diversificadas ao investir em multiplicidades de nós e conexões, estimulando a coautoria do estudante na atividade proposta.

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Atualmente, estamos vivendo a quarta fase, cujo surgimento deu-se em 2014 com a banda larga. Compõem essa fase instrumentos como computador, laptops, tablets, telefones celulares e internet rápida. O termo utilizado para enunciá-la é Tecnologia Digital (TD). É interessante notar que as fases não se esgotam, muitas das perguntas formuladas em seu início ainda permanecem sendo investigadas e novas questões surgem com o avanço das tecnologias e sua inserção na sociedade. O que até agora apresentamos nos dá a dimensão da força e da rapidez com que as tecnologias vão sendo implantadas nas nossas vidas e de como o uso delas nas escolas não pode mais ser retardado. O uso das tecnologias tem um papel preponderante na formação do cidadão ao empreendermos uma visão ampla de educação. O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. E, neste sentido, a informática na escola passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania. BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010, p. 17.

Nessa mesma perspectiva sobre o uso das TD em sala de aula, Ponte (2000) afirma que as próprias TIC (na época ainda não iniciada a nova fase) são ferramentas de trabalho pedagógico que podem ser usadas livremente e de maneira criativa por professores e alunos na realização de diversificadas atividades. Essa ferramenta pode vir a ser articulada ao trabalho por projetos embasados nas diretrizes da interdisciplinaridade, possibilitando um claro protagonismo do aluno na aprendizagem. No patamar em que os pesquisadores estão colocando as mudanças educacionais que deverão ocorrer em consequência dos problemas contemporâneos, a sua prática, professor, está cada vez mais articulada com o entorno escolar, o que faz de você também um protagonista da construção escolar como um todo. Não queremos deixar a impressão de que todos os embates do uso das TD na educação estejam resolvidos. Pesquisas atuais se debruçam em estudos sobre o ciberespaço visando entendê-lo, bem como às possibilidades que se abrem para o mundo da educação e da Educação Matemática, os quais deixaremos como indicações bibliográficas para estudo e aprofundamento.

COMUNICAÇÃO NAS AULAS DE MATEMÁTICA

Na escola, todos os dias os alunos convivem com os colegas, professores e demais funcionários, e esse processo de interação é de grande importância. Não podemos deixar de mencionar a relevância da comunicação, inclusive, nas aulas de matemática.

Os alunos precisam ser estimulados a se expressar de diferentes formas, por exemplo, falar, ouvir, registrar por escrito, por meio de manifestações artísticas, entre outras, de tal forma que possam compartilhar vivências, conhecimentos, dúvidas ou hipóteses, conjecturas etc. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 9. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>. Acesso em: 13 ago. 2018.

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Falar sobre o que está pensando, os caminhos percorridos, os sentimentos despertados durante as aulas e as estratégias utilizadas em cada situação pode auxiliar, não apenas o próprio aluno a reelaborar e organizar seu raciocínio e processo de aprendizagem, como também favorecer os demais colegas a validar suas hipóteses ou a compreender por que pensam diferente ou utilizam um caminho com estratégias distintas. Nesse processo de socialização, os alunos são estimulados a desenvolver diferentes habilidades e competências, inclusive socioemocionais, ao se relacionar com um ou mais colegas de maneira respeitosa e responsável. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 10. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>. Acesso em: 13 ago. 2018.

A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas indicações, principalmente na área da Matemática, julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos que precedem sua homologação.

Não podemos desprezar o tamanho do nosso país, seja em territorialidade ou em diversidade, nem ignorar a desigualdade social ainda presente em inúmeras pesquisas e dados estatísticos. Um de nossos desafios, na área da educação, é propiciar oportunidades iguais para todos os nossos estudantes sem perder a particularidade e singularidade de cada região ou grupo. Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava os conteúdos mínimos a serem desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mesmo documento, podemos encontrar indicações da necessidade de resguardar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais. Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece as competências e diretrizes para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum salientando que os conteúdos deveriam ser complementados com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais. No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014 essa necessidade é reafirmada, ou seja, em parceria, a União, os estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a todos os alunos do território nacional as aprendizagens essenciais preservando-se as identidades étnicas, culturais e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e planejar as ações de suas unidades escolares a partir das necessidades locais. Desta forma, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais a que têm direito todos os alunos da Educação Básica. Traz uma perspectiva de igualdade, diversidade e equidade para a constituição da ação escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os alunos da Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensinado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos e as competências mínimas que devem ser garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.

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Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a educação integral, o documento apresenta uma abordagem bastante clara no que diz respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e emocional) e a importância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e utilização consciente da informação e da tecnologia.

AS COMPETÊNCIAS

O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para que se possam resolver os desafios do cotidiano, dentro e fora dos espaços escolares. Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, também, voltada para a preservação da natureza”. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 8. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>. Acesso em: 13 ago. 2018.

São apresentadas 10 competências gerais que se inter-relacionam ao longo de todo percurso escolar da Educação Básica, são estas: 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social e cultural para entender e explicar a realidade, colaborando para a construção de uma sociedade solidária. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e inventar soluções. 3. Desenvolver o senso estético para reconhecer, valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, e para participar de práticas de produção artístico-cultural. 4. Utilizar conhecimentos das linguagens verbal, corporal, multimodal, artística, matemática, científica, tecnológica e digital para expressar-se e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Utilizar tecnologias digitais de comunicação e informação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas do cotidiano. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao seu projeto de vida pessoal, profissional e social, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas e com a pressão do grupo. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, reconhecendo-se como parte de uma coletividade com a qual deve se comprometer. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões, com base nos conhecimentos construídos na escola, seguindo princípios éticos democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

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Como dissemos anteriormente, no desenvolvimento de competências é importante uma indicação clara do que alunos devem saber (conhecimentos, procedimentos e atitudes) e no que devem saber fazer (mobilização desses conhecimentos, procedimentos e atitudes) diante de cada situação. Além dessas competências gerais, dentro das áreas do conhecimento, temos os componentes curriculares. Existem áreas que abrigam mais de um componente curricular, por exemplo, Linguagens, que abrange Língua Portuguesa, Arte, Educação Física e Língua Inglesa. Cada área do conhecimento, em conformidade com as 10 competências gerais, tem suas competências específicas da área e/ou do componente curricular. Veja a seguir as competências específicas da Matemática.

1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Para garantir o desenvolvimento dessas competências específicas, a BNCC apresenta um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacionadas a objetos de conhecimento que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas.

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QUADRO DE HABILIDADES DA BNCC 6o ano UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais

HABILIDADES (EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

Divisão euclidiana Fluxograma para determinar a paridade de um número natural

Números primos e compostos

(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais

(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

Aproximação de números para múltiplos de potências de 10

(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”

(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

Múltiplos e divisores de um número natural

Números

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UNIDADES TEMÁTICAS

Álgebra

Geometria

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Propriedades da igualdade

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo

(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados

(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. (EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

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UNIDADES TEMÁTICAS

Grandezas e medidas

OBJETOS DE CONHECIMENTO Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume

(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

Ângulos: noção, usos e medida

(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Plantas baixas e vistas aéreas

(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado

(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista) Probabilidade e estatística

HABILIDADES

Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas Coleta de dados, organização e registro Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas

(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto. (EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

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7o ano UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO Múltiplos e divisores de um número natural

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração. (EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador

(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos. (EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos. (EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas. (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. (EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica. (EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias. (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Linguagem algébrica: variável e incógnita

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita. (EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura. (EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

Equações polinomiais do 1o grau

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

Números

Álgebra

HABILIDADES

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UNIDADES TEMÁTICAS

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro. (EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

Simetrias de translação, rotação e reflexão

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

A circunferência como lugar geométrico

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas. (EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos. (EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

Problemas envolvendo medições

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. (EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

Medida do comprimento da circunferência

(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

Pesquisa amostral e pesquisa censitária Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas. (EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

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8o ano UNIDADES TEMÁTICAS

Números

Álgebra

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Notação científica

(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

Potenciação e radiciação

(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

O princípio multiplicativo da contagem

(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

Porcentagens

(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

Dízimas periódicas: fração geratriz

(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

Valor numérico de expressões algébricas

(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano

(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

Equação polinomial de 2o grau do tipo ax² = b

(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2o grau do tipo ax² = b.

Sequências recursivas e não recursivas

(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes. (EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais

(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano. (EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. (EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas

(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação

(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

Geometria

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO Área de figuras planas Área do círculo e comprimento de sua circunferência

Grandezas e medidas Volume de cilindro reto Medidas de capacidade

Princípio multiplicativo da contagem Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral

Probabilidade e estatística

HABILIDADES (EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos. (EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes. (EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados

(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Organização dos dados de uma variável contínua em classes

(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

Medidas de tendência central e de dispersão

(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Pesquisas censitária ou amostral Planejamento e execução de pesquisa amostral

(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada). (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

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9o ano UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta

Números

Álgebra

HABILIDADES

Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica

(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Potências com expoentes negativos e fracionários

(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Números reais: notação científica e problemas

(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos

(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Razão entre grandezas de espécies diferentes

(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo

(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Semelhança de triângulos

(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

Relações métricas no triângulo retângulo

Geometria

Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais Polígonos regulares

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.

Distância entre pontos no plano cartesiano

(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

Vistas ortogonais de figuras espaciais

(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos. (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Unidades de medida utilizadas na informática

(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

Volume de prismas e cilindros

(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação

(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos

(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

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UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR E OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS

Um dos desafios mais urgentes do ensino da Matemática é fazer com que ela interaja com outras áreas do conhecimento e contribua para a formação integral do aluno, indo além do conteúdo programático. Estabelecer conexões entre a Matemática e as demais áreas do conhecimento pode ampliar as oportunidades de compreender e utilizar conceitos, tanto da Matemática quanto das demais áreas.

Faz-se necessário trazer para a Matemática situações contextualizadas que proporcionem ampliação de abordagem, estabelecendo conexões com conteúdos de outras áreas de conhecimento, relevantes para a constituição dos saberes dos alunos dos anos finais, além de aprofundar as relações da escola com as experiências cotidianas de cada um deles. Para que a prática docente seja organizada, de modo que desenvolva um trabalho que possibilite a formação de um cidadão crítico, precisamos entender a contextualização como um acontecimento ou situação pertencente a um encadeamento de elementos que proporcionam relações com recursos disponíveis em cada área de conhecimento. Para isso, é importante que o professor perceba como manter um diálogo entre as diferentes áreas, trazendo o cotidiano do aluno para a sala de aula e aproximando-o do conhecimento científico, desenvolvendo, assim, um ensino capaz de fazer com que os alunos aprendam a relacioná-las. As experiências vivenciadas pelos alunos e pela escola podem ser utilizadas para dar vida e significado ao conhecimento. Dessa forma, é possível abordar questões como problemas ambientais, culturais, políticos etc. que não estejam obrigatoriamente ligados aos alunos, mas que possam estar relacionados aos seus familiares ou a sua comunidade, por exemplo. Por isso, fazer conexões entre Matemática, Língua Portuguesa, Arte, Ciências (da natureza e humanas – Geografia e História), Educação Física, Inglês utilizando-se, inclusive, os temas contemporâneos poderá contribuir para que a Matemática e todo o conhecimento envolvido ganhem maior sentido e significado aos alunos. Não podemos nos esquecer das explorações que favoreçam a leitura e reflexões sobre a História da Matemática (Etnomatemática). Até mesmo pesquisadores internacionais têm reconhecido a importância da leitura e da escrita, inclusive nas aulas de Matemática: O uso da escrita como ferramenta que influencia a aprendizagem matemática [...] e outras formas de registrar processos de pensamento estão sendo cada vez mais utilizadas como um veículo importante na compreensão do processo de ensino e aprendizagem. [...] a utilização da escrita, seja nas aulas de Matemática, nos processos de formação docente ou na investigação, deve ser vista como um processo que transforma continuamente a cognição e o aprendizado de quem a produz. POWELL, A.; BAIRRAL, M. A escrita e o pensamento matemático. Campinas: Papirus, 2006. p. 11-12.

Os temas contemporâneos visam promover a difusão de valores fundamentais ao interesse social. Nesta obra, há seções e atividades que podem favorecer o trabalho com os temas descritos na BNCC e outros que se articulam com eles. Assim, muitos dos conteúdos trabalhados ao longo de cada volume não se encerram em si mesmos, já que podem ser com-

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plementados e contemplados com um dos temas contemporâneos como pano de fundo. Para isso, se torna de fundamental importância o planejamento e estudos prévios por parte do professor. Dentre os temas contemporâneos descritos na BNCC e explorados nesta obra temos: • direitos da criança e do adolescente; • educação para o trânsito; • educação ambiental; • educação alimentar e nutricional; • processo de envelhecimento, respeito e valorização do idoso; • educação em direitos humanos; • educação das relações étnico-raciais e ensino de história e cultura afro-brasileira, africana e indígena; • saúde; • vida familiar e social; • educação para o consumo; • educação financeira e fiscal; • trabalho; • ciência e tecnologia; • diversidade cultural.

O PAPEL DO PROFESSOR

Certamente, cada professor tem como objetivo principal a aprendizagem de seus alunos. Para que esse objetivo seja alcançado, é preciso ter clareza sobre o que os alunos já sabem e como eles aprendem.

Se o professor é um dos grandes responsáveis pela apresentação de um novo conteúdo, de uma nova estratégia ou ainda difusor de um termo específico desconhecido pela turma, faz-se necessário que ele saiba não só o que vai ensinar, mas para quem está ensinando. Nesse sentido, é imprescindível sondar o conhecimento prévio dos alunos sobre os assuntos que serão formalmente trabalhados na escola, bem como considerar o desenvolvimento das habilidades e a realidade em que vivem e estudam. Quanto mais o professor ajudar os alunos a atribuir significados aos conteúdos estudados, mais eles poderão compreender e se interessar pela Matemática. Daí a importância de relacionar a Matemática com o cotidiano. Nesse sentido, é importante salientar que a Matemática é utilizada, concebida ou tratada de diferentes maneiras nas diversas profissões e ocupações. Por exemplo: o carpinteiro utiliza a Matemática ao medir comprimentos e ângulos para resolver problemas do seu trabalho; o médico a utiliza no diagnóstico, que, na maioria das vezes, é dado por meio da probabilidade estimada com base em sintomas e resultados de exames; o matemático a utiliza como produção de conhecimento científico, entre outros. Podemos dizer que existem muitas Matemáticas que procuram descrever e produzir uma “leitura de mundo”. A Matemática escolar é uma delas e caracteriza-se pelas formas de compreender e resolver as situações-problema, os exercícios e as atividades por meio da quantificação, da medição, da estimativa, da representação no espaço, do reconhecimento de formas e propriedades, da observação e da manipulação de regularidades e padrões.

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O papel do professor é possibilitar o acesso a essas diferentes formas de se fazer Matemática e dar suporte para que os alunos consigam adquirir habilidades e conhecimentos a fim de (res)significar a Matemática experimentada em suas práticas sociais, bem como reconhecer a beleza da Matemática em si. Além de mediar a aquisição do conhecimento, é importante que o professor trabalhe a cooperação em sala de aula, abrindo espaço para a troca de ideias entre os alunos, incentivando a valorização e o respeito às diferenças e promovendo a solidariedade no dia a dia escolar. As pesquisas atuais sobre o ensino da Matemática defendem que é preciso colocar o aluno no contexto de produção de pensamento e de conhecimento matemático. Dessa forma, o foco não é mais o aluno, o professor ou o conteúdo, mas, sim, a articulação desses três elementos. Uma vez que as respostas dos alunos às situações-problema apresentadas desafiam os professores a pensar matematicamente para propor novas questões, cria-se uma parceria nos processos de ensino e aprendizagem. Da mesma forma, os alunos são chamados a elaborar novos questionamentos diante do que é proposto/exposto pelo professor. Assim, o conhecimento matemático escolar é (re)definido constantemente. Passos e Romanatto (2010) apontam outros aspectos relevantes para que o professor atinja o objetivo de que seus alunos aprendam Matemática. Segundo os autores, é necessário que os professores tenham: [...] o domínio dos conhecimentos atuais sobre a natureza da Matemática, articulado com as ciências da educação, pode resultar caminhos férteis para que essa área de conhecimento seja apreendida pelos nossos estudantes de forma efetiva e com significado. PASSOS, C. L. B.; ROMANATTO, M. C. A Matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Ed. da UFSCar, 2011. p. 20.

Portanto, neste processo de parceria e interrelação existente entre alunos e professores, é muito importante que ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar, as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais e coletivos e possíveis caminhos a serem percorridos.

AVALIAÇÃO

Em todo trabalho no qual a aprendizagem escolar esteja envolvida, o processo de avaliação estará presente – seja na sala de aula, nas atividades extraclasse, seja nas conquistas pessoais dos alunos, como o ingresso nas universidades. A princípio, o processo avaliativo era tido apenas como um procedimento de medida (que definia se o aluno tinha ou não condições de progredir com seus estudos). Hoje, é quase consenso a compreensão de que a avaliação escolar não deve apenas verificar se o aluno atingiu os objetivos definidos pelo currículo, com a finalidade rasa de atribuir-lhe uma nota ou conceito. Desse modo, as avaliações passaram por um processo de ressignificação em que assumem o papel de um potente instrumento que permite visualizar o progresso do aluno e sinalizar possíveis desafios. Os resultados avaliativos não só apresentam implicações no processo individual dos alunos como também produzem dados para a análise do trabalho desenvolvido pelos profissionais da escola, inclusive o professor. Assim, para que haja um ensino de qualidade, devem-se estabelecer relações entre os resultados e as ações da escola, principal-

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mente no que se refere à vinculação do professor com seus alunos. Por isso, é essencial compreender como esses alunos lidam com o conhecimento, quais são suas habilidades, as dificuldades que apresentam e as necessidades individuais para, junto deles, traçar uma rota de superação dos desafios e avanço nas conquistas. Nesse contexto, a avaliação diagnóstica é fundamental nos processos de ensino e aprendizagem. O professor e o aluno precisam identificar os conhecimentos anteriores já adquiridos para, com base nessa percepção, decidir quais atividades e ações podem ser potencialmente mais interessantes e quais desafios merecem ser ampliados. Acreditamos que a clareza dos objetivos a serem alcançados é de fundamental importância, pois, sabendo aonde se quer chegar, é mais fácil perceber se, de fato, chegou a esse “lugar”; portanto, é importante compartilhar com os alunos os objetivos de determinada atividade ou grupo de atividades e o que se pretende avaliar. Avaliar o processo Uma possibilidade é observar a estratégia que os alunos utilizam para resolver as situações-problema em sala de aula; isso consiste em um recurso valioso para o professor compreender o desenvolvimento deles. Muitas vezes, a forma como produzem algo demonstra o que não compreenderam e possibilita ao professor intervir adequadamente, agindo de maneira eficaz para atender às necessidades reais dos alunos. Pedir a eles que socializem com os colegas seus raciocínios e estratégias é mais uma forma de identificar os caminhos e possíveis dificuldades de cada um. Como dissemos anteriormente, é importante estimular os diferentes registros de representação. Muitas vezes, os alunos são capazes de compartilhar as estratégias utilizadas oralmente, mas não as representa numericamente. Por isso, é interessante pedir que registrem o mesmo processo de formas distintas para que possam, além de explorar os diferentes registros de representação, conhecer o processo que, para eles, é mais “tranquilo” ou “desafiador”. Autoavaliação O aluno precisa se responsabilizar por seu processo de aprendizagem e, para isso, é preciso que perceba a função e a importância dos diferentes instrumentos de avaliação e, mais do que isso, utilize-os como molas propulsoras para novas conquistas. Além de identificar e observar o número que representa a sua nota, o aluno precisa ser motivado a identificar nos acertos as conquistas realizadas e nos erros, possíveis desvios de rota ou rotas inadequadas para aquela situação. Portanto, o espaço/tempo para os alunos se autoavaliarem deve ser fornecido pelo professor. Nesse processo de autoavaliação os alunos podem ser convidados a responder a alguns questionamentos que lhes permitam identificar o uso dos dados corretos, o porquê da escolha de determinada estratégia, o nível de tensão causada em cada resolução e possível interferência no processo de resolução, o que poderia ser melhorado, entre outros. Nesta obra, os alunos encontrarão a seção Um novo olhar, que possibilita a retomada dos conhecimentos explorados anteriormente para que possam perceber, por exemplo, as habilidades desenvolvidas e as que precisam ser recapituladas e, por meio dessas percepções, após a elaboração da autoavaliação, preparar um plano de ações/estudos. Durante esse processo de mensuração e investigação, é possível utilizar diferentes instrumentos como: rodas de conversa ou entrevistas; fichas que serão preenchidas pelo próprio aluno e pelo professor; trabalhos em dupla ou grupos; provas individuais com e sem consulta aos registros pessoais; elaboração e correção de atividades em duplas – um

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aluno corrige a atividade do outro colega; apresentação dos equívocos cometidos; elaboração de textos e seminários etc. É importante que os alunos também tomem ciência de como poderão melhorar para avançar, sabendo do que já são capazes de realizar sozinhos, assumindo seu papel atuante. De acordo com Cuccioli (2010), A avaliação não começa nem termina na sala de aula, ela envolve planejamento e desenvolvimento do processo de ensino, dinamizando oportunidades de ação e reflexão, num acompanhamento permanente do professor, propiciando ao aluno, em seu processo de aprendizagem, reflexões acerca do mundo; formando seres críticos e participativos na construção das verdades formuladas e reformuladas. CUCCIOLI, E. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, C. E.; MUNIZ, M. I. S. O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. p. 131.

Ao refletir sobre seus avanços, dificuldades e expectativas, os alunos podem perceber estratégias de aprendizagem que precisam ser modificadas. Quanto aos familiares, se estiverem cientes das expectativas do professor em relação aos alunos, poderão cooperar no estabelecimento dessas estratégias. A avaliação não pode ser considerada um momento isolado no processo de ensino e aprendizagem nem se resumir a uma prova. Como dissemos anteriormente, é importante que o professor utilize instrumentos avaliativos diversificados e que sejam desenvolvidos ao longo do ano. O registro periódico dessas observações o ajudará a acompanhar o desenvolvimento dos alunos. A avaliação assim considerada é contínua e formativa: faz parte do processo de ensino e aprendizagem e tem por objetivo contribuir para a formação dos alunos. Diante disso, é interessante destacar um trecho sobre a avaliação em Matemática, descrito nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): Mudanças na definição de objetivos para o ensino fundamental, na maneira de conceber a aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos conteúdos matemáticos implicam repensar sobre as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia, num trabalho que inclui uma variedade de situações de aprendizagem, como a resolução de problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre outros. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF, 1997. p. 41. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Acesso em: 22 ago. 2018.

Alguns professores têm procurado elaborar instrumentos para registrar observações sobre os alunos. Um exemplo são as fichas para o mapeamento do desenvolvimento de atitudes, que incluem questões como: Procura resolver problemas por seus próprios meios? Faz perguntas? Usa estratégias criativas para solucionar problemas? Justifica as respostas obtidas? Comunica suas respostas com clareza? Participa dos trabalhos em grupo? Ajuda os outros na resolução de problemas? Contesta pontos que não compreende ou com os quais não concorda? Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos, postura em sala, constituem indícios de competências e como tal devem ser considerados. A tarefa do avaliador constitui um permanente exercício de interpretação de sinais, de indícios, com base nos quais manifesta juízos de valor que lhe permitem reorganizar a atividade pedagógica.

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CONHEÇA A OBRA

No livro do aluno, cada volume desta obra divide-se em unidades e cada unidade em capítulos.

AS ABERTURAS DE UNIDADES

Nesta obra, as aberturas de unidades têm um papel fundamental: elas propiciam o momento de entrada no grande tema que será tratado. Em cada volume, a unidade é introduzida por uma abertura que traz: • uma imagem (ilustração, fotografia ou infográfico) – relacionada com temas que serão estudados ao longo do capítulo e cujo objetivo é instigar os alunos a uma discussão inicial; • algumas questões – para contextualizar os alunos no assunto da unidade e mobilizar conhecimentos anteriores.

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Estudo de grandezas

O uso de escala na Arquitetura Você já viu a planta baixa de uma residência ou alguma maquete que represente uma construção ou um conjunto de construções, como um bairro, por exemplo? Diante da impossibilidade de usar as medidas reais em tais representações, profissionais que trabalham com Arquitetura, Engenharia Civil, Design, entre outros, usam o conceito de escala. Com isso, podemos verificar a relação entre a medida do comprimento de uma parede da sala de aula e a medida do comprimento da representação correspondente em uma planta baixa.

Observe a imagem, converse com os colegas e faça no caderno o que se pede nos itens a seguir. DAVID KASZA/SHUTTERSTOCK.COM

• Identifique na imagem o que nos permite afirmar que temos uma maquete que repreResposta possível: a proporção entre o lápis sobre o desenho da senta uma casa em construção. planta baixa em relação à casa e os personagens. • Você já viu uma maquete ou uma planta baixa? Junte-se a um colega e pesquise situações em que é comum o uso desses recursos.

• Meça as paredes da sua sala de aula e faça o esboço de uma delas para representá-la. Use 1 cm, no desenho, para representar 1 metro de comprimento real. Nesse caso a escala utilizada é de 1 para 100, indicada por 1 : 100. Resposta pessoal. Resposta pessoal. Algumas situações que os alunos podem relatar: maquetes feitas para representar prédios que serão construídos, localizadas em stands de vendas, planta baixa de apartamentos à venda em panfletos de propaganda, planta baixa de feiras e exposições com a distribuição dos stands de cada expositor. 248

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OS CAPÍTULOS

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CAPÍTULO

Nos volumes desta obra, as unidades são compostas de uma quantidade variável de capítulos, de acordo com a demanda de cada tema.

Problemas envolvendo área de polígonos

p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

Responda à questão no caderno. Para cobrir um terreno com gramado, Marcos vai utilizar placas quadradas de grama com lados de 1 m. De quantas placas quadradas ele vai precisar para fazer um gramado retangular de 5 m por 3 m? Ele vai precisar de 15 placas.

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

Em cada capítulo, os alunos contarão com diferentes explorações e recursos, dentre estes textos, imagens e atividades. Ao longo de cada capítulo, podem ser encontradas seções e boxes que buscam favorecer compreensões, aprofundamentos e articulações.

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Acompanhe a situação. A prefeitura de uma cidade atendeu as solicitações dos moradores e vai construir uma área para as crianças brincarem na praça principal da cidade. Analisando a vista aérea da praça, a equipe responsável optou por utilizar uma região em forma de trapézio que não estava com gramado. Observe.

5m

12 m

O arquiteto desenhou um esboço da área para crianças. Ele pretende fazer uma região onde será colocada areia, de formato triangular, ampliar um pouco o espaço total e montar um parquinho com piso emborrachado de formato retangular. Observe o esboço. gira-gira

escorregador piso emborrachado

tanque de areia

balanço

EDITORIA DE ARTE

OS BOXES E AS SEÇÕES DESTA OBRA

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

8m

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Teoria

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Neste boxe os alunos encontrarão a sistematização ou a formalização de algum conceito explorado no capítulo. SAIBA QUE

F Ó R UM

Esta seção traz questões que podem favorecer o debate e permitir a troca e o compartilhamento de ideias e conhecimentos, fazendo com que os alunos pratiquem o desenvolvimento de estratégias de argumentação. As propostas podem ou não ser realizadas on-line, caso a escola possua uma ferramenta desse tipo ou você opte por usar uma ferramenta de uso livre na internet, criando um grupo fechado.

p e n s e e r e s p o nd a

Neste boxe, serão apresentadas questões que buscam mobilizar conhecimentos e promover reflexões e/ou investigações acerca dos assuntos a serem explorados ou previamente vistos.

UM NOVO OLHAR

Possibilita ao aluno retomar os conhecimentos explorados na abertura das unidades e perceber, por exemplo, as habilidades já desenvolvidas e as que precisam ser desenvolvidas.

Neste boxe, os alunos encontrarão um texto curto que fornecerá uma dica interessante ou um recado importante.

DESCUBRA MAIS

Uma seção contendo sugestões de livros e links para o aluno consultar informações complementares.

NÓS

Aqui, o aluno encontrará alguns textos e questões que podem promover articulações com outros conceitos para além da Matemática. Este boxe poderá propiciar reflexões sobre valores. Propõe-se que seja realizada em duplas, trios ou grupos.

XXXI

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ATIVIDADES Nesta seção, os alunos encontrarão diferentes atividades que foram dispostas em ordem crescente de complexidade para facilitar a visualização e a conferência. Eventualmente, surgirão atividades que desafiam os alunos.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA Nesta seção, os alunos encontrarão temas como hábitos conscientes de consumo, controle de gastos, economia, entre outros. A partir de leituras e reflexões, serão estimulados a ver e rever suas ações e atitudes ligadas ao consumo e a lidar com o dinheiro. P O R T O D A P A RT E

PARA QUEM QUER MAIS

É uma seção que apresenta textos, imagens, gráficos, tabelas e atividades numeradas que podem permitir ao aluno uma maior contextualização dos assuntos e explorações realizadas na unidade.

Esta seção busca estabelecer um diálogo entre tópicos de Matemática e de outras disciplinas ou áreas do conhecimento.

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Tabelas com intervalos de classes: leitura e interpretação STEFANOLUNARDI//SHUTTERSTOCK.COM

Vamos observar a situação a seguir: A academia Saúde realizou uma pesquisa para conhecer melhor seus alunos. Eles responderam a um questionário com várias perguntas, e uma das variáveis pesquisadas foi a altura dos alunos. A gerente da academia organizou os dados na seguinte tabela:

Altura dos alunos da academia Saúde Altura (em metro)

Número de alunos

1,50 ¿ 1,58

9

1,58 ¿ 1,66

11

1,66 ¿ 1,74

25

1,74 ¿ 1,82

30

1,82 ¿ 1,90

10

1,90 ¿ 1,98

5

Total

90

Nota obtida na prova final de Matemática

Pessoas se exercitando.

Essa é uma tabela de distribuição de frequências com intervalos de classes. Ela apresenta, na primeira coluna, o que foi pesquisado, neste caso, a altura dos alunos; e na segunda coluna a quantidade de vezes que esse valor apareceu, ou seja, a quantidade de alunos que apresentam aquela altura. Na primeira coluna, os valores das alturas estão divididos em intervalos numéricos que são chamados de intervalos de classes.

Número de alunos

0¿2

8

4,5

6

7

7,5

2

6

5

9,5

4,5

3

3

7

8

8

8,5

9

5,5

5,5

2,5

6

6,5

7

8,5

5

4

1

3,5

8 ¿ 10

1,5

3,5

7

7

6

9

8

Total

2

2¿4

6

4¿6

7

6¿8

11 9 35 Fonte: Professora do 8o ano.

Da forma como estão os dados, ela não consegue visualizar rapidamente quantos alunos ficaram abaixo da média. Ela decidiu, então, construir uma tabela de distribuição de frequências, com os seguintes intervalos de classe:

Repare que os intervalos de classe sempre possuem o mesmo tamanho, ou seja, neste exemplo, cada intervalo corresponde a 2 unidades.

2. Observe as informações dadas e faça o que se pede, no caderno.

a) Copie a tabela dada anteriormente e preencha com o total de alunos em cada um dos intervalos de classe. Resposta no final do livro. b) Quantos alunos tiveram média igual ou maior a 8? 9 alunos. c) A média para aprovação nesta escola deve ser maior ou igual a 6. Quantos alunos tiveram nota inferior à média na prova de Matemática? 15 alunos. d) Qual é a porcentagem de alunos que têm nota maior que ou igual a 6? Aproximadamente 57%.

3. Estes são os pesos dos atletas da Seleção Brasileira Masculina de Voleibol de 2018, em quilogramas (kg).

Fonte: Alunos da academia Saúde.

Quando utilizamos a representação 1,50 ¿ 1,58, indicamos que o extremo inferior estará incluso (1,50) e excluímos o extremo superior (1,58). Assim, para que nenhum número fique de fora, a próxima classe começará com o valor 1,58. 1. Observe as informações na tabela e responda no caderno:

76

99

106

83

80

80

81

95

85

89

93

72

76

107

99

80

83

85

75

101

87

Informações obtidas em: CONFEDERAÇÃO BRASILEIRA DE VOLEIBOL. Disponível em: <http://2018. cbv.com.br/ligadasnacoes/selecao-brasileira-masculina>. Acesso em: 28 ago. 2018.

a) Quantos alunos da academia Saúde foram pesquisados? 90 alunos. b) A altura dos alunos da academia varia entre quais valores? De 1,50 m até 1,98 m.

Faça, em seu caderno, o que se pede, utilizando as informações fornecidas.

c) Quantos alunos têm altura entre 1,58 m e 1,66 m, incluindo 1,58 m? 11 alunos.

a) Construa uma tabela de distribuição de frequências, contendo 5 classes de frequências. Não esqueça dos dados que toda a tabela deve ter, como fonte e títulos. Resposta no final do livro.

d) Qual é o intervalo de classe que apresenta maior frequência? O que isso significa?

b) Quantos jogadores compõem a Seleção Brasileira Masculina de Voleibol? 21 jogadores. c) Qual a faixa de peso que concentra mais jogadores? De 79 kg a 86 kg.

e) Quantos alunos têm altura menor que 1,82 m? 75 alunos. 5,56% aproximadamente. g) Qual é a porcentagem de alunos que têm altura maior que ou igual a 1,90 m? 1,74 ¿ 1,82; significa que a resposta mais obtida entre os alunos pesquisados foi a de que eles têm altura maior que ou igual a 1,74 m e menor que 1,82 m. f) Quantos alunos têm altura igual a ou maior que 1,74 m? 45 alunos.

54

Notas dos alunos do 8o ano na prova final de Matemática

Agora, tomemos a seguinte situação: A professora do 8o ano de uma escola listou as notas de seus 35 alunos na prova final de Matemática. Os resultados estão mostrados a seguir:

Resoluções a partir da p. 289

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Nesta seção, que reúne propostas de trabalho com temas associados à probabilidade e estatística, os alunos encontrarão textos, imagens, gráficos, tabelas e atividades numeradas, sempre buscando a contextualização desses temas.

d) Quantos jogadores estão acima de 93 kg? 7 jogadores. e) Qual o peso do jogador mais leve desta seleção? E do mais pesado? 72 kg; 107 kg. 55

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Tecnologias Explicita como usar ferramentas tecnológicas na resolução de problemas ou questões matemáticas.

• No passo 2, Intervalo de dados, vamos selecionar “Primeira coluna como rótulo” e clicar em Próximo.

Tecnologias Utilizando planilha eletrônica para construção de gráficos

• No passo 3, Série de dados, vamos deixar como está e clicar em Próximo.

Algumas planilhas eletrônicas nos auxiliam na organização dos dados e na construção de gráficos. Nesta seção vamos aprender a construir gráficos de coluna e de setores na planilha Calc do LibreOffice. Observe a tabela seguinte.

• No passo 4, Elementos do gráfico, vamos inserir o título do gráfico e o título dos eixos. Se tiver selecionado “Exibir legenda”, clique para desabilitar.

Número de irmãos dos alunos do Ensino Médio Número de irmãos 0 1 2 3 Total

Frequência absoluta 20 15 35 10 80

• Para finalizar, clique em “Concluir”. O gráfico estará pronto.

Fonte: Dados fictícios.

Vamos inserir os dados dessa tabela na planilha. Para isso, abra uma nova planilha e digite o título da tabela na célula A1, “Número de irmãos” na célula A2 e “Frequência absoluta” na célula B2. Depois, complete as colunas conforme a tabela. Veja o passo a passo para a construção do gráfico de colunas. • Depois de digitar os dados na planilha eletrônica, selecione somente os dados numéricos e clique em inserir gráfico no menu ou no ícone do gráfico. Para a construção do gráfico de setores, inserimos outra coluna com as frequências relativas, em porcentagem, e seguimos o mesmo passo a passo. A diferença é que em “Tipo de gráfico” selecionamos “Pizza”. Para aparecerem os valores das porcentagens, clicamos com o botão esquerdo do mouse em cima do gráfico e depois selecionamos “Inserir rótulos de dados”.

GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018

GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018

• Na janela do Assistente de gráficos, vamos selecionar, no passo 1, tipo de gráfico “Coluna” e clicar em Próximo.

1. Utilize algumas tabelas apresentadas nesta Unidade e explore outras construções de gráficos usando a planilha eletrônica como ferramenta. Resposta pessoal.

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RETOMANDO O QUE APRENDEU Nesta seção, os alunos serão convidados a revisitar os conteúdos explorados na unidade para que possam perceber conquistas e identificar possíveis dúvidas.

ATUALIDADES EM FOCO

Um dos objetivos é promover a articulação entre as diferentes áreas do conhecimento e minimizar possíveis rupturas existentes nos processos de ensino e aprendizagem. Nesta seção, os alunos terão a oportunidade de aprofundar e ampliar seus conhecimentos e repertório cultural, passear por diferentes temas contemporâneos e perceber a Matemática em variadas situações do cotidiano.

2. 10,69% significa dizer que, de cada R$ 100,00, pagarei R$ 10,69. Como Responda no caderno: o videogame equivale a 14 x R$ 100,00, podemos dizer que você pagará 14 x R$ 10,69 de juros, o que totaliza: R$ 146,90. 1. A escola pode contribuir muito para a conscientização do consumo responsável e sustentável. Você concorda com essa afirmação? Por quê? Converse com seus colegas. Resposta pessoal. 2. Os juros cobrados pelos bancos e pelas operadoras de crédito variam de acordo com o tipo de financiamento que utilizamos. Assim, o valor da taxa de juros aplicada em um mesmo banco pode ser diferente, de acordo com a linha de crédito. A seguir são apresentadas as taxas médias de juros aplicadas por diversos bancos durante o ano de 2010, de acordo com o Banco Central.

ATUALIDADES EM FOCO

Querer é poder? Mas, o que eu quero? Quantas vezes você já comprou algo que não precisava? Ou apenas porque queria ter, ou porque seus colegas já tinham e você ainda não? O consumismo, o acúmulo cada vez maior de bens materiais e supérfluos, promove em nossa sociedade um declínio de valores. Em alguns casos, as pessoas se tornam dependentes desses bens, valorizando mais a aquisição de produtos e de bens do que as relações sociais e afetivas. Com a facilidade em se conseguir crédito, ficou cada vez mais comum substituir um produto que quebrou por outro novo, em vez de consertá-lo, bem como trocar produtos obsoletos da nossa casa, mesmo que ainda estejam funcionando. O consumo irresponsável e ilimitado também prejudica a natureza e o meio ambiente, pois retiramos deles bens que são renovados e devolvemos uma quantidade cada vez maior de lixo, que, muitas vezes, é descartado em locais impróprios. Dessa forma, para minimizar os efeitos do consumismo desenfreado, é preciso que se faça um trabalho de educação ou reeducação que promova reflexões acerca do consumo e do consumismo, do desejo e da necessidade, da preservação e conservação ambiental, do descarte responsável e, inclusive, da implementação de leis mais efetivas.

Taxas de Juros Linha de crédito Juros do comércio Cartão de crédito Cheque especial CDC-bancos Empréstimo pessoal - bancos Empréstimo pessoal - financeiras Taxa média

Taxa média março 5,72% 10,69% 7,34% 2,33% 4,74% 9,78% 6,77%

Taxa média abril 5,77% 10,69% 7,40% 2,44% 4,79% 9,87% 6,82%

Variação no mês 0,87% 0% 0,82% 3,00% 1,05% 0,92% 0,74%

Fonte: BELEDELI, M. Crédito fácil pode virar armadilha ao consumidor. Jornal do Comércio. Diponível em: <http://jcrs.uol.com.br/site/noticia.php?codn=30398&codp=21&codni=3>. Acesso em: 2 nov. 2018.

Responda à questão a seguir: Vamos supor que você queira comprar um videogame e não tenha o dinheiro nesse mês. Mas você está com tanta vontade de comprá-lo que não resiste à persuasão do vendedor e acaba utilizando uma linha de crédito de seu cartão, mas se esqueceu que não era uma boa data para realizar a compra, pois, a fatura venceria naquele mesmo mês. Supondo que o video game tenha custado R$ 1 400,00 e você tenha atrasado um mês o pagamento de sua fatura, quanto pagará de juros? (Como não houve variação na taxa de juros, pode-se utilizar o valor referente a abril ou a maio.)

3. Elabore uma lista com 5 itens que você costuma consumir frequentemente; por exemplo, sucos, lanches, itens de higiene etc. Pesquise os valores unitários desses produtos em diferentes estabelecimentos. Anote o resultado em um quadro, como o da referência a seguir. Estabelecimento: Produto

Valor 1

Valor 2

Valor 3

a) Agora, calcule a diferença entre o maior e o menor valor encontrados para o mesmo produto e multiplique-os pelo número de unidades de cada produto que você costuma consumir Resposta pessoal. durante o mês. b) Faça a soma dessa diferença de todos os produtos que você consome e descubra quanto você economizaria se adquirisse esse produto no local onde se aplica o menor valor. Resposta pessoal. c) Compartilhe suas descobertas com os colegas e com o professor e, juntos, descubram quanto a sala toda economizaria se adotasse o hábito de pesquisar os preços para descobrir o local com a melhor oferta. Lembre-se de avaliar despesas com o deslocamento, tempo etc. Resposta pessoal. d) Você já ouviu falar em compra coletiva? Será que essa prática poderia trazer benefícios? Por quê? Resposta pessoal.

FAITHIE/SHUTTERSTOCK.COM

Nesta seção, os alunos encontrarão atividades que podem permitir articulações entre os temas contemporâneos e as competências gerais e específicas apresentadas na BNCC.

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QUADROS DE CONTEÚDOS E HABILIDADES DA OBRA

Disponibilizamos este quadro com a divisão dos conteúdos da obra, indicando a unidade, os principais conteúdos abordados nela e quais as habilidades nela desenvolvidas.

6o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Sistemas de numeração

• Sistemas de numeração • Sistema de Numeração Decimal • O conjunto dos números naturais • Leitura e interpretação de tabelas • Calculadoras

EF06MA01 EF06MA02 EF06MA31 EF06MA32

2 – Cálculos com números naturais

• Operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) • Relações fundamentais • Expressões numéricas • Leitura e interpretação de gráfico de barras

EF06MA03 EF06MA31

3 – Figuras geométricas

• Ponto, reta e plano • Semirreta e segmento de reta • Figuras geométricas • Estimativas e projeções

EF06MA17 EF06MA28

4 – Múltiplos e divisores

• Critérios de divisibilidade • Divisores e múltiplos de um número natural • Números primos • Gráfico pictórico

EF06MA04 EF06MA05 EF06MA06 EF06MA32

5 – A forma fracionária dos números racionais

• Fração (comparação, equivalência e formas) • Adição e subtração de frações • Fração e porcentagem • Probabilidade • Tabela de dupla entrada e gráfico de barras duplas

EF06MA07 EF06MA08 EF06MA09 EF06MA10 EF06MA15 EF06MA32

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UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

6 – A forma decimal dos números racionais

• Número racional na forma decimal (transformações e comparação) • Operações com números racionais na forma decimal (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) • Cálculo de porcentagens • Probabilidade • Tipos de calculadoras

EF06MA01 EF06MA08 EF06MA10 EF06MA11 EF06MA12 EF06MA13 EF06MA24 EF06MA30

7 – Ângulos e polígonos

• O ângulo • Transferidor • Construção de retas paralelas e perpendiculares • Polígonos (definição, identificação e nomenclatura) • Polígonos regulares • Triângulos (elementos e classificação) • Quadriláteros (elementos e classificação) • Plano cartesiano • Construção de polígonos no plano cartesiano • Construção e ampliação/redução de polígonos com uso de software

EF06MA16 EF06MA18 EF06MA19 EF06MA20 EF06MA21 EF06MA22 EF06MA23 EF06MA25 EF06MA26 EF06MA27 EF06MA32

8 – Comprimento e área

• O metro linear • Transformação das unidades de medida de comprimento • Perímetro de um polígono • O metro quadrado • Transformação das unidades de medida de superfície • Medidas agrárias • Área de figuras geométricas planas (retângulo, quadrado e triângulo retângulo) • Gráfico de segmentos

EF06MA24 EF06MA28 EF06MA29 EF06MA32

9 – Massa, volume e capacidade

• O grama • Transformação das unidades de massa • Balança de dois pratos • O metro cúbico • Transformação das unidades de volume • Volume do bloco retangular e do cubo • O litro • Transformação das unidades de capacidade • Pesquisa e fluxograma

EF06MA14 EF06MA24 EF06MA33 EF06MA34

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7o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Números naturais e operações

• M.M.C e M.D.C • Leitura e interpretação de gráfico de barras/colunas simples

EF07MA01

2 – O conjunto dos números inteiros

• Módulo de um número inteiro • Operação com números inteiros (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada) • Expressões numéricas

EF07MA03 EF07MA04

3 – Transformações geométricas e simetria

• Transformações no plano • Simetria • Gráfico de setores

EF07MA19 EF07MA20 EF07MA21 EF07MA37

4 – O conjunto dos números racionais

• Operações com números racionais na forma de fração (multiplicação, divisão e potenciação) • Raiz quadrada exata de números racionais • Média aritmética • Média aritmética ponderada

EF07MA05 EF07MA06 EF07MA07 EF07MA08 EF07MA09 EF07MA10 EF07MA11 EF07MA12 EF07MA35

5 – Linguagem algébrica e equações

• Sequência • Expressões algébricas • Igualdade • Equações (conjunto universo e solução; equivalência) • Equações do 1o grau com uma incógnita

EF07MA13 EF07MA14 EF07MA15 EF07MA16 EF07MA18

6 – Figuras geométricas planas

• Ângulos • Retas paralelas cortadas por uma transversal • Triângulos (construção, condição de existência e soma dos ângulos internos) • Polígonos regulares (ângulos internos, externos e construção) • Circunferência

EF07MA22 EF07MA23 EF07MA24 EF07MA25 EF07MA26 EF07MA27 EF07MA28 EF07MA33

7 – Grandezas proporcionais

• Razão • Proporção • Regra de três

EF07MA17

8 – Porcentagem, probabilidade e pesquisa estatística

• Porcentagem • Probabilidade • Média • Amplitude • Pesquisa censitária e amostral

EF07MA02 EF07MA34 EF07MA36

9 – Área e volume

• Equivalência entre áreas • Volume

EF07MA29 EF07MA30 EF07MA31 EF07MA32

XXXVI

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8o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Números racionais

• Porcentagem e juro simples • Dízima periódica

EF08MA04 EF08MA05

2 – Potências, raízes e números reais

• Potência de um número racional • Números quadrados perfeitos • Raiz quadrada (exata e aproximada) de um número racional não negativo • Números irracionais • Números reais

EF08MA01 EF08MA02

3 – Ângulos e triângulos

• Ângulos • Altura, mediana e bissetriz de um triângulo • Congruência de triângulos • Propriedades nos triângulos

EF08MA15 EF08MA17

4 – Expressões e cálculo algébrico

• Expressões algébricas • Valor numérico de uma expressão algébrica • Monômio (grau, semelhança e operações) • Polinômios (grau e operações)

EF08MA06

5 – Equações

• Equação do 1o grau com uma incógnita • Equação fracionária com uma incógnita • Equação do 1o grau com duas incógnitas • Sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas • Equação do 2o grau

EF08MA07 EF08MA08 EF08MA09

6 – Polígonos e transformações no plano

• Diagonais de um polígono convexo • Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo • Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo • Propriedades dos quadriláteros • Transformações no plano

EF08MA14 EF08MA16 EF08MA18

7 – Contagem, probabilidade e estatística

• Contagem • Probabilidade • População e amostra • Média • Moda • Mediana • Amplitude

EF08MA03 EF08MA22 EF08MA23 EF08MA24 EF08MA25 EF08MA26 EF08MA27

8 – Área, volume e capacidade

• Área do círculo • Volume do cubo e do bloco retangular • Volume do cilindro • Equivalência entre decímetro cúbico e litro

EF08MA19 EF08MA20 EF08MA21

9 – Variação de grandezas

• Grandezas proporcionais e não-proporcionais • Velocidade média, escala, densidade de um corpo e densidade demográfica • Grandezas diretamente proporcionais • Grandezas inversamente proporcionais • Regra de três simples e composta

EF08MA10 EF08MA11 EF08MA12 EF08MA13

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9o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Números reais, potências e radicais

• A Geometria e a descoberta do número irracional • Números irracionais • Os números reais • Potências • Notação científica • Radicais

EF09MA01 EF09MA02 EF09MA03 EF09MA04 EF09MA18

2 – Produtos notáveis e fatoração

• Os produtos notáveis • Fatoração de polinômios

EF09MA09

3 – Equações do 2o grau

• Equação do 2o grau com uma incógnita

4 – Relações entre ângulos

• Ângulos determinados por retas transversais • Circunferência e ângulos

EF09MA10 EF09MA11

5 – Proporção e semelhança

• Segmentos proporcionais • Figuras semelhantes • Triângulos semelhantes

EF09MA07 EF09MA08 EF09MA12

6 – Porcentagem, probabilidade e estatística

• Juro simples e juro composto • Probabilidade • Análise de gráficos • Elaboração de pesquisa

EF09MA05 EF09MA20 EF09MA21 EF09MA22 EF09MA23

7 – Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

• O teorema de Pitágoras • Relações métricas no triângulo retângulo • Comprimento de arco de circunferência • Relações métricas na circunferência

EF09MA13 EF09MA14

8 – Figuras planas, espaciais e vistas

• Polígono regular • Representações no plano cartesiano • Figuras espaciais

EF09MA15 EF09MA16 EF09MA17 EF09MA19

9 – Função

• Função polinomial de 1o grau • Função polinomial de 2o grau

EF09MA06

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARIÈS, P. História social da criança e da família. 2. ed. São Paulo: LTC, 1981. BAZÍLIO, L. C.; KRAMER, S. Infância, educação e direitos humanos. São Paulo: Cortez, 2011. BEAUCHAMP, J.; PAGEL, S. D.; NASCIMENTO, A. R. do (Org.). Introdução. In: BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/ensifund9anobasefinal.pdf>. Acesso em: 14 ago. 2018. BEAN, D. O. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001. BIGODE, A. J. L.; GIMÉNEZ, J. R. Metodologia para o ensino da aritmética: competência numérica no cotidiano. São Paulo: FTD, 2009. BORBA, M. C.; Scucuglia, R. R. S.; GADANIS, G. Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática. Belo Horizonte. Editora Autêntica, 2014, p. 16. BRASIL, L. A. S. Aplicações da teoria de Piaget ao ensino da matemática. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1977. CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: CAEM-USP, 2005. v. 2. CARRAHER, T. N. (Org.). Aprender pensando: contribuições da psicologia cognitiva para a educação. 12. ed. Petrópolis: Vozes, 1998. CARRAHER, T. N. et al. Na vida dez, na escola zero. 16. ed. São Paulo: Cortez, 2011. CENTURIÓN, M. Conteúdo e metodologia da matemática: números e operações. 2. ed. São Paulo: Scipione, 2002. COLL, C.; MARTÍN, E. (Org.). Aprender conteúdos e desenvolver capacidades. Tradução: Cláudia Schilling. Porto Alegre: Artmed, 2004. CORSINO, P. As crianças de seis anos e as áreas do conhecimento. In: BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007. CUCCIOLI, E. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, C. E.; MUNIZ, M. I. S. O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. FERRÉS, J. Vídeo e educação. Porto Alegre: Artmed, 1996. FONSECA, M. da C. F. R. Alfabetização matemática. In: BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: <http://pacto.mec.gov.br/materiais-listagem/item/66apresentacao>. Acesso em: 14 ago. 2018. FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 53. ed. São Paulo: Paz e Terra, 2016. GUIMARÃES, K. P.; BRENELLI, R. P. Abstração reflexiva e construção da noção de multiplicação. In: BRITO, M. R. F. de (Org.). Psicologia da educação matemática: teoria e pesquisa. Florianópolis: Insular, 2001. GUIMARÃES, K. P. et al. Educação matemática e jogos de regras: uma experiência em estágio supervisionado na formação de professores. In: IX CONGRESSO ESTADUAL PAULISTA SOBRE FORMAÇÃO DE EDUCADORES, 2007. Projetos e práticas de formação de professores – relatos. São Paulo: Unesp, 2007. v. 1.

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HERNÁNDEZ, F. Cultura visual, mudança educativa e projetos de trabalho. Porto Alegre: Artes Médicas, 2000. HOFFMANN, J. Avaliação: mito e desafio: uma perspectiva construtivista. 44. ed. Porto Alegre: Mediação, 2014. HOFFMANN, J. Avaliação mediadora: uma prática em construção da pré-escola à universidade. 33. ed. Porto Alegre: Mediação, 2014. KAMII, C. A criança e o número. Tradução: Regina A. de Assis. Campinas: Papirus, 2007. KAMII, C; DECLARCK, G. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 2000. LEAL, T. F.; ALBUQUERQUE, E. B. C. de; MORAIS, A. G. de. Avaliação e aprendizagem na escola: a prática pedagógica como eixo da reflexão. In: BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007. LOPES, A. J. Os saberes das crianças como ponto de partida para o trabalho pedagógico. In: BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: <http:// wp.ufpel.edu.br/antoniomauricio/files/2017/11/0_Apresenta%C3%A7ao_pg001072.pdf>. Acesso em: 14 ago. 2018. LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar. 4. ed. São Paulo: Cortez, 2011. MACEDO, L. Ensaios construtivistas. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1994. NACARATO, A. M.; LOPES, C. E. (Org.). Escritas e leituras na educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educacão Matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 207. PARRA, C.; SAIZ, I. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Tradução Juan Acuña Llorens. Porto Alegre: Artmed, 2006. PASSOS, C. L. B.; ROMANATTO, M. C. A matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Editora da UFSCar, 2010. PERRENOUD, P. Avaliação: da excelência à regulação das aprendizagens: entre duas lógicas. Tradução: Patrícia Chittoni Ramos. Porto Alegre: Artmed, 2007. PERRENOUD, P. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2000. PIAGET, J.; INHELDER, B. Gênese das estruturas lógicas elementares. Tradução: Álvaro Cabral. Brasília: Zahar, 1975. POWELL, A.; BAIRRAL, M. A escrita e o pensamento matemático. Campinas: Papirus, 2006. (Perspectivas em educação matemática). RANGEL, A. C. S. Educação matemática e a construção do número pela criança: uma experiência em diferentes contextos socioeconômicos. Porto Alegre: Artes Médicas, 1992. SCHOENFELD, A. Por que toda esta agitação acerca da resolução de problemas? In: ABRANTES, P.; LEAL, L. C.; PONTE, J. P. (Org.). Investigar para aprender matemática. Lisboa: Universidade de Lisboa, 1996. SISTO, F. F. (Org.). Atuação psicopedagógica e aprendizagem escolar. 10. ed. Campinas: Papirus, 2005.

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SISTO, F. F. (Org.). Leituras de Psicologia para formação de professores. 3. ed. Petrópolis: Vozes; São Paulo: Edusf, 2004. TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Teoria e prática de matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 2010. (Teoria e prática). VERGNAUD, G. El niño, las matemáticas y la realidad. Ciudad de México: Editorial Trillas, 1991. VYGOTSKY, L. S. (Org.). A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores. Tradução: José Cipolla Neto, Luís Silveira Menna Barreto, Solange Castro Afeche. São Paulo: Martins Fontes, 2007. ZUNINO, D. L. A matemática na escola: aqui e agora. 2. ed. Porto Alegre: Artes Médicas, 2007.

DOCUMENTOS OFICIAIS

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a base. Terceira versão final. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <http://basenacionalcomum. mec.gov.br/a-base>. Acesso em: 14 ago. 2018. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Básica. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. 2. ed. Brasília, DF, 2007. BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2006. BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: <http://pacto.mec.gov.br/ materiais-listagem/item/66-apresentacao>. Acesso em: 14 ago. 2018. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília, DF, 1997. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: ética. Brasília, DF: 1997. v. 8. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: meio ambiente e saúde. Brasília, DF, 1997. v. 9. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: pluralidade cultural e orientação sexual. Brasília, DF, 1997. v. 10. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Atividades matemáticas: ciclo básico. São Paulo, 1994. v. 1. SÃO PAULO (Estado). Atividades matemáticas: ciclo básico. São Paulo, 1994. v. 2. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educacão. Proposta curricular para o ensino de matemática: 1o grau. 4. ed. São Paulo: CENP, 1991.

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SUGESTÕES DE REVISTAS E OUTRAS PUBLICAÇÕES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR A Educação Matemática em Revista Temas & Debates Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) Departamento de Matemática – sala 108 Av. Prof. Luís Freire, s/n – Cidade Universitária CEP 50740-540 – Recife – PE Fone e Fax: (0XX81) 3272-7563 E-mail: sbem@sbem.com.br Boletim GEPEM Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática – GEPEM Instituto de Educação da UFRRJ – sala 30 Rod. BR 465, km 7 CEP 23890-000 – Seropédica – RJ Fone e fax: (0XX21) 2682-1841 E-mail: gepem@ufrrj.br Site: <http://livro.pro/t2uk2m>. Acesso em: 14 ago. 2018. Cadernos de Prática de Ensino – Série Matemática – USP Faculdade de Educação – Departamento de Metodologia do Ensino e Educação Comparada – Projeto USP/BID Avenida da Universidade, 308 – CEP 05508-900 Cidade Universitária – São Paulo – SP Fone: (0XX11) 3091-3099 – Fax: (0XX11) 3815-0297 Cadernos do CAEM Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática – CAEM Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – IME/USP Rua do Matão, 1 010 – Bloco B – sala 167 – CEP 05508-090 Cidade Universitária – São Paulo – SP Fone e fax: (0XX11) 3091-6160 E-mail: caem@ime.usp.br Site: <http://livro.pro/v62my9>. Acesso em: 14 ago. 2018. Cadernos – Série Ideias da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Av. São Luís, 99 – CEP 01046-001 República – São Paulo – SP Fone: (0XX11) 3158-4000 Revista do Professor de Matemática – RPM Sociedade Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109 – Jardim Botânico CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ Fone: (0XX21) 2529-5073 E-mail: rpm@ime.usp.br Site: <http://livro.pro/a4amc2>. Acesso em: 14 ago. 2018.

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ENDEREÇOS DE OUTRAS ENTIDADES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática – CAEM Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – IME/USP Rua do Matão, 1 010 – Bloco B – sala 167 – CEP 05508-090 Cidade Universitária – São Paulo – SP Fone e fax: (0XX11) 3091-6160 Site: <http://livro.pro/v62my9>. Acesso em: 14 ago. 2018. Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação – FNDE Ministério da Educação – SBS – Quadra 2 – Bloco F Brasília – DF – CEP 70070-929 Tel.: 0800-616161 Site: <http://livro.pro/foruai>. Acesso em: 14 ago. 2018. Laboratório de Ensino de Matemática – LEM Universidade Estadual de Campinas – Unicamp – IMECC Caixa Postal 6065 – CEP 13083-970 – Campinas – SP Fone: (0XX19) 3521-6017 Fax: (0XX19) 3521-5937 Site: <http://livro.pro/65jbqe>. Acesso em: 14 ago. 2018. Laboratório de Ensino de Matemática e Estatística – LEMA Universidade Federal da Bahia – UFBA – Instituto de Matemática Avenida Adhemar de Barros, s/n – Salvador – BA Fone: (0XX71) 3263-6265 Site: <http://livro.pro/usuwug>. Acesso em: 14 ago. 2018. Núcleo da Informática Aplicada à Educação – NIED Universidade Estadual de Campinas – Unicamp Cidade Universitária Zeferino Vaz Bloco V da Reitoria – piso 2 – Campinas – SP CEP 13083-970 – Tel.: (0XX19) 3788-7136 E-mail: nied@unicamp.br Site: <http://livro.pro/fur7ka>. Acesso em: 14 ago. 2018. Projeto Fundão – Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) Instituto de Matemática Centro de Tecnologia – Bloco C – sala 108 Cidade Universitária Caixa Postal 68530 – CEP 21941-972 Rio de Janeiro – RJ Fone e fax: (0XX21) 2562-7511 Site: <http://livro.pro/or6swh>. Acesso em: 14 ago. 2018. Sociedade Brasileira de Matemática – SBM Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109 Jardim Botânico CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ Fone: (0XX21) 2529-5073 Site: <http://livro.pro/c23hyf>. Acesso em: 14 ago. 2018.

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SITES

Acessos em: 14 ago. 2018. A COR DA CULTURA. Disponível em: <http://livro.pro/jknmqu>. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA: Ensino de Matemática e Formação para Cidadania: Discussão de uma Possibilidade. Disponível em: <http://livro.pro/nv4p5b>. EDUMATEC. Disponível em: <http://livro.pro/xt9vnq>. ESCOLA DO FUTURO. Disponível em: <http://livro.pro/yuee2v>. FACULDADE DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP)/DEPARTAMENTO DE METODOLOGIA DO ENSINO E EDUCAÇÃO COMPARADA. Disponível em: <http:// livro.pro/icx2w8>. INSTITUTO ALFA E BETO: Ensino da matemática nas séries iniciais. Disponível em: <http:// livro.pro/iiknwe>. INSTITUTO PAULO FREIRE: Acervo. Disponível em: <http://livro.pro/kiubrz>. LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA: Faculdade de Educação da USP. Disponível em: <http:// livro.pro/5pwpdo>. LABORATÓRIO DE PESQUISA MULTIMEIOS. Disponível em: <http://livro.pro/7nrv5t>. MATEMÁTICA EM TODA PARTE – TV ESCOLA – MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (MEC). Disponível em: <http://livro.pro/jxi7cc>. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http://livro.pro/fezagx>. NOVA ESCOLA. Disponível em: <http://livro.pro/5rm6us>. PENSAR A EDUCAÇÃO EM REVISTA. Disponível em: <http://livro.pro/rd5qcz>. PORTAL EDUCAÇÃO EM DIREITOS HUMANOS: Educação matemática como formação necessária à cidadania. Disponível em: <http://livro.pro/p4rqd5>. REDE DO SABER. Disponível em: <http://livro.pro/rtugtx>. REVISTA PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Disponível em: <http://livro.pro/ woiu24>. SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO EM MATEMÁTICA – SBEM. Disponível em: <http://livro.pro/3muqad>.

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JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Médio desde 1985.

BENEDICTO CASTRUCCI (Falecido em 2 de janeiro de 1995) Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática da Pontifícia Universidade Católica (PUC-SP) e da Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática em escolas públicas e particulares de Ensino Fundamental e Ensino Médio.

Ensino Fundamental – Anos Finais Componente curricular: Matemática

4˜ edição – São Paulo – 2018

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Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni Júnior, 2018. Diretor editorial Diretora editorial adjunta Gerente editorial Editor Editores assistentes Assessoria Gerente de produção editorial Coordenador de produção editorial Gerente de arte Coordenadora de arte Projeto gráfico Projeto de capa Foto de capa Supervisora de arte Editora de arte Diagramação Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações e cartografia Ilustrações

Cartografia Coordenadora de preparação e revisão Supervisora de preparação e revisão Revisão

Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Iconografia Licenciamento de textos Supervisora de arquivos de segurança Diretor de operações e produção gráfica

Antonio Luiz da Silva Rios Silvana Rossi Júlio Roberto Henrique Lopes da Silva João Paulo Bortoluci Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Diana Santos, Eliane Cabariti Casagrande Lourenço, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Luís Felipe Porto Mendes, Marcos Antônio Silva Cristiane Boneto, Francisco Mariani Casadore, Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz Moura, Marcelo Eduardo Pereira Mariana Milani Marcelo Henrique Ferreira Fontes Ricardo Borges Daniela Máximo Carolina Ferreira, Juliana Carvalho Sergio Cândido Bob Sacha/Getty Images Isabel Cristina Ferreira Corandin Dayane Santiago, Nadir Fernandes Racheti Débora Jóia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Marcia Berne Alex Argozino, Alex Silva, Bentinho, Dani Mota, Daniel Almeida, Daniel Bogni, Dayane Raven, Dnepwu, Ilustra Cartoon, Lucas Farauj, Manzi, Marcos Guilherme, Marcos Machado, MW Editora E Ilustrações, Renato Bassani, Wandson Rocha Allmaps, Renato Bassani, Sonia Vaz Lilian Semenichin Maria Clara Paes Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana, Giselle Mussi de Moura, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso, Lilian Vismari, Lucila V. Segóvia, Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr., Solange Guerra, Yara Affonso Elaine Bueno Rosa André Carla Marques, Vanessa Trindade Silvia Regina E. Almeida Reginaldo Soares Damasceno

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Giovanni Júnior, José Ruy A conquista da matemática : 8o ano : ensino fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo : FTD, 2018. “Componente curricular: Matemática.” ISBN 978-85-96-01917-0 (aluno) ISBN 978-85-96-01918-7 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Castrucci, Benedicto. II. Título. 18-20688

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Cibele Maria Dias – Bibliotecária – CRB-8/9427

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à

EDITORA FTD. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo – SP CEP 01326-010 – Tel. 0800 772 2300 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br central.relacionamento@ftd.com.br

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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apresentação Para que serve a Matemática? Por que aprender todo esse conteúdo de Matemática na escola? Essas são perguntas que um dia provavelmente passaram ou vão passar por sua cabeça. A Matemática está presente em nossas vidas, desde uma simples contagem em uma brincadeira até nos modernos e complexos computadores. Ela ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender o movimento da inflação e dos juros, a medir os índices de pobreza e riqueza de um país, a entender e cuidar do meio ambiente... sem falar nas formas e medidas, com suas aplicações na Arquitetura, na Arte e na agricultura. Mas, apesar de estar presente em tantos momentos importantes das nossas vidas, pode parecer, a princípio, que alguns temas da Matemática não têm aplicação imediata, o que pode gerar certo desapontamento em você. Na verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos nela presentes. Como em todas as áreas de estudo, para entender e fazer Matemática é necessário dedicação e estudo. Nesta coleção, apresentamos a você as linhas mestras desse processo com uma linguagem simples, mas sem fugir ao rigor que a Matemática exige. Vivemos hoje em um mundo em constante e rápida transformação, e a Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Ficar à parte do conhecimento matemático é, hoje, estar à margem das mudanças do mundo. Então, vamos entender e fazer Matemática! Os autores

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conheça seu livro

Abertura de unidade

As páginas de abertura introduzem o trabalho que será desenvolvido em cada Unidade. Nelas, você é convidado a observar textos e/ou imagens e relacioná-los com seus conhecimentos sobre o tema ou com contextos que serão articulados pelas questões.

ALEX SILVA

Área, volume e capacidade

A necessidade de determinar as medidas de superfície, volume e capacidade é algo que faz parte da vida das pesssoas há muito tempo. Alguns povos da Antiguidade, como os babilônios, os chineses, os egípcios, os hindus e os gregos, calculavam as áreas de algumas figuras geométricas com muita precisão em seus cálculos. Por exemplo, no Egito antigo os agricultores das margens do Rio Nilo pagavam ao faraó um imposto pelo uso da terra, que era proporcional à área cultivada. Atualmente, costuma-se ficar atento à capacidade de água dos reservatórios que abastecem a população. Esse monitoramento é feito por empresas especializadas e nos ajuda a compreender a situação dos reservatórios.

67,1%

SITUAÇÃO DOS RESERVATÓRIOS QUE ABASTECEM A GRANDE SÃO PAULO

39,2%

1 164**

17,1%

Cantareira

Cantareira t

112

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Guarapiranga i

Alto t Cotia C t

Rio Grande G

Rio i Claro Cl

16,5

Alto Cotia

13

Rio Claro

Fonte: CANTAREIRA sobe a 10,7% e recupera reserva retirada do 2o volume morto. G1. Disponível em: <http://g1.globo.com/sao-paulo/ noticia/2015/02/cantareira-sobe107-e-recupera-reserva-retiradado-2-volume-morto.html>. Acesso em: 10 nov. 2018.

Capacidade máxima TOTAL

1 998* * Cálculo feito sobre a capacidade máxima acrescida do volume morto ** Inclui primeira cota do volume morto, de 182,5 bilhões de litros

Cantareira

Cantareira/ Alto Cotia

Alto Cotia

Cantareira/ Alto Tietê

Alto Tietê

Rio Claro/ Alto Tietê

Guarapiranga

Rio Claro

Guarapiranga/ Alto Cotia

Rio Grande

Nível em 24/02/2014

SÃO PAULO

Nível em 23/02/2015

Nível em 24/02/2015

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No mapa, vemos que a escala é de 1 : 50 000 000. Considere a seguinte situação:

Vias congestionadas são um dos problemas atuais que mais afetam as grandes cidades do mundo. O trânsito é responsável, entre outras coisas, por ser um dos fatores que pioram a qualidade de vida da população, pois diminui o tempo para descanso e lazer e para se dedicar à saúde e aumenta o estresse. Uma pesquisa divulgada em 2016, que estudou áreas metropolitanas com mais de 1,6 milhão de habitantes, situou os tráfegos das cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo como o sexto e sétimos piores tráfegos do mundo, respectivamente. Essa combinação, tráfego intenso com estresse, resulta em um dado divulgado pela Associação Brasileira de Medicina do Tráfego (Abramet) de que entre 13% e 17% dos motoristas brasileiros apresentam algum distúrbio comportamental no trânsito, de tal forma que esses distúrbios podem acarretar brigas, discussões, acidentes e até mesmo mortes. Dessa forma, os Departamentos Estaduais de Trânsito (Detran) buscam conscientizar os motoristas para que estes pratiquem a gentileza no trânsito, lembrando sempre que as ruas são um espaço coletivo.

• A distância entre duas cidades é de 6 cm. Sabendo a escala e a distância no mapa, qual é a distância real entre as cidades? comprimento no desenho: 6 cm escala: 1 : 50 000 000

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Brasil: Político 50°O

OCEANO ATLÂNTICO Equador

0°

Atividades

comprimento de um desenho ⇒ comprimento real 1 6 " 50000000 x

escala " ⇒

x = 300 000 000 cm ⇒ x = 3 000 km A distância entre os dois pontos é 3 000 km.

Informações obtidas em: DETRAN dá dicas de como evitar o estresse no trânsito. Semana On. Disponível em: <http://www.semanaon.com.br/conteudo/4135/detran-da-dicas-de-como-evitar-o-estresse-no-transito> e ABAD LIÑÁN, J. M.; ALAMEDA, D.; GALÁN, J. Trânsito piora nas grandes cidades latino-americanas. El País. Disponível em: <http://brasil.elpais.com/brasil/2016/09/15/tecnologia/1473950908_051813.html>. Acessos em: 22 mar. 2017.

Cap Trópico de

ricórnio

OCEANO PACÍFICO 0

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro, 2007. p. 94.

• Debata com seus colegas possíveis soluções para a redução dos tráfegos das grandes cidades.

ATIVIDADES

Escala

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

DENNIS KUNKEL/PHOTOTAKE/GLOW IMAGES

1. Um automóvel percorreu uma distância de 455 km em 7 horas. Qual foi a velocidade média desse automóvel nesse percurso? 65 km/h 2. Leia as informações: A distância entre a Terra e o Sol é de, aproximadamente, 150 000 000 km; A luz do Sol, para atingir a Terra, leva em torno de 500 segundos. Responda: 300 000 km/s a) Qual é a velocidade da luz no vácuo?

A escala de ampliação é um dado importante em análises científicas. Na foto, a bactéria Brucella abortus. Aumento aproximado de 14 160 vezes e colorido artificial.

b) Quantos minutos a luz do Sol leva para chegar à Terra? Cerca de 8 minutos e 20 segundos. 3. A Praça de Tian’anmen, na China, é mundialmente conhecida pelo seu enorme tamanho. Ela foi representada, em uma folha de papel, com 5,5 cm de comprimento

comprimento de um desenho comprimento real

500

Escala 1 : 50000000

A escala 1 : 50 000 000 significa que 1 cm no desenho corresponde a 50 000 000 cm no real, ou seja, a 500 km. Assim, se a distância entre duas cidades no mapa é de 2,5 cm, a distância real entre essas cidades é de 1 250 km (2,5 ! 500).

• Faça uma pesquisa sobre o estresse, suas causas e consequências, e técnicas de como tratar esse problema no cotidiano.

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Alto lt Ti Tietê

Rio Grande

256

4

18,3% 18,3%

171

F Ó R UM

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35,4% 35,4%

Alto Tietê Guarapiranga

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escala !

36,4% 36,7%

10,6% 10,7%

521

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Uma das aplicações da ideia de razão entre duas grandezas encontra-se na escala de redução e na escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Profissionais de diversas áreas usam uma determinada escala de redução, por exemplo, ao construir a maquete de um prédio, fazer a planta de um imóvel ou desenhar um novo modelo de carro. Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimento considerado nele e o correspondente comprimento real, medidos com a mesma unidade. Em geral, utilizamos as medidas em centímetro para determinar uma escala.

55,7%

57,5% 57,4%

Em bilhões de litros (Dados de 21/10/2014)

• Você sabe como está a situação atual dos reservatórios de água da região onde você mora? Resposta pessoal. Lembre aos alunos que diversas regiões do Brasil sofrem problemas de desabastecimento de água e que medidas simples no dia a dia podem contribuir para evitar seu desperdício. 230

Traz questões para debate, em que você e os colegas poderão praticar estratégias de argumentação.

95,5%

93,5%

Desceu

83,4% 83,1%

Capacidade total dos reservatórios

Todos os reservatórios tiveram queda em Responda no caderno. seus níveis em 2015 em comparação a 2014. • Observe os níveis dos reservatórios ao lado. Se compararmos os níveis de 2015 com os de 2014, a que conclusão podemos chegar sobre os reservatórios apresentados?

Fórum

Subiu

SONIA VAZ

BOUNWARD/SHUTTERSTOCK.COM

8

C CAPACIDADE EM BILHÕES DE LITROS Manteve

por 3,125 cm de largura. Sabendo que a escala utilizada foi 1 : 16 000, determine as dimensões reais da praça. 880 m por 500 m 4. (ENEM/2015) Na construção de um conjunto habitacional de casas populares, todas serão feitas num mesmo modelo, ocupando, cada uma delas, terrenos cujas dimensões são iguais a 20 m de comprimento por 8 m de largura. Visando a comercialização dessas casas, antes do início das obras, a empresa resolveu apresentá-las por meio de maquetes construídas numa escala de 1 : 200. As medidas do comprimento e da largura dos terrenos, respectivamente, em centímetros, na maquete construída, foram de a) 4 e 10.

c) 10 e 4.

b) 5 e 2.

d) 20 e 8.

e) 50 e 20. Alternativa c.

257

11/15/18 20:15

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Os exercícios apresentados são variados e visam à pratica do conteúdo aprendido. Por vezes você se deparará com exercícios mais desafiadores, inclusive o de elaborar seus próprios exercícios e compartilhá-los com seus colegas.

11/15/18 20:15

11/17/18 15:41

11/19/18 12:01

D2-MAT

/18 15:41

Juro simples Resoluções a partir da p. 289

p e n s e e r e s p o nd a

Em 3 vezes sem juro, divido 600 : 3 5 200. É isso?

Fica faltando a outra metade. R$ 600,00.

Nesse caso, 30% de R$ 1.200,00 são R$ 360,00.

Você paga 50% de entrada, e o restante em 3 vezes sem juro.

Como eu posso pagar?

Esta TV é o último lançamento. Vale R$ 1.200,00.

Pense e responda

As atividades apresentadas valorizam a construção e a experimentação de suas próprias hipóteses.

E se eu quiser pagar 30% de entrada e o restante em 10 vezes, posso?

Então, em vez de R$ 84,00, eu vou pagar R$ 88,20 por mês.

Mas, no caso de dividir o restante em 10 vezes, há um juro de 5% em cada parcela.

WANDSON ROCHA

Falta pagar R$ 840,00.

Isso mesmo!

50% é metade, né? Metade de R$ 1.200,00 é R$ 600,00.

Agora, responda às questões no caderno. 1. Lendo a história, o que você entendeu por juro? Resposta pessoal.

2. Quanto o comprador pagaria de entrada, se desse 40% do valor da TV? Nesse caso, quanto ainda restaria para ele pagar? R$ 480,00; R$ 720,00.

Densidade de um corpo

3. Se o comprador pagar à vista, ele ganha 10% de desconto. Nesse caso, por quanto sai a TV? R$ 1.080,00

Para calcular a densidade de um corpo, também se aplica a ideia de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade de um corpo é dada pela razão entre a massa e o volume desse corpo. 23

D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 23

densidade !

11/14/18 5:19 PM

massa do corpo volume do corpo

Consideremos a seguinte situação:

1 Uma escultura de bronze tem 3,5 kg de massa e volume de 400 cm3. Qual é a densidade dessa escultura? massa do corpo 3,5 kg 3500 g densidade ! ! ! 8,75 g/cm3 ! volume do corpo 400 cm3 400 cm3 Logo, a densidade dessa escultura de bronze é 8,75 g/cm3. PARA QUEM QUER MAIS

Para quem quer mais

Nesta seção você encontra informações complementares relacionadas ao conteúdo estudado.

Densidade demográfica O cálculo da densidade demográfica também é uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado de uma região. Assim, densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área da região ocupada, ou seja:

densidade demográfica !

número de habitantes área de região ocupada

Considere a seguinte situação: 1 O estado de Tocantins, situado na região Norte e criado em 5 de outubro de 1988, ocupa uma área de 277 621 km2. De acordo com o Censo 2010, Tocantins tinha uma população de 1 383 445 habitantes. Qual era, então, a densidade demográfica aproximada desse estado nesse ano?

Tocantins: localização

Eureka! Eureka! Arquimedes nasceu em Siracusa (287 a.C. – 212 a.C.), na ilha da Sicília. Era filho do astrônomo Fídias e desfrutava de prestígio junto ao rei Hierão II, que lhe permitiu estudar em Alexandria, templo do saber da época. Há várias histórias pitorescas sobre Arquimedes. Uma delas diz respeito à coroa de ouro que um ourives teria moldado para o rei. Suspeitando que pudesse haver prata oculta em meio ao ouro e não querendo desmanchar a coroa, Hierão encaminhou a questão para Arquimedes. Conta-se que, quando estava em um banho público, Arquimedes observara a elevação da água à medida que mergulhava seu corpo e percebera que esse fato poderia resolver o problema da coroa. Feliz com a descoberta, Arquimedes teria se esquecido de que estava nu e correra para casa gritando: “Eureka! Eureka!” (“Achei! Achei!”). Veja como ele fez:

1 Mergulhou em um recipiente cheio d’água uma massa de ouro puro, igual à massa da coroa, e recolheu a água que transbordou. 2 Retomando o recipiente cheio d’água, mergulhou nele uma massa de prata pura, também igual à massa da coroa, recolhendo a água que transbordou. 3 Finalmente, mergulhou no recipiente cheio d’água a coroa do rei e constatou que o volume de água recolhido tinha um valor intermediário entre aqueles recolhidos na 1a e 2a operações. Ficou, então, constatado que a coroa não era totalmente de ouro puro! • Pesquise e anote no caderno os valores correspondentes às densidades do ouro e da prata. douro ! 19,32 g/cm3 e dprata ! 10,49 g/cm3 259

MARANHÃO

PARÁ

Saiba que...

PIAUÍ

Palmas TOCANTINS MATO GROSSO

0

160

GOIÁS

SONIA VAZ

BAHIA

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.

Traz informações complementares de maneira rápida e acessível.

De acordo com os dados apresentados, temos: 1 383 445 hab densidade demográfica ! ! 4,9 hab/km2 277 621 km2 Logo, a densidade demográfica do estado de Tocantins era de 4,9 hab./km2, aproximadamente. SAIBA QUE

A cada 10 anos, o IBGE faz o Censo Demográfico ou Recenseamento Demográfico, que é uma pesquisa realizada para reunir informações sobre a população brasileira. Essas informações são importantes para que o governo possa criar políticas públicas mais eficientes para atender às necessidades da sociedade. O primeiro Censo brasileiro ocorreu no ano de 1872, mas a ideia de recensear a população para, por meio de uma pesquisa, obter informações sobre a sociedade não é nova, ao contrário, os romanos já faziam censos séculos antes de Cristo. O próximo Censo Demográfico no Brasil será no ano 2020, quando se atualizarão todos os dados sobre a população brasileira.

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18. Sabendo que x 2 _ y2 = (x + y)(x _ y), calcule o valor de 9992 _ 1. Alternativa d. a) 1 000 000

d) uma dízima não periódica. e) um número inteiro.

PHOTODISC/GETTY IMAGES

Consideremos o problema dos veículos apresentado na página 140.

310 + 38 10 resposta: Alternativa b.

obtemos como

a) um número irracional maior que 50.

b) 5

b) o número natural 81. c) um número irracional menor que 100.

d) 15

d) a potenciação 37.

e) 21

e) um número racional.

UM NOVO OLHAR

É o momento de você refletir sobre os conhecimentos que adquiriu ao longo da Unidade e analisar sua produção nas propostas de trabalho, ampliando seu comprometimento com a aprendizagem.

21. Ao calcular

a) 3 c) 7

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1O GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

a) um número natural. Alternativa d. c) um número racional.

c) 998 999

19. Por qual número devemos dividir 105 125 para que o quociente tenha uma raiz quadrada exata? Alternativa b.

Um novo olhar

20. O número p é classificado como: b) uma dízima periódica.

b) 999 999

e) 990 000

11/15/18 20:15

Em um estacionamento, há carros e motos, totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?

11/15/18 20:15

d) 998 000

260

D2-MAT-F2-2051-V8-U09-248-277-LA-G20.indd 260

5

Arquimedes saindo da água, em xilogravura de 1547, de autoria desconhecida.

50°O

10°S

CAPÍTULO

SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES

Resoluções a partir da p. 289

Nesta Unidade, pudemos conhecer um pouco mais as potências e as raízes, como também aprofundar nossos conhecimentos explorando as propriedades da potenciação e o papel facilitador que ela desempenha nas operações. Trabalhamos com a potência de base 10, tópico em que pudemos perceber algumas aplicações voltadas à escrita de números grandes, como as distâncias entre o Sol e alguns planetas. Ampliamos nossos estudos sobre conjuntos, com o conjunto dos números reais, e foi possível explorar: a raiz quadrada de um número racional na forma decimal, os números quadrados perfeitos, a raiz quadrada de números racionais em sua forma exata e aproximada e os números irracionais. Pudemos relacionar a potência ao jogo de xadrez ao refletirmos sobre a lenda de Sissa, apresentada na abertura. Foi possível perceber o uso do conceito de potência para representar a capacidade de memória e armazenamento de alguns dispositivos. Vamos retomar o que estudamos e refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta Unidade, respondendo às questões a seguir no caderno.

• Foi possível perceber que, além de uma operação, a potência pode ser utilizada para representar números e resultados? Resposta pessoal. • Quantos bits tem um quilobyte (KB)? 8 000 bits ou 8 x 103 bits. • O que são os números quadrados perfeitos? Os números naturais que são quadrados de outros números naturais. • Como a potência de expoente 2 se relaciona com a raiz quadrada? Determinar a raiz quadrada de um número X é encontrar um número Y que, quando elevado ao quadrado, tem como resultado o número X. 63

D2-MAT-F2-2051-V8-U02-038-063-LA-G20.indd 63

11/15/18 12:45

FOTOS: HEMERA

Podemos resolver essa situação-problema da seguinte maneira: São 14 veículos. Se cada veículo tivesse duas rodas, seriam 28 rodas.

Mas o problema cita que são 48 rodas no total. Então, podemos substituir motos por carros até completar 48 rodas e 14 veículos. 4!2"8

10 ! 4 " 40

Quantidade de veículos de 4 rodas: 10 Quantidade de veículos de 2 rodas: 4

Descubra mais

14 veículos e 48 rodas

Nesse estacionamento há 10 carros e 4 motos. Esse modo de resolver o problema pode tornar-se trabalhoso e demorado quando as quantidades forem muito grandes.

Apresenta indicações de livros e sites que propiciam o enriquecimento e aprofundam o conteúdo em questão.

DESCUBRA MAIS

Encontros de primeiro grau (coleção A descoberta da Matemática), de Luzia Faraco Ramos, editora Ática, 2011. Nesse livro, Rodrigo aprende a resolver problemas que envolvem equações do 1o grau. Entre um problema e outro, ele faz novas amizades, e uma delas é Carolina, com quem começa a namorar. Os olímpicos (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli Neto, Editora FTD, 1999. O livro conta a história de três adolescentes que foram convidados a observar, em Olimpíadas já realizadas, os bastidores dos comitês organizadores, as manobras políticas, as grandes atuações e a importância da disciplina e da perseverança na vida dos atletas.

151

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D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-MP-G20 .indd 5

11/14/18 16:21

11/17/18 15:41

5

11/19/18 12:01

A equipe responsável pelas compras fez algumas perguntas ao arquiteto: 1 Qual a área do terreno que não está com gramado? 2 Qual a área da região onde será colocada areia? 3 Qual a área da região destinada ao parquinho com piso emborrachado?

Para responder às perguntas, o arquiteto desenhou uma representação do terreno inicial, antes da reforma, e uma representação do terreno final, indicando as medidas de cada lado. 10 m

2m

5m

8m 12 m

5m

2m

2m

5m

Nós

EDITORIA DE ARTE

8m 5m

10 m

Para determinar a área do terreno inicial, ele utilizou a expressão da área do trapézio: (12 + 8) ? 5 (B + b) ? h Ai = = = 50 2 2 Para a área da região onde terá areia, ele utilizou a expressão da área do triângulo e, para o espaço destinado ao parquinho com piso emborrachado, utilizou a expressão da área do retângulo. 2?5 b?h At = = = 5 e Ap = b ? h = 10 ? 5 = 50 2 2 Assim, ele explicou à equipe de compras que a área do terreno inicial é de 50 m2, a área da região destinada ao tanque de areia é de 5 m2 e a área da região destinada ao parquinho com piso emborrachado é de 50 m2. A equipe responsável pela aprovação e pela execução do projeto perguntou ao arquiteto se uma região com formato circular de 2 m de diâmetro não teria uma área maior para colocar areia do que a região de formato triangular de 2 m de base e 5 m de altura. p e n s e e r e s p o nd a

Propicia a reflexão sobre valores, que será feita sempre em duplas, trios ou grupos.

Resoluções a partir da p. 289

Converse com um amigo e, fazendo estimativas, responda se a região destinada à areia com formato circular de 2 m de diâmetro tem área maior que uma região triangular de 2 m de base e 5 m de altura. Resposta pessoal.

Para fazer esses cálculos corretamente, vamos estudar o círculo e a circunferência. NÓS

Cultivar em locais pequenos Diferente do que se imagina, não é necessário um grande espaço para cultivar plantas, pois muitas delas podem ser criadas em varandas e até mesmo dentro de casas e apartamentos. Além de plantas decorativas, também é possível ter uma horta dentro de casa! A Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (Embrapa) publicou o livro Horta em pequenos espaços, disponível para download gratuito, em que ensina os cuidados na hora do cultivo, como preparar a terra, as técnicas para cuidar das plantas e a localização ideal para deixá-las. • Além de enfeitar o ambiente, quais são os outros benefícios de se cultivar uma horta caseira?

P O R T O D A P A RT E

Resoluções a partir da p. 289

Áreas pelo Brasil Responda às questões no caderno.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1. Uma Bandeira Nacional brasileira foi confeccionada com as seguintes dimensões:

Possíveis respostas: Produzir o próprio alimento, eliminar o uso de agrotóxicos, pode ser terapêutico. 233 1,4 m D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 233

11/14/18 8:47 PM

2m

a) Sabendo que os quatro vértices do losango são equidistantes da borda e estão a 17 centímetros dela, calcule a área que ocupa a parte verde visível nessa bandeira. 1,9202 m² b) O círculo central dessa bandeira tem área de aproximadamente 38,5 dm². Quantos metros quadrados tem a área da parte amarela que fica visível nessa bandeira? 0,4948 m²

Por toda parte

2. Uma maneira muito prática de calcular áreas aproximadas de regiões com formas complexas é dividir essas regiões por polígonos simples, como triângulos, retângulos e até trapézios. Esse processo é muito utilizado ainda nos dias de hoje. Usando esse método, vamos calcular a área de alguns estados brasileiros, conforme o esquema apresentado do mapa do Brasil, que traz os estados aproximados por polígonos.

Esta seção apresenta diversas situações que possibilitam ainda mais a conexão da Matemática com diversas áreas do conhecimento. EDUCAÇÃO FINANCEIRA

RR

AP

AM

PA

MA

BA

MT

SE

DF GO MG

MS

ES SP RJ

PR SC RS

a) A região ocupada pelo estado de São Paulo foi aproximada por dois trapézios isósceles congruentes. Observe a figura, com as medidas em quilômetros, e calcule a área aproximada desse estado. 240000 km² 400

200 480 200 800

200 km

b) Aproximando a região ocupada pelo estado de Sergipe por um triângulo retângulo isósceles, calcule essa área aproximada. 20 000 km²

Resoluções a partir da p. 289

200 km

237

Banco Central do Brasil Editada em dez. 2002

D2-MAT-F2-2051-V8-U08-230-247-LA-G20.indd 237

Existe um grupo de pessoas que tem dinheiro e quer guardá-lo. Há outro grupo que precisa de dinheiro para investi-lo ou usá-lo em negócios, como construir prédios, abrir comércio e instalar novas fábricas. Se esses grupos não se conhecem, não é possível realizar negócios entre eles. Mesmo que se conhecessem, poderia não haver confiança entre as pessoas, a ponto de umas pedirem dinheiro emprestado às outras. Então, os bancos oferecem para aquelas que têm dinheiro uma forma segura de guardá-lo — uma conta de poupança, por exemplo — e lhes pagam juros ou rendimentos. E, às pessoas que precisam de dinheiro para investimentos, os bancos fazem-lhes empréstimos e recebem juros pelo serviço. Dessa maneira, os bancos movimentam o dinheiro. Usam as economias de uns para emprestar a outros. [...] Além do mais, acontece algo que pode parecer curioso: os bancos fazem com que o dinheiro se multiplique. Quando as pessoas guardam seu dinheiro no banco, deixam-no depositado por algum tempo. Sabendo disso, os bancos só conservam em seus cofres uma pequena parte de tudo aquilo que recebem, para atender aos clientes que solicitarem alguma quantia. A outra parte, bem maior, é emprestada a outras pessoas. Com a diferença entre os juros que recebem das pessoas que tomam empréstimo e os juros que pagam às pessoas que guardam o dinheiro (em uma conta de poupança, por exemplo), os bancos pagam a seus empregados e obtêm seus lucros. Por isso, muitos clientes dos bancos podem adquirir bens, como um carro ou uma casa, sem ter dinheiro na hora. Eles tomam dinheiro emprestado e assumem o compromisso de fazer o pagamento no futuro. Os bancos, por confiarem neles, garantem o negócio. [...] Fonte: BANCO Central do Brasil. O que são os bancos? Disponível em: ,https://www.bcb.gov.br/Pre/educacao/cadernos/bancos.pdf.. Acesso em: 3 ago. 2018.

a) Ter um dinheiro extra para aproveitar 1. Segundo o texto, qual o papel dos bancos? mais a vida. 2. Uma pessoa fez uma aplicação de b) Comprar uma máquina que vai aumentar R$ 1 000,00 a juro simples de 3% ao mês. a produtividade de um negócio. Quanto receberá de juro em 1 ano? R$ 360,00 c) Iniciar um negócio cuja previsão de ren3. As aplicações financeiras nos auxiliam dimento seja maior que o juro pago. a capitalizar nosso dinheiro. Discuta d) Completar o orçamento doméstico. com seus colegas as situações a seguir e) Comprar um objeto cujo valor não está indicando se a aplicação financeira pode disponível. ou não contribuir para: Respostas pessoais. 1. Os bancos oferecem, para quem tem dinheiro e quer guardá-lo, uma forma segura de fazê-lo. Já para as pessoas que precisam de dinheiro para investimentos, os bancos fazem empréstimos, recebendo uma compensação na forma de juro pelo serviço. 28

Com o objetivo de desenvolver reflexões sobre atitudes como hábitos conscientes de consumo, a seção trata tópicos como controle de gastos, economia etc.

11/14/18 5:39 PM

Tratamento da informação Esta seção trabalha de forma organizada com propostas de tratamento e organização de dados, probabilidade e Estatística.

x!

Interpretando um gráfico de setores

14,4 " 190755799 ⇒ x ! 27 468835 100

1. Resposta:

Observe o gráfico de setores representado:

População de cada região brasileira (Censo 2010) 8,3%

Fonte: Alunos da escola X. 27,8%

42,1%

Assim, podemos dizer que a região Sudeste tem aproximadamente 80 308 191 habitantes. Da mesma maneira, conseguimos encontrar a população aproximada de cada região brasileira, a partir da porcentagem apresentada no gráfico de setores. Esta tabela foi elaborada com os dados encontrados.

Nordeste

Sul Norte

Informações obtidas em: IBGE. Sinopse do Censo Demográfico 2010. Disponível em: <www.censo2010.ibge. gov.br/sinopse/index. php?dados=5&uf=00>. Acesso em: 19 out. 2018.

Ele expressa, em % (por cento), a população aproximada de cada região brasileira em relação à população total do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE. Responda às questões no caderno.

D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-LA-G20.indd 6

Centro-Oeste

7,4

Sudeste

42,1

Sul

14,4

27 468 835

Total

100

190 755 799

14 115 929 80 308 191

Informações obtidas com base no gráfico da página anterior.

30%

Futebol Tênis

15%

EDITORIA DE ARTE

Vôlei

27,8 " 190755799 ⇒ x ! 53 030 112 100

188

D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 188

53 030 112

Basquete

20%

Região Nordeste: Porcentagem Número de habitantes 100% − 190 755 799 27,8% − x x!

15 832 732

27,8

Região

Preferência esportiva dos alunos da escola X

Sabendo que a população aproximada do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE, é de 190 755 799 (cento e noventa milhões, setecentos e cinquenta e cinco mil, setecentos e noventa e nove) habitantes, conseguimos determinar a população de cada região. Observe.

42,1" 190755799 ⇒ x ! 80 308 191 100

Número de habitantes

8,3

Nordeste

4. O gráfico a seguir indica o resultado de uma pesquisa sobre a preferência esportiva dos alunos de uma escola de São Paulo. Sabendo que foram pesquisados 360 alunos, construa uma tabela relacionando o esporte com a quantidade de alunos que preferiu cada um deles.

Resoluções a partir da p. 289

2. Qual região tem a menor população? Com qual porcentagem? Região Centro-Oeste. 7,4%. 3. Observando o gráfico, conseguimos determinar a população de cada região? Por quê? Não, porque não temos a informação da população total.

x!

Porcentagem (%)

Norte

Responda às questões no caderno.

1. Qual região brasileira apresenta a maior população? Qual a porcentagem que a representa? Região Sudeste. 42,1%.

Região Sudeste: Porcentagem Número de habitantes 100% − 190 755 799 42,1% − x

8,3 " 190755799 ⇒ x ! 15832732 100

População de cada região brasileira (Censo 2010)

Centro-Oeste

Sudeste

x!

Região Centro-Oeste:

Preferência esportiva dos alunos da escola X Porcentagem Número de habitantes de 100% − 190 755 799 Esporte Percentual (%) Número alunos 7,4% − x Basquete 30% 108 Futebol 35% 126 7,4 " 190755799 Tênis 15% 54 x! ⇒ x ! 14115929 Vôlei 20% 72 100 Total 100% 360

7,4%

14,4%

Região Norte: Porcentagem Número de habitantes 100% − 190 755 799 8,3% − x

Região Sul: Porcentagem Número de habitantes 100% − 190 755 799 14,4% − x

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

EDITORIA DE ARTE

D2-MAT-F2-2051-V8-U01-012-037-LA-G20 .indd 28

11/14/18 8:51 PM

Educação financeira

Usando seus conhecimentos sobre porcentagem e juro, responda, no caderno, às questões e entenda melhor como os bancos funcionam.

D2-MAT-F2-2051-V8-INICIAIS-001-011-MP-G20 .indd 6

RN PB PE AL

TO

RO

O que são os bancos?

6

CE PI

AC

35%

a) Qual o esporte favorito dos alunos da escola X? Futebol. b) Quantos alunos responderam que preferem o basquete? 108 c) Você acha melhor analisar os dados representados em um gráfico de setores ou em uma tabela? Resposta pessoal.

Fonte: Alunos da escola x.

189

11/16/18 7:38 PM

D2-MAT-F2-2051-V8-U06-166-199-LA-G20.indd 189

11/16/18 20:54

11/17/18 15:41

11/19/18 12:01

D2-MAT

/18 15:41

Tecnologias

Nesta seção você verá como utilizar ferramentas tecnológicas na resolução de problemas ou questões matemáticas.

• No passo 2, Intervalo de dados, vamos selecionar “Primeira coluna como rótulo” e clicar em Próximo.

Tecnologias Utilizando planilha eletrônica para construção de gráficos

• No passo 3, Série de dados, vamos deixar como está e clicar em Próximo.

Algumas planilhas eletrônicas nos auxiliam na organização dos dados e na construção de gráficos. Nesta seção vamos aprender a construir gráficos de coluna e de setores na planilha Calc do LibreOffice. Observe a tabela seguinte.

• No passo 4, Elementos do gráfico, vamos inserir o título do gráfico e o título dos eixos. Se tiver selecionado “Exibir legenda”, clique para desabilitar.

Número de irmãos dos alunos do Ensino Médio Número de irmãos 0 1 2 3 Total

Frequência absoluta 20 15 35 10 80

• Para finalizar, clique em “Concluir”. O gráfico estará pronto.

Fonte: Dados fictícios.

Vamos inserir os dados dessa tabela na planilha. Para isso, abra uma nova planilha e digite o título da tabela na célula A1, “Número de irmãos” na célula A2 e “Frequência absoluta” na célula B2. Depois, complete as colunas conforme a tabela. Veja o passo a passo para a construção do gráfico de colunas. • Depois de digitar os dados na planilha eletrônica, selecione somente os dados numéricos e clique em inserir gráfico no menu ou no ícone do gráfico. Para a construção do gráfico de setores, inserimos outra coluna com as frequências relativas, em porcentagem, e seguimos o mesmo passo a passo. A diferença é que em “Tipo de gráfico” selecionamos “Pizza”. Para aparecerem os valores das porcentagens, clicamos com o botão esquerdo do mouse em cima do gráfico e depois selecionamos “Inserir rótulos de dados”.

GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018

GRÁFICOS: LIBREOFFICE 2018

• Na janela do Assistente de gráficos, vamos selecionar, no passo 1, tipo de gráfico “Coluna” e clicar em Próximo.

1. Utilize algumas tabelas apresentadas nesta Unidade e explore outras construções de gráficos usando a planilha eletrônica como ferramenta. Resposta pessoal.

226

227

11/15/18 4:59 PM

D2-MAT-F2-2051-V8-U07-200-229-LA-G20.indd 226

Atualidades em foco

Nesta seção você encontrará o trabalho com temas atuais e de importância social. Será um momento de refletir sobre esses assuntos e de perceber como a Matemática ajuda a entender o mundo em que vivemos.

ATUALIDADES EM FOCO

11/15/18 4:59 PM

Muitos jovens brasileiros, das mais variadas idades, estão fazendo a diferença. Preocupados com questões sociais e ambientais, buscam criar projetos inovadores e criativos que ajudem a melhorar sua região, o nosso país e até o mundo. Alguns desses projetos, como o de Fabién e Renato, utilizam-se dos avanços tecnológicos existentes para criar soluções a demandas atuais. No caso deles, o projeto tem como objetivo melhorar o deslocamento das pessoas que utilizam o transporte público. Entre os avanços tecnológicos necessários para a execução do projeto, podemos destacar a capacidade de armazenamento e processamento de dados e, ao falarmos desse avanço, é quase impossível não citarmos as unidades de medida de armazenamento digital, uma vez que o volume de dados gerado cresceu e continua crescendo em grande velocidade.

Ciência e tecnologia Leia abaixo uma notícia que ganhou destaque em diferentes jornais, revistas e sites.

Brasileiros ganham prêmio inédito na Olimpíada Internacional de Tecnologia e Inovação Dois jovens brasileiros ganharam a Olimpíada Internacional de Tecnologia e Inovação, conquistando pela primeira vez o título para o país. Eles também levaram para casa o prêmio de cinco mil francos suíços, visto que a competição aconteceu no Idiap Research Institute, em Martigny, na Suíça. Os consagrados foram Fábien Giovanni de Oliveira, de 22 anos, estudante do 4 o ano de Engenharia de Controle e Automação da Universidade Federal de Itajubá (UNIFEI), e Renato Rodrigues, de 27 anos, mestrando em Estratégia e Inovação em Engenharia de Produção na Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). Eles desenvolveram o “Milênio Bus”, projeto que integra a Internet das Coisas (IoT, na sigla em inglês) com o transporte público por meio de um hardware e um aplicativo de celular. “O objetivo é trabalhar com pagamentos digitais, informações ao passageiro e geração de dados com Big Data”, explica Oliveira em entrevista à GALILEU. Para ganhar a olimpíada, foi necessário muito mais do que apenas uma boa proposta. A competição durou três semanas, e nesse período os jovens assistiram aulas de negócios, e venture capital, por exemplo, com professores e

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• Os componentes do seu grupo já ouviram falar em kilo, mega, giga ou tera? Sabem o que essas palavras significam? Resposta pessoal.

especialistas. Eles tiveram que usar esse tempo para aprimorar o projeto para que ele pudesse se tornar uma startup com potencial de aplicação no mercado. Ao todo, 40 pessoas participaram da disputa, sendo que elas foram divididas em sete equipes. No dia de encerramento da olimpíada, os grupos tiveram que se apresentar por quatro horas para uma banca de avaliadores e investidores. “Se eu pudesse mensurar o dia mais difícil, eu diria que é o último”, afirma Oliveira. “Porque ali você coloca em jogo toda dedicação e esforço de três semanas.” Para Rodrigues, a adaptação ao idioma e ao fuso horário também foram complicados. “A gente gravava os feedbacks dos jurados no celular e escutava várias vezes no quarto até entender o que eles estavam falando”, revela Rodrigues. Apesar disso, ele se orgulha do prêmio, principalmente porque diz ter trabalhado com poucos recursos e condições adversas. “O brasileiro é um povo bem criativo, temos que valorizar nossa resiliência”, opina.

Essas palavras tratam-se de prefixos que, quando compostos com uma unidade de grandeza padrão, denotam uma ordem de grandeza. Esses prefixos aparecem no Sistema Internacional (SI) e, normalmente, são operados com a base decimal (10X). No caso das tecnologias digitais, quando tratamos de armazenamento e processamento, a unidade padrão utilizada é o byte. Veja a seguir as unidades de medida utilizadas pelas tecnologias digitais: Unidade

Símbolo

Valor equivalente

Ordem de grandeza

−

1 x 100 byte

Byte

B

Kilobyte

KB

1024 B

1 x 103 byte

Megabyte

MB

1024 KB

1 x 106 byte

Gigabyte

GB

1024 MB

1 x 109 byte

Terabyte

TB

1024 GB

1 x 1012 byte

Petabyte

PB

1024 TB

1 x 1015 byte

Exabyte

EB

1024 PB

1 x 1018 byte

Zettabyte

ZB

1024 EB

1 x 1021 byte

Yottabyte

YB

1024 ZB

1 x 1024 byte

• Façam uma pesquisa sobre a história da informática e do armazenamento digital, procurando destacar a ordem de grandeza utilizada ao longo do tempo. Essa ordem de grandeza mudou? Resposta pessoal.

Fonte: FABRO, N. Brasileiros ganham prêmio inédito na Olimpíada Internacional de Tecnologia. GALILEU. Disponível em: <https:// revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/09/ brasileiros-ganham-premio-inedito-na-olimpiadainternacional-de-tecnologia.html>. Acesso em: 4 set. 2018.

• Converse com os componentes do seu grupo sobre outras unidades de medida que usam os prefixos mostrados anteriormente. Dica: lembrem-se das unidades já estudadas por vocês. Resposta pessoal. • Antes da programação de um aplicativo, existe uma etapa de concepção. Nessa etapa pensa-se para que servirá o aplicativo, a quem ele servirá, sua interface, se ele será gratuito ou pago, suas funcionalidades etc.

• Na reportagem são usadas as expressões Internet das Coisas e Big Data. Em grupo, faça uma pesquisa sobre o significado dessas expressões. Resposta pessoal.

Em grupo, concebam um aplicativo e o apresentem para a sala de aula. Resposta pessoal.

94

95

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b) 63,25 cm²

e) 64,25 cm²

c) 63,50 cm²

Alternativa b.

246

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11/14/18 9:00 PM

Respostas

No final do livro estão todas as respostas das atividades propostas.

4. a) 16,74 b) _ 120 49 c) 10,875 d) 10 e) 3,22 f) 209 7 g) _44,2 h) 7,878 5. a) _12,6 b) 12 c) Aproximadamente 68,14. d) _ 5 26

b) 96,04 reais. 2. 2,5% 3. 760 reais. 5. Alternativa c. 6. Alternativa c. 7. 4% 8. Alternativa c. 9. À vista, pois o valor do rendimento é inferior aos 100 reais de desconto pelo pagamento à vista. Tratamento da informação p. 26 1. a) Gráfico de colunas triplas ou gráfico de múltiplas colunas. b) Região Norte: 45,30%; Região Norte: 68,50%; Região Norte: 6,98%. c) Região Nordeste: 3,30%. d) Região Sudeste: 42,65%. e) Não. Resposta pessoal. f) Cerca de 0,82%. Resposta pessoal. g) Não. 2. a) Resposta pessoal. b) 1,72%; 0,0075%; 0,75%; 0,02%. 3.

Atividades p. 21 1. 8% 2. 60% 3. 76% 4. 12,5% 5. a) 42% b) 40% c) 12% d) 6% 6. Aproximadamente 16,6%. 7. a) 450 kg b) 88% 8. 55% Por toda parte p. 22 1. 8 500 000 km² 2. A área aproximada é de 16 250 000 km². 3. Pesquisa do aluno. 4. 6 630,12 km²

86% 86%

90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

75%

75% 75%

h) 0,385

c) 0,06

i) 8,2

d) 0,11

j) 16,3

e) 1,62

k) 4,27

f) 0,009

l) 1,104

2. a) 0,5 b) 2,333... d) 1,85 e) 3,1818... f) 1,2222... g) 1,375 h) 1,32 i) 0,15 j) 0,1444... k) 8,25 l) 4,1666...

100%

f) 32,1

g) 0,029

b) 3,1

c) 1,8

Percentual de água nos órgãos do corpo humano

e) 66,84 g) 60,3 6. Alternativa b. 7. Alternativa a.

Atividades p. 30 1. a) 0,7

4. Alternativa a.

83% 81%

Órgão Fonte: NÚCLEO DE TECNOLOGIA EDUCACIONAL MUNICIPAL. Curiosidades sobre a água. Disponível em: <https://ead.pti. org.br/ntm/mod/forum/discuss.php?d=32>.

Educação Financeira p. 28 1. Os bancos oferecem, para quem tem dinheiro e quer guardá-lo, uma forma segura de fazê-lo. Já para as pessoas que precisam de dinheiro para investimentos, os bancos fazem empréstimos, recebendo uma compensação na forma de juro pelo serviço. 2. R$ 360,00 3. Resposta pessoal.

3. a) b) c) d) e) f)

DE DP DE DE DP DP

4. a) b) c) d) e) f)

Período: 2 Período: 7 Período: 01 Período: 3 Período: 56 Período: 034

Atividades p. 32 1. a) _ 22 9 b) 1 9 c) 161 9 d) _ 629 99 e) 29 99 f) 700 333 2. Alternativa d.

g) h) i) j) k) l)

DE DE DE DP DE DP

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

d) 17 300 habitantes. e) 17 380 habitantes.

h) 45,01

1. a) 207 reais.

s

d) 63,75 cm²

e) 457 4 f) 1 479,87 g) 1

d) 66,65

b) 17 200 habitantes. a) 63 cm²

d) , e) = f) .

ue

3. a) 29 8 b) 141 20 c) _ 79 33

a) 17 100 habitantes. c) 17 280 habitantes.

1 7 2 5 1,6

0

2. a) . b) , c) ,

ão

C

O

_1_ 3 4

Atividades p. 25

do

_2

A

B

Atividades p. 18 1.

los

e) 12,14 Alternativa c.

c) 11,14

7. Na figura, AB = 6 cm e AC = 8 cm. Sabendo que BC é o diâmetro do círculo, qual é a área da região colorida de roxo?

Pense e responda p. 30 1. 0,7777...; 0,131313...; 0,3333...; 2,131313... 2. Todos os números são dízimas periódicas. 7; 13; 3; 13. 3. A quantidade de algarismos do período de cada uma das dízimas é igual à quantidade de algarismos do denominador da respectiva fração; os denominadores são formados somente pelo algarismo 9.

Pense e Responda p. 23 1. Resposta pessoal. 2. R$ 480,00; R$ 720,00 3. R$ 1 080,00

Números racionais

Rin

d) 11,24

b) 11,04

UNIDADE 1

aç

4. A, B, C e D são os vértices D 20 C de uma região retangular, conforme mostra a 12 figura. Considere que A B as medidas indicadas são dadas em quilômetros. Se a densidade demográfica dessa região é de 72 habitantes por km², qual é a população dessa região? Alternativa c.

a) 11

respostas

ng

e) 802 m e 803 m.

2 2

cu

c) 401 m e 402 m.

2

A área dessa figura, em centímetro quadrado, é: (Use p = 3,14)

Fíga

b) 220 m e 221 m.

2

Sa

3. (Vunesp-SP) O menor país do mundo em extensão é o estado do Vaticano, com uma área de 0,4 km². Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre: Alternativa d. d) 632 m e 633 m. a) 200 m e 201 m.

2

Cor

G

Mús

B

Esta seção visa sistematizar os temas trabalhados por meio de atividades de todos os conteúdos estudados na Unidade.

2

C

Percentual

d) 18 m²

e) 0,578 cm² Alternativa b.

s

c) 9 m²

b) 21 m²

d) 0,875 cm²

b) 0,785 cm² 6. Observe esta figura:

ro

a) 16 m²

a) 0,685 cm² c) 0,885 cm²

F

õe

d) 483

eb

c) 161

b) 51

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

a) 49

2. (Saresp-SP) Na figura E há dois quadrados. A área do quadrado D maior é 25 m² e BG mede 2 m. Alternativa a. A A área da região pintada de azul é:

Retomando o que aprendeu

Resoluções a partir da p. 289

5. A divisão do número 0,5 por x tem o mesmo resultado que a adição do número 0,5 a x. Se x é um número real positivo e considerando p = 3,14, qual é a área do círculo cujo raio mede x cm?

lm

1. (Saresp-SP) Amélia deseja ladrilhar sua cozinha retangular de 3,45 m por 4,2 m com ladrilhos quadrados de 30 cm de lado. Qual é o número de ladrilhos necessários? Alternativa c.

11/14/18 6:22 PM

Cér

Responda às questões no caderno.

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Pu

RETOMANDO O QUE APRENDEU

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sumário

Unidade 1

NÚMEROS RACIONAIS ............................... 12 1. Conjunto dos números racionais............ 14 A reta numérica .......................................... 15 2. Operações com números racionais ........ 16 Adição e subtração ..................................... 16 Multiplicação de números racionais ............. 17 Divisão de números racionais ...................... 17 Atividades .....................................................18 3. Porcentagem ................................................19 Atividades .....................................................21 Por toda parte • Amazônia ocupa quase 50% do território nacional ............... 22 Juro simples ................................................ 23 Atividades .....................................................25 Tratamento da informação • Recursos hídricos ............................................................26 Educação financeira • O que são os bancos?.................................................. 28 4. Dízimas periódicas ................................... 29 Atividades ...............................................30 Fração geratriz de dízimas periódicas simples......................................31 Atividades ...............................................32 Fração geratriz de dízimas periódicas compostas .................................................. 33 Atividades................................................. 33 Tecnologias • Investigando com a calculadora............................................... 34 Retomando o que aprendeu........................ 36

Unidade 2

POTÊNCIAS, RAÍZES E NÚMEROS REAIS.... 38 1. Potência de um número racional ........... 40 Descobrindo a potência de um número real....40 Atividades................................................. 42 2. Propriedades da potenciação ................. 43 Explorando a calculadora ............................ 43 Conhecendo as propriedades da potenciação ........................................... 44 Potências de base dez ................................. 45

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Por toda parte • Do disquete ao pen drive .................................................... 46 Atividades................................................. 47 3. Números quadrados perfeitos................ 48 Como reconhecer se um número é quadrado perfeito .................................... 49 Atividades................................................. 49 4. Raiz quadrada exata de um número racional não negativo ............... 50 Atividades................................................. 51 5. Raiz quadrada aproximada de um número racional não negativo......... 52 Atividades................................................. 53 Tratamento da informação • Tabelas com intervalos de classes: leitura e interpretação .............................................. 54 Tecnologias • Calculadora científica .......... 56 6. Números reais .......................................... 58 Números irracionais..................................... 58 Atividades................................................. 58 O conjunto dos números reais ..................... 59 Atividades................................................. 60 Retomando o que aprendeu........................ 61

Unidade 3

ÂNGULOS E TRIÂNGULOS .......................... 64 1. Ângulos .........................................................66 Ângulos adjacentes ........................................67 Bissetriz de um ângulo ...................................67 Ângulos complementares ..............................68 Ângulos suplementares ..................................68 Ângulos opostos pelo vértice ........................68 Atividades .....................................................69 2. Triângulos ......................................................70 Elementos de um triângulo ............................70 Classificação de triângulos .............................70 Ângulos no triângulo .....................................71 Atividades .....................................................73 Altura de um triângulo...................................74 Mediana de um triângulo ..............................75 Bissetriz de um triângulo................................76 Mediatriz .........................................................77 Atividades .....................................................79

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D2-MAT

/18 18:30

3. Congruência de triângulos........................80 Figuras congruentes .......................................80 Triângulos congruentes ..................................81 Casos de congruência de triângulos..............82 Atividades .....................................................85 4. Propriedades dos triângulos ....................86 Propriedades do triângulo isósceles...............86 Propriedade do triângulo equilátero ..............87 Atividades .....................................................88 5. Construções geométricas ..........................89 Retomando o que aprendeu .........................92 Atualidades em foco • Ciência e tecnologia ......94

Unidade 4

EXPRESSÕES E CÁLCULO ALGÉBRICO ...... 96 1. O uso de letras para representar números ....................................................... 98 Atividades .................................................... 99 2. Expressões algébricas ou literais .......... 100 Mais expressões algébricas ......................... 101 Atividades .................................................. 102 Educação financeira • Juros contra x juros a favor ................................. 103 3. Valor numérico de uma expressão algébrica .................................104 Atividades .................................................. 106 4. Monômio ou termo algébrico ............... 107 Atividades .................................................. 109 Grau de um monômio ................................ 110 Monômios semelhantes .............................. 110 Adição algébrica de monômios .................. 111 Atividades .................................................. 112 Multiplicação de monômios........................ 113 Atividades .................................................. 114 Divisão de monômios .................................. 115 Potenciação de monômios .......................... 116 Atividades .................................................. 116 Por toda parte • A bicicleta ...................... 117 5. Polinômios ................................................. 118 Atividades .................................................. 119 Polinômio reduzido...................................... 120 Grau de um polinômio ................................ 121 Polinômios com uma só variável real .......... 121 Atividades .................................................. 122 Adição algébrica de polinômios.................. 123 Atividades .................................................. 124 Multiplicação de polinômios .......................125 Atividades .................................................. 127

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Divisão de polinômios por um monômio ... 129 Atividades .................................................. 129 Tratamento da informação • Interpretando dados .................................... 130 Retomando o que aprendeu......................132

Unidade 5

EQUAÇÕES ................................................ 134 1. Equação do 1o grau com uma incógnita ........................................... 136 Como resolver uma equação do 1o grau com uma incógnita ................... 138 Atividades .................................................. 139 Resolvendo problemas ................................ 140 Atividades .................................................. 141 2. Equação fracionária com uma incógnita ........................................... 142 Como resolver uma equação fracionária ..... 143 Atividades .................................................. 144 Por toda parte • Projeto Tamar ................ 145 3. Equações literais do 1o grau na incógnita x ........................................... 146 Como resolver uma equação literal do 1o grau com uma incógnita ................... 146 Atividades .................................................. 146 Educação financeira • Juro zero e estratégia de marketing .............................. 147 4. Equação do 1o grau com duas incógnitas ........................................ 148 Atividades .................................................. 149 Representação geométrica.......................... 150 Atividades .................................................. 150 5. Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas ................................ 151 Atividades .................................................. 152 Solução de um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas....................... 153 Atividades .................................................. 154 6. Resolução de sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas ............ 155 Método da substituição .............................. 155 Atividades .................................................. 157 Método da adição ....................................... 158 Atividades .................................................. 160 7. Equação do 2o grau .................................. 161 Resolvendo equações da forma ax² + b = 0 ................................................. 161 Atividades .................................................. 162 Retomando o que aprendeu .................... 163

11/17/18 18:38

9

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Unidade 6

Unidade 7

1. Polígonos e seus elementos .................. 168 Elementos de um polígono ......................... 169 Nomenclatura .............................................. 170 Atividades .................................................. 170 2. Diagonais de um polígono convexo ...... 171 Cálculo do número de diagonais de um polígono ........................................... 171 Atividades .................................................. 172 3. Ângulos de um polígono convexo ....... 173 Ângulo interno e ângulo externo ............... 173 Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo .............. 173 Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo ............. 175 Atividades .................................................. 176 4. Ângulos de um polígono regular ......... 177 Atividades .................................................. 178 5. Construções geométricas ....................... 179 Triângulo equilátero ..................................... 179 Hexágono regular ........................................ 180 Atividades .................................................. 181 6. Propriedades dos quadriláteros ............ 182 Paralelogramos ............................................ 182 Retângulo ..................................................... 183 Losango........................................................ 184 Quadrado ..................................................... 184 Atividades .................................................. 185 Trapézios ...................................................... 186 Atividades .................................................. 187 Tratamento da informação • Interpretando um gráfico de setores .......... 188 7. Transformações no plano ....................... 190 Reflexão ....................................................... 190 Translação .................................................... 190 Rotação ........................................................ 191 Composição de transformações ................. 192 Atividades .................................................. 193 Tecnologias • Transformações no plano ....................................................... 194 Retomando o que aprendeu ..................... 196 Atualidades em foco • Querer é poder? Mas, o que eu quero? .................................... 198

1. Contagem .................................................. 202 Princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo ........................... 202 Outros problemas de contagem ................. 204 Atividades .................................................. 204 2. Probabilidade ............................................ 206 Experimento aleatório ................................. 206 Espaço amostral ........................................... 206 Evento .......................................................... 206 Probabilidade ............................................... 207 Atividades .................................................. 208 3. Estatística................................................... 210 Conceitos básicos de Estatística .................. 210 Variáveis ....................................................... 213 Organização dos dados ............................... 213 Atividades .................................................. 216 4. Medidas em Estatística ........................... 218 Média aritmética.......................................... 218 Moda............................................................ 220 Mediana ....................................................... 220 Amplitude .................................................... 222 Atividades .................................................. 223 5. Realizando pesquisas estatísticas......... 224 Atividades .................................................. 225 Tecnologias • Utilizando planilha eletrônica para construção de gráficos ........ 226 Retomando o que aprendeu .................. 228

POLÍGONOS E TRANSFORMAÇÕES NO PLANO ............................................... 166

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CONTAGEM, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA..........................................200

11/17/18 17:54

11/19/18 12:01

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/18 17:54

Unidade 8

Unidade 9

1. Área de figuras planas .......................... 232 Problemas envolvendo área de polígonos .... 232 A circunferência e o círculo ....................... 234 Atividades ............................................... 236 Por toda parte • Áreas pelo Brasil ........... 237 2. Volume de sólidos geométricos ........... 238 Unidades de medida de volume ................ 238 Cubo e bloco retangular ........................... 239 Cilindro ..................................................... 240 Atividades ............................................... 241 3. Capacidade ............................................. 242 Unidades de medida de capacidade .......... 242 Equivalência entre o decímetro cúbico e o litro.......................................... 243 Tratamento da informação • Gráfico de linhas ................................................... 244 Retomando o que aprendeu ..................... 246

1. Grandezas ............................................... 250 Razão e proporção .................................... 250 Grandezas proporcionais ........................... 251 Grandezas não proporcionais .................... 252 Representação gráfica ............................... 253 Atividades............................................... 254 2. Algumas razões especiais ..................... 255 Velocidade média...................................... 255 Escala ....................................................... 256 Atividades............................................... 257 Por toda parte • Distâncias aproximadas entre algumas cidades............................... 258 Densidade de um corpo ............................ 259 Densidade demográfica............................. 260 Atividades............................................... 261 3. Grandezas diretamente proporcionais ... 262 Atividades............................................... 264 4. Grandezas inversamente proporcionais ......................................... 265 Atividades............................................... 267 5. Regra de três .......................................... 268 Regra de três simples ................................ 268 Atividades............................................... 269 Regra de três composta ............................ 270 Atividades............................................... 271 Tratamento da informação • Interpretando os significados das informações.................... 272 Retomando o que aprendeu ................. 274 Atualidades em foco • Diversidade cultural ....................................................276

ÁREA, VOLUME E CAPACIDADE..............230

ESTUDO DE GRANDEZAS ....................... 248

Respostas .................................................................................................... 278 Referências bibliográficas .......................................................................287

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COMPETÊNCIAS GERAIS 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e inventar soluções. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

HABILIDADES

p. XXI e XXII

Números • EF08MA04 • EF08MA05

A Educação financeira é um tema importante para ser pensado em qualquer idade, pois, além de planejar gastos, é importante saber lidar com a quantidade excessiva de propagandas que oferecem produtos e serviços. Atualmente, porém, além das propagandas dos produtos, muitas lojas aderiram à divulgação das opções de pagamento: parcelado sem juro, parcelado com juro e pagamento à vista. Muitas vezes, há um bom desconto se o produto for pago à vista. Entendemos que consumir é preciso, mas a grande questão é verificar se somos capazes de adquirir o necessário e gastar somente o dinheiro que temos.

MARCOS GUILHERME

ESPECÍFICAS 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

Números racionais

Comprar à vista significa fazer o pagamento do valor integral (ou com desconto) no ato da compra. Comprar a prazo significa Agora, responda no caderno: pagar o valor em parcelas. • O que significa equilíbrio financeiro? Resposta pessoal. • Qual é a diferença entre comprar algo à vista e comprar a prazo? • Você sabe o que é juro? Você sabe explicar como funciona o juro? Resposta pessoal.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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NO DIGITAL – 1˙ bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 1, 2 e 3. • Desenvolver o projeto integrador sobre crescimento populacional no Brasil. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham

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as habilidades EF08MA01, EF08MA02, EF08MA04, EF08MA05, EF08MA15, EF08MA16 e EF08MA17. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

Abertura de Unidade Promover, inicialmente, uma conversa com os alunos sobre Educação financeira e qual é o papel da Matemática nessa área. É interessante discutir com a turma a diferença entre “desejo e necessidade” de compra de produtos e as possibilidades de planejamento para alcançá-los. Com essa discussão, levar os alunos a perceberem que o planejamento do tempo (curto, médio e longo prazos), dos recebimentos e dos gastos poderá auxiliá-los na realização de seus objetivos, mas para isso é importante que haja um equilíbrio financeiro. Um dos cálculos a ser explorado é o que envolve o comprometimento de renda. Apresentar aos alunos uma ideia de distribuição dos gastos, por exemplo: 30% da renda comprometida em compras a prazo, 50% em necessidades básicas e 20% em lazer e poupança. Uma sugestão é fazer algumas simulações com diferentes níveis de renda, iniciando com valores inteiros, como: R$ 500,00; R$ 1 000,00; R$ 2 000,00 e R$ 2 500,00. Na discussão sobre equilíbrio financeiro é possível conversar sobre a importância de não dever mais do que se ganha e os riscos que uma compra parcelada pode oferecer ao concluir que a parcela, por ser baixa, não atrapalhará o planejamento financeiro familiar. Pode-se ainda discutir a diferença entre poupar para comprar à vista e comprar imediatamente a prazo, com foco no desconto, geralmente, oferecido pelas lojas no pagamento à vista. Comentar que em dívidas ou poupança a aplicação é de juro composto, e não simples (essa variação será aprofundada mais adiante, no Ensino Médio). Se achar interessante, estabelecer uma simulação com juro composto (juro sobre juro) em curto prazo e comparar com juro simples.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Conjunto dos números racionais O conjunto dos números racionais é retomado neste momento para que, na sequência, os alunos possam explorar os números irracionais e um novo conjunto numérico: o conjunto dos números reais. Para que essa progressão aconteça, é fundamental que eles tenham compreendido os demais conjuntos numéricos (naturais, inteiros e racionais) e as operações fundamentais possíveis nesses conjuntos. Além disso, é relevante que os alunos sejam capazes de localizar um número racional na reta numérica, usando o recurso apresentado no livro do aluno e outros que por ventura souber, para realizar comparações entre números. Discutir com a turma sobre os significados de cada um dos números que aparece nas três situações propostas. Na situação 1, há a presença de número indicando tempo (data) e temperatura. Na situação 2, os números estão indicando preço, medida e quantidade. Na situação 3, podem identificar quantidade e porcentagem. O importante é que os alunos percebam que todas as situações propostas apresentam números racionais.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Os números racionais são encontrados em diversas situações cotidianas. Vamos ver algumas dessas situações: o Paula está no 8 ano. Em alunos. As 30 há classe sua 2 meninas correspondem a 3 da turma. Dessa quantidade, 20% usam óculos.

Pedro precisava de uma tevê nova. Pesquisou e encontrou uma tevê de 40 polegadas por R$ 1 133,99. Ele negocio u e conseguiu comprá-la em 5 vezes sem juros.

WANDSON ROCHA

Mariana viajou com sua família para o Chile e, no dia 3 de julho de 2018, experimentou uma temperatura de –3 °C.

Nas situações apresentadas, temos diversos números: 3; 2018; !3; 40; 1133,99; 2 e 20%. Todos esses números pertencem ao conjunto dos números 5; 8; 30; 3 racionais. Os números racionais podem ser positivos ou negativos. Todo número racional é o resultado de uma divisão de números inteiros, sendo o divisor diferente de zero, ou seja, todo número racional pode ser escrito a na forma , com a e b inteiros e b 5 0. b Os números racionais positivos, negativos e o zero formam o conjunto numérico denominado conjunto dos números racionais. Esse conjunto é representado pela letra Q (letra inicial da palavra Quociente).

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A reta numérica

A reta numérica A localização de números racionais na reta numérica pode trazer algumas dificuldades para os alunos, principalmente relacionadas à subdivisão em partes iguais. Ao perceber dificuldades em localizar pontos na reta numérica, propor a seguinte atividade: distribuir papel quadriculado para os alunos e pedir que, com o auxílio de uma régua, tracem um segmento de reta de 11 centímetros. Em seguida, marcar na extremidade esquerda um ponto e indicar o número 0. A 10 cm deste ponto, marcar outro ponto e indicar o valor 1. Na extremidade direita do segmento, desenhar a ponta de seta para indicar que a reta numérica continua. Depois, subdividir o segmento de reta entre os pontos 0 e 1 em quatro partes iguais e ano1 2 3 e nos tar as frações , 4 4 4 pontos correspondentes.

Vamos relembrar como localizamos números racionais na reta numérica observando os exemplos a seguir. 1 1 Representar na reta numérica o número racional ! . 4 1 Sabemos que o número ! está localizado entre os números inteiros 0 e !1. Então, vamos 4 dividir o segmento AB, que vai de 0 até !1, em quatro partes iguais e considerar uma dessas partes, a partir do ponto A, para a direita. A

B

0 1 4

1

2

2 Representar na reta numérica o número racional "

11 . 3 11 11 2 # "3 . na forma mista: " Vamos escrever o número " 3 3 3

Esse número está localizado entre os números inteiros "3 e "4. Então, vamos dividir o segmento MN, que vai de "3 até "4, em 3 partes iguais e considerar duas dessas partes, a partir do ponto M, para a esquerda. N

M

"4 2 "3 3

"3

"2

0

"1

1

Comparação de números racionais Comparar dois números racionais significa dizer se um é maior que o outro, ou se é menor ou, ainda, se é igual. Vamos rever como comparar dois números racionais. • Todo número racional negativo é menor que todo número racional positivo. 1 1 3 " , "4,6 , 7,8 " , 13 5 3 4 • Todo número racional negativo é menor que zero. 6 ,0 "5 , 0 "12,4 , 0 " 11 • Na comparação de números racionais negativos, será maior aquele que possuir o menor módulo. Vamos comparar "1,4 e "0,2. Sabemos que |"1,4| # 1,4 e |"0,2| # 0,2. Assim, "0,2 possui o menor módulo, o que significa que está localizado mais próximo de zero. "2

"1,4

"1

"0,2

0

1

2

0

2 4

3 4

1

Repetir essa atividade, subdividindo o segmento de reta em 5 partes iguais. Questionar os alunos sobre qual deveria ser a medida de um segmento de reta construído para representar frações com denominadores que não são divisores de 10, como 3 por exemplo. Discutir com a turma sobre as respostas dadas pelos alunos. Espera-se que algum dos alunos diga, por exemplo, que 12 centímetros seria uma boa medida.

3

Dessa maneira "1,4 , "0,2. • Na comparação de números racionais positivos, será maior aquele que possuir o maior módulo. Vamos comparar 12,9 e 19,2. Sabemos que |12,9| # 12,9 e |19,2| # 19,2. Assim, 12,9 possui o menor módulo, o que significa que está localizado mais próximo de zero. Dessa maneira 12,9 , 19,2. 15

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Operações com números racionais Inicialmente, é feita uma recapitulação sobre operações com números racionais de acordo com o que os alunos estudaram em anos anteriores. Verificar se as operações, na forma fracionária e na forma decimal, estão bem compreendidas pelos alunos. Na adição e subtração de números racionais na forma fracionária, pode ser que os alunos cometam um erro bastante comum, que é somar (ou subtrair) independentemente os numeradores e os denominadores das frações. Caso esse erro ocorra, retomar os procedimentos usados para o cálculo de cada operação vista anteriormente. Apontar que a adição e a subtração de números racionais na forma decimal seguem o mesmo algoritmo que os dos números naturais, portanto, é preciso que os alunos posicionem corretamente os algarismos nas respectivas ordens. Verificar como os alunos resolvem problemas que envolvem unidades de medida de tempo. Pode ser que, alguns alunos escrevam, por exemplo, 3h15min como 3,15, por não compreenderem que se trata de um sistema sexagesimal. Auxiliá-los com as dúvidas, caso isso ocorra.

OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS

Vamos relembrar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números racionais, tanto na forma fracionária quanto na forma decimal.

Adição e subtração • Na forma fracionária Temos que estudar dois casos distintos: o primeiro deles refere-se às frações com denominadores iguais. O segundo, às frações com denominadores diferentes. 1o caso: Frações de mesmo denominador. Para somarmos (ou subtrairmos) frações de mesmo denominador, mantemos o denominador e somamos (ou subtraímos) os numeradores. Veja um exemplo: !

34 34 1 33 ⎛ 1⎞ ! ⎜! ⎟ " ! # "! " !3 ⎝ 11⎠ 11 11 11 11

2o caso: Frações com denominadores diferentes. Para somarmos (ou subtrairmos) frações com denominadores diferentes, devemos obter frações equivalentes às frações dadas, de mesmo denominador. Em seguida, mantemos o denominador comum e somamos (ou subtraímos) os numeradores. Veja o exemplo a seguir: !

!23 18 5 3 ⎛ 1⎞ " ! # ⎜! ⎟ " ! ⎝ 6⎠ 30 30 30 5

• Na forma decimal Para a adição (ou subtração) de números representados na forma decimal, devemos observar que: – algarismos que ocupam a mesma ordem devem ficar na mesma coluna, com uma vírgula alinhada à outra. – adicionamos (ou subtraímos) as unidades de mesma ordem entre si.

EDITORIA DE ARTE

– colocamos no resultado a vírgula alinhada com as demais. Veja os exemplos a seguir: a) b) U d c D U d c 7

,

8 8

! 3

,

5 0

4

,

3 8

7,88 !

3,50 4,38

!

1 3

,

4 9

0

,

2 5

1 3

,

2 4

13,49 !

0,25 13,24

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicação de números racionais

Multiplicação e divisão de números racionais Na multiplicação de números racionais, pode acontecer um erro comum entre os alunos: realizar a multiplicação entre numerador e denominador. Portanto, observar a maneira que os alunos estão realizando a operação é importante para colher possíveis erros envolvendo o algoritmo da multiplicação de frações. Na divisão, verificar se os alunos compreendem que divisões equivalentes possuem quocientes iguais, ou seja, se multiplicar (ou dividir) o dividendo e o divisor por um mesmo número, o quociente não vai ser alterado. Outro erro frequente apresentado pelos alunos é a inserção (ou não) de zeros no quociente. Para explorar essa dificuldade, propor alguns cálculos que envolvam esses casos.

• Na forma fracionária Para multiplicarmos dois números racionais na forma fracionária, multiplicamos os numeradores entre si e, em seguida, os denominadores. Caso seja necessário, simplificamos o resultado até obter a fração irredutível. Veja o exemplo:

⎛ 4 ⎞ ⎛ 15 ⎞ 5 60 5 20 ⎜⎝! ⎟⎠ " ⎜⎝! ⎟⎠ 63 21 9 7 • Na forma decimal Para multiplicar um número decimal por outro número decimal, devemos: – multiplicar os números como se fossem números naturais. – colocar a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à soma da quantidade de casas decimais dos fatores. Veja um exemplo:

#

4 , 2

1 algarismo na parte decimal

2 , 1

1 algarismo na parte decimal

4 $

8

4

8

, 8

2 2

2 algarismos na parte decimal

Divisão de números racionais • Na forma fracionária Para dividirmos dois números racionais na forma fracionária, mantemos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda. Veja o exemplo:

12 ⎛ 4 ⎞ 48 12 ⎛ 1 ⎞ : ⎜! ⎟ % " ⎜! ⎟ % ! 7 ⎝ 1⎠ 7 7 ⎝ 4⎠ • Na forma decimal Para obtermos o quociente entre dois números racionais na forma decimal, podemos multiplicar os dois termos por uma mesma potência de 10 conveniente a fim de obtermos um número natural como divisor. Veja: #10

12,66 ' 0,3 % 126,6 ' 3 #10

Então, dividir 12,66 por 0,3 é o mesmo que dividir 126,6 por 3. Efetuando os cálculos, temos que 12,66 dividido por 0,3 é igual a 42,2. 17

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades Depois de realizar a atividade 5, os alunos podem verificar a resposta realizando as operações por meio do algoritmo ou usando alguma calculadora. Caso julgue necessário, ampliar essa atividade variando a posição da vírgula nos números de cada item para que os alunos percebam a diferença nos resultados. Para a atividade 6, discutir com os alunos sobre os métodos usados por eles para a resolução. Verificar os diferentes raciocínios usados e se foi cometido algum equívoco. Ao usar equação para resolver, temos: 2 1 x + x + 70 = x 5 4 Portanto, a resposta encontrada é x = 200 g. A atividade 7, da Prova Brasil, solicita que os alunos subtraiam dois números racionais na forma decimal. É uma questão simples, que avalia, exatamente, a aplicação do algoritmo da subtração.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

!2

Responda às questões no caderno. 1. Construa um segmento de reta de 8 cm. Subdivida-o partes iguais e numere-as de !2 a 2. Em seguida, localize os seguintes pontos: !

3 7

1,6

7 5

0

!1

2. Compare os números racionais a seguir, usando os símbolos ., , e ": a) 4,9 b) !15,3 c)

19 3

4,09 .

89 d) ! 7

63 ! , 4

7 5

!1,4 "

e) !

15,3 ,

f) 23,98

23,89 .

SAIBA QUE

Podemos transformar em fração um número na forma decimal e vice-versa.

b)

7 # 4,5 29 8 8

13 19 141 # 4 5 20

c) !

8 5 79 ! ! 11 3 33

d) 79,05 ! 12,4 66,65

c) 8,7 $

e) 123 !

35 457 4 4

f) 1 347,01 # 132,86 1 479,87 g)

49 ⎛ 18 ⎞ # ⎜! ⎟1 7 ⎝ 3⎠

h) 50 ! 4,99 45,01

4. Efetue as multiplicações a seguir: a) 5,4 $ 3,1 16,74

45 ⎞ ⎛ 48 ⎞ 120 b) ⎛⎜! ! $ ⎝ 49 ⎟⎠ ⎜⎝ 18 ⎟⎠ 49

0

1

7 1,6 5

2

5 10,875 4

⎛ 36 ⎞ ⎛ 50 ⎞ 10 ⎟ $ ⎜! ⎟ 15 ⎠ ⎝ 12 ⎠

d) ⎜! ⎝

e) (!4,6) $ (!0,7) 3,22 f)

19 33 209 $ 3 7 7

g) 11,05 $ (!4) !44,2 h) 3,9 $ 2,02 7,878 5. Encontre os quocientes das divisões a seguir: a) 16,38 : (!1,3) !12,6

⎛

23 , 3

3. Efetue as adições e as subtrações:

a) !

!1 3 ! 4

b) ⎜! ⎝

e) 501,3 : 7,5 66,84

42 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎟ : ⎜! ⎟ 12 f) 643,284 : 20,04 13 ⎠ ⎝ 26 ⎠ 32,1

c) !1 397 : (!20,5) g) 18 331,2 : 304 Aproximadamente 68,14. 60,3 ⎛ 78 ⎞ ! 5 d) 5: ⎜! ⎝ 3 ⎟⎠ 26 6. (OBM) Uma barra de chocolate é dividida entre Nelly, Penha e Sônia. Sabendo que Nelly ganha 2 da barra, Penha ganha 5 1 e Sônia ganha 70 gramas, o peso da 4 barra, em gramas, é: Alternativa b. a) 160

c) 240

b) 200

d) 280

e) 400

7. (Prova Brasil) Uma casa tem 3,88 metros de altura. Um engenheiro foi contratado para projetar um segundo andar e foi informado que a prefeitura só permite construir casas de dois andares com altura de até 7,80 metros. Qual deve ser a altura máxima, em metros, do segundo andar? a) 3,92

c) 4,92

b) 4,00 Alternativa a.

d) 11,68

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Porcentagem Retomar, com os alunos, o conceito de porcentagem e solicitar exemplos do cotidiano em que o uso de porcentagem possa ser percebido. Os alunos vão ter contato com diferentes registros de representação (decimal, centesimal e percentual). Propor, como atividade de retomada, que os alunos copiem o quadro a seguir e completem os espaços em branco.

A expressão por cento faz parte de nosso dia a dia. Podemos encontrá-la facilmente em notícias ao ler jornais, revistas ou assistir à televisão. Nas compras em lojas e supermercados, nas aplicações e nos empréstimos em bancos, enfim, em tudo que se relaciona à economia e às finanças encontramos a expressão por cento. Também usamos comumente essa expressão para fazer comparações, como você já pôde observar em muitos dos gráficos e tabelas estudados anteriormente. A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer “por um cento”. Pode ser representada pelo símbolo %. Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como “A região Norte ocupa uma superfície que corresponde a 45% da superfície do Brasil”, isso significa que a região Norte ocupa uma área de 45 km² para cada 100 km² da área ocupada pelo Brasil. Então, podemos estabelecer a seguinte relação: 45% !

45 ! 0,45 100

FABIO COLOMBINI

PORCENTAGEM

Representação 10% percentual Razão centesimal Representação decimal

representação decimal

Quando dizemos que “Quase 85% da população brasileira vive em áreas urbanas”, isso significa que cerca de 85 em cada grupo de 100 brasileiros vivem em áreas urbanas. 85 representação decimal 85% ! ! 0,85 100 razão centesimal representação percentual

Veja como podemos calcular a taxa ou índice percentual nas situações a seguir. 1 Como escrever

50 1 ! ! 50% na forma de taxa percentual? 2 100 Devemos escrever uma razão equivalente à razão dada e que tenha denominador 100.

1 2

!

50 ! 50% 100

1 ! 50% 2

SAIBA QUE

Nos exemplos anteriores, 45% e 85% são chamados de taxas percentuais.

"50

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0,45

Comentar que o símbolo utilizado para representar a porcentagem – % – é relativamente recente. Registros históricos apresentam informações sobre os cálculos percentuais utilizando as frações centesimais; utilizavam-se siglas como “Xpcento” ou “Xpc”, mas com a intensificação do comércio sentiu-se a necessidade de fixar uma base (100). Na situação 1, destacar que, para representar uma fração na forma percentual, busca-se a fração equivalente de denominador 100. No caso da fração original não ser equivalente a uma fração com denominador 100, por exem1 plo, , determina-se a forma 3 decimal correspondente (dividindo numerador por denominador) para depois expressar na forma percentual (mesmo que aproximada).

razão centesimal representação percentual

"50

12 100

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nós • Espera-se que os alunos respondam à questão com situações cotidianas que mostrem ações que combatam o desperdício de água e ajudem a não poluir o meio ambiente, como: fechar bem a torneira, escovar os dentes com a torneira fechada, não jogar o lixo no chão etc. • O site a seguir trata de um tipo específico de lixo, o eletrônico, cuja produção tem aumentado de maneira significativa: <http://livro.pro/fqjjt3>. Acesso em: 6 nov. 2018.

2 Como escrever a razão

3 na forma de taxa percentual? 8 3 Observando que 8 não é divisor de 100, vamos escrever a forma decimal de (dividindo 8 3 por 8): 3 0,375 " 100 37,5 3 ! 0,375 ! ! ! 37,5% ! 37,5% 8 100 100 8

3 Um desconto de 7 mil reais sobre um preço de 25 mil reais representa quantos por cento de desconto? 7 000 7 ! Inicialmente, temos a razão 25 000 25 Podemos fazer o cálculo de dois modos. 1o modo Usando razões equivalentes: #4

7 25

!

2o modo Escrevendo na forma decimal: 7 28 ! 0,28 ! ! 28% 25 100

28 ! 28% 100

IMAGE SOURCE/GLOW IMAGES

Na situação 2, mostrar que para expressar na forma percentual um número que está na forma decimal basta multiplicá-lo por 100 e acrescentar o símbolo de porcentagem (%). Por exemplo: • 0,375 = 37,5% (0,375 ? 100 = 37,5) • 2,4 = 240% (2,4 ? 100 = 240) Na situação 3, destacar que existe mais de uma maneira de resolver um problema. No caso, são apresentados dois modos de fazer o cálculo. Na situação 4, mostrar que as 15 cestas representam o total de arremessos. Portanto, correspondem a 100% dos arremessos, dos quais apenas 12 cestas foram convertidas.

#4

Representa 28% de desconto. 4 Em uma partida de basquetebol, obtemos o índice de aproveitamento de lances livres de um jogador calculando a razão percentual entre o número de acertos e o total de lances livres cobrados por esse jogador. Qual o índice de aproveitamento de um jogador que acertou 12 dos 15 lances livres que cobrou em uma partida? 12 80 ! 80% ! 0,8 ! 0,80 ! 15 100

O índice de aproveitamento desse jogador foi de 80%.

Jogador de basquete acertando a bola na cesta. Veja no material audiovisual o vídeo sobre movimentos migratórios no mundo.

NÓS

Consumo sustentável Consumo sustentável é um conjunto de práticas adotadas na escolha de um produto ou serviço, cujo objetivo é causar menor impacto sobre os recursos naturais ou até mesmo eliminá-lo. O consumo sustentável também está relacionado com a escolha consciente das compras, ou seja, evitando as compras por impulso, compra-se apenas o que realmente é necessário. Respostas pessoais. • Você já parou para pensar se tem hábitos de consumo sustentável? Cite algumas ações que podem ser adotadas no dia a dia que evitam desperdício. • Pesquise a taxa percentual referente à reciclagem do lixo na sua cidade.

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NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo sobre movimentos migratórios no mundo. Nesse vídeo, abordam-se algumas questões políticas e sociais que causam esses movimentos, bem como alguns impactos econômicos e sociais causados por eles. O cálculo de porcentagem é abordado com o intuito de analisar razões entre quantidades.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

1. Na venda de um tênis de 150 reais, um vendedor obteve uma comissão de 12 reais. Essa comissão representa quantos por cento do preço do produto? 8% 2. Rafael prepara um copo de suco misturando 120 mililitros de água e 80 mililitros de suco de fruta concentrado. Qual é a taxa percentual de água nessa mistura? 60% 3. Vilma acertou 38 das 50 questões da prova de Matemática de um vestibular. Quantos por cento dessa prova ela acertou? 76% 4. Quinta-feira passada, 5 dos 40 alunos de uma classe faltaram na aula de Educação Física. Nesse dia, o professor registrou quantos por cento de faltas? 12,5% 5. Após uma apresentação de música, 250 espectadores foram entrevistados e opinaram sobre o show. Veja o resultado dessa pesquisa:

6. O primeiro Campeonato Mundial de Voleibol Masculino foi realizado em 1949. Desse ano até 2014, já foram realizados 18 torneios, e o Brasil ganhou 3 deles. O número de conquistas brasileiras representa quantos por cento do número de torneios realizados? Aproximadamente 16,6%. CC. 2.5 BY KIBBUTZ GAN SHMUEL ARCHIVE

Responda às questões no caderno.

Campeonato Mundial de Voleibol Masculino, em Moscou, 1952.

7. No verão de 2018, foi realizada uma análise do lixo deixado em uma praia do litoral brasileiro. O lixo foi separado e classificado, e os resultados foram: Análise do lixo encontrado na praia Tipo de material

Opinião sobre o show Opinião

Número de pessoas

Ótimo

105

Bom

100

Regular

30

Ruim

15

Atividades As questões propostas têm como objetivo levar os alunos a reconhecer o significado do símbolo % (por cento), representar razões em forma percentual e explorar taxas percentuais. Mostrar aos alunos diferentes relações que podem ser usadas para encontrar a taxa percentual, como transformá-la em fração ou expressá-la na forma decimal. Desenvolver com os alunos atividades que utilizam dados que fazem parte do cotidiano deles. Uma sugestão é fazer a análise do consumo de energia elétrica. Usar uma conta de luz para propor que relacionem o consumo de cada mês e verifiquem o aumento ou a diminuição de consumo em relação ao mês anterior (em porcentagem). Aproveitar a atividade 5, para comentar com os alunos que a porcentagem aparece com bastante frequência em pesquisas de opinião e análises de pesquisas realizadas. Na atividade, a partir da porcentagem de cada opinião, é possível concluir, de modo mais direto, que a maioria das pessoas considerou o show como ótimo ou bom.

Plástico

Massa (em kg) 396

Vidro

9

Metal

18

Papel

27 Fonte: Dados fictícios.

Fonte: Dados fictícios.

Observando a tabela e considerando o total de entrevistados, escreva a taxa percentual correspondente a cada opinião. a) Ótimo 42% b) Bom 40% c) Regular 12% d) Ruim 6%

Com base nessa tabela, responda: a) Quantos quilogramas de lixo foram recolhidos nessa praia? 450 kg b) Os materiais de plástico recolhidos representam quantos por cento desse total? 88% 8. No colégio do meu bairro estudam 1 600 alunos, dos quais 720 são meninos. O número de meninas representa quantos por cento do total de alunos que estudam nesse colégio? 55%

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

P O R T O D A P A RT E

Por toda parte Ao realizar as atividades propostas nessa seção, os alunos terão coletado dados sobre os biomas do Brasil. Essas explorações podem ser ampliadas em outras áreas do conhecimento, como Geografia e Ciências. Depois de realizarem as atividades, propor aos alunos que façam uma pesquisa sobre o desmatamento e suas consequências. Selecionar previamente fontes de pesquisa que eles possam usar na sala de aula. Ao terminar, realizar um debate com a turma e criar um texto único sobre as atitudes que podem ajudar a conscientizar as pessoas a respeito do tema. No site do Instituto de Pesquisa Ambiental da Amazônia (IPAM), é possível encontrar mapas que mostram áreas desmatadas. No site a seguir, há o mapa das áreas desmatadas na região amazônica, com dados coletados até 2014 – <http://livro.pro/o6vrbc>. Acesso em: 6 nov. 2018.

Resoluções a partir da p. 289

Amazônia ocupa quase 50% do território nacional Maior reserva de diversidade biológica do mundo, SAIBA QUE a Amazônia é também o maior bioma brasileiro em extensão. Com a área aproximada de 4 196 943 km², Bioma é conceituado como um o Bioma Amazônia ocupa quase metade do território conjunto de vida (vegetal e animal), nacional (49,29%). constituído pelo agrupamento de 2 A bacia amazônica ocupa da América do Sul e 5% tipos de vegetação contíguos e 5 identificáveis em escala regional, da superfície terrestre. Sua área, de aproximadamente com condições geoclimáticas 6,5 milhões de quilômetros quadrados, abriga a maior similares e história compartilhada 1 rede hidrográfica do planeta, que escoa cerca de do de mudanças, o que resulta em uma 5 diversidade biológica própria. volume de água doce do mundo. Sessenta por cento da bacia amazônica encontra-se em território brasileiro, onde o Bioma Amazônia ocupa a totalidade de cinco unidades da federação (Acre, Amapá, Amazonas, Pará e Roraima), grande parte de Rondônia (98,8%), mais da metade do Mato Grosso (54%), além de parte do Maranhão (34%) e de Tocantins (9%). Informações obtidas em: IBGE. Disponível em: <https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2013agencia-de-noticias/releases/12789-asi-ibge-lanca-o-mapa-de-biomas-do-brasil-e-o-mapa-de-vegetacao-do-brasilem-comemoracao-ao-dia-mundial-da-biodiversidade.html>. Acesso em: 1 jul. 2018.

De acordo com o texto apresentado, responda às questões a seguir, no caderno, usando uma calculadora.

1. Qual a área aproximada do território brasileiro? 8 500 000 km²

2. Qual a área aproximada da superfície da América do Sul? A área aproximada é 16 250 000 km². 3. Faça uma pesquisa e descubra quantos biomas há no Brasil e quantos por cento cada um deles representa do território nacional. Pesquisa do aluno.

4. O Programa de Monitoramento do Desmatamento na Amazônia (Prodes) é o sistema responsável pelas taxas oficiais do desmatamento na Amazônia Legal, cujo satélite opera com imagens de 30 metros de resolução. A apuração do Inpe (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais) com esse sistema, referente ao período de agosto de 2016 a julho de 2017, apontou uma queda de 16% no desmatamento da floresta. Essa é a segunda menor taxa de toda a história do monitoramento. Informações obtidas em: INPE. Disponível em: <http://www.obt.inpe.br/OBT/noticias/INPE-estimadesmatamento-por-corte-raso-na-Amazonia-em-2017>. Acesso em: 1 jul. 2018.

RICARDO LIMA/MOMENT OPEN/GETTY IMAGES

• Sabendo que a área desmatada registrada de agosto de 2015 a julho de 2016 foi cerca de 7 893 km², calcule e registre a área desmatada no mesmo período entre 2016 e 2017. 6 630,12 km² Vista aérea de desmatamento no município de Altamira, PA.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Juro simples Resoluções a partir da p. 289

p e n s e e r e s p o nd a

Fica faltando a outra metade. R$ 600,00.

Em 3 vezes sem juro, divido 600 : 3 5 200. É isso?

Falta pagar R$ 840,00.

Isso mesmo!

50% é metade, né? Metade de R$ 1.200,00 é R$ 600,00.

E se eu quiser pagar 30% de entrada e o restante em 10 vezes, posso?

Mas, no caso de dividir o restante em 10 vezes, há um juro de 5% em cada parcela.

Então, em vez de R$ 84,00, eu vou pagar R$ 88,20 por mês.

WANDSON ROCHA

Nesse caso, 30% de R$ 1.200,00 são R$ 360,00.

Você paga 50% de entrada, e o restante em 3 vezes sem juro.

Como eu posso pagar?

Esta TV é o último lançamento. Vale R$ 1.200,00.

Pense e responda As atividades dessa seção têm como objetivo preparar os alunos para o trabalho com juro simples e verificar os conhecimentos prévios sobre o assunto. Pedir aos alunos que tragam de casa diferentes panfletos com propaganda de mercadorias que contenham ofertas e situações de compra à vista e a prazo. É importante o aluno compreender as duas maneiras mais comuns de efetuar o pagamento de uma compra: o pagamento à vista, em que o cliente paga o preço total da mercadoria no ato da compra (com algum desconto ou não); pagamento a prazo (em prestações), em que o valor da compra é dividido em pagamentos mensais e consecutivos. Nessa modalidade o cliente pode ou não pagar parte do valor no ato da compra (entrada). Na modalidade de pagamento à vista, o vendedor pode oferecer um desconto para o cliente; na compra a prazo, geralmente, é cobrado um acréscimo (juro) pelo tempo de espera para receber o pagamento integral da mercadoria. Se achar pertinente, propor a série de atividades disponível no link <http://livro.pro/qjrrhp>. Acesso em: 18 nov. 2018. Na atividade 1, os alunos poderão concluir que juro é uma espécie de “aluguel” que se paga pelo uso de dinheiro emprestado ou quando se paga uma mercadoria em prestações.

Agora, responda às questões no caderno. 1. Lendo a história, o que você entendeu por juro? Resposta pessoal.

2. Quanto o comprador pagaria de entrada, se desse 40% do valor da TV? Nesse caso, quanto ainda restaria para ele pagar? R$ 480,00; R$ 720,00. 3. Se o comprador pagar à vista, ele ganha 10% de desconto. Nesse caso, por quanto sai a TV? R$ 1.080,00

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Ressaltar que no regime de juro simples a taxa de juro sempre é aplicada no capital (valor inicial da transação). Antes de apresentar as situações propostas no livro, é interessante fazer uma simulação de juro simples na lousa. Por exemplo, uma aplicação de R$ 10 000,00 a uma taxa mensal de 1% a juro simples. Pedir aos alunos que calculem o montante (capital + juro) a cada mês de um trimestre. O importante é eles perceberem que o cálculo do juro de cada mês é obtido tomando-se sempre 1% de 10 000 reais. Propor aos alunos que façam modificações nas condições de cada situação apresentada para que observem o que ocorre. Por exemplo, eles podem alterar a taxa e o prazo. Ressaltar que a taxa de juro sempre deve estar na mesma unidade de tempo que o período de tempo considerado.

Quando uma pessoa pede dinheiro emprestado a um banco, ela paga uma compensação pelo tempo que fica com a quantia emprestada. Às vezes, quando se compra uma mercadoria à prestação, paga-se um acréscimo pelo tempo correspondente ao número de prestações. Quando alguém aplica dinheiro em um banco, recebe uma compensação pelo tempo em que está emprestando a quantia ao banco. Essa compensação ou esse acréscimo a que estamos nos referindo se chama juro e corresponde sempre a uma porcentagem do valor do empréstimo ou da compra. Assim, podemos dizer que:

Toda compensação em dinheiro que se paga, ou que se recebe, pela quantia em dinheiro que se empresta, ou que se pede emprestado, é chamada juro.

Quando falamos em juro, devemos considerar: • O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado chama-se capital. • A taxa de porcentagem que se paga pelo “aluguel” do dinheiro chama-se taxa de juro. • O total que se paga no fim do empréstimo (capital ! juro) chama-se montante. Vejamos, a seguir, algumas situações que envolvem juro.

1 Regina vai a um banco e faz um empréstimo de 12 000 reais por 3 meses com uma taxa de juro simples de 2,7% ao mês. Qual a quantia que ela deverá pagar de juro e qual o total que Regina terá de pagar no fim do empréstimo? Vamos indicar por x a quantia que ela deverá pagar de juro e teremos: x " (2,7% de 12 000) · 3 x " 0,027 · 12 000 · 3 " 972 Ao todo, ela deverá pagar ao banco a quantia de: 12 000 ! 972 " 12 972 Regina deverá pagar 972 reais de juro e pagará, no total, 12 972 reais. 2 Uma aplicação feita durante 2 anos, a uma taxa de 12% ao ano, rendeu 1 800 reais de juro simples. Qual foi a quantia aplicada? Vamos, inicialmente, determinar quanto a aplicação rendeu de juro por ano: 1 800 : 2 " 900 Representando a quantia aplicada por x, podemos escrever:

N ROC SO WAND

0,12x " 900 900 x" " 7 500 0,12 A quantia aplicada foi 7 500 reais.

HA

12% · x " 900

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno, considerando juro simples.

1. Quanto renderá de juro:

a) a quantia de 1 800 reais, aplicada durante 5 meses, a uma taxa de 2,3% ao mês? 207 reais. b) a quantia de 2 450 reais, aplicada durante 2 meses, a uma taxa de 1,96% ao mês? 96,04 reais. 2. Uma aplicação de 40 000 reais rendeu, em 3 meses, 3 000 reais de juro. Qual é a taxa mensal de juro? 2,5% 3. Luís Roberto colocou parte de seu 13o salário em uma aplicação que rendia 25,6% de juro ao ano. Sabendo-se que após dois anos ele recebeu 389,12 reais de juro, qual foi a quantia que ele aplicou? 760 reais. 4. (UFPB) Katienne tem duas opções de pagamento na compra de um fogão: sem juros, em quatro parcelas mensais iguais de R$ 350,00; ou à vista, com 15% de desconto. Nesse contexto, o preço desse fogão, à vista, é: Alternativa a. a) R$ 1 190,00 b) R$ 1 110,00 c) R$ 1 210,00 d) R$ 1 090,00 e) R$ 1 290,00 5. (Saresp-SP) Certo banco cobra juros simples de 0,3% ao dia para contas pagas com atraso de até 30 dias. Pedro pagou uma conta de R$ 50,00 com atraso de 12 dias. O valor pago por Pedro foi de: Alternativa c. a) R$ 51,00 b) R$ 51,40 c) R$ 51,80 d) R$ 52,20 6. (Saresp-SP) Marcos fez um empréstimo de R$ 120 000,00 que deverá ser pago com juros de 1% ao mês sobre o valor

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Atividades Espera-se que com essas atividades os alunos tenham compreendido juro como a compensação em dinheiro que se recebe ou que se paga por uma quantia aplicada ou emprestada, além de aplicarem os conhecimentos adquiridos para resolver problemas de juro simples que envolve o tempo dado em anos, meses ou dias. Na atividade 1, orientar os alunos a realizar os cálculos formalmente e, depois, refazê-los com a calculadora, verificando os resultados encontrados. No item a, para calcular o juro simples relativo aos 5 meses, basta multiplicar o valor obtido em um mês (R$ 41,40) pela quantidade de meses que renderá juro. Portanto, em 5 meses, renderá: R$ 207,00 (5 ? ? 41,40). Vale ressaltar que o juro simples não costuma ser praticado no mercado. Mas, em termos didáticos, é bastante útil discuti-lo, pois permite aos alunos compreender o conceito de juro como acréscimo de um valor.

emprestado a cada mês. Sabendo que pagou R$ 6 000,00 de juros, quantos meses levou para pagar o empréstimo? Alternativa c. a) 3 meses c) 5 meses b) 4 meses

d) 6 meses

7. Uma loja do meu bairro colocou o seguinte anúncio na vitrine: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

APARELHO DE SOM 156 REAIS 150 REAIS COM CHEQUE À VISTA PARA 30 DIAS

Qual é a taxa mensal de juro que essa loja está cobrando para pagamento a prazo? 4% 8. (Fuvest-SP) Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50 000,00. Para isso, tomou emprestados R$ 10 000,00 de Edson e R$ 10 000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou 3% durante este período de um ano. Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de: Alternativa c. a) R$ 400,00

d) R$ 700,00

b) R$ 500,00

e) R$ 800,00

c) R$ 600,00 9. Mariana precisa comprar um fogão. Depois de pesquisar bastante, ela encontrou um fogão com duas opões de pagamento: R$ 700,00 à vista ou R$ 800,00 em 4 parcelas de R$ 200,00, pagando a primeira parcela no ato da compra. Sabendo-se que Mariana tem os R$ 800,00 e pretende aplicá-los a juro simples de 4% ao mês, qual tipo de pagamento será mais vantajoso financeiramente? Por quê? À vista, pois o valor do rendimento é inferior aos 100 reais de desconto pelo pagamento à vista. 25

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Resoluções a partir da p. 289

Recursos hídricos A água é uma substância fundamental para a manutenção da vida animal e da vida vegetal. É um recurso natural de extrema importância no desenvolvimento de diversas atividades, como no setor agrícola, industrial, econômico, entre outros. As atividades a seguir trazem algumas pesquisas estatísticas sobre a importância da água. Para resolver essas atividades, é necessário interpretar e construir diferentes tipos de gráfico. 1. O Brasil possui cerca de 13,7% do total de água doce do mundo, sendo considerado um território rico em termos hídricos. No entanto, o país vive sérios problemas, relacionados tanto à degradação da qualidade das águas, principalmente nas proximidades das áreas urbanas, quanto à falta de controle do excesso e da insuficiência de água, que atingem várias localidades brasileiras. Não são somente as enchentes que afetam as cidades brasileiras: a escassez hídrica também impõe sérias restrições e elevados custos ao desenvolvimento econômico e social de grandes cidades do Brasil. Observando o gráfico a seguir, responda no caderno: Distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população do Brasil (em %) % 80 70

68,5

Recursos hídricos

60 50

Superfície

45,3

42,65

40 20

6,98

10 0

População 28,91

30

Norte

15,7

18,8 6,41

Centro-Oeste

15,05 6,5 6,8

Sul

18,3 6 10,8

Sudeste

3,3

Nordeste

Região

EDITORIA DE ARTE

Tratamento da informação Propor aos alunos que se reúnam em duplas, incentivando a troca de ideias e de estratégias de resolução. As questões que eles tiverem mais dificuldades podem ser resolvidas na lousa. Esta seção aborda o tema água com vários enfoques: recursos hídricos, distribuição da água no planeta e distribuição de água nos órgãos do corpo humano. Para tanto, solicitar que os alunos realizem uma pesquisa sobre a importância do consumo diário de água de maneira consciente, os benefícios desse hábito e os malefícios quando não há preocupação com essa recomendação. Todas essas informações poderão ser apresentadas em cartazes a serem expostos na escola para que as informações pesquisadas sejam compartilhadas. Explorar o gráfico de colunas triplas com os alunos para que respondam à atividade 1, de modo a verificar possíveis dúvidas. Perguntar a diferença entre as colunas, o que significa cada cor, o que indica a legenda e fazer algumas leituras de dados de colunas diferentes. Se julgar pertinente, acessar o site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), na área IBGE Educa (<http://livro.pro/brkfs4>, acesso em: 6 nov. 2018), pois é possível encontrar material para alunos e professores. Há diversas representações gráficas apresentadas com dados reais e atuais da população brasileira.

Informações obtidas em: MINISTÉRIO DO MEIO AMBIENTE. Disponível em: <http://www.mma.gov.br/estruturas/ sedr_proecotur/_publicacao/140_publicacao09062009025910.pdf>. Acesso em: 1o jul. 2018.

a) Que tipo de gráfico é este? Gráfico de colunas triplas ou gráfico de múltiplas colunas. b) Indique a região brasileira: • com a maior superfície; Região Norte: 45,30%. • com mais recursos hídricos; Região Norte: 68,50%. • com a segunda menor concentração de população. Região Norte: 6,98%. Região Nordeste: c) Que região tem a menor taxa percentual de recursos hídricos do nosso país? 3,30%. d) Em qual região há maior concentração de população? Região Sudeste: 42,65%. e) Pode-se dizer que quanto maior a superfície da região, maior é o número de habitantes? Justifique sua resposta. Não. O Sudeste possui a maior população, porém possui a segunda menor superfície do Brasil. f) Quantos por cento da água doce do mundo estão na região Sudeste brasileira? Explique como você pensou para responder. Cerca de 0,82%. Resposta pessoal. g) Pode-se dizer que a região que dispõe de mais recursos hídricos é a que possui a maior população? Não. 26

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Para a atividade 2, explorar os gráficos que mostram a distribuição da água no planeta. O segundo gráfico dessa atividade apresenta um detalhamento da parte referente à água doce do primeiro gráfico. Para realizar uma abordagem interdisciplinar com Ciências, é possível explorar o infográfico apresentado em: <http://livro.pro/wyqyhj> (acesso em: 6 nov. 2018). Ele oferece riqueza de informações sobre a questão da água no planeta. Conversar com os alunos sobre como devem ser as barras no gráfico a ser feito na atividade 3. Espera-se que eles concluam que os comprimentos das barras devem ser proporcionais aos percentuais relativos a cada órgão da tabela.

Cerca de 70% da superfície da Terra está coberta de água. Desse total, 97,5% constituem os oceanos e mares, e somente 2,5% são de água doce. Observe, no gráfico, como essa água é distribuída. Água no planeta Total global (água)

2,5% do total global (água doce)

2,5%

68,9%

29,9%

97,5%

0,9%

0,3%

2,5% do total global (água doce) Geleiras e coberturas permanentes de neve Rios e lagos

Água doce

Águas subterrâneas

Água salgada

Solos, pântanos e geadas

EDITORIA DE ARTE

Total global (água)

Informações obtidas em: AGÊNCIA NACIONAL DE ÁGUAS. A água no planeta para crianças. Disponível em: <http://arquivos.ana.gov.br/institucional/sge/CEDOC/ Catalogo/2014/AAguaNoPlanetaParaCriancas2014.pdf>. Acesso em: 1o jul. 2018.

2. Responda no caderno, ao que se pede.

a) Explique o significado de cada taxa percentual representada no gráfico. Resposta pessoal. b) Determine qual taxa percentual, aproximada, de água do planeta corresponde: • às geleiras e coberturas permanentes de neve; 1,72% • aos rios e lagos; 0,0075% • às águas subterrâneas; 0,75% • aos solos, aos pântanos e às geadas. 0,02% Você pode utilizar uma calculadora para fazer os cálculos.

3. Você sabia que o total de água no corpo humano é 70%, a mesma taxa percentual de água da superfície terrestre? Veja, na tabela, quantos por cento de água há nos órgãos do corpo humano. Faça um gráfico de barras com os dados da tabela. Resposta no gabarito ao final do livro.

Informações obtidas em: NÚCLEO DE TECNOLOGIA EDUCACIONAL MUNICIPAL Curiosidades sobre a água. Disponível em: <https://ead.pti.org.br/ntm/mod/forum/ discuss.php?d=32>. Acesso em: 3 ago. 2018.

Percentual de água nos órgãos do corpo humano Órgão Percentual Cérebro 75% Pulmões 86% Fígado 86% Músculos 75% Coração 75% Rins 83% Sangue 81%

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Educação financeira O texto proposto nesta seção procura explicar o que são corretoras de valores, sua importância e como fazem para guardar e capitalizar dinheiro aos seus clientes. Pedir aos alunos que leiam o texto e façam um resumo com as informações que considerarem mais importantes. Ler, em seguida, coletivamente, e discutir com os alunos os pontos levantados em seus resumos. Explorar as informações destacadas por eles e explicar como as corretoras ganham dinheiro, mostrando que há uma diferença entre o juro pago pelo tomador e o juro recebido por quem investe. Após a discussão do tema, solicitar aos alunos que façam as atividades propostas. Discutir as respostas da atividade 3. Espera-se que os alunos concluam que as situações dos itens a e d podem ser desvantajosas e que a solução, nesses casos, é adequar gastos e ganhos. Nas situações relativas a negócios, apresentadas nos itens b e c, comentar que muitas vezes essa é a principal escolha para quem está desenvolvendo um negócio, mesmo com o risco do lucro demorar mais que o previsto ou não acontecer, podendo gerar prejuízos. No item e, discutir a relação entre necessidade e desejo. Nessa situação, uma alternativa é poupar dinheiro durante um tempo para comprar o objeto posteriormente, se for possível aguardar.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

Resoluções a partir da p. 289

O que são os bancos? Banco Central do Brasil Editada em dez. 2002

Existe um grupo de pessoas que tem dinheiro e quer guardá-lo. Há outro grupo que precisa de dinheiro para investi-lo ou usá-lo em negócios, como construir prédios, abrir comércio e instalar novas fábricas. Se esses grupos não se conhecem, não é possível realizar negócios entre eles. Mesmo que se conhecessem, poderia não haver confiança entre as pessoas, a ponto de umas pedirem dinheiro emprestado às outras. Então, os bancos oferecem para aquelas que têm dinheiro uma forma segura de guardá-lo — uma conta de poupança, por exemplo — e lhes pagam juros ou rendimentos. E, às pessoas que precisam de dinheiro para investimentos, os bancos fazem-lhes empréstimos e recebem juros pelo serviço. Dessa maneira, os bancos movimentam o dinheiro. Usam as economias de uns para emprestar a outros. [...] Além do mais, acontece algo que pode parecer curioso: os bancos fazem com que o dinheiro se multiplique. Quando as pessoas guardam seu dinheiro no banco, deixam-no depositado por algum tempo. Sabendo disso, os bancos só conservam em seus cofres uma pequena parte de tudo aquilo que recebem, para atender aos clientes que solicitarem alguma quantia. A outra parte, bem maior, é emprestada a outras pessoas. Com a diferença entre os juros que recebem das pessoas que tomam empréstimo e os juros que pagam às pessoas que guardam o dinheiro (em uma conta de poupança, por exemplo), os bancos pagam a seus empregados e obtêm seus lucros. Por isso, muitos clientes dos bancos podem adquirir bens, como um carro ou uma casa, sem ter dinheiro na hora. Eles tomam dinheiro emprestado e assumem o compromisso de fazer o pagamento no futuro. Os bancos, por confiarem neles, garantem o negócio. [...] Fonte: BANCO Central do Brasil. O que são os bancos? Disponível em: ,https://www.bcb.gov.br/Pre/educacao/cadernos/bancos.pdf.. Acesso em: 3 ago. 2018.

Usando seus conhecimentos sobre porcentagem e juro, responda, no caderno, às questões e entenda melhor como os bancos funcionam. 1. Segundo o texto, qual o papel dos bancos?

a) Ter um dinheiro extra para aproveitar mais a vida.

2. Uma pessoa fez uma aplicação de b) Comprar uma máquina que vai aumentar R$ 1 000,00 a juro simples de 3% ao mês. a produtividade de um negócio. Quanto receberá de juro em 1 ano? R$ 360,00 c) Iniciar um negócio cuja previsão de ren3. As aplicações financeiras nos auxiliam dimento seja maior que o juro pago. a capitalizar nosso dinheiro. Discuta d) Completar o orçamento doméstico. com seus colegas as situações a seguir e) Comprar um objeto cujo valor não está indicando se a aplicação financeira pode disponível. Respostas pessoais. ou não contribuir para: 1. Os bancos oferecem, para quem tem dinheiro e quer guardá-lo, uma forma segura de fazê-lo. Já para as pessoas que precisam de dinheiro para investimentos, os bancos fazem empréstimos, recebendo uma compensação na forma de juro pelo serviço. 28

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4

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Dízimas periódicas Apresentar outros exemplos em que os alunos tenham que determinar a representação decimal de um número racional e reconhecer quando essa representação é decimal finita ou infinita periódica. Pedir que efetuem, em um papel à parte, uma divisão cujo resultado seja uma dízima periódica. Por exemplo, 10 dividido por 3, cujo resultado é 3,333... Haverá um momento em que não será mais possível continuar essa divisão no papel, pois não terá mais espaço disponível. É importante chamar a atenção dos alunos para o fato de que a divisão nunca termina, pois é infinita. Enfatizar a diferença entre uma dízima periódica simples e uma dízima periódica composta, pois, posteriormente, os alunos terão que encontrar a fração geratriz dessas dízimas.

DÍZIMAS PERIÓDICAS

Em Matemática, muitas vezes, é útil representar números racionais, expressos por meio de frações, na forma decimal. Para isso, basta dividir o numerador pelo denominador. 9 Em alguns casos, essa representação decimal é finita. Por exemplo, a fração : 20 20 9 9 0 0,45 1 0 0 0 Ou seja,

9 ! 0,45 20

Em outros casos, essa representação decimal é infinita. Vamos ver a fração "

7 : 11

11 7 7 0 0,636363... 4 0 7 0 4 0 7 0 4 0 7 Ou seja, "

7 ! "0,636363... 11

No segundo exemplo, o resto nunca se anula e fica alternando entre 7 e 4. O quociente tem a parte decimal infinita e periódica, ou seja, é uma dízima periódica. No caso de "0,636363..., os algarismos 6 e 3, respectivamente, continuarão se repetindo indefinidamente. Dizemos que: Na dízima periódica "0,636363..., o período é o grupo 63, que se repete, e a representação abreviada desse número é "0,63. Essa dízima é uma dízima periódica dita simples. Vamos observar a seguinte dízima periódica: 12,1454545... Nela o período é 45 e o algarismo 1, que ocupa a casa dos décimos, não se repete. Portanto não pertence ao período. Nesse caso, a dízima periódica é chamada de composta. 29

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Pense e responda As questões propostas preparam os alunos para a ideia de como encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples. Por meio delas, é possível verificar alguns padrões de repetição ao transformar um número racional para a representação decimal. Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, os alunos terão, inicialmente, que identificar o período dessa dízima. Em seguida, deverão equacionar o problema. É possível que alguns alunos apresentem dúvidas no momento de subtrair as equações construídas. Se necessário, retome essa passagem na lousa. Atividades Espera-se que os alunos resolvam a atividade 1 (divisões por 10, 100 e 1 000) mentalmente. Para a atividade 2, eles devem efetuar as divisões pelo algoritmo usual. Na atividade 4, os alunos devem identificar o período de cada dízima periódica. Isso deve estar bem compreendido por eles, pois o próximo assunto a ser trabalhado será determinar a fração geratriz de uma dízima periódica.

Em uma dízima periódica, a parte que fica à direita da vírgula e não compõe o período pode ou não existir. Caso exista, ela determina uma dízima periódica composta. Caso contrário, trata-se de uma dízima periódica simples. p e n s e e r e s p o nd a

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Observe as frações e, usando uma calculadora, transforme-as em números racionais na forma decimal.

•

7 9

•

13 99

3 9

•

•

211 99

Agora, no caderno, faça o que se pede.

1. Quais os valores encontrados? 0,7777...; 0,131313...; 0,3333...; 2,131313...

2. Quais dos números obtidos são dízimas periódicas? Quais os períodos delas? Todos os números são dízimas periódicas; 7; 13; 3; 13. 3. Observando os números na forma de fração e as dízimas periódicas, quais relações podemos identificar? A quantidade de algarismos do período de cada uma das dízimas é igual à quantidade de algarismos do denominador da respectiva fração; os denominadores são formados somente pelo algarismo 9.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Os números racionais a seguir são chamados frações decimais. Escreva cada um deles na forma decimal. a) b) c) d) e) f)

7 0,7 10 31 3,1 10 6 0,06 100 11 0,11 100 162 1,62 100 9 0,009 1 000

g) h) i) j) k) l)

29 0,029 1 000 385 0,385 1 000 82 8,2 10 163 16,3 10 427 4,27 100 1 104 1,104 1 000

c) d) e) f) g)

9 1,8 5 37 1,85 20 35 3,1818... 11 11 1,2222... 9 11 1,375 8

h) i) j) k) l)

33 25 3 20 13 90 33 4 25 6

1,32 0,15 0,1444... 8,25 4,1666...

3. Classifique os números decimais do exercício anterior em decimais exatos (DE) ou dízimas periódicas (DP).

4. Para cada uma das dízimas periódicas a seguir, identifique o período: a) 0,02222... 2 b) 1,77777... 7

c) 12,0101... 01 2. Qual é a representação decimal de cada d) !56,3333... 3 um dos seguintes números racionais? e) !3,4565656... 56 1 7 0,5 b) 2,333... a) f) 1,034034034...034 2 3 3. a) DE; b) DP; c) DE; d) DE; e) DP; f) DP; g) DE; h) DE; i) DE; j) DP; k) DE; l) DP 30

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Fração geratriz de dízimas periódicas simples Veja os casos a seguir.

1 Vamos encontrar a fração geratriz da dízima periódica 0,5555..., ou seja, encontrar qual fração, quando transformada em número racional na forma decimal, gera essa dízima. Para isso, montamos a equação x ! 0,5555... (que chamaremos de I) em que x é a fração geratriz procurada. Depois, multiplicamos os dois termos dessa equação por 10, ou seja, 10x ! 5,5555... (que chamaremos de II). Em seguida, subtraímos (I) de (II): 10x ! 5,5555... (II) x ! 0,5555... (I)

"

9x ! 5 Resolvendo a equação temos que: 9x ! 5 x!

5 9

A fração geratriz da dízima periódica 0,5555... é

5 . 9

2 Dada a dízima periódica 3,2727..., vamos encontrar a fração geratriz dela.

Para encontrar a fração geratriz dessa dízima periódica, montamos a equação y ! 3,2727... (que chamaremos de I) em que y é a fração geratriz que desejamos. Em seguida, multiplicamos os dois termos dessa equação por 100 e obtemos 100y ! 327,2727... (que chamaremos de II). Em seguida, subtraímos (I) de (II): 100y ! 327,2727... (II) y!

"

3,2727... (I)

99y ! 324

99y ! 324 h y !

324 36 ! 99 11

A fração geratriz procurada é

36 . 11 31

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Explorar o esquema apresentado que resume os procedimentos para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples. Aproveitar o momento para colher possíveis dúvidas e apresentar outros exemplos que os alunos podem trazer.

No primeiro caso, multiplicamos a dízima por 10, pois o período continha apenas um algarismo que se repetia: o algarismo 5. Ao fazermos a subtração, as casas decimais, por serem iguais, se eliminam. O mesmo raciocínio foi aplicado ao exemplo 2, mas dessa vez foi necessário multiplicarmos por 100, pois o período era composto por 2 algarismos que se repetiam: os algarismos 2 e 7. Observe um fluxograma do processo para encontrar frações geratrizes de dízimas periódicas simples: Escolher a dízima periódica simples que se quer determinar a fração geratriz

Atividades Para resolver a atividade 2, os alunos podem encontrar a fração geratriz de 1,88888... 1 e, em seguida, somar com , 9 pois a resposta aparece em forma de fração. Destacar que a fração da resposta está em sua forma irredutível, portanto, é preciso que os alunos cheguem até esse ponto. Assim, temos: 1 17 1 1,88888...+ = + = 9 9 9 18 = =2 9

Multiplicar a dízima pela potência de 10 cujo expoente é a quantidade de algarismos do período

Subtrair a dízima do resultado obtido na etapa anterior. O valor obtido será o numerador da fração

ATIVIDADES

Compor o denominador como um número de n algarismos 9, em que n é o número de algarismos do período da dízima

A fração geratriz foi encontrada

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas simples a seguir: 22 161 29 c) 17,8888... e) 0,292929... a) −2,4444... – 9 9 99 1 629 700 b) 0,11111... d) −6,353535... – f) 2,102102102... 9 99 333 1 2. (UFPI) Marque a alternativa que contém o valor da expressão numérica 1,88888... + . Alternativa d. 9 33 10 10 7 a) b) c) d) 2 e) 50 9 19 55

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fração geratriz de dízimas periódicas compostas

Explorar os procedimentos usados para determinar as frações geratrizes de dízimas periódicas compostas. Comentar com os alunos que os procedimentos são similares aos utilizados no caso de dízimas periódicas simples com uma nova etapa.

Assim como é possível determinar a fração geratriz das dízimas periódicas simples, também podemos determinar as frações geratrizes de dízimas periódicas compostas. Veja o caso a seguir.

1 Dada a dízima periódica composta !5,6707070..., vamos encontrar sua fração geratriz. Para fazermos o que se pede, primeiro escrevemos a equação x " !5,6707070..., em que x é a fração que queremos encontrar. Em seguida, multiplicamos os dois membros dessa equação por 10 (equação I) e também por 1 000 (equação II). Em seguida, subtraímos (I) de (II):

!

1 000x " !5670,707070... (II) 10x " ! 56,707070... (I) 990x " !5 614

h 990x " !5 614 h x " !

Atividades Na atividade 1, é importante que os alunos compartilhem os fluxogramas que criaram, a fim de verificarem pontos em comuns ou divergentes no momento de sintetizar os procedimentos para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica. Uma estratégia para resolver a atividade 3 é decompor o número 0,1333... como 0,1 + 0,03333.... e, com isso, observar a relação 0,03333 = = 0,3333.... : 10. Com isso, temos: 0,1333... = 0,1 + 0,03333... = 0,333... 1 3 = 0,1 + = + = 10 10 90 12 2 = = 90 15

5 614 2 807 "! 990 495

2 807 . 495 Nesse exemplo, multiplicamos a dízima por 10, pois havia um algarismo que não pertencia ao período (o algarismo 6). Em seguida, multiplicamos a dízima por 1 000, pois tínhamos 3 algarismos até a repetição do período (6, 7 e 0). Em seguida, subtraímos as duas equações, eliminando as casas decimais e encontrando a fração procurada. A fração geratriz que procurávamos é !

ATIVIDADES

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Responda às questões no caderno.

1. Faça um fluxograma do processo de obtenção da fração geratriz de uma dízima periódica composta. Resposta no final do livro. 2. Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas compostas a seguir: 2 071 322 a) 7,15555... c) 69,0333... 30 45 b) !0,53333... ! 24 d) !1,17474...1 163 ! 45 990 1 3. (OBM) Sabendo-se que 0,333... ! , qual é 3 a fração irredutível equivalente a 0,1333...? 1 1 1 333 a) c) e) 13 30 10 000 1 2 Alternativa d. b) d) 15 15

2 4. (UFPI) Sabendo-se que 0,6666... ! , 3 qual das frações irredutíveis abaixo equivale a 1,5666...? Alternativa e. 1 133 47 a) c) e) 30 300 30 2 43 b) d) 15 330 5. (Ufop-MG) A respeito dos números a ! 0,499999... e b ! 0,5, é correto afirmar: Alternativa b. a) b " a # 0,011111... b) a " b c) a é irracional e b é racional. d) a , b m 6. (PUC-RJ) Escreva na forma de fração , n 41 a soma 0,2222... # 0,23333... 90 33

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tecnologias Reservar uma aula para realizar essa investigação com os alunos. Em duplas, eles devem encontrar a representação de todas as frações propostas. Se tratam de frações unitárias, pois isso faz que o numerador não seja um fator dificultador da atividade. Dessa maneira, o foco da investigação fica centrado na mudança do denominador e sua relação com o quociente encontrado. Durante essa investigação, pode ocorrer de os alunos levantarem hipóteses como: • as dízimas periódicas são geradas por números primos. Isso é falso, pois 2 e 5 são pri1 1 e geram decimais mos e 2 5 1 exatos; 18 não é primo e 18 gera dízima periódica. • os múltiplos de 2 e 5 geram decimais exatos. Essa afirmação também não se verifica, 1 pois 15 é múltiplo de 5 e 15 gera uma dízima periódica.

Tecnologias

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Investigando com a calculadora Dado um número racional na forma fracionária, temos como saber se sua representação decimal será exata ou periódica sem transformá-lo em um número racional na forma decimal? Vamos investigar. • Primeiro, vamos tentar fazer essa análise com algumas frações. Anote em seu caderno quais das frações a seguir você supõe serem, ou tem certeza que são, dízimas periódicas. Em seguida, justifique as escolhas. Alternativas b, c e d; resposta pessoal. 17 25

a)

b)

37 33

c)

109 40

d)

46 81

e)

12 7

f)

90 16

• Agora, vamos iniciar nossa investigação. Junte-se a um colega para realizá-la. Para isso, vocês precisarão reproduzir o quadro a seguir em seu caderno e ter em mãos uma calculadora. Com o auxílio da calculadora, divida o numerador pelo denominador e vá assinalando em seu quadro se o resultado encontrado é um número decimal exato ou uma dízima periódica. Representação decimal Fração 1 2

Decimal exato

Dízima periódica

Decimal exato

1 9

X

1 3

Representação decimal Fração

X

1 10

Dízima periódica X

X

Representação decimal Fração 1 16

Decimal exato

Dízima periódica

X

1 17

X

1 4

X

1 11

X

1 18

X

1 5

X

1 12

X

1 19

X

1 6

X

1 13

X

1 20

1 7

X

1 14

X

1 21

X

1 15

X

1 22

X

1 8

X

X

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Explorar as hipóteses levantadas pelos alunos e discutir com a turma a validade das hipóteses levantadas. Isso é muito importante durante uma investigação matemática. Entre as conclusões possíveis nessa investigação, espera-se que os alunos concluam que os denominadores que correspondem a divisores de potências de 10 geram decimais exatos. Ao finalizar a investigação, é importante que os alunos revejam suas hipóteses iniciais e consigam reconhecer, rapidamente, quando um número racional na forma fracionária terá uma representação exata ou uma representação decimal.

• O que você observa com relação aos denominadores de frações correspondentes a números decimais exatos? E de frações correspondentes a dízimas periódicas? Anote suas hipóteses no caderno e debata com seus colegas e com seu professor. • Com base nas suas observações, diga se os números racionais a seguir, ao serem escritos na forma decimal, serão decimais exatos (DE) ou dízimas periódicas (DP), sem realizar a transformação para a forma decimal.

a)

11 21

DP

c)

72 24

DE

e)

44 80

DE

b)

57 8

DE

d)

7 13

DP

f)

108 30

DE

• Retome as primeiras frações apresentadas nesta seção e verifique se suas hipóteses iniciais estavam corretas. PARA QUEM QUER MAIS

A fração geratriz da dízima 0,999... Ao analisar o número 0,9999..., independentemente da quantidade de casas que vamos analisar, pode passar a impressão de ser um número menor que 1. Porém, ao determinar a fração geratriz da dízima 0,999..., nos deparamos com o seguinte resultado:

x = 0,999...

10x = 9,999... 10x _ x = 9,999... _0,999... 9x = 9 x = 1

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Retomando o que aprendeu As questões dessa seção visam retomar o trabalho com números racionais, porcentagem, juro simples e fração geratriz. Propor aos alunos que tragam algumas questões de casa e desenvolvam em sala de aula com os colegas para que seja realizada uma troca de conhecimento e discussão de diferentes raciocínios utilizados para resolver um mesmo problema. Após as atividades dessa seção, realizar uma discussão com a turma sobre como os conceitos estudados ao longo das aulas podem ser aplicados no dia a dia. Ao tratar desses assuntos, uma possibilidade é levar os alunos a perceber a necessidade de realizar uma pesquisa de mercado e de avaliar todas as condições de pagamento e seus benefícios ou prejuízos.

RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. Copie a frase a seguir e, usando as palavras indicadas, complete a frase: equivalentes

numeradores

denominadores

mantemos

dife-

rentes, encontramos as frações

temperada representa quantos por cento do número de espécies em uma floresta de região tropical? a) 1%

c) 4%

b) 2%

d) 5%

às

a) 4%

c) 5%

b) 8%

d) 6%

os denominadores

e somamos os

. Se necessário, sim-

a) R$ 16,00

plificamos o resultado a fim de obter a denominadores; equivalentes; . mantemos; numeradores; fração irredutível. 2. A quantidade de casas decimais do produto !3,4 por !1,56 é igual a:

b) R$ 32,00

b) 2

c) 3

d) 4 e) 5 Alternativa c. 3. Uma pesquisa de “boca de urna”, realizada no primeiro turno das eleições para prefeito de uma cidade, indicou que um 1 dos candidatos tinha das intenções de 5 voto. Esse número representa quantos por cento das intenções de voto dessa pesquisa? a) 5%

c) 20%

b) 10%

d) 25%

e) 50% Alternativa c.

4. Uma pesquisa mostrou que uma área de 4 hectares de floresta, na região tropical, pode conter cerca de 375 espécies diferentes de plantas, enquanto uma área florestal do mesmo tamanho, na região temperada, pode apresentar cerca de 15 espécies. O número de espécies em uma floresta de região

e) 10% Alternativa d.

6. Tarcísio tomou emprestados R$ 2.400,00 do banco e vai pagar o empréstimo em 6 vezes, com juro simples de 4% ao mês. A quantia que Tarcísio pagará de juro por mês será: Alternativa c.

frações dadas,

a) 1

e) 6% Alternativa c.

5. 30% de 40% de 50% de um número representa quantos por cento do número?

irredutível Para somarmos frações de

Resoluções a partir da p. 289

c) R$ 96,00 d) R$ 160,00 e) R$ 300,00 7. Encontre as frações geratrizes das dízimas periódicas a seguir: 34 a) 3,777... 9 23 b) 0,2555... 90 1 206 c) !12,181818... ! 3 973 99 d) 4,01313.... 990 8. Elabore uma atividade envolvendo o tema porcentagem de tal modo que, para resolvê-lo será necessário aplicar os conhecimentos adquiridos nessa unidade. Utilize tabelas e gráficos para compor a atividade e, se achar necessário, aconselhe o uso da calculadora ou de uma planilha eletrônica. Em seguida, troque sua atividade com a de um colega, resolva a atividade dele e, juntos, corrijam e debatam as duas atividades.

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9. (UFMG) No período de um ano, certa aplicação financeira obteve um rendimento de 26%. No mesmo período, porém, ocorreu uma inflação de 20%. Então, é correto afirmar que o rendimento efetivo da referida aplicação foi de: Alternativa b. a) 3%

11. (Saresp-SP) Uma pesquisa publicada pelo jornal Folha de S.Paulo levantou a parcela da população chamada de “excluída”. (São pessoas que, em geral, não completaram o 1o grau e vivem em famílias com renda inferior a R$ 1 200,00.) Constatou-se que essa parcela corresponde a 60% da população.

b) 5% c) 5,2%

Qual é o gráfico que melhor representa essa situação? Alternativa a.

10. (PUC-RJ) Em um viveiro há várias araras.

60% das araras são azuis, 40% das araras são vermelhas, 40% das araras azuis têm bico branco, 30% das araras vermelhas têm bico branco.

Que porcentagem das araras do viveiro tem bico branco? Alternativa d.

c)

a)

Excluídos Excluídos Outros Outros Excluídos Excluídos Outros Outros

b)

Excluídos Excluídos Outros Outros Excluídos Excluídos Outros Outros

d)

a) 10% b) 12% c) 24%

Excluídos Excluídos Outros Outros Excluídos Excluídos Outros Outros

d) 36% e) 40% UM NOVO OLHAR

Um novo olhar É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que possam refletir sobre as aprendizagens e possíveis dúvidas a respeito dos assuntos estudados. São questões que permitem o papel ativo dos alunos diante de seu conhecimento. A primeira questão pede aos alunos que escrevam um bilhete a um colega, explicando como resolver as operações com números racionais. Ao pensar em como explicar as operações para um colega, o aluno é convidado a verificar os pontos que ainda trazem dificuldade para expressar o seu raciocínio. A segunda questão 2 aborda o período de uma dízima periódica. Espera-se que os alunos consigam identificar qual é o período de uma dízima. A terceira questão leva os alunos a refletir sobre como decidir se um número racional terá representação decimal exata ou periódica.

EDITORIA DE ARTE

d) 6% • • • •

As atividades 9 e 10 são mais desafiadoras e podem gerar maiores dificuldades por parte dos alunos. Em ambas as questões, é preciso calcular a porcentagem de uma porcentagem, ou seja, é preciso multiplicar as porcentagens dadas no enunciado. Caso os alunos questionem, dar essa dica pode auxiliá-los na resolução.

Excluídos Excluídos Outros Outros Excluídos Excluídos Outros Outros

Resoluções a partir da p. 289

Nesta Unidade, revimos o conjunto dos números racionais e suas operações e estudamos a porcentagem e o sistema de juro simples, com enfoque em aplicações na vida cotidiana e, por consequência, na cidadania. Entre os conceitos estudados, destacamos: o entendimento da porcentagem como taxa, os descontos e acréscimos, as aplicações de porcentagem e o juro simples e suas aplicações como rendimento ou dívida. Além disso, aprendemos a encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica.

• Imagine que um colega de classe tenha faltado na aula de revisão das operações com números racionais. Escreva um bilhete para ele, explicando como somar, subtrair, multiplicar e dividir números racionais. Aproveite para contar-lhe quais dificuldades você enfrentou nessa aula e o que fez para saná-las. Resposta pessoal. • Ao se deparar com uma dízima periódica, você é capaz de identificar seu período? Resposta pessoal. 6 • O número racional ! ao ser escrito na representação decimal será exato ou 11 será periódico? Explique sua resposta, com argumentos matemáticos. Será uma dízima periódica. Resposta pessoal.

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COMPETÊNCIAS GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

Potências, raízes e números reais

Lendas são narrativas ligadas à tradição oral que contam fatos históricos combinados a outros de origem fantástica. Ao lado, apresentamos resumidamente uma lenda de como o jogo de xadrez teria sido inventado.

Sissa pediu 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta e assim sucessivamente, até chegar à 64a casa.

Sissa pediu grãos de trigo pelas casas de um tabuleiro da seguinte maneira: 1 grão pela primeira casa do tabuleiro, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta, e assim sucessivamente, dobrando a quantidade de grãos até chegar à 64a casa. O pedido se mostra impossível pela quantidade de grãos que Sissa teria que receber ao todo. Espera-se que os alunos percebam que, para cada casa do tabuleiro, eles precisarão calcular uma potência de base 2. O expoente vai variar de 0 a 63. Leia a lenda e responda no caderno às questões a seguir: • Sissa faz um pedido que se mostra impossível de ser atendido. Qual foi esse pedido? • Que estratégias você utilizaria para calcular quantos grãos Sissa deveria receber?

Mas, feitos os cálculos, verificou-se que se juntassem todo o trigo do mundo ainda não seria possível coletar a quantia que Sissa pediu como recompensa.

• Uma das lendas diz que os matemáticos do rei levaram um grande tempo para calcular a quantidade de grãos que deveria ser paga a Sissa. Hoje existem ferramentas tecnológicas, além da calculadora, que ajudam a realizar esses cálculos com mais facilidade. Você conhece alguma dessas ferramentas tecnológicas? Para essa questão, uma resposta provável será o computador. Mas ele não faz o cálculo sozinho. Para isso, você poderá apresentar aos alunos as planilhas eletrônicas. 38

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HABILIDADES

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p. XXI e XXII

Números • EF08MA01 • EF08MA02

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Segundo a lenda, Sissa, um sábio indiano, inventou o jogo de xadrez para curar o tédio do rei.

Tendo gostado do jogo, o rei prometeu uma recompensa: daria qualquer coisa que Sissa pedisse.

WANDSON ROCHA

O rei ficou espantado perante um pedido que pareceu tão humilde e cedeu imediatamente à sua aparente insignificância.

Indicando por Q a soma dos grãos, temos: Q = 20 + 21 + 22 + 23 + ... + 263

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Abertura de Unidade Estimular os alunos a observar e ler atentamente a lenda que foi relatada por meio da história em quadrinhos. Em seguida, discutir com eles o papel das lendas na tradição oral e escrita. É interessante que percebam que a narrativa não retrata um fato, mas conta uma história a respeito do jogo de xadrez. Se houver possibilidade, levar tabuleiros de xadrez para a sala de aula e alguns grãos de feijão ou de arroz para representar um trecho da história retratada. Os alunos ainda podem ser convidados a avaliar o pedido de Sissa. Na primeira questão, pode-se perguntar aos alunos o que eles pediriam se estivessem no lugar de Sissa, como eles entendem o fim da história, entre outras questões. Se achar conveniente, resgatar outras lendas conhecidas pelos alunos. Na segunda questão, verificar se os alunos compreendem que a quantidade total de grãos é muito grande e que seu cálculo é inviável. Para que eles cheguem a essa conclusão, é interessante fazer algumas perguntas como: “Quantos grãos de trigo haveria na 6ª casa do tabuleiro?”; “Quantos grãos seriam necessários para preencher até a 10ª casa?”; “Vocês conseguem descobrir alguma regularidade nas quantidades referentes a cada casa do tabuleiro? Qual?”. Outra opção é construir uma tabela com a quantidade de grãos referentes às 10 primeiras casas do tabuleiro. Caso os alunos desejem saber a quantidade total, uma possibilidade é elaborar uma tabela com a quantidade de grãos de cada casa utilizando uma planilha eletrônica.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Pense e responda Nessa seção, a atividade proposta utiliza o processo investigativo com levantamento de hipóteses e de sua constatação, da dedução até chegar à generalização. Essa proposta poderá levar os alunos a compreender as ideias que envolvem a operação potenciação. Além disso, eles poderão determinar, por meio dessa atividade, as sequências numéricas das potências de base 2. Para isso, os alunos precisarão de folhas de papel sulfite. É conveniente que a atividade dessa seção seja resolvida coletivamente. Descobrindo a potência de um número racional Os alunos serão convidados a dobrar e desdobrar as folhas de papel sulfite, mas antes é interessante que levantem hipóteses a respeito da quantidade de dobras e vincos feitos no papel.

POTÊNCIA DE UM NÚMERO RACIONAL p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

Pegue algumas folhas de papel sulfite e siga as orientações:

WANDSON ROCHA

1. Dobre uma das folhas ao meio, sucessivamente, por 3 vezes, como mostram as ilustrações.

1a dobra

2a dobra

3a dobra

A seguir, desdobre a folha. Depois responda às questões no caderno. a) Em quantas partes iguais a folha ficou dividida? 8 b) Dobre outra folha de papel sulfite ao meio, sucessivamente, por 4 vezes. Desdobre-a e responda: Em quantas partes a folha ficou dividida? 16 c) Você é capaz de dizer em quantas partes uma folha de papel sulfite vai ficar dividida se for dobrada, sucessivamente, por 5 vezes? 32 d) Explique como você chegou a essas respostas. Resposta pessoal.

Descobrindo a potência de um número racional ILUSTRAÇÕES: MARCOS GUILHERME

Agora, observe uma folha de papel e as dobras nela feitas.

0 dobra

1 dobra

1 parte

2 dobras 4 partes 22 = 2 x 2 = 4

2 partes 21 = 2

20 = 1

8 partes 3 dobras 23 = 2 x 2 x 2 = 8

16 partes 4 dobras 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

• 5 dobras 32 partes 5 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

Estimular os alunos a elaborar coletivamente um cartaz, que deverá ficar exposto na sala de aula e poderá ser completado ao longo do ano com informações e exemplos de conceitos e conteúdos vistos ao longo da Unidade e que julgarem pertinentes como, por exemplo, o conceito de potenciação apresentado aqui.

• 6 dobras 64 partes 6 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 • 7 dobras 128 partes 7 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 • 8 dobras 256 partes 8 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256 Dado um número racional a e um número natural n, a expressão an chama-se potência e representa uma multiplicação de n fatores iguais ao número a. an = a x a x a x a x a x ... x a n fatores

Essa operação é chamada potenciação. Assim, pela definição: • 103 = 10 x 10 x 10 = 1000 3 fatores

• (0,5)4 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625 4 fatores 2

1 1 1 1 • ⎛⎜ ⎞⎟ = x = ⎝ 3⎠ 3 3 9 2 fatores

Em uma potenciação, temos os seguintes termos: expoente

25 = 32 potência (resultado da operação) base

Lê-se: dois elevado à quinta é igual a 32. Observações: Dado um número racional a, define-se a1 = a. 1 1 ⎛ 1⎞ • ⎜ ⎟ ! • 61 = 6 ⎝ 9⎠ 9

• (1,7)1 = 1,7

Dado um número racional a, com a 5 0, define-se a0 = 1. 0 ⎛ 2⎞ • (2,4)0 = 1 • ⎜ ⎟ !1 • 50 = 1 ⎝ 3⎠ 41

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Atividades Orientar os alunos a realizar as atividades tentando identificar os conhecimentos necessários para a compreensão e a resolução de cada uma delas. Isso auxilia a turma a identificar a relação de coerência entre as atividades e a perceber a aplicação dos conceitos estudados. Na atividade 6, os alunos podem construir o cubo ilustrado na atividade antes de resolvê-la, utilizando peças do Material Dourado ou dados de mesmo tamanho. A utilização de material manipulável facilita a compreensão do conceito de potência e ajuda os alunos a perceber que o volume do objeto que está sendo medido pode ser determinado por meio de uma multiplicação. Para a atividade 12, uma sugestão é que ela seja resolvida coletivamente, favorecendo a troca de informações. Os alunos devem perceber que, nessa situação-problema, eles precisaram primeiro interpretar os dados e determinar os valores de x e y, para só depois calcular o valor da expressão x + y.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 2. c) ⎜ ⎟ x ⎜ ⎟ x ⎜ ⎟ x ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ Responda às questões no caderno.

1. Observe as multiplicações e escreva cada uma na forma de potência. a) 6 x 6 x 6 63 b) 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 0,55 2 3 3 ⎛ 3⎞ x c) ⎜⎝ ⎟⎠ 10 10 10

5. Considerando o como unidade de medida de superfície, use a potenciação para calcular a área da figura a seguir.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

d) 1,2 x 1,2 x 1,2 x 1,2 1,24 e) 9 x 9 x 9 x ... x 9 910 10 fatores

f) 1,1 x 1,1 x 1,1 x ... x 1,1 1,120

132 = 13 x 13, ou seja, 169 quadrados. 6. Com cubinhos iguais a este , Lucca compôs o cubo a seguir. Use a potenciação para descobrir quantos cubinhos ele usou.

20 fatores

g) 2 x 2 x 2 x ... x 2 225 25 fatores

h) 1 x 1 x 1 x ... x 1 1100 100 fatores

2. Escreva na forma de multiplicação as f) 0,7 x 0,7 x 0,7 potências a seguir. 4 1 ⎛ ⎞ c) ⎜ ⎟ e) (2,8)2 a) 25 ⎝ 4⎠ 2x2x2x2x2 2,8 x 2,8 f) (0,7)³ b) (0,8)3 d) 106 0,8 x 0,8 x 0,8 d) 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 3. Cada figura a seguir sugere uma potência. Escreva a potência sugerida. a)

b)

5

23

2

Cubo. Quadrado.

4. Calcule as potências a seguir. a) 53 125 h) (0,4)3 0,064 b) 105 100 000 c) 27 128 d) 34 81 e) 112 121 f) 20

0

1

g) (1,8)2 3,24

⎛ 2⎞ i) ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

3

8 27

j) (2,5)2 6,25 ⎛ 1⎞ k) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

4

l) (3,7)0 1

1 16

83 = 8 x 8 x 8, ou seja, 512 cubinhos. 7. Verifique se a expressão (10 + 7)2 é diferente da expressão 102 + 72. Sim, pois (10 + 7)2 = 172 = 289 e 102 + 72 = 100 + 49 = 149. 8. Considerando que 50% = 0,5, qual é o número decimal que representa o cubo de 50%? 0,125 9. Sabe-se que o número decimal A representa o dobro de 1,1 e o número decimal B representa o quadrado de 1,1. Qual é o valor de A _ B? 0,99

10. Escreva a expressão (0,5)2 na forma: a) decimal. 0,25

b) percentual (%). 25% 11. Compare os números a e b usando o sinal =, . ou ,. a = 32; b = 64; a) a = 23 x 22 e b = 26 a , b. b) a = 32 x 52 e b = (3 x 5)2 a = 225; b = 225; a = b. 12. Sabendo que 10x = 100 e 100 = y, calcule o valor de x + y. x + y = 2 + 1 = 3

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2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

21 = 2 22 = 2 x 2 = 4 23 = 2 x 2 x 2 = 8 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 26 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

WANDSON ROCHA

Veja as potências que Thiago calculou:

31 = 3 32 = 3 x 3 = 9 33 = 3 x 3 x 3 = 27 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 35 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 36 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729

1. Usando os resultados obtidos por Thiago, faça as atividades a seguir no caderno. a) Usando o símbolo = ou 5, compare: • 34 x 32 e 36 34 x 32 = 36 • 22 x 23 e 25 22 x 23 = 25 b) Usando o símbolo = ou 5, compare: • 35 : 32 e 33 35 : 32 = 33 • 25 : 23 e 22 25 : 23 = 22 c) Encontre o resultado de: 2 3 • (22) 26 = 64 • 34 81 • (23) 26 = 64 d) Usando o símbolo = ou 5, compare: 3 2 2 3 • (32) e 34 (32)2 = 34 • (22) e 26 (22) = 26 • (23) e 26 (23)2 = 26

Explorando a calculadora 3

x

3

x

3

x

3

3

=

=

=

=

x

3

=

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Para calcular o valor de uma potência, por exemplo, 35, usando uma calculadora simples, podemos fazer assim:

243.

Ou assim: 3

x

243. 43

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Pense e responda Com base nas potências de 2 e 3, são propostos diversos cálculos que se relacionam com as propriedades a serem estudadas. No item a, por exemplo, pode-se perguntar aos alunos: • O que vocês acham que aconteceu com as potências nessa igualdade? Há alguma maneira prática de efetuar esse cálculo? • Essa maneira é sempre válida? Permitir aos alunos que utilizem as estratégias que julgarem mais interessantes e, após um tempo de exploração (pode ser em duplas), eles devem ser incentivados a verbalizar as hipóteses e conjecturas realizadas durante a atividade proposta. Muitas vezes, eles intuitivamente conseguem chegar às propriedades da potenciação. Nessa seção, explorar todas as relações com potências de 2 e 3 e ampliar, por exemplo, para as potências de 5. Explorando a calculadora Retomar com os alunos o uso da calculadora no cálculo de potências, utilizando a multiplicação de fatores iguais, mesmo que exista a tecla específica para a potência (no caso de estarem utilizando uma calculadora científica). É importante ressaltar que os equipamentos tecnológicos são auxiliares na resolução dos cálculos, mas não substituem o raciocínio nem a compreensão da situação ou do problema.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Conhecendo as propriedades da potenciação Nesse tópico, o objetivo é levar os alunos a conhecer e aplicar as quatro propriedades da potenciação: produto de potências de mesma base; quociente de potências de mesma base; potência de uma potência; e potência de um produto. Ao final, convidar os alunos a observar todas as propriedades da potenciação e propor a eles que resolvam algumas atividades simples envolvendo a multiplicação e a divisão de potências de mesma base. Se achar interessante, as propriedades da potenciação também poderão compor o cartaz proposto na página 41.

Conhecendo as propriedades da potenciação 1a propriedade: Produto de potências de mesma base. Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes. am x an = am + n Consideremos, por exemplo, o produto de potências de mesma base 23 x 27. 23 " 27 ! (2 " 2 " 2) " (2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2) 23

27

potências de mesma base

23 " 27 ! 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 ! 210 10 fatores

23 " 27 ! 23 ! 7 ou 210 Assim:

2

⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ • ⎝ ⎠ × ⎝ ⎠ × ⎝ ⎠ 7 7 7 a 2 propriedade: Quociente de potências de mesma base.

3

• 35 x 32 = 35 + 2 = 37

4 = ⎛ ⎞ ⎝ 7⎠

2+1+3

4 = ⎛ ⎞ ⎝ 7⎠

6

Um quociente de potências de mesma base, em que o expoente do dividendo é maior ou igual ao expoente do divisor, pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e subtraímos os expoentes. am : an = am _ n, com a 5 0 e m > n. Consideremos, por exemplo, o quociente de potências de mesma base 75 : 72. 75 ! 72 ! (7 " 7 " 7 " 7 " 7) ! (7 " 7) ! 7 :7 =7 Assim: 5

2

5_2

75 ou 73

• 115 : 115 = 115 _ 5 = 110

72

7 × 7 × 7 × 7 × 7 ! 7 " 7 " 7 ! 73 7 × 7

• (2,3)6 : (2,3)5 = (2,3)6 _ 5 = (2,3)1

3a propriedade: Potência de uma potência. Uma potência de uma potência pode ser escrita na forma de uma única potência: conservamos a base e multiplicamos os expoentes. n (am) = am x n 3

Consideremos, por exemplo, a seguinte potência de potência (52) . 3 3 (52) = 52 x 3 ou 56 (52) = 52 x 52 x 52 = 52 + 2 + 2 = 56 44

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Assim:

4 6

⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ • ⎢ ⎥ ⎣⎝ 3 ⎠ ⎦

5

• (62) = 62 x 5 = 610

1 = ⎛ ⎞ ⎝ 3⎠

4×6

1 = ⎛ ⎞ ⎝ 3⎠

24

Potências de base dez Nesse tópico, os alunos serão levados a identificar as potências de base dez e reconhecer sua utilidade na realização de cálculos e escrita de números muito grandes, como a distância entre planetas medida em quilômetros. O uso de notação científica, tanto para representar números quanto para efetuar cálculos, é bastante importante para o estudo em outras disciplinas como Física e Química. Realizar a leitura do texto apresentado no livro do aluno, estabelecendo uma relação com as estratégias e os pensamentos desenvolvidos pelo grupo durante a resolução da atividade proposta anteriormente na seção Pense e responda da página 43.

4a propriedade: Potência de um produto. Para elevar um produto de dois ou mais números racionais a um expoente, elevamos cada fator a esse expoente. (a x b)n = an x bn Consideremos, por exemplo, a potência de um produto (2 x 7)3. (2 x 7)3 = (2 x 7) x (2 x 7) x (2 x 7) = 2 x 7 x 2 x 7 x 2 x 7 3 fatores

(2 x 7) = 2 x 2 x 2 x 7 x 7 x 7 = 23 x 73 3

Assim: 6

6

1 ⎤ 1 1 ⎡⎛ 1 ⎞ ! ⎛ ⎞⎥ " ⎛ ⎞ ! ⎛ ⎞ • ⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ⎦ 3 2⎠ ⎣ 3

6 2

2

2

• (52 x 73) = (52) x (73) = 54 x 76

Observação: Essa propriedade também pode ser aplicada quando temos uma potência de um quociente. Veja: • (7 : 6)3 = 73 : 63

4

4

• (3 ! 52) " 34 ! (52) " 34 ! 58

Potências de base dez Você deve saber que 10n, para n natural, escreve-se: 10n = 1 000...0 n zeros

Assim, a potência de base 10, com expoente natural, é uma maneira de se escrever o número que, no Sistema de Numeração Decimal, é representado por 1 seguido de n zeros. Observe: • 105 = 100 000 5 zeros

• 102 = 100

• 101 = 10

2 zeros

1 zero

As potências de base 10 são úteis para escrever números muito grandes. Por exemplo, 1 200 000 pode ser escrito na forma: 1 200 000 = 1,2 x 1 000 000 = 1,2 x 106 Veja outros exemplos: • A distância de Marte ao Sol é aproximadamente 228 000 000 km e pode ser indicada assim: 2,28 x 100 000 000 km = 2,28 x 108 km. • Netuno encontra-se a cerca de 4 500 000 000 km do Sol. Podemos escrever essa distância assim: 4,5 x 1 000 000 000 km = 4,5 x 109 km. Dizemos que os números 1,2 x 106, 2,28 x 108 e 4,5 x 109 estão representados em notação científica. Nesse tipo de representação, o número que multiplica a potência de base dez deve estar entre o número 1 e o 10. 45

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P O R T O D A P A RT E

Resoluções a partir da p. 289

No fim dos anos 1990 e início dos anos 2000, usávamos corriqueiramente os disquetes para armazenar arquivos de computadores e transportá-los a todos os lugares. Eram aqueles disquetes de 3,5 polegadas, revestidos por uma capinha de plástico e com capacidade de 1,44 MB (megabytes). Além da pequena capacidade de armazenamento desses dispositivos removíveis, havia alguns inconvenientes relacionados ao seu uso, como a desmagnetização, a quebra e a grande facilidade de os arquivos neles armazenados serem “corrompidos”. Devido a essas limitações, o CD-ROM entrou em cena, armazenando quase 500 vezes mais dados que os disquetes.

PHOTODISC/GETTY IMAGES

Do disquete ao pen drive

Disquete.

Depois do CD-ROM surgiu o DVD com capacidades de 4,7 GB (gigabytes) (DVD de uma camada) a 8,5 GB (DVD de dupla camada). Contudo, o dispositivo que veio revolucionar o armazenamento de arquivos foi o pen drive, também chamado de memória USB Flash. Entre os diferenciais do novo dispositivo, podem-se destacar: a capacidade de armazenamento, que inicialmente era de 8 MB (atualmente há modelos com capacidade maior de 512 GB), a facilidade de transporte, manuseio e de transferência de dados e a durabilidade (se bem cuidado, pode durar até dez anos).

HERMES

Por toda parte Para fazer a leitura desse texto, os alunos podem se organizar em duplas ou pequenos grupos. Depois, pedir a alguns alunos que relatem as principais ideias do texto aos colegas e propor um debate a respeito do assunto. É importante que eles expressem suas opiniões e apresentem argumentos para validá-las. Se for possível, levar para a sala de aula um disquete, um CD-ROM e um pen drive para que os alunos possam manipular e conhecer melhor esses objetos. A comparação física é bastante interessante e, normalmente, surpreende os alunos. Ainda em duplas ou grupos, eles podem resolver a atividade 1 e elaborar estratégias de resolução.

CD-ROM.

Você sabe o que é o byte? O byte é uma unidade de quantidade de informações usada para especificar a capacidade de memórias de computadores, tamanhos de arquivos e discos, entre outros. Um byte equivale a 8 bits.

Pen drive.

GARO/PHANIE/GLOW IMAGES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Veja alguns múltiplos do byte:

• 1 quilobyte (KB) é aproximadamente igual a 1 000 bytes ou 103 bytes; • 1 megabyte (MB) é aproximadamente igual a 1 000 000 bytes ou 106 bytes; • 1 gigabyte (GB) é aproximadamente igual a 1 000 000 000 bytes ou 109 bytes. 1. Um CD-ROM com capacidade de 700 MB foi usado para gravar dados que ocupavam 123 MB. Escreva, no caderno, esses valores em quilobyte, byte e bit, utilizando potências de base 10. 7 x 108 bytes; 1,23 x 108 bytes; 7 x 105 quilobytes; 1,23 x 105 quilobytes; 5,6 x 109 bits; 9,84 x 108 bits. 46

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ATIVIDADES

Responda às questões no caderno. 1. Aplicando as propriedades da potenciação, escreva cada expressão em uma única potência: a) 9 x 9 9 6

2

3 2

b) (20 ) 20

8

6

c) 107 : 105 102

b) a : c 756

c) b : c 3

8. Aplicando as propriedades da potenciação, calcule o valor das expressões numéricas: 7

10. Considerando que a x b = 20, calcule o valor de:

g) (1,9)12 : (1,9)10 (1,9)2 4

1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ h) ⎜ ⎟ ! ⎜ ⎟ ! ⎜ ⎟ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ 2⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ 5

9

b) [(0,4) ] ! [(0,4) ! (0,4) ! (0,4)] (0,4)3 = 0,064 9. Determine o quociente de 1 0242 por 643. 4

5

9

a) a : b 252

3

f) [(2,5)4] (2,5)20

14

7. Se a = 27 x 34 x 72, b = 25 x 32 x 7 e c = 25 x 3 x 7, calcule o quociente indicado em cada item a seguir:

2 10

e) (0,7)4 : (0,7) (0,7)3

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ i) ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

Atividades Nessas atividades, os alunos terão a oportunidade de aplicar as propriedades da potenciação. Eles devem identificar as propriedades envolvidas em cada atividade. É essencial que percebam a importância das propriedades das potências como um facilitador dos cálculos. Propor a seguinte discussão: “O que vocês acham mais simples: resolver as potências e depois efetivar os cálculos ou simplificar a expressão utilizando as propriedades da potenciação antes de efetuar os cálculos?”. É importante salientar que não há certo ou errado nessa discussão, mas espera-se que os alunos concluam que utilizar as propriedades na simplificação antes de efetuar os cálculos facilita a resolução das atividades. Por exemplo, na atividade 5, propor aos alunos que realizem a atividade das duas maneiras e comparem as resoluções ao final. Na atividade 11, ajudar os alunos a perceber que as potências de base 10 facilitam o registro escrito de números com valores muito grandes. Solicitar aos alunos que relacionem as potências de 10 com as correspondências entre as unidades de medida. Assim, utilizando as potências de 10, como podemos escrever 38 km em metros? E em centímetros.

a) (29 ! 211 ! 23) ! (27) 22 = 4

3

d) (810) 830

6

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

11

a) a2 x b2 400

5

2. Sabendo que a = 213, b = 27, c = 25, determine na forma de potência o valor das expressões:

b) a3 x b3 8 000

11. Algumas unidades de medida muito utilizadas são o metro, o grama e o litro. Seus múltiplos possuem prefixos que equivalem a: giga K 1 000 000 000

a) a x b 220

f) b3 221

b) b : c 22

g) a x b x c 225

mega K 1 000 000

h) a : c 2 i) c4 220

miria K 10 000

c) a x c 2

18

d) a : b 26

8

e) a2 226 3. Dados x = 102 e y = 105, compare as potências x5 e y2 usando o sinal = ou 5. x5 = y2 4. Transforme cada expressão em um produto de potências: 5 (0,6)4 x (1,1)4 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤ a) [(0,6) x (1,1)]4 d) ⎢⎜⎝ ⎟⎠ ! ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ 3 ⎦ ⎣ 2 b) (32 x 10)2 34 x 102 5 5 1 ⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ x 3 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ c) [(1,6) ! (2,4) ] ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ (1,6)6 x (2,4)4 7 (104) 5. Calcule o valor da expressão . 3 8 (10 ! 10) 10 6. Você já sabe que 9 = 32, 27 = 33 e 729 = 36. Usando as propriedades das potências de mesma base, calcule o valor da expressão (9 x 729) : 27. 243

Giga = 109; mega = 106; hecto K 100 miria = 104; quilo = 103; deca K 10 hecto = 102; deca = 101. Escreva esses prefixos e indique as potências de base 10 que correspondem às equivalências apresentadas anteriormente. quilo K 1 000

12. Escreva os números a seguir em notação científica: 5,43 x 108 a) 1 350 000 1,35 x 106 c) 543 000 000 b) 689 000 6,89 x 105 d) 82 760 000 8,276 x 107 13. Escreva os números dados em notação científica com todos os seus algarismos: 460 800 6 300 000 000 a) 6,3 x 109 c) 4,608 x 105 b) 9,23 x 104 92 300

d) 1,6 x 107 16 000 000 47

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Números quadrados perfeitos O objetivo nesse tópico é preparar os alunos para fazer a associação entre a Geometria e os números quadrados perfeitos. Pode-se discutir essa relação e começar a identificar quadrados perfeitos com base na variação da medida do lado do quadrado. Ao iniciar a reflexão a respeito dos quadrados perfeitos, levar os alunos a pensar no significado do nome utilizado, ou seja, por que eles acreditam que se chama quadrado perfeito e que números poderiam se encaixar nesse conceito. Nesse momento, deverão explicitar o porquê da escolha desses números, pois assim os alunos serão levados a refletir a respeito do conteúdo e compreender melhor o conceito apresentado. Levar os alunos a perceber que o processo geométrico para o reconhecimento de um número quadrado perfeito pode ser demorado, principalmente se o número for muito grande. Outro aspecto importante é que os alunos percebam a relação que existe entre um número quadrado perfeito e a sua raiz quadrada.

NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Qual é o número obtido quando elevamos 4 ao quadrado?

Representando esse número geometricamente... 42 ! 4 " 4 ! 16

2

4 !

É um quadrado perfeito! WANDSON ROCHA

Dezesseis!

EDITORIA DE ARTE

1 cm

O número 16, que equivale a 4 ao quadrado, é chamado quadrado perfeito. É possível mostrar geometricamente que 16 é um número quadrado perfeito. Consideremos um quadrado com 1 cm de lado. Se usarmos 16 desses quadrados, poderemos formar um novo quadrado.

1 cm

Os números naturais que são quadrados de outros números naturais são denominados números quadrados perfeitos. Veja, a seguir, o quadro com alguns números naturais que são quadrados perfeitos: n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n2 (números quadrados perfeitos)

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Como reconhecer se um número é quadrado perfeito

Como reconhecer se um número é quadrado perfeito É importante que os alunos saibam utilizar o processo de fatoração de um número para verificar se um número é quadrado perfeito ou não. Nesse momento, talvez seja necessário relembrar o processo de decomposição de um número em fatores primos. Atividades Na atividade 1, propor aos alunos que utilizem uma folha de papel quadriculado, pois isso auxilia a construção da ideia de quadrado perfeito. Solicitar aos alunos que formem um quadrado com 25 quadradinhos recortados para a proposta no item a. Para o item b, pedir a eles que tentem formar um quadrado, usando 29 quadradinhos. Nesse caso, os alunos perceberão que não há como montar esse quadrado. Esse trabalho pode ser ampliado para outros números. Na atividade 2, os alunos vão verificar se um número é quadrado perfeito quando todos os expoentes encontrados em sua fatoração forem pares. Realizar a fatoração dos números apresentados nos itens a e b coletivamente, na lousa. Depois, solicitar que os alunos façam individualmente a fatoração dos números dos itens seguintes.

Reconhecer se um número é quadrado perfeito pelo processo geométrico é demorado, principalmente se o número for grande. Vamos agora aprender outro processo. Primeiro devemos fatorar na forma completa um número. Se todos os fatores tiverem expoente par, o número será um quadrado perfeito. Caso um dos fatores não apresente expoente par, o número não será um quadrado perfeito. Acompanhe os exemplos: • Verificar se 144 é um quadrado perfeito. 144 72 36 18 9 3 1

2 2 2 2 3 3

144 = 24 x 32

Como todos os fatores encontrados apresentam expoente par, 144 é um número quadrado perfeito.

• Verificar se 450 é um quadrado perfeito. 450 225 75 25 5 1

2 3 3 5 5

450 = 21 x 32 x 52

Como o fator 2 não apresenta ex poente par, 450 não é um número quadrado perfeito.

2. a) É quadrado perfeito. e) Não é quadrado perfeito. b) Não é quadrado perfeito. f) É quadrado perfeito. c) É quadrado perfeito. g) Não é quadrado perfeito. d) É quadrado perfeito. h) É quadrado perfeito. Sim, 25 é um quadrado perfeito. Responda às questões no caderno. 3. O número natural A é expresso por: 1. Desenhe um quadrado de 1 cm de lado A = 2x x 116 e depois responda: Dê um algarismo que possa ser colocado a) Você pode formar um novo quadrado no lugar do expoente x para que A não usando 25 desses quadrados? Sim. seja um número quadrado perfeito. Qualquer algarismo que represente um número ímpar. Então 25 é um quadrado perfeito? 4. Quantos números naturais quadrados b) Se usar 29 desses quadrados, você poderá perfeitos há entre 100 e 300? Sugestão: formar um novo quadrado? Não. para achar os números, faça 112, 122, ... 7 números: 121; 144; 169; 196; 225; 256 e 289. Então 29 é um quadrado perfeito? 5. Qual é o menor número inteiro pelo Não, 29 não é um quadrado perfeito. qual devemos multiplicar 24 x 32 x 53 2. Fazendo a fatoração dos números natupara que esse número se torne quarais a seguir, verifique quais deles são drado perfeito? Alternativa b. números quadrados perfeitos. a) 2 b) 5 c) 3 d) 10 e) 0 a) 225 e) 1 000 6. O número natural B, cujo algarismo da b) 300 f) 1 024 unidade é 5, é um número quadrado c) 400 g) 2 000 perfeito e está entre 600 e 700. Descubra d) 729 h) 1 600 o valor de B. O valor de B é 625.

ATIVIDADES

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Raiz quadrada exata de um número racional não negativo Na primeira situação, comentar com os alunos que, para determinar a raiz quadrada de 576, devemos procurar um número positivo que, multiplicado por ele mesmo, terá como produto um número cujo algarismo das unidades é 6. Assim, ao analisarmos o resultado de 21 x 21, já é possível perceber que o algarismo das unidades desse produto será 1. Logo, 21 não pode ser a raiz quadrada de 576. Analogamente, o resultado de 22 x 22 terá como algarismo das unidades 4. Portanto, 22 também não é raiz quadrada de 576. Seguindo esse raciocínio, as únicas possibilidades seriam 24 e 26 (pois 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36).

RAIZ QUADRADA EXATA DE UM NÚMERO RACIONAL NÃO NEGATIVO

Se um número representa um produto de dois fatores iguais não negativos, então cada fator é a raiz quadrada desse número. Por exemplo: • A raiz quadrada de 25 é 5, pois 5 x 5 = 52 = 25. Indica-se:

25 = 5 .

• A raiz quadrada de 49 é 7, pois 7 x 7 = 7 = 49. Indica-se: 49 = 7 . Observamos, então, que todo número quadrado perfeito tem uma raiz quadrada exata. Veja, agora, como fazer para determinar a raiz quadrada exata de outros números quadrados perfeitos, acompanhando as situações a seguir. 2

1 Veja a conversa de Luana e Renato. Podemos usar o que já sabemos! Vamos procurar por tentativas, um número que elevado ao quadrado dê 576.

ROBERTO ZOELLNER

Renato, você sabe como podemos fazer para calcular a raiz exata do número 576?

O número 576 está entre os números quadrados perfeitos 400 e 900. A raiz quadrada do número 400 é 20, pois: 400 = 20 x 20 = 202 A raiz quadrada do número 900 é 30, pois: 900 = 30 x 30 = 302 Então, o número que procuramos está entre os números 20 e 30. Por tentativas, fazemos: 222 = 484 212 = 441 Então, pela definição, temos:

232 = 529

242 = 576

576 = 24, pois 242 = 24 x 24 = 576. Para conferir com a calculadora, digite o número 576 e aperte a tecla

.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ESTÚDIO ORNITORRINCO

2 Observe a pergunta que a professora escreveu para os alunos.

QUAL É O NÚMERO NA FORMA DECIMAL QUE REPRESENTA A RAIZ QUADRADA EXATA DO NÚMERO 42,25?

Na segunda situação, incentivar os alunos a verificarem o resultado usando uma calculadora simples.

Atividades Conduzir os alunos a identificar e reconhecer números que são quadrados perfeitos e a determinar a raiz quadrada exata de um número racional. Na atividade 2, organizar a turma em duplas para que possam trocar informações a respeito dos procedimentos a serem adotados para determinar a raiz quadrada exata dos números apresentados. Orientar os alunos a encontrar a raiz quadrada exata desses números utilizando a calculadora como suporte para a realização dos cálculos. No item a, pedir aos alunos que determinem os dois números inteiros consecutivos que são quadrados perfeitos e têm entre eles o número 2,56. Se necessário, auxiliá-los a concluir que esses números são 1 e 4. Depois de perceber isso, e sabendo que 1 = 1 e

Nesse caso, sabemos que o número 42,25 está entre 36 e 49. 36 = 6 x 6 = 62 49 = 7 x 7 = 72 Logo, o número que procuramos é um número na forma decimal entre 6 e 7. Daí, temos: (6,1)2 = 6,1 x 6,1 = 37,21 (6,2)2 = 6,2 x 6,2 = 38,44 (6,3)2 = 6,3 x 6,3 = 39,69 (6,4)2 = 6,4 x 6,4 = 40,96 (6,5)2 = 6,5 x 6,5 = 42,25

ATIVIDADES

42,25 ! 6,5, pois (6,5)2 = 6,5 x 6,5 = 42,25. Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Os números naturais a seguir são quadrados perfeitos. Determine a raiz quadrada exata de cada um deles. a) 484 22

e) 1 296 36

b) 625 25

f) 1 849 43

c) 729 27

g) 3 025 55

d) 1 156 34

h) 4 096 64

2. Os números na forma decimal a seguir têm a raiz quadrada exata. Determine essa raiz. e) 10,24 3,2 a) 2,56 1,6 b) 3,61 1,9

f) 12,25 3,5

c) 5,29 2,3

g) 37,21 6,1

d) 7,84 2,8

h) 51,84 7,2

3. A área de um terreno quadrado mede 1 764 m 2 . A medida do lado desse terreno representa a raiz quadrada exata desse número. Quanto mede o lado desse terreno? 42 m

4 = 2, os alunos devem, por tentativas, determinar um número entre 1 e 2 que, elevado ao quadrado, resulte em 2,56. (1,1)2 = 1,21 (1,2)2 = 1,44 (1,3)2 = 1,69 (1,4)2 = 1,96 (1,5)2 = 2,25 (1,6)2 = 2,56 Assim, 1,6 é o número decimal que, elevado ao quadrado, resulta em 2,56. Portanto:

1 764 m2

EDITORIA DE ARTE

Então, pela definição:

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2,56 = 1,6. Outra maneira de determinar a raiz quadrada de um número decimal é escrevê-lo como uma fração decimal e fatorar o numerador e o denominador. 256 2,56 = 100 256 Então, 2,56 = = 100 24 28 = = = 2 2 2?5 2 ?5 16 = = 1,6. 10 Se julgar oportuno, mostrar essa estratégia na lousa.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Raiz quadrada aproximada de um número racional não negativo A atividade proposta no exemplo 1 pode ser ampliada com o uso de uma calculadora simples, que agiliza os cálculos e permite que os alunos foquem na compreensão do conceito de raiz quadrada aproximada.

RAIZ QUADRADA APROXIMADA DE UM NÚMERO RACIONAL NÃO NEGATIVO

1 Acompanhe as seguintes situações. Eu preciso saber qual é a raiz quadrada do número 30.

Para obter uma aproximação da raiz quadrada de 30, usei uma calculadora com e o valor encontrado a tecla foi 5,477225575051661.

WANDSON ROCHA

Notei que o 30 não é quadrado perfeito. Portanto, a raiz quadrada de 30 não é exata.

• Aproximação até décimos: 5,5 (a diferença entre o valor encontrado e o aproximado é menor que 0,1). • Aproximação até centésimos: 5,48 (a diferença entre o valor encontrado e o aproximado é menor que 0,01). • Aproximação até milésimos: 5,477 (a diferença entre o valor encontrado e o aproximado é menor que 0,001). É possível, então, determinar a raiz quadrada de 30 com a aproximação conveniente. Porém, nem sempre dispomos de uma calculadora. Como podemos calcular, nesse caso? Podemos determinar o número que expressa a raiz quadrada, com aproximação de uma ou mais casas decimais, fazendo uma estimativa desse valor. Vejamos, então, como estimar a raiz quadrada de 30 com os conhecimentos que já temos sobre os números quadrados perfeitos. • 30 é um número que está entre os quadrados perfeitos 25 e 36. • Como 25 = 52 e 36 = 62, o número procurado está entre 5 e 6. • Vamos descobrir que número é esse fazendo tentativas: (5,1)2 = 5,1 x 5,1 = 26,01 (5,2)2 = 5,2 x 5,2 = 27,04 (5,3)2 = 5,3 x 5,3 = 28,09 (5,4)2 = 5,4 x 5,4 = 29,16 (5,5)2 = 5,5 x 5,5 = 30,25

26,01 , 30 27,04 , 30 28,09 , 30 29,16 , 30 30,25 . 30

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Observando os cálculos anteriores, verificamos que: • O número que expressa

A estratégia apresentada no exemplo 2 será retomada na seção de atividades. Fazer a apresentação desse exemplo na lousa e certificar-se de que todos os alunos tenham compreendido que o valor da raiz quadrada procurada será sempre uma aproximação.

30 é maior que 5,4 e menor que 5,5.

• 5,4 e 5,5 são os números que representam uma aproximação para 30 até décimos. Para não termos dois valores, convencionamos que o número procurado corresponde ao menor valor e escrevemos:

30 1 5,4. Assim, a raiz quadrada de 30 é aproximadamente igual

a 5,4 se a aproximação for de uma casa decimal (menor que 0,1). Caso haja necessidade de uma aproximação de duas casas decimais (aproximação menor que 0,01), fazemos mais tentativas com números entre 5,4 e 5,5. (5,41)2 = 29,2681 29,2681 , 30 Pela convenção já estabelecida, podemos (5,42)2 = 29,3764 29,3764 , 30 escrever que 30 1 5,47, ou seja, a raiz qua(5,43)2 = 29,4849 29,4849 , 30 drada de 30 é aproximadamente 5,47 se a (5,44)2 = 29,5936 29,5936 , 30 aproximação for de duas casas decimais (menor (5,45)2 = 29,7025 29,7025 , 30 que 0,01). (5,46)2 = 29,8116 29,8116 , 30 (5,47)2 = 29,9209 29,9209 , 30 2 Um número positivo x representa a raiz quadrada (5,48)2 = 30,0304 30,0304 . 30 aproximada, com uma casa decimal, do número 11,3. Vamos descobrir o valor desse número x? Sabemos que o número 11,3 está entre 9 e 16. Como 9 = 32 e 16 = 42, o número procurado está entre 3 e 4. Vamos, então, fazer os cálculos: (3,1)2 = 9,61

9,61 , 11,3

(3,2)2 = 10,24

10,24 , 11,3

(3,3) = 10,89

10,89 , 11,3

(3,4) = 11,56

11,56 . 11,3

2

2

Atividades As atividades propostas têm como objetivo levar os alunos a calcular raízes quadradas aproximadas de números racionais. Ao trabalhar com as atividades, os alunos podem elaborar uma lista com os quadrados perfeitos para utilizá-la no processo de obtenção das raízes quadradas aproximadas que terão de determinar. Se julgar conveniente, montar uma lista com os quadrados perfeitos de 1 a 100 na lousa.

Então, considerando sempre o menor valor, podemos dizer que a raiz quadrada de 11,3 é aproximadamente 3,3, ou seja, 11,3 1 3,3 (aproximação menor que 0,1). O valor do número x é 3,3.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Obtenha um valor inteiro aproximado que expresse a raiz quadrada de: a) 172 13 c) 360 19 d) 500 22

b) 200 14

2. Com aproximação até a primeira casa decimal, calcule a raiz quadrada de: a) 2,9 1,7 b) 6,9 2,6

c) 13,1 3,6 d) 18,5 4,3

e) 51,2 7,1 f) 66,21 8,1

3. Calcule a raiz quadrada, com valor aproximado até a primeira casa decimal, de cada um dos seguintes números: a) 2 1,4

e) 20 4,4

b) 3 1,7

f) 55 7,4

c) 6 2,4

g) 150 12,2

d) 10 3,1

h) 450 21,2

4. Com valor aproximado até a primeira casa decimal, calcule o valor da 5 . 2,2 53

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Resoluções a partir da p. 289

Tabelas com intervalos de classes: leitura e interpretação Vamos observar a situação a seguir: A academia Saúde realizou uma pesquisa para conhecer melhor seus alunos. Eles responderam a um questionário com várias perguntas, e uma das variáveis pesquisadas foi a altura dos alunos. A gerente da academia organizou os dados na seguinte tabela:

STEFANOLUNARDI//SHUTTERSTOCK.COM

Tratamento da informação Nesta seção, os alunos são apresentados a uma tabela de distribuição de frequência com intervalos de classes. Nesse momento, é importante que eles aprendam a ler e interpretar esse tipo de representação. Além disso, é importante que reflitam a respeito de possíveis encaminhamentos que a gerência da academia pode fazer com base nos dados coletados, como, por exemplo, adequação dos equipamentos às diferentes faixas de altura.

Altura dos alunos da academia Saúde Altura (em metro)

Número de alunos

1,50 ¿ 1,58

9

1,58 ¿ 1,66

11

1,66 ¿ 1,74

25

1,74 ¿ 1,82

30

1,82 ¿ 1,90

10

1,90 ¿ 1,98

5

Total

90

Pessoas se exercitando.

Essa é uma tabela de distribuição de frequências com intervalos de classes. Ela apresenta, na primeira coluna, o que foi pesquisado, neste caso, a altura dos alunos; e na segunda coluna a quantidade de vezes que esse valor apareceu, ou seja, a quantidade de alunos que apresentam aquela altura. Na primeira coluna, os valores das alturas estão divididos em intervalos numéricos que são chamados de intervalos de classes.

Fonte: Alunos da academia Saúde.

Quando utilizamos a representação 1,50 ¿ 1,58, indicamos que o extremo inferior estará incluso (1,50) e excluímos o extremo superior (1,58). Assim, para que nenhum número fique de fora, a próxima classe começará com o valor 1,58. 1. Observe as informações na tabela e responda no caderno:

a) Quantos alunos da academia Saúde foram pesquisados? 90 alunos. b) A altura dos alunos da academia varia entre quais valores? De 1,50 m até 1,98 m. c) Quantos alunos têm altura entre 1,58 m e 1,66 m, incluindo 1,58 m? 11 alunos. d) Qual é o intervalo de classe que apresenta maior frequência? O que isso significa? e) Quantos alunos têm altura menor que 1,82 m? 75 alunos.

5,56% aproximadamente. g) Qual é a porcentagem de alunos que têm altura maior que ou igual a 1,90 m? 1,74 ¿ 1,82; significa que a resposta mais obtida entre os alunos pesquisados foi a de que eles têm altura maior que ou igual a 1,74 m e menor que 1,82 m. f) Quantos alunos têm altura igual a ou maior que 1,74 m? 45 alunos.

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Notas dos alunos do 8o ano na prova final de Matemática

Agora, tomemos a seguinte situação: A professora do 8o ano de uma escola listou as notas de seus 35 alunos na prova final de Matemática. Os resultados estão mostrados a seguir:

Nota obtida na prova final de Matemática

Número de alunos

0¿2

2

2¿4

6

4¿6

7

6¿8

11

3,5

8 ¿ 10

9

8

Total

8

4,5

6

7

7,5

2

6

5

9,5

4,5

3

3

7

8

8

8,5

9

5,5

5,5

2,5

6

6,5

7

8,5

5

4

1

1,5

3,5

7

7

6

9

As questões 2 e 3 permitem que os alunos construam a tabela de frequências com intervalos de classe, percebendo que o tamanho de cada classe de frequência precisa ser constante. Além disso, as atividades exigem que os alunos interpretem dados coletados, categorizando-os conforme a classe de frequência escolhida, antes de conseguir elaborar as tabelas.

35 Fonte: Professora do 8o ano.

Da forma como estão os dados, ela não consegue visualizar rapidamente quantos alunos ficaram abaixo da média. Ela decidiu, então, construir uma tabela de distribuição de frequências, com os seguintes intervalos de classe:

Repare que os intervalos de classe sempre possuem o mesmo tamanho, ou seja, neste exemplo, cada intervalo corresponde a 2 unidades.

2. Observe as informações dadas e faça o que se pede, no caderno.

a) Copie a tabela dada anteriormente e preencha com o total de alunos em cada um dos intervalos de classe. Resposta no final do livro. b) Quantos alunos tiveram média igual ou maior a 8? 9 alunos. c) A média para aprovação nesta escola deve ser maior ou igual a 6. Quantos alunos tiveram nota inferior à média na prova de Matemática? 15 alunos. d) Qual é a porcentagem de alunos que têm nota maior que ou igual a 6? Aproximadamente 57%.

3. Estes são os pesos dos atletas da Seleção Brasileira Masculina de Voleibol de 2018, em quilogramas (kg). 76

99

106

83

80

80

87

81

95

85

89

93

72

76

101

107

99

80

83

85

75

Informações obtidas em: CONFEDERAÇÃO BRASILEIRA DE VOLEIBOL. Disponível em: <http://2018. cbv.com.br/ligadasnacoes/selecao-brasileira-masculina>. Acesso em: 28 ago. 2018.

Faça, em seu caderno, o que se pede, utilizando as informações fornecidas. a) Construa uma tabela de distribuição de frequências, contendo 5 classes de frequências. Não esqueça dos dados que toda a tabela deve ter, como fonte e títulos. Resposta no final do livro. b) Quantos jogadores compõem a Seleção Brasileira Masculina de Voleibol? 21 jogadores. c) Qual a faixa de peso que concentra mais jogadores? De 79 kg a 86 kg. d) Quantos jogadores estão acima de 93 kg? 7 jogadores. e) Qual o peso do jogador mais leve desta seleção? E do mais pesado? 72 kg; 107 kg. 55

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Resoluções a partir da p. 289

Calculadora científica A calculadora foi um dos primeiros instrumentos tecnológicos de fácil acesso e, hoje, pode ser encontrada em diversos modelos. Nesta seção, exploraremos o uso da calculadora científica. Vale a pena destacar que a calculadora é um instrumento que nos auxilia a entender e a desenvolver nossa capacidade crítica de avaliar um problema; por essa razão, não deve ser utilizada para fazer cálculos simples. Existem diversas marcas de calculadora científica; por isso, é possível que o visor e/ou as teclas tenham algumas diferenças nos comandos para determinada função. Para verificar se há diferença, basta executar alguns cálculos cujas respostas você já conhece.

JUST KEEP DRAWING//SHUTTERSTOCK.COM

Tecnologias Essa seção permite aos alunos conhecer um pouco a respeito do funcionamento de uma calculadora científica. Caso os alunos não possuam uma, comentar que muitos celulares hoje em dia apresentam as funções de uma calculadora científica. Além disso, também há sites na internet que apresentam calculadoras científicas online. Veja a seguir alguns exemplos: • Calculadora Online: <http: //livro.pro/idajs7>. Acesso em: 10 nov. 2018. • Web 2.0 Calc.com: <http:// livro.pro/895xvo>. Acesso em: 10 nov. 2018. Se necessário, retomar com os alunos como inserir na calculadora um número negativo. Por exemplo, para inserir _7 na Web 2.0 Calc.com, pode-se digitar o 7 e clicar na tecla +/_, que troca o sinal do número que está no visor. Vale lembrar que algumas calculadoras possuem uma tecla específica para o sinal negativo.

A tecla ^ é utilizada para calcular o valor da potência de um número elevado a um valor qualquer. Por exemplo: 311. Para fazer esse cálculo, digitamos o 3; em seguida, pressionamos a tecla ^ e digitamos o valor do expoente, 11. Para finalizar, pressionamos = , e aparecerá o valor 177 147. Há calculadoras em que essa tecla é mostrada assim: [xy].

A tecla x2 é utilizada para calcular o valor da potência de um número elevado ao quadrado (expoente 2). Por exemplo: 272. Para realizar esse cálculo, digitamos o valor 27; em seguida, pressionamos a tecla x2 . Para finalizar, pressionamos = , e na calculadora aparecerá 729.

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será necessário utilizar a tecla Shift , que dá acesso às funções auxiliares. Por exemplo: 10_7. Para realizar esse cálculo, fazemos o procedimento a seguir. Por meio da tecla Shift ,

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

10x

A tecla log tem como função secundária o cálculo de potências de base 10. Então,

10x

habilitamos a função secundária do teclado. Em seguida, pressionamos log . Aparecerá o número 10 no visor. Então, digitamos o expoente, que nesse caso é _7, e, em seguida, pressionamos = , e aparecerá o valor 0,0000001. Algumas calculadoras apresentam diretamente a tecla 10x. Nesse caso, basta colocar o valor do expoente e acionar a tecla para obter a potência de 10 que se quer.

Propor aos alunos outros desafios com a calculadora científica e reservar um tempo de aula para que eles explorem outras funcionalidades, ou seja, um tempo para que eles percebam que as calculadoras científicas realizam muitos outros cálculos além das quatro operações básicas da aritmética.

1 . 2 ^ da calculaoutro deverá usar a tecla dora para elevar esses mesmos números 1 (dica: use 0,5 na calculaao expoente 2 dora). Anotem no caderno os resultados obtidos.

Calcular a raiz quadrada de um número é o mesmo que elevar esse número ao expoente

1. Agora que já foram vistos alguns recursos da calculadora científica para o cálculo de potências, usando uma calculadora científica, descreva no caderno que procedimento você pode usar para o cálculo das potências a seguir. a) 2352

c) 397

b) 1173 d) 10_11 Resposta pessoal. 2. Troque ideias com um colega e expliquem como vocês fariam o cálculo da potência 55, usando uma calculadora simples, sem teclas especiais de potência. Resposta pessoal. 3. Além das teclas apresentadas anteriormente, a calculadora científica também para calcular a apresenta uma tecla raiz quadrada de um número qualquer. Por exemplo: calcular a raiz quadrada de 5. Para esse cálculo, pressionamos a , depois o número que se deseja tecla obter a raiz quadrada (nesse caso, 5) e, em seguida, pressionamos = . Aparecerá o valor 2,236067978.

2

3,7

9

15

22,2

45,7

50

113

146,3

305,1

a) Agora, comparem os resultados obtidos pelos dois. Com base nessa comparação, qual relação é possível fazer entre os dois tipos de cálculos efetuados? Caso seja necessário, escolham outros números para dar prosseguimento à investigação. b) Caso vocês precisassem calcular a raiz das quadrada de 258, mas a tecla calculadoras de vocês não estivessem funcionando, qual procedimento adotariam?

c) Elabore uma atividade que deverá ser resolvida pelo seu colega de dupla com o uso da calculadora. Para solucioná-la, deverá ser necessário o uso de algumas das teclas apresentadas e das relações existentes Um dos integrantes deverá, usando a entre elas. Em seguida, corrijam a atividade, da calculadora, obter a raiz quatecla verificando não só a resposta final, mas drada dos números a seguir, enquanto o se o raciocínio aplicado está correto. Resposta pessoal. 1 Usar a tecla ^ e elevar o número 258 ao expoente . 2 57 Agora, vamos fazer uma investigação. Para isso, junte-se com um colega e usem duas calculadoras científicas, uma para cada integrante da dupla.

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6

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As atividades propostas nessa seção têm como objetivo fixar os conceitos de números irracionais e explorar o cálculo de raiz quadrada aproximada de números racionais. Na atividade 2, o aluno deve reconhecer um número irracional, observando se há ou não um período que se repete.

CAPÍTULO

NÚMEROS REAIS Números irracionais

Observe o seguinte número racional: 0,4545454545... Vimos que ele é uma dízima periódica, pois possui um número infinito de casas decimais e período igual a 45. Podemos representá-lo também por 0,45. Esse número pode ser escrito na a forma , em que a e b são números inteiros, com b 5 0. Nesse caso, 0,4545454545... = 5 . b 11 Agora, veja outro exemplo: 3,8687888990... Observando a formação desse número, podemos dar continuidade do seguinte modo: 3,868788899091...; 3,86878889909192...; 3,8687888990919293...; e assim por diante. Se continuarmos a preencher as casas decimais nessa sequência, teremos um número com infinitas casas decimais e sem um período que se repita. a Números como esse não podem ser escritos na forma , em que a e b são números inteiros, b com b 5 0. Assim, esses números não são números racionais. Ao conjunto de números que apresentam essas características (número infinito de casas decimais e não periódicos) damos o nome de conjunto dos números irracionais. E representamos esse conjunto por I. Número irracional é todo número cuja representação decimal é sempre infinita e não periódica. São exemplos de números irracionais: •

2 = 1,414213562373...

ATIVIDADES

• p = 3,1415926535...

• 1,7070070007...

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. (Saresp-SP) Calculando-se 30 , obtém-se 5,4772255..., número que tem representação decimal infinita, mas não é dízima periódica.

Conclui-se então que 30 é um número: a) natural.

c) racional.

b) inteiro.

d) irracional. Alternativa d.

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a) 3,12121212... b) 3,501501501...

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

3. (Saresp-SP) A parte decimal da representação de um número segue o padrão de regularidade indicado: 0,12112111211112... Este número é:

O conjunto dos números reais Se desejar, desenhar o diagrama que representa a relação de inclusão dos conjuntos numéricos já estudados na lousa e orientar os alunos a reproduzi-lo no caderno. Explorar com eles o significado desse diagrama, pedir a eles que relatem o que interpretam nessa representação dos conjuntos numéricos.

a) racional não inteiro. c) irracional negativo.

c) 3,321321321...

b) inteiro negativo.

d) 3,290291292293...

d) irracional positivo. Alternativa d.

O conjunto dos números reais Reunindo-se, em um mesmo conjunto, todos os números racionais e todos os números irracionais, formamos o conjunto dos números reais, representado por R.

2[R

_5 [ R

_1 [R 6

p[R

3 [R 4

R

2,030030003... [ R

EDITORIA DE ARTE

2. (Saresp-SP) Um exemplo de número irracional é: Alternativa d.

I

1,25 [ R

N

_ 3 [R

Z Q

10 [ R

_0,48 [ R

_2,1333... [ R

1,666... [ R

Eles podem verificar a relação de inclusão entre esses conjuntos e perceber que não há um número irracional que também seja racional, simultaneamente. Além disso, eles também podem observar que, reunindo-se todos os números racionais aos números irracionais, formamos o conjunto dos números reais.

Os conjuntos numéricos n, z, Q e I são subconjuntos de R, pois todos os elementos de cada um deles pertencem também a R. Observe que alguns números pertencem a um conjunto e não a outro. Por exemplo, _5 [ R, _5 [ z, mas _5 { n. Além desses, outros subconjuntos de R são muito utilizados: R*

conjunto dos números reais não nulos (números reais diferentes de 0)

R+

conjunto dos números reais não negativos (números reais maiores ou iguais a 0)

R_

conjunto dos números reais não positivos (números reais menores ou iguais a 0)

R*+

conjunto dos números reais positivos (números reais maiores que 0)

R*_

conjunto dos números reais negativos (números reais menores que 0)

Em uma reta numérica, podem ser representados todos os números racionais e todos os números irracionais, ou seja, podem ser representados todos os números reais; e cada ponto dessa reta pode ser associado a um número racional ou a um número irracional. Essa reta é denominada reta real. Observe a representação de alguns números na reta: !3 8 ! 3

!2

0

!1 ! 2

1 ! 4

2

1 1 4

2

3

4

8 3

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As atividades apresentadas nessa seção têm como principal objetivo levar os alunos a aplicar os conhecimentos adquiridos a respeito do conjunto dos números reais. Amplie a atividade 1 com alguns questionamentos como: • Que números pertencem ao conjunto dos números reais, mas não pertencem ao conjunto dos números racionais? Resposta: Os números irracionais. • Que números pertencem ao conjunto dos números inteiros não negativos, mas não pertencem ao conjunto dos números inteiros positivos? Resposta: Apenas o zero. Na atividade 4, depois de os alunos responderem em seu caderno, pedir a eles que troquem ideia com um colega, comparem suas respostas e discutam a respeito daquelas que são diferentes, se houver. Na atividade 6, observar se os alunos conseguem criar uma escala apropriada para subdividir a reta numérica, de forma a localizar corretamente os números solicitados. Na atividade 7 promover o debate e a construção coletiva de uma solução para um problema. Ao fim desta atividade, pedir aos alunos que digam os números escolhidos e verifique se acertaram.

As operações com números reais Já vimos que há certas limitações em relação às operações nos conjuntos numéricos n, z e Q. Assim: • no conjunto n, nem sempre é possível subtrair, obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada e encontrar um número natural; • no conjunto z, nem sempre é possível obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada e encontrar um número inteiro; • no conjunto Q, nem sempre é possível extrair a raiz quadrada exata e encontrar um número racional. Porém, no conjunto dos números reais efetuamos qualquer adição, subtração, multiplicação e divisão com números reais (exceto a divisão por zero), bem como extraímos a raiz quadrada de qualquer número não negativo e encontramos números reais. Vale lembrar que há restrições: a raiz quadrada de um número negativo, por exemplo, não representa um número real, pois não existe número real que, elevado ao quadrado, tenha como resultado um número real negativo. Então, por exemplo, !4 { R.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

_5

_

Responda às questões no caderno. 1. Observe os números a seguir. _4

1 _2,3 _ 4

0

0,6

1

8

Quais deles pertencem ao conjunto: a) n? 0; 1. b) Z? _4; 0; 1. c) Z, mas não pertencem a n? _4. d) Q, mas não pertencem a z?_2,3; _ 1 ; 0,6. 4 2. Observe os números a seguir. 6

6

6,6

_6

Identifique quais deles são: a) reais e naturais. 6 b) reais e inteiros. 6; _6. c) reais e racionais. 6; _6; 6,6. d) reais e irracionais. 6 3. Qual destes números reais é o maior: 22 5 ou 22 . 9 9

5 _0,4 4

9 7 2

4. Usando o símbolo [ ou {, estabeleça a relação entre: e) _ 9 e R [ a) 100 e R* [ _9 e R { b) 100 e R+ [ f) c) 100 e R_ { g) 2,6 e R+ [ d) 9 e R [

5. (Saresp-SP) José, com sua calculadora, determinou o valor de 50 e obteve como resultado 7,0710678... Pode-se provar que esse número tem infinitas casas decimais e não é dízima periódica. É, portanto, um número: a) irracional. c) racional. b) natural. d) inteiro relativo. Alternativa a. 6. Construa uma reta real e, nela, localize 7 os seguintes números reais: _5; ; 9 ; 2 5 _0,4; _ . 4 7. Junte-se a um colega e criem um exemplo de um número real que seja também racional e esteja escrito na forma fracionária. Esse número é uma dízima periódica? Expliquem. Resposta pessoal.

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RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. (PUC-RJ) O maior número abaixo é: Alternativa a. a) 331 b) 810 c) 168 d) 816 e) 2434 2. (FGV-SP) Se calcularmos o valor de 295, iremos obter um número natural N. O algarismo final (das unidades) desse número N vale: Alternativa e. a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 3. (OBM) Quantos dos números a seguir são maiores que 10? 3 11, 4 7 , 5 5 , 6 3 , 7 2 Alternativa c. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 DESAFIO

4. (UERJ) Um evento está sendo realizado em uma praia cuja faixa de areia tem cerca de 3 km de extensão e 100 m de largura. A ordem de grandeza do maior número possível de adultos que podem assistir a esse evento sentados na areia é de: Alternativa c. a) 104

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

Retomando o que aprendeu O objetivo das atividades dessa seção é propiciar aos alunos que retomem os conteúdos estudados na Unidade e caso seja necessário, façam retomadas para sanar as dúvidas que podem surgir. Os alunos podem fazer esse bloco de questões como uma autoavaliação, por isso, eles devem respondê-las individualmente. É interessante sugerir que realizem essa atividade em sala de aula, assim poderão discutir eventuais dúvidas com os colegas, por exemplo. Enfatizar a necessidade de resolverem os exercícios individualmente, buscando informações de forma autônoma, escolhendo suas fontes para chegar aos resultados. Conversar com os alunos a respeito de seus acertos e erros, indicando a correção com intervenções pontuadas, isto é, dando pistas de quais caminhos eles poderão buscar para encontrar o resultado esperado. Se ainda persistirem dúvidas, orientar a trocar ideias com os colegas e a buscar no livro do aluno os conceitos que precisarem lembrar. Dar oportunidade para os alunos mostrarem como pensaram para resolver as questões, tirando as dúvidas dos colegas.

5. (OBM) Dividindo-se o número 4(4 ) por 4 4 obtemos o número: Alternativa e. 2

a) 2 b) 43 c) 4 4 d) 4 8 e) 412 6. (OBM) A razão 1 a) 4 1 b) 2 c) 1

(24)8 é igual a: (48)2

Alternativa c.

d) 2 e) 8 7. (OBM) O valor da soma

22003 ? 91001 22002 ? 91001 + 1001 2003 é: Alternativa c. 41001 ? 32003 4 ?3

1 3 2 b) 3 a)

c) 1 d)

e) 2

4 3

8. (Enem/MEC-Simulado) No depósito de uma biblioteca há caixas contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e em cada uma delas estão anotados 10 títulos de livros diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma torre vertical de 1 m de altura. Qual a representação, em potência de 10, correspondente à quantidade de títulos de livros registrados nesse empilhamento? Alternativa c. a) 102 b) 104

b) 105

c) 105

c) 106

d) 106

d) 107

e) 107 61

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9. Se um quadrado tem 7,7 cm de lado, a sua área é de: Alternativa b. a) 50,29 cm2

14. Todo número cuja representação decimal é infinita e não periódica é um número: Alternativa e. a) natural.

b) 59,29 cm2

b) inteiro positivo.

c) 59,19 cm2

c) racional.

d) 51,09 cm2

d) fracionário.

e) 50,09 cm2

e) irracional.

10. Sabe-se que a área de um terreno quadrado é 1 764 m2. Qual é o perímetro desse terreno? Alternativa b. a) 158 m b) 168 m c) 178 m d) 186 m e) 196 m 11. Os números x e y representam, respectivamente, as raízes quadradas exatas dos números 51,84 e 40,96. Com o auxílio de uma calculadora, descubra quanto vale x _ y. Alternativa d. a) 0,08 b) 8 c) 1,8 d) 0,8 e) 2,8 12. Dos números a seguir, qual deles é quadrado perfeito? Alternativa d. a) 151 b) 453 c) 20,44 d) 24 964 e) 3 804 13. O valor aproximado com uma casa decimal da raiz quadrada de 10 é: Alternativa d. a) 3,2

15. A representação decimal de um número pode ser: finita, infinita e periódica ou, ainda, infinita e não periódica. Escreva qual é o caso de cada um dos números a seguir. 27 Finita. 6 b) 0,23 Infinita e periódica. a)

c)

2 Infinita e não periódica.

16. Observe os números a seguir e responda às questões: 49 . Sim; 7 3 49 _97 1,25 _ 3 5 7 a) Alguns desses números pertencem ao conjunto dos números naturais? Qual? b) Quais números pertencem ao conjunto 49 dos números inteiros? _97; . 7 _ 3 c) Quais números são irracionais? d) Quais números são reais, mas não são racionais? _ 3 e) Quais números são reais, mas não são irracionais? 1,25; 49 ; _97; 3 . 7 5 17. Qual é o menor número natural que devemos multiplicar pelo número 60 para que o produto seja um número quadrado perfeito? Alternativa d. a) 2

b) 3,4

b) 3

c) 3,3

c) 5

d) 3,1

d) 15

e) 3,5

e) 60

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18. Sabendo que x 2 _ y2 = (x + y)(x _ y), calcule o valor de 9992 _ 1. Alternativa d. a) 1 000 000

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

20. O número p é classificado como: b) uma dízima periódica.

b) 999 999

c) um número racional.

c) 998 999

d) uma dízima não periódica.

d) 998 000

e) um número inteiro.

e) 990 000 19. Por qual número devemos dividir 105 125 para que o quociente tenha uma raiz quadrada exata? Alternativa b.

21. Ao calcular

310 + 38 10 resposta: Alternativa b.

obtemos como

a) 3

a) um número irracional maior que 50.

b) 5

b) o número natural 81.

c) 7

c) um número irracional menor que 100.

d) 15

d) a potenciação 37.

e) 21

e) um número racional.

UM NOVO OLHAR

Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento dessa Unidade poderão permitir, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados, reflexões a respeito das aprendizagens individuais. É interessante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber suas aprendizagens e possíveis dúvidas a respeito de cada conteúdo apresentado.

a) um número natural. Alternativa d.

Resoluções a partir da p. 289

Nesta Unidade, pudemos conhecer um pouco mais as potências e as raízes, como também aprofundar nossos conhecimentos explorando as propriedades da potenciação e o papel facilitador que ela desempenha nas operações. Trabalhamos com a potência de base 10, tópico em que pudemos perceber algumas aplicações voltadas à escrita de números grandes, como as distâncias entre o Sol e alguns planetas. Ampliamos nossos estudos sobre conjuntos, com o conjunto dos números reais, e foi possível explorar: a raiz quadrada de um número racional na forma decimal, os números quadrados perfeitos, a raiz quadrada de números racionais em sua forma exata e aproximada e os números irracionais. Pudemos relacionar a potência ao jogo de xadrez ao refletirmos sobre a lenda de Sissa, apresentada na abertura. Foi possível perceber o uso do conceito de potência para representar a capacidade de memória e armazenamento de alguns dispositivos. Vamos retomar o que estudamos e refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta Unidade, respondendo às questões a seguir no caderno.

• Foi possível perceber que, além de uma operação, a potência pode ser utilizada para representar números e resultados? Resposta pessoal. • Quantos bits tem um quilobyte (KB)? 8 000 bits ou 8 x 103 bits. • O que são os números quadrados perfeitos? Os números naturais que são quadrados de outros números naturais. • Como a potência de expoente 2 se relaciona com a raiz quadrada? Determinar a raiz quadrada de um número X é encontrar um número Y que, quando elevado ao quadrado, tem como resultado o número X. 63

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Triângulo de descarga: construção que permitia descarregar as pressões exercidas por grandes pesos que se encontravam por cima das portas dos túmulos e das cidadelas. No passado

Atualmente

EDITORIA DE ARTE

O triângulo é conhecido e usado há milênios pelo ser humano por conta de suas diversas aplicações. Por exemplo, a utilização de um triângulo retângulo para verificar se o ângulo de uma parede com o chão é 90°. Se a medida do ângulo for essa, dizemos que a parede está subindo “reta”, ou seja, perpendicular ao chão. Além disso, triângulos dão sustentação a construções, sejam elas metálicas ou de pedras, como você pode ver nas fotografias ao lado. Vamos entender o porquê disso? Construa com palitos de sorvete e percevejos um triângulo e um quadrado, tomando cuidado para deixar os vértices livres para girarem. Veja: S_MARIA/SHUTTERSTOCK.COM

ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Ângulos e triângulos

ALBUM ART/LATINSTOCK

GERAIS 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Agora, segurando em dois vértices do triângulo, puxe-os e empurre-os em sentidos opostos. Faça o mesmo com o quadrado. • O que você pôde notar? O que aconteceu com o triângulo? E com o quadrado? O triângulo não pôde ser deformado, diferentemente do quadrado.

STUART MAC FARLANE/ARSENAL FC/GETTY IMAGES

3

COMPETÊNCIAS

Os triângulos dão resistência às estruturas.

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HABILIDADES

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p. XXI e XXII

Geometria • EF08MA15 • EF08MA17

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Vela triangular: apareceu pela primeira vez na Idade Média. Não se sabe que nação foi a primeira a utilizá-la.

Abertura de Unidade Essa abertura leva os alunos a realizar uma reflexão a respeito da utilização dos triângulos no cotidiano, mais especificamente na área da construção civil (reforço e estabilidade de estruturas). Iniciar a aula discutindo com a turma que estrutura pode ser considerada firme e algumas características de estruturas que suportam muito mais do que pesam. Em seguida, pedir aos alunos para observar as imagens referentes ao uso do triângulo em outros contextos históricos.

AMPLIANDO Link Para auxiliar os alunos na compreensão do conceito de rigidez do triângulo, apresentar a eles um simulador, feito com o software de geometria dinâmica GeoGebra e disponível no site: <www. geogebra.org/m/BaEHfS85>. Acesso em: 12 nov. 2018.

RUBENS CHAVES/PULSAR

ONEJOTA/SHUTTERSTOCK.COM

Escrita cuneiforme gravada em pedra, feita pelos sumérios por volta de 3200 a.C. Repare na decomposição de triângulos.

ROYAL EXCHANGE ART ROYAL EXCHANGE ART GALLERY AT CORK STREET, LONDON/BRIDGEMAN/EASY PIX

IRAQ MUSEUM, BAGHDAD/BRIDGEMAN/EASYPIX

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Os triângulos são muito utilizados, por exemplo, na construção civil.

Repare no guindaste: sua estrutura permite a ele levantar massas maiores do que sua base de apoio.

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1

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Ângulos Retomar com os alunos onde podemos identificar ângulos no ambiente e pedir a eles que citem outras situações em que o ângulo aparece no cotidiano, por exemplo, o ângulo formado pela perna (o joelho seria o “vértice” do ângulo) ao se sentar em uma cadeira. Aproveitar a situação para comentar com os alunos os cuidados de postura que devem ser observados quando se sentam para estudar ou passam algum tempo utilizando o computador. Algumas dessas orientações estão no texto a seguir.

Vamos relembrar o conceito e as classificações de ângulos. Ângulo é toda região do plano, convexa ou não, determinada por duas semirretas de mesma origem.

região não convexa

região convexa

No ângulo desta figura, destacamos os seguintes elementos:

A

• O ponto O, origem das semirretas, denominado vértice do ângulo.

Braços Os cotovelos devem ser mantidos sempre junto ao corpo, ou seja, nem projetados para frente (braços esticados) e nem em posição de voo (cotovelos erguidos). Alinhe seus antebraços em um ângulo entre 100 e 110 graus com o teclado. Pense assim: se o seu cotovelo fosse o centro de um relógio, esses graus equivaleriam com o horário 12h20. Já os pulsos devem permanecer sempre retos (relaxados) e alinhados com o resto do braço. [...]

• As semirretas OA e OB denominadas lados do ângulo.

O

B

Para identificar esse ângulo, utilizamos a notação AÔB . vértice do ângulo

Os ângulos podem ser classificados conforme suas medidas. Vamos rever nos quadros a seguir essas classificações.

O

A

B

Ângulo reto med (AÔB) = 90°

Ângulo de meia-volta ou ângulo raso med (AÔB) = 180°

A

O

O

B

Ângulo agudo 0° , med (AÔB) , 90°

A

Ângulo de uma volta med (AÔB) = 360°

A

B

Ângulo obtuso 90° , med (AÔB) , 180°

A

A O

B

O

B

O

B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Ângulo nulo med (AÔB) = 0°

Fonte: VALIN, A. Como fazer para se posicionar corretamente em frente ao computador. Disponível em: <https://www. tecmundo.com.br/educacao/1361ergonomia-como-fazer-parase-posicionar-corretamenteem-frente-ao-pc.htm>. Acesso em: 12 nov. 2018.

Caso julgar pertinente, ler a reportagem completa com os alunos. Em seguida, solicitar a um aluno para seguir alguns comandos como se fosse um robô. Essa brincadeira ajuda a desenvolver e retomar as noções de lateralidade. Por exemplo: com o braço esticado para a frente, pedir a ele que gire 90° à direita, depois que gire 180° à esquerda e

ÂNGULOS

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assim por diante. Dar oportunidade para que outros alunos vivenciem o papel do robô e outros a voz de comando. Situações como essas podem levar os alunos a associar a definição de ângulo com a ideia de giro que é importante para o seu aprendizado.

Retomar a classificação de ângulos, com relação às medidas, junto aos alunos. Se julgar pertinente, fazer uma atividade rápida de construção de ângulos usando régua e transferidor.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos adjacentes

Ângulos adjacentes Relembrar o conceito de ângulos adjacentes com os alunos e auxiliá-los a identificar quando dois ângulos são consecutivos e quando são adjacentes e a representar dois ângulos consecutivos adjacentes. Por exemplo, na figura apresentada no livro do aluno, os ângulos AOB e AOC são consecutivos, mas não são adjacentes. Pedir aos alunos que façam a leitura do texto do livro do aluno de forma atenta e individual. Depois, perguntar se compreendem as nomenclaturas “ângulos consecutivos” e “ângulos adjacentes”. Estimular os alunos a expor suas dúvidas e a tentar esclarecer as dúvidas dos colegas. Valorizar a troca de informação e conhecimento para que efetivamente ocorra o aprendizado.

Vamos relembrar: dois ângulos que possuem o mesmo vértice e têm um lado comum são denominados ângulos consecutivos. Na figura a seguir, AÔB e BÔC são consecutivos. Eles têm em comum apenas um lado (OB), não tendo pontos internos comuns. C

B

O

A

Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são denominados ângulos adjacentes. Então, em nosso exemplo, AÔB e BÔC são adjacentes.

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo A bissetriz de um ângulo pode ser construída usando-se um software de geometria dinâmica como o GeoGebra. Para isso, construir um ângulo (pode ser uma medida qualquer ou uma medida pré-determinada pelo usuário), e, utilizando a ferramenta bissetriz, selecionar um ponto em um lado do ângulo, o vértice do ângulo e outro ponto no outro lado do ângulo. Caso julgue interessante, levar os alunos ao laboratório de informática para que eles possam realizar esse experimento na prática, utilizando o software de geometria dinâmica.

Seja o ângulo AOB da figura e med (AÔB) = 50°. !!" A partir do vértice O, traçamos OP que divide AÔB em dois ângulos adjacentes de mesma !!" medida. A OP damos o nome de bissetriz de AÔB. Observe:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A

A

P

25°

50° O

25° B

O

B

Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice desse ângulo que determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos complementares

Ângulos complementares, suplementares e ângulos opostos pelo vértice Dando continuidade ao estudo a respeito de ângulos, o objetivo desta página é levar os alunos a reconhecer, representar e relacionar ângulos complementares, ângulos suplementares e ângulos opostos pelo vértice. Pretende-se, também, que eles compreendam como determinar, a partir da medida de um ângulo, a medida de seu complemento e de seu suplemento. Solicitar aos alunos que façam a leitura individual do texto e relatem o que compreenderam. Pedir a eles que anotem a definição de ângulos complementares e suplementares. É interessante que alguns alunos sejam convidados para ir à lousa explicar como calcular a medida do complemento de um ângulo e a medida do suplemento de um ângulo. Estimular a troca de ideias nesse momento. Depois, apresentar dois ângulos adjacentes quaisquer na lousa e solicitar aos alunos que verifiquem se os ângulos dados são complementares e/ ou suplementares. No estudo de ângulos opostos pelo vértice, importante ressaltar a congruência entre eles.

Dois ângulos adjacentes são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90º. Na figura a seguir, AÔB e BÔC são adjacentes e complementares, e cada ângulo é chamado complemento do outro. C B O

A

Assim, se a med (AÔB) for igual a x, a medida de seu complemento (BÔC) será 90° _ x.

Ângulos suplementares Dois ângulos adjacentes são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Na figura a seguir, AÔB e BÔC são adjacentes e suplementares, e cada ângulo é chamado suplemento do outro. B

C

O

A

Dessa forma, se a med (AÔB) for igual a x, a medida de seu suplemento (BÔC) será 180° _ x.

Ângulos opostos pelo vértice

r a y

V b

x

s

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Consideremos duas retas r e s, que se cruzam em um único ponto V, formando quatro ângulos de medidas a, x, b e y, conforme mostra a figura a seguir. Os ângulos de medidas x e y são chamados ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.). Também são opostos pelo vértice os ângulos de medida a e b.

Se você usar um transferidor, verá que dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Observe a figura a seguir, em que AÅOD e BÅOC são ângulos opostos pelo vértice. A

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B m y

O

D

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• Como AÅOB e AÅOD são ad-

x

jacentes suplementares, temos que m + y = 180° (1).

C

Indicando por: x = med (BÅOC) y = med (AÅOD) m = med (AÅOB)

A

B y

D

• Como AÅOB e BÅOC são adja-

centes suplementares, temos que m + x = 180° (2). A

B

m

m

O

O

x

C

• Comparando (1) e (2), temos:

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m + y = 180° m + x = 180° m+y=m+x y=x Portanto, AÔD e BÔC têm a mesma medida. De modo análogo, é possível concluir que AÔB e CÔD são ângulos de medidas iguais.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

1. Observe os pares de ângulos suplementares destacados na figura e determine as medidas x e y indicadas. y = 80°; x = 130°.

9. Observe a figura e dê as medidas x e y indicadas.

y 50° 100°

2. Determine a medida do complemento de um ângulo de: a) 66° 24°

c) 22° 68°

b) 74° 16°

d) 47° 43°

3. Determine a medida do suplemento de um ângulo de: a) 78° 102° c) 135° 45° b) 67° 113°

80°

y

x

x = 80° e y = 100°. 10. Na figura abaixo, calcule as medidas x, y e z indicadas. x y

40° z

x = 140°, y = 40° e z = 140°. 11. Determine as medidas x e y indicadas na figura a seguir.

d) 139° 41°

4. A medida de um ângulo é igual à medida do seu complemento, aumentada de 70°. Qual é a medida desse ângulo? 80° 5. A medida de um ângulo é igual à terça parte da medida do seu suplemento. Qual a medida desse ângulo? 45° 6. Sabendo que a medida de um ângulo é igual ao quádruplo da medida do seu complemento, determine a medida desse ângulo. 72° 7. O triplo da medida de um ângulo é igual ao dobro da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse ângulo? 72° 8. A medida do suplemento de um ângulo é igual ao quádruplo da medida do complemento desse mesmo ângulo. Quanto mede esse ângulo? 60°

2x _ 100° y x + 30°

x = 130° e y = 20°. !##" !#" 12. Duas retas, AB e CD, são concorrentes em um ponto M, de tal modo que a medida de AM̂D representa a terça parte da medida de AM̂C. Determine as medidas dos quatro ângulos adjacentes, indicados na figura, formados com vértice no ponto M. D

B M

A

C

45°, 45°, 135° e 135°.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

x

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

y

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

Responda às questões no caderno.

Atividades As atividades deste bloco exploram a aplicação dos conceitos de ângulos complementares, suplementares e opostos pelo vértice. No estudo com ângulos, verificar as dificuldades que os alunos ainda apresentam em relação à resolução de equações, instrumento para obter as medidas de ângulos desconhecidos usando as propriedades estudadas a respeito desse tema. Desenvolver resoluções coletivas, propondo a alguns alunos que façam seus registros na lousa, enquanto o restante da sala descreve o que é exposto.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Triângulos A definição de triângulo e seus elementos é retomada nesta página. Relembrar com os alunos como nomear lados, vértices e ângulos de um triângulo. Verificar se eles percebem que o triângulo é um polígono que não possui diagonais. Em seguida, a classificação de triângulos em relação às medidas dos lados e em relação às medidas dos ângulos também é relembrada. Verificar se os alunos ainda apresentam alguma dúvida a respeito dessas nomenclaturas e saná-las. Para aprofundar a exploração a respeito dos triângulos, fazer alguns questionamentos, como: “É possível existir um triângulo com dois ângulos retos?”; “Um triângulo equilátero pode ser obtusângulo?”. Espera-se que os alunos respondam que não em ambos os casos. Na primeira questão, não é possível que um triângulo tenha dois ângulos retos, pois apenas esses dois ângulos somariam 180°, que é a soma total de todos os ângulos internos de um triângulo. Do mesmo modo, um triângulo equilátero não pode ser obtusângulo, pois um triângulo equilátero possui todos os ângulos de mesma medida. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, cada ângulo interno de um triângulo equilátero mede 60° (180° : 3). Portanto, o triângulo equilátero é um triângulo acutângulo.

TRIÂNGULOS Elementos de um triângulo Vamos destacar os seguintes elementos de um triângulo: a

A

• Vértices

EDITORIA DE ARTE

A

B

B

• Lados C

c

pontos A, B e C AB, AC e BC

• Ângulos internos

Â, B̂ e Ĉ

• Ângulos externos

â, b̂ e ĉ

C

b

Representação: *ABC

Classificação de triângulos Classificamos os triângulos em relação às medidas de seus lados ou às medidas de seus ângulos internos. Em relação às medidas dos lados, um triângulo é classificado como: Equilátero Quando os três lados têm medidas iguais.

Isósceles

Escaleno

Quando dois lados têm medidas iguais.

Quando os três lados têm medidas diferentes.

Em relação às medidas dos ângulos, um triângulo é classificado como: Acutângulo Quando os três ângulos internos são agudos (menores que 90º).

Retângulo Quando um dos ângulos internos é reto (medida igual a 90º).

Obtusângulo Quando um dos ângulos internos é obtuso (a medida é maior que 90º e menor que 180º).

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos no triângulo p e n s e e r e s p o nd a

Pense e responda Se possível, realizar com os alunos o experimento feito por Núbia para que eles relembrem, de forma intuitiva, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. Esse assunto já foi abordado em anos anteriores, a ideia é que seja retomado por meio desta atividade prática para que, em seguida, eles possam acompanhar a demonstração matemática desta propriedade.

Resoluções a partir da p. 289

Veja como Núbia determinou a soma dos ângulos internos de um triângulo. 2o passo: Em seguida, usou lápis de diferentes cores para destacar os três ângulos internos e os nomeou como a, b e c.

Ângulos no triângulo Se julgar necessário, retomar os conceitos de ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal: ângulos correspondentes, alternos internos, alternos externos, colaterais internos e colaterais externos. Esses conceitos serão utilizados na demonstração de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.

WANDSON ROCHA

1o passo: Núbia, com uma tesoura de pontas arredondadas, recortou um papel em um formato que lembra um triângulo.

3o passo: Depois, usando a mesma tesoura, recortou o triângulo, dividindo-o em três partes.

4o passo: Por último, juntou os três vértices em um único ponto.

Agora, faça o que se pede: 1. Utilizando uma folha de papel sulfite, uma tesoura de pontas arredondadas e lápis de cor, faça o mesmo trabalho de Núbia. Resposta pessoal. 2. Com o trabalho finalizado, responda no caderno: qual a soma dos ângulos internos de um triângulo? Pela montagem é possível verificar que, juntos, os três ângulos internos do triângulo formam um ângulo raso ou de meia-volta. Então: a + b + c = 180°. Agora, vamos usar os conhecimentos que adquirimos sobre ângulos formados por uma transversal com duas retas paralelas para demonstrar essa relação.

• Consideremos a representação do triângulo ABC seguinte: EDITORIA DE ARTE

A

B

a = med (Â) b = med (B̂) c = med (Ĉ)

a

b

c

Tracemos uma reta r, paralela à reta que contém o lado BC, passando por A. Essa paralela vai formar com os lados AB e AC dois ângulos cujas medidas indicaremos por m e n, respectivamente.

C

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS r

A m

a

n

r⁄BC h b

c

B

m = b (alternos internos) n = c (alternos internos)

C

Assim: m + a + n = 180° b + a + c = 180° Além dos ângulos internos, um polígono, como o triângulo, possui ângulos externos. Os ângulos externos são aqueles formados por um lado do polígono e pelo prolongamento de um lado consecutivo a ele. Considerando o triângulo ABC da figura a seguir, temos: z

A

• a, b, c são as medidas dos ângulos internos;

a

B

b

c

x C

y

• x, y, z são as medidas dos ângulos externos. Através da imagem, podemos observar que os ângulos a e z são adjacentes suplementares. O mesmo ocorre com os ângulos b e y e c e x.

Para o triângulo, existe uma relação entre a medida de um ângulo externo e as medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele. Vamos observar a figura seguinte, da qual estabelecemos que: A ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Nesta página é apresentada a demonstração da propriedade de que em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele. É importante que os alunos compreendam essa demonstração e a necessidade de realizá-la. Desse modo, aos poucos, os alunos vão se familiarizando com a linguagem matemática e abstração necessárias para realizar demonstrações. Como complemento ao conteúdo desta página e da anterior, entregar aos alunos uma folha com alguns triângulos desenhados, deixando espaço suficiente para que possam fazer os prolongamentos de seus lados, e pedir a eles que marquem os ângulos internos e tracem seus respectivos ângulos externos. Em seguida, nesta mesma folha com os triângulos desenhados, solicitar a eles que destaquem cada ângulo formado por um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele, e respondam: “Que tipos de ângulos foram destacados?” (Resposta esperada: Todos são ângulos rasos (180°)).

a

• x + c = 180° (adjacentes suplementares); B

b

c

x C

• a + b + c = 180° (soma das medidas dos ângulos internos).

Assim, temos: x + c = 180° a + b + c = 180°

x+c=a+b+c h x=a+b medida do ângulo externo

soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes

Em qualquer triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Em cada uma das representações dos triângulos, identifique o maior lado: A

a)

Atividades As atividades desse bloco têm como objetivo levar os alunos a utilizar as relações da soma das medidas dos ângulos internos e das medidas dos ângulos externos de um triângulo, verificar que cada ângulo interno de um triângulo é suplementar ao ângulo externo adjacente a ele, e que a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos não adjacentes a ele; e estabelecer as relações de desigualdade entre ângulos e lados de um triângulo. Desafio Para o desafio da atividade 9, se preferir, propor aos alunos que se organizem em duplas para discutir como encontrarão as medidas a, b, x e y. Propor aos alunos que reproduzam a figura no caderno. Em seguida, que a observem e descrevam os conceitos que podem ser usados para determinar as medidas solicitadas. Em seguida, pedir a eles que marquem na figura os triângulos que a compõem.

5. Calcule o valor de a na representação deste triângulo. 58° 116°

BC

80° a 40°

C

b)

N

PN

40°

P

110°

30°

6. Considerando a representação do triângulo ABC da figura, determine o valor de x. 50° A x

M

2x + 10° C

SAIBA QUE

Em qualquer triângulo, o maior ângulo opõe-se ao maior lado, e o maior lado opõe-se ao maior ângulo. 2. Considerando as medidas a, b, c e d indicadas na representação do triângulo, qual relação de igualdade podemos formar entre: R c a

a

b S

d

T

a) b, c e d? b) a e b? c) a, c e d? b + c + d = 180° a + b = 180° c+d=a 3. Num triângulo, as medidas de dois de seus ângulos internos são 72° e 81°. Qual é a medida do terceiro ângulo interno? 27° 4. As medidas, em graus, dos ângulos internos de um triângulo são expressas por (3x _ 48°), (2x + 10°) e (x _ 10°). Quanto mede o maior ângulo desse triângulo? 86°

60° B

7. Em um triângulo ABC, med (Â) = 72°. Sabendo que a medida do ângulo externo no vértice B é 125°, qual a medida do ângulo interno C? 53° 8. Considere um triângulo ABC, em que o ângulo externo no vértice A mede 116°, med (B̂) = x e med (Ĉ ) = x _ 20°. Determine as medidas dos três ângulos internos desse triângulo. 68°, 48° e 64°.

Resolução do Desafio

DESAFIO

9. Observe a figura a seguir e calcule o valor da expressão dada, utilizando todas as propriedades que forem necessárias: x+y+a+b b

135° x

110° y

75°

a

70°

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

B

60°

x + y + a + b = 180° 73

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Os ângulos de medidas x e 135° são ângulos suplementares, então x + 135° = 180°. Portanto, x = 45°. Os ângulos de medidas x, y e 110° são ângulos internos de um triângulo, então a soma dessas medidas é 180°. Como já calculamos o valor do ângulo x, temos: x + y + 110° = 180° 45° + y +110° = 180° y = 25° Os ângulos de medidas y, 75° e a formam um ângulo raso, então: y + 75° + a = 180° 25° + 75° + a = 180° a = 80° Por último, os ângulos de medidas a, b e 70° são ângulos internos de um triângulo, então: a + b + 70° = 180° 80° + b + 70° = 180° b = 30° Calculando o valor da expressão solicitada, temos: x + y + a + b = 45° + + 25° + 80° + 30° = 180°

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Altura de um triângulo Altura de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao lado oposto (ou ao seu prolongamento), formando um ângulo de 90° com esse lado (ou com seu prolongamento). A

AH À BC AH é a altura relativa ao lado BC. B

C

H

SAIBA QUE

Utilizamos o símbolo À para relacionar segmentos ou retas que formam um ângulo de 90°, ou seja, que são perpendiculares. A

AH À BC AH é a altura relativa ao lado BC. B

C

H

Todo triângulo possui três alturas, que se encontram em um único ponto denominado ortocentro. Observe as alturas e o ortocentro nos diferentes triângulos: • Triângulo acutângulo A H‘ ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Altura de um triângulo A partir daqui os alunos verão alguns elementos do triângulo, suas definições e suas características. Esses elementos serão muito úteis no desenvolvimento de outros assuntos dentro da Matemática nos anos seguintes de estudo. É importante que os alunos compreendam o conceito de cada um dos elementos, para que estejam aptos a construí-los em qualquer triângulo dado. No caso da altura, reforçar com os alunos que nem sempre a altura está na região interna do triângulo. Se possível, levar os alunos ao laboratório de informática para que eles realizem a construção das alturas de um triângulo utilizando o software de geometria dinâmica GeoGebra. Verificar se eles compreendem que é necessário entender o conceito de altura de um triângulo para realizar a construção. Para complementar, sugerir aos alunos que acessem o site <https://www.geogebra.org/m/ QvcF2vcb> (acesso em: 14 nov. 2018), que disponibiliza um simulador em que é possível visualizar as alturas e o ortocentro de um triângulo, alterando as posições de seus vértices.

H’ O

B

H

AH

altura relativa ao lado BC

BH‘

altura relativa ao lado AC

CH“

altura relativa ao lado AB

O

ortocentro: ponto de encontro das alturas do *ABC

C

Note que, nesse caso, o ortocentro pertence à região interna do triângulo e não coincide com nenhum de seus vértices. 74

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

• Triângulo obtusângulo

Mediana de um triângulo Inicialmente, apresentar aos alunos o conceito de ponto médio. Em seguida, explicar a definição e construção da mediana de um triângulo. Verificar se os alunos compreendem o conceito e apresentam alguma dúvida. Novamente, utilizar o recurso do software de geometria dinâmica pode auxiliar no processo de aprendizagem do aluno. Outra opção é solicitar aos alunos que acessem o site <https://www.geogebra. org/m/fQFRXaaF> (acesso em: 14 nov. 2018), que apresenta um simulador em que é possível visualizar as medianas e o baricentro do triângulo, alterando a posição dos vértices. Caso julgar interessante, comentar com os alunos que o baricentro de um triângulo é também o seu centro de massa. Essa abordagem pode ser feita em conjunto com o professor de Ciências.

A H‘

H

B

C

AH

altura relativa ao lado BC

BH‘

altura relativa ao lado AC

CH“

altura relativa ao lado AB

O

ortocentro do *ABC

H’

O

Note que, nesse caso, o ortocentro não pertence à região interna do triângulo. • Triângulo retângulo C H

B

AH

altura relativa ao lado BC

CA

altura relativa ao lado AB

BA

altura relativa ao lado AC

A

ortocentro do *ABC

A

Note que, nesse caso, duas das alturas coincidem com os lados AC e AB, e o ortocentro coincide com o vértice A.

Mediana de um triângulo Antes de iniciarmos o estudo de mediana, precisamos entender o que é o ponto médio de um segmento. Um ponto M, pertencente a AB, é denominado ponto médio deste segmento se M divide AB em dois segmentos congruentes. A

M

B

Nesta figura, M é o ponto médio do segmento AB. Então AM 2 MB. Agora que sabemos o que é o ponto médio de um segmento, vamos estudar a mediana.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. A

BM 2 MC h M é o ponto médio de BC. AM é a mediana relativa ao lado BC do *ABC. B

M

C

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Bissetriz de um triângulo Assim como foi feito para os elementos anteriores, explicar aos alunos o conceito e a construção da bissetriz de um triângulo e verificar se eles apresentam alguma dificuldade. Neste caso, comentar com os alunos que a definição de bissetriz de um triângulo é bastante parecida com a definição de bissetriz de um ângulo, vista na página 67. A ideia é a mesma, dividir o ângulo em duas partes de mesma medida. Para complementar, sugerir que os alunos acessem o site <https://www.geogebra. org/m/BhZqWYgt> (acesso em: 14 nov. 2018) para realizar explorações no GeoGebra envolvendo as bissetrizes e o encentro de um triângulo. Para auxiliar os alunos a visualizarem a propriedade do triângulo isósceles mencionada, apresentar a eles o simulador disponível em: < h t t p s : / / w w w. g e o g e b r a . org/m/dfpXWbxM> (acesso em: 14 nov. 2018.). Nele é possível movimentar os vértices de um triângulo isósceles e verificar que a altura, a mediana e a bissetriz relativas à base desse triângulo coincidem.

Todo triângulo possui três medianas, que se encontram em um único ponto denominado baricentro. A

M

M‘

G

B

C

M’

AM“

mediana relativa ao lado BC

BM‘

mediana relativa ao lado AC

CM

mediana relativa ao lado AB

G

baricentro: ponto de encontro das medianas do *ABC

O baricentro, diferentemente do ortocentro, é sempre um ponto interno do triângulo.

Bissetriz de um triângulo Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice do triângulo ao seu respectivo lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos de mesma medida. A

A S

B

C

S

B

C

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

BÂS 2 CÂS

BĈS 2 SĈA

AS é a bissetriz relativa ao ângulo A.

CS é a bissetriz relativa ao ângulo C.

Todo triângulo possui três bissetrizes, que se encontram em um único ponto denominado incentro. A S‘

S”

I

B

AS

bissetriz relativa ao ângulo A

BS‘

bissetriz relativa ao ângulo B

CS“

bissetriz relativa ao ângulo C

I

incentro: ponto de encontro das bissetrizes do *ABC

C

S

Em geral, as alturas, as medianas e as bissetrizes de um triângulo não coincidem, a não ser nos triângulos isósceles e equiláteros. A

AH

B

H

a altura, a mediana e a bissetriz relativas ao lado BC coincidem

C

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Mediatriz Já sabemos que o ponto médio de um segmento o divide em dois segmentos congruentes. Na figura a seguir o ponto M, pertencente a AB, é o ponto médio deste segmento, pois AM 2 MB. A

M

B

A

SAIBA QUE

B

M

Qualquer ponto da reta mediatriz tem a mesma distância de A e de B. Assim, a mediatriz é o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes de A e de B.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A reta perpendicular ao segmento AB e que passa pelo ponto M é chamada reta mediatriz de AB.

Mediatriz de um lado de um triângulo é a reta perpendicular a esse lado que passa pelo seu ponto médio. A reta r é a mediatriz do lado BC no triângulo ABC. r A

B

P

C

Todo triângulo possui três mediatrizes, que se encontram em um único ponto denominado circuncentro. r A

s

M

t

N O

B

P

C

r

mediatriz do lado BC

s

mediatriz do lado AC

t

mediatriz do lado AB

O

circuncentro: ponto de encontro das mediatrizes do *ABC

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Mediatriz Inicialmente, apresentar o conceito de reta mediatriz. A partir daí, explicar o conceito e a construção da mediatriz de um triângulo. Verificar se os alunos compreendem a diferença entre a definição de mediana de um triângulo e de mediatriz de um triângulo. Se julgar necessário, promover um debate com a turma para que eles possam explicar aos colegas essa diferença. Alguns pontos que podem auxiliar para o desenvolvimento dessa discussão: • A mediatriz é uma reta; já a mediana é um segmento de reta. • A mediatriz não passa necessariamente pelo vértice oposto do lado a que ela se refere. Já o vértice e o ponto médio do lado oposto são necessariamente as extremidades da mediana. • A mediatriz necessariamente passa pelo ponto médio do lado do triângulo e forma um ângulo reto com esse lado. Já a mediana, também passa pelo ponto médio do lado do triângulo, mas pode ou não formar um ângulo reto com esse lado. Observando os triângulos que os alunos já trabalharam, discutir em que condições a reta mediatriz contém a mediana relativa ao mesmo lado. Espera-se que os alunos respondam que isso ocorre quando o triângulo é isósceles e, em particular, quando ele é equilátero. Solicitar aos alunos que acessem o site <https://www. geogebra.org/m/bePR4ACr> (acesso em: 14 nov. 2018) para que explorem as mediatrizes e o circuncentro de um triângulo, alterando a posição dos vértices.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

PARA QUEM QUER MAIS

Para quem quer mais Com antecedência, pedir aos alunos que levem os materiais necessários para desenvolver a atividade proposta nessa seção. Por meio da manipulação e da observação de cada etapa, será possível perceber os conceitos abordados anteriormente. Caso julgue interessante, solicitar aos alunos que realizem dobraduras para representar os demais elementos do triângulo vistos anteriormente. As orientações para realizar essa atividade estão na atividade complementar a seguir. Após o estudo desses elementos, realizar alguns questionamentos como: “Em quais condições a mediana, a altura e a bissetriz, relativas ao mesmo lado, coincidem?”. Espera-se que os alunos cheguem à conclusão de que isso acontece nos triângulos isósceles e equiláteros. Se julgar conveniente, comentar com os alunos que o ortocentro, o baricentro, o incentro e o circuncentro são chamados de pontos notáveis do triângulo.

Usando dobraduras É possível representar os elementos de um triângulo usando dobraduras. Nesta atividade vamos obter as bissetrizes e o incentro de um triângulo. Você vai precisar de: • • • • •

papel sulfite tesoura com pontas arredondadas lápis esquadro transferidor

1o passo: Recorte um triângulo qualquer. 2o passo: Para obter a bissetriz de um ângulo do triângulo, dobre-o sobrepondo dois lados.

bissetriz

bissetriz

3o passo: Obtenha, da mesma maneira, as três bissetrizes dos ângulos internos. 4 o passo: Marque o ponto I onde elas se encontram. Esse ponto é o incentro do triângulo.

a = 90°

AMPLIANDO

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Investigação 1: Pegue um compasso, coloque a ponta-seca no incentro, abra-o até o ponto mais próximo de um dos lados e trace a circunferência. A circunferência toca cada lado do triângulo em um só ponto? Registre no caderno. Sim.

Investigação 2: Recorte um triângulo e, por dobradura, obtenha uma das bissetrizes dos ângulos internos. De um ponto qualquer da bissetriz, trace um segmento de reta até um dos lados que formam o ângulo dividido pela bissetriz de forma que esse segmento de reta seja perpendicular ao lado escolhido (dica: use esquadro e régua).

Atividade complementar Veja, em cada sequência a seguir, como representar, por dobradura, vários elementos de um triângulo. Para fazer estas atividades, você vai precisar de: • papel sulfite; • tesoura com ponta arredondada; • lápis; • esquadro; • transferidor.

Partindo do mesmo ponto escolhido anteriormente, faça o mesmo com o outro lado que forma o ângulo. Dobre novamente o triângulo na bissetriz. Os dois segmentos traçados têm o mesmo comprimento? Repita o processo em diferentes pontos da bissetriz. O que é possível observar? Sim. Os dois segmentos traçados possuem sempre o mesmo comprimento.

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altura

altura

Investigação: Meça os ângulos que cada altura forma com o lado que contém o seu pé. Quanto mede cada um desses ângulos? Registre no caderno. (Resposta: 90°) Dobradura 2: Representando medianas/baricentro:

pé da altura

• Recorte um triângulo como esse e, por dobradura, represente as três alturas desse triângulo. • Marque o ponto O onde as três alturas se encontram. Esse ponto é o ortocentro do triângulo.

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mediana

pé da altura

ponto médio do lado

mediana

ponto médio do lado

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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Dobradura 1: Representando alturas/ortocentro:

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Sendo AH a altura do *ABC, determine as medidas x e y.

5. No *MPQ, MX e PY são bissetrizes. Calcule as medidas a, b e c. M Y

a y

x

c

x = 20° e y = 50°.

70° B

H

C

2. No *MNP, MA é a bissetriz relativa ao lado PN. Qual a medida de PM̂A? 50° P 35°

A N

45°

b

35°

P 40°

a = 115°, b = 80° e c = 65°.

30°

A

Q

X

6. Em um *ABC, o ângulo B mede 60°, e o ângulo C mede 20°. Calcule a medida do ângulo formado pela altura relativa ao lado BC e a bissetriz do ângulo A. 20° 7. Considere duas retas paralelas, r e s. Destacamos um segmento AB em uma das retas e traçamos vários triângulos com base AB e um vértice na outra reta paralela. Veja: C

D

E

F

G

I r

H

Atividades O objetivo das atividades propostas é levar os alunos a identificar e representar a mediana, a altura e a bissetriz de um triângulo, revelando o ponto de encontro entre elas e resolvendo problemas em que esses elementos estão envolvidos. Na atividade 4, organizar os alunos em duplas e pedir a eles que desenhem no caderno o triângulo apresentado, com suas bissetrizes e ângulos. A troca de ideias entre eles é bastante importante para determinarem a solução do problema. Na atividade 7, pode haver pequena variação nas medidas, conforme a precisão da régua usada e das medições efetuadas.

M

3. Na figura, AH é uma altura, e BI é outra altura. Determine as medidas a, b e c indicadas. c

a = 30°, b = 30° e c = 60°.

I

b 60°

a

B

C

H

4. No *ABC a seguir, med (B̂) = 60° e med (Ĉ ) = 40°. Sabendo que BD e CE são as bissetrizes relativas aos lados AC e AB, respectivamente, determine as medidas x e y. A

Usando a régua, responda: a) Qual a medida do lado comum AB? 1,5 cm b) Qual a medida da altura relativa ao lado AB de todos os triângulos traçados? O que você observou? c) Qual dos triângulos traçados tem: • o menor perímetro? • o maior perímetro? *AFB; *ACB e *AIB. 8. Na figura, AD é bissetriz relativa ao ângulo A, e AH é altura relativa ao lado BC. Determine as medidas a, b e c indicadas. A

x = 80° e y = 130°.

x

y B

C

a = 90°, b = 50° e c = 95°.

b

D

E

B

B

45°

a

c HD

35°

C

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A

s A

2,6 cm; todos possuem a mesma medida de altura. 79

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• Recorte um triângulo e, por

dobradura, represente as três medianas. • Marque o ponto G onde elas se encontram. Esse ponto é o baricentro do triângulo. Investigação: Para cada mediana, meça as distâncias do ponto médio do lado ao baricentro e do baricentro ao vértice. Qual é, nessa ordem, a razão

entre essas distâncias? Registre 1 no caderno. [Resposta: ] 2 Dobradura 3: Obtendo mediatrizes/circuncentro:

• Recorte um triângulo e, por

dobradura, represente as suas três mediatrizes. • Marque o ponto C onde elas se encontram. Esse ponto

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é chamado circuncentro do triângulo. Investigação: Cole o triângulo no caderno e, em seguida, pegue o compasso, coloque a ponta seca no circuncentro, abra-o até um dos vértices e trace a circunferência. Ela passa pelos outros vértices? Registre no caderno. (Resposta: Sim.)

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Figuras congruentes Nesta página, o conceito de figuras congruentes e polígonos congruentes é apresentado brevemente para que o conceito de triângulos congruentes possa ser apresentado em seguida aos alunos. Verificar se os alunos assimilam o conteúdo apresentado, pois ele será utilizado como base para a explanação de triângulos congruentes.

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Figuras congruentes Observe as figuras geométricas:

Vamos sobrepor uma figura à outra:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Notamos que as duas figuras, quando sobrepostas, coincidem exatamente. Nesse caso, dizemos que as figuras são congruentes. O mesmo ocorre com polígonos, ou seja, dois polígonos com o mesmo número de lados são congruentes quando podemos sobrepor um ao outro exatamente, fazendo que coincidam.

Os polígonos representados se sobrepõem exatamente; logo, são congruentes e apresentam lados com a mesma identificação congruentes e ângulos de mesma cor congruentes. 80

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Triângulos congruentes Considere os triângulos abaixo:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

P

A

M

C

B

N

Nesses triângulos, temos: Â 2 M̂

 e M̂ são ângulos correspondentes

B̂ 2 N̂

B̂ e N̂ são ângulos correspondentes

Ĉ 2 P̂

Ĉ e P̂ são ângulos correspondentes

BC 2 NP

BC e NP são lados correspondentes

AC 2 MP

AC e MP são lados correspondentes

AB 2 MN

AB e MN são lados correspondentes

Triângulos congruentes Nesta página, é apresentado o conceito de triângulos congruentes. Verificar se os alunos compreendem o conceito, pois ele será bastante utilizado em vários momentos de seu aprendizado nos próximos anos. Se possível, como atividade complementar, levar os alunos ao laboratório de informática e solicitar que eles resolvam, em duplas, as atividades propostas no site <https://www.geoge bra.org/m/fBy4dZmC> (acesso em: 14 nov. 2018). É interessante notar que os alunos terão a oportunidade de testar suas conjecturas utilizando simuladores feitos com o GeoGebra antes de elaborar as respostas para as perguntas feitas.

Dois triângulos são congruentes quando têm os lados e os ângulos correspondentes congruentes. Observe os triângulos ABC e MNP: A

M

B

C

Ĉ 2 P̂

P

AB 2 MN

 2 M̂ B̂ 2 N̂

N

e

AC 2 MP

h

*ABC 2 *MNP

BC 2 NP símbolo de congruência

Como todos os lados correspondentes e todos os ângulos correspondentes são congruentes, os triângulos ABC e MNP também são congruentes. 81

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Casos de congruência de triângulos Para saber se dois triângulos são congruentes, verificamos se os seus lados e seus ângulos correspondentes são congruentes. No entanto, existem condições que, uma vez satisfeitas, garantem a congruência de dois triângulos sem a necessidade de verificar a congruência entre os seis elementos (3 ângulos e 3 lados). Essas condições são chamadas casos de congruência de triângulos. Vejamos quais são esses casos. 1o caso: Lado, Lado, Lado (LLL). São congruentes dois triângulos que possuem os três lados correspondentes congruentes. A

M

B

C

AB 2 MN AC 2 MP BC 2 NP

(L) (L) (L)

N

P

h *ABC 2 *MNP

2o caso: Lado, Ângulo, Lado (LAL). São congruentes dois triângulos que possuem dois lados e o ângulo compreendido entre esses lados correspondentes congruentes. A

M

B

C

AB 2 MN B̂ 2 N̂ BC 2 NP

(L) (A) (L)

N

P

h *ABC 2 *MNP

3o caso: Ângulo, Lado, Ângulo (ALA). São congruentes dois triângulos que possuem dois ângulos e o lado compreendido entre esses ângulos correspondentes congruentes. A

M

B

C

B̂ 2 N̂ BC 2 NP Ĉ 2 P̂

(A) (L) (A)

N

P

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Casos de congruência de triângulos Para que os alunos compreendam os casos de congruência de triângulos, propor atividades de construção e demonstrações geométricas, levantando algumas hipóteses para serem verificadas por eles. Por exemplo: a) Se apenas um par de elementos correspondentes de dois triângulos for conhecido, poderemos afirmar que esses triângulos são congruentes? Para responder a essa atividade, pedir aos alunos que construam dois triângulos que tenham: • conhecida apenas a medida de um lado, de medida 4,5 cm; • conhecida apenas a medida de um ângulo interno, de medida 45°. Após a construção dos triângulos pedidos e a discussão em grupo a respeito das observações que fizeram na atividade, eles deverão perceber que há a possibilidade de se construir infinitos triângulos não congruentes. b) Saber apenas que dois elementos de um triângulo são congruentes a dois elementos correspondentes de outro triângulo é suficiente para determinar que dois triângulos são congruentes? Para responder a essa atividade, pedir aos alunos que, organizados em grupos, construam dois triângulos. • Conhecidos apenas dois lados correspondentes congruentes, de medidas 3,0 cm e 5,0 cm, respectivamente. • Conhecidos apenas dois ângulos internos correspondentes congruentes, de medidas 45° e 80°, respectivamente. • Conhecidos apenas um lado e um ângulo interno respectivamente congruentes, de medidas 3 cm e 30°. Eles deverão concluir que é possível construir infinitos triângulos não congruentes sabendo apenas que dois elementos de um triângulo são congruentes a dois elementos correspondentes de outro triângulo.

h *ABC 2 *MNP

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

4o caso: Lado, Ângulo Adjacente, Ângulo Oposto (LAAO). São congruentes dois triângulos que possuem um lado, um ângulo adjacente a esse lado e o ângulo oposto a esse lado correspondentes congruentes. A

Caso de congruência no triângulo retângulo Após a apresentação dos casos de congruência de triângulos, apresentar o caso da congruência no triângulo retângulo. Como aprofundamento, verificar se os alunos conseguem explicar por que esse caso de congruência só vale para triângulos retângulos. Estimule-os a apresentar um exemplo que mostre esse fato.

M

B

C

BC 2 NP B̂ 2 N̂ Â 2 M̂

N

(L) (A) (AO)

P

h *ABC 2 *MNP

Caso de congruência no triângulo retângulo Já vimos que um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno reto (medida igual a 90°). No triângulo retângulo, os lados recebem nomes especiais: • O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. • Os lados que formam o ângulo reto são chamados catetos. C

med (Â) = 90°

hip

cateto

ot

A

en

med (B̂) , 90°

us

a

med (Ĉ) , 90° B

cateto

A

M

B

C

 2 M̂ AB 2 MN BC 2 NP

N

P

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

São congruentes dois triângulos retângulos que possuem a hipotenusa e um dos catetos respectivamente congruentes.

ângulos retos catetos

h *ABC 2 *MNP

hipotenusas

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Utilização dos casos de congruência Podemos utilizar os casos de congruência para determinar elementos desconhecidos nos triângulos e demonstrar propriedades importantes da Geometria. Acompanhe a situação a seguir. 1 Na figura, AB//DE, e C é ponto médio de AD. Determinar os valores de x e y. D 60° B

5 cm

7 cm

C

x

y

E

60° A

Como C é ponto médio de AD, AC 2 CD. Como AĈB e DĈE são ângulos opostos pelo vértice (opv), AĈB 2 DĈE. Vamos, então, comparar os triângulos ABC e DEC.

60° B

5 cm

7 cm C

x

y

E

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

D

60° A

Observamos que: • Â 2 D̂ (60°)

(A)

• AC 2 CD (C é ponto médio)

(L)

• AĈB 2 DĈE (o.p.v.)

(A)

Pelo caso ALA, temos que *ABC 2 *DEC. Logo, os lados correspondentes são congruentes, ou seja, BC 2 EC e AB 2 DE. Portanto, x = 5 cm e y = 7 cm. 84

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Os triângulos ABC e MNP são congruentes. Pelas indicações, determine o caso de congruência e as medidas x e y.

Atividades Esse bloco de atividades tem como objetivo levar os alunos a reconhecer triângulos congruentes e a aplicar os casos de congruência de triângulos.

6. (Saresp-SP) Nos triângulos LUA e AMO os elementos congruentes estão assinalados com marcas iguais. L

A

O

M A N 60°

30°

C

y

Caso LAL; x = 60° e y = 30°.

P

U

2. Na figura, B̂ 2 Ê e AB 2 DE. Nessas condições, determine as medidas x e y.

Sabendo que UA = 10 cm e LA = 8 cm, pode-se dizer que AO e MO medem, respectivamente: Alternativa c. a) 10 cm e 10 cm c) 8 cm e 10 cm

B y x

A

4 cm

b) 10 cm e 8 cm

D

C

m E

3. No *ABC, AB 2 AC e BD 2 DC. Nessas condições, mostre que: a) x = y Resposta no b) B̂ 2 Ĉ final do livro. B

A A

x y

M B

C

D

M P B

A

D

Resposta no final do livro.

4. Na figura, AC 2 MN e Ĉ 2 N̂. Prove que AB 2 MP. C

d) 8 cm e 8 cm

7. Na figura, Â 2 B̂ e AM 2 MB. Prove que M é ponto médio de CD.

5c

x = 4 cm e y = 5 cm.

M

Resposta no final do livro.

N

C

8. A figura mostra um retângulo no qual M é o ponto médio do lado BC. Prove que o triângulo AMD é isósceles. C

M

B

5. Os triângulos ABC e DBC da figura apresentam os ângulos congruentes assinalados com marcas iguais. Nessas condições, mostre que os triângulos ABC e DBC são congruentes. A

São congruentes pelo cao LAAO.

B

C

D

D

A

Resposta no final do livro.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

B

x

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Propriedades do triângulo isósceles Explorar as propriedades do triângulo isósceles, construindo a altura, a mediana e a bissetriz usando um software de geometria dinâmica. Com o auxílio do computador, esse trabalho de constatação das propriedades é mais facilmente visualizado pelos alunos para melhor apropriação por parte deles.

PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS Propriedades do triângulo isósceles

Já estudamos que um triângulo isósceles possui dois lados congruentes. Agora, vamos ver que alguns elementos desses triângulos recebem nomes especiais: A

• O lado com medida diferente é chamado base. • Os ângulos adjacentes à base são chamados ângulos da base. • O ângulo oposto à base é chamado ângulo do vértice. Os triângulos isósceles possuem duas propriedades importantes:

B

C

1a propriedade: em todo triângulo isósceles, a mediana, a altura relativa à base e a bissetriz do ângulo do vértice coincidem. Seja o *ABC isósceles, com AB 2 AC, e a mediana AM relativa à base BC. Queremos demonstrar que AM é também a altura relativa à base BC e a bissetriz do ângulo A. A

Comparando os triângulos ABM e ACM, temos: • AB 2 AC (lados congruentes do triângulo isósceles) (L) • BM 2 MC (M é ponto médio de BC)

(L)

• AM 2 AM (lado comum) Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM.

(L)

a1 a2

B

m1

m2 M

C

2a propriedade: em todo triângulo isósceles os ângulos da base são congruentes. O triângulo ABC é um triângulo isósceles com AB 2 AC, e AM é a mediana relativa ao lado BC. A Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM. Então, todos os elementos do *ABM são congruentes com seus correspondentes no *ACM. Em particular: B̂ 2 Ĉ (ângulos da base do triângulo isósceles).

B

M

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Como *ABM 2 *ACM, temos: a1 = a2 h BÂM 2 MÂC h AM é bissetriz de  (ângulo do vértice). m1 = m2 e m1 + m2 = 180° h m1 = m2 = 90° h AM é altura relativa a BC (base).

C

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedade do triângulo equilátero

Propriedade do triângulo equilátero O triângulo equilátero é o mais particular de todos os triângulos, pois a altura, a mediana e a bissetriz referentes a todos os seus ângulos internos coincidem, além de todos os ângulos internos serem congruentes. Para ampliar e enriquecer o trabalho com triângulos, propor uma atividade em que os alunos terão a oportunidade de rever, discutir e registrar o que aprenderam até esse momento. Organizar a turma em grupos de quatro ou cinco alunos e pedir a eles que elaborem uma lista, descrevendo tudo o que sabem a respeito dos triângulos. Eles poderão, por exemplo, apresentar nessa lista os diversos tipos de triângulo que conhecem e as respectivas propriedades. Assim que terminarem de organizar a lista, pedir a um aluno de cada grupo que relacione na lousa os triângulos que conhecem, bem como suas propriedades já estudadas, comentando e registrando as conclusões do grupo. Com essa atividade, os alunos podem refletir a respeito do que sabem, trocando conhecimento com os colegas.

Agora vamos estudar uma propriedade do triângulo equilátero: em todo triângulo equilátero os três ângulos internos são congruentes, medindo 60° cada um. Vamos demonstrar essa propriedade. Seja um triângulo ABC equilátero (AB ! AC ! BC) e a mediana AM relativa à base BC. A

Comparando os triângulos ABM e ACM, temos: • AB ! AC (lados do triângulo equilátero) (L)

B

• BM ! MC (M é ponto médio de BC)

(L)

• AM ! AM (lado comum)

(L)

C

M

Pelo caso LLL, temos que *ABM 2 *ACM. Então, B̂ 2 Ĉ.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A

Traçamos a mediana BM‘. Comparando os triângulos BAM’ e BCM’, temos: • BA ! BC (lados do triângulo equilátero) (L)

M‘

B

C

• AM‘ ! M‘C (M’ é ponto médio de AC)

(L)

• BM‘ ! BM‘ (lado comum)

(L)

Pelo caso LLL, temos que *BAM’ ! *BCM’. Então, Â 2 Ĉ.

De 1 e 2 vem:

1

B̂ 2 Ĉ Â 2 Ĉ

2

h  2 B̂ 2 Ĉ

Como med (Â) + med (B̂) + med (Ĉ) = 180° (soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo), temos: med (Â) ! med (B̂) ! med (Ĉ) !

180° ! 60° 3

Portanto, os três ângulos internos são congruentes, medindo 60º cada um. 87

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Atividades As atividades desse bloco têm como objetivo levar os alunos a aplicar as propriedades estudadas para triângulos isósceles e equiláteros. Observar se eles compreenderam as propriedades e, se julgar necessário, retomar alguns conceitos. Você poderá ainda solicitar a algum aluno que tenha compreendido tais conceitos para ser tutor de seus colegas. Desafio No desafio da atividade 8, pedir aos alunos que reproduzam a figura no caderno e registrem cada etapa necessária para se chegar ao valor da expressão dada. Se preciso, pedir a eles que revejam os conceitos e as propriedades dadas. Resolução do Desafio

Como x é um ângulo interno de um triângulo equilátero, então x = 60°. Observando a figura, sabemos que x e y são ângulos complementares, então temos: x + y = 90° 60° + y = 90° y = 30° Como o triângulo ADE é isósceles, então os ângulos da base são congruentes. Considerando esse triângulo, temos: y + z + z = 180° 30° + 2z = 180° z = 75° Portanto, x + y + z = 60° + + 30° + 75° = 165°.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Em um triângulo isósceles, um dos ângulos internos mede 106°. Quanto medem os outros dois ângulos desse triângulo? 37° cada um. 2. Na figura, a representação do triângulo ABC é isósceles, com AB 2 BC. Calcule as medidas x e y indicadas na figura. x = 67° e y = 46. A

x

67°

y

B

C

3. A figura mostra dois trechos de 600 km cada um (linha cheia) percorridos por um avião. Qual é o valor de x, medida do ângulo BCA? 22°30’ A 135°

C

x

B

B 5. Você já sabe que, em um triângulo isósceles, a altura e a mediana x relativas à base e a bissetriz do ângulo do vértice coincidem. No triângulo isósceles ABC da figura, no qual 73° os lados BA e BC são A M C congruentes, BM é a mediana relativa à base AC. Qual é o valor da medida x indicada? 17°

6. Sabe-se que a representação do pentágono ABCDE da figura é regular (os 5 lados e os 5 ângulos internos são congruentes). Sabendo A que a medida do x ângulo EAB é 108°, E B qual é o valor de x, medida do ângulo AEB indicado na D C figura? 36° 7. Na figura, temos que AB e CD são paralelos, e o triângulo ACD é isósceles. Determine as medidas a, b e c indicadas na figura. a = 20°, b = 40° e c = 50°.

4. Caio saiu de um ponto A, passou pelo ponto B, caminhou de B até C e retornou ao ponto A, conforme mostra o esquema. Considerando que as distâncias AB e AC são iguais, calcule a medida x do ângulo BAC. 50° B

A

110° A

C

c

20° a

C

a D

DESAFIO

65°

x

B

b

8. O quadrilátero ABCD D é um quadrado, e o z triângulo ABE é equilátero. Nessas condições, y calcule o valor da x expressão x + y + z. A Registre no caderno. 165°

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

E C E

B

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS

Construções geométricas Para realizar uma aula de construções geométricas, solicitar previamente aos alunos que tragam régua e compasso para a sala de aula. Antes de iniciar o trabalho, certificar-se de que o grafite do compasso esteja na mesma altura da ponta-seca. Além disso, o ideal é trabalhar com a ponta do compasso chanfrada, ou seja, lixada a 45° para fora. Se preferir, distribuir folhas de papel sulfite para que os alunos realizem as construções.

Veja no material audiovisual o vídeo sobre bissetriz e mediatriz.

Faça, em seu caderno, as etapas indicados a seguir, de uma construção geométrica. Para isso, você precisará de lápis, compasso, borracha e régua.

Construção 1: 1o passo: Desenhe um ângulo qualquer.

2o passo: Com a ponta-seca do compasso no vértice O, trace um arco com uma abertura qualquer e determine os pontos C e D.

A

AMPLIANDO Link No site “Portal do saber”, desenvolvido pela OBMEP, há diversos vídeos que ensinam construções geométricas básicas. A aula 1 trata da construção de ângulos. Disponível em: <http://livro.pro/upoi2z>. Acesso em: 10 nov. 2018.

A C

O O B

D B

3o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto C, trace um arco de abertura qualquer, entre as duas semirretas que formam o ângulo.

4 o passo: Com a mesma abertura do passo anterior, coloque a ponta-seca do compasso no ponto D, trace um arco que se encontre com o arco formado no passo 3, marcando o ponto E.

NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo a respeito de bissetriz e mediatriz. Nesse vídeo abordam-se os conceitos de bissetriz de um ângulo e mediatriz de um segmento de reta, bem como a construção geométrica dessas figuras com o auxílio de régua e compasso.

A

A

E

O

O

D

D B

B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE, ALEX ARGOZINO

C

C

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A C

5o passo: Com a régua, trace a semirreta, com origem no ponto O e passe pelo ponto E.

E

O D B

• OC ! OD, pois os pontos C e D foram marcados através de um mesmo arco de uma circunferência com centro em O.

C E

O

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Agora vamos fazer uma investigação. Para isso, vamos observar a construção final sem os arcos e vamos marcar o *OCE e o *ODE. Dessa construção podemos afirmar que:

D

• CE ! DE, pois o ponto E foi marcado usando o compasso sem modificar sua abertura. • OE é lado comum aos dois triângulos. Dessa forma, pelo critério LLL o *OCE e o *ODE são congruentes. Portanto, podemos afirmar que CÔE 2 DÔE. A semirreta OE tem sua origem no vértice O (vértice do ângulo COD) e divide o ângulo COD em dois ângulos congruentes (COE e DOE). Assim, podemos dizer que a semirreta OE é a bissetriz do ângulo COD. Portanto, os passos acima permitem construir a bissetriz de um ângulo qualquer. Construção 2: 1o passo: Construa um segmento de reta AB qualquer.

A

B

2o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto A e uma abertura maior que a metade da medida AB, trace dois arcos.

A

B

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3o passo: Com a mesma abertura do passo anterior, coloque a ponta-seca do compasso no ponto B, trace arcos que cortam os anteriores e marque os pontos C e D.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

4o passo: Trace uma reta pelos pontos C e D.

Fazer a construção da mediatriz com os alunos e solicitar a eles que verifiquem se a reta construída passa pelo ponto médio do segmento de reta dado, usando uma régua. Em seguida, com o transferidor, solicitar a eles que verifiquem se, de fato, a reta construída é perpendicular ao segmento de reta AB. Essa construção também pode ser feita com o uso de um software de geometria dinâmica.

C C

A A

B

B

M

D D

s

Agora vamos fazer uma nova investigação. Para isso, vamos observar a construção final sem os arcos e vamos marcar o *CAD e o *CBD.

C

Dessa construção podemos afirmar que: • CA ! CB ! AD ! BD, pois os pontos C e D foram marcados com arcos de duas circunferências de mesmo raio, uma com centro em A e outra com centro em B.

A

• CD é lado comum aos dois triângulos. Dessa forma, pelo critério LLL, o *CAD e o *CBD são congruentes. Portanto, podemos afirmar que AĈD 2 BĈD.

E

B

D

Vamos agora analisar outros dois triângulos: *CAE e *CBE. C

A

E

B

• AE ! BE. • AÊC 2 BÊC. D Como med (AÊC) + med (BÊC) = 180°, então med (AÊC) = 90° e med (BÊC) = 90°. Assim, podemos afirmar que a reta CD divide o segmento de reta AB em duas partes de mesma medida e é perpendicular a ele. Dessa forma, a reta CD é mediatriz do segmento de reta AB. Assim, os passos acima permitem construir a mediatriz de um segmento de reta qualquer.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE, COSTTA EDITORAÇÃO

Além de sabermos que CA ! CB e que AĈD 2 BĈD (da análise anterior), também podemos afirmar que CE é lado comum aos dois triângulos. Então, pelo critério LAL, temos que o *CAE e o *CBE são congruentes. Desse fato, podemos afirmar:

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Retomando o que aprendeu O objetivo das atividades dessa seção é propiciar aos alunos que retomem os conteúdos estudados na Unidade e, caso seja necessário, façam retomadas para sanar as dúvidas que podem surgir. Os alunos podem fazer esse bloco de questões como uma autoavaliação, por isso, eles devem respondê-las individualmente. É interessante sugerir que realizem essas atividades em sala de aula, assim poderão discutir eventuais dúvidas com os colegas, por exemplo. Orientá-los a consultar o livro para tirar dúvidas e buscar informações. Enfatizar a necessidade de resolverem os exercícios individualmente, buscando informações de forma autônoma, escolhendo suas fontes para chegar aos resultados. Conversar com os alunos a respeito de seus acertos e erros, indicando a correção com intervenções pontuadas, isto é, dando pistas de quais caminhos eles poderão buscar para encontrar o resultado esperado. Se ainda persistirem dúvidas, orientar a trocar ideias com os colegas e a buscar no livro os conceitos que precisarem lembrar. Dar oportunidade para os alunos mostrarem como pensaram para resolver as questões, tirando as dúvidas dos colegas.

RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10° e x + 50°. Um deles mede: a) 20°

c) 30°

b) 70°

d) 80°

t

a

s

!

y b

r v

É correto afirmar que: a) a + b = € + 0

5. O triângulo BDC é equilátero. Determine o valor da medida x. C 15°

e) 50°

Alternativa b. 2. (Saresp-SP) Na figura abaixo as retas paralelas r e s são cortadas pelas transversais t e v.

"

Resoluções a partir da p. 289

c) b + y + 0 = 180°

b) y + b = 90°

d) y + 0 = b Alternativa a. 3. Em um triângulo isósceles ABC, em que AB 2 AC, o ângulo A mede o dobro da soma dos outros dois ângulos. Então, a medida do ângulo A é: a) 90°

c) 60°

b) 30°

d) 100°

e) 120° Alternativa e.

4. Na figura a seguir, a representação do triângulo ABC é isósceles (com AB 2 BC). Determine o valor da medida x em graus. A

D

x

A

20° B

a) 15°

c) 20°

b) 18°

d) 25°

6. O triângulo ABC é equilátero e M, N e P são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, AC e BC desse triângulo.

155°

B

C

d) 50°

C

M P B

7. O ângulo BAC de um triângulo isósceles é reto. Sendo CP a bissetriz do ângulo ACB do triângulo, a medida do ângulo BPC é igual a: a) 22,5°

c) 67,5°

b) 45°

d) 112,5°

e) 135°

Alternativa d. 8. Na figura seguinte, as retas t e s são paralelas. Qual é o valor, em graus, da expressão x _ y? t 130°

s

y

x

b) 100°

N

b) Qual a classificação do triângulo MNP quanto às medidas dos lados? Equilátero.

x = 70°

c) 65°

Alternativa d. A

a) Quais as medidas 60° cada um. dos ângulos internos do triângulo MNP?

M

a) 130°

e) 27°

e) 75° Alternativa c.

150°

a) 40°

c) 55°

b) 50°

d) 60°

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

e) 65° Alternativa b.

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9. Na figura a seguir, os triângulos ABP e APC são isósceles (AB 2 AP e AP 2 PC ). Sabendo que PQ é a bissetriz relativa ao ângulo APC, determine o valor de x + y. y Q

c) 100° d) 80° B

x

C

e) 60° P Alternativa a. 10. Entre duas cidades (A e B) será instalada uma antena de celular em um ponto C, de tal forma que ela deverá ficar à mesma distância das duas cidades. No entanto, traçando-se o segmento de reta que liga as duas cidades (AB), percebe-se que onde está o ponto médio do segmento há um lago que impede essa instalação. Dessa forma, a instalação

UM NOVO OLHAR

MARCOS MACHADO

20°

EDITORIA DE ARTE

A

a) 90° b) 70°

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

precisará ser deslocada para um novo local (C’) que deverá, ainda, atender o mesmo critério da distância.

O novo ponto de instalação está localizado: a) na bissetriz do ângulo formado pelo lado AB e o lado AC’. b) na altura de um triângulo definido pelos pontos A, B e C’. c) na mediatriz do segmento AB. d) em um outro ponto qualquer. Alternativa c.

Resoluções a partir da p. 289

Nesta Unidade, retomamos a definição de triângulo, a soma de seus ângulos internos e as classificações com relação às medidas dos lados e dos ângulos. Vimos o que é ângulo externo, altura, mediana, bissetriz, mediatriz, além da congruência de triângulos, casos de congruência e as propriedades dos triângulos isósceles e dos triângulos equiláteros. Abordamos, ainda, a construção de bissetriz e mediatriz usando régua e compasso. Devido ao grande número de conceitos estudados, sugerimos que faça um fichamento de cada tópico, apontando, de maneira sucinta, as definições. É interessante inserir exemplos para complementar seus registros. Na abertura da Unidade, foram apresentadas algumas estruturas do passado e do presente nas quais o triângulo foi utilizado para aumentar a estabilidade e, por consequência, aumentar a carga de sustentação. É claro que, quanto mais aprofundado for nosso conhecimento sobre triângulos, maiores serão nossas possibilidades de perceber a aplicação deles ao nosso redor. Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda no caderno às questões a seguir.

Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir reflexões a respeito das aprendizagens individuais, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber o que aprenderam e as possíveis dúvidas que ainda tenham. Nesta Unidade, pedir aos alunos que façam um registro dos conceitos abordados em razão das sutilezas inerentes principalmente em relação a alturas, medianas, bissetrizes e mediatrizes do triângulo e, por consequência, seus pontos notáveis. A primeira questão busca retomar com os alunos o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo; a segunda questão resgata a classificação dos triângulos (observadas as medidas de seus ângulos internos ou as medidas de seus lados). A terceira questão solicita que os alunos relembrem os casos de congruência de triângulos. A última questão proposta solicita que os alunos retomem o procedimento de construção da mediatriz de um segmento de reta.

• Qual o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo? Você saberia provar sua resposta? 180°. Resposta pessoal. • Como os triângulos podem ser classificados? • Quais são os casos de congruência de triângulos que foram abordados nesta Unidade? LLL, LAL, ALA, LAAO. • Descreva como construir a mediatriz de um segmento de reta? Resposta pessoal. De acordo com as medidas de seus ângulos internos: triângulo retângulo, triângulo acutângulo ou triângulo obtusângulo. De acordo com as medidas de seus lados: triângulo equilátero, triângulo 93 isósceles ou triângulo escaleno.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atualidades em foco Solicitar aos alunos que leiam a reportagem e perguntar a eles o que acharam da fala dos ganhadores, da maneira como a competição acontece e outros detalhes que julgar convenientes. Discutir com a turma o significado da palavra resiliência e verificar se acreditam que a parceria escola-tecnologia pode ser interessante. A ideia é fazê-los pensar nas possíveis relações existentes entre os diferentes conteúdos escolares e os recursos tecnológicos disponíveis. Podemos pensar em algumas possibilidades de explorações nas diferentes áreas do conhecimento, por exemplo: • Na disciplina de Língua Portuguesa, poderíamos trabalhar a escrita correta de um e-mail e a utilização de suas ferramentas ou, ainda, o uso do bloco de notas de maneira eficiente. • Na disciplina de Ciências, poderíamos dar maior ênfase nas unidades de medidas utilizadas na informática como “giga”, “mega”, “tera”, além de esclarecimentos a respeito das configurações dos equipamentos, juntamente com as inovações tecnológicas nos campos da medicina e saúde. • Na disciplina de Inglês, poderíamos trabalhar as ferramentas de tradução existentes, que nos permitem compreender os idiomas e dialetos do mundo todo, a fim de termos acesso às outras informações e culturas. • Na disciplina de Geografia, poderíamos aprender mais a respeito de softwares de geolocalização ou a simplesmente utilizá-los de maneira eficiente no dia a dia. • Na disciplina de Matemática, poderíamos aprender a desenvolver softwares e aplicativos que nos ajudariam nos cálculos e na resolução de problemas do dia a dia. Isso sem falar em áreas que poderiam ser agregadas à educação, como economia, contabilidade e direito.

ATUALIDADES EM FOCO

Ciência e tecnologia Leia abaixo uma notícia que ganhou destaque em diferentes jornais, revistas e sites.

Brasileiros ganham prêmio inédito na Olimpíada Internacional de Tecnologia e Inovação Dois jovens brasileiros ganharam a Olimpíada Internacional de Tecnologia e Inovação, conquistando pela primeira vez o título para o país. Eles também levaram para casa o prêmio de cinco mil francos suíços, visto que a competição aconteceu no Idiap Research Institute, em Martigny, na Suíça. Os consagrados foram Fábien Giovanni de Oliveira, de 22 anos, estudante do 4 o ano de Engenharia de Controle e Automação da Universidade Federal de Itajubá (UNIFEI), e Renato Rodrigues, de 27 anos, mestrando em Estratégia e Inovação em Engenharia de Produção na Universidade Federal de São Carlos (UFSCar). Eles desenvolveram o “Milênio Bus”, projeto que integra a Internet das Coisas (IoT, na sigla em inglês) com o transporte público por meio de um hardware e um aplicativo de celular. “O objetivo é trabalhar com pagamentos digitais, informações ao passageiro e geração de dados com Big Data”, explica Oliveira em entrevista à GALILEU. Para ganhar a olimpíada, foi necessário muito mais do que apenas uma boa proposta. A competição durou três semanas, e nesse período os jovens assistiram aulas de negócios, e venture capital, por exemplo, com professores e

especialistas. Eles tiveram que usar esse tempo para aprimorar o projeto para que ele pudesse se tornar uma startup com potencial de aplicação no mercado. Ao todo, 40 pessoas participaram da disputa, sendo que elas foram divididas em sete equipes. No dia de encerramento da olimpíada, os grupos tiveram que se apresentar por quatro horas para uma banca de avaliadores e investidores. “Se eu pudesse mensurar o dia mais difícil, eu diria que é o último”, afirma Oliveira. “Porque ali você coloca em jogo toda dedicação e esforço de três semanas.” Para Rodrigues, a adaptação ao idioma e ao fuso horário também foram complicados. “A gente gravava os feedbacks dos jurados no celular e escutava várias vezes no quarto até entender o que eles estavam falando”, revela Rodrigues. Apesar disso, ele se orgulha do prêmio, principalmente porque diz ter trabalhado com poucos recursos e condições adversas. “O brasileiro é um povo bem criativo, temos que valorizar nossa resiliência”, opina. Fonte: FABRO, N. Brasileiros ganham prêmio inédito na Olimpíada Internacional de Tecnologia. GALILEU. Disponível em: <https:// revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/09/ brasileiros-ganham-premio-inedito-na-olimpiadainternacional-de-tecnologia.html>. Acesso em: 4 set. 2018.

• Na reportagem são usadas as expressões Internet das Coisas e Big Data. Em grupo, faça uma pesquisa sobre o significado dessas expressões. Resposta pessoal. 94

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Na primeira questão, recolher as informações pesquisadas pelos alunos acerca do assunto e, se julgar conveniente, retomar as explorações realizadas em aula durante o estudo de potências. Estipular com a turma a forma de organização dos grupos para a concepção da ideia de um aplicativo solicitado no final da seção. Comentar com eles a respeito da importância de se conhecer mais sobre o assunto antes de propor qualquer atividade. Depois, agendar um dia para que os alunos apresentem suas ideias.

Muitos jovens brasileiros, das mais variadas idades, estão fazendo a diferença. Preocupados com questões sociais e ambientais, buscam criar projetos inovadores e criativos que ajudem a melhorar sua região, o nosso país e até o mundo. Alguns desses projetos, como o de Fabién e Renato, utilizam-se dos avanços tecnológicos existentes para criar soluções a demandas atuais. No caso deles, o projeto tem como objetivo melhorar o deslocamento das pessoas que utilizam o transporte público. Entre os avanços tecnológicos necessários para a execução do projeto, podemos destacar a capacidade de armazenamento e processamento de dados e, ao falarmos desse avanço, é quase impossível não citarmos as unidades de medida de armazenamento digital, uma vez que o volume de dados gerado cresceu e continua crescendo em grande velocidade. • Os componentes do seu grupo já ouviram falar em kilo, mega, giga ou tera? Sabem o que essas palavras significam? Resposta pessoal.

Essas palavras tratam-se de prefixos que, quando compostos com uma unidade de grandeza padrão, denotam uma ordem de grandeza. Esses prefixos aparecem no Sistema Internacional (SI) e, normalmente, são operados com a base decimal (10X). No caso das tecnologias digitais, quando tratamos de armazenamento e processamento, a unidade padrão utilizada é o byte. Veja a seguir as unidades de medida utilizadas pelas tecnologias digitais: Unidade

Símbolo

Valor equivalente

Ordem de grandeza

−

1 x 100 byte

Byte

B

Kilobyte

KB

1024 B

1 x 103 byte

Megabyte

MB

1024 KB

1 x 106 byte

Gigabyte

GB

1024 MB

1 x 109 byte

Terabyte

TB

1024 GB

1 x 1012 byte

Petabyte

PB

1024 TB

1 x 1015 byte

Exabyte

EB

1024 PB

1 x 1018 byte

Zettabyte

ZB

1024 EB

1 x 1021 byte

Yottabyte

YB

1024 ZB

1 x 1024 byte

• Façam uma pesquisa sobre a história da informática e do armazenamento digital, procurando destacar a ordem de grandeza utilizada ao longo do tempo. Essa ordem de grandeza mudou? Resposta pessoal. • Converse com os componentes do seu grupo sobre outras unidades de medida que usam os prefixos mostrados anteriormente. Dica: lembrem-se das unidades já estudadas por vocês. Resposta pessoal. • Antes da programação de um aplicativo, existe uma etapa de concepção. Nessa etapa pensa-se para que servirá o aplicativo, a quem ele servirá, sua interface, se ele será gratuito ou pago, suas funcionalidades etc. Em grupo, concebam um aplicativo e o apresentem para a sala de aula. Resposta pessoal. 95

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COMPETÊNCIAS GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 4. Utilizar diferentes linguagens − verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital −, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Expressões e cálculo algébrico

Você consegue imaginar como seria “fazer” Matemática sem utilizar a simbologia matemática? Eduardo questionou-se por que eram usados letras e símbolos para expressar cálculos que ele acreditava poderiam ser descritos com palavras. Observe, na tirinha a seguir, como Eduardo imaginou se um matemático do século XVI lhe mostrasse um exemplo de cálculo que não utilizava símbolos. Vamos rever esse exemplo: Duas vezes um número desconhecido adicionado de um inteiro determina qualquer número ímpar, desde que esse número desconhecido pertença ao conjunto dos números inteiros.

Agora, pense e responda no caderno: Descreve qualquer número ímpar; 2n + 1 com n [ Ω. • A expressão apresentada como exemplo por François Viète na imaginação de Eduardo descreve que tipo de número? Passe para a linguagem matemática o exemplo apresentado na tirinha. • Escreva literal e matematicamente uma sentença matemática. Qual das duas maneiras foi a mais simples para você escrever? Resposta pessoal.

É MUITO SIMPLES. ANTES, A DESCRIÇÃO DE UM CÁLCULO MATEMÁTICO ERA MUITO LONGA, PRECISAVA-SE ESCREVER MUITO, POR ISSO VÁRIAS PESSOAS SE DEDICARAM A SIMPLIFICÁ-LA, ATÉ QUE FRANÇOIS VIÈTE SISTEMATIZOU O USO.

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HABILIDADES

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p. XXI e XXII

Álgebra • EF08MA06 • EF08MA08 • EF08MA09 Probabilidade e Estatística • EF08MA23 • EF08MA25

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

y

a!b

t 3

WANDSON ROCHA

3x

EU SEMPRE ME PERGUNTEI POR QUE USAMOS LETRAS E SÍMBOLOS NAS OPERAÇÕES PARA EXPRESSAR COISAS QUE PODIAM SER DITAS COM PALAVRAS, E EU ACABEI DE DESCOBRIR O MOTIVO.

A EXPRESSÃO QUE DETERMINA OS NÚMEROS ÍMPARES É: DUAS VEZES UM NÚMERO DESCONHECIDO ADICIONADO DE UM INTEIRO DETERMINA QUALQUER NÚMERO ÍMPAR, DESDE QUE ESSE NÚMERO DESCONHECIDO PERTENÇA AO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS.

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AMPLIANDO

Link No site <http://livro.pro/ nu92q8>, é possível encontrar uma pequena biografia a respeito de François Viète. Acesso em: 4 nov. 2018.

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Abertura de Unidade Em diversos momentos, os alunos encontram e utilizam a simbologia matemática sem se preocupar ou se dar conta de que ela nem sempre foi assim. É interessante propor que eles reflitam a respeito da evolução da simbologia na tentativa de “economizar” e “agilizar” os cálculos. Aqui a intenção é propiciar a comparação de algumas possibilidades de escrita matemática. Na abertura, Eduardo se questiona por que a escrita matemática utiliza símbolos e letras. Ao comparar as regras matemáticas que lhe são conhecidas em outra linguagem, percebe que, na verdade, as simbologias utilizadas atualmente passaram por transformações e hoje propiciam uma escrita tida como “mais econômica”. Para que os alunos percebam isso, apresentar alguns exemplos de expressões matemáticas e sugerir que tentem melhorá-las. Acredita-se que não é necessário contextualizar a teoria dos números, mas é necessário que testem suas operações a fim de verificar sua validade. Por ser uma atividade dinâmica, é necessário questioná-los o tempo todo, de forma que, se os alunos perceberam que a simbologia criada vale para a adição, descubram se ela também é válida para a multiplicação. Ao fim dessa parte, discutir com eles a dificuldade inerente ao criar um novo sistema que funcione de maneira universal e explicar-lhes que o atual sistema é um conjunto de pequenas criações de muitos matemáticos ao longo da história.

NO DIGITAL – 2˙ bimestre

• Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 4 e 5. • Desenvolver o projeto integrador sobre eficiência energética. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham

as habilidades EF08MA06, EF08MA07, EF08MA08, EF08MA09, EF08MA10 e EF08MA11. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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1

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

O uso de letras para representar números O texto inicial traz uma visão simples do desenvolvimento histórico do uso de palavras e letras para expressar a solução de um problema. Em uma discussão coletiva, pedir que compartilhem o que entenderam. No hotsite da TV Escola, é possível acessar alguns percursos educativos. Em um deles é possível acessar o conteúdo de expressões algébricas e ter acesso a algumas questões relacionadas ao tema. Disponível em: <http://livro. pro/4n5wtn>. Acesso em: 4 nov. 2018. Pense e responda As questões desta seção têm o objetivo de verificar os conhecimentos prévios dos alunos a respeito das expressões algébricas e o uso de letras. Por meio de argumentos geométricos e de apresentação de fórmulas, eles podem lidar um pouco com esse tema. Na atividade 2, se julgar pertinente, comentar com os alunos que uma expressão algébrica é necessariamente composta por números, letras e operações. Já uma expressão numérica não contém letras (como a expressão matemática expressa no item a).

Na Antiguidade, a falta de símbolos para indicar números desconhecidos levou o ser humano a recorrer às palavras. Isso, porém, tornava o cálculo longo e complicado. Aristóteles (384-322 a.C.) e Euclides (século III a.C.) foram os filósofos gregos que deram os primeiros passos no emprego de letras e símbolos para indicar números e expressar a solução de um problema. Entretanto, muito tempo se passou até as letras serem amplamente usadas para indicar quantidades desconhecidas. Esse uso se deve, principalmente, ao alemão Michael Stifel (1486-1567) e aos italianos Girolamo Cardano (1501-1576) e Raffaelle Bombelli. Bombelli é autor de uma obra de notável interesse, intitulada L’Algebra e publicada em 1572. Foi, porém, um advogado e matemático francês, François Viète (1540-1603), quem introduziu o uso sistemático das letras para indicar os números desconhecidos e os símbolos das operações usados até hoje. p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Você já sabe que:

• a área de um retângulo equivale ao produto do comprimento pela largura; • a área de um quadrado equivale ao quadrado da medida do lado do quadrado. a)

a ? b c)

32 b) a

3

2x b

y

3

2x ? y

Das expressões que você escreveu para representar as áreas das figuras, quais foram escritas usando-se: I) apenas números? II) números e letras? Expressão c. Expressão a. 2. Observe as expressões matemáticas a seguir:

a) 3 + 2 + 5 ? 4

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Como você faria para calcular a área de cada figura a seguir?

AMPLIANDO Atividade complementar • (Enem) Num campeonato de futebol de 2012, um time sagrou-se campeão com um total de 77 pontos (P) em 38 jogos, tendo 22 vitórias (V), 11 empates (E) e 5 derrotas (D). No critério adotado para esse ano, somente as vitórias e empates têm pontuações positivas e inteiras. As derrotas têm valor zero e o valor de cada vitória é maior que o valor de cada empate. Um torcedor, considerando a fórmula da soma de pontos injusta, propôs aos organizadores do campeonato que, para o ano de 2013, o time derrotado em cada partida perca 2 pontos, privilegiando os times que perdem menos

O USO DE LETRAS PARA REPRESENTAR NÚMEROS

III) apenas letras? Expressão b.

c) 3x2 + 2y + 4

b) x + y + z d) (5 _ 1)2 + 18 : 3 _ 43 Que diferenças você observa entre elas? Resposta pessoal.

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Espera-se que os alunos observem que as expressões a e d apresentam somente números e as expressões c e b apresentam letras e números.

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ao longo do campeonato. Cada vitória e cada empate continuariam com a mesma pontuação de 2012. Qual a expressão que fornece a quantidade de pontos (P), em função do número de vitórias (V), do número de empates (E) e do número de derrotas (D), no sistema de pontuação proposto pelo torcedor para o

ano de 2013? a) P = 3V + E b) P = 3V _ 2D c) P = 3V + E _ D d) P = 3V + E _ 2D e) P = 3V + E + 2D Resolução de atividade

Resolvendo o sistema para 2012 ou mesmo analisando as alternativas é possível perce-

ber que A pontuação em caso de vitória é 3 e a pontuação em caso de empate é 1. Para 2013, mantêm-se as pontuações para vitórias e empates. Como a pontuação em caso de derrota é _2, a expressão correta para a pontuação é: P = 3V + E _ 2D Alternativa d.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O objetivo de representar números desconhecidos por meio de letras era indicar as operações matemáticas de forma mais simples e sintética. Assim: x2

4y

c 2

indica o quadrado de um número

indica o quádruplo de um número

indica a metade de um número

Antes de iniciar as atividades, propor algumas escritas matemáticas e solicitar que os alunos, em duplas, façam a tradução para a linguagem natural. Por exemplo, escrever na lousa 3 ? n. Os alunos devem escrever: o triplo de um número qualquer. Outra possibilidade é trabalhar com números consecutivos. Pedir que representem um número qualquer (x). Em seguida, pedir que indiquem o consecutivo desse número. Os alunos devem escrever x + 1.

Da mesma forma, se a e b representam dois números reais quaisquer, temos que: • a + b ou b + a representa a soma desses dois números; • a _ b representa a diferença entre esses dois números; • a ? b ou b ? a representa o produto desses dois números; a • a : b ou , com b 5 0, representa a divisão de a por b. b Na Geometria, se a representa a medida do lado de um quadrado qualquer, temos que:

Atividades Após a resolução das questões, propor aos alunos que confrontem suas respostas com as de um colega. Socializar as diferentes expressões de um mesmo item para validá-las (ou não) coletivamente. Por exemplo, na atividade 1, podemos ter:

EDITORIA DE ARTE

a

a

a

• 4 ! a ou 4a indica o perímetro desse quadrado; • a2 indica a área desse quadrado.

a

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Escreva as operações de forma sintética: a) b) c) d) e) f) g) h) i)

o quadrado do número real x. x2 o cubo do número real y. y3 a raiz quadrada do número real a. a a quinta potência do número real b. b5 a adição dos números reais b e c. b + c o produto dos números reais a e x. ax o dobro do número real y. 2y 1 m a sexta parte do número real m. 6 o quociente entre os números reais z e w, z com w 5 0. w 1 x j) a metade do número real x. 2 k) a diferença entre os números reais x e y. l) o quíntuplo do número real z. 5z x _ y

2. Usando duas letras (por exemplo, x e y), escreva uma expressão que represente: a) o dobro de um número real adicionado ao dobro de outro número real. 2x + 2y b) o produto da soma pela diferença de dois números reais quaisquer. (x + y)(x _ y) c) a adição dos quadrados de dois números reais quaisquer. x2 + y2 d) a diferença dos quadrados de dois números reais quaisquer. x2 _ y2 e) o quadrado da soma de dois números reais quaisquer. (x + y)2 f) a adição da raiz quadrada de um número real com a quinta parte de outro número real. x + 1 y 5 99

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AMPLIANDO Link No artigo “Matemática e língua materna: uma aproximação necessária”, Nílson José Machado discute a rela-

Z W 1 x x ou ou x : 2 j) 2 2 Aproveitar a atividade 2 para discutir com os alunos algumas situações, por exemplo: • A igualdade x2 + y2 = (x + + y)2 é sempre verdadeira, para x e y reais quaisquer? • A igualdade x2 + y2 = (x + + y)2 é válida para quais números reais x e y? • Qual é a expressão geral de um número natural (n) par? E de um número natural ímpar? Espera-se que os alunos identifiquem 2n como par e 2n + 1 como ímpar. Discutir com os alunos o significado de uma generalização e sua importância para a Matemática, e como a linguagem algébrica foi determinante nesse contexto. i) z : w ou

ção entre as duas disciplinas presentes no currículo escolar e tratadas, muitas vezes, de forma independente. Disponível em: <http://livro.pro/ h26ouh>. Acesso em: 4 nov. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Expressões algébricas ou literais É importante que os alunos se deparem com diversas situações que envolvam expressões algébricas. Uma situação que possibilita desenvolver expressões algébricas e generalizações é o trabalho com sequências numéricas ou geométricas. A seguir, sugerimos uma atividade com uma sequência de figuras recursivas, ou seja, cada nova figura está relacionada com a figura anterior.

CAPÍTULO

EXPRESSÕES ALGÉBRICAS OU LITERAIS

Sabemos que é possível usar as letras do alfabeto (a, b, c, ..., m, n, ..., w, y, z) para representar números reais. Consideremos, então, as seguintes situações:

1 Qual é a expressão que representa o perímetro da piscina retangular demonstrada a seguir?

O comprimento da piscina é expresso pelo número real x. A largura da piscina é expressa pelo número real y. O perímetro da piscina é igual a duas vezes o comprimento mais duas vezes a largura. Então, a expressão que representa o perímetro da piscina retangular é:

2 Qual é a expressão que representa a área total do terreno da figura? A área total do terreno é igual à soma das áreas das partes 1 e 2. Como a parte 1 é um retângulo, a sua área é expressa por ab. Como a parte 2 é um quadrado, a sua área é expressa por c2. Então, a expressão que representa a área total do terreno é: ab + c2

ILUSTRAÇÕES: DANIEL BOGNI

2 ? x + 2 ? y ou 2x + 2y

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DANIEL BOGNI

P = 40 + 1,50x

SAIBA QUE

A palavra literal vem do latim litteralis, que significa “letra”. A palavra álgebra vem do árabe al jabr e representa uma regra para transformar uma igualdade em outra equivalente.

Nas três situações apresentadas, escrevemos expressões matemáticas nas quais aparecem números e letras, ou somente letras. Essas expressões matemáticas são chamadas algébricas ou literais.

Uma expressão matemática que apresenta números e letras, ou somente letras, é denominada expressão algébrica ou literal. As letras, que normalmente representam números reais, são chamadas variáveis.

Resolução de atividade:

Assim, são exemplos de expressões algébricas ou literais: • 2x + 2y

• ab + c2

• 40 + 1,50x

Mais expressões algébricas Quando uma expressão algébrica não contém variável ou variáveis no denominador, ela é chamada expressão algébrica inteira. • 2x + 3y

•

1 x 2

•

xy2 5

3a _ 2c 10

•

Quando uma expressão algébrica contém variável ou variáveis no denominador, ela é chamada expressão algébrica fracionária. •

2a b

•

1 x

•

bc 5a

•

2a x_y

•

1 a2 + ax

Quando uma expressão algébrica contém variável ou variáveis no interior de um radical, ela é chamada expressão algébrica irracional. a • ab • • x2 + y2 2 x Essas expressões não possuem valor numérico quando os valores atribuídos às varáveis anulam o denominador. 101

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AMPLIANDO

Atividade complementar Considere a seguinte sequência de figuras:

EDITORIA DE ARTE

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3 Para fazer um carreto, Geraldo cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 e mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Qual é a expressão que representa o valor que ele cobra para fazer um carreto num percurso (ida e volta) de x quilômetros? Como cada quilômetro rodado custa R$ 1,50, então para x quilômetros o custo é 1,50x reais. Logo, o preço P do carreto é dado por:

Pedir que observem o padrão de formação dessa sequência. A partir da 2a figura, foram acrescentados 4 quadrados (um em cada ponta), ou seja, cada figura é a anterior mais 4 quadrados. Assim: • a 1a figura é composta de 1 quadrado; • a 2a, de 5 quadrados (1 + 4); • a 3a, de 9 quadrados (5 + 4 ou 1 + 4 + 4) • a 4a, de 13 quadrados (9 + 4 ou 1 + 4 + 4 + 4) Mantendo esse mesmo padrão: a) Quantos quadrados compõem a 10a figura? b) Qual é a expressão geral que determina a quantidade de quadrados da enésima figura (a figura de posição n)?

1a figura

2a figura

3a figura

4a figura

a) Conforme aumenta a posição da figura na sequência, fica muito trabalhoso determinar a quantidade de quadrados dela a partir da figura anterior. Explicar que é possível obter a quantidade de quadrados de uma figura dessa sequência, dependendo apenas de sua posição e da 1a figura. 1a H 1 2a H 5 = 1 + 4 = 1 + 1 ? 4 3a H 9 = 5 + 4 = 1 + 4 + +4=1+2?4 4a H 13 = 9 + 4 = 1 + 4 + +4+4=1+3?4 5a H 17 = 13 + 4 = 1 + 4 + +4+4+4=1+4?4 Verifica-se que a quantidade de parcelas 4 é uma unidade a menos que a posição da figura. Então: 10a figura H 1 + 9 ? 4 = 1 + + 36 = 37 Logo, a 10a figura é composta de 37 quadrados. b) A expressão geral que determina quantos quadrados compõem a enésima figura (posição n) é dada por: 1 + (n − 1) ? 4 Ao final dessa atividade, propor a leitura do livro do aluno. Se possível, construir um mapa conceitual, com os tipos de expressões algébricas citadas no texto.

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Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Em certa loja um livro custa x reais e um caderno custa y reais. Qual é a expressão algébrica que representa o valor total pago por Caio ao comprar 5 livros e 8 cadernos iguais a esses nessa loja? 5x + 8y 2. Em uma empresa trabalham h homens e m mulheres. a) Qual é a expressão algébrica que vai representar: • o total de pessoas que trabalham nessa empresa? h + m • a diferença entre o número de homens e o número de mulheres que trabalham nessa empresa? h _ m • a razão entre o número de homens e o número de mulheres que trabalham nessa empresa? h m b) Alguma das expressões algébricas que você escreveu é fracionária? Qual? Sim; h m 3. A área de um retângulo pode ser dada pelo produto das medidas de dois lados consecutivos. Qual é a expressão algébrica que você pode escrever para representar a área da figura a seguir? 12xy

5. Escreva a expressão algébrica que representa a área da figura a seguir. x2 + ay x x

x

y

y

a

6. Caio tinha x reais. Foi a uma loja de esportes e comprou 2 pares de tênis. Cada par custou y reais. Qual expressão algébrica pode representar a quantia que sobrou para Caio, depois de comprar os pares de tênis? x _ 2y 7. Qual é a expressão algébrica que representa a soma do quadrado de um número x com o triplo do mesmo número x? x2 + 3x 8. Um alvo é composto de duas regiões, A e B, conforme mostra a figura.

A

Nesse alvo, cada B flecha que atinge a região A vale x pontos e cada flecha que atinge a região B vale y pontos. Fernando atingiu a região A com 7 flechas e a região B com 10 flechas. Escreva a expressão algébrica que representa o total de pontos que Fernando marcou. 7x + 10y IL U

Atividades Essas questões têm como objetivo levar os alunos a reconhecer e utilizar expressões algébricas para representar diferentes situações. É importante trabalhar com exercícios que relacionem a Geometria (perímetro e áreas de figuras) com expressões algébricas, reforçando a integração da Álgebra com a Geometria. Incentivar os alunos a desenvolver diferentes estratégias para a resolução dos problemas. Na atividade 3, por exemplo, os alunos podem fazer: • Na figura, cada retângulo pequeno tem área x ? y. Como são 12 retângulos pequenos idênticos, a área do retângulo maior é dada por 12xy; ou • O retângulo maior tem lados medindo 4 ? x e 3 ? y. Assim, sua área é igual a 4x ? 3y. Pedir que comparem os resultados obtidos: 12xy e 4x ? ? 3y e digam que conclusões podem tirar.

ATIVIDADES

E RT ST RA Ç EA ÕES: EDITORIA D

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

y x

4. Suponha que um x x y terreno tenha a x y forma da figura aqui mostrada y x x e suas medidas sejam representadas, em unidades de comprimento, pelas letras x e y. Qual é a expressão algébrica que representa o perímetro desse terreno? 5x + 3y

9. Use uma expressão algébrica para responder. a) Quantos dias há em um período de x semanas mais 20 dias? 7x + 20 b) Quantos meses há em um período de y anos mais 10 meses? 12y + 10

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EDUCAÇÃO FINANCEIRA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

Educação financeira O objetivo dessa seção é despertar nos alunos a reflexão sobre como é possível usar os juros a seu favor ou contra. Levá-los a perceber que isso pode ocorrer quando aplicados sobre uma dívida ou a um investimento. Pode-se ainda conversar a respeito da necessidade e importância de planejamento financeiro. Comentar que o cheque especial tem um limite que, depois de atingido, o banco modifica a ação em relação à dívida. Pedir aos alunos que façam também a interpretação do gráfico de linhas apresentado. O cálculo pedido na atividade 2 é apenas ilustrativo da tendência matemática desse tipo de juro. Ressaltar a importância de se manter um controle da vida financeira de modo que esse comportamento dos juros funcione a favor do indivíduo e não contra. Lembrar os alunos que 5 anos são 60 meses. Ressaltar a importância crescente do tempo numa aplicação a juro composto. No exemplo dado, se a mesma dívida evoluísse a juro simples, o montante após 5 anos seria de R$ 1 400,00. Aproveitar para explorar o uso da calculadora.

Juros contra × juros a favor Os juros são o ponto central do sucesso financeiro. Trata-se de uma questão de escolha: você pode usar os juros contra ou a favor de você! Em síntese, antecipar custa e retardar rende. Se você antecipa com o banco um valor x para pagar por algo que deseja ter, devolverá ao banco x + os juros. Se, ao contrário, retarda o uso de um valor x, deixando-o guardado no banco, receberá do banco x + juros quando decidir utilizá-lo. A questão é que esse é um processo por trás do qual existe uma lógica matemática de acumulação, os chamados juros compostos, popularmente definidos como “juros sobre juros”. [...] O problema é que essa é uma moeda de dois lados. Os juros contra você têm um

efeito semelhante. Se você faz uma antecipação com o banco, por meio do cartão de crédito, para pagar por um desejo imediato, e não consegue quitar na data, pagará juros sobre juros, e o valor da dívida se multiplicará. Pior ainda, porque a taxa de juros do cartão é, no mínimo, 13 vezes maior do que a taxa de rendimento de uma poupança. Para se ter uma ideia, uma única dívida de R$ 150,00 no cartão de crédito, a uma taxa de 9% ao mês, transforma-se em uma dívida de aproximadamente R$ 4 600 000,00 em dez anos. São os juros contra você! [...] Fonte: DOMINGOS, R. Ter dinheiro não tem segredo: educação financeira para jovens. São Paulo: DSOP Educação Financeira, 2011. p. 83.

Lígia tem uma conta bancária com cheque especial. Isso significa que ela tem um limite e que pode utilizar um valor superior ao seu saldo, ficando, assim, com saldo negativo. Esse saldo negativo é um empréstimo automático e já aprovado, pelo qual se cobram juros. Para o banco não cobrar mais os juros, é necessário que o cliente deposite um valor igual ao da dívida. O gráfico a seguir representa o saldo da conta bancária de Lígia, que inicialmente era devedor em R$ 200,00, e que incidiu juro composto de 10% ao mês. Responda às questões no caderno.

700 600 500 400 300 200 100 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Meses decorridos

Fonte: Dados fictícios.

EDITORIA DE ARTE

Valor da dívida Valor da dívida em reais

1. Em quanto tempo a dívida de Lígia dobrará? Entre 7 e 8 meses. 2. O gráfico representado pela expressão v = 200 ? (1,1)n, em que v é o valor devido depois de n meses. Utilizando a expressão e uma calculadora, calcule o valor da dívida de Lígia depois de 5 anos. Aproximadamente R$ 60 896,33.

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3

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Valor numérico de uma expressão algébrica As generalizações algébricas tratam de modo consistente as situações em que Aritmética e Geometria estão envolvidas. Dessa forma, o valor numérico de uma expressão algébrica permite também avaliar situações mais concretas ou particulares. Por exemplo: Um doce custa x reais. Se forem comprados 3 doces, a expressão algébrica que representa a quantia que deve ser paga, em reais, é 3x. Qual é essa quantia, se cada doce custa 5 reais? Nesse caso, 3x = 3 ? 5 = = 15, isto é, 15 reais. Diz-se que 15 é o valor numérico da expressão algébrica 3x quando x = 5.

VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA Vamos analisar duas situações.

1 Ângela, Sandra e Solange vão sempre juntas ao cinema. Supondo que cada entrada para o cinema custe x reais, a expressão algébrica que representa o gasto delas com as entradas é 3x. • Supondo que, no domingo, cada entrada custe 18 reais, elas deverão pagar 54 reais pelas três entradas: 3x = 3 ? 18 = 54 Dizemos que 54 é o valor numérico da expressão algébrica 3x para x = 18. • Supondo que, na quarta-feira, cada entrada custe 15 reais, elas deverão pagar pelas três entradas 45 reais: 3x = 3 ? 15 = 45 Dizemos que 45 é o valor numérico da expressão algébrica 3x para x = 15.

2 A forma e as medidas de um terreno estão representadas na figura a seguir: a

AMPLIANDO

A área desse terreno é dada pela expressão algébrica:

b

Atividade complementar • Dobrando a medida a do lado de um quadrado, o que ocorre com a área do novo quadrado obtido? Se esse quadrado tem lado de 5 cm, qual será a área do novo quadrado?

a

a2 ! bc

c

área do retângulo de lados b e c área do quadrado de lado a EDITORIA DE ARTE

Vamos supor que: • o lado do quadrado meça 20 unidades de comprimento; • as medidas dos lados b e c do retângulo sejam 16 e 12 unidades de comprimento, respectivamente. Nessas condições, vamos calcular a área desse terreno: a2 + bc = 202 + 16 ? 12 = 400 + 192 = 592 A área desse terreno será 592 unidades de área. O número 592, assim obtido, chama-se valor numérico da expressão algébrica a2 + bc para a = 20, b = 16 e c = 12.

Resolução de atividade

Permitir que os alunos explorem essa situação. Sugerir que construam um quadro para organizar os dados obtidos. Convidar algumas duplas para irem à lousa anotar a medida de lado escolhida. Ao final, construir coletivamente uma síntese a respeito da situação proposta.

Quando substituímos as variáveis de uma expressão algébrica por números e efetuamos os cálculos indicados, obtemos o valor numérico da expressão algébrica dada para esses números.

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Quadrado original

Novo quadrado

lado

a

2a

área

a2

(2a)2 = 4a2

Logo, a área do novo quadrado é o quádruplo da área do quadrado original (dobrando a medida do lado, a área se quadruplica). Se a = 5, então a expressão

algébrica 4 ? a² tem valor numérico dado por: 4 ? (5)² = 4 ? 25 = 100 Ou seja, a área do novo quadrado é 100 cm².

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Veja esta outra situação:

Explorar a expressão algébrica dada no exemplo 3, pedindo que os alunos calculem o valor numérico da expressão x2 _ y2, para x = 1,1 e y = = _0,8. A ideia é que percebam que o resultado será o mesmo.

3 Qual é o valor numérico da expressão (x + y) ? (x _ y) quando x = 1,1 e y = _0,8? (x + y) ? (x _ y) = substituímos as letras pelos números dados = [1,1 + (_0,8)] ? [1,1 _ (_0,8)] = = [1,1 _ 0,8] ? [1,1 + 0,8] = = [+0,3] ? [+1,9] = valor numérico procurado = 0,57

Uma consideração importante

Nós Incentivar os alunos a conversar a respeito da questão e se possível pesquisar como funciona algum tipo de investimento. Sugestões de sites a respeito do tema. Disponível em: <http://livro.pro/s7yp5v> e <http://livro.pro/9e3ctg>. Acessos em: 6 nov. 2018.

Em algumas expressões algébricas fracionárias não é possível obter o valor numérico da expressão. Isso acontece quando os valores atribuídos às variáveis anulam o denominador da expressão, e, como sabemos, não existe divisão por zero. Assim: a não tem valor numérico quando x = 0. • A expressão x • A expressão a + 2 não tem valor numérico quando a = 1. a _1 Na prática, determinamos o valor para o qual uma expressão fracionária não tem valor numérico igualando o denominador dessa expressão a zero e resolvendo a equação obtida. Vamos ver duas situações: x_3 não tem valor numérico? 1 Para qual valor de x a expressão algébrica 2x _ 1 1 2x ! 1 " 0 h 2x " 1 h x = 2 1 Dizemos que a expressão não tem valor numérico quando x = . 2 x+y 2 Qual deve ser o valor de x, em função de y, para que a expressão algébrica não tenha x_y valor numérico? Igualando o denominador da expressão a zero, temos: x_y=0hx=y Dizemos que a expressão algébrica dada não tem valor numérico quando x = y. NÓS

Investimento Investimento é a aplicação de algum tipo de recurso, como o dinheiro, com a expectativa de receber no futuro um valor superior ao aplicado. Ao deixar dinheiro em um banco, essa instituição financeira paga ao aplicador juros, que são como um “prêmio”, sobre o valor investido. Os investimentos financeiros são formas interessantes de poupar ou assegurar dinheiro para o futuro. É necessário criar, no Brasil, uma cultura de investimento, pois boa parte das pessoas está mais habituada a lidar com empréstimos e financiamentos. • Você conhece algum tipo de investimento? Qual? Respostas pessoais. • Para que você acredita que seja importante investir?

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades O objetivo dessas questões é levar os alunos a calcular o valor numérico de uma expressão algébrica quando se atribuem valores às variáveis, bem como utilizar os conhecimentos de cálculo algébrico para resolver problemas. Ao resolverem as questões envolvendo números racionais na forma fracionária os alunos podem encontrar algumas dificuldades. Caso seja necessário, retomar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números racionais na forma fracionária. Enquanto fazem os exercícios propostos em sala de aula ou no momento em que for corrigi-los (caso eles tenham resolvido as atividades em casa), orientá-los a identificar o uso da expressão algébrica no dia a dia, citando situações do cotidiano em que usamos esse tipo de expressão. Eles podem dizer, por exemplo, que utilizamos expressões algébricas quando: • fazemos a relação para a compra do material escolar; • fazemos o planejamento de gastos para determinado passeio; • tentamos prever o consumo de energia elétrica em um mês. Na atividade 2, após terem calculado o número do calçado correspondente ao pé de 24 cm, propor a cada aluno que use a fórmula dada na atividade para determinar o número do próprio calçado. Essa atividade pode contribuir para que os alunos atribuam significado à ideia de valor numérico de uma expressão algébrica, já que eles terão a oportunidade de utilizar dados reais nos cálculos. Além disso, como já devem saber a numeração dos próprios calçados, podem verificar a fórmula. Discutir com os alunos a necessidade de aproximar os valores para números inteiros quando eles obtêm números na forma fracionária para o número (S) do sapato.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Calcule o valor numérico, na forma decimal, da expressão algébrica 1 _ x + x quando x = 4. _1,75 x 2. As fábricas de calçados utilizam a 5p + 28 para fórmula matemática S = 4 determinar a numeração dos calçados, na qual S é o número do sapato e p é o comprimento do pé, em centímetros. Qual é o número do sapato de uma pessoa cujo pé tem 24 centímetros de comprimento? 37 3. Um modelo matemático mostra que o número N de pessoas que compram determinado produto após t dias de veiculação publicitária é dado por N = 103 + + 2 ? 10 t. De acordo com esse modelo, quantas pessoas comprarão o produto após 5 dias de veiculação? 201 000 pessoas. 4. Na igualdade VV =

T , temos que M+3 T = 43,2 e M = 1,5. Qual é o valor de V? 9,6 5. Determine o valor de y na igualdade yy = = 6 + x _ 3,2 , para x = 1,5. 2,3 x a+b+c = e que a = 5, 6. Sabe-se que p p = 2 b = 13 e c = 10. Nessas condições: a) Qual é o valor de p? 14 b) Qual é o valor numérico da expressão algébrica p ? (p _ a) ? (p _ b) ? (p _ c)? 504 7. Determine o valor numérico de cada uma das seguintes expressões algébricas: a)

a2 _ 2a , quando a = 4. 4 a

b) m2 _ 2mn + n2, quando m = _1 e 1 25 n= . 4 16

c)

a2 + ax , quando a = 8, x = 10 e m m = 9. 4

d) 3(x2 _ y2) _ 10(x + y) ? (x _ y), quando x = _2 e y = _2. zero e) (a _ b)2 _ c2, quando a = 2 , b = 1 e 3 c = _1. _ 8 9 1 _ x2 , quando x = 0,5 e y = _8. f) xy + 1 _0,25 x3 _ y3 1 , quando x = e y = _2. x3 + y3 2 _ 65 63 1 y+ x , quando x = 10 e y = 5. 1 h) 2 x+ 1 y g)

8. Considere a igualdade A =p? 1 +

r 100

n

.

Quando p = 104, r = 250 e n = 2, qual é o valor de A? 122 500 9. Determine os valores das variáveis para que as expressões algébricas a seguir não representem números reais. 2 x _5 2x x = _ x=4 c) a) 5 x _4 2 + 5x a + b a= 1 a _b b=1 b) d) 3 1 _ 3a 2 _ 2b

10. Determine o valor de x, em função de y, para o qual cada expressão algébrica a seguir não representa número real. x _y x x = _y c) a) x + y 2x + y y x + 2y x =_ x = 2y b) 2 x _ 2y

11. Dividindo-se o número 34 em partes inversamente proporcionais aos números 1, 2 e 5, obtém-se os valores x, y e z, respectivamente. Qual é o valor numérico da expressão algébrica 5x _ 3yz? _20

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Uma fórmula bastante comum nos dias de hoje é a que calcula o Índice de Massa Corpórea (IMC). O IMC é dado pelo quociente entre a massa de uma pessoa (em kg) e a altura ao quadrado (em m). É possível encontrar diversas calculadoras de IMC na Internet.

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4

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

MONÔMIO OU TERMO ALGÉBRICO p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Esta figura é uma representação de um retângulo, cujas medidas dos lados, expressas em unidades de comprimento, são x e y.

y

a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse retângulo? xy b) Qual é a expressão algébrica que representa o perímetro do retângulo da figura? 2x + 2y

x

c) Entre as duas expressões algébricas que você escreveu nos itens a e b existe uma diferença. Qual é essa diferença? Resposta pessoal. 2. Suponha um número real x. Como você representaria: a) o dobro desse número? 2x

b) o quadrado do número acrescido do próprio número? x2 + x

1 A figura ao lado é uma representação de um triângulo equilátero. Seu lado mede d unidades de comprimento. A expressão algébrica que representa o perímetro desse triângulo é 3d.

d

d

2 A caixa de presente lembra um bloco retangular.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Veja as situações a seguir.

Pense e responda Nas atividades propostas, explora-se a relação de conceitos geométricos, principalmente perímetros e áreas com o cálculo algébrico. Procurar explorar outras figuras conhecidas pelos alunos, como quadrados, triângulos, losangos e outros polígonos. A discussão a respeito dessas questões prepara os alunos para a compreensão dos conceitos que serão trabalhados nos capítulos seguintes dessa Unidade. Inicia-se com o estudo dos monômios (conceito e operações); em seguida, trata-se sobre polinômios (conceito e operações); para depois apresentar produtos notáveis e fatoração (com aplicações desses casos) e trabalhar com eles. Ressaltar para os alunos que os conceitos e algoritmos matemáticos (e, portanto, a Álgebra) são fundamentais para o desenvolvimento das tecnologias e principalmente dos softwares que fazem os aparelhos tecnológicos funcionar.

d

b OLH

AU

KH

AL/

SH

UTT

ERS

a

TOC

c

K

As dimensões desse bloco retangular são: comprimento (a), altura (b) e largura (c). A expressão algébrica que representa o volume desse bloco retangular é abc. Essas situações mostram expressões algébricas representadas por uma multiplicação de números e variáveis ou por uma multiplicação de variáveis. 107

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 3 Uma torneira gotejando desperdiça y litros de água em 1 hora. A expressão algébrica que representa a quantidade de água desperdiçada por essa torneira gotejando por 4 horas é 4y. Expressões algébricas desse tipo são denominadas monômios ou termos algébricos.

Denomina-se monômio ou termo algébrico toda expressão algébrica representada apenas por um número, ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis, em que a variável não esteja nem no denominador nem no radical. Assim, são exemplos de monômios: • 3x

• 7y

• tarefas envolvendo transformações algébricas com números/coeficientes negativos; • tarefas envolvendo cálculo numérico com números negativos; • tarefas envolvendo fatoração e redução de termos semelhantes; • tarefas envolvendo o tratamento de produto de fatores;

• x2

• abc

•

4x 3

Não se esqueçam de que todo número real é considerado um monômio. WANDSON ROCHA

Categorização de erros na álgebra

Já os estudos de Cortés & Kavafian (1999) apresentam uma classificação de erros e as constatações referentes à persistência deles, que ocorrem no trabalho com a álgebra. O referido estudo levanta por meio de uma pesquisa empírica, os erros cometidos por alunos franceses (no nível correspondente à 7a e 8a séries no Brasil), quando da resolução de equações. Esses erros são classificados em cinco categorias, construídas a partir da utilização incorreta de determinadas propriedades matemáticas. Os autores utilizam-se do quadro teórico Invariantes Operacionais, de Gérard Vergnaud (1990), para a elaboração, aplicação e análise da pesquisa. Foram propostas aos alunos cinco tipos de tarefas, as quais, segundo os autores, são a origem dos erros na aprendizagem da álgebra:

EDITORIA DE ARTE

A leitura do item Investigações relativas à Álgebra no documento Orientações curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem para o Ensino Fundamental: ciclo II: Matemática, que traz informações e orientações a respeito do processo de ensino e aprendizagem relativos à Álgebra, pode trazer informações importantes e suscitar reflexões relevantes para a organização e o planejamento do trabalho com Álgebra a ser desenvolvido com os alunos. Um dos pontos a ser destacado desse documento é o que se refere às categorias de erros cometidos pelos alunos quando estudam Álgebra.

Geralmente, um monômio é formado por duas partes: um número, chamado coeficiente do monômio, e uma variável ou uma multiplicação de variáveis (considerando inclusive seus expoentes), chamada parte literal. Observe os exemplos de monômios: coeficiente

coeficiente

• !10a3b

• 3x parte literal

• !18 parte literal

coeficiente (não tem parte literal)

Observações: • Como o número 1 é o elemento neutro da multiplicação, temos que: a) 1x = x; 1a4x3 = a4x3; 1mn2 = mn2 o coeficiente desses monômios é 1 4 3 4 3 2 2 b) _1x = _x; _1a x = _a x ; _1mn = _mn o coeficiente desses monômios é _1 • Quando o coeficiente de um monômio é 0, o monômio representa sempre o número real zero e é chamado monômio nulo. Exemplos: • 0x = 0

• 0a4x3 = 0

• 0mn2 = 0

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• tarefas envolvendo a

passagem dos termos algébricos, de um membro para o outro da equação (na resolução de equações do tipo ax + b = cx + d). Para os autores, a passagem por um erro durante a aprendizagem da resolução de equações algébricas, é quase que necessária para o

aluno, principalmente quando ele se depara com uma situação nova, como equações com incógnitas nos dois membros ou quando as equações envolvem produto de fatores. [...] Fonte: SÃO PAULO. Orientações curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem

para o Ensino Fundamental: ciclo II: Matemática. Secretaria Municipal de Educação. São Paulo: SME/DOT, 2007. p. 114. Disponível em: <www.cdcc.usp. br/cda/PARAMETROS-CURRICULARES/ Portal-Secretaria-Municipal-DeEducacao-Sao-Paulo-Capital/ EF-CICLOII/OrientacpesCurriculares_ proposicao_expectativas_de_ aprendizagem_EnsFundII_mat.pdf>. Acesso em: 6 nov. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

6. Para gastar 100 calorias, Caio deve correr x minutos em um terreno plano ou fazer ginástica aeróbica por y minutos. Se Caio quiser perder 800 calorias, qual é o monômio que representa o tempo, em minutos, que ele deve:

Responda às questões no caderno.

1. Mariana vende carrinhos em miniatura ao preço de x reais cada um. Qual o monômio que representa o preço de 9 desses carrinhos? 9x 2. Em uma rodovia, o preço de um dos pedágios é R$ 9,20. Se nesse pedágio passaram x carros em determinado dia, qual é o monômio que expressa a arrecadação, em reais nesse dia? 9,20x

a) correr em um terreno plano? 8x

LÉO BURGOS/PULSAR IMAGENS

b) fazer ginástica aeróbica? 8y

3. Um prédio possui x apartamentos por andar. Se esse prédio tem 20 andares, qual é o monômio que representa a quantidade de apartamentos? 20x

i) 1 Não. xy

d) _2,1bx2 Sim. e) 3a _ 2b Não. f) 5 xy2 Sim. 8

j)

x

Não.

a) 7b3 7; b3.

d) a5x3 1; a5x3.

b) _x2y _1; x2y.

e) _6,2a4b2c _6,2; a4b2c. 4 4 f) ; não tem. 5 5

c) 0,9c4 0,9; c4.

4. Na Viação Graviola, a viagem de Campina Grande a João Pessoa custa R$ 22,50. Qual é o monômio que representa o valor arrecadado com y passageiros que fazem esse trajeto? 22,50y

9. O volume de um cubo é dado pelo cubo da medida de sua aresta. Qual é o monômio que expressa o volume do cubo da figura? 8a3 ANDERSON ALCANTARA/MOMENT/GETTY IMAGES

5. Qual é o monômio que representa o produto de 7, a e b? 7ab

7. Identifique quais das expressões algébricas a seguir são monômios. a) x2 Sim. g) x Não. y b) _10 Sim. 3 h) y Sim. c) x + 2y Não.

8. Identifique o coeficiente e a parte literal dos monômios a seguir.

Posto de pedágio na rodovia Castello Branco em São Paulo, SP.

Lagoa do Parque Solon de Lucena em João Pessoa, PB.

Atividades As questões propostas têm como objetivo fixar a ideia de monômio e verificar o que os alunos compreenderam, além de levantar possíveis dúvidas para serem sanadas. Eles devem reconhecer um monômio, utilizá-lo para descrever as situações e identificar o coeficiente numérico e a parte literal desse monômio. Na atividade 7, se necessário, lembrá-los de que geralmente um monômio é formado por duas partes: coeficiente (numérico) e parte literal, que compõem uma multiplicação (formando um termo), sem que estejam envolvidas adições e subtrações. Ressaltar que existem monômios que não têm parte literal (como no caso do monômio apresentado no item b. Chamar a atenção deles também para o fato de que, quando o coeficiente é 1 ou _1, ele não aparece expresso no monômio (é o caso, por exemplo, dos monômios apresentados nos itens b e d). Pedir a eles que indiquem oralmente o coeficiente e a parte literal de cada monômio que identificaram. É importante lembrá-los de que o número real zero também é um monômio chamado de monômio nulo.

a a

EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

a

10. Considere a sequência numérica (x, 5x, 25x, ..., 15 625x). Quais são os monômios que estão faltando nessa sequência? 125x, 625x, 3 125x. 109

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Grau de um monômio O estudo de monômios serve como referência para o estudo que vem logo a seguir, com os polinômios. A determinação do grau de um monômio assim como a identificação de sua parte literal e de sua parte numérica contribuem para a construção das noções algébricas.

Grau de um monômio O grau de um monômio com coeficiente não nulo é dado pela soma dos expoentes das variáveis. Exemplos: • O monômio 6x2y5 é do 7o grau. 1 • O monômio ! ab é do 2o grau. 3

(2 + 5 = 7) (ab = a1b1 h 1 + 1 = 2)

• O monômio 5,1y6 é do 6o grau. • O monômio 10 é de grau zero. O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma de suas variáveis. Nesse caso, o grau do monômio corresponde ao expoente da variável considerada. Exemplos: • O monômio 3x2y5 é do 2o grau em relação à variável x. • O monômio !

1 3 a b é do 1o grau em relação à variável b. 2

Monômios semelhantes Acompanhe: • 10x2y e ! • 2,5x3,

2 2 x y possuem a mesma parte literal: x2y. 3

1 3 x e _4x3 possuem a mesma parte literal: x3. 2 Quando dois ou mais monômios apresentam a mesma parte literal, eles são denominados monômios semelhantes ou termos semelhantes.

Assim, são exemplos de monômios ou termos semelhantes: 2 • 10x2y e ! x2 y . 3 • _4a2b2 e 7a2b2. • 2,5x3;

1 3 x e _4x3. 2

Não são semelhantes, por exemplo, os monômios: • 6x2y e _4xy2. • 2x3; ! 1 x2 e ! 5 x. 4 2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Adição algébrica de monômios Acompanhe as situações a seguir.

1 Qual é o monômio que representa a área do retângulo ABCD da figura? Para resolver o problema, podemos representar:

A

x

D

• a área do retângulo 1 pelo monômio 5x; • a área do retângulo 2 pelo monômio 3x.

2 Esta figura ilustra a superfície lateral de uma escada, com a indicação das medidas dos degraus. Qual é a área dessa superfície? Para resolver o problema, podemos considerar que:

• a área da figura 3 é dada por x ? 2y ou 2xy. Então, a área da figura toda é dada por: 6xy + 4xy + 2xy = (6 + 4 + 2)xy = 12xy Assim, a área dessa superfície é dada por 12xy. Generalizando, podemos dizer que:

5

F

E 2 B

3

C

4y 2y 3

• a área da figura 1 é dada por x ? 6y ou 6xy; • a área da figura 2 é dada por x ? 4y ou 4xy;

1

ILUSRTAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Então, a área do retângulo ABCD, que é dada pela soma das áreas dos retângulos 1 e 2, pode ser representada por 5x + 3x. Podemos, também, considerar o retângulo ABCD, cujos lados medem (5 + 3) = 8 e x, e a área será dada por 8x. Comparando os dois processos, temos: 5x + 3x = 8x ou, ainda, 5x + 3x = = (5 + 3)x = 8x. Assim, 8x é o monômio que representa a área do retângulo ABCD da figura.

Adição algébrica de monômios Um dos principais erros cometidos pelos alunos está na redução de termos semelhantes. Isso se agrava se os coeficientes dos monômios forem números racionais na forma fracionária. Fazer algumas abordagens na lousa, solicitando que os alunos efetuem diversos cálculos envolvendo monômios.

2 1

x x x

6y

Em uma expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são semelhantes, podemos tornar mais simples a expressão adicionando algebricamente os coeficientes e mantendo a parte literal. Essa operação também pode ser chamada de redução de termos semelhantes.

Observe os exemplos: • 5ax ! 7ax " !2ax (5 ! 7)

•

2 2 7 2 1 ay ! ay " ! ay2 3 6 2

7 3 1⎞ ⎛2 "! "! ⎟ ⎜⎝ ! 3 6 6 2⎠

• 9mn ! 15mn # 6mn " 0mn " 0 (9 ! 15 # 6)

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades Algumas das questões apresentadas têm como objetivo levar os alunos a determinar o grau de monômios não nulos e o grau de um monômio em relação a uma de suas variáveis. Na atividade 4, pedir a eles que registrem os seis monômios apresentados, determinando o grau de cada um. Espera-se que os alunos percebam que a ordem, tanto crescente quanto decrescente, deve ser estabelecida considerando-se os expoentes das partes literais dos monômios apresentados. É importante que eles percebam que o monômio 20 não tem parte literal e, como é não nulo, seu grau é zero. Procurar explorar mais essa situação fazendo outros exemplos. Portanto, para colocar esses monômios em ordem decrescente, os alunos podem primeiro organizar decrescentemente no caderno os graus desses monômios, para depois escrever os monômios de acordo com a ordem estabelecida. Outras questões propostas nesse bloco têm como objetivo levar os alunos a identificar monômios semelhantes e efetuar a adição algébrica de dois ou mais monômios semelhantes. Na atividade 7, propor que eles se organizem em duplas para resolver as adições algébricas, trocar ideias com o colega e confrontar suas hipóteses a respeito da adição de monômios. É importante que eles compreendam o conceito e identifiquem monômios semelhantes, concluindo que esse fato possibilita a redução desses monômios a um único termo. Quando os alunos se sentirem confiantes, mostrar que eles podem fazer o cálculo da soma algébrica dos coeficientes mentalmente, registrando, se houver necessidade, apenas os cálculos intermediários. Dê atenção especial às operações de monômios com coeficientes racionais não inteiros

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Entre os monômios a seguir, quais são os 2 que apresentam grau 4? 9x3y; _ m2n2 3 2 9x3y _1,6ac4 0,5ax2 _ m2n2 3 2. Qual é o grau do monômio _15a3x5y? 9o grau. 3. Qual é o valor que se deve colocar no lugar do expoente x para que o monômio 7,5a2bxc5 seja do 10o grau? x = 3 4. Observe os monômios: 7x3

_2x5

_2,5x

10x4

8x2

20

a) Qual é o monômio de maior grau? _2x5 b) Escreva os monômios na ordem decrescente, de acordo com o grau. _2x5; 10x4; 7x3; 8x2; _2,5x; 20 5. Os monômios 10anb2 e 20x7ym são do 8o grau. Qual é o valor numérico da expressão m + n? 7 6. Observe os monômios:

c) 2ab + 1,5ab _ 2,3ab 1,2ab d) _3,1x2y + 4,5x2y _ 2,7x2y _1,3x2y e) 10bc _ 12bc + 7bc _ 3bc 2bc f) 1,1ab3 _ 3,5ab3 _ 0,9ab3 + 2,8ab3 _0,5ab3 1 1 2 2 5 4 x y _ x2y2 + x2y2 _ x2y2 g) 18 3 6 9 8. Qual é o monômio que devemos adicionar a 7x3y3 para obter _2x3y3? _9x3y3 9. Escreva o monômio que adicionado a _2x2 resulta em: a) 5x2 b) _4x2 c) x2 d) 0 _2x2 7x2 2x2 3x2 10. Fazendo a redução dos termos semelhantes, escreva as expressões algébricas a seguir na forma mais simples. a) 7x _ (_2x + x) + (_3x + 5x) 10x _y2 b) 5y2 _ (_4y2 + 7y2) + (_y2 + 9y2 _ 11y2) c) 10ab _ [3ab _ (ab + 2ab _ 5ab) _ 8ab] 13ab d) 2xy + [_5xy + 2xy _ (xy + + 4xy _ 2xy) _ 8xy] _12xy 11. Observe a expressão algébrica a seguir. 20bc _ [_7bc _ (11bc _ 40bc _ 6bc) + 5bc] a) Escreva o monômio que pode representar essa expressão. _13bc

5a2x

1 _ ax 2

0,7ax2

10ax

_0,5a2x

20a2x2

Entre os monômios apresentados, identifique aqueles que são semelhantes a: 3 2 c) a) 5ax2 0,7ax2 ax 4 5a2x; _0,5a2x. b) _1,2a2x2 20a2x2

b) 20xy _ 17xy _ 5xy _2xy

d) _0,9ax1 10ax; _ ax. 2 7. Efetue as adições algébricas dos monômios a seguir. a) 7x2 + 2x2 _ 6x2 3x2

b) Determine o monômio que se deve adicionar ao monômio obtido no item a para se obter 5bc. 18bc 12. Obtenha a forma mais simples de escrita da expressão algébrica a seguir: 3,4a2x2 _ (_1,6a2x2 + + 5,8a2x2 _ 3,7a2x2) _ (8,1a2x2 _ 1,9a2x2) _3,3a2x2 13. Considere a expressão algébrica 0,6ay _ ay + 0,3ay + 0,5ay. a) Escreva essa expressão na forma mais simples. 0,4ay b) Qual o valor numérico dessa expressão quando a = 1,4 e y = _0,9? _0,504

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(na forma de fração ou na forma decimal), sanando dúvidas quanto às operações com números na forma de fração ou na forma decimal. Nas atividades 10, 11 e 12, discutir com os alunos a ordem de eliminação de parênteses e colchetes.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicação de monômios p e n s e e r e s p o nd a

Pense e responda Essa seção tem como objetivo levar os alunos a perceber o processo da multiplicação entre monômios. Pedir a eles que expliquem oralmente o que foi feito para determinar o volume do sólido verde, do laranja e do roxo. Verificar se eles descrevem a propriedade de potências de mesma base. A atividade proposta também retoma a soma algébrica de monômios.

Resoluções a partir da p. 289

a

a a

2a

a

volume: a ! a ! a " a

a 2a

2a

volume: 2a ! 2a ! a " 4a

3

a

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Veja o monômio que representa o volume de cada sólido:

volume: 2a ! a ! a " 2a3

3

1. No caderno, represente com um monômio o volume dos seguintes sólidos: a)

b)

c)

d)

3a3 7a3

14a3

14a3

Inicialmente, vamos recordar a seguinte propriedade: am ? an = am + n. Agora, por meio do cálculo de área e de volume vamos verificar como podemos efetuar a multiplicação entre monômios. 1

7x

Área: (7x) ! (3x) " 7 ! 3 ! x ! x " 21x2 3x

21

2

3y

2x

6x

x2

o monômio que representa a área desse retângulo é 21x2

Volume: (6x) ! (2x) ! (3y) " 6 ! 2 ! 3 ! x ! x ! y " 36x2y 36

x2

O monômio que representa o volume desse paralelepípedo retângulo é 36x2y

Para multiplicar dois ou mais monômios, multiplicamos os coeficientes entre si e multiplicamos as partes literais entre si.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Veja outro exemplo:

3 A sequência (5xy, 10x3y2, 20x5y3, ..., A) tem 6 termos. Descubra o padrão dessa sequência e escreva o 6o termo. Vamos analisar o 1o e o 2o termos da sequência: ?2 5xy

10x3y2 ? x2 ?y

Observamos que o 2o termo é o produto do monômio 5xy (1o termo) pelo monômio 2x2y. Analisando o 2o e o 3o termos, temos que o 3o termo é o produto do monômio 10x3y2 (2o termo) pelo monômio 2x2y. Assim, essa é uma sequência recursiva. Vamos representar a geração de uma sequência desse tipo em um fluxograma: Fim do processo

Não Deseja determinar o próximo termo?

Multiplicar o termo anterior pelo padrão e obter o novo termo.

Início Escolher o primeiro termo.

Sim

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Efetue as seguintes multiplicações: a) a4 ! a6 a10 b) (1,5x2y) ! ("0,3xy2) _0,45x3y3 c) ("2,6abc) ! ("1,2ab) 3,12a2b2c d) ("ac) ! ("a4bc2) a5bc3 e) ("0,1y3) ! (#0,2y4) _0,02y7

EDITORIA DE ARTE

Atividades As questões propostas têm como objetivo levar os alunos a efetuar a multiplicação de monômios utilizando as propriedades da multiplicação no conjunto dos números reais e as propriedades da potenciação. Na atividade 4, que pode ser realizada em duplas, os alunos devem descobrir o padrão de montagem, ou seja, que cada monômio da sequência, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por x2y, e achar o 6o termo (x11y6). Apesar de o tema potenciação de monômios vir a seguir, se julgar conveniente, o estudo desse tema pode ser antecipado, associando-o à multiplicação de monômios e retomando as propriedades da potenciação com números reais. Pode-se, então, propor aos alunos que, em duplas, descubram quais seriam o 10o e o 20o termos dessa sequência, caso ela continuasse. Após a resolução, pedir a cada dupla que apresente o processo que desenvolveu para encontrar esses termos. No caso do 10o termo 19 10 (x y ), muitas duplas farão o cálculo da mesma maneira que fizeram para o 6o termo, ou seja, multiplicando cada termo por x2y e determinando o seguinte. Mas para o 20o termo (x39y20), esse é um processo demorado. Incentivá-los a buscar outros procedimentos para resolver a questão. Discutir processos, como a observação do comportamento dos termos da sequência: se no 1o termo tem-se y1, no 2o termo, y2, no 3o termo, y3, o 20o termo será y20.

a) (5a4bc3) ! ("b2c) ! (#4a2c) _20a6b3c5

Escreva o monômio que representa a área: 1 a) de cada ladrilho. x2 ou 0,5x2 2 b) ocupada pelos ladrilhos amarelos. 6x2

b) (4,5y2) ! ("0,3y) ! ("y4) 1,35y7

c) ocupada pelos ladrilhos azuis. 6x2

2. Calcule o resultado das multiplicações:

c) (0,1xy) ! (100xy ) ! (0,01x ) 0,1x y 2

3

5 3

⎛ 2 ⎞ d) ("12mnp) ! ⎜" m2n⎟ ! (5np) 40m3n3p2 ⎝ 3 ⎠ 3. Cada ladrilho retangular da figura a seguir tem x unidades de comprimento por 0,5x unidades de largura.

d) total da figura. 12x2

4. A sequência (xy, x 3y2, x5y3, ..., A) tem 6 termos. Descubra o padrão de montagem dessa sequência e escreva o monômio representado por A. A = x11y6.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Divisão de monômios

Divisão de monômios O estudo da divisão entre monômios retoma o estudo realizado anteriormente, envolvendo potências de mesma base e as operações de multiplicação, divisão e potenciação. Se sentir necessidade, fazer um pequeno registro na lousa, resgatando esses conceitos e trazendo exemplos envolvendo expressões literais.

Primeiro, vamos recordar a seguinte propriedade: am : an = am _ n. Agora, consideremos alguns exemplos para verificar como podemos realizar a divisão entre dois monômios. 1 Calcular 12y5 : 4y3. 12y5 : 4y3 =

12y5 12 y5 = ? 3 = 3y2 3 4y 4 y 3

y5 ! 3

2 Calcular (20a4b2) ! (!5ab). (20a4b2) ! (! 5ab) "

20a4b2 20 a4 b2 " # # " ! 4a3b !5ab !5 a b !4

a4 ! 1 b2 ! 1

3 Calcular (!2a4xy) ! (!0,5a2x). (!2a4 xy) ! (! 0,5a2x) "

!2 a4 x # 2 # # y " $4a2y !0,5 a x a4 ! 2 1

$4

Para dividir um monômio por outro, dividimos os coeficientes entre si e as partes literais entre si.

Observe, agora, o resultado da seguinte divisão: (15x3y 2) ! (5x 5y 5) "

15x3y 2 15 x3 y2 3 " # 5 # 5 " 2 3 5 5 5x y 5 x y xy

3

x3 ! 5 y2 ! 5

Nem sempre a divisão de um monômio por outro vai resultar em um monômio, como vimos antes. No entanto, ao longo dos nossos estudos veremos apenas a divisão de monômios que tenha como resultado um monômio. 115

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As questões propostas têm como objetivo levar os alunos a efetuar a divisão entre dois monômios aplicando, para isso, as propriedades da divisão de números reais e as propriedades da potenciação. Em algumas atividades trabalha-se a divisão de monômios combinada com a adição e a multiplicação, já vista anteriormente. Na atividade 1, os alunos terão a oportunidade de calcular alguns quocientes, o que lhes permitirá verificar se compreenderam o processo e experimentar formas diferentes de organizar e realizar os cálculos, podendo, assim, encontrar o caminho que consideram mais rápido e prático para a divisão de monômios. Enfatizar a seguinte estratégia de divisão: • Dividir os coeficientes entre si. • Dividir as partes literais entre si, relembrando a seguinte propriedade da potenciação com números: para dividir potências de mesma base diferente de zero, basta manter a base e subtrair os expoentes. Caso sinta necessidade, apresentar na lousa a resolução de alguns exemplos: a) a9 : a5 = a9−5 = a4 b) x6 : x5 = x6−5 = x1 = x H H Relembrar que todo número elevado a 1 é ele mesmo. c) b5 : b5 = 1 H Relembrar que todo número (não nulo) dividido por ele mesmo é igual a 1. Na atividade 2, os alunos devem calcular quocientes entre monômios que têm coeficientes racionais não inteiros (na forma de fração ou decimal) ou que têm coeficientes inteiros cujo quociente não é inteiro. Se necessário, relembrar com eles esses tipos de quociente entre dois números. Apresentar na lousa a resolução, por exemplo, do item a.

Potenciação de monômios Considere as situações a seguir. 1 Qual é o quadrado do monômio _10a3? (!10a3)2 " (!10a3) # (!10a3) " (!10) # (!10) # a3 # a3 " 100a6 $100

a3 $ 3

2 Qual é a 5a potência do monômio 2x2? (2x2)5 " (2x2) # (2x2) # (2x2) # (2x2) # (2x2) " 2 # 2 # 2 # 2 # 2 # x2 # x2 # x2 # x2 # x2 " 32x10 32

x2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2

Para tornar mais simples esses cálculos, podemos usar as propriedades das potências: n

(am) = am ? n

(a ? b)n = an ? bn

Observe, nos exemplos, como o cálculo se torna mais simples: • (!10a3)2 " (!10)2 # (a3)2 " $100a6

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Calcule o quociente dos monômios: a) (_32abc) : (+8ac) _4b b) (+40x y ) : (_10x y ) _4x 7 2

• (2x2)5 " (2)5 # (x2)5 " 32x10

4 2

3

c) (_100a3) : (_25a3) +4 d) (+55a4bc2) : (_11a2bc) _5a2c

2. Efetue as seguintes divisões: 1 a) ⎛$ 2 a4 x3 ⎞ ! ⎛$ 4 ax 2⎞ a3x ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ 2 b) ⎛! 1 a2n7 ⎞ ! ⎛$ 1 an6 ⎞ _4an ⎝ 2 ⎠ ⎝ 8 ⎠

3. Multiplique o monômio _40ax pelo monômio _0,5ax 2. A seguir, divida o resultado pelo monômio _10ax. Qual é o monômio que você vai obter? _2ax2

4. Núbia dividiu o monômio +60x6y3 pelo monômio _12x4y2. Ao resultado obtido,

ela adicionou o monômio +7x2y e obteve M. Qual é o monômio M? M = +2x2y 5. Se você dividir a expressão _27a4b2 + + 7a4b2 pela expressão _10ab + 6ab, qual monômio obterá? +5a3b 6. Edu efetuou a divisão _10x3y por _2xy e obteve como resposta 5x3. A resposta de Edu está correta? Não, pois a resposta correta é 5x2. 7. Se você dividir o cubo da soma (_7y + + 10y + 2y) pela soma (_10y2 _ 15y2), que monômio encontrará? _5y 4

1 2 5⎞ 8. Efetue a divisão de ⎛! ac ⎝ 2 ⎠ 2 1 ⎛! 4 9⎞ ac . ⎝ 4 ⎠

por

Em seguida, adicione o monômio c2 ao resultado. Que monômio você obteve? 2c2

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P O R T O D A P A RT E

Resoluções a partir da p. 289

A bicicleta

A bicicleta do barão alemão Karl von Drais, de 1817, é considerada a pioneira. Ele a batizou de “máquina corredora” (laufmaschine em alemão) e a imprensa a chamou de Draisine ou velocípede. Era feita de madeira e funcionava com o impulso dos pés. O objetivo de Von Drais era oferecer um meio de transporte mais barato e fácil de manter que os cavalos. [...] Nos anos 1860, ficou popular o modelo vendido como velocípede, mas chamado bone shaker (“agita ossos”), por causa do que ocorria quando circulava por ruas de paralelepípedos. Os pedais ficavam na roda dianteira. [...] Em 1870, começa a ser produzida a bicicleta de roda alta, sendo um dos modelos mais conhecidos (e caros) a Ariel, de James Starley. Apesar de agora soar estranho, essas bicicletas eram mais cômodas do que suas predecessoras, mas sua popularidade foi limitada porque “precisavam de um acrobata” para conduzi-las [...] A partir da década de 1880, surgem as chamadas “bicicletas de segurança”, exatamente porque diminuíam o risco de quedas em relação aos modelos anteriores. A primeira foi a Rover, obra do engenheiro J. K. Starkley. São bicicletas muito parecidas com as atuais, com duas rodas do mesmo tamanho e o quadro em forma de diamante. Em 1888, John Dunlop acrescentou as rodas com pneus, tornando os trajetos mais cômodos. [...] Fonte: HANCOCK, J. R. Há 200 anos foi criada a primeira bicicleta: estes foram os primeiros modelos. El País. Disponível em: <https://brasil.elpais.com/brasil/2017/04/19/deportes/1492597692_626497.html>. Acesso em: 11 set. 2018.

Atualmente cresce o número de usuários de bicicletas motivados, principalmente, pelo trânsito crescente nas grandes cidades e o aumento dos valores dos combustíveis fósseis. Ainda sobre a bicicleta, veja alguns dados sobre a produção mundial e a distribuição da frota nacional desse meio de transporte não poluidor. Gráfico 1

Gráfico 2

Produção mundial de bicicletas*

Frota brasileira de bicicletas* 8%

China

Nordeste

5%

Brasil Outros países

10%

65%

* Dados de 2010.

Informações obtidas em: LOBO, J. A bicicleta. Disponível em: <www.ta.org.br/temp/2013/smtr_ta.pdf>. Acesso em: 3 fev. 2018.

GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE

Índia

Sudeste

20%

8%

Sul Centro-Oeste Norte

14%

44%

26%

* Dados de 2010.

Informações obtidas em: TRANSPORTE ATIVO. Introdução ao mundo cicloviário. Disponível em: <www.ta.org.br/ educativos/imc/IMG/IMC_02.pdf.>. Acesso em: 3 fev. 2018.

Com base nos gráficos apresentados, responda no caderno: a) Qual é o país que produz mais bicicletas no mundo? China b) Se representarmos por x a produção mundial de bicicletas, qual monômio corresponderá à produção: 0,65x (China); 0,1x (Índia); 0,05x (Brasil); 0,7x (China e Brasil). • da China? • da Índia? • do Brasil? • da China e do Brasil juntos? c) Se representarmos por y o total da frota nacional (Gráfico 2), qual monômio representará a frota da região: • Centro-Oeste? • Nordeste? • 0,08y • 0,26y d) Junte-se a um colega e elaborem outras questões sobre os dois gráficos apresentados. Troquem as perguntas com outras duplas (uma responde às questões elaboradas pela outra). Resposta pessoal. 117

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5

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

POLINÔMIOS

Nos cálculos algébricos que fizemos até agora, consideramos apenas expressões algébricas chamadas monômios. Acompanhe as seguintes situações:

ab + x2

b

a

1

x

2

x

a área dessa figura é dada pela soma ab + x 2

2 O desenho a seguir representa o esboço de uma rodovia que passa pelas cidades A, B, C e D. A distância de A a B é igual à distância de B a C, e ambas podem ser representadas por x quilômetros. Sabendo que a distância de A a D é de y quilômetros, qual é a expressão algébrica que representa a distância de C a D?

EDITORIA DE ARTE

1 Qual é a expressão algébrica que representa a área da figura a seguir? A área da figura é dada pela soma das áreas das figuras 1 e 2. Adicionamos, então, as áreas das duas figuras:

DANIEL BOGNI

Polinômios Uma sugestão é trabalhar com uma atividade mais contextualizada, cujo tema esteja próximo ao cotidiano dos alunos. Para isso, solicitar que tragam para a sala de aula uma conta de água e analisar a expressão utilizada para o cálculo do consumo. Esta deve ser uma atividade voluntária, ou seja, é importante que os alunos se sintam à vontade para trazer ou não a conta de água, pois sabe-se que algumas famílias não se sentem confortáveis em socializar essas informações. Por isso, se possível, providenciar cópias de uma conta de água e levar para a aula, para que todos possam participar da atividade. Assim, além de contextualizar os conhecimentos, os alunos poderão refletir a respeito de questões importantes, como a escassez de água. Perceberão também, observando a conta, que há um escalonamento de cobrança de água de acordo com o consumo, indicado em metros cúbicos (m3). Entendendo esse escalonamento como um incentivo ao racionamento, eles podem começar a refletir a respeito do consumo consciente de água. Apresentar um exemplo de cálculo da conta de água. • Conta da casa de João. Gasto mensal de 14 m3. Considerando os valores até 10 m3 como consumo mensal mínimo, o valor a ser pago é: R$ 13,06. Para valores de 11 m3 a 20 m3 paga-se R$ 2,04 por m3 que ultrapassou o consumo mínimo. Como o consumo da casa de João ultrapassou 4 m3 do consumo mínimo, o valor da conta de água será dado por: 13,06 + 4 ? 2,04 = 21,22 H H R$ 21,22 Em seguida, orientar os alunos a confirmar o cálculo da conta de suas residências. Depois, pedir a eles que indiquem algebricamente o valor

Observando o esboço, podemos concluir que a distância de C a D é dada pela diferença entre as distâncias de A a D e de A a C: y _ 2x

A expressão algébrica y _ 2x representa a distância entre as cidades C e D.

As situações que acabamos de apresentar nos mostram expressões algébricas que indicam, respectivamente, uma adição ou uma subtração de monômios, ou seja, indicam uma adição algébrica de monômios. São exemplos de polinômios as seguintes expressões: • ab + x2

• 9z + 3y

Qualquer adição algébrica de monômios denomina-se polinômio.

• 3x + 2y

• y _ 2x

Observações: • Qualquer monômio é considerado um polinômio. • Os monômios que formam um polinômio são denominados termos do polinômio. Assim: 2xy

é um polinômio de um só termo (monômio)

100x + 10y + 2

é um polinômio de três termos: 100x, 10y e 2

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de outra conta, supondo que o consumo de água esteja na classe de consumo de 11 m3 a 20 m3 e que ultrapassou em x m3 o consumo mensal mínimo. O polinômio que representa o valor da conta de água nesse caso é 13,06 + 2,04x (em reais).

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ATIVIDADES

AMPLIANDO

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

STOCKBYTE/GETTY IMAGES

1. Em uma partida de basquete, uma jogadora acertou x cestas de 2 pontos e y cestas de 3 pontos. Escreva o polinômio que representa a quantidade de pontos que essa jogadora marcou nessa Cesta de basquete. partida. 2x + 3y 2. Na bicicleta reclinada da figura a seguir, temos que: d + 5r • a medida do raio da roda maior é 3r;

Atividade complementar 1. Com base nas atividades 3 e 7 desta página do livro do aluno, faça o desenho de um polígono em uma malha quadriculada e represente suas medidas utilizando monômios. Em seguida, troque com um colega e solicite a ele que determine as expressões que representam a área e o perímetro da figura desenhada. Resposta pessoal.

4. Em um estacionamento, há x carros e y motos. Escreva o polinômio que representa: a) a quantidade de veículos estacionados. x+y b) a quantidade de rodas dos veículos. 4x + 2y 5. Escreva o polinômio que representa um número formado por: a) x dezenas e y unidades. 10x + y b) y dezenas e x unidades. 10y + x 6. Escreva o polinômio que expressa a medida do segmento AB em cada figura: a) A

C

B

• a medida do raio da roda menor é 2r; 2a

• a distância entre os pontos A e B é d.

b

2a + b b) A

B

C b

2a

A

C2

B

7. Escreva o polinômio que representa a área da figura a seguir. a2 + 2ab + b2 a

• Escreva o polinômio que expressa a distância entre os centros C1 e C2 das rodas.

3. Escreva o polinômio que representa a área da região colorida de amarelo na figura a seguir. x2 _ y2

a

x

b

y x y

b

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

C1

LÉO TEIXEIRA

2a _ b

8. Uma empresa de aluguel de carros cobra uma taxa fixa de R$ 200,00 mais R$ 3,00 por quilômetro rodado. Qual polinômio vai expressar o valor a ser pago por uma pessoa que percorre x quilômetros com um carro dessa empresa? 200 + 3x 119

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Polinômio reduzido

Polinômio reduzido Um dos principais erros cometidos pelos alunos está na redução de termos semelhantes. Isso se agrava se os coeficientes dos monômios forem números racionais na forma fracionária. Fazer algumas abordagens na lousa, solicitando que os alunos efetuem diversos cálculos envolvendo monômios.

Consideremos o polinômio x2 + xy + xy + x2 + xy. Observe que esse polinômio possui termos ou monômios semelhantes. Sabendo que esses termos semelhantes podem ser reduzidos, temos: x2 ! xy ! xy ! x2 ! xy " " x2 ! x2 ! xy ! xy ! xy " "

2x2

pela propriedade comutativa

3xy

!

soma algébrica de monômios semelhantes

Dizemos que: 2x2 + 3xy é a forma reduzida do polinômio x2 + xy + xy + x2 + xy. Veja estas outras situações: 1 Escrever na forma reduzida o polinômio 3a _ 5ab + 8b _ 2a + 3ab + b. 3a # 5ab ! 8b # 2a ! 3ab ! b " " 3a # 2a # 5ab ! 3ab ! 8b ! b " "

a

#

2ab

9b

!

pela propriedade comutativa forma reduzida

2 Escrever na forma reduzida o polinômio 3x2 _ (_9x + 4) + (_7x + x2 _ 3). 3x2 # (#9x ! 4) ! (#7x ! x2 # 3) " " 3x2 ! 9x # 4 # 7x ! x2 # 3 "

eliminando os parênteses

" 3x2 ! x2 ! 9x # 7x # 4 # 3 "

pela propriedade comutativa

"

4x2

!

2x

#

7

forma reduzida

Observações: • Os polinômios de um só termo são chamados monômios. • Um polinômio reduzido de dois termos também recebe o nome de binômio. 3x + 2y 4a _ b xy + 5y2 • Um polinômio reduzido de três termos também é chamado trinômio. x2 _ 2xy + y2 x2 _ 7x + 10 a + 2b _ bc • Um polinômio reduzido com mais de três termos não tem nome particular. 120

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Grau de um polinômio O grau de um polinômio reduzido não nulo é dado por seu termo de maior grau. • O polinômio a3x ! 2a4x3 " 9ax2 é do 7o grau.

4o grau 7o grau 3o grau

• O polinômio x3 ! 6x 2y2 ! 2xy é do 4o grau.

3o grau 4o grau 2o grau

O grau de um polinômio reduzido também pode ser estabelecido em relação a determinada variável. Nesse caso, o grau é dado pelo maior expoente com que a variável considerada aparece nos termos não nulos do polinômio. Assim: 3o grau em relação à variável x

O polinômio x3y " 3x2y4 é do 4o grau em relação à variável y

Polinômios com uma só variável real Considere os polinômios reduzidos: • x2 + 7x _ 10

• x3 _ 2x2 + 4x _ 1

Polinômios como esses, muito importantes para estudos futuros, são denominados polinômios na variável x. É costume, em Matemática, escrever polinômios com os termos em ordem, segundo as potências decrescentes da variável x. Veja os exemplos: • 6x2 _ 5x _ 1 • x3 _ x _ 7 • 5x4 _ 7x3 _ x2 + 2x _ 10 Quando um polinômio está assim ordenado, e nele não aparecem uma ou mais potências da variável x, dizemos que o polinômio é incompleto. Nesse caso, os coeficientes dos termos que não aparecem no polinômio são zeros. Veja os exemplos: • x3 _ 7x _ 1 é incompleto e pode ser escrito na sua forma completa assim: x3 + 0x2 _ 7x _ 1 (forma geral). • x4 _ 9 é incompleto e pode ser escrito na sua forma completa assim: x4 + 0x3 + 0x2 + 0x _ 9 (forma geral). 121

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AMPLIANDO

Link O Portal do Saber, criado pela OBMEP, disponibiliza alguns vídeos a respeito de expressões algébricas e polinômios. Disponível em: <http://livro. pro/2ms5i9>. Acesso em: 6 nov. 2018.

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Grau de um polinômio Ressaltar para os alunos que: • um polinômio na forma reduzida não apresenta termos semelhantes; • não se define grau para o polinômio nulo (aquele que tem todos os coeficientes iguais a zero ou que em sua forma reduzida é igual a zero); • se o polinômio for de uma única variável, o grau do polinômio é o maior expoente dessa variável; • se o polinômio tiver mais de uma variável, é preciso verificar o grau de todos os monômios e o maior deles é o grau do polinômio. É importante destacar que o grau de um polinômio só pode ser determinado se esse polinômio estiver na forma reduzida. Discutir com eles o exemplo a seguir. O polinômio P = 2x5 + + 3x4 _ 2x2 _ x2 + x3 _ 2x5 aparentemente tem grau 5, mas, depois de reduzir seus termos semelhantes, obtém-se 3x4 + x3 _ 3x2, que é a forma reduzida do polinômio P. Observando P em sua forma reduzida, verifica-se que ele tem grau 4 e não 5 como aparentava. Quase todas as situações modeladas com polinômios recaem em polinômios de uma única variável. Comentar também com os alunos que, para escrever polinômios de uma só variável na sua forma completa, eles devem estar na sua forma reduzida e ordenados segundo as potências decrescentes de sua variável. Esse fato é bastante utilizado na divisão de polinômios (assunto que será visto mais adiante) em que se precisa expressar o polinômio dividendo na sua forma completa.

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Atividades Nesse bloco de questões os alunos vão aplicar a escrita da forma reduzida de um polinômio e, ainda, determinar o grau de um polinômio e escrever um polinômio de uma variável na sua forma geral (ou completa). Na atividade 4, ressaltar que para obter o grau de um polinômio em relação a uma determinada variável deve-se observar o expoente dessa variável em todos os termos do polinômio em que ela aparece. O maior expoente é o grau procurado. No caso do polinômio apresentado, o grau em relação à variável x é 5, maior expoente dessa variável. Perguntar também qual é o grau em relação às demais variáveis do polinômio. Na atividade 6, inicialmente pergunte: • O polinômio tem quantas variáveis? Resposta: Uma. • O polinômio está na forma reduzida? Por quê? Resposta: Sim, porque não há termos semelhantes. • O polinômio é completo ou incompleto? Resposta: Incompleto. Assim, os alunos perceberão o que devem observar para obter a forma geral de um polinômio de uma variável. Desafios Para os desafios, atividades 8 e 9, retomar o conceito de polígono regular com os alunos. Propor a eles que se reúnam em duplas para resolver as questões. Socializar as diferentes estratégias que surjam e faça a correção coletivamente. Alguns alunos podem explicar para a classe, oralmente, como pensaram. Resolução dos Desafios 8. a) Representa o perímetro de cada polígono. b) 6 ? x = 6x 9. Hexágono lilás: 6 ? x = 6x Hexágono verde: 6 ? (x + 1) = 6x + 6 Hexágono salmão: 6 ? (x + 2) = 6x + 12

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Escreva os polinômios a seguir, na forma reduzida: a) 2a x ! 5a x " 3a x ! 7ax " " a2x2 ! 2a2x " 5ax2 3a2x _ 4a2x2 _ 2ax2 2

2 2

2

2

b) 6x _ 5y + 3xy + 2xy _ 5x + + 9y + 4x _ xy _ y 5x + 3y + 4xy 2. Ao resolver uma questão, Fernando chegou ao seguinte polinômio: 0,5a _ (0,7b _ 1,2ab) _ 1,3b + (0,8a + + 2b _ 0,6ab) 1,3a + 0,6ab a) Qual é a forma reduzida desse polinômio?

4. Em relação à variável x, qual é o grau do polinômio a seguir? 5o grau. 2bx2 _ 7ax5 _ 3cx + abx3 5. Considere o polinômio: 10 _ 6x3 + x _ 9x4 + x5 _ 5x2 Escreva-o na forma ordenada e dê o grau do polinômio. x5 _ 9x4 _ 6x3 _ 5x2 + x + 10; 5o grau. 6. Escreva a forma geral do polinômio c5 _ 1. c5 + 0c4 + 0c3 + 0c2 + 0c _ 1 7. Qual é o polinômio reduzido que expressa a área da figura a seguir? 2x2 + 3ax

b) O polinômio é um trinômio ou binômio? É um binômio. 3. Qual é a forma reduzida de cada um dos polinômios? a) 8ab _ (a + 7b _ 5) + (_5ab + 2 _ b) + + (+4a + 2ab _ 6b) 5ab + 3a _ 14b + 7

x

a

x

1

3

a

2

b) 2x2 _ [2xy + x2 _ (3xy + y2) + 2y2] – xy x2 _ y2

4

5

a

x

x

DESAFIO

8. Todos estes polígonos são regulares e têm lados com a mesma medida x.

3x x

5x

4x x

x

x

a) O que representa a expressão algébrica escrita dentro de cada figura dos três primeiros polígonos? O perímetro. b) Qual expressão algébrica deve ser escrita dentro da figura do hexágono? 6x 9. Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro de cada um dos hexágonos regulares da figura a seguir. 6x; 6x + 6; 6x + 12 ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

x

1 1

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Adição algébrica de polinômios Considere as situações a seguir.

1 Qual é o polinômio que representa o perímetro da figura? Como o perímetro representa a soma das medidas dos lados, temos: adição de polinômios

= 2a + 1 + a + 10 + a _ 3 =

2a " 1

= 2a + a + a + 1 + 10 _ 3 = = 4a + 8

EDITORIA DE ARTE

(2a + 1) + (a + 10) + (a _ 3) =

a " 10

a!3

Adição algébrica de polinômios No estudo da adição algébrica de polinômios, os alunos perceberão que grande parte dos procedimentos aritméticos são válidos no campo algébrico.

reduzindo os termos semelhantes

O polinômio que representa o perímetro da figura é 4a + 8.

ILUSTRAÇÕES: DANIEL BOGNI

2 Um mesmo aparelho eletrodoméstico é vendido em duas lojas diferentes nas seguintes condições: OFERTA 2x reais de entrada e 5 prestações iguais de y reais

OFERTA x reais de entrada e 3 prestações iguais de y reais

Como podemos observar, os preços são expressos de maneiras diferentes. Nessas condições, qual é o polinômio que expressa a diferença entre os preços das duas lojas? Na loja 1, o preço é representado pelo polinômio 2x ! 5y. Na loja 2, o preço é representado pelo polinômio x ! 3y. A diferença entre os preços das duas lojas pode ser assim escrita: (2x ! 5y) " (x ! 3y) #

subtração de polinômios

# 2x ! 5y " x " 3y # 2x " x ! 5y " 3y # x ! 2y A diferença entre os preços é expressa pelo polinômio x ! 2y. 3 Dados P1 # x 3 ! 4x 2 " 3x ! 7, P2 # 3x 3 ! 6x " 5 e P3 # x 2 ! 2x ! 3, determinar P1 ! P2 " P3. P1 ! P2 " P3 # (x3 ! 4x2 " 3x ! 7) ! (3x3 ! 6x " 5) " (x2 ! 2x ! 3) # # x3 ! 4x2 " 3x ! 7 ! 3x3 ! 6x " 5 " x2 " 2x " 3 # # x3 ! 3x3 ! 4x2 " x2 " 3x ! 6x " 2x ! 7 " 5 " 3 # # 4x3 ! 3x2 ! x " 1 O polinômio resultante de P1 ! P2 " P3 é 4x 3 ! 3x 2 ! x " 1. 123

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Atividades As questões apresentadas propõem que os alunos apliquem a adição algébrica de polinômios. Algumas das questões retomam conceitos já vistos, como é o caso do valor numérico de uma expressão algébrica. Na atividade 4, discutir com os alunos o conceito de oposto. Comentar que todo polinômio adicionado ao seu oposto resulta no polinômio nulo. Resolver, caso julgue necessário, algumas questões na lousa, como a atividade 2.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Observe as medidas dos lados da figura e escreva o polinômio que expressa o perímetro desta figura. 13x + 3,1a 3x ! 0,5a

4x ! 0,6a

3x ! a

3x ! a

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2. Quando adicionamos os polinômios 17x2 _ 15x + 20 e _13x2 + 20x _ 31, obtemos a soma: ax2 + bx + c. Qual é o valor numérico da expressão a + b + c? _2 3. Em uma partida de basquete, Tiago fez x arremessos de lances livres e acertou 60% menos 3 desses lances livres. Seu companheiro de equipe, Fernando, também arremessou x lances livres, acertando 40% mais 1 desses lances. Escreva o polinômio que representa: a) a quantidade de lances livres que Tiago acertou. 0,6x _ 3 b) a quantidade de lances livres que Fernando acertou. 0,4x + 1 c) a quantidade de lances livres que os dois acertaram juntos. x _ 2 d) a diferença entre o número de lances livres que Tiago acertou e o número de lances livres que Fernando acertou. 0,2x _ 4 4. Você sabia que um polinômio tem oposto? Veja as seguintes afirmações. • _x é o oposto de +x.

a) Qual é o oposto do polinômio A? _9a2x2 + 7ax + 11a _ 6x b) Qual é o resultado da soma de A com o seu oposto? 0 c) Subtraindo de A o seu oposto, que polinômio obtemos? 18a2x2 _ 14ax _ 22a + 12x 5. Considere os polinômios P1 = a + b + c, P2 = a _ b + c e P3 = a + b _ c. Determine: a) P1 ! P2 ! P3 3a + b + c b) P1 ! P2 " P3 a _ b + 3c c) P1 " P2 ! P3 a + 3b _ c d) P1 " P2 " P3 _a + b + c 6. Um polinômio A adicionado ao polinômio 9x + 3y _ 10xy _ x2y2 tem como resultado o polinômio 3x2y2 _ 7x + 5y _ xy. Qual é o polinômio A? 4x2y2 _ 16x + 2y + 9xy 7. Dados os polinômios P = x2 + y2 _ 5xy e Q = 2x2 + 8xy _ 3y2, determine: a) P + Q 3x2 + 3xy _ 2y2 8. D e te r min e o s representam:

b) P – Q _x2 _ 13xy + 4y2 p o lin ô mio s q u e

a) (15a _ 7b + 4c) + (_8b + 3c _ 9a) 6a _ 15b + 7c b) (2y2 _ 3ay + 4a2) _ (ay _ 5y2 _ a2) 2 7y _ 4ay + 5a2 3 2 2 c) (3a _ 2a b + 5ab _ 6b3) + (7a2b _ 5a3 + + b3 _ 6ab2) _2a3 + 5a2b _ ab2 _ 5b3 d) (x2 _ 3xy + y2 _ x2y2) + (+x2 + 5x2y2 + + y2 + 3xy) 2x2 + 2y2 + 4x2y2 e) (a2 _ 1,6b2 + 0,9c2) _ (0,8a2 _ b2 + 1,7c2) 0,2a2 _ 0,6b2 _ 0,8c2 f) (7a2 _ 3ab + 2b2) _ (3a2_ 5ab _ c2 _ 3b2) + + (_6ab + c2) 4a2 _ 4ab + 5b2 + 2c2

• _(x 2 _ 3x + 1) é o oposto de (x 2 _ 3x + 1).

g) (0,9x3 _ 1,8x + 1) + (_1,3x2 + + 2,6x _ 2) _ (0,7x3 _ 1,6x2 + 0,4x + 5) 0,2x3 + 0,3x2 + 0,4x _ 6 h) (ab + a2b2 _ 7a _ b) _ (4a2b2 _ 7a + + 3b _ ab) + (4b + 5a2b2) 2a2b2 + 2ab

Dado o polinômio A = 9a2x2 _ 7ax _ 11a + + 6x, responda:

i) (7y3 _ 2y2 + 3y _ 5) + (y3 _ 4y + + 9) _ (5y3 + 4y2 _ y + 1) 3y3 _ 6y2 + 3

• 2xy2 é o oposto de _2xy2. • (2a + b) é o oposto de _(2a + b).

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicação de polinômios

Multiplicação de polinômios Ao abordar a multiplicação de polinômios, retomar com os alunos a propriedade distributiva.

Multiplicando um monômio por um polinômio De que maneira podemos representar a área desta figura? 2x

y

Uma das maneiras de representar a área é:

AMPLIANDO

x ! (2x " y) x

1

2

Link Uma possibilidade é pedir aos alunos para explorarem atividades em que se faz a multiplicação de monômios por polinômios, acessando a plataforma Khan Academy. Disponível em: <http://livro. pro/8jjh9k>. Acesso em: 4 nov. 2018.

EDITORIA DE ARTE

medida do comprimento medida da largura

A expressão x ? (2x + y) representa, algebricamente, a multiplicação do monômio x pelo polinômio 2x + y. Outra maneira de representar a área da figura é adicionar as áreas das figuras que a compõem, ou seja: x ! (2x " y) # x ! 2x " x ! y # área da figura 1

2x2 " xy

área da figura 2

Observe que usamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica: x ! (2x " y) # 2x2 " xy Podemos dizer que: A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio.

Acompanhe as situações a seguir. 1 Qual é o polinômio que representa o produto 5a2m ! (3a $ 2am)? 5a2m ! (3a $ 2am) # # 5a2m ! 3a $ 5a2m ! 2am # # 15a3m $ 10a3m2 Nesse caso: • Multiplicamos 5a2m por 3a: 5a2m ? 3a = 5 ? 3 ? a2 ? a ? m = 15a3m. • Multiplicamos 5a2m por $2am: 5a2m ? (_2am) = 5 ? (_2) ? a2 ? a ? m ? m = _10a3m2. • Somando algebricamente ambos os resultados obtivemos o polinômio 15a3m $ 10a3m2. 125

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicando um polinômio por outro polinômio

Representação geométrica:

10

10 ? 10

10 ? 6

2

2 ? 10

2?6

Depois de discutir com os alunos as maneiras apresentadas anteriormente, propor que eles façam a seguinte multiplicação envolvendo dois binômios: (x + 2) ? (x + 6) Espera-se que eles possam, por analogia, obter esse produto. Os alunos podem fazer essa parte reunidos em duplas, sob sua orientação. Eles podem começar pela representação geométrica: 6

x

x?x

x?6

2

2?x

2?6

x x2 x2

x x 6x + 2x + 8x

a

x

1

2

b

3

4

Como a figura representada é um retângulo de lados (x + a) e (x + b), uma das maneiras de representar a área é: (x ! a) " (x ! b) medida da largura medida do comprimento

Note que, algebricamente, a expressão (x + a) ? (x + b) representa a multiplicação de um polinômio por outro polinômio. Outra maneira de representar a área da figura é adicionar as áreas das quatro figuras que a compõem, ou seja: x " x ! x " a ! b " x ! b " a # x2 ! ax ! bx ! ab área 1

EDITORIA DE ARTE

x

x

EDITORIA DE ARTE

De que maneira podemos representar a área da figura seguinte?

6

EDITORIA DE ARTE

10

área 2

área 3

área 4

Então: (x ! a) " (x ! b) # x " x ! x " b ! a " x ! a " b # x2 ! ax ! bx ! ab polinômio

+ 2 + 6 + 12

polinômio

+ + 12

• • • •

Note que usamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica: Multiplicamos x por x, o que resultou em x2. Multiplicamos a por x, o que resultou em ax. Multiplicamos x por b, o que resultou em bx. Multiplicamos a por b, o que resultou em ab. Podemos dizer que: A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo (ou monômio) de um deles por cada termo (ou monômio) do outro e reduzindo-se os termos semelhantes (se houver).

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Acompanhe as questões a seguir.

Atividades As questões desse bloco exploram a multiplicação de monômio por polinômio. Na atividade 2, se necessário, esclareça que deve ser efetuada primeiro a multiplicação entre os monômios e, depois, a multiplicação entre o monômio resultante e o polinômio. Na atividade 5, antes de os alunos determinarem a forma reduzida, perguntar qual é o grau do polinômio P. Discutir com eles as possíveis respostas, que serão validadas ao se obter a forma reduzida.

1 Qual é o polinômio que representa o produto (3a ! 2b) (2a " 5b)? (3a ! 2b) # (2a " 5b) $

Também podemos fazer assim: 3a ! 2b 2a " 5b 6a2 ! 4ab 2a(3a ! 2b) 2 "5b(3a ! 2b) "15ab " 10b 6a2 " 11ab " 10b2

$ 3a # 2a ! 3a # ("5)b ! 2b # 2a ! 2b # ("5)b $

%

$ 6a " 15ab ! 4ab " 10b $ 2

2

$ 6a2 " 11ab " 10b2

O polinômio procurado é 6a2 " 11ab " 10b2. 2 Vamos calcular o produto de x ! 2 por x2 " x " 2. (x ! 2) # (x2 " x " 2) $

Também podemos fazer assim: x2 " x " 2 % x!2 x3 " x2 " 2x x(x2 " x " 2) 2(x2 " x " 2) !2x2 " 2x " 4 3 2 x ! x " 4x " 4

$ x # x ! x # ("x) ! x # ("2) ! 2

! 2 # x2 ! 2 # ("x) ! 2 # ("2) $ $ x3 " x2 " 2x ! 2x2 " 2x " 4 $ $ x3 " x2 ! 2x2 " 2x " 2x " 4 $ $ x3 ! x2 " 4x " 4 O produto é expresso por x3 ! x2 " 4x " 4.

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Escreva o polinômio que representa a área da região verde da figura. 2xy _ 1,2y2 2x

4. Na loja Só Computadores, havia a seguinte oferta: xy + 4xz

PROMOÇÃO

1,2y

y

Computador e estabilizador

2. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 3x, 2y e (2x _ y). Se o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto de suas três dimensões, escreva o polinômio que represente o volume. 12x2y _ 6xy2 3. Escreva os polinômios na forma reduzida: a) 2bx(1 _ a) + 2x(a _ b _ c) _ 2x(a _ c) _2abx b) 3a(2a _ b) _ [a(6a _ 3b) _ b(3a _ 5b)] 3ab _ 5b2

Entrada de y reais e 4 prestações mensais de z reais.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

Sabendo que foram vendidos x desses computadores ontem, escreva o polinômio que representa a quantia que a loja faturou com as vendas desse dia. 5. Escreva o polinômio P = a(a2 _ ab + b2) + + b(a2 _ ab + b2) na sua forma reduzida. a3 + b3 127

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AMPLIANDO

Atividade complementar Propor a seguinte atividade para ampliar o trabalho com multiplicação de polinômios. Solicitar aos alunos que calculem 16 ? 12. Orientá-los

a observar que a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição é a base para o cálculo do algoritmo da multiplicação com os números decompostos.

Algoritmo: 10 + x 10 +

Resolução de atividade:

Efetuando o cálculo 16 ? 12:

+

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6 2 12 20 60 100 192

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10. Usando a multiplicação, escreva o polinômio que representa cada uma das potências a seguir.

y

a) (x _ 5y)2 x2 _ 10xy + 25y2 b) (0,6 + 2ax)2 0,36 + 2,4ax + 4a2x2

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2x y

c) (b + y)3 b3 + 3b2y + 3by2 + y3 11. Você sabe que o volume de um paralelepípedo é dado pelo produto das medidas das três dimensões desse sólido. Determine o polinômio que representa a soma dos volumes das figuras a seguir. 7x3 + 6x2 + 3x

a) Escreva o polinômio que representa a área da região verde. 6x2 _ xy _ y2 b) Calcule o valor numérico do polinômio obtido para x = 20 e y = 10. 2 100 7. Multiplicando o polinômio 1,2x + 0,5y por 1,5x _ 0,5y, obtém-se um polinômio P. Escreva P. P = 1,8x2 + 0,15xy _ 0,25y2

2x 1

8. Quando você multiplica 5x 2 _ x _ 1 por 2x 2 + x _ 5, obtém como produto o polinômio ax4 + bx 3 + cx 2 + dx + e. Qual é o valor numérico da expressão a + b + c + d + e? _6

3x ! 1 x x!3 2

9. Escreva o polinômio que representa cada produto.

12. Escreva na forma mais simples os polinômios:

a) (3a _ 1,5x)(0,7a _ 5x) 2,1a _ 16,05ax + 7,5x 2

2

a) (a3 _ b3)(a + b) _ (a2 + b2)(a2 _ b2) a3b _ ab3 b) (a _ 2b)[a(b _ 3) + b(1 _ a)] _3a2 + 7ab _ 2b2

b) (a2 _ 1)(2a2 _ 2a + 1) 2a4 _ 2a3 _ a2 + 2a _ 1

y

y

c) (a + x)(a2 _ ax + x2) a3 + x3 DESAFIO

x

x!1

y

área

área xy

x

y

y

2x ! 2y

x

perímetro

y

2

x

2

y

xy

perímetro

x

13. Você sabe jogar dominó? x "y 2x ! 4y y 2 x x No dominó que aparece aqui, também devemos encostar as peças em uma das extremidades abertas. A parte de uma peça em que aparece um polígono deve ficar em contato com a parte de outra peça, na qual apareça uma expressão algébrica que represente a área ou o perímetro desse polígono. Vendo este jogo já começado, como você o continuaria? Indique em qual sequência você colocaria as seguintes peças. Pela porta da esquerda: B, C, D, A. Pela ponta da direita: A, D, C, B. área

2x

2x x 3x

2x

etr

o

C

r ím pe

A

6x

á re a 2x 2

8x

pe

pe

r ím

etr

r ím etr o 12 x

o

x

3x

x

2x

x

x

x

y

x

2x x x x x x

x

B

D

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

x

Na ponta da esquerda do dominó, precisamos da figura de um polígono cujo perímetro seja dado por 2x + 2y. Esse polígono é uma das pontas da peça B. Seguindo esse raciocínio, as próximas peças serão C, D e A. Na ponta da direita do dominó, precisamos de uma peça que expresse o perímetro (6x) ou a área (2x2) desse polígono. Essa expressão é uma das pontas da peça A. Seguindo esse raciocínio, as próximas peças serão D, C e B.

3x

x

Resolução do Desafio

6. Observe esta figura:

y

Desafio Você pode enriquecer esse trabalho de integração com Geometria propondo aos alunos que, depois de resolverem o desafio, atividade 13, construam um dominó com 20 peças (aproveitando as nove já expostas na atividade), que relacionem polinômios com perímetros e áreas de figuras planas e até volumes de sólidos conhecidos. Organizar a classe em grupos para que cada um deles construa o seu dominó. Discutir com eles se todos os dominós construídos completam o jogo. Esses jogos podem ficar na escola para serem aproveitados em outros anos.

WANDSON ROCHA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Divisão de polinômios por um monômio

Atividades As questões propostas têm como objetivo levar os alunos a efetuar a divisão de um polinômio por um monômio não nulo ou de um polinômio por outro polinômio não nulo e aplicar a relação fundamental da divisão: dividendo = quociente x divisor + resto Nos exercícios que envolvem divisão de polinômios por monômios, sugerir aos alunos que façam a representação das divisões em forma de fração antes de realizar os cálculos, por exemplo: (_45a6 + 27a2) : (9a2) = _45a2 + 27a2 = = 9a2 45a6 27a6 + = = 2 9a 9a2

Considere as seguintes situações:

1 Dividir 9x5 ! 21x4 " 12x 3 por 3x 3.

(9x5 ! 21x4 " 12x 3) ! (3x 3) # 1 9x5 21x 4 12x3 # ! " # 3 3 3 3x 3x 3x 3x3 # (9x5 ! 3x 3) ! (21x4 ! 3x 3) " (12x 3 ! 3x 3) # # (9x5 ! 21x 4 " 12x3) $

#

3x 2

!

7x

2 Calcular (40x 3y2 " 5x 2y3) ! ("10xy).

4

"

# 3x 2 ! 7x " 4

(40x 3y2 " 5x 2y3) ! ("10xy) # ⎛ 40x 3y 2 5x 2y 3 1 ⎞ # " ! # # (40x 3y 2 " 5x 2y 3) $ ⎜" # 10xy 10xy ⎝ 10xy ⎟⎠

# "(40x 3y2 ! 10xy) ! (5x 2y3 ! 10xy) # "4x 2y

#

!

1 2 xy 2

# "4x 2y ! 0,5 xy2

Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio não nulo fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.

= _5a4 + 3 Veja outra situação:

3 Calcular (12a4b2 " 28a2b2 ! 4ab3) ! (4ab).

(12a4b2 " 28a2b2 ! 4ab3) ! (4ab) # # (12a4b2) ! (4ab) " (28a2b2) ! (4ab) ! (4ab3) ! (4ab) #

# 3a3b " 7ab ! b2

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Efetue cada uma das seguintes divisões:

a) (2,5a4b " 4,5a5b3) ! ("5ab) _0,5a3 + 0,9a4b2 c) (a2b2c2 ! a3bc " abc2) ! (abc) abc + a2 _ c 5 1 4 4 5 3 3⎞ ⎛ 1 3 3 ⎞ 1 b) ⎛ x y " xy ! " x y _ xy + ⎠ 3 ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2 4 8 2. Ao multiplicar um polinômio P por um monômio, você vai encontrar

18a2x5 ! 42a3x4 " 72a4x3. Se o monômio é 6a2x3, qual é esse polinômio? 3x2 + 7ax _ 12a2 129

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tratamento da informação Nessa seção, os alunos entrarão em contato com um infográfico que apresenta a esperança de vida ao nascer em países membros do G-8 e de cinco países em desenvolvimento. Além da leitura detalhada de cada informação, é importante que percebam que essa forma de apresentar informações é muito utilizada, por exemplo, em jornais e revistas. Conversar com a turma a respeito das “vantagens” e “desvantagens” desse tipo de gênero textual e ainda as particularidades existentes na formatação e na organização dos dados.

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Resoluções a partir da p. 289

Interpretando dados O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é um indicador geral do desenvolvimento humano apoiado sob três aspectos: saúde, educação e renda. Ele surgiu com o intuito de oferecer um contraponto ao Produto Interno Bruto (PIB) per capita, que é uma medida econômica e que não reflete a qualidade de vida de uma população. O pilar da saúde utiliza a esperança de vida ao nascer como parâmetro de cálculo. A tabela a seguir mostra a situação, em 2016, de 13 países em relação a esse indicador: os países membros do Grupo dos 8 (G-8), composto das sete nações mais industrializadas do mundo (Estados Unidos, Japão, Alemanha, Reino Unido, França, Itália e Canadá) e pela Federação Russa, além de cinco países em desenvolvimento (China, Índia, México, Brasil e África do Sul), que participam como convidados das reuniões anuais do G-8.

Esperança de vida ao nascer – 2016 País

Esperança de vida ao nascer (em anos)

Japão

83,98

Canadá

82,20

Itália

83,40

França

82,70

Alemanha

81,00

Reino Unido

81,20

Estados Unidos

78,69

México

77,12

China

76,25

Brasil

75,51

Rússia

71,59

Índia

68,56

África do Sul

62,77

Fonte: COUNTRYECONOMY.COM. Disponível em: <https://pt.countryeconomy.com/demografia/ esperanca-vida>. Acesso em: 7 set. 2018.

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Responda às questões no caderno.

AMPLIANDO Resoluções a partir da p. 289

Link Sugerir aos alunos que consultem a seção Respondendo do site do IBGE para obter informações sobre para que servem as pesquisas sobre população: • IBGE. Para que servem as pesquisas do IBGE? Disponível em: <http://livro.pro/ ibhigg>. Acesso em: 6 nov. 2018.

1. Qual era a média, aproximada, de esperança de vida ao nascer, nos países indicados, 2. Menor esperança de vida: 62,77 anos, na África do Sul; maior esperança em 2016? 77,30 anos. de vida: 83,98 anos, no Japão; variação da esperança de vida: 21,21 anos. 2. Qual é a variação da esperança de vida ao nascer entre o país que ocupa a primeira e o que ocupa a última colocação no infográfico? Identifique quais são esses países. 3. Comparando o Brasil com o Japão, quanto os brasileiros viviam menos que os japoneses? 8,47 anos. 4. Em 2005, a esperança de vida ao nascer no Brasil era de 71,9 anos. Já em 2013 ela subiu para 73,9. Quantos anos aumentou a esperança de vida ao nascer no Brasil em 2013 em relação a 2005? 2,0 anos. No entanto, o IDH não contempla todos os índices de desenvolvimento de um país. Por exemplo, ele não contempla a taxa de natalidade do país. Essa taxa é o indicativo do número de nascidos vivos a cada 1 000 habitantes. Veja a tabela com esse índice para os mesmos países que vimos antes.

Taxa de natalidade – 2016 País

Taxa de natalidade (‰)

Japão

7,80

Canadá

10,80

Itália

7,80

França

11,70

Alemanha

9,60

Reino Unido

11,80

Estados Unidos

12,40

México

18,17

China

12,00

Brasil

14,16

Rússia

12,90

Índia

19,01

África do Sul

20,98

SAIBA QUE

O símbolo ‰ deve ser lido “por mil”.

Responda às questões no caderno. 5. O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) é o órgão, no Brasil, responsável pela coleta, pelo tratamento e armazenamento dos dados relativos à população brasileira. Debata com seus colegas de classe a importância desse trabalho. A que ele se destina? Resposta pessoal. 6. Os dados mostrados estão organizados em forma de tabela. Organize-os em gráficos e, em seguida, faça um texto explicando a escolha pelo tipo de gráfico utilizado. Destaque pontos como adequação aos dados, facilidade de leitura, de comparação etc. Resposta pessoal.

Fontes: COUNTRYECONOMY.COM. Disponível em: <https:// pt.countryeconomy.com/demografia/natalidade?anio=2016> e PORDATA. Disponível em: <https://www.pordata.pt/Europa/ Taxa+bruta+de+natalidade-1605>. Acessos em: 11 set. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Retomando o que aprendeu Essas questões visam retomar o trabalho com expressões numéricas e seus valores numéricos. Você pode propor aos alunos que tragam de casa algumas questões já resolvidas e desenvolvam outras na sala, com os colegas, fazendo uma autocorreção das questões feitas individualmente. As questões em que os alunos tiverem mais dificuldades podem ser resolvidas na lousa. Retomar com os alunos alguns dos tópicos tratados nessa Unidade, dando ênfase para a Educação financeira e o Tratamento da informação. Questionar os alunos se o tema cálculo algébrico e expressões algébricas se relaciona com esses tópicos. A ideia é fazê-los perceber que os modelos matemáticos utilizados na situação do cotidiano dependem da Álgebra para serem formulados. Explicar que existem modelos matemáticos que fazem parte do dia a dia de maneira implícita, por exemplo, algoritmos computacionais, fórmulas de juros compostos, entre outras possibilidades.

RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. Determine o valor numérico da expressão 3x2 _ 5x _ 1 quando: a) x = 0 _1 b) x = _1 7 c) x = 1,2 _2,68 2. Considere a seguinte expressão algébrica: a2 (_a _ b)(a + b) + ab3 _ b Sendo a = b = _2, o valor numérico dessa expressão é: Alternativa a. a) 2

c) 1

b) _2

d) _1

e) 4

xy . 3. Considere a expressão algébrica x_y O valor numérico dessa expressão quando x = 0,4 e y = 0,5 é: Alternativa e. a) _4

c) 1

b) _1

d) 2

e) _2

4. (Saresp-SP) Uma locadora cobra R$ 20,00 por dia pelo aluguel de uma bicicleta. Além disso, ela também cobra, apenas no primeiro dia, uma taxa de R$ 30,00. Chamando de x o número de dias que a bicicleta permanece alugada e de y o valor total do aluguel, é correto afirmar que: Alternativa d. a) y = 600x b) y = 50x c) y = 30x + 20 d) y = 20x + 30 5. (Saresp-SP) O valor numérico da expressão x3 + 2x2, para x igual a _2, é: a) 2 c) 0 Alternativa c. b) 1

d) 16

6. O presidente de uma empresa resolveu anunciar um de seus produtos na

Resoluções a partir da p. 289

televisão. Constatou-se que houve um aumento nas vendas a partir de então. O diretor de marketing dessa empresa verificou que a quantidade vendida desse produto no mês podia ser represen3 tada pela expressão algébrica x + 40, 2 em que x representa o número de anúncios na televisão durante o mês. Se, em determinado mês, foram feitas 50 aparições na televisão, então foram vendidas nesse mês: Alternativa c. a) 125 unidades. b) 120 unidades. c) 115 unidades. d) 110 unidades. e) 105 unidades. 7. (Fuvest-SP) Se A =

então A é igual a:

x_y 2 1 ,x= ey= , xy 5 2

a) _0,1

c) _0,3

b) 0,2

d) 0,4

e) _0,5 Alternativa e.

8. Um grupo de estudantes de meteorologia pesquisou as variações de temperatura em certa cidade. Após longa coleta de dados, o grupo concluiu que a temperatura podia ser calculada por meio da fórmula mate1 mática T = _ t2 + 4t + 10, na qual T 6 representa a temperatura, e t representa a hora do dia. O grupo calculou a temperatura na cidade às 12 horas e às 18 horas. Nesse período, a temperatura diminuiu quantos graus Celsius? Alternativa d. a) 9 °C

c) 7 °C

b) 8 °C

d) 6 °C

e) 5 °C

9. (FCMSC-SP) Para x = 0,1, o valor da exx3 _ 1 pressão é: Alternativa b. 1_x d) 1,11 a) _11,11 e) 11,1 b) _1,11 c) _0,111

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10. Considerando uma bola com 10 cm de diâmetro e se o volume da esfera é dado 4 3 pr (em que r é o raio da esfera), por 3 o volume correspondente a uma bola é: Alternativa e. a) 4186,66 cm3 d) 418,64 cm3 b) 500 cm

e) 523,33 cm

3

3

c) 5233,33 cm

3

11. Sabe-se que ax = 10. Então, qual é o valor de A, se A = 4 ? ax _ 2a2x? Alternativa b. a) _200

c) _120

b) _160

d) _60

e) 240

12. A área do triângulo colorido dentro do retângulo a seguir pode ser representada pelo monômio: Alternativa d.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

13. São dados dois números reais, dos quais o maior vale o triplo do menor. Se o menor dos números é expresso por 3,5x, o monômio que representa o produto desses dois números é: Alternativa b. a) 36x2

d) 36,75x

b) 36,75x2

e) 24,5x2

Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento dessa Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, reflexões a respeito das aprendizagens individuais e sistematizações. Por isso, é importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas em cada conteúdo estudado na Unidade. A proposta de resumo deve-se à quantidade de conceitos que são trabalhadas. Para os alunos, é uma importante retomada de diversos conceitos. Se julgar conveniente, pode-se iniciar esse trabalho em sala, com a sua mediação, e propondo que o finalizem em casa. Depois de os alunos responderem às questões, em uma roda de conversa, pedir que alguns alunos exponham o que fizeram para iniciar uma discussão a respeito de cada questão. Em seguida é possível propor a elaboração coletiva de um diagrama organizando o que foi estudado.

c) 36x 14. (Saresp-SP) Calculando-se os valores da expressão n2 + 3n + 1 para n valendo 1, 2, 3 etc., obtém-se uma das sequências a seguir. Qual delas? Alternativa b. a) 5, 11, 17, 23, ... b) 5, 11, 19, 29, ... c) 5, 7, 9, 11, ...

EDITORIA DE ARTE

d) 1, 5, 9, 13, ... 2,5x

15. A sequência

e) 6,25

b) 8x7y

5x

a) 12,5x

c) 12,5x2

b) 6,25x

d) 6,25x2

UM NOVO OLHAR

xy x2y 3 , , x y, ... tem 7 termos. 4 2 Qual é o último termo dessa sequência? Alternativa a. a) 16x7y d) 16x5y e) 32x7y

c) 16x6y Resoluções a partir da p. 289

Nesta Unidade, abordamos a introdução ao cálculo algébrico, as expressões algébricas ou literais e o valor numérico das expressões algébricas. Também estudamos os conceitos de monômios, polinômios e suas operações. Na seção Educação financeira, foi estabelecida uma discussão sobre juros e na seção Tratamento da informação continuamos o trabalho de análise de dados, determinando qual o melhor tipo de gráfico a ser utilizado. Na abertura desta Unidade, buscou-se fazer uma reflexão sobre a simbologia utilizada na escrita matemática, de modo que você pudesse entender que as construções utilizadas nesta Unidade são uma maneira simplificada de se escrever uma expressão matemática. Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda às questões seguintes no caderno: Resposta pessoal. • Qual é a importância das expressões algébricas no cotidiano e na Matemática? • De acordo com a abertura da Unidade, além de François Viète, quais outros matemáticos e filósofos tiveram influência na utilização de letras e símbolos na Matemática? Pesquise. • Faça um resumo de todas as operações trabalhadas com monômios e polinômios, garantindo um exemplo para cada operação. Resposta pessoal. • Qual é a importância do estudo de monômios e polinômios? Resposta pessoal.

Aristóteles, Euclides, Michael Stifel, Girolamo Cardano, Raffaele Bombelli e Leonhard Euler são os mais notórios personagens dessa longa história. 133

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GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Equações

Ah, seu inteiro, seu sétimo fazem dezenove! Esse problema aparece em um papiro egípcio escrito há 3 000 anos. Desde essa época, o ser humano já se aventurava no campo das equações. Muitas vezes, as equações são usadas para fazer previsões e projetos e toda equação possui sempre, pelo menos, um valor que não conhecemos. Em Matemática, é comum utilizarmos uma letra para identificar esse valor.

Agora, pense e responda no caderno: • A qual trecho do diálogo você associaria a equação v + g = 112? Resposta esperada: “entre vacas e galinhas são 112 animais”. • E a qual trecho você associaria a equação 4v + 2g = 384? Resposta esperada: “em um total de 384 pernas.” • Observando a equação anterior, o que você acha que representa o termo 4v? E o termo 2g? Resposta esperada: 4v representa a quantidade de pernas das vacas. Resposta esperada: 2g representa a quantidade de perna das galinhas.

PRIMOPIANO/SHUTTERSTOCK.COM

ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada

MANZI

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COMPETÊNCIAS

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questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

HABILIDADES

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p. XXI e XXII

Álgebra • EF08MA07 • EF08MA08 • EF08MA09

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seção Um novo olhar, após o estudo formal desse conteúdo. Nessa seção, eles serão estimulados a tentar solucionar um problema parecido com esse, mas com alguns dados modificados. Se julgar necessário, propor outros problemas cuja resolução também envolva a formulação e solução de equações.

Entre vacas e galinhas, são 112 animais, em um total de 384 pernas. E então, quantas vacas e quantas galinhas há aqui?

AMPLIANDO Atividade complementar • José nasceu 5 anos depois de seu irmão Pedro. Quantos anos tinha Pedro quando ele tinha o dobro da idade de José?

Mãe, quantas vacas e galinhas há aqui na fazenda?

Resolução da atividade:

Indicando por J a idade de José e por P a idade de Pedro, podemos escrever duas equações para representar as informações do problema: J+5=PhJ=P_5 P = 2J Substituindo a expressão que representa J na equação P = 2J, temos: P = 2J P = 2(P _ 5) P = 2P _ 10 P = 10 Assim, pode-se concluir que Pedro tinha 10 anos quando tinha o dobro da idade de José.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade Nessas páginas os alunos serão convidados a resolver uma situação que envolve um sistema de equações. Sugere-se que, nesse momento, sejam reunidos em duplas e, juntos, tentem encontrar a so-

lução para o questionamento apresentado no diálogo entre a mãe e a filha. Incentivar os alunos a registrar todas as estratégias e hipóteses por eles levantadas e, em seguida, construir com a turma um cartaz de soluções, em que cada dupla deverá registrar sua forma de resolver

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o problema e apresentar oralmente aos demais as estratégias utilizadas. Nesse momento, não há necessidade de apresentar de forma sistemática o sistema de equações. Os alunos serão incentivados a investigar essa atividade novamente no encerramento desta Unidade, na

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

EQUAÇÃO DO 1O GRAU COM UMA INCÓGNITA

Alguns documentos antigos, como os papiros egípcios, traziam inúmeros e curiosos problemas matemáticos. Veja a tradução de um problema que aparece no famoso Papiro de Rhind.

Uma quantidade, sua metade, seus dois terços, todos juntos são 26. Diga-me: qual é essa quantidade?

EDITORIA DE ARTE

Equação do 1o grau com uma incógnita Os alunos já tiveram um primeiro contato com o estudo das equações de 1o grau no 7o ano. No 8o ano, retoma-se esse estudo e aprofunda-se o tema, abordando as equações literais, fracionárias e as equações do 1o grau com duas incógnitas. Com isso, é possível o estudo da representação geométrica desse tipo de equação no plano cartesiano e sua utilização como método para resolução de um sistema de equações. Pense e responda Os alunos devem usar o método apresentado anteriormente para resolver os problemas. Depois, pedir a eles que, com os conhecimentos já adquiridos, representem as situações de forma algébrica, esperando que obtenham equações do 1o grau com uma incógnita. Ao resolverem essas equações, propor uma discussão a respeito de qual processo sentiram mais facilidade para determinar a resposta. É interessante notar que, nesse caso, não há uma única resposta correta, o mais importante é que os alunos consigam justificar suas escolhas, analisando os pontos positivos e negativos de cada método. Algumas perguntas que podem orientar esse raciocínio são: “Qual é a dificuldade que pode apresentar o processo dos antigos egípcios?”; “Qual é a possível vantagem de representar problemas como esses por meio de uma equação?”.

Como os egípcios não usavam a linguagem algébrica das equações, para resolver esse tipo de problema, eles atribuíam à quantidade procurada um valor arbitrário, que fosse divisível, ao mesmo tempo, pelos denominadores das frações que apareciam no problema; nesse caso específico, um valor que fosse divisível por 2 (sua metade) e por 3 (seus dois terços) ao mesmo tempo. Esse valor pode ser 6, 12, 18, 24 ou qualquer múltiplo de 6, pois qualquer um desses números é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Usando o valor 6, por exemplo, e de acordo com o problema, temos: 2 1 6! " (6) ! " (6) # 6 ! 3 ! 4 # 13 3 2 Como 13 não é a soma dada no problema, vamos fazer como os egípcios e usar a ideia de proporção. Com os valores 6, 13 e 26 montamos a proporção: • Ao valor arbitrário 6 corresponde a soma 13. • A qual valor vai corresponder à soma 26? Como 26 representa o dobro de 13, que foi o valor encontrado, então, pela proporção, a quantidade procurada representará o dobro do valor arbitrário 6. Assim, a quantidade procurada será 2 ? 6, ou seja, 12. Comprovando, temos: 2 1 12 + ⋅ (12) + ⋅ (12) = 12 + 6 + 8 = 26 2 3 p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

Conheça, a seguir, a tradução de outros problemas encontrados no Papiro de Rhind e tente resolvê-los, no caderno, usando o processo utilizado pelos egípcios. 1. Uma quantidade aumentada do seu um sétimo resulta em 40. Qual é essa quantidade? 35 2. Uma quantidade, sua metade e sua quarta parte, adicionadas, resultam em 56. Qual é essa quantidade? 32

3. Uma quantidade, seus dois terços e seus três quartos são adicionados, e a soma é 145. Qual é essa quantidade? 60

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

SONIA VAZ

A grande importância da Álgebra é permitir a resolução de problemas que envolvem números desconhecidos e possibilitar fazer generalizações. Ao representar o número desconhecido (ou incógnita) usando uma letra do alfabeto, podemos estabelecer uma relação entre os números conhecidos e os desconhecidos por meio de uma sentença matemática, por exemplo, uma equação. Usando técnicas matemáticas, podemos manipular essa equação até torná-la a mais simples possível, permitindo, assim, que se estabeleça o valor do número desconhecido. Considere a seguinte situação: Desenvolvendo certa velocidade média, um motorista percorreu, de carro, a distância entre as cidades baianas de Salvador e Mangue Seco em 4 horas. Se o motorista tivesse aumentado em 20 km/h a velocidade média, teria percorrido a mesma distância em uma hora a menos, ou seja, em 3 horas. Como calcular a distância percorrida? Distância entre Salvador e Mangue Seco

BAHIA 12° S

Resolver na lousa o problema proposto no livro do aluno. Observar se os alunos equacionam o problema, com base na situação dada. A transição da linguagem verbal para a linguagem matemática é um ponto a ser observado na sala de aula, pois muitos alunos costumam apresentar dificuldades nessa mudança de registro. Se julgar pertinente, levar para a sala de aula um conjunto de problemas, que não serão resolvidos neste momento, para serem apenas equacionados.

Vamos representar por x a distância percorrida. Considerando que: velocidade distância percorrida média = , tempo gasto podemos montar a equação a seguir para o problema. x x ! 20 " 4 3 velocidade média que supostamente o veículo teria desenvolvido no percurso

OCEANO ATLÂNTICO

aumento da velocidade média velocidade média com a qual o carro fez o percurso 0

30

37° O

Centro histórico, Salvador, Bahia, 2018.

INES SACRAMENTO/SHUTTERSTOCK.COM

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: 2012.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Como resolver uma equação do 1o grau com uma incógnita Apresentar, na lousa, os passos utilizados na resolução da equação da situação 1: x x + 20 = 4 3 1o: Escrever todos os termos como frações de mesmo denominador, usando a equivalência de frações:

Nessa equação, observamos que: x + 20 , é uma expressão algébrica inteira. • O primeiro membro, 4 x , também é uma expressão algébrica inteira. • O segundo membro, 3 Equações desse tipo são chamadas equações inteiras do 1o grau na incógnita x. Aplicando os princípios de equivalência das equações, chegamos à forma reduzida ax = b, com a, b [ R e a 5 0, o que simplifica a resolução. Veja outras equações desse tipo: • x + 1 = 7, que pode ser reduzida à forma x = 6. • 3x + 10 = 5x, que pode ser reduzida à forma 2x = 10. • 2 ? (3x _ 1) + 5x = 0, que pode ser reduzida à forma 11x = 2.

Como resolver uma equação do 1o grau com uma incógnita

3x 240 4x + = 12 12 12 2o: Efetuar as operações (adições ou subtrações) nos numeradores em cada membro (quando houver): (3x + 240) 4x = 12 12 3o: Utilizar o princípio multiplicativo e eliminar os denominadores (multiplicando os dois membros por 12): (3x + 240) 4x ? 12 = ? 12 12 12 3x + 240 = 4x 4o: Utilizar o princípio aditivo da igualdade: 3x + 240 = 4x 3x _ 3x + 240 = 4x _ 3x 240 = x x = 240 Em seguida, propor outras equações similares para os alunos resolverem passo a passo. Depois, pedir a alguns deles que mostrem, na lousa, como fizeram. Discutir com a turma a respeito de diferentes resoluções para validá-las.

Resolver uma equação consiste em encontrar o valor da incógnita que torna a sentença verdadeira, ou seja, encontrar a solução ou a raiz da equação. Acompanhe as situações a seguir. 1 Considerando a situação apresentada anteriormente, vamos calcular a distância percorrida pelo motorista entre as cidades de Salvador e Mangue Seco. x x Para isso, calculamos a raiz da equação no conjunto R. ! 20 " 4 3 x x ! 20 " 4 3 3x ! 240 4x reduzimos todos os termos ao mesmo denominador " 12 12 usamos o princípio multiplicativo para eliminar os 3x ! 240 " 4x denominadores (multiplicando os dois membros por 12)

3x # 4x " #240

usamos o princípio aditivo (adicionamos _4 aos dois membros)

x " 240 O número real 240 é raiz da equação. Portanto, o motorista percorreu 240 km. 2 Resolver a equação 5 ? (x + 2) _ 3 ? (x + 6) = 40 no conjunto R. 5(x ! 2) # 3(x ! 6) " 40 Eliminamos os parênteses 5x ! 10 # 3x # 18 " 40 2x # 8 " 40 2x " 40 ! 8 Usamos o princípio aditivo (adicionamos 2x " 48 48 x" 2

8 aos dois membros) Usamos o princípio multiplicativo ⎛multiplicamos os dois membros por 1 ⎞ ⎜⎝ ⎟ 2⎠

x = 24 O número real 24 é a solução da equação. 138

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS y−3 y +1 y −1 3 Resolver a equação , em que U = R. + = 4 6 12 y −1 y−3 y +1 + = 4 6 12 3(y ! 3) " 2(y " 1) 1(y ! 1) # 12 12

3(y ! 3) " 2(y " 1) # 1(y ! 1)

Se possível, desenvolver a situação 3 na lousa. Solicitar aos alunos que, em cada etapa efetuada, descrevam o conceito matemático associado à operação. O uso dos termos corretos auxilia na compreensão dos procedimentos. Assim, “determinar a fração equivalente”, “aplicar o princípio aditivo e/ou multiplicativo”, entre outras, são expressões que devem fazer parte do vocabulário matemático do aluno de 8o ano.

reduzimos todos os termos ao mesmo denominador usamos o princípio multiplicativo para eliminar os denominadores

3y ! 9 " 2y " 2 # y ! 1 eliminamos os parênteses 5y ! 7 # y ! 1 5y # y ! 1 " 7 usamos o princípio aditivo 5y # y " 6 5y ! y # 6 usamos o princípio aditivo 4y # 6 6 usamos o princípio multiplicativo y# 4 3 simplificamos a fração y# 2 3 A solução da equação é o número real . 2

ATIVIDADES

Atividades As atividades propostas têm como objetivo aplicar os conhecimentos adquiridos a respeito de equações do 1o grau e socializar os diferentes procedimentos desenvolvidos pelos alunos. Na atividade 4, observar se os alunos efetuam corretamente a resolução, pois há uma subtração entre os termos fracionários. É comum que esse tipo de equação seja resolvido de forma incorreta, pois os alunos podem vir a considerar que o sinal de menos refere-se apenas ao primeiro termo do numerador e não ao numerador como um todo. Na atividade 5, espera-se que os alunos identifiquem cada expressão entre parênteses como uma parcela da soma que resulta em 90. Além disso, eles também devem perceber que para identificar qual expressão representa o maior número é preciso, depois de obter o valor de x, determinar o valor de cada uma dessas expressões.

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Considerando U = R, determine a solução das seguintes equações do 1o grau com uma incógnita: a) 21x _ 17 = 109 6 b) 73x + 100 = 53x _5 c) 1,7 + 2,5x = 4,2 1 d) 23x _ 22 = 19x + 6 7

5 e) 12x _ 16 = _21 + 10x _ 2 f) 1,9x _ 3,6 = x _ 10,8 _8 g) 10 (x + 1) _ 5 (x _ 2) = 70 10 h) 5 (x + 2) _ 13 = 2 (3x _ 1) _1 i) 7 (2 + x) = 5 (x _ 1,2) + 35 7,5 j) 3 (x + 1) _ 2 (x _ 1) = _(x + 5) _5 2. Qual é o valor de x, no conjunto R, na expressão (3 + x) _ 1 = (17 _ 4x) _ (3 + x)? 2

3. Considerando o conjunto R dos números reais, determine a raiz ou solução de cada uma das seguintes equações do 1o grau com uma incógnita: x x 240 a) + 20 = 4 3 2 3 3 y_ = y 3 b) 5 4 20 1 x c) 1 _ = _ x + 2 _6 2 3 x _ 10 x + = 10 40 d) 9 6 x +3 x_1 7 _ = _29 e) 4 3 2 4x _ 1 4 2_x f) 16 _2= _ 10 5 4

4. Qual deve ser o número real x para que a x+2 x_1 seja igual a 1? expressão _ 4 5 O número 6. 5. As expressões (x _ 5), (2x _ 9), (3x _ 13) e (4x _ 3) representam números, cuja soma é 90. Qual é o maior desses números? 45 139

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resolvendo problemas Usando a linguagem das equações, podemos resolver problemas. Acompanhe a resolução dos problemas a seguir. 1 Uma equipe de futebol disputou algumas partidas em 2019 e obteve o seguinte desempenho: venceu 45% dessas partidas, perdeu 20% e empatou 21 partidas. Quantas partidas essa equipe disputou em 2019? Vamos representar por x o número de partidas disputadas pela equipe. Lembre-se: 45% = 0,45 e 20% = 0,20. Assim, podemos escrever esta equação: 0,45x ! 0,20x ! 21 " x quantidade de partidas disputadas quantidade de empates quantidade de derrotas quantidade de vitórias

0,45x + 0,20x + 21 = x 0,45x + 0,20x _ x = _21 _0,35x = _21 0,35x = 21 21 x = = 60 0,35 Logo, essa equipe disputou 60 partidas. 2 Em um estacionamento, há carros e motos, totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento? Vamos indicar por x a quantidade de carros. A quantidade de motos será indicada por 14 _ x. A equação correspondente ao problema é: 4x ! 2 # (14 $ x) " 48 quantidade de rodas dos carros

quantidade de rodas das motos

quantidade total de rodas

4x + 2(14 _ x) = 48 4x + 28 _ 2x = 48 2x + 28 = 48 2x = 48 _ 28 2x = 20 20 x" " 10 quantidade de carros 2 14 $ x " 14 $ 10 " 4 quantidade de motos Nesse estacionamento, há 10 carros e 4 motos.

OLYA N./SHUTTERSTOCK.COM

Resolvendo problemas A resolução de problemas envolvendo o uso de equações é um tema no qual alguns alunos podem vir a apresentar dificuldades. Propor que os alunos, organizados em duplas, tentem resolver os problemas propostos nesta página. É possível que alguns tentem resolver os problemas por tentativa e erro. No problema 1, alguns alunos podem concluir que 35% do total de partidas correspondem a 21 partidas e, assim, concluir que 5% do total de partidas são 3. Logo, 100% correspondem a 60 partidas. Observar que, com este raciocínio, os alunos não utilizaram a equação como estratégia de resolução. O salto aqui é fazê-los construir a equação que traduz a situação-problema. Da mesma forma, é possível determinar uma solução para o problema 2, usando o raciocínio lógico. Confrontar a resolução dos alunos e apresentar a resolução algébrica.

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

5. A produção e as vendas de dezembro das três montadoras de automóveis de uma cidade foram registradas nesta tabela:

Responda às questões no caderno.

1. Observando a figura seguinte e supondo que todas as maçãs que estão na balança tenham a mesma massa, determine quantos gramas tem cada maçã. 100 g MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

Produção e vendas (dezembro de 2015)

2. Karina participou de um concurso dividido em duas fases. Na 1a fase, ela obteve uma nota e, na 2a fase, obteve 3 pontos a mais que na 1a. A nota final dos candidatos desse concurso foi calcu(1a nota) + 2 ? (2a nota) lada assim: . 3 Sabendo que a nota final de Karina foi 8, que nota ela tirou em cada fase? 1ª fase: 6; 2ª fase: 9.

Montadora

Unidades produzidas

Azul Branca Vermelha

3 000 5 000 2 000

Taxa percentual vendida da produção 80% 60% x%

Fonte: Dados fictícios.

ELIZABETH KNOX/MASTERFILE/LATINSTOCK

Sabendo que nesse mês as três montadoras venderam 7 000 dos 10 000 carros produzidos, qual é o valor de x? x = 80

Estudante em sala de aula.

3. Um prêmio de R$ 165 000,00 deve ser dividido entre Caio, Lucca e Theo. Lucca deve receber a metade do valor de Caio, e Theo vai receber R$ 20 000,00 a mais que Caio. Qual quantia cada um receberá? Caio: R$ 58 000,00; Lucca: R$ 29 000,00; Theo: R$ 78 000,00. 4. Para comprar um computador, Valdir precisa de 200 reais a mais do que tem. Se ele tivesse o dobro da quantia que tem, compraria esse computador e ainda ficaria com 300 reais. a) Qual a quantia que Valdir tem? 500 reais. b) Qual o preço do computador? 700 reais.

Atividades As atividades propostas têm como objetivo que os alunos apliquem a equação do 1o grau em situações variadas. Nas situações-problema apresentadas, reforçar o trabalho com leitura e interpretação dos enunciados, para que os alunos traduzam corretamente as situações para linguagem matemática (neste caso, as equações). Um trabalho interessante pode ser confrontar as equações construídas pelos alunos e verificar no que se assemelham e no que diferem. Discutir coletivamente os erros cometidos é uma estratégia que contribui para a aprendizagem. Se sentir necessidade, explorar alguns desses problemas oralmente. Para finalizar, propor que cada aluno escreva um texto contando as estratégias utilizadas por ele e pelos colegas e qual estratégia eles julgam ser a melhor para a resolução de cada atividade. Observar quais alunos ainda cometem erros na resolução das equações, como na troca de sinais ou na divisão, e propor a eles outras estratégias de aprendizagem.

6. Humberto trabalha de segunda a sexta-feira e recebe mensalmente um auxílio-alimentação de R$ 380,00. Ele tem duas opções para almoçar: em um restaurante, onde paga cerca de R$ 15,00 por refeição, ou levando a refeição de sua casa, ao custo aproximado de R$ 7,00. Sabendo que às sextas-feiras Humberto nunca pode levar sua refeição para o trabalho e considerando que 1 mês tem 4 semanas, responda às questões. a) O auxílio-alimentação é suficiente para Humberto almoçar todos os dias no restaurante? Sim, pois gastaria R$ 300,00. b) Em um mês, quantos reais, no mínimo, ele gasta com o almoço no seu trabalho? R$ 172,00 no mínimo.

DESAFIO

7. Uma tabela tem quatro valores numéricos. Observa-se que, com exceção do 2 primeiro, cada valor corresponde a 3 do valor numérico anterior. Sabendo que a soma desses quatro valores é 195, qual é o primeiro valor dessa tabela? E o último? 81 (primeiro valor) e 24 (último valor). 141

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Desafio Sugere-se que o desafio da atividade 7 seja realizado primeiro individualmente. Em seguida, organizar os alunos em duplas ou trios para que contem aos colegas as estratégias que utilizaram na resolução e quais foram as dificuldades encontradas.

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Resolução do Desafio

Seja x o primeiro valor: 2 2 2 2 ? x+ ? x+ 3 3 3 3 2 2 ? ? x = 195 h 3 3 2 4 8 hx+ x+ x+ x= 3 9 27

x+

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65x = 195 h = 195 h 27 h x = 81 Assim, o primeiro valor será 81 e o último valor é calculado assim: 8 8 ? 81 = 24. x= 27 27 Portanto o primeiro valor será 81 e o último valor será 24.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Equação fracionária com uma incógnita Neste momento os conceitos de fração algébrica e equação algébrica fracionária são retomados e aprofundados, bem como o estudo de fatoração, como por exemplo, a redução ao denominador comum. Ressaltar a importância de se determinar quais valores a incógnita pode assumir, isto é, o seu conjunto universo. Para as equações fracionárias a restrição são os valores reais que anulam os denominadores. Tais valores não podem pertencer ao conjunto universo da equação original.

EQUAÇÃO FRACIONÁRIA COM UMA INCÓGNITA

CESAR DINIZ/PULSAR IMAGES

Vista da avenida Afonso Pena, Campo Grande, Mato Grosso do Sul. Foto tirada em março de 2018.

AMPLIANDO Atividade complementar Determinar o conjunto universo e o conjunto solução da seguinte equação fracionária: x2 _ 9 =6 x_3

Considerando: velocidade média = equação para o problema. 240 240 ! 20 " x #1 x

Resolução da atividade

É necessário determinar o conjunto universo, buscando os números reais que anulam o denominador, para excluir esses valores. Observe que 3 torna o denominador x _ 3 nulo, isto é, x deve ser diferente de 3. Portanto o conjunto universo dessa equação é U = r _ {3}. Depois disso, resolve-se a equação: (x + 3)(x _ 3) =6 x_3 Para x 5 3, a equação fracionária acima é equivalente à equação x + 3 = 6. No entanto, a raiz dessa equação do 1o grau é x = 3, que para a equação fracionária não é possível. Por isso, o conjunto solução dessa equação fracionária é o conjunto vazio, ou seja: S=@

MARCOS AMEND/PULSAR IMAGES

Um ônibus, desenvolvendo certa velocidade, percorreu os 240 km que separam as cidades de Campo Grande e Bonito em x horas. Se tivesse aumentado em 20 km/h a sua velocidade média, teria demorado uma hora a menos, ou seja, (x _ 1) horas para percorrer a mesma distância. Qual foi a quantidade x de horas que o ônibus gastou para percorrer os 240 km?

Cachoeira do desejo, Bonito, Mato Grosso do Sul. Foto tirada em outubro de 2017.

distância percorrida , temos a seguinte tempo gasto

velocidade média que supostamente o ônibus teria desenvolvido no percurso aumento da velocidade média velocidade média com a qual o ônibus fez o percurso

Nessa equação, observamos que: 240 • O primeiro membro, + 20, é uma expressão algébrica fracionária, pois o x 240 contém a incógnita no denominador. termo x ⎛ 240 ⎞ também é uma expressão algébrica fracionária, • O segundo membro ⎜ ⎝ x _ 1⎟⎠ pois a incógnita aparece no denominador. Equações desse tipo são chamadas equações fracionárias na incógnita x. Uma equação é fracionária quando tem pelo menos uma incógnita no denominador, sempre fora de radical.

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AMPLIANDO

Como resolver uma equação fracionária

Atividade complementar Determinar o conjunto universo e resolver a equação fracionária: x2 _ 9 = 10 x_3

Resolveremos as equações fracionárias de forma similar à maneira como resolvemos as outras equações. Devemos, contudo, excluir do conjunto solução da equação fracionária os valores da incógnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equação. Vamos resolver algumas equações fracionárias. Acompanhe os exemplos a seguir. 2x 3 = + 2. 1 Determinar o número real x que seja a solução da equação x_3 x 2x 3 m.m.c. (x, x !3) " x(x ! 3) " #2 x !3 x

Resolução da atividade

O conjunto universo é o mesmo da equação da atividade anterior, ou seja, U = = r _ {3}.

2x2 3(x ! 3) # 2x(x ! 3) " x(x ! 3) x(x ! 3)

2x2 " 3(x ! 3) # 2x(x ! 3) 2x2 " 3x ! 9 # 2x2 ! 6x 2x2 " 2x2 ! 3x ! 9 2x2 ! 2x2 " !3x ! 9 0 " !3x ! 9 0 # 3x " !9 3x " !9 !9 x" 3 x " !3

x2 _ 9 = 10 x_3

Note que x deve ser diferente de 0 e de 3, pois esses valores anulam algum denominador da equação.

(x _ 3)(x + 3) = 10 x_3 x + 3 = 10 (para x 5 3) x=7 Como 7 pertence ao conjunto universo da equação fracionária original (7 não anula o denominador), x = 7. O conjunto solução dessa equação fracionária é S = {7}.

como !3 não anula nenhum denominador da equação, ele é a raiz ou a solução da equação

O valor procurado é o número real _3. 2 Encontrar a solução da equação

3 + t2 1+t = . 1_t 1 _ t2 Veja o que ocorre com essa equação: 1# t 3 # t2 " 1! t (1 # t)(1 ! t)

m.m.c. (1 ! t, 1 ! t2) " (1 # t)(1 ! t)

(1 # t)(1 # t) 3 # t2 " (1 # t)(1 ! t) (1 # t)(1 ! t)

(1 # t)(1 # t) " 3 # t2 1 # 2t # t2 " 3 # t2 1 # 2t # t2 ! t2 " 3 1 # 2t " 3 2t " 3 ! 1 2t " 2 2 t" 2 t"1

Note que t deve ser diferente de 1 e de _1, pois esses valores anulam algum denominador da equação.

Como o número 1 anula os denominadores da equação, o número 1 não é raiz ou solução da equação e, portanto, podemos dizer que essa equação não tem raiz ou solução. 143

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Atividades As questões desse bloco têm como objetivo levar os alunos a reconhecer e resolver equações fracionárias, além de compreender que os valores que anulam os denominadores de uma equação fracionária não podem ser solução da equação. Procurar resolver algumas questões com e sem a utilização de equações, para poder compará-las. A atividade 8 trata do custo médio de determinado produto. Ler o problema com os alunos e verificar se eles compreendem o que cada uma das variáveis dadas significa.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Determine o valor que x não pode assumir nas equações fracionárias a seguir: 3 1 11 + = 0 a) 4 x 12 x +3 1_x ! 1+ b) 0 x 2x 1 3 x_1 + = c) 0 6x 2x 4x2 x_3 3 = d) _3 x +3 5 2 5 1 = ou _1 e) 2x _ 1 x +1 2 1 3 = 2 f) 1 + 2_x 2 2. Qual é o valor real de x que torna verdax_1 1 x = + deira a igualdade ? 1_x 2 1_x 3 3. Determine o valor real de y para que 3y 2 e 3+ as expressões sejam y_4 y 4 iguais, sabendo que y 5 0 e y 5 4. " 5

4. No conjunto R, qual é a solução da 1 3 2 = _ , com equação x_1 x_2 x_3 x 5 1, x 5 2 e x 5 3? _1 5. Determine o conjunto solução das seguintes equações fracionárias: 5 3 =_ (x 5 3, x 5 _ 3) a) 2 x _9 x +3 4 4 1 1 3 # ! b) 2 x "4 x#2 x (x 5 2, x 5 _2, x 5 0) @

{}

1 2 7 + = 2 y #5 y "5 y " 25 2 (y 5 _ 5, y 5 5) 3 5x − 2 2 1 d) # " !0 9 " x2 x #3 3"x (x 5 _ 3, x 5 3) 1 _ 2

c)

{}

{ }

6. Sabendo que

5x 1 1 # " !0 , x2 " 1 x " 1 x # 1 em que x 5 1 e x 5 _1, determine o valor real de x que torna verdadeira essa igualdade. " 2 5 7. Em uma colônia de férias A, 128 crianças são distribuídas em x grupos de atividades, e, na colônia B, 224 crianças são distribuídas em (x + 6) grupos de atividades. Sabendo que a quantidade de crianças, em todos os grupos, é a mesma para ambas as colônias de férias, qual é a quantidade de grupos de atividades na colônia de férias B? 14 grupos.

8. Chama-se custo médio de produção o custo total dividido pela quantidade produzida. Uma fábrica de camisetas tem um custo total mensal C dado pela fórmula C = F + 8x, em que F representa o custo fixo, e x é a quantidade de camisetas produzidas. Quantas camisetas devem ser produzidas nessa fábrica para se ter um custo médio de R$ 12,00 para um custo fixo de R$ 2 000,00? 500 camisetas. 9. O 8o ano A tem x alunos. Nessa classe foram distribuídos 320 livros, de forma que todos receberam a mesma quantidade. O 8o ano B tem (x _ 2) alunos. Nessa classe, foram distribuídos 300 livros, e todos os alunos receberam a mesma quantidade.

ILUSTRA CARTOON

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quantos alunos há em cada classe, se cada aluno das duas classes recebeu a mesma quantidade de livros? 32 alunos no 8o ano A e 30 alunos no 8o ano B.

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P O R T O D A P A RT E

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

Por toda parte Nessa seção os alunos aplicarão equações fracionárias que resultarão em valores relacionados a situações reais. Ler o texto com os alunos, discutir com eles a respeito do que acham desse projeto e como devemos proteger os animais. Se quiser ampliar a atividade, propor aos alunos uma pesquisa mais detalhada a respeito das instituições existentes no estado onde moram e que trabalham com a preservação de animais e do meio ambiente em geral.

Projeto Tamar O projeto Tamar foi criado em 1980 e tem como missão o trabalho de pesquisa, conservação e manejo das cinco espécies de tartarugas marinhas que ocorrem no Brasil, todas ameaçadas de extinção. O Tamar está presente em cerca de 1 100 km de praias, com bases localizadas no litoral e em ilhas oceânicas, em nove estados brasileiros. Hoje, o projeto é reconhecido internacionalmente como uma das mais bem-sucedidas experiências de conservação marinha e serve de modelo para outros países, sobretudo porque envolve as comunidades costeiras diretamente no seu trabalho socioambiental.

Tartaruga-cabeçuda.

Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Missão. Disponível em: <www.tamar.org.br/interna.php?cod=63>. Acesso em: 18 out. 2018.

Mangue Seco e o projeto Tamar

Tartaruga-de-pente.

O projeto Tamar tem uma base no Sítio do Conde, na divisa entre Sergipe e Bahia, em Mangue Seco. Essa base protege aproximadamente 1 500 desovas e 100 mil filhotes por temporada, dos quais quase metade (47,32%) da espécie oliva (Lepidochelys olivacea) e o restante de cabeçuda (Caretta caretta) e de pente (Eretmochelys imbricata).

AMPLIANDO Link No site do Projeto Tamar, <http://livro.pro/38cet6> (acesso em: 7 nov. 2018) é possível encontrar informações adicionais sobre o projeto, além de fotos de tartarugas e dos locais nos quais o projeto funciona.

Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Sítio do Conde. Disponível em: <www.tamar.org.br/base.php?cod=34>. Acesso em: 18 out. 2018.

Tartaruga-verde. FOTOS: BANCO DE IMAGENS - PROJETO TAMAR

Tartaruga-oliva A tartaruga-oliva tem carapaça de coloração cinzenta (quando jovem) e verde-cinzento-escura (quando adulta). Pode atingir até 82 cm de comprimento curvilíneo de carapaça e possui, em média, 40 kg. É uma espécie carnívora e alimenta-se de salpas, peixes, moluscos, crustáceos, briozoários, tunicados, águas-vivas, ovos de peixe e, eventualmente, algas. Informações obtidas em: PROJETO TAMAR. Oliva. Disponível em: <www.tamar.org.br/tartaruga.php?cod=21>. Acesso em: 18 out. 2018.

Tartaruga-oliva.

Resolva as equações a seguir no caderno.

1. O projeto Tamar tem x bases mantidas em áreas de alimentação, desova, crescimento e descanso das tartarugas marinhas. 23; 23 bases. 3x 7 3x ! 15 " 5 ! 10 10 5

2. Instalada em 1991, a base de Sítio do Conde monitora y quilômetros de praia, entre a foz do rio Inhambupe, ao sul, e a foz do rio Real, ao norte. y = 81; 81 km. 1 4 1 129 ! " ! 4 y ! 11 2 6y ! 66

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Equações literais do 1o grau na incógnita x Esse é um assunto que pode trazer alguma dificuldade aos alunos, pois eles não estão acostumados a ter como solução de uma equação uma expressão que contém também letras. Auxilie-os nesse processo de aprendizagem, a fim de que adquiram a maturidade matemática necessária para a compreensão do conceito. Analisar com os alunos os exemplos apresentados e resolver os exemplos 1 e 2 na lousa, solicitando a contribuição deles durante a resolução. Em seguida, comparar a estratégia adotada na resolução na lousa com a apresentada no livro. Atividades As atividades propostas têm como objetivo levar os alunos a reconhecer e resolver equações literais, além de ampliar a compreensão de que a solução de uma equação literal é dada em função das letras consideradas constantes e, por isso, depende dos valores que essas constantes podem assumir. Reforçar a necessidade de excluir alguns valores para essas constantes para que não tenhamos um denominador nulo, como por exemplo nos itens a, b e c da atividade 1. Propor um desafio para os alunos, perguntando: “E se trocássemos a incógnita pela constante e vice-versa? Como ficaria a solução da equação?”.

CAPÍTULO

EQUAÇÕES LITERAIS DO 1O GRAU NA INCÓGNITA X Observe as seguintes equações, todas do 1o grau na incógnita x:

• 3ax = 9 • 2a _ ax = bx • px _ 1 = p2 Nessas equações, aparecem outras letras, além da incógnita x. Essas letras figuram na equação como constantes que representam números reais. Equações desse tipo são denominadas equações literais do 1o grau na incógnita x.

Como resolver uma equação literal do 1o grau com uma incógnita Resolveremos as equações literais do 1o grau na incógnita x da mesma maneira que resolvemos as outras equações do 1o grau. Observe: 1 Considerando x a incógnita, resolver a equação 8x + 7a = 2x + 25a. 8x + 7a = 2x + 25a 8x = 2x + 25a _ 7a 8x = 2x + 18a 8x _ 2x = 18a 6x = 18a 18a x! ! 3a 6 A solução da equação é 3a.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

2 Considerando x a incógnita, vamos resolver a equação 3(mx + n) _ 2mx = 5n. 3(mx + n) _ 2mx = 5n 3mx + 3n _ 2mx = 5n mx + 3n = 5n

2n m 2n A solução é o número real , m para m 5 0. mx = 2n h x =

{

1.b) $

Responda às questões no caderno. 1. Sendo x a incógnita e supondo que os resultados representem números reais, resolva as seguintes equações literais no conjunto R: a , com b " 0 a) 5bx + 2a = bx + 3a 4b b) 3(ax + b) = 2(ax _ b)

{

c) (x + b)(x _ b) = x ? (x _ b3)

}

} {

5b , com a " 0 a

c)

}

1 , com b " 0 b

d) (a _ b)x + (a + b)x = 2a {1} x x !c# e) (a 5 0) {2ac} a 2a

2. Qual é o conjunto solução da equação 6hx + 14 = 18 + 2hx, em que x é a incógnita? 1 , com h " 0

{} h

3. Qual deve ser o número real x para que b$x b#x x # resulte em $ ? a soma 5 3 10 16b

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EDUCAÇÃO FINANCEIRA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

Juro zero e estratégia de marketing Atenção, consumidor: “juro zero” é estratégia de marketing Bruno Rosa Publicado em 23 jul. 2011.

RIO – Entre uma promoção e outra no comércio, é difícil não aderir a um parcelamento alardeado como juro zero. Impulsionada pelo aumento da renda e pelo avanço no nível de emprego no país, a armadilha dos juros embutidos, escondida no desconto à vista, ganha força no comércio. As lojas costumam anunciar o mesmo preço à vista e para parcelamento sem juros, mas é só chorar um pouquinho que o cliente

consegue um desconto se comprar em uma vez só. Isso mostra que esse valor menor é o preço real do produto, e o preço cheio embute juros. [...] O grande risco que o consumidor corre é de fazer das compras a prazo um hábito, pagando juros sem saber e, assim, comprometendo seu orçamento e fazendo dívidas financeiras, em que os juros são mais altos. É melhor juntar e comprar por um preço melhor, já que o juro zero é uma estratégia de marketing do comércio [...]. [...]

Fonte: ROSA, B. Atenção consumidor: “juro zero” é estratégia de marketing. Extra 20. Disponível em: <http://extra.globo.com/noticias/economia/atencaoconsumidor-juro-zero-estrategia-demarketing-2294212.html>. Acesso em: 18 out. 2018.

Para entender melhor como são calculados os preços com juro embutido, acompanhe a situação a seguir. Em uma loja, há duas opções de pagamento na compra de uma bolsa no valor de R$ 300,00: parcelar em duas vezes sem juro, com uma parcela sendo paga no momento da compra e a outra, após 30 dias; ou pagar à vista e em dinheiro, obtendo um desconto de 5% sobre o valor da bolsa. Vamos analisar essa situação. Se a loja deu um desconto no pagamento à vista em dinheiro, então os valores da compra a prazo e da compra à vista são diferentes, ou seja, existe juro embutido no valor da compra a prazo. Vamos calcular o valor e a taxa de juro dessa compra a prazo. O valor da bolsa é R$ 300,00 e pode ser pago em duas parcelas iguais de R$ 150,00. Com o desconto de 5%, o cliente pode pagar R$ 285,00 à vista, em dinheiro. Para calcular a taxa de juro embutido cobrada pela loja, vamos subtrair de R$ 285,00 os R$ 150,00, que correspondem ao valor da primeira parcela. Essa parcela não tem juro, pois foi paga no ato da compra. Os restantes R$ 135,00, após um mês, com o juro, resultarão em uma dívida de R$ 150,00. Portanto, podemos dizer que o juro embutido dessa compra é R$ 15,00 e a taxa de juro é aproximadamente 11%. • No caderno, calcule qual seria a taxa de juro embutido no pagamento em duas vezes de R$ 150,00 caso o desconto do pagamento à vista fosse de 8%. Aproximadamente 19%. 147

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Educação financeira O texto apresentado nessa seção tenta alertar o consumidor a respeito da inexistência do “juro zero” quando existe um desconto para pagamento à vista. É apresentada uma situação para explicar melhor como são calculados os preços com juro embutido. Nela, o consumidor pode pagar em duas vezes (uma no ato da compra e outra depois de um mês) ou à vista com 5% de desconto. Explicar aos alunos que, quando pagamos uma parcela no ato da compra, ela não tem juro embutido e que o valor real da mercadoria é o valor com desconto à vista. Se julgar interessante, apresentar a situação a seguir: Um comerciante tem um produto cujo preço real é R$ 100,00 e, para vendê-lo em duas parcelas iguais a serem pagas em 30 e 60 dias, vai embutir uma taxa de juro de 5% ao mês. Para isso, ele deve calcular o valor das parcelas com essa taxa. Vamos representar o valor das parcelas com a incógnita x. Dívida atualizada após 1 mês: 100 ? 1,05 = 105 Primeira parcela: x Após o pagamento da primeira parcela, a dívida restante será 105 _ x. Para calcular o valor da segunda parcela, aplicamos o juro de 5% sobre a dívida restante, que é (105 _ x) ? (1,05). Como a segunda parcela deve ser igual à primeira, temos a equação x = (105 _ x) ? (1,05). Nessa, é apresentada a equação matemática para determinar o valor das parcelas de uma compra que pode ser paga em duas vezes (30 e 60 dias após a compra), com juro embutido. Promover uma discussão a respeito do tema e questionar se eles já passaram por situações nas quais perceberam que comprar à vista era mais vantajoso.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

EQUAÇÃO DO 1O GRAU COM DUAS INCÓGNITAS p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Vamos considerar que as figuras representadas a seguir têm perímetro y iguais: 8

x

y

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Equação do 1o grau com duas incógnitas Aqui, os alunos entrarão em contato com problematizações que envolvem equações do 1o grau com duas incógnitas. A ideia é verificar quais estratégias são utilizadas pelos alunos na busca das soluções e se fazem uso de ferramentas algébricas. Propor aos alunos que determinem soluções distintas para uma mesma equação do 1o grau com duas incógnitas. Espera-se que eles percebam que para obter tais soluções devem escolher um valor para uma das incógnitas, substituir esse valor na equação e, assim, determinar o valor da outra incógnita, sempre respeitando as condições dadas sobre os valores que as incógnitas podem assumir. Por exemplo, se as incógnitas representam idades ou quantidades, elas podem assumir somente valores positivos e inteiros, ou seja, devem ser números naturais.

a) Qual é a equação do 1o grau com duas incógnitas que representa esse fato? 2x + 16 = 4y b) Se você atribuir para a incógnita x o valor 6 e para a incógnita y o valor 7, esses dois valores verificam a equação que você escreveu? Sim, pois 2 ? (6) + 16 = 4 ? (7), ou seja, 12 + 16 = 28. 2. Em um estacionamento, há x carros e y motos, totalizando 60 rodas. a) Qual é a equação nas incógnitas x e y que representa esse fato? 4x + 2y = 60 b) Considerando 12 carros e 6 motos, esses valores (12 e 6) verificam a equação que você escreveu? Sim, pois 4 ? (12) + 2 ? (6) = 60, ou seja, 48 + 12 = 60.

Toda equação que pode ser reduzida a uma equação equivalente na forma ax + by = c, com a, b e c [ R e a 5 0, b 5 0, é denominada equação do 1o grau com duas incógnitas. São equações do 1o grau com duas incógnitas: • 3x ! 2y " 16 • x ! y " 10 • 7x # 5y " 9 incógnitas x e y

incógnitas x e y

incógnitas x e y

Dependendo do conjunto universo, uma equação do 1 grau com duas incógnitas, x e y, por exemplo, pode ter infinitas soluções, cada uma delas indicada por um par ordenado de números: o primeiro número representa o valor da incógnita x; o segundo representa sempre o valor da incógnita y. Essa ordem precisa ser respeitada. Daí o nome par ordenado. Indica-se: (x, y). Vamos verificar isso analisando as situações seguintes. 1 O par ordenado (2, 5) é solução da equação 3x + 2y = 16? 3x + 2y = 16 3 ? (2) + 2 ? (5) = 16 6 + 10 = 16 (verdadeira) O par ordenado (2, 5) é solução da equação 3x + 2y = 16. o

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2 O par ordenado (5, 2) é solução da equação 3x + 2y = 16? 3x + 2y = 16 3 ? (5) + 2 ? (2) = 16 15 + 4 = 16 (falsa) O par ordenado (5, 2) não é solução da equação 3x + 2y = 16.

Atividades As atividades propostas têm como objetivo que os alunos apresentem uma solução para equações do 1o grau com duas incógnitas e verificar se um par ordenado (x, y) é ou não uma das soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas. Desafio

3 Determinar a solução da equação 3x + 2y = 16 quando y = _1. 3x + 2y = 16 3x + 2 ? (_1) = 16 3x _ 2 = 16 3x = 16 + 2 3x = 18 18 x! 3 x=6 O par ordenado (6, _1) é solução da equação quando y = _1.

ATIVIDADES

Resolução do Desafio

Na atividade 7, o sistema apresentado é bem simples. Com algumas tentativas, até mentalmente, os alunos podem chegar ao par (4, 3). Eles devem perceber que procurar, por tentativas, uma solução de uma equação do 1º grau com duas incógnitas exige que se atribua um valor a uma incógnita e, com isso, se calcule a outra. No caso, a solução deve ser a mesma para as duas equações. Assim, é necessário procurar um valor para uma das incógnitas que forneça, nas duas equações, valores iguais para a outra incógnita. Incentivar os alunos a procurar mais de um par que seja solução das duas equações simultaneamente. A impossibilidade de encontrar outros pares leva à discussão a respeito da solução de um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas, tema que será estudado na sequência.

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Verifique se o par ordenado (5, _2) é uma das soluções das seguintes equações: a) 5x + 2y = 21 Sim. b) x _ 9y = 23 Sim. c) 10x _ y = 48 Não. d) 6x + 6y = 18 Sim. e) 3x _ 4y = _23 Não. f) 0,5x _ 0,3y = 1,9 Não. 2. Considerando que y = 7x _ 3, determine o valor da incógnita x nas equações: a) 2x + 5y = 59 2 9 b) 3x _ y = 21" 2 11 c) 5x _ 3y = _2 16 d) 0,3x _ 0,2y = 1,7 _1 3. Determine uma das soluções da equação 0,6x _ 1,5y = _1,5 quando: a) y = 0,8 (_0,5; 0,8) b) y = 1,2 (0,5; 1,2)

4. Apresente uma solução para a equação 9x _ 5y = 21 quando: a) y vale 3 (4, 3) b) x vale _6 (_6, _15) 5. Dada a equação 6x _ y = 42, encontre a solução dessa equação quando: a) x = 8 (8, 6) b) y = 30 (12, 30) 6. Considere a afirmação: “O par ordenado (_1, 10) é solução, ao mesmo tempo, das equações 10x _ y = _20 e 5x + 2y = 15”. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? É verdadeira. DESAFIO

7. Agora, junte-se com um amigo. Fazendo tentativas e usando apenas números naturais, descubra um par ordenado (x, y) que seja solução, ao mesmo tempo, das equações x + y = 7 e x _ y = 1. O par ordenado é (4, 3). 149

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Representação geométrica A construção da representação geométrica de equações do 1o grau com duas incógnitas pode ser feita utilizando software de geometria dinâmica. É importante ressaltar que a construção feita usando papel quadriculado, régua e lápis é fundamental para que os alunos compreendam o conceito envolvido. A utilização da ferramenta software deve ser feita posteriormente, com o objetivo de auxiliar no processo de aprendizagem. Se sua escola dispuser de computadores, sugerimos que as construções sejam feitas em papel e, em seguida, usando o software. Questionar os alunos a respeito da inclinação das retas, dos pontos em que a reta cruza o eixo das ordenadas e o eixo das abscissas. Registrar na lousa as hipóteses dos alunos.

Representação geométrica Veja como podemos representar uma equação do 1o grau com duas incógnitas no plano cartesiano.

1 Representar a equação x + y = 3 no plano cartesiano. Inicialmente, construímos um quadro e escolhemos alguns valores para x e calculamos o valor de y correspondente. Assim, encontramos alguns pares ordenados que são solução dessa equação. x

y

Par ordenado (x,y)

_1

_1 + y = 3 h y = 3 + 1 = 4

(_1, 4)

0

0+y=3hy=3+0=3

(0, 3)

1

1+y=3hy=3_1=2

(1, 2)

Depois, indicamos os pares ordenados no plano cartesiano. Com uma régua, traçamos a reta que passa por esses pontos. 6

y

y

6 5

(_1, 4)

4

4 3 2

(0, 3)

3 (1, 2)

2

1 _4 _3 _2 _1 0 _1

1 1

2

3

4

5

x

_4 _3 _2 _1 0 _1

1

2

3

4

5

x

A representação geométrica de uma equação do 1o grau com duas incógnitas é uma reta.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Resolva as atividades a seguir no caderno.

1. Considerando que x assume os valores {_1, 0, 1, 2}, encontre os pares ordenados das equações a seguir: a) _2x + y = 2 Resposta no final do livro. b) x _ 3y = _1

2. Represente no plano cartesiano as equações a seguir, usando uma folha de papel quadriculado. Resposta no final do livro. a) x _ y = 2 b) 2x _ y = 5 c) _x _ 3y = 1

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1O GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas Retomar com os alunos o problema 2 da página 140 e as estratégias de resolução adotadas naquele momento. Em seguida, apresentar a resolução proposta nesta página e compará-las. Promover um debate a respeito dessas estratégias e seus pontos positivos e negativos. Espera-se que os alunos concluam que o método de tentativa e erro pode ser bastante trabalhoso dependendo da situação e que, por isso, é necessário um novo método para a resolução de sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas, que é o tema que será estudado em seguida. Descubra mais Com os livros indicados é possível apresentar novas situações que incentivem os alunos no trabalho com equações e sistemas, enriquecendo o estudo desse tema. Em Encontros do primeiro grau, é possível tratar do conteúdo de equação do 1o grau; e em Os olímpicos, é possível tratar do conteúdo de equação do 1o grau e sistemas de equações. Verificar se esses livros estão disponíveis na biblioteca da escola e, em caso afirmativo, organizar um momento de leitura, levando os alunos até esse espaço escolar.

Consideremos o problema dos veículos apresentado na página 140.

Em um estacionamento, há carros e motos, totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?

PHOTODISC/GETTY IMAGES

5

CAPÍTULO

FOTOS: HEMERA

Podemos resolver essa situação-problema da seguinte maneira: São 14 veículos. Se cada veículo tivesse duas rodas, seriam 28 rodas.

Mas o problema cita que são 48 rodas no total. Então, podemos substituir motos por carros até completar 48 rodas e 14 veículos. 4!2"8

10 ! 4 " 40

Quantidade de veículos de 4 rodas: 10 Quantidade de veículos de 2 rodas: 4

14 veículos e 48 rodas

Nesse estacionamento há 10 carros e 4 motos. Esse modo de resolver o problema pode tornar-se trabalhoso e demorado quando as quantidades forem muito grandes. DESCUBRA MAIS

Encontros de primeiro grau (coleção A descoberta da Matemática), de Luzia Faraco Ramos, editora Ática, 2011. Nesse livro, Rodrigo aprende a resolver problemas que envolvem equações do 1o grau. Entre um problema e outro, ele faz novas amizades, e uma delas é Carolina, com quem começa a namorar. Os olímpicos (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli Neto, Editora FTD, 1999. O livro conta a história de três adolescentes que foram convidados a observar, em Olimpíadas já realizadas, os bastidores dos comitês organizadores, as manobras políticas, as grandes atuações e a importância da disciplina e da perseverança na vida dos atletas.

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Atividades As questões propostas têm como objetivo levar os alunos a representar uma situação por meio de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. Na atividade 1, enfatizar a necessidade de associar cada valor desconhecido a uma incógnita, x ou y, deixando clara essa associação. Por exemplo, no item a podemos fazer: • Preço de um livro: x • Preço do outro livro: y Sistema: {

x + y = 60 x = 2y

Assim, é importante que os alunos, na resolução de problemas por meio de sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas, deixem claro qual valor desconhecido está associado a cada uma das incógnitas.

Vamos, agora, usar os conhecimentos de cálculo algébrico para resolver o problema de outro modo. Inicialmente, indicamos: • a quantidade de carros que há no estacionamento com x; • a quantidade de motos que há no estacionamento com y. Em seguida, com base nos dados do problema, montamos duas equações: x ! y " 14

e

4x ! 2y " 48

quantidade de carros

quantidade total de rodas

quantidade de motos

cada moto tem 2 rodas

quantidade de veículos

cada carro tem 4 rodas

Quando duas equações de 1o grau com duas incógnitas são escritas ligadas pelo conectivo e, dizemos que há um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas (no caso, x e y). ⎧ x ! y " 14 Esse sistema pode ser representado assim: ⎨ ⎩4x ! 2y " 48

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

⎧x ! y " 23 ⎩2x ! 4y " 82

2. ⎨

Responda às questões no caderno. f) Em um jogo de basquete, a cestinha do time vencedor fez 24 cestas, algumas 1. Usando as letras x e y para representar valendo 3 pontos, e outras, 2 pontos, as incógnitas (números desconhecidos), num total de 56 pontos. estabeleça um sistema de duas equações o g) O perímetro de um terreno retangular é do 1 grau associado a cada uma das si22 m, e a medida da frente é 5 m maior tuações a seguir: que a medida do fundo. ⎧2x ! 2y " 22 a) Dois livros custam juntos 60 reais e o preço ⎨ ⎩x " y ! 5 de um deles é igual ao dobro do preço do 2. Em um sítio há bois e patos, totalizando outro. 23 animais e 82 pernas. Usando as letras b) A soma das idades de Theo e Fernanda é x e y, escreva um sistema de duas equa9 anos, enquanto a diferença entre essas ções associado a esse fato. idades é 3 anos, sendo Theo o mais velho. c) Uma tábua de 3,5 metros de comprimento deve ser cortada em dois pedaço de tal forma que o comprimento do pedaço maior seja igual ao triplo do comprimento do menor menos 0,5 metro. d) Gabriela tem 10 cédulas, umas de 20 reais e outras de 10 reais, perfazendo um total de 130 reais. e) A soma de dois números é 100, e o maior deles é igual ao dobro do menor mais 4. ⎧x ! y " 9 ⎧x ! y " 100 ⎧x ! y " 24 ⎧x ! y " 3,5 ⎧x ! y " 60 ⎧x ! y " 10 1. a) ⎨ b) ⎨ c) ⎨ d) ⎨ e) ⎨ f)⎨ ⎩x # y " 3 ⎩x " 2y ⎩x " 3y # 0,5 ⎩20x !10y " 130 ⎩x " 2y ! 4 ⎩3x ! 2y " 56 152

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CESAR DINIZ/PULSAR IMAGES

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Solução de um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas

Solução de um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas Ler o texto apresentado aos alunos e verificar se eles compreendem que, como cada uma das equações do sistema pode ser representada por uma reta do plano cartesiano, o ponto de intersecção das duas retas é a solução do sistema, pois é solução tanto de uma como da outra equação. Se possível, propor outros sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas e mostrar a resolução geométrica usando um software de geometria dinâmica. Nós Propor aos alunos que discutam a respeito do tema em pequenos grupos. Em seguida, promover um debate com a turma toda. Apresentar os seguintes questionamentos para auxiliá-los na reflexão: • Diferentes tipos de transporte atendem mais satisfatoriamente às necessidades de cada indivíduo? • Como uma nova modalidade de transporte pode impactar no trânsito, na sociedade e nas famílias das pessoas que trabalham com modalidades de transporte já existentes?

Quando duas equações formam um sistema, embora cada equação tenha infinitas soluções, devemos procurar a solução que verifica as duas equações simultaneamente. A solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas, x e y, por exemplo, é um par ordenado (x, y) que é solução tanto da primeira equação como da segunda. Voltemos ao sistema de equações que representa o problema dos veículos da página 140: ⎧ x ! y " 14 ⎨4x ! 2y " 48 ⎩ • O par ordenado (10, 4) é solução desse sistema, pois os valores verificam as duas equações ao mesmo tempo: x + y = 14 4x + 2y = 48 40 + 8 = 48 (verdadeira) 10 + 4 = 14 (verdadeira) 4 ? 10 + 2 ? 4 = 48 • O par ordenado (6, 8) não é solução desse sistema, pois verifica a equação x + y = 14, mas não verifica a equação 4x + 2y = 48: x + y = 14 4x + 2y = 48 24 + 16 5 48 6 + 8 = 14 (verdadeira) 4 ? 6 + 2 ? 8 = 48 (falsa) Esse sistema pode ser resolvido geometricamente. Para isso, vamos representar cada uma das equações que compõem o sistema em um mesmo plano cartesiano. A solução do sistema de equações é o ponto de intersecção das duas retas no plano cartesiano.

y 8 7

4x + 2y = 48

x + y = 14

6 5

(10, 4)

4 3 2 1 _1 0 _1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

9 10 11 12 13 14 15

_2 _3 _4

NÓS

Não faz muito tempo que, para pegar um táxi, era necessário ir até a rua e balançar o dedo indicador ou ligar para alguma cooperativa de táxis. Mas isso mudou com a popularização dos smartphones e o desenvolvimento de novos aplicativos, desde alguns específicos para táxis até novas opções de transporte, como caronas e mesmo o transporte particular por geolocalização, o qual, em alguns casos, permite o compartilhamento da corrida com outros passageiros, o que acaba barateando o preço final. • Você acredita que a criação de novas opções de transporte pode ser benéfica para a população? Resposta pessoal. 153

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Atividades As atividades propostas têm o objetivo de aplicação dos conhecimentos adquiridos a respeito de um sistema de equações, verificando se um par ordenado é ou não solução de determinado sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. A atividade 5 vai além do que simplesmente uma verificação. Nela os alunos devem determinar o par ordenado que é a solução do sistema. Verificar que procedimentos os alunos usam para resolver essa questão. Ela pode ser feita em duplas ou pequenos grupos. Socializar e validar com a turma os diferentes procedimentos que aparecerem. Desafio No desafio da atividade 6, incentivar os alunos a criar estratégias próprias para resolução. Pedir que descrevam como pensaram e socializem as respostas. Discutir com eles a necessidade de uma estratégia eficaz para a resolução de um sistema de equações. Deixar que reflitam um pouco sobre isso.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. O par ordenado (10, 7) é a solução do ⎧3x ! 2y " 16 sistema ⎨ ? Sim. ⎩2x # 3y " 41 2. Verifique se o par ordenado (_3, 5) é a solução do sistema de equações: ⎧4x # 3y " 3 . Sim, é solução. ⎨ ⎩2x ! 5y " !31

3. Entre os pares ordenados (1, 2) e (2, 1), qual deles é a solução do sistema ⎧2x ! y " 3 ? (2, 1) ⎨ ⎩3x # 2y " 8

4. Verifique se o par ordenado (_2, 2) é a ⎧x ⎪ # 4y " 7 solução do sistema. ⎨ 2 ⎪x ! y " 3 Não é solução. 2 ⎩ 5. Descubra o par ordenado de números naturais que é a solução do sistema. ⎧x # y " 6 . (4, 2) ⎨ ⎩x ! y " 2

DESAFIO

6. Agora, junte-se com um amigo para resolver o desafio a seguir. Dois irmãos acabam de contar a quantia que cada um conseguiu economizar. Bento, eu preciso de menos. Basta que Antônio, você me dê um quarto das suas se você me der um terço do economias para que eu fique que você economizou, eu com 110 reais. ficarei com 110 reais.

Para descobrir quantos reais cada irmão conseguiu economizar, responda às questões no caderno. a. Qual dos sistemas a seguir traduz a situação apresentada? Alternativa b. y ⎧ y ⎧ y ⎧x ⎪x # 3 " 110 " 110 ⎪ # ⎪x ! 3 " 110 a) ⎨ 4 c) b) ⎨ 3 ⎨ ⎪y # x " 110 ⎪⎩x ! y " 10 ⎪y ! x " 110 4 ⎩ 4 ⎩

Resolução do Desafio

a) Alternativa b. b) A incógnita x representa a quantia economizada por Bento; a incógnita y, a quantia economizada por Antônio. c) y = 110 x+ 3 x = 110 y+ 4 Substituindo os valores de x e y no sistema identificado, temos: 90 80 + = 110 3 80 = 110 90 + 4 Portanto, alternativa a. d) x = 80 reais (quantia economizada por Bento) e y = = 90 reais (quantia economizada por Antônio).

Resoluções a partir da p. 289

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

b. No sistema correto de equações, o que representa a incógnita x? E a incógnita y? A incógnita x representa a quantia economizada por Bento; a incógnita y, a quantia economizada por Antônio. c. Verifique qual dos pares ordenados a seguir é a solução do sistema de equações correto. a) (80, 90) b) (90, 80) c) (85, 95) Alternativa a. d. Qual é a quantia que cada irmão conseguiu economizar? x = 80 reais (quantia economizada por Bento) e y = 90 reais (quantia economizada por Antônio). 154

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6

CAPÍTULO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

RESOLUÇÃO DE SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES DO 1O GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

Método da substituição Nesta e na próxima página é apresentado o método da substituição para a resolução de sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. Ler com os alunos a explicação e reproduzi-la na lousa, explicando cada passo. Verificar se os alunos compreendem o que é feito de um passo para outro. Comentar que esse método é bastante utilizado para a resolução de sistemas desse tipo e que será uma ferramenta muito útil para diversos assuntos que verão em anos posteriores, tanto na Matemática como em outras disciplinas.

Existem métodos algébricos que permitem calcular o par ordenado (x, y), que é a solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas. Neste capítulo, estudaremos dois desses métodos: o da substituição e o da adição.

Em um estacionamento, há carros e motos, totalizando 14 veículos e 48 rodas. Quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?

PHOTODISC/GETTY IMAGES

Método da substituição

Inicialmente, indicamos: • a quantidade de carros que há no estacionamento por x; • a quantidade de motos que há no estacionamento por y. De acordo com os dados do problema, formamos o sistema de equações: x ! y " 14 4x ! 2y " 48

{

Para resolver esse sistema pelo método da substituição, seguimos os passos: 1o passo: Na 1a equação, isolamos a incógnita x. x + y = 14 x = 14 _ y 2o passo: Na 2a equação, vamos substituir x por 14 _ y. 4x + 2y = 48 4(14 _ y)+ 2y = 48 equação do 1o grau na incógnita y 56 _ 4y + 2y = 48 56 _ 2y = 48 _2y = 48 _ 56 _2y = _8 2y = 8 8 y= 2 quantidade de motos y=4 155

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3o passo: Substituímos y por 4 na equação x = 14 _ y. x = 14 _ y x = 14 _ 4 x = 10 quantidade de carros ⎧x ! y " 14 é o par ordenado (10, 4). Então, a solução do sistema ⎨ ⎩4x ! 2y " 48 Há 10 carros e 4 motos no estacionamento. Considere agora estas outras situações:

⎧x y ⎪ #1" 1 Vamos resolver o sistema: ⎨ 2 3 ⎪⎩x # 3 (y ! 2) " #4 1o passo: Inicialmente, devemos preparar as equações, isto é, devemos escrevê-las na forma ax + by = c. •

x y #1" 2 3 3x # 6 2y " 6 6 3x _ 6 = 2y 3x = 2y + 6 3x _ 2y = 6

• x _ 3(y + 2) = _ 4 x _ 3y _ 6 = _4 x _ 3y = _4 + 6 x _ 3y = 2

⎧ 2o passo: Agora, vamos resolver o sistema equivalente: ⎨3x # 2y " 6 ⎩x # 3y " 2 a • Nesse sistema, é mais simples iniciarmos pela 2 equação: x _ 3y = 2 x = 2 + 3y • Substituímos o valor de x na 1a equação: 3x _ 2y = 6 3(2 + 3y) _ 2y = 6 6 + 9y _ 2y = 6 6 + 7y = 6 7y = 6 _ 6 7y = 0 0 y= 7 y=0 • Determinamos o valor de x para y = 0: x = 2 + 3y x = 2 + 3 ? (0) x=2+0 x=2 A solução do sistema é o par ordenado (2, 0). 156

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS ⎧ 3x ⎪⎪ y " 1 2 Determinar o par (x, y) que é a solução do sistema: ⎨ 2 5 ⎪ " y #1 ⎪⎩ x

Apresentar o exemplo 2 na lousa e propor aos alunos que o resolvam antes de observar a resolução apresentada no livro. Em seguida, explorar o exemplo na lousa solicitando que os alunos comparem com a resolução feita por eles e comentem a respeito dos pontos em que identificaram alguma dificuldade.

1o passo: Nesse sistema, devemos ter y 5 0, y 5 1 e x 5 0. Vamos, então, reduzir as equações à sua forma mais simples. •

3x "1 y 3x y " y y 3x = y y = 3x

•

2 5 " x y #1 2(y # 1) 5x = x(y # 1) x(y # 1) 2(y _ 1) = 5x 2y _ 2 = 5x _5x + 2y = 2

Atividades Nesse bloco as questões têm como objetivo levar os alunos a resolver um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas utilizando o método da substituição.

⎧y " 3x 2o passo: Depois, resolvemos o sistema: ⎨ ⎩#5x ! 2y " 2 Nesse caso, é mais simples iniciarmos pela primeira equação. • y = 3x • y = 3x y = 3 ? (2) • _5x + 2y = 2 y=6 _ 5x + 2 ? (3x) = 2 _5x + 6x = 2 x=2 A solução do sistema é o par ordenado (2, 6).

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações do 1o grau nas incógnitas x e y: ⎧ x ! y " 22 a) ⎨ ⎩x # y " 8 (15, 7)

⎧ x ! 2y " #4 d) ⎨3x # 2y " 20 ⎩ (4, −4)

⎧2x ! y " 26 b) ⎨ x # y " 4 ⎩ (10, 6)

⎧ x ! 3y " 3 e) ⎨ ⎩2x # y " 1,8 (1,2; 0,6) ⎧x ⎪ " 10 # y f) ⎨ 5 2 ⎪⎩ x # y " 8 (20, 12)

⎧3x ! y " #5 c) ⎨ ⎩5x # 2y " #1 (−1, −2)

⎧3x # 5y " 2(x # y) ! 1 g) ⎨6y # 3(x # 3y) ! 2 " #x (1, 0) ⎩

⎧x ! y " 9 ⎪ (6, 3) h) ⎨ x " 1 ⎪⎩ 2y ⎧2x " 2 ! 3y ⎪ 1 i) ⎨ 1 " ⎪⎩ y # 1 x #3

(4, 2)

2. Uma fração é equivalente a

7 . Se 4 adicionarmos 2 ao denominador dessa 3 fração, ela se tornará equivalente a . 2 21 Qual é a fração pedida? 12 157

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Método da adição Para o método da adição, retomar a aplicação do princípio multiplicativo da igualdade com os alunos: multiplicando (ou dividindo) os dois membros de uma equação por um mesmo número não nulo, obtemos outra equação equivalente à equação original. Ressaltar que, para determinar por qual número se deve multiplicar cada equação do sistema ao utilizar o método da adição, deve-se buscar eliminar uma das incógnitas ao se fazer a adição, membro a membro, das duas equações. Facilita eliminar incógnitas que tenham sinais diferentes nas duas equações, em particular, se tiverem coeficientes opostos.

Método da adição Veremos a seguir como resolver um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas usando o método algébrico da adição. Consideremos as situações: ⎧ 1 Determinar a solução (x, y) do sistema: ⎨5x ! 3y " 21 ⎩2x # 3y " 14 1o passo: Como as duas equações apresentam termos opostos (+3y na primeira e _3y na segunda), adicionamos as duas equações membro a membro. Isso permite obter uma única equação, equivalente às equações dadas, sem a incógnita y. 5x + 3y = 21 2x _ 3y = 14 + 7x + 0 = 35

7x = 35 h x " 35 7 x=5

2o passo: Substituindo x por 5 em uma das equações do sistema, temos: 5x + 3y = 21 5 ? 5 + 3y = 21 25 + 3y = 21 3y = 21 _ 25

Não se esqueça de que o par ordenado que é solução do sistema é solução tanto da primeira equação quanto da segunda.

y =_

4 3

{

A solução do sistema é o par ordenado S = 5, _ ⎧5x ! 3y " 2 2 Resolver o sistema: ⎨ ⎩4x # 2y " 6

}

4 . 3

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

3y = _4

1o passo: Observando as equações do sistema, vemos que não é viável adicionar membro a membro as duas equações, pois, não havendo termos opostos, nenhuma das incógnitas vai “desaparecer”. Vamos, então, usar um recurso que é uma aplicação do princípio multiplicativo para deixar o sistema com termos opostos. Primeiro, devemos escolher uma das incógnitas, por exemplo, y. Observe que o coeficiente de y na primeira equação é 3 e o coeficiente de y na segunda equação é _2. Assim, como os sinais dos coeficientes de y já estão trocados, se quisermos deixar os termos na forma de opostos, basta multiplicar a primeira equação (5x + 3y = 2) pelo coeficiente de y da segunda equação (2) e, também, multiplicar a segunda equação (4x _ 2y = 6) pelo coeficiente de y da primeira equação (3). Veja o esquema a seguir: ⎪⎧5x ! 3y " 2 (x 2) ⎧10x ! 6y " 4 h ⎨ ⎨ ⎩12x # 6y " 18 ⎪⎩4x # 2y " 6 (x 3) 158

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2o passo: Agora, temos dois termos opostos: +6y e _6y. Por esse motivo, podemos adicionar membro a membro as equações para obter uma única equação sem a incógnita y. 10x + 6y = 4 22x = 22 12x _ 6y = 18 + h x=1 22x + 0 = 22 3o passo: Finalmente, vamos substituir x por 1 em qualquer uma das equações do sistema. 5x + 3y = 2 5 ? 1 + 3y = 2 5 + 3y = 2 3y = 2 _ 5 3y = _3 y = _1 A solução do sistema é o par ordenado (1, _1). 6 ⎧8 ⎪⎪ x ! y " 3 , determinar o par (x, y) com x 5 0 e y 5 0, que é a solução 3 Dado que xy = 24 e ⎨ 2 3 ⎪ ! "1 do sistema. y ⎩⎪ x 1o passo: Vamos reduzir as equações à sua forma mais simples. Como xy = 24, temos: 8 6 2 3 • ! "3 ! "1 • 8y + 6x = 3 ? (24) x y x y 2y ! 3x 1xy 8y ! 6x 3xy 8y + 6x = 72 " " xy xy xy xy

Como xy = 24, temos: 2y + 3x = 24

2y + 3x = xy ⎧8y ! 6x " 72 2o passo: Agora, vamos resolver o sistema equivalente: ⎨ ⎩2y ! 3x " 24 Observe que o sistema não apresenta termos opostos, porém, ao analisar a incógnita x, temos que a primeira equação possui coeficiente +6 e a segunda equação possui o coeficiente +3. Portanto, para deixar o sistema com termos opostos na incógnita x, basta multiplicarmos a segunda equação por _2. Observação: se quiséssemos deixar os termos opostos na variável y, bastaria multiplicar a segunda equação (2y + 3x = 24) por _4. Veja a resolução a seguir. ⎧⎪8y ! 6x " 72 ⎧8y ! 6x " 72 h ⎨ ⎨ ⎪⎩2y ! 3x " 24 x (_2) ⎩#4y # 6x "#48 8y + 6x = 72 _4y _ 6x = _48 + 4y + 0 = 24

• 2y + 3x = 24 2 ? (6) + 3x = 24 12 + 3x = 24 4y = 24 3x = 24 _ 12 y=6 3x = 12 x=4 A solução do sistema é o par ordenado (4, 6). 159

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Depois que os alunos acompanharem os exemplos apresentados no livro, fornecer outros na lousa para que eles possam analisar qual dos dois métodos estudados (método da adição ou da substituição) é mais adequado utilizar em cada sistema. Pedir que justifiquem suas escolhas, discutindo a respeito disso com toda a turma.

AMPLIANDO Atividade complementar Resolva o sistema a seguir pelo método da adição e pelo método da substituição. x = 3y { 2x _ 5y = 4 Resolução da atividade

8y + 6x = 3xy

•

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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• Utilizando o método da adição: Para resolver o sistema aplicando o método da adição, é preciso ter os dois coeficientes opostos no mesmo membro de cada equação. Assim: { h{

x _ 3y = 0 x(_2) h 2x _ 5y = 4 _ 2x + 6y = 0 2x _ 5y = 4

Adicionando membro a membro as duas equações, obtemos: 0 + y = 4 h y = 4 Substituindo y por 4 na equação x _ 3y = 0, temos: x _ 3 ? 4 = 0 h x = 12. Logo, (12, 4) é a solução desse sistema. • Utilizando o método da substituição: Observando o sistema original, verifica-se que na primeira equação a incógnita x já está isolada. Assim, basta substituir x por 3y na segunda equação: 2 ? 3y _ 5y = 4 h 6y _ 5y = =4hy=4 Substituindo o valor de y na primeira equação, temos: x = 3y h x = 3 ? 4 h h x = 12 Desse modo, obtemos a solução (12, 4) para o sistema.

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Resolução do Desafio

a) Considere: =x

=t

=y

=t =z Da 4a linha, tem-se: 4 + 4 + + 4 + x = 20 h x = 8 Da 1a coluna, tem-se: z + + 8 + 4 + 4 = 30 h z = 14 Da 3a coluna, tem-se: y + + y + 14 + 4 = 22 h y = 2 Da 2a linha, tem-se: 8 + k + + 2 + 2 = 18 h k = 6 Da 2a coluna, tem-se: 4 + + 6 + t + 4 = 28 h t = 12 =8

Resoluções a partir da p. 289

1. Determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações do 1o grau nas incógnitas x e y: ⎧ x ! y " 42 (25, 17) a) ⎨ ⎩x # y " 8 ⎧2x ! 7y " 1 (4, _1) b) ⎨ ⎩#2x ! 3y " #11 ⎧7x # 4y " 22 (6, 5) c) ⎨ ⎩2x # 4y " #8 ⎧8x ! 6y " 10 (2, _1) d) ⎨ ⎩#3x ! 6y " #12 ⎧4x ! 2y " #7 (_2,5; 1,5) e) ⎨ ⎩2x ! 3y " #0,5 ⎧2x # y " 12 ⎪ y f) ⎨ x , com y 5 0 (9, 6) ⎪⎩ 3 ! 2 " 6 x#y ⎧x#y " ⎪ ⎛2 2⎞ g) ⎨ 5 ⎜ , ⎟ 2 ⎝7 7⎠ ⎪⎩2x " 2 # 5y ⎧3(x # 2) " 2(y # 3) (2, 3) h) ⎨ ⎩18(y # 2) ! y " 3(2x ! 3)

2. Dois números reais x e y são tais que 2y x!4 " 4. "1 e x!2 y!3 Nessas condições, sendo x 5 _2 e y 5 _3, determine o valor de: a) y _ x 1 b) x : y 3 c) (x + y)(x _ y) 2 5 3. Quando adicionamos 2 aos dois termos de uma fração, ela se torna equivalente a 5 ; quando subtraímos 2 dos dois termos 6 da mesma fração, ela se torna equiva1 lente a . Qual é a fração considerada? 3 2 4 4. Carlos pensou em dois números. A soma entre esses números é 175, e a diferença entre eles é 43. Quais são os números em que Carlos pensou? 109 e 66.

5. Num sorteio, dois números foram premiados. A soma desses dois números é 170, e o maior deles é igual ao triplo do menor mais 2 unidades. Quais foram os números sorteados? 128 e 42.

6. Caio e Pedro são irmãos. Em 2011, a soma das idades dos dois era 22 anos. Como Caio é dois anos mais velho que Pedro, qual era a idade de Caio em 2011? 12 anos. 7. Em um terreno há galinhas e ovelhas. São 31 animais e 82 pernas. Quantas galinhas e quantas ovelhas estão nesse terreno? 21 galinhas e Galinhas 10 ovelhas. alimentando. DESAFIO Resposta: =2 =6 = 12 = 14 =8 8. Agora, junte-se com um amigo para resolver os desafios a seguir. a) Observe, no qua28 4 dro, a soma dos 18 valores com figu38 4 ras, em cada linha e em cada coluna. 4 4 4 20 Descubra os valores “escondidos” 30 26 22 26 pelas figuras. b) Carlos e sua irmã Andrea levaram seu cachorro Balu ao veterinário. Lá, encontraram uma balança com defeito, que só indicava corretamente valores superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram os seguintes valores:

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Responda às questões no caderno.

EDITORIA DE ARTE

Atividades Nesse bloco as questões têm como objetivo levar os alunos a resolver um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas utilizando o método que julgarem mais adequado, da adição ou da substituição. Verificar se os alunos compreendem que usando o método da substituição ou o método da adição chegarão ao mesmo resultado. Além disso, é interessante fazê-los experimentar a resolução pelos dois métodos, até que identifiquem em qual deles se sentem mais confortáveis para realizar a resolução. Outro ponto a ser considerado é que, além da preferência pessoal para a escolha do método de resolução, em alguns casos, utilizar um ou outro método facilita bastante os cálculos. Auxiliar os alunos no desenvolvimento dessa habilidade de identificação ao analisar o sistema de equações dado. Desafio

ATIVIDADES

• Carlos e Balu, juntos, 87 kg. • Carlos e Andrea, juntos, 123 kg. • Andrea e Balu, juntos, 66 kg. Quantos quilogramas tem cada um? Carlos tem 72 kg, Andrea tem 51 kg e Balu tem 15 kg.

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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=2 =6 = 12 = 14 b) C + B = 87 (I) C + A = 123 (II) A + B = 66 (III)

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Subtraindo (I) de (II): A – B = 36 (IV) Somando (III) e (IV): 2A = 102 h A = 51 Substituindo A em (IV): 51 _ B = 36 h B = 15 Substituindo A em (II): C + 51 = 123 h C = 72

Portanto, Carlos tem 72 kg, Andrea tem 51 kg e Balu tem 15 kg.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

EQUAÇÃO DO 2O GRAU

Equação do 2o grau Esse é o primeiro contato dos alunos com as equações de 2o grau. Aqui serão apresentadas apenas as equações do tipo ax2 + b = 0. Caso os alunos demonstrem interesse, apresentar, apenas a título de curiosidade, os demais tipos de equações do 2o grau e comentar que essas equações serão estudadas de maneira mais aprofundada no ano seguinte e no Ensino Médio. Verificar se os alunos reconhecem que as estratégias utilizadas para resolver esse tipo de equação do 2o grau são similares às estratégias utilizadas para a resolução de equações do 1o grau.

Você já sabe que resolver uma equação significa determinar os possíveis valores que satisfazem a equação (o conjunto solução) em um conjunto universo dado. Na resolução das equações do 2o grau, usaremos a fatoração e esta propriedade importante dos números reais: • Sendo x e y dois números reais quaisquer e x2 = y, então x ! " y ou x ! # y .

Resolvendo equações da forma ax2 + b = 0 Acompanhe as situações a seguir. 1 Qual é a solução da equação x2 _ 9 = 0, no conjunto R? x2 _ 9 = 0 usamos o princípio aditivo x2 = 9 x ! ± 9 h x ! ±3 Logo, os números _3 e 3 são as raízes da equação. Assim, S ! {#3, 3} .

2 Resolver a equação 16x2 _ 1 = 0 no conjunto R. 16x 2 _ 1 = 0 usamos o princípio aditivo 16x 2 = 1 1 2 usamos o princípio multiplicativo x ! 16

SAIBA QUE

Utilizamos a notação x ! ± a para representar x ! " a ou x ! # a .

1 1 hx!± 4 16 ⎧ 1 1⎫ 1 1 são as raízes da equação. Assim, S ! ⎨# , Logo, os números # e ⎬. 4 4 ⎩ 4 4⎭ 3 Determinar os valores reais de x para que se tenha 3x2 _ 60 = 0. Como todos os termos da equação são divisíveis por 3, podemos dividir cada termo da equação por 3, para depois determinar os valores de x: 3x2 _ 60 = 0 60 0 3x2 # ! h x2 # 20 ! 0 3 3 3 x2 ! 20 h x ! ± 20 Como 20 não apresenta raiz quadrada exata, os números# 20 e " 20 são as raízes da equação. Assim, S ! # 20 , 20 . x!±

{

}

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As atividades têm como objetivo levar os alunos a determinar o conjunto solução de equações do 2o grau do tipo ax2 + b = 0. Nas atividades 2 e 3, verificar se os alunos percebem que precisam realizar algumas manipulações algébricas para que a equação chegue à forma ax2 + b = 0 e possam resolvê-la com as estratégias estudadas. Por ser um assunto novo para os alunos, verificar se, durante a execução das atividades, alguém propõe estratégias diferentes da apresentada. Caso isso aconteça, solicitar que o aluno explique sua estratégia para que o resto da turma possa validá-la. Desse modo, a construção do conhecimento é feita de maneira coletiva, sempre respeitando a opinião e as ideias dos colegas.

4 Determinar a solução da equação x2 + 4 = 0 no conjunto R. x2 + 4 = 0 x² = _4 x ! ± "4 Como "4 não existe no conjunto R, não temos valores reais para x. Logo, a equação não tem raízes reais. Assim, S = @. 5 Resolver, no conjunto R, a equação (2y + 1)2 = 8 + 2(2y + 1). Inicialmente, vamos multiplicar os polinômios e deixar a equação na forma ax² + b = 0 para, depois, resolvê-la: (2y + 1)² = 8 + 2(2y + 1) (2y + 1)(2y + 1) = 8 + 2(2y + 1) 4y² + 2y + 2y + 1 = 8 + 4y + 2 4y² + 4y + 1 = 10 + 4y 4y² + 4y _ 4y + 1 _ 10 = 0 4y² _ 9 = 0 4y² = 9 9 y2 ! 4

forma ax² + b = 0 usamos o princípio aditivo usamos o princípio multiplicativo

9 4

y !# y !#

usamos o princípio aditivo

3 2

Logo, os números "

⎧ 3 3⎫ 3 3 e são as raízes da equação. Assim, S ! ⎨" , ⎬. 2 2 ⎩ 2 2⎭

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

1. Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações do 2o grau, no conjunto R:

2. Qual é o conjunto solução de cada uma das seguintes equações do 2o grau, sendo U = R?

a) x2 _ 1 = 0 {_1, 1}

a) (x + 5)(x _ 6) = 51 _ x {_9, 9}

b) x2 _ 16 = 0 {_4, 4}

b) 2x(x + 1) _ x(x + 5) = 3(12 _ x) {_6, 6} 3. Calcule o conjunto solução de cada equação: 1 1 1 a) 3x " ! 0 , x 5 0, U = R − , 3 3 3x

c) x2 _ 64 = 0 {_8, 8} d) x2 + 16 = 0 @ 5 5 " , e) 9x2 = 25 3 3 f) x2 _ 20 = 0 −2 5 , 2 5

{

{

}

{

}

b)

5 x2 " ! "1 , U = R 4 2

{−

6,

}

6}

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RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. Qual é o número real representado pela letra x que torna verdadeira a igualdade 7x _ [5x + 3 _ (2x + 1) _ 10] = = _(_ x + 3)? Alternativa b. 11 2 11 b) ! 3 a)

3 11 3 d) ! 11

c)

e) !

7 3

2. Observe as equações:

3x 2 (x 5 0, x 5 4) " 3# x!4 x 5 !3 (y 5 _3, y 5 3) " 2 y !9 y #3

Resolvendo cada uma dessas equações, o quociente x : y é: Alternativa a. 3 3 2 e) ! c) a) ! 5 5 5 5 5 d) b) ! 3 3

3. O aluguel de uma moto em uma agência A é 280 reais, acrescido de 3 reais por quilômetro rodado. Em uma agência B, o aluguel da mesma moto é 400 reais, acrescido de 1 real por quilômetro rodado. Qual deve ser a quantidade de quilômetros rodados para que o valor do aluguel seja o mesmo em ambas as agências? a) 60 km c) 68 km e) 72 km b) 64 km d) 70 km Alternativa a. 4. Um número natural n é tal que: n#7 n#3 . " n#7 n # 12 Qual é o valor numérico da expressão n#3 ? a) 16

c) 5

b) 25

d) 4

e) 3 Alternativa d.

Resoluções a partir da p. 289

5. A altura de uma árvore, em metros, é 100 dada por h " 10 ! , sendo t a 10 # t idade da árvore em anos. Se essa árvore tem 6 metros de altura, quantos anos ela tem? Alternativa d. a) 12 anos. d) 15 anos. b) 13 anos. e) 16 anos. c) 14 anos. 6. Segundo pesquisa realizada em um grupo de pessoas, foi constatado que, ao longo de x meses, a quantidade de pessoas que contrairá certo tipo de gripe é dada pela expressão matemática 13000 . Após quantos meses a quanti10 #2 x dade de pessoas infectadas por esse tipo de gripe será de 4 000? Alternativa c. a) 6 meses. d) 9 meses. b) 7 meses. e) 10 meses. c) 8 meses. 7. Considere o sistema de equações: y 1 ⎧x !2 ⎪ 3 # 2 " 2 ⎨ ⎪x ! y ! 1 " 2 2 ⎩

Qual é o valor da razão x ? Alternativa b. y a) 0,5 c) 0,2 e) 0,05 b) 2 d) 5 8. Em uma loja, a diferença entre o preço de venda e o preço de custo de um produto é R$ 5 000,00. Se o preço de custo representa 75% do preço de venda, então o preço de custo desse produto é: a) R$ 10 000,00

d) R$ 16 000,00

b) R$ 12 000,00

e) R$ 20 000,00 Alternativa c.

c) R$ 15 000,00

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu O objetivo das atividades dessa seção é propiciar aos alunos que retomem os conteúdos estudados na Unidade e, caso

seja necessário, façam retomadas para sanar as dúvidas que podem surgir. Se achar conveniente, antes de iniciar as atividades, propor aos alunos que façam um fluxograma dos conteúdos trabalhados no decorrer dessa

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Unidade, com o objetivo de retomar, organizar e sistematizar as ideias e definições. Os alunos podem fazer esse bloco de questões como uma autoavaliação; por isso, eles devem respondê-las individualmente. É interessante

sugerir que realizem essa atividade em sala de aula, assim poderão discutir eventuais dúvidas com os colegas, por exemplo. Orientá-los a consultar o livro para tirar dúvidas e buscar informações. Enfatizar a necessidade de resolverem os exercícios individualmente, buscando informações de forma autônoma, escolhendo suas fontes para chegar aos resultados. Conversar com os alunos a respeito de seus acertos e erros, indicando a correção com intervenções pontuadas, isto é, dando pistas de quais caminhos eles poderão buscar para encontrar o resultado esperado. Outra possibilidade é propor aos alunos que resolvam algumas das questões previamente em casa e que desenvolvam outras em aula, formando duplas ou grupos com os colegas. Nessa interação devem aproveitar para fazer a autocorreção daquelas que trouxeram prontas. Sugerir também que os alunos refaçam algumas atividades anteriores dos assuntos que tiverem dúvidas. Ressaltar tais temas ao corrigir as atividades. Procurar trabalhar em sala com o conteúdo no qual os alunos mais tiveram dificuldade durante o desenvolvimento da Unidade também pode contribuir nesse momento. Será valioso para o desenvolvimento da autonomia intelectual dos alunos que percebam seus processos de aprendizagem, suas dificuldades e a busca de informações. Se ainda persistirem dúvidas, orientar a trocar ideias com os colegas e a buscar no livro os conceitos que precisarem retomar. Dar oportunidade para os alunos mostrarem como pensaram para resolver as questões, tirando as dúvidas dos colegas.

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10. As revistas A e B são publicadas por uma mesma editora. A assinatura anual da revista A custa o quádruplo da assinatura anual da revista B, e a assinatura anual das duas revistas juntas custa R$ 260,00. A diferença entre os valores das assinaturas das duas revistas é: a) R$ 52,00 d) R$ 212,00 b) R$ 156,00 e) R$ 218,00 Alternativa b. c) R$ 208,00 11. Juca pegou um pote cheio de amendoins, que estava pesando 420 gramas, e comeu a metade deles. Verificou que o pote passou a pesar 235 gramas. Quantos gramas tem o pote vazio? a) 25 g d) 45 g b) 32 g e) 50 g Alternativa e. c) 40 g 12. São dadas as equações

1 1 " x !3 y !1 e 3y = 2(x _ 1). Sabendo que x 5 3 e x y ! y 5 1, a expressão vale: y x a) !

b)

3 2

c)

3 2

5 2

d) !

e) 2 3

b) 48

c) 50

15. Em um grupo de jovens, 25% têm estatura superior a 1,70 m; 45% têm estatura entre 1,65 m e 1,70 m; e 12 desses jovens têm estatura inferior a 1,65 m. Quantos desses jovens têm altura que varia entre 1,65 m e 1,70 m? a) 40 b) 32 c) 27 d) 25 e) 18 Alternativa e. 16. Uma motocicleta, desenvolvendo certa velocidade, percorre 240 km em t horas. Mantendo essa mesma velocidade média, percorrerá 400 km em (t + 2) horas. Qual é essa quantidade t de horas? 3 horas. 17. Em um jogo de decisão de campeonato de futebol, os preços dos ingressos foram aumentados: a arquibancada passou a custar 70 reais, e a numerada, 90 reais. Como o estádio só oferecia esses dois tipos de ingressos, a renda foi de 1 540 000 reais.

2 3

Alternativa b.

13. A bilheteria de um cinema apurou 620 reais vendendo ingressos para 100 pessoas durante uma sessão. O preço de cada ingresso é 8 reais, e estudante paga a metade desse preço. Quantos estudantes compraram ingressos nessa sessão? a) 45

14. Considere dois números reais x e y. 3 , ele Multiplicando o número x por 4 diminui 5 unidades, e multiplicando o 5 número y por , ele aumenta 6 uni3 dades. Nessas condições, podemos dizer que x _ y vale: a) 38 c) 21 e) 7 b) 29 d) 11 Alternativa d.

FERNANDO DONASCI/FOLHAPRESS

9. Em uma caixa, a quantidade de bolas vermelhas é o triplo da quantidade de bolas pretas. Se tirarmos 2 bolas pretas e 26 bolas vermelhas, a quantidade de bolas de cada cor ficará igual. Quantas bolas vermelhas há na caixa? Alternativa d. a) 8 d) 36 b) 12 e) 48 c) 24

d) 54 e) 55 Alternativa a.

Bilheteria.

Se os preços dos ingressos fossem os de sempre (50 reais para arquibancada e 80 reais para numerada), a renda do jogo teria sido de 1 210 000 reais. Quantas pessoas compraram ingressos para a arquibancada? 13 000 pessoas.

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STOCKDISC/GETTY IMAGES

18. Pelo regulamento de um torneio de 21. Um treinador propôs a um de seus jogabasquete, cada partida que a equipe dores que arremessasse, sucessivamente, ganha vale 2 pontos, e cada partida uma bola à cesta, informando-lhe que que perde vale 1 ponto. A equipe de ganharia 5 pontos a cada acerto e basquete do nosso colégio disputou um perderia 2 pontos a cada erro. Ao fim torneio jogando 12 partidas e somando dessa parte do treinamento, o jogador 18 pontos. Quantas partidas a equipe do havia feito 50 arremessos e acumulara nosso colégio venceu no torneio? 194 pontos. Quantos arremessos o 10 partidas. jogador acertou? 42 arremessos. 19. Para embalar 1 650 livros, uma editora usou 27 caixas, umas com capacidade 22. Fernando tem em para 50 livros, e outras, para 70 livros. seu cofre 78 moedas, Quantas caixas de cada tipo a editora umas de 1 real e utilizou? 12 caixas para 50 livros e 15 caixas outras de 50 centapara 70 livros. 20. Em uma competição esportiva, foram vos, num total de distribuídas apenas medalhas de ouro 49 reais. e de prata. Cada medalha de ouro vale Qual é a quanti3 pontos, e cada medalha de prata vale dade de moedas 2 pontos, para efeito de classificação. de 50 centavos? E Se a equipe A conquistou 11 medalhas a quantidade de e somou 29 pontos, quantas medalhas moedas de 1 real? de ouro a equipe A ganhou? 58 moedas de 50 centavos; 20 moedas de 1 real. 7 medalhas de ouro. Os valores da incógnita que anulam o denominador de cada um dos termos da equação, pois, se isso ocorrer, teremos uma divisão por zero, o que já sabemos que é impossível. UM NOVO OLHAR Nesta Unidade, realizamos estudos sobre as equações do 1o grau com uma incógnita, equações fracionárias com uma incógnita, equações literais do 1o grau na incógnita x, equações do 1o grau com duas incógnitas, sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas, tipos de resoluções para esse modelo de sistema e equação do 2o grau incompleta, do tipo ax2 _ b = 0. Na Educação Financeira, foi abordado o “juro zero” como uma estratégia de marketing, pois o juro, muitas vezes, pode estar embutido no preço. Para que possa perceber suas aprendizagens e possíveis dúvidas, sugerimos a você que faça um roteiro contendo os conceitos abordados nesta Unidade e não se esqueça de acrescentar alguns exemplos. Na abertura da Unidade, pudemos ver um uso do sistema de equações do 1o grau. Vamos retomar as aprendizagens e refletir sobre elas. Responda no caderno.

• O que devemos excluir do conjunto universo de uma equação fracionária? • Nesta Unidade, quais foram os métodos estudados que podem ser usados para calcular a resolução de um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas? Método da substituição e método da adição. • Na abertura da Unidade, você foi questionado sobre a interpretação de um problema. Represente o sistema que resolve o problema da abertura desta Unidade. • Se, na situação da abertura da Unidade, o número de animais fosse 122 e o número de pernas fosse 418, quantos animais de cada espécie haveria? ⎧x ! y " 112 Possível sistema: ⎨ . 87 vacas e 35 galinhas. ⎩4x ! 2y " 384

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento dessa Unidade poderão permitir reflexões a respeito das aprendizagens individuais, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, desse modo, possam perceber o que aprenderam e as possíveis dúvidas que ainda tenham. Sugerir que eles façam um resumo dos conceitos abordados em razão das sutilezas inerentes, principalmente nos métodos de resolução apresentados para sistemas de equação. Recomenda-se também a seleção de exemplos pertinentes a cada um dos conceitos. A primeira questão aborda o conjunto universo de uma equação fracionária e é preciso ter um cuidado especial com a exclusão dos itens que anulam o denominador. A segunda questão propicia que os alunos retomem os métodos de resolução estudados para sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas. Na terceira e na quarta questões, os alunos são convidados a rever as páginas de abertura da Unidade e tentar reformular as estratégias criadas anteriormente, ou perceber se suas hipóteses e soluções se aproximaram das estratégias de soluções apresentadas ao longo da Unidade.

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GERAIS 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. ESPECÍFICAS 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

HABILIDADES

Toda imagem digital do tipo bitmap é composta de pixels. Um pixel é a menor unidade de uma imagem representada na tela de um computador. É na ampliação ou na impressão de uma foto que podemos perceber a principal importância da quantidade de pixels que a compõem. Em uma máquina fotográfica, essa quantidade é o que conhecemos pelo nome de megapixel. O valor de megapixels de uma máquina fotográfica diz quantos pixels vão compor uma fotografia tirada pela máquina. Como um pixel não possui um tamanho definido, quanto mais megapixels tiver uma foto, menor será o tamanho do pixel e mais ela poderá ser ampliada, pois o pixel sofrerá menos distorção. Observe ao lado um exemplo de imagem no qual ampliamos uma parte da foto para ser possível ver os pixels e sua formação poligonal.

AMPLIANDO

Podemos ver facilmente um pixel em um computador ao ampliar uma imagem.

EDITO

RIA

DE

AR

TE

Esta é a visualização de um pixel. Podemos entender que a imagem é formada por figuras quadradas bem pequenas que, juntas, formam uma imagem nítida.

p. XXI e XXII

Geometria • EF08MA14 • EF08MA15 • EF08MA16 • EF08MA18

Polígonos e transformações no plano REINHARD DIRSCHERL/ EASYPIX BRASIL

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COMPETÊNCIAS

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Acessos em: 6 nov. 2018. • <http://livro.pro/bv29qh>. • <http://livro.pro/pg436n>. • <http://livro.pro/x9hdi3>.

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Links Para saber mais a respeito do pixel e das resoluções das câmeras digitais e monitores, acessar os sites a seguir.

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Agora, pense e responda no caderno:

• Os pixels possuem a forma de quadrados e de retângulos, mas podemos compor imagens no cotidiano com outras figuras figuras poligonais. Onde você já viu imagens formadas por outras figuras poligonais? Resposta pessoal.

REINHARD DIRSCHERL/EASYPIX BRASIL

• De que outras maneiras podemos compor imagens utilizando essas outras figuras? Resposta possível: Podemos justapor figuras poligonais para compor mosaicos. • De acordo com o texto, maior quantidade de megapixels significa maior qualidade da imagem de uma foto? Sim, pois poderá ser ampliada sem sofrer distorção.

Recife de corais no Mar Vermelho.

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ADAM LISTER GALLERY

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Abertura de Unidade Essa abertura envolve um tema que pode ser de grande interesse para a maioria dos alunos: a fotografia, hoje amplamente divulgada e presente nas redes sociais. Aqui há o enfoque na ampliação e na redução de imagens, mais especificamente na qualidade de imagem que se obtém e no significado da palavra megapixel (visto com frequência nas características de câmeras digitais, sejam elas de celulares ou não). O pixel é um pequeno quadrado ou retângulo, portanto um polígono que é utilizado para a formação de imagens, e quanto mais megapixel uma câmera tem, mais qualidade a imagem pode ter, pois menores serão os pixels utilizados na formação da imagem. Essa diferença é mais visível em fotos impressas, principalmente quando deseja-se uma ampliação. Observando a imagem da abertura, pode-se notar algumas características de fotos ampliadas, por exemplo: é possível identificar o pixel que compõe a imagem do peixe em virtude da ampliação excessiva da imagem original. O segundo questionamento proposto leva os alunos a refletir sobre outras maneiras de formar imagens utilizando polígonos. Eles podem responder algo relacionado ao tangram ou a mosaicos. Se julgar oportuno, comentar com os alunos sobre o trabalho de Adam Lister, artista americano nascido em 1978 e formado pela Escola de Artes Visuais de Nova York. Adam recriou diversas obras de arte clássicas na forma de pixels, trabalho que originou a série Art History 101 (História da Arte 101, em tradução livre). Para saber mais a respeito de seu trabalho, acessar os sites: <http://livro.pro/824guy> e <http://livro.pro/nv73bi>. Acessos em: 18 nov. 2018. Por exemplo, ao lado apresentamos a obra feita por Adam Lister com base na famosa obra “Criação de Adão”, pintura original de Michelangelo, 1512.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Polígonos e seus elementos Esta página retoma o conceito de polígono visto nos anos anteriores por meio da visualização e interpretação de uma das obras do artista Paul Klee. Caso julgue interessante, solicitar aos alunos que pesquisem outras obras desse artista e verifiquem se é possível identificar polígonos nelas também. A seguir, apresentamos uma possibilidade de trabalho para a retomada do conceito de polígono.

POLÍGONOS E SEUS ELEMENTOS

O pintor e poeta Paul Klee nasceu em 18 de dezembro de 1879, em Münchenbuchsee, na Suíça. Em 1898, partiu para Munique, na Alemanha, a fim de estudar Arte. Foi professor da escola de Arte Moderna Bauhaus e da Academia de Belas-Artes de Dusseldorf. Em 28 de junho de 1940, Paul Klee morreu em decorrência de um câncer de pele. Observe a obra Small town among the rocks, de sua autoria:

AMPLIANDO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

KUNSTMUSEUM BERN, BERN

Atividade complementar • Organizar os alunos em grupos para desenvolver uma atividade pela escola levando caderno e lápis. A tarefa será anotar no caderno objetos que identifiquem ter a forma de diversos polígonos. Algumas possibilidades de observação: • no chão, o tipo de piso; • no jardim, as formas que encontram na natureza; • nas paredes, quadros e painéis; • no teto, o tipo de luminária; • nos móveis, os diversos formatos. Ao retornarem à sala de aula, cada grupo fará um relatório com o desenho dos diversos tipos de polígono que seus integrantes observaram. Se tiverem acesso à internet, eles poderão acessar sites para realizar pesquisas a respeito do uso dos polígonos em nosso cotidiano.

Small town among the rocks (1932), Paul Klee. Óleo sobre tela. 64 cm × 80 cm.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Nesse quadro, estão representadas figuras geométricas planas formadas apenas por linhas fechadas simples, segmentos de reta e respectivas regiões internas. Cada uma dessas figuras é chamada polígono. No quadro anterior, por exemplo, lembram polígonos as seguintes figuras:

Polígono é uma figura plana formada por uma linha fechada simples, composta apenas de segmentos de reta, reunida com a sua região interna.

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Outro assunto de grande interesse dos alunos e que está relacionado a polígonos são os jogos de videogame. Ler para os alunos a reportagem a seguir, que fala um pouco a respeito dessa relação.

a principal é a quantidade dos polígonos para videogames que são utilizados em sua criação. [...]

Você sabe por que alguns jogos são tão pesados e outros não? Existem algumas razões para isso, mas

O que são polígonos para videogames? Se você não sabe muito sobre o assunto, entenda que polígonos são figuras

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planas, formadas pelo mesmo número de ângulos e lados e sua função nos games é contribuir como principal ferramenta na hora de criar gráficos detalhados para jogos 3d. Ou seja, é a utilização de polígonos que torna possível criar jogos com gráficos incríveis [...],

mas sua contribuição na indústria dos jogos vai muito além disso. Você sabia que os polígonos tiveram um papel muito importante em toda a evolução dos jogos 3d? Quando os videogames surgiram, os jogos eram simples e tinham foco na

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utilizar muitos polígonos na programação contribui para tornar um game mais leve ou mais pesado. Veja que: Quanto mais riqueza de detalhes um jogo apresentar em seu gráfico, mais polígonos ele precisará utilizar em sua configuração. Ao mesmo tempo, para tornar esses detalhes possíveis, mais pesado o jogo será. [...]

Elementos de um polígono No polígono representado pela figura a seguir, podemos destacar os seguintes elementos: • Os vértices, que são os pontos A, B, C, D e E. Nomeamos os polígonos por meio de seus vértices: no caso, temos o polígono ABCDE.

A

• Os lados, que são os segmentos AB, BC, CD, DE e EA.

B

• Os ângulos internos, que são os ângulos formados por dois lados consecutivos: Aå BC, Bå CD, Cå DE, Då EA e Eå AB. Também usamos as letras que indicam os vértices para representar os ângulos internos: å A, å B, å C, å D e å E.

E

Em um polígono, também devemos destacar: D

• As diagonais, que são segmentos que unem um vértice a outro vértice não consecutivo a ele. Na figura a seguir, são diagonais AC, AD, BD, BE e CE.

BLOG AVELL. Polígonos para videogames: descubra a arquitetura por trás de jogos 3d. 21 fev. 2018. Disponível em: <http:// blog.avell.com.br/poligonos-paravideogames-jogos-3d/>. Acesso em: 3 nov. 2018.

C

A

E

B

D

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

C

• Os ângulos externos, que são os ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento de um lado consecutivo a ele. No polígono da figura a seguir, temos: På AB, Qå BC, Rå CD, Så DE e Tå EA. P A

a

e

T

B

E

Q

d S

D

C

c

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

b

R

Convém destacar que, em um mesmo polígono, o número de vértices, de lados e de ângulos internos é sempre o mesmo. 169

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diversão, e não em histórias elaboradas e gráficos realistas. A parte visual dos títulos sofriam com limitações causadas pelas configurações de hardware disponíveis na época. Com o tempo a indústria dos games passou a explorar e desenvolver a parte gráfi-

ca com novas tecnologias, permitindo que jogos mais detalhados surgissem. Foi nesse momento que jogos – que até então eram desenvolvidos em pixels – passaram a ser desenvolvidos com a utilização polígonos e a oferecer uma experiência mais rica para os jogadores.

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Por que alguns jogos são mais pesados que outros? Utilizar uma grande quantidade de polígonos na arquitetura dos videogames não é a única razão para tornar um jogo pesado. Existem situações na própria programação que contribuem para isso, porém

Elementos de um polígono Nesta página os elementos de um polígono são retomados. Verificar se os alunos apresentam dúvidas e saná-las. Uma possibilidade é utilizar jogos para explorar o conceito de polígonos e identificar seus elementos. Os alunos podem, por exemplo, montar um jogo de dominó relacionando os polígonos, seus elementos e a nomenclatura (que será retomada na página seguinte). Comentar com os alunos que as manifestações artísticas como pintura e escultura são propícias ao desenvolvimento de conceitos geométricos. Propor um trabalho de observação e identificação de polígonos em obras de artistas brasileiros. É interessante realizar esse trabalho integrado com as aulas de Arte para que os alunos possam conhecer um pouco mais das obras envolvidas. Pesquisas, visitas a museus e desenhos podem fazer parte da atividade.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividade A atividade 1 trata do ladrilhamento do plano. A respeito desse assunto, sugerimos o texto escrito pela professora Élvia Mureb Sallum, do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo, que pode ser acessado no site <http://livro.pro/b4zhex>. Acesso em: 3 nov. 2018.

AMPLIANDO Atividade complementar Propor um desafio, para enriquecer e ampliar o trabalho com polígonos. Reproduzir a figura a seguir na lousa e pedir aos alunos que montem a figura utilizando palitos de fósforos usados e de mesmo comprimento.

Nomenclatura Apesar de a origem da palavra polígono ser relacionada a “vários ângulos”, também podemos nomear polígonos considerando o número de lados que possuem. Por serem utilizados com mais frequência, alguns polígonos recebem nomes especiais. Veja o quadro: Polígono

Número de lados

Nome

3

triângulo (tri = três)

4

quadrilátero (quadri = quatro)

5

pentágono (penta = cinco)

6

hexágono (hexa = seis)

7

heptágono (hepta = sete)

8

octógono (octo = oito)

9

eneágono (enea = nove)

10

decágono (deca = dez)

Existem, ainda, outros polígonos com nomes especiais: • 11 lados – undecágono • 15 lados – pentadecágono • 12 lados – dodecágono • 20 lados – icoságono Os demais polígonos, como o polígono de 13 lados, o de 18 lados, o de 25 lados, entre outros, não recebem nomes particulares.

ATIVIDADE

Resoluções a partir da p. 289

Responda à questão no caderno.

1. A figura corresponde a um ladrilhamento. Observe que os polígonos representados nesse ladrilhamento são diferentes na forma e no tamanho, porém todos se encaixam muito bem! a) Quantos tipos diferentes de figuras poligonais você observa nesse ladrilhamento? 3 tipos. b) Como se chamam esses polígonos? Triângulos, quadriláteros e octógonos.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Nomenclatura A nomenclatura dos polígonos foi trabalhada no 6o ano e é retomada agora no 8o ano. Comentar com os alunos a respeito dos prefixos que nomeiam cada um dos polígonos do quadro e questionar se eles já viram esses prefixos em outros contextos. Eles podem responder a respeito da quantidade de vezes que determinada equipe ganhou alguma competição esportiva. Por exemplo, a seleção brasileira masculina de futebol é pentacampeã mundial, pois ganhou 5 vezes a Copa do Mundo (nos anos de 2002, 1994, 1970, 1962 e 1958).

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de triângulo? Resposta: Triângulo equilátero. • Deslocando apenas 3 palitos, monte uma figura com 6 triângulos equiláteros. Resposta:

• Com base na figura origi-

nal, tente formar 6 triângulos equiláteros deslocando exatamente 4 palitos. A figura obtida, com 6 triângulos equiláteros, forma um novo polígono? Se sim, qual é esse polígono? Resposta: Sim, forma um hexágono.

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Depois, eles devem resolver as questões propostas. Orientá-los sobre alguns cuidados com o manuseio de palitos de fósforos. • Que polígonos formam essa figura? Resposta: Triângulos. • O que podemos dizer a respeito da medida dos lados desses triângulos? Resposta: Os lados de cada triângulo têm a mesma medida. • Que nome recebe esse tipo

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2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO

Diagonais de um polígono convexo Para ampliar o trabalho com diagonais de um polígono, pode-se colocar na lousa o seguinte quadro:

A

Você já sabe que todo segmento de reta B que une dois vértices não consecutivos de um E polígono é chamado diagonal do polígono. No polígono da figura ao lado, os segmentos AC, AD, BD, BE e CE são as suas diagonais. D C Devemos observar que: • se quisermos traçar as diagonais a partir do vértice A, não podemos ligá-lo a 3 vértices do polígono, que sejam a ele mesmo (A) e aos vértices consecutivos (B e E); • o segmento CA, por exemplo, indica a mesma diagonal que o segmento AC. Em geral, o número de diagonais não coincide com o número de lados do polígono. A única exceção é o pentágono, que, como acabamos de ver na figura, possui 5 lados e 5 diagonais.

Número de lados do polígono

Pedir aos alunos que reproduzam o quadro no caderno e que o preencham. Como os polígonos do quadro têm muitos lados, espera-se que os alunos compreendam que o modo mais prático de realizar a tarefa é utilizando a fórmula apresentada nesta página. No entanto, reforçar que, caso desejassem desenhar o polígono e contar suas diagonais uma a uma também seria possível, apesar de mais trabalhoso. Caso tenham dificuldade para manipular a fórmula na realização dos cálculos, ajudá-los a identificar cada uma das incógnitas, a saber: • d indica o número de diagonais; • n indica o número de lados do polígono. Discutir com os alunos que esses dois números devem ser naturais não nulos, pois indicam quantidades (de diagonais ou de lados).

A representação do polígono a seguir é um octógono (8 lados), no qual estão traçadas todas as suas diagonais.

G

C

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A B

D

F

15 10 28

Número de diagonais

Cálculo do número de diagonais de um polígono H

8

E

Você seria capaz de contar quantas diagonais tem esse octógono? Traçar uma a uma ou contar as diagonais de um polígono é um processo trabalhoso, principalmente se ele tiver um número grande de lados. Vamos, então, aprender a determinar o número de diagonais de um polígono sem traçá-las. Note que, em um polígono qualquer de n lados (ou n vértices): • de qualquer vértice do polígono partem diagonais para todos os vértices (n), menos para 3 deles (ele mesmo e os vértices consecutivos a ele); portanto, (n _ 3) diagonais; 171

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NO DIGITAL – 3˙ bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 6 e 7. • Desenvolver o projeto integrador sobre consumo de energia elétrica. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham

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as habilidades EF08MA03, EF08MA14, EF08MA18, EF08MA22, EF08MA23, EF08MA24 e EF08MA25. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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Caso julge necessário, antes de iniciar as atividades, propor o problema a seguir na lousa e realizar a resolução em conjunto com os alunos. • Existe um único polígono cujo número de diagonais é igual ao dobro do número de lados. Qual é esse polígono? Resolução

• número de lados: n • número de diagonais: d=

n ? (n _ 3) 2

• dado do problema: d = 2n

Igualando as expressões para d, temos: n ? (n _ 3) 2n = 2 4n = n ? (n _ 3) n_3=4 n=4+3 n=7 Logo, o polígono procurado é o heptágono.

Atividades Para as atividades 7 e 8, verificar se os alunos percebem que, com a fórmula de determinação do número de diagonais também é possível determinar o número de lados do polígono, se conhecido o número de diagonais.

• como são n vértices, e de cada um partem (n _ 3) diagonais, o número total de diagonais seria n · (n _ 3). Mas, dessa forma, estaríamos contando cada diagonal duas vezes (lembre-se de que AC e CA, por exemplo, são a mesma diagonal). Então, o número de diagonais (d) é dado pela metade de n · (n _ 3). Assim: Em um polígono de n lados (ou n vértices), o número de diagonais (d) é dado por: n ? (n _ 3) d= 2 Consideremos, então, a situação a seguir. 1 Quantas diagonais possui o decágono? decágono: 10 lados n = 10 n ? (n _ 3) 10 ? (10 _ 3) 10 ? 7 70 = = = = 35 d= 2 2 2 2 O decágono possui 35 diagonais.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Responda às questões a seguir.

a) Há um polígono que não possui diagonais. Qual é esse polígono? Triângulo.

b) Qual é o polígono que possui 2 diagonais? Quadrilátero. 2. Quantas diagonais tem um polígono de: a) 5 lados? 5 diagonais.

b) 8 lados? 20 diagonais. c) 11 lados? 44 diagonais. d) 16 lados? 104 diagonais. e) 18 lados? 135 diagonais 3. O número de diagonais de um octógono é: Alternativa c. a) 13

c) 20

b) 18

d) 23

4. Um polígono tem 60 cm de perímetro, e todos os lados têm a mesma medida: 5 cm. Calcule o número de lados e o número de diagonais desse polígono. 12 lados; 54 diagonais.

5. (Saresp-SP) Observe as diagonais dos polígonos regulares de 4, 5 e 6 lados. EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Quantas diagonais tem um polígono regular de 7 lados? Alternativa b. a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 6. Qual é o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados? Undecágono. 7. (UFSCar-SP) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem: Alternativa c. a) 6 lados. d) 12 lados. b) 9 lados. e) 20 lados. c) 10 lados. 8. (PUC-RJ) Um polígono regular de n lados tem 90 diagonais. O valor de n é: a) 10 c) 15 e) 21 Alternativa c. b) 12 d) 20

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

ÂNGULOS DE UM POLÍGONO CONVEXO

Ângulos de um polígono convexo Para determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo é utilizada a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo, que já foi trabalhada na Unidade 3 deste volume. Se julgar pertinente, retomar a atividade da seção Pense e Responda da página 71, que mostra uma maneira de determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. Veja a seguir: • Com uma tesoura de pontas arredondadas, recortar um papel em um formato que lembra um triângulo. • Em seguida, usar lápis de diferentes cores para destacar os três ângulos internos e nomeá-los como a, b e c.

Ângulo interno e ângulo externo Consideremos o polígono da figura seguinte. Nele podemos observar que: A e E

• No vértice A

a

A B

E d

D D

B

• No vértice B

b

• No vértice C

C

• No vértice D

c C

• No vértice E

med(å A ) ! med(å a ) " 180° med(å B ) ! med(å b ) " 180° med(å C ) ! med(å c ) " 180° med(å D ) ! med(å d ) " 180° med(å E ) ! med(å e ) " 180°

Um ângulo interno e um ângulo externo de mesmo vértice de um polígono são sempre adjacentes suplementares.

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo Vejamos, agora, como podemos fazer para calcular a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Vamos partir do conhecimento de que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°. Quando queremos determinar a soma das medidas dos ângulos internos (Si) de um polígono convexo, podemos decompor o polígono em triângulos, uma vez que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo já é conhecida e igual a 180°. Fazemos isso traçando as diagonais que partem de um único vértice do polígono. Observe: • Traçando todas as diagonais a partir de um mesmo vértice, dividimos um pentágono em 3 triângulos. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• Depois, usando a mesma tesoura, recortar o triângulo, dividindo-o em três partes.

• Por último, juntar os três vértices em um único ponto.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, o valor da soma dos ângulos internos de um pentágono é 3 ? 180°, ou seja, 540°. Esse processo, porém, pode ser longo e demorado, principalmente quando o polígono tiver muitos lados. 173

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Pela figura, podemos verificar que, juntos, os três ângulos internos do triângulo formam um ângulo raso ou de meia-volta. Então: a + b + c = 180°.

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AMPLIANDO

O quadro seguinte vai nos ajudar a obter mais rapidamente essa soma.

Nome

Polígono

O polígono tem 8 lados. Assim, é possível dividir o octógono em (8 _ 2) triângulos, ou seja, em 6 triângulos. Logo, a soma das medidas dos ângulos internos do octógono é dada por 6 ? 180° = 1 080° • Eneágono O polígono tem 9 lados. Assim, é possível dividir o eneágono em (9 _ 2) triângulos, ou seja, em 7 triângulos. Logo, a soma das medidas dos ângulos internos do eneágono é dada por 7 ? 180° = 1 260° 2. Mostrar que quando o número de lados de dois polígonos diferem de 1 unidade, as somas das medidas de seus ângulos internos diferem de 180°.

Soma das medidas dos ângulos internos (Si) cada triângulo

Quadrilátero

D

2

B

1

4 2 = (4 _ 2)

C

2 ? 180° = 360°

B

A 1

Pentágono

3

E

5

C

2

3 ? 180° = 540°

3 = (5 _ 2)

D B

2

3

F

C

1

A 4

Hexágono

6

D

4 ? 180° = 720°

4 = (6 _ 2)

E A

G

Heptágono

F

1

5 4

B C

2 3

E

5 ? 180° = 900°

7

5 = (7 _ 2)

D

Desse modo, verificamos que é possível dividir o polígono em um número de triângulos que coincide sempre com o número de lados do polígono menos 2. Um decágono, por exemplo, pode ser dividido em 8 (ou seja, 10 _ 2) triângulos. Então, a soma das medidas dos ângulos internos do decágono é: 8 ! 180° " 1 440° número de triângulos traçados

Resolução da atividade

Considere dois polígonos com n e n + 1 lados. • Soma das medidas dos ângulos internos do polígono de n lados: Si(1) = (n _ 2) ? 180° • Soma das medidas dos ângulos internos do polígono de (n + 1) lados: Si(2) = (n + 1 _ 2) ? 180° = = (n _ 1) ? 180° Obtendo a diferença entre essas duas somas: Si(2) _ Si(1) = (n _ 1) ? ? 180° _ (n _ 2) ? 180° Si(2) _ Si(1) = 180° n _ 180° _ 180°n + 2 ? 180° Si(2) _ Si(1) = 2 ? 180° _ 180° Si(2) _ Si(1) = 180° Portanto, a diferença entre as somas das medidas dos ângulos internos desses polígonos é 180°.

No de triângulos formados

A

Resolução da atividade

• Octógono

N de lados o

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Atividades complementares 1. Pedir aos alunos que, usando o mesmo raciocínio do quadro apresentado no livro do aluno, determinem a soma dos ângulos internos do octógono (8 lados) e do eneágono (9 lados).

soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo

Podemos generalizar esse resultado para um polígono de n lados: • número de lados • número de triângulos

n n # 2 (2 a menos que o número de lados do polígono)

• soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo • soma das medidas dos ângulos internos do polígono

180° (n # 2) 180°

Sendo Si a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados, temos: Si = (n _ 2) ? 180°

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Veja como podemos usar a fórmula matemática Si = (n – 2) 180° para resolver problemas: 1 Um polígono tem 13 lados. Qual é a soma de seus ângulos internos? n = 13 13 lados Si = (n _ 2) 180° Si = (13 _ 2) 180° = 11 180° = 1 980° A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de 13 lados é 1 980°.

Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo Realizar na lousa os cálculos para a determinação da soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo, de um quadrilátero e de um pentágono, com mostrado no livro do aluno. Em seguida, apresentar o raciocínio para um polígono de n lados. Com isso, espera-se que o aprendizado seja significativo, de maneira que os alunos compreendam o que estão fazendo.

2 A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono é 900°. Qual é esse polígono? Nesse caso, temos Si = 900°. Como Si = (n _ 2) ? 180°, temos: (n _ 2) ? 180° = 900° 1260° n ? 180° _ 360° = 900° h n ? 180° = 900° + 360° h n ? 180° = 1 260° h n ! !7 180° O polígono é o heptágono (7 lados).

Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo Assim como fizemos para os ângulos internos, vamos calcular a soma das medidas dos ângulos externos (Se) de um polígono convexo. • Triângulo Sabemos que: m

A

c

C

n

b B

p

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

a

a " m ! 180° b " n ! 180° c " p ! 180°

⇒ a " b " c " m " n " p ! 3 # 180° Si ! 180°

Se

Daí: 180° " Se ! 540° ⇒ Se ! 360°

soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo

• Quadrilátero

A

Sabemos que:

m a

b

B n

a " m ! 180° b " n ! 180° c " p ! 180°

d

q D

c p C

⇒ a " b " c " d " m " n " p " q ! 4 # 180°

d " q ! 180° Si ! 360°

Daí: 360° " Se ! 720° ⇒ Se ! 360°

Se soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilátero

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades Nesse bloco de questões os alunos aplicarão a soma das medidas dos ângulos internos e a soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo qualquer. Caso os alunos apresentem dificuldades, auxiliá-los, sanando eventuais dúvidas.

• Pentágono A a

r E

m

e q

b d D

B n

c p C

Sabemos que: a ! m " 180° b ! n " 180° c ! p " 180° d ! q " 180° e ! r " 180°

⇒ a ! b ! c ! d ! e ! m ! n ! p ! q ! r " 5 # 180°

Temos: 540° ! Se " 900° ⇒ Se " 360°

Si " 540°

Se

soma das medidas dos ângulos externos de um pentágono

Se tomarmos um polígono de n lados, temos que, em cada vértice, a soma da medida do ângulo interno com a medida do ângulo externo é igual a 180°. 180° # (n $ 2) ! Se " 180°n Si ! Se " 180°n

180°n $ 360° ! Se " 180°n Se " 180°n $ 180°n ! 360° Se " 360°

Assim, podemos enunciar a propriedade: A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono é igual a 360°.

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Em um polígono qualquer de n lados, quando traçamos as diagonais que partem de um único vértice, decompomos o polígono em (n _ 2) triângulos. Sabendo que, em determinado polígono, obtivemos 8 triângulos nessa decomposição, quantos lados tem esse polígono? Qual o seu nome? 10 lados; decágono. 2. Copie o quadro seguinte e preencha-o corretamente. Pentágono Eneágono Icoságono Soma das medidas dos ângulos internos

540°

1 260°

3 240°

3. Como se chama o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é 1 620°? Undecágono. 4. Em um polígono, temos que Si + S e = = 1 080°. Qual é esse polígono? Hexágono. A 5. A figura ao lado 2x é um pentágono E não regular. Calcule 120° as medidas dos B 3x 150° 135° ângulos Eå AB e Aå BC. D med(Eå AB) = 54º e med(Aå BC) = 81º C 6. Copie o quadro seguinte e complete-o. Soma das medidas dos ângulos 1 440° 1 800° 2 160° 2 340° internos Número de 10 12 14 15 lados do polígono

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

ÂNGULOS DE UM POLÍGONO REGULAR

Ângulos de um polígono regular Nesta página é apresentado como determinar a medida dos ângulos internos e externos de um polígono regular. Se necessário, retomar com os alunos o conceito de polígono regular e suas características. Reproduzir na lousa as situações apresentadas, verificando se os alunos apresentam alguma dúvida a respeito do assunto tratado.

Sabemos que, em um polígono regular:

• todos os lados são congruentes; • todos os ângulos internos são congruentes. Como em cada vértice de um polígono a soma das medidas do ângulo interno e seu ângulo externo é 180°, podemos concluir que os ângulos externos de um polígono regular também são congruentes entre si. Indicamos: • a medida de cada ângulo interno de um polígono regular por ai; • a medida de cada ângulo externo de um polígono regular por ae. Para um polígono regular de n lados, temos:

Si (n_2) ⋅ 180º e a = Se = 360º = e n n n n Consideremos, então, as seguintes situações: 1 Qual a medida do ângulo interno e a do ângulo externo de um hexágono regular? Hexágono regular: 6 lados. Cálculo da soma das medidas dos ângulos internos: Si = (6 _ 2) ⋅ 180° ⇒ Si = 4 ⋅ 180° = 720° Como o hexágono é regular:

EDITORIA DE ARTE

ai =

Si 720° = = 120° n 6 S 360° ae = e = = 60° n 6 O ângulo interno mede 120°, e o ângulo externo mede 60°.

a=

2 Qual é o polígono regular cuja medida do ângulo interno é igual a 144°? S Como o polígono é regular: ai = i n número de lados do polígono Se ai = 144°, então: •

Si • 180°n _ 360° = 144°n = 144º n 180°n _ 144°n = 360° 180° (n _ 2) = 144° 36°n = 360° n 360° n= = 10 180°(n_2) 144°n = 36° n n Portanto, o polígono é o decágono (10 lados). 177

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ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Em um polígono qualquer de n lados, podem ser traçadas (n _ 3) diagonais partindo de cada vértice. Sabendo que, em um determinado polígono, podem ser traçadas 7 diagonais de cada vértice, responda: a) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos desse polígono? 1 440° b) Qual é a medida de cada ângulo interno, caso o polígono seja regular? 144° 2. Considerando a representação do hexágono da figura, determine a medida x. 141°

F

H

E

I

B

A

D

x C

8. Na figura seguinte, o segmento AB representa um lado de um hexágono regular, e o segmento AC representa um lado de um octógono regular. Qual é a medida de x do ângulo BAC? 105°

x

x

A

x

78°

x

B

78°

3. Na figura, ABCDE é a representação de um x pentágono regular. E Calcule o valor de y _ x. 72° D

A y

x

B

C

9. A figura seguinte descreve, em esboço, de que maneira uma pessoa se desloca. D

C

4. Na figura, ABCDE é a representação de um pentágono regular. Qual é a medida x do ângulo DFE do triângulo DFE? 36°

36°

0 12

A

D

36°

120 m

E

B

C

G

A x

F

5. É dado um polígono regular, no qual a soma das medidas dos ângulos internos é igual ao quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos. Qual é esse polígono regular? Decágono regular.

6. Em um polígono, a razão entre a soma das medidas dos ângulos internos e a soma das medidas dos ângulos externos é igual 7 . Quantos lados tem esse polígono? a 2 9 lados.

B

m

C

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

x

7. Considerando a figura, em que ABC é a representação de um triângulo equilátero, calcule a medida x. 165°

m

Atividades Neste bloco de questões os alunos devem calcular as medidas do ângulo interno e do ângulo externo de um polígono regular. Caso apresentem dificuldade na resolução orientá-los a consultar no livro os conceitos e as relações adequadas para cada item das questões. Na questão 9, propor que os alunos resolvam os itens propostos em duplas. A troca de ideias amplia as interpretações de cada um, contribuindo para um melhor entendimento e enriquecimento da aprendizagem.

120

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Partindo do ponto A, ela avança 120 m e gira 36° para a esquerda. A seguir, avança outros 120 m e gira 36° para a esquerda. Repete esse movimento até que retorna ao ponto A, fechando a trajetória. a) Qual é o polígono regular que essa trajetória limita? Decágono regular. b) Quantos quilômetros essa pessoa caminha na trajetória toda? 1,2 km c) Se, em média, essa pessoa der 11 passos a cada 8 m, quantos passos ela dará em toda a trajetória? 1 650 passos.

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5

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Construções geométricas A construção de polígonos regulares, seja com régua e compasso seja com softwares de geometria dinâmica é uma habilidade que deve ser desenvolvida, pois auxilia na compreensão das relações e propriedades dos polígonos.

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS

Neste capítulo, vamos aprender a construir, com régua e compasso, dois polígonos regulares.

Triângulo equilátero Já sabemos que o triângulo equilátero é um polígono regular de três lados; portanto, ele apresenta todos os lados e todos os ângulos internos congruentes entre si. Assim, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, cada ângulo do triângulo equilátero mede 60°. Siga, em seu caderno, as etapas da construção: 1o passo: Definimos o comprimento do lado do triângulo que desejamos construir. Nesse caso, vamos construir um triângulo equilátero de lado 4 cm. 2o passo: Construímos um segmento de reta AB de 4 cm de comprimento. A

B 4 cm

3o passo: Colocamos a ponta-seca do compasso em A, abrimos até o ponto B e traçamos um arco.

ILUSTRAÇÕES: MARCEL BORGES

4o passo: Repetimos o procedimento anterior, mas, agora, a ponta-seca deve estar em B.

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Uma possibilidade para o trabalho com construções geométricas e propriedades dos polígonos é o uso do geoplano. Se possível, providenciar alguns e levá-los à sala de aula. Também é possível construir o seu próprio geoplano. A construção não é complexa, mas exige material específico. Há também placas prontas com furinhos e hastes de plástico para serem encaixadas. Pode-se também construir um geoplano com madeira e pregos. Dentro da possibilidade de cada escola, pode-se pedir aos alunos que construam um em sala de aula ou sugerir que façam em casa, com o auxílio de um adulto. A seguir está o material e o procedimento para construir o geoplano. Apresentar essas orientações aos alunos para que possam efetuar a tarefa.

5o passo: Marcamos o ponto de intersecção dos arcos e nomeamos como C. Unimos o ponto C, com uma régua, aos vértices A e B, determinando o triângulo equilátero.

MARCEL BORGES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Depois de traçado o contorno, basta colorir a parte interna da figura. Para essa construção anterior, utilizamos arcos de circunferências de mesmo raio a fim de garantir que todos os lados do triângulo sejam congruentes. Já vimos que a circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos equidistantes ao centro dessa circunferência. Assim, ao construir os arcos, estamos encontrando todos os pontos que distam 4 cm de A e todos os pontos que distam 4 cm de B. O ponto de intersecção desses arcos é aquele que dista, ao mesmo tempo, 4 cm de A e de B. p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. Três lados congruentes entre si. 1. Na construção anterior, utilizamos qual propriedade do triângulo equilátero?

2. Existe outra propriedade dos triângulos equiláteros que pode ser utilizada na sua construção? Sim, três ângulos congruentes entre si.

Material necessário

• Uma placa de madeira com forma quadrada e pouco mais de 20 cm de lado; • Um lápis de carpinteiro ou lápis preto com grafite mais grossa para traçar uma malha sobre a placa de madeira; • 64 pregos com cabeça (cada prego medindo cerca de 15 mm de comprimento); • Um martelo; • Elásticos de diversas cores.

Hexágono regular O hexágono regular é o polígono de 6 lados que apresenta todos os lados e todos os ângulos congruentes entre si. Como a soma dos ângulos internos de um hexágono é 720° (Si = (6_2) ⋅180° = 720°) , cada 720° = 120° ). ângulo interno mede 120° ( a = 6 Siga, em seu caderno, as etapas da construção: 1o passo: Definimos o comprimento do lado do hexágono que desejamos construir. Nesse caso, vamos construir um hexágono de lado 1,2 cm. 2o passo: Construímos um segmento de reta OA de 1,2 cm de comprimento.

Procedimentos

1. Forme uma malha 8 x 8 sobre a placa de madeira, marcando 64 pontos equidistantes 2,5 cm, tanto horizontal quanto verticalmente. 2. Fixe um prego em cada ponto marcado: você formará 8 filas com 8 pregos em cada uma. 3. Com o auxílio de um adulto, fixe os pregos na placa utilizando o martelo: cada prego deve entrar 5 mm na madeira, ficando 10 mm de altura para fora dela, o que permitirá o manuseio dos elásticos. Depois de construir o geoplano, os alunos devem formar contornos de polígonos com os elásticos e refletir so-

O

A

3o passo: Com a ponta-seca do compasso em O e abertura igual à med (OA) traçamos uma circunferência.

O

A

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bre as propriedades e características de cada polígono formado. Proponha-lhes a: • Observar os vértices, os lados, os ângulos internos e os ângulos externos dos polígonos formados; • Usar elásticos de cores diferentes para indicar as diagonais dos polígonos formados.

Os alunos devem comparar os perímetros das figuras formadas no geoplano e perceber que há polígonos diferentes com perímetros iguais. Se necessário, recorde a noção de perímetro.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

4o passo: Ainda com a mesma abertura e com a ponta-seca do compasso no ponto A, determinamos o ponto B. B O

Se possível, solicitar aos alunos que realizem as construções com régua e compasso apresentadas nessas páginas. Fazendo na prática, os alunos conseguem compreender melhor o que está sendo proposto e perceber eventuais dúvidas que surgirem. Caso julgue oportuno, orientar os alunos a resolver as atividades em duplas, assim um auxilia o outro no processo de aquisição do conhecimento.

A

5o passo: Com a mesma abertura e a ponta-seca em B determinamos o ponto C na circunferência. E com a ponta-seca em C e mesma abertura, determinamos o ponto D. E assim seguimos por toda a circunferência, até determinar todos os pontos que correspondem aos vértices do hexágono. C D

B O

E

A F

Resolução do Desafio

6o passo: Traçamos os lados AB, BC, CD, DE, EF e FA. Para finalizar, colorimos a região 1. interna da figura. F C

Os alunos deverão construir um quadrado, que é o polígono regular de 4 lados. Para isso, traçar um segmento AB qualquer. Esse é um dos lados do quadrado. Em seguida, construir a perpendicular desse segmento que passa pelo ponto B. Determinar o ponto C, pertencente à perpendicular traçada de modo que o segmento BC tenha a mesma medida do segmento AB. Para isso, realizar o transporte da medida utilizando o compasso. Repetir esse procedimento para determinar o ponto D, pertencente à reta perpendicular ao segmento BC e que passa pelo ponto C. Por fim, traçar os segmentos CD e DA e o quadrado estará construído.

B

C O

D E

A

G

A H

F

B I

Esse processo garante a construção do hexágono regular desejado, pois: • o triângulo formado pelos pontos OAB é um triângulo equilátero. • em um triângulo equilátero, os ângulos internos são congruentes e medem 60°. Assim, construindo dois triângulos equiláteros consecutivos, obtemos o ângulo de 120° que é a medida do ângulo interno do hexágono regular.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

C

B 120° O

D E

p e n s e e r e s p o nd a

Responda às questões no caderno.

60° A

F

1. Podemos dividir o hexágono em quantos triângulos equiláteros? 6 triângulos equiláteros.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

2. Os alunos devem construir um quadrado. Eles podem construir ângulos de 90º e utilizar arcos de circunferência para transportar a medida do lado.

1. A partir da construção de um triângulo equilátero de 5 cm de lado, construa um hexágono regular de lado 5 cm.

DESAFIO

2. Utilizando régua e compasso, construa um polígono regular de 4 lados.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Propriedades dos quadriláteros A congruência de triângulos foi estudada na Unidade 3 deste volume e dá subsídio para que as propriedades dos quadriláteros, apresentadas aqui, possam ser compreendidas pelos alunos. Se necessário, retomar os casos de congruência de triângulos. Uma possibilidade de atividade é solicitar aos alunos que, utilizando o geoplano construído anteriormente, construam os diferentes tipos de paralelogramo estudados e observem as características de cada um. Espera-se que os alunos reconheçam o retângulo como um paralelogramo de ângulos internos congruentes; o losango como um paralelogramo de lados congruentes e o quadrado como um paralelogramo que também é um retângulo e um losango, ou seja, tem os lados e os ângulos internos congruentes.

CAPÍTULO

PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS Paralelogramos Considere os quadriláteros seguintes:

Figura 1

Figura 2

D

C

F

Figura 3

Figura 4 O

E

Q N

P A

B

G

T

H

R

M

S

AB // CD

EF // GH

MN // OP

RS // TQ

AD // BC

EH // FG

PM // NO

QR // ST

Todos esses quadriláteros apresentam, em comum, o fato de terem os lados opostos paralelos. Todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos é denominado paralelogramo. Observe: • O paralelogramo EFGH, da figura 2, que tem os quatro ângulos internos retos, é denominado retângulo. • O paralelogramo MNOP, da figura 3, que tem os quatro lados congruentes, é chamado losango ou rombo. • O paralelogramo RSTQ, da figura 4, que tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos internos retos, é chamado quadrado. Os paralelogramos apresentam as seguintes propriedades: 1a propriedade: Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.

• Como c e d são medidas de ângulos colaterais internos, temos: c + d = 180° c = 180° _ d (2) " !C ! Comparando (1) e (2), temos: a = c A Usando o mesmo raciocínio, mostramos que B ! D.

D

C c

d a A

b

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• Como a e d são medidas de ângulos colaterais internos, a = 180° _ d (1) temos: a + d = 180°

B

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AMPLIANDO

2a propriedade:

Atividade complementar Para sistematizar esse conteúdo, propor um exercício do tipo Verdadeiro ou Falso. Pedir que os alunos justifiquem as afirmações que julgarem falsas. A construção de argumentos é uma habilidade importante a ser desenvolvida. • Associe V ou F a cada uma das afirmações a seguir. a) As diagonais de qualquer retângulo são congruentes. b) As diagonais de qualquer losango são congruentes. c) As diagonais de um quadrado são congruentes. d) As diagonais de qualquer retângulo são perpendiculares entre si. e) As diagonais de qualquer losango são perpendiculares entre si. f) As diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si.

Em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes.

Traçando a diagonal AC, obtemos os triângulos ABC e CDA, em que: • a = c (ângulos alternos internos) D

• AC ! AC (lado comum)

d

• b = d (ângulos alternos internos) Então, pelo caso ALA de congruência de triângulos, temos que !ABC ! !CDA. Como consequência, AB ! CD e BC ! DA.

C

c

b

a

A

B

3a propriedade: Em qualquer paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.

Traçando as diagonais AC e BD, temos: • a = c (ângulos alternos internos) • AB ! CD (lados opostos) D

• b = d (ângulos alternos internos). Então, pelo caso ALA de congruência de triângulos, temos que !AMB ! !CMD.

C

M

Como consequência, AM ! CM e BM ! DM. Portanto, o ponto M é ponto médio tanto da diagonal AC como da diagonal BD.

c

d

a A

Resposta da atividade

b

a) b) c) d) e) f)

B

Agora, vamos estudar os paralelogramos que recebem nomes especiais: retângulo, losango e quadrado.

Retângulo

V F V F V V

Além das propriedades dos paralelogramos, o retângulo apresenta uma propriedade característica: as suas diagonais são congruentes. C Decompondo o retângulo nos triângulos ABC e ABD, temos: D • Â ! B̂ (ângulos retos) • BC ! AD (lados opostos do retângulo) Pelo caso LAL da congruência de triângulos, temos que !ABC A ! !BAD. Como consequência: AC ! BD.

B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• AB ! AB (lado comum)

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Losango Além das propriedades gerais dos paralelogramos, o losango apresenta uma propriedade característica: as suas diagonais são perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango. Considerando a diagonal DB do losango a seguir, pelo caso LLL de congruência de triângulos, temos que !ABD ! !CBD. D M A

C

B

Podemos concluir também que esses triângulos são isósceles, portanto, os ângulos ADB e ABD e os ângulos CDB e CBD são congruentes. Como os triângulos são congruentes, concluímos que os ângulos ADB, ABD, CDB e CBD são congruentes, assim, DB é bissetriz de å D e å B. Analogamente, podemos concluir que AC é bissetriz de å A e å C. Agora, vamos demonstrar que as diagonais do losango são perpendiculares. Considerando os triângulos AMB e AMD, temos que: • AB ! AD (lados do losango) • Bå AM ! Då AM (AC é bissetriz) • AM é comum aos triângulos ABM e ADM. Então, pelo caso LAL de congruência de triângulos, temos que !ABM ! !ADM. Logo, os ângulos AMB e AMD também são congruentes e, como eles são suplementares, temos que med(AåMB) ! med(AåMD) ! 90º. Portanto, AC e DB são perpendiculares (AC DB).

Quadrado O quadrado reúne as propriedades dos paralelogramos, dos retângulos e dos losangos e não serão demonstradas, pois são análogas às demonstrações anteriores. D

C

AC ! BD AC BD !!!" !!!" AC é bissetriz de  e CA é bissetriz de Ĉ. !!" !!" !. BD é bissetriz de B̂ e DB é bissetriz de D

M

A

B

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Considere o paralelogramo da figura a seguir. Nela, estão expressas as medidas de dois ângulos opostos. Quais são as medidas dos quatro ângulos desse paralelogramo? 45°, 45°, 135° e 135°

6x _ 21°

2. Determine a medida x no paralelogramo da figura a seguir. x = 47° x

35°

5. Observando o losango ABCD, determine: C

D

6. Sabendo que a figura a seguir é um quadrado, dê as medidas x e y indicadas. x = 90° e y = 45° x

y

3. A figura seguinte é um retângulo. 3x + 2y

2x + y

De acordo com as indicações, escreva o polinômio que indica: a) o perímetro do retângulo. 10x + 6y b) a área do retângulo. 6x2 + 7xy + 2y2

De acordo com as indicações, escreva o polinômio que indica:

B

A

C

B

4. Esta figura é um quadrado.

16

y

82° A

20

12

M

x

a) as medidas x e y indicadas. x = 16 e y = 12 b) os perímetros dos seguintes triângulos: *AMB, *ABC e *ABD. 48, 64 e 72

4x + 1°

D

Atividades Neste bloco de questões, os alunos deverão identificar os paralelogramos e aplicar as propriedades características destes. Para o trabalho com paralelogramos como os retângulos, losangos e quadrados, pode-se utilizar o tangram. Pedir aos alunos que construam quadriláteros com várias peças do tangram. Levantar questões como: • É possível construir um quadrado com 5 peças do tangram? E com 6 peças? Respostas: Sim; não. • É possível construir um paralelogramo com 7 peças do tangram? Resposta: Sim. • É possível construir um trapézio com 5 peças do tangram? Resposta: Sim. Resolver com os alunos a questão 4, verificando se os alunos utilizam produto notável ou a propriedade distributiva para o cálculo da área. Se julgar necessário, aproveitar o momento para recordar os produtos notáveis quadrado da soma e quadrado da diferença de dois termos. Para a questão 9, se necessário, retomar com os alunos o cálculo da medida do ângulo interno de um polígono regular.

7. Se as diagonais de um retângulo formam um ângulo de 114° entre si, quais são as medidas dos ângulos que as diagonais formam com os lados do retângulo? 33° e 57° 8. A medida de cada ângulo obtuso de um losango é expressa por 2x + 5°, enquanto a medida de cada ângulo agudo é expressa por x + 40°. Nessas condições, determine as medidas dos quatro ângulos desse losango. 95°, 95°, 85° e 85° 9. Na figura seguinte, ABCDEF é um hexágono regular, e AFGH é um losango. Determine as medidas x e y indicadas. x = 60° e y = 120° G

5x _ y

y

H 5x _ y

a) o perímetro do quadrado. 20x _ 4y b) a área do quadrado. 25x2 _ 10xy + y2

x

F

A

E

B

D

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

C

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Trapézios

Trapézios Os trapézios compõem o grupo dos quadriláteros formados por apenas um par de lados paralelos. Estudos mostram que os egípcios já estudavam essa figura. No Papiro de Rhind, documento egípcio datado de aproximadamente 1650 a.C., encontramos a figura de um trapézio (observe-o na parte esquerda da imagem abaixo). A base maior era designada por um vocábulo cuja tradução seria “boca”; a base menor era a “truncadura”; os lados não paralelos, as “larguras”. Os romanos denominavam o trapézio de mensa, pois achavam que a figura desse quadrilátero lembrava uma mesa. Somente a partir de meados do século XVII é que o termo trapézio foi adotado definitivamente.

Observe os quadriláteros das figuras seguintes. Eles apresentam apenas dois lados paralelos. Quadriláteros com essa característica são chamados trapézios. Os lados paralelos são as bases do trapézio. D

S

C

R

AB // CD. AB é a base maior. CD é a base menor. A

B

Q

P

PS // QR. PS é a base maior. QR é a base menor. O

P

A distância entre as bases é a medida da altura do trapézio.

altura M

N

Entre os trapézios, devemos destacar dois casos particulares: • Trapézio retângulo É o trapézio no qual um dos lados não paralelos é perpendicular às bases. O lado AD é perpendicular às bases.

D

• Trapézio isósceles É o trapézio no qual os lados não paralelos são congruentes. Vamos apresentar duas propriedades dos trapézios isósceles. 1a propriedade: D d

A

c

a

A

b

B S

R

PS 2 QR P

C

C

a!b

 ! B̂

c!d

Ĉ ! D̂

Q

Em um trapézio isósceles, os ângulos da mesma base são congruentes.

B

2a propriedade:

A

C

B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

D

AC 2 BD

Em um trapézio isósceles, as diagonais são congruentes.

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Fragmento do Papiro de Rhind, de c. 1650 a.C.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Base média de um trapézio

O uso do vocabulário adequado é importante na identificação dos quadriláteros. Assim, nos exercícios, solicitar que os alunos destaquem a respeito de qual trapézio a questão se refere.

O segmento cujas extremidades são os pontos médios dos lados não paralelos é denominado base média do trapézio. A base média de um trapézio é um segmento paralelo às bases do trapézio. D

C

M

N

A

B

M

ponto médio do lado AD

N

ponto médio do lado BC

MN

base média do trapézio

Atividades As questões desse bloco exploram reconhecimento de trapézios, suas classificações e aplicação das propriedades dos trapézios. Incentivar os alunos a representar a situação descrita por figuras, sempre que possível.

MN // AB e MN // CD

A medida da base média de um trapézio é igual à metade da soma das medidas das bases do trapézio. med AB + med CD med MN ! 2

( )

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Em um trapézio, três de seus ângulos medem 78°, 102° e 98°. Determine a medida do quarto ângulo. 82°

2. No trapézio isósceles, os ângulos da mesma base são congruentes. Se em um trapézio isósceles um dos ângulos mede 74°, determine as medidas dos outros três ângulos. 74°, 106° e 106° 3. Determine a medida x indicada na figura. x = 62° D C 118°

A

( )

6. A figura a seguir é um trapézio isósceles. Sabendo que AM está contido na bissetriz do ângulo A, e BM está contido na bissetriz do ângulo B, determine a x = 106° medida x indicada. D

C 106°

106° M x

A x

B

4. Determine as x + 30° x + y medidas x e y indicadas na 70° 50° figura. x = 80º e y = 50º. 5. Em um trapézio isósceles, a medida de 4 da cada ângulo agudo corresponde a 5 medida de cada ângulo obtuso. Nessas condições, determine as medidas dos quatro ângulos desse trapézio. 100°, 100°, 80° e 80°

B

7. No trapézio ABCD, EF é a base média. Determine a medida x da base maior AB. 20,5 cm 12,9 cm D C E A

16,7 cm

x

F B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

( )

8. Em um trapézio, denominamos x a medida da base maior e y, a medida da base menor. Sabendo que a base média mede 25 cm e que x _ y = 14 cm, determine as medidas das bases desse trapézio. x = 32 cm e y = 18 cm 187

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

TRATAMENTO DA INFORMAÇão Interpretando um gráfico de setores Observe o gráfico de setores representado:

População de cada região brasileira (Censo 2010)

EDITORIA DE ARTE

Tratamento da informação As atividades desenvolvidas ajudam a ampliar os conhecimentos sobre gráficos e interpretação de tabelas. Apresentar aos alunos outros gráficos de setores, muito comuns na mídia escrita e televisiva. Caso ache interessante e seja possível, orientá-los a pensar em um tema de interesse comum que possibilite uma coleta de dados para uma pesquisa e que possa gerar ações importantes e informações pertinentes. Em seguida, eles deverão organizar os dados em uma tabela e apresentá-los em um gráfico de setores. Lembre a turma de que é interessante pensar em um tema cujos dados coletados possam ser representados em um gráfico de setores, que é o tema desta seção. Comentar com os alunos que também é possível construir um gráfico de setores utilizando uma planilha eletrônica. Se julgar interessante, levar os alunos ao laboratório de informática para que, em duplas, construam os gráficos apresentados nesta seção.

8,3% 7,4% 27,8% 14,4%

Centro-Oeste Nordeste Sudeste Sul

42,1%

Norte

Informações obtidas em: IBGE. Sinopse do Censo Demográfico 2010. Disponível em: <www.censo2010.ibge. gov.br/sinopse/index. php?dados=5&uf=00>. Acesso em: 19 out. 2018.

Ele expressa, em % (por cento), a população aproximada de cada região brasileira em relação à população total do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE. Responda às questões no caderno.

Resoluções a partir da p. 289

1. Qual região brasileira apresenta a maior população? Qual a porcentagem que a representa? Região Sudeste. 42,1%. 2. Qual região tem a menor população? Com qual porcentagem? Região Centro-Oeste. 7,4%. 3. Observando o gráfico, conseguimos determinar a população de cada região? Por quê? Não, porque não temos a informação da população total.

Sabendo que a população aproximada do Brasil, segundo o Censo 2010 do IBGE, é de 190 755 799 (cento e noventa milhões, setecentos e cinquenta e cinco mil, setecentos e noventa e nove) habitantes, conseguimos determinar a população de cada região. Observe. Região Sudeste: Porcentagem Número de habitantes 100% − 190 755 799 42,1% − x x!

42,1" 190755799 ⇒ x ! 80 308 191 100

Região Nordeste: Porcentagem Número de habitantes 100% − 190 755 799 27,8% − x x!

27,8 " 190755799 ⇒ x ! 53 030 112 100

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Região Norte: Porcentagem Número de habitantes 100% − 190 755 799 8,3% − x

Região Sul: Porcentagem Número de habitantes 100% − 190 755 799 14,4% − x x!

14,4 " 190755799 ⇒ x ! 27 468835 100

1. Resposta:

x!

8,3 " 190755799 ⇒ x ! 15832732 100

Região Centro-Oeste:

Preferência esportiva dos alunos da escola X Porcentagem Número de habitantes de 100% − 190 755 799 Esporte Percentual (%) Número alunos 7,4% − x Basquete 30% 108 Futebol 35% 126 7,4 " 190755799 Tênis 15% 54 x! ⇒ x ! 14115929 Vôlei 20% 72 100 Total 100% 360

Fonte: Alunos da escola X.

População de cada região brasileira (Censo 2010)

Assim, podemos dizer que a região Sudeste tem aproximadamente 80 308 191 habitantes. Da mesma maneira, conseguimos encontrar a população aproximada de cada região brasileira, a partir da porcentagem apresentada no gráfico de setores. Esta tabela foi elaborada com os dados encontrados.

Porcentagem (%)

Número de habitantes

Norte

8,3

15 832 732

Nordeste

27,8

53 030 112

Centro-Oeste

7,4

14 115 929

Sudeste

42,1

80 308 191

Sul

14,4

27 468 835

Total

100

190 755 799

Região

Informações obtidas com base no gráfico da página anterior.

Responda às questões no caderno.

4. O gráfico a seguir indica o resultado de uma pesquisa sobre a preferência esportiva dos alunos de uma escola de São Paulo. Sabendo que foram pesquisados 360 alunos, construa uma tabela relacionando o esporte com a quantidade de alunos que preferiu cada um deles.

Preferência esportiva dos alunos da escola X

Basquete

20% 30%

Futebol Tênis

15%

EDITORIA DE ARTE

Vôlei

35%

a) Qual o esporte favorito dos alunos da escola X? Futebol. b) Quantos alunos responderam que preferem o basquete? 108 c) Você acha melhor analisar os dados representados em um gráfico de setores ou em uma tabela? Resposta pessoal.

Fonte: Alunos da escola x.

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7

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Transformações no plano Os alunos já viram o conteúdo de transformações no plano no 7o ano, então, aproveitar este momento para retomar os conceitos e tirar eventuais dúvidas. Caso deseje que os alunos realizem as situações apresentadas nestas páginas, pedir a eles que providenciem régua, compasso e o papel quadriculado.

TRANSFORMAÇÕES NO PLANO

Já vimos que, em polígonos e em outras figuras geométricas, podem ser aplicadas transformações geométricas. As figuras obtidas por essas transformações são imagens do original e podem ter suas medidas dos lados alteradas, assim como sua posição no plano.

Reflexão I

Considere a figura representada a seguir. Podemos dizer que II é a reflexão de em relação à linha vermelha. B G F C I

A

A’

H E

H’ E’

D

D’

B’ G’ F’ C’ II

Quando duas imagens são reflexo uma da outra e esse reflexo se dá em relação a uma linha, dizemos que há simetria de reflexão ou simetria axial e a linha é seu eixo de reflexão ou eixo de simetria.

O pentágono regular I foi transladado na direção e sentido do vetor u, gerando o pentágono II . Para transladar o pentágono, deslocamos os vértices A, B, C, D e E dois quadradinhos para a direita e, em seguida, dois quadradinhos para baixo, obtendo os pontos A’, B’, C’, D’ e E’. Observe a figura ao lado:

SAIBA QUE

Transladar: transferir para outro lugar.

A B

I

E A’

u

E’ C D B’ II D’ C’

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Translação

A translação é a transformação no plano que desloca todos os pontos de uma figura na mesma direção e sentido, preservando suas dimensões originais.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Rotação

Aproveitar o contexto e questionar os alunos sobre onde podemos ver exemplos de transformações do plano em nosso cotidiano. Alguns exemplos que os alunos podem mencionar: obras de arte, mosaicos, ladrilhos e pisos, logomarcas, entre outros.

Considere a figura a seguir. Nela, I foi rotacionada em torno do ponto O, em 90° no sentido anti-horário, obtendo-se a figura II . Para construir a rotação de uma figura, é preciso definir o II ponto em torno do qual essa figura girará, ou seja, um centro de rotação. Também é preciso definir um ângulo e um sentido de rotação. 90º Abaixo temos a rotação do triângulo IJK, construído passo a O I passo, em torno do ponto O, com um ângulo de rotação de 45°, no sentido horário. Observe como cada um dos vértices do triângulo foi unido ao centro de rotação e definiu, de acordo com a medida do ângulo de rotação e o sentido definido, os vértices da imagem I’J’K’.

I’

I’ J’

J’ J

I

I

I

J

K’ K

45º O

I

J

K’ K

45º O

K’ K

45º O

O centro de rotação também pode ser um dos pontos da figura. Agora, vamos rotacionar o triângulo IJK, considerando o vértice K como centro de rotação. Faremos um giro de 45° no sentido horário:

J K’ K 45º O

I

J

I’ 1 ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

I’

J’1 45° K’1 K

A transformação geométrica rotação consiste em girar determinada figura, em torno de um ponto do plano, mantendo o ângulo de deslocamento.

p e n s e e r e s p o nd a

Na figura acima, qual o ponto fixo desta rotação? O ponto K, que corresponde, neste caso, ao centro de rotação.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Composição de transformações Verificar se os alunos compreendem que a composição de transformações são duas ou mais transformações feitas em seguida. É importante que eles percebam que não é uma nova transformação, apenas uma composição das já conhecidas. Salientar também que tendo a figura inicial e a final, é possível que mais de uma composição de transformações resulte naquela imagem final. Se julgar oportuno, reunir os alunos em duplas, distribuir papel quadriculado e solicitar que os alunos tentem reproduzir as figuras presentes no texto. Esse exercício faz com que compreendam as etapas necessárias para a obtenção da figura final.

Composição de transformações Algumas figuras podem ser obtidas por meio da composição de transformações geométricas no plano. Vejamos alguns exemplos. 1 Observe a figura. B’

B A

A’

C Figura final.

Figura inicial. C’

O triângulo ABC (Figura inicial) passou por duas transformações geométricas para chegar ao triângulo A'B'C' (Figura final). Acompanhe o passo a passo: 1o) Reflexão em relação à reta r.

2o) Rotação de 45° no sentido anti horário, com centro de rotação o vértice A’.

r

r B1

B C

A

B

C1

A’

C

A

Figura inicial.

B1 C1

B’

Figura inicial.

A’ 45°

Figura final. C’

2 A figura inicial do peixe a seguir sofreu uma translação horizontal de 3 unidades para a direita e em seguida uma rotação de 180° em relação ao ponto O. u

K

O Figura inicial.

180°

Figura final.

p e n s e e r e s p o nd a

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

J

Resoluções a partir da p. 289

Responda à questão no caderno. Na figura do peixe, é possível chegar à figura final fazendo outros tipos de composição de transformações? Resposta no final do livro.

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ATIVIDADES

de uma figura em torno de um ponto, sugerimos a apresentação de um simulador de rotação, desenvolvido pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). Nele, o aluno pode manipular alguns pontos e construir diversas figuras. Disponível em: <http://livro. pro/jqwwmu>. Acesso em: 5 nov. 2018.

Resoluções a partir da p. 289

a) Quais as coordenadas dos pontos A’, B’ e C’? A’(-3, 2), B’(-7, 2) e C’(-5, 5) b) O que você observa com relação às coordenadas dos pontos A’, B’ e C’?

3. Os pentágonos ABCDE E A’B’C’D’E’ são simétricos em relação a uma reta t. Copie os pentágonos em uma folha de papel quadriculado e desenhe a reta t. Resposta no A E final do livro

u

Resolução do Desafio DESAFIO

A 5. Copie a figura em O uma folha de papel F B 90° F’ quadriculado e, A’ em seguida, comB’ plete sua rotação em torno do ponto O no sentido anti-horário, de um ângulo de 90 ! . Use régua e jogo de esquadros. Resposta no final do livro 6. Escher (1898-1972), artista holandês de grande renome, utilizou duas transformações no plano para compor a obra a seguir.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Em seguida, construa o polígono A’B’C’, refletido em relação ao eixo das ordenadas (eixo y). Resposta no final do livro

b)

D

A’

B B’

C C’

E’ D’

4. Copie as figuras a seguir em uma folha de papel quadriculado. Em seguida, faça a translação de cada uma delas, obedecendo o vetor dado. a)

u

Os alunos devem realizar a rotação da figura em torno do ponto O por um ângulo de 90°. A figura final será a reproduzida a seguir. A O B

F

F’

A’ B’

M.C. ESCHER'S BIRD/FISH (NO 22) © 2018 THE M.C. ESCHER COMPANY. THE NETHERLANDS. ALL RIGHTS RESERVED. WWW.MESCHER.COM

1. Copie o polígono ABCDE em uma A B folha de papel E C quadriculado e, em seguida, D construa sua r reflexão em relação à reta r. Resposta no final do livro 2. Construa, em uma folha de papel quadriculado, um plano cartesiano e marque os pares ordenados A (3, 2), B (7, 2) e C (5, 5).

Pássaros/Peixes (No 22), de Maurits Cornelis Escher, 1941.

Quais transformações você identifica no quadro? Espera-se que os alunos identifiquem a translação. 7. Em uma folha de papel quadriculado, construa um plano cartesiano e uma figura geométrica qualquer. Em seguida, aplique uma reflexão em relação ao eixo das ordenadas, seguida de uma translação vertical de 3 unidades. Resposta pessoal.

Resposta no final do livro 193

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades As atividades propostas pretendem que o aluno possa, utilizando seus instrumentos geométricos, trabalhar com as transformações geométricas no plano, percebendo as diferenças na construção de cada uma delas.

O uso de softwares de geometria dinâmica pode auxiliar na construção das isometrias. Mas, é importante que essa etapa de construção, usando papel quadriculado, régua, compasso e esquadros, seja trabalhada em sala de aula. O artista holandês M.C. Escher trabalhou muito com

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isometrias em suas obras de mosaicos. Caso julgue interessante, apresentar algumas obras do artista, disponíveis em seu site oficial: <http://livro.pro/c4njps> (site em inglês). Acesso em: 5 nov. 2018. Para que os alunos compreendam melhor a rotação

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tecnologias Reservar com antecedência computadores para os alunos. O ideal é que seja em quantidade suficiente para que eles trabalhem em duplas. É importante salientar que a escolha do software de geometria dinâmica foi feita, entre vários possíveis, por ele ser gratuito e de fácil utilização. O GeoGebra, além das ferramentas geométricas, também permite a análise algébrica em diversas situações, como no cálculo de áreas, perímetros etc.

Tecnologias Depois do estudo das transformações geométricas no plano, vamos usar ferramentas do software Geogebra para fazer composições envolvendo simetrias de reflexão, translação e rotação.

Transformações no plano Talita e Fernando estavam usando o software de geometria dinâmica para estudar transformações no plano. Eles receberam um desafio para compor um padrão geométrico usando as simetrias de reflexão, translação e rotação. Nesse desafio, eles poderiam usar apenas as seguintes ferramentas:

Mover

Reta

Reflexão em relação a uma reta

Ponto

Polígono

Translação por um vetor

Vetor

Intersecção entre dois objetos

Rotação em torno de um ponto

Além disso, eles poderiam usar a ferramenta das construções realizadas por Talita e Fernando.

apenas duas vezes. Observe algumas etapas

ILUSTRAÇÕES: GEOGEBRA 2018

1º) Inicialmente eles construíram dois triângulos. Em seguida, os triângulos BCD e CEF foram refletidos em relação ao eixo y. Depois, refletiram os triângulos CEF e F’E’C1’em relação ao eixo x.

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O uso do software para realizar as transformações vistas anteriormente auxilia o aluno no processo de compreensão dos conceitos. Após a realização das atividades propostas, incentivar os alunos a testarem outras composições de transformações com outras figuras. Desse modo, o raciocínio e o desenvolvimento de novas habilidades são estimulados.

2º) Foi realizada uma translação do triângulo BCD, obtendo o triângulo B1’ C3’D1’. Em seguida, foi feita uma rotação desse último triângulo, de centro em A e 90° no sentido horário.

3º) Em seguida, foi realizada uma translação do triângulo JKI, obtendo o triângulo J’K’I’. Para finalizar, Talita refletiu os triângulos JKI e J’K’I’ em relação ao eixo x, obtendo o padrão geométrico que desejava.

ILUSTRAÇÕES: GEOGEBRA 2018

1 No Geogebra, construa o padrão geométrico apresentado anteriormente. Você pode seguir o passo a passo que Talita e Fernando usaram, ou realizar as transformações geométricas em outra ordem. Resposta pessoal. 2 Depois de construído o padrão geométrico, usando a ferramenta clique sobre um vértice de um dos primeiros polígonos construídos e arraste. Veja a seguir um exemplo.

O que você verificou?

Resposta possível: As alterações realizadas nos primeiros polígonos construídos acontecem nos demais polígonos obtidos como transformação no plano dos primeiros. 195

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Retomando o que aprendeu Orientar os alunos a retomar no livro os conceitos e as propriedades que precisarem lembrar para a realização das atividades. Fazer a correção coletivamente, retomando explicações na lousa, quando julgar necessário.

RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. Calcule quantas diagonais possui a representação do polígono ao lado. A a) 22 Alternativa c. K B b) 34 c) 44 d) 55 e) 66

J

C

I

D E

H G

F

2. (Saresp-SP) Seis cidades estão localizadas nos vértices de um hexágono regular, como mostra a figura. Há um projeto para interligá-las, duas a duas, por meio de estradas. Algumas dessas estradas correspondem aos lados do polígono, e as demais correspondem às diagonais. Desse modo, o número de estradas a serem construídas é: A B a) 9 Alternativa b. b) 15 F C c) 21 d) 24 e) 27 E D

3. Quantos lados tem o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é 2 160º? Alternativa a. a) 14 b) 16 c) 17 d) 18 e) 20 4. Esta figura é a representação de um hexágono não regular. O valor de x é: a) 105° Alternativa b. 160° b) 100° x x c) 110° x x d) 120° 160° e) 108°

Resoluções a partir da p. 289

5. Em um polígono regular, a medida de cada ângulo externo é 24°. Esse polígono tem: Alternativa a. a) 90 diagonais. b) 105 diagonais. c) 119 diagonais. d) 135 diagonais. e) 170 diagonais. 6. Um retângulo e um quadrado têm o mesmo perímetro. No retângulo, um dos lados mede 15 cm, e a medida do outro corresponde a 60% dessa medida. O lado do quadrado mede: Alternativa b. a) 10 cm b) 12 cm c) 14 cm d) 16 cm e) 20 cm 7. No losango ABCD a seguir, temos que: D

M A

C

B

• med (AM) = 40 cm • med (MC) = x + 3y • med (BM) = x + y • med (MD) = 30 cm Qual é o valor da expressão x _ y? a) 16 cm

Alternativa c.

b) 18 cm c) 20 cm d) 25 cm e) 30 cm 8. Na figura a seguir, o triângulo MBN é isósceles (BM ! BN). Qual é, em graus, o valor da medida y? Alternativa d. a) 12°

D x

b) 14° c) 15°

C

3x 2

A

B

d) 18° e) 20°

x 2

2x

N

y

M

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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10. (OBM)

B

D

C

12. (Fuvest-SP) No retângulo a seguir, o valor em graus de a + b é: Alternativa d. 40º

b

E A

x

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

11. (OBM) Na figura, ABCDE é um pentágono regular, CDFG é um quadrado e DFH é um triângulo equilátero. O valor do ângulo b é: Alternativa c. H F a) 30° ! G b) 36° D c) 39° E C d) 45° e) 60° A B

B

a

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

9. Na figura abaixo, ABCD é um quadrilátero qualquer e CD ! CB. Então, a medida y do ângulo CBD é. Alternativa c. A D a) 31° 21° 72° b) 32° C x c) 33° 21° d) 34° y e) 35°

a) 50 a) A figura ABCD é um quadrado e CE ! CB. b) 90 Determine a medida do ângulo x. c) 120 x = 22°30’ 3x 2 d) 130 b) Resolva a equação ! " 3.. x ! 4 xx = _ 4 e) 220 5 Espera-se que o aluno encontre em sua pesquisa que a relação entre a quantidade de pixels e a qualidade de uma fotografia (conhecido como mito do megapixel ) não é o que importa. O mais importante para se ter uma foto de qualidade são as lentes e os sensores da máquina. UM NOVO OLHAR Nesta Unidade, estudamos os polígonos e, em especial, os quadriláteros. Nosso estudo sobre polígonos foi dividido em: elementos de um polígono, nomenclatura utilizada, diagonais de um polígono, relação entre os ângulos internos e externos de um polígono, soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo, soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo. Com relação aos quadriláteros, foram abordados: as propriedades de um quadrilátero, os paralelogramos, os trapézios e a base média de um trapézio. Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda no caderno às questões a seguir.

• Na abertura da Unidade, citamos que a quantidade de pixels de uma foto é muito importante para a ampliação dela. Faça uma pesquisa e verifique qual a relação entre a quantidade de pixels e a qualidade de uma fotografia. • Qual é a relação entre o ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele de um polígono regular? A soma das medidas desses ângulos é igual a 180°. • Que características tem um polígono regular? • Quais quadriláteros estudados são paralelogramos? O retângulo, o losango e o quadrado. • Que tipos de trapézios foram estudados? Trapézio isósceles e trapézio retângulo. • Que transformações geométricas no plano você conheceu? Reflexão, translação e rotação. Um polígono regular tem todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos congruentes entre si (o que acarreta que também todos os ângulos externos são congruentes entre si). 197

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Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir reflexões sobre as aprendizagens individuais, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber o que aprenderam, as dúvidas que ainda tenham e retomar alguns pontos que julguem necessários. Ajudá-los, caso isso ocorra. A primeira questão busca fazer uma revisita à abertura desta Unidade, retomando a relação entre a quantidade de pixels e a resolução de uma fotografia. A segunda questão aborda a relação entre o ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele de um polígono qualquer. A terceira questão busca levar os alunos a refletir sobre as características que fazem um polígono receber a nomenclatura de polígono regular (todos os lados congruentes entre si e todos os ângulos internos congruentes entre si). A quarta questão aborda os três tipos de paralelogramos que recebem nomes especiais, levando a observação da relação mais intrínseca existente entre eles, pois todo quadrado também pode ser classificado como losango ou retângulo, sendo a recíproca não verdadeira. A quinta questão retoma os tipos de trapézios estudados (ressaltamos que os trapézios escalenos não são mencionados, tratamos apenas dos casos especiais de trapézios). A última questão permite que os alunos se lembrem das isometrias estudadas na Unidade: reflexão, translação e rotação.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATUALIDADES EM FOCO

Querer é poder? Mas, o que eu quero? Quantas vezes você já comprou algo que não precisava? Ou apenas porque queria ter, ou porque seus colegas já tinham e você ainda não? O consumismo, o acúmulo cada vez maior de bens materiais e supérfluos, promove em nossa sociedade um declínio de valores. Em alguns casos, as pessoas se tornam dependentes desses bens, valorizando mais a aquisição de produtos e de bens do que as relações sociais e afetivas. Com a facilidade em se conseguir crédito, ficou cada vez mais comum substituir um produto que quebrou por outro novo, em vez de consertá-lo, bem como trocar produtos obsoletos da nossa casa, mesmo que ainda estejam funcionando. O consumo irresponsável e ilimitado também prejudica a natureza e o meio ambiente, pois retiramos deles bens que são renovados e devolvemos uma quantidade cada vez maior de lixo, que, muitas vezes, é descartado em locais impróprios. Dessa forma, para minimizar os efeitos do consumismo desenfreado, é preciso que se faça um trabalho de educação ou reeducação que promova reflexões acerca do consumo e do consumismo, do desejo e da necessidade, da preservação e conservação ambiental, do descarte responsável e, inclusive, da implementação de leis mais efetivas.

FAITHIE/SHUTTERSTOCK.COM

Atualidades em foco O tema desta seção é a educação para o consumo. Com o acesso facilitado a propagandas que induzem as pessoas a consumir itens que não são necessários, torna-se primordial uma educação visando o consumo adequado de produtos em geral. Ler o texto de sensibilização com os alunos e estimular o debate a respeito das facilidades que existem hoje em dia para o consumo desenfreado e o que pode ser feito para combatê-lo. Pode ser levantado pelos alunos os diversos tipos de persuasão a que somos expostos em nosso cotidiano para realizar compras desnecessárias. Em seguida, elencar na lousa os exemplos apresentados pelos alunos. Uma outra possibilidade é trazer para a sala de aula slogans publicitários, abordagens ou mesmo material visual com imagens como cartazes e outdoors para contribuir com o debate.

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2. 10,69% significa dizer que, de cada R$ 100,00, pagarei R$ 10,69. Como o videogame equivale a 14 x R$ 100,00, podemos dizer que você pagará 14 x R$ 10,69 de juros, o que totaliza: R$ 146,90. 1. A escola pode contribuir muito para a conscientização do consumo responsável e sustentável. Você concorda com essa afirmação? Por quê? Converse com seus colegas. Resposta pessoal. 2. Os juros cobrados pelos bancos e pelas operadoras de crédito variam de acordo com o tipo de financiamento que utilizamos. Assim, o valor da taxa de juros aplicada em um mesmo banco pode ser diferente, de acordo com a linha de crédito. A seguir são apresentadas as taxas médias de juros aplicadas por diversos bancos durante o ano de 2010, de acordo com o Banco Central. Responda no caderno:

Taxas de Juros Linha de crédito Juros do comércio Cartão de crédito Cheque especial CDC-bancos Empréstimo pessoal - bancos Empréstimo pessoal - financeiras Taxa média

Taxa média março 5,72% 10,69% 7,34% 2,33% 4,74% 9,78% 6,77%

Taxa média abril 5,77% 10,69% 7,40% 2,44% 4,79% 9,87% 6,82%

Variação no mês 0,87% 0% 0,82% 3,00% 1,05% 0,92% 0,74%

Fonte: BELEDELI, M. Crédito fácil pode virar armadilha ao consumidor. Jornal do Comércio. Diponível em: <http://jcrs.uol.com.br/site/noticia.php?codn=30398&codp=21&codni=3>. Acesso em: 2 nov. 2018.

Responda à questão a seguir: Vamos supor que você queira comprar um videogame e não tenha o dinheiro nesse mês. Mas você está com tanta vontade de comprá-lo que não resiste à persuasão do vendedor e acaba utilizando uma linha de crédito de seu cartão, mas se esqueceu que não era uma boa data para realizar a compra, pois, a fatura venceria naquele mesmo mês. Supondo que o video game tenha custado R$ 1 400,00 e você tenha atrasado um mês o pagamento de sua fatura, quanto pagará de juros? (Como não houve variação na taxa de juros, pode-se utilizar o valor referente a abril ou a maio.)

3. Elabore uma lista com 5 itens que você costuma consumir frequentemente; por exemplo, sucos, lanches, itens de higiene etc. Pesquise os valores unitários desses produtos em diferentes estabelecimentos. Anote o resultado em um quadro, como o da referência a seguir. Estabelecimento: Produto

Valor 1

Valor 2

Valor 3

a) Agora, calcule a diferença entre o maior e o menor valor encontrados para o mesmo produto e multiplique-os pelo número de unidades de cada produto que você costuma consumir Resposta pessoal. durante o mês.

Na atividade 2, aproveitar para explicar aos alunos que, se eles esperassem um mês para comprar o brinquedo, teriam economizado o valor de R$ 146,90 e que poderiam utilizar esse dinheiro para outra coisa. Explicar ainda que, se ao final dos 30 dias eles não tiverem o dinheiro para pagar o brinquedo, o banco calculará novamente os juros, só que dessa vez sobre o valor do brinquedo mais o valor dos juros. Comentar que, neste caso, as demais possíveis taxas cobradas pela operadora do cartão não foram consideradas. Na atividade 3, orientar os alunos na construção da tabela e na escolha dos produtos para a realização da pesquisa. Estimulá-los a pesquisarem nos locais onde costumam frequentar para que tenham, de fato, um parâmetro dos preços aplicados que reflitam seus hábitos de consumo. Se necessário, fazer intervenções na realização dos cálculos. Para essa atividade, pode-se utilizar a calculadora, com o objetivo de que os alunos se preocupem mais com a pesquisa, o processo e a constatação dos valores do que com os cálculos. Se possível, elaborar uma pesquisa a respeito de compra por atacado e aplicativos de compra coletiva.

b) Faça a soma dessa diferença de todos os produtos que você consome e descubra quanto você economizaria se adquirisse esse produto no local onde se aplica o menor valor. Resposta pessoal. c) Compartilhe suas descobertas com os colegas e com o professor e, juntos, descubram quanto a sala toda economizaria se adotasse o hábito de pesquisar os preços para descobrir o local com a melhor oferta. Lembre-se de avaliar despesas com o deslocamento, tempo etc. Resposta pessoal. d) Você já ouviu falar em compra coletiva? Será que essa prática poderia trazer benefícios? Por quê? Resposta pessoal. 199

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GERAIS 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. ESPECÍFICAS 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

HABILIDADES

Contagem, probabilidade e estatística

Na imagem está representada uma linha de produção fabril em que há um setor cuja atividade consiste em reparar produtos com defeitos, os quais precisam de melhorias, o que gera retrabalho. Mas como definir em quais peças há defeito? Para isso, existe um setor de inspeção, que é o responsável por avaliar a qualidade dos itens produzidos. Esse setor também é responsável por fazer uma análise estatística da produção. Agora, observando a imagem, pense e responda no caderno.

MANZI

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COMPETÊNCIAS

• O retrabalho (melhorias) acontece em que momento da produção? Depois da inspeção. • O que você entende por retrabalho? Você acha que para uma fábrica é melhor que muitos ou poucos itens passem por esse setor? Respostas pessoais. • Quais procedimentos podem ser adotados para evitar o retrabalho e diagnosticar suas causas? Como esses dados podem ser organizados? • Que tipo de gráfico você acha que seria melhor para representar os problemas que causam o retrabalho? Por quê? Resposta pessoal. Possível resposta: analisar o processo de produção para orientar os funcionários e promover condições para que fiquem atentos aos pontos mais frágeis da produção.

p. XXI e XXII

Números • EF08MA03 Probabilidade e estatística • EF08MA22 • EF08MA23 • EF08MA24 • EF08MA25 • EF08MA26 • EF08MA27

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Abertura de Unidade Para iniciar, explorar a imagem de abertura. Conversar com os alunos a respeito dos trabalhos que são feitos em linha de produção, por exemplo, na montagem de automóveis e na usinagem de peças industriais. Questioná-los a respeito da relação que há entre os ambientes em que ocorrem esses trabalhos com Probabilidade e Estatística. Espera-se que eles compreendam que as ferramentas estatísticas servem para analisar, por exemplo, a quantidade de peças produzidas em relação à quantidade de peças vendidas em diferentes períodos do ano. Após analisar a imagem de abertura desta Unidade, verificar se os alunos conhecem o significado do termo retrabalho. Espera-se que eles compreendam que retrabalho é uma ação reparadora tomada no produto que não está de acordo com os requisitos exigidos. Comentar que o retrabalho demanda maior tempo e custo de produção, uma vez que o produto deve passar novamente por um processo anterior, gerando mais gastos. Aproveitar o tema da abertura da Unidade para propor situações que envolvam a ideia do princípio fundamental da contagem. Por exemplo: em uma fábrica de automóveis, há três modelos de carroceria e dois modelos de rodas. Como é possível determinar a quantidade de combinações possíveis entre elas para montar carros? Espera-se que os alunos consigam concluir que há 6 combinações possíveis.

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